--- title: "Hilbertruimten" book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3" subject: math language: nl chapter: 13 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten --- # Hoofdstuk 13 — Hilbertruimten Een [hilbertruimte](#def-b3-hilbert-inner) is een banachruimte waarvan de norm van een [inwendig product](#def-b3-hilbert-inner) komt — en die ene extra structuur herstelt in oneindige dimensie zo goed als de hele euclidische meetkunde: orthogonale projecties bestaan, elke [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functionaal is een [inwendig product](#def-b3-hilbert-inner) tegen een vaste vector (Riesz), en orthonormale bases ontwikkelen elke vector in een convergente reeks met een pythagoreïsche boekhouding ([Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval)). Het hoogtepunt van dit hoofdstuk is een ingeloste schuld: het trigonometrische stelsel is een orthonormale basis van $L^2$, zodat de identiteit van [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) voor *elke* kwadratisch [integreerbare functie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) geldt — de uitspraak die het volume van bachelorjaar 2 alleen voor stuksgewijs $\mathcal C^1$-functies kon bewijzen. We eindigen met Lax–Milgram, het werkpaard van de variationele aanpak van differentiaalvergelijkingen. Overal is $H$ een vectorruimte over $K = \R$ of $\C$. ## 13.1 Inwendige producten; de projectiestelling **Definitie 13.1.** Een *inwendig product* is een afbeelding $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ die lineair is in de tweede veranderlijke, met $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ en $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$. Ze induceert de norm $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$, de *ongelijkheid van Cauchy–Schwarz* $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (het bewijs uit het volume van bachelorjaar 2 — de discriminant — blijft ongewijzigd) en de *parallellogramwet* $$ \norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 . $$ Een *hilbertruimte* is een ruimte met inwendig product die [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) is voor deze norm. Voorbeelden: $\ell^2$ ([Probleem 8.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#pb-b3-banach-1)) en, het fundamentele geval, $L^2(\mu)$ met $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) volgens Riesz–Fischer ([Stelling 12.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-complete)); het inwendig product is eindig volgens Cauchy–Schwarz ($=$ Hölder bij $p = q = 2$). **Stelling 13.2 (Projectie op een gesloten convexe verzameling).** Zij $C \neq \varnothing$ een gesloten *convexe* deelruimte van de [hilbertruimte](#def-b3-hilbert-inner) $H$ en $x \in H$. Er is een unieke $p_C(x) \in C$ met $$ \norm{x - p_C(x)} = d(x, C), $$ gekarakteriseerd door: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ voor alle $c \in C$. De afbeelding $p_C$ is $1$-lipschitz. **Bewijs.** Zij $d = d(x, C)$ en $(c_n) \subseteq C$ met $\norm{x - c_n} \to d$. Parallellogram op $x - c_n$ en $x - c_m$: $$ \norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2 $$ (de convexiteit legt het midden in $C$): het rechterlid gaat naar $0$, dus is $(c_n)$ cauchy, en haar limiet $p \in C$ (gesloten) bereikt $d$. Uniciteit: twee minimalisatoren geven met dezelfde identiteit $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$. Karakterisering: voor $c \in C$ en $t \in \intoc01$ ligt de vector $p + t(c - p)$ in $C$, dus $$ d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ; $$ deel door $t$ en laat $t \to 0^+$: $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$. Omgekeerd geeft deze ongelijkheid $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$. Lipschitz: tel voor $x, y$ met projecties $p, q$ de twee variationele ongelijkheden op (met $c = q$ respectievelijk $c = p$): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$, dus $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$. ∎ **Stelling 13.3 (Orthogonale ontbinding).** Zij $F$ een *gesloten deelruimte* van $H$. Dan is $p_F$ lineair, is $x - p_F(x) \perp F$ voor alle $x$, en geldt $$ H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F . $$ Voor een algemene deelruimte is $(F^\perp)^\perp = \bar F$; in het bijzonder ligt $F$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) dan en slechts dan als $F^\perp = \{0\}$. **Bewijs.** Voor een deelruimte dwingt de variationele karakterisering met $c = p_F(x) \pm f$ ($f \in F$, beide tekens, en $\iu f$ in het complexe geval) af dat $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$: het residu staat loodrecht op $F$. Ontbinding $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ met $F \cap F^\perp = \{0\}$ (want $\langle y, y \rangle = 0$); de lineariteit van $p_F$ volgt uit de uniciteit van dergelijke ontbindingen (beide leden zijn er lineair in). Altijd is $(F^\perp)^\perp \supseteq F$; omgekeerd, staat $x$ loodrecht op $F^\perp$, schrijf dan $x = f + g$: dan is $g = x - f \in F^\perp$ en $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$, dus $x = f \in F$. Voor een algemene deelruimte $F$ is $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van het [inwendig product](#def-b3-hilbert-inner)), zodat $(F^\perp)^\perp = \bar F$ volgens het gesloten geval; en [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) geldt dan en slechts dan als $\bar F = H$, dat wil zeggen $F^\perp = 0$. ∎ **Stelling 13.4 (Representatiestelling van Riesz).** Voor elke [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) lineaire functionaal $\varphi \in H'$ is er een unieke $a \in H$ met $$ \varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a . $$ **Bewijs.** Is $\varphi = 0$, neem dan $a = 0$. Anders is $F = \ker\varphi$ een gesloten echte deelruimte; kies $u \in F^\perp$ met $\norm u = 1$ ([Stelling 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition): $F^\perp \neq 0$ omdat $F \neq H$). Voor elke $x$ ligt de vector $\varphi(x)u - \varphi(u)x$ in $\ker\varphi$, dus $\perp u$: $$ 0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle . $$ Dus voldoet $a = \overline{\varphi(u)}u$. Uniciteit: $\langle a - a', x\rangle = 0$ voor alle $x$, test met $x = a - a'$. Normen: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz), met gelijkheid bij $x = a$. ∎ **Voorbeeld 13.5 (Een projectie, tot het einde berekend).** Wat is in $H = L^2(\intcc01)$ de beste benadering van $f(x) = x^2$ door een affiene functie? De deelruimte $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ is gesloten (eindigdimensionaal), en $p_F(f) = a + bx$ wordt gekarakteriseerd door de orthogonaliteit van het residu op $1$ en op $x$: $$ \int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, $$ dat wil zeggen $\frac13 = a + \frac b2$ en $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$: dus $a = -\frac16$ en $b = 1$. Bijgevolg is $p_F(x^2) = x - \frac16$, en de fout is $$ d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} . $$ Twee opmerkingen die het onthouden waard zijn. Ten eerste is de berekening niets anders dan een $2\times2$-stelsel — de *normaalvergelijkingen*; voor de monoombasis is hun matrix $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ de berucht slecht geconditioneerde hilbertmatrix, en eerst orthogonaliseren (legendreveeltermen, [Probleem 13.1](#pb-b3-hilbert-1)) is het geneesmiddel. Ten tweede is de beste *uniforme* benadering van $x^2$ door affiene functies een andere ($x - \frac18$, wegens de gelijkmatige oscillatie): elke norm heeft haar eigen meetkunde, en alleen de hilbertiaanse antwoordt met een lineair stelsel. ## 13.2 Orthonormale bases **Definitie 13.6.** Een familie $(e_i)_{i\in I}$ heet *orthonormaal* als $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$, en een *hilbertbasis* (orthonormale basis) als bovendien haar eindige lineaire combinaties [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) liggen in $H$ (de familie is *totaal*). We behandelen het aftelbare geval $I = \N$, dat via Gram–Schmidt elke *separabele* $H$ dekt ([Propositie 13.8](#prop-b3-hilbert-gramschmidt)). **Stelling 13.7 (Bessel, Parseval).** Zij $(e_n)_{n\in\N}$ orthonormaal in $H$, en $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$. 1. (Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , en de reeks $\sum_nc_n(x)e_n$ convergeert in $H$ , met som $p_F(x)$ , waarbij $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ . 2. De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig: (i) $(e_n)$ is een [hilbertbasis](#def-b3-hilbert-onb) ; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ voor elke $x$ ; (iii) *Parseval* : $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ voor elke $x$ ; (iv) de enige vector die loodrecht staat op alle $e_n$ is $0$ . 3. Is $(e_n)$ een [hilbertbasis](#def-b3-hilbert-onb) , dan is $x \mapsto (c_n(x))_n$ een isometrisch isomorfisme $H \to \ell^2$ ( *elke* oneindigdimensionale separabele [hilbertruimte](#def-b3-hilbert-inner) “is” $\ell^2$ ), en is $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ . **Bewijs.** (1) Voor eindige $N$ is $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ($k \leq N$), zodat Pythagoras $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ geeft: dat is Bessel. De partiële sommen $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ zijn cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M 0$). Dan is er voor elke $\varphi \in H'$ een unieke $u \in H$ met $$ a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{voor alle } v \in H . $$ **Bewijs.** Voor vaste $u$ is $v \mapsto a(u, v)$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) lineair: Riesz geeft een unieke $Au \in H$ met $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$; $A$ is lineair met $\norm{Au} \leq M\norm u$ (uniciteit van de vertegenwoordigers, dan de afschatting). Coërciviteit: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$, dus $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$: $A$ is injectief met gesloten beeld (een cauchyrij $Au_n$ in het beeld dwingt af dat $(u_n)$ cauchy is). Het beeld ligt [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior): staat $w$ loodrecht op $\operatorname{im}A$, dan is $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$. Gesloten en [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior): dus is $A$ bijectief. Zij $\varphi$ gegeven, $f$ haar vertegenwoordiger (Riesz) en $u = A^{-1}f$: dan is $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$, en dat op unieke wijze ($a(u - u', \cdot) = 0$ plus coërciviteit). ∎ **Opmerking 13.11.** Is $a$ symmetrisch, dan is de oplossing van Lax–Milgram de unieke minimalisator van de *energie* $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ ([Oefening 13.9](#exo-b3-hilbert-9)): het bestaan van oplossingen van variatieproblemen in één klap. Toegepast op geschikte functieruimten (de sobolevruimten van een latere cursus) lost dit randwaardeproblemen voor differentiaalvergelijkingen op — de moderne toegangspoort tot de partiële differentiaalvergelijkingen. ## 13.3 Oefeningen **Oefening 13.1 ★.** (a) Bewijs de polarisatie-identiteiten (reëel: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$; complex: de versie met vier termen). (b) Toon aan dat $\norm\cdot_1$ op $L^1(\intcc01)$ en $\norm\cdot_\infty$ op $\mathcal C(\intcc01)$ de parallellogramwet schenden: deze normen komen van geen enkel [inwendig product](#def-b3-hilbert-inner). **Oplossing van Oefening 13.1.** (a) Reëel: ontwikkel $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ en trek af. Complex (het [inwendig product](#def-b3-hilbert-inner) lineair in de tweede plaats): met dezelfde ontwikkeling $$ \langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2, $$ waarbij elke term $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ bijdraagt, met som $4\langle x,y\rangle$ (ga de vier waarden van $k$ na; verder is $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$). (b) $L^1$: neem $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ en $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$: dan is $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ voor beide tekens, samen $2$; terwijl $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$. Supremumnorm: $f = \mathbf 1$ en $g(t) = t$ op $\intcc01$: $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$. Omdat ze de parallellogramwet schenden, worden deze normen door geen enkel [inwendig product](#def-b3-hilbert-inner) geïnduceerd (dat zou ze door rechtstreeks ontwikkelen afdwingen). **Oefening 13.2 ★.** In $H = L^2(\intcc01)$ (reëel): (a) bereken de projectie van $f$ op de deelruimte van de constante functies, en interpreteer; (b) bereken de projectie op $\{g : g = 0 \text{ b.o.\ op } \intcc0{1/2}\}$; (c) bereken $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$. **Oplossing van Oefening 13.2.** (a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$: inderdaad staat $f - \int f$ loodrecht op de constanten ($\int(f - \int f)c = 0$). De beste constante benadering van $f$ in kwadratisch gemiddelde is haar *gemiddelde* — het eerste geval van een voorwaardelijke verwachting ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability)). (b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$: het verschil $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ staat loodrecht op elke $g$ die op $\intcc0{1/2}$ verdwijnt. (c) $d^2 = \bigl\|x - \tfrac12\bigr\|_2^2 = \int_0^1(x - \tfrac12)^2\dd x = \tfrac1{12}$: dus $d = \frac1{2\sqrt3}$. **Oefening 13.3 ★★.** (a) Toon voor een deelruimte $F$ aan: $F$ ligt [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $\iff$ $F^\perp = \{0\}$, en geef in $\ell^2$ een voorbeeld van een *echte* [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelruimte (dus $F^\perp = 0$ zonder dat $F = H$: de ontbindingsstelling heeft $F$ gesloten werkelijk nodig). (b) Toon aan dat uit $x_n \to x$ en $y_n \to y$ in norm volgt dat $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$, en wijs twee plaatsen aan waar het hoofdstuk deze [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) gebruikte. **Oplossing van Oefening 13.3.** (a) De gelijkwaardigheid is [Stelling 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) ($\bar F = (F^\perp)^\perp$, en $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$). Voorbeeld: de ruimte $F$ van de eindige rijen ligt [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\ell^2$ (afknotten) en is echt: $F^\perp = \{0\}$ terwijl $F \neq \ell^2$ — voor een niet gesloten deelruimte faalt $H = F \oplus F^\perp$ overduidelijk ($F \oplus \{0\} \neq H$). (b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (convergente rijen zijn begrensd). Gebruikt: in [Stelling 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval)(1) om te zien dat $x - \lim S_N \perp e_k$, en in [Stelling 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) om te zien dat $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$. **Oefening 13.4 ★★.** Pas Gram–Schmidt toe op $1, x, x^2$ in $L^2(\intcc{-1}1)$ ([lebesguemaat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-lebesgueouter)): verkrijg de eerste drie genormeerde *legendreveeltermen* en ga na dat ze samenvallen met $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ voor de rodriguesveeltermen $P_n$ van [Probleem 13.1](#pb-b3-hilbert-1). **Oplossing van Oefening 13.4.** $e_0 = \frac1{\sqrt2}$. Vervolgens staat $x$ al loodrecht op $\mathbf 1$ ($\int_{-1}^1x = 0$), en $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$: dus $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$. Daarna is $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (en $\perp e_1$ wegens de pariteit), met $$ \int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr). $$ Vergelijking: $P_0 = 1$, $P_1 = x$, $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$, en $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ geeft $\frac1{\sqrt2}$, $\sqrt{\frac32}x$, $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$: precies $e_0, e_1, e_2$. **Oefening 13.5 ★★.** Pas [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) ([Stelling 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier)) toe op $f(t) = t$ en $f(t) = t^2$ op $\intcc{-\pi}\pi$ — nu voor deze functies rechtmatig ([continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), maar vroeger vroeg de identiteit om zorgvuldigheid met stuksgewijs $\mathcal C^1$ bij de sprong aan de rand): vind opnieuw $$ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} . $$ **Oplossing van Oefening 13.5.** Voor $f(t) = t$: $c_0 = 0$ en, na partiële integratie, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ voor $n \neq 0$: dus $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$. [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval): $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ Voor $f(t) = t^2$: $c_0 = \frac{\pi^2}3$ en $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ($n \ne 0$). [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval): $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} . $$ Er is geen enkel voorbehoud over stuksgewijs $\mathcal C^1$ nodig: [Stelling 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier) dekt elke $L^2$-functie. **Oefening 13.6 ★★.** (a) Zoek $a \in L^2(\intcc01)$ met $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ voor alle $f$; bereken $\norm\varphi$ voor deze functionaal. (b) Toon aan dat de evaluatie $f \mapsto f(\frac12)$, gedefinieerd op de deelruimte $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$, *niet* [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is voor $\norm\cdot_2$: er bestaat geen vertegenwoordiger van Riesz (evaluatie is geen $L^2$-begrip). **Oplossing van Oefening 13.6.** (a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$: de vertegenwoordiger is $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$, en $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ ([Stelling 13.4](#thm-b3-hilbert-riesz)). (b) Neem de tentfuncties $f_n$ met piek $1$ in $\frac12$ en een drager van breedte $\frac2n$: dan is $f_n(\tfrac12) = 1$ terwijl $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$: geen enkele constante $C$ kan $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ geven. Puntsgewijze evaluatie is betekenisloos in $L^2$ — de elementen zijn klassen modulo nulverzamelingen — en deze berekening is de kwantitatieve reden. **Oefening 13.7 ★★★.** Zij $H$ separabel met [hilbertbasis](#def-b3-hilbert-onb) $(e_n)$, en $(x_k)$ een begrensde rij. (a) Toon aan dat een deelrij *zwak* convergeert: er is een $x$ met $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ voor elke $y \in H$. *(Diagonaalextractie op de coëfficiënten $\langle e_n, x_k\rangle$; stel $x$ samen met Bessel en de uniforme begrensdheid van de normen.)* (b) Toon aan dat $e_n \rightharpoonup 0$ terwijl $\norm{e_n} = 1$: zwakke limieten kunnen norm verliezen. Toon in (a) aan dat $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$. **Oplossing van Oefening 13.7.** (a) Zij $M = \sup_k\norm{x_k}$. De scalaire rijen $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ zijn begrensd door $M$: een diagonaalextractie levert $x_{k_j}$ met $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ voor elke $n$. Voor elke $N$ is $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), dus $(\gamma_n) \in \ell^2$ en $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ ([Stelling 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval)(3)). Voor $y \in H$: $$ \abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2}, $$ met de ontwikkeling $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ en Cauchy–Schwarz op de staart; kies eerst $N$, dan $j$: zwakke convergentie naar $x$. (b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ voor elke $y$ ($\ell^2$-staarten): dus $e_n \rightharpoonup 0$, terwijl $\norm{e_n} = 1$: de norm is niet zwak [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). In (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (eindige afsnijdingen en opnieuw Bessel): zwakke limieten kunnen alleen norm verliezen. **Oefening 13.8 ★★.** (Toegevoegde operatoren) Toon voor $T \in \mathcal L(H)$ aan dat er een unieke $T^* \in \mathcal L(H)$ is met $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), en dat $\vertiii{T^*} = \vertiii T$. Bereken de toegevoegde van de verschuiving $S$ op $\ell^2$ en bewijs $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — leid daaruit $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ af. **Oplossing van Oefening 13.8.** Voor vaste $y$ is $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) lineaire functionaal; Riesz geeft een unieke $T^*y$ met $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ voor alle $x$ — na toevoeging is $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$. De uniciteit maakt $T^*$ lineair; en $$ \norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y, $$ dus $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$, en $T^{**} = T$ geeft gelijkheid. Verschuiving: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ met $(S^*y)_n = y_{n+1}$: de achterwaartse verschuiving. Kern en beeld: $T^*y = 0$ dan en slechts dan als $\langle x, T^*y\rangle = 0$ voor alle $x$, dan en slechts dan als $\langle Tx, y\rangle = 0$ voor alle $x$, dan en slechts dan als $y \perp \operatorname{im}T$: dus $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$; het [orthogonaal complement](#thm-b3-hilbert-decomposition) nemen en [Stelling 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) gebruiken geeft $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$. **Oefening 13.9 ★★.** Zij $a$ als in Lax–Milgram en bovendien *symmetrisch*. Toon aan dat $u$ de vergelijking $a(u, \cdot) = \varphi$ oplost dan en slechts dan als $u$ de functionaal $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ minimaliseert, en dat het minimum in precies één punt wordt bereikt. *(Kwadraat afsplitsen: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$.)* Toepassing: leid de projectiestelling voor gesloten deelruimten opnieuw af uit Lax–Milgram. **Oplossing van Oefening 13.9.** Is $a(u, \cdot) = \varphi$, dan is voor elke $w$ $$ J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2, $$ strikt positief voor $w \neq 0$: dus is $u$ de unieke minimalisator. Omgekeerd heeft in een minimalisator de functie $t \mapsto J(u + tw)$ (een kwadratische veelterm in $t$) afgeleide $0$ in $0$: $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ voor elke $w$. De projectie opnieuw afgeleid: pas voor een gesloten deelruimte $F$ Lax–Milgram toe op de [hilbertruimte](#def-b3-hilbert-inner) $F$ met $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ($M = \alpha = 1$) en $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$: er is een unieke $p \in F$ met $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ voor alle $v \in F$, dat wil zeggen $x - p \perp F$ — en volgens het symmetrische geval minimaliseert $p$ op $F$ de uitdrukking $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$: de projectie. **Oefening 13.10 ★★★.** (Het stelsel van Haar) Stel op $\intcc01$ $h_{0} = \mathbf 1$, en voor $n = 2^j + k$ ($j \geq 0$, $0 \leq k < 2^j$): $$ h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr). $$ Toon aan dat $(h_n)_{n\geq0}$ orthonormaal en totaal is in $L^2(\intcc01)$. *(Orthogonaliteit: disjuncte of geneste dragers; totaliteit: de eindige opspansels bevatten alle dyadische trapfuncties, en die liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) — via [Stelling 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-density)(1) en dyadische benadering van intervallen.)* Het stelsel van Haar is de voorvader van de wavelets. **Oplossing van Oefening 13.10.** Normering: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$. Orthogonaliteit: twee verschillende haarfuncties hebben ofwel disjuncte (inwendige van hun) dragers (product b.o. nul), ofwel ligt de drager van de fijnste in een halfinterval waarop de grofste constant is — dan is de integraal van het product die constante maal $\int h_{\text{fijnste}} = 0$; tegen $h_0 = \mathbf 1$ is het opnieuw $\int h_n = 0$. Totaliteit: het opspansel van $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ bestaat uit trapfuncties op het dyadische rooster met stap $2^{-J}$; beide ruimten hebben dimensie $2^J$ en de haarfuncties zijn onafhankelijk (orthonormaal): dus is het opspansel *alle* zulke trapfuncties. Dyadische trapfuncties liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $L^2(\intcc01)$: de [elementaire functies](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-simple) liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) ([Stelling 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-density)(1)), [meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) verzamelingen worden benaderd door eindige verenigingen van intervallen ([Oefening 9.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#exo-b3-measure-7)), en intervallen door dyadische (de uiteinden verschuiven met hoogstens $2^{-J}$). Volgens [Stelling 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval) is het stelsel van Haar een [hilbertbasis](#def-b3-hilbert-onb). **Oefening 13.11 ★★.** (Orthogonale projecties, gekarakteriseerd) Zij $H$ een [hilbertruimte](#def-b3-hilbert-inner) en $P \in \mathcal L(H)$ met $P^2 = P$ en $P \neq 0$. Toon de gelijkwaardigheid aan van: (i) $P$ is de orthogonale projectie op $\operatorname{im}P$; (ii) $P = P^*$ ([Oefening 13.8](#exo-b3-hilbert-8)); (iii) $\vertiii P = 1$. *(Voor (iii) $\Rightarrow$ (i): had een $x \in (\ker P)^\perp$ $Px \neq x$, beschouw dan $x + t(Px - x)$ — of rechtstreeks: ontwikkel voor $u \in \operatorname{im}P$ en $v \in \ker P$ de ongelijkheid $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ voor alle $t \in \R$ en besluit dat $\langle u, v\rangle = 0$.)* Geef een niet-orthogonale projectie op $\R^2$ en bereken haar norm. **Oplossing van Oefening 13.11.** (i) $\Rightarrow$ (ii): voor de orthogonale projectie is $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (voer de ontbindingen $x = Px + (x - Px)$ enzovoort in en dood de kruistermen). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$, dus $\vertiii P \leq 1$, en $Pu = u$ op het niet-triviale beeld: dus $= 1$. (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ ([algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic), uit $P^2 = P$); neem $u = Pu \in \operatorname{im}P$, $v \in \ker P$ en $t \in \R$: $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ moet $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ zijn voor elke $t$, wat $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ afdwingt (vergelijk de lineaire termen bij $t \to 0^\pm$); $v$ door $\iu v$ vervangen doodt ook het imaginaire deel: dus $\operatorname{im}P \perp \ker P$, en dat is precies de orthogonaliteit van de projectie. Voorbeeld: $P(x, y) = (x + y, 0)$ op $\R^2$: $P^2 = P$, het beeld is de $x$-as, de kern de rechte $y = -x$, en $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (bereikt in $(1,1)/\sqrt2$): een scheve projectie heeft norm $> 1$. (Voor de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) geeft (ii) ook rechtstreeks (i): $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ volgens [Oefening 13.8](#exo-b3-hilbert-8).) **Oefening 13.12 ★★★.** (Ergodenstelling van von Neumann) Zij $U \in \mathcal L(H)$ *unitair* ($U^*U = UU^* = I$), $F = \ker(U - I)$ de vaste ruimte, $P$ de orthogonale projectie op $F$, en $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$. (a) Toon aan dat $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ *(uit $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ en de unitariteit)*, en leid $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ af. (b) Toon aan dat $A_nx \to x$ voor $x \in F$ en $A_nx \to 0$ voor $x \in \operatorname{im}(U - I)$ *(telescoperen)*, en vervolgens voor $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (uniforme grens $\vertiii{A_n} \leq 1$). (c) Besluit: $A_nx \to Px$ voor *elke* $x \in H$ — tijdsgemiddelden convergeren naar de projectie op de invarianten. (d) Werk dat uit voor $H = L^2(\R/\Z)$ en $Uf = f(\cdot + \alpha)$ met $\alpha$ irrationaal: identificeer $F$ (gebruik fourierreeksen, [Stelling 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier)) en leid af dat $\frac1n\sum_{k 0$ een [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) *gewicht* op het inwendige van $I$ zodat $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ voor alle $n$; we werken in $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ met $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$. Gram–Schmidt toegepast op $1, t, t^2, \dots$ levert de *[orthogonale veeltermen](#pb-b3-hilbert-1)* $(p_n)$ voor $w$ op (monische normering: $p_n = t^n + \cdots$). **Deel I — Algemene theorie.** 1. Toon aan dat $p_n$ loodrecht staat op elke veelterm van graad $< n$ , en dat $(p_0, \dots, p_n)$ een basis van $\R_n[t]$ is. 2. (Driepuntsrecursie) Toon aan dat er reële getallen $a_n, b_n$ bestaan met $$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$$ *(Ontwikkel $t\,p_n$ in de basis $(p_k)_{k \leq n+1}$ en dood coëfficiënten met de orthogonaliteit, gebruikmakend van $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$.)* 3. (Wortels) Toon aan dat $p_n$ $n$ *verschillende* wortels heeft, alle inwendig in $I$ . *(Zij $t_1 < \dots < t_m$ de inwendige tekenwisselingen van $p_n$; is $m < n$, test $p_n$ dan tegen $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ en weerspreek de orthogonaliteit.)* **Deel II — Legendre ($I = \intcc{-1}1$, $w = 1$).** Definieer $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues). 4. Toon aan dat $\deg P_n = n$ met kopcoëfficiënt $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ , en, door $n$ maal partieel te integreren, dat $\langle P_n, Q\rangle = 0$ voor elke veelterm $Q$ van graad $< n$ : de $P_n$ zijn (op de normering na) de [orthogonale veeltermen](#pb-b3-hilbert-1) voor $w = 1$ . 5. Bereken $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ *(integreer $n$ maal partieel tegen zichzelf en herleid tot een bèta- of wallisintegraal, [Oefening 11.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#exo-b3-product-8))* . 6. Toon aan dat de genormeerde legendreveeltermen een [hilbertbasis](#def-b3-hilbert-onb) van $L^2(\intcc{-1}1)$ vormen *(Weierstrass, [Gevolg 7.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass), plus de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) van $\mathcal C$ in $L^2$)* , en ontwikkel $f(t) = \abs t$ tot graad $2$ : bereken de beste kwadratische $L^2$ -benadering van $\abs t$ . **Deel III — Hermite ($I = \R$, $w(t) = \eu^{-t^2}$).** Definieer $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$. 7. Toon aan dat $H_n$ een veelterm van graad $n$ is met kopcoëfficiënt $2^n$ , dat $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ , en dat $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn! \sqrt\pi$ *(opnieuw partieel integreren)* . 8. Toon aan dat de familie van Hermite totaal is in $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , waarbij je één resultaat uit [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#ch-b3-fouriertransform) zonder bewijs mag aannemen: heeft $g \in L^1(\R)$ $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ voor alle $\xi$ , dan is $g = 0$ b.o. *(Voor $f$ loodrecht op alle $H_n$, dus loodrecht op alle veeltermen: toon aan dat $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ goed gedefinieerd is, ontwikkel de exponentiële functie in een reeks, rechtvaardig het verwisselen met dominantie en besluit dat de fouriergetransformeerde van $f\eu^{-t^2}$ verdwijnt.)* **Deel IV — De kwadratuur van Gauss.** Leg $n$ vast, zij $t_1 < \dots < t_n$ de wortels van $p_n$ (Deel I), en definieer de gewichten $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$, waarbij $\ell_i$ de lagrange-interpolatiebasisveeltermen in de $t_i$ zijn. 9. Toon aan dat de kwadratuurregel $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ exact is op alle veeltermen van graad $\leq n - 1$ (interpolatie), en in feite — het wonder — op alle veeltermen van graad $\leq 2n - 1$ : schrijf $P = qp_n + r$ en gebruik de orthogonaliteit op het quotiënt $q$ . 10. Toon aan dat de gewichten positief zijn *(pas de regel toe op $\ell_i^2$, van graad $2n - 2$)* , en leid uit de stelling van Polya ( [Oefening 8.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#exo-b3-banach-9) ) af dat de kwadratuur van Gauss convergeert: $Q_n(f) \to \int_I fw$ voor elke [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ op een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $I$ . 11. Bereken voor $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ de knopen $\pm\frac1{\sqrt3}$ en de gewichten $1, 1$ , en ga de exactheid op $1, t, t^2, t^3$ met de hand na. Vergelijk met de trapeziumregel in dezelfde twee evaluatiepunten. **Deel V — Chebyshev: de veeltermen die het best oscilleren.** Nu is $I = \intcc{-1}1$ en $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$. 12. Toon aan dat $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ een veelterm $T_n$ van graad $n$ definieert (leid $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ af uit een goniometrische identiteit), met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$; en dat de substitutie $t = \cos\theta$ geeft $$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$$ de $T_n$ zijn de [orthogonale veeltermen](#pb-b3-hilbert-1) voor dit gewicht, en chebyshevontwikkelingen *zijn* vermomde fouriercosinusreeksen. 13. Lokaliseer expliciet de $n$ wortels $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ en de $n + 1$ extrema $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ van $T_n$ op $\intcc{-1}1$ , waar $T_n(s_j) = (-1)^j$ : de grafiek *oscilleert gelijkmatig* tussen $\pm1$ . 14. (Minimax) Toon aan dat onder alle *monische* veeltermen van graad $n$ de veelterm $2^{1-n}T_n$ de kleinste supremumnorm op $\intcc{-1}1$ heeft, namelijk $2^{1-n}$ — en dat ze de unieke minimalisator is. *(Had een monische $P$ $\sup\abs P < 2^{1-n}$, dan zou het verschil $2^{1-n}T_n - P$, van graad $\leq n-1$, in de $n+1$ punten van gelijkmatige oscillatie van teken wisselen.)* 15. Toepassing op interpolatie: voor knopen $t_1 < \dots < t_n$ in $\intcc{-1}1$ bevat de fout van de lagrange-interpolatie van een $\mathcal C^n$ -functie de factor $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Toon aan dat de keuze van de chebyshevwortels als knopen $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ minimaliseert, en geef de resulterende grens $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — vergelijk met gelijkmatig verdeelde knopen (vermeld het verschijnsel van Runge als waarschuwing). 16. Ga na dat $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ *(differentieer $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ en neem de limieten $\theta \to 0, \pi$)* : veeltermen die op $\intcc{-1}1$ door $1$ begrensd zijn, kunnen aan de rand een afgeleide zo groot als $n^2$ hebben (de ongelijkheid van Markov zegt dat het niet groter kan — enkel de uitspraak). Waar in het interval is de grens voor de afgeleide slechts $O(n)$ ? 17. (Kwadratuur van Chebyshev–Gauss) Toon aan dat de gaussregel voor het gewicht $w$ in de $n$ chebyshevwortels *gelijke* gewichten $w_i = \frac\pi n$ heeft *(exactheid op $T_0, \dots, T_{n-1}$ plus de goniometrische sommen $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ voor $1 \leq j \leq n - 1$)* : de meest uniforme van alle kwadraturen. Schrijf haar uit voor $n = 3$ . **Deel VI — Christoffel–Darboux, verstrengeling en de jacobimatrix.** Terug naar een algemeen gewicht; $h_k = \norm{p_k}^2$ (met monische $p_k$) en $b_k = h_k/h_{k-1}$. 18. (Kleinste norm) Toon aan dat onder alle *monische* veeltermen van graad $n$ de orthogonale $p_n$ de unieke veelterm van minimale $L^2(w)$ -norm is — herken de minimalisering als een orthogonale projectie op $\R_{n-1}[t]$ ( [Stelling 13.2](#thm-b3-hilbert-projection) , of de eindigdimensionale projectie uit het volume van bachelorjaar 2). De minimaxeigenschap van vraag 14 is dezelfde uitspraak met $L^\infty$ in de plaats van $L^2$ : dezelfde held, twee normen. 19. (Christoffel–Darboux) Bewijs met inductie naar $n$, gebruikmakend van de driepuntsrecursie, de identiteit $$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$$ en haar samenvloeiende vorm ($y \to x$): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$. 20. Leid af dat $p_n$ en $p_{n+1}$ geen gemeenschappelijke wortel hebben, en dat in elke wortel $x_0$ van $p_{n+1}$ geldt $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Besluit tot de *verstrengeling* van de wortels: tussen twee opeenvolgende wortels van $p_{n+1}$ ligt precies één wortel van $p_n$ . 21. (Jacobimatrix) Zij $J_n$ de symmetrische tridiagonale $n\times n$ -matrix met diagonaal $a_0, \dots, a_{n-1}$ en nevendiagonale elementen $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Toon met inductie aan dat $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , zodat de wortels van $p_n$ de eigenwaarden van een reële symmetrische matrix zijn — wat in één regel opnieuw bewijst dat ze reëel zijn, en (met de verstrengeling hierboven) de [orthogonale veeltermen](#pb-b3-hilbert-1) aan de spectrale wereld van [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#ch-b3-spectral) bindt. 22. (Synthese) Stel het woordenboek samen voor de drie klassieke families (Legendre, Hermite, Chebyshev): interval, gewicht, definiërende formule, driepuntsrecursie, norm en de natuurlijke habitat van elk (kwadratuur en benadering op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen; gaussische analyse; minimax- en fouriercosinusmethoden). Eén zin over wat de algemene theorie (Delen I en VI) heeft opgeleverd wat geen enkele afzonderlijke berekening kon geven. **Deel VII — De foutterm, en de kern achter de gewichten.** Hier is $I$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en $f \in \mathcal C^{2n}(I)$. 23. (Foutformule van Gauss) Zij $Hf$ de hermite-interpolant van graad $\leq 2n - 1$ die $f$ en $f'$ in de knopen $t_1, \dots, t_n$ vastlegt (bewijs haar bestaan en de puntsgewijze fout $$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$$ met het gebruikelijke argument met een hulpfunctie). Leid, door deze identiteit tegen $w$ te integreren en in te klemmen tussen de extrema van $f^{(2n)}$, af dat $$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{voor een } \xi \in I,$$ met $h_n = \norm{p_n}^2$ als in Deel VI: de kwadratuur van Gauss vergist zich met één $2n$-de afgeleide, gewogen met de gekwadrateerde norm van de monische orthogonale veelterm. 24. (De gewichten zijn christoffelwaarden) Bewijs met de reproducerende kern $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ van $\R_{n-1}[t]$ en de exactheid van $Q_n$ tot graad $2n - 2$ dat $$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$$ elk gewicht is de waarde in zijn eigen knoop van de *functie van Christoffel* — opnieuw de positiviteit van de gewichten (vraag 10), nu met een exacte formule. Ga na dat ze $w_1 = w_2 = 1$ teruggeeft voor $n = 2$, $I = \intcc{-1}1$, $w = 1$. 25. (Alles klopt op één integraal) Bereken voor het chebyshevgewicht en $n = 3$ knopen beide leden van $$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$$ zodat de kwadratuurfout precies $\frac{\pi}{32}$ is; ga vervolgens na dat de foutformule van vraag 23 precies deze waarde voorspelt (hier is $f^{(6)} = 6!$ constant, en $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$): theorie en berekening stemmen tot op het laatste cijfer overeen. **Oplossing van Probleem 13.1.** **1.** Gram–Schmidt waarborgt $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ en $p_n \perp p_k$ ($k < n$), dus $p_n \perp \R_{n-1}[t]$. De $p_k$, met strikt stijgende graden, zijn onafhankelijk: een basis. **2.** $t\,p_n$ is monisch van graad $n + 1$: ontwikkel $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ met $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$. Voor $k \leq n - 2$ is $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (graad $k + 1 < n$). Dus $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$, de vermelde recursie, met $$ b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{lagere termen}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 . $$ **3.** Zij $t_1 < \dots < t_m$ de punten inwendig aan $I$ waar $p_n$ van teken wisselt, en $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (met $q = 1$ als $m = 0$). Dan heeft $p_nq$ een constant teken op $I$ en is ze niet b.o. nul: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$. Is $m < n$, dan is dat in tegenspraak met $p_n \perp \R_{n-1}[t]$. Dus is $m = n$: $p_n$ heeft $n$ verschillende inwendige wortels (meer dan $n$ wortels kan ze niet hebben). **4.** $(t^2 - 1)^n$ heeft graad $2n$; $n$ keer differentiëren laat graad $n$ over, met kopcoëfficiënt $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$. Is $\deg Q < n$, integreer dan $n$ maal partieel: alle randtermen bevatten een afgeleide van orde $< n$ van $(t^2-1)^n$, die in $\pm1$ verdwijnt (wortel van orde $n$); na $n$ stappen draagt de integrand $Q^{(n)} = 0$. **5.** Met $u = (t^2 - 1)^n$: $$ (2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t , $$ ($u^{(2n)} = (2n)!$; de randtermen verdwijnen als in vraag 4). En $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ ([Oefening 11.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#exo-b3-product-8)). Samen: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$. **6.** Veeltermen liggen $\norm\cdot_\infty$-dicht in $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, [Gevolg 7.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)), [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies liggen $L^2$-dicht ([Stelling 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-density)), en $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$: de opspansels van veeltermen zijn dus totaal, zodat de genormeerde $P_n$ een [hilbertbasis](#def-b3-hilbert-onb) vormen. Ontwikkeling van $\abs t$: de coëfficiënt tegen $P_0$ is $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$; tegen $P_1$: $0$ (pariteit); tegen $P_2$: $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$. Beste kwadratische benadering: $$ \abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 . $$ **7.** Uit $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ en Leibniz volgt $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$; inductie geeft graad $n$ en kopcoëfficiënt $2^n$. Voor $m < n$ integreer je $n$ maal partieel in $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$: de randtermen (veelterm maal $\eu^{-t^2}$) verdwijnen in $\pm\infty$, en er blijft $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ over. Voor $m = n$: $H_n^{(n)} = 2^nn!$, dus $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$. **8.** Zij $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ loodrecht op elke veelterm, en $g = f\eu^{-t^2}$. Dan is $g \in L^1$: $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Ontwikkel voor $\xi \in \R$ de functie $\eu^{-\iu\xi t}$: de partiële sommen worden gedomineerd, want $$ \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty $$ (de laatste reeks convergeert: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$, zodat de termen $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ zijn). Term voor term integreren ([Gevolg 10.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#cor-b3-lebesgue-additivity) op de absolute reeks, dan Fubini voor reeksen) geeft $$ \int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 , $$ want elke integraal is van het type $\langle t^k, f\rangle_w = 0$. Volgens de zonder bewijs aangenomen injectiviteit van de fouriertransformatie ([Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#ch-b3-fouriertransform)) is $g = 0$ b.o., dus $f = 0$ b.o.: de familie van Hermite (waarvan de opspansels de veeltermen zijn) is totaal. **9.** Exactheid tot graad $n - 1$: voor zo’n $P$ is $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exact, dus $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$. Graad $\leq 2n - 1$: deel $P = qp_n + r$ met $\deg q \leq n - 1$ en $\deg r \leq n-1$; dan is $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ (want $p_n \perp \R_{n-1}[t]$), terwijl $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ omdat de knopen de wortels van $p_n$ zijn. Gelijk. **10.** $\ell_i^2$ heeft graad $2n - 2 \leq 2n - 1$ en $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$: dus $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$. Polya ([Oefening 8.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#exo-b3-banach-9), overgezet naar $I$ met gewicht): voorwaarde (i) geldt — elke veelterm wordt exact geïntegreerd zodra $2n - 1 \geq$ haar graad; voorwaarde (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$, begrensd: dus $Q_n(f) \to \int fw$ voor elke $f \in \mathcal C(I)$, met $I$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). **11.** Monisch is $p_2 = t^2 - \frac13$ (uit [Oefening 13.4](#exo-b3-hilbert-4)): knopen $\pm\frac1{\sqrt3}$. Gewichten: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$, en $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$; wegens de symmetrie is $w_2 = 1$. Exactheid: $\int 1 = 2 = 1 + 1$; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$; $\int t^3 = 0$. De trapeziumregel met twee punten (knopen $\pm1$, gewichten $1, 1$) is slechts exact tot graad $1$: op $t^2$ geeft ze $2$ in plaats van $\frac23$. Dezelfde kostprijs, twee graden exactheid extra: de winst van orthogonale knopen. **12.** Uit $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ volgt $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ met $T_0 = 1$ en $T_1 = t$; inductie geeft veeltermen van graad $n$ met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ ($n \geq 1$). De substitutie $t = \cos\theta$ ($w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$) geeft $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ voor $m \neq n$, $= \pi$ voor $m = n = 0$ en $= \frac\pi2$ anders (product naar som). De graden en de paarsgewijze orthogonaliteit identificeren de $T_n$ op scalairen na met de uitvoer van Gram–Schmidt; een chebyshevontwikkeling van $f$ is precies de fouriercosinusreeks van $\theta \mapsto f(\cos\theta)$. **13.** $T_n(t) = 0$ dan en slechts dan als $\cos n\theta = 0$, dus $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$: de $n$ verschillende wortels $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$. Extrema: $\abs{T_n} \leq 1$ op $\intcc{-1}1$, met $T_n(s_j) = (-1)^j$ in de $n + 1$ punten $s_j = \cos\frac{j\pi}n$: perfecte gelijkmatige oscillatie. **14.** $2^{1-n}T_n$ is monisch met supremumnorm $2^{1-n}$. Had een monische $P$ van graad $n$ $\sup\abs P < 2^{1-n}$, dan zou het verschil $D = 2^{1-n}T_n - P$ graad $\leq n - 1$ hebben (de kopternen vallen weg) en toch van teken wisselen in $s_0 > \dots > s_n$ (daar domineert $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ over $P$): minstens $n$ nulpunten — dus $D \equiv 0$, tegenspraak. Voor de uniciteit bij gelijkheid voldoet dezelfde $D$ aan $(-1)^jD(s_j) \geq 0$; een veelterm $\ne 0$ van graad $\leq n-1$ kan geen $n$ zwak wisselende extremale voorwaarden hebben zonder $n$ correct geteld wortels (is $D(s_j) = 0$ voor een inwendige $s_j$, dan telt dat nulpunt dubbel, want $D$ behoudt lokaal een teken): opnieuw $D \equiv 0$. **15.** De foutformule van Lagrange (Rolle, volume van bachelorjaar 2) geeft $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)} {n!}\,\omega(t)$, dus is de uniforme fout hoogstens $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$, en $\omega$ is monisch van graad $n$: volgens vraag 14 is $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$, met gelijkheid dan en slechts dan als de knopen de chebyshevwortels zijn. Vandaar de optimale grens $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$. Met gelijkmatig verdeelde knopen is $\sup\abs\omega$ nabij de uiteinden exponentieel groter, en zelfs de interpolatie van $\frac1{1 + 25t^2}$ divergeert daar als $n \to \infty$ (het verschijnsel van Runge); chebyshevknopen zijn het geneesmiddel. **16.** Differentiëren van $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ geeft $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$, dat naar $n^2$ gaat als $\theta \to 0$ en naar $(-1)^{n+1}n^2$ als $\theta \to \pi$: dus $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$. In inwendige punten is $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$: de kwadratische explosie woont uitsluitend aan de randen (de inwendige grens van Bernstein tegenover de globale van Markov). **17.** Zij $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ en $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ voor $1 \leq j \leq n-1$. Dan is $$ S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] . $$ Voor even $j$ verdwijnt de teller: $S_j = 0$. Voor oneven $j$ is de teller $-2$, en $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$, zodat de hele uitdrukking $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ is: zuiver imaginair, dus opnieuw $S_j = 0$. Bijgevolg integreert de regel met gelijke gewichten $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ de veelterm $T_0$ juist ($\sum w_i = \pi = \int w$) en doodt ze $T_1, \dots, T_{n-1}$ precies zoals $\int T_jw = 0$ doet: ze is exact tot graad $n - 1$. Gewichten die bij gegeven knopen tot graad $n-1$ exact zijn, zijn uniek (lagrangebasis): dus zijn alle gaussgewichten $\frac\pi n$. Voor $n = 3$: knopen $\pm\frac{\sqrt3}2$ en $0$, en $$ \int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr], $$ exact tot en met graad $5$. **18.** Voor monische $P$ van graad $n$: $P = p_n + r$ met $r \in \R_{n-1}[t]$, en $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (vraag 1), dus $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$, met gelijkheid dan en slechts dan als $r = 0$: $p_n$ is het residu van de orthogonale projectie van $t^n$ op $\R_{n-1}[t]^\perp$, dat wil zeggen de monische veelterm die het dichtst bij de deelruimte ligt die ze moet mijden. Chebyshevs $2^{1-n}T_n$ beantwoordt dezelfde vraag voor de supremumnorm: kleinste afwijking van nul, één keer in $L^2(w)$, één keer in $L^\infty$. **19.** Schrijf $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$. Basis $n = 0$: $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$, want $p_1 = t - a_0$. Stap: aannemend dat de identiteit voor $n - 1$ geldt, is $$ (x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ; $$ substitueer $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ en $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ in de tweede term: de bijdragen met $a_n$ vallen weg, en die met $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ heffen de inductieterm op; wat overblijft is $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$. De samenvloeiende vorm volgt door $y \to x$ te laten gaan (beide leden zijn veeltermen in $y$). **20.** De samenvloeiende vorm geeft $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ overal. In een wortel $x_0$ van $p_{n+1}$ is dus $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$, zodat $p_n(x_0) \neq 0$ (geen gemeenschappelijke wortels). Tussen opeenvolgende wortels $x_0 < x_1$ van $p_{n+1}$ (alle enkelvoudig, Deel I) heeft $p_{n+1}'$ tegengestelde tekens, en dus ook $p_n$: in elk van de $n$ gaten ligt een wortel van $p_n$ — en daarmee zijn haar $n$ wortels uitgeput: verstrengeling. **21.** Ontwikkeling van $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ langs de laatste rij: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$, met $D_0 = 1$ en $D_1 = t - a_0$: de recursie en de startwaarden van de monische $p_n$, dus $D_n = p_n$. De wortels van $p_n$ zijn de eigenwaarden van de symmetrische $J_n$: reëel, en enkelvoudig volgens vraag 19 — de kwadratuur van Gauss is de spectraaltheorie van een tridiagonale matrix in vermomming, de eindigdimensionale schaduw van [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#ch-b3-spectral). **22.** Woordenboek: | | Legendre | Hermite | Chebyshev | | --- | --- | --- | --- | | interval | $\intcc{-1}1$ | $\R$ | $\intcc{-1}1$ | | gewicht | $1$ | $\eu^{-t^2}$ | $(1-t^2)^{-1/2}$ | | formule | Rodrigues | $(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ | $\cos(n\arccos t)$ | | norm$^2$ | $\frac2{2n+1}$ | $2^nn!\sqrt\pi$ | $\pi, \frac\pi2$ | | habitat | kwadratuur | gaussische analyse | minimax | (elk met haar driepuntsrecursie: de algemene vorm voor Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$, $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$). De algemene theorie leverde wat geen enkele afzonderlijke familie laat zien: de realiteit en de verstrengeling van de wortels, de positiviteit van de kwadratuurgewichten, het loutere bestaan van de recursie en van Christoffel–Darboux — gevolgen van de orthogonaliteit alleen, uniform in het gewicht. **23.** Bestaan: de lineaire afbeelding $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$, $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$, is injectief (een $P$ in de kern heeft $n$ dubbele wortels en graad $\leq 2n - 1$, dus $P = 0$) tussen ruimten van gelijke dimensie $2n$: dus bijectief. Puntsgewijze fout: leg een $t$ vast die geen knoop is, en kies $K$ zo dat $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ in $s = t$ verdwijnt. Dan verdwijnt $g$ in de $n + 1$ verschillende punten $t, t_1, \dots, t_n$, en $g'$ verdwijnt ook in elke $t_i$ (zowel $f - Hf$ als $p_n^2$ hebben daar dubbele nulpunten). Rolle geeft $n$ nulpunten van $g'$ strikt tussen opeenvolgende nulpunten van $g$ — verschillend van de knopen — zodat $g'$ $2n$ verschillende nulpunten heeft; Rolle nog $2n - 1$ maal toepassen levert een $\xi_t$ met $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$. Omdat $\deg Hf \leq 2n - 1$ en $p_n^2$ monisch van graad $2n$ is, is $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$, waaruit $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — en in de knopen is de identiteit triviaal. Integratie: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ (want $Hf$ valt in de knopen samen met $f$) en $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ wegens de exactheid tot graad $2n - 1$ (vraag 9), dus is de kwadratuurfout $\int(f - Hf)\,w$. Zijn $m, M$ de extrema van $f^{(2n)}$ op $I$, dan klemt de puntsgewijze identiteit $$ \frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} , $$ en de tussenwaardestelling toegepast op de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f^{(2n)}$ levert $\xi$. (Voor Legendre met $n = 2$: $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$, dus is de fout $f^{(4)}(\xi)/135$.) **24.** De kern reproduceert $\R_{n-1}[t]$: de ontwikkeling $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ geeft $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ voor elke $q$ van graad $\leq n - 1$. Neem $q = \ell_i$: het linkerlid is $\ell_i(t_i) = 1$. Maar $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ is een veelterm van graad $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$, waarop $Q_n$ exact is (vraag 9), en ze verdwijnt in elke knoop $t_j \neq t_i$ (de factor $\ell_i$), dus $$ 1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} . $$ De som is $> 0$ (haar term voor $k = 0$ is $1/h_0 > 0$): dat is de vermelde formule, en opnieuw de positiviteit. Controle ($n = 2$, Legendre): $p_0 = 1$, $h_0 = 2$, $p_1 = t$, $h_1 = \frac23$; in $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ is $$ K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1, $$ zoals in vraag 11 gevonden. **25.** Met de substitutie $t = \cos\theta$ is de integraal $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, [Oefening 11.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#exo-b3-product-8)). De regel van Chebyshev–Gauss met $n = 3$ (vraag 17) heeft de knopen $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$, $\cos\frac\pi2 = 0$ en $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ en gelijke gewichten $\frac\pi3$: $$ Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} . $$ Voorspelling: de monische orthogonale veelterm van graad $3$ is $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$, met $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$; en $f = t^6$ heeft constante $f^{(6)} = 720 = 6!$, zodat vraag 23 de fout $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ geeft — zonder enige resterende afhankelijkheid van $\xi$ moet de formule wel exact zijn, en dat is ze.