---
title: "Ruang Banach dan Teorema Fundamentalnya"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/8-ruang-banach-dan-teorema-fundamentalnya
---

# Bab 8 — Ruang Banach dan Teorema Fundamentalnya

Analisis fungsional mempelajari ruang bernorma yang berdimensi tak berhingga lewat operator dan fungsional yang hidup di atasnya. Penemuan pendirinya adalah bahwa *[kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*, lewat teorema Baire, memaksa keseragaman yang kuat: keluarga operator yang terbatas titik demi titik ternyata terbatas normanya (Banach–Steinhaus), bijeksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) berinvers [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (pemetaan terbuka), dan grafik mendeteksi [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (grafik tertutup). Pilar yang lain, *Hahn–Banach*, tak memerlukan [kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) sama sekali — hanya lema Zorn — dan menjamin bahwa [ruang dualnya](#def-b3-banach-operator) cukup kaya untuk melihat setiap vektor. Bab ini membuktikan keempat teorema itu dan mengujinya pada ruang barisan klasik $\ell^p$, pada perhitungan [dual](#def-b3-banach-operator) yang konkret, dan pada terapan yang sungguh mengejutkan: bahwa ada fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) berperiode $2\pi$ yang deret Fouriernya *divergen* di sebuah titik — sehingga menjawab secara negatif pertanyaan yang ditinggalkan terbuka pada Tahun ke-2.

Sepanjang bab ini, $E, F$ adalah ruang bernorma atas $K = \R$ atau $\C$; dan *ruang Banach* berarti ruang bernorma yang [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

## 8.1 Operator terbatas; ruang barisan

**Definisi 8.1.**

Lambang $\mathcal L(E, F)$ menyatakan ruang berisi pemetaan linear yang *terbatas* (= [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), Tahun ke-2) dengan *norma operator* $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq
1}\norm{Tx}$; norma ini submultiplikatif: $\vertiii{ST} \leq
\vertiii S\,\vertiii T$. Adapun *dual* miliknya adalah $E' = \mathcal L(E, K)$.

**Proposisi 8.2.**

Jika $F$ ruang Banach, maka $\mathcal L(E, F)$ pun demikian; khususnya $E'$ selalu merupakan ruang Banach.

**Bukti.** Misalkan $(T_n)$ Cauchy terhadap $\vertiii\cdot$. Untuk setiap $x$ berlaku $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$: sehingga $(T_nx)$ Cauchy di $F$, jadi konvergen; sebutlah limitnya $Tx$. Pemetaan $T$ bersifat linear (sebagai limit identitas linear); lalu mengambil limit pada $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ (untuk $n, m \geq N$) memberikan $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$: jadi $T_n \to T$ dalam [norma operator](#def-b3-banach-operator), dan $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} +
\varepsilon < \infty$. ∎

**Definisi 8.3.**

Ruang barisan klasiknya (atas $K$, diindeks oleh $\N$):

$$
\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n
\abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p <
\infty),
$$

$$
\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},
$$

dan $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ dengan $\norm\cdot_\infty$. Bahwa $\norm\cdot_p$ merupakan norma menyusul dari ketaksamaan Minkowski, yang dibuktikan pada kasus diskretnya persis seperti di [Bab 12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#ch-b3-lp) (atau dengan menjumlahkan ketaksamaan berdimensi berhingga pada Tahun ke-2). Semuanya ruang Banach, dan $c_0$ merupakan subruang tertutup $\ell^\infty$ ([Latihan 8.3](#exo-b3-banach-3)).

![Bola satuan norma-p di bidang, yang bersarang ketika p tumbuh dari 1 (belah ketupat) melalui 2 (cakram) dan 4 (superelips) sampai ∈fty (persegi). Kekonveksan setiap bolanya merupakan ketaksamaan Minkowski; sedangkan sudut-sudut di p = 1 dan p = ∈fty adalah tempat kekonveksan sejati, ketunggalan hampiran terbaik, dan kasus kesamaan pada merosot sekaligus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg)

*Bola satuan norma-$p$ di bidang, yang bersarang ketika $p$ tumbuh dari $1$ (belah ketupat) melalui $2$ (cakram) dan $4$ (superelips) sampai $\infty$ (persegi). Kekonveksan setiap bolanya *merupakan* ketaksamaan Minkowski; sedangkan sudut-sudut di $p = 1$ dan $p = \infty$ adalah tempat kekonveksan sejati, ketunggalan hampiran terbaik, dan kasus kesamaan pada [Latihan 12.12](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/12-ruang-lp#exo-b3-lp-12) merosot sekaligus.*

**Proposisi 8.4 (Deret Neumann).**

Misalkan $E$ ruang Banach dan $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ dengan $\vertiii T < 1$. Maka $I - T$ terbalikkan di $\mathcal
L(E)$, dengan $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (yang konvergen dalam [norma operator](#def-b3-banach-operator)). Akibatnya himpunan operator terbalikkan bersifat terbuka, dan pembalikannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) di sana.

**Bukti.** Deretnya konvergen mutlak (sebab $\vertiii{T^n} \leq \vertiii
T^n$, yang geometri) di dalam $\mathcal L(E)$ yang Banach ([Proposisi 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete); [Latihan 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)). Secara teleskopik, $(I - T)\sum_{n \leq
N}T^n = I - T^{N+1} \to I$, dan serupa pada sisi yang lain. Untuk keterbukaannya: jika $S$ terbalikkan dan $\vertiii{H} <
1/\vertiii{S^{-1}}$, maka $S + H = S(I + S^{-1}H)$ dengan $\vertiii{S^{-1}H} < 1$: jadi terbalikkan. [Kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pembalikannya: ungkapan deretnya memberikan $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} =
O(\vertiii H)$ secara lokal. ∎

**Contoh 8.5 (Sebuah persamaan Volterra yang diselesaikan lewat Neumann).**

Pada $E = \mathcal C(\intcc01)$, tinjaulah persamaan integral

$$
u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t,
\qquad\text{yakni}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu,
\quad (Tu)(x) = \int_0^xu .
$$

Di sini $\vertiii T \leq 1$, sehingga untuk $\abs\lambda < 1$ [deret Neumann](#prop-b3-banach-neumann) langsung berlaku: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 =
\sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$. Dengan menghitungnya, $T^n\mathbf 1 =
\frac{x^n}{n!}$, sehingga

$$
u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} =
\eu^{\lambda x} ,
$$

seperti dibenarkan oleh penurunannya. Lebih baik lagi: $\vertiii{T^n} \leq
\frac1{n!}$ (sebab kernel beriterasinya menyusut secara faktorial), sehingga $\sum\lambda^nT^n$ konvergen untuk *setiap* $\lambda$ — jadi operator $I - \lambda T$ terbalikkan untuk setiap $\lambda
\in \C$, walaupun akhirnya $\vertiii{\lambda T} \geq 1$: sebab yang menentukan adalah peluruhan spektral pangkatnya, bukan norma pertamanya. Operator Volterra membawa peluruhan faktorial itu sejak lahir ([Latihan 7.4](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(a) memanfaatkan persis hal ini), dan itulah sebabnya masalah nilai awal tak pernah mengalami gejala resonansi seperti masalah nilai batas ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/15-operator-kompak-dan-teorema-spektral#ch-b3-spectral)).

## 8.2 Hahn–Banach

**Teorema 8.6 (Hahn–Banach, bentuk analitik).**

Misalkan $E$ sebuah ruang vektor *real*, $p \colon E \to \R$ bersifat *sublinear* ($p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ dan $p(tx) =
tp(x)$ untuk $t \geq 0$), $F \subseteq E$ sebuah subruang, dan $f
\colon F \to \R$ linear dengan $f \leq p$ pada $F$. Maka $f$ dapat diperluas menjadi $\tilde f \colon E \to \R$ yang linear dengan $\tilde f \leq p$ pada $E$.

**Bukti.** *Perluasan satu langkah.* Misalkan $x_0 \notin F$; kita perluas $f$ ke $F \oplus \R x_0$ dengan memilih $\alpha = \tilde f(x_0)$ secara tepat: kita memerlukan, untuk setiap $y \in F$ dan $t > 0$,

$$
f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0)
\quad\text{dan}\quad
f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),
$$

yang setelah dibagi $t$ (lewat kesublinearannya) menyusut menjadi

$$
\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr]
\;\leq\; \alpha \;\leq\;
\inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].
$$

Bilangan $\alpha$ semacam itu ada jika dan hanya jika setiap anggota kirinya $\leq$ setiap anggota kanannya: dan memang $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq
p(u + x_0) + p(v - x_0)$, yakni $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u +
x_0) - f(u)$.

*Zorn.* Urutkan semua perluasan $f$ yang didominasi $p$ (berupa pasangan: subruang dan fungsional) menurut perluasannya; sebuah rantai mempunyai gabungannya sebagai batas atas; dan unsur maksimalnya haruslah terdefinisi pada seluruh $E$, sebab kalau tidak perluasan satu langkahnya akan bertentangan dengan kemaksimalannya. ∎

**Akibat 8.7.**

Misalkan $E$ sebuah ruang bernorma (dengan $K = \R$ atau $\C$).

1. Setiap $f \in F'$ (dengan $F$ sebuah subruang) dapat diperluas menjadi $\tilde f  \in E'$ dengan $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
2. Untuk setiap $x \neq 0$ ada $f \in E'$ dengan $\norm f  = 1$ dan $f(x) = \norm x$ . Khususnya $E'$ memisahkan titik $E$ , dan $\norm x = \sup_{\norm f \leq  1}\abs{f(x)}$ .
3. Untuk subruang tertutup $F$ dan $x \notin F$ , ada $f  \in E'$ yang lenyap pada $F$ dengan $f(x) = d(x, F)$ dan $\norm f \leq 1$ .

**Bukti.** (1) Kasus realnya: terapkan [Teorema 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) dengan $p(x)
= \norm f_{F'}\,\norm x$ (yang sublinear); maka perluasannya memenuhi $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$, sehingga $\norm{\tilde f} \leq \norm f$, sedangkan $\geq$ berasal dari pembatasannya. Kasus kompleksnya: misalkan $u = \operatorname{Re}f$, yaitu fungsional real dengan $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$; catat bahwa $f(x) = u(x) -
\iu\,u(\iu x)$ (periksa pada bagian real dan imajinernya: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$). Perluaslah $u$ secara linear-real dengan batas yang sama, lalu tetapkan $\tilde f(x) =
\tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$: ia linear atas $\C$ (periksa langsung pada perkalian dengan $\iu$) dan memperluas $f$; normanya: untuk $x$ yang diberikan tulis $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$, maka $\abs{\tilde f(x)}
= \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x)
\leq \norm f\,\norm x$.

(2) Pada $F = Kx$ definisikan $f(tx) = t\norm x$: yang bernorma $1$ pada $F$; lalu perluas lewat (1). Untuk rumus dualitasnya: $\leq$ jelas, sedangkan $\geq$ lewat $f$ ini.

(3) Pada $F \oplus Kx$ definisikan $f(y + tx) = t\,d(x, F)$; maka untuk $t \neq 0$ berlaku $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs
t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$: sehingga $\norm f \leq 1$ pada subruangnya; lalu perluas lewat (1). ∎

**Catatan 8.8.**

Menurut (2), pemetaan kanonik $J \colon E \to E''$ dengan $J(x)(f) =
f(x)$ merupakan isometri ([Latihan 8.10](#exo-b3-banach-10)): jadi setiap ruang bernorma duduk di dalam bidualnya. Ruang yang $J$-nya surjektif disebut *refleksif*; dan soal akhir pekan menunjukkan bahwa $\ell^p$ (untuk $1 < p < \infty$) [refleksif](#rem-b3-banach-bidual) sedangkan $\ell^1$ tidak.

## 8.3 Trilogi Baire

**Teorema 8.9 (Banach–Steinhaus, keterbatasan seragam).**

Misalkan $E$ sebuah ruang *Banach*, $F$ bernorma, dan $(T_i)_{i\in
I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ sebuah keluarga dengan $\sup_i
\norm{T_ix} < \infty$ untuk setiap $x \in E$. Maka $\sup_i
\vertiii{T_i} < \infty$.

**Bukti.** Himpunan $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ bersifat tertutup (sebagai irisan prapeta bola tertutup) dan menyelimuti $E$. Lalu Baire ([Teorema 7.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) memberikan $n_0$ dan sebuah bola $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$. Untuk $\norm z < r$: $\norm{T_iz}
\leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$, sehingga $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ untuk setiap $i$. ∎

**Akibat 8.10.**

Jika $E$ Banach dan $T_n \in \mathcal L(E,F)$ konvergen *titik demi titik* (yakni $T_nx \to Tx$ untuk setiap $x$), maka $\sup_n
\vertiii{T_n} < \infty$, $T \in \mathcal L(E, F)$, dan $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$.

**Bukti.** Barisan konvergen bersifat terbatas: itulah keterbatasan titik demi titiknya; lalu Banach–Steinhaus membatasi normanya oleh suatu $M$; sehingga $\norm{Tx}
= \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ (sebab $T$ linear sebagai limit titik demi titik), dan batas yang lebih tajamnya lewat mengambil $\liminf$ pada $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$. ∎

**Teorema 8.11 (Deret Fourier yang divergen).**

Ada fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) berperiode $2\pi$, sebut $f$, yang deret Fouriernya divergen di $0$: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} =
\infty$. Bahkan $f$ semacam itu membentuk himpunan bagian padat di $\mathcal
C(S^1)$.

**Bukti.** Bekerjalah di $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$, sebuah ruang Banach, dengan fungsional $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (yaitu kernel Dirichlet, Tahun ke-2). Setiap $\Lambda_N$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan

$$
\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd
t \;=\; L_N .
$$

($\leq$ jelas; sedangkan $\geq$: ambillah $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan $\norm f_\infty
\leq 1$ yang menghampiri $\operatorname{sign}D_N$ — sebab tandanya berlompatan berhingga banyak; dan menghaluskan setiap lompatannya pada selang berpanjang $\varepsilon$ mengubah integralnya sebesar $O(N\varepsilon)$.) *Konstanta Lebesgue* $L_N$ menuju tak hingga:

$$
L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}}
\,\dd t
\geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin
u}}{u}\,\dd u
$$

(dengan memakai $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ pada $[0, \pi]$, lalu menyubstitusikan $u = (N + \tfrac12)t$). Dengan memotongnya atas lengkungan:

$$
\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u
\geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u =
\frac{2}{k\pi},
\qquad\text{sehingga}\qquad
L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k
\xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .
$$

Seandainya setiap $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mempunyai $\sup_N
\abs{\Lambda_N(f)} < \infty$, maka Banach–Steinhaus akan memaksa $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$: kontradiksi. Jadi ada $f$ — bahkan himpunan $f$ yang padat dan tak [kurus](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) (yakni komplemen $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$, yaitu gabungan terbilang himpunan tertutup yang, karena tak berinterior menurut uraian di atas yang diterapkan pada bola mana pun, bersifat [kurus](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)) — yang mempunyai $\sup_N\abs{S_Nf(0)} =
\infty$. ∎

**Teorema 8.12 (Pemetaan terbuka).**

Misalkan $E, F$ ruang Banach dan $T \in \mathcal L(E, F)$ bersifat *surjektif*. Maka $T$ terbuka: $T(B_E(0,1)) \supseteq
B_F(0, c)$ untuk suatu $c > 0$. Akibatnya operator terbatas yang bijektif antara ruang Banach berinvers terbatas.

**Bukti.** Tulis $B = B_E(0,1)$. Kesurjektifannya memberikan $F = \bigcup_n
\overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$; lalu Baire ([Teorema 7.6](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) memberikan [interior](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) kepada $\overline{T(B)}$: yakni ada $B_F(y_0, 4c) \subseteq
\overline{T(B)}$. Pusatkan ulang di $0$: untuk $\norm y < 4c$, baik $y_0 + y$ maupun $y_0$ merupakan limit peta $Tu_k$, $Tv_k$ dengan $u_k, v_k \in B$, sehingga $y = \lim T(u_k - v_k)$ dengan $u_k - v_k
\in 2B$: jadi $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$, yakni $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$.

*Membuang [penutupnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior)* (dan di sinilah [kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) $E$ masuk): misalkan $\norm y < c$. Ambillah $x_1 \in \frac12 B$ dengan $\norm{y -
Tx_1} < c/2$ (sebab $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ diskalakan $\frac12$); lalu secara induktif $x_k \in 2^{-k}B$ dengan $\norm{y -
T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$. Deret $\sum x_k$ konvergen mutlak di $E$ yang Banach, ke $x \in B$ (bernorma $<
\sum 2^{-k} = 1$), dan $Tx = y$ menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): jadi $B_F(0, c)
\subseteq T(B)$. Keterbukaan $T$ pada [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) sembarang menyusul lewat translasi dan penskalaan; sedangkan untuk akibatnya, keterbukaan $T$ berarti $T^{-1}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). ∎

**Akibat 8.13 (Norma yang ekuivalen).**

Jika sebuah ruang vektor [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) terhadap dua norma yang sebanding ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$), maka kedua normanya ekuivalen.

**Bukti.** Identitas $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ bersifat terbatas dan bijektif antara ruang Banach: sehingga inversnya terbatas. ∎

**Teorema 8.14 (Grafik tertutup).**

Misalkan $E, F$ Banach dan $T \colon E \to F$ linear. Jika grafiknya $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ tertutup di $E \times F$ (yakni $x_n \to x$ dan $Tx_n \to y$ mengakibatkan $y = Tx$), maka $T$ terbatas.

**Bukti.** Ruang $E \times F$ dengan $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ bersifat Banach; dan $\Gamma$, sebagai subruang tertutup, juga Banach. Proyeksi $\pi_E\colon \Gamma \to E$ bersifat terbatas dan bijektif, sehingga inversnya $x \mapsto (x, Tx)$ terbatas ([Teorema 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)): jadi $\norm{Tx} \leq \norm{(x,
Tx)} \leq C\norm x$. ∎

**Metode 8.15.**

Kapan harus meraih teorema yang mana. *Hahn–Banach*: untuk menghasilkan fungsional dengan perilaku yang ditentukan (menormakan sebuah vektor, melenyap pada subruang, memperluas dari subruang) — dan tak perlu [kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete). *Banach–Steinhaus*: untuk mengubah informasi titik demi titik menjadi batas seragam — biasanya untuk menunjukkan bahwa operasi limitnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), atau (lewat kontraposisi) untuk membuktikan *divergensi* bagi suatu unsur, seperti pada deret Fourier. *Pemetaan terbuka / grafik tertutup*: untuk memperoleh [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) secara cuma-cuma dari kebijektifan aljabar atau dari sifat ketertutupan grafiknya — pemakaian khasnya: membandingkan dua norma [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), atau membuktikan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) otomatis. Ketiga teorema Baire itu menuntut [kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) *pada sumbernya*; dan tanpa itu ada contoh penyangkalnya ([Latihan 8.7](#exo-b3-banach-7)).

## 8.4 Ruang dual, secara konkret

**Teorema 8.16.**

Secara isometrik: $(c_0)' \cong \ell^1$ dan $(\ell^1)' \cong
\ell^\infty$, lewat pemasangan $\langle x, y\rangle = \sum_n
x_ny_n$.

**Bukti.** Kita buktikan $(c_0)' \cong \ell^1$; sedangkan pengenalan keduanya adalah [Latihan 8.5](#exo-b3-banach-5). Kepada $y \in \ell^1$ kaitkan $\Lambda_y(x)
= \sum x_ny_n$ (dengan $x \in c_0$): yang konvergen mutlak, dengan $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$, sehingga $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$. Sebaliknya misalkan $\Lambda \in
(c_0)'$; tetapkan $y_n = \Lambda(e_n)$ (dengan $e_n$ barisan satuannya). Untuk sembarang $N$, ujilah $x^{(N)} = \sum_{n \leq N}
\operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (yang bernorma $\leq
1$; pada kasus kompleksnya pakailah faktor unimodular $\bar y_n/\abs
{y_n}$): maka $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq
\norm\Lambda$. Jadi $y \in \ell^1$ dengan $\norm y_1 \leq
\norm\Lambda$. Akhirnya $\Lambda = \Lambda_y$: sebab keduanya bersesuaian pada $e_n$, sehingga pada barisan berhingga, yang padat di $c_0$ (lewat pemenggalan: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n}
\to 0$ persis karena $x_n \to 0$); dan fungsional [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang bersesuaian pada [himpunan padat](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) pastilah sama. Korespondensinya linear, bijektif, dan isometrik (sebab $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ dari kedua ketaksamaannya). ∎

## 8.5 Latihan

**Latihan 8.1 ★.**

Hitunglah [norma operatornya](#def-b3-banach-operator): (a) pergeseran $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ dan $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ pada $\ell^2$; (b) operator perkalian $M_a x = (a_nx_n)$ pada $\ell^2$, untuk $a \in \ell^\infty$; (c) fungsional $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f -
\int_{1/2}^1f$ pada $\mathcal C(\intcc01)$ — tunjukkan $\norm\Lambda = 1$ dan bahwa normanya *tidak tercapai*.

**Solusi Latihan 8.1.**

(a) Berlaku $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$: jadi $S$ merupakan isometri dan $\vertiii S =
1$. Untuk pergeseran mundurnya: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq
2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$, dengan kesamaan pada $x = e_2$: sehingga $\vertiii{S^*} = 1$.

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm
a_\infty^2\norm x_2^2$; dan mengujinya pada $x = e_n$ memberikan $\vertiii{M_a}
\geq \abs{a_n}$ untuk setiap $n$: jadi $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$.

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$: sehingga $\norm\Lambda \leq 1$. Untuk $\varepsilon > 0$ misalkan $f_\varepsilon$ bernilai $1$ pada $[0, \frac12 - \varepsilon]$, $-1$ pada $[\frac12 +
\varepsilon, 1]$, dan afin di antaranya: maka $\norm{f_\varepsilon}_\infty =
1$ dan $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$: jadi $\norm\Lambda = 1$. Tidak tercapai: sebab $\Lambda(f) = 1$ dengan $\norm
f_\infty \leq 1$ memaksa $\int_0^{1/2}f = \frac12$ dan $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$, yakni (menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan $\abs f \leq 1$) $f \equiv 1$ pada $[0, \frac12]$ dan $f \equiv -1$ pada $[\frac12,
1]$: dan itu kontradiksi di $\frac12$.

**Latihan 8.2 ★.**

Misalkan $E$ Banach, $T \in \mathcal L(E)$ terbalikkan, dan $S$ memenuhi $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$. Tunjukkan bahwa $S$ terbalikkan lalu taksirlah $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$. Terapannya: jika sistem linear $Tx = b$ [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) dengan $T$ terbalikkan, maka usikan $T$ yang cukup kecil tetap membuatnya [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) secara tunggal, dengan batas kuantitatif pada perubahan penyelesaiannya.

**Solusi Latihan 8.2.**

Tulis $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ dengan $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} =
\theta < 1$: maka menurut [Proposisi 8.4](#prop-b3-banach-neumann), $S$ terbalikkan dengan $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T -
S)\bigr)^nT^{-1}$, sehingga

$$
\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq
\sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}}
= \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.
$$

Untuk sistem linearnya: $x_T = T^{-1}b$ dan $x_S = S^{-1}b$ berbeda paling banyak sebesar batas itu dikalikan $\norm b$ — jadi usikan kecil pada sistem yang terbalikkan tetap [terselesaikan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/1-teori-grup#def-b3-groups-derived) secara tunggal, dengan kebergantungan Lipschitz penyelesaiannya pada operatornya.

**Latihan 8.3 ★★.**

(a) Buktikan bahwa $\ell^1$, $\ell^\infty$ dan $c_0$ merupakan ruang Banach, dan bahwa $c_0$ adalah [penutup](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) di $\ell^\infty$ dari ruang berisi barisan berhingga. (b) Tunjukkan $\ell^p \subseteq \ell^q$ dengan $\norm\cdot_q \leq
\norm\cdot_p$ untuk $1 \leq p \leq q \leq \infty$, dan bahwa inklusinya sejati.

**Solusi Latihan 8.3.**

(a) Untuk $\ell^1$: misalkan $(x^{(k)})$ Cauchy. Setiap koordinatnya Cauchy (sebab $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} -
x^{(l)}}_1$): misalkan $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$. Diberikan $\varepsilon$, untuk $k, l \geq K$: $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}
\leq \varepsilon$ untuk setiap $N$; biarkan $l \to \infty$, lalu $N \to
\infty$: maka $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$, dan $x =
x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$. Untuk $\ell^\infty$: Cauchy terhadap $\norm\cdot_\infty$ berarti Cauchy seragam, sehingga konvergen seragam ke sebuah barisan terbatas. Sedangkan $c_0$ tertutup di $\ell^\infty$: sebab jika $x^{(k)} \to x$ seragam dengan $x^{(k)}_n \to_n 0$, maka $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ memberikan $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$: jadi $x \in c_0$; dan subruang tertutup dari ruang Banach juga Banach. Untuk barisan berhingga: [penutupnya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) memuat setiap $x \in c_0$ (sebab pemenggalannya konvergen: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) dan termuat di $c_0$ yang tertutup.

(b) Lewat kehomogenannya andaikan $\norm x_p = 1$: maka $\abs{x_n} \leq
1$ untuk setiap $n$, sehingga $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ dan $\norm
x_q \leq 1 = \norm x_p$; sedangkan untuk $q = \infty$, $\abs{x_n} \leq
\norm x_p$ secara langsung. Kesejatiannya: $x_n = n^{-\alpha}$ dengan $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ terletak di $\ell^q \setminus
\ell^p$ (lewat deret Riemann).

**Latihan 8.4 ★★.**

Misalkan $F \subseteq E$ sebuah subruang tertutup dan $x \notin F$. Dengan memakai [Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed), buktikan rumus dualitas

$$
d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\
f\restriction_F = 0\bigr\}
$$

(perhatikan: sebuah *maksimum*). Simpulkan bahwa $F = \bigcap\{\ker f : f
\in E',\ f\restriction_F = 0\}$: jadi subruang tertutup tepat berupa irisan kernel fungsional.

**Solusi Latihan 8.4.**

($\leq$) Jika $\norm f \leq 1$ dan $f\restriction_F = 0$: maka untuk setiap $y \in F$ berlaku $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x -
y}$; lalu ambil infimumnya. ($\geq$, dan tercapai) [Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) menghasilkan $f$ dengan $f\restriction_F = 0$, $\norm f \leq 1$, dan $f(x) = d(x, F)$: sehingga supremumnya merupakan maksimum. Akibatnya: $F \subseteq \bigcap\{\ker
f : f\restriction_F = 0\}$ secara trivial, dan titik $x \notin F$ tersingkir dari irisannya oleh fungsional di atas (sebab $f(x) = d(x,F) > 0$, karena $F$ tertutup).

**Latihan 8.5 ★★.**

Buktikan $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ secara isometrik, mengikuti skema [Teorema 8.16](#thm-b3-banach-duals) (barisan berhingga padat di $\ell^1$). Di manakah argumennya runtuh untuk $(\ell^\infty)'$?

**Solusi Latihan 8.5.**

Untuk $y \in \ell^\infty$: $\abs{\Lambda_y(x)} =
\abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$, sehingga $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$; lalu mengujinya pada $e_n$: $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$: jadi kesamaan. Sebaliknya, diberikan $\Lambda \in (\ell^1)'$, tetapkan $y_n =
\Lambda(e_n)$: maka $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$, sehingga $y \in
\ell^\infty$; lalu $\Lambda$ dan $\Lambda_y$ bersesuaian pada barisan berhingga, yang padat di $\ell^1$ (sebab $\norm{x - \sum_{n\leq
N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$): jadi $\Lambda =
\Lambda_y$. Pemetaan $y \mapsto \Lambda_y$ bersifat linear, isometrik, dan surjektif. Untuk $(\ell^\infty)'$ awal yang sama menghasilkan barisan $y_n = \Lambda(e_n)$, tetapi barisan berhingga *tidak* padat di $\ell^\infty$ (sebab barisan konstan $\mathbf 1$ berjarak $1$ dari semuanya), sehingga $\Lambda$ tidak ditentukan oleh $y_n$ — dan memang $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([Soal 8.1](#pb-b3-banach-1)).

**Latihan 8.6 ★★.**

Misalkan $E, F, G$ bernorma dengan $E$ Banach, dan $B \colon E \times
F \to G$ bilinear serta [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada setiap variabelnya secara terpisah. Tunjukkan bahwa $B$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (secara bersama): $\norm{B(x,y)} \leq
C\norm x\norm y$. *(Terapkan Banach–Steinhaus pada keluarga $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$.)*

**Solusi Latihan 8.6.**

Untuk setiap $x$ yang tetap, $y \mapsto B(x, y)$ bersifat linear [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): sehingga $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$. Jadi keluarga $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (yang setiap anggotanya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terhadap $x$) bersifat terbatas titik demi titik pada ruang Banach $E$: sehingga Banach–Steinhaus ([Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) melahirkan $C$ dengan $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ untuk setiap $\norm y \leq 1$; lalu kehomogenannya terhadap $y$ menuntaskannya: $\norm{B(x,y)} \leq
C\norm x\norm y$.

**Latihan 8.7 ★★.**

(a) Pada $E = \mathcal C(\intcc01)$, bandingkan $\norm\cdot_\infty$ dan $\norm\cdot_1$: identitas $(E, \norm\cdot_\infty) \to
(E, \norm\cdot_1)$ bersifat terbatas dan bijektif tetapi inversnya tak terbatas. Hipotesis mana pada [Akibat 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) yang gagal? (b) Tampilkan pemetaan linear tak [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari sebuah subruang padat $\ell^2$ ke $K$ (misalnya pada barisan berhingga), lalu jelaskan mengapa hal itu tak bertentangan dengan teorema grafik tertutup.

**Solusi Latihan 8.7.**

(a) Berlaku $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$: sehingga identitasnya terbatas dan bijektif. Inversnya tak terbatas: sebab $f_n(x) = x^n$ mempunyai $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ tetapi $\norm{f_n}_\infty = 1$. Tak ada kontradiksi dengan [Akibat 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms): sebab $(\mathcal
C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ *tidak* [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Latihan 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)); dan akibat itu menuntut [kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) pada kedua sisinya.

(b) Pada ruang $E_0$ berisi barisan berhingga (yang padat di $\ell^2$), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ bersifat linear dan tak terbatas (sebab $\varphi(e_n) = n$ dengan $\norm{e_n}_2 = 1$). Teorema grafik tertutup tak berlaku: sebab $E_0$ tidak [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — dan $\varphi$ tak punya perluasan [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ke $\ell^2$, sehingga menggambarkan bahwa kepadatan tanpa [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) seragam tidaklah berdaya ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)).

**Latihan 8.8 ★★★.**

(Hellinger–Toeplitz) Misalkan $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ linear (terdefinisi di mana-mana) dan *simetris*: $\langle Tx,
y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ untuk setiap $x, y$, dengan $\langle
x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$. Tunjukkan bahwa $T$ terbatas. *(Lewat grafik tertutup: jika $x_k \to x$ dan $Tx_k \to z$, ujilah terhadap $y$ sembarang.)* Pelajarannya: operator simetris yang tak terbatas — yakni Hamiltonian pada mekanika kuantum — tak pernah dapat didefinisikan pada seluruh ruangnya.

**Solusi Latihan 8.8.**

Kita periksa hipotesis grafik tertutupnya. Misalkan $x_k \to x$ dan $Tx_k \to z$ di $\ell^2$. Untuk setiap $y$:

$$
\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle
= \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle
= \langle Tx, y\rangle,
$$

dengan memakai [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) hasil kali dalam pada setiap lubangnya (lewat Cauchy–Schwarz) dan kesimetriannya dua kali. Jadi $z - Tx$ ortogonal terhadap setiap $y$, khususnya terhadap dirinya sendiri: sehingga $z = Tx$. Grafiknya tertutup dan $\ell^2$ bersifat Banach: jadi $T$ terbatas ([Teorema 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). Karena itu operator simetris yang terdefinisi pada *seluruh* $\ell^2$ otomatis terbatas; sedangkan operator simetris yang sungguh tak terbatas (posisi, momentum, Hamiltonian) harus hidup pada subruang padat yang sejati.

**Latihan 8.9 ★★★.**

(Teorema Polya tentang kuadratur) Untuk setiap $n$, misalkan $\Lambda_n(f)
= \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ sebuah aturan kuadratur pada $\mathcal C(\intcc01)$ (dengan $x_{i,n} \in \intcc01$, $w_{i,n} \in
\R$). Tunjukkan bahwa $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ untuk *setiap* $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) jika dan hanya jika: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ untuk setiap polinomial $P$, dan (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} <
\infty$. *(Hitunglah $\norm{\Lambda_n}$; lalu pakai Banach–Steinhaus dan Weierstrass.)* Periksalah bahwa aturan dengan bobot *positif* yang eksak pada konstanta memenuhi (ii) secara otomatis.

**Solusi Latihan 8.9.**

Pertama, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$: sebab $\leq$ berasal dari ketaksamaan segitiga; sedangkan $\geq$ lewat menguji sebuah $f$ linear sepotong-sepotong dengan $\norm f_\infty \leq 1$ dan $f(x_{i,n}) =
\operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpolasikan secara linear di antara simpul yang berhingga banyak itu; dan bila simpulnya berimpit tandanya bersesuaian).

($\Rightarrow$) Kekonvergenan titik demi titik pada setiap $f$ mengakibatkan (i), sekaligus keterbatasan titik demi titik, sehingga Banach–Steinhaus ([Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) pada $\mathcal
C(\intcc01)$ yang Banach memberikan (ii).

($\Leftarrow$) Misalkan $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$. Diberikan $f$ dan $\varepsilon$, pilihlah polinomial $P$ dengan $\norm{f -
P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ ([Akibat 7.16](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)); maka

$$
\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr|
\leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP -
\int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr|
\leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to
\varepsilon .
$$

Untuk bobot positif yang eksak pada konstanta: $\sum_i\abs{w_{i,n}}
= \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ bagi aturan yang eksak pada konstanta — jadi (ii) berlaku dengan konstanta $1$.

**Latihan 8.10 ★★.**

Tunjukkan bahwa $J \colon E \to E''$ dengan $J(x)(f) = f(x)$ merupakan isometri linear (pakailah [Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2)), dan bahwa ia surjektif bila $\dim E < \infty$. Tunjukkan pula bahwa jika $E'$ [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable) maka $E$ pun [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable). *(Ambil $x_n$ yang hampir menormakan barisan padat di $E'$ lalu tunjukkan bahwa rentang tertutupnya adalah $E$, lewat [Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3).)*

**Solusi Latihan 8.10.**

Kelinearan $J$ bersifat formal; sedangkan $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq
1}\abs{f(x)} = \norm x$ menurut [Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2). Jika $\dim E = n$: maka $\dim E' =
n$ (sebab sebuah basis memberikan fungsional koordinatnya), sehingga $\dim E'' = n$, dan $J$ yang injektif (isometrik) menjadi surjektif. Keseparabelannya: misalkan $(f_n)$ padat di $E'$ lalu pilihlah $\norm{x_n} = 1$ dengan $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$. Misalkan $F =
\overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$; jika $F \neq E$, ambillah $g
\in E'$ dengan $g \neq 0$ yang lenyap pada $F$ ([Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3)); lalu pilihlah $f_{n_k} \to g$:

$$
\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})}
= \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}}
\geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),
$$

sehingga $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$: kontradiksi. Karena itu $F = E$, dan kombinasi rasional (atau $\Q + \iu\Q$) atas $x_n$ membentuk [himpunan padat](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) yang terbilang.

**Latihan 8.11 ★★.**

(Ruang kuosien) Misalkan $E$ sebuah ruang Banach dan $F \subseteq
E$ sebuah subruang *tertutup*. Pada $E/F$ definisikan

$$
\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .
$$

(a) Tunjukkan bahwa ini merupakan *norma* yang terdefinisi dengan baik pada $E/F$ (di manakah ketertutupan $F$ masuk?), dan bahwa proyeksi $\pi
\colon E \to E/F$ mempunyai $\vertiii\pi \leq 1$ serta memetakan bola satuan terbuka pada bola satuan terbuka. (b) Tunjukkan bahwa $E/F$ [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete). *(Pakailah kriteria deret pada [Latihan 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b): diberikan kelas $\bar x_k$ dengan $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$, angkatlah masing-masing ke $x_k \in E$ dengan $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ lalu jumlahkan di $E$.)* (c) Hitunglah: untuk $E = c$ (barisan konvergen) dan $F =
c_0$, tunjukkan $c/c_0 \cong K$ secara isometrik lewat $\bar x \mapsto
\lim_nx_n$.

**Solusi Latihan 8.11.**

(a) Terdefinisi dengan baik: sebab $d(x, F)$ hanya bergantung pada $\bar x$ (menggeser $x$ oleh $F$ tak mengubah jaraknya). Kehomogenan dan ketaksamaan segitiganya beralih dari $\norm\cdot$ melalui infimumnya. Pemisahannya memerlukan ketertutupan: sebab $\norm{\bar
x} = 0$ berarti $d(x, F) = 0$, yakni $x \in \bar F = F$, yakni $\bar x = 0$. Lalu $\vertiii\pi \leq 1$: sebab $\norm{\bar x} \leq
\norm x$. Bola terbuka pada bola terbuka: jika $\norm{\bar x} < 1$, maka suatu wakilnya mempunyai $\norm{x - y} < 1$; sebaliknya $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ menurut ketaksamaan normanya — jadi $\pi$ terbuka, yakni kasus panutan bagi teorema pemetaan terbuka.

(b) Misalkan $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ lalu angkatlah dengan $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$: maka $\sum\norm{x_k} < \infty$, sehingga $s = \sum_kx_k$ konvergen di $E$ yang Banach ([Latihan 7.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)), dan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\pi$ memberikan $\sum_k\bar x_k = \bar s$: jadi setiap deret $E/F$ yang konvergen mutlak akan konvergen, dan itu setara dengan [kelengkapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (lihat latihan yang sama).

(c) Pemetaan $\lambda(x) = \lim_nx_n$ bersifat linear $c \to K$ dan lenyap tepat pada $c_0$, sehingga ia menginduksikan bijeksi linear $c/c_0 \to K$. Keisometriannya: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — untuk $\leq$: kurangkan dari $x$ barisan $x - \lambda(x)\mathbf
1 \in c_0$, sehingga tersisa $\lambda(x)\mathbf 1$ yang bernorma $\abs{\lambda(x)}$; untuk $\geq$: untuk $y \in c_0$, $\norm{x -
y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$.

**Latihan 8.12 ★★.**

(Proyeksi terbatas dan subruang berkomplemen) Misalkan $E$ sebuah ruang Banach dan $P \colon E \to E$ linear dengan $P^2 = P$ (yakni proyeksi aljabar), $V = \operatorname{im}P$, dan $W =
\ker P$. (a) Andaikan $P$ terbatas. Tunjukkan bahwa $V$ dan $W$ tertutup dan $E = V \oplus W$ dengan penguraian $x = Px + (x -
Px)$. (b) Sebaliknya, andaikan $E = V \oplus W$ dengan *keduanya*, yakni $V, W$, tertutup, lalu misalkan $P$ proyeksi pada $V$ sepanjang $W$. Tunjukkan bahwa $P$ terbatas. *(Lewat grafik tertutup: jika $x_n \to x$ dan $Px_n \to z$, maka $z \in V$, $x_n - Px_n \to x - z \in
W$, dan ketunggalan penguraiannya mengenali $z =
Px$.)* (c) Simpulkan *kesetaraannya*: sebuah subruang $V$ mempunyai proyeksi terbatas jika dan hanya jika ia tertutup dan mempunyai komplemen aljabar yang tertutup — lalu catat (tanpa bukti) bahwa ada subruang tertutup tanpa sifat itu ($c_0$ di dalam $\ell^\infty$ merupakan contoh klasiknya): jadi ruang Hilbert, tempat $V^\perp$ selalu berhasil ([Bab 13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#ch-b3-hilbert)), merupakan perkecualian, bukan aturannya.

**Solusi Latihan 8.12.**

(a) Kernel $W = \ker P$ tertutup (sebagai prapeta $0$ di bawah [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)); sedangkan $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (sebab $Px = x$ jika dan hanya jika $x \in \operatorname{im}P$, dengan memakai $P^2 =
P$), yang juga tertutup. Setiap $x$ terpecah sebagai $Px + (x - Px)$ dengan $Px \in V$ dan $x - Px \in W$, dan $V \cap W = 0$ (sebab $x = Px
= 0$): jadi $E = V \oplus W$.

(b) Argumen grafiknya: misalkan $x_n \to x$ dan $Px_n \to z$. Maka $z \in V$ (sebab $V$ tertutup dan $Px_n \in V$) dan $x_n - Px_n \to
x - z \in W$ (sebab $W$ tertutup). Jadi $x = z + (x - z)$ dengan $z \in
V$ dan $x - z \in W$; lalu menurut ketunggalan penguraiannya, $z =
Px$. Grafik $P$ tertutup dan $E$ bersifat Banach: sehingga $P$ terbatas ([Teorema 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)).

(c) Bagian (a) dan (b) bersama-sama merupakan kesetaraannya. Di ruang Hilbert setiap $V$ yang tertutup mempunyai komplemen tertutup $V^\perp$ ([Bab 13](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/13-ruang-hilbert#ch-b3-hilbert)): jadi setiap subruang tertutup bersifat berkomplemen. Pada ruang Banach umum hal ini gagal — sebab $c_0$ tak punya komplemen tertutup di $\ell^\infty$ (yakni teorema Phillips, yang melampaui perkakas kita) — sehingga proyeksi terbatas merupakan hak istimewa, dan teorema grafik tertutup tepat merupakan pembukuan yang mengubah pemecahan geometri menjadi operator yang terbatas.

## 8.6 Soal: dualitas ruang $\ell^p$

**Soal 8.1.**

Soal akhir pekan — $(\ell^p)' = \ell^q$, kerefleksifan, dan keanehan $\ell^\infty$

Tetapkan $1 < p < \infty$ dan misalkan $q$ eksponen sekawannya, yakni $\frac1p + \frac1q = 1$. Pemasangannya sepanjang soal ini adalah $\langle x,
y\rangle = \sum_n x_ny_n$.

**Bagian I — Hölder dan Minkowski untuk barisan.**

1. (Ketaksamaan Young) Untuk $a, b \geq 0$ tunjukkan $ab \leq  \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , dengan memakai kekonkafan $\log$ atau dengan mempelajari $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
2. (Hölder) Simpulkan: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq  \norm x_p\norm y_q$ untuk $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; lalu kenali kasus kesamaannya.
3. (Minkowski) Simpulkan ketaksamaan segitiga bagi $\norm\cdot_p$ . *(Tulis $\abs{x_n + y_n}^p \leq  \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} +  \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ lalu terapkan Hölder pada setiap sukunya.)*
4. Buktikan bahwa $\ell^p$ [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) dan bahwa barisan berhingga padat di dalamnya.

**Bagian II — Dualitas $(\ell^p)' =
\ell^q$.**

5. Untuk $y \in \ell^q$ , tunjukkan bahwa $\Lambda_y(x) = \langle  x, y\rangle$ mendefinisikan $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ dengan $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , lalu, dengan mengujinya pada $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (yang dipenggal dan dinormalkan secukupnya), bahwa $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
6. Sebaliknya, diberikan $\Lambda \in (\ell^p)'$ , tetapkan $y_n =  \Lambda(e_n)$ ; tunjukkan $y \in \ell^q$ dengan $\norm y_q \leq  \norm\Lambda$ *(ujilah pada pemenggalannya seperti pada pertanyaan 5 lalu biarkan panjang pemenggalannya tumbuh)* , dan simpulkan $\Lambda = \Lambda_y$ : jadi pemetaan $y \mapsto \Lambda_y$ merupakan isomorfisma isometrik $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
7. Simpulkan bahwa $\ell^p$ bersifat *[refleksif](#rem-b3-banach-bidual)* untuk $1 < p <  \infty$ : sebab dengan mengomposisikan kedua dualitasnya, setiap unsur $(\ell^p)''$ berasal dari $\ell^p$ ; lalu periksalah dengan cermat bahwa komposisinya memang $J$ yang kanonik.

**Bagian III — $\ell^1$ dan $\ell^\infty$ adalah hewan yang berbeda.**

8. Tunjukkan bahwa $\ell^p$ (untuk $1 \leq p < \infty$ ) dan $c_0$ bersifat [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable) , tetapi $\ell^\infty$ tidak. *(Sebab barisan indikator dari himpunan bagian $\N$ yang tak terbilang banyaknya saling berjarak $1$ berpasangan.)*
9. Simpulkan dari [Latihan 8.10](#exo-b3-banach-10) bahwa $(\ell^1)'  \cong \ell^\infty$ tetapi $(\ell^\infty)' \not\cong  \ell^1$ : jadi $\ell^1$ *tidak* [refleksif](#rem-b3-banach-bidual) . *(Sebab jika $(\ell^\infty)'$ adalah $\ell^1$, ia akan [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable), sehingga memaksa $\ell^\infty$ [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable).)*
10. (Limit Banach, secara eksplisit) Pada $\ell^\infty_\R$ , misalkan $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Tunjukkan bahwa $p$ sublinear, dan bahwa pada subruang $c$ berisi barisan konvergen, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ memenuhi $\mathrm{LIM} \leq p$ . Perluaslah lewat Hahn–Banach menjadi $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ lalu tunjukkan: $\mathrm{LIM}$ bersifat positif (yakni $x \geq 0 \Rightarrow  \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invarian terhadap pergeseran (yakni $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), memperluas limitnya, serta memenuhi $\liminf x \leq  \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
11. Tunjukkan bahwa $\mathrm{LIM}$ semacam itu, dipandang di $(\ell^\infty)'$ , *bukan* berbentuk $\Lambda_y$ untuk $y \in \ell^1$ mana pun; lalu simpulkan lagi $(\ell^\infty)'  \neq \ell^1$ . *(Nilaikan pada barisan satuan $e_n$, lalu pada barisan konstan $1$.)*
12. Nilaikan $\mathrm{LIM}$ pada $(0,1,0,1,\dots)$ , lalu tunjukkan bahwa tak ada perluasan limit yang *multiplikatif* dan invarian terhadap pergeseran *(tinjaulah $x =  (0,1,0,1,\dots)$ dan $x\cdot Sx$ dengan $S$ berupa pergeserannya)* .

**Bagian IV — [Penutup](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior): mengapa kerefleksifan penting.**

13. Dengan memakai [Akibat 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) dan pertanyaan 6, tunjukkan bahwa setiap barisan terbatas di $\ell^p$ (untuk $1 < p <  \infty$ ) mempunyai subbarisan $(x^{(k)})$ yang konvergen *secara lemah* : yakni $\Lambda(x^{(k)})$ konvergen untuk setiap $\Lambda \in (\ell^p)'$ . *(Lewat ekstraksi diagonal pada koordinatnya yang terbilang; lalu kenali limit lemahnya di $\ell^p$ dengan memakai keterbatasan seragam normanya dan Hölder.)* Tunjukkan lewat contoh ( $e_n$ di $\ell^1$ , terhadap unsur $\ell^\infty$ yang dipilih baik-baik) bahwa hal ini gagal di $\ell^1$ : jadi kekompakan lemah merupakan hak istimewa [ruang refleksif](#rem-b3-banach-bidual) .

**Bagian V — [Topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) lemah yang bekerja, dan kejutan Schur.** Tulis $x^{(k)} \rightharpoonup x$ di dalam sebuah ruang bernorma $E$ (yakni *kekonvergenan lemah*) bila $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ untuk setiap $\Lambda \in E'$.

14. Lengkapilah sensusnya: tunjukkan $(c_0)' \cong \ell^1$ secara isometrik, lewat skema pertanyaan 5–6 (apa yang menggantikan barisan pengujinya?). Lalu rangkailah rantai $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ berisi [dual](#def-b3-banach-operator) berturutan dan tandai di mana kerefleksifannya gagal.
15. Tunjukkan bahwa setiap barisan yang konvergen lemah di ruang Banach bersifat terbatas: pandanglah $x^{(k)}$ lewat pembenaman kanonik $J$ sebagai fungsional pada $E'$ lalu terapkan Banach–Steinhaus ( [Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) — pada ruang Banach yang mana, dan mengapa [kelengkapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) tersedia di sana?
16. Tunjukkan bahwa di $\ell^p$ dengan $1 < p < \infty$ : $x^{(k)}  \rightharpoonup x$ jika dan hanya jika $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p <  \infty$ dan $x^{(k)}_n \to x_n$ untuk setiap koordinat $n$ *(satu arahnya memakai Banach–Steinhaus lewat pembenaman kanoniknya; sedangkan untuk arah lainnya, hampiri $y  \in \ell^q$ dengan barisan berhingga)* . Lalu simpulkan $e_k  \rightharpoonup 0$ di $\ell^2$ padahal $\norm{e_k}_2 =  1$ : jadi limit lemah dapat kehilangan massa.
17. Tunjukkan bahwa normanya semikontinu bawah secara lemah: yakni $x^{(k)} \rightharpoonup x$ mengakibatkan $\norm x \leq  \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ *(ambillah fungsional penormaan bagi $x$, [Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* .
18. (Radon–Riesz di $\ell^2$ ) Tunjukkan bahwa di $\ell^2$ , kekonvergenan lemah bersama kekonvergenan normanya mengakibatkan kekonvergenan norma *(jabarkan $\norm{x^{(k)} -  x}_2^2$)* . Berilah contoh penyangkal bagi pernyataan yang sama tanpa hipotesis normanya.
19. (Schur, langkah 1) Misalkan $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ di $\ell^1$ dan andaikan, demi kontradiksi, bahwa $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ sepanjang sebuah subbarisan. Tunjukkan lebih dahulu bahwa $x^{(k)}_n \to 0$ untuk setiap $n$ (lewat fungsional yang mana?), lalu bangunlah secara rekursif indeks $k_1 < k_2 < \cdots$ dan bilangan bulat $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ sedemikian sehingga massa $x^{(k_j)}$ memusat pada blok $B_j =  \intoc{N_{j-1}}{N_j}$: $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$
20. (Schur, langkah 2) Definisikan $y \in \ell^\infty$ dengan $y_n =  \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ untuk $n \in  B_j$ . Tunjukkan $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq  \frac{8\delta}{10}$ lalu turunkan kontradiksi dengan $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Simpulkan *teorema Schur* : bahwa di $\ell^1$ , barisan yang konvergen lemah konvergen dalam norma.
21. Simpulkan bahwa $(e_k)$ tak punya subbarisan yang konvergen lemah di $\ell^1$ (sebab satu-satunya calon limitnya adalah $0$ secara koordinat — lalu terapkan Schur), sehingga memperoleh kembali kegagalan kekompakan lemah pada pertanyaan 13; lalu selesaikanlah paradoks yang tampak itu: di $\ell^1$ kekonvergenan lemah dan norma bagi *barisan* berimpit, namun *[topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology)* lemah dan normanya berbeda dan himpunan terbatas tetap gagal [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) barisan secara lemah — jadi tak ada kontradiksi, hanya kegagalan kerefleksifan.
22. (Tabel sintesis) Untuk $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\  (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabulasikan: [dualnya](#def-b3-banach-operator) ; keseparabelannya; kerefleksifannya; apakah barisan terbatasnya mempunyai subbarisan yang konvergen lemah; dan satu sifat khas setiap ruang, yang dibenarkan dalam satu baris dari soal ini.

**Bagian VI — Pelengkap: titik terdekat, kekonvergenan rata-rata, dan nilai sebuah limit Banach.**

23. (Titik terdekat: hasil panen kerefleksifan) Misalkan $F$ sebuah subruang tertutup $\ell^p$ (dengan $1 < p < \infty$ ) dan $x \in \ell^p$ . Tunjukkan bahwa $d = \operatorname{dist}(x,  F)$ *tercapai* : ekstraklah dari sebuah barisan peminimum sebuah subbarisan yang konvergen lemah (pertanyaan 13), tahanlah limit lemahnya tetap di dalam $F$ dengan membangun, lewat Hahn–Banach, sebuah fungsional yang lenyap pada $F$ tetapi tidak di sebuah titik di luarnya, lalu simpulkan dengan pertanyaan 17. Lalu tunjukkan bahwa hak istimewa itu tidak universal: di $c_0$ , untuk $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , buktikan bahwa $\norm\Lambda = 1$ tidak tercapai pada bola satuannya, tegakkan rumus jaraknya $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) =  \abs{\Lambda(x)}$ , lalu simpulkan bahwa tak ada $x \notin  \ker\Lambda$ yang mempunyai titik terdekat di hiperbidang tertutup $\ker\Lambda$ .
24. (Banach–Saks di $\ell^2$) Misalkan $x^{(k)}  \rightharpoonup 0$ di $\ell^2_{\R}$ dengan $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$. Bangunlah sebuah subbarisan $(y_j)$ dengan $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq  \frac1j$ untuk setiap $i < j$, lalu simpulkan $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2  \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ jadi setelah ekstraksi, rata-rata Cesàronya konvergen dalam *norma*. Periksalah pada $(e_k)$, yang rata-ratanya bernorma $\frac1{\sqrt m}$: jadi kekonvergenan lemah, yang tak berguna bagi barisannya sendiri (pertanyaan 16), menjadi kekonvergenan norma bagi rata-ratanya.
25. (Nilai sebuah limit Banach) Misalkan $L$ sembarang limit Banach (pertanyaan 10) dan $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots  + S^{m-1}x)$ . Tunjukkan $L(A_mx) = L(x)$ dan $\liminf A_mx  \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; lalu simpulkan bahwa *semua* limit Banach bersesuaian pada barisan periodik, dengan nilai berupa rata-rata atas satu periodenya — yakni $\frac13$ pada $(1, 0, 0, 1,  0, 0, \dots)$ , sejalan dengan $\frac12$ pada pertanyaan 12. Lalu tunjukkan bahwa kesesuaiannya gagal secara umum: untuk barisan blok $x$ yang bernilai $1$ pada $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ untuk $j$ genap dan $0$ selainnya, tunjukkan bahwa rata-rata Cesàronya berayun antara $\leq  \frac13$ dan $\geq \frac23$ , lalu bangunlah dua limit Banach $L_\pm$ dengan $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23  \leq L_+(x)$ *(perluaslah dari $c \oplus \R x$ dengan nilai ekstrem $\pm$ yang diperbolehkan: periksalah bahwa $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ didominasi oleh $p$ yang sublinear pada pertanyaan 10)* .

**Solusi Soal 8.1.**

**1.** Untuk $a, b > 0$: menurut kekonkafan $\log$ berlaku $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log
a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$; lalu eksponenkan. (Jika $ab = 0$ ketaksamaannya trivial.) Kesamaannya terjadi jika dan hanya jika $a^p = b^q$.

**2.** Kita boleh menganggap $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (lewat kehomogenannya; kasus nolnya trivial). Maka

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n}
\leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p +
\frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 =
\norm x_p\norm y_q .
$$

Kesamaannya menuntut $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ untuk setiap $n$ (yakni kasus kesamaan Young) beserta kesejajaran fasa $x_ny_n$.

**3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} +
\abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$; lalu menjumlahkannya dan menerapkan Hölder ($p$ terhadap $q$, dengan mencatat $(p - 1)q = p$):

$$
\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm
y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q}
= \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};
$$

jika $\norm{x + y}_p \neq 0$ (kalau nol maka trivial), bagilah dengan $\norm{x+y}_p^{p/q}$ lalu pakai $p - \frac pq = 1$. (Keberhinggaan $\norm{x+y}_p$ lebih dahulu: $\abs{x_n+y_n}^p \leq
2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$.)

**4.** [Kelengkapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): seperti untuk $\ell^1$ ([Latihan 8.3](#exo-b3-banach-3)), lewat limit koordinat demi koordinat ditambah batas ekor seragam $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p
\leq \varepsilon^p$, dengan membiarkan $l$ lalu $N$ menuju tak hingga. Kepadatan barisan berhingga: $\norm{x - \sum_{n\leq
N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$.

**5.** Hölder memberikan $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_p\norm y_q$: jadi $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$. Untuk mengujinya: misalkan $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ untuk $n \leq N$ dan $0$ selebihnya (dengan $\operatorname{sign}$ berupa fasa unimodularnya, sehingga $x_ny_n = \abs{y_n}^q$). Maka $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ dan $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (sebab $(q-1)p = q$), sehingga

$$
\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{}
\norm y_q .
$$

**6.** Tetapkan $y_n = \Lambda(e_n)$. Dengan vektor uji yang sama, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$, sehingga $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq
\norm\Lambda$ untuk setiap $N$: jadi $y \in \ell^q$ dengan $\norm y_q \leq
\norm\Lambda$. Fungsional $\Lambda$ dan $\Lambda_y$ bersesuaian pada barisan berhingga yang padat (pertanyaan 4): sehingga $\Lambda =
\Lambda_y$. Bersama pertanyaan 5, $y \mapsto \Lambda_y$ merupakan isomorfisma isometrik $\ell^q \cong (\ell^p)'$.

**7.** Misalkan $\xi \in (\ell^p)''$. Dengan mengomposisikannya dengan isometri $\ell^q \cong (\ell^p)'$ pada pertanyaan 6, $\xi$ mendefinisikan sebuah unsur $(\ell^q)'$, yang (menurut pertanyaan 6 dengan $p, q$ ditukar) berupa $\Lambda_z$ untuk $z \in \ell^p$ yang tunggal: jadi untuk setiap $y \in \ell^q$, $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$. Di pihak lain $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$: yaitu nilai yang sama. Karena setiap unsur $(\ell^p)'$ berupa suatu $\Lambda_y$, maka $\xi = J(z)$: jadi $J$ surjektif — sehingga $\ell^p$ [refleksif](#rem-b3-banach-bidual).

**8.** Barisan berhingga yang entrinya rasional (pada bagian real dan imajinernya) bersifat terbilang dan padat di $\ell^p$ (untuk $p < \infty$) dan di $c_0$. Di $\ell^\infty$: keluarga $\{\mathbf 1_A : A
\subseteq \N\}$ bersifat tak terbilang dengan $\norm{\mathbf 1_A -
\mathbf 1_B}_\infty = 1$ untuk $A \neq B$; sehingga bola $B(\mathbf
1_A, \frac12)$ saling lepas berpasangan, dan [himpunan padat](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) harus memotong masing-masingnya: jadi tak ada [himpunan padat](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) yang terbilang.

**9.** Seandainya $\ell^1$ [refleksif](#rem-b3-banach-bidual), maka $(\ell^\infty)'
\cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ akan [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable) (sebagai peta isometrik dari $\ell^1$ yang [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable)); lalu menurut [Latihan 8.10](#exo-b3-banach-10), keseparabelan [dual](#def-b3-banach-operator) $(\ell^\infty)'$ akan memaksa $\ell^\infty$ [separabel](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/4-perluasan-lapangan-dan-teori-galois#def-b3-galois-separable) — dan itu bertentangan dengan pertanyaan 8. Jadi $\ell^1$ tidak [refleksif](#rem-b3-banach-bidual) (dan $(\ell^\infty)'$ sungguh lebih besar daripada $\ell^1$, seperti dikonkretkan pertanyaan 11).

**10.** Kehomogenan $p$ jelas; sedangkan keaditifan bawahnya: rata-rata bersifat linear, dan $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n +
\limsup v_n$. Pada $c$: rata-rata Cesàro sebuah barisan konvergen konvergen ke limitnya, sehingga $p(x) = \lim x =
\mathrm{LIM}(x)$ di sana; khususnya $\mathrm{LIM} \leq p$ pada $c$. Lalu Hahn–Banach ([Teorema 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) memperluas $\mathrm{LIM}$ ke $\ell^\infty_\R$ dengan $\mathrm{LIM} \leq p$ secara global. Kepositifannya: untuk $x \geq 0$, $-\mathrm{LIM}(x) =
\mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{rata-rata}(-x) \leq 0$. Keinvarianan pergeserannya: rata-rata $x - Sx$ berteleskop menjadi $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$, sehingga $p(\pm(x - Sx)) = 0$ dan $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$. Batasnya: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x)
\leq \limsup x$ (sebab rata-rata tertinggal di belakang supremumnya), lalu menerapkan hal ini pada $-x$ memberikan batas bawahnya.

**11.** Karena $e_n \in c_0$, maka $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ untuk setiap $n$. Jika $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ dengan $y \in \ell^1$, maka $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ untuk setiap $n$: sehingga $\Lambda_y = 0$; padahal $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$. Jadi $\mathrm{LIM} \in
(\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$: sekali lagi $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$.

**12.** Untuk $x = (0,1,0,1,\dots)$: $x + Sx = \mathbf 1$, sehingga $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) =
1$: jadi $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$. Seandainya $\varphi$ sebuah perluasan limit yang multiplikatif dan invarian terhadap pergeseran: maka $x\cdot
Sx = 0$ memberikan $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$, sehingga $\varphi(x) = 0$; padahal $\varphi(x) + \varphi(Sx) =
\varphi(\mathbf 1) = 1$ memberikan $2\varphi(x) = 1$: kontradiksi. Jadi perata-rataan dan perkalian tak dapat hidup berdampingan.

**13.** Misalkan $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$. Koordinatnya terbatas oleh $M$: sehingga ekstraksi diagonal memberikan subbarisan (yang masih ditulis $x^{(k)}$) dengan $x^{(k)}_n \to x_n$ untuk setiap $n$. Lalu $x \in \ell^p$: sebab $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ untuk setiap $N$. Kekonvergenan lemahnya: untuk $y \in \ell^q$ dan $N$ sembarang,

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr|
+ 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},
$$

dengan suku pertamanya menuju $0$ ketika $k \to \infty$ (sebab koordinatnya berhingga banyak) dan suku keduanya kecil untuk $N$ besar (lewat Hölder pada ekornya): jadi $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ untuk setiap $y$ — yakni kekonvergenan lemah, sebab setiap fungsionalnya berupa $\Lambda_y$ (pertanyaan 6). Di $\ell^1$ hal ini gagal: tinjaulah $(e_n)$ yang terbatas. Setiap subbarisan $(e_{n_k})$ konvergen koordinat demi koordinat ke $0$, sehingga satu-satunya calon limit lemahnya adalah $0$; padahal menguji terhadap $y \in \ell^\infty$ yang didefinisikan oleh $y_{n_k} =
(-1)^k$ (dan $0$ selebihnya) memberikan $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ yang divergen. Jadi tak ada subbarisan yang konvergen lemah: sehingga [kekompakan barisan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#thm-b3-topology-metriccompact) secara lemah pada bolanya mencirikan dunia yang [refleksif](#rem-b3-banach-bidual).

**14.** Untuk $y \in \ell^1$, $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ terdefinisi pada $c_0$ dengan $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_\infty\norm y_1$, dan mengujinya pada $x^{(N)} =
(\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0,
\dots) \in c_0$ memberikan $\Lambda_y(x^{(N)}) =
\sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$: jadi $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$. Sebaliknya, untuk $\Lambda \in
(c_0)'$ tetapkan $y_n = \Lambda(e_n)$; maka uji yang sama memberikan $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda$, sehingga $y \in \ell^1$, dan $\Lambda = \Lambda_y$ pada barisan berhingga yang padat, jadi di mana-mana. Rantai [dualnya](#def-b3-banach-operator): $(c_0)' = \ell^1$, $(\ell^1)' = \ell^\infty$ ([Latihan 8.10](#exo-b3-banach-10)), dan $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (pertanyaan 9–11): jadi kerefleksifannya gagal sejak langkah pertama — sebab $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — dan tak pernah pulih.

**15.** Keluarga $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ berisi fungsional terbatas pada ruang *Banach* $E'$ (sebab [dual](#def-b3-banach-operator) selalu [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [Proposisi 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete)); dan untuk setiap $\Lambda \in E'$, barisan $Jx^{(k)}(\Lambda) =
\Lambda(x^{(k)})$ konvergen, sehingga terbatas. Lalu Banach–Steinhaus pada $E'$ memberikan $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} <
\infty$, dan $J$ bersifat isometrik ([Catatan 8.8](#rem-b3-banach-bidual)): jadi $\sup_k\norm{x^{(k)}} <
\infty$.

**16.** ($\Rightarrow$) Keterbatasannya adalah pertanyaan 15; sedangkan koordinatnya berupa fungsional $\Lambda_{e_n}$. ($\Leftarrow$) Misalkan $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$, $y \in
\ell^q$, dan $\varepsilon > 0$; pilihlah $N$ dengan $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$. Maka

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} +
\norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon
\leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} +
(M + \norm x_p)\,\varepsilon,
$$

dan jumlah berhingganya menuju $0$: sehingga $\limsup \leq (M + \norm
x_p)\varepsilon$ untuk setiap $\varepsilon$. (Bahwa $x \in
\ell^p$ dengan $\norm x_p \leq M$ menyusul dari batas penggalan berhingga bergaya Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$.) Untuk $e_k$ di $\ell^2$: terbatas dan koordinatnya $\to 0$, sehingga $e_k
\rightharpoonup 0$, padahal $\norm{e_k} = 1$: jadi satu satuan massanya lolos ke indeks tak berhingga, tak terlihat oleh fungsional mana pun yang tetap.

**17.** Ambil $\Lambda$ dengan $\norm\Lambda = 1$ dan $\Lambda(x) = \norm x$ ([Akibat 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)). Maka $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq
\liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} =
\liminf\norm{x^{(k)}}$. (Dengan $e_k \rightharpoonup 0$: $0
\leq \liminf 1$, dan ketaksamaannya dapat sejati.)

**18.** Di $\ell^2$, $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 =
\norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)},
x\rangle + \norm x_2^2$ (pada kasus realnya: $-2\langle x^{(k)},
x\rangle$). Kekonvergenan lemah yang diterapkan pada fungsional $\Lambda_x$ memberikan $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm
x_2^2$, sedangkan normanya konvergen menurut hipotesis: sehingga ruas kanannya menuju $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$. Contoh penyangkal tanpa kekonvergenan normanya: $e_k
\rightharpoonup 0$ dengan $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$.

**19.** Kekonvergenan koordinatnya: terapkan fungsional $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ (dengan $y = e_n$). Konstruksinya: setelah $k_{j-1}, N_{j-1}$ dipilih, ambillah $k_j >
k_{j-1}$ sedemikian besar sehingga $\sum_{n \leq
N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (sebab koordinatnya berhingga banyak dan masing-masing $\to 0$), lalu $N_j > N_{j-1}$ sedemikian besar sehingga ekornya memenuhi $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} <
\frac\delta{20}$ (menurut kekonvergenan deret yang mendefinisikan $\norm{x^{(k_j)}}_1$). Blok $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ lalu membawa segalanya kecuali $\frac\delta{10}$ dari massa $x^{(k_j)}$.

**20.** Dengan $y$ seperti didefinisikan (sehingga $\abs{y_n} \leq 1$ di mana-mana):

$$
\langle x^{(k_j)}, y\rangle
= \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n}
+ \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n
\geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) -
\frac\delta{10}
\geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,
$$

dengan ketaksamaan di tengahnya karena massa di luar bloknya paling banyak $\frac\delta{10}$ (pertanyaan 19). Padahal $y \in
\ell^\infty = (\ell^1)'$ dan $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ memaksa $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$: kontradiksi. Karena itu barisan $\ell^1$ yang nol secara lemah juga nol dalam norma, dan lewat translasi barisan yang konvergen lemah akan konvergen dalam norma: itulah teorema Schur.

**21.** Subbarisan $(e_k)$ yang konvergen lemah akan berlimit $0$ (menurut koordinatnya), sehingga menurut Schur $\norm{e_{k_j}}_1
\to 0$ — padahal normanya $1$. Jadi tak ada subbarisan yang konvergen lemah, seperti ditemukan dengan tangan pada pertanyaan 13. Tak ada paradoks: Schur mengatakan bahwa barisan tak dapat membedakan [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) lemah dari [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) norma di $\ell^1$ (sedangkan [topologinya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) sendiri memang berbeda — [persekitaran](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) lemahnya tak pernah terbatas normanya), dan [kekompakan barisan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#thm-b3-topology-metriccompact) secara lemah pada bola satuannya merupakan sifat lain yang lebih kuat, yang setara dengan kerefleksifan (Eberlein–Šmulian, yang melampaui perkakas kita; kegagalannya, setidaknya, sudah kita buktikan).

**22.** *Sensusnya.*

| $E$ | $E'$ | sep. | refl. | bola [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) barisan lemah |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $c_0$ | $\ell^1$ | ya | tidak | tidak ($e_1{+}\dots{+}e_k$) |
| $\ell^1$ | $\ell^\infty$ | ya | tidak | tidak ($e_k$, p. 21) |
| $\ell^p$ | $\ell^q$ | ya | ya | ya (p. 13) |
| $\ell^\infty$ | $\supsetneq\ell^1$ | tidak | tidak | tidak |

Ciri khasnya: $c_0$ — bidualnya $\ell^\infty$, yakni langkah tak [refleksif](#rem-b3-banach-bidual) yang pertama (pertanyaan 14); $\ell^1$ — sifat Schur (pertanyaan 20); $\ell^p$ — kerefleksifan dan kekompakan lemah (pertanyaan 7 dan 13); $\ell^\infty$ — ketakseparabelan dan limit Banach: yakni fungsional yang tak dapat diwakili barisan mana pun (pertanyaan 8 dan 10–11). Satu keluarga ruang, empat dunia yang berbeda.

**23.** Misalkan $(f_k) \subseteq F$ dengan $\norm{x - f_k}
\to d$. Maka $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x -
f_k}$: jadi terbatas, sehingga menurut pertanyaan 13 ada subbarisan $f_{k_j}
\rightharpoonup f$. Jika $f \notin F$, maka $\delta =
\operatorname{dist}(f, F) > 0$ (sebab $F$ tertutup); lalu pada $F \oplus \R
f$ bentuk linear $\lambda(g + tf) = t$ memenuhi $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (sebab $\norm{g +
tf} \geq \abs t\,\delta$), dan Hahn–Banach memperluasnya menjadi $\Lambda \in (\ell^p)'$ dengan $\Lambda\restriction_F = 0$ dan $\Lambda(f) = 1$; tetapi lalu $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to
\Lambda(f) = 1$: kontradiksi. Jadi $f \in F$, dan $x -
f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ memberikan, menurut pertanyaan 17,

$$
d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :
$$

jadi jaraknya tercapai di $f$. Di $c_0$: $\abs{\Lambda(x)}
\leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ untuk setiap $x
\neq 0$ (sebab barisan nol yang tak nol tak mungkin memenuhi $\abs{x_n} =
\norm x_\infty$ untuk setiap $n$), sedangkan pemenggalan $(1,
\dots, 1, 0, \dots)$ memberikan $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$: jadi $\norm\Lambda = 1$, yang tak pernah tercapai. Rumus jaraknya: untuk $f
\in \ker\Lambda$, $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)}
\leq \norm{x - f}$, sehingga $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda)
\geq \abs{\Lambda(x)}$; sebaliknya, untuk $u$ di bola satuannya dengan $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$, vektor $f = x -
\frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ terletak di $\ker\Lambda$ dengan $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$: jadi kesamaan. Seandainya suatu $f \in \ker\Lambda$ mencapainya, maka $z = x -
f$ akan memenuhi $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} =
\norm z \neq 0$, sehingga $\Lambda$ akan mencapai normanya di $z/\norm z$: mustahil. Jadi ada hiperbidang tertutup $c_0$ yang tak punya titik terdekat di mana pun — sehingga kerefleksifan bukanlah hiasan.

**24.** Tetapkan $y_1 = x^{(1)}$. Diberikan $y_1, \dots, y_j$, setiap pemetaan $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ menuju $0$ (sebab $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$), sehingga ada $k_{j+1}$ melewati indeks sebelumnya dengan $\abs{\langle y_i,
x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ untuk $i = 1, \dots,
j$; sebutlah pilihan itu $y_{j+1}$. Maka

$$
\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2
= \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2
+ 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle
\leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j
\leq mC^2 + 2m,
$$

lalu dengan membaginya dengan $m^2$: $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq
\frac{C^2 + 2}m \to 0$. (Untuk limit lemah $x \neq 0$, terapkan hal ini pada $x^{(k)} - x$.) Pada $(e_k)$ yang ortonormal bahkan tak perlu ekstraksi: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots +
e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$. Jadi rata-ratanya mengubah kekonvergenan lemah menjadi kekonvergenan norma: itulah sifat Banach–Saks pada $\ell^2$.

**25.** Karena $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$, maka kelinearan dan keinvarianan pergeserannya memberikan $L(A_mx) = L(x)$. Untuk sembarang $u$ yang terbatas dan $\varepsilon > 0$, pilihlah $N$ dengan $u_n \leq
\limsup u + \varepsilon$ untuk $n \geq N$; lalu kepositifan yang diterapkan pada $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ beserta $L(S^Nu) = L(u)$ memberikan $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$, dan secara simetris $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$: sehingga $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ untuk setiap $m$. Jika $x$ berperiode $T$, maka $A_Tx$ berupa barisan konstan yang sama dengan rata-rata periodenya $\mu$: jadi $L(x) = \mu$ untuk *setiap* limit Banach — yakni $\frac13$ pada $(1,0,0,\dots)$ dan $\frac12$ pada $(0,1,0,1,\dots)$ seperti pada pertanyaan 12. Untuk barisan bloknya: di $N = 3^j$ dengan $j$ genap blok terakhirnya seluruhnya satu, sehingga rata-rata Cesàronya $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$; sedangkan di $N = 3^j$ dengan $j$ ganjil semua angka satunya duduk di $\intoc0
{3^{j-1}}$, sehingga rata-ratanya $\leq \frac13$. Karena itu $p(x) \geq
\frac23$ dan $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n
\leq \frac13$. Pada $M = c \oplus \R x$ definisikan $\Lambda_+(y +
tx) = \lim y + t\,p(x)$. Dominasinya oleh $p$: untuk $t > 0$, kesublinearannya memberikan $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$, yakni $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (perhatikan $p(\pm y) = \pm\lim
y$ untuk $y \in c$: sebab rata-rata Cesàro barisan konvergen konvergen ke limitnya); untuk $t = -s < 0$, $p(y) \leq p(y -
sx) + p(sx)$ memberikan $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$; sedangkan untuk $t
= 0$ terjadi kesamaan. Jadi $\Lambda_+ \leq p$ pada $M$, dan Hahn–Banach memperluasnya menjadi $L_+ \leq p$ pada $\ell^\infty_\R$, yang merupakan limit Banach persis seperti pada pertanyaan 10 (sebab dominasi oleh $p$ melahirkan kepositifan, keinvarianan pergeseran, dan nilai $\lim$ pada $c$), dengan $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$. Perhitungan yang sama dengan $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (memakai $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ untuk kasus $t = -s
< 0$) melahirkan limit Banach $L_-$ dengan $L_-(x) = -p(-x) \leq
\frac13$. Dua limit Banach, satu barisan, dua nilai: jadi di luar dunia periodik (dan, lebih umum, dunia yang *hampir konvergen*), sebuah limit Banach merupakan pilihan yang sesungguhnya.