--- title: "Persamaan Diferensial Biasa" book: "Matematika Universitas — Tahun 3" subject: math language: id chapter: 19 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/19-persamaan-diferensial-biasa --- # Bab 19 — Persamaan Diferensial Biasa Tahun ke-2 menyelesaikan persamaan diferensial linear dan menyatakan teorema Cauchy–Lipschitz; sedangkan bab ini membuktikannya — dua kali: keberadaan dan ketunggalannya lewat titik tetap Banach, serta struktur globalnya lewat teori [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal) dan teorema [pelolosan dari kompak](#thm-b3-ode-maximal). Lalu teori linearnya dibangun kembali di atas landasan yang jujur ([resolven](#thm-b3-ode-linearstructure), [Wronskian](#thm-b3-ode-linearstructure), [eksponensial matriks](#thm-b3-ode-matrixexp), Duhamel), dan paruh kedua bab ini membuka teori *kualitatifnya* — yakni [aliran](#ex-b3-ode-planeclassification), kesetimbangan, [fungsi Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov), dan [kestabilan lewat pelinearan](#thm-b3-ode-linearization): bagaimana memahami solusi yang tak akan pernah kita hitung. Sedangkan bandulnya, pada soal akhir pekan, adalah studi kasus yang abadi. Sepanjang bab ini, $U \subseteq \R\times\R^d$ terbuka dan $f \colon U \to \R^d$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity); dan sebuah *solusi* $x' = f(t, x)$ adalah pemetaan $\mathcal C^1$ $x \colon I \to \R^d$ (dengan $I$ sebuah selang) yang grafiknya di $U$ dan memenuhi persamaannya. ## 19.1 Cauchy–Lipschitz **Definisi 19.1.** Fungsi $f$ disebut *Lipschitz lokal terhadap $x$* jika setiap titik $U$ berpersekitaran $V$ dan berkonstanta $L$ dengan $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ untuk $(t, x_1), (t, x_2) \in V$. Jika $f$ bersifat $\mathcal C^1$ (atau sekadar $\partial_xf$ ada dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)), maka ia Lipschitz lokal terhadap $x$: sebab pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) cembung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), lewat ketaksamaan nilai rata-rata dengan $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$. **Teorema 19.2 (Cauchy–Lipschitz, lokal).** Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz) terhadap $x$, dan $(t_0, x_0) \in U$. Maka ada $T > 0$ sedemikian sehingga soal Cauchy $$ x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0 $$ mempunyai tepat satu solusi pada $[t_0 - T, t_0 + T]$. **Bukti.** Pilihlah $a, b > 0$ dengan $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$, yang $\norm f \leq M$ padanya dan $f$ bersifat Lipschitz-$L$ terhadap $x$. Sebuah fungsi $\mathcal C^1$ merupakan solusi jika dan hanya jika ia memenuhi persamaan integral $$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s $$ (lewat teorema fundamental kalkulus, dalam kedua arahnya). Lalu misalkan $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$, $I = [t_0 - T, t_0 + T]$, dan $$ \mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{pada } I\}, $$ yakni sebuah himpunan bagian tertutup ruang Banach $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$: jadi [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Definisi 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)). Definisikan $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$: maka untuk $x \in \mathcal E$, $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — sehingga $\Phi$ memetakan $\mathcal E$ ke dirinya — dan untuk $x, y \in \mathcal E$: $$ \norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty : $$ yakni sebuah kontraksi. Lalu titik tetap Banach ([Teorema 7.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) memberikan satu-satunya titik tetap di $\mathcal E$: yakni keberadaannya, beserta ketunggalannya di antara solusi yang tinggal di $\bar B(x_0, b)$ — tetapi setiap solusi pada $I$ tinggal di sana (sebab $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ selama grafiknya tetap di $Q$, lewat argumen [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)): sehingga ketunggalannya pada $I$. ∎ **Lema 19.3 (Grönwall).** Misalkan $u \colon I \to \intco0\infty$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), $t_0 \in I$, dan andaikan $$ u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I) $$ dengan $\alpha \geq 0$ dan $\beta > 0$. Maka $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ pada $I$. **Bukti.** Untuk $t \geq t_0$: misalkan $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$, sehingga $u \leq v$, $v' = \beta u \leq \beta v$, dan $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$: jadi $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$. Sedangkan untuk $t \leq t_0$, terapkan hal yang sama pada $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$. ∎ **Akibat 19.4 (Ketunggalan dan kebergantungan kontinu).** Di bawah hipotesis [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz), dua solusi $x' = f(t,x)$ yang bersesuaian di satu titik bersesuaian pada selang pendefinisian bersamanya. Secara kuantitatif, jika $x, y$ dua solusi yang grafiknya berada di daerah yang $f$-nya bersifat Lipschitz-$L$ terhadap $x$, maka $$ \norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} . $$ **Bukti.** Untuk taksirannya: $u = \norm{x - y}$ memenuhi $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (kurangkanlah persamaan integralnya); lalu Grönwall. Untuk ketunggalan globalnya: himpunan kesesuaiannya $\{t : x(t) = y(t)\}$ bersifat tertutup di selang bersamanya, tak kosong, dan terbuka — sebab di sekitar sembarang titik kesesuaiannya, selimutilah sepotong [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) grafik bersamanya oleh berhingga banyak kotak Lipschitz lalu terapkan taksirannya dengan $u(t_1) = 0$ pada masing-masingnya: sehingga secara lokal $x \equiv y$. Dan himpunan bagian sebuah selang yang tak kosong, terbuka, dan tertutup adalah selangnya sendiri. ∎ ## 19.2 Solusi maksimal **Teorema 19.5 (Solusi maksimal; pelolosan dari kompak).** Andaikan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz) terhadap $x$. 1. Setiap soal Cauchy mempunyai satu-satunya solusi *maksimal* $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : sehingga setiap solusi lain yang melalui $(t_0, x_0)$ merupakan pembatasannya. Dan selangnya terbuka. 2. ( *Pelolosan* ) Untuk setiap [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $K \subseteq U$ ada $\varepsilon > 0$ sedemikian sehingga $(t, x(t)) \notin K$ untuk setiap $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (dan setangkup dengan itu di $T_-$ ): yakni *grafik sebuah [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal) akhirnya meninggalkan setiap himpunan bagian [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $U$* . Khususnya, untuk $U = \R\times\R^d$ dan $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ saat $t \to T_+^-$ (yakni *peledakan* ). **Bukti.** (1) Misalkan $\mathcal S$ himpunan semua solusi yang melalui $(t_0, x_0)$; maka menurut [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) dua di antaranya bersesuaian pada irisan selangnya, sehingga keduanya merekat: pada $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$, definisikan $x(t) = y(t)$ untuk sembarang $y$ yang terdefinisi di $t$: yakni sebuah solusi yang terdefinisi baik, jelas maksimal dan tunggal. Sedangkan $J$ terbuka: sebab sebuah solusi yang terdefinisi di ujungnya dapat diperpanjang lewat [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) di ujung itu. (2) Andaikan klaimnya gagal di $T_+$: maka ada $t_n \to T_+$ dengan $(t_n, x(t_n)) \in K$; dan perhatikan bahwa ini memaksa $T_+ < \infty$ atau, jika $T_+ = \infty$, maka tak ada yang perlu dibuktikan (sebab $K$ terbatas terhadap waktunya). Jadi misalkan $T_+ < \infty$. Lewat kekompakannya: konstanta seragam $M, L, a, b$ berhasil bagi setiap data Cauchy pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $K$ — secara konkret, selimutilah $K$ oleh berhingga banyak kotak $Q_i$ seperti pada bukti teorema lokalnya lalu misalkan $T^* > 0$ minimum waktu keberadaan yang bersesuaian: sehingga setiap data Cauchy di $K$ meluncurkan sebuah solusi yang hidup setidaknya $T^*$ melampaui waktu awalnya. Lalu menerapkan ini di $(t_n, x(t_n))$ dengan $t_n > T_+ - T^*/2$ memperluas $x$ melewati $T_+$ (sebab perluasannya bersesuaian dengan $x$ menurut ketunggalannya, lalu memperpanjangnya): yang bertentangan dengan kemaksimalannya. Jadi grafiknya meninggalkan $K$ secara pasti sebelum $T_+$. Sedangkan untuk $U = \R\times\R^d$: jika $\norm{x(t)}\not\to\infty$, maka sebuah barisan $t_n \to T_+$ menjaga $(t_n, x(t_n))$ di [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$: yang terkecualikan. ∎ **Akibat 19.6 (Keberadaan global di bawah pertumbuhan linear).** Jika $U = I\times\R^d$ (dengan $I$ selang terbuka) dan $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ dengan $\alpha, \beta$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), maka setiap [solusi maksimalnya](#thm-b3-ode-maximal) terdefinisi pada seluruh $I$. **Bukti.** Pada sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $[t_0, T] \subseteq I$: $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$, sehingga menurut Grönwall (dengan $\alpha, \beta$ terbatas oleh $A, B$ di sana) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$: jadi terbatas. Lalu jika $T_+ < \sup I$, grafiknya tinggal di sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $I\times\R^d$ di dekat $T_+$: yang bertentangan dengan pelolosannya ([Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). ∎ ## 19.3 Sistem linear Sepanjang bagian ini $A \colon I \to M_d(\R)$ dan $b \colon I \to \R^d$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity); sedangkan sistemnya adalah $x' = A(t)x + b(t)$ — yakni pertumbuhan linear: sehingga semua [solusi maksimalnya](#thm-b3-ode-maximal) hidup pada seluruh $I$ ([Akibat 19.6](#cor-b3-ode-globallinear)). **Teorema 19.7 (Struktur).** Solusi sistem homogen $x' = A(t)x$ membentuk ruang vektor berdimensi $d$, yakni $S_H$; dan untuk setiap $t_0$, penilaian $x \mapsto x(t_0)$ merupakan isomorfisma $S_H \to \R^d$. Sedangkan *resolven* $R(t, s) \in GL_d(\R)$, yang didefinisikan lewat: $t \mapsto R(t, s)v$ adalah solusi yang bernilai $v$ di $s$, memenuhi $$ R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s), $$ dan soal tak homogennya diselesaikan *rumus Duhamel*: $$ x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s . $$ Akhirnya *Wronskian* $w(t) = \det R(t, s)$ menuruti rumus Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$, sehingga $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$. **Bukti.** Kelinearan persamaannya membuat solusinya menjadi ruang vektor; sedangkan penilaiannya linear, injektif (menurut ketunggalannya: sebab sebuah solusi yang lenyap di $t_0$ bernilai $\equiv 0$) dan surjektif (menurut keberadaannya): jadi berdimensi $d$. Sifat [resolvennya](#thm-b3-ode-linearstructure) menyatakan ulang ketunggalannya (sebab kedua ruas setiap identitasnya menyelesaikan soal Cauchy yang sama); sedangkan keterbalikannya dari $R(s,t)R(t,s) = I$. Untuk Duhamel: turunkanlah rumusnya — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (dan pendiferensialan di bawah integralnya sah: sebab integrannya $\mathcal C^1$ terhadap $t$ dengan turunan yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terhadap $(t,s)$; atau periksalah lewat persamaan integralnya). Untuk Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ dan $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (dari persamaan integralnya), sehingga $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (lewat uraian $\det$ di $I$): jadi $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$; lalu integralkan persamaan diferensial linear skalarnya. ∎ **Teorema 19.8 (Eksponensial matriks).** Untuk $A \in M_d(\C)$, deret $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ konvergen (secara mutlak, dalam sembarang norma submultiplikatif), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ setiap kali $AB = BA$, dan $t \mapsto \eu^{tA}$ merupakan [resolven](#thm-b3-ode-linearstructure) sistem berkoefisien konstannya: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$; dan ia bersifat $\mathcal C^\infty$ dengan $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$. Lebih lanjut: jika $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ untuk setiap nilai eigen $\lambda$ milik $A$, maka $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ untuk $t \geq 0$. **Bukti.** Untuk kekonvergenannya: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$, yang terjumlahkan ([Latihan 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) pada aljabar Banach $M_d$). Untuk $A, B$ yang komutatif: hasil kali Cauchy kedua deret yang konvergen mutlak itu tersusun ulang, lewat teorema binomialnya (yang sahih bila $AB = BA$), menjadi $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$. Untuk keterturunannya, secara langsung: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ sebab $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$. Karena itu $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ menyelesaikan soal Cauchy yang mendefinisikan $R(t,s)v$. Untuk batas spektralnya: lewat [bentuk Jordan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#thm-b3-modules-jordan) ([Teorema 3.18](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#thm-b3-modules-jordan)), $A = P(D + N)P^{-1}$ dengan $D$ diagonal yang membawa nilai eigennya, $N$ nilpoten, dan $DN = ND$. Maka $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ dengan $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ untuk suatu $\delta > 0$ (dan $t \geq 0$) sedangkan $\eu^{tN}$ polinomial terhadap $t$ (menurut kenilpotenannya): sehingga hasil kalinya $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (sebab polinomialnya dikalahkan $\eu^{-\delta t}$). ∎ **Contoh 19.9 (Bidangnya, yang digolongkan).** Untuk $x' = Ax$ dengan $A \in M_2(\R)$ yang terbalikkan, potret fasenya di dekat $0$ ditentukan oleh $\tau = \operatorname{tr}A$ dan $\delta = \det A$, lewat nilai eigennya $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$: - $\delta < 0$ : nilai eigen real bertanda berlawanan — yakni sebuah *pelana* ; dua [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) masuk, dua keluar, dan sisanya melintas. Selalu tak [stabil](#def-b3-ode-stability) . - $\delta > 0$ dan $\tau^2 \geq 4\delta$ : nilai eigen real bertanda sama (yakni $= \operatorname{sign}\tau$ ) — yakni sebuah *simpul* , yang [stabil](#def-b3-ode-stability) jika dan hanya jika $\tau < 0$ ; dan [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) menyinggung arah eigen yang lambat. - $\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , dan $\tau \neq 0$ : nilai eigen sekawan kompleks $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — yakni sebuah *spiral* (atau fokus), yang [stabil](#def-b3-ode-stability) jika dan hanya jika $\tau < 0$ ; sedangkan solusinya berupa $\eu^{\tau t/2}\times$ rotasi berperiode $\frac{2\pi}\omega$ . - $\tau = 0$ dan $\delta > 0$ : nilai eigen murni imajiner — yakni sebuah *pusat* : dengan [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) tertutup (elips), yakni kestabilan tanpa kestabilan asimtotik, tepat perbatasan yang tak dapat diputuskan [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) bagi sistem taklinear (sebab kesetimbangan bawah bandulnya, [Soal 19.1](#pb-b3-ode-1) , duduk di sini). Sedangkan parabola batasnya $\tau^2 = 4\delta$ membawa simpul yang merosot (yakni blok Jordan: dengan [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) berarah singgung tunggal). Jadi segalanya terbaca dari dua bilangan — itulah mengapa refleks pertama sebelum menggambar sebuah potret fase bidang adalah menghitung $\operatorname{tr}$ dan $\det$; misalnya $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (yakni osilator teredam): $\delta = 1 > 0$ dan $\tau = -c$: sehingga spiral [stabil](#def-b3-ode-stability) untuk $0 < c < 2$, dan simpul [stabil](#def-b3-ode-stability) untuk $c \geq 2$ — yakni redaman kurang lawan redaman lebih, dalam satu pandangan. ## 19.4 Aliran, kesetimbangan, kestabilan Kini tinjaulah persamaan *otonom* $x' = F(x)$, dengan $F \colon \Omega \to \R^d$ yang [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz) pada $\Omega \subseteq \R^d$ yang terbuka. Tulislah $\varphi_t(x_0) = x(t)$ untuk [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal) dengan $x(0) = x_0$ (yakni *aliran* itu); sedangkan keotonomannya memberikan sifat grupnya $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ di tempat ia terdefinisi (sebab kedua ruasnya menyelesaikan soal yang sama pada waktu $s$). **Definisi 19.10.** Sebuah *kesetimbangan* adalah titik $\bar x$ dengan $F(\bar x) = 0$ (sehingga $\varphi_t(\bar x) = \bar x$). Ia disebut *stabil* jika untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ sedemikian sehingga $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ mengakibatkan solusinya ada untuk setiap $t \geq 0$ dengan $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$; dan *stabil asimtotik* jika lebih lanjut $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ untuk setiap $x_0$ di dekat $\bar x$. **Teorema 19.11 (Fungsi Lyapunov).** Misalkan $\bar x$ sebuah kesetimbangan dan $V \colon \mathcal V \to \R$ sebuah fungsi $\mathcal C^1$ pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\bar x$ dengan: $$ V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ untuk } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 . $$ Maka $\bar x$ bersifat [stabil](#def-b3-ode-stability). Dan jika lebih lanjut $\dot V < 0$ di luar $\bar x$, maka $\bar x$ [stabil](#def-b3-ode-stability) asimtotik. **Bukti.** Sepanjang sebuah solusi, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$: sehingga $V$ menurun. Diberikan $\varepsilon$ (yang cukup kecil sehingga $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$), misalkan $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (lewat kekompakan dan kepositifannya) lalu pilihlah $\delta < \varepsilon$ dengan $V < m$ pada $B(\bar x, \delta)$ (lewat [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)). Maka sebuah solusi yang bermula di $B(\bar x, \delta)$ mempunyai $V(x(t)) < m$ untuk setiap waktu berikutnya, sehingga ia tak pernah dapat mencapai bola $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (yang $V \geq m$ padanya): jadi ia tinggal di bolanya — dan lalu ada untuk setiap $t \geq 0$: sebab solusinya tetap di $\bar B$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), sehingga [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) (yakni [pelolosan dari kompak](#thm-b3-ode-maximal)) memaksa $T_+ = +\infty$. Jadi kestabilannya. Untuk kasus asimtotiknya: misalkan $x(t)$ bermula di $B(\bar x, \delta)$; maka $V(x(t))$ menurun ke suatu $c \geq 0$. Seandainya $c > 0$: maka [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) tinggal di $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$, yakni himpunan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) yang mengecualikan sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\bar x$ (sebab $V$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $V(\bar x) = 0 < c$). Lalu pada $K$, fungsi $\dot V$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan negatif sejati, sehingga $\mu = \max_K\dot V < 0$ (lewat kekompakannya); maka $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$: yang mustahil, sebab $V \geq 0$. Jadi $c = 0$, dan $x(t) \to \bar x$ (sebab titik yang berjarak $\geq \rho$ dari $\bar x$ di dalam bolanya mempunyai $V \geq m_\rho > 0$). ∎ **Teorema 19.12 (Kestabilan lewat pelinearan).** Misalkan $F$ bersifat $\mathcal C^1$, $F(\bar x) = 0$, dan $A = DF(\bar x)$. Jika setiap nilai eigen $A$ mempunyai $\operatorname{Re}\lambda < 0$, maka $\bar x$ bersifat [stabil](#def-b3-ode-stability) asimtotik. **Bukti.** Geserlah $\bar x$ ke $0$ lalu tulislah $F(x) = Ax + g(x)$ dengan $g(x) = o(\norm x)$ (menurut keterturunan $\mathcal C^1$-nya). Pilihlah $\alpha > 0$ dengan $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ (untuk $t \geq 0$; [Teorema 19.8](#thm-b3-ode-matrixexp)) dan $r > 0$ dengan $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ untuk $\norm x \leq r$. Lalu Duhamel dengan $b(s) = g(x(s))$: $$ x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s, $$ yang sahih selama $\norm{x(s)} \leq r$. Maka $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ memenuhi $$ u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s , $$ sehingga Grönwall memberikan $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$, yakni $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$. Lalu jika $\norm{x_0} < r/C$, batas a priorinya menjaga $\norm{x(t)} < r$ untuk setiap $t$ (lewat argumen [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) atau pengangkatan: sebab himpunan waktu yang $\norm x \leq r$ padanya bersifat terbuka sekaligus tertutup di $\intco0{T_+}$ mengingat taksiran sejatinya), sehingga solusinya global, dan ia konvergen ke $0$ secara eksponensial: yakni kestabilan asimtotiknya. ∎ **Metode 19.13.** Menghadapi sebuah persamaan diferensial: (1) untuk keberadaan dan ketunggalannya — periksalah kelipschitzan lokalnya (biasanya $\mathcal C^1$); (2) untuk keglobalannya — lewat pertumbuhan linear, keterbatasan, atau sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) invarian lewat [fungsi Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) atau integral pertama; dan jika gagal, curigailah peledakan lalu ujilah pada karikatur skalarnya $x' = x^2$; (3) untuk sistem linearnya — lewat [resolven](#thm-b3-ode-linearstructure), Duhamel, dan untuk koefisien konstannya lewat struktur eigen $A$; (4) untuk pertanyaan kualitatifnya — lewat kesetimbangan, pelinearan, lalu perburuan [fungsi Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) (yakni energinya, bila sistemnya mekanis) atau sebuah integral pertama yang himpunan arasnya menjebak [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected). Sedangkan soal akhir pekannya menjalankan seluruh metode itu pada bandulnya. ![Potret fase bandul x'' = - x pada bidang (x, x'): yakni kurva aras energinya E = x'22 - x. Kurva tertutupnya (biru): osilasi, dengan E < 1; kurva berjalannya (jingga): rotasi penuh, dengan E > 1; dan di antara keduanya separatriksnya (merah), E = 1, yang menghubungkan kesetimbangan tak stabilnya (±π, 0). Sedangkan soal akhir pekannya membuktikan segala yang disarankan gambar ini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-ode/fig-dd339003c539.svg) *Potret fase bandul $x'' = -\sin x$ pada bidang $(x, x')$: yakni kurva aras energinya $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$. Kurva tertutupnya (biru): osilasi, dengan $E < 1$; kurva berjalannya (jingga): rotasi penuh, dengan $E > 1$; dan di antara keduanya *separatriksnya* (merah), $E = 1$, yang menghubungkan kesetimbangan tak [stabilnya](#def-b3-ode-stability) $(\pm\pi, 0)$. Sedangkan soal akhir pekannya membuktikan segala yang disarankan gambar ini.* ## 19.5 Latihan **Latihan 19.1 ★.** Selesaikan secara eksplisit lalu tentukan selang maksimalnya: (a) $x' = x^2$, $x(0) = 1$; (b) $x' = 1 + x^2$, $x(0) = 0$; (c) $x' = x(1-x)$, $x(0) = \frac12$. Lalu damaikan setiap jawabannya dengan [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) dan [Akibat 19.6](#cor-b3-ode-globallinear). **Solusi Latihan 19.1.** (a) Dengan memisahkan variabelnya: $x(t) = \frac1{1 - t}$ pada $\intoo{-\infty}1$: yakni peledakan di $T_+ = 1$, dengan $x(t) \to +\infty$ — tepat [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2). (b) $x(t) = \tan t$ pada $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$: yakni peledakan di kedua ujungnya. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$, yang global: sebab solusinya tinggal di $\intoo01$, yakni himpunan terbatas, sehingga grafiknya tak dapat lolos dari setiap [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\R\times\R$ dalam waktu berhingga — jadi $T_\pm = \pm\infty$. Perhatikan bahwa (a) dan (b) tak bertentangan dengan [Akibat 19.6](#cor-b3-ode-globallinear): sebab $x^2$ dan $1 + x^2$ bertumbuh superlinear. **Latihan 19.2 ★.** Misalkan $x, y$ menyelesaikan $x' = f(t,x)$ dengan $f$ yang Lipschitz-$L$ secara global terhadap $x$ pada $\R\times\R^d$. (a) Buktikan $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$, lalu tunjukkan lewat contoh (yang linear!) bahwa faktor $\eu^{L\abs t}$ tercapai. (b) Turunkan bahwa pemetaan [aliran](#ex-b3-ode-planeclassification) $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), bahkan Lipschitz pada himpunan terbatas. **Solusi Latihan 19.2.** (a) Inilah taksiran [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) dengan $t_0 = 0$. Untuk ketajamannya: bagi $x' = Lx$ (yang Lipschitz-$L$ secara global), dua solusinya berselisih tepat $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$. (b) Taksirannya berbunyi: pemetaan [aliran](#ex-b3-ode-planeclassification) pada waktu $t$ bersifat Lipschitz-$\eu^{L\abs t}$ terhadap syarat awalnya — yakni [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), secara seragam untuk $t$ pada [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact); sedangkan pada himpunan terbatas bagi $f$ yang tak Lipschitz secara global, jalankanlah hal yang sama pada sebuah tabung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) di sekitar [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) dengan konstanta lokalnya. **Latihan 19.3 ★★.** Tunjukkan bahwa masing-masing berikut ini bersolusi maksimal yang semuanya global pada $\R$, sambil mengutip teorema yang tepat: (a) $x' = \sin(tx)$; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$; (c) $x'' + q(t)x = 0$ dengan $q$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (ubahlah menjadi sistem orde pertama); (d) $x' = A(t)x$ dengan $A$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan terbatas — lalu berikan batas Grönwall bagi $\norm{x(t)}$. **Solusi Latihan 19.3.** (a) Berlaku $\abs{\sin(tx)} \leq 1$: jadi terbatas, yakni pertumbuhan linear dengan $\alpha = 0$ dan $\beta = 1$: sehingga [Akibat 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) pada $U = \R\times\R$. (b) Berlaku $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$: jadi kembali sublinear (bahkan terbatas pada [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) waktunya): jadi global. (c) Dengan $X = (x, x')$: $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$: yakni linear dengan koefisien yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): jadi global (yakni latar [Teorema 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure)). (d) Global; dan lewat Grönwall seperti pada [Akibat 19.6](#cor-b3-ode-globallinear): $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ dengan $M = \sup\vertiii{A}$. **Latihan 19.4 ★★.** (a) Hitunglah $\eu^{tA}$ untuk $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$, dan $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$. (b) Selesaikan osilator yang digerakkan $x'' + x = \cos(\omega t)$ lewat Duhamel (dalam bentuk sistemnya), untuk $\omega \neq 1$ dan $\omega = 1$: sehingga resonansinya muncul sebagai suku sekular $t\sin t$. **Solusi Latihan 19.4.** (a) Berlaku $A^2 = -I$ untuk yang pertama: sehingga $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$. Untuk blok Jordannya: $\lambda I$ dan $N$ komutatif: sehingga $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. Untuk yang ketiga: $A^2 = I$: sehingga $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$. (b) Sistemnya $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$; lalu Duhamel dengan [resolven](#thm-b3-ode-linearstructure) rotasinya memberikan solusi khususnya: untuk $\omega \neq 1$, $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (periksalah langsung); sedangkan untuk $\omega = 1$ integral $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ menghasilkan pertumbuhan *sekular* $x_p = \frac t2\sin t$: yakni resonansinya — sebab penggeraknya memompakan energi pada frekuensi alaminya dan amplitudonya tumbuh secara linear. **Latihan 19.5 ★★.** Untuk persamaan skalar $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$: (a) Tunjukkan bahwa [Wronskian](#thm-b3-ode-linearstructure) $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ dua solusinya memenuhi $w' = -p\,w$ (menurut Abel), lalu turunkan bahwa dua solusi yang $w \neq 0$-nya di suatu tempat membentuk sebuah basis. (b) Diberikan satu solusi $x_1$ yang tak lenyap, carilah solusi umumnya lewat *penurunan orde*: tetapkan $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ lalu periksalah. Lalu terapkan pada $t^2x'' - 2x = 0$ di $\intoo0{+\infty}$ dengan $x_1(t) = t^2$. **Solusi Latihan 19.5.** (a) Berlaku $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$: sehingga $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$, yang tak pernah nol atau identik nol. Lalu jika $w \neq 0$, vektor $(x_i, x_i')(t_0)$ bebas di $\R^2$, dan karena ruang solusinya berdimensi $2$ ([Teorema 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure) bagi sistemnya), maka $(x_1, x_2)$ merupakan basis. (b) Dengan $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$: $x_2 = x_1u$, $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$, dan $$ x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0 $$ (sebab suku silangnya meniadakan diri secara persis; uraikanlah dengan saksama). Untuk $t^2x'' - 2x = 0$, yakni $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ (dengan $p = 0$) dan $x_1 = t^2$: $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$, sehingga $x_2 = -\frac1{3t}$: jadi solusi umumnya $at^2 + \frac bt$. **Latihan 19.6 ★★.** (Logistik) Untuk $x' = x(1 - x)$: tentukan semua kesetimbangannya dan kestabilannya (lewat [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) dan secara langsung); lalu tunjukkan bahwa setiap solusi dengan $x(0) \in \intoo01$ bersifat naik dan global, dengan limit $0$ dan $1$ di $\mp\infty$; lalu selesaikan secara eksplisit untuk membenarkannya. Lalu tunjukkan secara lebih umum bahwa solusi otonom skalarnya bersifat monoton, lalu simpulkan: tak ada solusi periodik tak konstan dalam dimensi $1$. **Solusi Latihan 19.6.** Kesetimbangannya $0, 1$; dan $f'(x) = 1 - 2x$: sehingga $f'(0) = 1 > 0$ (jadi tak [stabil](#def-b3-ode-stability) — sebab solusi di dekatnya menjauh, seperti ditunjukkan bentuk eksplisitnya), sedangkan $f'(1) = -1 < 0$: jadi [stabil](#def-b3-ode-stability) asimtotik ([Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) dalam dimensi $1$). Untuk $x(0) \in \intoo01$: $f > 0$ di sana, sehingga selama solusinya tinggal di $\intoo01$ ia naik; dan ia tak pernah dapat mencapai $0$ atau $1$ (menurut ketunggalannya: sebab keduanya [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected)), sehingga ia tinggal, terbatas — jadi global — dan naik ke sebuah limit $L \in \intoc{x(0)}1$. Seandainya $f(L) \neq 0$, maka $x' \geq c > 0$ di dekat limitnya, yang memaksa $x$ melewati $L$: jadi $f(L) = 0$ dan $L = 1$; sedangkan setangkup dengan itu $x \to 0$ di $-\infty$. Dan secara eksplisit $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ membenarkan segalanya. Secara umum: jika sebuah solusi otonom skalar mempunyai $x'(t_0) = 0$, maka $x(t_0)$ merupakan kesetimbangan dan ketunggalannya membuat $x$ konstan; sedangkan selain itu $f(x(t))$ menjaga tanda yang tetap (sebab ia tak pernah lenyap, dan $t \mapsto f(x(t))$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)): jadi $x$ monoton sejati — sehingga solusi periodik yang tak konstan bersifat mustahil. **Latihan 19.7 ★★.** (Integral pertama) Misalkan $H \colon \Omega \to \R$ bersifat $\mathcal C^1$ lalu tinjaulah sistem Hamilton bidang $x' = \partial_yH$, $y' = -\partial_xH$. (a) Tunjukkan bahwa $H$ konstan sepanjang solusinya. (b) Untuk $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$: tunjukkan bahwa semua solusinya global dan terbatas, dan bahwa titik asalnya [stabil](#def-b3-ode-stability) (lewat Lyapunov: yakni $H$) walaupun pelinearannya ($\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$) *tak* [stabil](#def-b3-ode-stability) asimtotik: sehingga pelinearannya dapat tak menyimpulkan. **Solusi Latihan 19.7.** (a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$. (b) Himpunan aras $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) (sebab $H$ koersif), sehingga solusinya terjebak di [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): jadi global dan terbatas ([Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). Untuk kestabilan $(0,0)$: $V = H$ bersifat definit positif (sebab $H = 0$ hanya di titik asalnya) dengan $\dot V = 0$: sehingga [Teorema 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov). Sedangkan pelinearannya $x' = y$, $y' = 0$ mempunyai matriks nilpoten yang tak terdiagonalkan bernilai eigen $0$: sehingga [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) bungkam (sebab hipotesisnya $\operatorname{Re}\lambda < 0$ gagal), dan sungguh sistem terlinearkannya tak [stabil](#def-b3-ode-stability) (sebab $y_0 \ne 0$ menghanyut) sedangkan yang taklinear [stabil](#def-b3-ode-stability): jadi pelinearan pada kesetimbangan yang tak hiperbolik tak membuktikan apa pun. **Latihan 19.8 ★★★.** (Bandul teredam) $x'' + cx' + \sin x = 0$ dengan $c > 0$; dan sistemnya: $x' = y$, $y' = -\sin x - cy$. (a) Tunjukkan bahwa $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ memenuhi $\dot V = -cy^2 \leq 0$: sehingga titik asalnya [stabil](#def-b3-ode-stability). (b) Sedangkan $\dot V$ lenyap pada seluruh sumbu $y = 0$: sehingga kriteria sejati Lyapunov gagal. Buktikanlah kestabilan asimtotiknya tetap, lewat pelinearan ([Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization)): hitunglah nilai eigen matriks terlinearkannya di $(0,0)$ lalu periksalah $\operatorname{Re} < 0$ untuk setiap $c > 0$. (c) Apa yang terjadi pada kesetimbangan $(\pi, 0)$? Hitunglah pelinearannya lalu simpulkan (sebab satu nilai eigennya positif: yakni ketakstabilan — Anda boleh memakai pernyataan ketakstabilannya secara tak formal atau menghasilkan sebuah solusi yang lolos secara eksplisit dari sistem linearnya). **Solusi Latihan 19.8.** (a) Berlaku $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$, dan $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ bersifat definit positif pada $\{\abs x < 2\pi\}$ di sekitar titik asalnya: jadi [stabil](#def-b3-ode-stability) ([Teorema 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov)). (b) Matriks terlinearkannya di $(0,0)$ adalah $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$, dengan polinomial karakteristik $\lambda^2 + c\lambda + 1$: yang berakar $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — keduanya real negatif jika $c \geq 2$, dan kompleks berbagian real $-\frac c2 < 0$ jika $0 < c < 2$. Jadi dalam segala kasusnya $\operatorname{Re}\lambda < 0$: sehingga [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) memberikan kestabilan asimtotiknya (walaupun $\dot V$-nya merosot). (c) Di $(\pi, 0)$: $\sin(\pi + u) = -\sin u$, dengan pelinearannya $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$, dan karakteristiknya $\lambda^2 + c\lambda - 1$: yang berakar bertanda berlawanan (sebab $\lambda_+\lambda_- = -1$). Lalu sepanjang vektor eigen tak [stabilnya](#def-b3-ode-stability), sistem linearnya mempunyai solusi yang lolos secara eksplisit $\eu^{\lambda_+t}v_+$ dengan $\lambda_+ > 0$: sehingga bandul terbalik itu tak [stabil](#def-b3-ode-stability) untuk setiap redamannya. **Latihan 19.9 ★★.** (Perbatasan ketunggalannya) Untuk $\alpha \in \intoo01$, tunjukkan bahwa soal $x' = \abs x^{\alpha}$ dengan $x(0) = 0$ mempunyai tak berhingga banyak solusi (sesuaikan [Soal 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), Bagian III). Lalu tunjukkan sebaliknya bahwa untuk $\alpha = 1$ (yakni $x' = \abs x$) solusi yang melalui $0$ bersifat tunggal, lalu kenali dengan tepat hipotesis mana pada [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) yang membedakan kedua kasusnya. **Solusi Latihan 19.9.** Untuk $\alpha \in \intoo01$: selain $x \equiv 0$, setiap $$ x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases} $$ bersifat $\mathcal C^1$ dan menyelesaikan persamaannya (sebab eksponennya $\frac1{1-\alpha} > 1$ membuat turunannya lenyap di $c$): jadi sebuah kontinum solusi yang melalui $(0,0)$. Sedangkan untuk $\alpha = 1$: $x \mapsto \abs x$ bersifat Lipschitz-$1$ secara global (sebab $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$), sehingga [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) berlaku dan satu-satunya solusi yang melalui $0$ adalah $x \equiv 0$. Jadi perbatasannya tepat syarat [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz) di $0$: sebab $\abs x^\alpha$ berhasil bagi selisih yang tak terbatas di sana untuk $\alpha < 1$. **Latihan 19.10 ★★★.** (Batas a priori menjebak solusinya) Misalkan $F \colon \R^d \to \R^d$ [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz) dengan $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ setiap kali $\norm x \geq R$. (a) Tunjukkan bahwa bola tertutup $\bar B(0, R)$ bersifat invarian secara positif: yakni solusi yang bermula di dalamnya tinggal di dalamnya untuk $t \geq 0$. *(Jika $\norm{x(t_2)} > R$, tinjaulah waktu terakhir $t_1 < t_2$ dengan $\norm{x(t_1)} = R$ lalu pelajarilah $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ pada $\intcc{t_1}{t_2}$.)* (b) Turunkan keberadaan maju yang global bagi data di bolanya. Lalu tanganilah sistem gradiennya $x' = -\nabla G(x)$ dengan $G \in \mathcal C^2$ dan $G(x) \to +\infty$ saat $\norm x \to \infty$: tunjukkan bahwa $G$ menurun sepanjang solusinya, bahwa setiap solusinya tinggal di himpunan subaras (yang terbatas) $\{G \leq G(x_0)\}$, lalu simpulkan keberadaan maju yang global. **Solusi Latihan 19.10.** (a) Andaikan $\norm{x(t_2)} > R$ untuk suatu $t_2 > 0$ dengan $\norm{x(0)} \leq R$, lalu misalkan $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$: maka $\norm{x(t_1)} = R$ dan $\norm{x(t)} > R$ pada $\intoc{t_1}{t_2}$. Lalu pada selang itu $g(t) = \norm{x(t)}^2$ mempunyai $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (sebab hipotesisnya berlaku: karena $\norm{x(t)} \geq R$), sehingga $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$: jadi bertentangan. Sehingga bolanya invarian secara positif. (b) Sebuah solusi yang terjebak di bola [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tak dapat mempunyai $T_+ < \infty$ ([Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2)): jadi global maju. Untuk sistem gradiennya: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$: sehingga $G$ menurun, jadi solusinya tinggal di $\{G \leq G(x_0)\}$, yang terbatas (menurut kekoersifannya: sebab di luar sebuah bola yang besar, $G > G(x_0)$) dan tertutup: jadi [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact). Sehingga pelolosannya mustahil: jadi setiap solusi sistem gradien yang koersif bersifat global maju, yang meluncur menurun selamanya. **Latihan 19.11 ★★.** (Peledakan lewat pembandingan) Tinjaulah $x' = x^2 + t^2$ dengan $x(0) = 1$. (a) Tunjukkan bahwa [solusi maksimalnya](#thm-b3-ode-maximal) ada pada suatu $\intco0{T_+}$ dengan $T_+ < \infty$: bandingkanlah dengan $y' = y^2$, $y(0) = 1$ *(buktikanlah lema pembandingan yang Anda perlukan: bahwa jika $x' \geq F(x)$ dan $y' = F(y)$ dengan $x(0) \geq y(0)$, maka $x \geq y$ di tempat keduanya hidup)*, lalu turunkan $T_+ \leq 1$. (b) Batasilah $T_+$ dari bawah: pada $\intcc01$, $x' \leq x^2 + 1$; lalu bandingkan dengan supersolusinya $z' = z^2 + 1$ dengan $z(0) = 1$, yang diselesaikan $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$, lalu simpulkan $T_+ \geq \frac\pi4$. (c) Rakitlah $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ lalu rumuskan moralnya: bahwa pertumbuhan superlinear ruas kanannya adalah yang membunuh keberadaan globalnya (dengan [Latihan 19.3](#exo-b3-ode-3) sebagai tandingannya), dengan perbatasannya berupa kekonvergenan $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$. **Solusi Latihan 19.11.** (a) Untuk lema pembandingannya: misalkan $w = x - y$ pada selang bersamanya; maka $w(0) \geq 0$ dan $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ dengan $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ yang terbatas pada selang waktu [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) (sebab $F$ [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz)); lalu $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$, sehingga $w \geq 0$ di sepanjangnya. Dengan $F(x) = x^2$: $y(t) = \frac1{1 - t}$ meledak di $1$, dan $x \geq y$ selama $x$ hidup; sehingga jika $T_+ > 1$, maka $x$ akan berhingga di $t = 1$ padahal mendominasi $y \to \infty$: jadi mustahil. Sehingga $T_+ \leq 1$. (b) Untuk pembandingan terbaliknya (lewat lema yang sama dengan peran yang ditukar): pada $\intcc01\cap\intco0{T_+}$, $t^2 \leq 1$ memberikan $x' \leq x^2 + 1$, sedangkan $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ memenuhi $z' = z^2 + 1$ dengan $z(0) = 1 = x(0)$: sehingga $x \leq z$ selama keduanya terdefinisi. Lalu karena $z$ berhingga pada $\intco0{\frac\pi4}$, maka $x$ tak dapat meledak sebelum $\frac\pi4$: jadi $T_+ \geq \frac\pi4$. (c) Bersama-sama: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (dan secara numerik $T_+ \approx 0.96$). Moralnya: bahwa untuk $x' = F(t, x)$ dengan $F$ yang superlinear terhadap $x$, solusinya meledak dalam waktu berhingga setiap kali $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (sebab solusi pembandingnya mencapai tak hingga dalam waktu berhingga itu); sedangkan pertumbuhan linear, yang integralnya divergen, memaksa keberadaan globalnya ([Latihan 19.3](#exo-b3-ode-3)). Jadi ia integral Osgood yang sama seperti pada [Soal 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), yang kini mengatur pelolosan ke tak hingga alih-alih pelolosan dari nol. **Latihan 19.12 ★★★.** (Teorema pembandingan Sturm) Misalkan $q_1 \leq q_2$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada sebuah selang $I$, dan misalkan $u \neq 0$ menyelesaikan $u'' + q_1u = 0$ dan $v \neq 0$ menyelesaikan $v'' + q_2v = 0$. (a) Tegakkanlah identitas [Wronskiannya](#thm-b3-ode-linearstructure): bahwa dengan $W = uv' - u'v$, $W' = (q_1 - q_2)\,uv$. (b) (Sturm) Tunjukkan bahwa di antara dua akar berurutan $a < b$ milik $u$, entah $v$ lenyap di suatu tempat pada $\intoo ab$, entah $q_1 = q_2$ dan $v \propto u$ di sana *(andaikan $u > 0$ pada $\intoo ab$ dan $v > 0$ pula; lalu integralkan (a) dari $a$ ke $b$ lalu periksalah tanda suku batasnya $W(a), W(b)$)*. (c) Turunkan: bahwa solusi $u'' + qu = 0$ dengan $q \geq m > 0$ lenyap setidaknya sekali pada setiap selang berpanjang $\pi/\sqrt m$ (bandingkanlah dengan $v'' + mv = 0$); sedangkan solusi dengan $q \leq 0$ lenyap paling banyak sekali pada $\R$. Lalu ujilah keduanya pada $q \equiv \pm1$. **Solusi Latihan 19.12.** (a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$. (b) Misalkan $a < b$ akar berurutan $u$; lalu normalkan $u > 0$ pada $\intoo ab$ (sehingga $u'(a) > 0$ dan $u'(b) < 0$ — yang tak nol menurut ketunggalannya, sebab $u(a) = u'(a) = 0$ akan memaksa $u \equiv 0$). Andaikan $v$ tak berakar di $\intoo ab$; lalu normalkan $v > 0$ di sana (sehingga $v(a), v(b) \geq 0$ menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)). Lalu integralkan (a): $$ W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 . $$ Padahal $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ dan $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$: sehingga $W(b) - W(a) \geq 0$. Jadi kesamaannya di sepanjangnya: sebab $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ dengan $uv > 0$ pada selang terbukanya memaksa $q_1 = q_2$ di sana; dan $W(a) = W(b) = 0$ memaksa $v(a) = v(b) = 0$; lalu $W \equiv 0$ pada $\intcc ab$ (sebab turunannya lenyap), yakni $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ pada $\intoo ab$: jadi $v \propto u$. (c) Ambillah $q_1 = m$ dan $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$, yang akar berurutannya berjarak $\pi/\sqrt m$, dan $q_2 = q \geq m$: maka menurut (b), setiap solusi $v$ dari $v'' + qv = 0$ lenyap di setiap selang terbuka berpanjang $\pi/\sqrt m$ (sedangkan pada alternatif merosotnya $q \equiv m$, $v \propto u$ lenyap pula). Sedangkan jika $q \leq 0$: terapkan (b) dengan $q_1 = q$, $u = v$, dan $q_2 = 0$ beserta solusi bebas akar $\mathbf 1$ dari $v'' = 0$. Seandainya $v$ berakar dua kali secara berurutan, (b) akan memaksa entah sebuah akar $\mathbf 1$ di antaranya entah kasus merosotnya $\mathbf 1 \propto v$ — keduanya mustahil: jadi $v$ lenyap paling banyak sekali. Untuk ujinya: bagi $q = 1$, $\sin t$ lenyap setiap $\pi = \pi/\sqrt1$, seperti yang diramalkan; sedangkan bagi $q = -1$, $\sinh t$ lenyap tepat sekali dan $\eu^t$ tak pernah — jadi paling banyak satu akar, seperti yang diramalkan. ## 19.6 Soal: bandulnya, yang terselesaikan sepenuhnya **Soal 19.1.** Soal akhir pekan — osilasi, rotasi, separatriks, dan periodenya Persamaan bandul $x'' = -\sin x$ — sebagai sistem: $x' = y$, $y' = -\sin x$ pada $\R^2$ — merupakan lalat buah dinamika: mudah ditulis, mustahil diselesaikan lewat rumus dasar, namun sepenuhnya terpahami lewat metode kualitatifnya. Misalkan $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (yakni *energinya*). **Bagian I — Struktur globalnya.** 1. Tunjukkan bahwa semua [solusi maksimalnya](#thm-b3-ode-maximal) bersifat global (yakni terdefinisi pada $\R$ ): pakailah $\dot E = 0$ dan [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal) . Untuk kesetimbangannya: $(k\pi, 0)$ ; lalu golongkan pelinearannya (bertipe pusat bagi $k$ yang genap, dan pelana bagi $k$ yang gasal). 2. Tunjukkan bahwa [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) termuat di himpunan aras $\{E = E_0\}$ , lalu sketsakan atau uraikan menurut nilai $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (kesetimbangannya), $-1 < E_0 < 1$ (kurva tertutup di sekitar $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (separatriks yang melalui $(\pm\pi, 0)$ ), dan $E_0 > 1$ (grafik atas $x$ : yakni rotasinya). 3. Buktikan bahwa kesetimbangan bawahnya $(0,0)$ bersifat [stabil](#def-b3-ode-stability) tetapi *tak* [stabil](#def-b3-ode-stability) asimtotik. *(Pakailah Lyapunov dengan $V = E + 1$; sedangkan ketakasimtotikannya: sebab kekekalan energinya menjebak [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) pada kurva aras yang jauh dari titik asalnya.)* **Bagian II — Osilasi dan periodenya.** Tetapkan $-1 < E_0 < 1$ lalu tulislah $E_0 = -\cos a$ dengan $a \in \intoo0\pi$ (yakni amplitudonya). 4. Tunjukkan bahwa solusi dengan $x(0) = a$ dan $y(0) = 0$ berosilasi: yakni $x(t) \in \intcc{-a}a$ , dan [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) berupa kurva tertutup $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Lalu benarkanlah bahwa solusinya periodik: sebab [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) kurva [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tanpa kesetimbangan, yang dilalui dengan laju terbatas dari bawah — jadikanlah ini sebuah argumen (sebab solusinya kembali ke titik awalnya dalam waktu berhingga, lalu ketunggalannya memaksa keperiodikannya). 5. Tegakkanlah rumus periodenya $$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$$ *(pada seperempat [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action), $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ dan pisahkanlah variabelnya; lalu benarkan kekonvergenan tak wajarnya di $x = a$)*. 6. (Osilasi kecil) Substitusikan $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ lalu tunjukkan bahwa $$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$$ (yakni sebuah integral eliptik [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)). Lalu turunkan lewat kekonvergenan terdominasi bahwa $T(a) \to 2\pi$ saat $a \to 0^+$: yakni limit harmoniknya, yang tak bergantung pada amplitudonya — yaitu keisokronan hampiran Galileo, beserta koreksi persisnya $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (uraikanlah integrannya lalu integralkan suku demi suku, dan benarkanlah lewat kekonvergenan normalnya). 7. Tunjukkan bahwa $T(a) \to +\infty$ saat $a \to \pi^-$ *(batasilah integrannya dari bawah di dekat $\varphi = \frac\pi2$ saat $k \to 1$, atau terapkan kekonvergenan monotonnya)* : sehingga saat mendekati separatriksnya, bandulnya melambat tanpa batas. **Bagian III — Separatriksnya.** 8. Untuk $E_0 = 1$, $y = 2\cos\frac x2$ pada cabang atasnya: pisahkanlah variabelnya lalu integralkan untuk mencari solusi eksplisitnya $$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$$ (dengan $x(0) = 0$ dan $y(0) = 2$). Lalu periksalah secara langsung bahwa ia menyelesaikan persamaan bandulnya, lalu hitunglah limitnya beserta limit $y(t)$ saat $t \to \pm\infty$. 9. Simpulkan: bahwa [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) separatriksnya menghubungkan pelana $(-\pi, 0)$ (saat $t \to -\infty$ ) ke pelana $(\pi, 0)$ (saat $t \to +\infty$ ) tetapi tak mencapai satu pun dalam waktu berhingga — yang konsisten dengan ketunggalannya (mengapa mencapai sebuah pelana dalam waktu berhingga akan bertentangan dengan [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ?). **Bagian IV — Rotasi, dan gambaran [lengkapnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).** 10. Untuk $E_0 > 1$: tunjukkan bahwa $y$ tak pernah lenyap, $x$ bersifat monoton sejati dan global dengan $x(t) \to \pm\infty$, dan $t \mapsto y(t)$ bersifat periodik dengan periode $$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$$ 11. Rakitlah potret fase yang [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (yakni gambar bab ini) beserta pembenaran penuh setiap gejalanya, lalu tulislah ringkasan sepuluh baris atas metodenya: yakni energi, himpunan aras, kekompakan, dan ketunggalan — bagaimana setiap teorema bab ini masuk. Lalu di manakah kita pernah memerlukan sebuah rumus bagi solusi umumnya? **Bagian V — Fungsi periodenya di bawah mikroskop.** 12. Buktikan momen Wallisnya $$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$ lewat induksi (dengan mengintegralkannya secara parsial), lalu uraikan integran pertanyaan 6 lewat deret binomialnya, lalu benarkanlah pengintegralan suku demi sukunya untuk memperoleh deret [lengkapnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) $$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$$ 13. Ubahlah ke amplitudonya: $$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$$ *(substitusikanlah uraian $\sin\frac a2$ lalu kumpulkan)*. Sehingga keisokronannya gagal pada orde $a^2$, dan kegagalannya kini [terukur](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) sampai orde $a^4$. 14. Tunjukkan bahwa $a \mapsto T(a)$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan naik sejati pada $\intoo0\pi$ , lalu simpulkan bersama pertanyaan 6–7 bahwa $T$ merupakan bijeksi dari $\intoo0\pi$ ke $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : sehingga setiap periode superkritisnya diwujudkan tepat satu amplitudo. 15. (Aritmetika pembuat jam) Sebuah bandul yang diatur pada amplitudo yang melenyap menjaga waktu yang [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) ; lalu tunjukkan bahwa jika dijalankan pada amplitudo $a$ ia tertinggal sebesar pecahan $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ dari waktu [idealnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) , lalu hitunglah pergeserannya untuk $a = 0.2$ rad: yakni sekitar $216$ detik per hari. (Sedangkan pipi sikloid Huygens dan amplitudo tetap yang kecil pada rodagigi pelepasnya sama-sama merupakan jawaban atas bilangan ini.) 16. Kembalilah ke periode rotasi $\tau$ pada pertanyaan 10: tunjukkan bahwa $\tau$ turun sejati pada $\intoo1{+\infty}$ , bahwa $\tau(E_0) \to +\infty$ saat $E_0 \to 1^+$ (lewat kekonvergenan monoton), dan bahwa $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ saat $E_0 \to +\infty$ (lewat kekonvergenan terdominasi): sehingga pusaran cepat secara asimtotik merupakan rotasi bebas berlaju sudut $\sqrt{2E_0}$ . **Bagian VI — Metodenya yang diekspor: Lotka–Volterra.** Resep bandulnya — yakni integral pertama, kurva aras yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), dan ketunggalan — menyelesaikan sebuah ekosistem. Tetapkan $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ lalu tinjaulah, pada kuadran terbuka $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$, $$ x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma) $$ (dengan $x$ mangsanya dan $y$ pemangsanya). 17. Tunjukkan bahwa $Q$ bersifat invarian — sebab sumbunya berupa gabungan [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) , yang dapat dihitung secara eksplisit, yang tak boleh diseberangi solusi mana pun ( [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ) — dan bahwa satu-satunya kesetimbangan di $Q$ adalah $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ . 18. Tunjukkan bahwa $$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$$ merupakan integral pertama, bahwa $H = f(x) + g(y)$ dengan $f, g$ yang cembung sejati dan meledak di tak hingga pada $\intoo0{+\infty}$ dengan minimum di $x_*$ dan $y_*$, lalu turunkan bahwa semua [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal) di $Q$ bersifat global. 19. Tunjukkan bahwa untuk $h > h_* = H(x_*, y_*)$ himpunan aras $\{H = h\}\cap Q$ merupakan kurva tertutup di sekitar kesetimbangannya: yakni dua cabang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $y_\pm(x)$ atas sebuah selang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , yang direkatkan di ujungnya — yakni analogi oval bandulnya. 20. Buktikan bahwa setiap [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) takkesetimbangan di $Q$ bersifat periodik: tegakkanlah peredaran berlawanan arah jarum jam melalui keempat daerah yang teriris garis $x = x_*$ dan $y = y_*$ , lalu batasi waktu penyeberangan setiap busurnya oleh sebuah integral berkesingularan akar kuadrat yang konvergen (seperti pada pertanyaan 5), lalu tutuplah dengan ketunggalannya (seperti pada pertanyaan 4). 21. (Hukum rata-rata Volterra) Jika $T$ periode sebuah [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) semacam itu, tunjukkan bahwa $$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$$ yakni rata-rata waktunya sama dengan nilai kesetimbangannya, berapa pun amplitudonya *(integralkanlah $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ atas satu periode)*. 22. (Paradoks penangkapan ikan) Panenlah kedua spesiesnya dengan laju $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : maka sistemnya menjaga bentuknya dengan $\alpha - \varepsilon$ dan $\gamma + \varepsilon$ menggantikan $\alpha$ dan $\gamma$ . Lalu apa yang terjadi pada populasi rata-ratanya? Terangkanlah pengamatan d’Ancona (1914–1918): bahwa ketika penangkapan ikan Adriatik menurun selama perang, proporsi pemangsanya (yakni hiu) pada tangkapannya justru *naik* — dan mengapa penangkapan yang sedang menguntungkan mangsanya. 23. Tulislah moral sepuluh barisnya: teorema mana pada bab ini yang menggerakkan setiap langkahnya, apa yang menggantikan energi bandulnya, dan mengapa kedua sistemnya tak memerlukan — atau tak memiliki — solusi bentuk tertutup yang dasar. 24. (Modulasi lajunya) Pada rezim rotasinya $E_0 > 1$ , tunjukkan bahwa $y = x'$ berosilasi antara $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (di $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) dan $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (di $x \equiv 0$ ), bahwa rata-rata waktu $y$ atas satu periode tepat $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ , dan bahwa nisbah modulasinya $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ saat $E_0 \to \infty$ : sehingga rotasi cepat bersifat asimtotik seragam. 25. (Kemonotonan periode rotasinya) Tunjukkan bahwa $\tau(E_0)$ bersifat $\mathcal C^1$ dan turun sejati pada $\intoo1{+\infty}$ *(turunkanlah di bawah tanda integralnya, dengan dominasi pada setiap $\intco{1 + \delta}\infty$)* , dengan $\tau \to \infty$ saat $E_0 \to 1^+$ dan $\tau \to 0$ saat $E_0 \to \infty$ . Lalu rakitlah gambaran bifurkasi [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) bandulnya sepanjang sumbu energinya: yakni kesetimbangan di $E_0 = -1$ , librasi berperiode naik dari $2\pi$ ke $\infty$ pada $-1 < E_0 < 1$ , separatriks di $E_0 = 1$ , dan rotasi berperiode turun dari $\infty$ ke $0$ selebihnya. **Solusi Soal 19.1.** **1.** Berlaku $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$: sehingga energinya merupakan integral pertama. Lalu pada sebuah [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal), $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$: jadi $y$ terbatas; sehingga $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ tumbuh paling banyak secara linear: jadi pada sembarang selang waktu berhingga [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) tinggal di sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\R^2$, sehingga [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) memaksa $T_\pm = \pm\infty$. Kesetimbangannya $(k\pi, 0)$; dengan pelinearan $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ karena $-\cos(k\pi) = \mp1$: sehingga nilai eigennya $\pm\iu$ bagi $k$ yang genap (yakni bertipe pusat, yang tak menyimpulkan dengan sendirinya) dan $\pm1$ bagi $k$ yang gasal (yakni pelana). **2.** Karena $E$ konstan sepanjang solusinya, setiap [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) terkurung di sebuah himpunan aras $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$. Untuk $E_0 = -1$: hanya titik $(2k\pi, 0)$. Untuk $-1 < E_0 < 1$: dengan menulis $E_0 = -\cos a$, himpunannya berupa gabungan saling lepas kurva tertutup $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ atas $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$, satu di sekitar setiap kesetimbangan [stabilnya](#def-b3-ode-stability). Untuk $E_0 = 1$: kurva $y = \pm2\cos\frac x2$ yang menghubungkan pelana berurutan — yakni separatriksnya — beserta pelananya sendiri. Sedangkan untuk $E_0 > 1$: dua grafik $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$, yang terdefinisi untuk setiap $x$ dan tak pernah menyentuh $y = 0$. **3.** Fungsi $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ lenyap di $(0,0)$, positif pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) tertusuk (dengan $\abs x < 2\pi$), dan $\dot V = 0 \leq 0$: sehingga [Teorema 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov) memberikan kestabilannya. Namun tak asimtotik: sebab solusi yang melalui $(a, 0)$ (dengan $0 < a$ yang kecil) tetap pada kurva aras $E = -\cos a$, yang jaraknya ke titik asalnya positif (sebab kurvanya memotong sumbu-$x$ hanya di $\pm a$): sehingga $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$. **4.** Pada kurva aras $C_a$: tak ada kesetimbangan (sebab $y = 0$ memaksa $x = \pm a$ dengan $\sin(\pm a) \neq 0$ untuk $0 < a < \pi$), sehingga lajunya $\norm{(y, -\sin x)}$ berminimum positif $m$ pada $C_a$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact). Lalu ikutilah solusinya dari $(a, 0)$: pada setengah bidang bawahnya $x' = y < 0$, sehingga $x$ turun dari $a$ ke $-a$ dalam waktu berhingga (sebab integral seperempat atau setengah periodenya konvergen: lihat analisis pertanyaan 5), lalu mencapai $(-a, 0)$; lalu menurut kesetangkupan $(x, y) \mapsto (x, -y)$ dan $t \mapsto -t$ pada persamaannya, setengah atasnya dilalui kembali dalam waktu $\frac T2$ yang sama: sehingga solusinya kembali ke $(a, 0)$ pada waktu $T$. Lalu ketunggalannya ([Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) merambatkannya: $x(t + T) = x(t)$ untuk setiap $t$: jadi periodik. **5.** Pada cabang yang $y > 0$: $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ dan $\dd t = \frac{\dd x}{y}$; lalu mengintegralkan $x$ dari $-a$ ke $a$ memberikan setengah periodenya, dan kesetangkupan $x \mapsto -x$ memparuhkan integralnya lagi: $$ T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} . $$ Untuk kekonvergenannya di $x = a^-$: $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ dengan $\sin a > 0$: sehingga integrannya berperilaku seperti $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$, yang [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1). **6.** Dengan $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ dan $k = \sin\frac a2$: $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ dan $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$, sehingga $$ T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} . $$ Lalu saat $a \to 0^+$, $k \to 0$: sebab untuk $k \leq k_0 < 1$ integrannya terdominasi oleh $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$, yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $\intcc0{\pi/2}$: sehingga kekonvergenan terdominasinya memberikan $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$. Lalu dengan menguraikan $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ dengan $u = k^2\sin^2\varphi$ (lewat kekonvergenan normalnya untuk $k < 1$) dan $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$: $$ T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) : $$ sehingga keisokronannya berlaku hanya sampai orde pertamanya; dan periodenya tumbuh seiring amplitudonya. **7.** Saat $k \uparrow 1$ integrannya naik menuju $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$, yang integralnya divergen: sehingga lewat kekonvergenan monoton, $T(a) \to +\infty$ saat $a \to \pi^-$. **8.** Pada cabang $y = 2\cos\frac x2$ (dengan $\abs x < \pi$): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$; lalu dengan $u = \frac x2$, $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$, sehingga $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$, yakni $$ x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} . $$ Untuk pemeriksaannya lewat energinya: dengan $\theta = \arctan\eu^t$, $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$, sehingga $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ dan $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$: jadi [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) terletak pada separatriksnya, dan menurunkan $y^2 = 2(1 + \cos x)$ di tempat $y > 0$ menghasilkan kembali $y' = -\sin x$. Limitnya: $x \to \pm\pi$ dan $y \to 0$ saat $t \to \pm\infty$. **9.** [Orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) menuju pelana $(\pi, 0)$ ke depan dan $(-\pi, 0)$ ke belakang tetapi tak pernah tiba: sebab seandainya ia mencapai $(\pi, 0)$ pada waktu berhingga $t^*$, maka dua [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal) yang berbeda — yakni solusi separatriksnya dan solusi konstan di pelananya — akan melalui titik yang sama $(t^*, (\pi, 0))$, yang bertentangan dengan [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness). Jadi pelananya hanya didekati secara asimtotik. **10.** Untuk $E_0 > 1$: $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$: sehingga $y$ menjaga tandanya, dan $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$: jadi $x$ monoton sejati dan global (pertanyaan 1), dengan $x(t) \to \pm\infty$. Lalu karena $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ dan $\cos$ berperiode $2\pi$, maka $y$ kembali ke nilainya setiap kali $x$ maju sejauh $2\pi$; dan waktu yang diperlukannya adalah $$ \tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} $$ (lewat substitusi dan keperiodikannya): sehingga $y$ berperiode $\tau$ — jadi bandulnya berpusar dengan laju rotasi yang asimtotik tetap $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ untuk energi yang besar. **11.** Metodenya, berurutan: *energinya* (yakni $\dot E = 0$) menyusutkan [aliran](#ex-b3-ode-planeclassification) dua dimensinya menjadi kurva aras satu dimensi; lalu *keterbatasan* $y$ pada setiap arasnya ditambah [pelolosan dari kompaknya](#thm-b3-ode-maximal) memberikan keberadaan globalnya; lalu *kekompakan* aras tertutupnya memberikan batas lajunya sehingga keperiodikannya; lalu *ketunggalannya* mengubah kembalinya yang pertama menjadi keperiodikan yang persis, melarang kedatangan pada pelananya dalam waktu berhingga, dan memisahkan tipe [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action); lalu *pelinearan dan Lyapunov* menggolongkan kesetimbangannya; sedangkan *integral periodenya* dianalisis lewat teorema kekonvergenan [Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue). Jadi tak pernah kita memiliki — atau memerlukan — solusi umum berbentuk tertutup: sebab teori kualitatifnya memetik setiap gejala geraknya dari persamaannya sendiri. **12.** Integral parsial: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$, sehingga $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$; lalu dengan $W_0 = \frac\pi2$ dan $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (sebab $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$), induksinya memberikan nilai yang ditampilkan itu. Untuk deret binomialnya: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ dengan $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ dan jari-jari $1$. Lalu untuk $k \leq k_0 < 1$ dan $u = k^2\sin^2\varphi$, deret $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ konvergen normal terhadap $\varphi$ (sebab $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$), sehingga pengintegralan suku demi sukunya pada rumus pertanyaan 6 bersifat sah: $$ T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} . $$ Lalu dengan $c_0 = 1$, $c_1 = \frac12$, dan $c_2 = \frac38$: $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$, dengan sisanya seragam untuk $k \leq k_0$ (sebab ekornya terdominasi sebuah deret geometri). **13.** Berlaku $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$, sehingga $$ k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) , $$ dan $$ \frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) , $$ sebab $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$. **14.** Pada bentuk eliptik pertanyaan 6, $a \mapsto k = \sin\frac a2$ merupakan bijeksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang naik sejati dari $\intoo0\pi$ ke $\intoo01$, dan untuk setiap $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ integrannya $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ naik sejati terhadap $k$: sehingga $T$ naik sejati. Untuk [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): pada $k \leq k_0 < 1$ integrannya terdominasi oleh $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), sehingga kekonvergenan terdominasinya berlaku sepanjang $k' \to k$. Lalu dengan limitnya $T \to 2\pi$ saat $a \to 0^+$ (pertanyaan 6) dan $T \to +\infty$ saat $a \to \pi^-$ (pertanyaan 7), kemonotonan sejatinya dan teorema nilai antaranya membuat $T$ menjadi bijeksi dari $\intoo0\pi$ ke $\intoo{2\pi}{+\infty}$. **15.** Sebuah jam mencacah ayunan; dan jika diatur pada amplitudo yang melenyap, ia membukukan periode harmoniknya $2\pi$ per ayunan (dalam satuan waktu bandulnya). Sedangkan jika dijalankan pada amplitudo $a$, periode sebenarnya adalah $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$: sehingga jamnya membukukan $2\pi$ padahal $T(a)$ sungguh berlalu, jadi ia tertinggal sebesar pecahan $$ \frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) . $$ Untuk $a = 0.2$ rad (yakni sekitar $11.5$ derajat): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$, dan satu hari berdurasi $86400$ s: sehingga jamnya kehilangan $86400/400 = 216$ detik — yakni sekitar tiga setengah menit — per hari. Karena itu kedua obat historisnya: memaksakan amplitudo tetap yang mungil (lewat rodagigi pelepasnya), atau membengkokkan kendalanya sehingga periodenya sungguh bebas amplitudo (lewat pipi sikloid Huygens, 1657). **16.** Pada $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ integrannya, untuk setiap $x$ yang tetap, turun sejati terhadap $E_0$: sehingga $\tau$ turun sejati. Lalu saat $E_0 \downarrow 1$ integrannya naik secara titik demi titik menuju $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$, yang integralnya atas $\intoo{-\pi}\pi$ divergen (sebab $\cos\frac x2$ lenyap berorde pertama di $\pm\pi$): sehingga kekonvergenan monotonnya memberikan $\tau(E_0) \to +\infty$. Sedangkan saat $E_0 \to +\infty$: $$ \sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi $$ lewat kekonvergenan terdominasi (sebab untuk $E_0 \geq 2$ integrannya paling banyak $\sqrt2$). Jadi $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$: sehingga satu putaran memakan waktu rotasi bebas berlaju $\sqrt{2E_0}$, dengan potensialnya menyusut menjadi riak — yang cocok dengan laju rotasi pertanyaan 10. **17.** Sumbunya membawa solusi eksplisit $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ dan $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$, beserta kesetimbangan $(0, 0)$: jadi keduanya gabungan [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action). Sedangkan medannya bersifat $\mathcal C^1$, jadi [Lipschitz lokal](#def-b3-ode-lipschitz); sehingga solusi yang bermula di $Q$ yang menyentuh sebuah sumbu akan melalui sebuah titik salah satu [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) itu lalu, menurut [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness), berimpit dengannya — yang mustahil, sebab yang satu hidup pada sumbunya sedangkan yang lain tidak. Jadi $Q$ invarian dalam kedua arah waktunya. Untuk kesetimbangan di $Q$: $x > 0$ memaksa $\alpha - \beta y = 0$ dan $y > 0$ memaksa $\delta x - \gamma = 0$: sehingga hanya satu titik $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$. **18.** Sepanjang sebuah solusi, $$ \dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 . $$ Sedangkan $f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ mempunyai $f'' = \gamma/x^2 > 0$, dengan $f'$ yang lenyap hanya di $x_*$, dan $f \to +\infty$ baik di $0^+$ maupun di $+\infty$: jadi cembung sejati dan meledak, berminimum $f(x_*)$; dan demikian pula $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$, berminimum $g(y_*)$. Sehingga $H \geq h_*$ dengan kesamaannya hanya di $(x_*, y_*)$, dan setiap subaras $\{H \leq h\}\cap Q$ bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sebab $f(x) \leq h - g(y_*)$ mengurung $x$ ke sebuah selang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\intoo0{+\infty}$ menurut keledakannya, demikian pula $y$, dan himpunannya tertutup di $\R^2$ karena $H \to +\infty$ di batas $Q$. Lalu sebuah [solusi maksimal](#thm-b3-ode-maximal) tinggal pada himpunan arasnya yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), sehingga ia tak dapat meninggalkan setiap [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dalam waktu berhingga: jadi [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal) membuatnya global. **19.** Tetapkan $h > h_*$ lalu tetapkan $c = h - g(y_*) > f(x_*)$. Lalu karena $f$ turun sejati dari $+\infty$ ke $f(x_*)$ pada $\intoc0{x_*}$ dan naik sejati kembali ke $+\infty$ pada $\intco{x_*}{+\infty}$, persamaan $f(x) = c$ berakar tepat dua kali $x_- < x_* < x_+$, dan $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$. Lalu untuk $x \in \intoo{x_-}{x_+}$: $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ berakar tepat dua kali $y_-(x) < y_* < y_+(x)$, yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terhadap $x$ (sebab balikan pembatasan $g$ yang monoton sejati dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada kedua sisi $y_*$), dengan $y_\pm(x) \to y_*$ saat $x \to x_\pm$; sedangkan di $x = x_\pm$ satu-satunya solusinya adalah $y = y_*$. Jadi $\{H = h\}\cap Q$ berupa gabungan grafik $y_+$ dan $y_-$ atas $\intcc{x_-}{x_+}$, yang direkatkan di $(x_\pm, y_*)$: yakni sebuah kurva tertutup di sekitar $(x_*, y_*)$ — yaitu analogi oval bandulnya. **20.** Misalkan $C_h = \{H = h\}\cap Q$ dengan $h > h_*$: maka satu-satunya kesetimbangan $Q$ berada di luar $C_h$, sehingga medannya tak pernah lenyap padanya. Untuk tandanya: $x' = \beta x(y_* - y)$ dan $y' = \delta y(x - x_*)$: sehingga geraknya ke kanan di bawah garis $y = y_*$, ke atas di kanan $x = x_*$, ke kiri di atasnya, dan ke bawah di kirinya — yakni peredaran berlawanan arah jarum jam. Lalu ikutilah solusinya dari sebuah titik $(x_0, y_-(x_0))$ pada cabang bawah terbukanya, yang $x' > 0$ padanya: maka waktu untuk mencapai sudut kanannya $B = (x_+, y_*)$ adalah $$ \int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} . $$ Lalu di dekat $x_+$, pilihlah $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$; sehingga untuk $x \in \intcc{x'}{x_+}$, $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ (sebab $f'$ naik dan positif setelah $x_*$), sedangkan hubungan arasnya dan ketaksamaan Taylor memberikan $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ pada rentang-$y$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $C_h$: sehingga $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ dengan $c > 0$, dan integrannya $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$: jadi [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) — yakni kekonvergenan pertanyaan 5, yang dialihkan. Sedangkan di tempat lain pada cabangnya integrannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). Jadi $B$ tercapai dalam waktu berhingga; lalu di sana $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$, sehingga [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) memasuki daerah $x > x_*$, $y > y_*$, mendaki ke sudut atasnya $(x_*, y_+)$ lewat taksiran setangkupnya (dengan peran $f$ dan $g$ yang ditukar), dan seterusnya mengelilingi keempat busurnya: sehingga setelah waktu berhingga $T > 0$ solusinya kembali ke titik awalnya. Lalu menurut [Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ia berperiode $T$ — yakni argumen pertanyaan 4, kata demi kata. **21.** Pada sebuah [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) berperiode $T$ di $Q$, $t \mapsto \ln x(t)$ bersifat $\mathcal C^1$ dan berperiode $T$, sehingga $$ 0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t , $$ yang memberikan $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$; dan demikian pula $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ memberikan $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$. Jadi rata-rata waktunya adalah nilai kesetimbangannya, bagi setiap [orbitnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) tanpa memandang amplitudonya — yakni hukum kekekalan yang tak seorang pun memasukkannya dengan tangan. **22.** Dengan pemanenannya sistemnya kembali berbentuk Lotka–Volterra, dengan parameter $\alpha - \varepsilon$, $\beta$, $\gamma + \varepsilon$, dan $\delta$ (sebab kesetimbangan [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) bertahan karena $\varepsilon < \alpha$). Lalu pertanyaan 21 yang diterapkan pada sistem barunya: $$ \bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{rata-rata mangsanya naik}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{rata-rata pemangsanya turun}) : $$ sehingga pemanenan yang tak pandang bulu menggeser keseimbangannya ke arah mangsanya. Sedangkan data d’Ancona membacanya secara terbalik: sebab perangnya memotong penangkapan ikannya, $\varepsilon$ turun, sehingga rata-rata pemangsanya $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ naik dan rata-rata mangsanya turun — yakni pecahan hiu yang lebih besar pada tangkapannya, tepat seperti yang dicatat pasar ikan Adriatik. Inilah asas Volterra, yakni mekanisme yang sama di balik paradoks pestisidanya: sebab memangkas kedua aras trofiknya menguntungkan aras yang dimakan. **23.** Resepnya, pada kedua kalinya: (i) sebuah integral pertama — yakni $E$ bagi bandulnya dan $H$ di sini, yang ditemukan dengan memisahkan $\dd y/\dd x$ — meruntuhkan bidangnya menjadi kurva; (ii) keledakan dan kekompakan himpunan arasnya memberikan keberadaan global lewat [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal); (iii) geometri arasnya — yakni oval, dari bentuk $\cos$ di sana dan kecembungan sejati $f$ dan $g$ di sini — terbaca dari integralnya, bukan dari [alirannya](#ex-b3-ode-planeclassification); (iv) sebuah medan tak lenyap pada oval [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) ditambah kesingularan sudut yang [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) memaksa waktu kembali yang berhingga; (v) ketunggalannya ([Akibat 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) mengubah kembalinya menjadi keperiodikan dan melarang kedatangan pada kesetimbangannya dalam waktu berhingga; (vi) sedangkan buah hasilnya — yakni uraian periode dan hukum rata-rata — datang dari teorema kekonvergenan yang diterapkan pada integral yang dihasilkannya. Jadi baik $x'' = -\sin x$ maupun Lotka–Volterra tak memiliki solusi bentuk tertutup yang dasar (sebab integral eliptik pada yang satu, dan kurva aras transenden pada yang lain), dan tak pernah satu pun diperlukan: sebab persamaannya sendiri, yang diinterogasi secara kualitatif, menyerahkan seluruh geraknya. **24.** Pada sebuah aras energi $E_0 > 1$, $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$: sehingga ekstremum $y^2$-nya di $\cos x = \pm1$, yang memberikan batas yang dinyatakan itu, dan tercapai di $x \equiv 0, \pi$. Untuk rata-rata waktunya atas satu periode $\tau = \tau(E_0)$: $x$ maju sejauh tepat $2\pi$, sehingga $$ \frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau . $$ Sedangkan nisbah laju ekstremnya adalah $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$: sehingga pada energi tinggi riak $\pm1$ potensialnya terabaikan terhadap $E_0$, dan bandulnya berputar hampir seragam — yakni papan cucinya yang mendatar. **25.** Pada $E_0 \geq 1 + \delta$, integran $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ terdominasi oleh $(2\delta)^{-1/2}$ sedangkan turunan-$E_0$-nya $$ \partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}} $$ oleh $(2\delta)^{-3/2}$, keduanya [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) pada $\intcc{-\pi}\pi$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sehingga pendiferensialan di bawah integralnya ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) berlaku dan memberikan $\tau'(E_0) < 0$ (sebab integrannya negatif sejati): jadi turun sejati dan $\mathcal C^1$. Untuk limitnya: saat $E_0 \to \infty$, $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$; sedangkan saat $E_0 \to 1^+$: tulislah $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$; maka integrannya naik saat $E_0$ turun, sehingga lewat kekonvergenan monoton $$ \tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty, $$ dengan integral limitnya divergen di $x = \pm\pi$ (sebab di sana $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$, yakni $\frac1{\abs\cdot}$ yang tak [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)): sehingga periodenya meledak saat mendekati separatriksnya, yang cocok dengan $T(a) \to \infty$ Bagian II dari sisi librasinya. Jadi sumbu energinya terbaca: istirahat di $E_0 = -1$; librasi, $2\pi \nearrow \infty$, pada $\intoo{-1}1$; separatriks yang tak berhingga lambat di $E_0 = 1$; lalu rotasi, $\infty \searrow 0$, selebihnya. Yakni satu integral, seluruh hidup bandulnya.