--- title: "बानाख समष्टियाँ और मूल प्रमेय" book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3" subject: math language: hi chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems --- # अध्याय 8 — बानाख समष्टियाँ और मूल प्रमेय कार्यकीय विश्लेषण अनंत-विमीय मानकित समष्टियों का अध्ययन उन पर रहने वाले संकारकों और फलनिकों के माध्यम से करता है। उसकी संस्थापक खोज यह है कि *[पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*, बेयर की प्रमेय के द्वारा, प्रबल एकरूपता पर विवश कर देती है: संकारकों के बिंदुशः परिबद्ध कुल मानक में परिबद्ध होते हैं (बानाख–श्टाइनहाउस), [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों के प्रतिलोम [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) होते हैं (विवृत प्रतिचित्रण), और आलेख [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) पकड़ लेते हैं (संवृत आलेख)। दूसरा स्तंभ, *हान–बानाख*, [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) की माँग बिलकुल नहीं करता — केवल ज़ोर्न की प्रमेयिका की — और यह सुनिश्चित करता है कि द्वैत समष्टियाँ इतनी समृद्ध हों कि प्रत्येक सदिश को देख सकें। यह अध्याय चारों प्रमेय सिद्ध करता है और उन्हें शास्त्रीय अनुक्रम समष्टियों $\ell^p$ पर, मूर्त द्वैत परिकलनों पर, और एक सचमुच चौंकाने वाले अनुप्रयोग पर परखता है: ऐसे [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-आवर्ती फलन विद्यमान हैं जिनकी फूरिये श्रेणी किसी बिंदु पर *अपसरित* हो जाती है — जिससे दूसरे वर्ष का छूटा हुआ प्रश्न नकारात्मक रूप में हल हो जाता है। सर्वत्र $E, F$ $K = \R$ या $\C$ पर मानकित समष्टियाँ हैं; *बानाख समष्टि* से अभिप्राय है [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) मानकित समष्टि। ## 8.1 परिबद्ध संकारक; अनुक्रम समष्टियाँ **परिभाषा 8.1.** $\mathcal L(E, F)$ *परिबद्ध* (= [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), दूसरा वर्ष) रैखिक प्रतिचित्रणों की समष्टि को निरूपित करता है, जिस पर *संकारक मानक* $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ है; वह उपगुणात्मक है: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$। *द्वैत समष्टि* $E' = \mathcal L(E, K)$ है। **प्रतिज्ञप्ति 8.2.** यदि $F$ एक बानाख समष्टि हो, तो $\mathcal L(E, F)$ भी बानाख समष्टि है; विशेष रूप से $E'$ सदैव बानाख समष्टि है। **उपपत्ति.** मान लीजिए $(T_n)$ $\vertiii\cdot$ के लिए कोशी है। प्रत्येक $x$ के लिए $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$: अतः $(T_nx)$ $F$ में कोशी है और अभिसरित होता है; उसकी सीमा को $Tx$ कहिए। $T$ रैखिक है (रैखिक सर्वसमिकाओं की सीमाएँ); और $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ($n, m \geq N$) में सीमा लेने पर $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ मिलता है: अतः [संकारक मानक](#def-b3-banach-operator) में $T_n \to T$, और $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$। ∎ **परिभाषा 8.3.** शास्त्रीय अनुक्रम समष्टियाँ ($K$ पर, $\N$ से सूचकित): $$ \ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty), $$ $$ \ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\}, $$ और $\norm\cdot_\infty$ के साथ $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$। $\norm\cdot_p$ का मानक होना मिन्कोव्स्की असमिका से निकलता है, जो विविक्त स्थिति में ठीक वैसे ही सिद्ध होती है जैसे [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#ch-b3-lp) में (अथवा दूसरे वर्ष की परिमित-विमीय असमिका का योग लेकर)। ये सभी बानाख समष्टियाँ हैं, और $c_0$ $\ell^\infty$ की एक संवृत उपसमष्टि है ([अभ्यास 8.3](#exo-b3-banach-3))। ![समतल में p-मानकों के इकाई गोले, जो p के 1 (समचतुर्भुज) से 2 (चक्र) और 4 (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए ∈fty (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और p = 1 तथा p = ∈fty पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg) *समतल में $p$-मानकों के इकाई गोले, जो $p$ के $1$ (समचतुर्भुज) से $2$ (चक्र) और $4$ (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए $\infty$ (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता *ही* मिन्कोव्स्की असमिका है; और $p = 1$ तथा $p = \infty$ पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और [अभ्यास 12.12](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/12-lp#exo-b3-lp-12) की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं।* **प्रतिज्ञप्ति 8.4 (न्यूमन श्रेणी).** मान लीजिए $E$ बानाख है और $\vertiii T < 1$ के साथ $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$। तब $I - T$ $\mathcal L(E)$ में व्युत्क्रमणीय है और $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ ([संकारक मानक](#def-b3-banach-operator) में अभिसारी)। फलस्वरूप व्युत्क्रमणीय संकारकों का समुच्चय विवृत है, और उस पर प्रतिलोमन [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। **उपपत्ति.** श्रेणी बानाख $\mathcal L(E)$ में निरपेक्षतः अभिसरित होती है ($\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$, गुणोत्तर) ([प्रतिज्ञप्ति 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete); [अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(ख))। दूरबीनी योग से $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$, और इसी प्रकार दूसरी ओर भी। विवृतता के लिए: यदि $S$ व्युत्क्रमणीय हो और $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$, तो $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ के साथ $S + H = S(I + S^{-1}H)$: अतः व्युत्क्रमणीय। प्रतिलोमन का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): श्रेणी वाला व्यंजक स्थानीय रूप से $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ दे देता है। ∎ **उदाहरण 8.5 (न्यूमन से हल किया गया एक वोल्तेरा समीकरण).** $E = \mathcal C(\intcc01)$ पर समाकल समीकरण $$ u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{अर्थात्}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu . $$ पर विचार कीजिए। यहाँ $\vertiii T \leq 1$, अतः $\abs\lambda < 1$ के लिए [न्यूमन श्रेणी](#prop-b3-banach-neumann) सीधे लागू होती है: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$। परिकलन करने पर $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$, अतः $$ u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} , $$ जैसा अवकलन से पुष्ट हो जाता है। इससे भी अच्छी बात: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (पुनरावृत्त नाभिक क्रमगुणित की दर से सिकुड़ता है), अतः $\sum\lambda^nT^n$ *प्रत्येक* $\lambda$ के लिए अभिसरित होती है — संकारक $I - \lambda T$ समस्त $\lambda \in \C$ के लिए व्युत्क्रमणीय है, यद्यपि अंततः $\vertiii{\lambda T} \geq 1$: महत्त्व घातों के स्पेक्ट्रमी क्षय का है, पहले मानक का नहीं। वोल्तेरा संकारकों में यह क्रमगुणित क्षय अंतर्निहित होता है ([अभ्यास 7.4](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(क) ने ठीक इसी का उपयोग किया था), और इसीलिए आरंभिक मान समस्याएँ सीमांत मान समस्याओं की अनुनाद परिघटनाओं से कभी ग्रस्त नहीं होतीं ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#ch-b3-spectral))। ## 8.2 हान–बानाख **प्रमेय 8.6 (हान–बानाख, वैश्लेषिक रूप).** मान लीजिए $E$ एक *वास्तविक* सदिश समष्टि है, $p \colon E \to \R$ *उपरैखिक* है ($p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ और $t \geq 0$ के लिए $p(tx) = tp(x)$), $F \subseteq E$ एक उपसमष्टि है और $f \colon F \to \R$ ऐसा रैखिक फलनिक जिसके लिए $F$ पर $f \leq p$। तब $f$ किसी ऐसे रैखिक $\tilde f \colon E \to \R$ तक विस्तारित हो जाता है जिसके लिए $E$ पर $\tilde f \leq p$। **उपपत्ति.** *एक-चरण विस्तार।* मान लीजिए $x_0 \notin F$; हम $\alpha = \tilde f(x_0)$ को ठीक से चुनकर $f$ को $F \oplus \R x_0$ तक विस्तारित करते हैं: हमें सभी $y \in F$, $t > 0$ के लिए चाहिए $$ f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{तथा}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0), $$ जो $t$ से भाग देने पर (उपरैखिकता) घटकर $$ \sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr]. $$ हो जाता है। ऐसा $\alpha$ विद्यमान है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक बायाँ पद प्रत्येक दाएँ पद से $\leq$ हो: और वस्तुतः $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$, अर्थात् $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$। *ज़ोर्न।* $p$ से प्रभावित $f$ के विस्तारों (युग्म: उपसमष्टि, फलनिक) को विस्तार से क्रमित कीजिए; किसी शृंखला का ऊपरी परिबंध उसका सम्मिलन है; और कोई महत्तम अवयव पूरे $E$ पर परिभाषित होना ही चाहिए, अन्यथा एक-चरण विस्तार महत्तमता का खंडन कर देता है। ∎ **उपप्रमेय 8.7.** मान लीजिए $E$ एक मानकित समष्टि है ($K = \R$ या $\C$)। 1. प्रत्येक $f \in F'$ (जहाँ $F$ एक उपसमष्टि है) $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ वाले किसी $\tilde f \in E'$ तक विस्तारित हो जाता है। 2. प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए $\norm f = 1$ और $f(x) = \norm x$ वाला कोई $f \in E'$ है। विशेष रूप से $E'$ $E$ के बिंदुओं को पृथक करता है, और $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ । 3. किसी संवृत उपसमष्टि $F$ और $x \notin F$ के लिए ऐसा $f \in E'$ है जो $F$ पर लुप्त हो जाता है और जिसके लिए $f(x) = d(x, F)$ तथा $\norm f \leq 1$ । **उपपत्ति.** (1) वास्तविक स्थिति: $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (जो उपरैखिक है) के साथ [प्रमेय 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) लगाइए; विस्तार $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ को संतुष्ट करता है, अतः $\norm{\tilde f} \leq \norm f$, और $\geq$ प्रतिबंध है। सम्मिश्र स्थिति: मान लीजिए $u = \operatorname{Re}f$, जो $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ वाला वास्तविक फलनिक है; ध्यान दीजिए कि $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (वास्तविक और काल्पनिक भागों पर जाँचिए: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$)। $u$ को उसी परिबंध के साथ वास्तविक-रैखिक ढंग से विस्तारित कीजिए और $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ रखिए: यह $\C$-रैखिक है ($\iu$ से गुणन पर सीधी जाँच) और $f$ का विस्तार है; मानक के लिए: दिए हुए $x$ के लिए $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ लिखिए, तब $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$। (2) $F = Kx$ पर $f(tx) = t\norm x$ परिभाषित कीजिए: $F$ पर मानक $1$; अब (1) से विस्तारित कीजिए। द्वैत सूत्र: $\leq$ स्पष्ट है, और इस $f$ से $\geq$। (3) $F \oplus Kx$ पर $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ परिभाषित कीजिए; तब $t \neq 0$ के लिए $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$: अतः उपसमष्टि पर $\norm f \leq 1$; अब (1) से विस्तारित कीजिए। ∎ **टिप्पणी 8.8.** (2) से विहित प्रतिचित्रण $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, एक समदूरीयता है ([अभ्यास 8.10](#exo-b3-banach-10)): अर्थात् प्रत्येक मानकित समष्टि अपने द्विद्वैत के भीतर बैठती है। जिन समष्टियों के लिए $J$ आच्छादक है वे *स्वद्वैती* कहलाती हैं; सप्ताहांत समस्या दिखाती है कि $\ell^p$ ($1 < p < \infty$) [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) है जबकि $\ell^1$ नहीं। ## 8.3 बेयर त्रयी **प्रमेय 8.9 (बानाख–श्टाइनहाउस, एकसमान परिबद्धता).** मान लीजिए $E$ एक *बानाख* समष्टि है, $F$ मानकित, और $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ ऐसा कुल कि प्रत्येक $x \in E$ के लिए $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$। तब $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$। **उपपत्ति.** समुच्चय $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ संवृत हैं (संवृत गोलों के पूर्वप्रतिबिंबों के प्रतिच्छेदन) और $E$ को आच्छादित करते हैं। बेयर ([प्रमेय 7.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) $n_0$ और कोई गोला $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ दे देती है। $\norm z < r$ के लिए: $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$, अतः प्रत्येक $i$ के लिए $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$। ∎ **उपप्रमेय 8.10.** यदि $E$ बानाख हो और $T_n \in \mathcal L(E,F)$ *बिंदुशः* अभिसरित हों (प्रत्येक $x$ के लिए $T_nx \to Tx$), तो $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$, $T \in \mathcal L(E, F)$, और $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$। **उपपत्ति.** अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होते हैं: अतः बिंदुशः परिबद्धता; बानाख–श्टाइनहाउस मानकों को किसी $M$ से परिबद्ध कर देती है; तब $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ($T$ बिंदुशः सीमा के रूप में रैखिक है), और $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ में $\liminf$ तक जाने से तीक्ष्णतर परिबंध मिल जाता है। ∎ **प्रमेय 8.11 (अपसारी फूरिये श्रेणी).** ऐसे [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-आवर्ती फलन $f$ विद्यमान हैं जिनकी फूरिये श्रेणी $0$ पर अपसरित होती है: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$। वस्तुतः ऐसे $f$ $\mathcal C(S^1)$ का एक सघन उपसमुच्चय बनाते हैं। **उपपत्ति.** बानाख समष्टि $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ में फलनिकों $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (दिरिक्ले नाभिक, दूसरा वर्ष) के साथ कार्य कीजिए। प्रत्येक $\Lambda_N$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और $$ \norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N . $$ ($\leq$ स्पष्ट है; $\geq$ के लिए: $\norm f_\infty \leq 1$ वाला [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ लीजिए जो $\operatorname{sign}D_N$ का आसन्नन करे — चिह्न में परिमित संख्या के उछाल हैं; प्रत्येक उछाल को लंबाई $\varepsilon$ के अंतराल पर चिकना करने से समाकल $O(N\varepsilon)$ जितना बदलता है।) *लेबेग नियतांक* $L_N$ अनंत की ओर जाते हैं: $$ L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u $$ ($[0, \pi]$ पर $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ का उपयोग करके, फिर $u = (N + \tfrac12)t$ प्रतिस्थापित करके)। मेहराबों में काटने पर: $$ \int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{अतः}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty . $$ यदि प्रत्येक [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ होता, तो बानाख–श्टाइनहाउस $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ पर विवश कर देती: विरोधाभास। अतः कोई $f$ — वस्तुतः $f$ का एक अक्षीण, [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) ($\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ का पूरक, जो संवृत समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन है और जिसका, उपर्युक्त तर्क किसी भी गोले में लगाने से, कोई [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) न होने के कारण वह [क्षीण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) है) — $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ रखता है। ∎ **प्रमेय 8.12 (विवृत प्रतिचित्रण).** मान लीजिए $E, F$ बानाख समष्टियाँ हैं और $T \in \mathcal L(E, F)$ *आच्छादक* है। तब $T$ विवृत है: किसी $c > 0$ के लिए $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$। फलस्वरूप बानाख समष्टियों के बीच किसी एकैकी आच्छादक परिबद्ध संकारक का प्रतिलोम परिबद्ध होता है। **उपपत्ति.** $B = B_E(0,1)$ लिखिए। आच्छादकता से $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$; और बेयर ([प्रमेय 7.6](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) $\overline{T(B)}$ को [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) दे देती है: किसी $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ के लिए। $0$ पर पुनःकेंद्रित कीजिए: $\norm y < 4c$ के लिए $y_0 + y$ और $y_0$ दोनों $u_k, v_k \in B$ वाले प्रतिबिंबों $Tu_k$, $Tv_k$ की सीमाएँ हैं, अतः $u_k - v_k \in 2B$ वाला $y = \lim T(u_k - v_k)$: अर्थात् $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$, यानी $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$। *[संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) हटाना* (यहीं $E$ की [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) प्रवेश करती है): मान लीजिए $\norm y < c$। $\norm{y - Tx_1} < c/2$ वाला $x_1 \in \frac12 B$ चुनिए ($\frac12$ से मापित $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$); आगमन से $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ वाला $x_k \in 2^{-k}B$। श्रेणी $\sum x_k$ बानाख $E$ में निरपेक्षतः अभिसरित होकर $x \in B$ (मानक $< \sum 2^{-k} = 1$) पर जाती है, और [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से $Tx = y$: अतः $B_F(0, c) \subseteq T(B)$। मनमाने विवृत समुच्चयों पर $T$ की विवृतता स्थानांतरण और मापन से निकलती है; और उपप्रमेय के लिए, $T$ की विवृतता का अर्थ है कि $T^{-1}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। ∎ **उपप्रमेय 8.13 (तुल्य मानक).** यदि कोई सदिश समष्टि दो तुलनीय मानकों ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$) के लिए [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) हो, तो वे मानक तुल्य होते हैं। **उपपत्ति.** तत्समक $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ बानाख समष्टियों के बीच परिबद्ध और एकैकी आच्छादक है: अतः उसका प्रतिलोम परिबद्ध है। ∎ **प्रमेय 8.14 (संवृत आलेख).** मान लीजिए $E, F$ बानाख हैं और $T \colon E \to F$ रैखिक। यदि आलेख $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ $E \times F$ में संवृत हो (अर्थात् $x_n \to x$ और $Tx_n \to y$ से $y = Tx$ निकलता हो), तो $T$ परिबद्ध है। **उपपत्ति.** $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ के साथ $E \times F$ बानाख है; और संवृत उपसमष्टि $\Gamma$ भी बानाख है। प्रक्षेप $\pi_E\colon \Gamma \to E$ परिबद्ध और एकैकी आच्छादक है, अतः उसका प्रतिलोम $x \mapsto (x, Tx)$ परिबद्ध है ([प्रमेय 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)): इसलिए $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$। ∎ **विधि 8.15.** कौन-सी प्रमेय कब उठानी है। *हान–बानाख*: निर्धारित व्यवहार वाला कोई फलनिक बनाने के लिए (किसी सदिश का मानक निकालना, किसी उपसमष्टि पर लुप्त होना, किसी उपसमष्टि से विस्तार करना) — यहाँ [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) की आवश्यकता नहीं। *बानाख–श्टाइनहाउस*: बिंदुशः सूचना को एकसमान परिबंधों में बदलने के लिए — प्रायः यह दिखाने के लिए कि कोई सीमा संक्रिया [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है, अथवा (प्रतिधनात्मक रूप में) किसी अवयव के लिए *अपसरण* सिद्ध करने के लिए, जैसा फूरिये श्रेणी के लिए। *विवृत प्रतिचित्रण / संवृत आलेख*: बीजगणितीय एकैकी आच्छादकता से अथवा आलेख के किसी [संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) गुण से मुफ्त में [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) पाने के लिए — प्ररूपी उपयोग: दो [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) मानकों की तुलना, या स्वतः [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) सिद्ध करना। तीनों बेयर प्रमेयों को *स्रोत की* [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) चाहिए; अन्यथा प्रतिउदाहरण हैं ([अभ्यास 8.7](#exo-b3-banach-7))। ## 8.4 द्वैत समष्टियाँ, मूर्त रूप में **प्रमेय 8.16.** समदूरिक रूप से: $(c_0)' \cong \ell^1$ और $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$, युग्मन $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ के माध्यम से। **उपपत्ति.** हम $(c_0)' \cong \ell^1$ सिद्ध करते हैं; दूसरी पहचान [अभ्यास 8.5](#exo-b3-banach-5) है। $y \in \ell^1$ के साथ $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ($x \in c_0$) जोड़िए: यह निरपेक्षतः अभिसारी है और $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$, अतः $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$। विलोमतः मान लीजिए $\Lambda \in (c_0)'$; $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए ($e_n$ इकाई अनुक्रम हैं)। किसी भी $N$ के लिए $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ की परीक्षा लीजिए (मानक $\leq 1$; सम्मिश्र स्थिति में इकाई-मापांक गुणनखंड $\bar y_n/\abs {y_n}$ का उपयोग कीजिए): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$। अतः $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ के साथ $y \in \ell^1$। अंततः $\Lambda = \Lambda_y$: दोनों $e_n$ पर सहमत हैं, अतः परिमित अनुक्रमों पर भी, जो $c_0$ में सघन हैं (छँटाई: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ ठीक इसलिए कि $x_n \to 0$); और [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) पर सहमत [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनिक बराबर होते हैं। यह संगति रैखिक, एकैकी आच्छादक और समदूरिक है (दोनों असमिकाओं से $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$)। ∎ ## 8.5 अभ्यास **अभ्यास 8.1 ★.** [संकारक मानक](#def-b3-banach-operator) परिकलित कीजिए: (क) $\ell^2$ पर विस्थापन $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ और $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$; (ख) $a \in \ell^\infty$ के लिए $\ell^2$ पर गुणन संकारक $M_a x = (a_nx_n)$; (ग) $\mathcal C(\intcc01)$ पर फलनिक $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ — दर्शाइए कि $\norm\Lambda = 1$ और यह कि मानक *प्राप्त नहीं होता*। **हल — अभ्यास 8.1.** (क) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$: $S$ कोई समदूरीयता है, $\vertiii S = 1$। पश्च विस्थापन के लिए: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$, जिसमें $x = e_2$ के लिए बराबरी: $\vertiii{S^*} = 1$। (ख) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$; $x = e_n$ पर परीक्षा लेने से प्रत्येक $n$ के लिए $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ मिलता है: $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$। (ग) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$: $\norm\Lambda \leq 1$। $\varepsilon > 0$ के लिए मान लीजिए $f_\varepsilon$ $[0, \frac12 - \varepsilon]$ पर $1$, $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ पर $-1$, और बीच में आफ़ीन है: $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ तथा $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$: अतः $\norm\Lambda = 1$। प्राप्त नहीं होता: $\norm f_\infty \leq 1$ वाले $\Lambda(f) = 1$ से $\int_0^{1/2}f = \frac12$ और $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ अनिवार्य हो जाते हैं, अर्थात् ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), $\abs f \leq 1$) $[0, \frac12]$ पर $f \equiv 1$ और $[\frac12, 1]$ पर $f \equiv -1$: $\frac12$ पर विरोधाभास। **अभ्यास 8.2 ★.** मान लीजिए $E$ बानाख है, $T \in \mathcal L(E)$ व्युत्क्रमणीय, और $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ के साथ $S$। दर्शाइए कि $S$ व्युत्क्रमणीय है और $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ का आकलन कीजिए। अनुप्रयोग: यदि कोई रैखिक निकाय $Tx = b$ व्युत्क्रमणीय $T$ के साथ हल्य हो, तो $T$ का पर्याप्त छोटा विक्षोभ उसे अद्वितीय रूप से हल्य बनाए रखता है, और हल के परिवर्तन पर एक मात्रात्मक परिबंध भी देता है। **हल — अभ्यास 8.2.** $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ के साथ $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ लिखिए: [प्रतिज्ञप्ति 8.4](#prop-b3-banach-neumann) से $S$ $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ के साथ व्युत्क्रमणीय है, जिससे $$ \vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}. $$ रैखिक निकाय के लिए: $x_T = T^{-1}b$ और $x_S = S^{-1}b$ अधिक से अधिक उस परिबंध गुणा $\norm b$ भिन्न होते हैं — अर्थात् किसी व्युत्क्रमणीय निकाय के छोटे विक्षोभ अद्वितीय रूप से हल-योग्य बने रहते हैं, जिसमें हल की संकारक पर निर्भरता लिपशित्ज़ होती है। **अभ्यास 8.3 ★★.** (क) सिद्ध कीजिए कि $\ell^1$, $\ell^\infty$ और $c_0$ बानाख समष्टियाँ हैं, और यह कि $c_0$ $\ell^\infty$ में परिमित अनुक्रमों की समष्टि की [संवृति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) है। (ख) दर्शाइए कि $1 \leq p \leq q \leq \infty$ के लिए $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ के साथ $\ell^p \subseteq \ell^q$, और यह कि अंतर्वेशन कड़ा है। **हल — अभ्यास 8.3.** (क) $\ell^1$: मान लीजिए $(x^{(k)})$ कोशी है। प्रत्येक निर्देशांक कोशी है ($\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$): मान लीजिए $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$। $\varepsilon$ दिया हो, तो $k, l \geq K$ के लिए: प्रत्येक $N$ के लिए $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$; $l \to \infty$ लीजिए, फिर $N \to \infty$: $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$, और $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$। $\ell^\infty$: $\norm\cdot_\infty$ के लिए कोशी होना एकसमान रूप से कोशी होना है: अतः वह किसी परिबद्ध अनुक्रम पर एकसमान रूप से अभिसरित होता है। $c_0$ $\ell^\infty$ में संवृत है: यदि $x^{(k)}_n \to_n 0$ के साथ एकसमान रूप से $x^{(k)} \to x$ हो, तो $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ से $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ मिलता है: $x \in c_0$; और किसी बानाख समष्टि की संवृत उपसमष्टि बानाख होती है। परिमित अनुक्रम: उनका संवरण प्रत्येक $x \in c_0$ को धारण करता है (कर्तन अभिसरित होते हैं: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) और संवृत $c_0$ में अंतर्विष्ट है। (ख) समघातता से मान लीजिए $\norm x_p = 1$: तब सभी $n$ के लिए $\abs{x_n} \leq 1$, अतः $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ और $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$; $q = \infty$ के लिए सीधे $\abs{x_n} \leq \norm x_p$। कड़ाई: $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ वाला $x_n = n^{-\alpha}$ $\ell^q \setminus \ell^p$ में है (रीमान श्रेणी)। **अभ्यास 8.4 ★★.** मान लीजिए $F \subseteq E$ एक संवृत उपसमष्टि है और $x \notin F$। [उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed) का उपयोग करते हुए द्वैत सूत्र $$ d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\} $$ सिद्ध कीजिए (ध्यान दीजिए: यह एक *अधिकतम* है)। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$: संवृत उपसमष्टियाँ ठीक फलनिकों की अष्टियों के प्रतिच्छेदन हैं। **हल — अभ्यास 8.4.** ($\leq$) यदि $\norm f \leq 1$ और $f\restriction_F = 0$ हो: तो प्रत्येक $y \in F$ के लिए $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$; निम्नतम लीजिए। ($\geq$, प्राप्त) [उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) $f\restriction_F = 0$, $\norm f \leq 1$, $f(x) = d(x, F)$ वाला $f$ उत्पन्न करता है: अतः उच्चतम एक उच्चिष्ठ है। परिणाम: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ तुच्छ रूप से, और कोई बिंदु $x \notin F$ ऊपर वाले फलनक से प्रतिच्छेद से अपवर्जित हो जाता है ($f(x) = d(x,F) > 0$, क्योंकि $F$ संवृत है)। **अभ्यास 8.5 ★★.** [प्रमेय 8.16](#thm-b3-banach-duals) की योजना का अनुसरण करते हुए समदूरिक रूप से $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ सिद्ध कीजिए (परिमित अनुक्रम $\ell^1$ में सघन हैं)। $(\ell^\infty)'$ के लिए तर्क कहाँ टूट जाता है? **हल — अभ्यास 8.5.** $y \in \ell^\infty$ के लिए: $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$, अतः $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$; $e_n$ पर परीक्षा लेने पर: $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$: अर्थात् बराबरी। विलोमतः $\Lambda \in (\ell^1)'$ दिया हो, तो $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए: $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$, अतः $y \in \ell^\infty$; $\Lambda$ और $\Lambda_y$ परिमित अनुक्रमों पर सहमत हैं, जो $\ell^1$ में सघन हैं ($\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$): अतः $\Lambda = \Lambda_y$। प्रतिचित्रण $y \mapsto \Lambda_y$ रैखिक, समदूरीय और आच्छादक है। $(\ell^\infty)'$ के लिए वही आरंभ कोई अनुक्रम $y_n = \Lambda(e_n)$ उत्पन्न करता है, पर परिमित अनुक्रम $\ell^\infty$ में सघन *नहीं* हैं (अचर अनुक्रम $\mathbf 1$ उन सबसे दूरी $1$ पर है), अतः $\Lambda$ $y_n$ से निर्धारित नहीं होता — और वस्तुतः $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([समस्या 8.1](#pb-b3-banach-1))। **अभ्यास 8.6 ★★.** मान लीजिए $E, F, G$ मानकित हैं और $E$ बानाख, तथा $B \colon E \times F \to G$ द्विरैखिक है और प्रत्येक चर में अलग-अलग [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)। दर्शाइए कि $B$ (संयुक्त रूप से) [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$। *(कुल $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ पर बानाख–श्टाइनहाउस लगाइए।)* **हल — अभ्यास 8.6.** प्रत्येक स्थिर $x$ के लिए $y \mapsto B(x, y)$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) रैखिक है: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$। अतः कुल $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (प्रत्येक सदस्य [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), $x$ में [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से) बानाख समष्टि $E$ पर बिंदुशः परिबद्ध है: बानाख–श्टाइनहाउस ([प्रमेय 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) से ऐसा $C$ मिलता है कि सभी $\norm y \leq 1$ के लिए $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$; और $y$ में समघातता बात पूरी कर देती है: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$। **अभ्यास 8.7 ★★.** (क) $E = \mathcal C(\intcc01)$ पर $\norm\cdot_\infty$ और $\norm\cdot_1$ की तुलना कीजिए: तत्समक $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ परिबद्ध और एकैकी आच्छादक है पर उसका प्रतिलोम अपरिबद्ध। [उपप्रमेय 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) की कौन-सी परिकल्पना विफल होती है? (ख) $\ell^2$ की किसी सघन उपसमष्टि से $K$ में जाता कोई असंतत रैखिक प्रतिचित्रण प्रस्तुत कीजिए (उदाहरणार्थ परिमित अनुक्रमों पर), और समझाइए कि यह संवृत आलेख प्रमेय का खंडन क्यों नहीं है। **हल — अभ्यास 8.7.** (क) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$: तत्समक परिबद्ध और एकैकी-आच्छादक है। उसका प्रतिलोम अपरिबद्ध है: $f_n(x) = x^n$ के लिए $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ पर $\norm{f_n}_\infty = 1$। [उपप्रमेय 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) के साथ कोई विरोधाभास नहीं: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) *नहीं* है ([अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)); और उपप्रमेय को दोनों ओर [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) चाहिए। (ख) परिमित अनुक्रमों की समष्टि $E_0$ ($\ell^2$ में सघन) पर $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ रैखिक और अपरिबद्ध है ($\norm{e_n}_2 = 1$ वाला $\varphi(e_n) = n$)। संवृत आलेख प्रमेय लागू नहीं होती: $E_0$ [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) नहीं है — और $\varphi$ का $\ell^2$ तक कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) विस्तार नहीं है, जो दिखा देता है कि एकसमान [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) के बिना सघनता निर्बल है ([प्रमेय 7.2](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension))। **अभ्यास 8.8 ★★★.** (हेलिंगर–टोप्लित्स) मान लीजिए $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ रैखिक (सर्वत्र परिभाषित) और *सममित* है: सभी $x, y$ के लिए $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$, जहाँ $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$। दर्शाइए कि $T$ परिबद्ध है। *(संवृत आलेख: यदि $x_k \to x$ और $Tx_k \to z$ हो, तो मनमाने $y$ के सापेक्ष परीक्षा लीजिए।)* सार: अपरिबद्ध सममित संकारक — क्वांटम यांत्रिकी के हैमिल्टनी — कभी पूरी समष्टि पर परिभाषित नहीं किए जा सकते। **हल — अभ्यास 8.8.** हम संवृत-आलेख परिकल्पना सत्यापित करते हैं। मान लीजिए $\ell^2$ में $x_k \to x$ और $Tx_k \to z$। प्रत्येक $y$ के लिए: $$ \langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle, $$ जिसमें प्रत्येक खाँचे में अंतःगुणन की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) (कोशी–श्वार्ज़) और सममिति का दो बार उपयोग हुआ है। अतः $z - Tx$ प्रत्येक $y$ पर, विशेष रूप से स्वयं पर, लांबिक है: $z = Tx$। आलेख संवृत है और $\ell^2$ बानाख है: अतः $T$ परिबद्ध है ([प्रमेय 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph))। इसलिए *समूचे* $\ell^2$ पर परिभाषित कोई सममित संकारक स्वतः परिबद्ध होता है; और सचमुच अपरिबद्ध सममित संकारकों (स्थिति, संवेग, हैमिल्टनी) को उचित सघन उपसमष्टियों पर ही रहना पड़ता है। **अभ्यास 8.9 ★★★.** (संख्यात्मक समाकलन पर पोल्या की प्रमेय) प्रत्येक $n$ के लिए मान लीजिए $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ $\mathcal C(\intcc01)$ पर एक संख्यात्मक समाकलन नियम है ($x_{i,n} \in \intcc01$, $w_{i,n} \in \R$)। दर्शाइए कि *प्रत्येक* [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $f$ के लिए $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ होता है तभी और केवल तभी जब: (क) प्रत्येक बहुपद $P$ के लिए $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$, और (ख) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$। *($\norm{\Lambda_n}$ परिकलित कीजिए; बानाख–श्टाइनहाउस और वाइरश्ट्रास का उपयोग कीजिए।)* जाँचिए कि अचरों पर यथार्थ *धनात्मक* भार वाले नियम (ख) को स्वतः संतुष्ट कर देते हैं। **हल — अभ्यास 8.9.** पहले, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$: $\leq$ त्रिभुज असमिका है; और $\norm f_\infty \leq 1$ तथा $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ वाले किसी खंडशः रैखिक $f$ पर परीक्षा लेने से $\geq$ (परिमित संख्या के गाँठ बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन कीजिए; जहाँ गाँठ मिल जाएँ वहाँ चिह्न सहमत होते हैं)। ($\Rightarrow$) प्रत्येक $f$ पर बिंदुशः अभिसरण से (i) निकलता है, और साथ में बिंदुशः परिबद्धता, अतः बानाख $\mathcal C(\intcc01)$ पर बानाख–श्टाइनहाउस ([प्रमेय 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) (ii) दे देता है। ($\Leftarrow$) मान लीजिए $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$। $f$ और $\varepsilon$ दिए हों, तो $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ वाला कोई बहुपद $P$ चुनिए ([उपप्रमेय 7.16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)); तब $$ \Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon . $$ धनात्मक भार, अचरों पर यथार्थता: अचरों पर यथार्थ नियमों के लिए $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ — अतः (ii) अचर $1$ के साथ लागू है। **अभ्यास 8.10 ★★.** दर्शाइए कि $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, एक रैखिक समदूरीयता है ([उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2) का उपयोग कीजिए), और यह कि $\dim E < \infty$ होने पर वह आच्छादक है। यह भी दर्शाइए कि यदि $E'$ पृथक्करणीय हो, तो $E$ भी पृथक्करणीय है। *($E'$ के किसी सघन अनुक्रम का लगभग मानक निकालने वाले $x_n$ चुनिए और [उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) के माध्यम से दिखाइए कि उनका संवृत विस्तार $E$ है।)* **हल — अभ्यास 8.10.** $J$ की रैखिकता औपचारिक है; [उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2) से $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$। यदि $\dim E = n$ हो: तो $\dim E' = n$ (कोई आधार निर्देशांक फलनक दे देता है), अतः $\dim E'' = n$, और एकैकी (समदूरीय) $J$ आच्छादक है। पृथक्करणीयता: मान लीजिए $(f_n)$ $E'$ में सघन है और $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ वाले $\norm{x_n} = 1$ चुनिए। मान लीजिए $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$; यदि $F \neq E$ हो, तो $F$ पर लुप्त होने वाला $g \in E'$, $g \neq 0$ लीजिए ([उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3)); $f_{n_k} \to g$ चुनिए: $$ \norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr), $$ अतः $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$: विरोधाभास। इसलिए $F = E$, और $x_n$ के परिमेय (अथवा $\Q + \iu\Q$) संचय कोई गणनीय [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) बनाते हैं। **अभ्यास 8.11 ★★.** (भागफल समष्टियाँ) मान लीजिए $E$ एक बानाख समष्टि है और $F \subseteq E$ उसकी *संवृत* उपसमष्टि। $E/F$ पर परिभाषित कीजिए $$ \norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} . $$ (क) दर्शाइए कि यह $E/F$ पर एक सुपरिभाषित *मानक* है ($F$ की संवृतता कहाँ प्रवेश करती है?), और यह कि प्रक्षेप $\pi \colon E \to E/F$ $\vertiii\pi \leq 1$ रखता है और विवृत इकाई गोले को विवृत इकाई गोले पर आच्छादित कर देता है। (ख) दर्शाइए कि $E/F$ [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) है। *([अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(ख) की श्रेणी कसौटी का उपयोग कीजिए: $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ वाले वर्ग $\bar x_k$ दिए हों, तो प्रत्येक को $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ वाले $x_k \in E$ तक उठाइए और $E$ में योग लीजिए।)* (ग) परिकलित कीजिए: $E = c$ (अभिसारी अनुक्रम) और $F = c_0$ के लिए दर्शाइए कि $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ के माध्यम से समदूरिक रूप से $c/c_0 \cong K$। **हल — अभ्यास 8.11.** (क) सुपरिभाषित: $d(x, F)$ केवल $\bar x$ पर निर्भर करता है ($x$ को $F$ से स्थानांतरित करने पर दूरी नहीं बदलती)। समघातता और त्रिभुज असमिका $\norm\cdot$ से निम्नतम के माध्यम से चली आती हैं। पृथक्करण को संवृतता चाहिए: $\norm{\bar x} = 0$ का अर्थ है $d(x, F) = 0$, अर्थात् $x \in \bar F = F$, अर्थात् $\bar x = 0$। $\vertiii\pi \leq 1$: $\norm{\bar x} \leq \norm x$। विवृत गोले का विवृत गोले पर: यदि $\norm{\bar x} < 1$ हो, तो किसी प्रतिनिधि के लिए $\norm{x - y} < 1$; और विलोमतः मानक असमिका से $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ — अतः $\pi$ विवृत है, जो विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय की [आदर्श](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) स्थिति है। (ख) मान लीजिए $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ और $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ के साथ उठाइए: तब $\sum\norm{x_k} < \infty$, अतः $s = \sum_kx_k$ बानाख $E$ में अभिसरित होता है ([अभ्यास 7.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(ख)), और $\pi$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\sum_k\bar x_k = \bar s$ दे देती है: अर्थात् $E/F$ की प्रत्येक निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणी अभिसरित होती है, जो [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) के तुल्य है (वही अभ्यास)। (ग) प्रतिचित्रण $\lambda(x) = \lim_nx_n$ रैखिक $c \to K$ है, ठीक $c_0$ पर लुप्त होता है, अतः वह कोई रैखिक एकैकी आच्छादन $c/c_0 \to K$ प्रेरित करता है। समदूरीयता: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$: $x$ में से अनुक्रम $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ घटाइए, जिससे मानक $\abs{\lambda(x)}$ वाला $\lambda(x)\mathbf 1$ बचता है; $\geq$: $y \in c_0$ के लिए $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$। **अभ्यास 8.12 ★★.** (परिबद्ध प्रक्षेप और पूरकित उपसमष्टियाँ) मान लीजिए $E$ एक बानाख समष्टि है और $P \colon E \to E$ $P^2 = P$ वाला रैखिक प्रतिचित्रण (एक बीजगणितीय प्रक्षेप), $V = \operatorname{im}P$, $W = \ker P$। (क) मान लीजिए $P$ परिबद्ध है। दर्शाइए कि $V$ और $W$ संवृत हैं और विघटन $x = Px + (x - Px)$ के साथ $E = V \oplus W$। (ख) विलोमतः, मान लीजिए $E = V \oplus W$ है जहाँ $V, W$ *दोनों* संवृत हैं, और मान लीजिए $P$ $W$ के अनुदिश $V$ पर प्रक्षेप है। दर्शाइए कि $P$ परिबद्ध है। *(संवृत आलेख: यदि $x_n \to x$ और $Px_n \to z$ हो, तो $z \in V$, $x_n - Px_n \to x - z \in W$, और विघटन की अद्वितीयता $z = Px$ की पहचान कर देती है।)* (ग) *तुल्यता* निष्कर्ष के रूप में निकालिए: कोई उपसमष्टि $V$ परिबद्ध प्रक्षेप स्वीकार करती है तभी और केवल तभी जब वह संवृत हो और उसका कोई संवृत बीजगणितीय पूरक हो — और (बिना उपपत्ति के) ध्यान दीजिए कि इस गुण के बिना संवृत उपसमष्टियाँ विद्यमान हैं ($\ell^\infty$ के भीतर $c_0$ शास्त्रीय उदाहरण है): हिल्बर्ट समष्टियाँ, जहाँ $V^\perp$ सदैव काम कर जाता है ([अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert)), अपवाद हैं, नियम नहीं। **हल — अभ्यास 8.12.** (क) $W = \ker P$ संवृत है (किसी [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) के अंतर्गत $0$ का पूर्व-प्रतिबिंब); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (वस्तुतः $Px = x$ तभी और केवल तभी जब $x \in \operatorname{im}P$, $P^2 = P$ का उपयोग करते हुए), जो इसी प्रकार संवृत है। प्रत्येक $x$ $Px \in V$, $x - Px \in W$ के साथ $Px + (x - Px)$ में बँट जाता है, और $V \cap W = 0$ ($x = Px = 0$): अतः $E = V \oplus W$। (ख) आलेख तर्क: मान लीजिए $x_n \to x$ और $Px_n \to z$। तब $z \in V$ ($V$ संवृत, $Px_n \in V$) और $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ($W$ संवृत)। अतः $z \in V$, $x - z \in W$ के साथ $x = z + (x - z)$; और विघटन की अद्वितीयता से $z = Px$। $P$ का आलेख संवृत है, $E$ बानाख है: अतः $P$ परिबद्ध है ([प्रमेय 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph))। (ग) (क) और (ख) मिलकर वही तुल्यता हैं। किसी हिल्बर्ट समष्टि में प्रत्येक संवृत $V$ का संवृत पूरक $V^\perp$ होता है ([अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert)): अतः प्रत्येक संवृत उपसमष्टि पूरक-युक्त है। व्यापक बानाख समष्टियों में यह विफल हो जाता है — $\ell^\infty$ में $c_0$ का कोई संवृत पूरक नहीं है (फिलिप्स की प्रमेय, हमारे साधनों से परे) — अतः परिबद्ध प्रक्षेप एक विशेषाधिकार हैं, और संवृत आलेख प्रमेय ठीक वही लेखा-जोखा है जो ज्यामितीय विभाजनों को परिबद्ध संकारकों में बदल देता है। ## 8.6 समस्या: $\ell^p$ समष्टियों की द्वैतता **समस्या 8.1.** सप्ताहांत समस्या — $(\ell^p)' = \ell^q$, स्वद्वैतिता, और $\ell^\infty$ की विचित्रता $1 < p < \infty$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $q$ संयुग्मी घातांक है, $\frac1p + \frac1q = 1$। सर्वत्र युग्मन $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ है। **भाग I — अनुक्रमों के लिए होल्डर और मिन्कोव्स्की।** 1. (यंग की असमिका) $a, b \geq 0$ के लिए $\log$ की अवतलता का उपयोग करके अथवा $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ का अध्ययन करके $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ दर्शाइए। 2. (होल्डर) निष्कर्ष निकालिए: $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ के लिए $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ ; और समता स्थिति पहचानिए। 3. (मिन्कोव्स्की) $\norm\cdot_p$ के लिए त्रिभुज असमिका निष्कर्ष के रूप में निकालिए। *($\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ लिखिए और प्रत्येक पद पर होल्डर लगाइए।)* 4. सिद्ध कीजिए कि $\ell^p$ [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) है और परिमित अनुक्रम उसमें सघन हैं। **भाग II — द्वैतता $(\ell^p)' = \ell^q$।** 5. $y \in \ell^q$ के लिए दर्शाइए कि $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ वाला $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ परिभाषित करता है, और $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ पर (उपयुक्त रूप से छाँटकर और मानकीकृत करके) परीक्षा लेकर यह भी कि $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ । 6. विलोमतः, $\Lambda \in (\ell^p)'$ दिया हो तो $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए; दर्शाइए कि $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ के साथ $y \in \ell^q$ *(प्रश्न 5 की तरह छँटाइयों पर परीक्षा लीजिए और छँटाई की लंबाई बढ़ने दीजिए)* , और निष्कर्ष निकालिए $\Lambda = \Lambda_y$ : अर्थात् प्रतिचित्रण $y \mapsto \Lambda_y$ एक समदूरिक तुल्याकारिता $\ell^q \to (\ell^p)'$ है। 7. निष्कर्ष निकालिए कि $1 < p < \infty$ के लिए $\ell^p$ *[स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual)* है: दोनों द्वैतताओं का संयोजन करने पर $(\ell^p)''$ का प्रत्येक अवयव $\ell^p$ से आता है; ध्यान से सत्यापित कीजिए कि यह संयोजन विहित $J$ ही है। **भाग III — $\ell^1$ और $\ell^\infty$ भिन्न प्राणी हैं।** 8. दर्शाइए कि $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) और $c_0$ पृथक्करणीय हैं, पर $\ell^\infty$ नहीं। *($\N$ के उपसमुच्चयों के अगणनीय संख्या के सूचक अनुक्रम जोड़े-जोड़े में दूरी $1$ पर हैं।)* 9. [अभ्यास 8.10](#exo-b3-banach-10) से निष्कर्ष निकालिए कि $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ पर $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : अर्थात् $\ell^1$ [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) *नहीं* है। *(यदि $(\ell^\infty)'$ $\ell^1$ होता, तो वह पृथक्करणीय होता, जिससे $\ell^\infty$ का पृथक्करणीय होना अनिवार्य हो जाता।)* 10. (एक बानाख सीमा, स्पष्ट रूप से) $\ell^\infty_\R$ पर मान लीजिए $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ । दर्शाइए कि $p$ उपरैखिक है, और यह कि अभिसारी अनुक्रमों की उपसमष्टि $c$ पर $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ $\mathrm{LIM} \leq p$ को संतुष्ट करता है। हान–बानाख से $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ तक विस्तारित कीजिए और दर्शाइए: $\mathrm{LIM}$ धनात्मक है ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), विस्थापन-अपरिवर्ती है ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), सीमा का विस्तार है, और $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ को संतुष्ट करता है। 11. दर्शाइए कि $(\ell^\infty)'$ में देखा गया ऐसा $\mathrm{LIM}$ किसी भी $y \in \ell^1$ के लिए $\Lambda_y$ के रूप का *नहीं* है; इससे पुनः $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ निष्कर्ष निकालिए। *(पहले इकाई अनुक्रमों $e_n$ पर मान लीजिए, फिर अचर अनुक्रम $1$ पर।)* 12. $(0,1,0,1,\dots)$ पर $\mathrm{LIM}$ का मान निकालिए, और दर्शाइए कि सीमा का कोई विस्थापन-अपरिवर्ती *गुणनात्मक* विस्तार विद्यमान नहीं हो सकता *($x = (0,1,0,1,\dots)$ और $x\cdot Sx$ पर विचार कीजिए, जहाँ $S$ विस्थापन है)* । **भाग IV — उपसंहार: स्वद्वैतिता क्यों महत्त्वपूर्ण है।** 13. [उपप्रमेय 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) और प्रश्न 6 का उपयोग करके दर्शाइए कि $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का कोई ऐसा उपानुक्रम $(x^{(k)})$ है जो *दुर्बल* रूप से अभिसरित होता है: अर्थात् प्रत्येक $\Lambda \in (\ell^p)'$ के लिए $\Lambda(x^{(k)})$ अभिसरित होता है। *(गणनीय संख्या के निर्देशांकों पर विकर्ण निष्कर्षण; मानकों की एकसमान परिबद्धता और होल्डर का उपयोग करके $\ell^p$ में दुर्बल सीमा पहचानिए।)* उदाहरण से दर्शाइए ( $\ell^1$ में $e_n$ , $\ell^\infty$ के सुचुने हुए अवयवों के सापेक्ष) कि $\ell^1$ में यह विफल हो जाता है: दुर्बल संहतता [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) समष्टियों का विशेषाधिकार है। **भाग V — दुर्बल [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) काम पर, और शूर का आश्चर्य।** किसी मानकित समष्टि $E$ में $x^{(k)} \rightharpoonup x$ (*दुर्बल अभिसरण*) तब लिखिए जब प्रत्येक $\Lambda \in E'$ के लिए $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ हो। 14. गणना पूरी कीजिए: प्रश्न 5–6 की योजना से समदूरिक रूप से $(c_0)' \cong \ell^1$ दर्शाइए (परीक्षण अनुक्रमों का स्थान क्या लेता है?)। क्रमागत द्वैतों की शृंखला $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ संकलित कीजिए और चिह्नित कीजिए कि स्वद्वैतिता कहाँ विफल होती है। 15. दर्शाइए कि किसी बानाख समष्टि का प्रत्येक दुर्बल अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होता है: $x^{(k)}$ को विहित अंतःस्थापन $J$ के माध्यम से $E'$ पर फलनिकों के रूप में देखिए और बानाख–श्टाइनहाउस ( [प्रमेय 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) लगाइए — किस बानाख समष्टि पर, और वहाँ [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) क्यों उपलब्ध है? 16. दर्शाइए कि $\ell^p$ में $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ तभी और केवल तभी जब $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ हो और प्रत्येक निर्देशांक $n$ के लिए $x^{(k)}_n \to x_n$ हो *(एक दिशा विहित अंतःस्थापन से बानाख–श्टाइनहाउस का उपयोग करती है; दूसरी के लिए $y \in \ell^q$ का परिमित अनुक्रमों से आसन्नन कीजिए)* । इससे $\ell^2$ में $e_k \rightharpoonup 0$ निष्कर्ष निकालिए, जबकि $\norm{e_k}_2 = 1$ : दुर्बल सीमाएँ द्रव्यमान खो सकती हैं। 17. दर्शाइए कि मानक दुर्बल रूप से अधोअर्धसंतत है: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ से $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ निकलता है *($x$ के लिए कोई मानक निकालने वाला फलनिक चुनिए, [उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* । 18. ( $\ell^2$ में रादों–रीस) दर्शाइए कि $\ell^2$ में दुर्बल अभिसरण के साथ मानकों का अभिसरण मिलकर मानक अभिसरण दे देता है *($\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ का प्रसार कीजिए)* । मानक परिकल्पना के बिना उसी कथन का प्रतिउदाहरण दीजिए। 19. (शूर, चरण 1) मान लीजिए $\ell^1$ में $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ और, विरोधाभास के लिए, मान लीजिए किसी उपानुक्रम के अनुदिश $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$। पहले दर्शाइए कि प्रत्येक $n$ के लिए $x^{(k)}_n \to 0$ (कौन-से फलनिक?), फिर पुनरावर्ती रूप से ऐसे सूचकांक $k_1 < k_2 < \cdots$ और पूर्णांक $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ बनाइए कि $x^{(k_j)}$ का द्रव्यमान खंड $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ पर संकेंद्रित हो जाए: $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$ 20. (शूर, चरण 2) $n \in B_j$ के लिए $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ से $y \in \ell^\infty$ परिभाषित कीजिए। दर्शाइए कि $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ और $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ के साथ विरोधाभास निकालिए। *शूर की प्रमेय* निष्कर्ष के रूप में निकालिए: $\ell^1$ में दुर्बल अभिसारी अनुक्रम मानक में अभिसरित होते हैं। 21. निष्कर्ष निकालिए कि $\ell^1$ में $(e_k)$ का कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम नहीं है (उसकी एकमात्र संभावित सीमा निर्देशांकशः $0$ है — अब शूर लगाइए), जिससे प्रश्न 13 की दुर्बल संहतता की विफलता पुनः प्राप्त हो जाती है; और स्पष्ट विरोधाभास सुलझाइए: $\ell^1$ में *अनुक्रमों* का दुर्बल और मानक अभिसरण एक ही बात है, फिर भी दुर्बल और मानक *संस्थितियाँ* भिन्न हैं और परिबद्ध समुच्चय अब भी दुर्बल अनुक्रमीय [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) नहीं होते — इसमें कोई विरोधाभास नहीं, केवल स्वद्वैतिता की विफलता है। 22. (संश्लेषण सारणी) $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ के लिए सारणीबद्ध कीजिए: द्वैत; पृथक्करणीयता; स्वद्वैतिता; क्या परिबद्ध अनुक्रम दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम स्वीकार करते हैं; और प्रत्येक समष्टि का एक विशिष्ट गुण, जिसे इस समस्या से एक पंक्ति में उचित ठहराया गया हो। **भाग VI — पूरक: निकटतम बिंदु, औसतीकृत अभिसरण, और किसी बानाख सीमा का मान।** 23. (निकटतम बिंदु: स्वद्वैतिता का लाभांश) मान लीजिए $F$ $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) की संवृत उपसमष्टि है और $x \in \ell^p$ । दर्शाइए कि $d = \operatorname{dist}(x, F)$ *प्राप्त हो जाता है* : किसी न्यूनीकारी अनुक्रम से कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम निकालिए (प्रश्न 13), हान–बानाख से ऐसा फलनिक बनाकर जो $F$ पर लुप्त हो पर उसके बाहर के किसी बिंदु पर नहीं, दुर्बल सीमा को $F$ के भीतर रखिए, और प्रश्न 17 से निष्कर्ष निकालिए। फिर दिखाइए कि यह विशेषाधिकार सार्वत्रिक नहीं है: $c_0$ में, $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ के लिए, सिद्ध कीजिए कि इकाई गोले पर $\norm\Lambda = 1$ प्राप्त नहीं होता, दूरी सूत्र $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ स्थापित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि संवृत अधिसमतल $\ker\Lambda$ में किसी भी $x \notin \ker\Lambda$ का कोई निकटतम बिंदु नहीं है। 24. ($\ell^2$ में बानाख–साक्स) मान लीजिए $\ell^2_{\R}$ में $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ और $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$। ऐसा उपानुक्रम $(y_j)$ बनाइए जिसके लिए सभी $i < j$ पर $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ हो, और निष्कर्ष निकालिए $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ अर्थात् निष्कर्षण के बाद चेज़ारो माध्य *मानक* में अभिसरित होते हैं। $(e_k)$ पर जाँचिए, जिसके माध्यों का मानक $\frac1{\sqrt m}$ है: दुर्बल अभिसरण, जो स्वयं अनुक्रम के लिए निरर्थक था (प्रश्न 16), औसतों के लिए मानक अभिसरण बन जाता है। 25. (किसी बानाख सीमा का मान) मान लीजिए $L$ कोई बानाख सीमा है (प्रश्न 10) और $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ । दर्शाइए कि $L(A_mx) = L(x)$ और $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; इससे निष्कर्ष निकालिए कि *सभी* बानाख सीमाएँ आवर्ती अनुक्रमों पर सहमत होती हैं, और उनका मान एक आवर्त पर का माध्य होता है — $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ पर $\frac13$ , जो प्रश्न 12 के $\frac12$ के अनुरूप है। फिर दिखाइए कि व्यापक रूप में सहमति विफल हो जाती है: उस खंड अनुक्रम $x$ के लिए जो सम $j$ के लिए $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ पर $1$ है और अन्यत्र $0$ , दर्शाइए कि चेज़ारो माध्य $\leq \frac13$ और $\geq \frac23$ के बीच दोलन करते हैं, और $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ वाली दो बानाख सीमाएँ $L_\pm$ बनाइए *($c \oplus \R x$ से चरम स्वीकार्य मानों $\pm$ के साथ विस्तार कीजिए: जाँचिए कि $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ प्रश्न 10 के उपरैखिक $p$ से प्रभावित है)* । **हल — समस्या 8.1.** **1.** $a, b > 0$ के लिए: $\log$ की अवतलता से $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$; अब चरघातांक लीजिए। (यदि $ab = 0$ हो तो असमिका तुच्छ है।) बराबरी तभी और केवल तभी जब $a^p = b^q$। **2.** हम मान सकते हैं $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (समघातता; शून्य स्थितियाँ तुच्छ)। तब $$ \abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q . $$ बराबरी के लिए सभी $n$ के लिए $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ (यंग की बराबरी स्थिति) और $x_ny_n$ की कलाओं का संरेखण चाहिए। **3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$; योग करके और होल्डर लगाकर ($q$ के विरुद्ध $p$, यह ध्यान देते हुए कि $(p - 1)q = p$): $$ \norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q}; $$ यदि $\norm{x + y}_p \neq 0$ हो (अन्यथा तुच्छ), तो $\norm{x+y}_p^{p/q}$ से भाग दीजिए और $p - \frac pq = 1$ का उपयोग कीजिए। (पहले $\norm{x+y}_p$ की परिमितता: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$।) **4.** [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): $\ell^1$ ([अभ्यास 8.3](#exo-b3-banach-3)) की भाँति, निर्देशांकशः सीमाएँ और साथ में एकसमान पुच्छ परिबंध $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$, जिसमें पहले $l$ फिर $N$ को अनंत की ओर ले जाइए। परिमित अनुक्रमों की सघनता: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$। **5.** होल्डर $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ देता है: $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$। परीक्षा: $n \leq N$ के लिए $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ और उसके परे $0$ लीजिए ($\operatorname{sign}$ एकमापांकी कला, ताकि $x_ny_n = \abs{y_n}^q$)। तब $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ और $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (जब $(q-1)p = q$), अतः $$ \norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q . $$ **6.** $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए। उन्हीं परीक्षण सदिशों के साथ $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$, जिससे प्रत्येक $N$ के लिए $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$: $y \in \ell^q$, $\norm y_q \leq \norm\Lambda$। फलनक $\Lambda$ और $\Lambda_y$ सघन परिमित अनुक्रमों पर सहमत हैं (प्रश्न 4): $\Lambda = \Lambda_y$। प्रश्न 5 के साथ, $y \mapsto \Lambda_y$ कोई समदूरीय तुल्याकारिता $\ell^q \cong (\ell^p)'$ है। **7.** मान लीजिए $\xi \in (\ell^p)''$। प्रश्न 6 की समदूरीयता $\ell^q \cong (\ell^p)'$ के साथ संयोजित करने पर $\xi$ $(\ell^q)'$ का कोई अवयव परिभाषित करता है, जो ($p, q$ की अदला-बदली के साथ प्रश्न 6) किसी अद्वितीय $z \in \ell^p$ के लिए $\Lambda_z$ है: अर्थात् प्रत्येक $y \in \ell^q$ के लिए $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$। दूसरी ओर $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$: वही मान। चूँकि $(\ell^p)'$ का प्रत्येक अवयव कोई $\Lambda_y$ है, अतः $\xi = J(z)$: $J$ आच्छादक है — अर्थात् $\ell^p$ [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) है। **8.** परिमेय (वास्तविक और काल्पनिक) प्रविष्टियों वाले परिमित अनुक्रम गणनीय हैं और $\ell^p$ ($p < \infty$) तथा $c_0$ में सघन हैं। $\ell^\infty$ में: कुल $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ अगणनीय है जिसमें $A \neq B$ के लिए $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$; गोले $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ युग्मशः असंयुक्त हैं, और किसी [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) को प्रत्येक से मिलना चाहिए: अतः कोई गणनीय [सघन समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) विद्यमान नहीं। **9.** यदि $\ell^1$ [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) होता, तो $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ पृथक्करणीय होता (पृथक्करणीय $\ell^1$ का समदूरीय प्रतिबिंब); और [अभ्यास 8.10](#exo-b3-banach-10) से द्वैत $(\ell^\infty)'$ की पृथक्करणीयता $\ell^\infty$ को पृथक्करणीय होने पर बाध्य कर देती — जो प्रश्न 8 का खंडन करता है। अतः $\ell^1$ [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) नहीं है (और $(\ell^\infty)'$ $\ell^1$ से कड़ाई से बड़ा है, जैसा प्रश्न 11 मूर्त रूप से दिखाता है)। **10.** $p$ की समघातता स्पष्ट है; उप-योज्यता: औसत रैखिक हैं, और $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$। $c$ पर: किसी अभिसारी अनुक्रम के चेज़ारो माध्य उसकी सीमा पर अभिसरित होते हैं, अतः वहाँ $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$; विशेष रूप से $c$ पर $\mathrm{LIM} \leq p$। हान–बानाख ([प्रमेय 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) $\mathrm{LIM}$ को $\ell^\infty_\R$ तक बढ़ा देती है, जिसमें वैश्विक रूप से $\mathrm{LIM} \leq p$। धनात्मकता: $x \geq 0$ के लिए $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{औसत}(-x) \leq 0$। विस्थापन-निश्चरता: $x - Sx$ के औसत $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ तक दूरबीनी हो जाते हैं, अतः $p(\pm(x - Sx)) = 0$ और $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$। परिबंध: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (औसत उच्चतमों से पीछे रहते हैं), और इसे $-x$ पर लगाने से निचला परिबंध मिलता है। **11.** $e_n \in c_0$, अतः सभी $n$ के लिए $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$। यदि $y \in \ell^1$ के साथ $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ हो, तो सभी $n$ के लिए $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$: $\Lambda_y = 0$; पर $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$। अतः $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$: पुनः $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$। **12.** $x = (0,1,0,1,\dots)$ के लिए: $x + Sx = \mathbf 1$, अतः $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$: $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$। यदि $\varphi$ सीमा का कोई विस्थापन-निश्चर गुणनात्मक विस्तार होता: $x\cdot Sx = 0$ से $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ मिलता, अतः $\varphi(x) = 0$; पर $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ से $2\varphi(x) = 1$ मिलता है: विरोधाभास। औसत लेना और गुणा करना साथ नहीं रह सकते। **13.** मान लीजिए $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$। निर्देशांक $M$ से परिबद्ध हैं: कोई विकर्ण निष्कर्षण ऐसा उपानुक्रम (जिसे अब भी $x^{(k)}$ लिखा जाएगा) देता है कि प्रत्येक $n$ के लिए $x^{(k)}_n \to x_n$। तब $x \in \ell^p$: सभी $N$ के लिए $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$। दुर्बल अभिसरण: $y \in \ell^q$ और स्वेच्छ $N$ के लिए $$ \abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q}, $$ जहाँ $k \to \infty$ पर पहला पद $0$ की ओर जाता है (परिमित संख्या के निर्देशांक) और दूसरा बड़े $N$ के लिए छोटा है (पुच्छ पर होल्डर): अतः प्रत्येक $y$ के लिए $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ — अर्थात् दुर्बल अभिसरण, क्योंकि प्रत्येक फलनक कोई $\Lambda_y$ है (प्रश्न 6)। $\ell^1$ में यह विफल हो जाता है: परिबद्ध $(e_n)$ लीजिए। कोई भी उपानुक्रम $(e_{n_k})$ निर्देशांकशः $0$ पर अभिसरित होता है, अतः उसका एकमात्र संभावित दुर्बल सीमा $0$ है; पर $y_{n_k} = (-1)^k$ (और अन्यत्र $0$) से परिभाषित $y \in \ell^\infty$ के विरुद्ध परीक्षा लेने पर $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ अपसारित होता है। अतः कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम नहीं: गोलों की दुर्बल अनुक्रमिक संहतता [स्वद्वैती](#rem-b3-banach-bidual) जगत को अभिलक्षित करती है। **14.** $y \in \ell^1$ के लिए $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ $c_0$ पर $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ के साथ परिभाषित है, और $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ पर परीक्षा लेने से $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ मिलता है: $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$। विलोमतः $\Lambda \in (c_0)'$ के लिए $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए; वही परीक्षाएँ $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ देती हैं, अतः $y \in \ell^1$, और सघन परिमित अनुक्रमों पर $\Lambda = \Lambda_y$, इसलिए सर्वत्र। द्वैतों की शृंखला: $(c_0)' = \ell^1$, $(\ell^1)' = \ell^\infty$ ([अभ्यास 8.10](#exo-b3-banach-10)), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (प्रश्न 9–11): स्वद्वैतता पहले ही चरण पर विफल हो जाती है — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — और फिर कभी नहीं सँभलती। **15.** $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ *बानाख* समष्टि $E'$ पर परिबद्ध फलनकों का कुल है (द्वैत [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) होते हैं, [प्रतिज्ञप्ति 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete)); और प्रत्येक $\Lambda \in E'$ के लिए अनुक्रम $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ अभिसरित होता है, अतः परिबद्ध है। $E'$ पर बानाख–श्टाइनहाउस $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ देता है, और $J$ समदूरीय है ([टिप्पणी 8.8](#rem-b3-banach-bidual)): $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$। **16.** ($\Rightarrow$) परिबद्धता प्रश्न 15 है; और निर्देशांक फलनक $\Lambda_{e_n}$ हैं। ($\Leftarrow$) मान लीजिए $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$, $y \in \ell^q$, $\varepsilon > 0$; $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ वाला $N$ चुनिए। तब $$ \abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon, $$ और परिमित योग $0$ की ओर जाता है: अतः प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$। ($\norm x_p \leq M$ के साथ $x \in \ell^p$ फातू-शैली के परिमित-अनुभाग परिबंधों से निकलता है: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$।) $\ell^2$ में $e_k$ के लिए: परिबद्ध, निर्देशांकशः $\to 0$, अतः $e_k \rightharpoonup 0$, फिर भी $\norm{e_k} = 1$: द्रव्यमान की इकाई अनंत सूचकांक की ओर पलायन कर जाती है, जो प्रत्येक स्थिर फलनक को अदृश्य है। **17.** $\norm\Lambda = 1$ और $\Lambda(x) = \norm x$ ([उपप्रमेय 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)) वाला $\Lambda$ लीजिए। तब $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$। ($e_k \rightharpoonup 0$ के साथ: $0 \leq \liminf 1$, और असमिका कड़ी हो सकती है।) **18.** $\ell^2$ में $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (वास्तविक स्थिति: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$)। फलनक $\Lambda_x$ पर लगाया गया दुर्बल अभिसरण $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ देता है, और परिकल्पना से मानक अभिसरित होते हैं: अतः दायाँ पक्ष $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ की ओर जाता है। मानक अभिसरण के बिना प्रतिउदाहरण: $e_k \rightharpoonup 0$, $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$। **19.** निर्देशांक अभिसरण: फलनक $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ($y = e_n$) लगाइए। रचना: $k_{j-1}, N_{j-1}$ चुन लेने के बाद $k_j > k_{j-1}$ इतना बड़ा लीजिए कि $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (परिमित संख्या के निर्देशांक, प्रत्येक $\to 0$), फिर $N_j > N_{j-1}$ इतना बड़ा कि पुच्छ $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ संतुष्ट करे ($\norm{x^{(k_j)}}_1$ को परिभाषित करने वाली श्रेणी का अभिसरण)। तब खंड $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ $x^{(k_j)}$ के द्रव्यमान का $\frac\delta{10}$ छोड़कर शेष सब ढो लेता है। **20.** परिभाषित $y$ के साथ (सर्वत्र $\abs{y_n} \leq 1$): $$ \langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0, $$ जिसमें बीच वाली असमिका इसलिए है कि खंड से बाहर का द्रव्यमान अधिक से अधिक $\frac\delta{10}$ है (प्रश्न 19)। पर $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ और $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ से $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ अनिवार्य हो जाता है: विरोधाभास। अतः $\ell^1$ के दुर्बल-शून्य अनुक्रम मानक-शून्य होते हैं, और स्थानांतरण से दुर्बल अभिसारी अनुक्रम मानक में अभिसरित होते हैं: यही शूर की प्रमेय है। **21.** $(e_k)$ के किसी दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम की सीमा $0$ होती (निर्देशांक), अतः शूर से $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — पर मानक $1$ हैं। इसलिए कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम विद्यमान नहीं, जैसा प्रश्न 13 में हाथ से मिला था। कोई विरोधाभास नहीं: शूर कहते हैं कि $\ell^1$ में अनुक्रम दुर्बल [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) को मानक [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) से पृथक नहीं कर सकते (स्वयं दोनों संस्थितियाँ भिन्न हैं — दुर्बल [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) कभी मानक-परिबद्ध नहीं होते), और इकाई गोले की दुर्बल अनुक्रमिक संहतता एक भिन्न, प्रबलतर गुण है, जो स्वद्वैतता के तुल्य है (एबर्लाइन–श्मूल्यान, हमारे साधनों से परे; कम से कम विफलता तो हमने सिद्ध कर ही दी है)। **22.** *जनगणना।* | $E$ | $E'$ | पृथक्. | स्वद्वै. | दुर्बल अनुक्र. [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) गोले | | --- | --- | --- | --- | --- | | $c_0$ | $\ell^1$ | हाँ | नहीं | नहीं ($e_1{+}\dots{+}e_k$) | | $\ell^1$ | $\ell^\infty$ | हाँ | नहीं | नहीं ($e_k$, प्र. 21) | | $\ell^p$ | $\ell^q$ | हाँ | हाँ | हाँ (प्र. 13) | | $\ell^\infty$ | $\supsetneq\ell^1$ | नहीं | नहीं | नहीं | हस्ताक्षर: $c_0$ — उसका द्विद्वैत $\ell^\infty$ है: पहला अस्वद्वैती चरण (प्रश्न 14); $\ell^1$ — शूर गुण (प्रश्न 20); $\ell^p$ — स्वद्वैतता और दुर्बल संहतता (प्रश्न 7, 13); $\ell^\infty$ — अपृथक्करणीयता और बानाख सीमाएँ: ऐसे फलनक जिन्हें कोई अनुक्रम निरूपित नहीं कर सकता (प्रश्न 8, 10–11)। एक ही समष्टि-कुल, चार भिन्न जगत। **23.** $\norm{x - f_k} \to d$ के साथ $(f_k) \subseteq F$ लीजिए। तब $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$: परिबद्ध, अतः प्रश्न 13 से कोई उपानुक्रम $f_{k_j} \rightharpoonup f$। यदि $f \notin F$ हो, तो $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ($F$ संवृत); और $F \oplus \R f$ पर रैखिक रूप $\lambda(g + tf) = t$ $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ संतुष्ट करता है (क्योंकि $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$), तथा हान–बानाख उसे $\Lambda\restriction_F = 0$, $\Lambda(f) = 1$ वाले $\Lambda \in (\ell^p)'$ तक बढ़ा देती है; पर तब $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$: विरोधाभास। अतः $f \in F$, और $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ प्रश्न 17 से $$ d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d : $$ दे देता है: दूरी $f$ पर प्राप्त हो जाती है। $c_0$ में: प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ (कोई शून्येतर अकिंचन अनुक्रम सभी $n$ के लिए $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ संतुष्ट नहीं कर सकता), जबकि कर्तित $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ देते हैं: अतः $\norm\Lambda = 1$, जो कभी प्राप्त नहीं होती। दूरी सूत्र: $f \in \ker\Lambda$ के लिए $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$, अतः $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$; और विलोमतः इकाई गोले में $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ वाले $u$ के लिए सदिश $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ $\ker\Lambda$ में $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ के साथ होता है: अर्थात् बराबरी। यदि कोई $f \in \ker\Lambda$ उसे प्राप्त कर लेता, तो $z = x - f$ $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ संतुष्ट करता, अतः $\Lambda$ अपना मानक $z/\norm z$ पर प्राप्त कर लेता: असंभव। अर्थात् $c_0$ का कोई ऐसा संवृत अधिसमतल जिसके कहीं भी निकटतम बिंदु नहीं हैं — स्वद्वैतता सजावट नहीं थी। **24.** $y_1 = x^{(1)}$ रखिए। $y_1, \dots, y_j$ दिया हो, तो प्रत्येक प्रतिचित्रण $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ $0$ की ओर जाता है ($y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$), अतः पिछले सूचकांक के परे ऐसा $k_{j+1}$ है कि $i = 1, \dots, j$ के लिए $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$; इस चयन को $y_{j+1}$ कहिए। तब $$ \Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i 0$ के लिए $n \geq N$ के लिए $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ वाला $N$ चुनिए; $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ और $L(S^Nu) = L(u)$ पर लगाई गई धनात्मकता $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ देती है, और सममित रूप से $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$: अतः प्रत्येक $m$ के लिए $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$। यदि $x$ $T$-आवर्ती हो, तो $A_Tx$ आवर्त माध्य $\mu$ के बराबर अचर अनुक्रम है: *प्रत्येक* बानाख सीमा के लिए $L(x) = \mu$ — $(1,0,0,\dots)$ पर $\frac13$, और $(0,1,0,1,\dots)$ पर $\frac12$, जैसा प्रश्न 12 में। खंड अनुक्रम के लिए: सम $j$ के साथ $N = 3^j$ पर अंतिम खंड सर्वथा एक है, अतः चेज़ारो माध्य $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ है; और विषम $j$ के साथ $N = 3^j$ पर सारे एक $\intoc0 {3^{j-1}}$ में बैठते हैं, अतः माध्य $\leq \frac13$ है। इसलिए $p(x) \geq \frac23$ और $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$। $M = c \oplus \R x$ पर $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ परिभाषित कीजिए। $p$ से प्रभुत्व: $t > 0$ के लिए उप-रैखिकता $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ देती है, अर्थात् $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (ध्यान दीजिए कि $y \in c$ के लिए $p(\pm y) = \pm\lim y$: किसी अभिसारी अनुक्रम के चेज़ारो माध्य उसकी सीमा पर अभिसरित होते हैं); $t = -s < 0$ के लिए $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ देता है; और $t = 0$ के लिए बराबरी है। अतः $M$ पर $\Lambda_+ \leq p$, और हान–बानाख उसे $\ell^\infty_\R$ पर $L_+ \leq p$ तक बढ़ा देती है, जो ठीक प्रश्न 10 की भाँति कोई बानाख सीमा है ($p$ से प्रभुत्व धनात्मकता, विस्थापन-निश्चरता और $c$ पर मान $\lim$ दे देता है), जिसमें $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$। $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ के साथ वही परिकलन ($t = -s < 0$ स्थिति के लिए $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ का उपयोग करते हुए) $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ वाली कोई बानाख सीमा $L_-$ देता है। दो बानाख सीमाएँ, एक अनुक्रम, दो मान: आवर्ती (और, अधिक व्यापक रूप से, *लगभग अभिसारी*) जगत के बाहर कोई बानाख सीमा सचमुच एक चयन है।