---
title: "Representasi Grup Berhingga"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/5-representasi-grup-berhingga
---

# Bab 5 — Representasi Grup Berhingga

Untuk memahami grup abstrak, buatlah ia beraksi pada ruang vektor lalu pakailah aljabar linear — nilai eigen, trace, hasil kali dalam — pada aksi itu. Program ini, yang disebut *teori [representasi](#def-b3-representations-rep)*, luar biasa mujarab bagi grup berhingga atas $\C$: setiap [representasi](#def-b3-representations-rep) terpecah menjadi [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) (Maschke), yang [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) itu dipakukan oleh *[karakternya](#def-b3-representations-character)* (yakni tracenya), dan [karakternya](#def-b3-representations-character) memenuhi relasi ortogonalitas yang membuat perhitungannya mekanis. Bab ini membangun kalkulus itu beserta mahakarya pertamanya — [tabel karakter](#def-b3-representations-table) grup kecil — dan soal akhir pekan memanen sebuah teorema yang jauh melampaui jangkauan teori grup telanjang: teorema $p^aq^b$ Burnside. Sepanjang bab ini $G$ adalah grup berhingga dan semua ruang vektornya berdimensi berhingga atas $\C$.

## 5.1 Representasi, Maschke, Schur

**Definisi 5.1.**

Sebuah *representasi* dari $G$ adalah morfisma $\rho \colon G \to GL(V)$ untuk sebuah ruang vektor-$\C$ $V$; sedangkan $\dim V$ disebut *derajatnya*. Subruang $W \subseteq V$ disebut *invarian* jika $\rho(g)W \subseteq W$ untuk setiap $g$; pembatasannya menjadikan $W$ sebuah *subrepresentasi*. Representasi $\rho$ disebut *tak tereduksi* jika $V \neq
0$ dan satu-satunya subruang invariannya adalah $0$ dan $V$. Sebuah *morfisma* antara $(\rho, V)$ dan $(\sigma, W)$ adalah pemetaan linear $f\colon V \to W$ dengan $f\rho(g) = \sigma(g)f$ untuk setiap $g$ (keekuivarianan); dan $f$ yang bijektif disebut *isomorfisma*.

**Contoh 5.2.**

(a) Derajat $1$: yaitu morfisma $G \to \C^\times$. (b) Adapun *representasi reguler*: $V = \C^G$ dengan basis $(e_h)_{h \in G}$ dan $\rho(g)e_h = e_{gh}$; berderajat $\abs G$. (c) Aksi permutasi $G$ pada himpunan berhingga $X$ memberikan *[representasi](#def-b3-representations-rep) permutasi* pada $\C^X$: $\rho(g)e_x =
e_{g\cdot x}$. (d) Grup $S_n$ beraksi pada $\C^n$ dengan mempermutasikan koordinatnya; hiperbidang $\{\sum x_i = 0\}$ bersifat invarian: itulah *[representasi](#def-b3-representations-rep) baku*, yang berderajat $n - 1$.

**Teorema 5.3 (Maschke).**

Setiap subruang invarian $W$ dari [representasi](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ mempunyai komplemen yang invarian. Akibatnya setiap [representasi](#def-b3-representations-rep) merupakan jumlah langsung [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) (*kesemisederhanaan*).

**Bukti.** Misalkan $p \colon V \to V$ *sembarang* proyeksi yang berpeta $W$ (ambil komplemen apa pun). Rata-ratakan ia atas grupnya:

$$
\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.
$$

Setiap sukunya memetakan $V$ ke dalam $W$ (sebab $W$ invarian), dan menetapkan $W$ titik demi titik: sebab untuk $w \in W$, $\rho(g)^{-1}w \in W$, lalu $p$ menetapkannya, dan $\rho(g)$ membawanya kembali — jadi $\tilde p$ kembali menjadi proyeksi pada $W$. Ia ekuivarian: sebab untuk $h \in G$, $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ hanya mengindeks ulang jumlah yang sama. Karena itu $\ker
\tilde p$ merupakan komplemen invarian bagi $W$. Mengiterasikannya pada setiap sukunya (dimensinya berhingga) menguraikan $V$ atas [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep). ∎

**Teorema 5.4 (Lema Schur).**

Misalkan $f \colon V \to W$ sebuah morfisma antara [representasi](#def-b3-representations-rep) *[tak tereduksi](#def-b3-representations-rep)*. Maka $f = 0$ atau $f$ merupakan isomorfisma; dan jika $(V,\rho) = (W,\sigma)$, maka $f = \lambda\,\mathrm{id}$ untuk suatu $\lambda \in \C$. Karena itu $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ bernilai $1$ bila $V \cong W$, dan $0$ bila tidak.

**Bukti.** Kernel $\ker f$ dan peta $\operatorname{im} f$ bersifat invarian (karena keekuivarianan), sehingga masing-masing berupa $0$ atau seluruhnya: jadi entah $f = 0$, entah $f$ injektif dengan peta penuh. Jika $V = W$: maka $f$ mempunyai nilai eigen $\lambda$ (sebab $\C$ [tertutup secara aljabar](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-closure)); lalu $f - \lambda\,\mathrm{id}$ menjadi morfisma $V \to V$ yang tak injektif, sehingga $0$. Untuk pencacahan dimensinya ketika $V \cong W$: tetapkan satu isomorfisma $u$, lalu sembarang morfisma $f$ memberikan endomorfisma $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$: jadi $f =
\lambda u$. ∎

## 5.2 Karakter dan ortogonalitas

**Definisi 5.5.**

Yang disebut *karakter* dari $(V, \rho)$ adalah $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$. Ia memenuhi $\chi_\rho(e) = \dim V$ dan $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (sebab trace bersifat invarian terhadap konjugasi): jadi karakter merupakan *fungsi kelas* — yaitu unsur ruang $\mathcal{CF}(G)$ berisi fungsi yang konstan pada [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions), yang dilengkapi hasil kali dalam Hermite

$$
\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G}
\overline{\varphi(g)}\,\psi(g).
$$

**Proposisi 5.6.**

Pemetaan $\rho(g)$ dapat didiagonalkan dengan nilai eigen berupa akar satuan; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$, dan $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ dengan kesamaan jika dan hanya jika $\rho(g)$ berupa skalar. [Karakter](#def-b3-representations-character) menjumlah pada jumlah langsung: $\chi_{V
\oplus W} = \chi_V + \chi_W$.

**Bukti.** Berlaku $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ untuk $N = \abs G$ (menurut Lagrange): jadi $\rho(g)$ menghapus $X^N - 1$, yang terpecah dengan akar sederhana, sehingga ia dapat didiagonalkan dengan nilai eigen $\lambda_i \in \mu_N$. Lalu $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i =
\overline{\chi(g)}$, dan $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i}
\leq \dim V$, dengan kesamaan pada ketaksamaan segitiganya jika dan hanya jika semua $\lambda_i$ sama, yakni $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$. Keaditifannya pada jumlah langsung: lihat trace bloknya. ∎

**Lema 5.7.**

Misalkan $(V, \rho)$, $(W, \sigma)$ dua [representasi](#def-b3-representations-rep). Operator perata-rataan pada $\operatorname{Hom}(W, V)$,

$$
c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},
$$

merupakan proyeksi pada $\operatorname{Hom}_G(W, V)$, dan untuk pemetaan $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ berlaku $\operatorname{tr}\Phi_g =
\chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$.

**Bukti.** Pemetaan $c(A)$ bersifat ekuivarian (indeks ulang jumlahnya seperti pada Maschke), dan $c$ menetapkan pemetaan ekuivarian (sebab setiap sukunya sama dengan $A$): jadi $c$ merupakan proyeksi berpeta $\operatorname{Hom}_G(W, V)$. Tracenya: dalam basis, $\Phi_g(A) = BAC$ dengan $B = \rho(g)$, $C = \sigma(g)^{-1}$; pada basis matriks $(E_{kl})$ berlaku $BE_{kl}C = \sum_{m,n}
b_{mk}c_{ln}E_{mn}$, sehingga koefisien $E_{kl}$ pada $\Phi_g(E_{kl})$ adalah $b_{kk}c_{ll}$: jadi $\operatorname{tr}\Phi_g =
\sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B)
\operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$, dan $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$. ∎

**Teorema 5.8 (Relasi ortogonalitas pertama).**

Misalkan $\rho, \sigma$ *[tak tereduksi](#def-b3-representations-rep)*. Maka

$$
\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle =
\begin{cases}
1 & \text{jika } \rho \cong \sigma,\\
0 & \text{bila tidak:}
\end{cases}
$$

jadi [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) membentuk keluarga ortonormal di $\mathcal{CF}(G)$.

**Bukti.** Trace sebuah proyeksi sama dengan dimensi petanya:

$$
\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c
= \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g
= \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)}
= \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,
$$

dan lema Schur menilai ruas kirinya sebagai $\delta_{\rho \cong
\sigma}$. ∎

**Akibat 5.9.**

Uraikan $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ atas [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang berbeda ($V_i \not\cong V_j$). Maka $m_i = \langle
\chi_{V_i}, \chi_V\rangle$: jadi multiplisitasnya — dan karenanya [representasinya](#def-b3-representations-rep) sampai isomorfisma — ditentukan oleh [karakternya](#def-b3-representations-character). Lebih lanjut $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i
m_i^2$; khususnya $V$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) jika dan hanya jika $\langle\chi_V,
\chi_V\rangle = 1$.

**Bukti.** Berlaku $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ ([Proposisi 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)); ambillah hasil kali dalam dengan setiap $\chi_{V_i}$ lalu pakailah keortonormalannya. Dua [representasi](#def-b3-representations-rep) dengan [karakter](#def-b3-representations-character) yang sama mempunyai multiplisitas yang sama, sehingga keduanya isomorfik. ∎

**Teorema 5.10 (Representasi reguler).**

Misalkan $\chi_1, \dots, \chi_r$ [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang berbeda, berderajat $n_i = \chi_i(e)$. [Representasi reguler](#ex-b3-representations-examples) terurai dengan multiplisitas $m_i = n_i$; akibatnya

$$
\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G,
\qquad
\sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).
$$

**Bukti.** [Karakter](#def-b3-representations-character) regulernya: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) =
\#\{h : gh = h\}$, yang bernilai $\abs G$ untuk $g = e$ dan $0$ bila tidak. Jadi $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle =
\frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$. Memasukkan nilai $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ pada $e$ dan pada $g \neq e$ memberikan kedua identitas yang ditampilkan itu. ∎

**Teorema 5.11.**

[Karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) membentuk *basis* ortonormal bagi $\mathcal{CF}(G)$: jadi banyaknya [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) sama dengan banyaknya [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $G$.

**Bukti.** Tersisa kelengkapannya: misalkan $f \in \mathcal{CF}(G)$ ortogonal terhadap setiap $\chi_i$; kita tunjukkan $f = 0$. Untuk sebuah [representasi](#def-b3-representations-rep) $(V,\rho)$, tetapkan $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G}
\sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$. Operator ini ekuivarian: sebab untuk $h \in
G$,

$$
\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g
\overline{f(g)}\rho(hgh^{-1})
= \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') =
T_{f,\rho}
$$

(karena $f$ [fungsi kelas](#def-b3-representations-character)). Jika $\rho$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $n$, maka Schur memberikan $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ dengan

$$
\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n}
= \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g)
= \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .
$$

Jadi $T_{f,\rho} = 0$ pada setiap [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep), sehingga (lewat jumlah langsung) pada *setiap* [representasi](#def-b3-representations-rep) — khususnya pada yang reguler. Terapkan ia pada vektor basis $e_e$: $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e =
\frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$, yang memaksa setiap $\overline{f(g)} = 0$. Dengan demikian keluarga ortonormal $(\chi_i)$ merentang $\mathcal{CF}(G)$, yang dimensinya sama dengan banyaknya [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions). ∎

**Akibat 5.12 (Ortogonalitas kolom).**

Untuk $g, h \in G$:

$$
\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) =
\begin{cases}
\abs{Z_G(g)} & \text{jika } g, h \text{ sekawan},\\
0 & \text{bila tidak.}
\end{cases}
$$

**Bukti.** Misalkan $g_1, \dots, g_r$ mewakili kelasnya, dan $c_j$ ukuran kelasnya. Matriks $r \times r$ dengan $U_{ij} =
\sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ mempunyai baris yang ortonormal ([Teorema 5.8](#thm-b3-representations-orthogonality) yang ditulis per kelas: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} =
\delta_{ii'}$), yakni $UU^* = I$; dan matriks persegi dengan $UU^* =
I$ juga memenuhi $U^*U = I$: jadi kolomnya ortonormal, dan itu terurai menjadi identitas yang ditampilkan (sebab $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$, yaitu relasi orbit–stabilisator untuk konjugasi). ∎

**Proposisi 5.13 (Karakter berdimensi satu; pengangkatan).**

(a) Grup $G$ abelian jika dan hanya jika semua [representasi tak tereduksinya](#def-b3-representations-rep) berderajat $1$; sedangkan banyaknya [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ pada $G$ apa pun adalah $[G : D(G)]$ (yaitu [karakter](#def-b3-representations-character) abelianisasinya). (b) Jika $N \trianglelefteq G$, maka [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) dari $G/N$ terangkat (dengan mengomposisikannya dengan $G \to G/N$) tepat menjadi [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $G$ yang kernelnya memuat $N$.

**Bukti.** (a) Jika $G$ abelian, setiap kelasnya beranggota tunggal: sehingga $r = \abs G$, dan $\sum n_i^2 = \abs G$ memaksa semua $n_i = 1$; sebaliknya jika semua $n_i = 1$, maka [representasi regulernya](#ex-b3-representations-examples) berupa jumlah [representasi](#def-b3-representations-rep) berdimensi satu, sehingga $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ dapat didiagonalkan serentak, jadi komutatif, dan $\rho_{\mathrm{reg}}$ bersifat setia: berarti $G$ abelian. [Representasi](#def-b3-representations-rep) berderajat $1$ adalah morfisma $G \to \C^\times$ dengan sasaran abelian: sehingga terfaktorkan melalui $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ ([Latihan 1.9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-9)), dan [karakter](#def-b3-representations-character) berbeda dari $G^{\mathrm{ab}}$ yang abelian berjumlah $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (sebab ia mempunyai sebanyak itu kelas, semuanya berderajat $1$). (b) Komposisi dengan proyeksinya mempertahankan ketaktereduksian (sebab subruang invariannya berkorespondensi), dan [representasi](#def-b3-representations-rep) yang trivial pada $N$ terfaktorkan melalui [grup kuosiennya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-quotient) ([Teorema 1.3](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-firstiso)). ∎

## 5.3 Tabel karakter

**Definisi 5.14.**

Yang disebut *tabel karakter* dari $G$ adalah matriks $r \times r$ $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$: barisnya diindeks oleh [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep), kolomnya oleh [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) (dengan ukurannya ditampilkan). Barisnya ortonormal terhadap hasil kali berbobot itu, dan kolomnya ortogonal ([Akibat 5.12](#cor-b3-representations-column)): jadi tabelnya sangat berlebih ditentukan, dan justru itulah yang membuatnya terhitungkan.

**Contoh 5.15 (Tabel S3S_3S3​).**

Kelasnya: $e$ (berukuran 1), transposisi (3), siklus-$3$ (2); jadi ada $r
= 3$ [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep), berderajat $n_i$ dengan $\sum n_i^2 = 6$: yakni $1, 1,
2$. Berderajat $1$: yang trivial $\mathbf 1$ dan tanda $\varepsilon$. Baris terakhirnya menyusul dari ortogonalitas kolom (atau dari $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

$$
\begin{array}{c|ccc}
S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1\\
\chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1
\end{array}
$$

Periksa: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle =
\frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: jadi [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep).

**Contoh 5.16 (Tabel S4S_4S4​).**

Kelasnya: $e$ [1], transposisi [6], transposisi ganda [3], siklus-$3$ [8], siklus-$4$ [6]: jadi lima [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep), dengan $\sum n_i^2 =
24$ dan dua [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; sebab $[S_4 :
D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): derajatnya $1, 1, 2, 3, 3$. Yang berderajat $2$ terangkat dari $S_4/V \cong S_3$ ([Proposisi 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b), dengan $V$ grup Klein); sedangkan yang berderajat $3$: [representasi](#def-b3-representations-rep) baku dan puntirannya oleh $\varepsilon$:

$$
\begin{array}{c|ccccc}
S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] &
(1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\
\chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\
\chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1
\end{array}
$$

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; sedangkan $\chi_2$ menilai tabel $S_3$ pada peta setiap kelasnya modulo $V$.) Semua pemeriksaan ortogonalitas baris dan kolomnya lulus — menjalankan dua di antaranya adalah pemanasan [Latihan 5.3](#exo-b3-representations-3).

**Metode 5.17.**

Untuk membangun [tabel karakter](#def-b3-representations-table): (1) daftarkan [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) beserta ukurannya; (2) cacahlah [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ lewat $G/D(G)$ lalu tuliskan; (3) carilah derajat sisanya dari $\sum n_i^2 = \abs G$ (lewat kombinatorika bilangan bulat kecil); (4) perolehlah [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang murah: angkat dari [grup kuosiennya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-quotient), kurangkan $\mathbf 1$ dari [karakter](#def-b3-representations-character) permutasinya (periksa $\langle\chi,\chi\rangle = 1$), kalikan [karakter](#def-b3-representations-character) yang sudah dikenal dengan yang berderajat $1$; (5) tuntaskan baris yang belum diketahui lewat ortogonalitas kolom — sebab setiap kolom ortogonal terhadap kolom yang sudah lengkap, dan kolom $e$ membawa derajatnya. Periksalah semuanya dengan sapuan ortogonalitas yang penuh.

![Representasi reguler S_3, setelah didiagonalkan atas blok: ℂ(S_3) ℂ × ℂ × M_2(ℂ), dengan dimensi 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. Secara umum ℂ(G) _i M_n_i(ℂ): jadi identitas n_i2 = G merupakan pernyataan tentang blok matriks.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-representations/fig-7b5373eb2027.svg)

*[Representasi reguler](#ex-b3-representations-examples) $S_3$, setelah didiagonalkan atas blok: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$, dengan dimensi $1 + 1 +
4 = 6 = \abs{S_3}$. Secara umum $\C[G] \cong \prod_i
M_{n_i}(\C)$: jadi identitas $\sum n_i^2 = \abs G$ merupakan pernyataan tentang blok matriks.*

## 5.4 Latihan

**Latihan 5.1 ★.**

(a) Tunjukkan bahwa [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) dari $\Z/n\Z$ adalah $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$, $k = 0, \dots, n-1$, lalu tuliskan [tabel karakter](#def-b3-representations-table) $\Z/4\Z$. (b) Periksalah kedua relasi ortogonalitasnya pada tabel itu — lalu kenalilah matriksnya: di manakah buku ini pernah menjumpainya?

**Solusi Latihan 5.1.**

(a) Grup $\Z/n\Z$ abelian: jadi semua [representasi tak tereduksinya](#def-b3-representations-rep) berderajat $1$ ([Proposisi 5.13](#prop-b3-representations-onedim)), yakni berupa morfisma $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$, yang ditentukan oleh $\chi(\bar 1)
= \omega$ dengan $\omega^n = 1$: jadi ada $n$ [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_k(\bar
m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$. Untuk $n = 4$ (kelasnya $=$ unsurnya $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$):

$$
\begin{array}{c|cccc}
& \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\
\hline
\chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu
\end{array}
$$

(b) Barisnya: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m
\eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (lewat jumlah geometri); dan kolomnya serupa. Matriks $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ adalah matriks *transformasi Fourier diskret* — yakni penyaring akar satuan yang sama seperti pada bab fungsi pembangkit di jilid Tahun ke-2; jadi [ortogonalitas karakter](#thm-b3-representations-orthogonality) menyamaratakan rumus inversi transformasi Fourier diskret itu.

**Latihan 5.2 ★.**

Misalkan $G$ beraksi pada himpunan berhingga $X$ dan $\chi$ [karakter](#def-b3-representations-character) [representasi](#def-b3-representations-rep) permutasi $\C^X$. (a) Tunjukkan $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ dan $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{orbit}\}$ — jadi lema pencacahan Burnside ([Latihan 1.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-5)) merupakan perhitungan [karakter](#def-b3-representations-character). (b) Andaikan aksinya transitif, sehingga $\chi = \mathbf 1 +
\psi$. Tunjukkan bahwa $\psi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) jika dan hanya jika aksinya *$2$-transitif* (yakni transitif pada pasangan terurut titik yang berbeda). *(Hitunglah $\langle\chi,\chi\rangle$ sebagai banyaknya [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) pada $X \times X$.)* (c) Simpulkan bahwa [representasi](#def-b3-representations-rep) baku $S_n$ (untuk $n \geq
2$) bersifat [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep).

**Solusi Latihan 5.2.**

(a) Matriks $\rho(g)$ dalam basis $(e_x)$ berupa matriks permutasi, yang tracenya sama dengan banyaknya $x$ dengan $g\cdot x =
x$. Maka

$$
\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g
\abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{orbit}\}
$$

menurut lema pencacahan Burnside ([Latihan 1.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-5)) — setara dengan itu, perhitungan ini memberikan multiplisitas [representasi](#def-b3-representations-rep) trivialnya, yang ruang isotipiknya adalah ruang vektor invarian-$G$, berdimensi sama dengan banyaknya [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) (satu fungsi indikator per [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action)).

(b) Karena $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) =
\operatorname{Fix}_X(g)^2$, bagian (a) yang diterapkan pada $X \times X$ memberikan $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs
G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{orbit pada }
X\times X\}$ (sebab $\chi$ real). Dengan menulis $\chi = \mathbf 1 +
\psi$: $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (karena transitif), sehingga $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$. Aksi pada $X\times X$ mempunyai diagonalnya sebagai satu [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action); dan tepat ada satu [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) lain jika dan hanya jika $G$ transitif pada pasangan yang berbeda: jadi $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ jika dan hanya jika aksinya $2$-transitif ([Akibat 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)).

(c) Grup $S_n$ bersifat $2$-transitif pada $\{1,\dots,n\}$ (sebab ia mengirim sembarang pasangan berbeda ke mana pun): jadi $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep).

**Latihan 5.3 ★.**

Bangun ulang tabel $S_3$ dari nol dengan mengikuti [Metode 5.17](#met-b3-representations-table), lalu periksalah dua relasi ortogonalitas baris dan dua relasi ortogonalitas kolom pada tabel $S_4$ di [Contoh 5.16](#ex-b3-representations-s4). Uraikan [karakter](#def-b3-representations-character) permutasi $S_4$ yang beraksi pada $\{1,2,3,4\}$ dan [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (kuadrat titik demi titik) atas semua [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep).

**Solusi Latihan 5.3.**

$S_3$: ada tiga kelas dengan $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$; kedua [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ adalah $\mathbf 1, \varepsilon$ (sebab $[S_3 :
A_3] = 2$); sedangkan baris ketiganya $(2, a, b)$ menyusul dari ortogonalitas kolom dengan kolom-$e$: $1 - 1 + 2a = 0$ dan $1 + 1 +
2b = 0$: jadi $a = 0$, $b = -1$ — persis tabel [Contoh 5.15](#ex-b3-representations-s3).

Pemeriksaan $S_4$ (barisnya): $\langle\chi_{\mathrm{std}},
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0
- 6) = 0$; dan $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12
+ 8 + 0) = 1$. Kolomnya: $e$ terhadap $(1\,2)$: $1 - 1 + 0 + 3 - 3
= 0$; lalu $(1\,2)$ terhadap dirinya sendiri: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 =
\abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$.

[Karakter](#def-b3-representations-character) permutasi pada $4$ titik: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf
1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (lewat cacahan titik tetap; kurangkan baris teratasnya). Untuk $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$:

$$
\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} =
1,\quad
\langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad
\langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad
\langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad
\langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:
$$

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 +
\chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensinya: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$).

**Latihan 5.4 ★★.**

Hitunglah [tabel karakter](#def-b3-representations-table) $D_4$ dan $Q_8$. Simpulkan bahwa dua grup yang tak isomorfik dapat mempunyai [tabel karakter](#def-b3-representations-table) yang identik — data teori grup apa yang meski demikian masih ditangkap tabel itu pada pasangan ini (orde pusatnya, abelianisasinya, banyaknya involusinya)? Manakah di antaranya yang *gagal* ditangkap?

**Solusi Latihan 5.4.**

Kedua grup itu mempunyai lima kelas dan pola derajat $(1,1,1,1,2)$ (empat [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ dari abelianisasinya yang $\cong (\Z/2\Z)^2$, lalu $\sum n_i^2 = 8$). Dengan mengurutkan kelasnya $e$, $z$ (yaitu involusi pusatnya: $r^2$, atau $-1$), dan ketiga kelas beranggota dua:

$$
\begin{array}{c|ccccc}
& e & z & C_1 & C_2 & C_3\\
\hline
\chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\
\chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
\chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$

(baris terakhirnya dari ortogonalitas kolom). Tabelnya identik untuk $D_4$ dan $Q_8$, padahal keduanya tak isomorfik ([Soal 1.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#pb-b3-groups-1)). Tabel itu *memang* menangkap: $\abs
G$, ukuran kelasnya, pusatnya ($\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\
\forall i\}$: berorde $2$ pada keduanya), abelianisasinya, dan seluruh kisi [subgrup normalnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) (lewat kernel dan irisannya, [Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)). Ia gagal menangkap orde unsurnya: $D_4$ mempunyai lima involusi, sedangkan $Q_8$ satu — jadi tipe isomorfismanya sungguh lebih halus daripada [tabel karakternya](#def-b3-representations-table).

**Latihan 5.5 ★★.**

[Tabel karakter](#def-b3-representations-table) $A_4$: kelasnya $e$ [1], transposisi ganda [3], dan *dua* kelas siklus-$3$ [4], [4]. (a) Jelaskan terpecahnya siklus-$3$ itu (bandingkan [sentralisatornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) di $S_4$ dan di $A_4$, seperti pada [Latihan 1.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-11)). (b) Carilah ketiga [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ (lewat $A_4/V \cong
\Z/3\Z$) dan [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $3$ (dengan membatasi $\chi_{\mathrm{std}}$ dari $S_4$), lalu susunlah tabelnya. (c) Bacalah [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) $A_4$ dari tabel itu (lewat kernel $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ dan irisannya).

**Solusi Latihan 5.5.**

(a) Di $S_4$, [sentralisator](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $(1\,2\,3)$ berorde $24/8 =
3$: yakni $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$. Jadi $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ berorde $3$ dan kelas-$A_4$ itu beranggota $12/3
= 4$ unsur: sehingga kedelapan siklus-$3$ terpecah menjadi dua kelas-$A_4$ (yang diwakili $(1\,2\,3)$ dan inversnya).

(b) Faktor $A_4/V \cong \Z/3\Z$ memberikan tiga [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ (dengan $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$; kelas siklus-$3$ terpetakan ke $\bar1, \bar2$); sedangkan pembatasan $\chi_{\mathrm{std}}$ tetap [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) ($\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3
\cdot 1 + 0 + 0) = 1$):

$$
\begin{array}{c|cccc}
A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] &
(1\,3\,2)\,[4]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\
\chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\
\chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0
\end{array}
$$

(c) Kernelnya: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$; dan $\ker\chi_3 = \{e\}$ (sebab tak ada entri lain bermodulus $3$). [Subgrup normalnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) berupa irisan kernelnya ([Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)): yakni $\{e\}$, $V$, $A_4$ — khususnya $A_4$ tak punya [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) berorde $2$ atau berindeks $2$.

**Latihan 5.6 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ merupakan kernel [representasi](#def-b3-representations-rep) yang mendasarinya ([Proposisi 5.6](#prop-b3-representations-charbasics), pada kasus kesamaannya). (b) Tunjukkan bahwa setiap [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) $G$ merupakan irisan kernel [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep). *(Representasikan $G/N$ secara setia: pakai [representasi regulernya](#ex-b3-representations-examples).)* (c) Simpulkan: $G$ sederhana jika dan hanya jika $\ker\chi_i = \{e\}$ untuk setiap $\chi_i$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang tak trivial — jadi kesederhanaan terbaca dari [tabel karakternya](#def-b3-representations-table).

**Solusi Latihan 5.6.**

(a) Jika $\chi(g) = \chi(e) = n$: maka kesamaan pada $\abs{\chi(g)} \leq n$ memaksa $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ ([Proposisi 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)) dengan $n\lambda = n$: sehingga $\rho(g) = \mathrm{id}$. Kebalikannya jelas.

(b) Misalkan $N \trianglelefteq G$. [Representasi reguler](#ex-b3-representations-examples) $G/N$ bersifat setia; uraikan ia atas [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $G/N$ lalu angkat ke $G$ ([Proposisi 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b)): diperoleh [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $\chi_{i_1}, \dots$ dari $G$ yang kernelnya memuat $N$ dan yang kernel *persekutuannya* tepat berupa prapeta $\{e\}$, yakni $N$ (karena kesetiaan pada [grup kuosiennya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-quotient)). Jadi $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$.

(c) Jika $G$ sederhana: untuk sebuah $\chi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang tak trivial, $\ker\chi \trianglelefteq G$ bukanlah $G$ (sebab [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang trivial pada seluruh $G$ adalah [karakter](#def-b3-representations-character) trivialnya), sehingga $\ker\chi = \{e\}$. Sebaliknya, andaikan semua kernel tak trivial itu trivial, dan misalkan $N \trianglelefteq G$ dengan $N \neq
G$. Pada ungkapan $N$ di (b) sebagai irisan kernel, ada [karakter](#def-b3-representations-character) yang terlibat dan tak trivial (sebab kalau semuanya trivial, irisannya akan $G$), dan kernelnya $\{e\}$: jadi $N =
\{e\}$. Jadi satu-satunya [subgrup normalnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) adalah $\{e\}$ dan $G$.

**Latihan 5.7 ★★.**

Derajat untuk $\abs G = 8$: tunjukkan bahwa grup tak abelian berorde $8$ berpola derajat $(1,1,1,1,2)$, dan bahwa [representasinya](#def-b3-representations-rep) yang berderajat $2$ bersifat setia. Secara lebih umum tunjukkan bahwa grup tak abelian berorde $p^3$ berpola $(1^{\,p^2},
p, \dots, p)$ dengan $p^2$ angka satu dan $p - 1$ [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $p$. *(Pakailah $[G : D(G)]$ dan $\sum n_i^2 = \abs G$; di sini $D(G) = Z(G)$ berorde $p$.)*

**Solusi Latihan 5.7.**

Untuk orde $8$ yang tak abelian: banyaknya [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ adalah $[G : D(G)]$, yaitu pembagi sejati $8$ (sebab tak abelian: $D(G) \neq
\{e\}$), dan $\sum n_i^2 = 8$. Dengan $k$ buah angka satu dan sisa derajatnya $\geq 2$: $8 - k \equiv 0$ dengan kuadrat $\geq 4$, dan $k
\mid 8$, $k < 8$. Untuk $k = 4$: satu derajat $2$ — konsisten. Untuk $k =
2$: tersisa $6$, yang bukan jumlah kuadrat $\geq 4$. Untuk $k = 1$: mustahil, sebab $k = [G : D(G)] \geq 2$ — karena $G/D(G)$ merupakan grup-$2$ abelian yang tak trivial, sebab $G$ grup-$2$ dengan $D(G) \neq G$ menurut [keterselesaian](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) grup-$p$ ([Contoh 1.30](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-solvableexamples)). Jadi polanya $(1,1,1,1,2)$. Kesetiaan $\chi_5$: keempat [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ semuanya memuat $D(G)$ di dalam kernelnya; seandainya $\ker\chi_5
\supseteq N \neq \{e\}$ untuk suatu $N$ normal minimal (entah $N
\subseteq D(G)$ entah tidak — ambil $N \subseteq \ker\chi_5$ yang tak trivial), maka $N$ akan terletak di kelima kernelnya, yang irisannya trivial (sebab [representasi regulernya](#ex-b3-representations-examples) setia): kontradiksi. Untuk orde $p^3$ yang tak abelian: $Z(G)$ berorde $p$ (sebab orde $p^2$ akan membuat $G/Z$ siklik, sehingga $G$ abelian), $G/Z(G)$ yang berorde $p^2$ bersifat abelian, sehingga $D(G) \subseteq Z(G)$, dan $D(G) \ne \{e\}$: jadi $D(G) = Z(G)$, sehingga ada $p^2$ [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$. Derajat sisanya memenuhi $\sum n_i^2 = p^3 -
p^2$ dengan setiap $n_i > 1$ membagi $\abs G$ ([Soal 5.1](#pb-b3-representations-1), pertanyaan 8) sehingga $n_i \in
\{p\}$ (sebab $n_i = p^2$ akan melampaui: $p^4 > p^3 - p^2$): jadi tepat ada $p
- 1$ [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $p$.

**Latihan 5.8 ★★★.**

Untuk grup berhingga $G, H$: tunjukkan bahwa [fungsi kelas](#def-b3-representations-character) $\chi(g)\psi(h)$ pada $G \times H$, untuk $\chi, \psi$ berupa [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) dari $G, H$, tepat merupakan [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $G \times H$. *(Keortonormalannya berupa perhitungan langsung; kelengkapannya lewat pencacahan kelas.)* Simpulkan [tabel karakter](#def-b3-representations-table) $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ lalu turunkan kembali [Proposisi 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(a) untuk grup abelian berhingga lewat teorema struktur.

**Solusi Latihan 5.8.**

Untuk [representasi](#def-b3-representations-rep) $\rho, \sigma$ dari $G, H$ pada $V, W$, definisikan [representasi](#def-b3-representations-rep) $\rho \boxtimes \sigma$ dari $G \times H$ pada $V \otimes W$ — secara konkret, pada matriksnya: $(\rho\boxtimes
\sigma)(g,h)$ adalah hasil kali Kronecker $\rho(g)\otimes
\sigma(h)$, yang tracenya $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) =
\chi(g)\psi(h)$ (sebab hasil kali Kronecker matriks $A \otimes B$ bertrace $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$: diagonalnya berupa $a_{kk}b_{ll}$). Jadi $\chi\psi$ merupakan [karakter](#def-b3-representations-character), dan

$$
\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H}
= \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h}
\overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h)
= \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H
= \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.
$$

Khususnya $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$: sehingga setiap $\chi\psi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) ([Akibat 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)). Inilah $r_Gr_H$ [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang berbeda; sedangkan kelas $G\times H$ berupa hasil kali kelasnya (sebab $(g,h) \sim (g',h')$ komponen demi komponen), sehingga ada $r_Gr_H$ kelas: jadi daftarnya lengkap ([Teorema 5.11](#thm-b3-representations-numberirr)). Untuk $(\Z/2\Z)^2$: keempat [karakter](#def-b3-representations-character) tandanya $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — yakni blok kiri atas tabel [Latihan 5.4](#exo-b3-representations-4). Grup abelian berhingga merupakan hasil kali grup siklik ([Akibat 3.13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#cor-b3-modules-abelian)); [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksinya](#def-b3-representations-rep) berupa hasil kali [karakter](#def-b3-representations-character) sikliknya ([Latihan 5.1](#exo-b3-representations-1)): jadi semuanya berderajat $1$.

**Latihan 5.9 ★★★.**

[Tabel karakter](#def-b3-representations-table) $A_5$ (dengan kelas berukuran $1, 15, 20, 12,
12$ dari [Latihan 1.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-11)): (a) Tunjukkan bahwa derajatnya $1, 3, 3, 4, 5$ *(satu-satunya penyelesaian $\sum n_i^2 = 60$ dengan $n_1 = 1$ dan, memakai [Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)(c) beserta kesederhanaannya, tanpa $n_i = 1$ yang lain)*. (b) Bangunlah [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $4$ (lewat aksi permutasi pada $5$ titik) dan [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $5$ (aksi pada keenam subgrup Sylow-$5$ memberikan derajat $6 = 1 + 5$; periksa ketaktereduksiannya), lalu lengkapi kedua baris berderajat $3$ lewat ortogonalitas kolom: entri rasio emas $\frac{1\pm\sqrt5}2$ akan muncul pada kelas siklus-$5$. (c) Periksalah dari tabel yang sudah jadi bahwa $A_5$ sederhana ([Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)).

**Solusi Latihan 5.9.**

(a) Berlaku $D(A_5) = A_5$ (sebab sederhana dan tak abelian), sehingga satu-satunya [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $1$ adalah $\mathbf 1$ ([Proposisi 5.13](#prop-b3-representations-onedim)). Kita memerlukan $n_2^2 + n_3^2
+ n_4^2 + n_5^2 = 59$ dengan setiap $n_i \geq 2$; dengan menguji kuadrat $4, 9, 16, 25, 36, 49$: satu-satunya multihimpunan yang berhasil adalah $\{9, 9, 16, 25\}$: sebab dengan kuadrat terbesar $49$, sisanya $10$ bukan jumlah tiga kuadrat $\geq 4$; dengan $36$, sisanya $23$ juga bukan ($16 + 4 + 4 = 24$, $9 + 9 + 4 = 22$); dengan terbesar $25$, mudah diperiksa bahwa $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ berhasil sedangkan semua ragam $25 +
25$, $25 + 16 + 16$, $25 + 16 + 4$ gagal; dan dengan terbesar $16$: $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$. Jadi derajatnya $1, 3, 3, 4, 5$.

(b) Permutasi pada $5$ titik: titik tetapnya $(5, 1, 2, 0, 0)$, sehingga $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ dengan $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60}
= 1$: jadi [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep). Aksi pada keenam subgrup Sylow-$5$: sebuah involusi menetapkan tepat $2$ di antaranya (sebab [normalisatornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) dihedral berorde $10$, yang masing-masing memuat $5$ involusi: jadi $30$ insidensi untuk $15$ involusi), unsur berorde $3$ menetapkan $0$ (sebab tak ada orde $3$ di $D_5$), dan unsur berorde $5$ menetapkan tepat $1$ (sebab ia terletak pada satu Sylow saja): jadi [karakter](#def-b3-representations-character) permutasinya $(6, 2, 0, 1, 1)$, dan $\chi_5 =
(5, 1, -1, 0, 0)$ dengan norma $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} =
1$: jadi [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep). Tersisa dua baris $(3, a, b, c, d)$, $(3, a', b', c',
d')$. Norma kolomnya ([Akibat 5.12](#cor-b3-representations-column)): pada kelas $(1\,2)(3\,4)$ berlaku $\abs{Z} = 4$: $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$; kolomnya terhadap $e$: $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') =
0$: sehingga $a + a' = -2$, $a^2 + a'^2 = 2$: jadi $a = a' = -1$. Pada siklus-$3$ berlaku $\abs Z = 3$: $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$: jadi $b = b'
= 0$. Pada setiap kelas-$5$ berlaku $\abs Z = 5$: kolomnya terhadap $e$ terbaca $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$, sehingga $c + c' = 1$; dan $c^2 + c'^2 = 3$: jadi $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2,
\frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — rasio emas dan sekawannya; sedangkan kelas-$5$ kedua membawa nilai yang tertukar (sebab kedua barisnya harus ortogonal).

(c) Pada tabel yang sudah jadi, tak ada entri baris tak trivial yang sama dengan derajatnya di luar kolom pertama: jadi setiap kernel $\{g :
\chi_i(g) = n_i\}$ bersifat trivial. Menurut [Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)(c), $A_5$ sederhana.

**Latihan 5.10 ★★.**

Misalkan $\rho$ [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $n$ dan $z
\in Z(G)$. Tunjukkan $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ dengan $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ sebuah morfisma (yaitu *[karakter](#def-b3-representations-character) pusat*), lalu simpulkan $\abs{\chi(z)} = n$ untuk $z$ yang berada di pusat. Terapannya: jika $G$ mempunyai [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang setia, maka $Z(G)$ bersifat siklik.

**Solusi Latihan 5.10.**

Pemetaan $\rho(z)$ komutatif dengan setiap $\rho(g)$ (sebab $z$ di pusat), yakni $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (menurut Schur): jadi $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$, dan $z \mapsto \lambda_z$ bersifat multiplikatif: yakni morfisma $Z(G) \to \C^\times$. Lalu $\chi(z) = n\lambda_z$ dengan $\abs{\lambda_z} = 1$ (karena akar satuan): sehingga $\abs{\chi(z)} = n$. Jika $\rho$ setia, maka $\lambda$ injektif pada $Z(G)$ (sebab $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z =
1$), sehingga $Z(G)$ terbenam di $\C^\times$; dan subgrup berhingga dari grup multiplikatif sebuah lapangan bersifat siklik ([Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-cyclic)).

**Latihan 5.11 ★★.**

(Proyeksi isotipik) Misalkan $(V, \rho)$ sebuah [representasi](#def-b3-representations-rep) $G$ dan $\chi_i$ [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $n_i$. Definisikan

$$
p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G}
\overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).
$$

(a) Tunjukkan bahwa $p_i$ bersifat ekuivarian-$G$, lalu hitunglah pembatasannya pada subrepresentasi [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $W \subseteq
V$ yang berkarakter $\chi_j$: hasilnya $\delta_{ij}\,
\mathrm{id}_W$ *(lewat Schur; ambillah trace untuk mengenali skalarnya)*. (b) Simpulkan bahwa $p_i$ merupakan proyeksi pada jumlah $V_i$ dari semua subrepresentasi [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berkarakter $\chi_i$ (yaitu *komponen isotipiknya*), bahwa $\sum_ip_i =
\mathrm{id}_V$, dan bahwa penguraian $V =
\bigoplus_iV_i$ bersifat kanonik — tidak seperti pemecahan yang lebih halus dari setiap $V_i$ atas [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep). (c) Untuk [representasi reguler](#ex-b3-representations-examples) $S_3$ dan [karakter](#def-b3-representations-character) tanda $\varepsilon$, tuliskan $p_\varepsilon$ secara eksplisit sebagai [unsur aljabar](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-algebraic) grupnya lalu periksalah $p_\varepsilon^2
= p_\varepsilon$ dengan tangan.

**Solusi Latihan 5.11.**

(a) Keekuivarianannya: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ mengindeks ulang jumlahnya (lewat $g \mapsto hgh^{-1}$, dan $\chi_i$ merupakan [fungsi kelas](#def-b3-representations-character)): jadi $p_i$ komutatif dengan aksinya. Pada $W$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang berkarakter $\chi_j$, Schur membuat pembatasannya menjadi skalar $\lambda\,\mathrm{id}_W$; dengan mengambil tracenya,

$$
\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g
\overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i,
\chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}
$$

(lewat ortogonalitas pertama): jadi $\lambda = \delta_{ij}$.

(b) Uraikan $V$ atas [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) (lewat Maschke): $p_i$ bekerja sebagai identitas pada suku yang berkarakter $\chi_i$ dan sebagai $0$ pada semua suku lain, sehingga $p_i$ merupakan proyeksi pada jumlahnya $V_i$ sepanjang jumlah sisanya; sedangkan peta $V_i$ tidak bergantung pada penguraian yang dipilih (sebab ia himpunan vektor yang ditetapkan $p_i$, terdefinisi tanpa pemilihan apa pun). Jumlah $\sum_ip_i$ bekerja sebagai identitas pada setiap suku [tak tereduksinya](#def-b3-representations-rep): jadi ia $\mathrm{id}_V$. Sedangkan pemecahan yang lebih halus atas $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ menuntut pemilihan basis $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$: jadi ia tidak kanonik.

(c) Untuk $\varepsilon$ (berderajat $1$): $p_\varepsilon =
\frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$, yakni di dalam aljabar grupnya

$$
p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3)
+ (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .
$$

Dengan mengkuadratkannya: koefisien $g$ pada $p_\varepsilon^2$ adalah $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) =
\frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 =
\frac{6}{36}\varepsilon(g)$: jadi $p_\varepsilon^2 =
p_\varepsilon$. (Petanya di dalam [representasi reguler](#ex-b3-representations-examples) berupa garis yang direntang $\sum_g\varepsilon(g)e_g$: jadi [representasi](#def-b3-representations-rep) tanda muncul dengan multiplisitas $1$, seperti dituntut teori umumnya.)

**Latihan 5.12 ★★.**

(Membaca sebuah tabel) [Tabel karakter](#def-b3-representations-table) suatu grup $G$ berorde $24$ diketahui sebagian: ia mempunyai $5$ kelas berukuran $1, 6, 8, 6, 3$, dan derajat $1, 1, 2, 3, 3$. (a) Pulihkan tabel selengkapnya: kedua [karakter](#def-b3-representations-character) linearnya (satu trivial; yang lain bernilai $-1$ tepat pada kelas berukuran $6$ dan $6$), lalu [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $2$ lewat ortogonalitas kolom dengan kolom identitasnya, lalu kedua [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $3$ dengan cara serupa (salah satunya $\chi_2\chi_4$). (b) Kenali $G$ (yaitu $\cong S_4$: bandingkan kelasnya dengan tipe siklusnya), lalu ambillah dari tabel itu [subgrup normalnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) lewat [Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6): yakni kernel $\chi_2$ (berindeks $2$: $A_4$) dan kernel $\chi_3$ (grup Klein $V_4$), dan tak ada lagi selain $\{e\}, G$. (c) Jelaskan bagaimana tabel itu menunjukkan $G/V_4 \cong S_3$ *([karakter](#def-b3-representations-character) mana yang terfaktorkan melalui [grup kuosiennya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-quotient)?)*.

**Solusi Latihan 5.12.**

(a) Urutkan kelasnya $e$ [1], transposisi [6], siklus-$3$ [8], siklus-$4$ [6], transposisi ganda [3]. [Karakter](#def-b3-representations-character) linear keduanya adalah $\chi_2 = \varepsilon$ dengan nilai $1, -1, 1, -1, 1$. Untuk [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $2$, yakni $\chi_3$, ortogonalitas kolom antara setiap kolom dengan kolom identitasnya ($\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ untuk $g \neq e$) memberikan, pada transposisi: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 +
\chi_5) = 0$; lalu muslihat tanda $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (sebab [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $3$ dikalikan [karakter](#def-b3-representations-character) linear tetap [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) — normanya sama) membuat $\chi_4 + \chi_5$ lenyap pada kelas ganjil: jadi $\chi_3 = 0$ di sana. Pada siklus-$3$: $1 + 1 +
2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ dengan $\chi_5 = \chi_4$ pada kelas genap; sedangkan kolom $c_3$ dengan dirinya sendiri memberikan data $\abs{\chi_3}^2$; dengan menyelesaikan sistem kecilnya (pakai pula ortogonalitas baris $\chi_3$ dengan $\mathbf 1$ dan $\varepsilon$): diperoleh $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$, lalu $\chi_4 =
(3, 1, 0, -1, -1)$ dan $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1,
0, 1, -1)$. Tabel selengkapnya:

|  | $e$ | $6\,t$ | $8\,c_3$ | $6\,c_4$ | $3\,v$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ |
| $\chi_3$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $2$ |
| $\chi_4$ | $3$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $-1$ |

(Semua barisnya bernorma $1$; semua kolomnya ortogonal: jadi pemeriksaannya lulus.)

(b) Data kelas $1, 6, 8, 6, 3$ dengan derajat tersebut adalah data milik $S_4$ (dengan tipe siklus $e$, $2$, $3$, $4$, $2{+}2$). Kernelnya: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (kelas $e, c_3, v$: $1 + 8 + 3 = 12$, berindeks $2$); dan $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = kelas $e, v$: yakni grup Klein $V_4$, berorde $4$ dan normal. Sedangkan $\chi_4, \chi_5$ bersifat setia (sebab $\chi_i(g) = n_i$ hanya di $e$). Irisan kernelnya: $\{e\}$, $V_4$, $A_4$, $G$ — dan menurut [Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)(b) itulah *semua* [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) $S_4$.

(c) [Karakter](#def-b3-representations-character) dengan $V_4 \subseteq \ker$ adalah $\chi_1,
\chi_2, \chi_3$: ketiganya terfaktorkan melalui $G/V_4$, yaitu grup berorde $6$ yang berderajat [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $1, 1, 2$ — persis tabel $S_3$. Karena tabel [grup kuosiennya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-quotient) *merupakan* invarian lengkap di antara kedua grup berorde $6$ (sebab $\Z/6\Z$ akan mempunyai enam [karakter](#def-b3-representations-character) linear), maka $G/V_4 \cong
S_3$: jadi [grup kuosiennya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-quotient) terlihat di dalam tabel itu sebagai blok baris yang memuat $V_4$ di dalam kernelnya.

## 5.5 Soal: teorema $p^aq^b$ Burnside

**Soal 5.1.**

Soal akhir pekan — keterselesaian grup berorde $p^aq^b$

Burnside membuktikan pada 1904 bahwa setiap grup yang ordenya berfaktor prima paling banyak dua bersifat [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) — sebuah pernyataan tentang grup abstrak yang selama setengah abad hanya diketahui buktinya lewat teori [karakter](#def-b3-representations-character). Soal ini membangun buktinya secara penuh, dengan merakit [Bab 1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ch-b3-groups) ([keterselesaian](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived)), [Bab 3](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#ch-b3-modules) (modul-$\Z$ yang [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free)) dan bab ini. Sepanjang soal, $\chi_1, \dots, \chi_r$ adalah [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $G$, dan $n_i = \chi_i(e)$.

**Bagian I — Bilangan bulat aljabar.** Sebuah *bilangan bulat aljabar* adalah akar sebuah polinomial *monik* di $\Z[X]$.

1. Tunjukkan bahwa $\alpha$ merupakan bilangan bulat aljabar jika dan hanya jika ring $\Z[\alpha]$ merupakan modul- $\Z$ yang [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free) .
2. Simpulkan bahwa bilangan bulat aljabar membentuk subring $\C$ . *(Jika $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free), maka demikian pula $\Z[\alpha, \beta]$, dan submodul dari modul-$\Z$ yang [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free) juga [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free), menurut [Teorema 3.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#thm-b3-modules-submodule) beserta argumen penyajian — atau secara langsung: submodul $\Z^n$ bersifat bebas berrank $\leq n$.)*
3. Tunjukkan bahwa bilangan bulat aljabar yang *rasional* pastilah bilangan bulat. *(Lewat teorema akar rasional.)*
4. Tunjukkan bahwa setiap nilai [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi(g)$ merupakan bilangan bulat aljabar.

**Bagian II — Relasi jumlah kelas.** Tetapkan sebuah [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ berderajat $n$ dan berkarakter $\chi$. Untuk sebuah [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $C$, misalkan $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in
\mathcal L(V)$.

5. Tunjukkan bahwa $S_C$ bersifat ekuivarian, sehingga $S_C =  \omega_C\,\mathrm{id}$ dengan $$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}  \qquad (g_C \in C \text{ sembarang wakilnya}).$$
6. Tunjukkan bahwa $S_CS_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,S_{C''}$ dengan $a_{CC'C''} \in \N$ mencacah, untuk $z \in C''$ yang tetap, pasangan $(x, y) \in C \times  C'$ dengan $xy = z$ . Simpulkan bahwa $\omega_C$ memenuhi $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
7. Simpulkan bahwa setiap $\omega_C$ merupakan bilangan bulat aljabar. *(Modul-$\Z$ yang dibangun oleh $1$ dan $\omega_C$ merupakan ring yang [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free); terapkan kriteria pertanyaan 1 — lebih tepatnya tunjukkan bahwa $M = \Z\text{-rentang}  (1, (\omega_C)_C)$ memenuhi $\omega_{C_0} M \subseteq  M$ lalu pakailah muslihat determinan/Cayley–Hamilton, atau argumen subring pada pertanyaan 2.)*
8. Simpulkan *keterbagian [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-finitefields)* : bahwa $n_i$ membagi $\abs G$ untuk setiap derajat [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) . *(Hitunglah $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}  \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\,  \overline{\chi(g_C)}$: sebuah bilangan bulat aljabar yang rasional.)*

**Bagian III — Kriteria kesederhanaan Burnside.**

9. Misalkan $\chi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $n$ dan $C$ sebuah kelas dengan $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Dengan memakai Bézout dan pertanyaan 4–7, tunjukkan bahwa $\frac{\chi(g_C)}{n}$ merupakan bilangan bulat aljabar.
10. Andaikan lebih lanjut $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Tunjukkan bahwa ini mustahil: bilangan bulat aljabar $\alpha =  \chi(g_C)/n$ mempunyai seluruh *konjugatnya* — yakni bilangan $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ untuk $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ , yang masing-masing rata-rata $n$ akar satuan — bermodulus $\leq 1$ , sehingga hasil kali $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ menjadi bilangan bulat aljabar rasional dengan $0 < \abs N < 1$ — berilah alasan bagi setiap pernyataan itu, sambil mengutip [Teorema 4.23](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-cyclotomicirred) untuk grup Galoisnya dan kenyataan bahwa $\sigma$ mempermutasikan akar satuan. Simpulkan: entah $\chi(g_C) = 0$ entah $\rho(g_C)$ berupa skalar ( [Proposisi 5.6](#prop-b3-representations-charbasics) ).
11. (Kriteria Burnside) Misalkan $C \neq \{e\}$ sebuah [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) yang berukuran *pangkat prima* $p^k > 1$ , dan andaikan $G$ sederhana serta tak abelian. Ortogonalitas kolom pada kolom $C$ terhadap kolom $e$ memberikan $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Tunjukkan bahwa ada $\chi_i$ tak trivial dengan $p \nmid n_i$ yang $\chi_i(g_C) \neq 0$ *(sebab kalau tidak, $\frac1p$ akan menjadi bilangan bulat aljabar)* ; lalu menurut pertanyaan 10, $\rho_i(g_C)$ berupa skalar; turunkanlah kontradiksi dengan kesederhanaannya *(himpunan $g$ dengan $\rho_i(g)$ berupa skalar merupakan [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal); pakailah kesetiaannya dari [Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6))* . Simpulkan: *tak ada [grup sederhana](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-simple) tak abelian yang mempunyai [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) berukuran pangkat prima $> 1$.*

**Bagian IV — Teoremanya.**

12. Misalkan $\abs G = p^aq^b$ dengan $a + b \geq 1$ . Jika $G$ sederhana, tunjukkan bahwa ia abelian: ambil $z \neq e$ di pusat sebuah subgrup Sylow- $q$ ( [Teorema 1.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-pfixed) ) lalu tinjau ukuran [kelas konjugasinya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $[G : Z_G(z)]$ , yang berupa pangkat $p$ (mengapa?); lalu terapkan pertanyaan 11.
13. Simpulkan dengan induksi pada $\abs G$ : *setiap grup berorde $p^aq^b$ bersifat [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived)* (Burnside). Mengapa argumennya runtuh untuk tiga bilangan prima — dan mengapa memang harus runtuh, mengingat $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

**Bagian V — [Tabel karakter](#def-b3-representations-table) $A_5$.** Grup terkecil yang tak tersentuh teorema Burnside layak memperoleh potret lengkapnya; semua yang di bawah hanya memakai bab ini ditambah [Latihan 1.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-11).

14. Ingat kembali dari [Latihan 1.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-11) kelima [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) $A_5$ : $\{e\}$ , $15$ transposisi ganda, $20$ siklus tiga, dan dua kelas berisi $12$ siklus lima masing-masing, yang diwakili $c =  (1\,2\,3\,4\,5)$ dan $c^2$ . Jelaskan mengapa siklus lima itu terpecah menjadi dua kelas- $A_5$ padahal di dalam $S_5$ keduanya membentuk satu kelas saja.
15. Tunjukkan bahwa derajat [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $A_5$ tepat berupa $1, 3, 3, 4, 5$ : pakailah $\sum_in_i^2 = 60$ dengan $r = 5$ kelas, beserta kenyataan bahwa $A_5$ bersifat [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) ( $D(A_5) =  A_5$ ), sehingga [karakter](#def-b3-representations-character) trivial menjadi satu-satunya [karakter](#def-b3-representations-character) linearnya; lalu singkirkan setiap multihimpunan lainnya *(tulislah $59$ sebagai jumlah empat kuadrat bilangan bulat $\geq 2$: periksalah bahwa hal itu terjadi hanya dengan satu cara yang semua sukunya masuk akal sebagai derajat)* .
16. Misalkan $\pi$ [karakter](#def-b3-representations-character) permutasi $A_5$ pada $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , dengan nilai $5, 1, 2, 0, 0$ pada kelima kelasnya. Hitunglah $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ dan $\langle\pi,  \pi\rangle$ , lalu simpulkan bahwa $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $4$ , dengan nilai $4, 0, 1, -1,  -1$ .
17. Permainan yang sama pada $10$ pasangan tak terurut $\{i, j\}$ : di sini cacahan titik tetapnya $10, 2, 1, 0, 0$ . Hitunglah $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10},  \mathbf 1\rangle$ dan $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , simpulkan penguraian $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4  + \chi_5$ , lalu perolehlah $\chi_5$ yang [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $5$ dengan nilai $5, 1, -1, 0, 0$ .
18. Kedua [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) yang tersisa, $\chi_2, \chi_3$ , berderajat $3$ . Ortogonalitas kolom (setiap kolom bukan identitas terhadap kolom identitasnya, dan setiap kolom dengan dirinya sendiri) menentukan nilainya di luar siklus lima: tunjukkan $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ pada transposisi ganda dan $0$ pada siklus tiga.
19. Pada kelas siklus lima, tetapkan $x = \chi_2(c)$ dan $y =  \chi_2(c^2)$; simetrinya memungkinkan kita mengambil $\chi_3(c) = y$, $\chi_3(c^2) = x$. Dari kolom $c$ yang dipasangkan dengan kolom identitas dan dengan kolom $c^2$, turunkanlah $x + y = 1$ dan $xy = -1$ (lalu periksalah nilai $x^2 +  y^2 = 3$ yang diberikan kolom $c$ dengan dirinya sendiri), sehingga $$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 -  \sqrt5}2\Bigr\} :$$ yaitu rasio emas dan sekawannya. Susunlah [tabel karakter](#def-b3-representations-table) $A_5$ selengkapnya.
20. Jalankan pemeriksaannya: norma baris $\chi_2$ bernilai $1$ (pakailah $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2,  \chi_3\rangle = 0$ , dan keterbagian [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-finitefields) (pertanyaan 8) untuk kelima derajatnya. Di bagian mana tabel itu Anda *melihat* perbedaan dengan $S_5$ , yang seluruh nilai [karakternya](#def-b3-representations-character) berupa bilangan bulat rasional?
21. Simpulkan dari tabel itu saja bahwa $A_5$ sederhana: sebuah [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) berupa gabungan [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) yang memuat $e$ dan kardinalitasnya membagi $60$ — periksalah bahwa tak ada subjumlah sejati dari $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ yang memuat suku $1$ dan membagi $60$ . Periksa silang dengan kriteria pertanyaan 11: pastikan bahwa tak ada kelas $A_5$ yang berukuran pangkat prima $> 1$ .
22. (Penutup ikosahedral) Grup $A_5$ adalah grup rotasi ikosahedron, dan [representasi](#def-b3-representations-rep) berderajat $3$ itu merupakan kedua aksi geometrinya pada $\R^3$ . Periksalah identitas tracenya: rotasi sebesar sudut $\theta$ bertrace $1 +  2\cos\theta$ , dan $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 =  \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Jelaskan tanpa perhitungan apa pun mengapa [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $3$ yang lain harus membawa nilai sekawannya: [grup Galois](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-galois) $\Q(\sqrt5)/\Q$ beraksi pada seluruh [tabel karakternya](#def-b3-representations-table) (entri demi entri), sambil mempermutasikan semua [karakter](#def-b3-representations-character) [tak tereduksinya](#def-b3-representations-rep) .

**Bagian VI — Pelengkap: sebuah batas pusat dan kuadrat tensornya.**

23. (Lebih tajam daripada keterbagian) Misalkan $\chi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $n$. Tunjukkan bahwa $\abs{\chi(z)} = n$ untuk setiap $z \in Z(G)$ *(lewat lema Schur: $\rho(z)$ berupa skalar berorde berhingga)*, lalu simpulkan dari $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ batas $$n^2 \leq [G : Z(G)] .$$ Tunjukkan bahwa grup tak abelian berorde $8$ mempunyai derajat [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) $1, 1, 1, 1, 2$ *(ada lima [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions); tulislah $8$ sebagai jumlah lima kuadrat)* dan mencapai kesamaan $4 = [G : Z(G)]$; lalu periksalah batas itu pada $A_5$, yang pusatnya trivial.
24. (Kuadrat tensor $\chi_2$) Untuk $g$ berorde berhingga, $\rho(g)$ dapat didiagonalkan dengan nilai eigen berupa akar satuan; simpulkan rumus [karakternya](#def-b3-representations-character) $$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2,  \qquad  \chi_{\Lambda^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$$ Terapkan rumus itu pada $\chi_2$ dari $A_5$ *(perhatikan bahwa $g^2$ menjelajahi kelas $c^2$ ketika $g$ menjelajahi kelas $c$, dan sebaliknya)*: tunjukkan $\Lambda^2\chi_2 =  \chi_2$ dan $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 +  \chi_5$, sehingga $$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$$ Tafsirkan $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ secara geometri lewat hasil kali silang pada $\R^3$.
25. (Audit akhir atas tabelnya) Periksalah secara numerik: ortogonalitas kolom antara kedua kolom siklus lima (yakni $\varphi\bar\varphi = -1$ ), nilai $5 =  \abs{Z_{A_5}(c)}$ untuk kolom $c$ terhadap dirinya sendiri, dan lenyapnya [karakter](#def-b3-representations-character) reguler $\sum_i  n_i\chi_i(g) = 0$ pada masing-masing dari keempat kolom bukan identitas pada tabel itu.

**Solusi Soal 5.1.**

**1.** Jika $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 =
0$ (dengan $c_i \in \Z$), maka $\alpha^n \in \Z\text{-rentang}(1, \dots,
\alpha^{n-1})$, dan secara induktif setiap pangkatnya demikian: jadi $\Z[\alpha]$ dibangun oleh $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$. Sebaliknya misalkan $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$. Tulis $\alpha g_i =
\sum_j m_{ij}g_j$ dengan $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$: maka vektor $g = (g_i)$ memenuhi $(\alpha I - M)g = 0$; dengan mengalikannya dengan matriks adjugatnya, $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ untuk setiap $i$, dan karena $1 \in \Z[\alpha]$ merupakan kombinasi-$\Z$ dari $g_i$, maka $\det(\alpha I - M) = 0$: jadi $\alpha$ akar polinomial monik $\det(XI - M) \in \Z[X]$.

**2.** Jika $\Z[\alpha]$ direntang oleh pangkat $\alpha$ sampai $n-1$ dan $\Z[\beta]$ oleh pangkat $\beta$ sampai $m - 1$, maka $\Z[\alpha,\beta]$ direntang oleh $nm$ hasil kali $\alpha^i\beta^j$ (reduksikan sembarang monomialnya). Subring $\Z[\alpha + \beta]$ dan $\Z[\alpha\beta]$ merupakan submodul-$\Z$ dari modul-$\Z$ $\Z[\alpha, \beta]$ yang [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free), sehingga keduanya pun [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free) ($\Z[\alpha,\beta]$, yang dibangun oleh $nm$ unsur, merupakan peta $\Z^{nm}$; sebuah submodul tertarik kembali menjadi submodul $\Z^{nm}$, yang bebas berrank $\leq nm$ menurut [Teorema 3.5](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#thm-b3-modules-submodule), dan petanya membangunnya). Menurut pertanyaan 1, $\alpha + \beta$ dan $\alpha\beta$ merupakan bilangan bulat aljabar.

**3.** Jika $\frac pq$ (dalam bentuk paling sederhana) merupakan akar polinomial bulat yang monik berderajat $n$, maka teorema akar rasional (samakan penyebutnya: $p^n = -q(\cdots)$) memberikan $q \mid p^n$, sehingga $q = \pm1$.

**4.** Nilai $\chi(g)$ merupakan jumlah akar satuan ([Proposisi 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)), yang masing-masing bilangan bulat aljabar (sebab akar $X^N - 1$); lalu simpulkan dengan pertanyaan 2.

**5.** Untuk $h \in G$: $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in
C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ (sebab $C$ sebuah kelas). Menurut Schur, $S_C =
\omega_C\,\mathrm{id}$; dan dengan mengambil tracenya, $\abs C\,\chi(g_C) =
\omega_C\, n$.

**6.** $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) =
\sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ dengan $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times
C' : xy = z\}$. Konjugasi dengan $h$ membijeksikan penyelesaian untuk $z$ dengan penyelesaian untuk $hzh^{-1}$: jadi $a$ merupakan [fungsi kelas](#def-b3-representations-character) dengan nilai di $\N$, sehingga $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$. Dengan menyubstitusikan $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ di semua tempat lalu mengenali skalarnya: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$.

**7.** Misalkan $M$ modul-$\Z$ yang direntang oleh $1$ dan semua hasil kali $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$; menurut pertanyaan 6 setiap hasil kali semacam itu tereduksi menjadi kombinasi-$\Z$ dari $1$ dan $\omega_C$: jadi $M$ [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free), dan $\omega_C M
\subseteq M$ untuk setiap $C$. Khususnya $\Z[\omega_C]
\subseteq M$ [dibangun secara berhingga](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/3-modul-atas-daerah-ideal-utama#def-b3-modules-free) (sebagai submodul, seperti pada pertanyaan 2), lalu pertanyaan 1 menjadikan $\omega_C$ bilangan bulat aljabar.

**8.** Untuk sebuah $\chi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $n$:

$$
\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle
= \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)}
= \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)}
= \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .
$$

Setiap $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ merupakan bilangan bulat aljabar (pertanyaan 4), sehingga ruas kanannya pun demikian (pertanyaan 2 dan 7); dan ia rasional, sehingga bilangan bulat (pertanyaan 3): jadi $n \mid \abs
G$.

**9.** Menurut Bézout: $u\abs C + vn = 1$ dengan $u, v \in \Z$. Maka

$$
\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} +
v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),
$$

yang merupakan bilangan bulat aljabar.

**10.** Andaikan $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ lalu misalkan $\alpha
= \chi(g_C)/n$. Semua nilai $\chi(g)$ terletak di $\Q(\zeta_N)$ dengan $N =
\abs G$ (sebab berupa jumlah akar satuan ke-$N$). Untuk $\sigma \in
\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$: $\sigma$ memetakan akar satuan ke akar satuan (sebab $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$, [Teorema 4.23](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-cyclotomicirred)), sehingga $\sigma(\chi(g_C))$ kembali menjadi jumlah $n$ akar satuan: jadi $\abs{\sigma(\alpha)}
\leq 1$; lagi pula $\sigma(\alpha)$ merupakan bilangan bulat aljabar (sebab ia berpolinomial minimal sama dengan $\alpha$). Hasil kali $P =
\prod_\sigma \sigma(\alpha)$ ditetapkan oleh seluruh grup Galoisnya, sehingga rasional ([Teorema 4.21](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-fundamental)(1)), dan ia bilangan bulat aljabar dengan

$$
0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1
$$

(tak ada faktornya yang lenyap: sebab $\sigma(\alpha) = 0$ akan memaksa $\alpha =
0$). Ini bertentangan dengan pertanyaan 3. Karena itu $\chi(g_C) = 0$ atau $\abs{\chi(g_C)} = n$, dan pada kasus terakhir $\rho(g_C)$ berupa skalar ([Proposisi 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)).

**11.** Ortogonalitas kolom (dengan $C \neq \{e\}$): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$, yakni $1 +
\sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$. Seandainya setiap $\chi_i$ tak trivial dengan $p \nmid n_i$ lenyap di $g_C$, maka dengan mengelompokkan sisanya menurut faktor $p$:

$$
-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i}
\frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},
$$

akan menjadi bilangan bulat aljabar — dan itu bertentangan dengan pertanyaan 3. Jadi ada $\chi_i$ tak trivial dengan $p \nmid n_i$ dan $\chi_i(g_C) \neq 0$; karena $\abs C = p^k$, berlaku $\gcd(\abs C, n_i) = 1$, sehingga pertanyaan 10 menjadikan $\rho_i(g_C)$ sebuah skalar. Sekarang $G$ sederhana dan tak abelian: sehingga $\chi_i$ setia ([Latihan 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)), dan $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ skalar}\}$ merupakan [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) (yaitu prapeta skalarnya di bawah $\rho_i$, dan skalar membentuk [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) — bahkan pusat — dari petanya) yang memuat $g_C \neq e$: jadi $Z_i = G$. Maka $\rho_i(G)$ abelian dan setia, sehingga $G$ abelian: kontradiksi. *Jadi tak ada [grup sederhana](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-simple) tak abelian yang mempunyai [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions) berukuran pangkat prima $> 1$.*

**12.** Misalkan $G$ sederhana berorde $p^aq^b$. Jika $b = 0$ (sehingga $G$ grup-$p$): maka $Z(G) \neq \{e\}$ ([Teorema 1.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-pfixed)) bersifat normal, sehingga $Z(G) = G$: jadi abelian. Jika tidak, ambillah $Q$ sebuah subgrup Sylow-$q$ dan $z \in Z(Q)
\setminus\{e\}$ ([Teorema 1.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#thm-b3-groups-pfixed) lagi). Maka $Q
\subseteq Z_G(z)$, sehingga kelas $z$ berukuran $[G : Z_G(z)]$ yang membagi $[G : Q] = p^a$: yakni pangkat $p$. Jika ukurannya $1$, maka $z \in Z(G)$: pusatnya menjadi [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) tak trivial, sehingga $Z(G) = G$, jadi abelian. Jika ukurannya $p^k > 1$: pertanyaan 11 melarangnya bagi $G$ yang sederhana dan tak abelian. Bagaimanapun juga, [grup sederhana](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-simple) berorde $p^aq^b$ pastilah abelian (yakni $\cong \Z/p\Z$).

**13.** Induksi pada $\abs G$ (untuk $\abs G = 1$: [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived)). Jika $G$ sederhana, pertanyaan 12 membuatnya abelian, sehingga [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived). Jika tidak, pilihlah $N$ [subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) sejati yang tak trivial: maka $\abs
N$ dan $\abs{G/N}$ kembali berbentuk $p^{a'}q^{b'}$ dan lebih kecil, sehingga $N$ dan $G/N$ [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) menurut induksi, dan $G$ pun [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) ([Proposisi 1.29](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#prop-b3-groups-derived)). — Dengan tiga bilangan prima, langkah kuncinya gagal: sebab indeks sebuah [subgrup Sylow](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-sylow) tak lagi berupa pangkat prima, sehingga kelas unsur pusat sebuah Sylow tak harus berukuran pangkat prima. Dan kegagalan itu memang tak terelakkan: $A_5$, yang berorde $2^2\cdot3\cdot5$, sederhana dan tak [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived).

**14.** Kelas beserta ukurannya ada di [Latihan 1.11](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#exo-b3-groups-11)(a). Kelas-$S_5$ dari $c$ berukuran $24$; seandainya ia tetap satu kelas-$A_5$, pencacahan orbit–stabilisator akan memberikan $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$, yang bukan bilangan bulat — secara konkret, $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ berorde $5$ dan duduk di dalam $A_5$, sehingga kelas-$A_5$ dari $c$ berukuran $60/5 =
12$: jadi kelas-$S_5$ itu terpecah dua ($c$ dan $c^2$ sekawan di $S_5$ hanya oleh permutasi ganjil).

**15.** Hanya ada satu [karakter](#def-b3-representations-character) linear: sebab [representasi](#def-b3-representations-rep) berderajat $1$ terfaktorkan melalui $G/D(G)$, sedangkan $D(A_5) = A_5$ (karena $A_5$ sederhana dan tak abelian, dan $D(A_5)$ normal serta tak trivial — sebab $A_5$ tak abelian). Jadi $n_1 = 1$ dan $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2
+ n_5^2 = 59$ dengan setiap $n_i \geq 2$. Kuadrat yang tersedia: $4, 9,
16, 25, 36, 49$. Untuk jumlah empat di antaranya yang sama dengan $59$: terbesarnya haruslah $25$ ($36 + 4 + 4 + 9 = 53 < 59$ tak dapat disesuaikan: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$, $36 + 9 + 9 + 4 = 58$, $36 +
16 + 9 + 4 = 65$ — tak ada kombinasi dengan $36$ atau $49$ yang berhasil), dan $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (satu-satunya caranya: sebab $16 + 16 + 4 =
36$, $25 + 9 + 4 = 38$, $25 + 4 + 4 = 33$): jadi derajatnya $1, 3, 3,
4, 5$.

**16.** $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 +
15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (satu [orbit](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-action) — lewat cacahan Burnside), dan $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 +
0 + 0) = 2$: jadi $\pi$ memuat [karakter](#def-b3-representations-character) trivialnya sekali, dan penyusun lainnya berupa satu [representasi tak tereduksi](#def-b3-representations-rep). Karena itu $\chi_4 = \pi
- \mathbf 1$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep), berderajat $4$, dengan nilai $4, 0,
1, -1, -1$.

**17.** Pada pasangan, sebuah unsur menetapkan $\{i,j\}$ jika dan hanya jika ia menetapkan atau menukar $i, j$: cacahannya $10$ (untuk $e$), $2$ (sebab $t =
(1\,2)(3\,4)$ menetapkan $\{1,2\}, \{3,4\}$), $1$ (sebab $(1\,2\,3)$ menetapkan $\{4,5\}$), lalu $0, 0$. Maka $\langle\pi_{10},
\pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$: jadi tiga penyusun [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep), masing-masing sekali. Dan $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20)
= 1$, $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 +
20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$: sehingga $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4
+ \chi$ dengan $\chi$ [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) berderajat $10 - 1 - 4 = 5$ dan bernilai $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0,
0)$.

**18.** Tulis $a, a'$ untuk nilai $\chi_2, \chi_3$ di $t$, dan $b, b'$ di $s = (1\,2\,3)$; keempatnya real (sebab $t$ dan $s$ sekawan dengan inversnya). Kolom $t$ terhadap kolom $e$: $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$, sehingga $a + a'
= -2$; kolom $t$ dengan dirinya sendiri: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 =
\frac{60}{15} = 4$, sehingga $a^2 + a'^2 = 2$; karena itu $(a + a')^2 = 4
= 2 + 2aa'$ memberikan $aa' = 1$ dan $a = a' = -1$. Kolom $s$ terhadap $e$: $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ memberikan $b + b' = 0$; kolom $s$ dengan dirinya sendiri: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60}
{20} = 3$ memberikan $b = b' = 0$.

**19.** Kolom $c$ terhadap kolom $e$: $1 + 3(x + y) +
4(-1) + 5\cdot0 = 0$, sehingga $x + y = 1$. Kolom $c$ terhadap kolom $c^2$ (kelas berbeda, jadi ortogonal): $1 + xy + yx + 1
+ 0 = 0$, sehingga $xy = -1$. Dengan demikian $x, y$ menyelesaikan $T^2 - T - 1 = 0$: $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ dengan $\varphi = \frac{1 +
\sqrt5}2$. Konsistensinya: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 =
\frac{60}{12} - 2$ — cocok dengan identitas kolom-diri $1 +
x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$. Tabelnya:

|  | $e$ | $15\,t$ | $20\,s$ | $12\,c$ | $12\,c^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\varphi$ | $\bar\varphi$ |
| $\chi_3$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\bar\varphi$ | $\varphi$ |
| $\chi_4$ | $4$ | $0$ | $1$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $5$ | $1$ | $-1$ | $0$ | $0$ |

**20.** $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 +
0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 +
36}{60} = 1$, dengan memakai $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi +
\bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$. Demikian pula $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 +
12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$. Keterbagian [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#thm-b3-galois-finitefields): $1, 3, 3, 4, 5$ semuanya membagi $60$. Nilai irasional $\varphi, \bar\varphi$ itulah perbedaan yang terlihat dengan $S_5$: sebab di $S_5$ setiap [unsur sekawan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/2-ring-dan-aritmetika#def-b3-rings-divisibility) dengan semua pembangun grup sikliknya yang bertipe siklus sama — khususnya $c \sim c^2$ — sehingga nilai [karakternya](#def-b3-representations-character) terpaksa rasional (bahkan bulat); sedangkan di $A_5$ terpecahnya siklus lima membuka pintu bagi $\Q(\sqrt5)$.

**21.** [Subgrup normal](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-normal) $N$ berupa gabungan kelas, yang memuat $e$, dengan $\abs N \mid 60$. Jumlah yang menjadi calonnya: $1{+}15 = 16$, $1{+}20 = 21$, $1{+}12 = 13$, $1{+}24 = 25$, $1{+}15{+}20 = 36$, $1{+}15{+}12 = 28$, $1{+}15{+}24 = 40$, $1{+}20{+}12 = 33$, $1{+}20{+}24 = 45$, $1{+}12{+}12 = 25$, $1{+}15{+}20{+}12 = 48$, $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$ dengan mendaftarkan semua subjumlah sejati yang memuat $1$: tak satu pun dari $13, 16,
21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 13{+}\dots$ yang membagi $60$ kecuali $1$ sendiri: jadi $N = \{e\}$ atau $A_5$. Kesederhanaannya terbaca dari lima bilangan saja. Dan kriteria pertanyaan 11 juga terlihat: sebab ukuran kelasnya $15 = 3\cdot5$, $20 = 4\cdot5$, $12 = 4\cdot3$ semuanya komposit atas dua bilangan prima — jadi tak ada kelas berukuran pangkat prima, persis seperti dituntut kriteria Burnside bagi [grup sederhana](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-simple).

**22.** Rotasi $\R^3$ sebesar sudut $\theta$ mempunyai nilai eigen $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$: sehingga tracenya $1 +
2\cos\theta$. Untuk $\theta = \frac{2\pi}5$: $2\cos\frac{2\pi}5
= \frac{\sqrt5 - 1}2$, sehingga tracenya $1 + \frac{\sqrt5-1}2 =
\frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$. Unsur tak trivial $\tau$ dari $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ yang diterapkan entri demi entri pada sebuah [tabel karakter](#def-b3-representations-table) mengirim [karakter](#def-b3-representations-character) ke [karakter](#def-b3-representations-character) (sebab ia komutatif dengan aljabar pendefinisinya: $\tau\circ\chi$ merupakan [karakter](#def-b3-representations-character) [representasi](#def-b3-representations-rep) yang diperoleh dengan mengangkut matriksnya lewat $\tau$ pada entrinya, atau secara abstrak: relasi ortogonalitasnya rasional atas $\Q$, sehingga $\tau$ mempermutasikan penyelesaiannya); lalu $\tau$ menetapkan $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (yang bernilai rasional) dan karena itu harus menukar $\chi_2$ dan $\chi_3$: jadi [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $3$ yang kedua membawa nilai sekawannya, tanpa satu matriks pun dihitung. Secara geometri, kedua [representasi](#def-b3-representations-rep) itu adalah aksi ikosahedral dan komposisinya dengan automorfisma luar $A_5$ (yakni konjugasi dengan sebuah transposisi), yang menukar kedua kelas siklus lima.

**23.** Untuk $z \in Z(G)$, $\rho(z)$ komutatif dengan setiap $\rho(g)$, sehingga menurut lema Schur $\rho(z) = \lambda\,
\mathrm{id}$; dan karena $z$ berorde berhingga, $\lambda$ merupakan akar satuan, sehingga $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$. Lalu

$$
\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle
= \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2
\geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2
= \abs{Z(G)}\,n^2,
$$

yakni $n^2 \leq [G : Z(G)]$. Grup tak abelian berorde $8$ ($D_4$ atau $Q_8$) mempunyai lima [kelas konjugasi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#ex-b3-groups-actions), sehingga lima derajat [tak tereduksi](#def-b3-representations-rep) dengan $\sum n_i^2 = 8$; dan satu-satunya cara menulis $8$ sebagai jumlah lima kuadrat $\geq 1$ adalah $1 + 1 + 1 + 1
+ 4$: jadi derajatnya $1, 1, 1, 1, 2$. Kedua grup itu berpusat berorde $2$, dan [karakter](#def-b3-representations-character) berderajat $2$ mencapai kesamaannya: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — jadi batasnya tajam. Untuk $A_5$, $Z = \{e\}$ dan batasnya terbaca $n^2 \leq 60$: dipenuhi oleh $1, 3, 3, 4, 5$ dengan sisa ruang yang lapang ($25 \leq 60$), dan memang harus demikian sebab kesamaannya akan memaksa (lewat rantai yang sama) $\chi$ lenyap di luar pusatnya.

**24.** Berlaku $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ untuk $m$ sama dengan orde $g$, sehingga $\rho(g)$ dihapus oleh $X^m - 1$, yang terpecah dengan akar sederhana atas $\C$: jadi dapat didiagonalkan, dengan nilai eigen $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ berupa akar satuan, pada sebuah basis eigen $(e_i)$. Hasil kali $e_ie_j$ (dengan $i \leq j$) membentuk basis eigen bagi $\operatorname{Sym}^2V$ dengan nilai eigen $\lambda_i\lambda_j$, dan $e_i \wedge e_j$ (dengan $i < j$) membentuk basis eigen $\Lambda^2V$; lalu karena

$$
\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j
= \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2
= \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,
$$

sedangkan jumlah simetrisnya menambahkan $\sum_i\lambda_i^2$ alih-alih menguranginya, maka kedua rumusnya menyusul. Untuk $\chi_2 = (3, -1,
0, \varphi, \bar\varphi)$ pada kelas $(e, (2,2)\text{-},
3\text{-siklus}, c, c^2)$: pengkuadratan mengirim transposisi ganda ke $e$, siklus tiga ke siklus tiga, dan kelas $c$ ke kelas $c^2$ serta sebaliknya (sebab $c^{-1} \sim
c$ di $A_5$, sehingga $c^4 \sim c$). Karena itu $\chi_2(g^2)$ terbaca $(3,
3, 0, \bar\varphi, \varphi)$, dan, dengan memakai $\varphi^2 = \varphi
+ 1$ serta $\bar\varphi = 1 - \varphi$:

$$
\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2,
\qquad
\operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .
$$

Dengan menguraikan yang terakhir itu, memakai ukuran kelas $1, 15, 20, 12,
12$: $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 +
15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$; $\langle\cdot, \chi_5\rangle =
\frac1{60}(30 + 30) = 1$; $\langle\cdot, \chi_4\rangle =
\frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$; $\langle\cdot, \chi_2\rangle =
\frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$, dan demikian pula untuk $\chi_3$. Jadi $\operatorname{Sym}^2\chi_2 =
\mathbf 1 + \chi_5$ (dimensinya $6 = 1 + 5$) dan $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensinya $9 = 1 + 3 + 5$). Geometrinya: isomorfisma ekuivarian $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$, $u \wedge v \mapsto u
\times v$, tepat merupakan $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ bagi sebuah grup rotasi; sedangkan suku $\mathbf 1$ pada kuadrat simetrisnya adalah bentuk kuadrat invarian $x^2 + y^2 + z^2$, dan $\chi_5$ hidup pada ruang berdimensi lima berisi tensor simetris bertrace nol (yaitu kuadrat harmonik).

**25.** Kolom $c$ terhadap kolom $c^2$:

$$
1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi +
(-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,
$$

seperti dituntut ortogonalitas bagi kelas yang berbeda (sebab $\varphi
\bar\varphi = -1$). Kolom $c$ terhadap dirinya sendiri: $1 +
\varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 =
\abs{Z_{A_5}(c)}$. [Karakter](#def-b3-representations-character) reguler $\sum_in_i\chi_i$ pada keempat kolom bukan identitasnya:

$$
1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad
1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,
$$

pada transposisi ganda dan siklus tiga, lalu pada kelas $c$ (sedangkan kelas $c^2$ merupakan sekawan Galoisnya):

$$
1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,
$$

dengan memakai $\varphi + \bar\varphi = 1$. Tabel itu lulus setiap audit: jadi itulah [tabel karakter](#def-b3-representations-table) $A_5$.