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title: "प्रायिकता: आधार और बृहत् संख्याओं का नियम"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers
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# अध्याय 22 — प्रायिकता: आधार और बृहत् संख्याओं का नियम

दूसरे वर्ष में प्रायिकता गणनीय समष्टियों पर खड़ी की गई थी; [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) सिद्धांत अब हर प्रतिबंध हटा देता है। [प्रायिकता समष्टि](#def-b3-probability-space) कुल द्रव्यमान $1$ की [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) है, [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) प्रतिचित्रण हैं, [प्रत्याशा](#def-b3-probability-space) लेबेग समाकल है — और तत्काल समूचा वैश्लेषिक शस्त्रागार (अध्याय [9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#ch-b3-measure), [10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) और [11](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product)) संयोग पर लागू हो जाता है। यह अध्याय वह शब्दकोश स्थापित करता है, [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) यादृच्छिक चरों के अनंत अनुक्रम रचता है ($\intcc01$ पर, द्विआधारी अंकों से: यादृच्छिकता [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter) के भीतर ही छिपी हुई है), बोरेल–कांतेली प्रमेयिकाएँ और कोल्मोगोरोव का [शून्य–एक नियम](#thm-b3-probability-zeroone) सिद्ध करता है, अभिसरण के प्रकारों को छाँटता है, और बृहत् संख्याओं का नियम सिद्ध करता है — वही प्रमेय जो आवृत्तियों को प्रायिकताओं की ओर अभिसरित कराती है और सांख्यिकी को संभव बनाती है। सप्ताहांत समस्या प्रबल नियम की एतेमादी वाली उपपत्ति उसके निश्चयात्मक $L^1$ रूप में देती है।

## 22.1 शब्दकोश

**परिभाषा 22.1.**

*प्रायिकता समष्टि* $\P(\Omega) =
1$ वाली [माप समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $(\Omega, \mathcal A, \P)$ है; $\mathcal A$ के अवयव *घटनाएँ* कहलाते हैं, और कोई गुण *लगभग निश्चित रूप से* लागू होता है यदि उसकी घटना की प्रायिकता $1$ हो। *यादृच्छिक चर* कोई [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) प्रतिचित्रण $X \colon \Omega \to \R$ है (अथवा $\R^d$: यादृच्छिक सदिश); उसका *बंटन नियम* $\R$ पर अग्रसारित प्रायिकता [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\P_X =
X_*\P$ है ([अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#exo-b3-product-9)), जो *बंटन फलन* $F_X(t) = \P(X \leq t)$ ([अभ्यास 9.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#exo-b3-measure-3)) से निर्धारित होता है। $X$ का *[घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma)* $f$ है यदि $\P_X = f\,\dd\lambda$ हो; और वह *विविक्त* है यदि $\P_X$ दिराक द्रव्यमानों का कोई गणनीय संचय हो। *प्रत्याशा*

$$
\E[X] = \int_\Omega X\,\dd\P
\qquad (X \geq 0 \text{ अथवा } X \in L^1(\P)),
$$

है, और *अंतरण प्रमेय* ([अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#exo-b3-product-9)) उसे बंटन नियम में परिकलित कर देती है: $\E[g(X)] = \int_\R g\,\dd\P_X$ — विविक्त स्थिति में $= \sum g(x_k)p_k$, और [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) वाली स्थिति में $= \int
g(x)f(x)\dd x$: अर्थात् दूसरे वर्ष के सूत्र, अब एक ही सिद्धांत की प्रमेयें। $X \in L^2$ के लिए *प्रसरण* $\V(X) =
\E[(X - \E X)^2] = \E[X^2] - (\E X)^2$ है।

**उदाहरण 22.2.**

उल्लेखनीय मानक [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) और उनके रूपांतर: बर्नूली $\mathcal B(p)$, द्विपद $\mathcal B(n, p)$, ज्यामितीय, प्वासों $\mathcal P(\lambda)$ (विविक्त: दूसरे वर्ष की सारणियाँ मान्य बनी रहती हैं); $\intcc01$ पर एकसमान (स्वयं [लेबेग माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter)); चरघातांकी $\mathcal E(\lambda)$ ([घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$); और *गाउसीय* $\mathcal N(m, \sigma^2)$, जिसका [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x -
m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ है — यह [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#pb-b3-lebesgue-1) से एक प्रायिकता [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) है, जिसका माध्य $m$ और प्रसरण $\sigma^2$ है (गाउसीय आघूर्ण, [अभ्यास 11.10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#exo-b3-product-10))।

**प्रतिज्ञप्ति 22.3 (मार्कोव और चेबिशेव).**

$X \geq 0$ और $a > 0$ के लिए: $\P(X \geq a) \leq \frac{\E
X}{a}$; और $X \in L^2$ के लिए: $\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq
a\bigr) \leq \frac{\V(X)}{a^2}$।

**उपपत्ति.** [अभ्यास 10.5](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#exo-b3-lebesgue-5)(क); और चेबिशेव $(X - \E X)^2$ पर लगाई गई मार्कोव ही है। ∎

## 22.2 स्वातंत्र्य

**परिभाषा 22.4.**

उप-$\sigma$-बीजगणित $\mathcal A_1, \dots, \mathcal A_n
\subseteq \mathcal A$ *स्वतंत्र* कहलाते हैं यदि सभी $A_i \in
\mathcal A_i$ के लिए $\P(A_1\cap\dots\cap A_n) = \prod\P(A_i)$ हो; घटनाएँ स्वतंत्र कहलाती हैं यदि $\sigma$-बीजगणित $\{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\}$ स्वतंत्र हों; और [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र कहलाते हैं यदि $\sigma$-बीजगणित $\sigma(X_i) =
X_i^{-1}(\mathcal B(\R))$ स्वतंत्र हों। कोई अनंत कुल स्वतंत्र कहलाता है यदि उसका प्रत्येक परिमित उपकुल स्वतंत्र हो।

**प्रमेय 22.5.**

$X_1, \dots, X_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं तभी और केवल तभी जब सदिश $(X_1, \dots, X_n)$ का [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) [गुणन माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-existence) $\P_{X_1}\otimes\cdots\otimes\P_{X_n}$ हो। उस स्थिति में $g_i \geq 0$ के लिए (अथवा ऐसे फलनों के लिए जिनके गुणनफल [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) हों):

$$
\E\Bigl[\prod_ig_i(X_i)\Bigr] = \prod_i\E[g_i(X_i)],
$$

विशेष रूप से, [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) $L^2$ चरों के लिए $\E[XY] = \E X\,\E Y$ और $\V(X_1 + \dots +
X_n) = \sum\V(X_i)$।

**उपपत्ति.** यदि $X_i$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हों, तो दोनों प्रायिकता [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\P_{(X_1,\dots,X_n)}$ और $\bigotimes\P_{X_i}$ बोरेल समुच्चयों के सभी गुणनफलों $B_1\times\dots\times B_n$ पर सहमत होते हैं — और ये $\mathcal B(\R^n)$ को जनित करने वाली एक $\pi$-प्रणाली हैं ([प्रतिज्ञप्ति 11.2](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#prop-b3-product-sections)(ख)) — अतः वे सर्वत्र सहमत हैं ([प्रमेय 9.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-uniqueness))। विलोमतः, कोई गुणनफल [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) सभी घटनाओं $\bigcap_iX_i^{-1}(B_i)$ को गुणनखंडित कर देता है: अर्थात् [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence)। तब [प्रत्याशा](#def-b3-probability-space) सूत्र अंतरण प्रमेय के माध्यम से टोनेली/फुबिनी ([प्रमेय 11.5](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-tonelli)) है; $\E[XY] = \E X\E Y$ स्थिति $g_i =
\mathrm{id}$ है, और वर्ग का प्रसार प्रसरणों की योज्यता दे देता है (तिर्यक पद $\E[(X_i - \E X_i)(X_j - \E X_j)]
= 0$)। ∎

**प्रमेय 22.6 (स्वतंत्र अनुक्रमों का अस्तित्व).**

$\bigl(\intcc01, \mathcal L, \lambda\bigr)$ पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) यादृच्छिक चरों का ऐसा अनुक्रम $(U_n)_{n\geq1}$ विद्यमान है जिसका प्रत्येक पद $\intcc01$ पर एकसमान है। परिणामतः, $\R$ पर किन्हीं भी निर्धारित बंटन नियमों $(\mu_n)$ के लिए $\P_{X_n} = \mu_n$ वाले [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) $(X_n)$ विद्यमान हैं।

**उपपत्ति.** *अंक।* $\omega \in \intcc01$ के लिए मान लीजिए $(b_k(\omega))$ उसके द्विआधारी अंक हैं ($\omega = \sum b_k2^{-k}$; वह प्रसार चुनिए जो अंततः सर्वथा $1$ न हो — यह अस्पष्टता केवल एक गणनीय, अतः अकिंचन, समुच्चय से संबंधित है)। प्रत्येक $b_k$ [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) है ($\{b_k = 1\}$ द्विअंशी अंतरालों का परिमित संघ है) और सदिश $(b_1, \dots, b_m)$ $\{0,1\}^m$ का प्रत्येक मान लंबाई $2^{-m}$ के किसी द्विअंशी अंतराल पर लेता है: अतः $b_k$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) बर्नूली$(\frac12)$ हैं।

*पुनःसमूहन।* $\N^*$ को अनंत संख्या के असंयुक्त अनंत समुच्चयों $(I_n)$ में विभाजित कीजिए (उदाहरणार्थ अभाज्य घातों से, या विकर्णों से); मान लीजिए $(k^n_j)_j$ $I_n$ की गणना करता है, और

$$
U_n = \sum_{j\geq1} b_{k^n_j}\,2^{-j} .
$$

रखिए। प्रत्येक $U_n$ एकसमान है: उसके द्विआधारी अंक [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) निष्पक्ष बिट हैं, अतः प्रत्येक द्विअंशी अंतराल के लिए $\P(U_n \in [l2^{-m}, (l+1)2^{-m})) = 2^{-m}$, और द्विअंशी अंतराल [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) को निर्धारित कर देते हैं ([प्रमेय 9.7](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-uniqueness))। $U_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं: वे [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) कुल $(b_k)$ के असंयुक्त खंडों के फलन हैं — औपचारिक रूप से, द्विअंशी $D_n$ के लिए घटनाएँ $\{U_n \in D_n\}$ असंयुक्त समुच्चयों के परिमित संख्या के अंकों पर निर्भर करती हैं और गुणनखंडित हो जाती हैं; और $\pi$-प्रणाली वाला तर्क इसे सभी बोरेल समुच्चयों तक उन्नत कर देता है।

*स्वेच्छ [बंटन नियम](#def-b3-probability-space)।* मान लीजिए $G_n(u) = \inf\{t : F_{\mu_n}(t)
\geq u\}$ (बंटन फलन $F_{\mu_n}$ का *क्वांटाइल फलन*); मुख्य तुल्यता $G_n(u) \leq t
\iff u \leq F_{\mu_n}(t)$ ($F$ की दक्षिण-सांतत्य और एकदिष्टता) दिखा देती है कि $X_n = G_n(U_n)$ $\P(X_n \leq t) = \P(U_n \leq F_{\mu_n}(t)) =
F_{\mu_n}(t)$ के साथ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है: अर्थात् [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) $\mu_n$; और [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) विरासत में मिल जाता है ([स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) चरों के फलन, [अभ्यास 22.3](#exo-b3-probability-3))। ∎

**उदाहरण 22.7 (जन्मदिन समस्या, ईमानदारी से).**

$N = 365$ दिनों पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence), एकसमान जन्मदिनों वाले $n$ व्यक्तियों में सभी जन्मदिनों के भिन्न होने की प्रायिकता पुनरावृत्त सप्रतिबंधन से

$$
p_n = \prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(1 - \frac kN\Bigr),
$$

है (अथवा सीधे: कुल $N^n$ में से अनुकूल $N(N-1)\cdots(N - n + 1)$, और [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) का गुणनफल सूत्र इस गणना-तर्क को कठोर बना देता है)। लघुगणक लेकर और $-\ln(1 - x) = x +
O(x^2)$ का उपयोग करके:

$$
\ln p_n = -\frac{n(n-1)}{2N} +
O\Bigl(\frac{n^3}{N^2}\Bigr),
\qquad\text{अतः}\qquad
p_n \approx \eu^{-n^2/2N} .
$$

पलटाव बिंदु $p_n = \frac12$ $n \approx
\sqrt{2N\ln2} \approx 1.18\sqrt N$ पर बैठता है: $N = 365$ के लिए $n = 23$ ($p_{23} = 0.4927$)। दो शिक्षाएँ। पहली, $N$ पेटियों में $n$ वस्तुओं के बीच टकराव $n \sim \sqrt N$ के मापक्रम पर प्रकट होते हैं, न कि $n \sim N$ पर — यही वह *जन्मदिन मापन* है जो हैश टकरावों को और कूटलेखन में जन्मदिन आक्रमणों की $\sqrt N$ लागत को नियंत्रित करता है। दूसरी, यह परिकलन एक प्रतिमान है: $\binom n2$ युग्म-टकराव घटनाएँ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) नहीं हैं, फिर भी उत्तर ऐसे व्यवहार करता है मानो वे [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हों ($\eu^{-\binom n2/N}$ ठीक-ठीक स्वतंत्र-युग्मों वाली अनुमान-विधि है) — यह प्वासों आसन्नन का पहला उदाहरण है, जिसे [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) की सप्ताहांत समस्या में कठोर बनाया गया है (ले काम असमिका)।

## 22.3 बोरेल–कांतेली और शून्य–एक नियम

**प्रमेय 22.8 (बोरेल–कांतेली).**

मान लीजिए $(A_n)$ घटनाएँ हैं और $\limsup A_n = \bigcap_N
\bigcup_{n\geq N}A_n$ (“$A_n$ अनंत बार घटित होती है”)।

1. यदि $\sum\P(A_n) < \infty$ हो, तो $\P(\limsup A_n) =  0$ ।
2. यदि $\sum\P(A_n) = \infty$ हो *और $A_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हों* , तो $\P(\limsup A_n) = 1$ ।

**उपपत्ति.** (1) [अभ्यास 9.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#exo-b3-measure-4) है। (2): $N \leq M$ के लिए पूरकों का [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) ([अभ्यास 22.3](#exo-b3-probability-3))

$$
\P\Bigl(\bigcap_{n=N}^{M}A_n^c\Bigr) = \prod_{n=N}^M\bigl(1
- \P(A_n)\bigr) \leq
\exp\Bigl(-\sum_{n=N}^M\P(A_n)\Bigr) \xrightarrow[M \to
\infty]{} 0
$$

दे देता है ($1 - x \leq \eu^{-x}$; और यह श्रेणी अपसारी है)। अतः प्रत्येक $N$ के लिए $\P\bigl(\bigcup_{n\geq N}A_n\bigr) = 1$, और $N$ पर ह्रासमान सर्वनिष्ठ की प्रायिकता फिर भी $1$ है (ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), [प्रतिज्ञप्ति 9.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#prop-b3-measure-basics))। ∎

**प्रमेय 22.9 (कोल्मोगोरोव का शून्य–एक नियम).**

मान लीजिए $(X_n)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं और $\mathcal T =
\bigcap_N\sigma(X_N, X_{N+1}, \dots)$ *पुच्छ $\sigma$-बीजगणित* है (अर्थात् वे घटनाएँ जो $X_n$ में से किसी भी परिमित संख्या के प्रति असंवेदी हैं: $\sum X_n$ का अभिसरण, $\frac{S_n}n$ का अभिसरण, $\limsup$ के मान, …)। तब प्रत्येक $T \in \mathcal T$ के लिए $\P(T) \in \{0,
1\}$।

**उपपत्ति.** $N$ स्थिर कीजिए। $\sigma$-बीजगणित $\sigma(X_1, \dots, X_N)$ और $\sigma(X_{N+1}, \dots)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं: असंयुक्त खंडों पर निर्भर घटनाएँ जनक $\pi$-प्रणालियों पर गुणनखंडित हो जाती हैं (एक ओर बेलन $\bigcap_{i\leq N}\{X_i \in B_i\}$, और दूसरी ओर बाद के चरों पर परिमित प्रतिबंध), और दिन्किन ([प्रमेय 9.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-dynkin), दो बार लगाई गई, एक बार में एक ओर) उस गुणनखंडन को बढ़ा देती है। कोई पुच्छ घटना $T$ प्रत्येक $N$ के लिए $\sigma(X_{N+1}, \dots)$ में होती है: अतः $T$ प्रत्येक $\sigma(X_1, \dots, X_N)$ से [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) है, और इसलिए उनसे जनित $\sigma$-बीजगणित $\sigma(X_1, X_2, \dots)$ से भी (एक बार फिर दिन्किन: $\sigma(X_1,\dots,X_N)$ का संघ उसे जनित करने वाली $\pi$-प्रणाली है)। पर $T \in \sigma(X_1, X_2, \dots)$ भी: अतः $T$ *स्वयं से* [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) है, $\P(T) = \P(T\cap T) =
\P(T)^2$: इसलिए $\P(T) \in \{0, 1\}$। ∎

## 22.4 अभिसरण के प्रकार

**परिभाषा 22.10.**

$X_n \to X$ *लगभग निश्चित रूप से* यदि $\P(X_n \to X) = 1$ हो; *प्रायिकता में* यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए $\P(\abs{X_n - X} \geq \varepsilon)
\to 0$ हो; और *$L^p$ में* यदि $\E\abs{X_n - X}^p \to 0$ हो।

**प्रतिज्ञप्ति 22.11.**

(क) लगभग निश्चित अभिसरण से प्रायिकता में अभिसरण निकलता है; (ख) $L^p$ अभिसरण से प्रायिकता में अभिसरण निकलता है; (ग) प्रायिकता में अभिसरण से *किसी उपानुक्रम के अनुदिश* लगभग निश्चित अभिसरण निकलता है; (घ) और व्यापक रूप से कोई अन्य निहितार्थ लागू नहीं होता।

**उपपत्ति.** (क) लगभग निश्चित अभिसरण के अंतर्गत $\P(\abs{X_n - X} \geq \varepsilon) \leq
\P\bigl(\sup_{m\geq n}\abs{X_m - X} \geq \varepsilon\bigr)
\downarrow \P\bigl(\limsup\{\abs{X_m - X} \geq
\varepsilon\}\bigr) = 0$ (ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity); उच्च-सीमा घटना अभिसरण को अपवर्जित कर देती है)। (ख) मार्कोव: $\P(\abs{X_n - X} \geq \varepsilon) \leq
\varepsilon^{-p}\,\E\abs{X_n - X}^p$। (ग) $\P(\abs{X_{n_k} - X} \geq 2^{-k}) \leq 2^{-k}$ वाले $n_k$ चुनिए; बोरेल–कांतेली (1) से अंततः, लगभग निश्चित रूप से, $\abs{X_{n_k} - X} < 2^{-k}$ हो जाता है। (घ) $(\intcc01, \lambda)$ पर टंकण-यंत्र ([अभ्यास 12.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#exo-b3-lp-3)) $L^1$ में और प्रायिकता में अभिसरित होता है पर कहीं भी बिंदुशः नहीं; $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ लगभग निश्चित रूप से, पर $L^1$ में नहीं; विवरण और शेष प्रतिउदाहरण [अभ्यास 22.6](#exo-b3-probability-6) में। ∎

## 22.5 बृहत् संख्याओं का नियम

सर्वत्र $(X_n)$ एक ही [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) वाले [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) चर हैं (*[स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित*), और $S_n = X_1 + \dots + X_n$।

**प्रमेय 22.12 (बृहत् संख्याओं का दुर्बल नियम).**

यदि $X_1 \in L^2$ हो, $m = \E X_1$ के साथ:

$$
\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}{n} - m\Bigr| \geq
\varepsilon\Bigr) \leq
\frac{\V(X_1)}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n\to\infty]{} 0 :
$$

तो $\frac{S_n}n \to m$ प्रायिकता में (और $L^2$ में भी)।

**उपपत्ति.** $\E\frac{S_n}n = m$ और $\V\bigl(\frac{S_n}n\bigr) =
\frac{n\V(X_1)}{n^2}$ ([प्रमेय 22.5](#thm-b3-probability-independence)); फिर चेबिशेव। ∎

**प्रमेय 22.13 (बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम).**

यदि $X_1 \in L^1$ हो, तो

$$
\frac{S_n}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{\text{लगभग निश्चित}} \E[X_1].
$$

हम इसे यहाँ प्रबलतर परिकल्पना $X_1 \in
L^4$ के अंतर्गत सिद्ध करते हैं; व्यापक स्थिति ($L^1$: एतेमादी की उपपत्ति) सप्ताहांत समस्या है।

**$\E X_1^4 < \infty$ के अंतर्गत उपपत्ति.** केंद्रीकरण ($X_i \mapsto X_i - m$) करके मान लीजिए $m = 0$। प्रसार कीजिए:

$$
\E[S_n^4] = \sum_{i,j,k,l}\E[X_iX_jX_kX_l]
= n\,\E[X_1^4] + 3n(n-1)\,\bigl(\E[X_1^2]\bigr)^2 \leq
C\,n^2 ,
$$

क्योंकि [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) और केंद्रीकरण हर उस पद को मार देते हैं जिसमें कोई एकाकी गुणनखंड हो ($\E[X_iX_jX_kX_l] =
\E[X_i]\E[\cdots] = 0$ जब तक सूचकांक युग्मित न हों: केवल $n$ पद $i=j=k=l$ और दो भिन्न युग्मों वाले $3n(n-1)$ पद बचते हैं)। मार्कोव:

$$
\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}n\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr)
= \P\bigl(S_n^4 \geq n^4\varepsilon^4\bigr)
\leq \frac{Cn^2}{n^4\varepsilon^4} =
\frac{C}{\varepsilon^4n^2},
$$

जो योगनीय है: अतः बोरेल–कांतेली (1) से प्रत्येक परिमेय $\varepsilon$ के लिए अंततः, लगभग निश्चित रूप से, $\abs{S_n/n} < \varepsilon$; और $\varepsilon \in \Q_+^*$ पर सर्वनिष्ठ लेकर (गणनीय संख्या की प्रायिकता-$1$ घटनाएँ): $S_n/n \to 0$ लगभग निश्चित रूप से। ∎

**उदाहरण 22.14 (प्रबल नियम से क्या मिलता है).**

(क) *आवृत्तियाँ*: [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित सिक्का-उछालों के लिए चित की प्रेक्षित आवृत्ति लगभग निश्चित रूप से $p$ की ओर अभिसरित होती है — अर्थात् स्वयं प्रायिकता का आनुभविक औचित्य। (ख) *मोंते कार्लो*: $g \in
L^1(\intcc01)$ और [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित एकसमान $(U_n)$ ([प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence)) के लिए लगभग निश्चित रूप से $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$: अर्थात् प्रतिचयन से समाकल, किसी भी विमा में, [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) में परिशुद्ध की गई विमा-निरपेक्ष दर $\sim n^{-1/2}$ पर। (ग) *सामान्य संख्याएँ*: लगभग प्रत्येक वास्तविक संख्या के द्विआधारी प्रसार में एकों की अनंतस्पर्शी आवृत्ति $\frac12$ होती है ([प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) के अंक चरों पर प्रबल नियम लगाइए) — यह बोरेल की प्रमेय है, जो *रोज़मर्रा* की संख्याओं के बारे में एक कथन है और [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) से सिद्ध होता है: [समस्या 22.1](#pb-b3-probability-1) उसे सभी आधारों में पूरा कर देता है।

**विधि 22.15.**

यादृच्छिक अनुक्रमों के बारे में अनंतस्पर्शी कथनों के लिए कार्य-क्रम: (1) *क्या यह घटना कोई पुच्छ घटना है?* तब उसकी प्रायिकता $0$ या $1$ है ([प्रमेय 22.9](#thm-b3-probability-zeroone)) और केवल यह तय करना शेष रहता है कि कौन-सी। (2) *लगभग निश्चित कथन सिद्ध करने के लिए*: बोरेल–कांतेली — जो भी आघूर्ण विद्यमान हों उन पर मार्कोव/चेबिशेव-प्रकार के परिबंधों के माध्यम से “बुरी” घटनाओं की योगनीय प्रायिकताएँ; और [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) केवल विपरीत दिशा के लिए चाहिए। (3) *उपानुक्रम + सैंडविच*: किसी सुप्रबंध्य उपानुक्रम के अनुदिश अभिसरण सिद्ध कीजिए, और बीच के दोलन को एकदिष्टता या उच्चिष्ठ असमिकाओं से नियंत्रित कीजिए — यही एतेमादी की उपपत्ति का कंकाल है। (4) बंटन-संबंधी सीमाओं के लिए [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) की प्रतीक्षा कीजिए।

## 22.6 अभ्यास

**अभ्यास 22.1 ★.**

(क) मान लीजिए $X$ का बंटन फलन $F$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और कड़ाई से वर्धमान है। दर्शाइए कि $F(X)$ $\intcc01$ पर एकसमान है, और यह कि एकसमान $U$, $G = F^{-1}$ के लिए $G(U) \sim F$: अर्थात् प्रतिलोमन द्वारा अनुकरण। (ख) $\intcc{-1}1$ पर एकसमान $X$ के लिए $X^2$ का, और $\intoo01$ पर एकसमान $U$ के लिए $-\frac1\lambda\ln
U$ का, बंटन फलन तथा [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) परिकलित कीजिए।

**हल — अभ्यास 22.1.**

(क) $u \in \intoo01$ के लिए: $\P(F(X) \leq u) = \P(X \leq
F^{-1}(u)) = F(F^{-1}(u)) = u$ ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और कड़ी एकदिष्टता $F$ को $\intoo01$ पर एकैकी आच्छादक बना देती हैं, जिससे $\{F(X) \leq u\} = \{X \leq F^{-1}(u)\}$): अतः $F(X)$ एकसमान है। विपरीत दिशा में $\P(G(U) \leq t) = \P(U \leq F(t))
= F(t)$: अर्थात् किसी [बंटन नियम](#def-b3-probability-space) का अनुकरण करने के लिए किसी एकसमान प्रतिदर्श पर प्रतिलोम बंटन फलन लगाइए।

(ख) $Y = X^2$, जहाँ $X$ $\intcc{-1}1$ पर एकसमान है: $t \in
\intcc01$ के लिए $F_Y(t) = \P(-\sqrt t \leq X \leq \sqrt t) =
\sqrt t$: अतः [घनत्व](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac1{2\sqrt t}\mathbf 1_{\intoo01}$। और $\P\bigl(-\frac1\lambda\ln U \leq t\bigr) = \P(U \geq
\eu^{-\lambda t}) = 1 - \eu^{-\lambda t}$: अर्थात् चरघातांकी $\mathcal E(\lambda)$ — प्रतिलोमन क्रिया में।

**अभ्यास 22.2 ★.**

(क) अंतरण प्रमेय के माध्यम से प्वासों $\mathcal
P(\lambda)$ और ज्यामितीय बंटन नियमों का माध्य तथा प्रसरण परिकलित कीजिए। (ख) दर्शाइए कि सभी $t$ के लिए $\P(T > t)
> 0$ वाला कोई धनात्मक [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) $T$ सभी $s, t \geq 0$ के लिए *स्मृतिहीनता* गुण $\P(T > t + s \mid
T > t) = \P(T > s)$ तभी और केवल तभी संतुष्ट करता है जब $T$ चरघातांकी हो। *(उत्तरजीविता फलन कोशी का फलनीय समीकरण संतुष्ट करता है; और एकदिष्टता [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) का स्थान ले लेती है।)*

**हल — अभ्यास 22.2.**

(क) प्वासों: $\E X = \sum_{k\geq0}k\,\eu^{-\lambda}
\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda$, $\E[X(X-1)] = \lambda^2$, अतः $\V = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$। ज्यामितीय ($\P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$): $\E X = \frac1p$, $\V
= \frac{1-p}{p^2}$ (ज्यामितीय श्रेणी का दो बार अवकलन कीजिए)।

(ख) $G(t) = \P(T > t)$ अवर्धमान है और $G(0^+)\dots$ $G \colon \intco0\infty \to \intoc01$; और स्मृतिहीनता का पाठ $G(t + s) = G(t)G(s)$ है। तब $G(n t) = G(t)^n$ तथा $G(t/n) =
G(t)^{1/n}$: अतः परिमेय $q \geq 0$ के लिए $G(q) = G(1)^q$; $G(1) = \eu^{-\lambda}$ लिखिए ($\in \intoo01$: $G(1) = 1$ $G \equiv 1$ अनिवार्य कर देता, जो किसी परिमित [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) के लिए असंभव है; और $G(1) = 0$ परिकल्पना से अपवर्जित है), और किसी भी $t$ को परिमेयों के बीच दबाइए (एकदिष्टता): $G(t) =
\eu^{-\lambda t}$ — अर्थात् चरघातांकी [बंटन नियम](#def-b3-probability-space)। विलोम एक परिकलन मात्र है।

**अभ्यास 22.3 ★★.**

(क) दर्शाइए कि यदि $X_1, \dots, X_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हों और $f_i$ बोरेल फलन हों, तो $f_i(X_i)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं। (ख) दर्शाइए कि घटनाएँ $A_1, \dots, A_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं तभी और केवल तभी जब उनके पूरक [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हों, और तभी जब सूचक $\mathbf 1_{A_i}$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) हों। (ग) (युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) दुर्बलतर है) दो निष्पक्ष सिक्के: $A ={}$ पहला चित है, $B ={}$ दूसरा चित है, $C ={}$ दोनों सहमत हैं। दर्शाइए कि $A, B, C$ युग्मशः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) नहीं।

**हल — अभ्यास 22.3.**

(क) $\sigma(f_i(X_i)) = f_i(X_i)^{-1}(\mathcal B) \subseteq
X_i^{-1}(\mathcal B) = \sigma(X_i)$ ($f_i$ बोरेल), और [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) $\sigma$-बीजगणितों के उप-$\sigma$-बीजगणित [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) होते हैं (परिभाषक सर्वसमिका तब तो और भी सरलता से लागू होती है)।

(ख) $\sigma(A_i) = \{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\} =
\sigma(A_i^c) = \sigma(\mathbf 1_{A_i})$: तीनों कथन एक ही $\sigma$-बीजगणितों के [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) का दावा करते हैं। ($A_i$ पर का गुणनखंडन पूरकों तक फैलता है — यह [परिभाषा 22.4](#def-b3-probability-independence) की तुल्यता के भीतर का $\lambda$-निकाय तर्क है, अथवा सीधे समावेश-अपवर्जन।)

(ग) $\P(A) = \P(B) = \P(C) = \frac12$; और युग्मों पर $A\cap B
= A\cap C = B\cap C$: प्रत्येक प्रतिच्छेदन “दोनों चित” अथवा उसके अनुरूप है, जिसकी प्रायिकता $\frac14$ है: अतः युग्मशः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence)। पर $\P(A\cap B\cap C) =
\P(\text{चित-चित}) = \frac14 \neq
\frac18$: अतः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) नहीं — $C$ $A$ और $B$ से निर्धारित हो जाता है।

**अभ्यास 22.4 ★★.**

(क) (अनंत वानर) किसी परिमित वर्णमाला पर एकसमान कुंजी-आघातों का कोई [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित अनुक्रम लगभग निश्चित रूप से प्रत्येक परिमित पाठ को अनंत बार धारण करता है: असंयुक्त खंडों पर बोरेल–कांतेली (2) से यह सिद्ध कीजिए। (ख) (लड़ियाँ) [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित निष्पक्ष बिटों के लिए मान लीजिए $R_n$ स्थान $n$ से आरंभ होने वाली एकों की लड़ी की लंबाई है। दर्शाइए कि लगभग निश्चित रूप से $R_n \geq (1+\varepsilon)\log_2n$ परिमित बार, और $R_n
\geq \log_2 n$ अनंत बार *(बोरेल–कांतेली के दोनों अर्ध भाग; दूसरे के लिए [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) पाने हेतु असंयुक्त खंडों पर जाइए)*: अर्थात् प्रथम $n$ अंकों में सबसे लंबी लड़ी $\log_2n$ की भाँति बढ़ती है।

**हल — अभ्यास 22.4.**

(क) मान लीजिए पाठ $T$ की लंबाई $L$ है और $q = a^{-L}$ ($a$ वर्णमाला का आकार)। घटनाएँ $E_k = \{$स्थान $kL+1,
\dots, (k+1)L$ $T$ की वर्तनी करते हैं$\}$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं ([स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित अक्षरों के असंयुक्त खंड), और प्रत्येक की प्रायिकता $q > 0$ है: अतः $\sum\P(E_k)
= \infty$, और बोरेल–कांतेली (2) से लगभग निश्चित रूप से अनंत बार प्रकटन मिलते हैं।

(ख) ऊपरी: $\P\bigl(R_n \geq (1+\varepsilon)\log_2n\bigr)
\leq 2^{-(1+\varepsilon)\log_2n} = n^{-(1+\varepsilon)}$, जिसका योग परिमित है: अतः बोरेल–कांतेली (1) से लगभग निश्चित रूप से ऐसे $n$ परिमित ही हैं। निचली: असंयुक्त खंड भरिए — $j$-वाँ खंड लंबाई $\ell_j = \lceil\log_2s_j\rceil$ का, जो $s_j = \sum_{i<j}\ell_i$ से आरंभ होता है; घटनाएँ “खंड $j$ सर्वथा एक है” [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं और उनकी प्रायिकता $2^{-\ell_j}
\asymp \frac1{s_j} \asymp \frac1{j\log_2 j}$ है, जिसका योग अपसरित होता है: अतः बोरेल–कांतेली (2) से सर्वथा-एक वाले खंड अनंत बार मिलते हैं, अर्थात् $R_{s_j} \geq \log_2 s_j$ अनंत बार। दोनों मिलकर: प्रथम $n$ अंकों में सबसे लंबी लड़ी लगभग निश्चित रूप से $(1 + o(1))\log_2n$ है।

**अभ्यास 22.5 ★★.**

मान लीजिए $(X_n)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं। (क) दर्शाइए कि $\sum X_n z^n$ की अभिसरण त्रिज्या लगभग निश्चित रूप से अचर है (संभवतः $0$ अथवा $\infty$)। (ख) दर्शाइए कि $\P(\sum X_n \text{ अभिसरित होती है}) \in \{0, 1\}$ और $\P(S_n/n \to m) \in \{0,1\}$। (ग) $(X_n)$ के बारे में ऐसी कोई घटना दीजिए जो पुच्छ घटना *न* हो, और जाँचिए कि उसके लिए [शून्य–एक नियम](#thm-b3-probability-zeroone) विफल हो सकता है।

**हल — अभ्यास 22.5.**

(क) $R = \bigl(\limsup\abs{X_n}^{1/n}\bigr)^{-1}$ परिमित संख्या के $X_n$ बदलने पर अपरिवर्तित रहता है: अतः प्रत्येक $N$ के लिए $R$ $\sigma(X_N, X_{N+1}, \dots)$-मापनीय है, अर्थात् पुच्छ-मापनीय। तब प्रत्येक घटना $\{R \leq c\}$ की प्रायिकता $0$ या $1$ है ([प्रमेय 22.9](#thm-b3-probability-zeroone)), इसलिए $R$ का बंटन फलन केवल मान $0, 1$ लेता है: वह किसी एक ही बिंदु $c_0
\in \intcc0{+\infty}$ पर उछलता है, और लगभग निश्चित रूप से $R = c_0$।

(ख) $\sum X_n$ का तथा $\frac{S_n}n$ का अभिसरण परिमित संख्या के पदों के बदलने से अप्रभावित रहता है (दूसरे के लिए: बदले हुए पद $O(1/n) \to 0$ का योगदान करते हैं): अतः दोनों पुच्छ घटनाएँ हैं; [शून्य–एक नियम](#thm-b3-probability-zeroone)।

(ग) $\{X_1 > 0\}$ $X_1$ पर निर्भर है: [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित चिह्नों ($\P(X_1 = \pm1) = \frac12$) के लिए उसकी प्रायिकता $\frac12 \notin \{0,1\}$ है — इसमें कोई विरोधाभास नहीं, वह पुच्छ घटना है ही नहीं।

**अभ्यास 22.6 ★★.**

$(\intcc01, \lambda)$ पर — उपपत्तियों सहित — ऐसे [यादृच्छिक चर](#def-b3-probability-space) प्रस्तुत कीजिए कि: (क) $X_n \to 0$ प्रायिकता में और प्रत्येक $L^p$ में, पर कहीं भी लगभग निश्चित रूप से नहीं; (ख) $X_n \to 0$ लगभग निश्चित रूप से, पर किसी भी $L^p$ में नहीं; (ग) $X_n \to 0$ $L^1$ में, पर $L^2$ में नहीं; (घ) और दर्शाइए: यदि $X_n \to X$ प्रायिकता में हो और $\abs{X_n}
\leq Y \in L^1$ हो, तो $X_n \to X$ $L^1$ में *(उपानुक्रम + प्रभावी अभिसरण + उप-उपानुक्रम वाली युक्ति)*।

**हल — अभ्यास 22.6.**

$(\intcc01, \lambda)$ पर काम कीजिए। (क) टाइपराइटर $\mathbf 1_{I_n}$ ([अभ्यास 12.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#exo-b3-lp-3)): $\norm{X_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (सभी $p < \infty$), अतः प्रायिकता में भी; पर प्रत्येक $\omega$ पर मान $0$ और $1$ दोनों बार-बार लौटते हैं: अतः कहीं भी बिंदुशः अभिसरण नहीं। (ख) $X_n = n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ $0$ के बाहर, पर $\norm{X_n}_p \geq n^{1 - 1/p} \geq 1$। (ग) $X_n = \sqrt n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$: $\E\abs{X_n} =
n^{-1/2} \to 0$, $\E X_n^2 = 1$। (घ) किसी भी उपानुक्रम में से (प्रायिकता में अभिसरण) कोई ऐसा आगे का उपानुक्रम निकालिए जो लगभग निश्चित रूप से अभिसरित हो ([प्रतिज्ञप्ति 22.11](#prop-b3-probability-modes)(ग)); प्रभावी अभिसरण उसके अनुदिश $L^1$ अभिसरण दे देता है, और सीमा *वही* $X$ रहती है। अतः संख्यात्मक अनुक्रम $\E\abs{X_n - X}$ के प्रत्येक उपानुक्रम का कोई उप-उपानुक्रम $0$ की ओर जाता है: इसलिए समूचा अनुक्रम $0$ की ओर जाता है।

**अभ्यास 22.7 ★★.**

कोई जनमत सर्वेक्षण किसी अज्ञात अनुपात $p$ का आकलन $n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) प्रतिचयनों की आनुभविक आवृत्ति $\hat p_n$ से करता है। (क) चेबिशेव: दर्शाइए कि $\P(\abs{\hat p_n - p} \geq \varepsilon)
\leq \frac1{4n\varepsilon^2}$ ($p(1-p) \leq \frac14$ का उपयोग कीजिए)। (ख) इस परिबंध से कितने प्रतिचयन $\geq 95\%$ प्रायिकता के साथ $\leq 3\%$ त्रुटि की प्रत्याभूति देते हैं? ([अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt) के माध्यम से वास्तविक उत्तर लगभग $1070$ है: चेबिशेव ईमानदार है पर कच्चा।)

**हल — अभ्यास 22.7.**

(क) $\hat p_n = \frac{S_n}n$, जहाँ $S_n$ द्विपद है: $\V(\hat
p_n) = \frac{p(1-p)}n \leq \frac1{4n}$, और चेबिशेव ([प्रतिज्ञप्ति 22.3](#prop-b3-probability-markov)) वह परिबंध दे देती है। (ख) $\frac1{4n(0.03)^2} \leq 0.05$ हल कीजिए: $n \geq
\frac{1}{4\cdot0.0009\cdot0.05} \approx 5556$। उसी प्रत्याभूति के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय $n \approx 1070$ उचित ठहरा देगी: चेबिशेव अपनी व्यापकता की क़ीमत लगभग $5$ के गुणक से चुकाती है।

**अभ्यास 22.8 ★★★.**

(बर्नस्टाइन) $f \in \mathcal C(\intcc01)$ के लिए बर्नस्टाइन बहुपद $B_nf(x) =
\sum_{k=0}^n\binom nkx^k(1-x)^{n-k}f\bigl(\frac kn\bigr)$ परिभाषित कीजिए। (क) द्विपद $\mathcal B(n, x)$ वाले $S_n$ के लिए $B_nf(x) = \E\bigl[f\bigl(\frac
{S_n}n\bigr)\bigr]$ को पहचानिए। (ख) सिद्ध कीजिए कि $\intcc01$ पर $B_nf \to f$ *एकसमान रूप से*: $\{\abs{\frac{S_n}n - x} \leq \delta\}$ और उसके पूरक पर विभाजन कीजिए, और एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) तथा एकसमान परिबंध $\V(\frac{S_n}n) \leq \frac1{4n}$ के साथ चेबिशेव का उपयोग कीजिए। (ग) निष्कर्ष निकालिए: वाइरश्ट्रास आसन्नन प्रमेय ([उपप्रमेय 7.16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)) की एक दूसरी, प्रायिकता-आधारित उपपत्ति, और साथ में [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) मापांक $\omega_f$ के लिए स्पष्ट दर $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac32\,\omega_f(n^{-1/2})$ — कम से कम $O(\omega_f(n^{-1/2}))$ वाला रूप सिद्ध कीजिए।

**हल — अभ्यास 22.8.**

(क) यदि $S_n \sim \mathcal B(n, x)$ हो, तो अंतरण प्रमेय $\E\bigl[f(\frac{S_n}n)\bigr] =
\sum_k\binom nkx^k(1-x)^{n-k}f(\frac kn) = B_nf(x)$ देती है।

(ख)–(ग) मान लीजिए $\omega = \omega_f$ [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) मापांक है ($\abs{f(u) - f(v)} \leq \omega(\abs{u - v})$, और चरणों को जोड़ने से $\omega(c
\delta) \leq (1 + c)\,\omega(\delta)$)। तब किसी भी $\delta >
0$ के लिए

$$
\abs{f(u) - f(x)} \leq \Bigl(1 + \frac{(u -
x)^2}{\delta^2}\Bigr)\omega(\delta)
$$

(यदि $\abs{u - x} \leq \delta$ हो तो स्पष्ट; अन्यथा $\omega(\abs{u-x}) \leq (1 + \frac{\abs{u-x}}\delta)
\omega(\delta) \leq (1 + \frac{(u-x)^2}{\delta^2})
\omega(\delta)$)। $u = \frac{S_n}n$ पर [प्रत्याशा](#def-b3-probability-space) लीजिए:

$$
\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq
\Bigl(1 + \frac{\V(S_n/n)}{\delta^2}\Bigr)\omega(\delta)
\leq \Bigl(1 + \frac{1}{4n\delta^2}\Bigr)\omega(\delta) ;
$$

और $\delta = n^{-1/2}$ के साथ: $\norm{B_nf - f}_\infty \leq
\frac54\,\omega\bigl(n^{-1/2}\bigr) \leq
\frac32\,\omega\bigl(n^{-1/2}\bigr) \to 0$ ([संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) पर एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)): अर्थात् वाइरश्ट्रास प्रमेय की एक प्रायिकता-आधारित उपपत्ति, स्पष्ट और एकसमान दर के साथ।

**अभ्यास 22.9 ★★★.**

(कूपन संग्राहक) $n$ प्रकारों के पत्ते प्रतिस्थापन के साथ एकसमान रूप से निकाले जाते हैं; मान लीजिए $T_n$ वह प्राचय संख्या है जब तक सभी प्रकार दिख न जाएँ। (क) $T_n = \sum_{k=1}^{n}\tau_k$ लिखिए, जहाँ $\tau_k$ प्राचल $\frac{n - k + 1}n$ वाले ज्यामितीय हैं और $\tau_k$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं, और $\E T_n = n\,H_n \sim n\ln n$ निकालिए ($H_n$ प्रसंवादी संख्या) तथा $\V(T_n) \leq
\frac{\pi^2}6n^2$। (ख) चेबिशेव: प्रायिकता में $\frac{T_n}{n\ln n} \to 1$। (ग) बोरेल–कांतेली से परिष्कार कीजिए: $\beta > 1$ के लिए सीधे $\P(T_n >
\beta n\ln n) \leq n^{1 - \beta}$ दर्शाइए *($\beta n\ln n$ प्राचयों के बाद किसी प्रकार के छूट जाने की घटना पर संघ परिबंध, $1 - x \leq \eu^{-x}$ का उपयोग करते हुए)*, और निकालिए कि $n = 2^m$ के अनुदिश, प्रत्येक $\beta > 2$ के लिए, लगभग निश्चित रूप से अंततः $T_n \leq \beta n\ln
n$।

**हल — अभ्यास 22.9.**

(क) $k - 1$ प्रकार संग्रहीत हो चुकने के बाद प्रत्येक प्राचय प्रायिकता $p_k = \frac{n-k+1}n$ के साथ नया होता है: अतः $\tau_k$ ज्यामितीय $(p_k)$ है, और $\tau_k$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं (प्राचय [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं)। योग लीजिए: $\E T_n =
\sum_k\frac n{n-k+1} = nH_n \sim n\ln n$; $\V(T_n) = \sum\frac{1 - p_k}{p_k^2} \leq
n^2\sum_{j=1}^n\frac1{j^2} \leq \frac{\pi^2}6n^2$।

(ख) चेबिशेव: $\P\bigl(\abs{T_n - nH_n} \geq \varepsilon
n\ln n\bigr) \leq \frac{\pi^2n^2/6}{\varepsilon^2n^2\ln^2n}
\to 0$, और $\frac{nH_n}{n\ln n} \to 1$: अतः प्रायिकता में $\frac{T_n}{n\ln n} \to 1$।

(ग) संघ परिबंध: $T_n > t$ का अर्थ है कि $\lceil t\rceil$ प्राचयों के बाद कोई प्रकार अनदेखा रह गया, अतः $\P(T_n > t)
\leq n(1 - \frac1n)^{t} \leq n\,\eu^{-t/n}$; और $t = \beta
n\ln n$ पर: $\leq n^{1 - \beta}$। $\beta > 1$ के लिए $\sum_m
2^{m(1-\beta)} < \infty$: अतः बोरेल–कांतेली $n = 2^m$ के अनुदिश लगभग निश्चित रूप से अंततः $T_n \leq \beta n\ln n$ दे देती है — विशेषतः कथनानुसार प्रत्येक $\beta > 2$ के लिए (उपानुक्रम के अनुदिश कोई भी $\beta > 1$ काम कर जाता है)।

**अभ्यास 22.10 ★★.**

अंक-रचना ([प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence)) का उपयोग करते हुए: (क) सीधे परिकलन से सत्यापित कीजिए कि $U = \sum b_{2k}2^{-k}$ (किसी एकसमान $\omega$ के सम-सूचकांक वाले अंक) एकसमान है और $V = \sum b_{2k-1}2^{-k}$ से [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) है; (ख) इससे $\intcc01$ और $\intcc01^2$ के बीच माप-संरक्षी, अकिंचन-समुच्चयों-तक [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) एकैकी आच्छादन निकालिए, और टिप्पणी कीजिए: एक ही एकसमान यादृच्छिक संख्या दो (और गणनीय अनंत) [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) संख्याएँ धारण करती है — इसकी तुलना पियानो वक्र ([समस्या 6.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#pb-b3-topology-1)) से कीजिए, जिसने आच्छादकता तो प्राप्त की थी पर माप-संरक्षण या एकैकीपन नहीं।

**हल — अभ्यास 22.10.**

(क) सम-सूचकांक वाले अंक $(b_{2k})_k$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित निष्पक्ष बिट हैं ([स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) अंक-कुल का एक उपकुल), अतः $U =
\sum_kb_{2k}2^{-k}$ प्रत्येक द्विआधारी अंतराल को उसकी सही प्रायिकता देता है (जैसा [प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) में): इसलिए एकसमान; और वैसे ही $V$; और $(U, V)$ असंयुक्त अंक-खंडों पर निर्भर हैं: अतः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) (द्विआधारी आयतों पर गुणनखंडन, फिर दिन्किन)।

(ख) $\Phi(\omega) = (U(\omega), V(\omega))$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है और $\Phi_*\lambda = \lambda\otimes\lambda = \lambda_2$ (द्विआधारी आयतों पर सहमति $+$ अद्वितीयता)। अंकों को गूँथने से कोई प्रतिलोम मिलता है, जो किसी भी गुणनखंड के द्विआधारी परिमेयों के (अकिंचन) समुच्चय के बाहर परिभाषित है: अर्थात् $\intcc01$ और $\intcc01^2$ के पूर्ण-माप उपसमुच्चयों के बीच कोई माप-संरक्षी एकैकी आच्छादन। पियानो ([समस्या 6.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#pb-b3-topology-1)) से तुलना कीजिए: वहाँ [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ने एकैकीपन के बिना आच्छादकता अनिवार्य कर दी थी; और यहाँ [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) छोड़कर केवल [मापनीयता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) रखने पर कोई माप-तुल्याकारिता मिल जाती है — विमा [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) सिद्धांत को नहीं दिखती, [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) को दिखती है।

**अभ्यास 22.11 ★★.**

(अभिलेख) मान लीजिए $(X_n)_{n\geq1}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) बंटन फलन वाले [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित चर हैं, और कहिए कि समय $n$ पर कोई *अभिलेख* घटित होता है यदि $X_n > \max(X_1, \dots, X_{n-1})$ हो (समय $1$ अभिलेख है)। मान लीजिए $R_n$ अभिलेख सूचक है। (क) दर्शाइए कि $\P(R_n = 1) = \frac1n$ *(सममिति से, $X_1, \dots, X_n$ के $n!$ क्रमों में से प्रत्येक समान रूप से संभाव्य है और बराबरी की प्रायिकता $0$ है)*। (ख) दर्शाइए कि $R_n$ *[स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence)* हैं *(निर्धारित अभिलेख स्थानों के अनुकूल क्रमों की गणना कीजिए, अथवा यह तर्क दीजिए कि $X_1, \dots, X_{n-1}$ का सापेक्ष क्रम उनमें $X_n$ की कोटि से [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) है)*। (ग) बोरेल–कांतेली ([प्रमेय 22.8](#thm-b3-probability-borelcantelli), दोनों अर्ध भाग) से निकालिए कि लगभग निश्चित रूप से अनंत अभिलेख घटित होते हैं, पर क्रमागत समयों $n, n+1$ पर अभिलेख अनंत बार किस प्रायिकता के साथ घटित होते हैं — तय कीजिए कि कौन-सी! — और $\sum_n\P(R_n = 1, R_{n+1} = 1)$ परिकलित कीजिए।

**हल — अभ्यास 22.11.**

(क) बंटन के [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) होने से बराबरियाँ अकिंचन घटनाएँ हो जाती हैं (जैसा अध्याय के क्रम-सांख्यिकी तर्कों में), और $(X_1, \dots,
X_n)$ के $n!$ सापेक्ष क्रम विनिमेय हैं, अतः समान रूप से संभाव्य। $R_n = 1$ का अर्थ है कि उच्चिष्ठ अंतिम स्थान पर बैठता है: जिसकी प्रायिकता $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac1n$ है।

(ख) $n$ स्थिर कीजिए और $X_1, \dots, X_{n-1}$ के सापेक्ष क्रम पर प्रतिबंधन कीजिए: $X_n$ को $n$ संभव कोटि-स्थानों में डालना एकसमान है और उस क्रम से [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) ($n$-बहुक की विनिमेयता)। अतः $R_n$ (घटना “$X_n$ शीर्ष स्थान लेता है”) समूचे अभिलेख इतिहास $(R_1, \dots, R_{n-1})$ से [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) है, जो प्रथम $n - 1$ चरों के सापेक्ष क्रम का फलन है। आगमन से पूर्ण स्वातंत्र्य मिल जाता है, जिसमें $\P(R_n = 1) =
\frac1n$।

(ग) [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) के साथ $\sum\P(R_n = 1) = \sum\frac1n =
\infty$: अतः बोरेल–कांतेली का दूसरा अर्ध भाग लगभग निश्चित रूप से अनंत बार अभिलेख दे देता है (अभिलेख कभी रुकते नहीं — पर वे लघुगणकीय रूप से विरल होते जाते हैं: $\E[\#\text{अभिलेख} \leq n] = H_n \approx \ln n$)। क्रमागत अभिलेख: $\P(R_n = R_{n+1}
= 1) = \frac1{n(n+1)}$ ([स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence)), और

$$
\sum_n\frac1{n(n+1)} = \sum_n\Bigl(\frac1n -
\frac1{n+1}\Bigr) = 1 < \infty :
$$

अतः बोरेल–कांतेली का पहला अर्ध भाग लागू होता है — लगभग निश्चित रूप से क्रमागत-अभिलेख युग्म परिमित बार ही घटित होते हैं।

**अभ्यास 22.12 ★★.**

(सबसे लंबी चित लड़ी) कोई निष्पक्ष सिक्का अनंत बार उछालिए, और मान लीजिए $L_n$ प्रथम $n$ उछालों के भीतर क्रमागत चितों की सबसे लंबी लड़ी की लंबाई है। (क) दर्शाइए कि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए लगभग निश्चित रूप से अंततः $L_n \leq
(1 + \varepsilon)\log_2n$ *(प्रथम $n$ उछालों में लंबाई $\ell$ की कोई लड़ी आरंभ होने की प्रायिकता अधिक से अधिक $n2^{-\ell}$ है; $n =
2^k$ के अनुदिश बोरेल–कांतेली)*। (ख) दर्शाइए कि लगभग निश्चित रूप से अंततः $L_n \geq (1 - \varepsilon)\log_2n$ *(प्रथम $n$ उछालों को लंबाई $\ell =
\lceil(1 - \varepsilon)\log_2n\rceil$ के $\lfloor n/\ell\rfloor$ असंयुक्त खंडों में काटिए; ये खंड [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं, प्रत्येक प्रायिकता $2^{-\ell}$ के साथ सर्वथा चित है, और किसी के भी सर्वथा चित न होने की प्रायिकता अधिक से अधिक $\exp(-n2^{-\ell}/\ell)$ है; फिर से $n = 2^k$ के अनुदिश योग कीजिए)*। (ग) निष्कर्ष निकालिए कि लगभग निश्चित रूप से $\frac{L_n}{\log_2n} \to 1$: दस लाख निष्पक्ष उछालों में लगभग $20$ चितों की लड़ी की अपेक्षा करनी चाहिए — और जिस आँकड़ा-समुच्चय में ऐसी लड़ी न हो वह संभवतः गढ़ा हुआ है।

**हल — अभ्यास 22.12.**

(क) स्थान $i \leq n$ से आरंभ होने वाली लंबाई $\ell$ की किसी लड़ी की प्रायिकता $2^{-\ell}$ है; संघ परिबंध: $\P(L_n \geq
\ell) \leq n2^{-\ell}$। $\ell_n = (1 +
\varepsilon)\log_2n$ के साथ: $\P(L_n \geq \ell_n) \leq
n^{-\varepsilon}$। $n = 2^k$ के अनुदिश $\sum_k2^{-k\varepsilon} < \infty$, अतः लगभग निश्चित रूप से अंततः $L_{2^k} < (1+\varepsilon)k$ (बोरेल–कांतेली); और व्यापक $n$ के लिए $2^{k-1} < n \leq 2^k$ चुनिए तथा $L_n$ की एकदिष्टता और $\log_22^{k-1} \leq \log_2n$ का उपयोग कीजिए: $L_n \leq L_{2^k}
< (1 + \varepsilon)k \leq (1 + \varepsilon)\frac{k}{k-1}
\log_2n$, और यह अतिरिक्त गुणक $\varepsilon$ को थोड़ा बढ़ाकर आत्मसात कर लिया जाता है।

(ख) $\ell = \lceil(1 - \varepsilon)\log_2n\rceil$ और $m = \lfloor n/\ell\rfloor$ असंयुक्त खंडों के साथ: खंड [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं, प्रत्येक प्रायिकता $2^{-\ell}
\geq n^{-(1-\varepsilon)}/2$ के साथ सर्वथा चित है, अतः किसी अचर $c > 0$ और बड़े $n$ के लिए

$$
\P(L_n < \ell) \leq \bigl(1 - 2^{-\ell}\bigr)^{m}
\leq \exp\bigl(-m2^{-\ell}\bigr)
\leq \exp\Bigl(-c\,\frac{n^{\varepsilon}}{\log_2n}\Bigr)
$$

होता है। ये प्रायिकताएँ $n = 2^k$ के अनुदिश योग्य हैं (वस्तुतः सभी $n$ के अनुदिश): अतः बोरेल–कांतेली लगभग निश्चित रूप से अंततः $L_n \geq (1 -
\varepsilon)\log_2n$ दे देती है ($2^k$ के बीच की जगह एकदिष्टता (क) की भाँति निरापद रूप से भर देती है)।

(ग) दोनों परिबंध अनुक्रम $\varepsilon = \frac1j$ के अनुदिश लीजिए और गणनीय संख्या की पूर्ण-माप घटनाओं का सर्वनिष्ठ लीजिए: लगभग निश्चित रूप से $\frac{L_n}{\log_2n} \to 1$। $n =
10^6$ के लिए: $\log_2n
\approx 19.9$ — अर्थात् लगभग $20$ चितों की लड़ी कोई संदेहास्पद विसंगति नहीं, गणितीय निश्चितता है, और उसका न होना इस बात का प्रमाण है कि किसी मनुष्य ने “यादृच्छिकता” गढ़ी है (मनुष्य लगातार $5$ या $6$ से अधिक चित लिखने का साहस विरले ही करते हैं)।

## 22.7 समस्या: प्रबल नियम की एतेमादी वाली उपपत्ति

**समस्या 22.1.**

सप्ताहांत समस्या — स्वतंत्र सम-बंटित समाकलनीय चरों के लिए बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम

कोल्मोगोरोव के प्रबल नियम — [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित $X_n \in L^1$ के लिए लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n}n \to \E X_1$ — की बहुत समय तक केवल जटिल उपपत्तियाँ ही थीं; 1981 में एन. एतेमादी ने आश्चर्यजनक मितव्ययिता वाली एक उपपत्ति खोजी, जो इस अध्याय से बाहर कुछ भी उपयोग नहीं करती (और [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) को दुर्बल करके युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) तक भी ले आती है)। हम उसी का अनुसरण करते हैं। मान लीजिए $(X_n)$ युग्मशः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence), सम-बंटित, [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) हैं; और $m = \E X_1$, $S_n = X_1 + \dots + X_n$।

**भाग I — न्यूनीकरण।**

1. दर्शाइए कि केवल $X_n \geq 0$ की स्थिति देखना पर्याप्त है *($X_n = X_n^+ - X_n^-$ को विभाजित कीजिए: जाँचिए कि दोनों अर्ध भाग पुनः युग्मशः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence), सम-बंटित और [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) हैं)* । अब से $X_n \geq 0$ मान लीजिए।
2. (कर्तन) मान लीजिए $Y_n = X_n\,\mathbf 1_{X_n \leq n}$ और $S_n^* = Y_1 + \dots + Y_n$। दर्शाइए कि $$\sum_{n\geq1}\P(X_n \neq Y_n) =  \sum_{n\geq1}\P(X_1 > n) \leq \E[X_1] < \infty$$ ([अभ्यास 11.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#exo-b3-product-3)), और बोरेल–कांतेली के माध्यम से निकालिए कि लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n - S_n^*}{n} \to 0$: अर्थात् केवल यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि लगभग निश्चित रूप से $\frac{S^*_n}n \to m$।
3. दर्शाइए कि $\E Y_n = \E\bigl[X_1\mathbf 1_{X_1\leq  n}\bigr] \to m$ (एकदिष्ट अभिसरण), अतः $\frac1n\sum_{k\leq n}\E Y_k \to m$ (चेज़ारो): अर्थात् केवल यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n^* - \E S_n^*}{n} \to 0$ ।

**भाग II — प्रसरण आकलन।**

4. दर्शाइए कि $$\V(Y_n) \leq \E[Y_n^2] = \E\bigl[X_1^2\,\mathbf  1_{X_1 \leq n}\bigr]$$ और परत-केक सूत्र ([प्रतिज्ञप्ति 11.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#prop-b3-product-layercake)) का उपयोग करते हुए मुख्य परिबंध $$\sum_{n\geq1}\frac{\V(Y_n)}{n^2}  \leq \sum_{n\geq1}\frac1{n^2}\,  \E\bigl[X_1^2\mathbf 1_{X_1\leq n}\bigr]  \leq C\,\E[X_1] < \infty$$ *(योग और [प्रत्याशा](#def-b3-probability-space) की अदला-बदली कीजिए — श्रेणियों के लिए टोनेली — और आंतरिक आकलन $x^2\sum_{n\geq x}n^{-2} \leq 2x$ के लिए $\sum_{n \geq  x}\frac1{n^2} \leq \frac2{\max(x,1)}$ को परिबद्ध कीजिए)*।

**भाग III — ज्यामितीय उपानुक्रमों के अनुदिश अभिसरण।** $\alpha > 1$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $k_j =
\lfloor\alpha^j\rfloor$।

5. युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) (प्रसरण जुड़ते हैं, [प्रमेय 22.5](#thm-b3-probability-independence) — जाँचिए कि प्रसरणों की योज्यता के लिए केवल युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) ही चाहिए) और चेबिशेव का उपयोग करके प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए दर्शाइए: $$\sum_{j\geq1}\P\Bigl(\Bigl|  \frac{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}}{k_j}\Bigr| \geq  \varepsilon\Bigr)  \leq  \frac1{\varepsilon^2}\sum_{j\geq1}\frac1{k_j^2}  \sum_{n\leq k_j}\V(Y_n)  = \frac1{\varepsilon^2}\sum_{n\geq1}\V(Y_n)  \sum_{j\,:\,k_j\geq n}\frac1{k_j^2} .$$
6. $\sum_{j : k_j \geq n}k_j^{-2} \leq  \frac{C_\alpha}{n^2}$ दर्शाइए *(ज्यामितीय श्रेणी; निम्नमान से सावधान: $\alpha^j \geq 2$-प्रकार की सावधानी के लिए $k_j \geq \frac{\alpha^j}2$)*, और प्रश्न 4 तथा बोरेल–कांतेली के साथ निष्कर्ष निकालिए: $$\frac{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}}{k_j}  \xrightarrow[j\to\infty]{\text{लगभग निश्चित}} 0,  \qquad\text{अतः}\qquad  \frac{S^*_{k_j}}{k_j} \to m \ \text{लगभग निश्चित}$$

**भाग IV — सैंडविच और निष्कर्ष।**

7. $k_j \leq n \leq k_{j+1}$ के लिए $S^*_n$ की एकदिष्टता (योज्य पद ऋणेतर हैं!) का उपयोग करके दर्शाइए कि $$\frac{k_j}{k_{j+1}}\,\frac{S^*_{k_j}}{k_j}  \;\leq\; \frac{S^*_n}{n} \;\leq\;  \frac{k_{j+1}}{k_j}\,\frac{S^*_{k_{j+1}}}{k_{j+1}},$$ और लगभग निश्चित रूप से निकालिए: $$\frac m\alpha \leq \liminf\frac{S^*_n}n \leq  \limsup\frac{S^*_n}n \leq \alpha\,m .$$
8. किसी अनुक्रम के अनुदिश $\alpha \downarrow 1$ लीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n^*}n \to m$, अतः (भाग I) *बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम*: $$\boxed{\ \frac{S_n}{n}  \xrightarrow[n\to\infty]{\text{लगभग निश्चित}} \E[X_1].\ }$$
9. ठीक-ठीक कहाँ युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) (पूर्ण स्वातंत्र्य के बजाय) पर्याप्त था? उन तीनों स्थानों की सूची बनाइए जहाँ स्वातंत्र्य-प्रकार की परिकल्पनाएँ लगाई गईं।

**भाग V — लाभांश।**

10. (बोरेल की सामान्य संख्याएँ) दर्शाइए कि $\lambda$ -लगभग प्रत्येक $x \in \intcc01$ *प्रत्येक आधार $b \geq 2$ में सामान्य* है: प्रत्येक अंक $0, \dots, b-1$ अनंतस्पर्शी आवृत्ति $\frac1b$ के साथ प्रकट होता है *($b$ और कोई एक अंक स्थिर कीजिए, सूचक चरों पर प्रबल नियम लगाइए — यह उचित ठहराइए कि किसी एकसमान चर के आधार-$b$ अंक [प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) की भाँति $\{0,\dots,b-1\}$ पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित एकसमान हैं — फिर गणनीय संख्या की प्रायिकता-एक घटनाओं का सर्वनिष्ठ लीजिए)* । कोई एक स्पष्ट असामान्य संख्या प्रस्तुत कीजिए, और विचार कीजिए: यह प्रमेय लगभग सभी संख्याओं की सामान्यता का दावा करती है, फिर भी $\sqrt2$ या $\pi$ की सामान्यता सिद्ध करना आज भी खुला प्रश्न है।
11. ( [मोंते कार्लो](#ex-b3-probability-sllnapps) , प्रत्याभूत) $g \in L^1(\intcc01^d)$ के लिए [उदाहरण 22.14](#ex-b3-probability-sllnapps) (ख) की विधि को पूरी तरह उचित ठहराइए: [प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) और [अभ्यास 22.10](#exo-b3-probability-10) से $\intcc01^d$ पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित एकसमान प्रतिदर्श की रचना कीजिए, और बताइए कि प्रबल नियम क्या दे देता है।

**भाग VI — पूर्ण स्वातंत्र्य से क्या मिलता है: उच्चिष्ठ असमिकाएँ और यादृच्छिक श्रेणियाँ।** एतेमादी केवल युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) खर्च करते हैं; शेष भाग [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (पारस्परिक) रूप का दोहन करते हैं। मान लीजिए $(Z_n)$ $L^2$ वाले [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) केंद्रित चर हैं और $S_k = Z_1 + \dots + Z_k$ (यह एक नया संकेतन है, जिसका ऊपर वाले $X_n$ से कोई संबंध नहीं)।

12. (कोल्मोगोरोव की उच्चिष्ठ असमिका) $\varepsilon  > 0$ के लिए सिद्ध कीजिए $$\P\Bigl(\max_{1\leq k\leq n}\abs{S_k} \geq  \varepsilon\Bigr) \;\leq\;  \frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\V(Z_k) :$$ अर्थात् चेबिशेव की क़ीमत में उच्चिष्ठ मिल जाता है *(घटना को उस पहले सूचकांक $k$ के अनुसार विभाजित कीजिए जिसके लिए $\abs{S_k} \geq \varepsilon$ हो; उस टुकड़े पर $S_n^2 \geq S_k^2 + 2S_k(S_n - S_k)$ लिखिए और गुटों $(Z_1, \dots, Z_k)$ तथा $(Z_{k+1}, \dots, Z_n)$ के [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) का उपयोग कीजिए, [प्रमेय 22.5](#thm-b3-probability-independence))*। उस चरण की ओर संकेत कीजिए जहाँ युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) अब पर्याप्त नहीं रह जाता।
13. (खिनचिन–कोल्मोगोरोव एक-श्रेणी प्रमेय) निकालिए: यदि $\sum_n\V(Z_n) < \infty$ हो, तो $\sum_nZ_n$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती है *(दर्शाइए कि लगभग निश्चित रूप से आंशिक योग कोई कोशी अनुक्रम बनाते हैं: $Z_{N+1}, \dots, Z_{N+m}$ पर लगाई गई उच्चिष्ठ असमिका में $m \to  \infty$ लीजिए, फिर $N \to  \infty$ लीजिए)* ।
14. (राडेमाखर श्रेणी) मान लीजिए $(\varepsilon_n)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित चिह्न हैं, $\P(\varepsilon_n = \pm1) =  \frac12$ ( [प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) ), और मान लीजिए $(x_n)$ वास्तविक संख्याएँ हैं। दर्शाइए कि $\sum_nx_n^2 < \infty$ होते ही $\sum_nx_n\varepsilon_n$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरित हो जाती है; और यह भी दर्शाइए कि $(x_n)$ कुछ भी हो, $\sum_nx_n\varepsilon_n$ के अभिसरित होने की प्रायिकता $0$ या $1$ ही है ( [प्रमेय 22.9](#thm-b3-probability-zeroone) )।
15. विलोम, प्रारंभिक साधनों से। $T_n = \sum_{k\leq  n}x_k\varepsilon_k$ और $s_n^2 = \sum_{k\leq  n}x_k^2$ रखिए, और मान लीजिए $s_n \to \infty$। (क) *पेली–ज़िगमुंड असमिका* सिद्ध कीजिए: $\E Z^2 < \infty$ और $0 < \theta <  1$ वाले $Z \geq 0$ के लिए $$\P\bigl(Z > \theta\,\E Z\bigr) \;\geq\; (1 -  \theta)^2\,\frac{(\E Z)^2}{\E Z^2}$$ *($\E Z$ को स्तर $\theta\E Z$ पर विभाजित कीजिए और ऊपरी टुकड़े पर कोशी–श्वार्ज़ लगाइए)*। (ख) दर्शाइए कि $\E T_n^4 \leq 3s_n^4$। (ग) $\P\bigl(\abs{T_n} > \frac{s_n}2\bigr)  \geq \frac3{16}$ निकालिए और निष्कर्ष निकालिए कि $\sum_nx_n\varepsilon_n$ लगभग निश्चित रूप से अपसारित होती है; अतः द्विभाजन $$\sum_nx_n\varepsilon_n\ \text{लगभग निश्चित रूप से अभिसरित}  \iff \sum_nx_n^2 < \infty .$$
16. (यादृच्छिक प्रसंवादी श्रेणी) निष्कर्ष निकालिए कि $\sum_n\frac{\varepsilon_n}{n^s}$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती है तभी और केवल तभी जब $s > \frac12$ हो। $\frac12 < s \leq  1$ के लिए यह श्रेणी लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती है जबकि $\sum_nn^{-s} = \infty$ : यादृच्छिक चिह्न वर्गमूल-सामर्थ्य वाला निरसन उत्पन्न करते हैं — इसकी तुलना एकांतर श्रेणी $\sum_n\frac{(-1)^n}{n^s}$ से कीजिए, जो *प्रत्येक* $s > 0$ के लिए अभिसरित होती है।

**भाग VII — संकेंद्रण: हॉफडिंग असमिका।** प्रबल नियम कहता है कि $\frac{S_n}n \to m$; और संकेंद्रण असमिकाएँ बताती हैं कि *प्रत्येक स्थिर $n$ पर* कोई विचलन कितना असंभाव्य है।

17. (हॉफडिंग प्रमेयिका) (क) दोनों श्रेणियों की पदशः तुलना करके दर्शाइए कि सभी $\lambda \in \R$ के लिए $\cosh\lambda \leq \eu^{\lambda^2/2}$। (ख) मान लीजिए $Z$ $a \leq Z \leq b$, $a < b$ वाला केंद्रित चर है। दर्शाइए कि $$\E\,\eu^{\lambda Z} \leq  \exp\Bigl(\frac{\lambda^2(b - a)^2}8\Bigr)$$ *($\intcc ab$ पर $\eu^{\lambda z}$ को उसकी जीवा से परिबद्ध कीजिए, [प्रत्याशा](#def-b3-probability-space) लीजिए, और $p =  \frac{-a}{b-a}$ तथा $t = \lambda(b - a)$ के साथ $\varphi(t)  = -pt + \log(1 - p + p\eu^t)$ का अध्ययन कीजिए: दर्शाइए कि $\varphi(0) = \varphi'(0) = 0$ और $\varphi''  \leq \frac14$)*।
18. (हॉफडिंग असमिका) मान लीजिए $X_1, \dots, X_n$ $a_i \leq X_i \leq b_i$ और $S_n =  X_1 + \dots + X_n$ वाले [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) चर हैं। $t > 0$ के लिए सिद्ध कीजिए $$\P\bigl(S_n - \E S_n \geq t\bigr) \leq  \exp\Bigl(\frac{-2t^2}{\sum_{i=1}^n(b_i -  a_i)^2}\Bigr),$$ और अधःपुच्छ के लिए भी वही परिबंध *(चरघातांकी चेबिशेव: [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) और प्रश्न 17 का उपयोग करके $\E\,\eu^{\lambda(S_n - \E S_n)}$ को परिबद्ध कीजिए, फिर $\lambda > 0$ पर अनुकूलन कीजिए)*।
19. (प्रबल नियम, परिबद्ध स्थिति, दर के साथ) मान लीजिए $X_i$ $\intcc ab$ में मान लेने वाले [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित चर हैं और $m  = \E X_1$। दर्शाइए कि $$\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}n - m\Bigr| \geq  \varepsilon\Bigr) \leq  2\exp\Bigl(\frac{-2n\varepsilon^2}{(b - a)^2}\Bigr)$$ और बोरेल–कांतेली से लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n}n \to m$ पुनः प्राप्त कीजिए: यह परिबद्ध चरों के लिए प्रबल नियम की एक दूसरी उपपत्ति है — कोई कर्तन नहीं, और प्रत्येक परिमित $n$ पर एक चरघातांकी दर, पर बदले में परिबद्ध योज्य पद और पूर्ण स्वातंत्र्य। एतेमादी की परिकल्पनाओं से इनकी तुलना कीजिए।
20. ([मोंते कार्लो](#ex-b3-probability-sllnapps), स्थिर $n$ पर प्रत्याभूत) मान लीजिए $g  \colon \intcc01^d \to \intcc01$ [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) है और $(U_k)$ प्रश्न 11 वाला [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित एकसमान प्रतिदर्श। $\varepsilon, \delta > 0$ दिया हो, तो दर्शाइए कि $$n \geq \frac{\log(2/\delta)}{2\varepsilon^2}  \implies  \P\Bigl(\Bigl|\frac1n\sum_{k=1}^ng(U_k) -  \int g\,\dd\lambda_d\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr)  \leq \delta,$$ और $\varepsilon =  \delta = 10^{-2}$ के लिए देहली का मूल्यांकन कीजिए। यह परिबंध $d$ को सम्मिलित नहीं करता: इसकी तुलना प्रश्न 11 से और नियतांकी जालकों से कीजिए।

**भाग VIII — यादृच्छिक भ्रमण कितना बड़ा होता है? पुनरावृत्त लघुगणक की ओर।** मान लीजिए $S_n = \varepsilon_1 +
\dots + \varepsilon_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित निष्पक्ष चिह्नों से बना सरल यादृच्छिक भ्रमण है।

21. (उप-गाउसीय पुच्छ) दर्शाइए कि $\E\,\eu^{\lambda S_n} =  (\cosh\lambda)^n \leq \eu^{n\lambda^2/2}$ और $x > 0$ के लिए निकालिए $$\P(S_n \geq x) \leq \eu^{-x^2/(2n)},  \qquad  \P(\abs{S_n} \geq x) \leq 2\,\eu^{-x^2/(2n)} .$$
22. बोरेल–कांतेली के माध्यम से निकालिए $$\limsup_{n\to\infty}\frac{\abs{S_n}}  {\sqrt{2n\log n}} \leq 1 \quad\text{लगभग निश्चित}$$ *($\eta > 0$ के लिए $x =  (1 + \eta)\sqrt{2n\log n}$ पर पुच्छ परिबंधों का योग कीजिए, फिर $\eta = \frac1p$ पर सर्वनिष्ठ लीजिए)*। विशेष रूप से यह भ्रमण किसी लघुगणकीय गुणक तक केंद्रीय सीमा मापक्रम $\sqrt n$ पर जीता है — अर्थात् कच्चे परिबंध $\abs{S_n} \leq n$ से बहुत नीचे।
23. द्विगुणन उपानुक्रम $n_j = 2^j$ के अनुदिश दर्शाइए $$\limsup_{j\to\infty}\frac{S_{n_j}}  {\sqrt{2n_j\log\log n_j}} \leq 1 \quad\text{लगभग निश्चित},$$ और विचार कीजिए: *पुनरावृत्त लघुगणक का नियम* (खिनचिन; और व्यापक केंद्रित $L^2$ योज्य पदों के लिए हार्टमन–विंटनर) कहता है कि $$\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}  {\sqrt{2n\log\log n}} = 1 \quad\text{लगभग निश्चित}$$ ठीक-ठीक समझाइए कि अभी सिद्ध किए गए उपानुक्रम आकलन को इस कथन के ऊपरी अर्ध भाग से क्या पृथक करता है (प्रत्येक खंड के भीतर $\max_{n_j \leq n \leq  n_{j+1}}S_n$ को नियंत्रित करना पड़ता है, जिसके लिए *चरघातांकी* मापक्रम पर कोई उच्चिष्ठ असमिका चाहिए) और मात्रात्मक रूप से जाँचिए कि प्रश्न 12 की असमिका उस प्रयोजन के लिए बहुत दुर्बल है। निचला अर्ध भाग [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) खंडों पर लगाई गई दूसरी बोरेल–कांतेली प्रमेयिका पर टिका है; और दोनों अर्ध भाग किसी समर्पित प्रायिकता पाठ्यक्रम के लिए ईमानदार तृतीय वर्ष की सामग्री हैं।
24. (किसी परिमित वर्ग पर एकसमान विचलन) मान लीजिए $A_1,  \dots, A_N$ किसी पुनरावर्तनीय प्रयोग की घटनाएँ हैं, और प्रत्येक प्रायिकता का आकलन $n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित पुनरावृत्तियों पर उसकी आनुभविक आवृत्ति $\hat p_i$ से किया जाता है। हॉफडिंग असमिका को संघ परिबंध के साथ मिलाकर दर्शाइए $$\P\Bigl(\max_{i\leq N}\,\abs{\hat p_i - \P(A_i)} >  \varepsilon\Bigr) \;\leq\; 2N\,\eu^{-2n\varepsilon^2},$$ और प्रतिदर्श-आकार नियम निकालिए: $n \geq  \frac{\ln(2N/\delta)}{2\varepsilon^2}$ इस बात की प्रत्याभूति देता है कि सभी $N$ आकलन एक साथ $\geq 1 -  \delta$ प्रायिकता के साथ $\varepsilon$-यथार्थ हैं। $N = 10^6$, $\varepsilon =  0.01$, $\delta = 0.05$ के लिए $n$ परिकलित कीजिए: अर्थात् एकसमानता की लघुगणकीय क़ीमत।
25. (यादृच्छिक प्रसंवादी खिड़की) यादृच्छिक श्रेणी सिद्धांत के दोनों अर्ध भागों को मिलाकर दर्शाइए कि [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित चिह्नों $(\varepsilon_n)$ के लिए श्रेणी $\sum_n\frac{\varepsilon_n}{n^\alpha}$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती है यदि $\alpha > \frac12$ हो और लगभग निश्चित रूप से अपसारित होती है यदि $\alpha \leq \frac12$ हो; इसकी तुलना निरपेक्ष अभिसरण से कीजिए (जिसके लिए $\alpha > 1$ चाहिए): खिड़की $\alpha \in \intoc{\frac12}1$ पर अभिसरण वस्तुतः एक प्रायिकता-आधारित परिघटना है — निरसन, आकार नहीं।

**हल — समस्या 22.1.**

**1.** $X_n^{\pm}$ $X_n$ के बोरेल फलन हैं: अतः वे युग्मशः [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) ([अभ्यास 22.3](#exo-b3-probability-3)(क)) और सम-बंटित तथा [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) बने रहते हैं, और $\E X_1 = \E X_1^+ - \E
X_1^-$। यदि प्रमेय अऋणात्मक चरों के लिए सत्य हो, तो उसे दोनों अर्ध भागों पर लगाकर घटाइए: लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n}n = \frac{S_n^+}n -
\frac{S_n^-}n \to \E X_1^+ - \E X_1^- = m$।

**2.** $\P(X_n \neq Y_n) = \P(X_n > n) = \P(X_1 > n)$ (सम [बंटन नियम](#def-b3-probability-space)), और $\sum_n\P(X_1 > n) \leq \sum_n\P(X_1
\geq n) \leq \E X_1 < \infty$ ([अभ्यास 11.3](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#exo-b3-product-3)(क))। बोरेल–कांतेली (1): लगभग निश्चित रूप से सभी बड़े $n$ के लिए $X_n = Y_n$, अतः $S_n -
S_n^*$ $n$ में अंततः अचर है: इसलिए लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n - S_n^*}n \to 0$, और दोनों मानकीकृत योगों का अनंतस्पर्शी व्यवहार एक ही है।

**3.** $X_1\mathbf 1_{X_1 \leq n} \nearrow X_1$: अतः एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय $\E Y_n \to m$ देती है; और किसी अभिसारी अनुक्रम के चेज़ारो माध्य उसी सीमा की ओर अभिसरित होते हैं: $\frac{\E S_n^*}n =
\frac1n\sum_{k\leq n}\E Y_k \to m$। अतः केवल लगभग निश्चित रूप से $\frac{S^*_n - \E S^*_n}{n} \to 0$ सिद्ध करना पर्याप्त है।

**4.** $\V(Y_n) \leq \E Y_n^2 = \E[X_1^2\mathbf
1_{X_1\leq n}]$। श्रेणियों के लिए टोनेली से,

$$
\sum_n\frac{\E[X_1^2\mathbf 1_{X_1\leq n}]}{n^2}
= \E\Bigl[X_1^2\!\!\sum_{n \geq \max(X_1, 1)}\!\frac1{n^2}
\Bigr]
\leq \E\Bigl[X_1^2\cdot\frac{4}{\max(X_1,1)}\Bigr]
\leq 4\,\E[X_1] < \infty,
$$

जिसमें $x \geq 1$ के लिए $\sum_{n\geq x}n^{-2} \leq \frac4x$ का उपयोग हुआ ($x \geq 2$ के लिए: $\leq \frac1{x-1} \leq
\frac2x$; और $1
\leq x < 2$ के लिए: $\leq \frac{\pi^2}6 \leq \frac4x$, क्योंकि $\frac4x > 2$), तथा दोनों स्थितियों $X_1 \gtrless 1$ में $X_1^2/\max(X_1, 1) \leq X_1$।

**5.** युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) से $i \neq j$ के लिए $\E[(Y_i - \E
Y_i)(Y_j - \E Y_j)] = 0$ (दो चरों वाला गुणनफल सूत्र), अतः प्रसरण जुड़ जाते हैं: $\V(S^*_k) =
\sum_{n\leq k}\V(Y_n)$। प्रत्येक $k_j$ पर चेबिशेव लगाकर योग लीजिए:

$$
\sum_j\P\Bigl(\abs{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}} \geq
\varepsilon k_j\Bigr)
\leq \frac1{\varepsilon^2}\sum_j\frac1{k_j^2}\sum_{n\leq
k_j}\V(Y_n)
= \frac1{\varepsilon^2}\sum_n\V(Y_n)\!\!\sum_{j : k_j\geq
n}\!\frac1{k_j^2}
$$

(अऋणात्मक द्विक श्रेणी के लिए टोनेली)।

**6.** $k_j = \lfloor\alpha^j\rfloor \geq
\frac{\alpha^j}2$ (यह $\alpha^j \geq 1$ होते ही वैध है, अर्थात् सभी $j \geq 0$ के लिए: $x \geq 1$ पर $\lfloor
x\rfloor \geq \frac x2$)। अतः

$$
\sum_{j : k_j \geq n}\frac1{k_j^2}
\leq 4\sum_{j : \alpha^j \geq n}\alpha^{-2j}
\leq \frac{4}{1 - \alpha^{-2}}\cdot\frac1{n^2}
= \frac{C_\alpha}{n^2},
$$

($\alpha^j \geq n$ वाले पहले $j$ से आरंभ होती ज्यामितीय श्रेणी)। प्रश्न 4–5 के साथ मिलाने पर द्विक योग परिमित है; और प्रत्येक परिमेय $\varepsilon$ के लिए लगाई गई तथा सर्वनिष्ठ ली गई बोरेल–कांतेली (1) लगभग निश्चित रूप से $\frac{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}}{k_j} \to 0$ दे देती है, और प्रश्न 3 के साथ: लगभग निश्चित रूप से $\frac{S^*_{k_j}}{k_j} \to m$।

**7.** $Y_n \geq 0$ से $n \mapsto S^*_n$ अवघटमान हो जाता है: अतः $k_j \leq n \leq k_{j+1}$ के लिए

$$
\frac{S^*_{k_j}}{k_{j+1}} \leq \frac{S^*_n}{n} \leq
\frac{S^*_{k_{j+1}}}{k_j},
$$

जो $\frac{k_j}{k_{j+1}}$ और $\frac{k_{j+1}}{k_j}$ अंतर्निविष्ट करने के बाद कथित सैंडविच ही है। चूँकि $\frac{k_{j+1}}{k_j} \to \alpha$, इसलिए प्रश्न 6 लगभग निश्चित रूप से यह दे देता है:

$$
\frac m\alpha \leq \liminf_n\frac{S^*_n}n \leq
\limsup_n\frac{S^*_n}n \leq \alpha m .
$$

**8.** प्रश्न 7 को $\alpha = 1 + \frac1p$, $p
\in \N^*$ के लिए लगाइए: गणनीय संख्या की प्रायिकता-एक घटनाएँ; उनके सर्वनिष्ठ पर $p \to \infty$ लेने से लगभग निश्चित रूप से $\lim\frac{S^*_n}n = m$। प्रश्न 1–3 के साथ, लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n}n \to \E X_1$: अर्थात् युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) के अंतर्गत बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम।

**9.** स्वातंत्र्य-प्रकार की परिकल्पनाएँ तीन बार आईं: (1) प्रसरणों की योज्यता (प्रश्न 5) — यहाँ युग्मशः पर्याप्त है; (2) सम बंटन, कर्तन वाले योगों में (प्रश्न 2) और माध्य के परिकलन में (प्रश्न 3) — यहाँ [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) लगा ही नहीं; (3) बोरेल–कांतेली (1) (प्रश्न 2 और 6) — यह किसी भी [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) के बिना वैध है। पूर्ण पारस्परिक स्वातंत्र्य कभी लगाया ही नहीं गया: यही एतेमादी का प्रेक्षण है।

**10.** कोई आधार $b$ और कोई अंक $r$ स्थिर कीजिए। किसी एकसमान $\omega$ के आधार-$b$ अंक $(d_k)$ $\{0, \dots, b-1\}$ पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित एकसमान हैं (अंक-सदिश का प्रत्येक मान लंबाई $b^{-m}$ का अंतराल घेरता है: यह [प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) का तर्क शब्दशः है)। [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित परिबद्ध चरों $\mathbf
1_{d_k = r}$ पर लगाया गया प्रबल नियम देता है: लगभग निश्चित रूप से अंक $r$ की आवृत्ति $\frac1b$ की ओर जाती है। गणनीय संख्या के युग्मों $(b, r)$ पर सर्वनिष्ठ लेने पर: लगभग प्रत्येक संख्या *प्रत्येक आधार में सरल रूप से सामान्य* है। कोई स्पष्ट असामान्य संख्या: $x = 0.100100100\ldots_2$ (एकों की आवृत्ति $\frac13 \neq \frac12$)। यह विरोधाभास नम्र कर देने वाला है: लगभग सभी संख्याएँ सामान्य हैं, फिर भी $\sqrt2$, $\eu$ या $\pi$ के लिए सामान्यता आज भी असिद्ध है — [माप](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) सिद्धांत प्रस्तुत किए बिना गिन लेता है।

**11.** [अभ्यास 22.10](#exo-b3-probability-10) को दोहराने पर एक ही एकसमान चर से $\intcc01^d$ पर [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित एकसमान *सदिशों* $U_k$ का अनुक्रम मिल जाता है ([प्रमेय 22.6](#thm-b3-probability-existence) के प्रत्येक $U_n$ के अंक-समुच्चय को $d$ उपकुलों में बाँटिए)। $g \in L^1(\intcc01^d)$ के लिए चर $g(U_k)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित और [समाकलनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) हैं, जिनका माध्य $\int g\,\dd\lambda_d$ है (अंतरण): अतः प्रबल नियम देता है

$$
\frac1n\sum_{k=1}^ng(U_k)
\xrightarrow[n\to\infty]{\text{लगभग निश्चित}}
\int_{\intcc01^d}g\,\dd\lambda_d :
$$

अर्थात् [मोंते कार्लो](#ex-b3-probability-sllnapps) समाकलन प्रत्येक विमा में लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होता है — त्रुटि का आकार केंद्रीय सीमा प्रमेय ([अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/23-characteristic-functions-and-the-central-limit-theorem#ch-b3-clt)) का विषय है।

**12.** मान लीजिए $A_k = \{\abs{S_k} \geq \varepsilon\}
\cap \bigcap_{j<k}\{\abs{S_j} < \varepsilon\}$: ये $A_k$ असंयुक्त हैं और उनका सम्मिलन $A = \{\max_{k\leq
n}\abs{S_k} \geq \varepsilon\}$ है। तब

$$
\E S_n^2 \geq \sum_{k=1}^n\E\bigl[S_n^2\mathbf 1_{A_k}\bigr]
= \sum_{k=1}^n\E\Bigl[\bigl(S_k^2 + 2S_k(S_n - S_k) + (S_n
- S_k)^2\bigr)\mathbf 1_{A_k}\Bigr]
\geq \sum_{k=1}^n\E\bigl[S_k^2\mathbf 1_{A_k}\bigr],
$$

क्योंकि मिश्रित पद लुप्त हो जाता है: $S_k\mathbf 1_{A_k}$ गुट $(Z_1, \dots, Z_k)$ का बोरेल फलन है, जो $(Z_{k+1},
\dots, Z_n)$ के फलन $S_n - S_k$ से [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) है ([प्रमेय 22.5](#thm-b3-probability-independence)), अतः $\E[S_k\mathbf 1_{A_k}(S_n - S_k)] = \E[S_k\mathbf
1_{A_k}]\,\E[S_n - S_k] = 0$। $A_k$ पर $S_k^2 \geq
\varepsilon^2$, जिससे $\E S_n^2 \geq
\varepsilon^2\sum_k\P(A_k) = \varepsilon^2\P(A)$; और $\E
S_n^2 = \sum_{k\leq n}\V(Z_k)$ (प्रसरण जुड़ते हैं)। निर्णायक चरण गुणनखंडन है: $S_k\mathbf 1_{A_k}$ समूचे पहले खंड का एक *अरैखिक* फलन है, और दूसरे खंड से उसका [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) गुट-स्वातंत्र्य है — $Z_i$ का युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) केवल युग्मों का सहसंबंध मिटाता है और इसे उचित नहीं ठहरा पाता।

**13.** $N$ स्थिर कीजिए और प्रश्न 12 को $Z_{N+1},
\dots, Z_{N+m}$ पर लगाइए:

$$
\P\Bigl(\max_{N < k \leq N+m}\abs{S_k - S_N} >
\varepsilon\Bigr) \leq
\frac1{\varepsilon^2}\sum_{j=N+1}^{N+m}\V(Z_j) \leq
\frac{r_N}{\varepsilon^2},
\qquad r_N = \sum_{j>N}\V(Z_j) .
$$

ये घटनाएँ $m$ के साथ बढ़ती हैं; नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\P(\sup_{k>N}\abs{S_k - S_N} > \varepsilon) \leq
r_N/\varepsilon^2$ दे देता है, और परिकल्पना से $r_N \to 0$। अतः प्रत्येक $p \in \N^*$ के लिए $\P\bigl(\bigcap_N\{\sup_{k>N}
\abs{S_k - S_N} > \frac1p\}\bigr) \leq \inf_Np^2r_N = 0$: अर्थात् लगभग निश्चित रूप से प्रत्येक $p$ के लिए कोई ऐसा $N$ है जिसके साथ $\sup_{k>N}\abs{S_k - S_N} \leq \frac1p$ ($p$ पर गणनीय संख्या की प्रायिकता-एक घटनाओं का सर्वनिष्ठ लीजिए), ताकि सभी $k, l > N$ के लिए $\abs{S_k -
S_l} \leq \frac2p$: अर्थात् आंशिक योग लगभग निश्चित रूप से कोशी हैं, इसलिए लगभग निश्चित रूप से अभिसारी।

**14.** चर $Z_n = x_n\varepsilon_n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) हैं ([स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) चरों के बोरेल फलन, [अभ्यास 22.3](#exo-b3-probability-3)(क)), केंद्रित हैं, और $\V(Z_n) =
x_n^2$: अतः $\sum_nx_n^2 < \infty$ होने पर प्रश्न 13 लागू होता है और लगभग निश्चित अभिसरण दे देता है। व्यापक स्थिति में, प्रत्येक $N$ के लिए $\sum_nx_n\varepsilon_n$ का अभिसरण $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_N$ के मानों से अप्रभावित रहता है: अतः अभिसरण की घटना [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) अनुक्रम $(\varepsilon_n)$ के पुच्छ $\sigma$-बीजगणित में है, इसलिए कोल्मोगोरोव का [शून्य–एक नियम](#thm-b3-probability-zeroone) ([प्रमेय 22.9](#thm-b3-probability-zeroone)) उसकी प्रायिकता को $0$ या $1$ होने पर विवश कर देता है।

**15.** (क) स्तर $\theta\E Z$ पर विभाजन करके ऊपरी टुकड़े पर कोशी–श्वार्ज़ लगाने से,

$$
\E Z = \E\bigl[Z\mathbf 1_{Z \leq \theta\E Z}\bigr] +
\E\bigl[Z\mathbf 1_{Z > \theta\E Z}\bigr]
\leq \theta\,\E Z + \sqrt{\E Z^2}\,
\sqrt{\P(Z > \theta\E Z)} ,
$$

अतः $(1 - \theta)\E Z \leq \sqrt{\E Z^2\,\P(Z > \theta\E
Z)}$; अब वर्ग कीजिए। (ख) $T_n^4 =
\sum_{i,j,k,l}x_ix_jx_kx_l\,
\E[\varepsilon_i\varepsilon_j\varepsilon_k\varepsilon_l]$ का प्रसार कीजिए: [प्रत्याशा](#def-b3-probability-space) तब $1$ है जब सूचकांक युग्मों में बँट जाएँ (चारों बराबर, अथवा दो भिन्न युग्म, जो $3$ प्रकार से सज सकते हैं) और अन्यथा $0$ (कोई अयुग्मित चिह्न शून्य माध्य का होता है और [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) से बाहर निकल आता है)। अतः

$$
\E T_n^4 = \sum_kx_k^4 + 3\sum_{i\neq j}x_i^2x_j^2 =
3s_n^4 - 2\sum_kx_k^4 \leq 3s_n^4 .
$$

(ग) $Z = T_n^2$, $\E Z = s_n^2$, $\theta = \frac14$ के साथ पेली–ज़िगमुंड:

$$
\P\Bigl(\abs{T_n} > \frac{s_n}2\Bigr) = \P\Bigl(T_n^2 >
\frac{s_n^2}4\Bigr) \geq \Bigl(\frac34\Bigr)^2
\frac{s_n^4}{3s_n^4} = \frac3{16} .
$$

यदि श्रेणी धनात्मक प्रायिकता के साथ अभिसरित होती, तो वह लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती (प्रश्न 14), अतः लगभग निश्चित रूप से $\sup_n\abs{T_n} < \infty$, और कोई $M$ $\P(\sup_n\abs{T_n} > M) < \frac3{16}$ संतुष्ट करता; पर $s_n > 2M$ होते ही $\P(\abs{T_n} > M) \geq \P(\abs{T_n} >
\frac{s_n}2) \geq \frac3{16}$: विरोधाभास। अतः अपसरण लगभग निश्चित है, और प्रश्न 14 के साथ द्विभाजन [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) हो जाता है।

**16.** यहाँ $x_n = n^{-s}$ है और $\sum_nn^{-2s} <
\infty$ ठीक तब जब $s > \frac12$: अतः प्रश्न 14–15 से $\sum_n\frac{\varepsilon_n}{n^s}$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती है तभी और केवल तभी जब $s > \frac12$ हो ($s \leq
\frac12$ के लिए लगभग निश्चित अपसरण)। $\frac12 < s \leq 1$ के लिए यह अभिसरण कभी निरपेक्ष नहीं होता। तुलना शिक्षाप्रद है: पूर्णतः एकांतर चिह्न प्रत्येक $s > 0$ पर सामर्थ्य $n^{-s}$ के साथ निरसन कर देते हैं, जबकि प्रारूपिक यादृच्छिक चिह्न केवल वर्गमूल-सामर्थ्य पर निरसन करते हैं — प्रश्न 21 का यादृच्छिक भ्रमण $\sqrt n$ की भाँति बढ़ता है, और आबेल योगीकरण ठीक उसी वृद्धि को $s > \frac12$ पर $\sum\varepsilon_nn^{-s}$ के अभिसरण में बदल देता है।

**17.** (क) $\cosh\lambda =
\sum_k\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}$ और $\eu^{\lambda^2/2} =
\sum_k\frac{\lambda^{2k}}{2^kk!}$; और $(2k)! \geq 2^kk!$ पदशः लागू होता है, क्योंकि $\frac{(2k)!}{k!} =
\prod_{i=1}^k(k + i) \geq \prod_{i=1}^k(2i) = 2^kk!$ (प्रत्येक गुणनखंड $i \leq k$ पर $k + i \geq 2i$ संतुष्ट करता है), जिससे वस्तुतः $(2k)! \geq 2^k(k!)^2 \geq 2^kk!$। (ख) ध्यान दीजिए कि $a \leq 0 \leq b$ ($Z$ केंद्रित है), और $z \mapsto \eu^{\lambda z}$ की उत्तलता से, $z \in \intcc ab$ के लिए:

$$
\eu^{\lambda z} \leq \frac{b - z}{b - a}\,\eu^{\lambda a} +
\frac{z - a}{b - a}\,\eu^{\lambda b},
\qquad\text{अतः}\qquad
\E\,\eu^{\lambda Z} \leq \frac{b\,\eu^{\lambda a} -
a\,\eu^{\lambda b}}{b - a}
= (1 - p)\eu^{-pt} + p\,\eu^{(1-p)t} = \eu^{\varphi(t)}
$$

जहाँ $p = \frac{-a}{b-a} \in \intcc01$, $t = \lambda(b -
a)$, $\varphi(t) = -pt + \log(1 - p + p\eu^t)$। तब $\varphi(0) = 0$, $\varphi'(t) = -p + \frac{p\eu^t}{1 - p +
p\eu^t}$ $0$ पर लुप्त हो जाता है, और $\rho = \frac{p\eu^t}{1
- p + p\eu^t} \in \intcc01$ के साथ $\varphi''(t) = \rho(1 -
\rho) \leq \frac14$: अतः कोटि $2$ पर टेलर $\varphi(t) \leq \frac{t^2}8 = \frac{\lambda^2(b-a)^2}8$ दे देता है।

**18.** $\lambda > 0$ के लिए धनात्मक चर $\eu^{\lambda(S_n - \E S_n)}$ पर लगाई गई मार्कोव ([प्रतिज्ञप्ति 22.3](#prop-b3-probability-markov)) और [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) चरों का गुणनफल सूत्र देते हैं

$$
\P(S_n - \E S_n \geq t) \leq \eu^{-\lambda
t}\prod_{i=1}^n\E\,\eu^{\lambda(X_i - \E X_i)}
\leq \exp\Bigl(-\lambda t +
\frac{\lambda^2}8\sum_i(b_i - a_i)^2\Bigr),
$$

जो प्रत्येक केंद्रित $X_i - \E X_i
\in \intcc{a_i - \E X_i}{b_i - \E X_i}$ (चौड़ाई वही) पर लगाए गए प्रश्न 17(ख) से मिलता है। $D =
\sum_i(b_i - a_i)^2$ के साथ घातांक को $\lambda = \frac{4t}{D}$ पर न्यूनतम करने से $-\frac{2t^2}D$ मिलता है। अधःपुच्छ के लिए वही परिणाम $(-X_i)$ पर लगाइए।

**19.** $t = n\varepsilon$ और $D = n(b - a)^2$ लीजिए:

$$
\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}n - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr)
\leq 2\exp\Bigl(\frac{-2n^2\varepsilon^2}{n(b-a)^2}\Bigr)
= 2\exp\Bigl(\frac{-2n\varepsilon^2}{(b-a)^2}\Bigr),
$$

जिसका $n$ में योग परिमित है (ज्यामितीय-प्रकार की श्रेणी): अतः बोरेल–कांतेली ([प्रमेय 22.8](#thm-b3-probability-borelcantelli)) से लगभग निश्चित रूप से अंततः $\abs{\frac{S_n}n - m} < \varepsilon$; और $\varepsilon = \frac1p$ पर सर्वनिष्ठ लेने से लगभग निश्चित रूप से $\frac{S_n}n \to m$। तुलना: एतेमादी केवल $X_1 \in
L^1$ और युग्मशः [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) माँगते हैं, पर कोई दर नहीं देते; हॉफडिंग परिबद्धता और पूर्ण स्वातंत्र्य माँगती है, और प्रत्येक परिमित $n$ पर स्पष्ट चरघातांकी प्रत्याभूति दे देती है — दोनों प्रमेयें एक ही सीमा के बारे में भिन्न प्रश्नों का उत्तर देती हैं।

**20.** $g(U_k)$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित हैं, $\intcc01$ में मान लेते हैं और उनका माध्य $\int g\,\dd\lambda_d$ है (अंतरण), अतः $b_i - a_i = 1$, $t = n\varepsilon$ के साथ प्रश्न 18 द्विपार्श्व परिबंध देता है, और $2\eu^{-2n\varepsilon^2} \leq \delta$ तभी होता है जब $\eu^{2n\varepsilon^2} \geq \frac2\delta$, अर्थात् $n \geq \frac{\log(2/\delta)}{2\varepsilon^2}$। $\varepsilon = \delta = 10^{-2}$ के लिए:

$$
n \geq \frac{\log 200}{2\cdot10^{-4}} =
\frac{5.2983\ldots}{0.0002} \approx 26\,492 :
$$

अर्थात् लगभग $26\,500$ प्रतिदर्श $99\%$ विश्वास के साथ $1\%$ यथार्थता की प्रत्याभूति दे देते हैं — प्रत्येक विमा $d$ में, और $\intcc01$ में मान लेने वाले प्रत्येक [मापनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-measurable) समाकल्य के लिए। प्रश्न 11 का प्रबल नियम अभिसरण का वचन तो देता था पर परिमित $n$ पर कोई प्रत्याभूति नहीं; और प्रति अक्ष $k$ बिंदुओं वाला कोई नियतांकी जालक $k^d$ मूल्यांकन माँगता है, जो $d$ में चरघातांकी है। संकेंद्रण ही [मोंते कार्लो](#ex-b3-probability-sllnapps) को आशा के बजाय *विधि* बनाता है।

**21.** [स्वातंत्र्य](#def-b3-probability-independence) और गुणनफल सूत्र: प्रश्न 17(क) से $\E\,\eu^{\lambda S_n} =
(\E\,\eu^{\lambda\varepsilon_1})^n
= (\cosh\lambda)^n \leq \eu^{n\lambda^2/2}$। $\eu^{\lambda S_n}$ पर मार्कोव:

$$
\P(S_n \geq x) \leq \eu^{-\lambda x + n\lambda^2/2}
= \eu^{-x^2/(2n)}
\qquad\text{अनुकूलतम } \lambda = \frac xn \text{ पर},
$$

और $-S_n$ के लिए सममित परिबंध (वही [बंटन नियम](#def-b3-probability-space)) $\abs{S_n}$ वाले अचर को दुगुना कर देता है।

**22.** $\eta > 0$ स्थिर कीजिए और $n \geq 2$ के लिए $x_n = (1 + \eta)\sqrt{2n\log n}$ रखिए:

$$
\P(\abs{S_n} \geq x_n) \leq 2\exp\bigl(-(1 +
\eta)^2\log n\bigr) = \frac{2}{n^{(1+\eta)^2}},
$$

जिसका योग परिमित है, क्योंकि $(1 + \eta)^2 > 1$। बोरेल–कांतेली: लगभग निश्चित रूप से सभी बड़े $n$ के लिए $\abs{S_n} < (1 + \eta)\sqrt{2n\log n}$, अतः लगभग निश्चित रूप से $\limsup_n\frac{\abs{S_n}}{\sqrt{2n\log n}} \leq 1 +
\eta$; और $\eta = \frac1p$, $p \in \N^*$ वाली प्रायिकता-एक घटनाओं का सर्वनिष्ठ लेने से कथन सिद्ध हो जाता है। आकार $n$ के भ्रमण का प्रारूपिक आयाम $\sqrt n$ (उसका प्रसरण) है, और उसके निकृष्टतम उत्क्रमण भी उस मापक्रम से अधिक से अधिक $\sqrt{2\log n}$ गुना ही आगे जाते हैं।

**23.** $n_j = 2^j$ और $x = (1 +
\eta)\sqrt{2n_j\log\log n_j}$ ($j \geq 2$ के लिए परिभाषित) के साथ प्रश्न 21 देता है

$$
\P\bigl(S_{n_j} \geq x\bigr) \leq \exp\bigl(-(1 +
\eta)^2\log\log n_j\bigr) = (j\log 2)^{-(1+\eta)^2},
$$

जिसका $j$ में योग परिमित है, क्योंकि $(1 + \eta)^2 > 1$: अतः बोरेल–कांतेली और $\eta = \frac1p$ लगभग निश्चित रूप से $\limsup_jS_{n_j}/\sqrt{2n_j
\log\log n_j} \leq 1$ दे देते हैं। पूरे ऊपरी अर्ध भाग के लिए जो शेष है वह जाँच-बिंदुओं के बीच का सेतु है: दिखाना पड़ता है कि $\max_{n_j\leq n\leq n_{j+1}}S_n$ $(1+\eta)\sqrt{2n_j\log\log n_j}$ को परिमित बार ही पार करता है, जिसके लिए *गाउसीय* पुच्छों वाली कोई उच्चिष्ठ असमिका चाहिए (लेवी की परावर्तन असमिका अथवा ओत्तावियानी की असमिका, जो यहाँ सिद्ध नहीं की गईं)। प्रश्न 12 मात्रात्मक रूप से बहुत दुर्बल है: वह प्रायिकता को

$$
\frac{n_j}{(1+\eta)^2\,2n_j\log\log n_j}
= \frac{1}{2(1+\eta)^2\log(j\log2)},
$$

से परिबद्ध करता है, जो $0$ की ओर तो जाता है पर $j$ में *योग्य नहीं* है: अतः बोरेल–कांतेली निष्कर्ष नहीं निकाल सकती। पुनरावृत्त लघुगणक के नियम का निचला अर्ध भाग दूसरी बोरेल–कांतेली प्रमेयिका को [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) वृद्धियों $S_{n_{j+1}}
- S_{n_j}$ पर लगाता है, और उसके लिए गाउसीय-प्रकार के पुच्छों के सुमेलित निचले परिबंध चाहिए। दोनों परिष्कार ईमानदार तृतीय वर्ष की प्रायिकता हैं, एक पाठ्यक्रम और आगे; और यह समस्या बिना सहायता के जो देती है वह ज्यामितीय समयों के अनुदिश पुनरावृत्त-लघुगणक का ठीक-ठीक मापक्रम है।

**24.** प्रत्येक $\hat p_i$ $\intcc01$ में मान लेने वाले और माध्य $\P(A_i)$ वाले $n$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence) सम-बंटित सूचक चरों का औसत है: अतः हॉफडिंग $\P(\abs{\hat p_i - \P(A_i)} >
\varepsilon) \leq 2\eu^{-2n\varepsilon^2}$ देती है। संघ परिबंध इसे $N$ से गुणा कर देता है। $2N\eu^{-2n\varepsilon^2}
\leq \delta$ हल कीजिए: $n \geq
\frac{\ln(2N/\delta)}{2\varepsilon^2}$। संख्यात्मक रूप से: $\ln\frac{2\cdot10^6}{0.05} =
\ln(4\cdot10^7) \approx 17.5$, अतः $n \geq
\frac{17.5}{2\cdot10^{-4}} \approx 87\,600$: अर्थात् *एक* प्रायिकता का $\pm1\%$ तक आकलन लगभग $18\,500$ प्रतिदर्श माँगता है ($\ln(2/\delta)/2\varepsilon^2$), और *दस लाख* प्रायिकताओं का आकलन केवल $\approx 4.7$ गुना अधिक — एकसमानता की क़ीमत $\ln N$ है, $N$ नहीं: यही वह प्रेक्षण है जो आनुभविक जोखिम न्यूनीकरण को, और उसके साथ यंत्र अधिगम को, सांख्यिकीय रूप से संभव बनाता है।

**25.** चर $X_n = \frac{\varepsilon_n}
{n^\alpha}$ [स्वतंत्र](#def-b3-probability-independence), केंद्रित और परिबद्ध हैं, जिनके लिए $\sum_n\V(X_n) = \sum_nn^{-2\alpha}$। यदि $\alpha >
\frac12$: तो प्रसरण श्रेणी अभिसरित होती है, और एक-श्रेणी प्रमेय (भाग VI) $\sum X_n$ का लगभग निश्चित अभिसरण दे देती है। यदि $\alpha \leq \frac12$: तो प्रसरण श्रेणी अपसरित होती है, और विलोम अर्ध भाग (भाग VI का पेली–ज़िगमुंड तर्क, जो लागू है क्योंकि योज्य पद $1$ से परिबद्ध हैं) लगभग निश्चित अपसरण दे देता है। निरपेक्ष अभिसरण $\sum n^{-\alpha} < \infty$ माँगता है: अर्थात् $\alpha > 1$। $\intoc{\frac12}1$ पर श्रेणी लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होती है जबकि $\sum\abs{X_n} = \infty$ निश्चित रूप से: चिह्न प्रायिकता एक के साथ निरसन का षड्यंत्र रच लेते हैं — अर्थात् निरसन से अभिसरण, जो किसी भी निरपेक्ष कसौटी को अदृश्य है, और ([शून्य–एक नियम](#thm-b3-probability-zeroone) से) फिर भी नियतांकी निर्णय के साथ।