---
title: "Groepentheorie"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie
---

# Hoofdstuk 1 — Groepentheorie

In het volume van bachelorjaar 2 dienden groepen vooral als boekhoudkundig hulpmiddel: de stelling van Lagrange, cyclische groepen, de symmetrische groep en haar signatuur. Dit hoofdstuk maakt van de groepentheorie een *methode*. De motor is het begrip groep die *werkt* op een verzameling: door [banen](#def-b3-groups-action) en vaste punten te tellen krijgen we de [klassevergelijking](#cor-b3-groups-classeq), de stelling van Cauchy en de drie stellingen van Sylow — het lokaal-naar-globaalprincipe waarop de eindige groepentheorie draait. Daarna leren we groepen samen te stellen (directe en [semidirecte producten](#def-b3-groups-semidirect)) en weer uit elkaar te halen (compositiereeksen, [oplosbare groepen](#def-b3-groups-derived)), en bewijzen we de stelling die in [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#ch-b3-galois) een drie eeuwen oude vraag over veeltermvergelijkingen zal beslechten: de [alternerende groep](#thm-b3-groups-ansimple) $A_n$ is [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) voor $n \geq 5$.

## 1.1 Quotiëntgroepen en de isomorfiestellingen

Overal is $G$ een multiplicatief geschreven groep met neutraal element $e$. Uit het volume van bachelorjaar 2 herinneren we ons: deelgroepen, nevenklassen $gH$, de stelling van Lagrange ($\abs G =
[G:H]\,\abs H$ voor eindige $G$), de orde van een element, cyclische groepen, en de symmetrische groep $S_n$ met haar signatuurmorfisme $\varepsilon \colon S_n \to \{\pm1\}$.

**Definitie 1.1.**

Een deelgroep $N$ van $G$ heet *normaal* (notatie $N \trianglelefteq G$) als $gNg^{-1} = N$ voor elke $g
\in G$ — gelijkwaardig: als linker- en rechternevenklassen samenvallen, $gN = Ng$ voor alle $g$.

**Stelling 1.2 (Quotiëntgroep).**

Zij $N \trianglelefteq G$. De verzameling $G/N$ van nevenklassen, voorzien van de vermenigvuldiging $(gN)(hN) = ghN$, is een goed gedefinieerde groep, de *quotiëntgroep*, en de *kanonieke projectie* $\pi \colon G \to G/N$, $g \mapsto
gN$, is een surjectief morfisme met kern $N$. Omgekeerd is elke kern van een groepsmorfisme [normaal](#def-b3-groups-normal): de [normaaldelers](#def-b3-groups-normal) zijn precies de kernen.

**Bewijs.** Alles draait om de goede definitie. Als $gN = g'N$ en $hN = h'N$, schrijf dan $g' = gn$ en $h' = hm$ met $n, m \in N$. Dan is $g'h' =
gnhm = gh\,(h^{-1}nh)\,m \in ghN$, want $h^{-1}nh \in N$ wegens normaliteit: het product van nevenklassen hangt niet van de representanten af. Associativiteit, het neutrale element $eN = N$ en de inversen $(gN)^{-1} = g^{-1}N$ erft $G/N$ van $G$. Uiteraard is $\pi$ een surjectief morfisme, en $\pi(g) = N \iff g \in N$.

Is $f \colon G \to H$ een morfisme en $k \in \ker f$, dan is $f(gkg^{-1}) = f(g)f(k)f(g)^{-1} = e$: kernen zijn [normaal](#def-b3-groups-normal). ∎

**Stelling 1.3 (Universele eigenschap; eerste isomorfiestelling).**

Zij $f \colon G \to H$ een morfisme en $N \trianglelefteq G$ met $N \subseteq \ker f$. Er is precies één morfisme $\bar f \colon G/N
\to H$ met $f = \bar f \circ \pi$. In het bijzonder, voor $N = \ker
f$:

$$
G/\ker f \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \operatorname{im} f,
\qquad gN \mapsto f(g).
$$

**Bewijs.** Eenduidigheid: $\bar f(gN)$ moet $f(g)$ zijn. Bestaan: als $gN =
g'N$, dan is $g^{-1}g' \in N \subseteq \ker f$, dus $f(g) = f(g')$ en is $\bar f(gN) = f(g)$ goed gedefinieerd; het is een morfisme omdat $f$ er een is. Voor $N = \ker f$ is $\bar f$ injectief, want $\bar f(gN) = e$ betekent $g \in \ker f$, dat wil zeggen $gN = N$; en het beeld van $\bar f$ is dat van $f$. ∎

**Stelling 1.4 (Tweede en derde isomorfiestelling).**

Zij $H \leq G$ en $N \trianglelefteq G$.

1. $HN = \{hn : h \in H,\, n \in N\}$ is een deelgroep, $N  \trianglelefteq HN$, $H \cap N \trianglelefteq H$, en $$H/(H \cap N) \;\cong\; HN/N .$$
2. Is bovendien $N \subseteq K \trianglelefteq G$ , dan is $K/N  \trianglelefteq G/N$ en $(G/N)\big/(K/N) \cong G/K$ .

**Bewijs.** (1) $HN$ is een deelgroep: $(hn)(h'n') = hh'\,(h'^{-1}nh')n' \in
HN$ en $(hn)^{-1} = h^{-1}(hn^{-1}h^{-1}) \in HN$, waarbij we de normaliteit van $N$ gebruiken. Stel nu $H \hookrightarrow HN
\xrightarrow{\pi} HN/N$ samen: dit morfisme is surjectief ($hnN =
hN$) met kern $\{h \in H : h \in N\} = H \cap N$; pas [Stelling 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) toe.

(2) De projectie $G/N \to G/K$, $gN \mapsto gK$, is goed gedefinieerd ($N \subseteq K$), surjectief, met kern $K/N$; pas opnieuw [Stelling 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) toe. ∎

**Stelling 1.5 (Correspondentiestelling).**

Zij $N \trianglelefteq G$. De afbeelding $H \mapsto H/N$ is een bijectie tussen de deelgroepen van $G$ die $N$ bevatten en de deelgroepen van $G/N$; ze bewaart inclusies, indices en normaliteit, in beide richtingen.

**Bewijs.** De inverse is $\bar H \mapsto \pi^{-1}(\bar H)$. Beide afbeeldingen sturen deelgroepen naar deelgroepen en zijn elkaars inverse: $\pi^{-1}(H/N) = HN = H$ omdat $N \subseteq H$, en $\pi(\pi^{-1}(\bar H)) = \bar H$ omdat $\pi$ surjectief is. Dat inclusies bewaard blijven is duidelijk; $[G:H] = [G/N : H/N]$ omdat $gH \mapsto (gN)(H/N)$ een goed gedefinieerde bijectie tussen de nevenklassenverzamelingen is; en $gHg^{-1} = H$ voor alle $g$ geldt dan en slechts dan als $(gN)(H/N)(gN)^{-1} = H/N$ voor alle $gN$, opnieuw wegens de surjectiviteit van $\pi$. ∎

**Voorbeeld 1.6.**

$\varepsilon \colon S_n \to \{\pm 1\}$ levert $S_n/A_n \cong
\{\pm1\}$; $\det \colon GL_n(K) \to K^\times$ levert $GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^\times$; $t \mapsto \eu^{2\iu\pi t}$ levert $\R/\Z \cong \mathbb U$, de cirkelgroep. Zo worden quotiënten in de praktijk *berekend*: zoek een surjectie met de juiste kern.

**Methode 1.7.**

Om $N \trianglelefteq G$ te bewijzen, in afnemende volgorde van elegantie: schrijf $N$ als de kern van een morfisme op $G$; controleer $gNg^{-1} \subseteq N$ voor alle $g$ (dat volstaat: pas het toe op $g^{-1}$ en conjugeer om de omgekeerde inclusie te krijgen); ga na dat $N$ een vereniging van [conjugatieklassen](#ex-b3-groups-actions) is; of merk op dat $[G:N] = 2$ (dan is $gN = Ng$ afgedwongen — [Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1)).

## 1.2 Groepswerkingen

**Definitie 1.8.**

Een *werking* van $G$ op een verzameling $X$ is een morfisme $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ naar de groep van bijecties van $X$; men schrijft $g \cdot x$ voor $\varphi(g)(x)$. Gelijkwaardig: een afbeelding $G \times X \to X$ met $e \cdot x = x$ en $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$. De *baan* van $x$ is $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g
\in G\}$, de *stabilisator* is de deelgroep $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$, en $X^G = \{x : \forall
g,\ g \cdot x = x\}$ is de verzameling *vaste punten*. De werking heet *transitief* als er precies één baan is, *trouw* als $\varphi$ injectief is, *vrij* als alle stabilisatoren triviaal zijn.

**Voorbeeld 1.9.**

Vijf [werkingen](#def-b3-groups-action) dragen de hele eindige groepentheorie:

1. $G$ op zichzelf door *linkstranslatie* $g \cdot x =  gx$ : vrij en transitief.
2. $G$ op zichzelf door *conjugatie* $g \cdot x =  gxg^{-1}$ : de [banen](#def-b3-groups-action) zijn de *conjugatieklassen* , de [stabilisatoren](#def-b3-groups-action) de *centralisatoren* $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ , de vaste punten het *centrum* $Z(G)$ .
3. $G$ op de nevenklassenverzameling $G/H$ door $g \cdot xH =  gxH$ : transitief, en de [stabilisator](#def-b3-groups-action) van de nevenklasse $H$ is $H$ zelf. Elke transitieve [werking](#def-b3-groups-action) is van deze vorm ( [Oefening 1.8](#exo-b3-groups-8) ).
4. $G$ op de verzameling van haar deelgroepen door conjugatie: de [stabilisator](#def-b3-groups-action) van $H$ is de *normalisator* $N_G(H) = \{g :  gHg^{-1} = H\}$ , de grootste deelgroep van $G$ waarin $H$ [normaal](#def-b3-groups-normal) is.
5. $S_n$ op $\intint{1}{n}$ : de moeder van alle voorbeelden.

**Stelling 1.10 (Baan en stabilisator).**

De afbeelding $gG_x \mapsto g \cdot x$ is een goed gedefinieerde bijectie $G/G_x \to \mathcal O_x$. In het bijzonder geldt voor eindige $G$:

$$
\abs{\mathcal O_x} = [G : G_x] \quad\text{deelt } \abs G,
$$

en, omdat de [banen](#def-b3-groups-action) $X$ opdelen (het zijn de klassen van de equivalentie $x \sim y \iff y \in \mathcal O_x$),

$$
\abs X = \sum_{i} \,[G : G_{x_i}]
\qquad (x_i\colon \text{één punt per baan}).
$$

**Bewijs.** Goed gedefinieerd en injectief: $gG_x = hG_x \iff h^{-1}g \in G_x
\iff h^{-1}g \cdot x = x \iff g \cdot x = h \cdot x$; lees de keten in beide richtingen. Surjectiviteit is de definitie van de [baan](#def-b3-groups-action). De tellingen volgen uit de stelling van Lagrange en uit de opdeling van $X$ in [banen](#def-b3-groups-action). ∎

**Gevolg 1.11 (Klassevergelijking).**

Voor een eindige groep $G$ geldt, met één representant $x_i$ per conjugatieklasse met meer dan één element:

$$
\abs G = \abs{Z(G)} + \sum_i \,[G : Z_G(x_i)],
\qquad\text{waarbij } [G : Z_G(x_i)] > 1 \text{ en } \abs G \text{
deelt.}
$$

**Bewijs.** Pas [Stelling 1.10](#thm-b3-groups-orbitstab) toe op de conjugatiewerking: de [banen](#def-b3-groups-action) met één element zijn precies de elementen van $Z(G)$. ∎

**Stelling 1.12 (Vaste punten van ppp-groepen).**

Zij $p$ priem. Een *$p$-groep* is een eindige groep waarvan de orde een macht van $p$ is. Werkt een $p$-groep $G$ op een eindige verzameling $X$, dan is

$$
\abs{X^G} \equiv \abs X \pmod p .
$$

Gevolgen: een niet-triviale $p$-groep heeft een niet-triviaal [centrum](#ex-b3-groups-actions), en elke groep van orde $p^2$ is abels.

**Bewijs.** Elke [baan](#def-b3-groups-action) heeft kardinaliteit $[G:G_x]$, een macht van $p$; die macht is $1$ precies in de vaste punten en anders deelbaar door $p$. Sommeren over de [banen](#def-b3-groups-action) geeft de congruentie. Voor het [centrum](#ex-b3-groups-actions): bij de conjugatiewerking van $G$ op zichzelf is $X^G = Z(G)$, dus $\abs{Z(G)} \equiv \abs G \equiv 0 \pmod p$, en omdat $e \in Z(G)$ volgt $\abs{Z(G)} \geq p$. Orde $p^2$: als $Z(G) \neq G$, dan is $\abs{Z(G)} = p$ en is $G/Z(G)$ cyclisch van orde $p$, wat $G$ abels maakt ([Oefening 1.2](#exo-b3-groups-2)) — tegenspraak. ∎

**Stelling 1.13 (Cauchy).**

Deelt een priemgetal $p$ de orde $\abs G$, dan bevat $G$ een element van orde $p$.

**Bewijs (McKay).** Zij $X = \{(g_1, \dots, g_p) \in G^p : g_1 g_2 \cdots g_p = e\}$. Vrij kiezen van $g_1, \dots, g_{p-1}$ legt $g_p$ vast: $\abs X =
\abs G^{p-1}$, deelbaar door $p$. De cyclische groep $\Z/p\Z$ werkt op $X$ door cyclische verschuiving $(g_1, \dots, g_p) \mapsto (g_2,
\dots, g_p, g_1)$ — dit laat $X$ invariant, want $g_2 \cdots g_p
g_1 = g_1^{-1}(g_1 \cdots g_p)g_1 = e$. Volgens [Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) is $\abs{X^{\Z/p\Z}} \equiv \abs X
\equiv 0 \pmod p$. De vaste punten zijn de constante tupels $(g,
\dots, g)$ met $g^p = e$; het tupel $(e, \dots, e)$ is er één van, dus zijn er minstens $p$, en bijgevolg is er minstens één $g \neq
e$ met $g^p = e$: de orde daarvan is precies $p$. ∎

**Stelling 1.14 (Cayley).**

Elke groep van orde $n$ laat zich inbedden in $S_n$.

**Bewijs.** De linkstranslatie $\varphi \colon G \to \mathfrak S(G) \cong S_n$ is een morfisme; uit $\varphi(g) = \mathrm{id}$ volgt $g = ge = e$: de [werking](#def-b3-groups-action) is trouw. ∎

**Methode 1.15.**

Vaste punten tellen is de universele openingszet van de eindige groepentheorie. Om te bewijzen dat iets *bestaat* (een centraal element, een element van orde $p$, een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal), een vast punt), laat men een goed gekozen groep werken op een goed gekozen eindige verzameling en vergelijkt men vervolgens $\abs{X^G}$ met $\abs X$ modulo $p$, of laat men de baangroottes de groepsorde delen. De bewijzen van Stellingen [1.12](#thm-b3-groups-pfixed) en [1.13](#thm-b3-groups-cauchy) en van alle drie de stellingen van Sylow hieronder zijn vijf variaties op dat ene idee.

## 1.3 De stellingen van Sylow

De stelling van Lagrange zegt dat de orde van een deelgroep $\abs
G$ deelt; het omgekeerde faalt ($A_4$, van orde $12$, heeft geen deelgroep van orde $6$ — [Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1)). De stellingen van Sylow redden dat omgekeerde voor priemmachten, en hun telclause is het scherpste algemene gereedschap dat we hebben om [normaaldelers](#def-b3-groups-normal) te produceren.

**Definitie 1.16.**

Schrijf $\abs G = p^a m$ met $p \nmid m$. Een *Sylow-$p$-deelgroep* van $G$ is een deelgroep van orde $p^a$ — een $p$-deelgroep van de grootst denkbare orde. Het aantal Sylow-$p$-deelgroepen van $G$ noteren we $n_p$.

**Lemma 1.17.**

Is $\abs G = p^a m$ met $p \nmid m$, dan geldt $\dbinom{p^a
m}{p^a} \equiv m \pmod p$.

**Bewijs.** In $\mathbb F_p[X]$ geldt de droom van de eerstejaars $(1+X)^p = 1
+ X^p$ (de coëfficiënten $\binom pk$ met $0<k<p$ zijn deelbaar door $p$: $p$ deelt de teller van $\frac{p!}{k!(p-k)!}$ maar niet de noemer), en herhaald toepassen geeft $(1+X)^{p^a} = 1 + X^{p^a}$, waaruit

$$
(1+X)^{p^a m} = \bigl(1 + X^{p^a}\bigr)^m
= \sum_{k=0}^{m} \binom mk X^{k p^a} \quad\text{in } \mathbb
F_p[X].
$$

Vergelijk de coëfficiënt van $X^{p^a}$: links $\binom{p^a m}{p^a}
\bmod p$, rechts $\binom m1 = m$. ∎

**Stelling 1.18 (Sylow I: bestaan).**

Voor elk priemgetal $p$ bestaan er Sylow-$p$-deelgroepen van $G$.

**Bewijs (Wielandt).** Zij $\Omega$ de verzameling *deelverzamelingen* van $G$ met kardinaliteit $p^a$; $G$ werkt op $\Omega$ door linkstranslatie $g
\cdot S = gS$. Wegens [Lemma 1.17](#lem-b3-groups-binom) is $\abs\Omega =
\binom{p^a m}{p^a} \equiv m \not\equiv 0 \pmod p$, dus is er een [baan](#def-b3-groups-action) $\mathcal O_S$ waarvan de grootte priem is met $p$ (deelde $p$ elke baangrootte, dan deelde $p$ ook $\abs\Omega$). Zij $H = G_S$ de [stabilisator](#def-b3-groups-action) van zo’n $S$. Omdat $[G : H] = \abs{\mathcal O_S}$ priem is met $p$ en $p^a \mid \abs G = [G:H]\,\abs H$, volgt $p^a
\mid \abs H$. Omgekeerd, kies $s \in S$: de afbeelding $H \to S$, $h \mapsto hs$, is injectief en landt in $S$ omdat $hS = S$; dus $\abs H \leq \abs S = p^a$. Bijgevolg is $\abs H = p^a$. ∎

**Stelling 1.19 (Sylow II: dominantie en conjugatie).**

Zij $P$ een Sylow-$p$-deelgroep en $Q$ een willekeurige $p$-deelgroep van $G$. Dan is $Q \subseteq gPg^{-1}$ voor zekere $g
\in G$. In het bijzonder zijn alle Sylow-$p$-deelgroepen geconjugeerd, en $P \trianglelefteq G \iff n_p = 1$.

**Bewijs.** Laat $Q$ werken op de nevenklassenverzameling $X = G/P$, van kardinaliteit $m \not\equiv 0 \pmod p$. Volgens [Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed), toegepast op de $p$-groep $Q$, is $\abs{X^Q} \equiv m \not\equiv 0 \pmod p$: er is een vaste nevenklasse $gP$, dat wil zeggen $QgP = gP$, oftewel $g^{-1}Qg
\subseteq P$. Is $Q$ zelf een [Sylow-deelgroep](#def-b3-groups-sylow), dan maakt de gelijkheid van de ordes van $Q \subseteq gPg^{-1}$ een gelijkheid. Ten slotte is $P \trianglelefteq G$ precies wanneer haar conjugaten $\{gPg^{-1}\}$ — die volgens het bovenstaande *alle* Sylow-$p$-deelgroepen zijn — tot $\{P\}$ herleiden. ∎

**Stelling 1.20 (Sylow III: telling).**

Er geldt $n_p \equiv 1 \pmod p$ en $n_p = [G : N_G(P)]$, en dat laatste deelt $m$.

**Bewijs.** Zij $\mathrm{Syl}_p$ de verzameling Sylow-$p$-deelgroepen; $G$ werkt daarop transitief door conjugatie ([Stelling 1.19](#thm-b3-groups-sylow2)), met als [stabilisator](#def-b3-groups-action) van $P$ de [normalisator](#ex-b3-groups-actions) $N_G(P) \supseteq P$: dus $n_p = [G : N_G(P)]$, en $m
= [G:P] = [G:N_G(P)]\,[N_G(P):P]$ laat zien dat $n_p \mid m$.

Beperk de [werking](#def-b3-groups-action) nu tot $P$ en tel de vaste punten. Wordt $Q \in
\mathrm{Syl}_p$ vastgehouden door $P$, dan is $P \subseteq N_G(Q)$; zowel $P$ als $Q$ is een Sylow-$p$-deelgroep van de groep $N_G(Q)$, dus zijn ze daarin geconjugeerd ([Stelling 1.19](#thm-b3-groups-sylow2) toegepast op $N_G(Q)$); maar $Q \trianglelefteq N_G(Q)$, dus is $Q$ daar haar eigen enige conjugaat: $P = Q$. Het enige vaste punt is dus $P$ zelf, en [Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) geeft $n_p =
\abs{\mathrm{Syl}_p} \equiv \abs{\mathrm{Syl}_p^P} = 1 \pmod p$. ∎

**Methode 1.21.**

Om een groep van gegeven orde $n = p^a m$ te analyseren: maak een lijst van de delers van $m$ die congruent zijn met $1$ modulo $p$ — dat zijn de kandidaten voor $n_p$. Is $1$ de enige kandidaat, dan is de Sylow-$p$-deelgroep [normaal](#def-b3-groups-normal). Wordt $n_p > 1$ afgedwongen maar klein gehouden, laat $G$ dan door conjugatie op $\mathrm{Syl}_p$ werken: dat levert een morfisme $G \to S_{n_p}$ met kleine kern. En tel elementen: verschillende Sylow-$p$-deelgroepen van *priemorde* $p$ snijden elkaar triviaal, dus dragen zij $n_p(p-1)$ elementen van orde precies $p$; overlappende tellingen voor verschillende priemgetallen dwingen vaak een tegenspraak af ([Oefening 1.7](#exo-b3-groups-7)).

**Voorbeeld 1.22.**

Zij $\abs G = pq$ met $p < q$ priem en $p \nmid q - 1$. Dan dwingen $n_q \mid p$ en $n_q \equiv 1 \bmod q$ af dat $n_q = 1$ (want $p <
q$); en $n_p \mid q$ en $n_p \equiv 1 \bmod p$ dwingen $n_p = 1$ af (want $q \not\equiv 1 \bmod p$). Zij $P, Q$ de twee normale [Sylow-deelgroepen](#def-b3-groups-sylow): $P \cap Q = \{e\}$ (onderling ondeelbare ordes), dus $\abs{PQ} = pq$ ([Oefening 1.4](#exo-b3-groups-4)) en $G \cong P \times Q
\cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ volgens [Propositie 1.24](#prop-b3-groups-direct) hieronder. Elke groep van orde $15$, $33$, $35$, … is dus cyclisch. Het uitgesloten geval $p \mid q
- 1$ levert precies één groep extra, niet-abels — zie de weekendopgave ([Probleem 1.1](#pb-b3-groups-1)).

**Voorbeeld 1.23 (Een volledige Sylow-telling: S4S_4S4​).**

Laten we de methode uitvoeren op $G = S_4$, $\abs G = 24 =
2^3\cdot3$. *Sylow $3$:* $n_3 \mid 8$ en $n_3 \equiv 1 \bmod
3$, dus $n_3 \in \{1, 4\}$; omdat $\langle(123)\rangle$ en $\langle(124)\rangle$ verschillen, is $n_3 = 4$ — de vier deelgroepen $\langle(abc)\rangle$, één voor elke driedelige deelverzameling $\{a, b, c\}$, samen goed voor de $8$ drietallige cykels. Volgens Sylow II zijn ze geconjugeerd, en het conjugatiemorfisme $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ is hier een isomorfisme (de kern ligt in $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ van orde $24/4 = 6$, en een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van $S_4$ binnen een $N$ van $S_3$-type moet triviaal zijn: ze zou bestaan uit even permutaties die de vier [Sylow-deelgroepen](#def-b3-groups-sylow) vasthouden, en dat doet alleen $e$). *Sylow $2$:* $n_2 \mid 3$ en $n_2 \equiv 1 \bmod 2$, dus $n_2
\in \{1, 3\}$. De deelgroep $D = \langle(1234), (13)\rangle$ heeft orde $8$ (een [diëdergroep](#ex-b3-groups-semidirectexamples) $D_4$: de symmetrieën van het vierkant met hoekpunten $1, 2, 3, 4$) en is niet [normaal](#def-b3-groups-normal) ($(12)(1234)(12) =
(2134)$ brengt een andere deelgroep van $4$-cykels voort), dus $n_2
= 3$: de drie kopieën van $D_4$ komen overeen met de drie manieren om $4$ punten tot een “vierkant” te paren. Let op de moraal van deze telling: $\abs{S_4} = 24$ laat beide Sylow-families de ruimte om niet [normaal](#def-b3-groups-normal) te zijn, en beide benutten die — vergelijk met orde $12$, waar de telling er één van de twee [normaal](#def-b3-groups-normal) maakt (Deel IV van [Probleem 1.1](#pb-b3-groups-1)).

## 1.4 Producten, direct en semidirect

**Propositie 1.24 (Een direct product herkennen).**

Zij $H, K \trianglelefteq G$ met $H \cap K = \{e\}$ en $HK = G$. Dan is $(h,k) \mapsto hk$ een isomorfisme $H \times K \to
G$.

**Bewijs.** Voor $h \in H$ en $k \in K$ ligt de [commutator](#def-b3-groups-derived) $hkh^{-1}k^{-1}$ in $K$ (lees hem als $(hkh^{-1})k^{-1}$ en gebruik de normaliteit van $K$) én in $H$ (lees hem als $h(kh^{-1}k^{-1})$): hij is dus $e$, zodat $H$ en $K$ elementsgewijs commuteren en de afbeelding een morfisme is. Ze is surjectief omdat $HK = G$, en injectief omdat uit $hk = e$ volgt dat $h = k^{-1} \in H \cap K = \{e\}$. ∎

Het is de normaliteit van *beide* factoren die het vaakst faalt: in $S_3 = \langle (1\,2\,3)\rangle \,\langle(1\,2)\rangle$ snijden de twee factoren elkaar triviaal en brengen ze samen $S_3$ voort, en toch is $S_3 \not\cong \Z/3\Z \times \Z/2\Z$. Het juiste begrip wanneer slechts één factor [normaal](#def-b3-groups-normal) is:

**Definitie 1.25.**

Zij $H$ en $K$ groepen en $\varphi \colon K \to
\operatorname{Aut}(H)$ een morfisme. Het *semidirecte product* $H \rtimes_\varphi K$ is de verzameling $H \times K$, voorzien van

$$
(h, k)\,(h', k') = \bigl(h\,\varphi(k)(h'),\; kk'\bigr).
$$

**Propositie 1.26.**

$H \rtimes_\varphi K$ is een groep; $H \times \{e\}$ is een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) isomorf met $H$ en $\{e\} \times K$ een deelgroep isomorf met $K$; ze snijden elkaar triviaal en brengen samen het geheel voort. Omgekeerd, als $G = NK$ met $N \trianglelefteq G$, $K
\leq G$ en $N \cap K = \{e\}$, dan is $G \cong N \rtimes_\varphi K$ met $\varphi(k) = (n \mapsto knk^{-1})$.

**Bewijs.** Rechtstreekse verificatie: de associativiteit komt neer op $\varphi(kk') = \varphi(k)\circ\varphi(k')$ en op het feit dat elke $\varphi(k)$ een morfisme is; het neutrale element is $(e,e)$ en $(h,k)^{-1} = \bigl(\varphi(k^{-1})(h^{-1}), k^{-1}\bigr)$. De projectie $(h,k) \mapsto k$ is een morfisme op $K$ met kern $H
\times \{e\}$, die daarom [normaal](#def-b3-groups-normal) is. Voor de omkering: elke $g \in
G$ schrijft zich *op precies één manier* als $nk$ met $n \in
N$ en $k \in K$ (bestaan: $G = NK$; eenduidigheid: uit $nk = n'k'$ volgt $n'^{-1}n = k'k^{-1} \in N \cap K$), en

$$
(nk)(n'k') = n\,(kn'k^{-1})\;kk'
$$

laat zien dat $nk \mapsto (n, k)$ de bewerking van $G$ overbrengt op die van $N \rtimes_\varphi K$. ∎

**Voorbeeld 1.27.**

(a) De *diëdergroep* $D_n$ ($n \geq 3$) van de $2n$ symmetrieën van een regelmatige $n$-hoek: de rotaties vormen een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van index $2$, elke spiegeling brengt een complement voort, en conjugatie van een rotatie met een spiegeling keert haar om: $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ met $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$. (b) De affiene groep van een rechte, $\{x \mapsto ax + b : a \in
K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$: de translaties zijn [normaal](#def-b3-groups-normal), de homothetieën vormen een complement. (c) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (complement: een willekeurige transpositie). (d) De [quaternionengroep](#pb-b3-groups-1) $Q_8$ is *geen* [semidirect product](#def-b3-groups-semidirect) van echte deelgroepen: elke niet-triviale deelgroep bevat $-1$ ([Probleem 1.1](#pb-b3-groups-1)), dus snijden geen twee echte deelgroepen elkaar triviaal.

## 1.5 Oplosbare groepen; enkelvoudigheid van $A_n$

**Definitie 1.28.**

De *commutator* van $x, y \in G$ is $[x,y]
= xyx^{-1}y^{-1}$; de *afgeleide groep* $D(G)$ is de deelgroep voortgebracht door alle commutatoren. De *afgeleide reeks* is $D^0(G) = G$, $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$, en $G$ heet *oplosbaar* als $D^n(G) = \{e\}$ voor zekere $n$.

**Propositie 1.29.**

$D(G)$ is [normaal](#def-b3-groups-normal) (zelfs invariant onder elk automorfisme), $G/D(G)$ is abels, en voor $N \trianglelefteq G$ geldt: $G/N$ abels $\iff D(G) \subseteq N$. Bovendien is $G$ [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) dan en slechts dan als er een keten $G = G_0 \trianglerighteq G_1
\trianglerighteq \dots \trianglerighteq G_n = \{e\}$ bestaat met $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ en elk quotiënt $G_i/G_{i+1}$ abels. Deelgroepen en quotiënten van [oplosbare groepen](#def-b3-groups-derived) zijn [oplosbaar](#def-b3-groups-derived); omgekeerd, zijn $N$ en $G/N$ [oplosbaar](#def-b3-groups-derived), dan ook $G$.

**Bewijs.** Een automorfisme $\alpha$ stuurt $[x,y]$ naar $[\alpha x, \alpha
y]$: het permuteert de [commutatoren](#def-b3-groups-derived) en laat dus de door hen voortgebrachte deelgroep invariant; conjugaties zijn automorfismen, waaruit de normaliteit volgt. In $G/D(G)$ is $\bar
x\bar y \bar x^{-1}\bar y^{-1} = \overline{[x,y]} = \bar e$: het quotiënt is abels. Is $G/N$ abels, dan ligt elke $[x,y]$ in $N$, dus $D(G) \subseteq N$; is omgekeerd $D(G) \subseteq N$, dan is $G/N$ volgens de derde isomorfiestelling een quotiënt van het abelse $G/D(G)$, en dus abels.

Is $G$ [oplosbaar](#def-b3-groups-derived), dan is de afgeleide reeks zo’n keten. Omgekeerd, gegeven een keten, geldt $D^i(G) \subseteq G_i$ per inductie: uit $G_i/G_{i+1}$ abels volgt $D(G_i) \subseteq G_{i+1}$, dus $D^{i+1}(G) = D(D^i G) \subseteq D(G_i) \subseteq G_{i+1}$; en bijgevolg $D^n(G) = \{e\}$.

Erfelijkheid: $D^i(H) \subseteq D^i(G)$ voor $H \leq G$ (inductie), en $D^i(G/N) = \pi(D^i(G))$ omdat $\pi$ [commutatoren](#def-b3-groups-derived) op [commutatoren](#def-b3-groups-derived) afbeeldt; hieruit volgen de uitspraken over deelgroepen en quotiënten. Uitbreidingen: is $D^m(G/N) = \{e\}$, dan is $D^m(G) \subseteq N$, en uit $D^n(N) = \{e\}$ volgt $D^{m+n}(G) = D^n(D^m(G)) \subseteq D^n(N) = \{e\}$. ∎

**Voorbeeld 1.30.**

Abelse groepen zijn [oplosbaar](#def-b3-groups-derived). $p$-groepen zijn [oplosbaar](#def-b3-groups-derived), met inductie op de orde: $Z(G) \neq \{e\}$ en $G/Z(G)$ is een kleinere $p$-groep. $S_3$ en $S_4$ zijn [oplosbaar](#def-b3-groups-derived): $S_4 \trianglerighteq A_4
\trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$, waarbij $V = \{e,
(1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ de viergroep van Klein van de dubbele transposities is ([normaal](#def-b3-groups-normal) in $S_4$: een vereniging van [conjugatieklassen](#ex-b3-groups-actions)), met abelse quotiënten $\Z/2\Z$, $\Z/3\Z$, $V$. In [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#ch-b3-galois) zal “de algemene vergelijking van graad $n$ is [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) door worteltrekking” letterlijk *betekenen*: “$S_n$ is een [oplosbare groep](#def-b3-groups-derived)”. Vandaar het belang van de volgende definitie.

**Definitie 1.31.**

Een groep $G \neq \{e\}$ heet *enkelvoudig* als haar enige [normaaldelers](#def-b3-groups-normal) $\{e\}$ en $G$ zijn. Een niet-abelse enkelvoudige groep is niet [oplosbaar](#def-b3-groups-derived): $D(G) \trianglelefteq G$ is niet $\{e\}$ (anders was $G$ abels), dus $D(G) = G$ en is de afgeleide reeks constant. De abelse enkelvoudige groepen zijn precies de $\Z/p\Z$ met $p$ priem (een abelse groep is enkelvoudig dan en slechts dan als ze geen echte niet-triviale deelgroep heeft, dan en slechts dan als ze cyclisch van priemorde is, volgens Lagrange).

**Lemma 1.32.**

Voor $n \geq 3$ wordt $A_n$ voortgebracht door de $3$-cykels; voor $n \geq 5$ zijn alle $3$-cykels geconjugeerd *in $A_n$*.

**Bewijs.** Een element van $A_n$ is een product van een even aantal transposities; zet ze twee aan twee en gebruik (samenstelling van rechts naar links)

$$
(a\,b)(c\,d) = (a\,c\,b)(a\,c\,d), \qquad
(a\,b)(b\,c) = (a\,b\,c), \qquad
(a\,b)(a\,b) = e
$$

voor respectievelijk disjuncte, overlappende en gelijke paren: elk paar transposities is een product van $3$-cykels.

Conjugatie: $\sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1} = (\sigma a\; \sigma b\;
\sigma c)$, dus zijn twee willekeurige $3$-cykels geconjugeerd via een zekere $\sigma \in S_n$. Is $\sigma$ oneven, vervang haar dan door $\sigma' = \sigma (d\,e)$, waarbij $d, e$ twee punten buiten $\{a, b, c\}$ zijn — die bestaan omdat $n \geq 5$; dan is $\sigma'$ even en $\sigma'(a\,b\,c) \sigma'^{-1} =
\sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1}$, want $(d\,e)$ commuteert met $(a\,b\,c)$. ∎

**Stelling 1.33 (Enkelvoudigheid van de alternerende groep).**

$A_n$ is [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) voor $n \geq 5$.

**Bewijs.** Zij $N \trianglelefteq A_n$ met $N \neq \{e\}$. Wegens [Lemma 1.32](#lem-b3-groups-threecycles) volstaat het aan te tonen dat $N$ *één* $3$-cykel bevat: normaliteit en de conjugatie van alle $3$-cykels in $A_n$ leggen dan alle $3$-cykels in $N$, zodat $N =
A_n$.

Voor $\rho \in S_n$ noemen we $F(\rho) = \{x : \rho(x) \neq x\}$ de *drager* van $\rho$ en $f(\rho) = \abs{F(\rho)}$. Kies $\sigma
\in N \setminus \{e\}$ met $f(\sigma)$ *minimaal*. Merk op dat een niet-triviale even permutatie $f \geq 3$ heeft, en dat $f(\sigma) = 4$ voor $\sigma \in A_n$ alleen mogelijk is als $\sigma$ een dubbele transpositie is (een $4$-cykel is oneven). We tonen aan dat $\sigma$ een $3$-cykel is.

*Geval A: $\sigma$ is een product van disjuncte transposities*, zeg $\sigma = (a\,b)(c\,d)\cdots$ met $f(\sigma)
\geq 4$. Kies $e' \notin \{a, b, c, d\}$ (mogelijk, want $n \geq
5$), stel $\tau = (c\,d\,e')$ en

$$
\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\,\sigma^{-1} \in N
\qquad (\tau\sigma\tau^{-1} \in N \text{ wegens normaliteit}).
$$

Omdat $\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} = (\sigma c\;\sigma e'\;\sigma d)
= (d\;\sigma e'\;c)$ (met $\sigma c = d$ en $\sigma d = c$), krijgen we $\sigma' = (c\,d\,e')(d\;\sigma e'\;c)$.

Als $\sigma e' = e'$ (wat in het bijzonder geldt wanneer $f(\sigma)
= 4$, dat wil zeggen $\sigma = (a\,b)(c\,d)$): dan is $(d\,e'\,c) =
(c\,d\,e')$ en $\sigma' = (c\,d\,e')^2 = (c\,e'\,d)$, een $3$-cykel in $N$, met $f(\sigma') = 3 < 4 \leq f(\sigma)$ — in strijd met de minimaliteit.

Als $\sigma e' \neq e'$: dan is $\sigma e' \notin \{a, b, c, d,
e'\}$ ($\sigma$ verwisselt $a,b$ en $c,d$, en $e' \notin
\{a,b,c,d\}$ terwijl $\sigma$ injectief is), dus beweegt $\sigma$ de zes punten $a, b, c, d, e', \sigma e'$: $f(\sigma) \geq 6$. Anderzijds voldoet $\sigma'$, een product van twee $3$-cykels met dragers in $\{c, d, e', \sigma e'\}$, aan $f(\sigma') \leq 4$; en $\sigma' \neq e$, want $\sigma'(d) = \tau\sigma\tau^{-1}(c) =
\tau\sigma(e') = \sigma e' \neq d$ ($\tau$ houdt $\sigma e' \notin
\{c,d,e'\}$ vast). Dus is $\sigma' \in N \setminus\{e\}$ met $f(\sigma') \leq 4 < f(\sigma)$: opnieuw in strijd met de minimaliteit.

*Geval B: een cykel van $\sigma$ heeft lengte $\geq 3$*, zeg $\sigma(a) = b$ en $\sigma(b) = c$ met $a, b, c$ verschillend. Is $\sigma$ precies die $3$-cykel, dan zijn we klaar. Zo niet, dan is $f(\sigma) \geq 5$ (het geval $f(\sigma) = 4$ met een cykel van lengte $\geq 3$ is de oneven $4$-cykel, uitgesloten), zodat we $d,
e' \in F(\sigma) \setminus \{a, b, c\}$ kunnen kiezen. Stel $\tau =
(c\,d\,e')$ en $\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} \in N$. Net als hiervoor beweegt $\sigma' = (c\,d\,e')\,(\sigma c\;\sigma
e'\;\sigma d)$ alleen punten van

$$
M = \{c, d, e'\} \cup \{\sigma c, \sigma d, \sigma e'\}
\subseteq F(\sigma)
$$

(beelden van bewogen punten worden bewogen: uit $\sigma(x) \ne x$ volgt $\sigma(\sigma x) \neq \sigma x$, want $\sigma$ is injectief). Verder is $b \notin M$: de vijf punten $a, b, c, d, e'$ zijn verschillend, dus $b \notin \{c, d, e'\}$; en $b \in \{\sigma
c, \sigma d, \sigma e'\}$ zou $a \in \{c, d, e'\}$ afdwingen (pas $\sigma^{-1}$ toe en gebruik $\sigma a = b$), en dat is onjuist. Bijgevolg houdt $\sigma'$ het punt $b$ vast terwijl $\sigma$ het beweegt; en $F(\sigma') \subseteq F(\sigma)$. Ten slotte is $\sigma' \neq e$: $\sigma^{-1}(c) = b$, $\tau^{-1}(b) = b$, $\sigma(b) = c$ en $\tau(c) = d$, dus $\sigma'(c) = d \neq c$. Dus $\sigma' \in N \setminus \{e\}$ met $f(\sigma') \leq f(\sigma) -
1$, in strijd met de minimaliteit.

Beide gevallen zijn onmogelijk, dus is $\sigma$ een $3$-cykel. ∎

**Gevolg 1.34.**

Voor $n \geq 5$ zijn $A_n$ en $S_n$ niet [oplosbaar](#def-b3-groups-derived), en zijn de enige [normaaldelers](#def-b3-groups-normal) van $S_n$ de groepen $\{e\}$, $A_n$ en $S_n$.

**Bewijs.** $A_n$ is niet-abels en [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple), dus niet [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) ([Definitie 1.31](#def-b3-groups-simple)); en een groep die een niet-oplosbare deelgroep bevat, is zelf niet [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) ([Propositie 1.29](#prop-b3-groups-derived)). Zij $N \trianglelefteq S_n$: dan is $N \cap A_n \trianglelefteq A_n$ gelijk aan $\{e\}$ of aan $A_n$. Is $N \cap A_n = A_n$, dan is $A_n \subseteq N$ en dwingt de index $N \in \{A_n, S_n\}$ af. Is $N \cap A_n = \{e\}$, dan is de beperking tot $N$ van de projectie $S_n \to S_n/A_n \cong \Z/2\Z$ injectief, dus $\abs N \leq 2$; is $N = \{e, \sigma\}$, dan maakt de normaliteit de conjugatieklasse van $\sigma$ gelijk aan $\{\sigma\}$, dat wil zeggen $\sigma \in Z(S_n)$. Maar $Z(S_n) =
\{e\}$ voor $n \geq 3$: beweegt $\sigma \ne e$ het punt $a$ naar $b
\neq a$, kies dan $c \notin \{a, b\}$; dan stuurt $(b\,c)\sigma(b\,c)^{-1}$ het punt $a$ naar $c \ne b$, zodat deze permutatie van $\sigma$ verschilt. Bijgevolg is $N = \{e\}$. ∎

**Stelling 1.35 (Jordan–Hölder).**

Elke eindige groep $G \neq \{e\}$ bezit een *compositiereeks*

$$
\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots
\trianglelefteq G_r = G,
\qquad G_{i}/G_{i-1} \text{ enkelvoudig},
$$

en de multiverzameling van de *compositiefactoren* $G_i/G_{i-1}$ hangt, op isomorfie na, niet van de gekozen reeks af. Een eindige groep is [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) dan en slechts dan als al haar compositiefactoren cyclisch van priemorde zijn.

**Bewijs.** *Bestaan*: inductie op $\abs G$. Is $G$ [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple), neem dan $\{e\} \trianglelefteq G$. Kies anders een maximale echte [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) $N$ (er zijn eindig veel deelgroepen); $G/N$ is [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) volgens de correspondentiestelling (een echte niet-triviale [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van $G/N$ zou zich optillen tot een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van $G$ strikt tussen $N$ en $G$). Voeg $N
\trianglelefteq G$ toe aan een [compositiereeks](#thm-b3-groups-jordanholder) van $N$.

*Eenduidigheid*: inductie op $\abs G$, waarbij het geval $G$ [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) duidelijk is. Neem twee compositiereeksen, met voorlaatste termen $M \trianglelefteq G$ en $N \trianglelefteq G$ (dus $G/M$ en $G/N$ zijn [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple)). Is $M = N$, dan besluiten we met de inductiehypothese toegepast op $M$. Anders is $MN$, [normaal](#def-b3-groups-normal) in $G$ en $M$ strikt bevattend, gelijk aan $G$ ($M$ is maximaal [normaal](#def-b3-groups-normal): elke normale $L$ met $M \subsetneq L \subsetneq G$ zou afgebeeld worden op een echte niet-triviale [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van het enkelvoudige $G/M$). De tweede isomorfiestelling geeft

$$
G/M = MN/M \cong N/(M \cap N),
\qquad
G/N = MN/N \cong M/(M \cap N).
$$

Stel $K = M \cap N$ ($\trianglelefteq G$) en kies een [compositiereeks](#thm-b3-groups-jordanholder) van $K$. Dan draagt $M$ twee compositiereeksen: de oorspronkelijke, en de reeks van $K$ gevolgd door $K
\trianglelefteq M$ (het quotiënt $M/K \cong G/N$ is [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple)). Per inductie (toegepast op $M$) zijn de factoren van de oorspronkelijke reeks van $M$ dus $\{\text{factoren van } K\} \cup
\{G/N\}$; en evenzo voor $N$. Bijgevolg hebben beide reeksen van $G$ de factoren

$$
\{\text{factoren van } K\} \;\cup\; \{\,G/N,\; G/M\,\},
$$

dezelfde multiverzameling.

[Oplosbaarheid](#def-b3-groups-derived): zijn alle factoren $\Z/p_i\Z$, dan is de reeks een keten met abelse quotiënten, dus is $G$ [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) ([Propositie 1.29](#prop-b3-groups-derived)). Omgekeerd is een compositiefactor van een [oplosbare groep](#def-b3-groups-derived) zelf [oplosbaar](#def-b3-groups-derived) (een quotiënt van een deelgroep) én [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple); en een oplosbare [enkelvoudige groep](#def-b3-groups-simple) is abels (uit $D(G) \ne G$ volgt $D(G) = \{e\}$), dus van de vorm $\Z/p\Z$. ∎

**Opmerking 1.36.**

Jordan–Hölder zegt dat elke eindige groep is opgebouwd uit [enkelvoudige groepen](#def-b3-groups-simple), met een welbepaalde stuklijst — een rekenkunde van groepen waarin de [enkelvoudige groepen](#def-b3-groups-simple) de priemgetallen zijn, en waarin *de manier waarop de onderdelen aan elkaar zitten* (de uitbreidingsgegevens, zoals bij het [semidirecte product](#def-b3-groups-semidirect)) de plaats inneemt van een gewone vermenigvuldiging. De classificatie van de eindige [enkelvoudige groepen](#def-b3-groups-simple) — de cyclische $\Z/p\Z$, de alternerende $A_{n \geq 5}$, zestien families van Lie-type en $26$ sporadische groepen — is een van de monumenten van de twintigste-eeuwse wiskunde; het bewijs, verspreid over zo’n tienduizend tijdschriftpagina’s, gaat deze cursus ver te boven.

![De tien deelgroepen van de diëdergroep D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. De drie deelgroepen van index 2 (middelste rij) zijn normaal, net als het centrum r2 (gemarkeerd); de vier spiegelingsdeelgroepen vallen uiteen in twee conjugatieklassen van twee. Ketens van onder naar boven geven compositiereeksen, bijvoorbeeld \e\ r2 r D_4: factoren ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — steeds dezelfde multiverzameling, zoals Jordan–Hölder eist.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-groups/fig-3655fe380ff7.svg)

*De tien deelgroepen van de [diëdergroep](#ex-b3-groups-semidirectexamples) $D_4 = \langle r,
s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$. De drie deelgroepen van index $2$ (middelste rij) zijn [normaal](#def-b3-groups-normal), net als het [centrum](#ex-b3-groups-actions) $\langle r^2\rangle$ (gemarkeerd); de vier spiegelingsdeelgroepen vallen uiteen in twee [conjugatieklassen](#ex-b3-groups-actions) van twee. Ketens van onder naar boven geven compositiereeksen, bijvoorbeeld $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle
\trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$: factoren $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — steeds dezelfde multiverzameling, zoals Jordan–Hölder eist.*

## 1.6 Oefeningen

**Oefening 1.1 ★.**

(a) Toon aan dat elke deelgroep van index $2$ [normaal](#def-b3-groups-normal) is. (b) Toon aan dat uit $[G : H] = 2$ volgt dat $x^2 \in H$ voor elke $x \in G$. (c) Leid af dat $A_4$ geen deelgroep van orde $6$ heeft: het omgekeerde van de stelling van Lagrange faalt. *(Tel de kwadraten van de $3$-cykels.)*

**Oplossing van Oefening 1.1.**

(a) Zij $[G:H] = 2$. Voor $g \in H$ is $gH = H = Hg$. Voor $g
\notin H$: de twee linkernevenklassen zijn $H$ en $gH$, dus $gH = G
\setminus H$; net zo is $Hg = G \setminus H$. Bijgevolg is $gH =
Hg$ voor alle $g$: $H \trianglelefteq G$.

(b) Volgens (a) is $G/H$ een groep van orde $2$; de klasse $\bar x$ voldoet aan $\bar x^2 = \bar e$, dat wil zeggen $x^2 \in H$.

(c) Stel $H \leq A_4$ met $\abs H = 6$, dus van index $2$. Volgens (b) is $\sigma^2 \in H$ voor elke $\sigma \in A_4$. Elke $3$-cykel is zo’n kwadraat: uit $\sigma^3 = e$ volgt $\sigma = \sigma^4 =
(\sigma^2)^2$. Dus bevat $H$ alle acht $3$-cykels van $A_4$: $\abs
H \geq 8 > 6$, een tegenspraak. (Het omgekeerde van Lagrange faalt bij de allereerste gelegenheid: $6 \mid 12$.)

**Oefening 1.2 ★.**

Toon aan dat $G$ abels is zodra $G/Z(G)$ cyclisch is. Leid daaruit opnieuw af dat elke groep van orde $p^2$ abels is, en geef voor elk priemgetal $p$ een niet-abelse groep van orde $p^3$. *(Denk aan bovendriehoeksmatrices met eenheidsdiagonaal over $\mathbb
F_p$.)*

**Oplossing van Oefening 1.2.**

Zij $G/Z(G) = \langle gZ(G) \rangle$. Elke $x \in G$ schrijft zich dan als $x = g^k z$ met $k \in \Z$ en $z \in Z(G)$. Voor $x = g^kz$ en $y = g^l z'$:

$$
xy = g^k z\, g^l z' = g^{k+l} z z' = g^l z'\, g^k z = yx,
$$

want centrale elementen commuteren met alles: $G$ is abels.

Orde $p^2$: $Z(G) \neq \{e\}$ ([Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)), dus $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. Was het $p$, dan had $G/Z(G)$ orde $p$, dus was het cyclisch, wat $G$ abels maakt en $Z(G) = G$ van orde $p^2$ geeft — tegenspraak. Dus $Z(G) = G$.

Niet-abels van orde $p^3$: de *Heisenberggroep*

$$
H_p = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\}
\leq GL_3(\mathbb F_p),
$$

van orde $p^3$ (vrije keuze van $a, b, c$; geslotenheid en inversen door directe berekening). Ze is niet-abels: de twee elementaire matrices $I + E_{12}$ en $I + E_{23}$ hebben als [commutator](#def-b3-groups-derived) $I +
E_{13} \neq I$.

**Oefening 1.3 ★.**

(a) Toon aan dat $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong
(\Z/n\Z)^\times$. (b) Toon aan dat de inwendige automorfismen $\iota_g \colon x
\mapsto gxg^{-1}$ een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) $\operatorname{Inn}(G)
\trianglelefteq \operatorname{Aut}(G)$ vormen, met $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$.

**Oplossing van Oefening 1.3.**

(a) Een morfisme $f \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ ligt vast door $k =
f(\bar 1)$ (dan is $f(\bar m) = m\bar k$), en elke $\bar k$ definieert er een. Het is bijectief dan en slechts dan als $\bar k$ de groep $\Z/n\Z$ voortbrengt, dan en slechts dan als $\gcd(k,n) =
1$, dan en slechts dan als $\bar k \in (\Z/n\Z)^\times$. Samenstelling komt overeen met vermenigvuldiging: $f_k \circ f_l =
f_{kl}$. Bijgevolg is $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong
(\Z/n\Z)^\times$.

(b) De afbeelding $\iota\colon G \to \operatorname{Aut}(G)$, $g
\mapsto \iota_g$, is een morfisme: $\iota_g \circ \iota_h =
\iota_{gh}$. Haar beeld is $\operatorname{Inn}(G)$, haar kern is $\{g : gxg^{-1} = x\ \forall x\} = Z(G)$. De eerste isomorfiestelling geeft $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$. Normaliteit in $\operatorname{Aut}(G)$: voor $\alpha \in
\operatorname{Aut}(G)$ is

$$
(\alpha \circ \iota_g \circ \alpha^{-1})(x)
= \alpha\bigl(g\,\alpha^{-1}(x)\,g^{-1}\bigr)
= \alpha(g)\, x\, \alpha(g)^{-1} = \iota_{\alpha(g)}(x).
$$

**Oefening 1.4 ★★.**

Zij $H, K$ deelgroepen van een eindige groep $G$. (a) Bewijs de *productformule* $\abs{HK}\,\abs{H\cap K} =
\abs H\, \abs K$ door de vezels van de afbeelding $H \times K \to
HK$, $(h,k) \mapsto hk$, te tellen. (b) Toon aan dat $HK$ een deelgroep is dan en slechts dan als $HK =
KH$ (wat automatisch geldt als een van beide [normaal](#def-b3-groups-normal) is). (c) Toon aan dat uit $H, K \trianglelefteq G$ en $H \cap K = \{e\}$ volgt dat $hk = kh$ voor alle $h \in H$ en $k \in K$.

**Oplossing van Oefening 1.4.**

(a) Beschouw $\mu \colon H \times K \to HK$, $(h,k) \mapsto hk$, per definitie surjectief. Leg $h_0k_0 \in HK$ vast: dan is $hk =
h_0k_0 \iff h_0^{-1}h = k_0 k^{-1} \in H \cap K$. Met $u =
h_0^{-1}h$ is de vezel boven $h_0k_0$ gelijk aan $\{(h_0u,\,
u^{-1}k_0) : u \in H \cap K\}$, van kardinaliteit $\abs{H \cap K}$. Bijgevolg is $\abs H\,\abs K = \abs{H\times K} = \abs{HK}\,\abs{H
\cap K}$.

(b) Is $HK$ een deelgroep, dan is $KH \subseteq HK$, want $kh =
\bigl(h^{-1}k^{-1}\bigr)^{-1} \in (HK)^{-1} = HK$; en omgekeerd geldt voor $hk \in HK$ dat $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH$, dus $HK = (HK)^{-1} \subseteq KH$; beide inclusies geven $HK = KH$. Omgekeerd, als $HK = KH$: geslotenheid, $(hk)(h'k') = h(kh')k' \in
h(HK)k' = (hH)(Kk') \subseteq HK$; inversen, $(hk)^{-1} =
k^{-1}h^{-1} \in KH = HK$; en $e \in HK$: het is een deelgroep. Is bijvoorbeeld $K \trianglelefteq G$, dan is $hK = Kh$ voor alle $h$, dus $HK = KH$ automatisch.

(c) Voor $h \in H$ en $k \in K$ is de [commutator](#def-b3-groups-derived) $[h,k] = hkh^{-1}
k^{-1}$ gelijk aan $(hkh^{-1})k^{-1} \in K$ ($K$ [normaal](#def-b3-groups-normal)) en aan $h(kh^{-1}k^{-1}) \in H$ ($H$ [normaal](#def-b3-groups-normal)), dus ligt hij in $H \cap K =
\{e\}$: $hk = kh$.

**Oefening 1.5 ★★.**

(Teltelling van Burnside) Een eindige groep $G$ werkt op een eindige verzameling $X$. Toon aan dat het aantal [banen](#def-b3-groups-action) het *gemiddelde aantal vaste punten* is:

$$
\#\{\text{banen}\} = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G}
\abs{\operatorname{Fix}(g)},
\qquad \operatorname{Fix}(g) = \{x \in X : g \cdot x = x\},
$$

door de verzameling $\{(g,x) : g\cdot x = x\}$ op twee manieren te tellen. Toepassing: $\Z/p\Z$ ($p$ priem) werkt door rotatie op kettingen van $p$ kralen in $a$ beschikbare kleuren; leid daaruit de kleine stelling van Fermat af, $a^p \equiv a \pmod p$.

**Oplossing van Oefening 1.5.**

Tel $E = \{(g,x) \in G \times X : g \cdot x = x\}$ op twee manieren:

$$
\abs E = \sum_{g \in G} \abs{\operatorname{Fix}(g)}
= \sum_{x \in X} \abs{G_x}
= \sum_{x \in X} \frac{\abs G}{\abs{\mathcal O_x}}
= \abs G \sum_{\mathcal O \text{ baan}} \sum_{x \in \mathcal O}
\frac{1}{\abs{\mathcal O}}
= \abs G \cdot \#\{\text{banen}\},
$$

waarbij we [baan](#def-b3-groups-action) en [stabilisator](#def-b3-groups-action) gebruiken ($\abs{G_x} = \abs
G/\abs{\mathcal O_x}$) en de opdeling in [banen](#def-b3-groups-action).

Kettingen: zij $X$ de verzameling afbeeldingen $\Z/p\Z \to \{1,
\dots, a\}$ (kleuringen van $p$ posities), $\abs X = a^p$, waarop $\Z/p\Z$ door rotatie werkt. Het neutrale element houdt alle $a^p$ kleuringen vast. Een rotatie $\bar k \neq \bar 0$ brengt $\Z/p\Z$ voort ($p$ priem), dus is een kleuring die zij vasthoudt invariant onder *alle* rotaties, en dus constant: $a$ vaste kleuringen. Burnside geeft

$$
\#\{\text{banen}\} = \frac{a^p + (p-1)a}{p} \in \N ,
$$

dus $p \mid a^p + (p-1)a$, oftewel $p \mid a^p - a$: de kleine stelling van Fermat, door zuiver tellen.

**Oefening 1.6 ★.**

Toon met de stellingen van Sylow aan dat elke groep van orde $15$ cyclisch is en dat elke groep van orde $45$ abels is.

**Oplossing van Oefening 1.6.**

Orde $15 = 3 \cdot 5$: $n_3 \mid 5$ en $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ dwingen $n_3 = 1$ af; $n_5 \mid 3$ en $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ dwingen $n_5 = 1$ af. De [Sylow-deelgroepen](#def-b3-groups-sylow) $P_3, P_5$ zijn [normaal](#def-b3-groups-normal), snijden elkaar triviaal (onderling ondeelbare ordes), en $\abs{P_3P_5} = 15$ ([Oefening 1.4](#exo-b3-groups-4)(a)): volgens [Propositie 1.24](#prop-b3-groups-direct) is $G \cong \Z/3\Z \times \Z/5\Z \cong
\Z/15\Z$ (Chinese reststelling).

Orde $45 = 3^2 \cdot 5$: $n_3 \mid 5$ en $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ geven $n_3 = 1$; $n_5 \mid 9$ en $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ geven $n_5
= 1$. Dus $G \cong P_3 \times P_5$ met $\abs{P_3} = 9 = 3^2$ en $\abs{P_5} = 5$: beide abels ([Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) voor $p^2$; priemorde is cyclisch), en dus $G$ ook.

**Oefening 1.7 ★★.**

Toon aan dat geen enkele groep van orde $30$ en geen enkele van orde $56$ [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) is. *(Voor $30$: tel, in het geval $n_3
\neq 1$ en $n_5 \neq 1$, de elementen van orde $3$ en $5$. Voor $56$: tel de elementen van orde $7$.)*

**Oplossing van Oefening 1.7.**

Orde $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Uit $n_5 \mid 6$ en $n_5 \equiv 1
\pmod 5$ volgt $n_5 \in \{1, 6\}$; uit $n_3 \mid 10$ en $n_3 \equiv
1 \pmod 3$ volgt $n_3 \in \{1, 10\}$. Stel dat $G$ [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) is, zodat $n_5 = 6$ en $n_3 = 10$. Twee verschillende deelgroepen van priemorde $p$ snijden elkaar triviaal (de doorsnede is een echte deelgroep van $\Z/p\Z$), dus dragen de zes Sylow-$5$-deelgroepen $6
\times 4 = 24$ elementen van orde $5$, en de tien Sylow-$3$-deelgroepen $10 \times 2 = 20$ elementen van orde $3$: $24
+ 20 = 44 > 30 - 1$ elementen $\neq e$ — absurd. Dus is $n_5 = 1$ of $n_3 = 1$: er bestaat een normale [Sylow-deelgroep](#def-b3-groups-sylow).

Orde $56 = 2^3 \cdot 7$. Uit $n_7 \mid 8$ en $n_7 \equiv 1 \pmod 7$ volgt $n_7 \in \{1, 8\}$. Is $n_7 = 8$, dan dragen de Sylow-$7$-deelgroepen $8 \times 6 = 48$ elementen van orde $7$, zodat er precies $56 - 48 = 8$ andere elementen overblijven. Een Sylow-$2$-deelgroep heeft orde $8$ en bestaat uit zulke elementen, dus is zij precies die verzameling: $n_2 = 1$. Ofwel $n_7 = 1$, ofwel $n_2 = 1$: nooit [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple).

**Oefening 1.8 ★★.**

(a) Zij $H \leq G$ van index $n$. Toon aan dat de [werking](#def-b3-groups-action) van $G$ op $G/H$ een morfisme $G \to S_n$ oplevert waarvan de kern $\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$ de grootste in $H$ bevatte [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van $G$ is. (b) Leid af: is $G$ eindig en is $p$ de *kleinste* priemdeler van $\abs G$, dan is elke deelgroep van index $p$ [normaal](#def-b3-groups-normal). (c) Toon aan dat elke transitieve [werking](#def-b3-groups-action) van $G$ op een verzameling $X$ isomorf is met de [werking](#def-b3-groups-action) op een nevenklassenverzameling: er bestaat een bijectie $X \to G/G_x$ die met de [werkingen](#def-b3-groups-action) verwisselbaar is.

**Oplossing van Oefening 1.8.**

(a) De [werking](#def-b3-groups-action) $g \cdot xH = gxH$ geeft een morfisme $\rho \colon G
\to \mathfrak S(G/H) \cong S_n$. De kern is

$$
\ker\rho = \{g : \forall x \in G,\ gxH = xH\}
= \{g : \forall x,\ x^{-1}gx \in H\}
= \bigcap_{x \in G} xHx^{-1},
$$

een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) (het is een kern) bevat in $H$ (neem $x = e$). Is $N \trianglelefteq G$ met $N \subseteq H$, dan geldt voor elke $x$: $N = xNx^{-1} \subseteq xHx^{-1}$, dus $N \subseteq \ker\rho$: de kern is de grootste van dat soort.

(b) Zij $[G:H] = p$ de kleinste priemdeler van $\abs G$ en $K =
\ker\rho \subseteq H$. Dan bedt $G/K$ zich in $S_p$ in, dus deelt $[G:K]$ het getal $p!$. Verder is $[G:K] = [G:H]\,[H:K] =
p\,[H:K]$, dus deelt $[H:K]$ het getal $(p-1)!$. Maar $[H:K]$ deelt $\abs G$, waarvan alle priemdelers $\geq p$ zijn, terwijl alle priemdelers van $(p-1)!$ kleiner dan $p$ zijn: bijgevolg is $[H:K]
= 1$, dat wil zeggen $H = K = \ker \rho$ is [normaal](#def-b3-groups-normal).

(c) Zij de [werking](#def-b3-groups-action) transitief en $x \in X$. De afbeelding $\Phi
\colon G/G_x \to X$, $gG_x \mapsto g \cdot x$, is goed gedefinieerd en bijectief ([baan](#def-b3-groups-action) en [stabilisator](#def-b3-groups-action); de [baan](#def-b3-groups-action) is heel $X$), en ze verweeft de [werkingen](#def-b3-groups-action): $\Phi(h \cdot gG_x) = \Phi(hgG_x) = (hg)
\cdot x = h \cdot \Phi(gG_x)$.

**Oefening 1.9 ★★.**

(a) Toon aan dat $D(G)$ de kleinste [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van $G$ met abels quotiënt is, en dat elk morfisme van $G$ naar een abelse groep op precies één manier over de *abelianisering* $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ factoriseert. (b) Bereken $D(S_n)$ en $S_n^{\mathrm{ab}}$ voor $n \geq 2$, en $D(Q_8)$ en $Q_8^{\mathrm{ab}}$.

**Oplossing van Oefening 1.9.**

(a) $D(G)$ is [normaal](#def-b3-groups-normal) met abels quotiënt ([Propositie 1.29](#prop-b3-groups-derived)); en heeft $N \trianglelefteq G$ een abels quotiënt $G/N$, dan geeft diezelfde propositie $D(G)
\subseteq N$: $D(G)$ is dus de kleinste. Universele eigenschap: zij $f \colon G \to A$ met $A$ abels. Dan is $f([x,y]) = [f(x), f(y)] =
e$, dus $D(G) \subseteq \ker f$, en [Stelling 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) factoriseert $f = \bar f \circ \pi$ over $G^{\mathrm{ab}}$, op precies één manier omdat $\pi$ surjectief is.

(b) [Commutatoren](#def-b3-groups-derived) zijn even permutaties, dus $D(S_n) \subseteq A_n$. Omgekeerd is elke $3$-cykel een [commutator](#def-b3-groups-derived):

$$
\bigl[(a\,b),\,(a\,c)\bigr] = (a\,b)(a\,c)(a\,b)(a\,c) =
(a\,b\,c),
$$

(rechtstreeks na te gaan op $a, b, c$), en de $3$-cykels brengen $A_n$ voort ([Lemma 1.32](#lem-b3-groups-threecycles)): $D(S_n) = A_n$ voor $n \geq 3$, en $S_n^{\mathrm{ab}} \cong S_n/A_n \cong \Z/2\Z$. (Voor $n = 2$: $S_2$ is abels, $D(S_2) = \{e\}$ en $S_2^{\mathrm{ab}} = S_2 \cong \Z/2\Z$ — de formule $S_n^{\mathrm{ab}} \cong \Z/2\Z$ geldt dus voor alle $n \geq 2$.)

$Q_8$: het quotiënt $Q_8/\{\pm 1\}$ heeft orde $4$ en is dus abels, zodat $D(Q_8) \subseteq \{\pm 1\}$; en $[\mathrm i, \mathrm j] =
\mathrm i \mathrm j \mathrm i^{-1}\mathrm j^{-1} = \mathrm i\mathrm
j(-\mathrm i)(-\mathrm j) = (\mathrm i \mathrm j)^2 = \mathrm k^2 =
-1$, dus $D(Q_8) = \{\pm 1\}$ en $Q_8^{\mathrm{ab}} \cong
(\Z/2\Z)^2$ (orde $4$, exponent $2$: de klassen van $\mathrm i$ en $\mathrm j$ hebben kwadraat $\bar 1$).

**Oefening 1.10 ★★.**

Zij $G$ een $p$-groep en $H \subsetneq G$ een echte deelgroep. Toon aan dat $H \subsetneq N_G(H)$ (“[normalisatoren](#ex-b3-groups-actions) groeien”) en leid af dat elke maximale deelgroep van een $p$-groep [normaal](#def-b3-groups-normal) is van index $p$. *(Inductie op $\abs G$ met $Z(G) \neq \{e\}$: behandel $Z(G) \subseteq H$ en $Z(G) \not\subseteq H$ afzonderlijk.)*

**Oplossing van Oefening 1.10.**

Inductie op $\abs G$; voor $\abs G = p$ is de enige echte deelgroep $H = \{e\}$, en $N_G(\{e\}) = G \supsetneq \{e\}$. Zij $Z = Z(G)
\neq \{e\}$ ([Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)).

*Als $Z \not\subseteq H$*: kies $z \in Z \setminus H$; $z$ commuteert met $H$, dus $zHz^{-1} = H$ en $z \in N_G(H) \setminus
H$.

*Als $Z \subseteq H$*: ga over op $\bar G = G/Z$, een $p$-groep van kleinere orde, en $\bar H = H/Z \subsetneq \bar G$ (correspondentiestelling). Per inductie is $N_{\bar G}(\bar H)
\supsetneq \bar H$; kies $\bar g \in N_{\bar G}(\bar H) \setminus
\bar H$ en een optillng $g$. Dan is $g \notin H$, en $gHg^{-1}
\subseteq HZ = H$: immers, $\overline{ghg^{-1}} = \bar g \bar h
\bar g^{-1} \in \bar H$ betekent $ghg^{-1} \in HZ = H$ (want $Z
\subseteq H$). Dus $g \in N_G(H)\setminus H$.

Maximale deelgroepen: is $M$ maximaal, dan dwingt $N_G(M)
\supsetneq M$ af dat $N_G(M) = G$, dus $M \trianglelefteq G$. Dan is $G/M$ een $p$-groep zonder echte niet-triviale deelgroep (correspondentie plus maximaliteit). Neem $\bar x \neq \bar e$ in $G/M$, van orde $p^k$; dan brengt $\bar x^{p^{k-1}}$ een deelgroep van orde $p$ voort, die alles moet zijn: $\abs{G/M} = p$.

**Oefening 1.11 ★★★.**

(Enkelvoudigheid van $A_5$, met de handen) (a) Toon aan dat de [conjugatieklassen](#ex-b3-groups-actions) van $A_5$ de kardinaliteiten $1$, $15$, $20$, $12$, $12$ hebben. Let op het uiteenvallen van de $S_5$-klasse van $5$-cykels: vergelijk voor een $5$-cykel $\sigma$ de [centralisatoren](#ex-b3-groups-actions) van $\sigma$ in $S_5$ en in $A_5$. (b) Leid af dat $A_5$ [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) is: een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) is een vereniging van [conjugatieklassen](#ex-b3-groups-actions), bevat $e$ en heeft een kardinaliteit die $60$ deelt. (c) Toon aan dat een [enkelvoudige groep](#def-b3-groups-simple) van orde $60$ noodzakelijk $n_5 = 6$ heeft.

**Oplossing van Oefening 1.11.**

(a) Er geldt $\abs{A_5} = 60$. De cykeltypen in $A_5$: $e$; de dubbele transposities, waarvan er $\frac{1}{2}\binom{5}{1}\binom{4}{2}\cdot 1 = 15$ zijn ($5 \cdot 3$ mogelijkheden: kies het vaste punt en paar de rest); de $3$-cykels, $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3} = 20$; de $5$-cykels, $4!
= 24$.

Een klasse van $S_5$ die in $A_5$ ligt, blijft ofwel één $A_5$-klasse, ofwel valt ze in twee uiteen, al naargelang de $S_5$-centralisator van een element een oneven permutatie bevat ($\abs{\text{klasse in }A_5} = 60/\abs{Z_{A_5}(\sigma)}$ en $Z_{A_5} = Z_{S_5} \cap A_5$). Voor $\sigma = (1\,2)(3\,4)$ is $\abs{Z_{S_5}(\sigma)} = 120/15 = 8$, en $(1\,2) \in
Z_{S_5}(\sigma)$ is oneven, dus $\abs{Z_{A_5}} = 4$ en telt de klasse $60/4 = 15$ elementen: geen splitsing. Voor $\sigma =
(1\,2\,3)$ is $Z_{S_5}(\sigma) \supseteq \langle \sigma \rangle
\times \langle (4\,5)\rangle$, van orde $6 = 120/20$, dus gelijk daaraan; die bevat de oneven $(4\,5)$: klasse van $60/3 = 20$, geen splitsing. Voor een $5$-cykel $\sigma$ is $Z_{S_5}(\sigma) =
\langle \sigma\rangle$ (orde $120/24 = 5$), en alle elementen daarvan zijn even: $Z_{A_5}(\sigma) = \langle \sigma\rangle$ en de $A_5$-klasse telt $60/5 = 12$ elementen — de $24$ vijftallige cykels vallen dus uiteen in *twee* klassen van $12$. Klassegroottes: $1, 15, 20, 12, 12$.

(b) Een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) $N$ is een vereniging van [conjugatieklassen](#ex-b3-groups-actions) waaronder $\{e\}$, met $\abs N \mid 60$. De mogelijke sommen $1 +
(\text{deelverzameling van } \{15, 20, 12, 12\})$ zijn

$$
1,\ 13,\ 13,\ 16,\ 21,\ 25,\ 28,\ 28,\ 33,\ 36,\ 40,\ 40,\ 45,\
48,\ 48,\ 60 ;
$$

de enige delers van $60$ in die lijst zijn $1$ en $60$: dus $N =
\{e\}$ of $N = A_5$.

(c) Zij $G$ [enkelvoudig](#def-b3-groups-simple) met $\abs G = 60$. Uit $n_5 \mid 12$ en $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ volgt $n_5 \in \{1, 6\}$. Bij $n_5 = 1$ zou de Sylow-$5$-deelgroep [normaal](#def-b3-groups-normal) zijn, in strijd met de enkelvoudigheid ($1 < 5 < 60$). Bijgevolg is $n_5 = 6$.

**Oefening 1.12 ★★.**

([Normalisatoren](#ex-b3-groups-actions) van [Sylow-deelgroepen](#def-b3-groups-sylow) zijn hun eigen [normalisator](#ex-b3-groups-actions)) Zij $P$ een Sylow-$p$-deelgroep van een eindige groep $G$ en $H =
N_G(P)$. (a) Toon aan dat $P$ de *enige* Sylow-$p$-deelgroep van $H$ is. (b) Leid af dat $N_G(H) = H$. *(Voor $g \in N_G(H)$ is $gPg^{-1}$ een Sylow-$p$-deelgroep van $H$, dus $gPg^{-1} = P$.)* (c) Besluit dat geen enkele [Sylow-normalisator](#ex-b3-groups-actions) in een echte [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) van $G$ ligt, en dat een maximale deelgroep die $N_G(P)$ bevat haar eigen [normalisator](#ex-b3-groups-actions) is.

**Oplossing van Oefening 1.12.**

(a) $P$ is [normaal](#def-b3-groups-normal) in $H = N_G(P)$, per definitie van de [normalisator](#ex-b3-groups-actions), en zij is een Sylow-$p$-deelgroep van $H$ (haar orde is al het volledige $p$-deel van $\abs G$, en dus zeker van $\abs
H$). Een normale [Sylow-deelgroep](#def-b3-groups-sylow) is uniek: elke andere zou ermee geconjugeerd zijn (Sylow II in $H$), en dus ermee samenvallen.

(b) Zij $g \in N_G(H)$. Dan is $gPg^{-1} \subseteq gHg^{-1} = H$ een deelgroep van $H$ van dezelfde orde als $P$: een Sylow-$p$-deelgroep van $H$, dus $gPg^{-1} = P$ volgens (a). Bijgevolg is $g \in N_G(P) = H$, dus $N_G(H) \subseteq H$; de omgekeerde inclusie is triviaal.

(c) Stel $H \subseteq N \trianglelefteq G$ met $N$ een echte deelgroep. Dan is $P$ een Sylow-$p$-deelgroep van $N$; voor elke $g
\in G$ is $gPg^{-1} \subseteq N$ er nog een, dus $gPg^{-1} =
nPn^{-1}$ voor zekere $n \in N$ (Sylow II in $N$), waaruit $n^{-1}g
\in N_G(P) \subseteq N$ en $g \in N$: dus $N = G$, tegenspraak (dit is het *argument van Frattini*). Voor een maximale deelgroep $M \supseteq N_G(P)$: $N_G(M) \supseteq M$ is ofwel $M$, ofwel $G$; in het tweede geval is $M \trianglelefteq G$ een echte [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) die $N_G(P)$ bevat — uitgesloten door het vorige punt. Dus $N_G(M) = M$.

## 1.7 Probleem: de groepen van orde ten hoogste 15

**Probleem 1.1.**

Weekendopgave — classificatie van kleine groepen

Het doel is een volledige classificatie, met volledige bewijzen, van de groepen van orde $\leq 15$ op isomorfie na. De ordes $1, 2,
3, 5, 7, 11, 13$ zijn afgehandeld door Lagrange (cyclisch), en de ordes $4$ en $9$ door [Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) samen met de analyse van $p^2$ hieronder: blijven over $6, 8, 10, 12, 14, 15$.

**Deel I — Gereedschap.**

1. Toon aan dat een groep waarin elk element aan $x^2 = e$ voldoet abels is; leid af dat zo’n eindige groep orde $2^k$ heeft en isomorf is met $(\Z/2\Z)^k$ . *(Beschouw haar als een vectorruimte over $\mathbb F_2$.)*
2. Toon aan dat een groep van orde $p^2$ isomorf is met $\Z/p^2\Z$ of met $(\Z/p\Z)^2$ . Geef de abelse groepen van orde $8$ op isomorfie na: $\Z/8\Z$ , $\Z/4\Z \times \Z/2\Z$ , $(\Z/2\Z)^3$ — bewijs dat die lijst volledig is en geen dubbels bevat, *zonder* de structuurstelling van [Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#ch-b3-modules) (onderscheid de gevallen naar de maximale orde van een element).
3. Zij $\varphi, \varphi' \colon K \to \operatorname{Aut}(H)$ twee [werkingen](#def-b3-groups-action) . Toon aan dat $H \rtimes_{\varphi} K \cong H  \rtimes_{\varphi'} K$ zodra $\varphi' = \varphi \circ  \alpha$ met $\alpha \in \operatorname{Aut}(K)$ .
4. Bepaal $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z)$ expliciet voor $n = 3,  4, 5, 7$ , en toon aan dat $\operatorname{Aut}\bigl((\Z/2\Z)^2 \bigr) \cong S_3$ .

**Deel II — Ordes $2p$ ($6$, $10$, $14$) en $pq$.**

5. Zij $\abs G = 2p$ met $p$ een oneven priemgetal. Toon aan dat $G$ een [normaaldeler](#def-b3-groups-normal) $N = \langle r \rangle$ van orde $p$ bezit en een element $s$ van orde $2$ buiten $N$ .
6. Leid af dat $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ , waarbij $\varphi(1) \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ een involutie is, en besluit: $G \cong \Z/2p\Z$ of $G \cong D_p$ ; ga na dat die twee niet isomorf zijn. Hiermee zijn de ordes $6$ , $10$ en $14$ afgehandeld.
7. Zij algemener $\abs G = pq$ met $p < q$ priem. Toon aan dat $G$ cyclisch is als $p \nmid q-1$ ( [Voorbeeld 1.22](#ex-b3-groups-pq) ), en dat er bij $p \mid q - 1$ naast $\Z/pq\Z$ *precies één* niet-abelse groep $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ bestaat op isomorfie na — gebruik vraag 3 en het feit dat $\operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong (\Z/q\Z)^\times$ cyclisch van orde $q - 1$ is, hier zonder bewijs aangenomen en bewezen in [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#ch-b3-galois) (cycliciteit van $\mathbb  F_q^\times$ ). Besluit voor orde $15$ .

**Deel III — Orde $8$.** Zij $G$ niet-abels van orde $8$.

8. Toon aan dat $G$ een element $r$ van orde $4$ bezit (gebruik vraag 1) en dat $N = \langle r\rangle$ [normaal](#def-b3-groups-normal) is.
9. Zij $s \notin N$ . Toon aan dat $s^2 \in N$ ( [Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1) (b)), dat $srs^{-1} = r^{-1}$ (bekijk de mogelijke beelden van $r$ onder conjugatie, die orde $4$ moeten hebben, en sluit $srs^{-1} = r$ uit), en dat $s^2 \in \{e, r^2\}$ *(wat gebeurt er als $s^2 =  r$ of $r^3$? en waarom moet $s^2$ met $s$ commuteren?)* .
10. Toon in het geval $s^2 = e$ aan dat $G \cong D_4$ .
11. Toon in het geval $s^2 = r^2$ aan dat de vermenigvuldigingstabel volledig vastligt; de resulterende groep is de *quaternionengroep* $Q_8 =  \{\pm 1, \pm \mathrm i, \pm \mathrm j, \pm \mathrm k\}$ met $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm i\,  \mathrm j\,\mathrm k = -1$ (stel $r = \mathrm i$ en $s =  \mathrm j$). Ga na dat $Q_8$ bestaat, bijvoorbeeld binnen $GL_2(\C)$ via $$\mathrm i \mapsto \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu  \end{pmatrix},  \qquad  \mathrm j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0  \end{pmatrix}.$$
12. Toon aan dat elke niet-triviale deelgroep van $Q_8$ het element $-1$ bevat; leid af dat elke deelgroep van $Q_8$ [normaal](#def-b3-groups-normal) is, dat $D_4 \not\cong Q_8$ (tel de elementen van orde $2$ ), en dat $Q_8$ geen [semidirect product](#def-b3-groups-semidirect) van twee echte deelgroepen is.

**Deel IV — Orde $12$.** Zij $\abs G = 12$, $P_3
\in \mathrm{Syl}_3(G)$ en $P_2 \in \mathrm{Syl}_2(G)$.

13. Toon aan dat $n_3 \in \{1, 4\}$ en $n_2 \in \{1, 3\}$ , en dat $n_3 = 4$ afdwingt dat $n_2 = 1$ *(tel de elementen van orde $3$)* .
14. Stel $n_3 = 4$ . De conjugatiewerking op $\mathrm{Syl}_3$ geeft $\rho \colon G \to S_4$ . Toon aan dat $\ker \rho$ , bevat in elke $N_G(P_3)$ en dus van een orde die $3$ deelt, triviaal is *(waarom kan hij geen orde $3$ hebben?)* ; dat het beeld, een deelgroep van orde $12$ van $S_4$ , noodzakelijk $A_4$ is *(deelgroepen van index $2$ zijn [normaal](#def-b3-groups-normal) en bevatten alle kwadraten — [Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1); tel de kwadraten in $S_4$)* ; en besluit dat $G \cong A_4$ .
15. Stel $n_3 = 1$ , zodat $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ met $\varphi \colon P_2 \to \operatorname{Aut}(\Z/3\Z)  \cong \Z/2\Z$ . Loop de gevallen af: voor triviale $\varphi$ krijgen we $\Z/12\Z$ en $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ ; voor $P_2 =  \Z/4\Z$ met surjectieve $\varphi$ de *dicyclische groep* $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes \Z/4\Z$ ; en voor $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ met surjectieve $\varphi$ , op de gelijkwaardigheid uit vraag 3 na, één enkele groep — toon aan dat dit $D_6$ is, bijvoorbeeld door een element van orde $6$ en een spiegelingsachtige involutie aan te wijzen.
16. Toon aan dat $\Z/12\Z$ , $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ , $D_6$ , $A_4$ en $\mathrm{Dic}_3$ paarsgewijs niet isomorf zijn *(tel de elementen van orde $2$, of gebruik $n_3$)* . Hiermee is orde $12$ afgehandeld.

**Deel V — Synthese.**

17. Stel de classificatietabel samen: voor elke orde $n \leq  15$ de volledige lijst groepen op isomorfie na, met de aantallen $1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1$ .

**Deel VI — Verder: de groepen van orde $p^3$ met $p$ oneven.** De analyse van orde $8$ uit Deel III heeft een fraai analogon voor oneven priemgetallen, met één werkelijk nieuw verschijnsel. Zij $p$ oneven priem en $G$ niet-abels van orde $p^3$.

18. Toon aan dat $\abs{Z(G)} = p$ , dat $G/Z(G) \cong  (\Z/p\Z)^2$ *(een cyclisch quotiënt naar het [centrum](#ex-b3-groups-actions) dwingt abelsheid af: [Oefening 1.2](#exo-b3-groups-2))* , en dat $D(G) = Z(G)$ *(voor $D(G) \subseteq Z(G)$: gebruik dat $G/Z(G)$ abels is; voor de gelijkheid: $G$ is niet-abels, dus $D(G) \neq \{e\}$)* . Leid af dat elke [commutator](#def-b3-groups-derived) $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ centraal is en een orde heeft die $p$ deelt.
19. (De sleutelidentiteit) Zij $x, y \in G$ en $z = [y, x]$, centraal. Bewijs met inductie naar $k$: $$(xy)^k = x^k y^k z^{k(k-1)/2} .$$ *(Schuif elke $y$ langs elke $x$; elke kruising kost één centrale factor $z$.)*
20. Leid af dat voor oneven $p$ de afbeelding $\theta\colon x  \mapsto x^p$ een groepsmorfisme van $G$ naar $Z(G)$ is *(waarom is $x^p$ centraal? en waarom heeft $z^{p(p-1)/2} = e$ nodig dat $p$ oneven is?)* , en besluit dat $G$ exponent $p$ of $p^2$ heeft, waarbij de twee gevallen zich onderscheiden doordat $\theta$ al dan niet triviaal is.
21. (Exponent $p$) Stel dat elk element aan $x^p = e$ voldoet. Kies $x, y$ waarvan de klassen $G/Z(G)$ voortbrengen en stel $z = [y, x]$. Toon aan dat $z \neq e$, dat elk element van $G$ zich op precies één manier als $x^ay^bz^c$ schrijft ($0 \leq a, b, c < p$), en dat de vermenigvuldiging volledig vastligt door de betrekkingen $x^p = y^p = z^p =  e$, $z$ centraal en $[y, x] = z$. Ga na dat de *Heisenberggroep* $$H_p = \left\{  \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\}  \subseteq GL_3(\mathbb F_p)$$ deze betrekkingen realiseert en exponent $p$ heeft (bereken $(I + N)^p$ voor strikt bovendriehoekse $N$, met $N^3 = 0$ en $p \geq 3$): elke niet-abelse groep van orde $p^3$ en exponent $p$ is isomorf met $H_p$.
22. (Exponent $p^2$ ) Stel dat een $r \in G$ orde $p^2$ heeft en stel $N = \langle r\rangle$ , [normaal](#def-b3-groups-normal) (index $p$ : [Oefening 1.10](#exo-b3-groups-10) ). Toon aan dat er een $s \notin N$ bestaat met $s^p = e$ *(neem een willekeurige $t  \notin N$ en corrigeer die met vraag 20: $\theta(t) = t^p  \in Z(G) \subseteq N$ — verantwoord $Z(G) = \langle  r^p\rangle$ — en kies $a$ zodat $s = tr^{a}$ voldoet aan $s^p = e$; waar wordt gebruikt dat $p$ oneven is?)* . Toon aan dat $srs^{-1} = r^{1+p}$ , eventueel na vervanging van $s$ door een macht, en besluit: er is precies *één* niet-abelse groep van orde $p^3$ en exponent $p^2$ , namelijk $\Z/p^2\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ met $\varphi(1)\colon r  \mapsto r^{1+p}$ *(gebruik vraag 3; $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ is cyclisch van orde $p(p-1)$, hier zonder bewijs aangenomen, en heeft dus een unieke deelgroep van orde $p$)* .
23. Besluit de telling: voor oneven $p$ zijn er precies $5$ groepen van orde $p^3$ (drie abelse, twee niet-abelse), net als voor $p = 2$ — maar de twee niet-abelse zijn niet langer $D_4$ en $Q_8$ . Wijs precies aan waar het argument voor oneven $p$ breekt bij $p = 2$ : in de identiteit van vraag 19 is $z^{k(k-1)/2}$ voor $k = p = 2$ gelijk aan $z^1 \neq e$ , dus is kwadrateren geen morfisme — en inderdaad heeft $Q_8$ één enkel element van orde $2$ , terwijl $D_4$ , van exponent $4$ , er vijf heeft.

**Deel VII — Aanvullingen.**

24. Tel voor oneven $p$ de elementen van orde $p$ in elk van de twee niet-abelse groepen van orde $p^3$ : toon aan dat $H_p$ er precies $p^3 - 1$ heeft en $M_p = \Z/p^2\Z \rtimes  \Z/p\Z$ precies $p^2 - 1$ *(gebruik het morfisme $\theta$ uit vraag 20: bepaal eerst zijn beeld, dan de orde van zijn kern)* . Reken het geval $p = 3$ na: $26$ tegen $8$ . Verklaar waarom geen enkel argument met een kwadrateringsmorfisme van dit type $D_4$ van $Q_8$ kan onderscheiden, en welke telling dat wel doet.
25. Noem een geheel getal $n \geq 1$ *cyclisch* als elke groep van orde $n$ cyclisch is. Toon aan dat $n$ niet cyclisch is zodra $p^2 \mid n$ voor zeker priemgetal $p$ , of zodra $n$ priemdelers $p < q$ heeft met $p \mid q - 1$ *(geef in elk geval een niet-cyclische groep van orde $n$; gebruik voor het tweede geval Deel II)* . Leid af dat $n$ cyclisch afdwingt dat $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ , waarbij $\varphi$ de indicator van Euler is, en controleer dat aan de tabel van vraag 17: onder $n \leq 15$ zijn de ordes met één enkele groep precies $n \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13,  15\}$ , en dat zijn precies de $n$ met $\gcd(n, \varphi(n))  = 1$ .

**Oplossing van Probleem 1.1.**

**1.** Voor $x, y \in G$ geeft $(xy)^2 = e$ dat $xy =
(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx$ (elk element is zijn eigen inverse): abels. Zo’n $G$ is, additief geschreven, een vectorruimte over $\mathbb F_2$ ($2x = 0$, en de axioma’s zijn die van een abelse groep); is ze eindig, dan heeft ze een eindige basis: $G \cong
(\Z/2\Z)^k$, van orde $2^k$.

**2.** Orde $p^2$: $G$ is abels ([Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)). Heeft een element orde $p^2$, dan is $G$ cyclisch. Anders hebben alle $x \neq e$ orde $p$; additief is $G$ dan een vectorruimte over $\mathbb F_p$ ($px = 0$) van dimensie $2$ ($p^2$ elementen): $G \cong (\Z/p\Z)^2$.

Abels van orde $8$, naar de maximale orde $m$ van een element. $m =
8$: cyclisch, $\Z/8\Z$. $m = 2$: $(\Z/2\Z)^3$ volgens vraag 1. $m =
4$: zij $x$ van orde $4$ en $y \notin \langle x \rangle$; dan is $y^2 \in \langle x\rangle$ (index $2$). Bij $y^2 \in \{x, x^3\}$ zou $y$ orde $8$ hebben; dus $y^2 \in \{e, x^2\}$. Is $y^2 = x^2$, vervang $y$ dan door $xy$: $(xy)^2 = x^2y^2 = x^4 = e$ ($G$ abels) en $xy \notin \langle x\rangle$. We mogen dus $y^2 = e$ veronderstellen: dan is $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle =
\{e\}$, zijn beide [normaal](#def-b3-groups-normal) (want $G$ is abels) en is $\abs{\langle
x\rangle \langle y\rangle} = 8$, zodat [Propositie 1.24](#prop-b3-groups-direct) geeft $G \cong \Z/4\Z \times \Z/2\Z$. Geen dubbels: het aantal oplossingen van $x^2 = e$ is achtereenvolgens $2$, $4$ en $8$ in de drie groepen.

**3.** Definieer $\psi \colon H \rtimes_{\varphi'} K \to H
\rtimes_{\varphi} K$ door $\psi(h, k) = (h, \alpha(k))$, een bijectie. Morfisme:

$$
\psi\bigl((h,k)(h',k')\bigr)
= \bigl(h\,\varphi'(k)(h'),\, \alpha(kk')\bigr)
= \bigl(h\,\varphi(\alpha k)(h'),\, \alpha(k)\alpha(k')\bigr)
= \psi(h,k)\,\psi(h',k').
$$

**4.** Er geldt $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong
(\Z/n\Z)^\times$ ([Oefening 1.3](#exo-b3-groups-3)): voor $n = 3$ is dat $\{\pm 1\} \cong \Z/2\Z$; voor $n = 4$: $\{\bar 1, \bar 3\} \cong
\Z/2\Z$; voor $n = 5$: $\{\bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4\}$, cyclisch van orde $4$ voortgebracht door $\bar 2$ ($2, 4, 3, 1$); voor $n = 7$: cyclisch van orde $6$ voortgebracht door $\bar 3$ ($3, 2, 6, 4, 5, 1$). Voor $V = (\Z/2\Z)^2$ is een automorfisme $\mathbb F_2$-lineair (het bewaart de optelling, en de scalairen zijn $0$ en $1$), dus $\operatorname{Aut}(V) = GL_2(\mathbb F_2)$, van orde $(4-1)(4-2) = 6$; die werkt trouw op de $3$ niet-nulle vectoren, wat een injectief morfisme naar $S_3$ tussen groepen van orde $6$ geeft: $\operatorname{Aut}(V) \cong S_3$.

**5.** Cauchy levert een $r$ van orde $p$; $N = \langle r
\rangle$ heeft index $2$ en is dus [normaal](#def-b3-groups-normal) ([Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1)). Cauchy levert ook een $s$ van orde $2$, en $s \notin N$ (alle elementen $\neq e$ van $N$ hebben de oneven orde $p$).

**6.** Er geldt $N \cap \langle s \rangle = \{e\}$ en $\abs{N\langle s\rangle} = 2p$ ([Oefening 1.4](#exo-b3-groups-4)(a)): volgens [Propositie 1.26](#prop-b3-groups-semidirect) is $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi
\Z/2\Z$ met $\varphi(1) = (x \mapsto sxs^{-1})$ een automorfisme waarvan de orde $2$ deelt. In $(\Z/p\Z)^\times$ heeft $k^2 = 1$ alleen de oplossingen $k = \pm 1$ (want $X^2 - 1$ heeft hoogstens twee wortels in het lichaam $\mathbb F_p$). Is $\varphi(1) =
\mathrm{id}$, dan is het product direct: $G \cong \Z/p\Z \times
\Z/2\Z \cong \Z/2p\Z$. Is $\varphi(1) = -\mathrm{id}$, dan is $G =
\langle r, s \mid r^p = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle \cong
D_p$ ([Voorbeeld 1.27](#ex-b3-groups-semidirectexamples)). Ze zijn niet isomorf: $D_p$ is niet-abels voor $p \geq 3$ ($srs^{-1} = r^{-1}
\neq r$).

**7.** Uit $n_q \equiv 1 \pmod q$ en $n_q \mid p < q$ volgt $n_q = 1$, dus is $N \cong \Z/q\Z$ [normaal](#def-b3-groups-normal). Zij $P \cong \Z/p\Z$ een Sylow-$p$-deelgroep: $N \cap P = \{e\}$ en $NP = G$ (orde $pq$), dus $G \cong \Z/q\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ met $\varphi
\colon \Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong \Z/(q-1)\Z$ (cyclisch, zonder bewijs aangenomen). Is $p \nmid q - 1$, dan heeft het beeld van $\varphi$ een orde die zowel $p$ als $q-1$ deelt, dus is het triviaal en is $G \cong \Z/pq\Z$ ([Voorbeeld 1.22](#ex-b3-groups-pq)). Is $p \mid q - 1$, dan is naast de triviale $\varphi$ elke niet-triviale $\varphi$ injectief (haar kern is een deelgroep van $\Z/p\Z$, dus triviaal), met als beeld *de* unieke deelgroep $C$ van orde $p$ van de cyclische groep $\Z/(q-1)\Z$. Twee niet-triviale [werkingen](#def-b3-groups-action) $\varphi, \varphi'$ zijn dan twee isomorfismen $\Z/p\Z \to C$, zodat $\alpha =
\varphi^{-1}\circ\varphi' \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ voldoet aan $\varphi' = \varphi\circ\alpha$: volgens vraag 3 zijn de twee [semidirecte producten](#def-b3-groups-semidirect) isomorf. Er is dus precies één niet-abelse groep van orde $pq$ (niet-abels omdat $\varphi \neq \mathrm{id}$ een conjugatie niet-triviaal maakt). Orde $15$: $p = 3$, $q = 5$ en $3 \nmid 4$, dus alleen de cyclische groep.

**8.** Niet elk element heeft orde $\leq 2$ (anders was $G$ abels volgens vraag 1), en geen element heeft orde $8$ (anders was $G$ cyclisch en dus abels): een zekere $r$ heeft orde $4$, en $N =
\langle r\rangle$, van index $2$, is [normaal](#def-b3-groups-normal).

**9.** Er geldt $s^2 \in N$ volgens [Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1)(b). De conjugaat $srs^{-1} \in N$ heeft orde $4$, dus $srs^{-1} \in \{r, r^3\}$; bij $srs^{-1} = r$ commuteren $r$ en $s$ en is $G = \langle r, s\rangle$ abels — uitgesloten. Dus $srs^{-1} = r^{-1}$. Bij $s^2 = r$ of $r^3$ zou $s$ orde $8$ hebben: uitgesloten. (Anders gezegd: $s^2$ commuteert met $s$, terwijl $s r s^{-1} = r^{-1}$ en $s r^3 s^{-1} = r^{-3} = r$: noch $r$ noch $r^3$ blijft vast onder conjugatie met $s$.) Dus $s^2 \in
\{e, r^2\}$.

**10.** Is $s^2 = e$, dan is $G = \langle r, s \mid r^4 = s^2
= e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$. De acht elementen $r^is^j$ ($0
\leq i < 4$, $0 \leq j < 2$) zijn verschillend ($s \notin \langle
r\rangle$) en de betrekkingen leggen alle producten vast: de toewijzing $r \mapsto$ (rotatie over $\pi/2$), $s \mapsto$ (een spiegeling) definieert een surjectief morfisme naar $D_4$ tussen groepen van orde $8$: een isomorfisme.

**11.** Is $s^2 = r^2$, dan is opnieuw $G = \{r^i s^j\}$ en leggen de betrekkingen $r^4 = e$, $s^2 = r^2$ en $srs^{-1} =
r^{-1}$ de hele tabel vast. Met $\mathrm i = r$, $\mathrm j = s$, $\mathrm k = rs$ en $-1 = r^2$: $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = -1$, $\mathrm k^2 = rsrs = r r^{-1} s s = s^2 = -1$ (met $sr =
r^{-1}s$), en $\mathrm i \mathrm j \mathrm k = r\,s\,rs = r\,r^{-1}
s\,s = s^2 = -1$. Bestaan: de matrices

$$
A = \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu \end{pmatrix},
\qquad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}
$$

voldoen aan $A^4 = I$, $B^2 = -I = A^2$ en $BAB^{-1} = A^{-1}$ — voor dat laatste:

$$
BA = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0 \end{pmatrix} = A^{-1}B .
$$

Dus is $\{\pm I, \pm A, \pm B, \pm AB\}$ een groep van orde $8$ die de tabel realiseert: $Q_8$ bestaat.

**12.** Zij $H \neq \{e\}$ een deelgroep en $x \in H \setminus
\{e\}$. Is $x \neq -1$, dan is $x \in \{\pm\mathrm i, \pm\mathrm j,
\pm\mathrm k\}$ en $x^2 = -1 \in H$. Dus $-1 \in H$, altijd. De deelgroepen zijn $\{e\}$, $\{\pm 1\}$ (het [centrum](#ex-b3-groups-actions)), $\langle
\mathrm i\rangle, \langle \mathrm j\rangle, \langle \mathrm
k\rangle$ (index $2$) en $Q_8$: alle [normaal](#def-b3-groups-normal) ($\{e\}$ en het [centrum](#ex-b3-groups-actions) triviaal, index $2$ volgens [Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1), en $Q_8$ zelf). $D_4$ heeft vijf elementen van orde $2$ ($r^2$ en de vier spiegelingen), $Q_8$ maar één ($-1$): niet isomorf. Een [semidirect product](#def-b3-groups-semidirect) $H \rtimes K$ met $H, K \neq \{e\}$ vereist $H
\cap K = \{e\}$, wat onmogelijk is omdat beide $-1$ bevatten.

**13.** Uit $n_3 \mid 4$ en $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ volgt $n_3
\in \{1, 4\}$; uit $n_2 \mid 3$ en $n_2$ oneven volgt $n_2 \in \{1,
3\}$. Is $n_3 = 4$, dan snijden de vier Sylow-$3$-deelgroepen elkaar paarsgewijs triviaal (priemorde), wat $4 \times 2 = 8$ elementen van orde $3$ geeft; de overige $4$ elementen moeten dan de unieke Sylow-$2$-deelgroep vormen: $n_2 = 1$.

**14.** $\ker\rho$ normaliseert elke Sylow-$3$-deelgroep, dus $\ker \rho \subseteq N_G(P_3)$, die index $n_3 = 4$ heeft, dus orde $3$: $\abs{\ker\rho} \in \{1, 3\}$. Bij orde $3$ zou $\ker\rho$ een *normale* Sylow-$3$-deelgroep zijn, in strijd met $n_3 = 4$. Dus is $\rho$ injectief en heeft haar beeld $H \leq S_4$ orde $12$ en index $2$: $H \trianglelefteq S_4$, en $H$ bevat alle kwadraten ([Oefening 1.1](#exo-b3-groups-1)(b)). Tot de kwadraten van $S_4$ behoren $e$ en alle acht $3$-cykels ($\sigma = (\sigma^2)^2$ voor een $3$-cykel), en die brengen $A_4$ voort (ze liggen in $A_4$ en leveren met hun producten alle twaalf elementen; of: het voortbrengingsdeel van [Lemma 1.32](#lem-b3-groups-threecycles), dat alleen $n \geq 3$ nodig heeft). Dus $A_4 \subseteq H$ en $\abs{A_4} = \abs
H$: $G \cong H = A_4$.

**15.** Er geldt $P_3 \trianglelefteq G$, $P_3 \cap P_2 =
\{e\}$ en $P_3P_2 = G$: dus $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ ([Propositie 1.26](#prop-b3-groups-semidirect)), met $\varphi \colon P_2 \to
\operatorname{Aut}(\Z/3\Z) = \{\pm\mathrm{id}\} \cong \Z/2\Z$.

- $\varphi$ triviaal: de [directe producten](#prop-b3-groups-direct) $\Z/3\Z \times  \Z/4\Z \cong \Z/12\Z$ en $\Z/3\Z \times (\Z/2\Z)^2 \cong  \Z/6\Z \times \Z/2\Z$ .
- $P_2 = \Z/4\Z$ met surjectieve $\varphi$ : noodzakelijk $\varphi(1) = -\mathrm{id}$ (de enige niet-triviale keuze), wat één groep geeft, $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes  \Z/4\Z$ .
- $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ met surjectieve $\varphi$ : $\ker\varphi$ is een van de drie deelgroepen van orde $2$ ; de drie resulterende $\varphi$ verschillen door automorfismen van $(\Z/2\Z)^2$ die deze deelgroepen permuteren (vraag 4: $\operatorname{Aut} \cong S_3$ werkt transitief op de drie involuties), dus geven ze volgens vraag 3 één isomorfieklasse. Het is $D_6$ : kies $t$ die $\ker\varphi$ voortbrengt en $x$ die $\Z/3\Z$ voortbrengt; het element $\rho = (x, t)$ voldoet aan $\rho^2 = (2x, 0)$ , $\rho^3 =  (0, t)$ en $\rho^6 = e$ , terwijl geen kleinere macht $e$ is: orde $6$ ; en voor $s = (0, u)$ met $u \notin \ker\varphi$ geldt $s^2 = e$ en $s\rho s^{-1} = (-x, t) = \rho^{-1}$ . Omdat $\langle \rho, s\rangle$ orde $12$ heeft, is $G \cong  D_6$ .

**16.** Tel de elementen van orde $2$: $\Z/12\Z$ heeft er $1$; $\Z/6\Z\times\Z/2\Z$ heeft er $3$; $D_6$ heeft er $7$ (zes spiegelingen en de halve draai $\rho^3$); $A_4$ heeft er $3$; en $\mathrm{Dic}_3$ heeft er $1$ (alleen $(0, 2)$: een element $(h,
k)$ met $k$ van orde $4$ in $\Z/4\Z$ heeft orde $4$). Dat onderscheidt alles behalve de paren $\{\Z/12\Z, \mathrm{Dic}_3\}$ en $\{\Z/6\Z\times\Z/2\Z, A_4\}$: de eerste leden zijn abels, de tweede niet ($\mathrm{Dic}_3$: de [werking](#def-b3-groups-action) is niet-triviaal; $A_4$: $(1\,2\,3)$ en $(1\,2)(3\,4)$ commuteren niet). Vijf verschillende groepen; de Delen II–IV tonen dat de lijst volledig is.

**17.** De classificatietabel:

| $n$ | groepen van orde $n$ | # |
| --- | --- | --- |
| $1$ | $\{e\}$ | $1$ |
| $2$ | $\Z/2\Z$ | $1$ |
| $3$ | $\Z/3\Z$ | $1$ |
| $4$ | $\Z/4\Z$, $(\Z/2\Z)^2$ | $2$ |
| $5$ | $\Z/5\Z$ | $1$ |
| $6$ | $\Z/6\Z$, $S_3 = D_3$ | $2$ |
| $7$ | $\Z/7\Z$ | $1$ |
| $8$ | $\Z/8\Z$, $\Z/4\Z{\times}\Z/2\Z$, $(\Z/2\Z)^3$, $D_4$, $Q_8$ | $5$ |
| $9$ | $\Z/9\Z$, $(\Z/3\Z)^2$ | $2$ |
| $10$ | $\Z/10\Z$, $D_5$ | $2$ |
| $11$ | $\Z/11\Z$ | $1$ |
| $12$ | $\Z/12\Z$, $\Z/6\Z{\times}\Z/2\Z$, $D_6$, $A_4$, $\mathrm{Dic}_3$ | $5$ |
| $13$ | $\Z/13\Z$ | $1$ |
| $14$ | $\Z/14\Z$, $D_7$ | $2$ |
| $15$ | $\Z/15\Z$ | $1$ |

De ordes $6, 10, 14$ komen uit Deel II met $p = 3, 5, 7$; orde $15$ uit vraag 7; orde $8$ uit Deel III samen met vraag 2; orde $12$ uit Deel IV; de priemordes uit Lagrange; en de ordes $4$ en $9$ uit vraag 2.

**18.** $Z = Z(G)$ is niet-triviaal ([Stelling 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)) en $Z \neq G$ (niet-abels), dus $\abs
Z \in \{p, p^2\}$. Was $\abs Z = p^2$, dan was $G/Z$ cyclisch van orde $p$ en maakte [Oefening 1.2](#exo-b3-groups-2) de groep $G$ abels: uitgesloten. Dus $\abs Z = p$ en $\abs{G/Z} = p^2$. Volgens vraag 2 is $G/Z$ gelijk aan $\Z/p^2\Z$ of $(\Z/p\Z)^2$; het cyclische geval is opnieuw uitgesloten door [Oefening 1.2](#exo-b3-groups-2), dus $G/Z \cong
(\Z/p\Z)^2$. Omdat $G/Z$ abels is, ligt elke [commutator](#def-b3-groups-derived) in $Z$: dus $D(G) \subseteq Z$; en $D(G) \neq \{e\}$ ($G$ is niet-abels), zodat $D(G) = Z$ ($\abs Z = p$ laat geen ruimte voor iets anders). [Commutatoren](#def-b3-groups-derived) zijn dus centraal met een orde die $\abs Z = p$ deelt.

**19.** Inductie naar $k$; het geval $k = 1$ is triviaal. Uit $z = [y, x] = yxy^{-1}x^{-1}$ volgt $yx = zxy$: één $y$ naar links langs één $x$ schuiven levert precies één factor $z$ op, en die is centraal en mag overal geparkeerd worden. Dan is

$$
(xy)^{k+1} = (xy)^k\,xy = x^ky^kz^{k(k-1)/2}\,xy
= x^k\,(y^kx)\,y\,z^{k(k-1)/2}
= x^{k+1}y^{k+1}\,z^{k(k-1)/2 + k},
$$

want $x$ langs $y^k$ dragen kost $k$ factoren $z$ ($y^kx = z^kxy^k$ door $k$ toepassingen van $yx = zxy$); en $k(k-1)/2 + k =
k(k+1)/2$.

**20.** Met $k = p$: $(xy)^p = x^py^pz^{p(p-1)/2}$. Voor oneven $p$ is $(p-1)/2$ een geheel getal, dus $z^{p(p-1)/2} =
(z^p)^{(p-1)/2} = e$ (vraag 18: de orde van $z$ deelt $p$): $\theta(xy) = \theta(x)\theta(y)$, een morfisme. De waarden zijn centraal: de klasse van $x$ in $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$ heeft een orde die $p$ deelt, dus $x^p \in Z$. Is $\theta$ triviaal, dan heeft elk element een orde die $p$ deelt: exponent $p$ (niet $1$, want $G \neq \{e\}$). Anders is $x^p \neq e$ voor zekere $x$, en heeft $x$ orde $p^2$ (de orde deelt $p^3$, en $x$ kan geen orde $p^3$ hebben, want dan was $G$ cyclisch en dus abels): exponent $p^2$.

**21.** Zij $\bar x, \bar y$ klassen die $G/Z$ voortbrengen: hun [commutator](#def-b3-groups-derived) $z = [y, x]$ is $\neq e$, want anders zouden $x$, $y$ en $Z$ een abelse $G$ voortbrengen (hun klassen brengen het quotiënt voort en $Z$ is centraal) — en $z$ brengt $Z$ voort ($\abs Z = p$). Elke $g \in G$ heeft een klasse $\bar x^a\bar y^b$ met unieke $0 \leq a, b < p$, dus $g = x^ay^bz^c$ met een unieke $0
\leq c < p$: dat zijn $p^3$ elementen, en daarmee alle. Producten van zulke normaalvormen worden uitsluitend berekend met $yx = zxy$, $z$ centraal, en $x^p = y^p = z^p = e$: de tabel ligt vast, dus zijn twee niet-abelse groepen van orde $p^3$ en exponent $p$ isomorf (breng de voortbrengers op elkaar af). De Heisenberggroep realiseert de betrekkingen: met $X = I + E_{12}$ en $Y = I +
E_{23}$ berekent men $[Y, X] = I - E_{13}$ (centraal in $H_p$), en voor elke strikt bovendriehoekse $N$ geeft $N^3 = 0$

$$
(I + N)^p = I + pN + \binom p2N^2 = I
\qquad\text{in karakteristiek } p,\ p \geq 3,
$$

omdat $p \mid p$ en $p \mid \binom p2$ voor oneven $p$: exponent $p$. De groep van exponent $p$ is dus $H_p$.

**22.** Er geldt $Z(G) = \langle r^p\rangle$: immers $r^p$ is centraal (het argument van vraag 20: de klasse van $r$ in het quotiënt $G/Z$ van exponent $p$ geeft $r^p \in Z$) en $\neq e$, dus brengt het het [centrum](#ex-b3-groups-actions) van orde $p$ voort. Neem een willekeurige $t
\notin N$. Is $t^p = e$, stel dan $s = t$. Anders is $\theta(t) =
t^p \in Z = \langle r^p\rangle$, zeg $t^p = r^{pb}$; stel dan $s =
tr^{-b}$: volgens vraag 20 ($\theta$ is een morfisme, $p$ oneven) is $s^p = t^pr^{-pb} = e$, en $s \notin N$. Conjugatie: $srs^{-1}
\in N$ ($N$ is [normaal](#def-b3-groups-normal)) heeft orde $p^2$, dus $srs^{-1} = r^m$ met $p \nmid m$; en $s^p = e$ dwingt af dat $p$ maal conjugeren $r$ teruggeeft, dus $m^p \equiv 1 \pmod {p^2}$, en $m \equiv m^p \equiv
1 \pmod p$ (Fermat): $m = 1 + ap$. Omdat $G$ niet-abels is, is $a
\not\equiv 0$; vervangen van $s$ door de macht $s^{a'}$ met $aa'
\equiv 1 \pmod p$ maakt van de [werking](#def-b3-groups-action) $r \mapsto r^{1+p}$. Dit presenteert $G$ als $\Z/p^2\Z\rtimes_\varphi\Z/p\Z$ met $\varphi(1)\colon r \mapsto r^{1+p}$; volgens vraag 3 geven twee niet-triviale morfismen $\Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ met hetzelfde beeld — en dat beeld is *de* unieke deelgroep van orde $p$ van de cyclische groep $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ — isomorfe [semidirecte producten](#def-b3-groups-semidirect): eenduidigheid.

**23.** Abels: $\Z/p^3\Z$, $\Z/p^2\Z\times\Z/p\Z$ en $(\Z/p\Z)^3$ (het argument van vraag 2, één graad hoger: classificeer naar de maximale orde). Niet-abels: precies $H_p$ (exponent $p$, vraag 21) en $\Z/p^2\Z\rtimes\Z/p\Z$ (exponent $p^2$, vraag 22), onderscheiden door hun exponent. Totaal: vijf. Voor $p = 2$ stort het morfisme-argument van vraag 20 in: $z^{p(p-1)/2} = z^{1} = z \neq e$, kwadrateren is geen morfisme, en inderdaad hebben beide niet-abelse groepen van orde $8$ exponent $4$ — de invariant die $D_4$ van $Q_8$ scheidt is het aantal elementen van orde $2$ (vijf tegen één), niet de exponent. De wereld van oneven $p$ is hier voor één keer netter dan karakteristiek $2$.

**24.** In $H_p$ heeft elk element $\neq e$ orde $p$ (exponent $p$, vraag 21): $p^3 - 1$ elementen van orde $p$. In $M_p$ is de afbeelding $\theta \colon x \mapsto x^p$ een morfisme $M_p \to
Z(M_p) = \langle r^p\rangle$ (vraag 20, $p$ oneven); omdat $\theta(r) = r^p \neq e$, is het beeld het hele [centrum](#ex-b3-groups-actions) van orde $p$ en heeft $\ker\theta = \{x : x^p = e\}$ orde $p^3/p = p^2$. De elementen van orde $p$ zijn de elementen $\neq e$ van die kern: er zijn er $p^2 - 1$. Voor $p = 3$: $H_3$ heeft $27 - 1 = 26$ elementen van orde $3$, en $M_3 = \Z/9\Z \rtimes \Z/3\Z$ er $9 - 1
= 8$. Voor $p = 2$ sneuvelt het argument meteen: kwadrateren is geen morfisme op een niet-abelse groep van orde $8$ (vraag 23), en inderdaad telt $\{x : x^2 = e\}$ in $D_4$ zes elementen — geen orde van een deelgroep van $D_4$. De telling die het paar wél scheidt, is die van de elementen van orde $2$: vijf in $D_4$, één in $Q_8$ (vraag 11).

**25.** Is $p^2 \mid n$, dan heeft de groep $\Z/p\Z \times
\Z/(n/p)\Z$ orde $n$ en is ze niet cyclisch: de orde van elk element deelt $\operatorname{lcm}(p, n/p) = n/p < n$, want $p \mid
n/p$. Zijn $p < q$ priemdelers van $n$ met $p \mid q - 1$, dan levert vraag 7 een niet-abelse groep $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ van orde $pq$; dan heeft $(\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z) \times \Z/(n/pq)\Z$ orde $n$ en is ze niet-abels, dus niet cyclisch. Stel nu $\gcd(n,
\varphi(n)) > 1$ en kies een priemgetal $p$ dat beide deelt. Uit $\varphi(n) = \prod_{q^a \parallel n} q^{a-1}(q - 1)$ volgt dat $p
\mid \varphi(n)$ betekent: ofwel $p^2 \mid n$ (de factor $q^{a-1}$ met $q = p$ en $a \geq 2$), ofwel $p \mid q - 1$ voor een priemdeler $q \mid n$ met $q \neq p$; in beide gevallen is $n$ volgens het bovenstaande niet cyclisch. Door contrapositie dwingt $n$ cyclisch dus af dat $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$. Controle voor $n
\leq 15$: de waarden $\varphi(n)$ voor $n = 1, \dots, 15$ zijn $1,
1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8$, en $\gcd(n,
\varphi(n)) = 1$ precies voor $n = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15$ — precies de rijen van de tabel van vraag 17 met één enkele groep. De overige ordes zijn hierboven als niet-cyclisch aangetoond: $4, 8,
9, 12$ door een kwadratische factor, en $6, 10, 12, 14$ door $2
\mid q - 1$. (Het omgekeerde — $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ impliceert $n$ cyclisch — is eveneens waar; vraag 7 bewijst het eerste niet-triviale geval, $n = pq$ met $p \nmid q - 1$.)