---
title: "Transformasi Fourier"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier
---

# Bab 14 — Transformasi Fourier

Deret Fourier menguraikan sinyal periodik menjadi harmonik diskret; sedangkan *transformasi* Fourier melakukan hal yang sama bagi sinyal pada seluruh garis, dengan frekuensi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). Ia mengubah pendiferensialan menjadi perkalian, konvolusi menjadi hasil kali, dan fungsi Gauss menjadi fungsi Gauss — yakni alasan ia menyelesaikan persamaan diferensial, menggerakkan pengolahan sinyal, dan akan membuktikan teorema limit pusat di [Bab 23](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/23-fungsi-karakteristik-dan-teorema-limit-pusat#ch-b3-clt). Bab ini mengembangkan teori $L^1$-nya (Riemann–Lebesgue, pembalikan, keinjektifan), [kelas Schwartz](#def-b3-fouriertransform-schwartz) yang transformasinya menjadi bijeksi [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect), dan teori $L^2$-nya (Plancherel: bahwa transformasinya, sampai sebuah konstanta, merupakan operator uniter), beserta dua terapan andalan: yakni persamaan panas, yang diselesaikan sampai tuntas pada soal akhir pekan, dan rumus penjumlahan Poisson. Kesepakatannya:

$$
\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .
$$

## 14.1 Transformasinya pada $L^1$

**Proposisi 14.1.**

Untuk $f \in L^1(\R)$: $\hat f$ terdefinisi dengan baik, terbatas (sebab $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dan:

1. $\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ dan $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
2. $\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat  f(\lambda\xi)$ untuk $\lambda > 0$ ;
3. jika $xf \in L^1$ , maka $\hat f$ bersifat $\mathcal C^1$ dengan $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
4. jika $f \in \mathcal C^1$ dengan $f' \in L^1$ (dan $f \to  0$ di $\pm\infty$ , yang di sini otomatis), maka $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
5. $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ untuk $f, g \in L^1$ .

**Bukti.** Keterbatasannya: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$. [Kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): lewat kekonvergenan terdominasi dengan pendominasi $\abs f$ ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont)). (1), (2): lewat substitusinya ([Teorema 11.10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-linearchange)). (3): lewat pendiferensialan di bawah integralnya, dengan pendominasi $\abs{xf}$ ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)). (4): mula-mula, $f(x) = f(0)
+ \int_0^xf'$ berlimit di $\pm\infty$ (sebab $f' \in L^1$), yang haruslah $0$ (sebab $f \in L^1$); lalu integralkan secara parsial pada $[-A,
A]$ dan biarkan $A \to \infty$. (5): lewat Fubini, yang sah sebab $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) mutlak ([Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-convolution)):

$$
\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)}
\eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).
$$

∎

**Contoh 14.2.**

Fungsi Gauss: untuk $a > 0$,

$$
\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) =
\sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :
$$

menurut [Latihan 10.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#exo-b3-lebesgue-7) (lewat kiat persamaan diferensial $F' = -\frac\xi{2}F$ yang diskalakan ulang), atau lewat (3): sebab $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ memenuhi $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (lewat pengintegralan parsial) dengan $g(0) = \sqrt{\pi/a}$. Jadi fungsi Gauss merupakan titik tetap transformasinya sampai penskalaan — yakni alasan mendalam mereka menguasai teorema limit pusat.

**Teorema 14.3 (Riemann–Lebesgue).**

Untuk $f \in L^1(\R)$: $\hat f(\xi) \to 0$ saat $\abs\xi \to
\infty$. Jadi $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal
C_0(\R)$ (yakni fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang lenyap di tak hingga).

**Bukti.** Untuk indikator sebuah selang, $\widehat{\mathbf 1_{\intcc
ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi}
\to 0$; sehingga demikian pula untuk fungsi tangga. Lalu fungsi tangganya padat di $L^1$ ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-density)(1) ditambah penghampiran himpunan berukuran berhingga oleh gabungan berhingga selang, [Latihan 9.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#exo-b3-measure-7)), dan transformasinya bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\norm\cdot_\infty$-$\norm\cdot_1$: sehingga untuk $\norm{f -
s}_1 < \varepsilon$, $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat
f(\xi)} \leq \varepsilon$. ∎

## 14.2 Pembalikan dan keinjektifan

**Lema 14.4 (Rumus perkalian).**

Untuk $f, g \in L^1(\R)$: $\displaystyle\int \hat f\,g =
\int f\,\hat g$.

**Bukti.** Kedua ruasnya sama dengan $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd
x\,\dd\xi$ (lewat Tonelli–Fubini: sebab integral rangkap atas nilai mutlaknya adalah $\norm f_1\norm g_1$). ∎

**Teorema 14.5 (Pembalikan).**

Misalkan $f \in L^1(\R)$.

1. (Keterjumlahan Gauss) Untuk setiap $x$, $$(f * g_\varepsilon)(x) =  \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,  \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi,  \qquad\text{dengan } g_\varepsilon(y) =  \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\,  \eu^{-y^2/4\varepsilon},$$ dan $f * g_\varepsilon \to f$ di $L^1$ saat $\varepsilon  \to 0$.
2. Jika lebih lanjut $\hat f \in L^1$, maka untuk hampir setiap $x$ $$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat  f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$$ dan $f$ mempunyai wakil yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity).
3. (Keinjektifan) Jika $\hat f = 0$ maka $f = 0$ hampir di mana-mana.

**Bukti.** (1) Tetapkan $x$ lalu terapkan [Lema 14.4](#lem-b3-fouriertransform-multiplication) pada $f$ dan $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$: maka menurut [Contoh 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) (dengan aturan modulasinya),

$$
\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\,
\eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),
$$

sehingga $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2}
\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y =
(f*g_\varepsilon)(x)$. Sedangkan $g_\varepsilon$ merupakan identitas hampiran: sebab $g_\varepsilon \geq 0$, $\int g_\varepsilon = 1$ (lewat integral Gaussnya), dan ia memusat di $0$; sehingga bukti [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)(2) berlaku kata demi kata (sebab hanya $\int g_\varepsilon = 1$ dan pemusatannya yang dipakai: dan untuk ekornya, $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to
0$): jadi $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$.

(2) Jika $\hat f \in L^1$: maka ruas kanan (1) konvergen, lewat kekonvergenan terdominasi (dengan pendominasi $\abs{\hat f}$), ke $\frac1{2\pi}\int\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ untuk *setiap* $x$, dan fungsi limitnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (lewat kekonvergenan terdominasi lagi). Sedangkan di sisi lain $f
* g_\varepsilon \to f$ di $L^1$, sehingga sepanjang sebuah subbarisan hampir di mana-mana ([Teorema 12.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-complete)): jadi kedua limitnya bersesuaian hampir di mana-mana.

(3) Karena $\hat f = 0$ membuat ruas kanan (1) lenyap: $f *
g_\varepsilon = 0$ untuk setiap $\varepsilon$, dan $f *
g_\varepsilon \to f$ di $L^1$: sehingga $f = 0$ hampir di mana-mana. ∎

## 14.3 Kelas Schwartz

**Definisi 14.6.**

*Kelas Schwartz* $\mathcal
S(\R)$ terdiri atas fungsi $\mathcal C^\infty$ yang $f$-nya memenuhi $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ untuk setiap $m, n \geq 0$ (sehingga semua turunannya meluruh lebih cepat daripada pangkat mana pun). Contohnya: $\eu^{-ax^2}$ dan $\mathcal C_c^\infty$. Jelaslah $\mathcal S
\subseteq L^p$ untuk setiap $p$ (lewat batas $C(1 + x^2)^{-1}$), dan $\mathcal S$ stabil terhadap penurunan, perkalian dengan polinomial, dan hasil kali.

**Teorema 14.7.**

Transformasi Fourier memetakan $\mathcal S(\R)$ secara bijektif ke dirinya sendiri, dengan balikan $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int
g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$.

**Bukti.** Misalkan $f \in \mathcal S$. Dengan mengiterasikan [Proposisi 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(3), $(\hat f)^{(n)} =
\widehat{(-\iu x)^nf}$ (sebab setiap $x^kf \in L^1$); lalu mengiterasikan (4) dengan $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (yang semua turunannya [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)), $(\iu\xi)^m\hat h =
\widehat{h^{(m)}}$. Digabungkan,

$$
\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)}
= \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr|
\leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty
$$

secara seragam terhadap $\xi$: jadi $\hat f \in \mathcal S$. Lalu karena $\hat f \in L^1$, pembalikannya ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) berlaku di mana-mana (sebab kedua ruasnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)): sehingga $\check{\hat f} = f$, dan setangkup dengan itu $\widehat{\check g} = g$ (sebab transformasi centangnya adalah $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$, yang kembali mengawetkan $\mathcal S$): jadi bijeksi. ∎

## 14.4 Plancherel dan $L^2$

**Teorema 14.8 (Plancherel).**

Untuk $f \in L^1 \cap L^2(\R)$:

$$
\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .
$$

Karena itu $\widehat{\phantom f}$ diperluas secara tunggal menjadi sebuah pemetaan linear [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ dengan $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$; dan $\mathcal
F$ bersifat bijektif, dengan $\mathcal F^{-1} =
\frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ dengan $\sigma f =
f(-\cdot)$, serta ia mengawetkan [hasil kali dalam](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner) sampai faktor $2\pi$.

**Bukti.** Misalkan $f \in L^1\cap L^2$ dan $h = f * \tilde f$ dengan $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$. Maka $h \in L^1$ ([Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-convolution)), $h$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan terbatas ([Latihan 12.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#exo-b3-lp-6): sebab $f, \tilde f \in L^2$), $h(0) =
\int f\bar f = \norm f_2^2$, dan $\hat h = \hat
f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} =
\abs{\hat f}^2 \geq 0$ (hitunglah $\widehat{\tilde f} =
\overline{\hat f}$). Lalu terapkan [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(1) pada $h$ di $x = 0$:

$$
(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat
h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .
$$

Saat $\varepsilon \to 0$: ruas kirinya menuju $h(0)$ (sebab $h$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y)
- h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ lewat pemisahan $y$ yang kecil dan besar); sedangkan ruas kanannya naik menuju $\frac1{2\pi}\int\hat h$ lewat kekonvergenan monoton (sebab $\hat h \geq 0$). Karena itu $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 =
\norm f_2^2$, entah berhingga entah tidak *a priori* — dan ternyata berhingga, yang membuktikan keanggotaannya sekaligus identitasnya.

Untuk perluasannya: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ bersifat padat di $L^2$ ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-density)); transformasinya bersifat isometrik sampai $\sqrt{2\pi}$ di sana, sehingga diperluas secara tunggal menjadi isometri sampai konstanta $\mathcal F$ pada $L^2$ ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)). Lalu pembalikan pada $\mathcal S$ ([Teorema 14.7](#thm-b3-fouriertransform-schwartz)) berpindah lewat [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) yang sama (sebab kedua ruasnya kontinu-$L^2$): $\mathcal
F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ pada $\mathcal S$, jadi pada $L^2$: sehingga bijektif. Untuk [hasil kali dalamnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner): lewat polarisasi dari identitas normanya. ∎

**Teorema 14.9 (Penjumlahan Poisson).**

Misalkan $f \in \mathcal S(\R)$ (sebab $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $\abs{f} +
\abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ sudah cukup). Maka

$$
\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .
$$

**Bukti.** Misalkan $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$: deretnya konvergen secara normal pada [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) (lewat peluruhan $f$), sehingga $F$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dan ia berperiode $1$. Koefisien Fouriernya (dengan periode $1$: $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$):

$$
c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t
= \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)
$$

(sebab kekonvergenan normalnya membenarkan penukarannya; dan fasanya berperiode $1$). Deret $\sum_k\abs{c_k(F)}$ konvergen (lewat peluruhan $\hat f$), sehingga deret Fourier $F$ konvergen secara normal; jumlahnya berupa fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang berkoefisien Fourier sama dengan $F$, jadi sama dengan $F$ (lewat keinjektifan pada lingkarannya: sebab selisihnya berkoefisien nol, dan [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier) memberikan nol di $L^2$, sehingga di mana-mana lewat [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)). Lalu nilaikan di $x = 0$. ∎

**Contoh 14.10 (Identitas theta).**

Dengan menerapkan Poisson pada $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ (dengan $t > 0$), yang transformasinya $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ([Contoh 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) dengan $a = \pi t$):

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t}
= \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :
$$

yakni persamaan fungsional fungsi theta Jacobi, kunci bagi persamaan fungsional $\zeta$ Riemann — sekaligus pemercepat numerik yang spektakuler: sebab untuk $t$ yang kecil, ruas kirinya konvergen lambat, sedangkan ruas kanannya sangat cepat.

**Metode 14.11.**

Rentang kerjanya: $L^1$ — transformasinya terdefinisi titik demi titik, sedangkan pembalikannya menuntut $\hat f \in L^1$; $\mathcal S$ — segalanya sah, jadi buktikanlah di sini dahulu; $L^2$ — transformasinya terdefinisi lewat [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (bukan lewat integralnya!), dengan kesetangkupan [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) dan pembukuan [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval). Untuk menghitung sebuah transformasi: susutkanlah ke tabelnya (indikator, eksponensial, fungsi Gauss) lewat aturan [Proposisi 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic); untuk membuktikan sebuah identitas: tegakkanlah pada $\mathcal S$ (atau $\mathcal C_c^\infty$) lalu perluas lewat [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) dan [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ([Metode 12.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#met-b3-lp-toolkit)); dan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial atau biasa yang berkoefisien konstan: transformasikan, bagilah, lalu balikkan.

![Kernel panas g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t pada tiga waktu: dengan massa total 1 selamanya, tinggi t-1/2, dan lebar √ t. Mengonvolusikan data awal dengan fungsi Gauss yang menyebar ini adalah seluruh isi soal akhir pekannya; sedangkan dalam frekuensinya, gambar yang sama terbaca g_t( ) = -t 2 — yakni frekuensi tinggi mati lebih dahulu, dan ketaksetangkupan itulah anak panah waktu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-fouriertransform/fig-22725c4b9b19.svg)

*[Kernel panas](#pb-b3-fouriertransform-1) $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ pada tiga waktu: dengan massa total $1$ selamanya, tinggi $\sim t^{-1/2}$, dan lebar $\sim
\sqrt t$. Mengonvolusikan data awal dengan fungsi Gauss yang menyebar ini adalah seluruh isi soal akhir pekannya; sedangkan dalam frekuensinya, gambar yang sama terbaca $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — yakni frekuensi tinggi mati lebih dahulu, dan ketaksetangkupan itulah anak panah waktu.*

## 14.5 Latihan

**Latihan 14.1 ★.**

Hitunglah transformasi Fourier dari: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$; $\eu^{-a\abs x}$ (dengan $a > 0$); fungsi tenda $\max(0, 1 -
\abs x)$; dan $\frac1{x^2 + a^2}$ *(pakailah pembalikan pada yang kedua)*. Lalu catatlah tabel yang muncul.

**Solusi Latihan 14.1.**

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) =
\int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (dengan nilai $2a$ di $0$). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a +
\iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} +
\frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$. Untuk tendanya: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$, sehingga transformasinya $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 =
\bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$. Yang terakhir: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$, sehingga pembalikan ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) yang diterapkan pada $\eu^{-a\abs x}$ memberikan, setelah variabelnya dinamai ulang,

$$
\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) =
\frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .
$$

**Latihan 14.2 ★.**

Misalkan $f \in L^1$. Nyatakan dalam $\hat f$ transformasi dari: $f(x - a)$, $f(x)\cos(bx)$, $f(ax + b)$, $\overline{f(-x)}$, dan $(f * f)(x)$. Lalu periksalah setiap aturannya pada fungsi Gauss.

**Solusi Latihan 14.2.**

Dari [Proposisi 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic): $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat
f(\xi + b)\bigr)$; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu
b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ (dengan $a > 0$); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$; $\widehat{f * f} = \hat f^2$. Pada fungsi Gauss (sebab $\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$) setiap aturannya berupa pemeriksaan satu baris — misalnya $\eu^{-(x-a)^2}$ bertransformasi $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$, yang dibenarkan perhitungan langsungnya (lengkapkan kuadratnya).

**Latihan 14.3 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf
1_{\intcc{-1}1}$ bertransformasi $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi
\bigr)^2$, lalu turunkan $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ lewat Plancherel — atau lewat pembalikan di $0$. Bandingkan dengan [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1). (b) Hitunglah $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ lewat Plancherel yang diterapkan pada $\eu^{-\abs x}$.

**Solusi Latihan 14.3.**

(a) Fungsi $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ mempunyai $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$; lalu pembalikan di $x = 0$, tempat $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1)
= 2$:

$$
2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2
\dd\xi
\ \Longrightarrow\
\int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,
$$

yang konsisten dengan $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} =
\frac\pi2$ ([Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1)).

(b) Plancherel untuk $f = \eu^{-\abs x}$: $\int\abs{\hat f}^2 =
2\pi\int\abs f^2$ berbunyi $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} =
2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$: sehingga $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$.

**Latihan 14.4 ★★.**

(Aljabar [kernel panas](#pb-b3-fouriertransform-1)) Dengan $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: (a) periksalah $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$; (b) turunkan hukum semigrupnya $g_t * g_s = g_{t+s}$ tanpa perhitungan integral apa pun; (c) tunjukkan $\norm{g_t}_1 = 1$ dan $\norm{g_t}_2^2 =
(8\pi t)^{-1/2}$.

**Solusi Latihan 14.4.**

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: menurut [Contoh 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) dengan $a = \frac1{4t}$, $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi
t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$. (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$, dan transformasinya injektif pada $L^1$ ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3)): sehingga $g_t * g_s =
g_{t+s}$. (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (lewat integral Gaussnya); dan $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x =
\frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$.

**Latihan 14.5 ★★.**

Tunjukkan bahwa jika $f \in L^1$ genap dan real, maka $\hat f$ genap dan real; sedangkan jika $f$ gasal dan real, maka $\hat f$ gasal dan murni imajiner. Apakah yang dihitung $\hat f(0)$? Lalu turunkan bahwa $f \geq
0$ memaksa $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$, lalu tafsirkanlah untuk [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) peluang ([Bab 23](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/23-fungsi-karakteristik-dan-teorema-limit-pusat#ch-b3-clt): sebab sebuah fungsi karakteristik bermodulus $\leq 1$, yang tercapai di $0$).

**Solusi Latihan 14.5.**

Untuk $f$ yang real dan genap: $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (sebab bagian sinusnya meniadakan diri): jadi real dan genap. Untuk yang gasal: $\hat f(\xi) =
-\iu\int f\sin(\xi x)$: jadi gasal dan murni imajiner. Sedangkan $\hat f(0) =
\int f$: yakni massa totalnya. Jika $f \geq 0$: $\abs{\hat f(\xi)}
\leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$, sehingga supremumnya tercapai di $0$. Untuk sebuah [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) peluang, $\hat f(-\xi)$ adalah fungsi karakteristik [Bab 23](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/23-fungsi-karakteristik-dan-teorema-limit-pusat#ch-b3-clt): yang bermodulus $\leq 1$ di mana-mana dan $= 1$ di titik asalnya.

**Latihan 14.6 ★★★.**

(Ketaksurjektifan) Tunjukkan bahwa $\widehat{\phantom f}\colon L^1
\to \mathcal C_0$ bersifat injektif dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), tetapi *tak* surjektif, dalam tiga langkah. (i) Keinjektifannya ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)) dan [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (sebab $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), dan $\mathcal C_0$ merupakan ruang Banach (yang tertutup dalam $\norm\cdot_\infty$). (ii) Seandainya pemetaannya surjektif, ia akan bijektif, dan teorema pemetaan terbuka ([Teorema 8.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#thm-b3-banach-openmapping)) akan memberikan sebuah konstanta $C$ dengan $\norm f_1 \leq C\norm{\hat
f}_\infty$ untuk setiap $f \in L^1$. (iii) Pertentangkanlah itu dengan $f_n(x) = \frac{\sin
x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: sebab transformasinya berupa (sampai konstantanya) trapesium bertipe konvolusi $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ — lalu tunjukkan $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ secara seragam, sedangkan $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ dengan mencacah lengkungan $\frac{\abs{\sin x}}x$ pada $[1, n]$ (tempat faktor keduanya terbatas dari bawah), seperti pada [Teorema 8.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#thm-b3-banach-fourierdiverge).

**Solusi Latihan 14.6.**

(i) Keinjektifannya adalah [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3); [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) adalah $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (dengan nilainya di $\mathcal C_0$ menurut Riemann–Lebesgue); dan $\mathcal C_0$ tertutup dalam norma supnya (sebab limit seragam fungsi yang lenyap di tak hingga lenyap di tak hingga): jadi Banach.

(ii) Bijeksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) antara ruang Banach berbalikan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 8.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#thm-b3-banach-openmapping)): sehingga akan ada $C$ dengan $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$.

(iii) Misalkan $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: yakni hasil kali dua fungsi $L^2$, yang bernilai $O(x^{-2})$ di tak hingga, sehingga $f_n \in L^1\cap L^2$. Karena $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ bertransformasi-$L^2$ $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$, rumus hasil kalinya $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (yang sahih untuk $g, h
\in L^2$ dengan $gh \in L^1$; periksalah pada fungsi Schwartz lewat Fubini lalu perluas lewat kekontinuan-$L^2$ kedua ruasnya lewat Plancherel) memberikan

$$
\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf
1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf
1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):
$$

yakni sebuah trapesium setinggi $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$: sehingga $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ untuk setiap $n$. Padahal pada $[1,
n]$, $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$, sehingga

$$
\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x
\geq c\ln n
$$

(lewat pencacahan lengkungannya, seperti pada [Teorema 8.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#thm-b3-banach-fourierdiverge)). Jadi batas $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ gagal untuk $n$ yang besar: sehingga tak surjektif. (Petanya merupakan subruang $\mathcal C_0$ yang padat — lewat argumen bertipe Stone–Weierstrass — tetapi sejati.)

**Latihan 14.7 ★★.**

(Kamus kemulusan $\leftrightarrow$ peluruhan) Buktikan: bahwa $f \in
L^1$ dengan $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ untuk suatu $\delta > 0$ mengakibatkan $f$ mempunyai wakil $\mathcal C^k$. Sebaliknya $f \in \mathcal C^k_c$ mengakibatkan $\hat f(\xi) =
O(\abs\xi^{-k})$. Lalu peragakan kedua arahnya pada fungsi tenda.

**Solusi Latihan 14.7.**

Jika $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$: maka $\xi^j\hat f
\in L^1$ untuk $0 \leq j \leq k$ (yang [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) di tak hingga menurut peluruhannya, dan secara lokal menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\hat f$). Lalu pembalikan ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) menyajikan $f$ hampir di mana-mana lewat $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, dan pendiferensialan di bawah integralnya (dengan pendominasi $\abs{\xi^j\hat f}$) membuat wakil itu $\mathcal C^k$. Sebaliknya untuk $f \in \mathcal C_c^k$: dengan mengiterasikan [Proposisi 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(4), $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$, sehingga $\abs{\hat f} \leq
\norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$. Untuk fungsi tendanya: ia [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan pendukung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) (sehingga $k = 0$: transformasinya terbatas), dan transformasinya $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ mengembalikan, lewat arah pertamanya, sebuah wakil $\mathcal C^0$ — keduanya tajam: sebab tendanya bukan $\mathcal C^1$, dan transformasinya meluruh tak lebih cepat daripada $\xi^{-2}$.

**Latihan 14.8 ★★★.**

(Ketaksamaan Heisenberg) Untuk $f \in \mathcal S(\R)$ yang real dengan $\norm f_2 = 1$, buktikan bahwa

$$
\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot
\Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr)
\;\geq\; \frac14 ,
$$

dengan kesamaannya bagi fungsi Gauss. *(Tulislah $1 = \int f^2 =
-\int x\,(f^2)'$ lewat pengintegralan parsial, batasi lewat Cauchy–Schwarz, lalu ubahlah $\norm{f'}_2$ lewat Plancherel.)* Tafsirannya: bahwa sebuah sinyal dan spektrumnya tak dapat sama-sama terpusat.

**Solusi Latihan 14.8.**

Lewat pengintegralan parsial (sebab $f \in \mathcal S$; sehingga suku batasnya lenyap):

$$
1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int
x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .
$$

Lalu Plancherel dan $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$: $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$. Dengan mengkuadratkan tampilannya:

$$
\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi}
\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .
$$

Kesamaannya menuntut kesamaan pada Cauchy–Schwarz: yakni $f' =
\lambda xf$ dengan $\lambda < 0$ (menurut keterintegralannya), yakni $f(x) =
c\,\eu^{\lambda x^2/2}$: jadi fungsi Gauss. Sebuah sinyal yang terpusat pada $x$ (dengan $\norm{xf}_2$ yang kecil) haruslah berspektrum tersebar, dan sebaliknya: yakni asas ketakpastiannya.

**Latihan 14.9 ★★.**

Benarkanlah [Contoh 14.10](#ex-b3-fouriertransform-theta) secara terperinci (yakni hipotesis Poisson bagi fungsi Gaussnya), lalu pakailah identitasnya untuk menilaikan $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ sampai enam desimal dengan tiga suku. Berapa suku deret *pendefinisinya* yang diperlukan bagi ketelitian yang sama pada $t = 10^{-2}$, dibandingkan dengan deret yang tertransformasi?

**Solusi Latihan 14.9.**

Fungsi Gauss $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ bersifat Schwartz, sehingga [Teorema 14.9](#thm-b3-fouriertransform-poisson) berlaku, dan $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$; lalu di $\xi = 2\pi
k$ ruas kanannya menjadi $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$: yakni identitas thetanya. Pada $t = 1$:

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} +
\cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,
$$

yang teliti sampai $6$ desimal dengan tiga suku (sebab $\eu^{-9\pi}
\approx 5\cdot10^{-13}$). Pada $t = 10^{-2}$: deret pendefinisinya memerlukan $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$, yakni $n \gtrsim
23$ — kira-kira $47$ suku — sedangkan deret yang tertransformasi adalah $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$, yang sudah pada suku $k = 1$ bernilai $\sim 10^{-136}$: sehingga satu suku sudah cukup.

**Latihan 14.10 ★★.**

(Fungsi terbatas pita) Misalkan $f \in L^2(\R)$ dengan $\mathcal Ff$ berpendukung di $\intcc{-\pi}\pi$. Tunjukkan bahwa $f$ mempunyai sebuah wakil yang setiap nilainya dapat dipulihkan dari cuplikannya: buktikanlah *interpolasi Shannon* di bilangan bulatnya,

$$
f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\,
\frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)}
\quad\text{di } L^2,
$$

dengan menguraikan $\mathcal Ff$ pada basis Fourier $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ ([Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier)) lalu mentransformasikannya kembali suku demi suku.

**Solusi Latihan 14.10.**

Berlaku $\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq
L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ (sebab berukuran berhingga), sehingga pembalikannya memberikan wakil [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $f(x) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, dengan

$$
f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal
Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal
Ff\rangle
$$

dalam notasi [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier). Dengan menguraikannya pada [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) itu: $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu
n\xi}$ di $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$. Lalu terapkan operator kontinu-$L^2$ $\mathcal F^{-1}$ suku demi suku:

$$
\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf
1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x)
= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi
= \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,
$$

yang memberikan $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ di $L^2$: sehingga sinyal terbatas pita ditentukan oleh cuplikan bilangan bulatnya — yakni teorema pencuplikan Shannon.

**Latihan 14.11 ★★.**

(Transformasinya sebagai operator berorde empat) Pada $\mathcal
S(\R)$, misalkan $\mathcal F f = \hat f$. (a) Dengan memakai rumus pembalikannya, tunjukkan $(\mathcal F^2f)(x) =
2\pi\,f(-x)$, lalu turunkan $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\,
\mathrm{id}$. (b) Turunkan bahwa setiap nilai eigen $\mathcal F$ pada $\mathcal S$ termasuk $\{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$, lalu tampilkan sebuah fungsi eigen untuk $+\sqrt{2\pi}$ *(fungsi mana pada bab ini yang sebanding dengan transformasinya sendiri?)*. (c) Tunjukkan bahwa fungsi genap memenuhi $\mathcal F^2f = 2\pi
f$ dan yang gasal $\mathcal F^2f = -2\pi f$; lalu hasilkanlah sebuah fungsi eigen untuk nilai eigen $-\iu\sqrt{2\pi}$ dari $x\eu^{-x^2/2}$ dengan menghitung transformasinya (turunkanlah transformasi fungsi Gaussnya).

**Solusi Latihan 14.11.**

(a) Lewat pembalikan pada $\mathcal S$: $f(x) =
\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi =
\frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$, yakni $(\mathcal
F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$. Dengan menerapkannya dua kali: $\mathcal F^4f =
2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$.

(b) Jika $\mathcal Ff = \lambda f$ dengan $f \neq 0$: maka $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$, sehingga $\lambda^4 =
(2\pi)^2$: jadi $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$. Sedangkan fungsi Gauss $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ mempunyai $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ ([Contoh 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) di $a = \frac12$): yakni fungsi eigen untuk $+\sqrt{2\pi}$.

(c) Berlaku $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ yang sama dengan $\pm2\pi f$ menurut paritasnya. Untuk $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$: dengan menurunkan $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ memakai aturan $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$:

$$
\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi}
\eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2}
= -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :
$$

yakni sebuah fungsi eigen untuk $-\iu\sqrt{2\pi}$. (Fungsi Hermitenya melanjutkan polanya, dengan berputar melalui keempat nilai eigennya — yakni jam Fourier diskretnya.)

**Latihan 14.12 ★★.**

(Autokorelasi dan lema Wiener) Untuk $f \in L^2(\R)$ definisikan $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ dan *autokorelasinya* $A_f = f * \tilde f$. (a) Tunjukkan bahwa $A_f$ merupakan fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas dengan $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ untuk setiap $x$ (lewat [Latihan 12.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#exo-b3-lp-6) dan Cauchy–Schwarz). (b) Tunjukkan, mula-mula untuk $f \in L^1\cap L^2$, bahwa $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$: sehingga autokorelasinya bertransformasi tak negatif — jadi spektrum autokorelasi merupakan spektrum daya. (c) Turunkan identitas $\int_\R\abs{\hat
f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ (lewat pembalikan; benarkanlah keterterapannya bila $\hat f \in L^2$ mempunyai $\abs{\hat f}^2 \in L^1$), lalu nilaikanlah untuk $f = \mathbf
1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ di $x = 0$: sehingga pulihlah $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$.

**Solusi Latihan 14.12.**

(a) Berlaku $\tilde f \in L^2$ dengan $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$; sehingga [Latihan 12.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#exo-b3-lp-6) (dengan eksponen sekawan $p = q = 2$) membuat $A_f = f * \tilde f$ terbatas dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam, dengan

$$
A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y,
\qquad A_f(0) = \norm f_2^2,
\qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot -
x)}_2 = A_f(0)
$$

lewat Cauchy–Schwarz.

(b) Untuk $f \in L^1\cap L^2$: $\tilde f \in L^1$ pula, dan teorema konvolusinya memberikan $\widehat{A_f} = \hat f\,
\widehat{\tilde f}$; lalu dengan menghitungnya, $\widehat{\tilde f}(\xi) =
\int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x =
\overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} =
\overline{\hat f(\xi)}$: sehingga $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2
\geq 0$.

(c) Bila $\abs{\hat f}^2 \in L^1$, pembalikannya berlaku bagi $A_f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (sebab transformasinya [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1); [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)):

$$
A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2
\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .
$$

Untuk $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$: $\hat f(\xi) =
\frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$, dan di $x = 0$:

$$
1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R
\Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi
= \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u
$$

(dengan $\xi = 2u$), yakni $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd
u = \pi$ — yakni integral kesayangan Plancherel, yang dipulihkan lewat autokorelasinya.

## 14.6 Soal: persamaan panas pada garis

**Soal 14.1.**

Soal akhir pekan — $\partial_tu =
\partial^2_{xx}u$, yang diselesaikan sampai tuntas

Panas menyebar; dan persamaan $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ mengatakan bahwa [kepadatannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) berdifusi dengan laju yang diberikan kelengkungan lokal profil suhunya. Kita menyelesaikan soal Cauchynya pada $\R$ — yakni diberikan $f$, carilah $u(t, x)$ untuk $t > 0$ dengan $u(0, \cdot) = f$ — lalu membuktikan sifat solusinya yang luar biasa, dan melihat mengapa waktu tak dapat dibalik. Sepanjang soal ini, $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ adalah *kernel panas* dan $u(t, \cdot) = g_t *
f$.

**Bagian I — Menurunkan kernelnya.** Bekerjalah secara formal dahulu: andaikan $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ menyelesaikan persamaannya, lalu misalkan $\hat u(t, \xi)$ transformasinya terhadap $x$.

1. Tunjukkan (secara formal) $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , sehingga $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , lalu kenalilah $u(t) = g_t * f$ ( [Latihan 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4) ). Ini memotivasi *definisi* $u$ ; dan segalanya kini dibuktikan secara langsung, untuk $f \in \mathcal C_b(\R)$ (yakni [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas) atau $f \in L^p$ .

**Bagian II — Pemeriksaannya.**

2. Tunjukkan bahwa untuk $t > 0$ , $u(t, x) = \int  g_t(x-y)f(y)\dd y$ terdefinisi dengan baik untuk $f \in \mathcal  C_b$ , dan bahwa $u$ bersifat $\mathcal C^\infty$ terhadap $(t, x)$ pada $\intoo0\infty\times\R$ *(turunkanlah di bawah integralnya; lalu dominasi turunan Gaussnya secara seragam lokal terhadap $(t,x)$)* .
3. Periksalah $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ lewat perhitungan langsung, lalu turunkan $\partial_tu =  \partial^2_{xx}u$ untuk $t > 0$ .
4. (Syarat awalnya) Tunjukkan bahwa untuk $f \in \mathcal  C_b$ , $u(t, x) \to f(x)$ saat $t \to 0^+$ , secara seragam pada [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) *(lewat identitas hampirannya: pisahkan $\abs y  \leq \delta$ dan $\abs y > \delta$)* ; sedangkan untuk $f \in L^p$ (dengan $p < \infty$ ), tunjukkan $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
5. (Pemulusan seketika) Simpulkan: bahkan untuk $f$ yang sekadar [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, solusinya bersifat $\mathcal C^\infty$ untuk setiap $t > 0$ — sehingga panas seketika menghapus kekasarannya. Lalu hitunglah $u(t, \cdot)$ secara eksplisit untuk $f =  \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (yakni sebuah fungsi galat) lalu sketsakan profilnya untuk tiga nilai $t$ .

**Bagian III — Sifat strukturalnya.**

6. (Kepositifan dan pembandingan) Jika $f \geq 0$ maka $u > 0$ untuk setiap $t > 0$ (secara sejati, kecuali $f = 0$ hampir di mana-mana); dan jika $f_1 \leq f_2$ maka $u_1 \leq u_2$ . Sebuah titik dingin menghangat seketika: berkomentarlah.
7. (Kekekalan) Untuk $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x =  \int f$ untuk setiap $t$ *(lewat Tonelli)* — sehingga panas totalnya kekal.
8. (Pelesapan) Untuk $f \in L^1\cap L^2$ , tunjukkan lewat Plancherel bahwa $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ bersifat tak naik, secara sejati kecuali $f = 0$ , lalu hitunglah limitnya saat $t \to \infty$ . Lalu tunjukkan lebih lanjut $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm  f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ : sehingga panas menyebar lalu mati.
9. (Ketunggalan, kelas $L^2$ ) Misalkan $u$ sebuah solusi dengan $u(t) \in L^2$ untuk setiap $t$ , $u \in \mathcal  C^1(\intoo0\infty, L^2)$ dalam arti yang wajar, dan $u(t) \to f$ di $L^2$ saat $t\to0$ ; lalu dengan menerima bahwa transformasinya mengubahnya menjadi $\partial_t\hat u =  -\xi^2\hat u$ secara titik demi titik hampir di mana-mana pada $\xi$ untuk hampir setiap $t$ *(yang dibenarkan lewat pengujian terhadap $\mathcal  C_c^\infty$ pada $\xi$ — garis besarkanlah ini)* , tunjukkan $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , sehingga ketunggalannya pada kelas ini.

**Bagian IV — Anak panah waktu.**

10. Tunjukkan bahwa soal *mundurnya* tak berkondisi baik: yakni agar solusinya ada pada waktu $-s$ (dengan $s > 0$ ) dengan data $f$ pada waktu $0$ — yakni agar $f = g_s * h$ mempunyai solusi $h \in L^2$ — diperlukan bahwa $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : yakni syarat peluruhan yang ekstrem pada $\hat f$ . Tampilkan sebuah $f \in L^2$ yang mulus dan eksplisit yang tak bersolusi mundur pada selang waktu mana pun: ambillah fungsi yang $\hat f(\xi) =  \eu^{-\abs\xi}$ -nya — kenalilah $f$ ( [Latihan 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1) ) lalu tunjukkan $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ untuk setiap $s >  0$ .
11. (Pemulusan lawan keterangan) Terangkan dalam sebuah paragraf pendek, dengan memakai pertanyaan 5, 9, dan 10, mengapa semigrup panasnya $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ bersifat injektif tetapi tak surjektif pada $L^2$ , dan mengapa ini menyatakan ketakterbalikan difusinya.

**Bagian V — Teorema pencuplikan Shannon.** Sebuah fungsi $f \in L^2(\R)$ disebut *terbatas pita* pada $\Omega$ jika $\hat f = 0$ hampir di mana-mana di luar $\intcc{-\Omega}\Omega$; lalu tulislah $PW_\Omega$ (yakni ruang Paley–Wiener) untuk fungsi semacam itu.

12. Tunjukkan bahwa setiap $f \in PW_\Omega$ sama hampir di mana-mana dengan fungsi $\mathcal C^\infty$ $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat  f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (benarkanlah kemulusannya dan pengenalannya), dengan semua turunannya terbatas: sehingga pembatasan pita merupakan bentuk keteraturan yang ekstrem. Mulai sekarang $f$ menandai wakil itu.
13. Uraikan $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ pada basis Fourier selang itu lalu kenalilah koefisiennya sebagai *cuplikan* $f$: $$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z}  f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\,  \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}  \quad\text{di } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$$
14. Turunkan *teorema pencuplikannya*: bahwa untuk $f \in  PW_\Omega$, $$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi}  \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),  \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$$ dengan kekonvergenan di $L^2(\R)$ dan secara seragam pada $\R$ *(sisipkan deret pertanyaan 13 ke dalam rumus pembalikannya lalu hitunglah integral dasarnya)*: sehingga sinyal terbatas pita sepenuhnya ditentukan oleh nilainya pada kisi berlangkah $\pi/\Omega$ — yakni laju Nyquist.
15. Tunjukkan bahwa fungsi $x \mapsto  \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ dengan $n \in \Z$ membentuk keluarga ortogonal di $L^2(\R)$ dengan norma tetap $\sqrt{\pi/\Omega}$ , lalu turunkan identitas energinya $\norm f_2^2 =  \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .
16. (Pelipatan spektrum) Tampilkan sebuah $g \in PW_{2\Omega}$ yang tak nol tetapi lenyap di setiap titik cuplikan $\frac{n\pi}\Omega$ *(tinjaulah $g(x) =  \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ lalu periksalah pitanya)* : sehingga mencuplik di bawah laju Nyquist kehilangan keterangan — sebab dua sinyal berbeda dapat berbagi semua cuplikannya: yakni gejala roda pedati stroboskopik, yang dimatematikakan.
17. (Derajat kebebasan) Dengan memakai pertanyaan 14–15, benarkanlah kaidah keteknikannya: bahwa sinyal yang terbatas pita pada $\Omega$ dan energinya pada dasarnya terbawa oleh jendela waktu berpanjang $T$ diuraikan oleh kira-kira $\frac{\Omega T}\pi$ cuplikan real — lalu persiskanlah “pada dasarnya” lewat identitas energinya dan ekornya $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} >  T/2}$ .
18. (Pemeriksaan kekonsistenan) Periksalah teorema pencuplikannya dengan tangan pada dua anggota $PW_\Omega$ : (a) $f =  \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , yang cuplikannya $\delta_{n0}$ ; (b) sinyal pita sempit bertipe $f(x) = \cos(\omega x)  \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ — lebih tepatnya, tunjukkan bahwa untuk $f \in  PW_{\Omega'}$ dengan $\Omega' < \Omega$ , deret berlaju- $\Omega$ juga merekonstruksi $f$ (sehingga pencuplikan berlebih tak berbahaya), lewat pembenaman $PW_  {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ .

**Bagian VI — Ketakpastian, dua kali lagi.** Ketaksamaan Heisenberg ([Latihan 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8)) membatasi *seberapa* terpusat $f$ dan $\hat f$ secara bersama dapat menjadi; dan berikut ini saudaranya yang serba-atau-tak-sama-sekali beserta penjenuhannya yang persis.

19. Misalkan $f \in L^1$ dengan $\operatorname{supp}f \subseteq  \intcc{-A}A$. Tunjukkan bahwa $\hat f$ merupakan jumlah sebuah deret pangkat yang konvergen di mana-mana: $$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}  \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x,  \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$$ *(uraikan $\eu^{-\iu\xi x}$ lalu benarkan penukarannya lewat kekonvergenan normalnya)*: sehingga transformasinya bersifat *analitik real*, dengan jari-jari kekonvergenan tak berhingga di setiap titik.
20. Turunkan dikotomi pendukungnya: bahwa fungsi analitik real yang lenyap pada sebuah selang terbuka tak kosong lenyap secara identik *(sebab himpunan yang semua turunannya lenyap bersifat terbuka sekaligus tertutup — kerjakanlah argumen Taylornya)* ; lalu simpulkan bahwa tak ada $f$ tak nol yang $f$ maupun $\hat f$ -nya berpendukung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) , dan bahwa $PW_\Omega$ tak memuat fungsi berpendukung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) yang tak nol — sehingga sinyal terbatas pita berlangsung selamanya, dan sinyal terbatas waktu merembes ke semua frekuensinya.
21. (Penjenuhan Heisenberg) Pada keluarga Gauss $f  = \eu^{-ax^2}$ , hitunglah kedua faktor pemusatannya lalu periksalah bahwa hasil kali ternormalkannya $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int  \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ sama dengan $\frac14$ untuk *setiap* $a$ — yakni keluarga kesamaan [Latihan 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) yang sesungguhnya; lalu terangkan lewat argumen penskalaan mengapa hasil kalinya harus tetap di sepanjang keluarganya.
22. Terangkan bacaan fisikanya (yakni [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) posisi dan momentum sebuah keadaan kuantum; dan $\hbar$ pada penormalannya memberikan $\sigma_x\sigma_p \geq  \frac\hbar2$ ), lalu hubungkanlah sepanjang bab ini: pemulusan seketika (Bagian II), ketakterbalikan (Bagian IV), pencuplikan (Bagian V), Heisenberg, dan dikotomi pendukungnya adalah lima ungkapan satu hukum — yakni perilaku $\hat f$ di tak hingga mengatur apa yang boleh dilakukan $f$ di mana pun.

**Bagian VII — Aljabar kernelnya, dan satu contoh yang [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived).**

23. (Semigrup) Buktikan *identitas Chapman–Kolmogorov* $g_t * g_s = g_{t+s}$ untuk $t, s > 0$ (lewat teorema konvolusinya dan keinjektifan transformasinya pada $L^1$), lalu turunkan $u(t + s) = g_s *  u(t)$: sehingga berevolusi selama waktu $t + s$ adalah berevolusi selama $t$, lalu selama $s$. Lalu tajamkanlah pelesapan pertanyaan 8: dengan menulis $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int  \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, tunjukkan lewat Cauchy–Schwarz bahwa $$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2  \quad\text{bersifat cembung pada } \intoo0{+\infty} :$$ sehingga energi $L^2$-nya bukan sekadar menurun, melainkan menurun secara log-cembung.
24. (Ke mana panasnya pergi) Misalkan $f \geq 0$ dengan $f \in L^1$ dan $\int x^2f(x)\dd x < \infty$. Tunjukkan bahwa untuk setiap $t > 0$ $$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x,  \qquad  \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x  = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$$ sehingga pusat panasnya tak pernah bergerak, dan ragamnya tumbuh *secara linear* terhadap waktu — yakni penskalaan difusif $x \sim \sqrt{2t}$, yang akan dibaca ulang saat gerak Brown muncul di [Bab 22](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ch-b3-probability). *(Hitunglah dua momen pertama $g_t$ lalu pakailah Tonelli pada konvolusinya.)*
25. (Fungsi Gaussnya, yang diselesaikan sampai tuntas) Untuk $f(x) =  \eu^{-x^2}$, tegakkanlah bentuk tertutupnya $$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\,  \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$$ lalu periksalah padanya, dengan tangan: persamaan $\partial_tu  = \partial^2_{xx}u$; kekekalan $\int u(t) =  \sqrt\pi$; hukum pelesapan $\norm{u(t)}_2 =  (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (bandingkan peluruhan $t^{-1/4}$-nya dengan peluruhan norma-sup $t^{-1/2}$ pada pertanyaan 8); dan pertumbuhan ragam yang persis pada pertanyaan 24. Pada $t = 6$: puncaknya telah turun menjadi $\frac15$ tinggi awalnya sedangkan profilnya lima kali lebih lebar — yakni panas yang sama, yang tersebar.

**Solusi Soal 14.1.**

**1.** Dengan mentransformasikan persamaannya terhadap $x$ (secara formal): $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} =
(\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$, yakni persamaan diferensial biasa terhadap $t$ untuk setiap frekuensinya: $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$. Karena $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ ([Latihan 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4)), hasil kalinya adalah transformasi $g_t * f$.

**2.** Berlaku $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm
f_\infty$: jadi terdefinisi dengan baik. Pada $[t_0, T]\times[-A, A]$: setiap turunan campurannya $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ berupa polinomial dalam $(x - y)$ dan $t^{-1}$ dikali $\eu^{-(x-y)^2/4t}$, yang untuk $\abs y \geq 2A$ terbatas oleh $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$, yakni pendominasi [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) yang tak bergantung pada $(t, x)$ di jendela itu (dan terbatas untuk $\abs y \leq 2A$): sehingga pendiferensialan berulang di bawah integralnya ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) berlaku: jadi $u \in
\mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$.

**3.** Dengan $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi
t}}\eu^{-x^2/4t}$:

$$
\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr)
= \partial^2_{xx}g_t
$$

(turunkanlah dua kali terhadap $x$: $\partial_xg_t = -\frac
x{2t}g_t$, sehingga $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} -
\frac1{2t}\bigr)g_t$). Lalu menurut pertanyaan 2 turunannya lewat di bawah integralnya: sehingga $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$.

**4.** Berlaku $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) -
f(x)\bigr)\dd y$. Diberikan sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $K$ dan $\varepsilon$: [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam $f$ pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $K$ memberikan $\delta$ dengan $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ untuk $x \in
K$ dan $\abs y \leq \delta$; sedangkan ekornya menyumbang $\leq 2\norm
f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm
f_\infty\,\P$ yakni massa di luar $\delta$, yang bernilai $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z
\to 0$ saat $t \to 0$. Untuk $f \in L^p$: $\norm{u(t) - f}_p \leq
\int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (lewat Minkowski/Jensen seperti pada [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)), lalu pisahkan dengan cara yang sama memakai [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-density)(3).

**5.** Pemulusan seketikanya adalah pertanyaan 2 (sebab $u(t)$ bersifat $\mathcal C^\infty$ untuk $t > 0$ tanpa memakai kemulusan $f$ apa pun). Untuk $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$:

$$
u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y
= \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z
= \frac12\Bigl(1 +
\operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr),
\qquad \operatorname{erf}(s) =
\frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :
$$

yakni sebuah tangga yang termuluskan dengan zona peralihan yang melebar seperti $\sqrt t$ (dengan profil pada $t_1 < t_2 < t_3$: yakni landaian yang makin datar melalui $(0, \frac12)$).

**6.** Integrannya $g_t(x-y)f(y)$ bernilai $\geq 0$ dan kernelnya positif sejati: sehingga $u(t,x) = 0$ akan memaksa $f = 0$ hampir di mana-mana. Sedangkan kemonotonan terhadap $f$ adalah kemonotonan integralnya. Sebuah titik yang $f = 0$-nya pada sebuah selang tetap mempunyai $u(t, \cdot) > 0$ di sana untuk setiap $t > 0$: sehingga panas merambat dengan laju tak berhingga (sebab kepositifan di mana pun terasa di mana-mana seketika).

**7.** Lewat Tonelli (sebab $g_t(x-y)\abs{f(y)}$ [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) pada $\R^2$): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x -
y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$.

**8.** Lewat Plancherel: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 =
\int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, yang tak naik terhadap $t$ (secara titik demi titik), dan sejati kecuali $\hat f = 0$ hampir di mana-mana (yakni $= f =
0$), dengan limit $0$ saat $t\to\infty$ lewat kekonvergenan terdominasi. Dan $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 =
\frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$.

**9.** Untuk $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$, $t \mapsto
\langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ bersifat $\mathcal C^1$ dengan turunan $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle =
\langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle =
\langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — lebih tepatnya, $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ memindahkan persamaannya. Lalu untuk hampir setiap $\xi$, fungsi $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mutlak berturunan $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ dalam arti [terintegralkannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1): sehingga ia konstan, dan dengan membiarkan $t \to 0$ (sebab $\hat u(t) \to \hat f$ di $L^2$, jadi hampir di mana-mana sepanjang sebuah subbarisan): $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ hampir di mana-mana. Jadi dua solusi pada kelas itu bertransformasi sama: sehingga keduanya sama.

**10.** Bahwa $f = g_s * h$ dengan $h \in L^2$ memaksa $\hat f =
\eu^{-s\xi^2}\hat h$, yakni $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in
L^2$. Ambillah $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$: maka $f(x) =
\frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ ([Latihan 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1), lewat pembalikan), yakni fungsi $L^2$ yang mulus [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect); padahal $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to
\infty$: sehingga $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ untuk setiap $s > 0$. Jadi profil Cauchynya *tak pernah* merupakan hasil difusi sebelumnya.

**11.** Semigrup panasnya mengalikan transformasinya dengan $\eu^{-t\xi^2}$, yang tak lenyap di mana pun: jadi injektif — sehingga secara formal tak ada keterangan yang dimusnahkan. Tetapi jangkauannya terdiri atas fungsi yang transformasinya meluruh seperti $\eu^{-t\xi^2}$: yakni subruang $L^2$ yang mungil, padat, tetapi sejati (sebab pertanyaan 10 menunjukkan bahwa fungsi yang sangat baik pun terletak di luarnya). Membalikkannya akan menguatkan frekuensi $\xi$ dengan $\eu^{t\xi^2}$: yang tak terbatas, sehingga tak stabil terhadap gangguan apa pun. Jadi difusinya tak terbalikkan bukan karena pemetaannya lupa, melainkan karena balikannya tak dapat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) — yakni anak panah waktu yang terbuat dari analisis fungsional.

**12.** Berlaku $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)
\subseteq L^1$ (lewat Cauchy–Schwarz pada selang terbatas), sehingga $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ terdefinisi di mana-mana, dan pendiferensialan di bawah integralnya (yang terdominasi oleh $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ pada pitanya) membuatnya $\mathcal C^\infty$ dengan $\abs{F^{(k)}} \leq
\frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ di mana-mana. Dan $F
= f$ hampir di mana-mana: sebab kedua ruasnya bertransformasi sama, dan transformasinya injektif pada $L^2$ ([Teorema 14.8](#thm-b3-fouriertransform-plancherel) beserta perluasan $L^2$-nya).

**13.** Eksponensial $\xi \mapsto \eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}$ dengan $n \in \Z$ membentuk [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ ([Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier), yang diskalakan ulang). Koefisien $\hat f$ sepanjang yang ke-$n$ adalah

$$
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi
= \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot
\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),
$$

menurut rumus pertanyaan 12 di $x = \frac{n\pi}\Omega$: sehingga uraian yang dinyatakan itu berlaku di $L^2$ pitanya.

**14.** Sisipkan uraiannya ke dalam rumus pembalikan pertanyaan 12; sedangkan penukaran jumlah dan integralnya adalah [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pemasangan $L^2$ terhadap $\frac1{2\pi}
\eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (yang bernorma-$L^2$ $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$ dan tak bergantung pada $x$ — sehingga keseragamannya):

$$
f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)
\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),
$$

sebab $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu
u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$.

**15.** Dengan membaca perhitungan pertanyaan 14 secara mundur, transformasi $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot -
n\pi)$ adalah $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$. Lalu Plancherel:

$$
\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi}
\Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi =
\frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :
$$

yakni keluarga ortogonal yang bernorma tetap $\sqrt{\pi/\Omega}$. Lalu dengan mengambil norma pada uraian pertanyaan 14: $\norm f_2^2 =
\frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$.

**16.** Fungsi $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}
(\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ lenyap di setiap titik kisi $\frac{n\pi}\Omega$ (termasuk $0$, lewat limitnya) dan tak identik nol. Untuk pitanya: tulislah $g =
\frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega
x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$; sebab modulasi oleh $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ menggeser transformasinya sejauh $\mp\Omega$, sehingga $\hat g$ berpendukung di $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (sungguh di gabungan dua pita yang tergeser): jadi $g \in PW_{2\Omega}$, yang tak terlihat oleh pencuplikan berlaju-$\Omega$ — yakni pelipatan spektrum yang menjelma.

**17.** Menurut pertanyaan 15 cuplikannya membawa energinya secara demokratis: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$. Jika energi sinyalnya di luar jendela waktu $\intcc{-T/2}{T/2}$ bernilai $\leq \varepsilon^2\norm
f^2$, maka cuplikan di luar jendelanya memenuhi (sampai suku batas yang dikendalikan batas seragam pertanyaan 12) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x >
T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$: sehingga memancung deret pencuplikannya menjadi $\approx \frac{\Omega T}\pi$ indeks di dalam jendelanya merekonstruksi $f$ sampai galat nisbi $\approx\varepsilon$. Karena itu hasil kali waktu dan lebar pita $\frac{\Omega T}{\pi}$ mencacah derajat kebebasan real efektif sinyalnya — yakni kaidah di balik setiap format audio.

**18.** (a) Fungsi $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ bercuplikan $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) =
\delta_{n0}$: sehingga deretnya menyusut ke suku $n = 0$-nya, yakni $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — jadi teoremanya mereproduksi kernelnya sendiri. (b) Jika $\hat f$ berpendukung di $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq
\intcc{-\Omega}\Omega$, maka setiap langkah pertanyaan 13–14 berjalan kata demi kata dengan pita $\Omega$ yang lebih besar (sebab uraian $\hat f$ pada selang yang lebih besar tetap sah): sehingga mencuplik lebih cepat daripada laju Nyquistnya sendiri tak mengubah apa pun pada rekonstruksinya — jadi pencuplikan berlebih tak berbahaya, dan pada praktiknya bermanfaat (sebab kernel rekonstruksi yang meluruh lebih cepat lalu dapat dipakai).

**19.** Uraikan $\eu^{-\iu\xi x} =
\sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ di dalam integralnya; lalu pada $\intcc{-A}A$ deretnya konvergen secara normal (sebab $\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$), sehingga pengintegralan suku demi suku bersifat sah:

$$
\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k,
\qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .
$$

Batas itu membuat deretnya konvergen untuk setiap $\xi$ yang kompleks; lalu di sekitar sembarang titik $\xi_0$, pengelompokan ulangnya (lewat kekonvergenan mutlaknya) memberikan deret pangkat dalam $\xi - \xi_0$: sehingga $\hat f$ bersifat analitik real dengan jari-jari tak berhingga di mana-mana.

**20.** Misalkan $g$ analitik real pada $\R$ (yakni deret Taylornya konvergen ke $g$ di dekat setiap titik) dan $Z = \{\xi :
g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$. Maka $Z$ tertutup (sebab irisan himpunan tertutup); dan ia terbuka, sebab di $\xi_0 \in Z$ uraian Taylor lokal $g$ adalah deret nol, sehingga $g$ lenyap secara identik di dekat $\xi_0$, beserta semua turunannya. Jika $g$ lenyap pada sebuah selang, maka $Z \neq \varnothing$; lalu menurut keterhubungan $\R$, $Z = \R$: sehingga $g \equiv 0$. Kini jika $f
\neq 0$ berpendukung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) bersama $\hat f$: maka pertanyaan 19 membuat $\hat f$ analitik real, yang lenyap di luar sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), jadi pada selang: sehingga $\hat f \equiv 0$, jadi $f = 0$ hampir di mana-mana lewat keinjektifannya — yang bertentangan. Demikian pula $f \in
PW_\Omega$ yang tak nol tak dapat berpendukung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) (dengan menukar peran $f$ dan $\hat f$ lewat pembalikannya): sehingga sinyal terbatas pita tak pernah mati, dan sinyal terbatas waktu menempati spektrum yang tak terbatas.

**21.** Untuk $f = \eu^{-ax^2}$: $\norm f_2^2 =
\sqrt{\frac\pi{2a}}$ dan $\int x^2\abs f^2 =
\frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (lewat momen kedua Gaussnya); sedangkan $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ ([Contoh 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian)) dan

$$
\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi =
\frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2
\eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a}
= \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .
$$

Hasil kali ternormalkannya: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot
\frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$, yang tak bergantung pada $a$. Penskalaannya menerangkan ketetapannya: sebab mengganti $f$ dengan $f(\lambda\cdot)$ mengalikan $\int x^2\abs f^2/\norm
f^2$ dengan $\lambda^{-2}$ dan $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat
f}^2/\norm f^2$ dengan $\lambda^{2}$: sehingga hasil kalinya invarian terhadap pendilatan, dan fungsi Gaussnya membentuk satu [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) pendilatan.

**22.** Dengan $\abs f^2$ sebagai [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) posisi dan $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) momentum sebuah keadaan kuantum (sedangkan satuan fisikanya menyisipkan $\hbar$), [Latihan 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) berbunyi $\sigma_x\sigma_p
\geq \frac\hbar2$: sehingga tak ada keadaan yang tajam pada kedua teramatnya. Di sepanjang bab ini, satu hukum mengenakan lima jubah: panas seketika memuluskan sebab $\eu^{-t\xi^2}$ memusnahkan frekuensi tinggi (Bagian II); alirannya tak dapat berjalan mundur sebab memulihkannya bersifat tak terbatas (Bagian IV); sinyal terbatas pita cukup kaku untuk hidup pada kisi terbilang (Bagian V); tak ada fungsi yang mengalahkan lantai Heisenberg; dan tak ada fungsi yang berpendukung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) pada kedua sisi transformasinya (pertanyaan 19–20). Jadi apa yang dilakukan $\hat f$ di tak hingga mengatur apa yang boleh dilakukan $f$ di mana pun.

**23.** Baik $g_t$ maupun $g_s$ berada di $L^1$ dengan $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (lewat perhitungan pertanyaan 1), sehingga teorema konvolusinya memberikan $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$; dan dua fungsi $L^1$ yang bertransformasi sama bersesuaian hampir di mana-mana (lewat keinjektifannya, yaitu lewat teorema pembalikannya — dan di sini kedua ruasnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), sehingga keduanya bersesuaian di mana-mana): jadi $g_t * g_s = g_{t+s}$. Karena itu $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (lewat keasosiatifan konvolusinya dan Tonelli). Untuk kelog-cembungannya: misalkan $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (lewat Plancherel, pertanyaan 8). Untuk $t = \frac{t_1 + t_2}2$, tulislah

$$
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2
= \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},
$$

lalu Cauchy–Schwarz memberikan $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq
\sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$: sehingga $\ln N$ cembung di titik tengahnya, dan karena [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (lewat kekonvergenan terdominasi terhadap $t$), ia cembung; jadi demikian pula $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$. Yakni peluruhan berlogaritma cembung: sehingga aliran panasnya tak dapat kehilangan energi dalam satu ledakan lalu mandek.

**24.** Momen kernelnya: $\int g_t = 1$ (lewat pertanyaan 7 dengan $f = g_s$, atau langsung lewat integral Gaussnya), $\int
x\,g_t(x)\dd x = 0$ (sebab integrannya gasal), dan, dengan menyubstitusikan $x =
2\sqrt t\,v$,

$$
\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x
= \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .
$$

Lalu dengan menyubstitusikan $x = z + y$ pada konvolusinya dan mengamati bahwa $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (sebab masing-masing $\int\abs z^kg_t$ dan $\int\abs y^kf$ berhingga untuk $k
\leq 2$, dengan memakai $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$), Fubini dan Tonelli berlaku bagi integral momen di bawah ini:

$$
\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd
y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,
$$

yakni klaim pertamanya; dan

$$
\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y
= 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,
$$

yakni yang kedua. Jadi meannya menjumlah, ragamnya menjumlah, dan kernelnya menyumbang mean $0$ serta ragam $2t$: sehingga setelah waktu $t$ panasnya telah menyebar selebar orde $\sqrt{2t}$ — yakni jarak tumbuh seperti akar kuadrat waktunya, yaitu tanda tangan difusinya (dan [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) Brown pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ch-b3-probability)).

**25.** Pada sisi transformasinya: $\hat f(\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$, sehingga $\hat u(t,\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$, yang merupakan transformasi $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (lewat kamus Gaussnya $\eu^{-ax^2} \mapsto
\sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ dengan $a = \frac1{1+4t}$): yakni bentuk tertutupnya. Untuk pemeriksaan langsungnya, dengan $\sigma = 1 + 4t$:

$$
\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma}
\Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr)
= \partial^2_{xx}u ,
$$

dengan kedua ruasnya dihitung dari $\partial_xu =
-\frac{2x}\sigma\,u$. Untuk kekekalannya: $\int u(t) =
\sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ untuk setiap $t$. Untuk pelesapannya:

$$
\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x
= \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2}
= \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},
$$

sehingga $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$, yang tak naik dengan logaritma yang cembung (pertanyaan 23); dan norma $L^2$-nya meluruh seperti $t^{-1/4}$, tepat separuh eksponen $t^{-1/2}$ milik $\norm{u(t)}_\infty$ — yang konsisten dengan $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ dan kekekalan $\norm u_1$. Untuk ragamnya: $\int x^2u(t) =
\frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 =
\frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$, seperti yang diramalkan pertanyaan 24 (sebab $\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$ dan $\int
f = \sqrt\pi$). Pada $t = 6$: $\sigma = 25$, dengan tinggi puncak $u(6, 0) = \frac15$ terhadap $u(0,0) = 1$, skala lebarnya $\sqrt\sigma = 5$ kali skala awalnya, dan $\int u =
\sqrt\pi \approx 1.7725$ sepanjang waktu: sehingga bercaknya lima kali lebih rendah, lima kali lebih lebar, dan tak sekalori pun hilang.