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title: "साधारण अवकल समीकरण"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/19-ordinary-differential-equations
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# अध्याय 19 — साधारण अवकल समीकरण

दूसरे वर्ष ने रैखिक अवकल समीकरण हल किए थे और कोशी–लिप्शिट्ज़ प्रमेय का कथन दिया था; यह अध्याय उसे सिद्ध करता है — और वह भी दो बार: बानाख स्थिर बिंदु से अस्तित्व और अद्वितीयता, तथा महत्तम हलों के सिद्धांत और संहतों-से-पलायन प्रमेय से वैश्विक संरचना। इसके बाद रैखिक सिद्धांत ईमानदार नींव पर फिर से खड़ा किया जाता है ([विलायक](#thm-b3-ode-linearstructure), [व्रोन्स्कियन](#thm-b3-ode-linearstructure), [आव्यूह चरघातांकी](#thm-b3-ode-matrixexp), दुआमेल), और अध्याय का उत्तरार्ध *गुणात्मक* सिद्धांत खोलता है — प्रवाह, साम्यावस्थाएँ, [ल्यापुनोव फलन](#thm-b3-ode-lyapunov), और [रैखिकीकरण से स्थायित्व](#thm-b3-ode-linearization): अर्थात् उन हलों को समझना जिन्हें कोई कभी परिकलित नहीं करेगा। सप्ताहांत समस्या में लोलक चिरंतन अध्ययन-विषय है। सर्वत्र $U \subseteq \R\times\R^d$ विवृत है और $f \colon U \to \R^d$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity); $x' = f(t, x)$ का *हल* ऐसा $\mathcal C^1$ प्रतिचित्रण $x \colon I \to \R^d$ ($I$ कोई अंतराल) है जिसका आलेख $U$ में हो और जो समीकरण संतुष्ट करे।

## 19.1 कोशी–लिप्शिट्ज़

**परिभाषा 19.1.**

$f$ *$x$ में स्थानीय लिप्शिट्ज़* कहलाता है यदि $U$ के प्रत्येक बिंदु का कोई [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $V$ और कोई नियतांक $L$ ऐसा हो कि $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ के लिए $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 -
x_2}$। यदि $f$ $\mathcal
C^1$ हो (अथवा केवल $\partial_xf$ विद्यमान और [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हो), तो वह $x$ में स्थानीय लिप्शिट्ज़ है: किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) उत्तल [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर $L =
\sup\vertiii{\partial_xf}$ के साथ माध्य मान असमिका।

**प्रमेय 19.2 (कोशी–लिप्शिट्ज़, स्थानीय).**

मान लीजिए $f$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और $x$ में [स्थानीय लिप्शिट्ज़](#def-b3-ode-lipschitz) है, और $(t_0,
x_0) \in U$। तब ऐसा $T > 0$ है कि कोशी समस्या

$$
x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0
$$

का $[t_0 - T, t_0 +
T]$ पर ठीक एक हल है।

**उपपत्ति.** $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar
B(x_0, b) \subseteq U$ वाला $a, b > 0$ चुनिए, जिस पर $\norm f \leq M$ और $f$ $x$ में $L$-लिप्शिट्ज़ हो। कोई $\mathcal C^1$ फलन हल है तभी और केवल तभी जब वह समाकल समीकरण

$$
x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s
$$

संतुष्ट करे (कलन की मूल प्रमेय, दोनों दिशाओं में)। मान लीजिए $T =
\min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$, $I = [t_0 - T, t_0
+ T]$, और

$$
\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0}
\leq b\ I \text{ पर}\},
$$

जो बानाख समष्टि $(\mathcal C(I, \R^d),
\norm\cdot_\infty)$ का संवृत उपसमुच्चय है: अतः [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([परिभाषा 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete))। $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ परिभाषित कीजिए: $x \in \mathcal E$ के लिए $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — अर्थात् $\Phi$ $\mathcal E$ को उसी पर भेजता है — और $x, y \in
\mathcal E$ के लिए:

$$
\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t
L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x -
y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :
$$

अर्थात् एक संकुचन। बानाख स्थिर बिंदु ([प्रमेय 7.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) $\mathcal E$ में एक अद्वितीय स्थिर बिंदु दे देता है: अस्तित्व, और $\bar B(x_0, b)$ में रहने वाले हलों के बीच अद्वितीयता — पर $I$ पर कोई भी हल वहीं रहता है (जब तक आलेख $Q$ में रहता है तब तक $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$, जो एक [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) तर्क है): अतः $I$ पर अद्वितीयता। ∎

**प्रमेयिका 19.3 (ग्रोनवाल).**

मान लीजिए $u \colon I \to \intco0\infty$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, $t_0 \in
I$, और मान लीजिए

$$
u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd
s\Bigr| \qquad (t \in I)
$$

जहाँ $\alpha \geq 0$, $\beta > 0$। तब $I$ पर $u(t) \leq
\alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$।

**उपपत्ति.** $t \geq t_0$ के लिए: मान लीजिए $v(t) = \alpha +
\beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$, अतः $u \leq v$, $v' = \beta u
\leq \beta v$, और $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$: इसलिए $v(t)
\leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$। $t \leq t_0$ के लिए वही $\tilde u(t) = u(2t_0 -
t)$ पर लगाइए। ∎

**उपप्रमेय 19.4 (अद्वितीयता और संतत निर्भरता).**

[प्रमेय 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) की परिकल्पनाओं के अंतर्गत, $x' = f(t,x)$ के जो दो हल किसी एक बिंदु पर सहमत हों वे अपनी उभयनिष्ठ परिभाषा-अंतराल पर सहमत होते हैं। मात्रात्मक रूप से, यदि $x, y$ ऐसे दो हल हों जिनके आलेख उस क्षेत्र में हों जहाँ $f$ $x$ में $L$-लिप्शिट्ज़ है, तो

$$
\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) -
y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .
$$

**उपपत्ति.** आकलन: $u = \norm{x - y}$ $u(t) \leq u(t_0)
+ L\abs{\int_{t_0}^tu}$ को संतुष्ट करता है (समाकल समीकरण घटाइए); अब ग्रोनवाल। वैश्विक अद्वितीयता: सहमति समुच्चय $\{t : x(t)
= y(t)\}$ उभयनिष्ठ अंतराल में संवृत, अरिक्त और विवृत भी है — किसी भी सहमति बिंदु के चारों ओर उभयनिष्ठ आलेख के किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) टुकड़े को परिमित संख्या के लिप्शिट्ज़ बक्सों से आच्छादित कीजिए और प्रत्येक पर $u(t_1) = 0$ के साथ यह आकलन लगाइए: तब स्थानीय रूप से $x \equiv y$। और किसी अंतराल का अरिक्त विवृत संवृत उपसमुच्चय समूचा अंतराल ही होता है। ∎

## 19.2 महत्तम हल

**प्रमेय 19.5 (महत्तम हल; संहतों से पलायन).**

मान लीजिए $f$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और $x$ में [स्थानीय लिप्शिट्ज़](#def-b3-ode-lipschitz) है।

1. प्रत्येक कोशी समस्या का एक अद्वितीय *महत्तम* हल $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ होता है: $(t_0, x_0)$ से होकर जाने वाला हर दूसरा हल उसी का प्रतिबंध है। अंतराल विवृत होता है।
2. ( *पलायन* ) प्रत्येक [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K \subseteq U$ के लिए ऐसा $\varepsilon > 0$ है कि सभी $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ के लिए $(t, x(t)) \notin  K$ (और $T_-$ पर सममित रूप से): *अर्थात् किसी [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) का आलेख अंततः $U$ के प्रत्येक [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) उपसमुच्चय को छोड़ देता है* । विशेष रूप से $U = \R\times\R^d$ और $T_+ < +\infty$ के लिए: $t \to T_+^-$ पर $\norm{x(t)} \to +\infty$ ( *विस्फोट* )।

**उपपत्ति.** (1) मान लीजिए $\mathcal S$ $(t_0, x_0)$ से होकर जाने वाले समस्त हलों का समुच्चय है; [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) से कोई भी दो अपने अंतरालों के प्रतिच्छेदन पर सहमत होते हैं, अतः वे जुड़ जाते हैं: $J =
\bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ पर $t$ पर परिभाषित किसी भी $y$ के लिए $x(t) = y(t)$ रखिए: यह एक सुपरिभाषित हल है, जो स्पष्टतः महत्तम और अद्वितीय है। $J$ विवृत है: किसी सिरे पर परिभाषित हल को उसी सिरे पर [प्रमेय 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) से आगे बढ़ाया जा सकता।

(2) मान लीजिए दावा $T_+$ पर विफल होता है: तब $(t_n, x(t_n)) \in K$ वाले $t_n \to
T_+$ हैं; ध्यान दीजिए कि इससे $T_+ <
\infty$ अनिवार्य हो जाता है, अथवा यदि $T_+ = \infty$ हो तो सिद्ध करने को कुछ है ही नहीं ($K$ समय में परिबद्ध है)। अतः मान लीजिए $T_+ < \infty$। संहतता: $K$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) के समस्त कोशी आँकड़ों के लिए एकसमान नियतांक $M, L, a,
b$ काम करते हैं — मूर्त रूप में, $K$ को स्थानीय प्रमेय की उपपत्ति जैसे परिमित संख्या के बक्सों $Q_i$ से आच्छादित कीजिए और मान लीजिए $T^* > 0$ संगत अस्तित्व समयों का न्यूनतम है: तब $K$ का कोई भी कोशी आँकड़ा ऐसा हल जन्माता है जो अपने आरंभिक समय के आगे कम से कम $T^*$ तक जीता है। इसे $t_n > T_+ -
T^*/2$ के साथ $(t_n, x(t_n))$ पर लगाने से $x$ $T_+$ के पार बढ़ जाता है (विस्तार अद्वितीयता से $x$ के साथ सहमत होता है, फिर उसे आगे बढ़ा देता है): जो महत्तमता का विरोधाभास है। अतः आलेख $T_+$ से पहले $K$ को निश्चित रूप से छोड़ देता है। $U = \R\times\R^d$ के लिए: यदि $\norm{x(t)}\not\to\infty$ हो, तो कोई अनुक्रम $t_n \to T_+$ $(t_n, x(t_n))$ को [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ में रख देता: जो अपवर्जित है। ∎

**उपप्रमेय 19.6 (रैखिक वृद्धि के अंतर्गत वैश्विक अस्तित्व).**

यदि $U = I\times\R^d$ ($I$ विवृत अंतराल) हो और [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\alpha, \beta$ के साथ $\norm{f(t, x)}
\leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$, तो प्रत्येक [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) समूचे $I$ पर परिभाषित होता है।

**उपपत्ति.** किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $[t_0, T] \subseteq I$ पर: $\norm{x(t)} \leq
\norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$, अतः ग्रोनवाल से (जहाँ $\alpha, \beta$ वहाँ $A, B$ से परिबद्ध है) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$: अर्थात् परिबद्ध। यदि $T_+ < \sup I$ हो, तो आलेख $T_+$ के निकट $I\times\R^d$ के किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) में रहता: जो पलायन ([प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal)) का खंडन है। ∎

## 19.3 रैखिक निकाय

इस पूरे अनुभाग में $A \colon I \to M_d(\R)$ और $b
\colon I \to \R^d$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हैं; और निकाय $x' = A(t)x
+ b(t)$ है — रैखिक वृद्धि: अतः सभी [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) समूचे $I$ पर जीते हैं ([उपप्रमेय 19.6](#cor-b3-ode-globallinear))।

**प्रमेय 19.7 (संरचना).**

समघात निकाय $x' = A(t)x$ के हल एक $d$-विमीय सदिश समष्टि $S_H$ बनाते हैं; और प्रत्येक $t_0$ के लिए मान-निर्धारण $x \mapsto x(t_0)$ एक तुल्याकारिता $S_H \to
\R^d$ है। *विलायक* $R(t, s) \in GL_d(\R)$, जो इस प्रकार परिभाषित है कि $t \mapsto R(t,
s)v$ $s$ पर मान $v$ वाला हल है,

$$
R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad
\partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),
$$

संतुष्ट करता है, और असमघात समस्या *दुआमेल के सूत्र* से हल हो जाती है:

$$
x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .
$$

अंततः *व्रोन्स्कियन* $w(t) = \det
R(t, s)$ ल्यूविल के सूत्र $w' =
\operatorname{tr}A(t)\,w$ का पालन करता है, अतः $w(t) =
\exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$।

**उपपत्ति.** समीकरण की रैखिकता हलों को एक सदिश समष्टि बना देती है; मान-निर्धारण रैखिक है, एकैकी (अद्वितीयता: $t_0$ पर लुप्त होने वाला हल $\equiv 0$ है) और आच्छादक (अस्तित्व): अतः विमा $d$। [विलायक](#thm-b3-ode-linearstructure) के गुण अद्वितीयता को ही दोहराते हैं (प्रत्येक सर्वसमिका के दोनों पक्ष एक ही कोशी समस्या हल करते हैं); और व्युत्क्रमणीयता $R(s,t)R(t,s) = I$ से। दुआमेल: सूत्र का अवकलन कीजिए — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) +
\int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (समाकल के भीतर अवकलन वैध है: समाकल्य $t$ में $\mathcal C^1$ है और $(t,s)$ में उसका अवकलज [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity); अथवा समाकल समीकरण से सत्यापित कीजिए)। ल्यूविल: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ और $R(t + h, t) =
I + hA(t) + o(h)$ (समाकल समीकरण से), अतः $\det = 1
+ h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ ($I$ पर $\det$ का प्रसार): इसलिए $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$; अब अदिश रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन कीजिए। ∎

**प्रमेय 19.8 (आव्यूह चरघातांकी).**

$A \in M_d(\C)$ के लिए श्रेणी $\eu^{A} =
\sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ अभिसरित होती है (किसी भी उपगुणात्मक मानक में, निरपेक्षतः), और $AB = BA$ होने पर $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$, तथा $t \mapsto \eu^{tA}$ अचर निकाय का [विलायक](#thm-b3-ode-linearstructure) है: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$; वह $\mathcal
C^\infty$ है, जिसमें $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$। इसके अतिरिक्त: यदि $A$ के प्रत्येक अभिलक्षणिक मान $\lambda$ के लिए $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ हो, तो $t \geq 0$ पर $\vertiii{\eu^{tA}}
\leq C\eu^{-\alpha t}$।

**उपपत्ति.** अभिसरण: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$, जो योग्य है (बानाख बीजगणित $M_d$ में [अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(ख))। क्रमविनिमेय $A, B$ के लिए: दोनों निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों का कोशी गुणनफल, द्विपद प्रमेय (जो $AB = BA$ होने पर वैध है) के माध्यम से पुनर्विन्यस्त होकर $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ बन जाता है। अवकलनीयता, सीधे: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} -
I}{h} \to \eu^{tA}A$, क्योंकि $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A}
\leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} =
O(h)$। अतः $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ $R(t,s)v$ को परिभाषित करने वाली कोशी समस्या हल कर देता है। स्पेक्ट्रमी परिबंध: [जॉर्डन रूप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain#thm-b3-modules-jordan) ([प्रमेय 3.18](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain#thm-b3-modules-jordan)) से $A = P(D + N)P^{-1}$, जहाँ $D$ अभिलक्षणिक मान धारण करने वाला विकर्ण है, $N$ शून्यभावी, और $DN =
ND$। तब $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$, जिसमें किसी $\delta > 0$ ($t \geq 0$) के लिए $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ और $t$ में $\eu^{tN}$ बहुपद (शून्यभाविता): अतः गुणनफल $\leq C\eu^{-\alpha t}$ है ($\eu^{-\delta t}$ बहुपद को हरा देता है)। ∎

**उदाहरण 19.9 (समतल, वर्गीकृत).**

व्युत्क्रमणीय $A \in M_2(\R)$ के साथ $x' = Ax$ के लिए $0$ के निकट प्रावस्था चित्र $\tau = \operatorname{tr}A$ और $\delta = \det A$ से, अभिलक्षणिक मानों $\lambda_\pm
= \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ के माध्यम से, तय होता है:

- $\delta < 0$ : विपरीत चिह्नों वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान — एक *काठी* ; दो प्रक्षेपपथ भीतर आते हैं, दो बाहर जाते हैं, और शेष सब पास से गुजर जाते हैं। सदा अस्थायी।
- $\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : एक ही चिह्न वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — एक *ग्रंथि* , जो [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है तभी और केवल तभी जब $\tau < 0$ ; प्रक्षेपपथ मंद अभिलक्षणिक दिशा के स्पर्शी होते हैं।
- $\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : सम्मिश्र संयुग्मी अभिलक्षणिक मान $\frac\tau2 \pm  \iu\omega$ — एक *सर्पिल* (नाभि), जो [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है तभी और केवल तभी जब $\tau < 0$ ; और हल आवर्तकाल $\frac{2\pi}\omega$ वाले $\eu^{\tau t/2}\times$ घूर्णन हैं।
- $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : विशुद्ध काल्पनिक अभिलक्षणिक मान — एक *[केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions)* : संवृत कक्षाएँ (दीर्घवृत्त), और स्पर्शोन्मुख स्थायित्व के बिना स्थायित्व, ठीक वही सीमांत स्थिति जिसे [प्रमेय 19.12](#thm-b3-ode-linearization) अरैखिक निकायों के लिए तय नहीं कर सकती (लोलक की निचली साम्यावस्था, [समस्या 19.1](#pb-b3-ode-1) , यहीं बैठती है)।

परिसीमा परवलय $\tau^2 = 4\delta$ पर अपकर्षित ग्रंथियाँ होती हैं (जॉर्डन खंड: एक ही स्पर्श दिशा वाले प्रक्षेपपथ)। सब कुछ दो संख्याओं में पढ़ लिया जाता है — और इसीलिए किसी भी समतलीय प्रावस्था चित्र से पहले पहली प्रतिक्रिया $\operatorname{tr}$ और $\det$ परिकलित करना ही होती है; उदाहरणार्थ $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
-c\end{smallmatrix}\bigr)$ (अवमंदित दोलक): $\delta = 1 >
0$, $\tau = -c$: अतः $0 < c < 2$ के लिए [स्थायी](#def-b3-ode-stability) सर्पिल, और $c \geq 2$ के लिए [स्थायी](#def-b3-ode-stability) ग्रंथि — एक ही दृष्टि में अल्प-अवमंदन बनाम अति-अवमंदन।

## 19.4 प्रवाह, साम्यावस्थाएँ, स्थायित्व

अब *स्वायत्त* समीकरण $x' = F(x)$ पर विचार कीजिए, जिसमें $F
\colon \Omega \to \R^d$ विवृत $\Omega
\subseteq \R^d$ पर [स्थानीय लिप्शिट्ज़](#def-b3-ode-lipschitz) है। $x(0) = x_0$ वाले [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) के लिए $\varphi_t(x_0) = x(t)$ लिखिए (*सदिश क्षेत्र का प्रवाह*); स्वायत्तता जहाँ परिभाषित हो वहाँ समूह गुण $\varphi_{t+s} =
\varphi_t\circ\varphi_s$ दे देती है (दोनों पक्ष समय $s$ पर एक ही समस्या हल करते हैं)।

**परिभाषा 19.10.**

*साम्यावस्था* वह बिंदु $\bar x$ है जिसके लिए $F(\bar x) =
0$ (अतः $\varphi_t(\bar x) = \bar x$)। वह *स्थायी* कहलाती है यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ से यह निकले कि हल सभी $t \geq 0$ के लिए विद्यमान है और $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar
x} < \varepsilon$; और *स्पर्शोन्मुख रूप से स्थायी* यदि इसके अतिरिक्त $\bar x$ के निकट सभी $x_0$ के लिए $\varphi_t(x_0) \to \bar x$।

**प्रमेय 19.11 (ल्यापुनोव फलन).**

मान लीजिए $\bar x$ कोई साम्यावस्था है और $V \colon \mathcal V \to
\R$ $\bar x$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर ऐसा $\mathcal C^1$ फलन है कि:

$$
V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ जब } x \neq \bar x,
\qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .
$$

तब $\bar x$ [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है। और यदि इसके अतिरिक्त $\bar
x$ के बाहर $\dot V < 0$ हो, तो $\bar x$ स्पर्शोन्मुख रूप से [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है।

**उपपत्ति.** किसी हल के अनुदिश $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t))
\leq 0$: अतः $V$ घटता है। $\varepsilon$ दिया हो (इतना छोटा कि $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$), तो $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ लीजिए (संहतता, धनात्मकता) और $B(\bar x, \delta)$ पर $V < m$ वाला $\delta < \varepsilon$ चुनिए ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity))। $B(\bar x, \delta)$ में आरंभ होने वाले किसी हल के लिए बाद के सभी समयों पर $V(x(t)) < m$ रहता है, अतः वह गोलक $\norm{x -
\bar x} = \varepsilon$ (जहाँ $V \geq m$) तक कभी नहीं पहुँच सकता: वह गोले में ही रहता है — और तब सभी $t \geq 0$ के लिए विद्यमान रहता है: हल [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\bar B$ में बना रहता है, अतः [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) ([संहतों से पलायन](#thm-b3-ode-maximal)) $T_+ = +\infty$ अनिवार्य कर देती है। यही स्थायित्व है।

स्पर्शोन्मुख स्थिति: मान लीजिए $x(t)$ $B(\bar x, \delta)$ में आरंभ होता है; तब $V(x(t))$ घटकर किसी $c \geq 0$ तक जाता है। यदि $c > 0$ हो: प्रक्षेपपथ $K = \{x \in \bar B(\bar x,
\varepsilon): V(x) \geq c\}$ में रहता है, जो एक ऐसा [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समुच्चय है जो $\bar x$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) को अपवर्जित कर देता है ($V$ $V(\bar x)
= 0 < c$ के साथ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है)। $K$ पर फलन $\dot V$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और कड़ाई से ऋणात्मक है, अतः संहतता से $\mu = \max_K\dot V < 0$; तब $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to
-\infty$: निरर्थक, इसलिए $V \geq 0$। अतः $c = 0$, और $x(t) \to \bar x$ (गोले के भीतर $\bar x$ से दूरी $\geq
\rho$ वाले बिंदुओं के लिए $V \geq m_\rho >
0$)। ∎

**प्रमेय 19.12 (रैखिकीकरण से स्थायित्व).**

मान लीजिए $F$ $\mathcal C^1$ है, $F(\bar x) = 0$, $A = DF(\bar x)$। यदि $A$ के प्रत्येक अभिलक्षणिक मान के लिए $\operatorname{Re}\lambda <
0$ हो, तो $\bar x$ स्पर्शोन्मुख रूप से [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है।

**उपपत्ति.** $\bar x$ को $0$ पर स्थानांतरित कीजिए और $g(x) = o(\norm x)$ ($\mathcal C^1$ अवकलनीयता) के साथ $F(x) = Ax + g(x)$ लिखिए। $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ वाला $\alpha > 0$ चुनिए ($t \geq 0$; [प्रमेय 19.8](#thm-b3-ode-matrixexp)) और $\norm x \leq
r$ के लिए $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ वाला $r > 0$। $b(s) = g(x(s))$ के साथ दुआमेल:

$$
x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,
$$

जो तब तक वैध है जब तक $\norm{x(s)} \leq r$। तब $u(t) =
\eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$

$$
u(t) \leq C\norm{x_0} +
\int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,
$$

संतुष्ट करता है, अतः ग्रोनवाल $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ देता है, अर्थात् $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$। यदि $\norm{x_0} < r/C$ हो, तो यह पूर्व परिबंध सभी $t$ के लिए $\norm{x(t)} <
r$ बनाए रखता है (एक [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)/उन्नयन तर्क: कड़े आकलन को देखते हुए जिन समयों पर $\norm x \leq r$ है उनका समुच्चय $\intco0{T_+}$ में विवृत और संवृत दोनों है), हल वैश्विक हो जाता है, और वह $0$ पर चरघातांकी दर से अभिसरित होता है: अर्थात् स्पर्शोन्मुख स्थायित्व। ∎

**विधि 19.13.**

किसी अवकल समीकरण का सामना होने पर: (1) अस्तित्व/अद्वितीयता — [स्थानीय लिप्शिट्ज़](#def-b3-ode-lipschitz) जाँचिए (प्रायः $\mathcal C^1$); (2) वैश्विकता — रैखिक वृद्धि, परिबद्धता, अथवा किसी [ल्यापुनोव फलन](#thm-b3-ode-lyapunov) या प्रथम समाकल से कोई अपरिवर्ती [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact); और यदि यह न मिले, तो विस्फोट का संदेह कीजिए और अदिश व्यंग्यचित्र $x' = x^2$ पर परखिए; (3) रैखिक निकाय — [विलायक](#thm-b3-ode-linearstructure), दुआमेल, और अचर गुणांकों के लिए $A$ की अभिलक्षणिक संरचना; (4) गुणात्मक प्रश्न — साम्यावस्थाएँ, रैखिकीकरण, और किसी [ल्यापुनोव फलन](#thm-b3-ode-lyapunov) (यांत्रिक निकाय होने पर ऊर्जा) या ऐसे प्रथम समाकल की खोज जिसके स्तर समुच्चय प्रक्षेपपथों को फँसा लें। सप्ताहांत समस्या पूरी विधि को लोलक पर चलाकर दिखाती है।

![(x, x')-समतल में लोलक x'' = - x का प्रावस्था चित्र: ऊर्जा E = x'22 - x के स्तर वक्र। संवृत वक्र (नीले): दोलन, E < 1; दौड़ते वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन, E > 1; और उनके बीच विभाजक (लाल), E = 1, जो अस्थायी साम्यावस्थाओं (±π, 0) को जोड़ता है। सप्ताहांत समस्या वह सब सिद्ध करती है जो यह चित्र सुझाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-ode/fig-dd339003c539.svg)

*$(x, x')$-समतल में लोलक $x'' = -\sin x$ का प्रावस्था चित्र: ऊर्जा $E = \frac{x'^2}2
- \cos x$ के स्तर वक्र। संवृत वक्र (नीले): दोलन, $E < 1$; दौड़ते वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन, $E > 1$; और उनके बीच *विभाजक* (लाल), $E = 1$, जो अस्थायी साम्यावस्थाओं $(\pm\pi, 0)$ को जोड़ता है। सप्ताहांत समस्या वह सब सिद्ध करती है जो यह चित्र सुझाता है।*

## 19.5 अभ्यास

**अभ्यास 19.1 ★.**

स्पष्ट रूप से हल कीजिए और महत्तम अंतराल निर्धारित कीजिए: (क) $x' = x^2$, $x(0) = 1$; (ख) $x' = 1 + x^2$, $x(0) = 0$; (ग) $x' = x(1-x)$, $x(0) = \frac12$। प्रत्येक उत्तर का [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) और [उपप्रमेय 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) से मेल कराइए।

**हल — अभ्यास 19.1.**

(क) चर पृथक करने पर: $\intoo{-\infty}1$ पर $x(t) = \frac1{1 - t}$: $x(t) \to
+\infty$ के साथ $T_+ = 1$ पर विस्फोट — अर्थात् ठीक [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2)। (ख) $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ पर $x(t) = \tan t$: दोनों सिरों पर विस्फोट। (ग) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$, वैश्विक: हल $\intoo01$ में ही रहता है, जो कोई परिबद्ध समुच्चय है, अतः आलेख परिमित समय में $\R\times\R$ के प्रत्येक [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) से बच नहीं सकता — $T_\pm
= \pm\infty$। ध्यान दीजिए कि (क), (ख) [उपप्रमेय 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) का खंडन नहीं करते: $x^2$ और $1 + x^2$ की वृद्धि अधिरैखिक है।

**अभ्यास 19.2 ★.**

मान लीजिए $x, y$ $x' = f(t,x)$ को हल करते हैं, जहाँ $f$ $\R\times\R^d$ पर $x$ में वैश्विक रूप से $L$-लिप्शिट्ज़ है। (क) $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) -
y(0)}\eu^{L\abs t}$ सिद्ध कीजिए, और उदाहरण से (रैखिक!) दर्शाइए कि गुणक $\eu^{L\abs t}$ प्राप्त हो जाता है। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि [प्रवाह प्रतिचित्रण](#ex-b3-ode-planeclassification) $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और परिबद्ध समुच्चयों पर वस्तुतः लिप्शिट्ज़।

**हल — अभ्यास 19.2.**

(क) यह $t_0
= 0$ के साथ [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) का आकलन है। तीक्ष्णता: $x' = Lx$ (वैश्विक रूप से $L$-लिपशित्ज़) के लिए दो हल ठीक $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ भर भिन्न होते हैं। (ख) आकलन यह कहता है: समय-$t$ [प्रवाह प्रतिचित्रण](#ex-b3-ode-planeclassification) प्रारंभिक शर्त में $\eu^{L\abs t}$-लिपशित्ज़ है — अर्थात् [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), संहतों में $t$ के लिए एकसमान रूप से; और अवैश्विक-लिपशित्ज़ $f$ के परिबद्ध समुच्चयों पर वही तर्क प्रक्षेप-पथों के चारों ओर किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नली पर स्थानीय अचर के साथ चलाइए।

**अभ्यास 19.3 ★★.**

दर्शाइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक के सभी [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) $\R$ पर वैश्विक हैं, और उचित प्रमेय उद्धृत कीजिए: (क) $x' = \sin(tx)$; (ख) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$; (ग) [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $q$ के साथ $x'' + q(t)x = 0$ (प्रथम-कोटि निकाय में बदलिए); (घ) [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और परिबद्ध $A$ के साथ $x' = A(t)x$ — और $\norm{x(t)}$ पर ग्रोनवाल परिबंध दीजिए।

**हल — अभ्यास 19.3.**

(क) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$: परिबद्ध, अर्थात् $\alpha = 0$, $\beta = 1$ के साथ रैखिक वृद्धि: $U = \R\times\R$ पर [उपप्रमेय 19.6](#cor-b3-ode-globallinear)। (ख) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$: फिर से अवरैखिक (वस्तुतः समय-संहतों पर परिबद्ध): अतः वैश्विक। (ग) $X = (x, x')$: $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t)
& 0\end{smallmatrix}\bigr)X$: [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) गुणांकों के साथ रैखिक: अतः वैश्विक ([प्रमेय 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure) की व्यवस्था)। (घ) वैश्विक; और [उपप्रमेय 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) की भाँति ग्रोनवाल: $M = \sup\vertiii{A}$ के साथ $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$।

**अभ्यास 19.4 ★★.**

(क) $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 &
\lambda\end{smallmatrix}\bigr)$, और $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$ के लिए $\eu^{tA}$ परिकलित कीजिए। (ख) प्रणोदित दोलक $x'' + x = \cos(\omega t)$ को (निकाय रूप में) दुआमेल से हल कीजिए, $\omega \neq 1$ और $\omega =
1$ के लिए: अनुनाद धर्मनिरपेक्ष पद $t\sin t$ के रूप में प्रकट होता है।

**हल — अभ्यास 19.4.**

(क) पहले के लिए $A^2 = -I$: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin
t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t &
\cos t\end{smallmatrix}\bigr)$। जॉर्डन खंड: $\lambda I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं: $\eu^{tA} =
\eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$। तीसरा: $A^2 = I$: $\eu^{tA} =
\cosh t\,I + \sinh t\,A$।

(ख) निकाय $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0
\end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\
\cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$; और घूर्णन [विलायक](#thm-b3-ode-linearstructure) के साथ द्यूआमेल विशेष हल दे देता है: $\omega \neq 1$ के लिए $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 -
\omega^2}$ (सीधे सत्यापित कीजिए); और $\omega = 1$ के लिए समाकल $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ *कालिक* वृद्धि $x_p = \frac t2\sin t$ उत्पन्न कर देता है: अर्थात् अनुनाद — बल प्राकृतिक आवृत्ति पर ऊर्जा भरता है और आयाम रैखिक रूप से बढ़ता है।

**अभ्यास 19.5 ★★.**

अदिश समीकरण $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ के लिए: (क) दर्शाइए कि दो हलों का [व्रोन्स्कियन](#thm-b3-ode-linearstructure) $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ $w' = -p\,w$ (आबेल) को संतुष्ट करता है, और निष्कर्ष निकालिए कि जिन दो हलों के लिए कहीं $w \neq 0$ हो वे एक आधार बनाते हैं। (ख) कोई एक अलुप्त हल $x_1$ दिया हो, तो *कोटि अपचयन* से सामान्य हल ढूँढ़िए: $x_2 = x_1\int
\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ रखिए और सत्यापित कीजिए। इसे $x_1(t) = t^2$ के साथ $\intoo0{+\infty}$ पर $t^2x'' -
2x = 0$ पर लगाइए।

**हल — अभ्यास 19.5.**

(क) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1'
- qx_1)x_2 = -p\,w$: $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$, जो कभी शून्य नहीं होता और न सर्वथा शून्य। यदि $w \neq 0$ हो, तो सदिश $(x_i, x_i')(t_0)$ $\R^2$ में स्वतंत्र हैं, और चूँकि हल समष्टि की विमा $2$ है (निकाय के लिए [प्रमेय 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure)), अतः $(x_1,
x_2)$ कोई आधार है।

(ख) $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ के साथ: $x_2 = x_1u$, $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$, और

$$
x_2'' + px_2' + qx_2
= u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) +
\Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} +
p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0
$$

(तिर्यक पद ठीक-ठीक निरस्त हो जाते हैं; सावधानी से प्रसार कीजिए)। $t^2x'' - 2x = 0$ के लिए, अर्थात् $x_1 = t^2$ के साथ $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ($p = 0$): $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$, अतः $x_2
= -\frac1{3t}$: व्यापक हल $at^2 + \frac bt$।

**अभ्यास 19.6 ★★.**

(लॉजिस्टिक) $x' = x(1 - x)$ के लिए: समस्त साम्यावस्थाएँ और उनका स्थायित्व निर्धारित कीजिए ([प्रमेय 19.12](#thm-b3-ode-linearization) से और सीधे भी); दर्शाइए कि $x(0) \in \intoo01$ वाला प्रत्येक हल बढ़ता हुआ और वैश्विक है, जिसकी $\mp\infty$ पर सीमाएँ $0$ और $1$ हैं; और स्पष्ट रूप से हल करके पुष्टि कीजिए। अधिक व्यापक रूप से दर्शाइए कि अदिश स्वायत्त हल एकदिष्ट होते हैं, और निष्कर्ष निकालिए: विमा $1$ में कोई अचरेतर आवर्ती हल नहीं होता।

**हल — अभ्यास 19.6.**

साम्यावस्थाएँ $0, 1$; $f'(x) = 1 - 2x$: $f'(0) = 1 > 0$ (अस्थिर — जैसा स्पष्ट रूप दिखा देता है, पास के हल दूर हट जाते हैं), $f'(1) = -1 < 0$: अनंतस्पर्शी रूप से [स्थायी](#def-b3-ode-stability) (विमा $1$ में [प्रमेय 19.12](#thm-b3-ode-linearization))। $x(0) \in \intoo01$ के लिए: वहाँ $f > 0$, अतः जब तक हल $\intoo01$ में रहता है वह बढ़ता है; और वह $0$ या $1$ तक कभी नहीं पहुँच सकता (अद्वितीयता: वे प्रक्षेप-पथ हैं), अतः वह वहीं रहता है, परिबद्ध है — इसलिए वैश्विक — और बढ़कर किसी सीमा $L
\in \intoc{x(0)}1$ तक जाता है। यदि $f(L) \neq 0$ हो, तो सीमा के निकट $x' \geq c > 0$, जिससे $x$ $L$ के पार चला जाता: अतः $f(L) = 0$, $L = 1$; और सममित रूप से $-\infty$ पर $x \to 0$। स्पष्ट रूप से $x(t) =
\frac1{1 + C\eu^{-t}}$ सब कुछ की पुष्टि कर देता है। व्यापक रूप से: यदि किसी अदिश स्वायत्त हल के लिए $x'(t_0) = 0$ होता, तो $x(t_0)$ कोई साम्यावस्था होती और अद्वितीयता $x$ को अचर बना देती; अन्यथा $f(x(t))$ कोई स्थिर चिह्न रखता है (वह कभी लुप्त नहीं होता, और $t \mapsto f(x(t))$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है): अतः $x$ कड़ाई से एकदिष्ट है — इसलिए कोई अचरेतर आवर्ती हल असंभव है।

**अभ्यास 19.7 ★★.**

(प्रथम समाकल) मान लीजिए $H \colon \Omega \to \R$ $\mathcal
C^1$ है और समतलीय हैमिल्टनी निकाय $x' =
\partial_yH$, $y' = -\partial_xH$ पर विचार कीजिए। (क) दर्शाइए कि $H$ हलों के अनुदिश अचर है। (ख) $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ के लिए: दर्शाइए कि सभी हल वैश्विक और परिबद्ध हैं, और मूल बिंदु [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है (ल्यापुनोव: $H$), यद्यपि रैखिकीकरण ($\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$) स्पर्शोन्मुख रूप से [स्थायी](#def-b3-ode-stability) *नहीं* है: अर्थात् रैखिकीकरण अनिर्णायक हो सकता है।

**हल — अभ्यास 19.7.**

(क) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y +
H_y(-H_x) = 0$। (ख) $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ के स्तर समुच्चय [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) हैं ($H$ प्रबलकारी), अतः हल संहतों में फँस जाते हैं: वैश्विक और परिबद्ध ([प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal))। $(0,0)$ की स्थायित्व: $V = H$ $\dot V = 0$ के साथ धनात्मक निश्चित है ($H = 0$ केवल मूल बिंदु पर): [प्रमेय 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov)। रैखिकीकरण $x' = y$, $y' = 0$ का आव्यूह अभिलक्षणिक मान $0$ वाला अविकर्णीय शून्यभावी है: अतः [प्रमेय 19.12](#thm-b3-ode-linearization) मौन है (उसकी परिकल्पना $\operatorname{Re}\lambda < 0$ विफल हो जाती है), और वस्तुतः रैखिकीकृत निकाय अस्थिर है ($y_0 \ne 0$ बह जाता है) जबकि अरैखिक निकाय [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है: अर्थात् किसी अ-अतिपरवलयिक साम्यावस्था पर रैखिकीकरण कुछ भी सिद्ध नहीं करता।

**अभ्यास 19.8 ★★★.**

(अवमंदित लोलक) $x'' + cx' + \sin x = 0$, $c > 0$; निकाय: $x' = y$, $y' = -\sin x - cy$। (क) दर्शाइए कि $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ $\dot
V = -cy^2 \leq 0$ को संतुष्ट करता है: अतः मूल बिंदु [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है। (ख) $\dot V$ पूरे अक्ष $y = 0$ पर लुप्त हो जाता है: अतः ल्यापुनोव की कड़ी कसौटी विफल हो जाती है। फिर भी रैखिकीकरण ([प्रमेय 19.12](#thm-b3-ode-linearization)) से स्पर्शोन्मुख स्थायित्व सिद्ध कीजिए: $(0,0)$ पर रैखिकीकृत आव्यूह के अभिलक्षणिक मान परिकलित कीजिए और प्रत्येक $c > 0$ के लिए $\operatorname{Re} < 0$ जाँचिए। (ग) साम्यावस्था $(\pi, 0)$ पर क्या होता है? रैखिकीकरण परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए (एक अभिलक्षणिक मान धनात्मक: अस्थायित्व — आप अस्थायित्व के कथन का अनौपचारिक उपयोग कर सकते हैं अथवा रैखिक निकाय का कोई स्पष्ट भागता हुआ हल प्रस्तुत कर सकते हैं)।

**हल — अभ्यास 19.8.**

(क) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) +
y\sin x = -cy^2 \leq 0$, और $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ मूल बिंदु के चारों ओर $\{\abs x < 2\pi\}$ पर धनात्मक निश्चित है: अतः [स्थायी](#def-b3-ode-stability) ([प्रमेय 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov))। (ख) $(0,0)$ पर रैखिकीकृत आव्यूह $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
-c\end{smallmatrix}\bigr)$ है, जिसका अभिलक्षणिक बहुपद $\lambda^2 + c\lambda + 1$ है: मूल $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 -
4}}2$ — $c \geq 2$ होने पर दोनों वास्तविक ऋणात्मक, और $0 < c < 2$ होने पर वास्तविक भाग $-\frac c2 < 0$ वाले सम्मिश्र। सभी दशाओं में $\operatorname{Re}\lambda < 0$: अतः [प्रमेय 19.12](#thm-b3-ode-linearization) अनंतस्पर्शी स्थायित्व दे देती है (अपह्रासी $\dot V$ के बावजूद)। (ग) $(\pi, 0)$ पर: $\sin(\pi + u) = -\sin u$, रैखिकीकरण $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$, अभिलक्षणिक $\lambda^2 + c\lambda - 1$: विपरीत चिह्नों वाले मूल ($\lambda_+\lambda_- = -1$)। अस्थिर अभिलक्षणिक सदिश के अनुदिश रैखिक निकाय का $\lambda_+ > 0$ वाला स्पष्ट रूप से भागता हुआ हल $\eu^{\lambda_+t}v_+$ है: अर्थात् उलटा लोलक प्रत्येक अवमंदन के लिए अस्थिर है।

**अभ्यास 19.9 ★★.**

(अद्वितीयता की सीमा) $\alpha \in \intoo01$ के लिए दर्शाइए कि समस्या $x' = \abs x^{\alpha}$, $x(0) = 0$ के अनंत हल हैं ([समस्या 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), भाग III को अनुकूलित कीजिए)। इसके विपरीत दर्शाइए कि $\alpha = 1$ (अर्थात् $x' = \abs
x$) के लिए $0$ से होकर जाने वाला हल अद्वितीय है, और ठीक-ठीक बताइए कि [प्रमेय 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) की कौन-सी परिकल्पना इन दोनों स्थितियों में भेद करती है।

**हल — अभ्यास 19.9.**

$\alpha \in \intoo01$ के लिए: $x \equiv 0$ के अतिरिक्त प्रत्येक

$$
x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\
\bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c,
\end{cases}
$$

$\mathcal C^1$ है और समीकरण हल करता है (घातांक $\frac1{1-\alpha} > 1$ अवकलज को $c$ पर लुप्त कर देता है): अतः $(0,0)$ से होकर हलों का एक सातत्य। $\alpha = 1$ के लिए: $x
\mapsto \abs x$ वैश्विक रूप से $1$-लिपशित्ज़ है ($\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$), अतः [प्रमेय 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) लागू होती है और $0$ से होकर एकमात्र हल $x \equiv 0$ है। सीमांत ठीक $0$ पर स्थानीय लिपशित्ज़ शर्त है: $\alpha < 1$ के लिए $\abs x^\alpha$ के वहाँ अपरिबद्ध अंतर भागफल हैं।

**अभ्यास 19.10 ★★★.**

(पूर्व परिबंध हलों को फँसा लेते हैं) मान लीजिए $F \colon \R^d \to \R^d$ [स्थानीय लिप्शिट्ज़](#def-b3-ode-lipschitz) है और $\norm x \geq R$ होने पर $\langle F(x), x\rangle \leq 0$। (क) दर्शाइए कि संवृत गोला $\bar B(0, R)$ धनात्मक रूप से अपरिवर्ती है: भीतर से आरंभ होने वाले हल $t \geq
0$ के लिए भीतर ही रहते हैं। *(यदि $\norm{x(t_2)} > R$ हो, तो $\norm{x(t_1)} = R$ वाला अंतिम समय $t_1 < t_2$ लीजिए और $\intcc{t_1}{t_2}$ पर $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ का अध्ययन कीजिए।)* (ख) गोले के आँकड़ों के लिए वैश्विक अग्रगामी अस्तित्व निष्कर्ष के रूप में निकालिए। फिर प्रवणक निकाय $x' = -\nabla G(x)$, $G \in
\mathcal C^2$ लीजिए, जहाँ $\norm x \to
\infty$ पर $G(x) \to +\infty$: दर्शाइए कि हलों के अनुदिश $G$ घटता है, कि प्रत्येक हल (परिबद्ध) अधोस्तर समुच्चय $\{G \leq
G(x_0)\}$ में रहता है, और वैश्विक अग्रगामी अस्तित्व निष्कर्ष निकालिए।

**हल — अभ्यास 19.10.**

(क) मान लीजिए $\norm{x(0)} \leq R$ वाले किसी $t_2 > 0$ के लिए $\norm{x(t_2)} > R$, और $t_1 = \sup\{t \leq t_2 :
\norm{x(t)} \leq R\}$ रखिए: तब $\norm{x(t_1)} = R$ और $\intoc{t_1}{t_2}$ पर $\norm{x(t)} > R$। उस अंतराल पर $g(t) = \norm{x(t)}^2$ का $g'(t) = 2\langle x(t),
F(x(t))\rangle \leq 0$ है (परिकल्पना लागू होती है: $\norm{x(t)}
\geq R$), अतः $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$: विरोधाभास। गोला धनात्मक रूप से निश्चर है। (ख) [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) गोले में फँसा कोई हल $T_+ < \infty$ नहीं रख सकता ([प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2)): अतः अग्र दिशा में वैश्विक। प्रवणक निकाय: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) =
\langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2
\leq 0$: $G$ घटता है, अतः हल $\{G \leq
G(x_0)\}$ में रहता है, जो परिबद्ध (प्रबलकारिता: किसी बड़े गोले के बाहर $G > G(x_0)$) और संवृत है: अर्थात् [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)। पलायन असंभव है: किसी प्रबलकारी प्रवणक निकाय का प्रत्येक हल अग्र दिशा में वैश्विक है और सदा ढलान पर फिसलता रहता है।

**अभ्यास 19.11 ★★.**

(तुलना से विस्फोट) $x' = x^2 + t^2$, $x(0) =
1$ पर विचार कीजिए। (क) दर्शाइए कि [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) किसी $\intco0{T_+}$ पर विद्यमान है जिसमें $T_+ < \infty$: $y' = y^2$, $y(0) = 1$ से तुलना कीजिए *(अभीष्ट तुलना प्रमेयिका सिद्ध कीजिए: यदि $x' \geq
F(x)$ और $x(0) \geq y(0)$ के साथ $y' = F(y)$ हो, तो जहाँ दोनों जीते हैं वहाँ $x \geq
y$)*, और $T_+ \leq 1$ निष्कर्ष निकालिए। (ख) $T_+$ को नीचे से परिबद्ध कीजिए: $\intcc01$ पर $x' \leq x^2 +
1$; $z(0) =
1$ वाले अधिहल $z' = z^2 + 1$ से तुलना कीजिए, जो $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ से हल हो जाता है, और $T_+ \geq \frac\pi4$ निष्कर्ष निकालिए। (ग) $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ संकलित कीजिए और सार बाँधिए: दायाँ पक्ष अधिरैखिक रूप से बढ़ता हो तो वैश्विक अस्तित्व मर जाता है ([अभ्यास 19.3](#exo-b3-ode-3) इसका प्रतिबिंदु है), और सीमा $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ के अभिसरण पर पड़ती है।

**हल — अभ्यास 19.11.**

(क) तुलना प्रमेयिका: मान लीजिए उभयनिष्ठ अंतराल पर $w = x - y$; $w(0) \geq 0$ और $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) =
c(t)w$, जिसमें $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समय अंतरालों पर परिबद्ध है ($F$ स्थानीय रूप से लिपशित्ज़); तब $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$, अतः सर्वत्र $w \geq 0$। $F(x) = x^2$ के साथ: $y(t) = \frac1{1 - t}$ $1$ पर विस्फोटित होता है, और जब तक $x$ जीवित है तब तक $x
\geq y$; यदि $T_+ > 1$ हो, तो $x$ $t = 1$ पर परिमित होता जबकि $y \to \infty$ पर हावी रहता: असंगत। अतः $T_+ \leq 1$।

(ख) उलटी तुलना (वही प्रमेयिका, भूमिकाएँ बदली हुई): $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ पर $t^2 \leq 1$ $x' \leq
x^2 + 1$ देता है, जबकि $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ $z' =
z^2 + 1$, $z(0) = 1 = x(0)$ संतुष्ट करता है: अतः जब तक दोनों परिभाषित हैं तब तक $x \leq z$। चूँकि $z$ $\intco0{\frac\pi4}$ पर परिमित है, अतः $x$ $\frac\pi4$ से पहले विस्फोटित नहीं हो सकता: $T_+ \geq \frac\pi4$।

(ग) मिलाकर: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (संख्यात्मक रूप से $T_+
\approx 0.96$)। शिक्षा: $x$ में अधिरैखिक $F$ वाले $x' = F(t, x)$ के लिए हल परिमित समय में तब-तब फट जाते हैं जब $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ हो (तुलना हल उतने ही परिमित समय में अनंत तक पहुँच जाता है); और रैखिक वृद्धि, जहाँ समाकल अपसारित होता है, वैश्विक अस्तित्व अनिवार्य कर देती है ([अभ्यास 19.3](#exo-b3-ode-3))। यह वही ऑस्गुड समाकल है जो [समस्या 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1) में था, और अब वह शून्य से पलायन के बजाय अनंत की ओर पलायन को शासित करता है।

**अभ्यास 19.12 ★★★.**

(श्टुर्म की तुलना प्रमेय) मान लीजिए $q_1 \leq q_2$ किसी अंतराल $I$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हैं, और $u \neq 0$ $u''
+ q_1u = 0$ को तथा $v \neq 0$ $v'' + q_2v = 0$ को हल करते हैं। (क) [व्रोन्स्कियन](#thm-b3-ode-linearstructure) सर्वसमिका स्थापित कीजिए: $W = uv' - u'v$ के साथ $W' = (q_1 - q_2)\,uv$। (ख) (श्टुर्म) दर्शाइए कि $u$ के दो क्रमागत शून्यों $a < b$ के बीच या तो $v$ $\intoo ab$ में कहीं लुप्त होता है, या वहाँ $q_1 = q_2$ और $v \propto u$ *($\intoo ab$ पर $u > 0$ और $v > 0$ भी मान लीजिए; (क) का $a$ से $b$ तक समाकलन कीजिए और सीमांत पदों $W(a),
W(b)$ के चिह्न देखिए)*। (ग) निष्कर्ष निकालिए: $q \geq m > 0$ वाले $u'' + qu = 0$ के हल लंबाई $\pi/\sqrt m$ के प्रत्येक अंतराल में कम से कम एक बार लुप्त होते हैं ($v'' + mv = 0$ से तुलना कीजिए); और $q \leq 0$ वाले हल $\R$ पर अधिकतम एक बार। दोनों को $q \equiv \pm1$ पर परखिए।

**हल — अभ्यास 19.12.**

(क) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 -
q_2)\,uv$।

(ख) मान लीजिए $a < b$ $u$ के क्रमागत शून्य हैं; $\intoo ab$ पर $u >
0$ मानकीकृत कीजिए (अतः $u'(a) > 0$, $u'(b) < 0$ — जो अद्वितीयता से शून्येतर है, क्योंकि $u(a) = u'(a) = 0$ $u
\equiv 0$ अनिवार्य कर देता)। मान लीजिए $\intoo ab$ में $v$ का कोई शून्य नहीं; वहाँ $v > 0$ मानकीकृत कीजिए (अतः [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से $v(a), v(b) \geq 0$)। (क) का समाकलन कीजिए:

$$
W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .
$$

पर $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ और $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$: अतः $W(b) - W(a) \geq 0$। पूरी शृंखला में बराबरी: विवृत अंतराल पर $uv > 0$ के साथ $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ वहाँ $q_1 = q_2$ अनिवार्य कर देता है; और $W(a) =
W(b) = 0$ $v(a) = v(b) = 0$ अनिवार्य कर देता है; तब $\intcc ab$ पर $W \equiv 0$ (उसका अवकलज लुप्त होता है), अर्थात् $\intoo ab$ पर $(v/u)' = -W/u^2 = 0$: $v \propto u$।

(ग) $q_1 = m$ और $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ लीजिए, जिसके क्रमागत शून्य $\pi/\sqrt m$ दूर हैं, और $q_2 = q \geq
m$: तब (ख) से $v'' + qv = 0$ का प्रत्येक हल $v$ लंबाई $\pi/\sqrt m$ के प्रत्येक विवृत अंतराल में लुप्त होता है (अपह्रासी विकल्प $q \equiv m$ में $v \propto u$ भी लुप्त होता है)। और यदि $q \leq 0$ हो: तो $q_1 = q$, $u =
v$ के साथ (ख) लगाइए, तथा $v'' = 0$ के शून्य-रहित हल $\mathbf 1$ के साथ $q_2 = 0$। यदि $v$ के दो क्रमागत शून्य होते, तो (ख) या तो उनके बीच $\mathbf 1$ का कोई शून्य अनिवार्य कर देती या अपह्रासी स्थिति $\mathbf 1 \propto v$ — दोनों असंगत: अतः $v$ अधिक से अधिक एक बार लुप्त होता है। परीक्षण: $q = 1$ के लिए $\sin t$ प्रत्येक $\pi
= \pi/\sqrt1$ पर लुप्त होता है, जैसा भविष्यवाणी की गई; और $q = -1$ के लिए $\sinh t$ ठीक एक बार लुप्त होता है तथा $\eu^t$ कभी नहीं — अधिक से अधिक एक शून्य, जैसा भविष्यवाणी की गई।

## 19.6 समस्या: लोलक, पूर्णतः हल

**समस्या 19.1.**

सप्ताहांत समस्या — दोलन, घूर्णन, विभाजक, और आवर्तकाल

लोलक समीकरण $x'' = -\sin x$ — निकाय के रूप में: $\R^2$ पर $x' =
y$, $y' = -\sin x$ — गतिकी की ड्रोसोफिला है: लिखने में सरल, प्रारंभिक सूत्रों से हल करने में असंभव, फिर भी गुणात्मक विधि से पूर्णतः बोधगम्य। मान लीजिए $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (*ऊर्जा*)।

**भाग I — वैश्विक संरचना।**

1. दर्शाइए कि सभी [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) वैश्विक ( $\R$ -परिभाषित) हैं: $\dot E = 0$ और [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal) का उपयोग कीजिए। साम्यावस्थाएँ: $(k\pi, 0)$ ; उनके रैखिकीकरणों का वर्गीकरण कीजिए (सम $k$ के लिए केंद्र-प्रकार, विषम $k$ के लिए काठी)।
2. दर्शाइए कि प्रक्षेपपथ स्तर समुच्चयों $\{E = E_0\}$ में अंतर्विष्ट हैं, और उन्हें $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ के मान के अनुसार खींचिए/वर्णित कीजिए: $E_0 = -1$ (साम्यावस्थाएँ), $-1 < E_0 < 1$ ( $(2k\pi, 0)$ के चारों ओर संवृत वक्र), $E_0 = 1$ ( $(\pm\pi, 0)$ से होकर जाता विभाजक), $E_0 > 1$ ( $x$ पर आलेख: घूर्णन)।
3. सिद्ध कीजिए कि निचली साम्यावस्था $(0,0)$ [स्थायी](#def-b3-ode-stability) है पर स्पर्शोन्मुख रूप से [स्थायी](#def-b3-ode-stability) *नहीं* । *($V = E + 1$ के साथ ल्यापुनोव; अस्पर्शोन्मुखता: ऊर्जा संरक्षण कक्षाओं को मूल बिंदु से दूर स्तर वक्रों पर फँसा देता है।)*

**भाग II — दोलन और उनका आवर्तकाल।** $-1 < E_0 < 1$ स्थिर कीजिए और $a \in
\intoo0\pi$ (आयाम) के साथ $E_0 = -\cos a$ लिखिए।

4. दर्शाइए कि $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ वाला हल दोलन करता है: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , और [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) संवृत वक्र $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ है। यह उचित ठहराइए कि हल आवर्ती है: [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) साम्यावस्थाओं से रहित एक [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) वक्र है जिसे नीचे से परिबद्ध चाल पर पार किया जाता है — इसे एक तर्क बनाइए (हल परिमित समय में अपने आरंभिक बिंदु पर लौट आता है, और फिर अद्वितीयता आवर्तिता अनिवार्य कर देती है)।
5. आवर्तकाल सूत्र $$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x -  \cos a)}}$$ स्थापित कीजिए *(किसी चौथाई [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) पर $y = \frac{\dd x}{\dd t} >  0$ और चर पृथक कीजिए; $x = a$ पर अनुचित अभिसरण उचित ठहराइए)*।
6. (छोटे दोलन) $\sin\frac x2 =  \sin\frac a2\,\sin\varphi$ प्रतिस्थापित कीजिए और $$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 -  k^2\sin^2\varphi}},  \qquad k = \sin\frac a2$$ दर्शाइए (एक [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) दीर्घवृत्तीय समाकल)। प्रभावी अभिसरण से निष्कर्ष निकालिए कि $a \to 0^+$ पर $T(a) \to 2\pi$: अर्थात् संनादी सीमा, जो आयाम से स्वतंत्र है — गैलीलियो की सन्निकट समकालिकता, और उसका यथार्थ संशोधन $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 +  O(k^4)\bigr)$ (समाकल्य का प्रसार कीजिए और प्रसामान्य अभिसरण से उचित ठहराते हुए पदशः समाकलन कीजिए)।
7. दर्शाइए कि $a \to \pi^-$ पर $T(a) \to +\infty$ *($k \to 1$ होने पर $\varphi =  \frac\pi2$ के निकट समाकल्य को नीचे से परिबद्ध कीजिए, अथवा एकदिष्ट अभिसरण लगाइए)* : अर्थात् विभाजक के पास पहुँचते हुए लोलक बिना किसी सीमा के धीमा होता जाता है।

**भाग III — विभाजक।**

8. $E_0 = 1$ के लिए ऊपरी शाखा पर $y = 2\cos\frac x2$: चर पृथक कीजिए और समाकलन करके स्पष्ट हल $$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$$ ढूँढ़िए ($x(0) = 0$, $y(0) = 2$ के साथ)। सीधे सत्यापित कीजिए कि वह लोलक समीकरण हल करता है, और $t \to  \pm\infty$ पर उसकी तथा $y(t)$ की सीमाएँ परिकलित कीजिए।
9. निष्कर्ष निकालिए: विभाजक [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) काठी $(-\pi, 0)$ ( $t \to -\infty$ पर) को काठी $(\pi, 0)$ ( $t \to +\infty$ पर) से जोड़ती है, पर किसी तक भी परिमित समय में नहीं पहुँचती — जो अद्वितीयता के अनुरूप है (किसी काठी तक परिमित समय में पहुँचना [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) का खंडन क्यों करता?)।

**भाग IV — घूर्णन, और पूरा चित्र।**

10. $E_0 > 1$ के लिए: दर्शाइए कि $y$ कभी लुप्त नहीं होता, $x$ कड़ाई से एकदिष्ट और वैश्विक है, $x(t) \to  \pm\infty$, और $t \mapsto y(t)$ आवर्तकाल $$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}  \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$$ के साथ आवर्ती है।
11. पूरा प्रावस्था चित्र (अध्याय का चित्र) संकलित कीजिए और उसकी प्रत्येक विशेषता को पूरी तरह उचित ठहराइए, तथा विधि का दस-पंक्ति सार लिखिए: ऊर्जा, स्तर समुच्चय, संहतता, अद्वितीयता — अध्याय की प्रत्येक प्रमेय कहाँ आई? हमें कहीं भी सामान्य हल के किसी सूत्र की आवश्यकता पड़ी?

**भाग V — सूक्ष्मदर्शी के नीचे आवर्तकाल फलन।**

12. वालिस आघूर्ण $$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi  = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$ आगमन से (खंडशः समाकलन) सिद्ध कीजिए, प्रश्न 6 के समाकल्य का द्विपद श्रेणी में प्रसार कीजिए, और पदशः समाकलन उचित ठहराकर पूरी श्रेणी $$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0}  \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n}  = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64}  + O(k^6)\Bigr),  \qquad k = \sin\frac a2 .$$ प्राप्त कीजिए।
13. आयाम में बदलिए: $$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} +  \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$$ *($\sin\frac a2$ का प्रसार प्रतिस्थापित कीजिए और पद इकट्ठे कीजिए)*। समकालिकता कोटि $a^2$ पर विफल हो जाती है, और वह विफलता अब कोटि $a^4$ तक मात्रात्मक हो गई है।
14. दर्शाइए कि $a \mapsto T(a)$ $\intoo0\pi$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और कड़ाई से बढ़ता हुआ है, और प्रश्न 6–7 के साथ निष्कर्ष निकालिए कि $T$ $\intoo0\pi$ से $\intoo{2\pi}{+\infty}$ पर एक एकैकी आच्छादक संगति है: अर्थात् प्रत्येक अधिक्रांतिक आवर्तकाल ठीक एक ही आयाम से साकार होता है।
15. (घड़ीसाज़ का अंकगणित) लुप्त होते आयाम पर नियमित किया गया लोलक [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) समय रखता है; दर्शाइए कि आयाम $a$ पर चलाने से वह [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) समय के अंश $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ जितना पिछड़ जाता है, और $a = 0.2$ रेडियन के लिए बहाव परिकलित कीजिए: लगभग $216$ सेकंड प्रति दिन। (हाइगेंस के चक्रज गाल और निर्गम तंत्रों के छोटे अचर आयाम, दोनों इसी संख्या के उत्तर हैं।)
16. प्रश्न 10 के घूर्णन आवर्तकाल $\tau$ पर लौटिए: दर्शाइए कि $\tau$ $\intoo1{+\infty}$ पर कड़ाई से घटता हुआ है, कि $E_0 \to 1^+$ पर $\tau(E_0) \to +\infty$ (एकदिष्ट अभिसरण), और यह कि $E_0 \to  +\infty$ पर $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ (प्रभावी अभिसरण): अर्थात् तेज चक्करदार घूर्णन स्पर्शोन्मुख रूप से कोणीय चाल $\sqrt{2E_0}$ का मुक्त घूर्णन है।

**भाग VI — विधि का निर्यात: लोत्का–वोल्तेरा।** लोलक का नुस्खा — प्रथम समाकल, [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) स्तर वक्र, अद्वितीयता — किसी पारितंत्र को भी हल कर देता है। $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ स्थिर कीजिए और विवृत चतुर्थांश $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ पर

$$
x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad
y' = y\,(\delta x - \gamma)
$$

पर विचार कीजिए ($x$ शिकार, $y$ परभक्षी)।

17. दर्शाइए कि $Q$ अपरिवर्ती है — अक्ष स्पष्ट परिकलनीय कक्षाओं के सम्मिलन हैं जिन्हें कोई हल पार नहीं कर सकता ( [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ) — और यह कि $Q$ में एकमात्र साम्यावस्था $(x_*, y_*) =  \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ है।
18. दर्शाइए कि $$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y -  \alpha\ln y$$ एक प्रथम समाकल है, कि $H = f(x) + g(y)$, जहाँ $f, g$ $\intoo0{+\infty}$ पर कड़ाई से उत्तल और उचित है और उसके न्यूनतम $x_*$, $y_*$ पर हैं, और निष्कर्ष निकालिए कि $Q$ में सभी [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) वैश्विक हैं।
19. दर्शाइए कि $h > h_* = H(x_*, y_*)$ के लिए स्तर समुच्चय $\{H = h\}\cap Q$ साम्यावस्था के चारों ओर एक संवृत वक्र है: किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अंतराल $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ पर दो [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) शाखाएँ $y_\pm(x)$ , जो सिरों पर जुड़ी हों — अर्थात् लोलक के अंडाकारों का समरूप।
20. सिद्ध कीजिए कि $Q$ में प्रत्येक असाम्य [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) आवर्ती है: रेखाओं $x = x_*$ और $y = y_*$ से कटे चारों क्षेत्रों में वामावर्त परिभ्रमण स्थापित कीजिए, प्रत्येक चाप के पार करने के समय को अभिसारी वर्गमूल एकलता वाले किसी समाकल से परिबद्ध कीजिए (प्रश्न 5 की तरह), और अद्वितीयता से समाप्त कीजिए (प्रश्न 4 की तरह)।
21. (वोल्तेरा का औसतों का नियम) यदि $T$ ऐसी किसी [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) का आवर्तकाल हो, तो दर्शाइए कि $$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta,  \qquad  \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$$ अर्थात् समय-औसत साम्यावस्था मानों के बराबर होते हैं, चाहे आयाम कुछ भी हो *(एक आवर्त पर $(\ln x)' =  \alpha - \beta y$ का समाकलन कीजिए)*।
22. (मछली पकड़ने का विरोधाभास) दोनों प्रजातियों की दर $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ से कटाई कीजिए: निकाय अपना रूप बनाए रखता है, जिसमें $\alpha$ और $\gamma$ के स्थान पर $\alpha - \varepsilon$ और $\gamma +  \varepsilon$ आ जाते हैं। औसत जनसंख्याओं का क्या होता है? दांकोना के प्रेक्षण (1914–1918) की व्याख्या कीजिए: युद्ध के दौरान जब एड्रियाटिक में मछली पकड़ना घटा, तब पकड़ में परभक्षियों (शार्क) का अनुपात *बढ़ गया* — और यह भी कि मध्यम मछली पकड़ना शिकार को क्यों लाभ पहुँचाता है।
23. दस-पंक्ति सार लिखिए: प्रत्येक चरण को अध्याय की कौन-सी प्रमेय चलाती है, लोलक की ऊर्जा का स्थान क्या लेता है, और दोनों में से किसी निकाय को किसी प्रारंभिक संवृत-रूप हल की आवश्यकता क्यों नहीं पड़ी — और वह स्वीकार्य भी क्यों नहीं।
24. (चाल का मॉडुलन) घूर्णन व्यवस्था $E_0 > 1$ में दर्शाइए कि $y = x'$ $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ ( $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ पर) और $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ ( $x \equiv 0$ पर) के बीच दोलन करता है, कि एक आवर्त पर $y$ का समय-औसत ठीक $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ है, और यह कि $E_0  \to \infty$ पर मॉडुलन अनुपात $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ : अर्थात् तेज घूर्णन स्पर्शोन्मुख रूप से एकसमान होता है।
25. (घूर्णन आवर्तकाल की एकदिष्टता) दर्शाइए कि $\tau(E_0)$ $\mathcal C^1$ है और $\intoo1{+\infty}$ पर कड़ाई से घटता हुआ *(समाकल चिह्न के भीतर अवकलन कीजिए, प्रत्येक $\intco{1 + \delta}\infty$ पर प्रभुत्व के साथ)* , जिसमें $E_0 \to 1^+$ पर $\tau \to \infty$ और $E_0 \to \infty$ पर $\tau  \to 0$ । ऊर्जा अक्ष के अनुदिश लोलक का पूरा द्विशाखन चित्र संकलित कीजिए: $E_0 = -1$ पर साम्यावस्थाएँ, $-1 < E_0 < 1$ पर $2\pi$ से $\infty$ तक बढ़ते आवर्तकाल वाले दोलन, $E_0 = 1$ पर विभाजक, और उसके आगे $\infty$ से $0$ तक घटते आवर्तकाल वाले घूर्णन।

**हल — समस्या 19.1.**

**1.** $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x +
y\sin x = 0$: ऊर्जा कोई प्रथम समाकल है। किसी [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) पर $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$: अतः $y$ परिबद्ध है; और तब $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} +
t\sup\abs y$ अधिक से अधिक रैखिक रूप से बढ़ता है: अतः किसी भी परिमित समय अंतराल पर प्रक्षेप-पथ $\R^2$ के किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) में रहता है, इसलिए [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) $T_\pm = \pm\infty$ अनिवार्य कर देती है। साम्यावस्थाएँ $(k\pi, 0)$; रैखिकीकरण $-\cos(k\pi) = \mp1$ के साथ $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\
\mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$: सम $k$ के लिए अभिलक्षणिक मान $\pm\iu$ ([केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) प्रकार, अपने आप में अनिर्णायक) और विषम $k$ के लिए $\pm1$ (काठी)।

**2.** हलों के अनुदिश अचर $E$ प्रत्येक प्रक्षेप-पथ को किसी स्तर समुच्चय $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ तक सीमित कर देता है। $E_0 = -1$ के लिए: केवल बिंदु $(2k\pi, 0)$। $-1 < E_0 <
1$ के लिए: $E_0 = -\cos a$ लिखने पर वह समुच्चय $x \in
[2k\pi - a, 2k\pi + a]$ पर संवृत वक्रों $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ का असंयुक्त संघ है, प्रत्येक [स्थायी](#def-b3-ode-stability) साम्यावस्था के चारों ओर एक। $E_0 = 1$ के लिए: क्रमागत काठियों को जोड़ते वक्र $y = \pm2\cos\frac x2$ — अर्थात् विभाजक — स्वयं काठियों के साथ। $E_0 > 1$ के लिए: दो आलेख $y =
\pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$, जो सभी $x$ के लिए परिभाषित हैं और $y = 0$ को कभी नहीं छूते।

**3.** $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ $(0,0)$ पर लुप्त होता है, किसी छिद्रित [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर धनात्मक है ($\abs x < 2\pi$), और $\dot V = 0 \leq 0$: अतः [प्रमेय 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov) स्थायित्व दे देती है। अनंतस्पर्शी नहीं: $(a, 0)$ ($0 < a$ छोटा) से होकर जाता हल स्तर वक्र $E = -\cos a$ पर बना रहता है, जिसकी मूल बिंदु से दूरी धनात्मक है (वक्र $x$-अक्ष से केवल $\pm a$ पर मिलता है): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$।

**4.** स्तर वक्र $C_a$ पर: कोई साम्यावस्था नहीं ($y = 0$ $0 < a <
\pi$ के लिए $\sin(\pm a) \neq 0$ के साथ $x = \pm a$ अनिवार्य कर देता है), अतः चाल $\norm{(y, -\sin x)}$ का [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $C_a$ पर कोई धनात्मक निम्निष्ठ $m$ है। $(a, 0)$ से हल का अनुसरण कीजिए: निचले अर्ध समतल में $x' = y < 0$, अतः $x$ परिमित समय में $a$ से $-a$ तक घटता है (चौथाई/आधे आवर्त के समाकल अभिसरित होते हैं: प्रश्न 5 का विश्लेषण), और $(-a, 0)$ तक पहुँच जाता है; और समीकरण की सममिति $(x, y) \mapsto (x, -y)$, $t
\mapsto -t$ से ऊपरी आधा उसी समय $\frac T2$ में वापस पार होता है: अतः हल समय $T$ पर $(a, 0)$ पर लौट आता है। तब अद्वितीयता ([उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) प्रसारित हो जाती है: सभी $t$ के लिए $x(t + T) =
x(t)$: अर्थात् आवर्ती।

**5.** उस शाखा पर जहाँ $y > 0$: $y = \sqrt{2(\cos x
- \cos a)}$ और $\dd t = \frac{\dd x}{y}$; $-a$ से $a$ तक $x$ के समाकलन से आधा आवर्त मिलता है, और सममिति $x
\mapsto -x$ समाकल को फिर आधा कर देती है:

$$
T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .
$$

$x = a^-$ पर अभिसरण: $\sin a > 0$ के साथ $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) +
O((a-x)^2)$: अतः समाकल्य $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ की भाँति व्यवहार करता है, जो [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) है।

**6.** $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$, $k =
\sin\frac a2$ के साथ: $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2)
= 2k^2\cos^2\varphi$ और $\frac12\cos\frac x2\,\dd x =
k\cos\varphi\,\dd\varphi$, अतः

$$
T(a) = 4\int_0^{\pi/2}
\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .
$$

$a \to 0^+$ पर $k \to 0$: $k \leq k_0 < 1$ के लिए समाकल्य पर $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ का प्रभुत्व है, जो $\intcc0{\pi/2}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय $T \to
4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ दे देती है। $u =
k^2\sin^2\varphi$ ($k < 1$ के लिए प्रसामान्य अभिसरण) और $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ के साथ $(1 - u)^{-1/2} = 1 +
\frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ का प्रसार करने पर:

$$
T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :
$$

समकालिकता केवल प्रथम कोटि तक लागू है; आवर्त आयाम के साथ बढ़ता है।

**7.** $k \uparrow 1$ पर समाकल्य बढ़कर $(1
- \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ तक जाते हैं, जिसका समाकल अपसारित होता है: अतः एकदिष्ट अभिसरण से $a \to \pi^-$ पर $T(a) \to
+\infty$।

**8.** शाखा $y = 2\cos\frac x2$ ($\abs x <
\pi$) पर: $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$; और $u = \frac
x2$, $\int\frac{\dd u}{\cos u} =
\ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ के साथ $t =
\ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$, अर्थात्

$$
x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi,
\qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} =
\frac{2}{\cosh t} .
$$

ऊर्जा से सत्यापन: $\theta = \arctan\eu^t$ के साथ $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$, अतः $\cos x = -\cos4\theta =
-1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ और $E = \frac{y^2}2 - \cos x =
\frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$: अर्थात् प्रक्षेप-पथ विभाजक पर है, और जहाँ $y > 0$ हो वहाँ $y^2 = 2(1 +
\cos x)$ का अवकलन $y' = -\sin x$ पुनरुत्पन्न कर देता है। सीमाएँ: $t \to \pm\infty$ पर $x
\to \pm\pi$ और $y \to 0$।

**9.** [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) अग्र दिशा में काठी $(\pi, 0)$ की ओर और पश्च दिशा में $(-\pi, 0)$ की ओर जाती है पर कभी पहुँचती नहीं: यदि वह किसी परिमित समय $t^*$ पर $(\pi, 0)$ तक पहुँच जाती, तो दो भिन्न [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) — विभाजक हल और काठी पर अचर हल — एक ही बिंदु $(t^*, (\pi, 0))$ से होकर जाते, जो [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) का खंडन करता है। काठियों तक केवल अनंतस्पर्शी रूप से ही पहुँचा जाता है।

**10.** $E_0 > 1$ के लिए: $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq
2(E_0 - 1) > 0$: $y$ अपना चिह्न बनाए रखता है, और $\abs{x'} = \abs y
\geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$: अतः $x$ कड़ाई से एकदिष्ट, वैश्विक (प्रश्न 1) है, जिसमें $x(t) \to \pm\infty$। चूँकि $y(t) =
\pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ और $\cos$ $2\pi$-आवर्ती है, अतः जब-जब $x$ $2\pi$ भर आगे बढ़ता है तब-तब $y$ अपने मान पर लौट आता है; और इसके लिए आवश्यक समय

$$
\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd
x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} =
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}
$$

है (प्रतिस्थापन; आवर्तिता): अतः $y$ $\tau$-आवर्ती है — अर्थात् बड़ी ऊर्जाओं के लिए लोलक अनंतस्पर्शी रूप से अचर घूर्णन दर $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ के साथ चक्कर काटता है।

**11.** विधि, क्रम से: *ऊर्जा* ($\dot E =
0$) द्वि-विमीय प्रवाह को एक-विमीय स्तर वक्रों तक ढहा देती है; प्रत्येक स्तर पर $y$ की *परिबद्धता* और संहतों-से-पलायन वैश्विक अस्तित्व दे देते हैं; संवृत स्तरों की *संहतता* चाल परिबंध और इसलिए आवर्तिता देती है; *अद्वितीयता* प्रथम-प्रत्यागमन को यथार्थ आवर्तिता में बदल देती है, काठियों पर परिमित-समय आगमन मना करती है, और [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) प्रकारों को पृथक करती है; *रैखिकीकरण और ल्यापुनोव* साम्यावस्थाओं का वर्गीकरण करते हैं; और *आवर्त समाकल* का विश्लेषण [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) की अभिसरण प्रमेयों से होता है। किसी भी बिंदु पर हमारे पास कोई संवृत-रूप व्यापक हल न था — और न उसकी आवश्यकता थी: गुणात्मक सिद्धांत ने गति की प्रत्येक विशेषता स्वयं समीकरण से निकाल ली।

**12.** खंडशः: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi
\cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2}
\sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1}
- W_n)$, अतः $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$; और $W_0 =
\frac\pi2$ तथा $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} =
\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ ($(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ विभाजित कीजिए) के साथ आगमन दिखाया गया मान दे देता है। द्विपद श्रेणी: $c_n =
\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ के साथ $(1 -
u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$, त्रिज्या $1$। $k
\leq k_0 < 1$ और $u = k^2\sin^2\varphi$ के लिए श्रेणी $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ $\varphi$ में प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है ($c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$), अतः प्रश्न 6 के सूत्र में पदशः समाकलन वैध है:

$$
T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n
= 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n}
= 2\pi\sum_{n\geq0}
\Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .
$$

$c_0 = 1$, $c_1 = \frac12$, $c_2 = \frac38$ के साथ: $T(a) =
2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$, जिसका शेषफल $k \leq k_0$ के लिए एकसमान है (पुच्छ पर किसी ज्यामितीय श्रेणी का प्रभुत्व)।

**13.** $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} +
O(a^5)$, अतः

$$
k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6),
\qquad
k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,
$$

और

$$
\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 -
\frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} +
O(a^6)
= 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,
$$

क्योंकि $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072}
= \frac{11}{3072}$।

**14.** प्रश्न 6 के दीर्घवृत्तीय रूप में $a \mapsto
k = \sin\frac a2$ $\intoo0\pi$ से $\intoo01$ पर कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) कड़ाई से वर्धमान एकैकी आच्छादन है, और प्रत्येक $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ के लिए समाकल्य $(1 -
k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ $k$ में कड़ाई से वर्धमान है: अतः $T$ कड़ाई से वर्धमान है। [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $k \leq k_0 < 1$ पर समाकल्य पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $(1 -
k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ का प्रभुत्व है, अतः $k' \to k$ के अनुदिश प्रभावी अभिसरण लागू होता है। $a
\to 0^+$ पर $T \to 2\pi$ (प्रश्न 6) और $a \to \pi^-$ पर $T \to +\infty$ (प्रश्न 7) सीमाओं के साथ, कड़ी एकदिष्टता और मध्यवर्ती मान प्रमेय $T$ को $\intoo0\pi$ से $\intoo{2\pi}{+\infty}$ पर एकैकी आच्छादन बना देती हैं।

**15.** कोई घड़ी दोलन गिनती है; लुप्त होते आयाम पर नियमित की गई घड़ी प्रति दोलन प्रसंवादी आवर्त $2\pi$ दर्ज करती है (लोलक के समय मात्रक में)। आयाम $a$ पर चलने पर वास्तविक आवर्त $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} +
O(a^4)\bigr)$ है: घड़ी $2\pi$ दर्ज करती है जबकि सचमुच $T(a)$ बीत जाता है, अतः वह

$$
\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .
$$

अंश भर पिछड़ जाती है। $a = 0.2$ रेडियन (लगभग $11.5$ अंश) के लिए: $\frac{a^2}{16} =
\frac{0.04}{16} = \frac1{400}$, और एक दिन में $86400$ सेकंड होते हैं: अतः घड़ी प्रति दिन $86400/400 = 216$ सेकंड — लगभग साढ़े तीन मिनट — खो देती है। और यहीं से दोनों ऐतिहासिक उपचार आते हैं: कोई नन्हा अचर आयाम लागू कीजिए (निर्गमक), अथवा प्रतिबंध को ऐसा मोड़ दीजिए कि आवर्त ठीक-ठीक आयाम-मुक्त हो जाए (हाइगेंस के चक्रज गाल, 1657)।

**16.** $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd
x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ में समाकल्य प्रत्येक स्थिर $x$ के लिए $E_0$ में कड़ाई से ह्रासमान है: अतः $\tau$ कड़ाई से ह्रासमान है। $E_0 \downarrow 1$ पर समाकल्य बिंदुशः बढ़कर $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} =
\frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ तक जाते हैं, जिसका $\intoo{-\pi}\pi$ पर समाकल अपसारित होता है ($\cos\frac x2$ $\pm\pi$ पर प्रथम कोटि में लुप्त होता है): अतः एकदिष्ट अभिसरण $\tau(E_0)
\to +\infty$ दे देता है। $E_0 \to +\infty$ पर:

$$
\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi
$$

प्रभावी अभिसरण से ($E_0 \geq 2$ के लिए समाकल्य अधिक से अधिक $\sqrt2$ है)। अतः $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$: अर्थात् एक चक्कर में उतना ही समय लगता है जितना चाल $\sqrt{2E_0}$ पर मुक्त घूर्णन में, और विभव केवल एक लहर भर रह जाता है — जो प्रश्न 10 की घूर्णन दर से मेल खाता है।

**17.** अक्ष स्पष्ट हल $t
\mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ और $t \mapsto (0,
y_0\eu^{-\gamma t})$ ढोते हैं, साथ में साम्यावस्था $(0, 0)$: अतः वे कक्षाओं के संघ हैं। क्षेत्र $\mathcal
C^1$ है, इसलिए स्थानीय रूप से लिपशित्ज़; और $Q$ में आरंभ होकर किसी अक्ष को छूने वाला कोई हल उन कक्षाओं में से किसी के बिंदु से होकर जाता और [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) से उसी के साथ मेल खा जाता — असंभव, क्योंकि एक अक्ष पर रहता है और दूसरा नहीं। अतः $Q$ दोनों समय दिशाओं में निश्चर है। $Q$ में साम्यावस्थाएँ: $x > 0$ $\alpha - \beta y = 0$ अनिवार्य करता है और $y > 0$ $\delta x - \gamma = 0$: अर्थात् एकमात्र बिंदु $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta,
\frac\alpha\beta\bigr)$।

**18.** किसी हल के अनुदिश

$$
\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' +
\Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y'
= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) +
(\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .
$$

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ का $f'' = \gamma/x^2 > 0$ है, $f'$ केवल $x_*$ पर लुप्त होता है, और $0^+$ पर तथा $+\infty$ पर दोनों जगह $f \to +\infty$: अतः कड़ाई से उत्तल और यथोचित, जिसका निम्निष्ठ $f(x_*)$ है; और इसी प्रकार $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$, निम्निष्ठ $g(y_*)$। अतः $H \geq h_*$, जिसमें बराबरी केवल $(x_*,
y_*)$ पर, और प्रत्येक अध:स्तर $\{H \leq h\}\cap Q$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: यथोचितता से $f(x) \leq h - g(y_*)$ $x$ को $\intoo0{+\infty}$ के किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अंतराल तक सीमित कर देता है, इसी प्रकार $y$, और वह समुच्चय $\R^2$ में संवृत है क्योंकि $Q$ की परिसीमा पर $H \to +\infty$। कोई [महत्तम हल](#thm-b3-ode-maximal) अपने [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) स्तर समुच्चय पर बना रहता है, अतः वह परिमित समय में प्रत्येक [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) को नहीं छोड़ सकता: इसलिए [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal) उसे वैश्विक बना देती है।

**19.** $h > h_*$ स्थिर कीजिए और $c = h - g(y_*) >
f(x_*)$ रखिए। चूँकि $f$ $\intoc0{x_*}$ पर $+\infty$ से $f(x_*)$ तक कड़ाई से घटता है और $\intco{x_*}{+\infty}$ पर कड़ाई से बढ़कर $+\infty$ तक लौटता है, अतः समीकरण $f(x) = c$ के ठीक दो मूल $x_- < x_* < x_+$ हैं, और $\{f \leq c\} =
\intcc{x_-}{x_+}$। $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ के लिए: $g(y) = h -
f(x) > g(y_*)$ के ठीक दो मूल $y_-(x) < y_* <
y_+(x)$ हैं, जो $x$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हैं ($y_*$ के दोनों ओर $g$ के कड़ाई से एकदिष्ट [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिबंधों के प्रतिलोम), जिनमें $x \to x_\pm$ पर $y_\pm(x) \to y_*$; और $x =
x_\pm$ पर अद्वितीय हल $y = y_*$ है। अतः $\{H = h\}\cap
Q$ $\intcc{x_-}{x_+}$ पर $y_+$ और $y_-$ के आलेखों का संघ है, जो $(x_\pm, y_*)$ पर चिपके हुए हैं: अर्थात् $(x_*, y_*)$ के चारों ओर कोई संवृत वक्र — लोलक के अंडाकारों का सादृश्य।

**20.** $h > h_*$ के साथ $C_h = \{H = h\}\cap Q$ लीजिए: $Q$ की एकमात्र साम्यावस्था $C_h$ से बाहर है, अतः क्षेत्र उस पर कभी लुप्त नहीं होता। चिह्न: $x' = \beta x(y_* - y)$, $y' =
\delta y(x - x_*)$: अतः गति रेखा $y
= y_*$ के नीचे दाईं ओर चलती है, $x = x_*$ के दाईं ओर ऊपर, ऊपर बाईं ओर, और बाईं ओर नीचे — अर्थात् वामावर्त परिसंचरण। विवृत निचली शाखा के किसी बिंदु $(x_0, y_-(x_0))$ से हल का अनुसरण कीजिए, जहाँ $x' > 0$: दाएँ कोने $B = (x_+, y_*)$ तक पहुँचने का समय

$$
\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* -
y_-(x)\bigr)} .
$$

है। $x_+$ के निकट $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ चुनिए; $x \in
\intcc{x'}{x_+}$ के लिए $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ($f'$ $x_*$ के आगे वर्धमान और धनात्मक है), जबकि स्तर संबंध और टेलर असमिका $C_h$ के [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $y$-परास पर $g(y_-(x)) -
g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* -
y_-(x))^2$ दे देते हैं: अतः $c > 0$ के साथ $y_* -
y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$, और समाकल्य $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ है: [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) — अर्थात् प्रश्न 5 का अभिसरण, स्थानांतरित। शाखा पर अन्यत्र समाकल्य [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। अतः $B$ तक परिमित समय में पहुँचा जाता है; वहाँ $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$, [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) क्षेत्र $x > x_*$, $y > y_*$ में प्रवेश करती है, सममित आकलन से ($f$ और $g$ की भूमिकाएँ बदलकर) ऊपरी कोने $(x_*, y_+)$ तक चढ़ती है, और इसी प्रकार चारों चापों के चारों ओर: अतः परिमित समय $T > 0$ के बाद हल अपने आरंभ बिंदु पर लौट आता है। [उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) से वह $T$-आवर्ती है — प्रश्न 4 का तर्क, अक्षरशः।

**21.** $Q$ में किसी $T$-आवर्ती [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) पर $t \mapsto \ln
x(t)$ $\mathcal C^1$ और $T$-आवर्ती है, अतः

$$
0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t
= \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t
= \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,
$$

जिससे $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$; और इसी प्रकार $0 =
\int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ देता है। समय औसत आयाम की परवाह किए बिना प्रत्येक [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) के लिए साम्यावस्था मान हैं — कोई संरक्षण नियम जिसे किसी ने हाथ से नहीं डाला।

**22.** कटाई के साथ निकाय फिर से लोत्का–वोल्तेरा रूप का है, जिसके प्राचल $\alpha -
\varepsilon$, $\beta$, $\gamma + \varepsilon$, $\delta$ हैं (आंतरिक साम्यावस्था बनी रहती है क्योंकि $\varepsilon <
\alpha$)। नए निकाय पर लगाया गया प्रश्न 21:

$$
\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta}
\ \ (\text{शिकार औसत बढ़ता है}),
\qquad
\bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta}
\ \ (\text{परभक्षी औसत गिरता है}) :
$$

अर्थात् अंधाधुंध कटाई संतुलन को शिकार के पक्ष में हटा देती है। दांकोना के आँकड़े इसे उल्टा पढ़ते हैं: युद्ध ने मछली पकड़ना घटा दिया, $\varepsilon$ गिरा, अतः परभक्षी औसत $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ बढ़ा और शिकार औसत गिरा — अर्थात् पकड़ में शार्क का बड़ा अंश, ठीक वही जो एड्रियाटिक मछली बाज़ारों ने दर्ज किया। यही वोल्तेरा का सिद्धांत है, और कीटनाशक विरोधाभासों के पीछे भी वही क्रियाविधि: दोनों पोषण स्तरों की कटाई उस स्तर को लाभ पहुँचाती है जिसे खाया जा रहा है।

**23.** विधि, दोनों बार: (क) कोई प्रथम समाकल — लोलक के लिए $E$, और यहाँ $H$, जो $\dd y/\dd x$ को पृथक करके मिलता है — समतल को वक्रों पर ढहा देता है; (ख) स्तर समुच्चयों की यथोचितता और संहतता [प्रमेय 19.5](#thm-b3-ode-maximal) के माध्यम से वैश्विक अस्तित्व देती हैं; (ग) स्तरों की ज्यामिति — वहाँ $\cos$ के आकार से और यहाँ $f$ तथा $g$ की कड़ी उत्तलता से बने अंडाकार — समाकल से पढ़ी जाती है, प्रवाह से नहीं; (घ) किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अंडाकार पर अलुप्त क्षेत्र और साथ में [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) कोने एकलताएँ परिमित प्रत्यागमन समय अनिवार्य कर देती हैं; (ङ) अद्वितीयता ([उपप्रमेय 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) प्रत्यागमन को आवर्तिता में बदल देती है और साम्यावस्थाओं पर परिमित-समय आगमन मना कर देती है; (च) और लाभांश — आवर्त प्रसार, औसतों के नियम — परिणामी समाकलों पर लगाई गई अभिसरण प्रमेयों से आते हैं। न $x'' = -\sin x$ कोई प्रारंभिक संवृत-रूप हल स्वीकार करता है न लोत्का–वोल्तेरा (एक में दीर्घवृत्तीय समाकल, दूसरे में अतिक्रांत स्तर वक्र), और किसी भी बिंदु पर उसकी आवश्यकता न पड़ी: स्वयं समीकरण ने, गुणात्मक रूप से पूछे जाने पर, समूची गति सौंप दी।

**24.** किसी ऊर्जा स्तर $E_0 > 1$ पर $y^2 = 2(E_0 +
\cos x) > 0$: अतः $\cos x = \pm1$ पर $y^2$ के चरम, जो कहे गए परिबंध देते हैं और $x \equiv 0, \pi$ पर प्राप्त होते हैं। एक आवर्त $\tau = \tau(E_0)$ पर समय औसत: $x$ ठीक $2\pi$ भर आगे बढ़ता है, अतः

$$
\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) -
x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .
$$

चरम चालों का अनुपात $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 -
1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ है: उच्च ऊर्जा पर विभव की $\pm1$ लहर $E_0$ के सामने नगण्य है, और लोलक लगभग एकसमान रूप से घूमता है — सिलवटी पट्टी चपटी हो जाती है।

**25.** $E_0 \geq 1 + \delta$ पर $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 +
\cos x)}}$ के समाकल्य पर $(2\delta)^{-1/2}$ का और उसके $E_0$-अवकलज

$$
\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}
= -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}
$$

पर $(2\delta)^{-3/2}$ का प्रभुत्व है, और दोनों [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\intcc{-\pi}\pi$ पर [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) हैं: अतः समाकल के भीतर अवकलन ([प्रमेय 10.15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) लागू होता है और $\tau'(E_0) < 0$ दे देता है (समाकल्य कड़ाई से ऋणात्मक है): अर्थात् कड़ाई से ह्रासमान, $\mathcal C^1$। सीमाएँ: $E_0 \to
\infty$ पर $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$; और $E_0 \to 1^+$ पर: $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) +
2\cos^2\frac x2$ लिखिए; $E_0$ के घटने पर समाकल्य बढ़ता है, अतः एकदिष्ट अभिसरण से

$$
\tau(E_0) \;\nearrow\;
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}}
= +\infty,
$$

जिसमें सीमा समाकल $x = \pm\pi$ पर अपसारित होता है (वहाँ $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$, कोई असमाकलनीय $\frac1{\abs\cdot}$): अतः विभाजक के पास आवर्त फट जाता है, जो दोलन की ओर से भाग II के $T(a) \to
\infty$ से मेल खाता है। ऊर्जा अक्ष यों पढ़ी जाती है: $E_0 = -1$ पर विश्राम; $\intoo{-1}1$ पर दोलन, $2\pi \nearrow
\infty$; $E_0 = 1$ पर अनंत रूप से धीमा विभाजक; और उसके परे घूर्णन, $\infty \searrow 0$। एक ही समाकल, और लोलक का समूचा जीवन।