---
title: "Bentuk Diferensial dan Teorema Stokes"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/21-bentuk-diferensial-dan-teorema-stokes
---

# Bab 21 — Bentuk Diferensial dan Teorema Stokes

Satu teorema analisis, selama dua abad, telah menyerap semua teorema sejenisnya: teorema dasar kalkulus, Green–Riemann (yang dibuktikan pada jilid Tahun 2), teorema divergensi Gauss, teorema curl Kelvin–Stokes — masing-masingnya mengatakan bahwa integral suatu turunan atas sebuah daerah sama dengan integral objek semulanya atas batasnya. Bahasa *[bentuk diferensial](#def-b3-forms-diffform)* menjadikan semuanya satu pernyataan, $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$, dan menjadikan pernyataan itu terbuktikan dalam satu tarikan. Bab ini membangun bahasanya dengan jujur — aljabar multilinear berselang-seling, [turunan eksterior](#def-b3-forms-d), [tarikan balik](#def-b3-forms-pullback), [orientasi](#def-b3-forms-orientation), pengintegralan pada submanifold [Bab 20](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#ch-b3-submanifolds) — membuktikan teorema Stokes, lalu mencairkan cek pertamanya: teorema integral klasiknya, [bilangan lilitan](#def-b3-forms-winding) yang diam-diam menjalankan [Bab 17](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/17-deret-laurent-dan-teorema-residu#ch-b3-residues), dan, pada soal akhir pekannya, teorema titik tetap Brouwer. Sepanjang bab ini, *mulus* berarti $\mathcal
C^\infty$; setiap pemetaan dan bentuk bersifat mulus kecuali dinyatakan lain. Ini tak mengorbankan keumuman yang layak dimiliki pada aras ini dan justru membebaskan tangan.

## 21.1 Aljabar multilinear berselang-seling

**Definisi 21.1.**

Misalkan $E$ ruang vektor real berdimensi $n$. Sebuah *bentuk berselang-seling $k$-linear* pada $E$ adalah pemetaan $\alpha\colon E^k \to \R$ yang linear pada setiap variabelnya, dengan $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ setiap kali dua argumennya sama. Ruangnya ditulis $\Lambda^k E^*$; dan secara konvensi $\Lambda^0E^* = \R$. Sifat berselang-seling itu memaksa keantisetangkupan: menukar dua argumen mengubah tandanya (uraikanlah $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$), dan lebih umum $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) =
\varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ bagi setiap permutasi $\sigma$.

**Contoh 21.2.**

Pada $E = \R^n$: $\Lambda^1E^* = E^*$ adalah [ruang dualnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator); determinan pada basis kanoniknya merupakan [bentuk berselang-seling](#def-b3-forms-alternating) $n$-linear, dan [Proposisi 21.4](#prop-b3-forms-basis) akan menunjukkan bahwa ia merentang $\Lambda^nE^*$ — yakni alasan mendalam mengapa determinan tunggal sampai penskalaan. Untuk $k > n$: $\Lambda^kE^* = \{0\}$, sebab $k$ vektor pasti bergantung, dan menguraikan salah satunya sepanjang yang lain membunuh $\alpha$ menurut sifat berselang-selingnya.

**Definisi 21.3.**

Untuk $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$, *hasil kali eksterior* bagi keluarga itu adalah [bentuk berselang-seling](#def-b3-forms-alternating) $k$-linear

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

Sifat berselang-seling dan multilinearitasnya adalah sifat determinan pada kolomnya.

**Proposisi 21.4 (Basis Λk\Lambda^kΛk).**

Misalkan $(e_1, \dots, e_n)$ basis $E$ dengan basis [dual](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya#def-b3-banach-operator) $(e_1^*, \dots, e_n^*)$. Bentuk

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

membentuk basis $\Lambda^kE^*$; sehingga $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$. Secara eksplisit, $\alpha =
\sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$.

**Bukti.** *Membangun.* Misalkan $\alpha \in \Lambda^kE^*$ dan $\beta =
\sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, dengan $\alpha(e_I)$ menyingkat $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Kedua ruasnya $k$-linear dan berselang-seling, sehingga keduanya sama begitu keduanya sama pada semua $k$-tupel $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ dengan $j_1 < \dots <
j_k$ (sebab multilinearitasnya menyusutkan ke tupel vektor basis, sedangkan sifat berselang-selingnya ke tupel yang naik sejati). Sedangkan $e_I^*(e_{j_1},
\dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: untuk $I = J$ matriksnya identitas; sedangkan untuk $I \neq J$ ada baris yang nol. Jadi $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ bagi setiap $J$: $\beta = \alpha$. *Kebebasan.* Jika $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, maka mengevaluasinya pada $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ memberikan $c_J = 0$. ∎

**Definisi 21.5.**

[Hasil kali eksteriornya](#def-b3-forms-wedge) diperluas menjadi pemetaan bilinear $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to
\Lambda^{k+\ell}E^*$, yang ditentukan oleh kebilinearannya dan $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ (gabungkanlah lalu urutkan kembali; hasil kalinya $0$ jika $I \cap J \neq
\varnothing$). Ia asosiatif, dan bersifat *antikomutatif berderajat*:

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**Bukti.** Kedua sifatnya diperiksa pada unsur basisnya lalu diperluas lewat kebilinearannya. Untuk keasosiatifannya: kedua pengurungan $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ sama dengan [hasil kali eksterior](#def-b3-forms-wedge) keluarga bentuk-$1$ yang digabungkan, menurut rumus determinan [Definisi 21.3](#def-b3-forms-wedge) (yakni uraian Laplace per blok). Untuk aturan tandanya: memindahkan masing-masing $\ell$ faktor $\beta$ melewati $k$ faktor $\alpha$ memakan satu tanda per transposisi bertetangga (yakni penukaran dua baris determinannya), sehingga $(-1)^{k\ell}$ seluruhnya. ∎

**Proposisi 21.6 (Tarikan balik, kasus linear).**

Pemetaan linear $u\colon E \to F$ menginduksikan, bagi setiap $k$, pemetaan linear $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$, $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots,
u(v_k))$. Ia memenuhi $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha
\wedge u^*\beta$ dan $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$. Lebih jauh:

1. Jika $\dim E = n$ dan $u\colon E \to E$ , maka pada garis $\Lambda^nE^*$ : $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ .
2. Jika $\operatorname{rk}u < k$ , maka $u^* = 0$ pada $\Lambda^kF^*$ .

**Bukti.** Identitas fungtorialnya langsung dari definisinya (untuk aturan hasil kalinya, periksalah pada [hasil kali eksterior](#def-b3-forms-wedge) bentuk-$1$ dengan rumus determinannya — $\det(\ell_i(uv_j)) =
\det((u^*\ell_i)(v_j))$ — lalu perluaslah secara bilinear). (1) Pemetaan $u^*$ membawa $\Lambda^nE^*$ yang berdimensi satu ([Proposisi 21.4](#prop-b3-forms-basis)) ke dirinya sendiri, sehingga $u^*\alpha =
c\,\alpha$ dengan $c$ yang tak bergantung pada $\alpha \neq 0$; lalu mengujinya pada $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ dan $(v_j) =
(e_j)$ memberikan $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Untuk $v_1, \dots, v_k \in E$, vektor $u(v_1), \dots,
u(v_k)$ terletak pada peta $u$, yang berdimensi $< k$: sehingga semuanya bergantung linear, sedangkan [bentuk berselang-seling](#def-b3-forms-alternating) lenyap pada keluarga yang bergantung (uraikanlah vektor yang bergantung itu sepanjang yang lain). ∎

## 21.2 Bentuk diferensial dan turunan eksterior

**Definisi 21.7.**

Misalkan $U \subseteq \R^n$ terbuka. Sebuah *bentuk diferensial* berderajat $k$ pada $U$ adalah pemetaan mulus $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$; dan pada basis [Proposisi 21.4](#prop-b3-forms-basis) (dengan $\dd x_i$ ditulis bagi $e_i^*$),

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

dengan koefisien mulus $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. Ruangnya adalah $\Omega^k(U)$; dan $\Omega^0(U) = \mathcal
C^\infty(U)$. Bentuk-$0$ adalah fungsi; bentuk-$1$ adalah medan bentuk linear (misalnya diferensial $\dd f$ sebuah fungsi); sedangkan bentuk-$n$ berupa $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$, yakni integran alami [Bab 11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#ch-b3-product).

**Definisi 21.8 (Turunan eksterior).**

Yang disebut *turunan eksterior* adalah pemetaan linear $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ yang didefinisikan oleh

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

Pada bentuk-$0$ ia adalah diferensial biasanya.

**Teorema 21.9.**

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ bagi $\omega \in \Omega^k$ (yakni *aturan Leibniz berderajat*). (b) $\dd \circ \dd = 0$.

**Bukti.** (a) Menurut kebilinearannya, cukup ditangani $\omega = a\,\dd
x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Maka $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ dan

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

sedangkan memindahkan bentuk-$1$ $\dd b$ melewati $k$ faktor $\dd
x_I$ memakan $(-1)^k$ ([Definisi 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)): sehingga suku keduanya adalah $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Untuk sebuah fungsi: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge
\dd x_i$. Koefisiennya setangkup terhadap $(i,j)$ menurut teorema Schwarz tentang turunan parsial campurannya (yang dibuktikan pada jilid Tahun 2; sebab $a$ bersifat $\mathcal C^\infty$), sedangkan $\dd x_j \wedge
\dd x_i$ antisetangkup: sehingga dengan memasangkan suku $(i,j)$ dan $(j,i)$, semuanya meniadakan diri. Untuk $\omega = \sum
a_I\dd x_I$ yang umum: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I)
= \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ menurut (a), dan kedua sukunya lenyap (sebab $\dd(\dd x_I) = 0$ karena koefisiennya konstan). ∎

**Definisi 21.10 (Tarikan balik).**

Misalkan $\varphi\colon U \to V$ mulus ($U \subseteq \R^m$, $V \subseteq \R^n$ terbuka). Yang disebut *tarikan balik*, $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$, didefinisikan secara titik demi titik oleh tarikan balik linear sepanjang diferensialnya: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$. Secara konkret, $\varphi^*$ mensubstitusi: $\varphi^*f = f \circ
\varphi$ pada fungsi, $\varphi^*(\dd y_i) =
\dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial
x_j}\dd x_j$, dan $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$.

**Teorema 21.11.**

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ dan $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$. (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$: yakni [turunan eksteriornya](#def-b3-forms-d) komutatif dengan setiap substitusi mulus — yaitu identitas yang menjadikannya turunan *yang sebenarnya* bagi teori ini. (c) Jika $\varphi\colon U \to V$ mulus antara [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\R^n$ dan $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd
y_n$, maka $\varphi^*\omega = (a \circ
\varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots
\wedge \dd x_n$.

**Bukti.** (a) Pernyataan titik demi titik yang menyangkut [tarikan balik](#def-b3-forms-pullback) linearnya ([Proposisi 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)), ditambah aturan rantainya $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Untuk bentuk-$0$ $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ adalah aturan rantainya. Untuk $\omega = a\,\dd y_I$: dengan memakai (a), $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$, sehingga menurut aturan Leibniz ([Teorema 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(a)) dan $\dd\dd\varphi_{i_r} =
0$:

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(c) Titik demi titik, ini persis $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ pada bentuk berderajat tertinggi ([Proposisi 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1) dengan $u = D\varphi(x)$). ∎

**Contoh 21.12 (Koordinat kutub).**

Untuk $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r -
r\sin\theta\,\dd\theta$, $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r
+ r\cos\theta\,\dd\theta$, sehingga

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

yakni Jacobi [Contoh 11.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#ex-b3-product-polar) yang muncul lewat aljabar murni — tanpa teori [ukuran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#def-b3-measure-measure). [Latihan 21.9](#exo-b3-forms-9) mengubah catatan ini menjadi sebuah pernyataan: bahwa bagi integral berorientasi, rumus penggantian variabelnya *adalah* rumus [tarikan baliknya](#def-b3-forms-pullback).

## 21.3 Bentuk tertutup dan eksak; lema Poincaré

**Definisi 21.13.**

Bentuk $\omega \in \Omega^k(U)$ disebut *tertutup* jika $\dd\omega = 0$, dan *eksak* jika $\omega = \dd\eta$ bagi suatu $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (yakni sebuah *primitif* $\omega$). Eksak $\Rightarrow$ tertutup menurut $\dd^2 = 0$; sedangkan konversnya adalah pertanyaan tentang *rupa* $U$.

**Contoh 21.14 (Bentuk sudut).**

Pada $U = \R^2 \setminus \{0\}$,

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

bersifat [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) (lewat perhitungan langsung: [Latihan 21.4](#exo-b3-forms-4)) tetapi tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact): sebab integralnya sepanjang lingkaran satuannya adalah $2\pi \neq 0$, sedangkan integral [bentuk eksak](#def-b3-forms-closedexact) sepanjang kurva [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) lenyap ([Proposisi 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). Secara lokal, $\omega_\theta = \dd\theta$ bagi sembarang penentuan mulus $\theta$ atas sudut kutubnya — dari sanalah namanya dan halangannya: bahwa tak ada penentuan semacam itu pada seluruh $U$. Satu bentuk inilah yang menjalankan [bilangan lilitan](#def-b3-forms-winding) ([Bagian 21.6](#sec-21-6)) dan, lewatnya, teorema [residu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/17-deret-laurent-dan-teorema-residu#def-b3-residues-singularities) [Bab 17](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/17-deret-laurent-dan-teorema-residu#ch-b3-residues).

**Teorema 21.15 (Lema Poincaré).**

Misalkan $U \subseteq \R^n$ terbuka dan *berbentuk bintang* terhadap $0$. Maka setiap bentuk-$k$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) pada $U$ ($k \geq 1$) bersifat [eksak](#def-b3-forms-closedexact).

**Bukti.** Kita bangun sebuah *operator homotopi* linear $h\colon
\Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ dengan

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

jika $\dd\omega = 0$, maka $\omega = \dd(h\omega)$ dan selesailah sudah. Untuk $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ tetapkanlah

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

(topinya menghapus satu faktor; sedangkan integralnya mulus terhadap $x$ menurut penurunan di bawah tanda integral, [Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff), sebab semua turunannya terdominasi pada [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact)). Memeriksa [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) adalah perhitungan yang dikerjakan sekali seumur hidup, jadi kita kerjakan selengkapnya. Tetapkan $I$ lalu ambil $\omega =
a\,\dd x_I$ (menurut kelinearannya). Pertama,

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

kelompok pertamanya mengumpulkan suku yang $\dd$-nya mengenai faktor $x_{i_r}$ — sebab [hasil kali eksterior](#def-b3-forms-wedge) $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ menyusun kembali $\dd x_I$ dengan tanda $(-1)^{r-1}$ yang meniadakan prafaktornya, dan $k$ nilai $r$ memberikan faktor $k$ — sedangkan kelompok keduanya mengumpulkan suku yang $\dd$-nya mengenai integralnya (sebab aturan rantainya mengeluarkan $t\,\partial_ja(tx)$). Berikutnya, $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, dan menerapkan definisi $h$ pada derajat $k+1$, dengan indeks $j$ menempati posisi pertamanya:

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

Kedua jumlah gandanya meniadakan diri pada $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, yang karena itu sama dengan

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

menurut teorema dasar kalkulus. Sifat berbentuk bintangnya masuk tepat di tempat yang seharusnya: $tx \in U$ bagi $t \in \intcc01$, sehingga $a(tx)$ bermakna. ∎

**Catatan 21.16.**

Untuk $k = 1$ dan $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$, primitifnya adalah $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — yakni integral garis $\omega$ sepanjang ruas $[0, x]$: sehingga teoremanya adalah pernyataan banyak variabel “medan berjacobi setangkup adalah gradien” dari Tahun 2, kini pada setiap derajat. Sedangkan bentuk sudutnya ([Contoh 21.14](#ex-b3-forms-angular)) menunjukkan bahwa hipotesis atas $U$ bukan hiasan: sebab $\R^2\setminus\{0\}$ tak berbentuk bintang, dan di sana ketertutupan tak mengakibatkan keeksakan. Adapun yang bertahan pada [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) umum diukur oleh *kohomologi de Rham* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — lihat [Latihan 21.12](#exo-b3-forms-12) untuk perhitungan tak trivial pertamanya.

## 21.4 Orientasi dan pengintegralan pada submanifold

Mengintegralkan bentuk-$k$ menuntut wilayah berorientasi berdimensi $k$. Ingatlah dari [Bab 20](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#ch-b3-submanifolds) ([Teorema 20.3](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) bahwa submanifold-$k$ $M \subseteq \R^n$ secara lokal merupakan peta sebuah parametrisasi reguler $\gamma\colon V \to M \cap W$ (dengan $V
\subseteq \R^k$ terbuka, $\gamma$ [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke petanya dengan diferensial yang injektif).

**Definisi 21.17.**

Sebuah *orientasi* $M$ adalah pemilihan, bagi setiap $p \in M$, salah satu dari dua kelas orientasi basis [ruang singgung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$, yang bersifat *koheren lokal*: bahwa di sekitar setiap titiknya ada parametrisasi $\gamma$ yang kerangka koordinatnya $(\partial_1\gamma, \dots,
\partial_k\gamma)$ berorientasi positif pada setiap titik daerah asalnya. Parametrisasi semacam itu disebut *langsung*. Lalu $M$ disebut *terorientasikan* jika sebuah orientasi ada; dan pita Möbius menunjukkan bahwa ini bisa gagal. Semua submanifold pada bab ini berorientasi.

**Definisi 21.18 (Integral sebuah bentuk).**

Misalkan $M$ submanifold-$k$ berorientasi dan $\omega$ sebuah bentuk-$k$ yang terdefinisi pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $M$, dengan $\operatorname{supp}\omega \cap M$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact). (a) Jika $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq
\gamma(V)$ untuk satu parametrisasi langsung, tetapkanlah

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

— dengan ruas kanannya berupa integral Lebesgue atas $V$ ([Bab 11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#ch-b3-product)) bagi koefisien $g$ milik $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan tumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact). (b) Secara umum, pilihlah berhingga banyak parametrisasi langsung $\gamma_i(V_i)$ yang menyelimuti [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\operatorname{supp}\omega \cap M$ beserta sebuah [partisi kesatuan](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ yang subordinat padanya ([Lema 21.20](#lem-b3-forms-partition)), lalu tetapkan $\int_M\omega =
\sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, dengan setiap sukunya dihitung lewat (a). Untuk sebuah kurva (dengan $k = 1$) yang diparametrikan oleh $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ kita tulis $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, tanpa menuntut keinjektifan.

**Lema 21.19 (Kekonsistenan).**

Definisi (a) tak bergantung pada parametrisasi langsungnya, dan definisi (b) tak bergantung baik pada selimutnya maupun pada [partisi kesatuannya](#lem-b3-forms-partition). Lebih jauh, jika $\Phi$ difeomorfisma antara [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) dua submanifold berorientasi dengan $\Phi(M) = M'$, yang membawa kerangka langsung $M$ ke kerangka langsung $M'$ pada suatu titik di setiap komponen $M$, maka $\int_{M'}\omega =
\int_M\Phi^*\omega$.

**Bukti.** (a) Misalkan $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ parametrisasi langsung yang petanya memuat $\operatorname{supp}\omega\cap M$. Peralihannya $\tau =
\delta^{-1}\circ\gamma$ merupakan difeomorfisma antara himpunan bagian terbuka $V, V'$ yang bersangkutan (kemulusan peralihannya: [Teorema 20.3](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations), lewat pemerian grafik lokalnya), dan $\gamma = \delta\circ\tau$ di sana, sehingga $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)). Tulislah $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; maka ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Karena kedua kerangkanya langsung, $D\tau$ membawa basis positif ke basis positif: $\det D\tau > 0$, sehingga $\det D\tau =
\abs{\det D\tau}$ dan teorema penggantian variabelnya ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-changeofvar)) memberikan $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: jadi kedua integralnya sama. *Inilah seluruh alasan mengapa [orientasi](#def-b3-forms-orientation) ada*: bahwa tanpa kendali tandanya, Jacobinya dan nilai mutlaknya berbeda dan integralnya tak terdefinisi baik. (b) Jika $(\chi_i)$ dan $(\tilde\chi_j)$ dua partisi yang sah (termasuk selimutnya), maka menurut (a) dan keaditifan berhingganya, $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, dengan setiap suku gandanya terhitungkan pada peta mana pun. Untuk pernyataan terakhirnya: jika $\gamma$ menjelajah parametrisasi langsung $M$, maka $\Phi\circ\gamma$ menjelajah parametrisasi langsung $M'$ (sebab perbandingan [orientasinya](#def-b3-forms-orientation) konstan lokal, dan tertetapkan pada satu titik per komponennya), dan $(\Phi\circ\gamma)^*\omega =
\gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

**Lema 21.20 (Partisi kesatuan, kasus kompak).**

Misalkan $K \subseteq \R^n$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dan $W_1, \dots, W_m$ [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) yang menyelimuti $K$. Maka ada $\chi_1, \dots, \chi_m \in
\mathcal C^\infty(\R^n)$ dengan $0 \leq \chi_i \leq 1$, $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), dan $\sum\chi_i = 1$ pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $K$.

**Bukti.** Setiap $x \in K$ terletak pada suatu $W_{i(x)}$ dengan bola [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; lalu kekompakannya menyaring $x_1, \dots, x_N$ dengan bola $B(x_s, r_{x_s})$ yang menyelimuti $K$. Bagi setiap $s$ ambillah sebuah gundukan $\theta_s \in \mathcal
C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ pada $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s
\subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (muluskanlah indikator bola berjari-jari $\frac32r_{x_s}$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)). Tugaskan setiap $s$ ke satu indeks $i(s)$ dengan $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ lalu tetapkan $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. Pada [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, fungsi $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ menyelesaikan tugasnya tetapi hanya terdefinisi di sana; lalu untuk mengglobalkannya, ambillah $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ yang memenuhi $\rho = 0$ di tempat $\sum_j\Theta_j
\geq 1$ dan $\rho > 0$ di tempat $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (muluskanlah pemotongan yang sesuai atas $1 - \sum_j\Theta_j$), lalu tetapkan

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

Penyebutnya di mana-mana $> 0$ dan sama dengan $\sum_j\Theta_j$ pada $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, yakni sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) terbuka $K$ (sebab setiap titik $K$ terletak pada suatu bola $B(x_s, r_{x_s})$ yang $\theta_s = 1$ padanya); dan di sana $\sum_i\chi_i = 1$. Tumpuan dan batasnya jelas. ∎

## 21.5 Teorema Stokes

**Definisi 21.21.**

Sebuah *submanifold-$k$ dengan batas* $M \subseteq \R^n$ adalah himpunan yang terselimuti parametrisasi reguler dua jenis: *peta [interior](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior)* $\gamma\colon V \to M \cap W$ dengan $V \subseteq \R^k$ terbuka, dan *peta batas* $\gamma\colon V \cap H^k \to M
\cap W$, dengan $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ dan $\gamma$ yang diperluas secara mulus dan reguler ke $V$ yang terbuka. Yang disebut *batas* $\partial M$ adalah himpunan titik yang tercapai di $u_k = 0$; ia submanifold-$(k-1)$ tanpa batas, yang diparametrikan oleh pemetaan $u' \mapsto \gamma(u',
0)$. Sebuah [orientasi](#def-b3-forms-orientation) $M$ menginduksikan satu [orientasi](#def-b3-forms-orientation) pada $\partial M$ lewat aturan *normal-keluar-dulu*: bahwa di $p \in \partial M$, sebuah basis $(w_1, \dots, w_{k-1})$ milik $T_p\partial M$ bersifat positif jika dan hanya jika $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ merupakan basis positif $T_pM$, dengan $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ yang menunjuk ke luar $M$ (dan pada peta batasnya: $\nu =
-\partial_k\gamma$, sampai penambahan komponen singgungnya — sebab kelas [orientasinya](#def-b3-forms-orientation) tak melihatnya).

![Aturan normal-keluar-dulu: bahwa pada setiap titik batasnya, taruhlah vektor keluar lebih dahulu; lalu basis yang melengkapinya menjadi kerangka positif M mengorientasikan M. Untuk daerah bidang dengan orientasi bakunya, inilah aturan berlawanan arah jarum jam milik Green–Riemann.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-9fc8dd2c485c.svg)

*Aturan normal-keluar-dulu: bahwa pada setiap titik batasnya, taruhlah vektor keluar $\nu$ lebih dahulu; lalu basis yang melengkapinya menjadi kerangka positif $M$ mengorientasikan $\partial M$. Untuk daerah bidang dengan [orientasi](#def-b3-forms-orientation) bakunya, inilah aturan berlawanan arah jarum jam milik Green–Riemann.*

**Lema 21.22 (Stokes pada setengah ruang).**

Misalkan $\eta$ bentuk-$(k-1)$ mulus pada $\R^k$ dengan tumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact). Maka

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

dengan $H^k$ mengemban [orientasi](#def-b3-forms-orientation) baku $\R^k$ dan $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ mengemban [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya, yang merupakan $(-1)^k$ kali [orientasi](#def-b3-forms-orientation) baku $\R^{k-1}$.

**Bukti.** Pertama pembukuan [orientasinya](#def-b3-forms-orientation): normal keluar sepanjang $\partial H^k$ adalah $-e_k$, dan

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

kerangka $(e_1, \dots, e_{k-1})$ milik $\partial H^k$ bersifat positif bagi [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya tepat saat $k$ genap, dan dari sanalah perbandingan yang dinyatakan itu. Menurut kelinearannya ambillah $\eta
= f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$; maka $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (sebab memindahkan $\dd u_i$ ke posisinya memakan $i - 1$ penukaran). Ada dua kasus, keduanya lewat Tonelli–Fubini ([Teorema 11.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-fubini)) dan teorema dasar kalkulus satu variabel.

*Kasus $i < k$.* Dengan mengintegralkan lebih dahulu terhadap $u_i$ atas $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (menurut tumpuan [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact)), sehingga $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. Sedangkan pembatasan $\eta$ ke $\{u_k = 0\}$ memuat faktor $\dd u_k$, yang terbatas menjadi $0$ (sebab $u_k$ konstan di sana): sehingga $\int_{\partial H^k}\eta =
0$ juga.

*Kasus $i = k$.* Dengan mengintegralkan lebih dahulu terhadap $u_k$ atas $\intco0\infty$:

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

Pada sisi batasnya, $\eta$ terbatas menjadi $f(u',
0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$, dan karena [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya $(-1)^k$ kali [orientasi](#def-b3-forms-orientation) bakunya, $\int_{\partial H^k}\eta =
(-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Jadi kedua ruasnya sama. ∎

**Teorema 21.23 (Stokes).**

Misalkan $M \subseteq \R^n$ submanifold-$k$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berorientasi dengan [batas](#def-b3-forms-boundary), dengan $\partial M$ mengemban [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya, dan misalkan $\omega$ bentuk-$(k-1)$ mulus pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $M$. Maka

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

Khususnya, jika $\partial M = \varnothing$: $\int_M\dd\omega = 0$.

**Bukti.** Selimutilah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $M$ dengan berhingga banyak peta langsung ([interior](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) atau [batas](#def-b3-forms-boundary)), lalu ambillah [partisi kesatuan](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ yang subordinat pada [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $W_i$ yang bersesuaian di $\R^n$ ([Lema 21.20](#lem-b3-forms-partition)), dengan $\sum\chi_i
= 1$ pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $M$. Pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) itu $\dd(\sum\chi_i) = 0$, sehingga

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

kedua ruasnya aditif, dan cukup dibuktikan teoremanya bagi bentuk yang bertumpu pada satu peta saja.

*Peta [interior](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior).* Jika $\operatorname{supp}\omega \cap M
\subseteq \gamma(V)$ dengan $V$ terbuka di $\R^k$: perluaslah $\eta =
\gamma^*\omega$ oleh nol ke $\R^k$ (mulus, bertumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) di $V$) lalu terapkan [Lema 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) dengan tumpuannya menjauh dari $\partial H^k$ (geserlah $V$ ke setengah ruang atas yang terbuka — atau ulangilah saja perhitungan kasus $i < k$ atas seluruh $\R^k$): $\int_M\dd\omega =
\int_{\R^k}\dd\eta = 0$, dan $\int_{\partial M}\omega = 0$ sebab $\omega$ lenyap di dekat $\partial M$.

*[Peta batas](#def-b3-forms-boundary).* Jika $\operatorname{supp}\omega\cap M
\subseteq \gamma(V \cap H^k)$: dengan $\eta = \gamma^*\omega$ yang diperluas oleh nol, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), sehingga menurut [Definisi 21.18](#def-b3-forms-integral):

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{Lema 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

Tinggal mengenali ruas kanannya dengan $\int_{\partial
M}\omega$. Batasnya diparametrikan oleh $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$, dan $\beta^*\omega$ merupakan pembatasan $\eta$ ke $\{u_k = 0\}$ (yakni [tarikan balik](#def-b3-forms-pullback) di bawah inklusi $u'
\mapsto (u', 0)$ yang dikomposisikan dengan $\gamma$). Perbandingan [orientasinya](#def-b3-forms-orientation) adalah $(-1)^k$ yang sama pada kedua ruasnya: sebab kerangka $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ duduk pada [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksi $\partial M$ dengan tanda $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ yang dihitung pada petanya (sebab vektor keluarnya tertarik balik menjadi $-e_k$), yang persis merupakan tanda yang mengaitkan [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksi $\partial H^k$ dengan $\R^{k-1}$ yang baku ([Lema 21.22](#lem-b3-forms-halfspace)). Jadi kedua konvensi tandanya meniadakan diri: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎

**Contoh 21.24 (Teorema klasiknya).**

Misalkan $D \subseteq \R^2$ daerah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dengan [batas](#def-b3-forms-boundary) mulus, yang terorientasi secara baku. Untuk $\omega = P\,\dd x +
Q\,\dd y$: $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ -
\partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd y$, dan Stokes berbunyi

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

yakni *Green–Riemann*, yang dibuktikan bagi daerah elementer pada jilid Tahun 2 dan kini dalam keumuman alaminya. Di $\R^3$, Stokes yang diterapkan pada bentuk-$2$ fluks sebuah medan vektor pada daerah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) memberikan *teorema divergensi* $\int_\Omega\operatorname{div}F =
\int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$, sedangkan yang diterapkan pada bentuk-$1$ pada permukaan-dengan-batas memberikan teorema curl *Kelvin–Stokes* yang klasik; [Latihan 21.7](#exo-b3-forms-7) menguraikan kedua kamusnya.

## 21.6 Bilangan lilitan

**Definisi 21.25.**

Misalkan $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ kurva [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) yang mulus. Yang disebut *bilangan lilitan* kurva itu di sekitar $a$ adalah

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**Proposisi 21.26.**

Berlaku $\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$; dan sebagai fungsi $a$ ia konstan pada setiap [komponen terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-components) $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ serta nol pada komponen tak terbatasnya. Untuk $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$: $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$.

**Bukti.** Ambillah $a = 0$ lalu tulis $\gamma = (x, y)$, $\rho =
\norm\gamma > 0$, $\vartheta(t) =
\int_0^t\gamma^*\omega_\theta$, sehingga $\vartheta' =
\frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$. Dalam notasi kompleksnya ambillah $u(t)
= \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$; maka $\abs u = 1$ dan perhitungan langsung memberikan

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

sebab $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ dan $\rho\rho' = xx' + yy'$. Jadi $u$ konstan: $\gamma(t) =
\rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ dengan $\abs c = 1$, sedangkan $\gamma(1) = \gamma(0)$ beserta $\rho(1) = \rho(0)$ memaksa $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$: $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$, yakni $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$. Lalu sebagai fungsi $a$ pada komplemen terbuka kurva [kompaknya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), integral pendefinisinya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont), lewat dominasi pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) setiap $a$); sedangkan fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bernilai bulat bersifat konstan lokal, sehingga konstan pada komponennya. Untuk $\norm a$ yang besar integrannya $O(1/\norm a)$ seragam terhadap $t$, sehingga indeksnya menuju $0$ dan lenyap pada komponen tak terbatasnya. Untuk lingkarannya: $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ secara langsung. ∎

**Catatan 21.27.**

Di bawah $\C \cong \R^2$, $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$, sehingga $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$: inilah indeks [Bab 17](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/17-deret-laurent-dan-teorema-residu#ch-b3-residues), dan [Proposisi 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) membuktikan ulang kebulatan dan kekonstanan lokalnya lewat cara variabel real — yakni separuh [topologis](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) teorema [residunya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/17-deret-laurent-dan-teorema-residu#def-b3-residues-singularities), kini berdiri di atas Stokes.

**Proposisi 21.28.**

Jika $\omega = \dd f$ [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada $U$ yang terbuka dan $\gamma\colon\intcc01\to U$ kurva [tertutup](#def-b3-forms-closedexact), maka $\int_\gamma\omega = 0$.

**Bukti.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — sebab aturan rantainya mengenali $\gamma^*(\dd f)$ dengan $(f\circ\gamma)'\,\dd t$. ∎

**Metode 21.29.**

Menghitung dengan bentuk: (1) mekanisasikanlah — [hasil kali eksteriornya](#def-b3-forms-wedge) diurutkan ulang dengan tanda, $\dd$ menurunkan koefisiennya menjadi $\dd
x_j$ yang baru, dan [tarikan baliknya](#def-b3-forms-pullback) mensubstitusi; percayailah aljabarnya, sebab ia menyandikan setiap Jacobi. (2) Untuk mengintegralkan sebuah bentuk atas submanifold: parametrikanlah secara langsung, tariklah balik, lalu integralkan koefisiennya; [orientasinya](#def-b3-forms-orientation) satu-satunya jebakan — periksalah satu kerangka. (3) Untuk membuktikan sebuah identitas integral, carilah rupa Stokes: apakah integrannya [eksak](#def-b3-forms-closedexact)? apakah daerahnya sebuah [batas](#def-b3-forms-boundary)? (4) Untuk membandingkan integral atas dua submanifold yang “sejajar”, terapkanlah Stokes pada daerah di antara keduanya (yakni argumen deformasinya, [Latihan 21.10](#exo-b3-forms-10)). (5) Integral tak nol sebuah [bentuk tertutup](#def-b3-forms-closedexact) mengesahkan adanya halangan [topologis](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) — tak ada primitif, tak ada retraksi, tak ada perluasan bebas nol: dan beginilah soal akhir pekannya membunuh retraksi bolanya.

## 21.7 Latihan

**Latihan 21.1 ★.**

Pada $\R^3$, misalkan $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ dan $\eta =
\dd x + y\,\dd z$. Hitunglah $\omega\wedge\eta$, $\dd\omega$, $\dd\eta$, dan $\dd(\omega\wedge\eta)$, lalu periksalah aturan Leibniz berderajatnya pada contoh ini.

**Solusi Latihan 21.1.**

Dengan menguraikan dan membunuh faktor berulangnya:

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

(dengan memakai $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ dan $-zy\,\dd
x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$). Berikutnya $\dd\omega =
\dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y +
\dd x\wedge\dd z$ dan $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$. Akhirnya

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z +
z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z
$$

(sebab suku pertama $\omega\wedge\eta$ menyumbang $\dd(-x)
\wedge\dd x\wedge\dd y = 0$; sedangkan permutasi siklik tiga faktor bersifat genap). Pemeriksaan Leibniznya: $\dd\omega\wedge\eta =
(\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd
z) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$, dan $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd
x)\wedge\dd y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$; sehingga jumlahnya cocok.

**Latihan 21.2 ★.**

Kenalilah, pada $\R^3$, ketiga penjelmaan $\dd$: bagi $f \in \Omega^0$, $\dd f \leftrightarrow \nabla f$; bagi bentuk kerja $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$, $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$; dan bagi bentuk fluks $\sigma_F = F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd
z\wedge\dd x + F_3\,\dd x\wedge\dd y$, $\dd\sigma_F
\leftrightarrow \operatorname{div}F$. Simpulkanlah dari $\dd^2 =
0$ identitas $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ dan $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$.

**Solusi Latihan 21.2.**

Bentuk $\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ berkoefisien $\nabla f$. Untuk bentuk kerjanya,

$$
\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd
z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x +
(\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y =
\sigma_{\operatorname{curl}F},
$$

yakni bentuk fluks curl-nya (kumpulkanlah keenam suku $\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$). Untuk bentuk fluksnya, $\dd\sigma_F = (\partial_xF_1 + \partial_yF_2 +
\partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$: yakni divergensinya. Lalu $\dd^2f = 0$ berbunyi $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$, yakni $\operatorname{curl}\nabla f = 0$, sedangkan $\dd^2\omega_F = 0$ berbunyi $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0$: jadi kedua identitas vektornya adalah satu identitas, $\dd^2 = 0$, yang dibaca pada dua derajat.

**Latihan 21.3 ★★.**

Putuskanlah apakah setiap bentuk-$1$ berikut [tertutup](#def-b3-forms-closedexact), [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada daerah asalnya, lalu hitunglah primitifnya bila ada: (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ pada $\R^3$; (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ pada $\R^2\setminus\{0\}$; (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ pada setengah bidang $\{x > 0\}$.

**Solusi Latihan 21.3.**

(a) Ketertutupannya adalah kesetangkupan turunan parsial silangnya: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$, $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$, $\partial_z(x^2) = 0 = \partial_y(2xz)$. Sedangkan daerah asalnya $\R^3$ berbentuk bintang: jadi [eksak](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare)), dengan primitif $f = x^2y + xz^2$ (periksalah $\dd f$). (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\tfrac12\,\dd\log(x^2 + y^2)$: jadi [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada seluruh $\R^2\setminus\{0\}$ (sehingga [tertutup](#def-b3-forms-closedexact)) — yakni sepupu radial bentuk sudutnya yang tak berbahaya. (c) Pada $\{x > 0\}$ bentuknya adalah $\omega_\theta$, yang [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) ([Latihan 21.4](#exo-b3-forms-4)); sedangkan setengah bidangnya cembung, sehingga ia [eksak](#def-b3-forms-closedexact) di sana, dan memang $f = \arctan(y/x)$ memenuhi $\dd f
= \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$. Jadi [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada setengah bidangnya, tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada bidang tertusuknya: sebab halangannya tinggal di lubangnya, bukan di rumusnya.

**Latihan 21.4 ★★.**

(Bentuk sudutnya) Periksalah bahwa $\omega_\theta$ ([Contoh 21.14](#ex-b3-forms-angular)) [tertutup](#def-b3-forms-closedexact); hitunglah $\int_\gamma\omega_\theta$ bagi $\gamma$ lingkaran berjari-jari $r$ di sekitar $0$; lalu simpulkan bahwa $\omega_\theta$ tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada $\R^2\setminus\{0\}$, dan bahwa $\R^2\setminus\{0\}$ tak berbentuk bintang terhadap satu titik pun yang dimilikinya (lewat dua jalur: lewat [Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare), dan langsung dari geometrinya).

**Solusi Latihan 21.4.**

Untuk ketertutupannya: dengan $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 -
2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} =
\partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),
$$

sehingga $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) -
\partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$. Lalu pada $\gamma(t) = (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$:

$$
\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t +
\sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t,
\qquad\text{sehingga}\qquad
\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .
$$

Seandainya $\omega_\theta$ [eksak](#def-b3-forms-closedexact), integral ini akan lenyap ([Proposisi 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)): jadi ia tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact). Seandainya $\R^2\setminus\{0\}$ berbentuk bintang terhadap suatu $p$, lema Poincaré (yang digeser ke $p$) akan menjadikan setiap [bentuk tertutup](#def-b3-forms-closedexact) [eksak](#def-b3-forms-closedexact) — yakni kontradiksi. Secara langsung: bagi sembarang $p
\neq 0$, ruas dari $p$ ke titik $-p$ milik daerah asalnya melewati $0$: sehingga sifat berbentuk bintangnya gagal pada setiap titiknya.

**Latihan 21.5 ★★.**

(Bentuk luas sebuah hiperpermukaan) Misalkan $M \subseteq \R^n$ hiperpermukaan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berorientasi yang [orientasinya](#def-b3-forms-orientation) diberikan oleh medan normal satuan $\nu$ (dengan $(w_1, \dots, w_{n-1})$ positif jika dan hanya jika $(\nu, w_1, \dots, w_{n-1})$ positif di $\R^n$). Tunjukkanlah bahwa bentuk-$(n-1)$ $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ terbatas pada $M$ menjadi *bentuk luasnya*: bahwa bagi parametrisasi langsung $\gamma$, $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots
\wedge\dd u_{n-1}$, dengan $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ sebagai matriks Gram. *(Perhatikanlah bahwa $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu,
\partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$ lalu kuadratkanlah determinan itu.)* Hitunglah $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$.

**Solusi Latihan 21.5.**

Untuk vektor $v_1, \dots, v_{n-1}$, menguraikan determinannya sepanjang kolom pertamanya memberikan

$$
\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) =
\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\,
\det\bigl(\text{baris} \neq i \text{ dari } (v_1, \dots,
v_{n-1})\bigr)
= \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),
$$

sebab $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ tepat merupakan minor terhapus ke-$i$ ([Definisi 21.3](#def-b3-forms-wedge)). Lalu menerapkannya pada $v_j =
\partial_j\gamma$: $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots,
e_{n-1}) = \det A$ dengan $A = (\nu\ \partial_1\gamma\ \cdots\
\partial_{n-1}\gamma)$. Sekarang ${}^t\!AA$ diagonal per blok: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ dan $\langle\nu,
\partial_j\gamma\rangle = 0$ (sebab $\nu$ normal, sedangkan $\partial_j\gamma$ singgung), sehingga $(\det A)^2 =
\det({}^t\!AA) = \det G$; dan $\det A > 0$ bagi parametrisasi langsung (sebab itulah arti orientasi-$\nu$-nya): $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{n-1}$, yakni unsur luas Gramnya. Untuk $S^2$, $\nu(x) = x$ dan parametrisasi bolanya $\gamma(\theta, \varphi) = (\sin\varphi\cos\theta,
\sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ pada $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ (yang langsung; ia melewatkan satu meridian, yakni himpunan yang tak berluas): $\det G = \sin^2\varphi$, sehingga $\int_{S^2}\sigma_\nu =
\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\,
\dd\theta = 4\pi$.

**Latihan 21.6 ★★.**

Hitunglah $\int_{S^2}\omega$ bagi $\omega = x\,\dd y\wedge\dd z
+ y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$: (a) langsung dalam koordinat bolanya; (b) lewat Stokes pada bola satuannya. Simpulkanlah $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ dari luas $S^2$, lalu umumkanlah: $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$, yang selaras dengan [Teorema 11.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-ballvolume).

**Solusi Latihan 21.6.**

Bentuk $\omega$ yang diberikan adalah $\sigma_\nu$ bagi $\nu(x) = x$ pada $S^2$, sehingga (a) adalah perhitungan yang baru saja dikerjakan: $\int_{S^2}\omega = 4\pi$. (b) $\dd\omega = 3\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z$, dan Stokes pada bola satuannya memberikan $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$: sehingga $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$. Secara umum, bentuk $\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ terbatas pada $S^{n-1}$ menjadi bentuk luasnya (dengan $\nu = x$ pada [Latihan 21.5](#exo-b3-forms-5)), $\dd\sigma = n\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, dan Stokes menghasilkan $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ — yang selaras dengan rumus [fungsi Gamma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) [Teorema 11.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-ballvolume).

**Latihan 21.7 ★★.**

(Kamusnya) Turunkanlah dengan cermat dari [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes): (a) teorema divergensi di $\R^3$ (gabungkanlah [Latihan 21.2](#exo-b3-forms-2) dan [Latihan 21.5](#exo-b3-forms-5)); (b) teorema Kelvin–Stokes $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ bagi permukaan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berorientasi dengan [batas](#def-b3-forms-boundary) di $\R^3$. Periksalah bahwa konvensi [orientasinya](#def-b3-forms-orientation) cocok pada setengah bola atas yang dibatasi khatulistiwanya.

**Solusi Latihan 21.7.**

(a) Stokes yang diterapkan pada bentuk fluks $\sigma_F$ pada daerah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\Omega$: $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x =
\int_{\partial\Omega}\sigma_F$ ([Latihan 21.2](#exo-b3-forms-2) bagi sisi [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior)). Kenalilah integran batasnya: bagi $v_1, v_2$ yang singgung pada suatu titik $\partial\Omega$, uraian kolom pertama [Latihan 21.5](#exo-b3-forms-5) memberikan $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$; lalu dengan menulis $F =
\langle F, \nu\rangle\nu + T$ dengan $T$ yang singgung, kolom $T$ merupakan kombinasi bidang $v_1, v_2$, sehingga $\det(T,
v_1, v_2) = 0$ dan $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F,
\nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$: yakni teorema divergensinya, dengan $\nu$ sebagai normal keluarnya (sebab normal-keluar-dulu tepat merupakan [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya). (b) Stokes yang diterapkan pada $\omega_F$ pada permukaan-dengan-batas $S$: $\dd\omega_F =
\sigma_{\operatorname{curl}F}$ terbatas menjadi $\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S$ lewat pengenalan yang sama, sedangkan pada kurva batasnya $\gamma^*\omega_F = \langle F\circ\gamma,
\gamma'\rangle\,\dd t$, yakni $\oint\langle F,
\tau\rangle\,\dd\ell$. Pada setengah bola atas dengan $\nu$ yang keluar (radial): di titik khatulistiwa $p = (1,0,0)$ vektor keluar-di-dalam-permukaannya adalah $-e_3$; lalu melengkapinya menjadi kerangka positif menunjukkan bahwa khatulistiwanya ditelusuri berlawanan arah jarum jam dilihat dari atas ($+e_3$): yakni aturan tangan kanannya, dengan konvensi yang sama pada kedua ruas identitasnya.

**Latihan 21.8 ★★.**

(Identitas Green) Untuk $u, v$ yang mulus pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) daerah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\Omega \subseteq \R^n$ yang berbatas mulus, buktikanlah

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

Simpulkanlah: bahwa [fungsi harmonik](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) pada $\Omega$ yang lenyap pada $\partial\Omega$ lenyap secara identik, dan dua [fungsi harmonik](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) dengan nilai [batas](#def-b3-forms-boundary) yang sama berimpit — yakni ketunggalan pada masalah Dirichlet [Bab 18](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#ch-b3-conformal).

**Solusi Latihan 21.8.**

Terapkanlah teorema divergensi ([Latihan 21.7](#exo-b3-forms-7)(a), yang buktinya bebas dimensi) pada $F = u\nabla v$: $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v + \langle\nabla
u, \nabla v\rangle$ dan $\langle F, \nu\rangle =
u\,\partial_\nu v$: yakni identitas pertamanya. Lalu menukar $u, v$ lalu mengurangkannya meniadakan suku setangkupnya: yakni yang kedua. Jika $\Delta u = 0$ pada $\Omega$ dan $u = 0$ pada $\partial\Omega$: maka identitas pertamanya dengan $v = u$ memberikan $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$, sehingga $\nabla u \equiv 0$ dan $u$ konstan pada setiap komponennya; sedangkan tutupan setiap komponennya menemui $\partial\Omega$ (menurut keterbatasannya), yang $u = 0$ di sana: jadi $u \equiv 0$. Lalu dua [fungsi harmonik](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) dengan nilai [batas](#def-b3-forms-boundary) yang sama berselisih $u$ semacam itu: jadi keduanya berimpit — yakni ketunggalan bagi masalah Dirichletnya, yang melengkapi teori keberadaan pada cakramnya di [Bab 18](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/18-pemetaan-konformal-dan-teorema-pemetaan-riemann#ch-b3-conformal).

**Latihan 21.9 ★★.**

(Penggantian variabel, bentuk berorientasi) Misalkan $\varphi\colon U
\to V$ difeomorfisma antara [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\R^n$ dengan $\det
D\varphi > 0$, dan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bertumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) di $V$. Tunjukkanlah bahwa identitas [tarikan baliknya](#def-b3-forms-pullback) $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
\int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ setara dengan teorema penggantian variabelnya ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-changeofvar)) bagi $\varphi$ semacam itu, lalu jelaskanlah persis ke mana nilai mutlak pada Jacobinya pergi.

**Solusi Latihan 21.9.**

Menurut [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c), $\varphi^*(f\,\dd y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) =
(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, sehingga identitas [tarikan baliknya](#def-b3-forms-pullback) berbunyi

$$
\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd
y .
$$

Karena $\det D\varphi > 0$ di mana-mana, $\det D\varphi =
\abs{\det D\varphi}$, dan inilah persis rumus penggantian variabelnya ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-changeofvar)) bagi integran [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang bertumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): jadi masing-masing pernyataannya adalah yang lain. Adapun nilai mutlaknya masuk ke dalam *hipotesisnya*: yakni [orientasinya](#def-b3-forms-orientation). Bagi $\varphi$ yang membalik [orientasi](#def-b3-forms-orientation), identitas bentuknya memperoleh sebuah tanda minus global (sebab bentuk merasakan [orientasi](#def-b3-forms-orientation)), sedangkan rumus [ukurannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#def-b3-measure-measure) tetap memakai $\abs{\det}$ (sebab [ukuran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#def-b3-measure-measure) tidak): jadi dua pembukuan atas satu Jacobi.

**Latihan 21.10 ★★★.**

(Deformasi) Misalkan $\omega$ bentuk-$2$ *[tertutup](#def-b3-forms-closedexact)* pada $\R^3\setminus\{0\}$ dan $S_r$ bola berjari-jari $r$ yang berpusat di $0$. Tunjukkanlah bahwa $\int_{S_r}\omega$ tak bergantung pada $r > 0$ *(terapkanlah Stokes pada cangkang antara dua jari-jari; perhatikanlah kedua [orientasi](#def-b3-forms-orientation) batasnya)*. Terapkanlah pada *bentuk sudut ruang*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

periksalah bahwa ia [tertutup](#def-b3-forms-closedexact), hitunglah $\int_{S_r}\omega = 4\pi$, lalu simpulkanlah bahwa ia [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) tetapi tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada $\R^3\setminus\{0\}$ — yakni saudara berdimensi dua $\omega_\theta$, dan isi geometris hukum Gauss dalam elektrostatika.

**Solusi Latihan 21.10.**

Cangkang $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ merupakan submanifold-$3$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dengan [batas](#def-b3-forms-boundary) $S_{r_2}\cup S_{r_1}$; sedangkan [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya adalah [orientasi](#def-b3-forms-orientation) sfera yang biasa pada $S_{r_2}$ (keluar dari $A$ = menjauhi $0$) dan yang *berlawanan* pada $S_{r_1}$ (keluar dari $A$ = menuju $0$). Lalu Stokes dengan $\dd\omega = 0$:

$$
0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega -
\int_{S_{r_1}}\omega .
$$

Untuk bentuk sudut ruangnya: dengan $\rho = \norm x$ dan $\sigma =
x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd
x\wedge\dd y$, berlaku $\omega = \rho^{-3}\sigma$ dan

$$
\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\,
\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z
= \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .
$$

Pada $S_r$, bagi $v_1, v_2$ yang singgung: $\omega(v_1, v_2) =
r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) =
r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$, sehingga $\int_{S_r}\omega =
r^{-2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi$: yakni konstan terhadap $r$, seperti yang diramalkan deformasinya, dan tak nol — sehingga $\omega$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) tetapi tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact) pada $\R^3\setminus\{0\}$ (sebab [bentuk eksak](#def-b3-forms-closedexact) [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) menjadi $0$ atas $S_r$ yang tanpa [batas](#def-b3-forms-boundary) menurut Stokes). Inilah hukum Gauss: bahwa fluks medan sebuah muatan satuan lewat sembarang sfera yang melingkupinya adalah $4\pi$, berapa pun jari-jarinya.

**Latihan 21.11 ★★.**

Misalkan $\gamma$ kurva [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) mulus di $\R^2\setminus\{0\}$ dengan $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$. Tunjukkanlah $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ bagi *setiap* bentuk-$1$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ pada $\R^2\setminus\{0\}$ *(tulislah $\omega = c\,\omega_\theta
+ \dd f$ menurut [Latihan 21.12](#exo-b3-forms-12))*. Tafsirannya: bahwa pada bidang tertusuknya, [bilangan lilitan](#def-b3-forms-winding) adalah satu-satunya halangan bagi lenyapnya periode.

**Solusi Latihan 21.11.**

Tulislah $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ ([Latihan 21.12](#exo-b3-forms-12)) dengan $c =
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$. Maka

$$
\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta +
\int_\gamma\dd f
= c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0
= n\int_{S^1}\omega,
$$

menurut [Proposisi 21.28](#prop-b3-forms-exactloop) dan definisi indeksnya. Satu bilangan bulat $n$ mengendalikan setiap periode pada bidang tertusuknya: sebab bentuk-$1$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) tak dapat membedakan dua gelung yang berbilangan lilitan sama.

**Latihan 21.12 ★★★.**

(Perhitungan de Rham pertama) Tunjukkanlah bahwa setiap bentuk-$1$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ pada $U = \R^2\setminus\{0\}$ secara tunggal berupa

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

definisikanlah $f(p)$ dengan mengintegralkan $\omega - c\,\omega_\theta$ sepanjang [lintasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-pathconnected) dari $(1,0)$ ke $p$ (potongan radial lalu busur lingkaran), tunjukkanlah bahwa hasilnya tak bergantung pada pilihannya justru karena periode-$S^1$-nya lenyap, lalu periksalah $\dd
f = \omega - c\,\omega_\theta$. Simpulkanlah: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, yang dibangkitkan bentuk sudutnya.

**Solusi Latihan 21.12.**

Ambillah $\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$: yang [tertutup](#def-b3-forms-closedexact), dan $\int_{S^1}\alpha = 0$ menurut pilihan $c$-nya (sebab $\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$). Tariklah balik lewat pemetaan kutub $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$, yakni difeomorfisma lokal surjektif $(0, \infty)\times\R \to
U$: maka $\Phi^*\alpha$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)) pada [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) *cembung* $(0,\infty)\times\R$, sehingga [eksak](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare)): $\Phi^*\alpha = \dd g$. Untuk $\rho$ yang tetap: $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho, \theta)
= \int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ adalah integral $\alpha$ mengelilingi lingkaran berjari-jari $\rho$, yang sama dengan $\int_{S^1}\alpha = 0$ (sebab anulus antara kedua lingkarannya merupakan permukaan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dengan [batas](#def-b3-forms-boundary); lalu Stokes seperti pada [Latihan 21.10](#exo-b3-forms-10), satu dimensi lebih rendah). Jadi $g$ berperiode $2\pi$ terhadap $\theta$ dan turun ke fungsi $f$ yang terdefinisi baik pada $U$ dengan $f\circ\Phi = g$; lalu $f$ mulus (sebab $\Phi$ difeomorfisma lokal) dan $\Phi^*(\dd f) = \dd g = \Phi^*\alpha$ memaksa $\dd f =
\alpha$. Karena itu $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$. Untuk ketunggalannya: mengintegralkannya atas $S^1$ menetapkan $c$, sebab [bentuk eksak](#def-b3-forms-closedexact) berperiode nol; sedangkan $f$ tunggal sampai penambahan konstanta. Jadi pemetaan $[\omega] \mapsto
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ merupakan isomorfisma linear $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$, dan kelas $\omega_\theta$ membangkitkannya: sehingga lubangnya tepat berdimensi satu, secara kohomologis.

## 21.8 Soal: teorema titik tetap Brouwer

**Soal 21.1.**

Soal akhir pekan — tak ada retraksi, tak ada pelolosan

Teorema Brouwer menyatakan bahwa *setiap [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bola satuan [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ ke dirinya sendiri mempunyai titik tetap* — yakni salah satu teorema besar matematika, dengan akibat mulai dari teori permainan (kesetimbangan Nash) sampai analisis matriks. Buktinya lewat [bentuk diferensial](#def-b3-forms-diffform) adalah yang terbersih yang dikenal: Stokes menunjukkan bahwa sferanya bukan retrak bolanya, dan selebihnya menyusul. Sepanjang soal ini, $S = S^{n-1} = \partial\bar B$, $n \geq 2$, dan

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(topinya menghapus faktornya).

**Bagian I — Alat ukurnya.**

1. Hitunglah $\dd\sigma$ , lalu simpulkanlah dari Stokes ( [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) bahwa $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ , dengan $S$ mengemban [orientasi](#def-b3-forms-orientation) [batas](#def-b3-forms-boundary) bolanya.
2. Untuk $n = 2$ dan $n = 3$ , kenalilah pembatasan $\sigma$ ke $S$ sebagai bentuk panjang busur dan bentuk luasnya ( [Latihan 21.5](#exo-b3-forms-5) dengan $\nu(x) = x$ ) lalu hitunglah ulang $\int_S\sigma$ secara langsung.
3. Misalkan $W \subseteq \R^N$ terbuka dan $\varphi\colon W  \to \R^n$ mulus dengan $\norm{\varphi(x)} = 1$ bagi setiap $x \in W$ . Tunjukkanlah bahwa $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . *(Turunkanlah $\norm\varphi^2 = 1$: peta $D\varphi(x)$ terletak pada hiperbidang $\varphi(x)^\perp$, yang berdimensi $n - 1$; lalu terapkanlah [Proposisi 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2).)*
4. Di manakah cacat “bukti” berikut bahwa $\int_S\sigma = 0$ : “ $S$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tanpa [batas](#def-b3-forms-boundary) , dan $\sigma$ yang dibatasi ke $S$ merupakan bentuk berderajat tertinggi padanya, sehingga [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) , sehingga $\int_S\sigma =  \int_S\dd(\text{sesuatu}) = 0$ menurut Stokes”? (Tunjuklah kata yang keliru.)
5. Jelaskanlah dalam satu paragraf strategi Bagian II: apa yang akan diintegralkan, atas apa, dan dari mana kontradiksinya akan datang.

**Bagian II — Tak ada retraksi mulus.** Andaikan, demi kontradiksi, bahwa $r$ merupakan *retraksi mulus* dari bolanya ke sferanya: $r$ mulus pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\bar B$, $r(\bar B) \subseteq S$, dan $r(x) = x$ bagi setiap $x \in S$.

6. Benarkanlah $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ *(pada $S$, $r$ terbatas menjadi identitasnya: sebab jika $\gamma$ parametrisasi langsung sekeping $S$, maka $r\circ\gamma = \gamma$)* .
7. Dengan memakai Stokes pada $\bar B$ , tunjukkanlah $\int_Sr^*\sigma =  \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
8. Tunjukkanlah $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (yakni pertanyaan 3 yang diterapkan pada $\varphi = r$ ), lalu simpulkanlah: *tak ada retraksi mulus $\bar B \to S$.*
9. Selesaikanlah kasus terkecuali $n = 1$ dengan tangan: tunjukkanlah secara langsung bahwa tak ada [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to  \{-1, 1\}$ yang menetapkan kedua ujungnya, lalu sebutkanlah teorema yang dipakai.

**Bagian III — Brouwer mulus.** Misalkan $g$ mulus pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\bar B$ dengan $g(\bar B)
\subseteq \bar B$ dan *tanpa* titik tetap di $\bar B$.

10. Tunjukkanlah $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ .
11. Untuk $x \in \bar B$ ambillah $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ dan misalkan $r(x) = x +  t(x)\,u(x)$ perpotongan sinar $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ dengan $S$. Selesaikanlah persamaan kuadrat $\norm{x + tu}^2 = 1$ lalu perolehlah $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$
12. Tunjukkanlah bahwa isi akarnya positif *sejati* pada $\bar B$ : sebab jika $1 - \norm x^2 + \langle x,  u(x)\rangle^2 = 0$ maka $\norm x = 1$ dan $\langle  x, u(x)\rangle = 0$ , yakni $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ , yakni $\langle x, g(x)\rangle =  1$ ; lalu menurut Cauchy–Schwarz dengan $\norm x = 1$ , $\norm{g(x)} \leq 1$ , ini memaksa $g(x) = x$ — yang terkecualikan. Simpulkanlah bahwa $r$ mulus pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\bar B$ .
13. Tunjukkanlah $r(\bar B) \subseteq S$ dan $r(x) = x$ bagi $x  \in S$ *(untuk $\norm x = 1$, periksalah $t(x) = 0$ dengan memakai $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$, yang sendirinya menyusul dari $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 -  \langle x, g(x)\rangle \geq 0$)* . Simpulkanlah bersama Bagian II: *setiap pemetaan diri mulus $\bar B$ mempunyai titik tetap.*

**Bagian IV — Brouwer [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity).** Misalkan $f\colon\bar B\to\bar B$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) tanpa titik tetap.

14. Tunjukkanlah $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} > 0$ , lalu hasilkanlah pemetaan *polinomial* $p\colon\R^n\to  \R^n$ dengan $\sup_{\bar B}\norm{p - f} <  \varepsilon/2$ (Stone–Weierstrass, [Teorema 7.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) , koordinat demi koordinat — benarkanlah peralihan dari hampiran skalar ke hampiran vektor).
15. Pemetaan $p$ boleh jadi meninggalkan bolanya; tetapkanlah $g = \frac{p}{1  + \varepsilon/2}$ . Tunjukkanlah $g(\bar B) \subseteq \bar B$ dan $\sup_{\bar B}\norm{g - f} < \varepsilon$ .
16. Turunkanlah kontradiksi dengan Bagian III lalu simpulkanlah: *setiap [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ mempunyai titik tetap.*
17. Tunjukkanlah lewat contoh bahwa teoremanya gagal pada: bola terbuka; sfera $S$ ; dan anulus [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) . Sifat $\bar B$ manakah yang hilang pada masing-masing contoh tandingnya?

**Bagian V — Dividennya.**

18. (Perron–Frobenius, keberadaan) Misalkan $A$ matriks $n\times n$ yang semua entrinya $> 0$ , dan $\Delta = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i =  1\}$ . Tunjukkanlah bahwa pemetaan $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ terdefinisi baik dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $\Delta$ , bahwa $\Delta$ [homeomorfik](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan bola [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) $\R^{n-1}$ (lewat [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) radial dari [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) cembung yang [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) tak kosong pada rentang afinnya), lalu simpulkanlah bahwa $A$ mempunyai vektor eigen berentri positif sejati dan nilai eigen $> 0$ .
19. Simpulkanlah bahwa setiap matriks stokastik berentri positif (yang kolomnya berjumlah $1$ ) mempunyai vektor peluang stasioner $\pi = A\pi$ — yakni vektor bertipe PageRank. (Ketunggalannya juga berlaku tetapi memerlukan alat lain.)
20. (Bola berbulu, persiapan) Misalkan $v$ mulus pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $S = S^{n-1}$ dengan $\langle v(x),  x\rangle = 0$ dan $\norm{v(x)} = 1$ bagi $x \in S$ (yakni *medan singgung satuan* ). Untuk $t \in \R$ tetapkan $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . Tunjukkanlah $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ pada $S$ : sehingga $F_t$ memetakan $S$ ke dalam sfera $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
21. Tunjukkanlah bahwa $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ merupakan *polinomial* dalam $t$ *(sebab setiap fungsi koefisien $F_t^*\sigma$ pada sebuah peta bersifat polinomial dalam $t$, dengan koefisien yang mulus terhadap variabel petanya; sedangkan pengintegralannya linear)* .
22. Tunjukkanlah bahwa untuk $\abs t$ yang kecil, $F_t$ merupakan difeomorfisma dari $S$ ke $\sqrt{1+t^2}\,S$: keinjektifannya untuk $t\operatorname{Lip}(v) < 1$; difeomorfisma lokalnya menurut teorema fungsi balikan ([Teorema 20.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#thm-b3-submanifolds-ift) pada peta); sedangkan petanya terbuka sekaligus [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) pada sfera sasarannya yang [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected). Simpulkanlah, dengan memakai [Lema 21.19](#lem-b3-forms-consistency) dan penskalaan $\sigma_{\lambda x} =  \lambda^{n}\,\sigma_x$ di bawah $x \mapsto \lambda x$ (periksalah), bahwa $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{dengan tanda } + \text{ untuk nilai kecil } t$$ ([orientasinya](#def-b3-forms-orientation) terawetkan lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari $t = 0$).
23. Simpulkanlah (Milnor): jika $n$ *ganjil* , maka $(1 +  t^2)^{n/2}$ bukan polinomial dalam $t$ , padahal ia berimpit dengan polinomial $P(t)/\int_S\sigma$ di dekat $0$ — yakni kontradiksi. Karena itu *sfera berdimensi genap $S^{n-1}$ (dengan $n$ ganjil) tak mengemban medan singgung satuan* , dan, lewat penormalan dan pemulusan (konvolusikan komponen demi komponen lalu proyeksikan — benarkanlah kedua langkahnya), tak ada pula medan singgung [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang tak lenyap di mana pun: sehingga setiap angin di Bumi menyisakan satu titik tenang.
24. (Sfera ganjil tersisir bebas) Tunjukkanlah pada $S^{2m-1}  \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ sebuah medan singgung satuan mulus yang eksplisit: $v(x) = \iu x$ dalam notasi kompleksnya, yakni $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ Periksalah kesinggungannya dan panjang satuannya, lalu simpulkanlah bahwa dikotomi paritas pertanyaan 23 bersifat tajam: bahwa sebuah sfera tersisir tepat saat dimensinya ganjil. Di manakah argumen polinomial pertanyaan 22 patah untuk $n$ yang genap?
25. (Nol dari perilaku batasnya) Misalkan $f \colon \bar  B^n \to \R^n$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $\langle f(x),  x\rangle \geq 0$ bagi setiap $x \in S^{n-1}$ . Tunjukkanlah bahwa $f$ lenyap di suatu tempat di $\bar B^n$ . *(Sebab jika tidak, $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ memetakan $\bar B$ secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke $S \subseteq \bar B$; lalu terapkanlah Brouwer pada $g$ dan bertentanganlah dengan hipotesis batasnya.)* Simpulkanlah *kriteria kesurjektifannya* : bahwa $F\colon\R^n\to\R^n$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to  +\infty$ saat $\norm x \to \infty$ bersifat surjektif — yakni leluhur berdimensi berhingga bagi argumen koersivitas pada analisis taklinear.

**Solusi Soal 21.1.**

**1.** $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$; lalu membawa $\dd x_i$ melintasi $i-1$ faktor sebelumnya memakan $(-1)^{i-1}$, yang meniadakan prafaktornya: sehingga masing-masing dari $n$ sukunya sama dengan $\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, jadi $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$. Lalu Stokes pada bolanya: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma =
n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$.

**2.** $n = 2$: $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$; lalu pada $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $\gamma^*\sigma = (\cos^2t +
\sin^2t)\,\dd t = \dd t$, yakni bentuk panjang busurnya: $\int_S\sigma = 2\pi = 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$. $n = 3$: $\sigma\vert_S$ adalah bentuk luasnya ([Latihan 21.5](#exo-b3-forms-5) dengan $\nu(x) = x$): $\int_S\sigma = 4\pi = 3\cdot\tfrac{4\pi}3$. Keduanya cocok dengan pertanyaan 1.

**3.** Dengan menurunkan $\norm\varphi^2 = 1$: $2\langle
D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$ bagi setiap $h$, sehingga $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$, yakni sebuah hiperbidang: jadi $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$. Karena $\dd\sigma$ merupakan bentuk-$n$ (pertanyaan 1), maka titik demi titik $\varphi^*(\dd\sigma)_x =
(D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)} = 0$ menurut [Proposisi 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2): sebab pemetaan ke dalam sferanya tak punya ruang untuk menarik balik sebuah volume.

**4.** Cacatnya ada pada “sehingga” yang kedua: sebab pada himpunan berdimensi $(n-1)$ yaitu $S$, setiap bentuk-$(n-1)$ [tertutup](#def-b3-forms-closedexact) secara trivial (karena tak ada bentuk-$n$ tak nol pada manifold-$(n-1)$), tetapi *[tertutup](#def-b3-forms-closedexact) tak berarti [eksak](#def-b3-forms-closedexact)*, sedangkan $\int_S\dd\eta = 0$ menuntut primitif $\eta$ yang sungguh-sungguh terdefinisi pada $S$. Padahal pembatasan $\sigma$ justru tak [eksak](#def-b3-forms-closedexact) — sebab integralnya $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq
0$ — dan ketakeksakan inilah yang menggerakkan seluruh soalnya.

**5.** Kita akan mengintegralkan $r^*\sigma$ atas sferanya lalu menghitungnya dengan dua cara. Karena $r$ menetapkan $S$ titik demi titik, integralnya sama dengan $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B)
\neq 0$. Sedangkan karena $r$ terdefinisi pada bolanya, Stokes mengubah integral yang sama itu menjadi $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) =
\int_{\bar B}r^*(\dd\sigma)$; dan karena $r$ bernilai di sferanya, pertanyaan 3 membuat integran itu lenyap. Jadi satu bilangan, dua nilai: sehingga retraksinya tak mungkin ada.

**6.** Kedua integralnya dihitung lewat parametrisasi langsung $\gamma$ atas keping-keping $S$ ([Definisi 21.18](#def-b3-forms-integral)); dan karena $r\circ\gamma =
\gamma$ (sebab parametrisasinya mendarat di $S$, yang $r$ menjadi identitas di sana), maka $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma =
\gamma^*\sigma$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)): sehingga integran lokalnya berimpit, dan [partisi kesatuan](#lem-b3-forms-partition) mana pun memberikan $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$.

**7.** Bentuk $r^*\sigma$ adalah bentuk-$(n-1)$ mulus pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\bar B$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) dan berorientasi, yang batasnya dengan [orientasi](#def-b3-forms-orientation) terinduksinya adalah $S$: sehingga Stokes ([Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) memberikan persis $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$.

**8.** Berlaku $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), yang lenyap menurut pertanyaan 3 yang diterapkan pada $\varphi = r$. Lalu merangkai pertanyaan 6–8:

$$
0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma =
\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :
$$

yakni mustahil. *Tak ada retraksi mulus $\bar B^n$ ke $S^{n-1}$* ($n \geq 2$).

**9.** Sebuah $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $r(\pm1) = \pm1$ akan memetakan himpunan [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) ke $\{-1, 1\}$ yang tak [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected), dan itu mustahil: sebab peta [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) himpunan [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) bersifat [terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected) — setara dengan itu, teorema nilai antaranya akan memaksa $r$ mengambil nilai $0$. Pernyataan yang sama pada setiap dimensi persis adalah Bagian II; sedangkan keterhubungannya adalah bayangan berdimensi $1$ bagi halangan kohomologis $\int_S\sigma \neq 0$.

**10.** Fungsi $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan di mana-mana $> 0$ pada $\bar B$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact): sehingga minimumnya $\delta$ tercapai, jadi $> 0$.

**11.** Persamaan $\norm{x + tu}^2 = 1$ berbunyi $t^2 + 2t\langle x,
u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$, yang akarnya adalah

$$
t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x,
u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .
$$

Hasil kalinya $\norm x^2 - 1 \leq 0$: sehingga akarnya mengapit $0$ (atau salah satunya lenyap), jadi parameter sinarnya — yakni akar tak negatifnya — adalah $t(x) = t_+$.

**12.** Seandainya isi akarnya lenyap di $x \in \bar B$: maka karena kedua sukunya tak negatif, $\norm x = 1$ dan $\langle x, u(x)\rangle = 0$, yakni $\langle x, x -
g(x)\rangle = 0$, yakni $\langle x, g(x)\rangle = 1$. Lalu menurut Cauchy–Schwarz, $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq
\norm x\,\norm{g(x)} \leq 1$: yakni kesamaan sepanjang rantainya, yang memaksa $g(x)$ segaris dengan $x$, bernorma $1$, dan searah: jadi $g(x) = x$ — yang terkecualikan. Jadi isi akarnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan $> 0$ pada $\bar B$, sehingga terbatas di bawah oleh suatu $c > 0$ di sana dan pada sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) (menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragamnya). Pada [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) itu, $u$ mulus (sebab $\norm{x - g(x)} \geq
\delta/2$, dengan mengecilkannya bila perlu), isi akarnya tetap $\geq
c/2$, dan akar kuadratnya mulus pada $\intoo0\infty$: sehingga $r$ mulus di dekat $\bar B$.

**13.** Berlaku $\norm{r(x)} = 1$ menurut konstruksi $t(x)$-nya: jadi $r(\bar B) \subseteq S$. Untuk $x \in S$: $\langle x,
u(x)\rangle = \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x -
g(x)}} \geq 0$ (menurut Cauchy–Schwarz sekali lagi), dan $\norm x =
1$ menyusutkan isi akarnya menjadi $\langle x, u\rangle^2$, yang akar kuadratnya adalah $\langle x, u\rangle$ itu sendiri (sebab ia $\geq
0$): sehingga $t(x) = 0$ dan $r(x) = x$. Jadi $r$ merupakan retraksi mulus dari bolanya ke sferanya — yang bertentangan dengan Bagian II. *Setiap pemetaan diri mulus $\bar B$ mempunyai titik tetap.*

**14.** Berlaku $\varepsilon > 0$ persis seperti pada pertanyaan 10. Sedangkan polinomialnya membentuk subaljabar $\mathcal C(\bar B,
\R)$ yang memuat konstantanya dan memisahkan titik (sebab $x
\mapsto x_i$ memisahkan), sehingga Stone–Weierstrass ([Teorema 7.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) menghampiri setiap koordinatnya: pilihlah polinomial $p_i$ dengan $\sup_{\bar
B}\abs{p_i - f_i} < \frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$; maka pemetaan vektor $p = (p_1, \dots, p_n)$ memenuhi $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq
\bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} <
\varepsilon/2$.

**15.** Pada $\bar B$: $\norm p \leq \norm f +
\frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$, sehingga $\norm{g} = \frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$: jadi $g(\bar B) \subseteq \bar B$. Lebih jauh $\norm{g - p} =
\frac{\varepsilon/2}{1 + \varepsilon/2}\norm p \leq
\frac\varepsilon2$, sehingga $\norm{g - f} \leq \norm{g - p} +
\norm{p - f} < \varepsilon$ pada $\bar B$.

**16.** Pemetaan $g$ polinomial, jadi mulus, dan memetakan $\bar B$ ke dirinya sendiri: sehingga Bagian III menyediakan $x_0 = g(x_0)$. Lalu $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} <
\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$: yakni kontradiksi. *Setiap [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to
\bar B^n$ mempunyai titik tetap.*

**17.** *Bola terbuka:* $f(x) = \frac{x + e_1}2$ memetakan $B$ ke dalam $B$ (sebab $\norm{f(x)} < 1$ sejati) sedangkan satu-satunya titik tetapnya $e_1$ terletak pada sferanya: jadi kekompakannya hilang. *Sfera:* pemetaan antipodal $x \mapsto -x$ bebas titik tetap; sebab $S$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tetapi bertopologi “keliru” — yakni justru bukan-retrak Bagian II. *Anulus:* rotasi sebesar sudut $\not\equiv 0$ mana pun tak menetapkan apa pun; sebab lubangnya melindungi rotasinya — jadi kecembungannya (atau lebih tepatnya, [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) serupa-bolanya) hilang. Jadi teorema Brouwer sesungguhnya tentang himpunan *cembung [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact)*, seperti yang dimanfaatkan pertanyaan 18.

**18.** Untuk $x \in \Delta$: ada $x_j > 0$, sehingga $(Ax)_i
\geq A_{ij}x_j > 0$ bagi setiap $i$; jadi $\norm{Ax}_1 > 0$ dan $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ terdefinisi baik, [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), serta mendarat di $\Delta$ (sebab entrinya positif dan berjumlah $1$). Sedangkan $\Delta$ cembung, [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), dan berinterior tak kosong pada hiperbidang afin $\{\sum x_i = 1\} \cong \R^{n-1}$; lalu pemetaan radial dari barisentrumnya — sebab setiap sinar dari barisentrumnya menemui $\partial\Delta$ pada tepat satu titik, menurut kecembungan dan kekompakannya, sedangkan fungsi tolok yang bersesuaian bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) — merupakan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\Delta \to
\bar B^{n-1}$. Lalu mengangkut Brouwer lewatnya: $T$ mempunyai titik tetap $x^*$, yakni $Ax^* = \lambda x^*$ dengan $\lambda
= \norm{Ax^*}_1 > 0$; dan $x^* = Ax^*/\lambda$ berentri positif sejati menurut perhitungan pembukanya. *Jadi matriks positif mempunyai vektor eigen positif.*

**19.** Pertanyaan 18 memberikan $A\pi = \lambda\pi$, $\pi \in
\Delta$, $\pi > 0$. Lalu jumlahkanlah koordinatnya: $\sum_i(A\pi)_i =
\sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (sebab kolomnya berjumlah $1$), sedangkan $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$. Jadi $\lambda = 1$ dan $A\pi = \pi$: yakni vektor peluang stasioner — yaitu kesetimbangan rantai Markovnya, inti matematis PageRank.

**20.** Pada $S$: $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 +
2t\langle x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$ menurut kesinggungannya dan $\norm v = 1$: jadi $F_t(S) \subseteq
\sqrt{1+t^2}\,S$.

**21.** Tetapkanlah sebuah atlas berhingga berisi parametrisasi langsung $\gamma$ beserta [partisi kesatuan](#lem-b3-forms-partition), yang tak bergantung pada $t$. Pada sebuah peta, $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$, sehingga setiap koefisien $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ merupakan jumlah hasil kali satu faktor $(x_i + tv_i)\circ\gamma$ (yang afin terhadap $t$) dan sebuah determinan $(n-1)\times(n-1)$ yang entrinya afin terhadap $t$: yakni polinomial dalam $t$ berderajat $\leq n$ dengan koefisien yang mulus terhadap variabel petanya. Lalu mengalikannya dengan fungsi partisinya yang tak bergantung pada $t$ dan mengintegralkannya suku demi suku: $P(t) = \sum_{k=0}^n c_kt^k$, yakni sebuah polinomial.

**22.** *Untuk keinjektifannya:* $v$ bersifat Lipschitz pada $S$ (sebab mulus pada [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact)), katakanlah berkonstanta $L$; lalu untuk $\abs t <
1/L$, $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs
tL)\norm{x - y} > 0$. *Untuk difeomorfismanya:* $G_t =
F_t/\sqrt{1 + t^2}$ memetakan $S$ ke $S$; sedangkan pada peta, Jacobinya konvergen seragam ke Jacobi $G_0 = \operatorname{id}$ saat $t \to 0$, sehingga untuk $t$ yang kecil semuanya terbalikkan dan $G_t$ merupakan difeomorfisma lokal ([Teorema 20.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#thm-b3-submanifolds-ift) pada peta), injektif, dengan peta yang terbuka (menurut difeomorfisma lokalnya) dan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) di $S^{n-1}$ yang *[terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-connected)* ($n \geq 2$): sehingga petanya $= S$, jadi $G_t$ difeomorfisma $S$. *Untuk penskalaannya:* di bawah $s_\lambda(x) = \lambda x$, setiap koefisien $x_i$ memperoleh $\lambda$ dan masing-masing dari $n - 1$ diferensialnya memperoleh $\lambda$: jadi $s_\lambda^*\sigma =
\lambda^n\sigma$. Karena $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$:

$$
P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr)
= (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma
= (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma
\quad\text{untuk nilai kecil } t,
$$

dengan kesamaan terakhirnya menurut [Lema 21.19](#lem-b3-forms-consistency) (sebab $G_t$ difeomorfisma $S$ yang mengawetkan [orientasi](#def-b3-forms-orientation) untuk $t$ yang kecil: determinan Jacobi petanya berubah secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), tak pernah lenyap, dan positif di $t = 0$).

**23.** Jika $n$ ganjil dan sebuah medan singgung satuan mulus ada, maka pertanyaan 21–22 membuat polinomial $P(t)/\int_S\sigma$ (yang sahih: sebab $\int_S\sigma \neq 0$ menurut pertanyaan 1) berimpit dengan $(1 + t^2)^{n/2}$ di dekat $0$; sedangkan dua fungsi mulus yang berimpit di dekat $0$ dengan salah satunya polinomial memaksa $(1 + t^2)^{n/2}$ menjadi polinomial itu pada seluruh $\R$. Padahal jika $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ dengan $Q \in \R[t]$, maka pemfaktoran tunggal di $\R[t]$ ([Bab 2](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#ch-b3-rings)) memberikan $t^2 + 1$ yang [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) itu multiplisitas genap pada $Q^2$ dan multiplisitas ganjil $n$ pada $(1 + t^2)^n$: yakni mustahil. Jadi tak ada medan singgung satuan mulus pada $S^{n-1}$ untuk $n$ yang ganjil — yakni sfera berdimensi genap. Akhirnya, medan singgung yang sekadar [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan tak lenyap di mana pun, sebutlah $w$, akan menghasilkan satu: perluaslah ia ke sebuah [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) lewat $\tilde w(x) = w(x/\norm x)$, muluskanlah komponen demi komponen ([Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)) menjadi $v_0$ yang mulus dengan $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} <
\frac12\min_S\norm w$, proyeksikanlah secara singgung $v_1(x) = v_0(x)
- \langle v_0(x), x\rangle x$ — sebab pada $S$ ini mengubah $v_0$ paling banyak sebesar komponen normalnya, yang sendirinya paling banyak $\norm{v_0 -
\tilde w}$ karena $\tilde w$ singgung, sehingga $\norm{v_1 - \tilde
w} \leq 2\norm{v_0 - \tilde w} < \min\norm w$ dan $v_1$ tak pernah lenyap pada $S$ — lalu normalkanlah: sehingga $v =
v_1/\norm{v_1}$ merupakan medan singgung satuan yang mulus. Karena itu pada setiap sfera berdimensi genap, *setiap medan singgung [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mempunyai nol*: sehingga setiap angin di Bumi menyisakan satu titik tenang.

**24.** Berlaku $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j +
x_jy_j) = 0$: jadi singgung; dan $\norm{v(x)} = \norm x = 1$: jadi satuan. Kemulusannya jelas (sebab pemetaan linear). Jadi setiap sfera berdimensi ganjil mengemban medan singgung satuan yang mulus — yakni perkalian oleh $\iu$ sepanjang garis kompleksnya — sehingga halangan pertanyaan 23 tepat berupa paritas dimensinya. Pada argumen polinomialnya, untuk $n$ yang genap fungsi $(1 +
t^2)^{n/2}$ memang *adalah* polinomial, dan tak ada kontradiksi yang muncul: jadi buktinya bukan sekadar gagal berlaku, melainkan kesimpulannya sungguh salah, seperti yang disaksikan $v$.

**25.** Andaikan $f$ tak pernah lenyap pada $\bar B$. Maka $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\bar B \to S
\subseteq \bar B$, dan Brouwer (pertanyaan 16) menyediakan $x^* =
g(x^*)$. Karena $g$ bernilai di $S$, maka $x^* \in S$, dan

$$
\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\
-\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle
= -\norm{f(x^*)} < 0,
$$

yang bertentangan dengan hipotesis batasnya. Jadi $f$ mempunyai nol. Untuk kesurjektifannya: diberikan $y \in \R^n$, terapkanlah yang di atas pada $f(x) =
F(x) - y$ pada bola $\bar B(0, R)$ dengan $R$ yang begitu besar sehingga $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ pada sfera berjari-jari $R$ (menurut koersivitasnya); maka $\langle f(x), x\rangle =
\langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ di sana (menurut Cauchy–Schwarz), sehingga pernyataan yang diskalakan ulang itu memberikan nol bagi $f$: yakni $F(x) = y$. Jadi setiap medan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang koersif bersifat pada — yakni bayangan bebas derajat bagi teorema keberadaan variasionalnya, yang diantarkan [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) murni.