---
title: "Modul atas Daerah Ideal Utama"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama
---

# Bab 3 — Modul atas Daerah Ideal Utama

Aljabar linear atas sebuah *ring* alih-alih atas sebuah lapangan: perubahan hipotesis yang kecil ini melahirkan salah satu teorema penyatuan terbesar dalam aljabar. [Modul](#def-b3-modules-module) atas $\Z$ adalah grup abelian; [modul](#def-b3-modules-module) atas $K[X]$ adalah ruang vektor yang dilengkapi sebuah endomorfisma. Karena itu teorema struktur untuk [modul](#def-b3-modules-module) yang [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) atas sebuah [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) mengklasifikasikan, dalam satu tarikan, semua grup abelian yang [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) *sekaligus* semua endomorfisma sampai pada keserupaan — reduksi Jordan, yang pada Tahun ke-2 diperoleh lewat induksi yang berliku, jatuh sebagai akibat, bersama saudaranya yang lebih halus, yaitu bentuk kanonik *rasional* yang berlaku atas setiap lapangan. Mesin perhitungannya adalah [bentuk normal Smith](#thm-b3-modules-smith), sebuah aritmetika matriks yang layak disandingkan dengan Euclid.

Sepanjang bab ini $A$ adalah ring komutatif, yang segera menjadi [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd); kata “[modul](#def-b3-modules-module)” berarti modul-$A$.

## 3.1 Modul dan modul bebas

**Definisi 3.1.**

Sebuah *modul-$A$* adalah grup abelian $(M, +)$ dengan perkalian skalar $A \times M \to M$ yang memenuhi aksioma ruang vektor: $a(x + y) = ax + ay$, $(a + b)x = ax + bx$, $(ab)x = a(bx)$, $1x = x$. Submodul, modul kuosien $M/N$, morfisma (pemetaan linear-$A$), jumlah langsung $\bigoplus_i M_i$, dan teorema isomorfisma didefinisikan dan dibuktikan kata demi kata seperti pada ruang vektor dan grup abelian; khususnya $M/\ker f \cong
\operatorname{im} f$ untuk sebuah morfisma $f$.

**Contoh 3.2.**

Berikut tiga kasus yang memotivasinya.

1. $A = K$ sebuah lapangan: [modulnya](#def-b3-modules-module) adalah ruang vektor.
2. $A = \Z$ : [modulnya](#def-b3-modules-module) tepat berupa grup abelian (sebab $nx$ terpaksa sama dengan $x + \dots + x$ ), dan submodulnya adalah subgrup.
3. $A = K[X]$ : [modulnya](#def-b3-modules-module) berupa ruang vektor- $K$ $V$ beserta pemetaan linear- $K$ $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — sebaliknya, setiap pasangan $(V, u)$ dengan $u \in \mathcal L(V)$ menjadi modul- $K[X]$ lewat $P \cdot x = P(u)(x)$ . Submodulnya tepat berupa subruang yang stabil terhadap $u$ .

[Ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) $A$ tidak lain adalah submodul $A$; [ring kuosien](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) $A/I$ merupakan modul-$A$. Berbeda dengan ruang vektor, [modul](#def-b3-modules-module) dapat mempunyai *[torsi](#def-b3-modules-torsion)*: di $\Z/6\Z$, unsur $\bar 3 \ne 0$ dimatikan oleh $2 \neq 0$.

**Definisi 3.3.**

[Modul](#def-b3-modules-module) $M$ disebut *dibangun secara berhingga* jika $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ untuk suatu $x_i$. [Modul](#def-b3-modules-module) $M$ disebut *bebas* berrank $n$ jika $M \cong A^n$, yakni jika ia mempunyai *basis* (keluarga pembangun yang bebas linear atas $A$). Setiap $M$ yang dibangun secara berhingga merupakan kuosien sebuah [modul](#def-b3-modules-module) bebas: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ memetakan $A^n$ pada $M$.

**Proposisi 3.4 (Kekekalan rank).**

Jika $A \neq 0$ dan $A^m \cong A^n$, maka $m = n$.

**Bukti.** Pilih sebuah [ideal maksimal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-primemaximal) $\mathfrak m$ dari $A$ ([Teorema 2.8](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#thm-b3-rings-krull)) lalu tetapkan $k = A/\mathfrak m$, sebuah lapangan. Isomorfisma $f \colon A^m
\to A^n$ memetakan $\mathfrak m A^m$ ke dalam $\mathfrak m A^n$ (karena linearitas), sehingga menginduksikan isomorfisma antar-kuosien

$$
A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n,
\qquad\text{yakni}\qquad k^m \cong k^n
$$

sebagai ruang vektor-$k$ (kuosien $A^m/\mathfrak m A^m$ dimatikan oleh $\mathfrak m$, sehingga aksi $A$ terfaktorkan melalui $k$; peta basis bakunya membentuk basis-$k$). Teori dimensi atas lapangan $k$ lalu memberikan $m = n$. ∎

**Teorema 3.5 (Submodul dari modul bebas).**

Misalkan $A$ sebuah [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) dan $M \subseteq A^n$ sebuah submodul. Maka $M$ [bebas](#def-b3-modules-free) dengan rank $\leq n$.

**Bukti.** Induksi pada $n$. Untuk $n = 1$: $M$ berupa [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal), jadi $M = (0)$ ([bebas](#def-b3-modules-free) berrank $0$) atau $M = dA \cong A$ (sebab $x \mapsto dx$ injektif di daerah integral). Untuk $n > 1$: misalkan $\pi \colon A^n \to A$ koordinat terakhirnya. Maka $\pi(M)$ berupa [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal), entah $(0)$ entah $dA$. Jika $(0)$: $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ dan induksinya berlaku. Jika tidak, pilihlah $x_0 \in M$ dengan $\pi(x_0) = d$. Setiap $x \in M$ ditulis secara tunggal sebagai

$$
x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 +
\Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr),
\qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi
$$

(sebab $\pi(x) \in dA$, sehingga koefisiennya di $A$). Dengan demikian $M = Ax_0
\oplus (M \cap \ker \pi)$: jumlahnya langsung sebab $\pi(ax_0) =
ad = 0$ memaksa $a = 0$. Menurut induksi, $M \cap \ker\pi \subseteq
\ker \pi \cong A^{n-1}$ [bebas](#def-b3-modules-free) dengan rank $\leq n - 1$; menambahkan $x_0$ (yang [bebas](#def-b3-modules-free) dari $\ker\pi$ seperti baru saja terlihat) memberikan basis $M$ yang berkardinalitas $\leq n$. ∎

**Catatan 3.6.**

Akibatnya, atas sebuah [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) setiap [modul](#def-b3-modules-module) $M$ yang [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) mempunyai *penyajian berhingga*: surjeksi $\varphi\colon A^n \to M$ mempunyai kernel [bebas](#def-b3-modules-free) dengan basis $c_1, \dots, c_k$ ($k \leq n$), dan $M
\cong A^n / \operatorname{im}(C)$ dengan $C \in M_{n,k}(A)$ berupa matriks yang kolomnya adalah $c_j$. Memahami $M$ berarti memahami sebuah *matriks atas $A$* sampai pada pergantian basis di sumber dan sasarannya — itulah pokok bagian berikutnya.

## 3.2 Bentuk normal Smith

**Definisi 3.7.**

Dua matriks $B, C \in M_{n,k}(A)$ disebut *ekuivalen* jika $C =
QBP$ dengan $Q \in GL_n(A)$, $P \in GL_k(A)$ (yang terbalikkan *atas $A$*: determinannya di $A^\times$). Matriks penyajian yang ekuivalen mendefinisikan [modul](#def-b3-modules-module) $A^n/
\operatorname{im}$ yang isomorfik (ganti basis di $A^n$ dan $A^k$).

**Teorema 3.8 (Bentuk normal Smith).**

Misalkan $A$ sebuah [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) dan $B \in M_{n,k}(A)$. Maka $B$ ekuivalen dengan sebuah matriks diagonal

$$
\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0),
\qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,
$$

dan $d_i$ tunggal sampai pada kesekawanan: $d_1 \cdots d_i$ merupakan FPB semua minor $i \times i$ dari $B$ (khususnya FPB itu merupakan invarian keekuivalenan). Bilangan $d_i$ disebut *faktor invarian* dari $B$.

**Bukti.** *Keberadaan.* Jika $B = 0$, selesai. Jika tidak, tinjau himpunan [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) $(b)$ yang dibangun oleh entri matriks yang ekuivalen dengan $B$; karena $A$ bersifat [Noether](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-noetherian), pilihlah matriks $B'$ yang ekuivalen dengan $B$ dan sebuah entri $d$ dari $B'$ dengan $(d)$ *maksimal* di himpunan itu. Pindahkan $d$ ke posisi $(1,1)$ lewat penukaran baris dan kolom.

*Klaim: $d$ membagi setiap entri $B'$.* Pertama, kolom 1: jika $b_{i1}$ bukan kelipatan $d$, misalkan $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud +
vb_{i1}$ (Bézout), sehingga $(e) \supsetneq (d)$. Muslihat matriks $2 \times 2$: bekerja pada baris $1$ dan $i$ dengan

$$
\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de
\end{pmatrix}
\in GL_2(A)
\qquad
\Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)
$$

menghasilkan matriks ekuivalen dengan entri $e$ pada posisi $(1,1)$: dan ini bertentangan dengan kemaksimalan $(d)$. Jadi $d$ membagi kolom $1$, dan secara simetris juga baris $1$. Mengurangkan kelipatan baris 1 dan kolom 1 membersihkan keduanya: jadi $B'$ ekuivalen dengan $\begin{pmatrix} d &
0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$. Selanjutnya, $d$ membagi setiap entri $b$ dari $B''$: tambahkan baris tempat $b$ berada pada baris 1 (sebuah operasi elementer; baris pertama yang baru memuat $d$ dan entri $b$), lalu ulangi argumen pembersihan kolomnya: entri yang bukan kelipatannya akan kembali memperbaiki $(d)$. Sekarang berinduksilah pada ukurannya: $B''$, yang semua entrinya habis dibagi $d$, mempunyai bentuk Smith $\operatorname{diag}(d_2,
\dots)$ yang entrinya tetap habis dibagi $d$ (setiap entri sembarang $QB''P$ merupakan kombinasi-$A$ dari entri $B''$); tetapkan $d_1 =
d$.

*Ketunggalan.* Misalkan $D_i(B)$ melambangkan FPB semua minor $i \times i$. Operasi baris dan kolom, dan lebih umum lagi perkalian dengan *sembarang* matriks, tak dapat memperkecil FPB itu: sebab minor $i \times i$ dari $QB$ merupakan kombinasi-$A$ dari minor $B$ (penjabaran Cauchy–Binet; atau secara langsung: setiap baris $QB$ merupakan kombinasi baris $B$, dan minor bersifat multilinear terhadap barisnya). Jadi $D_i(QBP)$ dan $D_i(B)$ saling membagi: dengan kata lain $D_i$ merupakan invarian keekuivalenan. Pada bentuk diagonalnya, minor $i
\times i$ yang tak nol berupa hasil kali $i$ buah $d_j$, dan keterbagian $d_1 \mid \dots \mid d_r$ menjadikan $d_1 \cdots d_i$ sebagai FPB-nya. Karena itu $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ sampai pada unit, dan $d_i =
D_i/D_{i-1}$ tertentu. ∎

**Metode 3.9.**

Atas [daerah Euclid](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$, $K[X]$), reduksi Smith merupakan sebuah algoritma — tanpa perlu argumen kemaksimalan: bawalah entri dengan ukuran Euclid terkecil ke posisi $(1,1)$; jika ia tak membagi suatu entri pada baris atau kolomnya, pembagian Euclid meninggalkan sisa yang lebih kecil di sana — tukarkan sisa itu ke posisi itu lalu mulai lagi (prosesnya berhenti karena ukurannya menurun); bila ia sudah membagi seluruh baris dan kolomnya, bersihkan keduanya; jika ia tak membagi entri di dalam, tambahkan baris itu pada baris $1$ lalu mulai lagi; kemudian rekursi pada blok dalamnya. Dalam praktik pada matriks bulat: hitunglah $D_1 = \gcd$ entrinya, lalu $D_2$, … lewat minor untuk ukuran kecil, atau jalankan algoritmanya.

**Contoh 3.10 (Sebuah reduksi Smith, selengkapnya).**

Reduksikan $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$ atas $\Z$. Sudutnya, yaitu $1$, membagi segalanya: bersihkan baris dan kolomnya ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - 7L_1$, lalu $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3
\leftarrow C_3 - 3C_1$):

$$
M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12
\end{pmatrix} .
$$

Pada blok dalamnya, sudutnya $-3$ membagi semua entri: $L_3
\leftarrow L_3 - 2L_2$ dan $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ membersihkannya menjadi $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Setelah tandanya disesuaikan (kalikan sebuah baris dengan $-1$, sebuah operasi yang sah):

$$
M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0),
\qquad
\Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .
$$

Periksa silang lewat pembagi determinan: $D_1 =
\gcd(\text{entri}) = 1$; setiap minor $2\times2$ dari $M$ merupakan kelipatan $3$ (misalnya $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4
& 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) dan salah satunya sama dengan $-3$: jadi $D_2 =
3$; dan $D_3 = \det M = 0$. Karena itu $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: jawaban yang sama. Dua pelajarannya: [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) yang nol merekam turunnya rank (kokernelnya memperoleh suku [bebas](#def-b3-modules-free) $\Z$), dan rantai keterbagian $1 \mid 3 \mid 0$ merupakan sertifikat Smith — reduksi diagonal yang melanggar rantai itu (katakanlah $\operatorname{diag}(2, 3)$, yang bisa dihasilkan oleh yang ceroboh dari $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 &
3\end{smallmatrix}\bigr)$ karena berhenti terlalu dini: bentuk Smith yang benar adalah $\operatorname{diag}(1, 6)$, sebab di sini $D_1 = 1$!) belumlah selesai.

![Subkisi L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) dari ℤ2 (titik merah). Bentuk normal Smith dari ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) adalah diag(1, 6): pada basis tersesuaikan f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) dari ℤ2, berlaku L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, sehingga ℤ2/L ℤ/6ℤ — indeksnya sama dengan | | = 6, yaitu luas daerah fundamental yang diarsir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg)

*Subkisi $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ dari $\Z^2$ (titik merah). [Bentuk normal Smith](#thm-b3-modules-smith) dari $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &
1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ adalah $\operatorname{diag}(1, 6)$: pada basis tersesuaikan $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (0,1)$ dari $\Z^2$, berlaku $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$, sehingga $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — indeksnya sama dengan $\abs{\det} = 6$, yaitu luas daerah fundamental yang diarsir.*

## 3.3 Teorema struktur

**Definisi 3.11.**

Misalkan $A$ daerah integral dan $M$ sebuah modul-$A$. Submodul *torsi* adalah

$$
T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ untuk suatu } a \neq 0\}
$$

(sebuah submodul: jika $ax = by = 0$ maka $ab(x + y) = 0$ dengan $ab \ne 0$). [Modul](#def-b3-modules-module) $M$ disebut *[bebas](#def-b3-modules-free) torsi* jika $T(M) = 0$, dan *[modul](#def-b3-modules-module) torsi* jika $T(M) = M$.

**Teorema 3.12 (Struktur modul yang dibangun secara berhingga atas sebuah DIU).**

Misalkan $A$ sebuah [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) dan $M$ modul-$A$ yang [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free). Terdapat tepat satu $r \in \N$ dan unsur tak nol bukan unit $d_1 \mid d_2 \mid
\cdots \mid d_s$, tunggal sampai pada kesekawanan, dengan

$$
M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).
$$

Lebih lanjut $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ dan $M/T(M)
\cong A^r$: jadi [modul](#def-b3-modules-module) *[bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion)* yang [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) atas [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) pastilah [bebas](#def-b3-modules-free).

**Bukti.** *Keberadaan.* Sajikan $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ ([Catatan 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) lalu bawalah $C$ ke bentuk Smith: setelah kedua pergantian basis, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots
\times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus
\dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$. Buanglah suku yang $d_i$-nya berupa unit (sebab $A/(d_i) = 0$); rantai keterbagiannya tetap bertahan.

*Pengenalan [torsinya](#def-b3-modules-torsion).* Pada penguraian itu, $A^r$ bersifat [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion) (daerah integral tak punya pembagi nol) dan setiap $A/(d_i)$ bersifat [torsi](#def-b3-modules-torsion) (dimatikan oleh $d_i \ne 0$); jumlah langsung memecah [torsinya](#def-b3-modules-torsion) sejalan dengan itu: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ dan $M/T(M) \cong A^r$.

*Ketunggalan $r$*: $M/T(M) \cong A^r$ hanya bergantung pada $M$, dan [Proposisi 3.4](#prop-b3-modules-rank) memakukan nilai $r$.

*Ketunggalan $d_i$*: cukup ditangani [modul torsi](#def-b3-modules-torsion) $T = T(M)$. Uraikan setiap $d_i$ atas [unsur prima](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) lalu pecahlah lewat teorema sisa Tiongkok ([Teorema 2.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#thm-b3-rings-crt); [unsur prima](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) yang berbeda membangun [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) yang [komaksimal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#thm-b3-rings-crt)):

$$
A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr):
\qquad
T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),
$$

yaitu *pembagi elementer* $p^{k_{p,j}}$. Sebaliknya $d_i$ dapat disusun ulang dari multihimpunan [pembagi elementernya](#thm-b3-modules-structure) ($d_s$ = hasil kali pangkat tertinggi setiap [unsur prima](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility), dan seterusnya), sehingga cukup dibuktikan bahwa multihimpunan $\{k_{p,j}\}_j$ ditentukan oleh $T$ untuk setiap [unsur prima](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) $p$. Tetapkan $p$; untuk $j \geq 1$ tinjaulah ruang vektor-$A/(p)$ $p^{j-1}T/p^jT$. Pada suku siklik $A/(p^k)$:

$$
p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr)
\cong
\begin{cases}
A/(p) & \text{jika } j \leq k,\\
0 & \text{jika } j > k,
\end{cases}
$$

sedangkan pada suku $A/(q^k)$ dengan $q \neq p$: perkalian dengan $p$ di sana bijektif ($p$ terbalikkan modulo $q^k$ menurut Bézout), sehingga kuosiennya $0$. Jumlah langsung meneruskan hal ini: $\dim_{A/(p)}
p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$. Dimensi intrinsik ini menentukan multihimpunan eksponennya. ∎

**Akibat 3.13 (Grup abelian yang dibangun secara berhingga).**

Setiap grup abelian yang [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) berbentuk $\Z^r \times
\Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ dengan $d_1 \mid \dots \mid
d_s$, secara tunggal. Setiap grup abelian *berhingga* merupakan hasil kali grup siklik yang berorde pangkat prima, tunggal sebagai multihimpunan.

**Contoh 3.14.**

Grup abelian berorde $p^n$ bersesuaian dengan *partisi* dari $n$: untuk $p^4$ ada $\Z/p^4$, $\Z/p^3\times\Z/p$, $(\Z/p^2)^2$, $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$, $(\Z/p)^4$ — lima grup, sebab $4$ mempunyai lima partisi. Orde campuran mengalikan cacahannya prima demi prima (lewat sisa Tiongkok): jadi ada $5 \times 2$ grup abelian berorde $2^4 \cdot 3^2 = 144$.

## 3.4 Terapan: bentuk kanonik endomorfisma

Misalkan $K$ sebuah lapangan, $V$ ruang vektor-$K$ berdimensi berhingga $n$, dan $u \in \mathcal L(V)$; jadikan $V$ modul-$K[X]$ lewat $P
\cdot x = P(u)(x)$ ([Contoh 3.2](#ex-b3-modules-examples)). [Modul](#def-b3-modules-module) ini [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) (basis-$K$ membangunnya) dan bersifat [torsi](#def-b3-modules-torsion): untuk setiap $x$, kesatuan $n+1$ vektor $x, u(x), \dots, u^n(x)$ bergantung secara linear atas $K$, sehingga memberikan polinomial penghapus yang tak nol.

**Definisi 3.15.**

Untuk $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ yang monik, *matriks pendamping* adalah

$$
C_P = \begin{pmatrix}
0 & & & -a_0\\
1 & \ddots & & -a_1\\
& \ddots & 0 & \vdots\\
& & 1 & -a_{m-1}
\end{pmatrix} :
$$

yaitu matriks “perkalian dengan $X$” pada $K[X]/(P)$ dalam basis $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$.

**Teorema 3.16 (Frobenius: bentuk kanonik rasional).**

Ada tepat satu barisan polinomial monik tak konstan $P_1
\mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (yaitu *invarian keserupaan* dari $u$) sedemikian sehingga, sebagai modul-$K[X]$,

$$
V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):
$$

dalam sebuah basis yang sesuai, $u$ mempunyai matriks diagonal blok $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$. Lebih lanjut:

1. $P_s = \mu_u$ (polinomial minimal) dan $P_1\cdots P_s =  \chi_u$ (polinomial karakteristik); khususnya $\mu_u  \mid \chi_u$ *(Cayley–Hamilton yang dibuktikan ulang)* dan $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , sehingga $\chi_u$ dan $\mu_u$ mempunyai faktor [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) yang sama.
2. Dua endomorfisma (atau dua matriks persegi) serupa jika dan hanya jika [invarian keserupaannya](#thm-b3-modules-frobenius) sama.

**Bukti.** Teorema struktur ([Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)) yang diterapkan pada [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$: [modul torsi](#def-b3-modules-torsion) $V$ terurai dengan [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $P_i$, yang dinormalkan menjadi monik (sebab unit $K[X]$ adalah $K^\times$); tak ada bagian [bebas](#def-b3-modules-free) yang muncul (sebab $V$ bersifat [torsi](#def-b3-modules-torsion)). Pada setiap suku siklik $K[X]/(P_i)$, perkalian dengan $X$ bermatriks $C_{P_i}$ dalam basis pangkat $\bar X$: menyambung basisnya memberikan bentuk bloknya.

(1) Anihilator $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ adalah $(P_1)\cap
\dots\cap(P_s) = (P_s)$ (karena rantai keterbagiannya: $P_s$ merupakan kelipatan persekutuan, dan kelas $1$ pada suku terakhir dimatikan tepat oleh $(P_s)$): jadi $\mu_u = P_s$. Untuk $\chi_u$: pada suku siklik berlaku $\chi_{C_P} = P$, lewat induksi pada $m = \deg P$. Menjabarkan $\det(XI_m - C_P)$ sepanjang baris pertama (yang entrinya $X$, lalu nol, lalu $a_0$ di kolom terakhir):

$$
\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr)
+ (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,
$$

dengan $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (berbentuk sama, satu ukuran lebih kecil) dan $L$ segitiga dengan diagonal $(-1, \dots, -1)$, sehingga $\det L = (-1)^{m-1}$. Menurut induksi, suku pertamanya $X\tilde P$ dan suku keduanya $a_0$: totalnya $X\tilde P + a_0 = P$ (kasus dasar $m=1$: $\det(X + a_0) = P$). Determinan berkalian atas bloknya: $\chi_u = \prod P_i$. Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$ sebab $P_s \mid$ setiap… sebaliknya setiap $P_i \mid P_s$, sehingga $\chi_u = \prod P_i$ membagi $P_s^{\,s} = \mu_u^s$; dan $\mu_u =
P_s$ membagi $\chi_u$ sebagai salah satu faktornya.

(2) Endomorfisma yang serupa berarti struktur [modul](#def-b3-modules-module) yang sekawan, sehingga invariannya sama (menurut ketunggalan pada [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)); sebaliknya invarian yang sama memberikan modul-$K[X]$ yang isomorfik, dan isomorfisma [modul](#def-b3-modules-module) tidak lain adalah bijeksi linear yang menganyam kedua endomorfismanya: yakni sebuah keserupaan. ∎

**Akibat 3.17 (Keserupaan tak terpengaruh perluasan lapangan).**

Misalkan $K \subseteq L$ dua lapangan dan $M, N \in M_n(K)$. Jika $M$ dan $N$ serupa atas $L$, maka keduanya serupa atas $K$.

**Bukti.** [Invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) $M$ dihitung lewat rumus minor Smith ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith)) yang diterapkan pada matriks penyajian $XI_n - M$ atas $K[X]$ — memang modul-$K[X]$ $V_M = K^n$ mempunyai penyajian $XI_n - M$: pemetaan $K[X]^n \to V_M$, $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$, surjektif dengan kernel yang dibangun oleh kolom $XI_n - M$ (lewat pemeriksaan langsung: modulo kolom-kolom itu, setiap unsur $K[X]^n$ tereduksi menjadi vektor konstan, dan vektor konstan terpetakan secara bijektif; soal akhir pekan menguraikannya). FPB polinomial tidak berubah di bawah perluasan lapangan: jika $d$ merupakan FPB monik di $K[X]$ dari keluarga $(f_j)$, maka Bézout memberikan $d = \sum u_jf_j$ dengan $u_j \in K[X]$, sehingga setiap pembagi persekutuan $f_j$ *di $L[X]$* membagi $d$; dan karena $d$ sendiri pembagi persekutuan, ia juga FPB di $L[X]$. Karena itu [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $XI_n - M$, yang berupa hasil bagi FPB minor berturutan, sama atas $K$ maupun atas $L$: jadi $M, N$ mempunyai [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) yang sama atas $L$ jika dan hanya jika demikian atas $K$; simpulkan dengan [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2). ∎

**Teorema 3.18 (Bentuk Jordan, diturunkan ulang).**

Andaikan $\chi_u$ terpecah atas $K$ (misalnya $K = \C$). Dengan menerapkan penguraian atas [pembagi elementer](#thm-b3-modules-structure) pada $V$ (lihat bukti [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)) alih-alih [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith):

$$
V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X -
\lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),
$$

dan dalam basis $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots,
\overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ pada setiap sukunya, $u$ bekerja sebagai blok Jordan $J_k(\lambda)$: jadi setiap endomorfisma dengan polinomial karakteristik yang terpecah mempunyai basis Jordan, dan multihimpunan bloknya $(\lambda, k)$ bersifat tunggal.

**Bukti.** [Pembagi elementer](#thm-b3-modules-structure) [modul torsi](#def-b3-modules-torsion) $V$ adalah $(X - \lambda)^k$ dengan $X - \lambda$ menjelajahi faktor [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) $\mu_u$ (yang terpecah, sebab $\chi_u$ terpecah dan keduanya mempunyai faktor [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) yang sama, [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). Di $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$, tetapkan $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ untuk $j = 1, \dots, k$: maka $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (dengan $f_0 = 0$), yakni $u(f_j)
= \lambda f_j + f_{j-1}$: jadi matriks $u$ pada $(f_1, \dots,
f_k)$ tepat berupa $J_k(\lambda)$ (dengan angka satu di atas diagonalnya). Ketunggalan multihimpunan [pembagi elementernya](#thm-b3-modules-structure) adalah [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure). ∎

**Catatan 3.19.**

Hierarki bentuk kanoniknya kini menjadi jelas: bentuk *rasional* ada atas setiap lapangan dan mendeteksi keserupaan secara mutlak ([Akibat 3.17](#cor-b3-modules-descent)); sedangkan bentuk *Jordan* merupakan penghalusannya bila $\chi_u$ terpecah. Bukti teorema Jordan pada Tahun ke-2 yang bersandar pada pencacahan dimensi kini tercakup: seluruh kombinatorikanya ternyata aritmetika [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$.

## 3.5 Latihan

**Latihan 3.1 ★.**

(a) Tunjukkan bahwa $\Q$ tidak [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) sebagai modul-$\Z$. (b) Tunjukkan bahwa $\Q$ [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion) tetapi tidak [bebas](#def-b3-modules-free). (c) Mengapa kedua pernyataan itu tidak bertentangan dengan [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)?

**Solusi Latihan 3.1.**

(a) Jika $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$, misalkan $d$ sebuah penyebut persekutuan dari $q_i$: setiap kombinasinya terletak di $\frac1d\Z$, padahal $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$. Kontradiksi.

(b) [Bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion): $nq = 0$ dengan $n \neq 0$ memaksa $q = 0$ di $\Q$. Tidak [bebas](#def-b3-modules-free): dua bilangan rasional tak nol $\frac ab, \frac cd$ mana pun memenuhi relasi tak trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd =
0$, sehingga basisnya beranggota paling banyak satu unsur; sedangkan $\Q \cong \Z$ akan membuat $\Q = \Z q$ siklik, padahal $\frac q2 \notin \Z q$. (Dan $\Q \neq
0$.)

(c) [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure) mengandaikan *pembangunan berhingga*, dan (a) menyangkalnya: jadi tak ada kontradiksi — sebaliknya, $\Q$ menunjukkan bahwa hipotesis itu diperlukan pada pernyataan “[bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ [bebas](#def-b3-modules-free)”.

**Latihan 3.2 ★.**

Daftarkan semua grup abelian berorde $360$ sampai isomorfisma, baik dalam bentuk [pembagi elementer](#thm-b3-modules-structure) maupun [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith). Ada berapa grup abelian berorde $p^5$?

**Solusi Latihan 3.2.**

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$. Partisinya: untuk $3$: $(3), (2,1),
(1,1,1)$; untuk $2$: $(2), (1,1)$; untuk $1$: $(1)$. Karena itu ada $3 \times 2
\times 1 = 6$ grup. [Pembagi elementer](#thm-b3-modules-structure) $\to$ [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith):

| $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ |
| --- | --- |
| $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ |
| $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ |
| $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ |
| $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ |
| $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ |

(Untuk beralih ke [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith): $d_s$ yang terbesar mengumpulkan pangkat prima tertinggi dari setiap [unsur prima](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility), dan seterusnya ke bawah.) Yang berorde $p^5$: sebanyak partisi dari $5$, yakni $7$.

**Latihan 3.3 ★.**

Hitunglah [bentuk normal Smith](#thm-b3-modules-smith) atas $\Z$ dari

$$
B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix},
\qquad
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12
\end{pmatrix},
$$

lalu kenali grup abelian $\Z^2/B\Z^2$ dan $\Z^3/C\Z^3$.

**Solusi Latihan 3.3.**

$B$: $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 -
24} = 8$. [Faktor invariannya](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$, $d_2 = 8/2 = 4$: jadi bentuk Smithnya $\operatorname{diag}(2, 4)$, dan $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z
\times \Z/4\Z$.

$C$: diagonal tetapi *bukan* bentuk Smith (sebab $2 \nmid 3$). $D_1 =
\gcd(2,3,12) = 1$; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) =
\gcd(6, 24, 36) = 6$; $D_3 = 72$. Jadi $d = (1, 6, 12)$ dan $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — sejalan dengan sisa Tiongkok: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$.

**Latihan 3.4 ★★.**

Misalkan $L \subseteq \Z^n$ sebuah subgrup berrank $n$ yang basisnya berupa kolom $B \in M_n(\Z)$, $\det B \neq 0$. Tunjukkan bahwa $\Z^n/L$ berhingga dengan kardinalitas $\abs{\det B}$, dan bahwa $\Z^n/L
\cong \prod_i \Z/d_i\Z$ untuk [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $d_i$ dari $B$. Berilah gambaran dengan $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$.

**Solusi Latihan 3.4.**

Tulis $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ dengan $Q, P
\in GL_n(\Z)$ ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith); tak ada $d_i$ yang nol sebab $\det B \neq 0$). Maka $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/
\operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (sebab isomorfisma komposisi $x \mapsto Q^{-1}x$ dari $\Z^n$ memetakan $B\Z^n$ pada $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$). Kardinalitasnya $\prod \abs{d_i} = \abs{\det
\operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$, sebab $\det Q, \det P = \pm
1$. Untuk $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$: $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2
& 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$, $D_1 = 1$, $D_2 = 6$: jadi $\Z^2/L
\cong \Z/6\Z$, berkardinalitas $\abs{\det B} = 6$.

**Latihan 3.5 ★★.**

Misalkan $A$ daerah integral. (a) Periksalah bahwa $T(M)$ submodul dan bahwa $M/T(M)$ [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion). (b) Tunjukkan bahwa [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ dari $K[X,Y]$, sebagai modul-$K[X,Y]$, [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion) tetapi tidak [bebas](#def-b3-modules-free): jadi teorema struktur memang sungguh memerlukan hipotesis [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd).

**Solusi Latihan 3.5.**

(a) Submodul: sudah dikerjakan pada [Definisi 3.11](#def-b3-modules-torsion). Jika $a(x +
T(M)) = 0$ di $M/T(M)$ dengan $a \neq 0$, maka $ax \in T(M)$: jadi $bax
= 0$ untuk suatu $b \neq 0$, dan $ba \neq 0$ (di daerah integral), sehingga $x \in
T(M)$: kelasnya nol. Jadi $M/T(M)$ [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion).

(b) [Ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion) (sebagai submodul dari daerah integral $K[X,Y]$ yang bekerja pada dirinya sendiri). Andaikan ia [bebas](#def-b3-modules-free); dua unsur $P, Q$ mana pun memenuhi $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$, sebuah relasi tak trivial bila $P \ne Q$ tak nol, sehingga basisnya beranggota satu unsur: jadi $(X, Y) = (P)$ berupa [ideal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-ideal) utama — bertentangan dengan [Latihan 2.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#exo-b3-rings-6)(a). [Bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion) dan [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) (sebab $X, Y$ membangunnya), namun tidak [bebas](#def-b3-modules-free): atas $K[X,Y]$ yang bukan [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd), teorema strukturnya gagal.

**Latihan 3.6 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa $2\Z$ tak punya komplemen langsung di dalam modul-$\Z$ $\Z$: submodul dari [modul bebas](#def-b3-modules-free) memang [bebas](#def-b3-modules-free) ([Teorema 3.5](#thm-b3-modules-submodule)), tetapi belum tentu menjadi suku langsung. (b) Tunjukkan bahwa jika $M \subseteq A^n$ (dengan $A$ sebuah [DIU](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-pidufd)) memenuhi: $A^n/M$ [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion), maka $M$ *memang* suku langsung.

**Solusi Latihan 3.6.**

(a) Jika $\Z = 2\Z \oplus C$, proyeksi $\Z \to \Z/2\Z$ terbatas menjadi isomorfisma $C \cong \Z/2\Z$: jadi $C$ akan menjadi subgrup $\Z$ yang unsur tak nolnya $x$ memenuhi $2x \in C
\cap 2\Z = 0$. Padahal $\Z$ [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion): sehingga $C = 0$, dan itu memaksa $\Z =
2\Z$ — salah.

(b) [Modul](#def-b3-modules-module) $A^n/M$ [dibangun secara berhingga](#def-b3-modules-free) dan [bebas](#def-b3-modules-free) [torsi](#def-b3-modules-torsion), sehingga [bebas](#def-b3-modules-free) ([Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)): $A^n/M \cong A^r$ dengan basis $f_1, \dots, f_r$. Pilihlah prapeta $y_i \in A^n$ dari $f_i$ lalu tetapkan $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$. Setiap $x \in A^n$ mempunyai $\pi(x)
= \sum a_if_i$, sehingga $x - \sum a_iy_i \in M$: jadi $A^n = M + F$. Jika $\sum a_iy_i \in M$, menerapkan $\pi$ memberikan $\sum a_if_i = 0$, sehingga semua $a_i = 0$ (karena basis): $M \cap F = 0$. Jadi $A^n = M \oplus
F$.

**Latihan 3.7 ★★.**

Selesaikan di $\Z^2$ sistem

$$
\begin{cases}
2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\
6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20},
\end{cases}
$$

lalu tentukan untuk pasangan $(b_1, b_2)$ yang mana penyelesaian itu ada, dengan memakai bentuk Smith pada [Latihan 3.3](#exo-b3-modules-3) (penggantian variabel yang terbalikkan di kedua ruas).

**Solusi Latihan 3.7.**

Reduksi pada [Latihan 3.3](#exo-b3-modules-3) bersifat efektif: dengan

$$
L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix},
\qquad
R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
$$

(operasi baris $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, lalu operasi kolom $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ dan $C_2 \leftarrow -C_2$). Dengan menetapkan $y = R^{-1}x$ (sebuah bijeksi $(\Z/20\Z)^2$, karena $R$ terbalikkan atas $\Z$), sistem $Bx \equiv b \pmod{20}$ menjadi ekuivalen dengan

$$
2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.
$$

Kekongruenan $ky \equiv c \pmod{20}$ [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) jika dan hanya jika $\gcd(k, 20) \mid c$: jadi penyelesaian ada jika dan hanya jika $2 \mid b_1$ dan $4
\mid b_2 - 3b_1$, yakni *$b_1$ genap dan $b_2 \equiv 3b_1
\pmod 4$*. Bila [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived), ada $2 \times 4 = 8$ penyelesaian modulo $20$.

**Latihan 3.8 ★★.**

(a) Tentukan semua [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) dan [bentuk Jordan](#thm-b3-modules-jordan) yang mungkin bagi matriks nilpoten $4 \times 4$, dipilah menurut partisi $4$ yang diwujudkannya. (b) Tampilkan dua matriks kompleks $4\times4$ dengan polinomial karakteristik *dan* polinomial minimal yang sama tetapi tidak serupa, lalu buktikan bahwa untuk $n \leq 3$ hal itu tak mungkin terjadi.

**Solusi Latihan 3.8.**

(a) Endomorfisma nilpoten $u$ mempunyai $\mu_u = X^k$; [pembagi elementernya](#thm-b3-modules-structure) adalah $X^{k_1} \geq \dots$, dengan satu blok Jordan $J_{k_i}(0)$ per bagian dari sebuah partisi $4$:

| partisi | [bentuk Jordan](#thm-b3-modules-jordan) | [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) |
| --- | --- | --- |
| $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ |
| $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ |
| $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ |
| $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ |
| $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ |

(b) Ambil $u = J_2\oplus J_2$ dan $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$: keduanya mempunyai $\chi = X^4$, $\mu = X^2$, tetapi [faktor invariannya](#thm-b3-modules-smith) berbeda — jadi tidak serupa ([Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); kita juga dapat membandingkan ranknya: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 =
\operatorname{rk} v$. Untuk $n \leq 3$: $\chi$ dan $\mu$ menentukan, untuk setiap nilai eigen $\lambda$ (atas sebuah lapangan pemecah), ukuran total $m_\lambda \leq 3$ dari blok-$\lambda$ beserta blok terbesarnya $r_\lambda$; dan partisi $m \leq 3$ ditentukan oleh bagian terbesarnya ($m = 3, r = 2$ memaksa $(2,1)$, dan seterusnya). Jadi [pembagi elementernya](#thm-b3-modules-structure) berimpit, dan [Akibat 3.17](#cor-b3-modules-descent) menurunkan keserupaannya ke lapangan dasarnya.

**Latihan 3.9 ★★★.**

Misalkan $u \in \mathcal L(V)$, $\dim V = n$. Tunjukkan bahwa berikut ini saling ekuivalen: (i) $V$ merupakan modul-$K[X]$ siklik (ada $x$ dengan $V = K[u]x$, yaitu sebuah *vektor siklik*); (ii) $\mu_u = \chi_u$; (iii) $s = 1$ pada [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius). Simpulkan bahwa [matriks pendamping](#def-b3-modules-companion) mempunyai vektor siklik, lalu tentukan kapan matriks diagonal mempunyainya.

**Solusi Latihan 3.9.**

(i)$\Rightarrow$(ii): jika $V = K[u]x$, maka $V \cong
K[X]/\operatorname{Ann}(x)$, dan $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (sebab sebuah polinomial mematikan $x$ jika dan hanya jika ia mematikan seluruh $V = K[u]x$, karena $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$). Jadi $n = \dim V = \deg \mu_u$; dan karena $\mu_u \mid \chi_u$ serta $\deg\chi_u = n$, kemonikan memberikan $\mu_u =
\chi_u$.

(ii)$\Rightarrow$(iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ dan $\mu_u = P_s$ ([Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); kesamaan derajatnya memaksa $s = 1$.

(iii)$\Rightarrow$(i): $V \cong K[X]/(P_1)$ bersifat siklik, dibangun oleh prapeta $\bar 1$.

[Matriks pendamping](#def-b3-modules-companion) merupakan kasus $V = K[X]/(P)$ itu sendiri: $x = \bar
1$, yakni $e_1$, bersifat siklik. Untuk matriks diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$: $\chi = \prod
(X - \lambda_i)$, $\mu = \prod_{\lambda \text{ berbeda}} (X -
\lambda)$; keduanya bersesuaian jika dan hanya jika $\lambda_i$ berbeda berpasangan: jadi matriks diagonal mempunyai vektor siklik jika dan hanya jika entri diagonalnya berbeda berpasangan (lalu $x = (1, \dots, 1)$ berlaku, lewat Vandermonde).

**Latihan 3.10 ★★★.**

Untuk $M \in M_n(\Z)$ yang dipandang sebagai endomorfisma $\Z^n$, buktikan rumus indeksnya: jika $\det M \ne 0$, maka $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$, lalu simpulkan bahwa $M \in GL_n(\Z)$ jika dan hanya jika $\det M = \pm 1$. Terapannya: grup $\Z^2$ mempunyai tepat $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrup berindeks $m$. *(Cacahlah matriks dalam bentuk Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix}
a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$, $ad = m$, $0 \leq b <
d$.)*

**Solusi Latihan 3.10.**

Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$; lalu [Latihan 3.4](#exo-b3-modules-4) memberikan $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} =
\abs{\det M}$. Jika $\det M = \pm 1$: rumus adjugat $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ berentri bulat, sehingga $M \in GL_n(\Z)$; sebaliknya $MM^{-1} = I$ memberikan $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ di $\Z$, jadi $\det M = \pm1$.

Subgrup berindeks $m$ di $\Z^2$: subgrup $L$ semacam itu berrank $2$ (karena indeksnya berhingga) dan mempunyai basis tunggal dalam *bentuk normal Hermite* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 &
d\end{smallmatrix}\bigr)$: di sini $d$ dicirikan oleh $L \cap (\{0\}
\times \Z) = \{0\} \times d\Z$, $a$ oleh $\pi_1(L) = a\Z$ (koordinat pertamanya), dan $b$ lalu tunggal modulo $d$; normalkan $a, d
> 0$ dan $0 \leq b < d$. Indeksnya $ad = m$. Pencacahannya: untuk setiap pembagi $d \mid m$ (dengan $a = m/d$), ada $d$ pilihan $b$: totalnya $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$.

**Latihan 3.11 ★★.**

(Persamaan $x^k = e$ di dalam grup abelian) Misalkan $G$ grup abelian berhingga dengan [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $d_1 \mid d_2 \mid \dots
\mid d_s$. (a) Tunjukkan bahwa untuk setiap $k \geq 1$,

$$
\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .
$$

(b) Simpulkan: grup abelian berhingga bersifat siklik jika dan hanya jika untuk setiap $k$, persamaan $x^k = e$ mempunyai paling banyak $k$ penyelesaian. (c) Peroleh kembali kesiklikan subgrup berhingga dari $K^\times$ (dengan $K$ sebuah lapangan, [Bab 4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#ch-b3-galois)): mengapa polinomial $X^k - 1$ menjamin kriteria pada (b)?

**Solusi Latihan 3.11.**

(a) Menurut teorema struktur, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$, dan $x^k = e$ terurai koordinat demi koordinat. Di $\Z/d\Z$: $kx \equiv 0
\pmod d$ mempunyai tepat $\gcd(k, d)$ penyelesaian (sebab $x$ haruslah kelipatan $d/\gcd(k,d)$, dan ada $\gcd(k, d)$ buah di antaranya). Lalu kalikan atas semua sukunya.

(b) Jika $G = \Z/d_s\Z$ siklik ($s = 1$), cacahannya $\gcd(k, d_s) \leq k$. Jika $s \geq 2$: ambil $k = d_1$; cacahannya $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (sebab setiap $\gcd$ sama dengan $d_1$ menurut rantai keterbagiannya): jadi persamaan $x^{d_1} = e$ mempunyai lebih dari $d_1$ penyelesaian.

(c) Di dalam sebuah lapangan, $X^k - 1$ berakar paling banyak $k$ ([Bab 2](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#ch-b3-rings): polinomial tak nol berderajat $k$ atas daerah integral), sehingga setiap subgrup berhingga $G \leq K^\times$ memenuhi kriteria (b): jadi $G$ siklik — inilah bukti struktural satu baris atas kesiklikan $\mathbb F_q^\times$, yang melengkapi bukti pencacahan pada [Bab 4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#ch-b3-galois).

**Latihan 3.12 ★★★.**

(Matriks elementer membangun) (a) Tunjukkan bahwa $M \in M_n(\Z)$ terbalikkan di $M_n(\Z)$ jika dan hanya jika $\det M = \pm1$. (b) Tunjukkan bahwa $SL_2(\Z)$ dibangun oleh dua matriks elementer $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$ dan $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$. *(Jalankan algoritma Euclid pada kolom pertama $M
\in SL_2(\Z)$ lewat perkalian kiri dengan pangkat $E, F$, hingga mencapai $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$; selesaikan sisanya dengan tangan — perhatikan bahwa $-I = (EF^{-1}E)^2$.)* (c) Jelaskan kaitannya dengan reduksi Smith: atas $\Z$, operasi baris dan kolom berdeterminan $1$ sudah cukup untuk mendiagonalkan, sampai pada tandanya.

**Solusi Latihan 3.12.**

(a) Jika $MN = I$ dengan $N$ bulat: $\det M\det N = 1$ dengan keduanya bilangan bulat, sehingga $\det M = \pm1$. Sebaliknya jika $\det M =
\pm1$, rumus kofaktor $M^{-1} =
\frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ berentri bulat.

(b) Perkalian kiri dengan $E^{-k}$ mengurangkan $k$ kali baris $2$ dari baris $1$; sedangkan dengan $F^{-k}$, $k$ kali baris $1$ dari baris $2$. Diberikan $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c &
*\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$, kolom pertamanya $(a, c)$ merupakan vektor unimodular (sebab $\gcd(a, c) = 1$: ia membagi $\det M = 1$). Jalankan algoritma Euclid pada $(a, c)$ lewat operasi baris tersebut: setelah berhingga langkah kolomnya menjadi $(\pm1, 0)$. Matriksnya kini berupa $\pm
\bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix}
\bigr) = \pm E^{b}$ (determinannya tetap $1$). Tersisa menuliskan $-I$ dalam pembangunnya: $(EF^{-1}E)^2 =
\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (periksalah kuadrat matriks rotasi itu). Setelah diurai, $M$ merupakan kata dalam $E^{\pm1},
F^{\pm1}$.

(c) Algoritma Smith ([Metode 3.9](#met-b3-modules-smith)) memakai persis operasi baris dan kolom semacam itu (ditambah penukaran dan pergantian tanda, yang juga hasil kali operasi elementer sampai pada tanda determinannya): jadi atas $\Z$, setiap matriks berbentuk $U\,D\,V$ dengan $U, V$ hasil kali matriks elementer dan $D$ bentuk Smithnya — (b) adalah kasus $2\times2$ berdeterminan $1$ dari kenyataan umum bahwa matriks bertipe $E$ membangun $SL_n(\Z)$.

## 3.6 Soal: komutan dan komutan ganda

**Soal 3.1.**

Soal akhir pekan — bentuk rasional, komutan, bikomutan

Misalkan $K$ sebuah lapangan, $V$ ruang vektor-$K$ berdimensi $n \geq
1$, dan $u \in \mathcal L(V)$. Kita mempelajari *komutan*

$$
\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},
$$

yaitu subaljabar $\mathcal L(V)$ yang memuat $K[u] = \{P(u) : P \in
K[X]\}$, lalu kita buktikan rumus dimensi Frobenius dan teorema komutan ganda: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. Sepanjang soal ini, $V$ adalah modul-$K[X]$ yang didefinisikan oleh $u$, dengan [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ dan penguraian siklik $V =
\bigoplus_{i=1}^s V_i$, $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$, $n_i
= \deg P_i$ ([Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)).

**Bagian I — Matriks penyajian $XI - M$, dan pemanasan.**

1. Misalkan $M \in M_n(K)$ dan misalkan $\varphi \colon K[X]^n \to V_M  = K^n$ mengirim $(Q_1, \dots, Q_n)$ ke $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Tunjukkan bahwa $\varphi$ merupakan morfisma surjektif antar modul- $K[X]$ dan bahwa setiap kolom $XI_n - M$ terletak di $\ker\varphi$ .
2. Tunjukkan bahwa, modulo kolom $XI_n - M$ , setiap unsur $K[X]^n$ kongruen dengan sebuah vektor konstan *(turunkan derajatnya dengan memakai $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$)* , lalu simpulkan $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : jadi [modul](#def-b3-modules-module) $V_M$ bermatriks penyajian $XI_n - M$ . Peroleh kembali titik tolak [Akibat 3.17](#cor-b3-modules-descent) : bahwa [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) $M$ adalah [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $XI_n - M$ yang bukan unit.
3. Hitunglah [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) dari: matriks skalar $\lambda I_n$ ; matriks diagonal dengan entri diagonal yang berbeda-beda; blok Jordan $n \times n$ $J_n(0)$ ; dan $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ untuk $n = 3$ .
4. Tunjukkan bahwa $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

**Bagian II — Morfisma antar [modul](#def-b3-modules-module) siklik.**

5. Misalkan $P, Q$ monik dan tak konstan. Tunjukkan bahwa sebuah morfisma- $K[X]$ $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ ditentukan oleh $f(\bar 1)$ , dan bahwa $\bar c \in K[X]/(Q)$ dapat berperan sebagai $f(\bar 1)$ jika dan hanya jika $P\bar c = 0$ di $K[X]/(Q)$ .
6. Simpulkan $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr)  \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ yang berdimensi $\deg \gcd(P, Q)$ atas $K$. *(Tunjukkan bahwa penyelesaian $\bar c$ dari $P\bar c = 0$ di $K[X]/(Q)$ membentuk submodul siklik yang dibangun oleh $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$.)*
7. Buktikan *rumus Frobenius*: $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i,  P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(Sebuah $v$ yang komutatif tidak lain adalah endomorfisma-$K[X]$ dari $V$; uraikan $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ sebagai matriks morfisma $V_j \to V_i$ lalu pakailah rantai keterbagiannya.)*
8. Simpulkan $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , dengan kesamaan jika dan hanya jika $u$ siklik ( $s = 1$ ), lalu hitunglah $\dim\mathcal C(u)$ untuk $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : keduanya ujung ekstrem rumus itu.
9. Periksalah rumus Frobenius secara langsung untuk $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ dengan menghitung komutannya secara eksplisit sebagai matriks $3\times3$ .

**Bagian III — Teorema komutan ganda.** Misalkan $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$; kita buktikan $w \in K[u]$.

10. Tunjukkan $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , dan bahwa setiap $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ komutatif dengan $u$ — jadi inklusi yang hendak dibuktikan, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , sungguh mempertajam $w \in \mathcal C(u)$ .
11. Andaikan lebih dahulu bahwa $u$ bersifat *siklik* , $V = K[u]x$ . Tunjukkan secara langsung bahwa $\mathcal C(u) = K[u]$ *(masukkan sebuah $v$ yang komutatif pada $x$: $v(x) = P(u)x$ untuk suatu $P$, lalu bandingkan $v$ dengan $P(u)$ pada basis $u^k x$)* , lalu simpulkan teoremanya untuk kasus ini.
12. Kembali ke kasus umumnya. Untuk setiap $i$ , misalkan $\pi_i\colon  V \to V_i$ proyeksi sepanjang suku lainnya. Tunjukkan $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , lalu simpulkan bahwa $w$ mempertahankan setiap $V_i$ dan komutatif dengan $u_i =  u\restriction_{V_i}$ ; simpulkan lewat pertanyaan 11 yang diterapkan pada $u_i$ yang siklik: ada polinomial $Q_i$ dengan $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
13. Tersisa merekatkan $Q_i$ menjadi satu polinomial. Untuk $i  \leq j$ (sehingga $P_i \mid P_j$ ), tunjukkan bahwa $\eta_{ij} \colon  V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , merupakan morfisma- $K[X]$ yang terdefinisi dengan baik *(yang perlu diperiksa adalah bahwa $R(u)x_j = 0$ mengakibatkan $R(u)x_i = 0$)* , dan bahwa $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , yang diperluas dengan $0$ pada suku lainnya, terletak di $\mathcal C(u)$ .
14. Dengan memakai $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$, tunjukkan $Q_i  \equiv Q_j \pmod{P_i}$ untuk $i \leq j$. Simpulkan bahwa $Q =  Q_s$ memenuhi $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ untuk setiap $i$, sehingga $w = Q(u)$ pada setiap $V_i$, dan karenanya pada $V$: $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$
15. (Penutup) Simpulkan dari teorema itu: jika $v$ komutatif dengan *setiap* matriks yang komutatif dengan $u$ , dan $u$ siklik, maka $v$ merupakan polinomial dalam $u$ ; lalu berilah contoh yang menunjukkan bahwa $\mathcal C(u) = K[u]$ gagal untuk $u =  \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — di manakah tepatnya kesiklikan itu masuk?

**Bagian IV — Hasil panen [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius).** Bentuk kanonik rasional adalah sebuah mesin; berikut lima keluarannya yang klasik.

16. (Transpos) Tunjukkan bahwa setiap $M \in M_n(K)$ serupa dengan transposnya ${}^tM$ . *(Operasi yang membawa $XI - M$ ke bentuk Smith, setelah ditranspos, membawa $XI - {}^tM$ ke bentuk Smith yang sama: jadi [invarian keserupaannya](#thm-b3-modules-frobenius) sama.)*
17. (Penurunan keserupaan) Misalkan $K \subseteq L$ sebuah perluasan lapangan dan $M, N \in M_n(K)$ . Tunjukkan bahwa jika $M$ dan $N$ serupa atas $L$ , maka keduanya serupa atas $K$ . *(Bentuk Smith $XI - M$ yang dihitung di $K[X]$ tetap merupakan bentuk Smith di $L[X]$ — mengapa [faktor invariannya](#thm-b3-modules-smith) tidak berubah?)* Akibat yang layak dihafal: dua matriks real yang sekawan di $GL_n(\C)$ juga sekawan di $GL_n(\R)$ .
18. (Klasifikasi nilpoten) Misalkan $u$ nilpoten. Tunjukkan bahwa banyaknya blok berukuran $\geq k$ pada penguraiannya atas blok Jordan nilpoten sama dengan $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , lalu simpulkan: kelas nilpoten di $M_n(K)$ , untuk lapangan $K$ apa pun, berkorespondensi satu-satu dengan partisi $n$ . Ada berapa kelas nilpoten di $M_5(K)$ ?
19. (Sepasang contoh konkret) Tentukan [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) operator turunan $D\colon P \mapsto P'$ yang bekerja pada ruang $K_{n-1}[X]$ berisi polinomial berderajat $< n$ : (a) untuk $K =  \Q$ ; (b) untuk $K = \mathbb F_p$ dengan $p < n$ *(pada karakteristik $p$ berlaku $(X^p)' = 0$: hitunglah $\ker D^k$ lalu pakailah pertanyaan 18)* .
20. ( [Kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Dengan memakai [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) , tunjukkan bahwa setiap kelas $GL_2(\mathbb F_q)$ tepat berjenis salah satu dari empat berikut: pusat $aI$ ; dapat didiagonalkan dengan dua nilai eigen berbeda $a \neq b$ di $\mathbb F_q^\times$ ; tak semisederhana dengan polinomial minimal $(X - a)^2$ ; dan siklik dengan polinomial karakteristik yang [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) .
21. Cacahlah kelas pada setiap jenisnya lalu simpulkan: $GL_2(\mathbb F_q)$ mempunyai tepat $q^2 - 1$ [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) . *(Cacahlah polinomial kuadrat monik yang [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) atas $\mathbb F_q$; lalu pasangan tak terurut $\{a, b\}$; ingatlah bahwa keterbalikan membatasi suku konstannya.)*
22. (Siklik itu generik) Tunjukkan bahwa $M \in M_2(\mathbb F_q)$ gagal menjadi siklik jika dan hanya jika $M$ skalar, lalu simpulkan bahwa matriks $2\times2$ acak seragam atas $\mathbb F_q$ bersifat siklik dengan peluang $1 - q^{-3}$ . Nyatakan heuristik serupa untuk $M_n$ dan $q$ besar (tanpa perlu bukti): matriks tak siklik itu langka — itulah sebabnya Bagian III [Soal 3.1](#pb-b3-modules-1) baru memerlukan kerja sungguhan setelah melewati kasus generiknya.

**Bagian V — Pelengkap.**

23. (Pusat komutan) Tunjukkan bahwa pusat aljabar $\mathcal C(u)$ tepat sama dengan $K[u]$ *(gabungkan kedua inklusi pada Bagian III)* . Simpulkan bahwa $\mathcal C(u)$ komutatif jika dan hanya jika $u$ siklik — sehingga kasus kesamaan pada pertanyaan 8 diperoleh kembali lewat jalur yang murni struktural.
24. (Dimensi mana yang muncul?) Simpulkan dari rumus Frobenius bahwa $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ untuk setiap $u$ . Lalu tentukan himpunan nilai persis yang diambil oleh $\dim \mathcal C(u)$ ketika $u$ menjelajahi $\mathcal L(V)$ dengan $\dim V = 4$ : tunjukkan bahwa himpunan itu $\{4, 6,  8, 10, 16\}$ *(cacahlah barisan derajat $n_1  \leq \dots \leq n_s$ yang berjumlah $4$ lalu wujudkan masing-masing lewat sebuah matriks nilpoten)* . Khususnya $12$ dan $14$ , meski berkeparitasan benar, tidak tercapai: jadi syarat keparitasan itu perlu tetapi tidak cukup.
25. ([Persamaan kelas](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#cor-b3-groups-classeq) $GL_2(\mathbb F_3)$) Untuk $q = 3$, hitunglah ukuran setiap [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) pada pertanyaan 20 lewat orbit–stabilisator: [sentralisator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) sebuah $M$ yang *siklik* di $GL_2(\mathbb F_q)$ adalah grup unit dari $K[M]$ (pertanyaan 11). Kenali $K[M]$ pada ketiga jenis yang bukan pusat, daftarkan ketiga polinomial kuadrat monik yang [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) atas $\mathbb F_3$, lalu periksalah persamaan kelasnya $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)}  = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ dengan $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ kelas, seperti diramalkan pertanyaan 21.

**Solusi Soal 3.1.**

**1.** Pemetaan $\varphi$ aditif dan linear atas $K[X]$: $\varphi(X
\cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X
\cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$, sebab struktur [modul](#def-b3-modules-module) $V_M$ adalah $X \cdot v = Mv$. Ia surjektif: vektor konstan sudah memberikan seluruh $K^n$. Kolom ke-$j$ dari $XI - M$ adalah $Xe_j - \sum_i
m_{ij}e_i$, yang petanya $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$.

**2.** Modulo kolom-kolomnya, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$: jadi sembarang vektor polinomial tereduksi, lewat induksi pada derajat tertingginya, menjadi vektor *konstan* $c \in K^n$. Jika vektor semula terletak di $\ker\varphi$, maka $\varphi(c) = c = 0$ (pada vektor konstan, $\varphi$ berupa pengenalan $K^n = V_M$), sehingga vektor itu terletak di rentang kolomnya: $\ker\varphi = (XI_n -
M)K[X]^n$. Karena itu $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$, dan reduksi Smith atas $K[X]$ (semua [faktor invariannya](#thm-b3-modules-smith) tak nol, sebab hasil kalinya $\det(XI - M) = \chi_M$) memberikan $V_M \cong \bigoplus_i
K[X]/(f_i)$: yang $f_i$ tak konstan adalah [invarian keserupaannya](#thm-b3-modules-frobenius), yang dapat dihitung sebagai hasil bagi FPB minornya ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith)).

**3.** Untuk $\lambda I_n$: matriks $XI - \lambda I$ sudah berbentuk Smith: invariannya $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$, sebanyak $n$ buah. Entri diagonal yang berbeda: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X -
\lambda_i)$ dengan modulus yang [komaksimal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#thm-b3-rings-crt) berpasangan, sehingga sisa Tiongkok memampatkannya menjadi satu [modul](#def-b3-modules-module) siklik $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$: satu invarian saja, yaitu $\chi$. Untuk $J_n(0)$: $\mu = X^n = \chi$ memaksa satu invarian $X^n$. Untuk $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$: [pembagi elementernya](#thm-b3-modules-structure) $X^2, X$: jadi invariannya $P_1 = X \mid P_2 =
X^2$.

**4.** Pemetaan $P \mapsto P(u)$ memetakan $K[X]$ pada $K[u]$, dengan kernel $(\mu_u)$ menurut definisi polinomial minimal: jadi $K[u]
\cong K[X]/(\mu_u)$, berdimensi $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$.

**5.** Kelinearan atas $K[X]$ memaksa $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1)
= Q\,f(\bar 1)$. Kelas $\bar 1$ memenuhi $P \bar 1 = 0$, sehingga $P f(\bar 1) = 0$ menjadi keharusan. Sebaliknya jika $P\bar c = 0$, maka $f(\bar Q) = Q\bar c$ terdefinisi dengan baik (sebab $Q \equiv Q' \bmod P
\Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ kelipatan $P\bar c = 0$) dan linear atas $K[X]$.

**6.** Misalkan $g = \gcd(P, Q)$, $P = gP'$, $Q = gQ'$ dengan $\gcd(P', Q') = 1$. Di $K[X]/(Q)$: $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc
\iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (menurut Euclid, sebab $\gcd(P', Q') = 1$). Jadi $\bar c$ yang diperbolehkan membentuk submodul yang dibangun oleh $\bar{Q'}$, yang anihilatornya $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$: sehingga submodul itu $\cong K[X]/(g)$. Bersama pertanyaan 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$, yang berdimensi $\deg\gcd(P,Q)$.

**7.** Pemetaan $v$ komutatif dengan $u$ jika dan hanya jika $v$ komutatif dengan setiap $P(u)$, yaitu jika dan hanya jika $v$ linear atas $K[X]$: jadi $\mathcal C(u) =
\operatorname{End}_{K[X]}(V)$. Dengan menuliskan morfisma $V =
\bigoplus_j V_j$ sebagai matriks $(f_{ij})$, $f_{ij} \in
\operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (komposisikan dengan injeksi dan proyeksinya), pertanyaan 6 memberikan

$$
\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j)
= \sum_{i,j} n_{\min(i,j)}
= \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,
$$

dengan memakai rantai keterbagiannya ($\gcd(P_i, P_j) =
P_{\min(i,j)}$) dan, untuk langkah terakhirnya, bahwa $\min(i,j) = k$ terjadi tepat pada $2(s - k) + 1$ pasangan $(i, j)$.

**8.** Karena $2(s-k)+1 \geq 1$, berlaku $\dim\mathcal C(u) \geq
\sum_k n_k = n$, dengan kesamaan jika dan hanya jika $s = 1$, yakni jika dan hanya jika $u$ siklik ([Latihan 3.9](#exo-b3-modules-9)). Untuk $u = \lambda\,\mathrm{id}$: $s = n$ dan semua $n_k = 1$: $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — benar, sebab $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal
L(V)$.

**9.** Lewat rumusnya: invariannya $(X, X^2)$, jadi $s = 2$, $n_1 =
1$, $n_2 = 2$: $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$. Secara langsung: dalam basis $(e_1, e_2, e_3)$ dengan $u e_2 = e_1$, $ue_1 = ue_3 = 0$, menuliskan $Au = uA$ untuk $A = (a_{ij})$ melahirkan syarat $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ dan $a_{11} = a_{22}$: jadi ada lima parameter [bebas](#def-b3-modules-free) $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$.

**10.** Polinomial $P(u)$ komutatif dengan apa pun yang komutatif dengan $u$ (sebab ia jumlah pangkat $u$): jadi $K[u]
\subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$. Dan $u \in \mathcal C(u)$, sehingga setiap $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ komutatif dengan $u$.

**11.** Misalkan $V = K[u]x$ dan $v \in \mathcal C(u)$. Tulis $v(x) = P(u)x$ (karena kesiklikan). Untuk $y = Q(u)x$ sembarang: $v(y) =
vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$. Jadi $v = P(u)$: $\mathcal
C(u) = K[u]$. Lalu $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal
C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (komutatif dengan seluruh $K[u]$ sama saja dengan komutatif dengan $u$). Jadi teoremanya berlaku pada kasus siklik.

**12.** Proyeksi $\pi_i$ linear atas $K[X]$ (sebab penguraiannya jumlah langsung submodul), jadi $\pi_i \in \mathcal C(u)$, dan $w$ komutatif dengannya: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq
V_i$. Pembatasan $w_i = w\restriction_{V_i}$ komutatif dengan $u_i = u\restriction_{V_i}$ yang siklik (pertanyaan 10), dan $w_i
\in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (pertanyaan 11): jadi $w_i = Q_i(u_i) =
Q_i(u)\restriction_{V_i}$ untuk suatu $Q_i \in K[X]$.

**13.** Keterdefinisian $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$: jika $R(u)x_j = 0$ maka $P_j \mid R$, dan $P_i \mid P_j$ memberikan $P_i \mid R$, sehingga $R(u)x_i = 0$ (sebab $\operatorname{Ann}(x_i) =
(P_i)$). Lalu $\eta_{ij}$ linear atas $K[X]$ menurut konstruksinya, dan $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ merupakan komposisi morfisma-$K[X]$ $V \to V$: jadi $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal
C(u)$.

**14.** Nilaikan $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ pada $x_j$: ruas kirinya $w(x_i) = Q_i(u)x_i$; ruas kanannya $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$. Karena itu $(Q_i -
Q_j)(u)\,x_i = 0$: jadi $P_i \mid Q_i - Q_j$ untuk setiap $i \leq j$. Khususnya, dengan $Q = Q_s$: $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$, sehingga $Q(u)$ dan $Q_i(u)$ bersesuaian pada $V_i$ (yang dimatikan $P_i(u)$). Karena itu $w
= Q(u)$ pada setiap $V_i$, dan karenanya pada $V$: $\mathcal C(\mathcal C(u))
\subseteq K[u]$, lalu bersama pertanyaan 10, $\mathcal C(\mathcal
C(u)) = K[u]$.

**15.** Pernyataan pertamanya adalah pertanyaan 10–14 (atau, untuk $u$ siklik, pertanyaan 11 saja). Untuk $u = \mathrm{id}$ dengan $n \geq
2$: $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ berdimensi $n^2$, sedangkan $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$. Jadi $\mathcal C(u) = K[u]$ gagal telak; namun teorema bikomutannya tetap berlaku ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$: pusat aljabar matriksnya adalah skalar). Kesiklikanlah yang membuat komutan *tunggalnya* sudah berupa polinomial; sedangkan komutan *gandanya* selalu berupa polinomial.

**16.** Jika $P(XI - M)Q = S$ merupakan reduksi Smith (dengan $P, Q$ terbalikkan atas $K[X]$), mentransposkannya memberikan ${}^tQ\,(XI -
{}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$: bentuk Smith yang sama, sehingga $XI - M$ dan $XI - {}^tM$ mempunyai [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) yang sama, yakni $M$ dan ${}^tM$ mempunyai [invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) yang sama ([Akibat 3.17](#cor-b3-modules-descent)): jadi keduanya serupa.

**17.** [Invarian keserupaan](#thm-b3-modules-frobenius) $M$ atas $L$ adalah [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) $XI - M$ di $L[X]$. Sebuah reduksi Smith atas $XI - M$ di $K[X]$ — dengan $P, Q$ terbalikkan atas $K[X]$, diagonal, dan memenuhi rantai keterbagian — *juga* merupakan reduksi Smith yang sah atas $L[X]$ (sebab $P, Q$ tetap terbalikkan: determinannya konstanta tak nol), dan [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) yang monik bersifat tunggal: jadi [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) yang dihitung atas $K$ dan atas $L$ berimpit. Karena itu $M \sim_L N$ jika dan hanya jika keduanya mempunyai [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) yang sama, yaitu jika dan hanya jika $M \sim_K N$. Khususnya matriks real yang sekawan atas $\C$ juga sekawan atas $\R$ — pernyataan yang kerap dibuktikan secara analitik (dengan mengkhususkan sebuah $P + \iu
Q$ yang terbalikkan), di sini dibuktikan secara struktural.

**18.** Uraikan $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ atas blok Jordan nilpoten. Pada satu blok berukuran $m$ berlaku $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$, sehingga $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ bila $m
\geq k$, dan $0$ bila tidak. Dengan menjumlahkan atas bloknya: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k =
\#\{t : m_t \geq k\}$. Karena itu barisan ranknya menentukan multihimpunan $(m_t)$ — yaitu sebuah partisi $n$ — dan sebaliknya setiap partisi terwujudkan: jadi kelas nilpoten $\leftrightarrow$ partisi $n$, atas lapangan apa pun. Untuk $M_5$: ada $p(5) = 7$ kelas ($5$; $4{+}1$; $3{+}2$; $3{+}1{+}1$; $2{+}2{+}1$; $2{+}1{+}1{+}1$; $1^5$).

**19.** (a) Atas $\Q$ (atau lapangan berkarakteristik $0$ mana pun), $D^n = 0$ dan $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$: jadi $D$ nilpoten berindeks $n$ pada ruang berdimensi $n$, sehingga siklik dengan invarian tunggal $X^n$ (sebab $x = X^{n-1}$ membangunnya: turunan berulangnya merentang seluruh ruang). (b) Atas $\mathbb F_p$ dengan $p
< n$: $D^p = 0$, sebab turunan ke-$p$ setiap monomial $X^m$ membawa faktor $m(m-1)\cdots(m-p+1)$, yaitu hasil kali $p$ bilangan bulat berurutan, sehingga $\equiv 0 \bmod p$. Tulis $n = ap + r$, $0 \leq r < p$. Maka $\ker D^k$ direntang oleh monomial $X^m$ yang memenuhi $D^kX^m = 0$; dengan mencacah eksponen $m < n$ menurut sisanya modulo $p$: $\dim\ker D^k = ak + \min(r,
k)$ untuk $0 \leq k \leq p$, sehingga $\operatorname{rk}D^{k-1} -
\operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a +
\mathbf 1_{k \leq r}$. Menurut pertanyaan 18, partisinya mempunyai $a$ blok berukuran tepat $p$ dan (bila $r > 0$) satu blok berukuran $r$: jadi [invarian keserupaannya](#thm-b3-modules-frobenius) $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$. Karakteristik mengubah bentuk kanonik operator yang paling akrab dalam matematika.

**20.** Matriks $M \in GL_2$ mempunyai $s \in \{1, 2\}$ [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith). Jika $s = 2$: $P_1 = P_2 = X - a$ (dengan $a \neq 0$ karena keterbalikan), yakni $M = aI$, jadi berada di pusat. Jika $s = 1$: $M$ siklik dengan polinomial karakteristik $=$ polinomial minimal $\chi$ berderajat $2$, dan kelasnya bersesuaian dengan $\chi$ yang mungkin dengan $\chi(0) \neq 0$: $\chi$ terpecah dengan akar berbeda $a \neq
b$ (pendampingnya $\sim$ diagonal); $\chi = (X - a)^2$ (pendamping, tak semisederhana); dan $\chi$ [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility). Tepat satu jenis untuk masing-masing — sebab [faktor invariannya](#thm-b3-modules-smith) merupakan invarian yang lengkap.

**21.** Di pusat: ada $q - 1$ pilihan $a$. Nilai eigen terpecah yang berbeda: pasangan tak terurut $\{a, b\} \subseteq
\mathbb F_q^\times$ dengan $a \neq b$: ada $\binom{q-1}2$ kelas. Berpolinomial minimal $(X-a)^2$: ada $q - 1$ kelas. Polinomial kuadrat [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) dengan suku konstan tak nol: semua polinomial kuadrat [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) memenuhinya (sebab akarnya tak nol), dan ada $\frac{q^2 - q}2$ polinomial kuadrat monik yang [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) ($q^2$ polinomial kuadrat monik dikurangi $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ yang terpecah). Totalnya:

$$
(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2
= q^2 - 1 .
$$

**22.** Jika $M$ tidak siklik, maka $s = 2$ dan $M$ berupa skalar (dikotomi pertanyaan 20 berlaku di $M_2$, baik terbalikkan maupun tidak: dua [faktor invarian](#thm-b3-modules-smith) berderajat $1$ dengan $P_1 \mid P_2$ dan $P_1 =
P_2$ memaksa $M = aI$). Skalarnya berjumlah $q$ di antara $q^4$ matriks: jadi peluang kesiklikannya $1 - q^{-3}$. Secara umum tempat kedudukan tak siklik di $M_n$ adalah tempat minor $(n-1)\times(n-1)$ dari $XI - M$ berbagi sebuah faktor — sebuah syarat aljabar sejati — sehingga proporsinya sekecil $O(1/q)$ untuk $q$ besar: matriks dengan $\chi = \mu$ adalah aturannya, dan argumen perekatan pada Bagian III merupakan harga yang dibayar untuk perkecualiannya.

**23.** Unsur pusat $\mathcal C(u)$ terletak di $\mathcal C(u)$ dan komutatif dengan setiap unsur $\mathcal C(u)$, yakni terletak di $\mathcal C(\mathcal C(u)) =
K[u]$ (pertanyaan 14). Sebaliknya $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$, dan setiap $P(u)$ komutatif dengan setiap $v \in \mathcal C(u)$ (sebab $v$ semacam itu komutatif dengan $u$, sehingga dengan setiap pangkat $u$): jadi $K[u]$ berada di pusat $\mathcal C(u)$. Karena itu $Z(\mathcal C(u))
= K[u]$. Akibatnya $\mathcal C(u)$ komutatif jika dan hanya jika $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$; dalam hal itu $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$, sedangkan pertanyaan 8 memberikan $\dim\mathcal C(u) \geq n$: sehingga $n_s = n$ dan $s = 1$, yakni $u$ siklik. Sebaliknya, untuk $u$ siklik pertanyaan 11 memberikan $\mathcal C(u) = K[u]$, yang komutatif. Secara struktural: sebuah aljabar matriks yang sama dengan pusatnya sendiri tidak lain adalah aljabar polinomial $K[u]$ dari sebuah $u$ yang siklik.

**24.** Setiap koefisien $2s - 2i + 1$ pada rumus Frobenius bernilai ganjil, sehingga

$$
\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i
\equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .
$$

Untuk $n = 4$, barisan derajat $n_1 \leq \dots
\leq n_s$ yang mungkin bagi [faktor invariannya](#thm-b3-modules-smith), dengan jumlah $4$, adalah $(4)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(1, 1, 2)$, $(1, 1, 1, 1)$; masing-masing terwujudkan, misalnya oleh matriks nilpoten dengan $P_i = X^{n_i}$ (rantai keterbagiannya berlaku otomatis). Rumus itu berturut-turut memberikan

$$
1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad
5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .
$$

Jadi himpunan nilainya $\{4, 6, 8, 10, 16\}$: bilangan genap dengan keparitasan yang benar, tetapi $12$ dan $14$ tak pernah muncul — antara barisan yang hampir siklik dan $n^2$ milik skalar terdapat sebuah jurang.

**25.** $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) =
8 \cdot 6 = 48$. Jenis pusat: $I$ dan $2I$, dua kelas berukuran $1$. Pada ketiga jenis lainnya $M$ bersifat siklik (pertanyaan 20), sehingga [sentralisatornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) di $GL_2$ adalah grup unsur terbalikkan dari $\mathcal C(M) = K[M]$ (pertanyaan 11), dan ukuran kelasnya $=48/\abs{K[M]^\times}$ menurut orbit–stabilisator. Nilai eigen terpecah yang berbeda: hanya pasangan $\{1, 2\}$, jadi satu kelas; di sini $K[M]
\cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (sisa Tiongkok pada $\chi = (X-1)
(X-2)$), unitnya $2 \cdot 2 = 4$, ukurannya $48/4 = 12$. Berpolinomial minimal $(X - a)^2$ dengan $a \in \{1, 2\}$: dua kelas; di sini $K[M] \cong
\mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$, unitnya $q^2 - q = 6$ (sebab suku konstan unitnya $\neq 0$ setelah dipusatkan), ukurannya $48/6 = 8$. Untuk $\chi$ [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility): polinomial kuadrat monik [tak tereduksi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) atas $\mathbb F_3$ berjumlah $(9 - 3)/2 = 3$, yakni

$$
X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,
$$

(tanpa akar di $\mathbb F_3$: periksalah $0, 1, 2$); jadi tiga kelas dengan $K[M] \cong \mathbb F_9$, unitnya $q^2 - 1 = 8$, ukurannya $48/8 =
6$. Persamaan kelasnya: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 =
2 + 12 + 16 + 18 = 48$; dan ada $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ kelas, cocok dengan pertanyaan 21.