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title: "अवकल रूप और स्टोक्स की प्रमेय"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem
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# अध्याय 21 — अवकल रूप और स्टोक्स की प्रमेय

विश्लेषण की एक प्रमेय ने दो शताब्दियों में अपनी जाति की शेष सभी प्रमेयों को अपने में समा लिया है: कलन की मूल प्रमेय, ग्रीन–रीमान (दूसरे वर्ष के खंड में सिद्ध), गाउस की अपसरण प्रमेय, केल्विन–स्टोक्स की कर्ल प्रमेय — इनमें से प्रत्येक कहती है कि किसी क्षेत्र पर किसी अवकलज का समाकल [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) पर मूल वस्तु के समाकल के बराबर है। *[अवकल रूपों](#def-b3-forms-diffform)* की भाषा उन सबको एक ही कथन $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$ बना देती है, और उस कथन को एक ही आघात में सिद्ध करने योग्य भी। यह अध्याय वह भाषा ईमानदारी से बनाता है — एकांतर बहुरैखिक बीजगणित, [बाह्य अवकलज](#def-b3-forms-d), [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback), [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation), [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#ch-b3-submanifolds) के उपबहुविधों पर समाकलन — स्टोक्स की प्रमेय सिद्ध करता है, और पहले चेक भुनाता है: शास्त्रीय समाकल प्रमेय, वह [घूर्णन संख्या](#def-b3-forms-winding) जो चुपचाप [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues) चला रही थी, और सप्ताहांत समस्या में ब्राउवर की स्थिर-बिंदु प्रमेय। सर्वत्र *चिकना* से अभिप्राय है $\mathcal
C^\infty$; और जब तक अन्यथा न कहा जाए, प्रत्येक प्रतिचित्रण और रूप चिकना है। इससे इस स्तर पर काम की कोई व्यापकता नहीं खोती और हाथ खुल जाते हैं।

## 21.1 एकांतर बहुरैखिक बीजगणित

**परिभाषा 21.1.**

मान लीजिए $E$ विमा $n$ की कोई वास्तविक सदिश समष्टि है। $E$ पर *$k$-रैखिक एकांतर रूप* ऐसा प्रतिचित्रण $\alpha\colon E^k \to \R$ है जो प्रत्येक चर में रैखिक हो और जिसके लिए दो कोटियाँ बराबर होने पर $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ हो। उनकी समष्टि $\Lambda^k E^*$ लिखी जाती है; और परिपाटी से $\Lambda^0E^* = \R$। एकांतरता प्रतिसममिति अनिवार्य कर देती है: दो कोटियों की अदला-बदली चिह्न बदल देती है ($\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ का प्रसार कीजिए), और अधिक व्यापक रूप से प्रत्येक क्रमचय $\sigma$ के लिए $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) =
\varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$।

**उदाहरण 21.2.**

$E = \R^n$ पर: $\Lambda^1E^* = E^*$ [द्वैत समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator) है; विहित आधार में सारणिक एक $n$-रैखिक [एकांतर रूप](#def-b3-forms-alternating) है, और [प्रतिज्ञप्ति 21.4](#prop-b3-forms-basis) दिखा देगा कि वह $\Lambda^nE^*$ को फैला देता है — यही वह गहरा कारण है कि सारणिक मापन तक अद्वितीय है। $k > n$ के लिए $\Lambda^kE^* = \{0\}$: $k$ सदिश आश्रित होते हैं, और एक को दूसरों के अनुदिश फैलाने पर एकांतरता $\alpha$ को मार देती है।

**परिभाषा 21.3.**

$\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$ के लिए उनका *बाह्य गुणन* $k$-रैखिक [एकांतर रूप](#def-b3-forms-alternating)

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

है। एकांतरता और बहुरैखिकता सारणिक की, उसके स्तंभों में, वही हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 21.4 (Λk\Lambda^kΛk का आधार).**

मान लीजिए $(e_1, \dots, e_n)$ $E$ का कोई आधार है जिसका द्वैत आधार $(e_1^*, \dots, e_n^*)$ है। तब रूप

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

$\Lambda^kE^*$ का आधार बनाते हैं; अतः $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$। स्पष्ट रूप से, $\alpha =
\sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$।

**उपपत्ति.** *जनकता।* मान लीजिए $\alpha \in \Lambda^kE^*$ और $\beta =
\sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, जहाँ $\alpha(e_I)$ $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$ का संक्षेप है। दोनों पक्ष $k$-रैखिक और एकांतर हैं, अतः वे तभी सहमत हो जाते हैं जब $j_1 < \dots <
j_k$ वाले सभी $k$-बहुकों $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ पर सहमत हों (बहुरैखिकता आधार सदिशों के बहुकों तक सिमटा देती है, और एकांतरता कड़ाई से बढ़ते हुए बहुकों तक)। और $e_I^*(e_{j_1},
\dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: $I = J$ के लिए आव्यूह तत्समक है; और $I \neq J$ के लिए कोई पंक्ति शून्य होती है। अतः सभी $J$ के लिए $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$: इसलिए $\beta = \alpha$। *स्वतंत्रता।* यदि $\sum_I c_Ie_I^* = 0$ हो, तो $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ पर मान लेने से $c_J = 0$ मिलता है। ∎

**परिभाषा 21.5.**

[बाह्य गुणन](#def-b3-forms-wedge) द्विरैखिक प्रतिचित्रण $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to
\Lambda^{k+\ell}E^*$ तक बढ़ जाता है, जो द्विरैखिकता और $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ से निर्धारित होता है (जोड़िए और पुनःक्रमित कीजिए; $I \cap J \neq
\varnothing$ होने पर गुणनफल $0$ है)। वह साहचर्य और *श्रेणीबद्ध-प्रतिक्रमविनिमेय* है:

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**उपपत्ति.** दोनों गुण आधार अवयवों पर जाँचे जाते हैं और द्विरैखिकता से बढ़ा दिए जाते हैं। साहचर्यता: [परिभाषा 21.3](#def-b3-forms-wedge) के सारणिक सूत्र (खंडों द्वारा लाप्लास प्रसार) से $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ के दोनों कोष्ठकीकरण $1$-रूपों के जुड़े हुए कुल के [बाह्य गुणन](#def-b3-forms-wedge) के बराबर होते हैं। चिह्न नियम: $\beta$ के $\ell$ गुणनखंडों में से प्रत्येक को $\alpha$ के $k$ गुणनखंडों के पार ले जाने पर प्रत्येक निकटवर्ती स्थानांतरण (सारणिक की दो पंक्तियों की अदला-बदली) एक चिह्न की कीमत लेता है, अतः कुल $(-1)^{k\ell}$। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 21.6 (प्रत्यानयन, रैखिक स्थिति).**

कोई रैखिक प्रतिचित्रण $u\colon E \to F$ प्रत्येक $k$ के लिए रैखिक प्रतिचित्रण $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$, $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots,
u(v_k))$, प्रेरित करता है। वह $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha
\wedge u^*\beta$ और $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$ संतुष्ट करता है। इसके अतिरिक्त:

1. यदि $\dim E = n$ और $u\colon E \to E$ हो, तो रेखा $\Lambda^nE^*$ पर: $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ ।
2. यदि $\operatorname{rk}u < k$ हो, तो $\Lambda^kF^*$ पर $u^* = 0$ ।

**उपपत्ति.** कार्यकीय सर्वसमिकाएँ परिभाषाओं से तत्काल निकलती हैं (गुणनफल नियम के लिए $1$-रूपों के बाह्य गुणनों पर सारणिक सूत्र से जाँचिए — $\det(\ell_i(uv_j)) =
\det((u^*\ell_i)(v_j))$ — फिर द्विरैखिक रूप से बढ़ाइए)। (1) $u^*$ एक-विमीय $\Lambda^nE^*$ ([प्रतिज्ञप्ति 21.4](#prop-b3-forms-basis)) को उसी पर भेजता है, अतः $u^*\alpha =
c\,\alpha$, जहाँ $c$ $\alpha \neq 0$ से स्वतंत्र है; $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ और $(v_j) =
(e_j)$ पर परीक्षा लेने से $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$ मिलता है। (2) $v_1, \dots, v_k \in E$ के लिए सदिश $u(v_1), \dots,
u(v_k)$ $u$ के प्रतिबिंब में होते हैं, जिसकी विमा $< k$ है: अतः वे रैखिकतः आश्रित हैं, और कोई [एकांतर रूप](#def-b3-forms-alternating) किसी आश्रित कुल पर लुप्त हो जाता है (आश्रित सदिश को दूसरों के अनुदिश फैलाइए)। ∎

## 21.2 अवकल रूप और बाह्य अवकलज

**परिभाषा 21.7.**

मान लीजिए $U \subseteq \R^n$ विवृत है। $U$ पर *अवकल $k$-रूप* कोई चिकना प्रतिचित्रण $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$ है; [प्रतिज्ञप्ति 21.4](#prop-b3-forms-basis) के आधार में (जहाँ $e_i^*$ के लिए $\dd x_i$ लिखा जाता है),

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

जिसमें गुणांक $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$ चिकने हैं। उनकी समष्टि $\Omega^k(U)$ है; और $\Omega^0(U) = \mathcal
C^\infty(U)$। कोई $0$-रूप एक फलन है; कोई $1$-रूप रैखिक रूपों का क्षेत्र है (उदाहरणार्थ किसी फलन का अवकलज $\dd f$); और कोई $n$-रूप $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ है, जो [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product) का स्वाभाविक समाकल्य है।

**परिभाषा 21.8 (बाह्य अवकलज).**

*बाह्य अवकलज* वह रैखिक प्रतिचित्रण $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ है जो

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

से परिभाषित होता है। $0$-रूपों पर वह सामान्य अवकलज ही है।

**प्रमेय 21.9.**

(क) $\omega \in \Omega^k$ के लिए $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ (*श्रेणीबद्ध लाइब्नित्स नियम*)। (ख) $\dd \circ \dd = 0$।

**उपपत्ति.** (क) द्विरैखिकता से केवल $\omega = a\,\dd
x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है। तब $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ और

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

और $\dd b$ $1$-रूप को $\dd
x_I$ के $k$ गुणनखंडों के पार ले जाने पर $(-1)^k$ ([परिभाषा 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)) की कीमत लगती है: अतः दूसरा पद $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ है। (ख) किसी फलन के लिए: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge
\dd x_i$। श्वार्ट्स की मिश्रित आंशिक अवकलजों संबंधी प्रमेय (दूसरे वर्ष के खंड में सिद्ध; $a$ $\mathcal C^\infty$ है) से गुणांक $(i,j)$ में सममित है, जबकि $\dd x_j \wedge
\dd x_i$ प्रतिसममित है: पदों $(i,j)$ और $(j,i)$ को युग्मित करने पर सब कुछ निरस्त हो जाता है। किसी व्यापक $\omega = \sum
a_I\dd x_I$ के लिए: (क) से $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I)
= \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$, और दोनों पद लुप्त हो जाते हैं ($\dd(\dd x_I) = 0$, क्योंकि गुणांक अचर है)। ∎

**परिभाषा 21.10 (प्रत्यानयन).**

मान लीजिए $\varphi\colon U \to V$ चिकना है ($U \subseteq \R^m$, $V \subseteq \R^n$ विवृत)। *प्रत्यानयन* $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ बिंदुशः अवकलज के अनुदिश रैखिक प्रत्यानयन से परिभाषित होता है: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$। मूर्त रूप में, $\varphi^*$ प्रतिस्थापन कर देता है: फलनों पर $\varphi^*f = f \circ
\varphi$, $\varphi^*(\dd y_i) =
\dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial
x_j}\dd x_j$, और $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$।

**प्रमेय 21.11.**

(क) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ और $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$। (ख) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$: अर्थात् [बाह्य अवकलज](#def-b3-forms-d) प्रत्येक चिकने प्रतिस्थापन के साथ क्रमविनिमेय है — यही वह सर्वसमिका है जो उसे इस सिद्धांत का *वही* अवकलज बना देती है। (ग) यदि $\varphi\colon U \to V$ $\R^n$ और $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd
y_n$ के विवृत समुच्चयों के बीच चिकना हो, तो $\varphi^*\omega = (a \circ
\varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots
\wedge \dd x_n$।

**उपपत्ति.** (क) ये रैखिक प्रत्यानयनों के बारे में बिंदुशः कथन हैं ([प्रतिज्ञप्ति 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)), और साथ में शृंखला नियम $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$। (ख) किसी $0$-रूप $f$ के लिए: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ शृंखला नियम ही है। $\omega = a\,\dd y_I$ के लिए: (क) से $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$, अतः लाइब्नित्स नियम ([प्रमेय 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(क)) और $\dd\dd\varphi_{i_r} =
0$ से:

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(ग) बिंदुशः यह उच्चतम-घात रूपों पर ठीक $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ है ($u = D\varphi(x)$ के साथ [प्रतिज्ञप्ति 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1))। ∎

**उदाहरण 21.12 (ध्रुवीय निर्देशांक).**

$\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ के लिए: $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r -
r\sin\theta\,\dd\theta$, $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r
+ r\cos\theta\,\dd\theta$, अतः

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

अर्थात् [उदाहरण 11.12](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ex-b3-product-polar) का याकोबीय विशुद्ध बीजगणित से प्रकट हो जाता है — कोई [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) सिद्धांत नहीं। [अभ्यास 21.9](#exo-b3-forms-9) इस टिप्पणी को एक कथन में बदल देती है: अभिविन्यस्त समाकलों के लिए चर परिवर्तन सूत्र *वस्तुतः* [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) सूत्र ही है।

## 21.3 संवृत और यथार्थ रूप; पोंकारे प्रमेयिका

**परिभाषा 21.13.**

$\omega \in \Omega^k(U)$ *संवृत* कहलाता है यदि $\dd\omega = 0$ हो, और *यथार्थ* यदि किसी $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ के लिए $\omega = \dd\eta$ हो ($\omega$ का कोई *आद्यंतर*)। $\dd^2 = 0$ से यथार्थ $\Rightarrow$ संवृत; और विलोम $U$ के *आकार* के बारे में एक प्रश्न है।

**उदाहरण 21.14 (कोणीय रूप).**

$U = \R^2 \setminus \{0\}$ पर

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

[संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है (सीधा परिकलन: [अभ्यास 21.4](#exo-b3-forms-4)) पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं: इकाई वृत्त के अनुदिश उसका समाकल $2\pi \neq 0$ है, जबकि [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) वक्रों के अनुदिश [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) रूपों के समाकल लुप्त हो जाते हैं ([प्रतिज्ञप्ति 21.28](#prop-b3-forms-exactloop))। स्थानीय रूप से ध्रुवीय कोण के किसी भी चिकने निर्धारण $\theta$ के लिए $\omega_\theta = \dd\theta$ — और यहीं से नाम तथा बाधा दोनों आते हैं: समूचे $U$ पर ऐसा कोई निर्धारण विद्यमान नहीं है। यही एक रूप [घूर्णन संख्या](#def-b3-forms-winding) ([अनुभाग 21.6](#sec-21-6)) को चलाता है और, उसके माध्यम से, [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues) की [अवशेष](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#def-b3-residues-singularities) प्रमेय को भी।

**प्रमेय 21.15 (पोंकारे प्रमेयिका).**

मान लीजिए $U \subseteq \R^n$ विवृत और $0$ के परितः *तारकाकार* है। $U$ पर प्रत्येक [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) $k$-रूप ($k \geq 1$) [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) होता है।

**उपपत्ति.** हम एक रैखिक *समस्थेय संकारक* $h\colon
\Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ बनाते हैं जिसके लिए

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

हो; तब $\dd\omega = 0$ होने पर $\omega = \dd(h\omega)$, और काम पूरा। $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ के लिए

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

रखिए (टोपी किसी गुणनखंड को हटा देती है; समाकल $x$ में चिकने हैं, समाकल के भीतर अवकलन से, [प्रमेय 10.15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramdiff), और सभी अवकलज संहतों पर प्रभावित हैं)। [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) की जाँच जीवन में एक ही बार का परिकलन है, अतः हम उसे पूरा करते हैं। $I$ स्थिर कीजिए और $\omega =
a\,\dd x_I$ लीजिए (रैखिकता)। पहले,

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

जहाँ पहला समूह उन पदों को इकट्ठा करता है जिनमें $\dd$ गुणनखंड $x_{i_r}$ पर पड़ता है — [बाह्य गुणन](#def-b3-forms-wedge) $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ चिह्न $(-1)^{r-1}$ के साथ $\dd x_I$ को फिर से जोड़ देता है, जो पूर्व-गुणक को निरस्त कर देता है, और $r$ के $k$ मान गुणक $k$ दे देते हैं — जबकि दूसरा समूह उन पदों को इकट्ठा करता है जहाँ $\dd$ समाकल पर पड़ता है (शृंखला नियम $t\,\partial_ja(tx)$ बाहर निकाल देता है)। इसके बाद $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, और घात $k+1$ में $h$ की परिभाषा लगाने पर, जिसमें सूचकांक $j$ पहला स्थान लेता है:

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

$\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$ में द्विक योग निरस्त हो जाते हैं, जो इसलिए कलन की मूल प्रमेय से

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

के बराबर है। तारकाकारता वहीं आई जहाँ आनी चाहिए थी: $t \in \intcc01$ के लिए $tx \in U$, ताकि $a(tx)$ सार्थक हो। ∎

**टिप्पणी 21.16.**

$k = 1$ और $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$ के लिए आद्यंतर $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ है — अर्थात् रेखाखंड $[0, x]$ के अनुदिश $\omega$ का रेखा समाकल: यह प्रमेय दूसरे वर्ष के “सममित याकोबीय वाला क्षेत्र प्रवणक होता है” का बहु-चर रूप है, अब प्रत्येक घात में। कोणीय रूप ([उदाहरण 21.14](#ex-b3-forms-angular)) दिखा देता है कि $U$ पर परिकल्पना सजावट नहीं है: $\R^2\setminus\{0\}$ तारकाकार नहीं है, और वहाँ संवृतता से यथार्थता नहीं निकलती। किसी व्यापक [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर जो बचता है उसे *दे राम सह-समजातता* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ मापती है — पहली अतुच्छ गणना के लिए [अभ्यास 21.12](#exo-b3-forms-12) देखिए।

## 21.4 अभिविन्यास और उपबहुविधों पर समाकलन

किसी $k$-रूप के समाकलन के लिए $k$-विमीय अभिविन्यस्त भूमि चाहिए। [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#ch-b3-submanifolds) ([प्रमेय 20.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) से स्मरण कीजिए कि कोई $k$-उपबहुविध $M \subseteq \R^n$ स्थानीय रूप से किसी नियमित प्राचलन $\gamma\colon V \to M \cap W$ का प्रतिबिंब होता है ($V
\subseteq \R^k$ विवृत, $\gamma$ एकैकी अवकलज के साथ अपने प्रतिबिंब पर [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity))।

**परिभाषा 21.17.**

$M$ का *अभिविन्यास* प्रत्येक $p \in M$ के लिए [स्पर्श समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$ के आधारों के दो अभिविन्यास वर्गों में से एक का ऐसा चयन है जो *स्थानीय रूप से संगत* हो: प्रत्येक बिंदु के आसपास कोई ऐसा प्राचलन $\gamma$ हो जिसकी निर्देशांक चौखट $(\partial_1\gamma, \dots,
\partial_k\gamma)$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त हो। ऐसे प्राचलन *प्रत्यक्ष* कहलाते हैं। $M$ *अभिविन्यासनीय* कहलाती है यदि कोई अभिविन्यास विद्यमान हो; मोबियस पट्टी दिखा देती है कि यह विफल भी हो सकता है। इस अध्याय की सभी उपबहुविध अभिविन्यस्त हैं।

**परिभाषा 21.18 (किसी रूप का समाकल).**

मान लीजिए $M$ कोई अभिविन्यस्त $k$-उपबहुविध है और $\omega$ $M$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर परिभाषित कोई $k$-रूप, जिसमें $\operatorname{supp}\omega \cap M$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) हो। (क) यदि किसी एक ही प्रत्यक्ष प्राचलन के लिए $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq
\gamma(V)$ हो, तो

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

रखिए — जहाँ दायाँ पक्ष $V$ ([अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product)) पर $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ के गुणांक $g$ का लेबेग समाकल है, जो [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब के साथ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। (ख) व्यापक स्थिति में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\operatorname{supp}\omega \cap M$ को आच्छादित करने वाले परिमित संख्या के प्रत्यक्ष प्राचलन $\gamma_i(V_i)$ और उनके अधीनस्थ [इकाई विभाजन](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ ([प्रमेयिका 21.20](#lem-b3-forms-partition)) चुनिए, और $\int_M\omega =
\sum_i\int_M\chi_i\,\omega$ रखिए, जिसका प्रत्येक पद (क) से परिकलित होता है। किसी वक्र ($k = 1$) के लिए, जो $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ से प्राचलित हो, हम $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$ लिखते हैं, और इसके लिए किसी एकैकीपन की आवश्यकता नहीं।

**प्रमेयिका 21.19 (संगति).**

परिभाषा (क) प्रत्यक्ष प्राचलन पर निर्भर नहीं करती, और परिभाषा (ख) न आवरण पर निर्भर करती है, न [इकाई विभाजन](#lem-b3-forms-partition) पर। इसके अतिरिक्त, यदि $\Phi$ $\Phi(M) = M'$ के साथ दो अभिविन्यस्त उपबहुविधों के प्रतिवेशों की कोई अवकल समरूपता हो जो $M$ के प्रत्येक घटक के किसी बिंदु पर $M$ की किसी प्रत्यक्ष चौखट को $M'$ की प्रत्यक्ष चौखट पर ले जाती हो, तो $\int_{M'}\omega =
\int_M\Phi^*\omega$।

**उपपत्ति.** (क) मान लीजिए $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ ऐसे प्रत्यक्ष प्राचलन हैं जिनके प्रतिबिंबों में $\operatorname{supp}\omega\cap M$ है। संक्रमण $\tau =
\delta^{-1}\circ\gamma$ $V, V'$ के संगत विवृत उपसमुच्चयों के बीच अवकल समरूपता है (संक्रमणों की चिकनाई: स्थानीय आलेख वर्णन के माध्यम से [प्रमेय 20.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)), और वहाँ $\gamma = \delta\circ\tau$, अतः $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ ([प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(क))। $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ लिखिए; तब ([प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(ग)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$। दोनों चौखटें प्रत्यक्ष होने के कारण $D\tau$ किसी धनात्मक आधार को धनात्मक आधार पर भेजता है: अतः $\det D\tau > 0$, इसलिए $\det D\tau =
\abs{\det D\tau}$, और चर परिवर्तन प्रमेय ([प्रमेय 11.11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-changeofvar)) $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$ दे देती है: अर्थात् दोनों समाकल सहमत हैं। *[अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) के अस्तित्व का पूरा कारण यही है*: चिह्न नियंत्रण के बिना याकोबीय और उसका निरपेक्ष मान भिन्न हो जाते हैं और समाकल अपरिभाषित हो जाता है। (ख) यदि $(\chi_i)$ और $(\tilde\chi_j)$ दो स्वीकार्य विभाजन (आवरण सहित) हों, तो (क) और परिमित योज्यता से $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, और प्रत्येक द्विक पद किसी भी चार्ट में परिकलनीय है। अंतिम कथन: यदि $\gamma$ $M$ के प्रत्यक्ष प्राचलनों में विचरे, तो $\Phi\circ\gamma$ $M'$ के प्रत्यक्ष प्राचलनों में विचरता है ([अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) तुलना स्थानीय रूप से अचर है, और प्रति घटक एक बिंदु पर नियत की गई है), और $(\Phi\circ\gamma)^*\omega =
\gamma^*(\Phi^*\omega)$। ∎

**प्रमेयिका 21.20 (इकाई विभाजन, संहत स्थिति).**

मान लीजिए $K \subseteq \R^n$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है और [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $W_1, \dots, W_m$ $K$ को आच्छादित करते हैं। तब $0 \leq \chi_i \leq 1$, [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$, और $K$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर $\sum\chi_i = 1$ वाले $\chi_1, \dots, \chi_m \in
\mathcal C^\infty(\R^n)$ विद्यमान हैं।

**उपपत्ति.** प्रत्येक $x \in K$ किसी $W_{i(x)}$ में होता है जिसके साथ कोई [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) गोला $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; और संहतता ऐसे $x_1, \dots, x_N$ निकाल देती है कि गोले $B(x_s, r_{x_s})$ $K$ को आच्छादित कर दें। प्रत्येक $s$ के लिए कोई उभार $\theta_s \in \mathcal
C^\infty$ लीजिए जिसमें $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\bar B(x_s, r_{x_s})$ पर $\theta_s = 1$, और $\operatorname{supp}\theta_s
\subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (त्रिज्या $\frac32r_{x_s}$ के गोले के सूचक का मृदुकरण कीजिए, [प्रमेय 12.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#thm-b3-lp-regularization))। प्रत्येक $s$ को $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ वाले किसी एक सूचकांक $i(s)$ को सौंपिए और $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$ रखिए। [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$ पर फलन $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ काम कर देते हैं, पर वे केवल वहीं परिभाषित हैं; वैश्विक बनाने के लिए $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ ऐसा लीजिए कि जहाँ $\sum_j\Theta_j
\geq 1$ वहाँ $\rho = 0$ और जहाँ $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ वहाँ $\rho > 0$ ($1 - \sum_j\Theta_j$ के किसी उपयुक्त कर्तन का मृदुकरण कीजिए), और

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

रखिए। हर जगह हर $> 0$ है और $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$ पर वह $\sum_j\Theta_j$ के बराबर है, जो $K$ का एक विवृत [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) है ($K$ का प्रत्येक बिंदु किसी गोले $B(x_s, r_{x_s})$ में होता है जहाँ $\theta_s = 1$); और वहाँ $\sum_i\chi_i = 1$। आलंब और परिबंध स्पष्ट हैं। ∎

## 21.5 स्टोक्स की प्रमेय

**परिभाषा 21.21.**

*परिसीमा सहित $k$-उपबहुविध* $M \subseteq \R^n$ वह समुच्चय है जो दो प्रकार के नियमित प्राचलनों से आच्छादित हो: *आंतरिक चार्ट* $\gamma\colon V \to M \cap W$ जिनमें $V \subseteq \R^k$ विवृत है, और *परिसीमा चार्ट* $\gamma\colon V \cap H^k \to M
\cap W$, जहाँ $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ और $\gamma$ विवृत $V$ तक चिकनाई और नियमितता के साथ बढ़ जाता है। *परिसीमा* $\partial M$ उन बिंदुओं का समुच्चय है जो $u_k = 0$ पर पहुँचे जाते हैं; वह परिसीमा रहित $(k-1)$-उपबहुविध है, जो प्रतिचित्रणों $u' \mapsto \gamma(u',
0)$ से प्राचलित होती है। $M$ का कोई [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) *बहिर्मुखी-अभिलंब-पहले* नियम से $\partial M$ पर एक [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) प्रेरित करता है: $p \in \partial M$ पर $T_p\partial M$ का कोई आधार $(w_1, \dots, w_{k-1})$ धनात्मक है तभी और केवल तभी जब $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ $T_pM$ का धनात्मक आधार हो, जहाँ $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ $M$ से बाहर की ओर संकेत करता है (किसी परिसीमा चार्ट में: $\nu =
-\partial_k\gamma$, स्पर्शी घटक जोड़ने तक — [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) वर्ग उन्हें नहीं देखता)।

![बहिर्मुखी-अभिलंब-पहले नियम: प्रत्येक परिसीमा बिंदु पर बहिर्मुखी सदिश को पहले रखिए; जो आधार उसे M की धनात्मक चौखट तक पूरा करते हैं वही M को अभिविन्यस्त करते हैं। मानक अभिविन्यास वाले किसी समतलीय प्रांत के लिए यह ग्रीन–रीमान का वामावर्त नियम ही है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-99a6a4be7909.svg)

*बहिर्मुखी-अभिलंब-पहले नियम: प्रत्येक [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) बिंदु पर बहिर्मुखी सदिश $\nu$ को पहले रखिए; जो आधार उसे $M$ की धनात्मक चौखट तक पूरा करते हैं वही $\partial M$ को अभिविन्यस्त करते हैं। मानक [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) वाले किसी समतलीय प्रांत के लिए यह ग्रीन–रीमान का वामावर्त नियम ही है।*

**प्रमेयिका 21.22 (अर्ध-समष्टि पर स्टोक्स).**

मान लीजिए $\eta$ $\R^k$ पर [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाला कोई चिकना $(k-1)$-रूप है। तब

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

जहाँ $H^k$ $\R^k$ का मानक [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) धारण करता है और $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation), जो $\R^{k-1}$ के मानक [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) का $(-1)^k$ गुना है।

**उपपत्ति.** पहले [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) का लेखा-जोखा: $\partial H^k$ के अनुदिश बहिर्मुखी अभिलंब $-e_k$ है, और

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

अर्थात् $\partial H^k$ की चौखट $(e_1, \dots, e_{k-1})$ प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) के लिए ठीक तब धनात्मक है जब $k$ सम हो, जिससे कहा गया मिलान निकलता है। रैखिकता से $\eta
= f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$ लीजिए; तब $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ($\dd u_i$ को उसके स्थान तक ले जाने पर $i - 1$ अदला-बदलियाँ लगती हैं)। दो स्थितियाँ, और दोनों टोनेली–फुबिनी ([प्रमेय 11.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-fubini)) तथा एक-चर वाली कलन की मूल प्रमेय से।

*स्थिति $i < k$।* पहले $\R$ पर $u_i$ में समाकलन करने पर: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ ([संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब), अतः $\int_{H^k}\dd\eta = 0$। और $\{u_k = 0\}$ पर $\eta$ के प्रतिबंध में गुणनखंड $\dd u_k$ होता है, जो $0$ तक प्रतिबंधित हो जाता है (वहाँ $u_k$ अचर है): अतः $\int_{\partial H^k}\eta =
0$ भी।

*स्थिति $i = k$।* पहले $\intco0\infty$ पर $u_k$ में समाकलन करने पर:

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

[परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) वाली ओर $\eta$ $f(u',
0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ तक प्रतिबंधित हो जाता है, और प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) मानक [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) का $(-1)^k$ गुना होने के कारण $\int_{\partial H^k}\eta =
(-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$। दोनों पक्ष सहमत हैं। ∎

**प्रमेय 21.23 (स्टोक्स).**

मान लीजिए $M \subseteq \R^n$ [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) सहित कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अभिविन्यस्त $k$-उपबहुविध है, $\partial M$ प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) धारण करती है, और $\omega$ $M$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर कोई चिकना $(k-1)$-रूप। तब

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

विशेष रूप से, यदि $\partial M = \varnothing$ हो: $\int_M\dd\omega = 0$।

**उपपत्ति.** [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $M$ को परिमित संख्या के प्रत्यक्ष चार्टों (आंतरिक या [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary)) के प्रतिबिंबों से आच्छादित कीजिए, और $\R^n$ के संगत विवृत समुच्चयों $W_i$ के अधीनस्थ [इकाई विभाजन](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ लीजिए ([प्रमेयिका 21.20](#lem-b3-forms-partition)), जिसमें $M$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर $\sum\chi_i
= 1$ हो। उस [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर $\dd(\sum\chi_i) = 0$, अतः

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

और दोनों पक्ष योज्य हैं, इसलिए केवल किसी एक ही चार्ट प्रतिबिंब में आलंबित रूप के लिए प्रमेय सिद्ध करना पर्याप्त है।

*आंतरिक चार्ट।* यदि $\R^k$ में विवृत $V$ के साथ $\operatorname{supp}\omega \cap M
\subseteq \gamma(V)$ हो: $\eta =
\gamma^*\omega$ को $\R^k$ तक शून्य से बढ़ाइए (चिकना, $V$ में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब) और $\partial H^k$ से दूर आलंब के साथ [प्रमेयिका 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) लगाइए ($V$ को विवृत ऊपरी अर्ध-समष्टि में स्थानांतरित कीजिए — अथवा केवल स्थिति $i < k$ का परिकलन पूरे $\R^k$ पर दोहराइए): अतः $\int_M\dd\omega =
\int_{\R^k}\dd\eta = 0$, और $\int_{\partial M}\omega = 0$ क्योंकि $\omega$ $\partial M$ के निकट लुप्त हो जाता है।

*[परिसीमा चार्ट](#def-b3-forms-boundary)।* यदि $\operatorname{supp}\omega\cap M
\subseteq \gamma(V \cap H^k)$ हो: शून्य से बढ़ाए गए $\eta = \gamma^*\omega$ के साथ $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ ([प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(ख)), अतः [परिभाषा 21.18](#def-b3-forms-integral) से:

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{प्रमेयिका 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

अब दाईं ओर को $\int_{\partial
M}\omega$ से पहचानना शेष है। [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$ से प्राचलित है, और $\beta^*\omega$ $\{u_k = 0\}$ पर $\eta$ का प्रतिबंध है (अंतर्वेशन $u'
\mapsto (u', 0)$ के साथ $\gamma$ के संयोजन के अंतर्गत [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback))। [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) तुलना दोनों ओर वही $(-1)^k$ है: चौखट $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ $\partial M$ के प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) में चार्ट में परिकलित चिह्न $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ के साथ बैठती है (बहिर्मुखी सदिश का [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) $-e_k$ है), जो ठीक वही चिह्न है जो $\partial H^k$ के प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) को मानक $\R^{k-1}$ से जोड़ता है ([प्रमेयिका 21.22](#lem-b3-forms-halfspace))। दोनों चिह्न परिपाटियाँ निरस्त हो जाती हैं: अतः $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$। ∎

**उदाहरण 21.24 (शास्त्रीय प्रमेय).**

मान लीजिए $D \subseteq \R^2$ चिकनी [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) वाला कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) प्रांत है, जो मानक रूप से अभिविन्यस्त है। $\omega = P\,\dd x +
Q\,\dd y$ के लिए: $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ -
\partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd y$, और स्टोक्स इस रूप में पढ़ी जाती है

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

अर्थात् *ग्रीन–रीमान*, जो दूसरे वर्ष के खंड में प्रारंभिक प्रांतों के लिए सिद्ध हुई थी और अब स्वाभाविक व्यापकता में है। $\R^3$ में किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) प्रांत पर किसी सदिश क्षेत्र के अभिवाह $2$-रूप पर लगाई गई स्टोक्स *अपसरण प्रमेय* $\int_\Omega\operatorname{div}F =
\int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$ देती है, और [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) सहित किसी पृष्ठ पर किसी $1$-रूप पर लगाई गई शास्त्रीय *केल्विन–स्टोक्स* कर्ल प्रमेय; [अभ्यास 21.7](#exo-b3-forms-7) दोनों शब्दकोश विस्तार से लिखता है।

## 21.6 घूर्णन संख्या

**परिभाषा 21.25.**

मान लीजिए $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ कोई चिकना [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) वक्र है। $a$ के परितः उसकी *घूर्णन संख्या* है

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**प्रतिज्ञप्ति 21.26.**

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$; और $a$ के फलन के रूप में वह $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ के प्रत्येक [संबद्ध घटक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-components) पर अचर है तथा अपरिबद्ध घटक पर शून्य। $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$ के लिए: $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$।

**उपपत्ति.** $a = 0$ लीजिए और $\gamma = (x, y)$, $\rho =
\norm\gamma > 0$, $\vartheta(t) =
\int_0^t\gamma^*\omega_\theta$ लिखिए, जिससे $\vartheta' =
\frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$। सम्मिश्र संकेतन में $u(t)
= \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$ लीजिए; तब $\abs u = 1$, और सीधा परिकलन

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

देता है, क्योंकि $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ और $\rho\rho' = xx' + yy'$। अतः $u$ अचर है: $\abs c = 1$ के साथ $\gamma(t) =
\rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$, और $\rho(1) = \rho(0)$ के साथ $\gamma(1) = \gamma(0)$ से $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$ अनिवार्य हो जाता है: इसलिए $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$, अर्थात् $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$। [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) वक्र के विवृत पूरक पर $a$ के फलन के रूप में परिभाषक समाकल [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है ([प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramcont), प्रत्येक $a$ के [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर प्रभुत्व); और कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) पूर्णांक-मान वाला फलन स्थानीय रूप से अचर होता है, अतः घटकों पर अचर। बड़े $\norm a$ के लिए समाकल्य $O(1/\norm a)$ में एकसमान रूप से $t$ है, अतः सूचकांक $0$ की ओर जाता है और अपरिबद्ध घटक पर लुप्त हो जाता है। वृत्त के लिए: सीधे $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$। ∎

**टिप्पणी 21.27.**

$\C \cong \R^2$ के अंतर्गत $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$, अतः $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$: यही [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues) का सूचकांक है, और [प्रतिज्ञप्ति 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) उसकी पूर्णांकता तथा स्थानीय अचरता को वास्तविक-चर साधनों से पुनः सिद्ध कर देती है — अर्थात् [अवशेष](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#def-b3-residues-singularities) प्रमेय का संस्थितिक आधा भाग, जो अब स्टोक्स पर खड़ा है।

**प्रतिज्ञप्ति 21.28.**

यदि $\omega = \dd f$ विवृत $U$ पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) हो और $\gamma\colon\intcc01\to U$ कोई [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) वक्र हो, तो $\int_\gamma\omega = 0$।

**उपपत्ति.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — शृंखला नियम $\gamma^*(\dd f)$ की पहचान $(f\circ\gamma)'\,\dd t$ से कर देता है। ∎

**विधि 21.29.**

रूपों के साथ परिकलन: (1) यंत्रवत चलिए — [बाह्य गुणन](#def-b3-forms-wedge) चिह्नों के साथ पुनःक्रमित होते हैं, $\dd$ गुणांकों का अवकलन करके नए $\dd
x_j$ निकालता है, और [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) प्रतिस्थापन कर देते हैं; बीजगणित पर भरोसा कीजिए, वह प्रत्येक याकोबीय को कूट रूप में रखता है। (2) किसी उपबहुविध पर किसी रूप के समाकलन के लिए: प्रत्यक्ष रूप से प्राचलन कीजिए, [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) लीजिए, और गुणांक का समाकलन कीजिए; एकमात्र जाल [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) है — कोई एक चौखट जाँच लीजिए। (3) किसी समाकल सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए स्टोक्स की आकृति ढूँढ़िए: क्या समाकल्य [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) है? क्या प्रांत कोई [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) है? (4) दो “समांतर” उपबहुविधों पर समाकलों की तुलना करने के लिए उनके बीच के क्षेत्र पर स्टोक्स लगाइए (विरूपण तर्क, [अभ्यास 21.10](#exo-b3-forms-10))। (5) किसी [संवृत रूप](#def-b3-forms-closedexact) का शून्येतर समाकल किसी संस्थितिक बाधा का प्रमाणपत्र है — कोई आद्यंतर नहीं, कोई प्रत्याकर्षण नहीं, कोई शून्य-रहित विस्तार नहीं: सप्ताहांत समस्या गोले के प्रत्याकर्षणों को इसी प्रकार मारती है।

## 21.7 अभ्यास

**अभ्यास 21.1 ★.**

$\R^3$ पर मान लीजिए $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ और $\eta =
\dd x + y\,\dd z$। $\omega\wedge\eta$, $\dd\omega$, $\dd\eta$ और $\dd(\omega\wedge\eta)$ परिकलित कीजिए, और इसी उदाहरण पर श्रेणीबद्ध लाइब्नित्स नियम सत्यापित कीजिए।

**हल — अभ्यास 21.1.**

प्रसार करके दोहराए गए गुणनखंड हटा देने पर:

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

($\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ और $-zy\,\dd
x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$ का उपयोग करते हुए)। इसके बाद $\dd\omega =
\dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y +
\dd x\wedge\dd z$ और $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$। अंततः

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z +
z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z
$$

($\omega\wedge\eta$ का पहला पद $\dd(-x)
\wedge\dd x\wedge\dd y = 0$ का योगदान करता है; तीन गुणनखंडों के चक्रीय क्रमचय सम होते हैं)। लाइब्नित्स जाँच: $\dd\omega\wedge\eta =
(\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd
z) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$, और $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd
x)\wedge\dd y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$; दोनों का योग मिल जाता है।

**अभ्यास 21.2 ★.**

$\R^3$ पर $\dd$ के तीनों अवतार पहचानिए: $f \in \Omega^0$ के लिए $\dd f \leftrightarrow \nabla f$; कार्य रूप $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$ के लिए $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$; और अभिवाह रूप $\sigma_F = F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd
z\wedge\dd x + F_3\,\dd x\wedge\dd y$ के लिए $\dd\sigma_F
\leftrightarrow \operatorname{div}F$। $\dd^2 =
0$ से सर्वसमिकाएँ $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ और $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 21.2.**

$\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ के गुणांक $\nabla f$ के ही गुणांक हैं। कार्य रूप के लिए,

$$
\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd
z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x +
(\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y =
\sigma_{\operatorname{curl}F},
$$

अर्थात् कर्ल का अभिवाह रूप ($\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$ के छह पद इकट्ठे कीजिए)। अभिवाह रूप के लिए, $\dd\sigma_F = (\partial_xF_1 + \partial_yF_2 +
\partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$: अर्थात् अपसरण। तब $\dd^2f = 0$ का पाठ $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$ है, यानी $\operatorname{curl}\nabla f = 0$, और $\dd^2\omega_F = 0$ का पाठ $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0$: दोनों सदिश सर्वसमिकाएँ एक ही सर्वसमिका हैं — $\dd^2 = 0$, दो घातों में पढ़ी गई।

**अभ्यास 21.3 ★★.**

तय कीजिए कि प्रत्येक $1$-रूप अपने प्रांत पर [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है या नहीं, [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) है या नहीं, और जब कोई आद्यंतर हो तब उसे परिकलित कीजिए: (क) $\R^3$ पर $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$; (ख) $\R^2\setminus\{0\}$ पर $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$; (ग) अर्ध-समतल $\{x > 0\}$ पर $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$।

**हल — अभ्यास 21.3.**

(क) संवृतता मिश्रित आंशिक अवकलजों की सममिति है: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$, $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$, $\partial_z(x^2) = 0 = \partial_y(2xz)$। प्रांत $\R^3$ तारकाकार है: अतः [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) ([प्रमेय 21.15](#thm-b3-forms-poincare)), जिसका आद्यंतर $f = x^2y + xz^2$ है ($\dd f$ जाँचिए)। (ख) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\tfrac12\,\dd\log(x^2 + y^2)$: समूचे $\R^2\setminus\{0\}$ पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) (अतः [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) भी) — कोणीय रूप का त्रिज्य सहोदर निरापद है। (ग) $\{x > 0\}$ पर यह रूप $\omega_\theta$ ही है, जो [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है ([अभ्यास 21.4](#exo-b3-forms-4)); अर्ध-समतल उत्तल है, अतः वहाँ वह [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) है, और वस्तुतः $f = \arctan(y/x)$ $\dd f
= \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ संतुष्ट करता है। अर्ध-समतल पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact), छिद्रित समतल पर नहीं: बाधा छिद्र में बसती है, सूत्र में नहीं।

**अभ्यास 21.4 ★★.**

(कोणीय रूप) सत्यापित कीजिए कि $\omega_\theta$ ([उदाहरण 21.14](#ex-b3-forms-angular)) [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है; $0$ के परितः त्रिज्या $r$ के वृत्त $\gamma$ के लिए $\int_\gamma\omega_\theta$ परिकलित कीजिए; निष्कर्ष निकालिए कि $\omega_\theta$ $\R^2\setminus\{0\}$ पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं है, और यह कि $\R^2\setminus\{0\}$ अपने किसी भी बिंदु के परितः तारकाकार नहीं है (दो मार्ग: [प्रमेय 21.15](#thm-b3-forms-poincare) के माध्यम से, और सीधे ज्यामिति से)।

**हल — अभ्यास 21.4.**

संवृतता: $\rho^2 = x^2 + y^2$ रखने पर

$$
\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 -
2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} =
\partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),
$$

अतः $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) -
\partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$। $\gamma(t) = (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$ पर:

$$
\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t +
\sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t,
\qquad\text{अतः}\qquad
\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .
$$

यदि $\omega_\theta$ [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) होता तो यह समाकल लुप्त हो जाता ([प्रतिज्ञप्ति 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)): अतः वह [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं है। यदि $\R^2\setminus\{0\}$ किसी $p$ के परितः तारकाकार होता, तो पोंकारे प्रमेयिका ($p$ पर स्थानांतरित) प्रत्येक [संवृत रूप](#def-b3-forms-closedexact) को [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) बना देती — विरोधाभास। सीधे: किसी भी $p
\neq 0$ के लिए $p$ से प्रांत के बिंदु $-p$ तक का रेखाखंड $0$ से होकर जाता है: अर्थात् तारकाकारता प्रत्येक बिंदु पर विफल हो जाती है।

**अभ्यास 21.5 ★★.**

(किसी अधिपृष्ठ का क्षेत्रफल रूप) मान लीजिए $M \subseteq \R^n$ कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अभिविन्यस्त अधिपृष्ठ है जिसका [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) किसी इकाई अभिलंब क्षेत्र $\nu$ से दिया गया है ($(w_1, \dots, w_{n-1})$ धनात्मक तभी और केवल तभी जब $\R^n$ में $(\nu, w_1, \dots, w_{n-1})$ धनात्मक हो)। दर्शाइए कि $(n-1)$-रूप $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ $M$ पर *क्षेत्रफल रूप* तक प्रतिबंधित हो जाता है: किसी प्रत्यक्ष प्राचलन $\gamma$ के लिए $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots
\wedge\dd u_{n-1}$, जहाँ $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ ग्राम आव्यूह है। *(ध्यान दीजिए कि $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu,
\partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$, और इस सारणिक का वर्ग कीजिए।)* $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$ परिकलित कीजिए।

**हल — अभ्यास 21.5.**

सदिशों $v_1, \dots, v_{n-1}$ के लिए सारणिक का उसके पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर

$$
\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) =
\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\,
\det\bigl((v_1, \dots, v_{n-1}) \text{ की } i
\text{ से भिन्न पंक्तियाँ}\bigr)
= \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),
$$

मिलता है, क्योंकि $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ ठीक $i$-वाँ हटाया हुआ उपसारणिक है ([परिभाषा 21.3](#def-b3-forms-wedge))। इसे $v_j =
\partial_j\gamma$ पर लगाने से: $A = (\nu\ \partial_1\gamma\ \cdots\
\partial_{n-1}\gamma)$ के साथ $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots,
e_{n-1}) = \det A$। अब ${}^t\!AA$ खंड-विकर्ण है: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ और $\langle\nu,
\partial_j\gamma\rangle = 0$ ($\nu$ अभिलंब, और $\partial_j\gamma$ स्पर्शी), अतः $(\det A)^2 =
\det({}^t\!AA) = \det G$; और किसी प्रत्यक्ष प्राचलन के लिए $\det A > 0$ (यही तो $\nu$-अभिविन्यास का अर्थ है): $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{n-1}$, अर्थात् ग्राम क्षेत्रफल अवयव। $S^2$ के लिए $\nu(x) = x$, और $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ पर गोलीय प्राचलन $\gamma(\theta, \varphi) = (\sin\varphi\cos\theta,
\sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ लीजिए (प्रत्यक्ष; इससे एक याम्योत्तर छूट जाता है, जो शून्य क्षेत्रफल वाला समुच्चय है): $\det G = \sin^2\varphi$, अतः $\int_{S^2}\sigma_\nu =
\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\,
\dd\theta = 4\pi$।

**अभ्यास 21.6 ★★.**

$\omega = x\,\dd y\wedge\dd z
+ y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$ के लिए $\int_{S^2}\omega$ परिकलित कीजिए: (क) गोलीय निर्देशांकों में सीधे; (ख) इकाई गोले पर स्टोक्स से। $S^2$ के क्षेत्रफल से $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ निकालिए, और सामान्यीकरण कीजिए: $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$, जो [प्रमेय 11.13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-ballvolume) के अनुरूप है।

**हल — अभ्यास 21.6.**

दिया गया $\omega$ $S^2$ पर $\nu(x) = x$ के लिए $\sigma_\nu$ ही है, अतः (क) वही परिकलन है जो अभी हुआ: $\int_{S^2}\omega = 4\pi$। (ख) $\dd\omega = 3\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z$, और इकाई गोले पर स्टोक्स $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$ देती है: अतः $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$। व्यापक रूप से, रूप $\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ $S^{n-1}$ पर क्षेत्रफल रूप तक प्रतिबंधित हो जाता है ([अभ्यास 21.5](#exo-b3-forms-5) में $\nu = x$), $\dd\sigma = n\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, और स्टोक्स $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ दे देती है — जो [प्रमेय 11.13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-ballvolume) के गामा-फलन सूत्रों के अनुरूप है।

**अभ्यास 21.7 ★★.**

(शब्दकोश) [प्रमेय 21.23](#thm-b3-forms-stokes) से सावधानी से निकालिए: (क) $\R^3$ में अपसरण प्रमेय ([अभ्यास 21.2](#exo-b3-forms-2) और [अभ्यास 21.5](#exo-b3-forms-5) को मिलाइए); (ख) $\R^3$ में [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) सहित किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अभिविन्यस्त पृष्ठ के लिए केल्विन–स्टोक्स प्रमेय $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$। जाँचिए कि विषुवत रेखा से घिरे ऊपरी अर्ध-गोलक पर [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) परिपाटियाँ सहमत हैं।

**हल — अभ्यास 21.7.**

(क) [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) प्रांत $\Omega$ पर अभिवाह रूप $\sigma_F$ पर लगाई गई स्टोक्स: $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x =
\int_{\partial\Omega}\sigma_F$ ([अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) वाली ओर के लिए [अभ्यास 21.2](#exo-b3-forms-2))। अब [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) वाला समाकल्य पहचानिए: $\partial\Omega$ के किसी बिंदु पर स्पर्शी $v_1, v_2$ के लिए [अभ्यास 21.5](#exo-b3-forms-5) का पहले-स्तंभ प्रसार $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$ देता है; और $F =
\langle F, \nu\rangle\nu + T$ लिखने पर, जहाँ $T$ स्पर्शी है, स्तंभ $T$ $v_1, v_2$ के समतल का संचय है, अतः $\det(T,
v_1, v_2) = 0$ और $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F,
\nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$: यही अपसरण प्रमेय है, जिसमें $\nu$ बहिर्मुखी अभिलंब है (बहिर्मुखी-अभिलंब-पहले ठीक वही प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) है)। (ख) [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) सहित पृष्ठ $S$ पर $\omega_F$ पर लगाई गई स्टोक्स: उसी पहचान से $\dd\omega_F =
\sigma_{\operatorname{curl}F}$ $\langle\operatorname{curl}F,
\nu\rangle\,\dd S$ तक प्रतिबंधित हो जाता है, जबकि [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) वक्र पर $\gamma^*\omega_F = \langle F\circ\gamma,
\gamma'\rangle\,\dd t$, अर्थात् $\oint\langle F,
\tau\rangle\,\dd\ell$। बहिर्मुखी (त्रिज्य) $\nu$ वाला ऊपरी अर्ध-गोलक: विषुवत रेखा के बिंदु $p = (1,0,0)$ पर पृष्ठ के भीतर बाहर की ओर जाने वाला सदिश $-e_3$ है; उसे धनात्मक चौखटों तक पूरा करने पर दिखता है कि विषुवत रेखा ऊपर से ($+e_3$ की ओर से) देखने पर वामावर्त तय होती है: यही दक्षिण-हस्त नियम है, अर्थात् सर्वसमिका के दोनों पक्षों पर एक ही परिपाटी।

**अभ्यास 21.8 ★★.**

(ग्रीन सर्वसमिकाएँ) चिकनी [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) वाले किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) प्रांत $\Omega \subseteq \R^n$ के [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर चिकने $u, v$ के लिए सिद्ध कीजिए

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

निष्कर्ष निकालिए: $\Omega$ पर प्रसंवादी और $\partial\Omega$ पर लुप्त होने वाला कोई फलन सर्वथा लुप्त हो जाता है, और समान [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) मानों वाले दो [प्रसंवादी फलन](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#prop-b3-conformal-harmonicholo) एक ही होते हैं — अर्थात् [अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#ch-b3-conformal) की दिरिक्ले समस्या में अद्वितीयता।

**हल — अभ्यास 21.8.**

$F = u\nabla v$ पर अपसरण प्रमेय लगाइए ([अभ्यास 21.7](#exo-b3-forms-7)(क), जिसकी उपपत्ति विमा पर निर्भर नहीं): $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v +
\langle\nabla u, \nabla v\rangle$ और $\langle F, \nu\rangle =
u\,\partial_\nu v$: यही पहली सर्वसमिका है। $u, v$ की अदला-बदली करके घटाने पर सममित पद निरस्त हो जाता है: यही दूसरी। यदि $\Omega$ पर $\Delta u = 0$ और $\partial\Omega$ पर $u = 0$ हो: तो $v = u$ के साथ पहली सर्वसमिका $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$ देती है, अतः $\nabla u
\equiv 0$ और $u$ प्रत्येक घटक पर अचर है; और प्रत्येक घटक की [संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) $\partial\Omega$ से मिलती है (परिबद्धता), जहाँ $u =
0$: इसलिए $u \equiv 0$। समान [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) मानों वाले दो [प्रसंवादी फलन](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#prop-b3-conformal-harmonicholo) ऐसे ही किसी $u$ से भिन्न होते हैं: अतः वे एक ही हैं — अर्थात् दिरिक्ले समस्या की अद्वितीयता, जो [अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#ch-b3-conformal) के चक्र पर के अस्तित्व सिद्धांत की पूरक है।

**अभ्यास 21.9 ★★.**

(चर परिवर्तन, अभिविन्यस्त रूप) मान लीजिए $\varphi\colon U
\to V$ $\det
D\varphi > 0$ वाली $\R^n$ के विवृत समुच्चयों की कोई अवकल समरूपता है, और $f$ $V$ में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब के साथ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)। दर्शाइए कि [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) सर्वसमिका $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
\int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ ऐसे $\varphi$ के लिए चर परिवर्तन प्रमेय ([प्रमेय 11.11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-changeofvar)) के तुल्य है, और ठीक-ठीक समझाइए कि याकोबीय पर का निरपेक्ष मान कहाँ चला गया।

**हल — अभ्यास 21.9.**

[प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(ग) से $\varphi^*(f\,\dd y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) =
(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, अतः [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) सर्वसमिका इस रूप में पढ़ी जाती है:

$$
\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd
y .
$$

चूँकि हर जगह $\det D\varphi > 0$ है, इसलिए $\det D\varphi =
\abs{\det D\varphi}$, और यह [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) आलंब वाले [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) समाकल्यों के लिए शब्दशः चर परिवर्तन सूत्र ([प्रमेय 11.11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-changeofvar)) है: दोनों कथनों में से प्रत्येक दूसरा ही है। निरपेक्ष मान *परिकल्पना* में चला गया: अर्थात् [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) में। [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) पलटने वाले $\varphi$ के लिए रूप सर्वसमिका एक वैश्विक ऋण चिह्न ओढ़ लेती है (रूप [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) अनुभव करते हैं), जबकि [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) सूत्र $\abs{\det}$ बनाए रखता है ([माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) नहीं करते): एक ही याकोबीय का दो प्रकार का लेखा-जोखा।

**अभ्यास 21.10 ★★★.**

(विरूपण) मान लीजिए $\omega$ $\R^3\setminus\{0\}$ पर कोई *[संवृत](#def-b3-forms-closedexact)* $2$-रूप है और $S_r$ $0$ पर केंद्रित त्रिज्या $r$ का गोलक। दर्शाइए कि $\int_{S_r}\omega$ $r > 0$ पर निर्भर नहीं करता *(दो त्रिज्याओं के बीच के खोल पर स्टोक्स लगाइए; दोनों [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) अभिविन्यासों का ध्यान रखिए)*। इसे *घन-कोण रूप*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

पर लगाइए; जाँचिए कि वह [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है, $\int_{S_r}\omega = 4\pi$ परिकलित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि वह $\R^3\setminus\{0\}$ पर [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं — $\omega_\theta$ का द्वि-विमीय सहोदर, और स्थिरवैद्युतिकी में गाउस के नियम की ज्यामितीय अंतर्वस्तु।

**हल — अभ्यास 21.10.**

खोल $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) $S_{r_2}\cup S_{r_1}$ वाला [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $3$-उपबहुविध है; और प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) $S_{r_2}$ पर गोलक का सामान्य [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) है ($A$ से बाहर की ओर $=$ $0$ से दूर) तथा $S_{r_1}$ पर उसका *विपरीत* ($A$ से बाहर की ओर $=$ $0$ की ओर)। $\dd\omega
= 0$ के साथ स्टोक्स:

$$
0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega -
\int_{S_{r_1}}\omega .
$$

घन-कोण रूप: $\rho = \norm x$ और $\sigma =
x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd
x\wedge\dd y$ के साथ $\omega = \rho^{-3}\sigma$, और

$$
\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\,
\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z
= \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .
$$

$S_r$ पर, स्पर्शी $v_1, v_2$ के लिए: $\omega(v_1, v_2) =
r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) =
r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$, अतः $\int_{S_r}\omega =
r^{-2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi$: अर्थात् $r$ में अचर, जैसा विरूपण तर्क बताता है, और शून्येतर — इसलिए $\omega$ $\R^3\setminus\{0\}$ पर [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है पर [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं (कोई [यथार्थ रूप](#def-b3-forms-closedexact) स्टोक्स से [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) रहित $S_r$ पर $0$ का समाकल देता है)। यही गाउस का नियम है: किसी इकाई आवेश के क्षेत्र का किसी भी घेरने वाले गोलक से होकर अभिवाह $4\pi$ है, त्रिज्या चाहे जो हो।

**अभ्यास 21.11 ★★.**

मान लीजिए $\gamma$ $\R^2\setminus\{0\}$ में $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$ वाला कोई चिकना [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) वक्र है। दर्शाइए कि $\R^2\setminus\{0\}$ पर *प्रत्येक* [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) $1$-रूप $\omega$ के लिए $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ *([अभ्यास 21.12](#exo-b3-forms-12) से $\omega = c\,\omega_\theta
+ \dd f$ लिखिए)*। व्याख्या: छिद्रित समतल पर आवर्तों के लुप्त होने की एकमात्र बाधा [घूर्णन संख्या](#def-b3-forms-winding) है।

**हल — अभ्यास 21.11.**

$c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ के साथ $\omega =
c\,\omega_\theta + \dd f$ लिखिए ([अभ्यास 21.12](#exo-b3-forms-12))। तब

$$
\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta +
\int_\gamma\dd f
= c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0
= n\int_{S^1}\omega,
$$

जो [प्रतिज्ञप्ति 21.28](#prop-b3-forms-exactloop) और सूचकांक की परिभाषा से निकलता है। छिद्रित समतल का प्रत्येक आवर्त एक ही पूर्णांक $n$ के अधीन है: अर्थात् [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) $1$-रूप समान [घूर्णन संख्या](#def-b3-forms-winding) वाले दो पाशों में भेद नहीं कर सकते।

**अभ्यास 21.12 ★★★.**

(पहली दे राम गणना) दर्शाइए कि $U = \R^2\setminus\{0\}$ पर प्रत्येक [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) $1$-रूप $\omega$ अद्वितीय रूप से

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

है: $(1,0)$ से $p$ तक किसी [पथ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-pathconnected) (पहले त्रिज्य टुकड़ा, फिर वृत्तीय चाप) के अनुदिश $\omega - c\,\omega_\theta$ का समाकलन करके $f(p)$ परिभाषित कीजिए, दर्शाइए कि परिणाम चयनों से स्वतंत्र है और वह भी ठीक इसलिए कि $S^1$-आवर्त लुप्त हो जाता है, और $\dd
f = \omega - c\,\omega_\theta$ जाँचिए। निष्कर्ष निकालिए: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, जो कोणीय रूप से जनित है।

**हल — अभ्यास 21.12.**

$\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$ लीजिए: यह [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है, और $c$ के चयन से $\int_{S^1}\alpha = 0$ ($\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$)। ध्रुवीय प्रतिचित्रण $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$ से [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) लीजिए, जो आच्छादक स्थानीय अवकल समरूपता $(0,
\infty)\times\R \to U$ है: *उत्तल* विवृत $(0,\infty)\times\R$ पर $\Phi^*\alpha$ [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है ([प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(ख)), अतः [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) ([प्रमेय 21.15](#thm-b3-forms-poincare)): $\Phi^*\alpha = \dd g$। स्थिर $\rho$ के लिए: $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho,
\theta) = \int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ त्रिज्या $\rho$ के वृत्त के परितः $\alpha$ का समाकल है, जो $\int_{S^1}\alpha = 0$ के बराबर है (दोनों वृत्तों के बीच का वलय [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) सहित [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) पृष्ठ है; [अभ्यास 21.10](#exo-b3-forms-10) की भाँति स्टोक्स, एक विमा नीचे)। अतः $g$ $\theta$ में $2\pi$-आवर्ती है और $U$ पर किसी सुपरिभाषित फलन $f$ तक उतर आता है, जिसके लिए $f\circ\Phi = g$; $f$ चिकना है ($\Phi$ स्थानीय अवकल समरूपता है) और $\Phi^*(\dd f) = \dd g =
\Phi^*\alpha$ से $\dd f = \alpha$ अनिवार्य हो जाता है। अतः $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$। अद्वितीयता: $S^1$ पर समाकलन $c$ नियत कर देता है, क्योंकि [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) रूपों के आवर्त शून्य होते हैं; और $f$ किसी योज्य अचर तक अद्वितीय है। इसलिए प्रतिचित्रण $[\omega] \mapsto
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ एक रैखिक तुल्याकारिता $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$ है, और $\omega_\theta$ का वर्ग उसका जनक है: सह-समजातता की दृष्टि से यह छिद्र ठीक एक-विमीय है।

## 21.8 समस्या: ब्राउवर की स्थिर-बिंदु प्रमेय

**समस्या 21.1.**

सप्ताहांत समस्या — कोई प्रत्याकर्षण नहीं, कोई पलायन नहीं

ब्राउवर की प्रमेय कहती है कि *[संवृत](#def-b3-forms-closedexact) इकाई गोले $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ का उसी में जाने वाला प्रत्येक [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) किसी स्थिर बिंदु को धारण करता है* — गणित की महान प्रमेयों में से एक, जिसके परिणाम खेल सिद्धांत (नैश साम्यावस्थाएँ) से लेकर आव्यूह विश्लेषण तक फैले हैं। अवकल-रूप उपपत्ति सबसे स्वच्छ ज्ञात उपपत्ति है: स्टोक्स दिखा देती है कि गोलक गोले का प्रत्याकर्षण नहीं है, और शेष सब उसी से निकलता है। सर्वत्र $S = S^{n-1} = \partial\bar B$, $n \geq 2$, और

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(टोपी गुणनखंड को हटा देती है)।

**भाग I — मापक यंत्र।**

1. $\dd\sigma$ परिकलित कीजिए, और स्टोक्स ( [प्रमेय 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) से $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ निष्कर्ष निकालिए, जहाँ $S$ गोले की [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) धारण करता है।
2. $n = 2$ और $n = 3$ के लिए $S$ पर $\sigma$ के प्रतिबंध की पहचान चापलंबाई और क्षेत्रफल रूपों से कीजिए ( $\nu(x) = x$ के साथ [अभ्यास 21.5](#exo-b3-forms-5) ) और $\int_S\sigma$ सीधे पुनः परिकलित कीजिए।
3. मान लीजिए $W \subseteq \R^N$ विवृत है और $\varphi\colon W  \to \R^n$ ऐसा चिकना प्रतिचित्रण कि सभी $x \in W$ के लिए $\norm{\varphi(x)} = 1$ । दर्शाइए कि $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ । *($\norm\varphi^2 = 1$ का अवकलन कीजिए: $D\varphi(x)$ का प्रतिबिंब अधिसमतल $\varphi(x)^\perp$ में होता है, जिसकी विमा $n - 1$ है; अब [प्रतिज्ञप्ति 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2) लगाइए।)*
4. निम्नलिखित “उपपत्ति” में कि $\int_S\sigma = 0$ — “ $S$ [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) रहित [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है, और $S$ पर प्रतिबंधित $\sigma$ उस पर एक उच्चतम-घात रूप है, अतः [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) , अतः स्टोक्स से $\int_S\sigma =  \int_S\dd(\text{किसी वस्तु}) = 0$ ” — दोष कहाँ है? (गलत शब्द पर ठीक-ठीक उँगली रखिए।)
5. एक अनुच्छेद में भाग II की रणनीति समझाइए: किसका समाकलन होगा, किस पर, और विरोधाभास कहाँ से आएगा।

**भाग II — कोई चिकना प्रत्याकर्षण नहीं।** विरोधाभास के लिए मान लीजिए $r$ गोले का उसके गोलक पर एक *चिकना प्रत्याकर्षण* है: अर्थात् $r$ $\bar B$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर चिकना है, $r(\bar B) \subseteq S$, और सभी $x \in S$ के लिए $r(x) = x$।

6. $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ उचित ठहराइए *($S$ पर $r$ तत्समक तक प्रतिबंधित हो जाता है: यदि $\gamma$ $S$ के किसी टुकड़े का प्रत्यक्ष प्राचलन हो, तो $r\circ\gamma = \gamma$)* ।
7. $\bar B$ पर स्टोक्स का उपयोग करके $\int_Sr^*\sigma =  \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ दर्शाइए।
8. $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ दर्शाइए ( $\varphi = r$ पर लगाया गया प्रश्न 3), और निष्कर्ष निकालिए: *कोई चिकना प्रत्याकर्षण $\bar B \to S$ विद्यमान नहीं है।*
9. अपवर्जित स्थिति $n = 1$ हाथ से निपटाइए: सीधे दर्शाइए कि कोई भी [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to  \{-1, 1\}$ दोनों सिरों को स्थिर नहीं रखता, और आपने जिस प्रमेय का उपयोग किया उसका नाम बताइए।

**भाग III — चिकना ब्राउवर।** मान लीजिए $g$ $\bar B$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर चिकना है, $g(\bar B)
\subseteq \bar B$, और $\bar B$ में उसका *कोई* स्थिर बिंदु नहीं है।

10. $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ दर्शाइए।
11. $x \in \bar B$ के लिए मान लीजिए $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$, और मान लीजिए $r(x) = x +  t(x)\,u(x)$ किरण $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ का $S$ से प्रतिच्छेदन है। द्विघात $\norm{x + tu}^2 = 1$ हल कीजिए और $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$ प्राप्त कीजिए।
12. दर्शाइए कि $\bar B$ पर मूल के भीतर की राशि *कड़ाई से* धनात्मक है: यदि $1 - \norm x^2 + \langle x,  u(x)\rangle^2 = 0$ हो, तो $\norm x = 1$ और $\langle  x, u(x)\rangle = 0$ , अर्थात् $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ , यानी $\langle x, g(x)\rangle =  1$ ; और $\norm x = 1$ , $\norm{g(x)} \leq 1$ के साथ कोशी–श्वार्ज़ से इससे $g(x) = x$ अनिवार्य हो जाता है — जो अपवर्जित है। निष्कर्ष निकालिए कि $r$ $\bar B$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर चिकना है।
13. $r(\bar B) \subseteq S$ दर्शाइए और $x  \in S$ के लिए $r(x) = x$ भी *($\norm x = 1$ के लिए $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$ का उपयोग करते हुए $t(x) = 0$ जाँचिए, जो स्वयं $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 -  \langle x, g(x)\rangle \geq 0$ से निकलता है)* । भाग II के साथ निष्कर्ष निकालिए: *$\bar B$ के प्रत्येक चिकने स्व-प्रतिचित्रण का कोई स्थिर बिंदु होता है।*

**भाग IV — [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ब्राउवर।** मान लीजिए $f\colon\bar B\to\bar B$ स्थिर बिंदु रहित [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है।

14. $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} > 0$ दर्शाइए, और $\sup_{\bar B}\norm{p - f} <  \varepsilon/2$ वाला कोई *बहुपदीय* प्रतिचित्रण $p\colon\R^n\to  \R^n$ बनाइए (स्टोन–वाइरश्ट्रास, [प्रमेय 7.15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) , निर्देशांक-दर-निर्देशांक — अदिश से सदिश आसन्नन तक जाना उचित ठहराइए)।
15. प्रतिचित्रण $p$ गोले से बाहर जा सकता है; अतः $g = \frac{p}{1  + \varepsilon/2}$ रखिए। $g(\bar B) \subseteq \bar B$ और $\sup_{\bar B}\norm{g - f} < \varepsilon$ दर्शाइए।
16. भाग III के साथ विरोधाभास निकालिए और निष्कर्ष निकालिए: *प्रत्येक [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ का कोई स्थिर बिंदु होता है।*
17. उदाहरण से दर्शाइए कि यह प्रमेय इन पर विफल हो जाती है: विवृत गोला; गोलक $S$ ; कोई [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) वलय। प्रत्येक प्रतिउदाहरण $\bar B$ का कौन-सा गुण खो देता है?

**भाग V — लाभांश।**

18. (पेरों–फ्रोबेनियस, अस्तित्व) मान लीजिए $A$ ऐसा $n\times n$ आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $> 0$ हैं, और $\Delta = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i =  1\}$ । दर्शाइए कि प्रतिचित्रण $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ $\Delta$ पर सुपरिभाषित और [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, कि $\Delta$ $\R^{n-1}$ के किसी [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) गोले का समस्थितिक है (अपने आफ़ीन विस्तार में अरिक्त [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) वाले किसी उत्तल [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) से त्रिज्य [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ), और निष्कर्ष निकालिए कि $A$ का कोई ऐसा अभिलक्षणिक सदिश है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ कड़ाई से धनात्मक हैं और जिसका अभिलक्षणिक मान $> 0$ है।
19. निष्कर्ष निकालिए कि धनात्मक प्रविष्टियों वाले प्रत्येक प्रसंभाव्य आव्यूह (जिसके स्तंभों का योग $1$ हो) का कोई स्थायी प्रायिकता सदिश $\pi = A\pi$ होता है — अर्थात् पेजरैंक-प्रकार का सदिश। (अद्वितीयता भी लागू होती है, पर उसके लिए अन्य साधन चाहिए।)
20. (रोमिल गोलक, व्यवस्था) मान लीजिए $v$ $S = S^{n-1}$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर चिकना है, जिसमें $x \in S$ के लिए $\langle v(x),  x\rangle = 0$ और $\norm{v(x)} = 1$ (एक *इकाई स्पर्श क्षेत्र* )। $t \in \R$ के लिए $F_t(x) = x + t\,v(x)$ रखिए। $S$ पर $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ दर्शाइए: अर्थात् $F_t$ $S$ को गोलक $\sqrt{1+t^2}\,S$ में भेजता है।
21. दर्शाइए कि $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ $t$ में एक *बहुपद* है *(किसी चार्ट में $F_t^*\sigma$ का प्रत्येक गुणांक फलन $t$ में बहुपदीय है, जिसके गुणांक चार्ट चर में चिकने हैं; और समाकलन रैखिक है)* ।
22. दर्शाइए कि छोटे $\abs t$ के लिए $F_t$ $S$ से $\sqrt{1+t^2}\,S$ पर एक अवकल समरूपता है: $t\operatorname{Lip}(v) < 1$ के लिए एकैकीपन; प्रतिलोम फलन प्रमेय से स्थानीय अवकल समरूपता (चार्टों में [प्रमेय 20.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-ift)); और प्रतिबिंब [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) लक्ष्य गोलक में विवृत तथा [संवृत](#def-b3-forms-closedexact)। [प्रमेयिका 21.19](#lem-b3-forms-consistency) और $x \mapsto \lambda x$ के अंतर्गत मापन $\sigma_{\lambda x} =  \lambda^{n}\,\sigma_x$ (उसे जाँचिए) का उपयोग करते हुए निष्कर्ष निकालिए कि $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{चिह्न } + \text{ के साथ, छोटे } t \text{ के लिए}$$ ([अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) $t = 0$ से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) द्वारा सुरक्षित)।
23. निष्कर्ष निकालिए (मिल्नोर): यदि $n$ *विषम* हो, तो $(1 +  t^2)^{n/2}$ $t$ में बहुपद नहीं है, फिर भी वह $0$ के निकट बहुपद $P(t)/\int_S\sigma$ से सहमत है — विरोधाभास। अतः *सम-विमीय गोलक $S^{n-1}$ ($n$ विषम) कोई इकाई स्पर्श क्षेत्र धारण नहीं करते* , और मानकीकरण तथा मृदुकरण से (घटकशः संवलन और प्रक्षेप — दोनों चरण उचित ठहराइए) कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) कहीं-भी-अलुप्त स्पर्श क्षेत्र भी नहीं: अर्थात् पृथ्वी पर बहने वाली हर हवा कोई न कोई शांत बिंदु छोड़ जाती है।
24. (विषम गोलक स्वतंत्रता से सँवरते हैं) $S^{2m-1}  \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ पर एक स्पष्ट चिकना इकाई स्पर्श क्षेत्र प्रस्तुत कीजिए: सम्मिश्र संकेतन में $v(x) = \iu x$, अर्थात् $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ स्पर्शिता और इकाई लंबाई सत्यापित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि प्रश्न 23 का सम-विषमता द्विभाजन तीक्ष्ण है: कोई गोलक ठीक तभी सँवारा जा सकता है जब उसकी विमा विषम हो। सम $n$ के लिए प्रश्न 22 का बहुपदीय तर्क कहाँ टूट जाता है?
25. ( [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) व्यवहार से शून्य) मान लीजिए $f \colon \bar  B^n \to \R^n$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और प्रत्येक $x \in S^{n-1}$ के लिए $\langle f(x),  x\rangle \geq 0$ । दर्शाइए कि $f$ $\bar B^n$ में कहीं लुप्त हो जाता है। *(यदि नहीं, तो $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ $\bar B$ को संततता से $S \subseteq \bar B$ में भेजता है; $g$ पर ब्राउवर लगाइए और [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) परिकल्पना का खंडन कीजिए।)* *आच्छादकता कसौटी* निकालिए: $\norm x \to \infty$ पर $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to  +\infty$ वाला कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $F\colon\R^n\to\R^n$ आच्छादक होता है — अरैखिक विश्लेषण के प्रबलकारिता तर्कों का परिमित-विमीय पूर्वज।

**हल — समस्या 21.1.**

**1.** $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$; और $\dd x_i$ को अपने से पहले के $i-1$ गुणनखंडों के पार ले जाने पर $(-1)^{i-1}$ की कीमत लगती है, जो पूर्व-गुणक को निरस्त कर देती है: अतः $n$ पदों में से प्रत्येक $\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ के बराबर है, इसलिए $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$। गोले पर स्टोक्स: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma =
n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$।

**2.** $n = 2$: $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$; और $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ पर $\gamma^*\sigma = (\cos^2t +
\sin^2t)\,\dd t = \dd t$, अर्थात् चापलंबाई रूप: $\int_S\sigma = 2\pi = 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$। $n = 3$: $\sigma\vert_S$ क्षेत्रफल रूप है ($\nu(x) = x$ के साथ [अभ्यास 21.5](#exo-b3-forms-5)): $\int_S\sigma = 4\pi = 3\cdot\tfrac{4\pi}3$। दोनों प्रश्न 1 से मिल जाते हैं।

**3.** $\norm\varphi^2 = 1$ का अवकलन करने पर: प्रत्येक $h$ के लिए $2\langle
D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$, अतः $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$, जो एक अधिसमतल है: इसलिए $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$। चूँकि $\dd\sigma$ एक $n$-रूप है (प्रश्न 1), इसलिए [प्रतिज्ञप्ति 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2) से बिंदुशः $\varphi^*(\dd\sigma)_x =
(D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)} = 0$: गोलक में जाने वाले किसी प्रतिचित्रण के पास किसी आयतन का [प्रत्यानयन](#def-b3-forms-pullback) करने की जगह ही नहीं है।

**4.** दोष दूसरे “अतः” में है: $(n-1)$-विमीय $S$ पर प्रत्येक $(n-1)$-रूप तुच्छ रूप से [संवृत](#def-b3-forms-closedexact) है (किसी $(n-1)$-बहुविध पर कोई शून्येतर $n$-रूप है ही नहीं), पर *[संवृत](#def-b3-forms-closedexact) का अर्थ [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं होता*, और $\int_S\dd\eta = 0$ के लिए $S$ पर परिभाषित कोई वास्तविक आद्यंतर $\eta$ चाहिए। $\sigma$ का प्रतिबंध ठीक [यथार्थ](#def-b3-forms-closedexact) नहीं है — उसका समाकल $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq 0$ है — और यही अयथार्थता समूची समस्या को चलाती है।

**5.** हम गोलक पर $r^*\sigma$ का समाकलन करेंगे और उसे दो प्रकार से गिनेंगे। चूँकि $r$ $S$ को बिंदुशः स्थिर रखता है, इसलिए वह समाकल $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B)
\neq 0$ के बराबर है। और चूँकि $r$ गोले पर परिभाषित है, इसलिए स्टोक्स उसी समाकल को $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) =
\int_{\bar B}r^*(\dd\sigma)$ में बदल देती है; और चूँकि $r$ गोलक में मान लेता है, इसलिए प्रश्न 3 उस समाकल्य को लुप्त कर देता है। एक ही संख्या, दो मान: अतः वह प्रत्याकर्षण हो ही नहीं सकता।

**6.** दोनों समाकल $S$ के टुकड़ों के प्रत्यक्ष प्राचलनों $\gamma$ के माध्यम से परिकलित होते हैं ([परिभाषा 21.18](#def-b3-forms-integral)); और चूँकि $r\circ\gamma =
\gamma$ (प्राचलन $S$ में उतरता है, जहाँ $r$ तत्समक है), इसलिए $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma =
\gamma^*\sigma$ ([प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(क)): स्थानीय समाकल्य एक ही हैं, और कोई भी [इकाई विभाजन](#lem-b3-forms-partition) $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ दे देता है।

**7.** $r^*\sigma$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) अभिविन्यस्त $\bar B$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर चिकना $(n-1)$-रूप है, और प्रेरित [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) के साथ उसकी [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) $S$ है: अतः स्टोक्स ([प्रमेय 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) ठीक $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ दे देती है।

**8.** $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ ([प्रमेय 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(ख)), जो $\varphi = r$ पर लगाए गए प्रश्न 3 से लुप्त हो जाता है। प्रश्न 6–8 को जोड़ने पर:

$$
0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma =
\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :
$$

जो असंभव है। *$\bar B^n$ का $S^{n-1}$ पर कोई चिकना प्रत्याकर्षण विद्यमान नहीं है* ($n \geq 2$)।

**9.** $r(\pm1) = \pm1$ वाला कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ किसी [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) समुच्चय को असंबद्ध $\{-1, 1\}$ पर भेजता, जो असंभव है: [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) समुच्चयों के [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) होते हैं — अथवा तुल्य रूप से, मध्यवर्ती मान प्रमेय $r$ को मान $0$ लेने पर विवश कर देती। प्रत्येक विमा में यही कथन ठीक भाग II है; और [संबद्धता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) उसी सह-समजातता बाधा $\int_S\sigma \neq 0$ की एक-विमीय छाया है।

**10.** $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\bar B$ पर हर जगह $> 0$: अतः उसका निम्नतम $\delta$ प्राप्त होता है, इसलिए $> 0$।

**11.** $\norm{x + tu}^2 = 1$ का पाठ $t^2 + 2t\langle x,
u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$ है, जिसके मूल ये हैं:

$$
t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x,
u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .
$$

उनका गुणनफल $\norm x^2 - 1 \leq 0$ है: अतः मूल $0$ के दोनों ओर पड़ते हैं (या एक लुप्त होता है), इसलिए किरण का प्राचल — अऋणात्मक मूल — $t(x) = t_+$ है।

**12.** यदि किसी $x \in \bar B$ पर मूल के भीतर की राशि लुप्त होती: उसके दोनों पद अऋणात्मक होने के कारण $\norm x = 1$ और $\langle x, u(x)\rangle = 0$, अर्थात् $\langle x, x -
g(x)\rangle = 0$, यानी $\langle x, g(x)\rangle = 1$। कोशी–श्वार्ज़ से $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq
\norm x\,\norm{g(x)} \leq 1$: सर्वत्र समता, जो $g(x)$ को $x$ का संरेख, इकाई मानक का और धनात्मक दिशा में होने पर विवश कर देती है: अर्थात् $g(x) = x$ — जो अपवर्जित है। अतः $\bar B$ पर वह राशि [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और $> 0$ है, इसलिए वहाँ और किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर किसी $c > 0$ से नीचे परिबद्ध है (एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity))। उस [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर $u$ चिकना है (आवश्यकता हो तो सिकोड़ लीजिए, ताकि $\norm{x - g(x)} \geq \delta/2$ रहे), राशि $\geq c/2$ बनी रहती है, और वर्गमूल $\intoo0\infty$ पर चिकना है: अतः $r$ $\bar B$ के निकट चिकना है।

**13.** $t(x)$ की रचना से ही $\norm{r(x)} = 1$: अतः $r(\bar B) \subseteq S$। और $x \in S$ के लिए: $\langle x,
u(x)\rangle = \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x -
g(x)}} \geq 0$ (फिर एक बार कोशी–श्वार्ज़), और $\norm x =
1$ से मूल के भीतर की राशि $\langle x, u\rangle^2$ रह जाती है, जिसका वर्गमूल स्वयं $\langle x, u\rangle$ है (वह $\geq
0$ जो है): इसलिए $t(x) = 0$ और $r(x) = x$। अतः $r$ गोले का गोलक पर चिकना प्रत्याकर्षण है — जो भाग II का खंडन करता है। *$\bar B$ के प्रत्येक चिकने स्व-प्रतिचित्रण का कोई स्थिर बिंदु होता है।*

**14.** $\varepsilon > 0$ ठीक प्रश्न 10 की भाँति। बहुपद $\mathcal C(\bar B,
\R)$ का ऐसा उपबीजगणित बनाते हैं जिसमें अचर हैं और जो बिंदुओं को पृथक करता है ($x \mapsto x_i$ ऐसा करते हैं), अतः स्टोन–वाइरश्ट्रास ([प्रमेय 7.15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) प्रत्येक निर्देशांक का आसन्नन कर देती है: $\sup_{\bar
B}\abs{p_i - f_i} < \frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$ वाले बहुपद $p_i$ चुनिए; तब सदिश प्रतिचित्रण $p = (p_1, \dots, p_n)$ $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq
\bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} <
\varepsilon/2$ संतुष्ट करता है।

**15.** $\bar B$ पर: $\norm p \leq \norm f +
\frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$, अतः $\norm{g} = \frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$: इसलिए $g(\bar B) \subseteq \bar B$। इसके अतिरिक्त $\norm{g - p} =
\frac{\varepsilon/2}{1 + \varepsilon/2}\norm p \leq
\frac\varepsilon2$, अतः $\bar B$ पर $\norm{g - f} \leq
\norm{g - p} + \norm{p - f} < \varepsilon$।

**16.** $g$ बहुपदीय है, अतः चिकना, और $\bar B$ को उसी में भेजता है: इसलिए भाग III $x_0 = g(x_0)$ दे देता है। तब $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} <
\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$: विरोधाभास। *प्रत्येक [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to
\bar B^n$ का कोई स्थिर बिंदु होता है।*

**17.** *विवृत गोला:* $f(x) = \frac{x + e_1}2$ $B$ को $B$ में भेजता है (कड़ाई से $\norm{f(x)} < 1$) और उसका एकमात्र स्थिर बिंदु $e_1$ गोलक पर पड़ता है: संहतता खो गई। *गोलक:* प्रतिध्रुवी प्रतिचित्रण $x \mapsto -x$ स्थिर बिंदु रहित है; $S$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) तो है पर उसकी [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) “गलत” है — वह ठीक भाग II वाला अ-प्रत्याकर्षित समुच्चय है। *वलय:* $\not\equiv 0$ वाले किसी भी कोण से घूर्णन कुछ भी स्थिर नहीं रखता; छिद्र उस घूर्णन को शरण दे देता है — उत्तलता (अधिक ठीक-ठीक कहें तो गोले जैसी [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology)) खो गई। ब्राउवर की प्रमेय वस्तुतः *[संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) उत्तल* समुच्चयों के बारे में है, जिसका दोहन प्रश्न 18 करता है।

**18.** $x \in \Delta$ के लिए: कोई $x_j > 0$ होता है, अतः प्रत्येक $i$ के लिए $(Ax)_i
\geq A_{ij}x_j > 0$; इसलिए $\norm{Ax}_1 > 0$ और $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ सुपरिभाषित तथा [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और $\Delta$ में उतरता है (धनात्मक प्रविष्टियाँ जिनका योग $1$ है)। $\Delta$ उत्तल और [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है, और आफ़ीन अधिसमतल $\{\sum x_i = 1\}
\cong \R^{n-1}$ में उसका [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) अरिक्त है; अतः उसके [केंद्रक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) से चलने वाला त्रिज्य प्रतिचित्रण — उत्तलता और संहतता से [केंद्रक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) से निकलने वाली प्रत्येक किरण $\partial\Delta$ से ठीक एक बिंदु पर मिलती है, और संगत मापक फलन [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है — कोई [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\Delta \to
\bar B^{n-1}$ है। उसके माध्यम से ब्राउवर को ले जाने पर: $T$ का कोई स्थिर बिंदु $x^*$ है, अर्थात् $\lambda
= \norm{Ax^*}_1 > 0$ के साथ $Ax^* = \lambda x^*$; और आरंभिक परिकलन से $x^* = Ax^*/\lambda$ की सभी प्रविष्टियाँ कड़ाई से धनात्मक हैं। *किसी धनात्मक आव्यूह का कोई धनात्मक अभिलक्षणिक सदिश होता है।*

**19.** प्रश्न 18 से $A\pi = \lambda\pi$, $\pi \in
\Delta$, $\pi > 0$। निर्देशांकों का योग लीजिए: $\sum_i(A\pi)_i =
\sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (स्तंभों का योग $1$ है), जबकि $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$। अतः $\lambda = 1$ और $A\pi = \pi$: अर्थात् कोई स्थायी प्रायिकता सदिश — मार्कोव शृंखला की साम्यावस्था, यानी पेजरैंक का गणितीय हृदय।

**20.** $S$ पर: स्पर्शिता और $\norm v = 1$ से $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 +
2t\langle x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$: अतः $F_t(S) \subseteq
\sqrt{1+t^2}\,S$।

**21.** प्रत्यक्ष प्राचलनों $\gamma$ का कोई परिमित संग्रह और कोई [इकाई विभाजन](#lem-b3-forms-partition) नियत कीजिए, दोनों $t$ से स्वतंत्र। किसी चार्ट में $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$, अतः $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ का प्रत्येक गुणांक ऐसे गुणनफलों का योग है जिनमें एक गुणनखंड $(x_i +
tv_i)\circ\gamma$ ($t$ में आफ़ीन) और एक $(n-1)\times(n-1)$ सारणिक है जिसकी प्रविष्टियाँ $t$ में आफ़ीन हैं: अर्थात् $t$ में घात $\leq n$ का बहुपद, जिसके गुणांक चार्ट चर में चिकने हैं। $t$ से स्वतंत्र विभाजन फलनों से गुणा करके पदशः समाकलन करने पर: $P(t) = \sum_{k=0}^n
c_kt^k$, अर्थात् एक बहुपद।

**22.** *एकैकीपन:* $v$ $S$ पर लिप्शिट्ज़ है (किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) पर चिकना), मान लीजिए अचर $L$ के साथ; तब $\abs t <
1/L$ के लिए $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs
tL)\norm{x - y} > 0$। *अवकल समरूपता:* $G_t =
F_t/\sqrt{1 + t^2}$ $S$ को $S$ में भेजता है; और चार्टों में $t \to 0$ पर उसके याकोबीय $G_0 = \operatorname{id}$ के याकोबीयों की ओर एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं, अतः छोटे $t$ के लिए वे प्रतिलोमनीय हैं और $G_t$ स्थानीय अवकल समरूपता (चार्टों में [प्रमेय 20.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-ift)) तथा एकैकी है, जिसका प्रतिबिंब विवृत (स्थानीय अवकल समरूपता) और *[संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected)* $S^{n-1}$ ($n \geq 2$) में [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: अतः प्रतिबिंब $= S$, इसलिए $G_t$ $S$ की अवकल समरूपता है। *मापन:* $s_\lambda(x) = \lambda x$ के अंतर्गत प्रत्येक गुणांक $x_i$ को $\lambda$ मिलता है और $n - 1$ अवकलों में से प्रत्येक को भी: अतः $s_\lambda^*\sigma =
\lambda^n\sigma$। चूँकि $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$:

$$
P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr)
= (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma
= (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma
\quad\text{छोटे } t \text{ के लिए},
$$

जहाँ अंतिम समता [प्रमेयिका 21.19](#lem-b3-forms-consistency) से आती है ($G_t$ $S$ की अवकल समरूपता है, और छोटे $t$ के लिए [अभिविन्यास](#def-b3-forms-orientation) सुरक्षित रखती है: चार्टों में उसके याकोबीय सारणिक [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) रूप से बदलते हैं, कभी लुप्त नहीं होते, और $t = 0$ पर धनात्मक हैं)।

**23.** यदि $n$ विषम हो और कोई चिकना इकाई स्पर्श क्षेत्र विद्यमान हो, तो प्रश्न 21–22 बहुपद $P(t)/\int_S\sigma$ (यह वैध है: प्रश्न 1 से $\int_S\sigma \neq 0$) को $0$ के निकट $(1 + t^2)^{n/2}$ से सहमत करा देते हैं; और $0$ के निकट सहमत होने वाले दो चिकने फलनों में से एक बहुपद हो, तो $(1 + t^2)^{n/2}$ को समूचे $\R$ पर वही बहुपद होना पड़ता है। पर यदि $Q \in \R[t]$ के साथ $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ हो, तो $\R[t]$ में अद्वितीय गुणनखंडन ([अध्याय 2](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#ch-b3-rings)) से [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) $t^2 + 1$ की बहुलता $Q^2$ में सम होगी और $(1 + t^2)^n$ में विषम $n$: जो असंभव है। अतः विषम $n$ के लिए $S^{n-1}$ पर कोई चिकना इकाई स्पर्श क्षेत्र विद्यमान नहीं — अर्थात् सम-विमीय गोलकों पर। अंत में, कोई मात्र [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) कहीं-भी-अलुप्त स्पर्श क्षेत्र $w$ ऐसा क्षेत्र बना भी देता: उसे $\tilde w(x) = w(x/\norm x)$ से किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) तक बढ़ाइए, घटकशः मृदुकरण कीजिए ([प्रमेय 12.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#thm-b3-lp-regularization)) ताकि कोई चिकना $v_0$ मिले जिसके लिए $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} <
\frac12\min_S\norm w$ हो, फिर स्पर्शी दिशा में प्रक्षेप कीजिए: $v_1(x) = v_0(x)
- \langle v_0(x), x\rangle x$ — $S$ पर यह $v_0$ को अधिक से अधिक उसके अभिलंब घटक जितना बदलता है, जो स्वयं $\norm{v_0 - \tilde w}$ से अधिक नहीं है, क्योंकि $\tilde w$ स्पर्शी है, अतः $\norm{v_1 - \tilde
w} \leq 2\norm{v_0 - \tilde w} < \min\norm w$ और $v_1$ $S$ पर कभी लुप्त नहीं होता — और मानकीकरण कीजिए: $v =
v_1/\norm{v_1}$ चिकना इकाई स्पर्श क्षेत्र है। इसलिए प्रत्येक सम-विमीय गोलक पर *प्रत्येक [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) स्पर्श क्षेत्र का कोई शून्य होता है*: पृथ्वी पर बहने वाली हर हवा कोई न कोई शांत बिंदु छोड़ जाती है।

**24.** $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j +
x_jy_j) = 0$: अतः स्पर्शी; और $\norm{v(x)} = \norm x = 1$: अतः इकाई। चिकनाई स्पष्ट है (रैखिक प्रतिचित्रण)। अतः प्रत्येक विषम-विमीय गोलक कोई चिकना इकाई स्पर्श क्षेत्र धारण करता है — सम्मिश्र रेखाओं के अनुदिश $\iu$ से गुणन — और प्रश्न 23 की बाधा ठीक विमा की सम-विषमता है। बहुपदीय तर्क में, सम $n$ के लिए फलन $(1 +
t^2)^{n/2}$ बहुपद *है ही*, और कोई विरोधाभास उठता ही नहीं: उपपत्ति केवल लागू होने से नहीं चूकती, उसका निष्कर्ष वस्तुतः मिथ्या है, जिसका साक्षी $v$ है।

**25.** मान लीजिए $f$ $\bar B$ पर कभी लुप्त नहीं होता। तब $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar B \to S
\subseteq \bar B$ है, और ब्राउवर (प्रश्न 16) $x^* =
g(x^*)$ दे देती है। चूँकि $g$ $S$ में मान लेता है, इसलिए $x^* \in S$, और

$$
\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\
-\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle
= -\norm{f(x^*)} < 0,
$$

जो [परिसीमा](#def-b3-forms-boundary) परिकल्पना का खंडन करता है। अतः $f$ का कोई शून्य है। आच्छादकता: कोई $y \in \R^n$ दिया हो, तो उपर्युक्त को ऐसे गोले $\bar B(0, R)$ पर $f(x) =
F(x) - y$ के लिए लगाइए जिसमें $R$ इतना बड़ा हो कि त्रिज्या $R$ के गोलक पर $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ हो (प्रबलकारिता); तब वहाँ $\langle f(x), x\rangle =
\langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ (कोशी–श्वार्ज़), और पुनःमापित कथन $f$ का कोई शून्य दे देता है: अर्थात् $F(x) = y$। प्रत्येक प्रबलकारी [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) क्षेत्र आच्छादक होता है — विचरणात्मक अस्तित्व प्रमेयों की वह छाया जिसे विशुद्ध [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) किसी घात-सिद्धांत के बिना दे देती है।