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title: "गुणन माप, फुबिनी, चर परिवर्तन"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables
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# अध्याय 11 — गुणन माप, फुबिनी, चर परिवर्तन

एक-विमीय लेबेग सिद्धांत दो प्रमेयों के माध्यम से बहु-विमीय कलन बन जाता है। *टोनेली–फुबिनी* कहती है कि गुणनों पर समाकल पुनरावृत्त समाकल होते हैं — अर्थात् काटना वैध है, किसी भी क्रम में, और वह भी ऐसी परिकल्पनाओं के अंतर्गत जिन्हें सचमुच जाँचा जा सकता है। *चर परिवर्तन सूत्र* समाकलों को $\mathcal C^1$ अवकल समरूपताओं के अनुदिश ले जाता है, जिसमें याकोबीय सारणिक आयतन की विनिमय दर का काम करता है; हम उसे पूरी तरह सिद्ध करते हैं, और आरंभ रैखिक स्थिति से करते हैं, जहाँ वह बता देता है कि सारणिक *है* क्या। अनुप्रयोग झरने की तरह गिरते हैं: परत-केक सूत्र, संवलन, [ध्रुवीय निर्देशांक](#ex-b3-product-polar), $n$-गोले का आयतन — और सप्ताहांत समस्या में, ईमानदार त्रुटि विश्लेषण सहित स्टर्लिंग का सूत्र।

## 11.1 गुणन $\sigma$-बीजगणित और गुणन माप

**परिभाषा 11.1.**

[मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) समष्टियों $(X, \mathcal A)$, $(Y, \mathcal B)$ के लिए $X \times
Y$ पर *गुणन $\sigma$-बीजगणित* $\mathcal A \otimes \mathcal B$ *आयतों* $A \times B$ ($A \in
\mathcal A$, $B \in \mathcal B$) से जनित होता है — जो एक $\pi$-प्रणाली है। $E
\subseteq X\times Y$ और $x \in X$ के लिए *परिच्छेद* $E_x
= \{y : (x,y) \in E\}$ है; और गुणन पर किसी फलन $f$ के लिए $f_x = f(x, \cdot)$।

**प्रतिज्ञप्ति 11.2.**

(क) यदि $E \in \mathcal A\otimes\mathcal B$ हो, तो प्रत्येक परिच्छेद $E_x
\in \mathcal B$ (और सममित रूप से भी); और यदि $f$ $\mathcal
A\otimes\mathcal B$-मापनीय हो, तो प्रत्येक $f_x$ $\mathcal
B$-मापनीय है। (ख) $\mathcal B(\R^m)\otimes\mathcal B(\R^n) = \mathcal
B(\R^{m+n})$।

**उपपत्ति.** (क) अच्छे समुच्चय: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ एक $\sigma$-बीजगणित है (परिच्छेद पूरकों और गणनीय सम्मिलनों के साथ क्रमविनिमेय हैं) जिसमें आयत हैं। $f$ के लिए: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$। (ख) ($\subseteq$) बोरेल समुच्चयों के आयत: इतना ही पर्याप्त है कि विवृत$\times$विवृत बक्से $\R^{m+n}$ में बोरेल हों (वे विवृत हैं) और यह कि व्यापक बोरेल आयत सीमाएँ हों — फिर अच्छे समुच्चय: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ विवृत समुच्चयों को अंतर्विष्ट करने वाला $\sigma$-बीजगणित है; ऐसे दो का प्रतिच्छेदन लीजिए। ($\supseteq$) $\R^{m+n}$ का प्रत्येक [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) परिमेय विवृत बक्सों $U\times V$ का गणनीय सम्मिलन है: अतः गुणन $\sigma$-बीजगणित में अंतर्विष्ट है। ∎

**प्रमेय 11.3 (गुणन माप).**

मान लीजिए $(X, \mathcal A, \mu)$ और $(Y, \mathcal B, \nu)$ *$\sigma$-परिमित* हैं। प्रत्येक $E \in \mathcal
A\otimes\mathcal B$ के लिए फलन $x \mapsto \nu(E_x)$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है, और

$$
(\mu\otimes\nu)(E) = \int_X \nu(E_x)\,\dd\mu(x)
$$

$\mathcal A\otimes\mathcal B$ पर $(\mu\otimes\nu)(A\times B) = \mu(A)\nu(B)$ वाला अद्वितीय [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) परिभाषित करता है। वह $\sigma$-परिमित और सममित है: $\nu$ के सापेक्ष $x$-परिच्छेदों का समाकलन करने पर वही [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) मिलता है।

**उपपत्ति.** *$x \mapsto \nu(E_x)$ की [मापनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable)।* पहले मान लीजिए $\nu$ परिमित है। जिन $E$ के लिए यह प्रतिचित्रण [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है उनका वर्ग $\mathcal D$ आयतों को अंतर्विष्ट करता है ($\nu((A\times B)_x) =
\nu(B)\mathbf 1_A(x)$) और एक $\lambda$-प्रणाली है: $\mathcal D$ में $E
\subseteq F$ के लिए $\nu((F\setminus E)_x) =
\nu(F_x) - \nu(E_x)$ (परिमितता); और $E_n \uparrow E$ के लिए $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)), तथा [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) फलनों की एकदिष्ट सीमाएँ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) होती हैं। आयत एक $\pi$-प्रणाली बनाते हैं: अतः डिन्किन ([प्रमेय 9.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-dynkin)) से $\mathcal D = \mathcal
A\otimes\mathcal B$। यदि $\nu$ $\sigma$-परिमित हो, तो $Y =
\bigcup Y_k$, $Y_k \uparrow$, $\nu(Y_k) < \infty$ लिखिए: तब परिमित $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ के साथ $\nu(E_x) =
\lim_k\nu_k(E_x)$।

*[माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure)।* $E \mapsto
\int\nu(E_x)\dd\mu$ की $\sigma$-योज्यता [उपप्रमेय 10.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#cor-b3-lebesgue-additivity) से निकलती है (असंयुक्त समुच्चयों के परिच्छेद असंयुक्त होते हैं)। आयतों पर वह $\mu(A)\nu(B)$ दे देती है। *अद्वितीयता*: दो उम्मीदवार आयतों की $\pi$-प्रणाली पर सहमत हैं; और $\sigma$-परिमितता परिमित [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) वाले आयत $X_k\times
Y_k \uparrow X\times Y$ दे देती है: [प्रमेय 9.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-uniqueness)। सममिति: दूसरे क्रम वाली रचना भी एक [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है जो आयतों पर सहमत है — और वह अद्वितीय है, अतः वही है। ∎

**परिभाषा 11.4.**

*$\R^d$ पर लेबेग माप* $\lambda_d = \lambda\otimes\cdots\otimes\lambda$ है ($d$ गुणनखंड; रचना की साहचर्यता बक्सों पर जाँची जाती है और अद्वितीयता से फैल जाती है)। यह वह अद्वितीय बोरेल [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है जो प्रत्येक बक्से $\prod\intoc{a_i}{b_i}$ को उसका आयतन $\prod(b_i - a_i)$ देता है; वह स्थानांतरण-अपरिवर्ती और $\sigma$-परिमित है, तथा कैराथियोडोरी [पूर्णन](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-completion) के बाद [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) किए गए [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) को हम $\lambda_d$ लिखते हैं और उसी के अनुसार समाकलन करते हैं।

## 11.2 टोनेली और फुबिनी

**प्रमेय 11.5 (टोनेली).**

$\mu, \nu$ $\sigma$-परिमित हैं, $f \colon X\times Y \to [0,
+\infty]$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है। तब $x \mapsto \int_Y f_x\,\dd\nu$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है और

$$
\int_{X\times Y}f\,\dd(\mu\otimes\nu)
= \int_X\Bigl(\int_Y f(x,y)\,\dd\nu(y)\Bigr)\dd\mu(x)
= \int_Y\Bigl(\int_X f(x,y)\,\dd\mu(x)\Bigr)\dd\nu(y).
$$

**उपपत्ति.** वही मानक मशीन। $f = \mathbf 1_E$ के लिए यह [प्रमेय 11.3](#thm-b3-product-existence) है (और उसका सममित रूप)। रैखिकता से यह सरल $f \geq 0$ के लिए लागू होता है। व्यापक $f \geq
0$ के लिए: सरल $s_n \nearrow f$ लीजिए ([प्रमेय 10.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-approximation)); तब प्रत्येक $x$ के लिए $\int_Y(s_n)_x
\dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ ($Y$ में एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय), अतः बाएँ पद $X$ में एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से अभिसरित होते हैं, जबकि गुणन पर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से $\int s_n\,\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$। ∎

**प्रमेय 11.6 (फुबिनी).**

$\mu, \nu$ $\sigma$-परिमित हैं, $f \in L^1(\mu\otimes\nu)$। तब $\mu$-लगभग प्रत्येक $x$ के लिए परिच्छेद $f_x$ $\nu$-समाकलनीय है, लगभग-सर्वत्र-परिभाषित फलन $x \mapsto \int f_x\dd\nu$ [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) है, और दोनों पुनरावृत्त समाकल $\int f\,\dd(\mu\otimes\nu)$ के बराबर होते हैं।

**उपपत्ति.** $\abs f$ पर लगाया गया टोनेली दिखा देता है कि $\varphi(x) = \int\abs{f_x}
\dd\nu$ का समाकल परिमित है, अतः वह लगभग सर्वत्र परिमित है: लगभग प्रत्येक $x$ के लिए $f_x \in
L^1(\nu)$। $f = f^+ - f^-$ को बाँटिए (वास्तविक स्थिति; सम्मिश्र स्थिति घटकों से): टोनेली $f^\pm$ के प्रत्येक पुनरावृत्त समाकल को $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) <
\infty$ के रूप में परिकलित कर देता है, और लगभग-सर्वत्र-परिभाषित अंतर का समाकल उसी अंतर के बराबर आता है। दूसरे क्रम के लिए सममित रूप से। ∎

**विधि 11.7.**

दो समाकलों की (या किसी समाकल और योग की, या दो योगों की) अदला-बदली करने के लिए: यदि समाकल्य *अऋणात्मक* हो, तो स्वतंत्र रूप से अदला-बदली कीजिए (टोनेली)। अन्यथा पहले $\abs f$ पर टोनेली लगाइए, और वह भी उस क्रम में जिसमें आकलन आसान हो; यदि परिणाम परिमित निकले, तो फुबिनी अदला-बदली को वैध कर देती है। $\abs f$ की जाँच कभी मत छोड़िए: [अभ्यास 11.4](#exo-b3-product-4) के समाकल्य के दोनों पुनरावृत्त समाकलों के *मान भिन्न* हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 11.8 (परत-केक).**

$(X, \mathcal A, \mu)$ $\sigma$-परिमित पर [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $f \geq 0$ के लिए:

$$
\int_X f\,\dd\mu = \int_0^{+\infty}\mu(\{f > t\})\,\dd t,
\qquad
\int_X f^p\,\dd\mu = p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\mu(\{f >
t\})\,\dd t \quad (p \geq 1).
$$

**उपपत्ति.** $X
\times \intoo0{+\infty}$ पर $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ पर टोनेली लगाइए (यह [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है: वह $\{(x,t): f(x) - t
> 0\}\cap\{t > 0\}$ है, अर्थात् [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $(x,t)\mapsto f(x) - t$ का बोरेल प्रकार का संचय): पहले $t$ में समाकलन करने पर $\int f\,\dd\mu$ मिलता है; और पहले $x$ में करने पर $\int_0^\infty\mu(f >
t)\dd t$। $f^p$ के लिए: $\int\mu(f^p > t)
\dd t$ में $t = s^p$ प्रतिस्थापित कीजिए, अर्थात् पहला सूत्र $f^p$ पर लगाइए और एक-विमीय समाकल में चर बदलिए ($\{f^p > s^p\} =
\{f > s\}$)। ∎

**प्रमेय 11.9 (L1L^1L1 पर संवलन).**

$f, g \in L^1(\R^d, \lambda_d)$ के लिए समाकल

$$
(f * g)(x) = \int_{\R^d} f(x - y)\,g(y)\,\dd y
$$

लगभग प्रत्येक $x$ के लिए निरपेक्षतः अभिसरित होता है, $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$ वाला $f * g \in
L^1(\R^d)$ परिभाषित करता है, और $*$ क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है।

**उपपत्ति.** $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है ($(x,y)\mapsto x -
y$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है; संयोजन और गुणन कीजिए)। टोनेली:

$$
\int\!\!\int \abs{f(x-y)}\abs{g(y)}\,\dd y\,\dd x
= \int\abs{g(y)}\Bigl(\int\abs{f(x - y)}\dd x\Bigr)\dd y
= \norm f_1\norm g_1 < \infty
$$

(भीतरी समाकल में $\lambda_d$ की स्थानांतरण अपरिवर्तिता)। अतः द्विक समाकल परिमित है; और फुबिनी लगभग सर्वत्र निरपेक्ष अभिसरण तथा मानक परिबंध $\norm{f*g}_1 \leq \norm
f_1\norm g_1$ दे देती है। क्रमविनिमेयता: $y \mapsto x - y$ प्रतिस्थापित कीजिए (स्थानांतरण और परावर्तन अपरिवर्तिता — परावर्तन अपरिवर्तिता बक्सों पर लागू होती है, अतः अद्वितीयता से सर्वत्र)। साहचर्यता: त्रिक समाकल पर टोनेली–फुबिनी। ∎

## 11.3 चर परिवर्तन

**प्रमेय 11.10 (रैखिक चर परिवर्तन).**

$T \in GL_d(\R)$ और $A \in \mathcal B(\R^d)$ के लिए: $\lambda_d(T(A)) = \abs{\det T}\,\lambda_d(A)$; फलस्वरूप $f \geq 0$ अथवा [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) के लिए $\int f(y)\dd y = \abs{\det T}\int f(Tx)\,\dd x$।

**उपपत्ति.** [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ एक बोरेल [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है (समस्थितिकताएँ बोरेल समुच्चय सुरक्षित रखती हैं, [समस्या 9.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#pb-b3-measure-1)), स्थानांतरण-अपरिवर्ती है ($T(A + x) = T(A) + Tx$), और इकाई बक्से पर परिमित: अतः [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter) के अभिलक्षण ([अभ्यास 9.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#exo-b3-measure-6), जिसकी उपपत्ति द्विआधारी घनों के साथ $\R^d$ में शब्दशः काम करती है) से $c(T)
= \lambda_d(T(\intco01^d))$ के साथ $\mu_T = c(T)\lambda_d$। प्रतिचित्रण $T \mapsto c(T)$ गुणनात्मक है (संयोजन से $c(ST) = c(S)c(T)$), अतः $GL_d$ के जनकों पर $c$ परिकलित करना पर्याप्त है: अर्थात् प्रारंभिक आव्यूहों पर। विकर्ण $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: यह इकाई घन को आयतन $\abs a$ वाले बक्से पर भेजता है: $c = \abs a =
\abs\det$। निर्देशांकों का स्थानांतरण: यह घन का क्रमचय कर देता है: $c
= 1 = \abs\det$। अपरूपण $T(x) = x + \alpha
x_2e_1$: इकाई घन का प्रतिबिंब एक तिरछा प्रिज्म है; टोनेली से उसका [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\int\lambda_1(\text{परिच्छेद})\dd x_2
\cdots \dd x_d = 1$ है, क्योंकि प्रत्येक $x_1$-परिच्छेद लंबाई $1$ का अंतराल है: $c = 1 = \abs{\det}$। प्रत्येक व्युत्क्रमणीय आव्यूह इन्हीं का गुणनफल है (गाउस निराकरण), और $c$ तथा $\abs\det$ दोनों गुणनात्मक हैं: अतः $c(T) = \abs{\det T}$। समाकल सूत्र मानक मशीन से निकलता है (सूचक, सरल, एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय)। ∎

**प्रमेय 11.11 (चर परिवर्तन).**

मान लीजिए $U, V \subseteq \R^d$ विवृत हैं और $\Phi \colon U \to V$ एक $\mathcal C^1$ अवकल समरूपता है। प्रत्येक [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $f \colon V
\to [0, +\infty]$ (अथवा $f \in L^1(V)$) के लिए:

$$
\int_V f(y)\,\dd y = \int_U
f\bigl(\Phi(x)\bigr)\,\abs{\det D\Phi(x)}\,\dd x .
$$

**उपपत्ति.** $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$ लिखिए। उपपत्ति का हृदय असमिका

$$
\lambda_d\bigl(\Phi(A)\bigr) \leq \int_A J\,\dd\lambda_d
\qquad\text{प्रत्येक बोरेल } A \subseteq U \text{ के लिए};
\tag{$*$}
$$

है। नीचे का चरण 4 $(*)$ को — जो $\Phi$ और $\Phi^{-1}$ दोनों पर लगाया जाता है — प्रमेय की समता तक उठा देता है। ध्यान दीजिए कि $\Phi^{-1}$ स्वयं याकोबीय $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ वाली एक $\mathcal C^1$ अवकल समरूपता है ($\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$ पर शृंखला नियम)।

*चरण 1: विरूपण गुणक सहित घनों के लिए $(*)$।* [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) $x_0$ और भुजा $2r$ वाला कोई संवृत घन $Q \subseteq U$ (उच्चतम-मानक गोला) स्थिर कीजिए। दावा: प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए, यदि $\Phi$ $Q$ पर अवकलनीय हो और $Q$ पर $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ हो (उच्चतम-मानक के लिए [संकारक मानक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator)), तो

$$
\Phi(Q) \subseteq \Phi(x_0) + D\Phi(x_0)\Bigl(\,\bigl(1 +
\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\bigr)\,(Q - x_0)\Bigr),
$$

क्योंकि $x \in Q$ के लिए $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ पर लगाई गई माध्य मान असमिका $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq
\varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$ देती है, और $D\Phi(x_0)^{-1}$ इस दोष को घन के $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$-विस्तार में समेट लेता है। [प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange) से

$$
\lambda_d(\Phi(Q)) \leq \abs{\det D\Phi(x_0)}\,
\bigl(1 + \varepsilon\,C\bigr)^{d}\,\lambda_d(Q),
\qquad C = \sup_{Q}\norm{D\Phi(\cdot)^{-1}} .
$$

*चरण 2: उपविभाजन द्वारा [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) घनों के लिए $(*)$।* मान लीजिए $Q
\subseteq U$ कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) घन है और $\varepsilon > 0$। $Q$ पर $D\Phi$ एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और $\norm{D\Phi^{-1}}$ परिबद्ध (संहतता); $Q$ को $2^{kd}$ उपघनों $Q_i$ में इतना छोटा उपविभाजित कीजिए कि प्रत्येक पर $D\Phi$ का दोलन $\leq \varepsilon$ हो। प्रत्येक उपघन ([केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) $x_i$) पर चरण 1:

$$
\lambda_d(\Phi(Q)) \leq \sum_i\lambda_d(\Phi(Q_i))
\leq (1 + C\varepsilon)^d \sum_i \abs{\det
D\Phi(x_i)}\,\lambda_d(Q_i)
\leq (1 + C\varepsilon)^d\Bigl(\int_Q J + \varepsilon'\Bigr),
$$

और अंतिम चरण इसलिए कि $Q$ पर एकसमान रूप से $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf
1_{Q_i} \to J$ ($\det D\Phi$ का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)) — रीमान-योग तुलना। अब $\varepsilon \to 0$ लीजिए: अतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) घनों के लिए $(*)$ लागू है।

*चरण 3: समस्त बोरेल $A$ के लिए $(*)$।* $U$ के बोरेल उपसमुच्चयों पर समुच्चय फलन $A
\mapsto \lambda_d(\Phi(A))$ एक [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है ($\Phi$ $V$ पर एकैकी आच्छादक है और बोरेल समुच्चयों तथा गणनीय असंयुक्तता को सुरक्षित रखता है), और $A \mapsto \int_AJ$ भी। $U$ का प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय लगभग असंयुक्त द्विआधारी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) घनों का गणनीय सम्मिलन है (मानक द्विआधारी विघटन: [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) में अंतर्विष्ट महत्तम द्विआधारी घन लीजिए), और दोनों [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) उन पर योज्य हैं (घनों की परिसीमाएँ $\lambda_d$-शून्य हैं, और उनके $\Phi$-प्रतिबिंब फलकों के पतले घन-आवरणों पर चरण 2 लगाने से शून्य हैं): अतः $(*)$ घनों से विवृत समुच्चयों तक पहुँच जाता है। व्यापक बोरेल $A$: $K_m \subseteq
\mathring K_{m+1}$ वाले संहतों $K_m \uparrow U$ से $U$ को निःशेष कीजिए और $m$ स्थिर कीजिए; $\mathring K_{m+1}$ पर $J$ किसी $M_m$ से परिबद्ध है। $\lambda_d$ की बाह्य नियमितता से (उपपत्ति [प्रमेय 9.13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-regularity) जैसी, बक्सों के साथ) $A \cap K_m \subseteq O_n
\subseteq \mathring K_{m+1}$ और $\lambda_d\bigl(O_n \setminus
(A\cap K_m)\bigr) \to 0$ वाले [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $O_n$ चुनिए। तब

$$
\lambda_d\bigl(\Phi(A\cap K_m)\bigr) \leq
\lambda_d\bigl(\Phi(O_n)\bigr) \leq \int_{O_n}J
\leq \int_{A\cap K_m}J + M_m\,\lambda_d\bigl(O_n\setminus(A\cap
K_m)\bigr) \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_{A\cap K_m}J .
$$

अब $m \to \infty$ लीजिए: बाईं ओर नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), दाईं ओर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय। इससे $(*)$ स्थापित हो जाता है।

*चरण 4: समता और समाकल सूत्र।* पहले $(*)$ को समुच्चयों से समाकलों तक बढ़ाइए: $V$ पर प्रत्येक [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $g
\geq 0$ के लिए

$$
\int_V g(y)\,\dd y \leq \int_U g(\Phi(x))\,J(x)\,\dd x .
\tag{$**$}
$$

वस्तुतः, $g = \mathbf 1_B$ के लिए यह $A =
\Phi^{-1}(B)$ के साथ $(*)$ है; रैखिकता इसे सरल $g$ तक बढ़ा देती है, और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय समस्त $g \geq 0$ तक (मानक मशीन)। अब $(**)$ को दो बार लगाइए: पहले $g$ पर, फिर — अवकल समरूपता $\Phi^{-1}$ के लिए — फलन $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$ पर:

$$
\int_Vg \leq \int_U g(\Phi(x))J(x)\dd x
\leq \int_V g(y)\,J(\Phi^{-1}y)\,\abs{\det
D\Phi^{-1}(y)}\,\dd y = \int_V g ,
$$

क्योंकि $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl(
D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ ($\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$ पर शृंखला नियम)। अतः सभी असमिकाएँ समताएँ हैं: सूत्र $g \geq 0$ के लिए लागू है, और विघटन से $L^1$ फलनों के लिए भी। ∎

**उदाहरण 11.12 (ध्रुवीय निर्देशांक; गाउसीय पुनः).**

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ $\intoo0{+\infty}\times\intoo0{2\pi}$ से $\R^2$ में से एक अर्ध-रेखा (शून्य समुच्चय) हटाकर मिलने वाली समष्टि पर $\det D\Phi =
r$ वाली $\mathcal
C^1$ अवकल समरूपता है:

$$
\int_{\R^2}f(x, y)\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{+\infty}
f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,\dd r\,\dd\theta .
$$

$f = \eu^{-x^2-y^2}$ के लिए टोनेली और यही सूत्र

$$
G^2 = \Bigl(\int_\R \eu^{-x^2}\dd x\Bigr)^2
= \int_{\R^2}\eu^{-x^2-y^2}
= 2\pi\int_0^\infty r\eu^{-r^2}\dd r = \pi:
$$

देते हैं — $G = \sqrt\pi$ की शास्त्रीय दो-पंक्ति उपपत्ति, जो अब पूर्णतः उचित ठहरा दी गई है ([समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#pb-b3-lebesgue-1) की प्राचल उपपत्ति से तुलना कीजिए)।

**प्रमेय 11.13 (इकाई गोले का आयतन).**

मान लीजिए $\R^d$ में $v_d = \lambda_d(B(0,1))$। तब

$$
v_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\bigl(\frac d2 + 1\bigr)} :
\qquad
v_1 = 2,\quad v_2 = \pi,\quad v_3 = \tfrac{4\pi}3,\quad
v_4 = \tfrac{\pi^2}2,\ \dots
$$

**उपपत्ति.** $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ को दो बार परिकलित कीजिए। टोनेली से वह गुणनखंडित हो जाता है: $I = G^d = \pi^{d/2}$। और परत-केक सूत्र ([प्रतिज्ञप्ति 11.8](#prop-b3-product-layercake)) से $f = \eu^{-
\norm x^2}$ के साथ, जिसके स्तर समुच्चय गोले हैं: $0 < t < 1$ के लिए $\{f > t\} =
B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$, जिसका [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $v_d(-\ln t)^{d/2}$ है ($\rho$ से प्रसार $\lambda_d$ को $\rho^d$ से मापित करता है: [प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange)), अतः

$$
I = \int_0^1 v_d\,(-\ln t)^{d/2}\,\dd t
\overset{t = \eu^{-s}}{=}
v_d\int_0^\infty s^{d/2}\eu^{-s}\,\dd s
= v_d\,\Gamma\Bigl(\frac d2 + 1\Bigr).
$$

अब बराबर कीजिए। (मान: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, इत्यादि।) ध्यान दीजिए कि $d \to \infty$ पर $v_d \to 0$ — सप्ताहांत समस्या स्टर्लिंग के माध्यम से बताती है कि कितनी तेजी से। ∎

## 11.4 अभ्यास

**अभ्यास 11.1 ★.**

मान लीजिए $\mu$ $(\intcc01, \mathcal
B(\intcc01))$ पर गणना [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है (जो $\sigma$-परिमित नहीं) और $\lambda$ [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter), तथा $\Delta = \{(x,x)\}$ $\intcc01^2$ का विकर्ण। दर्शाइए कि $\Delta$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है, और $\lambda$ तथा $\mu$ के सापेक्ष $\mathbf 1_\Delta$ के दोनों पुनरावृत्त समाकल परिकलित कीजिए: वे भिन्न हैं। [प्रमेय 11.5](#thm-b3-product-tonelli) की कौन-सी परिकल्पना विफल होती है?

**हल — अभ्यास 11.1.**

$\Delta$ $\intcc01^2$ में संवृत है, अतः बोरेल, और $\mathcal
B(\intcc01^2)$ गुणन $\sigma$-बीजगणित है ([प्रतिज्ञप्ति 11.2](#prop-b3-product-sections)(ख))। एक ओर से पुनरावृत्ति करने पर:

$$
\int_{\intcc01}\Bigl(\int \mathbf 1_\Delta(x,y)
\,\dd\lambda(y)\Bigr)\dd\mu(x)
= \int \lambda(\{x\})\,\dd\mu(x) = 0 ;
$$

और दूसरी ओर से:

$$
\int_{\intcc01}\Bigl(\int\mathbf
1_\Delta(x,y)\,\dd\mu(x)\Bigr)\dd\lambda(y)
= \int \mu(\{y\})\,\dd\lambda(y) = \int 1\,\dd\lambda = 1 .
$$

जो परिकल्पना विफल होती है वह अगणनीय $\intcc01$ पर गणना [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\mu$ की $\sigma$-परिमितता है: परिमित-$\mu$ समुच्चयों का कोई गणनीय कुल उसे आच्छादित नहीं करता।

**अभ्यास 11.2 ★.**

अदला-बदली को उचित ठहराइए और दिरिक्ले का समाकल पुनः निकालिए: $A > 0$ के लिए

$$
\int_0^A\frac{\sin x}x\,\dd x
= \int_0^A\!\!\int_0^{+\infty}\eu^{-xy}\sin x\,\dd y\,\dd x
= \int_0^{+\infty}\!\!\int_0^A \eu^{-xy}\sin x\,\dd x\,\dd y,
$$

भीतरी समाकल संवृत रूप में परिकलित कीजिए, और $A \to
+\infty$ जाने दीजिए ($y$-समाकल पर प्रभुत्व) जिससे $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x = \frac\pi2$ मिले।

**हल — अभ्यास 11.2.**

$\intcc0A\times\intoo0{+\infty}$ पर: $\int_0^A\int_0^\infty\eu^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x =
\int_0^A\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \leq A < \infty$ (निरपेक्ष मान के लिए टोनेली): अतः फुबिनी लागू होती है, और चूँकि $\int_0^\infty\eu^{-xy}\dd y = \frac1x$,

$$
\int_0^A\frac{\sin x}x\dd x
= \int_0^\infty\Bigl(\int_0^A\eu^{-xy}\sin x\,\dd
x\Bigr)\dd y
= \int_0^\infty \frac{1 - \eu^{-Ay}(\cos A + y\sin A)}{1 +
y^2}\,\dd y
$$

(आंतरिक समाकल: $\operatorname{Im}\int_0^A\eu^{(\iu -
y)x}\dd x$, सीधे परिकलित)। $A \to \infty$ पर संशोधन पद $\int_0^\infty\eu^{-Ay}\frac{1 +
y}{1 + y^2}\dd y \leq \frac32\int_0^\infty\eu^{-Ay}\dd y =
\frac3{2A} \to 0$ से परिबद्ध है; और मुख्य पद $\int_0^\infty\frac{\dd y}{1+y^2} = \frac\pi2$ है। अतः $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x = \frac\pi2$ — अर्थात् फुबिनी से दिरिक्ले का समाकल।

**अभ्यास 11.3 ★★.**

(क) सिद्ध कीजिए कि [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $f \geq 0$ और परिमित $\mu$ के लिए: $\sum_{n\geq1}\mu(\{f \geq n\}) \leq \int f\,\dd\mu \leq
\mu(X) + \sum_{n\geq1}\mu(\{f\geq n\})$ अर्थात् [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) पुच्छ मापों की योग्यता ही है। (ख) इससे निष्कर्ष निकालिए कि $f \in L^1(\mu)$ ($\mu$ परिमित) तभी और केवल तभी जब $\sum_n\mu(\abs f \geq n) < \infty$।

**हल — अभ्यास 11.3.**

(क) परत-केक ([प्रतिज्ञप्ति 11.8](#prop-b3-product-layercake)): $\int
f\,\dd\mu = \int_0^\infty\mu(f > t)\,\dd t$, और $t \mapsto
\mu(f > t)$ अनवर्धमान है। $[n-1, n]$ पर: $\mu(f \geq n)
\leq \mu(f > t) \leq \mu(f > n - 1) \leq \mu(f \geq n - 1)$; इकाई अंतरालों पर समाकलों का योग करने पर:

$$
\sum_{n\geq1}\mu(f \geq n) \leq \int f\,\dd\mu \leq
\sum_{n\geq1}\mu(f \geq n - 1) = \mu(f \geq 0) +
\sum_{n\geq1}\mu(f\geq n) \leq \mu(X) + \sum_{n\geq1}\mu(f\geq
n).
$$

(ख) (क) को $\abs f$ पर लगाइए: समाकल और श्रेणी की परिमितता तुल्य हैं (अतिरिक्त $\mu(X)$ परिमित है)।

**अभ्यास 11.4 ★★.**

$\intoo01^2$ पर $f(x, y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ के लिए दर्शाइए

$$
\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\dd y\,\dd x = \frac\pi4,
\qquad
\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\dd x\,\dd y = -\frac\pi4
$$

*(ध्यान दीजिए कि $f = \partial_y\bigl(\frac{y}{x^2+y^2}\bigr)$)*, और सीधे सत्यापित कीजिए कि $\int\!\int\abs f = +\infty$: फुबिनी की [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) परिकल्पना सजावट नहीं है।

**हल — अभ्यास 11.4.**

चूँकि $x \ne 0$ के लिए $f(x,y) = \partial_y\bigl(\frac{y}{x^2+y^2}\bigr)$:

$$
\int_0^1 f(x, y)\,\dd y = \frac{1}{x^2 + 1}
\ \Longrightarrow\
\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\dd y\,\dd x =
\int_0^1\frac{\dd x}{1 + x^2} = \frac\pi4 ;
$$

प्रतिसममिति $f(y,x) = -f(x,y)$ से दूसरा क्रम $-\frac\pi4$ देता है। निरपेक्ष मान: $0 < y < x$ के लिए

$$
\int_0^x f(x,y)\,\dd y = \Bigl[\frac{y}{x^2 +
y^2}\Bigr]_0^x = \frac1{2x},
\quad\text{तथा वहाँ } f \geq 0 \text{, अतः}\quad
\int_0^1\!\!\int_0^1\abs f \geq \int_0^1\frac{\dd x}{2x} =
+\infty .
$$

फुबिनी के साथ कोई विरोधाभास नहीं: उसकी परिकल्पना $f \in L^1$ विफल हो जाती है, और दोनों पुनरावृत्त समाकल केवल दो भिन्न संख्याएँ हैं।

**अभ्यास 11.5 ★★.**

(क) $\mathbf 1_{\intcc01} * \mathbf 1_{\intcc01}$ स्पष्ट रूप से परिकलित कीजिए (एक तंबू फलन), और $(\mathbf 1 * \mathbf 1 *
\mathbf 1)$ की व्यापक आकृति भी। (ख) दर्शाइए $\operatorname{supp}(f * g) \subseteq
\overline{\operatorname{supp}f + \operatorname{supp}g}$। (ग) दर्शाइए कि यदि $f \in L^1$ हो और $g$ परिबद्ध तथा [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हो, तो $f * g$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। *(परिबद्ध $g$ पर स्थानांतरण के [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) के माध्यम से प्रभावी अभिसरण प्रमेय।)*

**हल — अभ्यास 11.5.**

(क) $(\mathbf 1_{\intcc01}*\mathbf 1_{\intcc01})(x) =
\lambda\bigl(\intcc01\cap\intcc{x-1}x\bigr)$: $x
\notin \intcc02$ के लिए $0$, $0 \leq x \leq 1$ के लिए $x$, $1
\leq x \leq 2$ के लिए $2 - x$: अर्थात् तंबू। फिर से संवलन करने पर $\intcc03$ पर कोई $\mathcal
C^1$ खंडशः-द्विघातीय उभार मिलता है (द्विघातीय बी-प्रत्यास्थक): प्रत्येक संवलन चिकनाई की एक कोटि जोड़ देता है — [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#ch-b3-lp) के मृदुकारकों के पीछे यही मृदुकरण सिद्धांत है।

(ख) यदि $x \notin \overline{\operatorname{supp}f +
\operatorname{supp}g}$ हो, तो $x$ के चारों ओर योग-समुच्चय से असंयुक्त कोई गोला है; और $y \in \operatorname{supp}g$ के लिए $x - y
\notin\operatorname{supp}f$, अतः समाकल्य सर्वथा लुप्त हो जाता है: $x$ के निकट $f * g = 0$।

(ग) $x_n \to x$ के लिए: $(f*g)(x_n) = \int
f(y)g(x_n - y)\,\dd y$; समाकल्य बिंदुशः अभिसरित होते हैं ($g$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)) और उन पर $\norm
g_\infty\,\abs f \in L^1$ का प्रभुत्व है: प्रभावी अभिसरण प्रमेय $(f*g)(x_n) \to (f*g)(x)$ दे देती है।

**अभ्यास 11.6 ★★.**

(क) दर्शाइए कि सरलक $\Delta_d = \{x \in \intco0\infty^d
: x_1 + \dots + x_d \leq 1\}$ का आयतन $\frac1{d!}$ है *(आगमन और फुबिनी)*। (ख) [प्रमेय 11.13](#thm-b3-product-ballvolume) से $v_2 = \pi$, $v_3 = \frac{4\pi}3$ पुनः प्राप्त कीजिए, और $\lambda_d(\text{अर्ध-अक्षों } a_i \text{ वाला दीर्घवृत्ताभ}) =
v_d\prod a_i$ दर्शाइए।

**हल — अभ्यास 11.6.**

(क) फुबिनी और आगमन से, अंतिम निर्देशांक के अनुदिश काटते हुए:

$$
\lambda_d(\Delta_d) = \int_0^1
\lambda_{d-1}\bigl((1 - t)\,\Delta_{d-1}\bigr)\,\dd t
= \lambda_{d-1}(\Delta_{d-1})\int_0^1(1 - t)^{d-1}\dd t
= \frac{\lambda_{d-1}(\Delta_{d-1})}{d},
$$

जिसमें प्रसार नियम $\lambda_{d-1}(\rho A) =
\rho^{d-1}\lambda_{d-1}(A)$ ([प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange)) का उपयोग हुआ है; और $\lambda_1(\Delta_1) = 1$ के साथ: आयतन $\frac1{d!}$।

(ख) $v_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi$; $v_3 =
\pi^{3/2}/\Gamma(\frac52) = \pi^{3/2}/(\frac32\cdot\frac12
\sqrt\pi) = \frac{4\pi}3$। दीर्घवृत्तज $T = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_d)$ के साथ $T(B(0,1))$ है: [प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange) आयतन $v_d\prod a_i$ दे देता है।

**अभ्यास 11.7 ★★.**

किन $s > 0$ के लिए निम्नलिखित परिमित हैं? ध्रुवीय निर्देशांकों से उचित ठहराइए:

$$
\int_{B(0,1)\subseteq\R^2}\frac{\dd x\,\dd y}{(x^2 +
y^2)^{s}},
\qquad
\int_{\R^2\setminus B(0,1)}\frac{\dd x\,\dd y}{(x^2 +
y^2)^{s}} .
$$

$\R^d$ तक सामान्यीकरण कीजिए (देहलियाँ $s < d/2$ और $s > d/2$)।

**हल — अभ्यास 11.7.**

$\R^2$ में [ध्रुवीय निर्देशांक](#ex-b3-product-polar) ([उदाहरण 11.12](#ex-b3-product-polar)):

$$
\int_{B(0,1)}\frac{\dd x\dd y}{(x^2+y^2)^s}
= 2\pi\int_0^1 r^{1 - 2s}\,\dd r,
\qquad
\int_{\R^2\setminus B(0,1)} = 2\pi\int_1^\infty r^{1-2s}\dd r:
$$

जो परिमित है तभी और केवल तभी जब $1 - 2s > -1$ ($s < 1$), क्रमशः $1 - 2s < -1$ ($s >
1$)। $\R^d$ में गोलीय निर्देशांकों से बचकर परत-केक से: $\lambda_d(\{\norm x^{-2s} > t\}\cap B(0,1)) =
\lambda_d(B(0, \min(1, t^{-1/2s}))) = v_d\min(1, t^{-d/2s})$, और $\int_0^\infty v_d\min(1, t^{-d/(2s)})\dd t < \infty$ तभी और केवल तभी जब $\frac d{2s} > 1$, अर्थात् $s < \frac d2$; और बाहरी समाकल अभिसरित होता है तभी और केवल तभी जब $s > \frac d2$ (पूरक क्षेत्र पर वही परिकलन)।

**अभ्यास 11.8 ★★★.**

(बीटा–गामा) $p, q > 0$ के लिए मान लीजिए $B(p, q) = \int_0^1t^{p-1}(1
- t)^{q-1}\dd t$। $\Gamma(p)\Gamma(q)$ को द्विक समाकल के रूप में लेकर आरंभ कीजिए, $(x, y) = (uv,\, u(1 - v))$ प्रतिस्थापित कीजिए (जो विवृत चतुर्थांश की $\intoo0\infty\times\intoo01$ पर एक अवकल समरूपता है; उसका याकोबीय $= u$ परिकलित कीजिए) और निष्कर्ष निकालिए

$$
B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)} .
$$

इससे $\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,
\dd\theta = \frac12B(p,q)$ और वालिस समाकलों $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n$ का मान निकालिए।

**हल — अभ्यास 11.8.**

टोनेली (धनात्मक समाकल्य) और चर परिवर्तन $(x, y) = \Phi(u, v) = (uv,\ u(1-v))$ से, जो $\intoo0\infty\times\intoo01$ का विवृत चतुर्थांश पर कोई $\mathcal C^1$ अवकल समरूपता है और जिसमें

$$
\det D\Phi = \det\begin{pmatrix} v & u\\ 1 - v & -u
\end{pmatrix} = -uv - u(1 - v) = -u,
\qquad \abs{\det} = u :
$$

$$
\Gamma(p)\Gamma(q) =
\iint x^{p-1}y^{q-1}\eu^{-x-y}\dd x\,\dd y
= \iint (uv)^{p-1}\bigl(u(1{-}v)\bigr)^{q-1}\eu^{-u}\,u\,
\dd u\,\dd v
= \Gamma(p + q)\,B(p, q).
$$

$B(p,q)$ में $t = \sin^2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर $2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,\dd\theta =
B(p, q)$ मिलता है। वालिस: $W_n =
\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta = \frac12B\bigl(\frac{n +
1}2, \frac12\bigr) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}2)\sqrt\pi}
{2\,\Gamma(\frac n2 + 1)}$ — उदाहरणार्थ $\Gamma(n + \frac12) = \frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$ का उपयोग करते हुए $W_{2n} =
\frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$।

**अभ्यास 11.9 ★★.**

(स्थानांतरण सूत्र) मान लीजिए $T \colon (X, \mathcal A, \mu) \to (Y,
\mathcal B)$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है और $T_*\mu(B) = \mu(T^{-1}(B))$ *अग्रप्रेषित माप*। दर्शाइए कि $Y$ पर प्रत्येक [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $g \geq 0$ के लिए

$$
\int_Y g\,\dd(T_*\mu) = \int_X g\circ T\,\dd\mu
$$

(मानक मशीन)। फिर [प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange) से तुलना कीजिए: चर परिवर्तन सूत्र वह कौन-सी अतिरिक्त सूचना देता है जो अमूर्त स्थानांतरण सूत्र नहीं देता? *(स्थानांतरण सूत्र $T_*\mu$ की पहचान कभी नहीं करता; चर परिवर्तन प्रमेय $T_*\lambda_d$ को [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) के रूप में स्पष्ट परिकलित कर देती है।)*

**हल — अभ्यास 11.9.**

सूचक: $\int\mathbf 1_B\,\dd(T_*\mu) = T_*\mu(B) =
\mu(T^{-1}B) = \int\mathbf 1_B\circ T\,\dd\mu$; रैखिकता इसे सरल $g$ तक और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय $g \geq 0$ तक बढ़ा देती है — यही अंतरण सूत्र है। यह विशुद्ध रूप से औपचारिक है: वह $T_*\mu$ के सापेक्ष समाकलों को फिर से व्यक्त करता है पर इस बारे में कुछ नहीं कहता कि $T_*\mu$ *है क्या*। [प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange) और [प्रमेय 11.11](#thm-b3-product-changeofvar) की अंतर्वस्तु पहचान

$$
\Phi_*\bigl(\lambda_d\restriction_U\bigr) =
\abs{\det D\Phi^{-1}}\,\lambda_d\restriction_V
\quad\text{(एक घनत्व माप)},
$$

है, अर्थात् [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter) के अग्रसारण का परिकलन — जिसका वैश्लेषिक निवेश $\Phi$ की अवकल ज्यामिति है, न कि माप-सैद्धांतिक औपचारिकता।

**अभ्यास 11.10 ★★★.**

(गाउसीय आघूर्ण) ध्रुवीय निर्देशांकों और फुबिनी का उपयोग करके $\R^d$ पर मानक गाउसीय भार के लिए परिकलित कीजिए:

$$
\int_{\R^d}\norm x_2^2\;\eu^{-\norm x_2^2}\,\dd x
\qquad\text{तथा}\qquad
\int_{\R^d}x_1^2\,\eu^{-\norm x^2_2}\,\dd x,
$$

संगति जाँचिए ($\norm x^2 = \sum x_i^2$), और [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\pi^{-d/2}\eu^{-\norm x^2}\dd x$ का द्वितीय आघूर्ण निष्कर्ष के रूप में निकालिए।

**हल — अभ्यास 11.10.**

टोनेली से गाउसीय गुणनखंडित हो जाता है, अतः $G_1 =
\int_\R\eu^{-s^2}\dd s = \sqrt\pi$ और $\int_\R
s^2\eu^{-s^2}\dd s = \frac{\sqrt\pi}2$ के साथ (खंडशः समाकलन कीजिए):

$$
\int_{\R^d}x_1^2\,\eu^{-\norm x^2}\dd x =
\frac{\sqrt\pi}2\;\pi^{(d-1)/2} = \frac{\pi^{d/2}}2,
\qquad
\int_{\R^d}\norm x^2\eu^{-\norm x^2}\dd x =
d\cdot\frac{\pi^{d/2}}2
$$

(सममिति से $\norm x^2 = \sum_ix_i^2$ $d$ बराबर पदों का योगदान देता है — यही संगति जाँच है)। मानकीकृत [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\pi^{-d/2}\eu^{-\norm x^2}\dd x$ के लिए द्वितीय आघूर्ण $\frac d2$ है।

**अभ्यास 11.11 ★★.**

(आलेख और अधोआलेख) मान लीजिए $f \colon \R^d \to \intco0\infty$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है। (क) दर्शाइए कि *अधोआलेख* $H = \{(x, y) \in
\R^d\times\R : 0 < y < f(x)\}$ $\R^{d+1}$ में [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है और

$$
\lambda_{d+1}(H) = \int_{\R^d}f\,\dd\lambda_d :
$$

अर्थात् “समाकल आलेख के नीचे का क्षेत्रफल है”, जो अंततः एक प्रमेय बन गया। *(परिच्छेद; टोनेली।)* (ख) दर्शाइए कि आलेख $\{(x, f(x)) : x \in \R^d\}$ $\R^{d+1}$ का शून्य समुच्चय है। (ग) इससे दो पंक्तियों में सिद्ध कीजिए कि गोलक $S^{d-1}$ $\R^d$ में लेबेग-शून्य है।

**हल — अभ्यास 11.11.**

(क) $\{y > 0\}$ से प्रतिच्छेदित $\Phi(x, y) = f(x) -
y$ के लिए $H = \Phi^{-1}(\intoo0\infty)$: [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable), क्योंकि $(x, y)
\mapsto f(x)$ और $(x,y)\mapsto y$ गुणनफल पर [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) हैं (प्रक्षेपों के साथ संयोजन)। $H$ का $x$-अनुभाग $\intoo0{f(x)}$ है, जिसका [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $f(x)$ है: टोनेली अनुभागों का समाकलन करती है,

$$
\lambda_{d+1}(H) = \int_{\R^d}\lambda_1\bigl(\intoo0{f(x)}
\bigr)\,\dd x = \int_{\R^d}f\,\dd\lambda_d .
$$

(ख) आलेख $\{(x,y) : y \geq f(x)\} \cap \{y \leq
f(x)\}$ है, जो [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है; उसके $x$-अनुभाग एकल बिंदु हैं, जिनका [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $0$ है: अतः टोनेली $\lambda_{d+1}(\text{आलेख}) =
\int 0 = 0$ देती है।

(ग) $S^{d-1}$ $\R^{d-1}$ के इकाई गोले पर दोनों आलेखों $y =
\pm\sqrt{1 - \abs{x'}^2}$ का संघ है (अंतिम निर्देशांक अलग करके): अर्थात् (ख) से दो अकिंचन समुच्चयों का संघ, इसलिए अकिंचन।

**अभ्यास 11.12 ★★.**

(एक प्रसिद्ध द्विक समाकल) $\intoo01^2$ पर गुणोत्तर श्रेणी और टोनेली का उपयोग करके सिद्ध कीजिए

$$
\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{\dd x\,\dd y}{1 - xy}
= \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \zeta(2),
\qquad
\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{\dd x\,\dd y}{1 + xy}
= \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\zeta(2)}2 .
$$

(दूसरी श्रेणी सर्वसमिका: सम और विषम सूचकांक अलग कीजिए।) $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#ch-b3-spectral)) के साथ, दो निर्दोष दिखने वाले समाकलों के मान $\frac{\pi^2}6$ और $\frac{\pi^2}{12}$ निकल आते हैं; टोनेली की धनात्मकता परिकल्पना ठीक कहाँ अपना काम करती है?

**हल — अभ्यास 11.12.**

$\intoo01^2$ पर ऋणेतर पदों के साथ $\frac1{1 - xy} = \sum_{n\geq0}(xy)^n$: टोनेली पदशः समाकलन की अनुमति देती है,

$$
\iint\frac{\dd x\,\dd y}{1 - xy}
= \sum_{n\geq0}\Bigl(\int_0^1x^n\dd x\Bigr)
\Bigl(\int_0^1y^n\dd y\Bigr)
= \sum_{n\geq0}\frac1{(n+1)^2} = \zeta(2) .
$$

एकांतर स्थिति के लिए $\frac1{1 + xy} =
\sum_n(-1)^n(xy)^n$ कोई धनात्मक श्रेणी नहीं है; पर *निरपेक्ष* श्रेणी का समाकल $\zeta(2) <
\infty$ है, अतः फुबिनी (अब [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) स्थापित) लागू होती है: $\iint\frac{\dd x\dd y}{1 + xy} =
\sum_n\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}$। श्रेणी सर्वसमिका:

$$
\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}
= \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} - 2\sum_{k\geq1}\frac1{(2k)^2}
= \zeta(2) - \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\zeta(2)}2 .
$$

$\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ([समस्या 15.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#pb-b3-spectral-1)) के साथ: समाकल $\frac{\pi^2}6$ और $\frac{\pi^2}{12}$ हैं। पहले परिकलन में टोनेली की धनात्मकता ही सब कुछ थी — अदला-बदली से पहले किसी [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) जाँच की आवश्यकता नहीं; और दूसरे में निरपेक्ष श्रेणी की धनात्मकता ही [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) *प्रमाणित* करती है ताकि फुबिनी चिह्नयुक्त श्रेणी पर चल सके।

## 11.5 समस्या: स्टर्लिंग का सूत्र

**समस्या 11.1.**

सप्ताहांत समस्या — $n! \sim
\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n$, प्रभावी अभिसरण से

स्टर्लिंग का सूत्र इस पुस्तक की प्रत्येक स्पर्शोन्मुख गणना पर शासन करता है — गोलों के आयतन, द्विपद गुणांक, केंद्रीय सीमा प्रमेय का स्थानीय रूप। हम उसे $\Gamma$ समाकल ([उदाहरण 10.16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma)) से *लाप्लास विधि* द्वारा, उसके स्वच्छतम प्रभावी-अभिसरण रूप में सिद्ध करते हैं, और फिर लाभांश बटोरते हैं।

**भाग I — सूत्र।** $t > 0$ के लिए $\Gamma(t + 1) = \int_0^\infty x^{t}\eu^{-x}\dd x$।

1. $x = t + \sqrt t\,u$ प्रतिस्थापित कीजिए और दर्शाइए $$\frac{\Gamma(t+1)}{t^{t}\eu^{-t}\sqrt t}  = \int_{-\sqrt t}^{+\infty}  \exp\Bigl(t\ln\Bigl(1 + \frac u{\sqrt  t}\Bigr) - \sqrt t\,u\Bigr)\,\dd u  \;=\;\int_\R g_t(u)\,\dd u,$$ जहाँ $g_t(u) = \exp\bigl(t\ln(1 + u/\sqrt t) -  \sqrt t\,u\bigr)\mathbf 1_{u > -\sqrt t}$।
2. बिंदुशः सीमा दर्शाइए: प्रत्येक स्थिर $u$ के लिए $t \to +\infty$ पर $g_t(u)  \to \eu^{-u^2/2}$ *($\ln(1 + h)$ का द्वितीय कोटि तक प्रसार कीजिए)* ।
3. प्रभुत्व। मान लीजिए $\varphi(h) = \ln(1 + h) - h$, जिससे $u > -\sqrt t$ के लिए $g_t(u) = \exp\bigl(t\,\varphi(u/\sqrt t)\bigr)$। दोनों परिबंध सिद्ध कीजिए $$\varphi(h) \leq -\frac{h^2}4 \quad (-1 < h \leq 1),  \qquad  \varphi(h) \leq -c\,h \quad (h \geq 1),\ \ c = 1 -  \ln 2 > 0$$ *($\varphi(h) + \frac{h^2}4$ और $\varphi(h)  + ch$ का अध्ययन कीजिए: अवकलज परिकलित कीजिए और प्रत्येक परास पर चिह्न जाँचिए)*। $t \geq 1$ के लिए निष्कर्ष निकालिए: $$g_t(u) \leq \eu^{-u^2/4}\ \ (\abs u \leq \sqrt t),  \qquad  g_t(u) \leq \eu^{-cu}\ \ (u \geq \sqrt t),$$ जिससे $g_t(u) \leq \eu^{-u^2/4} +  \eu^{-cu}\,\mathbf 1_{u > 0}$: अर्थात् $t \geq 1$ से स्वतंत्र एक [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) प्रभावी फलन।
4. प्रभावी अभिसरण प्रमेय और गाउसीय समाकल ([उदाहरण 11.12](#ex-b3-product-polar)) से निष्कर्ष निकालिए: $$\Gamma(t + 1) \;\sim\;  \sqrt{2\pi t}\;\Bigl(\frac t\eu\Bigr)^{t}  \qquad (t \to +\infty),$$ और विशेष रूप से $n! \sim \sqrt{2\pi  n}\,(n/\eu)^n$।

**भाग II — लाभांश।**

5. (वालिस) [अभ्यास 11.8](#exo-b3-product-8) , $W_{2n} =  \frac\pi2\binom{2n}n4^{-n}$ प्रकार के सूत्रों से: स्टर्लिंग से $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ निकालिए, और उसे पुनरावर्तन $W_{n} =  \frac{n-1}nW_{n-2}$ के सापेक्ष जाँचिए।
6. (गोलों के आयतन ढह जाते हैं) दर्शाइए $$v_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac d2 + 1)}  \;\sim\; \frac{1}{\sqrt{\pi d}}  \Bigl(\frac{2\pi\eu}{d}\Bigr)^{d/2},$$ अतः $v_d \to 0$, और वह भी किसी भी गुणोत्तर अनुक्रम से तेज; $v_d$ को अधिकतम करने वाली विमा ज्ञात कीजिए (संख्यात्मक रूप से: $d =  5$)।
7. (द्विपद का संकेंद्रण — [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) की एक झलक) स्टर्लिंग का उपयोग करके स्थानीय आकलन दर्शाइए, स्थिर $s$ वाले $k = n/2 + s\sqrt n/2$ और सम $n$ के लिए: $$2^{-n}\binom{n}{k} \;\sim\;  \sqrt{\frac{2}{\pi n}}\;\eu^{-s^2/2},$$ अर्थात् विविक्त गाउसीय रूपरेखा: भ्रूण रूप में दे म्वाव्र–लाप्लास।
8. भाग I की उपपत्ति ने ठीक कहाँ उपयोग किया: (क) एकदिष्ट या प्रभावी अभिसरण प्रमेय; (ख) गाउसीय समाकल; (ग) [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter) के अपरिवर्तिता गुण? प्रत्येक के लिए एक-एक वाक्य।

**भाग III — त्रुटि पद: सीमाओं सहित स्टर्लिंग।** $d_n = \ln n! - \bigl(n + \tfrac12\bigr)\ln n + n -
\ln\sqrt{2\pi}$ रखिए, जिससे भाग I कहता है कि $d_n \to 0$।

9. दर्शाइए $d_n - d_{n+1} = \bigl(n +  \tfrac12\bigr)\ln\bigl(1 + \tfrac1n\bigr) - 1$ ।
10. $t = \frac1{2n+1}$ के साथ $\frac{n+1}n =  \frac{1+t}{1-t}$ सत्यापित कीजिए और प्रसार कीजिए: $$d_n - d_{n+1} = \frac{t^2}3 + \frac{t^4}5 +  \frac{t^6}7 + \cdots,$$ तथा द्विपक्षीय परिबंध निकालिए $$\frac1{3(2n+1)^2} \;<\; d_n - d_{n+1} \;<\;  \frac1{12n} - \frac1{12(n+1)} .$$
11. दूरबीनी योग लीजिए ($d_m \to 0$ का उपयोग करते हुए) और $m \geq 1$ के लिए सुखद बीजगणितीय सर्वसमिका $\frac1{3(2m+1)^2} >  \frac1{12m+1} - \frac1{12(m+1)+1}$ जाँचिए, जिससे शास्त्रीय कोष्ठन $$\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac n\eu\Bigr)^n  \eu^{1/(12n+1)} \;<\; n! \;<\;  \sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac n\eu\Bigr)^n\eu^{1/(12n)} .$$ मिल जाए।
12. दो परिणाम: (क) $n \geq 83\,334$ होते ही स्टर्लिंग के सूत्र की सापेक्ष त्रुटि $< 10^{-6}$ हो जाती है; (ख) कोष्ठन से $100!$ का हाथ से चार सार्थक अंकों तक आकलन कीजिए ( $100! \approx 9.3326\cdot  10^{157}$ ), और एक बहुत ही परिमित $n$ पर किसी स्पर्शोन्मुख सूत्र की यथार्थता पर क्षण भर विस्मित होइए।

**भाग IV — वालिस मार्ग: गाउसीय के बिना स्टर्लिंग।** ऐतिहासिक रूप से नियतांक $\sqrt{2\pi}$ वालिस से आया था, गाउस से नहीं; यह भाग स्टर्लिंग को भाग I और II से स्वतंत्र रूप से पुनः सिद्ध करता है, और इस प्रकार गाउसीय समाकल को भी पुनः सिद्ध कर देता है। मान लीजिए $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,
\dd\theta$।

13. $W_n = \frac{n-1}nW_{n-2}$ स्थापित कीजिए (खंडशः समाकलन), संवृत रूप $$W_{2n} = \frac\pi2\binom{2n}n4^{-n}, \qquad  W_{2n+1} = \frac{4^n}{(2n+1)\binom{2n}n},$$ और सर्वसमिका $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ भी।
14. $(W_n)$ की एकदिष्टता से $W_{2n}/W_{2n+1} \to 1$ निकालिए, फिर $$W_{2n} \sim \frac12\sqrt{\frac\pi n}  \qquad\text{तथा}\qquad  \binom{2n}n4^{-n}\sqrt n \longrightarrow  \frac1{\sqrt\pi} :$$ अर्थात् वालिस की प्रमेय, जो स्टर्लिंग के बिना प्राप्त हुई।
15. केवल भाग III के दूरबीनी योग से (नियतांक के मान की कोई आवश्यकता नहीं) दर्शाइए कि $e_n = \ln n! - (n +  \frac12)\ln n + n$ किसी सीमा $\ell$ पर अभिसरित होता है; समतुल्य रूप से $n! \sim K\,n^{n+1/2}\eu^{-n}$ , जिसमें $K =  \eu^\ell > 0$ अभी अज्ञात है।
16. इस स्पर्शोन्मुखता को $\binom{2n}n4^{-n}\sqrt n$ में डालिए और प्रश्न 14 का उपयोग करके एकमात्र संभव मान पहचानिए: $K = \sqrt{2\pi}$ । तर्क को संकलित कीजिए: भाग III और IV मिलकर स्टर्लिंग की एक पूरी दूसरी उपपत्ति देते हैं — और इसलिए, भाग I का प्रतिस्थापन उलटा चलाकर, $\int_\R\eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ का एक स्वतंत्र मूल्यांकन भी। दो स्तंभ, जिनमें से कोई भी दूसरे को थाम सकता है।

**भाग V — अंतिम लाभांश।**

17. (पूरी स्थानीय रूपरेखा) पूर्णांक $\abs j \leq  K\sqrt n$ ($K$ स्थिर) के लिए दर्शाइए $$\frac{\binom{2n}{n+j}}{\binom{2n}{n}} =  \prod_{i=1}^{\abs j}\frac{n - i + 1}{n + i}  = \exp\Bigl(-\frac{j^2}n +  O\Bigl(\frac1{\sqrt n}\Bigr)\Bigr),$$ और वह भी $j$ में एकसमान रूप से *(लघुगणक लीजिए और $\ln  \frac{1-x}{1+y} = -(x + y) + O(x^2 + y^2)$ का उपयोग कीजिए)*। यह प्रश्न 7 का द्विपक्षीय रूप है और [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) की सप्ताहांत समस्या में उद्धृत यथार्थ आकलन भी।
18. (प्वासों की एक झलक) स्टर्लिंग से दर्शाइए कि $\eu^{-n}\dfrac{n^n}{n!} \sim \dfrac1{\sqrt{2\pi n}}$ : अर्थात् बड़े माध्य $n$ वाले प्वासों नियम का बहुलक $\approx (2\pi n)^{-1/2}$ द्रव्यमान धारण करता है, ठीक वैसे ही जैसा केंद्रीय सीमा प्रमेय बताएगी।
19. (गामा अनुपात) $a \in \intoo01$ के लिए [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#pb-b3-lebesgue-1) (वहाँ प्रश्न 14) की लघुगणकीय-उत्तलता ढाल परिबंधों का उपयोग करके $\dfrac{\Gamma(n + a)}{\Gamma(n)\,n^a} \to 1$ सिद्ध कीजिए, और कार्यकीय समीकरण से इसे प्रत्येक वास्तविक $a > 0$ तक बढ़ाइए। (पूर्णांकों के बीच “ $\Gamma(t+1) \sim$ स्टर्लिंग” का यही अर्थ है।)
20. (गोले, फिर से) $v_d = \pi^{d/2}/\Gamma(\frac d2  + 1)$ से: $v_1, \dots, v_7$ यथार्थ रूप से सारणीबद्ध कीजिए, $\frac{v_d}{v_{d-2}} = \frac{2\pi}d$ के माध्यम से एकबहुलकता सत्यापित कीजिए ($d < 2\pi$ तक बढ़ता हुआ, उसके बाद घटता हुआ), और उल्लेखनीय जनक सर्वसमिका $$\sum_{k\geq0}v_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} :$$ सिद्ध कीजिए — समस्त सम-विमीय इकाई गोलों के आयतन एक ही चरघातांकी में बँधे हुए।
21. (एन्ट्रॉपी स्पर्शोन्मुखता) $\alpha n \in \N$ वाले स्थिर $\alpha \in \intoo01$ के लिए स्टर्लिंग से निकालिए $$\binom{n}{\alpha n} \;\sim\;  \frac{\eu^{n\,H(\alpha)}}  {\sqrt{2\pi\,\alpha(1-\alpha)\,n}},  \qquad  H(\alpha) = -\alpha\ln\alpha -  (1-\alpha)\ln(1-\alpha) :$$ अर्थात् द्विपद गुणांकों की चरघातांकी वृद्धि दर *एन्ट्रॉपी* $H$ है — जाँचिए कि $\alpha =  \frac12$ से प्रश्न 5 पुनः मिल जाता है, और यह कि $\alpha \neq \frac12$ के लिए $H(\alpha) <  \ln2$ (अतः [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) से हटे द्विपद $2^n$ में चरघातांकी रूप से नगण्य होते हैं)।
22. (पृष्ठ क्षेत्रफल) इकाई गोलक $S^{d-1}$ का क्षेत्रफल $s_{d-1} = d\,v_d$ है (जो अवकल रूपों वाले अध्याय में [अभ्यास 21.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem#exo-b3-forms-6) के रूप में सिद्ध हुआ है; यहाँ उसे परिभाषा मान लीजिए)। $s_0, \dots, s_6$ सारणीबद्ध कीजिए, महत्तम वाला ढूँढ़िए ( $d - 1 =  6$ , $s_6 = \frac{16\pi^3}{15} \approx 33.07$ ), और दर्शाइए कि $s_{d-1} \to 0$ भी अति-गुणोत्तर दर से होता है — उच्च-विमीय गोलक, प्रत्येक यूक्लिडीय मापदंड से, लुप्तप्राय रूप से छोटे हैं।
23. (पहला संशोधन पद) प्रश्न 11 के कोष्ठन से निकालिए कि $d_n = \frac1{12n} +  O\bigl(\frac1{n^2}\bigr)$, अतः $$n! = \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac  n\eu\Bigr)^{n}\Bigl(1 + \frac1{12n} +  O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)\Bigr).$$ $n = 10$ पर सत्यापित कीजिए: नंगा सूत्र $3\,598\,696$ देता है (सापेक्ष त्रुटि $8.3\cdot10^{-3}$), और संशोधित सूत्र $10! =  3\,628\,800$ के सामने $3\,628\,685$ (सापेक्ष त्रुटि $3.2\cdot10^{-5}$) — श्रेणी का एक पद ढाई अंक खरीद लेता है।
24. ($\Gamma$ की माध्यिका) दर्शाइए कि स्पर्शोन्मुख रूप से $$\frac{1}{\Gamma(t+1)}  \int_0^{t} x^{t}\eu^{-x}\,\dd x  \;\longrightarrow\; \frac12  \qquad (t \to +\infty) :$$ अर्थात् $\Gamma$ के समाकल्य का ठीक आधा द्रव्यमान उसके बहुलक $x = t$ के नीचे बैठता है। *(छँटे हुए समाकल पर भाग I का प्रतिस्थापन चलाइए; प्रश्न 3 का प्रभावी फलन पहले से उपलब्ध है।)*
25. (एन्ट्रॉपी, बिना स्पर्शोन्मुखता के) $\alpha \in  \intoc0{\frac12}$ के लिए *प्रत्येक* $n \geq 1$ पर वैध परिबंध $$\sum_{k=0}^{\lfloor\alpha n\rfloor}\binom nk  \;\leq\; \eu^{n\,H(\alpha)} ,$$ सिद्ध कीजिए, और वह भी झुकाव $\lambda =  \frac{\alpha}{1-\alpha} \leq 1$ के लिए योग की $\sum_k\binom  nk\lambda^{k-\alpha n}$ से तुलना करके। जाँचिए कि $\lambda$ का यह चयन इष्टतम है, और प्रश्न 21 से मेल कराइए: स्पर्शोन्मुख कथन की चरघातांकी दर $H(\alpha)$ बिना किसी स्पर्शोन्मुखता के, एक पंक्ति की असमिका से ही प्राप्त हो जाती है।

**हल — समस्या 11.1.**

**1.** $x = t + \sqrt t\,u$ के साथ ($\dd x = \sqrt
t\,\dd u$; जैसे-जैसे $u$ $\intoo{-\sqrt t}\infty$ पर चलता है $x$ $\intoo0\infty$ पर चलता है):

$$
\Gamma(t{+}1) = \int_0^\infty x^t\eu^{-x}\dd x
= t^t\eu^{-t}\sqrt t\int_{-\sqrt t}^{\infty}
\exp\Bigl(t\ln\Bigl(1 + \frac u{\sqrt t}\Bigr) - \sqrt
t\,u\Bigr)\dd u,
$$

क्योंकि $x^t = t^t\exp\bigl(t\ln(1 + u/\sqrt t)\bigr)$ और $\eu^{-x} = \eu^{-t}\eu^{-\sqrt tu}$।

**2.** स्थिर $u$ और $t \to \infty$ के लिए: $t\ln(1 +
u/\sqrt t) - \sqrt tu = t\bigl(\frac u{\sqrt t} -
\frac{u^2}{2t} + o(\frac1t)\bigr) - \sqrt tu = -\frac{u^2}2 +
o(1)$: $g_t(u) \to \eu^{-u^2/2}$।

**3.** $\intoc{-1}1$ पर $\psi_1(h) = \varphi(h) + \frac{h^2}4$ रखिए: $\psi_1(0) = 0$ और $\psi_1'(h) = \frac1{1+h} -
1 + \frac h2 = \frac{h(h-1)}{2(1+h)}$, जो $\intoc{-1}0$ पर $\geq 0$ और $\intcc01$ पर $\leq 0$ है: $\psi_1 \leq 0$, अर्थात् वहाँ $\varphi(h) \leq -h^2/4$। $\intco1\infty$ पर $\psi_2(h) =
\varphi(h) + ch$, $c = 1 - \ln2$ रखिए: $\psi_2(1)
= \ln2 - 1 + c = 0$ और $\psi_2'(h) = c - \frac h{1+h} \leq c -
\frac12 < 0$: $h \geq 1$ के लिए $\varphi(h) \leq -ch$। अब $t
\geq 1$ के लिए: यदि $\abs u \leq \sqrt t$ हो, तो $g_t(u) =
\eu^{t\varphi(u/\sqrt t)} \leq \eu^{-t(u/\sqrt t)^2/4} =
\eu^{-u^2/4}$; और यदि $u \geq \sqrt t$ हो, तो $t\,\varphi(u/\sqrt t) \leq
-ct\cdot\frac u{\sqrt t} = -c\sqrt t\,u \leq -cu$ (क्योंकि $t \geq
1$), अतः $g_t(u) \leq \eu^{-cu}$। इसलिए $g_t \leq \eu^{-u^2/4} +
\eu^{-cu}\mathbf 1_{u>0}$, जो [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) और $t \geq
1$ से स्वतंत्र है।

**4.** प्रभावी अभिसरण प्रमेय: $\int_\R g_t(u)\dd u \to
\int_\R\eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ ([उदाहरण 11.12](#ex-b3-product-polar) और साथ में मापन $u\mapsto\sqrt2\,u$)। प्रश्न 1 के साथ:

$$
\Gamma(t + 1) \sim \sqrt{2\pi t}\;\Bigl(\frac
t\eu\Bigr)^t,\qquad
n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac n\eu\Bigr)^n .
$$

**5.** [अभ्यास 11.8](#exo-b3-product-8) से $W_{2n} =
\frac\pi2\,\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} =
\frac\pi2\,4^{-n}\binom{2n}n$। स्टर्लिंग:

$$
\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
\sim \frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n/\eu)^{2n}}
{2\pi n\,(n/\eu)^{2n}} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} .
$$

तब $W_{2n} \sim \frac12\sqrt{\pi/n}$, जो पुनरावृत्ति $W_n = \frac{n-1}nW_{n-2}$ के संगत है (जो $W_n \sim
W_{n-2}$ अनिवार्य कर देती है, और $W_nW_{n-1}\cdot n = \frac\pi2$ — शास्त्रीय वालिस संबंध — के साथ $W_n \sim
\sqrt{\pi/(2n)}$ दे देती है; दोनों अनंतस्पर्शी सहमत हैं)।

**6.** $\Gamma(\frac d2 + 1) \sim \sqrt{2\pi\frac
d2}\,(\frac d{2\eu})^{d/2}$, अतः

$$
v_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac d2 + 1)}
\sim \frac{1}{\sqrt{\pi d}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}
d\Bigr)^{d/2} \longrightarrow 0
$$

अति-ज्यामितीय रूप से ($d > 2\pi\eu \approx 17$ के लिए प्रत्येक गुणक $< 1$ और सिकुड़ता हुआ)। संख्यात्मक रूप से $v_1 = 2$, $v_2 \approx
3.14$, $v_3 \approx 4.19$, $v_4 \approx 4.93$, $v_5 \approx
5.26$, $v_6 \approx 5.17$: उच्चिष्ठ $d = 5$ पर है।

**7.** $k = \frac n2 + \frac{s\sqrt n}2$ के साथ (पूर्णांक, $n$ सम, $s$ स्थिर): $2^{-n}\binom nk =
2^{-n}\frac{n!}{k!(n-k)!}$ में लघुगणक लीजिए और तीनों क्रमगुणितों पर स्टर्लिंग लगाइए। $\varepsilon = s/\sqrt n$ के साथ $k = \frac n2(1 + \varepsilon)$, $n - k =
\frac n2(1 - \varepsilon)$ लिखने पर:

$$
\ln\Bigl(2^{-n}\binom nk\Bigr)
= -\frac n2\bigl[(1{+}\varepsilon)\ln(1{+}\varepsilon) +
(1{-}\varepsilon)\ln(1{-}\varepsilon)\bigr]
+ \frac12\ln\frac{2}{\pi n(1 - \varepsilon^2)} + o(1),
$$

और कोष्ठक $\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4) =
\frac{s^2}n + O(n^{-2})$ है: अतः प्रदर्शन $o(1)$ तक $-\frac{s^2}2 +
\frac12\ln\frac2{\pi n}$ की ओर जाता है, अर्थात्

$$
2^{-n}\binom nk \sim \sqrt{\frac{2}{\pi
n}}\;\eu^{-s^2/2} :
$$

अर्थात् सिक्का-उछाल का गाउसीय परिच्छेद, मात्रात्मक रूप में — दे म्वाव्र–लाप्लास का स्थानीय रूप, जिसे [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) में वैश्विक बनाया जाएगा।

**8.** (क) प्रभावी अभिसरण प्रमेय प्रश्न 3 के प्रभावी फलन का उपयोग करते हुए प्रश्न 2 की बिंदुशः सीमा को समाकलों के अभिसरण में बदल देती है। (ख) गाउसीय समाकल सीमा $\int\eu^{-u^2/2} = \sqrt{2\pi}$ का मूल्यांकन कर देता है — स्टर्लिंग का अचर $\sqrt{2\pi}$ *ही* गाउसीय समाकल है। (ग) प्रतिस्थापन $x = t + \sqrt tu$ कोई आफ़ीन चर परिवर्तन है: स्थानांतरण निश्चरता और [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter) का मापन नियम (विमा $1$ में [प्रमेय 11.10](#thm-b3-product-linearchange))।

**9.** दोनों पदों का प्रसार कीजिए:

$$
d_n - d_{n+1} = \ln\frac{n!}{(n+1)!} + \Bigl(n +
\frac32\Bigr)\ln(n+1) - \Bigl(n + \frac12\Bigr)\ln n - 1
= \Bigl(n + \frac12\Bigr)\ln\frac{n+1}n - 1,
$$

जिसमें पद $-\ln(n+1)$ और $(n + \frac32)\ln(n+1)$ मिलकर $(n + \frac12)\ln(n+1)$ बन जाते हैं।

**10.** $t = \frac1{2n+1}$ के लिए: $\frac{1+t}{1-t} =
\frac{2n+2}{2n} = \frac{n+1}n$, और $n + \frac12 =
\frac1{2t}$; विषम श्रेणी $\ln\frac{1+t}{1-t} =
2\sum_{k\geq0}\frac{t^{2k+1}}{2k+1}$

$$
\Bigl(n + \frac12\Bigr)\ln\frac{n+1}n
= \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{2k+1}
= 1 + \frac{t^2}3 + \frac{t^4}5 + \cdots
$$

देती है। $1$ घटाइए। निचला परिबंध: अकेला पहला पद, $\frac{t^2}3 = \frac1{3(2n+1)^2}$। ऊपरी परिबंध: सभी हरों को $3$ तक नीचे लाइए और ज्यामितीय श्रेणी का योग लीजिए: $\frac{t^2}{3(1 - t^2)} = \frac1{3((2n+1)^2 - 1)} =
\frac1{12n(n+1)} = \frac1{12n} - \frac1{12(n+1)}$।

**11.** ऊपरी परिबंध का $n$ से $\infty$ तक योग ($d_m \to 0$ के साथ): $d_n < \frac1{12n}$। निचले परिबंध के लिए: $\frac1{12m+1} - \frac1{12(m+1)+1} =
\frac{12}{(12m+1)(12m+13)}$, और

$$
\begin{align*}
\frac1{3(2m+1)^2} > \frac{12}{(12m+1)(12m+13)}
&\iff (12m+1)(12m+13) > 36(2m+1)^2 \\
&\iff 168m + 13 > 144m + 36,
\end{align*}
$$

जो $m \geq 1$ के लिए सत्य है। इस दूरबीनी लघुकारक का योग: $d_n > \frac1{12n+1}$। चरघातांक लेने पर $n!$ का शास्त्रीय परिबंधन मिल जाता है।

**12.** (क) बड़े $n$ के लिए सापेक्ष त्रुटि $= \eu^{d_n} - 1 <
\eu^{1/(12n)} - 1 < \frac{1.1}{12n}$; $12n \geq 1.1\cdot10^6$ होते ही $<
10^{-6}$, और कहा गया $n \geq 83\,334$ पर्याप्त है ($\frac1{12n} \leq 10^{-6}$ पहले से ही इसे निहित करता है)। (ख) $\log_{10}(100!) =
\frac12\log_{10}(200\pi) + 200 - 100\log_{10}\eu +
d_{100}\log_{10}\eu = 1.39906 + 200 - 43.42945 + 0.00036
\approx 157.96997$, अतः $100! \approx 10^{0.96997} \cdot
10^{157} = 9.333\cdot10^{157}$; और प्रत्याभूत खिड़की $(\eu^{1/1201}, \eu^{1/1200})$ की चौड़ाई सापेक्ष रूप में $10^{-6}$ से कम है — अर्थात् एक “अनंतस्पर्शी” सूत्र जो $n =
100$ पर परिशुद्धता का यंत्र है।

**13.** $\sin^n = \sin^{n-2} - \sin^{n-2}\cos^2$ लिखिए और दूसरे पद का खंडशः समाकलन कीजिए ($u = \cos\theta$, $\dd v = \sin^{n-2}\cos\theta\,\dd\theta$, $v =
\frac{\sin^{n-1}}{n-1}$):

$$
\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}\cos^2 =
\Bigl[\cos\theta\,\frac{\sin^{n-1}\theta}{n-1}\Bigr]_0^{\pi/2}
+ \frac1{n-1}\int_0^{\pi/2}\sin^n = \frac{W_n}{n-1} .
$$

अतः $W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1}$, अर्थात् $W_n =
\frac{n-1}nW_{n-2}$। $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$ से:

$$
W_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac\pi2
= \frac\pi2\binom{2n}n4^{-n},
\qquad
W_{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
= \frac{4^n}{(2n+1)\binom{2n}n},
$$

जिसमें द्विक क्रमगुणितों को $(2n)!! = 2^nn!$ और $(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^nn!}$ से बदला गया है। अंत में पुनरावृत्ति से $nW_nW_{n-1} =
(n-1)W_{n-1}W_{n-2}$: अचर, जो $1\cdot W_1W_0 = \frac\pi2$ के बराबर है।

**14.** $W_{2n+1} \leq W_{2n} \leq W_{2n-1}$ ($\sin^n$ की बिंदुशः एकदिष्टता) और $\frac{W_{2n-1}}{W_{2n+1}} =
\frac{2n+1}{2n} \to 1$ $\frac{W_{2n}}{W_{2n+1}} \to
1$ को दबा देते हैं। $W_{2n}W_{2n+1} = \frac{\pi}{2(2n+1)}$ (प्रश्न 13) के साथ मिलाकर: $W_{2n}^2 \sim \frac\pi{4n}$, अतः $W_{2n} \sim
\frac12\sqrt{\frac\pi n}$ और $\binom{2n}n4^{-n} =
\frac2\pi W_{2n} \sim \frac1{\sqrt{\pi n}}$।

**15.** प्रश्न 9–10 ने अचर के मान का उपयोग कभी नहीं किया: $e_n = \ln n! - (n+\frac12)\ln n + n$ के साथ अंतर $e_n - e_{n+1}$ $\bigl(0, \frac1{12n} -
\frac1{12(n+1)}\bigr)$ में होते हैं, अतः $(e_n)$ घटता है जबकि $(e_n -
\frac1{12n})$ बढ़ता है: निकटवर्ती अनुक्रम, जो किसी उभयनिष्ठ $\ell$ पर अभिसरित होते हैं। अतः $n! \sim K n^{n+1/2}\eu^{-n}$, $K =
\eu^\ell$।

**16.** अज्ञात-अचर वाली स्टर्लिंग को केंद्रीय द्विपद में प्रतिस्थापित करने पर:

$$
\binom{2n}n4^{-n}\sqrt n \sim
\frac{K\,(2n)^{2n+1/2}\eu^{-2n}}{\bigl(K\,n^{n+1/2}
\eu^{-n}\bigr)^2}\,4^{-n}\sqrt n
= \frac{2^{2n}\sqrt{2}\,K\,n^{2n+1/2}}{K^2\,n^{2n+1}}
\,4^{-n}\sqrt n = \frac{\sqrt2}{K},
$$

और प्रश्न 14 $\frac{\sqrt2}K = \frac1{\sqrt\pi}$ अनिवार्य कर देता है: $K = \sqrt{2\pi}$। इस प्रकार भाग III और IV स्टर्लिंग को शून्य से पुनः सिद्ध कर देते हैं; और उसे भाग I की सर्वसमिका में डालने पर $\int_\R\eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ का मूल्यांकन बिना ध्रुवीय निर्देशांकों के हो जाता है: वालिस और गाउस एक-दूसरे को सहारा देते हैं।

**17.** $j \geq 0$ के लिए $\frac{\binom{2n}{n+j}}{\binom{2n}n} =
\frac{(n!)^2}{(n+j)!\,(n-j)!} =
\prod_{i=1}^{j}\frac{n-i+1}{n+i}$ (और सममिति से $j < 0$ के लिए भी)। $1 \leq i
\leq j \leq K\sqrt n$ के साथ लघुगणक लेने पर:

$$
\ln\frac{n-i+1}{n+i} = \ln\Bigl(1 - \frac{i-1}n\Bigr) -
\ln\Bigl(1 + \frac in\Bigr) = -\frac{2i-1}{n} +
O\Bigl(\frac{i^2}{n^2}\Bigr),
$$

और $\sum_{i\leq j}(2i - 1) = j^2$, जबकि त्रुटि का योग $O(j^3/n^2) = O(n^{-1/2})$ है: अतः एकसमान रूप से $\exp\bigl(-\frac{j^2}n + O(n^{-1/2})\bigr)$।

**18.** $\eu^{-n}\frac{n^n}{n!} \sim \eu^{-n}
\frac{n^n}{\sqrt{2\pi n}\,n^n\eu^{-n}} =
\frac1{\sqrt{2\pi n}}$। माध्य $n$ वाले किसी प्वासों चर का मानक विचलन $\sqrt n$ होता है, और $\frac1{\sqrt{2\pi n}}$ ठीक गाउसीय शिखर ऊँचाई $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}$ है: अर्थात् स्थानीय केंद्रीय सीमा प्रमेय, बहुलक पर पहले ही झलक जाती हुई।

**19.** $a \in \intoo01$ के लिए [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#pb-b3-lebesgue-1) की ढाल प्रमेयिका (वहाँ प्रश्न 14), $n$ के चारों ओर उत्तल $\log\Gamma$ पर लगाई गई, $(n-1)^a \leq
\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n)} \leq n^a$ देती है: अतः $n^a$ से अनुपात $(1 - \frac1n)^a \to 1$ से दब जाता है। $a = m + a'$ ($m \in \N$, $a' \in \intco01$) के लिए: $\Gamma(n+a) = (n + a - 1)
\cdots(n + a')\Gamma(n + a')$, और $m$ गुणकों में से प्रत्येक $n(1 + O(\frac1n))$ है: आकलनों को गुणा कीजिए।

**20.** पुनरावृत्ति $v_d = \frac{2\pi}dv_{d-2}$ ($\Gamma(\frac d2 + 1) = \frac d2\Gamma(\frac d2)$ से) $v_1 = 2$, $v_2 = \pi$ से

$$
v_3 = \frac{4\pi}3,\quad v_4 = \frac{\pi^2}2,\quad
v_5 = \frac{8\pi^2}{15},\quad v_6 = \frac{\pi^3}6,\quad
v_7 = \frac{16\pi^3}{105}.
$$

देती है। अनुपात $\frac{2\pi}d$ ठीक $d \leq 6$ के लिए $1$ से अधिक है, अतः प्रत्येक सम-विषमता पहले बढ़ती फिर घटती है; संख्यात्मक रूप से $v_4
\approx 4.93$, $v_5 \approx 5.26$, $v_6 \approx 5.17$: अतः समग्र उच्चिष्ठ $d = 5$ है। जनक फलन: $v_{2k} =
\frac{\pi^k}{k!}$, अतः $\sum_kv_{2k}x^{2k} =
\eu^{\pi x^2}$ — अर्थात् सम-विमीय सभी गोला आयतन एक ही चरघातांक में लिपटे हुए, और $v_d$ के लिए तत्काल अति-ज्यामितीय क्षय आकलन।

**21.** अंश और हर में स्टर्लिंग, $k =
\alpha n$ के साथ:

$$
\binom n{\alpha n} \sim
\frac{\sqrt{2\pi n}\,n^n}
{\sqrt{2\pi\alpha n}\,(\alpha n)^{\alpha n}\,
\sqrt{2\pi(1-\alpha)n}\,((1-\alpha)n)^{(1-\alpha)n}}
= \frac{\eu^{nH(\alpha)}}{\sqrt{2\pi\alpha(1-\alpha)n}},
$$

क्योंकि $n^n/(\alpha n)^{\alpha n}((1-\alpha)n)^{(1-\alpha)n} =
\alpha^{-\alpha n}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)n} =
\eu^{nH(\alpha)}$ ($n$ की घातें निरस्त हो जाती हैं: $\alpha n +
(1-\alpha)n = n$), और $\eu^{-n}$ भी वैसे ही निरस्त हो जाते हैं। $\alpha = \frac12$ पर: $H = \ln2$ और पूर्व-गुणक $\sqrt{2/(\pi n)}$ है — फिर से प्रश्न 5। $H$ की कड़ी अवतलता (उसका दूसरा अवकलज $-\frac1{\alpha(1-\alpha)} < 0$) उसका उच्चिष्ठ $\ln 2$ केवल $\alpha = \frac12$ पर रखती है: $\alpha \neq \frac12$ के लिए $\binom n{\alpha n}2^{-n} \approx
\eu^{-n(\ln2 - H(\alpha))}$ चरघातांकी रूप से क्षय होता है — सिक्का-उछालों के बारे में प्रत्येक संकेंद्रण कथन के पीछे यही संयोजनात्मक इंजन है।

**22.** $s_{d-1} = dv_d$ और प्रश्न 20 से:

$$
s_0 = 2,\ \ s_1 = 2\pi,\ \ s_2 = 4\pi,\ \ s_3 = 2\pi^2,\ \
s_4 = \frac{8\pi^2}3,\ \ s_5 = \pi^3,\ \ s_6 =
\frac{16\pi^3}{15},
$$

संख्यात्मक रूप से $2,\ 6.28,\ 12.57,\ 19.74,\ 26.32,\ 31.01,\
33.07$; और $s_7 = \frac{\pi^4}3 \approx 32.47 < s_6$: अतः उच्चिष्ठ $6$-गोलक है। पुनरावृत्ति $s_{d+1} =
(d+2)\,v_{d+2} = (d+2)\,\frac{2\pi}{d+2}\,v_d = 2\pi v_d =
\frac{2\pi}d\,s_{d-1}$ आयतनों जैसी ही $\frac{2\pi}d$-चालित वृद्धि और अति-ज्यामितीय गिरावट दिखाती है: सातवीं विमा के बाद गोलक किसी भी ज्यामितीय अनुक्रम से तेज़ी से सिकुड़ जाते हैं।

**23.** प्रश्न 11 ठीक $\frac1{12n+1} < d_n <
\frac1{12n}$ कहता है, और

$$
\frac1{12n} - \frac1{12n+1} = \frac1{12n(12n+1)} =
O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

अतः $d_n = \frac1{12n} + O(\frac1{n^2})$ और $\eu^{d_n} = 1 +
\frac1{12n} + O(\frac1{n^2})$; $\sqrt{2\pi n}(n/\eu)^n$ से गुणा करने पर संशोधित सूत्र मिल जाता है। $n =
10$ पर: $\sqrt{20\pi}\,(10/\eu)^{10} = 7.92665 \times 453999.3
\approx 3\,598\,696$, जो $30\,104$ कम है (सापेक्ष त्रुटि $8.3\cdot10^{-3}$); और $1 + \frac1{120}$ से गुणा करने पर $3\,628\,685$ मिलता है, जो $115$ कम है (सापेक्ष त्रुटि $3.2\cdot10^{-5}$)। स्वयं यह परिबंधन $10!$ को $3\,598\,696\,\eu^{1/121} \approx 3\,628\,559$ और $3\,598\,696\,\eu^{1/120} \approx 3\,628\,808$ के बीच बाँध देता है — ऊपरी परिबंध सात अंकों में आठ इकाई से चूकता है।

**24.** भाग I का प्रतिस्थापन $x = t + \sqrt t\,u$, कर्तित समाकल पर लगाया गया,

$$
\int_0^{t} x^{t}\eu^{-x}\,\dd x
= t^{t}\eu^{-t}\sqrt t\int_{-\sqrt t}^{0} g_t(u)\,\dd u ,
$$

देता है, जिसमें परास $0 \leq x \leq t$ $-\sqrt t \leq u \leq
0$ बन जाता है। प्रश्न 3 का प्रभावी फलन $g_t\mathbf 1_{u < 0}$ को भी ढक लेता है, अतः प्रभावी अभिसरण

$$
\int_{-\sqrt t}^{0}g_t(u)\,\dd u \longrightarrow
\int_{-\infty}^{0}\eu^{-u^2/2}\dd u = \frac{\sqrt{2\pi}}2 ,
$$

दे देता है, जबकि प्रश्न 4 $\Gamma(t+1) \sim
t^t\eu^{-t}\sqrt t\,\sqrt{2\pi}$ देता है। अनुपात $\frac12$ की ओर जाता है। प्रायिकता की दृष्टि से: बड़े आकार-प्राचल वाला कोई गामा यादृच्छिक चर अपने बहुलक के दोनों ओर अनंतस्पर्शी रूप से आधा-आधा द्रव्यमान रखता है — अर्थात् केंद्रीय सीमा प्रमेय की सममिति, एक ही प्रतिस्थापन से पढ़ ली गई।

**25.** मान लीजिए $\lambda = \frac{\alpha}{1-\alpha} \in
\intoc01$। $k \leq \lfloor\alpha n\rfloor \leq \alpha n$ के लिए हमारे पास $\lambda^{k - \alpha n} \geq 1$ है, अतः

$$
\sum_{k=0}^{\lfloor\alpha n\rfloor}\binom nk
\leq \lambda^{-\alpha n}\sum_{k=0}^{n}\binom nk\lambda^{k}
= \Bigl(\lambda^{-\alpha}(1 + \lambda)\Bigr)^{n},
$$

और $\lambda = \frac\alpha{1-\alpha}$ के साथ:

$$
\lambda^{-\alpha}(1+\lambda)
= \alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{\alpha}\cdot\frac1{1-\alpha}
= \alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}
= \eu^{H(\alpha)} .
$$

अनुकूलतमता: $\lambda > 0$ पर $f(\lambda) = -\alpha\ln\lambda +
\ln(1+\lambda)$ का न्यूनीकरण करने पर समीकरण $f'(\lambda)
= -\frac\alpha\lambda + \frac1{1+\lambda} = 0$ का अद्वितीय हल $\lambda = \frac\alpha{1-\alpha}$ है, जो निम्निष्ठ है क्योंकि $f'' > 0$ — अर्थात् चरघातांकी-नमन (चेर्नोफ) वाला चयन। मेल: प्रश्न 21 से अकेला पद $k =
\lfloor\alpha n\rfloor$ पहले से ही $\eu^{nH(\alpha)}/\sqrt{2\pi\alpha(1-\alpha)n}$ कोटि का है, अतः

$$
\frac{\eu^{nH(\alpha)}}{C\sqrt n} \leq
\sum_{k\leq\alpha n}\binom nk \leq \eu^{nH(\alpha)} :
$$

अर्थात् दर $H(\alpha)$ यथार्थ है, और समूचा योग अपने सबसे बड़े पद पर अधिक से अधिक $\sqrt n$ गुणक की क़ीमत लेता है। $2^n$ से भाग देने पर यह निष्पक्ष सिक्के का पुच्छ परिबंध $\P(S_n \leq \alpha n) \leq
\eu^{-n(\ln2 - H(\alpha))}$ है — अर्थात् एक पंक्ति में [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) का संकेंद्रण।