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title: "सामान्य संस्थिति"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology
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# अध्याय 6 — सामान्य संस्थिति

दूसरे वर्ष के खंड में विश्लेषण मापीय समष्टियों में हुआ था: दूरी, गोले, अनुक्रम। परंतु मूल धारणाएँ — [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity), संहतता, [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) — किसी दूरी के संख्यात्मक मान का कहीं उल्लेख नहीं करतीं, केवल उससे जनित *विवृत समुच्चयों* के कुल का करती हैं। यह अध्याय उसी कुल को आदिम वस्तु मान लेता है। लाभ केवल व्यापकता के लिए व्यापकता नहीं है: भागफल रचनाएँ ($\R/\Z$ के रूप में वृत्त, प्रक्षेपी समष्टियाँ), गुणन, और कार्यकीय विश्लेषण की दुर्बल-प्रकार की संस्थितियाँ मूलतः मापीय-पहले वस्तुएँ हैं ही नहीं। हम [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) को फिर से खड़ा करते हैं, फिर विवृत आवरणों से संहतता का विवेचन करते हैं (और सिद्ध करते हैं कि मापीय समष्टियों में वह दूसरे वर्ष की अनुक्रमीय परिभाषा के तुल्य है), और अंत में [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) — इस प्रमेय के साथ कि कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\R$ को $\R^2$ से एक नहीं कर सकता: [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) विमाओं में भेद कर सकती है।

## 6.1 संस्थितियाँ, विवृत समुच्चय, सांतत्य

**परिभाषा 6.1.**

किसी समुच्चय $X$ पर *संस्थिति* $X$ के उपसमुच्चयों का ऐसा कुल $\mathcal T$ है — जिनके अवयव *विवृत समुच्चय* कहलाते हैं — कि: $\varnothing, X \in
\mathcal T$; विवृत समुच्चयों का कोई भी सम्मिलन विवृत हो; और विवृत समुच्चयों का कोई भी *परिमित* प्रतिच्छेदन विवृत हो। युग्म $(X, \mathcal T)$ एक *संस्थितिक समष्टि* है। विवृत समुच्चयों के पूरक *संवृत* कहलाते हैं। $x$ का *प्रतिवेश* ऐसा समुच्चय है जो $x$ को अंतर्विष्ट करने वाले किसी विवृत समुच्चय को अंतर्विष्ट करता है।

**उदाहरण 6.2.**

(क) कोई मापीय समष्टि, जिसमें “विवृत” दूसरे वर्ष जैसा है (विवृत गोलों के सम्मिलन): यह *मापीय [संस्थिति](#def-b3-topology-topology)* है; भिन्न-भिन्न दूरियाँ एक ही [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) दे सकती हैं (तुल्य दूरियाँ)। जिस समष्टि की [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) किसी दूरी से आती हो वह *मापीयकरणीय* कहलाती है। (ख) *विविक्त* [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) (सभी उपसमुच्चय) और *अविविक्त* [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) $\{\varnothing, X\}$। (ग) किसी अनंत समुच्चय पर *सह-परिमित* [संस्थिति](#def-b3-topology-topology): विवृत $=$ रिक्त या सह-परिमित। यह मापीयकरणीय नहीं है, जैसा हम देखेंगे ([अभ्यास 6.3](#exo-b3-topology-3))। (घ) $\R$ पर सामान्य [संस्थिति](#def-b3-topology-topology); और $\bar\R = \R \cup
\{\pm\infty\}$ पर किरणों से जनित क्रम [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) — जिससे “$x_n \to +\infty$” साधारण अभिसरण का एक दृष्टांत बन जाता है।

**परिभाषा 6.3.**

$A \subseteq X$ के लिए: *अंतःभाग* $\mathring A$ $A$ के भीतर का सबसे बड़ा [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) है (उन सबका सम्मिलन); *संवृति* $\bar A$ $A$ को अंतर्विष्ट करने वाला सबसे छोटा संवृत समुच्चय; और *परिसीमा* $\partial A = \bar A
\setminus \mathring A$। $A$ *सघन* कहलाता है यदि $\bar A = X$ हो। $x \in \bar A$ तभी और केवल तभी होता है जब $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $A$ से मिलता हो (यदि कोई [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $A$ से चूक जाए, तो उसके विवृत अंतःभाग का पूरक $A$ के चारों ओर एक छोटा संवृत समुच्चय है; और विलोमतः भी)।

**परिभाषा 6.4.**

$\mathcal T$ का *आधार* ऐसा कुल $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ है कि प्रत्येक [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) $\mathcal B$ के सदस्यों का सम्मिलन हो (उदाहरणार्थ किसी मापीय समष्टि में विवृत गोले; $\R$ में विवृत अंतराल)। $X$ के उपसमुच्चयों का कोई कुल $\mathcal B$ *किसी* [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) का आधार है तभी और केवल तभी जब वह $X$ को आच्छादित करे और $B_1, B_2 \in \mathcal B$ तथा $x \in B_1 \cap B_2$ के लिए किसी $B_3 \in \mathcal B$ के लिए $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ हो — तब “सदस्यों के सम्मिलन” एक [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) बनाते हैं, अर्थात् $\mathcal B$ से *जनित* [संस्थिति](#def-b3-topology-topology)।

**परिभाषा 6.5.**

$f \colon X \to Y$ *संतत* कहलाता है यदि प्रत्येक विवृत $V \subseteq Y$ के लिए $f^{-1}(V)$ विवृत हो — समतुल्य रूप से, संवृत समुच्चयों के पूर्वप्रतिबिंब संवृत हों; समतुल्य रूप से, प्रत्येक $x$ और $f(x)$ के प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $V$ के लिए $f^{-1}(V)$ $x$ का [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) हो (प्रत्येक $x$ *पर* सांतत्य)। $Y$ के किसी [आधार](#def-b3-topology-basis) पर जाँच लेना पर्याप्त है। संतत प्रतिचित्रणों के संयोजन संतत होते हैं। *समस्थितिकता* ऐसा संतत एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है जिसका प्रतिलोम भी संतत हो; [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) उन्हीं गुणों का अध्ययन करती है जो समस्थितिकताओं से सुरक्षित रहते हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 6.6 (सांतत्य बनाम संवृति; जोड़ना).**

(क) $f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब सभी $A \subseteq X$ के लिए $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ हो। (ख) यदि $F_1, F_2$ संवृत के साथ $X = F_1 \cup F_2$ हो और $f\colon X
\to Y$ प्रत्येक $F_i$ पर संततता से प्रतिबंधित होता हो, तो $f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है।

**उपपत्ति.** (क) यदि $f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) हो: $f^{-1}(\overline{f(A)})$ संवृत है और $A$ को अंतर्विष्ट करता है, अतः $\bar A$ को भी। विलोमतः इस कसौटी को संवृत $F$ के साथ $A = f^{-1}(F)$ पर लगाइए: $f(\bar A) \subseteq
\overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$, अतः $\bar A
\subseteq f^{-1}(F) = A$: इस प्रकार संवृत समुच्चयों के पूर्वप्रतिबिंब संवृत हैं। (ख) संवृत $F \subseteq Y$ के लिए: $f^{-1}(F) =
(f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1}
(F)$, जो क्रमशः $F_1$ और $F_2$ में संवृत दो समुच्चयों का सम्मिलन है, अतः $X$ में संवृत ($F_i$ संवृत हैं: संवृत में संवृत संवृत होता है)। ∎

**परिभाषा 6.7.**

$X$ *हाउसडॉर्फ* (अथवा *पृथक्कृत*) कहलाता है यदि किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं के असंयुक्त [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) हों। मापीय समष्टियाँ हाउसडॉर्फ हैं (त्रिज्या $d(x,y)/2$ के गोले)। कोई अनुक्रम $(x_n)$ $x$ पर *अभिसरित* होता है यदि $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) परिमित संख्या के अतिरिक्त सभी $x_n$ को अंतर्विष्ट करे; हाउसडॉर्फ समष्टि में सीमाएँ अद्वितीय होती हैं (दो सीमाओं के असंयुक्त [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) होते, और प्रत्येक में एक पुच्छ होती)। हाउसडॉर्फ समष्टि में बिंदु — और इसलिए परिमित समुच्चय — संवृत होते हैं।

**टिप्पणी 6.8.**

मापीय समष्टियों में अनुक्रम सब कुछ पकड़ लेते हैं: $x \in \bar A$ तभी और केवल तभी जब $A$ का कोई अनुक्रम $x$ पर अभिसरित हो ($x_n \in A \cap
B(x, 1/n)$ लीजिए), और $f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब वह अनुक्रमीय रूप से [संतत](#def-b3-topology-continuity) हो। व्यापक समष्टियों में दोनों तुल्यताएँ विफल हो जाती हैं; अनुक्रमों के सही विकल्प (निस्यंदक, जाल) किसी उच्चतर पाठ्यक्रम की वस्तु हैं। हम अनुक्रम-आधारित परिणाम मापीय समष्टियों में कहेंगे और आवरण-आधारित परिणाम व्यापक रूप में — और जहाँ वे तुल्य हैं वहाँ तुल्यता सिद्ध करेंगे।

## 6.2 उपसमष्टि, गुणन, भागफल

**परिभाषा 6.9.**

पुरानी समष्टियों से नई बनाने के तीन तरीके:

1. *उपसमष्टि* : $A \subseteq X$ पर [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) $U \cap A$ हैं, जहाँ $U$ $X$ में विवृत है — अर्थात् अंतर्वेशन को [संतत](#def-b3-topology-continuity) बनाने वाली सबसे स्थूल [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) ।
2. *गुणन* : $X \times Y$ पर (और परिमित गुणनों पर) वह [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) जिसका [आधार](#def-b3-topology-basis) *विवृत बक्से* $U \times  V$ हैं; किसी अनंत गुणन $\prod_i X_i$ पर [आधार](#def-b3-topology-basis) में वे बक्से $\prod U_i$ हैं जिनमें *परिमित संख्या के अतिरिक्त सभी* $i$ के लिए $U_i = X_i$ हो — अर्थात् प्रत्येक प्रक्षेप को [संतत](#def-b3-topology-continuity) बनाने वाली सबसे स्थूल [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) ।
3. *भागफल* : यदि $\sim$ $X$ पर कोई तुल्यता हो और $\pi\colon X \to X/{\sim}$ प्रक्षेप, तो $V  \subseteq X/{\sim}$ को विवृत घोषित कीजिए तभी और केवल तभी जब $\pi^{-1}(V)$ विवृत हो — अर्थात् $\pi$ को [संतत](#def-b3-topology-continuity) बनाने वाली सबसे सूक्ष्म [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) ।

**प्रतिज्ञप्ति 6.10 (सार्वत्रिक गुण).**

(क) $f \colon Z \to X \times Y$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब दोनों घटक $\pi_X \circ f$, $\pi_Y \circ f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) हों (मनमाने गुणनों के लिए भी वही)। (ख) $g \colon X/{\sim} \to Z$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब $g \circ \pi
\colon X \to Z$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) हो।

**उपपत्ति.** (क) आवश्यकता: संयोजन। पर्याप्तता: केवल [आधार](#def-b3-topology-basis) बक्सों के पूर्वप्रतिबिंब जाँचना पर्याप्त है: $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U)
\cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$, जो विवृत है (अनंत स्थिति में परिमित संख्या के गुणनखंड $\neq X_i$)। (ख) आवश्यकता: संयोजन। पर्याप्तता: विवृत $W \subseteq Z$ के लिए $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ विवृत है, जिसका [भागफल संस्थिति](#def-b3-topology-constructions) की परिभाषा से अर्थ है कि $g^{-1}(W)$ विवृत है। ∎

**उदाहरण 6.11.**

भागफल $\R/\Z$ ($x$ और $x + n$ की पहचान कीजिए) वृत्त $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ के समस्थितिक है: प्रतिचित्रण $x
\mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ एक [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\R/\Z \to S^1$ तक जाता है ([प्रतिज्ञप्ति 6.10](#prop-b3-topology-universal)(ख)); और उसका प्रतिलोम नीचे [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) के संहतता तर्क से [संतत](#def-b3-topology-continuity) है ([अभ्यास 6.5](#exo-b3-topology-5) सब कुछ विस्तार से देता है, यह भी कि $\R/\Z$ [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) और [संहत](#def-b3-topology-compact) क्यों है)। इसी प्रकार सिरे जोड़ने पर $[0,1]$ $S^1$ बन जाता है, सम्मुख भुजाएँ जोड़ने पर वर्ग टोरस बन जाता है, और जोड़ना अंततः एक प्रमेय बन जाता है, चित्र नहीं।

## 6.3 संहतता

**परिभाषा 6.12.**

$X$ का *विवृत आवरण* विवृत समुच्चयों का ऐसा कुल $(U_i)_{i\in I}$ है जिसके लिए $\bigcup U_i = X$ हो। $X$ *संहत* कहलाती है यदि वह [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) हो और उसका प्रत्येक विवृत आवरण कोई *परिमित उपआवरण* स्वीकार करे। समतुल्य रूप से (पूरक लेने पर): *परिमित प्रतिच्छेदन गुण* वाले संवृत समुच्चयों के प्रत्येक कुल (जिसके सभी परिमित उपकुलों का प्रतिच्छेदन अरिक्त हो) का कुल प्रतिच्छेदन अरिक्त होता है।

**प्रमेय 6.13 (पहले गुण).**

मान लीजिए $X$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है।

1. $X$ का संवृत उपसमुच्चय [संहत](#def-b3-topology-compact) होता है; और किसी [हाउसडॉर्फ समष्टि](#def-b3-topology-hausdorff) का [संहत](#def-b3-topology-compact) उपसमुच्चय संवृत होता है।
2. किसी [हाउसडॉर्फ समष्टि](#def-b3-topology-hausdorff) में [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) का [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब [संहत](#def-b3-topology-compact) होता है। विशेष रूप से कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) $f\colon X  \to \R$ परिबद्ध होता है और अपने परिबंधों को प्राप्त कर लेता है।
3. $X$ के अरिक्त संवृत उपसमुच्चयों के किसी घटते अनुक्रम का प्रतिच्छेदन अरिक्त होता है।

**उपपत्ति.** (1) मान लीजिए $F \subseteq X$ संवृत है और $(U_i)$ $F$ का ($X$ के विवृत समुच्चयों से बना) विवृत आवरण: $X \setminus F$ जोड़ने पर $X$ का विवृत आवरण मिल जाता है; उसका कोई परिमित उपआवरण, $X \setminus F$ हटा देने पर, $F$ को आच्छादित करता है। उपसमष्टि का [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) होना स्पष्ट है। विलोमतः मान लीजिए $K \subseteq Y$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है, $Y$ [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff), और $y \notin K$: प्रत्येक $x \in K$ के लिए असंयुक्त विवृत $U_x \ni x$, $V_x \ni y$ चुनिए; परिमित संख्या के $U_x$ $K$ को आच्छादित करते हैं, और संगत $V_x$ का प्रतिच्छेदन $y$ का ऐसा [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) है जो $K$ के आवरण से, और इसलिए $K$ से, असंयुक्त है: अतः $K$ का पूरक विवृत है।

(2) यदि $(V_j)$ $f(X)$ को आच्छादित करे, तो $(f^{-1}(V_j))$ $X$ को आच्छादित करता है; नीचे का परिमित उपआवरण ऊपर के परिमित उपआवरण से आ जाता है। प्रतिबिंब उपसमष्टि के रूप में [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) है। वास्तविक $f$ के लिए: $f(X)$ $\R$ में [संहत](#def-b3-topology-compact) है, अतः संवृत और परिबद्ध (परिबद्धता के लिए $(-n, n)$ से आच्छादित कीजिए; संवृतता (1) से), और कोई संवृत परिबद्ध समुच्चय अपने उच्चतम को अंतर्विष्ट करता है।

(3) यदि $\bigcap F_n = \varnothing$ हो, तो [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) $X \setminus F_n$ $X$ को आच्छादित करते हैं; परिमित संख्या पर्याप्त है, अतः कोई $F_{n_0} =
\varnothing$ (अनुक्रम घटता है) — विरोधाभास। ∎

**उपप्रमेय 6.14.**

किसी [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) से किसी [हाउसडॉर्फ समष्टि](#def-b3-topology-hausdorff) में जाता कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) *एकैकी आच्छादक* प्रतिचित्रण [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) होता है।

**उपपत्ति.** प्रतिलोम [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब संवृत समुच्चयों के सीधे प्रतिबिंब संवृत हों; कोई संवृत $F$ [संहत](#def-b3-topology-compact) होता है ([प्रमेय 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)), उसका प्रतिबिंब [संहत](#def-b3-topology-compact) होता है (2), और इसलिए [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) लक्ष्य में संवृत (1)। ∎

**प्रमेय 6.15 (परिमित गुणन).**

[संहत](#def-b3-topology-compact) समष्टियों का परिमित गुणन [संहत](#def-b3-topology-compact) होता है।

**उपपत्ति.** केवल $X \times Y$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है। [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) होना विरासत में मिलता है (किसी एक निर्देशांक में पृथक कीजिए)। मान लीजिए $(W_i)$ $X
\times Y$ का विवृत आवरण है; हम मान सकते हैं कि $W_i$ [आधार](#def-b3-topology-basis) बक्से $U_i \times
V_i$ हैं (परिष्कृत कीजिए: प्रत्येक बिंदु किसी $W_i$ के भीतर के किसी बक्से में बैठता है; बक्सों का परिमित उपआवरण $W_i$ का एक उपआवरण दे देता है)। $x \in X$ स्थिर कीजिए: *कर्तन* $\{x\}\times Y \cong Y$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है, अतः परिमित संख्या के बक्से $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ उसे आच्छादित करते हैं, जिनमें सभी $j$ के लिए $x \in U_j$; तब $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ $x$ का ऐसा विवृत [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) है जिसके लिए $U^x \times Y$ परिमित संख्या के बक्सों से आच्छादित है (*नलिका प्रमेयिका*: $(x', y) \in U^x \times Y$ के लिए $y \in V_j$ किसी $j$ के लिए, क्योंकि बक्सों ने स्तर $y$ पर $\{x\}\times Y$ को आच्छादित किया था, और $x' \in U^x \subseteq U_j$, अतः $(x', y) \in U_j
\times V_j$)। अब परिमित संख्या के $U^x$ [संहत](#def-b3-topology-compact) $X$ को आच्छादित करते हैं; और उनके संगत परिमित बक्सा संग्रह $X \times Y$ को आच्छादित कर देते हैं। ∎

**प्रमेय 6.16 (मापीय समष्टियों में संहतता).**

किसी मापीय समष्टि $(X, d)$ के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $X$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है (बोरेल–लेबेग);
2. $X$ के प्रत्येक अनुक्रम का कोई अभिसारी उपानुक्रम है ( [अनुक्रमीय संहतता](#thm-b3-topology-metriccompact) — दूसरे वर्ष की परिभाषा);
3. $X$ पूर्ण और *पूर्णतः परिबद्ध* है: प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए त्रिज्या $\varepsilon$ के परिमित संख्या के गोले $X$ को आच्छादित कर देते हैं।

**उपपत्ति.** (1)$\Rightarrow$(2): मान लीजिए $(x_n)$ का कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं है। तब प्रत्येक $x \in X$ के लिए ऐसा विवृत गोला $B_x$ है जो केवल परिमित संख्या के $n$ के लिए $x_n$ को अंतर्विष्ट करता है (अन्यथा कोई उपानुक्रम $x$ पर अभिसरित होता: त्रिज्याएँ $1/k$ लीजिए)। परिमित संख्या के $B_x$ $X$ को आच्छादित कर देते हैं, अतः केवल परिमित संख्या के सूचकांक $n$ विद्यमान हैं: निरर्थक।

(2)$\Rightarrow$(3): पूर्णता: अभिसारी उपानुक्रम वाला कोशी अनुक्रम अभिसरित होता है (दूसरा वर्ष)। पूर्ण परिबद्धता: यदि किसी $\varepsilon$ के लिए कोई परिमित आवरण न हो, तो आगमन से $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$ के बाहर $x_{n+1}$ चुनिए: तब अनुक्रम में $m \neq n$ के लिए $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ होता है, अतः कोई कोशी उपानुक्रम नहीं, और इसलिए कोई अभिसारी भी नहीं।

(3)$\Rightarrow$(1): पहले, (3) से (2) निकलता है: $(x_n)$ दिया हो, तो $X$ को त्रिज्या $1$ के परिमित संख्या के गोलों से आच्छादित कीजिए: उनमें से एक, $B_1$, किसी उपानुक्रम को अंतर्विष्ट करता है; $X$ को त्रिज्या $1/2$ के गोलों से आच्छादित कीजिए: उनमें से एक और आगे के उपानुक्रम को अंतर्विष्ट करता है; इसे दोहराकर विकर्णन कीजिए: विकर्ण उपानुक्रम कोशी है (चरण $k$ के बाद के दो पद त्रिज्या $2^{-k}$ के एक ही गोले में होते हैं, सामान्य $2\cdot$ तक), अतः वह अभिसरित होता है। अब मान लीजिए $(U_i)$ कोई विवृत आवरण है और मान लीजिए उसका कोई परिमित उपआवरण नहीं है। *लेबेग संख्या का तर्क*: प्रत्येक $n$ के लिए कोई गोला $B(y_n, 2^{-n})$ ऐसा है जो परिमित संख्या के $U_i$ से आच्छादित नहीं होता — वस्तुतः $X$ को त्रिज्या $2^{-n}$ के परिमित संख्या के गोलों से आच्छादित कीजिए; यदि हर एक परिमित रूप से आच्छादित होता, तो $X$ भी होता। (2) से कोई उपानुक्रम $y_{n_k} \to y$; $y \in U_i$ वाला $i$ चुनिए और $B(y, r) \subseteq U_i$ वाला $r > 0$। बड़े $k$ के लिए $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$: जो *एक ही* $U_i$ से आच्छादित है — विरोधाभास। ∎

**उपप्रमेय 6.17 (हाइने–बोरेल; हाइने).**

(क) $\R^n$ का कोई उपसमुच्चय [संहत](#def-b3-topology-compact) है तभी और केवल तभी जब वह संवृत और परिबद्ध हो। (ख) किसी [संहत](#def-b3-topology-compact) मापीय समष्टि से किसी मापीय समष्टि में जाता [संतत प्रतिचित्रण](#def-b3-topology-continuity) एकसमान [संतत](#def-b3-topology-continuity) होता है।

**उपपत्ति.** (क) संवृत और परिबद्ध $\Rightarrow$ किसी घन $[-M,M]^n$ में अंतर्विष्ट है, जो [संहत](#def-b3-topology-compact) है: $[-M, M]$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है (बोलत्सानो–वाइरश्ट्रास से अनुक्रमीय रूप से — अथवा आवरणों के लिए द्विभाजन से सीधे), और [प्रमेय 6.15](#thm-b3-topology-tychonoff) गुणन को सँभाल लेती है; अब [प्रमेय 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1) लगाइए। विलोमतः कोई [संहत](#def-b3-topology-compact) उपसमुच्चय संवृत ([प्रमेय 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)) और परिबद्ध होता है (संकेंद्री गोलों से आच्छादित कीजिए)।

(ख) मान लीजिए $f \colon X \to Y$, $\varepsilon > 0$। $f\bigl(B(x,
2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ वाले गोले $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ $X$ को आच्छादित करते हैं; कोई परिमित उपआवरण $B(x_j, \delta_{x_j})$ निकालिए और $\delta = \min_j \delta_{x_j}$ रखिए। यदि $d(x, x') < \delta$ हो: किसी $j$ के लिए $x
\in B(x_j, \delta_{x_j})$, और तब दोनों $x, x'
\in B(x_j, 2\delta_{x_j})$, अतः $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$। ∎

**परिभाषा 6.18.**

$X$ *स्थानीय संहत* कहलाती है यदि वह [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) हो और प्रत्येक बिंदु का कोई [संहत](#def-b3-topology-compact) [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) हो ($\R^n$; $\R^n$ के विवृत उपसमुच्चय; विविक्त समष्टियाँ — पर $\Q$ नहीं, [अभ्यास 6.9](#exo-b3-topology-9) देखिए)। प्रत्येक स्थानीय [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) किसी [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) में अंतःस्थापित हो जाती है: *एक-बिंदु संहतीकरण* $\hat X = X
\cup \{\infty\}$, जिसके [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) $X$ के [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) तथा $X$ के [संहत](#def-b3-topology-compact) उपसमुच्चयों के ($\hat X$ में) पूरक हैं। स्वयंसिद्धों की जाँच सीधी है; $\hat X$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है (किसी आवरण के किसी सदस्य में $\infty$ होता है, जिसका पूरक [संहत](#def-b3-topology-compact) है और परिमित संख्या के अन्य सदस्यों से आच्छादित) और [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) ($x$ के किसी [संहत](#def-b3-topology-compact) [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) और उसके पूरक से $x$ को $\infty$ से पृथक कीजिए)। उदाहरण: $\hat\R \cong S^1$, और त्रिविम प्रक्षेप से $\widehat{\R^n} \cong S^n$ ([अभ्यास 6.11](#exo-b3-topology-11))।

## 6.4 संबद्धता

**परिभाषा 6.19.**

$X$ *संबद्ध* कहलाती है यदि वह दो असंयुक्त अरिक्त विवृत समुच्चयों का सम्मिलन न हो — समतुल्य रूप से, यदि उसके एकमात्र ऐसे उपसमुच्चय जो विवृत और संवृत दोनों हों $\varnothing$ और $X$ हों; समतुल्य रूप से, यदि प्रत्येक [संतत प्रतिचित्रण](#def-b3-topology-continuity) $X \to \{0, 1\}$ (विविक्त) अचर हो। कोई उपसमुच्चय संबद्ध कहलाता है यदि वह उपसमष्टि के रूप में संबद्ध हो।

**प्रमेय 6.20.**

1. $\R$ के [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) उपसमुच्चय ठीक अंतराल हैं।
2. [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) समुच्चयों के [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) होते हैं (जिससे मध्यवर्ती मान प्रमेय निकलती है: किसी [संबद्ध समष्टि](#def-b3-topology-connected) पर [संतत](#def-b3-topology-continuity) वास्तविक प्रतिचित्रण का प्रतिबिंब कोई अंतराल होता है)।
3. यदि $(A_i)$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) हों और उनमें कोई उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो $\bigcup  A_i$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है। यदि $A$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) हो और $A \subseteq  B \subseteq \bar A$ , तो $B$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है।
4. [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) समष्टियों के परिमित गुणन [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) होते हैं।

**उपपत्ति.** सर्वत्र हम $\{0,1\}$-कसौटी का उपयोग करते हैं: [संतत](#def-b3-topology-continuity) $f \colon X \to
\{0,1\}$ का अचर होना अनिवार्य है।

(1) कोई अअंतराल $A$ $a, b \in A$ के बीच किसी $c$ से चूक जाता है: $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ उसे असंबद्ध कर देता है। विलोमतः मान लीजिए $I$ कोई अंतराल है और $f \colon I
\to \{0,1\}$ [संतत](#def-b3-topology-continuity), जिसमें $f(a) = 0$, $f(b) = 1$, $a < b$। मान लीजिए $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$; $c$ पर [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) से $f(c) = 0$ अनिवार्य हो जाता है (मानों $0$ की सीमा: $c$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $\{f = 0\}$ से मिलता है; $\{f=0\}$ संवृत है) और तब $(c, b]$ पर $f \equiv 1$ के साथ $c < b$, अतः $\{f = 1\} \ni c$ पर उसी [संवृति](#def-b3-topology-interior) तर्क से $f(c) = 1$: विरोधाभास।

(2) कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ $g \circ f$ को अचर बना देता है, अतः $g$ प्रतिबिंब पर अचर है।

(3) कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ प्रत्येक $A_i$ पर अचर होता है, और उभयनिष्ठ बिंदु पर उसका मान वही होता है। [संवृति](#def-b3-topology-interior) के लिए: $f \colon B \to \{0,1\}$ $A$ पर अचर $= c$ है; कोई भी $x \in B \subseteq \bar A$ $A$ की [संवृति](#def-b3-topology-interior) में है, और $f^{-1}
(f(x))$ $x$ का [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) है (विवृत का पूर्वप्रतिबिंब), जिसे $A$ से मिलना ही चाहिए: अतः $f(x) = c$।

(4) $X \times Y$ और $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$ के लिए: किन्हीं दो बिंदुओं $(x,y), (x',y')$ को “कोहनी” $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$ जोड़ देती है, जो $(x, y')$ पर मिलने वाले दो [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) समुच्चयों ($Y$, $X$ के समस्थितिक) का सम्मिलन है: अतः (3) और (2) से $f$ दोनों बिंदुओं पर सहमत है। ∎

**परिभाषा 6.21.**

$X$ *पथ-संबद्ध* कहलाती है यदि किन्हीं दो बिंदुओं को कोई *पथ* ([संतत](#def-b3-topology-continuity) $\gamma
\colon [0,1] \to X$) जोड़ता हो। [पथ-संबद्धता](#def-b3-topology-connected) से [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) निकलती है: [संतत](#def-b3-topology-continuity) $f \colon X \to \{0,1\}$ के $x, y$ पर दो मान अचर $f\circ\gamma$ के मान हैं ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(1)–(2))। मानकित समष्टियों के उत्तल उपसमुच्चय [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-connected) होते हैं (रेखाखंड); $n \geq 2$ के लिए $\R^n
\setminus \{0\}$ भी (मूल बिंदु के चारों ओर घूम जाइए), और $n \geq 1$ के लिए $S^n$ भी ($\R^{n+1}\setminus
\{0\}$ से पथों का प्रक्षेप कीजिए)।

**उदाहरण 6.22 (संस्थितिविद् का ज्या वक्र).**

मान लीजिए $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ और $S =
\bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (प्रत्येक बिंदु $(0,
y)$, $\abs y \leq 1$, $\Gamma$ के बिंदुओं की सीमा है: $0$ के निकट $\sin\frac1x = y$ हल कीजिए)। तब $S$ *[संबद्ध](#def-b3-topology-connected)* है — यह [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) $\Gamma$ की [संवृति](#def-b3-topology-interior) है, जो $(0, 1]$ का [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब है ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)) — पर *[पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) नहीं*: $(1, \sin 1)$ से $(0,0)$ तक कोई [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) $\to 0$ भुजाक्षों को पार करता, जबकि कोटि $\pm1$ के बीच दोलन करती रहती है; [अभ्यास 6.9](#exo-b3-topology-9) इसे कठोर रूप दे देता है। [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) और [पथ-संबद्धता](#def-b3-topology-pathconnected) वास्तव में भिन्न हैं।

![संस्थितिविद् का ज्या वक्र: 1x का आलेख (लाल) पूरे रेखाखंड \0\×(-1,1) (नीला) पर संचित होता है। सम्मिलन संबद्ध है पर पथ-संबद्ध नहीं: कोई भी संतत पथ परिमित प्राचल समय में अनंत दोलनों को पार नहीं कर सकता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-topology/fig-f1cdfcf49061.svg)

*[संस्थितिविद् का ज्या वक्र](#ex-b3-topology-sinecurve): $\sin\frac1x$ का आलेख (लाल) पूरे रेखाखंड $\{0\}\times[-1,1]$ (नीला) पर संचित होता है। सम्मिलन [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है पर [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) नहीं: कोई भी [संतत](#def-b3-topology-continuity) [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) परिमित प्राचल समय में अनंत दोलनों को पार नहीं कर सकता।*

**परिभाषा 6.23.**

$x
\in X$ का *संबद्ध घटक* $x$ को अंतर्विष्ट करने वाले समस्त [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) उपसमुच्चयों का सम्मिलन है — अर्थात् उनमें सबसे बड़ा ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3))। घटक $X$ का विभाजन करते हैं और संवृत होते हैं ([संबद्ध](#def-b3-topology-connected) समुच्चयों की संवृतियाँ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) होती हैं)। $X$ *पूर्णतः असंबद्ध* कहलाती है यदि सभी घटक एकल-अवयवी हों ($\Q$; सप्ताहांत समस्या का कैंटर समुच्चय)।

**प्रमेय 6.24.**

$\R$ $n \geq 2$ वाले किसी भी $\R^n$ के समस्थितिक नहीं है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $h \colon \R \to \R^n$ कोई [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) है। एक बिंदु हटाने पर: $\R \setminus \{0\}$ $\R^n \setminus
\{h(0)\}$ के समस्थितिक है। परंतु $\R\setminus\{0\}$ असंबद्ध है, जबकि $n \geq
2$ के लिए $\R^n\setminus\{\text{बिंदु}\}$ [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) है ([परिभाषा 6.21](#def-b3-topology-pathconnected); बिंदु को $0$ पर स्थानांतरित कीजिए): और [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) का अपरिवर्ती है ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)) — विरोधाभास। ($\R^2 \not\cong \R^3$ के लिए सूक्ष्मतर अपरिवर्तियों की आवश्यकता है — [बीजीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic) [संस्थिति](#def-b3-topology-topology); और सप्ताहांत समस्या खतरा दिखा देती है: *[संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण* $\R \to \R^2$ विद्यमान तो हैं।) ∎

**विधि 6.25.**

किसी समुच्चय को [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) सिद्ध करने के लिए: उसे किसी [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब, अतिव्यापी [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) समुच्चयों के सम्मिलन, किसी [संवृति](#def-b3-topology-interior), अथवा किसी गुणन के रूप में प्रस्तुत कीजिए ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)); मानकित समष्टियों के उपसमुच्चयों के लिए स्पष्ट पथों (रेखाखंड, चाप, कोहनी) से [पथ-संबद्धता](#def-b3-topology-pathconnected) सिद्ध कीजिए। दो समष्टियों को समस्थितिक *न* होना सिद्ध करने के लिए: कोई ऐसा संस्थितिक अपरिवर्ती ढूँढ़िए जो भिन्न हो — संहतता, [संबद्धता](#def-b3-topology-connected), घटकों की संख्या, अथवा किसी सुचुने हुए परिमित समुच्चय को हटाने के बाद के घटक ([प्रमेय 6.24](#thm-b3-topology-rnotr2) की युक्ति: वह $[0,1) \not\cong
(0,1)$ और $S^1 \not\cong [0,1]$ भी सिद्ध कर देती है)।

## 6.5 अभ्यास

**अभ्यास 6.1 ★.**

(क) $\{a, b\}$ पर समस्त संस्थितियाँ सूचीबद्ध कीजिए, उन्हें [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) तक वर्गीकृत कीजिए, और निर्धारित कीजिए कि कौन-सी [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) हैं और कौन-सी [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff)। (ख) $\R$ में (सामान्य [संस्थिति](#def-b3-topology-topology)) $\Q$, $[0,1) \cup \{2\}$ और $\{1/n : n \geq
1\}$ के [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior), [संवृति](#def-b3-topology-interior) और परिसीमा परिकलित कीजिए।

**हल — अभ्यास 6.1.**

(क) $\{a,b\}$ पर चार संस्थितियाँ: अविविक्त $\{\varnothing, X\}$; विविक्त; और दोनों *सीयेर्पिंस्की* संस्थितियाँ $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ तथा $\{\varnothing,
\{b\}, X\}$। अंतिम दोनों समस्थितिक हैं ($a, b$ की अदला-बदली): अतः तीन वर्ग। [संबद्ध](#def-b3-topology-connected): विविक्त को छोड़कर सभी (केवल विविक्त [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) में कोई उचित अरिक्त विवृत-संवृत समुच्चय होता है)। [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff): केवल विविक्त (शेष में $b$ का एकमात्र [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $X$ है, अथवा $a$ का)।

(ख) $\Q$: [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$ (प्रत्येक अंतराल में अपरिमेय होते हैं), संवरण $\R$ (सघनता), परिसीमा $\R$। $[0,1)
\cup \{2\}$: [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior) $(0,1)$, संवरण $[0,1]\cup\{2\}$, परिसीमा $\{0, 1, 2\}$। $\{1/n\}$: [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$, संवरण $\{1/n\}\cup\{0\}$, और परिसीमा स्वयं वही संवरण।

**अभ्यास 6.2 ★.**

(क) दर्शाइए कि $f\colon X \to Y$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब $Y$ के किसी स्थिर [आधार](#def-b3-topology-basis) के प्रत्येक $B$ के लिए $f^{-1}(B)$ विवृत हो। (ख) दर्शाइए कि $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) नहीं है पर *दक्षिण-संतत* है। सत्यापित कीजिए कि अर्ध-विवृत अंतराल $[a, b)$ स्रोत $\R$ पर एक [संस्थिति का आधार](#def-b3-topology-basis) बनाते हैं (*ज़ोर्गनफ्राई रेखा*), कि यह [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) सामान्य [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) से कड़ाई से सूक्ष्मतर है, और कि कोई फलन $\R \to
\R$ (सामान्य लक्ष्य) ज़ोर्गनफ्राई रेखा से [संतत](#def-b3-topology-continuity) है तभी और केवल तभी जब वह प्रत्येक बिंदु पर दक्षिण-संतत हो।

**हल — अभ्यास 6.2.**

(क) प्रत्येक विवृत $V \subseteq Y$ [आधार](#def-b3-topology-basis) समुच्चयों का कोई संघ $\bigcup B_j$ है, और $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$: अतः यदि पिछले विवृत हों तो पहला भी; और विलोम तुच्छ है।

(ख) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ विवृत नहीं है: अतः $f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) नहीं है; और प्रत्येक बिंदु पर दक्षिण-सांतत्य स्पष्ट है ($f$ प्रत्येक बिंदु के दाईं ओर स्थानीय रूप से अचर है)। समुच्चय $[a, b)$ [आधार](#def-b3-topology-basis) कसौटी ([परिभाषा 6.4](#def-b3-topology-basis)) संतुष्ट करते हैं: $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c),
\min(b,d))$। ज़ोर्गनफ्राई [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) सामान्य [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) से सूक्ष्मतर है, क्योंकि $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$; और कड़ाई से: $[0,1)$ ज़ोर्गनफ्राई-विवृत है, सामान्य-विवृत नहीं। $x$ पर ज़ोर्गनफ्राई रेखा से [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity): $x$ का कोई ज़ोर्गनफ्राई [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) किसी [आधार](#def-b3-topology-basis) समुच्चय $[a, b) \ni x$ को धारण करता है, अतः $[x, b)$ को भी — अतः [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) शर्त इस रूप में पढ़ी जाती है: प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ है कि $x \leq t < x + \delta$ होने पर $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$। और यह ठीक $x$ पर दक्षिण-सांतत्य है।

**अभ्यास 6.3 ★.**

सह-परिमित [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) वाले किसी अनंत समुच्चय पर दर्शाइए: कोई भी दो अरिक्त [विवृत समुच्चय](#def-b3-topology-topology) मिलते हैं (अतः समष्टि [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) नहीं, और इसलिए मापीयकरणीय भी नहीं); और प्रत्येक एकैकी अनुक्रम *प्रत्येक* बिंदु पर अभिसरित होता है। सीमाओं की अद्वितीयता की उपपत्ति में [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) का उपयोग कहाँ होता है?

**हल — अभ्यास 6.3.**

दो अरिक्त विवृतों के पूरक परिमित होते हैं, अतः उनके प्रतिच्छेद का पूरक भी परिमित है: इसलिए वह अरिक्त है (समुच्चय अनंत है) — अतः किन्हीं दो बिंदुओं के असंयुक्त [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) नहीं होते: [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) नहीं, इसलिए मापीयकरणीय भी नहीं ([परिभाषा 6.7](#def-b3-topology-hausdorff))। मान लीजिए $(x_n)$ एकैकी है और $x$ स्वेच्छ: $x$ का कोई [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) किसी सह-परिमित विवृत $U$ को धारण करता है; और $X\setminus U$ के परिमित संख्या के बिंदुओं पर अधिक से अधिक परिमित संख्या के सूचकांक जाते हैं (एकैकीपन), अतः अनुक्रम की कोई पुच्छ $U$ में होती है: इसलिए *प्रत्येक* $x$ के लिए $x_n \to x$। अद्वितीयता की उपपत्ति को दो कथित सीमाओं को पृथक करने के लिए दो असंयुक्त [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) चाहिए — और ठीक यही यहाँ विफल हो जाता है।

**अभ्यास 6.4 ★★.**

(क) दर्शाइए कि किसी गुणन के प्रक्षेप $\pi_X, \pi_Y$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) और *विवृत* होते हैं (विवृत समुच्चयों के प्रतिबिंब विवृत), पर सामान्यतः संवृत नहीं ($\R^2$ में $\{xy = 1\}$)। (ख) दर्शाइए कि मापीय समष्टियों के किसी गणनीय गुणन $\prod_n X_n$ में कोई अनुक्रम अभिसरित होता है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक निर्देशांक अभिसरित हो, और यह कि $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ [गुणन संस्थिति](#def-b3-topology-constructions) का मापीयकरण करता है। (ग) $\R^\N$ पर दर्शाइए कि “बक्सा [संस्थिति](#def-b3-topology-topology)” (विवृत समुच्चयों के सभी गुणन विवृत) कड़ाई से सूक्ष्मतर है: अनुक्रम $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ [गुणन संस्थिति](#def-b3-topology-constructions) में $0$ पर अभिसरित होता है पर बक्सा [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) में नहीं।

**हल — अभ्यास 6.4.**

(क) [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) रचना से है ([परिभाषा 6.9](#def-b3-topology-constructions))। विवृतता: कोई विवृत $W
\subseteq X \times Y$ बक्सों $U_i\times V_i$ का संघ है, और $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (अरिक्त बक्से अपने गुणनखंडों पर प्रक्षेपित होते हैं), जो विवृत है। संवृत नहीं: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ $\R^2$ में संवृत है ([संतत](#def-b3-topology-continuity) गुणनफल के अंतर्गत $\{1\}$ का पूर्व-प्रतिबिंब), पर $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ संवृत नहीं है।

(ख) ($\Rightarrow$) प्रक्षेप [संतत](#def-b3-topology-continuity) हैं। ($\Leftarrow$) मान लीजिए घटकशः $x^{(k)} \to x$ और $W = \prod U_n$ $x$ का कोई [आधार](#def-b3-topology-basis) [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) है, जिसमें $n \in F$ परिमित को छोड़कर $U_n = X_n$। प्रत्येक $n \in F$ के लिए $k \geq
K_n$ पर $x_n^{(k)} \in U_n$; और $k \geq \max_F K_n$ के लिए $x^{(k)} \in W$। सूत्र $d$ कोई दूरिक परिभाषित करता है (प्रत्येक योज्य पद एक है, इस मानक सत्यापन तक कि $\min(1, d_n)$ ऐसा है); उसके गोले: $B_d(x,
2^{-N})$ उपयुक्त $N'$ के लिए [आधार](#def-b3-topology-basis) बक्सा $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\
n \leq N'\}$ धारण करता है (पुच्छ $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ छोटी है), और विलोमतः प्रत्येक [आधार](#def-b3-topology-basis) बक्सा कोई $d$-गोला धारण करता है: अतः दोनों संस्थितियों में प्रत्येक बिंदु के [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) एक ही हैं।

(ग) [गुणन संस्थिति](#def-b3-topology-constructions) में (ख) से $x^{(k)} \to 0$। बक्सा-विवृत समुच्चय $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ $0$ को धारण करता है, पर प्रत्येक $k$ के लिए $x^{(k)} \notin U$ ($n \geq k$ होने पर $n$-वाँ निर्देशांक $1/k
\geq 1/n$): अतः कोई पुच्छ $U$ में प्रवेश नहीं करती। बक्सा [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) कड़ाई से सूक्ष्मतर है और अभिसरण के प्रयोजनों के लिए गुणन-प्रकार की [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) नहीं है।

**अभ्यास 6.5 ★★.**

वृत्त, तीन प्रकार से। दर्शाइए कि निम्नलिखित जोड़े-जोड़े में समस्थितिक हैं, और प्रतिचित्रण स्पष्ट रूप से दीजिए: (क) $S^1 \subseteq \R^2$; (ख) $\R/\Z$ ([भागफल संस्थिति](#def-b3-topology-constructions)); (ग) $[0,1]/(0 \sim 1)$. *((ख) के लिए: दर्शाइए कि $\R/\Z$ [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) है — दो वर्गों को दूरी $\leq \frac12$ पर प्रतिनिधियों तक उठाइए — और यह कि $\pi([0,1])$ ही सब कुछ है, अतः भागफल [संहत](#def-b3-topology-compact) है; फिर [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) का उपयोग कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 6.5.**

$\varphi \colon \R \to S^1$, $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$, [संतत](#def-b3-topology-continuity), आच्छादक और $\Z$ के मापांक में वर्गों पर अचर है: अतः वह कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी-आच्छादन $\bar\varphi \colon \R/\Z \to
S^1$ प्रेरित करता है ([प्रतिज्ञप्ति 6.10](#prop-b3-topology-universal)(ख))। प्रक्षेप $\pi$ *विवृत* है: विवृत $U \subseteq \R$ के लिए $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ विवृत है, अतः $\pi(U)$ विवृत है। [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff): मान लीजिए $\bar x \neq \bar y$; $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ वाले प्रतिनिधि चुनिए; $x$ और $y$ के परितः त्रिज्या $\delta/3$ के अंतरालों के प्रतिबिंब विवृत हैं ($\pi$ की विवृतता), $\bar x, \bar y$ को धारण करते हैं, और असंयुक्त हैं (दो पूर्व-प्रतिबिंब बिंदु $\Z$ मापांक में $< 2\delta/3$ दूर होते)। [संहत](#def-b3-topology-compact): $\R/\Z = \pi([0,1])$, जो किसी [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) का [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब है ([प्रमेय 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2))। अब $\bar\varphi$ किसी [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) से [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) $S^1$ पर [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी-आच्छादन है: अतः [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) ([उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))।

(ग) के लिए: संयोजन $[0,1] \hookrightarrow \R
\xrightarrow{\pi} \R/\Z$ [संतत](#def-b3-topology-continuity), आच्छादक है और ठीक $0 \sim 1$ की पहचान करता है: अतः वह किसी [संहत समष्टि](#def-b3-topology-compact) (भागफल प्रक्षेप के अंतर्गत $[0,1]$ का [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब) से किसी [हाउसडॉर्फ समष्टि](#def-b3-topology-hausdorff) पर [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी-आच्छादन $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ प्रेरित करता है: अर्थात् [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity)। संयोजित करने पर: तीनों समष्टियाँ समस्थितिक हैं।

**अभ्यास 6.6 ★★.**

मान लीजिए $X$ एक मापीय समष्टि है। (क) दर्शाइए कि [संहत](#def-b3-topology-compact) उपसमुच्चयों का परिमित सम्मिलन [संहत](#def-b3-topology-compact) होता है, और मनमाना प्रतिच्छेदन भी। (ख) यदि $K$ [संहत](#def-b3-topology-compact) हो, $F$ संवृत, और $K \cap F = \varnothing$, तो दर्शाइए कि $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$; दो असंयुक्त संवृत समुच्चयों के साथ एक प्रतिउदाहरण दीजिए। (ग) दर्शाइए कि $X$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है तभी और केवल तभी जब *प्रत्येक* [संतत](#def-b3-topology-continuity) $f
\colon X \to \R$ परिबद्ध हो। *(यदि किसी अनुक्रम का कोई अभिसारी उपानुक्रम न हो, तो उसके पदों के निकट [आधार](#def-b3-topology-basis) वाला कोई अपरिबद्ध [संतत](#def-b3-topology-continuity) फलन बनाइए; अथवा $x \mapsto
d(x, \cdot)$ प्रकार के फलनों का उपयोग कीजिए — एक साफ मार्ग: यदि $(x_n)$ का कोई गुच्छन बिंदु न हो, तो समुच्चय $\{x_n\}$ संवृत और विविक्त है, और $f(x_n) = n$ पर्याप्त छोटे $r_n$ के लिए $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ द्वारा टीत्से के बिना ही संततता से विस्तारित हो जाता है।)*

**हल — अभ्यास 6.6.**

(क) $K_1 \cup \dots \cup K_m$ का कोई आवरण प्रत्येक $K_j$ के आवरण तक प्रतिबंधित हो जाता है: प्रति टुकड़ा परिमित संख्या के विवृत पर्याप्त हैं। और कोई प्रतिच्छेद $\bigcap K_i$ [संहत](#def-b3-topology-compact) $K_{i_0}$ में संवृत है ([संहत](#def-b3-topology-compact) परिवेशी दूरिक समष्टि में संवृत होते हैं), अतः [संहत](#def-b3-topology-compact)।

(ख) $x \mapsto d(x, F)$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) ($1$-लिपशित्ज़) है और $K$ पर कड़ाई से धनात्मक ($d(x, F) = 0$ का अर्थ है $x \in \bar F =
F$); और [संहत](#def-b3-topology-compact) $K$ पर वह कोई निम्निष्ठ $m > 0$ प्राप्त कर लेता है: $d(K, F)
\geq m$। संहतता के बिना प्रतिउदाहरण: $F_1 = \{n : n \geq
2\}$ और $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ संवृत, असंयुक्त और दूरी $\inf_n \frac1n = 0$ पर हैं।

(ग) यदि $X$ [संहत](#def-b3-topology-compact) हो, तो प्रत्येक [संतत](#def-b3-topology-continuity) $f$ परिबद्ध है ([प्रमेय 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2))। विलोमतः, यदि $X$ [संहत](#def-b3-topology-compact) न हो, तो बिना किसी अभिसारी उपानुक्रम वाला $(x_n)$ लीजिए ([प्रमेय 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)); उपानुक्रम पर जाकर हम मान सकते हैं कि $x_n$ युग्मशः भिन्न हैं, और $X$ का कोई बिंदु इस अनुक्रम का संचय बिंदु नहीं है, अतः

$$
r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq
n\}\bigr)\Bigr) > 0,
$$

और गोले $B(x_n, r_n)$ युग्मशः असंयुक्त हैं ($n$-वें और $m$-वें का कोई उभयनिष्ठ बिंदु $d(x_n, x_m) < r_n +
r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$ दे देता)। परिभाषित कीजिए

$$
f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x,
x_n)}{r_n}\Bigr):
$$

प्रत्येक $x$ पर अधिक से अधिक एक योज्य पद शून्येतर है, और $f(x_n) = n$। $x$ पर [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity): मान लीजिए $y_k \to x$; प्रत्येक मान $f(y_k)$ या तो $0$ है या कोई एकल उभार मान $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$। यदि कोई सूचकांक $n$ अनंत बार आए, तो उस उपानुक्रम के अनुदिश $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to
\mathrm{bump}_n(x)$, जो $f(x)$ के बराबर है (यदि $x \in B(x_n,
r_n)$ हो, तो पूरी पुच्छ इसी विवृत गोले में होती है और कोई अन्य सूचकांक नहीं आता; और यदि $x \notin B(x_n, r_n)$ हो, तो $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$, क्योंकि $x$, जो $n$-वें गोले का संलग्न है, किसी अन्य विवृत गोले में नहीं होता)। यदि $n_k \to \infty$ हो: $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$, अतः $x_{n_k}
\to x$, जिससे $x$ $(x_n)$ का संचय बिंदु बन जाता — जो अपवर्जित है; अतः यह स्थिति केवल परिमित संख्या के $k$ से संबंधित है। प्रत्येक दशा में $f(y_k) \to f(x)$: इसलिए $f$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है, और अपरिबद्ध।

**अभ्यास 6.7 ★★.**

(लेबेग संख्या) मान लीजिए $(U_i)$ किसी [संहत](#def-b3-topology-compact) मापीय समष्टि $X$ का विवृत आवरण है। दर्शाइए कि ऐसा $\delta > 0$ है कि व्यास $< \delta$ वाला प्रत्येक उपसमुच्चय किसी एक $U_i$ में समा जाता है। *(अन्यथा किसी भी $U_i$ में न समाने वाला व्यास $< 1/n$ का $A_n$ चुनिए, और चुने गए $x_n \in A_n$ का कोई गुच्छन बिंदु लीजिए।)* इससे हाइने की प्रमेय ([उपप्रमेय 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)(ख)) पुनः निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.7.**

मान लीजिए कोई $\delta$ काम नहीं करता: तब प्रत्येक $n$ के लिए व्यास $< 1/n$ का ऐसा $A_n$ है जो किसी एक भी $U_i$ में अंतर्विष्ट नहीं; $x_n \in
A_n$ चुनिए। संहतता ([प्रमेय 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)) से कोई उपानुक्रम $x_{n_k} \to x$; $B(x,
r) \subseteq U_i$ वाले $i$ और $r > 0$ चुनिए। बड़े $k$ के लिए: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ और $1/n_k < r/2$, अतः $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k)
\subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — विरोधाभास। हाइने: $\varepsilon$ दिया हो, तो $Y$ को गोलों $B(y, \varepsilon/2)$ से आच्छादित कीजिए; पूर्व-प्रतिबिंब $X$ का कोई विवृत आवरण बनाते हैं; मान लीजिए $\delta$ कोई लेबेग संख्या है: यदि $d(x, x') < \delta$ हो, तो युग्म $\{x, x'\}$ का व्यास $< \delta$ है, वह किसी एक पूर्व-प्रतिबिंब में होता है, और $d(f(x),
f(x')) < \varepsilon$।

**अभ्यास 6.8 ★★.**

(क) दर्शाइए कि $GL_n(\R)$ $M_n(\R)$ का विवृत, [सघन](#def-b3-topology-interior) उपसमुच्चय है, और वह असंबद्ध है: सारणिक का चिह्न उसे (कम से कम) दो टुकड़ों में पृथक कर देता है। दूसरी ओर दर्शाइए कि $GL_n(\C)$ [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) है। *($A, B \in GL_n(\C)$ के लिए: $\lambda \mapsto \det\bigl((1 -
\lambda)A + \lambda B\bigr)$ एक बहुपद है जो सर्वथा शून्य नहीं है, अतः $\C$ में उसके परिमित संख्या के मूल हैं: $\C$ में $0$ से $1$ तक उनसे बचता हुआ $\lambda$ का कोई [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) चुनिए।)* (ख) सघनता सिद्ध कीजिए: छोटे $\varepsilon > 0$ के लिए $A + \varepsilon I$ व्युत्क्रमणीय होता है।

**हल — अभ्यास 6.8.**

(क) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ विवृत है ($\det$ बहुपदीय, अतः [संतत](#def-b3-topology-continuity) है)। असंबद्ध: $\det$ उसे $\R\setminus\{0\}$ पर भेजता है, और किसी [संबद्ध समष्टि](#def-b3-topology-connected) के [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) होते हैं ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)); और $\R\setminus\{0\}$ कोई अंतराल नहीं है। $GL_n(\C)$: व्युत्क्रमणीय $A, B$ के लिए $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda
B\bigr)$ $p(0), p(1) \neq 0$ वाला $\lambda$ में बहुपद है, अतः वह सर्वथा शून्य नहीं है: इसलिए उसके $\C$ में परिमित संख्या के मूल हैं। परिमित संख्या के बिंदु हटाकर बचा समतल [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) है (बिंदुओं के चारों ओर घूमकर उनसे बचिए), अतः $p(\lambda(t)) \neq 0$ वाला $0$ से $1$ तक कोई [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) $\lambda(t)$ है: और $t \mapsto
(1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ $GL_n(\C)$ में एक [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) है।

(ख) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ $\varepsilon$ के अधिक से अधिक $n$ मानों के लिए लुप्त होता है: अतः $\varepsilon \to 0$ पर व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A + \varepsilon I \to A$: यही सघनता है।

**अभ्यास 6.9 ★★.**

(क) दर्शाइए कि $\Q$ के [संबद्ध घटक](#def-b3-topology-components) एकल-अवयवी हैं, और यह कि $\Q$ [स्थानीय संहत](#def-b3-topology-locallycompact) नहीं है ($\Q$ में $0$ का कोई [संहत](#def-b3-topology-compact) [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $[-r, r]\cap\Q$ को अंतर्विष्ट करता, जिसकी $\Q$ में [संवृति](#def-b3-topology-interior) [संहत](#def-b3-topology-compact) नहीं है: किसी अपरिमेय पर काटिए)। (ख) [उदाहरण 6.22](#ex-b3-topology-sinecurve) पूरा कीजिए: $(0,0)$ को $\Gamma$ से कोई [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) नहीं जोड़ता। *(यदि $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ ऐसा [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) हो, तो $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ लीजिए; $t
> t^*$ के लिए बिंदु आलेख पर चलता है; ऐसा $t_k \downarrow
t^*$ चुनिए जिसके लिए $\gamma_1(t_k) \to 0$ उन भुजाक्षों तक पहुँचे जहाँ $\sin$ बारी-बारी से $\pm1$ है — मध्यवर्ती मान प्रमेय उन्हें दे देती है — जो $t^*$ पर $\gamma_2$ के [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) का खंडन करता है।)*

**हल — अभ्यास 6.9.**

(क) मान लीजिए $A \subseteq \Q$ $p < q$ को धारण करता है और कोई अपरिमेय $\alpha \in (p, q)$ चुनिए: $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup
(A\cap(\alpha, +\infty))$ $A$ को दो अरिक्त सापेक्षतः विवृत टुकड़ों में तोड़ देता है: अतः $A$ असंबद्ध है। घटक एकल बिंदु हैं। स्थानीय संहतता विफल हो जाती है: $\Q$ में $0$ का कोई [संहत](#def-b3-topology-compact) [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $V$ किसी $r > 0$ के लिए $[-r, r]\cap\Q$ को धारण करता है, जो $V$ में संवृत, अतः [संहत](#def-b3-topology-compact) है; पर $[-r,r]$ में परिमेयों का कोई अनुक्रम जो ($\R$ में) किसी अपरिमेय पर अभिसरित हो उसका *$\Q$ में* अभिसरित होने वाला कोई उपानुक्रम नहीं है: [प्रमेय 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact) के साथ विरोधाभास।

(ख) मान लीजिए $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ $\gamma(0) = (0,0)$ और $\gamma(1) \in \Gamma$ वाला कोई [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) है। समुच्चय $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ संवृत है और $1$ को धारण नहीं करता; मान लीजिए $t^*$ उसका उच्चतम है, अतः $\gamma_1(t^*) = 0$ और $(t^*, 1]$ पर $\gamma_1 > 0$। $t^*$ पर $\gamma_2$ की [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) से $t \in [t^*, t^* + \delta]$ के लिए $\abs{\gamma_2(t) -
\gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ वाला $\delta$ चुनिए। कोई $t_0 = t^* + \delta$ स्थिर कीजिए (मान सकते हैं $\leq 1$): $\gamma_1(t_0) > 0$, और $[t^*, t_0]$ पर $\gamma_1$ $(0, \gamma_1(t_0)]$ का प्रत्येक मान लेता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय, [प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics))। $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ और $b_k =
\frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ वाला बड़ा $k$ चुनिए: तब $\gamma_1(s) = a_k$, $\gamma_1(s') = b_k$ वाले $s, s' \in
(t^*, t_0]$ हैं; और चूँकि ये बिंदु आलेख पर हैं, अतः $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) =
1$ और $\gamma_2(s') = -1$। दोनों $\gamma_2(t^*)$ के $\frac12$ के भीतर नहीं हो सकते: विरोधाभास। अतः $S$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है पर [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) नहीं।

**अभ्यास 6.10 ★★★.**

मध्य-तिहाई कैंटर समुच्चय $C = \bigcap_n C_n$, जहाँ $C_0 =
[0,1]$ और $C_{n+1}$ $C_n$ के प्रत्येक अंतराल का विवृत मध्य तिहाई हटा देता है। (क) दर्शाइए कि $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in
\{0,2\}\bigr\}$, और यह कि $C$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है, उसका [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior) रिक्त है, और उसका कोई विविक्त बिंदु नहीं है (*पूर्ण*)। (ख) दर्शाइए कि $C$ पूर्णतः असंबद्ध है। (ग) दर्शाइए कि $x \mapsto (a_n(x))_n$ एक [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) $C \to
\{0,2\}^\N$ है (विविक्त दो-बिंदु समष्टि पर [गुणन संस्थिति](#def-b3-topology-constructions)); इससे निष्कर्ष निकालिए कि $C$ अगणनीय है, और यह कि $C \times C
\cong C$।

**हल — अभ्यास 6.10.**

(क) $C_n$ ठीक उन $x$ से बना है जिनका कोई त्रिआधारी प्रसार कोटि $n$ तक अंकों $\{0, 2\}$ में हो (आगमन: मध्य तिहाई हटाने से पहला अंक $1$ हट जाता है, इत्यादि; अंत-बिंदुओं के दो प्रसार होते हैं, जिनमें से एक $1$ से बचता है), अतः $C = \bigcap C_n$ $a_n \in \{0,2\}$ वाले योगों $\sum a_n3^{-n}$ का समुच्चय है। [संहत](#def-b3-topology-compact): प्रत्येक $C_n$ संवृत अंतरालों का परिमित संघ है; और $C$ $[0,1]$ में संवृत है। रिक्त [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior): $C \subseteq C_n$, जो लंबाई $3^{-n}$ के अंतरालों का संघ है; लंबाई $\ell > 0$ का कोई आंतरिक अंतराल सभी $n$ के लिए उनमें से किसी एक में समा जाता। पूर्ण: $x \in C$ और $m$ दिए हों, तो अंक $a_m$ पलट दीजिए: नया बिंदु $C$ में है, भिन्न है, और $x$ के $2\cdot3^{-m}$ के भीतर है।

(ख) यदि $x \neq y \in C$ हो, तो उनके प्रसार किसी कोटि $k$ पर पहली बार भिन्न होते हैं; उनके बीच कोई हटाया गया मध्य-तिहाई अंतराल है (कोटि $k$ पर वह रिक्ति जो अंक $0$ को अंक $2$ से पृथक करती है), जो कोई बिंदु $c \notin C$, $x < c < y$ (कहिए) दे देता है: अतः $C =
(C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ दोनों बिंदुओं को धारण करने वाले किसी भी उपसमुच्चय को तोड़ देता है। घटक एकल बिंदु हैं।

(ग) अंक प्रतिचित्रण $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ $\{0,2\}^\N$ पर कोई एकैकी आच्छादन है ($\{0,2\}$-प्रसारों का अस्तित्व और अद्वितीयता: भिन्न अंक अनुक्रम उन बिंदुओं को देते हैं जो पहली भिन्नता पर दूरी $\geq 3^{-k} > 0$ पर हों, जैसा [समस्या 6.1](#pb-b3-topology-1), प्रश्न 1 में)। वह [संतत](#def-b3-topology-continuity) है: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ से प्रथम $m$ अंकों की सहमति अनिवार्य हो जाती है (वही परिकलन), अतः $\beta$ छोटे गोलों को [आधार](#def-b3-topology-basis) बक्सों में भेजता है। [संहत](#def-b3-topology-compact) $C$ से [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) गुणनफल पर कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) होता है ([उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo); गुणनफल [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) है: किसी भिन्न निर्देशांक पर पृथक कीजिए)। अगणनीयता: $\{0,2\}^\N$ पर कैंटर का विकर्ण। अंत में अंकों को गूँथकर $\{0,2\}^\N \times
\{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ (कोई [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity): दोनों दिशाओं में घटकशः [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity)), अतः $C
\times C \cong C$।

**अभ्यास 6.11 ★★★.**

त्रिविम प्रक्षेप: $S^n \subseteq \R^{n+1}$ के उत्तरी ध्रुव $N = (0, \dots,
0, 1)$ से प्रतिचित्रण $\sigma(x) =
\frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ एक [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) $S^n
\setminus \{N\} \to \R^n$ है (प्रतिलोम स्पष्ट रूप से दीजिए)। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $S^n$ [एक-बिंदु संहतीकरण](#def-b3-topology-locallycompact) $\widehat{\R^n}$ का समस्थितिक है, और यह कि $S^n$ का *कोई भी* बिंदु हटाने पर $\R^n$ के समस्थितिक समष्टि बच जाती है।

**हल — अभ्यास 6.11.**

$y \in \R^n$ के लिए

$$
\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 -
1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.
$$

रखिए। जाँचने पर $\norm{\tau(y)} = 1$, $\tau(y) \neq N$, तथा $\sigma(\tau(y)) = y$, $\tau(\sigma(x)) = x$: अतः $\sigma$ और $\tau$ परस्पर प्रतिलोम हैं और दोनों [संतत](#def-b3-topology-continuity) (शून्येतर हरों वाले परिमेय सूत्र): इसलिए $S^n\setminus\{N\} \cong
\R^n$। $N \mapsto \infty$ रखकर $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ तक बढ़ाइए: यह एकैकी आच्छादन है, जो $S^n\setminus\{N\}$ के प्रत्येक बिंदु पर [संतत](#def-b3-topology-continuity) है, और $N$ पर भी: $\infty$ का कोई [आधार](#def-b3-topology-basis) [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $\widehat{\R^n}\setminus K$ है, जिसमें $K$ [संहत](#def-b3-topology-compact), $K
\subseteq \bar B(0, R)$; और चूँकि $x_{n+1} \to 1$ पर $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 +
x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$, अतः छोटे $\eta$ के लिए समुच्चय $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ $\bar B(0,R)$ के बाहर चला जाता है: अर्थात् [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity)। [संहत](#def-b3-topology-compact) $S^n$ से [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) $\widehat{\R^n}$ पर कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) होता है। कोई अन्य बिंदु $p$ हटाना: $S^n$ का कोई घूर्णन $p$ को $N$ पर भेजता है (घूर्णन समस्थितिकताएँ हैं), जिससे परिकलित स्थिति पर न्यूनीकरण हो जाता है: अतः $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$।

**अभ्यास 6.12 ★★★.**

([संस्थितिविद् का ज्या वक्र](#ex-b3-topology-sinecurve)) मान लीजिए

$$
T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\}
\cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .
$$

(क) दर्शाइए कि $T$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है, और यह कि वह आलेख वाले भाग की [संवृति](#def-b3-topology-interior) है। (ख) दर्शाइए कि $T$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है *(आलेख [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब के रूप में [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है; उसकी [संवृति](#def-b3-topology-interior) [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) बनी रहती है)*। (ग) दर्शाइए कि $T$ [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) *नहीं* है: $(0,0)$ को $(1, \sin1)$ से कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) नहीं जोड़ता। *(यदि $\gamma =
(\gamma_1, \gamma_2)$ ऐसा [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) हो, तो $t^* = \sup\{t :
\gamma_1(t) = 0\}$ लीजिए; $t^*$ के ठीक बाद $\gamma_1$ सभी छोटे धनात्मक मान ले लेता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय), अतः $\gamma_2$ प्रत्येक अंतराल $(t^*, t^* + \delta)$ पर $\pm1$ के बीच दोलन करता है — जो $t^*$ पर [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) का खंडन है।)* (घ) निष्कर्ष निकालिए कि [पथ-संबद्धता](#def-b3-topology-pathconnected) [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) से कड़ाई से प्रबल है, और दर्शाइए कि ऐसा कोई उदाहरण $\R^n$ में विवृत नहीं हो सकता: $\R^n$ का कोई *विवृत* [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) उपसमुच्चय [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) होता है *(किसी [आधार](#def-b3-topology-basis) बिंदु से [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) द्वारा जुड़ सकने वाले बिंदुओं का समुच्चय प्रांत में विवृत और संवृत दोनों है)*।

**हल — अभ्यास 6.12.**

(क) $T$ परिबद्ध है, और संवृत भी: भुज $\to x_0 > 0$ वाले $T$ के बिंदुओं की कोई सीमा $\intoc01$ पर $\sin\frac1x$ की [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) से (स्थानीय रूप से संवृत) आलेख पर ही रहती है; और भुज $\to 0$ वाली किसी सीमा की कोटि $\intcc{-1}1$ में होती है, अतः वह रेखाखंड में होती है। हाइने–बोरेल से [संहत](#def-b3-topology-compact) ([उपप्रमेय 6.17](#cor-b3-topology-heineborel))। आलेख $\Gamma$ का संवरण: प्रत्येक बिंदु $(0, y)$, $y \in \intcc{-1}1$, आलेख बिंदुओं की सीमा है — $0$ के निकट $\sin\frac1x = y$ हल कीजिए (फलन प्रत्येक अंतराल $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$ पर $\intcc{-1}1$ को झाड़ देता है): अतः $\bar\Gamma = T$।

(ख) $\Gamma$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) $\intoc01$ का $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ के अंतर्गत [संतत](#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब है: अतः [संबद्ध](#def-b3-topology-connected); और किसी [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) समुच्चय का संवरण [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) होता है ([प्रमेय 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)): इसलिए $T = \bar\Gamma$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है।

(ग) मान लीजिए $\gamma\colon\intcc01\to T$ $\gamma(0) = (0,0)$, $\gamma(1) = (1, \sin1)$ के साथ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है, और $t^*
= \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ लीजिए: [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) से $\gamma_1(t^*)
= 0$ और $\intoc{t^*}1$ पर $\gamma_1 > 0$। प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए अंतराल $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ पर $\gamma_1$ किसी $\intoc0\eta$ के सभी मान लेता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$); विशेष रूप से उसमें स्वेच्छ रूप से बड़े $k$ के लिए $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ और $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ रूप के भुज होते हैं, जिन पर $\gamma_2 = \pm1$। अतः $t^*$ के प्रत्येक दक्षिण-प्रतिवेश पर $\gamma_2$ दोनों मान $1$ और $-1$ लेता है: इसलिए $t^{*+}$ पर $\gamma_2$ की कोई सीमा नहीं है, जो [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) का खंडन करता है। अतः कोई [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) विद्यमान नहीं।

(घ) $T$ [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) है पर [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) नहीं: अतः दोनों धारणाएँ भिन्न हैं। विवृत [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) $U \subseteq \R^n$ और $a \in U$ के लिए मान लीजिए $V$ $U$ के उन बिंदुओं का समुच्चय है जो $U$ के भीतर किसी [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) से $a$ से जोड़े जा सकते हैं। $V$ विवृत है: $x \in V$ के चारों ओर कोई गोला $B(x, r)
\subseteq U$ तारकाकार है, और $x$ तक के [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) में एक रेखाखंड जोड़ने पर गोले का प्रत्येक बिंदु मिल जाता है। $V$ $U$ में संवृत है: यदि $x \in U \setminus V$ हो, तो वही गोला तर्क $B(x, r) \cap V = \varnothing$ दिखा देता है (गोले में $V$ का कोई बिंदु $a$ को $x$ से जोड़ देता)। अरिक्त ($a \in
V$), [संबद्ध](#def-b3-topology-connected) $U$ में विवृत और संवृत: अतः $V = U$। ज्या वक्र रिक्त [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior) के साथ संवृत होकर इससे बच जाता है: उसके “बुरे” बिंदु $(0,0)$ के पास दोलनों पर पुल बाँधने के लिए $T$ के भीतर कोई गोला नहीं है।

## 6.6 समस्या: कैंटर समुच्चय और एक समष्टि-भरक वक्र

**समस्या 6.1.**

सप्ताहांत समस्या — पेआनो वक्र विद्यमान हैं, और वे समस्थितिकताएँ क्यों नहीं

1890 में पेआनो ने एक *[संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण* $[0,1] \to [0,1]^2$ से विश्लेषण को चकित कर दिया: एक ऐसा वक्र जो वर्ग को भर देता है। हम [अभ्यास 6.10](#exo-b3-topology-10) के कैंटर समुच्चय $C$ से (जिसके परिणाम स्वतंत्र रूप से प्रयुक्त किए जा सकते हैं) नंगे हाथों एक ऐसा वक्र बनाते हैं, और फिर सिद्ध करते हैं कि ऐसा कोई प्रतिचित्रण एकैकी नहीं हो सकता: वर्ग वक्र नहीं होते। सर्वत्र $C$ के अवयव अंकों $b_n(x) \in
\{0, 1\}$ के साथ $x =
\sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ लिखे जाते हैं।

**भाग I — अंकों को संततता से पढ़ना।**

1. दर्शाइए कि यदि $x, y \in C$ $\abs{x - y} <  3^{-m}$ को संतुष्ट करें, तो सभी $n \leq m$ के लिए $b_n(x) = b_n(y)$ । *(यदि पहला भिन्न अंक $b_k$ हो, तो $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j}  = \frac1{3^k}$।)*
2. इससे निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक अंक फलन $b_n \colon C \to \{0,  1\}$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है, और [अभ्यास 6.10](#exo-b3-topology-10) (ग) की [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) $C  \cong \{0,1\}^\N$ पुनः व्युत्पन्न कीजिए।

**भाग II — एक [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण $C \to
[0,1]^2$।**

3. $g(x) = \sum_{n\geq1}  b_n(x)\,2^{-n}$ द्वारा $g \colon C \to [0,1]$ परिभाषित कीजिए (कैंटर अंकों को द्व्याधारी रूप में पढ़िए)। दर्शाइए कि $g$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) (प्रश्न 1 का उपयोग कीजिए) और आच्छादक है। क्या वह एकैकी है?
4. $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ को $$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\  \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$$ द्वारा परिभाषित कीजिए (विषम अंक भुजाक्ष देते हैं, सम अंक कोटि)। दर्शाइए कि $\Phi$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) और आच्छादक है।

**भाग III — रिक्तियाँ भरना: पेआनो वक्र।**

5. पूरक $[0,1] \setminus C$ असंयुक्त विवृत अंतरालों $(u, v)$ (हटाए गए मध्य तिहाई) का गणनीय सम्मिलन है, जिनके सिरे $C$ में हैं। $f \colon  [0,1] \to [0,1]^2$ को $C$ पर $f = \Phi$ से परिभाषित कीजिए और प्रत्येक रिक्ति पर *आफ़ीन* रूप से विस्तारित कीजिए: $$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) +  \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v),  \qquad t \in (u, v).$$ दर्शाइए कि $f$ सुपरिभाषित है और $[0,1]^2$ पर आच्छादक।
6. दर्शाइए कि $f$ $[0,1]  \setminus C$ के प्रत्येक बिंदु पर [संतत](#def-b3-topology-continuity) है (स्थानीय रूप से आफ़ीन), और $C$ के प्रत्येक बिंदु पर भी: $\varepsilon$ दिया हो तो $2^{-m} <  \varepsilon/2$ वाला $m$ चुनिए और प्रश्न 1 का उपयोग करके $x$ के निकट $C$ पर $\Phi$ को नियंत्रित कीजिए, फिर जाँचिए कि आफ़ीन अंतर्वेशन बच नहीं सकता: किसी रिक्ति $(u,v) \subseteq  (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ पर मान $f(t)$ रेखाखंड $[\Phi(u), \Phi(v)]$ पर होते हैं, जिसके दोनों सिरे $\Phi(x)$ के निकट हैं। निष्कर्ष निकालिए: $f$ एक *[संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण* $[0,1] \to [0,1]^2$ है।
7. प्रत्येक $n \geq 2$ के लिए [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण $[0,1] \to [0,1]^n$ , और $\R \to \R^2$ , निष्कर्ष के रूप में निकालिए।

**भाग IV — परंतु कभी एकैकी नहीं।**

8. दर्शाइए कि कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) *एकैकी* प्रतिचित्रण $f \colon [0,1]  \to [0,1]^2$ अपने प्रतिबिंब पर [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) होता ( [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) )।
9. दर्शाइए कि $[0,1]$ और $[0,1]^2$ समस्थितिक नहीं हैं: कोई सुचुना हुआ बिंदु हटाकर [संबद्धता](#def-b3-topology-connected) की तुलना कीजिए ( [विधि 6.25](#met-b3-topology-connectargument) )।
10. निष्कर्ष निकालिए: कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण $[0,1] \to [0,1]^2$ कभी एकैकी नहीं हो सकता — कोई एकैकी प्रतिचित्रण प्रश्न 8 से $[0,1]^2 = f([0,1])$ को $[0,1]$ का समस्थितिक बना देता, जो प्रश्न 9 का खंडन है। तर्क में $[0,1]$ की संहतता ठीक कहाँ आई?
11. (चरम बिंदु) सार को संकलित कीजिए: कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादक प्रतिचित्रण $[0,1] \to  [0,1]^2$ है पर कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण नहीं। संस्थितिक धारणा के रूप में “विमा” के बारे में यह क्या कहता है? इस समस्या में सिद्ध हुई एक प्रमेय का और हमारे साधनों से परे रह जाने वाले एक विश्वसनीय कथन (प्रांत की अपरिवर्तिता) का ठीक-ठीक कथन दीजिए।

**भाग V — कैंटर समुच्चय का अंकगणित।**

12. सिद्ध कीजिए कि $C + C = [0, 2]$ : $t \in [0, 1]$ दिया हो, तो अंकों $d_n \in \{0,  1, 2\}$ के साथ $t = \sum_n d_n3^{-n}$ लिखिए और प्रत्येक अंक को $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ के साथ $d_n = a_n + b_n$ के रूप में बाँटिए; निष्कर्ष निकालिए कि $\frac C2 +  \frac C2 = [0, 1]$ *(त्र्याधारी अंकों की भाषा में $[0,1]$ का कौन-सा उपसमुच्चय $\frac C2$ है?)* , फिर पुनःमापन कीजिए। किसी हासिल की कभी आवश्यकता नहीं पड़ती — बताइए कि यही क्यों मर्म है।
13. ज्यामितीय व्याख्या कीजिए: रिक्त [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior) वाली “कैंटर धूल” $C \times  C \subseteq \R^2$ विकर्ण पर *पूरी* छाया डालती है: प्रक्षेप $(x,  y) \mapsto x + y$ उसे $[0, 2]$ पर आच्छादित कर देता है। स्वसमरूपता $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +  \frac23\bigr)$ भी नोट कीजिए, जो $C$ के प्रत्येक चित्र के पीछे का समीकरण है।
14. दर्शाइए कि अंकों का अंतर्ग्रथन एक [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) $C  \to C \times C$ परिभाषित करता है, और इससे प्रत्येक $n$ के लिए $C \cong C^n$ निष्कर्ष निकालिए — कैंटर समुच्चय अपना ही वर्ग, घन, … है। कौन-सी परिचित समष्टियाँ यह गुण साझा करती हैं?
15. दर्शाइए कि $\frac14 \in C$ *(उसका त्र्याधारी प्रसार परिकलित कीजिए: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$)* , यद्यपि $\frac14$ किसी भी हटाए गए अंतराल का सिरा नहीं है; इससे — सिरे गिनकर — निष्कर्ष निकालिए कि सिरे $C$ का एक गणनीय, उचित उपसमुच्चय बनाते हैं।
16. दर्शाइए कि प्रश्न 3 का द्व्याधारी-पठन प्रतिचित्रण $g$ अधिकतम $2$ -से- $1$ है, और ठीक-ठीक बताइए कि $[0,1]$ के किन बिंदुओं के दो पूर्वप्रतिबिंब हैं। ( $g$ गणनीय संख्या के युग्मों को जोड़कर $C$ को $[0,1]$ पर ढहा देता है: यही कैंटर सीढ़ी की संचयिकीय छाया है, जो [अध्याय 9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#ch-b3-measure) में फिर मिलती है।)

**भाग VI — पूर्ण [संहत](#def-b3-topology-compact) समुच्चय: कैंटर सर्वत्र।** कोई अरिक्त [संहत](#def-b3-topology-compact) मापीय समष्टि $P$ *पूर्ण* कहलाती है यदि उसका कोई विविक्त बिंदु न हो।

17. मान लीजिए $P$ पूर्ण [संहत](#def-b3-topology-compact) है और $x \in P$ , $r > 0$ । दर्शाइए कि गोला $B(x, r)$ $P$ के दो बिंदु $y_0  \neq y_1$ अंतर्विष्ट करता है, और इसलिए $B(x, r)$ के भीतर $P$ के बिंदुओं पर केंद्रित दो *असंयुक्त* संवृत गोले $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ भी, जिनकी त्रिज्या $\rho  \leq r/4$ जितनी चाहें उतनी छोटी हो। समझाइए कि पूर्णता (विविक्त बिंदुओं का न होना) ही ठीक वह गुण है जो इस विभाजन को दोनों नए गोलों में से *प्रत्येक* के भीतर दोहराने देता है।
18. इसे दोहराइए: परिमित द्व्याधारी शब्दों $w$ से सूचकित संवृत समुच्चय $F_w \neq \varnothing$ बनाइए, जिनमें $F_{w0},  F_{w1} \subseteq F_w$ असंयुक्त हों और $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w}  \operatorname{diam}P$ हो। दर्शाइए कि प्रत्येक अनंत शब्द $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ के लिए प्रतिच्छेदन $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ एक ही बिंदु $h(\varepsilon)$ है *([संहत](#def-b3-topology-compact) $P$ का परिमित प्रतिच्छेदन गुण)* ।
19. दर्शाइए कि $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ एकैकी और [संतत](#def-b3-topology-continuity) है, और निष्कर्ष निकालिए: *प्रत्येक पूर्ण [संहत](#def-b3-topology-compact) मापीय समष्टि अगणनीय है* — वस्तुतः उसकी गणनीयता कम से कम $\{0,1\}^\N$ जितनी है। पुनः प्राप्त कीजिए: $[0,1]$ और $C$ अगणनीय हैं।
20. दर्शाइए कि $h$ अपने प्रतिबिंब पर [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) है *([संहत](#def-b3-topology-compact) से [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी प्रतिचित्रण, [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))* : अर्थात् प्रत्येक पूर्ण [संहत](#def-b3-topology-compact) मापीय समष्टि कैंटर समुच्चय की एक समस्थितिक प्रति अंतर्विष्ट करती है। कैंटर समुच्चय कोई विचित्रता नहीं, बल्कि [संहत](#def-b3-topology-compact) पूर्णता का सार्वत्रिक बीज है।
21. निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक गणनीय [संहत](#def-b3-topology-compact) मापीय समष्टि का कोई विविक्त बिंदु होता है, और ऐसी एक समष्टि प्रस्तुत कीजिए जिसमें विविक्त बिंदु [सघन](#def-b3-topology-interior) हों पर सब कुछ न हों: $K = \{0\} \cup  \{\frac1n : n \geq 1\}$ ।
22. ( $\R$ के लिए कैंटर–बेंडिक्सन) मान लीजिए $F \subseteq \R$ संवृत है। $x$ को $F$ का *संघनन बिंदु* कहिए यदि $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) $F$ से अगणनीय रूप से मिलता हो। दर्शाइए कि किसी अगणनीय संवृत $F$ के संघनन बिंदु एक अरिक्त पूर्ण संवृत समुच्चय $P$ बनाते हैं, और $F  \setminus P$ गणनीय है *(असंघनन बिंदुओं को $F$ से गणनीय रूप से मिलने वाले गणनीय संख्या के परिमेय अंतरालों से आच्छादित कीजिए)* । निष्कर्ष निकालिए: $\R$ का प्रत्येक संवृत उपसमुच्चय गणनीय है अथवा सातत्य की गणनीयता का है — संवृत समुच्चयों के लिए सातत्य परिकल्पना सत्य है।

**भाग VII — समापन: कितना नियमित, और पूर्णता से कितना दूर।**

23. (वक्र की होल्डर नियमितता) $\alpha =  \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ रखिए और सर्वसमिका $3^\alpha = \sqrt2$ पर ध्यान दीजिए। प्रश्न 1 का उपयोग करके दर्शाइए कि $$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x -  y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$$ फिर इस आकलन को आफ़ीन रिक्तियों के पार ले जाइए: दर्शाइए कि प्रश्न 6 का पेआनो वक्र $f$ समूचे $[0,1]$ पर $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ को संतुष्ट करता है *(एक ही रिक्ति के युग्म को अंतर्वेशन से लीजिए, फिर व्यापक युग्म को $C \cap [t, s]$ के छोर बिंदुओं से होकर)*।
24. (घातांक $\frac12$ एक दीवार है) दर्शाइए कि कोई भी आच्छादक प्रतिचित्रण $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ $\alpha > \frac12$ के साथ $\alpha$ -होल्डर नहीं हो सकता: $[0,1]$ को $N$ अंतरालों में काटिए, उनके प्रतिबिंबों के व्यास परिबद्ध कीजिए, और गिनिए कि व्यास $< \frac1M$ वाला कोई समुच्चय जालिका $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , के कितने बिंदु अंतर्विष्ट कर सकता है; $N^\alpha$ की कोटि का $M$ चुनिए और $N \to \infty$ जाने दीजिए। दीवार के सापेक्ष हमारे वक्र ( $\alpha \approx 0.3155$ ) का स्थान निर्धारित कीजिए, और बिना उपपत्ति के यह दर्ज कीजिए कि हिल्बर्ट वक्र क्रांतिक घातांक $\frac12$ प्राप्त कर लेता है।
25. (व्युत्पन्न समुच्चय: अपूर्णता का मापन) $\R$ में संवृत $F$ के लिए मान लीजिए $F'$ $F$ के सीमा बिंदुओं का समुच्चय है (जो संवृत उपसमुच्चय है), और इसे दोहराइए: $F^{(0)} = F$, $F^{(i+1)}  = (F^{(i)})'$। सत्यापित कीजिए कि $$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup  \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$$ $K' = \{0\} \cup  \{\frac1m\}$, $K'' = \{0\}$, $K''' = \varnothing$ वाला एक गणनीय [संहत](#def-b3-topology-compact) समुच्चय है *(जाँचिए कि $m$-वाँ गुच्छ अंतराल $(\frac1m, \frac1{m-1})$ में रहता है, अतः गुच्छ आपस में उलझते नहीं)*, और यह कि उसके विविक्त बिंदु $K$ में [सघन](#def-b3-topology-interior) हैं, जैसा प्रश्न 21 बताता है। वह आगमन वर्णित कीजिए जो प्रत्येक $j$ के लिए $K_j^{(j)} = \{0\}$ और $K_j^{(j+1)} =  \varnothing$ वाला कोई गणनीय [संहत](#def-b3-topology-compact) $K_j$ उत्पन्न कर दे, और प्रश्न 22 के पूर्ण समुच्चयों से इसकी तुलना कीजिए, जिनके लिए व्युत्पत्ति कभी हिलती ही नहीं: परिमित कोटि पूर्णता का ठीक विपरीत है।

**हल — समस्या 6.1.**

**1.** मान लीजिए $x, y \in C$ के प्रसार पहली बार कोटि $k \leq m$ पर भिन्न होते हैं, कहिए $b_k(x) = 1$, $b_k(y) = 0$। तब

$$
x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j}
= \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:
$$

प्रतिधनात्मक रूप में: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ से कोटि $m$ तक की सहमति अनिवार्य हो जाती है।

**2.** प्रश्न 1 से $b_n$ $C \cap (x -
3^{-n}, x + 3^{-n})$ पर अचर है: अतः स्थानीय रूप से अचर, इसलिए [संतत](#def-b3-topology-continuity)। प्रतिचित्रण $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) (घटकशः, [प्रतिज्ञप्ति 6.10](#prop-b3-topology-universal)(क)) और एकैकी-आच्छादक है (अद्वितीय $\{0,2\}$-अंक प्रसार); और [संहत](#def-b3-topology-compact) $C$ से किसी [हाउसडॉर्फ समष्टि](#def-b3-topology-hausdorff) पर होने के कारण वह [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) है ([उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))।

**3.** [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity): यदि $\abs{x - y} < 3^{-m}$ हो, तो प्रथम $m$ अंक सहमत होते हैं, अतः $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n}
= 2^{-m}$। आच्छादकता: प्रत्येक $t \in [0,1]$ का कोई द्विआधारी प्रसार $t = \sum b_n2^{-n}$ है, और $t = g\bigl(\sum
2b_n3^{-n}\bigr)$। एकैकी नहीं: $g$ अंकों $(0,1,1,1,\dots)$ और $(1,0,0,\dots)$ वाले दोनों कैंटर बिंदुओं की पहचान कर देता है — दोनों $\frac12$ पर जाते हैं (द्विअंशी अस्पष्टता $0.0111\ldots_2 =
0.1000\ldots_2$)।

**4.** $\Phi$ का प्रत्येक घटक उसी आकलन से [संतत](#def-b3-topology-continuity) है (उसके अंक $b_n$ के उपानुक्रम हैं)। आच्छादकता: $(s, t) \in [0,1]^2$ दिया हो, तो $s$ के द्विआधारी अंक $(c_n)$ और $t$ के $(d_n)$ चुनिए, और उन्हें गूँथ दीजिए: $b_{2n-1}(x) = c_n$, $b_{2n}(x) = d_n$ वाला बिंदु $x
\in C$ $\Phi(x) = (s,t)$ संतुष्ट करता है।

**5.** रिक्तियाँ युग्मशः असंयुक्त हैं और उनके अंत-बिंदु $C$ में हैं, अतः सूत्र $[0,1]$ पर $f$ को असंदिग्ध रूप से परिभाषित करता है; और किसी रिक्ति के अंत-बिंदुओं पर आफ़ीन सूत्र $\Phi(u)$, $\Phi(v)$ लौटाता है: जो $C$ पर $f = \Phi$ के संगत है। आच्छादकता: पहले से ही $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$।

**6.** $t_0 \notin C$ पर: $t_0$ किसी विवृत रिक्ति में होता है जिस पर $f$ आफ़ीन है: अतः [संतत](#def-b3-topology-continuity)। $x \in C$ पर: पहले हम दो आकलन दर्ज करते हैं।

*(i) $C$ पर*: यदि $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$, $y \in C$ हो, तो अंक $M$ तक सहमत होते हैं, अतः $\Phi(y)
- \Phi(x)$ का प्रत्येक घटक अधिक से अधिक $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} =
2^{-\lfloor M/2\rfloor}$ है।

*(ii) किसी रिक्ति के पार*: चरण $k$ पर हटाई गई कोई रिक्ति $(u,v)$ की लंबाई $3^{-k}$ है, और उसके अंत-बिंदुओं के अंक कोटि $k - 1$ तक सहमत होते हैं (वे कोटि $k$ से भिन्न होते हैं), अतः $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq
2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$।

अब मान लीजिए $\abs{t - x} < 3^{-M}$, जिसमें $t$ चरण $k$ की किसी रिक्ति $(u, v)$ में है, और कहिए $u$ $x$ की ओर वाला अंत-बिंदु है, अतः $\abs{u - x} < 3^{-M}$ और $0 < t - u < 3^{-M}$। तब

$$
\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty
\leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty
+ \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty
\leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\,
2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .
$$

$k \geq M$ के लिए अंतिम पद $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2
\rfloor}$ है; और $k < M$ के लिए, चूँकि $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq
\sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$,

$$
3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M}
= \sqrt2\; 2^{-M/2}
$$

(बीच वाली राशि $k$ में बढ़ती है)। सभी दशाओं में $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ जिसमें $C$ कोई निरपेक्ष अचर है: अतः $M \to \infty$ लेने पर $x$ पर [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) सिद्ध हो जाती है ($t \in C$ बिंदु (i) से ढक जाते हैं)। इसलिए $f$ कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादन $[0,1] \to [0,1]^2$ है — वस्तुतः आकलन दिखा देते हैं कि वह $\log 2/(2\log
3)$-कोटि के होल्डर स्वाद का है, पर हमने केवल [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) का दावा किया था।

**7.** $[0,1]^n$ के लिए: $x \in C$ के अंकों को $n$ गूँथे हुए उपानुक्रमों में बाँटिए और प्रश्न 4 से 6 तक अक्षरशः दोहराइए। $\R \to \R^2$ के लिए: मान लीजिए $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादन है ($f$ का पुनःमापन कीजिए)। $F$ को $[m, m
+ \frac12]$ ($m \in \Z$) पर $m \geq 0$ के लिए $[-(m+1), m+1]^2$ भरने हेतु पुनःमापित $h$ की प्रतिकृति के रूप में परिभाषित कीजिए (और $m <
0$ के लिए सममित रूप से), तथा $[m + \frac12, m + 1]$ पर अंत-बिंदु मानों को जोड़ने वाले आफ़ीन रेखाखंड के रूप में: $F$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है (संवृत टुकड़ों पर चिपकाना, [प्रतिज्ञप्ति 6.6](#prop-b3-topology-gluing)(ख)) और उसका प्रतिबिंब $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$ को धारण करता है।

**8.** $[0,1]$ [संहत](#def-b3-topology-compact) है और $[0,1]^2$ [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff): अतः कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी प्रतिचित्रण अपने प्रतिबिंब पर [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) है (सह-प्रतिबंध पर लगाई गई [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))।

**9.** $\frac12$ हटाइए: $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ असंबद्ध है। यदि $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) होती, तो $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ भी असंबद्ध होता (असंबद्ध समष्टियों के समस्थितिक प्रतिबिंब असंबद्ध होते हैं); पर एक बिंदु हटाकर बचा वर्ग [पथ-संबद्ध](#def-b3-topology-pathconnected) है: छिद्र से बचते हुए दो बिंदुओं को दो-रेखाखंड वाले [पथ](#def-b3-topology-pathconnected) से जोड़ दीजिए। विरोधाभास: अतः $[0,1] \not\cong [0,1]^2$।

**10.** प्रश्न 8 से कोई एकैकी [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादन $[0,1] \to [0,1]^2$ [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) होता, जो प्रश्न 9 का खंडन करता है। संहतता ठीक [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) में आई: वही किसी [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन के प्रतिलोम को [संतत](#def-b3-topology-continuity) बनाती है (संवृत समुच्चयों के प्रतिबिंब [संहत](#def-b3-topology-compact), अतः संवृत होते हैं)। संहतता के बिना निष्कर्ष सचमुच विफल हो जाता है: $[0, 2\pi) \to S^1$ कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन है जो [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) नहीं है।

**11.** यहाँ सिद्ध हुआ: *$[0,1]$ से $[0,1]^2$ पर कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादन है, पर कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन नहीं; विशेष रूप से $[0,1] \not\cong [0,1]^2$।* अतः “विमा” [संतत](#def-b3-topology-continuity) आच्छादनों से सुरक्षित नहीं रहती — गणनसंख्या और [सांतत्य](#def-b3-topology-continuity) तक उसे नहीं देख सकते — पर वह समस्थितिकताओं के स्तर पर एक संस्थितिक निश्चर *है*, कम से कम $1$ बनाम $2$ विमाओं के लिए, जहाँ हटाने-के-बाद-संबद्धता पर्याप्त है। व्यापक कथन — *प्रांत की निश्चरता*: $\R^m \cong \R^n$ से $m =
n$ निकलता है, और कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी प्रतिचित्रण $\R^n \to \R^n$ विवृत होता है — सत्य है पर उसके लिए [बीजीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic) [संस्थिति](#def-b3-topology-topology) (समजातता) चाहिए, जो इस पाठ्यक्रम से परे है।

**12.** त्रिआधारी में $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n
\in \{0, 1\}\}$ (अंकों $\{0,2\}$ को आधा करने पर अंक $\{0,1\}$ मिलते हैं)। $t \in [0,1]$ के लिए कोई भी त्रिआधारी प्रसार $t =
\sum_nd_n3^{-n}$, $d_n \in \{0,1,2\}$ चुनिए, और प्रत्येक अंक को $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ($0 = 0{+}0$, $1 = 1{+}0$, $2 = 1{+}1$) के साथ $d_n = a_n + b_n$ के रूप में बाँट दीजिए: तब $t \in \frac C2 + \frac C2$। मर्म यह है कि प्रत्येक अंक $\{0,1\}$ के *भीतर* ही बँट जाता है, अतः कोई हासिल कभी नहीं फैलता और अंकों को स्वतंत्र रूप से देखा जा सकता है। विपरीत अंतर्विष्टि स्पष्ट है (अंक-योग $\leq 2$ ही रहते हैं)। $2$ से पुनःमापन: $C + C = [0,2]$।

**13.** प्रतिचित्रण $(x, y) \mapsto x + y$ $C \times C$ को $C + C = [0,2]$ पर भेजता है: अर्थात् वह धूल, जिसमें कोई वर्ग नहीं है (रिक्त [अंतःभाग](#def-b3-topology-interior): [अभ्यास 6.10](#exo-b3-topology-10)), प्रति-विकर्ण के अनुदिश एक पूरे रेखाखंड पर प्रक्षेपित हो जाती है। स्व-समरूपता: किसी कैंटर बिंदु का पहला त्रिआधारी अंक $0$ या $2$ होता है, और उसे हटाने पर $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +
\frac23\bigr)$ मिलता है — यही वह स्थिर-बिंदु समीकरण है जो $C$ का प्रत्येक चित्र उत्पन्न करता है।

**14.** $C \cong \{0,1\}^\N$ (प्रश्न 2) के माध्यम से गूँथन $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto
(\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2,
\varepsilon_2', \dots)$ कोई एकैकी आच्छादन $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$ है, जो दोनों दिशाओं में [संतत](#def-b3-topology-continuity) है (प्रत्येक निर्गम निर्देशांक एक ही निवेश निर्देशांक पर निर्भर करता है; [गुणन संस्थिति](#def-b3-topology-constructions))। अतः $C\times C \cong C$ और आगमन से $C^n \cong C$। परिचित समष्टियाँ यह गुण नहीं रखतीं: $\R^2 \not\cong \R$ और $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (प्रश्न 11); पर अनंत गुणनफल रखते हैं: उसी गूँथन से $([0,1]^\N)^2 \cong
[0,1]^\N$।

**15.** $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1
- 1/9} = \frac14$: $\frac14$ का त्रिआधारी प्रसार $0.\overline{02}$ है, जिसके अंक $\{0,2\}$ में हैं, अतः $\frac14 \in
C$; और चूँकि वह न कोई परिमित प्रसार है न अंततः $2$ वाली पुच्छ, वह किसी हटाई गई मध्य तिहाई का अंत-बिंदु नहीं है। अंत-बिंदु कोई गणनीय समुच्चय बनाते हैं (प्रति हटाए गए अंतराल दो, अंतराल गणनीय संख्या में), जबकि $C \cong \{0,1\}^\N$ अगणनीय है (विकर्ण तर्क, अथवा प्रश्न 19): अतः लगभग प्रत्येक कैंटर बिंदु, $\frac14$ की भाँति, सामान्य अंत-बिंदु चित्र में अदृश्य है।

**16.** $g(x) = g(y)$ का अर्थ है कि द्विआधारी अनुक्रम $(b_n(x))$, $(b_n(y))$ एक ही वास्तविक संख्या निरूपित करते हैं। एक ही संख्या निरूपित करने वाले भिन्न द्विआधारी अनुक्रम ठीक द्विअंशी अस्पष्टता $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$ में आते हैं: अतः अधिक से अधिक दो पूर्व-प्रतिबिंब, और ठीक दो ठीक $(0,1)$ के द्विअंशी परिमेयों पर। इसलिए $g$ गणनीय संख्या के युग्मों को चिपकाकर $C$ को $[0,1]$ पर ढहा देता है — यही [अध्याय 9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#ch-b3-measure) की कैंटर सीढ़ी का संयोजनात्मक कंकाल है।

**17.** $x$ $P$ में विविक्त नहीं है, अतः $B(x, r/2)$ किसी $y_0 \in P \setminus \{x\}$ को धारण करता है; और $y_0$ भी विविक्त नहीं है, अतः $B(x, r/2)$ कोई दूसरा बिंदु $y_1
\in P$ धारण करता है। कोई भी $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3,
\frac r4\bigr)$ $\bar B(y_0, \rho)$ और $\bar B(y_1,
\rho)$ को असंयुक्त तथा $B(x, r)$ में अंतर्विष्ट बना देता है। दोनों $P$ के बिंदुओं पर केंद्रित हैं, जहाँ वही दो-बिंदु निष्कर्षण दोहराया जा सकता है: पूर्णता ही पास के बिंदुओं की वह अक्षय आपूर्ति है जो पुनरावृत्ति को सदा जीवित रखती है।

**18.** $F_w$ को शब्द की लंबाई पर आगमन से बनाइए: $F_\varnothing = P$, और प्रत्येक गोले $B(y_w, \rho_w)$ के भीतर प्रश्न 17 $P$ के बिंदुओं पर केंद्रित त्रिज्या $\leq
\min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ के दो असंयुक्त संवृत गोले देता है; $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi})
\cap P$ रखिए: अरिक्त (उसका [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions)) और [संहत](#def-b3-topology-compact)। अनंत $\varepsilon$ के लिए नेस्टेड अरिक्त [संहत](#def-b3-topology-compact) $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ का प्रतिच्छेद अरिक्त है ([संहत](#def-b3-topology-compact) $P$ में परिमित प्रतिच्छेद गुण), जिसका व्यास $0$ है: अर्थात् कोई एकल बिंदु $h(\varepsilon)$।

**19.** पहली बार कोटि $m$ पर भिन्न होने वाले शब्द अपने प्रतिबिंबों को दो *असंयुक्त* समुच्चयों $F_{w0}, F_{w1}$ में भेजते हैं (उभयनिष्ठ उपसर्ग $w$): अतः $h$ एकैकी है। यदि दो शब्द कोटि $m$ तक सहमत हों, तो दोनों प्रतिबिंब व्यास $\leq
2^{-m}\operatorname{diam}P$ के किसी समुच्चय में होते हैं: अतः $h$ [संतत](#def-b3-topology-continuity) है। इसलिए अगणनीय $\{0,1\}^\N$ $P$ में एकैकी रूप से चला जाता है: अर्थात् प्रत्येक पूर्ण [संहत](#def-b3-topology-compact) दूरिक समष्टि अगणनीय है — और उनमें $[0,1]$ तथा $C$ भी।

**20.** $h$ [संहत](#def-b3-topology-compact) $\{0,1\}^\N$ से [हाउसडॉर्फ](#def-b3-topology-hausdorff) (दूरिक) $P$ में कोई [संतत](#def-b3-topology-continuity) एकैकी प्रतिचित्रण है: [उपप्रमेय 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) उसे अपने प्रतिबिंब पर [समस्थितिकता](#def-b3-topology-continuity) तक उन्नत कर देती है; और $\{0,1\}^\N \cong C$ (प्रश्न 2)। प्रत्येक पूर्ण [संहत](#def-b3-topology-compact) दूरिक समष्टि कैंटर समुच्चय की एक प्रतिकृति धारण करती है: पूर्णता का कोई सार्वत्रिक बीज है, और वह कैंटर का है।

**21.** कोई गणनीय [संहत](#def-b3-topology-compact) दूरिक समष्टि पूर्ण नहीं हो सकती (प्रश्न 19), अतः उसका कोई विविक्त बिंदु होता है। $K =
\{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$ में प्रत्येक बिंदु $\frac1n$ विविक्त है और $0$ नहीं: अर्थात् विविक्त बिंदु समष्टि के विविक्त हुए बिना [सघन](#def-b3-topology-interior) भी हो सकते हैं — संहतता उनकी सीमा को भीतर रखती है।

**22.** मान लीजिए $P$ $F$ के संघनन बिंदुओं का समुच्चय है और $\mathcal B$ परिमेय अंत-बिंदुओं वाले विवृत अंतरालों का गणनीय कुल। $F$ का प्रत्येक असंघनन बिंदु किसी ऐसे $I \in \mathcal B$ में होता है जिसके लिए $I \cap F$ गणनीय है, अतः $F
\setminus P$ इन गणनीय संख्या के गणनीय अंशों के संघ में अंतर्विष्ट है: इसलिए गणनीय। चूँकि $F$ अगणनीय है, $P \neq \varnothing$; और $P$ संवृत है (यदि $x \notin P$ हो, तो साक्षी अंतराल $I$ में कोई भी संघनन बिंदु नहीं है: $I \cap F$ गणनीय) तथा $P \subseteq F$ ($F$ संवृत: कोई संघनन बिंदु विशेष रूप से संलग्न होता है)। $P$ पूर्ण है: यदि किसी अंतराल $I$ के लिए $I \cap P = \{x\}$ होता, तो $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ गणनीय होता, जो $x \in P$ का खंडन करता है। अब प्रश्न 17 से 19 तक की वृक्ष रचना $P$ के भीतर अक्षरशः चलती है: टुकड़े $\bar B(y, \rho) \cap P$ [संहत](#def-b3-topology-compact) हैं ($\R$ के संवृत परिबद्ध उपसमुच्चय), प्रत्येक [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) $P$ में अविविक्त है, और तर्क ने इससे अधिक कभी उपयोग नहीं किया। अतः $\abs P \geq
\abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$, और तुच्छ रूप से $\abs F \leq \mathfrak
c$: अर्थात् किसी अगणनीय संवृत $F \subseteq \R$ की गणनसंख्या ठीक $\mathfrak c$ है। संवृत समुच्चय सातत्य परिकल्पना की विफलता के साक्षी नहीं हो सकते।

**23.** मान लीजिए $C$ में $x \neq y$ और $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$ वाला $m \geq 0$ चुनिए। प्रश्न 1 से अंक $b_n(x) = b_n(y)$ $n \leq m$ के लिए सहमत होते हैं; $\Phi$ का पहला निर्देशांक $b_1, b_3, \dots$ का उपयोग करता है और दूसरा $b_2,
b_4, \dots$ का, अतः प्रत्येक निर्देशांक में दोनों बिंदु कम से कम $\lfloor m/2\rfloor$ अग्रणी द्विआधारी अंक साझा करते हैं:

$$
\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty
\leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k}
= 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2}
= \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha
\leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,
$$

जिसमें $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ का उपयोग हुआ है (लघुगणक लीजिए); और $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$: अर्थात् $C$ पर परिबंध $2\abs{x-y}^\alpha$। एक ही रिक्ति $(u, v)$: वहाँ $f$ आफ़ीन है, अतः $t, s \in [u, v]$ के लिए

$$
\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,
\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}
\leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha
\leq 2\abs{t-s}^\alpha,
$$

क्योंकि $\abs{t-s} \leq v - u$ होने पर $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}}
{v-u}\bigr)^\alpha$। व्यापक $t <
s$: यदि $[t, s]$ $C$ से मिले, तो मान लीजिए $u'$ और $v'$ [संहत](#def-b3-topology-compact) $C \cap [t, s]$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े बिंदु हैं; तब $t$ किसी ऐसी रिक्ति में (या $C$ के किसी बिंदु पर) होता है जिसका दायाँ अंत-बिंदु $u'$ है, और $s$ किसी ऐसी में जिसका बायाँ अंत-बिंदु $v'$ है, और

$$
\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha
+ 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha
\leq 6\abs{t - s}^\alpha ;
$$

और यदि $[t, s]$ $C$ से न मिले, तो एक ही रिक्ति वाली स्थिति लागू होती है। अतः $f$ $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$ के साथ $\alpha$-होल्डर है।

**24.** मान लीजिए आच्छादक $F$ और $\alpha >
\frac12$ के साथ $\norm{F(t) - F(s)} \leq
C\abs{t-s}^\alpha$। $[0,1]$ को लंबाई $\frac1N$ के $N$ अंतरालों $I_1, \dots, I_N$ में काटिए: प्रत्येक प्रतिबिंब $F(I_j)$ का व्यास $\leq
CN^{-\alpha}$ है। जालक $G_M =
\bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j
\leq M}$ के दो भिन्न बिंदु दूरी $\geq \frac1M$ पर हैं, अतः व्यास $< \frac1M$ वाला कोई समुच्चय उनमें से अधिक से अधिक एक को धारण करता है। $M =
\lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ चुनिए (बड़े $N$ के साथ): तब $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$, और आच्छादकता $(M+1)^2$ जालक बिंदुओं में से प्रत्येक को किसी $F(I_j)$ में डाल देती है, जिससे

$$
\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,
$$

और $2\alpha > 1$ होने पर बड़े $N$ के लिए $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ विफल हो जाता है: विरोधाभास। हमारा वक्र, $\alpha \approx
0.3155$ के साथ, दीवार से नीचे बैठता है, जैसा उसे होना ही चाहिए; और हिल्बर्ट का वक्र (स्वीकृत) $\frac12$-होल्डर है, अतः क्रांतिक घातांक $\frac12$ प्राप्त हो जाता है — होल्डर नियमितता, एकैकीपन के विपरीत, मात्रा का प्रश्न है, और $\frac12$ ठीक वही सीमांत है जो विमा $2$ विमा $1$ से आने वाले किसी प्रतिचित्रण पर थोपती है।

**25.** $m$-वाँ गुच्छ $\{\frac1m + \frac1n : n >
m^2\}$ $m \geq 2$ के लिए $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr]
\subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ में होता है, क्योंकि $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} >
\frac1{m^2}$ (और पहला गुच्छ $(1, \frac32]$ में होता है): अतः गुच्छ असंयुक्त अंतरालों पर कब्ज़ा करते हैं। $K$ के सीमा बिंदु: $m$-वें अंतराल के भीतर केवल $\frac1m$ (गुच्छ उसी पर अभिसरित होता है और स्वयं में विविक्त है); और वैश्विक रूप से $0$ ($0$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b3-topology-topology) पूरे-पूरे गुच्छ धारण करता है)। अतः $K'
= \{0\} \cup \{\frac1m\}$, फिर $K'' = \{0\}$ (प्रत्येक $\frac1m$ $K'$ में विविक्त है), $K''' = \varnothing$; और $K$ अपने सीमा बिंदु धारण करता है, इसलिए संवृत, परिबद्ध, गणनीय, [संहत](#def-b3-topology-compact) है, तथा उसके विविक्त बिंदु — गुच्छ बिंदु $\frac1m +
\frac1n$ — $K$ में [सघन](#def-b3-topology-interior) हैं: $K'$ का प्रत्येक अवयव उनकी सीमा है, जैसा प्रश्न 21 की क्रियाविधि भविष्यवाणी करती है। आगमन: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ के लिए $K_1^{(1)} = \{0\}$; और $K_j^{(j)} =
\{0\}$, $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ वाला कोई गणनीय [संहत](#def-b3-topology-compact) $K_j \subseteq [0, 1]$ दिया हो, तो

$$
K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1}
\Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),
$$

रखिए, जिसमें $\varepsilon_m$ इतना छोटा हो कि $m$-वीं प्रतिकृति $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ में हो। व्युत्पत्ति प्रतिकृति-दर-प्रतिकृति क्रिया करती है (प्रतिकृतियाँ असंयुक्त विवृत अंतरालों में रहती हैं), अतः $i \leq j$ के लिए $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m +
\varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$; और $i = j$ पर यह $\{0\} \cup \{\frac1m\}$ के रूप में पढ़ा जाता है, फिर $K_{j+1}^{(j+1)} =
\{0\}$ और $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$। अतः प्रत्येक परिमित कोटि आती है। कोई पूर्ण समुच्चय दूसरा छोर है: $P' = P$, व्युत्पत्ति कभी हिलती ही नहीं — और कैंटर–बेंडिक्सन (प्रश्न 22) ठीक यही कहती है कि प्रत्येक संवृत समुच्चय एक पूर्ण गिरी, जो व्युत्पत्ति को अदृश्य है, और एक गणनीय शेष में, जिसे व्युत्पत्ति खा जाती है, बँट जाता है।