---
title: "Operator Kompak dan Teorema Spektral"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/15-operator-kompak-dan-teorema-spektral
---

# Bab 15 — Operator Kompak dan Teorema Spektral

Pendiagonalan adalah permata mahkota aljabar linear berdimensi berhingga: sebab matriks setangkup mempunyai basis ortonormal berisi vektor eigen. Dalam dimensi tak berhingga hal ini gagal bagi [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) terbatas pada umumnya — sebab perkalian dengan $x$ pada $L^2(\intcc01)$ sama sekali *tak* bernilai eigen ([Latihan 15.6](#exo-b3-spectral-6)) — tetapi ia bertahan, dalam bentuk yang [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect), bagi operator yang *hampir berdimensi berhingga*: yakni yang [kompak](#def-b3-spectral-compact). Teorema spektral bagi [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) merupakan teorema yang paling banyak dipakai dalam analisis fungsional terapan: ia mendiagonalkan persamaan integral, menggerakkan [alternatif Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm), dan (pada soal akhir pekannya) menyelesaikan dawai yang bergetar, sambil menghasilkan basis sinus analisis Fourier dari teori operator belaka — dengan $\zeta(2) =
\frac{\pi^2}6$ milik Euler yang jatuh dari sebuah rumus trace sebagai hadiah perpisahan. Sepanjang bab ini, $H$ adalah [ruang Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner) atas $\C$ (atau $\R$; pernyataannya menyesuaikan), dan operatornya terbatas.

## 15.1 Operator kompak

**Definisi 15.1.**

Sebuah $T \in \mathcal L(E, F)$ (dengan $E, F$ Banach) disebut *kompak* jika peta $T(B)$ atas bola satuannya bersifat kompak relatif di $F$ — setara dengan itu, setiap barisan terbatas $(x_n)$ mempunyai subbarisan yang $(Tx_{n_k})$-nya konvergen. Operator rank berhingga bersifat kompak (sebab himpunan terbatas dalam dimensi berhingga); sedangkan identitas ruang berdimensi tak berhingga tak pernah demikian (menurut teorema Riesz, Tahun ke-2).

**Proposisi 15.2.**

[Operator kompaknya](#def-b3-spectral-compact) $\mathcal K(E, F)$ membentuk subruang tertutup $\mathcal L(E, F)$, sekaligus [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) dua sisi: yakni $S$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) $\Rightarrow$ $AS$ dan $SB$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) untuk $A, B$ yang terbatas. Lebih lanjut, pada [ruang Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner), setiap [operator kompak](#def-b3-spectral-compact) merupakan limit [norma operator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator) rank berhingga.

**Bukti.** Subruangnya: jelas dari pencirian barisannya. [Idealnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal): sebab pemetaan terbatas mengirim barisan konvergen ke barisan konvergen dan yang terbatas ke yang terbatas. Ketertutupannya: misalkan $T_n \to T$ dengan $T_n$ [kompak](#def-b3-spectral-compact), dan $(x_k)$ terbatas oleh $1$; maka pemetikan diagonal membuat $(T_nx_{k_j})_j$ konvergen untuk setiap $n$; lalu $(Tx_{k_j})$ bersifat Cauchy, sebab

$$
\norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} +
\norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} ,
$$

dengan memilih $n$ lebih dahulu lalu indeksnya. Untuk penghampiran pada [ruang Hilbertnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner): misalkan $T$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan $K = \overline{T(B)}$ [kompak](#def-b3-spectral-compact); lalu diberikan $\varepsilon$, selimuti $K$ oleh berhingga banyak bola $B(y_i, \varepsilon)$ dan misalkan $P$ proyeksi ortogonal ke $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (yang tertutup sebab berdimensi berhingga). Maka $PT$ mempunyai rank berhingga, dan untuk $\norm x \leq 1$: dengan memilih $y_i$ yang $\norm{Tx - y_i} <
\varepsilon$,

$$
\norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)}
\leq 2\varepsilon
$$

(sebab $y_i = Py_i$ dan $\vertiii P \leq 1$): sehingga $\vertiii{T - PT} \leq
2\varepsilon$. ∎

**Contoh 15.3.**

(a) Operator diagonal pada $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ bersifat [kompak](#def-b3-spectral-compact) jika dan hanya jika $\lambda_n \to 0$ ([Latihan 15.2](#exo-b3-spectral-2)). (b) Operator kernel pada $\mathcal C(\intcc01)$: [kompak](#def-b3-spectral-compact) menurut Ascoli ([Latihan 7.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7)). (c) *Operator Hilbert–Schmidt*: untuk $k \in L^2(\intcc01^2)$,

$$
(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y
$$

mendefinisikan [operator kompak](#def-b3-spectral-compact) pada $L^2(\intcc01)$ dengan $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ ([Latihan 15.4](#exo-b3-spectral-4): sebab memancung uraian basis $k$ menampilkan $T_k$ sebagai limit operator rank berhingga).

## 15.2 Operator swa-adjoin

**Definisi 15.4.**

Sebuah $T \in \mathcal L(H)$ disebut *swa-adjoin* jika $T = T^*$ ([Latihan 13.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#exo-b3-hilbert-8)), yakni $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ untuk setiap $x, y$. Maka $\langle x, Tx\rangle \in \R$ untuk setiap $x$ (sebab ia sama dengan konjugatnya).

**Proposisi 15.5.**

Untuk $T$ yang [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint):

$$
\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x,
Tx\rangle} .
$$

Nilai eigen $T$ bersifat real, dan vektor eigen bagi nilai eigen yang berbeda saling ortogonal.

**Bukti.** Misalkan $M$ supremumnya; maka $M \leq \vertiii T$ menurut Cauchy–Schwarz. Sebaliknya, identitas bertipe polarisasi

$$
\langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y,
T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle
$$

(uraikanlah; sebab suku silangnya $\langle y, Tx\rangle + \langle x,
Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ menurut [keswa-adjoinannya](#def-b3-spectral-selfadjoint)) memberikan, bersama hukum jajaran genjangnya,

$$
4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq
M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm
x^2 + \norm y^2\bigr).
$$

Lalu untuk $\norm x = 1$ dengan $Tx \neq 0$, ambillah $y = Tx/\norm{Tx}$: sehingga $4\norm{Tx} \leq 4M$. Jadi $\vertiii T \leq M$. Untuk nilai eigennya: $Tx = \lambda x$ dengan $x \ne 0$ memberikan $\lambda\norm x^2 = \langle
x, Tx\rangle \in \R$. Untuk keortogonalannya: $\lambda\langle x,
y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle =
\mu\langle x, y\rangle$ dengan $\lambda \neq \mu$ yang real. ∎

## 15.3 Teorema spektralnya

**Lema 15.6 (Keberadaan sebuah nilai eigen ekstrem).**

Misalkan $T \neq 0$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint). Maka $\vertiii T$ atau $-\vertiii T$ merupakan nilai eigen $T$.

**Bukti.** Menurut [Proposisi 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm), pilihlah vektor satuan $x_n$ dengan $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$, dengan $\abs\mu =
\vertiii T > 0$ (lalu beralihlah ke subbarisan untuk menetapkan tandanya). Maka

$$
\norm{Tx_n - \mu x_n}^2
= \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2
\leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2
\longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 .
$$

Lewat kekompakannya, sebuah subbarisan $Tx_{n_k} \to y$; lalu $\mu
x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$, sehingga $x_{n_k} \to x = y/\mu$, yakni sebuah vektor satuan, dan [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) memberikan $Tx = \mu x$. ∎

**Teorema 15.7 (Teorema spektral bagi operator swa-adjoin kompak).**

Misalkan $T$ [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) pada [ruang Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$.

1. $H$ memiliki sistem ortonormal $(e_n)_{n \in N}$ ($N$ berhingga atau terbilang) berisi vektor eigen $T$, dengan nilai eigen $(\lambda_n)$ yang real dan tak nol, sedemikian sehingga $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\,  e_n \qquad (x \in H),$$ dan $H = \ker T \,\oplus^\perp\,  \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$.
2. Jika $N$ tak berhingga, maka $\lambda_n \to 0$ ; lalu untuk setiap $\delta > 0$ hanya berhingga banyak $n$ yang mempunyai $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , dan setiap ruang eigen $\ker(T - \lambda)$ dengan $\lambda \neq 0$ berdimensi berhingga.
3. Melengkapkan $(e_n)$ dengan sebuah basis ortonormal $\ker T$ melahirkan, bila $H$ terpisahkan, sebuah basis ortonormal $H$ yang terbuat dari vektor eigen: sehingga $T$ terdiagonalkan.

**Bukti.** (2) lebih dahulu. Seandainya tak berhingga banyak vektor eigen ortonormal $x_k$ mempunyai $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$: maka $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 =
\lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (menurut keortogonalannya dan Pythagoras): sehingga tak ada subbarisan $(Tx_k)$ yang konvergen, yang bertentangan dengan kekompakan $T$ pada $(x_k)$ yang terbatas. Ini membatasi, untuk setiap $\delta$, kelipatan total nilai eigen di luar $\intoo{-\delta}\delta$ oleh sebuah bilangan berhingga; sehingga keterbilangannya dan $\lambda_n \to 0$ menyusul.

(1) Misalkan $H_0$ rentang tertutup atas *semua* vektor eigen bernilai eigen tak nol, yang ditata (menurut (2) dan Gram–Schmidt di dalam setiap ruang eigen berdimensi berhingga, dengan keortogonalan antarruang eigennya dari [Proposisi 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)) menjadi sistem ortonormal $(e_n)$ bernilai eigen $\lambda_n \neq 0$. Lalu $T$ memetakan $H_0$ ke $H_0$, dan juga $H_0^\perp$ ke $H_0^\perp$: sebab untuk $y
\perp H_0$ dan $e$ sebuah vektor eigen, $\langle e, Ty\rangle =
\langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$. Sedangkan pembatasan $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ bersifat [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) pada [ruang Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$; dan jika $T' \neq
0$, maka [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence) menghasilkan sebuah vektor eigen $T$ bernilai eigen tak nol di dalam $H_0^\perp$ — yang mustahil, sebab vektor semacam itu tinggal di $H_0$. Jadi $T' = 0$: sehingga $H_0^\perp \subseteq \ker T$. Sebaliknya $\ker T \perp$ setiap $e_n$ (sebab $\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle
Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle =
0$): jadi $\ker T \subseteq H_0^\perp$, sehingga $\ker T =
H_0^\perp$ beserta penguraian ortogonalnya. Untuk uraiannya: bagi $x = z + \sum_nc_ne_n$ (dengan $z \in \ker T$ dan $c_n = \langle
e_n, x\rangle$; [Teorema 13.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(1) pada $H_0$), [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $T$ memberikan $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$.

(3) Ruang $\ker T$, sebagai subruang tertutup ruang yang terpisahkan, bersifat terpisahkan: sehingga ia mempunyai basis ortonormal ([Proposisi 13.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#prop-b3-hilbert-gramschmidt)); dan gabungannya merupakan basis ortonormal $H$ menurut penguraian pada (1). ∎

**Teorema 15.8 (Alternatif Fredholm).**

Misalkan $T$ [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan $\lambda \in \R\setminus
\{0\}$.

1. Jika $\lambda$ bukan nilai eigen, maka $T - \lambda I$ bersifat bijektif dengan balikan terbatas: sehingga untuk setiap $f$ , persamaan $Tx - \lambda x = f$ mempunyai tepat satu solusi, yang bergantung [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $f$ .
2. Jika $\lambda$ merupakan nilai eigen, maka $Tx - \lambda x = f$ [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) jika dan hanya jika $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , dan solusinya tunggal sampai kernel (berdimensi berhingga) itu.

**Bukti.** Uraikan $x = z + \sum c_ne_n$ dan $f = w + \sum d_ne_n$ sepanjang [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) (dengan $z, w \in \ker T$). Maka persamaannya berbunyi

$$
-\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\
(n \in N).
$$

(1) Bila $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$: menurut (2) teorema spektralnya, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta >
0$ (sebab nilai eigennya menumpuk hanya di $0 \neq \lambda$). Lalu selesaikan: $z = -w/\lambda$ dan $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$, dengan $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$: yakni satu-satunya solusi dengan $\norm x \leq C\norm f$. (2) Bila $\lambda = \lambda_{n}$ untuk $n$ pada sebuah himpunan berhingga $F$: [keterselesaian](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ untuk $n \in F$ menuntut $d_n = 0$, yakni $f \perp e_n$ (bila $n \in F$), yakni $f
\perp \ker(T - \lambda I)$; sedangkan $c_n$ dengan $n \in F$ lalu bebas. ∎

**Contoh 15.9.**

Pada $L^2(\intcc01)$, misalkan $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: yakni [operator Hilbert–Schmidt](#ex-b3-spectral-examples) berkernel setangkup real: jadi [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint). Untuk menyelesaikan $Tf = \lambda f$: hubungan $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y +
x\int_x^1f(y)\dd y$ menunjukkan bahwa $u = Tf$ memenuhi $u'' = -f$ (lewat dua penurunan, yang sah untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dan $Tf$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) untuk $f \in L^2$: lewat kekonvergenan terdominasi), dengan $u(0)
= 0$ dan $u'(1) = 0$. Jadi fungsi eigennya menyelesaikan $\lambda u'' =
-u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$:

$$
u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr),
\qquad
\lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2}
\quad (n \geq 0),
$$

dan teorema spektralnya menyatakan — tanpa teori Fourier apa pun — bahwa sinus ini membentuk basis ortonormal $L^2(\intcc01)$ setelah dinormalkan (sebab kernel $T$ adalah $0$: karena $Tf = 0$ memaksa, lewat kedua penurunannya, $f = 0$ hampir di mana-mana). Sedangkan soal akhir pekannya menjalankan lingkaran gagasan yang sama untuk dawai yang bergetar lalu memetik $\zeta(2)$ dari tracenya.

**Metode 15.10.**

Diberikan sebuah persamaan integral atau diferensial: (1) tuangkanlah kembali sebagai $(I - \lambda K)u = f$ atau $Ku = \lambda u$ dengan $K$ sebuah operator integral; (2) periksalah $K$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) (lewat kernel Hilbert–Schmidt atau Ascoli) dan, bila mungkin, [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) (lewat kernel real yang setangkup); (3) diagonalkanlah dengan teorema spektralnya atau panggillah [alternatif Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) untuk [keterselesaiannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived); (4) lalu bacalah keberadaan, ketunggalan, kestabilan, dan rumus deret bagi solusinya pada basis eigennya. Operator diferensial bersifat tak terbatas, tetapi *balikannya* (yakni operator Green) bersifat [kompak](#def-b3-spectral-compact): jadi balikkanlah selalu lebih dahulu.

## 15.4 Latihan

**Latihan 15.1 ★.**

(a) Tunjukkan bahwa operator terbatas yang jangkauannya berdimensi berhingga bersifat [kompak](#def-b3-spectral-compact). (b) Tunjukkan bahwa identitas sebuah ruang bernorma bersifat [kompak](#def-b3-spectral-compact) jika dan hanya jika dimensinya berhingga (menurut Riesz, Tahun ke-2). Lalu turunkan bahwa [operator kompak](#def-b3-spectral-compact) pada ruang berdimensi tak berhingga tak pernah terbalikkan dengan balikan yang terbatas.

**Solusi Latihan 15.1.**

(a) Himpunan $T(B)$ merupakan himpunan bagian terbatas dari $\operatorname{im}T$ yang berdimensi berhingga: jadi [kompak](#def-b3-spectral-compact) relatif menurut Heine–Borel ([Akibat 6.17](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#cor-b3-topology-heineborel), yang dipindahkan lewat [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) linear dengan $\R^n$). (b) Bahwa $I$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) berarti bola satuan tertutupnya [kompak](#def-b3-spectral-compact), yang menurut teorema Riesz (Tahun ke-2) terjadi tepat dalam dimensi berhingga. Jika sebuah $T$ yang [kompak](#def-b3-spectral-compact) berbalikan terbatas $T^{-1}$, maka $I = T^{-1}T$ akan [kompak](#def-b3-spectral-compact) ([Proposisi 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): yang mustahil dalam dimensi tak berhingga.

**Latihan 15.2 ★.**

Misalkan $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ pada $\ell^2$, dengan $(\lambda_n)$ yang terbatas. (a) Tunjukkan $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$. (b) Tunjukkan bahwa $T$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) jika dan hanya jika $\lambda_n \to 0$. *(Untuk $\Leftarrow$, pancunglah; sedangkan untuk $\Rightarrow$, ujilah pada $(e_n)$.)* (c) Kapankah $T$ bersifat [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint)? Lalu periksalah teorema spektralnya lewat pengamatan pada kasus itu.

**Solusi Latihan 15.2.**

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq
\sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, dengan kesamaan hampiran pada $e_n$ yang mewujudkan supremumnya. (b) ($\Leftarrow$) Pancungannya $T_N$ (yang menyimpan $n \leq N$ dan nol selebihnya) mempunyai rank berhingga dengan $\vertiii{T - T_N} =
\sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: jadi [kompak](#def-b3-spectral-compact) menurut [Proposisi 15.2](#prop-b3-spectral-ideal). ($\Rightarrow$) Jika $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ sepanjang sebuah subbarisan: maka $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 +
\abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: sehingga tak ada subbarisan $(Te_{n_k})$ yang konvergen. (c) $T^* =$ diagonal dengan $(\bar\lambda_n)$: jadi [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) jika dan hanya jika semua $\lambda_n \in \R$. Lalu basis bakunya $(e_n)$ merupakan basis ortonormal berisi vektor eigen, bernilai eigen $\lambda_n \to
0$: yakni teorema spektralnya kata demi kata.

**Latihan 15.3 ★★.**

Berikan rincian sifat [idealnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) ([Proposisi 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): bahwa jika $S$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan $A, B$ terbatas, maka $ASB$ [kompak](#def-b3-spectral-compact). Lalu turunkan bahwa jika $ST = TS = I$ untuk suatu $S$ yang terbatas, dan $\dim H = \infty$, maka $T$ tak [kompak](#def-b3-spectral-compact) — lalu damaikanlah dengan [Latihan 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b).

**Solusi Latihan 15.3.**

Misalkan $(x_n)$ terbatas. Maka $(Bx_n)$ terbatas (sebab $\vertiii B < \infty$); lalu kekompakan $S$ memetik $SBx_{n_k} \to y$; dan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $A$ memberikan $ASBx_{n_k} \to
Ay$: sehingga $ASB$ [kompak](#def-b3-spectral-compact). Jika $ST = TS = I$ dengan $T$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan $\dim H = \infty$: maka $I = ST$ akan [kompak](#def-b3-spectral-compact), yang bertentangan dengan [Latihan 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b) — yakni pernyataan yang sama dilihat dari sisi lainnya.

**Latihan 15.4 ★★.**

(Hilbert–Schmidt) Misalkan $k \in L^2(\intcc01^2)$ dan $(e_n)$ sebuah [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) $L^2(\intcc01)$. (a) Tunjukkan bahwa $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *(lewat Cauchy–Schwarz pada variabel-$y$, lalu Tonelli)*. (b) Uraikan $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ di $L^2$ pada bujur sangkarnya (benarkanlah bahwa hasil kalinya membentuk [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) di sana), lalu tunjukkan bahwa memancung jumlahnya memberikan operator rank berhingga yang konvergen ke $T_k$ dalam [norma operator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator): sehingga $T_k$ [kompak](#def-b3-spectral-compact).

**Solusi Latihan 15.4.**

(a) Lewat Cauchy–Schwarz pada $y$: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq
\bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; lalu integralkan terhadap $x$ (lewat Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)}
\norm f_2$.

(b) Keluarga $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ bersifat ortonormal di $L^2(\intcc01^2)$ (sebab Tonelli memisahkan integral rangkapnya). Untuk ketotalannya: jika $h \perp$ semua $e_{mn}$, maka untuk setiap $m$, fungsi $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd
x$ (yang berada di $L^2$ menurut Cauchy–Schwarz dan Tonelli) ortogonal terhadap setiap $\overline{e_n}$ — dan konjugatnya $(\overline{e_n})$ membentuk [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) setiap kali $(e_n)$ demikian (sebab pengonjugatan merupakan bijeksi isometrik $L^2$ yang mengawetkan keortogonalan dan ketotalan) — sehingga ia $0$ hampir di mana-mana; lalu untuk hampir setiap $y$, $h(\cdot, y) \perp$ setiap $e_m$: jadi $h(\cdot, y) = 0$ hampir di mana-mana, sehingga $h = 0$ (lewat Tonelli). Jadi $(e_{mn})$ merupakan [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb); lalu uraikan $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. Pancungannya $k_N$ (dengan indeks $\leq N$) memberikan $T_{k_N}$ yang mempunyai rank berhingga (dengan jangkauan di $\operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_N)$), dan menurut (a),

$$
\vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 :
$$

sehingga $T_k$ merupakan limit [norma operator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator) rank berhingga: jadi [kompak](#def-b3-spectral-compact) ([Proposisi 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)).

**Latihan 15.5 ★★.**

Misalkan $T$ [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) dengan $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ untuk setiap $x$ (yakni operator *positif*). (a) Tunjukkan bahwa nilai eigennya $\geq 0$ dan bahwa $\vertiii T =
\sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$. (b) Buktikan ketaksamaan Cauchy–Schwarz yang diperumum $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle
y, Ty\rangle$.

**Solusi Latihan 15.5.**

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ pada sebuah vektor eigen. Sedangkan rumusnya adalah [Proposisi 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) dengan semua nilainya $\langle x,
Tx\rangle \geq 0$: sehingga nilai mutlaknya berlebihan. (b) Pemetaan $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ merupakan bentuk seskuilinear Hermite positif (yang mungkin merosot); dan bukti Cauchy–Schwarz yang lazim (yakni menguraikan $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y,
T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ lalu mengambil diskriminannya) tak pernah memakai kedefinitannya.

**Latihan 15.6 ★★.**

Pada $L^2(\intcc01)$, misalkan $(Mf)(x) = x\,f(x)$. (a) Tunjukkan bahwa $M$ terbatas, [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint), dengan $\vertiii M =
1$, tetapi sama sekali *tak* bernilai eigen. (b) Tunjukkan bahwa $M$ tak [kompak](#def-b3-spectral-compact) *(tampilkan sebuah barisan terbatas yang petanya tak bersubbarisan konvergen, misalnya indikator ternormalkan selang yang menyusut di dekat $1$ — atau panggillah teorema spektralnya)*. (c) Di manakah bukti [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence) patah bagi $M$?

**Solusi Latihan 15.6.**

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$, dan pada $f_n = \sqrt n\,
\mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (yakni vektor satuan), $\norm{Mf_n}_2
\geq 1 - \frac1n$: sehingga $\vertiii M = 1$; dan ia [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) sebab pengalinya real. Untuk nilai eigennya: $xf(x) = \lambda f(x)$ hampir di mana-mana memaksa $f = 0$ hampir di mana-mana di luar himpunan nol $\{x = \lambda\}$: jadi $f =
0$ di $L^2$. (b) Dengan $f_n$ yang sama: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to
0$, sedangkan $f_n \rightharpoonup 0$ (sebab untuk $g \in L^2$ yang tetap, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf
1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ lewat kekonvergenan terdominasi). Jika $Mf_{n_k} \to h$ dalam norma, maka $f_{n_k} \to h$, yang memaksa $h = 0$ (lewat limit lemahnya) padahal $\norm h = 1$: jadi tak ada subbarisan yang konvergen. (c) Pada [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence), tepatnya pemetikan “$Tx_{n_k} \to y$” yang memakai kekompakannya; sedangkan untuk $M$ barisan pemberi maksimumnya memusat di dekat $x = 1$ dan petanya konvergen lemah ke $0$, tak pernah dalam norma: sehingga vektor eigen di puncak jangkauan numeriknya sekadar gagal ada.

**Latihan 15.7 ★★.**

(Volterra) Pada $L^2(\intcc01)$, misalkan $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd
y$. (a) Tunjukkan bahwa $V$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) (yakni Hilbert–Schmidt berkernel $\mathbf
1_{y < x}$) tetapi tak [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint); lalu hitunglah $V^*$. (b) Tunjukkan bahwa $V$ tak bernilai eigen tak nol. *(Dari $Vf =
\lambda f$: $f$ mempunyai wakil yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), lalu bersifat $\mathcal C^1$, dan menyelesaikan $\lambda f' = f$ dengan $f(0) = 0$.)* (c) Simpulkan bahwa kekompakan saja sama sekali tak melahirkan vektor eigen: sehingga [keswa-adjoinan](#def-b3-spectral-selfadjoint) pada [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) bersifat mendasar.

**Solusi Latihan 15.7.**

(a) $V = T_k$ dengan $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in
L^2(\intcc01^2)$: jadi [kompak](#def-b3-spectral-compact) ([Latihan 15.4](#exo-b3-spectral-4)). Adjoinnya adalah operator kernel berkernel $\overline{k(y,
x)} = \mathbf 1_{y > x}$: yakni $V^*f(x) = \int_x^1f$; sehingga $V \neq V^*$ (ujilah pada $f = \mathbf 1$). (b) Jika $Vf = \lambda f$ dengan $\lambda \ne 0$: maka $Vf$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $\intcc01$ (lewat kekonvergenan terdominasi pada $\int_0^x f$), sehingga $f
= \frac1\lambda Vf$ mempunyai wakil yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity); lalu $Vf$ bersifat $\mathcal C^1$ (menurut teorema fundamental kalkulus untuk integran [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)), sehingga $f$ bersifat $\mathcal C^1$, dan $\lambda f' = f$ dengan $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$: jadi $f =
C\eu^{x/\lambda}$ dengan $C = f(0) = 0$. (c) Jadi $V$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) tanpa nilai eigen sama sekali kecuali mungkin $0$ (sebab $Vf = 0$ memaksa $f = 0$ hampir di mana-mana lewat menurunkan integralnya — jadi bahkan $0$ pun tidak): sehingga mesin spektralnya sungguh menuntut [keswa-adjoinan](#def-b3-spectral-selfadjoint), bukan sekadar kekompakan.

**Latihan 15.8 ★★★.**

(Courant–Fischer) Misalkan $T$ [kompak](#def-b3-spectral-compact), [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint), dan *positif*, bernilai eigen $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots
> 0$ (yang berulang menurut kelipatannya, dengan vektor eigen $e_1, e_2,
\dots$). Tunjukkan bahwa:

$$
\mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\
\min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle
= \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W =
k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x,
Tx\rangle .
$$

*(Ujilah $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$; sedangkan untuk batas atasnya iriskan sembarang $V$ dengan ruang bertipe $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$: sebab pencacahan dimensinya memaksa irisan yang tak nol.)* Lalu turunkan bahwa nilai eigennya bergantung monoton pada $T$ (yakni $T \leq S
\Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$).

**Solusi Latihan 15.8.**

Tulis $x = \sum_ic_ie_i + z$ dengan $z \in \ker T$, sehingga $\langle x,
Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. *Batas bawahnya*: pada bola satuan $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_k)$, $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq
k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: sehingga maksimum atas $V$ dari minimumnya bernilai $\geq \mu_k$. *Batas atasnya*: misalkan $\dim V = k$ dan $W_k
= \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) +
\ker T$, yang berkodimensi $k - 1$ (sebab [komplemen ortogonalnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-decomposition) adalah $V_{k-1}$); maka $V \cap W_k \neq \{0\}$ (sebab pemetaan linear $V \to
H/W_k \cong V_{k-1}$ yang ranknya $\leq k - 1$ berkernel tak trivial), dan sebuah satuan $x \in V\cap W_k$ mempunyai $\langle x,
Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: sehingga minimum atas $V$ bernilai $\leq \mu_k$. Digabungkan: yakni rumus pertamanya; sedangkan yang kedua dibuktikan secara setangkup (ujilah $W = W_k$; dan untuk $W$ sembarang yang berkodimensi $k-1$, $W \cap V_k \neq 0$ memberikan sebuah vektor satuan dengan $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Untuk kemonotonannya: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x,
Sx\rangle$ secara titik demi titik berpindah lewat $\max\min$-nya.

**Latihan 15.9 ★★.**

Dengan memakai [Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) untuk $Tf(x) =
\int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ ([Contoh 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): untuk $\lambda \in \R$ yang mana persamaan integral

$$
f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x)
$$

mempunyai tepat satu solusi $f \in L^2$ untuk setiap $g \in L^2$? Apa yang terjadi pada nilai kecualiannya?

**Solusi Latihan 15.9.**

Tulis ulang $f - \lambda Tf = g$. Untuk $\lambda = 0$: $f = g$, yang selalu [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) secara tunggal. Untuk $\lambda \neq 0$: ini adalah $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$, sehingga menurut [alternatif Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) dengan nilai eigen $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ milik $T$ ([Contoh 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): [keterselesaian](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) tunggal untuk setiap $g$ jika dan hanya jika $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ untuk setiap $n$, yakni

$$
\lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2
\qquad (n = 0, 1, 2, \dots).
$$

Pada $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ yang kecualian: solusinya ada jika dan hanya jika $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, dan lalu tunggal sampai penambahan kelipatan sinus itu.

**Latihan 15.10 ★★★.**

Misalkan $S$ pergeseran pada $\ell^2$ ([Latihan 8.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#exo-b3-banach-1)). (a) Tunjukkan bahwa $S$ tak bernilai eigen, sedangkan setiap $\lambda$ dengan $\abs\lambda < 1$ merupakan nilai eigen $S^*$ (carilah vektor eigennya secara eksplisit, yakni barisan geometri). (b) Baik $S$ maupun $S^*$ tak [kompak](#def-b3-spectral-compact): periksalah lewat pengujian bergaya [Latihan 15.2](#exo-b3-spectral-2) pada $(e_n)$. (c) Berkomentarlah: bahwa bagi operator yang tak [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) dan tak [kompak](#def-b3-spectral-compact), lanskap nilai eigennya dapat berupa apa saja dari kosong sampai sebuah cakram penuh — sedangkan gagasan yang bertahan adalah *spektrumnya*, yang dipelajari pada kuliah berikutnya.

**Solusi Latihan 15.10.**

(a) $Sx = \lambda x$: dengan membandingkan koordinatnya, $0 = \lambda
x_1$ dan $x_n = \lambda x_{n+1}$; lalu jika $\lambda \ne 0$ maka $x_1 = 0$ dan secara induktif $x = 0$; sedangkan jika $\lambda = 0$, $Sx = 0$ memaksa $x = 0$ (sebab $S$ isometrik). Jadi tak ada nilai eigen. Sedangkan $S^*x =
\lambda x$ berbunyi $x_{n+1} = \lambda x_n$: sehingga $x =
x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, yang berada di $\ell^2$ tepat bila $\abs\lambda < 1$: yakni satu cakram terbuka penuh berisi nilai eigen. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: sehingga peta $(e_n)$ yang terbatas tak bersubbarisan Cauchy; dan demikian pula $S^*e_{n+1} = e_n$. Jadi keduanya tak [kompak](#def-b3-spectral-compact). (c) Bagi [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact), nilai eigennya menangkap segalanya ([Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)); sedangkan dengan membuang salah satu hipotesisnya, nilai eigennya dapat lenyap sama sekali ($S$, Volterra) atau memenuhi sebuah cakram ($S^*$): sehingga objek yang tegar adalah spektrum $\{\lambda : T - \lambda I \text{ tak terbalikkan}\}$, yang teorinya termasuk kuliah berikutnya.

**Latihan 15.11 ★★.**

(Akar kuadrat) Misalkan $T$ [kompak](#def-b3-spectral-compact), [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint), dan positif (yakni $\langle x, Tx\rangle \geq 0$) pada [ruang Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$, dengan penguraian spektral $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n,
x\rangle e_n$ (dengan $\mu_n > 0$). (a) Definisikan $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle
e_n$; lalu tunjukkan bahwa $S$ [kompak](#def-b3-spectral-compact), [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint), positif, dengan $S^2
= T$. (b) Buktikan ketunggalannya: bahwa sembarang $R$ yang [kompak](#def-b3-spectral-compact), positif, dan [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) dengan $R^2 = T$ mengawetkan ruang eigen $T$ *(sebab $RT = R^3 = TR$: sehingga $R$ komutatif dengan $T$, jadi $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)*, dan pada $\ker(T - \mu)$, $R$ merupakan operator positif yang berkuadrat $\mu\,\mathrm{id}$ pada ruang berdimensi berhingga: diagonalkanlah ia di sana lalu simpulkan $R =
\sqrt\mu\,\mathrm{id}$ pada setiap ruang eigennya, sehingga $R = S$. (c) Hitunglah $\sqrt G$ untuk operator dawai $G$ pada [Soal 15.1](#pb-b3-spectral-1): kernel mana yang bernilai eigen $\frac1{n\pi}$ pada basis sinusnya? (Nyatakanlah $\sqrt G$ sebagai limit-$L^2$ kernelnya; tanpa perlu bentuk tertutup.)

**Solusi Latihan 15.11.**

(a) $S$ merupakan operator diagonal berkoefisien $\sqrt{\mu_n} \to 0$: jadi [kompak](#def-b3-spectral-compact) ([Latihan 15.2](#exo-b3-spectral-2)(b), yang dipindahkan ke basis $(e_n)$ yang dilengkapkan oleh $\ker T$, tempat $S = 0$), [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) (sebab diagonalnya real), positif (sebab $\langle x, Sx\rangle =
\sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$), dengan $S^2 =
T$ suku demi suku.

(b) Operator $R$ komutatif dengan $T = R^2$; lalu untuk sebuah vektor eigen $x$ milik $T$ bernilai eigen $\mu$: $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, sehingga ruang eigen berdimensi berhingga $E_\mu = \ker(T - \mu)$ bersifat stabil-$R$. Pada $E_\mu$, $R$ bersifat setangkup positif dengan $R^2
= \mu\,\mathrm{id}$: sehingga nilai eigennya $\rho$ memenuhi $\rho^2
= \mu$ dengan $\rho \geq 0$: jadi semuanya sama dengan $\sqrt\mu$, dan operator terdiagonalkan yang bernilai eigen tunggal bersifat skalar: sehingga $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ pada $E_\mu$. Sedangkan pada $\ker T$: $\norm
{Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Jadi $R$ bersesuaian dengan $S$ pada $\ker T$ dan pada setiap ruang eigennya, yang rentang tertutupnya adalah $H$ (menurut teorema spektralnya): sehingga $R = S$.

(c) Operator $\sqrt G$ bekerja sebagai $\frac1{n\pi}$ pada $e_n =
\sqrt2\sin(n\pi x)$: yakni operator kernel dengan

$$
k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi
y)}{n\pi},
$$

dengan deretnya konvergen di $L^2(\intcc01^2)$ (sebab koefisiennya $\frac1{n\pi} \in \ell^2$; dan kernel jumlah parsialnya memberikan hampiran rank berhingga). Jadi tak diperlukan bentuk tertutup dasar: sebab sisi spektralnya *adalah* operatornya.

**Latihan 15.12 ★★★.**

(Penguraian nilai singular) Misalkan $T \in \mathcal L(H)$ *[kompak](#def-b3-spectral-compact)*, yang tak harus [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint). (a) Tunjukkan bahwa $T^*T$ [kompak](#def-b3-spectral-compact), [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint), dan positif; lalu misalkan $(e_n)$ keluarga ortonormal berisi vektor eigen dengan $T^*Te_n = s_n^2e_n$ dan $s_n > 0$ (yakni *nilai singularnya*), yang dilengkapkan oleh $\ker(T^*T) = \ker T$ (buktikanlah kesamaan ini). (b) Tetapkan $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$; lalu tunjukkan bahwa $(f_n)$ ortonormal, dan tegakkanlah *penguraian nilai singularnya*:

$$
Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n
\qquad (x \in H),
$$

dengan kekonvergenan di $H$. (c) Turunkan: bahwa $\vertiii T = \max_ns_n$; bahwa $T$ merupakan limit [norma operator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator) rank berhingga (yang membuktikan kembali konvers [Proposisi 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) bagi [ruang Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-inner)); dan untuk operator Volterra $V$ pada [Latihan 15.7](#exo-b3-spectral-7), yang tak bernilai eigen, terangkanlah mengapa penguraian nilai singularnya tetap ada dan apa saja bahannya (kenalilah $V^*V$ sebagai operator kernel bertipe dawai — sedangkan menghitung nilai eigennya secara eksplisit adalah wilayah [Latihan 15.9](#exo-b3-spectral-9)).

**Solusi Latihan 15.12.**

(a) $T^*T$ bersifat [kompak](#def-b3-spectral-compact) (sebab hasil kali operator terbatas dengan [operator kompak](#def-b3-spectral-compact), [Latihan 15.3](#exo-b3-spectral-3)), [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) (sebab $(T^*T)^* = T^*T$), dan positif (sebab $\langle x, T^*Tx\rangle =
\norm{Tx}^2$). Untuk kernelnya: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 =
\langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$, dan sebaliknya: sehingga $\ker T^*T = \ker T$. Lalu teorema spektralnya menyediakan $(e_n)$ yang ortonormal dengan $T^*Te_n = s_n^2e_n$ dan $s_n > 0$, yang merentang $(\ker T)^\perp$.

(b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m,
Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m,
T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} =
\delta_{mn}$. Lalu uraikan $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle
e_n$ dengan $x_0 \in \ker T$ (lewat [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pada rentang tertutupnya ditambah kernelnya); lalu dengan menerapkan $T$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity):

$$
Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n =
\sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n,
$$

dengan deretnya konvergen sebab jumlah parsialnya Cauchy (karena $\norm{\sum_{N<n\leq M}s_n\langle e_n, x\rangle f_n}^2 =
\sum s_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$, yang terdominasi oleh $\sup_{n>N}s_n^2\cdot\norm x^2$, dan $s_n \to 0$).

(c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2
\leq (\max s_n)^2\norm x^2$, yang tercapai pada $e_n$ pemberi maksimumnya: sehingga $\vertiii T = \max s_n$. Lalu memancung penguraiannya pada rank $N$ menyisakan operator bernorma $\sup_{n>N}s_n \to 0$: yakni hampiran rank berhingga. Sedangkan operator Volterra sama sekali tak bernilai eigen ([Latihan 15.7](#exo-b3-spectral-7)), tetapi $V^*V$ demikian: sebab $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ merupakan operator kernel setangkup positif (berkernel $1 - \max(x,y)$, yakni kernel Green bertipe dawai), yang pasangan eigennya — yang dihitung lewat soal nilai batas $-u'' = \lambda^{-1}u$ dengan $u'(0)
= u(1) = 0$, yakni keluarga [Latihan 15.9](#exo-b3-spectral-9) — memberikan nilai singular $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$. Jadi penguraian nilai singularnya hidup pada *dua* keluarga ortonormal justru karena $V$ memutar geometri eigennya menjauh: sehingga tanpa vektor eigen, namun berstruktur diagonal [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) antara dua basis yang berbeda.

## 15.5 Soal: dawai yang bergetar dan $\zeta(2)$

**Soal 15.1.**

Soal akhir pekan — operator Green, basis sinus, dan sebuah rumus trace

Kita menyelesaikan soal nilai eigen dawai yang bergetar dengan ujung tetap — yakni $-u'' = \nu u$, $u(0) = u(1) = 0$ — lewat teori operator, memperoleh basis ortonormal sinusnya tanpa perhitungan Fourier apa pun, lalu menilaikan $\zeta(2)$ dengan membandingkan dua ungkapan bagi *trace* operator Greennya. Definisikan, pada $L^2(\intcc01)$,

$$
(Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y,
\qquad
g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr).
$$

**Bagian I — Operator Greennya.**

1. Tunjukkan bahwa $g$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) , setangkup, dengan $0 \leq g  \leq \frac14$ , dan bahwa $G$ bersifat [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) ( [Contoh 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (c)).
2. Untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), tunjukkan bahwa $u = Gf$ bersifat $\mathcal  C^2$ dengan $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ *(tulislah $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y +  x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ lalu turunkan dua kali)*. Sebaliknya, jika $u \in \mathcal C^2$ dengan $u(0) = u(1)  = 0$, maka $G(-u'') = u$: sehingga $G$ membalikkan operator dawainya.
3. Tunjukkan $\ker G = \{0\}$ *(sebab jika $Gf = 0$ dengan $f \in  L^2$: ujilah terhadap $\varphi$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), pindahkan $G$ lewat kesetangkupan/Fubini ke $\varphi$, lalu pakailah lema fundamental [Akibat 12.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#cor-b3-lp-fundlemma) — atau regularkanlah)* , dan bahwa $G$ merupakan operator positif: yakni $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . *(Untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ dengan $u  = Gf$, lewat pengintegralan parsial; lalu simpulkan lewat [kepadatannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma).)*

**Bagian II — Pendiagonalannya: basis sinusnya.**

4. Tunjukkan bahwa fungsi eigen $G$ bernilai eigen $\lambda \ne 0$ merupakan, sampai skalarnya, solusi $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ *(sebab sebuah fungsi eigen mempunyai wakil yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) — karena $Gf$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) untuk $f \in L^2$, mengapa? — sehingga ia $\mathcal C^2$ lewat pengangkatan pertanyaan 2)* .
5. Selesaikan soal nilai batasnya: bahwa nilai eigen $G$ adalah $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ (dengan $n \geq 1$ ), dengan fungsi eigen ternormalkan $e_n(x) =  \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; lalu periksalah keortonormalannya lewat pengintegralan langsung sebagai uji kewarasan.
6. Simpulkan dari [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) dan pertanyaan 3 bahwa $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ merupakan *basis* ortonormal $L^2(\intcc01)$ — tanpa Stone–Weierstrass dan tanpa deret Fourier. Lalu uraikan $f(x) = x(1-x)$ pada basis ini dan tuliskan [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) baginya.

**Bagian III — Rumus tracenya dan $\zeta(2)$.**

7. Buktikan kedua identitas $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n  \quad\text{dan}\quad  \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ Untuk yang kedua (yakni *rumus tracenya*): uraikan $g(x, \cdot)$, untuk $x$ yang tetap, pada basis $(e_n)$ — lalu tunjukkan bahwa koefisiennya adalah $\lambda_ne_n(x)$, sehingga $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ di $L^2$. Di sini sinusnya eksplisit: periksalah secara langsung bahwa $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ konvergen *secara seragam* pada bujur sangkarnya (bandingkan dengan $\sum  \frac2{n^2\pi^2}$), sehingga jumlahnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan, karena beruraian-$L^2$ sama pada $y$ untuk setiap $x$, sama dengan $g(x,y)$ di mana-mana. Lalu tetapkan $y = x$ dan integralkan suku demi suku.
8. Hitunglah $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x =  \frac16$, lalu simpulkan $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16,  \qquad\text{yakni}\qquad  \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ yakni jumlah Euler dari sebuah trace operator.
9. Turunkanlah $\zeta(2)$ dengan cara ketiga: terapkan [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pada basis sinusnya untuk fungsi konstan $\mathbf 1$ , hitunglah $\sum_{n \text{ gasal}}\frac1{n^2}$ , lalu simpulkan. Lalu bandingkan mekanismenya: dalam arti apakah argumen trace pertanyaan 7–8 merupakan “ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) yang diterapkan pada seluruh kernelnya sekaligus”?

**Bagian IV — Dawainya bergetar.**

10. (Pemisahan variabel, yang disintesiskan) Untuk $f \in  L^2$, definisikan $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\,  \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x),  \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ Tunjukkan bahwa deretnya konvergen di $L^2(\intcc01)$ untuk setiap $t$, bahwa $t\mapsto u(t, \cdot)$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke dalam $L^2$, dan bahwa untuk $f$ pada rentang berhingga banyak $e_n$ ia menyelesaikan persamaan gelombang $\partial_t^2u =  \partial_x^2u$ dengan $u(0) = f$, $\partial_tu(0) = 0$, dan ujung yang tetap. Nilai eigennya $n^2\pi^2$ adalah kuadrat frekuensinya: yakni harmonik dawainya — lalu terangkanlah tafsiran musik [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) dalam satu paragraf.

**Bagian V — Buah hasil variasinya: metode pangkat, kestabilan Weyl, dan sebuah batas ketat bagi $\pi$.** Misalkan $A$ [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) yang *positif* dengan nilai eigen $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ dan vektor eigen ortonormal $(u_n)$; lalu $R(x) = \frac{\langle x,
Ax\rangle}{\norm x^2}$. Rumus min–maksnya adalah [Latihan 15.8](#exo-b3-spectral-8); dan di sini kita membelanjakannya.

11. (Metode pangkat) Untuk $x \neq 0$ tulislah $m_p =  \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$. Tunjukkan $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (lewat Cauchy–Schwarz), lalu turunkan rantainya $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x,  Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$$ lalu buktikan bahwa jika $\langle u_1, x\rangle \neq 0$, maka $R(A^kx) \to \mu_1$: sehingga mengiterasikan operatornya pada sembarang vektor generik menghitung nilai eigen puncaknya — yakni metode pangkat analisis numerik, yang tersahihkan.
12. (Kestabilan Weyl) Untuk $A, B$ yang [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) dan positif, turunkan dari [Latihan 15.8](#exo-b3-spectral-8) bahwa $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B}  \qquad\text{untuk setiap } n :$$ sehingga seluruh spektrumnya bersifat Lipschitz-$1$ dalam [norma operatornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator) — jadi nilai eigen sistem setangkup yang besar dapat dihitung dari hampirannya dengan galat yang terjamin.
13. Terapkan batas Rayleigh pada $G$ dengan fungsi uji $u(x) = x(1-x)$: selesaikanlah $-w'' = u$ dengan $w(0) =  w(1) = 0$ untuk memperoleh $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x -  x^2)}{12}$, lalu hitunglah $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad  \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} +  \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040},  \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ lalu simpulkan batas *ketatnya* $\frac1{\pi^2}  = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, yakni $\pi \leq  \sqrt{168/17} < 3.1437$.
14. Satu langkah rantai pertanyaan 11, pada fungsi uji yang sama: dengan memakai $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x =  \frac1{630}$, hitunglah $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} +  \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720},  \qquad  \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} =  \frac{31}{306},$$ lalu simpulkan $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$: yakni dua integral, empat angka yang benar. (Setiap iterasi berikutnya kira-kira mengkuadratkan ketelitiannya: sebab jurang vektor eigennya $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ menggerakkan kekonvergenan geometrinya.)

**Bagian VI — Jejak $G^2$, dan $\zeta(4)$.**

15. Tunjukkan bahwa $\sum_n\lambda_n^2 =  \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *(uraikan $g$ pada basis hasil kalinya $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ dari $L^2(\intcc01^2)$ — yakni sebuah [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb), bandingkan [Latihan 15.5](#exo-b3-spectral-5) — lalu terapkan [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pada bujur sangkarnya; sedangkan pertanyaan 7 mengenali koefisiennya)* .
16. Hitunglah integral rangkapnya: $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x  y^2\,\dd y\Bigr)\dd x  = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$
17. Simpulkan $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; lalu terangkan, tanpa perhitungan, bagaimana trace pangkat yang lebih tinggi $G^k$ menghasilkan $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ untuk setiap $k \geq 1$ , dan mengapa nilai gasalnya $\zeta(3),  \zeta(5), \dots$ secara struktural berada di luar jangkauan mesin ini.
18. ($\pi$ dari bawah) Dari $\lambda_1^2 \leq  \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ turunkan $\pi \geq  90^{1/4} > 3.080$, lalu rakitlah bersama pertanyaan 14 putusan dua sisinya $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$$ yang diperoleh sepenuhnya dari aritmetika dawai yang bergetar. Sisi mana yang konvergen lebih cepat bila orang memakai trace yang lebih tinggi $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$, dan mengapa?

**Bagian VII — Penggerakan dan resonansi.** Tetapkan $\nu \in \R$ lalu tinjaulah dawai yang digerakkan $-u'' - \nu u =
f$, $u(0) = u(1) = 0$, dengan $f \in L^2$ dan $c_n = \langle
e_n, f\rangle$.

19. Andaikan $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$. Tunjukkan bahwa $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ konvergen di $L^2$ dan secara seragam pada $\intcc01$ *(lewat Cauchy–Schwarz antara $(c_n)$ dan ekor $\sum n^{-4}$, dengan $\norm{e_n}_\infty =  \sqrt2$)*, dan bahwa ia memenuhi $u = Gf + \nu Gu$ — yakni bentuk berkoordinat eksplisit [alternatif Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)), beserta ketunggalannya.
20. Andaikan $\nu = m^2\pi^2$ . Tunjukkan bahwa $u = Gf + \nu  Gu$ bersolusi jika dan hanya jika $c_m = 0$ , dan tunggal sampai penambahan kelipatan $e_m$ . Bacaan fisikanya: yakni mendorong ayunan tepat pada frekuensinya sendiri.
21. Untuk $\nu < \pi^2$ , tunjukkan bahwa operator solusinya $R_\nu\colon f \mapsto u$ terbatas pada $L^2$ dengan norma $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , [kompak](#def-b3-spectral-compact) , [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) , dan positif: sehingga seluruh analisis spektralnya berulang, tergeser sejauh $\nu$ .
22. (Sintesis) Susunlah kamus soal ini: nilai eigen $\leftrightarrow$ kuadrat frekuensi (harmonik); trace $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; norma Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; [alternatif Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ resonansi; min–maks $\leftrightarrow$ batas variasi (dengan $\pi <  3.1437$ dari satu polinomial). Yakni satu operator integral, lima bab analisis yang diuangkan.

**Bagian VIII — Tiga gema terakhir.**

23. ($\zeta(6)$, secara cuma-cuma) Identitas [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pertanyaan 6 memberikan $\sum_{n\text{ gasal}}n^{-6} =  \frac{\pi^6}{960}$. Pisahkan $\zeta(6)$ menurut $n$ yang gasal dan genap lalu simpulkan $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ tanpa integral baru: sebab mesin pertanyaan 17 (yakni trace $G^3$) akan menghasilkan nilai yang sama dengan biaya sebuah kernel teriterasi — jadi [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pada satu fungsi yang terpilih baik adalah jalur yang lebih murah di sini.
24. (Keadaan dasarnya positif) Misalkan $A$ [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact) positif pada $L^2(\intcc01)$ yang diberikan oleh kernel setangkup [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $k > 0$ pada $\intoo01^2$ , bernilai eigen terbesar $\mu_1$ . Tunjukkan bahwa: (a) sembarang pemberi maksimum hasil bagi Rayleighnya merupakan fungsi eigen- $\mu_1$ ; (b) jika $u$ salah satunya, maka $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u,  Au\rangle$ , dengan ketaksamaan *sejati* jika $u$ bertanda dua-duanya pada himpunan berukuran positif — sehingga $u$ bertanda tetap hampir di mana-mana, dan $u = \mu_1^{-1}Au$ tak pernah lenyap pada $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ merupakan nilai eigen yang *sederhana* . Lalu periksalah setiap klaimnya pada $G$ : sebab $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , dan setiap $e_n$ dengan $n  \geq 2$ , karena ortogonal terhadap $e_1$ , haruslah berganti tanda (dan memang: sebab ia berakar $n - 1$ kali di [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) ).
25. (Jarak ke spektrumnya, dan harga resonansinya) Untuk $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$, tunjukkan bahwa operator solusi $R_\nu$ pada pertanyaan 19 bersifat terbatas, [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint), [kompak](#def-b3-spectral-compact), dengan $$\vertiii{R_\nu} =  \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}}  = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu,  \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ dengan normanya tercapai pada ragam yang terdekat. Lalu ukurlah ayunan pertanyaan 20: sebab menggerakkannya dengan $f = e_1$ pada $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ menghasilkan $u =  \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$, yakni penguatan sebesar $\frac1\varepsilon$ atas tanggapan statisnya $Ge_1 =  \frac1{\pi^2}e_1$ — sehingga pada satu persen di bawah nada dasarnya (yakni $\varepsilon = 10^{-2}$), dawainya menjawab seratus kali lebih keras.

**Solusi Soal 15.1.**

**1.** [Kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): sebab $\min$ dan $\max$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity); kesetangkupannya: sebab menukar $x, y$ tak menukar $\min(x,y)$ maupun $1 -
\max(x,y)$. Batasnya: $0 \leq g$, dan batas bertipe $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ memberikan $g \leq \frac14$ (sebab untuk $u
= \max$: $\min \leq u$ sehingga $g \leq u(1-u) \leq \frac14$). Lalu $g
\in L^2(\square)$: jadi Hilbert–Schmidt, sehingga $G$ [kompak](#def-b3-spectral-compact) ([Latihan 15.4](#exo-b3-spectral-4)); dan kernelnya real setangkup: sehingga $G$ [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint).

**2.** Dengan memisahkannya di $y = x$:

$$
u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y +
x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y .
$$

Untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), turunkanlah (lewat aturan hasil kali dan teorema fundamentalnya):

$$
u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f
\qquad\text{(sebab suku batasnya saling meniadakan)},
$$

dan $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$; sedangkan jelaslah $u(0) =
u(1) = 0$. Sebaliknya jika $u \in \mathcal C^2$ lenyap di kedua ujungnya, maka $w = u - G(-u'')$ memenuhi $w'' = 0$ dengan $w(0) = w(1) =
0$: sehingga $w$ afin dan lenyap dua kali, jadi $w = 0$.

**3.** Misalkan $Gf = 0$ dengan $f \in L^2$. Untuk $\psi \in \mathcal
C_c^\infty(\intoo01)$: $\psi = G(-\psi'')$ menurut pertanyaan 2, sehingga

$$
\langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle
= \langle Gf, -\psi''\rangle = 0
$$

(sebab $G$ [swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint)): sehingga menurut lema fundamentalnya ([Akibat 12.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#cor-b3-lp-fundlemma)), $f = 0$ hampir di mana-mana. Untuk kepositifannya: bagi $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dengan $u = Gf$,

$$
\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u
= \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2
\geq 0 ;
$$

sedangkan untuk $f \in L^2$, hampirilah di $L^2$ oleh $f_n$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): maka kedua ruasnya beralih ke limitnya (sebab $G$ terbatas).

**4.** Jika $Gu = \lambda u$ dengan $\lambda \neq 0$: maka $Gu$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (sebab $\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) -
g(x',\cdot)}_2\norm u_2$, dan kernelnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam), sehingga $u$ mempunyai wakil yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity); lalu rumus pertanyaan 2 menunjukkan $Gu \in \mathcal C^2$, sehingga $u =
\frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ dengan $-\lambda u'' =
-(Gu)'' = u$ dan $u(0) = u(1) = 0$.

**5.** Dari $-\lambda u'' = u$ dengan $u(0) = 0$: $u = A\sin(x/\sqrt
\lambda)$ (dengan $\lambda$ yang positif: sebab menurut pertanyaan 3, $\lambda =
\langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ pada vektor eigennya). Lalu $u(1) =
0$ memaksa $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$: sehingga $\lambda_n =
\frac1{n^2\pi^2}$, dengan fungsi eigen $\sin(n\pi x)$, yang ternormalkan $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ (sebab $\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x =
1$). Untuk pemeriksaan keortogonalannya: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) =
\cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ berintegral $0$ untuk $m
\neq n$.

**6.** Karena $\ker G = \{0\}$ (pertanyaan 3), maka [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) memberikan $H =
\overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$: sehingga sinusnya merupakan [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) $L^2(\intcc01)$. Untuk $f(x) = x(1 - x)$:

$$
c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x
= \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3}
= \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ gasal},\\
0 & n \text{ genap},\end{cases}
$$

(lewat dua kali pengintegralan parsial). Lalu [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd
x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ gasal}}\frac{32}{n^6\pi^6}$, yakni $\sum_{n\text{ gasal}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$.

**7.** Berlaku $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2
= \lambda_n$. Untuk $x$ yang tetap, koefisien $g(x,
\cdot)$: $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) =
\lambda_ne_n(x)$, sehingga $g(x,\cdot) =
\sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ di $L^2$. Sedangkan deret eksplisitnya $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi
x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ konvergen secara normal pada bujur sangkarnya (sebab $\abs{\text{sukunya}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$): sehingga jumlahnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dan untuk setiap $x$ ia berkoefisien $L^2(\dd y)$ sama dengan $g(x, \cdot)$: jadi kedua fungsi [kontinunya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bersesuaian untuk setiap $(x, y)$. Lalu dengan menetapkan $y = x$ dan mengintegralkannya (sebab kekonvergenan normalnya mengizinkan pengintegralan yang suku demi suku):

$$
\int_0^1g(x,x)\,\dd x =
\sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n .
$$

**8.** Berlaku $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x =
\frac16$, sehingga $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$:

$$
\zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .
$$

**9.** Untuk $f = \mathbf 1$: $c_n =
\sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 -
(-1)^n}{n\pi}$: sehingga $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ untuk $n$ yang gasal, dan $0$ untuk yang genap. Lalu [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): $1 = \sum_{n\text{
gasal}}\frac{8}{n^2\pi^2}$, sehingga $\sum_{n\text{ gasal}}n^{-2} =
\frac{\pi^2}8$, dan $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1
- \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (sebab suku genapnya adalah $\frac14\zeta(2)$). Perbandingannya: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) untuk satu $f$ menjumlahkan $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$; sedangkan rumus tracenya mengintegralkan diagonal *kernelnya*, yang setara dengan menjumlahkan [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) atas seluruh keluarga ortonormalnya sekaligus — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — sehingga ia buta terhadap pilihan fungsi uji tertentu mana pun.

**10.** Berlaku $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ dengan $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$: sehingga untuk setiap $t$ deretnya konvergen di $L^2$ (lewat uraian ortonormalnya, [Teorema 13.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(3)); sedangkan batas ekornya $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ bersifat seragam terhadap $t$, dan setiap jumlah parsialnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terhadap $t$ (sebab berupa berhingga banyak kosinus): jadi $t \mapsto u(t,\cdot)$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke dalam $L^2$. Untuk $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$: setiap ragamnya $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ memenuhi $\partial_t^2 =
-n^2\pi^2 = \partial_x^2$ yang diterapkan padanya, lenyap di $x = 0,
1$, bernilai $\sin(n\pi x)$ dan berturunan waktu $0$ di $t =
0$: sehingga jumlah berhingganya menyelesaikan segalanya. Secara musik: gerak dawainya merupakan tumpangan *gelombang tegak* $e_n$, yang frekuensinya $n\pi$ adalah nada dasar dan nada atasnya; sedangkan teorema spektralnya mengatakan bahwa setiap bentuk awal terurai secara tunggal menjadi nada murni ini, dengan koefisien $c_n$ sebagai warna suaranya. Jadi mendengar dawai adalah menghitung uraian ortonormal.

**11.** Dengan $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$: $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2}
\sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq
\sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (lewat Cauchy–Schwarz di $\ell^2$). Karena itu nisbah $m_{p+1}/m_p$ bersifat tak turun terhadap $p$; lalu karena $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$, $\frac{\langle Ax, Ax\rangle}
{\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ dan $R(Ax) =
\frac{m_3}{m_2}$, rantainya menyusul, dengan setiap sukunya $\leq \mu_1$ sebab $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ suku demi suku. Untuk kekonvergenannya: jika $a_1 > 0$ (dengan menulis bobot total nilai eigen puncaknya sebagai $a_1$), maka

$$
\mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} =
\mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1}
a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n}
\longrightarrow \mu_1,
$$

lewat kekonvergenan terdominasi jumlahnya (sebab nisbahnya $< 1$): sehingga metode pangkatnya konvergen untuk setiap vektor awal yang tak ortogonal terhadap ruang eigen puncaknya.

**12.** Secara titik demi titik, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle}
\leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$, sehingga $R_A(x) \leq R_B(x) +
\vertiii{A - B}$ untuk setiap $x$. Lalu memasukkan ini ke rumus maks–min [Latihan 15.8](#exo-b3-spectral-8): $\mu_n(A)
\leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$, dan secara setangkup pada $A,
B$: sehingga $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ untuk setiap $n$ sekaligus.

**13.** Persamaan $-w'' = x - x^2$ [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) menjadi $w = -\frac{x^3}6
+ \frac{x^4}{12} + cx$ (dengan $w(0) = 0$), dan $w(1) = 0$ memberikan $c = \frac1{12}$:

$$
w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x -
x^2)}{12} = Gu .
$$

Lalu $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$, dan dengan $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$:

$$
\langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} +
\frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040},
\qquad
R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} .
$$

Jadi $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, yakni $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$: sehingga $\pi \leq 3.14364 <
3.1437$ (dengan nilai sejatinya $\pi^2 = 9.8696$). Yakni sebuah polinomial, sebuah integral, sebuah angka.

**14.** Tulis $u = x - x^2$, sehingga $Gu =
\frac{u(1 + u)}{12}$ dan, dengan memakai $\int u^2 = \frac1{30}$, $\int u^3 = \frac1{140}$, dan $\int u^4 = B(5,5) =
\frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$:

$$
\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 =
\frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} +
\frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} =
\frac{31}{90720} .
$$

Karena itu $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} =
\frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$, dan menurut pertanyaan 11 ini tetap $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$: sehingga $\pi^2 \leq
\frac{306}{31} = 9.87097$, yakni $\pi \leq 3.14181 <
3.1419$ — yakni empat angka (dan iterasi berikutnya akan memberikan sekitar delapan, sebab galatnya mengerut sebesar $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ setiap langkah).

**15.** Keluarga $(e_m \otimes e_n)(x,y) =
e_m(x)e_n(y)$ merupakan [basis Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#def-b3-hilbert-onb) $L^2(\intcc01^2)$ (dengan keortonormalannya lewat Tonelli; dan ketotalannya seperti pada [Latihan 15.5](#exo-b3-spectral-5)). Menurut pertanyaan 7, untuk $x$ yang tetap: $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$, sehingga koefisien $g$ pada $e_m\otimes e_n$ adalah

$$
\langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle
= \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x
= \lambda_n\,\delta_{mn} .
$$

Lalu [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pada bujur sangkarnya:

$$
\iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n,
g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 .
$$

**16.** Menurut kesetangkupan $g$,

$$
\iint g^2 = 2\iint_{y<x}y^2(1-x)^2
= 2\int_0^1(1-x)^2\,\frac{x^3}3\,\dd x
= \frac23\,B(4, 3) = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!}
= \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90} .
$$

**17.** Digabungkan: $\sum_n\frac1{n^4\pi^4} =
\frac1{90}$, yakni $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$. Secara umum, $\operatorname{tr}(G^k) = \sum\lambda_n^k =
\frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ sama dengan sebuah integral teriterasi atas hasil kali kernel polinomial rasional $g$ pada kubus-$k$: yakni sebuah bilangan rasional. Karena itu $\zeta(2k) \in
\pi^{2k}\Q$ untuk setiap $k$. Mesinnya hanya mencapai argumen genap sebab nilai eigennya masuk lewat *pangkatnya* — yakni $\sum\lambda_n^k$ — dan $\lambda_n =
\frac1{n^2\pi^2}$: sehingga tak ada gabungan trace yang menghasilkan $\sum
n^{-3}$; sedangkan sifat aritmetika $\zeta(3)$ (yang irasional menurut Apéry, dengan ketranssendenannya masih terbuka) terletak di luar pembukuan spektralnya.

**18.** Suku puncak sebuah jumlah bersuku positif bernilai paling banyak jumlahnya: $\lambda_1^2 \leq \sum\lambda_n^2 =
\frac1{90}$, sehingga $\frac1{\pi^2} \leq \frac1{\sqrt{90}}$ dan $\pi \geq 90^{1/4} = 3.0801\ldots$ Bersama pertanyaan 14: $3.080 < \pi < 3.1419$, lewat aritmetika dawai belaka. Sedangkan trace yang lebih tinggi menajamkan batas bawahnya secara geometri: $\lambda_1 \leq (\operatorname{tr}G^{2k})^{1/2k} =
\lambda_1\bigl(1 + \sum_{n\geq2}(\lambda_n/\lambda_1)^{2k}
\bigr)^{1/2k}$, dan faktor parasitnya mati secepat $\bigl(\tfrac14\bigr)^{2k}\cdot\frac1{2k}$ — yakni mekanisme jurang spektral yang sama seperti kekonvergenan metode pangkat (pertanyaan 11), yang dilihat dari sisi tracenya.

**19.** Berlaku $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \delta > 0$ untuk setiap $n$ (sebab barisan $n^2\pi^2 \to \infty$ menghindari $\nu$ dengan sebuah selisih), dan $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ untuk $n$ yang besar. Untuk kekonvergenan $L^2$-nya: koefisiennya $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ terjumlahkan kuadrat (sebab terdominasi oleh $\frac{\abs{c_n}}\delta$). Untuk kekonvergenan seragamnya: norma sup ekornya terbatas oleh $\sqrt2\sum_{n>N}
\frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq
\frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2}
\bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (lewat Cauchy–Schwarz). Untuk pemeriksaannya: $Gf + \nu Gu$ berkoefisien-$e_n$

$$
\lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu}
= \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 -
\nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} :
$$

yakni tepat koefisien $u$, sehingga $u = Gf + \nu Gu$; sedangkan ketunggalannya sebab selisih $v$ dua solusinya memenuhi $v = \nu
Gv$, yakni $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ untuk setiap $n$: jadi $v = 0$.

**20.** Seperti pada pertanyaan 19, persamaan $u = Gf + \nu
Gu$ setara dengan keluarga persamaan koefisiennya $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$ dengan $n \geq
1$. Untuk $n = m$ ruas kirinya adalah $0$: sehingga [keterselesaiannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) memaksa $c_m = 0$, dan lalu $\langle e_m,
u\rangle$ bebas sedangkan semua koefisien lainnya tertentukan: jadi solusinya membentuk garis $u_0 + \R e_m$. Untuk resonansinya: sebuah penggerak yang berkomponen pada ragam eigennya memompakan energi ke dalamnya tanpa batas — yakni ayunan yang didorong pada frekuensinya sendiri.

**21.** Dari rumus pertanyaan 19, $\norm{R_\nu f}_2^2
= \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq
\frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (sebab untuk $\nu < \pi^2$ nilai eigen terdekatnya adalah $\pi^2$), dengan kesamaannya didekati pada $f = e_1$: sehingga [norma operatornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator) $\frac1{\pi^2 - \nu}$. Untuk kekompakannya: $R_\nu$ merupakan limit norma pancungan rank berhingganya (sebab koefisien ekornya $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$); sedangkan [keswa-adjoinan](#def-b3-spectral-selfadjoint) dan kepositifannya terbaca dari bentuk diagonalnya (sebab semua koefisiennya $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$). Jadi $R_\nu$ bernilai eigen $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$: sehingga analisis Bagian I–VI berulang kata demi kata.

**22.** Kamusnya: *nilai eigen* $\lambda_n =
\frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ kuadrat frekuensi $n^2\pi^2$ harmonik ke-$n$; *trace* $\sum
\lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) =
\frac{\pi^2}6$; *norma Hilbert–Schmidt* $\iint g^2 =
\frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; *[alternatif Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ resonansi dawai yang digerakkan; *min–maks* $\leftrightarrow$ taksiran variasi, sampai $\pi < 3.1437$ dari satu polinomial. Di balik setiap pasangannya, objek yang sama: yakni satu [operator swa-adjoin](#def-b3-spectral-selfadjoint) [kompak](#def-b3-spectral-compact), yang didiagonalkan sekali lalu dieksploitasi lima cara.

**23.** Dengan memisahkannya menurut paritas lalu menyubstitusikan $n = 2m$ pada bagian genapnya,

$$
\zeta(6) = \sum_{n\text{ gasal}}\frac1{n^6} +
\sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6}
= \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64},
$$

sehingga $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ dan $\zeta(6)
= \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$. Sedangkan jalur tracenya akan menghitung $\operatorname{tr}G^3 =
\sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ sebagai $\iint g\,g_2$ dengan kernel teriterasi $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — yakni tiga pengintegralan polinomial sepenggal-sepenggal; padahal [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pada $x(1-x)$ hanya memerlukan satu.

**24.** (a) Diagonalkanlah: $v = \sum_na_nu_n$ (ditambah sebuah komponen kernel yang mungkin, yang $\langle v, Av\rangle$-nya tak memperoleh apa pun sedangkan $\norm v^2$-nya tumbuh, sehingga pemberi maksimumnya tak memilikinya). Maka $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq
\mu_1\sum a_n^2$, dengan kesamaannya jika dan hanya jika $a_n = 0$ setiap kali $\mu_n < \mu_1$: sehingga pemberi maksimumnya terletak di ruang eigen-$\mu_1$. (b) Untuk sembarang $u$,

$$
\langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle
= \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} -
u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0,
$$

sebab integrannya tak negatif di setiap titiknya. Jika $P = \{u >
0\}$ dan $N = \{u < 0\}$ keduanya berukuran positif, maka pada $P\times N$ integrannya sama dengan $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} >
0$ pada himpunan berukuran positif: sehingga ketaksamaannya sejati. Sedangkan sebuah fungsi eigen-$\mu_1$ $u$ memaksimumkan hasil bagi Rayleighnya, dan $\abs u$ bernorma sama, sehingga kesejatiannya akan menampilkan $R(\abs u) > \mu_1$ — yang mustahil; jadi $u$ bertanda tetap hampir di mana-mana, katakanlah $u \geq 0$. Lalu $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) =
\mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ untuk setiap $x \in
\intoo01$ (sebab $k(x,\cdot) > 0$ dan $u \neq 0$). (c) Jika ruang eigennya berdimensi $\geq 2$, ia akan memuat dua fungsi eigen yang *ortogonal* $u, v$, yang masing-masing bertanda tetap dan tak lenyap di [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) menurut (b); tetapi lalu $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — yang bertentangan. Pada dawainya: $k = g > 0$ pada bujur sangkar terbukanya, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ memang sederhana, dan $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ positif pada $\intoo01$; sedangkan setiap $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ dengan $n \geq 2$, yang ortogonal terhadap $e_1$ yang positif, haruslah berintegral nol terhadapnya, sehingga berganti tanda — seperti dibenarkan $n - 1$ akar [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) $\frac kn$.

**25.** Karena $n^2\pi^2 \to \infty$, minimumnya $d =
\min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ tercapai, pada suatu ragam $m$, dan $d > 0$ sebab $\nu$ menghindari spektrumnya. Lalu rumus diagonal pertanyaan 19 memberikan

$$
\norm{R_\nu f}_2^2 =
\sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2}
\leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2,
$$

dengan kesamaannya untuk $f = e_m$: sehingga $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$, yakni kebalikan jarak dari $\nu$ ke spektrumnya — yaitu asas resolven umumnya, di sini dalam koordinat yang eksplisit. [Keswa-adjoinannya](#def-b3-spectral-selfadjoint) terbaca dari koefisien diagonalnya yang real; sedangkan kekompakannya menyusul seperti pada pertanyaan 21 (sebab koefisiennya menuju $0$, sehingga pancungan rank berhingganya konvergen dalam norma). Untuk harga resonansinya: bagi $f = e_1$ dan $\nu =
(1-\varepsilon)\pi^2$, rumusnya memberikan $u =
\frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$, terhadap tanggapan statisnya $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$: yakni penguatan sebesar $\frac1\varepsilon$. Pada $\varepsilon =
10^{-2}$ tanggapannya $100$ kali tanggapan statisnya — dan ia divergen saat $\varepsilon \to 0$, yang merupakan alternatif pertanyaan 20 yang dilihat dari sisi terbatasnya: sehingga makin dekat frekuensi penggeraknya ke frekuensi alaminya, makin tak terbatas balikannya.