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title: "पूर्ण समष्टियाँ: बेयर, आस्कोली, स्टोन–वाइरश्ट्रास"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass
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# अध्याय 7 — पूर्ण समष्टियाँ: बेयर, आस्कोली, स्टोन–वाइरश्ट्रास

[पूर्णता](#def-b3-complete-complete) — अर्थात् प्रत्येक कोशी अनुक्रम का अभिसरित होना — वह गुण है जो विश्लेषण को वस्तुएँ *उत्पन्न* करने देता है: संकुचनों के स्थिर बिंदु, श्रेणियों के योग, सीमा के रूप में प्राप्त समीकरणों के हल। यह अध्याय मापीय सिद्धांत की तीन महान अस्तित्व-मशीनें जोड़ता है। *बेयर की प्रमेय* दिखाती है कि कोई [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) समष्टि नगण्य टुकड़ों का गणनीय सम्मिलन नहीं हो सकती, और विशुद्ध गणनीयता जैसे तर्क से वस्तुएँ ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) पर [कहीं भी अनवकलनीय फलन](#thm-b3-complete-nowherediff)!) प्रकट कर देती है। *आर्ज़ेला–आस्कोली* $\mathcal C(K)$ के [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) उपसमुच्चयों की पहचान कर देती है और विश्लेषण का संहतता-श्रमिक है — सप्ताहांत समस्या उससे अवकल समीकरणों के लिए पेआनो की अस्तित्व प्रमेय सिद्ध करती है। *स्टोन–वाइरश्ट्रास* दिखाती है कि बहुपद, और उनके अतिरिक्त बहुत कुछ, $\mathcal C(K)$ में सघन हैं: आसन्नन एक [बीजीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic) सत्यापन बन जाता है। रास्ते में हम [पूर्णन](#thm-b3-complete-completion) बनाते हैं और एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिचित्रणों के लिए विस्तार प्रमेय सिद्ध करते हैं, जो अध्याय [12](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#ch-b3-lp), [13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert) और [14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) की रोज की रोटी है।

## 7.1 पूर्ण समष्टियाँ, पूर्णन, विस्तार

**परिभाषा 7.1.**

कोई मापीय समष्टि *पूर्ण* कहलाती है यदि उसका प्रत्येक कोशी अनुक्रम अभिसरित हो (दूसरा वर्ष: $\R^n$ पूर्ण है; $\norm\cdot_\infty$ के साथ $\mathcal C(\intcc01)$ पूर्ण है)। किसी पूर्ण समष्टि का संवृत उपसमुच्चय पूर्ण होता है; और किसी भी मापीय समष्टि का पूर्ण उपसमुच्चय संवृत होता है।

**उपपत्ति.** दोनों कथनों के लिए: संवृत $F$ का कोई कोशी अनुक्रम $X$ में अभिसरित होता है, और उसकी सीमा, $F$ की संलग्न होने के कारण, $F$ में ही होती है; और [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $A$ का $X$ में अभिसरित होने वाला कोई अनुक्रम कोशी है, अतः $A$ में अभिसरित होता है, और सीमाएँ अद्वितीय होती हैं। ∎

**प्रमेय 7.2 (एकसमान संतत प्रतिचित्रणों का विस्तार).**

मान लीजिए $D \subseteq X$ सघन है, $Y$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) है, और $f \colon D \to
Y$ एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)। तब $f$ *अद्वितीय* रूप से किसी [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar f \colon X \to Y$ तक विस्तारित हो जाता है, और $\bar f$ एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) होता है।

**उपपत्ति.** अद्वितीयता: दो [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) विस्तार सघन $D$ पर सहमत होते हैं, अतः सर्वत्र (सहमति समुच्चय $\{g = h\}$ संवृत है: $x\mapsto(g(x), h(x))$ के अंतर्गत संवृत विकर्ण का पूर्वप्रतिबिंब)। अस्तित्व: $x \in X$ के लिए $d_n \to x$, $d_n \in D$ चुनिए। अनुक्रम $(f(d_n))$ कोशी है: $\varepsilon$ दिया हो तो एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $d(u,v) < \delta \Rightarrow
d(f(u), f(v)) < \varepsilon$ वाला $\delta$ दे देता है, और $(d_n)$ कोशी है। $\bar f(x) = \lim f(d_n)$ परिभाषित कीजिए; सीमा चुने गए अनुक्रम पर निर्भर नहीं करती (दो अनुक्रमों को गूँथ दीजिए)। $\bar f$ $f$ का विस्तार है (अचर अनुक्रम) और [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) मापांक विरासत में पाता है: यदि $d(x, x') < \delta$ हो, तो दोनों को दूरी $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ पर $D$ के बिंदुओं से आसन्न करने पर सीमा में $d(\bar f(x), \bar
f(x')) \leq \varepsilon$ मिलता है — अतः $\bar f$ एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। ∎

**प्रमेय 7.3 (पूर्णन).**

प्रत्येक मापीय समष्टि $X$ किसी [पूर्ण मापीय समष्टि](#def-b3-complete-complete) $\hat X$ के सघन उपसमुच्चय के रूप में समदूरिक ढंग से अंतःस्थापित हो जाती है, और $X$ को बिंदुशः स्थिर रखने वाली समदूरीयता तक वह अद्वितीय है: यही उसका *पूर्णन* है।

**उपपत्ति.** *अस्तित्व।* मान लीजिए $\mathcal X$ $X$ के कोशी अनुक्रमों का समुच्चय है, जिस पर छद्म-दूरी

$$
D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),
$$

है; सीमा विद्यमान है क्योंकि $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)}
\leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ वास्तविक अनुक्रम को कोशी बना देता है। $\hat X = \mathcal X/{\sim}$ लीजिए, जिसमें $D$-दूरी $0$ वाले अनुक्रमों की पहचान कर दी गई है; $D$ उतरकर एक दूरी बन जाती है। $X$ को अचर अनुक्रमों द्वारा अंतःस्थापित कीजिए: यह समदूरीयता है और उसका प्रतिबिंब सघन है (किसी कोशी अनुक्रम का $D$-आसन्नन उसके अपने ही पदों पर बने अचरों से हो जाता है: कोशीपन से $k \to \infty$ पर $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm
const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$)। $\hat X$ की [पूर्णता](#def-b3-complete-complete): मान लीजिए $(\xi^k)$ $\hat X$ में कोशी है; सघनता से $D(\xi^k, x_k)
\leq 2^{-k}$ वाले $x_k \in X$ चुनिए; तब $(x_k)$ $X$ में कोशी है ($\xi$ से होकर त्रिभुज असमिका), जो एक बिंदु $\xi \in \hat
X$ परिभाषित करता है, और $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (अचर $x_k$ से $(x_j)_j$ के वर्ग की दूरी $\lim_j d(x_k, x_j)$ है, जो बड़े $k$ के लिए छोटी है)।

*अद्वितीयता*: दो [पूर्णन](#thm-b3-complete-completion) $\hat X_1, \hat X_2$ $X$ को सघन रूप से अंतर्विष्ट करते हैं; $X$ का तत्समक, जो एक समदूरीयता है, एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, अतः $\hat X_1 \to \hat X_2$ तक विस्तारित हो जाता है ([प्रमेय 7.2](#thm-b3-complete-extension)), और [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) पर समदूरीयता होने के कारण सर्वत्र समदूरीयता रहता है; सममित रूप से दूसरी दिशा में भी, और संयोजन सघन $X$ को स्थिर रखते हैं: अतः वे तत्समक हैं। ∎

**प्रमेय 7.4 (बानाख स्थिर बिंदु).**

मान लीजिए $X$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) और अरिक्त है और $f \colon X \to X$ एक *संकुचन*: $k < 1$ के साथ $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$। तब $f$ का एक अद्वितीय स्थिर बिंदु $x^*$ होता है, और प्रत्येक [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) उस पर अभिसरित होती है, और स्पष्ट दर $d(x_n, x^*) \leq
\frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$ के साथ।

**उपपत्ति.** (इसे दूसरे वर्ष में सिद्ध किया जा चुका है; स्वयंपूर्णता के लिए हम दो पंक्ति का तर्क फिर दर्ज कर देते हैं।) [कक्षा](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-action) $x_{n+1} = f(x_n)$ के लिए $d(x_{n+1},
x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$, अतः वह कोशी है (गुणोत्तर श्रेणी); उसकी सीमा $x^*$ स्थिर है ($f$ का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)), और अद्वितीय है क्योंकि दो स्थिर बिंदु $d \leq k\,d$ को संतुष्ट करते हैं। दर: गुणोत्तर पुच्छ का योग लीजिए। ∎

**उदाहरण 7.5 (तत्समक का विक्षोभ).**

मान लीजिए $g \colon \R^d \to \R^d$ $k < 1$ के साथ $k$-लिप्शिट्ज़ है। तब $\varphi = \mathrm{id} + g$ *$\R^d$ की $\R^d$ पर [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)* है। एकैकीपन, एक मात्रात्मक मापांक सहित:

$$
\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} -
\norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .
$$

आच्छादकता स्थिर बिंदु प्रमेय है: $\varphi(x) = y$ हल करने का अर्थ है $x = y - g(x)$, और $x \mapsto y -
g(x)$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $\R^d$ का $k$-संकुचन है — अतः प्रत्येक $y$ के लिए एक अद्वितीय हल $x = \psi(y)$ विद्यमान है। प्रदर्शित असमिका प्रतिलोम $\psi$ को नियतांक $\frac1{1-k}$ के साथ लिप्शिट्ज़ बना देती है: अर्थात् एक [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), जिसके दोनों मापांकों पर स्पष्ट परिबंध हैं। यह भोला-सा दिखने वाला कथन प्रतिलोम फलन प्रमेय ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/20-rn#ch-b3-submanifolds)) के भीतर का इंजन है: जिस बिंदु के निकट $Df$ व्युत्क्रमणीय है, वहाँ $f$ *वस्तुतः* एक व्युत्क्रमणीय रैखिक प्रतिचित्रण और एक छोटा लिप्शिट्ज़ विक्षोभ है, और शेष काम आज का उदाहरण कर देता है। यह सांख्यिक दृढ़ता को भी माप देता है: प्रतिलोम के अंतराल से कम विक्षुब्ध कोई निकाय हल्य बना रहता है, और हल विक्षोभ के अधिकतम $\frac{1}{1-k}$ गुना ही खिसकता है।

## 7.2 बेयर की प्रमेय

**प्रमेय 7.6 (बेयर).**

किसी [पूर्ण मापीय समष्टि](#def-b3-complete-complete) में सघन विवृत समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन सघन होता है। समतुल्य रूप से: यदि $X = \bigcup_{n}F_n$ हो जहाँ प्रत्येक $F_n$ संवृत है, तो किसी $F_n$ का [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) अरिक्त होता है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $(U_n)$ सघन विवृत हैं और $B_0 = B(x_0, r_0)$ कोई विवृत गोला; हम $B_0$ में $\bigcap U_n$ का कोई बिंदु ढूँढ़ते हैं। आगमन से: $U_{n}$ के सघन और विवृत होने से वह विवृत गोले $B_{n-1}$ से किसी [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) में मिलता है, जो $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ और $\bar B(x_n, r_n) \subseteq
B_{n-1}\cap U_n$ वाले किसी संवृत गोले $\bar B(x_n, r_n)$ को अंतर्विष्ट करता है। [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) एक कोशी अनुक्रम बनाते हैं ($m \geq n$ के लिए $x_m \in
B_n$, त्रिज्याएँ $\to 0$); सीमा $x$ प्रत्येक $\bar B(x_n, r_n)$ में होती है (संवृतता), अतः प्रत्येक $U_n$ में और $B_0$ में भी। दूसरे रूप के लिए: यदि किसी $F_n$ का [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) न हो, तो $U_n = X \setminus F_n$ विवृत और सघन हैं, और $\bigcap U_n$ का कोई बिंदु $\bigcup F_n = X$ से बच निकलता है: निरर्थक। ∎

**टिप्पणी 7.7.**

शब्दावली: कोई समुच्चय *कहीं सघन नहीं* कहलाता है यदि उसकी [संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) का [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) रिक्त हो, और *क्षीण* (प्रथम श्रेणी का) यदि वह कहीं सघन नहीं समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन हो। बेयर: *कोई [पूर्ण मापीय समष्टि](#def-b3-complete-complete) अपने आप में [क्षीण](#rem-b3-complete-meagre) नहीं होती*, और किसी [क्षीण समुच्चय](#rem-b3-complete-meagre) का पूरक सघन होता है। “[क्षीण](#rem-b3-complete-meagre)” छोटेपन की ऐसी धारणा है जो माप के लंबवत है ([अध्याय 9](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory#ch-b3-measure) पूरे माप वाले [क्षीण समुच्चय](#rem-b3-complete-meagre) बना देगा), और बेयर के तर्क *प्रचुरता से अस्तित्व* सिद्ध करते हैं: गुण P न रखने वाली एक वस्तु प्रस्तुत करने के लिए दिखाइए कि P वाली वस्तुएँ एक [क्षीण समुच्चय](#rem-b3-complete-meagre) बनाती हैं।

**उपप्रमेय 7.8.**

(क) $\R$ अगणनीय है। (ख) $\Q$ $\R$ के विवृत उपसमुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन नहीं है, और विविक्त बिंदुओं के बिना कोई अरिक्त [पूर्ण मापीय समष्टि](#def-b3-complete-complete) अगणनीय होती है।

**उपपत्ति.** (क) किसी गणनीय समुच्चय पर $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ से किसी एकल-अवयवी समुच्चय का [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) बन जाता। (ख) यदि विवृत $V_n$ (जो अनिवार्यतः सघन हैं, क्योंकि $\supseteq \Q$) के साथ $\Q = \bigcap_n V_n$ हो, तो समुच्चय $V_n$ और पूरक $\R\setminus\{q\}$, $q \in \Q$, सघन विवृत समुच्चयों का ऐसा गणनीय कुल बनाते हैं जिसका प्रतिच्छेदन रिक्त है — जो बेयर का खंडन है। यदि $X$ विविक्त बिंदुओं के बिना [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) और गणनीय हो, तो $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ उसे रिक्त [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) वाले संवृत समुच्चयों के गणनीय सम्मिलन के रूप में प्रस्तुत कर देता है (कोई विविक्त बिंदु नहीं): फिर बेयर। ∎

**प्रमेय 7.9 (वाइरश्ट्रास के राक्षस विद्यमान हैं).**

$\intcc01$ पर ऐसे [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन विद्यमान हैं जो किसी भी बिंदु पर अवकलनीय नहीं हैं। वस्तुतः, ऐसे $f \in \mathcal C(\intcc01)$ का समुच्चय जिनका एक भी बिंदु पर (परिमित) अवकलज हो, $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$ में [क्षीण](#rem-b3-complete-meagre) है।

**उपपत्ति.** $n \geq 1$ के लिए मान लीजिए

$$
F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\
\forall h \neq 0 \text{ जिसके लिए } x + h \in \intcc01,\
\abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.
$$

यदि $f$ $x$ पर अवकलनीय हो, तो किसी $n$ के लिए $f \in F_n$: भागफल $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ $\abs h
\leq \delta$ के लिए परिबद्ध है (अवकलनीयता: वह $\abs{f'(x)}$ की ओर जाता है) और $\abs h \geq \delta$ के लिए $2\norm f_\infty/\delta$ से परिबद्ध। अतः $\bigcup F_n$ समस्त कहीं-न-कहीं अवकलनीय फलनों को अंतर्विष्ट करता है, और केवल यह दिखाना पर्याप्त है कि प्रत्येक $F_n$ संवृत है और उसका [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) रिक्त है।

*संवृत*: मान लीजिए एकसमान रूप से $f_k \to f$, और साक्षियों $x_k \to x$ के साथ $f_k \in F_n$ (संहतता, निष्कर्षण के बाद)। $x + h \in \intcc01$ वाले $h$ के लिए: $x_k + h_k
\in \intcc01$ वाला $h_k \to h$ चुनिए (उदाहरणार्थ काटा हुआ $h_k = h + x - x_k$); तब एकसमान अभिसरण और संगत बिंदुओं पर $f$ के [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) का उपयोग करते हुए $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)}
\leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$: अतः $f \in F_n$।

*रिक्त [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior)*: $f \in F_n$ और $\varepsilon > 0$ दिए हों, तो हम $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ और $g
\notin F_n$ वाला $g$ ढूँढ़ते हैं। पहले $f$ का $\varepsilon/2$ के भीतर किसी खंडशः आफ़ीन $\varphi$ से आसन्नन कीजिए (एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): किसी सूक्ष्म जालिका पर अंतर्वेशन कीजिए), जिसकी ढालें किसी $M$ से परिबद्ध हों। अब एक छोटा आरादंत जोड़िए: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$, जहाँ $s_N(x)$ आयाम $1$ और ढाल $\pm 2N$ वाला $\frac1N$-आवर्ती टेढ़ा-मेढ़ा फलन है। प्रत्येक $x$ पर, किसी एक ओर मनमाना छोटा $h$ ऐसा है कि आरादंत $[x, x+h]$ पर ढाल $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 =
\pm\varepsilon N$ का योगदान देता है: अतः बड़े $N$ के लिए $g$ का अंतर भागफल $\varepsilon N - M > n$ से अधिक हो जाता है। इसलिए $g \notin
F_n$, और यह $f$ से किसी भी एकसमान दूरी $\leq \varepsilon$ पर। निष्कर्ष: $\bigcup F_n$ [क्षीण](#rem-b3-complete-meagre) है; और बेयर से उसका पूरक — जो कहीं भी अनवकलनीय फलनों से बना है — $\mathcal C(\intcc01)$ में सघन है: ऐसे फलन *प्रचुरता में* विद्यमान हैं। ∎

## 7.3 आर्ज़ेला–आस्कोली

आगे सर्वत्र $K$ एक *[संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)* मापीय समष्टि है और $\norm f_\infty = \sup_K
\norm{f(x)}$ के साथ $\mathcal
C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$: एक [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) समष्टि ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनों की एकसमान सीमाएँ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) होती हैं — दूसरा वर्ष)।

**परिभाषा 7.10.**

कोई कुल $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ *समसंतत* कहलाता है यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि

$$
d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon
\quad\text{\emph{सभी} } f \in \mathcal F \text{ के लिए}
$$

(पूरे कुल के लिए एक ही $\delta$ — उदाहरणार्थ उभयनिष्ठ लिप्शिट्ज़ नियतांक वाला कोई कुल, अथवा उभयनिष्ठ होल्डर मापांक वाला), और *बिंदुशः परिबद्ध* यदि प्रत्येक $x$ के लिए $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ हो।

**प्रमेय 7.11 (आर्ज़ेला–आस्कोली).**

कोई उपसमुच्चय $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है (उसकी [संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है) तभी और केवल तभी जब वह [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) और बिंदुशः परिबद्ध हो। विशेष रूप से, प्रत्येक [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous), बिंदुशः परिबद्ध *अनुक्रम* का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम होता है।

**उपपत्ति.** ($\Leftarrow$) मान लीजिए $(f_k)$ $\mathcal F$ का कोई अनुक्रम है। [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) मापीय $K$ *पृथक्करणीय* है: प्रत्येक $n$ के लिए त्रिज्या $\frac1n$ के परिमित संख्या के गोले $K$ को आच्छादित कर देते हैं ([प्रमेय 6.16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#thm-b3-topology-metriccompact)); उनके [केंद्र](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) एक गणनीय [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) $D = \{x_1, x_2, \dots\}$ बनाते हैं। बिंदुशः परिबद्धता और बोलत्सानो–वाइरश्ट्रास से क्रमशः $x_1$ पर, फिर $x_2$ पर भी, अभिसरित होने वाले उपानुक्रम निकालिए, इत्यादि, और *विकर्ण* उपानुक्रम $(g_j)$ लीजिए: वह $D$ के प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होता है। [समसांतत्य](#def-b3-complete-equicontinuous) इसे एकसमान कोशीपन तक उठा देता है: $\varepsilon$ दिया हो तो परिभाषा के अनुसार $\delta$ लीजिए, $K$ को $x_i \in D$ ($i \leq m$) वाले परिमित संख्या के गोलों $B(x_i, \delta)$ से आच्छादित कीजिए, और इतना बड़ा $J$ चुनिए कि $j, j' \geq
J$, $i \leq m$ के लिए $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ हो। मनमाने $x \in B(x_i, \delta)$ के लिए:

$$
\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)}
\leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)}
+ \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .
$$

अतः $(g_j)$ एकसमान कोशी है और [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $\mathcal C(K)$ में अभिसरित होता है। इस प्रकार $\mathcal F$ के प्रत्येक अनुक्रम का कोई अभिसारी उपानुक्रम है: अर्थात् $\bar{\mathcal F}$ (अनुक्रमीय रूप से, और इसलिए [प्रमेय 6.16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#thm-b3-topology-metriccompact) से) [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है।

($\Rightarrow$) यदि $\bar{\mathcal F}$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) हो: बिंदुशः परिबद्धता स्पष्ट है (मान-निर्धारण [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है)। [समसांतत्य](#def-b3-complete-equicontinuous) के लिए $\mathcal F$ को $\mathcal C(K)$ के परिमित संख्या के गोलों $B(f_i, \varepsilon)$ से आच्छादित कीजिए; प्रत्येक $f_i$ एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है (हाइने, [उपप्रमेय 6.17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-heineborel)), जिससे $i \leq m$ के लिए एक उभयनिष्ठ $\delta$ मिलता है; तब $f \in B(f_i, \varepsilon)$ और $d(x,y)
< \delta$ के लिए $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon +
\norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$। ∎

**उदाहरण 7.12.**

$\mathcal C(\intcc01)$ का संवृत इकाई गोला [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) *नहीं* है ($f_n(x) = x^n$ का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम नहीं है: बिंदुशः सीमा असंतत है), और वस्तुतः $(x^n)$ $1$ पर [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) नहीं है। इसके विपरीत $\{f : \norm
f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: परिबद्ध, $1$-लिप्शिट्ज़-समसंतत, और संवृत। आस्कोली समझा देती है कि अनंत विमा में संहतता *क्यों* विफल हो जाती है (रीस, दूसरा वर्ष) और उसे बहाल करने के लिए क्या जोड़ना पड़ता है: एक एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) मापांक।

## 7.4 स्टोन–वाइरश्ट्रास

**प्रमेयिका 7.13 (दीनी).**

मान लीजिए $K$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है और $(f_n)$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) वास्तविक फलनों का ऐसा *एकदिष्ट* अनुक्रम है जो किसी [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ पर *बिंदुशः* अभिसरित होता है। तब अभिसरण एकसमान है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $f_n \uparrow f$; तब $g_n = f - f_n \downarrow 0$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। $\varepsilon$ दिया हो, तो [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $U_n = \{g_n <
\varepsilon\}$ बढ़ते जाते हैं और $K$ को आच्छादित करते हैं (बिंदुशः अभिसरण); कोई परिमित उपआवरण निकालिए: किसी $n_0$ के लिए $K = U_{n_0}$ (बढ़ता हुआ कुल), अर्थात् $n \geq n_0$ के लिए सर्वत्र $0 \leq g_n < \varepsilon$। ∎

**प्रमेयिका 7.14.**

ऐसे *बहुपदों* $u_n$ का एक अनुक्रम है जिसके लिए $\intcc01$ पर एकसमान रूप से $u_n(t) \to
\sqrt t$ हो।

**उपपत्ति.** $u_0 = 0$, $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t -
u_n(t)^2\bigr)$ परिभाषित कीजिए: ये बहुपद हैं। $\intcc01$ पर आगमन से $0 \leq u_n(t) \leq
\sqrt t$: $n$ के लिए इसे मानकर,

$$
\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr)
\Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,
$$

क्योंकि $\sqrt t + u_n \leq 2$; और $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$। अतः $(u_n(t))$ अनवरोही है और $\sqrt t$ से परिबद्ध: वह बिंदुशः अभिसरित होता है, और सीमा $\ell(t)$ $\ell =
\ell + \frac12(t - \ell^2)$ को संतुष्ट करती है: अर्थात् $\ell(t) = \sqrt t$, जो [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। दीनी ([प्रमेयिका 7.13](#lem-b3-complete-dini)) इसे एकसमान तक उठा देती है। ∎

**प्रमेय 7.15 (स्टोन–वाइरश्ट्रास, वास्तविक रूप).**

मान लीजिए $K$ एक [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) ([हाउसडॉर्फ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-hausdorff)) समष्टि है और $\mathcal A \subseteq
\mathcal C(K, \R)$ ऐसा *उपबीजगणित* (योग, गुणनफल और अदिश गुणजों के अंतर्गत स्थिर) है जो *अचरों को अंतर्विष्ट करता है* और *बिंदुओं को पृथक करता है* ($x \neq y$ के लिए किसी $f \in
\mathcal A$ के लिए $f(x) \neq f(y)$)। तब $\mathcal A$ $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$ में सघन है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $\bar{\mathcal A}$ उसकी [संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) है, जो पुनः एक बीजगणित है (परिबद्ध समुच्चयों पर एकसमान सीमाओं के गुणनफल अभिसरित होते हैं)।

*चरण 1: $\bar{\mathcal A}$ एक जालक है*, अर्थात् $\max$ और $\min$ के अंतर्गत स्थिर। चूँकि $\max(f,g) = \frac{f + g +
\abs{f-g}}2$ और वैसे ही $\min$, इतना ही पर्याप्त है कि $f \in
\bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$: $M = \norm f_\infty > 0$ के साथ $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$, और [प्रमेयिका 7.14](#lem-b3-complete-sqrt) से ऐसे बहुपद $u_n$ मिलते हैं जिनके लिए एकसमान रूप से $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$; और बीजगणित के सदस्यों के बहुपद (अचर पद सहित: अचर वहाँ हैं ही) $\bar{\mathcal A}$ में ही रहते हैं।

*चरण 2: दो-बिंदु अंतर्वेशन।* $x \neq y$ और $a,
b \in \R$ के लिए किसी $g \in \mathcal A$ के लिए $g(x) = a$, $g(y) = b$: $x, y$ को पृथक करने वाला $h$ लीजिए और $g = a + (b -
a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$ रखिए।

*चरण 3.* मान लीजिए $f \in \mathcal C(K)$, $\varepsilon > 0$। प्रत्येक युग्म $x, y$ के लिए $g_{x,y}(x) = f(x)$, $g_{x,y}(y) = f(y)$ वाला $g_{x,y} \in \mathcal A$ चुनिए (चरण 2; $x = y$ के लिए अचर फलन $g_{x,x} = f(x)$ लीजिए)। $x$ स्थिर कीजिए: प्रत्येक $y$ के लिए [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $V_y = \{g_{x,y} < f +
\varepsilon\}$ $y$ को अंतर्विष्ट करता है; संहतता से $K = \bigcup V_{y_j}$ वाले $y_1, \dots,
y_m$ निकल आते हैं, और $h_x = \min_j g_{x, y_j}
\in \bar{\mathcal A}$ (चरण 1) सर्वत्र $h_x < f +
\varepsilon$ को संतुष्ट करता है, तथा $h_x(x) = f(x)$। अब $x$ को बदलिए: $W_x =
\{h_x > f - \varepsilon\}$ विवृत है और $x$ को अंतर्विष्ट करता है; $K$ को आच्छादित करने वाले $x_1,
\dots, x_l$ निकालिए, और $h = \max_i h_{x_i} \in
\bar{\mathcal A}$ $f - \varepsilon < h < f +
\varepsilon$ को संतुष्ट करता है: अतः $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$। इसलिए $f \in \bar{\mathcal A}$। ∎

**उपप्रमेय 7.16.**

(क) (*वाइरश्ट्रास*) बहुपद $\mathcal
C(\intcc ab, \R)$ में सघन हैं; और [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \R^n$ के लिए $n$ चरों के बहुपद $\mathcal C(K, \R)$ में सघन हैं। (ख) (*सम्मिश्र रूप*) यदि $\mathcal A \subseteq \mathcal
C(K, \C)$ ऐसा उपबीजगणित हो जो अचरों को अंतर्विष्ट करता हो, बिंदुओं को पृथक करता हो, और *संयुग्मन के अंतर्गत स्थिर* हो, तो वह सघन है। (ग) (*त्रिकोणमितीय रूप*) त्रिकोणमितीय बहुपद $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ $\norm\cdot_\infty$ के साथ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-आवर्ती फलनों की समष्टि में सघन हैं।

**उपपत्ति.** (क) बहुपद अचरों सहित एक बीजगणित बनाते हैं; और निर्देशांक फलन $\R^n$ के बिंदुओं को पृथक करते हैं। (ख) $\mathcal A$ के सदस्यों के वास्तविक और काल्पनिक भाग $\frac{f + \bar f}2$, $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ अचरों सहित एक वास्तविक बीजगणित $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ बनाते हैं; वह बिंदुओं को पृथक करता है ($f(x) \ne f(y)$ से $\operatorname{Re}f$ या $\operatorname{Im}f$ का पृथक करना अनिवार्य हो जाता है)। वास्तविक प्रमेय लगाइए और पुनः जोड़ लीजिए। (ग) $2\pi$-आवर्ती फलनों को $\mathcal C(S^1, \C)$ के रूप में देखिए ($S^1 = \R/2\pi\Z$, जो [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: [अभ्यास 6.5](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-5)); $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ और अचरों से जनित बीजगणित संयुग्मन के अंतर्गत स्थिर है और वृत्त के बिंदुओं को पृथक करता है ($\eu^{\iu t}$ उस पर एकैकी है)। अब (ख) लगाइए। ∎

**टिप्पणी 7.17.**

त्रिकोणमितीय रूप दूसरे वर्ष के फूरिये अध्याय में छूटे अंतर की मरम्मत कर देता है, और उसका विशाल सामान्यीकरण भी: $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ में त्रिकोणमितीय बहुपदों की सघनता उससे और भी सहजता से निकल आती है (मानकीकरण नियतांक तक $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$), जिससे फूरिये निकाय [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert) में एक प्रसामान्य लांबिक *आधार* बन जाएगा और अंततः पार्सेवाल पूरी व्यापकता में सिद्ध हो जाएगा।

## 7.5 अभ्यास

**अभ्यास 7.1 ★.**

(क) दर्शाइए कि $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ के साथ $\mathcal C(\intcc01, \R)$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) *नहीं* है: $\intcc0{\frac12}$ पर $0$ के बराबर, $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ पर $1$ के बराबर और बीच में आफ़ीन फलन $f_n$ $\norm\cdot_1$-कोशी हैं पर उनकी कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) सीमा नहीं है। (ख) दर्शाइए कि जिस मानकित समष्टि में प्रत्येक निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणी अभिसरित होती है वह [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) होती है। *(किसी कोशी अनुक्रम से $\norm{x_{n_{k+1}} -
x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ वाला उपानुक्रम निकालिए।)*

**हल — अभ्यास 7.1.**

(क) $m \geq n$ के लिए $f_n - f_m$ लंबाई $\frac1n$ के किसी अंतराल के बाहर लुप्त हो जाता है और $1$ से परिबद्ध है: $\norm{f_n - f_m}_1
\leq \frac1n \to 0$: अतः कोशी। यदि [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के साथ $\norm\cdot_1$ में $f_n \to f$ हो: तो स्थिर $\alpha <
\frac12$ के लिए $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f -
f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ (बड़े $n$ के लिए वहाँ $f_n \equiv 0$), अतः $[0, \frac12)$ पर $f \equiv 0$ ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)); और इसी प्रकार $(\frac12, 1]$ पर $f \equiv 1$: कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन दोनों नहीं कर सकता। अतः यह समष्टि अपूर्ण है — उसका [पूर्णन](#thm-b3-complete-completion) $L^1$ है, जो [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#ch-b3-lp) में बनाया गया है।

(ख) मान लीजिए $(x_n)$ कोशी है; $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ वाले $n_1 < n_2 < \cdots$ चुनिए। श्रेणी $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है, अतः अभिसरित होती है; उसके आंशिक योग $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$ हैं, इसलिए $(x_{n_k})$ अभिसरित होता है, और अभिसारी उपानुक्रम वाला कोई कोशी अनुक्रम अभिसरित होता है।

**अभ्यास 7.2 ★.**

बेयर का उपयोग करते हुए: (क) दर्शाइए कि किसी [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) मानकित समष्टि का कोई गणनीय ([बीजीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic)) आधार नहीं होता — इससे निष्कर्ष निकालिए कि बहुपदों की समष्टि *किसी भी* मानक के लिए [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) नहीं है; (ख) दर्शाइए कि यदि [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f_n \colon \R \to \R$ का कोई अनुक्रम बिंदुशः $f$ पर अभिसरित हो, तो $f$ के [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) बिंदुओं का समुच्चय सघन है। *((ख) के लिए: यह स्वीकार कीजिए या सिद्ध कीजिए कि $\Omega_\delta = \{x :
\operatorname{osc}_x f < \delta\}$ विवृत है, और $\R$ को आच्छादित करने वाले संवृत समुच्चयों $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\
\forall n,m \geq N\}$ का उपयोग करके उसे सघन दिखाइए; बेयर लगाने के लिए किसी मनमाने संवृत गोले में कार्य कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 7.2.**

(क) मान लीजिए $E$ [बीजीय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic) आधार $(e_n)_{n\in\N}$ के साथ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) है, और $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ लीजिए: यह संवृत है (परिमित-विमीय उपसमष्टियाँ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete), अतः संवृत होती हैं — दूसरा वर्ष), और उसका [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) रिक्त है: यदि $B(x, r) \subseteq F_n$ हो, तो $v \notin F_n$ लीजिए; तब $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r)
\setminus F_n$, जो असंगत है। पर $E = \bigcup F_n$ (प्रत्येक सदिश कोई परिमित संचय है): यह बेयर ([प्रमेय 7.6](#thm-b3-complete-baire)) का खंडन करता है। समष्टि $\R[X]$ का गणनीय आधार $(X^n)$ है, अतः कोई भी मानक उसे [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) नहीं बना सकता।

(ख) $\delta > 0$ और कोई अरिक्त विवृत गोला $B$ स्थिर कीजिए; हम $B$ में $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf <
\delta\}$ का कोई बिंदु ढूँढ़ते हैं, जहाँ $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni
x}\operatorname{diam} f(V)$। ($\Omega_\delta$ विवृत है: यदि किसी विवृत $V \ni x$ के लिए $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ हो, तो प्रत्येक $y \in V$ का दोलन $< \delta$ होता है।) समुच्चय

$$
F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\
\ \forall\, n, m \geq N \bigr\}
$$

संवृत हैं (संवृत समुच्चयों के पूर्व-प्रतिबिंबों के प्रतिच्छेद) और $\R$ को आच्छादित करते हैं (बिंदुशः अभिसरण $(f_n(x))$ को कोशी बना देता है)। [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $\bar B$ के भीतर बेयर लगाने पर: कोई $F_N \cap
\bar B$ किसी गोले $B' = B(x_0, \rho)$ को धारण करता है। $m \to
\infty$ लेने पर: $B'$ पर $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$। $x_0$ पर $f_N$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से $B'' \ni x_0$ तक सिकोड़िए जहाँ $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$; तब $x \in B''$ के लिए

$$
\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) -
f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:
$$

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$, अतः $x_0 \in
\Omega_{3\delta} \cap B$। इस प्रकार प्रत्येक $\Omega_\delta$ विवृत और सघन है; और बेयर से $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — अर्थात् [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) बिंदुओं का समुच्चय — सघन है।

**अभ्यास 7.3 ★★.**

(क) दर्शाइए कि $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ($a >
1$) $[\sqrt a, +\infty)$ का संकुचन है और उसका स्थिर बिंदु पहचानिए — हेरोन की विधि। $a = 2$ के लिए $x_0 = a$ से आरंभ करके $10^{-12}$-यथार्थता के लिए पुनरावृत्तियों की संख्या आँकिए। (ख) (केपलर समीकरण) $0 \leq e < 1$ और $m \in \R$ के लिए दर्शाइए कि $x = m + e\sin x$ का एक अद्वितीय हल है, जो $m$ पर संततता से निर्भर करता है।

**हल — अभ्यास 7.3.**

(क) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ $[\sqrt a, \infty)$ को स्वयं पर भेजता है (समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$), और वहाँ $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$: अर्थात् किसी संवृत ([पूर्ण](#def-b3-complete-complete)) समुच्चय का $\frac12$-लिपशित्ज़ संकुचन। स्थिर बिंदु: $x = f(x) \iff x^2 = a$: $x^* = \sqrt a$। दर ([प्रमेय 7.4](#thm-b3-complete-banach)): $d(x_n, \sqrt a) \leq
2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$। $a = 2$, $x_0 = 2$ के लिए: $d(x_1, x_0) =
\frac12$, अतः $n = 40$ $2^{-40} < 10^{-12}$ की प्रत्याभूति देता है। (वास्तव में न्यूटन की विधि द्विघातीय रूप से अभिसरित होती है: मुट्ठी भर पुनरावृत्तियाँ पर्याप्त हैं; संकुचन आकलन निराशावादी है पर मुफ़्त।)

(ख) $f_m(x) = m + e\sin x$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $\R$ पर $e < 1$ के साथ $e$-लिपशित्ज़ है: अतः अद्वितीय स्थिर बिंदु $x(m)$। दो प्राचलों के लिए:

$$
\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))}
\leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},
$$

अतः $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$: अर्थात् $m$ में लिपशित्ज़ तक।

**अभ्यास 7.4 ★★.**

(क) मान लीजिए $X$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) है और $f \colon X \to X$ ऐसा है कि उसकी कोई पुनरावृत्ति $f^p$ संकुचन है। दर्शाइए कि $f$ का एक अद्वितीय स्थिर बिंदु है। अनुप्रयोग: $\mathcal C(\intcc0a)$ पर समाकल संकारक $T$, $Tf(x) = \int_0^x f$, $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ को संतुष्ट करता है — इससे निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $\lambda$ के लिए $u = g + \lambda Tu$ हल्य है। (ख) (एडेलश्टाइन) मान लीजिए $K$ *[संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)* है और $f\colon K \to K$ ऐसा कि $x \neq y$ के लिए $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$। दर्शाइए कि $f$ का एक अद्वितीय स्थिर बिंदु है, पर संकुचन दर खो सकती है: $X = [1, +\infty)$ ([पूर्ण](#def-b3-complete-complete), पर [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं) पर $f(x) = x
+ \frac1x$ का कोई स्थिर बिंदु नहीं है, यद्यपि वह दूरियाँ कड़ाई से घटाता है।

**हल — अभ्यास 7.4.**

(क) मान लीजिए $x^*$ $f^p$ का अद्वितीय स्थिर बिंदु है। तब $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$: अतः $f(x^*)$ $f^p$ का स्थिर बिंदु है, इसलिए $f(x^*) = x^*$। $f$ का कोई स्थिर बिंदु $f^p$ का भी होता है: अद्वितीयता अंतरित हो जाती है। $T$ के लिए: आगमन से $\abs{T^pf(x)}
\leq \norm f_\infty x^p/p!$ (प्रत्येक समाकलन एक गुणक $\frac xk$ जोड़ता है), अतः $\norm{T^p} \leq a^p/p!$। प्रतिचित्रण $S(u) = g +
\lambda Tu$ $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$ संतुष्ट करता है, जिसका मानक $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$ है: अतः कोई $S^p$ संकुचन है, और $S$ का कोई अद्वितीय स्थिर बिंदु है: अर्थात् वोल्तेरा समीकरण $u = g + \lambda Tu$ *प्रत्येक* $\lambda$ के लिए अद्वितीय रूप से हल-योग्य है।

(ख) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः वह किसी $x_0$ पर अपना निम्निष्ठ प्राप्त कर लेता है। यदि $f(x_0) \neq x_0$ हो, तो $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) =
\min\varphi$: असंगत। अद्वितीयता: दो स्थिर बिंदु $x \ne y$ $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ दे देते। संहतता के बिना: $[1, \infty)$ पर $f(x) = x + \frac1x$ $x < y$ के लिए $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) <
y - x$ संतुष्ट करता है, फिर भी सदैव $f(x) > x$: कोई स्थिर बिंदु नहीं — कड़ाई से दूरी घटना किसी एकसमान संकुचन गुणक से दुर्बल है।

**अभ्यास 7.5 ★★.**

(क) किसी [हाउसडॉर्फ समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-hausdorff) में जाने वाले दो [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) जो किसी सघन उपसमुच्चय पर सहमत हों सर्वत्र सहमत होते हैं; इस अध्याय में इसका उपयोग कहाँ हुआ? (ख) मान लीजिए $D \subseteq X$ सघन है और $f \colon D \to Y$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $Y$ के किसी सघन उपसमुच्चय पर एक समदूरिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण, जहाँ $X$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) है। दर्शाइए कि $f$ किसी समदूरिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $X \to Y$ तक विस्तारित हो जाता है। इससे पूर्णनों की अद्वितीयता पुनः निकालिए।

**हल — अभ्यास 7.5.**

(क) समुच्चय $A = \{g = h\}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto (g(x), h(x))$ के अंतर्गत विकर्ण $\Delta_Y$ का पूर्व-प्रतिबिंब है; और $\Delta_Y$ संवृत है क्योंकि $Y$ [हाउसडॉर्फ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-hausdorff) है ($y_1 \neq y_2$ के लिए असंयुक्त विवृत [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $(y_1,
y_2)$ के चारों ओर विकर्ण से असंयुक्त कोई विवृत बक्सा देते हैं, अतः $\Delta_Y$ का पूरक विवृत है): इसलिए $A$ संवृत है, किसी [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) को धारण करता है, और $X$ के बराबर है। उपयोग: [प्रमेय 7.2](#thm-b3-complete-extension) में अद्वितीयता, अतः पूर्णनों की अद्वितीयता में।

(ख) $f$, जो कोई समदूरीयता है, एकसमान रूप से [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: अतः वह $F\colon X \to Y$ ([प्रमेय 7.2](#thm-b3-complete-extension)) तक बढ़ जाती है और समदूरीय बनी रहती है (संबंध $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ युग्मों के किसी [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) पर लागू है और दोनों पक्ष [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) हैं)। इसी प्रकार $f^{-1}\colon f(D) \to X$ $G \colon Y \to X$ तक बढ़ जाती है। संयोजन $G \circ F$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और सघन $D$ को स्थिर रखता है: अतः वह $\mathrm{id}_X$ है (भाग (क)); और सममित रूप से $F \circ G =
\mathrm{id}_Y$। इसलिए $F$ कोई समदूरीय एकैकी आच्छादन है। पूर्णनों की अद्वितीयता: इसे दो पूर्णनों में सघन रूप से बैठे $D = X$ पर लगाइए।

**अभ्यास 7.6 ★★.**

निम्नलिखित में से कौन-से कुल $\mathcal C(\intcc01)$ में [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous), बिंदुशः परिबद्ध और सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) हैं?

$$
\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad
\{x \mapsto x^n\}_n,
$$

$$
\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\
\norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad
\{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.
$$

प्रत्येक उत्तर को आस्कोली से अथवा किसी प्रतिउदाहरण अनुक्रम से उचित ठहराइए।

**हल — अभ्यास 7.6.**

$\{\sin(nx)\}$: $1$ से बिंदुशः परिबद्ध; पर [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) *नहीं*: $x = 0$ पर $\frac\pi{2n} \to 0$ के साथ $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$, जो $\varepsilon = \frac12$ के लिए किसी भी उभयनिष्ठ $\delta$ का उल्लंघन करता है। अतः सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं (आस्कोली की आवश्यकता, [प्रमेय 7.11](#thm-b3-complete-ascoli))।

$\{x^n\}$: परिबद्ध; $1$ पर [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) नहीं: स्थिर $\delta$ के लिए $n \to \infty$ पर $1 - (1 -
\delta)^n \to 1$। सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं — और संगत रूप से, उसकी बिंदुशः सीमा असंतत है, अतः कोई उपानुक्रम एकसमान रूप से अभिसरित नहीं होता।

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$: माध्य मान असमिका कुल को $1$-लिपशित्ज़ बना देती है, अतः [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous); और परिबद्ध: इसलिए आस्कोली से सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)। ([संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं: वह संवृत नहीं है — एकसमान सीमाओं का $\mathcal C^1$ होना आवश्यक नहीं; उसका संवरण मानक $\leq 1$ वाले $1$-लिपशित्ज़ फलन हैं।)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$: [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous); बिंदुशः परिबद्ध ($\abs{f(x)} \leq x \leq 1$); और एकसमान सीमाओं के अंतर्गत संवृत (लिपशित्ज़ असमिका और $0$ पर मान सीमाओं तक चले जाते हैं): अतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)।

**अभ्यास 7.7 ★★★.**

([संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समाकल संकारक) मान लीजिए $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ और $f \in \mathcal C(\intcc01)$ के लिए $Tf(x) =
\int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$। (क) दर्शाइए कि $T$ $\mathcal C(\intcc01)$ के इकाई गोले को किसी [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous), एकसमान परिबद्ध समुच्चय पर भेजता है; निष्कर्ष निकालिए कि $T$ एक *[संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) संकारक* है: परिबद्ध समुच्चयों के प्रतिबिंब सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) होते हैं। (ख) इससे निष्कर्ष निकालिए कि यदि $(f_n)$ परिबद्ध हो, तो $(Tf_n)$ का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम है, और यह कि $T$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिलोम वाला एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण नहीं हो सकता। *(इकाई गोले का प्रतिबिंब $\mathcal C(\intcc01)$ में $0$ का [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) होता: जिसे दूसरे वर्ष की रीस प्रमेय वर्जित करती है।)*

**हल — अभ्यास 7.7.**

(क) $\norm f_\infty \leq 1$ के लिए: $\abs{Tf(x)} \leq
\norm k_\infty$, और

$$
\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) -
k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),
$$

जहाँ $\omega_k$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) वर्ग पर $k$ की एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) का कोई मापांक है (हाइने): अतः इकाई गोले का प्रतिबिंब एकसमान रूप से परिबद्ध और [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) है, इसलिए सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) (आस्कोली)। रैखिकता से प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय का प्रतिबिंब सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है: अतः $T$ कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) संकारक है।

(ख) उपानुक्रम वाला कथन $\{Tf_n\}$ पर लगाई गई सापेक्ष संहतता की परिभाषा है। यदि $T$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिलोम के साथ एकैकी-आच्छादक होता, तो किसी $\varepsilon > 0$ के लिए $T(B(0,1)) \supseteq B(0,
\varepsilon)$ ($0$ पर $T^{-1}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)); तब संवृत गोला $\bar B(0,\varepsilon)$, जो [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\overline{T(B(0,1))}$ का संवृत उपसमुच्चय है, [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) होता — जो रीस की प्रमेय (दूसरा वर्ष) से अनंत-विमीय $\mathcal
C(\intcc01)$ में असंभव है।

**अभ्यास 7.8 ★★.**

[संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f_n \colon \intcc01 \to \R$ के लिए सिद्ध या खंडित कीजिए: (क) बिंदुशः $f_n \downarrow 0$ $\Rightarrow$ एकसमान (दीनी — इसे फिर से सिद्ध कीजिए); (ख) वही, एकदिष्टता के बिना; (ग) वही, एकदिष्टता के साथ पर $f$ असंतत होते हुए; (घ) वही, एकदिष्टता और [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) सीमा के साथ, परंतु $\intoo01$ पर।

**हल — अभ्यास 7.8.**

(क) दीनी: [प्रमेयिका 7.13](#lem-b3-complete-dini) देखिए — वही आवरण तर्क। (ख) असत्य: चलता हुआ उभार $f_n(x) = \max(0, 1 -
\abs{nx - 1})$ बिंदुशः $0$ की ओर जाता है ($x > 0$ के लिए $n > 2/x$ होते ही $f_n(x) =
0$; $f_n(0) = 0$) पर $\norm{f_n}_\infty = 1$। (ग) असत्य: $f_n(x) = x^n$ असंतत $\mathbf 1_{\{1\}}$ तक घटता है; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)}
x^n = 1$। (घ) असत्य: असंहत $\intoo01$ पर बिंदुशः $x^n \downarrow 0$, जिसमें $\sup_{(0,1)}x^n = 1$। दीनी की प्रत्येक परिकल्पना आवश्यक है।

**अभ्यास 7.9 ★★.**

(क) (आघूर्ण निर्धारण कर देते हैं) मान लीजिए $f \in \mathcal C(\intcc01)$ ऐसा है कि सभी $n \in \N$ के लिए $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$। दर्शाइए कि $f =
0$। *($f$ का बहुपदों से एकसमान आसन्नन कीजिए और $\int f^2$ परिकलित कीजिए।)* (ख) दर्शाइए कि सम बहुपद $\mathcal
C(\intcc01)$ में सघन हैं पर $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ में *नहीं*; स्टोन–वाइरश्ट्रास की कौन-सी परिकल्पना विफल होती है? (ग) क्या केवल $x \mapsto \eu^{\iu x}$ से ($\eu^{-\iu x}$ के बिना) जनित बीजगणित $\mathcal C(S^1, \C)$ में सघन है? *($\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$ पर विचार कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 7.9.**

(क) रैखिकता से प्रत्येक बहुपद $P$ के लिए $\int_0^1 fP = 0$। एकसमान रूप से $P_n \to f$ चुनिए ([उपप्रमेय 7.16](#cor-b3-complete-weierstrass)): $\int_0^1 f^2 =
\lim\int_0^1 fP_n = 0$, और शून्य समाकल वाला [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f^2 \geq 0$ सर्वथा लुप्त हो जाता है।

(ख) $\intcc01$ पर: $x^2$ में बहुपद अचरों के साथ एक बीजगणित बनाते हैं जो बिंदुओं को पृथक करता है ($\intcc01$ पर $x \mapsto x^2$ एकैकी है): अतः स्टोन–वाइरश्ट्रास से सघन। $\intcc{-1}1$ पर: $x^2$ $\pm x$ पर बराबर मान लेता है, और $x^2$ में प्रत्येक बहुपद भी: अतः ऐसों की कोई एकसमान सीमा सम फलन होती है। यदि सम फलन $g_n$ एकसमान रूप से तत्समक पर अभिसरित होते, तो सभी $x$ के लिए $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$: असंगत — इसलिए सघन नहीं। पृथक्करण परिकल्पना युग्मों $\{x, -x\}$ पर विफल हो जाती है।

(ग) नहीं। अचरों और $\eu^{\iu t}$ से जनित बीजगणित $\mathcal A$ के $f$ के लिए — $\eu^{\iu nt}$, $n \geq 0$ के रैखिक संचय — $\Lambda(f) =
\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ होता है (प्रत्येक $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$)। $\Lambda$ $\norm\cdot_\infty$ के लिए [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है ($\abs{\Lambda(f)}\leq
2\pi\norm f_\infty$), अतः $\Lambda$ $\bar{\mathcal
A}$ पर लुप्त हो जाता है; पर $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$: $\eu^{-\iu t}
\notin \bar{\mathcal A}$। (स्टोन–वाइरश्ट्रास लागू नहीं होती: $\mathcal A$ संयुग्मन के अंतर्गत स्थायी नहीं है — और यह बाधा ठीक वही है जिसे समविश्लेषिक फलन सिद्धांत [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/16-holomorphic-functions#ch-b3-holomorphic) में व्यवस्थित करेगा।)

**अभ्यास 7.10 ★★★.**

(एकसमान परिबद्धता, मापीय रूप) मान लीजिए $X$ एक [पूर्ण मापीय समष्टि](#def-b3-complete-complete) है और $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ ऐसा कुल जो *बिंदुशः* परिबद्ध है: प्रत्येक $x$ के लिए $\sup_{f \in \mathcal
F}\abs{f(x)} < \infty$। दर्शाइए कि कोई अरिक्त विवृत $U \subseteq X$ है जिस पर $\mathcal F$ *एकसमान* परिबद्ध है: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$। *($F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$ पर विचार कीजिए।)* यही [अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#ch-b3-banach) में बानाख–श्टाइनहाउस के पीछे का इंजन है।

**हल — अभ्यास 7.10.**

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेद है: अतः संवृत। बिंदुशः परिबद्धता $X = \bigcup_n F_n$ दे देती है। बेयर ([प्रमेय 7.6](#thm-b3-complete-baire)) $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$ वाला $n_0$ प्रदान करती है: अर्थात् $U$ पर एक साथ प्रत्येक $f \in \mathcal F$ के लिए $\abs f \leq n_0$।

**अभ्यास 7.11 ★★.**

($\mathcal C^1$ को अपने ही मानक की आवश्यकता है) $E = \mathcal
C^1(\intcc01, \R)$ पर $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm
f_\infty + \norm{f'}_\infty$ पर विचार कीजिए। (क) दर्शाइए कि $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) है *(किसी $\mathcal C^1$-कोशी अनुक्रम के लिए $f_n \to f$ और $f_n' \to g$ एकसमान रूप से होते हैं; $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$ में सीमा लेकर $g = f'$ की पहचान कीजिए)*। (ख) दर्शाइए कि $(E, \norm\cdot_\infty)$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) *नहीं* है: $\mathcal C^1$ फलनों की ऐसी एकसमान सीमा प्रस्तुत कीजिए जो अवकलनीय न हो (उदाहरणार्थ $\abs{x - \tfrac12}$ के चिकने आसन्नन)। (ग) (क), (ख) और विवृत प्रतिचित्रण संबंधी विचारों से — अथवा सीधे — निष्कर्ष निकालिए कि $E$ पर कोई नियतांक $C$ $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ को संतुष्ट नहीं करता: इसका साक्षी एक अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए। अवकलन अपरिबद्ध है; यही [प्रमेय 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff) के पीछे का ढलान है।

**हल — अभ्यास 7.11.**

(क) $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ के लिए कोई कोशी अनुक्रम अपने अवकलजों सहित एकसमान रूप से कोशी होता है: अतः एकसमान रूप से $f_n \to f$ और $f_n' \to g$, जिसमें $f, g$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ में सीमा लेने पर (एकसमान अभिसरण उसे समाकल के भीतर करने देता है) $f(x) = f(0) + \int_0^xg$ मिलता है: अतः $f$ $f' = g$ के साथ $\mathcal C^1$ है, और $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$। [पूर्ण](#def-b3-complete-complete)।

(ख) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ $\mathcal C^1$ फलनों की कोई एकसमान सीमा है, उदाहरणार्थ $h_n(x) = \sqrt{(x -
\frac12)^2 + \frac1n}$ (संयुग्म-राशि परिबंध से $\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$), फिर भी $h \notin E$: अतः $E$ पर $\sup$-मानक [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) नहीं है — उसका [पूर्णन](#thm-b3-complete-completion) $\mathcal C(\intcc01)$ है।

(ग) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ के लिए $\norm{f_n}_\infty = 1$ और $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$: अतः कोई $C$ विद्यमान नहीं। (धारणात्मक रूप से: यदि अवकलन उच्चतम मानक के लिए परिबद्ध होता, तो (क)–(ख) के दोनों मानक तुल्य होते, जिससे $(E, \norm\cdot_\infty)$ [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) हो जाता — जो (ख) का खंडन करता है। यही अपरिबद्धता ठीक वह कारण है कि प्रारूपिक [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन कहीं भी अवकलनीय न होने में विफल हो सकते हैं, [प्रमेय 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff)।)

**अभ्यास 7.12 ★★★.**

(क्रॉफ्ट की प्रमेयिका) मान लीजिए $f\colon\intoo0\infty\to\R$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और मान लीजिए कि प्रत्येक $x > 0$ के लिए पूर्णांक $n \to \infty$ पर $f(nx) \to 0$। दर्शाइए कि $t \to
+\infty$ पर $f(t) \to 0$। *($\varepsilon > 0$ स्थिर कीजिए; समुच्चय $$F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n
\geq N\}$$ संवृत हैं और $\intoo0\infty$ को आच्छादित करते हैं; किसी अंतराल $\intcc ab$ में बेयर $N$ और कोई उपअंतराल $\intcc{a'}{b'}
\subseteq F_N$ दे देता है; तब $n(b' - a') \geq a'$ हो जाने पर प्रसार $\bigl[na', nb'\bigr]$, $n
\geq N$, $+\infty$ के एक पूरे [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) को आच्छादित कर देते हैं।)* परिकल्पना “प्रत्येक $x$ के लिए” (केवल परिमेय $x$ के लिए नहीं) का उपयोग कहाँ होता है?

**हल — अभ्यास 7.12.**

$\varepsilon > 0$ स्थिर कीजिए। प्रत्येक $F_N$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto f(nx)$ के अंतर्गत संवृत $\intcc{-\varepsilon}
\varepsilon$ के पूर्व-प्रतिबिंबों का $n
\geq N$ पर प्रतिच्छेद है: अतः संवृत। परिकल्पना कहती है कि प्रत्येक $x > 0$ किसी $F_N$ में है। [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) $\intcc ab$ (कोई भी $0 < a <
b$) के भीतर बेयर लगाने पर कोई $F_N$ किसी उपअंतराल में सघन है; और संवृत होने के कारण वह $0 < a' < b'$ वाला कोई अंतराल $\intcc{a'}{b'}$ धारण करता है। तब प्रत्येक $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$ के लिए अंतराल $\intcc{na'}{nb'}$ और $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ अतिच्छादित होते हैं ($nb' \geq (n+1)a'$), अतः

$$
\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq
\intco{n_0a'}{+\infty},
$$

और प्रत्येक $t \geq n_0a'$ $n \geq N$, $x \in
\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ के साथ $t = nx$ है: $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$। अतः सभी $\varepsilon$ के लिए $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$: $f \to 0$। पूरी परिकल्पना आवश्यक है क्योंकि $F_N$ को $x$ के एक पूरे अंतराल-भर को *आच्छादित* करना पड़ता है — केवल परिमेय $x$ के साथ $F_N$ का संघ गणनीय होता और बेयर कुछ भी नहीं देती; वस्तुतः ऐसे [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिउदाहरण हैं जो सभी परिमेय किरणों के अनुदिश लुप्त होते हैं पर अनंत पर नहीं।

## 7.6 समस्या: पेआनो की अस्तित्व प्रमेय

**समस्या 7.1.**

सप्ताहांत समस्या — लिप्शिट्ज़ के बिना $x' = f(t, x)$ के हलों का अस्तित्व

कोशी–लिप्शिट्ज़ (दूसरा वर्ष; [अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/19-ordinary-differential-equations#ch-b3-ode) में पुनः सिद्ध) $f$ से $x$ में लिप्शिट्ज़ होने की माँग करती है। पेआनो (1890): *$f$ का [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) होना ही अस्तित्व दे देता है* — यद्यपि अद्वितीयता नहीं। हम इसे ऑयलर बहुभुजों और आस्कोली से सिद्ध करते हैं। व्यवस्था: $f \colon R
\to \R^d$ आयत $R = \intcc{t_0 - a}{t_0
+ a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, $M =
\sup_R\norm f$, और

$$
T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr)
\qquad (\text{यदि } M = 0 \text{ हो तो समस्या तुच्छ है}).
$$

**भाग I — ऑयलर बहुभुज।** $n \geq 1$ के लिए $[t_0, t_0 + T]$ का $t_k = t_0 + kT/n$ ($0 \leq k
\leq n$) द्वारा उपविभाजन कीजिए और $\varphi_n$ को खंडशः आफ़ीन रूप से परिभाषित कीजिए: $\varphi_n(t_0) = x_0$ और $[t_k, t_{k+1}]$ पर

$$
\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t -
t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).
$$

1. आगमन से दर्शाइए कि $\varphi_n$ सुपरिभाषित है, और $[t_0, t_0 + T]$ पर $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ — अतः मान-निर्धारण बिंदु $R$ में ही रहते हैं। *(यहीं $T \leq b/M$ प्रवेश करता है।)*
2. दर्शाइए कि प्रत्येक $\varphi_n$ $M$ -लिप्शिट्ज़ है।
3. आर्ज़ेला–आस्कोली ( [प्रमेय 7.11](#thm-b3-complete-ascoli) ) से निष्कर्ष निकालिए कि कोई उपानुक्रम $(\varphi_{n_j})$ $[t_0, t_0 +  T]$ पर एकसमान रूप से किसी $\varphi$ पर अभिसरित होता है, जो स्वयं $\varphi(t_0) = x_0$ के साथ $M$ -लिप्शिट्ज़ है।

**भाग II — सीमा समीकरण को हल कर देती है।** अजालिका बिंदुओं पर *दोष* $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) -
f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ परिभाषित कीजिए।

4. दर्शाइए कि $f$ $R$ पर एकसमान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और निष्कर्ष निकालिए: प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $n_0$ है कि $n \geq n_0$ और प्रत्येक अजालिका $t$ के लिए $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ । *($(t_k,  t_{k+1})$ पर $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, और $(t, \varphi_n(t))$ $(t_k, \varphi_n(t_k))$ से $(1 + M)\,T/n$ दूरी के भीतर है।)*
5. समाकल रूप स्थापित कीजिए: सभी $t$ के लिए $$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}  f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s +  \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$$ जिसमें बीच का समाकल्य खंडशः [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है।
6. $(n_j)$ के अनुदिश सीमा लीजिए: दर्शाइए कि $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ *एकसमान* रूप से (फिर $f$ का एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)), और निष्कर्ष निकालिए $$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t  f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$$
7. निष्कर्ष निकालिए कि $\varphi$ $[t_0, t_0 +  T]$ पर $\mathcal C^1$ है और $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ को हल कर देता है; रचना को $[t_0 - T, t_0]$ तक विस्तारित कीजिए (समय का उत्क्रमण)। *यही पेआनो की प्रमेय है।*

**भाग III — अद्वितीयता वास्तव में विफल हो जाती है।** $\R$ पर $x' = 2\sqrt{\abs x}$, $x(0) = 0$ पर विचार कीजिए।

8. जाँचिए कि $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है पर $0$ के किसी भी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर लिप्शिट्ज़ नहीं।
9. सत्यापित कीजिए कि $x \equiv 0$ और प्रत्येक $c \geq 0$ के लिए $$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t  \geq c,\end{cases}$$ सभी $(0,0)$ से होकर जाने वाले हल हैं: भिन्न-भिन्न हलों का एक सातत्य।
10. इस $f$ के लिए पिकार पुनरावृत्ति का तर्क (बानाख स्थिर बिंदु) कहाँ टूट जाता है?

**भाग IV — विधि की सीमाएँ।**

11. दर्शाइए कि पेआनो की प्रमेय अनंत विमा में विफल हो जाती है: हम शून्य अनुक्रमों की समष्टि $c_0$ में द्यूदोने का शास्त्रीय उदाहरण स्वीकार कर लेते हैं (आप उसे मान भी सकते हैं); इसके स्थान पर वह परिमित-विमीय अवयव सिद्ध कीजिए जो वहाँ विफल हो जाता है: $c_0$ (उच्चतम मानक) का संवृत इकाई गोला [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं है — ऐसा परिबद्ध अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए जिसका कोई अभिसारी उपानुक्रम न हो, और समझाइए कि भाग I का कौन-सा चरण टूट जाता है।
12. सार लिखिए: कौन-सी परिकल्पनाएँ अस्तित्व देती हैं? और कौन-सी अस्तित्व तथा अद्वितीयता? दोनों प्रमेयों (पेआनो; कोशी–लिप्शिट्ज़) का ठीक-ठीक कथन साथ-साथ दीजिए।

**भाग V — ऑस्गुड: लिप्शिट्ज़ से आगे अद्वितीयता।** मान लीजिए $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), अनवरोही है, और

$$
\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty
\qquad(0 \text{ पर अपसरण}),
$$

तथा मान लीजिए $f$ $R$ पर $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq
\omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ को संतुष्ट करता है।

13. जाँचिए कि $\omega(r) = Lr$ योग्य है (लिप्शिट्ज़), कि $\omega(r) = r\log\frac1r$ (छोटे $r$ के लिए संततता से विस्तारित) योग्य है यद्यपि वह $O(r)$ *नहीं* है, और यह कि $\omega(r) = 2\sqrt r$ योग्य नहीं है। प्रत्येक स्थिति में समाकल परिकलित कीजिए।
14. मान लीजिए $x_1, x_2$ $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ के साथ $[t_0, t_0 + T]$ पर समीकरण को हल करते हैं, और $\delta(t) =  \norm{x_1(t) - x_2(t)}$। केवल समाकल रूपों से दर्शाइए कि $t_0 \leq s \leq t$ के लिए: $$\delta(t) \leq \delta(s) +  \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$$
15. (ऑस्गुड की प्रमेय) मान लीजिए किसी $t_1$ के लिए $\delta(t_1) > 0$, और मान लीजिए $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) =  0\}$। $s \in \intoo\tau{t_1}$ के लिए $u(t) = \delta(s)  + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ रखिए। दर्शाइए कि $\delta \leq  u$, $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$, और निष्कर्ष निकालिए $$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}  \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$$ अब $s \downarrow \tau$ लीजिए और समाकल के अपसरण से विरोधाभास निकालिए। निष्कर्ष निकालिए: *किसी उभयनिष्ठ आरंभिक शर्त से होकर जाने वाले हल एक ही होते हैं* — अर्थात् ऑस्गुड की शर्त के अंतर्गत अद्वितीयता।
16. परिणाम निकालिए: कोशी–लिप्शिट्ज़ अद्वितीयता $\omega(r) = Lr$ की स्थिति है; समीकरण $x' =  x\log\frac1{\abs x}$ ( $0$ पर $0$ से विस्तारित) के हल अद्वितीय हैं, यद्यपि उसका दायाँ पक्ष $0$ पर लिप्शिट्ज़ नहीं है; और $x' = 2\sqrt{\abs x}$ के लिए $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ का अभिसरण ही वह बात है जो किसी हल को परिमित समय में $0$ छोड़ने देती है — समाकल $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ के मान का $x_c$ के पलायन व्यवहार से मिलान कीजिए।

**भाग VI — दरें, योजनाएँ, कीपें।**

17. (समाकल ग्रोनवाल प्रमेयिका) मान लीजिए $e, \eta \geq 0$ $[t_0, t_0+T]$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और सभी $t$ के लिए $e(t) \leq \int_{t_0}  ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$। दर्शाइए $$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} -  1\bigr)$$ *($G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$ रखिए, $G'  \leq LG + \sup\eta$ पर ध्यान दीजिए, और $\eu^{-Lt}G(t)$ का अवकलन कीजिए।)*
18. (ऑयलर एक दर के साथ अभिसरित होता है) अब मान लीजिए $f$ $R$ पर $x$ में $L$-लिप्शिट्ज़ और $t$ में $L'$-लिप्शिट्ज़ है। प्रश्न 4 के दोष परिबंध को (मात्रात्मक बनाकर: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$) प्रश्न 17 के साथ मिलाकर सिद्ध कीजिए $$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi}  \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot  \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ जहाँ $\varphi$ *वही* हल है: लिप्शिट्ज़ आँकड़ों के साथ पूरा अनुक्रम अभिसरित होता है, और एक स्पष्ट दर के साथ — किसी उपानुक्रम की आवश्यकता नहीं। इस परिकलन के बिना भी अद्वितीयता उपानुक्रमीय अभिसरण को [पूर्ण](#def-b3-complete-complete) अभिसरण तक क्यों उठा देती है?
19. (योजना चुन लेती है) $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) =  0$ के लिए: दर्शाइए कि प्रत्येक ऑयलर बहुभुज सर्वथा शून्य है, अतः योजना हल $x \equiv 0$ पर अभिसरित होती है; परंतु $x(0) = \varepsilon > 0$ से आरंभ करने पर वह (पहले $n \to \infty$ , फिर $\varepsilon \to 0$ ) $t  \mapsto t^2$ पर अभिसरित होती है, जो मूल बिंदु से होकर जाने वाला एक *भिन्न* हल है। अनद्वितीयता सांख्यिक योजना की विक्षोभों के प्रति संवेदनशीलता के रूप में फिर उभर आती है।
20. दर्शाइए कि $[t_0, t_0+T]$ पर $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ के *समस्त* हलों का समुच्चय $\mathcal S$ (मान $\bar B(x_0, b)$ में) अरिक्त (भाग II), एकसमान रूप से $M$ -लिप्शिट्ज़ और $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ में संवृत है; आस्कोली से निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal S$ *[संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)* है। (क्नेज़र की प्रमेय यह भी जोड़ती है कि $\mathcal S$ [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) है; हम उसे सिद्ध नहीं करेंगे।)
21. उदाहरण पर क्नेज़र की परिघटना सत्यापित कीजिए: $[0, 1]$ पर $x' =  2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ के लिए दर्शाइए कि $x_\infty \equiv 0$ के साथ $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ *(किसी भी हल के लिए $c =  \sup\{t : x(t) = 0\}$ लीजिए और $\{x > 0\}$ पर $(\sqrt x)' = 1$ का समाकलन कीजिए)* , कि $c \mapsto x_c$ $\intcc0\infty$ ( [एक-बिंदु संहतीकरण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-locallycompact) , अर्थात् सीमा के रूप में जुड़ा $c = \infty$ ) से $\mathcal C([0,1])$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, और निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal S$ वस्तुतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) और [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) है — एक रेखाखंड के आकार की कीप।
22. (पहुँच-योग्य समुच्चय) प्रश्न 20 से निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक स्थिर $t$ के लिए *पहुँच-योग्य समुच्चय* $\mathcal S(t) =  \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है; प्रश्न 21 के उदाहरण के लिए उसे परिकलित कीजिए और जाँचिए कि वह [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) भी है: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — अर्थात् प्रत्येक मध्यवर्ती अवस्था किसी न किसी हल से प्राप्त होती है।

**भाग VII — पूरक: निर्भरता, इष्टतमता, और हाथ से परिकलित एक योजना।**

23. ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) निर्भरता) मान लीजिए $f$ $R$ पर $x$ में $L$-लिप्शिट्ज़ है, और मान लीजिए $x, y$ $t_0$ पर आरंभिक मानों $x_0, y_0$ वाले दो हल हैं। प्रश्न 17 की उपपत्ति को असमिका $e(t) \leq \norm{x_0  - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$ के अनुकूल बनाकर दर्शाइए $$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\,  \eu^{L(t - t_0)},$$ और $x' = Lx$ पर जाँचिए कि यह परिबंध प्राप्त हो जाता है: ग्रोनवाल तीक्ष्ण है। इससे अद्वितीयता पुनः निकालिए ($x_0 =  y_0$), और यह भी कि प्रवाह प्रतिचित्रण $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ जहाँ भी परिभाषित है वहाँ नियतांक $\eu^{LT}$ के साथ लिप्शिट्ज़ है।
24. (ऑस्गुड इष्टतम है) विलोमतः, मान लीजिए $\omega$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), अनवरोही, $\intoo0\infty$ पर धनात्मक है, जिसके लिए $r \to 0^+$ पर $\omega(r) \to 0$, परंतु $$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$$ और $f(x) = \omega(\abs x)$ को $f(0) = 0$ से विस्तारित कीजिए। दर्शाइए कि $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ $\intoc0{1}$ से $\intoc0{\Omega(1)}$ पर एक बढ़ता हुआ एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, कि उसका प्रतिलोम $g$ $g(0^+) = 0$ के साथ $g'  = \omega(g)$ को हल करता है, और यह कि $g$, जिसे $t \leq 0$ के लिए $0$ से विस्तारित किया गया हो, $(0, 0)$ से होकर जाने वाला $x' = f(x)$ का ऐसा $\mathcal C^1$ हल है जो $x \equiv  0$ से भिन्न है *($g'(0) = 0$ के लिए $\frac{g(t)}t$ को $\omega(g(t))$ से परिबद्ध कीजिए)*। निष्कर्ष निकालिए: प्रश्न 15 की अपसरण परिकल्पना कोई सुविधा नहीं, बल्कि अद्वितीयता की ठीक-ठीक सीमा है; $\omega(r) = 2\sqrt r$, $\Omega(x) = \sqrt x$ से भाग III पुनः प्राप्त कीजिए।
25. (ऑयलर हाथ से परिकलित) $[0, 1]$ पर $x' = x$, $x(0) = 1$ के लिए: दर्शाइए कि ऑयलर बहुभुज $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ को संतुष्ट करता है। प्रसार $$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}  = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)  \Bigr),$$ सिद्ध कीजिए, अतः $t = 1$ पर त्रुटि $\frac{\eu}{2n} +  O(n^{-2})$ है: यही प्रश्न 18 की $O(\frac1n)$ दर है, ठीक नियतांक सहित। $n = 10$ के लिए संख्यात्मक जाँच कीजिए: $\eu \approx 2.71828$ के सामने $1.1^{10} = 2.59374$, अर्थात् त्रुटि $0.12454$, जिसकी तुलना $\frac{\eu}{20}  \approx 0.13591$ से कीजिए।

**हल — समस्या 7.1.**

**1.** $k$ पर आगमन: यदि $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0}
\leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$ हो, तो बिंदु $(t_k,
\varphi_n(t_k))$ $R$ में होता है, अतः ढाल $f(t_k,
\varphi_n(t_k))$ परिभाषित है, जिसका मानक $\leq M$ है; तब $t \in
[t_k, t_{k+1}]$ के लिए $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq
\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq
MT \leq b$।

**2.** प्रत्येक आफ़ीन टुकड़े की ढाल का मानक $\leq M$ है; और $M$ से परिबद्ध ढालों वाला कोई खंडशः आफ़ीन फलन $M$-लिपशित्ज़ होता है (जालक बिंदुओं से शृंखला बनाइए)।

**3.** कुल $(\varphi_n)$ बिंदुशः परिबद्ध (मान $\bar B(x_0, b)$ में) और [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) (उभयनिष्ठ लिपशित्ज़ अचर $M$) है: अतः आस्कोली ([प्रमेय 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)) $[t_0, t_0 + T]$ पर एकसमान रूप से $\varphi_{n_j} \to
\varphi$ निकाल लेती है। परिबंध सीमा तक चले जाते हैं: $\varphi$ $M$-लिपशित्ज़ है, $\varphi(t_0) = x_0$।

**4.** $R$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है और $f$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): अतः एकसमान रूप से [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) (हाइने, [उपप्रमेय 6.17](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-heineborel)); मान लीजिए $\delta(\varepsilon)$ कोई मापांक है। जालक-रहित $t \in (t_k,
t_{k+1})$ के लिए: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, और $f$ के दोनों मान-बिंदु समय में $\abs{t - t_k} \leq T/n$ और स्थान में $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ भिन्न होते हैं। $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$ वाले $n \geq n_0$ के लिए: $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$।

**5.** प्रत्येक $[t_k, t_{k+1}]$ पर $\varphi_n$ आफ़ीन है, अतः $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}}
\varphi_n'(s)\dd s$, जिसमें अवकलज वही अचर ढाल है; टुकड़ों पर योग करने पर (और अंतिम को $t$ पर काटने पर): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$। $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ लिखने पर (खंडशः [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) समाकल्य, परिमित संख्या के उछाल) प्रदर्शन मिल जाता है।

**6.** $\varepsilon$ दिया हो: बड़े $j$ के लिए $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$, अतः सभी $s$ के लिए $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq
\varepsilon$: अर्थात् समाकल्यों का एकसमान अभिसरण, और $t$ में एकसमान रूप से $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to
\int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$। साथ ही $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}}
\to 0$ (प्रश्न 4)। प्रश्न 5 की सर्वसमिका में सीमा लेने पर: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s,
\varphi(s))\,\dd s$।

**7.** समाकल्य $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, अतः दायाँ पक्ष $t$ में $\mathcal C^1$ है जिसका अवकलज $f(t, \varphi(t))$ है: इसलिए $\varphi$ $[t_0, t_0 + T]$ पर कोशी समस्या हल कर देता है। बाएँ आधे के लिए $g(t, x) =
-f(2t_0 - t, x)$ रखिए, जो परावर्तित आयत पर उसी परिबंध $M$ के साथ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है; $[t_0, t_0 + T]$ पर $y' = g(t,y)$, $y(t_0) = x_0$ का कोई हल $\psi$ $[t_0 - T,
t_0]$ पर मूल समीकरण हल करने वाला $\varphi(t) =
\psi(2t_0 - t)$ दे देता है; और दोनों आधे किसी $\mathcal C^1$ हल में चिपक जाते हैं ($t_0$ पर दोनों एकपक्षीय अवकलज $f(t_0, x_0)$ के बराबर हैं)। — *पेआनो की प्रमेय*: कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ प्रत्येक प्रारंभिक शर्त से होकर कोई स्थानीय हल स्वीकार करता है।

**8.** [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) स्पष्ट है। $0$ के निकट लिपशित्ज़ होना विफल हो जाता है: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$, और $h < 4/L^2$ के लिए $2\sqrt h \leq L h$ असत्य है।

**9.** $t \leq c$ के लिए: $x_c \equiv 0$ हल करता है। $t \geq
c$ के लिए: $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$। $t = c$ पर दोनों एकपक्षीय अवकलज $0$ हैं: अतः $x_c$ $\mathcal C^1$ है और वैश्विक रूप से हल करता है, जिसमें प्रत्येक $c \geq 0$ के लिए $x_c(0) = 0$ — और $x \equiv 0$ के साथ मिलकर मूल बिंदु से होकर हलों का एक सातत्य।

**10.** पिकार की पुनरावृत्ति $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_0^t f(x(s))\dd s$ खड़ी करती है और उसे किसी उपयुक्त गोले पर $k < 1$ वाला $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}
\leq k\norm{x - y}$ चाहिए — जो $f$ पर किसी लिपशित्ज़ परिबंध से, समाकल के भीतर अंतरित होकर, निकलता है। यहाँ $\sqrt\cdot$ $0$ के निकट कोई लिपशित्ज़ परिबंध स्वीकार नहीं करता, और अंतराल या गोले का कोई चयन इसे नहीं सुधारता। और वस्तुतः अद्वितीयता की कोई भी उपपत्ति सफल नहीं हो सकती थी: अद्वितीयता *असत्य* है (प्रश्न 9)।

**11.** $c_0$ में इकाई सदिश $e_n = (0, \dots, 0, 1,
0, \dots)$ $n \neq
m$ के लिए $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ संतुष्ट करते हैं: अतः कोई उपानुक्रम कोशी नहीं है, इसलिए संवृत इकाई गोला [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं है। जो चरण टूटता है वह निष्कर्षण है (प्रश्न 3): $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ के लिए आस्कोली को यह चाहिए कि मान ऐसी समष्टि में रहें जहाँ परिबद्ध समुच्चय सापेक्षतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) हों — $\R^d$ में सत्य (बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास), $c_0$ में असत्य; बिंदुशः निष्कर्षण अब उपलब्ध नहीं है (वस्तुतः द्यूदोने के उदाहरण का तो कोई स्थानीय हल ही नहीं है)।

**12.** *पेआनो*: $\R\times\R^d$ में $(t_0, x_0)$ के किसी [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) पर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ $\Rightarrow$ किसी $[t_0 - T, t_0 + T]$ पर $x' = f(t,x)$, $x(t_0) = x_0$ का कोई $\mathcal C^1$ हल विद्यमान है। *कोशी–लिपशित्ज़* ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/19-ordinary-differential-equations#ch-b3-ode)): यदि इसके अतिरिक्त $f$ $x$-चर में स्थानीय रूप से लिपशित्ज़ हो, तो हल *अद्वितीय* है (कोई भी दो अपने उभयनिष्ठ अंतराल पर सहमत होते हैं) — अर्थात् अस्तित्व और अद्वितीयता। युग्म $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ दोनों प्रमेयों को पृथक कर देता है।

**13.** $\omega(r) = Lr$: $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} =
+\infty$: योग्य। $\omega(r) = r\log\frac1r$ ($0$ के निकट): $r \to 0$ पर $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr]
\to +\infty$: योग्य — फिर भी $\omega(r)/r =
\log\frac1r \to \infty$: लिपशित्ज़ नहीं। $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1
= 1 < \infty$: विफल।

**14.** दोनों समाकल रूप घटाइए:

$$
x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v,
x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,
$$

मानक लीजिए और ऑस्गुड मापांक का उपयोग कीजिए: $\delta(t) \leq
\delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$।

**15.** $\tau$ सुपरिभाषित है ($\delta(t_0) = 0$) जिसमें $\delta(\tau) = 0$ ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)) और $\intoc\tau{t_1}$ पर $\delta > 0$। $s \in \intoo\tau{t_1}$ स्थिर कीजिए। तब $u$ $\mathcal C^1$ है, $[s, t_1]$ पर $u(s) = \delta(s) > 0$, $u \geq \delta$ (प्रश्न 14), और $u' = \omega(\delta) \leq
\omega(u)$ ($\omega$ अनह्रासमान, $u > 0$)। भाग दीजिए और समाकलन कीजिए:

$$
\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}
= \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s
\leq t_1 - \tau .
$$

यद्यपि $u$ $s$ पर निर्भर करता है, परिबंध $u(t_1) \geq
\delta(t_1)$ प्रत्येक $s$ के लिए लागू है, अतः बायाँ पक्ष कम से कम $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$ है, जो $s \downarrow \tau$ पर $+\infty$ की ओर जाता है (तब $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$, और समाकल $0$ पर अपसारित होता है): इससे परिबद्ध दाएँ पक्ष का खंडन हो जाता है। अतः $\delta \equiv 0$: अद्वितीयता।

**16.** लिपशित्ज़ $\omega = Lr$ है: अद्वितीयता पुनः प्राप्त। $x' = x\log\frac1{\abs x}$ के लिए: दायाँ पक्ष $0$ के निकट ऑस्गुड मापांक $\omega(r) = r\log\frac1r$ संतुष्ट करता है ($x \mapsto x\log\frac1x$ पर माध्य मान असमिका, जिसका अवकलज $\log\frac1x - 1$ अपरिबद्ध है — लिपशित्ज़ विफल, ऑस्गुड लागू): अतः अद्वितीय हल; और ध्यान दीजिए कि $x \equiv 0$ उनमें से एक है, इसलिए कोई अन्य हल $0$ को छू नहीं सकता। $\omega(r) = 2\sqrt r$ के लिए: $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — $0$ से ऊँचाई $h^2$ तक चढ़ने का “ऑस्गुड बजट” ठीक समय $h$ है, और वस्तुतः $x_c(c + h) = h^2$: हल ठीक उतना समय $h$ वही करने में बिताता है जितना अभिसारी समाकल अनुमति देता है। समाकल का अपसरण $0$ को परिमित समय में छोड़ने की असंभवता है; और अभिसरण ही पलायन का मार्ग।

**17.** $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ के साथ $\mathcal C^1$ है (परिकल्पना $e \leq G$)। तब $\bigl(\eu^{-Lt}(G +
\tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta)
\leq 0$: कोष्ठक घटता है, अतः $G(t) + \frac{\sup\eta}L
\leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) =
\eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$, अर्थात् $e(t) \leq G(t) \leq
\frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$।

**18.** मात्रात्मक दोष: $(t_k, t_{k+1})$ पर $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ जिसमें $\abs{t - t_k} \leq T/n$ और $\norm{\varphi_n(t) -
\varphi_n(t_k)} \leq MT/n$, अतः $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n +
LMT/n$। $\varphi_n$ (प्रश्न 5) और $\varphi$ की समाकल सर्वसमिकाएँ घटाकर और लिपशित्ज़ परिबंध का उपयोग करके:

$$
\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq
\int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s +
\int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,
$$

और $\eta = \norm{\Delta_n}$ के साथ प्रश्न 17 कहा गया $O(1/n)$ परिबंध दे देता है, जिसमें $\varphi$ कोशी–लिपशित्ज़ (अथवा ऑस्गुड) से अद्वितीय है। दरों के बिना भी: समपरिबद्ध, सम-लिपशित्ज़ $(\varphi_n)$ के प्रत्येक उपानुक्रम का कोई उप-उपानुक्रम *किसी* हल पर अभिसरित होता है (आस्कोली + भाग II), जिसे अद्वितीयता $\varphi$ होने पर बाध्य कर देती है: और वह अनुक्रम अभिसरित होता है जिसके सभी उपानुक्रमों के उप-उपानुक्रमों की सीमा एक ही हो।

**19.** $\varphi_n(t_k) = 0$ से: ढाल $2\sqrt0 =
0$ $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$ देती है; आगमन: $\varphi_n
\equiv 0$, जो शून्य हल पर अभिसरित होता है। $\varepsilon > 0$ से: $\varepsilon' < \varepsilon$ वाले $[\varepsilon', \infty)$ पर फलन $2\sqrt x$ लिपशित्ज़ है, अतः प्रश्न 18 लागू होता है और ऑयलर $(0, \varepsilon)$ से होकर जाते अद्वितीय हल पर अभिसरित होता है, अर्थात् $x(t) =
(t + \sqrt\varepsilon)^2$ पर (जाँचिए: $x' = 2(t + \sqrt
\varepsilon) = 2\sqrt x$)। $\varepsilon \to 0$ पर $[0,1]$ पर एकसमान रूप से $(t +
\sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$: अतः द्विक सीमा $x_0(t) = t^2$ पर उतरती है, $0$ पर नहीं। प्रारंभिक आँकड़े का स्वेच्छ रूप से छोटा विक्षोभ योजना को एक हल से दूसरे पर मोड़ देता है: अद्वितीयता का अभाव, संख्यात्मक अस्थिरता के रूप में पढ़ा गया।

**20.** अरिक्त: भाग II। प्रत्येक हल $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$ संतुष्ट करता है: $\mathcal S$ एकसमान रूप से $M$-लिपशित्ज़ और एकसमान रूप से परिबद्ध है (मान $\bar B(x_0, b)$ में)। संवृत: यदि एकसमान रूप से $x_n \in \mathcal S \to x$ हो, तो $x_n(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ में सीमा लीजिए ([संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $R$ पर $f$ की एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से समाकल्य एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं): $x \in \mathcal S$। आस्कोली: $\mathcal S$ $\mathcal C([t_0, t_0+T],
\R^d)$ का कोई संवृत, परिबद्ध, [समसंतत](#def-b3-complete-equicontinuous) उपसमुच्चय है: अतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)।

**21.** कोई भी हल $x(0) = 0$ के साथ अनह्रासमान ($x' = 2\sqrt{\abs
x} \geq 0$) है, अतः $x \geq 0$। मान लीजिए $c =
\sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (यदि $x \equiv 0$ हो तो संभवतः $c = \infty$, जिस दशा में $x = x_\infty$)। $t > c$ के लिए: $x
> 0$ (एकदिष्टता और $c$ की परिभाषा), और वहाँ $(\sqrt
x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$, अतः $\sqrt{x(t)} = t - c$ ($c$ पर [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)): $x = x_c$। $c \mapsto
x_c$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $c, c' \in [0, 1]$ के लिए $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 -
(t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (प्रतिचित्रण $c \mapsto
(t-c)_+^2$ $t \in [0,1]$ में एकसमान रूप से $2$-लिपशित्ज़ है), और चूँकि प्रत्येक $c \geq 1$ के लिए $[0,1]$ पर $x_c \equiv 0$, अतः कुल $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ तक सिमट जाता है ($x_1 = 0 = x_\infty$ के साथ)। इसलिए $\mathcal S$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) $[0,1]$ का [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $c
\mapsto x_c$ के अंतर्गत प्रतिबिंब है: अतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) और [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected)। हलों की कीप $t^2$ (तात्कालिक पलायन) से $0$ (चिरंतन विश्राम) तक चलता एक [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) रेखाखंड है।

**22.** मान-निर्धारण $\operatorname{ev}_t\colon
\mathcal C([0,1]) \to \R$, $x \mapsto x(t)$, [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है ($\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$), अतः $\mathcal
S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ किसी [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) का [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब है: [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) — और किसी [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) समुच्चय का भी: [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected)। उदाहरण के लिए: $x_c(t) = (t - c)_+^2$, जैसे-जैसे $c$ $[0, 1]$ पर चलता है, $c = 0$ पर $t^2$ से लेकर $c \geq t$ पर $0$ तक के सभी मान [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) रूप से झाड़ देता है: $\mathcal S(t) =
\intcc0{t^2}$। प्रत्येक क्षण पर कीप का अनुप्रस्थ काट एक पूरा रेखाखंड है: विश्राम और अधिकतम पलायन के बीच प्रत्येक समझौता किसी वास्तविक हल से साकार होता है।

**23.** समाकल रूप $x(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ और $y$ के लिए उसका समरूप घटाकर, तथा $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$, $d = \norm{x_0 - y_0}$ रखकर:

$$
e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).
$$

तब $G(t_0) = d$ और $G' = Le \leq LG$, अतः $\bigl(\eu^{-L(t
- t_0)}G\bigr)' \leq 0$ और $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$; इसलिए $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$। तीक्ष्णता: $x' =
Lx$ के लिए $x_0$ और $y_0$ से होकर जाते हल $x_0\eu^{L(t -
t_0)}$ और $y_0\eu^{L(t-t_0)}$ हैं, जिनकी दूरी ठीक $d\,\eu^{L(t-t_0)}$ है। $d = 0$ के साथ $e \equiv 0$: कोशी–लिपशित्ज़ अद्वितीयता, दो पंक्तियों में पुनः व्युत्पन्न। और स्थिर $t \in [t_0, t_0 + T]$ के लिए $\norm{x(t; x_0) - x(t;
y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$: प्रवाह प्रारंभिक शर्त में लिपशित्ज़ है — नियतांकी निर्भरता, एक नियंत्रित चरघातांकी क़ीमत पर।

**24.** $\intoc01$ पर $\Omega$ सुपरिभाषित है (परिकल्पना से समाकल $0$ पर अभिसरित होता है), $\Omega' = \frac1\omega > 0$ के साथ $\mathcal C^1$: अर्थात् $\intoc0{\Omega(1)}$ पर कोई वर्धमान एकैकी आच्छादन, जिसमें $x \to 0^+$ पर $\Omega(x) \to 0$। उसका प्रतिलोम $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ $\mathcal C^1$ है जिसमें

$$
g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0,
\qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .
$$

$g$ को $t \leq 0$ पर $0$ रखकर बढ़ाइए: [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) स्पष्ट है, और $t = 0$ पर, $t > 0$ के लिए,

$$
\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s
= \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s
\leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0
$$

($\omega$ अनह्रासमान, $g$ वर्धमान, $\omega(0^+) = 0$): अतः $g'(0) = 0 = f(g(0))$, और $0$ के दोनों ओर $g' = f(g)$ लागू है। इसलिए $x \equiv 0$ और $g$ $(0, 0)$ से होकर जाते दो भिन्न $\mathcal
C^1$ हल हैं: अर्थात् जब $\int_0\frac{\dd r}
{\omega(r)}$ अभिसरित होता है तब अद्वितीयता विफल हो जाती है — और प्रश्न 15 का अपसरण ठीक वही सीमांत है। $\omega(r) = 2\sqrt
r$ के लिए: $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$, $g(t) = t^2$, और समय स्थानांतरण भाग III का समूचा कुल $x_c$ दे देते हैं।

**25.** चरण $h = \frac1n$ के साथ: $\varphi_n(t_{k+1}) =
\varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$, अतः $n$ चरणों के बाद $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$। प्रसार:

$$
n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr)
\Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

और चरघातांक लेने पर $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) +
O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$। अतः $t = 1$ पर त्रुटि $\eu - \varphi_n(1) =
\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ है: यही प्रश्न 18 का $O(\frac1n)$ है, यहाँ अपने यथार्थ अचर $\frac\eu2$ के साथ। संख्यात्मक रूप से, $n =
10$: $1.1^{10} = 2.5937424601$ ($1.1^2 = 1.21$, $1.1^4 =
1.4641$, $1.1^8 = 2.14358881$, गुणा $1.21$), और $\eu -
2.59374 \approx 0.12454$, जबकि अनंतस्पर्शी भविष्यवाणी $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ है: अर्थात् $O(n^{-2})$ संशोधन के भीतर सहमति, जिसका अग्रणी पद यहाँ भविष्यवाणी को प्रेक्षित मान की ओर नीचे लाता है।