---
title: "Productmaten, Fubini, variabelensubstitutie"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie
---

# Hoofdstuk 11 — Productmaten, Fubini, variabelensubstitutie

De eendimensionale theorie van Lebesgue wordt meerdimensionale analyse door twee stellingen. *Tonelli–Fubini* zegt dat integralen over producten herhaalde integralen zijn — in beide volgorden mag je in plakken snijden, onder hypothesen die je werkelijk kunt controleren. De *[formule voor variabelensubstitutie](#thm-b3-product-changeofvar)* vervoert integralen langs $\mathcal C^1$-diffeomorfismen, met de jacobiaandeterminant als wisselkoers voor het volume; we bewijzen haar [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), te beginnen bij het lineaire geval, waar ze verklaart wat de determinant *is*. De toepassingen buitelen over elkaar heen: de laagjesformule, de convolutie, de [poolcoördinaten](#ex-b3-product-polar), het volume van de $n$-bal — en, in de weekendopgave, de formule van Stirling met een eerlijke foutanalyse.

## 11.1 Product-$\sigma$-algebra’s en productmaten

**Definitie 11.1.**

Voor [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) ruimten $(X, \mathcal A)$ en $(Y, \mathcal B)$ is de *product-$\sigma$-algebra* $\mathcal A \otimes \mathcal B$ op $X \times Y$ voortgebracht door de *rechthoeken* $A \times B$ (met $A \in \mathcal A$ en $B
\in \mathcal B$) — een $\pi$-systeem. Voor $E \subseteq X\times
Y$ en $x \in X$ is de *sectie* $E_x = \{y : (x,y) \in E\}$; en voor een functie $f$ op het product is $f_x = f(x, \cdot)$.

**Propositie 11.2.**

(a) Is $E \in \mathcal A\otimes\mathcal B$, dan is elke sectie $E_x \in \mathcal B$ (en symmetrisch); en is $f$ $\mathcal
A\otimes\mathcal B$-meetbaar, dan is elke $f_x$ $\mathcal
B$-meetbaar. (b) $\mathcal B(\R^m)\otimes\mathcal B(\R^n) = \mathcal
B(\R^{m+n})$.

**Bewijs.** (a) Goede verzamelingen: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ is een $\sigma$-algebra (secties verdragen zich met complementen en aftelbare verenigingen) die de rechthoeken bevat. En voor $f$: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Rechthoeken van borelverzamelingen: het volstaat dat blokken open$\times$open borel zijn in $\R^{m+n}$ (ze zijn open) en dat algemene borelrechthoeken limieten zijn — opnieuw goede verzamelingen: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal
B(\R^{m+n})\}$ is een $\sigma$-algebra die de [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) bevat; snijd er twee van dat type. ($\supseteq$) Elke [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $\R^{m+n}$ is een aftelbare vereniging van rationale open blokken $U\times V$: dus bevat in de product-$\sigma$-algebra. ∎

**Stelling 11.3 (Productmaat).**

Zij $(X, \mathcal A, \mu)$ en $(Y, \mathcal B, \nu)$ *$\sigma$-eindig*. Voor elke $E \in \mathcal
A\otimes\mathcal B$ is de functie $x \mapsto \nu(E_x)$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable), en

$$
(\mu\otimes\nu)(E) = \int_X \nu(E_x)\,\dd\mu(x)
$$

definieert de unieke [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) op $\mathcal A\otimes\mathcal B$ met $(\mu\otimes\nu)(A\times B) = \mu(A)\nu(B)$. Ze is $\sigma$-eindig en symmetrisch: dezelfde [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) komt eruit als je de $x$-secties tegen $\nu$ integreert.

**Bewijs.** *[Meetbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) van $x \mapsto \nu(E_x)$.* Zij $\nu$ eerst eindig. De klasse $\mathcal D$ van de $E$ waarvoor de afbeelding [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) is, bevat de rechthoeken ($\nu((A\times B)_x) =
\nu(B)\mathbf 1_A(x)$) en is een $\lambda$-systeem: voor $E
\subseteq F$ in $\mathcal D$ is $\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x)
- \nu(E_x)$ (eindigheid); en voor $E_n \uparrow E$ is $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen), terwijl monotone limieten van [meetbare functies](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) zijn. De rechthoeken vormen een $\pi$-systeem: Dynkin ([Stelling 9.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#thm-b3-measure-dynkin)) geeft $\mathcal D = \mathcal
A\otimes\mathcal B$. Is $\nu$ $\sigma$-eindig, schrijf dan $Y =
\bigcup Y_k$ met $Y_k \uparrow$ en $\nu(Y_k) < \infty$: dan is $\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$ met $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ eindig.

*[Maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure).* De $\sigma$-additiviteit van $E \mapsto
\int\nu(E_x)\dd\mu$ volgt uit [Gevolg 10.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#cor-b3-lebesgue-additivity) (secties van disjuncte verzamelingen zijn disjunct). Op rechthoeken geeft ze $\mu(A)\nu(B)$. *Eenduidigheid*: twee kandidaten vallen samen op het $\pi$-systeem van de rechthoeken; en de $\sigma$-eindigheid levert rechthoeken $X_k\times Y_k \uparrow
X\times Y$ van eindige [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure): [Stelling 9.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#thm-b3-measure-uniqueness). Symmetrie: de constructie in de andere volgorde is eveneens een [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) die op de rechthoeken samenvalt — uniek, dus dezelfde. ∎

**Definitie 11.4.**

De *lebesguemaat op $\R^d$* is $\lambda_d = \lambda\otimes\cdots\otimes\lambda$ ($d$ factoren; de associativiteit van de constructie ga je na op blokken en plant zich voort door de eenduidigheid). Zij is de unieke borelmaat die aan elk blok $\prod\intoc{a_i}{b_i}$ zijn volume $\prod(b_i -
a_i)$ toekent; ze is translatie-invariant (translaten vallen samen op blokken), $\sigma$-eindig, en [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) na [vervollediging](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-completion) volgens Carathéodory — we schrijven $\lambda_d$ voor de vervolledigde [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) en integreren dienovereenkomstig.

## 11.2 Tonelli en Fubini

**Stelling 11.5 (Tonelli).**

Zij $\mu, \nu$ $\sigma$-eindig en $f \colon X\times Y \to [0,
+\infty]$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable). Dan is $x \mapsto \int_Y f_x\,\dd\nu$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) en

$$
\int_{X\times Y}f\,\dd(\mu\otimes\nu)
= \int_X\Bigl(\int_Y f(x,y)\,\dd\nu(y)\Bigr)\dd\mu(x)
= \int_Y\Bigl(\int_X f(x,y)\,\dd\mu(x)\Bigr)\dd\nu(y).
$$

**Bewijs.** De standaardmachine. Voor $f = \mathbf 1_E$ is dit [Stelling 11.3](#thm-b3-product-existence) (met haar symmetrische vorm). Door de lineariteit geldt het voor elementaire $f \geq 0$. En voor algemene $f \geq 0$: neem elementaire $s_n \nearrow f$ ([Stelling 10.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-approximation)); dan is $\int_Y(s_n)_x
\dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ voor elke $x$ (monotone convergentie in $Y$), zodat de linkerleden met de monotone convergentie in $X$ convergeren, terwijl $\int s_n\,
\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ door de monotone convergentie op het product. ∎

**Stelling 11.6 (Fubini).**

Zij $\mu, \nu$ $\sigma$-eindig en $f \in L^1(\mu\otimes\nu)$. Dan is voor $\mu$-bijna elke $x$ de sectie $f_x$ $\nu$-integreerbaar, is de [bijna overal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) gedefinieerde functie $x \mapsto \int
f_x\dd\nu$ [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1), en zijn beide herhaalde integralen gelijk aan $\int f\,\dd(\mu\otimes\nu)$.

**Bewijs.** Tonelli toegepast op $\abs f$ laat zien dat $\varphi(x) =
\int\abs{f_x} \dd\nu$ een eindige integraal heeft en dus [bijna overal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) eindig is: $f_x \in L^1(\nu)$ voor bijna elke $x$. Splits $f = f^+ - f^-$ (reëel geval; complex per component): Tonelli berekent elke herhaalde integraal van $f^\pm$ als $\int
f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, en het [bijna overal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) gedefinieerde verschil integreert tot het verschil. Symmetrisch voor de andere volgorde. ∎

**Methode 11.7.**

Om twee integralen te verwisselen (of een integraal en een som, of twee sommen): is de integrand *niet-negatief*, verwissel dan vrijelijk (Tonelli). Zo niet, pas dan eerst Tonelli toe op $\abs
f$, in de volgorde die het makkelijkst af te schatten is; is het resultaat eindig, dan legitimeert Fubini de verwisseling. Sla de controle op $\abs f$ nooit over: de integrand van [Oefening 11.4](#exo-b3-product-4) heeft twee herhaalde integralen met *verschillende waarden*.

**Propositie 11.8 (Laagjesformule).**

Voor [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) $f \geq 0$ op een $\sigma$-eindige $(X, \mathcal A,
\mu)$ geldt

$$
\int_X f\,\dd\mu = \int_0^{+\infty}\mu(\{f > t\})\,\dd t,
\qquad
\int_X f^p\,\dd\mu = p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\mu(\{f >
t\})\,\dd t \quad (p \geq 1).
$$

**Bewijs.** Pas Tonelli toe op $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ op $X
\times \intoo0{+\infty}$ ([meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable): het is $\{(x,t): f(x) - t >
0\}\cap\{t > 0\}$, een borelachtige combinatie van de [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) $(x,t)\mapsto f(x) - t$): eerst in $t$ integreren geeft $\int
f\,\dd\mu$; eerst in $x$ geeft $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Voor $f^p$: substitueer $t = s^p$ in $\int\mu(f^p > t)\dd t$, dat wil zeggen pas de eerste formule toe op $f^p$ en substitueer in de eendimensionale integraal ($\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

**Stelling 11.9 (Convolutie op L1L^1L1).**

Voor $f, g \in L^1(\R^d, \lambda_d)$ convergeert de integraal

$$
(f * g)(x) = \int_{\R^d} f(x - y)\,g(y)\,\dd y
$$

absoluut voor bijna elke $x$, definieert ze een $f * g \in
L^1(\R^d)$ met $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$, en is $*$ commutatief en associatief.

**Bewijs.** $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ is [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) ($(x,y)\mapsto x - y$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity); stel samen en vermenigvuldig). Tonelli:

$$
\int\!\!\int \abs{f(x-y)}\abs{g(y)}\,\dd y\,\dd x
= \int\abs{g(y)}\Bigl(\int\abs{f(x - y)}\dd x\Bigr)\dd y
= \norm f_1\norm g_1 < \infty
$$

(de translatie-invariantie van $\lambda_d$ in de binnenste integraal). De dubbele integraal is dus eindig; Fubini geeft de absolute convergentie voor bijna elke $x$ en de normgrens $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Commutativiteit: substitueer $y \mapsto x - y$ (invariantie onder translatie en spiegeling — de spiegelingsinvariantie geldt op blokken en dus overal wegens de eenduidigheid). Associativiteit: Tonelli–Fubini op een drievoudige integraal. ∎

## 11.3 Variabelensubstitutie

**Stelling 11.10 (Lineaire variabelensubstitutie).**

Voor $T \in GL_d(\R)$ en $A \in \mathcal B(\R^d)$ is $\lambda_d(T(A)) = \abs{\det T}\,\lambda_d(A)$; bijgevolg is $\int
f(y)\dd y = \abs{\det T}\int f(Tx)\,\dd x$ voor $f \geq 0$ of $f$ [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1).

**Bewijs.** De [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ is een borelmaat ([homeomorfismen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bewaren borelverzamelingen, [Probleem 9.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#pb-b3-measure-1)), translatie-invariant ($T(A + x) = T(A) +
Tx$) en eindig op het eenheidsblok: volgens de karakterisering van de [lebesguemaat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-lebesgueouter) ([Oefening 9.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#exo-b3-measure-6), waarvan het bewijs letterlijk in $\R^d$ werkt met dyadische kubussen) is $\mu_T =
c(T)\lambda_d$ met $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. De afbeelding $T \mapsto c(T)$ is multiplicatief ($c(ST) = c(S)c(T)$, door samen te stellen), dus volstaat het $c$ op voortbrengers van $GL_d$ te berekenen: de elementaire matrices. Diagonaal $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: beeldt de eenheidskubus af op een blok van volume $\abs a$, dus $c = \abs a = \abs\det$. Verwisseling van coördinaten: permuteert de kubus, dus $c = 1 =
\abs\det$. Transvectie $T(x) = x + \alpha x_2e_1$: het beeld van de eenheidskubus is een scheefgetrokken prisma; volgens Tonelli is de [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) ervan $\int\lambda_1(\text{sectie})\dd x_2 \cdots \dd
x_d = 1$, want elke $x_1$-sectie is een interval van lengte $1$: dus $c = 1 = \abs{\det}$. Elke inverteerbare matrix is een product van deze (gauss-eliminatie), en zowel $c$ als $\abs\det$ is multiplicatief: dus $c(T) = \abs{\det T}$. De integraalformule volgt met de standaardmachine (indicatoren, [elementaire functies](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-simple), monotone convergentie). ∎

**Stelling 11.11 (Variabelensubstitutie).**

Zij $U, V \subseteq \R^d$ open en $\Phi \colon U \to V$ een $\mathcal C^1$-diffeomorfisme. Voor elke [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) $f \colon V \to
[0, +\infty]$ (of $f \in L^1(V)$) geldt

$$
\int_V f(y)\,\dd y = \int_U
f\bigl(\Phi(x)\bigr)\,\abs{\det D\Phi(x)}\,\dd x .
$$

**Bewijs.** Schrijf $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. Het hart van het bewijs is de ongelijkheid

$$
\lambda_d\bigl(\Phi(A)\bigr) \leq \int_A J\,\dd\lambda_d
\qquad\text{voor elke borelverzameling } A \subseteq U;
\tag{$*$}
$$

stap 4 hieronder tilt $(*)$ — toegepast op zowel $\Phi$ als $\Phi^{-1}$ — op tot de gelijkheid van de stelling. Merk op dat $\Phi^{-1}$ zelf een $\mathcal C^1$-diffeomorfisme is met jacobiaan $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (kettingregel op $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

*Stap 1: $(*)$ voor kubussen, met een vervormingsfactor.* Leg een gesloten kubus $Q \subseteq U$ vast met middelpunt $x_0$ en zijde $2r$ (een bal voor de supnorm). Bewering: voor elke $\varepsilon > 0$ geldt, als $\Phi$ differentieerbaar is op $Q$ met $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ op $Q$ ([operatornorm](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#def-b3-banach-operator) voor de supnorm), dat

$$
\Phi(Q) \subseteq \Phi(x_0) + D\Phi(x_0)\Bigl(\,\bigl(1 +
\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\bigr)\,(Q - x_0)\Bigr),
$$

want voor $x \in Q$ geeft de middelwaardeongelijkheid toegepast op $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ dat $\norm{\Phi(x) -
\Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x -
x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, en trekt $D\Phi(x_0)^{-1}$ dat gebrek terug tot een vergroting van de kubus met $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$. Volgens [Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange) is dan

$$
\lambda_d(\Phi(Q)) \leq \abs{\det D\Phi(x_0)}\,
\bigl(1 + \varepsilon\,C\bigr)^{d}\,\lambda_d(Q),
\qquad C = \sup_{Q}\norm{D\Phi(\cdot)^{-1}} .
$$

*Stap 2: $(*)$ voor [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) kubussen, door onderverdeling.* Zij $Q \subseteq U$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) kubus en $\varepsilon > 0$. Op $Q$ is $D\Phi$ uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en is $\norm{D\Phi^{-1}}$ begrensd ([compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact)); verdeel $Q$ in $2^{kd}$ deelkubussen $Q_i$ die klein genoeg zijn opdat de oscillatie van $D\Phi$ op elk ervan $\leq \varepsilon$ is. Stap 1 op elke deelkubus (met middelpunt $x_i$) geeft

$$
\lambda_d(\Phi(Q)) \leq \sum_i\lambda_d(\Phi(Q_i))
\leq (1 + C\varepsilon)^d \sum_i \abs{\det
D\Phi(x_i)}\,\lambda_d(Q_i)
\leq (1 + C\varepsilon)^d\Bigl(\int_Q J + \varepsilon'\Bigr),
$$

waarbij de laatste stap geldt omdat $\sum_i\abs{\det
D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$ uniform op $Q$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\det D\Phi$) — een vergelijking met riemannsommen. Laat $\varepsilon \to 0$ gaan: $(*)$ geldt voor [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) kubussen.

*Stap 3: $(*)$ voor alle borelverzamelingen $A$.* De verzamelingsfunctie $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$ op de borel-deelverzamelingen van $U$ is een [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) ($\Phi$ is een bijectie op $V$ die borelverzamelingen en aftelbare disjunctheid bewaart), en $A \mapsto \int_AJ$ ook. Elke open deelverzameling van $U$ is een aftelbare vereniging van bijna disjuncte dyadische [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) kubussen (de standaard dyadische ontbinding: neem de maximale dyadische kubussen binnen de [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology)), en beide [maten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) zijn daarover additief (de randen van kubussen zijn $\lambda_d$-nul, en hun $\Phi$-beelden zijn nul volgens stap 2, toegepast op dunne kubusoverdekkingen van de zijvlakken): $(*)$ gaat dus van kubussen over op [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology). Algemene borelverzameling $A$: put $U$ uit met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K_m \uparrow U$ waarbij $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$, en leg $m$ vast; op $\mathring K_{m+1}$ is $J$ begrensd door zekere $M_m$. Kies met de uitwendige regulariteit van $\lambda_d$ (bewijs als in [Stelling 9.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#thm-b3-measure-regularity), met blokken) [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $O_n$ met $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$ en $\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. Dan is

$$
\lambda_d\bigl(\Phi(A\cap K_m)\bigr) \leq
\lambda_d\bigl(\Phi(O_n)\bigr) \leq \int_{O_n}J
\leq \int_{A\cap K_m}J + M_m\,\lambda_d\bigl(O_n\setminus(A\cap
K_m)\bigr) \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_{A\cap K_m}J .
$$

Laat $m \to \infty$ gaan: links de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen, rechts de monotone convergentie. Daarmee is $(*)$ vastgesteld.

*Stap 4: gelijkheid en de integraalformule.* Breid $(*)$ eerst uit van verzamelingen naar integralen: voor elke [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) $g
\geq 0$ op $V$ is

$$
\int_V g(y)\,\dd y \leq \int_U g(\Phi(x))\,J(x)\,\dd x .
\tag{$**$}
$$

Immers, voor $g = \mathbf 1_B$ is dat $(*)$ met $A =
\Phi^{-1}(B)$; de lineariteit breidt het uit tot elementaire $g$, en de monotone convergentie tot alle $g \geq 0$ (de standaardmachine). Pas nu $(**)$ tweemaal toe: eerst op $g$, en daarna — voor het diffeomorfisme $\Phi^{-1}$ — op de functie $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$:

$$
\int_Vg \leq \int_U g(\Phi(x))J(x)\dd x
\leq \int_V g(y)\,J(\Phi^{-1}y)\,\abs{\det
D\Phi^{-1}(y)}\,\dd y = \int_V g ,
$$

want $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl(
D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (kettingregel op $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Alle ongelijkheden zijn dus gelijkheden: de formule geldt voor $g \geq 0$, en voor $L^1$-functies door ontbinding. ∎

**Voorbeeld 11.12 (Poolcoördinaten; opnieuw de gaussische integraal).**

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ is een $\mathcal
C^1$-diffeomorfisme van $\intoo0{+\infty}\times\intoo0{2\pi}$ op $\R^2$ zonder een halfrechte (een nulverzameling), met $\det D\Phi
= r$:

$$
\int_{\R^2}f(x, y)\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{+\infty}
f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,\dd r\,\dd\theta .
$$

Voor $f = \eu^{-x^2-y^2}$ geven Tonelli en deze formule

$$
G^2 = \Bigl(\int_\R \eu^{-x^2}\dd x\Bigr)^2
= \int_{\R^2}\eu^{-x^2-y^2}
= 2\pi\int_0^\infty r\eu^{-r^2}\dd r = \pi:
$$

het klassieke bewijs van twee regels voor $G = \sqrt\pi$, nu [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) verantwoord (vergelijk het parameterbewijs van [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1)).

**Stelling 11.13 (Volume van de eenheidsbal).**

Zij $v_d = \lambda_d(B(0,1))$ in $\R^d$. Dan is

$$
v_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\bigl(\frac d2 + 1\bigr)} :
\qquad
v_1 = 2,\quad v_2 = \pi,\quad v_3 = \tfrac{4\pi}3,\quad
v_4 = \tfrac{\pi^2}2,\ \dots
$$

**Bewijs.** Bereken $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ op twee manieren. Volgens Tonelli valt hij uiteen: $I = G^d = \pi^{d/2}$. En volgens de laagjesformule ([Propositie 11.8](#prop-b3-product-layercake)) met $f = \eu^{-\norm x^2}$, waarvan de niveauverzamelingen ballen zijn: $\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$ voor $0 < t <
1$, van [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (uitrekken met $\rho$ schaalt $\lambda_d$ met $\rho^d$: [Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange)), dus

$$
I = \int_0^1 v_d\,(-\ln t)^{d/2}\,\dd t
\overset{t = \eu^{-s}}{=}
v_d\int_0^\infty s^{d/2}\eu^{-s}\,\dd s
= v_d\,\Gamma\Bigl(\frac d2 + 1\Bigr).
$$

Stel gelijk. (De waarden: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, enzovoort.) Merk op dat $v_d \to 0$ als $d \to
\infty$ — de weekendopgave kwantificeert hoe snel, via Stirling. ∎

## 11.4 Oefeningen

**Oefening 11.1 ★.**

Zij $\mu$ de telmaat op $(\intcc01, \mathcal B(\intcc01))$ (niet $\sigma$-eindig) en $\lambda$ de [lebesguemaat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-lebesgueouter), en zij $\Delta =
\{(x,x)\}$ de diagonaal in $\intcc01^2$. Toon aan dat $\Delta$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) is, en bereken de twee herhaalde integralen van $\mathbf
1_\Delta$ tegen $\lambda$ en $\mu$: ze verschillen. Welke hypothese van [Stelling 11.5](#thm-b3-product-tonelli) faalt?

**Oplossing van Oefening 11.1.**

$\Delta$ is gesloten in $\intcc01^2$ en dus borel, en $\mathcal
B(\intcc01^2)$ is de product-$\sigma$-algebra ([Propositie 11.2](#prop-b3-product-sections)(b)). In de ene volgorde:

$$
\int_{\intcc01}\Bigl(\int \mathbf 1_\Delta(x,y)
\,\dd\lambda(y)\Bigr)\dd\mu(x)
= \int \lambda(\{x\})\,\dd\mu(x) = 0 ;
$$

en in de andere:

$$
\int_{\intcc01}\Bigl(\int\mathbf
1_\Delta(x,y)\,\dd\mu(x)\Bigr)\dd\lambda(y)
= \int \mu(\{y\})\,\dd\lambda(y) = \int 1\,\dd\lambda = 1 .
$$

De falende hypothese is de $\sigma$-eindigheid van de telmaat $\mu$ op het overaftelbare $\intcc01$: geen aftelbare familie verzamelingen van eindige $\mu$-maat overdekt haar.

**Oefening 11.2 ★.**

Verantwoord de verwisseling en leid de integraal van Dirichlet opnieuw af: voor $A > 0$ is

$$
\int_0^A\frac{\sin x}x\,\dd x
= \int_0^A\!\!\int_0^{+\infty}\eu^{-xy}\sin x\,\dd y\,\dd x
= \int_0^{+\infty}\!\!\int_0^A \eu^{-xy}\sin x\,\dd x\,\dd y;
$$

bereken de binnenste integraal in gesloten vorm en laat $A \to
+\infty$ gaan (domineer de $y$-integraal) om $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x = \frac\pi2$ te krijgen.

**Oplossing van Oefening 11.2.**

Op $\intcc0A\times\intoo0{+\infty}$ is $\int_0^A\int_0^\infty\eu^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x =
\int_0^A\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \leq A < \infty$ (Tonelli op de absolute waarde): Fubini is dus van toepassing, en omdat $\int_0^\infty\eu^{-xy}\dd y = \frac1x$, is

$$
\int_0^A\frac{\sin x}x\dd x
= \int_0^\infty\Bigl(\int_0^A\eu^{-xy}\sin x\,\dd
x\Bigr)\dd y
= \int_0^\infty \frac{1 - \eu^{-Ay}(\cos A + y\sin A)}{1 +
y^2}\,\dd y
$$

(de binnenste integraal: $\operatorname{Im}\int_0^A\eu^{(\iu -
y)x}\dd x$, rechtstreeks berekend). Als $A \to \infty$ wordt de correctieterm begrensd door $\int_0^\infty\eu^{-Ay}\frac{1 + y}{1
+ y^2}\dd y \leq \frac32\int_0^\infty\eu^{-Ay}\dd y = \frac3{2A}
\to 0$; en de hoofdterm is $\int_0^\infty\frac{\dd y}{1+y^2} =
\frac\pi2$. Bijgevolg is $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x =
\frac\pi2$ — de integraal van Dirichlet via Fubini.

**Oefening 11.3 ★★.**

(a) Bewijs voor [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) $f \geq 0$ en eindige $\mu$ dat $\sum_{n\geq1}\mu(\{f \geq n\}) \leq \int f\,\dd\mu \leq \mu(X) +
\sum_{n\geq1}\mu(\{f\geq n\})$: [integreerbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) is de sommeerbaarheid van de staartmaten. (b) Leid af dat $f \in L^1(\mu)$ (met $\mu$ eindig) dan en slechts dan als $\sum_n\mu(\abs f \geq n) < \infty$.

**Oplossing van Oefening 11.3.**

(a) Laagjesformule ([Propositie 11.8](#prop-b3-product-layercake)): $\int
f\,\dd\mu = \int_0^\infty\mu(f > t)\,\dd t$, en $t \mapsto \mu(f
> t)$ is niet-stijgend. Op $[n-1, n]$ is $\mu(f \geq n) \leq
\mu(f > t) \leq \mu(f > n - 1) \leq \mu(f \geq n - 1)$; sommeren van de integralen over de eenheidsintervallen geeft

$$
\sum_{n\geq1}\mu(f \geq n) \leq \int f\,\dd\mu \leq
\sum_{n\geq1}\mu(f \geq n - 1) = \mu(f \geq 0) +
\sum_{n\geq1}\mu(f\geq n) \leq \mu(X) + \sum_{n\geq1}\mu(f\geq
n).
$$

(b) Pas (a) toe op $\abs f$: de eindigheid van de integraal en die van de reeks zijn gelijkwaardig (de extra $\mu(X)$ is eindig).

**Oefening 11.4 ★★.**

Toon voor $f(x, y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ op $\intoo01^2$ aan dat

$$
\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\dd y\,\dd x = \frac\pi4,
\qquad
\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\dd x\,\dd y = -\frac\pi4
$$

*(merk op dat $f = \partial_y\bigl(\frac{y}{x^2+y^2}\bigr)$)*, en ga rechtstreeks na dat $\int\!\int\abs f = +\infty$: de integreerbaarheidshypothese van Fubini is geen versiering.

**Oplossing van Oefening 11.4.**

Omdat $f(x,y) = \partial_y\bigl(\frac{y}{x^2+y^2}\bigr)$ voor $x
\ne 0$:

$$
\int_0^1 f(x, y)\,\dd y = \frac{1}{x^2 + 1}
\ \Longrightarrow\
\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,\dd y\,\dd x =
\int_0^1\frac{\dd x}{1 + x^2} = \frac\pi4 ;
$$

en wegens de antisymmetrie $f(y,x) = -f(x,y)$ geeft de andere volgorde $-\frac\pi4$. Absolute waarden: voor $0 < y < x$ is

$$
\int_0^x f(x,y)\,\dd y = \Bigl[\frac{y}{x^2 +
y^2}\Bigr]_0^x = \frac1{2x},
\quad\text{en daar is } f \geq 0 \text{, dus}\quad
\int_0^1\!\!\int_0^1\abs f \geq \int_0^1\frac{\dd x}{2x} =
+\infty .
$$

Geen tegenspraak met Fubini: haar hypothese $f \in L^1$ faalt, en de twee herhaalde integralen zijn eenvoudigweg twee verschillende getallen.

**Oefening 11.5 ★★.**

(a) Bereken $\mathbf 1_{\intcc01} * \mathbf 1_{\intcc01}$ expliciet (een tentfunctie), en de algemene vorm van $(\mathbf 1 *
\mathbf 1 * \mathbf 1)$. (b) Toon aan dat $\operatorname{supp}(f * g) \subseteq
\overline{\operatorname{supp}f + \operatorname{supp}g}$. (c) Toon aan dat $f * g$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is zodra $f \in L^1$ en $g$ begrensd en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is. *(Gedomineerde convergentie via de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van de translatie op de begrensde $g$.)*

**Oplossing van Oefening 11.5.**

(a) $(\mathbf 1_{\intcc01}*\mathbf 1_{\intcc01})(x) =
\lambda\bigl(\intcc01\cap\intcc{x-1}x\bigr)$: dus $0$ voor $x
\notin \intcc02$, $x$ voor $0 \leq x \leq 1$ en $2 - x$ voor $1
\leq x \leq 2$: de tent. Nogmaals convolueren geeft een $\mathcal C^1$-bult die stuksgewijs kwadratisch is op $\intcc03$ (de kwadratische B-spline): elke convolutie wint één graad gladheid — het gladstrijkprincipe achter de mollifiers van [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#ch-b3-lp).

(b) Ligt $x \notin \overline{\operatorname{supp}f +
\operatorname{supp}g}$, dan is er een bal rond $x$ die de somset mijdt; en voor $y \in \operatorname{supp}g$ is $x - y \notin
\operatorname{supp}f$, zodat de integrand identiek verdwijnt: $f
* g = 0$ nabij $x$.

(c) Voor $x_n \to x$: $(f*g)(x_n) = \int f(y)g(x_n - y)\,\dd y$; de integranden convergeren puntsgewijs ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $g$) en worden gedomineerd door $\norm g_\infty\,\abs f \in L^1$: de gedomineerde convergentie geeft $(f*g)(x_n) \to (f*g)(x)$.

**Oefening 11.6 ★★.**

(a) Toon aan dat de simplex $\Delta_d = \{x \in \intco0\infty^d :
x_1 + \dots + x_d \leq 1\}$ volume $\frac1{d!}$ heeft *(inductie en Fubini)*. (b) Vind $v_2 = \pi$ en $v_3 = \frac{4\pi}3$ terug uit [Stelling 11.13](#thm-b3-product-ballvolume), en toon aan dat $\lambda_d(\text{ellipsoïde met halve assen } a_i) = v_d\prod
a_i$.

**Oplossing van Oefening 11.6.**

(a) Met Fubini en inductie, snijdend langs de laatste coördinaat:

$$
\lambda_d(\Delta_d) = \int_0^1
\lambda_{d-1}\bigl((1 - t)\,\Delta_{d-1}\bigr)\,\dd t
= \lambda_{d-1}(\Delta_{d-1})\int_0^1(1 - t)^{d-1}\dd t
= \frac{\lambda_{d-1}(\Delta_{d-1})}{d},
$$

met de uitrekregel $\lambda_{d-1}(\rho A) =
\rho^{d-1}\lambda_{d-1}(A)$ ([Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange)); en met $\lambda_1(\Delta_1) = 1$: volume $\frac1{d!}$.

(b) $v_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi$; en $v_3 = \pi^{3/2}/\Gamma(\frac
52) = \pi^{3/2}/(\frac32\cdot\frac12 \sqrt\pi) = \frac{4\pi}3$. De ellipsoïde is $T(B(0,1))$ met $T = \operatorname{diag}(a_1, \dots,
a_d)$: [Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange) geeft volume $v_d\prod a_i$.

**Oefening 11.7 ★★.**

Voor welke $s > 0$ zijn de volgende integralen eindig? Verantwoord het met [poolcoördinaten](#ex-b3-product-polar):

$$
\int_{B(0,1)\subseteq\R^2}\frac{\dd x\,\dd y}{(x^2 +
y^2)^{s}},
\qquad
\int_{\R^2\setminus B(0,1)}\frac{\dd x\,\dd y}{(x^2 +
y^2)^{s}} .
$$

Veralgemeen naar $\R^d$ (de drempels $s < d/2$ en $s > d/2$).

**Oplossing van Oefening 11.7.**

In $\R^2$ met [poolcoördinaten](#ex-b3-product-polar) ([Voorbeeld 11.12](#ex-b3-product-polar)):

$$
\int_{B(0,1)}\frac{\dd x\dd y}{(x^2+y^2)^s}
= 2\pi\int_0^1 r^{1 - 2s}\,\dd r,
\qquad
\int_{\R^2\setminus B(0,1)} = 2\pi\int_1^\infty r^{1-2s}\dd r:
$$

eindig precies wanneer $1 - 2s > -1$ (dus $s < 1$), respectievelijk $1 - 2s < -1$ (dus $s > 1$). In $\R^d$ vermijd je bolcoördinaten met de laagjesformule: $\lambda_d(\{\norm x^{-2s} >
t\}\cap B(0,1)) = \lambda_d(B(0, \min(1, t^{-1/2s}))) =
v_d\min(1, t^{-d/2s})$, en $\int_0^\infty v_d\min(1,
t^{-d/(2s)})\dd t < \infty$ precies wanneer $\frac d{2s} > 1$, dat wil zeggen $s < \frac d2$; en de uitwendige integraal convergeert precies wanneer $s > \frac d2$ (dezelfde berekening op het complementaire gebied).

**Oefening 11.8 ★★★.**

(Bèta en gamma) Zij voor $p, q > 0$ de waarde $B(p, q) =
\int_0^1t^{p-1}(1 - t)^{q-1}\dd t$. Vertrek van $\Gamma(p)\Gamma(q)$ als dubbele integraal, substitueer $(x, y) =
(uv,\, u(1 - v))$ (een diffeomorfisme van het open kwadrant op $\intoo0\infty\times\intoo01$; bereken de jacobiaan $= u$) en besluit

$$
B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)} .
$$

Leid af dat $\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,
\dd\theta = \frac12B(p,q)$ en bepaal de waarde van de wallisintegralen $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n$.

**Oplossing van Oefening 11.8.**

Met Tonelli (positieve integranden) en de variabelensubstitutie $(x, y) = \Phi(u, v) = (uv,\ u(1-v))$, een $\mathcal C^1$-diffeomorfisme van $\intoo0\infty\times\intoo01$ op het open kwadrant met

$$
\det D\Phi = \det\begin{pmatrix} v & u\\ 1 - v & -u
\end{pmatrix} = -uv - u(1 - v) = -u,
\qquad \abs{\det} = u :
$$

$$
\Gamma(p)\Gamma(q) =
\iint x^{p-1}y^{q-1}\eu^{-x-y}\dd x\,\dd y
= \iint (uv)^{p-1}\bigl(u(1{-}v)\bigr)^{q-1}\eu^{-u}\,u\,
\dd u\,\dd v
= \Gamma(p + q)\,B(p, q).
$$

Substitutie $t = \sin^2\theta$ in $B(p,q)$ geeft $2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,\dd\theta =
B(p, q)$. Wallis: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta =
\frac12B\bigl(\frac{n + 1}2, \frac12\bigr) =
\frac{\Gamma(\frac{n+1}2)\sqrt\pi} {2\,\Gamma(\frac n2 + 1)}$ — bijvoorbeeld $W_{2n} = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ met $\Gamma(n + \frac12) = \frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$.

**Oefening 11.9 ★★.**

(Overdrachtsformule) Zij $T \colon (X, \mathcal A, \mu) \to (Y,
\mathcal B)$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) en $T_*\mu(B) = \mu(T^{-1}(B))$ de *beeldmaat*. Toon aan dat voor elke [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) $g \geq 0$ op $Y$ geldt

$$
\int_Y g\,\dd(T_*\mu) = \int_X g\circ T\,\dd\mu
$$

(de standaardmachine). Vergelijk dat vervolgens met [Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange): welke extra informatie draagt de [formule voor variabelensubstitutie](#thm-b3-product-changeofvar) die de abstracte overdrachtsformule niet draagt? *(De overdrachtsformule identificeert $T_*\mu$ nooit; de substitutiestelling berekent $T_*\lambda_d$ expliciet als een [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) met [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma).)*

**Oplossing van Oefening 11.9.**

Indicatoren: $\int\mathbf 1_B\,\dd(T_*\mu) = T_*\mu(B) =
\mu(T^{-1}B) = \int\mathbf 1_B\circ T\,\dd\mu$; de lineariteit breidt dat uit tot elementaire $g$ en de monotone convergentie tot $g \geq 0$ — de overdrachtsformule. Ze is puur formeel: ze herschrijft integralen tegen $T_*\mu$ maar zegt niets over *wat* $T_*\mu$ is. De inhoud van [Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange) en [Stelling 11.11](#thm-b3-product-changeofvar) is juist de identificatie

$$
\Phi_*\bigl(\lambda_d\restriction_U\bigr) =
\abs{\det D\Phi^{-1}}\,\lambda_d\restriction_V
\quad\text{(een maat met dichtheid)},
$$

dat wil zeggen een berekening van de beeldmaat van de [lebesguemaat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-lebesgueouter) — met als analytische inbreng de differentiaalmeetkunde van $\Phi$, niet het maattheoretische formalisme.

**Oefening 11.10 ★★★.**

(Gaussische momenten) Bereken met [poolcoördinaten](#ex-b3-product-polar) en Fubini voor het standaard gaussische gewicht op $\R^d$:

$$
\int_{\R^d}\norm x_2^2\;\eu^{-\norm x_2^2}\,\dd x
\qquad\text{en}\qquad
\int_{\R^d}x_1^2\,\eu^{-\norm x^2_2}\,\dd x,
$$

controleer de consistentie ($\norm x^2 = \sum x_i^2$), en leid het tweede moment van de [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $\pi^{-d/2}\eu^{-\norm x^2}\dd x$ af.

**Oplossing van Oefening 11.10.**

Volgens Tonelli valt de gaussische functie uiteen, dus met $G_1 =
\int_\R\eu^{-s^2}\dd s = \sqrt\pi$ en $\int_\R s^2\eu^{-s^2}\dd s
= \frac{\sqrt\pi}2$ (partiële integratie):

$$
\int_{\R^d}x_1^2\,\eu^{-\norm x^2}\dd x =
\frac{\sqrt\pi}2\;\pi^{(d-1)/2} = \frac{\pi^{d/2}}2,
\qquad
\int_{\R^d}\norm x^2\eu^{-\norm x^2}\dd x =
d\cdot\frac{\pi^{d/2}}2
$$

(wegens de symmetrie draagt $\norm x^2 = \sum_ix_i^2$ $d$ gelijke termen bij — de consistentiecontrole). Voor de genormaliseerde [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $\pi^{-d/2}\eu^{-\norm x^2}\dd x$ is het tweede moment dus $\frac d2$.

**Oefening 11.11 ★★.**

(Grafiek en ondergrafiek) Zij $f \colon \R^d \to \intco0\infty$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable). (a) Toon aan dat de *ondergrafiek* $H = \{(x, y) \in
\R^d\times\R : 0 < y < f(x)\}$ [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) is in $\R^{d+1}$ met

$$
\lambda_{d+1}(H) = \int_{\R^d}f\,\dd\lambda_d :
$$

“de integraal is de oppervlakte onder de grafiek”, eindelijk een stelling. *(Secties; Tonelli.)* (b) Toon aan dat de grafiek $\{(x, f(x)) : x \in \R^d\}$ een nulverzameling van $\R^{d+1}$ is. (c) Leid een bewijs van twee regels af dat de sfeer $S^{d-1}$ lebesguenul is in $\R^d$.

**Oplossing van Oefening 11.11.**

(a) $H = \Phi^{-1}(\intoo0\infty)$ voor $\Phi(x, y) = f(x) - y$, gesneden met $\{y > 0\}$: [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable), want $(x, y) \mapsto f(x)$ en $(x,y)\mapsto y$ zijn [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) op het product (samenstellingen met de projecties). De $x$-sectie van $H$ is $\intoo0{f(x)}$, van [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $f(x)$: Tonelli integreert de secties,

$$
\lambda_{d+1}(H) = \int_{\R^d}\lambda_1\bigl(\intoo0{f(x)}
\bigr)\,\dd x = \int_{\R^d}f\,\dd\lambda_d .
$$

(b) De grafiek is $\{(x,y) : y \geq f(x)\} \cap \{y \leq f(x)\}$, [meetbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable); haar $x$-secties zijn singletons, van [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $0$: Tonelli geeft $\lambda_{d+1}(\text{grafiek}) = \int 0 = 0$.

(c) $S^{d-1}$ is de vereniging van de twee grafieken $y = \pm\sqrt{1
- \abs{x'}^2}$ over de eenheidsbal van $\R^{d-1}$ (splits de laatste coördinaat af): een vereniging van twee nulverzamelingen volgens (b), dus nul.

**Oefening 11.12 ★★.**

(Een beroemde dubbele integraal) Bewijs met de meetkundige reeks en Tonelli op $\intoo01^2$ dat

$$
\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{\dd x\,\dd y}{1 - xy}
= \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \zeta(2),
\qquad
\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{\dd x\,\dd y}{1 + xy}
= \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\zeta(2)}2 .
$$

(De tweede reeksidentiteit: splits de even en de oneven indices.) Met $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ([Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#ch-b3-spectral)) leveren twee onschuldig ogende integralen $\frac{\pi^2}6$ en $\frac{\pi^2}{12}$ op; waar precies doet de positiviteitshypothese van Tonelli haar werk?

**Oplossing van Oefening 11.12.**

Op $\intoo01^2$ is $\frac1{1 - xy} = \sum_{n\geq0}(xy)^n$ met niet-negatieve termen: Tonelli staat term voor term integreren toe,

$$
\iint\frac{\dd x\,\dd y}{1 - xy}
= \sum_{n\geq0}\Bigl(\int_0^1x^n\dd x\Bigr)
\Bigl(\int_0^1y^n\dd y\Bigr)
= \sum_{n\geq0}\frac1{(n+1)^2} = \zeta(2) .
$$

In het alternerende geval is $\frac1{1 + xy} =
\sum_n(-1)^n(xy)^n$ geen positieve reeks; maar de integraal van de *absolute* reeks is $\zeta(2) < \infty$, dus is Fubini (met de nu vastgestelde [integreerbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1)) van toepassing: $\iint\frac{\dd x\dd y}{1 + xy} = \sum_n\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}$. De reeksidentiteit:

$$
\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}
= \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} - 2\sum_{k\geq1}\frac1{(2k)^2}
= \zeta(2) - \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\zeta(2)}2 .
$$

Met $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ([Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#pb-b3-spectral-1)) zijn de integralen $\frac{\pi^2}6$ en $\frac{\pi^2}{12}$. In de eerste berekening was de positiviteit van Tonelli alles — geen integreerbaarheidscontrole nodig vóór het verwisselen; in de tweede is de positiviteit van de absolute reeks juist wat de [integreerbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) *certificeert*, zodat Fubini op de tekenwisselende reeks kan lopen.

## 11.5 Probleem: de formule van Stirling

**Probleem 11.1.**

Weekendopgave — $n! \sim
\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n$, met gedomineerde convergentie

De formule van Stirling beheerst elke asymptotische telling in dit boek — balvolumes, binomiaalcoëfficiënten, de lokale vorm van de centrale limietstelling. We bewijzen haar uit de $\Gamma$-integraal ([Voorbeeld 10.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma)) met de *methode van Laplace*, in haar netste vorm met gedomineerde convergentie, en oogsten daarna de dividenden.

**Deel I — De formule.** Voor $t > 0$ is $\Gamma(t + 1) = \int_0^\infty x^{t}\eu^{-x}\dd x$.

1. Substitueer $x = t + \sqrt t\,u$ en toon aan dat $$\frac{\Gamma(t+1)}{t^{t}\eu^{-t}\sqrt t}  = \int_{-\sqrt t}^{+\infty}  \exp\Bigl(t\ln\Bigl(1 + \frac u{\sqrt  t}\Bigr) - \sqrt t\,u\Bigr)\,\dd u  \;=\;\int_\R g_t(u)\,\dd u,$$ met $g_t(u) = \exp\bigl(t\ln(1 + u/\sqrt t) - \sqrt  t\,u\bigr)\mathbf 1_{u > -\sqrt t}$.
2. Toon de puntsgewijze limiet aan: voor elke vaste $u$ is $g_t(u) \to \eu^{-u^2/2}$ als $t \to +\infty$ *(ontwikkel $\ln(1 + h)$ tot de tweede orde)* .
3. Dominatie. Zij $\varphi(h) = \ln(1 + h) - h$, zodat $g_t(u) = \exp\bigl(t\,\varphi(u/\sqrt t)\bigr)$ voor $u >  -\sqrt t$. Bewijs de twee grenzen $$\varphi(h) \leq -\frac{h^2}4 \quad (-1 < h \leq 1),  \qquad  \varphi(h) \leq -c\,h \quad (h \geq 1),\ \ c = 1 -  \ln 2 > 0$$ *(bestudeer $\varphi(h) + \frac{h^2}4$ en $\varphi(h)  + ch$: bereken de afgeleiden en controleer het teken op elk bereik)*. Leid daaruit af, voor $t \geq 1$: $$g_t(u) \leq \eu^{-u^2/4}\ \ (\abs u \leq \sqrt t),  \qquad  g_t(u) \leq \eu^{-cu}\ \ (u \geq \sqrt t),$$ zodat $g_t(u) \leq \eu^{-u^2/4} + \eu^{-cu}\,\mathbf 1_{u  > 0}$: een [integreerbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) dominant die niet van $t \geq 1$ afhangt.
4. Besluit met de stelling van de gedomineerde convergentie en de gaussische integraal ([Voorbeeld 11.12](#ex-b3-product-polar)): $$\Gamma(t + 1) \;\sim\;  \sqrt{2\pi t}\;\Bigl(\frac t\eu\Bigr)^{t}  \qquad (t \to +\infty),$$ en in het bijzonder $n! \sim \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n$.

**Deel II — Dividenden.**

5. (Wallis) Uit [Oefening 11.8](#exo-b3-product-8) komen formules van het type $W_{2n} = \frac\pi2\binom{2n}n4^{-n}$ : leid $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ uit Stirling af, en controleer het tegen de recursie $W_{n} =  \frac{n-1}nW_{n-2}$ .
6. (Balvolumes storten in) Toon aan dat $$v_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac d2 + 1)}  \;\sim\; \frac{1}{\sqrt{\pi d}}  \Bigl(\frac{2\pi\eu}{d}\Bigr)^{d/2},$$ zodat $v_d \to 0$ sneller dan elke meetkundige rij; en zoek de dimensie die $v_d$ maximaliseert (numeriek: $d =  5$).
7. (Concentratie van de binomiale wet — een voorproefje van [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling#ch-b3-clt)) Toon met Stirling de lokale schatting aan, voor $k = n/2 + s\sqrt n/2$ met $s$ vast en $n$ even: $$2^{-n}\binom{n}{k} \;\sim\;  \sqrt{\frac{2}{\pi n}}\;\eu^{-s^2/2},$$ het discrete gaussische profiel: de Moivre–Laplace in de kiem.
8. Waar precies gebruikte het bewijs van Deel I: (i) de monotone of de gedomineerde convergentie; (ii) de gaussische integraal; (iii) de invariantie-eigenschappen van de [lebesguemaat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-lebesgueouter) ? Telkens één zin.

**Deel III — De foutterm: Stirling met marges.** Stel $d_n = \ln n! - \bigl(n + \tfrac12\bigr)\ln n + n -
\ln\sqrt{2\pi}$, zodat Deel I zegt dat $d_n \to 0$.

9. Toon aan dat $d_n - d_{n+1} = \bigl(n +  \tfrac12\bigr)\ln\bigl(1 + \tfrac1n\bigr) - 1$ .
10. Ga met $t = \frac1{2n+1}$ na dat $\frac{n+1}n =  \frac{1+t}{1-t}$, ontwikkel: $$d_n - d_{n+1} = \frac{t^2}3 + \frac{t^4}5 +  \frac{t^6}7 + \cdots,$$ en leid de tweezijdige grenzen af $$\frac1{3(2n+1)^2} \;<\; d_n - d_{n+1} \;<\;  \frac1{12n} - \frac1{12(n+1)} .$$
11. Telescopeer (met $d_m \to 0$) en ga de aangename [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) identiteit $\frac1{3(2m+1)^2} >  \frac1{12m+1} - \frac1{12(m+1)+1}$ voor $m \geq 1$ na, om de klassieke insluiting te verkrijgen: $$\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac n\eu\Bigr)^n  \eu^{1/(12n+1)} \;<\; n! \;<\;  \sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac n\eu\Bigr)^n\eu^{1/(12n)} .$$
12. Twee gevolgen: (a) de relatieve fout van de formule van Stirling is $< 10^{-6}$ zodra $n \geq 83\,334$ ; (b) schat $100!$ met de hand tot op vier significante cijfers uit de insluiting ( $100! \approx 9.3326\cdot 10^{157}$ ), en sta even stil bij de nauwkeurigheid van een asymptotische formule bij een zeer eindige $n$ .

**Deel IV — De route van Wallis: Stirling zonder de gaussische integraal.** Historisch kwam de constante $\sqrt{2\pi}$ van Wallis en niet van Gauss; dit deel bewijst Stirling opnieuw, onafhankelijk van de Delen I–II, en bewijst daarmee ook de gaussische integraal opnieuw. Zij $W_n =
\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\, \dd\theta$.

13. Stel $W_n = \frac{n-1}nW_{n-2}$ vast (partiële integratie), evenals de gesloten vormen $$W_{2n} = \frac\pi2\binom{2n}n4^{-n}, \qquad  W_{2n+1} = \frac{4^n}{(2n+1)\binom{2n}n},$$ en de identiteit $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$.
14. Leid uit de monotonie van $(W_n)$ af dat $W_{2n}/W_{2n+1} \to 1$, en daarna $$W_{2n} \sim \frac12\sqrt{\frac\pi n}  \qquad\text{en}\qquad  \binom{2n}n4^{-n}\sqrt n \longrightarrow  \frac1{\sqrt\pi} :$$ de stelling van Wallis, verkregen zonder Stirling.
15. Toon met uitsluitend het telescoperen uit Deel III (zonder de waarde van de constante) aan dat $e_n = \ln n! - (n +  \frac12)\ln n + n$ naar een zekere limiet $\ell$ convergeert; gelijkwaardig: $n! \sim K\,n^{n+1/2}\eu^{-n}$ met $K = \eu^\ell > 0$ nog onbepaald.
16. Vul die asymptotiek in $\binom{2n}n4^{-n}\sqrt n$ in en bepaal met vraag 14 de enige mogelijke waarde: $K =  \sqrt{2\pi}$ . Stel de logica samen: de Delen III–IV geven samen een [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) tweede bewijs van Stirling — en daarmee, door de substitutie van Deel I achterstevoren te lopen, een onafhankelijke berekening van $\int_\R\eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ . Twee pijlers, die elkaar allebei kunnen dragen.

**Deel V — Laatste dividenden.**

17. (Het volledige lokale profiel) Toon voor gehele $\abs j  \leq K\sqrt n$ (met $K$ vast) aan dat $$\frac{\binom{2n}{n+j}}{\binom{2n}{n}} =  \prod_{i=1}^{\abs j}\frac{n - i + 1}{n + i}  = \exp\Bigl(-\frac{j^2}n +  O\Bigl(\frac1{\sqrt n}\Bigr)\Bigr),$$ uniform in $j$ *(neem logaritmen en gebruik $\ln  \frac{1-x}{1+y} = -(x + y) + O(x^2 + y^2)$)*. Dat is de tweezijdige versie van vraag 7 en de precieze schatting die in de weekendopgave van [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling#ch-b3-clt) wordt aangehaald.
18. (Een voorproefje van Poisson) Toon met Stirling aan dat $\eu^{-n}\dfrac{n^n}{n!} \sim \dfrac1{\sqrt{2\pi n}}$ : de modus van een poissonwet met groot gemiddelde $n$ draagt massa $\approx (2\pi n)^{-1/2}$ , precies zoals de centrale limietstelling zal voorspellen.
19. (Verhoudingen van gammawaarden) Bewijs voor $a \in  \intoo01$ dat $\dfrac{\Gamma(n + a)}{\Gamma(n)\,n^a} \to  1$ , met de hellingsgrenzen uit de logaritmische convexiteit van [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1) (vraag 14 daar), en breid uit tot elke reële $a > 0$ met de functionaalvergelijking. (Dat is wat “ $\Gamma(t+1) \sim$ Stirling” tussen de gehele getallen betekent.)
20. (Ballen, nogmaals) Uit $v_d = \pi^{d/2}/\Gamma(\frac d2 +  1)$: tabelleer $v_1, \dots, v_7$ exact, ga de unimodaliteit na via $\frac{v_d}{v_{d-2}} = \frac{2\pi}d$ (stijgend zolang $d < 2\pi$, daarna dalend), en bewijs de treffende genererende identiteit $$\sum_{k\geq0}v_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} :$$ alle volumes van eenheidsballen in even dimensie, in één exponentiële functie verpakt.
21. (Entropie-asymptotiek) Leid voor vaste $\alpha \in  \intoo01$ met $\alpha n \in \N$ uit Stirling af dat $$\binom{n}{\alpha n} \;\sim\;  \frac{\eu^{n\,H(\alpha)}}  {\sqrt{2\pi\,\alpha(1-\alpha)\,n}},  \qquad  H(\alpha) = -\alpha\ln\alpha -  (1-\alpha)\ln(1-\alpha) :$$ de exponentiële groeisnelheid van binomiaalcoëfficiënten is de *entropie* $H$ — ga na dat $\alpha =  \frac12$ vraag 5 teruggeeft, en dat $H(\alpha) < \ln2$ voor $\alpha \neq \frac12$ (zodat binomiaalcoëfficiënten buiten het midden exponentieel verwaarloosbaar zijn ten opzichte van $2^n$).
22. (Oppervlakten) De oppervlakte van de eenheidssfeer $S^{d-1}$ is $s_{d-1} = d\,v_d$ (bewezen als [Oefening 21.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/21-differentiaalvormen-en-de-stelling-van-stokes#exo-b3-forms-6) in het hoofdstuk over differentiaalvormen; neem het hier als definitie). Tabelleer $s_0, \dots, s_6$ , lokaliseer de grootste ( $d -  1 = 6$ , $s_6 = \frac{16\pi^3}{15} \approx 33.07$ ), en toon aan dat ook $s_{d-1} \to 0$ supermeetkundig — naar elke euclidische maatstaf zijn hoogdimensionale sferen verdwijnend klein.
23. (De eerste correctieterm) Leid uit de insluiting van vraag 11 af dat $d_n = \frac1{12n} + O\bigl(\frac1{n^2}\bigr)$, en dus $$n! = \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac  n\eu\Bigr)^{n}\Bigl(1 + \frac1{12n} +  O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)\Bigr).$$ Ga het na bij $n = 10$: de kale formule geeft $3\,598\,696$ (relatieve fout $8.3\cdot10^{-3}$), de gecorrigeerde $3\,628\,685$ tegenover $10! =  3\,628\,800$ (relatieve fout $3.2\cdot10^{-5}$) — één term van de reeks koopt tweeënhalf cijfer.
24. (De mediaan van $\Gamma$) Toon aan dat $$\frac{1}{\Gamma(t+1)}  \int_0^{t} x^{t}\eu^{-x}\,\dd x  \;\longrightarrow\; \frac12  \qquad (t \to +\infty) :$$ asymptotisch ligt precies de helft van de massa van de $\Gamma$-integrand onder haar modus $x = t$. *(Voer de substitutie van Deel I uit op de afgeknotte integraal; de dominant van vraag 3 ligt al klaar.)*
25. (Entropie, niet-asymptotisch) Bewijs voor $\alpha \in  \intoc0{\frac12}$ de grens, geldig voor *elke* $n  \geq 1$: $$\sum_{k=0}^{\lfloor\alpha n\rfloor}\binom nk  \;\leq\; \eu^{n\,H(\alpha)} ,$$ door de som met $\sum_k\binom nk\lambda^{k-\alpha n}$ te vergelijken voor de kanteling $\lambda =  \frac{\alpha}{1-\alpha} \leq 1$. Ga na dat die keuze van $\lambda$ optimaal is, en breng het in overeenstemming met vraag 21: de exponentiële snelheid $H(\alpha)$ van de asymptotische uitspraak wordt bereikt door een ongelijkheid van één regel, geheel zonder asymptotiek.

**Oplossing van Probleem 11.1.**

**1.** Met $x = t + \sqrt t\,u$ ($\dd x = \sqrt t\,\dd u$; $x$ doorloopt $\intoo0\infty$ terwijl $u$ het interval $\intoo{-\sqrt t}\infty$ doorloopt):

$$
\Gamma(t{+}1) = \int_0^\infty x^t\eu^{-x}\dd x
= t^t\eu^{-t}\sqrt t\int_{-\sqrt t}^{\infty}
\exp\Bigl(t\ln\Bigl(1 + \frac u{\sqrt t}\Bigr) - \sqrt
t\,u\Bigr)\dd u,
$$

want $x^t = t^t\exp\bigl(t\ln(1 + u/\sqrt t)\bigr)$ en $\eu^{-x} =
\eu^{-t}\eu^{-\sqrt tu}$.

**2.** Voor vaste $u$ en $t \to \infty$: $t\ln(1 + u/\sqrt t)
- \sqrt tu = t\bigl(\frac u{\sqrt t} - \frac{u^2}{2t} +
o(\frac1t)\bigr) - \sqrt tu = -\frac{u^2}2 + o(1)$: dus $g_t(u)
\to \eu^{-u^2/2}$.

**3.** Stel $\psi_1(h) = \varphi(h) + \frac{h^2}4$ op $\intoc{-1}1$: dan is $\psi_1(0) = 0$ en $\psi_1'(h) =
\frac1{1+h} - 1 + \frac h2 = \frac{h(h-1)}{2(1+h)}$, dat $\geq 0$ is op $\intoc{-1}0$ en $\leq 0$ op $\intcc01$: dus $\psi_1 \leq
0$, oftewel $\varphi(h) \leq -h^2/4$ daar. Stel $\psi_2(h) =
\varphi(h) + ch$ op $\intco1\infty$ met $c = 1 - \ln2$: dan is $\psi_2(1) = \ln2 - 1 + c = 0$ en $\psi_2'(h) = c - \frac h{1+h}
\leq c - \frac12 < 0$: dus $\varphi(h) \leq -ch$ voor $h \geq 1$. Nu voor $t \geq 1$: is $\abs u \leq \sqrt t$, dan is $g_t(u) =
\eu^{t\varphi(u/\sqrt t)} \leq \eu^{-t(u/\sqrt t)^2/4} =
\eu^{-u^2/4}$; en is $u \geq \sqrt t$, dan is $t\,\varphi(u/\sqrt
t) \leq -ct\cdot\frac u{\sqrt t} = -c\sqrt t\,u \leq -cu$ (want $t
\geq 1$), dus $g_t(u) \leq \eu^{-cu}$. Bijgevolg is $g_t \leq
\eu^{-u^2/4} + \eu^{-cu}\mathbf 1_{u>0}$, [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) en onafhankelijk van $t \geq 1$.

**4.** Gedomineerde convergentie: $\int_\R g_t(u)\dd u \to
\int_\R\eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ ([Voorbeeld 11.12](#ex-b3-product-polar) plus het schalen $u\mapsto\sqrt2\,u$). Met vraag 1:

$$
\Gamma(t + 1) \sim \sqrt{2\pi t}\;\Bigl(\frac
t\eu\Bigr)^t,\qquad
n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac n\eu\Bigr)^n .
$$

**5.** Uit [Oefening 11.8](#exo-b3-product-8) is $W_{2n} =
\frac\pi2\,\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} = \frac\pi2\,4^{-n}\binom{2n}n$. Stirling geeft

$$
\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
\sim \frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n/\eu)^{2n}}
{2\pi n\,(n/\eu)^{2n}} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} .
$$

Dan is $W_{2n} \sim \frac12\sqrt{\pi/n}$, in overeenstemming met de recursie $W_n = \frac{n-1}nW_{n-2}$ (die $W_n \sim W_{n-2}$ afdwingt en, samen met $W_nW_{n-1}\cdot n = \frac\pi2$ — de klassieke betrekking van Wallis — geeft $W_n \sim
\sqrt{\pi/(2n)}$; de twee asymptotieken stroken).

**6.** $\Gamma(\frac d2 + 1) \sim \sqrt{2\pi\frac
d2}\,(\frac d{2\eu})^{d/2}$, dus

$$
v_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac d2 + 1)}
\sim \frac{1}{\sqrt{\pi d}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}
d\Bigr)^{d/2} \longrightarrow 0
$$

supermeetkundig (voor $d > 2\pi\eu \approx 17$ is elke factor $<
1$ en krimpend). Numeriek is $v_1 = 2$, $v_2 \approx 3.14$, $v_3
\approx 4.19$, $v_4 \approx 4.93$, $v_5 \approx 5.26$ en $v_6
\approx 5.17$: het maximum ligt bij $d = 5$.

**7.** Met $k = \frac n2 + \frac{s\sqrt n}2$ (geheel, $n$ even, $s$ vast): neem logaritmen in $2^{-n}\binom nk =
2^{-n}\frac{n!}{k!(n-k)!}$ en pas Stirling toe op de drie faculteiten. Met $k = \frac n2(1 + \varepsilon)$ en $n - k =
\frac n2(1 - \varepsilon)$, waarbij $\varepsilon = s/\sqrt n$:

$$
\ln\Bigl(2^{-n}\binom nk\Bigr)
= -\frac n2\bigl[(1{+}\varepsilon)\ln(1{+}\varepsilon) +
(1{-}\varepsilon)\ln(1{-}\varepsilon)\bigr]
+ \frac12\ln\frac{2}{\pi n(1 - \varepsilon^2)} + o(1),
$$

en de uitdrukking tussen haken is $\varepsilon^2 +
O(\varepsilon^4) = \frac{s^2}n + O(n^{-2})$: het geheel gaat op $o(1)$ na naar $-\frac{s^2}2 + \frac12\ln\frac2{\pi n}$, dat wil zeggen

$$
2^{-n}\binom nk \sim \sqrt{\frac{2}{\pi
n}}\;\eu^{-s^2/2} :
$$

het gaussische profiel van het muntenwerpen, gekwantificeerd — de lokale vorm van de Moivre–Laplace, in [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling#ch-b3-clt) globaal te maken.

**8.** (i) De gedomineerde convergentie zet de puntsgewijze limiet van vraag 2 om in convergentie van de integralen, met de dominant van vraag 3. (ii) De gaussische integraal bepaalt de limiet $\int\eu^{-u^2/2} = \sqrt{2\pi}$ — de constante $\sqrt{2\pi}$ van Stirling *is* de gaussische integraal. (iii) De substitutie $x = t + \sqrt tu$ is een affiene variabelensubstitutie: de translatie-invariantie en de schaalregel van de [lebesguemaat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-lebesgueouter) ([Stelling 11.10](#thm-b3-product-linearchange) in dimensie $1$).

**9.** Werk beide termen uit:

$$
d_n - d_{n+1} = \ln\frac{n!}{(n+1)!} + \Bigl(n +
\frac32\Bigr)\ln(n+1) - \Bigl(n + \frac12\Bigr)\ln n - 1
= \Bigl(n + \frac12\Bigr)\ln\frac{n+1}n - 1,
$$

waarbij de termen $-\ln(n+1)$ en $(n + \frac32)\ln(n+1)$ samen $(n
+ \frac12)\ln(n+1)$ vormen.

**10.** Voor $t = \frac1{2n+1}$ is $\frac{1+t}{1-t} =
\frac{2n+2}{2n} = \frac{n+1}n$ en $n + \frac12 = \frac1{2t}$; de oneven reeks $\ln\frac{1+t}{1-t} =
2\sum_{k\geq0}\frac{t^{2k+1}}{2k+1}$ geeft

$$
\Bigl(n + \frac12\Bigr)\ln\frac{n+1}n
= \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{2k+1}
= 1 + \frac{t^2}3 + \frac{t^4}5 + \cdots
$$

Trek $1$ af. Ondergrens: de eerste term alleen, $\frac{t^2}3 =
\frac1{3(2n+1)^2}$. Bovengrens: verlaag alle noemers tot $3$ en sommeer de meetkundige reeks: $\frac{t^2}{3(1 - t^2)} =
\frac1{3((2n+1)^2 - 1)} = \frac1{12n(n+1)} = \frac1{12n} -
\frac1{12(n+1)}$.

**11.** De bovengrens van $n$ tot $\infty$ sommeren (met $d_m \to 0$) geeft $d_n < \frac1{12n}$. Voor de ondergrens is $\frac1{12m+1} - \frac1{12(m+1)+1} = \frac{12}{(12m+1)(12m+13)}$, en

$$
\begin{align*}
\frac1{3(2m+1)^2} > \frac{12}{(12m+1)(12m+13)}
&\iff (12m+1)(12m+13) > 36(2m+1)^2 \\
&\iff 168m + 13 > 144m + 36,
\end{align*}
$$

waar voor $m \geq 1$. Sommeren van die telescoperende minorant geeft $d_n > \frac1{12n+1}$. Exponentiëren levert de klassieke insluiting van $n!$.

**12.** (a) De relatieve fout is $\eu^{d_n} - 1 <
\eu^{1/(12n)} - 1 < \frac{1.1}{12n}$ voor grote $n$; dus $<
10^{-6}$ zodra $12n \geq 1.1\cdot10^6$, en de vermelde $n \geq
83\,334$ volstaat (want $\frac1{12n} \leq 10^{-6}$ impliceert het al). (b) $\log_{10}(100!) = \frac12\log_{10}(200\pi) + 200 -
100\log_{10}\eu + d_{100}\log_{10}\eu = 1.39906 + 200 - 43.42945 +
0.00036 \approx 157.96997$, dus $100! \approx 10^{0.96997} \cdot
10^{157} = 9.333\cdot10^{157}$; en het gegarandeerde venster $(\eu^{1/1201}, \eu^{1/1200})$ heeft in relatieve termen een breedte onder $10^{-6}$ — een “asymptotische” formule die bij $n = 100$ een precisie-instrument is.

**13.** Schrijf $\sin^n = \sin^{n-2} - \sin^{n-2}\cos^2$ en integreer de tweede term partieel ($u = \cos\theta$, $\dd v =
\sin^{n-2}\cos\theta\,\dd\theta$, $v = \frac{\sin^{n-1}}{n-1}$):

$$
\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}\cos^2 =
\Bigl[\cos\theta\,\frac{\sin^{n-1}\theta}{n-1}\Bigr]_0^{\pi/2}
+ \frac1{n-1}\int_0^{\pi/2}\sin^n = \frac{W_n}{n-1} .
$$

Bijgevolg is $W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1}$, dat wil zeggen $W_n = \frac{n-1}nW_{n-2}$. Vanaf $W_0 = \frac\pi2$ en $W_1 = 1$:

$$
W_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac\pi2
= \frac\pi2\binom{2n}n4^{-n},
\qquad
W_{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
= \frac{4^n}{(2n+1)\binom{2n}n},
$$

waarbij de dubbelfaculteiten worden omgezet met $(2n)!! = 2^nn!$ en $(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^nn!}$. Ten slotte is $nW_nW_{n-1} =
(n-1)W_{n-1}W_{n-2}$ wegens de recursie: constant, gelijk aan $1\cdot W_1W_0 = \frac\pi2$.

**14.** $W_{2n+1} \leq W_{2n} \leq W_{2n-1}$ (puntsgewijze monotonie van $\sin^n$) en $\frac{W_{2n-1}}{W_{2n+1}} =
\frac{2n+1}{2n} \to 1$ klemmen $\frac{W_{2n}}{W_{2n+1}} \to 1$ in. Samen met $W_{2n}W_{2n+1} = \frac{\pi}{2(2n+1)}$ (vraag 13): $W_{2n}^2 \sim \frac\pi{4n}$, dus $W_{2n} \sim
\frac12\sqrt{\frac\pi n}$ en $\binom{2n}n4^{-n} = \frac2\pi W_{2n}
\sim \frac1{\sqrt{\pi n}}$.

**15.** De vragen 9–10 gebruikten de waarde van de constante nooit: met $e_n = \ln n! - (n+\frac12)\ln n + n$ liggen de verschillen $e_n - e_{n+1}$ in $\bigl(0, \frac1{12n} -
\frac1{12(n+1)}\bigr)$, zodat $(e_n)$ daalt en $(e_n -
\frac1{12n})$ stijgt: aanpalende rijen, met een gemeenschappelijke limiet $\ell$. Bijgevolg is $n! \sim K n^{n+1/2}\eu^{-n}$ met $K =
\eu^\ell$.

**16.** Vul de Stirlingformule met onbekende constante in in de centrale binomiaalcoëfficiënt:

$$
\binom{2n}n4^{-n}\sqrt n \sim
\frac{K\,(2n)^{2n+1/2}\eu^{-2n}}{\bigl(K\,n^{n+1/2}
\eu^{-n}\bigr)^2}\,4^{-n}\sqrt n
= \frac{2^{2n}\sqrt{2}\,K\,n^{2n+1/2}}{K^2\,n^{2n+1}}
\,4^{-n}\sqrt n = \frac{\sqrt2}{K},
$$

en vraag 14 dwingt $\frac{\sqrt2}K = \frac1{\sqrt\pi}$ af: dus $K
= \sqrt{2\pi}$. De Delen III–IV bewijzen Stirling dus van nul af opnieuw; en die in de identiteit van Deel I invoeren berekent $\int_\R\eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ zonder [poolcoördinaten](#ex-b3-product-polar): Wallis en Gauss stutten elkaar.

**17.** $\frac{\binom{2n}{n+j}}{\binom{2n}n} =
\frac{(n!)^2}{(n+j)!\,(n-j)!} = \prod_{i=1}^{j}\frac{n-i+1}{n+i}$ voor $j \geq 0$ (en symmetrisch voor $j < 0$). Logaritmen nemen, met $1 \leq i \leq j \leq K\sqrt n$:

$$
\ln\frac{n-i+1}{n+i} = \ln\Bigl(1 - \frac{i-1}n\Bigr) -
\ln\Bigl(1 + \frac in\Bigr) = -\frac{2i-1}{n} +
O\Bigl(\frac{i^2}{n^2}\Bigr),
$$

en $\sum_{i\leq j}(2i - 1) = j^2$, terwijl de fouten optellen tot $O(j^3/n^2) = O(n^{-1/2})$: uniform dus $\exp\bigl(-\frac{j^2}n +
O(n^{-1/2})\bigr)$.

**18.** $\eu^{-n}\frac{n^n}{n!} \sim \eu^{-n}
\frac{n^n}{\sqrt{2\pi n}\,n^n\eu^{-n}} = \frac1{\sqrt{2\pi n}}$. Een poissonvariabele met gemiddelde $n$ heeft standaardafwijking $\sqrt n$, en $\frac1{\sqrt{2\pi n}}$ is precies de gaussische piekhoogte $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}$: de lokale centrale limietstelling, bij de modus voorgeproefd.

**19.** Voor $a \in \intoo01$ geeft het hellingslemma van [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1) (vraag 14 daar), toegepast op de convexe $\log\Gamma$ rond $n$, dat $(n-1)^a \leq
\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n)} \leq n^a$: de verhouding tot $n^a$ wordt ingeklemd door $(1 - \frac1n)^a \to 1$. En voor $a = m + a'$ (met $m \in \N$ en $a' \in \intco01$): $\Gamma(n+a) = (n + a - 1)
\cdots(n + a')\Gamma(n + a')$, en elk van de $m$ factoren is $n(1
+ O(\frac1n))$: vermenigvuldig de schattingen.

**20.** De recursie $v_d = \frac{2\pi}dv_{d-2}$ (uit $\Gamma(\frac d2 + 1) = \frac d2\Gamma(\frac d2)$) geeft, vanaf $v_1 = 2$ en $v_2 = \pi$:

$$
v_3 = \frac{4\pi}3,\quad v_4 = \frac{\pi^2}2,\quad
v_5 = \frac{8\pi^2}{15},\quad v_6 = \frac{\pi^3}6,\quad
v_7 = \frac{16\pi^3}{105}.
$$

De verhouding $\frac{2\pi}d$ is groter dan $1$ precies voor $d
\leq 6$, dus stijgt elke pariteit eerst en daalt daarna; numeriek is $v_4 \approx 4.93$, $v_5 \approx 5.26$ en $v_6 \approx 5.17$: het algehele maximum ligt bij $d = 5$. Genererende functie: $v_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$, dus $\sum_kv_{2k}x^{2k} = \eu^{\pi
x^2}$ — alle balvolumes in even dimensie in één exponentiële functie gerold, en meteen een supermeetkundige afnameschatting voor $v_d$.

**21.** Stirling in teller en noemer, met $k = \alpha n$:

$$
\binom n{\alpha n} \sim
\frac{\sqrt{2\pi n}\,n^n}
{\sqrt{2\pi\alpha n}\,(\alpha n)^{\alpha n}\,
\sqrt{2\pi(1-\alpha)n}\,((1-\alpha)n)^{(1-\alpha)n}}
= \frac{\eu^{nH(\alpha)}}{\sqrt{2\pi\alpha(1-\alpha)n}},
$$

want $n^n/(\alpha n)^{\alpha n}((1-\alpha)n)^{(1-\alpha)n} =
\alpha^{-\alpha n}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)n} = \eu^{nH(\alpha)}$ (de machten van $n$ vallen weg: $\alpha n + (1-\alpha)n = n$), en de $\eu^{-n}$’s vallen eveneens weg. Bij $\alpha = \frac12$ is $H
= \ln2$ en is de voorfactor $\sqrt{2/(\pi n)}$ — opnieuw vraag 5. De strikte concaviteit van $H$ (haar tweede afgeleide $-\frac1{\alpha(1-\alpha)} < 0$) legt haar maximum $\ln 2$ uitsluitend bij $\alpha = \frac12$: voor $\alpha \neq \frac12$ neemt $\binom n{\alpha n}2^{-n} \approx \eu^{-n(\ln2 -
H(\alpha))}$ exponentieel af — de combinatorische motor achter elke concentratie-uitspraak over muntworpen.

**22.** Uit $s_{d-1} = dv_d$ en vraag 20:

$$
s_0 = 2,\ \ s_1 = 2\pi,\ \ s_2 = 4\pi,\ \ s_3 = 2\pi^2,\ \
s_4 = \frac{8\pi^2}3,\ \ s_5 = \pi^3,\ \ s_6 =
\frac{16\pi^3}{15},
$$

numeriek $2,\ 6.28,\ 12.57,\ 19.74,\ 26.32,\ 31.01,\ 33.07$; en $s_7 = \frac{\pi^4}3 \approx 32.47 < s_6$: het maximum is de $6$-sfeer. De recursie $s_{d+1} = (d+2)\,v_{d+2} =
(d+2)\,\frac{2\pi}{d+2}\,v_d = 2\pi v_d = \frac{2\pi}d\,s_{d-1}$ laat dezelfde door $\frac{2\pi}d$ gedreven stijging en supermeetkundige val zien als bij de volumes: voorbij dimensie zeven krimpen sferen sneller weg dan elke meetkundige rij.

**23.** Vraag 11 zegt precies $\frac1{12n+1} < d_n <
\frac1{12n}$, en

$$
\frac1{12n} - \frac1{12n+1} = \frac1{12n(12n+1)} =
O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

dus $d_n = \frac1{12n} + O(\frac1{n^2})$ en $\eu^{d_n} = 1 +
\frac1{12n} + O(\frac1{n^2})$; vermenigvuldigen met $\sqrt{2\pi
n}(n/\eu)^n$ geeft de gecorrigeerde formule. Bij $n = 10$: $\sqrt{20\pi}\,(10/\eu)^{10} = 7.92665 \times 453999.3 \approx
3\,598\,696$, $30\,104$ te laag (relatieve fout $8.3\cdot10^{-3}$); vermenigvuldigen met $1 + \frac1{120}$ geeft $3\,628\,685$, $115$ te laag (relatieve fout $3.2\cdot10^{-5}$). De insluiting zelf legt $10!$ tussen $3\,598\,696\,\eu^{1/121}
\approx 3\,628\,559$ en $3\,598\,696\,\eu^{1/120} \approx
3\,628\,808$ — de bovengrens zit er acht eenheden op zeven cijfers naast.

**24.** De substitutie $x = t + \sqrt t\,u$ uit Deel I, toegepast op de afgeknotte integraal, geeft

$$
\int_0^{t} x^{t}\eu^{-x}\,\dd x
= t^{t}\eu^{-t}\sqrt t\int_{-\sqrt t}^{0} g_t(u)\,\dd u ,
$$

waarbij het bereik $0 \leq x \leq t$ overgaat in $-\sqrt t \leq u
\leq 0$. De dominant van vraag 3 dekt ook $g_t\mathbf 1_{u < 0}$, dus geeft de gedomineerde convergentie

$$
\int_{-\sqrt t}^{0}g_t(u)\,\dd u \longrightarrow
\int_{-\infty}^{0}\eu^{-u^2/2}\dd u = \frac{\sqrt{2\pi}}2 ,
$$

terwijl vraag 4 geeft dat $\Gamma(t+1) \sim t^t\eu^{-t}\sqrt
t\,\sqrt{2\pi}$. De verhouding gaat dus naar $\frac12$. Kansrekenkundig: een gammavariabele met grote vormparameter legt asymptotisch de helft van haar massa aan elke kant van haar modus — de symmetrie van de centrale limietstelling, uit één substitutie afgelezen.

**25.** Zij $\lambda = \frac{\alpha}{1-\alpha} \in
\intoc01$. Voor $k \leq \lfloor\alpha n\rfloor \leq \alpha n$ is $\lambda^{k - \alpha n} \geq 1$, dus

$$
\sum_{k=0}^{\lfloor\alpha n\rfloor}\binom nk
\leq \lambda^{-\alpha n}\sum_{k=0}^{n}\binom nk\lambda^{k}
= \Bigl(\lambda^{-\alpha}(1 + \lambda)\Bigr)^{n},
$$

en met $\lambda = \frac\alpha{1-\alpha}$:

$$
\lambda^{-\alpha}(1+\lambda)
= \alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{\alpha}\cdot\frac1{1-\alpha}
= \alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}
= \eu^{H(\alpha)} .
$$

Optimaliteit: minimaliseren van $f(\lambda) = -\alpha\ln\lambda +
\ln(1+\lambda)$ over $\lambda > 0$ geeft de vergelijking $f'(\lambda) = -\frac\alpha\lambda + \frac1{1+\lambda} = 0$ met als unieke oplossing $\lambda = \frac\alpha{1-\alpha}$, een minimum want $f'' > 0$ — de keuze van de exponentiële kanteling (Chernoff). Verzoening: volgens vraag 21 is de ene term $k =
\lfloor\alpha n\rfloor$ al van de orde $\eu^{nH(\alpha)}/\sqrt{2\pi\alpha(1-\alpha)n}$, dus

$$
\frac{\eu^{nH(\alpha)}}{C\sqrt n} \leq
\sum_{k\leq\alpha n}\binom nk \leq \eu^{nH(\alpha)} :
$$

de snelheid $H(\alpha)$ is exact, en de hele som kost hoogstens een factor $\sqrt n$ boven haar grootste term. Gedeeld door $2^n$ is dat de staartgrens voor de eerlijke munt, $\P(S_n \leq \alpha
n) \leq \eu^{-n(\ln2 - H(\alpha))}$ — concentratie van [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) in één regel.