--- title: "Lp समष्टियाँ" book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3" subject: math language: hi chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp --- # अध्याय 12 — Lp समष्टियाँ लेबेग समाकल विश्लेषण के लिए बनाया गया था; $L^p$ समष्टियाँ वे स्थान हैं जहाँ वह विश्लेषण रहता है। वे बानाख समष्टियाँ हैं (रीस–फिशर) — अर्थात् वे [पूर्णन](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-completion) जिनका अभाव [अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1) ने [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनों में दिखाया था — और वे एक चिकनाई तकनीक का आधार देती हैं, *मृदुकारकों के साथ संवलन*, जो किसी भी $L^p$ फलन का $\mathcal C^\infty$ फलनों से आसन्नन कर देती है। यह अध्याय होल्डर और मिन्कोव्स्की के समाकल रूप, [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), सघनता प्रमेय, और नियमितीकरण मशीन सिद्ध करता है, और $L^p$ मापक्रम की अंतर्वेशन एवं अंतर्गणन संबंधी भूगोल पर समाप्त होता है। सर्वत्र $(X, \mathcal A, \mu)$ एक [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है और फलन सम्मिश्र-मान वाले हैं; $\R^d$ पर [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\lambda_d$ है। ## 12.1 परिभाषा; होल्डर और मिन्कोव्स्की **परिभाषा 12.1.** $1 \leq p < \infty$ के लिए $\mathcal L^p(\mu)$ $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ वाले [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $f$ का समुच्चय है, और $\mathcal L^\infty(\mu)$ किसी शून्य समुच्चय के बाहर परिबद्ध $f$ का समुच्चय, जिस पर $\norm f_\infty$ *सारभूत उच्चतम* है — अर्थात् वह न्यूनतम $M$ जिसके लिए लगभग सर्वत्र $\abs f \leq M$ हो (यह निम्नतम प्राप्त हो जाता है: $M + \frac1n$ के लिए शून्य समुच्चयों का प्रतिच्छेदन लीजिए)। चूँकि $\norm f_p = 0$ से केवल *लगभग सर्वत्र* $f = 0$ अनिवार्य होता है ([अभ्यास 10.5](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#exo-b3-lebesgue-5)), हम $$ L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ लगभग सर्वत्र}\} : $$ परिभाषित करते हैं; अवयव शून्य समुच्चयों के सापेक्ष फलनों के वर्ग हैं, और $\norm\cdot_p$ $L^p$ पर एक सच्चा मानक है। **प्रमेय 12.2 (होल्डर की असमिका).** मान लीजिए $\frac1p + \frac1q = 1$ (संयुग्मी घातांक) के साथ $1 \leq p, q \leq \infty$। [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $f, g$ के लिए: $$ \norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q , $$ और समता ($1 < p < \infty$, परिमित मानक, $f,g\ne0$ के लिए) तभी और केवल तभी होती है जब $\abs f^p$ और $\abs g^q$ लगभग सर्वत्र समानुपाती हों। **उपपत्ति.** $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ की स्थितियाँ सीधी हैं (लगभग सर्वत्र $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$)। मान लीजिए $1 < p < \infty$; $\norm f_p = \norm g_q = 1$ मानकीकृत कीजिए (समघातता; शून्य या अनंत मानक तुच्छ हैं)। यंग की असमिका $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ($a, b \geq 0$; $\ln$ की अवतलता, जैसे [समस्या 8.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#pb-b3-banach-1) में) बिंदुशः $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ देती है; समाकलन कीजिए: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$। समता के लिए यंग में लगभग सर्वत्र समता अनिवार्य है, अर्थात् लगभग सर्वत्र $\abs f^p = \abs g^q$ (मानकीकरण के बाद; उसे उलटने पर समानुपातिता)। ∎ **प्रमेय 12.3 (मिन्कोव्स्की की असमिका).** $1 \leq p \leq \infty$ के लिए: $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$। **उपपत्ति.** $p = 1, \infty$: बिंदुशः/लगभग सर्वत्र त्रिभुज असमिका। $1 < p < \infty$ के लिए मान लीजिए $\norm{f+g}_p < \infty$ (अन्यथा $t^p$ की उत्तलता से मिलने वाली $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ का उपयोग करके देखिए कि दायाँ पक्ष परिमित होने पर बायाँ भी परिमित है)। तब होल्डर से $$ \norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q $$ और $(p-1)q = p$ के कारण $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$; अब $\norm{f+g}_p^{p/q}$ से भाग दीजिए (यदि वह शून्येतर हो; अन्यथा तुच्छ) और $p - \frac pq = 1$ का उपयोग कीजिए। ∎ ## 12.2 पूर्णता और उसके सहचर **प्रमेय 12.4 (रीस–फिशर).** $1 \leq p \leq \infty$ के लिए $L^p(\mu)$ एक बानाख समष्टि है। इसके अतिरिक्त $L^p$ में अभिसरित होने वाले प्रत्येक अनुक्रम का कोई ऐसा उपानुक्रम है जो *लगभग सर्वत्र* अभिसरित होता है (और $p < \infty$ की स्थिति में किसी $L^p$ प्रभावी फलन के साथ)। **उपपत्ति.** $p = \infty$: कोई $\norm\cdot_\infty$-कोशी अनुक्रम एक ही शून्य समुच्चय (गणनीय संख्या के शून्य समुच्चयों का सम्मिलन) के बाहर एकसमान कोशी होता है: अतः वह उसके बाहर एकसमान रूप से अभिसरित होता है; काम पूरा। अब मान लीजिए $p < \infty$। [अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(ख) से केवल निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों का योग लेना पर्याप्त है: मान लीजिए $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$। $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ और $G = \sum_k\abs{f_k}$ रखिए ($[0,\infty]$ में बिंदुशः): मिन्कोव्स्की से $\norm{G_n}_p \leq M$, और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय ($G_n^p \nearrow G^p$) $\int G^p \leq M^p$ दे देती है: अतः लगभग सर्वत्र $G < \infty$, इसलिए लगभग प्रत्येक $x$ के लिए श्रेणी $\sum f_k(x)$ निरपेक्षतः अभिसरित होती है; उसके योग को $S(x)$ कहिए (शून्य समुच्चय पर कोई भी मान)। तब $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$, और प्रभावी अभिसरण प्रमेय $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ दे देती है: अर्थात् श्रेणी $L^p$ में अभिसरित होती है। उपानुक्रम वाला कथन: यदि $L^p$ में $f_n \to f$ हो, तो $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ वाले $n_k$ चुनिए; श्रेणी $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ पिछले तर्क के अंतर्गत आ जाती है: वह लगभग सर्वत्र निरपेक्षतः अभिसरित होती है और किसी $G \in L^p$ से प्रभावित है, अतः लगभग सर्वत्र $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$, और यह लगभग-सर्वत्र सीमा $f$ (का कोई प्रतिनिधि) ही होनी चाहिए (दोनों $L^p$ सीमाएँ हैं)। प्रभावी फलन: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$। ∎ **टिप्पणी 12.5.** $L^p$ अभिसरण से लगभग सर्वत्र अभिसरण नहीं निकलता (*टाइपराइटर* अनुक्रम, [अभ्यास 12.3](#exo-b3-lp-3)), और न ही विलोमतः (भागती उभारें): दोनों प्रकार केवल उपानुक्रमों और प्रभुत्व के माध्यम से जुड़ते हैं। [अभ्यास 12.3](#exo-b3-lp-3) के प्रतिउदाहरण याद रखना सबसे अच्छा टीका है। ## 12.3 सघनता प्रमेय **प्रमेय 12.6.** मान लीजिए $1 \leq p < \infty$। 1. [सरल फलन](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-simple) (परिमित [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) वाले आलंब के साथ) $L^p(\mu)$ में सघन हैं। 2. $L^p(\R^d)$ में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाले [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन $\mathcal C_c(\R^d)$ सघन हैं। 3. $L^p(\R^d)$ पर स्थानांतरण [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: $\tau_hf = f(\cdot - h)$ लिखने पर $h \to 0$ जाने पर $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ । इनमें से कोई भी $p = \infty$ के लिए लागू नहीं होता। **उपपत्ति.** (1) $f \geq 0$ के लिए: [प्रमेय 10.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-approximation) के द्विआधारी $s_n \nearrow f$ $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ को संतुष्ट करते हैं: अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय। (प्रत्येक $s_n \leq f$ $L^p$ में है, और जहाँ उसका मान धनात्मक है वहाँ उसके स्तर समुच्चयों का [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) परिमित है: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$।) व्यापक $f$ को चार अऋणात्मक भागों में बाँटिए। (2) (1) से केवल $\lambda_d(A) < \infty$ वाले बोरेल $A$ के लिए $\mathbf 1_A$ का आसन्नन करना पर्याप्त है। नियमितता (उपपत्ति [प्रमेय 9.13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-regularity) जैसी) $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ वाले [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K \subseteq A \subseteq U$ और [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) दे देती है; और उरिसोन का फलन $$ \varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)} $$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, $K$ पर $1$, $U$ के बाहर $0$, और उसे [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाला लिया जा सकता है (पहले $U$ को किसी परिबद्ध [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) तक सिकोड़ दीजिए)। तब $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$। (3) $g \in \mathcal C_c$ के लिए: एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ देता है, और $\abs h \leq 1$ के लिए आलंब किसी स्थिर [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समुच्चय में रहते हैं: अतः $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$। व्यापक $f$ के लिए: $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ वाला $g \in \mathcal C_c$ चुनिए; तब $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (मानक की स्थानांतरण अपरिवर्तिता)। $p = \infty$ के लिए: $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ का [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनों से एकसमान आसन्नन असंभव है (उछाल), और $h \neq 0$ के लिए $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$। ∎ ## 12.4 संवलन और नियमितीकरण **प्रमेय 12.7 (यंग की असमिका).** मान लीजिए $1 \leq p \leq \infty$, $f \in L^1(\R^d)$, $g \in L^p(\R^d)$। तब $f * g$ लगभग सर्वत्र परिभाषित है, $L^p$ में है, और $$ \norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p . $$ **उपपत्ति.** $p = \infty$: सीधा परिबंध। $p = 1$: [प्रमेय 11.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution)। अब मान लीजिए $1 < p < \infty$, $q$ संयुग्मी हैं। $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ को बाँटिए और होल्डर लगाइए: $$ \int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} . $$ $p$-वीं घात लीजिए और $x$ में समाकलन कीजिए; दूसरे गुणनखंड पर टोनेली $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ दे देता है, अर्थात् $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — और टोनेली समाकल की परिमितता [प्रमेय 11.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution) की तरह लगभग सर्वत्र निरपेक्ष अभिसरण को उचित ठहरा देती है। ∎ **परिभाषा 12.8 (मृदुकारक).** फलन $$ \rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases} $$ जिसमें $c$ $\int\rho = 1$ को मानकीकृत करता है, $\R^d$ पर $\mathcal C^\infty$ है: मर्म यह है कि $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ $\R$ पर $\mathcal C^\infty$ है और $0^+$ पर उसके सभी अवकलज $0$ हैं (प्रत्येक अवकलज किसी बहुपद $P$ के लिए $P(1/t)\eu^{-1/t}$ है, जो $0$ की ओर जाता है; आगमन)। $\varepsilon > 0$ के लिए $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ रखिए: यह $\bar B(0, \varepsilon)$ में आलंबित है और उसका समाकल अब भी $1$ है। **प्रमेय 12.9 (नियमितीकरण).** मान लीजिए $1 \leq p < \infty$ और $f \in L^p(\R^d)$। तब: 1. $f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , जिसमें $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ; 2. $\varepsilon \to 0$ पर $\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ ; 3. फलस्वरूप $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ $L^p(\R^d)$ में सघन है। **उपपत्ति.** (1) $x$ में समाकल के भीतर अवकलन ([प्रमेय 10.15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramdiff)): किसी गोले $B$ में $x$ के लिए $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$, जहाँ $K$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है ($B$ से $\varepsilon$ के भीतर $y$), और $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ ($\mathbf 1_K$ के सापेक्ष होल्डर): अतः प्रमेय लागू होती है; ऊँचे अवकलजों के लिए दोहराइए। (2) चूँकि $\int\rho_\varepsilon = 1$: $$ (f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y , $$ और मिन्कोव्स्की की *समाकल* असमिका से — अथवा सीधे: प्रायिकता [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\rho_\varepsilon\dd y$ के साथ होल्डर/येंसन और टोनेली से — $$ \norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ (बीच का चरण: भीतरी $y$-समाकल पर येंसन की असमिका [अभ्यास 12.10](#exo-b3-lp-10) लगाइए, फिर टोनेली)। समाकल्य $\norm y \leq \varepsilon$ में आलंबित है और $\varepsilon \to 0$ पर वहाँ एकसमान रूप से $0$ की ओर जाता है ([प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)): अतः पूरा व्यंजक $0$ की ओर जाता है। (3) $f$ का $g \in \mathcal C_c$ से आसन्नन कीजिए ([प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)(2)), फिर $g$ का $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ से ([संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब: आलंबों का योग)। ∎ **उदाहरण 12.10 (∣x∣\abs x∣x∣ का मृदुकरण, दरों सहित).** $\R$ पर $f(x) = \abs x$ लीजिए (जो स्थानीय रूप से $L^1$ है; प्रमेय प्रत्येक परिबद्ध खिड़की पर लागू होती है) और कोई सममित [मृदुकारक](#def-b3-lp-mollifier) $\rho_\varepsilon$। तब $$ f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ $\mathcal C^\infty$ है; और मोड़ से दूर कुछ नहीं होता: $\abs x \geq \varepsilon$ के लिए $\rho_\varepsilon$ के आलंब पर $\abs{x - y}$ $x$ में रैखिक है, अतः *ठीक-ठीक* $f_\varepsilon(x) = \abs x$ (सममिति संशोधन को समाप्त कर देती है)। $0$ के निकट चिकनाई की कीमत ठीक $$ 0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon : $$ है — अर्थात् आसन्नन त्रुटि एकलता के $\varepsilon$-प्रतिवेश तक सीमित रहती है और उसी के आकार की होती है। साथ ही सर्वत्र $f_\varepsilon'' \geq 0$ ($f$ उत्तल है, और $\rho_\varepsilon \geq 0$ के साथ संवलन उत्तलता को सुरक्षित रखता है), जिसमें $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: द्वितीय अवकलज द्रव्यमान $2$ की एक उभार है जिसे चौड़ाई $O(\varepsilon)$ में दबा दिया गया है, अतः $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$। चिकनाई एक सौदा है: एकसमान त्रुटि $O(\varepsilon)$ के बदले अवकलज का विस्फोट $O(\varepsilon^{-1})$ — यही वह ठीक विनिमय दर है जिसे मात्रात्मक विश्लेषण (अंतर्गणन असमिकाएँ, [समस्या 12.1](#pb-b3-lp-1) के विचार-मंडल) औपचारिक रूप देता है। **उपप्रमेय 12.11 (विचरण कलन की मूल प्रमेयिका).** मान लीजिए $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (संहतों पर [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1)) ऐसा है कि प्रत्येक $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ के लिए $\int f\varphi = 0$। तब लगभग सर्वत्र $f = 0$। **उपपत्ति.** कोई गोला $B = B(0, R)$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$। $x \in B$ और $\varepsilon < 1$ के लिए: $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$, जहाँ परीक्षण फलन $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ है। परंतु $L^1$ में $g * \rho_\varepsilon \to g$ ([प्रमेय 12.9](#thm-b3-lp-regularization)): अतः $B$ पर लगभग सर्वत्र $g = 0$; अब $\R^d$ को निःशेष कीजिए। ∎ ## 12.5 $L^p$ भूगोल **प्रतिज्ञप्ति 12.12.** (क) यदि $\mu(X) < \infty$ और $1 \leq p \leq q \leq \infty$ हों, तो $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ के साथ $L^q \subseteq L^p$। (ख) $\R^d$ पर (अनंत [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure)) कोई अंतर्वेशन नहीं है: $p \neq q$ के लिए ऐसे फलन हैं जो $L^p\setminus L^q$। (ग) (अंतर्गणन) यदि $p < r < q$ हो और $\alpha \in \intoo01$ $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ से परिभाषित हो, तो $$ \norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ; $$ और विशेष रूप से $L^p \cap L^q \subseteq L^r$। **उपपत्ति.** (क) घातांकों $\frac qp$ और उसके संयुग्मी के साथ होल्डर: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ($q = \infty$ सीधे)। (ख) $0$ के निकट और $\infty$ के निकट घातें $x^{-\alpha}$ अंशांकन कर देती हैं: [अभ्यास 12.2](#exo-b3-lp-2)। (ग) $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ लिखिए और संयुग्मी युग्म $\frac p{r\alpha}$, $\frac q{r(1-\alpha)}$ (जो $\alpha$ की परिभाषा से ठीक संयुग्मी हैं) के साथ होल्डर लगाइए: $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$। ∎ **विधि 12.13.** $L^p$ का औजार-बक्सा, जैसा आगे सर्वत्र प्रयुक्त होता है: समस्त $f \in L^p$ के लिए कोई सर्वसमिका या असमिका सिद्ध करने के लिए — उसे किसी सघन वर्ग पर सिद्ध कीजिए ([प्रमेय 12.9](#thm-b3-lp-regularization) के माध्यम से $\mathcal C_c^\infty$) और [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से बढ़ाइए ([प्रमेय 7.2](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension), क्योंकि दोनों पक्ष $L^p$-संतत हैं); $f = 0$ सिद्ध करने के लिए $\mathcal C_c^\infty$ के सापेक्ष परीक्षा लीजिए ([उपप्रमेय 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma)); चिकनाई पाने के लिए संवलन कीजिए; और घातांक बदलने के लिए होल्डर तथा अंतर्गणन। [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) का फूरिये सिद्धांत इसी विधि का एक लंबा अनुप्रयोग है। ## 12.6 अभ्यास **अभ्यास 12.1 ★.** (क) $L^2(\mu)$ में कोशी–श्वार्ज़ असमिका को होल्डर की $p = q = 2$ स्थिति के रूप में कहिए और सिद्ध कीजिए। (ख) किसी *प्रायिकता* समष्टि पर दर्शाइए कि $p \mapsto \norm f_p$ अनवरोही है। (ग) $p = 1$, $q = \infty$ के लिए होल्डर कब समता बनती है? **हल — अभ्यास 12.1.** (क) [प्रमेय 12.2](#thm-b3-lp-holder) में $p = q = 2$: $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — अर्थात् कोशी–श्वार्ज़, जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $\abs f, \abs g$ समानुपाती हों और कलाएँ संरेखित। (ख) किसी प्रायिकता समष्टि पर $p \leq q$ के लिए: उत्तल $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ के साथ येंसन ([अभ्यास 12.10](#exo-b3-lp-10)) को फलन $\abs f^p$ पर लगाइए: $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$, अर्थात् $\norm f_p \leq \norm f_q$। (ग) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ तभी और केवल तभी जब $\{f \neq 0\}$ पर लगभग सर्वत्र $\abs{g} = \norm g_\infty$ (असमिका $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ को लगभग सर्वत्र बराबरी होना चाहिए)। **अभ्यास 12.2 ★.** किन $p \in \intco1\infty$ के लिए निम्नलिखित $L^p$ में हैं? $$ x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \intoo01 \text{ पर}, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \R \text{ पर} . $$ निष्कर्ष निकालिए: $\intoo01$ पर छोटा $p$ आसान है, $\intoo1\infty$ पर बड़ा $p$ आसान है, और $\R$ पर कोई $L^p$ किसी दूसरे को अंतर्विष्ट नहीं करता। **हल — अभ्यास 12.2.** $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ तभी और केवल तभी जब $p < 2$: अतः पहला $p \in \intco12$ के लिए $L^p$ में है। $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ तभी और केवल तभी जब $p > 2$: अतः दूसरा $p \in \intoo2\infty$ के लिए (और $p = \infty$: वह परिबद्ध है — उसे सम्मिलित कीजिए)। तीसरा: $p < 2$ के लिए $x^{-p/2}$ का प्रभुत्व: [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1); $p = 2$ के लिए $u = -\ln x$ प्रतिस्थापित कीजिए: $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$; और $p > 2$ के लिए घात हावी हो जाती है: अपसारी। अतः $p \in \intcc12$। चौथा: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ तभी और केवल तभी जब $p > 1$; परिबद्ध, अतः $L^\infty$ भी: $p \in \intoc1\infty$। शिक्षा: $0$ पर [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) को छोटे $p$ भाते हैं, और $\infty$ पर बड़े $p$; दोनों बाधाओं को मिलाने पर $L^p(\R)$ समष्टियों के बीच कोई अंतर्विष्टि नहीं। **अभ्यास 12.3 ★★.** (टाइपराइटर) द्विआधारी अंतरालों $I_1 = \intcc01$, $I_2 = \intcc0{\frac12}$, $I_3 = \intcc{\frac12}1$, $I_4 = \intcc0{\frac14}$, … की गणना कीजिए और $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ रखिए। (क) दर्शाइए कि प्रत्येक $L^p(\intcc01)$, $p < \infty$ में $f_n \to 0$, पर *प्रत्येक* $x \in \intcc01$ के लिए $(f_n(x))$ अपसरित होता है। (ख) [प्रमेय 12.4](#thm-b3-lp-complete) द्वारा वचनित लगभग-सर्वत्र अभिसारी उपानुक्रम प्रस्तुत कीजिए। (ग) विलोमतः ऐसा अनुक्रम दीजिए जो लगभग सर्वत्र अभिसरित हो पर $L^1$ में नहीं, और ऐसा भी जो $L^1$ में अभिसरित हो पर किसी भी $L^p$, $p > 1$ में नहीं। **हल — अभ्यास 12.3.** (क) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (द्विअंशी स्तर $k$ पर लंबाई $2^{-k}$ है)। पर प्रत्येक $x$ प्रत्येक द्विअंशी स्तर के किसी एक अंतराल में होता है: अतः अनंत बार $f_n(x) = 1$ और अनंत बार $= 0$ ($x$ को न धारण करने वाले उसी स्तर के अंतराल): इसलिए किसी भी बिंदु पर अभिसरण नहीं। (ख) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (प्रत्येक स्तर का पहला अंतराल) प्रत्येक $x > 0$ पर $0$ पर अभिसरित होता है: अर्थात् लगभग सर्वत्र। (ग) लगभग सर्वत्र पर $L^1$ में नहीं: लगभग सर्वत्र $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$, समाकल $1$। $L^1$ में पर किसी $L^p$ में नहीं ($p > 1$): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$: $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$, जबकि प्रत्येक $p > 1$ के लिए $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$। **अभ्यास 12.4 ★★.** मान लीजिए $\mu(X) < \infty$ और $f \in L^\infty(\mu)$, $f \neq 0$। दर्शाइए कि $p \to \infty$ पर $\norm f_p \to \norm f_\infty$। *(ऊपरी परिबंध [प्रतिज्ञप्ति 12.12](#prop-b3-lp-inclusions) के (क) से; निचला परिबंध धनात्मक [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) वाले $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ पर समाकलन करके।)* **हल — अभ्यास 12.4.** ऊपरी: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ ($q = \infty$ के साथ [प्रतिज्ञप्ति 12.12](#prop-b3-lp-inclusions)(क)), और $\mu(X)^{1/p} \to 1$। निचली: $\varepsilon > 0$ के लिए $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ के पास $\mu(A) > 0$ है (सारभूत उच्चतम की परिभाषा), और $$ \norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon . $$ **अभ्यास 12.5 ★★.** (क) [प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)(3) की उपपत्ति $p < \infty$ का उपयोग ठीक कहाँ करती है? (ख) दर्शाइए कि $f \in L^\infty(\R)$ $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ को संतुष्ट करता है तभी और केवल तभी जब $f$ का कोई एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिनिधि हो। **हल — अभ्यास 12.5.** (क) दो बार: रूपांतरण $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (परिमित-माप आलंब) $p = \infty$ के लिए केवल इस अर्थ में [क्षीण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) हो जाता है कि वहाँ *$\mathcal C_c$ की सघनता* विफल हो जाती है — और वही असली दरार है: [प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density) के चरण (2) का कोई $L^\infty$ सादृश्य नहीं है। (ख) यदि $f$ का कोई एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिनिधि $g$ हो: $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$। विलोमतः मान लीजिए $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$। मृदुकरण $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हैं, और $$ \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0 $$ (संवलन स्थानांतरों का कोई औसत है)। प्रत्येक $f_\varepsilon$ एकसमान रूप से [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है (औसत लेने से $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$), और एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनों की कोई एकसमान सीमा भी वैसी ही होती है: अतः $f$ किसी एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन से लगभग सर्वत्र सहमत है। **अभ्यास 12.6 ★★.** मान लीजिए $p, q$ संयुग्मी हैं, $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$। दर्शाइए कि $f * g$ *सर्वत्र* परिभाषित है, परिबद्ध है, $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ के साथ, और *एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)* भी। *($L^p$ में स्थानांतरण का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity); $p \in \{1, \infty\}$ की स्थिति अलग से लीजिए — $p = \infty$ के लिए $L^1$ गुणनखंड पर स्थानांतरण [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) का उपयोग कीजिए।)* **हल — अभ्यास 12.6.** होल्डर से प्रत्येक $x$ के लिए समाकल्य $y \mapsto f(x - y)g(y)$ $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ के साथ $L^1$ में है: अतः सर्वत्र परिभाषित और परिबद्ध। एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ($p < \infty$): $$ \abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0, $$ $x$ में एकसमान रूप से ([प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)(3))। यदि $p = \infty$ हो, तो $q = 1$: $f * g = g * f$ लिखिए और वही परिबंध चलाइए, जिसमें स्थानांतरण $g \in L^1$ पर क्रिया करता है। **अभ्यास 12.7 ★★.** मान लीजिए $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ ऐसा है कि प्रत्येक $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ के लिए $\int f\varphi' = 0$। दर्शाइए कि $f$ लगभग सर्वत्र किसी अचर के बराबर है। *($\int\chi = 1$ वाला $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ स्थिर कीजिए; $\int\psi = 0$ वाला कोई भी $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ एक $\varphi'$ है; किसी व्यापक परीक्षण फलन को $\psi + (\int\psi)\chi$ के रूप में लिखिए और $c = \int f\chi$ के साथ $f - c$ पर [उपप्रमेय 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) लगाइए।)* **हल — अभ्यास 12.7.** $\int\chi = 1$ वाला $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ स्थिर कीजिए, और $c = \int f\chi$ रखिए। मान लीजिए $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ स्वेच्छ है और $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$: तब $\int\psi = 0$, अतः $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ $\Phi' = \psi$ के साथ $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ परिभाषित करता है (वह दोनों सिरों के निकट लुप्त हो जाता है: $a$ के निकट तुच्छ रूप से, और $b$ के निकट इसलिए कि कुल समाकल $0$ है)। परिकल्पना $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ देती है, अतः $$ \int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{प्रत्येक } \varphi \text{ के लिए}: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 . $$ [उपप्रमेय 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) ($\intoo ab$ पर स्थानीयकृत) से लगभग सर्वत्र $f = c$। **अभ्यास 12.8 ★★★.** (चिकना उरिसोन) मान लीजिए $K \subseteq U \subseteq \R^d$, $K$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है, $U$ विवृत। $0 \leq \varphi \leq 1$, $K$ पर $\varphi = 1$, और $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ वाला $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ बनाइए। *(छोटे $\delta$ के लिए $K$ के $\delta$-प्रतिवेश $K_\delta$ के सूचक का $\rho_{\delta/2}$ से मृदुकरण कीजिए।)* इससे परिमित संख्या के विवृत समुच्चयों से आच्छादित किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समुच्चय के लिए $\mathcal C^\infty$ इकाई-विभाजन का कथन निकालिए। **हल — अभ्यास 12.8.** मान लीजिए $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (धनात्मक: [अभ्यास 6.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-6)(ख); यदि $U = \R^d$ हो तो कोई भी $\delta$ काम करता है), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$, और $$ \varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} . $$ तब $\varphi \in \mathcal C^\infty$ ([प्रमेय 12.9](#thm-b3-lp-regularization)(1); सूचक $L^1$ है), $0 \leq \varphi \leq 1$ ($\int\rho = 1$), $K$ पर $\varphi = 1$ ($x \in K$ के लिए $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$, अतः संवलन $\rho$ का पूरा समाकलन कर लेता है), और $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$: अर्थात् [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंबित ($K_\delta$ परिबद्ध है)। इकाई विभाजन: $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ दिया हो, तो (संहतता से) $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ वाले [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K_i \subseteq U_i$ चुनिए, $(K_i, U_i)$ के लिए ऊपर की भाँति $\varphi_i$ लीजिए, और $\psi_i = \varphi_i\prod_{j p_0$। **अभ्यास 12.10 ★★.** (येंसन) मान लीजिए $\mu$ एक *प्रायिकता* [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है, $f \in L^1(\mu)$ वास्तविक है, और $\Phi \colon \R \to \R$ उत्तल। दर्शाइए $$ \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu $$ *(बिंदु $m = \int f$ पर $\Phi$ की आधार रेखा)*। इससे समांतर–गुणोत्तर असमिका और [अभ्यास 12.1](#exo-b3-lp-1)(ख) की $p \mapsto \norm f_p$ की एकदिष्टता निकालिए। **हल — अभ्यास 12.10.** मान लीजिए $m = \int f\,\dd\mu \in \R$। उत्तलता $m$ पर कोई आधार रेखा देती है: ऐसा $s$ है कि सभी $t$ के लिए $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ ($s$ को एकपक्षीय अवकलजों के बीच लीजिए, जो उत्तल फलनों के लिए विद्यमान हैं)। $t = f(x)$ प्रतिस्थापित कीजिए और प्रायिकता $\mu$ के सापेक्ष समाकलन कीजिए: $$ \int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) $$ ([मापनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable): $\Phi$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है; और $\Phi\circ f$ के ऋणात्मक भाग की [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) आधार रेखा से प्रत्याभूत है)। समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य: भार $w_i$ वाले किसी परिमित समुच्चय पर $\Phi = \exp$ और $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ लीजिए: $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$, अर्थात् $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$। मानक की एकदिष्टता [अभ्यास 12.1](#exo-b3-lp-1)(ख) है। **अभ्यास 12.11 ★★★.** (यंग की संवलन असमिका) मान लीजिए $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ के साथ $1 \leq p, q, r \leq \infty$, और $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$। (क) $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ सिद्ध कीजिए। *($p, q, r$ से निकाले गए संयुग्मी घातांकों के लिए $$\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$$ लिखिए और घातांकों $r$, $\frac{pr}{r - p}$, $\frac{qr}{r - q}$ के साथ तीन-गुणनखंड वाली होल्डर असमिका लगाइए; फिर टोनेली से $x$ में समाकलन कीजिए।)* (ख) पहले से ज्ञात तीनों विशेष स्थितियाँ जाँचिए: $r = \infty$ (होल्डर, [अभ्यास 12.6](#exo-b3-lp-6)); $q = 1$ (किसी [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) नाभिक के साथ संवलन की $L^p$-स्थिरता); और $p = q = 1$ ($L^1$ एक संवलन बीजगणित है, [प्रमेय 11.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution))। (ग) $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ के साथ कोई असमिका क्यों नहीं है? *(प्रसार $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ पर परीक्षा लीजिए और दोनों पक्षों के मापन की तुलना कीजिए।)* **हल — अभ्यास 12.11.** (क) पहले $p, q, r < \infty$ और $f, g \geq 0$ मान लीजिए (निरपेक्ष मानों से बदल दीजिए)। तीनों घातांक $r$, $\alpha = \frac{pr}{r-p}$, $\beta = \frac{qr}{r-q}$ $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ संतुष्ट करते हैं (मापन संबंध)। स्थिर $x$ के लिए विभाजित कीजिए, $$ f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r}, $$ और तीनों घातांकों के साथ होल्डर $$ (f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots $$ दे देता है; अधिक परिशुद्धता से: दूसरा गुणक $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ है क्योंकि $(1 - \frac pr)\alpha = p$, और इसी प्रकार तीसरा $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ है। $r$-वीं घात लीजिए और $x$ में समाकलन कीजिए (पहले गुणक पर टोनेली): $$ \norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r . $$ अंत-बिंदु स्थितियाँ ($r = \infty$ अथवा कोई घातांक अपनी सीमा के बराबर) सादा होल्डर या सीधे आकलन हैं। (ख) $r = \infty$ $q = p'$ अनिवार्य कर देता है: $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — अर्थात् स्थानांतरण-परावर्तन के बाद होल्डर। $q = 1$ $r = p$ देता है: $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$, अर्थात् मृदुकरण का भारवाहक ([प्रमेय 12.9](#thm-b3-lp-regularization) का इंजन)। $p = q = 1$ $r = 1$ देता है: अर्थात् संवलन बीजगणित ([प्रमेय 11.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution))। (ग) $f, g$ को $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ से और $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ को बदल दीजिए: तब $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$, और मानकों की तुलना करने पर $$ \text{बायाँ पक्ष} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{दायाँ पक्ष} \sim \lambda^{-d/p - d/q} : $$ सभी $f, g$ के लिए वैध कोई असमिका दोनों मापन घातांकों को मेल खाने पर बाध्य कर देती है, अर्थात् ठीक $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$। कोई भी अन्य संयोजन $\lambda \to 0$ या $\infty$ पर मर जाता है: यंग का संबंध कोई सुविधा नहीं, बल्कि एक मापन नियम है। **अभ्यास 12.12 ★★.** (समता की स्थितियाँ) (क) होल्डर की असमिका $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ($1 < p < \infty$) में दर्शाइए कि समता तभी और केवल तभी होती है जब $\abs f^p$ और $\abs g^q$ लगभग सर्वत्र समानुपाती हों। *(यंग की असमिका $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ की समता स्थिति का अनुसरण कीजिए, जो $a^p = b^q$ है।)* (ख) मिन्कोव्स्की की असमिका $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ($1 < p < \infty$) में दर्शाइए कि $f, g \neq 0$ के साथ समता से लगभग सर्वत्र $c > 0$ के साथ $g = cf$ अनिवार्य हो जाता है। (ग) $p = 1$ और $p = \infty$ से तुलना कीजिए: वहाँ की (बहुत बड़ी) समता स्थितियों का उदाहरणों सहित वर्णन कीजिए। **हल — अभ्यास 12.12.** (क) $\norm f_p = \norm g_q = 1$ मानकीकृत कीजिए। होल्डर की उपपत्ति यंग की असमिका $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ का समाकलन करती है; और समाकलों की बराबरी यंग में लगभग सर्वत्र बराबरी अनिवार्य कर देती है, जिसका ($\exp$ की कड़ी उत्तलता; बराबरी तभी और केवल तभी जब $a^p = b^q$) अर्थ है लगभग सर्वत्र $\abs f^p = \abs g^q$। मानकीकरण हटाने पर: लगभग सर्वत्र $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ — अर्थात् समानुपातिकता। (ख) मिन्कोव्स्की $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ और $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ पर लगाए गए दो होल्डर हैं; और बराबरी दोनों में (क) वाली समानुपातिकता अनिवार्य कर देती है: $\abs f^p$ और $\abs g^p$ प्रत्येक $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ के समानुपाती, अतः किसी अचर $t \geq 0$ के लिए लगभग सर्वत्र $\abs g = t\abs f$; और प्रारंभिक बिंदुशः त्रिभुज असमिका $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ को भी लगभग सर्वत्र बराबरी होना चाहिए, जिसका सम्मिश्र मानों के लिए अर्थ है कि जहाँ दोनों शून्येतर हों वहाँ $f$ और $g$ का कोणांक लगभग सर्वत्र एक ही हो। मिलाकर: लगभग सर्वत्र $g = tf$, $t > 0$ (दोनों शून्येतर)। (ग) $p = 1$: $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ में बराबरी तब भी लागू रहती है जब $f, g$ का चिह्न प्रतिरूप एक ही हो (लगभग सर्वत्र एक ही कोणांक) — किसी समानुपातिकता की आवश्यकता नहीं: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ और $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ काम कर देते हैं। $p = \infty$: $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ तभी हो जाता है जब दोनों फलन किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर (अथवा किसी उभयनिष्ठ अनुक्रम के अनुदिश) संगत रूप से शिखर बनाएँ: अन्यत्र के व्यवहार की परवाह किए बिना किसी एक बिंदु के निकट $f = g\,$ पर्याप्त है। $1 < p < \infty$ के लिए $L^p$ गोलों की कड़ी उत्तलता — और अंत-बिंदुओं पर उसकी विफलता — ठीक वही है जिसकी ये बराबरी स्थितियाँ साक्षी हैं। ## 12.7 समस्या: हार्डी की असमिका **समस्या 12.1.** सप्ताहांत समस्या — हार्डी की असमिका और उसका तीक्ष्ण नियतांक $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$, $1 < p < \infty$ के लिए *हार्डी संकारक* $$ (Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t . $$ परिभाषित कीजिए। हार्डी की असमिका (1920) कहती है $$ \norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p , $$ और नियतांक $\frac p{p-1}$ इष्टतम है तथा प्राप्त नहीं होता। यह समस्या सब कुछ सिद्ध करती है, फिर श्रेणियों तक विस्तार करती है। **भाग I — असमिका।** पहले मान लीजिए $f \geq 0$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और $\intoo0{+\infty}$ में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाला, और मान लीजिए $F(x) = \int_0^xf$। 1. दर्शाइए कि $Hf \in L^p$ : $0$ के निकट $F$ $0$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर लुप्त हो जाता है; $\infty$ के निकट $F$ परिबद्ध है, अतः $(Hf)(x) = O(1/x)$ , और $x \mapsto \frac1x$ $p > 1$ के लिए $L^p(\intoo1{+\infty})$ में है। 2. खंडशः समाकलन करके दर्शाइए $$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$$ *($x^{1-p}F^p$ का अवकलन कीजिए; सीमांत पद लुप्त हो जाते हैं — दोनों छोरों को उचित ठहराइए।)* 3. दाईं ओर होल्डर लगाइए और ऐसे $f$ के लिए $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ निष्कर्ष निकालिए। 4. समूचे $L^p$ तक बढ़ाइए: $f \geq 0$ के लिए $\intoo0{+\infty}$ में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाला [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f_n$ बनाइए जिसके लिए लगभग सर्वत्र $0 \leq f_n \nearrow f$ *(छाँटिए, फिर एकदिष्ट रूप से आसन्नन कीजिए — रचना को उचित ठहराइए)* ; तब बिंदुशः $Hf_n \nearrow Hf$ (औसत के भीतर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय) और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय असमिका को सीमा तक ले जाती है। चिह्नित या सम्मिश्र $f$ के लिए $\abs{Hf} \leq H\abs f$ से निष्कर्ष निकालिए। **भाग II — इष्टतमता।** 5. $A > 1$ के लिए मान लीजिए $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$। $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ परिकलित कीजिए, और $1 \leq x \leq A$ के लिए $$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$$ 6. $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ निष्कर्ष निकालिए, और निष्कर्ष निकालिए कि नियतांक इष्टतम है। 7. दर्शाइए कि $f \neq 0$ के साथ समता $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ असंभव है। *(प्रश्न 3 में होल्डर की समता स्थिति का अनुसरण कीजिए: वह $f = cx^{-1/p}$ प्रकार का व्यवहार अनिवार्य कर देती, जो $L^p$ में नहीं है।)* **भाग III — विविक्त असमिका।** 8. $(0,\infty)$ पर किसी अनवर्धी $g \geq 0$ और $a_n = g(n)$ के लिए $\sum a_n^p$ और $\int g^p$ की तथा तदनुसार $H$-औसतों की तुलना करके भाग I से *हार्डी की विविक्त असमिका* निकालिए: $a_n \geq 0$ के लिए $$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$$ — इसे पहले अनवर्धी $(a_n)$ के लिए उपर्युक्त तुलना से सिद्ध कीजिए, फिर व्यापक स्थिति को पुनर्विन्यास द्वारा अनवर्धी स्थिति तक सिमटाइए *(एक पंक्ति के औचित्य के साथ यह स्वीकार कीजिए कि $(a_n)$ को घटते क्रम में छाँटने से बायाँ पक्ष केवल बढ़ सकता है जबकि दायाँ पक्ष अपरिवर्तित रहता है)*। 9. निष्कर्ष निकालिए: यदि $\sum a_n^p < \infty$ हो, तो $(a_n)$ के चेज़ारो माध्य भी $\ell^p$ में होते हैं — और ऐसा उदाहरण दीजिए ( $p = 2$ ) जिसमें $(a_n) \in \ell^2$ हो पर $a_n$ योग्य न हो, फिर भी हार्डी माध्यों को नियंत्रित कर ले। **भाग IV — उपसंहार।** 10. दर्शाइए कि $p = 1$ के लिए हार्डी की असमिका विफल हो जाती है: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के साथ $Hf$ परिकलित कीजिए और $Hf \notin L^1$ पर ध्यान दीजिए। उपपत्ति कहाँ टूटती है? **भाग V — महत्तम फलन, और लेबेग की अवकलन प्रमेय।** हार्डी मूल बिंदु से औसत लेता है; हार्डी–लिटिलवुड *प्रत्येक बिंदु के आसपास* औसत लेते हैं। $f \in L^1(\R)$ के लिए परिभाषित कीजिए $$ Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda . $$ 11. (विटाली, परिमित रूप) मान लीजिए $B_1, \dots, B_N$ विवृत अंतराल हैं। दर्शाइए कि कोई असंयुक्त उपकुल $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ ऐसा है कि $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , जहाँ $3B$ उसी [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) और तिगुनी लंबाई वाले अंतराल को निरूपित करता है *(लोभी विधि: बार-बार वह सबसे लंबा अंतराल चुनिए जो पहले चुने गए अंतरालों से असंयुक्त हो)* । 12. (दुर्बल प्रकार $(1,1)$) दर्शाइए कि प्रत्येक $t > 0$ के लिए $$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$$ $Mf(x) > t$ वाला प्रत्येक $x$ $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ वाला कोई केंद्रित अंतराल $B_x$ रखता है; कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \{Mf > t\}$ लीजिए (आंतरिक नियमितता), उसे परिमित संख्या के $B_x$ से आच्छादित कीजिए, प्रश्न 11 लगाइए, और निःशेष कीजिए। 13. $x > 1$ के लिए $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $f \neq 0$ के लिए $Mf \notin L^1$ (अनंत पर $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ ): अर्थात् $p = 1$ पर प्रश्न 12 की दुर्बल असमिका ही सर्वोत्तम संभव कथन है। 14. ($p > 1$ के लिए प्रबल प्रकार) $f \in L^p$ के लिए: $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ को बाँटिए, $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ पर ध्यान दीजिए, और प्रश्न 12 को परत-केक सूत्र ([प्रतिज्ञप्ति 11.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#prop-b3-product-layercake)) तथा टोनेली के साथ मिलाकर सिद्ध कीजिए $$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$$ ($p \downarrow 1$ पर विस्फोट प्रश्न 13 की विफलता ही है, मात्रात्मक रूप में।) 15. (लेबेग की अवकलन प्रमेय) सिद्ध कीजिए: $f \in L^1(\R)$ के लिए $$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{लगभग प्रत्येक }x\text{ के लिए} .$$ *([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए स्पष्ट। व्यापक स्थिति में $f = g + h$ लिखिए, जहाँ $g$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाला [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और $\norm h_1 < \varepsilon$ ([प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)); जिस समुच्चय पर औसतित दोलन का $\limsup_{r\to0}$ $\delta$ से अधिक है वह $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ के भीतर बैठता है, जिसका [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $O(\varepsilon/\delta)$ है; अब $\varepsilon \to 0$ लीजिए, फिर किसी अनुक्रम के अनुदिश $\delta \to 0$।)* 16. निष्कर्ष निकालिए: (क) लगभग प्रत्येक बिंदु $f$ का *लेबेग बिंदु* है; (ख) $f \in L^1$ के लिए आद्यंतर $F(x) = \int_0^xf$ लगभग सर्वत्र अवकलनीय है और लगभग सर्वत्र $F' = f$ — अर्थात् लेबेग संसार में कलन की मूल प्रमेय का समाकल वाला आधा भाग, जो सीढ़ी ( [समस्या 9.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#pb-b3-measure-1) ) से खुले वृत्त को बंद कर देता है, क्योंकि सीढ़ी ने दिखाया था कि विलोम आधा भाग विफल हो सकता है। 17. ( [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) बिंदु) [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) $A \subseteq \R$ के लिए दर्शाइए कि लगभग प्रत्येक $x \in A$ $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ को संतुष्ट करता है: अर्थात् [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) समुच्चय अपने लगभग सभी बिंदुओं पर स्थानीय रूप से भरे हुए होते हैं। दो पंक्तियों में रेखांकित कीजिए कि इससे श्टाइनहाउस की प्रमेय ( [अभ्यास 9.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#exo-b3-measure-8) ) की एक और उपपत्ति कैसे निकलती है। **भाग VI — औसतीकरण की विषय-वस्तु पर विविधताएँ।** 18. (भारित हार्डी) $\alpha < p - 1$ और $f \geq 0$ के लिए उसी खंडशः समाकलन से दर्शाइए $$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$$ और जाँचिए कि सीमांत स्थिति $\alpha = p - 1$ वास्तव में वर्जित है (प्रश्न 10 का प्रतिउदाहरण अनुकूलित कीजिए)। 19. (संलग्न) मान लीजिए $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ । अऋणात्मक $f, g$ के लिए $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ दर्शाइए (टोनेली), और $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ सिद्ध कीजिए *(सीधे खंडशः, अथवा द्वैतता से संयुग्मी घातांक पर हार्डी से — ध्यान दीजिए कि कौन-सा घातांक कौन-सा नियतांक उठाता है)* । 20. (हिल्बर्ट प्रकार की एक असमिका) इससे निष्कर्ष निकालिए कि अऋणात्मक $f \in L^p$, $g \in L^q$ के लिए: $$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$$ *($y < x$ / $y \geq x$ के अनुदिश बाँटिए: प्रत्येक आधा एक फलन की दूसरे के हार्डी रूपांतर के साथ युग्मन है)*। 21. (इष्टतमता, विविक्त) दर्शाइए कि प्रश्न 8 का नियतांक $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ भी इष्टतम है: $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ पर परीक्षा लीजिए, दोनों पक्षों की समाकलों से तुलना कीजिए, और $N \to \infty$ जाने दीजिए (भाग II का विविक्त दर्पण)। 22. (संश्लेषण) इस समस्या में तीन औसतीकरण संकारक आए: हार्डी का $H$ , विविक्त चेज़ारो माध्य, और महत्तम संकारक $M$ । प्रत्येक की परिबद्धता क्या कहती है, यह एक-एक पंक्ति में कहिए, ध्यान दीजिए कि तीनों ठीक $p = 1$ पर विफल होते हैं, और समझाइए कि यह एक ही विफलता तीन बार क्यों है (हरात्मक पुच्छ $\frac1x$ )। **भाग VII — कार्लमान की असमिका, और तीक्ष्ण कितना तीक्ष्ण।** 23. (कार्लमान की असमिका) मान लीजिए $\sum a_n < \infty$ के साथ $a_n \geq 0$। प्रश्न 8 की विविक्त हार्डी असमिका $b_n = a_n^{1/p}$ पर लगाइए, समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग कीजिए, और $p \to \infty$ जाने दीजिए (दर्शाइए कि $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ घटकर $\eu$ तक जाता है), जिससे $$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$$ मिल जाए: अर्थात् किसी योग्य अनुक्रम के गुणोत्तर माध्य भी योग्य होते हैं, और कीमत अधिकतम $\eu$। 24. (नियतांक $\eu$ इष्टतम है) $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ पर परीक्षा लीजिए: [समस्या 11.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#pb-b3-product-1) के स्टर्लिंग कोष्ठन का उपयोग करके $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ दर्शाइए, निष्कर्ष निकालिए कि कार्लमान के दोनों पक्ष $\eu\ln N$ की तरह बढ़ते हैं, और निष्कर्ष निकालिए कि $\eu$ से छोटा कोई नियतांक काम नहीं कर सकता। (प्रतिरूप पर ध्यान दीजिए: हार्डी और कार्लमान दोनों के इष्टतमकारी वही हरात्मक प्रकार के अनुक्रम हैं जो समष्टि में होने से बाल-बाल चूक जाते हैं।) 25. (“तीक्ष्ण” तक कितनी धीमी पहुँच?) $p = 2$ लीजिए। $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के लिए परिबंध $2$ के सामने $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ परिकलित कीजिए। प्रश्न 5 के निकट-इष्टतमकारी $f_A$ के लिए यथार्थ सर्वसमिका $$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{अतः}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$$ सिद्ध कीजिए। $A = \eu^{10}$ पर मान निकालिए (अनुपात $\approx 1.790$) और टिप्पणी कीजिए: उच्चतम $2$ तक केवल $1/\ln A$ की गति से पहुँचा जाता है — अर्थात् कोई इष्टतम नियतांक संख्यात्मक दृष्टि से लगभग अदृश्य हो सकता है। **हल — समस्या 12.1.** **1.** $f$ का आलंब किसी $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ में है, अतः $[0, \alpha]$ पर $F = 0$ और $[\beta, \infty)$ पर $F \equiv F(\beta)$: इसलिए $Hf$ $0$ के निकट लुप्त हो जाता है और अनंत पर $O(1/x)$ है; $p > 1$ के लिए $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$, और $Hf$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: $Hf \in L^p$। **2.** $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$। दोनों परिसीमा मान लुप्त हो जाते हैं: $0$ पर इसलिए कि $0$ के निकट $F = 0$; और $\infty$ पर इसलिए कि $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ($p > 1$)। इस सर्वसमिका का $\intoo0\infty$ पर समाकलन: $$ 0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x, $$ जो दिखाया गया संबंध है। **3.** घातांकों $q = \frac p{p-1}$ और $p$ के साथ होल्डर: $$ \int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p , $$ अतः $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$; भाग दीजिए (प्रश्न 1 से परिमित, और यदि $0$ हो तो सिद्ध करने को कुछ नहीं)। **4.** मान लीजिए $f \in L^p$, $f \geq 0$। $L^p$ में $\varphi_k \to f$ वाला $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ चुनिए ([प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)(2), विवृत अर्ध-रेखा से प्रतिच्छेदित — $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ का आसन्नन कीजिए और विकर्ण लीजिए), और $\varphi_k$ को $\abs{\varphi_k}$ से बदल दीजिए (अब भी [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), और $f \geq 0$ के अधिक निकट)। प्रत्येक स्थिर $x > 0$ के लिए $\intoo0x$ पर होल्डर $$ \abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 : $$ देता है, और बिंदुशः $H\varphi_k \to Hf$। फतू और प्रश्न 3: $$ \int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p . $$ चिह्नयुक्त या सम्मिश्र $f$ के लिए: बिंदुशः $\abs{Hf} \leq H\abs f$, और ऋणेतर स्थिति $\abs f$ पर लागू होती है। **5.** $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$। $1 \leq x \leq A$ के लिए: $$ (Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr). $$ **6.** $\varepsilon > 0$ और $x \geq X_0$ के लिए $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ वाला $X_0$ स्थिर कीजिए। तब $$ \norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0), $$ अतः $A \to \infty$ पर $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$: इसलिए अचर को सुधारा नहीं जा सकता। **7.** प्रश्न 3 में बराबरी होल्डर में बराबरी अनिवार्य कर देती है: अर्थात् लगभग सर्वत्र $f^p$ $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ का समानुपाती, यानी किसी $\gamma \geq 0$ के लिए लगभग सर्वत्र $f = \gamma\,\frac Fx$। चूँकि $F(x) = \int_0^xf$ निरपेक्षतः [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और लगभग सर्वत्र $F' = f$, अतः $F$ $F' = \gamma F/x$ हल करता है: जिस भी अंतराल पर $F > 0$ हो वहाँ $(\ln F)' = \gamma/x$, अतः $F = c\,x^{\gamma}$ और वहाँ $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$। पर कोई शून्येतर घात $x^{\gamma-1}$ $L^p(\intoo0\infty)$ में नहीं होती ($\infty$ पर $p(\gamma - 1) < -1$ चाहिए और $0$ पर $> -1$: असंगत), और $F$ सर्वथा लुप्त नहीं हो सकता जब तक $f = 0$ न हो। अतः बराबरी $f = 0$ माँगती है। **8.** अनवर्धमान $\geq 0$ $(a_n)$ दिया हो, तो $\intoo0{+\infty}$ पर सोपान फलन $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ परिभाषित कीजिए: यह अनवर्धमान है, जिसमें $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ और $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$, अतः $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$। किसी अनवर्धमान फलन का औसत अनवर्धमान होता है, अतः $Hg$ भी वैसा ही है, और भाग I से $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p $$ किसी व्यापक ऋणेतर अनुक्रम के लिए मान लीजिए $(a_n^*)$ उसका अनवर्धमान पुनर्विन्यास है (यह $a_n \to 0$ होने पर संभव है, और हम वैसा मान सकते हैं — अन्यथा दोनों पक्ष अनंत हैं): दायाँ पक्ष अपरिवर्तित रहता है, और प्रत्येक आंशिक योग $a_1 + \dots + a_n$ अधिक से अधिक $a_1^* + \dots + a_n^*$ है ($n$ सबसे बड़े पद): अतः बायाँ पक्ष केवल बढ़ता है। इसलिए सभी $(a_n)$ के लिए असमिका। **9.** यदि $(a_n) \in \ell^p$ हो, तो चेज़ारो माध्यों का अनुक्रम मानक $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ के साथ $\ell^p$ में है। उदाहरण ($p = 2$): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ($n \geq 2$): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$, फिर भी $\sum a_n = \infty$ (समाकल परीक्षा); हार्डी फिर भी $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ की प्रत्याभूति देते हैं। **10.** $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के लिए: $\intoc01$ पर $Hf(x) = 1$ और $x \geq 1$ के लिए $= \frac1x$: $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$, जबकि $\norm f_1 = 1$। उपपत्ति दो स्थानों पर ढह जाती है: अचर $\frac p{p-1}$ $p \to 1$ पर फट जाता है, और परिसीमा पद $x^{1-p}F^p$ $p = 1$ के लिए अनंत पर अब लुप्त नहीं होता। हार्डी की असमिका एक ईमानदार $p > 1$ परिघटना है। **11.** सबसे लंबा अंतराल $B_{i_1}$ चुनिए; उससे मिलने वाला प्रत्येक अंतराल हटा दीजिए; बचे हुओं में से सबसे लंबा $B_{i_2}$ चुनिए; और पुनरावृत्ति कीजिए (अंतराल परिमित संख्या में हैं)। चुने गए रचना से असंयुक्त हैं, और हटाया गया प्रत्येक $B$ कम से कम उतने ही लंबे किसी चुने गए अंतराल से मिला था: और किसी लंबे-या-बराबर अंतराल से मिलने वाला अंतराल उसके तिगुने $B \subseteq 3B_{i_l}$ में अंतर्विष्ट होता है। **12.** $\{Mf > t\}$ विवृत है: प्रत्येक औसत $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है ($x$ में प्रभावी अभिसरण), और [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनों का कोई उच्चतम अधःसंतत होता है। उसका प्रत्येक $x$ $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ वाला $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ रखता है। [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \{Mf > t\}$ के लिए: परिमित संख्या के $B_x$ $K$ को आच्छादित कर लेते हैं, विटाली (प्रश्न 11) $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ वाले असंयुक्त $B_1', \dots, B_k'$ निकाल लेते हैं, अतः असंयुक्तता से $$ \lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1 $$ और आंतरिक नियमितता ([प्रमेय 9.13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-regularity)) से बात पूरी हो जाती है। **13.** $x > 1$ के लिए: $r \in \intcc{x-1}x$ के साथ औसत $\frac{r - x + 1}{2r}$ है, जो $r$ में बढ़ता है; और $r \geq x$ के लिए वह $\frac1{2r}$ है, जो घटता है: अतः उच्चतम $\frac1{2x}$ है, जो $r = x$ पर प्राप्त होता है। इसलिए $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$। व्यापक रूप से, यदि किसी परिबद्ध अंतराल $I \subseteq \intcc{-C}C$ पर $\int_I\abs f = c > 0$ हो, तो सभी $x$ के लिए $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$: अतः जब तक लगभग सर्वत्र $f = 0$ न हो तब तक कभी [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) नहीं। **14.** $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ के साथ: $M(f - f_t) \leq \frac t2$, अतः $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ और प्रश्न 12 $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ देता है। परत-केक ([प्रतिज्ञप्ति 11.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#prop-b3-product-layercake)) और टोनेली: $$ \norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p . $$ **15.** $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ लिखिए। [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $g$ के लिए: सर्वत्र $A_rg(x) \to g(x)$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाले [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $g$ और $\norm h_1 < \varepsilon$ ([प्रमेय 12.6](#thm-b3-lp-density)) के साथ $f = g + h$ में विभाजित कीजिए; तब $$ \limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)}, $$ अतः $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ का [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ है (प्रश्न 12; मार्कोव)। $\varepsilon$ स्वेच्छ: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$; और $\delta = \frac1k$ पर संघ: लगभग सर्वत्र $A_rf \to f$। **16.** (क) प्रत्येक $q \in \Q$ के लिए $\abs{f - q}$ पर लगाया गया प्रश्न 15 लगभग सर्वत्र $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ देता है; और इन पूर्ण-माप समुच्चयों के प्रतिच्छेद पर $\abs{f(x) - q} < \eta$ वाला $q$ चुनने पर: प्रत्येक $\eta$ के लिए $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$: अर्थात् लगभग प्रत्येक $x$ कोई लेबेग बिंदु है। (ख) किसी लेबेग बिंदु पर $$ \Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 : $$ लगभग सर्वत्र $F' = f$ — अर्थात् $L^1$ फलनों के आद्यंतर वस्तुतः वापस अवकलित हो जाते हैं; और सीढ़ी ([समस्या 9.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#pb-b3-measure-1)) केवल *विलोम* दिशा का प्रतिउदाहरण है। **17.** प्रश्न 15 को $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ पर लगाइए और $n$ को बढ़ने दीजिए: लगभग प्रत्येक $x \in A$ के लिए [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$। श्टाइनहाउस: किसी [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) बिंदु के चारों ओर [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) $> \frac34$ वाला $r$ लीजिए; $\abs t < \frac r2$ के लिए $A$ और $A + t$ प्रत्येक लंबाई $\leq \frac52r$ के किसी अंतराल का $\frac32r$ से अधिक भाग भर देते हैं, अतः वे प्रतिच्छेद करते हैं: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$। **18.** मान लीजिए $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$: $G$ $0$ पर लुप्त होता है ($0$ के निकट $F$ लुप्त होता है) और $\infty$ पर भी ($F$ परिबद्ध, $\alpha + 1 - p < 0$), अतः $\int_0^\infty G' = 0$ जिसमें $$ G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha . $$ इसलिए $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$; और [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $x^\alpha\dd x$ के लिए होल्डर (घातांक $\frac p{p-1}$ और $p$) प्रश्न 3 की भाँति बात पूरी कर देता है। सीमांत $\alpha = p - 1$: $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ के साथ दायाँ पक्ष $\ln A$ है जबकि बाएँ में $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ है: $A \to \infty$ पर कोई अचर नहीं बचता। **19.** $\{0 < t < x\}$ पर टोनेली: $$ \langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle . $$ द्वैतता: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$, जिसमें हार्डी को $L^q$ में लगाया गया है और जिसका अचर $\frac q{q-1}$ $p$ के बराबर है। **20.** (अकिंचन) विकर्ण के अनुदिश विभाजित कीजिए। $\{y \leq x\}$ पर: $$ \iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q, $$ क्योंकि $L^q$ में हार्डी अचर $\frac q{q-1} = p$ ढोते हैं। सममित रूप से $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ($\frac p{p-1} = q$)। कुल: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$। **21.** $a_n = n^{-1/p}$ के लिए $n \leq N$: दायाँ पक्ष $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ है। बाईं ओर, $n \leq N$ के लिए: $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$, अतः $n$-वाँ चेज़ारो माध्य किसी भी परास $n \geq n_0(\eta)$ में $n$ के लिए एकसमान रूप से $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ है; $p$ घात लेकर योग करने पर बायाँ पक्ष $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ है। भाग देकर पहले $N \to \infty$ और फिर $\eta \to 0$ लेने पर: $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ से छोटा कोई अचर काम नहीं कर सकता। **22.** $L^p$ पर $H$ परिबद्ध: संचयी औसत $p$-मानकों को नहीं फुलाते (अचर $\frac p{p-1}$); $\ell^p$ पर चेज़ारो: वही, विविक्त रूप में; $L^p$ पर $M$ परिबद्ध: सबसे अच्छा स्थानीय औसत भी नियंत्रण में रहता है (अचर $O(\frac1{p-1})$)। तीनों $p = 1$ पर विफल हो जाते हैं, और एक ही कारण से: द्रव्यमान की किसी संकेंद्रित इकाई का औसत लेने से $\frac1x$ पुच्छ उत्पन्न होती है (प्रश्न 10 और 13), और $\frac1x$ अनंत के निकट $L^1$ को छोड़कर प्रत्येक $L^p$ में होता है। मृदुकरण द्रव्यमान को ठीक [समाकलनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) के प्रसंवादी सीमांत तक फैला देता है। **23.** $b_n = a_n^{1/p}$ रखिए, अतः $\sum b_n^p = \sum a_n$। प्रश्न 8 $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n, $$ देता है, और समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य प्रत्येक योज्य पद को नीचे से परिबद्ध कर देता है: $$ \Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}. $$ अतः *प्रत्येक* $p > 1$ के लिए $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$। $m = p - 1$ के साथ $$ \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1}, $$ जो $m \to \infty$ पर घटकर $\eu$ तक जाता है ($\eu$ के लिए शास्त्रीय एकदिष्ट ऊपरी अनुक्रम)। $p$ पर निम्नतम लेने से अचर $\eu$ के साथ कार्लमान की असमिका मिल जाती है। **24.** $a_n = \frac1n$ के लिए $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$। [समस्या 11.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#pb-b3-product-1) का परिबंधन $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ देता है, अतः $$ (n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr), $$ क्योंकि $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$। प्रतिलोमन करने पर $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$, और $n \leq N$ पर योग लेने पर: $$ \sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1) $$ (त्रुटि श्रेणी $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ अभिसरित होती है)। अचर $c$ वाली कोई कार्लमान असमिका $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ अनिवार्य कर देती, अतः $\ln N$ से भाग देने पर $c \geq \eu$। अनुकूलक अनुक्रम पंक्तिबद्ध हो जाते हैं: हार्डी के अचर तक $n^{-1/p}$ से पहुँचा जाता है (प्रश्न 21), और कार्लमान के अचर तक $n^{-1}$ से — और प्रत्येक दशा में वह प्रसंवादी-प्रकार का अनुक्रम जो जिस समष्टि का औसत लिया जा रहा है उसके ठीक बाहर बैठा हो। **25.** $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के लिए: $\intoc01$ पर $Hf(x) = 1$ और $x > 1$ के लिए $Hf(x) = \frac1x$, अतः $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ और अनुपात $\sqrt2 \approx 1.414$ है, जो तीक्ष्ण परिबंध का लगभग $71\%$ है। $f_A$ ($p = 2$) के लिए: $\intcc1A$ पर $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$, अतः उस परास पर $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ और, $x > A$ के लिए, $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$। वर्ग करके समाकलन करने पर $$ \begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*} $$ जिससे $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$; और $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ से भाग देने पर कहा गया समीकरण मिल जाता है। $A = \eu^{10}$ पर: $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$, अतः अनुपात $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ है। दोष $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ केवल लघुगणकीय रूप से क्षय होता है: अनुपात $1.99$ तक पहुँचने के लिए $\ln A \approx 200$ चाहिए होता, अर्थात् $A \approx 10^{87}$। तीक्ष्ण अचर प्रमेय हैं, प्रयोग नहीं।