---
title: "Teori Ukuran"
book: "Matematika Universitas — Tahun 3"
subject: math
language: id
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/9-teori-ukuran
---

# Bab 9 — Teori Ukuran

Berapa panjang sebuah himpunan bagian $\R$? Jawaban naifnya — yaitu memberi setiap himpunan sebuah panjang yang invarian terhadap translasi dan memperluas panjang selang — ternyata *mustahil*: konstruksi Vitali, pada akhir bab ini, menghasilkan himpunan yang tak punya panjang yang konsisten. Teori [ukuran](#def-b3-measure-measure) adalah kemunduran yang tertib: yakni membatasi perhatian pada kelas kaya berisi himpunan *terukur*, yang di atasnya panjang yang aditif secara terbilang memang ada dan tunggal. Ganjarannya luar biasa — integral Lebesgue ([Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue)), ruang $L^p$ pada analisis fungsional, dan seluruh peluang modern ([Bab 22](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ch-b3-probability)) dibangun di atas ketiga teorema yang dibuktikan di sini: lema ketunggalan Dynkin, teorema perluasan Carathéodory, dan keberadaan [ukuran Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter).

## 9.1 Aljabar-$\sigma$

**Definisi 9.1.**

Sebuah *aljabar-$\sigma$* pada himpunan $X$ adalah keluarga $\mathcal A$ berisi himpunan bagian yang memuat $\varnothing$, stabil terhadap komplemen dan terhadap gabungan *terbilang* (sehingga juga terhadap irisan terbilang, selisih himpunan, dan ia memuat $X$). Pasangan $(X, \mathcal A)$ disebut *ruang terukur*; dan anggota $\mathcal A$ disebut *himpunan terukur*. Untuk sembarang keluarga $\mathcal E$ berisi himpunan bagian, $\sigma(\mathcal E)$ melambangkan aljabar-$\sigma$ terkecil yang memuat $\mathcal E$ (yakni irisan semuanya — sebab irisan aljabar-$\sigma$ tetap demikian).

**Definisi 9.2.**

*Aljabar-$\sigma$ Borel* sebuah ruang [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) adalah $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{himpunan terbuka}\})$. Pada $\R$: $\mathcal B(\R)$ juga dibangkitkan oleh selang terbuka, oleh selang tertutup, oleh sinar $(-\infty, a]$, dan oleh sinar yang ujungnya rasional ([Latihan 9.1](#exo-b3-measure-1)) — sebab setiap keluarga itu membangkitkan [himpunan terbukanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) lewat operasi terbilang, misalnya setiap [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\R$ berupa gabungan terbilang selang terbuka yang datanya rasional.

**Definisi 9.3.**

Sebuah *sistem-$\pi$* adalah keluarga yang stabil terhadap irisan berhingga. Sebuah *sistem-$\lambda$* (kelas Dynkin) adalah keluarga $\mathcal D$ dengan: $X \in \mathcal
D$; $A, B \in \mathcal D$ dan $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B
\setminus A \in \mathcal D$; serta $A_n \uparrow A$ dengan $A_n \in
\mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$.

**Teorema 9.4 (Lema π\piπ–λ\lambdaλ Dynkin).**

Jika sebuah sistem-$\lambda$ $\mathcal D$ memuat sistem-$\pi$ $\mathcal P$, maka $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$.

**Bukti.** Misalkan $\mathcal D_0$ sistem-$\lambda$ terkecil yang memuat $\mathcal P$ (yakni irisan semuanya); cukup ditunjukkan bahwa $\mathcal D_0$ merupakan aljabar-$\sigma$, sebab lalu $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal
D$. Sistem-$\lambda$ yang stabil terhadap irisan berhingga *memang* aljabar-$\sigma$: sebab komplemennya ($X \setminus A = X
\setminus A$ dengan $A \subseteq X$), gabungan berhingganya ($A \cup B =
X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$), dan gabungan terbilangnya lewat $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$. Jadi kita buktikan bahwa $\mathcal D_0$ merupakan sistem-$\pi$, dalam dua langkah. Misalkan

$$
\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal
D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.
$$

Keluarga $\mathcal D_1$ merupakan sistem-$\lambda$ (ketiga aksiomanya diperiksa dengan mengiriskannya dengan $P$: misalnya $(B\setminus A)\cap P
= (B \cap P)\setminus(A \cap P)$, yaitu selisih sejati di dalam $\mathcal D_0$) dan memuat $\mathcal P$ (karena sistem-$\pi$): sehingga $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$. Sekarang misalkan

$$
\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal
D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.
$$

Menurut langkah sebelumnya, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$; dan $\mathcal D_2$ merupakan sistem-$\lambda$ lewat pemeriksaan yang sama: jadi $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$, dan itu tepat mengatakan bahwa $\mathcal D_0$ stabil terhadap irisan. ∎

## 9.2 Ukuran

**Definisi 9.5.**

Sebuah *ukuran* pada $(X, \mathcal A)$ adalah pemetaan $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ dengan $\mu(\varnothing)
= 0$ yang bersifat *aditif-$\sigma$*: yakni untuk $(A_n)_{n\in\N}$ yang saling lepas berpasangan,

$$
\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).
$$

Tripel $(X, \mathcal A, \mu)$ disebut *ruang ukuran*; ukuran $\mu$ disebut *berhingga* jika $\mu(X) < \infty$, sebuah *ukuran peluang* jika $\mu(X) = 1$, dan *berhingga-$\sigma$* jika $X$ merupakan gabungan terbilang himpunan berukuran berhingga. Contohnya: ukuran cacah pada $(\N, \mathcal P(\N))$; massa Dirac $\delta_a(A)
= \mathbf 1_{a \in A}$; dan, yang menjadi pokok bab ini, [ukuran Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter).

**Proposisi 9.6.**

Misalkan $\mu$ sebuah [ukuran](#def-b3-measure-measure). (a) Kemonotonan: $A \subseteq B
\Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$. (b) Subaditivitas terbilang: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$. (c) [Kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$. (d) [Kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari atas: $A_n \downarrow A$ *dengan $\mu(A_1) < \infty$* $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$.

**Bukti.** (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$. (b) Saling lepaskan: $B_n = A_n
\setminus \bigcup_{k<n}A_k$ saling lepas dengan gabungan yang sama, dan $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$. (c) $A = \bigsqcup_n (A_n
\setminus A_{n-1})$ (dengan $A_0 = \varnothing$): jumlah parsial $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ adalah $\mu(A_n)$. (d) Terapkan (c) pada $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ lalu kurangkan dari $\mu(A_1)$ — dan keberhinggaannya membuat pengurangannya sah. Contoh penyangkal tanpa itu: $A_n = [n, \infty)$ untuk [ukuran Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter): $A_n \downarrow \varnothing$ padahal $\mu(A_n) =
\infty$. ∎

**Teorema 9.7 (Ketunggalan).**

Misalkan $\mu, \nu$ [ukuran](#def-b3-measure-measure) pada $\sigma(\mathcal P)$, dengan $\mathcal
P$ sebuah sistem-$\pi$ dan $\mu = \nu$ pada $\mathcal P$. Jika ada himpunan $P_k \in \mathcal P$ dengan $P_k \uparrow X$ dan $\mu(P_k) < \infty$, maka $\mu = \nu$ pada seluruh $\sigma(\mathcal P)$.

**Bukti.** Tetapkan $k$ lalu tinjaulah [ukuran](#def-b3-measure-measure) berhingga $\mu_k(A) = \mu(A \cap
P_k)$ dan $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ pada $\sigma(\mathcal
P)$: keduanya bersesuaian pada $\mathcal P$, sebab $P \cap P_k \in \mathcal
P$ (karena sistem-$\pi$), dan keduanya memberi $X$ nilai berhingga yang sama, yaitu $\mu(P_k)$. Kelas $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) =
\nu_k(A)\}$ merupakan sistem-$\lambda$: sebab $X \in \mathcal D$; selisih sejatinya lewat pengurangan (karena nilainya berhingga); dan limit naiknya lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah ([Proposisi 9.6](#prop-b3-measure-basics)(c)). Ia memuat sistem-$\pi$ $\mathcal P$, sehingga Dynkin ([Teorema 9.4](#thm-b3-measure-dynkin)) memberikan $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$: jadi $\mu_k = \nu_k$ di mana-mana. Akhirnya, untuk sembarang $A \in \sigma(\mathcal P)$, [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah sepanjang $A
\cap P_k \uparrow A$ memberikan $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) =
\lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$. ∎

## 9.3 Ukuran luar dan teorema Carathéodory

**Definisi 9.8.**

Sebuah *ukuran luar* pada $X$ adalah pemetaan $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ dengan $\mu^*(\varnothing) = 0$, yang monoton dan subaditif secara terbilang. Sebuah himpunan $A$ disebut *terukur-$\mu^*$* (menurut Carathéodory) jika ia memecah setiap himpunan secara aditif:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)
\qquad \text{untuk setiap } E \subseteq X
$$

($\leq$ selalu berlaku menurut subaditivitasnya; isinya adalah $\geq$).

**Teorema 9.9 (Carathéodory).**

Himpunan yang terukur-$\mu^*$ membentuk aljabar-$\sigma$ $\mathcal
M$, dan $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ merupakan [ukuran](#def-b3-measure-measure). Lebih lanjut setiap himpunan dengan $\mu^*(N) = 0$ termasuk $\mathcal M$ (sehingga [ukurannya](#def-b3-measure-measure) *[lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*).

**Bukti.** Keluarga $\mathcal M$ memuat $\varnothing$ dan stabil terhadap komplemen (sebab syarat pendefinisinya simetris terhadap $A$ dan $X\setminus A$). *Gabungan berhingga*: misalkan $A, B \in \mathcal
M$ dan $E$ sembarang; dengan memecah $E$ oleh $A$, lalu setiap kepingannya oleh $B$:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) +
\mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).
$$

Ketiga kepingan pertamanya menyelimuti $E \cap (A \cup B)$, sehingga subaditivitasnya memberikan $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) +
\mu^*(E\setminus(A\cup B))$: jadi $A \cup B \in \mathcal M$. Lewat induksi, gabungan berhingganya pun demikian; dan bersama komplemennya, manipulasi kesalinglepasan yang berhingga menjadi tersedia.

*Keaditifan pada $\mathcal M$*: untuk $A, B \in
\mathcal M$ yang saling lepas dan $E$ apa pun: $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap
A) + \mu^*(E \cap B)$ (dengan memecahnya oleh $A$); lalu lewat induksi,

$$
\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
= \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k).
\tag{$*$}
$$

*Gabungan terbilang*: misalkan $(A_k) \subseteq \mathcal M$ saling lepas (dan ini sudah cukup, lewat pelepasan di dalam aljabar $\mathcal M$), $A = \bigsqcup A_k$, serta $E$ sembarang. Dengan memakai $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ dan kemonotonannya:

$$
\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) +
\mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
\geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
$$

menurut ($*$). Biarkan $n \to \infty$ lalu pakai subaditivitas terbilangnya secara terbalik:

$$
\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
\geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):
$$

sehingga semua ketaksamaannya menjadi kesamaan. Ini membuktikan sekaligus $A \in
\mathcal M$ dan, dengan mengambil $E = A$, keaditifan terbilang $\mu^*$ pada $\mathcal M$.

*Himpunan nol*: jika $\mu^*(N) = 0$, maka untuk $E$ apa pun: $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$: jadi $N \in \mathcal M$. ∎

## 9.4 Ukuran Lebesgue pada $\R$

**Definisi 9.10.**

*Ukuran luar Lebesgue* dari $A
\subseteq \R$ adalah

$$
\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) :
A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}
$$

(dengan selimut terbilang oleh selang terbuka).

**Lema 9.11.**

Fungsi $\lambda^*$ merupakan [ukuran luar](#def-b3-measure-outer) yang invarian terhadap translasi, dan $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (yakni panjangnya) untuk setiap selang $I$.

**Bukti.** [Ukuran luarnya](#def-b3-measure-outer): $\varnothing$ terselimuti oleh selang yang sekecil apa pun; kemonotonannya jelas; dan subaditivitasnya: diberikan selimut setiap $A_n$ dalam $\varepsilon 2^{-n}$ dari infimumnya, gabungannya menyelimuti $\bigcup A_n$ dengan panjang total $\leq \sum
\lambda^*(A_n) + \varepsilon$. Keinvarianan translasinya: translasikan selimutnya.

Untuk panjangnya: cukup ditangani $I = \intcc ab$ (sebab jenis lainnya berbeda pada ujungnya, yang berukuran luar $0$: selimuti dengan selang mungil; lalu himpitlah lewat perbandingan bertipe $\intcc{a+\varepsilon}{b -
\varepsilon} \subseteq \intoo ab$). Untuk $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$: selimuti dengan $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$. Sebaliknya misalkan $\intcc
ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$: menurut *kekompakannya* (Borel–Lebesgue, [Teorema 6.16](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#thm-b3-topology-metriccompact)), berhingga selang sudah cukup, sebutlah $I_1, \dots, I_N$. Kita tunjukkan $\sum_{k\leq N}(b_k -
a_k) \geq b - a$ lewat induksi pada $N$: pilihlah $I_{k_1} \ni a$; jika $b_{k_1} > b$ maka selesai (sebab $b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$); jika tidak, ruas $\intcc{b_{k_1}}b$ terselimuti oleh $N - 1$ selang sisanya, dan induksinya memberikan $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k)
\geq b - b_{k_1}$, sedangkan $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$: lalu jumlahkan. ∎

**Teorema 9.12 (Ukuran Lebesgue).**

Setiap himpunan Borel di $\R$ bersifat terukur-$\lambda^*$. Pembatasan $\lambda$ dari $\lambda^*$ pada aljabar-$\sigma$ $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (yakni *aljabar-$\sigma$ Lebesgue*) merupakan satu-satunya [ukuran](#def-b3-measure-measure) pada $\mathcal B(\R)$ yang memberi setiap selang panjangnya; ia invarian terhadap translasi dan berhingga-$\sigma$.

**Bukti.** Menurut [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) cukup ditunjukkan bahwa setiap sinar $A = \intoo{-\infty}c$ bersifat terukur-$\lambda^*$ (sebab sinar membangkitkan $\mathcal B$, [Definisi 9.2](#def-b3-measure-borel)). Misalkan $E \subseteq \R$ dengan $\lambda^*(E) < \infty$ dan $\bigcup I_n \supseteq E$ sebuah selimut dengan $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$. Setiap $I_n$ terpecah menjadi dua selang $I_n' = I_n \cap A$ dan $I_n'' = I_n\setminus A$ (sebab selang dikurangi sinar tetap selang) dengan $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$; lalu $I_n'$ menyelimuti $E \cap A$ dan $I_n''$ menyelimuti $E \setminus A$ (perbesarlah masing-masing menjadi selang terbuka berpanjang $\ell +
\varepsilon2^{-n}$ agar tetap sesuai definisinya), sehingga

$$
\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A)
\leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon
\leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .
$$

Ketunggalannya: dua [ukuran](#def-b3-measure-measure) yang bersesuaian dengan panjang pada sistem-$\pi$ berisi selang $\intoc ab$ (dan berhingga di sana) bersesuaian pada $\sigma(\text{selang}) = \mathcal B$ menurut [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) dengan $P_k = \intoc{-k}k$. Keberhinggaan-$\sigma$-nya: $\R = \bigcup(-k, k]$. ∎

**Teorema 9.13 (Keteraturan).**

Untuk setiap $A \in \mathcal L$:

$$
\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ terbuka}\}
= \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ kompak}\}.
$$

**Bukti.** *Sisi luarnya*: selimut $\bigcup I_n$ dengan $\sum\ell(I_n) \leq
\lambda(A) + \varepsilon$ merupakan [himpunan terbuka](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $U \supseteq A$ dengan $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (lewat subaditivitasnya); dan jika $\lambda(A) = \infty$ pernyataannya trivial. *Sisi dalamnya*: lebih dahulu misalkan $A$ terbatas, $A \subseteq [-M, M]$. Pilihlah sebuah $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ yang terbuka dengan $\lambda(U) \leq
\lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$; maka $K = [-M,
M]\setminus U$ bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), $K \subseteq A$, dan

$$
\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U)
\geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) +
\varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .
$$

Untuk $A$ yang umum: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah) lalu terapkan kasus terbatasnya di dalamnya. ∎

**Contoh 9.14.**

Himpunan Cantor ([Latihan 6.10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#exo-b3-topology-10)) mempunyai $\lambda(C) = 0$: sebab $C \subseteq C_n$, yaitu gabungan $2^n$ selang berpanjang $3^{-n}$, sehingga $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$. Jadi ada himpunan nol yang tak terbilang — kardinalitas tak melihat [ukuran](#def-b3-measure-measure). Sebaliknya, *himpunan Cantor gemuk* ([Latihan 9.5](#exo-b3-measure-5)) bersifat tak padat di mana pun tetapi berukuran positif: jadi [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) pun tak melihat [ukuran](#def-b3-measure-measure). Soal akhir pekan mendorong permainan ini sampai kesimpulannya yang mencolok: bahwa ada himpunan terukur Lebesgue yang bukan himpunan Borel.

**Teorema 9.15 (Vitali).**

Tak ada [ukuran](#def-b3-measure-measure) pada *seluruh* himpunan bagian $\R$ yang invarian terhadap translasi dan memberi setiap selang panjangnya. Khususnya $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$: jadi himpunan tak terukur memang ada.

**Bukti.** Andaikan $\mu$ salah satunya. Pada $\intcc01$, tinjaulah relasi ekuivalensi $x \sim y \iff x - y \in \Q$; lalu lewat *aksioma pilihan* ambillah satu wakil di $\intcc01$ per kelasnya: sebutlah himpunan $V$. Untuk $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$, translasi $V + q$ saling lepas berpasangan (sebab dua titik $V$ yang berselisih rasional akan ekuivalen padahal keduanya wakil yang berbeda) dan

$$
\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q)
\subseteq \intcc{-1}2 :
$$

dengan inklusi pertamanya karena setiap $x \in \intcc01$ berselisih dari wakilnya $v$ sebesar bilangan rasional $q = x - v \in
\intcc{-1}1$. Lalu kemonotonan dan keaditifan-$\sigma$-nya memberikan

$$
1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3,
\qquad\text{dengan } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ untuk setiap } q .
$$

Jumlah tak berhingga atas konstanta $\mu(V)$ bernilai $0$ atau $\infty$: sehingga kedua batasnya tak mungkin berlaku bersamaan. Jadi $\mu$ semacam itu tak ada — dan $V
\notin \mathcal L$, sebab $\lambda$ pada $\mathcal L$ mempunyai semua sifat yang dipakai tadi. ∎

**Catatan 9.16.**

Di $\R^3$ kegagalannya lebih dramatis: paradoks Banach–Tarski menguraikan sebuah bola menjadi lima kepingan yang dirakit kembali, lewat rotasi dan translasi, menjadi *dua* bola berjari-jari sama — sehingga bahkan volume yang aditif berhingga dan invarian terhadap rotasi pada seluruh himpunan bagian $\R^3$ pun tak ada. Kepingannya, tentu saja, tidak terukur. Jadi keterukuran bukanlah kehati-hatian birokratis; ia adalah batas kekoherenan.

**Metode 9.17.**

*Asas himpunan baik*: untuk membuktikan bahwa semua himpunan $\sigma(\mathcal E)$ mempunyai sebuah sifat, tunjukkan bahwa himpunan baiknya membentuk aljabar-$\sigma$ (atau sistem-$\lambda$, bila sifatnya bersifat teori [ukuran](#def-b3-measure-measure) dan $\mathcal E$ merupakan sistem-$\pi$ — lalu pakai Dynkin) yang memuat $\mathcal E$. Hampir setiap bukti pada bab ini dan bab berikutnya merupakan contohnya. Untuk membuktikan dua [ukuran](#def-b3-measure-measure) sama: periksalah keduanya pada sistem-$\pi$ pembangkitnya ditambah keberhinggaan-$\sigma$ ([Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)). Untuk membangun sebuah [ukuran](#def-b3-measure-measure): bangunlah [ukuran luar](#def-b3-measure-outer) lewat selimut lalu kutiplah Carathéodory.

## 9.5 Latihan

**Latihan 9.1 ★.**

(a) Tunjukkan bahwa $\{A \subseteq X : A$ atau $X\setminus A$ bersifat terbilang$\}$ merupakan aljabar-$\sigma$: yakni yang dibangkitkan oleh himpunan tunggal. (b) Tunjukkan bahwa $\mathcal B(\R)$ dibangkitkan oleh masing-masing berikut: selang terbuka; selang tertutup; sinar $\intoc{-\infty}a$; dan sinar dengan $a \in \Q$. (c) Apakah keluarga berisi *gabungan berhingga selang yang saling lepas* $\intoc ab$ merupakan aljabar-$\sigma$? Apakah ia aljabar (yakni stabil terhadap komplemen dan gabungan berhingga)?

**Solusi Latihan 9.1.**

(a) Pengambilan komplemen menukar kedua kasus pendefinisinya. Gabungan terbilang himpunan terbilang tetap terbilang; dan jika salah satu anggotanya berkomplemen terbilang, maka gabungannya pun demikian: jadi kestabilannya berlaku. Ia memuat himpunan tunggal, dan setiap aljabar-$\sigma$ yang memuatnya memuat semua himpunan terbilang (lewat gabungan terbilang) beserta komplemennya: jadi ia $\sigma(\{\text{himpunan tunggal}\})$.

(b) Tulis $\mathcal B = \sigma(\text{himpunan terbuka})$. Setiap himpunan bagian $\R$ yang terbuka merupakan gabungan terbilang selang terbuka berujung rasional (di sekitar setiap titik rasional [himpunan terbukanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology), ambil selang berjari-jari rasional di dalamnya), sehingga [himpunan terbukanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) $\in
\sigma(\text{selang terbuka}) \subseteq \sigma(\text{data
rasional})$. Peralihannya: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a +
\frac1n}{b - \frac1n}$; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a -
\frac1n}{b + \frac1n}$; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n
\intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ dan sebaliknya $\intoo ab =
\intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$; sedangkan untuk sinar rasional: $\intoc{-\infty}a =
\bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$. Jadi setiap keluarganya membangkitkan yang lain lewat operasi terbilang: keempatnya membangkitkan $\mathcal B$.

(c) Dengan ujung yang berhingga saja, keluarganya bahkan bukan aljabar: sebab komplemen $\intoc01$ memuat sinar tak terbatas. Bila ujung tak berhingga diperbolehkan ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo
a{+\infty}$) ia menjadi aljabar (sebab komplemen dan gabungan berhingga atas gabungan semacam itu tetap demikian), tetapi bukan aljabar-$\sigma$: sebab $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ bukan gabungan berhingga selang tak degenerat.

**Latihan 9.2 ★.**

(a) Buktikan inklusi–eksklusi bagi [ukuran](#def-b3-measure-measure) berhingga: $\mu(A\cup
B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$, beserta versi tiga himpunannya. (b) Berilah contoh yang menunjukkan bahwa [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari atas ([Proposisi 9.6](#prop-b3-measure-basics)(d)) gagal tanpa pengandaian keberhinggaannya. (c) Tunjukkan bahwa himpunan terbilang berukuran Lebesgue nol. Lalu simpulkan $\lambda(\Q) = 0$ dan $\lambda(\intcc01\setminus\Q) =
1$.

**Solusi Latihan 9.2.**

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, sehingga $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (dan keberhinggaannya mengizinkan pengurangan itu). Untuk tiga himpunan: terapkan rumus dua himpunannya dua kali,

$$
\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) +
\mu(A\cap B\cap C)
$$

(dengan jumlah atas himpunan indeks yang sudah jelas).

(b) Untuk [ukuran Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter), $A_n = [n, +\infty) \downarrow
\varnothing$, padahal $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$.

(c) Sebuah titik terletak di selang berpanjang $\varepsilon$: sehingga $\lambda(\{x\}) = 0$; lalu subaditivitas terbilangnya mematikan himpunan terbilang. Karena itu $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ dan, lewat keaditifannya, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: jadi bilangan irasionallah yang membawa seluruh panjangnya.

**Latihan 9.3 ★★.**

Misalkan $\mu, \nu$ [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang pada $\mathcal B(\R)$ dengan $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ untuk setiap $t \in \R$. Tunjukkan $\mu = \nu$. (Hal ini menjadikan *fungsi distribusi* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ sebuah invarian yang [lengkap](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — yakni landasan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ch-b3-probability).)

**Solusi Latihan 9.3.**

Sinar $\intoc{-\infty}t$ membentuk sistem-$\pi$ (sebab irisan dua di antaranya adalah yang lebih kecil) yang membangkitkan $\mathcal B(\R)$ ([Latihan 9.1](#exo-b3-measure-1)). Himpunan $P_k = \intoc{-\infty}k$ naik menuju $\R$ dengan $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$: sehingga [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) berlaku, dan $\mu = \nu$ pada $\mathcal B(\R)$. Dengan demikian fungsi distribusinya menentukan [ukurannya](#def-b3-measure-measure).

**Latihan 9.4 ★★.**

(Borel–Cantelli, versi [ukuran](#def-b3-measure-measure)) Misalkan $(A_n)$ terukur dengan $\sum_n\mu(A_n) < \infty$, dan $\limsup A_n =
\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (yakni titik yang termasuk tak berhingga banyak $A_n$). Tunjukkan $\mu(\limsup A_n) = 0$. Terapannya: untuk hampir setiap $x \in \intcc01$, hanya berhingga banyak $n$ yang memenuhi $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ bagi bilangan rasional ke-$n$, yakni $p/q_n$, pada suatu pencacahan $\Q\cap\intcc01$.

**Solusi Latihan 9.4.**

Untuk setiap $N$ berlaku $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$, sehingga $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$, yakni ekor sebuah deret konvergen: lalu biarkan $N \to \infty$. Terapannya: dengan $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ (dengan $r_n$ bilangan rasional ke-$n$), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ dapat dijumlahkan: sehingga $\lambda(\limsup A_n) = 0$, yakni hampir setiap $x$ termasuk hanya berhingga banyak $A_n$. (Padahal setiap $x$ merupakan limit bilangan rasional: intinya adalah *kelajuan* $4^{-n}$-nya.)

**Latihan 9.5 ★★.**

(Himpunan Cantor gemuk) Ulangi konstruksi Cantor pada $\intcc01$, tetapi pada langkah $n$ buanglah dari masing-masing $2^{n-1}$ selangnya sebuah selang terbuka *terpusat* berpanjang $4^{-n}$ saja. Tunjukkan bahwa $K = \bigcap K_n$ yang dihasilkan bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), berinterior kosong (sebab tak ada selang yang bertahan), dan

$$
\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :
$$

yakni himpunan tak padat di mana pun yang berukuran $\frac12$. Lalu simpulkan adanya himpunan bagian $\intcc01$ yang *[kurus](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)* tetapi berukuran penuh $1$, dan sebuah himpunan bagian terbuka yang padat dan berukuran $< \varepsilon$.

**Solusi Latihan 9.5.**

Himpunan $K = \bigcap K_n$ merupakan irisan gabungan berhingga selang tertutup: jadi [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact). Pada tahap $n$ tersisa $2^n$ selang berpanjang sama $\ell_n \leq 2^{-n}$ (sebab setiap tahapnya membelah dan menyusutkan); dan selang $I \subseteq K$ akan terletak di dalam satu selang tahap-$n$ untuk setiap $n$, sehingga memaksa $\ell(I) = 0$: jadi [interiornya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) kosong. [Ukuran](#def-b3-measure-measure) yang dibuang adalah $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot
4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$, dengan semua pembuangannya berupa selang terbuka yang saling lepas: jadi $\lambda(K) = \frac12$.

Ragamnya: membuang selang tengah berpanjang $\varepsilon
4^{-n}$ meninggalkan [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) tak padat di mana pun $K^{(\varepsilon)}$ yang berukuran $1 - \frac\varepsilon2$. Lalu $\bigcup_m
K^{(1/m)}$ bersifat [kurus](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) (sebagai gabungan terbilang himpunan tak padat di mana pun) dan berukuran $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$: jadi [himpunan kurus](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) yang berukuran penuh — sedangkan komplemennya di $\intoo01$ merupakan $G_\delta$ padat berukuran $0$ (gemuk secara [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology), nol secara metrik). Komplemen $K^{(\varepsilon)}$ di $\intoo01$ bersifat terbuka, padat, dan berukuran $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$.

**Latihan 9.6 ★★.**

Misalkan $\mu$ sebuah [ukuran](#def-b3-measure-measure) pada $\mathcal B(\R)$ yang invarian terhadap translasi, dengan $c = \mu(\intoc01) < \infty$. Tunjukkan $\mu =
c\,\lambda$ pada $\mathcal B(\R)$. *(Hitunglah $\mu$ pada selang diadik dengan membagi $\intoc01$ menjadi $2^n$ translasinya, lalu panggillah [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Solusi Latihan 9.6.**

Dengan memotong $\intoc01$ menjadi $2^n$ translasi $\intoc0{2^{-n}}$: $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, sehingga $\mu(\intoc0{2^{-n}}) =
c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. Lewat keinvarianan translasi dan keaditifannya, $\mu = c\lambda$ pada setiap selang $\intoc ab$ yang $b - a$-nya rasional diadik dan $a$-nya apa pun; sedangkan $\intoc ab$ yang umum merupakan gabungan naik selang semacam itu ($b_k \uparrow b$ lewat langkah diadik dari $a$), dan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah memperluas kesamaannya. Selang $\intoc ab$ membentuk sistem-$\pi$ yang membangkitkan $\mathcal B(\R)$, dengan $\intoc{-k}k
\uparrow \R$ yang berukuran berhingga (sebab $\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): sehingga [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) memberikan $\mu = c\lambda$ pada $\mathcal B(\R)$.

**Latihan 9.7 ★★.**

(Penghampiran) Misalkan $A \in \mathcal L$ dengan $\lambda(A) <
\infty$ dan $\varepsilon > 0$. Tunjukkan bahwa ada gabungan *berhingga* selang $B$ dengan $\lambda(A\,\triangle\,B) <
\varepsilon$ (dengan $\triangle$ = selisih simetris). *(Lewat keteraturannya: himpitlah $K \subseteq A \subseteq U$ lalu pakai struktur $U$ yang terbuka sebagai gabungan terbilang selang, ditambah kekompakan $K$.)*

**Solusi Latihan 9.7.**

Menurut keteraturannya ([Teorema 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) pilihlah $K
\subseteq A \subseteq U$ dengan $K$ [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact), $U$ terbuka, dan $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (dengan kedua penghampirannya dalam $\varepsilon/2$, sebab $\lambda(U \setminus K) =
\lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$). Tulis $U$ sebagai gabungan terbilang selang terbuka $(I_n)$ yang saling lepas (yakni komponen [himpunan terbukanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology)); lalu $K$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) terselimuti oleh berhingga di antaranya, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq
U$. Maka $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq
U\setminus K$ dan $B \setminus A \subseteq U \setminus A
\subseteq U\setminus K$: sehingga $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — jadi mulailah dari $\varepsilon/2$ agar mendarat di bawah $\varepsilon$.

**Latihan 9.8 ★★★.**

(Steinhaus) Misalkan $A \in \mathcal L$ dengan $\lambda(A) > 0$. Tunjukkan bahwa $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ memuat sebuah selang di sekitar $0$. *(Reduksikan ke $\lambda(A) < \infty$; lalu lewat keteraturan bergaya [Latihan 9.7](#exo-b3-measure-7), carilah selang $I$ dengan $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$; maka untuk $\abs t <
\frac12\ell(I)$, himpunan $A\cap I$ dan $(A\cap I) + t$ keduanya duduk di selang berpanjang $\frac32\ell(I)$ dan berukuran total $> \frac32\ell(I)$: sehingga keduanya harus berpotongan.)*

**Solusi Latihan 9.8.**

Dengan mengganti $A$ oleh $A \cap [-M, M]$ yang berukuran positif (dan suatu $M$ memang berhasil, menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah), andaikan $0 < \lambda(A) <
\infty$. Ambil $U \supseteq A$ yang terbuka dengan $\lambda(U) <
\frac43\lambda(A)$ lalu uraikan $U = \bigsqcup_nI_n$ atas selang terbuka yang saling lepas: maka $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap
I_n)$. Seandainya setiap $n$ mempunyai $\lambda(A\cap I_n) \leq
\frac34\ell(I_n)$, menjumlahkannya akan memberikan $\lambda(A) \leq
\frac34\lambda(U) < \lambda(A)$: jadi ada selang $I$ yang memenuhi $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$. Tetapkan $B = A \cap I$ lalu misalkan $\abs t < \frac12\ell(I)$: maka $B$ dan $B + t$ keduanya terletak di selang $I \cup (I + t)$ yang berpanjang $< \frac32\ell(I)$. Seandainya keduanya saling lepas: $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B)
> \frac32\ell(I)$ akan melampaui [ukuran](#def-b3-measure-measure) selang pemuatnya — mustahil. Jadi $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: sehingga suatu $x \in B$ ditulis $x = y + t$ dengan $y \in B$, dan $t = x -
y \in A - A$. Karena itu $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A -
A$.

**Latihan 9.9 ★★★.**

Tunjukkan bahwa setiap $A \in \mathcal L$ dengan $\lambda(A) > 0$ memuat himpunan bagian yang tak terukur. *(Iriskan $A$ dengan translasi $V + q$ dari himpunan Vitali: sebab jika semua $A \cap (V+q)$ terukur, masing-masing akan berukuran nol menurut argumen [Teorema 9.15](#thm-b3-measure-vitali) — dan Steinhaus ([Latihan 9.8](#exo-b3-measure-8)) menolong: himpunan terukur berukuran positif di dalam $V + q$ akan membuat $(V+q) - (V+q) \supseteq$ sebuah selang, dan itu bertentangan dengan kenyataan bahwa himpunan selisih itu memotong $\Q$ hanya di $0$; lalu simpulkan lewat subaditivitasnya.)*

**Solusi Latihan 9.9.**

Translasi Vitali $(V + q)_{q\in\Q}$ mempartisi $\R$ (sebab setiap bilangan real ekuivalen dengan tepat satu wakilnya). Andaikan semua himpunan $B_q = A \cap (V + q)$ terukur. Dua unsur $V + q$ mana pun berselisih bilangan irasional atau nol (sebab dua wakil yang berbeda tak ekuivalen), sehingga $B_q - B_q$ memotong $\Q$ hanya di $\{0\}$: jadi ia tak memuat selang, dan Steinhaus ([Latihan 9.8](#exo-b3-measure-8)) memaksa $\lambda(B_q) = 0$. Lalu $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, dan itu bertentangan dengan $\lambda(A) > 0$. Jadi ada $B_q \subseteq A$ yang tak terukur.

**Latihan 9.10 ★★.**

Tunjukkan bahwa $A \subseteq \R$ dengan $\lambda^*(A) < \infty$ bersifat terukur Lebesgue jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $U \supseteq A$ yang terbuka dengan $\lambda^*(U \setminus A) <
\varepsilon$, dan jika dan hanya jika ada himpunan $G_\delta$ $G \supseteq A$ dengan $\lambda^*(G\setminus A) = 0$. (Jadi himpunan Lebesgue merupakan himpunan Borel modulo himpunan nol.)

**Solusi Latihan 9.10.**

*Terukur $\Rightarrow$ penghampiran-$\varepsilon$*: lewat keteraturan luarnya ([Teorema 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) ambillah $U \supseteq A$ yang terbuka dengan $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$; lalu keterukurannya mengizinkan pengurangan $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq
\varepsilon$. *Versi-$\varepsilon$ $\Rightarrow$ versi-$G_\delta$*: ambillah $U_n$ dengan $\lambda^*(U_n\setminus
A) < \frac1n$ lalu $G = \bigcap U_n$: sebuah $G_\delta$ dengan $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. *Versi-$G_\delta$ $\Rightarrow$ terukur*: sebab $G\setminus
A$ berukuran-$\lambda^*$ nol, sehingga terukur menurut [kelengkapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)), dan $A = G \setminus
(G\setminus A)$ terukur (sebab $G$ bersifat Borel). Jadi himpunan Lebesgue tepat berupa “Borel modulo himpunan nol”.

**Latihan 9.11 ★★.**

([Kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) sepanjang limit monoton, dan ketajamannya) (a) Tunjukkan bahwa untuk himpunan terukur berlaku $\mu(\liminf A_n) \leq
\liminf\mu(A_n)$ (yakni Fatou untuk himpunan), dan bahwa jika $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$, maka juga $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$. (b) Tampilkan, untuk [ukuran Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) pada $\R$, sebuah barisan dengan $\mu(A_n) = 1$ untuk setiap $n$ namun $\mu(\limsup A_n) = 0$: jadi hipotesis keberhinggaan pada ketaksamaan kedua bukanlah hiasan. (c) Simpulkan: jika $\sum\mu(A_n) < \infty$ maka $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli lagi), dan jika $A_n$ naik atau turun (dengan $\mu(A_1) < \infty$ pada kasus turunnya), maka $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$.

**Solusi Latihan 9.11.**

(a) Himpunan $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ merupakan gabungan naik himpunan $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$, sehingga $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah); dan $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$, yang limitnya $\liminf\mu(A_n)$. Untuk $\limsup$-nya: terapkan hal yang sama pada komplemennya di dalam lingkungan berukuran berhingga $U = \bigcup A_n$ — sebab [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari atas pada $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ yang turun menuntut $\mu(C_1)
\leq \mu(U) < \infty$, dan memberikan $\mu(\limsup A_n) =
\lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$.

(b) Selang berjalan $A_n = \intcc n{n+1}$: setiap titiknya termasuk paling banyak dua $A_n$ dan akhirnya tak termasuk satu pun, sehingga $\limsup A_n = \varnothing$; padahal $\mu(A_n) = 1$. Jadi $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: tanpa selubung berukuran berhingga, ketaksamaan kedua pada (a) gagal — sebab massanya lolos ke tak hingga, tempat yang tak dapat ditangkap himpunan tetap mana pun.

(c) Jika $\sum\mu(A_n) < \infty$: maka $\mu(C_N) \leq
\sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ dan $\limsup A_n =
\bigcap C_N$ berukuran $\leq \inf\mu(C_N) = 0$. Untuk kasus monotonnya: yang naik adalah [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah; sedangkan yang turun dengan $\mu(A_1) < \infty$ adalah [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari atas — keduanya sudah dibuktikan pada sifat dasar [Bab 9](#ch-b3-measure); dan contoh penyangkal $A_n = \intco n\infty$ (yang turun ke $\varnothing$ dengan $\mu \equiv \infty$) menunjukkan bahwa keberhinggaannya kembali menjadi hal yang mendasar.

**Latihan 9.12 ★★★.**

(Teorema Egorov) Misalkan $\mu(X) < \infty$ dan $f_n \to f$ titik demi titik, dengan semuanya terukur (bernilai real). Untuk $k, N \geq 1$ tetapkan

$$
E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)}
\leq \tfrac1k\Bigr\} .
$$

(a) Tunjukkan bahwa untuk $k$ yang tetap, $E_{k,N} \nearrow X$ ketika $N \to
\infty$, lalu simpulkan adanya $N_k$ dengan $\mu(X \setminus E_{k,N_k})
\leq \varepsilon2^{-k}$. (b) Simpulkan *teorema Egorov*: bahwa untuk setiap $\varepsilon
> 0$ ada $A$ yang terukur dengan $\mu(X\setminus A) \leq
\varepsilon$ sedemikian sehingga $f_n \to f$ *secara seragam pada $A$* — jadi kekonvergenan titik demi titik menjadi kekonvergenan seragam di luar himpunan yang sekecil apa pun. (c) Tunjukkan bahwa teoremanya gagal pada $(\R, \lambda)$: gundukan berjalan $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ konvergen titik demi titik ke $0$ tetapi tidak seragam pada komplemen himpunan berukuran berhingga mana pun. Di manakah (a) memakai $\mu(X) < \infty$?

**Solusi Latihan 9.12.**

(a) Himpunan $E_{k,N}$ naik terhadap $N$ (sebab kendalanya berkurang), dan setiap $x$ akhirnya memenuhi $\abs{f_n(x)
- f(x)} \leq \frac1k$ untuk setiap $n \geq N(x)$ (menurut kekonvergenan titik demi titiknya): jadi $\bigcup_NE_{k,N} = X$. Lalu lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari bawah: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$, sehingga $\mu(X\setminus
E_{k,N}) \to 0$; lalu pilihlah $N_k$ yang sesuai.

(b) Misalkan $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$: maka $\mu(X\setminus A) \leq
\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$. Pada $A$: untuk setiap $k$, setiap $n \geq N_k$ memenuhi $\sup_A\abs{f_n - f} \leq
\frac1k$ — dan itu tepat kekonvergenan seragam pada $A$.

(c) Untuk gundukan berjalannya, kekonvergenan seragam pada $A$ menuntut $A$ akhirnya menghindari setiap $\intcc n{n+1}$ — lebih tepatnya $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ memaksa $A \cap \intcc
n{n+1}$ kosong untuk $n$ besar, sehingga $X \setminus A$ memuat sebuah ekor $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ yang berukuran tak berhingga. Pada (a), keberhinggaannya mengubah “$E_{k,N}\nearrow X$” menjadi “[ukuran](#def-b3-measure-measure) komplemennya menuju $0$”: sebab [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari atas memerlukan awal yang berhingga, dan pada ruang berukuran tak berhingga pelolosan ke tak hingga persis merupakan hal yang tak dapat dilihatnya.

## 9.6 Soal: tangga Cantor–Vitali dan sebuah himpunan terukur yang bukan Borel

![Tangga Cantor–Vitali: yang konstan pada setiap celah himpunan Cantor, namun mendaki dari 0 ke 1 secara kontinu. Turunannya lenyap hampir di mana-mana — jadi seluruh pendakiannya terjadi pada sebuah himpunan nol.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-16f86b8c69e5.svg)

*Tangga Cantor–Vitali: yang konstan pada setiap celah himpunan Cantor, namun mendaki dari $0$ ke $1$ secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). Turunannya lenyap hampir di mana-mana — jadi seluruh pendakiannya terjadi pada sebuah himpunan nol.*

**Soal 9.1.**

Soal akhir pekan — tangga setan, dan $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

Kita bangun *fungsi Cantor–Vitali* (yakni tangga setan), memakainya untuk mengangkut [ukuran](#def-b3-measure-measure) secara patologis, lalu menutup dengan teorema yang tak diberikan oleh argumen lunak mana pun: bahwa ada himpunan terukur Lebesgue yang bukan Borel. Notasinya: $C$ adalah himpunan Cantor, $C_n$ tahap ke-$n$-nya ($2^n$ selang berpanjang $3^{-n}$), dan setiap $x \in C$ berangka terner $x = \sum 2b_n3^{-n}$ dengan $b_n \in \{0,1\}$ ([Latihan 6.10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#exo-b3-topology-10)).

**Bagian I — Tangganya.** Definisikan $c_0(x) = x$ lalu $c_{n+1}$ dari $c_n$ lewat

$$
c_{n+1}(x) = \begin{cases}
\tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt]
\tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt]
\tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1.
\end{cases}
$$

1. Tunjukkan bahwa setiap $c_n$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) , tak turun, dengan $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , dan bahwa $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq  \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
2. Simpulkan bahwa $(c_n)$ konvergen seragam ke sebuah $c$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan tak turun dengan $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (yakni *fungsi* Cantor–Vitali), yang memenuhi relasi serupa-diri yang sama seperti $c_{n+1}$ di atas.
3. Tunjukkan bahwa $c$ konstan pada setiap [komponen terhubung](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-components) $\intcc01\setminus C$ , dan bahwa untuk $x = \sum_n  2b_n3^{-n} \in C$ berlaku $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : jadi tangganya membaca angka Cantor dalam biner (yakni fungsi $g$ pada [Soal 6.1](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#pb-b3-topology-1) , yang dibuat monoton dan global).
4. Simpulkan bahwa $c$ dapat diturunkan, dengan $c' = 0$, di setiap titik $\intcc01\setminus C$: sehingga $c' = 0$ *hampir di mana-mana terhadap $\lambda$* ([Contoh 9.14](#ex-b3-measure-cantor)). Lalu simpulkan bahwa teorema fundamental kalkulus gagal bagi $c$: $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (dengan integralnya atas himpunan berukuran penuh tempat $c' = 0$; dan dengan mendahului [Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue), himpunan nol tak memengaruhi integral). Hipotesis mana pada teorema fundamental $\mathcal C^1$ yang dilanggar?
5. Tunjukkan bahwa $c(C) = \intcc01$ : jadi himpunan nol $C$ terpetakan *pada* himpunan berukuran penuh.

**Bagian II — [Homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang bengkok.** Misalkan $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$.

6. Tunjukkan bahwa $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ merupakan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (yakni naik sejati, [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) , dan surjektif).
7. Tunjukkan bahwa $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) =  \tfrac12$ : sebab pada setiap celah berpanjang $\ell$ , $h$ bekerja sebagai pemetaan afin berkemiringan $\tfrac12$ , dan celahnya berpanjang total $1$ .
8. Simpulkan $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : jadi peta [homeomorfik](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) sebuah himpunan nol dapat berukuran positif. (Di manakah hal ini bertentangan dengan gerak hati yang naif tentang “ [ukuran](#def-b3-measure-measure) ”?)

**Bagian III — Sebuah himpunan terukur yang bukan Borel.**

9. Menurut [Latihan 9.9](#exo-b3-measure-9) , pilihlah $W  \subseteq h(C)$ yang tak terukur. Tunjukkan bahwa $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ bersifat terukur Lebesgue. *(Sebab ia himpunan bagian sebuah himpunan nol; lihat [kelengkapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory).)*
10. Tunjukkan bahwa prapeta himpunan Borel di bawah [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bersifat Borel. *(Lewat asas himpunan baik: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ merupakan aljabar-$\sigma$ yang memuat [himpunan terbukanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) — perhatikan arah pemetaannya.)*
11. Simpulkan bahwa $Z$ *bukan* Borel: sebab seandainya demikian, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ akan menjadi Borel (terapkan pertanyaan 10 pada $h^{-1}$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)), sehingga terukur — kontradiksi. Karena itu $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ dan [kelengkapan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) sungguh memperbesar dunia Borel.
12. Tampilkan sebuah fungsi $g$ yang terukur Lebesgue dan sebuah fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $\varphi$ sedemikian sehingga $g \circ  \varphi$ tak terukur Lebesgue: jadi keterukuran, tak seperti [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) , tak terkomposisikan. *(Ambil $g =  \mathbf 1_Z$ dan $\varphi = h^{-1}$, sambil mendahului definisi fungsi terukur pada [Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue): bahwa prapeta himpunan Borel merupakan himpunan Lebesgue. Di manakah kita harus berhati-hati tentang aljabar-$\sigma$ mana yang dipakai pada sasarannya?)*

**Bagian IV — [Penutup](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior).**

13. Urutkan kelas berikut menurut inklusi sejatinya lalu benarkan setiap kesejatiannya dengan contoh dari bab ini beserta soalnya: himpunan terbilang; himpunan nol Borel; himpunan nol Lebesgue; himpunan Borel; himpunan Lebesgue; dan himpunan sembarang.

**Bagian V — [Ukuran](#def-b3-measure-measure) Cantor: massa pada sebuah himpunan nol.** Tangga itu merupakan fungsi distribusi sebuah [ukuran](#def-b3-measure-measure) yang luar biasa, yang kini kita bangun dengan perkakas bab ini sendiri.

14. (Lebesgue–Stieltjes, keberadaannya) Misalkan $F\colon\R\to\R$ tak turun, [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dan terbatas. Pada selang setengah terbuka definisikan $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) -  F(a)$ lalu, untuk $A \subseteq \R$, $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) -  F(a_k)\bigr) : A \subseteq  \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ Tunjukkan bahwa $\mu_F^*$ merupakan [ukuran luar](#def-b3-measure-outer) dan bahwa $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *(tirulah argumen kekompakan pada [Teorema 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue), dengan memperbesar setiap $\intoc{a_k}{b_k}$ menjadi selang terbuka berbiaya-$F$ $\leq \varepsilon2^{-k}$ — di manakah [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $F$ dipakai?)*.
15. Tunjukkan bahwa setiap himpunan Borel bersifat terukur- $\mu_F^*$ dalam arti Carathéodory *(seperti pada kasus Lebesgue, cukup diuji pada setengah garis; ikutilah bukti penerapan [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))* , sehingga $\mu_F = \mu_F^*$ yang dibatasi pada $\mathcal B(\R)$ merupakan [ukuran](#def-b3-measure-measure) dengan $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : yakni *[ukuran](#def-b3-measure-measure) Lebesgue–Stieltjes* dari $F$ .
16. Terapkan hal ini pada tangganya (yakni $F = c$ yang diperluas dengan $0$ pada $\R_-$ dan $1$ pada $\intco1\infty$): diperolehlah *[ukuran](#def-b3-measure-measure) Cantor* $\mu$. Tunjukkan $\mu(\R) = 1$, bahwa setiap celah himpunan Cantor berukuran-$\mu$ nol (sebab $c$ konstan di sana), lalu simpulkan $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ jadi $\mu$ dan $\lambda$ hidup pada pembawa yang saling lepas (yakni $C$ dan komplemennya). Dua [ukuran](#def-b3-measure-measure) dalam kedudukan itu disebut *saling singular*, ditulis $\mu \perp  \lambda$.
17. Tunjukkan bahwa $\mu$ tak beratom: $\mu(\{x\}) = 0$ untuk setiap $x$ *(lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $c$)* . Jadi ada [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang tanpa atom yang dibawa sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berukuran nol Lebesgue: bandingkan dengan [ukuran](#def-b3-measure-measure) yang sudah kita lihat sejauh ini.
18. (Pelemparan koin yang menyamar) Untuk sebuah kata $(\varepsilon_1,  \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , misalkan $C_{\varepsilon}$ himpunan $x \in C$ yang angka ternernya memenuhi $b_i(x) = \varepsilon_i$ untuk $i \leq m$ (yakni salah satu dari $2^m$ kepingan Cantor berkedalaman $m$ ). Tunjukkan $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ *(sebab tangganya mendaki $2^{-m}$ sepanjang kepingan itu: pakailah Bagian I, pertanyaan 3)* . Jadi [ukuran](#def-b3-measure-measure) Cantor merupakan hukum sebuah barisan tak berhingga lemparan koin adil yang dibaca dalam terner — dan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/22-peluang-landasan-dan-hukum-bilangan-besar#ch-b3-probability) akan mengeksakkannya.
19. Buktikan keserupaan dirinya: bahwa untuk setiap $A$ yang Borel, $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) +  \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ dengan $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *(periksalah pada selang pembangkitnya $\intoc ab$ lewat relasi serupa-diri $c$, lalu panggillah ketunggalannya, [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))*.
20. Tunjukkan bahwa pencerminan $s(x) = 1 - x$ mempertahankan $\mu$ : yakni $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *(lewat $c(1 - x) = 1 -  c(x)$, yang menyusul dari kesimetrian konstruksinya — buktikanlah)* .
21. Hitunglah dua momen pertama $\mu$, yakni dari sebuah titik acak $X$ berhukum $\mu$ (integralnya boleh digarap sebagai limit jumlah atas kepingan berkedalaman $m$, sambil mendahului [Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue)): kesimetriannya memberikan $\int x\,\dd\mu = \frac12$, dan keserupaan dirinya memberikan $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38,  \qquad\text{sehingga}\qquad  \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ Bandingkan dengan hukum seragam pada $\intcc01$ (yang beragam $\frac1{12}$): jadi massa Cantor, yang terdorong ke tepinya, menyebar *lebih* lebar.
22. Tunjukkan bahwa *pendukung* (secara [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) ) dari $\mu$ — yakni himpunan tertutup terkecil yang berukuran penuh — tepat berupa $C$ .
23. (Sintesis) Tangga $c$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan tak turun namun menggagalkan teorema fundamental kalkulus (Bagian I); sedangkan [ukuran](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ merupakan peluang, tanpa atom, dan singular terhadap $\lambda$ . Jelaskan dalam satu paragraf pendek bagaimana keduanya merupakan dua wajah satu gejala, lalu nyatakan pelajaran umumnya: bahwa fungsi tak turun bersesuaian dengan [ukuran](#def-b3-measure-measure) ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), keterdiferensialan hampir di mana-mana bersesuaian dengan “bagian [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mutlaknya”, dan $c$ merupakan saksi baku bahwa $F$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dapat *tak* membawa bagian [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mutlak sama sekali.
24. (Modulus [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) yang tajam) Misalkan $s =  \frac{\ln 2}{\ln 3}$. Tunjukkan bahwa $c$ bersifat Hölder [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan eksponen $s$: $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s}  \qquad (x, y \in \intcc01),$$ dan bahwa tak ada eksponen $t > s$ yang berlaku, bahkan secara lokal. Lalu simpulkan bentuk teori [ukurannya](#def-b3-measure-measure): bahwa untuk setiap $x$ dan setiap $r \in \intoc01$, $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(Bandingkan kisi triadik berkedalaman $m$ dengan skala $\abs{x - y}$; dan pertanyaan 18 memberikan pendakian sepanjang setiap kepingannya. Eksponen $s$ merupakan dimensi [Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-hausdorff) $C$, sebagaimana akan dikatakan kuliah berikutnya.)*
25. (Keserupaan diri mencirikan $\mu$) Buktikan konvers pertanyaan 19: jika $\nu$ sebuah [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang pada $\mathcal B(\R)$ yang dibawa $\intcc01$ dan memenuhi $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2)  \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ maka $\nu = \mu$. *(Iterasikan relasinya $m$ kali untuk menyebarkan $\nu$ atas $2^m$ kepingan Cantor berkedalaman $m$, taksirlah $\nu(\intoc ab)$ terhadap cacahan kepingan di dalam $\intoc ab$, lalu biarkan $m \to \infty$; dan selesaikan dengan [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Solusi Soal 9.1.**

**1.** Lewat induksi. [Kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): ketiga rumusnya bersesuaian di sambungannya (sebab $\frac12c_n(1) = \frac12$ dan $\frac12 +
\frac12c_n(0) = \frac12$); dan setiap kepingannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity). Kemonotonan dan nilai batasnya diwarisi. Untuk taksiran kontraksinya: pada $[0,\frac13]$, $\abs{c_{n+1} - c_n}(x)
= \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n -
c_{n-1}}_\infty$; pada sepertiga tengahnya selisihnya $0$; dan pada sepertiga kanannya, sama seperti kirinya.

**2.** Berlaku $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq
2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$: sehingga deret pertambahannya konvergen seragam, jadi $c_n \to c$ secara seragam; lalu $c$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), tak turun, dengan $c(0) = 0$, $c(1) = 1$ (semuanya terpelihara oleh limit seragam), dan mengambil limit pada rekursi pendefinisinya menunjukkan bahwa $c$ sendiri memenuhi ketiga identitas serupa-dirinya.

**3.** Menurut identitas tengahnya, $c \equiv \frac12$ pada $\intcc{\frac13}{\frac23}$, yakni celah pertamanya. Setiap celah $C$ merupakan peta celah pertama itu di bawah komposisi kedua kontraksi afin $x \mapsto \frac x3$ dan $x\mapsto\frac{x +
2}3$; dan identitasnya mengangkut kekonstanannya sejalan dengan itu (dengan nilainya berupa bilangan rasional diadik). Untuk rumus angkanya, ambillah $x =
\sum_n 2b_n3^{-n} \in C$: jika $b_1 = 0$ maka $x \in
[0,\frac13]$ dan $c(x) = \frac12c(3x)$ dengan $3x$ berangka $(b_2, b_3, \dots)$; sedangkan jika $b_1 = 1$ maka $x \in [\frac23, 1]$ dan $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$, dengan pergeseran yang sama. Lewat induksi, $N$ angka biner pertama $c(x)$ adalah $b_1,
\dots, b_N$ untuk setiap $N$: jadi $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$.

**4.** Di luar $C$, $c$ konstan secara lokal: sehingga dapat diturunkan dengan turunan $0$. Dan karena $\lambda(C) = 0$ ([Contoh 9.14](#ex-b3-measure-cantor)), maka $c' = 0$ hampir di mana-mana. Namun $c(1) - c(0) = 1$: sebab teorema fundamental dalam bentuk $\mathcal
C^1$-nya menuntut $c$ dapat diturunkan *di mana-mana* dengan turunan yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (atau setidaknya terintegralkan, ditambah [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mutlak — lihat [Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue)); padahal $c$ tak dapat diturunkan di titik $C$, dan yang lebih mendasar, $c$ menggagalkan *[kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mutlak*: sebab ia mendaki pada himpunan nol.

**5.** Diberikan $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ (dengan $\beta_n \in \{0,1\}$), titik $x = \sum_n2\beta_n3^{-n}
\in C$ mempunyai $c(x) = y$ menurut pertanyaan 3: jadi $c(C) = \intcc01$, yakni himpunan berukuran $1$ — sehingga himpunan nol $C$ membawa, lewat $c$, seluruh selangnya.

**6.** Fungsi $h$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan naik sejati (sebab $x$ demikian dan $c$ tak turun); lalu $h(0) = 0$, $h(1) = 1$, sehingga menurut teorema nilai antara $h$ merupakan bijeksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) pada $\intcc01$; dan bijeksi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dari [ruang kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) ke [ruang Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-hausdorff) merupakan [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) ([Akibat 6.14](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**7.** Pada sebuah celah $(u, v)$ (berpanjang $\ell$), $c$ konstan, sehingga $h$ bersifat afin berkemiringan $\frac12$: jadi $h((u,v))$ merupakan selang berpanjang $\frac\ell2$. Celahnya saling lepas dan $h$ injektif: sehingga petanya saling lepas, dengan [ukuran](#def-b3-measure-measure) total $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$.

**8.** Berlaku $h(\intcc01) = \intcc01$ dan $h(C)$ bersifat [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) (sebagai peta [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)), sehingga terukur, dengan

$$
\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 -
\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 =
\tfrac12 .
$$

Jadi sebuah [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dapat menggembungkan himpunan nol menjadi berukuran $\frac12$: sehingga “[ukuran](#def-b3-measure-measure) [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology)” (kategori, dimensi) dan “[ukuran](#def-b3-measure-measure)” diangkut [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dengan cara yang sangat berbeda — hanya yang pertama yang merupakan invarian [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology).

**9.** Himpunan $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ mempunyai $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$: jadi himpunan nol, sehingga terukur Lebesgue menurut [kelengkapannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/7-ruang-lengkap-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)).

**10.** Misalkan $\varphi$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) dan $\mathcal D = \{B
: \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$. Prapeta komutatif dengan komplemen dan gabungan terbilang, sehingga $\mathcal D$ merupakan aljabar-$\sigma$; dan ia memuat [himpunan terbukanya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology) (menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)): jadi $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — sehingga prapeta himpunan Borel di bawah [pemetaan kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) bersifat Borel.

**11.** Seandainya $Z$ bersifat Borel, terapkan pertanyaan 10 pada $\varphi = h^{-1}$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity): maka $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ akan bersifat Borel, sehingga terukur Lebesgue — dan itu bertentangan dengan pemilihan $W$. Jadi $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$: sehingga aljabar-$\sigma$ Lebesgue memuat milik Borel secara sejati.

**12.** Fungsi $g = \mathbf 1_Z$ terukur Lebesgue (sebab $Z \in
\mathcal L$) dan $\varphi = h^{-1}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), tetapi $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ tidak terukur: jadi $g \circ \varphi$ tak terukur Lebesgue. Kehati-hatian yang diperlukan: “fungsi terukur Lebesgue” berarti prapeta himpunan *Borel* mendarat di $\mathcal L$; sedangkan mengomposisikannya menuntut prapeta himpunan *Lebesgue* tetap Lebesgue, dan itu tak diberikan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) (di sini $\varphi^{-1}(Z) \notin
\mathcal L$ walaupun $\varphi$ sebuah [homeomorfisma](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity)).

**13.** Rantainya, beserta saksi kesejatiannya:

$$
\{\text{terbilang}\} \subsetneq \{\text{nol Borel}\}
\subsetneq \{\text{nol Lebesgue}\} \subsetneq \mathcal L
\subsetneq \mathcal P(\R),
\qquad
\{\text{nol Borel}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq
\mathcal L .
$$

Saksinya: $C$ bersifat Borel, nol, dan tak terbilang (untuk jurang pertama); $Z$ bersifat nol Lebesgue tetapi bukan Borel (untuk jurang kedua dan, di dalam $\mathcal B
\subsetneq \mathcal L$, jurang keenam); himpunan Cantor gemuk bersifat Borel, tak padat di mana pun, dan berukuran positif (yang memisahkan himpunan nol dari himpunan Borel); dan himpunan Vitali $V$ tak berada di $\mathcal L$ (untuk jurang terakhir). Jadi [ukuran](#def-b3-measure-measure), [topologi](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-topology), dan kardinalitas mengiris $\mathcal P(\R)$ menurut garis yang sungguh berbeda.

**14.** Untuk [ukuran luarnya](#def-b3-measure-outer): $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (selimuti dengan selang yang melenyap), kemonotonannya jelas, dan subaditivitas terbilangnya menyusul lewat penyambungan selimut yang optimal dalam $\varepsilon2^{-k}$, persis seperti untuk $\lambda^*$. Selimut satu selangnya memberikan $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$. Sebaliknya misalkan $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$. Menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $F$, ambillah $b_k' > b_k$ dengan $F(b_k') \leq F(b_k) +
\varepsilon2^{-k}$, dan $a' \in \intoo ab$ dengan $F(a') \leq
F(a) + \varepsilon$. [Kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) $\intcc{a'}b$ terselimuti oleh $\intoo{a_k}{b_k'}$ yang terbuka: sehingga berhingga di antaranya sudah cukup, dan argumen perantaian pada [Teorema 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) (yakni berjalan dari $a'$ ke $b$ melalui selang yang bertindih, sambil meneleskopkan pertambahan $F$, dengan kemonotonannya menyerap tindihannya) melahirkan $F(b)
- F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) -
F(a_k)) + \varepsilon$. Lalu biarkan $\varepsilon \to 0$: diperoleh kesamaan. (Dan [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $F$-lah yang mengizinkan pembukaan selangnya dengan biaya-$F$ sekecil apa pun.)

**15.** Cukup dibuktikan bahwa setiap setengah garis $H_t =
\intoc{-\infty}t$ terukur menurut Carathéodory, sebab himpunan terukurnya membentuk aljabar-$\sigma$ ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) dan setengah garis membangkitkan $\mathcal B$. Diberikan $A$ dan sebuah selimut optimal dalam $\varepsilon$, sebut $(\intoc{a_k}{b_k})$, atas $A$: maka setiap selangnya terpecah sebagai $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (dengan satu kepingannya mungkin kosong), dan biaya-$F$-nya berjumlah tepat $F(b_k) - F(a_k)$; lalu kepingan pertamanya menyelimuti $A \cap H_t$, dan kepingan keduanya menyelimuti $A \setminus H_t$. Karena itu $\mu_F^*(A\cap H_t) +
\mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$, sedangkan ketaksamaan sebaliknya adalah subaditivitasnya. Dengan membatasi [ukuran](#def-b3-measure-measure) yang dihasilkan pada $\mathcal B$: diperolehlah [ukuran](#def-b3-measure-measure) Lebesgue–Stieltjes $\mu_F$.

**16.** Berlaku $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (lewat [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) [ukurannya](#def-b3-measure-measure) sepanjang $\intoc{-n}n$). Pada sebuah celah $\intoo uv$ dari $C$, $c$ konstan, sehingga setiap subselang setengah terbukanya berukuran-$\mu$ nol dan demikian pula celahnya (lewat gabungan terbilang); dan di luar $\intcc01$, $c$ juga konstan. Karena itu $\mu(\R\setminus C) = 0$ dan $\mu(C) = 1$, sedangkan $\lambda(C) =
0$ ([Contoh 9.14](#ex-b3-measure-cantor)): jadi masing-masing dari $\mu, \lambda$ dibawa oleh himpunan yang oleh yang lain dinyatakan nol — yakni saling singular.

**17.** Berlaku $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0}
\mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) $c$: jadi tak beratom. Sehingga $\mu$ merupakan [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang tanpa atom yang dibawa sebuah [kompak](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-compact) berukuran nol Lebesgue — bukan menyebar-berkepadatan seperti pembatasan $\lambda$, bukan pula beratom seperti [ukuran](#def-b3-measure-measure) cacah: yakni spesies ketiga.

**18.** Kepingan $C_\varepsilon$ merentang sebuah selang terner $I_\varepsilon$ berpanjang $3^{-m}$, dan Bagian I pertanyaan 3 menunjukkan bahwa sepanjang $I_\varepsilon$ tangganya mendaki tepat $2^{-m}$ (sebab $m$ angka biner pertama $c$ dibekukan pada $\varepsilon$, sedangkan sisanya menyapu segalanya). Karena itu $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) =
c(\text{ujung kanan}) - c(\text{ujung kiri}) = 2^{-m}$: jadi silinder angka berkedalaman $m$ semuanya bermassa $2^{-m}$, yakni hukum $m$ koin adil.

**19.** Ruas kanannya mendefinisikan [ukuran](#def-b3-measure-measure) Borel $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x
\mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ yang dinilaikan di $A$ — yakni [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang. Secara titik demi titik, dengan $c$ yang diperluas secara global, mudah diperiksa kasus demi kasus ($x \leq 0$; ketiga sepertiganya; $x \geq 1$) identitas

$$
c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),
$$

misalnya pada $\intcc{1/3}{2/3}$: $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 =
\frac12 = c(x)$. Karena itu menilaikan $\nu$ pada $\intoc ab$ memberikan $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$, sedangkan dua [ukuran](#def-b3-measure-measure) berhingga yang bersesuaian pada sistem-$\pi$ berisi selang setengah terbuka berimpit pada $\mathcal B$ ([Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)): jadi $\nu =
\mu$.

**20.** Lewat induksi pada $n$: $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$, dan jika $c_n$ mempunyai kesimetrian itu, maka untuk $x \in
\intcc0{1/3}$: $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x)
- 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 -
c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$; sedangkan sepertiga tengahnya bercermin di sekitar $\frac12$; dan sepertiga kanannya merupakan kasus kirinya yang dicerminkan. Pada limitnya, $c(1-x) = 1 - c(x)$. Untuk peta majunya: $(s_*\mu)(\intoc ab)
= \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ (sebab $\mu$ tak beratom, pertanyaan 17, sehingga kesepakatan batasnya tak berbiaya) $= (1 -
c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$: jadi $s_*\mu = \mu$ menurut ketunggalannya.

**21.** Misalkan $X \sim \mu$ (integral fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) terhadap $\mu$ ada sebagai limit jumlah bertipe Riemann atas kepingan berkedalaman $m$, yang masing-masing bermassa $2^{-m}$, dengan galat pencuplikan $\leq \operatorname{osc} \leq
\norm{f'}_\infty3^{-m}$; dan [Bab 10](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/10-integral-lebesgue#ch-b3-lebesgue) akan menyistematiskannya). Kesimetriannya: $1 - X \sim X$, sehingga $\E X =
\frac12$. Keserupaan dirinya: $X$ berhukum $\frac Y3$ dengan peluang $\frac12$ dan berhukum $\frac{Y+2}3$ dengan peluang $\frac12$, dengan $Y \sim \mu$, sehingga

$$
\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\,
\frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},
$$

sehingga $\E X^2 = \frac38$ dan $\operatorname{Var}X = \frac38
- \frac14 = \frac18$. Sedangkan hukum seragam beragam $\frac1{12} < \frac18$: jadi massa Cantor memeluk ujungnya.

**22.** Himpunan $C$ tertutup dan $\mu(C) = 1$. Jika sebuah $I$ yang terbuka memotong $C$ di $x$, maka kepingan berkedalaman $m$ yang memuat $x$ menyusut ke $x$, sehingga ada $I_\varepsilon \subseteq I$ dan $\mu(I) \geq
2^{-m} > 0$: jadi tak ada himpunan tertutup yang lebih kecil yang dapat membawa $\mu$. Sedangkan titik di luar $C$ berpersekitaran celah yang berukuran-$\mu$ sama dengan $0$. Karena itu $\operatorname{supp}\mu = C$ tepat.

**23.** Satu gejala, dua dialek. Bagian I mengatakan bahwa pertumbuhan $c$ tak terlihat oleh turunannya: $c' = 0$ hampir di mana-mana, dengan seluruh pendakiannya memusat pada himpunan nol $C$. Bagian V mengatakan bahwa [ukuran](#def-b3-measure-measure) terkaitnya $\mu_c$ menaruh seluruh massanya pada himpunan nol yang sama: $\mu_c \perp \lambda$, sehingga tak ada kepadatan $f \geq
0$ yang dapat memenuhi $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — sebab kepadatan memaksa kelenyapan pada himpunan nol-$\lambda$. Kamusnya: bagi yang tak turun dan terbatas, $F \leftrightarrow$ [ukuran](#def-b3-measure-measure) berhingga $\mu_F$ (pertanyaan 14–15); $F$ yang merupakan integral turunannya $\leftrightarrow$ $\mu_F$ yang berkepadatan (yakni kasus “[kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity) mutlak”); dan secara umum $F'$, yang ada hampir di mana-mana bagi $F$ yang monoton (lewat teorema pendiferensialan Lebesgue, yang melampaui bab ini), hanya memulihkan bagian kepadatannya. Tangganya merupakan ujung ekstremnya: [kontinu](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-continuity), dengan turunan $0$ hampir di mana-mana — sehingga [ukurannya](#def-b3-measure-measure) *singular murni*, dan teorema fundamental kalkulus, jauh dari gagal secara kebetulan, gagal persis sebesar massa singularnya $\mu_c(\R) = 1$.

**24.** Tetapkan $x < y$ di $\intcc01$ lalu pilihlah $m \geq 0$ dengan $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$. Sepanjang sembarang selang triadik $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ tangganya mendaki paling banyak $2^{-m}$: sebab selang semacam itu entah salah satu dari $2^m$ kepingan $C_m$, yang pendakiannya tepat $2^{-m}$ (pertanyaan 18), entah termuat di [penutup](https://one-course.com/books/math/5/id/chapter/6-topologi-umum#def-b3-topology-interior) satu celah pada suatu tahap $\leq m$, tempat $c$ konstan. Dan karena $y - x \leq
3^{-m}$, selang $\intcc xy$ memotong paling banyak dua selang triadik berkedalaman $m$ yang berurutan, sehingga

$$
c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m}
= 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s}
< 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s}
= 4\,(y - x)^{s},
$$

dengan memakai $3^{s} = 2$ dan $3^{-m} < 3(y - x)$. Keoptimalannya: ujung $u < v$ sebuah kepingan Cantor berkedalaman $m$ memenuhi $v - u =
3^{-m}$ dan $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$; sehingga batas Hölder $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ dengan $t > s$ akan memaksa $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (sebab $3^{t} > 3^{s} = 2$), dan setiap subselang $\intcc01$ memuat kepingan semacam itu, sehingga kegagalannya bersifat lokal pula. Bentuk [ukurannya](#def-b3-measure-measure): $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq
c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq
8r^{s}$ (dengan nilai $c$ yang diperluas ke $\R$ seperti pada pertanyaan 16; sebab $\mu$ tak beratom, pertanyaan 17).

**25.** Tulis $S_0(x) = \frac x3$ dan $S_1(x) =
\frac{x+2}3$; maka hipotesisnya mengatakan $\nu = \frac12(S_0)_*\nu +
\frac12(S_1)_*\nu$. Dengan mengiterasikannya $m$ kali,

$$
\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu,
\qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.
$$

Karena $\nu$ dibawa oleh $\intcc01$ dan $S_w(\intcc01) =
I_w$, yakni kepingan Cantor berkedalaman $m$ yang diindeks $w$, maka setiap $(S_w)_*\nu$ merupakan [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang yang dibawa $I_w$; sedangkan $2^m$ kepingannya berupa selang tertutup saling lepas berpasangan yang berpanjang $3^{-m}$. Tetapkan $\intoc ab$ lalu misalkan $N_m$ banyaknya kepingan $I_w \subseteq \intoc ab$. Sebuah kepingan yang memotong $\intoc ab$ tanpa termuat di dalamnya harus memuat $a$ atau $b$, sedangkan sebuah titik terletak paling banyak di satu kepingan, sehingga

$$
2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.
$$

Ketaksamaan rangkap yang sama berlaku bagi $\mu$ (sebab pertanyaan 19 memberikan iterasi yang identik), dengan cacahan $N_m$ yang sama. Karena itu $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$: sehingga $\nu$ dan $\mu$ bersesuaian pada sistem-$\pi$ berisi selang setengah terbuka, dan keduanya [ukuran](#def-b3-measure-measure) peluang, sehingga [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) memberikan $\nu = \mu$. Jadi [ukuran](#def-b3-measure-measure) tangganya merupakan *satu-satunya* titik tetap skema perata-rataan dua pemetaan itu — yakni pernyataan setingkat [ukuran](#def-b3-measure-measure) atas keserupaan diri $C$.