---
title: "Topologi Umum"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum
---

# Bab 6 — Topologi Umum

Jilid Tahun ke-2 melakukan analisis di ruang metrik: jarak, bola, barisan. Namun gagasan yang mendasar — [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity), kekompakan, keterhubungan — tak pernah menyebut nilai numerik sebuah jarak, melainkan hanya keluarga *[himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology)* yang dibangkitkannya. Bab ini mengambil keluarga itu sebagai objek primitifnya. Untungnya bukan keumuman demi keumuman: konstruksi kuosien (misalnya lingkaran sebagai $\R/\Z$, ruang proyektif), hasil kali, dan [topologi](#def-b3-topology-topology) bertipe lemah pada analisis fungsional memang bukan objek yang metrik-dahulu. Kita membangun ulang [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity), lalu menggarap kekompakan lewat selimut terbuka (sambil membuktikan kesetaraannya dengan definisi barisan pada Tahun ke-2 di ruang metrik), dan keterhubungan — lalu menutup dengan teorema bahwa bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) tak dapat menyamakan $\R$ dengan $\R^2$: jadi [topologi](#def-b3-topology-topology) dapat membedakan dimensi.

## 6.1 Topologi, himpunan terbuka, kekontinuan

**Definisi 6.1.**

Sebuah *topologi* pada himpunan $X$ adalah keluarga $\mathcal T$ berisi himpunan bagian $X$ — yang disebut *himpunan terbuka* — sedemikian sehingga: $\varnothing, X \in
\mathcal T$; gabungan sembarang himpunan terbuka bersifat terbuka; dan irisan *berhingga* himpunan terbuka bersifat terbuka. Pasangan $(X, \mathcal T)$ disebut *ruang topologi*. Komplemen himpunan terbuka disebut *tertutup*. Adapun *persekitaran* sebuah $x$ adalah himpunan yang memuat suatu himpunan terbuka yang memuat $x$.

**Contoh 6.2.**

(a) Ruang metrik, dengan “terbuka” seperti pada Tahun ke-2 (yaitu gabungan bola terbuka): itulah *[topologi](#def-b3-topology-topology) metrik*; dan metrik yang berbeda dapat memberikan [topologi](#def-b3-topology-topology) yang sama (metrik ekuivalen). Ruang yang [topologinya](#def-b3-topology-topology) lahir dari suatu metrik disebut *dapat dimetrikan*. (b) [Topologi](#def-b3-topology-topology) *diskret* (semua himpunan bagiannya) dan [topologi](#def-b3-topology-topology) *indiskret* $\{\varnothing, X\}$. (c) [Topologi](#def-b3-topology-topology) *kofinit* pada himpunan tak berhingga: terbuka $=$ kosong atau berkomplemen berhingga. Ia tak dapat dimetrikan, seperti akan kita lihat ([Latihan 6.3](#exo-b3-topology-3)). (d) Pada $\R$, [topologi](#def-b3-topology-topology) biasanya; pada $\bar\R = \R \cup
\{\pm\infty\}$, [topologi](#def-b3-topology-topology) urutan yang dibangkitkan sinar — yang menjadikan “$x_n \to +\infty$” sekadar contoh kekonvergenan biasa.

**Definisi 6.3.**

Untuk $A \subseteq X$: *interior* $\mathring A$ adalah [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) terbesar di dalam $A$ (gabungan semuanya); *penutup* $\bar A$ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat $A$; dan *batas* $\partial A = \bar A
\setminus \mathring A$. Himpunan $A$ disebut *padat* jika $\bar A = X$. Berlaku $x \in \bar A$ jika dan hanya jika setiap [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $x$ memotong $A$ (sebab jika suatu [persekitaran](#def-b3-topology-topology) meleset dari $A$, komplemen inti terbukanya menjadi himpunan tertutup yang lebih kecil di sekitar $A$; dan sebaliknya).

**Definisi 6.4.**

Sebuah *basis* bagi $\mathcal T$ adalah keluarga $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ sedemikian sehingga setiap [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) merupakan gabungan anggota $\mathcal B$ (misalnya bola terbuka di ruang metrik; selang terbuka di $\R$). Sebuah keluarga $\mathcal B$ berisi himpunan bagian $X$ merupakan basis bagi *suatu* [topologi](#def-b3-topology-topology) jika dan hanya jika ia menyelimuti $X$ dan, untuk $B_1, B_2 \in \mathcal B$ serta $x \in B_1 \cap B_2$, ada $B_3 \in \mathcal B$ dengan $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — lalu “gabungan anggotanya” menjadi sebuah [topologi](#def-b3-topology-topology), yaitu [topologi](#def-b3-topology-topology) yang *dibangkitkan* oleh $\mathcal B$.

**Definisi 6.5.**

Pemetaan $f \colon X \to Y$ disebut *kontinu* jika $f^{-1}(V)$ terbuka untuk setiap $V \subseteq Y$ yang terbuka — setara dengan: prapeta himpunan tertutup bersifat tertutup; setara pula dengan: untuk setiap $x$ dan [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $V$ dari $f(x)$, $f^{-1}(V)$ merupakan [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $x$ (yakni kekontinuan *di* setiap $x$). Cukup diperiksa pada sebuah [basis](#def-b3-topology-basis) $Y$. Komposisi pemetaan kontinu tetap kontinu. Sebuah *homeomorfisma* adalah bijeksi kontinu yang inversnya kontinu; dan [topologi](#def-b3-topology-topology) mempelajari sifat yang terpelihara oleh homeomorfisma.

**Proposisi 6.6 (Kekontinuan lawan penutup; perekatan).**

(a) Pemetaan $f$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ untuk setiap $A \subseteq X$. (b) Jika $X = F_1 \cup F_2$ dengan $F_1, F_2$ tertutup dan $f\colon X
\to Y$ terbatas secara [kontinu](#def-b3-topology-continuity) pada masing-masing $F_i$, maka $f$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity).

**Bukti.** (a) Jika $f$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity): $f^{-1}(\overline{f(A)})$ tertutup dan memuat $A$, sehingga memuat $\bar A$. Sebaliknya terapkan kriterianya pada $A = f^{-1}(F)$ dengan $F$ tertutup: $f(\bar A) \subseteq
\overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$, sehingga $\bar A
\subseteq f^{-1}(F) = A$: jadi prapeta himpunan tertutup bersifat tertutup. (b) Untuk $F \subseteq Y$ yang tertutup: $f^{-1}(F) =
(f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1}
(F)$, yaitu gabungan dua himpunan yang tertutup di $F_1$ dan di $F_2$, sehingga tertutup di $X$ (sebab $F_i$ tertutup: tertutup di dalam tertutup tetaplah tertutup). ∎

**Definisi 6.7.**

Ruang $X$ disebut *Hausdorff* (atau *terpisah*) jika setiap dua titik yang berbeda mempunyai [persekitaran](#def-b3-topology-topology) yang saling lepas. Ruang metrik bersifat Hausdorff (ambil bola berjari-jari $d(x,y)/2$). Barisan $(x_n)$ *konvergen* ke $x$ jika setiap [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $x$ memuat semua $x_n$ kecuali berhingga banyaknya; dan di ruang Hausdorff limitnya tunggal (sebab dua limit akan mempunyai [persekitaran](#def-b3-topology-topology) saling lepas yang masing-masing memuat sebuah ekor). Di ruang Hausdorff, titik — dan karenanya himpunan berhingga — bersifat tertutup.

**Catatan 6.8.**

Di ruang metrik, barisan mendeteksi segalanya: $x \in \bar A$ jika dan hanya jika ada barisan di $A$ yang konvergen ke $x$ (ambil $x_n \in A \cap
B(x, 1/n)$), dan $f$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika ia [kontinu](#def-b3-topology-continuity) barisan. Pada ruang umum kedua kesetaraan itu gagal; pengganti barisan yang tepat (filter, jaring) termasuk kuliah yang lebih lanjut. Kita akan menyatakan hasil berbasis barisan di ruang metrik dan hasil berbasis selimut secara umum — lalu membuktikan keduanya setara di tempat mereka memang setara.

## 6.2 Subruang, hasil kali, kuosien

**Definisi 6.9.**

Ada tiga cara membuat ruang baru dari yang lama:

1. *Subruang* : pada $A \subseteq X$ , [himpunan terbukanya](#def-b3-topology-topology) adalah $U \cap A$ dengan $U$ terbuka di $X$ — yaitu [topologi](#def-b3-topology-topology) terkasar yang membuat inklusinya [kontinu](#def-b3-topology-continuity) .
2. *Hasil kali* : pada $X \times Y$ (dan hasil kali berhingga), yaitu [topologi](#def-b3-topology-topology) berbasis *kotak terbuka* $U \times  V$ ; sedangkan pada hasil kali tak berhingga $\prod_i X_i$ , basisnya terdiri atas kotak $\prod U_i$ dengan $U_i = X_i$ untuk *semua kecuali berhingga banyak* $i$ — yaitu [topologi](#def-b3-topology-topology) terkasar yang membuat setiap proyeksinya [kontinu](#def-b3-topology-continuity) .
3. *Faktor* : jika $\sim$ sebuah relasi ekuivalensi pada $X$ dan $\pi\colon X \to X/{\sim}$ proyeksinya, nyatakan $V  \subseteq X/{\sim}$ terbuka jika dan hanya jika $\pi^{-1}(V)$ terbuka — yaitu [topologi](#def-b3-topology-topology) terhalus yang membuat $\pi$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) .

**Proposisi 6.10 (Sifat universal).**

(a) Pemetaan $f \colon Z \to X \times Y$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika kedua komponennya, $\pi_X \circ f$ dan $\pi_Y \circ f$, [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (demikian pula untuk hasil kali sembarang). (b) Pemetaan $g \colon X/{\sim} \to Z$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika $g \circ \pi
\colon X \to Z$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity).

**Bukti.** (a) Keperluannya: lewat komposisi. Kecukupannya: cukup diperiksa prapeta kotak basisnya: $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U)
\cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$, yang terbuka (sebab hanya berhingga faktor yang $\neq X_i$ pada kasus tak berhingga). (b) Keperluannya: lewat komposisi. Kecukupannya: untuk $W \subseteq Z$ terbuka, $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ terbuka, dan menurut definisi [topologi kuosiennya](#def-b3-topology-constructions) itu berarti $g^{-1}(W)$ terbuka. ∎

**Contoh 6.11.**

Kuosien $\R/\Z$ (dengan mengenali $x$ dan $x + n$) [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan lingkaran $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: sebab pemetaan $x
\mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ beralih menjadi bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $\R/\Z \to S^1$ ([Proposisi 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)); sedangkan inversnya [kontinu](#def-b3-topology-continuity) menurut argumen kekompakan pada [Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) di bawah ([Latihan 6.5](#exo-b3-topology-5) merincikan semuanya, termasuk mengapa $\R/\Z$ bersifat [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) dan [kompak](#def-b3-topology-compact)). Demikian pula $[0,1]$ dengan kedua ujungnya direkatkan adalah $S^1$, persegi dengan sisi berhadapannya direkatkan adalah torus, dan perekatan akhirnya menjadi teorema, bukan gambar.

## 6.3 Kekompakan

**Definisi 6.12.**

Sebuah *selimut terbuka* bagi $X$ adalah keluarga $(U_i)_{i\in I}$ berisi [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) dengan $\bigcup U_i = X$. Ruang $X$ disebut *kompak* jika ia [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) dan setiap selimut terbukanya mempunyai *subselimut berhingga*. Setara dengan itu (dengan mengambil komplemennya): setiap keluarga himpunan tertutup yang bersifat *irisan berhingga* (yakni semua subkeluarga berhingganya beririsan tak kosong) mempunyai irisan total yang tak kosong.

**Teorema 6.13 (Sifat pertama).**

Misalkan $X$ [kompak](#def-b3-topology-compact).

1. Himpunan bagian tertutup dari $X$ bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact) ; dan himpunan bagian [kompak](#def-b3-topology-compact) dari [ruang Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) bersifat tertutup.
2. Peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) di dalam [ruang Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact) . Khususnya $f\colon X  \to \R$ yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity) bersifat terbatas dan mencapai batasnya.
3. Barisan turun himpunan bagian tertutup tak kosong dari $X$ mempunyai irisan yang tak kosong.

**Bukti.** (1) Misalkan $F \subseteq X$ tertutup dan $(U_i)$ sebuah selimut terbuka bagi $F$ (dengan [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) $X$): menambahkan $X \setminus F$ memberikan selimut terbuka bagi $X$; lalu subselimut berhingganya, setelah $X \setminus F$ dibuang, menyelimuti $F$. Sifat [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) pada subruangnya jelas. Sebaliknya misalkan $K \subseteq Y$ [kompak](#def-b3-topology-compact), $Y$ [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff), dan $y \notin K$: untuk setiap $x \in K$ pilihlah [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) saling lepas $U_x \ni x$, $V_x \ni y$; lalu berhingga banyak $U_x$ menyelimuti $K$, dan irisan $V_x$ yang bersesuaian menjadi [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $y$ yang saling lepas dengan selimut $K$, sehingga saling lepas dengan $K$: jadi komplemen $K$ terbuka.

(2) Jika $(V_j)$ menyelimuti $f(X)$, maka $(f^{-1}(V_j))$ menyelimuti $X$; dan subselimut berhingga di bawah berasal dari subselimut berhingga di atas. Petanya bersifat [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) sebagai subruang. Untuk $f$ yang real: $f(X)$ [kompak](#def-b3-topology-compact) di $\R$, sehingga tertutup dan terbatas (selimuti dengan $(-n, n)$ untuk keterbatasannya; dan tertutup menurut (1)), sedangkan himpunan tertutup terbatas memuat supremumnya.

(3) Jika $\bigcap F_n = \varnothing$, maka [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) $X \setminus F_n$ menyelimuti $X$; berhingga banyak di antaranya sudah cukup, sehingga ada $F_{n_0} =
\varnothing$ (karena barisannya turun) — kontradiksi. ∎

**Akibat 6.14.**

Sebuah *bijeksi* [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) ke [ruang Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity).

**Bukti.** Inversnya [kontinu](#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika peta langsung himpunan tertutup bersifat tertutup; sedangkan $F$ yang tertutup bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact) ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)), petanya [kompak](#def-b3-topology-compact) menurut (2), sehingga tertutup menurut (1) di dalam sasaran [Hausdorffnya](#def-b3-topology-hausdorff). ∎

**Teorema 6.15 (Hasil kali berhingga).**

Hasil kali berhingga [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact).

**Bukti.** Cukup ditangani $X \times Y$. Sifat [Hausdorffnya](#def-b3-topology-hausdorff) diwarisi (pisahkan pada satu koordinat). Misalkan $(W_i)$ sebuah selimut terbuka bagi $X
\times Y$; kita boleh menganggap $W_i$ berupa kotak [basis](#def-b3-topology-basis) $U_i \times
V_i$ (haluskan saja: setiap titik duduk di sebuah kotak di dalam suatu $W_i$; lalu subselimut berhingga atas kotaknya melahirkan subselimut berhingga atas $W_i$). Tetapkan $x \in X$: maka *keping* $\{x\}\times Y \cong Y$ bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact), sehingga berhingga banyak kotak $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ menyelimutinya, dengan $x \in U_j$ untuk setiap $j$; lalu $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ menjadi [persekitaran](#def-b3-topology-topology) terbuka $x$ dengan $U^x \times Y$ terselimuti oleh berhingga kotak (inilah *lema tabung*: sebab untuk $(x', y) \in U^x \times Y$ berlaku $y \in V_j$ untuk suatu $j$ karena kotak itu menyelimuti $\{x\}\times Y$ pada ketinggian $y$, dan $x' \in U^x \subseteq U_j$, sehingga $(x', y) \in U_j
\times V_j$). Kini berhingga banyak $U^x$ menyelimuti $X$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact); dan kumpulan berhingga kotak yang bersesuaian menyelimuti $X \times Y$. ∎

**Teorema 6.16 (Kekompakan di ruang metrik).**

Untuk sebuah ruang metrik $(X, d)$, berikut ini saling setara:

1. $X$ [kompak](#def-b3-topology-compact) (Borel–Lebesgue);
2. setiap barisan di $X$ mempunyai subbarisan yang konvergen ( [kekompakan barisan](#thm-b3-topology-metriccompact) — definisi Tahun ke-2);
3. $X$ lengkap dan *terbatas total* : yakni untuk setiap $\varepsilon > 0$ , berhingga banyak bola berjari-jari $\varepsilon$ menyelimuti $X$ .

**Bukti.** (1)$\Rightarrow$(2): Misalkan $(x_n)$ tak punya subbarisan yang konvergen. Maka setiap $x \in X$ mempunyai bola terbuka $B_x$ yang memuat $x_n$ hanya untuk berhingga banyak $n$ (sebab kalau tidak, ada subbarisan yang konvergen ke $x$: ambil jari-jari $1/k$). Berhingga banyak $B_x$ menyelimuti $X$, sehingga hanya ada berhingga indeks $n$: mustahil.

(2)$\Rightarrow$(3): Kelengkapannya: barisan Cauchy yang mempunyai subbarisan konvergen akan konvergen (Tahun ke-2). Keterbatasan totalnya: jika ada $\varepsilon$ yang tak punya selimut berhingga, pilihlah secara induktif $x_{n+1}$ di luar $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$: maka barisannya memenuhi $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ untuk $m \neq n$, sehingga tak punya subbarisan Cauchy dan tak punya subbarisan konvergen.

(3)$\Rightarrow$(1): Pertama, (3) mengakibatkan (2): diberikan $(x_n)$, selimuti $X$ dengan berhingga bola berjari-jari $1$: salah satunya, sebut $B_1$, memuat sebuah subbarisan; lalu selimuti $X$ dengan bola berjari-jari $1/2$: salah satunya memuat subbarisan lanjutannya; iterasikan lalu diagonalkan: subbarisan diagonalnya bersifat Cauchy (karena dua sukunya setelah tahap $k$ terletak di satu bola berjari-jari $2^{-k}$, sampai pada faktor $2\cdot$ yang biasa), sehingga konvergen. Sekarang misalkan $(U_i)$ sebuah selimut terbuka dan andaikan tak ada subselimut berhingga. *Argumen bilangan Lebesgue*: untuk setiap $n$, ada bola $B(y_n, 2^{-n})$ yang tak terselimuti berhingga banyak $U_i$ — memang, selimuti $X$ dengan berhingga bola berjari-jari $2^{-n}$; seandainya masing-masing terselimuti secara berhingga, maka $X$ pun demikian. Menurut (2), ada subbarisan $y_{n_k} \to y$; pilihlah $i$ dengan $y \in U_i$ dan $r > 0$ dengan $B(y, r) \subseteq U_i$. Untuk $k$ besar, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$: jadi terselimuti oleh *satu* $U_i$ — kontradiksi. ∎

**Akibat 6.17 (Heine–Borel; Heine).**

(a) Himpunan bagian $\R^n$ bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact) jika dan hanya jika ia tertutup dan terbatas. (b) [Pemetaan kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) ke ruang metrik bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity) seragam.

**Bukti.** (a) Tertutup dan terbatas $\Rightarrow$ termuat di sebuah kubus $[-M,M]^n$, yang bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact): sebab $[-M, M]$ demikian (secara barisan, menurut Bolzano–Weierstrass — atau langsung lewat dikotomi pada selimutnya), dan [Teorema 6.15](#thm-b3-topology-tychonoff) menangani hasil kalinya; lalu terapkan [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1). Sebaliknya himpunan bagian [kompak](#def-b3-topology-compact) bersifat tertutup ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)) dan terbatas (selimuti dengan bola sepusat).

(b) Misalkan $f \colon X \to Y$ dan $\varepsilon > 0$. Bola $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ dengan $f\bigl(B(x,
2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ menyelimuti $X$; ekstraklah subselimut berhingga $B(x_j, \delta_{x_j})$ lalu tetapkan $\delta = \min_j \delta_{x_j}$. Jika $d(x, x') < \delta$: maka $x
\in B(x_j, \delta_{x_j})$ untuk suatu $j$, dan lalu keduanya memenuhi $x, x'
\in B(x_j, 2\delta_{x_j})$, sehingga $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$. ∎

**Definisi 6.18.**

Ruang $X$ disebut *kompak lokal* jika ia [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) dan setiap titiknya mempunyai [persekitaran](#def-b3-topology-topology) [kompak](#def-b3-topology-compact) (misalnya $\R^n$; himpunan bagian terbuka $\R^n$; ruang diskret — tetapi bukan $\Q$, lihat [Latihan 6.9](#exo-b3-topology-9)). Setiap [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) lokal terbenam di dalam [ruang kompak](#def-b3-topology-compact): yaitu *kompaktifikasi satu titik* $\hat X = X
\cup \{\infty\}$, yang [himpunan terbukanya](#def-b3-topology-topology) adalah [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) $X$ beserta komplemen (di $\hat X$) himpunan bagian [kompak](#def-b3-topology-compact) $X$. Aksiomanya mudah diperiksa langsung; lalu $\hat X$ bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact) (sebab selimutnya mempunyai anggota yang memuat $\infty$, yang komplemennya [kompak](#def-b3-topology-compact) dan terselimuti oleh berhingga anggota lain) sekaligus [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) (pisahkan $x$ dari $\infty$ lewat [persekitaran](#def-b3-topology-topology) [kompak](#def-b3-topology-compact) $x$ dan komplemennya). Contohnya: $\hat\R \cong S^1$, dan $\widehat{\R^n} \cong S^n$ lewat proyeksi stereografis ([Latihan 6.11](#exo-b3-topology-11)).

## 6.4 Keterhubungan

**Definisi 6.19.**

Ruang $X$ disebut *terhubung* jika ia bukan gabungan dua [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) tak kosong yang saling lepas — setara dengan: satu-satunya himpunan bagiannya yang sekaligus terbuka dan tertutup adalah $\varnothing$ dan $X$; setara pula dengan: setiap [pemetaan kontinu](#def-b3-topology-continuity) $X \to \{0, 1\}$ (diskret) bersifat konstan. Himpunan bagian disebut terhubung jika ia terhubung sebagai subruang.

**Teorema 6.20.**

1. Himpunan bagian $\R$ yang [terhubung](#def-b3-topology-connected) tepat berupa selang.
2. Peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) himpunan [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetap [terhubung](#def-b3-topology-connected) (dan dari sini teorema nilai antara: pemetaan real [kontinu](#def-b3-topology-continuity) pada [ruang terhubung](#def-b3-topology-connected) berpeta sebuah selang).
3. Jika $(A_i)$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) dan mempunyai titik persekutuan, maka $\bigcup  A_i$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) . Jika $A$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) dan $A \subseteq  B \subseteq \bar A$ , maka $B$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) .
4. Hasil kali berhingga [ruang terhubung](#def-b3-topology-connected) bersifat [terhubung](#def-b3-topology-connected) .

**Bukti.** Sepanjang bukti ini kita memakai kriteria $\{0,1\}$: bahwa $f \colon X \to
\{0,1\}$ yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity) haruslah konstan.

(1) Himpunan $A$ yang bukan selang meleset dari suatu $c$ di antara $a, b \in A$: lalu $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ memutuskannya. Sebaliknya misalkan $I$ sebuah selang dan $f \colon I
\to \{0,1\}$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dengan $f(a) = 0$, $f(b) = 1$, $a < b$. Misalkan $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$; [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) di $c$ memaksa $f(c) = 0$ (sebab ia limit nilai $0$: setiap [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $c$ memotong $\{f = 0\}$, dan $\{f=0\}$ tertutup) lalu $c < b$ dengan $f \equiv 1$ pada $(c, b]$, sehingga $f(c) = 1$ menurut argumen [penutup](#def-b3-topology-interior) yang sama pada $\{f = 1\} \ni c$: kontradiksi.

(2) [Pemetaan kontinu](#def-b3-topology-continuity) $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ melahirkan $g \circ f$ yang konstan, sehingga $g$ konstan pada petanya.

(3) [Pemetaan kontinu](#def-b3-topology-continuity) $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ bersifat konstan pada setiap $A_i$, dengan nilai yang sama di titik persekutuannya. Untuk [penutupnya](#def-b3-topology-interior): $f \colon B \to \{0,1\}$ konstan $= c$ pada $A$; dan sembarang $x \in B \subseteq \bar A$ berada di [penutup](#def-b3-topology-interior) $A$, sedangkan $f^{-1}
(f(x))$ merupakan [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $x$ (sebab prapeta [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology)), yang tentu memotong $A$: jadi $f(x) = c$.

(4) Untuk $X \times Y$ dan $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$: sembarang dua titik $(x,y), (x',y')$ dihubungkan oleh “siku” $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$, yaitu gabungan dua himpunan [terhubung](#def-b3-topology-connected) (yang [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan $Y$ dan $X$) yang bertemu di $(x, y')$: jadi menurut (3) dan (2), $f$ bernilai sama di kedua titik itu. ∎

**Definisi 6.21.**

Ruang $X$ disebut *terhubung lintasan* jika sembarang dua titiknya dihubungkan oleh sebuah *lintasan* (yakni $\gamma
\colon [0,1] \to X$ yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity)). [Terhubung](#def-b3-topology-connected) lintasan mengakibatkan [terhubung](#def-b3-topology-connected): sebab dua nilai [pemetaan kontinu](#def-b3-topology-continuity) $f \colon X \to \{0,1\}$ di $x, y$ merupakan nilai $f\circ\gamma$ yang konstan ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(1)–(2)). Himpunan bagian konveks ruang bernorma bersifat [terhubung](#def-b3-topology-connected) lintasan (yaitu lewat ruas garis); demikian pula $\R^n
\setminus \{0\}$ untuk $n \geq 2$ (kelilingi titik asalnya), dan $S^n$ untuk $n \geq 1$ (proyeksikan lintasan dari $\R^{n+1}\setminus
\{0\}$).

**Contoh 6.22 (Kurva sinus topolog).**

Misalkan $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ dan $S =
\bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (sebab setiap titik $(0,
y)$ dengan $\abs y \leq 1$ merupakan limit titik $\Gamma$: selesaikan $\sin\frac1x = y$ di dekat $0$). Maka $S$ bersifat *[terhubung](#def-b3-topology-connected)* — sebagai [penutup](#def-b3-topology-interior) $\Gamma$ yang [terhubung](#def-b3-topology-connected), yaitu peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $(0, 1]$ ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)) — tetapi *tidak [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected)*: sebab [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) dari $(1, \sin 1)$ ke $(0,0)$ harus melintasi absis yang $\to 0$ sementara ordinatnya berayun antara $\pm1$; [Latihan 6.9](#exo-b3-topology-9) membuatnya ketat. Keterhubungan dan keterhubungan [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) memang benar-benar berbeda.

![Kurva sinus topolog: grafik 1x (merah) menumpuk pada seluruh ruas garis \0\×(-1,1) (biru). Gabungannya terhubung tetapi tidak terhubung lintasan: tak ada lintasan kontinu yang dapat menyeberangi ayunan yang tak berhingga banyaknya itu dalam waktu parameter yang berhingga.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-topology/fig-f1cdfcf49061.svg)

*[Kurva sinus topolog](#ex-b3-topology-sinecurve): grafik $\sin\frac1x$ (merah) menumpuk pada seluruh ruas garis $\{0\}\times[-1,1]$ (biru). Gabungannya [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetapi tidak [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected): tak ada [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) [kontinu](#def-b3-topology-continuity) yang dapat menyeberangi ayunan yang tak berhingga banyaknya itu dalam waktu parameter yang berhingga.*

**Definisi 6.23.**

Yang disebut *komponen terhubung* dari $x
\in X$ adalah gabungan semua himpunan bagian [terhubung](#def-b3-topology-connected) yang memuat $x$ — yakni yang terbesar ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)). Komponen mempartisi $X$ dan bersifat tertutup (sebab [penutup](#def-b3-topology-interior) himpunan [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetap [terhubung](#def-b3-topology-connected)). Ruang $X$ disebut *tak [terhubung](#def-b3-topology-connected) total* jika semua komponennya beranggota tunggal (misalnya $\Q$; atau himpunan Cantor pada soal akhir pekan).

**Teorema 6.24.**

$\R$ tidak [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan $\R^n$ mana pun yang $n \geq 2$.

**Bukti.** Andaikan $h \colon \R \to \R^n$ sebuah [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity). Dengan membuang sebuah titik: $\R \setminus \{0\}$ [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan $\R^n \setminus
\{h(0)\}$. Padahal $\R\setminus\{0\}$ tak [terhubung](#def-b3-topology-connected), sedangkan $\R^n\setminus\{\text{titik}\}$ [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) untuk $n \geq
2$ ([Definisi 6.21](#def-b3-topology-pathconnected); geser titiknya ke $0$): dan keterhubungan merupakan invarian [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)) — kontradiksi. (Bahwa $\R^2 \not\cong \R^3$ menuntut invarian yang lebih halus — yaitu [topologi](#def-b3-topology-topology) aljabar; dan soal akhir pekan menunjukkan bahayanya: *surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity)* $\R \to \R^2$ memang ada.) ∎

**Metode 6.25.**

Untuk membuktikan sebuah himpunan [terhubung](#def-b3-topology-connected): tampilkan ia sebagai peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity), sebagai gabungan himpunan [terhubung](#def-b3-topology-connected) yang saling bertindih, sebagai [penutup](#def-b3-topology-interior), atau sebagai hasil kali ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)); dan untuk himpunan bagian ruang bernorma, buktikan keterhubungan [lintasannya](#def-b3-topology-pathconnected) dengan [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) eksplisit (ruas garis, busur, siku). Untuk membuktikan bahwa dua ruang *tidak* [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity): carilah invarian [topologi](#def-b3-topology-topology) yang berbeda — kekompakan, keterhubungan, banyaknya komponen, atau komponennya setelah sebuah himpunan berhingga yang dipilih baik-baik dibuang (yaitu muslihat [Teorema 6.24](#thm-b3-topology-rnotr2): ia juga membuktikan $[0,1) \not\cong
(0,1)$ dan $S^1 \not\cong [0,1]$).

## 6.5 Latihan

**Latihan 6.1 ★.**

(a) Daftarkan semua [topologi](#def-b3-topology-topology) pada $\{a, b\}$, klasifikasikan sampai [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity), lalu tentukan mana yang [terhubung](#def-b3-topology-connected) dan mana yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff). (b) Di $\R$ (dengan [topologi](#def-b3-topology-topology) biasa), hitunglah [interior](#def-b3-topology-interior), [penutup](#def-b3-topology-interior) dan batas dari $\Q$, dari $[0,1) \cup \{2\}$, dan dari $\{1/n : n \geq
1\}$.

**Solusi Latihan 6.1.**

(a) Ada empat [topologi](#def-b3-topology-topology) pada $\{a,b\}$: yang indiskret $\{\varnothing, X\}$; yang diskret; dan dua [topologi](#def-b3-topology-topology) *Sierpiński* $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ serta $\{\varnothing,
\{b\}, X\}$. Kedua yang terakhir [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) (tukarkan $a, b$): jadi ada tiga kelas. Yang [terhubung](#def-b3-topology-connected): semuanya kecuali yang diskret (sebab hanya [topologi](#def-b3-topology-topology) diskret yang memuat [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) sekaligus tertutup yang sejati dan tak kosong). Yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): hanya yang diskret (sebab pada yang lain, satu-satunya [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $b$ adalah $X$, atau demikian pula untuk $a$).

(b) Untuk $\Q$: [interiornya](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$ (sebab setiap selang memuat bilangan irasional), [penutupnya](#def-b3-topology-interior) $\R$ (karena [padat](#def-b3-topology-interior)), batasnya $\R$. Untuk $[0,1)
\cup \{2\}$: [interiornya](#def-b3-topology-interior) $(0,1)$, [penutupnya](#def-b3-topology-interior) $[0,1]\cup\{2\}$, batasnya $\{0, 1, 2\}$. Untuk $\{1/n\}$: [interiornya](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$, [penutupnya](#def-b3-topology-interior) $\{1/n\}\cup\{0\}$, dan batasnya [penutup](#def-b3-topology-interior) itu sendiri.

**Latihan 6.2 ★.**

(a) Tunjukkan bahwa $f\colon X \to Y$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika $f^{-1}(B)$ terbuka untuk setiap $B$ pada sebuah [basis](#def-b3-topology-basis) tetap $Y$. (b) Tunjukkan bahwa $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ tidak [kontinu](#def-b3-topology-continuity) tetapi *[kontinu](#def-b3-topology-continuity) kanan*. Periksalah bahwa selang setengah terbuka $[a, b)$ membentuk [basis](#def-b3-topology-basis) sebuah [topologi](#def-b3-topology-topology) pada $\R$ sebagai sumbernya (yaitu *garis Sorgenfrey*), bahwa [topologi](#def-b3-topology-topology) itu lebih halus secara sejati daripada [topologi](#def-b3-topology-topology) biasanya, dan bahwa fungsi $\R \to
\R$ (dengan sasaran biasa) [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari garis Sorgenfrey jika dan hanya jika ia [kontinu](#def-b3-topology-continuity) kanan di setiap titik.

**Solusi Latihan 6.2.**

(a) Setiap $V \subseteq Y$ yang terbuka merupakan gabungan $\bigcup B_j$ himpunan basisnya, dan $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$: jadi jika yang belakangan terbuka, maka yang terdahulu pun terbuka; konversnya trivial.

(b) Prapeta $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ tidak terbuka: jadi $f$ tidak [kontinu](#def-b3-topology-continuity); sedangkan [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) kanan di setiap titik jelas ($f$ konstan lokal di sebelah kanan setiap titik). Himpunan $[a, b)$ memenuhi kriteria basisnya ([Definisi 6.4](#def-b3-topology-basis)): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c),
\min(b,d))$. [Topologi](#def-b3-topology-topology) Sorgenfrey lebih halus daripada [topologi](#def-b3-topology-topology) biasanya, sebab $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$; dan secara sejati: $[0,1)$ terbuka-Sorgenfrey tetapi tidak terbuka-biasa. [Kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) dari garis Sorgenfrey di $x$: [persekitaran](#def-b3-topology-topology) Sorgenfrey dari $x$ memuat himpunan [basis](#def-b3-topology-basis) $[a, b) \ni x$, sehingga memuat $[x, b)$ — jadi syarat [kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity) terbaca: untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ dengan $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ bilamana $x \leq t < x + \delta$. Dan itu tepat merupakan [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) kanan di $x$.

**Latihan 6.3 ★.**

Pada himpunan tak berhingga dengan [topologi](#def-b3-topology-topology) kofinit, tunjukkan: setiap dua [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) tak kosong saling memotong (sehingga ruangnya tidak [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff), dan karenanya tidak dapat dimetrikan); dan setiap barisan injektif konvergen ke *setiap* titik. Di manakah bukti ketunggalan limit memakai sifat [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff)?

**Solusi Latihan 6.3.**

Dua [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) tak kosong berkomplemen berhingga, sehingga irisannya berkomplemen berhingga: jadi tak kosong (karena himpunannya tak berhingga) — sehingga tak ada dua titik yang berpersekitaran saling lepas: jadi tidak [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff), dan karenanya tidak dapat dimetrikan ([Definisi 6.7](#def-b3-topology-hausdorff)). Misalkan $(x_n)$ injektif dan $x$ sembarang: [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $x$ memuat [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) kofinit $U$; sedangkan berhingga banyak titik $X\setminus U$ dikenai paling banyak berhingga indeks (karena injektif), sehingga sebuah ekor barisannya terletak di $U$: jadi $x_n \to x$, untuk *setiap* $x$. Bukti ketunggalannya memerlukan dua [persekitaran](#def-b3-topology-topology) saling lepas untuk memisahkan dua limit yang diklaim — dan persis itulah yang gagal di sini.

**Latihan 6.4 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa proyeksi $\pi_X, \pi_Y$ sebuah hasil kali bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dan *terbuka* (yakni peta [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) tetap terbuka), tetapi umumnya tidak tertutup (lihat $\{xy = 1\}$ di $\R^2$). (b) Tunjukkan bahwa barisan di dalam hasil kali terbilang $\prod_n X_n$ atas ruang metrik konvergen jika dan hanya jika setiap koordinatnya konvergen, dan bahwa $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ memetrikan [topologi hasil kalinya](#def-b3-topology-constructions). (c) Pada $\R^\N$, tunjukkan bahwa “[topologi](#def-b3-topology-topology) kotak” (yakni semua hasil kali [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) bersifat terbuka) lebih halus secara sejati: barisan $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ konvergen ke $0$ pada [topologi hasil kalinya](#def-b3-topology-constructions) tetapi tidak pada [topologi](#def-b3-topology-topology) kotaknya.

**Solusi Latihan 6.4.**

(a) [Kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity) langsung menurut konstruksinya ([Definisi 6.9](#def-b3-topology-constructions)). Keterbukaannya: $W
\subseteq X \times Y$ yang terbuka merupakan gabungan kotak $U_i\times V_i$, dan $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (sebab kotak tak kosong terproyeksikan pada faktornya), yang terbuka. Tidak tertutup: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ tertutup di $\R^2$ (sebagai prapeta $\{1\}$ di bawah perkalian yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity)), tetapi $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ tidak tertutup.

(b) ($\Rightarrow$) Proyeksinya [kontinu](#def-b3-topology-continuity). ($\Leftarrow$) Misalkan $x^{(k)} \to x$ komponen demi komponen dan $W = \prod U_n$ sebuah [persekitaran](#def-b3-topology-topology) [basis](#def-b3-topology-basis) dari $x$, dengan $U_n = X_n$ kecuali untuk $n \in F$ yang berhingga. Untuk setiap $n \in F$, $x_n^{(k)} \in U_n$ bila $k \geq
K_n$; sehingga untuk $k \geq \max_F K_n$ berlaku $x^{(k)} \in W$. Rumus $d$ mendefinisikan sebuah metrik (sebab setiap sukunya metrik, sampai pada pemeriksaan baku bahwa $\min(1, d_n)$ demikian); bolanya: $B_d(x,
2^{-N})$ memuat kotak [basis](#def-b3-topology-basis) $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\
n \leq N'\}$ untuk $N'$ yang sesuai (sebab ekor $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ kecil), dan sebaliknya setiap kotak [basis](#def-b3-topology-basis) memuat sebuah bola-$d$: jadi kedua [topologi](#def-b3-topology-topology) itu berpersekitaran sama di setiap titik.

(c) Pada [topologi hasil kali](#def-b3-topology-constructions), $x^{(k)} \to 0$ menurut (b). Namun himpunan $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ yang terbuka-kotak memuat $0$, sedangkan $x^{(k)} \notin U$ untuk setiap $k$ (sebab koordinat ke-$n$ bernilai $1/k
\geq 1/n$ bila $n \geq k$): jadi tak ada ekornya yang masuk $U$. [Topologi](#def-b3-topology-topology) kotak lebih halus secara sejati dan bukan [topologi](#def-b3-topology-topology) bertipe hasil kali untuk keperluan kekonvergenan.

**Latihan 6.5 ★★.**

Lingkaran, dengan tiga cara. Tunjukkan bahwa berikut ini saling [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) berpasangan, disertai pemetaan eksplisitnya: (i) $S^1 \subseteq \R^2$; (ii) $\R/\Z$ (dengan [topologi kuosien](#def-b3-topology-constructions)); (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$. *(Untuk (ii): tunjukkan bahwa $\R/\Z$ bersifat [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) — angkatlah dua kelasnya menjadi wakil yang berjarak $\leq \frac12$ — dan bahwa $\pi([0,1])$ adalah seluruhnya, sehingga kuosiennya [kompak](#def-b3-topology-compact); lalu pakai [Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo).)*

**Solusi Latihan 6.5.**

Pemetaan $\varphi \colon \R \to S^1$, $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$, bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity), surjektif, dan konstan pada kelas modulo $\Z$: sehingga ia menginduksikan bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $\bar\varphi \colon \R/\Z \to
S^1$ ([Proposisi 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)). Proyeksi $\pi$ bersifat *terbuka*: sebab untuk $U \subseteq \R$ terbuka, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ terbuka, sehingga $\pi(U)$ terbuka. Sifat [Hausdorffnya](#def-b3-topology-hausdorff): misalkan $\bar x \neq \bar y$; pilihlah wakil dengan $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$; maka peta selang berjari-jari $\delta/3$ di sekitar $x$ dan $y$ bersifat terbuka (karena $\pi$ terbuka), memuat $\bar x, \bar y$, dan saling lepas (sebab dua titik prapetanya akan berjarak $< 2\delta/3$ modulo $\Z$). Kekompakannya: $\R/\Z = \pi([0,1])$, yaitu peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Kini $\bar\varphi$ merupakan bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) ke $S^1$ yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): jadi sebuah [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) ([Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

Untuk (iii): komposisi $[0,1] \hookrightarrow \R
\xrightarrow{\pi} \R/\Z$ bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity), surjektif, dan mengenali tepat $0 \sim 1$: sehingga ia menginduksikan bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ dari [ruang kompak](#def-b3-topology-compact) (yaitu peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $[0,1]$ di bawah proyeksi kuosiennya) ke ruang yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): jadi sebuah [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity). Dengan mengomposisikannya: ketiga ruang itu [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity).

**Latihan 6.6 ★★.**

Misalkan $X$ sebuah ruang metrik. (a) Tunjukkan bahwa gabungan berhingga himpunan bagian [kompak](#def-b3-topology-compact) bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact), dan bahwa irisan sembarangnya pun demikian. (b) Jika $K$ [kompak](#def-b3-topology-compact), $F$ tertutup, dan $K \cap F = \varnothing$, tunjukkan $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$; lalu berilah contoh penyangkal dengan dua himpunan tertutup yang saling lepas. (c) Tunjukkan bahwa $X$ [kompak](#def-b3-topology-compact) jika dan hanya jika *setiap* $f
\colon X \to \R$ yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity) bersifat terbatas. *(Jika ada barisan yang tak punya subbarisan konvergen, bangunlah fungsi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) tak terbatas yang berpendukung dekat sukunya; atau pakailah fungsi bertipe $x \mapsto
d(x, \cdot)$ — satu jalur yang bersih: jika $(x_n)$ tak punya titik kumpul, maka himpunan $\{x_n\}$ tertutup dan diskret, dan $f(x_n) = n$ dapat diperluas secara [kontinu](#def-b3-topology-continuity) tanpa Tietze lewat $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ untuk $r_n$ yang cukup kecil.)*

**Solusi Latihan 6.6.**

(a) Selimut $K_1 \cup \dots \cup K_m$ terbatas menjadi selimut setiap $K_j$: jadi berhingga [himpunan terbuka](#def-b3-topology-topology) per kepingan sudah cukup. Sedangkan irisan $\bigcap K_i$ tertutup di dalam $K_{i_0}$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact) (sebab himpunan [kompak](#def-b3-topology-compact) bersifat tertutup di ruang metrik lingkungannya), sehingga [kompak](#def-b3-topology-compact).

(b) Fungsi $x \mapsto d(x, F)$ bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (Lipschitz-$1$) dan positif sejati pada $K$ (sebab $d(x, F) = 0$ berarti $x \in \bar F =
F$); dan pada $K$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact) ia mencapai minimum $m > 0$: jadi $d(K, F)
\geq m$. Contoh penyangkal tanpa kekompakan: $F_1 = \{n : n \geq
2\}$ dan $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ tertutup, saling lepas, tetapi berjarak $\inf_n \frac1n = 0$.

(c) Jika $X$ [kompak](#def-b3-topology-compact), setiap $f$ yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity) bersifat terbatas ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Sebaliknya, jika $X$ tidak [kompak](#def-b3-topology-compact), ambillah $(x_n)$ yang tak punya subbarisan konvergen ([Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)); dengan beralih ke subbarisan kita boleh menganggap $x_n$ berbeda berpasangan, dan tak ada titik $X$ yang menjadi titik kumpul barisan itu, sehingga

$$
r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq
n\}\bigr)\Bigr) > 0,
$$

dan bola $B(x_n, r_n)$ saling lepas berpasangan (sebab titik persekutuan bola ke-$n$ dan ke-$m$ akan memberikan $d(x_n, x_m) < r_n +
r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$). Definisikan

$$
f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x,
x_n)}{r_n}\Bigr):
$$

Pada setiap $x$ paling banyak satu sukunya tak nol, dan $f(x_n) = n$. [Kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) di $x$: misalkan $y_k \to x$; setiap nilai $f(y_k)$ entah $0$ entah sebuah nilai gundukan tunggal $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$. Jika suatu indeks $n$ muncul tak berhingga sering, maka sepanjang subbarisan itu $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to
\mathrm{bump}_n(x)$, yang sama dengan $f(x)$ (sebab jika $x \in B(x_n,
r_n)$, seluruh ekornya terletak di bola terbuka itu dan tak ada indeks lain yang muncul; sedangkan jika $x \notin B(x_n, r_n)$ maka $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$, karena $x$, yang melekat pada bola ke-$n$, tak terletak di bola terbuka lain mana pun). Jika $n_k \to \infty$: maka $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$, sehingga $x_{n_k}
\to x$, dan itu menjadikan $x$ titik kumpul $(x_n)$ — yang sudah dikecualikan; jadi kasus ini hanya menyangkut berhingga banyak $k$. Pada setiap kasus $f(y_k) \to f(x)$: jadi $f$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity), sekaligus tak terbatas.

**Latihan 6.7 ★★.**

(Bilangan Lebesgue) Misalkan $(U_i)$ sebuah selimut terbuka bagi ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) $X$. Tunjukkan bahwa ada $\delta > 0$ sedemikian sehingga setiap himpunan bagian berdiameter $< \delta$ terletak di dalam satu $U_i$ saja. *(Kalau tidak, pilihlah $A_n$ berdiameter $< 1/n$ yang tak termuat di satu $U_i$ pun, lalu ambil titik kumpul dari $x_n \in A_n$ yang dipilih.)* Lalu simpulkan kembali teorema Heine ([Akibat 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)(b)).

**Solusi Latihan 6.7.**

Andaikan tak ada $\delta$ yang berhasil: untuk setiap $n$ ada $A_n$ berdiameter $< 1/n$ yang tak termuat di satu $U_i$ pun; pilihlah $x_n \in
A_n$. Menurut kekompakannya ([Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)), ada subbarisan $x_{n_k} \to x$; pilihlah $i$ dan $r > 0$ dengan $B(x,
r) \subseteq U_i$. Untuk $k$ besar: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ dan $1/n_k < r/2$, sehingga $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k)
\subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — kontradiksi. Untuk Heine: diberikan $\varepsilon$, selimuti $Y$ dengan bola $B(y, \varepsilon/2)$; prapetanya membentuk selimut terbuka bagi $X$; misalkan $\delta$ sebuah bilangan Lebesgue: jika $d(x, x') < \delta$, maka pasangan $\{x, x'\}$ berdiameter $< \delta$, terletak pada satu prapeta, sehingga $d(f(x),
f(x')) < \varepsilon$.

**Latihan 6.8 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa $GL_n(\R)$ merupakan himpunan bagian $M_n(\R)$ yang terbuka dan [padat](#def-b3-topology-interior), dan bahwa ia tak [terhubung](#def-b3-topology-connected): sebab tanda determinannya memisahkannya menjadi (sekurang-kurangnya) dua kepingan. Tunjukkan sebaliknya bahwa $GL_n(\C)$ [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected). *(Untuk $A, B \in GL_n(\C)$: $\lambda \mapsto \det\bigl((1 -
\lambda)A + \lambda B\bigr)$ merupakan polinomial yang tak nol secara identik, sehingga berakar berhingga banyak di $\C$: pilihlah [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) $\lambda$ di $\C$ dari $0$ ke $1$ yang menghindari akar itu.)* (b) Buktikan kepadatannya: $A + \varepsilon I$ terbalikkan untuk $\varepsilon > 0$ yang kecil.

**Solusi Latihan 6.8.**

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ terbuka (sebab $\det$ polinomial, jadi [kontinu](#def-b3-topology-continuity)). Ketakterhubungannya: $\det$ memetakannya pada $\R\setminus\{0\}$, sedangkan [ruang terhubung](#def-b3-topology-connected) berpeta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) yang [terhubung](#def-b3-topology-connected) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)); padahal $\R\setminus\{0\}$ bukan selang. Untuk $GL_n(\C)$: untuk $A, B$ yang terbalikkan, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda
B\bigr)$ merupakan polinomial dalam $\lambda$ dengan $p(0), p(1) \neq 0$, sehingga tak nol secara identik: jadi ia berakar berhingga banyak di $\C$. Bidang dikurangi berhingga banyak titik bersifat [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) (kelilingi titik itu), sehingga ada [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) $\lambda(t)$ dari $0$ ke $1$ dengan $p(\lambda(t)) \neq 0$: jadi $t \mapsto
(1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ merupakan [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) di $GL_n(\C)$.

(b) Determinan $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ lenyap untuk paling banyak $n$ nilai $\varepsilon$: sehingga matriks terbalikkan $A + \varepsilon I \to A$ ketika $\varepsilon \to 0$: itulah kepadatannya.

**Latihan 6.9 ★★.**

(a) Tunjukkan bahwa [komponen terhubung](#def-b3-topology-components) $\Q$ berupa himpunan beranggota tunggal, dan bahwa $\Q$ tidak [kompak lokal](#def-b3-topology-locallycompact) (sebab [persekitaran](#def-b3-topology-topology) [kompak](#def-b3-topology-compact) $0$ di $\Q$ akan memuat $[-r, r]\cap\Q$, yang [penutupnya](#def-b3-topology-interior) di $\Q$ tidak [kompak](#def-b3-topology-compact): potonglah pada sebuah bilangan irasional). (b) Lengkapilah [Contoh 6.22](#ex-b3-topology-sinecurve): bahwa tak ada [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) yang menghubungkan $(0,0)$ dengan $\Gamma$. *(Jika $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ sebuah [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) demikian, misalkan $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$; untuk $t
> t^*$ titiknya bergerak pada grafiknya; pilihlah $t_k \downarrow
t^*$ dengan $\gamma_1(t_k) \to 0$ yang mengenai absis tempat $\sin$ bergantian bernilai $\pm1$ — teorema nilai antara menyediakannya — sehingga bertentangan dengan [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) $\gamma_2$ di $t^*$.)*

**Solusi Latihan 6.9.**

(a) Misalkan $A \subseteq \Q$ memuat $p < q$ lalu pilihlah bilangan irasional $\alpha \in (p, q)$: maka $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup
(A\cap(\alpha, +\infty))$ memecah $A$ menjadi dua kepingan tak kosong yang terbuka relatif: jadi $A$ tak [terhubung](#def-b3-topology-connected). Komponennya beranggota tunggal. Kekompakan lokalnya gagal: [persekitaran](#def-b3-topology-topology) [kompak](#def-b3-topology-compact) $V$ dari $0$ di $\Q$ memuat $[-r, r]\cap\Q$ untuk suatu $r > 0$, yang tertutup di $V$, sehingga [kompak](#def-b3-topology-compact); padahal barisan bilangan rasional di $[-r,r]$ yang konvergen (di $\R$) ke bilangan irasional tak punya subbarisan yang konvergen *di $\Q$*: jadi bertentangan dengan [Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact).

(b) Misalkan $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ sebuah [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) dengan $\gamma(0) = (0,0)$ dan $\gamma(1) \in \Gamma$. Himpunan $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ tertutup dan tak memuat $1$; misalkan $t^*$ supremumnya, sehingga $\gamma_1(t^*) = 0$ dan $\gamma_1 > 0$ pada $(t^*, 1]$. Menurut [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) $\gamma_2$ di $t^*$, pilihlah $\delta$ dengan $\abs{\gamma_2(t) -
\gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ untuk $t \in [t^*, t^* + \delta]$. Tetapkan $t_0 = t^* + \delta$ (boleh dianggap $\leq 1$): maka $\gamma_1(t_0) > 0$, dan $\gamma_1$ mengambil setiap nilai $(0, \gamma_1(t_0)]$ pada $[t^*, t_0]$ (menurut teorema nilai antara, [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)). Pilihlah $k$ besar dengan $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ dan $b_k =
\frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$: maka ada $s, s' \in
(t^*, t_0]$ dengan $\gamma_1(s) = a_k$, $\gamma_1(s') = b_k$; dan karena titiknya terletak pada grafiknya, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) =
1$ serta $\gamma_2(s') = -1$. Keduanya tak mungkin berjarak $\frac12$ dari $\gamma_2(t^*)$: kontradiksi. Jadi $S$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetapi tidak [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected).

**Latihan 6.10 ★★★.**

Himpunan Cantor sepertiga tengah $C = \bigcap_n C_n$, dengan $C_0 =
[0,1]$ dan $C_{n+1}$ membuang sepertiga tengah yang terbuka dari setiap selang $C_n$. (a) Tunjukkan $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in
\{0,2\}\bigr\}$, dan bahwa $C$ [kompak](#def-b3-topology-compact), berinterior kosong, serta tak punya titik terisolasi (yakni *[sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect)*). (b) Tunjukkan bahwa $C$ tak [terhubung](#def-b3-topology-connected) total. (c) Tunjukkan bahwa $x \mapsto (a_n(x))_n$ merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) $C \to
\{0,2\}^\N$ (dengan [topologi hasil kali](#def-b3-topology-constructions) pada ruang diskret berisi dua titik); lalu simpulkan bahwa $C$ tak terbilang, dan bahwa $C \times C
\cong C$.

**Solusi Latihan 6.10.**

(a) Himpunan $C_n$ tepat terdiri atas $x$ yang mempunyai ekspansi terner dengan angka di $\{0, 2\}$ sampai peringkat $n$ (lewat induksi: membuang sepertiga tengah membuang angka pertama $1$, dan seterusnya; sedangkan ujungnya mempunyai dua ekspansi, salah satunya tanpa angka $1$), sehingga $C = \bigcap C_n$ merupakan himpunan jumlah $\sum a_n3^{-n}$ dengan $a_n \in \{0,2\}$. Kekompakannya: setiap $C_n$ berupa gabungan berhingga selang tertutup; jadi $C$ tertutup di $[0,1]$. [Interiornya](#def-b3-topology-interior) kosong: sebab $C \subseteq C_n$, yaitu gabungan selang berpanjang $3^{-n}$; dan selang [interior](#def-b3-topology-interior) berpanjang $\ell > 0$ harus muat di salah satunya untuk setiap $n$. Kesempurnaannya: diberikan $x \in C$ dan $m$, baliklah angka $a_m$: titik barunya berada di $C$, berbeda, dan berjarak dalam $2\cdot3^{-m}$ dari $x$.

(b) Jika $x \neq y \in C$, maka ekspansinya pertama kali berbeda pada suatu peringkat $k$; di antara keduanya terletak sebuah selang sepertiga tengah yang dibuang (yakni celah pada peringkat $k$ yang memisahkan angka $0$ dari angka $2$), sehingga memberikan titik $c \notin C$ dengan $x < c < y$ (katakanlah): jadi $C =
(C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ memecah sembarang himpunan bagian yang memuat kedua titik itu. Jadi komponennya beranggota tunggal.

(c) Pemetaan angka $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ merupakan bijeksi pada $\{0,2\}^\N$ (lewat keberadaan dan ketunggalan ekspansi-$\{0,2\}$: barisan angka yang berbeda memberikan titik yang berjarak $\geq 3^{-k} > 0$ pada tempat pertama perbedaannya, seperti pada [Soal 6.1](#pb-b3-topology-1), pertanyaan 1). Ia [kontinu](#def-b3-topology-continuity): sebab $\abs{x - y} < 3^{-m}$ memaksa $m$ angka pertamanya bersesuaian (dengan perhitungan yang sama), sehingga $\beta$ memetakan bola kecil ke dalam kotak basisnya. Dan bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari $C$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact) ke hasil kali yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) ([Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo); hasil kalinya [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): pisahkan pada koordinat yang berbeda). Ketakterbilangannya: lewat diagonal Cantor pada $\{0,2\}^\N$. Akhirnya $\{0,2\}^\N \times
\{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ lewat penyelipan angka (yang merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity): [kontinu](#def-b3-topology-continuity) komponen demi komponen pada kedua arahnya), sehingga $C
\times C \cong C$.

**Latihan 6.11 ★★★.**

Proyeksi stereografis: dari kutub utara $N = (0, \dots,
0, 1)$ pada $S^n \subseteq \R^{n+1}$, pemetaan $\sigma(x) =
\frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) $S^n
\setminus \{N\} \to \R^n$ (tuliskan inversnya secara eksplisit). Simpulkan bahwa $S^n$ [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan [kompaktifikasi satu titik](#def-b3-topology-locallycompact) $\widehat{\R^n}$, dan bahwa membuang *sembarang* titik $S^n$ menyisakan ruang yang [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan $\R^n$.

**Solusi Latihan 6.11.**

Untuk $y \in \R^n$, tetapkan

$$
\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 -
1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.
$$

Mudah diperiksa $\norm{\tau(y)} = 1$, $\tau(y) \neq N$, dan $\sigma(\tau(y)) = y$, $\tau(\sigma(x)) = x$: jadi $\sigma$ dan $\tau$ saling invers, keduanya [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (karena rumus rasional yang penyebutnya tak lenyap): sehingga $S^n\setminus\{N\} \cong
\R^n$. Perluaslah menjadi $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ dengan $N \mapsto \infty$: sebuah bijeksi yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity) di setiap titik $S^n\setminus\{N\}$, dan juga di $N$: sebab [persekitaran](#def-b3-topology-topology) [basis](#def-b3-topology-basis) $\infty$ berupa $\widehat{\R^n}\setminus K$ dengan $K$ [kompak](#def-b3-topology-compact) dan $K
\subseteq \bar B(0, R)$; lalu karena $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 +
x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ ketika $x_{n+1} \to 1$, himpunan $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ terpetakan di luar $\bar B(0,R)$ untuk $\eta$ kecil: itulah [kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity). Dan bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari $S^n$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact) ke $\widehat{\R^n}$ yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity). Untuk membuang titik lain $p$: sebuah rotasi $S^n$ memetakan $p$ ke $N$ (rotasi merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity)), sehingga kembali ke kasus yang sudah dihitung: $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$.

**Latihan 6.12 ★★★.**

([Kurva sinus topolog](#ex-b3-topology-sinecurve)) Misalkan

$$
T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\}
\cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .
$$

(a) Tunjukkan bahwa $T$ [kompak](#def-b3-topology-compact), dan bahwa ia merupakan [penutup](#def-b3-topology-interior) bagian grafiknya. (b) Tunjukkan bahwa $T$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) *(sebab grafiknya [terhubung](#def-b3-topology-connected) sebagai peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity); dan [penutupnya](#def-b3-topology-interior) tetap [terhubung](#def-b3-topology-connected))*. (c) Tunjukkan bahwa $T$ *tidak* [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected): tak ada [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) [kontinu](#def-b3-topology-continuity) yang menghubungkan $(0,0)$ dengan $(1, \sin1)$. *(Jika $\gamma =
(\gamma_1, \gamma_2)$ sebuah [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) demikian, misalkan $t^* = \sup\{t :
\gamma_1(t) = 0\}$; tepat setelah $t^*$, $\gamma_1$ mengambil semua nilai positif yang kecil (menurut teorema nilai antara), sehingga $\gamma_2$ berayun antara $\pm1$ pada setiap selang $(t^*, t^* + \delta)$ — bertentangan dengan [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) di $t^*$.)* (d) Simpulkan bahwa keterhubungan [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) lebih kuat secara sejati daripada keterhubungan, lalu tunjukkan bahwa contoh semacam itu tak mungkin terbuka di $\R^n$: sebab himpunan bagian $\R^n$ yang *terbuka* dan [terhubung](#def-b3-topology-connected) selalu [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) *(himpunan titik yang dapat dihubungkan ke sebuah titik acuan oleh [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) bersifat terbuka sekaligus tertutup di dalam daerah asalnya)*.

**Solusi Latihan 6.12.**

(a) Himpunan $T$ terbatas, dan tertutup: sebab limit titik $T$ yang absisnya $\to x_0 > 0$ tetap berada pada grafiknya (yang tertutup lokal) menurut [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) $\sin\frac1x$ pada $\intoc01$; sedangkan limit yang absisnya $\to 0$ berordinat di $\intcc{-1}1$, sehingga terletak pada ruas garisnya. Ia [kompak](#def-b3-topology-compact) menurut Heine–Borel ([Akibat 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)). Sebagai [penutup](#def-b3-topology-interior) grafik $\Gamma$: setiap titik $(0, y)$ dengan $y \in \intcc{-1}1$ merupakan limit titik grafiknya — selesaikan $\sin\frac1x = y$ di dekat $0$ (sebab fungsinya menyapu $\intcc{-1}1$ pada setiap selang $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$): jadi $\bar\Gamma = T$.

(b) Himpunan $\Gamma$ merupakan peta [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $\intoc01$ yang [terhubung](#def-b3-topology-connected) di bawah $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$: jadi [terhubung](#def-b3-topology-connected); dan [penutup](#def-b3-topology-interior) himpunan [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetap [terhubung](#def-b3-topology-connected) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)): sehingga $T = \bar\Gamma$ [terhubung](#def-b3-topology-connected).

(c) Andaikan $\gamma\colon\intcc01\to T$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dengan $\gamma(0) = (0,0)$, $\gamma(1) = (1, \sin1)$, lalu misalkan $t^*
= \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$: menurut [kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity) $\gamma_1(t^*)
= 0$ dan $\gamma_1 > 0$ pada $\intoc{t^*}1$. Untuk setiap $\delta > 0$, pada selang $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ nilai $\gamma_1$ mengambil semua nilai di suatu $\intoc0\eta$ (menurut teorema nilai antara, sebab $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$); khususnya ia memuat absis berbentuk $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ dan $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ untuk $k$ sebesar apa pun, dan di situ $\gamma_2 = \pm1$. Jadi pada setiap [persekitaran](#def-b3-topology-topology) kanan $t^*$, $\gamma_2$ mengambil kedua nilai $1$ dan $-1$: sehingga $\gamma_2$ tak berlimit di $t^{*+}$, dan itu bertentangan dengan [kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity). Jadi tak ada [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) yang demikian.

(d) Himpunan $T$ [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetapi tidak [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected): jadi kedua gagasan itu berbeda. Untuk $U \subseteq \R^n$ yang terbuka dan [terhubung](#def-b3-topology-connected) serta $a \in U$, misalkan $V$ himpunan titik $U$ yang dapat dihubungkan ke $a$ oleh sebuah [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) di $U$. Himpunan $V$ terbuka: sebab di sekitar $x \in V$ ada bola $B(x, r)
\subseteq U$ yang berbentuk bintang, dan menyambung [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) menuju $x$ dengan sebuah ruas garis mencapai setiap titik bola itu. Himpunan $V$ juga tertutup di $U$: sebab jika $x \in U \setminus V$, argumen bola yang sama menunjukkan $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (sebab titik $V$ di dalam bola itu akan menghubungkan $a$ ke $x$). Karena tak kosong ($a \in
V$), terbuka dan tertutup di $U$ yang [terhubung](#def-b3-topology-connected): maka $V = U$. Kurva sinus itu mengelak dari hal ini dengan menjadi tertutup dan berinterior kosong: sebab titik “buruknya” $(0,0)$ tak punya bola di dalam $T$ untuk menjembatani ayunannya.

## 6.6 Soal: himpunan Cantor dan sebuah kurva pengisi ruang

**Soal 6.1.**

Soal akhir pekan — kurva Peano memang ada, dan mengapa ia bukan homeomorfisma

Pada 1890 Peano mengejutkan analisis dengan sebuah *surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$: yaitu kurva yang mengisi sebuah persegi. Kita membangun satu dengan tangan kosong dari himpunan Cantor $C$ pada [Latihan 6.10](#exo-b3-topology-10) (yang hasilnya boleh dipakai bebas), lalu membuktikan bahwa pemetaan semacam itu tak mungkin injektif: sebab persegi bukanlah kurva. Sepanjang soal, unsur $C$ ditulis $x =
\sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ dengan angka $b_n(x) \in
\{0, 1\}$.

**Bagian I — Membaca angka secara [kontinu](#def-b3-topology-continuity).**

1. Tunjukkan bahwa jika $x, y \in C$ memenuhi $\abs{x - y} <  3^{-m}$ , maka $b_n(x) = b_n(y)$ untuk setiap $n \leq m$ . *(Jika angka pertama yang berbeda adalah $b_k$, maka $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j}  = \frac1{3^k}$.)*
2. Simpulkan bahwa setiap fungsi angka $b_n \colon C \to \{0,  1\}$ bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity) , lalu turunkan kembali [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) $C  \cong \{0,1\}^\N$ pada [Latihan 6.10](#exo-b3-topology-10) (c).

**Bagian II — Sebuah surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $C \to
[0,1]^2$.**

3. Definisikan $g \colon C \to [0,1]$ dengan $g(x) = \sum_{n\geq1}  b_n(x)\,2^{-n}$ (yakni membaca angka Cantor sebagai biner). Tunjukkan bahwa $g$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (pakailah pertanyaan 1) dan surjektif. Apakah ia injektif?
4. Definisikan $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ dengan $$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\  \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$$ (angka ganjil memberikan absisnya, angka genap ordinatnya). Tunjukkan bahwa $\Phi$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dan surjektif.

**Bagian III — Menutup celahnya: kurva Peano.**

5. Komplemen $[0,1] \setminus C$ merupakan gabungan terbilang selang terbuka $(u, v)$ yang saling lepas (yaitu sepertiga tengah yang dibuang) dan ujungnya terletak di $C$. Definisikan $f \colon  [0,1] \to [0,1]^2$ dengan $f = \Phi$ pada $C$, lalu diperluas secara *afin* pada setiap celahnya: $$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) +  \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v),  \qquad t \in (u, v).$$ Tunjukkan bahwa $f$ terdefinisi dengan baik dan surjektif pada $[0,1]^2$.
6. Tunjukkan bahwa $f$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) di setiap titik $[0,1]  \setminus C$ (sebab afin secara lokal), dan di setiap titik $C$ : diberikan $\varepsilon$ , pilihlah $m$ dengan $2^{-m} <  \varepsilon/2$ lalu pakai pertanyaan 1 untuk mengendalikan $\Phi$ pada $C$ di dekat $x$ , lalu periksalah bahwa interpolasi afinnya tak dapat lolos: pada sebuah celah $(u,v) \subseteq  (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , nilai $f(t)$ terletak pada ruas garis $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , yang kedua ujungnya dekat dengan $\Phi(x)$ . Simpulkan: $f$ merupakan *surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$ .
7. Simpulkan adanya surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^n$ untuk setiap $n \geq 2$ , dan juga $\R \to \R^2$ .

**Bagian IV — Namun tak pernah injektif.**

8. Tunjukkan bahwa *injeksi* [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $f \colon [0,1]  \to [0,1]^2$ akan menjadi [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) pada petanya ( [Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) ).
9. Tunjukkan bahwa $[0,1]$ dan $[0,1]^2$ tidak [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) : buanglah sebuah titik yang dipilih baik-baik lalu bandingkan keterhubungannya ( [Metode 6.25](#met-b3-topology-connectargument) ).
10. Simpulkan: surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ tak pernah dapat injektif — sebab yang injektif akan membuat $[0,1]^2 = f([0,1])$ [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dengan $[0,1]$ menurut pertanyaan 8, dan itu bertentangan dengan pertanyaan 9. Di manakah tepatnya kekompakan $[0,1]$ masuk ke dalam argumennya?
11. (Puncaknya) Rangkailah pelajarannya: ada surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) tetapi tak ada bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to  [0,1]^2$ . Apa yang dikatakan hal ini tentang “dimensi” sebagai gagasan [topologi](#def-b3-topology-topology) ? Rumuskan secara tepat satu teorema yang dibuktikan pada soal ini dan satu pernyataan masuk akal yang tetap di luar jangkauan perkakas kita (yakni invariansi domain).

**Bagian V — Aritmetika himpunan Cantor.**

12. Buktikan bahwa $C + C = [0, 2]$ : diberikan $t \in [0, 1]$ , tulis $t = \sum_n d_n3^{-n}$ dengan angka $d_n \in \{0,  1, 2\}$ lalu pecahlah setiap angkanya sebagai $d_n = a_n + b_n$ dengan $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; simpulkan bahwa $\frac C2 +  \frac C2 = [0, 1]$ *(himpunan bagian $[0,1]$ manakah $\frac C2$ itu, dinyatakan dalam angka ternernya?)* , lalu skalakan kembali. Tak pernah ada simpanan yang diperlukan — katakan mengapa itulah intinya.
13. Tafsirkan secara geometri: “debu Cantor” $C \times  C \subseteq \R^2$ , yang berinterior kosong, melemparkan bayangan *penuh* pada diagonalnya: sebab proyeksi $(x,  y) \mapsto x + y$ memetakannya pada $[0, 2]$ . Catat pula keserupaan dirinya $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +  \frac23\bigr)$ , yaitu persamaan di balik setiap gambar $C$ .
14. Tunjukkan bahwa penyelipan angka berselang mendefinisikan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) $C  \to C \times C$ , lalu simpulkan $C \cong C^n$ untuk setiap $n$ — jadi himpunan Cantor adalah kuadrat dirinya sendiri, juga kubusnya, … Ruang akrab manakah yang berbagi sifat ini?
15. Tunjukkan bahwa $\frac14 \in C$ *(hitunglah ekspansi ternernya: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$)* walaupun $\frac14$ bukan ujung selang mana pun yang dibuang; lalu simpulkan — dengan mencacah ujungnya — bahwa ujung-ujung itu membentuk himpunan bagian sejati $C$ yang terbilang.
16. Tunjukkan bahwa pemetaan pembacaan biner $g$ pada pertanyaan 3 bersifat paling banyak $2$ -ke- $1$ , lalu uraikan dengan tepat titik mana di $[0,1]$ yang mempunyai dua prapeta. (Pemetaan $g$ meruntuhkan $C$ pada $[0,1]$ dengan merekatkan terbilang banyak pasangan: yaitu bayangan kombinatorik tangga Cantor yang akan dijumpai lagi di [Bab 9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#ch-b3-measure) .)

**Bagian VI — Himpunan [kompak](#def-b3-topology-compact) [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect): Cantor di mana-mana.** Sebuah ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) tak kosong $P$ disebut *[sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect)* jika ia tak punya titik terisolasi.

17. Misalkan $P$ [kompak](#def-b3-topology-compact) [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) dan misalkan $x \in P$ , $r > 0$ . Tunjukkan bahwa bola $B(x, r)$ memuat dua titik $y_0  \neq y_1$ dari $P$ , dan karenanya dua bola tertutup *saling lepas* $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ di dalam $B(x, r)$ , yang berpusat di titik $P$ dan berjari-jari $\rho  \leq r/4$ sekecil yang diinginkan. Jelaskan mengapa kesempurnaannya (yakni tanpa titik terisolasi) tepat merupakan syarat yang membuat pemecahan ini dapat diulang di dalam *masing-masing* bola baru itu.
18. Iterasikan: bangunlah himpunan tertutup $F_w \neq \varnothing$ yang diindeks kata biner berhingga $w$ , dengan $F_{w0},  F_{w1} \subseteq F_w$ saling lepas dan $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w}  \operatorname{diam}P$ . Tunjukkan bahwa untuk setiap kata tak berhingga $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ irisan $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ berupa satu titik $h(\varepsilon)$ *(lewat sifat irisan berhingga pada $P$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact))* .
19. Tunjukkan bahwa $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ injektif dan [kontinu](#def-b3-topology-continuity) , lalu simpulkan: *setiap ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) yang [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) bersifat tak terbilang* — bahkan berkardinalitas sekurang-kurangnya sebesar $\{0,1\}^\N$ . Peroleh kembali: $[0,1]$ dan $C$ tak terbilang.
20. Tunjukkan bahwa $h$ merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) pada petanya *(sebab injeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari sebuah [kompak](#def-b3-topology-compact), [Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))* : jadi setiap ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) yang [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) memuat salinan [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) dari himpunan Cantor. Himpunan Cantor bukanlah keanehan melainkan benih universal bagi kesempurnaan [kompak](#def-b3-topology-compact) .
21. Simpulkan bahwa setiap ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) yang terbilang mempunyai titik terisolasi, lalu tampilkan satu contoh yang titik terisolasinya [padat](#def-b3-topology-interior) tetapi bukan seluruhnya: $K = \{0\} \cup  \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
22. (Cantor–Bendixson untuk $\R$ ) Misalkan $F \subseteq \R$ tertutup. Sebutlah $x$ sebuah *titik kondensasi* $F$ jika setiap [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $x$ memotong $F$ secara tak terbilang. Tunjukkan bahwa titik kondensasi sebuah $F$ tertutup yang tak terbilang membentuk himpunan tertutup [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) tak kosong $P$ , dan bahwa $F  \setminus P$ terbilang *(selimuti titik yang bukan kondensasi dengan terbilang banyak selang rasional yang memotong $F$ secara terbilang)* . Simpulkan: setiap himpunan bagian $\R$ yang tertutup bersifat terbilang atau berkardinalitas kontinum — jadi hipotesis kontinum berlaku untuk himpunan tertutup.

**Bagian VII — [Penutup](#def-b3-topology-interior): seberapa mulus, dan seberapa jauh dari [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect).**

23. (Kemulusan Hölder pada kurvanya) Tetapkan $\alpha =  \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$, lalu catat identitas $3^\alpha = \sqrt2$. Dengan memakai pertanyaan 1, tunjukkan bahwa $$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x -  y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$$ lalu rambatkan taksirannya melalui celah afinnya: tunjukkan bahwa kurva Peano $f$ pada pertanyaan 6 memenuhi $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ pada seluruh $[0,1]$ *(tangani pasangan di celah yang sama lewat interpolasi, lalu pasangan umumnya lewat titik ekstrem $C \cap [t, s]$)*.
24. (Eksponen $\frac12$ adalah tembok) Tunjukkan bahwa tak ada surjeksi $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ yang dapat bersifat Hölder- $\alpha$ dengan $\alpha > \frac12$ : potonglah $[0,1]$ menjadi $N$ selang, batasilah diameter petanya, lalu cacahlah titik kisi $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , yang dapat dimuat sebuah himpunan berdiameter $< \frac1M$ ; lalu pilihlah $M$ berorde $N^\alpha$ dan biarkan $N \to \infty$ . Letakkan kurva kita ( $\alpha \approx 0.3155$ ) relatif terhadap tembok itu, lalu catat tanpa bukti bahwa kurva Hilbert mencapai eksponen kritis $\frac12$ .
25. (Himpunan turunan: mengukur ketaksempurnaan) Untuk $F$ yang tertutup di $\R$, misalkan $F'$ himpunan titik limit $F$ (yang juga tertutup), lalu iterasikan: $F^{(0)} = F$, $F^{(i+1)}  = (F^{(i)})'$. Periksalah bahwa $$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup  \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$$ merupakan himpunan [kompak](#def-b3-topology-compact) terbilang dengan $K' = \{0\} \cup  \{\frac1m\}$, $K'' = \{0\}$, $K''' = \varnothing$ *(periksalah bahwa gugusan ke-$m$ hidup di dalam selang $(\frac1m, \frac1{m-1})$, sehingga gugusannya tidak saling menyisip)*, dan bahwa titik terisolasinya [padat](#def-b3-topology-interior) di $K$, seperti diramalkan pertanyaan 21. Uraikan induksi yang menghasilkan, untuk setiap $j$, sebuah [kompak](#def-b3-topology-compact) terbilang $K_j$ dengan $K_j^{(j)} = \{0\}$ dan $K_j^{(j+1)} =  \varnothing$, lalu bandingkan dengan himpunan [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) pada pertanyaan 22, yang penurunannya tak pernah bergerak: jadi rank berhingga persis merupakan lawan kesempurnaan.

**Solusi Soal 6.1.**

**1.** Andaikan ekspansi $x, y \in C$ pertama kali berbeda pada peringkat $k \leq m$, katakanlah $b_k(x) = 1$, $b_k(y) = 0$. Maka

$$
x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j}
= \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:
$$

kontraposisinya: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ memaksa kesesuaian sampai peringkat $m$.

**2.** Menurut pertanyaan 1, $b_n$ konstan pada $C \cap (x -
3^{-n}, x + 3^{-n})$: jadi konstan lokal, sehingga [kontinu](#def-b3-topology-continuity). Pemetaan $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ bersifat [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (komponen demi komponen, [Proposisi 6.10](#prop-b3-topology-universal)(a)) dan bijektif (karena ekspansi angka-$\{0,2\}$ tunggal); dan dari $C$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact) ke [ruang Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff), ia merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) ([Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**3.** [Kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity): jika $\abs{x - y} < 3^{-m}$, maka $m$ angka pertamanya bersesuaian, sehingga $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n}
= 2^{-m}$. Kesurjektifannya: setiap $t \in [0,1]$ mempunyai ekspansi biner $t = \sum b_n2^{-n}$, dan $t = g\bigl(\sum
2b_n3^{-n}\bigr)$. Tidak injektif: sebab $g$ mengenali kedua titik Cantor berangka $(0,1,1,1,\dots)$ dan $(1,0,0,\dots)$ — keduanya terpetakan ke $\frac12$ (lewat kedwiartian diadik $0.0111\ldots_2 =
0.1000\ldots_2$).

**4.** Setiap komponen $\Phi$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) lewat taksiran yang sama (sebab angkanya merupakan subbarisan $b_n$). Kesurjektifannya: diberikan $(s, t) \in [0,1]^2$, pilihlah angka biner $(c_n)$ dari $s$ dan $(d_n)$ dari $t$, lalu selipkan berselang: titik $x
\in C$ dengan $b_{2n-1}(x) = c_n$, $b_{2n}(x) = d_n$ memenuhi $\Phi(x) = (s,t)$.

**5.** Celahnya saling lepas berpasangan dengan ujung di $C$, sehingga rumusnya mendefinisikan $f$ tanpa kedwiartian pada $[0,1]$; dan di ujung sebuah celah rumus afinnya mengembalikan $\Phi(u)$ dan $\Phi(v)$: jadi konsisten dengan $f = \Phi$ pada $C$. Kesurjektifannya: sudah $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$.

**6.** Di $t_0 \notin C$: titik $t_0$ terletak pada celah terbuka tempat $f$ bersifat afin: jadi [kontinu](#def-b3-topology-continuity). Di $x \in C$: kita catat lebih dahulu dua taksiran.

*(i) Pada $C$*: jika $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$ dengan $y \in C$, maka angkanya bersesuaian sampai $M$, sehingga setiap komponen $\Phi(y)
- \Phi(x)$ paling besar $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} =
2^{-\lfloor M/2\rfloor}$.

*(ii) Menyeberangi sebuah celah*: celah $(u,v)$ yang dibuang pada tahap $k$ berpanjang $3^{-k}$, dan ujungnya berangka sesuai sampai peringkat $k - 1$ (sebab keduanya berbeda mulai peringkat $k$), sehingga $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq
2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$.

Sekarang misalkan $\abs{t - x} < 3^{-M}$ dengan $t$ pada sebuah celah $(u, v)$ dari tahap $k$, dan katakanlah $u$ ujung di pihak $x$, sehingga $\abs{u - x} < 3^{-M}$ dan $0 < t - u < 3^{-M}$. Maka

$$
\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty
\leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty
+ \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty
\leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\,
2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .
$$

Untuk $k \geq M$ suku terakhirnya $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2
\rfloor}$; sedangkan untuk $k < M$, karena $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq
\sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$,

$$
3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M}
= \sqrt2\; 2^{-M/2}
$$

(sebab kuantitas di tengahnya naik terhadap $k$). Pada semua kasus $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ dengan $C$ berupa konstanta mutlak: jadi membiarkan $M \to \infty$ membuktikan [kekontinuannya](#def-b3-topology-continuity) di $x$ (sedangkan titik $t \in C$ tercakup oleh (i)). Karena itu $f$ merupakan surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ — bahkan taksirannya menunjukkan ia Hölder bercitarasa eksponen $\log 2/(2\log
3)$, tetapi kekontinuanlah satu-satunya yang kita klaim.

**7.** Untuk $[0,1]^n$: pecahlah angka $x \in C$ menjadi $n$ subbarisan berselang lalu ulangi pertanyaan 4–6 kata demi kata. Untuk $\R \to \R^2$: misalkan $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ sebuah surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (skalakan kembali $f$). Definisikan $F$ pada $[m, m
+ \frac12]$ (dengan $m \in \Z$) sebagai salinan $h$ yang diskalakan untuk mengisi $[-(m+1), m+1]^2$ bila $m \geq 0$ (dan secara simetris bila $m <
0$), lalu pada $[m + \frac12, m + 1]$ sebagai ruas afin yang menghubungkan nilai di ujungnya: maka $F$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (lewat perekatan pada kepingan tertutup, [Proposisi 6.6](#prop-b3-topology-gluing)(b)) dan petanya memuat $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$.

**8.** Ruang $[0,1]$ [kompak](#def-b3-topology-compact) dan $[0,1]^2$ [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): sehingga injeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) merupakan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) pada petanya ([Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) yang diterapkan pada korestriksinya).

**9.** Buanglah $\frac12$: maka $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ menjadi tak [terhubung](#def-b3-topology-connected). Seandainya $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ sebuah [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity), maka $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ juga akan tak [terhubung](#def-b3-topology-connected) (karena peta [homeomorfik](#def-b3-topology-continuity) ruang tak [terhubung](#def-b3-topology-connected) tetap tak [terhubung](#def-b3-topology-connected)); padahal persegi dikurangi sebuah titik bersifat [terhubung lintasan](#def-b3-topology-pathconnected): hubungkan dua titiknya dengan [lintasan](#def-b3-topology-pathconnected) dua ruas yang menghindari lubangnya. Kontradiksi: jadi $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.

**10.** Menurut pertanyaan 8, surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) yang injektif $[0,1] \to [0,1]^2$ akan menjadi [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity), dan itu bertentangan dengan pertanyaan 9. Kekompakannya masuk persis pada [Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo): sebab di situlah invers sebuah bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) menjadi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) (karena peta himpunan tertutup bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact), sehingga tertutup). Tanpa kekompakan kesimpulannya sungguh gagal: $[0, 2\pi) \to S^1$ merupakan bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) yang bukan [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity).

**11.** Yang dibuktikan di sini: *ada surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity), tetapi tak ada bijeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity), dari $[0,1]$ pada $[0,1]^2$; khususnya $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.* Jadi “dimensi” tidak terpelihara oleh surjeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) — kardinalitas dan bahkan [kekontinuan](#def-b3-topology-continuity) tak dapat melihatnya — tetapi ia *memang* invarian [topologi](#def-b3-topology-topology) pada tingkat [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity), setidaknya untuk dimensi $1$ lawan $2$, tempat keterhubungan setelah penghapusan sudah mencukupi. Pernyataan umumnya — yaitu *invariansi domain*: bahwa $\R^m \cong \R^n$ mengakibatkan $m =
n$, dan bahwa injeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) $\R^n \to \R^n$ bersifat terbuka — memang benar tetapi menuntut [topologi](#def-b3-topology-topology) aljabar (homologi), yang melampaui kuliah ini.

**12.** Dalam terner, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n
\in \{0, 1\}\}$ (karena membagi dua angka $\{0,2\}$ memberikan angka $\{0,1\}$). Untuk $t \in [0,1]$, ambillah sembarang ekspansi terner $t =
\sum_nd_n3^{-n}$ dengan $d_n \in \{0,1,2\}$, lalu pecahlah setiap angkanya sebagai $d_n = a_n + b_n$ dengan $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ($0 = 0{+}0$, $1 = 1{+}0$, $2 = 1{+}1$): maka $t \in \frac C2 + \frac C2$. Intinya adalah bahwa setiap angkanya terpecah *di dalam* $\{0,1\}$, sehingga tak ada simpanan yang merambat dan angkanya dapat digarap secara bebas. Inklusi sebaliknya jelas (sebab jumlah angkanya tetap $\leq 2$). Setelah diskalakan dengan $2$: $C + C = [0,2]$.

**13.** Pemetaan $(x, y) \mapsto x + y$ mengirim $C \times C$ pada $C + C = [0,2]$: jadi debu itu, yang tak memuat persegi mana pun (karena [interiornya](#def-b3-topology-interior) kosong: [Latihan 6.10](#exo-b3-topology-10)), terproyeksikan sepanjang antidiagonalnya pada ruas garis penuh. Keserupaan dirinya: sebab angka terner pertama sebuah titik Cantor bernilai $0$ atau $2$, dan melucutinya memberikan $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +
\frac23\bigr)$ — yaitu persamaan titik tetap yang membangkitkan setiap gambar $C$.

**14.** Melalui $C \cong \{0,1\}^\N$ (pertanyaan 2), penyelipan $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto
(\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2,
\varepsilon_2', \dots)$ merupakan bijeksi $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$ yang [kontinu](#def-b3-topology-continuity) pada kedua arahnya (sebab setiap koordinat keluarannya bergantung pada satu koordinat masukan saja; lihat [topologi hasil kalinya](#def-b3-topology-constructions)). Karena itu $C\times C \cong C$ dan secara induktif $C^n \cong C$. Ruang yang akrab tak berbagi sifat ini: $\R^2 \not\cong \R$ dan $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (pertanyaan 11); sedangkan hasil kali tak berhingga memang berbagi: $([0,1]^\N)^2 \cong
[0,1]^\N$ lewat penyelipan yang sama.

**15.** $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1
- 1/9} = \frac14$: jadi ekspansi terner $\frac14$ adalah $0.\overline{02}$, dengan angka di $\{0,2\}$, sehingga $\frac14 \in
C$; dan karena ia bukan ekspansi berhingga maupun ekor yang akhirnya bernilai $2$, ia bukan ujung sepertiga tengah mana pun yang dibuang. Ujungnya membentuk himpunan terbilang (dua per selang yang dibuang, dan selangnya terbilang banyaknya), sedangkan $C \cong \{0,1\}^\N$ tak terbilang (lewat argumen diagonal, atau pertanyaan 19): jadi hampir setiap titik Cantor, seperti $\frac14$, tak terlihat pada gambar ujung yang biasa.

**16.** Kesamaan $g(x) = g(y)$ berarti barisan biner $(b_n(x))$ dan $(b_n(y))$ mewakili bilangan real yang sama. Dan barisan biner berbeda yang mewakili bilangan sama tepat muncul pada kedwiartian diadik $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$: jadi paling banyak dua prapeta, dan tepat dua persis pada bilangan rasional diadik di $(0,1)$. Jadi $g$ meruntuhkan $C$ pada $[0,1]$ dengan merekatkan terbilang banyak pasangan — yaitu kerangka kombinatorik tangga Cantor pada [Bab 9](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran#ch-b3-measure).

**17.** Titik $x$ tak terisolasi di $P$, sehingga $B(x, r/2)$ memuat suatu $y_0 \in P \setminus \{x\}$; dan $y_0$ pun tak terisolasi, sehingga $B(x, r/2)$ memuat titik kedua $y_1
\in P$. Sembarang $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3,
\frac r4\bigr)$ membuat $\bar B(y_0, \rho)$ dan $\bar B(y_1,
\rho)$ saling lepas dan termuat di $B(x, r)$. Keduanya berpusat di titik $P$, dan di situ penarikan dua titik yang sama dapat diulang: jadi kesempurnaan merupakan pasokan tak habis-habis titik terdekat yang menjaga rekursinya tetap hidup selamanya.

**18.** Bangunlah $F_w$ dengan induksi pada panjang katanya: $F_\varnothing = P$, dan di dalam setiap bola $B(y_w, \rho_w)$ pertanyaan 17 melahirkan dua bola tertutup saling lepas berjari-jari $\leq
\min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ yang berpusat di titik $P$; lalu tetapkan $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi})
\cap P$: tak kosong (memuat pusatnya) dan [kompak](#def-b3-topology-compact). Untuk $\varepsilon$ yang tak berhingga, [kompak](#def-b3-topology-compact) tak kosong yang bersarang $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ beririsan tak kosong (lewat sifat irisan berhingga pada $P$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact)), dengan diameter $0$: jadi satu titik $h(\varepsilon)$.

**19.** Kata yang pertama kali berbeda pada peringkat $m$ mengirim petanya ke dua himpunan yang *saling lepas* $F_{w0}, F_{w1}$ (dengan awalan bersama $w$): jadi $h$ injektif. Jika dua kata bersesuaian sampai peringkat $m$, maka kedua petanya terletak di himpunan berdiameter $\leq
2^{-m}\operatorname{diam}P$: jadi $h$ [kontinu](#def-b3-topology-continuity). Karena itu $\{0,1\}^\N$ yang tak terbilang terinjeksi ke $P$: jadi setiap ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) yang [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) bersifat tak terbilang — termasuk $[0,1]$ dan $C$.

**20.** Pemetaan $h$ merupakan injeksi [kontinu](#def-b3-topology-continuity) dari $\{0,1\}^\N$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact) ke $P$ yang [Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) (karena metrik): [Akibat 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) meningkatkannya menjadi [homeomorfisma](#def-b3-topology-continuity) pada petanya; dan $\{0,1\}^\N \cong C$ (pertanyaan 2). Jadi setiap ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) yang [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) memuat salinan himpunan Cantor: kesempurnaan mempunyai benih universal, dan benih itu milik Cantor.

**21.** Ruang metrik [kompak](#def-b3-topology-compact) yang terbilang tak mungkin [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) (pertanyaan 19), sehingga ia mempunyai titik terisolasi. Di $K =
\{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$ setiap titik $\frac1n$ bersifat terisolasi sedangkan $0$ tidak: jadi titik terisolasi bahkan dapat [padat](#def-b3-topology-interior) tanpa membuat ruangnya diskret — sebab kekompakan menahan limitnya tetap di dalam.

**22.** Misalkan $P$ himpunan titik kondensasi $F$ dan $\mathcal B$ keluarga terbilang berisi selang terbuka berujung rasional. Setiap titik $F$ yang bukan kondensasi terletak di suatu $I \in \mathcal B$ dengan $I \cap F$ terbilang, sehingga $F
\setminus P$ termuat di gabungan terbilang banyak himpunan terbilang itu: jadi terbilang. Karena $F$ tak terbilang, $P \neq \varnothing$; lalu $P$ tertutup (sebab jika $x \notin P$, maka maka selang saksi $I$ tak memuat satu titik kondensasi pun: $I \cap F$ terbilang) dan $P \subseteq F$ (sebab $F$ tertutup: titik kondensasi khususnya melekat padanya). Lalu $P$ [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect): sebab seandainya $I \cap P = \{x\}$ untuk suatu selang $I$, maka $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ akan terbilang, dan itu bertentangan dengan $x \in P$. Kini konstruksi pohon pada pertanyaan 17–19 berjalan kata demi kata di dalam $P$: sebab kepingan $\bar B(y, \rho) \cap P$ bersifat [kompak](#def-b3-topology-compact) (sebagai himpunan bagian $\R$ yang tertutup dan terbatas), setiap pusatnya tak terisolasi di $P$, dan argumennya tak pernah memakai lebih dari itu. Karena itu $\abs P \geq
\abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$, sedangkan $\abs F \leq \mathfrak
c$ secara trivial: jadi $F \subseteq \R$ yang tertutup dan tak terbilang berkardinalitas tepat $\mathfrak c$. Himpunan tertutup tak dapat menjadi saksi kegagalan hipotesis kontinum.

**23.** Misalkan $x \neq y$ di $C$ lalu pilihlah $m \geq 0$ dengan $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$. Menurut pertanyaan 1, angka $b_n(x) = b_n(y)$ bersesuaian untuk $n \leq m$; sedangkan koordinat pertama $\Phi$ memakai $b_1, b_3, \dots$ dan koordinat keduanya $b_2,
b_4, \dots$, sehingga pada setiap koordinat kedua titik itu berbagi sekurang-kurangnya $\lfloor m/2\rfloor$ angka biner terdepan:

$$
\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty
\leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k}
= 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2}
= \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha
\leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,
$$

dengan memakai $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ (ambil logaritmanya); dan $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$: jadi batasnya $2\abs{x-y}^\alpha$ pada $C$. Untuk celah $(u, v)$ yang sama: $f$ bersifat afin di sana, sehingga untuk $t, s \in [u, v]$,

$$
\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,
\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}
\leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha
\leq 2\abs{t-s}^\alpha,
$$

karena $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}}
{v-u}\bigr)^\alpha$ bila $\abs{t-s} \leq v - u$. Untuk $t <
s$ yang umum: jika $[t, s]$ memotong $C$, misalkan $u'$ dan $v'$ titik terkecil dan terbesar dari $C \cap [t, s]$ yang [kompak](#def-b3-topology-compact); maka $t$ terletak pada sebuah celah (atau pada sebuah titik $C$) yang ujung kanannya $u'$, sedangkan $s$ pada celah yang ujung kirinya $v'$, dan

$$
\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha
+ 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha
\leq 6\abs{t - s}^\alpha ;
$$

sedangkan jika $[t, s]$ meleset dari $C$, kasus celah yang sama berlaku. Jadi $f$ bersifat Hölder-$\alpha$ dengan $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$.

**24.** Andaikan $\norm{F(t) - F(s)} \leq
C\abs{t-s}^\alpha$ dengan $F$ surjektif dan $\alpha >
\frac12$. Potonglah $[0,1]$ menjadi $N$ selang $I_1, \dots, I_N$ berpanjang $\frac1N$: maka setiap peta $F(I_j)$ berdiameter $\leq
CN^{-\alpha}$. Dua titik berbeda pada kisi $G_M =
\bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j
\leq M}$ berjarak $\geq \frac1M$, sehingga himpunan berdiameter $< \frac1M$ memuat paling banyak satu di antaranya. Pilihlah $M =
\lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ (dengan $N$ besar): maka $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$, dan kesurjektifannya menempatkan setiap dari $(M+1)^2$ titik kisi itu di suatu $F(I_j)$, sehingga

$$
\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,
$$

dan $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ gagal untuk $N$ besar bila $2\alpha > 1$: kontradiksi. Kurva kita, dengan $\alpha \approx
0.3155$, duduk di bawah tembok itu, seperti seharusnya; sedangkan kurva Hilbert (yang diterima tanpa bukti) bersifat Hölder-$\frac12$, sehingga eksponen kritis $\frac12$ memang tercapai — jadi kemulusan Hölder, tak seperti keinjektifan, merupakan soal derajat, dan $\frac12$ tepat merupakan perbatasan yang dipaksakan dimensi $2$ pada pemetaan dari dimensi $1$.

**25.** Gugusan ke-$m$, yakni $\{\frac1m + \frac1n : n >
m^2\}$, terletak di $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr]
\subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ untuk $m \geq 2$, karena $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} >
\frac1{m^2}$ (dan gugusan pertamanya terletak di $(1, \frac32]$): jadi gugusannya menempati selang yang saling lepas. Titik limit $K$: di dalam selang ke-$m$ hanya $\frac1m$ (sebab gugusannya konvergen ke sana dan diskret dalam dirinya sendiri); dan secara global, $0$ (sebab setiap [persekitaran](#def-b3-topology-topology) $0$ memuat gugusan utuh). Jadi $K'
= \{0\} \cup \{\frac1m\}$, lalu $K'' = \{0\}$ (sebab setiap $\frac1m$ terisolasi di $K'$), dan $K''' = \varnothing$; sedangkan $K$ memuat titik limitnya, sehingga tertutup, terbatas, terbilang, [kompak](#def-b3-topology-compact), dan titik terisolasinya — yaitu titik gugusan $\frac1m +
\frac1n$ — [padat](#def-b3-topology-interior) di $K$: sebab setiap unsur $K'$ merupakan limitnya, seperti diramalkan mekanisme pertanyaan 21. Induksinya: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ mempunyai $K_1^{(1)} = \{0\}$; lalu diberikan [kompak](#def-b3-topology-compact) terbilang $K_j \subseteq [0, 1]$ dengan $K_j^{(j)} =
\{0\}$ dan $K_j^{(j+1)} = \varnothing$, tetapkan

$$
K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1}
\Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),
$$

dengan $\varepsilon_m$ cukup kecil sehingga salinan ke-$m$ terletak di $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$. Penurunannya bekerja salinan demi salinan (sebab salinannya hidup di selang terbuka yang saling lepas), sehingga $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m +
\varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$ untuk $i \leq j$; dan pada $i = j$ hal ini terbaca $\{0\} \cup \{\frac1m\}$, lalu $K_{j+1}^{(j+1)} =
\{0\}$ dan $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$. Jadi setiap rank berhingga muncul. Himpunan [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) merupakan ujung yang lain: $P' = P$, sehingga penurunannya tak pernah bergerak — dan Cantor–Bendixson (pertanyaan 22) mengatakan persis bahwa setiap himpunan tertutup terpecah menjadi inti [sempurna](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#prop-b3-galois-perfect) yang tak terlihat oleh penurunan, dan sisa terbilang yang dimakan habis oleh penurunan.