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title: "मुख्य आदर्श प्रांत पर मॉड्यूल"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain
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# अध्याय 3 — मुख्य आदर्श प्रांत पर मॉड्यूल

क्षेत्र के स्थान पर किसी *वलय* पर रैखिक बीजगणित: परिकल्पना का यह छोटा-सा परिवर्तन बीजगणित की महान एकीकरण प्रमेयों में से एक को जन्म देता है। $\Z$ पर [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) एक आबेली समूह है; $K[X]$ पर [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) एक ऐसी सदिश समष्टि है जिसके साथ एक अंतःसमाकारिता जुड़ी है। अतः किसी [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) पर [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) मॉड्यूलों की संरचना प्रमेय एक ही आघात में समस्त [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) आबेली समूहों *और* समरूपता तक समस्त अंतःसमाकारिताओं का वर्गीकरण कर देती है — जॉर्डन अपचयन, जिसे दूसरे वर्ष में नाजुक आगमनों से प्राप्त किया गया था, यहाँ एक उपप्रमेय के रूप में झड़ पड़ता है, और उसके साथ उसका अधिक सूक्ष्म सहोदर भी: *परिमेय* विहित रूप, जो प्रत्येक क्षेत्र पर मान्य है। परिकलन का यंत्र है [स्मिथ प्रसामान्य रूप](#thm-b3-modules-smith) — आव्यूहों का एक ऐसा अंकगणित जो यूक्लिड के योग्य है।

सर्वत्र $A$ एक क्रमविनिमेय वलय है, और शीघ्र ही एक [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd); “[मॉड्यूल](#def-b3-modules-module)” से अभिप्राय है $A$-मॉड्यूल।

## 3.1 मॉड्यूल, मुक्त मॉड्यूल

**परिभाषा 3.1.**

कोई *$A$-मॉड्यूल* एक आबेली समूह $(M, +)$ है जिस पर अदिश गुणन $A \times M \to M$ सदिश-समष्टि स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है: $a(x + y) = ax + ay$, $(a + b)x = ax + bx$, $(ab)x = a(bx)$, $1x = x$। उपमॉड्यूल, भागफल $M/N$, समाकारिताएँ ($A$-रैखिक प्रतिचित्रण), प्रत्यक्ष योग $\bigoplus_i M_i$ और तुल्याकारिता प्रमेय ठीक उसी प्रकार परिभाषित और सिद्ध होते हैं जैसे सदिश समष्टियों और आबेली समूहों के लिए; विशेष रूप से किसी समाकारिता $f$ के लिए $M/\ker f \cong
\operatorname{im} f$।

**उदाहरण 3.2.**

तीन प्रेरक स्थितियाँ।

1. $A = K$ कोई क्षेत्र: [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) सदिश समष्टियाँ हैं।
2. $A = \Z$ : [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) ठीक आबेली समूह हैं ( $nx$ का $x + \dots + x$ होना अनिवार्य है), और उपमॉड्यूल उपसमूह हैं।
3. $A = K[X]$ : कोई [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) एक $K$ -सदिश समष्टि $V$ है जिसके साथ $K$ -रैखिक प्रतिचित्रण $u\colon x \mapsto X\cdot x$ जुड़ा है — विलोमतः, $u \in \mathcal L(V)$ वाला प्रत्येक युग्म $(V, u)$ $P \cdot x = P(u)(x)$ द्वारा $K[X]$ -मॉड्यूल बन जाता है। उपमॉड्यूल ठीक $u$ -स्थिर उपसमष्टियाँ हैं।

$A$ का [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) ठीक $A$ का उपमॉड्यूल है; [भागफल वलय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) $A/I$ एक $A$-मॉड्यूल है। सदिश समष्टियों के विपरीत, मॉड्यूलों में *[मरोड़](#def-b3-modules-torsion)* हो सकती है: $\Z/6\Z$ में अवयव $\bar 3 \ne 0$ $2 \neq 0$ से नष्ट हो जाता है।

**परिभाषा 3.3.**

$M$ *परिमिततः जनित* कहलाता है यदि किसी $x_i$ के लिए $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ हो। $M$ कोटि $n$ का *मुक्त* कहलाता है यदि $M \cong A^n$, अर्थात् यदि उसका कोई *आधार* हो (ऐसा जनक कुल जो $A$-रैखिकतः स्वतंत्र है)। प्रत्येक परिमिततः जनित $M$ किसी मुक्त [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) का भागफल होता है: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ $A^n$ को $M$ पर आच्छादित करता है।

**प्रतिज्ञप्ति 3.4 (कोटि की अपरिवर्तिता).**

यदि $A \neq 0$ और $A^m \cong A^n$ हों, तो $m = n$।

**उपपत्ति.** $A$ का कोई [महत्तम आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-primemaximal) $\mathfrak m$ चुनिए ([प्रमेय 2.8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#thm-b3-rings-krull)) और $k = A/\mathfrak m$ रखिए, जो एक क्षेत्र है। कोई तुल्याकारिता $f \colon A^m
\to A^n$ रैखिकता से $\mathfrak m A^m$ को $\mathfrak m A^n$ में भेजती है, अतः $k$-सदिश समष्टियों के रूप में भागफलों की तुल्याकारिता

$$
A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n,
\qquad\text{अर्थात्}\qquad k^m \cong k^n
$$

प्रेरित करती है (भागफल $A^m/\mathfrak m A^m$ $\mathfrak m$ से नष्ट हो जाता है, अतः $A$ की क्रिया $k$ से होकर गुजरती है; मानक आधार के प्रतिबिंब एक $k$-आधार बनाते हैं)। क्षेत्र $k$ पर विमा सिद्धांत से $m = n$। ∎

**प्रमेय 3.5 (मुक्त मॉड्यूलों के उपमॉड्यूल).**

मान लीजिए $A$ एक [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) है और $M \subseteq A^n$ एक उपमॉड्यूल। तब $M$ कोटि $\leq n$ का [मुक्त मॉड्यूल](#def-b3-modules-free) है।

**उपपत्ति.** $n$ पर आगमन। $n = 1$ के लिए: $M$ एक [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) है, अतः $M = (0)$ (कोटि $0$ का [मुक्त](#def-b3-modules-free)) या $M = dA \cong A$ ($x \mapsto dx$ एकैकी है: प्रांत)। $n > 1$ के लिए: मान लीजिए $\pi \colon A^n \to A$ अंतिम निर्देशांक है। तब $\pi(M)$ एक [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) है, $(0)$ या $dA$। यदि $(0)$: $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ और आगमन लागू हो जाता है। अन्यथा $\pi(x_0) = d$ वाला $x_0 \in M$ चुनिए। प्रत्येक $x \in M$ अद्वितीय रूप से

$$
x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 +
\Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr),
\qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi
$$

लिखा जाता है ($\pi(x) \in dA$, अतः गुणांक $A$ में है)। इस प्रकार $M = Ax_0
\oplus (M \cap \ker \pi)$: योग प्रत्यक्ष है, क्योंकि $\pi(ax_0) =
ad = 0$ से $a = 0$ अनिवार्य हो जाता है। आगमन से $M \cap \ker\pi \subseteq
\ker \pi \cong A^{n-1}$ कोटि $\leq n - 1$ का [मुक्त मॉड्यूल](#def-b3-modules-free) है; उसमें $x_0$ (जो अभी देखे अनुसार $\ker\pi$ से स्वतंत्र है) जोड़ने पर गणनीयता $\leq n$ वाला $M$ का आधार मिल जाता है। ∎

**टिप्पणी 3.6.**

फलस्वरूप, किसी [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) पर प्रत्येक [परिमिततः जनित मॉड्यूल](#def-b3-modules-free) $M$ की एक *परिमित प्रस्तुति* होती है: किसी आच्छादन $\varphi\colon A^n \to M$ की अष्टि [मुक्त](#def-b3-modules-free) होती है और उसका आधार $c_1, \dots, c_k$ ($k \leq n$) होता है, तथा $M
\cong A^n / \operatorname{im}(C)$, जहाँ $C \in M_{n,k}(A)$ वह आव्यूह है जिसके स्तंभ $c_j$ हैं। $M$ को समझने का अर्थ है स्रोत और लक्ष्य में आधार-परिवर्तन तक *$A$ पर एक आव्यूह* को समझना — यही अगले अनुभाग का विषय है।

## 3.2 स्मिथ प्रसामान्य रूप

**परिभाषा 3.7.**

दो आव्यूह $B, C \in M_{n,k}(A)$ *तुल्य* कहलाते हैं यदि $Q \in GL_n(A)$, $P \in GL_k(A)$ (*$A$ पर* व्युत्क्रमणीय: सारणिक $A^\times$ में) के साथ $C =
QBP$ हो। तुल्य प्रस्तुति आव्यूह तुल्याकारी [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) $A^n/
\operatorname{im}$ परिभाषित करते हैं ($A^n$ और $A^k$ में आधार बदलिए)।

**प्रमेय 3.8 (स्मिथ प्रसामान्य रूप).**

मान लीजिए $A$ एक [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) है और $B \in M_{n,k}(A)$। तब $B$ एक विकर्ण आव्यूह के तुल्य है

$$
\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0),
\qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,
$$

और $d_i$ सहचारियों तक अद्वितीय हैं: $d_1 \cdots d_i$ $B$ के $i \times i$ उपसारणिकों का महत्तम समापवर्तक है (विशेष रूप से वह समापवर्तक तुल्यता का एक अपरिवर्ती है)। $d_i$ $B$ के *अपरिवर्ती गुणनखंड* कहलाते हैं।

**उपपत्ति.** *अस्तित्व।* यदि $B = 0$ हो, तो काम पूरा। अन्यथा $B$ के तुल्य आव्यूहों की प्रविष्टियों से जनित आदर्शों $(b)$ के समुच्चय पर विचार कीजिए; चूँकि $A$ [नोएथरीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-noetherian) है, $B$ के तुल्य ऐसा आव्यूह $B'$ और $B'$ की ऐसी प्रविष्टि $d$ चुनिए जिसके लिए $(d)$ इस समुच्चय में *महत्तम* हो। पंक्ति और स्तंभ अदला-बदली से $d$ को स्थान $(1,1)$ पर लाइए।

*दावा: $d$ $B'$ की प्रत्येक प्रविष्टि को विभाजित करता है।* पहले स्तंभ 1: यदि $b_{i1}$ $d$ का गुणज न हो, तो $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud +
vb_{i1}$ (बेज़ू) लीजिए, अतः $(e) \supsetneq (d)$। अब $2 \times 2$ आव्यूह की युक्ति: पंक्तियों $1$ और $i$ पर

$$
\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de
\end{pmatrix}
\in GL_2(A)
\qquad
\Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)
$$

द्वारा क्रिया करने से एक तुल्य आव्यूह बनता है जिसकी स्थान $(1,1)$ पर प्रविष्टि $e$ है: यह $(d)$ की महत्तमता का खंडन है। अतः $d$ स्तंभ $1$ को विभाजित करता है, और सममित रूप से पंक्ति $1$ को भी। पंक्ति 1 और स्तंभ 1 के गुणज घटाने पर वे साफ हो जाते हैं: $B'$ $\begin{pmatrix} d &
0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ के तुल्य है। इसके बाद, $d$ $B''$ की प्रत्येक प्रविष्टि $b$ को विभाजित करता है: $b$ की पंक्ति को पंक्ति 1 में जोड़िए (एक प्रारंभिक संक्रिया; नई पहली पंक्ति में $d$ और $b$-प्रविष्टियाँ हैं) और स्तंभ साफ करने वाला तर्क दोहराइए: कोई अगुणज फिर से $(d)$ को बेहतर बना देता। अब आकार पर आगमन कीजिए: $B''$, जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $d$ से विभाज्य हैं, का कोई स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(d_2,
\dots)$ है जिसकी प्रविष्टियाँ $d$ से विभाज्य बनी रहती हैं (किसी भी $QB''P$ की प्रत्येक प्रविष्टि $B''$ की प्रविष्टियों का $A$-संचय है); अब $d_1 =
d$ रखिए।

*अद्वितीयता।* मान लीजिए $D_i(B)$ समस्त $i \times i$ उपसारणिकों का महत्तम समापवर्तक है। पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ, और अधिक व्यापक रूप से *किसी भी* आव्यूह से गुणन, इस समापवर्तक को छोटा नहीं कर सकते: $QB$ के $i \times i$ उपसारणिक $B$ के उपसारणिकों के $A$-संचय होते हैं (कोशी–बिने प्रसार; अथवा सीधे: $QB$ की प्रत्येक पंक्ति $B$ की पंक्तियों का संचय है, और उपसारणिक पंक्तियों में बहुरैखिक होते हैं)। अतः $D_i(QBP)$ और $D_i(B)$ परस्पर विभाजित करते हैं: $D_i$ एक तुल्यता अपरिवर्ती है। विकर्ण रूप पर शून्येतर $i
\times i$ उपसारणिक $d_j$ में से $i$ के गुणनफल हैं, और विभाज्यता $d_1 \mid \dots \mid d_r$ से $d_1 \cdots d_i$ ही महत्तम समापवर्तक बन जाता है। अतः इकाइयों तक $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$, और $d_i =
D_i/D_{i-1}$ निर्धारित हो जाता है। ∎

**विधि 3.9.**

किसी [यूक्लिडीय प्रांत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$, $K[X]$) पर स्मिथ अपचयन एक कलनविधि है — यहाँ किसी महत्तमता तर्क की आवश्यकता नहीं: सबसे छोटे यूक्लिडीय आकार वाली प्रविष्टि को स्थान $(1,1)$ पर लाइए; यदि वह अपनी पंक्ति या स्तंभ की किसी प्रविष्टि को विभाजित न करे, तो यूक्लिडीय विभाजन वहाँ कड़ाई से छोटा शेषफल छोड़ देता है — उसे भीतर लाकर फिर से आरंभ कीजिए (समाप्ति: आकार घटते जाते हैं); जब वह अपनी पूरी पंक्ति और स्तंभ को विभाजित करने लगे, तब उन्हें साफ कीजिए; यदि वह किसी भीतरी प्रविष्टि को विभाजित न करे, तो उस पंक्ति को पंक्ति $1$ में जोड़कर फिर से आरंभ कीजिए; और भीतरी खंड पर पुनरावर्तन कीजिए। पूर्णांक आव्यूहों पर व्यवहार में: प्रविष्टियों का $D_1 = \gcd$, फिर $D_2$, … छोटे आकारों के लिए उपसारणिकों से परिकलित कीजिए, अथवा कलनविधि चलाइए।

**उदाहरण 3.10 (एक पूर्ण स्मिथ अपचयन).**

$\Z$ पर $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$ का अपचयन कीजिए। कोने की प्रविष्टि $1$ सब कुछ विभाजित करती है: उसकी पंक्ति और स्तंभ साफ कीजिए ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - 7L_1$, फिर $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3
\leftarrow C_3 - 3C_1$):

$$
M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12
\end{pmatrix} .
$$

भीतरी खंड में कोने की प्रविष्टि $-3$ सभी प्रविष्टियों को विभाजित करती है: $L_3
\leftarrow L_3 - 2L_2$ और $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ उसे $\operatorname{diag}(-3, 0)$ तक साफ कर देते हैं। चिह्न समायोजित करने पर (किसी पंक्ति को $-1$ से गुणा कीजिए, जो वैध संक्रिया है):

$$
M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0),
\qquad
\Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .
$$

सारणिक भाजकों से जाँच: $D_1 =
\gcd(\text{प्रविष्टियाँ}) = 1$; $M$ का प्रत्येक $2\times2$ उपसारणिक $3$ का गुणज है (उदाहरणार्थ $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4
& 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) और एक $-3$ के बराबर है: $D_2 =
3$; $D_3 = \det M = 0$। अतः $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: वही उत्तर। दो शिक्षाएँ: शून्य [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) कोटि की गिरावट दर्ज करता है (सह-अष्टि एक [मुक्त](#def-b3-modules-free) $\Z$ योज्यांश उठा लेती है), और विभाज्यता शृंखला $1 \mid 3 \mid 0$ ही स्मिथ का प्रमाणपत्र है — ऐसा विकर्ण अपचयन जो इस शृंखला का उल्लंघन करता हो (मान लीजिए $\operatorname{diag}(2, 3)$, जिसे असावधान पाठक $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 &
3\end{smallmatrix}\bigr)$ से बहुत जल्दी रुककर उत्पन्न कर सकता है: सही स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(1, 6)$ है, क्योंकि यहाँ $D_1 = 1$!) अभी पूरा नहीं हुआ है।

![ℤ2 का उपजालक L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) (लाल बिंदु)। ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) का स्मिथ प्रसामान्य रूप diag(1, 6) है: ℤ2 के अनुकूलित आधार f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) में L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2 होता है, अतः ℤ2/L ℤ/6ℤ — सूचकांक | | = 6 के बराबर है, अर्थात् छायांकित मूल प्रांत के क्षेत्रफल के।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg)

*$\Z^2$ का उपजालक $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ (लाल बिंदु)। $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &
1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ का [स्मिथ प्रसामान्य रूप](#thm-b3-modules-smith) $\operatorname{diag}(1, 6)$ है: $\Z^2$ के अनुकूलित आधार $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (0,1)$ में $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ होता है, अतः $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — सूचकांक $\abs{\det} = 6$ के बराबर है, अर्थात् छायांकित मूल प्रांत के क्षेत्रफल के।*

## 3.3 संरचना प्रमेय

**परिभाषा 3.11.**

मान लीजिए $A$ एक प्रांत है और $M$ एक $A$-मॉड्यूल। *मरोड़* उपमॉड्यूल है

$$
T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ किसी } a \neq 0 \text{ के लिए}\}
$$

(यह उपमॉड्यूल है: यदि $ax = by = 0$ हो तो $ab(x + y) = 0$, $ab \ne 0$)। $M$ *मरोड़-मुक्त* कहलाता है यदि $T(M) = 0$ हो, और *मरोड़ [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module)* यदि $T(M) = M$ हो।

**प्रमेय 3.12 (किसी PID पर परिमिततः जनित मॉड्यूलों की संरचना).**

मान लीजिए $A$ एक [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) है और $M$ एक [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) $A$-मॉड्यूल। तब एक अद्वितीय $r \in \N$ और सहचारियों तक अद्वितीय शून्येतर अनैकिक अवयव $d_1 \mid d_2 \mid
\cdots \mid d_s$ ऐसे विद्यमान हैं कि

$$
M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).
$$

इसके अतिरिक्त $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ और $M/T(M)
\cong A^r$: किसी [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) पर [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) *[मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion)* [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) [मुक्त](#def-b3-modules-free) होता है।

**उपपत्ति.** *अस्तित्व।* $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ प्रस्तुत कीजिए ([टिप्पणी 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) और $C$ को स्मिथ रूप में लाइए: दोनों आधार-परिवर्तनों के बाद $M \cong A^n / (d_1A \times \dots
\times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus
\dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$। जिन गुणनखंडों में $d_i$ इकाई है उन्हें छोड़ दीजिए ($A/(d_i) = 0$); विभाज्यता शृंखला बनी रहती है।

*[मरोड़](#def-b3-modules-torsion) की पहचान।* इस विघटन में $A^r$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है (प्रांत में कोई शून्य भाजक नहीं) और प्रत्येक $A/(d_i)$ [मरोड़](#def-b3-modules-torsion) है ($d_i \ne 0$ से नष्ट); प्रत्यक्ष योग [मरोड़](#def-b3-modules-torsion) को उसी के अनुसार विभाजित कर देता है: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ और $M/T(M) \cong A^r$।

*$r$ की अद्वितीयता*: $M/T(M) \cong A^r$ केवल $M$ पर निर्भर करता है, और [प्रतिज्ञप्ति 3.4](#prop-b3-modules-rank) से $r$ निश्चित हो जाता है।

*$d_i$ की अद्वितीयता*: केवल [मरोड़ मॉड्यूल](#def-b3-modules-torsion) $T = T(M)$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है। प्रत्येक $d_i$ को अभाज्यों में विघटित कीजिए और चीनी शेषफल प्रमेय से विभाजित कीजिए ([प्रमेय 2.9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#thm-b3-rings-crt); भिन्न अभाज्य [सह-महत्तम आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#thm-b3-rings-crt) जनित करते हैं):

$$
A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr):
\qquad
T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),
$$

और *प्रारंभिक भाजक* $p^{k_{p,j}}$ मिलते हैं। विलोमतः $d_i$ को [प्रारंभिक भाजकों](#thm-b3-modules-structure) के बहुसमुच्चय से पुनर्निर्मित किया जा सकता है ($d_s$ = प्रत्येक अभाज्य की उच्चतम घात का गुणनफल, इत्यादि), अतः केवल यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए बहुसमुच्चय $\{k_{p,j}\}_j$ $T$ से निर्धारित हो जाता है। $p$ स्थिर कीजिए; $j \geq 1$ के लिए $A/(p)$-सदिश समष्टियों $p^{j-1}T/p^jT$ पर विचार कीजिए। किसी चक्रीय गुणनखंड $A/(p^k)$ पर:

$$
p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr)
\cong
\begin{cases}
A/(p) & \text{यदि } j \leq k,\\
0 & \text{यदि } j > k,
\end{cases}
$$

और किसी गुणनखंड $A/(q^k)$, $q \neq p$, पर $p$ से गुणन वहाँ एकैकी आच्छादक है ($q^k$ के सापेक्ष $p$ व्युत्क्रमणीय है: बेज़ू), अतः भागफल $0$ है। प्रत्यक्ष योग इनसे होकर गुजरते हैं: $\dim_{A/(p)}
p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$। ये अंतर्जात विमाएँ घातांकों के बहुसमुच्चय को निर्धारित कर देती हैं। ∎

**उपप्रमेय 3.13 (परिमिततः जनित आबेली समूह).**

प्रत्येक [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) आबेली समूह $d_1 \mid \dots \mid
d_s$ के साथ अद्वितीय रूप से $\Z^r \times
\Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ होता है। प्रत्येक *परिमित* आबेली समूह अभाज्य-घात क्रम के चक्रीय समूहों का गुणन है, जो बहुसमुच्चय के रूप में अद्वितीय है।

**उदाहरण 3.14.**

क्रम $p^n$ के आबेली समूह $n$ के *विभाजनों* के अनुरूप हैं: $p^4$ के लिए $\Z/p^4$, $\Z/p^3\times\Z/p$, $(\Z/p^2)^2$, $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$, $(\Z/p)^4$ — पाँच समूह, क्योंकि $4$ के पाँच विभाजन हैं। मिश्रित क्रमों में गणनाएँ अभाज्य-दर-अभाज्य गुणा हो जाती हैं (चीनी शेषफल प्रमेय): क्रम $2^4 \cdot 3^2 = 144$ के $5 \times 2$ आबेली समूह हैं।

## 3.4 अनुप्रयोग: अंतःसमाकारिताओं के विहित रूप

मान लीजिए $K$ एक क्षेत्र है, $V$ परिमित विमा $n$ की एक $K$-सदिश समष्टि, और $u \in \mathcal L(V)$; $P
\cdot x = P(u)(x)$ ([उदाहरण 3.2](#ex-b3-modules-examples)) द्वारा $V$ को $K[X]$-मॉड्यूल बना दीजिए। यह [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) है (कोई भी $K$-आधार उसे जनित करता है) और [मरोड़](#def-b3-modules-torsion) है: प्रत्येक $x$ के लिए $n+1$ सदिश $x, u(x), \dots, u^n(x)$ $K$-आश्रित होते हैं, जिससे एक शून्येतर विनाशक बहुपद मिल जाता है।

**परिभाषा 3.15.**

मोनिक $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ के लिए *सहचर आव्यूह* है

$$
C_P = \begin{pmatrix}
0 & & & -a_0\\
1 & \ddots & & -a_1\\
& \ddots & 0 & \vdots\\
& & 1 & -a_{m-1}
\end{pmatrix} :
$$

अर्थात् आधार $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ में $K[X]/(P)$ पर “$X$ से गुणन” का आव्यूह।

**प्रमेय 3.16 (फ्रोबेनियस: परिमेय विहित रूप).**

मोनिक अनचर बहुपदों का एक अद्वितीय अनुक्रम $P_1
\mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ ($u$ के *समरूपता अपरिवर्ती*) ऐसा विद्यमान है कि $K[X]$-मॉड्यूलों के रूप में

$$
V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):
$$

और किसी उपयुक्त आधार में $u$ का आव्यूह खंड-विकर्ण $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ होता है। इसके अतिरिक्त:

1. $P_s = \mu_u$ (न्यूनतम बहुपद) और $P_1\cdots P_s =  \chi_u$ (अभिलक्षणिक बहुपद); विशेष रूप से $\mu_u  \mid \chi_u$ *(केली–हैमिल्टन की पुनः उपपत्ति)* तथा $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , अतः $\chi_u$ और $\mu_u$ के [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) गुणनखंड एक ही हैं।
2. दो अंतःसमाकारिताएँ (या वर्ग आव्यूह) समरूप हैं तभी और केवल तभी जब उनके [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) एक ही हों।

**उपपत्ति.** [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$ पर संरचना प्रमेय ([प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure)) लगाइए: [मरोड़ मॉड्यूल](#def-b3-modules-torsion) $V$ अपरिवर्ती गुणनखंडों $P_i$ के साथ विघटित होता है, जिन्हें मोनिक मानकीकृत किया गया है ($K[X]$ की इकाइयाँ $K^\times$ हैं); कोई [मुक्त](#def-b3-modules-free) भाग नहीं आता ($V$ [मरोड़](#def-b3-modules-torsion) है)। प्रत्येक चक्रीय गुणनखंड $K[X]/(P_i)$ पर $X$ से गुणन का आव्यूह $\bar X$ की घातों के आधार में $C_{P_i}$ है: आधारों को जोड़ने पर खंड रूप मिल जाता है।

(1) $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ का विनाशक $(P_1)\cap
\dots\cap(P_s) = (P_s)$ है (विभाज्यता शृंखला: $P_s$ एक उभयनिष्ठ गुणज है, और अंतिम गुणनखंड में $1$ का वर्ग ठीक $(P_s)$ से ही नष्ट होता है): अतः $\mu_u = P_s$। $\chi_u$ के लिए: किसी चक्रीय गुणनखंड पर $m = \deg P$ पर आगमन द्वारा $\chi_{C_P} = P$। $\det(XI_m - C_P)$ को पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसारित कीजिए (जिसकी प्रविष्टियाँ $X$, फिर शून्य, फिर अंतिम स्तंभ में $a_0$ हैं):

$$
\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr)
+ (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,
$$

जहाँ $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (वही आकृति, एक आकार छोटी) और $L$ त्रिभुजाकार है जिसका विकर्ण $(-1, \dots, -1)$ है, अतः $\det L = (-1)^{m-1}$। आगमन से पहला पद $X\tilde P$ है और दूसरा $a_0$: कुल मिलाकर $X\tilde P + a_0 = P$ (आधार स्थिति $m=1$: $\det(X + a_0) = P$)। सारणिक खंडों पर गुणा होते हैं: $\chi_u = \prod P_i$। केली–हैमिल्टन: $\chi_u \in (\mu_u)$, क्योंकि प्रत्येक $P_s \mid$ …विलोमतः प्रत्येक $P_i \mid P_s$, अतः $\chi_u = \prod P_i$ $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ को विभाजित करता है; और $\mu_u =
P_s$ $\chi_u$ को उसके एक गुणनखंड के रूप में विभाजित करता है।

(2) समरूप अंतःसमाकारिताएँ संयुग्म [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) संरचनाएँ हैं, अतः उनके अपरिवर्ती समान होते हैं ([प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure) में अद्वितीयता); विलोमतः समान अपरिवर्ती तुल्याकारी $K[X]$-मॉड्यूल देते हैं, और [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) तुल्याकारिता ठीक वही रैखिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है जो दोनों अंतःसमाकारिताओं को आपस में गूँथता है: अर्थात् एक समरूपता। ∎

**उपप्रमेय 3.17 (समरूपता क्षेत्र विस्तार के प्रति असंवेदी है).**

मान लीजिए $K \subseteq L$ क्षेत्र हैं और $M, N \in M_n(K)$। यदि $M$ और $N$ $L$ पर समरूप हों, तो वे $K$ पर भी समरूप हैं।

**उपपत्ति.** $M$ के [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) $K[X]$ पर प्रस्तुति आव्यूह $XI_n - M$ पर स्मिथ के उपसारणिक सूत्र ([प्रमेय 3.8](#thm-b3-modules-smith)) से परिकलित होते हैं — वस्तुतः $K[X]$-मॉड्यूल $V_M = K^n$ की प्रस्तुति $XI_n - M$ है: प्रतिचित्रण $K[X]^n \to V_M$, $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$, आच्छादक है और उसकी अष्टि $XI_n - M$ के स्तंभों से जनित है (सीधा सत्यापन: उन स्तंभों के सापेक्ष $K[X]^n$ का प्रत्येक अवयव किसी अचर सदिश तक अपचयित हो जाता है, और अचर सदिश एकैकी आच्छादक रूप से जाते हैं; सप्ताहांत समस्या इसे विस्तार से लिखती है)। बहुपदों के महत्तम समापवर्तक क्षेत्र विस्तार से नहीं बदलते: यदि $d$ किसी कुल $(f_j)$ का $K[X]$ में मोनिक महत्तम समापवर्तक हो, तो बेज़ू से $u_j \in K[X]$ के साथ $d = \sum u_jf_j$ मिलता है, अतः *$L[X]$ में* $f_j$ का प्रत्येक उभयनिष्ठ भाजक $d$ को विभाजित करता है; और चूँकि $d$ स्वयं एक उभयनिष्ठ भाजक है, वह $L[X]$ में भी महत्तम समापवर्तक है। अतः $XI_n - M$ के [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith), जो क्रमागत उपसारणिक समापवर्तकों के भागफल हैं, $K$ पर और $L$ पर एक ही रहते हैं: अर्थात् $M, N$ के $L$ पर [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) वही हैं जो $K$ पर; अब [प्रमेय 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2) से निष्कर्ष निकालिए। ∎

**प्रमेय 3.18 (जॉर्डन रूप, पुनः व्युत्पन्न).**

मान लीजिए $\chi_u$ $K$ पर विभाजित हो जाता है (उदाहरणार्थ $K = \C$)। अपरिवर्ती गुणनखंडों के स्थान पर $V$ पर प्रारंभिक-भाजक विघटन ([प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure) की उपपत्ति) लगाने पर

$$
V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X -
\lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),
$$

और प्रत्येक गुणनखंड के आधार $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots,
\overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ में $u$ जॉर्डन खंड $J_k(\lambda)$ की तरह क्रिया करता है: अर्थात् विभाजित अभिलक्षणिक बहुपद वाली प्रत्येक अंतःसमाकारिता का कोई जॉर्डन आधार होता है, और खंडों का बहुसमुच्चय $(\lambda, k)$ अद्वितीय है।

**उपपत्ति.** [मरोड़ मॉड्यूल](#def-b3-modules-torsion) $V$ के [प्रारंभिक भाजक](#thm-b3-modules-structure) $(X - \lambda)^k$ हैं, जहाँ $X - \lambda$ $\mu_u$ के [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) गुणनखंडों में विचरता है (और वह विभाजित हो जाता है, क्योंकि $\chi_u$ विभाजित होता है और दोनों के [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) गुणनखंड एक ही हैं, [प्रमेय 3.16](#thm-b3-modules-frobenius))। $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ में $j = 1, \dots, k$ के लिए $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ रखिए: तब $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (जहाँ $f_0 = 0$), अर्थात् $u(f_j)
= \lambda f_j + f_{j-1}$: $(f_1, \dots,
f_k)$ पर $u$ का आव्यूह ठीक $J_k(\lambda)$ है (विकर्ण के ऊपर एक)। [प्रारंभिक भाजकों](#thm-b3-modules-structure) के बहुसमुच्चय की अद्वितीयता [प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure) है। ∎

**टिप्पणी 3.19.**

विहित रूपों का क्रम अब पारदर्शी है: *परिमेय* रूप प्रत्येक क्षेत्र पर विद्यमान है और समरूपता को निरपेक्ष रूप से पकड़ लेता है ([उपप्रमेय 3.17](#cor-b3-modules-descent)); *जॉर्डन* रूप उसका परिष्कार है, जब $\chi_u$ विभाजित हो जाता है। दूसरे वर्ष की विमा-गणना वाली जॉर्डन उपपत्तियाँ इसी में समा जाती हैं: वह सारी संचयिकी वस्तुतः [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$ का अंकगणित थी।

## 3.5 अभ्यास

**अभ्यास 3.1 ★.**

(क) दर्शाइए कि $\Q$ $\Z$-मॉड्यूल के रूप में [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) नहीं है। (ख) दर्शाइए कि $\Q$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है पर [मुक्त](#def-b3-modules-free) नहीं। (ग) दोनों में से कोई भी कथन [प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure) का खंडन क्यों नहीं करता?

**हल — अभ्यास 3.1.**

(क) यदि $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ हो, तो मान लीजिए $d$ $q_i$ का कोई उभयनिष्ठ हर है: तब प्रत्येक संचय $\frac1d\Z$ में होता है, पर $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$। विरोधाभास।

(ख) [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion): $n \neq 0$ के साथ $nq = 0$ से $\Q$ में $q = 0$ अनिवार्य है। [मुक्त](#def-b3-modules-free) नहीं: कोई भी दो शून्येतर परिमेय $\frac ab, \frac cd$ अतुच्छ संबंध $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd =
0$ संतुष्ट करते हैं, अतः किसी आधार में अधिक से अधिक एक अवयव होता है; और $\Q \cong \Z$ से $\Q = \Z q$ चक्रीय हो जाता, पर $\frac q2 \notin \Z q$। (और $\Q \neq
0$।)

(ग) [प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure) *परिमित जनन* मानकर चलती है, जिसका (क) खंडन करता है: अतः कोई विरोधाभास नहीं — बल्कि $\Q$ दिखा देता है कि “[मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ [मुक्त](#def-b3-modules-free)” कथन में वह परिकल्पना आवश्यक है।

**अभ्यास 3.2 ★.**

तुल्याकारिता तक क्रम $360$ के आबेली समूहों को प्रारंभिक-भाजक और अपरिवर्ती-गुणनखंड दोनों रूपों में सूचीबद्ध कीजिए। क्रम $p^5$ के कितने आबेली समूह हैं?

**हल — अभ्यास 3.2.**

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$। विभाजन: $3$ के: $(3), (2,1),
(1,1,1)$; $2$ के: $(2), (1,1)$; $1$ के: $(1)$। अतः $3 \times 2
\times 1 = 6$ समूह। प्रारंभिक-भाजक $\to$ [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith):

| $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ |
| --- | --- |
| $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ |
| $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ |
| $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ |
| $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ |
| $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ |

(अपरिवर्ती गुणनखंडों पर जाने के लिए: सबसे बड़ा $d_s$ प्रत्येक अभाज्य की सर्वोच्च अभाज्य घात इकट्ठी करता है, और इसी प्रकार नीचे तक।) क्रम $p^5$ के: उतने ही जितने $5$ के विभाजन, अर्थात् $7$।

**अभ्यास 3.3 ★.**

$\Z$ पर

$$
B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix},
\qquad
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12
\end{pmatrix},
$$

का [स्मिथ प्रसामान्य रूप](#thm-b3-modules-smith) परिकलित कीजिए, और आबेली समूहों $\Z^2/B\Z^2$ तथा $\Z^3/C\Z^3$ की पहचान कीजिए।

**हल — अभ्यास 3.3.**

$B$: $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 -
24} = 8$। [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$, $d_2 = 8/2 = 4$: स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(2, 4)$, और $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z
\times \Z/4\Z$।

$C$: विकर्ण है पर स्मिथ *नहीं* ($2 \nmid 3$)। $D_1 =
\gcd(2,3,12) = 1$; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) =
\gcd(6, 24, 36) = 6$; $D_3 = 72$। अतः $d = (1, 6, 12)$ और $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — जो चीनी शेषफल प्रमेय के संगत है: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$।

**अभ्यास 3.4 ★★.**

मान लीजिए $L \subseteq \Z^n$ कोटि $n$ का उपसमूह है, जिसका आधार $B \in M_n(\Z)$, $\det B \neq 0$, के स्तंभ हैं। दर्शाइए कि $\Z^n/L$ परिमित है और उसकी गणनीयता $\abs{\det B}$ है, तथा $B$ के अपरिवर्ती गुणनखंडों $d_i$ के लिए $\Z^n/L
\cong \prod_i \Z/d_i\Z$। $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ से उदाहरण दीजिए।

**हल — अभ्यास 3.4.**

$Q, P
\in GL_n(\Z)$ के साथ $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ लिखिए ([प्रमेय 3.8](#thm-b3-modules-smith); कोई शून्य $d_i$ नहीं, क्योंकि $\det B \neq 0$)। तब $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/
\operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ ($\Z^n$ की संयोजित तुल्याकारिता $x \mapsto Q^{-1}x$ $B\Z^n$ को $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ पर भेजती है)। उसकी गणनसंख्या $\prod \abs{d_i} = \abs{\det
\operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ है, क्योंकि $\det Q, \det P = \pm
1$। $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ के लिए: $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2
& 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$, $D_1 = 1$, $D_2 = 6$: अतः $\Z^2/L
\cong \Z/6\Z$, जिसकी गणनसंख्या $\abs{\det B} = 6$ है।

**अभ्यास 3.5 ★★.**

मान लीजिए $A$ एक प्रांत है। (क) सत्यापित कीजिए कि $T(M)$ एक उपमॉड्यूल है और $M/T(M)$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है। (ख) दर्शाइए कि $K[X,Y]$ का [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$, $K[X,Y]$-मॉड्यूल के रूप में, [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है पर [मुक्त](#def-b3-modules-free) नहीं: संरचना प्रमेय को [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) परिकल्पना की वास्तव में आवश्यकता है।

**हल — अभ्यास 3.5.**

(क) उपमॉड्यूल: [परिभाषा 3.11](#def-b3-modules-torsion) में किया जा चुका। यदि $a \neq 0$ के साथ $M/T(M)$ में $a(x +
T(M)) = 0$ हो, तो $ax \in T(M)$: किसी $b \neq 0$ के लिए $bax
= 0$, और $ba \neq 0$ (प्रांत), अतः $x \in
T(M)$: वर्ग शून्य है। इसलिए $M/T(M)$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है।

(ख) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है (अपने ही ऊपर क्रिया करते प्रांत $K[X,Y]$ का उपमॉड्यूल)। मान लीजिए वह [मुक्त](#def-b3-modules-free) होता; कोई भी दो अवयव $P, Q$ $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ संतुष्ट करते हैं, जो $P \ne Q$ के शून्येतर होने पर अतुच्छ संबंध है, अतः किसी आधार में एक ही अवयव होता: अर्थात् $(X, Y) = (P)$ मुख्य — जो [अभ्यास 2.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#exo-b3-rings-6)(क) का खंडन करता है। [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) और [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) ($X, Y$ जनित करते हैं), फिर भी [मुक्त](#def-b3-modules-free) नहीं: [अ-PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) $K[X,Y]$ पर संरचना प्रमेय विफल हो जाती है।

**अभ्यास 3.6 ★★.**

(क) दर्शाइए कि $\Z$-मॉड्यूल $\Z$ में $2\Z$ का कोई प्रत्यक्ष पूरक नहीं है: [मुक्त](#def-b3-modules-free) मॉड्यूलों के उपमॉड्यूल [मुक्त](#def-b3-modules-free) होते हैं ([प्रमेय 3.5](#thm-b3-modules-submodule)), पर उनका प्रत्यक्ष योज्यांश होना आवश्यक नहीं। (ख) दर्शाइए कि यदि $M \subseteq A^n$ ($A$ एक [PID](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd)) इस शर्त को संतुष्ट करे कि $A^n/M$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है, तो $M$ प्रत्यक्ष योज्यांश *होता* है।

**हल — अभ्यास 3.6.**

(क) यदि $\Z = 2\Z \oplus C$ हो, तो प्रक्षेप $\Z \to \Z/2\Z$ प्रतिबंधित होकर तुल्याकारिता $C \cong \Z/2\Z$ बन जाता: तब $C$ $\Z$ का ऐसा उपसमूह होता जिसका शून्येतर अवयव $x$ $2x \in C
\cap 2\Z = 0$ संतुष्ट करता। पर $\Z$ [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है: $C = 0$, जिससे $\Z =
2\Z$ अनिवार्य हो जाता — असत्य।

(ख) $A^n/M$ [परिमिततः जनित](#def-b3-modules-free) और [मरोड़-मुक्त](#def-b3-modules-torsion) है, अतः [मुक्त](#def-b3-modules-free) ([प्रमेय 3.12](#thm-b3-modules-structure)): आधार $f_1, \dots, f_r$ के साथ $A^n/M \cong A^r$। $f_i$ के पूर्व-प्रतिबिंब $y_i \in A^n$ चुनिए और $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ रखिए। प्रत्येक $x \in A^n$ के लिए $\pi(x)
= \sum a_if_i$, अतः $x - \sum a_iy_i \in M$: इसलिए $A^n = M + F$। यदि $\sum a_iy_i \in M$ हो, तो $\pi$ लगाने पर $\sum a_if_i = 0$ मिलता है, अतः सभी $a_i = 0$ (आधार): इसलिए $M \cap F = 0$। अतः $A^n = M \oplus
F$।

**अभ्यास 3.7 ★★.**

[अभ्यास 3.3](#exo-b3-modules-3) के स्मिथ रूप का उपयोग करते हुए (दोनों ओर चरों के व्युत्क्रमणीय परिवर्तन) $\Z^2$ में निकाय

$$
\begin{cases}
2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\
6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20},
\end{cases}
$$

हल कीजिए: किन युग्मों $(b_1, b_2)$ के लिए हल विद्यमान हैं?

**हल — अभ्यास 3.7.**

[अभ्यास 3.3](#exo-b3-modules-3) का न्यूनीकरण प्रभावी था: यहाँ

$$
L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix},
\qquad
R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
$$

(पंक्ति संक्रिया $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, स्तंभ संक्रियाएँ पहले $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ फिर $C_2 \leftarrow -C_2$)। $y = R^{-1}x$ रखने पर (जो $(\Z/20\Z)^2$ का एकैकी आच्छादन है, क्योंकि $R$ $\Z$ पर व्युत्क्रमणीय है), निकाय $Bx \equiv b \pmod{20}$

$$
2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.
$$

के तुल्य है। सर्वांगसमता $ky \equiv c \pmod{20}$ हल-योग्य है तभी और केवल तभी जब $\gcd(k, 20) \mid c$: अतः हल विद्यमान हैं तभी और केवल तभी जब $2 \mid b_1$ और $4
\mid b_2 - 3b_1$, अर्थात् *$b_1$ सम और $b_2 \equiv 3b_1
\pmod 4$*। हल-योग्य होने पर $20$ के मापांक में $2 \times 4 = 8$ हल होते हैं।

**अभ्यास 3.8 ★★.**

(क) किसी शून्यभावी $4 \times 4$ आव्यूह के समस्त [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) और संभव [जॉर्डन रूप](#thm-b3-modules-jordan) ज्ञात कीजिए, और उन्हें $4$ के उस विभाजन के अनुसार क्रमबद्ध कीजिए जिसे वे साकार करते हैं। (ख) समान अभिलक्षणिक *और* न्यूनतम बहुपद वाले दो ऐसे $4\times4$ सम्मिश्र आव्यूह प्रस्तुत कीजिए जो समरूप न हों, और सिद्ध कीजिए कि $n \leq 3$ के लिए ऐसा नहीं हो सकता।

**हल — अभ्यास 3.8.**

(क) किसी शून्यभावी $u$ के लिए $\mu_u = X^k$; प्रारंभिक-भाजक $X^{k_1} \geq \dots$ हैं, अर्थात् $4$ के किसी विभाजन के प्रत्येक भाग के लिए एक जॉर्डन खंड $J_{k_i}(0)$:

| विभाजन | [जॉर्डन रूप](#thm-b3-modules-jordan) | [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) |
| --- | --- | --- |
| $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ |
| $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ |
| $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ |
| $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ |
| $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ |

(ख) $u = J_2\oplus J_2$ और $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ लीजिए: दोनों के $\chi = X^4$, $\mu = X^2$ समान हैं, पर [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) भिन्न — अतः समरूप नहीं ([प्रमेय 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); कोटियों की तुलना भी की जा सकती है: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 =
\operatorname{rk} v$। $n \leq 3$ के लिए: $\chi$ और $\mu$ प्रत्येक अभिलक्षणिक मान $\lambda$ (किसी विभाजन क्षेत्र पर) के लिए $\lambda$-खंडों का कुल आकार $m_\lambda \leq 3$ और सबसे बड़ा खंड $r_\lambda$ निर्धारित कर देते हैं; और $m \leq 3$ का कोई विभाजन अपने सबसे बड़े भाग से निर्धारित हो जाता है ($m = 3, r = 2$ से $(2,1)$ अनिवार्य है, इत्यादि)। अतः प्रारंभिक-भाजक मेल खाते हैं, और [उपप्रमेय 3.17](#cor-b3-modules-descent) समरूपता को आधार क्षेत्र तक उतार देती है।

**अभ्यास 3.9 ★★★.**

मान लीजिए $u \in \mathcal L(V)$, $\dim V = n$। दर्शाइए कि निम्नलिखित समतुल्य हैं: (क) $V$ एक चक्रीय $K[X]$-मॉड्यूल है (ऐसा $x$ है जिसके लिए $V = K[u]x$ हो — एक *चक्रीय सदिश*); (ख) $\mu_u = \chi_u$; (ग) [प्रमेय 3.16](#thm-b3-modules-frobenius) में $s = 1$। इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी [सहचर आव्यूह](#def-b3-modules-companion) का चक्रीय सदिश होता है, और निर्धारित कीजिए कि किसी विकर्ण आव्यूह का कब होता है।

**हल — अभ्यास 3.9.**

(क)$\Rightarrow$(ख): यदि $V = K[u]x$ हो, तो $V \cong
K[X]/\operatorname{Ann}(x)$, और $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (कोई बहुपद $x$ को नष्ट करता है तभी और केवल तभी जब वह समूचे $V = K[u]x$ को नष्ट करे, क्योंकि $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$)। अतः $n = \dim V = \deg \mu_u$; और चूँकि $\mu_u \mid \chi_u$ तथा $\deg\chi_u = n$, मोनिकता से $\mu_u =
\chi_u$।

(ख)$\Rightarrow$(ग): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ और $\mu_u = P_s$ ([प्रमेय 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); और घातों की बराबरी से $s = 1$ अनिवार्य है।

(ग)$\Rightarrow$(क): $V \cong K[X]/(P_1)$ चक्रीय है, जो $\bar 1$ के पूर्व-प्रतिबिंब से जनित है।

कोई [सहचर आव्यूह](#def-b3-modules-companion) स्वयं स्थिति $V = K[X]/(P)$ है: $x = \bar
1$, अर्थात् $e_1$, चक्रीय है। किसी विकर्ण आव्यूह $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ के लिए: $\chi = \prod
(X - \lambda_i)$, $\mu = \prod_{\lambda \text{ भिन्न}} (X -
\lambda)$; और वे सहमत हैं तभी और केवल तभी जब $\lambda_i$ युग्मशः भिन्न हों: अर्थात् किसी विकर्ण आव्यूह का कोई चक्रीय सदिश होता है तभी और केवल तभी जब उसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ युग्मशः भिन्न हों (तब $x = (1, \dots, 1)$ काम करता है: वांडरमोंड)।

**अभ्यास 3.10 ★★★.**

$\Z^n$ की अंतःसमाकारिता के रूप में देखे गए $M \in M_n(\Z)$ के लिए सूचकांक सूत्र सिद्ध कीजिए: यदि $\det M \ne 0$ हो, तो $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $M \in GL_n(\Z)$ तभी और केवल तभी जब $\det M = \pm 1$। अनुप्रयोग: समूह $\Z^2$ के सूचकांक $m$ के ठीक $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ उपसमूह हैं। *(एर्मीत रूप $\bigl(\begin{smallmatrix}
a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$, $ad = m$, $0 \leq b <
d$ के आव्यूह गिनिए।)*

**हल — अभ्यास 3.10.**

स्मिथ: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$; [अभ्यास 3.4](#exo-b3-modules-4) से $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} =
\abs{\det M}$ मिलता है। यदि $\det M = \pm 1$ हो: तो सहगुणक सूत्र $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं, अतः $M \in GL_n(\Z)$; और विलोमतः $MM^{-1} = I$ से $\Z$ में $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ मिलता है, अतः $\det M = \pm1$।

$\Z^2$ में सूचकांक $m$ के उपसमूह: ऐसे उपसमूह $L$ की कोटि $2$ है (परिमित सूचकांक) और *एर्मीत प्रसामान्य रूप* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 &
d\end{smallmatrix}\bigr)$ में उसका अद्वितीय आधार होता है: $d$ $L \cap (\{0\}
\times \Z) = \{0\} \times d\Z$ से और $a$ $\pi_1(L) = a\Z$ से अभिलक्षित होता है (प्रथम निर्देशांक), और तब $b$ $d$ के मापांक में अद्वितीय है; $a, d
> 0$ और $0 \leq b < d$ मानकीकृत कीजिए। सूचकांक $ad = m$ है। गणना: प्रत्येक विभाजक $d \mid m$ ($a = m/d$) के लिए $b$ के $d$ चयन हैं: कुल $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$।

**अभ्यास 3.11 ★★.**

(आबेली समूहों में समीकरण $x^k = e$) मान लीजिए $G$ एक परिमित आबेली समूह है जिसके [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) $d_1 \mid d_2 \mid \dots
\mid d_s$ हैं। (क) दर्शाइए कि प्रत्येक $k \geq 1$ के लिए

$$
\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .
$$

(ख) निष्कर्ष निकालिए: कोई परिमित आबेली समूह चक्रीय है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक $k$ के लिए समीकरण $x^k = e$ के अधिकतम $k$ हल हों। (ग) $K^\times$ ($K$ एक क्षेत्र, [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois)) के परिमित उपसमूहों की चक्रीयता पुनः प्राप्त कीजिए: बहुपद $X^k - 1$ (ख) की कसौटी की गारंटी क्यों देता है?

**हल — अभ्यास 3.11.**

(क) संरचना प्रमेय से $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$, और $x^k = e$ निर्देशांकशः अलग हो जाता है। $\Z/d\Z$ में: $kx \equiv 0
\pmod d$ के ठीक $\gcd(k, d)$ हल हैं ($x$ को $d/\gcd(k,d)$ का गुणज होना चाहिए, और ऐसे $\gcd(k, d)$ हैं)। गुणनखंडों पर गुणा कीजिए।

(ख) यदि $G = \Z/d_s\Z$ चक्रीय हो ($s = 1$), तो गणना $\gcd(k, d_s) \leq k$ है। यदि $s \geq 2$ हो: $k = d_1$ लीजिए; गणना $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ है (विभाज्यता शृंखला से प्रत्येक $\gcd$ $d_1$ के बराबर है): अर्थात् समीकरण $x^{d_1} = e$ के $d_1$ से अधिक हल हैं।

(ग) किसी क्षेत्र में $X^k - 1$ के अधिक से अधिक $k$ मूल होते हैं ([अध्याय 2](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#ch-b3-rings): किसी प्रांत पर घात $k$ का शून्येतर बहुपद), अतः प्रत्येक परिमित उपसमूह $G \leq K^\times$ (ख) की कसौटी संतुष्ट करता है: इसलिए $G$ चक्रीय है — यही $\mathbb F_q^\times$ की चक्रीयता की एक-पंक्ति वाली संरचनात्मक उपपत्ति है, जो [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois) की गणना-आधारित उपपत्ति की पूरक है।

**अभ्यास 3.12 ★★★.**

(प्रारंभिक आव्यूह जनक हैं) (क) दर्शाइए कि $M \in M_n(\Z)$ $M_n(\Z)$ में व्युत्क्रमणीय है तभी और केवल तभी जब $\det M = \pm1$। (ख) दर्शाइए कि $SL_2(\Z)$ दो प्रारंभिक आव्यूहों $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$ और $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$ से जनित है। *($E, F$ की घातों से बाएँ गुणन द्वारा $M
\in SL_2(\Z)$ के पहले स्तंभ पर यूक्लिडीय कलनविधि चलाइए और $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$ तक पहुँचिए; शेष हाथ से पूरा कीजिए — ध्यान दीजिए कि $-I = (EF^{-1}E)^2$।)* (ग) स्मिथ अपचयन से संबंध समझाइए: $\Z$ पर सारणिक $1$ वाली पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ चिह्नों तक विकर्णन के लिए पर्याप्त हैं।

**हल — अभ्यास 3.12.**

(क) यदि पूर्णांक $N$ के साथ $MN = I$ हो: तो $\det M\det N = 1$, जिसमें दोनों पूर्णांक हैं, अतः $\det M = \pm1$। विलोमतः यदि $\det M =
\pm1$ हो, तो सहगुणक सूत्र $M^{-1} =
\frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं।

(ख) $E^{-k}$ से बायाँ गुणन पंक्ति $1$ में से पंक्ति $2$ का $k$ गुना घटा देता है; और $F^{-k}$ से पंक्ति $2$ में से पंक्ति $1$ का $k$ गुना। $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c &
*\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ दिया हो, तो प्रथम स्तंभ $(a, c)$ कोई एकमापांकी सदिश है ($\gcd(a, c) = 1$: वह $\det M = 1$ को विभाजित करता है)। इन्हीं पंक्ति संक्रियाओं से $(a, c)$ पर यूक्लिड चलाइए: परिमित संख्या के चरणों के बाद स्तंभ $(\pm1, 0)$ बन जाता है। अब आव्यूह $\pm
\bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix}
\bigr) = \pm E^{b}$ है (सारणिक $1$ ही रहा)। शेष यह लिखना है कि जनकों में $-I$ कैसा है: $(EF^{-1}E)^2 =
\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (घूर्णन आव्यूह का वर्ग जाँचिए)। पीछे लौटने पर $M$ $E^{\pm1},
F^{\pm1}$ में कोई शब्द है।

(ग) स्मिथ कलनविधि ([विधि 3.9](#met-b3-modules-smith)) ठीक ऐसी ही पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं का उपयोग करती है (साथ में अदला-बदलियाँ और चिह्न परिवर्तन, जो स्वयं सारणिक के चिह्न तक प्रारंभिक संक्रियाओं के गुणनफल हैं): $\Z$ पर प्रत्येक आव्यूह $U\,D\,V$ है, जहाँ $U, V$ प्रारंभिक आव्यूहों के गुणनफल हैं और $D$ स्मिथ रूप — और (ख) इस व्यापक तथ्य की $2\times2$, सारणिक-$1$ वाली स्थिति है कि $E$-प्रकार के आव्यूह $SL_n(\Z)$ को जनित करते हैं।

## 3.6 समस्या: क्रमविनिमेयी और द्विक क्रमविनिमेयी

**समस्या 3.1.**

सप्ताहांत समस्या — परिमेय रूप, क्रमविनिमेयी, द्विक क्रमविनिमेयी

मान लीजिए $K$ एक क्षेत्र है, $V$ विमा $n \geq
1$ की एक $K$-सदिश समष्टि, और $u \in \mathcal L(V)$। हम *क्रमविनिमेयी*

$$
\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},
$$

का अध्ययन करते हैं, जो $K[u] = \{P(u) : P \in
K[X]\}$ को अंतर्विष्ट करने वाला $\mathcal L(V)$ का उपबीजगणित है, और फ्रोबेनियस का विमा सूत्र तथा द्विक क्रमविनिमेयी प्रमेय सिद्ध करते हैं: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$। सर्वत्र $V$ $u$ द्वारा परिभाषित $K[X]$-मॉड्यूल है, जिसके [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ हैं और जिसका चक्रीय विघटन $V =
\bigoplus_{i=1}^s V_i$, $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$, $n_i
= \deg P_i$ ([प्रमेय 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)) है।

**भाग I — प्रस्तुति आव्यूह $XI - M$, और प्रारंभिक अभ्यास।**

1. मान लीजिए $M \in M_n(K)$ है और $\varphi \colon K[X]^n \to V_M  = K^n$ $(Q_1, \dots, Q_n)$ को $\sum_i Q_i(M)e_i$ पर भेजता है। दर्शाइए कि $\varphi$ $K[X]$ -मॉड्यूलों की आच्छादक समाकारिता है और $XI_n - M$ का प्रत्येक स्तंभ $\ker\varphi$ में है।
2. दर्शाइए कि $XI_n - M$ के स्तंभों के सापेक्ष $K[X]^n$ का प्रत्येक अवयव किसी अचर सदिश के सर्वांगसम है *($Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ का उपयोग करके घातें घटाइए)* , और इससे $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ निष्कर्ष निकालिए: [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) $V_M$ का प्रस्तुति आव्यूह $XI_n - M$ है। [उपप्रमेय 3.17](#cor-b3-modules-descent) का प्रस्थान बिंदु पुनः प्राप्त कीजिए: $M$ के [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) $XI_n - M$ के अनैकिक [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) हैं।
3. इनके [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) परिकलित कीजिए: अदिश आव्यूह $\lambda I_n$ ; भिन्न-भिन्न विकर्ण प्रविष्टियों वाला विकर्ण आव्यूह; $n \times n$ जॉर्डन खंड $J_n(0)$ ; और $n = 3$ के लिए $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ ।
4. दर्शाइए कि $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ ।

**भाग II — चक्रीय मॉड्यूलों के बीच समाकारिताएँ।**

5. मान लीजिए $P, Q$ मोनिक अनचर हैं। दर्शाइए कि कोई $K[X]$ -समाकारिता $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ $f(\bar 1)$ से निर्धारित हो जाती है, और यह कि $\bar c \in K[X]/(Q)$ $f(\bar 1)$ का काम कर सकता है तभी और केवल तभी जब $K[X]/(Q)$ में $P\bar c = 0$ ।
6. इससे निष्कर्ष निकालिए $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr)  \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ जिसकी $K$ पर विमा $\deg \gcd(P, Q)$ है। *(दर्शाइए कि $K[X]/(Q)$ में $P\bar c = 0$ के हल $\bar c$ $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ से जनित चक्रीय उपमॉड्यूल बनाते हैं।)*
7. *फ्रोबेनियस का सूत्र* सिद्ध कीजिए: $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i,  P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(क्रमविनिमेय करने वाला $v$ ठीक $V$ की $K[X]$-अंतःसमाकारिता है; $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ को समाकारिताओं $V_j \to V_i$ के आव्यूहों के रूप में विघटित कीजिए और विभाज्यता शृंखला का उपयोग कीजिए।)*
8. $\dim \mathcal C(u) \geq n$ निष्कर्ष निकालिए, जिसमें समता तभी और केवल तभी होती है जब $u$ चक्रीय हो ( $s = 1$ ), और $u = \lambda\,\mathrm{id}$ के लिए $\dim\mathcal C(u)$ परिकलित कीजिए: सूत्र के दोनों छोर।
9. $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ के लिए क्रमविनिमेयी को $3\times3$ आव्यूहों के रूप में स्पष्ट परिकलित करके फ्रोबेनियस का सूत्र सीधे सत्यापित कीजिए।

**भाग III — द्विक क्रमविनिमेयी प्रमेय।** मान लीजिए $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$; हम $w \in K[u]$ सिद्ध करते हैं।

10. दर्शाइए कि $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , और यह कि प्रत्येक $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है — अतः जो अंतर्वेशन सिद्ध करना है, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , वह $w \in \mathcal C(u)$ का सच्चा परिष्कार है।
11. पहले मान लीजिए $u$ *चक्रीय* है, $V = K[u]x$ । सीधे दर्शाइए कि $\mathcal C(u) = K[u]$ *(क्रमविनिमेय करने वाले $v$ का $x$ पर मान लीजिए: किसी $P$ के लिए $v(x) = P(u)x$, और आधार $u^k x$ पर $v$ की $P(u)$ से तुलना कीजिए)* , और इस स्थिति में प्रमेय का निष्कर्ष निकालिए।
12. अब व्यापक स्थिति पर लौटिए। प्रत्येक $i$ के लिए मान लीजिए $\pi_i\colon  V \to V_i$ अन्य योज्यांशों के अनुदिश प्रक्षेप है। दर्शाइए कि $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $w$ प्रत्येक $V_i$ को सुरक्षित रखता है और $u_i =  u\restriction_{V_i}$ के साथ क्रमविनिमेय है; अब चक्रीय $u_i$ पर प्रश्न 11 लगाकर निष्कर्ष निकालिए: ऐसे बहुपद $Q_i$ हैं जिनके लिए $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ ।
13. अब $Q_i$ को एक ही बहुपद में जोड़ना शेष है। $i  \leq j$ (अतः $P_i \mid P_j$ ) के लिए दर्शाइए कि $\eta_{ij} \colon  V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , एक सुपरिभाषित $K[X]$ -समाकारिता है *(जाँचने योग्य बात यह है कि $R(u)x_j = 0$ से $R(u)x_i = 0$ निकलता है)* , और यह कि $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , जिसे अन्य योज्यांशों पर $0$ से विस्तारित किया गया हो, $\mathcal C(u)$ में है।
14. $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ का उपयोग करके $i \leq j$ के लिए $Q_i  \equiv Q_j \pmod{P_i}$ दर्शाइए। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $Q =  Q_s$ सभी $i$ के लिए $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ को संतुष्ट करता है, अतः प्रत्येक $V_i$ पर $w = Q(u)$, और इसलिए $V$ पर भी: $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$
15. (समापन) प्रमेय से निष्कर्ष निकालिए: यदि $v$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय *प्रत्येक* आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय हो और $u$ चक्रीय हो, तो $v$ $u$ का एक बहुपद है; और ऐसा उदाहरण दीजिए जो दर्शाए कि $u =  \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ के लिए $\mathcal C(u) = K[u]$ विफल हो जाता है — चक्रीयता ठीक कहाँ प्रवेश करती है?

**भाग IV — समरूपता अपरिवर्तियों का लाभांश।** परिमेय विहित रूप एक यंत्र है; यहाँ उसके पाँच शास्त्रीय उत्पाद हैं।

16. (परिवर्त) दर्शाइए कि प्रत्येक $M \in M_n(K)$ अपने परिवर्त ${}^tM$ के समरूप है। *($XI - M$ को स्मिथ रूप में लाने वाली संक्रियाएँ, परिवर्त लेने पर, $XI - {}^tM$ को उसी स्मिथ रूप में ले आती हैं: अपरिवर्ती समान।)*
17. (समरूपता का अवरोहण) मान लीजिए $K \subseteq L$ एक क्षेत्र विस्तार है और $M, N \in M_n(K)$ । दर्शाइए कि यदि $M$ और $N$ $L$ पर समरूप हों, तो वे $K$ पर भी समरूप हैं। *($K[X]$ में परिकलित $XI - M$ का स्मिथ रूप $L[X]$ में भी स्मिथ रूप रहता है — [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) क्यों नहीं बदलते?)* याद रखने योग्य परिणाम: $GL_n(\C)$ में संयुग्म दो वास्तविक आव्यूह $GL_n(\R)$ में भी संयुग्म होते हैं।
18. (शून्यभावी वर्गीकरण) मान लीजिए $u$ शून्यभावी है। दर्शाइए कि शून्यभावी जॉर्डन खंडों में उसके विघटन में आकार $\geq k$ के खंडों की संख्या $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ के बराबर है, और निष्कर्ष निकालिए: किसी भी क्षेत्र $K$ के लिए $M_n(K)$ के शून्यभावी वर्ग $n$ के विभाजनों के साथ एकैकी आच्छादक संगति में हैं। $M_5(K)$ में कितने शून्यभावी वर्ग हैं?
19. (एक मूर्त युग्म) घात $< n$ के बहुपदों की समष्टि $K_{n-1}[X]$ पर क्रिया करने वाले अवकलन संकारक $D\colon P \mapsto P'$ के [समरूपता अपरिवर्ती](#thm-b3-modules-frobenius) ज्ञात कीजिए: (क) $K =  \Q$ के लिए; (ख) $p < n$ के साथ $K = \mathbb F_p$ के लिए *(अभिलक्षण $p$ में $(X^p)' = 0$: $\ker D^k$ परिकलित कीजिए और प्रश्न 18 का उपयोग कीजिए)* ।
20. ( $GL_2(\mathbb F_q)$ के [संयुग्मन वर्ग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) ) अपरिवर्ती गुणनखंडों का उपयोग करके दर्शाइए कि $GL_2(\mathbb F_q)$ का प्रत्येक वर्ग ठीक चार प्रकारों में से एक का है: केंद्रीय $aI$ ; $\mathbb F_q^\times$ में भिन्न-भिन्न अभिलक्षणिक मानों $a \neq b$ वाला विकर्णनीय; न्यूनतम बहुपद $(X - a)^2$ वाला अनर्धसरल; और [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) अभिलक्षणिक बहुपद वाला चक्रीय।
21. प्रत्येक प्रकार के वर्ग गिनिए और निष्कर्ष निकालिए: $GL_2(\mathbb F_q)$ के ठीक $q^2 - 1$ [संयुग्मन वर्ग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) हैं। *($\mathbb F_q$ पर मोनिक [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) द्विघात गिनिए; अक्रमित युग्म $\{a, b\}$; और स्मरण रखिए कि व्युत्क्रमणीयता अचर पदों को सीमित करती है।)*
22. (चक्रीय होना प्ररूपी है) दर्शाइए कि $M \in M_2(\mathbb F_q)$ चक्रीय होने में विफल होता है तभी और केवल तभी जब $M$ अदिश हो, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\mathbb F_q$ पर एकसमान यादृच्छिक $2\times2$ आव्यूह $1 - q^{-3}$ प्रायिकता से चक्रीय है। $M_n$ और बड़े $q$ के लिए समरूप अनुमान का कथन दीजिए (उपपत्ति अपेक्षित नहीं): अचक्रीय आव्यूह विरल होते हैं — यही कारण है कि [समस्या 3.1](#pb-b3-modules-1) के भाग III में केवल प्ररूपी स्थिति के आगे ही वास्तविक परिश्रम करना पड़ा।

**भाग V — पूरक।**

23. (क्रमविनिमेयी का [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) ) दर्शाइए कि बीजगणित $\mathcal C(u)$ का [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) ठीक $K[u]$ है *(भाग III के दोनों अंतर्वेशनों को मिलाइए)* । इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal C(u)$ क्रमविनिमेय है तभी और केवल तभी जब $u$ चक्रीय हो — इस प्रकार प्रश्न 8 की समता स्थिति विशुद्ध संरचनात्मक मार्ग से पुनः प्राप्त हो जाती है।
24. (कौन-सी विमाएँ आती हैं?) फ्रोबेनियस के सूत्र से निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $u$ के लिए $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ । फिर $\dim V = 4$ वाले $\mathcal L(V)$ में $u$ के विचरण पर $\dim \mathcal C(u)$ द्वारा लिए गए मानों का ठीक-ठीक समुच्चय निर्धारित कीजिए: दर्शाइए कि वह $\{4, 6,  8, 10, 16\}$ है *($4$ में योग देने वाले घात अनुक्रम $n_1  \leq \dots \leq n_s$ गिनिए और प्रत्येक को किसी शून्यभावी आव्यूह से साकार कीजिए)* । विशेष रूप से $12$ और $14$ , यद्यपि सही सम-विषमता के हैं, प्राप्त नहीं होते: सम-विषमता की बाधा आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं।
25. ($GL_2(\mathbb F_3)$ का [वर्ग समीकरण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#cor-b3-groups-classeq)) $q = 3$ के लिए प्रश्न 20 के प्रत्येक [संयुग्मन वर्ग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) का आकार कक्षा–स्थायीकारी से परिकलित कीजिए: $GL_2(\mathbb F_q)$ में किसी *चक्रीय* $M$ का [केंद्रक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) $K[M]$ का इकाई समूह है (प्रश्न 11)। तीनों अकेंद्रीय प्रकारों में $K[M]$ की पहचान कीजिए, $\mathbb F_3$ पर तीनों मोनिक [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) द्विघात सूचीबद्ध कीजिए, और [वर्ग समीकरण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#cor-b3-groups-classeq) $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)}  = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ को $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ वर्गों के साथ सत्यापित कीजिए, जैसा प्रश्न 21 ने बताया था।

**हल — समस्या 3.1.**

**1.** $\varphi$ योगात्मक है, और $K[X]$-रैखिक भी: $\varphi(X
\cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X
\cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$, जहाँ $V_M$ की [मॉड्यूल](#def-b3-modules-module) संरचना $X \cdot v = Mv$ है। वह आच्छादक है: अचर सदिश समूचा $K^n$ दे देते हैं। $XI - M$ का स्तंभ $j$ $Xe_j - \sum_i
m_{ij}e_i$ है, जिसका प्रतिबिंब $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ है।

**2.** स्तंभों के मापांक में $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$: बहुपदों का कोई भी सदिश, शीर्ष घात पर आगमन से, किसी *अचर* सदिश $c \in K^n$ तक सिमट जाता है। यदि मूल सदिश $\ker\varphi$ में हो, तो $\varphi(c) = c = 0$ (अचरों पर $\varphi$ अभिन्नन $K^n = V_M$ है), अतः सदिश स्तंभ-विस्तार में है: इसलिए $\ker\varphi = (XI_n -
M)K[X]^n$। अतः $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$, और $K[X]$ पर स्मिथ (सभी [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) शून्येतर, क्योंकि उनका गुणनफल $\det(XI - M) = \chi_M$ है) $V_M \cong \bigoplus_i
K[X]/(f_i)$ दे देता है: अनचर $f_i$ ही समरूपता निश्चर हैं, जो उपसारणिकों के महत्तम समापवर्तकों के भागफलों के रूप में परिकलनीय हैं ([प्रमेय 3.8](#thm-b3-modules-smith))।

**3.** $\lambda I_n$: $XI - \lambda I$ पहले से ही स्मिथ है: निश्चर $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$, जिनकी संख्या $n$ है। भिन्न विकर्ण प्रविष्टियाँ: युग्मशः सहमहत्तम मापांकों के साथ $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X -
\lambda_i)$, अतः चीनी शेषफल प्रमेय इसे एकल चक्रीय $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ में संपीड़ित कर देती है: एक निश्चर, $\chi$। $J_n(0)$: $\mu = X^n = \chi$ से एकल निश्चर $X^n$ अनिवार्य है। $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$: प्रारंभिक-भाजक $X^2, X$: निश्चर $P_1 = X \mid P_2 =
X^2$।

**4.** $P \mapsto P(u)$ $K[X]$ को $K[u]$ पर भेजता है, और न्यूनतम बहुपद की परिभाषा से उसकी अष्टि $(\mu_u)$ है: $K[u]
\cong K[X]/(\mu_u)$, जिसकी विमा $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ है।

**5.** $K[X]$-रैखिकता से $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1)
= Q\,f(\bar 1)$ अनिवार्य है। वर्ग $\bar 1$ $P \bar 1 = 0$ संतुष्ट करता है, अतः $P f(\bar 1) = 0$ आवश्यक है। विलोमतः यदि $P\bar c = 0$ हो, तो $f(\bar Q) = Q\bar c$ सुपरिभाषित ($Q \equiv Q' \bmod P
\Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ $P\bar c = 0$ के गुणज) और $K[X]$-रैखिक है।

**6.** मान लीजिए $\gcd(P', Q') = 1$ के साथ $g = \gcd(P, Q)$, $P = gP'$, $Q = gQ'$। $K[X]/(Q)$ में: $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc
\iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (यूक्लिड, $\gcd(P', Q') = 1$)। अतः स्वीकार्य $\bar c$ $\bar{Q'}$ से जनित उपमॉड्यूल बनाते हैं, जिसका विनाशक $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ है: वह उपमॉड्यूल $\cong K[X]/(g)$ है। प्रश्न 5 के साथ $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$, जिसकी विमा $\deg\gcd(P,Q)$ है।

**7.** $v$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है तभी और केवल तभी जब $v$ प्रत्येक $P(u)$ के साथ क्रमविनिमेय हो, और तभी जब $v$ $K[X]$-रैखिक हो: $\mathcal C(u) =
\operatorname{End}_{K[X]}(V)$। $V =
\bigoplus_j V_j$ की समाकारिताओं को आव्यूह $(f_{ij})$, $f_{ij} \in
\operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ के रूप में लिखने पर (अंतःक्षेपणों और प्रक्षेपों के साथ संयोजित कीजिए), प्रश्न 6 विभाज्यता शृंखला ($\gcd(P_i, P_j) =
P_{\min(i,j)}$) का उपयोग करते हुए, और अंतिम चरण के लिए इसका कि $\min(i,j) = k$ ठीक $2(s - k) + 1$ युग्मों $(i, j)$ के लिए होता है,

$$
\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j)
= \sum_{i,j} n_{\min(i,j)}
= \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,
$$

दे देता है।

**8.** चूँकि $2(s-k)+1 \geq 1$, अतः $\dim\mathcal C(u) \geq
\sum_k n_k = n$, और बराबरी तभी और केवल तभी जब $s = 1$, अर्थात् तभी जब $u$ चक्रीय हो ([अभ्यास 3.9](#exo-b3-modules-9))। $u = \lambda\,\mathrm{id}$ के लिए: $s = n$, सभी $n_k = 1$: अतः $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — जो सही है, क्योंकि $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal
L(V)$।

**9.** सूत्र: निश्चर $(X, X^2)$, अतः $s = 2$, $n_1 =
1$, $n_2 = 2$: इसलिए $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$। सीधे: $u e_2 = e_1$, $ue_1 = ue_3 = 0$ वाले आधार $(e_1, e_2, e_3)$ में, $A = (a_{ij})$ के लिए $Au = uA$ लिखने पर शर्तें $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ और $a_{11} = a_{22}$ मिलती हैं: अर्थात् पाँच स्वतंत्र प्राचल $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$।

**10.** कोई बहुपद $P(u)$ हर उस चीज़ के साथ क्रमविनिमेय है जो $u$ के साथ क्रमविनिमेय है (वह $u$ की घातों का योग है): $K[u]
\subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$। और $u \in \mathcal C(u)$, अतः कोई भी $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है।

**11.** मान लीजिए $V = K[u]x$ और $v \in \mathcal C(u)$। $v(x) = P(u)x$ लिखिए (चक्रीयता)। स्वेच्छ $y = Q(u)x$ के लिए: $v(y) =
vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$। अतः $v = P(u)$: इसलिए $\mathcal
C(u) = K[u]$। तब $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal
C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (समूचे $K[u]$ के साथ क्रमविनिमेय होना $u$ के साथ क्रमविनिमेय होने के ही समान है)। अतः चक्रीय स्थिति में प्रमेय लागू है।

**12.** $\pi_i$ $K[X]$-रैखिक है (विघटन उपमॉड्यूलों का प्रत्यक्ष योग है), अतः $\pi_i \in \mathcal C(u)$, और $w$ उसके साथ क्रमविनिमेय है: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq
V_i$। प्रतिबंध $w_i = w\restriction_{V_i}$ चक्रीय $u_i = u\restriction_{V_i}$ के साथ क्रमविनिमेय है (प्रश्न 10), और $w_i
\in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (प्रश्न 11): अतः किसी $Q_i \in K[X]$ के लिए $w_i = Q_i(u_i) =
Q_i(u)\restriction_{V_i}$।

**13.** $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ की सुपरिभाषितता: यदि $R(u)x_j = 0$ हो, तो $P_j \mid R$, और $P_i \mid P_j$ से $P_i \mid R$ मिलता है, अतः $R(u)x_i = 0$ ($\operatorname{Ann}(x_i) =
(P_i)$)। तब $\eta_{ij}$ रचना से $K[X]$-रैखिक है, और $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ $K[X]$-समाकारिताओं $V \to V$ का संयोजन है: $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal
C(u)$।

**14.** $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ का $x_j$ पर मान लीजिए: बायाँ पक्ष $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ है; दायाँ पक्ष $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$। अतः $(Q_i -
Q_j)(u)\,x_i = 0$: सभी $i \leq j$ के लिए $P_i \mid Q_i - Q_j$। विशेष रूप से $Q = Q_s$ के साथ: $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$, अतः $Q(u)$ और $Q_i(u)$ $V_i$ पर सहमत हैं (जिसे $P_i(u)$ नष्ट कर देता है)। इसलिए प्रत्येक $V_i$ पर, अतः $V$ पर, $w
= Q(u)$: इसलिए $\mathcal C(\mathcal C(u))
\subseteq K[u]$, और प्रश्न 10 के साथ $\mathcal C(\mathcal
C(u)) = K[u]$।

**15.** पहला दावा प्रश्न 10 से 14 तक है (अथवा चक्रीय $u$ के लिए अकेला प्रश्न 11)। $u = \mathrm{id}$, $n \geq
2$ के लिए: $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ की विमा $n^2$ है, जबकि $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$। अतः $\mathcal C(u) = K[u]$ बुरी तरह विफल हो जाता है; फिर भी द्वि-क्रमविनिमेयी प्रमेय लागू रहती है ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$: आव्यूह बीजगणित का [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) अदिश हैं)। चक्रीयता वही है जो *एकल* क्रमविनिमेयी को पहले से ही बहुपदीय बना देती है; और *द्वि* क्रमविनिमेयी सदैव बहुपदीय होता है।

**16.** यदि $P(XI - M)Q = S$ कोई स्मिथ न्यूनीकरण हो ($P, Q$ $K[X]$ पर व्युत्क्रमणीय), तो पक्षांतरण करने पर ${}^tQ\,(XI -
{}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$: वही स्मिथ रूप, अतः $XI - M$ और $XI - {}^tM$ के [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) समान हैं, अर्थात् $M$ और ${}^tM$ के समरूपता निश्चर समान हैं ([उपप्रमेय 3.17](#cor-b3-modules-descent)): इसलिए वे समरूप हैं।

**17.** $L$ पर $M$ के समरूपता निश्चर $L[X]$ में $XI - M$ के [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) हैं। $K[X]$ पर $XI - M$ का कोई स्मिथ न्यूनीकरण — $K[X]$ पर व्युत्क्रमणीय $P, Q$, विभाज्यता शृंखला के साथ विकर्ण — $L[X]$ पर *भी* वैध स्मिथ न्यूनीकरण है ($P, Q$ व्युत्क्रमणीय बने रहते हैं: उनके सारणिक शून्येतर अचर हैं), और मोनिक [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) अद्वितीय होते हैं: अतः $K$ पर और $L$ पर परिकलित [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) मेल खाते हैं। इसलिए $M \sim_L N$ तभी और केवल तभी जब उनके [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) समान हों, और तभी जब $M \sim_K N$। विशेष रूप से $\C$-संयुग्म वास्तविक आव्यूह $\R$-संयुग्म होते हैं — यह कथन प्रायः विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया जाता है (किसी व्युत्क्रमणीय $P + \iu
Q$ का विशेषीकरण), और यहाँ संरचनात्मक रूप से।

**18.** $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ का शून्यभावी जॉर्डन खंडों में विघटन कीजिए। आकार $m$ के किसी एक खंड में $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$, अतः $m
\geq k$ होने पर $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$, और अन्यथा $0$। खंडों पर योग करने पर: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k =
\#\{t : m_t \geq k\}$। अतः कोटि अनुक्रम बहुसमुच्चय $(m_t)$ — जो $n$ का कोई विभाजन है — निर्धारित कर देता है; और विलोमतः प्रत्येक विभाजन साकार होता है: अर्थात् प्रत्येक क्षेत्र पर शून्यभावी वर्ग $\leftrightarrow$ $n$ के विभाजन। $M_5$: $p(5) = 7$ वर्ग ($5$; $4{+}1$; $3{+}2$; $3{+}1{+}1$; $2{+}2{+}1$; $2{+}1{+}1{+}1$; $1^5$)।

**19.** (क) $\Q$ पर (अथवा किसी भी अभिलक्षण-$0$ क्षेत्र पर) $D^n = 0$, $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$: अतः $D$ किसी $n$-विमीय समष्टि पर सूचकांक $n$ का शून्यभावी है, इसलिए एकल निश्चर $X^n$ के साथ चक्रीय ($x = X^{n-1}$ जनित करता है: उसके पुनरावृत्त अवकलज विस्तार बनाते हैं)। (ख) $p
< n$ के साथ $\mathbb F_p$ पर: $D^p = 0$, क्योंकि प्रत्येक एकपदी $X^m$ के $p$-वें अवकलज में गुणनखंड $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ आता है, जो $p$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है, अतः $\equiv 0 \bmod p$। $n = ap + r$, $0 \leq r < p$ लिखिए। तब $\ker D^k$ $D^kX^m = 0$ वाली एकपदियों $X^m$ से विस्तारित है; और घातांकों $m < n$ को $p$ मापांक में उनके अवशेष से गिनने पर: $0 \leq k \leq p$ के लिए $\dim\ker D^k = ak + \min(r,
k)$, अतः $\operatorname{rk}D^{k-1} -
\operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a +
\mathbf 1_{k \leq r}$। प्रश्न 18 से विभाजन में ठीक आकार $p$ के $a$ खंड हैं और (यदि $r > 0$) आकार $r$ का एक खंड: अर्थात् समरूपता निश्चर $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$। अभिलक्षण गणित के सबसे परिचित संकारक का विहित रूप बदल देता है।

**20.** $M \in GL_2$ के $s \in \{1, 2\}$ [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) हैं। यदि $s = 2$ हो: $P_1 = P_2 = X - a$ ($a \neq 0$: व्युत्क्रमणीयता), अर्थात् $M = aI$, केंद्रीय। यदि $s = 1$ हो: $M$ चक्रीय है जिसका अभिलक्षणिक $=$ न्यूनतम बहुपद $\chi$ घात $2$ का है, और वर्ग $\chi(0) \neq 0$ वाले संभव $\chi$ से मेल खाते हैं: $\chi$ भिन्न मूलों $a \neq
b$ के साथ विभाजित (सहचर $\sim$ विकर्ण); $\chi = (X - a)^2$ (सहचर, अर्ध-सरल नहीं); $\chi$ [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility)। प्रत्येक का ठीक एक प्रकार — अर्थात् [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) कोई पूर्ण निश्चर हैं।

**21.** केंद्रीय: $a$ के $q - 1$ चयन। भिन्न विभाजित अभिलक्षणिक मान: अक्रमित युग्म $\{a, b\} \subseteq
\mathbb F_q^\times$, $a \neq b$: $\binom{q-1}2$ वर्ग। न्यूनतम $(X-a)^2$: $q - 1$ वर्ग। शून्येतर अचर पद वाले [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) द्विघात: सभी [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) द्विघात योग्य हैं (उनके मूल शून्येतर होते हैं), और मोनिक [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) द्विघातों की संख्या $\frac{q^2 - q}2$ है ($q^2$ मोनिक द्विघातों में से $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ विभाजित घटाकर)। कुल:

$$
(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2
= q^2 - 1 .
$$

**22.** यदि $M$ चक्रीय न हो, तो $s = 2$ और $M$ अदिश है (प्रश्न 20 का द्विभाजन $M_2$ में लागू रहता है, चाहे व्युत्क्रमणीय हो या नहीं: $P_1 \mid P_2$ और $P_1 =
P_2$ के साथ घात $1$ के दो [अपरिवर्ती गुणनखंड](#thm-b3-modules-smith) $M = aI$ अनिवार्य कर देते हैं)। $q^4$ आव्यूहों में से अदिशों की संख्या $q$ है: अतः चक्रीयता की प्रायिकता $1 - q^{-3}$। व्यापक रूप से $M_n$ का अचक्रीय बिंदुपथ वहाँ है जहाँ $XI - M$ के $(n-1)\times(n-1)$ उपसारणिकों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो — जो एक उचित बीजीय शर्त है — अतः बड़े $q$ के लिए उसका अनुपात $O(1/q)$-लघु है: अर्थात् $\chi = \mu$ वाले आव्यूह नियम हैं, और भाग III का जोड़-तोड़ वाला तर्क अपवादों की चुकाई गई क़ीमत है।

**23.** $\mathcal C(u)$ के [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) का कोई अवयव $\mathcal C(u)$ में होता है और $\mathcal C(u)$ के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमविनिमेय होता है, अर्थात् $\mathcal C(\mathcal C(u)) =
K[u]$ में होता है (प्रश्न 14)। विलोमतः $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$, और प्रत्येक $P(u)$ प्रत्येक $v \in \mathcal C(u)$ के साथ क्रमविनिमेय है (ऐसा $v$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः $u$ की प्रत्येक घात के साथ भी): इसलिए $K[u]$ $\mathcal C(u)$ में केंद्रीय है। अतः $Z(\mathcal C(u))
= K[u]$। परिणामतः $\mathcal C(u)$ क्रमविनिमेय है तभी और केवल तभी जब $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$; उस स्थिति में $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$, जबकि प्रश्न 8 $\dim\mathcal C(u) \geq n$ देता है: अतः $n_s = n$ और $s = 1$, अर्थात् $u$ चक्रीय है। विलोमतः चक्रीय $u$ के लिए प्रश्न 11 $\mathcal C(u) = K[u]$ देता है, जो क्रमविनिमेय है। संरचनात्मक रूप से: अपने ही [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) के बराबर कोई आव्यूह बीजगणित ठीक किसी चक्रीय $u$ का बहुपद बीजगणित $K[u]$ ही है।

**24.** फ्रोबेनियस के सूत्र में प्रत्येक गुणांक $2s - 2i + 1$ विषम है, अतः

$$
\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i
\equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .
$$

$n = 4$ के लिए, अपरिवर्ती गुणनखंडों के संभव घात अनुक्रम $n_1 \leq \dots
\leq n_s$, जिनका योग $4$ है, ये हैं: $(4)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(1, 1, 2)$, $(1, 1, 1, 1)$; और हर एक साकार होता है, उदाहरणार्थ $P_i = X^{n_i}$ वाले शून्यभावी से (विभाज्यता शृंखला स्वतः लागू होती है)। सूत्र क्रमशः

$$
1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad
5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .
$$

देता है। अतः मान समुच्चय $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ है: सही सम-विषमता वाली सम संख्याएँ, पर $12$ और $14$ कभी नहीं आते — लगभग-चक्रीय अनुक्रमों और अदिश वाले $n^2$ के बीच एक अंतराल है।

**25.** $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) =
8 \cdot 6 = 48$। केंद्रीय प्रकार: $I$ और $2I$, आकार $1$ के दो वर्ग। शेष तीनों प्रकारों में $M$ चक्रीय है (प्रश्न 20), अतः $GL_2$ में उसका [केंद्रक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) $\mathcal C(M) = K[M]$ के व्युत्क्रमणीय अवयवों का समूह है (प्रश्न 11), और कक्षा–स्थायीकारी से वर्ग का आकार $=48/\abs{K[M]^\times}$। भिन्न विभाजित अभिलक्षणिक मान: केवल युग्म $\{1, 2\}$, एक वर्ग; $K[M]
\cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ ($\chi = (X-1)
(X-2)$ पर चीनी शेषफल प्रमेय), इकाइयाँ $2 \cdot 2 = 4$, आकार $48/4 = 12$। न्यूनतम $(X - a)^2$, $a \in \{1, 2\}$: दो वर्ग; $K[M] \cong
\mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$, इकाइयाँ $q^2 - q = 6$ (केंद्रीकरण के बाद इकाई $\neq 0$ का अचर पद), आकार $48/6 = 8$। [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) $\chi$: $\mathbb F_3$ पर मोनिक [अखंडनीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) द्विघातों की संख्या $(9 - 3)/2 = 3$ है, अर्थात्

$$
X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,
$$

($\mathbb F_3$ में कोई मूल नहीं: $0, 1, 2$ जाँचिए); तीन वर्ग, $K[M] \cong \mathbb F_9$, इकाइयाँ $q^2 - 1 = 8$, आकार $48/8 =
6$। [वर्ग समीकरण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#cor-b3-groups-classeq): $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 =
2 + 12 + 16 + 18 = 48$; और $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ वर्ग, जो प्रश्न 21 से मेल खाते हैं।