--- title: "समूह सिद्धांत" book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3" subject: math language: hi chapter: 1 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory --- # अध्याय 1 — समूह सिद्धांत दूसरे वर्ष के खंड में समूह लेखा-जोखा के उपकरण के रूप में मिले थे: लाग्राँज की प्रमेय, चक्रीय समूह, सममित समूह और उसका चिह्न। यह अध्याय समूह सिद्धांत को एक *विधि* में बदल देता है। इसकी चालक शक्ति यह धारणा है कि एक समूह किसी समुच्चय पर *[क्रिया](#def-b3-groups-action)* करता है: कक्षाओं और स्थिर बिंदुओं की गणना से [वर्ग समीकरण](#cor-b3-groups-classeq), कोशी की प्रमेय और तीनों सिलो प्रमेय निकलते हैं — परिमित समूह सिद्धांत का मूल स्थानीय-से-वैश्विक सिद्धांत। इसके बाद हम समूहों को जोड़ना (प्रत्यक्ष और [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect)) और उन्हें तोड़ना ([संघटन श्रेणी](#thm-b3-groups-jordanholder), [विलेय समूह](#def-b3-groups-derived)) सीखते हैं, और वह प्रमेय सिद्ध करते हैं जो [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois) में बहुपद समीकरणों के बारे में तीन सदी पुराने प्रश्न को बंद कर देगी: [एकांतर समूह](#thm-b3-groups-ansimple) $A_n$ $n \geq 5$ के लिए [सरल](#def-b3-groups-simple) है। ## 1.1 भागफल समूह और तुल्याकारिता प्रमेय आगे सर्वत्र $G$ गुणनात्मक रूप में लिखा गया एक समूह है और $e$ उसका तत्समक। दूसरे वर्ष के खंड से स्मरण कीजिए: उपसमूह, सहसमुच्चय $gH$, लाग्राँज की प्रमेय (परिमित $G$ के लिए $\abs G = [G:H]\,\abs H$), किसी अवयव का क्रम, चक्रीय समूह, तथा सममित समूह $S_n$ और उसकी चिह्न समाकारिता $\varepsilon \colon S_n \to \{\pm1\}$। **परिभाषा 1.1.** $G$ का उपसमूह $N$ *प्रसामान्य* कहलाता है (लिखा जाता है $N \trianglelefteq G$) जब प्रत्येक $g \in G$ के लिए $gNg^{-1} = N$ हो — समतुल्य रूप से, जब बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय एक ही हों: सभी $g$ के लिए $gN = Ng$। **प्रमेय 1.2 (भागफल समूह).** मान लीजिए $N \trianglelefteq G$। सहसमुच्चयों का समुच्चय $G/N$, गुणन $(gN)(hN) = ghN$ के साथ, एक सुपरिभाषित समूह है — *भागफल समूह* — और *विहित प्रक्षेप* $\pi \colon G \to G/N$, $g \mapsto gN$, एक आच्छादक समाकारिता है जिसकी अष्टि $N$ है। विलोमतः, किसी भी समूह समाकारिता की अष्टि [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) होती है: [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) ठीक अष्टियाँ ही हैं। **उपपत्ति.** सारा मर्म सुपरिभाषितता में है। यदि $gN = g'N$ और $hN = h'N$ हों, तो $n, m \in N$ के साथ $g' = gn$, $h' = hm$ लिखिए। तब $g'h' = gnhm = gh\,(h^{-1}nh)\,m \in ghN$, क्योंकि प्रसामान्यता से $h^{-1}nh \in N$: सहसमुच्चयों का गुणनफल प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करता। साहचर्य, तत्समक $eN = N$ और प्रतिलोम $(gN)^{-1} = g^{-1}N$ $G$ से विरासत में मिलते हैं। स्पष्टतः $\pi$ एक आच्छादक समाकारिता है और $\pi(g) = N \iff g \in N$। यदि $f \colon G \to H$ एक समाकारिता हो और $k \in \ker f$, तो $f(gkg^{-1}) = f(g)f(k)f(g)^{-1} = e$: अष्टियाँ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) होती हैं। ∎ **प्रमेय 1.3 (सार्वत्रिक गुण; प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय).** मान लीजिए $f \colon G \to H$ एक समाकारिता है और $N \trianglelefteq G$ ऐसा है कि $N \subseteq \ker f$। तब $f = \bar f \circ \pi$ को संतुष्ट करने वाली एक अद्वितीय समाकारिता $\bar f \colon G/N \to H$ विद्यमान है। विशेष रूप से, $N = \ker f$ लेने पर: $$ G/\ker f \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \operatorname{im} f, \qquad gN \mapsto f(g). $$ **उपपत्ति.** अद्वितीयता: $\bar f(gN)$ को $f(g)$ होना ही चाहिए। अस्तित्व: यदि $gN = g'N$ तो $g^{-1}g' \in N \subseteq \ker f$, अतः $f(g) = f(g')$ और $\bar f(gN) = f(g)$ सुपरिभाषित है; यह समाकारिता है क्योंकि $f$ समाकारिता है। $N = \ker f$ के लिए: $\bar f$ एकैकी है, क्योंकि $\bar f(gN) = e$ का अर्थ है $g \in \ker f$, अर्थात् $gN = N$; और इसका प्रतिबिंब वही है जो $f$ का है। ∎ **प्रमेय 1.4 (द्वितीय और तृतीय तुल्याकारिता प्रमेय).** मान लीजिए $H \leq G$ और $N \trianglelefteq G$। 1. $HN = \{hn : h \in H,\, n \in N\}$ एक उपसमूह है, $N \trianglelefteq HN$, $H \cap N \trianglelefteq H$, तथा $$H/(H \cap N) \;\cong\; HN/N .$$ 2. यदि इसके अतिरिक्त $N \subseteq K \trianglelefteq G$ हो, तो $K/N \trianglelefteq G/N$ और $(G/N)\big/(K/N) \cong G/K$ । **उपपत्ति.** (1) $HN$ एक उपसमूह है: $N$ की प्रसामान्यता का उपयोग करते हुए $(hn)(h'n') = hh'\,(h'^{-1}nh')n' \in HN$ तथा $(hn)^{-1} = h^{-1}(hn^{-1}h^{-1}) \in HN$। $H \hookrightarrow HN \xrightarrow{\pi} HN/N$ का संयोजन कीजिए: यह समाकारिता आच्छादक है ($hnN = hN$) और इसकी अष्टि $\{h \in H : h \in N\} = H \cap N$ है; अब [प्रमेय 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) लगाइए। (2) प्रक्षेप $G/N \to G/K$, $gN \mapsto gK$, सुपरिभाषित है ($N \subseteq K$), आच्छादक है, और उसकी अष्टि $K/N$ है; पुनः [प्रमेय 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) लगाइए। ∎ **प्रमेय 1.5 (संगति प्रमेय).** मान लीजिए $N \trianglelefteq G$। प्रतिचित्रण $H \mapsto H/N$ $N$ को अंतर्विष्ट करने वाले $G$ के उपसमूहों और $G/N$ के उपसमूहों के बीच एक एकैकी आच्छादक संगति है, जो (दोनों दिशाओं में) अंतर्वेशन, सूचकांक और प्रसामान्यता को सुरक्षित रखती है। **उपपत्ति.** इसका प्रतिलोम $\bar H \mapsto \pi^{-1}(\bar H)$ है। दोनों प्रतिचित्रण उपसमूहों को उपसमूहों पर भेजते हैं और परस्पर प्रतिलोम हैं: $\pi^{-1}(H/N) = HN = H$, क्योंकि $N \subseteq H$, तथा $\pi$ की आच्छादकता से $\pi(\pi^{-1}(\bar H)) = \bar H$। अंतर्वेशन स्पष्टतः सुरक्षित रहते हैं; $[G:H] = [G/N : H/N]$, क्योंकि $gH \mapsto (gN)(H/N)$ सहसमुच्चय समष्टियों के बीच एक सुपरिभाषित एकैकी आच्छादक संगति है; और सभी $g$ के लिए $gHg^{-1} = H$ तभी और केवल तभी जब सभी $gN$ के लिए $(gN)(H/N)(gN)^{-1} = H/N$ — फिर से $\pi$ की आच्छादकता से। ∎ **उदाहरण 1.6.** $\varepsilon \colon S_n \to \{\pm 1\}$ से $S_n/A_n \cong \{\pm1\}$ मिलता है; $\det \colon GL_n(K) \to K^\times$ से $GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^\times$; और $t \mapsto \eu^{2\iu\pi t}$ से $\R/\Z \cong \mathbb U$, अर्थात् वृत्त समूह। व्यवहार में भागफल इसी प्रकार *परिकलित* किए जाते हैं: उपयुक्त अष्टि वाली एक आच्छादक समाकारिता ढूँढ़िए — यही प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय का उपयोग है। **विधि 1.7.** $N \trianglelefteq G$ सिद्ध करने के लिए, सुघड़ता के घटते क्रम में: $G$ पर परिभाषित किसी समाकारिता की अष्टि के रूप में $N$ को प्रस्तुत कीजिए; सभी $g$ के लिए $gNg^{-1} \subseteq N$ की जाँच कीजिए (यह पर्याप्त है: इसे $g^{-1}$ पर लगाकर और संयुग्मन करके विपरीत अंतर्वेशन मिल जाता है); सत्यापित कीजिए कि $N$ संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन है; अथवा यह देखिए कि $[G:N] = 2$ (तब $gN = Ng$ अनिवार्य है — [अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1))। ## 1.2 समूह क्रियाएँ **परिभाषा 1.8.** किसी समुच्चय $X$ पर $G$ की एक *क्रिया* $X$ के एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों के समूह में जाने वाली एक समाकारिता $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ है; $\varphi(g)(x)$ के लिए $g \cdot x$ लिखा जाता है। समतुल्य रूप से: एक ऐसा प्रतिचित्रण $G \times X \to X$ जिसके लिए $e \cdot x = x$ और $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$। $x$ की *कक्षा* $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ है, उसका *स्थायीकारी* उपसमूह $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ है, और $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ *स्थिर बिंदुओं* का समुच्चय है। क्रिया *संक्रमणीय* कहलाती है यदि ठीक एक कक्षा हो, *निष्ठ* यदि $\varphi$ एकैकी हो, और *मुक्त* यदि सभी स्थायीकारी तुच्छ हों। **उदाहरण 1.9.** पाँच क्रियाएँ समूचे परिमित समूह सिद्धांत को चलाती हैं: 1. *बायाँ स्थानांतरण* $g \cdot x = gx$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर [क्रिया](#def-b3-groups-action) : मुक्त और संक्रमणीय। 2. *संयुग्मन* $g \cdot x = gxg^{-1}$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर [क्रिया](#def-b3-groups-action) : कक्षाएँ *संयुग्मन वर्ग* हैं, [स्थायीकारी](#def-b3-groups-action) *केंद्रक* $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ हैं, और स्थिर बिंदु *केंद्र* $Z(G)$ हैं। 3. सहसमुच्चय समष्टि $G/H$ पर $g \cdot xH = gxH$ द्वारा $G$ की [क्रिया](#def-b3-groups-action) : संक्रमणीय, जिसमें सहसमुच्चय $H$ का [स्थायीकारी](#def-b3-groups-action) $H$ है। प्रत्येक संक्रमणीय [क्रिया](#def-b3-groups-action) इसी रूप की होती है ( [अभ्यास 1.8](#exo-b3-groups-8) )। 4. संयुग्मन द्वारा $G$ की अपने उपसमूहों के समुच्चय पर [क्रिया](#def-b3-groups-action) : $H$ का [स्थायीकारी](#def-b3-groups-action) *प्रसामान्यक* $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ है, अर्थात् $G$ का सबसे बड़ा उपसमूह जिसमें $H$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। 5. $\intint{1}{n}$ पर $S_n$ की [क्रिया](#def-b3-groups-action) : सब उदाहरणों की जननी। **प्रमेय 1.10 (कक्षा–स्थायीकारी).** प्रतिचित्रण $gG_x \mapsto g \cdot x$ एक सुपरिभाषित एकैकी आच्छादक संगति $G/G_x \to \mathcal O_x$ है। विशेष रूप से, परिमित $G$ के लिए, $$ \abs{\mathcal O_x} = [G : G_x] \quad\text{जो } \abs G \text{ का भाजक है,} $$ और, चूँकि कक्षाएँ $X$ का विभाजन करती हैं (वे तुल्यता $x \sim y \iff y \in \mathcal O_x$ के वर्ग हैं), $$ \abs X = \sum_{i} \,[G : G_{x_i}] \qquad (x_i\colon \text{प्रति कक्षा एक बिंदु}). $$ **उपपत्ति.** सुपरिभाषित और एकैकी: $gG_x = hG_x \iff h^{-1}g \in G_x \iff h^{-1}g \cdot x = x \iff g \cdot x = h \cdot x$; इस शृंखला को दोनों दिशाओं में पढ़िए। आच्छादकता [कक्षा](#def-b3-groups-action) की परिभाषा ही है। गणना संबंधी कथन लाग्राँज की प्रमेय और $X$ के कक्षाओं में विभाजन से निकलते हैं। ∎ **उपप्रमेय 1.11 (वर्ग समीकरण).** किसी परिमित समूह $G$ के लिए, एक से अधिक अवयव वाले प्रत्येक [संयुग्मन वर्ग](#ex-b3-groups-actions) में से एक प्रतिनिधि $x_i$ चुनने पर: $$ \abs G = \abs{Z(G)} + \sum_i \,[G : Z_G(x_i)], \qquad\text{प्रत्येक } [G : Z_G(x_i)] > 1 \text{, जो } \abs G \text{ का भाजक है}. $$ **उपपत्ति.** संयुग्मन [क्रिया](#def-b3-groups-action) पर [प्रमेय 1.10](#thm-b3-groups-orbitstab) लगाइए: एकल-अवयवी कक्षाएँ ठीक $Z(G)$ के अवयव हैं। ∎ **प्रमेय 1.12 (ppp-समूहों के स्थिर बिंदु).** मान लीजिए $p$ अभाज्य है। *$p$-समूह* वह परिमित समूह है जिसका क्रम $p$ की कोई घात हो। यदि कोई $p$-समूह $G$ किसी परिमित समुच्चय $X$ पर [क्रिया](#def-b3-groups-action) करे, तो $$ \abs{X^G} \equiv \abs X \pmod p . $$ परिणाम: अतुच्छ $p$-समूह का [केंद्र](#ex-b3-groups-actions) अतुच्छ होता है, और क्रम $p^2$ का प्रत्येक समूह आबेली होता है। **उपपत्ति.** प्रत्येक [कक्षा](#def-b3-groups-action) की गणनीयता $[G:G_x]$ है, जो $p$ की एक घात है; यह घात ठीक स्थिर बिंदुओं पर $1$ होती है और अन्यथा $p$ से विभाज्य। कक्षाओं पर योग लेने से सर्वांगसमता मिल जाती है। [केंद्र](#ex-b3-groups-actions) के लिए: $G$ की अपने ऊपर संयुग्मन [क्रिया](#def-b3-groups-action) में $X^G = Z(G)$ है, अतः $\abs{Z(G)} \equiv \abs G \equiv 0 \pmod p$, और $Z(G) \ni e$ से $\abs{Z(G)} \geq p$ अनिवार्य हो जाता है। क्रम $p^2$: यदि $Z(G) \neq G$ हो तो $\abs{Z(G)} = p$ और $G/Z(G)$ क्रम $p$ का चक्रीय समूह है, जिससे $G$ का आबेली होना अनिवार्य हो जाता है ([अभ्यास 1.2](#exo-b3-groups-2)) — विरोधाभास। ∎ **प्रमेय 1.13 (कोशी).** यदि कोई अभाज्य $p$ $\abs G$ को विभाजित करे, तो $G$ में क्रम $p$ का कोई अवयव विद्यमान है। **उपपत्ति (मैके).** मान लीजिए $X = \{(g_1, \dots, g_p) \in G^p : g_1 g_2 \cdots g_p = e\}$। $g_1, \dots, g_{p-1}$ को स्वतंत्र रूप से चुनने पर $g_p$ निर्धारित हो जाता है: $\abs X = \abs G^{p-1}$, जो $p$ से विभाज्य है। चक्रीय समूह $\Z/p\Z$ चक्रीय विस्थापन $(g_1, \dots, g_p) \mapsto (g_2, \dots, g_p, g_1)$ द्वारा $X$ पर [क्रिया](#def-b3-groups-action) करता है — यह $X$ को सुरक्षित रखता है, क्योंकि $g_2 \cdots g_p g_1 = g_1^{-1}(g_1 \cdots g_p)g_1 = e$। [प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) से, $\abs{X^{\Z/p\Z}} \equiv \abs X \equiv 0 \pmod p$। स्थिर बिंदु वे अचर बहुक $(g, \dots, g)$ हैं जिनमें $g^p = e$; बहुक $(e, \dots, e)$ उनमें से एक है, अतः वे कम से कम $p$ हैं, और इसलिए $g^p = e$ वाला कम से कम एक $g \neq e$ है: उसका क्रम ठीक $p$ है। ∎ **प्रमेय 1.14 (केली).** क्रम $n$ का प्रत्येक समूह $S_n$ में अंतःस्थापित हो जाता है। **उपपत्ति.** बायाँ स्थानांतरण $\varphi \colon G \to \mathfrak S(G) \cong S_n$ एक समाकारिता है; $\varphi(g) = \mathrm{id}$ से $g = ge = e$ अनिवार्य हो जाता है: यह निष्ठ है। ∎ **विधि 1.15.** स्थिर बिंदुओं की गणना परिमित समूह सिद्धांत की सार्वत्रिक पहली चाल है। किसी वस्तु का *अस्तित्व* सिद्ध करने के लिए (कोई केंद्रीय अवयव, क्रम $p$ का अवयव, कोई [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal), कोई स्थिर बिंदु) एक सुचुने हुए समूह को एक सुचुने हुए परिमित समुच्चय पर [क्रिया](#def-b3-groups-action) कराइए, फिर $p$ के सापेक्ष $\abs{X^G}$ और $\abs X$ की तुलना कीजिए, अथवा कक्षाओं के आकारों को समूह के क्रम का भाजक बनने दीजिए। प्रमेय [1.12](#thm-b3-groups-pfixed) और [1.13](#thm-b3-groups-cauchy) की और नीचे दी गई तीनों सिलो प्रमेयों की उपपत्तियाँ इसी एक विचार के पाँच रूपांतर हैं। ## 1.3 सिलो प्रमेय लाग्राँज की प्रमेय कहती है कि किसी उपसमूह का क्रम $\abs G$ को विभाजित करता है; इसका विलोम असत्य है ($A_4$, जिसका क्रम $12$ है, में क्रम $6$ का कोई उपसमूह नहीं है — [अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1))। सिलो प्रमेय अभाज्य घातों के लिए इस विलोम को बचा लेती हैं, और उनका गणना संबंधी अंश [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) उत्पन्न करने का हमारा सबसे तीक्ष्ण सामान्य उपकरण है। **परिभाषा 1.16.** $p \nmid m$ के साथ $\abs G = p^a m$ लिखिए। $G$ का *सिलो $p$-उपसमूह* क्रम $p^a$ का उपसमूह है — अर्थात् संभवतम सबसे बड़े क्रम का $p$-उपसमूह। $G$ के सिलो $p$-उपसमूहों की संख्या $n_p$ से निरूपित की जाती है। **प्रमेयिका 1.17.** यदि $p \nmid m$ के साथ $\abs G = p^a m$ हो, तो $\dbinom{p^a m}{p^a} \equiv m \pmod p$। **उपपत्ति.** $\mathbb F_p[X]$ में, नौसिखिए का स्वप्न $(1+X)^p = 1 + X^p$ (गुणांक $\binom pk$, $0 1$ का छोटा होना अनिवार्य हो, तो $\mathrm{Syl}_p$ पर संयुग्मन द्वारा [क्रिया](#def-b3-groups-action) कराकर छोटी अष्टि वाली समाकारिता $G \to S_{n_p}$ प्राप्त कीजिए। और अवयव गिनिए: *अभाज्य* क्रम $p$ के भिन्न-भिन्न सिलो $p$-उपसमूह तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, अतः वे ठीक क्रम $p$ के $n_p(p-1)$ अवयव धारण करते हैं; भिन्न अभाज्यों के लिए ये गणनाएँ अतिव्यापी होकर प्रायः विरोधाभास पर विवश कर देती हैं ([अभ्यास 1.7](#exo-b3-groups-7))। **उदाहरण 1.22.** मान लीजिए $\abs G = pq$ है, जहाँ $p < q$ अभाज्य हैं और $p \nmid q - 1$। तब $n_q \mid p$ और $n_q \equiv 1 \bmod q$ से $n_q = 1$ अनिवार्य हो जाता है (क्योंकि $p < q$); $n_p \mid q$ और $n_p \equiv 1 \bmod p$ से $n_p = 1$ (क्योंकि $q \not\equiv 1 \bmod p$)। मान लीजिए $P, Q$ दोनों [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) [सिलो उपसमूह](#def-b3-groups-sylow) हैं: $P \cap Q = \{e\}$ (क्रम सह-अभाज्य हैं), अतः $\abs{PQ} = pq$ ([अभ्यास 1.4](#exo-b3-groups-4)) और नीचे दी गई [प्रतिज्ञप्ति 1.24](#prop-b3-groups-direct) से $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$। क्रम $15$, $33$, $35$, … का प्रत्येक समूह चक्रीय है। अपवर्जित स्थिति $p \mid q - 1$ ठीक एक और समूह देती है, जो अनाबेली है — सप्ताहांत समस्या देखिए ([समस्या 1.1](#pb-b3-groups-1))। **उदाहरण 1.23 (एक पूर्ण सिलो गणना: S4S_4S4​).** आइए इस विधि को $G = S_4$, $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$ पर चलाएँ। *सिलो $3$:* $n_3 \mid 8$, $n_3 \equiv 1 \bmod 3$, अतः $n_3 \in \{1, 4\}$; और चूँकि $\langle(123)\rangle$ तथा $\langle(124)\rangle$ भिन्न हैं, $n_3 = 4$ — अर्थात् चार उपसमूह $\langle(abc)\rangle$, प्रत्येक $3$-अवयवी उपसमुच्चय $\{a, b, c\}$ के लिए एक, जो $8$ त्रि-चक्रों का लेखा-जोखा पूरा कर देते हैं। सिलो II से वे संयुग्म हैं, और यहाँ संयुग्मन समाकारिता $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ एक तुल्याकारिता है (उसकी अष्टि क्रम $24/4 = 6$ वाले $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ में अंतर्विष्ट है, और $S_3$ जैसे $N$ के भीतर $S_4$ का [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) तुच्छ ही हो सकता है: वह चारों सिलो उपसमूहों को स्थिर रखने वाले सम क्रमचयों से बनता, और ऐसा केवल $e$ करता है)। *सिलो $2$:* $n_2 \mid 3$, $n_2 \equiv 1 \bmod 2$: $n_2 \in \{1, 3\}$। उपसमूह $D = \langle(1234), (13)\rangle$ का क्रम $8$ है (एक द्विफलकी $D_4$: शीर्षों $1, 2, 3, 4$ वाले वर्ग की सममितियाँ), वह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) नहीं है ($(12)(1234)(12) = (2134)$ एक भिन्न $4$-चक्र उपसमूह जनित करता है), अतः $n_2 = 3$: $D_4$ की तीन प्रतियाँ $4$ बिंदुओं को एक “वर्ग” में युग्मित करने के तीन तरीकों के अनुरूप हैं। इस गणना का सार ध्यान देने योग्य है: $\abs{S_4} = 24$ में दोनों में से किसी भी [सिलो उपसमूह](#def-b3-groups-sylow) के अप्रसामान्य होने की गुंजाइश बची रहती है, और दोनों ही अप्रसामान्य निकलते हैं — इसकी तुलना क्रम $12$ से कीजिए, जहाँ गणना उनमें से एक को [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) होने पर विवश कर देती है ([समस्या 1.1](#pb-b3-groups-1) का भाग IV)। ## 1.4 गुणन: प्रत्यक्ष और अर्ध-प्रत्यक्ष **प्रतिज्ञप्ति 1.24 (प्रत्यक्ष गुणन की पहचान).** मान लीजिए $H, K \trianglelefteq G$ के साथ $H \cap K = \{e\}$ और $HK = G$। तब $(h,k) \mapsto hk$ एक तुल्याकारिता $H \times K \to G$ है। **उपपत्ति.** $h \in H$, $k \in K$ के लिए [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $hkh^{-1}k^{-1}$ $K$ में है ($K$ की प्रसामान्यता का उपयोग करते हुए इसे $(hkh^{-1})k^{-1}$ के रूप में पढ़िए) और $H$ में भी (इसे $h(kh^{-1}k^{-1})$ के रूप में पढ़िए): अतः वह $e$ है, इसलिए $H$ और $K$ अवयवशः क्रमविनिमेय हैं और प्रतिचित्रण समाकारिता है। यह आच्छादक है क्योंकि $HK = G$, और एकैकी है क्योंकि $hk = e$ से $h = k^{-1} \in H \cap K = \{e\}$ मिलता है। ∎ *दोनों* गुणनखंडों की प्रसामान्यता ही सबसे अधिक बार विफल होती है: $S_3 = \langle (1\,2\,3)\rangle \,\langle(1\,2)\rangle$ में दोनों गुणनखंड तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और मिलकर पूरा समूह जनित करते हैं, फिर भी $S_3 \not\cong \Z/3\Z \times \Z/2\Z$। जब केवल एक ही गुणनखंड [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) हो, तब उपयुक्त धारणा यह है: **परिभाषा 1.25.** मान लीजिए $H$, $K$ समूह हैं और $\varphi \colon K \to \operatorname{Aut}(H)$ एक समाकारिता है। *अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन* $H \rtimes_\varphi K$ समुच्चय $H \times K$ है, जिस पर संक्रिया $$ (h, k)\,(h', k') = \bigl(h\,\varphi(k)(h'),\; kk'\bigr). $$ **प्रतिज्ञप्ति 1.26.** $H \rtimes_\varphi K$ एक समूह है; $H \times \{e\}$ $H$ के तुल्याकारी एक [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) है और $\{e\} \times K$ $K$ के तुल्याकारी एक उपसमूह; वे तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और मिलकर पूरा समूह जनित करते हैं। विलोमतः, यदि $N \trianglelefteq G$, $K \leq G$ और $N \cap K = \{e\}$ के साथ $G = NK$ हो, तो $\varphi(k) = (n \mapsto knk^{-1})$ के लिए $G \cong N \rtimes_\varphi K$। **उपपत्ति.** सीधा सत्यापन: साहचर्य $\varphi(kk') = \varphi(k)\circ\varphi(k')$ पर और प्रत्येक $\varphi(k)$ के समाकारिता होने पर सिमट जाता है; तत्समक $(e,e)$ है और $(h,k)^{-1} = \bigl(\varphi(k^{-1})(h^{-1}), k^{-1}\bigr)$। प्रक्षेप $(h,k) \mapsto k$ $K$ पर एक आच्छादक समाकारिता है जिसकी अष्टि $H \times \{e\}$ है, अतः वह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। विलोम के लिए: प्रत्येक $g \in G$ $n \in N$, $k \in K$ के साथ *अद्वितीय* रूप से $nk$ लिखा जाता है (अस्तित्व: $G = NK$; अद्वितीयता: $nk = n'k'$ से $n'^{-1}n = k'k^{-1} \in N \cap K$ मिलता है), और $$ (nk)(n'k') = n\,(kn'k^{-1})\;kk' $$ से पता चलता है कि $nk \mapsto (n, k)$ $G$ की संक्रिया को $N \rtimes_\varphi K$ की संक्रिया पर ले जाता है। ∎ **उदाहरण 1.27.** (क) किसी सम $n$-भुज की $2n$ सममितियों का *द्विफलकी समूह* $D_n$ ($n \geq 3$): घूर्णन सूचकांक $2$ का एक [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) बनाते हैं, कोई भी परावर्तन एक पूरक जनित करता है, और किसी घूर्णन का परावर्तन द्वारा संयुग्मन उसे उलट देता है: $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$ के साथ $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$। (ख) एक रेखा का आफ़ीन समूह, $\{x \mapsto ax + b : a \in K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$: स्थानांतरण [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal), समरूपण एक पूरक। (ग) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (पूरक: कोई भी स्थानांतरण)। (घ) [क्वाटर्नियन समूह](#pb-b3-groups-1) $Q_8$ उचित उपसमूहों का [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect) *नहीं* है: प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह $-1$ को अंतर्विष्ट करता है ([समस्या 1.1](#pb-b3-groups-1)), अतः कोई भी दो उचित उपसमूह तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद नहीं करते। ## 1.5 विलेय समूह; $A_n$ की सरलता **परिभाषा 1.28.** $x, y \in G$ का *क्रमविनिमेयक* $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ है; *व्युत्पन्न उपसमूह* $D(G)$ समस्त क्रमविनिमेयकों से जनित उपसमूह है। *व्युत्पन्न श्रेणी* $D^0(G) = G$, $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ है, और $G$ *विलेय* कहलाता है यदि किसी $n$ के लिए $D^n(G) = \{e\}$ हो। **प्रतिज्ञप्ति 1.29.** $D(G)$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है (वस्तुतः प्रत्येक स्वसमाकारिता के अंतर्गत स्थिर), $G/D(G)$ आबेली है, और $N \trianglelefteq G$ के लिए: $G/N$ आबेली $\iff D(G) \subseteq N$। इसके अतिरिक्त $G$ [विलेय](#def-b3-groups-derived) है तभी और केवल तभी जब कोई ऐसी शृंखला $G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq \dots \trianglerighteq G_n = \{e\}$ हो जिसमें प्रत्येक $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ और प्रत्येक भागफल $G_i/G_{i+1}$ आबेली हो। [विलेय](#def-b3-groups-derived) समूहों के उपसमूह और भागफल [विलेय](#def-b3-groups-derived) होते हैं; विलोमतः, यदि $N$ और $G/N$ [विलेय](#def-b3-groups-derived) हों, तो $G$ भी [विलेय](#def-b3-groups-derived) है। **उपपत्ति.** कोई स्वसमाकारिता $\alpha$ $[x,y]$ को $[\alpha x, \alpha y]$ पर भेजती है: वह क्रमविनिमेयकों का क्रमचय करती है, अतः उनसे जनित उपसमूह को सुरक्षित रखती है; संयुग्मन स्वसमाकारिताएँ हैं, जिससे प्रसामान्यता सिद्ध हो जाती है। $G/D(G)$ में $\bar x\bar y \bar x^{-1}\bar y^{-1} = \overline{[x,y]} = \bar e$: भागफल आबेली है। यदि $G/N$ आबेली हो तो प्रत्येक $[x,y] \in N$, अतः $D(G) \subseteq N$; विलोमतः यदि $D(G) \subseteq N$ हो तो $G/N$ तृतीय तुल्याकारिता प्रमेय से आबेली $G/D(G)$ का भागफल होने के कारण आबेली है। यदि $G$ [विलेय](#def-b3-groups-derived) हो, तो [व्युत्पन्न श्रेणी](#def-b3-groups-derived) ऐसी ही एक शृंखला है। विलोमतः, ऐसी शृंखला दी हो तो आगमन द्वारा $D^i(G) \subseteq G_i$: $G_i/G_{i+1}$ के आबेली होने से $D(G_i) \subseteq G_{i+1}$ मिलता है, अतः $D^{i+1}(G) = D(D^i G) \subseteq D(G_i) \subseteq G_{i+1}$; इसलिए $D^n(G) = \{e\}$। वंशानुक्रम: $H \leq G$ के लिए $D^i(H) \subseteq D^i(G)$ (आगमन), और $D^i(G/N) = \pi(D^i(G))$, क्योंकि $\pi$ क्रमविनिमेयकों को क्रमविनिमेयकों पर आच्छादित करता है; इससे उपसमूहों और भागफलों संबंधी कथन मिल जाते हैं। विस्तार: यदि $D^m(G/N) = \{e\}$ हो तो $D^m(G) \subseteq N$, और $D^n(N) = \{e\}$ से $D^{m+n}(G) = D^n(D^m(G)) \subseteq D^n(N) = \{e\}$ मिलता है। ∎ **उदाहरण 1.30.** आबेली समूह [विलेय](#def-b3-groups-derived) होते हैं। $p$-समूह क्रम पर आगमन द्वारा [विलेय](#def-b3-groups-derived) होते हैं: $Z(G) \neq \{e\}$ और $G/Z(G)$ एक छोटा $p$-समूह है। $S_3$ और $S_4$ [विलेय](#def-b3-groups-derived) हैं: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$, जहाँ $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ द्विक स्थानांतरणों का क्लाइन समूह है ($S_4$ में [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal): वह संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन है), और भागफल $\Z/2\Z$, $\Z/3\Z$, $V$ आबेली हैं। [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois) में “घात $n$ का व्यापक समीकरण मूलों द्वारा हल्य है” का शाब्दिक *अर्थ* ही होगा “$S_n$ एक [विलेय समूह](#def-b3-groups-derived) है”। इसी से अगली परिभाषा का महत्त्व स्पष्ट होता है। **परिभाषा 1.31.** कोई समूह $G \neq \{e\}$ *सरल* कहलाता है यदि उसके एकमात्र [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $\{e\}$ और $G$ हों। अनाबेली सरल समूह [विलेय](#def-b3-groups-derived) नहीं होता: $D(G) \trianglelefteq G$ $\{e\}$ नहीं है (अन्यथा $G$ आबेली होता), अतः $D(G) = G$ और [व्युत्पन्न श्रेणी](#def-b3-groups-derived) अचर रहती है। आबेली सरल समूह ठीक $\Z/p\Z$ हैं, जहाँ $p$ अभाज्य है (कोई आबेली समूह सरल है तभी और केवल तभी जब उसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह न हो, अर्थात् लाग्राँज से वह अभाज्य क्रम का चक्रीय समूह हो)। **प्रमेयिका 1.32.** $n \geq 3$ के लिए $A_n$ $3$-चक्रों से जनित है; और $n \geq 5$ के लिए समस्त $3$-चक्र *$A_n$ में* संयुग्म हैं। **उपपत्ति.** $A_n$ का कोई अवयव सम संख्या में स्थानांतरणों का गुणनफल है; उन्हें जोड़ों में बाँटिए और (दाएँ से बाएँ संयोजन लेते हुए) $$ (a\,b)(c\,d) = (a\,c\,b)(a\,c\,d), \qquad (a\,b)(b\,c) = (a\,b\,c), \qquad (a\,b)(a\,b) = e $$ का क्रमशः असंयुक्त, अतिव्यापी और समान जोड़ों के लिए उपयोग कीजिए: स्थानांतरणों का प्रत्येक जोड़ा $3$-चक्रों का गुणनफल है। संयुग्मता: $\sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1} = (\sigma a\; \sigma b\; \sigma c)$, अतः कोई भी दो $3$-चक्र किसी $\sigma \in S_n$ द्वारा संयुग्म हैं। यदि $\sigma$ विषम हो, तो उसके स्थान पर $\sigma' = \sigma (d\,e)$ लीजिए, जहाँ $d, e$ $\{a, b, c\}$ के बाहर के दो बिंदु हैं — वे विद्यमान हैं क्योंकि $n \geq 5$; तब $\sigma'$ सम है और $\sigma'(a\,b\,c) \sigma'^{-1} = \sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1}$, क्योंकि $(d\,e)$ $(a\,b\,c)$ के साथ क्रमविनिमेय है। ∎ **प्रमेय 1.33 (एकांतर समूह की सरलता).** $n \geq 5$ के लिए $A_n$ [सरल](#def-b3-groups-simple) है। **उपपत्ति.** मान लीजिए $N \trianglelefteq A_n$, $N \neq \{e\}$। [प्रमेयिका 1.32](#lem-b3-groups-threecycles) से यह दिखाना पर्याप्त है कि $N$ में *एक* $3$-चक्र है: तब $A_n$ में $3$-चक्रों की प्रसामान्यता और संयुग्मता समस्त $3$-चक्रों को $N$ में डाल देती है, अतः $N = A_n$। $\rho \in S_n$ के लिए मान लीजिए $F(\rho) = \{x : \rho(x) \neq x\}$ उसका *आलंब* है और $f(\rho) = \abs{F(\rho)}$। *न्यूनतम* $f(\sigma)$ वाला $\sigma \in N \setminus \{e\}$ चुनिए। ध्यान दीजिए कि किसी अतुच्छ सम क्रमचय के लिए $f \geq 3$ होता है, और $\sigma \in A_n$ के लिए $f(\sigma) = 4$ असंभव है जब तक $\sigma$ एक द्विक स्थानांतरण न हो ($4$-चक्र विषम होता है)। हम दिखाएँगे कि $\sigma$ एक $3$-चक्र है। *स्थिति क: $\sigma$ असंयुक्त स्थानांतरणों का गुणनफल है*, मान लीजिए $f(\sigma) \geq 4$ के साथ $\sigma = (a\,b)(c\,d)\cdots$। $e' \notin \{a, b, c, d\}$ चुनिए (यह संभव है: $n \geq 5$), $\tau = (c\,d\,e')$ रखिए और $$ \sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\,\sigma^{-1} \in N \qquad (\tau\sigma\tau^{-1} \in N \text{, प्रसामान्यता से}). $$ चूँकि $\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} = (\sigma c\;\sigma e'\;\sigma d) = (d\;\sigma e'\;c)$ ($\sigma c = d$, $\sigma d = c$ का उपयोग करते हुए), हमें $\sigma' = (c\,d\,e')(d\;\sigma e'\;c)$ मिलता है। यदि $\sigma e' = e'$ (जो विशेष रूप से तब होता है जब $f(\sigma) = 4$, अर्थात् $\sigma = (a\,b)(c\,d)$): तब $(d\,e'\,c) = (c\,d\,e')$ और $\sigma' = (c\,d\,e')^2 = (c\,e'\,d)$, जो $N$ में स्थित एक $3$-चक्र है, जिसके लिए $f(\sigma') = 3 < 4 \leq f(\sigma)$ — यह न्यूनतमता का खंडन है। यदि $\sigma e' \neq e'$: तब $\sigma e' \notin \{a, b, c, d, e'\}$ ($\sigma$ $a,b$ और $c,d$ की अदला-बदली करता है, और एकैकी $\sigma$ के साथ $e' \notin \{a,b,c,d\}$), अतः $\sigma$ छह बिंदुओं $a, b, c, d, e', \sigma e'$ को हिलाता है: $f(\sigma) \geq 6$। दूसरी ओर $\sigma'$, जो $\{c, d, e', \sigma e'\}$ में आलंब वाले दो $3$-चक्रों का गुणनफल है, $f(\sigma') \leq 4$ को संतुष्ट करता है; और $\sigma' \neq e$, क्योंकि $\sigma'(d) = \tau\sigma\tau^{-1}(c) = \tau\sigma(e') = \sigma e' \neq d$ ($\tau$ $\sigma e' \notin \{c,d,e'\}$ को स्थिर रखता है)। अतः $f(\sigma') \leq 4 < f(\sigma)$ के साथ $\sigma' \in N \setminus\{e\}$: न्यूनतमता का खंडन हो जाता है। *स्थिति ख: $\sigma$ के किसी चक्र की लंबाई $\geq 3$ है*, मान लीजिए $\sigma(a) = b$, जहाँ $a, b, c$ भिन्न हैं और $\sigma(b) = c$। यदि $\sigma$ ठीक यही $3$-चक्र हो, तो काम पूरा हुआ। अन्यथा $f(\sigma) \geq 5$ ($\geq3$-चक्र के साथ $f(\sigma) = 4$ वाली स्थिति विषम $4$-चक्र है, जो अपवर्जित है), अतः हम $d, e' \in F(\sigma) \setminus \{a, b, c\}$ चुन सकते हैं। $\tau = (c\,d\,e')$ रखिए और $\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} \in N$। पहले की तरह $\sigma' = (c\,d\,e')\,(\sigma c\;\sigma e'\;\sigma d)$ केवल $$ M = \{c, d, e'\} \cup \{\sigma c, \sigma d, \sigma e'\} \subseteq F(\sigma) $$ के बिंदुओं को हिलाता है (हिले हुए बिंदुओं के प्रतिबिंब भी हिलते हैं: $\sigma(x) \ne x$ से $\sigma(\sigma x) \neq \sigma x$ मिलता है, क्योंकि $\sigma$ एकैकी है)। साथ ही $b \notin M$: पाँच बिंदु $a, b, c, d, e'$ भिन्न हैं, अतः $b \notin \{c, d, e'\}$; और $b \in \{\sigma c, \sigma d, \sigma e'\}$ से $a \in \{c, d, e'\}$ अनिवार्य हो जाता ($\sigma a = b$ का उपयोग करते हुए $\sigma^{-1}$ लगाइए), जो असत्य है। अतः $\sigma'$ $b$ को स्थिर रखता है, जबकि $\sigma$ $b$ को हिलाता है; और $F(\sigma') \subseteq F(\sigma)$। अंततः $\sigma' \neq e$: $\sigma^{-1}(c) = b$, $\tau^{-1}(b) = b$, $\sigma(b) = c$, $\tau(c) = d$, अतः $\sigma'(c) = d \neq c$। इस प्रकार $f(\sigma') \leq f(\sigma) - 1$ के साथ $\sigma' \in N \setminus \{e\}$, जो न्यूनतमता का खंडन करता है। दोनों स्थितियाँ असंभव होने से $\sigma$ एक $3$-चक्र है। ∎ **उपप्रमेय 1.34.** $n \geq 5$ के लिए: $A_n$ और $S_n$ [विलेय](#def-b3-groups-derived) नहीं हैं, और $S_n$ के एकमात्र [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $\{e\}$, $A_n$ और $S_n$ हैं। **उपपत्ति.** $A_n$ अनाबेली [सरल](#def-b3-groups-simple) है, अतः [विलेय](#def-b3-groups-derived) नहीं ([परिभाषा 1.31](#def-b3-groups-simple)); और अविलेय उपसमूह वाला समूह [विलेय](#def-b3-groups-derived) नहीं होता ([प्रतिज्ञप्ति 1.29](#prop-b3-groups-derived))। मान लीजिए $N \trianglelefteq S_n$: तब $N \cap A_n \trianglelefteq A_n$ $\{e\}$ या $A_n$ के बराबर है। यदि $N \cap A_n = A_n$ हो, तो $A_n \subseteq N$ और सूचकांक से $N \in \{A_n, S_n\}$। यदि $N \cap A_n = \{e\}$ हो, तो प्रक्षेप $S_n \to S_n/A_n \cong \Z/2\Z$ का $N$ पर प्रतिबंध एकैकी है, अतः $\abs N \leq 2$; और यदि $N = \{e, \sigma\}$ हो, तो प्रसामान्यता से $\sigma$ का [संयुग्मन वर्ग](#ex-b3-groups-actions) $\{\sigma\}$ के बराबर हो जाता है, अर्थात् $\sigma \in Z(S_n)$। परंतु $n \geq 3$ के लिए $Z(S_n) = \{e\}$: यदि $\sigma \ne e$ $a$ को $b \neq a$ पर ले जाए, तो $c \notin \{a, b\}$ चुनिए; तब $(b\,c)\sigma(b\,c)^{-1}$ $a$ को $c \ne b$ पर भेजता है, अतः वह $\sigma$ से भिन्न है। अतः $N = \{e\}$। ∎ **प्रमेय 1.35 (जॉर्डन–होल्डर).** प्रत्येक परिमित समूह $G \neq \{e\}$ एक *संघटन श्रेणी* $$ \{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_r = G, \qquad G_{i}/G_{i-1} \text{ सरल}, $$ स्वीकार करता है, और *संघटन गुणनखंडों* $G_i/G_{i-1}$ का बहुसमुच्चय, तुल्याकारिता तक, चुनी गई श्रेणी पर निर्भर नहीं करता। कोई परिमित समूह [विलेय](#def-b3-groups-derived) है तभी और केवल तभी जब उसके सभी संघटन गुणनखंड अभाज्य क्रम के चक्रीय समूह हों। **उपपत्ति.** *अस्तित्व*: $\abs G$ पर आगमन। यदि $G$ [सरल](#def-b3-groups-simple) हो, तो $\{e\} \trianglelefteq G$ लीजिए। अन्यथा कोई महत्तम उचित [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $N$ चुनिए (उपसमूह परिमित संख्या में हैं); संगति प्रमेय से $G/N$ [सरल](#def-b3-groups-simple) है ($G/N$ का कोई उचित अतुच्छ [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $N$ और $G$ के बीच कड़ाई से स्थित $G$ के [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) तक उठ जाता)। $N$ की एक [संघटन श्रेणी](#thm-b3-groups-jordanholder) में $N \trianglelefteq G$ जोड़ दीजिए। *अद्वितीयता*: $\abs G$ पर आगमन; $G$ के [सरल](#def-b3-groups-simple) होने की स्थिति स्पष्ट है। दो संघटन श्रेणियाँ लीजिए, जिनके उपांत्य पद $M \trianglelefteq G$ और $N \trianglelefteq G$ हैं (अतः $G/M$, $G/N$ [सरल](#def-b3-groups-simple) हैं)। यदि $M = N$ हो, तो $M$ पर आगमन लगाकर निष्कर्ष निकल आता है। अन्यथा $MN$, जो $G$ में [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है और $M$ को कड़ाई से अंतर्विष्ट करता है, $G$ के बराबर है ($M$ महत्तम [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है: कोई भी [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) $M \subsetneq L \subsetneq G$ [सरल](#def-b3-groups-simple) $G/M$ के एक उचित अतुच्छ [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) पर जाता)। द्वितीय तुल्याकारिता प्रमेय से $$ G/M = MN/M \cong N/(M \cap N), \qquad G/N = MN/N \cong M/(M \cap N). $$ $K = M \cap N$ रखिए ($\trianglelefteq G$) और $K$ की एक [संघटन श्रेणी](#thm-b3-groups-jordanholder) स्थिर कीजिए। तब $M$ पर दो संघटन श्रेणियाँ हैं: उसकी मूल श्रेणी, और $K$ की श्रेणी के बाद $K \trianglelefteq M$ (भागफल $M/K \cong G/N$ [सरल](#def-b3-groups-simple) है)। आगमन से ($M$ पर लगाकर) $M$ की मूल श्रेणी के गुणनखंड $\{K \text{ के गुणनखंड}\} \cup \{G/N\}$ हैं; $N$ के लिए भी वैसा ही। अतः $G$ की दोनों श्रेणियों के गुणनखंड $$ \{K \text{ के गुणनखंड}\} \;\cup\; \{\,G/N,\; G/M\,\}, $$ हैं — वही बहुसमुच्चय। [विलेयता](#def-b3-groups-derived): यदि सभी गुणनखंड $\Z/p_i\Z$ हों, तो श्रेणी आबेली भागफलों वाली एक शृंखला है, अतः $G$ [विलेय](#def-b3-groups-derived) है ([प्रतिज्ञप्ति 1.29](#prop-b3-groups-derived))। विलोमतः, [विलेय समूह](#def-b3-groups-derived) का संघटन गुणनखंड [विलेय](#def-b3-groups-derived) (किसी उपसमूह का भागफल) और [सरल](#def-b3-groups-simple) होता है; और [विलेय](#def-b3-groups-derived) [सरल समूह](#def-b3-groups-simple) आबेली होता है ($D(G) \ne G$ से $D(G) = \{e\}$ अनिवार्य है), अतः वह कोई $\Z/p\Z$ है। ∎ **टिप्पणी 1.36.** जॉर्डन–होल्डर कहती है कि प्रत्येक परिमित समूह [सरल](#def-b3-groups-simple) समूहों से बना है, और उसकी पुर्जों की सूची सुनिश्चित है — समूहों का एक ऐसा अंकगणित जिसमें [सरल समूह](#def-b3-groups-simple) अभाज्यों की भूमिका निभाते हैं, और जहाँ साधारण गुणा की जगह यह प्रश्न ले लेता है कि *पुर्जे किस प्रकार जोड़े गए हैं* (विस्तार आँकड़े, जैसे [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect) में)। परिमित [सरल](#def-b3-groups-simple) समूहों का वर्गीकरण — चक्रीय $\Z/p\Z$, एकांतर $A_{n \geq 5}$, ली प्रकार के सोलह कुल, और $26$ विरल समूह — बीसवीं शताब्दी के गणित के स्मारकों में से एक है; लगभग दस हजार शोध-पृष्ठों में फैली उसकी उपपत्ति इस पाठ्यक्रम से बहुत परे है। ![द्विफलकी समूह D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1 के दस उपसमूह। सूचकांक 2 वाले तीन उपसमूह (बीच की पंक्ति) प्रसामान्य हैं, और केंद्र r2 (उभारा हुआ) भी। चार परावर्तन उपसमूह दो-दो के दो संयुग्मन वर्गों में बँटते हैं। नीचे से ऊपर तक की शृंखलाएँ संघटन श्रेणियाँ देती हैं, उदाहरणार्थ \e\ r2 r D_4: गुणनखंड ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — सदा वही बहुसमुच्चय, जैसा जॉर्डन–होल्डर माँगती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-groups/fig-3655fe380ff7.svg) *[द्विफलकी समूह](#ex-b3-groups-semidirectexamples) $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ के दस उपसमूह। सूचकांक $2$ वाले तीन उपसमूह (बीच की पंक्ति) [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) हैं, और [केंद्र](#ex-b3-groups-actions) $\langle r^2\rangle$ (उभारा हुआ) भी। चार परावर्तन उपसमूह दो-दो के दो संयुग्मन वर्गों में बँटते हैं। नीचे से ऊपर तक की शृंखलाएँ संघटन श्रेणियाँ देती हैं, उदाहरणार्थ $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$: गुणनखंड $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — सदा वही बहुसमुच्चय, जैसा जॉर्डन–होल्डर माँगती है।* ## 1.6 अभ्यास **अभ्यास 1.1 ★.** (क) दर्शाइए कि सूचकांक $2$ का प्रत्येक उपसमूह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) होता है। (ख) दर्शाइए कि यदि $[G : H] = 2$ हो, तो प्रत्येक $x \in G$ के लिए $x^2 \in H$। (ग) निष्कर्ष निकालिए कि $A_4$ में क्रम $6$ का कोई उपसमूह नहीं है: लाग्राँज का विलोम विफल हो जाता है। *($3$-चक्रों के वर्ग गिनिए।)* **हल — अभ्यास 1.1.** (क) मान लीजिए $[G:H] = 2$। $g \in H$ के लिए $gH = H = Hg$। $g \notin H$ के लिए: दोनों बाएँ सहसमुच्चय $H$ और $gH$ हैं, अतः $gH = G \setminus H$; इसी प्रकार $Hg = G \setminus H$। अतः सभी $g$ के लिए $gH = Hg$: अर्थात् $H \trianglelefteq G$। (ख) (क) से $G/H$ क्रम $2$ का समूह है; और वर्ग $\bar x$ $\bar x^2 = \bar e$ संतुष्ट करता है, अर्थात् $x^2 \in H$। (ग) मान लीजिए $\abs H = 6$ वाला $H \leq A_4$ है, अतः सूचकांक $2$ का। (ख) से प्रत्येक $\sigma \in A_4$ के लिए $\sigma^2 \in H$। प्रत्येक $3$-चक्र ऐसा ही वर्ग है: यदि $\sigma^3 = e$ हो तो $\sigma = \sigma^4 = (\sigma^2)^2$। अतः $H$ में $A_4$ के सभी आठ $3$-चक्र हैं: $\abs H \geq 8 > 6$, जो विरोधाभास है। (लाग्राँज का विलोम पहले ही अवसर पर विफल हो जाता है: $6 \mid 12$।) **अभ्यास 1.2 ★.** दर्शाइए कि यदि $G/Z(G)$ चक्रीय हो, तो $G$ आबेली है। इससे पुनः निष्कर्ष निकालिए कि क्रम $p^2$ का प्रत्येक समूह आबेली है, और प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए क्रम $p^3$ का एक अनाबेली समूह प्रस्तुत कीजिए। *($\mathbb F_p$ पर इकाई विकर्ण वाले ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूहों के बारे में सोचिए।)* **हल — अभ्यास 1.2.** कहिए $G/Z(G) = \langle gZ(G) \rangle$। तब प्रत्येक $x \in G$ $k \in \Z$, $z \in Z(G)$ के साथ $x = g^k z$ लिखा जाता है। $x = g^kz$ के लिए $y = g^l z'$: $$ xy = g^k z\, g^l z' = g^{k+l} z z' = g^l z'\, g^k z = yx, $$ अर्थात् केंद्रीय अवयव जो हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय हैं: अतः $G$ आबेली है। क्रम $p^2$: $Z(G) \neq \{e\}$ ([प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)), अतः $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$। यदि वह $p$ होता, तो $G/Z(G)$ का क्रम $p$ होता, अतः वह चक्रीय होता, जिससे $G$ आबेली और $Z(G) = G$ क्रम $p^2$ का हो जाता — विरोधाभास। अतः $Z(G) = G$। क्रम $p^3$ का अनाबेली: क्रम $p^3$ का *हाइज़नबर्ग समूह* $$ H_p = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\} \leq GL_3(\mathbb F_p), $$ ($a, b, c$ का स्वतंत्र चयन; संवरण और प्रतिलोम सीधे परिकलन से)। वह अनाबेली है: दोनों प्रारंभिक आव्यूहों $I + E_{12}$ और $I + E_{23}$ का [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $I + E_{13} \neq I$ है। **अभ्यास 1.3 ★.** (क) दर्शाइए कि $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$। (ख) दर्शाइए कि अंतःस्थ स्वसमाकारिताएँ $\iota_g \colon x \mapsto gxg^{-1}$ एक [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $\operatorname{Inn}(G) \trianglelefteq \operatorname{Aut}(G)$ बनाती हैं, जिसके लिए $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$। **हल — अभ्यास 1.3.** (क) कोई समाकारिता $f \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ $k = f(\bar 1)$ से निर्धारित होती है (तब $f(\bar m) = m\bar k$), और प्रत्येक $\bar k$ ऐसी एक समाकारिता परिभाषित करता है। वह एकैकी-आच्छादक है तभी और केवल तभी जब $\bar k$ $\Z/n\Z$ को जनित करे, तभी जब $\gcd(k,n) = 1$, और तभी जब $\bar k \in (\Z/n\Z)^\times$। संयोजन गुणन से मेल खाता है: $f_k \circ f_l = f_{kl}$। अतः $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$। (ख) प्रतिचित्रण $\iota\colon G \to \operatorname{Aut}(G)$, $g \mapsto \iota_g$, एक समाकारिता है: $\iota_g \circ \iota_h = \iota_{gh}$। उसका प्रतिबिंब $\operatorname{Inn}(G)$ है; और उसकी अष्टि $\{g : gxg^{-1} = x\ \forall x\} = Z(G)$। प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$ दे देती है। $\operatorname{Aut}(G)$ में प्रसामान्यता: $\alpha \in \operatorname{Aut}(G)$ के लिए $$ (\alpha \circ \iota_g \circ \alpha^{-1})(x) = \alpha\bigl(g\,\alpha^{-1}(x)\,g^{-1}\bigr) = \alpha(g)\, x\, \alpha(g)^{-1} = \iota_{\alpha(g)}(x). $$ **अभ्यास 1.4 ★★.** मान लीजिए $H, K$ किसी परिमित समूह $G$ के उपसमूह हैं। (क) प्रतिचित्रण $H \times K \to HK$, $(h,k) \mapsto hk$, के तंतुओं की गणना करके *गुणनफल सूत्र* $\abs{HK}\,\abs{H\cap K} = \abs H\, \abs K$ सिद्ध कीजिए। (ख) दर्शाइए कि $HK$ उपसमूह है तभी और केवल तभी जब $HK = KH$ (जो दोनों में से एक के [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) होने पर स्वतः सत्य है)। (ग) यदि $H, K \trianglelefteq G$ और $H \cap K = \{e\}$ हों, तो दर्शाइए कि सभी $h \in H$, $k \in K$ के लिए $hk = kh$। **हल — अभ्यास 1.4.** (क) $\mu \colon H \times K \to HK$, $(h,k) \mapsto hk$ लीजिए, जो परिभाषा से आच्छादक है। $h_0k_0 \in HK$ स्थिर कीजिए: तब $hk = h_0k_0 \iff h_0^{-1}h = k_0 k^{-1} \in H \cap K$। $u = h_0^{-1}h$ लिखने पर $h_0k_0$ का तंतु $\{(h_0u,\, u^{-1}k_0) : u \in H \cap K\}$ है, जिसकी गणनसंख्या $\abs{H \cap K}$ है। अतः $\abs H\,\abs K = \abs{H\times K} = \abs{HK}\,\abs{H \cap K}$। (ख) यदि $HK$ उपसमूह हो: $KH \subseteq HK$, क्योंकि $kh = \bigl(h^{-1}k^{-1}\bigr)^{-1} \in (HK)^{-1} = HK$; और $HK = (HK)^{-1} \subseteq (KH)^{-1}\dots$ में प्रतिलोम लेने से $HK \subseteq KH$, अथवा अधिक सीधे, $hk \in HK$, $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH$ के लिए $HK = (HK)^{-1} \subseteq KH$; दोनों अंतर्विष्टियाँ $HK = KH$ दे देती हैं। विलोमतः यदि $HK = KH$ हो: संवरण, $(hk)(h'k') = h(kh')k' \in h(HK)k' = (hH)(Kk') \subseteq HK$; प्रतिलोम, $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH = HK$; और $e \in HK$: अतः उपसमूह। यदि, कहिए, $K \trianglelefteq G$ हो, तो सभी $h$ के लिए $hK = Kh$, अतः $HK = KH$ स्वतः। (ग) $h \in H$, $k \in K$ के लिए [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $[h,k] = hkh^{-1} k^{-1}$ $(hkh^{-1})k^{-1} \in K$ के बराबर है ($K$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal)) और $h(kh^{-1}k^{-1}) \in H$ के भी ($H$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal)), अतः वह $H \cap K = \{e\}$ में है: इसलिए $hk = kh$। **अभ्यास 1.5 ★★.** (बर्नसाइड की गणना प्रमेयिका) कोई परिमित समूह $G$ किसी परिमित समुच्चय $X$ पर [क्रिया](#def-b3-groups-action) करता है। समुच्चय $\{(g,x) : g\cdot x = x\}$ को दो प्रकार से गिनकर दर्शाइए कि कक्षाओं की संख्या *स्थिर बिंदुओं की औसत संख्या* है: $$ \#\{\text{कक्षाएँ}\} = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} \abs{\operatorname{Fix}(g)}, \qquad \operatorname{Fix}(g) = \{x \in X : g \cdot x = x\}, $$ अनुप्रयोग: $\Z/p\Z$ ($p$ अभाज्य) $a$ उपलब्ध रंगों वाले $p$ मनकों के हारों पर घूर्णन द्वारा [क्रिया](#def-b3-groups-action) करता है; इससे फर्मा की लघु प्रमेय $a^p \equiv a \pmod p$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए। **हल — अभ्यास 1.5.** $E = \{(g,x) \in G \times X : g \cdot x = x\}$ की गणना दो प्रकार से कीजिए: $$ \abs E = \sum_{g \in G} \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \sum_{x \in X} \abs{G_x} = \sum_{x \in X} \frac{\abs G}{\abs{\mathcal O_x}} = \abs G \sum_{\mathcal O \text{ कक्षा}} \sum_{x \in \mathcal O} \frac{1}{\abs{\mathcal O}} = \abs G \cdot \#\{\text{कक्षाएँ}\}, $$ जिसमें कक्षा–स्थायीकारी ($\abs{G_x} = \abs G/\abs{\mathcal O_x}$) और कक्षाओं में विभाजन का उपयोग हुआ है। मालाएँ: मान लीजिए $X$ प्रतिचित्रणों $\Z/p\Z \to \{1, \dots, a\}$ का समुच्चय है ($p$ स्थानों का रंगन), $\abs X = a^p$, जिस पर $\Z/p\Z$ घूर्णन से [क्रिया](#def-b3-groups-action) करता है। तत्समक सभी $a^p$ रंगनों को स्थिर रखता है। कोई घूर्णन $\bar k \neq \bar 0$ $\Z/p\Z$ को जनित करता है ($p$ अभाज्य), अतः जो रंगन उससे स्थिर रहता है वह *सभी* घूर्णनों के अंतर्गत निश्चर है, इसलिए अचर: $a$ स्थिर रंगन। बर्नसाइड: $$ \#\{\text{कक्षाएँ}\} = \frac{a^p + (p-1)a}{p} \in \N , $$ अतः $p \mid a^p + (p-1)a$, अर्थात् $p \mid a^p - a$: यह फेर्मा की लघु प्रमेय है, विशुद्ध गणना से। **अभ्यास 1.6 ★.** सिलो प्रमेयों का उपयोग करके दर्शाइए कि क्रम $15$ का प्रत्येक समूह चक्रीय है और क्रम $45$ का प्रत्येक समूह आबेली है। **हल — अभ्यास 1.6.** क्रम $15 = 3 \cdot 5$: $n_3 \mid 5$ और $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ से $n_3 = 1$ अनिवार्य है; तथा $n_5 \mid 3$ और $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ से $n_5 = 1$। सिलो $P_3, P_5$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) हैं, तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (सहअभाज्य क्रम), और $\abs{P_3P_5} = 15$ ([अभ्यास 1.4](#exo-b3-groups-4)(क)): अतः [प्रतिज्ञप्ति 1.24](#prop-b3-groups-direct) से $G \cong \Z/3\Z \times \Z/5\Z \cong \Z/15\Z$ (चीनी शेषफल)। क्रम $45 = 3^2 \cdot 5$: $n_3 \mid 5$, $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ से $n_3 = 1$ मिलता है; और $n_5 \mid 9$, $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ से $n_5 = 1$। अतः $\abs{P_3} = 9 = 3^2$ और $\abs{P_5} = 5$ के साथ $G \cong P_3 \times P_5$: दोनों आबेली ($p^2$ के लिए [प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed); और अभाज्य क्रम चक्रीय होता है), अतः $G$ भी। **अभ्यास 1.7 ★★.** दर्शाइए कि क्रम $30$ का कोई समूह [सरल](#def-b3-groups-simple) नहीं है, और न ही क्रम $56$ का। *($30$ के लिए: यदि $n_3 \neq 1$ और $n_5 \neq 1$ हों, तो क्रम $3$ और $5$ के अवयव गिनिए। $56$ के लिए: क्रम $7$ के अवयव गिनिए।)* **हल — अभ्यास 1.7.** क्रम $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$। $n_5 \mid 6$, $n_5 \equiv 1 \pmod 5$: $n_5 \in \{1, 6\}$; $n_3 \mid 10$, $n_3 \equiv 1 \pmod 3$: $n_3 \in \{1, 10\}$। मान लीजिए $G$ [सरल](#def-b3-groups-simple) है, अतः $n_5 = 6$ और $n_3 = 10$। अभाज्य क्रम $p$ के दो भिन्न उपसमूह तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (प्रतिच्छेद $\Z/p\Z$ का उचित उपसमूह होता है), अतः छह सिलो $5$-उपसमूह क्रम $5$ के $6 \times 4 = 24$ अवयव धारण करते हैं, और दस सिलो $3$-उपसमूह क्रम $3$ के $10 \times 2 = 20$ अवयव: कुल $24 + 20 = 44 > 30 - 1$ अतत्समक अवयव — जो असंगत है। अतः $n_5 = 1$ या $n_3 = 1$: कोई [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) सिलो विद्यमान है। क्रम $56 = 2^3 \cdot 7$। $n_7 \mid 8$, $n_7 \equiv 1 \pmod 7$: $n_7 \in \{1, 8\}$। यदि $n_7 = 8$ हो, तो सिलो $7$-उपसमूह क्रम $7$ के $8 \times 6 = 48$ अवयव धारण करते हैं, और ठीक $56 - 48 = 8$ अन्य अवयव बचते हैं। किसी सिलो $2$-उपसमूह का क्रम $8$ है और वह ऐसे ही अवयवों से बना है, अतः वह उन्हीं का समुच्चय है: इसलिए $n_2 = 1$। अतः या तो $n_7 = 1$ या $n_2 = 1$: कभी [सरल](#def-b3-groups-simple) नहीं। **अभ्यास 1.8 ★★.** (क) मान लीजिए $H \leq G$ सूचकांक $n$ का है। दर्शाइए कि $G/H$ पर $G$ की [क्रिया](#def-b3-groups-action) से एक समाकारिता $G \to S_n$ मिलती है, जिसकी अष्टि $\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$ $H$ में अंतर्विष्ट $G$ का सबसे बड़ा [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) है। (ख) निष्कर्ष निकालिए: यदि $G$ परिमित हो और $p$ $\abs G$ का *सबसे छोटा* अभाज्य भाजक हो, तो सूचकांक $p$ का प्रत्येक उपसमूह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। (ग) दर्शाइए कि किसी समुच्चय $X$ पर $G$ की प्रत्येक संक्रमणीय [क्रिया](#def-b3-groups-action) किसी सहसमुच्चय समष्टि पर की [क्रिया](#def-b3-groups-action) के तुल्याकारी है: क्रियाओं के साथ क्रमविनिमेय एक एकैकी आच्छादक संगति $X \to G/G_x$ विद्यमान है। **हल — अभ्यास 1.8.** (क) [क्रिया](#def-b3-groups-action) $g \cdot xH = gxH$ कोई समाकारिता $\rho \colon G \to \mathfrak S(G/H) \cong S_n$ देती है। उसकी अष्टि $$ \ker\rho = \{g : \forall x \in G,\ gxH = xH\} = \{g : \forall x,\ x^{-1}gx \in H\} = \bigcap_{x \in G} xHx^{-1}, $$ है, जो $H$ में अंतर्विष्ट एक [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) (कोई अष्टि) है ($x = e$ लीजिए)। यदि $N \trianglelefteq G$ और $N \subseteq H$ हो, तो प्रत्येक $x$ के लिए $N = xNx^{-1} \subseteq xHx^{-1}$, अतः $N \subseteq \ker\rho$: अर्थात् अष्टि ऐसों में सबसे बड़ी है। (ख) मान लीजिए $[G:H] = p$ $\abs G$ को विभाजित करने वाला सबसे छोटा अभाज्य है और $K = \ker\rho \subseteq H$। तब $G/K$ $S_p$ में अंतःस्थापित हो जाता है, अतः $[G:K]$ $p!$ को विभाजित करता है। साथ ही $[G:K] = [G:H]\,[H:K] = p\,[H:K]$, अतः $[H:K]$ $(p-1)!$ को विभाजित करता है। पर $[H:K]$ $\abs G$ को विभाजित करता है, जिसके सभी अभाज्य विभाजक $\geq p$ हैं, जबकि $(p-1)!$ के सभी अभाज्य विभाजक $< p$ हैं: अतः $[H:K] = 1$, अर्थात् $H = K = \ker \rho$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। (ग) मान लीजिए [क्रिया](#def-b3-groups-action) संक्रमणीय है और $x \in X$। प्रतिचित्रण $\Phi \colon G/G_x \to X$, $gG_x \mapsto g \cdot x$, सुपरिभाषित और एकैकी-आच्छादक है (कक्षा–स्थायीकारी; [कक्षा](#def-b3-groups-action) समूचा $X$ है), और वह क्रियाओं को गूँथ देता है: $\Phi(h \cdot gG_x) = \Phi(hgG_x) = (hg) \cdot x = h \cdot \Phi(gG_x)$। **अभ्यास 1.9 ★★.** (क) दर्शाइए कि $D(G)$ आबेली भागफल वाला $G$ का सबसे छोटा [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) है, और यह कि $G$ से किसी आबेली समूह में जाने वाली प्रत्येक समाकारिता *आबेलीकरण* $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ से होकर अद्वितीय रूप से गुजरती है। (ख) $n \geq 2$ के लिए $D(S_n)$ और $S_n^{\mathrm{ab}}$ ज्ञात कीजिए, तथा $D(Q_8)$ और $Q_8^{\mathrm{ab}}$ भी। **हल — अभ्यास 1.9.** (क) $D(G)$ आबेली भागफल के साथ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है ([प्रतिज्ञप्ति 1.29](#prop-b3-groups-derived)); और यदि $N \trianglelefteq G$ के लिए $G/N$ आबेली हो, तो वही प्रतिज्ञप्ति $D(G) \subseteq N$ दे देती है: अतः $D(G)$ सबसे छोटा है। सार्वत्रिक गुण: मान लीजिए $A$ आबेली के साथ $f \colon G \to A$। तब $f([x,y]) = [f(x), f(y)] = e$, अतः $D(G) \subseteq \ker f$, और [प्रमेय 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) $G^{\mathrm{ab}}$ के माध्यम से $f = \bar f \circ \pi$ गुणनखंडित हो जाता है, और अद्वितीय रूप से, क्योंकि $\pi$ आच्छादक है। (ख) [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) सम क्रमचय हैं, अतः $D(S_n) \subseteq A_n$। विलोमतः प्रत्येक $3$-चक्र कोई [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) है: $$ \bigl[(a\,b),\,(a\,c)\bigr] = (a\,b)(a\,c)(a\,b)(a\,c) = (a\,b\,c), $$ ($a, b, c$ पर सीधी जाँच), और $3$-चक्र $A_n$ को जनित करते हैं ([प्रमेयिका 1.32](#lem-b3-groups-threecycles)): अतः $n \geq 3$ के लिए $D(S_n) = A_n$, और $S_n^{\mathrm{ab}} \cong S_n/A_n \cong \Z/2\Z$। ($n = 2$ के लिए: $S_2$ आबेली है, $D(S_2) = \{e\}$, $S_2^{\mathrm{ab}} = S_2 \cong \Z/2\Z$ — सूत्र $S_n^{\mathrm{ab}} \cong \Z/2\Z$ सभी $n \geq 2$ के लिए लागू होता है।) $Q_8$: भागफल $Q_8/\{\pm 1\}$ का क्रम $4$ है, अतः वह आबेली है, इसलिए $D(Q_8) \subseteq \{\pm 1\}$; और $[\mathrm i, \mathrm j] = \mathrm i \mathrm j \mathrm i^{-1}\mathrm j^{-1} = \mathrm i\mathrm j(-\mathrm i)(-\mathrm j) = (\mathrm i \mathrm j)^2 = \mathrm k^2 = -1$, अतः $D(Q_8) = \{\pm 1\}$ तथा $Q_8^{\mathrm{ab}} \cong (\Z/2\Z)^2$ (क्रम $4$, घातांक $2$: $\mathrm i, \mathrm j$ के वर्ग $\bar 1$ हैं)। **अभ्यास 1.10 ★★.** मान लीजिए $G$ एक $p$-समूह है और $H \subsetneq G$ उसका उचित उपसमूह। दर्शाइए कि $H \subsetneq N_G(H)$ (“[प्रसामान्यक](#ex-b3-groups-actions) बढ़ते हैं”), और इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी $p$-समूह का प्रत्येक महत्तम उपसमूह सूचकांक $p$ का [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) है। *($Z(G) \neq \{e\}$ का उपयोग करते हुए $\abs G$ पर आगमन: $Z(G) \subseteq H$ और $Z(G) \not\subseteq H$ की स्थितियों को अलग-अलग लीजिए।)* **हल — अभ्यास 1.10.** $\abs G$ पर आगमन; $\abs G = p$ के लिए एकमात्र उचित उपसमूह $H = \{e\}$ है, और $N_G(\{e\}) = G \supsetneq \{e\}$। मान लीजिए $Z = Z(G) \neq \{e\}$ ([प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed))। *यदि $Z \not\subseteq H$*: $z \in Z \setminus H$ चुनिए; $z$ $H$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः $zHz^{-1} = H$ और $z \in N_G(H) \setminus H$। *यदि $Z \subseteq H$*: $\bar G = G/Z$ पर जाइए, जो छोटे क्रम का कोई $p$-समूह है, और $\bar H = H/Z \subsetneq \bar G$ (संगति प्रमेय)। आगमन से $N_{\bar G}(\bar H) \supsetneq \bar H$; $\bar g \in N_{\bar G}(\bar H) \setminus \bar H$ और कोई उत्थापन $g$ चुनिए। तब $g \notin H$, और $gHg^{-1} \subseteq HZ = H$: वस्तुतः $\overline{ghg^{-1}} = \bar g \bar h \bar g^{-1} \in \bar H$ का अर्थ है $ghg^{-1} \in HZ = H$ (क्योंकि $Z \subseteq H$)। अतः $g \in N_G(H)\setminus H$। महत्तम उपसमूह: यदि $M$ महत्तम हो, तो $N_G(M) \supsetneq M$ से $N_G(M) = G$ अनिवार्य है: अर्थात् $M \trianglelefteq G$। तब $G/M$ ऐसा $p$-समूह है जिसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह नहीं (संगति + महत्तमता)। $G/M$ में $\bar x \neq \bar e$ लीजिए, जिसका क्रम $p^k$ है; तब $\bar x^{p^{k-1}}$ क्रम $p$ का उपसमूह जनित करता है, जो सब कुछ ही होना चाहिए: अतः $\abs{G/M} = p$। **अभ्यास 1.11 ★★★.** ($A_5$ की सरलता, प्रत्यक्ष रूप से) (क) दर्शाइए कि $A_5$ के संयुग्मन वर्गों की गणनीयताएँ $1$, $15$, $20$, $12$, $12$ हैं। $5$-चक्रों के $S_5$-वर्ग के विभाजन पर ध्यान दीजिए: किसी $5$-चक्र $\sigma$ के लिए $S_5$ और $A_5$ में $\sigma$ के केंद्रकों की तुलना कीजिए। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि $A_5$ [सरल](#def-b3-groups-simple) है: कोई [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन होता है, उसमें $e$ होता है, और उसकी गणनीयता $60$ को विभाजित करती है। (ग) दर्शाइए कि क्रम $60$ के किसी [सरल समूह](#def-b3-groups-simple) के लिए अनिवार्यतः $n_5 = 6$ होता है। **हल — अभ्यास 1.11.** (क) $\abs{A_5} = 60$। $A_5$ में चक्र प्रकार: $e$; द्विक स्थानांतरण, जिनकी संख्या $\frac{1}{2}\binom{5}{1}\binom{4}{2}\cdot 1 = 15$ है ($5 \cdot 3$ प्रकार: स्थिर बिंदु चुनिए, फिर युग्म बनाइए); $3$-चक्र, $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3} = 20$; $5$-चक्र, $4! = 24$। $A_5$ में अंतर्विष्ट $S_5$ का कोई वर्ग या तो एक ही $A_5$-वर्ग बना रहता है या दो में बँट जाता है, इस पर निर्भर करते हुए कि किसी अवयव के $S_5$-केंद्रक में कोई विषम क्रमचय है या नहीं ($\abs{A_5 \text{ में वर्ग}} = 60/\abs{Z_{A_5}(\sigma)}$ और $Z_{A_5} = Z_{S_5} \cap A_5$)। $\sigma = (1\,2)(3\,4)$ के लिए: $\abs{Z_{S_5}(\sigma)} = 120/15 = 8$, और $(1\,2) \in Z_{S_5}(\sigma)$ विषम है, अतः $\abs{Z_{A_5}} = 4$ और वर्ग में $60/4 = 15$ अवयव हैं: कोई विभाजन नहीं। $\sigma = (1\,2\,3)$ के लिए: $Z_{S_5}(\sigma) \supseteq \langle \sigma \rangle \times \langle (4\,5)\rangle$, जिसका क्रम $6 = 120/20$ है, अतः वे बराबर हैं; उसमें विषम $(4\,5)$ है: $60/3 = 20$ का वर्ग: कोई विभाजन नहीं। किसी $5$-चक्र $\sigma$ के लिए: $Z_{S_5}(\sigma) = \langle \sigma\rangle$ (क्रम $120/24 = 5$), सभी सम: अतः $Z_{A_5}(\sigma) = \langle \sigma\rangle$ और $A_5$-वर्ग में $60/5 = 12$ अवयव हैं — अर्थात् $24$ पाँच-चक्र $12$ के *दो* वर्गों में बँट जाते हैं। वर्ग-आकार: $1, 15, 20, 12, 12$। (ख) कोई [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $N$ संयुग्मन वर्गों का संघ होता है जिसमें $\{e\}$ सम्मिलित है, और $\abs N \mid 60$। संभव योग $1 + (\{15, 20, 12, 12\} \text{ का उपसमुच्चय})$ ये हैं: $$ 1,\ 13,\ 13,\ 16,\ 21,\ 25,\ 28,\ 28,\ 33,\ 36,\ 40,\ 40,\ 45,\ 48,\ 48,\ 60 ; $$ और सूची में $60$ के एकमात्र विभाजक $1$ तथा $60$ हैं: अतः $N = \{e\}$ या $A_5$। (ग) मान लीजिए $G$ $\abs G = 60$ के साथ [सरल](#def-b3-groups-simple) है। $n_5 \mid 12$, $n_5 \equiv 1 \pmod 5$: $n_5 \in \{1, 6\}$। $n_5 = 1$ से सिलो $5$-उपसमूह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) हो जाता, जो सरलता का खंडन करता है ($1 < 5 < 60$)। अतः $n_5 = 6$। **अभ्यास 1.12 ★★.** (सिलो उपसमूहों के [प्रसामान्यक](#ex-b3-groups-actions) स्वप्रसामान्यकारी होते हैं) मान लीजिए $P$ किसी परिमित समूह $G$ का सिलो $p$-उपसमूह है और $H = N_G(P)$। (क) दर्शाइए कि $P$ $H$ का *अद्वितीय* सिलो $p$-उपसमूह है। (ख) इससे $N_G(H) = H$ निष्कर्ष निकालिए। *($g \in N_G(H)$ के लिए: $gPg^{-1}$ $H$ का सिलो $p$-उपसमूह है, अतः $gPg^{-1} = P$।)* (ग) निष्कर्ष निकालिए कि कोई भी सिलो [प्रसामान्यक](#ex-b3-groups-actions) $G$ के किसी उचित [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) में अंतर्विष्ट नहीं होता, और यह कि $N_G(P)$ को अंतर्विष्ट करने वाला कोई भी महत्तम उपसमूह स्वप्रसामान्यकारी होता है। **हल — अभ्यास 1.12.** (क) [प्रसामान्यक](#ex-b3-groups-actions) की परिभाषा से $P$ $H = N_G(P)$ में [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है, और वह $H$ का सिलो $p$-उपसमूह है (उसका क्रम पहले से ही $\abs G$ का, और अत एव $\abs H$ का भी, पूरा $p$-भाग है)। कोई [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) [सिलो उपसमूह](#def-b3-groups-sylow) अद्वितीय होता है: कोई भी अन्य उसका संयुग्म होता ($H$ में सिलो II), अतः उसी के बराबर। (ख) मान लीजिए $g \in N_G(H)$। तब $gPg^{-1} \subseteq gHg^{-1} = H$ $H$ का $P$ के ही क्रम वाला उपसमूह है: अर्थात् $H$ का कोई सिलो $p$-उपसमूह, अतः (क) से $gPg^{-1} = P$। इस प्रकार $g \in N_G(P) = H$: $N_G(H) \subseteq H$, और विपरीत अंतर्विष्टि तुच्छ है। (ग) मान लीजिए उचित $N$ के साथ $H \subseteq N \trianglelefteq G$। $P$ $N$ का सिलो $p$-उपसमूह है; किसी भी $g \in G$ के लिए $gPg^{-1} \subseteq N$ एक और है, अतः किसी $n \in N$ के लिए $gPg^{-1} = nPn^{-1}$ ($N$ में सिलो II), जिससे $n^{-1}g \in N_G(P) \subseteq N$ और $g \in N$ मिलते हैं: अर्थात् $N = G$, जो विरोधाभास है (यही *फ्राटीनी तर्क* है)। किसी महत्तम उपसमूह $M \supseteq N_G(P)$ के लिए: $N_G(M) \supseteq M$ या तो $M$ है या $G$; यदि $G$ हो, तो $M \trianglelefteq G$ $N_G(P)$ को धारण करने वाला कोई उचित [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) है — जो पिछले बिंदु से अपवर्जित है। अतः $N_G(M) = M$। ## 1.7 समस्या: अधिकतम 15 क्रम वाले समूह **समस्या 1.1.** सप्ताहांत समस्या — छोटे समूहों का वर्गीकरण लक्ष्य है तुल्याकारिता तक क्रम $\leq 15$ वाले समूहों का पूर्ण वर्गीकरण, पूरी उपपत्तियों सहित। क्रम $1, 2, 3, 5, 7, 11, 13$ लाग्राँज से तय हो जाते हैं (चक्रीय), और क्रम $4$ तथा $9$ [प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) से एवं नीचे दिए गए $p^2$ के विश्लेषण से: शेष रह जाते हैं $6, 8, 10, 12, 14, 15$। **भाग I — साधन।** 1. दर्शाइए कि जिस समूह में प्रत्येक अवयव $x^2 = e$ को संतुष्ट करता है वह आबेली है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि ऐसे परिमित समूह का क्रम $2^k$ होता है और वह $(\Z/2\Z)^k$ के तुल्याकारी है। *(इसे $\mathbb F_2$ पर एक सदिश समष्टि की तरह देखिए।)* 2. दर्शाइए कि क्रम $p^2$ का समूह $\Z/p^2\Z$ या $(\Z/p\Z)^2$ के तुल्याकारी होता है। तुल्याकारिता तक क्रम $8$ के आबेली समूहों की सूची बनाइए: $\Z/8\Z$ , $\Z/4\Z \times \Z/2\Z$ , $(\Z/2\Z)^3$ — और [अध्याय 3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain#ch-b3-modules) की संरचना प्रमेय के *बिना* सिद्ध कीजिए कि यह सूची पूर्ण है और उसमें कोई पुनरुक्ति नहीं (किसी अवयव के महत्तम क्रम के अनुसार स्थितियाँ लीजिए)। 3. मान लीजिए $\varphi, \varphi' \colon K \to \operatorname{Aut}(H)$ दो क्रियाएँ हैं। दर्शाइए कि यदि $\alpha \in \operatorname{Aut}(K)$ के साथ $\varphi' = \varphi \circ \alpha$ हो, तो $H \rtimes_{\varphi} K \cong H \rtimes_{\varphi'} K$ । 4. $n = 3, 4, 5, 7$ के लिए $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z)$ स्पष्ट रूप से ज्ञात कीजिए, और $\operatorname{Aut}\bigl((\Z/2\Z)^2 \bigr) \cong S_3$ दर्शाइए। **भाग II — क्रम $2p$ ($6$, $10$, $14$) और $pq$।** 5. मान लीजिए $\abs G = 2p$ , जहाँ $p$ विषम अभाज्य है। दर्शाइए कि $G$ में क्रम $p$ का एक [प्रसामान्य उपसमूह](#def-b3-groups-normal) $N = \langle r \rangle$ है और $N$ के बाहर क्रम $2$ का एक अवयव $s$ । 6. निष्कर्ष निकालिए कि $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ , जहाँ $\varphi(1) \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ एक स्वप्रतिलोमी अवयव है, और यह भी: $G \cong \Z/2p\Z$ या $G \cong D_p$ ; जाँचिए कि ये दोनों तुल्याकारी नहीं हैं। इससे क्रम $6$ , $10$ , $14$ तय हो जाते हैं। 7. अधिक व्यापक रूप से, मान लीजिए $\abs G = pq$ , जहाँ $p < q$ अभाज्य हैं। दर्शाइए कि यदि $p \nmid q-1$ हो तो $G$ चक्रीय है ( [उदाहरण 1.22](#ex-b3-groups-pq) ), और यह कि यदि $p \mid q - 1$ हो तो $\Z/pq\Z$ के अतिरिक्त तुल्याकारिता तक *ठीक एक* अनाबेली समूह $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ होता है — इसके लिए प्रश्न 3 का और इस तथ्य का उपयोग कीजिए कि $\operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong (\Z/q\Z)^\times$ क्रम $q - 1$ का चक्रीय समूह है, जिसे यहाँ स्वीकार किया गया है और [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois) में सिद्ध किया गया है ( $\mathbb F_q^\times$ की चक्रीयता)। क्रम $15$ के लिए निष्कर्ष निकालिए। **भाग III — क्रम $8$।** मान लीजिए $G$ क्रम $8$ का अनाबेली समूह है। 8. दर्शाइए कि $G$ में क्रम $4$ का एक अवयव $r$ है (प्रश्न 1 का उपयोग कीजिए) और यह कि $N = \langle r\rangle$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। 9. मान लीजिए $s \notin N$ । दर्शाइए कि $s^2 \in N$ ( [अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1) (ख)), कि $srs^{-1} = r^{-1}$ (संयुग्मन के अंतर्गत $r$ के संभावित प्रतिबिंबों की जाँच कीजिए, जिनका क्रम 4 होना चाहिए, और $srs^{-1} = r$ को अपवर्जित कीजिए), और यह कि $s^2 \in \{e, r^2\}$ *(यदि $s^2 = r$ या $r^3$ हो तो क्या होगा? और $s^2$ को $s$ के साथ क्रमविनिमेय क्यों होना चाहिए?)* । 10. $s^2 = e$ की स्थिति में $G \cong D_4$ दर्शाइए। 11. $s^2 = r^2$ की स्थिति में दर्शाइए कि गुणन सारणी पूर्णतः निर्धारित हो जाती है; प्राप्त समूह *क्वाटर्नियन समूह* $Q_8 = \{\pm 1, \pm \mathrm i, \pm \mathrm j, \pm \mathrm k\}$ है, $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm i\, \mathrm j\,\mathrm k = -1$ ($r = \mathrm i$, $s = \mathrm j$ रखिए)। सत्यापित कीजिए कि $Q_8$ विद्यमान है, उदाहरणार्थ $GL_2(\C)$ के भीतर $$\mathrm i \mapsto \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu \end{pmatrix}, \qquad \mathrm j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 12. दर्शाइए कि $Q_8$ का प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह $-1$ को अंतर्विष्ट करता है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि $Q_8$ का प्रत्येक उपसमूह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है, कि $D_4 \not\cong Q_8$ (क्रम $2$ के अवयव गिनिए), और यह कि $Q_8$ दो उचित उपसमूहों का [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect) नहीं है। **भाग IV — क्रम $12$।** मान लीजिए $\abs G = 12$, $P_3 \in \mathrm{Syl}_3(G)$, $P_2 \in \mathrm{Syl}_2(G)$। 13. दर्शाइए कि $n_3 \in \{1, 4\}$ , $n_2 \in \{1, 3\}$ , और यह कि $n_3 = 4$ से $n_2 = 1$ अनिवार्य हो जाता है *(क्रम $3$ के अवयव गिनिए)* । 14. मान लीजिए $n_3 = 4$ । $\mathrm{Syl}_3$ पर संयुग्मन [क्रिया](#def-b3-groups-action) से $\rho \colon G \to S_4$ मिलता है। दर्शाइए कि $\ker \rho$ , जो प्रत्येक $N_G(P_3)$ में अंतर्विष्ट है और इसलिए जिसका क्रम $3$ को विभाजित करता है, तुच्छ है *(उसका क्रम $3$ क्यों नहीं हो सकता?)* ; कि प्रतिबिंब, जो $S_4$ का क्रम $12$ वाला उपसमूह है, अनिवार्यतः $A_4$ है *(सूचकांक 2 वाले उपसमूह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) होते हैं और सभी वर्गों को अंतर्विष्ट करते हैं — [अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1); $S_4$ में वर्ग गिनिए)* ; और निष्कर्ष निकालिए कि $G \cong A_4$ । 15. मान लीजिए $n_3 = 1$ , अतः $\varphi \colon P_2 \to \operatorname{Aut}(\Z/3\Z) \cong \Z/2\Z$ के साथ $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ । स्थितियों की गणना कीजिए: $\varphi$ तुच्छ होने पर $\Z/12\Z$ और $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ मिलते हैं; आच्छादक $\varphi$ के साथ $P_2 = \Z/4\Z$ से *द्विचक्रीय समूह* $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes \Z/4\Z$ मिलता है; आच्छादक $\varphi$ के साथ $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ से, प्रश्न 3 की तुल्यता तक, एक ही समूह मिलता है — दर्शाइए कि वह $D_6$ है, उदाहरणार्थ क्रम $6$ का एक अवयव और परावर्तन जैसा एक स्वप्रतिलोमी अवयव प्रस्तुत करके। 16. दर्शाइए कि $\Z/12\Z$ , $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ , $D_6$ , $A_4$ , $\mathrm{Dic}_3$ जोड़े-जोड़े में अतुल्याकारी हैं *(क्रम $2$ के अवयव गिनिए, अथवा $n_3$ का उपयोग कीजिए)* । इससे क्रम $12$ तय हो जाता है। **भाग V — संश्लेषण।** 17. वर्गीकरण सारणी संकलित कीजिए: प्रत्येक क्रम $n \leq 15$ के लिए तुल्याकारिता तक समूहों की पूरी सूची, गणनाओं $1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1$ सहित। **भाग VI — आगे: क्रम $p^3$ के समूह, जहाँ $p$ विषम है।** भाग III के क्रम-$8$ विश्लेषण का एक सुंदर विषम-अभाज्य समरूप है, जिसमें एक सर्वथा नई परिघटना प्रकट होती है। मान लीजिए $p$ विषम अभाज्य है और $G$ क्रम $p^3$ का अनाबेली समूह। 18. दर्शाइए कि $\abs{Z(G)} = p$ , कि $G/Z(G) \cong (\Z/p\Z)^2$ *([केंद्र](#ex-b3-groups-actions) द्वारा चक्रीय भागफल आबेलीयता पर विवश कर देता है: [अभ्यास 1.2](#exo-b3-groups-2))* , और कि $D(G) = Z(G)$ *($D(G) \subseteq Z(G)$ के लिए इसका उपयोग कीजिए कि $G/Z(G)$ आबेली है; समता के लिए, $G$ अनाबेली है और $D(G) \neq \{e\}$)* । निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ केंद्रीय है और उसका क्रम $p$ को विभाजित करता है। 19. (मुख्य सर्वसमिका) मान लीजिए $x, y \in G$ और $z = [y, x]$ केंद्रीय है। $k$ पर आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए: $$(xy)^k = x^k y^k z^{k(k-1)/2} .$$ *(प्रत्येक $y$ को प्रत्येक $x$ के पार ले जाइए; हर पारगमन एक केंद्रीय गुणनखंड $z$ की कीमत पर होता है।)* 20. निष्कर्ष निकालिए कि विषम $p$ के लिए प्रतिचित्रण $\theta\colon x \mapsto x^p$ $G$ से $Z(G)$ में जाने वाली एक समूह समाकारिता है *($x^p$ केंद्रीय क्यों है? $z^{p(p-1)/2} = e$ के लिए $p$ का विषम होना क्यों आवश्यक है?)* , और यह कि $G$ का घातांक $p$ या $p^2$ है, तथा ये दोनों स्थितियाँ इससे अलग होती हैं कि $\theta$ तुच्छ है या नहीं। 21. (घातांक $p$) मान लीजिए प्रत्येक अवयव $x^p = e$ को संतुष्ट करता है। ऐसे $x, y$ चुनिए जिनके वर्ग $G/Z(G)$ को जनित करें और $z = [y, x]$ रखिए। दर्शाइए कि $z \neq e$, कि $G$ का प्रत्येक अवयव अद्वितीय रूप से $x^ay^bz^c$ है ($0 \leq a, b, c < p$), और यह कि गुणन पूर्णतः संबंधों $x^p = y^p = z^p = e$, $z$ केंद्रीय, $[y, x] = z$ से निर्धारित हो जाता है। सत्यापित कीजिए कि *हाइजेनबर्ग समूह* $$H_p = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\} \subseteq GL_3(\mathbb F_p)$$ इन संबंधों को साकार करता है और उसका घातांक $p$ है ($N^3 = 0$ और $p \geq 3$ का उपयोग करते हुए कड़ाई से ऊपरी त्रिभुजाकार $N$ के साथ $(I + N)^p$ परिकलित कीजिए): क्रम $p^3$ का प्रत्येक घातांक-$p$ अनाबेली समूह $H_p$ के तुल्याकारी है। 22. (घातांक $p^2$ ) मान लीजिए किसी $r \in G$ का क्रम $p^2$ है, और $N = \langle r\rangle$ रखिए, जो [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है (सूचकांक $p$ : [अभ्यास 1.10](#exo-b3-groups-10) )। दर्शाइए कि $s^p = e$ वाला कोई $s \notin N$ विद्यमान है *(कोई भी $t \notin N$ लीजिए; प्रश्न 20 का उपयोग करके उसे सुधारिए: $\theta(t) = t^p \in Z(G) \subseteq N$ — $Z(G) = \langle r^p\rangle$ को उचित ठहराइए — और $s^p = e$ को संतुष्ट करने वाला $s = tr^{a}$ लेकर $a$ चुनिए; $p$ का विषम होना कहाँ प्रयुक्त हुआ?)* । दर्शाइए कि $s$ को किसी घात से बदलने तक $srs^{-1} = r^{1+p}$ , और निष्कर्ष निकालिए: क्रम $p^3$ और घातांक $p^2$ का ठीक *एक* अनाबेली समूह है, अर्थात् $\varphi(1)\colon r \mapsto r^{1+p}$ के साथ $\Z/p^2\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ *(प्रश्न 3 का उपयोग कीजिए; $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ क्रम $p(p-1)$ का चक्रीय समूह है, जिसे यहाँ स्वीकार किया गया है, अतः उसका क्रम $p$ का अद्वितीय उपसमूह है)* । 23. गणना का निष्कर्ष निकालिए: विषम $p$ के लिए क्रम $p^3$ के ठीक $5$ समूह हैं (तीन आबेली, दो अनाबेली), ठीक वैसे ही जैसे $p = 2$ के लिए — परंतु दोनों अनाबेली समूह अब $D_4$ और $Q_8$ नहीं रहे। ठीक-ठीक बताइए कि विषम- $p$ तर्क $p = 2$ के लिए कहाँ टूट जाता है: प्रश्न 19 की सर्वसमिका में $k = p = 2$ के लिए $z^{k(k-1)/2}$ $z^1 \neq e$ है, अतः वर्ग करना समाकारिता नहीं रह जाता — और वस्तुतः $Q_8$ में क्रम $2$ का अद्वितीय अवयव है, जबकि घातांक- $4$ $D_4$ में ऐसे पाँच अवयव हैं। **भाग VII — पूरक।** 24. विषम $p$ के लिए क्रम $p^3$ के दोनों अनाबेली समूहों में क्रम $p$ के अवयव गिनिए: दर्शाइए कि $H_p$ में ठीक $p^3 - 1$ अवयव हैं, जबकि $M_p = \Z/p^2\Z \rtimes \Z/p\Z$ में ठीक $p^2 - 1$ *(प्रश्न 20 की समाकारिता $\theta$ का उपयोग कीजिए: पहले उसका प्रतिबिंब पहचानिए, फिर उसकी अष्टि का क्रम)* । $p = 3$ के लिए संख्यात्मक सत्यापन कीजिए: $26$ बनाम $8$ । समझाइए कि इस प्रकार का कोई भी वर्ग-समाकारिता संबंधी तर्क $D_4$ को $Q_8$ से अलग क्यों नहीं कर सकता, और कौन-सी गणना उन्हें अलग करती है। 25. किसी पूर्णांक $n \geq 1$ को *चक्रीय* कहिए यदि क्रम $n$ का प्रत्येक समूह चक्रीय हो। दर्शाइए कि यदि किसी अभाज्य $p$ के लिए $p^2 \mid n$ हो, अथवा यदि $n$ के ऐसे अभाज्य भाजक $p < q$ हों जिनके लिए $p \mid q - 1$ , तो $n$ चक्रीय नहीं है *(दोनों स्थितियों में क्रम $n$ का एक अचक्रीय समूह प्रस्तुत कीजिए, दूसरी के लिए भाग II का उपयोग करते हुए)* । निष्कर्ष निकालिए कि $n$ के चक्रीय होने से $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ अनिवार्य हो जाता है, जहाँ $\varphi$ ऑयलर का टोशेंट है; और प्रश्न 17 की सारणी से मिलान कीजिए: $n \leq 15$ में से एकमात्र समूह धारण करने वाले क्रम ठीक $n \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15\}$ हैं, अर्थात् ठीक वे जिनके लिए $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ । **हल — समस्या 1.1.** **1.** $x, y \in G$ के लिए: $(xy)^2 = e$ से $xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx$ मिलता है (प्रत्येक अवयव अपना ही प्रतिलोम है): अतः आबेली। ऐसा $G$, योगात्मक रूप में लिखा जाए तो, $\mathbb F_2$ पर सदिश समष्टि है ($2x = 0$, और अभिगृहीत आबेली समूह के ही अभिगृहीत हैं); और यदि परिमित हो, तो उसका कोई परिमित आधार होता है: अतः $G \cong (\Z/2\Z)^k$, जिसका क्रम $2^k$ है। **2.** क्रम $p^2$: $G$ आबेली है ([प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed))। यदि किसी अवयव का क्रम $p^2$ हो, तो $G$ चक्रीय है। अन्यथा सभी $x \neq e$ का क्रम $p$ है; तब योगात्मक रूप में $G$ $\mathbb F_p$ पर विमा $2$ ($p^2$ अवयव) की सदिश समष्टि है ($px = 0$): अतः $G \cong (\Z/p\Z)^2$। क्रम $8$ का आबेली, किसी अवयव के महत्तम क्रम $m$ के अनुसार: $m = 8$: चक्रीय $\Z/8\Z$। $m = 2$: प्रश्न 1 से $(\Z/2\Z)^3$। $m = 4$: मान लीजिए $x$ का क्रम $4$ है और $y \notin \langle x \rangle$; $y^2 \in \langle x\rangle$ (सूचकांक $2$)। $y^2 \in \{x, x^3\}$ से $y$ का क्रम $8$ हो जाता; अतः $y^2 \in \{e, x^2\}$। यदि $y^2 = x^2$ हो, तो $y$ के स्थान पर $xy$ लीजिए: $(xy)^2 = x^2y^2 = x^4 = e$ ($G$ आबेली) और $xy \notin \langle x\rangle$। अतः हम $y^2 = e$ मान सकते हैं: तब $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{e\}$, दोनों [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) (आबेली), $\abs{\langle x\rangle \langle y\rangle} = 8$: [प्रतिज्ञप्ति 1.24](#prop-b3-groups-direct) से $G \cong \Z/4\Z \times \Z/2\Z$ मिलता है। अनावश्यक नहीं: तीनों समूहों में $x^2 = e$ के हलों की संख्याएँ $2, 4, 8$ हैं। **3.** $\psi(h, k) = (h, \alpha(k))$ से $\psi \colon H \rtimes_{\varphi'} K \to H \rtimes_{\varphi} K$ परिभाषित कीजिए, जो एकैकी-आच्छादक है। समाकारिता: $$ \psi\bigl((h,k)(h',k')\bigr) = \bigl(h\,\varphi'(k)(h'),\, \alpha(kk')\bigr) = \bigl(h\,\varphi(\alpha k)(h'),\, \alpha(k)\alpha(k')\bigr) = \psi(h,k)\,\psi(h',k'). $$ **4.** $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$ ([अभ्यास 1.3](#exo-b3-groups-3)): $n = 3$ के लिए: $\{\pm 1\} \cong \Z/2\Z$; $n = 4$: $\{\bar 1, \bar 3\} \cong \Z/2\Z$; $n = 5$: $\{\bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4\}$, जो $\bar 2$ से जनित क्रम $4$ का चक्रीय है ($2, 4, 3, 1$); $n = 7$: $\bar 3$ से जनित क्रम $6$ का चक्रीय ($3, 2, 6, 4, 5, 1$)। $V = (\Z/2\Z)^2$ के लिए: कोई भी स्वसमाकारिता $\mathbb F_2$-रैखिक है (वह योग को सुरक्षित रखती है, और अदिश $0, 1$ हैं), अतः $\operatorname{Aut}(V) = GL_2(\mathbb F_2)$, जिसका क्रम $(4-1)(4-2) = 6$ है; वह $3$ शून्येतर सदिशों पर निष्ठ रूप से [क्रिया](#def-b3-groups-action) करती है, जिससे क्रम $6$ के समूहों के बीच $S_3$ में कोई एकैकी समाकारिता मिलती है: अतः $\operatorname{Aut}(V) \cong S_3$। **5.** कोशी क्रम $p$ का $r$ देते हैं; $N = \langle r \rangle$ का सूचकांक $2$ है, अतः वह [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है ([अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1))। कोशी क्रम $2$ का $s$ भी देते हैं, और $s \notin N$ ($N$ के सभी अतत्समक अवयवों का क्रम विषम $p$ है)। **6.** $N \cap \langle s \rangle = \{e\}$ और $\abs{N\langle s\rangle} = 2p$ ([अभ्यास 1.4](#exo-b3-groups-4)(क)): अतः [प्रतिज्ञप्ति 1.26](#prop-b3-groups-semidirect) से $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$, जहाँ $\varphi(1) = (x \mapsto sxs^{-1})$ $2$ को विभाजित करने वाले क्रम की स्वसमाकारिता है। $(\Z/p\Z)^\times$ में $k^2 = 1$ के केवल हल $k = \pm 1$ हैं (क्षेत्र $\mathbb F_p$ में $X^2 - 1$ के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं)। यदि $\varphi(1) = \mathrm{id}$ हो: गुणन प्रत्यक्ष है, $G \cong \Z/p\Z \times \Z/2\Z \cong \Z/2p\Z$। यदि $\varphi(1) = -\mathrm{id}$ हो: $G = \langle r, s \mid r^p = s^2 = e, \ srs^{-1} = r^{-1}\rangle \cong D_p$ ([उदाहरण 1.27](#ex-b3-groups-semidirectexamples))। वे तुल्याकारी नहीं हैं: $p \geq 3$ के लिए $D_p$ अनाबेली है ($srs^{-1} = r^{-1} \neq r$)। **7.** $n_q \equiv 1 \pmod q$ $p < q$ को विभाजित करता है: $n_q = 1$, अतः $N \cong \Z/q\Z$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। मान लीजिए $P \cong \Z/p\Z$ कोई सिलो $p$-उपसमूह है: $N \cap P = \{e\}$, $NP = G$ (क्रम $pq$), अतः $\varphi \colon \Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong \Z/(q-1)\Z$ के साथ $G \cong \Z/q\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ (चक्रीय, स्वीकृत)। यदि $p \nmid q - 1$ हो: $\varphi$ के प्रतिबिंब का क्रम $p$ और $q-1$ दोनों को विभाजित करता है, अतः वह तुच्छ है, और $G \cong \Z/pq\Z$ ([उदाहरण 1.22](#ex-b3-groups-pq))। यदि $p \mid q - 1$ हो: तुच्छ $\varphi$ के अतिरिक्त कोई भी अतुच्छ $\varphi$ एकैकी है (उसकी अष्टि, जो $\Z/p\Z$ का उपसमूह है, तुच्छ है) जिसका प्रतिबिंब चक्रीय समूह $\Z/(q-1)\Z$ का क्रम $p$ वाला *वही* अद्वितीय उपसमूह $C$ है। तब दो अतुच्छ क्रियाएँ $\varphi, \varphi'$ दो तुल्याकारिताएँ $\Z/p\Z \to C$ हैं, अतः $\alpha = \varphi^{-1}\circ\varphi' \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ $\varphi' = \varphi\circ\alpha$ संतुष्ट करता है: और प्रश्न 3 से दोनों [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect) तुल्याकारी हैं। अतः क्रम $pq$ का ठीक एक अनाबेली समूह (अनाबेली क्योंकि $\varphi \neq \mathrm{id}$ किसी संयुग्मन को अतुच्छ बना देता है)। क्रम $15$: $p = 3$, $q = 5$, $3 \nmid 4$: केवल चक्रीय। **8.** प्रत्येक अवयव का क्रम $\leq 2$ नहीं है (अन्यथा प्रश्न 1 से आबेली), और किसी अवयव का क्रम $8$ नहीं है (अन्यथा चक्रीय, अतः आबेली): अतः किसी $r$ का क्रम $4$ है, और सूचकांक $2$ वाला $N = \langle r\rangle$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) है। **9.** [अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1)(ख) से $s^2 \in N$। संयुग्म $srs^{-1} \in N$ का क्रम $4$ है, अतः $srs^{-1} \in \{r, r^3\}$; यदि $srs^{-1} = r$ हो तो $r$ और $s$ क्रमविनिमेय हैं और $G = \langle r, s\rangle$ आबेली है — जो अपवर्जित है। अतः $srs^{-1} = r^{-1}$। यदि $s^2 = r$ या $r^3$ हो, तो $s$ का क्रम $8$ हो जाता: अपवर्जित। (वैकल्पिक रूप से: $s^2$ $s$ के साथ क्रमविनिमेय है, पर $s r s^{-1} = r^{-1}$ और $s r^3 s^{-1} = r^{-3} = r$: अतः $s$ से संयुग्मन के अंतर्गत न $r$ स्थिर है न $r^3$।) अतः $s^2 \in \{e, r^2\}$। **10.** यदि $s^2 = e$ हो: $G = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$। आठ अवयव $r^is^j$ ($0 \leq i < 4$, $0 \leq j < 2$) भिन्न हैं ($s \notin \langle r\rangle$) और संबंध सभी गुणनफल निर्धारित कर देते हैं: नियतन $r \mapsto$ ($\pi/2$ से घूर्णन), $s \mapsto$ (कोई परावर्तन) क्रम $8$ के समूहों के बीच $D_4$ पर कोई आच्छादक समाकारिता परिभाषित करता है: अर्थात् कोई तुल्याकारिता। **11.** यदि $s^2 = r^2$ हो: फिर से $G = \{r^i s^j\}$, और संबंध $r^4 = e$, $s^2 = r^2$, $srs^{-1} = r^{-1}$ समूची सारणी अनिवार्य कर देते हैं। $\mathrm i = r$, $\mathrm j = s$, $\mathrm k = rs$, $-1 = r^2$ के साथ: $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = -1$, $\mathrm k^2 = rsrs = r r^{-1} s s = s^2 = -1$ ($sr = r^{-1}s$ का उपयोग करते हुए), और $\mathrm i \mathrm j \mathrm k = r\,s\,rs = r\,r^{-1}s\,s = s^2 = -1$। अस्तित्व: आव्यूह $$ A = \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $A^4 = I$, $B^2 = -I = A^2$ और $BAB^{-1} = A^{-1}$ संतुष्ट करते हैं — अंतिम के लिए जाँचिए $$ BA = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0 \end{pmatrix} = A^{-1}B . $$ अतः $\{\pm I, \pm A, \pm B, \pm AB\}$ क्रम $8$ का वह समूह है जो इस सारणी को साकार करता है: इसलिए $Q_8$ विद्यमान है। **12.** मान लीजिए $H \neq \{e\}$ कोई उपसमूह है और $x \in H \setminus \{e\}$। यदि $x \neq -1$ हो तो $x \in \{\pm\mathrm i, \pm\mathrm j, \pm\mathrm k\}$ और $x^2 = -1 \in H$। अतः सदैव $-1 \in H$। उपसमूह $\{e\}$, $\{\pm 1\}$ ([केंद्र](#ex-b3-groups-actions)), $\langle \mathrm i\rangle, \langle \mathrm j\rangle, \langle \mathrm k\rangle$ (सूचकांक $2$) और $Q_8$ हैं: सभी [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) ($\{e\}$ और [केंद्र](#ex-b3-groups-actions) तुच्छ रूप से, सूचकांक $2$ वाले [अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1) से, और $Q_8$ स्वयं)। $D_4$ में क्रम $2$ के पाँच अवयव हैं ($r^2$ और चार परावर्तन), $Q_8$ में केवल एक ($-1$): अतः तुल्याकारी नहीं। $H, K \neq \{e\}$ के साथ किसी [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect) $H \rtimes K$ के लिए $H \cap K = \{e\}$ आवश्यक है, जो असंभव है क्योंकि दोनों $-1$ धारण करते हैं। **13.** $n_3 \mid 4$, $n_3 \equiv 1 \pmod 3$: $n_3 \in \{1, 4\}$; $n_2 \mid 3$, विषम: $n_2 \in \{1, 3\}$। यदि $n_3 = 4$ हो: चारों सिलो $3$-उपसमूह युग्मशः तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (अभाज्य क्रम), जिससे क्रम $3$ के $4 \times 2 = 8$ अवयव मिलते हैं; और शेष $4$ अवयवों को अद्वितीय सिलो $2$-उपसमूह बनाना ही होगा: अतः $n_2 = 1$। **14.** $\ker\rho$ प्रत्येक सिलो $3$-उपसमूह का प्रसामान्यन करता है, अतः $\ker \rho \subseteq N_G(P_3)$, जिसका सूचकांक $n_3 = 4$ है, अर्थात् क्रम $3$: इसलिए $\abs{\ker\rho} \in \{1, 3\}$। क्रम $3$ से $\ker\rho$ कोई *[प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal)* सिलो $3$-उपसमूह हो जाता, जो $n_3 = 4$ का खंडन करता है। अतः $\rho$ एकैकी है और उसके प्रतिबिंब $H \leq S_4$ का क्रम $12$, सूचकांक $2$ है: अतः $H \trianglelefteq S_4$ और $H$ सभी वर्ग धारण करता है ([अभ्यास 1.1](#exo-b3-groups-1)(ख))। $S_4$ के वर्गों में $e$ और सभी आठ $3$-चक्र सम्मिलित हैं (किसी $3$-चक्र के लिए $\sigma = (\sigma^2)^2$), जो $A_4$ को जनित करते हैं (वे $A_4$ में हैं, और अपने गुणनफलों के साथ मिलकर सभी बारह अवयव दे देते हैं; अथवा: $n = 4$ के जनन वाले भाग के लिए [प्रमेयिका 1.32](#lem-b3-groups-threecycles), जिसके लिए केवल $n \geq 3$ चाहिए)। अतः $A_4 \subseteq H$ और $\abs{A_4} = \abs H$: इसलिए $G \cong H = A_4$। **15.** $P_3 \trianglelefteq G$, $P_3 \cap P_2 = \{e\}$, $P_3P_2 = G$: $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ ([प्रतिज्ञप्ति 1.26](#prop-b3-groups-semidirect)), $\varphi \colon P_2 \to \operatorname{Aut}(\Z/3\Z) = \{\pm\mathrm{id}\} \cong \Z/2\Z$। - $\varphi$ तुच्छ: [प्रत्यक्ष गुणन](#prop-b3-groups-direct) $\Z/3\Z \times \Z/4\Z \cong \Z/12\Z$ और $\Z/3\Z \times (\Z/2\Z)^2 \cong \Z/6\Z \times \Z/2\Z$ । - $P_2 = \Z/4\Z$ , $\varphi$ आच्छादक: अनिवार्यतः $\varphi(1) = -\mathrm{id}$ (एकमात्र अतुच्छ चयन): एक समूह, $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes \Z/4\Z$ । - $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ , $\varphi$ आच्छादक: $\ker\varphi$ क्रम $2$ के तीन उपसमूहों में से एक है; और परिणामी तीनों $\varphi$ $(\Z/2\Z)^2$ की उन स्वसमाकारिताओं से भिन्न हैं जो इन उपसमूहों का क्रमचय करती हैं (प्रश्न 4: $\operatorname{Aut} \cong S_3$ तीनों अंतर्वलनों पर संक्रमणीय रूप से [क्रिया](#def-b3-groups-action) करता है), अतः प्रश्न 3 से वे एक ही तुल्याकारिता वर्ग देते हैं। वह $D_6$ है: $\ker\varphi$ को जनित करने वाला $t$ और $\Z/3\Z$ को जनित करने वाला $x$ चुनिए; अवयव $\rho = (x, t)$ $\rho^2 = (2x, 0)$ , $\rho^3 = (0, t)$ , $\rho^6 = e$ संतुष्ट करता है और कोई छोटी घात $e$ नहीं है: अतः क्रम $6$ ; और $u \notin \ker\varphi$ वाले $s = (0, u)$ के लिए: $s^2 = e$ तथा $s\rho s^{-1} = (-x, t) = \rho^{-1}$ । चूँकि $\langle \rho, s\rangle$ का क्रम $12$ है, $G \cong D_6$ । **16.** क्रम $2$ के अवयवों की गणना: $\Z/12\Z$ में $1$ हैं; $\Z/6\Z\times\Z/2\Z$ में $3$; $D_6$ में $7$ (छह परावर्तन और अर्ध-घूर्णन $\rho^3$); $A_4$ में $3$; $\mathrm{Dic}_3$ में $1$ (केवल $(0, 2)$: $\Z/4\Z$ में क्रम $4$ वाले $k$ के साथ किसी अवयव $(h, k)$ का क्रम $4$ होता है)। इससे युग्मों $\{\Z/12\Z, \mathrm{Dic}_3\}$ और $\{\Z/6\Z\times\Z/2\Z, A_4\}$ को छोड़कर सब पृथक हो जाते हैं: इनमें पहले सदस्य आबेली हैं और दूसरे नहीं ($\mathrm{Dic}_3$: [क्रिया](#def-b3-groups-action) अतुच्छ है; $A_4$: $(1\,2\,3)$ और $(1\,2)(3\,4)$ क्रमविनिमेय नहीं हैं)। पाँच भिन्न समूह; और भाग II से IV तक दिखा देते हैं कि सूची पूर्ण है। **17.** वर्गीकरण सारणी: | $n$ | क्रम $n$ के समूह | संख्या | | --- | --- | --- | | $1$ | $\{e\}$ | $1$ | | $2$ | $\Z/2\Z$ | $1$ | | $3$ | $\Z/3\Z$ | $1$ | | $4$ | $\Z/4\Z$, $(\Z/2\Z)^2$ | $2$ | | $5$ | $\Z/5\Z$ | $1$ | | $6$ | $\Z/6\Z$, $S_3 = D_3$ | $2$ | | $7$ | $\Z/7\Z$ | $1$ | | $8$ | $\Z/8\Z$, $\Z/4\Z{\times}\Z/2\Z$, $(\Z/2\Z)^3$, $D_4$, $Q_8$ | $5$ | | $9$ | $\Z/9\Z$, $(\Z/3\Z)^2$ | $2$ | | $10$ | $\Z/10\Z$, $D_5$ | $2$ | | $11$ | $\Z/11\Z$ | $1$ | | $12$ | $\Z/12\Z$, $\Z/6\Z{\times}\Z/2\Z$, $D_6$, $A_4$, $\mathrm{Dic}_3$ | $5$ | | $13$ | $\Z/13\Z$ | $1$ | | $14$ | $\Z/14\Z$, $D_7$ | $2$ | | $15$ | $\Z/15\Z$ | $1$ | क्रम $6, 10, 14$ $p = 3, 5, 7$ के साथ भाग II हैं; क्रम $15$ प्रश्न 7 है; क्रम $8$ प्रश्न 2 के साथ भाग III है; क्रम $12$ भाग IV है; अभाज्य क्रम लाग्राँज हैं; और क्रम $4$ तथा $9$ प्रश्न 2 हैं। **18.** $Z = Z(G)$ अतुच्छ है ([प्रमेय 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)) और $Z \neq G$ (अनाबेली), अतः $\abs Z \in \{p, p^2\}$। यदि $\abs Z = p^2$ हो, तो $G/Z$ क्रम $p$ का चक्रीय है और [अभ्यास 1.2](#exo-b3-groups-2) $G$ को आबेली बना देता है: अपवर्जित, अतः $\abs Z = p$ और $\abs{G/Z} = p^2$। प्रश्न 2 से $G/Z$ $\Z/p^2\Z$ या $(\Z/p\Z)^2$ है; और चक्रीय पुनः [अभ्यास 1.2](#exo-b3-groups-2) से अपवर्जित है: अतः $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$। चूँकि $G/Z$ आबेली है, प्रत्येक [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $Z$ में है: $D(G) \subseteq Z$; और $D(G) \neq \{e\}$ ($G$ अनाबेली), अतः $D(G) = Z$ ($\abs Z = p$ कोई स्थान नहीं छोड़ता)। [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $\abs Z = p$ को विभाजित करने वाले क्रम के केंद्रीय अवयव हैं। **19.** $k$ पर आगमन, जिसमें स्थिति $k = 1$ तुच्छ है। $yx = xyz^{-1}\cdot$ का उपयोग करते हुए — ठीक-ठीक, $z = [y, x] = yxy^{-1}x^{-1}$ से $yx = zxy$ मिलता है, अर्थात् एक $y$ को एक $x$ के पार बाईं ओर ले जाने से एक गुणनखंड $z$ उत्पन्न होता है, जो केंद्रीय है और कहीं भी रखा जा सकता है। तब $$ (xy)^{k+1} = (xy)^k\,xy = x^ky^kz^{k(k-1)/2}\,xy = x^k\,(y^kx)\,y\,z^{k(k-1)/2} = x^{k+1}y^{k+1}\,z^{k(k-1)/2 + k}, $$ क्योंकि $x$ को $y^k$ के पार ले जाने पर $z$ के $k$ गुणनखंड लगते हैं ($y^kx = z^kxy^k$, $yx = zxy$ के $k$ प्रयोगों से); और $k(k-1)/2 + k = k(k+1)/2$। **20.** $k = p$ के साथ: $(xy)^p = x^py^pz^{p(p-1)/2}$। विषम $p$ के लिए $(p-1)/2$ पूर्णांक है, अतः $z^{p(p-1)/2} = (z^p)^{(p-1)/2} = e$ (प्रश्न 18: $z$ का क्रम $p$ को विभाजित करता है): इसलिए $\theta(xy) = \theta(x)\theta(y)$, जो एक समाकारिता है। उसके मान केंद्रीय हैं: $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$ में $x$ के वर्ग का क्रम $p$ को विभाजित करता है, अतः $x^p \in Z$। यदि $\theta$ तुच्छ हो, तो प्रत्येक अवयव का क्रम $p$ को विभाजित करता है: घातांक $p$ ($1$ नहीं: $G \neq \{e\}$)। अन्यथा किसी $x^p \neq e$ के लिए, और $x$ का क्रम $p^2$ है (क्रम $p^3$ को विभाजित करता है, और $x$ का क्रम $p^3$ नहीं हो सकता: अन्यथा $G$ चक्रीय, अतः आबेली होता): घातांक $p^2$। **21.** $G/Z$ को जनित करने वाले वर्ग $\bar x, \bar y$: उनका [क्रमविनिमेयक](#def-b3-groups-derived) $z = [y, x]$ $\neq e$ है, अन्यथा $x, y, Z$ कोई आबेली $G$ जनित करता (उनके वर्ग भागफल को जनित करते हैं और $Z$ केंद्रीय है) — और $z$ $Z$ को जनित करता है ($\abs Z = p$)। प्रत्येक $g \in G$ का वर्ग अद्वितीय $0 \leq a, b < p$ के लिए $\bar x^a\bar y^b$ है, अतः अद्वितीय $0 \leq c < p$ के साथ $g = x^ay^bz^c$: $p^3$ अवयव, सभी गिने गए। ऐसे [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal) रूपों के गुणनफल केवल $yx = zxy$, $z$ केंद्रीय, और $x^p = y^p = z^p = e$ का उपयोग करके परिकलित होते हैं: अतः सारणी अनिवार्य है, इसलिए क्रम $p^3$ के किन्हीं भी दो घातांक-$p$ अनाबेली समूह तुल्याकारी हैं (जनकों का मिलान कीजिए)। हाइज़नबर्ग समूह इन संबंधों को साकार करता है: $X = I + E_{12}$, $Y = I + E_{23}$ के साथ $[Y, X] = I - E_{13}$ परिकलित होता है ($H_p$ में केंद्रीय), और किसी भी कड़ाई से ऊपरी त्रिकोणीय $N$ के लिए $N^3 = 0$ $$ (I + N)^p = I + pN + \binom p2N^2 = I \qquad\text{अभिलक्षण } p \text{ में},\ p \geq 3, $$ दे देता है, क्योंकि $p \mid p$ और विषम $p$ के लिए $p \mid \binom p2$: अतः घातांक $p$। इसलिए घातांक-$p$ समूह $H_p$ है। **22.** $Z(G) = \langle r^p\rangle$: वस्तुतः $r^p$ केंद्रीय है (प्रश्न 20 वाला तर्क: घातांक-$p$ भागफल $G/Z$ में $r$ का वर्ग $r^p \in Z$ दे देता है) और $\neq e$ है, अतः वह क्रम-$p$ [केंद्र](#ex-b3-groups-actions) को जनित करता है। कोई भी $t \notin N$ लीजिए। यदि $t^p = e$ हो, तो $s = t$ रखिए। अन्यथा $\theta(t) = t^p \in Z = \langle r^p\rangle$, कहिए $t^p = r^{pb}$; $s = tr^{-b}$ रखिए: प्रश्न 20 से ($\theta$ समाकारिता, $p$ विषम) $s^p = t^pr^{-pb} = e$, और $s \notin N$। संयुग्मन: $srs^{-1} \in N$ ($N$ [प्रसामान्य](#def-b3-groups-normal)) का क्रम $p^2$ है, अतः $p \nmid m$ के साथ $srs^{-1} = r^m$; साथ ही $s^p = e$ से $m^p \equiv m \pmod{p^2}$ अनिवार्य है — $p$ बार संयुग्मन करने पर $r$ लौट आता है, अतः $m^p \equiv 1 \pmod {p^2}$, और $m \equiv m^p \equiv 1 \pmod p$ (फेर्मा): इसलिए $m = 1 + ap$। अतुच्छता ($G$ अनाबेली) से $a \not\equiv 0$ मिलता है; और $s$ के स्थान पर $aa' \equiv 1 \pmod p$ वाली घात $s^{a'}$ रखने से [क्रिया](#def-b3-groups-action) $r \mapsto r^{1+p}$ बन जाती है। इससे $G$ $\varphi(1)\colon r \mapsto r^{1+p}$ के साथ $\Z/p^2\Z\rtimes_\varphi\Z/p\Z$ के रूप में प्रस्तुत हो जाता है; और प्रश्न 3 से एक ही प्रतिबिंब वाली कोई भी दो अतुच्छ समाकारिताएँ $\Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ — और वह प्रतिबिंब चक्रीय $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ का क्रम $p$ वाला *वही* अद्वितीय उपसमूह है — तुल्याकारी [अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन](#def-b3-groups-semidirect) देती हैं: अर्थात् अद्वितीयता। **23.** आबेली: $\Z/p^3\Z$, $\Z/p^2\Z\times\Z/p\Z$, $(\Z/p\Z)^3$ (प्रश्न 2 का तर्क, एक घात ऊपर: महत्तम क्रम से वर्गीकरण)। अनाबेली: ठीक $H_p$ (घातांक $p$, प्रश्न 21) और $\Z/p^2\Z\rtimes\Z/p\Z$ (घातांक $p^2$, प्रश्न 22), जो अपने घातांकों से पृथक होते हैं। कुल: पाँच। $p = 2$ के लिए प्रश्न 20 का समाकारिता तर्क ढह जाता है: $z^{p(p-1)/2} = z^{1} = z \neq e$, वर्ग करना समाकारिता नहीं है, और वस्तुतः क्रम $8$ के दोनों अनाबेली समूहों का घातांक $4$ है — वह निश्चर जो $D_4$ को $Q_8$ से पृथक करता है वह क्रम $2$ के अवयवों की संख्या है (पाँच बनाम एक), घातांक नहीं। विषम-$p$ की दुनिया, इस बार, अभिलक्षण $2$ से अधिक सुव्यवस्थित है। **24.** $H_p$ में प्रत्येक अवयव $\neq e$ का क्रम $p$ है (घातांक $p$, प्रश्न 21): अतः क्रम $p$ के $p^3 - 1$ अवयव। $M_p$ में प्रतिचित्रण $\theta \colon x \mapsto x^p$ कोई समाकारिता $M_p \to Z(M_p) = \langle r^p\rangle$ है (प्रश्न 20, $p$ विषम); $\theta(r) = r^p \neq e$, अतः प्रतिबिंब समूचा क्रम-$p$ [केंद्र](#ex-b3-groups-actions) है और $\ker\theta = \{x : x^p = e\}$ का क्रम $p^3/p = p^2$ है। क्रम $p$ के अवयव इस अष्टि के अतत्समक अवयव हैं: उनकी संख्या $p^2 - 1$। $p = 3$ के लिए: $H_3$ में क्रम $3$ के $27 - 1 = 26$ अवयव हैं, और $M_3 = \Z/9\Z \rtimes \Z/3\Z$ में $9 - 1 = 8$। $p = 2$ के लिए तर्क आरंभ में ही मर जाता है: क्रम $8$ के किसी अनाबेली समूह पर वर्ग करना समाकारिता नहीं है (प्रश्न 23), और वस्तुतः समुच्चय $\{x : x^2 = e\}$ में $D_4$ के $6$ अवयव हैं — जो $D_4$ के किसी उपसमूह का क्रम नहीं है। जो गणना इस युग्म को पृथक करती है वह क्रम $2$ के अवयवों की संख्या है: $D_4$ में पाँच, $Q_8$ में एक (प्रश्न 11)। **25.** यदि $p^2 \mid n$ हो, तो समूह $\Z/p\Z \times \Z/(n/p)\Z$ का क्रम $n$ है और वह चक्रीय नहीं: प्रत्येक अवयव का क्रम $\operatorname{lcm}(p, n/p) = n/p < n$ को विभाजित करता है, क्योंकि $p \mid n/p$। यदि $p \mid q - 1$ के साथ $n$ को विभाजित करने वाले अभाज्य $p < q$ हों, तो प्रश्न 7 क्रम $pq$ का कोई अनाबेली समूह $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ देता है; तब $(\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z) \times \Z/(n/pq)\Z$ का क्रम $n$ है और वह अनाबेली, अतः चक्रीय नहीं। अब मान लीजिए $\gcd(n, \varphi(n)) > 1$ और दोनों को विभाजित करने वाला कोई अभाज्य $p$ चुनिए। $\varphi(n) = \prod_{q^a \parallel n} q^{a-1}(q - 1)$ लिखने पर विभाज्यता $p \mid \varphi(n)$ का अर्थ है या तो $p^2 \mid n$ ($q = p$, $a \geq 2$ के साथ गुणनखंड $q^{a-1}$) या किसी अभाज्य $q \mid n$, $q \neq p$ के लिए $p \mid q - 1$: दोनों स्थितियों में ऊपर के अनुसार $n$ चक्रीय नहीं है। प्रतिधनात्मकता से, $n$ का चक्रीय होना $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ अनिवार्य कर देता है। $n \leq 15$ के लिए जाँच: $n = 1, \dots, 15$ के लिए मान $\varphi(n)$ ये हैं: $1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8$, और $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ ठीक $n = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15$ के लिए — अर्थात् ठीक वही प्रविष्टियाँ जो प्रश्न 17 की सारणी में एक ही समूह के साथ हैं। शेष क्रम ऊपर के अनुसार अचक्रीय सिद्ध होते हैं: $4, 8, 9, 12$ किसी वर्ग गुणनखंड से, और $6, 10, 12, 14$ $2 \mid q - 1$ से। (विलोम — $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ से $n$ चक्रीय — भी सत्य है; प्रश्न 7 उसकी पहली अतुच्छ स्थिति, $p \nmid q - 1$ के साथ $n = pq$, सिद्ध करता है।)