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title: "लेबेग समाकल"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral
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# अध्याय 10 — लेबेग समाकल

रीमान का समाकल *प्रांत* को छोटे अंतरालों में काटता है; लेबेग का *परिसर* को काटता है: $f$ का समाकलन करने के लिए समुच्चयों $\{f > t\}$ का [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) लीजिए। यह परिवर्तन देखने में निर्दोष लगता है और है क्रांतिकारी। सीमाएँ और समाकल, जो रीमान सिद्धांत में सदा लड़ते रहते थे (एकसमान अभिसरण चाहिए!), तीन अभिसरण प्रमेयों से मेल कर लेते हैं — एकदिष्ट अभिसरण, फतू, प्रभावी अभिसरण — जिनकी परिकल्पनाएँ लगभग लज्जाजनक रूप से दुर्बल हैं। यह अध्याय किसी भी [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $(X, \mathcal A,
\mu)$ पर समाकल की रचना करता है, तीनों प्रमेय सिद्ध करता है, रीमान के समाकल के साथ ठीक-ठीक संबंध तय करता है (कोई परिबद्ध फलन रीमान-समाकलनीय है तभी और केवल तभी जब वह [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हो), और प्राचल-निर्भर समाकलों के अवकलन को औद्योगिक रूप दे देता है — वही तकनीक जिससे सप्ताहांत समस्या $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ और $\int_\R \eu^{-x^2}\dd x$ परिकलित करती है।

## 10.1 मापनीय फलन

**परिभाषा 10.1.**

मान लीजिए $(X, \mathcal A)$, $(Y, \mathcal B)$ मापनीय समष्टियाँ हैं। $f \colon X \to Y$ *मापनीय* कहलाता है यदि प्रत्येक $B \in
\mathcal B$ के लिए $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ हो। वास्तविक (या $[-\infty,+\infty]$-मान वाले) फलनों के लिए $Y = \R$ अपना बोरेल $\sigma$-बीजगणित धारण करता है, और सभी $t \in \R$ के लिए $f^{-1}(\intoo t{+\infty}) = \{f > t\} \in
\mathcal A$ जाँच लेना पर्याप्त है: अच्छे समुच्चय $\{B :
f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ जनक किरणों को अंतर्विष्ट करने वाला $\sigma$-बीजगणित बनाते हैं (पूर्वप्रतिबिंब समुच्चय संक्रियाओं के साथ क्रमविनिमेय हैं) ([परिभाषा 9.2](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-borel), [विधि 9.17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#met-b3-measure-goodsets))।

**प्रतिज्ञप्ति 10.2.**

(क) [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) प्रतिचित्रणों के संयोजन [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) होते हैं; और [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) बोरेल-मापनीय होते हैं। (ख) यदि $f, g \colon X \to \R$ [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) हों, तो $f + g$, $fg$, $\max(f,g)$, $\abs f$, $\lambda f$ भी। (ग) यदि $(f_n)$ $[-\infty, +\infty]$ में मान लेने वाले [मापनीय फलन](#def-b3-lebesgue-measurable) हों, तो $\sup_nf_n$, $\inf_nf_n$, $\limsup f_n$, $\liminf f_n$ [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) हैं; और यदि बिंदुशः $f_n \to f$ हो, तो $f$ [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) है।

**उपपत्ति.** (क) $(g\circ f)^{-1}(B) = f^{-1}(g^{-1}(B))$; और [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) जनक विवृत समुच्चयों के माध्यम से [मापनीयता](#def-b3-lebesgue-measurable) दे देता है ([समस्या 9.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#pb-b3-measure-1), प्रश्न 10, व्यापक रूप में)। (ख) $(f, g) \colon X \to \R^2$ $\R^2$ के बोरेल $\sigma$-बीजगणित के लिए [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) है — विवृत बक्सों पर जाँचिए, जो जनक हैं ($\R^2$ के [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) परिमेय बक्सों के गणनीय सम्मिलन हैं): $(f,g)^{-1}(U\times V) = f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ — और $+, \times, \max$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\R^2 \to \R$ हैं: अब संयोजन कीजिए। (ग) $\{\sup f_n > t\} = \bigcup_n\{f_n > t\}$; $\inf = -\sup(-)$; $\limsup = \inf_N\sup_{n \geq N}$; और कोई बिंदुशः सीमा अपना ही $\limsup$ होती है। ∎

**परिभाषा 10.3.**

*सरल फलन* परिमित संख्या के मान लेने वाला [मापनीय फलन](#def-b3-lebesgue-measurable) है: $s = \sum_{i=1}^n
c_i\,\mathbf 1_{A_i}$, जहाँ $A_i \in \mathcal A$ असंयुक्त हैं और $c_i \geq
0$ (अऋणात्मक सिद्धांत के लिए)। उसका समाकल है

$$
\int s\,\dd\mu = \sum_i c_i\,\mu(A_i) \in [0, +\infty]
$$

(परिपाटी $0\cdot\infty = 0$); और यह मान [निरूपण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/5-representations-of-finite-groups#def-b3-representations-rep) पर निर्भर नहीं करता (दो विभाजनों को परिष्कृत कीजिए)।

**प्रमेय 10.4 (सरल फलनों से आसन्नन).**

प्रत्येक [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $f \colon X \to [0, +\infty]$ सरल फलनों के किसी *बढ़ते* अनुक्रम की बिंदुशः सीमा है:

$$
s_n = \sum_{k=1}^{n2^n} \frac{k-1}{2^n}\,
\mathbf 1_{\{\frac{k-1}{2^n} \leq f < \frac k{2^n}\}}
+ n\,\mathbf 1_{\{f \geq n\}} \nearrow f .
$$

**उपपत्ति.** प्रत्येक $s_n$ सरल है (समुच्चय बोरेल समुच्चयों के पूर्वप्रतिबिंब हैं)। एकदिष्टता: $n$ से $n+1$ पर जाने से प्रत्येक द्विआधारी स्तर दो में बँट जाता है और सौंपा गया मान कभी घटता नहीं ($\frac{k-1}{2^n} \leq f(x) < \frac k{2^n}$ वाले किसी बिंदु को या तो $\frac{2k-2}{2^{n+1}}$ मिलता है या $\frac{2k-1}{2^{n+1}}$, और दोनों $\geq
\frac{k-1}{2^n}$ हैं; ऊपरी सीमा $n$ भी उठती है)। अभिसरण: यदि $f(x) < \infty$ हो, तो $n > f(x)$ के लिए हमें $f(x) - s_n(x) \leq
2^{-n}$ मिलता है; और यदि $f(x) = \infty$ हो, तो $s_n(x) = n \to \infty$। ∎

## 10.2 समाकल और अभिसरण प्रमेय

**परिभाषा 10.5.**

[मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $f \geq 0$ के लिए:

$$
\int f \,\dd\mu = \sup\Bigl\{\int s\,\dd\mu : s \text{ सरल},
\ 0 \leq s \leq f\Bigr\} \in [0, +\infty].
$$

रचना से यह $f$ में एकदिष्ट है, और सरल स्थिति का विस्तार है (सरल $f$ के लिए उच्चतम $f$ पर प्राप्त हो जाता है: उभयनिष्ठ परिष्करणों के माध्यम से सरल समाकलों की तुलना)।

**प्रमेय 10.6 (एकदिष्ट अभिसरण, बेप्पो लेवी).**

यदि बिंदुशः $0 \leq f_n \nearrow f$ हो ([मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable)), तो

$$
\int f_n\,\dd\mu \nearrow \int f\,\dd\mu .
$$

**उपपत्ति.** $f$ [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) है ([प्रतिज्ञप्ति 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)(ग)) और $\int f_n$ बढ़कर किसी $L \leq \int f$ तक जाता है (एकदिष्टता)। विलोमतः, कोई सरल $s = \sum c_i\mathbf 1_{A_i} \leq f$ और $\theta \in (0,1)$ स्थिर कीजिए; समुच्चय $E_n = \{f_n \geq \theta s\}$ [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) हैं और बढ़कर $X$ तक जाते हैं (जहाँ $s(x) > 0$: $f(x)
\geq s(x) > \theta s(x)$, अतः अंततः $f_n(x) \geq \theta
s(x)$; और जहाँ $s(x) = 0$: तुच्छ रूप से)। तब नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ([प्रतिज्ञप्ति 9.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#prop-b3-measure-basics)(ग)) से

$$
\int f_n \geq \int_{E_n}\theta s\,\dd\mu
= \theta\sum_i c_i\,\mu(A_i \cap E_n)
\xrightarrow[n\to\infty]{} \theta\sum_ic_i\,\mu(A_i)
= \theta\int s
$$

अतः सभी $\theta < 1$ और सभी सरल $s
\leq f$ के लिए $L \geq \theta\int s$: इसलिए $L \geq \int f$। ∎

**उपप्रमेय 10.7.**

[मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $f, g \geq 0$ और $c \geq 0$ के लिए: $\int(f + g) =
\int f + \int g$ और $\int cf = c\int f$; और अऋणात्मक [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) फलनों की किसी श्रेणी के लिए $\int\sum_nf_n =
\sum_n\int f_n$।

**उपपत्ति.** सरल फलनों के लिए योज्यता किसी उभयनिष्ठ परिष्करण पर एक परिकलन है। व्यापक स्थिति में $s_n \nearrow f$, $t_n \nearrow g$ लीजिए ([प्रमेय 10.4](#thm-b3-lebesgue-approximation)): $s_n + t_n \nearrow f +
g$, और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय योज्यता को सीमा तक ले जाती है। श्रेणी वाला कथन आंशिक योगों पर लगाई गई एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय है। ∎

**प्रमेय 10.8 (फतू की प्रमेयिका).**

[मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $f_n \geq 0$ के लिए:

$$
\int \liminf_n f_n \,\dd\mu \;\leq\; \liminf_n \int
f_n\,\dd\mu .
$$

**उपपत्ति.** मान लीजिए $g_N = \inf_{n\geq N}f_n$: यह [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) है, $0 \leq g_N \nearrow
\liminf f_n$, और प्रत्येक $n \geq N$ के लिए $g_N \leq f_n$, अतः $\int g_N \leq \inf_{n \geq N}\int f_n$। बाईं ओर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय लगाइए: $\int\liminf f_n = \lim_N\int g_N \leq
\lim_N\inf_{n\geq N}\int f_n = \liminf\int f_n$। ∎

**परिभाषा 10.9.**

कोई [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $f \colon X \to \R$ (या $\C$) *समाकलनीय* कहलाता है यदि $\int\abs
f\,\dd\mu < \infty$ हो; तब $\int f = \int f^+ - \int f^-$ (धनात्मक और ऋणात्मक भाग; सम्मिश्र स्थिति में वास्तविक और काल्पनिक भाग)। समाकल समाकलनीय फलनों पर रैखिक है (विघटित कीजिए और धनात्मक भागों को पुनः जोड़िए; सम्मिश्र स्थिति वास्तविक स्थिति तक सिमट जाती है) और $\abs{\int f} \leq
\int\abs f$ को संतुष्ट करता है (वास्तविक स्थिति: $\pm\int f = \int(\pm f) \leq
\int\abs f$; सम्मिश्र स्थिति: समाकल को वास्तविक बनाने के लिए किसी इकाई-मापांक अचर से गुणा कीजिए)। कोई गुण *लगभग सर्वत्र* लागू होता है यदि वह केवल किसी $\mu$-शून्य समुच्चय पर विफल हो; किसी शून्य समुच्चय पर $f$ को बदलने से कोई समाकल नहीं बदलता (अंतर $\infty\cdot\mathbf
1_N$ से प्रभावित है, जिसका समाकल $0$ है)।

**प्रमेय 10.10 (प्रभावी अभिसरण).**

मान लीजिए [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f_n \to f$, और किसी स्थिर *[समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1)* $g$ के लिए [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $\abs{f_n} \leq g$। तब $f$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है और

$$
\int f_n\,\dd\mu \longrightarrow \int f\,\dd\mu,
\qquad\text{वस्तुतः}\quad \int\abs{f_n - f}\,\dd\mu \to 0 .
$$

**उपपत्ति.** परिकल्पनाओं को बिंदुशः बनाने के लिए एक शून्य समुच्चय छोड़ दीजिए। $\abs f
\leq g$: अतः $f$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है। फलन $h_n = 2g - \abs{f_n
- f} \geq 0$ $\liminf h_n = 2g$ को संतुष्ट करते हैं; फतू से

$$
\int 2g \leq \liminf\int\bigl(2g - \abs{f_n - f}\bigr)
= \int 2g - \limsup\int\abs{f_n - f},
$$

अतः $\limsup\int\abs{f_n - f} \leq 0$ (घटाव वैध है: $\int 2g < \infty$)। अंततः $\abs{\int f_n - \int f} \leq
\int\abs{f_n - f} \to 0$। ∎

**विधि 10.11.**

$\lim_n\int f_n$ का सामना होने पर क्रम से आज़माइए — (1) क्या अनुक्रम एकदिष्ट है (अथवा अऋणात्मक पदों की श्रेणी)? तब एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय, [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) की कोई आवश्यकता नहीं। (2) क्या कोई एक ही [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन $g \geq \abs{f_n}$ है, जो मोटे परिबंधों से मिल जाए (आकलनों को “$\sup_n$” कर दीजिए)? तब प्रभावी अभिसरण प्रमेय। (3) न प्रभुत्व, न एकदिष्टता? तब भी फतू एक ओर को परिबद्ध कर देती है, और समता वास्तव में विफल हो सकती है: भागती हुई उभार $f_n = n\mathbf
1_{\intoo0{1/n}}$ के लिए $\int f_n = 1$ है पर [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f_n \to 0$। प्रभुत्व ठीक वही है जो द्रव्यमान को अनंत की ओर — ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज — भागने से रोकता है।

## 10.3 रीमान बनाम लेबेग

**प्रमेय 10.12 (लेबेग की कसौटी).**

मान लीजिए $f \colon \intcc ab \to \R$ *परिबद्ध* है। तब $f$ रीमान-समाकलनीय है तभी और केवल तभी जब $f$ $\lambda$-लगभग सर्वत्र [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हो; और उस स्थिति में $f$ लेबेग-समाकलनीय है और दोनों समाकल एक ही होते हैं।

**उपपत्ति.** किसी उपविभाजन $\sigma = (a = x_0 < \dots < x_N = b)$ के लिए मान लीजिए $L_\sigma$ और $U_\sigma$ वे सोपान फलन हैं जो प्रत्येक $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ पर क्रमशः $m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]}f$ और $M_i = \sup$ के बराबर हैं; दारबू योग उन्हीं के समाकल हैं (सोपान फलनों पर रीमान और लेबेग सहमत हैं, और दोनों $\sum
m_i\Delta x_i$ देते हैं)। उपविभाजनों का ऐसा अनुक्रम $\sigma_n$ लीजिए जिसमें प्रत्येक पिछले का परिष्करण हो, जिनकी सूक्ष्मता $\to 0$ हो, और जिनके दारबू योग $f$ के अधो और उच्च दारबू समाकलों पर अभिसरित हों। परिष्करण $L_{\sigma_n}$ को अनवरोही और $U_{\sigma_n}$ को अनवर्धी बना देते हैं, समस्त विभाजन बिंदुओं के गणनीय समुच्चय $D$ के बाहर बिंदुशः; सीमाओं को $\ell$ और $u$ कहिए (जो [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) हैं, [प्रतिज्ञप्ति 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability))। $x \notin
D$ के लिए, $x$ को अंतर्विष्ट करने वाले विवृत $\sigma_n$-अंतराल के लिए $I_n(x)$ लिखने पर: $\ell(x) = \sup_n\inf_{I_n(x)}f$ और $u(x) =
\inf_n\sup_{I_n(x)}f$; और चूँकि सूक्ष्मताएँ $0$ तक सिकुड़ती हैं, ये $x$ पर $f$ के अधो और उच्च *आवरक* हैं — $u(x) - \ell(x)$ $x$ पर $f$ का दोलन है — अतः *$\ell(x) = u(x)$ तभी और केवल तभी जब $f$ $x$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हो*। एकदिष्ट/प्रभावी अभिसरण प्रमेय से (परिबद्ध, परिमित अंतराल):

$$
\int_{\intcc ab}\ell\,\dd\lambda = \lim_n\int L_{\sigma_n}
= \underline{\int}f,
\qquad
\int_{\intcc ab}u\,\dd\lambda = \overline{\int}f .
$$

$f$ रीमान-समाकलनीय $\iff$ $\underline\int f =
\overline\int f$ $\iff$ $\int(u - \ell) = 0$ $\iff$ [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $u = \ell$ ($u - \ell \geq 0$; [अभ्यास 10.5](#exo-b3-lebesgue-5)) $\iff$ $f$ [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)। उस स्थिति में [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $\ell =
u$ के साथ $\ell \leq f \leq u$: अतः $f$ [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $\ell$ के बराबर है, और इसलिए $\int f\,\dd\lambda = \int\ell\,\dd\lambda = \underline\int f =
\int_a^bf$ के साथ लेबेग-मापनीय है ($\lambda$ की [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete))। ∎

**उदाहरण 10.13.**

$\mathbf 1_\Q$ कहीं भी [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) नहीं है: अतः रीमान-समाकलनीय नहीं — पर लेबेग की दृष्टि में तुच्छ: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda =
\lambda(\Q) = 0$। टोमे का फलन (परिमेय $\frac pq$ पर $\frac1q$, अन्यत्र $0$) ठीक अपरिमेयों पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः रीमान-समाकलनीय, और उसका समाकल $0$ है। और *अनुचित* रीमान समाकल एक भिन्न धारणा हैं: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ $\int_0^A$ की सीमा के रूप में अभिसरित होता है (सप्ताहांत समस्या उसे $= \frac\pi2$ परिकलित करती है), परंतु $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: निरपेक्ष समाकल हरात्मक श्रेणी की तरह अपसरित होता है ([अभ्यास 10.6](#exo-b3-lebesgue-6))। लेबेग का सिद्धांत सप्रतिबंध अभिसरण छोड़कर दृढ़ सीमा प्रमेय ले लेता है।

## 10.4 प्राचल वाले समाकल

आगे सर्वत्र $(X, \mathcal A, \mu)$ एक [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है, $T$ एक मापीय समष्टि (प्राचल), और $f \colon T \times X \to \C$ ऐसा है कि प्रत्येक $t$ के लिए $f(t, \cdot)$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है; $F(t) = \int_X
f(t, x)\,\dd\mu(x)$ रखिए।

**प्रमेय 10.14 (सांतत्य).**

मान लीजिए: लगभग प्रत्येक $x$ के लिए $t \mapsto f(t,x)$ $t_0$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और कोई ऐसा [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) $g$ है कि $t_0$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) के सभी $t$ और लगभग प्रत्येक $x$ के लिए $\abs{f(t,x)} \leq
g(x)$ हो। तब $F$ $t_0$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है।

**उपपत्ति.** किसी भी अनुक्रम $t_n \to t_0$ के लिए: [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f(t_n, \cdot) \to f(t_0,
\cdot)$, और $g$ से प्रभावित: अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय $F(t_n) \to F(t_0)$ दे देती है; और मापीय समष्टियों में अनुक्रमीय [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) पर्याप्त है ([टिप्पणी 6.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#rem-b3-topology-sequences))। ∎

**प्रमेय 10.15 (समाकल के भीतर अवकलन).**

मान लीजिए $T$ $\R$ का कोई विवृत अंतराल है। मान लीजिए: लगभग प्रत्येक $x$ के लिए $t \mapsto f(t,x)$ $T$ पर अवकलनीय है, और

$$
\Bigl|\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\Bigr| \leq g(x)
\quad \text{सभी } t \in T \text{ के लिए},\ \text{लगभग प्रत्येक } x,
$$

जहाँ $g$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है। तब $F$ $T$ पर अवकलनीय है और $F'(t)
= \int_X \frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\,\dd\mu(x)$।

**उपपत्ति.** $t$ और $h_n \to 0$ स्थिर कीजिए: अंतर भागफल

$$
\varphi_n(x) = \frac{f(t + h_n, x) - f(t, x)}{h_n}
\longrightarrow \frac{\partial f}{\partial t}(t,x)
\quad\text{लगभग सर्वत्र},
$$

और माध्य मान असमिका $\abs{\varphi_n(x)} \leq
\sup_{s}\abs{\partial_tf(s,x)} \leq g(x)$ को परिबद्ध कर देती है: अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय लागू होती है, और $\frac{F(t + h_n) - F(t)}{h_n} = \int\varphi_n \to
\int\partial_t f(t, \cdot)$। ∎

**उदाहरण 10.16 (गामा फलन).**

$t > 0$ के लिए मान लीजिए

$$
\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1}\eu^{-x}\,\dd x .
$$

यह समाकल अभिसरित होता है: $0$ के निकट $x^{t-1}$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है ($t >
0$); और अनंत पर $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$। खंडशः समाकलन ($[\varepsilon, A]$ पर, फिर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से सीमाएँ) कार्यकीय समीकरण $\Gamma(t + 1) =
t\,\Gamma(t)$ दे देता है, जिससे $\Gamma(n+1) = n!$: अर्थात् क्रमगुणित का अंतर्वेशन। प्रत्येक $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$ पर $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln
x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) $\abs{\ln x}(x^{a-1} +
x^{b-1})\eu^{-x}$ से प्रभावित है: अतः $\Gamma$ $\mathcal C^1$ है, और आगमन से $\mathcal C^\infty$, जिसमें $\Gamma^{(k)}(t) =
\int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$। मान $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ छद्म वेश में गाउसीय समाकल है ([समस्या 10.1](#pb-b3-lebesgue-1))।

![समाकल्य xx: अनुचित समाकल ∈t_0∈fty मेहराबों के बीच एकांतर निरसन से अभिसरित होता है, पर मेहराबों के क्षेत्रफल | | 2π k जैसा व्यवहार करते हैं — एक हरात्मक श्रेणी: xx ∉ L1। लेबेग समाकलनीयता निरपेक्ष समाकलनीयता ही है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-lebesgue/fig-8a5288e0e9f0.svg)

*समाकल्य $\frac{\sin x}x$: अनुचित समाकल $\int_0^\infty$ मेहराबों के बीच एकांतर निरसन से अभिसरित होता है, पर मेहराबों के क्षेत्रफल $\abs{\cdot}$ $\frac2{\pi k}$ जैसा व्यवहार करते हैं — एक हरात्मक श्रेणी: $\frac{\sin x}x
\notin L^1$। लेबेग [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) निरपेक्ष [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) ही है।*

## 10.5 अभ्यास

**अभ्यास 10.1 ★.**

(क) दर्शाइए कि कोई एकदिष्ट फलन $\R \to \R$ बोरेल-मापनीय होता है, और यह कि (सर्वत्र अवकलनीय किसी फलन का) अवकलज बोरेल-मापनीय होता है। (ख) दर्शाइए कि $f \colon X \to \R$ [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक *परिमेय* $q$ के लिए $\{f > q\}
\in \mathcal A$ हो।

**हल — अभ्यास 10.1.**

(क) यदि $f$ अनवरोही हो, तो $\{f > t\}$ $\varnothing$, $\R$, अथवा कोई किरण $\intoo a{+\infty}$ / $\intco a{+\infty}$ होता है: प्रत्येक दशा में बोरेल; और अनवर्धमान के लिए भी वैसे ही। कोई अवकलज: $f'(x) =
\lim_n n\bigl(f(x + \frac1n) - f(x)\bigr)$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) (अतः [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable)) फलनों की कोई बिंदुशः सीमा है: [प्रतिज्ञप्ति 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)(ग)।

(ख) $\{f > t\} = \bigcup_{q \in \Q,\, q > t}\{f > q\}$: यदि परिमेय स्तर [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) हों, तो सभी स्तर [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) हैं, और किरणें $\mathcal B(\R)$ को जनित करती हैं।

**अभ्यास 10.2 ★.**

पूरे औचित्य के साथ परिकलित कीजिए:

$$
\lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}
\frac{\cos x}{(1 + x/n)^{n}}\,\dd x,
\qquad
\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{n\,x^{n-1}}{1 + x}\,\dd x .
$$

*(दूसरे के लिए: प्रभुत्व से पहले $u = x^n$ प्रतिस्थापित कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 10.2.**

पहला: $x \geq 0$ के लिए $(1 + x/n)^n \nearrow \eu^x$, अतः समाकल्य बिंदुशः $\eu^{-x}\cos x$ की ओर जाता है; और $n \geq 2$ के लिए $(1 + x/n)^n \geq (1 + x/2)^2$, जिससे [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन $(1 + x/2)^{-2}$ मिलता है। प्रभावी अभिसरण प्रमेय:

$$
\lim_n\int_0^\infty\frac{\cos x}{(1 + x/n)^n}\dd x
= \int_0^\infty \eu^{-x}\cos x\,\dd x
= \operatorname{Re}\int_0^\infty\eu^{-(1 - \iu)x}\dd x
= \operatorname{Re}\frac{1}{1 - \iu} = \frac12 .
$$

दूसरा: $u = x^n$ प्रतिस्थापित कीजिए ($\intoo01$ का कोई $\mathcal C^1$ एकैकी आच्छादन):

$$
\int_0^1\frac{nx^{n-1}}{1 + x}\dd x = \int_0^1\frac{\dd u}{1 +
u^{1/n}} \longrightarrow \int_0^1\frac{\dd u}{2} = \frac12,
$$

प्रभावी अभिसरण प्रमेय से: $u \in \intoo01$ के लिए $u^{1/n} \to 1$, और समाकल्य किसी परिमित [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) पर $1$ से परिबद्ध है।

**अभ्यास 10.3 ★★.**

(क) फतू की प्रमेयिका में कड़ी असमिका का उदाहरण दीजिए। (ख) $\int f_n = 1$ के साथ बिंदुशः $f_n \to 0$ के तीन उदाहरण दीजिए: ऊँचाई में पलायन, चौड़ाई में पलायन, और अनंत की ओर पलायन। प्रत्येक प्रभावी अभिसरण प्रमेय की कौन-सी एक परिकल्पना का उल्लंघन करता है? (ग) दर्शाइए कि फतू की प्रमेयिका में किसी भी ओर $\liminf$ के स्थान पर $\limsup$ नहीं रखा जा सकता।

**हल — अभ्यास 10.3.**

(क) $f_n = n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$: बिंदुशः $\liminf f_n = 0$, $\int f_n = 1$: $0 < 1$।

(ख) ऊँचाई: $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$; चौड़ाई: $\frac1n\mathbf
1_{\intoo0n}$; स्थानांतरण: $\mathbf 1_{\intoo n{n+1}}$। सभी $\int = 1$ के साथ बिंदुशः $0$ की ओर जाते हैं। प्रत्येक दशा में *प्रभुत्व* परिकल्पना विफल हो जाती है: $\sup_nf_n$ $0$ के निकट $\approx 1/x$ है, $\approx$ कोई असमाकलनीय अचर परिच्छेद है, और $\mathbf 1_{\intoo1\infty}$-जैसा — कभी [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) नहीं।

(ग) स्थानांतरित होते उभार के लिए “$\int\limsup f_n \geq \limsup\int f_n$” विफल हो जाता है: बायाँ पक्ष $0$, दायाँ पक्ष $1$। “$\limsup\int \leq \int\limsup$” वही कथन है। और उल्टे $\leq$ के साथ $\limsup$ के लिए फतू (“उल्टा फतू”) को कोई प्रभावी फलन चाहिए — और वही उभार प्रतिउदाहरण है।

**अभ्यास 10.4 ★★.**

(क) दर्शाइए $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x}{\eu^x -
1}\,\dd x = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ *($\frac1{\eu^x - 1}$ का गुणोत्तर श्रेणी में प्रसार कीजिए और पदशः समाकलन कीजिए — कौन-सी प्रमेय इसकी अनुमति देती है?)*। (ख) (द्वितीय वर्ष का स्वप्न) दर्शाइए $\displaystyle\int_0^1 x^{-x}\,\dd x = \sum_{n\geq1}n^{-n}$। *($x^{-x} = \eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln
x)^k}{k!}$ लिखिए और $x = \eu^{-u/(k+1)}$ प्रतिस्थापित करके $\Gamma$ पहचानते हुए $\int_0^1(-x\ln x)^k\dd x$ परिकलित कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 10.4.**

(क) $x > 0$ के लिए: $\frac1{\eu^x - 1} = \frac{\eu^{-x}}{1 -
\eu^{-x}} = \sum_{n\geq1}\eu^{-nx}$, अतः $\frac{x}{\eu^x - 1} =
\sum_{n\geq1}x\eu^{-nx}$, जो ऋणेतर [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) फलनों की कोई श्रेणी है: [उपप्रमेय 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) पदशः समाकलन की अनुमति देती है:

$$
\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{\eu^x - 1}
= \sum_{n\geq1}\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x
= \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6
$$

($\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x = n^{-2}$ खंडशः; बासेल दूसरे वर्ष के खंड से, अथवा आगे आने वाला [अभ्यास 13.5](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#exo-b3-hilbert-5))।

(ख) $\intoo01$ पर $-x\ln x \geq 0$, अतः $x^{-x} =
\eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln x)^k}{k!}$ ऋणेतर पदों की कोई श्रेणी है: फिर से अदला-बदली कीजिए। $x =
\eu^{-u/(k+1)}$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$
\int_0^1(-x\ln x)^k\dd x
= \int_0^\infty\Bigl(\frac{u}{k+1}\Bigr)^{k}
\eu^{-\frac{ku}{k+1}}\;\frac{\eu^{-\frac u{k+1}}}{k+1}\,\dd u
= \frac{1}{(k+1)^{k+1}}\int_0^\infty u^k\eu^{-u}\dd u
= \frac{k!}{(k+1)^{k+1}} .
$$

अतः $\int_0^1x^{-x}\dd x = \sum_{k\geq0}\frac{1}{(k+1)^{k+1}}
= \sum_{n\geq1}n^{-n}$: द्वितीय वर्ष का स्वप्न, कठोरता के साथ।

**अभ्यास 10.5 ★★.**

(क) दर्शाइए कि $\int f\,\dd\mu = 0$ वाला [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $f \geq 0$ [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f = 0$ को संतुष्ट करता है। *($\{f \geq 1/n\}$ पर विचार कीजिए और मार्कोव असमिका: $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$ — उसे सिद्ध कीजिए।)* (ख) दर्शाइए कि कोई [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) $f$ [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) परिमित होता है। (ग) दर्शाइए कि यदि *प्रत्येक* [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $A$ के लिए $\int_A f\,\dd\mu = 0$ हो, तो [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f = 0$।

**हल — अभ्यास 10.5.**

(क) मार्कोव: $a\,\mathbf 1_{\{f \geq a\}} \leq f$, समाकलन कीजिए: $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$। यदि $\int f = 0$ हो: तो प्रत्येक $n$ के लिए $\mu(\{f \geq \frac1n\}) = 0$, और $\{f > 0\} =
\bigcup_n\{f \geq \frac1n\}$ अकिंचन है।

(ख) $\mu(\{\abs f = \infty\}) \leq \mu(\{\abs f \geq n\}) \leq
\frac1n\int\abs f \to 0$।

(ग) $A = \{f > 0\}$ लीजिए: $\int f^+\dd\mu = \int_Af\,\dd\mu =
0$, अतः (क) से [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f^+ = 0$; और इसी प्रकार [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f^- = 0$।

**अभ्यास 10.6 ★★.**

(क) इनकी रीमान [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) तय करने के लिए [प्रमेय 10.12](#thm-b3-lebesgue-riemann) लगाइए: $\mathbf 1_\Q$; टोमे का फलन; और किसी मोटे कैंटर समुच्चय $K$ ([अभ्यास 9.5](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#exo-b3-measure-5)) के लिए $\mathbf
1_K$। (ख) दर्शाइए कि $\int_1^{+\infty}\abs{\frac{\sin x}x}\,\dd x =
+\infty$, जबकि $\lim_{A\to\infty}\int_1^A\frac{\sin
x}x\,\dd x$ विद्यमान है *(खंडशः समाकलन कीजिए)*: अर्थात् [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) के बिना अनुचित अभिसरण।

**हल — अभ्यास 10.6.**

(क) $\mathbf 1_\Q$: सर्वत्र असंतत, रीमान-समाकलनीय नहीं ([प्रमेय 10.12](#thm-b3-lebesgue-riemann)); उसका लेबेग समाकल $\lambda(\Q) = 0$ है। टोमे: प्रत्येक अपरिमेय पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ($\varepsilon$ दिया हो, तो $\intcc01$ में केवल परिमित संख्या के परिमेयों का हर $\leq
1/\varepsilon$ होता है; किसी छोटे [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) से उनसे बचिए), और परिमेयों पर असंतत (अपरिमेयों की सघनता): अतः [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), रीमान-समाकलनीय, जिसका समाकल $0$ है (वह [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) लुप्त हो जाता है)। $\mathbf 1_K$, जिसमें $K$ कोई मोटा कैंटर समुच्चय है: असांतत्य समुच्चय $\partial K = K$ है (रिक्त [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) के साथ संवृत), जिसका [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\frac12 > 0$ है: अतः रीमान-समाकलनीय *नहीं* — फिर भी लेबेग-समाकलनीय, जिसका समाकल $\lambda(K) = \frac12$ है।

(ख) $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq
\frac1{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\abs{\sin x}\dd x =
\frac{2}{(k+1)\pi}$: श्रेणी अपसारित होती है। अनुचित समाकल का अभिसरण: $A > \pi$ के लिए

$$
\int_\pi^A\frac{\sin x}x\dd x = \Bigl[\frac{-\cos
x}x\Bigr]_\pi^A - \int_\pi^A\frac{\cos x}{x^2}\dd x,
$$

और $A \to \infty$ पर दोनों पद अभिसरित होते हैं ($\frac1{x^2}$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है): अर्थात् निरपेक्ष [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) के बिना सप्रतिबंध अभिसरण।

**अभ्यास 10.7 ★★.**

उचित ठहराइए कि $F(t) = \int_0^{+\infty}\eu^{-x^2}\cos(tx)\,\dd x$ $\R$ पर $\mathcal C^1$ है और $F'(t) = -\frac t2F(t)$ को संतुष्ट करता है *(खंडशः समाकलन कीजिए)*; इससे $F(t) =
F(0)\,\eu^{-t^2/4}$ निष्कर्ष निकालिए। (सप्ताहांत समस्या के $F(0) = \frac{\sqrt\pi}2$ के साथ: गाउसीय मूलतः अपना ही फूरिये रूपांतर है — [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) इसे व्यवस्थित रूप देगा।)

**हल — अभ्यास 10.7.**

प्रभुत्व: $\abs{\partial_t(\eu^{-x^2}\cos(tx))} =
\abs{x\eu^{-x^2}\sin(tx)} \leq x\eu^{-x^2}$, जो [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) और $t$ से स्वतंत्र है: अतः [प्रमेय 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) वैश्विक रूप से लागू होती है,

$$
F'(t) = -\int_0^\infty x\eu^{-x^2}\sin(tx)\,\dd x
= \Bigl[\tfrac12\eu^{-x^2}\sin(tx)\Bigr]_0^\infty
- \frac t2\int_0^\infty\eu^{-x^2}\cos(tx)\dd x
= -\frac t2F(t)
$$

($\dd v = x\eu^{-x^2}\dd x$ के साथ खंडशः समाकलन)। रैखिक साधारण अवकल समीकरण $F(t) = F(0)\eu^{-t^2/4}$ देता है; और $F(0) =
\frac{\sqrt\pi}2$ ([समस्या 10.1](#pb-b3-lebesgue-1)) के साथ गाउसीय इस कोज्या रूपांतर के अंतर्गत स्वयं को पुनरुत्पन्न कर लेता है।

**अभ्यास 10.8 ★★★.**

(फ्रुलानी) मान लीजिए $0 < a < b$। समाकल्य को $\int_a^b \eu^{-xt}\,\dd t$ के रूप में लिखकर और अऋणात्मक सिद्धांत ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) रूप में [उपप्रमेय 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) — टोनेली की प्रत्याशा कीजिए, अथवा $[a,b]$ को $n$ बराबर भागों में काटकर सीमा लीजिए) के माध्यम से अदला-बदली को उचित ठहराकर दर्शाइए

$$
\int_0^{+\infty}\frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}\,\dd x =
\ln\frac ba,
$$

**हल — अभ्यास 10.8.**

समाकल अभिसरित होता है: $0$ के निकट समाकल्य $b - a$ की ओर जाता है (परिबद्ध), और अनंत पर वह $\eu^{-ax}$ की भाँति क्षय होता है। $a$ स्थिर कीजिए और $I(b) = \int_0^\infty\frac{\eu^{-ax} -
\eu^{-bx}}x\dd x$ को $b \in \intco a{+\infty}$ के फलन के रूप में देखिए। सभी $b \geq a$ के लिए: $\abs{\partial_b(\text{समाकल्य})} =
\eu^{-bx} \leq \eu^{-ax}$, और $\int_0^\infty\eu^{-ax}\dd x =
\frac1a < \infty$: अर्थात् कोई [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन। अतः [प्रमेय 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) $I'(b) =
\int_0^\infty\eu^{-bx}\dd x = \frac1b$ दे देती है, और $I(a) = 0$:

$$
I(b) = \int_a^b\frac{\dd t}t = \ln\frac ba .
$$

(समतुल्य रूप से, संकेत वाला मार्ग: समाकल्य $\int_a^b\eu^{-xt}\dd t \geq 0$ है और यह अदला-बदली [उपप्रमेय 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) का [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) सादृश्य है, अर्थात् टोनेली — जो [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product) में सिद्ध है; और प्राचल वाला मार्ग इसी अध्याय के भीतर रहता है।)

**अभ्यास 10.9 ★★.**

मान लीजिए $f \geq 0$ $(X, \mathcal A, \mu)$ पर [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) है। दर्शाइए कि $\nu(A) = \int_A f\,\dd\mu$ एक [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) परिभाषित करता है ($\mu$ के सापेक्ष *घनत्व* $f$), और यह कि सभी [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $g \geq 0$ के लिए $\int g\,\dd\nu = \int gf\,\dd\mu$ *(इसे सूचकों के लिए सिद्ध कीजिए, फिर सरल फलनों के लिए, फिर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से — यही मानक मशीन है)*।

**हल — अभ्यास 10.9.**

$\nu(\varnothing) = 0$; असंयुक्त $(A_n)$ के लिए $f\mathbf
1_{\bigsqcup A_n} = \sum_nf\mathbf 1_{A_n}$ (बिंदुशः, सभी पद $\geq 0$), और [उपप्रमेय 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) $\sigma$-योज्यता दे देती है। सूत्र $\int g\,\dd\nu = \int
gf\,\dd\mu$: $g = \mathbf 1_A$ के लिए वह $\nu$ की परिभाषा है; सरल $g$ के लिए रैखिकता; और [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $g \geq 0$ के लिए सरल $s_n \nearrow g$ लीजिए ([प्रमेय 10.4](#thm-b3-lebesgue-approximation)): $s_nf \nearrow gf$, और दोनों पक्षों पर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय सीमा तक ले जाती है। (यह “सूचक $\to$ सरल $\to$ एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय” वाली सीढ़ी ही इस सिद्धांत की मानक मशीन है।)

**अभ्यास 10.10 ★★★.**

(वाइरश्ट्रास जैसी एक विफलता) $f(t) =
\int_0^{+\infty}\frac{\sin(tx)}{x(1 + x^2)}\,\dd x$ परिभाषित कीजिए। (क) दर्शाइए कि $f$ सुपरिभाषित और $\R$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, तथा प्रत्येक $t$ के लिए $f'(t) = \int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1 +
x^2}\dd x$ के साथ $\mathcal C^1$ — पर यह कि समाकल के भीतर *पुनः* अवकलन करना अवैध है। (ख) $t > 0$ के लिए $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ स्वीकार करते हुए (जो [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues) में सिद्ध है), $t > 0$ के लिए $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ क्या है, और उसका सूत्र (क) की विफलता की पुष्टि क्यों करता है?

**हल — अभ्यास 10.10.**

(क) $\abs{\sin(tx)} \leq \abs tx$ से $\abs{\frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}} \leq \frac{\abs
t}{1+x^2}$ मिलता है: अतः समाकल अभिसरित होता है, और $\abs t \leq T$ पर प्रभावी फलन $\frac{T}{1+x^2}$ [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) दे देता है ([प्रमेय 10.14](#thm-b3-lebesgue-paramcont))। अवकलन: $\abs{\partial_t} = \abs{\frac{\cos(tx)}{1+x^2}} \leq
\frac1{1+x^2}$, [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1): अतः सभी $t$ के लिए $f'(t) =
\int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x$। किसी दूसरे अवकलन के लिए $\frac{x\sin(tx)}{1 +
x^2}$ का समाकलन करना पड़ता, जिसका निरपेक्ष मान अनंत पर $\frac{\abs{\sin(tx)}}
x$ की भाँति व्यवहार करता है: *असमाकलनीय* — कोई प्रभावी फलन विद्यमान नहीं है और [प्रमेय 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) को फिर से नहीं लगाया जा सकता।

(ख) $t > 0$ के लिए $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ स्वीकार करने पर: $f$ की विषमता से $f'$ सम है, अतः $f'(t) =
\frac\pi2\eu^{-\abs t}$ — जो *$0$ पर अवकलनीय नहीं* है: $f$ $\mathcal C^1$ है पर $\mathcal C^2$ नहीं, जो पुष्टि करता है कि अवरुद्ध दूसरा अवकलन कोई तकनीकी संयोग नहीं था। $t > 0$ के लिए अनुचित समाकल $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ $-f''(t) =
\frac\pi2\eu^{-t}$ के बराबर है (स्वीकृत सूत्र का वहाँ अवकलन करके जहाँ वह वैध है, अर्थात् $\intoo0\infty$ पर) — अर्थात् कोई अनुचित, ग़ैर-लेबेग मान।

**अभ्यास 10.11 ★★.**

(शेफे की प्रमेयिका) मान लीजिए $f_n, f \geq 0$ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) हैं, [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f_n \to f$, और $\int f_n \to \int f$। (क) दर्शाइए कि $\int\abs{f_n - f} \to 0$। *($g_n = (f - f_n)^+ \leq f$ पर प्रभावी अभिसरण लगाइए, और $\int\abs{f_n - f} = 2\int g_n - \int(f - f_n)$ लिखिए।)* (ख) उदाहरण से दर्शाइए कि परिकल्पना $\int f_n \to \int
f$ हटाई नहीं जा सकती (कोई सरकती या संकेंद्रित होती उभार), और यह कि निरपेक्ष-मान नियंत्रण के बिना चिह्नित $f_n$ के लिए निष्कर्ष विफल हो जाता है: $f_n = n\mathbf 1_{\intoc0{1/n}} -
n\mathbf 1_{\intoc{-1/n}0}$ के लिए [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f_n \to 0$, $\int f_n
= 0 \to 0$, फिर भी $\int\abs{f_n} = 2$। (ग) अनुप्रयोग ([घनत्व](#ex-b3-lebesgue-gamma)): यदि प्रायिकता [घनत्व](#ex-b3-lebesgue-gamma) [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $p_n
\to p$ हों, तो स्वतः $\int\abs{p_n - p} \to 0$: घनत्वों का बिंदुशः अभिसरण $L^1$ अभिसरण होता है — मुफ्त में अभिसरण का उन्नयन।

**हल — अभ्यास 10.11.**

(क) मान लीजिए $g_n = (f - f_n)^+$: तब $0 \leq g_n \leq f$ ($f_n$ की धनात्मकता), [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $g_n \to 0$, और $f$ कोई [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन है: अतः $\int g_n \to 0$ (प्रभावी अभिसरण प्रमेय)। चूँकि $\abs{f_n - f} = 2(f - f_n)^+ - (f - f_n)$,

$$
\int\abs{f_n - f} = 2\int g_n - \Bigl(\int f - \int
f_n\Bigr) \longrightarrow 0 + 0 .
$$

(ख) सरकते हुए उभार $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ के लिए [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $f_n \to 0$ और $\int f_n = 1 \not\to 0$: समाकलों के अभिसरण के बिना $L^1$ अभिसरण विफल हो जाता है (और परिकल्पना भी)। चिह्नयुक्त उदाहरण: प्रत्येक $x \neq 0$ पर $f_n \to 0$, $\int f_n = 0$, पर $\int\abs{f_n} = 2$: चिह्नयुक्त अनुक्रमों के लिए यह प्रमेय सचमुच $\abs{f_n}$-प्रकार के नियंत्रण की बात है, और धनात्मकता का उपयोग ठीक $g_n \leq f$ में हुआ था।

(ग) [घनत्व](#ex-b3-lebesgue-gamma) $\int p_n = 1 = \int p$ संतुष्ट करते हैं: अतः (क) की परिकल्पना स्वतः लागू है, इसलिए [लगभग सर्वत्र](#def-b3-lebesgue-l1) $p_n \to p$ से $\norm{p_n - p}_{L^1} \to 0$ अनिवार्य हो जाता है — और इसलिए प्रायिकताओं $\int_Ap_n \to \int_Ap$ का अभिसरण सभी [मापनीय](#def-b3-lebesgue-measurable) $A$ पर *एकसमान* रूप से ($\abs{\int_A(p_n - p)} \leq
\norm{p_n - p}_1$): शेफे घनत्वों के बिंदुशः अभिसरण को बंटन नियमों के कुल-विचरण अभिसरण में बदल देते हैं।

**अभ्यास 10.12 ★★.**

एकदिष्ट/प्रभावी अभिसरण प्रमेय के माध्यम से पूरे औचित्य के साथ शास्त्रीय सीमाएँ:

$$
\text{(क)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^n\Bigl(1 -
\frac xn\Bigr)^n\eu^{x/2}\,\dd x, \qquad
\text{(ख)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n\,x^{n-1}}{1 +
x}\,\dd x,
$$

$$
\text{(ग)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^\infty
\frac{\dd x}{(1 + x/n)^n\,x^{1/n}} .
$$

*((क) के लिए: स्थिर $x$ पर $(1 - x/n)^n \nearrow \eu^{-x}$ — एकदिष्टता $\log$ से सिद्ध कीजिए; (ख) के लिए खंडशः समाकलन कीजिए अथवा $x = u^{1/n}$ प्रतिस्थापित करके किसी सीमांत संकेंद्रण को पहचानिए; (ग) के लिए $x =
1$ पर बाँटकर सभी $n \geq 2$ के लिए वैध कोई [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन ढूँढ़िए।)*

**हल — अभ्यास 10.12.**

(क) $\intoo0n$ पर $\varphi_n(x) = n\log(1 - \frac xn)$ $n$ में बढ़कर $-x$ तक जाता है (प्रतिचित्रण $t \mapsto
\frac{\log(1 - xt)}{t}$ $t = \frac1n
\downarrow 0$ पर घटता है; अथवा प्रसार कीजिए: $\log(1-u) + \frac{u}{1-u} \geq 0$ के माध्यम से $n$ में $\varphi_{n}' \geq 0$)। अतः $(1 -
\frac xn)^n\eu^{x/2}\mathbf 1_{x<n} \nearrow
\eu^{-x/2}$, और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय

$$
\lim_n\int_0^n\Bigl(1 - \frac xn\Bigr)^n\eu^{x/2}\dd x =
\int_0^\infty\eu^{-x/2}\dd x = 2 .
$$

दे देती है।

(ख) $u = x^n$ प्रतिस्थापित कीजिए ($x = u^{1/n}$, $n x^{n-1}\dd x =
\dd u$):

$$
\int_0^1\frac{nx^{n-1}}{1 + x}\dd x =
\int_0^1\frac{\dd u}{1 + u^{1/n}} .
$$

$u \in \intoo01$ के लिए: $u^{1/n} \to 1$, अतः समाकल्य $\frac12$ की ओर जाता है, जिस पर $1$ का प्रभुत्व है: इसलिए सीमा $\frac12$ है (प्रभावी अभिसरण प्रमेय)। ($nx^{n-1}$ का द्रव्यमान $x
= 1$ पर संकेंद्रित हो जाता है, जहाँ $\frac1{1+x} = \frac12$: और प्रतिस्थापन इस संकेंद्रण को दृश्य बना देता है।)

(ग) बिंदुशः $(1 + x/n)^n \nearrow \eu^x$ और $x^{1/n} \to
1$ ($x > 0$): अतः समाकल्य $\eu^{-x}$ की ओर जाता है। $n \geq 2$ के लिए प्रभावी फलन: $\intoc01$ पर $x^{-1/n} \leq x^{-1/2}$ और $(1 + x/n)^{-n} \leq 1$: परिबंध $x^{-1/2}$, [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1); और $\intoo1\infty$ पर $x^{-1/n} \leq 1$ तथा $(1 + x/n)^n \geq 1 +
\binom n2\frac{x^2}{n^2} \geq 1 + \frac{x^2}4$: परिबंध $\frac{4}{4 + x^2}$, [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1)। प्रभावी अभिसरण प्रमेय:

$$
\lim_n\int_0^\infty\frac{\dd x}{(1 + x/n)^nx^{1/n}} =
\int_0^\infty\eu^{-x}\dd x = 1 .
$$

## 10.6 समस्या: दो प्रसिद्ध समाकल

**समस्या 10.1.**

सप्ताहांत समस्या — गाउसीय समाकल और दिरिक्ले का समाकल, केवल प्राचलों से

दो समाकल अनुप्रयुक्त विश्लेषण पर राज करते हैं:

$$
G = \int_{-\infty}^{+\infty}\eu^{-x^2}\dd x = \sqrt\pi,
\qquad
D = \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2
$$

(दूसरा अनुचित समाकल के रूप में, [उदाहरण 10.13](#ex-b3-lebesgue-riemannexamples))। हम दोनों को केवल इस अध्याय के औजारों से सिद्ध करते हैं।

**भाग I — गाउसीय।** $t \geq 0$ के लिए रखिए

$$
A(t) = \Bigl(\int_0^t\eu^{-x^2}\dd x\Bigr)^{2},
\qquad
B(t) = \int_0^1\frac{\eu^{-t^2(1 + x^2)}}{1 + x^2}\,\dd x .
$$

1. उचित ठहराइए कि $A$ और $B$ $\intoo0{+\infty}$ पर $\mathcal C^1$ हैं, $A'$ और $B'$ परिकलित कीजिए, और $A'(t) + B'(t) = 0$ दर्शाइए। *($B'$ में $u =  tx$ प्रतिस्थापित कीजिए।)*
2. $A(0) + B(0)$ और $\lim_{t\to+\infty}(A + B)(t)$ परिकलित कीजिए — $B$ में समाकल के भीतर सीमा को उचित ठहराइए।
3. $\int_0^\infty \eu^{-x^2}\dd x =  \frac{\sqrt\pi}2$ निष्कर्ष निकालिए, अतः $G = \sqrt\pi$ , और $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ भी *($\Gamma(\frac12)$ में $x =  u^2$ प्रतिस्थापित कीजिए)* ।

**भाग II — दिरिक्ले का समाकल।** $t
\geq 0$ के लिए रखिए

$$
F(t) = \int_0^{+\infty}\eu^{-tx}\,\frac{\sin x}{x}\,\dd x .
$$

4. दर्शाइए कि $F(t)$ को परिभाषित करने वाला समाकल प्रत्येक $t > 0$ के लिए लेबेग समाकल के रूप में अभिसरित होता है, और $t = 0$ के लिए अनुचित समाकल के रूप में; दर्शाइए कि $D =  \lim_{A\to\infty}\int_0^A\frac{\sin x}x\dd x$ विद्यमान है *($[\pi, A]$ पर खंडशः समाकलन कीजिए)* ।
5. दर्शाइए कि $F$ $\intoo0{+\infty}$ पर $\mathcal C^1$ है, जिसमें $$F'(t) = -\int_0^{+\infty}\eu^{-tx}\sin x\,\dd x  = -\frac{1}{1 + t^2}$$ *(प्रत्येक $t_0 >  0$ के लिए $[t_0, \infty)$ पर प्रभुत्व; अंतिम समाकल दो बार खंडशः समाकलन से अथवा सम्मिश्र चरघातांकियों से)*।
6. दर्शाइए कि $t \to +\infty$ पर $F(t) \to 0$ , और $\intoo0{+\infty}$ पर $F(t)  = \frac\pi2 - \arctan t$ निष्कर्ष निकालिए।
7. नाजुक बिंदु: $D = \lim_{t\to0^+}F(t)$। इसे पुच्छ के एकसमान नियंत्रण से सिद्ध कीजिए: $0 \leq t \leq 1$ और $A \geq \pi$ के लिए खंडशः समाकलन करके दर्शाइए कि $$\Bigl|\int_A^{+\infty}\eu^{-tx}\frac{\sin  x}x\,\dd x\Bigr| \leq \frac{C}{A}$$ जहाँ $C$ $t$ से स्वतंत्र है *($\frac{\eu^{-tx}}x$ का अवकलन कीजिए और $\abs{\cos}$ को $1$ से परिबद्ध कीजिए; ध्यान दीजिए कि $\sup_{u\geq0}u\eu^{-u} < 1$ के साथ $t\eu^{-tx} \leq 1/x\cdot(tx\eu^{-tx})$)*; फिर $F(t) - D$ को $[0, A]$ (जहाँ $t \to 0$ पर प्रभावी अभिसरण प्रमेय लागू होती है) और $[A, \infty)$ में बाँटिए।
8. निष्कर्ष निकालिए: $D = \frac\pi2$ ।

**भाग III — लाभांश।**

9. $\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2}\,\dd x$ परिकलित कीजिए *(खंडशः समाकलन कीजिए और $\sin  2x = 2\sin x\cos x$ के माध्यम से $D$ तक सिमटाइए)* ।
10. $\int_0^{+\infty}\frac{1 -  \cos x}{x^2}\,\dd x$ परिकलित कीजिए, और दोनों परिणामों की संगति जाँचिए।
11. $a > 0$ के लिए $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(ax)}x\dd x$ और $\int_{-\infty}^{+\infty}\eu^{-ax^2}\dd x$ परिकलित कीजिए, और मापन नियम दर्ज कीजिए (वे [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) के श्रमिक बनेंगे)।
12. ठीक-ठीक समझाइए कि $D$ को $t = 0$ पर सीधे प्रभावी अभिसरण प्रमेय से क्यों नहीं निपटाया जा सकता था ( $[0,1]\times[0,\infty)$ पर कोई [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन नहीं), और प्रश्न 7 का पुच्छ-विभाजन उसका ईमानदार विकल्प क्यों है — यह प्रतिरूप (“पुच्छों की एकसमान [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1) ”) विश्लेषण भर बार-बार लौटता है।

**भाग IV — बोर और मोलेरुप के अनुसार [गामा फलन](#ex-b3-lebesgue-gamma)।** फलन $\Gamma$ ([उदाहरण 10.16](#ex-b3-lebesgue-gamma)) $\Gamma(1) = 1$ और $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ को संतुष्ट करता है — पर ऐसे अनंत अन्य फलन भी करते हैं (किसी भी $1$-आवर्ती डगमगाहट से गुणा कर दीजिए)। उत्तलता की एक शर्त $\Gamma$ को अद्वितीय रूप से बाँध देती है, और तब उसकी गहरी सर्वसमिकाएँ यंत्रवत झड़ पड़ती हैं। किसी अंतराल पर कोई धनात्मक फलन $f$ *लघुगणकीय उत्तल* कहलाता है यदि $\log f$ उत्तल हो।

13. दर्शाइए कि लघुगणकीय उत्तलता से उत्तलता निकलती है, कि लघुगणकीय उत्तल फलनों के गुणनफल और उनके आफ़ीन प्रतिचित्रणों के साथ संयोजन लघुगणकीय उत्तल होते हैं, और — दो-फलन वाली होल्डर असमिका $\int\abs{uv} \leq  \bigl(\int\abs u^p\bigr)^{1/p}\bigl(\int\abs  v^q\bigr)^{1/q}$ के माध्यम से, जो यंग की असमिका से सीधे सिद्ध होती है — कि $\Gamma$ $\intoo0\infty$ पर लघुगणकीय उत्तल है।
14. (ढाल प्रमेयिका) मान लीजिए $g$ $\intoo0\infty$ पर उत्तल है और प्रत्येक पूर्णांक $n  \geq 1$ के लिए $g(n+1) - g(n) = \log n$। $x \in \intoc01$ और $n \geq 2$ के लिए $[n-1, n]$, $[n, n+x]$ और $[n, n+1]$ पर $g$ की ढालों की तुलना कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए $$x\log(n-1) \;\leq\; g(n + x) - g(n) \;\leq\; x\log n .$$
15. (बोर–मोलेरुप) मान लीजिए $f > 0$ $f(1) = 1$, $f(x+1) = xf(x)$ को संतुष्ट करता है और $\log f$ उत्तल है। पुनरावर्तन को $f(n + x) = x(x+1)\cdots(x + n -  1)\,f(x)$ और $f(n) = (n-1)!$ में खोलकर प्रश्न 14 से निष्कर्ष निकालिए कि $x \in \intoc01$ के लिए $$f(x) = \lim_{n\to\infty}  \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} :$$ अर्थात् $f$ अद्वितीय है, इसलिए $f = \Gamma$, और *गाउस का सीमा सूत्र* लागू होता है (पुनरावर्तन से समस्त $x > 0$ तक विस्तारित कीजिए)।
16. *बीटा फलन* $B(x, y) =  \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\dd t$ ( $x, y > 0$ ) परिभाषित कीजिए। अभिसरण, पुनरावर्तन $B(x+1, y) =  \frac{x}{x+y}\,B(x, y)$ (खंडशः समाकलन कीजिए), और $B(1, y) = \frac1y$ सिद्ध कीजिए।
17. दर्शाइए कि $x \mapsto B(x, y)$ लघुगणकीय उत्तल है (फिर होल्डर), और $$f(x) = \frac{B(x, y)\,\Gamma(x + y)}{\Gamma(y)}$$ पर बोर–मोलेरुप लगाकर *ऑयलर का सूत्र* निष्कर्ष के रूप में निकालिए: $B(x, y) =  \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ — और कहीं कोई द्विक समाकल नहीं।
18. $B(\frac12, \frac12)$ सीधे परिकलित कीजिए ( $t  = \sin^2\theta$ प्रतिस्थापित कीजिए) और $\Gamma(\frac12) =  \sqrt\pi$ निष्कर्ष निकालिए: भाग I का गाउसीय समाकल, विशुद्ध उत्तलता से पुनः प्राप्त। दोनों उपपत्तियों की तुलना एक-एक वाक्य में कीजिए।
19. (लजांद्र द्विगुणन) दर्शाइए कि $$g(x) = \frac{2^{x-1}}{\sqrt\pi}\,  \Gamma\Bigl(\frac x2\Bigr)  \Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)$$ बोर–मोलेरुप की तीनों परिकल्पनाएँ संतुष्ट करता है, और $g = \Gamma$ निष्कर्ष निकालिए, अर्थात् समस्त $z > 0$ के लिए $\Gamma(2z) =  \frac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\,\Gamma(z)\,\Gamma(z +  \tfrac12)$।
20. संवृत रूप $\Gamma\bigl(n + \tfrac12\bigr)  = \dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt\pi$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए, और बड़े पूर्णांकों के आसपास $\log\Gamma$ पर ढाल प्रमेयिका लगाकर स्पर्शोन्मुखता $$\frac{\Gamma(n + \frac12)}{\Gamma(n)\,\sqrt n}  \longrightarrow 1 .$$ सिद्ध कीजिए।
21. पिछले दोनों प्रश्नों को मिलाकर केंद्रीय द्विपद स्पर्शोन्मुखता $$\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}},$$ निकालिए, और $n = 10$ के लिए संख्यात्मक सत्यापन कीजिए ($4^{10}/\sqrt{10\pi} \approx  187079$ के सामने $\binom{20}{10} =  184756$: अनुपात $\approx 0.988$)।
22. (संश्लेषण) नियतांक $\sqrt\pi$ अब तक गाउसीय समाकल के रूप में (भाग I), $B(\frac12,  \frac12)$ के रूप में (प्रश्न 18), और द्विगुणन के भीतर (प्रश्न 19) प्रकट हो चुका है; और केंद्रीय द्विपद आकलन स्टर्लिंग ( [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product) की सप्ताहांत समस्या) तथा दे म्वाव्र–लाप्लास दोनों की प्रत्याशा करता है। संबंधों का नक्शा बनाइए: कौन-से कथन किनके तुल्य हैं, और प्रत्येक तकनीक — समाकल के भीतर अवकलन बनाम उत्तलता — वह क्या देती है जो दूसरी नहीं दे सकती?

**भाग V — तीन और लाभांश।**

23. (बीटा से वालिस) $p > -1$ के लिए $t =  \sin^2\theta$ प्रतिस्थापित करके दर्शाइए $$W_p = \int_0^{\pi/2}\sin^p\theta\,\dd\theta  = \frac12\,B\Bigl(\frac{p+1}2, \frac12\Bigr),$$ और बीटा पुनरावर्तन (प्रश्न 16) से निष्कर्ष निकालिए कि पूर्णांक $n \geq  0$ के लिए $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}\,W_n$। $W_{2n}$ और $W_{2n+1}$ संवृत रूप में परिकलित कीजिए, दबाव से $W_{2n+1}/W_{2n} \to 1$ दर्शाइए, और *वालिस के गुणनफल* $$\frac\pi2 = \lim_{n\to\infty}  \prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2 - 1} .$$ पर पहुँचिए।
24. (गाउसीय की आवृत्ति से भेंट) $b \in \R$ के लिए रखिए $$\Phi(b) = \int_{-\infty}^{+\infty}  \eu^{-x^2}\cos(2bx)\,\dd x .$$ दर्शाइए कि $\Phi$ $\R$ पर $\mathcal C^1$ है, कि खंडशः समाकलन से अवकल समीकरण $\Phi'(b) = -2b\,\Phi(b)$ मिलता है, और निष्कर्ष निकालिए $$\Phi(b) = \sqrt\pi\,\eu^{-b^2} :$$ अर्थात् इस रूपांतर के अंतर्गत गाउसीय अपने आप को पुनः उत्पन्न कर लेता है — यही वह एक सर्वसमिका है जिस पर [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) चलेगा।
25. (फ्रुलानी का समाकल) $0 < a < b$ के लिए प्राचल $a$ में अवकलन करके दर्शाइए $$\int_0^{+\infty}  \frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}\,\dd x  = \log\frac ba ,$$ (प्रत्येक $\intco{a_0}{+\infty}$, $a_0 > 0$ पर प्रभुत्व उचित ठहराइए, और $a \to b$ जाने देकर नियतांक पहचानिए)। समाकल्य को $x = 0$ पर अपनी विलोपनीय एकलता की आवश्यकता ठीक कहाँ पड़ती है?

**हल — समस्या 10.1.**

**1.** कलन की मूल प्रमेय और शृंखला नियम से $A$ $\mathcal C^1$ है: $A'(t) =
2\eu^{-t^2}\int_0^t\eu^{-x^2}\dd x$। $B$ के लिए: $\partial_t\bigl(\frac{\eu^{-t^2(1+x^2)}}{1+x^2}\bigr) =
-2t\,\eu^{-t^2(1+x^2)}$, जो किसी भी $0 < t_0 < T$ के लिए $[t_0, T]
\times \intcc01$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और परिबद्ध है (किसी परिमित [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) पर परिबद्ध प्रभुत्व पर्याप्त है): अतः $B$ $\intoo0{+\infty}$ पर $\mathcal C^1$ है, जिसमें

$$
B'(t) = -2t\int_0^1 \eu^{-t^2(1+x^2)}\dd x
= -2\eu^{-t^2}\int_0^1 t\,\eu^{-(tx)^2}\dd x
= -2\eu^{-t^2}\int_0^t\eu^{-u^2}\dd u = -A'(t)
$$

(प्रतिस्थापन $u = tx$)।

**2.** $A(0) = 0$ और $B(0) = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^2}
= \frac\pi4$। $A + B$ का अवकलज $\intoo0{+\infty}$ पर शून्य है और वह $0$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है (प्रभुत्व $\frac1{1+x^2}$ और [प्रमेय 10.14](#thm-b3-lebesgue-paramcont) से $B$): अतः $A + B \equiv \frac\pi4$। $t\to+\infty$ पर: $0 \leq B(t) \leq \eu^{-t^2} \to 0$, और $A(t) \to \bigl(\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x\bigr)^2$ (एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय, अथवा केवल आंतरिक समाकल का एकदिष्ट अभिसरण)।

**3.** अतः $\bigl(\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x\bigr)^2
= \frac\pi4$: $\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x =
\frac{\sqrt\pi}2$, और समता से $G = \sqrt\pi$। साथ ही $\Gamma(\frac12) = \int_0^\infty x^{-1/2}\eu^{-x}\dd x
\overset{x = u^2}{=} 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u =
\sqrt\pi$।

**4.** $t > 0$ के लिए: $\abs{\eu^{-tx}\frac{\sin x}x} \leq
\eu^{-tx}$, [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1)। $t = 0$ के लिए अनुचित अभिसरण: $[\pi, A]$ पर

$$
\int_\pi^A\frac{\sin x}x\dd x
= \Bigl[-\frac{\cos x}x\Bigr]_\pi^A -
\int_\pi^A\frac{\cos x}{x^2}\dd x,
$$

जिसमें $A \to \infty$ पर दोनों पद अभिसारी हैं; और $0$ के निकट समाकल्य $1$ से संततता के साथ बढ़ जाता है।

**5.** $[t_0, +\infty)$ पर ($t_0 > 0$): $\abs{\partial_t\bigl(\eu^{-tx}\tfrac{\sin x}x\bigr)} =
\eu^{-tx}\abs{\sin x} \leq \eu^{-t_0x}$, [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1): अतः [प्रमेय 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) ऐसे प्रत्येक अंतराल पर, इसलिए समूचे $\intoo0{+\infty}$ पर लागू होती है:

$$
F'(t) = -\int_0^\infty\eu^{-tx}\sin x\,\dd x
= -\operatorname{Im}\int_0^\infty\eu^{-(t - \iu)x}\dd x
= -\operatorname{Im}\frac{1}{t - \iu} = -\frac{1}{1 + t^2}.
$$

**6.** $\abs{F(t)} \leq \int_0^\infty\eu^{-tx}\dd x =
\frac1t \to 0$। $F' = -\frac1{1+t^2}$ का समाकलन करने पर: $F(t) = C -
\arctan t$, और $t \to \infty$ $C = \frac\pi2$ अनिवार्य कर देता है: अतः $\intoo0{+\infty}$ पर $F(t) =
\frac\pi2 - \arctan t$।

**7.** $\sin x =
(-\cos x)'$ के साथ $[A, R]$ पर खंडशः समाकलन कीजिए और $R \to \infty$ लीजिए:

$$
\int_A^{\infty}\eu^{-tx}\frac{\sin x}x\dd x
= \frac{\cos A\;\eu^{-tA}}{A}
- \int_A^\infty \cos x\,\Bigl(\frac tx +
\frac1{x^2}\Bigr)\eu^{-tx}\dd x .
$$

$\abs{\cos} \leq 1$ को परिबद्ध करने पर: पहला पद $\leq \frac1A$ है; और समाकल अधिक से अधिक $\int_A^\infty t\eu^{-tx}\frac{\dd x}x
+ \int_A^\infty\frac{\dd x}{x^2} \leq \frac1A\int_0^\infty
t\eu^{-tx}\dd x + \frac1A = \frac2A$। कुल: $\leq \frac 3A$, जो $t \in [0, 1]$ के लिए एकसमान रूप से ($t = 0$ स्थिति सहित)। अब

$$
\abs{F(t) - D} \leq
\Bigl|\int_0^A(\eu^{-tx} - 1)\,\frac{\sin x}x\,\dd x\Bigr| +
\frac6A .
$$

$[0, A]$ पर: $\abs{\eu^{-tx} - 1} \leq tx \leq tA$ और $\abs{\frac{\sin x}x} \leq 1$, अतः पहला पद अधिक से अधिक $tA^2$ है। $\frac6A < \varepsilon$ वाला $A$ चुनिए, फिर $t <
\varepsilon/A^2$: $\abs{F(t) - D} < 2\varepsilon$।

**8.** इसलिए $D = \lim_{t\to0^+}F(t) =
\lim_{t\to0^+}\bigl(\frac\pi2 - \arctan t\bigr) =
\frac\pi2$।

**9.** खंडशः ($u = \sin^2x$, $v' = x^{-2}$):

$$
\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\dd x
= \Bigl[-\frac{\sin^2x}{x}\Bigr]_0^\infty +
\int_0^\infty\frac{2\sin x\cos x}{x}\dd x
= \int_0^\infty\frac{\sin 2x}{x}\dd x = D = \frac\pi2
$$

(अंतिम चरण में $u = 2x$ प्रतिस्थापित कीजिए; परिसीमा पद लुप्त हो जाते हैं: दोनों सिरों पर $\sin^2 x/x \to 0$)।

**10.** खंडशः ($u = 1 - \cos x$, $v' = x^{-2}$): $\int_0^\infty\frac{1 - \cos x}{x^2}\dd x =
\int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x = \frac\pi2$। संगति: $1 - \cos x = 2\sin^2\frac x2$, और प्रतिस्थापन $x = 2u$ $\int\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}\dd x$ को $\int\frac{\sin^2u}{u^2}\dd u$ में बदल देता है: अतः दोनों परिकलन सहमत हैं।

**11.** प्रत्येक $a > 0$ के लिए $\int_0^\infty\frac{\sin(ax)}x\dd x = \frac\pi2$ ($u = ax$ प्रतिस्थापित कीजिए: समाकल मापन-निश्चर है); $\int_\R\eu^{-ax^2}\dd x = \sqrt{\pi/a}$ ($u = \sqrt a\,x$ प्रतिस्थापित कीजिए)। कोटि में मापन दिरिक्ले समाकल को स्थिर छोड़ देता है और गाउसीय को $\sqrt a$ से भाग दे देता है।

**12.** सभी $t \in [0,1]$ के लिए वैध किसी प्रभावी फलन को $\sup_{t\in[0,1]}\abs{\eu^{-tx}\frac{\sin
x}x} = \abs{\frac{\sin x}x}$ पर प्रभुत्व रखना पड़ता, जो [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) नहीं है ([अभ्यास 10.6](#exo-b3-lebesgue-6)): अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय $t = 0$ को पार नहीं कर सकती। प्रश्न 7 का विकल्प — प्राचल में एकसमान रूप से छोटी पुच्छें, और [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) भाग को प्रभावी अभिसरण प्रमेय से सँभालना — मानक “एकसमान [समाकलनीयता](#def-b3-lebesgue-l1)” प्रतिरूप है, और जब भी सप्रतिबंध अभिसरण सीमा-अदला-बदली से मिलता है तब पुनः प्रकट होता है।

**13.** यदि $g = \log f$ उत्तल हो, तो $f = \exp\circ g$ उत्तल है (चरघातांक उत्तल वर्धमान है: $f(\lambda x + (1-\lambda)
y) \leq \eu^{\lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)} \leq \lambda f(x)
+ (1-\lambda)f(y)$, जिसका अंतिम चरण बिंदुओं $g(x), g(y)$ के बीच चरघातांक की उत्तलता से)। गुणनफल और आफ़ीन प्रतिस्थापन: लघुगणक उन्हें उत्तल फलनों के योगों और आफ़ीन प्रतिस्थापनों में बदल देते हैं। होल्डर ($\frac1p + \frac1q = 1$): $\int\abs u^p = \int\abs v^q = 1$ के लिए यंग $\abs{uv} \leq
\frac{\abs u^p}p + \frac{\abs v^q}q$ देता है, समाकलन कीजिए: $\int\abs{uv}
\leq 1$; और व्यापक स्थिति समघातता से। तब $\lambda
\in \intoo01$ के लिए उसे $p = \frac1\lambda$ के साथ गुणनखंडन

$$
t^{\lambda x + (1-\lambda)y - 1}\eu^{-t}
= \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{\lambda}
\bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1-\lambda} :
\qquad
\Gamma(\lambda x + (1{-}\lambda)y) \leq
\Gamma(x)^\lambda\,\Gamma(y)^{1-\lambda} .
$$

पर लगाइए।

**14.** किसी उत्तल $g$ के लिए किसी जीवा की ढाल उसके अंत-बिंदुओं के साथ बढ़ती है (तीन-जीवा असमिका)। $[n-1, n]$, $[n, n+x]$, $[n, n+1]$ पर जीवाओं की तुलना करने पर:

$$
\log(n-1) = \frac{g(n) - g(n-1)}1 \leq
\frac{g(n+x) - g(n)}x \leq \frac{g(n+1) - g(n)}1 = \log n,
$$

और $x > 0$ से गुणा करने पर दावा मिल जाता है।

**15.** $f(n) = (n-1)!$ ($f(1) = 1$ से पुनरावृत्ति) और $f(n + x) = x(x+1)\cdots(x+n-1)\,f(x)$ के साथ प्रश्न 14 इस रूप में पढ़ा जाता है

$$
(n-1)^x\,(n-1)! \;\leq\; x(x+1)\cdots(x+n-1)\,f(x)
\;\leq\; n^x\,(n-1)! .
$$

ऊपरी परिबंध $f(x) \leq
\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}\cdot\frac{x+n}n$ के रूप में फिर से लिखा जाता है, और कोटि $n+1$ पर निचला परिबंध $f(x) \geq
\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$ के रूप में। संशोधन गुणक $\frac{x+n}n \to 1$: अतः सैंडविच

$$
f(x) = \lim_n\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}
\qquad (x \in \intoc01),
$$

अनिवार्य कर देता है, जो $f$ से स्वतंत्र व्यंजक है: इसलिए $\intoc01$ पर अद्वितीयता, और पुनरावृत्ति से सर्वत्र। चूँकि $\Gamma$ तीनों परिकल्पनाएँ संतुष्ट करता है (प्रश्न 13), अतः $f = \Gamma$ और गाउस का सूत्र लागू है — सभी $x > 0$ के लिए, क्योंकि दोनों पक्ष एक ही पुनरावृत्ति का पालन करते हैं।

**16.** $0$ के निकट समाकल्य $\sim t^{x-1}$ है, जो [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) है तभी और केवल तभी जब $x > 0$; और $1$ के निकट $y$ के साथ सममित। $\intcc\varepsilon{1-\varepsilon}$ पर खंडशः समाकलन करके $\varepsilon \to 0$ लेने पर ($x, y >
0$ के लिए परिसीमा पद लुप्त हो जाते हैं):

$$
B(x{+}1, y) = \Bigl[-t^x\frac{(1-t)^y}y\Bigr]_0^1 +
\frac xy\int_0^1t^{x-1}(1-t)^y\,\dd t
= \frac xy\bigl(B(x, y) - B(x{+}1, y)\bigr),
$$

जिसमें $(1-t)^y = (1-t)^{y-1}(1 - t)$ का उपयोग हुआ है; हल करने पर $B(x+1, y) =
\frac{x}{x+y}B(x, y)$। और $B(1, y) =
\int_0^1(1-t)^{y-1}\dd t = \frac1y$।

**17.** $f(1) = \frac1y\cdot\frac{\Gamma(1+y)}{\Gamma(y)}
= 1$; $f(x+1) = \frac{x}{x+y}B(x,y)\cdot\frac{(x+y)\Gamma(x+y)}
{\Gamma(y)} = x\,f(x)$; और $f$ $x$ में लघुगणकीय उत्तल है, क्योंकि वह लघुगणकीय उत्तल $B(\cdot, y)$ (गुणनखंडन $t^{(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)-1}(1-t)^{y-1}
= (\cdots)^\lambda(\cdots)^{1-\lambda}$ पर होल्डर, प्रश्न 13 की भाँति) और $\Gamma(\cdot + y)$ (आफ़ीन विस्थापन) का गुणनफल है। बोर–मोलेरुप: $f =
\Gamma$, अर्थात् $B(x, y) =
\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$।

**18.** $t = \sin^2\theta$, $\dd t =
2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$ और $t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} =
\frac1{\sin\theta\cos\theta}$ के साथ:

$$
B\Bigl(\frac12, \frac12\Bigr) =
\int_0^{\pi/2}2\,\dd\theta = \pi
= \frac{\Gamma(\frac12)^2}{\Gamma(1)}
\quad\Longrightarrow\quad
\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \sqrt\pi .
$$

भाग I उसी अचर तक किसी प्राचल का अवकलन करके और दो फलनों को उनकी सीमाओं की ओर दौड़ाकर पहुँचा था; यहाँ अकेली उत्तलता ने समस्या को तब तक कठोर कर दिया जब तक केवल एक ही मान बचा। गति से विश्लेषण बनाम आकृति से विश्लेषण।

**19.** $g(1) = \frac{2^0}{\sqrt\pi}\Gamma(\frac12)
\Gamma(1) = 1$। पुनरावृत्ति:

$$
g(x+1) = \frac{2^{x}}{\sqrt\pi}\,
\Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)\Gamma\Bigl(\frac x2 + 1\Bigr)
= \frac{2^{x}}{\sqrt\pi}\cdot\frac x2\,
\Gamma\Bigl(\frac x2\Bigr)\Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)
= x\,g(x) .
$$

लघुगणकीय उत्तलता: $\eu^{(x-1)\log2}$ (लघुगणकीय-आफ़ीन) और लघुगणकीय उत्तल $\Gamma$ के दो आफ़ीन पुनःप्राचलनों का गुणनफल। बोर–मोलेरुप $g = \Gamma$ देते हैं; और $x = 2z$ रखने पर: $\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(z)\Gamma(z +
\frac12)$।

**20.** $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ और पुनरावृत्ति से $\Gamma(n + \frac12) = (n - \frac12)(n -
\frac32)\cdots\frac12\,\sqrt\pi =
\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots1}{2^n}\sqrt\pi =
\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$ (विषम गुणनफल को समों से पूरा कीजिए)। अनंतस्पर्शी: $g = \log\Gamma$ और $x = \frac12$ के साथ प्रश्न 14 $\sqrt{n-1} \leq
\frac{\Gamma(n+\frac12)}{\Gamma(n)} \leq \sqrt n$ देता है, अतः $\sqrt n$ से अनुपात $\sqrt{1 - \frac1n}$ और $1$ के बीच दब जाता है।

**21.** प्रश्न 20 से $(2n)! =
\frac{4^nn!}{\sqrt\pi}\Gamma(n + \tfrac12)$, अतः

$$
\binom{2n}n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
= \frac{4^n\,\Gamma(n+\frac12)}{\sqrt\pi\;n!}
= \frac{4^n}{\sqrt\pi}\cdot
\frac{\Gamma(n+\frac12)}{n\,\Gamma(n)}
\sim \frac{4^n}{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt n}{n}
= \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} .
$$

संख्यात्मक रूप से $4^{10}/\sqrt{10\pi} = 1048576/5.6050 \approx
187078.6$, जबकि $\binom{20}{10} = 184756$: अनुपात $0.9876$ — अर्थात् त्रुटि $O(1/n)$ है, जो $n = 10$ पर दिख जाती है।

**22.** तुल्यताएँ: $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi
\Leftrightarrow G = \sqrt\pi$ (प्रश्न 3 का प्रतिस्थापन $x = u^2$) $\Leftrightarrow B(\frac12, \frac12) = \pi$ (ऑयलर का सूत्र); और $z = n$ पर द्विगुणन $\Gamma(n + \frac12)$ का संवृत रूप *है*, जो ढाल प्रमेयिका तक केंद्रीय द्विपद आकलन *है*। प्राचल तकनीक (भाग I और II) चलती हुई राशियों की सीमाएँ परिकलित करती है और जब कोई सच्चा विरूपण उपस्थित हो तब अपरिहार्य है (दिरिक्ले के समाकल की कोई उत्तलता उपपत्ति नहीं है); और उत्तलता तकनीक कुछ भी परिकलित नहीं करती पर सब कुछ मना कर देती है — वह अद्वितीयता और फलनीय समीकरणों में श्रेष्ठ है (गाउस, ऑयलर, लजांद्र तीन प्रहारों में), जहाँ अवकलन गणना में डूब जाता। कोई [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) विश्लेषक दोनों साथ रखता है।

**23.** $t = \sin^2\theta$, $\dd t =
2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta =
2\,t^{1/2}(1-t)^{1/2}\,\dd\theta$ के साथ:

$$
W_p = \int_0^1 t^{p/2}\,
\frac{\dd t}{2\,t^{1/2}(1-t)^{1/2}}
= \frac12\int_0^1 t^{\frac{p+1}2 - 1}(1-t)^{\frac12 - 1}\dd t
= \frac12\,B\Bigl(\frac{p+1}2, \frac12\Bigr).
$$

$x = \frac{n+1}2$, $y = \frac12$ के साथ बीटा पुनरावृत्ति

$$
W_{n+2} = \frac12\,
\frac{(n+1)/2}{(n+2)/2}\,B\Bigl(\frac{n+1}2, \frac12\Bigr)
= \frac{n+1}{n+2}\,W_n .
$$

देती है। $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$ से आरंभ करने पर:

$$
W_{2n} = \frac\pi2\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k},
\qquad
W_{2n+1} = \prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1} .
$$

चूँकि $\intcc0{\pi/2}$ पर $\sin^{n+1} \leq \sin^n$, अतः अनुक्रम $(W_n)$ अनवर्धमान है, इसलिए

$$
1 \geq \frac{W_{2n+1}}{W_{2n}} \geq
\frac{W_{2n+1}}{W_{2n-1}} = \frac{2n}{2n+1}
\longrightarrow 1 .
$$

पर संवृत रूप

$$
\frac{W_{2n+1}}{W_{2n}} = \frac2\pi
\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}
= \frac2\pi\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1},
$$

देते हैं, और $n \to \infty$ लेने पर वालिस का गुणनफल मिल जाता है। (ऑयलर के सूत्र के माध्यम से $W_p = \frac{\sqrt\pi}2\,
\Gamma(\frac{p+1}2)/\Gamma(\frac p2 + 1)$: वालिस एक और वेश में गाउसीय समाकल ही है।)

**24.** समाकल्य का $b$-अवकलज $-2x\,\eu^{-x^2}\sin(2bx)$ है, जिस पर $b$ में एकसमान रूप से $2\abs
x\,\eu^{-x^2} \in L^1(\R)$ का प्रभुत्व है: अतः $\Phi$ $\mathcal C^1$ है, जिसमें

$$
\Phi'(b) = -\int_{-\infty}^{+\infty}
2x\,\eu^{-x^2}\sin(2bx)\,\dd x .
$$

$u = \sin(2bx)$, $\dd v =
-2x\,\eu^{-x^2}\dd x$ के साथ खंडशः समाकलन करने पर (अतः $v = \eu^{-x^2}$) परिसीमा पद लुप्त हो जाते हैं और

$$
\Phi'(b) = -2b\int_{-\infty}^{+\infty}
\eu^{-x^2}\cos(2bx)\,\dd x = -2b\,\Phi(b).
$$

अतः $\bigl(\Phi(b)\,\eu^{b^2}\bigr)' = 0$ और भाग I से $\Phi(b) =
\Phi(0)\,\eu^{-b^2} = \sqrt\pi\,\eu^{-b^2}$। मानकीकरण तक यह कहता है कि $\eu^{-x^2}$ का फूरिये रूपांतर फिर से गाउसीय है — वही स्थिर बिंदु जिस पर [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) का प्रतिलोमन सिद्धांत घूमता है।

**25.** $0 < a < b$ और $x > 0$ के लिए

$$
0 \leq \frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}
= \int_a^b \eu^{-sx}\,\dd s \leq (b - a)\,\eu^{-ax},
$$

अतः समाकल $I(a)$ अभिसरित होता है (लेबेग); और बिंदुशः परिबंध यह भी दिखा देता है कि समाकल्य $x = 0$ पर $b -
a$ से संततता के साथ बढ़ जाता है। $b$ स्थिर कीजिए; $\intco{a_0}{+\infty}$ पर समाकल्य का $a$-अवकलज $-\eu^{-ax}$ है, जिस पर $\eu^{-a_0x} \in L^1(\intoo0{+\infty})$ का प्रभुत्व है, अतः $I$ $\intoo0b$ पर $\mathcal
C^1$ है, जिसमें

$$
I'(a) = -\int_0^{+\infty}\eu^{-ax}\dd x = -\frac1a,
\qquad\text{अतः}\qquad
I(a) = -\log a + c .
$$

द्विपक्षीय परिबंध $a \to b^-$ पर $0 \leq I(a) \leq (b-a)/a \to 0$ दे देता है, अतः $c = \log b$ और $I(a) = \log\frac ba$। हटाने योग्य विचित्रता *$0$ पर* आवश्यक है: प्रत्येक पद $\eu^{-ax}/x$ का पृथक रूप से $0$ के निकट अपसारी (लघुगणकीय) समाकल होता है, और केवल प्रथम-कोटि निरसन $\eu^{-ax} - \eu^{-bx} = O(x)$ ही अंतर को वहाँ [समाकलनीय](#def-b3-lebesgue-l1) बनाता है; और अनंत पर प्रत्येक पद अपने आप में हानिरहित है।