---
title: "Fungsi Karakteristik dan Teorema Limit Pusat"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/23-fungsi-karakteristik-dan-teorema-limit-pusat
---

# Bab 23 — Fungsi Karakteristik dan Teorema Limit Pusat

Hukum bilangan besar mengatakan bahwa rata-ratanya konvergen; sedangkan teorema limit pusat mengatakan *bagaimana ia berfluktuasi*: bahwa galatnya, yang diperbesar $\sqrt n$, bersifat [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) secara asimtotik — apa pun distribusi asalnya. Keuniversalan ini adalah fakta terdalam pada peluang elementer, dan bukti alaminya bersifat Fourier: sebab *[fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf)* (yakni transformasi Fourier sebuah distribusi) mengubah jumlah yang bebas menjadi hasil kali, lalu perkakas [Bab 14](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#ch-b3-fouriertransform) — keinjektifan, titik tetap [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) — mengubah konvergensi titik demi titik hasil kali itu menjadi konvergensi distribusinya (yakni teorema Lévy, yang dibuktikan selengkapnya). Bab ini berakhir dengan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) dan penurunan yang jujur atas selang kepercayaan yang dipakai di mana-mana dalam statistika; sedangkan soal akhir pekannya menyajikan bukti kedua Lindeberg bagi teorema limit pusatnya, dengan laju galat yang eksplisit.

## 23.1 Fungsi karakteristik

**Definisi 23.1.**

Yang disebut *fungsi karakteristik* sebuah [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) real $X$ adalah

$$
\varphi_X(\xi) = \E\bigl[\eu^{\iu\xi X}\bigr]
= \int_\R \eu^{\iu\xi x}\,\dd\P_X(x)
\qquad (\xi \in \R)
$$

(teorema transfernya menghitungnya dari distribusinya; sedangkan bagi [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $f$, $\varphi_X(\xi) = \hat f(-\xi)$ dalam konvensi [Bab 14](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#ch-b3-fouriertransform)).

**Proposisi 23.2.**

(a) Berlaku $\varphi_X(0) = 1$, $\abs{\varphi_X} \leq 1$, dan $\varphi_X$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam; $\varphi_{aX + b}(\xi) = \eu^{\iu b\xi}\varphi_X(a\xi)$. (b) Jika $X, Y$ *bebas*: $\varphi_{X+Y} = \varphi_X\,\varphi_Y$. (c) Jika $\E\abs X^k < \infty$, maka $\varphi_X \in \mathcal
C^k$ dengan $\varphi_X^{(j)}(0) = \iu^j\,\E[X^j]$ bagi $j \leq
k$; khususnya, bagi $X \in L^2$ yang terpusat dan bervarians $\sigma^2$:

$$
\varphi_X(\xi) = 1 - \frac{\sigma^2\xi^2}{2} +
o(\xi^2) \qquad (\xi \to 0).
$$

(d) [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector): $X \sim \mathcal N(m, \sigma^2)$ mempunyai $\varphi_X(\xi) = \eu^{\iu m\xi - \sigma^2\xi^2/2}$.

**Bukti.** (a) Batasnya langsung; sedangkan untuk [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): $\abs{\varphi(\xi + h)
- \varphi(\xi)} \leq \E\abs{\eu^{\iu hX} - 1} \to 0$ saat $h
\to 0$ menurut konvergensi terdominasi, seragam terhadap $\xi$. Adapun aturan afinnya adalah sebuah substitusi. (b) Berlaku $\eu^{\iu\xi(X+Y)} =
\eu^{\iu\xi X}\eu^{\iu\xi Y}$, sedangkan [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) hasil kali variabel yang bebas memfaktor ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-independence), yang diterapkan pada bagian real dan imajinernya). (c) Penurunan di bawah tanda [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space), yang terdominasi $\E\abs X^j$ ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)); lalu uraian Taylornya di $0$ adalah Taylor–Young bagi fungsi $\mathcal C^2$ $\varphi$. (d) Untuk $\mathcal N(0,1)$: transformasi Gaussnya ([Contoh 14.2](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#ex-b3-fouriertransform-gaussian) dengan $a = \frac12$) memberikan $\int\eu^{\iu\xi x}\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\dd
x = \eu^{-\xi^2/2}$; sedangkan kasus umumnya lewat aturan afinnya. ∎

**Teorema 23.3 (Keinjektifan).**

Jika $\varphi_X = \varphi_Y$, maka $X$ dan $Y$ berdistribusi sama. Lebih tepatnya, bagi $N \sim \mathcal N(0,1)$ yang bebas dari $X$ dan $\varepsilon > 0$, variabel yang dimuluskan $X +
\varepsilon N$ mempunyai [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma)

$$
p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R
\varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,
$$

yang ditentukan $\varphi_X$ semata; lalu membiarkan $\varepsilon \to 0$ memulihkan distribusi $X$.

**Bukti.** Variabel $X + \varepsilon N$ berkepadatan $p_\varepsilon(x) =
\E\bigl[g_\varepsilon(x - X)\bigr]$, dengan $g_\varepsilon$ sebagai [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\mathcal N(0, \varepsilon^2)$: sebab bagi $B$ yang Borel, [kebebasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) dan Tonelli memberikan $\P(X + \varepsilon N \in
B) = \int\!\!\int\mathbf 1_B(x + \varepsilon
n)g_1(n)\,\dd n\,\dd\P_X(x) = \int_B\E[g_\varepsilon(t -
X)]\dd t$ (substitusikan, lalu Tonelli lagi). Lalu dengan menulis $g_\varepsilon$ lewat pembalikan Fourier transformasinya ([Latihan 14.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#exo-b3-fouriertransform-4), yang diskalakan ulang): $g_\varepsilon(u) = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\eu^{\iu\xi u}\dd\xi$, lalu Fubini (sebab semuanya terdominasi faktor Gaussnya):

$$
p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R
\varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,
$$

yakni fungsional $\varphi_X$ semata. Jika $\varphi_X =
\varphi_Y$: maka $X + \varepsilon N$ dan $Y + \varepsilon N$ berdistribusi sama bagi setiap $\varepsilon$; sedangkan bagi $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, $\E f(X + \varepsilon N) \to \E f(X)$ saat $\varepsilon
\to 0$ (menurut konvergensi terdominasi, sebab $X + \varepsilon N \to X$ titik demi titik pada ruang hasil kalinya), sehingga $\E f(X) = \E f(Y)$ bagi setiap $f$ semacam itu — dan ini menentukan distribusinya: sebab bagi setiap $t$, apitlah $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ di antara landaian [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas $f_k^\pm$ (yang sama dengan $1$ pada $\intoc{-\infty}{t \mp \frac1k}$, sama dengan $0$ di luar $t \pm
\frac1k$, dan afin di antaranya); lalu melimitkan $\E
f_k^-(X) \leq F_X(t) \leq \E f_k^+(X)$ memberikan $F_X(t) =
F_Y(t)$ pada setiap $t$ yang keduanya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) di sana, sehingga di mana-mana menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) kanan dan [kepadatan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bersamanya (sebab kedua $F$ berlompatan terbilang banyak); dan fungsi distribusi yang sama memaksa distribusi yang sama ([Latihan 9.3](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#exo-b3-measure-3), yang bersandar pada [Teorema 9.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#thm-b3-measure-uniqueness)). ∎

## 23.2 Konvergensi dalam distribusi

**Definisi 23.4.**

Variabel $X_n$ *konvergen dalam distribusi* (atau dalam hukumnya) ke $X$, yang ditulis $X_n \Rightarrow X$, jika

$$
\E\bigl[f(X_n)\bigr] \longrightarrow \E\bigl[f(X)\bigr]
\qquad\text{bagi setiap fungsi kontinu terbatas } f\colon\R\to\R .
$$

Secara setara ([Latihan 23.4](#exo-b3-clt-4)): $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ pada setiap titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $t$ milik $F_X$. Lalu $X_n$ tak perlu hidup pada [ruang peluang](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) bersama: sebab hanya distribusinya yang penting.

**Teorema 23.5 (Teorema pemilihan Helly).**

Setiap barisan $(F_n)$ fungsi distribusi mempunyai subbarisan yang konvergen titik demi titik, pada setiap titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) limitnya, ke $G \colon \R \to \intcc01$ yang tak turun dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) kanan — mungkin dengan $G(+\infty) - G(-\infty) <
1$ (sebab massanya boleh lolos ke tak hingga).

**Bukti.** Ekstraksi diagonalnya memberikan $F_{n_k}(q) \to \ell(q)$ bagi setiap $q$ rasional (sebab nilainya di $\intcc01$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact)). Definisikanlah $G(t) = \inf\{\ell(q) : q \in \Q, q > t\}$: yang tak turun; dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) kanan (sebab infimum atas [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) rasional yang mengecil dari kanan). Lalu pada titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $t$ milik $G$: bagi bilangan rasional $q_1 < t < q_2$,

$$
\ell(q_1) \leq \liminf F_{n_k}(t) \leq \limsup F_{n_k}(t)
\leq \ell(q_2),
$$

menurut kemonotonan setiap $F_{n_k}$. Lalu dari definisi $G$ sebagai infimum dan kemonotonan $\ell$ pada bilangan rasionalnya: $G(s) \leq \ell(q) \leq G(q)$ setiap kali $s < q$. Lalu mengambil $s < q_1 < t$ memberikan $\ell(q_1) \geq G(s)$, dan $\ell(q_2) \leq G(q_2)$; sehingga dengan membiarkan $s \uparrow t$ dan $q_2
\downarrow t$, [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $G$ di $t$ mengapit baik $\liminf$ maupun $\limsup$-nya ke $G(t)$. ∎

**Lema 23.6 (Keketatan dari fungsi karakteristiknya).**

Bagi sembarang [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) $X$ dan $u > 0$:

$$
\P\Bigl(\abs X \geq \frac2u\Bigr) \;\leq\;
\frac1u\int_{-u}^{u}\bigl(1 -
\operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\,\dd\xi .
$$

**Bukti.** Menurut Tonelli–Fubini (sebab integrannya terbatas dan daerahnya berhingga terhadap $\xi$):

$$
\frac1u\int_{-u}^u\bigl(1 -
\operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\dd\xi
= \E\Bigl[\frac1u\int_{-u}^u(1 - \cos(\xi X))\,\dd\xi\Bigr]
= 2\,\E\Bigl[1 - \frac{\sin(uX)}{uX}\Bigr]
$$

(tafsirkanlah kurungnya sebagai limitnya $0$ di $X = 0$). Sedangkan integrannya tak negatif (sebab $\abs{\sin t} \leq \abs t$), dan bagi $\abs{uX} \geq 2$: $1 - \frac{\sin(uX)}{uX} \geq 1 -
\frac1{\abs{uX}} \geq \frac12$. Jadi menyimpan hanya kejadian $\{\abs{uX} \geq 2\}$ di dalam [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) menyisakan setidaknya $2 \cdot \frac12\,\P(\abs X \geq \frac2u)$, dan itulah klaimnya. ∎

**Teorema 23.7 (Teorema kekontinuan Lévy).**

Misalkan $(X_n)$ [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) yang [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) konvergen titik demi titik: $\varphi_{X_n}(\xi) \to
\varphi(\xi)$ bagi setiap $\xi$, dengan $\varphi =
\varphi_X$ sebagai [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) suatu [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) $X$. Maka $X_n \Rightarrow X$.

**Bukti.** *Keketatannya.* Tetapkanlah $\varepsilon > 0$. Karena $\varphi$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) di $0$ dengan $\varphi(0) = 1$, pilihlah $u > 0$ dengan $\frac1u\int_{-u}^u(1 - \operatorname{Re}\varphi) <
\varepsilon$; lalu menurut konvergensi terdominasi (sebab integrannya terbatas oleh $2$ pada $[-u,u]$ yang tetap), integral yang sama bagi $\varphi_{X_n}$ bernilai $< 2\varepsilon$ bagi $n$ yang besar: sehingga [Lema 23.6](#lem-b3-clt-tightness) memberikan $\P(\abs{X_n} \geq \frac2u)
\leq 2\varepsilon$ bagi $n$ yang besar, sedangkan membesarkan konstantanya menangani berhingga banyak sisanya: jadi distribusinya *ketat* — tak ada massa yang lolos.

*Subbarisannya.* Misalkan $(F_{n_k})$ sembarang subbarisan; lalu menurut Helly ([Teorema 23.5](#thm-b3-clt-helly)) sarikanlah $F_{n_{k_j}} \to G$ pada titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). Keketatannya memaksa $G(-\infty) = 0$, $G(+\infty) = 1$ (sebab $G(\frac2u) - G(-\frac2u) \geq 1 -
2\varepsilon$ pada titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)): jadi $G$ merupakan fungsi distribusi yang sejati, milik suatu [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) $Y$. Maka $X_{n_{k_j}} \Rightarrow Y$ ([Latihan 23.4](#exo-b3-clt-4), yakni konvergensi distribusinya dari $F$-nya), sehingga $\varphi_{X_{n_{k_j}}} \to \varphi_Y$ *titik demi titik* (sebab $x
\mapsto \eu^{\iu\xi x}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, pada bagian real dan imajinernya secara terpisah); lalu dengan membandingkannya dengan hipotesisnya: $\varphi_Y = \varphi = \varphi_X$, sehingga keinjektifannya ([Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) memberikan $Y \sim X$, yakni $G =
F_X$.

*Kesimpulannya.* Setiap subbarisan $(F_n)$ mempunyai subsubbarisan yang konvergen ke $F_X$ yang *sama* (pada titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)); sehingga $F_n(t) \to F_X(t)$ pada setiap titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $t$ (sebab barisan real yang setiap subbarisannya mempunyai subsubbarisan berlimit sama akan konvergen): jadi $X_n \Rightarrow X$. ∎

## 23.3 Teorema limit pusat

**Teorema 23.8 (Teorema limit pusat).**

Misalkan $(X_n)$ i.i.d. dengan $\E X_1 = m$ dan $\V(X_1) =
\sigma^2 \in \intoo0\infty$. Maka

$$
\frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \;\Longrightarrow\; \mathcal
N(0, 1) :
\qquad
\P\Bigl(a \leq \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \leq
b\Bigr) \longrightarrow
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b\eu^{-x^2/2}\,\dd x
$$

bagi setiap $a < b$.

**Bukti.** Pusatkan lalu normalkan: $Z_i = \frac{X_i - m}{\sigma}$ (yang i.i.d., berrata-rata $0$ dan bervarians $1$) dan $T_n =
\frac1{\sqrt n}\sum_{i\leq n}Z_i$. Lalu menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) dan aturan afinnya ([Proposisi 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)):

$$
\varphi_{T_n}(\xi) =
\varphi_{Z}\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)^{n},
\qquad
\varphi_Z(\eta) = 1 - \frac{\eta^2}2 + \eta^2\rho(\eta),\quad
\rho(\eta)\to0 .
$$

Tetapkanlah $\xi$ lalu ambil $a_n = \varphi_Z(\xi/\sqrt n)$, $b_n = 1 -
\frac{\xi^2}{2n}$: keduanya bermodulus $\leq 1$ bagi $n$ yang besar (sebab $\abs{b_n} \leq 1$ begitu $\xi^2 \leq 4n$; sedangkan $\abs{a_n} \leq 1$ selalu). Lalu ketaksamaan elementernya $\abs{a^n - b^n} \leq
n\abs{a - b}$ bagi $\abs a, \abs b \leq 1$ (lewat teleskop $a^n - b^n = \sum a^k(a - b)b^{n-1-k}$) memberikan

$$
\Bigl|\varphi_{T_n}(\xi) - \Bigl(1 -
\frac{\xi^2}{2n}\Bigr)^{n}\Bigr|
\leq n\,\Bigl|\varphi_Z\Bigl(\frac\xi{\sqrt n}\Bigr) - 1 +
\frac{\xi^2}{2n}\Bigr|
= \xi^2\,\Bigl|\rho\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)\Bigr|
\longrightarrow 0,
$$

sedangkan $\bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\bigr)^n \to
\eu^{-\xi^2/2}$ (lewat logaritma realnya). Jadi $\varphi_{T_n}(\xi) \to
\eu^{-\xi^2/2} = \varphi_{\mathcal N(0,1)}(\xi)$ ([Proposisi 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(d)) bagi setiap $\xi$: sehingga Lévy ([Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)) menyimpulkan $T_n \Rightarrow \mathcal
N(0,1)$. Adapun peluang selangnya menyusul sebab $F_{\mathcal
N}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) di mana-mana. ∎

**Contoh 23.9 (Selang kepercayaan, yang diturunkan secara jujur).**

Jajakilah $n$ pemilih yang bebas; maka $\hat p_n = S_n/n$ menaksir $p$ yang sebenarnya, dengan $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$. Lalu teorema limit pusatnya memberikan, bagi $n$ yang besar,

$$
\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq
\frac{z}{2\sqrt n}\Bigr)
\;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr|
\leq z\Bigr)
\longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),
$$

dengan $\Phi$ sebagai fungsi [distribusi Gauss](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ex-b3-probability-laws) bakunya. Dengan $z = 1.96$: kepercayaan asimtotiknya $95\%$, sedangkan marjin $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ menuntut $n \geq
\bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — yakni bilangan di balik setiap “$\pm3$ poin, $95\%$” yang orang baca; bandingkanlah dengan $5556$ milik Chebyshev ([Latihan 22.7](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#exo-b3-probability-7)). Adapun $\sqrt n$-nya universal: bahwa untuk memarukan galatnya, cuplikannya harus dilipatempatkan — yakni hukum yang sama yang menetapkan ongkos [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ex-b3-probability-sllnapps) ([Latihan 23.7](#exo-b3-clt-7)).

## 23.4 Vektor Gauss

**Definisi 23.10.**

Sebuah vektor acak $X = (X_1, \dots, X_d)$ disebut *Gauss* jika setiap kombinasi linearnya $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ merupakan variabel Gauss real (yang mungkin merosot). Distribusinya ditentukan oleh vektor rata-ratanya $m = (\E X_i)$ dan *matriks kovarians* $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov}
(X_i, X_j)\bigr)$: sebab [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) vektornya, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$, adalah nilai di $1$ bagi [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) $\langle t, X\rangle$:

$$
\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle -
\tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),
$$

sedangkan [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) berdimensi $d$ bersifat injektif (lewat bukti pemulusan yang sama dengan [Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity), dengan Gauss koordinat demi koordinat).

**Teorema 23.11.**

Misalkan $X$ sebuah [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector).

1. Setiap peta afin $AX + b$ merupakan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) .
2. Komponen $X_i$ bersifat *bebas* jika dan hanya jika $\Sigma$ diagonal: jadi bagi variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) bersama, tak berkorelasi $=$ bebas.
3. Jika $\Sigma$ terbalikkan, maka $X$ berkepadatan $\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det\Sigma}}  \exp\bigl(-\frac12(x - m)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x -  m)\bigr)$ .

**Bukti.** (1) Kombinasi linear komponen $AX + b$ merupakan fungsi afin kombinasi linear $X$: jadi [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) (sebab peta afin sebuah variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) bersifat [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector)). (2) Jika $\Sigma$ diagonal, maka [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) memfaktor: $\varphi_X(t) = \prod_i\exp(\iu t_im_i -
\frac12\Sigma_{ii}t_i^2) = \prod\varphi_{X_i}(t_i)$, yang merupakan [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) distribusi hasil kalinya ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-independence) yang dibaca lewat keinjektifan berdimensi $d$): sehingga komponennya bebas. Sedangkan konversnya adalah lenyapnya kovarians variabel $L^2$ yang bebas. (3) Diagonalkanlah $\Sigma = P D P^{\mathsf T}$ (dengan $P$ ortogonal dan $D > 0$ diagonal — [Latihan 20.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#exo-b3-submanifolds-8)); maka vektor $Y = P^{\mathsf T}(X - m)$ bersifat [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) dengan kovarians $D$: sehingga menurut (2) komponennya bebas dan $\mathcal N(0, d_i)$, jadi $Y$ berkepadatan hasil kali; lalu dorong majulah lewat $x = m + PY$ yang mengawetkan volume ([Teorema 11.10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#thm-b3-product-linearchange), sebab $\abs{\det P} = 1$) lalu tulislah kembali eksponennya secara invarian. ∎

**Teorema 23.12 (Teorema limit pusat berdimensi banyak).**

Misalkan $(X_n)$ merupakan *vektor* acak i.i.d. yang [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) kuadrat di $\R^d$ dengan rata-rata $m$ dan matriks kovarians $\Sigma$. Maka $\frac{S_n - nm}{\sqrt n}$ konvergen dalam distribusi ke [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) $\mathcal N(0,
\Sigma)$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 23.13.**

Hampir semuanya sudah ada di tangan kita. Sebab bagi setiap arah $t \in \R^d$, variabel real $\langle t,
\frac{S_n - nm}{\sqrt n}\rangle$ merupakan jumlah ternormalkan variabel real i.i.d. bervarians $t^{\mathsf T}\Sigma t$, sehingga perhitungan [Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt) memberikan konvergensi titik demi titik [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) berdimensi $d$-nya ke $\eu^{-t^{\mathsf T}\Sigma t/2}$, yakni [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Definisi 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector)). Adapun yang belum kita buktikan ulang adalah teorema [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) Lévy *di $\R^d$*: sebab pemilihan Helly dan taksiran keketatannya diperumum secara rutin (koordinat demi koordinat), dan reduksi Cramér–Wold ini dikerjakan dengan jujur pada setiap kuliah peluang pascasarjana; jadi tak ada yang diperlukan di luar metode bab ini.

**Metode 23.14.**

Untuk mengenali sebuah distribusi limit: hitunglah [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf), ambillah limit titik demi titiknya, kenalilah ([Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) $\eu^{-\sigma^2\xi^2/2}$, Poisson $\eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}$, eksponensial $\frac{\lambda}
{\lambda - \iu\xi}$, …) lalu panggillah Lévy. Ritual tiga langkahnya ([kebebasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) $\to$ hasil kali; Taylor di $0$ $\to$ limit eksponensial; Lévy $\to$ konvergensi distribusi) membuktikan teorema limit pusatnya, hukum kejadian langka Poisson ([Latihan 23.5](#exo-b3-clt-5)), dan setiap teorema limit klasik pada kuliah ini. Sedangkan untuk pernyataan h.p., kembalilah ke perkakas [Bab 22](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ch-b3-probability): sebab kedua babnya menjawab pertanyaan berbeda tentang $S_n$ yang sama.

## 23.5 Latihan

**Latihan 23.1 ★.**

Hitunglah [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf): seragam pada $\intcc{-1}1$; eksponensial $\mathcal E(\lambda)$; Poisson $\mathcal P(\lambda)$; binomial $\mathcal B(n, p)$. Lalu simpulkanlah lewat [Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity) bahwa jumlah variabel Poisson yang bebas (dengan $\lambda, \mu$) bersifat Poisson $(\lambda +
\mu)$.

**Solusi Latihan 23.1.**

Seragam pada $\intcc{-1}1$: $\varphi(\xi) =
\frac12\int_{-1}^1\eu^{\iu\xi x}\dd x =
\frac{\sin\xi}{\xi}$ (yang sama dengan $1$ di $\xi = 0$). Eksponensial $\mathcal E(\lambda)$: $\varphi(\xi) =
\lambda\int_0^\infty\eu^{(\iu\xi - \lambda)x}\dd x =
\frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$ (sebab antiturunannya lenyap di $+\infty$ karena $\operatorname{Re}(\iu\xi -
\lambda) < 0$). Poisson $\mathcal P(\lambda)$: menurut teorema transfer bagi distribusi diskretnya,

$$
\varphi(\xi) = \sum_{k\geq0}\eu^{\iu\xi
k}\,\eu^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
= \eu^{-\lambda}\exp\bigl(\lambda\eu^{\iu\xi}\bigr)
= \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr).
$$

Binomial $\mathcal B(n, p)$: yakni jumlah $n$ variabel Bernoulli yang bebas, masing-masing berfungsi karakteristik $1 - p + p\eu^{\iu\xi}$, sehingga $\varphi(\xi) = \bigl(1 - p + p\eu^{\iu\xi}\bigr)^n$ ([Proposisi 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(b)). Untuk keaditifan Poissonnya: jika $X
\sim \mathcal P(\lambda)$ dan $Y \sim \mathcal P(\mu)$ saling bebas,

$$
\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}
\eu^{\mu(\eu^{\iu\xi}-1)} =
\eu^{(\lambda+\mu)(\eu^{\iu\xi}-1)},
$$

yakni [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) $\mathcal P(\lambda + \mu)$; lalu keinjektifannya ([Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) mengenali distribusinya.

**Latihan 23.2 ★★.**

(a) Tunjukkanlah bahwa $\varphi_X$ bernilai real jika dan hanya jika $X$ dan $-X$ berdistribusi sama (yakni variabel yang *setangkup*). (b) Andaikanlah $\abs{\varphi_X(\xi_0)} = 1$ bagi suatu $\xi_0 \neq
0$. Tunjukkanlah bahwa $X$ hampir pasti bertumpu pada barisan aritmetika $a + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ *(tulislah $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ lalu hitung $\E[1 -
\cos(\xi_0X - \theta)]$)*. Lalu simpulkanlah bahwa jika $X$ berkepadatan, maka $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ bagi setiap $\xi \neq 0$.

**Solusi Latihan 23.2.**

(a) Berlaku $\overline{\varphi_X(\xi)} = \E\eu^{-\iu\xi X} =
\varphi_{-X}(\xi)$. Jadi $\varphi_X$ real jika dan hanya jika $\varphi_X = \varphi_{-X}$, jika dan hanya jika (menurut keinjektifannya, [Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) $X$ dan $-X$ berdistribusi sama. (b) Tulislah $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$. Maka

$$
\E\bigl[1 - \cos(\xi_0X - \theta)\bigr]
= 1 - \operatorname{Re}\bigl(\eu^{-\iu\theta}
\varphi_X(\xi_0)\bigr) = 1 - 1 = 0 .
$$

Integrannya tak negatif, sehingga $\cos(\xi_0X - \theta) = 1$ hampir pasti (sebab variabel tak negatif yang bernilai harapan nol lenyap secara h.p.), yakni $\xi_0X - \theta \in 2\pi\Z$ secara h.p.: jadi $X$ mengambil nilainya pada barisan aritmetika $\frac{\theta}{\xi_0} + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ hampir pasti. Sedangkan jika $X$ berkepadatan, himpunan terbilang ini bernilai Lebesgue nol, sehingga berpeluang $0$ — yakni kontradiksi; karena itu $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ bagi setiap $\xi \neq 0$.

**Latihan 23.3 ★★.**

Misalkan $X \sim \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)$ dan $Y \sim
\mathcal N(m_2, \sigma_2^2)$ saling bebas. Tunjukkanlah $X + Y
\sim \mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, dan lebih umum bahwa keluarga Gaussnya stabil terhadap jumlah yang bebas dan pemetaan afin. Pertentangkanlah: apakah jumlah dua variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang *bergantung* selalu [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector)? ([Latihan 23.9](#exo-b3-clt-9).)

**Solusi Latihan 23.3.**

Menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) dan [Proposisi 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics):

$$
\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\iu m_1\xi - \sigma_1^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu m_2\xi - \sigma_2^2\xi^2/2}
= \eu^{\iu(m_1+m_2)\xi - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)\xi^2/2},
$$

yakni [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) $\mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; lalu keinjektifannya menyimpulkan. Sedangkan kestabilan terhadap pemetaan afin adalah aturan afinnya ($aX + b \sim \mathcal N(am_1 + b,
a^2\sigma_1^2)$, dengan mengizinkan kasus merosot $a = 0$), dan kestabilan terhadap jumlah yang bebas menyusul lewat induksi atas perhitungan di atas. Adapun bagi [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang *bergantung*, jumlahnya tak harus [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector): sebab pada [Latihan 23.9](#exo-b3-clt-9), $X$ dan $Y =
\varepsilon X$ masing-masing [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) baku tetapi $X + Y$ lenyap dengan peluang $\frac12$ tanpa nol secara h.p., sehingga ia bukan [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector).

**Latihan 23.4 ★★.**

(a) Buktikanlah kesetaraan pada [Definisi 23.4](#def-b3-clt-cid): bahwa jika $\E f(X_n) \to \E f(X)$ bagi setiap $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, maka $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ pada titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) *(apitlah $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ di antara dua landaian-tangga yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity))*; dan sebaliknya *(hampirilah $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas oleh jumlah fungsi landaian, atau syaratkanlah pada kisi halus titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity))* — dan konversnya boleh ditangani bagi $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam lebih dahulu, lalu secara umum. (b) Tunjukkanlah bahwa $X_n \Rightarrow c$ (yakni sebuah konstanta) mengakibatkan $X_n
\to c$ dalam peluang.

**Solusi Latihan 23.4.**

(a) *Implikasi langsungnya.* Misalkan $t$ titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $F_X$ dan $\delta > 0$. Ambillah landaian [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $f^-$ (yang $= 1$ pada $\intoc{-\infty}{t-\delta}$, $0$ mulai dari $t$, dan afin di antaranya) dan $f^+$ (yang $= 1$ pada $\intoc{-\infty}t$, $0$ mulai dari $t + \delta$, dan afin di antaranya); maka $f^- \leq
\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq f^+$, sehingga

$$
\E f^-(X_n) \leq F_{X_n}(t) \leq \E f^+(X_n),
$$

sedangkan suku luarnya konvergen ke $\E f^\pm(X)$, yang sendirinya terapit di antara $F_X(t - \delta)$ dan $F_X(t + \delta)$. Lalu dengan membiarkan $n \to \infty$ kemudian $\delta \to 0$ dan memakai [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $F_X$ di $t$: $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$.

*Konversnya.* Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, $M =
\sup\abs f$, dan $\varepsilon > 0$. Titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $F_X$ bersifat padat (sebab $F_X$ berlompatan paling banyak terbilang), sehingga pilihlah titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $a < b$ dengan $F_X(a) < \varepsilon$ dan $1 - F_X(b) < \varepsilon$. Lalu pada $\intcc ab$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), fungsi $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam: pilihlah titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b$ milik $F_X$ yang ayunan $f$-nya paling banyak $\varepsilon$ pada setiap $\intoc{t_{j-1}}{t_j}$, lalu tetapkan $g = \sum_j
f(t_j)\,\mathbf 1_{\intoc{t_{j-1}}{t_j}}$. Maka $\abs{f - g}
\leq \varepsilon$ pada $\intoc ab$, $\abs g \leq M$, dan bagi $T = X_n$ atau $X$:

$$
\bigl|\E f(T) - \E g(T)\bigr| \leq \varepsilon +
2M\bigl(F_T(a) + 1 - F_T(b)\bigr).
$$

Lebih jauh $\E g(X_n) = \sum_j f(t_j)\bigl(F_{X_n}(t_j) -
F_{X_n}(t_{j-1})\bigr) \to \E g(X)$ (yakni jumlah berhingga suku yang konvergen, sebab semua $t_j$ merupakan titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)), dan $F_{X_n}(a) \to F_X(a) < \varepsilon$, $1 - F_{X_n}(b) \to 1
- F_X(b) < \varepsilon$. Lalu dengan merakitnya: $\limsup_n\abs{\E f(X_n) - \E f(X)} \leq 2\varepsilon +
8M\varepsilon$; lalu biarkanlah $\varepsilon \to 0$.

(b) Fungsi distribusi konstanta $c$ adalah $\mathbf 1_{\intco c\infty}$, yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) kecuali di $c$. Lalu bagi $\varepsilon > 0$, titik $c - \varepsilon$ dan $c +
\frac\varepsilon2$ merupakan titik [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), sehingga

$$
\P(\abs{X_n - c} > \varepsilon) \leq F_{X_n}(c -
\varepsilon) + 1 - F_{X_n}\Bigl(c + \frac\varepsilon2\Bigr)
\longrightarrow 0 + 1 - 1 = 0 .
$$

**Latihan 23.5 ★★.**

(Hukum kejadian langka) Misalkan $X_n \sim \mathcal B(n, p_n)$ dengan $np_n \to \lambda > 0$. Tunjukkanlah, lewat [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) dan [Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy), bahwa $X_n \Rightarrow \mathcal
P(\lambda)$. Lalu sebagai uji kewarasan numerik: bandingkanlah $\P(X = 0)$ bagi $\mathcal B(100, 0.02)$ dan $\mathcal P(2)$.

**Solusi Latihan 23.5.**

Ambillah $z_n = p_n(\eu^{\iu\xi} - 1)$, sehingga $\varphi_{X_n}(\xi) =
(1 + z_n)^n$ ([Latihan 23.1](#exo-b3-clt-1)) dan $\abs{z_n} \leq 2p_n
\to 0$ (perhatikan $p_n = \frac{np_n}n \to 0$). Baik $1 + z_n$ maupun $\eu^{z_n}$ bermodulus paling banyak $1$: sebab $\abs{1 + z_n} =
\abs{(1 - p_n) + p_n\eu^{\iu\xi}} \leq 1$ menurut ketaksamaan segitiga, sedangkan $\abs{\eu^{z_n}} = \eu^{p_n(\cos\xi - 1)}
\leq 1$. Lalu ketaksamaan teleskopnya $\abs{a^n - b^n} \leq
n\abs{a - b}$ (yakni bukti [Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt)) dan batas deret pangkatnya $\abs{\eu^z - 1 - z} \leq
\abs z^2\eu^{\abs z}$ memberikan

$$
\bigl|(1 + z_n)^n - \eu^{nz_n}\bigr| \leq n\bigl|1 + z_n -
\eu^{z_n}\bigr| \leq n\,\abs{z_n}^2\,\eu^{\abs{z_n}} \leq
4\eu^2\,np_n^2 = 4\eu^2\,(np_n)\,p_n \longrightarrow 0 .
$$

Karena $nz_n = np_n(\eu^{\iu\xi} - 1) \to
\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)$, kita simpulkan $\varphi_{X_n}(\xi)
\to \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr)$ bagi setiap $\xi$: yakni [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) $\mathcal P(\lambda)$, sehingga Lévy ([Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)) memberikan $X_n \Rightarrow \mathcal
P(\lambda)$. Secara numerik: $\P\bigl(\mathcal B(100, 0.02) =
0\bigr) = 0.98^{100} = \eu^{100\ln 0.98} \approx
\eu^{-2.020} \approx 0.1326$, sedangkan $\P\bigl(\mathcal P(2) =
0\bigr) = \eu^{-2} \approx 0.1353$: jadi selisihnya dua persen sudah pada $n$ yang kasar ini.

**Latihan 23.6 ★★.**

(a) Sebuah dadu adil dilempar $n = 1000$ kali; hampirilah peluang bahwa totalnya melampaui $3600$ (dengan rata-rata $3500$ dan varians per lemparan $\frac{35}{12}$). (b) Untuk $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$, hampirilah $\P(45 \leq S \leq 55)$ lewat teorema limit pusatnya dengan koreksi [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ($\pm\frac12$), lalu berilah komentar atas pengaruh koreksinya.

**Solusi Latihan 23.6.**

(a) Satu lemparan berrata-rata $\frac72$ dan bervarians $\frac{35}{12}$, sehingga $S$ berrata-rata $3500$, bervarians $\frac{35000}{12} \approx 2916.7$ dan bersimpangan baku $\approx 54.0$. Lalu menurut teorema limit pusatnya,

$$
\P(S > 3600) = \P\Bigl(\frac{S - 3500}{54.0} > 1.85\Bigr)
\approx 1 - \Phi(1.85) \approx 0.032 :
$$

yakni peluang sekitar $3\%$. (b) Untuk $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$: rata-ratanya $50$ dan simpangan bakunya $5$. Dengan koreksi [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity),

$$
\P(45 \leq S \leq 55) \approx
\Phi\Bigl(\frac{55.5 - 50}{5}\Bigr) -
\Phi\Bigl(\frac{44.5 - 50}{5}\Bigr) = 2\Phi(1.1) - 1
\approx 0.729,
$$

terhadap nilai persisnya $0.7287$; sedangkan tanpa koreksinya, $2\Phi(1) - 1 \approx 0.683$, yang meleset hampir lima poin. Adapun koreksinya penting karena $S$ merupakan variabel kisi: sebab atom $\P(S = k)$ terhampiri baik oleh massa [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) $\intcc{k - \frac12}{k + \frac12}$, sehingga menggunting selangnya di bilangan bulat $45$ dan $55$ membuang separuh atom pada setiap ujungnya.

**Latihan 23.7 ★★.**

(Galat [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ex-b3-probability-sllnapps)) Pada latar [Soal 22.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#pb-b3-probability-1), pertanyaan 11, dengan $g \in
L^2(\intcc01^d)$, ambillah $\sigma^2 = \V(g(U_1))$ dan $I = \int
g$. Tunjukkanlah

$$
\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr)
\Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2),
$$

lalu simpulkanlah batang galat $95\%$ asimtotiknya $\pm
1.96\,\sigma/\sqrt n$ — yang tak bergantung pada dimensi $d$. Bandingkanlah dengan kaidah titik tengah deterministik pada dimensi $d$ (yang galatnya $\sim n^{-2/d}$ bagi integran $\mathcal C^2$): mulai dimensi berapa pencuplikan acaknya menang?

**Solusi Latihan 23.7.**

Variabel $g(U_k)$ bersifat i.i.d. (yakni peta [terukur](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) variabel i.i.d.), [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) kuadrat, berrata-rata $I$ (menurut teorema transfer, [Latihan 11.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#exo-b3-product-9)) dan bervarians $\sigma^2$. Jika $\sigma > 0$, maka [Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt) yang diterapkan padanya persis merupakan konvergensi yang dinyatakan

$$
\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) =
\frac{\sum_{k\leq n}\bigl(g(U_k) - I\bigr)}{\sqrt n}
\Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)
$$

(sedangkan jika $\sigma = 0$, maka $g$ konstan secara h.p. dan ruas kirinya lenyap secara identik). Karena itu $\P\bigl(\abs{\frac1n\sum g(U_k) - I} \leq
1.96\,\sigma/\sqrt n\bigr) \to 0.95$: jadi batang galat $\pm
1.96\,\sigma/\sqrt n$ melihat dimensi $d$ hanya lewat konstanta $\sigma$-nya, tak pernah lewat lajunya terhadap $n$. Sedangkan kaidah titik tengah dengan $n$ simpul pada dimensi $d$ berjala $n^{-1/d}$ dan bergalat berorde $n^{-2/d}$ bagi integran $\mathcal C^2$. Lalu $n^{-1/2}$ milik [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ex-b3-probability-sllnapps) meluruh lebih cepat daripada $n^{-2/d}$ tepat saat $\frac12 > \frac2d$, yakni $d > 4$: jadi mulai dimensi $5$, pencuplikan acaknya secara asimtotik mengalahkan kisinya — sebab kutukan dimensinya mengampuni metode peluang, dan itulah sebabnya [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ex-b3-probability-sllnapps) menguasai pengintegralan berdimensi tinggi.

**Latihan 23.8 ★★★.**

(Slutsky) Andaikanlah $X_n \Rightarrow X$ dan $Y_n \to c$ dalam peluang (dengan $c$ konstanta). Tunjukkanlah $X_n + Y_n \Rightarrow X +
c$ dan $Y_nX_n \Rightarrow cX$. *(Bekerjalah dengan [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) dan batas $\abs{\E\eu^{\iu\xi
(X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\E\eu^{\iu\xi X_n}} \leq
\E\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1}$, lalu belahlah pada $\abs{Y_n - c}
\leq \delta$.)* Penerapannya: pada [Contoh 23.9](#ex-b3-clt-confidence), benarkanlah penggantian $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ yang tak diketahui oleh $\sqrt{\hat p_n(1 - \hat
p_n)}$.

**Solusi Latihan 23.8.**

*Jumlahnya.* Bagi $\xi$ yang tetap:

$$
\bigl|\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} -
\eu^{\iu\xi c}\,\E\eu^{\iu\xi X_n}\bigr|
= \bigl|\E\bigl[\eu^{\iu\xi X_n}\bigl(\eu^{\iu\xi Y_n} -
\eu^{\iu\xi c}\bigr)\bigr]\bigr|
\leq \E\bigl|\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1\bigr| .
$$

Belahlah pada kejadian $\{\abs{Y_n - c} \leq \delta\}$: di sana $\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n-c)} - 1} \leq \abs\xi\,\delta$ (sebab talinya lebih pendek daripada busurnya); sedangkan komplemennya menyumbang paling banyak $2\,\P(\abs{Y_n - c} > \delta) \to 0$. Karena itu $\limsup$-nya $\leq \abs\xi\,\delta$ bagi setiap $\delta > 0$: jadi selisihnya menuju $0$. Lalu karena $\E\eu^{\iu\xi X_n} \to
\varphi_X(\xi)$, kita peroleh $\varphi_{X_n+Y_n}(\xi) \to
\eu^{\iu\xi c}\varphi_X(\xi) = \varphi_{X+c}(\xi)$, sehingga Lévy ([Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)) menghasilkan $X_n + Y_n
\Rightarrow X + c$.

*Hasil kalinya.* Pertama, $cX_n \Rightarrow cX$: sebab $\varphi_{cX_n}(\xi) = \varphi_{X_n}(c\xi) \to
\varphi_X(c\xi) = \varphi_{cX}(\xi)$. Berikutnya, $(Y_n - c)X_n
\to 0$ dalam peluang: sebab distribusi $X_n$ bersifat ketat (karena [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) konvergen ke sebuah [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf); lihat langkah keketatan [Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)), sehingga diberikan $\varepsilon > 0$ pilihlah $M$ dengan $\P(\abs{X_n} > M) \leq \varepsilon$ bagi setiap $n$; maka

$$
\P\bigl(\abs{(Y_n - c)X_n} > \varepsilon\bigr) \leq
\P(\abs{X_n} > M) + \P\Bigl(\abs{Y_n - c} >
\frac{\varepsilon}{M}\Bigr) \leq \varepsilon + o(1) .
$$

Lalu dengan menulis $Y_nX_n = cX_n + (Y_n - c)X_n$ dan menerapkan bagian jumlahnya (yang buktinya hanya memakai $Y_n' := (Y_n - c)X_n \to 0$ dalam peluang, dengan konstanta $0$): jadi $Y_nX_n \Rightarrow cX$.

*Penerapannya.* Menurut hukum kuat bilangan besar ([Teorema 22.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-slln)), $\hat p_n \to p$ secara h.p., sehingga menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\hat\sigma_n = \sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)}
\to \sigma = \sqrt{p(1 - p)} > 0$ secara h.p., jadi $\frac{\sigma}{\hat\sigma_n} \to 1$ dalam peluang. Lalu aturan hasil kali Slutsky menaikkan $\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}
\Rightarrow \mathcal N(0,1)$ menjadi $\frac{S_n -
np}{\hat\sigma_n\sqrt n} = \frac{\sigma}{\hat\sigma_n}\cdot
\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$: yakni selang kepercayaan yang *terpakai* $\hat p_n \pm
1.96\,\hat\sigma_n/\sqrt n$, yang dibangun dari datanya saja, dan tetap beraras asimtotik $95\%$.

**Latihan 23.9 ★★★.**

Misalkan $X \sim \mathcal N(0,1)$ dan $\varepsilon$ bebas dengan $\P(\varepsilon = \pm1) = \frac12$; tetapkanlah $Y =
\varepsilon X$. (a) Tunjukkanlah $Y \sim \mathcal N(0,1)$ dan $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$. (b) Tunjukkanlah bahwa $X$ dan $Y$ *tidak* bebas, dan bahwa $(X, Y)$ bukan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) *(hitunglah $\P(X + Y =
0)$)*. (c) Pelajarannya: [Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) menuntut sifat [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) bersamanya — sebab “[Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang tak berkorelasi” saja tak membuktikan apa pun.

**Solusi Latihan 23.9.**

(a) Dengan membelah [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) atas kedua nilai $\varepsilon$ (menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence)): bagi $B$ yang Borel, $\P(Y \in B) =
\frac12\P(X \in B) + \frac12\P(-X \in B) = \P(X \in B)$, sebab $-X \sim X$ (karena $\mathcal N(0,1)$ setangkup): jadi $Y \sim
\mathcal N(0,1)$. Dan $\operatorname{Cov}(X, Y) =
\E[\varepsilon X^2] = \E[\varepsilon]\,\E[X^2] = 0 \cdot 1 =
0$. (b) Berlaku $\abs Y = \abs X$, sehingga $\P(\abs X \leq 1,\ \abs Y \geq 2)
= 0$ padahal $\P(\abs X \leq 1)\,\P(\abs Y \geq 2) > 0$: jadi tak bebas. Seandainya $(X, Y)$ merupakan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector), maka $X + Y =
(1 + \varepsilon)X$ akan menjadi variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) real ([Definisi 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) dengan $t = (1,1)$); padahal $\P(X + Y = 0) = \P(\varepsilon = -1) = \frac12$, sedangkan variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) beratom hanya jika ia konstan secara h.p. — dan $X + Y$ sama dengan $2X \neq 0$ secara h.p. pada $\{\varepsilon = 1\}$. Jadi bertentangan: sehingga $(X, Y)$ bukan [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector). (c) Setiap marginalnya [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) dan kovariansnya lenyap, padahal [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) gagal — sebab *pasangannya* tak [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) bersama. Jadi [Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) tak dapat dilemahkan menjadi “marginal [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector)”.

**Latihan 23.10 ★★.**

Distribusi Cauchy berkepadatan $\frac1{\pi(1 + x^2)}$. (a) Tunjukkanlah bahwa [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) $\eu^{-\abs\xi}$ ([Latihan 14.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#exo-b3-fouriertransform-1) dan pembalikannya). (b) Tunjukkanlah bahwa jika $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. Cauchy, maka $\frac{S_n}n$ kembali Cauchy — yakni distribusi yang *sama*: sehingga rata-ratanya tak pernah memusat. (c) Damaikanlah dengan hukum bilangan besar dan teorema limit pusatnya: hipotesis mana yang gagal? (Hitunglah $\E\abs{X_1}$.)

**Solusi Latihan 23.10.**

(a) [Latihan 14.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#exo-b3-fouriertransform-1) menghitung $\widehat{\eu^{-\abs\cdot}}(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}$; lalu karena kedua ruasnya [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), pembalikan Fourier ([Teorema 14.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/14-transformasi-fourier#thm-b3-fouriertransform-inversion)) membalikkan pernyataannya:

$$
\int_\R\eu^{\iu\xi x}\,\frac{\dd x}{\pi(1 + x^2)} =
\eu^{-\abs\xi},
$$

yang persis merupakan $\varphi_X(\xi)$ bagi variabel Cauchy $X$. (b) Menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence), $\varphi_{S_n}(\xi) =
\bigl(\eu^{-\abs\xi}\bigr)^n = \eu^{-n\abs\xi}$, sehingga $\varphi_{S_n/n}(\xi) = \varphi_{S_n}(\xi/n) =
\eu^{-\abs\xi}$: jadi rata-rata empiris $\frac{S_n}n$ kembali Cauchy baku bagi setiap $n$ (menurut keinjektifannya). Sehingga rata-ratanya tak pernah memusat: sebab fluktuasinya pada waktu $10^6$ sama dengan fluktuasi satu pengamatan. (c) Berlaku $\E\abs{X_1} = \frac2\pi\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{1 +
x^2} = +\infty$: jadi distribusi Cauchy tak [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), sehingga hukum kuat bilangan besar ([Teorema 22.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-slln)) tak berlaku, dan teorema limit pusatnya (yang menuntut varians berhingga) apalagi. Jadi di sini kesimpulannya sungguh gagal, bukan sekadar buktinya. Sebagai uji keselarasan: $\varphi(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ tak terdiferensialkan di $0$, seperti yang diramalkan [Proposisi 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(c) yang dibaca secara kontraposisi bagi variabel yang tak [terintegralkan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1).

**Latihan 23.11 ★★.**

(Distribusi stabil dalam kandungan) Misalkan $(X_n)$ i.i.d. Cauchy baku ([Latihan 23.10](#exo-b3-clt-10)). (a) Tunjukkanlah bahwa bagi sembarang $a, b > 0$, $aX_1 + bX_2$ berdistribusi seperti $(a + b)X_1$: jadi keluarga Cauchy bersifat *stabil sejati* berindeks $1$. (b) Tunjukkanlah bahwa keluarga Gaussnya stabil sejati berindeks $2$: yakni $aX_1 + bX_2 \sim \sqrt{a^2 + b^2}\,X_1$ bagi $X_i$ yang i.i.d. $\mathcal N(0,1)$. (c) Jelaskanlah, lewat [fungsi karakteristik](#def-b3-clt-cf) berbentuk $\eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, mengapa kestabilan berindeks-$\alpha$ memaksa penormalan $n^{1/\alpha}$ bagi jumlahnya, dan apa artinya bagi cekungan tarikan teorema limit pusatnya: yakni jumlah i.i.d. mana yang dapat konvergen, setelah penormalan afin, ke distribusi Cauchy alih-alih ke [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector)?

**Solusi Latihan 23.11.**

(a) Berlaku $\varphi_{aX_1 + bX_2}(\xi) =
\eu^{-a\abs\xi}\eu^{-b\abs\xi} = \eu^{-(a+b)\abs\xi} =
\varphi_{(a+b)X_1}(\xi)$ (menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) dan [Latihan 23.10](#exo-b3-clt-10)); lalu keinjektifannya mengenali distribusinya.

(b) Berlaku $\varphi_{aX_1+bX_2}(\xi) = \eu^{-a^2\xi^2/2}
\eu^{-b^2\xi^2/2} = \eu^{-(a^2+b^2)\xi^2/2}$: yakni distribusi $\sqrt{a^2+b^2}\,X_1$.

(c) Jika $\varphi_X(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, maka $S_n = X_1 + \dots + X_n$ mempunyai $\varphi_{S_n} =
\eu^{-cn\abs\xi^\alpha}$, sedangkan $S_n/n^{1/\alpha}$ mempunyai $\varphi(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ lagi: yakni peranakan diri yang persis di bawah penskalaan $n^{1/\alpha}$ — $\sqrt n$ bagi Gaussnya ($\alpha = 2$), dan $n$ itu sendiri bagi Cauchynya ($\alpha = 1$, [Latihan 23.10](#exo-b3-clt-10)(b)). Jadi jumlah variabel i.i.d. hanya dapat konvergen (setelah penormalan afin) ke distribusi yang stabil terhadap konvolusi semacam itu; sedangkan teorema limit pusatnya mengatakan bahwa varians berhingga memaksa cekungan Gaussnya, dan cekungan Cauchynya tersedia bagi distribusi yang ekornya begitu berat sehingga $\E X^2 = \infty$ bahkan $\E\abs
X = \infty$ — misalnya jumlah variabel Cauchy itu sendiri. Jadi keuniversalannya berpulau-pulau, yang terindeks eksponen ekornya $\alpha \in \intoc02$.

**Latihan 23.12 ★★.**

(Fungsi distribusi empiris) Misalkan $(X_n)$ i.i.d. berfungsi distribusi $F$, dan $F_n(t) =
\frac1n\#\{k \leq n : X_k \leq t\}$. (a) Tetapkanlah $t$. Tunjukkanlah bahwa $n F_n(t) \sim \mathcal B(n, F(t))$, bahwa $F_n(t) \to F(t)$ secara h.p. ([Teorema 22.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-slln)), dan bahwa

$$
\sqrt n\,\bigl(F_n(t) - F(t)\bigr) \Longrightarrow
\mathcal N\bigl(0,\ F(t)(1 - F(t))\bigr) .
$$

(b) Pada $t$ manakah varians asimtotiknya maksimal? Tafsirkanlah: bahwa medianlah tempat sebuah distribusi empiris paling sukar dipastikan. (c) Untuk $F$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), tunjukkanlah bahwa distribusi $\sup_t\abs{F_n(t) - F(t)}$ tak bergantung pada $F$ *(reduksikanlah ke variabel seragam lewat [Latihan 22.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#exo-b3-probability-1))* — yakni mukjizat bebas-distribusi di balik uji Kolmogorov–Smirnov; dan tak diminta perhitungan distribusi itu.

**Solusi Latihan 23.12.**

(a) Indikator $\mathbf 1_{X_k \leq t}$ bersifat i.i.d. Bernoulli berparameter $p = F(t)$: sehingga jumlahnya $nF_n(t)$ binomial $\mathcal B(n, p)$; lalu hukum kuatnya memberikan $F_n(t)
\to p$ secara h.p., sedangkan teorema limit pusatnya ([Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt)) yang diterapkan pada indikator yang sama (bervarians $p(1-p)$) memberikan limit [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang dinyatakan itu.

(b) Nilai $p(1 - p)$ maksimal di $p = \frac12$, yakni di tempat $F(t) = \frac12$: yaitu di *mediannya*. Jadi menaksir peluang ekornya mudah secara asimtotik (sebab variansnya $\to 0$ saat $p \to 0, 1$); sedangkan daerah mediannya mengangkut derau statistik terbesar — yakni kurva empirisnya paling bergoyang di tengahnya.

(c) Untuk $F$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), variabel $U_k = F(X_k)$ bersifat seragam i.i.d. pada $\intoo01$ ([Latihan 22.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#exo-b3-probability-1)), lalu kemonotonan $F$ memberikan, dengan menulis $G_n$ bagi fungsi distribusi empiris $U_k$-nya:

$$
\sup_{t\in\R}\,\abs{F_n(t) - F(t)}
= \sup_{u \in \operatorname{im}F}\,\abs{G_n(u) - u}
= \sup_{u\in\intcc01}\abs{G_n(u) - u} :
$$

yakni kesamaan pertamanya karena $\{X_k \leq t\} = \{U_k \leq
F(t)\}$ sampai kejadian nol (menurut kemonotonannya; sebab ketaksamaan sejatinya hanya dapat gagal pada bagian datar $F$, yang kedua ruasnya tak berubah di sana), sedangkan yang kedua karena $F$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), yang berjalan dari $0$ ke $1$, mencapai setiap nilai $\intoo01$ (menurut teorema nilai antaranya), dan ujungnya tak menambah apa pun (sebab $G_n(0) - 0 = 0$ dan $G_n(1) - 1 = 0$). Jadi ruas kanannya hanya melibatkan variabel seragam: yakni satu distribusi bagi setiap $F$ — sehingga satu tabel nilai kritis (yakni tabel distribusi Kolmogorov) menguji *sembarang* model [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terhadap datanya.

## 23.6 Soal: bukti Lindeberg bagi teorema limit pusatnya, dengan laju

**Soal 23.1.**

Soal akhir pekan — metode penggantian

Lindeberg (1922) membuktikan teorema limit pusatnya lewat gagasan yang sederhananya melucuti: *tukarlah sukunya satu per satu dengan variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector)* lalu kendalikan setiap penukaran lewat uraian Taylor. Metodenya tak memerlukan analisis Fourier, menghasilkan laju galat yang eksplisit, dan hari ini menjalankan bukti keuniversalan di seluruh teori peluang. Misalkan $(X_i)$ i.i.d., terpusat, dengan $\V(X_1) = 1$ dan $\beta = \E\abs{X_1}^3 < \infty$; lalu misalkan $(N_i)$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$, yang bebas dari $X_i$-nya (keberadaannya: [Teorema 22.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-existence)). Tetapkanlah

$$
T_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n},
\qquad
G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1).
$$

**Bagian I — Identitas penukarannya.** Tetapkanlah $f
\in \mathcal C^3_b(\R)$ (yakni tiga turunan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang terbatas; dengan $M_3 = \sup\abs{f'''}$). Lalu bagi $0 \leq i \leq n$ definisikanlah jumlah hibridanya

$$
H_i = \frac{X_1 + \dots + X_i + N_{i+1} + \dots +
N_n}{\sqrt n},
$$

sehingga $H_n = T_n$ dan $H_0 = G_n$.

1. Tulislah $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ dan $H_{i-1}  = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ dengan $W_i =  \frac{1}{\sqrt n}\bigl(\sum_{j<i}X_j +  \sum_{j>i}N_j\bigr)$ , lalu perhatikan bahwa $W_i$ bebas dari pasangan $(X_i, N_i)$ . Benarkanlah.
2. Taylor dengan sisa integral atau sisa Lagrange: bagi sembarang $w, h$ yang real: $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - f'(w)h -  \tfrac12f''(w)h^2\Bigr| \leq  \frac{M_3\,\abs h^3}{6} .$$
3. Terapkanlah pertanyaan 2 dua kali (dengan $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ dan $h = \frac{N_i}{\sqrt n}$ di $w = W_i$), ambillah [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space), lalu pakailah [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) ditambah kecocokan dua momen pertama $X_i$ dan $N_i$ untuk menunjukkan $$\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr|  \leq \frac{M_3}{6}\cdot  \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}},  \qquad \gamma = \E\abs{N_1}^3 =  \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi} .$$
4. Teleskopkanlah atas $i$ lalu simpulkan *batas Lindeberg*-nya: $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq  \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .$$

**Bagian II — Dari $f$ yang mulus ke teorema limit pusatnya.**

5. Tunjukkanlah bahwa $\E f(T_n) \to \E f(N)$ bagi setiap $f \in  \mathcal C_b^3$ , lalu naikkanlah ke setiap $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas: yakni diberikan $f$ semacam itu dan $\varepsilon$ , bangunlah $f_\varepsilon \in \mathcal C^3_b$ dengan $\norm{f - f_\varepsilon}_\infty \leq \varepsilon$ pada selang yang besar — misalnya konvolusikanlah $f$ dengan gundukan $\mathcal C^\infty$ ( [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization) ) — lalu tanganilah ekornya lewat keketatannya ( $\V(T_n) = 1$ dan Chebyshev). Simpulkanlah $T_n \Rightarrow \mathcal N(0, 1)$ : yakni teorema limit pusatnya, yang dibuktikan ulang.
6. Di manakah buktinya memakai bahwa $X_i$ berdistribusi *identik* ? Tunjukkanlah bahwa ia nyaris tak memakainya: nyatakan lalu buktikanlah versinya bagi $X_i$ yang bebas, terpusat, dan tak identik dengan $\sum_i\V(X_i) = s_n^2$ beserta momen ketiganya, lalu perolehlah galat $\frac{M_3}{6s_n^3}\sum_i\bigl(\E\abs{X_i}^3  + \V(X_i)^{3/2}\gamma\bigr)$ — yakni teorema Lindeberg yang sebenarnya dalam bentuk Lyapunovnya.

**Bagian III — Dividen kuantitatifnya.**

7. (Fungsi distribusinya) Misalkan $t \in \R$ lalu hampirilah $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ dari atas dan dari bawah oleh landaian $\mathcal C^3_b$ berlebar $\delta$ (bangunlah landaiannya, dengan $M_3 = O(\delta^{-3})$). Lalu dengan menggabungkannya dengan Bagian I, turunkanlah batas dua sukunya $$\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) -  \Phi(t)\bigr| \;\leq\;  \frac{C_1(\beta + \gamma)}{\delta^3\sqrt n} +  C_2\,\delta  \qquad (\text{bagi setiap } \delta > 0),$$ dengan konstanta yang eksplisit (sebab suku $C_2\delta$-nya memakai bahwa $\Phi$ berkepadatan terbatas oleh $\frac1{\sqrt{2\pi}}$), lalu optimumkanlah $\delta \sim  n^{-1/8}$ untuk memperoleh laju seragam berorde $n^{-1/8}$. ($n^{-1/2}$ yang optimum — yakni Berry–Esseen — memerlukan perkakas yang lebih halus; sedangkan intinya adalah laju yang *eksplisit* dari penukaran yang elementer.)
8. (De Moivre–Laplace, yang dikuantifikasi) Khususkanlah pada $X_i = 2B_i - 1$ (yakni tanda koin adil): lalu bandingkanlah kesimpulannya dengan taksiran lokal [Soal 11.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#pb-b3-product-1) , pertanyaan 7 — apa yang diberikan masing-masing metode yang tak diberikan yang lain?
9. (Keuniversalan) Jelaskanlah dalam satu paragraf mengapa metode penggantiannya menunjukkan lebih dari teorema limit pusatnya: bahwa sembarang statistik berbentuk $\E f(\text{jumlah})$ dengan $f$ yang mulus tak peka, pada orde $n^{-1/2}$ , terhadap *seluruh distribusi* sukunya di luar dua momen pertamanya — yakni “asas invariansi” yang melandasi hasil keuniversalan modern (matriks acak, polinomial acak), dan teorema limit pusatnya adalah contoh pertamanya.

**Bagian IV — Pemulusan, yang didorong: laju yang lebih baik.** Kehilangan dari $n^{-1/2}$ (bagi $f$ yang mulus) ke $n^{-1/8}$ (bagi fungsi distribusinya) berasal dari membebankan $f'''$ dalam norma sup. Padahal hibridanya dapat memperbaiki sebagiannya: sebab di dalamnya ada suku [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector), dan [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) *memuluskan*.

10. ([Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang tersembunyi) Untuk $1 \leq i \leq n - 1$, dengan $h =  \frac{X_i}{\sqrt n}$ atau $\frac{N_i}{\sqrt n}$, dan $\theta \in \intcc01$, tulislah $W_i + \theta h = A +  Z$ dengan $Z = \frac{N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt  n}$. Tunjukkanlah bahwa $Z \sim \mathcal N\bigl(0,  \frac{n-i}n\bigr)$ bebas dari pasangan $(A,  h)$, lalu simpulkanlah, bagi setiap $g \in  L^1(\R)$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), $$\E\bigl[\abs h^3\,\abs{g(W_i + \theta h)}\bigr]  \;\leq\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n - i)}}\;  \norm{g}_{L^1}\;\E\abs h^3 .$$
11. Gabungkanlah pertanyaan 10 dengan bentuk integral sisa Taylornya, $$f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12f''(w)h^2 +  \int_0^1\frac{(1 - \theta)^2}2\,f'''(w + \theta  h)\,h^3\,\dd\theta,$$ untuk mengulangi pertanyaan 3–4: bahwa bagi $f \in \mathcal C^3_b$ yang terlebih lagi $f''' \in L^1(\R)$, $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq  \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot  \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} +  \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}}$$ *(pertanyaan 10 menangani penukaran $i \leq n - 1$ — pakailah $\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2\sqrt n$ — sedangkan batas kasar pertanyaan 3 menangani yang terakhir)*. Periksalah bahwa landaian pertanyaan 7 memenuhi $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ sedangkan $M_3 = K\delta^{-3}$, masukkanlah keduanya, lalu optimumkanlah $\delta$: sehingga laju seragam fungsi distribusinya membaik menjadi $O(n^{-1/6})$.
12. (Mencocokkan satu momen lagi) Andaikanlah pula $\E  X_1^3 = 0$ dan $\beta_4 = \E X_1^4 < \infty$ . Hitunglah $\E N_1^3$ dan $\E N_1^4$ , uraikan sampai orde keempat, lalu buktikanlah dengan cara yang sama bahwa laju fungsi distribusinya menjadi $O(n^{-1/4})$ *(kini $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} =  K_2\delta^{-3}$ dan $M_4 = K'\delta^{-4}$; pilihlah $\delta = n^{-1/4}$)* .
13. (Halangannya) Andaikanlah $k$ momen pertama $X_1$ cocok dengan momen Gaussnya ( $k = 2$ selalu; $k = 3$ tepat saat $\E X_1^3 = 0$ ; sedangkan $k \geq 4$ pada dasarnya tak pernah, sebab $\E N_1^4 = 3$ ). Periksalah bahwa skema pertanyaan 10–12 memberikan laju fungsi distribusinya $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ , lewat menyeimbangkan $\delta^{-k}n^{-(k-1)/2}$ terhadap $\delta$ , lalu amatilah bahwa eksponennya mendekati nilai Berry–Esseen $\frac12$ hanya saat $k \to  \infty$ . Jelaskanlah dalam beberapa kalimat mengapa metode penukarannya menjenuh: sebab setiap penukarannya dibebankan dalam nilai mutlak, sedangkan jalur Fouriernya (yakni ketaksamaan pemulusan Esseen) memanfaatkan ayunan selisih [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf) lalu mencapai $C\beta n^{-1/2}$ dengan tiga momen saja.

**Bagian V — Dua dimensi: teorema limit pusat berdimensi banyak, lewat penukaran.** Kini misalkan $X_i$ merupakan *vektor* acak i.i.d. yang terpusat di $\R^2$ dengan matriks kovarians $\Sigma$ dan $\beta' = \E\norm{X_1}^3 <
\infty$ (menurut norma Euclidnya).

14. ( [Vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) , sesuai pesanan) Diagonalkanlah $\Sigma =  PDP^{\mathsf T}$ ( [Latihan 20.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#exo-b3-submanifolds-8) ) lalu tetapkan $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ . Lalu bagi $Z = (Z^1,  Z^2)$ sepasang variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) baku yang bebas ( [Teorema 22.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-existence) ), tunjukkanlah bahwa $N  = CZ$ merupakan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) ( [Definisi 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) ) berrata-rata $0$ , berkovarians $\Sigma$ , dengan $\gamma' = \E\norm N^3 <  \infty$ ; dan bahwa $G_n = \frac{N_1 + \dots +  N_n}{\sqrt n}$ berdistribusi $\mathcal N(0, \Sigma)$ *secara persis* bagi salinan $N_i$ yang i.i.d.
15. (Taylor dalam dua variabel) Untuk $f \colon \R^2 \to  \R$ berkelas $\mathcal C^3$ dengan $M_3 =  \max_{\abs\alpha = 3}\sup\abs{\partial^\alpha f} <  \infty$, buktikanlah $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - \langle\nabla f(w),  h\rangle - \tfrac12\langle h, D^2f(w)\,h\rangle  \Bigr| \leq \frac{M_3}6\,\bigl(\abs{h_1} +  \abs{h_2}\bigr)^3 \leq \frac{\sqrt2\,M_3}3\,  \norm h^3$$ *(pelajarilah $t \mapsto f(w + th)$ pada $\intcc01$)*.
16. (Teorema limit pusatnya di $\R^2$) Jalankanlah skema penggantiannya pada hibrida vektornya $H_i$: tunjukkanlah bahwa suku orde pertama dan keduanya meniadakan diri (sebab rata-rata dan kovariansnya cocok), teleskopkanlah, lalu naikkanlah seperti pada pertanyaan 5 (dengan keketatan dari $\E\norm{T_n}^2 =  \operatorname{tr}\Sigma$; dan pemulusannya kini di $\R^2$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)) untuk menyimpulkan: bahwa bagi setiap $f \colon  \R^2 \to \R$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, $$\E\,f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}\Bigr)  \longrightarrow \E\,f(N), \qquad N \sim \mathcal  N(0, \Sigma) :$$ yakni [Teorema 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) pada dimensi $2$, dengan laju bagi $f$ yang mulus dan tanpa analisis Fourier.
17. (Cramér–Wold, dan sebuah fluktuasi bersama) Simpulkanlah bahwa $\langle t, \frac{S_n}{\sqrt n}\rangle  \Rightarrow \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ bagi setiap $t \in \R^2$ yang tetap. Penerapannya: bagi $(\xi_i)$ real i.i.d. yang terpusat, $\E\xi_1^2 = 1$, $\E\xi_1^6 < \infty$ (sehingga Bagian V berlaku bagi $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$), tunjukkanlah $$\frac1{\sqrt n}\Bigl(\sum_{i\leq n}\xi_i,\  \sum_{i\leq n}(\xi_i^2 - 1)\Bigr) \Longrightarrow  \mathcal N\Bigl(0, \begin{pmatrix} 1 & \E\xi_1^3\\  \E\xi_1^3 & \E\xi_1^4 - 1\end{pmatrix}\Bigr) :$$ yakni rata-rata empiris dan momen kedua empirisnya berfluktuasi bersama secara [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) — dan bebas pada limitnya jika dan hanya jika $\E\xi_1^3 = 0$ ([Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)).

**Bagian VI — Metode delta.**

18. Misalkan $(\hat\theta_n)$ [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) dengan $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) \Rightarrow  \mathcal N(0, \sigma^2)$ bagi parameter real $\theta$, dan misalkan $g$ terdiferensialkan di $\theta$. Buktikanlah *metode delta*-nya: $$\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr)  \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0,  g'(\theta)^2\sigma^2\bigr)$$ *(tulislah $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) +  \eta(x))(x - \theta)$ dengan $\eta \to 0$ di $\theta$; tunjukkanlah $\hat\theta_n \to \theta$, lalu $\eta(\hat\theta_n) \to 0$, dalam peluang; lalu selesaikanlah dengan Slutsky, [Latihan 23.8](#exo-b3-clt-8), dan [Latihan 23.4](#exo-b3-clt-4)(b))*.
19. Penerapannya. (a) Bagi $(\xi_i)$ real i.i.d. yang berrata-rata $\mu$ dan bervarians $\sigma^2$, dan $\bar X_n =  \frac1n\sum_{i\leq n}\xi_i$: tunjukkanlah $\sqrt n(\bar  X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0,  4\mu^2\sigma^2)$ bila $\mu \neq 0$, dan bahwa bagi $\mu = 0$ pernyataan yang benar hidup pada skala lain: yakni $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ dengan $N \sim \mathcal N(0,1)$ (kenalilah fungsi distribusi limitnya). (b) (Penstabilan varians) Bagi $\hat p_n$ sebagai frekuensi keberhasilan cuplikan $\mathcal B(1, p)$, dengan $p \in \intoo01$: tunjukkanlah bahwa $g(p) = \arcsin\sqrt p$ memenuhi $$\sqrt n\,\bigl(g(\hat p_n) - g(p)\bigr)  \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \frac14\Bigr)$$ *apa pun* $p$-nya — yakni batang galat asimtotik yang bebas dari parameter tak diketahuinya; bandingkanlah dengan [Contoh 23.9](#ex-b3-clt-confidence).

**Bagian VII — Poisson, lewat metode yang sama: teorema Le Cam.** Penggantiannya mengenal kelas keuniversalan kedua: yakni jumlah banyak kejadian *langka* yang bebas. Bagi distribusi pada $\N$, jarak yang tepat adalah *variasi total*,

$$
d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \sup_{A\subseteq\N}\,
\abs{\mu(A) - \nu(A)} .
$$

20. Tunjukkanlah bahwa $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) =  \frac12\sum_{k\geq0}\abs{\mu(\{k\}) -  \nu(\{k\})}$ , lalu buktikanlah batas penggandengannya: bahwa bagi *sembarang* pasangan $(X, Y)$ [peubah acak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) yang berdistribusi $\mu$ dan $\nu$ pada ruang yang sama, $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) \leq \P(X \neq Y)$ .
21. Hitunglah secara persis, bagi $p \in \intoo01$: $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p), \mathcal  P(p)\bigr) = p\bigl(1 - \eu^{-p}\bigr) \leq p^2 .$$
22. (Le Cam, lewat penukaran) Misalkan $X_i \sim \mathcal B(1,  p_i)$ dan $Y_i \sim \mathcal P(p_i)$, dengan $2n$ variabelnya bebas; lalu $S = X_1 + \dots + X_n$, dan ingatlah $Y_1 + \dots + Y_n \sim \mathcal P(\lambda)$ dengan $\lambda = \sum_ip_i$ ([Latihan 23.1](#exo-b3-clt-1)). Tukarlah satu koordinat setiap kali pada hibrida bulatnya $H_i = Y_1 + \dots + Y_i + X_{i+1} + \dots  + X_n$: tunjukkanlah, bagi setiap $A \subseteq \N$, $$\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} \leq  d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal  P(p_i)\bigr),$$ lalu simpulkanlah *ketaksamaan Le Cam*: $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\text{distribusi } S,\ \mathcal  P(\lambda)\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 .$$
23. Dividennya. (a) Untuk $p_i = \frac\lambda n$ : batasnya adalah $\frac{\lambda^2}n$ — yakni hukum kejadian langka ( [Latihan 23.5](#exo-b3-clt-5) ) yang dinaikkan ke laju eksplisit, seragam atas semua kejadian, dan sahih bagi $p_i$ yang tak sama pula. (b) Sebanyak $500$ surat dikirimkan, masing-masing tersesat secara bebas dengan peluang $\frac1{500}$ : batasilah galat model Poisson berparameter $1$ , lalu taksirlah peluang bahwa tak ada surat yang tersesat. (c) Tutuplah soalnya: bandingkanlah kedua kelas keuniversalan yang ditemui di sini — [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) (banyak sumbangan kecil yang terhampar; dua momen yang cocok; Taylor) dan Poisson (banyak sumbangan langka; satu rata-rata yang cocok; penggandengan variasi-total yang persis) — beserta satu metode penggantian di balik keduanya.
24. (Galat relatif dan transformasi log) Misalkan $(X_n)$ i.i.d., positif, berrata-rata $\mu > 0$, bervarians $\sigma^2$, dan $\bar X_n$ rata-rata empirisnya. Tunjukkanlah lewat metode delta bahwa $$\sqrt n\,\bigl(\ln\bar X_n - \ln\mu\bigr)  \Longrightarrow  \mathcal N\Bigl(0,\ \frac{\sigma^2}{\mu^2}\Bigr) :$$ yakni parameter asimtotik $\ln\bar X_n$ adalah *koefisien variasinya* $\sigma/\mu$ — yakni galat relatif yang bebas skala. Lalu simpulkanlah selang kepercayaan $95\%$ bagi $\mu$ yang berbentuk perkalian $\bar X_n\cdot\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt  n)}$, lalu jelaskanlah kapan ia lebih disukai daripada yang aditif.
25. (Momen ketiga mengemudikan galatnya) Untuk $X \sim$ Bernoulli( $p$ ) yang terpusat, hitunglah $\E\bigl[(X -  p)^3\bigr] = p(1-p)(1-2p)$ . Lalu dengan memakai analisis Bagian IV (sebab galat penukarannya dikemudikan momen ketiganya), jelaskanlah mengapa hampiran normal $\mathcal B(n, p)$ bersifat tak setangkup bagi $p \neq \frac12$ — yakni melampaui pada satu sisi dan kurang pada sisi lainnya — dan mengapa $p = \frac12$ menikmati laju momen-cocok yang lebih cepat. Periksalah tanda kemencengannya secara numerik pada $\mathcal  B(20, 0.1)$ terhadap $\mathcal N(2, 1.8)$ : bandingkanlah $\P(S = 0) = 0.9^{20}$ dengan massa [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) $\intoo{-\infty}{0.5}$ .

**Solusi Soal 23.1.**

**1.** Keluarga $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ bersifat bebas: sebab kedua bloknya saling bebas menurut konstruksinya dan setiap bloknya i.i.d. Lalu $W_i$ merupakan [fungsi terukur](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) variabel $(X_j)_{j<i}$ dan $(N_j)_{j>i}$ saja, yang semuanya berbeda dari $X_i$ dan $N_i$: sehingga menurut asas koalisinya ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-independence)), $W_i$ bersifat bebas dari pasangan $(X_i, N_i)$. Adapun penguraian $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ dan $H_{i-1} = W_i +
\frac{N_i}{\sqrt n}$ langsung dari definisinya: sebab berpindah dari $H_i$ ke $H_{i-1}$ menukar satu suku $X_i$ dengan $N_i$.

**2.** Taylor–Lagrange pada orde $3$: ada $c$ di antara $w$ dan $w + h$ dengan $f(w + h) = f(w) + f'(w)h +
\frac12f''(w)h^2 + \frac16f'''(c)h^3$, lalu $\abs{f'''(c)}
\leq M_3$ memberikan batasnya.

**3.** Dengan mengurangkan kedua uraiannya pada titik pangkal bersamanya $w = W_i$:

$$
f(H_i) - f(H_{i-1}) = f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n} +
\frac{f''(W_i)}{2}\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n} + R_i,
\qquad
\abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot
\frac{\abs{X_i}^3 + \abs{N_i}^3}{n^{3/2}} .
$$

Lalu ambillah [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space). Menurut pertanyaan 1, $f'(W_i)$ dan $f''(W_i)$ bebas dari $(X_i, N_i)$, sehingga [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) campurannya memfaktor:

$$
\begin{align*}
\E\Bigl[f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n}\Bigr] &=
\E\bigl[f'(W_i)\bigr]\,\frac{\E X_i - \E N_i}{\sqrt n} = 0,
\\
\E\Bigl[f''(W_i)\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n}\Bigr] &=
\E\bigl[f''(W_i)\bigr]\,\frac{1 - 1}{n} = 0 :
\end{align*}
$$

yakni dua momen pertama $X_i$ dan $N_i$ *cocok*, sehingga hanya sisanya yang bertahan:

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \E\abs{R_i} \leq
\frac{M_3}{6}\cdot\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} .
$$

Adapun momen ketiga Gaussnya: $\gamma = \E\abs{N_1}^3 =
2\int_0^\infty x^3\,\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\dd x
= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty 2u\,\eu^{-u}\dd u =
\frac{4}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}$ (lewat substitusi $u = x^2/2$, lalu $\Gamma(2) = 1$).

**4.** Dengan menteleskopkan $\E f(T_n) - \E f(G_n) =
\sum_{i=1}^n\bigl(\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr)$ lalu menerapkan pertanyaan 3 pada masing-masing $n$ sukunya:

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
n \cdot \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} =
\frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .
$$

**5.** Variabel $G_n$ bersifat $\mathcal N(0,1)$ *secara persis* bagi setiap $n$ (sebab jumlah ternormalkan variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) baku yang bebas, [Latihan 23.3](#exo-b3-clt-3)), sehingga $\E f(G_n) = \E f(N)$ dan pertanyaan 4 berbunyi $\abs{\E f(T_n) - \E f(N)} \leq
\frac{M_3(\beta+\gamma)}{6\sqrt n} \to 0$ bagi $f \in
\mathcal C^3_b$. *Untuk kenaikannya.* Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, $M = \sup\abs f$, dan $\varepsilon > 0$. Pilihlah $A
\geq 1$ dengan $\frac1{A^2} \leq \varepsilon$: lalu Chebyshev beserta $\V(T_n) = 1$ memberikan $\P(\abs{T_n} > A) \leq \varepsilon$ bagi setiap $n$, dan demikian pula $\P(\abs N > A) \leq \varepsilon$. Misalkan $\chi$ bersifat $\mathcal C^\infty$ dengan $\mathbf 1_{\intcc{-A}A} \leq \chi \leq
\mathbf 1_{\intcc{-A-1}{A+1}}$ (yakni dataran mulus, yang dibangun dengan memuluskan $\mathbf 1_{\intcc{-A-\frac12}{A+\frac12}}$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)); maka $g = f\chi$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bertumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), jadi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam, sehingga pemulusannya $g_\eta = g * \rho_\eta$ bersifat $\mathcal
C^\infty$ dengan turunan terbatas pada setiap orde dan $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ bagi $\eta$ yang cukup kecil. Lalu bagi $T = T_n$ atau $N$, karena $f = g$ pada $\intcc{-A}A$ dan $\abs{f - g} \leq 2M$ di mana-mana:

$$
\bigl|\E f(T) - \E g_\eta(T)\bigr| \leq
\E\abs{(f - g)(T)} + \norm{g - g_\eta}_\infty
\leq 2M\,\P(\abs T > A) + \varepsilon \leq
(2M + 1)\,\varepsilon .
$$

Lalu dengan menggabungkannya dengan $\E g_\eta(T_n) \to \E g_\eta(N)$ (sebab pertanyaan 4 berlaku: $g_\eta \in \mathcal C^3_b$):

$$
\limsup_n\;\bigl|\E f(T_n) - \E f(N)\bigr| \leq
2(2M + 1)\,\varepsilon ,
$$

sedangkan $\varepsilon$-nya sembarang: jadi $\E f(T_n) \to \E f(N)$ bagi setiap $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, yakni $T_n \Rightarrow
\mathcal N(0,1)$.

**6.** Distribusi yang identik masuk hanya lewat satu kalimat: “$X_i$ dan $N_i$ mempunyai dua momen pertama yang sama”. Jadi misalkan $X_1, \dots, X_n$ bebas, terpusat, bervarians $\sigma_i^2$ dan bermomen ketiga berhingga, dengan $s_n^2 = \sum_i\sigma_i^2 > 0$, lalu ambillah $N_i \sim
\mathcal N(0, \sigma_i^2)$ yang bebas dari segalanya. Definisikanlah hibridanya dengan penormalan $s_n$: $H_i =
\frac1{s_n}(\sum_{j\leq i}X_j + \sum_{j>i}N_j)$. Lalu pada penukaran ke-$i$, $\E X_i = \E N_i = 0$ dan $\E X_i^2 = \E N_i^2
= \sigma_i^2$ kembali membunuh suku $f'$ dan $f''$-nya, sedangkan sisanya memberikan (dengan memakai $\E\abs{N_i}^3 = \sigma_i^3\gamma$ lewat penskalaan):

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\frac{M_3}{6\,s_n^3}\bigl(\E\abs{X_i}^3 +
\sigma_i^3\gamma\bigr) .
$$

Lalu dengan menteleskopkannya:

$$
\Bigl|\E f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{s_n}\Bigr) -
\E f(N)\Bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\sum_{i=1}^n
\Bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\,\gamma\Bigr) .
$$

Karena $\sigma_i^3 = (\E X_i^2)^{3/2} \leq \E\abs{X_i}^3$ (menurut ketaksamaan rata-rata pangkatnya, yakni Jensen bagi $t \mapsto
t^{3/2}$ yang diterapkan pada $X_i^2$), ruas kanannya paling banyak $\frac{M_3(1 + \gamma)}{6}\cdot
\frac{\sum_i\E\abs{X_i}^3}{s_n^3}$: sehingga di bawah *syarat Lyapunov* $\frac1{s_n^3}\sum_i\E\abs{X_i}^3 \to 0$, jumlah ternormalkannya konvergen dalam distribusi ke $\mathcal N(0,1)$ — yakni teorema limit pusatnya tanpa distribusi yang identik.

**7.** Misalkan $\rho \in \mathcal C^\infty_c(\intoo01)$ dengan $\int\rho = 1$ lalu tetapkan $\psi(x) = \int_x^1\rho(s)\dd
s$: maka $\psi$ bersifat $\mathcal C^\infty$, tak naik, dengan $\psi = 1$ pada $\R_-$ dan $\psi = 0$ pada $\intco1\infty$; lalu ambillah $K =
\norm{\psi'''}_\infty$. Lalu bagi $t \in \R$ dan $\delta > 0$ definisikanlah $\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ dan $\tilde\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta +
1\bigr)$: keduanya $\mathcal C^3_b$ dengan turunan ketiga terbatas oleh $K/\delta^3$, dan

$$
\mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t-\delta}} \leq
\tilde\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq
\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t+\delta}} .
$$

Untuk batas atasnya: menurut pertanyaan 4 yang diterapkan pada $\psi_\delta$ (dengan $M_3 = K/\delta^3$),

$$
\P(T_n \leq t) \leq \E\psi_\delta(T_n) \leq
\E\psi_\delta(N) + \frac{K(\beta +
\gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}
\leq \Phi(t + \delta) + \frac{K(\beta +
\gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}
\leq \Phi(t) + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} +
\frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n},
$$

sebab $\Phi$ bersifat Lipschitz berkonstanta $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ (karena [kepadatannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) terbatas oleh $\frac1{\sqrt{2\pi}}$). Lalu batas bawah setangkupnya lewat $\tilde\psi_\delta$ memberikan taksiran dua sukunya

$$
\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq
\frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot\frac{1}{\delta^3\sqrt n} +
\frac{\delta}{\sqrt{2\pi}}
\qquad(\delta > 0\ \text{sembarang}).
$$

Kedua sukunya berimbang saat $\delta^{-3}n^{-1/2} \asymp
\delta$, yakni $\delta = n^{-1/8}$: sehingga keduanya menjadi $O(n^{-1/8})$, yakni laju seragam eksplisit yang sahih bagi setiap $n$. (Sedangkan laju Berry–Esseen yang optimum $C\beta/\sqrt n$ menuntut ketaksamaan pemulusan Fouriernya; jadi penukarannya menukar ketajaman dengan keelementeran yang tuntas.)

**8.** Untuk $X_i = 2B_i - 1$ (yakni tanda adil): ia terpusat, bervarians $1$, dan $\abs{X_i} = 1$ sehingga $\beta = 1$. Lalu pertanyaan 7 membatasi $\sup_t\abs{\P(\frac{S_n}{\sqrt n} \leq t) -
\Phi(t)}$ secara eksplisit dan seragam bagi *setiap* $n$ yang berhingga — yakni pernyataan global dan tak asimtotik tentang fungsi distribusinya. Sedangkan taksiran lokal [Soal 11.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#pb-b3-product-1), pertanyaan 7, justru memberikan asimtotik persis sebuah atom tunggal, $\P(S_{2n} = 2k) \sim
\frac{\eu^{-k^2/n}}{\sqrt{\pi n}}$: sehingga ia menguraikan peluang berukuran $n^{-1/2}$, jauh di bawah resolusi $n^{-1/8}$ pertanyaan 7, tetapi ia bersifat titik demi titik, asimtotik (tanpa galat eksplisit pada $n$ yang tetap) dan terikat pada distribusi kisi tertentu ini. Jadi ketelitian lokal lawan keseragaman global: kedua metodenya saling melengkapi, dan menjumlahkan taksiran lokalnya atas $k \in \intint{a\sqrt n}{b\sqrt n}$ memulihkan de Moivre–Laplace pada selangnya — dengan laju yang lebih tajam, tetapi hanya bagi distribusi ini.

**9.** Argumen penukarannya sama sekali tak memakai apa pun dari distribusi $X_i$-nya di luar $\E X_i = 0$, $\E X_i^2 = 1$ dan keberhinggaan $\E\abs{X_i}^3$: sehingga seandainya kita mengganti Gaussnya $N_i$ dengan keluarga i.i.d. lain yang dua momen pertamanya sama dan momen ketiganya berhingga, teleskop yang sama akan membatasi $\abs{\E f(\text{jumlah}_X) - \E f(\text{jumlah}_Y)}$ oleh $O(n^{-1/2})$ bagi setiap $f$ yang mulus. Jadi statistik mulus atas jumlah bebas yang besar bersifat *universal*: yakni sampai galat yang terkuantifikasi, ia bergantung pada distribusi sukunya hanya lewat dua bilangan. Inilah asas invariansinya: buktikanlah sebuah teorema limit bagi distribusi yang paling terhitungkan (yakni Gaussnya, yang segalanya persis di sana), lalu pindahkanlah ke setiap distribusi lewat penukaran. Skema yang sama — dengan jumlahnya diganti fungsional yang lebih rumit — menjalankan hukum setengah lingkaran Wigner bagi matriks acak, keuniversalan akar polinomial acak, dan sebagian besar peluang modern; sedangkan teorema limit pusatnya adalah contohnya yang pertama dan paling sederhana.

**10.** Variabel $Z$ merupakan fungsi Borel $(N_{i+1}, \dots,
N_n)$ saja, sedangkan $A = W_i + \theta h - Z$ dan $h$ merupakan fungsi variabel sisa keluarga bebasnya $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$: sehingga menurut asas koalisinya ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#thm-b3-probability-independence)), $Z$ bebas dari $(A, h)$. Lalu sebagai jumlah $N_j/\sqrt n \sim \mathcal N(0, \frac1n)$ yang bebas, $Z \sim \mathcal
N(0, s^2)$ dengan $s^2 = \frac{n-i}n$ ([Latihan 23.3](#exo-b3-clt-3)), yang berkepadatan terbatas oleh $\frac1{s\sqrt{2\pi}}$. Sedangkan distribusi $((A, h), Z)$ adalah hasil kali kedua distribusi marginalnya, sehingga Tonelli (lewat transfernya) membekukan blok pertamanya: dengan $G(a) =
\E\abs{g(a + Z)} = \int\abs{g(a + z)}\,\varphi_s(z)\,\dd z
\leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}$ bagi setiap $a$,

$$
\E\bigl[\abs h^3\abs{g(A + Z)}\bigr] =
\E\bigl[\abs h^3\,G(A)\bigr] \leq
\frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}\,\E\abs h^3
= \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm g_{L^1}\,\E\abs h^3 .
$$

**11.** Bentuk integral rumus Taylornya menyusul lewat mengintegralkan $f(w + h) - f(w) =
h\int_0^1f'(w + \theta h)\,\dd\theta$ secara parsial dua kali terhadap $\theta$. Lalu dengan mengambil [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-space) pada penukaran ke-$i$, orde $0, 1, 2$-nya meniadakan diri persis seperti pada pertanyaan 3, sedangkan kedua sisanya (bagi $h = X_i/\sqrt n$ dan $N_i/\sqrt n$) terbatas, bagi $i \leq n - 1$, menurut pertanyaan 10 dengan $g = f'''$:

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\int_0^1\frac{(1-\theta)^2}2\,\dd\theta\;
\sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1}
\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}}
= \frac{\beta + \gamma}{6\,n^{3/2}}
\sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} .
$$

Lalu menjumlahkannya, dengan $\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{\frac n{n-i}} =
\sqrt n\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2n$, lalu menambahkan batas pertanyaan 3 bagi penukaran terakhirnya ($i = n$, sebab tak ada [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang tersisa):

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
\frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} +
\frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} .
$$

Untuk landaiannya: $\psi_\delta'''(x) =
\delta^{-3}\psi'''\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$, sehingga $M_3 = K\delta^{-3}$ dengan $K = \norm{\psi'''}_\infty$ dan $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = \delta^{-2}
\norm{\psi'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ (lewat substitusinya). Lalu apitan pertanyaan 7 memberikan

$$
\sup_t\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq
\frac{K_1(\beta + \gamma)}{3\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac1{\delta^2\sqrt n} +
\frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot
\frac1{\delta^3n^{3/2}} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}} .
$$

Pada $\delta = n^{-1/6}$ suku pertama dan ketiganya bernilai $O(n^{-1/6})$ sedangkan yang tengah $O(n^{-1})$: yakni laju seragam $O(n^{-1/6})$, yang sejati lebih baik daripada $n^{-1/8}$ pertanyaan 7 — sebab paruh [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) hibridanya mengerjakan pemulusan tambahannya.

**12.** Berlaku $\E N_1^3 = 0$ (sebab integrannya ganjil), sedangkan pengintegralan parsial memberikan $\E N_1^4 = 3\,\E N_1^2 = 3$ (sebab $\int x^3\cdot x\varphi(x)\dd x =
3\int x^2\varphi$). Lalu bagi $f$ berkelas $\mathcal C^4$ dengan turunan yang terbatas, uraikanlah setiap penukaran sampai orde keempat: maka suku orde ketiganya mengangkut faktor $\E X_i^3 - \E N_i^3 =
0$ (sebab [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) memfaktorkannya seperti pada pertanyaan 3), sehingga hanya sisa orde keempatnya $\int_0^1\frac{(1-\theta)^3}6f^{(4)}(w + \theta
h)h^4\dd\theta$ yang bertahan, dengan $\int_0^1
\frac{(1-\theta)^3}6\dd\theta = \frac1{24}$ dan $\E h^4 =
\beta_4n^{-2}$ atau $3n^{-2}$. Lalu pertanyaan 10 (dengan $g =
f^{(4)}$) membatasi penukaran $i \leq n - 1$, dan menjumlahkannya seperti pada pertanyaan 11:

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
\frac{\beta_4 + 3}{12\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{\norm{f^{(4)}}_{L^1}}{n} +
\frac{M_4(\beta_4 + 3)}{24\,n^2} .
$$

Dengan $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ dan $M_4 = K'\delta^{-4}$, batas fungsi distribusinya menjadi $C\delta^{-3}n^{-1} + C'\delta^{-4}n^{-2} +
\frac\delta{\sqrt{2\pi}}$; lalu di $\delta = n^{-1/4}$ suku luarnya bernilai $O(n^{-1/4})$ dan yang tengah $O(n^{-1})$: jadi lajunya $O(n^{-1/4})$.

**13.** Dengan $k$ momen yang cocok, sisa yang bertahan per penukaran berorde $\E\abs h^{k+1} \asymp
n^{-(k+1)/2}$; sedangkan batas [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) tersembunyinya membebankan $\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}$ dan jumlah atas penukarannya menyumbang faktor $2n$, sehingga memberikan $\asymp\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}\,
n^{-(k-1)/2}$ bagi $f$ yang mulus. Lalu landaiannya berharga $\norm{\psi_\delta^{(k+1)}}_{L^1} \asymp \delta^{-k}$, sehingga galat fungsi distribusinya $\asymp
\delta^{-k}n^{-(k-1)/2} + \delta$, yang berimbang di $\delta =
n^{-(k-1)/(2k+2)}$: jadi lajunya $n^{-(k-1)/(2k+2)}$, yaitu $n^{-1/6}$ bagi $k = 2$, $n^{-1/4}$ bagi $k = 3$, dan menuju $n^{-1/2}$ hanya saat $k \to \infty$ — padahal $k \geq 4$ akan memaksa $\E X_1^4 = 3$ dan seterusnya, yakni distribusi yang sudah meniru Gaussnya. Kejenuhannya bersifat struktural: sebab penukarannya menjumlahkan $n$ galat penukaran *dalam nilai mutlak*, dengan melepaskan semua peniadaan antar penukarannya. Sedangkan bukti Fouriernya membandingkan [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf), yang galatnya muncul beserta fase berayunnya; lalu ketaksamaan pemulusan Esseen mengubah $\abs{\varphi_{T_n}
- \varphi_N}$, yang diintegralkan terhadap $\frac{\dd\xi}{\abs\xi}$, menjadi batas fungsi distribusinya dengan ongkos logaritmik belaka, dan menghasilkan $C\beta n^{-1/2}$ milik Berry–Esseen dari tiga momen. Jadi penggantiannya menukar keoptimuman dengan ketegaran — dan, seperti yang ditunjukkan Bagian VII, dengan kemudahtularannya.

**14.** Matriks $\Sigma$ setangkup dan semidefinit positif; lalu dengan $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ (dengan $P$ ortogonal, $D \geq 0$ diagonal, [Latihan 20.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/20-submanifold-rn#exo-b3-submanifolds-8)), matriks setangkup $C =
P\sqrt DP^{\mathsf T}$ memenuhi $C^2 = \Sigma$. Lalu bagi sembarang $t
\in \R^2$, $\langle t, CZ\rangle = \langle Ct, Z\rangle =
(Ct)_1Z^1 + (Ct)_2Z^2$ merupakan kombinasi linear variabel [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) yang bebas, jadi [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) ([Latihan 23.3](#exo-b3-clt-3)): sehingga $N = CZ$ merupakan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector); dengan rata-rata $0$ dan kovarians $\E[NN^{\mathsf T}] =
C\,\E[ZZ^{\mathsf T}]\,C^{\mathsf T} = CC^{\mathsf T} =
\Sigma$. Untuk momennya: $\norm N^3 \leq (\abs{N_1} +
\abs{N_2})^3 \leq 4(\abs{N_1}^3 + \abs{N_2}^3)$ (menurut kecembungan $x^3$ pada $\R_+$), sedangkan setiap koordinatnya merupakan [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) real yang bermomen pada setiap orde ([Latihan 11.10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/11-ukuran-hasil-kali-fubini-penggantian-variabel#exo-b3-product-10)): jadi $\gamma' < \infty$. Akhirnya setiap $\langle t, G_n\rangle = \frac1{\sqrt
n}\sum_i\langle t, N_i\rangle$ merupakan jumlah ternormalkan $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ yang i.i.d., jadi persis $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$: sehingga $G_n$ merupakan [vektor Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) berrata-rata $0$ dan berkovarians $\Sigma$, dan distribusinya $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Definisi 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector): sebab distribusinya ditentukan oleh data itu).

**15.** Misalkan $\phi(t) = f(w + th)$, dengan $t \in \intcc01$: maka $\phi$ bersifat $\mathcal C^3$ dengan

$$
\phi'''(t) = \sum_{j,k,l\in\{1,2\}}\partial_{jkl}f(w +
th)\,h_jh_kh_l, \qquad \abs{\phi'''(t)} \leq
M_3\Bigl(\sum_j\abs{h_j}\Bigr)^3 = M_3(\abs{h_1} +
\abs{h_2})^3 .
$$

Lalu Taylor–Lagrange pada orde $3$ bagi $\phi$ antara $0$ dan $1$ memberikan ketaksamaan pertamanya; sedangkan Cauchy–Schwarz memberikan $\abs{h_1} + \abs{h_2} \leq \sqrt2\norm h$, dari sanalah konstanta $\frac{2\sqrt2M_3}6 = \frac{\sqrt2M_3}3$.

**16.** Definisikanlah $H_i$ dan $W_i$ seperti pada pertanyaan 1, kini di $\R^2$; sedangkan argumen koalisinya tak berubah. Lalu pada penukaran ke-$i$, suku orde pertamanya memberikan $\sum_j\E[\partial_jf(W_i)]\,(\E X_{i,j} - \E N_{i,j})/
\sqrt n = 0$ sedangkan suku orde keduanya memberikan $\frac1{2n}\sum_{j,k}\E[\partial_{jk}f(W_i)]\,(\Sigma_{jk}
- \Sigma_{jk}) = 0$: yakni rata-rata dan kovariansnya cocok. Lalu pertanyaan 15 membatasi kedua sisanya:

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\frac{\sqrt2M_3}3\cdot\frac{\E\norm{X_i}^3 +
\E\norm{N_i}^3}{n^{3/2}}
= \frac{\sqrt2M_3(\beta' + \gamma')}{3\,n^{3/2}},
$$

lalu dengan menteleskopkannya atas $n$ penukarannya:

$$
\Bigl|\E f\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt n}\Bigr) - \E
f(G_n)\Bigr| \leq \frac{\sqrt2\,M_3(\beta' +
\gamma')}{3\sqrt n},
\qquad G_n \sim \mathcal N(0, \Sigma)\ \text{secara persis} .
$$

Untuk kenaikannya: $\E\norm{T_n}^2 = \E\norm{X_1}^2 =
\operatorname{tr}\Sigma$ (sebab suku silangnya lenyap menurut [kebebasan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence) dan pemusatannya), sehingga $\P(\norm{T_n} > A) \leq
\operatorname{tr}\Sigma/A^2$, dan demikian pula bagi $N$: yakni keketatannya. Lalu diberikan $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas dan $\varepsilon
> 0$, kalikanlah dengan dataran mulus $\chi$ yang sama dengan $1$ pada bola berjari-jari $A$ dan bertumpu pada jari-jari $A + 1$ (muluskanlah sebuah indikator di $\R^2$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#thm-b3-lp-regularization)); maka $g = f\chi$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam dengan tumpuan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), sehingga pemulusan dua dimensinya $g_\eta$ bersifat $\mathcal C^\infty$ dengan turunan terbatas pada setiap orde dan $\norm{g - g_\eta}_\infty
\leq \varepsilon$ bagi $\eta$ yang kecil. Lalu rantai tiga-$\varepsilon$ pertanyaan 5 berpindah kata demi kata: $\E f(T_n)
\to \E f(N)$ bagi setiap $f \colon \R^2
\to \R$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas. Inilah [Teorema 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) bagi $d = 2$, yang kini terbukti — sebab penukarannya mengelakkan teorema Lévy dua dimensi yang dibiarkan diakui oleh babnya.

**17.** Bagi $g \colon \R \to \R$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas, pemetaan $x \mapsto g(\langle t, x\rangle)$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terbatas pada $\R^2$, sehingga pertanyaan 16 memberikan $\E g(\langle
t, T_n\rangle) \to \E g(\langle t, N\rangle)$: jadi setiap proyeksinya konvergen dalam distribusi, dan $\langle t,
N\rangle \sim \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$. (Inilah arah mudah Cramér–Wold: bahwa konvergensi bersama mengakibatkan konvergensi setiap peta linearnya.) Penerapannya: $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ merupakan vektor terpusat i.i.d. (sebab $\E\xi_1^2 = 1$), dengan entri kovarians $\V(\xi_1) =
1$, $\operatorname{Cov}(\xi_1, \xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^3$ dan $\V(\xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^4 - 1$; sedangkan momen ketiganya $\E\norm{V_1}^3 \leq 4\bigl(\E\abs{\xi_1}^3 +
\E\abs{\xi_1^2 - 1}^3\bigr)$ berhingga bila $\xi_1 \in
L^6$. Lalu pertanyaan 16 menghasilkan limit [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) bersama yang ditampilkan itu, dan [Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2): yakni kedua koordinat limitnya bebas tepat saat kovarians $\E\xi_1^3$ lenyap — jadi bagi distribusi setangkup, rata-rata empiris dan varians empirisnya terurai secara asimtotik.

**18.** Tulislah $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) +
\eta(x))(x - \theta)$ dengan $\eta(x) = \frac{g(x) -
g(\theta)}{x - \theta} - g'(\theta)$ bagi $x \neq \theta$ dan $\eta(\theta) = 0$: sebab terdiferensialkan di $\theta$ tepat berarti $\eta(x) \to 0$ saat $x \to \theta$. *Langkah 1:* $\hat\theta_n \to \theta$ dalam peluang: sebab bagi $\varepsilon > 0$ dan sembarang $A > 0$, pada akhirnya $\varepsilon\sqrt n \geq A$, sehingga $\P(\abs{\hat\theta_n -
\theta} > \varepsilon) \leq \P(\abs{\sqrt
n(\hat\theta_n - \theta)} > A) \to \P(\sigma\abs N > A)$ (sebab fungsi distribusinya konvergen pada titik [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\pm A$), sedangkan ruas kanannya menuju $0$ saat $A \to
\infty$. *Langkah 2:* $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ dalam peluang: sebab diberikan $\varepsilon' > 0$, pilihlah $\delta$ dengan $\abs\eta \leq \varepsilon'$ pada $\abs{x - \theta} \leq
\delta$; maka $\P(\abs{\eta(\hat\theta_n)} > \varepsilon')
\leq \P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \delta) \to 0$. *Langkah 3:*

$$
\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) =
g'(\theta)\,\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) +
\eta(\hat\theta_n)\cdot\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) .
$$

Lalu menurut aturan hasil kali Slutsky ([Latihan 23.8](#exo-b3-clt-8), dengan barisan $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ dalam peluang dan $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)$ yang konvergen dalam distribusi), suku keduanya konvergen dalam distribusi ke $0\cdot\mathcal N(0,
\sigma^2) = 0$, jadi ke $0$ dalam peluang ([Latihan 23.4](#exo-b3-clt-4)(b)); sedangkan yang pertama konvergen dalam distribusi ke $g'(\theta)\mathcal N(0, \sigma^2)$ (lewat Slutsky lagi, atau lewat aturan afin [fungsi karakteristiknya](#def-b3-clt-cf)); lalu aturan jumlah Slutsky merakit keduanya: jadi limitnya $\mathcal N(0,
g'(\theta)^2\sigma^2)$.

**19.** (a) Teorema limit pusatnya memberikan $\sqrt n(\bar X_n - \mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$; lalu metode deltanya dengan $g(x) = x^2$ dan $g'(\mu) = 2\mu$ memberikan $\sqrt n(\bar
X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ — yang merosot (berlimit $0$) saat $\mu = 0$. Dalam hal itu fluktuasinya hidup satu skala di atasnya: $n\bar X_n^2 =
(\sqrt n\,\bar X_n)^2$, sehingga bagi $t > 0$

$$
\P\bigl(n\bar X_n^2 \leq t\bigr) = \P\bigl(-\sqrt t \leq
\sqrt n\,\bar X_n \leq \sqrt t\bigr) \longrightarrow
\Phi\Bigl(\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) -
\Phi\Bigl(-\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) = \P(\sigma^2N^2
\leq t) :
$$

yakni $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$, kuadrat sebuah [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) (yakni distribusi “khi-kuadrat”) — jadi saat turunan pertamanya mati, suku orde kedua Taylornya mendiktekan limit yang tak [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector). (b) Di sini $\sqrt n(\hat p_n - p)
\Rightarrow \mathcal N(0, p(1 - p))$ dan $g(p) =
\arcsin\sqrt p$ mempunyai $g'(p) = \frac1{2\sqrt{p(1 - p)}}$, sehingga $g'(p)^2\,p(1 - p) = \frac14$: jadi limitnya $\mathcal
N(0, \frac14)$ bagi setiap $p \in \intoo01$. Pada skala $\arcsin$-nya, batang galat $95\%$ asimtotiknya adalah $\pm
\frac{0.98}{\sqrt n}$, yang diketahui di muka — sedangkan pada [Contoh 23.9](#ex-b3-clt-confidence) lebarnya melibatkan $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ yang tak diketahui, yang harus dikasuskan terburuk oleh $\frac12$ atau ditaksir: jadi transformasinya *menstabilkan* variansnya.

**20.** Misalkan $A^* = \{k : \mu(\{k\}) > \nu(\{k\})\}$ dan $\Delta_k = \mu(\{k\}) - \nu(\{k\})$, sehingga $\sum_k\Delta_k = 0$. Lalu bagi sembarang $A \subseteq \N$: $\mu(A) -
\nu(A) = \sum_{k\in A}\Delta_k \leq \sum_{k\in
A^*}\Delta_k$, dengan kesamaannya di $A = A^*$; dan karena bagian positif dan negatif $(\Delta_k)$ bermassa total sama, $\sum_{A^*}\Delta_k =
\frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Lalu menukar $\mu, \nu$ menangani tandanya: jadi $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) =
\frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Untuk penggandengannya: bagi sembarang $A$,

$$
\mu(A) - \nu(A) = \E\bigl[\mathbf 1_A(X) - \mathbf
1_A(Y)\bigr] = \E\bigl[(\mathbf 1_A(X) - \mathbf
1_A(Y))\,\mathbf 1_{X\neq Y}\bigr] \leq \P(X \neq Y),
$$

lalu ambillah supremumnya atas $A$.

**21.** Kedua distribusinya membebani: pada $k = 0$: $1 - p$ lawan $\eu^{-p}$, dengan $\eu^{-p} > 1 - p$; pada $k = 1$: $p$ lawan $p\,\eu^{-p} < p$; pada $k \geq 2$: $0$ lawan sisa Poissonnya $1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p} \geq 0$. Karena itu

$$
d_{\mathrm{TV}} = \tfrac12\bigl[(\eu^{-p} - 1 + p) + (p -
p\eu^{-p}) + (1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p})\bigr] =
\tfrac12\bigl(2p - 2p\eu^{-p}\bigr) = p(1 - \eu^{-p}),
$$

sedangkan $1 - \eu^{-p} \leq p$ memberikan batasnya $p^2$.

**22.** Tulislah $H_{i-1} = W_i + X_i$ dan $H_i = W_i +
Y_i$ dengan $W_i = \sum_{j<i}Y_j + \sum_{j>i}X_j$, yang bebas dari pasangan $(X_i, Y_i)$ (menurut koalisinya). Lalu bagi $A
\subseteq \N$, dengan menyaratkan pada terbilang banyak nilainya menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#def-b3-probability-independence),

$$
\P(H_{i-1} \in A) = \sum_{k\geq0}\P(X_i = k)\,\P(W_i + k
\in A),
$$

dan demikian pula bagi $H_i$ dengan $Y_i$. Lalu dengan mengurangkannya, dengan $c_k
= \P(W_i + k \in A) \in \intcc01$ dan $\Delta_k = \P(X_i =
k) - \P(Y_i = k)$ yang berjumlah nol:

$$
\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} =
\Bigl|\sum_k\Delta_k\bigl(c_k - \tfrac12\bigr)\Bigr| \leq
\tfrac12\sum_k\abs{\Delta_k} =
d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal
P(p_i)\bigr) .
$$

Lalu dengan menteleskopkannya dari $H_0 = S$ ke $H_n = \sum_iY_i \sim
\mathcal P(\lambda)$ ([Latihan 23.1](#exo-b3-clt-1), yang diiterasi) dan memakai pertanyaan 21:

$$
\abs{\P(S \in A) - \P(\mathcal P(\lambda) \in A)} \leq
\sum_{i=1}^np_i\bigl(1 - \eu^{-p_i}\bigr) \leq
\sum_{i=1}^np_i^2
\qquad\text{bagi setiap } A :
$$

yakni ketaksamaan Le Cam. (Sedangkan batas penggandengan pertanyaan 20 memberikan jalur alternatif: gandengkanlah setiap pasangannya pada satu variabel seragam sehingga $\P(X_i \neq Y_i) \leq p_i^2$ lalu batasilah $\P(S \neq \sum Y_i)$; padahal penukarannya tak memerlukan konstruksi sama sekali.)

**23.** (a) Dengan $p_i = \frac\lambda n$: $d_{\mathrm{TV}}(\text{distribusi }S, \mathcal P(\lambda))
\leq \frac{\lambda^2}n$. Ini mempertajam [Latihan 23.5](#exo-b3-clt-5) tiga kali lipat: yakni galat eksplisit pada setiap $n$ yang berhingga, keseragaman atas semua kejadian $A$ sekaligus (bukan satu selang setiap kali), dan tanpa menuntut kesamaan $p_i$-nya — melainkan hanya $\sum_ip_i^2$ yang kecil, misalnya $\sum p_i^2 \leq
\lambda\max_ip_i$: yakni *banyak kejadian langka, tak satu pun yang dominan*. (b) Di sini $n = 500$, $p_i = \frac1{500}$, $\lambda = 1$: sehingga model Poissonnya keliru paling banyak $500\cdot\frac1{500^2} = 0.002$ pada setiap kejadiannya; khususnya, dengan mengambil $A = \{0\}$,

$$
\P(\text{tak ada surat tersesat}) = \Bigl(1 -
\frac1{500}\Bigr)^{500},
\qquad
\Bigl|\P(\text{tak ada surat tersesat}) - \eu^{-1}\Bigr| \leq
0.002,
$$

sehingga jawabannya $\eu^{-1} \approx 0.368$ sampai selisih terjamin $0.002$ (sedangkan selisih sebenarnya sekitar $4\cdot10^{-4}$). (c) Jadi soalnya ditutup pada satu metode dengan dua rezim. Saat $n$ sumbangan yang sebanding masing-masing membawa varians $\frac1n$, mencocokkan *dua* momen terhadap Gaussnya membuat galat penukarannya $o(\frac1n)$ masing-masing: sehingga jumlahnya menjadi [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) — dengan Taylor sebagai alat perbandingan lokalnya. Sedangkan saat $n$ sumbangannya berupa indikator berpeluang $p_i$, mencocokkan *rata-ratanya* terhadap atom Poissonnya membuat setiap penukarannya berharga $p_i^2$: sehingga cacahan kejadian langkanya menjadi Poisson — dengan variasi total sebagai perbandingan lokal yang persis. Jadi hibrida yang sama, teleskop yang sama, taksiran lokal yang berbeda: penggantiannya adalah sebuah strategi, bukan sebuah teorema, dan limit [Gauss](#def-b3-clt-gaussianvector) serta Poissonnya adalah dua dividennya yang tertua.

**24.** Teorema limit pusatnya memberikan $\sqrt n(\bar X_n - \mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$, sedangkan $g(x) = \ln x$ terdiferensialkan di $\mu > 0$ dengan $g'(\mu) = \frac1\mu$: sehingga metode deltanya (Bagian VI) menghasilkan $\sqrt n(\ln\bar X_n - \ln\mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2/\mu^2)$. Lalu dengan membuka selang $\abs{\ln\bar X_n - \ln\mu} \leq
\frac{1.96\,\sigma}{\mu\sqrt n}$ lewat pemangkatan:

$$
\mu \in \bar X_n\cdot
\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}
\qquad\text{dengan peluang asimtotik } 95\%
$$

(dalam praktiknya $\sigma/\mu$ diganti oleh versi empirisnya, lewat Slutsky seperti pada [Latihan 23.8](#exo-b3-clt-8)). Adapun selang perkaliannya adalah yang alami saat datanya positif dengan galat yang sebanding dengan [ukurannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#def-b3-measure-measure) — pendapatan, konsentrasi, waktu paruh: yakni besaran yang hidup pada skala log, yang selang aditif setangkupnya bahkan bisa melewati nol di sana.

**25.** Berlaku $\E[(X - p)^3] = (1-p)^3p + (-p)^3(1 - p) =
p(1-p)\bigl[(1-p)^2 - p^2\bigr] = p(1-p)(1 - 2p)$. Lalu pada analisis penukarannya (Bagian IV), suku galat yang utama setelah mencocokkan dua momen mengangkut momen ketiga yang *bertanda*: sebab bagi $p < \frac12$ ia positif (yakni distribusinya condong ke kanan: dengan gerak jauh besar yang langka di atas rata-ratanya), sehingga hampiran normalnya menempatkan massanya secara keliru dan sistematis — dengan mengecilkan ekor kiri yang pendek dan membesarkan yang kanan — bergalat berorde $n^{-1/2}$; sedangkan di $p =
\frac12$ momen ketiganya lenyap, Bernoullinya cocok dengan Gaussnya sampai orde ketiga, dan lajunya membaik (yakni pertanyaan momen-cocok Bagian IV). Secara numerik: $\P(S = 0) =
0.9^{20} = 0.1216$, sedangkan Gaussnya $\mathcal N(2, 1.8)$ memberikan $\Phi\bigl(\frac{0.5 -
2}{\sqrt{1.8}}\bigr) = \Phi(-1.118) \approx 0.132$: jadi kurva normalnya, yang tak tahu akan dinding di $0$ dan akan kemencengan ke kanannya, menaruh terlalu banyak massa di dasarnya — yakni tanda galat yang diramalkan, yang sudah terlihat di $n = 20$.