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title: "ℝn के उपबहुविध"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn
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# अध्याय 20 — ℝn के उपबहुविध

गोलक, टोरस, घूर्णन समूह: ज्यामिति और यांत्रिकी के स्वाभाविक निवास सदिश समष्टियाँ नहीं, बल्कि *ऐसे वक्रित समुच्चय हैं जो पास से समतल दिखते हैं*। यह अध्याय उस वाक्यांश को ठीक-ठीक अर्थ देता है — $\R^n$ के उपबहुविध — और उन पर काम करने का कलन भी। नींव है प्रतिलोम फलन प्रमेय, जिसे यहाँ बानाख स्थिर बिंदु से सिद्ध किया गया है; और शेष सब कुछ निर्देशांकों का परिवर्तन ही है: उपबहुविध के चार तुल्य वर्णन (स्थानीय सीधाकरण, स्तर समुच्चय, आलेख, प्राचलन), स्पर्श समष्टियाँ, और लाग्राँज गुणकों से प्रतिबंधित इष्टतमीकरण — जो, विदाई प्रदर्शन के रूप में, सममित आव्यूहों के लिए स्पेक्ट्रमी प्रमेय को ज्यामिति की तीन पंक्तियों में पुनः सिद्ध कर देता है। सप्ताहांत समस्या घूर्णन समूह $SO(3)$ और उसका क्वाटर्नियनी द्विक आवरण बनाती है: बीजगणित ([अध्याय 1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ch-b3-groups) का $Q_8$, बड़ा होकर) ज्यामिति से मिलता हुआ।

## 20.1 प्रतिलोम फलन प्रमेय

**प्रमेय 20.1 (प्रतिलोम फलन प्रमेय).**

मान लीजिए $U \subseteq \R^n$ विवृत है, $f \colon U \to \R^n$ वर्ग $\mathcal C^1$ का है, और $a \in U$ ऐसा कि $Df(a)$ व्युत्क्रमणीय हो। तब ऐसे [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $V \ni a$, $W \ni f(a)$ हैं कि $f \colon V \to W$ $\mathcal C^1$ प्रतिलोम वाला एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, और

$$
D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1}
\qquad (y \in W).
$$

यदि $f$ $\mathcal C^k$ हो, तो $f^{-1}$ भी।

**उपपत्ति.** मानकीकरण: $f$ के स्थान पर $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a +
x) - f(a)\bigr)$ रखने पर हम $a = 0$, $f(0) = 0$, $Df(0) =
I$ मान सकते हैं (व्यापक कथन आफ़ीन एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों के साथ संयोजन से निकलता है)। $f(x) = x + g(x)$ लिखिए: $Dg(0) = 0$, और $Dg$ के [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से $r > 0$ ऐसा चुनिए कि $\bar B(0, r)$ पर $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ हो; तब माध्य मान असमिका वहाँ $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12
\norm{x - x'}$ दे देती है।

*किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर एकैकी आच्छादकता।* $y \in B(0,
\frac r2)$ के लिए $f(x) = y$ हल करने का अर्थ है $\Phi_y(x) = y - g(x)$ का कोई स्थिर बिंदु ढूँढ़ना; $\Phi_y$ $\bar B(0, r)$ को उसी में भेजता है ($\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq
r$) और $\frac12$-लिप्शिट्ज़ है: अतः बानाख ([प्रमेय 7.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) एक अद्वितीय हल $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ दे देता है। इसके अतिरिक्त $f$ $\bar B(0,r)$ पर एकैकी है:

$$
\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')}
\geq \tfrac12\norm{x - x'} .
\tag{$*$}
$$

$W = B(0, \frac r2)$ और $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ रखिए: ये विवृत हैं ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)), और $f \colon V \to W$ एकैकी आच्छादक।

*प्रतिलोम का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और अवकलनीयता।* $(*)$ कहता है कि $\varphi = f^{-1}$ $2$-लिप्शिट्ज़ है। $y_0 = f(x_0)
\in W$ स्थिर कीजिए; $A = Df(x_0)$ की व्युत्क्रमणीयता ($I$ से उसकी दूरी $\leq \frac12$ है: न्यूमन, [प्रतिज्ञप्ति 8.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#prop-b3-banach-neumann)) और $f$ की अवकलनीयता $y_0$ के निकट $y = f(x)$ के लिए

$$
\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0)
= -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr)
= -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),
$$

दे देती हैं, जहाँ $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ को बदलने के लिए $(*)$ का उपयोग हुआ: अतः $\varphi$ $y_0$ पर प्रतिलोम अवकलज के साथ अवकलनीय है। $y \mapsto D\varphi(y) =
Df(\varphi(y))^{-1}$ का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिचित्रणों का संयोजन (प्रतिलोमन [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, [प्रतिज्ञप्ति 8.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#prop-b3-banach-neumann)): अतः $\varphi \in \mathcal C^1$; और उसी सूत्र को बार-बार लगाने पर $\mathcal C^k$। ∎

**प्रमेय 20.2 (अंतर्निहित फलन प्रमेय).**

मान लीजिए $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ $(a, b)$ के निकट $\mathcal C^1$ है, $F(a,b) = 0$, और मान लीजिए आंशिक अवकलज $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ व्युत्क्रमणीय है। तब ऐसे [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $A \ni a$, $B \ni b$ और ऐसा $\mathcal C^1$ प्रतिचित्रण $\psi \colon A \to B$ हैं कि

$$
\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\}
= \{(x, \psi(x)) : x \in A\},
$$

और $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x,
\psi(x))$।

**उपपत्ति.** $\Theta(x, y) = (x,
F(x,y))$ पर [प्रमेय 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) लगाइए: $(a,b)$ पर उसका अवकलज, जो व्युत्क्रमणीय विकर्ण खंडों $I$ और $D_yF$ के साथ खंड-त्रिभुजाकार है, व्युत्क्रमणीय है। स्थानीय प्रतिलोम का रूप $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x,
z))$ होता है; $\psi(x) = h(x, 0)$ रखिए: तब स्थानीय रूप से $F(x, y) = 0$ तभी और केवल तभी जब $\Theta(x,y) = (x, 0)$, अर्थात् तभी और केवल तभी जब $y = \psi(x)$। सूत्र: शृंखला नियम से $F(x, \psi(x)) = 0$ का अवकलन कीजिए। ∎

## 20.2 उपबहुविध: चार परिभाषाएँ

**प्रमेय 20.3 (तुल्य अभिलक्षण).**

मान लीजिए $M \subseteq \R^n$, $d \in \{0, \dots, n\}$, और $k \geq
1$। प्रत्येक बिंदु $a \in M$ के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं (और $M$ *वर्ग $\mathcal C^k$ का $d$-विमीय उपबहुविध* कहलाता है यदि वे प्रत्येक $a
\in M$ पर लागू हों):

1. (*सीधाकरण*) किसी विवृत $\Omega \ni a$ से किसी विवृत $\Omega' \subseteq \R^n$ पर कोई $\mathcal C^k$ अवकल समरूपता $\Phi$ ऐसी है कि $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap  \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$
2. ( *स्तर समुच्चय* ) किसी विवृत $\Omega \ni a$ पर $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ वाला कोई $\mathcal C^k$ *अवगाहन* $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (अर्थात् $DF(x)$ आच्छादक) है।
3. ( *आलेख* ) निर्देशांकों के क्रमचय तक, $M$ स्थानीय रूप से किसी $\mathcal C^k$ प्रतिचित्रण $\psi  \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ का आलेख है।
4. ( *प्राचलन* ) कोई $\mathcal C^k$ *निमज्जन* $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^n$ ( $D\varphi(u)$ एकैकी) ऐसा है कि $A$ विवृत हो और किसी विवृत $\Omega \ni a$ के लिए $\varphi$ $A$ से $M \cap  \Omega$ पर [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हो।

**उपपत्ति.** (1)$\Rightarrow$(2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ ($\Phi$ के अंतिम निर्देशांक): यह अवगाहन है ($D\Phi$ व्युत्क्रमणीय)। (2)$\Rightarrow$(3): $DF(a)$ आच्छादक: अतः याकोबीय का कोई $q \times q$ उपसारणिक व्युत्क्रमणीय है ($q = n - d$); निर्देशांकों के क्रमचय के बाद $D_yF(a)$ व्युत्क्रमणीय है, और अंतर्निहित फलन प्रमेय ([प्रमेय 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) $M$ को स्थानीय रूप से आलेख $y = \psi(x)$ के रूप में व्यक्त कर देती है। (3)$\Rightarrow$(4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$: यह एक निमज्जन है (अवकलज $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\
D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ एकैकी), और आलेख पर [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) (प्रतिलोम: प्रक्षेप, जो [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है)। (4)$\Rightarrow$(1): मान लीजिए $\varphi(u_0) = a$; $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ को किसी पूरक $E$ ($\dim E = n - d$) से पूरा कीजिए और $A\times E$ पर $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ परिभाषित कीजिए: $D\Theta(u_0, 0)$ एकैकी आच्छादक है (प्रतिबिंब में $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ और $E$ हैं), अतः $\Theta$ एक स्थानीय अवकल समरूपता है ([प्रमेय 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)); और उसका प्रतिलोम $\Phi$ सीधा कर देता है: $a$ के निकट $M$ के बिंदु ठीक $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ हैं — और इसके लिए (4) की [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) परिकल्पना यह सुनिश्चित करती है कि छोटे $\Omega$ के लिए $M\cap\Omega$ में कोई अन्य पर्त न हो (छोटे $v \neq 0$ वाले $a$ के निकट के $\varphi(u') + v = m \in
M$ को अपवर्जित करना होगा: [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) गुण से $u_0$ के निकट किसी $u''$ के लिए $m = \varphi(u'')$, और $\Theta$ की स्थानीय एकैकीयता $v = 0$ अनिवार्य कर देती है)। तब सिकोड़ने तक $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\})
\cap\Phi(\Omega)$। ∎

**उदाहरण 20.4.**

गोलक $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$: $\R^n\setminus\{0\}$ ($DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$) पर अवगाहन $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ का स्तर समुच्चय: अतः विमा $n - 1$ का $\mathcal C^\infty$ उपबहुविध। $\R^3$ में टोरस: $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} -
R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ का स्तर समुच्चय ($0 < r < R$)। शंकु $\{x^2 + y^2 =
z^2\}$ $0$ पर उपबहुविध *नहीं* है ([अभ्यास 20.1](#exo-b3-submanifolds-1))। आव्यूह समूह: $SL_n$ और $O_n$ $M_n(\R)$ के उपबहुविध हैं (अभ्यास [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) और [20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — यही ली सिद्धांत का प्रस्थान बिंदु है।

## 20.3 स्पर्श समष्टियाँ

**परिभाषा 20.5.**

मान लीजिए $M$ कोई $d$-उपबहुविध है और $a \in M$। *स्पर्श समष्टि* $T_aM$ $\gamma(0) = a$ वाले $\mathcal C^1$ वक्रों $\gamma \colon
\intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ के वेग सदिशों $\gamma'(0)$ का समुच्चय है।

**प्रतिज्ञप्ति 20.6.**

$T_aM$ $\R^n$ की एक $d$-विमीय सदिश उपसमष्टि है, और:

1. यदि अवगाहन $F$ के साथ स्थानीय रूप से $M = F^{-1}(0)$ हो: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
2. यदि $M$ निमज्जन $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ) से प्राचलित हो: $T_aM =  \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ ।

**उपपत्ति.** $M$ के वक्र $F(\gamma(t)) = 0$ संतुष्ट करते हैं; $0$ पर शृंखला नियम $DF(a)\gamma'(0) = 0$ देता है: अतः $T_aM \subseteq \ker DF(a)$। विलोमतः, सीधाकरण ([प्रमेय 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) $\R^d\times\{0\}$ की रेखाओं को $M$ के वक्रों पर ले जाता है: अर्थात् किसी $d$-विमीय उपसमष्टि का प्रत्येक सदिश साकार हो जाता है; और विमाओं की तुलना ($\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$) (1) में समता अनिवार्य कर देती है, तथा वही परिवहन तर्क (2) दे देता है ($A$ की सरल रेखाओं पर $D\varphi(u_0)$ लगाइए; फिर विमाएँ)। ∎

**प्रमेय 20.7 (लाग्राँज गुणक).**

मान लीजिए $M = F^{-1}(0)$, जहाँ $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega
\to \R^q$ कोई $\mathcal C^1$ अवगाहन है, और मान लीजिए $f \colon
\Omega \to \R$ $\mathcal C^1$ है। यदि प्रतिबंध $f\restriction_M$ का $a \in M$ पर कोई स्थानीय चरम-मान हो, तो ऐसे अद्वितीय वास्तविक $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (*[लाग्राँज गुणक](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) हैं कि

$$
\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots +
\lambda_q\nabla F_q(a) .
$$

**उपपत्ति.** $a$ से होकर जाने वाले $M$ के प्रत्येक वक्र $\gamma$ के लिए: $t \mapsto
f(\gamma(t))$ का $0$ पर स्थानीय चरम-मान होता है, अतः $0 =
\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a),
\gamma'(0)\rangle$: इसलिए $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ ([प्रतिज्ञप्ति 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent))। अब $\ker DF(a)^\perp
= \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (दूसरे वर्ष की कोटि/लांबिकता सर्वसमिका, अथवा परिमित विमा में [अभ्यास 13.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#exo-b3-hilbert-8): $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$), जो प्रवणकों $\nabla F_i(a)$ से फैला है — और वे स्वतंत्र हैं, क्योंकि $DF(a)$ आच्छादक है: अतः गुणक विद्यमान और अद्वितीय हैं। ∎

**उदाहरण 20.8 (स्पेक्ट्रमी प्रमेय, ज्यामितीय रूप से).**

मान लीजिए $A$ कोई वास्तविक सममित $n\times n$ आव्यूह है, और गोलक $S^{n-1}$ पर $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ को अधिकतम कीजिए (जो [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: अतः अधिकतम किसी $v_1$ पर प्राप्त होता है)। $F(x) = \norm x^2 - 1$ के साथ लाग्राँज: $\nabla f = 2Ax$ और $\nabla F =
2x$ से $Av_1 = \lambda_1v_1$ मिलता है — अर्थात् एक अभिलक्षणिक सदिश, जिसमें $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$। अब $A$ को $v_1^\perp$ पर प्रतिबंधित कीजिए (जो अपरिवर्ती है: $\langle Av, v_1\rangle =
\langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) और दोहराइए: इससे अभिलक्षणिक सदिशों का प्रसामान्य लांबिक आधार मिल जाता है। दूसरे वर्ष की स्पेक्ट्रमी प्रमेय, विशुद्ध इष्टतमीकरण से पुनः सिद्ध — और इसी तर्क की अनंत-विमीय छाया ने [प्रमेयिका 15.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#lem-b3-spectral-existence) सिद्ध किया था।

**विधि 20.9.**

किसी समुच्चय को उपबहुविध सिद्ध करने के लिए: उसे स्थानीय रूप से $F^{-1}(0)$ के रूप में प्रस्तुत कीजिए जहाँ $DF$ *उस समुच्चय पर* आच्छादक हो (सबसे सामान्य मार्ग), अथवा किसी आलेख के रूप में। उसकी विमा और [स्पर्श समष्टि](#def-b3-submanifolds-tangent) परिकलित करने के लिए: $d = n - q$ और $T_a = \ker DF(a)$। उस पर इष्टतमीकरण के लिए: लाग्राँज — पर पहले सदा संहतता (या प्रबलकारिता) जाँचिए, ताकि कोई चरम-मान विद्यमान हो जिस पर प्रमेय लगाई जा सके; और स्मरण रखिए कि गुणक समीकरण केवल *आवश्यक* है: अतः सभी क्रांतिक बिंदु इकट्ठे कीजिए, फिर मानों की तुलना कीजिए। आव्यूह समूहों के लिए तत्समक पर वक्रों का अवकलन करके स्पर्श समष्टियाँ पहचानिए।

## 20.4 अभ्यास

**अभ्यास 20.1 ★.**

(क) सत्यापित कीजिए कि निम्नलिखित $\mathcal C^\infty$ उपबहुविध हैं और उनकी विमाएँ दीजिए: $S^{n-1}$; अतिपरवलयज $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$; और [उदाहरण 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) का टोरस। (ख) दर्शाइए कि शंकु $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq
\R^3$ $0$ पर $2$-उपबहुविध नहीं है: $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ के [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) घटकों की संख्या निर्धारित कीजिए, और उसकी तुलना उस संख्या से कीजिए जो किसी सीधाकरण ([प्रमेय 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) से समतल में से एक बिंदु हटाने पर अनिवार्य होती।

**हल — अभ्यास 20.1.**

(क) प्रत्येक किसी निमज्जन के लिए $F^{-1}(0)$ है: $\R^n\setminus\{0\}$ पर $\norm x^2 - 1$ (प्रवणक $2x \neq 0$): विमा $n-1$; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (अतिपरवलयज पर प्रवणक $(2x, 2y, -2z) \neq 0$, जहाँ $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): विमा $2$; और टोरस फलन $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$, $\rho =
\sqrt{x^2+y^2}$, टोरस के निकट $\mathcal C^\infty$ है (वहाँ $\rho
\geq R - r > 0$) जिसमें $\nabla G \neq 0$ (उसका $z$-घटक $2z$ है, और जहाँ $z = 0$ वहाँ त्रिज्य घटक $2(\rho - R)\ne0$ है, क्योंकि $\abs{\rho - R} = r$): विमा $2$।

(ख) छोटे $\varepsilon$ के लिए $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ के ठीक $2$ [संबद्ध घटक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-components) हैं (ऊपरी और निचली छिद्रित पालियाँ, प्रत्येक [पथ-संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected): वृत्तों और किरणों से जोड़िए)। यदि $C$ $0$ पर कोई $2$-उपबहुविध होता, तो कोई सीधाकरण $C\cap\Omega$ से किसी समतल के विवृत टुकड़े पर ऐसी [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) देता जो $0$ को किसी बिंदु $p$ पर भेजती; पर $p$ के छोटे छिद्रित समतल-प्रतिवेशों का *एक* घटक होता है, और समस्थितिकताएँ छिद्रित प्रतिवेशों के घटकों की संख्या सुरक्षित रखती हैं: विरोधाभास।

**अभ्यास 20.2 ★.**

स्पर्श समष्टियाँ परिकलित कीजिए: (क) किसी भी $a$ के लिए $T_aS^{n-1}$ (उत्तर: $a^\perp$); (ख) [उदाहरण 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) के टोरस पर बाहरी विषुवत रेखा $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ के किसी मनमाने बिंदु पर स्पर्श समतल; (ग) $\varphi(t_0)$ पर कुंडलिनी $\varphi(t) = (\cos t,
\sin t, t)$ की स्पर्श रेखा, और [प्रतिज्ञप्ति 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2) जाँचते हुए।

**हल — अभ्यास 20.2.**

(क) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$। (ख) $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ पर: $\nabla G
= (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, अतः स्पर्श समतल $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0,
0, 1)\bigr)$ है: अर्थात् बाहरी विषुवत रेखा पर स्पर्शी ऊर्ध्वाधर समतल। (ग) कुंडली $\varphi'(t_0) =
(-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ वाला कोई अंतःस्थापित वक्र है: अतः $\varphi(t_0)$ पर स्पर्श रेखा $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ है, जैसा [प्रतिज्ञप्ति 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2) निर्धारित करती है।

**अभ्यास 20.3 ★★.**

मान लीजिए $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (अर्थात् $z \mapsto z^2$)। (क) किन बिंदुओं पर [प्रमेय 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) लागू होती है? (ख) दर्शाइए कि $f$ $\R^2\setminus\{0\}$ पर स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय है पर वैश्विक रूप से नहीं, और $(1, 0)$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर परिभाषित दोनों स्थानीय प्रतिलोम (दोनों वर्गमूल शाखाएँ) स्पष्ट रूप से प्रस्तुत कीजिए। (ग) [ध्रुवीय निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ex-b3-product-polar) प्रतिचित्रण $(r,
\theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ के लिए वही विवेचन।

**हल — अभ्यास 20.3.**

(क) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y &
2x\end{smallmatrix}\bigr)$, $\det = 4(x^2 + y^2)$: अतः प्रमेय मूल बिंदु को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर लागू होती है। (ख) $f(-z) = f(z)$: $0$ के परितः सममित किसी भी समुच्चय पर कभी एकैकी नहीं; $\R^2\setminus\{0\}$ पर वह सर्वत्र स्थानीय अवकल समरूपता है फिर भी वैश्विक रूप से $2$-से-$1$। $(1, 0) = f(\pm(1,
0))$ के निकट दोनों प्रतिलोम दोनों वर्गमूल शाखाएँ हैं: सम्मिश्र संकेतन में $w \mapsto \pm\sqrt w$ (मुख्य शाखा), अर्थात्

$$
(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u +
\sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u +
\sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).
$$

(ग) याकोबीय $r > 0$: अतः $\intoo0\infty\times\R$ पर स्थानीय अवकल समरूपता, पर $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ वही बिंदु देता है: अर्थात् स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय (किसी अर्ध-समतल पर कोण $2\pi$ तक निर्धारित), और वैश्विक रूप से कभी नहीं।

**अभ्यास 20.4 ★★.**

(फोलियम) मान लीजिए $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ और $\mathcal C =
F^{-1}(0)$। (क) दर्शाइए कि मूल बिंदु के अतिरिक्त $\mathcal C$ के प्रत्येक बिंदु के निकट $\mathcal C$ एक $1$-उपबहुविध है, और स्थानीय रूप से $x$ में या $y$ में एक आलेख (कौन-सा, कहाँ?)। (ख) $(\frac32, \frac32)$ पर स्पर्श रेखा परिकलित कीजिए। (ग) मूल बिंदु पर क्या होता है? (दो शाखाएँ काटती हैं: $0$ से होकर जाने वाले $\mathcal C$ में दो $\mathcal C^1$ वक्र स्वतंत्र वेगों के साथ प्रस्तुत कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि कोई सीधाकरण विद्यमान नहीं है।)

**हल — अभ्यास 20.4.**

(क) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ तभी और केवल तभी लुप्त होता है जब $y = x^2$ और $x = y^2$, अर्थात् $x^4 = x$: $(0,0)$ और $(1,1)$ पर; और केवल $(0,0)$ $\mathcal C$ पर है ($F(1,1) = -1$)। अतः $\mathcal
C\setminus\{0\}$ पर $F$ कोई निमज्जन है: इसलिए कोई $1$-उपबहुविध, जो जहाँ $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ हो वहाँ स्थानीय रूप से आलेख $y = \psi(x)$ है और जहाँ $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ हो वहाँ $x = \chi(y)$ (मूल बिंदु के बाहर कम से कम एक लागू होता है)।

(ख) $(\frac32, \frac32)$ पर: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)
(1, 1) = \frac94(1,1)$: स्पर्श रेखा $x + y = 3$।

(ग) परिमेय प्राचलन $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ $t = 0$ पर वेग $(3, 0)$ के साथ $0$ से होकर जाता है; और $x \leftrightarrow y$ की अदला-बदली करने पर (वक्र सममित है, अथवा $1/t$ से पुनःप्राचलन कीजिए) वेग $(0, 3)$ के साथ $0$ से होकर जाता दूसरा $\mathcal C^1$ वक्र मिलता है। किसी $1$-उपबहुविध के लिए दो स्वतंत्र स्पर्श दिशाएँ असंभव हैं (उसकी [स्पर्श समष्टि](#def-b3-submanifolds-tangent) कोई रेखा है, [प्रतिज्ञप्ति 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)): अतः $\mathcal C$ मूल बिंदु पर कोई उपबहुविध नहीं है — अर्थात् कोई अनुप्रस्थ स्व-प्रतिच्छेदन।

**अभ्यास 20.5 ★★.**

मान लीजिए $M_n(\R)$ से सममित आव्यूहों की समष्टि $S_n$ में $F(M) = M^{\mathsf T}M$। (क) दर्शाइए कि $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$, और यह कि $DF(M)$ प्रत्येक $M \in O_n$ पर $S_n$ पर आच्छादक है *($S \in S_n$ दिया हो तो $H = \frac12MS$ आज़माइए)*। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि $O_n = F^{-1}(I)$ $\frac{n(n-1)}2$ विमा का [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\mathcal C^\infty$ उपबहुविध है, जिसमें $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$, अर्थात् प्रतिसममित आव्यूह। (ग) दर्शाइए कि प्रत्येक प्रतिसममित $H$ के लिए $\eu^{tH} \in O_n$: अर्थात् स्पर्श दिशाएँ समूह के भीतर वक्रों में समाकलित हो जाती हैं।

**हल — अभ्यास 20.5.**

(क) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf
T}M + H^{\mathsf T}H$: $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}M$। $M \in O_n$ और सममित $S$ के लिए $H =
\frac12MS$ $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ देता है: अतः $S_n$ पर आच्छादक।

(ख) $O_n = F^{-1}(I)$, जिसमें $F$ अपने प्रत्येक बिंदु पर कोई निमज्जन है ($S_n$ पर, जिसकी विमा $\frac{n(n+1)}2$ है): अतः विमा $n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2$ का कोई उपबहुविध। [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact): संवृत ($F$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)) और परिबद्ध (स्तंभ इकाई सदिश हैं)। $I$ पर स्पर्श: $\ker DF(I) =
\{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$।

(ग) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} =
\eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (पक्षांतरण श्रेणी से होकर निकल जाता है; और क्रमविनिमेय आव्यूहों के चरघातांक गुणा हो जाते हैं, [प्रमेय 19.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/19-ordinary-differential-equations#thm-b3-ode-matrixexp))।

**अभ्यास 20.6 ★★.**

(क) दर्शाइए कि $\det \colon M_n(\R) \to \R$ का अवकलज $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)
^{\mathsf T}H\bigr)$ है, जो प्रत्येक $M \in SL_n$ पर शून्येतर है। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि $SL_n(\R)$ $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ के साथ विमा $n^2 - 1$ का उपबहुविध है। (ग) क्या $GL_n(\R)$ उपबहुविध है? किस विमा का?

**हल — अभ्यास 20.6.**

(क) व्युत्क्रमणीय $M$ के लिए $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1
+ \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ ($I$ के निकट $\det$ का प्रसार: $\prod(1 + \lambda_i)$ का रैखिक पद); और $\det M\cdot M^{-1} =
\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ के साथ: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}
(M)^{\mathsf T}H\bigr)$, तथा यह सूत्र सघनता और [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से सभी $M$ तक बढ़ जाता है। $SL_n$ पर $\det M = 1$: $D\det(M) \ne 0$ ($H = M$ पर उसका मान $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ है)।

(ख) $SL_n = \det^{-1}(1)$, जहाँ $\det$ कोई निमज्जन है (मान $\R$ में): अतः विमा $n^2 - 1$; और $T_ISL_n = \ker
D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$।

(ग) $GL_n$ $M_n(\R)$ का कोई *विवृत* उपसमुच्चय है ([अभ्यास 6.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-8)): अतः पूरी विमा $n^2$ का कोई उपबहुविध (सीधाकरण: तत्समक चार्ट)।

**अभ्यास 20.7 ★★.**

लाग्राँज गुणकों से: (क) वृत्त $x^2 +
y^2 = 1$ पर $f(x,y) = xy$ के चरम-मान ढूँढ़िए; (ख) दर्शाइए कि समस्त प्रायिकता सदिशों $(p_1, \dots,
p_n)$ (धनात्मक, जिनका योग $1$ हो) में एन्ट्रॉपी $-\sum
p_i\ln p_i$ ठीक एकसमान बंटन पर अधिकतम होती है; (ग) दीर्घवृत्त $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ का $(1, 0)$ से निकटतम बिंदु ढूँढ़िए, और गुणक समीकरण की ज्यामितीय जाँच कीजिए (अभिलंब संरेखण)।

**हल — अभ्यास 20.7.**

(क) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ और $x^2 + y^2 = 1$: $y =
2\lambda x$, $x = 2\lambda y$ $x^2 = y^2 = \frac12$ दे देते हैं। $xy$ के मान: $\pm\frac12$: अतः $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ पर उच्चिष्ठ $\frac12$, और $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ पर निम्निष्ठ $-\frac12$ (प्रतिबंध समुच्चय [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: चरम विद्यमान हैं)।

(ख) सिंप्लेक्स के [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) पर ($p_i > 0$) प्रतिबंध $\sum p_i = 1$ के साथ $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ के लिए लाग्राँज: सभी $i$ के लिए $-\ln p_i - 1 = \lambda$: अतः सभी $p_i$ बराबर, $p_i =
\frac1n$, $H = \ln n$ के साथ। [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) सिंप्लेक्स पर उच्चिष्ठ प्राप्त होता है; और यदि वह परिसीमा पर प्राप्त होता (कोई $p_i = 0$), तो बंटन $\leq n - 1$ बिंदुओं पर रहता और आगमन से $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: अतः आंतरिक क्रांतिक बिंदु ही वैश्विक उच्चिष्ठ है — अर्थात् एकसमान अज्ञान एंट्रॉपी को अधिकतम कर देता है।

(ग) [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) दीर्घवृत्त पर $(x-1)^2 + y^2$ को न्यूनतम कीजिए: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$। यदि $y \neq 0$ हो: $\lambda = 1$, तब $2(x - 1) = \frac x2$ $x =
\frac43$, $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ देता है: दूरी$^2$ $=
\frac19 + \frac59 = \frac23$। यदि $y = 0$ हो: $x = \pm2$, दूरियाँ $1$ और $3$। निकटतम बिंदु: $\bigl(\frac43,
\pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, दूरी $\sqrt{2/3} < 1$ पर। गुणक समीकरण कहता है कि $(1,0)$ से निकटतम बिंदु तक का रेखाखंड $\nabla$(दीर्घवृत्त) के समांतर है: अतः वह दीर्घवृत्त से लांबिक रूप से मिलता है, जैसा ज्यामिति माँगती है।

**अभ्यास 20.8 ★★★.**

[उदाहरण 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh) को पूरा लिखिए: आगमन से सिद्ध कीजिए कि किसी वास्तविक सममित आव्यूह का अभिलक्षणिक सदिशों का प्रसामान्य लांबिक आधार होता है, जिसमें $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ रेली भागफल के क्रमागत प्रतिबंधित अधिकतम हैं। फिर इसी रचना से परिमित विमा में [अभ्यास 15.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#exo-b3-spectral-8) के कूरां–फिशर सूत्र सीधे निकालिए।

**हल — अभ्यास 20.8.**

$n$ पर आगमन; $n = 1$ तुच्छ। रेली फलन $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $S^{n-1}$ पर किसी $v_1$ पर अपना उच्चिष्ठ $\lambda_1$ प्राप्त कर लेता है; और लाग्राँज ([प्रमेय 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange), स्तर समुच्चय के रूप में गोलक) $2Av_1 = 2\lambda v_1$ दे देते हैं, तथा $\lambda = \langle Av_1,
v_1\rangle = \lambda_1$। अधिसमतल $v_1^\perp$ $A$-निश्चर है (सममिति: $\langle Av, v_1\rangle = \langle
v, Av_1\rangle = 0$); प्रतिबंध सममित है, और आगमन $v_1^\perp$ का कोई लांबिक-प्रसामान्य अभिलक्षणिक आधार $v_2, \dots, v_n$ अभिलक्षणिक मानों $\lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$ के साथ दे देता है, जिनमें से प्रत्येक शेष [लांबिक पूरक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-decomposition) के गोलक पर $f$ का उच्चिष्ठ है। कूरां–फिशर ठीक [अभ्यास 15.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#exo-b3-spectral-8) की भाँति निकलता है: $x = \sum c_iv_i$ का प्रसार कीजिए; किसी $k$-विमीय परीक्षण समष्टि को $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ से प्रतिच्छेदित कीजिए ($\R^n$ में विमा गणना) और $\min \leq \lambda_k$ पाइए, तथा $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ $\min =
\lambda_k$ प्राप्त कर लेता है।

**अभ्यास 20.9 ★★★.**

(हादामार असमिका) स्तंभों $c_1, \dots, c_n$ वाले $M \in GL_n(\R)$ के लिए:

$$
\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,
$$

जिसमें समता तभी और केवल तभी होती है जब स्तंभ लांबिक हों। *(मापन से स्तंभों को मानक $1$ तक सिमटाइए; गोलकों के [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) गुणन $(S^{n-1})^n$ पर $\det$ को अधिकतम कीजिए; किसी अधिकतमकारी पर प्रत्येक स्तंभ में अलग-अलग लाग्राँज $\nabla_{c_i}\det =
\lambda_ic_i$ देता है, और $\nabla_{c_i}\det$ $\operatorname{com}(M)$ का $i$-वाँ स्तंभ है: इससे $M^{\mathsf T}M$ विकर्ण निकालिए, अतः $= I$, और इसलिए $\det = \pm1$।)* ज्यामितीय पाठ: किसी समांतर षट्फलक का आयतन उसकी कोर-लंबाइयों के गुणनफल से अधिक नहीं होता।

**हल — अभ्यास 20.9.**

प्रत्येक स्तंभ को इकाई मानक पर मापने से $\abs{\det}$ $\prod\norm{c_i}$ से भाग जाता है: अतः केवल यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि जब सभी स्तंभ इकाई हों तब $\abs{\det M} \leq 1$, जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $M \in O_n$। फलन $\det$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $(S^{n-1})^n$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः वह किसी $M$ पर उच्चिष्ठ $m \geq \det I = 1 > 0$ प्राप्त कर लेता है। $i$-वें को छोड़कर सभी स्तंभ स्थिर रखने पर $\det$ $c_i$ में रैखिक है और उसका प्रवणक $\operatorname{com}(M)$ का $i$-वाँ स्तंभ है; $i$-वें गोलक पर लाग्राँज: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$। सर्वसमिका $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle =
\det(M)\,\delta_{ij}$ के रूप में पढ़ी जाती है, अर्थात् $\lambda_i\langle c_j,
c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$; $j = i$ लेने पर: $\lambda_i
= \det M = m \neq 0$, और तब $j \neq i$ $\langle c_i,
c_j\rangle = 0$ दे देता है: अतः स्तंभ लांबिक-प्रसामान्य हैं, $M \in O_n$, $m = \abs{\det M} = 1$। इसलिए सदैव $\abs{\det} \leq
\prod\norm{c_i}$, जिसमें बराबरी ठीक लांबिक स्तंभों के लिए (वापस मापन कीजिए): अर्थात् दी गई कोर लंबाइयों के लिए किसी समांतरषट्फलक का आयतन तब सबसे बड़ा होता है जब कोरें परस्पर लंब हों।

**अभ्यास 20.10 ★★.**

वृत्त $S^1$ अपने किन बिंदुओं के निकट कोई आलेख $y =
\psi(x)$ है? और कहाँ कोई आलेख $x = \chi(y)$? $(1, 0)$ पर आलेख अभिलक्षण ([प्रमेय 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) स्पष्ट रूप से सत्यापित कीजिए, और एक वाक्य में समझाइए कि *कोई* निर्देशांक क्रमचय सदा पर्याप्त क्यों होता है पर कोई एक ही क्रमचय सदा काम क्यों नहीं करता।

**हल — अभ्यास 20.10.**

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ $y \neq
0$ वाले प्रत्येक बिंदु के निकट काम करता है; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ $x \neq 0$ वाले प्रत्येक बिंदु के निकट; और $(1, 0)$ पर: $y \in
\intoo{-1}1$ पर आलेख $x = \sqrt{1 - y^2}$, जो निर्देशांक बदलकर [प्रमेय 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) है। कोई न कोई क्रमचय सदा काम करता है क्योंकि स्पर्श रेखा, एक-विमीय होने के कारण, एक साथ ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज नहीं हो सकती — पर वह दोनों में से कोई भी हो सकती है, अतः “आश्रित” निर्देशांक का कोई एक स्थिर चयन प्रत्येक बिंदु पर काम नहीं आता।

**अभ्यास 20.11 ★★.**

(उपबहुविध के रूप में लांबिक समूह, मात्रात्मक रूप से) (क) दर्शाइए कि $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: परिबद्ध (प्रत्येक स्तंभ इकाई सदिश है, अतः यूक्लिडीय आव्यूह मानक के लिए $\norm M \leq
\sqrt n$) और संवृत। (ख) दर्शाइए कि $I$ पर उसकी [स्पर्श समष्टि](#def-b3-submanifolds-tangent) प्रतिसममित आव्यूहों की समष्टि है, जिसकी विमा $\frac{n(n-1)}2$ है, और किसी व्यापक $A \in O_n$ पर: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} =
-K\}$। (ग) निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक प्रतिसममित $K$ के लिए प्रतिचित्रण $t \mapsto A\exp(tK)$ $A$ से होकर जाता $O_n$ का वेग $AK$ वाला वक्र है *($\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ और $\exp(-X)\exp(X) = I$ का उपयोग करके $\exp(tK) \in O_n$ सत्यापित कीजिए)*: अर्थात् प्रत्येक स्पर्श सदिश किसी स्पष्ट वक्र से साकार हो जाता है, और किसी अंतर्निहित फलन प्रमेय की आवश्यकता नहीं पड़ती।

**हल — अभ्यास 20.11.**

(क) परिभाषक प्रतिचित्रण $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः $O_n = F^{-1}(0)$ संवृत है; और किसी लांबिक आव्यूह के स्तंभ इकाई सदिश हैं, अतः यूक्लिडीय ([फ्रोबेनियस](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#thm-b3-galois-finitefields)) मानक ठीक $\sqrt n$ है: परिबद्ध। इसलिए $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ में हाइने–बोरेल से [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)।

(ख) $O_n$ अध्याय में अध्ययन किया गया स्तर समुच्चय $F = 0$ है: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, जो प्रत्येक $A \in O_n$ पर सममित आव्यूहों पर आच्छादक है (कोई सममित $S$ दिया हो, तो $H = \frac12AS$ लीजिए), अतः $O_n$ विमा $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ का कोई उपबहुविध है जिसमें

$$
T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{
प्रतिसममित}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;
$$

$A = I$ पर ये प्रतिसममित आव्यूह हैं।

(ग) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T})
\exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (दोनों आव्यूह $\pm tK$ क्रमविनिमेय हैं, अतः चरघातांकों का गुणनफल योग का चरघातांक है): $\exp(tK) \in O_n$, और $\gamma(t) =
A\exp(tK)$ $\gamma(0) = A$, $\gamma'(0) = AK$ के साथ $O_n$ में कोई वक्र है। जैसे-जैसे $K$ प्रतिसममित आव्यूहों पर चलता है, $AK$ $T_AO_n$ को झाड़ देता है: अतः चरघातांक समूची [स्पर्श समष्टि](#def-b3-submanifolds-tangent) को स्पष्ट वक्रों से साकार कर देता है — वही ली-समूह वाली शॉर्टकट जिसका [समस्या 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) $SO(3)$ के लिए दोहन करता है।

**अभ्यास 20.12 ★★.**

(दूरी के क्रांतिक बिंदु) मान लीजिए $M \subseteq \R^n$ कोई उपबहुविध है और $p \notin M$। दर्शाइए कि यदि $x_0 \in M$ $p$ से दूरी को न्यूनतम करता हो (ऐसा बिंदु तब विद्यमान होता है जब $M$ संवृत और अरिक्त हो — क्यों?), तो

$$
p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M
$$

*($M$ के वक्रों के अनुदिश $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ का अवकलन कीजिए)*। निष्कर्ष निकालिए: किसी गोलक पर निकटतम बिंदु [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) से जाती किरण पर होता है; और इस शर्त का उपयोग करके $p = (2, 0)$ से परवलय $y = x^2$ तक की दूरी परिकलित कीजिए (किसी त्रिघात तक सिमटाइए और उसे संख्यात्मक रूप से तीन अंकों तक हल कीजिए)।

**हल — अभ्यास 20.12.**

अस्तित्व: $M$ को $p$ के चारों ओर किसी बड़े संवृत गोले से प्रतिच्छेदित करके कोई अरिक्त [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) पाइए; [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) दूरी वहाँ अपना निम्निष्ठ प्राप्त कर लेती है, और गोले के बाहर के बिंदु अधिक दूर हैं। प्रथम-कोटि शर्त: $\gamma(0) = x_0$ वाले $M$ में किसी वक्र $\gamma$ के लिए फलन $h(t) = \norm{\gamma(t)
- p}^2$ अवकलनीय है जिसका $0$ पर निम्निष्ठ है:

$$
0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,
$$

और $\gamma'(0)$ $T_{x_0}M$ को झाड़ देता है: अतः $p - x_0 \perp
T_{x_0}M$। गोलक $S(c, r)$: $x_0$ पर [स्पर्श समष्टि](#def-b3-submanifolds-tangent) $(x_0 - c)^\perp$ है, अतः $p - x_0 \parallel x_0 - c$: इसलिए $x_0$ $c$ और $p$ से होकर जाती रेखा पर, $c$ से $r$ दूरी पर है — अर्थात् किरण बिंदु, जैसा ज्यामिति ज़ोर देती है। परवलय: $x_0 = (x, x^2)$ पर स्पर्श $(1, 2x)$ से फैली है; और $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ के प्रति लांबिकता

$$
(2 - x) - 2x^3 = 0,
\qquad\text{अर्थात्}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,
$$

के रूप में पढ़ी जाती है, जिसका अद्वितीय वास्तविक मूल ($x \mapsto 2x^3 + x$ कड़ाई से वर्धमान है) $x \approx 0.835$ है; तब $x_0 \approx (0.835,
0.698)$ और $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2}
\approx 1.358$।

## 20.5 समस्या: $SO(3)$ और क्वाटर्नियन

**समस्या 20.1.**

सप्ताहांत समस्या — घूर्णन, समूह $S^3$, और द्विक आवरण

क्वाटर्नियन $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k\}$ — वह बीजगणित जिसके इकाई समूह में [समस्या 1.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#pb-b3-groups-1) का $Q_8$ है — त्रि-विमीय घूर्णनों का दो बार प्राचलन कर देते हैं: “किसी इकाई क्वाटर्नियन से संयुग्मन” प्रतिचित्रण अष्टि $\{\pm1\}$ वाली एक आच्छादक समाकारिता $S^3 \to
SO(3)$ है। हम सब कुछ बनाते हैं। स्मरण/परिभाषा: गुणन $\R$-द्विरैखिक है, जिसमें $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 =
\mathrm{ijk} = -1$; $q = t + x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k$ का संयुग्म $\bar q = t - x\mathrm i -
y\mathrm j - z\mathrm k$ है; और $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2
+ z^2$।

**भाग I — बीजगणित $\mathbb H$ और समूह $S^3$।**

1. सत्यापित कीजिए कि $\mathbb H$ [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) $\R$ वाला एक साहचर्य $\R$ -बीजगणित है, कि $\overline{pq} =  \bar q\,\bar p$ , और यह कि $N(pq) = N(p)N(q)$ *(एक साफ मार्ग: $q$ को $q =  \alpha + \beta\mathrm j$ के साथ $2\times2$ सम्मिश्र आव्यूह $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\  -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ के रूप में निरूपित कीजिए, और $\det$ का उपयोग कीजिए)* ।
2. निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $q \neq 0$ व्युत्क्रमणीय है ( $q^{-1} =  \bar q/N(q)$ ): अतः $\mathbb H$ एक (अक्रमविनिमेय) क्षेत्र है, और $S^3 = \{N(q) = 1\}$ एक समूह — तथा $\R^4$ का [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $3$ -उपबहुविध भी ( [उदाहरण 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) )।

**भाग II — घूर्णन समाकारिता।** $\R^3$ की पहचान *शुद्ध क्वाटर्नियनों* $P = \{x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k\}$ से कीजिए, और $q \in S^3$ के लिए $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ परिभाषित कीजिए।

3. दर्शाइए कि $\rho_q$ $P$ को $P$ में भेजता है *(शुद्ध क्वाटर्नियन वे हैं जिनके लिए $\bar v = -v$)* , $\R$ -रैखिक है, मानक सुरक्षित रखता है, और यह कि $\rho  \colon q \mapsto \rho_q$ एक समूह समाकारिता $S^3  \to O(3)$ है।
4. अष्टि परिकलित कीजिए: $\rho_q = \mathrm{id}$ तभी और केवल तभी जब $q$ $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ के साथ क्रमविनिमेय हो, अर्थात् तभी और केवल तभी जब $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ ।
5. $u \in P$ , $N(u) = 1$ के साथ $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ लिखिए ( $q \in S^3$ के लिए यह सदा संभव क्यों है?)। दर्शाइए कि $\rho_q$ $u$ को स्थिर रखता है और समतल $u^\perp\cap P$ पर कोण $\theta$ के घूर्णन की तरह क्रिया करता है *(लांबिक शुद्ध इकाइयों के लिए $uw = -wu$ का उपयोग करते हुए $w \perp u$ के लिए $\rho_q(w)$ परिकलित कीजिए — यह सर्वसमिका गुणन सारणी से, अथवा $uw + wu =  -2\langle u, w\rangle$ से सिद्ध कीजिए)* ।
6. निष्कर्ष निकालिए: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (प्रत्येक $\rho_q$ ऊपर परिकलित अक्ष और कोण वाला घूर्णन है — सारणिक $+1$ [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) $S^3$ पर $q  \mapsto \det\rho_q$ के [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से, अथवा सीधे), और $\rho$ $SO(3)$ पर *आच्छादक* है: $\R^3$ के प्रत्येक घूर्णन का कोई अक्ष होता है (सिद्ध कीजिए: $\det = 1$ वाले किसी वास्तविक $3\times3$ लांबिक आव्यूह का अभिलक्षणिक मान $1$ होता है — अभिलक्षणिक बहुपद पर विचार कीजिए) और इसलिए वह कोई $\rho_q$ है। सार: $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$

**भाग III — उपबहुविध के रूप में $SO(3)$; रोद्रीग।**

7. दर्शाइए कि $SO(3)$ $M_3(\R)$ का [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $3$ -विमीय उपबहुविध है, जिसमें $T_ISO(3) =$ प्रतिसममित आव्यूह हैं ( [अभ्यास 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ; और सारणिक शर्त घटकों में से कुछ का चयन कर लेती है)।
8. $u \in \R^3$ ($A_uv = u\wedge v$, सदिश गुणन) से [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) प्रतिसममित आव्यूह $A_u$ के लिए *रोद्रीग का सूत्र* सिद्ध कीजिए: $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 -  \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *($A_u^3 = -A_u$ से: चरघातांकी श्रेणी को $A_u$ की घातों के अनुदिश बाँटिए)*, और उसे अक्ष $u$ तथा कोण $\theta$ के घूर्णन के रूप में पहचानिए। निष्कर्ष निकालिए कि $\exp$ प्रतिसममित आव्यूहों को $SO(3)$ *पर* भेजता है।
9. दोनों प्राचलनों को जोड़िए: दर्शाइए कि $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,u$ के साथ $t  \mapsto \rho_{q(t)}$ घूर्णनों का एक-प्राचल समूह है जिसका $t = 0$ पर अवकलज $A_u$ है — अर्थात् क्वाटर्नियनी और [आव्यूह चरघातांकी](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/19-ordinary-differential-equations#thm-b3-ode-matrixexp) क्रमशः आधी और पूरी गति से वही कहानी कहते हैं।

**भाग IV — द्विक आवरण, अनुभव से।**

10. दर्शाइए कि [पथ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected) $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac  t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , $SO(3)$ में एक फंदा है (उसका प्रतिबिंब $\rho_{q(t)}$ तत्समक पर लौट आता है) जिसका क्वाटर्नियनी उठान फंदा *नहीं* है: $q(2\pi) = -q(0)$ । $t = 4\pi$ तक जारी रखने पर उठान बंद हो जाता है। एक छोटे अनुच्छेद में समझाइए कि यह क्या कहता है: $2\pi$ घूर्णन को संततता से पूर्ववत नहीं किया जा सकता जबकि $4\pi$ घूर्णन को किया जा सकता है (पट्टा युक्ति), क्योंकि $SO(3)$ के फंदे उसके द्विक आवरण $S^3$ में पकड़े जाते हैं।
11. व्यावहारिक लाभांश भी निकालिए: घूर्णनों का संयोजन = क्वाटर्नियनों का गुणन ( $9$ के बदले $4$ गुणनों जितने आँकड़े, और लांबिकता से कोई बहाव नहीं) — इसे $\mathrm i$ और $\mathrm j$ के परितः दो चौथाई-घूर्णनों के संयोजन पर सत्यापित कीजिए: गुणनफल का अक्ष और कोण परिकलित कीजिए।

**भाग V — स्पष्ट आव्यूह: ऑयलर–रोद्रीग।** $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j +
d\mathrm k \in S^3$ लिखिए, जिससे $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$।

12. गुणन सारणी से $\rho_q(\mathrm i)$ पूरा परिकलित कीजिए; फिर चक्रीय प्रतिस्थापन $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k  \to \mathrm i$, $(b, c, d) \to (c, d, b)$ से $\rho_q(\mathrm  j)$ और $\rho_q(\mathrm k)$ प्राप्त कीजिए *(इसे उचित ठहराइए: $\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k$ का चक्रीकरण $\mathbb  H$ की किसी स्वसमाकारिता तक बढ़ जाता है, क्योंकि परिभाषक संबंध चक्रीय रूप से सममित हैं)*। निष्कर्ष निकालिए कि आधार $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ में $\rho_q$ का आव्यूह *ऑयलर–रोद्रीग आव्यूह* $$R_q = \begin{pmatrix}  a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\  2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\  2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2  \end{pmatrix}.$$ है।
13. (किसी घूर्णन को उलटकर पढ़ना) प्रश्न 5 और 8 के संकेतन में दर्शाइए कि $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta,  \qquad  \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) =  \sin\theta\,A_u,$$ इससे किसी घूर्णन आव्यूह $R$ से $\pm q$ पुनः प्राप्त करने की कोई कलनविधि निकालिए: कोण अनुरेख से; अक्ष प्रतिसममित भाग से जब $0 < \theta < \pi$; और जब $\theta = \pi$ हो तब सर्वसमिका $R  + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ सिद्ध करके उसका उपयोग कीजिए।
14. प्रश्न 11 के गुणनफल $q =  \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ के लिए $R_q$ का मान निकालिए: एक क्रमचय आव्यूह प्रकट होता है। उस घूर्णन को पहचानिए और प्रश्न 11 में मिले अक्ष तथा कोण से मेल कराइए।

**भाग VI — $S^3$ के भीतर: $SU(2)$, [संयुग्मन वर्ग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions), चरघातांकी।**

15. दर्शाइए कि प्रश्न 1 का आव्यूह [निरूपण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/5-representations-of-finite-groups#def-b3-representations-rep) (उसे $\Phi$ कहिए) $S^3$ से *विशेष एकात्मक समूह* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U =  1\bigr\}$$ पर एक समूह तुल्याकारिता तक प्रतिबंधित हो जाता है *(आच्छादकता के लिए किसी व्यापक $2\times2$ सम्मिश्र आव्यूह के लिए समीकरण $U^{-1} = U^*$ और $\det U = 1$ लिखिए)*।
16. दर्शाइए कि वास्तविक भाग $S^3$ पर एक संयुग्मन अपरिवर्ती है — सभी $p \in S^3$ के लिए $\operatorname{Re}(pq\bar p) =  \operatorname{Re}q$ — और विलोमतः, कि समान वास्तविक भाग वाले दो इकाई क्वाटर्नियन $S^3$ में संयुग्म होते हैं *(इसे एक इकाई शुद्ध अक्ष को दूसरे पर ले जाने तक सिमटाइए, जो भाग II दे देता है)* । $S^3$ के संयुग्मन वर्गों का ज्यामितीय वर्णन कीजिए; उन्हें $SU(2)$ में अनूदित कीजिए (अनुरेख के स्तर समुच्चय); और $\rho$ से प्रक्षेपित कीजिए: दो घूर्णन $SO(3)$ में संयुग्म हैं तभी और केवल तभी जब उनका कोण $\theta \in \intcc0\pi$ एक ही हो।
17. $\mathbb H$ पर $\exp$ को चरघातांकी श्रेणी से परिभाषित कीजिए; $\abs q =  \sqrt{N(q)}$ के लिए $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ का उपयोग करते हुए निरपेक्ष अभिसरण जाँचिए। किसी इकाई शुद्ध $u$ और $\theta  \in \R$ के लिए दर्शाइए $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\exp$ अधिसमतल $P$ को $S^3$ पर भेजता है, और जाँचिए कि $\rho_{\exp(su)} =  \eu^{2sA_u}$: अर्थात् प्रश्न 9 की अर्ध-कोण परिघटना फिर से।
18. शुद्ध क्वाटर्नियनों $v, w$ के लिए गुणन नियम $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ सिद्ध कीजिए, अतः [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) सर्वसमिका $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; और प्रश्न 8 के आव्यूहों के लिए $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ भी सिद्ध कीजिए। निष्कर्ष निकालिए कि वक्रों $t \mapsto \exp(tv)$ के अनुदिश $1$ पर $\rho$ का अवकलज $P$ से प्रतिसममित आव्यूहों पर रैखिक तुल्याकारिता $v \mapsto 2A_v$ है, और यह कि वह क्वाटर्नियन [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) को आव्यूह [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) पर ले जाता है।

**भाग VII — वैश्विक संरचना।**

19. (कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) खंड नहीं) मान लीजिए $s \colon SO(3) \to  S^3$ $\rho \circ s =  \operatorname{id}$ के साथ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। प्रश्न 10 के फंदे $R(t) =  \rho_{q(t)}$ के लिए $t \in \intcc0{2\pi}$ हेतु $\varepsilon(t) =  s(R(t))\,q(t)^{-1}$ रखिए। दर्शाइए कि $\varepsilon$ $\{\pm1\}$ में मान लेते हुए [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और विरोधाभास निकालिए: अर्थात् प्रत्येक घूर्णन को निरूपित करने वाले इकाई क्वाटर्नियन का कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) वैश्विक चयन विद्यमान नहीं है।
20. (गोला मॉडल) मान लीजिए $\bar B \subseteq \R^3$ त्रिज्या $\pi$ का संवृत गोला है और $E(0) = I$ के साथ $E(v) = \eu^{A_v}$ । दर्शाइए कि $E$ $\bar B$ को $SO(3)$ पर भेजता है, विवृत गोले पर एकैकी है, और परिसीमा गोलक पर ठीक प्रतिध्रुवों की पहचान कर देता है: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , और कोई अन्य संपात नहीं। अतः $SO(3)$ प्रतिध्रुवी परिसीमा बिंदुओं को जोड़ा हुआ गोला है — अर्थात् प्रक्षेपी समष्टि $\mathbb{RP}^3$ — और कोई व्यास प्रश्न 10 का असंकोच्य फंदा बन जाता है।
21. दर्शाइए कि $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar  p}$ ; कि $SO(3)$ के स्वप्रतिलोमी अवयव ( $R^2 = I$ वाले $R \neq  I$ ) ठीक अर्ध-घूर्णन $\rho_w$ हैं जहाँ $w$ कोई इकाई शुद्ध क्वाटर्नियन है; और यह कि $SO(3)$ का [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) तुच्छ है।
22. दर्शाइए कि प्रत्येक घूर्णन दो अर्ध-घूर्णनों का गुणनफल है: $q = \cos\frac\theta2 +  \sin\frac\theta2\,u$ के लिए कोई इकाई शुद्ध $w \perp  u$ चुनिए, जाँचिए कि $w' = qw$ पुनः कोई इकाई शुद्ध क्वाटर्नियन है, और $\rho_q =  \rho_{w'}\rho_w$ सत्यापित कीजिए। दोनों अक्ष कहाँ हैं, और उनके बीच कौन-सा कोण है?
23. संस्थितिक सार निकालिए: $SO(3)$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) और [पथ-संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected) है (दो उपपत्तियाँ दीजिए: $\rho$ के अंतर्गत $S^3$ का [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब; और $\exp$ का प्रतिबिंब), जबकि $O(3)$ के ठीक दो [संबद्ध घटक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-components) हैं, और प्रत्येक $SO(3)$ का समस्थितिक है।
24. (एक संयोजन, तीन प्रकार से) मान लीजिए $R_1$ $z$ -अक्ष के परितः $\frac\pi2$ का घूर्णन है और $R_2$ $x$ -अक्ष के परितः $\frac\pi2$ का। $R_2R_1$ का अक्ष और कोण परिकलित कीजिए: (क) दोनों $3\times3$ आव्यूहों को गुणा करके और अनुरेख/प्रतिसममित भाग (भाग V) का उपयोग करके; (ख) संगत इकाई क्वाटर्नियनों $q_2q_1$ को गुणा करके। जाँचिए कि दोनों उत्तर मेल खाते हैं: कोण $\frac{2\pi}3$ , अक्ष $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ ।
25. ([केली रूपांतर](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#ex-b3-conformal-mobius)) प्रतिसममित $K$ के लिए दर्शाइए कि $I + K$ व्युत्क्रमणीय है और $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ जिसमें $-1$ $C(K)$ का अभिलक्षणिक मान कभी नहीं होता; दर्शाइए कि $K \mapsto C(K)$ प्रतिसममित आव्यूहों से $\{R \in SO(n) : -1 \notin  \operatorname{Sp}R\}$ पर एक एकैकी आच्छादक संगति है, जिसका प्रतिलोम $R \mapsto (I -  R)(I + R)^{-1}$ है। ($SO(n)$ का एक परिमेय चार्ट, जो [अभ्यास 20.11](#exo-b3-submanifolds-11) के अबीजीय $\exp$ का सहचर है।)

**हल — समस्या 20.1.**

**1.** $\alpha = t + \iu
x$, $\beta = y + \iu z$ के साथ प्रतिचित्रण $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k
\mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta
& \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$: जाँचने पर $1, \mathrm i,
\mathrm j, \mathrm k$ $I$, $\bigl(\begin{smallmatrix}
\iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 &
\iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ पर जाते हैं, जिनके गुणनफल क्वाटर्नियन सारणी पुनरुत्पन्न कर देते हैं: अतः यह प्रतिचित्रण कोई एकैकी बीजगणित समाकारिता है, इसलिए $\mathbb H$ को साहचर्यता विरासत में मिलती है; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ गुणनात्मक है, और संयुग्मन सहगुणक-पक्षांतर से मेल खाता है, जिससे $\overline{pq} = \bar q\bar p$ मिलता है। [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions): $\mathrm i$ के साथ क्रमविनिमेयता $y = z = 0$ अनिवार्य कर देती है, और $\mathrm j$ के साथ $x = 0$: अतः $\R$।

**2.** $q\bar q = N(q)$: $q \neq 0$ के लिए $q^{-1} = \bar
q/N(q)$: अर्थात् कोई विभाजन बीजगणित। $S^3$ पर: $N(pq) = 1$ और $N(q^{-1}) = 1$: अतः कोई समूह; और $S^3 \subseteq \R^4$ इकाई गोलक है: अर्थात् कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $3$-उपबहुविध।

**3.** $v$ शुद्ध है तभी और केवल तभी जब $\bar v = -v$; तब $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$: अतः $\rho_q$ $P$ सुरक्षित रखता है। रैखिकता स्पष्ट है; $N(qv\bar q) =
N(q)N(v)N(q) = N(v)$: अर्थात् $(P, N) \cong (\R^3,
\norm\cdot^2)$ की कोई समदूरीयता: $\rho_q \in O(3)$। और $\rho_{pq}(v) =
pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p =
\rho_p(\rho_q(v))$: अतः कोई समाकारिता।

**4.** $\rho_q = \mathrm{id}$ तभी और केवल तभी जब सभी शुद्ध $v$ के लिए $qv = vq$, और तभी जब $q$ $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ के साथ क्रमविनिमेय हो, और तभी जब $q$ केंद्रीय हो (प्रश्न 1): $q \in \R\cap S^3 =
\{\pm1\}$।

**5.** $q = t + p$ लिखिए ($t \in \R$, $p$ शुद्ध): $1 =
N(q) = t^2 + N(p)$, अतः $t = \cos\frac\theta2$ और किसी $\theta$ के लिए $N(u) = 1$ के साथ $p =
\sin\frac\theta2\,u$ (यदि $p = 0$ हो, तो $q = \pm1$ तुच्छ रूप से क्रिया करता है)। चूँकि $u^2 = -N(u)
= -1$, अतः $q$ और $u$ क्रमविनिमेय हैं, और $\rho_q(u) = qu\bar q =
uq\bar q = u$: अर्थात् अक्ष। शुद्ध इकाइयों $w \perp u$ के लिए: गुणनफल नियम $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (सारणी से निर्देशांकों में प्रसार कीजिए) $uw = u\wedge w
= -wu$ दे देता है। तब $uwu = -u^2w = w$ और द्विक-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए

$$
\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 +
\sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2u\bigr)
= \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),
$$

अर्थात् अभिविन्यस्त समतल $(w,
u\wedge w)$ में कोण $\theta$ का घूर्णन।

**6.** प्रत्येक $\rho_q$ $u$ के परितः $\theta$ भर घूर्णन है: लांबिक-प्रसामान्य आधार $(u, w, u\wedge w)$ में उसके आव्यूह का सारणिक $+1$ है: अतः $\operatorname{im}\rho \subseteq
SO(3)$। आच्छादकता: किसी आव्यूह $R \in SO(3)$ का $1$ कोई अभिलक्षणिक मान है, क्योंकि

$$
\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R)
= (-1)^3\det(R - I),
$$

अतः $\det(R - I) = 0$। कोई इकाई अभिलक्षणिक सदिश $u$ लीजिए; $R$ $u^\perp$ सुरक्षित रखता है और वहाँ किसी कोण $\theta$ के घूर्णन तक प्रतिबंधित हो जाता है (समतलीय लांबिक, सारणिक $1$): $q = \cos\frac\theta2 +
\sin\frac\theta2\,u$ के लिए $R = \rho_q$। प्रश्न 4 और प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय ([प्रमेय 1.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#thm-b3-groups-firstiso)) के साथ: $SO(3)
\cong S^3/\{\pm1\}$।

**7.** $O_3$ कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $3$-विमीय उपबहुविध है ([अभ्यास 20.5](#exo-b3-submanifolds-5)); $\det$ उस पर $\{\pm1\}$ में मान लेते हुए [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, अतः $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ $O_3$ में विवृत और संवृत है: अर्थात् [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) घटकों का कोई संघ, इसलिए स्वयं कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $3$-उपबहुविध, जिसकी $I$ पर वही [स्पर्श समष्टि](#def-b3-submanifolds-tangent) है: प्रतिसममित आव्यूह।

**8.** $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u,
v\rangle u - v$ (इकाई $u$), अतः $A_u^3v = u\wedge(\langle
u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$: $A_u^3 = -A_u$। संबंध $A^3 = -A$ के मापांक में घातों के अवशेषों से चरघातांकी श्रेणी को विभाजित करने पर:

$$
\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} +
\cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} -
\frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2
= I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .
$$

$u$ पर: $A_uu = 0$: स्थिर। $w \perp u$ पर: $\eu^{\theta
A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) =
\cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$: अर्थात् अक्ष $u$, कोण $\theta$ का घूर्णन — रोद्रीग। प्रत्येक घूर्णन इसी रूप का है (प्रश्न 6): अतः $\exp$ प्रतिसममित आव्यूहों से $SO(3)$ पर आच्छादक है।

**9.** $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ के साथ: प्रश्न 5 दिखा देता है कि $\rho_{q(t)}$ अक्ष $u$ और कोण $t$ का घूर्णन है, अर्थात् $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$, जिसका $t = 0$ पर अवकलज $A_u$ है। क्वाटर्नियन आधे कोण पर चलता है — द्विक आवरण का वैश्लेषिक चिह्न।

**10.** $\rho_{q(t)}$ $\mathrm k$ के परितः कोण $t$ का घूर्णन है: $t = 2\pi$ पर वह तत्समक पर लौट आता है — अर्थात् $SO(3)$ में कोई फंदा। उसका उत्थापन $q(2\pi) = \cos\pi =
-1 = -q(0)$ संतुष्ट करता है: अतः उठाया गया [पथ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected) संवृत *नहीं* है; और केवल $t = 4\pi$ पर $q$ $1$ पर लौटता है। व्याख्या: [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) घूर्णनों का फंदा $SO(3)$ में संकुचनीय नहीं है — उसका उत्थापन आवरण की दूसरी परत पर समाप्त होता है — जबकि द्विक फंदा है; और पट्टियों से अपने परिवेश से बँधा कोई पिंड $4\pi$ के बाद बिना ऐंठन वाली अवस्था में लौट आता है, $2\pi$ के बाद नहीं। घूर्णन समूह [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) चक्करों की सम-विषमता याद रखते हैं; और $S^3$, जो [सरल संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#def-b3-conformal-simplyconnected) है, वहीं वह स्मृति रहती है।

**11.** चौथाई चक्कर: $q_{\mathrm i} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$, $q_{\mathrm j} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$। गुणनफल (पहले $\mathrm j$-चक्कर लगाकर):

$$
q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 +
\mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k\bigr),
$$

जिसका मानक $1$ है, $\cos\frac\theta2 = \frac12$ के साथ: $\theta =
\frac{2\pi}3$, और अक्ष $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k}{\sqrt3}$ (मानकीकृत शुद्ध भाग)। लांबिक अक्षों के परितः दो क्रमिक चौथाई-चक्कर घन के मुख्य विकर्ण के परितः $120^\circ$ घूर्णन बना देते हैं — चार वास्तविक गुणनों भर का लेखा-जोखा, और लांबिकता ठीक-ठीक सुरक्षित: यही कारण है कि उड़ान सॉफ़्टवेयर और आलेखिकी इंजन घूर्णनों का संयोजन क्वाटर्नियनों से करते हैं।

**12.** सारणी से $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ और $\mathrm{ki} = \mathrm j$, अतः

$$
q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) +
d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .
$$

अदिश–सदिश नियम $(t_1 + p_1)(t_2 +
p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 +
p_1\wedge p_2$ के साथ $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j -
d\mathrm k$ से गुणा करने पर, जहाँ $p_1 = (a, d, -c)$ और $p_2 = (-b, -c,
-d)$: अदिश भाग $-ab - (-ab) = 0$ है (शुद्ध, जैसा होना ही चाहिए), और सदिश भाग

$$
b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac)
= \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd -
ac)\bigr):
$$

है, अर्थात् $R_q$ का प्रथम स्तंभ। चक्रीय प्रतिचित्रण $\sigma(\mathrm i)
= \mathrm j$, $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$, $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ संबंध $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} =
-1$ सुरक्षित रखता है (शब्द $\mathrm{ijk}$ संबंध $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ तक चक्रीय रूप से निश्चर है, जो किसी भी वलय में लागू होता है: व्युत्क्रमणीय $\mathrm i$ से $\mathrm{ijk} = -1$ का संयुग्मन), अतः $\sigma$ किसी $\R$-बीजगणित स्वसमाकारिता तक बढ़ जाता है, और $\sigma(\rho_q(v)) =
\rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$। खोलने पर $\mathrm j$ का प्रतिबिंब $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm
i$ के रूप में आधार को पुनःनामित करके $(b, c, d) \to (c, d, b)$ प्रतिस्थापित करने के बाद वही प्रथम-स्तंभ सूत्र है, जो ठीक दिखाया गया दूसरा स्तंभ है; और एक और चक्कर तीसरा दे देता है।

**13.** विकर्ण का योग लेने पर $\operatorname{tr}R_q =
3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (इकाई मानक), और $a = \cos\frac\theta2$ के साथ: $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 +
2\cos\theta$। प्रतिसममित भाग: $R_q - R_q^{\mathsf T}$ की तीनों स्वतंत्र प्रविष्टियाँ $4ab, 4ac, 4ad$ हैं (स्थानों $(3,2), (1,3), (2,1)$ पर), अतः $m = 2a\,(b, c, d) =
2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ के साथ $\frac12(R_q -
R_q^{\mathsf T}) = A_m$। कलनविधि: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R -
1}{2} \in \intcc0\pi$; यदि $0 < \theta < \pi$ हो, तो $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ से $u$ पढ़ लीजिए और $q =
\pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ रखिए; और यदि $\theta =
0$ हो, तो $q = \pm1$। $\theta = \pi$ के लिए: $a = 0$, और रोद्रीग (प्रश्न 8) $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} -
I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ देता है, अर्थात् $R + I = 2uu^{\mathsf T}$; $R + I$ का कोई भी शून्येतर स्तंभ, मानकीकृत, $\pm u$ है, और $q = \pm u$।

**14.** $a = b = c = d = \frac12$ के साथ: सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ लुप्त हो जाती हैं, $2(bc - ad) = 0$, $2(bd + ac) = 1$, $2(bc +
ad) = 1$, $2(cd - ab) = 0$, $2(bd - ac) = 0$, $2(cd + ab) =
1$:

$$
R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
$$

अर्थात् चक्रीय क्रमचय $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$। उसका संचिह्न $0 = 1 + 2\cos\theta$ है, अतः $\theta = \frac{2\pi}3$, और वह $(1,1,1)$ को स्थिर रखता है: अर्थात् मुख्य विकर्ण के परितः $120^\circ$ भर घूर्णन — ठीक प्रश्न 11 का उत्तर, जो अब उस आव्यूह के रूप में दिखता है जो निर्देशांक अक्षों का चक्र लगाता है।

**15.** आधार पर जाँचने पर $\Phi(\bar q) =
\Phi(q)^*$ ($\bar q$ के आव्यूह का $\alpha' =
\bar\alpha$, $\beta' = -\beta$ है, जो $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ का संयुग्म पक्षांतर है)। अतः $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ और $\det\Phi(q)
= \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$: $q \in S^3$ के लिए $\Phi(q) \in SU(2)$, और $\Phi$ कोई एकैकी समाकारिता है (प्रश्न 1)। आच्छादकता: मान लीजिए $\det U = 1$ के साथ $U =
\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma &
\delta\end{smallmatrix}\bigr)$; तब $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\
-\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, और $U^{-1} = U^*
= \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\
\bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ $\delta = \bar\alpha$, $\gamma = -\bar\beta$ अनिवार्य कर देता है, और तब $1 =
\det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$: अतः निर्देशांक $\alpha = a + \iu b$, $\beta = c + \iu d$ वाले इकाई क्वाटर्नियन $q$ के लिए $U = \Phi(q)$। इसलिए $S^3 \cong SU(2)$।

**16.** वास्तविक अदिश केंद्रीय हैं और $N(p) = 1$ $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ देता है, अतः $pq\bar p +
\overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$: वास्तविक भाग निश्चर है। विलोमतः मान लीजिए $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$; तब शुद्ध भागों का मानक एक ही $\sqrt{1 - a^2} = s$ है। यदि $s =
0$ हो, तो $q = q' = \pm1$। यदि $s > 0$ हो, तो इकाई शुद्ध $u, u'$ के साथ $q = a + su$, $q' =
a + su'$ लिखिए; प्रश्न 6 $u'$ को $u$ पर ले जाता कोई घूर्णन देता है, अर्थात् $\rho_p(u') = u$ के साथ $p \in S^3$, और तब $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') =
q$। अतः $S^3$ के वर्ग $\{1\}$, $\{-1\}$, और प्रत्येक $a \in \intoo{-1}1$ के लिए त्रिज्या $s$ का $2$-गोलक $\{a + su :
u \text{ इकाई शुद्ध}\}$ हैं। $\Phi$ के अंतर्गत $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha =
2\operatorname{Re}q$: अतः $SU(2)$ के वर्ग संचिह्न के स्तर समुच्चय हैं। प्रक्षेपण: यदि $q' = pq\bar p$ हो तो $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$; और विलोमतः $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ $q' = \pm pq\bar p$ (अष्टि) अनिवार्य कर देता है, अतः $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$, अर्थात् $\intcc0\pi$ के कोणों के लिए $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} =
\abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$: अतः संयुग्म घूर्णनों के कोण बराबर होते हैं। विलोमतः बराबर कोण एक ही ऋणेतर वास्तविक भाग वाले प्रतिनिधियों की अनुमति देते हैं, जो ऊपर के अनुसार संयुग्म हैं: अर्थात् $SO(3)$ में किसी घूर्णन का [संयुग्मन वर्ग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) ठीक उसका कोण है।

**17.** $N$ गुणनात्मक है, अतः $\abs\cdot$ $\mathbb H \cong \R^4$ पर कोई गुणनात्मक मानक है और $\abs{q^k} = \abs q^k$: इसलिए श्रेणी $\sum q^k/k!$ परिमित-विमीय (अतः [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)) समष्टि में निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है, जिस पर $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ का प्रभुत्व है। किसी इकाई शुद्ध $u$ के लिए: $u^2 = -1$, अतः $(\theta u)^{2m} =
(-1)^m\theta^{2m}$ और $(\theta u)^{2m+1} =
(-1)^m\theta^{2m+1}u$; और श्रेणी को विभाजित करने पर

$$
\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} +
u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta +
\sin\theta\,u .
$$

कोई भी $q \in S^3$ $\alpha \in \intcc0\pi$ (प्रश्न 5) के साथ $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ है: $q = \exp(\alpha u)$, अतः $\exp(P) = S^3$। अंत में प्रश्न 9 के संकेतन में $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u
= q(2s)$, और वहाँ $\rho_{q(t)} =
\eu^{tA_u}$: $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$।

**18.** सारणी के साथ $vw$ का निर्देशांकशः प्रसार करने पर: गुणनफल $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$, … अदिश $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ देते हैं, और मिश्रित गुणनफल ($\mathrm{ij} = \mathrm k$, $\mathrm{ji} =
-\mathrm k$, …) सदिश $(v_2w_3 - v_3w_2,\
v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$: अतः $vw = -\langle v,
w\rangle + v\wedge w$। उलटा गुणनफल घटाने पर: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (अदिश भाग निरस्त हो जाते हैं, और तिर्यक गुणनफल जुड़ जाते हैं)। आव्यूहों के लिए, $a\wedge(b\wedge
c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ के साथ:

$$
[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x)
= w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle
= (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .
$$

अवकलज: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (संयुग्मन [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और शुद्ध क्वाटर्नियनों को ऋणात्मक कर देता है), अतः

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx -
xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :
$$

अर्थात् अवकलज $v \mapsto 2A_v$ है, जो $P$ से प्रतिसममित आव्यूहों पर कोई रैखिक एकैकी आच्छादन है, और $[2A_v, 2A_w]
= 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ दिखा देता है कि वह क्वाटर्नियन [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) को आव्यूह [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) तक ले जाता है।

**19.** $\rho$ लगाने पर: $\rho(\varepsilon(t)) =
\rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} =
\operatorname{id}$, अतः $\varepsilon(t) \in \ker\rho =
\{\pm1\}$ (प्रश्न 4)। [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिचित्रणों $t \mapsto s(R(t))$ और $t \mapsto q(t)^{-1} =
\bar{q(t)}$ के गुणनफल के रूप में $\varepsilon$ [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) अंतराल $\intcc0{2\pi}$ पर विविक्त युग्म $\{\pm1\}$ में मान लेते हुए [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः वह अचर है, कहिए $\varepsilon(t) \equiv
\varepsilon$। पर $R(0) = R(2\pi) = I$, अतः $s(R(0)) =
s(R(2\pi))$, जबकि $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) =
\varepsilon$ और $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) =
-\varepsilon$: विरोधाभास। कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) अनुभाग विद्यमान नहीं: चिह्न अस्पष्टता $\pm q$ वैश्विक है, किसी विशेष सूत्र का दोष नहीं।

**20.** *आच्छादक:* प्रत्येक $R \in SO(3)$ किसी इकाई $u$ और $\theta \in
\intcc0{2\pi}$ के लिए $\eu^{\theta A_u}$ है (प्रश्न 6 और 8); और यदि $\theta > \pi$ हो, तो रोद्रीग $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi -
\theta)A_{-u}}$ देता है (दोनों $I + \sin\theta A_u + (1 -
\cos\theta)A_u^2$ के बराबर, और $\sin(2\pi -
\theta) = -\sin\theta$, $\cos(2\pi - \theta) =
\cos\theta$ के साथ $A_{-u} = -A_u$), अतः $\norm v \leq \pi$ के साथ $R = E(v)$। *भीतर एकैकी:* यदि $\norm v, \norm{v'} < \pi$ के साथ $E(v) = E(v') \neq I$ हो, तो प्रश्न 13 संचिह्न से वही कोण $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ पुनः प्राप्त करता है, और चूँकि $\sin\theta \neq 0$, प्रतिसममित भाग से वही अक्ष: $v = v'$; और $E(v) = I$ विवृत गोले पर $\theta \in \{0\}$ अनिवार्य कर देता है। *परिसीमा:* $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ $u$ पर केवल $uu^{\mathsf T}$ के माध्यम से निर्भर करता है, जिससे $E(\pi u) =
E(-\pi u)$; और विलोमतः $u$ पर लगाया गया $2uu^{\mathsf T} - I =
2u'u'^{\mathsf T} - I$ $u = \langle
u', u\rangle u'$ देता है, अतः $u' = \pm u$। [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) और परिसीमा कभी नहीं टकराते (संचिह्न $> -1$ बनाम $= -1$)। अतः $E$ प्रतिध्रुवीय-चिपकाने वाले गोले — जो [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है — से $SO(3)$ पर कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन प्रेरित करता है: अर्थात् कोई [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), और $SO(3)
\cong \mathbb{RP}^3$। $\pi u$ से $-\pi u$ तक के किसी व्यास के अंत-बिंदु चिपके हुए हैं: अतः वह $SO(3)$ में कोई फंदा है, और उसका $E$-वर्णन $u$ के परितः पूरा चक्कर लगाते घूर्णनों वाले प्रश्न 10 के कुल से मेल खाता है।

**21.** $\rho$ कोई समाकारिता है और $\rho_p^{-1} =
\rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$, अतः $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1}
= \rho_{pq\bar p}$; और प्रश्न 16 से किसी घूर्णन का संयुग्मन उसका कोण सुरक्षित रखता है तथा उसकी अक्ष को $\rho_p$ भर घुमा देता है। अंतर्वलन: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ तभी और केवल तभी जब $q^2 = \pm1$। यदि $q^2 = 1$ हो, तो $(q - 1)(q + 1) = q^2 -
1 = 0$ (केंद्रीय अदिश, अतः यह गुणनखंडन वैध है) और विभाजन वलय $\mathbb H$ में $q = \pm1$, जिससे $\rho_q
= I$ मिलता है, जो अपवर्जित है; और $q = a +
su$ के साथ $q^2 = -1$ $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ देता है, अतः $a = 0$, $s = 1$: इसलिए $q$ कोई इकाई शुद्ध $w$ है, और $\rho_w$ $w$ के परितः अर्ध-चक्कर है (कोण $\pi$, प्रश्न 5)। [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions): यदि $\rho_q$ प्रत्येक $\rho_p$ के साथ क्रमविनिमेय हो, तो $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$, अतः $\varepsilon(p) \in
\{\pm1\}$ के साथ $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$; और $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) $S^3$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है तथा $p =
1$ पर $1$ के बराबर, अतः $\equiv 1$: इसलिए $q$ समूचे $S^3$ के साथ, और (पुनःमापन से) समूचे $\mathbb H$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः $q \in \R \cap S^3 =
\{\pm1\}$ (प्रश्न 1) और $\rho_q = I$: अर्थात् [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) तुच्छ है।

**22.** चूँकि $u \perp w$ इकाई शुद्ध हैं, अतः $uw =
u\wedge w$ शुद्ध है (प्रश्न 18), इसलिए

$$
w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge
w
$$

शुद्ध है, जिसका मानक $\abs q\abs w = 1$ है। तब $w'w = qw\cdot w
= qw^2 = -q$, और

$$
\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .
$$

दोनों अक्ष $w$ और $w' = \cos\frac\theta2 w +
\sin\frac\theta2(u\wedge w)$ घूर्णन अक्ष पर लांबिक समतल $u^\perp$ में हैं, और $\langle w', w\rangle
= \cos\frac\theta2$: अतः वे अर्ध-कोण $\frac\theta2$ बनाते हैं। यही शास्त्रीय जनन है: कोण $\frac\theta2$ पर मिलती अक्षों के परितः दो अर्ध-चक्कर संयोजित होकर उनके उभयनिष्ठ लंब के परितः कोण $\theta$ का घूर्णन बना देते हैं।

**23.** संहतता प्रश्न 7 है। [पथ-संबद्धता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected): $SO(3) = \rho(S^3)$ [पथ-संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected) गोलक का [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब है; अथवा वैकल्पिक रूप से, प्रतिसममित $A$ (प्रश्न 8) के साथ $R = \eu^{A}$ के लिए $t \mapsto \eu^{tA}$ $SO(3)$ में $I$ से $R$ तक कोई [पथ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected) है (लांबिक क्योंकि $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$, और $t = 0$ से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) द्वारा सारणिक $1$)। $O(3)$ के लिए: $\det$ $\{\pm1\}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) आच्छादक है, अतः $O(3)$ असंबद्ध है; और $\det D = -1$ वाले किसी भी स्थिर $D$ के लिए $O(3) = SO(3)
\sqcup D\,SO(3)$ (उदाहरणार्थ $D = -I$), तथा $D$ से बायाँ गुणन कोई [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः ठीक दो घटक, प्रत्येक $SO(3)$ की एक प्रतिकृति। इस प्रकार दो-से-एक $\rho$, जो प्रश्न 19 से अनुभाग-रहित है, [सरल संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#def-b3-conformal-simplyconnected) $S^3$ द्वारा किसी [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समूह का ईमानदार द्विक आवरण है — अर्थात् पट्टी युक्ति के पीछे की ज्यामिति।

**24.** (क) आव्यूह:

$$
R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &
0\end{pmatrix}.
$$

संचिह्न $0 = 1 + 2\cos\theta$ $\cos\theta = -\frac12$ देता है: $\theta = \frac{2\pi}3$। प्रतिसममित भाग $\frac{R -
R^{\mathsf T}}2$ की प्रविष्टियाँ अक्ष को $\sin\theta\,(v_3,
-v_2, v_1)$-वार कूट रूप में रखती हैं: यहाँ $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 =
\frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1
& 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, जो (भाग V का शब्दकोश $A_v$) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ के रूप में पढ़ा जाता है; और $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ के साथ: $v = \frac1{\sqrt3}(1,
-1, 1)$। (ख) क्वाटर्नियन: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k =
\frac{\sqrt2}2(1 + k)$, $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$, और

$$
q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik)
= \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)
$$

($ik = -j$)। अतः $\cos\frac\theta2 = \frac12$: $\theta =
\frac{2\pi}3$, और सदिश भाग $\frac12(i - j + k)$ की दिशा $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ है — वही उत्तर, जिसमें क्वाटर्नियन मार्ग को किसी आव्यूह गुणनफल के बजाय एक पंक्ति के गुणन की आवश्यकता पड़ी: यही व्यावहारिक कारण है कि उड़ान सॉफ़्टवेयर अभिवृत्तियों का संयोजन $S^3$ में करता है।

**25.** $I + K$ व्युत्क्रमणीय: $(I + K)v = 0$ $0 =
\langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ दे देता है (प्रतिसममिति दूसरा पद मार देती है): $v = 0$। $C = C(K)$ की लांबिकता: $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ का और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि चारों आव्यूह $I \pm K$, $(I \pm K)^{-1}$ क्रमविनिमेय हैं ($K$ में बहुपदीय व्यंजक, और साथ में सीमाएँ):

$$
C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T}
(I - K)(I + K)^{-1}
= (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .
$$

सारणिक: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf
T}\bigr) = \det(I + K)$, अतः $\det C = 1$: $C \in SO(n)$। कोई अभिलक्षणिक मान $-1$ नहीं: $Cv = -v$ का अर्थ है $w = (I + K)^{-1}v$ के लिए $(I - K)w = -(I + K)w$, अर्थात् $2w = 0$: $v = 0$। प्रतिलोमन: $C(I + K) = I - K$ से $K(I + C) = I -
C$ हल कीजिए; और चूँकि $-1 \notin \operatorname{Sp}C$, अतः $I + C$ व्युत्क्रमणीय है तथा $K = (I - C)(I + C)^{-1}$, जो तब-तब प्रतिसममित होता है जब $C$ अभिलक्षणिक मान $-1$ के बिना लांबिक हो (व्यंजक का पक्षांतरण लीजिए और $C^{\mathsf T} =
C^{-1}$ का उपयोग कीजिए: $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} =
(C - I)(C + I)^{-1} = -K$)। दोनों प्रतिचित्रण रचना से परस्पर प्रतिलोम हैं: अर्थात् $SO(n)$ के उस सघन विवृत टुकड़े का, जो अभिलक्षणिक मान $-1$ से बचता है, कोई वैश्विक परिमेय प्राचलन — न कोई श्रेणी, न त्रिकोणमिति; और विमा $3$ में वह भेस बदला अर्ध-कोण प्रतिस्थापन $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ ही है।