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title: "संहत संकारक और स्पेक्ट्रमी प्रमेय"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem
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# अध्याय 15 — संहत संकारक और स्पेक्ट्रमी प्रमेय

विकर्णन परिमित-विमीय रैखिक बीजगणित का मुकुट-रत्न है: किसी सममित आव्यूह का अभिलक्षणिक सदिशों का प्रसामान्य लांबिक आधार होता है। अनंत विमा में यह व्यापक परिबद्ध [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) संकारकों के लिए विफल हो जाता है — $L^2(\intcc01)$ पर $x$ से गुणन का तो कोई अभिलक्षणिक मान ही नहीं है ([अभ्यास 15.6](#exo-b3-spectral-6)) — पर उन संकारकों के लिए वह [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) रूप में बचा रहता है जो *लगभग परिमित-विमीय* हैं: अर्थात् [संहत](#def-b3-spectral-compact) संकारकों के लिए। [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) संकारकों के लिए स्पेक्ट्रमी प्रमेय अनुप्रयुक्त कार्यकीय विश्लेषण की सबसे अधिक प्रयुक्त प्रमेय है: वह समाकल समीकरणों का विकर्णन कर देती है, [फ्रेडहोम विकल्प](#thm-b3-spectral-fredholm) चलाती है, और (सप्ताहांत समस्या) कंपमान डोरी हल कर देती है, जिससे विशुद्ध संकारक सिद्धांत से फूरिये विश्लेषण का ज्या आधार निकल आता है — और विदाई उपहार के रूप में किसी अनुरेख सूत्र से ऑयलर का $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ भी झड़ पड़ता है। सर्वत्र $H$ $\C$ (या $\R$; कथन अनुकूलित हो जाते हैं) पर एक [हिल्बर्ट समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) है, और संकारक परिबद्ध हैं।

## 15.1 संहत संकारक

**परिभाषा 15.1.**

$T \in \mathcal L(E, F)$ ($E, F$ बानाख) *संहत* कहलाता है यदि इकाई गोले का प्रतिबिंब $T(B)$ $F$ में सापेक्षतः संहत हो — समतुल्य रूप से, यदि प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम $(x_n)$ का कोई ऐसा उपानुक्रम हो जिसके लिए $(Tx_{n_k})$ अभिसारी हो। परिमित कोटि के संकारक संहत होते हैं (परिमित विमा में परिबद्ध समुच्चय); और किसी अनंत-विमीय समष्टि का तत्समक कभी नहीं (रीस की प्रमेय, दूसरा वर्ष)।

**प्रतिज्ञप्ति 15.2.**

[संहत संकारक](#def-b3-spectral-compact) $\mathcal K(E, F)$ $\mathcal L(E, F)$ की एक संवृत उपसमष्टि बनाते हैं, और एक द्विपक्षीय [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) भी: $S$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) $\Rightarrow$ परिबद्ध $A, B$ के लिए $AS$ और $SB$ [संहत](#def-b3-spectral-compact)। इसके अतिरिक्त, किसी [हिल्बर्ट समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) में प्रत्येक [संहत संकारक](#def-b3-spectral-compact) परिमित कोटि के संकारकों की मानक-सीमा होता है।

**उपपत्ति.** उपसमष्टि: अनुक्रम वाले अभिलक्षण से स्पष्ट। [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal): परिबद्ध प्रतिचित्रण अभिसारी अनुक्रमों को अभिसारी पर और परिबद्ध को परिबद्ध पर भेजते हैं। संवृतता: मान लीजिए $T_n \to T$, जहाँ $T_n$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) हैं, और $1$ से परिबद्ध $(x_k)$; कोई विकर्ण निष्कर्षण प्रत्येक $n$ के लिए $(T_nx_{k_j})_j$ को अभिसारी बना देता है; तब $(Tx_{k_j})$ कोशी है, क्योंकि

$$
\norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} +
\norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} ,
$$

और यहाँ पहले $n$ चुनिए, फिर सूचकांक। हिल्बर्ट समष्टियों में आसन्नन: मान लीजिए $T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है, अतः $K = \overline{T(B)}$ [संहत](#def-b3-spectral-compact); $\varepsilon$ दिया हो तो $K$ को परिमित संख्या के गोलों $B(y_i, \varepsilon)$ से आच्छादित कीजिए और मान लीजिए $P$ $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (जो संवृत है: परिमित-विमीय) पर लांबिक प्रक्षेप है। तब $PT$ की कोटि परिमित है, और $\norm x \leq 1$ के लिए: $\norm{Tx - y_i} <
\varepsilon$ वाला $y_i$ चुनने पर

$$
\norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)}
\leq 2\varepsilon
$$

($y_i = Py_i$; $\vertiii P \leq 1$): अतः $\vertiii{T - PT} \leq
2\varepsilon$। ∎

**उदाहरण 15.3.**

(क) $\ell^2$ पर विकर्ण संकारक: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है तभी और केवल तभी जब $\lambda_n \to 0$ ([अभ्यास 15.2](#exo-b3-spectral-2))। (ख) $\mathcal C(\intcc01)$ पर नाभिक संकारक: आस्कोली से [संहत](#def-b3-spectral-compact) ([अभ्यास 7.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7))। (ग) *हिल्बर्ट–श्मिट संकारक*: $k \in L^2(\intcc01^2)$ के लिए

$$
(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y
$$

$L^2(\intcc01)$ पर एक [संहत संकारक](#def-b3-spectral-compact) परिभाषित करता है जिसके लिए $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ ([अभ्यास 15.4](#exo-b3-spectral-4): $k$ के आधार प्रसार को छाँटने पर $T_k$ परिमित कोटि के संकारकों की सीमा के रूप में दिख जाता है)।

## 15.2 स्वसंलग्न संकारक

**परिभाषा 15.4.**

$T \in \mathcal L(H)$ *स्वसंलग्न* कहलाता है यदि $T = T^*$ ([अभ्यास 13.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#exo-b3-hilbert-8)), अर्थात् सभी $x, y$ के लिए $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$। तब प्रत्येक $x$ के लिए $\langle x, Tx\rangle \in \R$ (वह अपने ही संयुग्म के बराबर है)।

**प्रतिज्ञप्ति 15.5.**

[स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) $T$ के लिए:

$$
\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x,
Tx\rangle} .
$$

$T$ के अभिलक्षणिक मान वास्तविक होते हैं, और भिन्न अभिलक्षणिक मानों के अभिलक्षणिक सदिश लांबिक होते हैं।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $M$ वह उच्चतम है; कोशी–श्वार्ज़ से $M \leq \vertiii T$। विलोमतः, ध्रुवण प्रकार की सर्वसमिका

$$
\langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y,
T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle
$$

(प्रसार कीजिए; [स्वसंलग्नता](#def-b3-spectral-selfadjoint) से क्रॉस पद $\langle y, Tx\rangle + \langle x,
Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$) समांतर चतुर्भुज नियम के साथ

$$
4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq
M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm
x^2 + \norm y^2\bigr).
$$

दे देती है। $Tx \neq 0$ वाले $\norm x = 1$ के लिए $y = Tx/\norm{Tx}$ लीजिए: $4\norm{Tx} \leq 4M$। अतः $\vertiii T \leq M$। अभिलक्षणिक मान: $Tx = \lambda x$, और $x \ne 0$ से $\lambda\norm x^2 = \langle
x, Tx\rangle \in \R$ मिलता है। लांबिकता: वास्तविक $\lambda \neq \mu$ के साथ $\lambda\langle x,
y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle =
\mu\langle x, y\rangle$। ∎

## 15.3 स्पेक्ट्रमी प्रमेय

**प्रमेयिका 15.6 (किसी चरम अभिलक्षणिक मान का अस्तित्व).**

मान लीजिए $T \neq 0$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) और [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है। तब $\vertiii T$ या $-\vertiii T$ $T$ का अभिलक्षणिक मान होता है।

**उपपत्ति.** [प्रतिज्ञप्ति 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) से $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$ वाले इकाई सदिश $x_n$ चुनिए, जहाँ $\abs\mu =
\vertiii T > 0$ (चिह्न स्थिर करने के लिए किसी उपानुक्रम पर जाइए)। तब

$$
\norm{Tx_n - \mu x_n}^2
= \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2
\leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2
\longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 .
$$

संहतता से कोई उपानुक्रम $Tx_{n_k} \to y$; तब $\mu
x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$, अतः $x_{n_k} \to x = y/\mu$, जो एक इकाई सदिश है, और [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $Tx = \mu x$ दे देता है। ∎

**प्रमेय 15.7 (संहत स्वसंलग्न संकारकों के लिए स्पेक्ट्रमी प्रमेय).**

मान लीजिए $T$ किसी [हिल्बर्ट समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) $H$ पर [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न संकारक](#def-b3-spectral-selfadjoint) है।

1. $H$ $T$ के अभिलक्षणिक सदिशों का एक प्रसामान्य लांबिक निकाय $(e_n)_{n \in N}$ ($N$ परिमित या गणनीय) स्वीकार करता है, जिसके अभिलक्षणिक मान $(\lambda_n)$ वास्तविक और शून्येतर हैं, और जिसके लिए $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\,  e_n \qquad (x \in H),$$ तथा $H = \ker T \,\oplus^\perp\,  \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$।
2. यदि $N$ अनंत हो, तो $\lambda_n \to 0$ ; प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए केवल परिमित संख्या के $n$ $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ को संतुष्ट करते हैं, और प्रत्येक अभिलक्षणिक समष्टि $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , परिमित-विमीय है।
3. $\ker T$ के किसी प्रसामान्य लांबिक आधार से $(e_n)$ को पूरा करने पर, जब $H$ पृथक्करणीय हो, $H$ का अभिलक्षणिक सदिशों से बना एक प्रसामान्य लांबिक आधार मिल जाता है: अतः $T$ विकर्णित हो जाता है।

**उपपत्ति.** पहले (2)। यदि अनंत संख्या के प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक सदिशों $x_k$ के लिए $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$ होता, तो (लांबिकता, पाइथागोरस) $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 =
\lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$: अर्थात् $(Tx_k)$ का कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं, जो परिबद्ध $(x_k)$ पर $T$ की संहतता का खंडन है। इससे प्रत्येक $\delta$ के लिए $\intoo{-\delta}\delta$ के बाहर के अभिलक्षणिक मानों की कुल बहुलता परिमित हो जाती है; और गणनीयता तथा $\lambda_n \to 0$ इसी से निकलते हैं।

(1) मान लीजिए $H_0$ शून्येतर अभिलक्षणिक मानों वाले *समस्त* अभिलक्षणिक सदिशों का संवृत विस्तार है, जिन्हें ((2) से और प्रत्येक परिमित-विमीय अभिलक्षणिक समष्टि के भीतर ग्राम–श्मिट से; अभिलक्षणिक समष्टियों के बीच लांबिकता [प्रतिज्ञप्ति 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) से) अभिलक्षणिक मानों $\lambda_n \neq 0$ वाले किसी प्रसामान्य लांबिक निकाय $(e_n)$ में व्यवस्थित किया गया है। $T$ $H_0$ को $H_0$ में और $H_0^\perp$ को $H_0^\perp$ में भी भेजता है: $y
\perp H_0$ और अभिलक्षणिक सदिश $e$ के लिए $\langle e, Ty\rangle =
\langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$। प्रतिबंध $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ [हिल्बर्ट समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$ पर [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है; यदि $T' \neq
0$ हो, तो [प्रमेयिका 15.6](#lem-b3-spectral-existence) $H_0^\perp$ के भीतर शून्येतर अभिलक्षणिक मान वाला $T$ का कोई अभिलक्षणिक सदिश बना देता — जो असंभव है, क्योंकि ऐसे सदिश $H_0$ में रहते हैं। अतः $T' = 0$: इसलिए $H_0^\perp \subseteq \ker T$। विलोमतः प्रत्येक $e_n$ $\ker T \perp$ ($\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle
Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle =
0$): $\ker T \subseteq H_0^\perp$, जिससे $\ker T =
H_0^\perp$ और लांबिक विघटन मिल जाते हैं। प्रसार: $x = z + \sum_nc_ne_n$ के लिए ($z \in \ker T$, $c_n = \langle
e_n, x\rangle$; $H_0$ पर [प्रमेय 13.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval)(1)), $T$ का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$ दे देता है।

(3) $\ker T$, जो किसी पृथक्करणीय समष्टि की संवृत उपसमष्टि है, पृथक्करणीय है: अतः उसका कोई प्रसामान्य लांबिक आधार है ([प्रतिज्ञप्ति 13.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#prop-b3-hilbert-gramschmidt)); और (1) के विघटन से सम्मिलन $H$ का प्रसामान्य लांबिक आधार बन जाता है। ∎

**प्रमेय 15.8 (फ्रेडहोम विकल्प).**

मान लीजिए $T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है और $\lambda \in \R\setminus
\{0\}$।

1. यदि $\lambda$ अभिलक्षणिक मान न हो, तो $T - \lambda I$ परिबद्ध प्रतिलोम के साथ एकैकी आच्छादक है: प्रत्येक $f$ के लिए समीकरण $Tx - \lambda x = f$ का ठीक एक हल है, जो $f$ पर संततता से निर्भर करता है।
2. यदि $\lambda$ अभिलक्षणिक मान हो, तो $Tx - \lambda x = f$ हल्य है तभी और केवल तभी जब $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , और हल उस (परिमित-विमीय) अष्टि तक अद्वितीय होता है।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ($z, w \in \ker T$) के अनुदिश $x = z + \sum c_ne_n$ और $f = w + \sum d_ne_n$ का विघटन कीजिए। समीकरण इस रूप में पढ़ा जाता है

$$
-\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\
(n \in N).
$$

(1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$: स्पेक्ट्रमी प्रमेय के (2) से $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta >
0$ (अभिलक्षणिक मान केवल $0 \neq \lambda$ पर संचित होते हैं)। हल कीजिए: $z = -w/\lambda$, $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$, जिसमें $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$: अतः $\norm x \leq C\norm f$ वाला एक अद्वितीय हल। (2) किसी परिमित समुच्चय $F$ में $n$ के लिए $\lambda = \lambda_{n}$: तब $n \in F$ के लिए $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ की हल्यता के लिए $d_n = 0$ चाहिए, अर्थात् $f \perp e_n$ ($n \in F$), अर्थात् $f
\perp \ker(T - \lambda I)$; और तब $c_n$, $n \in F$, स्वतंत्र रहते हैं। ∎

**उदाहरण 15.9.**

$L^2(\intcc01)$ पर मान लीजिए $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: यह वास्तविक सममित नाभिक वाला [हिल्बर्ट–श्मिट संकारक](#ex-b3-spectral-examples) है: अतः [संहत](#def-b3-spectral-compact) और [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint)। $Tf = \lambda f$ हल करना: संबंध $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y +
x\int_x^1f(y)\dd y$ दिखाता है कि $u = Tf$ $u'' = -f$ को संतुष्ट करता है (दो बार अवकलन, जो [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए वैध है, और $f \in L^2$ के लिए $Tf$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: प्रभावी अभिसरण), जिसमें $u(0)
= 0$ और $u'(1) = 0$। अतः अभिलक्षणिक फलन $\lambda u'' =
-u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$ को हल करते हैं:

$$
u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr),
\qquad
\lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2}
\quad (n \geq 0),
$$

और स्पेक्ट्रमी प्रमेय कहती है — बिना किसी फूरिये सिद्धांत के — कि मानकीकरण के बाद ये ज्या $L^2(\intcc01)$ का प्रसामान्य लांबिक आधार बनाते हैं ($T$ की अष्टि $0$ है: $Tf = 0$ से दो अवकलनों द्वारा लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य हो जाता है)। सप्ताहांत समस्या कंपमान डोरी के लिए इसी विचार-मंडल को चलाती है और अनुरेख से $\zeta(2)$ निकाल लेती है।

**विधि 15.10.**

कोई समाकल या अवकल समीकरण दिया हो: (1) उसे किसी समाकल संकारक $K$ के साथ $(I - \lambda K)u = f$ या $Ku = \lambda u$ के रूप में लिखिए; (2) $K$ की संहतता जाँचिए (हिल्बर्ट–श्मिट नाभिक, अथवा आस्कोली) और यदि संभव हो तो [स्वसंलग्नता](#def-b3-spectral-selfadjoint) भी (सममित वास्तविक नाभिक); (3) स्पेक्ट्रमी प्रमेय से विकर्णन कीजिए अथवा हल्यता के लिए [फ्रेडहोम विकल्प](#thm-b3-spectral-fredholm) का आह्वान कीजिए; (4) अभिलक्षणिक आधार में अस्तित्व, अद्वितीयता, स्थायित्व और हलों के श्रेणी सूत्र पढ़ लीजिए। अवकल संकारक अपरिबद्ध होते हैं, पर उनके *प्रतिलोम* (ग्रीन संकारक) [संहत](#def-b3-spectral-compact) होते हैं: अतः पहले सदा प्रतिलोम लीजिए।

## 15.4 अभ्यास

**अभ्यास 15.1 ★.**

(क) दर्शाइए कि परिमित-विमीय परिसर वाला कोई परिबद्ध संकारक [संहत](#def-b3-spectral-compact) होता है। (ख) दर्शाइए कि किसी मानकित समष्टि का तत्समक [संहत](#def-b3-spectral-compact) है तभी और केवल तभी जब विमा परिमित हो (रीस, दूसरा वर्ष)। इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी अनंत-विमीय समष्टि पर [संहत संकारक](#def-b3-spectral-compact) कभी परिबद्ध प्रतिलोम के साथ व्युत्क्रमणीय नहीं होता।

**हल — अभ्यास 15.1.**

(क) $T(B)$ परिमित-विमीय $\operatorname{im}T$ का कोई परिबद्ध उपसमुच्चय है: अतः हाइने–बोरेल ([उपप्रमेय 6.17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-heineborel), $\R^n$ के साथ किसी रैखिक [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से अंतरित) से सापेक्षतः [संहत](#def-b3-spectral-compact)। (ख) $I$ का [संहत](#def-b3-spectral-compact) होना यह कहता है कि संवृत इकाई गोला [संहत](#def-b3-spectral-compact) है, जो रीस की प्रमेय (दूसरा वर्ष) से ठीक परिमित विमा में होता है। यदि किसी [संहत](#def-b3-spectral-compact) $T$ का परिबद्ध प्रतिलोम $T^{-1}$ होता, तो $I = T^{-1}T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) होता ([प्रतिज्ञप्ति 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): जो अनंत विमा में असंभव है।

**अभ्यास 15.2 ★.**

$\ell^2$ पर मान लीजिए $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$, जहाँ $(\lambda_n)$ परिबद्ध है। (क) $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$ दर्शाइए। (ख) दर्शाइए कि $T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है तभी और केवल तभी जब $\lambda_n \to 0$। *($\Leftarrow$ के लिए छाँटिए; $\Rightarrow$ के लिए $(e_n)$ पर परीक्षा लीजिए।)* (ग) $T$ कब [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है? उस स्थिति में स्पेक्ट्रमी प्रमेय को देखते ही सत्यापित कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.2.**

(क) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq
\sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, जिसमें उच्चतम को साकार करने वाले $e_n$ पर निकट-बराबरी। (ख) ($\Leftarrow$) कर्तन $T_N$ ($n \leq N$ रखिए, आगे शून्य) परिमित कोटि के हैं और $\vertiii{T - T_N} =
\sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: अतः [प्रतिज्ञप्ति 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) से [संहत](#def-b3-spectral-compact)। ($\Rightarrow$) यदि किसी उपानुक्रम के अनुदिश $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ हो: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 +
\abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: अतः $(Te_{n_k})$ का कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं। (ग) $(\bar\lambda_n)$ के साथ विकर्ण $T^* ={}$: [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) तभी और केवल तभी जब सभी $\lambda_n \in \R$। तब मानक आधार $(e_n)$ अभिलक्षणिक सदिशों का कोई लांबिक-प्रसामान्य आधार है, जिसके अभिलक्षणिक मान $\lambda_n \to
0$ हैं: अर्थात् स्पेक्ट्रमी प्रमेय अक्षरशः।

**अभ्यास 15.3 ★★.**

[आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) गुण ([प्रतिज्ञप्ति 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)) का विवरण दीजिए: यदि $S$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) हो और $A, B$ परिबद्ध, तो $ASB$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है। इससे निष्कर्ष निकालिए कि यदि किसी परिबद्ध $S$ के लिए $ST = TS = I$ हो और $\dim H = \infty$, तो $T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) नहीं है — और इसका [अभ्यास 15.1](#exo-b3-spectral-1)(ख) से मेल कराइए।

**हल — अभ्यास 15.3.**

मान लीजिए $(x_n)$ परिबद्ध है। तब $(Bx_n)$ परिबद्ध है ($\vertiii B < \infty$); $S$ की संहतता $SBx_{n_k} \to y$ निकाल लेती है; और $A$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $ASBx_{n_k} \to
Ay$ दे देती है: अतः $ASB$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है। यदि [संहत](#def-b3-spectral-compact) $T$ और $\dim H = \infty$ के साथ $ST = TS = I$ हो: तो $I = ST$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) होता, जो [अभ्यास 15.1](#exo-b3-spectral-1)(ख) का खंडन करता है — और वह वही कथन है, दूसरी ओर से देखा गया।

**अभ्यास 15.4 ★★.**

(हिल्बर्ट–श्मिट) मान लीजिए $k \in L^2(\intcc01^2)$ और $(e_n)$ $L^2(\intcc01)$ का कोई [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) है। (क) दर्शाइए कि $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *($y$-चर में कोशी–श्वार्ज़, फिर टोनेली)*। (ख) वर्ग के $L^2$ में $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ का प्रसार कीजिए (उचित ठहराइए कि गुणनफल वहाँ [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) बनाते हैं), और दर्शाइए कि योग को छाँटने से परिमित कोटि के संकारक मिलते हैं जो [संकारक मानक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator) में $T_k$ पर अभिसरित होते हैं: अतः $T_k$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है।

**हल — अभ्यास 15.4.**

(क) $y$ में कोशी–श्वार्ज़ से: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq
\bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; $x$ में समाकलन कीजिए (टोनेली): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)}
\norm f_2$।

(ख) कुल $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ $L^2(\intcc01^2)$ में लांबिक-प्रसामान्य है (टोनेली द्विक समाकल को अलग कर देती है)। [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): यदि सभी $e_{mn}$ के लिए $h \perp$ हो, तो प्रत्येक $m$ के लिए फलन $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd
x$ (कोशी–श्वार्ज़ और टोनेली से $L^2$ में) प्रत्येक $\overline{e_n}$ पर लांबिक है — और जब भी $(e_n)$ कोई [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) हो तब संयुग्म $(\overline{e_n})$ भी होते हैं (संयुग्मन $L^2$ का कोई समदूरीय एकैकी आच्छादन है जो लांबिकता और [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) को सुरक्षित रखता है) — अतः वह लगभग सर्वत्र $0$ है; तब लगभग प्रत्येक $y$ के लिए प्रत्येक $e_m$ के सापेक्ष $h(\cdot, y) \perp$: लगभग सर्वत्र $h(\cdot, y) = 0$: अतः $h = 0$ (टोनेली)। इसलिए $(e_{mn})$ कोई [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) है; $k = \sum c_{mn}e_{mn}$ का प्रसार कीजिए। कर्तन $k_N$ (सूचकांक $\leq N$) परिमित कोटि का $T_{k_N}$ देता है (परास $\operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_N)$ में), और (क) से

$$
\vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 :
$$

अतः $T_k$ परिमित-कोटि संकारकों की कोई मानक-सीमा है: [संहत](#def-b3-spectral-compact) ([प्रतिज्ञप्ति 15.2](#prop-b3-spectral-ideal))।

**अभ्यास 15.5 ★★.**

मान लीजिए $T$ [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है और सभी $x$ के लिए $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ (*धनात्मक* संकारक)। (क) दर्शाइए कि अभिलक्षणिक मान $\geq 0$ हैं और $\vertiii T =
\sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$। (ख) व्यापकीकृत कोशी–श्वार्ज़ असमिका $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle
y, Ty\rangle$ सिद्ध कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.5.**

(क) किसी अभिलक्षणिक सदिश पर $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$। सूत्र सभी मान $\langle x,
Tx\rangle \geq 0$ के साथ [प्रतिज्ञप्ति 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) है: अतः निरपेक्ष मान अनावश्यक है। (ख) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ कोई एर्मीती धनात्मक (संभवतः अपह्रासी) अर्ध-द्विरैखिक रूप है; और कोशी–श्वार्ज़ की सामान्य उपपत्ति ($\langle x + t\eu^{\iu\theta}y,
T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ का प्रसार कीजिए और विविक्तकर लीजिए) निश्चितता का उपयोग कभी नहीं करती।

**अभ्यास 15.6 ★★.**

$L^2(\intcc01)$ पर मान लीजिए $(Mf)(x) = x\,f(x)$। (क) दर्शाइए कि $M$ परिबद्ध और [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है, $\vertiii M =
1$ के साथ, पर उसका कोई अभिलक्षणिक मान *नहीं* है। (ख) दर्शाइए कि $M$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) नहीं है *(ऐसा परिबद्ध अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए जिसके प्रतिबिंब का कोई अभिसारी उपानुक्रम न हो, उदाहरणार्थ $1$ के निकट सिकुड़ते अंतरालों के मानकीकृत सूचक — अथवा स्पेक्ट्रमी प्रमेय का आह्वान कीजिए)*। (ग) $M$ के लिए [प्रमेयिका 15.6](#lem-b3-spectral-existence) की उपपत्ति कहाँ टूट जाती है?

**हल — अभ्यास 15.6.**

(क) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$, और $f_n = \sqrt n\,
\mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (इकाई सदिश) पर $\norm{Mf_n}_2
\geq 1 - \frac1n$: $\vertiii M = 1$; और [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint), क्योंकि गुणक वास्तविक है। अभिलक्षणिक मान: लगभग सर्वत्र $xf(x) = \lambda f(x)$ से अकिंचन समुच्चय $\{x = \lambda\}$ के बाहर लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य हो जाता है: $L^2$ में $f =
0$। (ख) उन्हीं $f_n$ के साथ: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to
0$, जबकि $f_n \rightharpoonup 0$ (स्थिर $g \in L^2$ के लिए प्रभावी अभिसरण प्रमेय से $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf
1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$)। यदि मानक में $Mf_{n_k} \to h$ हो, तो $f_{n_k} \to h$, जिससे $h = 0$ अनिवार्य हो जाता है (दुर्बल सीमा) फिर भी $\norm h = 1$: अतः कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं। (ग) [प्रमेयिका 15.6](#lem-b3-spectral-existence) में ठीक “$Tx_{n_k} \to y$” वाला निष्कर्षण ही संहतता का उपयोग करता है; और $M$ के लिए अधिकतमकारी अनुक्रम $x = 1$ के निकट संकेंद्रित हो जाते हैं और उनके प्रतिबिंब $0$ पर दुर्बल रूप से अभिसरित होते हैं, मानक में कभी नहीं: संख्यात्मक परास के शिखर पर अभिलक्षणिक सदिश बस विद्यमान ही नहीं होता।

**अभ्यास 15.7 ★★.**

(वोल्तेरा) $L^2(\intcc01)$ पर मान लीजिए $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd
y$। (क) दर्शाइए कि $V$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है (नाभिक $\mathbf
1_{y < x}$ के साथ हिल्बर्ट–श्मिट) पर [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) नहीं; $V^*$ परिकलित कीजिए। (ख) दर्शाइए कि $V$ का कोई शून्येतर अभिलक्षणिक मान नहीं है। *($Vf =
\lambda f$ से: $f$ का कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिनिधि है, फिर वह $\mathcal C^1$ है, और $\lambda f' = f$, $f(0) = 0$ को हल करता है।)* (ग) निष्कर्ष निकालिए कि केवल संहतता से कोई अभिलक्षणिक सदिश नहीं मिलते: [प्रमेय 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) में [स्वसंलग्नता](#def-b3-spectral-selfadjoint) अनिवार्य है।

**हल — अभ्यास 15.7.**

(क) $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in
L^2(\intcc01^2)$ के साथ $V = T_k$: अतः [संहत](#def-b3-spectral-compact) ([अभ्यास 15.4](#exo-b3-spectral-4))। उसका संलग्न अष्टि $\overline{k(y,
x)} = \mathbf 1_{y > x}$ वाला अष्टि संकारक है: $V^*f(x) = \int_x^1f$; $V \neq V^*$ ($f = \mathbf 1$ पर परीक्षा लीजिए)। (ख) यदि $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$ हो: तो $Vf$ $\intcc01$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है ($\int_0^x f$ में प्रभावी अभिसरण), अतः $f
= \frac1\lambda Vf$ का कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिनिधि है; तब $Vf$ $\mathcal C^1$ है ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) समाकल्यों के लिए कलन की मूल प्रमेय), अतः $f$ $\mathcal C^1$ है, और $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ के साथ $\lambda f' = f$: $C = f(0) = 0$ के साथ $f =
C\eu^{x/\lambda}$। (ग) $V$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है और संभवतः $0$ को छोड़कर उसका कोई भी अभिलक्षणिक मान नहीं है ($Vf = 0$ समाकल का अवकलन करने पर लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य कर देता है — अतः $0$ भी नहीं): स्पेक्ट्रमी मशीनरी को सचमुच [स्वसंलग्नता](#def-b3-spectral-selfadjoint) चाहिए, केवल संहतता नहीं।

**अभ्यास 15.8 ★★★.**

(कूरां–फिशर) मान लीजिए $T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact), [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) और *धनात्मक* है, जिसके अभिलक्षणिक मान $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots
> 0$ हैं (बहुलता सहित दोहराए गए, अभिलक्षणिक सदिश $e_1, e_2,
\dots$)। दर्शाइए:

$$
\mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\
\min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle
= \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W =
k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x,
Tx\rangle .
$$

*($V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ पर परीक्षा लीजिए; ऊपरी परिबंध के लिए किसी भी $V$ का $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$ प्रकार की समष्टियों से प्रतिच्छेदन लीजिए: विमा गिनने से कोई शून्येतर प्रतिच्छेदन अनिवार्य हो जाता है।)* इससे निष्कर्ष निकालिए कि अभिलक्षणिक मान $T$ पर एकदिष्ट रूप से निर्भर करते हैं ($T \leq S
\Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$)।

**हल — अभ्यास 15.8.**

$x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$ लिखिए, अतः $\langle x,
Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$। *निचला परिबंध*: $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_k)$ के इकाई गोलक पर $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq
k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: अतः $V$ पर निम्निष्ठ का उच्चिष्ठ $\geq \mu_k$ है। *ऊपरी परिबंध*: मान लीजिए $\dim V = k$ और $W_k
= \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) +
\ker T$, जिसकी सह-विमा $k - 1$ है (उसका [लांबिक पूरक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-decomposition) $V_{k-1}$ है); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (कोटि $\leq k - 1$ के किसी रैखिक प्रतिचित्रण $V \to
H/W_k \cong V_{k-1}$ की अष्टि अतुच्छ होती है), और किसी इकाई $x \in V\cap W_k$ के लिए $\langle x,
Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: अतः $V$ पर निम्निष्ठ $\leq \mu_k$ है। मिलाकर: पहला सूत्र; और दूसरा सममित रूप से सिद्ध होता है ($W = W_k$ पर परीक्षा लीजिए; सह-विमा $k-1$ वाले स्वेच्छ $W$ के लिए $W \cap V_k \neq 0$ $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$ वाला कोई इकाई सदिश दे देता है)। एकदिष्टता: बिंदुशः $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x,
Sx\rangle$ $\max\min$ के माध्यम से अंतरित हो जाता है।

**अभ्यास 15.9 ★★.**

$Tf(x) =
\int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ ([उदाहरण 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)) के लिए [प्रमेय 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) का उपयोग करते हुए: किन $\lambda \in \R$ के लिए समाकल समीकरण

$$
f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x)
$$

प्रत्येक $g \in L^2$ के लिए एक अद्वितीय हल $f \in L^2$ रखता है? अपवाद मानों पर क्या होता है?

**हल — अभ्यास 15.9.**

$f - \lambda Tf = g$ फिर से लिखिए। $\lambda = 0$ के लिए: $f = g$, जो सदैव अद्वितीय रूप से हल-योग्य है। $\lambda \neq 0$ के लिए: यह $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ है, और $T$ ([उदाहरण 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)) के अभिलक्षणिक मानों $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ के साथ [फ्रेडहोम विकल्प](#thm-b3-spectral-fredholm) ([प्रमेय 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) से: सभी $g$ के लिए अद्वितीय हल-योग्यता तभी और केवल तभी जब प्रत्येक $n$ के लिए $\frac1\lambda \neq \lambda_n$, अर्थात्

$$
\lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2
\qquad (n = 0, 1, 2, \dots).
$$

किसी अपवादिक $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ पर: हल विद्यमान हैं तभी और केवल तभी जब $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, और तब वे उस ज्या के गुणज जोड़ने तक अद्वितीय हैं।

**अभ्यास 15.10 ★★★.**

मान लीजिए $S$ $\ell^2$ पर विस्थापन है ([अभ्यास 8.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#exo-b3-banach-1))। (क) दर्शाइए कि $S$ का कोई अभिलक्षणिक मान नहीं है, जबकि $\abs\lambda < 1$ वाला प्रत्येक $\lambda$ $S^*$ का अभिलक्षणिक मान है (अभिलक्षणिक सदिश स्पष्ट रूप से ढूँढ़िए: गुणोत्तर अनुक्रम)। (ख) न $S$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) है और न $S^*$: $(e_n)$ पर [अभ्यास 15.2](#exo-b3-spectral-2) जैसी परीक्षा से सत्यापित कीजिए। (ग) टिप्पणी: अस्वसंलग्न, असंहत संकारकों के लिए अभिलक्षणिक मानों का परिदृश्य रिक्त से लेकर पूरे चक्र तक कुछ भी हो सकता है — जो धारणा बची रहती है वह *स्पेक्ट्रम* है, जिसका अध्ययन आगे के पाठ्यक्रम में होता है।

**हल — अभ्यास 15.10.**

(क) $Sx = \lambda x$: निर्देशांकों की तुलना करने पर $0 = \lambda
x_1$ और $x_n = \lambda x_{n+1}$; यदि $\lambda \ne 0$ हो तो $x_1 = 0$ और आगमन से $x = 0$; और यदि $\lambda = 0$ हो, तो $Sx = 0$ $x = 0$ अनिवार्य कर देता है ($S$ समदूरीय)। अतः कोई अभिलक्षणिक मान नहीं। $S^*x =
\lambda x$ $x_{n+1} = \lambda x_n$ के रूप में पढ़ा जाता है: $x =
x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, जो $\ell^2$ में ठीक तब है जब $\abs\lambda < 1$: अर्थात् अभिलक्षणिक मानों की एक पूरी विवृत चक्र। (ख) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: परिबद्ध $(e_n)$ के प्रतिबिंब का कोई कोशी उपानुक्रम नहीं; और इसी प्रकार $S^*e_{n+1} = e_n$। दोनों में से कोई [संहत](#def-b3-spectral-compact) नहीं है। (ग) [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) संकारकों के लिए अभिलक्षणिक मान सब कुछ पकड़ लेते हैं ([प्रमेय 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)); पर दोनों में से कोई भी परिकल्पना हटाने पर अभिलक्षणिक मान पूरी तरह लुप्त हो सकते हैं ($S$, वोल्तेरा) या कोई चक्र भर सकते हैं ($S^*$): सुदृढ़ वस्तु स्पेक्ट्रम $\{\lambda : T - \lambda I \text{ व्युत्क्रमणीय नहीं}\}$ है, जिसका सिद्धांत किसी बाद के पाठ्यक्रम का विषय है।

**अभ्यास 15.11 ★★.**

(वर्गमूल) मान लीजिए $T$ किसी [हिल्बर्ट समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) $H$ पर [संहत](#def-b3-spectral-compact), [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint), धनात्मक ($\langle x, Tx\rangle \geq 0$) है, जिसका स्पेक्ट्रमी विघटन $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n,
x\rangle e_n$ ($\mu_n > 0$) है। (क) $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle
e_n$ परिभाषित कीजिए; दर्शाइए कि $S$ [संहत](#def-b3-spectral-compact), [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) और धनात्मक है, $S^2
= T$ के साथ। (ख) अद्वितीयता सिद्ध कीजिए: $R^2 = T$ वाला कोई भी [संहत](#def-b3-spectral-compact) धनात्मक [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) $R$ $T$ की अभिलक्षणिक समष्टियों को सुरक्षित रखता है *($RT = R^3 = TR$: $R$ $T$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)*, और $\ker(T - \mu)$ पर $R$ किसी परिमित-विमीय समष्टि पर $\mu\,\mathrm{id}$ का वर्ग देने वाला धनात्मक संकारक है: वहाँ उसका विकर्णन कीजिए और प्रत्येक अभिलक्षणिक समष्टि पर $R =
\sqrt\mu\,\mathrm{id}$ निष्कर्ष निकालिए, अतः $R = S$। (ग) [समस्या 15.1](#pb-b3-spectral-1) के डोरी संकारक $G$ के लिए $\sqrt G$ परिकलित कीजिए: ज्या आधार पर किस नाभिक के अभिलक्षणिक मान $\frac1{n\pi}$ हैं? ($\sqrt G$ को नाभिकों की $L^2$-सीमा के रूप में व्यक्त कीजिए; किसी संवृत रूप की आवश्यकता नहीं।)

**हल — अभ्यास 15.11.**

(क) $S$ गुणांकों $\sqrt{\mu_n} \to 0$ वाला विकर्ण संकारक है: अतः [संहत](#def-b3-spectral-compact) ([अभ्यास 15.2](#exo-b3-spectral-2)(ख), $\ker T$ से पूरित आधार $(e_n)$ पर अंतरित, जहाँ $S = 0$), [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) (वास्तविक विकर्ण), धनात्मक ($\langle x, Sx\rangle =
\sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$), और पदशः $S^2 =
T$।

(ख) $R$ $T = R^2$ के साथ क्रमविनिमेय है; और अभिलक्षणिक मान $\mu$ वाले $T$ के किसी अभिलक्षणिक सदिश $x$ के लिए $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, अतः परिमित-विमीय अभिलक्षणिक समष्टि $E_\mu = \ker(T - \mu)$ $R$-स्थायी है। $E_\mu$ पर $R$ $R^2
= \mu\,\mathrm{id}$ के साथ सममित धनात्मक है: उसके अभिलक्षणिक मान $\rho$ $\rho^2
= \mu$, $\rho \geq 0$ संतुष्ट करते हैं: अतः सभी $\sqrt\mu$ के बराबर, और एक ही अभिलक्षणिक मान वाला कोई विकर्णीय संकारक अदिश होता है: $E_\mu$ पर $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$। $\ker T$ पर: $\norm
{Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$। अतः $R$ $\ker T$ पर और प्रत्येक अभिलक्षणिक समष्टि पर $S$ से सहमत है, जिनका संवृत विस्तार $H$ है (स्पेक्ट्रमी प्रमेय): $R = S$।

(ग) $\sqrt G$ $e_n =
\sqrt2\sin(n\pi x)$ पर $\frac1{n\pi}$ की भाँति क्रिया करता है: वह

$$
k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi
y)}{n\pi},
$$

अष्टि वाला अष्टि संकारक है, जिसकी श्रेणी $L^2(\intcc01^2)$ में अभिसरित होती है (गुणांक $\frac1{n\pi} \in \ell^2$; आंशिक-योग अष्टियाँ परिमित-कोटि आसन्नन दे देती हैं)। किसी प्रारंभिक संवृत रूप की आवश्यकता नहीं: स्पेक्ट्रमी पक्ष *ही* वह संकारक है।

**अभ्यास 15.12 ★★★.**

(एकल मान विघटन) मान लीजिए $T \in \mathcal L(H)$ *[संहत](#def-b3-spectral-compact)* है, और आवश्यक नहीं कि [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) भी। (क) दर्शाइए कि $T^*T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact), [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) और धनात्मक है; मान लीजिए $(e_n)$ $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$ (*एकल मान*) वाले अभिलक्षणिक सदिशों का कोई प्रसामान्य लांबिक कुल है, जिसे $\ker(T^*T) = \ker T$ से पूरा किया गया है (इस समता को सिद्ध कीजिए)। (ख) $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$ रखिए; दर्शाइए कि $(f_n)$ प्रसामान्य लांबिक है, और *एकल मान विघटन* स्थापित कीजिए:

$$
Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n
\qquad (x \in H),
$$

जिसमें अभिसरण $H$ में होता है। (ग) निष्कर्ष निकालिए: $\vertiii T = \max_ns_n$; $T$ परिमित कोटि के संकारकों की मानक-सीमा है (जिससे हिल्बर्ट समष्टियों के लिए [प्रतिज्ञप्ति 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) का विलोम पुनः सिद्ध हो जाता है); और [अभ्यास 15.7](#exo-b3-spectral-7) के वोल्तेरा संकारक $V$ के लिए, जिसका कोई अभिलक्षणिक मान नहीं है, समझाइए कि फिर भी एकल मान विघटन क्यों विद्यमान है और उसके अवयव क्या हैं ($V^*V$ को किसी डोरी-प्रकार के नाभिक संकारक के रूप में पहचानिए — उसके अभिलक्षणिक मान स्पष्ट परिकलित करना [अभ्यास 15.9](#exo-b3-spectral-9) का क्षेत्र है)।

**हल — अभ्यास 15.12.**

(क) $T^*T$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) (किसी परिबद्ध और किसी [संहत संकारक](#def-b3-spectral-compact) का गुणनफल, [अभ्यास 15.3](#exo-b3-spectral-3)), [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) ($(T^*T)^* = T^*T$) और धनात्मक ($\langle x, T^*Tx\rangle =
\norm{Tx}^2$) है। अष्टि: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 =
\langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$, और विलोमतः $\ker T^*T = \ker T$। स्पेक्ट्रमी प्रमेय $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$ वाले लांबिक-प्रसामान्य $(e_n)$ दे देती है, जो $(\ker T)^\perp$ को फैलाते हैं।

(ख) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m,
Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m,
T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} =
\delta_{mn}$। $x_0 \in \ker T$ के साथ $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle
e_n$ का प्रसार कीजिए (संवृत विस्तार में [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) और साथ में अष्टि); [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $T$ लगाने पर:

$$
Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n =
\sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n,
$$

जिसमें श्रेणी इसलिए अभिसरित होती है कि उसके आंशिक योग कोशी हैं ($\norm{\sum_{N<n\leq M}s_n\langle e_n, x\rangle f_n}^2 =
\sum s_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$, जिस पर $\sup_{n>N}s_n^2\cdot\norm x^2$ का प्रभुत्व है, और $s_n \to 0$)।

(ग) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2
\leq (\max s_n)^2\norm x^2$, जो अधिकतमकारी $e_n$ पर प्राप्त होता है: $\vertiii T = \max s_n$। एकल मान विघटन को कोटि $N$ पर कर्तित करने से मानक $\sup_{n>N}s_n \to 0$ का संकारक बचता है: अर्थात् परिमित-कोटि आसन्नन। वोल्तेरा संकारक का कोई अभिलक्षणिक मान नहीं है ([अभ्यास 15.7](#exo-b3-spectral-7)), पर $V^*V$ का है: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ कोई सममित धनात्मक अष्टि संकारक है (अष्टि $1 - \max(x,y)$, अर्थात् तार-प्रकार की कोई ग्रीन अष्टि), जिसके अभिलक्षणिक युग्म — परिसीमा मान समस्या $-u'' = \lambda^{-1}u$, $u'(0)
= u(1) = 0$, अर्थात् [अभ्यास 15.9](#exo-b3-spectral-9) के कुल के माध्यम से परिकलित — एकल मान $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$ दे देते हैं। एकल मान विघटन ठीक इसलिए *दो* लांबिक-प्रसामान्य कुलों पर रहता है कि $V$ अपनी अभिलक्षणिक ज्यामिति को घुमाकर हटा देता है: कोई अभिलक्षणिक सदिश नहीं, फिर भी दो भिन्न आधारों के बीच [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) विकर्ण संरचना।

## 15.5 समस्या: कंपमान डोरी और $\zeta(2)$

**समस्या 15.1.**

सप्ताहांत समस्या — ग्रीन संकारक, ज्या आधार, और एक अनुरेख सूत्र

हम स्थिर सिरों वाली कंपमान डोरी की अभिलक्षणिक मान समस्या — $-u'' = \nu u$, $u(0) = u(1) = 0$ — संकारक सिद्धांत से हल करते हैं, बिना किसी फूरिये परिकलन के ज्या प्रसामान्य लांबिक आधार प्राप्त करते हैं, और ग्रीन संकारक के *अनुरेख* के दो व्यंजकों की तुलना करके $\zeta(2)$ का मान निकालते हैं। $L^2(\intcc01)$ पर परिभाषित कीजिए

$$
(Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y,
\qquad
g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr).
$$

**भाग I — ग्रीन संकारक।**

1. दर्शाइए कि $g$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और सममित है, $0 \leq g  \leq \frac14$ के साथ, और यह कि $G$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) तथा [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) है ( [उदाहरण 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (ग))।
2. [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए दर्शाइए कि $u = Gf$ $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ के साथ $\mathcal  C^2$ है *($u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y +  x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ लिखिए और दो बार अवकलन कीजिए)*। विलोमतः, यदि $u(0) = u(1)  = 0$ के साथ $u \in \mathcal C^2$ हो, तो $G(-u'') = u$: अर्थात् $G$ डोरी संकारक का प्रतिलोम है।
3. $\ker G = \{0\}$ दर्शाइए *(यदि $f \in  L^2$ के साथ $Gf = 0$ हो: [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\varphi$ के सापेक्ष परीक्षा लीजिए, सममिति/फुबिनी से $G$ को $\varphi$ पर स्थानांतरित कीजिए, और मूल प्रमेयिका [उपप्रमेय 12.11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#cor-b3-lp-fundlemma) का उपयोग कीजिए — अथवा नियमितीकरण कीजिए)* , और यह भी कि $G$ एक धनात्मक संकारक है: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ । *([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए: खंडशः, $u  = Gf$ के साथ $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$; सघनता से निष्कर्ष निकालिए।)*

**भाग II — विकर्णन: ज्या आधार।**

4. दर्शाइए कि अभिलक्षणिक मान $\lambda \ne 0$ वाले $G$ के अभिलक्षणिक फलन, अदिशों तक, $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ के हल हैं *(किसी अभिलक्षणिक फलन का कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिनिधि होता है — $f \in L^2$ के लिए $Gf$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, क्यों? — अतः प्रश्न 2 को बार-बार लगाकर वह $\mathcal C^2$ है)* ।
5. सीमांत मान समस्या हल कीजिए: $G$ के अभिलक्षणिक मान $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ) हैं, जिनके मानकीकृत अभिलक्षणिक फलन $e_n(x) =  \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ हैं; जाँच के तौर पर सीधे समाकलन से प्रसामान्य लांबिकता सत्यापित कीजिए।
6. [प्रमेय 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) और प्रश्न 3 से निष्कर्ष निकालिए कि $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ $L^2(\intcc01)$ का एक प्रसामान्य लांबिक *आधार* है — न स्टोन–वाइरश्ट्रास चाहिए, न फूरिये श्रेणी। $f(x) = x(1-x)$ का इस आधार में प्रसार कीजिए और उसके लिए [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) लिखिए।

**भाग III — अनुरेख सूत्र और $\zeta(2)$।**

7. दोनों सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n  \quad\text{तथा}\quad  \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ दूसरी (*अनुरेख सूत्र*) के लिए: स्थिर $x$ पर $g(x, \cdot)$ का आधार $(e_n)$ में प्रसार कीजिए — दर्शाइए कि गुणांक $\lambda_ne_n(x)$ हैं, अतः $L^2$ में $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$। यहाँ ज्या स्पष्ट हैं: सीधे सत्यापित कीजिए कि $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ वर्ग पर *एकसमान* रूप से अभिसरित होता है ($\sum  \frac2{n^2\pi^2}$ से तुलना कीजिए), अतः उसका योग [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और, प्रत्येक $x$ के लिए $y$ में वही $L^2$-प्रसार रखने के कारण, वह सर्वत्र $g(x,y)$ के बराबर है। अब $y = x$ रखिए और पदशः समाकलन कीजिए।
8. $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x =  \frac16$ परिकलित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16,  \qquad\text{अर्थात्}\qquad  \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ अर्थात् किसी संकारक अनुरेख से ऑयलर का योग।
9. $\zeta(2)$ को तीसरे प्रकार से पुनः निकालिए: ज्या आधार में अचर फलन $\mathbf 1$ पर [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) लगाइए, $\sum_{n \text{ विषम}}\frac1{n^2}$ परिकलित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए। फिर क्रियाविधियों की तुलना कीजिए: प्रश्न 7–8 का अनुरेख तर्क किस अर्थ में “पूरे नाभिक पर एक साथ लगाया गया [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) ” है?

**भाग IV — डोरी कंपन करती है।**

10. (चर पृथक्करण, संश्लेषित) $f \in  L^2$ के लिए $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\,  \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x),  \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ परिभाषित कीजिए। दर्शाइए कि श्रेणी प्रत्येक $t$ के लिए $L^2(\intcc01)$ में अभिसरित होती है, कि $t\mapsto u(t, \cdot)$ $L^2$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और यह कि परिमित संख्या के $e_n$ के विस्तार में आने वाले $f$ के लिए वह तरंग समीकरण $\partial_t^2u =  \partial_x^2u$ को $u(0) = f$, $\partial_tu(0) = 0$ और स्थिर सिरों के साथ हल करता है। अभिलक्षणिक मान $n^2\pi^2$ वर्गित आवृत्तियाँ हैं: डोरी के संनाद — एक अनुच्छेद में [प्रमेय 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) की सांगीतिक व्याख्या दीजिए।

**भाग V — विचरण लाभांश: घात विधि, वेल स्थायित्व, और $\pi$ पर एक कठोर परिबंध।** मान लीजिए $A$ ऐसा [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) *धनात्मक* संकारक है जिसके अभिलक्षणिक मान $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ और प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक सदिश $(u_n)$ हैं; $R(x) = \frac{\langle x,
Ax\rangle}{\norm x^2}$। न्यूनतम–उच्चतम सूत्र [अभ्यास 15.8](#exo-b3-spectral-8) हैं; यहाँ हम उन्हें भुनाते हैं।

11. (घात विधि) $x \neq 0$ के लिए $m_p =  \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ लिखिए। कोशी–श्वार्ज़ से $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ दर्शाइए, शृंखला $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x,  Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$$ निकालिए, और सिद्ध कीजिए कि यदि $\langle u_1, x\rangle \neq 0$ हो, तो $R(A^kx) \to \mu_1$: अर्थात् किसी भी प्ररूपी सदिश पर संकारक को बार-बार लगाने से सबसे बड़ा अभिलक्षणिक मान परिकलित हो जाता है — सांख्यिक विश्लेषण की घात विधि, प्रमाणित।
12. (वेल स्थायित्व) [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) धनात्मक $A, B$ के लिए [अभ्यास 15.8](#exo-b3-spectral-8) से निष्कर्ष निकालिए $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B}  \qquad\text{प्रत्येक } n \text{ के लिए} :$$ अर्थात् पूरा स्पेक्ट्रम [संकारक मानक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator) में $1$-लिप्शिट्ज़ है — बड़े सममित निकायों के अभिलक्षणिक मान आसन्ननों से, प्रत्याभूत त्रुटि के साथ, परिकलित किए जा सकते हैं।
13. $G$ पर परीक्षण फलन $u(x) = x(1-x)$ के साथ रेली परिबंध लगाइए: $-w'' = u$, $w(0) =  w(1) = 0$ हल करके $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x -  x^2)}{12}$ प्राप्त कीजिए, $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad  \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} +  \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040},  \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ परिकलित कीजिए, और *कठोर* परिबंध $\frac1{\pi^2}  = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ निकालिए, अर्थात् $\pi \leq  \sqrt{168/17} < 3.1437$।
14. उसी परीक्षण फलन पर प्रश्न 11 की शृंखला का एक चरण: $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x =  \frac1{630}$ का उपयोग करके $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} +  \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720},  \qquad  \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} =  \frac{31}{306},$$ परिकलित कीजिए और $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$ निष्कर्ष निकालिए: दो समाकल, चार सही अंक। (प्रत्येक अगली पुनरावृत्ति यथार्थता को लगभग वर्ग कर देती है: अभिलक्षणिक सदिश अंतराल $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ ही गुणोत्तर अभिसरण चलाता है।)

**भाग VI — $G^2$ का अनुरेख, और $\zeta(4)$।**

15. दर्शाइए कि $\sum_n\lambda_n^2 =  \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *($L^2(\intcc01^2)$ के गुणन आधार $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ पर $g$ का प्रसार कीजिए — जो एक [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) है, तुलना [अभ्यास 15.5](#exo-b3-spectral-5) — और वर्ग पर [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) लगाइए; प्रश्न 7 गुणांक पहचान देता है)* ।
16. द्विक समाकल परिकलित कीजिए: $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x  y^2\,\dd y\Bigr)\dd x  = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$
17. $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ निष्कर्ष निकालिए; बिना परिकलन के समझाइए कि उच्चतर घातों $G^k$ के अनुरेख सभी $k \geq 1$ के लिए $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ कैसे दे देते हैं, और विषम मान $\zeta(3),  \zeta(5), \dots$ संरचनात्मक रूप से इस मशीन की पहुँच से बाहर क्यों हैं।
18. (नीचे से $\pi$) $\lambda_1^2 \leq  \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ से $\pi \geq  90^{1/4} > 3.080$ निकालिए, और प्रश्न 14 के साथ मिलाकर द्विपक्षीय निर्णय $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$$ संकलित कीजिए, जो पूरी तरह कंपमान डोरी के अंकगणित से मिला है। यदि उच्चतर अनुरेख $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$ का उपयोग किया जाए, तो कौन-सा पक्ष तेजी से अभिसरित होता है, और क्यों?

**भाग VII — प्रणोदन और अनुनाद।** $\nu \in \R$ स्थिर कीजिए और प्रणोदित डोरी $-u'' - \nu u =
f$, $u(0) = u(1) = 0$ पर विचार कीजिए, जिसमें $f \in L^2$ और $c_n = \langle
e_n, f\rangle$।

19. मान लीजिए $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$। दर्शाइए कि $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ $L^2$ में और $\intcc01$ पर एकसमान रूप से अभिसरित होता है *($(c_n)$ और $\sum n^{-4}$ की पुच्छों के बीच कोशी–श्वार्ज़, $\norm{e_n}_\infty =  \sqrt2$ के साथ)*, और यह कि वह $u = Gf + \nu Gu$ को संतुष्ट करता है — अर्थात् [फ्रेडहोम विकल्प](#thm-b3-spectral-fredholm) ([प्रमेय 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) का स्पष्ट-निर्देशांक रूप, अद्वितीयता सहित।
20. मान लीजिए $\nu = m^2\pi^2$ । दर्शाइए कि $u = Gf + \nu  Gu$ का हल है तभी और केवल तभी जब $c_m = 0$ , और वह $e_m$ के गुणज जोड़ने तक अद्वितीय है। भौतिक पाठ: किसी झूले को ठीक उसकी अपनी आवृत्ति पर धकेलना।
21. $\nu < \pi^2$ के लिए दर्शाइए कि हल संकारक $R_\nu\colon f \mapsto u$ $L^2$ पर मानक $\frac1{\pi^2 - \nu}$ के साथ परिबद्ध, [संहत](#def-b3-spectral-compact) , [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) और धनात्मक है: अतः पूरा स्पेक्ट्रमी विश्लेषण फिर से आरंभ हो जाता है, केवल $\nu$ से खिसका हुआ।
22. (संश्लेषण) इस समस्या का शब्दकोश संकलित कीजिए: अभिलक्षणिक मान $\leftrightarrow$ वर्गित आवृत्ति (संनाद); अनुरेख $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; हिल्बर्ट–श्मिट मानक $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; [फ्रेडहोम विकल्प](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ अनुनाद; न्यूनतम–उच्चतम $\leftrightarrow$ विचरण परिबंध (एक ही बहुपद से $\pi <  3.1437$ )। एक समाकल संकारक, और विश्लेषण के पाँच अध्याय भुना लिए गए।

**भाग VIII — अंतिम तीन प्रतिध्वनियाँ।**

23. ($\zeta(6)$, मुफ्त में) प्रश्न 6 की [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) सर्वसमिका ने $\sum_{n\text{ विषम}}n^{-6} =  \frac{\pi^6}{960}$ दिया था। $\zeta(6)$ को विषम और सम $n$ में बाँटिए और बिना किसी नए समाकल के $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ निष्कर्ष निकालिए: प्रश्न 17 की मशीन ($G^3$ के अनुरेख) यही मान देती, पर एक पुनरावृत्त नाभिक की कीमत पर — यहाँ किसी एक सुचुने हुए फलन पर [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) सस्ता मार्ग है।
24. (मूल अवस्था धनात्मक होती है) मान लीजिए $A$ $L^2(\intcc01)$ पर $\intoo01^2$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) सममित नाभिक $k > 0$ से दिया गया [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) धनात्मक संकारक है, जिसका सबसे बड़ा अभिलक्षणिक मान $\mu_1$ है। दर्शाइए: (क) रेली भागफल का कोई भी अधिकतमकारी $\mu_1$ -अभिलक्षणिक फलन होता है; (ख) यदि $u$ ऐसा एक हो, तो $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u,  Au\rangle$ , और यदि $u$ धनात्मक [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) वाले समुच्चयों पर दोनों चिह्न लेता हो तो *कड़ी* असमिका — अतः $u$ का चिह्न लगभग सर्वत्र अचर होता है, और $u = \mu_1^{-1}Au$ $\intoo01$ पर कभी लुप्त नहीं होता; (ग) $\mu_1$ एक *सरल* अभिलक्षणिक मान है। $G$ पर प्रत्येक दावा सत्यापित कीजिए: $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , और प्रत्येक $e_n$ , $n  \geq 2$ , $e_1$ के लांबिक होने के कारण चिह्न बदलना ही चाहिए (और वह बदलता है: $n - 1$ आंतरिक शून्य)।
25. (स्पेक्ट्रम से दूरी, और अनुनाद की कीमत) $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$ के लिए दर्शाइए कि प्रश्न 19 का हल संकारक $R_\nu$ परिबद्ध, [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint) और [संहत](#def-b3-spectral-compact) है, जिसमें $$\vertiii{R_\nu} =  \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}}  = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu,  \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ और यह मानक निकटतम विधा पर प्राप्त होता है। फिर प्रश्न 20 के झूले को मात्रात्मक रूप दीजिए: $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ पर $f = e_1$ से प्रणोदन $u =  \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$ उत्पन्न करता है, अर्थात् स्थैतिक अनुक्रिया $Ge_1 =  \frac1{\pi^2}e_1$ का $\frac1\varepsilon$ गुना प्रवर्धन — और मूल आवृत्ति से एक प्रतिशत नीचे ($\varepsilon = 10^{-2}$) डोरी सौ गुना ऊँचा उत्तर देती है।

**हल — समस्या 15.1.**

**1.** [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $\min$ और $\max$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हैं; सममिति: $x, y$ की अदला-बदली न $\min(x,y)$ बदलती है न $1 -
\max(x,y)$। परिबंध: $0 \leq g$, और $g(x,y) \leq
\max\cdot(1-\max)$-प्रकार के परिबंध $g \leq \frac14$ दे देते हैं ($u
= \max$ के लिए: $\min \leq u$ अतः $g \leq u(1-u) \leq \frac14$)। $g
\in L^2(\square)$: हिल्बर्ट–श्मिट, अतः $G$ [संहत](#def-b3-spectral-compact) ([अभ्यास 15.4](#exo-b3-spectral-4)); और अष्टि वास्तविक सममित है: $G$ [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint)।

**2.** $y = x$ पर विभाजित करने पर:

$$
u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y +
x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y .
$$

[संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए अवकलन कीजिए (गुणनफल और मूल प्रमेय):

$$
u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f
\qquad\text{(परिसीमा पद निरस्त हो जाते हैं)},
$$

और $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$; तथा स्पष्टतः $u(0) =
u(1) = 0$। विलोमतः यदि $u \in \mathcal C^2$ दोनों सिरों पर लुप्त हो, तो $w = u - G(-u'')$ $w'' = 0$, $w(0) = w(1) =
0$ संतुष्ट करता है: अतः $w$ आफ़ीन है और दो बार लुप्त होता है, इसलिए $w = 0$।

**3.** मान लीजिए $Gf = 0$, $f \in L^2$। $\psi \in \mathcal
C_c^\infty(\intoo01)$ के लिए: प्रश्न 2 से $\psi = G(-\psi'')$, अतः

$$
\langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle
= \langle Gf, -\psi''\rangle = 0
$$

($G$ [स्वसंलग्न](#def-b3-spectral-selfadjoint)): अतः मूल प्रमेयिका ([उपप्रमेय 12.11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#cor-b3-lp-fundlemma)) से लगभग सर्वत्र $f = 0$। धनात्मकता: [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए $u = Gf$ के साथ

$$
\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u
= \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2
\geq 0 ;
$$

और $f \in L^2$ के लिए $L^2$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f_n$ से आसन्नन कीजिए: दोनों पक्ष सीमा तक चले जाते हैं ($G$ परिबद्ध)।

**4.** यदि $Gu = \lambda u$, $\lambda \neq 0$ हो: $Gu$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है ($\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) -
g(x',\cdot)}_2\norm u_2$, और अष्टि एकसमान रूप से [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है), अतः $u$ का कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिनिधि है; तब प्रश्न 2 के सूत्र $Gu \in \mathcal C^2$ दिखा देते हैं, अतः $-\lambda u'' =
-(Gu)'' = u$ और $u(0) = u(1) = 0$ के साथ $u =
\frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$।

**5.** $-\lambda u'' = u$, $u(0) = 0$: $u = A\sin(x/\sqrt
\lambda)$ (धनात्मक $\lambda$: प्रश्न 3 से अभिलक्षणिक सदिशों पर $\lambda =
\langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$)। $u(1) =
0$ $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ अनिवार्य कर देता है: $\lambda_n =
\frac1{n^2\pi^2}$, अभिलक्षणिक फलन $\sin(n\pi x)$, मानकीकृत $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ($\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x =
1$)। लांबिकता जाँच: $m
\neq n$ के लिए $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) =
\cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ का समाकल $0$ है।

**6.** $\ker G = \{0\}$ (प्रश्न 3), अतः [प्रमेय 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) $H =
\overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ देती है: इसलिए ज्या $L^2(\intcc01)$ का कोई [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) हैं। $f(x) = x(1 - x)$ के लिए:

$$
c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x
= \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3}
= \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ विषम},\\
0 & n \text{ सम},\end{cases}
$$

(दो बार खंडशः समाकलन)। [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval): $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd
x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ विषम}}\frac{32}{n^6\pi^6}$, अर्थात् $\sum_{n\text{ विषम}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$।

**7.** $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2
= \lambda_n$। स्थिर $x$ के लिए $g(x,
\cdot)$ के गुणांक: $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) =
\lambda_ne_n(x)$, अतः $L^2$ में $g(x,\cdot) =
\sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$। स्पष्ट श्रेणी $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi
x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ वर्ग पर प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है ($\abs{\text{पद}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$): अतः उसका योग [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और प्रत्येक $x$ के लिए उसके $L^2(\dd y)$-गुणांक $g(x, \cdot)$ के ही हैं: इसलिए दोनों [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन प्रत्येक $(x, y)$ के लिए सहमत हैं। $y = x$ रखकर समाकलन करने पर (प्रसामान्य अभिसरण पदशः समाकलन की अनुमति देता है):

$$
\int_0^1g(x,x)\,\dd x =
\sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n .
$$

**8.** $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x =
\frac16$, अतः $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$:

$$
\zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .
$$

**9.** $f = \mathbf 1$ के लिए: $c_n =
\sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 -
(-1)^n}{n\pi}$: विषम $n$ के लिए $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$, और सम के लिए $0$। [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval): $1 = \sum_{n\text{
विषम}}\frac{8}{n^2\pi^2}$, अतः $\sum_{n\text{ विषम}}n^{-2} =
\frac{\pi^2}8$, और $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1
- \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (सम पद $\frac14\zeta(2)$ हैं)। तुलना: किसी एक $f$ के लिए [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$ का योग लेता है; और संचिह्न सूत्र *अष्टि* के विकर्ण का समाकलन करता है, जो एक ही बार में पूरे लांबिक-प्रसामान्य कुल पर [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) का योग लेने के बराबर है — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — और इसलिए वह परीक्षण फलन के किसी विशेष चयन के प्रति अंधा है।

**10.** $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$ के साथ $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$: प्रत्येक $t$ के लिए श्रेणी $L^2$ में अभिसरित होती है (लांबिक-प्रसामान्य प्रसार, [प्रमेय 13.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval)(3)); और पुच्छ परिबंध $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ $t$ में एकसमान है, तथा प्रत्येक आंशिक योग $t$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है (परिमित संख्या के कोज्या): अतः $t \mapsto u(t,\cdot)$ $L^2$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ के लिए: प्रत्येक विधा $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ अपने पर लगाई गई $\partial_t^2 =
-n^2\pi^2 = \partial_x^2$ संतुष्ट करती है, $x = 0,
1$ पर लुप्त होती है, और $t =
0$ पर उसका मान $\sin(n\pi x)$ तथा समय-अवकलज $0$ है: अतः परिमित योग सब कुछ हल कर देता है। संगीत की दृष्टि से: तार की गति *स्थायी तरंगों* $e_n$ का अध्यारोपण है, जिनकी आवृत्तियाँ $n\pi$ मूल स्वर और उसके अधिस्वर हैं; और स्पेक्ट्रमी प्रमेय कहती है कि प्रत्येक प्रारंभिक आकृति इन शुद्ध स्वरों में अद्वितीय रूप से विघटित हो जाती है, जिसमें गुणांक $c_n$ ही स्वर-गुण हैं। तार सुनना कोई लांबिक-प्रसामान्य प्रसार परिकलित करना है।

**11.** $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ के साथ: $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2}
\sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq
\sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ ($\ell^2$ में कोशी–श्वार्ज़)। अतः अनुपात $m_{p+1}/m_p$ $p$ में अनवरोही हैं; और चूँकि $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$, $\frac{\langle Ax, Ax\rangle}
{\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ तथा $R(Ax) =
\frac{m_3}{m_2}$, अतः शृंखला निकल आती है, जिसका प्रत्येक पद $\leq \mu_1$ है क्योंकि पदशः $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$। अभिसरण: यदि $a_1 > 0$ हो (शीर्ष अभिलक्षणिक मान का कुल भार $a_1$ लिखते हुए), तो योगों के प्रभावी अभिसरण से (अनुपात $< 1$)

$$
\mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} =
\mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1}
a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n}
\longrightarrow \mu_1,
$$

अतः घात विधि प्रत्येक ऐसे आरंभिक सदिश के लिए अभिसरित होती है जो शीर्ष अभिलक्षणिक समष्टि पर लांबिक न हो।

**12.** बिंदुशः $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle}
\leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$, अतः प्रत्येक $x$ के लिए $R_A(x) \leq R_B(x) +
\vertiii{A - B}$। इसे [अभ्यास 15.8](#exo-b3-spectral-8) के उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ सूत्र में डालने पर: $\mu_n(A)
\leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$, और $A,
B$ में सममित रूप से: अतः एक ही बार में सभी $n$ के लिए $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$।

**13.** $-w'' = x - x^2$ का समाकल $w = -\frac{x^3}6
+ \frac{x^4}{12} + cx$ है ($w(0) = 0$ के साथ), और $w(1) = 0$ $c = \frac1{12}$ दे देता है:

$$
w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x -
x^2)}{12} = Gu .
$$

तब $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$, और $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$ के साथ:

$$
\langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} +
\frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040},
\qquad
R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} .
$$

अतः $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, अर्थात् $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$: $\pi \leq 3.14364 <
3.1437$ (वास्तविक मान $\pi^2 = 9.8696$)। एक बहुपद, एक समाकल, एक अंक।

**14.** $u = x - x^2$ लिखिए, अतः $Gu =
\frac{u(1 + u)}{12}$ और $\int u^2 = \frac1{30}$, $\int u^3 = \frac1{140}$, $\int u^4 = B(5,5) =
\frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$ का उपयोग करते हुए:

$$
\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 =
\frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} +
\frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} =
\frac{31}{90720} .
$$

अतः $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} =
\frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$, और प्रश्न 11 से यह अब भी $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$ है: $\pi^2 \leq
\frac{306}{31} = 9.87097$, अर्थात् $\pi \leq 3.14181 <
3.1419$ — चार अंक (और अगली पुनरावृत्ति लगभग आठ देती, क्योंकि त्रुटि प्रति चरण $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ से सिकुड़ती है)।

**15.** कुल $(e_m \otimes e_n)(x,y) =
e_m(x)e_n(y)$ $L^2(\intcc01^2)$ का कोई [हिल्बर्ट आधार](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) है (टोनेली से लांबिक-प्रसामान्यता; और [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) [अभ्यास 15.5](#exo-b3-spectral-5) की भाँति)। प्रश्न 7 से स्थिर $x$ के लिए $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$, अतः $e_m\otimes e_n$ पर $g$ का गुणांक

$$
\langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle
= \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x
= \lambda_n\,\delta_{mn} .
$$

है। वर्ग में [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval):

$$
\iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n,
g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 .
$$

**16.** $g$ की सममिति से

$$
\iint g^2 = 2\iint_{y<x}y^2(1-x)^2
= 2\int_0^1(1-x)^2\,\frac{x^3}3\,\dd x
= \frac23\,B(4, 3) = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!}
= \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90} .
$$

**17.** मिलाकर: $\sum_n\frac1{n^4\pi^4} =
\frac1{90}$, अर्थात् $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$। व्यापक रूप से $\operatorname{tr}(G^k) = \sum\lambda_n^k =
\frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ $k$-घन पर परिमेय-बहुपदीय अष्टि $g$ के गुणनफलों का कोई पुनरावृत्त समाकल है: अर्थात् कोई परिमेय संख्या। अतः प्रत्येक $k$ के लिए $\zeta(2k) \in
\pi^{2k}\Q$। यह मशीन केवल सम कोटियों तक पहुँचती है क्योंकि अभिलक्षणिक मान अपनी *घातों* से प्रवेश करते हैं — $\sum\lambda_n^k$ — और $\lambda_n =
\frac1{n^2\pi^2}$: संचिह्नों का कोई संयोजन $\sum
n^{-3}$ उत्पन्न नहीं करता; और $\zeta(3)$ की अंकगणितीय प्रकृति (अपेरी से अपरिमेय, अतिक्रांतता खुली) स्पेक्ट्रमी लेखा-जोखा से परे है।

**18.** धनात्मक पदों के किसी योग का शीर्ष पद अधिक से अधिक वह योग होता है: $\lambda_1^2 \leq \sum\lambda_n^2 =
\frac1{90}$, अतः $\frac1{\pi^2} \leq \frac1{\sqrt{90}}$ और $\pi \geq 90^{1/4} = 3.0801\ldots$ प्रश्न 14 के साथ: $3.080 < \pi < 3.1419$, केवल तार-अंकगणित से। उच्चतर संचिह्न निचले परिबंध को ज्यामितीय रूप से तीक्ष्ण करते हैं: $\lambda_1 \leq (\operatorname{tr}G^{2k})^{1/2k} =
\lambda_1\bigl(1 + \sum_{n\geq2}(\lambda_n/\lambda_1)^{2k}
\bigr)^{1/2k}$, और परजीवी गुणक $\bigl(\tfrac14\bigr)^{2k}\cdot\frac1{2k}$ की गति से मरता है — वही स्पेक्ट्रमी-रिक्ति क्रियाविधि जो घात विधि के अभिसरण की है (प्रश्न 11), संचिह्न की ओर से देखी गई।

**19.** सभी $n$ के लिए $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \delta > 0$ (अनुक्रम $n^2\pi^2 \to \infty$ $\nu$ से एक अंतर रखकर बचता है), और बड़े $n$ के लिए $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$। $L^2$ अभिसरण: गुणांक $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ वर्ग-योगनीय हैं ($\frac{\abs{c_n}}\delta$ का प्रभुत्व)। एकसमान अभिसरण: पुच्छ उच्चतम-मानक $\sqrt2\sum_{n>N}
\frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq
\frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2}
\bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ से परिबद्ध हैं (कोशी–श्वार्ज़)। सत्यापन: $Gf + \nu Gu$ का $e_n$-गुणांक

$$
\lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu}
= \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 -
\nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} :
$$

है, जो ठीक $u$ के गुणांक हैं, अतः $u = Gf + \nu Gu$; और अद्वितीयता इसलिए कि हलों का कोई अंतर $v$ $v = \nu
Gv$ संतुष्ट करता है, अर्थात् सभी $n$ के लिए $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$: $v = 0$।

**20.** प्रश्न 19 की भाँति समीकरण $u = Gf + \nu
Gu$ गुणांक समीकरणों $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$, $n \geq
1$ के कुल के तुल्य है। $n = m$ के लिए बायाँ पक्ष $0$ है: अतः हल-योग्यता $c_m = 0$ अनिवार्य कर देती है, और तब $\langle e_m,
u\rangle$ स्वतंत्र रहता है जबकि शेष सभी गुणांक निर्धारित होते हैं: अतः हल रेखा $u_0 + \R e_m$ बनाते हैं। अनुनाद: अभिलक्षणिक विधा पर घटक रखने वाला कोई बल उसमें बिना किसी परिबंध के ऊर्जा भरता जाता है — अपनी ही आवृत्ति पर धकेला गया झूला।

**21.** प्रश्न 19 के सूत्र से $\norm{R_\nu f}_2^2
= \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq
\frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ ($\nu < \pi^2$ के लिए निकटतम अभिलक्षणिक मान $\pi^2$ है), जिसमें बराबरी $f = e_1$ पर निकट आती है: अतः [संकारक मानक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator) $\frac1{\pi^2 - \nu}$। संहतता: $R_\nu$ अपने परिमित-कोटि कर्तनों की मानक-सीमा है (पुच्छ गुणांक $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$); और [स्वसंलग्नता](#def-b3-spectral-selfadjoint) तथा धनात्मकता विकर्ण रूप से पढ़ ली जाती हैं (सभी गुणांक $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$)। $R_\nu$ के अभिलक्षणिक मान $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$ हैं: अतः भाग I से VI तक का विश्लेषण अक्षरशः फिर से चल पड़ता है।

**22.** शब्दकोश: *अभिलक्षणिक मान* $\lambda_n =
\frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ $n$-वें संनादी की वर्ग आवृत्ति $n^2\pi^2$; *संचिह्न* $\sum
\lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) =
\frac{\pi^2}6$; *हिल्बर्ट–श्मिट मानक* $\iint g^2 =
\frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; *[फ्रेडहोम विकल्प](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ बलित तार का अनुनाद; *निम्निष्ठ–उच्चिष्ठ* $\leftrightarrow$ विचरणात्मक आकलन, एक ही बहुपद से $\pi < 3.1437$ तक। प्रत्येक जोड़े के पीछे वही वस्तु है: एक ही [संहत](#def-b3-spectral-compact) [स्वसंलग्न संकारक](#def-b3-spectral-selfadjoint), एक बार विकर्णीकृत और पाँच तरह से उपयोग किया गया।

**23.** सम-विषमता पर विभाजित करके और सम भाग में $n = 2m$ प्रतिस्थापित करके

$$
\zeta(6) = \sum_{n\text{ विषम}}\frac1{n^6} +
\sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6}
= \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64},
$$

अतः $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ और $\zeta(6)
= \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$। संचिह्न वाला मार्ग $\operatorname{tr}G^3 =
\sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ को पुनरावृत्त अष्टि $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ के साथ $\iint g\,g_2$ के रूप में परिकलित करता — अर्थात् खंडशः बहुपदों के तीन समाकलन; जबकि $x(1-x)$ पर [पार्सेवाल](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) को केवल एक चाहिए था।

**24.** (क) विकर्णीकरण कीजिए: $v = \sum_na_nu_n$ (और साथ में कोई संभावित अष्टि घटक, जिस पर $\langle v, Av\rangle$ कुछ नहीं पाता और $\norm v^2$ बढ़ता है, अतः किसी अधिकतमकारी में वह नहीं होता)। तब $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq
\mu_1\sum a_n^2$, जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $\mu_n < \mu_1$ होने पर $a_n = 0$: अर्थात् कोई अधिकतमकारी $\mu_1$-अभिलक्षणिक समष्टि में होता है। (ख) किसी भी $u$ के लिए

$$
\langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle
= \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} -
u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0,
$$

जिसका समाकल्य बिंदुशः ऋणेतर है। यदि $P = \{u >
0\}$ और $N = \{u < 0\}$ दोनों का [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) धनात्मक हो, तो $P\times N$ पर समाकल्य धनात्मक [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) के किसी समुच्चय पर $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} >
0$ के बराबर है: अतः कड़ी असमिका। कोई $\mu_1$-अभिलक्षणिक फलन $u$ रेली भागफल को अधिकतम कर देता है, और $\abs u$ का मानक वही है, अतः कड़ाई $R(\abs u) > \mu_1$ प्रस्तुत कर देती — असंभव; इसलिए $u$ का चिह्न लगभग सर्वत्र अचर है, कहिए $u \geq 0$। तब प्रत्येक $x \in
\intoo01$ के लिए $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) =
\mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ ($k(x,\cdot) > 0$ और $u \neq 0$)। (ग) यदि अभिलक्षणिक समष्टि की विमा $\geq 2$ होती, तो उसमें दो *लांबिक* अभिलक्षणिक फलन $u, v$ होते, जिनमें से प्रत्येक (ख) से अचर चिह्न वाला और [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) में अलुप्त होता; पर तब $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — विरोधाभास। तार पर: विवृत वर्ग पर $k = g > 0$, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ वस्तुतः सरल है, $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ $\intoo01$ पर धनात्मक है; और धनात्मक $e_1$ पर लांबिक प्रत्येक $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$, $n \geq 2$, को उसके सापेक्ष शून्य पर समाकलित होना पड़ता है, अतः वह चिह्न बदलता है — जैसा उसके $n - 1$ आंतरिक शून्य $\frac kn$ पुष्टि करते हैं।

**25.** चूँकि $n^2\pi^2 \to \infty$, अतः निम्निष्ठ $d =
\min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ किसी विधा $m$ पर प्राप्त होता है, और $d > 0$ क्योंकि $\nu$ स्पेक्ट्रम से बचता है। प्रश्न 19 का विकर्ण सूत्र

$$
\norm{R_\nu f}_2^2 =
\sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2}
\leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2,
$$

देता है, जिसमें $f = e_m$ के लिए बराबरी: $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$, अर्थात् $\nu$ की स्पेक्ट्रम से दूरी का व्युत्क्रम — वही व्यापक विलायक सिद्धांत, यहाँ स्पष्ट निर्देशांकों में। [स्वसंलग्नता](#def-b3-spectral-selfadjoint) वास्तविक विकर्ण गुणांकों से पढ़ ली जाती है; और संहतता प्रश्न 21 की भाँति निकलती है (गुणांक $0$ की ओर जाते हैं, अतः परिमित-कोटि कर्तन मानक में अभिसरित होते हैं)। अनुनाद की क़ीमत: $f = e_1$ और $\nu =
(1-\varepsilon)\pi^2$ के लिए सूत्र $u =
\frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$ देता है, जबकि स्थैतिक अनुक्रिया $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ है: अतः आवर्धन $\frac1\varepsilon$। $\varepsilon =
10^{-2}$ पर अनुक्रिया स्थैतिक की $100$ गुना है — और वह $\varepsilon \to 0$ पर अपसारित हो जाती है, जो प्रश्न 20 का विकल्प परिबद्ध ओर से देखा गया है: बल की आवृत्ति किसी प्राकृतिक आवृत्ति के जितनी निकट होगी, प्रतिलोम उतना ही कम परिबद्ध।