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title: "माप सिद्धांत"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3"
subject: math
language: hi
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/9-measure-theory
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# अध्याय 9 — माप सिद्धांत

$\R$ का कोई उपसमुच्चय कितना लंबा होता है? भोला उत्तर — प्रत्येक समुच्चय को अंतरालों की लंबाई का विस्तार करने वाली कोई स्थानांतरण-अपरिवर्ती लंबाई सौंप देना — *असंभव* है: इस अध्याय के अंत में विटाली की रचना एक ऐसा समुच्चय बना देती है जिसकी कोई संगत लंबाई नहीं। [माप](#def-b3-measure-measure) सिद्धांत अनुशासित पीछे हटना है: हम अपना ध्यान *मापनीय* समुच्चयों के एक समृद्ध वर्ग तक सीमित कर लेते हैं, जिस पर गणनीय रूप से योज्य लंबाई विद्यमान है और अद्वितीय भी। पुरस्कार अपार हैं — लेबेग का समाकल ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue)), कार्यकीय विश्लेषण की $L^p$ समष्टियाँ, और समूची आधुनिक प्रायिकता ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers#ch-b3-probability)) यहाँ सिद्ध होने वाली तीन प्रमेयों पर खड़ी हैं: डिन्किन की अद्वितीयता प्रमेयिका, कैराथियोडोरी की विस्तार प्रमेय, और [लेबेग माप](#def-b3-measure-lebesgueouter) का अस्तित्व।

## 9.1 $\sigma$-बीजगणित

**परिभाषा 9.1.**

किसी समुच्चय $X$ पर *$\sigma$-बीजगणित* उपसमुच्चयों का ऐसा कुल $\mathcal A$ है जिसमें $\varnothing$ हो और जो पूरक तथा *गणनीय* सम्मिलनों के अंतर्गत स्थिर हो (और इसलिए गणनीय प्रतिच्छेदनों, समुच्चय अंतरों के अंतर्गत भी, तथा जिसमें $X$ हो)। युग्म $(X, \mathcal A)$ *मापनीय समष्टि* कहलाता है; $\mathcal A$ के सदस्य *मापनीय समुच्चय* कहलाते हैं। उपसमुच्चयों के किसी भी कुल $\mathcal E$ के लिए $\sigma(\mathcal E)$ $\mathcal E$ को अंतर्विष्ट करने वाला सबसे छोटा $\sigma$-बीजगणित निरूपित करता है (उन सबका प्रतिच्छेदन — $\sigma$-बीजगणितों का प्रतिच्छेदन स्वयं वैसा ही होता है)।

**परिभाषा 9.2.**

किसी संस्थितिक समष्टि का *बोरेल $\sigma$-बीजगणित* $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{विवृत समुच्चय}\})$ है। $\R$ पर: $\mathcal B(\R)$ विवृत अंतरालों से, संवृत अंतरालों से, किरणों $(-\infty, a]$ से, और परिमेय सिरों वाली किरणों से भी जनित होता है ([अभ्यास 9.1](#exo-b3-measure-1)) — प्रत्येक कुल गणनीय संक्रियाओं से [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) जनित कर देता है, उदाहरणार्थ $\R$ का प्रत्येक [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) परिमेय आँकड़ों वाले विवृत अंतरालों का गणनीय सम्मिलन होता है।

**परिभाषा 9.3.**

*$\pi$-प्रणाली* ऐसा कुल है जो परिमित प्रतिच्छेदनों के अंतर्गत स्थिर हो। *$\lambda$-प्रणाली* (डिन्किन वर्ग) ऐसा कुल $\mathcal D$ है जिसके लिए: $X \in \mathcal
D$; $A, B \in \mathcal D$, $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B
\setminus A \in \mathcal D$; और $A_n \uparrow A$, $A_n \in
\mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$।

**प्रमेय 9.4 (डिन्किन की π\piπ–λ\lambdaλ प्रमेयिका).**

यदि कोई $\lambda$-प्रणाली $\mathcal D$ किसी $\pi$-प्रणाली $\mathcal P$ को अंतर्विष्ट करे, तो $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $\mathcal D_0$ $\mathcal P$ को अंतर्विष्ट करने वाली सबसे छोटी $\lambda$-प्रणाली है (ऐसी सबका प्रतिच्छेदन); यह दिखाना पर्याप्त है कि $\mathcal D_0$ एक $\sigma$-बीजगणित है, क्योंकि तब $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal
D$। परिमित प्रतिच्छेदनों के अंतर्गत स्थिर कोई $\lambda$-प्रणाली *होती* ही $\sigma$-बीजगणित है: पूरक ($A \subseteq X$ के साथ $X \setminus A = X
\setminus A$), परिमित सम्मिलन ($A \cup B =
X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$), और $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$ के माध्यम से गणनीय सम्मिलन। अतः हम दो चरणों में सिद्ध करते हैं कि $\mathcal D_0$ एक $\pi$-प्रणाली है। मान लीजिए

$$
\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal
D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.
$$

$\mathcal D_1$ एक $\lambda$-प्रणाली है (तीनों स्वयंसिद्ध $P$ से प्रतिच्छेदन लेकर सत्यापित हो जाते हैं: उदाहरणार्थ $(B\setminus A)\cap P
= (B \cap P)\setminus(A \cap P)$, जो $\mathcal D_0$ के भीतर एक उचित अंतर है) और उसमें $\mathcal P$ ($\pi$-प्रणाली) है: अतः $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$। अब मान लीजिए

$$
\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal
D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.
$$

पिछले चरण से $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$; और उसी सत्यापन से $\mathcal D_2$ एक $\lambda$-प्रणाली है: अतः $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$, जिसका ठीक-ठीक अर्थ है कि $\mathcal D_0$ प्रतिच्छेदनों के अंतर्गत स्थिर है। ∎

## 9.2 माप

**परिभाषा 9.5.**

$(X, \mathcal A)$ पर *माप* ऐसा प्रतिचित्रण $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ है जिसके लिए $\mu(\varnothing)
= 0$ हो और जो *$\sigma$-योज्य* हो: जोड़े-जोड़े में असंयुक्त $(A_n)_{n\in\N}$ के लिए

$$
\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).
$$

$(X, \mathcal A, \mu)$ एक *माप समष्टि* है; $\mu$ *परिमित* कहलाता है यदि $\mu(X) < \infty$ हो, *प्रायिकता माप* यदि $\mu(X) = 1$ हो, और *$\sigma$-परिमित* यदि $X$ परिमित माप वाले समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन हो। उदाहरण: $(\N, \mathcal P(\N))$ पर गणना माप; डिराक द्रव्यमान $\delta_a(A)
= \mathbf 1_{a \in A}$; और, इस अध्याय की मुख्य वस्तु, [लेबेग माप](#def-b3-measure-lebesgueouter)।

**प्रतिज्ञप्ति 9.6.**

मान लीजिए $\mu$ एक [माप](#def-b3-measure-measure) है। (क) एकदिष्टता: $A \subseteq B
\Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$। (ख) गणनीय उपयोज्यता: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$। (ग) नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$। (घ) ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $A_n \downarrow A$ *जिसमें $\mu(A_1) < \infty$* $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$।

**उपपत्ति.** (क) $B = A \sqcup (B\setminus A)$। (ख) असंयुक्त बनाइए: $B_n = A_n
\setminus \bigcup_{k<n}A_k$ असंयुक्त हैं और उनका सम्मिलन वही है, तथा $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$। (ग) $A = \bigsqcup_n (A_n
\setminus A_{n-1})$ ($A_0 = \varnothing$): $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ के आंशिक योग $\mu(A_n)$ हैं। (घ) $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ पर (ग) लगाइए और $\mu(A_1)$ में से घटाइए — परिमितता ही इस घटाव को वैध बनाती है। उसके बिना प्रतिउदाहरण: [लेबेग माप](#def-b3-measure-lebesgueouter) के लिए $A_n = [n, \infty)$: $A_n \downarrow \varnothing$ पर $\mu(A_n) =
\infty$। ∎

**प्रमेय 9.7 (अद्वितीयता).**

मान लीजिए $\mu, \nu$ $\sigma(\mathcal P)$ पर [माप](#def-b3-measure-measure) हैं, $\mathcal
P$ एक $\pi$-प्रणाली है, और $\mathcal P$ पर $\mu = \nu$। यदि $P_k \uparrow X$ और $\mu(P_k) < \infty$ वाले समुच्चय $P_k \in \mathcal P$ हों, तो समूचे $\sigma(\mathcal P)$ पर $\mu = \nu$।

**उपपत्ति.** $k$ स्थिर कीजिए और $\sigma(\mathcal
P)$ पर परिमित मापों $\mu_k(A) = \mu(A \cap
P_k)$ और $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ पर विचार कीजिए: वे $\mathcal P$ पर सहमत हैं, क्योंकि $P \cap P_k \in \mathcal
P$ ($\pi$-प्रणाली), और वे $X$ को वही परिमित मान $\mu(P_k)$ सौंपते हैं। वर्ग $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) =
\nu_k(A)\}$ एक $\lambda$-प्रणाली है: $X \in \mathcal D$; उचित अंतर घटाव से (परिमित मान); और बढ़ती सीमाएँ नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से ([प्रतिज्ञप्ति 9.6](#prop-b3-measure-basics)(ग))। उसमें $\pi$-प्रणाली $\mathcal P$ अंतर्विष्ट है, अतः डिन्किन ([प्रमेय 9.4](#thm-b3-measure-dynkin)) से $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$: इसलिए सर्वत्र $\mu_k = \nu_k$। अंततः, किसी भी $A \in \sigma(\mathcal P)$ के लिए $A
\cap P_k \uparrow A$ के अनुदिश नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) =
\lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$ दे देती है। ∎

## 9.3 बाह्य माप और कैराथियोडोरी की प्रमेय

**परिभाषा 9.8.**

$X$ पर *बाह्य माप* ऐसा प्रतिचित्रण $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ है जिसके लिए $\mu^*(\varnothing) = 0$ हो, जो एकदिष्ट हो और गणनीय रूप से उपयोज्य। कोई समुच्चय $A$ *$\mu^*$-मापनीय* (कैराथियोडोरी) कहलाता है यदि वह प्रत्येक समुच्चय को योज्य ढंग से बाँट दे:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)
\qquad \text{प्रत्येक } E \subseteq X \text{ के लिए}
$$

($\leq$ उपयोज्यता से सदैव लागू होता है; सार $\geq$ में है)।

**प्रमेय 9.9 (कैराथियोडोरी).**

$\mu^*$-मापनीय समुच्चय एक $\sigma$-बीजगणित $\mathcal
M$ बनाते हैं, और $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ एक [माप](#def-b3-measure-measure) है। इसके अतिरिक्त $\mu^*(N) = 0$ वाला प्रत्येक समुच्चय $\mathcal M$ में होता है ([माप](#def-b3-measure-measure) *[पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)* है)।

**उपपत्ति.** $\mathcal M$ में $\varnothing$ है और वह पूरक के अंतर्गत स्थिर है (परिभाषित शर्त $A$, $X\setminus A$ में सममित है)। *परिमित सम्मिलन*: मान लीजिए $A, B \in \mathcal
M$ और $E$ मनमाना है; $E$ को $A$ से बाँटिए, फिर प्रत्येक टुकड़े को $B$ से:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) +
\mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).
$$

पहले तीन टुकड़े $E \cap (A \cup B)$ को आच्छादित करते हैं, अतः उपयोज्यता से $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) +
\mu^*(E\setminus(A\cup B))$ मिलता है: इसलिए $A \cup B \in \mathcal M$। आगमन से परिमित सम्मिलन; और पूरकों के साथ परिमित असंयुक्तता संबंधी हेरफेर उपलब्ध हो जाते हैं।

*$\mathcal M$ पर योज्यता*: असंयुक्त $A, B \in
\mathcal M$ और किसी भी $E$ के लिए $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap
A) + \mu^*(E \cap B)$ ($A$ से बाँटिए); और आगमन से

$$
\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
= \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k).
\tag{$*$}
$$

*गणनीय सम्मिलन*: मान लीजिए $(A_k) \subseteq \mathcal M$ असंयुक्त हैं (बीजगणित $\mathcal M$ के भीतर असंयुक्त बनाने से यह पर्याप्त है), $A = \bigsqcup A_k$, और $E$ मनमाना। $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ तथा एकदिष्टता का उपयोग करते हुए:

$$
\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) +
\mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
\geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
$$

($*$) से। अब $n \to \infty$ लीजिए और गणनीय उपयोज्यता उलटकर लगाइए:

$$
\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
\geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):
$$

अतः सभी असमिकाएँ समताएँ हैं। इससे $A \in
\mathcal M$ भी सिद्ध होता है और, $E = A$ लेने पर, $\mathcal M$ पर $\mu^*$ की गणनीय योज्यता भी।

*शून्य समुच्चय*: यदि $\mu^*(N) = 0$ हो, तो किसी भी $E$ के लिए $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$: अतः $N \in \mathcal M$। ∎

## 9.4 $\R$ पर लेबेग माप

**परिभाषा 9.10.**

$A
\subseteq \R$ का *लेबेग बाह्य माप* है

$$
\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) :
A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}
$$

(विवृत अंतरालों से गणनीय आवरण)।

**प्रमेयिका 9.11.**

$\lambda^*$ एक [बाह्य माप](#def-b3-measure-outer) है, जो स्थानांतरणों के अंतर्गत अपरिवर्ती है, और प्रत्येक अंतराल $I$ के लिए $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (उसकी लंबाई)।

**उपपत्ति.** [बाह्य माप](#def-b3-measure-outer): $\varnothing$ मनमाने छोटे अंतरालों से आच्छादित हो जाता है; एकदिष्टता स्पष्ट है; उपयोज्यता: प्रत्येक $A_n$ के ऐसे आवरण दिए हों जो निम्नतम से $\varepsilon 2^{-n}$ के भीतर हों, तो उनका सम्मिलन $\bigcup A_n$ को कुल लंबाई $\leq \sum
\lambda^*(A_n) + \varepsilon$ के साथ आच्छादित कर देता है। स्थानांतरण अपरिवर्तिता: आवरणों का स्थानांतरण कीजिए।

लंबाई: केवल $I = \intcc ab$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है (अन्य प्रकार सिरों से भिन्न होते हैं, जिनका [बाह्य माप](#def-b3-measure-outer) $0$ है: सूक्ष्म अंतरालों से आच्छादित कीजिए; फिर $\intcc{a+\varepsilon}{b -
\varepsilon} \subseteq \intoo ab$ प्रकार की तुलनाओं से दबाइए)। $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$: $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$ से आच्छादित कीजिए। विलोमतः मान लीजिए $\intcc
ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$: *संहतता* (बोरेल–लेबेग, [प्रमेय 6.16](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#thm-b3-topology-metriccompact)) से परिमित संख्या के अंतराल पर्याप्त हैं, मान लीजिए $I_1, \dots, I_N$। हम $N$ पर आगमन से $\sum_{k\leq N}(b_k -
a_k) \geq b - a$ दिखाते हैं: $I_{k_1} \ni a$ चुनिए; यदि $b_{k_1} > b$ हो तो काम पूरा ($b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$); अन्यथा रेखाखंड $\intcc{b_{k_1}}b$ शेष $N - 1$ अंतरालों से आच्छादित है, और आगमन $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k)
\geq b - b_{k_1}$ दे देता है, जबकि $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$: अब जोड़ लीजिए। ∎

**प्रमेय 9.12 (लेबेग माप).**

$\R$ का प्रत्येक बोरेल समुच्चय $\lambda^*$-मापनीय है। $\lambda^*$ का $\sigma$-बीजगणित $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (*लेबेग $\sigma$-बीजगणित*) पर प्रतिबंध $\lambda$ $\mathcal B(\R)$ पर वह अद्वितीय [माप](#def-b3-measure-measure) है जो प्रत्येक अंतराल को उसकी लंबाई सौंपता है; वह स्थानांतरण-अपरिवर्ती और $\sigma$-परिमित है।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) से केवल यह दिखाना पर्याप्त है कि प्रत्येक किरण $A = \intoo{-\infty}c$ $\lambda^*$-मापनीय है (किरणें $\mathcal B$ को जनित करती हैं, [परिभाषा 9.2](#def-b3-measure-borel))। मान लीजिए $\lambda^*(E) < \infty$ वाला $E \subseteq \R$ है और $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$ वाला कोई आवरण $\bigcup I_n \supseteq E$। प्रत्येक $I_n$ $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ के साथ दो अंतरालों $I_n' = I_n \cap A$ और $I_n'' = I_n\setminus A$ में बँट जाता है (किसी अंतराल में से किरण घटाने पर अंतराल ही बचता है); और $I_n'$ $E \cap A$ को तथा $I_n''$ $E \setminus A$ को आच्छादित करते हैं (परिभाषा के भीतर रहने के लिए प्रत्येक को लंबाई $\ell +
\varepsilon2^{-n}$ के विवृत अंतराल तक बढ़ा दीजिए), अतः

$$
\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A)
\leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon
\leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .
$$

अद्वितीयता: अंतरालों की $\pi$-प्रणाली $\intoc ab$ पर लंबाई से सहमत दो [माप](#def-b3-measure-measure) (जो उन पर परिमित हैं) $P_k = \intoc{-k}k$ के साथ [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) से $\sigma(\text{अंतराल}) = \mathcal B$ पर सहमत हो जाते हैं। $\sigma$-परिमितता: $\R = \bigcup(-k, k]$। ∎

**प्रमेय 9.13 (नियमितता).**

प्रत्येक $A \in \mathcal L$ के लिए:

$$
\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ विवृत}\}
= \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ संहत}\}.
$$

**उपपत्ति.** *बाह्य*: $\sum\ell(I_n) \leq
\lambda(A) + \varepsilon$ वाला कोई आवरण $\bigcup I_n$ $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ वाला [विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $U \supseteq A$ है (उपयोज्यता); और यदि $\lambda(A) = \infty$ हो तो कथन तुच्छ है। *आंतरिक*: पहले मान लीजिए $A$ परिबद्ध है, $A \subseteq [-M, M]$। $\lambda(U) \leq
\lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ वाला कोई विवृत $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ चुनिए; तब $K = [-M,
M]\setminus U$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है, $K \subseteq A$, और

$$
\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U)
\geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) +
\varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .
$$

व्यापक $A$ के लिए: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)) और भीतर परिबद्ध स्थिति लगाइए। ∎

**उदाहरण 9.14.**

कैंटर समुच्चय ([अभ्यास 6.10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-10)) के लिए $\lambda(C) = 0$: $C \subseteq C_n$ लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ अंतरालों का सम्मिलन है, अतः $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$। एक अगणनीय शून्य समुच्चय — गणनीयता [माप](#def-b3-measure-measure) को नहीं देखती। विलोमतः, *मोटे कैंटर समुच्चय* ([अभ्यास 9.5](#exo-b3-measure-5)) कहीं सघन नहीं हैं पर उनका [माप](#def-b3-measure-measure) धनात्मक है: अर्थात् [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) भी [माप](#def-b3-measure-measure) को नहीं देखती। सप्ताहांत समस्या इस पारस्परिक क्रिया को उसके चौंकाने वाले निष्कर्ष तक ले जाती है: ऐसे लेबेग-मापनीय समुच्चय हैं जो बोरेल नहीं हैं।

**प्रमेय 9.15 (विटाली).**

$\R$ के *समस्त* उपसमुच्चयों पर ऐसा कोई [माप](#def-b3-measure-measure) नहीं है जो स्थानांतरण-अपरिवर्ती हो और प्रत्येक अंतराल को उसकी लंबाई सौंपता हो। विशेष रूप से $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$: अमापनीय समुच्चय विद्यमान हैं।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $\mu$ ऐसा कोई [माप](#def-b3-measure-measure) है। $\intcc01$ पर तुल्यता $x \sim y \iff x - y \in \Q$ पर विचार कीजिए; *चयन स्वयंसिद्ध* से प्रत्येक वर्ग में से $\intcc01$ का एक प्रतिनिधि चुनिए: इससे एक समुच्चय $V$ बनता है। $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ के लिए स्थानांतरण $V + q$ जोड़े-जोड़े में असंयुक्त हैं ($V$ के दो बिंदु जिनका अंतर परिमेय हो, तुल्य होते हुए भी भिन्न प्रतिनिधि होते) और

$$
\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q)
\subseteq \intcc{-1}2 :
$$

जिसमें पहला अंतर्वेशन इसलिए कि प्रत्येक $x \in \intcc01$ अपने प्रतिनिधि से किसी परिमेय $v$ जितना ही भिन्न होता है, $q = x - v \in
\intcc{-1}1$। एकदिष्टता और $\sigma$-योज्यता से

$$
1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3,
\qquad\text{जहाँ } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ प्रत्येक } q \text{ के लिए} .
$$

अचर $\mu(V)$ का अनंत योग $0$ या $\infty$ होता है: दोनों परिबंध एक साथ लागू नहीं हो सकते। अतः ऐसा कोई $\mu$ विद्यमान नहीं है — और $V
\notin \mathcal L$, क्योंकि $\mathcal L$ पर $\lambda$ में प्रयुक्त सभी गुण मौजूद हैं। ∎

**टिप्पणी 9.16.**

$\R^3$ में यह विफलता और भी नाटकीय है: बानाख–टार्स्की विरोधाभास किसी गोले को पाँच टुकड़ों में विभाजित कर देता है जो घूर्णनों और स्थानांतरणों से जुड़कर उसी त्रिज्या के *दो* गोले बना देते हैं — अतः $\R^3$ के समस्त उपसमुच्चयों पर घूर्णन-अपरिवर्ती परिमित-योज्य आयतन तक विद्यमान नहीं है। टुकड़े, निस्संदेह, अमापनीय हैं। मापनीयता कोई नौकरशाही सावधानी नहीं है; वह संगति की सीमा है।

**विधि 9.17.**

*सुसमुच्चय सिद्धांत*: यह सिद्ध करने के लिए कि $\sigma(\mathcal E)$ के समस्त समुच्चयों में कोई गुण है, दिखाइए कि अच्छे समुच्चय $\mathcal E$ को अंतर्विष्ट करने वाला $\sigma$-बीजगणित (अथवा $\lambda$-प्रणाली बनाते हैं, यदि गुण माप-सैद्धांतिक हो और $\mathcal E$ एक $\pi$-प्रणाली हो — तब डिन्किन)। इस अध्याय की और अगले अध्याय की लगभग हर उपपत्ति इसी का दृष्टांत है। दो मापों को बराबर सिद्ध करने के लिए: उन्हें किसी जनक $\pi$-प्रणाली पर जाँचिए और $\sigma$-परिमितता भी ([प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))। कोई [माप](#def-b3-measure-measure) बनाने के लिए: आवरणों से एक [बाह्य माप](#def-b3-measure-outer) बनाइए और कैराथियोडोरी उद्धृत कीजिए।

## 9.5 अभ्यास

**अभ्यास 9.1 ★.**

(क) दर्शाइए कि $\{A \subseteq X : A$ अथवा $X\setminus A$ गणनीय है$\}$ एक $\sigma$-बीजगणित है: वही जो एकल-अवयवी समुच्चयों से जनित होता है। (ख) दर्शाइए कि $\mathcal B(\R)$ इनमें से प्रत्येक से जनित होता है: विवृत अंतराल; संवृत अंतराल; किरणें $\intoc{-\infty}a$; और $a \in \Q$ वाली किरणें। (ग) क्या *अंतरालों के परिमित असंयुक्त सम्मिलनों* $\intoc ab$ का कुल एक $\sigma$-बीजगणित है? क्या वह एक बीजगणित है (पूरक और परिमित सम्मिलन के अंतर्गत स्थिर)?

**हल — अभ्यास 9.1.**

(क) पूरक लेने से दोनों परिभाषक स्थितियाँ आपस में बदल जाती हैं। गणनीय समुच्चयों का कोई गणनीय संघ गणनीय होता है; और यदि कोई एक सदस्य सह-गणनीय हो, तो संघ सह-गणनीय होता है: अतः स्थायित्व लागू है। वह एकल-अवयवी समुच्चयों को धारण करता है, और उन्हें धारण करने वाला कोई भी $\sigma$-बीजगणित सभी गणनीय समुच्चयों (गणनीय संघ) तथा उनके पूरकों को धारण करता है: अतः वह $\sigma(\{\text{एकल-अवयवी समुच्चय}\})$ है।

(ख) $\mathcal B = \sigma(\text{विवृत समुच्चय})$ लिखिए। $\R$ का प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय परिमेय अंत-बिंदुओं वाले विवृत अंतरालों का गणनीय संघ है ([विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) के प्रत्येक परिमेय बिंदु के चारों ओर उसके भीतर का कोई परिमेय-त्रिज्या अंतराल), अतः विवृत $\in
\sigma(\text{विवृत अंतराल}) \subseteq \sigma(\text{परिमेय
आँकड़े})$। रूपांतर: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a +
\frac1n}{b - \frac1n}$; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a -
\frac1n}{b + \frac1n}$; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n
\intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ और विलोमतः $\intoo ab =
\intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$; परिमेय किरणें: $\intoc{-\infty}a =
\bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$। प्रत्येक कुल गणनीय संक्रियाओं से शेष को जनित करता है: अतः चारों $\mathcal B$ को जनित करते हैं।

(ग) केवल परिमित अंत-बिंदुओं के साथ यह कुल तो बीजगणित भी नहीं है: $\intoc01$ के पूरक में अपरिबद्ध किरणें होती हैं। अनंत अंत-बिंदु ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo
a{+\infty}$) की अनुमति देने पर वह बीजगणित बन जाता है (ऐसे संघों के पूरक और परिमित संघ ऐसे ही होते हैं), पर $\sigma$-बीजगणित नहीं: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ अपह्रासी न होने वाले अंतरालों का कोई परिमित संघ नहीं है।

**अभ्यास 9.2 ★.**

(क) किसी परिमित [माप](#def-b3-measure-measure) के लिए समावेशन–अपवर्जन सिद्ध कीजिए: $\mu(A\cup
B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$, और तीन समुच्चयों वाला रूप भी। (ख) ऐसा उदाहरण दीजिए जो दर्शाए कि परिमितता परिकल्पना के बिना ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ([प्रतिज्ञप्ति 9.6](#prop-b3-measure-basics)(घ)) विफल हो जाती है। (ग) दर्शाइए कि किसी गणनीय समुच्चय का [लेबेग माप](#def-b3-measure-lebesgueouter) शून्य होता है। इससे $\lambda(\Q) = 0$ और $\lambda(\intcc01\setminus\Q) =
1$ निष्कर्ष निकालिए।

**हल — अभ्यास 9.2.**

(क) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, अतः $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (परिमितता घटाव की अनुमति देती है)। तीन समुच्चय: दो-समुच्चय वाला सूत्र दो बार लगाइए,

$$
\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) +
\mu(A\cap B\cap C)
$$

(योग स्पष्ट सूचकांक समुच्चयों पर)।

(ख) [लेबेग माप](#def-b3-measure-lebesgueouter) के लिए $A_n = [n, +\infty) \downarrow
\varnothing$, पर $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$।

(ग) कोई बिंदु लंबाई $\varepsilon$ के किसी अंतराल में होता है: $\lambda(\{x\}) = 0$; और गणनीय उप-योज्यता गणनीय समुच्चयों को मार देती है। अतः $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ और, योज्यता से, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: अर्थात् समूची लंबाई अपरिमेय ही ढोते हैं।

**अभ्यास 9.3 ★★.**

मान लीजिए $\mu, \nu$ $\mathcal B(\R)$ पर प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure) हैं जिनके लिए सभी $t \in \R$ पर $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$। दर्शाइए कि $\mu = \nu$। (इससे *बंटन फलन* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ एक [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) अपरिवर्ती बन जाता है — यही [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers#ch-b3-probability) की नींव है।)

**हल — अभ्यास 9.3.**

किरणें $\intoc{-\infty}t$ कोई $\pi$-प्रणाली बनाती हैं (दो का प्रतिच्छेद छोटा वाला है) जो $\mathcal B(\R)$ को जनित करती है ([अभ्यास 9.1](#exo-b3-measure-1))। समुच्चय $P_k = \intoc{-\infty}k$ $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ के साथ $\R$ तक बढ़ते हैं: अतः [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) लागू होती है, और $\mathcal B(\R)$ पर $\mu = \nu$। इस प्रकार बंटन फलन [माप](#def-b3-measure-measure) को निर्धारित कर देता है।

**अभ्यास 9.4 ★★.**

(बोरेल–कैंटेली, [माप](#def-b3-measure-measure) रूप) मान लीजिए $(A_n)$ मापनीय हैं जिनके लिए $\sum_n\mu(A_n) < \infty$, और $\limsup A_n =
\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (वे बिंदु जो अनंत संख्या के $A_n$ में हैं)। दर्शाइए कि $\mu(\limsup A_n) = 0$। अनुप्रयोग: लगभग प्रत्येक $x \in \intcc01$ के लिए, $\Q\cap\intcc01$ की किसी गणना के $n$-वें परिमेय $p/q_n$ हेतु केवल परिमित संख्या के $n$ $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ को संतुष्ट करते हैं।

**हल — अभ्यास 9.4.**

प्रत्येक $N$ के लिए $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$, अतः $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$, जो किसी अभिसारी श्रेणी की पुच्छ है: अब $N \to \infty$ लीजिए। अनुप्रयोग: $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ के साथ ($r_n$ $n$-वाँ परिमेय), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ योगनीय है: $\lambda(\limsup A_n) = 0$, अर्थात् लगभग प्रत्येक $x$ केवल परिमित संख्या के $A_n$ में होता है। (फिर भी प्रत्येक $x$ परिमेयों की कोई सीमा है: मर्म *गति* $4^{-n}$ में है।)

**अभ्यास 9.5 ★★.**

(मोटा कैंटर समुच्चय) $\intcc01$ पर कैंटर रचना दोहराइए, पर चरण $n$ पर $2^{n-1}$ अंतरालों में से प्रत्येक से केवल लंबाई $4^{-n}$ का *केंद्रित* विवृत अंतराल हटाइए। दर्शाइए कि प्राप्त $K = \bigcap K_n$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है, उसका [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) रिक्त है (कोई अंतराल नहीं बचता), और

$$
\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :
$$

अर्थात् [माप](#def-b3-measure-measure) $\frac12$ वाला एक कहीं सघन नहीं समुच्चय। इससे $\intcc01$ का पूरा [माप](#def-b3-measure-measure) $1$ वाला एक *[क्षीण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)* उपसमुच्चय निकालिए, और [माप](#def-b3-measure-measure) $< \varepsilon$ वाला एक विवृत सघन उपसमुच्चय भी।

**हल — अभ्यास 9.5.**

$K = \bigcap K_n$ संवृत अंतरालों के परिमित संघों का प्रतिच्छेद है: अतः [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact)। चरण $n$ पर उभयनिष्ठ लंबाई $\ell_n \leq 2^{-n}$ के $2^n$ अंतराल शेष रहते हैं (प्रत्येक चरण आधा करता है और सिकोड़ता है); कोई अंतराल $I \subseteq K$ प्रत्येक $n$ के लिए किसी एक ही चरण-$n$ अंतराल के भीतर होता, जिससे $\ell(I) = 0$ अनिवार्य हो जाता: अतः रिक्त [अंतःभाग](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior)। हटाया गया [माप](#def-b3-measure-measure) $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot
4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$ है, और सभी हटाव असंयुक्त विवृत अंतराल हैं: $\lambda(K) = \frac12$।

रूपांतर: लंबाई $\varepsilon
4^{-n}$ के केंद्रीय अंतराल हटाने पर [माप](#def-b3-measure-measure) $1 - \frac\varepsilon2$ का कहीं सघन न होने वाला [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K^{(\varepsilon)}$ बचता है। तब $\bigcup_m
K^{(1/m)}$ [क्षीण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) है (कहीं सघन न होने वाले समुच्चयों का गणनीय संघ) और उसका [माप](#def-b3-measure-measure) $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ है: अर्थात् [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) [माप](#def-b3-measure-measure) वाला कोई [क्षीण समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) — और $\intoo01$ में उसका पूरक [माप](#def-b3-measure-measure) $0$ का कोई सघन $G_\delta$ है (संस्थितिक रूप से मोटा, दूरिक रूप से अकिंचन)। $\intoo01$ में $K^{(\varepsilon)}$ का पूरक विवृत, सघन और [माप](#def-b3-measure-measure) $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ का है।

**अभ्यास 9.6 ★★.**

मान लीजिए $\mu$ $\mathcal B(\R)$ पर स्थानांतरणों के अंतर्गत अपरिवर्ती ऐसा [माप](#def-b3-measure-measure) है जिसके लिए $c = \mu(\intoc01) < \infty$। दर्शाइए कि $\mathcal B(\R)$ पर $\mu =
c\,\lambda$। *($\intoc01$ को $2^n$ स्थानांतरणों में बाँटकर द्विआधारी अंतरालों पर $\mu$ परिकलित कीजिए, फिर [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) का आह्वान कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 9.6.**

$\intoc01$ को $\intoc0{2^{-n}}$ के $2^n$ स्थानांतरों में काटने पर: $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, अतः $\mu(\intoc0{2^{-n}}) =
c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$। स्थानांतरण निश्चरता और योज्यता से किसी द्विअंशी परिमेय $b - a$ तथा किसी भी $a$ के लिए प्रत्येक अंतराल $\intoc ab$ पर $\mu = c\lambda$; और कोई व्यापक $\intoc ab$ ऐसे अंतरालों का वर्धमान संघ है ($a$ से $b_k \uparrow b$ द्विअंशी चरण), तथा नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) इस बराबरी को बढ़ा देती है। अंतराल $\intoc ab$ कोई $\pi$-प्रणाली बनाते हैं जो $\mathcal B(\R)$ को जनित करती है, जिसमें $\intoc{-k}k
\uparrow \R$ का [माप](#def-b3-measure-measure) परिमित है ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): अतः [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) $\mathcal B(\R)$ पर $\mu = c\lambda$ दे देती है।

**अभ्यास 9.7 ★★.**

(आसन्नन) मान लीजिए $A \in \mathcal L$ है, $\lambda(A) <
\infty$, और $\varepsilon > 0$। दर्शाइए कि अंतरालों का ऐसा *परिमित* सम्मिलन $B$ है जिसके लिए $\lambda(A\,\triangle\,B) <
\varepsilon$ ($\triangle$ = सममित अंतर)। *(नियमितता: $K \subseteq A \subseteq U$ को दबाइए और विवृत $U$ की अंतरालों के गणनीय सम्मिलन वाली संरचना तथा $K$ की संहतता का उपयोग कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 9.7.**

नियमितता ([प्रमेय 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) से $K
\subseteq A \subseteq U$ ऐसे चुनिए कि $K$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact), $U$ विवृत, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (दोनों आसन्नन $\varepsilon/2$ के भीतर, और $\lambda(U \setminus K) =
\lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$)। $U$ को विवृत अंतरालों $(I_n)$ ([विवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) के घटक) के गणनीय असंयुक्त संघ के रूप में लिखिए; [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $K$ उनमें से परिमित संख्या से आच्छादित हो जाता है, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq
U$। तब $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq
U\setminus K$ और $B \setminus A \subseteq U \setminus A
\subseteq U\setminus K$: अतः $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — $\varepsilon$ से नीचे उतरने के लिए $\varepsilon/2$ से आरंभ कीजिए।

**अभ्यास 9.8 ★★★.**

(श्टाइनहाउस) मान लीजिए $A \in \mathcal L$ है और $\lambda(A) > 0$। दर्शाइए कि $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ $0$ के चारों ओर एक अंतराल अंतर्विष्ट करता है। *($\lambda(A) < \infty$ तक सीमित कीजिए; [अभ्यास 9.7](#exo-b3-measure-7) जैसी नियमितता से $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ वाला कोई अंतराल $I$ ढूँढ़िए; फिर $\abs t <
\frac12\ell(I)$ के लिए समुच्चय $A\cap I$ और $(A\cap I) + t$ दोनों लंबाई $\frac32\ell(I)$ के किसी अंतराल में बैठते हैं और उनका कुल [माप](#def-b3-measure-measure) $> \frac32\ell(I)$ है: अतः उन्हें प्रतिच्छेद करना ही होगा।)*

**हल — अभ्यास 9.8.**

$A$ को धनात्मक [माप](#def-b3-measure-measure) वाले $A \cap [-M, M]$ से बदलकर (नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से कोई $M$ काम कर देता है) मान लीजिए $0 < \lambda(A) <
\infty$। $\lambda(U) <
\frac43\lambda(A)$ वाला विवृत $U \supseteq A$ लीजिए और $U = \bigsqcup_nI_n$ को असंयुक्त विवृत अंतरालों में विघटित कीजिए: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap
I_n)$। यदि प्रत्येक $n$ के लिए $\lambda(A\cap I_n) \leq
\frac34\ell(I_n)$ होता, तो योग करने पर $\lambda(A) \leq
\frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ मिलता: अतः कोई अंतराल $I$ $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ संतुष्ट करता है। $B = A \cap I$ रखिए और $\abs t < \frac12\ell(I)$ लीजिए: तब $B$ और $B + t$ दोनों लंबाई $< \frac32\ell(I)$ के अंतराल $I \cup (I + t)$ में होते हैं। यदि वे असंयुक्त होते: तो $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B)
> \frac32\ell(I)$ धारण करने वाले अंतराल के [माप](#def-b3-measure-measure) से अधिक हो जाता — असंभव। अतः $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: कोई $x \in B$ $y \in B$ के साथ $x = y + t$ के रूप में लिखा जाता है, और $t = x -
y \in A - A$। इसलिए $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A -
A$।

**अभ्यास 9.9 ★★★.**

दर्शाइए कि $\lambda(A) > 0$ वाला प्रत्येक $A \in \mathcal L$ किसी अमापनीय उपसमुच्चय को अंतर्विष्ट करता है। *($A$ को विटाली के समुच्चय के स्थानांतरणों $V + q$ से प्रतिच्छेद कीजिए: यदि सभी $A \cap (V+q)$ मापनीय होते, तो [प्रमेय 9.15](#thm-b3-measure-vitali) के तर्क से प्रत्येक शून्य होता — श्टाइनहाउस ([अभ्यास 9.8](#exo-b3-measure-8)) सहायक है: $V + q$ के भीतर धनात्मक [माप](#def-b3-measure-measure) वाला कोई मापनीय समुच्चय $(V+q) - (V+q) \supseteq$ को एक अंतराल बना देता, जो इस बात का खंडन है कि यह अंतर समुच्चय $\Q$ से केवल $0$ पर मिलता है; उपयोज्यता से निष्कर्ष निकालिए।)*

**हल — अभ्यास 9.9.**

विटाली स्थानांतर $(V + q)_{q\in\Q}$ $\R$ का विभाजन करते हैं (प्रत्येक वास्तविक ठीक एक प्रतिनिधि के तुल्य है)। मान लीजिए सभी समुच्चय $B_q = A \cap (V + q)$ मापनीय होते। $V + q$ के कोई भी दो अवयव किसी अपरिमेय से या शून्य से भिन्न होते हैं (दो भिन्न प्रतिनिधि अतुल्य हैं), अतः $B_q - B_q$ $\Q$ से केवल $\{0\}$ में मिलता है: इसलिए उसमें कोई अंतराल नहीं है, और श्टाइनहाउस ([अभ्यास 9.8](#exo-b3-measure-8)) से $\lambda(B_q) = 0$ अनिवार्य हो जाता है। तब $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, जो $\lambda(A) > 0$ का खंडन करता है। अतः कोई $B_q \subseteq A$ अमापनीय है।

**अभ्यास 9.10 ★★.**

दर्शाइए कि $\lambda^*(A) < \infty$ वाला $A \subseteq \R$ लेबेग-मापनीय है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए $\lambda^*(U \setminus A) <
\varepsilon$ वाला कोई विवृत $U \supseteq A$ हो, और तभी और केवल तभी जब $\lambda^*(G\setminus A) = 0$ वाला कोई $G_\delta$ समुच्चय $G \supseteq A$ हो। (अर्थात् लेबेग समुच्चय शून्य समुच्चयों तक बोरेल समुच्चय ही हैं।)

**हल — अभ्यास 9.10.**

*मापनीय $\Rightarrow$ $\varepsilon$-आसन्नन*: बाह्य नियमितता ([प्रमेय 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) से $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$ वाला विवृत $U \supseteq A$ चुनिए; मापनीयता घटाव $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq
\varepsilon$ की अनुमति देती है। *$\varepsilon$-रूप $\Rightarrow$ $G_\delta$-रूप*: $\lambda^*(U_n\setminus
A) < \frac1n$ वाला $U_n$ लीजिए और $G = \bigcap U_n$: अर्थात् $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ वाला कोई $G_\delta$। *$G_\delta$-रूप $\Rightarrow$ मापनीय*: $G\setminus
A$ $\lambda^*$-अकिंचन है, अतः [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([प्रमेय 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) से मापनीय है, और $A = G \setminus
(G\setminus A)$ मापनीय है ($G$ बोरेल है)। अतः लेबेग समुच्चय ठीक “अकिंचन के मापांक में बोरेल” ही हैं।

**अभ्यास 9.11 ★★.**

(एकदिष्ट सीमाओं के अनुदिश [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), और उसकी तीक्ष्णता) (क) दर्शाइए कि मापनीय समुच्चयों के लिए $\mu(\liminf A_n) \leq
\liminf\mu(A_n)$ (समुच्चयों के लिए फतू), और यह कि यदि $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ हो तो $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ भी। (ख) $\R$ पर [लेबेग माप](#def-b3-measure-lebesgueouter) के लिए ऐसा अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए जिसके लिए सभी $n$ पर $\mu(A_n) = 1$ हो फिर भी $\mu(\limsup A_n) = 0$ हो: दूसरी असमिका की परिमितता परिकल्पना केवल सजावट नहीं है। (ग) निष्कर्ष निकालिए: यदि $\sum\mu(A_n) < \infty$ हो तो $\mu(\limsup A_n) = 0$ (फिर बोरेल–कैंटेली), और यदि $A_n$ बढ़ते या घटते हों (घटती स्थिति में $\mu(A_1) < \infty$ के साथ) तो $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$।

**हल — अभ्यास 9.11.**

(क) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ समुच्चयों $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ का वर्धमान संघ है, अतः $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)); और $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$, जिसकी सीमा $\liminf\mu(A_n)$ है। $\limsup$ के लिए: वही तर्क परिमित-माप परिवेश $U = \bigcup A_n$ के भीतर पूरकों पर लगाइए — ह्रासमान $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ पर ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) को $\mu(C_1)
\leq \mu(U) < \infty$ चाहिए, और वह $\mu(\limsup A_n) =
\lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ दे देती है।

(ख) चलता हुआ अंतराल $A_n = \intcc n{n+1}$: प्रत्येक बिंदु $A_n$ में से अधिक से अधिक दो में होता है और अंततः किसी में नहीं, अतः $\limsup A_n = \varnothing$; फिर भी $\mu(A_n) = 1$। इस प्रकार $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: परिमित-माप आवरण के बिना (क) की दूसरी असमिका विफल हो जाती है — द्रव्यमान अनंत की ओर पलायन कर जाता है, जहाँ कोई स्थिर समुच्चय उसे नहीं पकड़ सकता।

(ग) यदि $\sum\mu(A_n) < \infty$ हो: $\mu(C_N) \leq
\sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ और $\limsup A_n =
\bigcap C_N$ का [माप](#def-b3-measure-measure) $\leq \inf\mu(C_N) = 0$ है। एकदिष्ट स्थितियाँ: वर्धमान नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है; और $\mu(A_1) < \infty$ के साथ ह्रासमान ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) — दोनों [अध्याय 9](#ch-b3-measure) के मूल गुणों में सिद्ध; और प्रतिउदाहरण $A_n = \intco n\infty$ ($\mu \equiv \infty$ के साथ $\varnothing$ तक घटता हुआ) दिखा देता है कि परिमितता पुनः अनिवार्य है।

**अभ्यास 9.12 ★★★.**

(एगोरोव की प्रमेय) मान लीजिए $\mu(X) < \infty$ और बिंदुशः $f_n \to f$, और सभी फलन मापनीय (वास्तविक-मान वाले) हैं। $k, N \geq 1$ के लिए रखिए

$$
E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)}
\leq \tfrac1k\Bigr\} .
$$

(क) दर्शाइए कि स्थिर $k$ के लिए $N \to
\infty$ पर $E_{k,N} \nearrow X$, और $\mu(X \setminus E_{k,N_k})
\leq \varepsilon2^{-k}$ वाला $N_k$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए। (ख) *एगोरोव की प्रमेय* निष्कर्ष के रूप में निकालिए: प्रत्येक $\varepsilon
> 0$ के लिए $\mu(X\setminus A) \leq
\varepsilon$ वाला ऐसा मापनीय $A$ है कि *$A$ पर एकसमान रूप से* $f_n \to f$ — अर्थात् बिंदुशः अभिसरण मनमाने छोटे समुच्चय के बाहर एकसमान अभिसरण होता है। (ग) दर्शाइए कि $(\R, \lambda)$ पर यह प्रमेय विफल हो जाती है: चलती हुई उभारें $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ बिंदुशः $0$ पर अभिसरित होती हैं पर परिमित [माप](#def-b3-measure-measure) वाले किसी भी समुच्चय के पूरक पर एकसमान रूप से नहीं। (क) में $\mu(X) < \infty$ का उपयोग कहाँ हुआ?

**हल — अभ्यास 9.12.**

(क) समुच्चय $E_{k,N}$ $N$ के साथ बढ़ते हैं (कम प्रतिबंध), और प्रत्येक $x$ अंततः सभी $n \geq N(x)$ के लिए $\abs{f_n(x)
- f(x)} \leq \frac1k$ संतुष्ट करता है (बिंदुशः अभिसरण): $\bigcup_NE_{k,N} = X$। नीचे से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$, अतः $\mu(X\setminus
E_{k,N}) \to 0$; तदनुसार $N_k$ चुनिए।

(ख) मान लीजिए $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$: $\mu(X\setminus A) \leq
\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$। $A$ पर: प्रत्येक $k$ के लिए सभी $n \geq N_k$ $\sup_A\abs{f_n - f} \leq
\frac1k$ संतुष्ट करते हैं — और यही $A$ पर ठीक एकसमान अभिसरण है।

(ग) चलते हुए उभार के लिए $A$ पर एकसमान अभिसरण के लिए $A$ को अंततः प्रत्येक $\intcc n{n+1}$ से बचना पड़ता है — अधिक परिशुद्धता से, $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ बड़े $n$ के लिए $A \cap \intcc
n{n+1}$ को रिक्त होने पर बाध्य कर देता है, अतः $X \setminus A$ अनंत [माप](#def-b3-measure-measure) वाली कोई पुच्छ $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ धारण करता है। (क) में परिमितता ने “$E_{k,N}\nearrow X$” को “पूरकों के [माप](#def-b3-measure-measure) $0$ की ओर जाते हैं” में बदल दिया था: ऊपर से [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) को कोई परिमित आरंभ चाहिए, और अनंत-माप समष्टियों पर अनंत की ओर पलायन ठीक वही है जिसे वह नहीं देख सकती।

## 9.6 समस्या: कैंटर–विटाली सीढ़ी और एक ऐसा मापनीय समुच्चय जो बोरेल नहीं है

![कैंटर–विटाली सीढ़ी: कैंटर समुच्चय की प्रत्येक रिक्ति पर अचर, फिर भी 0 से 1 तक संततता से चढ़ती हुई। उसका अवकलज लगभग सर्वत्र लुप्त हो जाता है — सारी चढ़ाई एक शून्य समुच्चय पर होती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-71ca1a695263.svg)

*कैंटर–विटाली सीढ़ी: कैंटर समुच्चय की प्रत्येक रिक्ति पर अचर, फिर भी $0$ से $1$ तक संततता से चढ़ती हुई। उसका अवकलज लगभग सर्वत्र लुप्त हो जाता है — सारी चढ़ाई एक शून्य समुच्चय पर होती है।*

**समस्या 9.1.**

सप्ताहांत समस्या — शैतान की सीढ़ी, और $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

हम *कैंटर–विटाली फलन* (शैतान की सीढ़ी) की रचना करते हैं, उससे [माप](#def-b3-measure-measure) का विकृत परिवहन करते हैं, और एक ऐसी प्रमेय पर पहुँचते हैं जो किसी भी मुलायम तर्क से नहीं मिलती: ऐसे लेबेग-मापनीय समुच्चय विद्यमान हैं जो बोरेल नहीं हैं। संकेतन: $C$ कैंटर समुच्चय है, $C_n$ उसका $n$-वाँ चरण (लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ अंतराल), और प्रत्येक $x \in C$ के त्र्याधारी अंक $x = \sum 2b_n3^{-n}$, $b_n \in \{0,1\}$ ([अभ्यास 6.10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-10)) हैं।

**भाग I — सीढ़ी।** $c_0(x) = x$ परिभाषित कीजिए और $c_n$ से $c_{n+1}$ इस प्रकार:

$$
c_{n+1}(x) = \begin{cases}
\tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt]
\tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt]
\tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1.
\end{cases}
$$

1. दर्शाइए कि प्रत्येक $c_n$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) , अनवरोही है, जिसमें $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , और यह कि $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq  \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ।
2. निष्कर्ष निकालिए कि $(c_n)$ एकसमान रूप से किसी [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) अनवरोही $c$ पर अभिसरित होता है जिसके लिए $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ ( *वही* कैंटर–विटाली फलन), और जो ऊपर के $c_{n+1}$ जैसे ही स्वसमरूप संबंध संतुष्ट करता है।
3. दर्शाइए कि $c$ $\intcc01\setminus C$ के प्रत्येक [संबद्ध घटक](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-components) पर अचर है, और यह कि $x = \sum_n  2b_n3^{-n} \in C$ के लिए $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : अर्थात् सीढ़ी कैंटर अंकों को द्व्याधारी रूप में पढ़ती है ( [समस्या 6.1](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#pb-b3-topology-1) का फलन $g$ , जिसे एकदिष्ट और वैश्विक बना दिया गया है)।
4. निष्कर्ष निकालिए कि $c$ $\intcc01\setminus C$ के प्रत्येक बिंदु पर $c' = 0$ के साथ अवकलनीय है: अर्थात् *$\lambda$-लगभग सर्वत्र* $c' = 0$ ([उदाहरण 9.14](#ex-b3-measure-cantor))। निष्कर्ष निकालिए कि $c$ के लिए कलन की मूल प्रमेय विफल हो जाती है: $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (समाकल उस पूरे-माप वाले समुच्चय पर है जहाँ $c' = 0$; [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) की प्रत्याशा में, शून्य समुच्चय समाकलों को प्रभावित नहीं करते)। $\mathcal C^1$ की मूल प्रमेय की कौन-सी परिकल्पना का उल्लंघन होता है?
5. दर्शाइए कि $c(C) = \intcc01$ : शून्य समुच्चय $C$ पूरे [माप](#def-b3-measure-measure) वाले एक समुच्चय *पर* प्रतिचित्रित हो जाता है।

**भाग II — टेढ़ी [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)।** मान लीजिए $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$।

6. दर्शाइए कि $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ एक [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है (कड़ाई से बढ़ता हुआ, [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) , आच्छादक)।
7. दर्शाइए कि $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) =  \tfrac12$ : लंबाई $\ell$ की प्रत्येक रिक्ति पर $h$ ढाल $\tfrac12$ के आफ़ीन प्रतिचित्रण की तरह क्रिया करता है, और रिक्तियों की कुल लंबाई $1$ है।
8. $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए: किसी शून्य समुच्चय के समस्थितिक प्रतिबिंब का [माप](#def-b3-measure-measure) धनात्मक हो सकता है। (यह “आकार” के बारे में भोली अंतर्दृष्टि का खंडन कहाँ करता है?)

**भाग III — एक ऐसा मापनीय समुच्चय जो बोरेल नहीं है।**

9. [अभ्यास 9.9](#exo-b3-measure-9) से कोई अमापनीय $W  \subseteq h(C)$ चुनिए। दर्शाइए कि $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ लेबेग-मापनीय है। *(वह किसी शून्य समुच्चय का उपसमुच्चय है; [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [प्रमेय 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)।)*
10. दर्शाइए कि किसी [संतत प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) के अंतर्गत किसी बोरेल समुच्चय का पूर्वप्रतिबिंब बोरेल होता है। *(सुसमुच्चय सिद्धांत: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ विवृत समुच्चयों को अंतर्विष्ट करने वाला $\sigma$-बीजगणित है — प्रतिचित्रण की दिशा का ध्यान रखिए।)*
11. निष्कर्ष निकालिए कि $Z$ बोरेल *नहीं* है: यदि वह होता, तो $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ बोरेल होता ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $h^{-1}$ पर प्रश्न 10 लगाइए), और इसलिए मापनीय — विरोधाभास। अतः $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ और [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) वस्तुतः बोरेल संसार को बड़ा कर देती है।
12. ऐसा लेबेग-मापनीय फलन $g$ और ऐसा [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलन $\varphi$ प्रस्तुत कीजिए कि $g \circ  \varphi$ लेबेग-मापनीय न हो: मापनीयता, [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) के विपरीत, संयोजित नहीं होती। *([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) से मापनीय फलनों की परिभाषा की प्रत्याशा करते हुए $g =  \mathbf 1_Z$ और $\varphi = h^{-1}$ लीजिए: बोरेल समुच्चयों के पूर्वप्रतिबिंब लेबेग समुच्चय होते हैं। लक्ष्य पर कौन-सा $\sigma$-बीजगणित प्रयुक्त है, इस विषय में कहाँ सावधानी बरतनी चाहिए?)*

**भाग IV — उपसंहार।**

13. निम्नलिखित वर्गों को कड़े अंतर्वेशन के अनुसार क्रमबद्ध कीजिए और प्रत्येक कड़ेपन को इस अध्याय और उसकी समस्या के किसी उदाहरण से उचित ठहराइए: गणनीय समुच्चय; बोरेल शून्य समुच्चय; लेबेग शून्य समुच्चय; बोरेल समुच्चय; लेबेग समुच्चय; मनमाने समुच्चय।

**भाग V — कैंटर [माप](#def-b3-measure-measure): शून्य समुच्चय पर द्रव्यमान।** सीढ़ी एक उल्लेखनीय [माप](#def-b3-measure-measure) का बंटन फलन है, जिसे अब हम इसी अध्याय के औजारों से बनाते हैं।

14. (लेबेग–स्टीलत्येस, अस्तित्व) मान लीजिए $F\colon\R\to\R$ अनवरोही, [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और परिबद्ध है। अर्ध-विवृत अंतरालों पर $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) -  F(a)$ परिभाषित कीजिए और $A \subseteq \R$ के लिए $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) -  F(a_k)\bigr) : A \subseteq  \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ दर्शाइए कि $\mu_F^*$ एक [बाह्य माप](#def-b3-measure-outer) है और $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *([प्रमेय 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) के संहतता तर्क का अनुकरण कीजिए, प्रत्येक $\intoc{a_k}{b_k}$ को $\leq \varepsilon2^{-k}$ $F$-लागत पर किसी विवृत अंतराल तक बढ़ाते हुए — $F$ का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) कहाँ प्रयुक्त होता है?)*।
15. दर्शाइए कि प्रत्येक बोरेल समुच्चय कैराथियोडोरी अर्थ में $\mu_F^*$ -मापनीय है *(लेबेग स्थिति की तरह, केवल अर्ध-रेखाओं की परीक्षा पर्याप्त है; [प्रमेय 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) के अनुप्रयोग की उपपत्ति का अनुसरण कीजिए)* , अतः $\mathcal B(\R)$ पर प्रतिबंधित $\mu_F = \mu_F^*$ $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ वाला एक [माप](#def-b3-measure-measure) है: यही $F$ का *लेबेग–स्टीलत्येस [माप](#def-b3-measure-measure)* है।
16. इसे सीढ़ी पर लगाइए ($F = c$ को $\R_-$ पर $0$ से और $\intco1\infty$ पर $1$ से विस्तारित कीजिए): इस प्रकार *कैंटर [माप](#def-b3-measure-measure)* $\mu$ मिलता है। दर्शाइए कि $\mu(\R) = 1$, कि कैंटर समुच्चय की प्रत्येक रिक्ति $\mu$-शून्य है (वहाँ $c$ अचर है), और निष्कर्ष निकालिए $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ अर्थात् $\mu$ और $\lambda$ असंयुक्त वाहकों ($C$ और उसके पूरक) पर रहते हैं। इस स्थिति वाले दो [माप](#def-b3-measure-measure) *परस्पर एकल* कहलाते हैं, और $\mu \perp  \lambda$ लिखा जाता है।
17. दर्शाइए कि $\mu$ में कोई परमाणु नहीं है: प्रत्येक $x$ के लिए $\mu(\{x\}) = 0$ *($c$ का [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity))* । किसी लेबेग-शून्य [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) समुच्चय पर धारण किया गया एक अपरमाणुक प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure) : अब तक देखे गए मापों से इसकी तुलना कीजिए।
18. (छद्म वेश में सिक्का उछाल) किसी शब्द $(\varepsilon_1,  \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ के लिए मान लीजिए $C_{\varepsilon}$ उन $x \in C$ का समुच्चय है जिनके त्र्याधारी अंक $i \leq m$ के लिए $b_i(x) = \varepsilon_i$ को संतुष्ट करते हैं (अर्थात् गहराई $m$ के $2^m$ कैंटर टुकड़ों में से एक)। दर्शाइए कि $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ *(उस टुकड़े के पार सीढ़ी $2^{-m}$ चढ़ती है: भाग I, प्रश्न 3 का उपयोग कीजिए)* । कैंटर [माप](#def-b3-measure-measure) त्र्याधारी रूप में पढ़े गए न्यायसंगत सिक्कों की अनंत उछालों का नियम है — [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers#ch-b3-probability) इसे यथार्थ बना देगा।
19. स्वसमरूपता सिद्ध कीजिए: प्रत्येक बोरेल $A$ के लिए $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) +  \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ जहाँ $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *($c$ के स्वसमरूप संबंधों के माध्यम से जनक अंतरालों $\intoc ab$ पर इसे जाँचिए, फिर अद्वितीयता [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) का आह्वान कीजिए)*।
20. दर्शाइए कि परावर्तन $s(x) = 1 - x$ $\mu$ को सुरक्षित रखता है: $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *($c(1 - x) = 1 -  c(x)$ के माध्यम से, जो रचना की सममिति से निकलता है — उसे सिद्ध कीजिए)* ।
21. $\mu$ के पहले दो आघूर्ण परिकलित कीजिए, अर्थात् नियम $\mu$ वाले किसी यादृच्छिक बिंदु $X$ के (समाकलों को [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) की प्रत्याशा में गहराई-$m$ टुकड़ों पर योगों की सीमा के रूप में लिया जा सकता है): सममिति से $\int x\,\dd\mu = \frac12$, और स्वसमरूपता से $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38,  \qquad\text{अतः}\qquad  \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ $\intcc01$ पर एकसमान नियम से तुलना कीजिए (प्रसरण $\frac1{12}$): कैंटर द्रव्यमान, किनारों की ओर धकेला हुआ, *अधिक* फैलता है।
22. दर्शाइए कि $\mu$ का (संस्थितिक) *आलंब* — अर्थात् पूरे [माप](#def-b3-measure-measure) वाला सबसे छोटा संवृत समुच्चय — ठीक $C$ है।
23. (संश्लेषण) सीढ़ी $c$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और अनवरोही है, फिर भी कलन की मूल प्रमेय को संतुष्ट नहीं करती (भाग I); और [माप](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ एक प्रायिकता है, अपरमाणुक है, तथा $\lambda$ के सापेक्ष एकल है। एक छोटे अनुच्छेद में समझाइए कि ये एक ही परिघटना के दो चेहरे कैसे हैं, और व्यापक सार कहिए: अनवरोही फलन मापों के अनुरूप होते हैं ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), लगभग सर्वत्र अवकलनीयता “निरपेक्षतः [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) भाग” के अनुरूप होती है, और $c$ वह मानक साक्षी है कि कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $F$ बिलकुल *कोई* निरपेक्षतः [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) भाग धारण न करे, यह भी संभव है।
24. ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) का तीक्ष्ण मापांक) मान लीजिए $s =  \frac{\ln 2}{\ln 3}$। दर्शाइए कि $c$ घातांक $s$ का होल्डर [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है: $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s}  \qquad (x, y \in \intcc01),$$ और यह कि $t > s$ वाला कोई घातांक स्थानीय रूप से भी काम नहीं कर सकता। माप-सैद्धांतिक रूप निकालिए: प्रत्येक $x$ और प्रत्येक $r \in \intoc01$ के लिए $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(गहराई-$m$ की त्र्याधारी जालिका की तुलना $\abs{x - y}$ के मापक्रम से कीजिए; प्रश्न 18 प्रत्येक टुकड़े के पार चढ़ाई दे देता है। घातांक $s$ $C$ की [हाउसडॉर्फ](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-hausdorff) विमा है, जैसा आगे के पाठ्यक्रम कहेंगे।)*
25. (स्वसमरूपता $\mu$ को अभिलक्षित कर देती है) प्रश्न 19 का विलोम सिद्ध कीजिए: यदि $\nu$ $\mathcal B(\R)$ पर $\intcc01$ द्वारा धारण किया गया ऐसा प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure) हो जो $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2)  \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ को संतुष्ट करे, तो $\nu = \mu$। *($\nu$ को गहराई-$m$ के $2^m$ कैंटर टुकड़ों पर फैलाने के लिए संबंध को $m$ बार दोहराइए, $\intoc ab$ के भीतर के टुकड़ों की गणना के सापेक्ष $\nu(\intoc ab)$ का आकलन कीजिए, और $m \to \infty$ जाने दीजिए; [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) से पूरा कीजिए।)*

**हल — समस्या 9.1.**

**1.** आगमन। [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): तीनों सूत्र संधियों पर सहमत हैं ($\frac12c_n(1) = \frac12$ और $\frac12 +
\frac12c_n(0) = \frac12$); और प्रत्येक टुकड़ा [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है। एकदिष्टता और परिसीमा मान विरासत में मिलते हैं। संकुचन आकलन के लिए: $[0,\frac13]$ पर $\abs{c_{n+1} - c_n}(x)
= \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n -
c_{n-1}}_\infty$; मध्य तिहाई पर अंतर $0$ है; और दाएँ तिहाई पर वही जो बाएँ पर।

**2.** $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq
2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$: वृद्धियों की श्रेणी एकसमान रूप से अभिसरित होती है, अतः एकसमान रूप से $c_n \to c$; $c$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), अनवरोही है जिसमें $c(0) = 0$, $c(1) = 1$ (सब कुछ एकसमान सीमाओं से सुरक्षित), और परिभाषक पुनरावृत्ति में सीमा लेने पर दिख जाता है कि स्वयं $c$ तीनों स्वसमरूप सर्वसमिकाएँ संतुष्ट करता है।

**3.** मध्य वाली सर्वसमिका से पहली रिक्ति $\intcc{\frac13}{\frac23}$ पर $c \equiv \frac12$। $C$ की प्रत्येक रिक्ति दोनों आफ़ीन संकुचनों $x \mapsto \frac x3$, $x\mapsto\frac{x +
2}3$ के किसी संयोजन के अंतर्गत पहली रिक्ति का प्रतिबिंब है; और सर्वसमिकाएँ अचरता को तदनुसार (द्विअंशी परिमेय मानों के साथ) अंतरित कर देती हैं। अंक सूत्र के लिए $x =
\sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ लीजिए: यदि $b_1 = 0$ हो, तो $x \in
[0,\frac13]$ और $3x$ के साथ $c(x) = \frac12c(3x)$, जिसके अंक $(b_2, b_3, \dots)$ हैं; और यदि $b_1 = 1$ हो, तो $x \in [\frac23, 1]$ और $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$, वही विस्थापन। आगमन से प्रत्येक $N$ के लिए $c(x)$ के प्रथम $N$ द्विआधारी अंक $b_1,
\dots, b_N$ हैं: $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$।

**4.** $C$ के बाहर $c$ स्थानीय रूप से अचर है: अतः अवकलनीय, जिसका अवकलज $0$ है। चूँकि $\lambda(C) = 0$ ([उदाहरण 9.14](#ex-b3-measure-cantor)), अतः लगभग सर्वत्र $c' = 0$। फिर भी $c(1) - c(0) = 1$: कलन की मूल प्रमेय को अपने $\mathcal
C^1$ रूप में $c$ का *सर्वत्र* अवकलनीय होना और उसका अवकलज [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) (अथवा कम से कम समाकलनीय, साथ में निरपेक्ष [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) — [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) देखिए) होना चाहिए; $c$ $C$ के बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है, और अधिक मौलिक रूप से $c$ *निरपेक्ष [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)* में विफल हो जाता है: वह किसी अकिंचन समुच्चय पर चढ़ जाता है।

**5.** $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ($\beta_n \in \{0,1\}$) दिया हो, तो बिंदु $x = \sum_n2\beta_n3^{-n}
\in C$ के लिए प्रश्न 3 से $c(x) = y$: $c(C) = \intcc01$, जो [माप](#def-b3-measure-measure) $1$ का समुच्चय है — अर्थात् अकिंचन समुच्चय $C$ $c$ के माध्यम से समूचा अंतराल ढो लेता है।

**6.** $h$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) और कड़ाई से वर्धमान है ($x$ है, और $c$ अनवरोही); $h(0) = 0$, $h(1) = 1$, अतः मध्यवर्ती मान प्रमेय से $h$ $\intcc01$ का कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन है; और [संहत समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) से [हाउसडॉर्फ समष्टि](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-hausdorff) पर कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) एकैकी आच्छादन [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) होता है ([उपप्रमेय 6.14](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-compacthomeo))।

**7.** किसी रिक्ति $(u, v)$ (लंबाई $\ell$) पर $c$ अचर है, अतः $h$ ढाल $\frac12$ के साथ आफ़ीन है: इसलिए $h((u,v))$ लंबाई $\frac\ell2$ का कोई अंतराल है। रिक्तियाँ असंयुक्त हैं और $h$ एकैकी है: अतः प्रतिबिंब असंयुक्त हैं, जिनका कुल [माप](#def-b3-measure-measure) $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$ है।

**8.** $h(\intcc01) = \intcc01$ और $h(C)$ [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) है ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिबिंब), अतः मापनीय, जिसमें

$$
\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 -
\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 =
\tfrac12 .
$$

कोई [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) किसी अकिंचन समुच्चय को [माप](#def-b3-measure-measure) $\frac12$ तक फुला सकती है: “संस्थितिक आकार” (श्रेणी, विमा) और “[माप](#def-b3-measure-measure)” समस्थितिकताओं से बहुत भिन्न ढंग से अंतरित होते हैं — और उनमें से केवल पहला संस्थितिक निश्चर है।

**9.** $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ का $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ है: अकिंचन समुच्चय, अतः [पूर्णता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([प्रमेय 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) से लेबेग-मापनीय।

**10.** मान लीजिए $\varphi$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है और $\mathcal D = \{B
: \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$। पूर्व-प्रतिबिंब पूरकों तथा गणनीय संघों के साथ क्रमविनिमेय हैं, अतः $\mathcal D$ कोई $\sigma$-बीजगणित है; और वह विवृत समुच्चयों को धारण करता है ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — अर्थात् [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रतिचित्रणों के अंतर्गत बोरेल समुच्चयों के पूर्व-प्रतिबिंब बोरेल होते हैं।

**11.** यदि $Z$ बोरेल होता, तो [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\varphi = h^{-1}$ पर प्रश्न 10 लगाने से $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ बोरेल होता, अतः लेबेग-मापनीय — जो $W$ के चयन का खंडन करता है। अतः $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$: लेबेग का $\sigma$-बीजगणित बोरेल वाले को कड़ाई से धारण करता है।

**12.** $g = \mathbf 1_Z$ लेबेग-मापनीय है ($Z \in
\mathcal L$) और $\varphi = h^{-1}$ [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), पर $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ मापनीय नहीं: $g \circ \varphi$ लेबेग-मापनीय नहीं है। जो सावधानी चाहिए वह यह: “लेबेग-मापनीय फलन” का अर्थ है कि *बोरेल* समुच्चयों के पूर्व-प्रतिबिंब $\mathcal L$ में उतरें; और संयोजन के लिए *लेबेग* समुच्चयों के पूर्व-प्रतिबिंबों का लेबेग होना चाहिए, जो [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) प्रदान नहीं करती (यहाँ $\varphi^{-1}(Z) \notin
\mathcal L$, यद्यपि $\varphi$ कोई [समस्थितिकता](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) है)।

**13.** शृंखलाएँ, कड़ाई के साक्षियों के साथ:

$$
\{\text{गणनीय}\} \subsetneq \{\text{बोरेल-अकिंचन}\}
\subsetneq \{\text{लेबेग-अकिंचन}\} \subsetneq \mathcal L
\subsetneq \mathcal P(\R),
\qquad
\{\text{बोरेल-अकिंचन}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq
\mathcal L .
$$

साक्षी: $C$ बोरेल, अकिंचन, अगणनीय है (पहली रिक्ति); $Z$ लेबेग-अकिंचन है पर बोरेल नहीं (दूसरी, और $\mathcal B
\subsetneq \mathcal L$ के भीतर छठी); कोई मोटा कैंटर समुच्चय बोरेल, कहीं सघन न होने वाला और धनात्मक [माप](#def-b3-measure-measure) का है (जो अकिंचन समुच्चयों को बोरेल समुच्चयों से पृथक करता है); और विटाली का $V$ $\mathcal L$ में नहीं है (अंतिम रिक्ति)। [माप](#def-b3-measure-measure), [संस्थिति](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) और गणनसंख्या $\mathcal P(\R)$ को सचमुच भिन्न रेखाओं पर काटते हैं।

**14.** [बाह्य माप](#def-b3-measure-outer): $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (किसी लुप्त होते अंतराल से आच्छादित कीजिए), एकदिष्टता स्पष्ट है, और गणनीय उप-योज्यता $\varepsilon2^{-k}$-अनुकूलतम आवरणों को जोड़ने से निकलती है, ठीक वैसे ही जैसे $\lambda^*$ के लिए। एक-अंतराल वाला आवरण $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$ देता है। विलोमतः मान लीजिए $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$। $F$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से $F(b_k') \leq F(b_k) +
\varepsilon2^{-k}$ वाला $b_k' > b_k$ और $F(a') \leq
F(a) + \varepsilon$ वाले $a' \in \intoo ab$ चुनिए। [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) $\intcc{a'}b$ विवृत $\intoo{a_k}{b_k'}$ से आच्छादित हो जाता है: परिमित संख्या पर्याप्त है, और [प्रमेय 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) का शृंखला तर्क (अतिच्छादी अंतरालों से होकर $a'$ से $b$ तक चलिए, $F$-वृद्धियों को दूरबीनी कीजिए, और एकदिष्टता अतिच्छादनों को सोख लेती है) $F(b)
- F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) -
F(a_k)) + \varepsilon$ दे देता है। अब $\varepsilon \to 0$ लीजिए: बराबरी। ($F$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ने ही स्वेच्छ रूप से छोटी $F$-क़ीमत पर अंतरालों को खोलने दिया।)

**15.** केवल प्रत्येक अर्ध-रेखा $H_t =
\intoc{-\infty}t$ को कैराथियोडोरी-मापनीय सिद्ध करना पर्याप्त है, क्योंकि मापनीय समुच्चय कोई $\sigma$-बीजगणित बनाते हैं ([प्रमेय 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) और अर्ध-रेखाएँ $\mathcal B$ को जनित करती हैं। $A$ और $A$ का कोई $\varepsilon$-अनुकूलतम आवरण $(\intoc{a_k}{b_k})$ दिया हो: प्रत्येक अंतराल $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ में बँट जाता है (एक टुकड़ा संभवतः रिक्त), जिसकी $F$-क़ीमतें ठीक $F(b_k) - F(a_k)$ तक जुड़ती हैं; पहले टुकड़े $A \cap H_t$ को आच्छादित करते हैं और दूसरे $A \setminus H_t$ को। अतः $\mu_F^*(A\cap H_t) +
\mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$, और विपरीत असमिका उप-योज्यता है। परिणामी [माप](#def-b3-measure-measure) को $\mathcal B$ तक प्रतिबंधित कीजिए: वही लेबेग–स्टीलत्येस [माप](#def-b3-measure-measure) $\mu_F$ है।

**16.** $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ ($\intoc{-n}n$ के अनुदिश [माप](#def-b3-measure-measure) की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity))। $C$ की किसी रिक्ति $\intoo uv$ पर $c$ अचर है, अतः प्रत्येक अर्ध-विवृत उपअंतराल $\mu$-अकिंचन है और (गणनीय संघ से) रिक्ति भी; और $\intcc01$ के बाहर $c$ भी अचर है। अतः $\mu(\R\setminus C) = 0$, $\mu(C) = 1$, जबकि $\lambda(C) =
0$ ([उदाहरण 9.14](#ex-b3-measure-cantor)): $\mu, \lambda$ में से प्रत्येक को ऐसा समुच्चय ढोता है जिसे दूसरा अकिंचन घोषित करता है — अर्थात् परस्पर एकल।

**17.** $c$ की [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) से $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0}
\mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$: कोई परमाणु नहीं। अतः $\mu$ कोई अपरमाणुक प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure) है जिसे कोई लेबेग-अकिंचन [संहत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) ढोता है — न $\lambda$ के प्रतिबंधों की भाँति घनत्व-सहित विसरित, न गणना मापों की भाँति परमाणविक: यह एक तीसरी प्रजाति है।

**18.** टुकड़ा $C_\varepsilon$ लंबाई $3^{-m}$ के किसी त्रिआधारी अंतराल $I_\varepsilon$ को फैलाता है, और भाग I का प्रश्न 3 दिखा देता है कि $I_\varepsilon$ के पार सीढ़ी ठीक $2^{-m}$ चढ़ती है ($c$ के प्रथम $m$ द्विआधारी अंक $\varepsilon$ पर जमे रहते हैं और शेष सब कुछ झाड़ देते हैं)। अतः $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) =
c(\text{दायाँ सिरा}) - c(\text{बायाँ सिरा}) = 2^{-m}$: गहराई-$m$ के सभी अंक बेलनों का द्रव्यमान $2^{-m}$ है, अर्थात् $m$ निष्पक्ष सिक्कों का नियम।

**19.** दायाँ पक्ष $A$ पर मूल्यांकित बोरेल [माप](#def-b3-measure-measure) $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x
\mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ परिभाषित करता है — अर्थात् प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure)। बिंदुशः, वैश्विक रूप से बढ़ाए गए $c$ के साथ, स्थिति-दर-स्थिति ($x \leq 0$; तीनों तिहाई; $x \geq 1$) सर्वसमिका

$$
c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),
$$

जाँची जा सकती है; उदाहरणार्थ $\intcc{1/3}{2/3}$ पर: $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 =
\frac12 = c(x)$। अतः $\intoc ab$ पर $\nu$ का मूल्यांकन $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$ दे देता है, और अर्ध-विवृत अंतरालों की $\pi$-प्रणाली पर सहमत दो परिमित [माप](#def-b3-measure-measure) $\mathcal B$ पर मेल खाते हैं ([प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)): $\nu =
\mu$।

**20.** $n$ पर आगमन से: $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$, और यदि $c_n$ में वह सममिति हो, तो $x \in
\intcc0{1/3}$ के लिए: $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x)
- 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 -
c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$; मध्य तिहाई $\frac12$ के चारों ओर दर्पण बन जाता है; और दायाँ तिहाई परावर्तित बाईं स्थिति है। सीमा में $c(1-x) = 1 - c(x)$। अग्रसारण: $(s_*\mu)(\intoc ab)
= \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ($\mu$ अपरमाणुक, प्रश्न 17, अतः परिसीमा परिपाटियों की कोई क़ीमत नहीं) $= (1 -
c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$: अद्वितीयता से $s_*\mu = \mu$।

**21.** मान लीजिए $X \sim \mu$ ([संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) फलनों के $\mu$ के सापेक्ष समाकल गहराई-$m$ टुकड़ों पर, जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $2^{-m}$ है, रीमान-प्रकार के योगों की सीमाओं के रूप में विद्यमान हैं, जिनकी प्रतिचयन त्रुटि $\leq \operatorname{osc} \leq
\norm{f'}_\infty3^{-m}$ है; [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) इसे व्यवस्थित करेगा)। सममिति: $1 - X \sim X$, अतः $\E X =
\frac12$। स्वसमरूपता: $X$ प्रायिकता $\frac12$ के साथ $\frac Y3$ का और प्रायिकता $\frac12$ के साथ $\frac{Y+2}3$ का नियम रखता है, $Y \sim \mu$, अतः

$$
\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\,
\frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},
$$

जिससे $\E X^2 = \frac38$ और $\operatorname{Var}X = \frac38
- \frac14 = \frac18$। एकसमान नियम का प्रसरण $\frac1{12} < \frac18$ है: अतः कैंटर द्रव्यमान सिरों से चिपका रहता है।

**22.** $C$ संवृत है और $\mu(C) = 1$। यदि कोई विवृत $I$ $C$ से $x$ पर मिले, तो $x$ को धारण करने वाले गहराई-$m$ टुकड़े $x$ तक सिकुड़ जाते हैं, अतः कोई $I_\varepsilon \subseteq I$ और $\mu(I) \geq
2^{-m} > 0$: इसलिए कोई छोटा संवृत समुच्चय $\mu$ को नहीं ढो सकता। $C$ के बाहर के बिंदुओं के $\mu$-माप $0$ वाले रिक्ति-प्रतिवेश होते हैं। अतः ठीक $\operatorname{supp}\mu = C$।

**23.** एक ही परिघटना, दो बोलियाँ। भाग I कहता है कि $c$ की वृद्धि उसके अवकलज को अदृश्य है: लगभग सर्वत्र $c' = 0$, और सारी चढ़ाई अकिंचन समुच्चय $C$ पर संकेंद्रित। भाग V कहता है कि [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-connected) [माप](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ अपना समूचा द्रव्यमान उसी अकिंचन समुच्चय पर रखता है: $\mu_c \perp \lambda$, अतः कोई घनत्व $f \geq
0$ $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ संतुष्ट नहीं कर सकता — कोई घनत्व $\lambda$-अकिंचन समुच्चयों पर लुप्त होना अनिवार्य कर देता है। शब्दकोश: अनवरोही परिबद्ध $F \leftrightarrow$ परिमित [माप](#def-b3-measure-measure) $\mu_F$ (प्रश्न 14–15); $F$ अपने अवकलज का समाकल $\leftrightarrow$ $\mu_F$ का कोई घनत्व है (“निरपेक्षतः [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)” स्थिति); और व्यापक रूप से $F'$, जो एकदिष्ट $F$ के लिए लगभग सर्वत्र विद्यमान है (लेबेग की अवकलन प्रमेय, इस अध्याय से परे), केवल घनत्व वाला भाग ही पुनः प्राप्त करता है। सीढ़ी चरम है: [संतत](https://one-course.com/books/math/5/hi/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity), जिसका अवकलज लगभग सर्वत्र $0$ है — उसका [माप](#def-b3-measure-measure) *विशुद्धतः एकल* है, और कलन की मूल प्रमेय, संयोगवश विफल होने से बहुत दूर, ठीक एकल द्रव्यमान $\mu_c(\R) = 1$ जितनी मात्रा में विफल होती है।

**24.** $\intcc01$ में $x < y$ स्थिर कीजिए और $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$ वाला $m \geq 0$ चुनिए। किसी भी त्रिआधारी अंतराल $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ के पार सीढ़ी अधिक से अधिक $2^{-m}$ चढ़ती है: ऐसा अंतराल या तो $C_m$ के $2^m$ टुकड़ों में से एक है, जहाँ चढ़ाई ठीक $2^{-m}$ है (प्रश्न 18), या वह किसी चरण $\leq m$ की किसी एक ही रिक्ति के संवरण में अंतर्विष्ट है, जहाँ $c$ अचर है। चूँकि $y - x \leq
3^{-m}$, अतः अंतराल $\intcc xy$ अधिक से अधिक दो क्रमागत गहराई-$m$ त्रिआधारी अंतरालों से मिलता है, इसलिए

$$
c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m}
= 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s}
< 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s}
= 4\,(y - x)^{s},
$$

जिसमें $3^{s} = 2$ और $3^{-m} < 3(y - x)$ का उपयोग हुआ है। अनुकूलतमता: किसी गहराई-$m$ कैंटर टुकड़े के अंत-बिंदु $u < v$ $v - u =
3^{-m}$ और $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$ संतुष्ट करते हैं; और $t > s$ के साथ कोई होल्डर परिबंध $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ अनिवार्य कर देता (क्योंकि $3^{t} > 3^{s} = 2$), जबकि $\intcc01$ का प्रत्येक उपअंतराल ऐसे टुकड़े धारण करता है, अतः विफलता स्थानीय भी है। [माप](#def-b3-measure-measure) रूप: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq
c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq
8r^{s}$ ($c$ के मान प्रश्न 16 की भाँति $\R$ तक बढ़ाए गए; $\mu$ के कोई परमाणु नहीं, प्रश्न 17)।

**25.** $S_0(x) = \frac x3$ और $S_1(x) =
\frac{x+2}3$ लिखिए; परिकल्पना कहती है $\nu = \frac12(S_0)_*\nu +
\frac12(S_1)_*\nu$। $m$ बार पुनरावृत्ति करने पर

$$
\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu,
\qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.
$$

चूँकि $\nu$ को $\intcc01$ ढोता है और $S_w(\intcc01) =
I_w$, जो $w$ से सूचकित गहराई-$m$ कैंटर टुकड़ा है, अतः प्रत्येक $(S_w)_*\nu$ $I_w$ से ढोया जाने वाला प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure) है; और $2^m$ टुकड़े लंबाई $3^{-m}$ के युग्मशः असंयुक्त संवृत अंतराल हैं। $\intoc ab$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $N_m$ $I_w \subseteq \intoc ab$ वाले टुकड़ों की संख्या है। $\intoc ab$ से मिलने वाले पर उसमें अंतर्विष्ट न होने वाले किसी टुकड़े को $a$ या $b$ धारण करना पड़ता है, और कोई बिंदु अधिक से अधिक एक टुकड़े में होता है, अतः

$$
2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.
$$

वही द्विक असमिका $\mu$ के लिए भी लागू है (प्रश्न 19 वही पुनरावृत्ति देता है), उसी गणना $N_m$ के साथ। अतः $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$: $\nu$ और $\mu$ अर्ध-विवृत अंतरालों की $\pi$-प्रणाली पर सहमत हैं और दोनों प्रायिकता [माप](#def-b3-measure-measure) हैं, इसलिए [प्रमेय 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) $\nu = \mu$ दे देती है। इस प्रकार सीढ़ी [माप](#def-b3-measure-measure) दो-प्रतिचित्रण वाली औसत योजना का *वही* स्थिर बिंदु है — अर्थात् $C$ की स्वसमरूपता का माप-स्तरीय कथन।