---
title: "Submanifold ℝn"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn
---

# Bab 20 — Submanifold ℝn

Bola, torus, grup rotasi: habitat alami geometri dan mekanika bukanlah ruang vektor melainkan *himpunan melengkung yang tampak datar bila didekati*. Bab ini memberi kalimat itu makna yang persis — yakni submanifold $\R^n$ — beserta kalkulus untuk bekerja padanya. Landasannya adalah teorema fungsi invers, yang di sini dibuktikan lewat titik tetap Banach; sedangkan selebihnya adalah penggantian koordinat: yakni keempat pemerian submanifold yang setara (pelurusan lokal, himpunan aras, grafik, parametrisasi), [ruang singgung](#def-b3-submanifolds-tangent), dan pengoptimalan terkendala lewat [pengali Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange) — yang, sebagai peragaan perpisahan, membuktikan kembali teorema spektral bagi matriks setangkup dalam tiga baris geometri. Sedangkan soal akhir pekannya membangun grup rotasi $SO(3)$ beserta selimut ganda kuaternioniknya: yakni aljabar ($Q_8$ [Bab 1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ch-b3-groups) yang telah dewasa) yang berjumpa geometri.

## 20.1 Teorema fungsi invers

**Teorema 20.1 (Teorema fungsi invers).**

Misalkan $U \subseteq \R^n$ terbuka, $f \colon U \to \R^n$ berkelas $\mathcal C^1$, dan $a \in U$ dengan $Df(a)$ yang terbalikkan. Maka ada [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $V \ni a$ dan $W \ni f(a)$ sedemikian sehingga $f \colon V \to W$ merupakan bijeksi dengan balikan $\mathcal C^1$, dan

$$
D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1}
\qquad (y \in W).
$$

Dan jika $f$ bersifat $\mathcal C^k$, maka demikian pula $f^{-1}$.

**Bukti.** Normalkanlah: dengan mengganti $f$ oleh $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a +
x) - f(a)\bigr)$, kita boleh mengandaikan $a = 0$, $f(0) = 0$, dan $Df(0) =
I$ (sebab pernyataan umumnya menyusul lewat pengomposisian dengan bijeksi afinnya). Tulislah $f(x) = x + g(x)$: maka $Dg(0) = 0$, dan lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $Dg$ pilihlah $r > 0$ dengan $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ pada $\bar B(0, r)$; sehingga ketaksamaan nilai rata-ratanya memberikan $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12
\norm{x - x'}$ di sana.

*Kebijektifannya ke sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology).* Untuk $y \in B(0,
\frac r2)$, menyelesaikan $f(x) = y$ berarti mencari titik tetap $\Phi_y(x) = y - g(x)$; sedangkan $\Phi_y$ memetakan $\bar B(0, r)$ ke dirinya (sebab $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq
r$) dan bersifat Lipschitz-$\frac12$: sehingga Banach ([Teorema 7.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) memberikan satu-satunya solusi $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$. Lebih lanjut $f$ bersifat injektif pada $\bar B(0,r)$:

$$
\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')}
\geq \tfrac12\norm{x - x'} .
\tag{$*$}
$$

Lalu tetapkan $W = B(0, \frac r2)$ dan $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$: yang terbuka (lewat [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)), dengan $f \colon V \to W$ yang bijektif.

*[Kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan keterturunan balikannya.* Ketaksamaan $(*)$ mengatakan bahwa $\varphi = f^{-1}$ bersifat Lipschitz-$2$. Tetapkan $y_0 = f(x_0)
\in W$; lalu keterbalikan $A = Df(x_0)$ (sebab jaraknya ke $I$ adalah $\leq \frac12$: menurut Neumann, [Proposisi 8.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#prop-b3-banach-neumann)) dan keterturunan $f$ memberikan, untuk $y = f(x)$ di dekat $y_0$:

$$
\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0)
= -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr)
= -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),
$$

dengan memakai $(*)$ untuk mengubah $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$: sehingga $\varphi$ dapat diturunkan di $y_0$ dengan diferensial balikannya. Sedangkan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $y \mapsto D\varphi(y) =
Df(\varphi(y))^{-1}$: lewat komposisi [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (sebab pembalikannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), [Proposisi 8.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#prop-b3-banach-neumann)): jadi $\varphi \in \mathcal C^1$; dan mengangkat rumus yang sama memberikan $\mathcal C^k$. ∎

**Teorema 20.2 (Teorema fungsi implisit).**

Misalkan $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ bersifat $\mathcal C^1$ di dekat $(a, b)$, $F(a,b) = 0$, dan andaikan diferensial parsial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ bersifat terbalikkan. Maka ada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $A \ni a$ dan $B \ni b$ beserta sebuah pemetaan $\mathcal C^1$ $\psi \colon A \to B$ dengan

$$
\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\}
= \{(x, \psi(x)) : x \in A\},
$$

dan $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x,
\psi(x))$.

**Bukti.** Terapkan [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) pada $\Theta(x, y) = (x,
F(x,y))$: sebab diferensialnya di $(a,b)$, yang segitiga blok dengan blok diagonal $I$ dan $D_yF$ yang terbalikkan, bersifat terbalikkan. Lalu balikan lokalnya berbentuk $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x,
z))$; lalu tetapkan $\psi(x) = h(x, 0)$: maka $F(x, y) = 0$ jika dan hanya jika $\Theta(x,y) = (x, 0)$ jika dan hanya jika $y = \psi(x)$, secara lokal. Sedangkan rumusnya: turunkanlah $F(x, \psi(x)) = 0$ lewat aturan rantainya. ∎

## 20.2 Submanifold: empat definisi

**Teorema 20.3 (Pencirian yang setara).**

Misalkan $M \subseteq \R^n$, $d \in \{0, \dots, n\}$, dan $k \geq
1$. Pernyataan berikut setara, untuk setiap titik $a \in M$ (dan $M$ disebut *submanifold berdimensi $d$ berkelas $\mathcal C^k$* jika keduanya berlaku di setiap $a
\in M$):

1. (*Pelurusan*) Ada sebuah difeomorfisma $\mathcal C^k$ $\Phi$ dari sebuah $\Omega \ni a$ yang terbuka ke sebuah $\Omega' \subseteq \R^n$ yang terbuka dengan $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap  \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$
2. ( *Himpunan aras* ) Ada sebuah *submersi* $\mathcal C^k$ $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (yakni $DF(x)$ yang surjektif) pada sebuah $\Omega \ni a$ yang terbuka dengan $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
3. ( *Grafik* ) Sampai permutasi koordinatnya, $M$ secara lokal merupakan grafik sebuah pemetaan $\mathcal C^k$ $\psi  \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
4. ( *Parametrisasi* ) Ada sebuah *imersi* $\mathcal C^k$ $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^n$ (dengan $D\varphi(u)$ yang injektif) dan $A$ yang terbuka, sedemikian sehingga $\varphi$ merupakan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari $A$ ke $M \cap  \Omega$ untuk suatu $\Omega \ni a$ yang terbuka.

**Bukti.** (1)$\Rightarrow$(2): ambillah $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (yakni koordinat terakhir $\Phi$): sebuah submersi (sebab $D\Phi$ terbalikkan). (2)$\Rightarrow$(3): karena $DF(a)$ surjektif, suatu minor $q \times q$ Jacobinya bersifat terbalikkan (dengan $q = n - d$); lalu setelah koordinatnya dipermutasikan, $D_yF(a)$ terbalikkan, dan teorema fungsi implisitnya ([Teorema 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) menyatakan $M$ secara lokal sebagai grafik $y = \psi(x)$. (3)$\Rightarrow$(4): ambillah $\varphi(x) = (x, \psi(x))$: yakni sebuah imersi (sebab diferensialnya $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\
D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ injektif), sekaligus [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke grafiknya (dengan balikannya: proyeksinya, yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)). (4)$\Rightarrow$(1): misalkan $\varphi(u_0) = a$; lalu lengkapkanlah $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ oleh sebuah pelengkap $E$ (dengan $\dim E = n - d$) lalu definisikan $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ pada $A\times E$: maka $D\Theta(u_0, 0)$ bersifat bijektif (sebab petanya memuat $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ dan $E$), sehingga $\Theta$ merupakan difeomorfisma lokal ([Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)); dan balikannya $\Phi$ meluruskan: sebab di dekat $a$, titik $M$ tepat berupa $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — dan untuk ini, hipotesis [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada (4) menjamin bahwa $M\cap\Omega$, untuk $\Omega$ yang kecil, tak memuat lembar lain (sebab $\varphi(u') + v = m \in
M$ yang dekat dengan $a$ dengan $v \neq 0$ yang kecil harus dikecualikan: karena $m = \varphi(u'')$ untuk suatu $u''$ di dekat $u_0$ menurut sifat [homeomorfismanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dan keinjektifan lokal $\Theta$ memaksa $v = 0$). Lalu $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\})
\cap\Phi(\Omega)$ sampai penyusutannya. ∎

**Contoh 20.4.**

Bola $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$: yakni himpunan aras submersi $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ pada $\R^n\setminus\{0\}$ (sebab $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$): jadi submanifold $\mathcal C^\infty$ berdimensi $n - 1$. Sedangkan torus di $\R^3$: yakni himpunan aras $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} -
R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ (dengan $0 < r < R$). Sementara kerucut $\{x^2 + y^2 =
z^2\}$ *bukan* submanifold di $0$ ([Latihan 20.1](#exo-b3-submanifolds-1)). Untuk grup matriksnya: $SL_n$ dan $O_n$ merupakan submanifold $M_n(\R)$ (Latihan [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) dan [20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — yakni titik awal teori Lie.

## 20.3 Ruang singgung

**Definisi 20.5.**

Misalkan $M$ sebuah submanifold-$d$ dan $a \in M$. Adapun *ruang singgung* $T_aM$ adalah himpunan vektor kecepatan $\gamma'(0)$ milik kurva $\mathcal C^1$ $\gamma \colon
\intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ dengan $\gamma(0) = a$.

**Proposisi 20.6.**

Ruang $T_aM$ merupakan subruang berdimensi $d$ dari $\R^n$, dan:

1. jika $M = F^{-1}(0)$ secara lokal dengan $F$ sebuah submersi: maka $T_aM = \ker DF(a)$ ;
2. jika $M$ terparametrikan oleh imersi $\varphi$ (dengan $\varphi(u_0) = a$ ): maka $T_aM =  \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

**Bukti.** Kurva di $M$ memenuhi $F(\gamma(t)) = 0$; sehingga aturan rantai di $0$ memberikan $DF(a)\gamma'(0) = 0$: jadi $T_aM \subseteq \ker DF(a)$. Sebaliknya, pelurusannya ([Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) mengangkut garis $\R^d\times\{0\}$ menjadi kurva $M$: sehingga setiap vektor sebuah subruang berdimensi $d$ terwujud; lalu membandingkan dimensinya (sebab $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$) memaksa kesamaannya pada (1), dan argumen pengangkutan yang sama memberikan (2) (yakni $D\varphi(u_0)$ yang diterapkan pada garis lurus di $A$; lewat dimensinya lagi). ∎

**Teorema 20.7 (Pengali Lagrange).**

Misalkan $M = F^{-1}(0)$ dengan $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega
\to \R^q$ sebuah submersi $\mathcal C^1$, dan misalkan $f \colon
\Omega \to \R$ bersifat $\mathcal C^1$. Jika pembatasan $f\restriction_M$ berekstremum lokal di $a \in M$, maka ada real yang tunggal $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (yakni *[pengali Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) dengan

$$
\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots +
\lambda_q\nabla F_q(a) .
$$

**Bukti.** Untuk setiap kurva $\gamma$ di $M$ yang melalui $a$: $t \mapsto
f(\gamma(t))$ berekstremum lokal di $0$, sehingga $0 =
\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a),
\gamma'(0)\rangle$: jadi $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ ([Proposisi 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)). Kini $\ker DF(a)^\perp
= \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (yakni identitas rank dan keortogonalan Tahun ke-2, atau [Latihan 13.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#exo-b3-hilbert-8) dalam dimensi berhingga: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$), yang direntang gradiennya $\nabla F_i(a)$ — yang bebas, sebab $DF(a)$ surjektif: sehingga pengalinya ada dan tunggal. ∎

**Contoh 20.8 (Teorema spektralnya, secara geometri).**

Misalkan $A$ sebuah matriks setangkup real $n\times n$ lalu maksimumkan $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ pada bola $S^{n-1}$ (yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sehingga maksimumnya tercapai, di suatu $v_1$). Lalu Lagrange dengan $F(x) = \norm x^2 - 1$: $\nabla f = 2Ax$ dan $\nabla F =
2x$ memberikan $Av_1 = \lambda_1v_1$ — yakni sebuah vektor eigen, dengan $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$. Lalu batasilah $A$ ke $v_1^\perp$ (yang invarian: sebab $\langle Av, v_1\rangle =
\langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) lalu iterasikan: diperolehlah basis ortonormal berisi vektor eigen. Jadi teorema spektral Tahun ke-2, yang dibuktikan kembali lewat pengoptimalan murni — dan bayangan berdimensi tak berhingga argumen yang sama membuktikan [Lema 15.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/15-operator-kompak-dan-teorema-spektral#lem-b3-spectral-existence).

**Metode 20.9.**

Untuk membuktikan sebuah himpunan merupakan submanifold: tampilkanlah ia secara lokal sebagai $F^{-1}(0)$ dengan $DF$ yang surjektif *pada himpunannya* (yakni jalur yang paling lazim), atau sebagai sebuah grafik. Untuk menghitung dimensi dan [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent): $d = n - q$ dan $T_a = \ker DF(a)$. Untuk mengoptimalkan padanya: pakailah Lagrange — dan periksalah selalu kekompakannya (atau kekoersifannya) lebih dahulu, agar ada ekstremum yang teoremanya dapat berlaku padanya, lalu ingatlah bahwa persamaan pengalinya hanya *perlu*: kumpulkanlah semua titik kritisnya, lalu bandingkan nilainya. Sedangkan untuk grup matriksnya, turunkanlah kurvanya di identitasnya untuk mengenali [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent).

## 20.4 Latihan

**Latihan 20.1 ★.**

(a) Periksalah bahwa berikut ini merupakan submanifold $\mathcal C^\infty$ lalu berikan dimensinya: $S^{n-1}$; hiperboloid $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$; dan torus pada [Contoh 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples). (b) Tunjukkan bahwa kerucut $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq
\R^3$ bukan submanifold-$2$ di $0$: tentukanlah banyaknya [komponen terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-components) $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$, lalu bandingkan dengan banyaknya yang akan dipaksa sebuah pelurusan ([Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) bagi sebuah bidang dikurangi sebuah titik.

**Solusi Latihan 20.1.**

(a) Masing-masing berupa $F^{-1}(0)$ bagi sebuah submersi: $\norm x^2 - 1$ pada $\R^n\setminus\{0\}$ (dengan gradien $2x \neq 0$): jadi berdimensi $n-1$; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (dengan gradien $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ pada hiperboloidnya, yang $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ padanya): jadi berdimensi $2$; sedangkan fungsi torusnya $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ dengan $\rho =
\sqrt{x^2+y^2}$ bersifat $\mathcal C^\infty$ di dekat torusnya (sebab $\rho
\geq R - r > 0$ di sana) dengan $\nabla G \neq 0$ (sebab komponen-$z$-nya adalah $2z$, dan di tempat $z = 0$ komponen radialnya adalah $2(\rho - R)\ne0$ karena $\abs{\rho - R} = r$): jadi berdimensi $2$.

(b) Untuk $\varepsilon$ yang kecil, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tepat berkomponen [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) $2$ (yakni tudung tertusuk atas dan bawahnya, yang masing-masingnya [terhubung lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected): hubungkanlah lewat lingkaran dan sinarnya). Seandainya $C$ merupakan submanifold-$2$ di $0$, maka sebuah pelurusan akan memberikan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari $C\cap\Omega$ ke sebuah kepingan terbuka sebuah bidang yang mengirim $0$ ke sebuah titik $p$; padahal [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) bidang tertusuk yang kecil di sekitar $p$ berkomponen *satu*, dan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mengawetkan banyaknya komponen [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) tertusuknya: jadi bertentangan.

**Latihan 20.2 ★.**

Hitunglah [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent): (a) $T_aS^{n-1}$ untuk sembarang $a$ (jawabannya: $a^\perp$); (b) bidang singgung torus pada [Contoh 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) di sembarang titik khatulistiwa luarnya $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$; (c) garis singgung heliks $\varphi(t) = (\cos t,
\sin t, t)$ di $\varphi(t_0)$, sambil memeriksa [Proposisi 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Solusi Latihan 20.2.**

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) Di $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$: $\nabla G
= (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, sehingga bidang singgungnya adalah $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0,
0, 1)\bigr)$: yakni bidang tegak yang menyinggung khatulistiwa luarnya. (c) Heliksnya merupakan kurva terbenam dengan $\varphi'(t_0) =
(-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$: sehingga garis singgungnya di $\varphi(t_0)$ adalah $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$, seperti yang ditetapkan [Proposisi 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Latihan 20.3 ★★.**

Misalkan $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (yakni $z \mapsto z^2$). (a) Di titik mana saja [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) berlaku? (b) Tunjukkan bahwa $f$ terbalikkan secara lokal tetapi tak secara global pada $\R^2\setminus\{0\}$, lalu tampilkan secara eksplisit kedua balikan lokalnya yang terdefinisi pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $(1, 0)$ (yakni kedua cabang akar kuadratnya). (c) Lakukan pembahasan yang sama bagi pemetaan [koordinat kutub](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#ex-b3-product-polar) $(r,
\theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$.

**Solusi Latihan 20.3.**

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y &
2x\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $\det = 4(x^2 + y^2)$: sehingga teoremanya berlaku di setiap titik kecuali titik asalnya. (b) Karena $f(-z) = f(z)$: ia tak pernah injektif pada himpunan yang setangkup terhadap $0$; sedangkan pada $\R^2\setminus\{0\}$ ia difeomorfisma lokal di mana-mana namun $2$-ke-$1$ secara global. Lalu di dekat $(1, 0) = f(\pm(1,
0))$, kedua balikannya adalah kedua cabang akar kuadratnya: yakni dalam notasi kompleksnya $w \mapsto \pm\sqrt w$ (dengan cabang pokoknya), yakni

$$
(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u +
\sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u +
\sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).
$$

(c) Jacobinya $r > 0$: jadi difeomorfisma lokal pada $\intoo0\infty\times\R$, tetapi $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ memberikan titik yang sama: jadi terbalikkan secara lokal (sebab sudutnya tertentukan sampai $2\pi$ pada sebuah setengah bidang), tetapi tak pernah secara global.

**Latihan 20.4 ★★.**

(Folium) Misalkan $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ dan $\mathcal C =
F^{-1}(0)$. (a) Tunjukkan bahwa di dekat setiap titik $\mathcal C$ selain titik asalnya, $\mathcal C$ merupakan submanifold-$1$ yang secara lokal berupa grafik terhadap $x$ atau terhadap $y$ (yang mana, di mana?). (b) Hitunglah garis singgungnya di $(\frac32, \frac32)$. (c) Apa yang terjadi di titik asalnya? (Sebab dua cabangnya bersilangan: tampilkanlah dua kurva $\mathcal C^1$ di $\mathcal C$ yang melalui $0$ dengan kecepatan yang bebas, lalu simpulkan bahwa tak ada pelurusan yang ada.)

**Solusi Latihan 20.4.**

(a) Gradien $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ lenyap jika dan hanya jika $y = x^2$ dan $x = y^2$, yakni $x^4 = x$: yaitu di $(0,0)$ dan $(1,1)$; sedangkan hanya $(0,0)$ yang terletak pada $\mathcal C$ (sebab $F(1,1) = -1$). Jadi pada $\mathcal
C\setminus\{0\}$, $F$ merupakan submersi: yakni submanifold-$1$, yang secara lokal berupa grafik $y = \psi(x)$ di tempat $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ dan $x = \chi(y)$ di tempat $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (dan setidaknya satu berlaku di luar titik asalnya).

(b) Di $(\frac32, \frac32)$: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)
(1, 1) = \frac94(1,1)$: sehingga garis singgungnya $x + y = 3$.

(c) Parametrisasi rasionalnya $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ dan $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ melalui $0$ di $t = 0$ dengan kecepatan $(3, 0)$; sedangkan menukar $x \leftrightarrow y$ (sebab kurvanya setangkup, atau parametrikan ulang lewat $1/t$) memberikan kurva $\mathcal C^1$ kedua yang melalui $0$ dengan kecepatan $(0, 3)$. Padahal dua arah singgung yang bebas mustahil bagi sebuah submanifold-$1$ (sebab [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent) sebuah garis, [Proposisi 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)): jadi $\mathcal C$ bukan submanifold di titik asalnya — yakni persilangan diri yang transversal.

**Latihan 20.5 ★★.**

Misalkan $F(M) = M^{\mathsf T}M$ dari $M_n(\R)$ ke ruang $S_n$ berisi matriks setangkup. (a) Tunjukkan $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ dan bahwa $DF(M)$ bersifat surjektif ke $S_n$ di setiap $M \in O_n$ *(diberikan $S \in S_n$, cobalah $H = \frac12MS$)*. (b) Simpulkan bahwa $O_n = F^{-1}(I)$ merupakan submanifold $\mathcal C^\infty$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berdimensi $\frac{n(n-1)}2$, dengan $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$, yakni matriks antisetangkupnya. (c) Tunjukkan bahwa $\eu^{tH} \in O_n$ untuk setiap $H$ yang antisetangkup: sehingga arah singgungnya [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) menjadi kurva di grupnya.

**Solusi Latihan 20.5.**

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf
T}M + H^{\mathsf T}H$: sehingga $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}M$. Lalu untuk $M \in O_n$ dan $S$ yang setangkup, $H =
\frac12MS$ memberikan $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$: jadi surjektif ke $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ dengan $F$ sebuah submersi (ke $S_n$ yang berdimensi $\frac{n(n+1)}2$) di setiap titiknya: jadi submanifold berdimensi $n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2$. Dan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sebab tertutup ($F$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)) dan terbatas (karena kolomnya vektor satuan). Singgungnya di $I$: $\ker DF(I) =
\{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} =
\eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (sebab transposnya lewat deretnya; dan [eksponensial matriks](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/19-persamaan-diferensial-biasa#thm-b3-ode-matrixexp) yang komutatif saling mengalikan, [Teorema 19.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/19-persamaan-diferensial-biasa#thm-b3-ode-matrixexp)).

**Latihan 20.6 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa $\det \colon M_n(\R) \to \R$ berdiferensial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)
^{\mathsf T}H\bigr)$, yang tak nol di setiap $M \in SL_n$. (b) Simpulkan bahwa $SL_n(\R)$ merupakan submanifold berdimensi $n^2 - 1$ dengan $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) Apakah $GL_n(\R)$ sebuah submanifold? Berdimensi berapa?

**Solusi Latihan 20.6.**

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1
+ \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ untuk $M$ yang terbalikkan (lewat uraian $\det$ di dekat $I$: yakni suku linear $\prod(1 + \lambda_i)$); lalu dengan $\det M\cdot M^{-1} =
\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}
(M)^{\mathsf T}H\bigr)$, dan rumusnya diperluas ke setiap $M$ lewat [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) dan [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). Sedangkan pada $SL_n$, $\det M = 1$: sehingga $D\det(M) \ne 0$ (sebab nilainya pada $H = M$ adalah $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ dengan $\det$ sebagai submersi di sana (sebab nilainya di $\R$): jadi berdimensi $n^2 - 1$; dan $T_ISL_n = \ker
D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) $GL_n$ merupakan himpunan bagian *terbuka* $M_n(\R)$ ([Latihan 6.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#exo-b3-topology-8)): jadi submanifold berdimensi penuh $n^2$ (dengan pelurusannya: yakni peta identitasnya).

**Latihan 20.7 ★★.**

Lewat [pengali Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange): (a) carilah ekstremum $f(x,y) = xy$ pada lingkaran $x^2 +
y^2 = 1$; (b) tunjukkan bahwa di antara semua vektor peluang $(p_1, \dots,
p_n)$ (yang positif dan berjumlah $1$), entropi $-\sum
p_i\ln p_i$ dimaksimumkan tepat pada distribusi seragamnya; (c) carilah titik elips $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ yang terdekat ke $(1, 0)$, lalu periksalah persamaan pengalinya secara geometri (lewat kesejajaran normalnya).

**Solusi Latihan 20.7.**

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ dan $x^2 + y^2 = 1$: sehingga $y =
2\lambda x$ dan $x = 2\lambda y$ memberikan $x^2 = y^2 = \frac12$. Nilai $xy$-nya: $\pm\frac12$: jadi maksimumnya $\frac12$ di $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$, dan minimumnya $-\frac12$ di $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (sebab himpunan kendalanya [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sehingga ekstremumnya ada).

(b) Pada [interior](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) simpleksnya (dengan $p_i > 0$), Lagrange bagi $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ dengan kendala $\sum p_i = 1$: $-\ln p_i - 1 = \lambda$ untuk setiap $i$: sehingga semua $p_i$ sama, $p_i =
\frac1n$, dengan $H = \ln n$. Lalu maksimum atas simpleks [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tercapai; dan seandainya ia tercapai pada batasnya (dengan suatu $p_i = 0$), maka distribusinya hidup pada $\leq n - 1$ titik sehingga lewat induksi $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: jadi titik kritis [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) adalah maksimum globalnya — yakni ketidaktahuan seragam yang memaksimumkan entropinya.

(c) Minimumkan $(x-1)^2 + y^2$ pada elips [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. Jika $y \neq 0$: maka $\lambda = 1$, lalu $2(x - 1) = \frac x2$ memberikan $x =
\frac43$ dan $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$: sehingga jarak$^2$ $=
\frac19 + \frac59 = \frac23$. Sedangkan jika $y = 0$: $x = \pm2$, dengan jarak $1$ dan $3$. Jadi titik terdekatnya: $\bigl(\frac43,
\pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, pada jarak $\sqrt{2/3} < 1$. Sedangkan persamaan pengalinya mengatakan bahwa ruas dari $(1,0)$ ke titik terdekatnya sejajar dengan $\nabla$(elipsnya): sehingga ia memotong elipsnya secara ortogonal, seperti yang dituntut geometrinya.

**Latihan 20.8 ★★★.**

Tuliskanlah [Contoh 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh) selengkapnya: buktikan lewat induksi bahwa matriks setangkup real memiliki basis ortonormal berisi vektor eigen, dengan $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ sebagai maksimum terkendala berturutan hasil bagi Rayleighnya. Lalu turunkan rumus Courant–Fischer [Latihan 15.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/15-operator-kompak-dan-teorema-spektral#exo-b3-spectral-8) dalam dimensi berhingga langsung dari konstruksi ini.

**Solusi Latihan 20.8.**

Lewat induksi pada $n$; dan $n = 1$ trivial. Fungsi Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ mencapai maksimumnya $\lambda_1$ pada $S^{n-1}$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) di suatu $v_1$; lalu Lagrange ([Teorema 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange), dengan bolanya sebagai himpunan aras) memberikan $2Av_1 = 2\lambda v_1$, dan $\lambda = \langle Av_1,
v_1\rangle = \lambda_1$. Sedangkan hiperbidang $v_1^\perp$ bersifat invarian-$A$ (menurut kesetangkupannya: $\langle Av, v_1\rangle = \langle
v, Av_1\rangle = 0$); pembatasannya setangkup, dan induksinya melahirkan basis eigen ortonormal $v_2, \dots, v_n$ milik $v_1^\perp$ bernilai eigen $\lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$, yang masing-masingnya maksimum $f$ pada bola [komplemen ortogonal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#thm-b3-hilbert-decomposition) sisanya. Lalu Courant–Fischer menyusul persis seperti pada [Latihan 15.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/15-operator-kompak-dan-teorema-spektral#exo-b3-spectral-8): uraikan $x = \sum c_iv_i$; lalu pada sebuah ruang uji berdimensi $k$ iriskanlah dengan $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (lewat pencacahan dimensi di $\R^n$) untuk memperoleh $\min \leq \lambda_k$, sedangkan $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ mencapai $\min =
\lambda_k$.

**Latihan 20.9 ★★★.**

(Ketaksamaan Hadamard) Untuk $M \in GL_n(\R)$ yang berkolom $c_1, \dots, c_n$:

$$
\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,
$$

dengan kesamaannya jika dan hanya jika kolomnya ortogonal. *(Susutkanlah ke kolom bernorma $1$ lewat penskalaan; lalu maksimumkan $\det$ pada hasil kali bola yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $(S^{n-1})^n$; lalu pada sebuah pemberi maksimum, Lagrange pada setiap kolomnya secara terpisah memberikan $\nabla_{c_i}\det =
\lambda_ic_i$, sedangkan $\nabla_{c_i}\det$ adalah kolom ke-$i$ $\operatorname{com}(M)$: lalu turunkan bahwa $M^{\mathsf T}M$ diagonal, sehingga $= I$, sehingga $\det = \pm1$.)* Bacaan geometrinya: bahwa volume sebuah paralelepipedum paling banyak hasil kali panjang rusuknya.

**Solusi Latihan 20.9.**

Menskalakan setiap kolomnya menjadi bernorma satuan membagi $\abs{\det}$ dengan $\prod\norm{c_i}$: sehingga cukup dibuktikan $\abs{\det M} \leq 1$ bila semua kolomnya satuan, dengan kesamaannya jika dan hanya jika $M \in O_n$. Lalu fungsi $\det$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $(S^{n-1})^n$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sehingga ia mencapai maksimum $m \geq \det I = 1 > 0$ di suatu $M$. Lalu dengan menetapkan semua kolomnya kecuali yang ke-$i$, $\det$ bersifat linear terhadap $c_i$ dengan gradien berupa kolom ke-$i$ $\operatorname{com}(M)$; sehingga Lagrange pada bola ke-$i$-nya: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. Sedangkan identitas $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ berbunyi $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle =
\det(M)\,\delta_{ij}$, yakni $\lambda_i\langle c_j,
c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$; lalu dengan mengambil $j = i$: $\lambda_i
= \det M = m \neq 0$, dan lalu $j \neq i$ memberikan $\langle c_i,
c_j\rangle = 0$: sehingga kolomnya ortonormal, $M \in O_n$, dan $m = \abs{\det M} = 1$. Karena itu $\abs{\det} \leq
\prod\norm{c_i}$ selalu, dengan kesamaannya tepat bagi kolom yang ortogonal (skalakan kembali): sehingga volume sebuah paralelepipedum terbesar, bagi panjang rusuk yang diberikan, saat rusuknya saling tegak lurus.

**Latihan 20.10 ★★.**

Di dekat titik yang mana lingkaran $S^1$ berupa grafik $y =
\psi(x)$? Dan grafik $x = \chi(y)$? Periksalah pencirian grafiknya ([Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) secara eksplisit di $(1, 0)$, lalu terangkan dalam satu kalimat mengapa *suatu* permutasi koordinat selalu mencukupi tetapi tak ada satu pun yang selalu berhasil.

**Solusi Latihan 20.10.**

Grafik $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ berhasil di dekat setiap titik yang $y \neq
0$; sedangkan $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ di dekat setiap titik yang $x \neq 0$; dan di $(1, 0)$: grafik $x = \sqrt{1 - y^2}$ atas $y \in
\intoo{-1}1$, yang merupakan [Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) dengan koordinatnya ditukar. Sedangkan suatu permutasi selalu berhasil karena garis singgungnya, yang berdimensi satu, tak dapat sekaligus tegak dan mendatar — tetapi ia dapat menjadi salah satunya, sehingga tak ada pilihan koordinat “terikat” yang tetap yang melayani setiap titiknya.

**Latihan 20.11 ★★.**

(Grup ortogonal sebagai submanifold, secara kuantitatif) (a) Tunjukkan bahwa $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): yakni terbatas (sebab setiap kolomnya vektor satuan, sehingga $\norm M \leq
\sqrt n$ untuk norma matriks Euclidnya) dan tertutup. (b) Tunjukkan bahwa [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent) di $I$ adalah ruang berisi matriks antisetangkup, yang berdimensi $\frac{n(n-1)}2$, dan di sebuah $A \in O_n$ yang umum: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} =
-K\}$. (c) Turunkan bahwa pemetaan $t \mapsto A\exp(tK)$ merupakan, untuk setiap $K$ yang antisetangkup, sebuah kurva di $O_n$ yang melalui $A$ dengan kecepatan $AK$ *(periksalah $\exp(tK) \in O_n$ dengan memakai $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ dan $\exp(-X)\exp(X) = I$)*: sehingga setiap vektor singgungnya terwujud oleh sebuah kurva yang eksplisit, tanpa memerlukan teorema fungsi implisit.

**Solusi Latihan 20.11.**

(a) Pemetaan pendefinisinya $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): sehingga $O_n = F^{-1}(0)$ tertutup; sedangkan kolom sebuah matriks ortogonal berupa vektor satuan, sehingga norma Euclidnya (yakni [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-finitefields)) tepat $\sqrt n$: jadi terbatas. Sehingga [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) menurut Heine–Borel di $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$.

(b) Himpunan $O_n$ adalah himpunan aras $F = 0$ yang dipelajari pada babnya: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, yang surjektif ke matriks setangkupnya di setiap $A \in O_n$ (sebab diberikan $S$ yang setangkup, ambillah $H = \frac12AS$), sehingga $O_n$ merupakan submanifold berdimensi $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ dengan

$$
T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{
antisetangkup}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;
$$

dan di $A = I$ semuanya berupa matriks antisetangkup.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T})
\exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (sebab kedua matriks $\pm tK$ komutatif, sehingga hasil kali eksponensialnya adalah eksponensial jumlahnya): jadi $\exp(tK) \in O_n$, dan $\gamma(t) =
A\exp(tK)$ merupakan kurva di $O_n$ dengan $\gamma(0) = A$ dan $\gamma'(0) = AK$. Lalu saat $K$ menjelajah matriks antisetangkupnya, $AK$ menyapu $T_AO_n$: sehingga eksponensialnya mewujudkan seluruh [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent) lewat kurva yang eksplisit — yakni jalan pintas grup Lie yang dimanfaatkan [Soal 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) bagi $SO(3)$.

**Latihan 20.12 ★★.**

(Titik kritis jaraknya) Misalkan $M \subseteq \R^n$ sebuah submanifold dan $p \notin M$. Tunjukkan bahwa jika $x_0 \in M$ meminimumkan jaraknya ke $p$ (dan titik semacam itu ada bila $M$ tertutup dan tak kosong — mengapa?), maka

$$
p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M
$$

*(turunkanlah $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ sepanjang kurva di $M$)*. Lalu turunkan: bahwa titik terdekat pada sebuah bola terletak pada sinar yang melalui pusatnya; lalu pakailah syaratnya untuk menghitung jarak dari $p = (2, 0)$ ke parabola $y = x^2$ (susutkanlah ke sebuah kubik lalu selesaikan secara numerik sampai tiga angka).

**Solusi Latihan 20.12.**

Untuk keberadaannya: iriskan $M$ dengan sebuah bola tertutup besar di sekitar $p$ untuk memperoleh sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tak kosong; lalu jaraknya yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mencapai minimumnya di sana, sedangkan titik di luar bolanya lebih jauh. Untuk syarat orde pertamanya: bagi sebuah kurva $\gamma$ di $M$ dengan $\gamma(0) = x_0$, fungsi $h(t) = \norm{\gamma(t)
- p}^2$ dapat diturunkan dengan minimum di $0$:

$$
0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,
$$

dan $\gamma'(0)$ menyapu $T_{x_0}M$: sehingga $p - x_0 \perp
T_{x_0}M$. Untuk bolanya $S(c, r)$: [ruang singgungnya](#def-b3-submanifolds-tangent) di $x_0$ adalah $(x_0 - c)^\perp$, sehingga $p - x_0 \parallel x_0 - c$: jadi $x_0$ terletak pada garis yang melalui $c$ dan $p$, berjarak $r$ dari $c$ — yakni titik sinarnya, seperti yang didesak geometrinya. Untuk parabolanya: di $x_0 = (x, x^2)$ singgungnya direntang $(1, 2x)$; sehingga keortogonalannya terhadap $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ berbunyi

$$
(2 - x) - 2x^3 = 0,
\qquad\text{yakni}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,
$$

dengan akar real tunggalnya (sebab $x \mapsto 2x^3 + x$ naik sejati) $x \approx 0.835$; lalu $x_0 \approx (0.835,
0.698)$ dan $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2}
\approx 1.358$.

## 20.5 Soal: $SO(3)$ dan kuaternion

**Soal 20.1.**

Soal akhir pekan — rotasi, grup $S^3$, dan selimut gandanya

Kuaternion $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k\}$ — yakni aljabar yang grup satuannya memuat $Q_8$ [Soal 1.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#pb-b3-groups-1) — memparametrikan rotasi tiga dimensi dua kali lipat: sebab pemetaan “konjugatkan dengan sebuah kuaternion satuan” merupakan morfisma surjektif $S^3 \to
SO(3)$ berkernel $\{\pm1\}$. Kita membangun segalanya. Ingat kembali atau definisikan: perkaliannya bilinear-$\R$ dengan $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 =
\mathrm{ijk} = -1$; sedangkan konjugat $q = t + x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k$ adalah $\bar q = t - x\mathrm i -
y\mathrm j - z\mathrm k$; dan $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2
+ z^2$.

**Bagian I — Aljabar $\mathbb H$ dan grup $S^3$.**

1. Periksalah bahwa $\mathbb H$ merupakan aljabar- $\R$ yang asosiatif berpusat $\R$ , bahwa $\overline{pq} =  \bar q\,\bar p$ , dan bahwa $N(pq) = N(p)N(q)$ *(salah satu jalur yang bersih: sajikanlah $q$ sebagai matriks kompleks $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\  -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $q =  \alpha + \beta\mathrm j$, lalu pakailah $\det$)* .
2. Turunkan bahwa setiap $q \neq 0$ bersifat terbalikkan (sebab $q^{-1} =  \bar q/N(q)$ ): sehingga $\mathbb H$ merupakan lapangan (yang tak komutatif), dan $S^3 = \{N(q) = 1\}$ merupakan grup — sekaligus submanifold- $3$ $\R^4$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) ( [Contoh 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) ).

**Bagian II — Morfisma rotasinya.** Kenalilah $\R^3$ dengan *kuaternion murni* $P = \{x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k\}$, lalu untuk $q \in S^3$ definisikan $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$.

3. Tunjukkan bahwa $\rho_q$ memetakan $P$ ke $P$ *(sebab kuaternion murni adalah yang $\bar v = -v$)* , bersifat linear- $\R$ , mengawetkan normanya, dan bahwa $\rho  \colon q \mapsto \rho_q$ merupakan morfisma grup $S^3  \to O(3)$ .
4. Hitunglah kernelnya: $\rho_q = \mathrm{id}$ jika dan hanya jika $q$ komutatif dengan $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ jika dan hanya jika $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
5. Tulislah $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ dengan $u \in P$ dan $N(u) = 1$ (mengapa ini selalu mungkin untuk $q \in S^3$ ?). Lalu tunjukkan bahwa $\rho_q$ menetapkan $u$ dan, pada bidang $u^\perp\cap P$ , bekerja sebagai rotasi bersudut $\theta$ *(hitunglah $\rho_q(w)$ untuk $w \perp u$ dengan memakai $uw = -wu$ bagi satuan murni yang ortogonal — buktikanlah identitas ini dari tabel perkaliannya, atau dari $uw + wu =  -2\langle u, w\rangle$)* .
6. Simpulkan: bahwa $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (sebab setiap $\rho_q$ merupakan rotasi bersumbu dan bersudut seperti yang dihitung — dengan determinan $+1$ lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $q  \mapsto \det\rho_q$ pada $S^3$ yang [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected), atau secara langsung), dan bahwa $\rho$ bersifat *pada* $SO(3)$: sebab setiap rotasi $\R^3$ bersumbu (buktikanlah: bahwa matriks ortogonal real $3\times3$ dengan $\det = 1$ bernilai eigen $1$ — tinjaulah polinomial karakteristiknya) sehingga berupa suatu $\rho_q$. Ringkasnya: $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$

**Bagian III — $SO(3)$ sebagai submanifold; Rodrigues.**

7. Tunjukkan bahwa $SO(3)$ merupakan submanifold [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berdimensi $3$ di $M_3(\R)$ dengan $T_ISO(3) =$ matriks antisetangkupnya ( [Latihan 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ; sebab syarat determinannya memilih sebuah gabungan komponennya).
8. Untuk matriks antisetangkup $A_u$ yang berkaitan dengan $u \in \R^3$ (yakni $A_uv = u\wedge v$, hasil kali silangnya), buktikanlah *rumus Rodrigues*: $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 -  \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *(dari $A_u^3 = -A_u$: pisahkanlah deret eksponensialnya menurut pangkat $A_u$)*, lalu kenalilah ia sebagai rotasi bersumbu $u$ dan bersudut $\theta$. Lalu turunkan bahwa $\exp$ memetakan matriks antisetangkupnya *ke seluruh* $SO(3)$.
9. Kaitkanlah kedua parametrisasinya: tunjukkan bahwa $t  \mapsto \rho_{q(t)}$ dengan $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,u$ merupakan grup satu parameter berisi rotasi yang turunannya di $t = 0$ adalah $A_u$ — sehingga eksponensial kuaternion dan matriksnya menuturkan cerita yang sama pada laju separuh dan penuh berturut-turut.

**Bagian IV — Selimut gandanya, yang terasa.**

10. Tunjukkan bahwa [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac  t2\,\mathrm k$ dengan $t \in \intcc0{2\pi}$ merupakan gelung di $SO(3)$ (sebab petanya $\rho_{q(t)}$ kembali ke identitasnya) yang angkatan kuaternioniknya *bukan* gelung: sebab $q(2\pi) = -q(0)$ . Sedangkan melanjutkannya ke $t = 4\pi$ menutup angkatannya. Lalu terangkanlah dalam sebuah paragraf pendek apa yang dikatakannya: bahwa rotasi $2\pi$ tak dapat dibatalkan secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) sedangkan rotasi $4\pi$ dapat (yakni kiat sabuknya), sebab gelung $SO(3)$ terdeteksi pada selimut gandanya $S^3$ .
11. Turunkan pula buah hasil praktisnya: bahwa komposisi rotasi = perkalian kuaternion (yakni data senilai $4$ perkalian alih-alih $9$ , tanpa hanyutan dari keortogonalannya) — lalu periksalah pada komposisi dua seperempat putaran terhadap $\mathrm i$ dan $\mathrm j$ : hitunglah sumbu dan sudut hasil kalinya.

**Bagian V — Matriks eksplisitnya: Euler–Rodrigues.** Tulislah $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j +
d\mathrm k \in S^3$, sehingga $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.

12. Hitunglah $\rho_q(\mathrm i)$ selengkapnya dari tabel perkaliannya; lalu perolehlah $\rho_q(\mathrm  j)$ dan $\rho_q(\mathrm k)$ lewat substitusi siklik $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k  \to \mathrm i$ dan $(b, c, d) \to (c, d, b)$ *(benarkanlah: sebab menyiklikkan $\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k$ diperluas menjadi automorfisma $\mathbb  H$, karena relasi pendefinisinya setangkup secara siklik)*. Lalu simpulkan bahwa matriks $\rho_q$ pada basis $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ adalah *matriks Euler–Rodrigues* $$R_q = \begin{pmatrix}  a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\  2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\  2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2  \end{pmatrix}.$$
13. (Membaca sebuah rotasi secara mundur) Tunjukkan bahwa $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta,  \qquad  \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) =  \sin\theta\,A_u,$$ dalam notasi pertanyaan 5 dan 8. Lalu turunkan sebuah algoritma yang memulihkan $\pm q$ dari sebuah matriks rotasi $R$: yakni sudutnya dari tracenya; sumbunya dari bagian antisetangkupnya bila $0 < \theta < \pi$; dan, bila $\theta = \pi$, buktikan lalu pakailah identitas $R  + I = 2\,uu^{\mathsf T}$.
14. Nilaikan $R_q$ untuk hasil kali pertanyaan 11 $q =  \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ : sebuah matriks permutasi muncul. Lalu kenali rotasinya lalu damaikan dengan sumbu dan sudut yang ditemukan pada pertanyaan 11.

**Bagian VI — Di dalam $S^3$: $SU(2)$, [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions), eksponensial.**

15. Tunjukkan bahwa penyajian matriks pertanyaan 1 (sebutlah $\Phi$) terbatas menjadi isomorfisma grup dari $S^3$ ke *grup uniter khusus* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U =  1\bigr\}$$ *(untuk kesurjektifannya, tuliskanlah persamaan $U^{-1} = U^*$ dan $\det U = 1$ bagi sebuah matriks kompleks $2\times2$ yang umum)*.
16. Tunjukkan bahwa bagian realnya merupakan invarian konjugasi pada $S^3$ — yakni $\operatorname{Re}(pq\bar p) =  \operatorname{Re}q$ untuk setiap $p \in S^3$ — dan, sebaliknya, bahwa dua kuaternion satuan yang berbagian real sama bersifat konjugat di $S^3$ *(susutkanlah ke pemindahan satu sumbu murni satuan ke sumbu lainnya, yang disediakan Bagian II)* . Lalu perikanlah [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $S^3$ secara geometri; terjemahkan ke $SU(2)$ (yakni himpunan aras tracenya); lalu proyeksikan lewat $\rho$ : bahwa dua rotasi bersifat konjugat di $SO(3)$ jika dan hanya jika keduanya bersudut $\theta \in \intcc0\pi$ sama.
17. Definisikan $\exp$ pada $\mathbb H$ lewat deret eksponensialnya; periksalah kekonvergenan mutlaknya dengan memakai $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ untuk $\abs q =  \sqrt{N(q)}$. Lalu tunjukkan, untuk $u$ murni satuan dan $\theta  \in \R$, $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ lalu turunkan bahwa $\exp$ memetakan hiperbidang $P$ ke $S^3$, lalu periksalah bahwa $\rho_{\exp(su)} =  \eu^{2sA_u}$: yakni gejala setengah sudut pertanyaan 9 lagi.
18. Untuk kuaternion murni $v, w$ buktikan aturan hasil kalinya $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , sehingga identitas [komutatornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; lalu buktikan pula $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ bagi matriks pertanyaan 8. Lalu simpulkan bahwa turunan $\rho$ di $1$ sepanjang kurva $t \mapsto \exp(tv)$ adalah isomorfisma linear $v \mapsto 2A_v$ dari $P$ ke matriks antisetangkupnya, dan bahwa ia mengangkut [komutator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) kuaternionnya ke [komutator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) matriksnya.

**Bagian VII — Struktur globalnya.**

19. (Tak ada seksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ) Andaikan $s \colon SO(3) \to  S^3$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $\rho \circ s =  \operatorname{id}$ . Lalu untuk gelung $R(t) =  \rho_{q(t)}$ pada pertanyaan 10, tetapkan $\varepsilon(t) =  s(R(t))\,q(t)^{-1}$ untuk $t \in \intcc0{2\pi}$ . Tunjukkan bahwa $\varepsilon$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan nilai di $\{\pm1\}$ , lalu turunkan sebuah pertentangan: sehingga tak ada pemilihan global yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) atas kuaternion satuan yang mewakili setiap rotasinya.
20. (Model bolanya) Misalkan $\bar B \subseteq \R^3$ bola tertutup berjari-jari $\pi$ dan $E(v) = \eu^{A_v}$ , dengan $E(0) = I$ . Tunjukkan bahwa $E$ memetakan $\bar B$ ke $SO(3)$ , bersifat injektif pada bola terbukanya, dan pada bola batasnya mengenali tepat antipodenya: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , tanpa kebetulan lainnya. Jadi $SO(3)$ adalah bolanya dengan titik batas antipodalnya direkatkan — yakni ruang proyektif $\mathbb{RP}^3$ — dan sebuah diameternya menjadi gelung tak terkontraksikan pertanyaan 10.
21. Tunjukkan bahwa $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar  p}$ ; bahwa involusi $SO(3)$ (yakni $R \neq  I$ dengan $R^2 = I$ ) tepat berupa setengah putaran $\rho_w$ dengan $w$ sebuah kuaternion murni satuan; dan bahwa pusat $SO(3)$ bersifat trivial.
22. Tunjukkan bahwa setiap rotasi merupakan hasil kali dua setengah putaran: untuk $q = \cos\frac\theta2 +  \sin\frac\theta2\,u$ , pilihlah sebuah murni satuan $w \perp  u$ , periksalah bahwa $w' = qw$ kembali merupakan kuaternion murni satuan, lalu periksalah $\rho_q =  \rho_{w'}\rho_w$ . Lalu di manakah kedua sumbunya terletak, dan bersudut berapa keduanya?
23. Simpulkan ringkasan [topologinya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) : bahwa $SO(3)$ bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dan [terhubung lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) (berikan dua bukti: yakni peta [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $S^3$ di bawah $\rho$ ; dan peta $\exp$ ), sedangkan $O(3)$ tepat berkomponen [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) dua, yang masing-masingnya [homeomorfik](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $SO(3)$ .
24. (Sebuah komposisi, tiga cara) Misalkan $R_1$ rotasi sebesar $\frac\pi2$ terhadap sumbu- $z$ dan $R_2$ rotasi sebesar $\frac\pi2$ terhadap sumbu- $x$ . Hitunglah sumbu dan sudut $R_2R_1$ : (i) dengan mengalikan kedua matriks $3\times3$ -nya lalu memakai trace dan bagian antisetangkupnya (Bagian V); (ii) dengan mengalikan kuaternion satuan yang bersesuaian $q_2q_1$ . Lalu periksalah bahwa kedua jawabannya bersesuaian: sudutnya $\frac{2\pi}3$ dan sumbunya $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
25. ([Transformasi Cayley](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#ex-b3-conformal-mobius)) Untuk $K$ yang antisetangkup, tunjukkan bahwa $I + K$ terbalikkan dan $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ dengan $-1$ yang tak pernah menjadi nilai eigen $C(K)$; lalu tunjukkan bahwa $K \mapsto C(K)$ merupakan bijeksi dari matriks antisetangkup ke $\{R \in SO(n) : -1 \notin  \operatorname{Sp}R\}$, dengan balikan $R \mapsto (I -  R)(I + R)^{-1}$. (Yakni sebuah peta rasional $SO(n)$, yang mendampingi $\exp$ transenden pada [Latihan 20.11](#exo-b3-submanifolds-11).)

**Solusi Soal 20.1.**

**1.** Petakan $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k
\mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta
& \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $\alpha = t + \iu
x$ dan $\beta = y + \iu z$: lalu diperiksa bahwa $1, \mathrm i,
\mathrm j, \mathrm k$ berpindah ke $I$, $\bigl(\begin{smallmatrix}
\iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, dan $\bigl(\begin{smallmatrix}0 &
\iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, yang hasil kalinya menghasilkan kembali tabel kuaternionnya: sehingga pemetaannya merupakan morfisma aljabar yang injektif, jadi $\mathbb H$ mewarisi keasosiatifannya; lalu $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ bersifat multiplikatif, dan pengonjugatannya bersesuaian dengan transpos adjugatnya, yang memberikan $\overline{pq} = \bar q\bar p$. Untuk pusatnya: komutatif dengan $\mathrm i$ memaksa $y = z = 0$, dan dengan $\mathrm j$ memaksa $x = 0$: jadi $\R$.

**2.** Karena $q\bar q = N(q)$: maka untuk $q \neq 0$, $q^{-1} = \bar
q/N(q)$: jadi sebuah aljabar pembagian. Sedangkan pada $S^3$: $N(pq) = 1$ dan $N(q^{-1}) = 1$: jadi sebuah grup; dan $S^3 \subseteq \R^4$ adalah bola satuannya: jadi submanifold-$3$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact).

**3.** Sebuah $v$ bersifat murni jika dan hanya jika $\bar v = -v$; lalu $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$: sehingga $\rho_q$ mengawetkan $P$. Kelinearannya jelas; sedangkan $N(qv\bar q) =
N(q)N(v)N(q) = N(v)$: jadi sebuah isometri $(P, N) \cong (\R^3,
\norm\cdot^2)$: sehingga $\rho_q \in O(3)$. Dan $\rho_{pq}(v) =
pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p =
\rho_p(\rho_q(v))$: jadi sebuah morfisma.

**4.** Berlaku $\rho_q = \mathrm{id}$ jika dan hanya jika $qv = vq$ untuk setiap $v$ yang murni, jika dan hanya jika $q$ komutatif dengan $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$, jika dan hanya jika $q$ bersifat pusat (pertanyaan 1): jadi $q \in \R\cap S^3 =
\{\pm1\}$.

**5.** Tulis $q = t + p$ (dengan $t \in \R$ dan $p$ murni): maka $1 =
N(q) = t^2 + N(p)$, sehingga $t = \cos\frac\theta2$ dan $p =
\sin\frac\theta2\,u$ dengan $N(u) = 1$ untuk suatu $\theta$ (dan jika $p = 0$, maka $q = \pm1$ bekerja secara trivial). Lalu karena $u^2 = -N(u)
= -1$, $q$ dan $u$ komutatif, sehingga $\rho_q(u) = qu\bar q =
uq\bar q = u$: yakni sumbunya. Sedangkan untuk satuan murni $w \perp u$: aturan hasil kalinya $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (uraikanlah dalam koordinatnya dari tabelnya) memberikan $uw = u\wedge w
= -wu$. Maka

$$
\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 +
\sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2u\bigr)
= \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),
$$

dengan memakai $uwu = -u^2w = w$ dan rumus sudut gandanya: yakni rotasi bersudut $\theta$ pada bidang berarah $(w,
u\wedge w)$.

**6.** Setiap $\rho_q$ merupakan rotasi terhadap $u$ sebesar $\theta$: sebab pada basis ortonormal $(u, w, u\wedge w)$ matriksnya berdeterminan $+1$: jadi $\operatorname{im}\rho \subseteq
SO(3)$. Untuk kesurjektifannya: sebuah matriks $R \in SO(3)$ bernilai eigen $1$, sebab

$$
\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R)
= (-1)^3\det(R - I),
$$

sehingga $\det(R - I) = 0$. Lalu ambillah sebuah vektor eigen satuan $u$; maka $R$ mengawetkan $u^\perp$ dan terbatas di sana menjadi sebuah rotasi bersudut suatu $\theta$ (sebab ortogonal bidang berdeterminan $1$): sehingga $R = \rho_q$ untuk $q = \cos\frac\theta2 +
\sin\frac\theta2\,u$. Lalu dengan pertanyaan 4 dan teorema isomorfisma pertamanya ([Teorema 1.3](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-firstiso)): $SO(3)
\cong S^3/\{\pm1\}$.

**7.** Himpunan $O_3$ merupakan submanifold [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berdimensi $3$ ([Latihan 20.5](#exo-b3-submanifolds-5)); sedangkan $\det$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) padanya dengan nilai di $\{\pm1\}$, sehingga $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ bersifat terbuka sekaligus tertutup di $O_3$: jadi sebuah gabungan [komponen terhubungnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-components), sehingga ia sendiri submanifold-$3$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), dengan [ruang singgung](#def-b3-submanifolds-tangent) yang sama di $I$: yakni matriks antisetangkupnya.

**8.** Berlaku $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u,
v\rangle u - v$ (untuk $u$ yang satuan), sehingga $A_u^3v = u\wedge(\langle
u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$: jadi $A_u^3 = -A_u$. Lalu dengan memisahkan deret eksponensialnya menurut sisa pangkatnya modulo relasi $A^3 = -A$:

$$
\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} +
\cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} -
\frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2
= I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .
$$

Pada $u$: $A_uu = 0$: jadi tetap. Sedangkan pada $w \perp u$: $\eu^{\theta
A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) =
\cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$: yakni rotasi bersumbu $u$ dan bersudut $\theta$ — yaitu Rodrigues. Dan setiap rotasi berbentuk demikian (pertanyaan 6): sehingga $\exp$ bersifat pada $SO(3)$ dari matriks antisetangkupnya.

**9.** Dengan $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$: pertanyaan 5 menunjukkan bahwa $\rho_{q(t)}$ adalah rotasi bersumbu $u$ dan bersudut $t$, yakni $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$, yang turunannya di $t = 0$ adalah $A_u$. Jadi kuaternionnya berjalan pada separuh sudutnya — yakni jejak analitis selimut gandanya.

**10.** Pemetaan $\rho_{q(t)}$ adalah rotasi terhadap $\mathrm k$ sebesar sudut $t$: sehingga di $t = 2\pi$ ia kembali ke identitasnya — yakni sebuah gelung di $SO(3)$. Sedangkan angkatannya memenuhi $q(2\pi) = \cos\pi =
-1 = -q(0)$: jadi [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) terangkatnya *tak* tertutup; dan hanya di $t = 4\pi$ $q$ kembali ke $1$. Tafsirannya: bahwa gelung rotasi penuhnya tak terkontraksikan di $SO(3)$ — sebab angkatannya berakhir di lembar lain selimutnya — sedangkan gelung gandanya terkontraksikan; sehingga sebuah benda yang terikat ke sekitarnya oleh tali (yakni kiat sabuknya) kembali ke keadaan tak terpilin setelah $4\pi$ tetapi tidak setelah $2\pi$. Jadi grup rotasinya mengingat paritas putaran penuhnya; dan $S^3$, yang [terhubung sederhana](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected), adalah tempat ingatan itu tinggal.

**11.** Untuk seperempat putarannya: $q_{\mathrm i} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ dan $q_{\mathrm j} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$. Lalu hasil kalinya (dengan putaran-$\mathrm j$ diterapkan lebih dahulu):

$$
q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 +
\mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k\bigr),
$$

yang bernorma $1$, dengan $\cos\frac\theta2 = \frac12$: sehingga $\theta =
\frac{2\pi}3$, dan sumbunya $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k}{\sqrt3}$ (yakni bagian murninya yang dinormalkan). Jadi dua seperempat putaran berurutan terhadap sumbu yang ortogonal menghasilkan rotasi $120^\circ$ terhadap diagonal utama kubusnya — yakni pembukuan senilai empat perkalian real, dengan keortogonalannya terawetkan secara persis: itulah mengapa perangkat lunak penerbangan dan mesin grafis mengomposisikan rotasinya lewat kuaternion.

**12.** Dari tabelnya, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ dan $\mathrm{ki} = \mathrm j$, sehingga

$$
q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) +
d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .
$$

Lalu mengalikannya dengan $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j -
d\mathrm k$ memakai aturan skalar dan vektornya $(t_1 + p_1)(t_2 +
p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 +
p_1\wedge p_2$, dengan $p_1 = (a, d, -c)$ dan $p_2 = (-b, -c,
-d)$: bagian skalarnya adalah $-ab - (-ab) = 0$ (jadi murni, seperti yang seharusnya), dan bagian vektornya adalah

$$
b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac)
= \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd -
ac)\bigr):
$$

yakni kolom pertama $R_q$. Sedangkan pemetaan siklik $\sigma(\mathrm i)
= \mathrm j$, $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$, dan $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ mengawetkan relasi $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} =
-1$ (sebab kata $\mathrm{ijk}$ invarian secara siklik sampai relasi $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$, yang berlaku di ring mana pun: dengan mengonjugatkan $\mathrm{ijk} = -1$ oleh $\mathrm i$ yang terbalikkan), sehingga $\sigma$ diperluas menjadi automorfisma aljabar-$\R$, dan $\sigma(\rho_q(v)) =
\rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$. Lalu dengan menguraikannya, peta $\mathrm j$ adalah rumus kolom pertamanya setelah substitusi $(b, c, d) \to (c, d, b)$ dengan basisnya dilabeli ulang $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm
i$, yang tepat merupakan kolom kedua yang ditampilkan; dan satu putaran lagi memberikan yang ketiga.

**13.** Dengan menjumlahkan diagonalnya, $\operatorname{tr}R_q =
3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (menurut norma satuannya), dan dengan $a = \cos\frac\theta2$: $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 +
2\cos\theta$. Untuk bagian antisetangkupnya: ketiga entri bebas $R_q - R_q^{\mathsf T}$ adalah $4ab, 4ac, 4ad$ (pada posisi $(3,2), (1,3), (2,1)$), sehingga $\frac12(R_q -
R_q^{\mathsf T}) = A_m$ dengan $m = 2a\,(b, c, d) =
2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$. Algoritmanya: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R -
1}{2} \in \intcc0\pi$; lalu jika $0 < \theta < \pi$, bacalah $u$ dari $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ lalu tetapkan $q =
\pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$; sedangkan jika $\theta =
0$, maka $q = \pm1$. Untuk $\theta = \pi$: $a = 0$, dan Rodrigues (pertanyaan 8) memberikan $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} -
I) = 2uu^{\mathsf T} - I$, yakni $R + I = 2uu^{\mathsf T}$; sehingga sembarang kolom tak nol $R + I$, yang dinormalkan, adalah $\pm u$, dan $q = \pm u$.

**14.** Dengan $a = b = c = d = \frac12$: semua entri diagonalnya lenyap, $2(bc - ad) = 0$, $2(bd + ac) = 1$, $2(bc +
ad) = 1$, $2(cd - ab) = 0$, $2(bd - ac) = 0$, dan $2(cd + ab) =
1$:

$$
R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
$$

yakni permutasi siklik $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$. Sedangkan tracenya $0 = 1 + 2\cos\theta$, sehingga $\theta = \frac{2\pi}3$, dan ia menetapkan $(1,1,1)$: yakni rotasi sebesar $120^\circ$ terhadap diagonal utamanya — tepat jawaban pertanyaan 11, yang kini terlihat sebagai matriks yang menyiklikkan sumbu koordinatnya.

**15.** Pada basisnya diperiksa bahwa $\Phi(\bar q) =
\Phi(q)^*$ (sebab matriks $\bar q$ mempunyai $\alpha' =
\bar\alpha$ dan $\beta' = -\beta$, yang merupakan transpos konjugat $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$). Karena itu $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ dan $\det\Phi(q)
= \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$: sehingga untuk $q \in S^3$, $\Phi(q) \in SU(2)$, dan $\Phi$ merupakan morfisma yang injektif (pertanyaan 1). Untuk kesurjektifannya: misalkan $U =
\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma &
\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $\det U = 1$; maka $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\
-\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, dan $U^{-1} = U^*
= \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\
\bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ memaksa $\delta = \bar\alpha$ dan $\gamma = -\bar\beta$, lalu $1 =
\det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$: sehingga $U = \Phi(q)$ untuk kuaternion satuan $q$ berkoordinat $\alpha = a + \iu b$ dan $\beta = c + \iu d$. Jadi $S^3 \cong SU(2)$.

**16.** Skalar realnya bersifat pusat dan $N(p) = 1$ memberikan $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$, sehingga $pq\bar p +
\overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$: jadi bagian realnya invarian. Sebaliknya misalkan $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$; maka bagian murninya bernorma sama $\sqrt{1 - a^2} = s$. Jika $s =
0$, maka $q = q' = \pm1$. Sedangkan jika $s > 0$, tulislah $q = a + su$ dan $q' =
a + su'$ dengan $u, u'$ murni satuan; lalu pertanyaan 6 menyediakan sebuah rotasi yang membawa $u'$ ke $u$, yakni $p \in S^3$ dengan $\rho_p(u') = u$, sehingga $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') =
q$. Jadi kelas $S^3$-nya adalah $\{1\}$, $\{-1\}$, dan untuk setiap $a \in \intoo{-1}1$ bola-$2$ $\{a + su :
u \text{ murni satuan}\}$ berjari-jari $s$. Lalu di bawah $\Phi$, $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha =
2\operatorname{Re}q$: sehingga kelas $SU(2)$-nya adalah himpunan aras tracenya. Lalu dengan memproyeksikannya: jika $q' = pq\bar p$ maka $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$; sebaliknya $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ memaksa $q' = \pm pq\bar p$ (lewat kernelnya), sehingga $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$, yakni $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} =
\abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ bagi sudutnya di $\intcc0\pi$: jadi rotasi yang konjugat bersudut sama. Sebaliknya, sudut yang sama mengizinkan wakil yang berbagian real tak negatif sama, yang konjugat lewat cara di atas: jadi di $SO(3)$, [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) sebuah rotasi tepat berupa sudutnya.

**17.** Karena $N$ multiplikatif, $\abs\cdot$ merupakan norma multiplikatif pada $\mathbb H \cong \R^4$ dan $\abs{q^k} = \abs q^k$: sehingga deret $\sum q^k/k!$ konvergen mutlak pada ruang berdimensi berhingga (jadi [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)) itu, yang terdominasi $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$. Lalu untuk $u$ yang murni satuan: $u^2 = -1$, sehingga $(\theta u)^{2m} =
(-1)^m\theta^{2m}$ dan $(\theta u)^{2m+1} =
(-1)^m\theta^{2m+1}u$; lalu dengan memisahkan deretnya,

$$
\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} +
u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta +
\sin\theta\,u .
$$

Sedangkan setiap $q \in S^3$ berupa $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ dengan $\alpha \in \intcc0\pi$ (pertanyaan 5): jadi $q = \exp(\alpha u)$, sehingga $\exp(P) = S^3$. Akhirnya $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u
= q(2s)$ dalam notasi pertanyaan 9, dan $\rho_{q(t)} =
\eu^{tA_u}$ di sana: sehingga $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$.

**18.** Dengan menguraikan $vw$ koordinat demi koordinat lewat tabelnya: hasil kali $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$, … memberikan skalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$, sedangkan hasil kali campurannya ($\mathrm{ij} = \mathrm k$, $\mathrm{ji} =
-\mathrm k$, …) memberikan vektor $(v_2w_3 - v_3w_2,\
v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$: jadi $vw = -\langle v,
w\rangle + v\wedge w$. Lalu dengan mengurangkan hasil kali terbaliknya: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (sebab bagian skalarnya meniadakan diri, sedangkan hasil kali silangnya menjumlah). Untuk matriksnya, dengan $a\wedge(b\wedge
c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$:

$$
[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x)
= w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle
= (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .
$$

Untuk turunannya: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (sebab pengonjugatannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan menegasikan kuaternion murni), sehingga

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx -
xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :
$$

sehingga diferensialnya adalah $v \mapsto 2A_v$, yakni bijeksi linear dari $P$ ke matriks antisetangkupnya, dan $[2A_v, 2A_w]
= 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ menunjukkan bahwa ia membawa [komutator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) kuaternionnya ke [komutator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) matriksnya.

**19.** Dengan menerapkan $\rho$: $\rho(\varepsilon(t)) =
\rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} =
\operatorname{id}$, sehingga $\varepsilon(t) \in \ker\rho =
\{\pm1\}$ (pertanyaan 4). Lalu sebagai hasil kali [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto s(R(t))$ dan $t \mapsto q(t)^{-1} =
\bar{q(t)}$, $\varepsilon$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada selang [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) $\intcc0{2\pi}$ dengan nilai pada pasangan diskret $\{\pm1\}$: sehingga ia konstan, katakanlah $\varepsilon(t) \equiv
\varepsilon$. Padahal $R(0) = R(2\pi) = I$, sehingga $s(R(0)) =
s(R(2\pi))$, sedangkan $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) =
\varepsilon$ dan $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) =
-\varepsilon$: jadi bertentangan. Sehingga tak ada seksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang ada: jadi ketaktentuan tanda $\pm q$ bersifat global, bukan cacat sebuah rumus tertentu.

**20.** *Untuk kesurjektifannya:* setiap $R \in SO(3)$ berupa $\eu^{\theta A_u}$ untuk suatu $u$ satuan dan $\theta \in
\intcc0{2\pi}$ (pertanyaan 6 dan 8); lalu jika $\theta > \pi$, Rodrigues memberikan $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi -
\theta)A_{-u}}$ (sebab keduanya sama dengan $I + \sin\theta A_u + (1 -
\cos\theta)A_u^2$, dan $A_{-u} = -A_u$ dengan $\sin(2\pi -
\theta) = -\sin\theta$ serta $\cos(2\pi - \theta) =
\cos\theta$), sehingga $R = E(v)$ dengan $\norm v \leq \pi$. *Untuk keinjektifannya di dalam:* jika $E(v) = E(v') \neq I$ dengan $\norm v, \norm{v'} < \pi$, maka pertanyaan 13 memulihkan sudut $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ yang sama dari tracenya dan, karena $\sin\theta \neq 0$, sumbu yang sama dari bagian antisetangkupnya: jadi $v = v'$; sedangkan $E(v) = I$ memaksa $\theta \in \{0\}$ pada bola terbukanya. *Untuk batasnya:* $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ bergantung pada $u$ hanya lewat $uu^{\mathsf T}$, sehingga $E(\pi u) =
E(-\pi u)$; dan sebaliknya $2uu^{\mathsf T} - I =
2u'u'^{\mathsf T} - I$ yang diterapkan pada $u$ memberikan $u = \langle
u', u\rangle u'$, sehingga $u' = \pm u$. Sedangkan [interior](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) dan batasnya tak pernah bertumbukan (sebab tracenya $> -1$ lawan $= -1$). Jadi $E$ menginduksi bijeksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bola-dengan-perekatan-antipodalnya — yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) — ke $SO(3)$: yakni sebuah [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), sehingga $SO(3)
\cong \mathbb{RP}^3$. Dan sebuah diameter dari $\pi u$ ke $-\pi u$ berujung terekat: jadi ia sebuah gelung di $SO(3)$, dan pemerian-$E$-nya cocok dengan keluarga rotasi pertanyaan 10 terhadap $u$ yang menyapu satu putaran penuh.

**21.** Karena $\rho$ merupakan morfisma dan $\rho_p^{-1} =
\rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$, maka $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1}
= \rho_{pq\bar p}$; lalu menurut pertanyaan 16, mengonjugatkan sebuah rotasi mengawetkan sudutnya dan memutar sumbunya oleh $\rho_p$. Untuk involusinya: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ jika dan hanya jika $q^2 = \pm1$. Jika $q^2 = 1$ maka $(q - 1)(q + 1) = q^2 -
1 = 0$ (sebab skalar pusatnya, sehingga pemfaktoran ini sahih) dan $q = \pm1$ pada ring pembagi $\mathbb H$, yang memberikan $\rho_q
= I$, jadi terkecualikan; sedangkan $q^2 = -1$ dengan $q = a +
su$ memberikan $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$, sehingga $a = 0$ dan $s = 1$: jadi $q$ berupa murni satuan $w$, dan $\rho_w$ adalah setengah putaran terhadap $w$ (bersudut $\pi$, pertanyaan 5). Untuk pusatnya: jika $\rho_q$ komutatif dengan setiap $\rho_p$, maka $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$, sehingga $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ dengan $\varepsilon(p) \in
\{\pm1\}$; lalu $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $S^3$ yang [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) dan bernilai $1$ di $p =
1$, sehingga $\equiv 1$: jadi $q$ komutatif dengan seluruh $S^3$, sehingga dengan seluruh $\mathbb H$ (lewat penskalaannya), jadi $q \in \R \cap S^3 =
\{\pm1\}$ (pertanyaan 1) dan $\rho_q = I$: sehingga pusatnya trivial.

**22.** Karena $u \perp w$ berupa murni satuan, $uw =
u\wedge w$ bersifat murni (pertanyaan 18), sehingga

$$
w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge
w
$$

bersifat murni, bernorma $\abs q\abs w = 1$. Lalu $w'w = qw\cdot w
= qw^2 = -q$, dan

$$
\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .
$$

Sedangkan kedua sumbunya $w$ dan $w' = \cos\frac\theta2 w +
\sin\frac\theta2(u\wedge w)$ terletak pada bidang $u^\perp$ yang ortogonal terhadap sumbu rotasinya, dan $\langle w', w\rangle
= \cos\frac\theta2$: sehingga keduanya bersudut separuh $\frac\theta2$. Inilah pembangkitan klasiknya: bahwa dua setengah putaran terhadap sumbu yang bersudut $\frac\theta2$ berkomposisi menjadi rotasi bersudut $\theta$ terhadap tegak lurus bersamanya.

**23.** Kekompakannya adalah pertanyaan 7. Untuk keterhubungan [lintasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected): $SO(3) = \rho(S^3)$ merupakan peta [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bola yang [terhubung lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected); sedangkan sebagai alternatif, untuk $R = \eu^{A}$ dengan $A$ yang antisetangkup (pertanyaan 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ merupakan [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) di $SO(3)$ dari $I$ ke $R$ (yang ortogonal sebab $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$, dengan determinan $1$ lewat [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari $t = 0$). Untuk $O(3)$: $\det$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke $\{\pm1\}$, sehingga $O(3)$ tak [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected), $O(3) = SO(3)
\sqcup D\,SO(3)$ untuk sembarang $D$ yang tetap dengan $\det D = -1$ (misalnya $D = -I$), dan perkalian kiri oleh $D$ merupakan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): jadi tepat dua komponen, yang masing-masingnya salinan $SO(3)$. Jadi $\rho$ yang dua-ke-satu, yang bebas seksi menurut pertanyaan 19, merupakan selimut ganda yang jujur atas sebuah grup [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) oleh $S^3$ yang [terhubung sederhana](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected) — yakni geometri di balik kiat sabuknya.

**24.** (i) Untuk matriksnya:

$$
R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &
0\end{pmatrix}.
$$

Jejaknya $0 = 1 + 2\cos\theta$ memberikan $\cos\theta = -\frac12$: sehingga $\theta = \frac{2\pi}3$. Sedangkan bagian antisetangkupnya $\frac{R -
R^{\mathsf T}}2$ berentri yang menyandikan sumbunya secara $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$: di sini $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 =
\frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1
& 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, yang terbaca (lewat kamus $A_v$ Bagian V) sebagai $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$; lalu dengan $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$: $v = \frac1{\sqrt3}(1,
-1, 1)$. (ii) Untuk kuaternionnya: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k =
\frac{\sqrt2}2(1 + k)$, $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$, dan

$$
q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik)
= \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)
$$

(sebab $ik = -j$). Jadi $\cos\frac\theta2 = \frac12$: sehingga $\theta =
\frac{2\pi}3$, dan bagian vektornya $\frac12(i - j + k)$ berarah $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — yakni jawaban yang sama, dengan jalur kuaternionnya hanya memerlukan satu baris perkalian alih-alih sebuah hasil kali matriks: yakni alasan praktis perangkat lunak penerbangan mengomposisikan sikapnya di $S^3$.

**25.** Untuk keterbalikan $I + K$: $(I + K)v = 0$ memberikan $0 =
\langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (sebab keantisetangkupannya membunuh suku keduanya): jadi $v = 0$. Untuk keortogonalan $C = C(K)$: dengan memakai $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ dan fakta bahwa keempat matriks $I \pm K$ dan $(I \pm K)^{-1}$ komutatif (sebab ungkapan polinomial dalam $K$, ditambah limitnya):

$$
C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T}
(I - K)(I + K)^{-1}
= (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .
$$

Untuk determinannya: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf
T}\bigr) = \det(I + K)$, sehingga $\det C = 1$: jadi $C \in SO(n)$. Tak ada nilai eigen $-1$: sebab $Cv = -v$ berarti $(I - K)w = -(I + K)w$ untuk $w = (I + K)^{-1}v$, yakni $2w = 0$: jadi $v = 0$. Untuk pembalikannya: dari $C(I + K) = I - K$, selesaikanlah $K(I + C) = I -
C$; lalu karena $-1 \notin \operatorname{Sp}C$, $I + C$ bersifat terbalikkan dan $K = (I - C)(I + C)^{-1}$, yang bersifat antisetangkup setiap kali $C$ ortogonal tanpa nilai eigen $-1$ (transposkanlah ungkapannya lalu pakai $C^{\mathsf T} =
C^{-1}$: $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} =
(C - I)(C + I)^{-1} = -K$). Jadi kedua pemetaannya saling berbalikan menurut konstruksinya: yakni sebuah parametrisasi rasional global atas kepingan terbuka padat $SO(n)$ yang menghindari nilai eigen $-1$ — tanpa deret, tanpa trigonometri, dan dalam dimensi $3$ ia merupakan substitusi setengah sudut $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ yang menyamar.