---
title: "De fouriertransformatie"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie
---

# Hoofdstuk 14 — De fouriertransformatie

Fourierreeksen ontbinden periodieke signalen in discrete harmonischen; de fourier*transformatie* doet hetzelfde voor signalen op de hele lijn, met een continuüm aan frequenties. Ze zet differentiëren om in vermenigvuldigen, convolutie in producten, en gaussische functies in gaussische functies — de redenen waarom ze differentiaalvergelijkingen oplost, de signaalverwerking aandrijft en in [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling#ch-b3-clt) de centrale limietstelling zal bewijzen. Dit hoofdstuk ontwikkelt de $L^1$-theorie (Riemann–Lebesgue, inversie, injectiviteit), de [klasse van Schwartz](#def-b3-fouriertransform-schwartz) waarin de transformatie een volmaakte bijectie is, en de $L^2$-theorie (Plancherel: de transformatie is op een constante na een unitaire operator), met twee paradepaardjes als toepassing: de warmtevergelijking, in de weekendopgave van begin tot eind opgelost, en de sommatieformule van Poisson. Afspraak:

$$
\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .
$$

## 14.1 De transformatie op $L^1$

**Propositie 14.1.**

Voor $f \in L^1(\R)$ is $\hat f$ goed gedefinieerd, begrensd ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$) en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), en geldt:

1. $\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ en $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
2. $\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat  f(\lambda\xi)$ voor $\lambda > 0$ ;
3. is $xf \in L^1$ , dan is $\hat f$ $\mathcal C^1$ met $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
4. is $f \in \mathcal C^1$ met $f' \in L^1$ (en $f \to 0$ in $\pm\infty$ , hier automatisch), dan is $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
5. $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ voor $f, g \in L^1$ .

**Bewijs.** Begrensdheid: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): gedomineerde convergentie met dominant $\abs f$ ([Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-paramcont)). (1), (2): substituties ([Stelling 11.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-linearchange)). (3): differentiëren onder de integraal, met dominant $\abs{xf}$ ([Stelling 10.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-paramdiff)). (4): eerst heeft $f(x) = f(0)
+ \int_0^xf'$ een limiet in $\pm\infty$ (want $f' \in L^1$), die $0$ moet zijn (want $f \in L^1$); integreer daarna partieel op $[-A, A]$ en laat $A \to \infty$ gaan. (5): Fubini, geoorloofd omdat $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ absoluut [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) is ([Stelling 11.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-convolution)):

$$
\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)}
\eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).
$$

∎

**Voorbeeld 14.2.**

De gaussische functie: voor $a > 0$ is

$$
\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) =
\sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :
$$

volgens [Oefening 10.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#exo-b3-lebesgue-7) (de truc met de differentiaalvergelijking $F' = -\frac\xi{2}F$, herschaald), of volgens (3): $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ voldoet aan $g'(\xi) =
-\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (partieel integreren) met $g(0) =
\sqrt{\pi/a}$. Gaussische functies zijn op een schaalfactor na vaste punten van de transformatie — de diepe reden waarom ze de centrale limietstelling beheersen.

**Stelling 14.3 (Riemann–Lebesgue).**

Voor $f \in L^1(\R)$ geldt $\hat f(\xi) \to 0$ als $\abs\xi \to
\infty$. Dus beeldt $\widehat{\phantom f}$ $L^1$ af in $\mathcal
C_0(\R)$ (de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies die in oneindig verdwijnen).

**Bewijs.** Voor de indicator van een interval is $\widehat{\mathbf 1_{\intcc
ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi} \to
0$; dus ook voor trapfuncties. Trapfuncties liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $L^1$ ([Stelling 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-density)(1) plus de benadering van verzamelingen van eindige [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) door eindige verenigingen van intervallen, [Oefening 9.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#exo-b3-measure-7)), en de transformatie is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\norm\cdot_1$ naar $\norm\cdot_\infty$: is $\norm{f
- s}_1 < \varepsilon$, dan is $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat f(\xi)} \leq \varepsilon$. ∎

## 14.2 Inversie en injectiviteit

**Lemma 14.4 (Vermenigvuldigingsformule).**

Voor $f, g \in L^1(\R)$ is $\displaystyle\int \hat f\,g = \int
f\,\hat g$.

**Bewijs.** Beide leden zijn gelijk aan $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd
x\,\dd\xi$ (Tonelli–Fubini: de dubbele integraal van de absolute waarde is $\norm f_1\norm g_1$). ∎

**Stelling 14.5 (Inversie).**

Zij $f \in L^1(\R)$.

1. (Gaussische sommeerbaarheid) Voor elke $x$ geldt $$(f * g_\varepsilon)(x) =  \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,  \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi,  \qquad\text{met } g_\varepsilon(y) =  \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\,  \eu^{-y^2/4\varepsilon},$$ en $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ als $\varepsilon  \to 0$.
2. Is bovendien $\hat f \in L^1$, dan is voor bijna elke $x$ $$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat  f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$$ en heeft $f$ een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vertegenwoordiger.
3. (Injectiviteit) Is $\hat f = 0$ , dan is $f = 0$ b.o.

**Bewijs.** (1) Leg $x$ vast en pas [Lemma 14.4](#lem-b3-fouriertransform-multiplication) toe op $f$ en $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$: volgens [Voorbeeld 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) (met de modulatieregel) is

$$
\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\,
\eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),
$$

dus $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2} \eu^{\iu
x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y =
(f*g_\varepsilon)(x)$. De $g_\varepsilon$ vormen een benaderende eenheid: $g_\varepsilon \geq 0$, $\int g_\varepsilon = 1$ (de gaussische integraal), geconcentreerd rond $0$; het bewijs van [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)(2) gaat woordelijk door (er werd enkel $\int g_\varepsilon = 1$ en de concentratie gebruikt: voor de staart is $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to 0$): dus $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$.

(2) Is $\hat f \in L^1$, dan convergeert het rechterlid van (1), volgens de gedomineerde convergentie (dominant $\abs{\hat f}$), voor *elke* $x$ naar $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, en die limietfunctie is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) (opnieuw gedomineerde convergentie). Anderzijds is $f * g_\varepsilon \to
f$ in $L^1$, dus langs een deelrij b.o. ([Stelling 12.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-complete)): de twee limieten vallen b.o. samen.

(3) $\hat f = 0$ laat het rechterlid van (1) verdwijnen: dus $f *
g_\varepsilon = 0$ voor alle $\varepsilon$, terwijl $f *
g_\varepsilon \to f$ in $L^1$: bijgevolg $f = 0$ b.o. ∎

## 14.3 De klasse van Schwartz

**Definitie 14.6.**

De *klasse van Schwartz* $\mathcal S(\R)$ bestaat uit de $\mathcal C^\infty$-functies $f$ met $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ voor alle $m, n \geq 0$ (alle afgeleiden dalen sneller dan elke macht). Voorbeelden: $\eu^{-ax^2}$, $\mathcal C_c^\infty$. Duidelijk is $\mathcal S
\subseteq L^p$ voor elke $p$ (afschatten met $C(1 + x^2)^{-1}$), en $\mathcal S$ is stabiel onder afgeleiden, vermenigvuldiging met veeltermen en producten.

**Stelling 14.7.**

De fouriertransformatie beeldt $\mathcal S(\R)$ bijectief op zichzelf af, met inverse $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int
g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$.

**Bewijs.** Zij $f \in \mathcal S$. Iteratie van [Propositie 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(3) geeft $(\hat f)^{(n)} =
\widehat{(-\iu x)^nf}$ (elke $x^kf$ ligt in $L^1$); iteratie van (4) met $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (waarvan alle afgeleiden [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) zijn) geeft $(\iu\xi)^m\hat h =
\widehat{h^{(m)}}$. Samen:

$$
\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)}
= \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr|
\leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty
$$

uniform in $\xi$: dus $\hat f \in \mathcal S$. Omdat $\hat f \in
L^1$, geldt de inversie ([Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) overal (beide leden zijn [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)): $\check{\hat f} = f$, en symmetrisch $\widehat{\check g} = g$ (de inverse transformatie is $g \mapsto
\frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$, en behoudt eveneens $\mathcal S$): een bijectie. ∎

## 14.4 Plancherel en $L^2$

**Stelling 14.8 (Plancherel).**

Voor $f \in L^1 \cap L^2(\R)$ is

$$
\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .
$$

Bijgevolg breidt $\widehat{\phantom f}$ zich op unieke wijze uit tot een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) lineaire afbeelding $\mathcal F \colon L^2(\R)
\to L^2(\R)$ met $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$; $\mathcal F$ is bijectief, met $\mathcal F^{-1} =
\frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ waarbij $\sigma f =
f(-\cdot)$, en ze behoudt de inwendige producten op de factor $2\pi$ na.

**Bewijs.** Zij $f \in L^1\cap L^2$ en $h = f * \tilde f$ met $\tilde f(x) =
\overline{f(-x)}$. Dan is $h \in L^1$ ([Stelling 11.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-convolution)), is $h$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en begrensd ([Oefening 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#exo-b3-lp-6): $f, \tilde f \in L^2$), is $h(0) = \int f\bar
f = \norm f_2^2$, en is $\hat h = \hat f\,\widehat{\tilde f} =
\hat f\,\overline{\hat f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ (bereken $\widehat{\tilde f} = \overline{\hat f}$). Pas [Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(1) toe op $h$ in $x =
0$:

$$
(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat
h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .
$$

Als $\varepsilon \to 0$: het linkerlid gaat naar $h(0)$ ($h$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en begrensd: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y) -
h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ door kleine en grote $y$ te splitsen); het rechterlid stijgt naar $\frac1{2\pi}\int\hat h$ volgens de monotone convergentie (want $\hat h \geq 0$). Bijgevolg is $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 = \norm f_2^2$, *a priori* eindig of niet — en dus eindig, wat zowel het lidmaatschap als de identiteit bewijst.

Uitbreiding: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ ligt [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $L^2$ ([Stelling 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-density)); daar is de transformatie $\sqrt{2\pi}$-isometrisch, dus breidt ze zich op unieke wijze uit tot een op een constante na isometrische $\mathcal F$ op $L^2$ ([Stelling 7.2](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)). De inversie op $\mathcal S$ ([Stelling 14.7](#thm-b3-fouriertransform-schwartz)) draagt met dezelfde [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) over (beide leden zijn $L^2$-continu): $\mathcal
F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ op $\mathcal
S$, dus op $L^2$: bijectiviteit. Inwendige producten: polarisatie uit de normidentiteit. ∎

**Stelling 14.9 (Sommatieformule van Poisson).**

Zij $f \in \mathcal S(\R)$ (een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ met $\abs{f} +
\abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ volstaat). Dan is

$$
\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .
$$

**Bewijs.** Zij $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$: de reeks convergeert normaal op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen (het verval van $f$), dus is $F$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), en ze is $1$-periodiek. Haar fouriercoëfficiënten (periode $1$: $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$):

$$
c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t
= \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)
$$

(de normale convergentie rechtvaardigt het verwisselen; de fase is $1$-periodiek). De reeks $\sum_k\abs{c_k(F)}$ convergeert (het verval van $\hat f$), dus convergeert de fourierreeks van $F$ normaal; haar som is een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functie met dezelfde fouriercoëfficiënten als $F$, en is dus gelijk aan $F$ (injectiviteit op de cirkel: het verschil heeft nulcoëfficiënten, en [Stelling 13.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-fourier) geeft nul in $L^2$, dus wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) overal). Evalueer in $x = 0$. ∎

**Voorbeeld 14.10 (De identiteit van de thètafunctie).**

Poisson toepassen op $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ($t > 0$), waarvan de getransformeerde $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ is ([Voorbeeld 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) met $a = \pi t$), geeft

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t}
= \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :
$$

de functionaalvergelijking van de thètafunctie van Jacobi, sleutel tot de functionaalvergelijking van de $\zeta$ van Riemann — en een spectaculaire numerieke versneller: voor kleine $t$ convergeert het linkerlid traag en het rechterlid razendsnel.

**Methode 14.11.**

Werkgebieden: $L^1$ — de transformatie is puntsgewijs gedefinieerd, en de inversie vereist $\hat f \in L^1$; $\mathcal
S$ — alles is geoorloofd, bewijs hier eerst; $L^2$ — de transformatie is per [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) gedefinieerd (niet met de integraal!), volmaakt symmetrisch, met de boekhouding van [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval). Om een getransformeerde te berekenen: herleid met de regels van [Propositie 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic) tot de tabel (indicator, exponentiële functie, gaussische functie); om een identiteit te bewijzen: vestig haar op $\mathcal S$ (of $\mathcal
C_c^\infty$) en breid uit met [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) en [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ([Methode 12.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#met-b3-lp-toolkit)); om een lineaire partiële of gewone differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten op te lossen: transformeer, deel, inverteer.

![De warmtekern g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t op drie tijdstippen: totale massa voor altijd 1, hoogte t-1/2, breedte √ t. De begintoestand convolueren met deze uitdijende gaussische functie is de volledige inhoud van de weekendopgave; in frequentie leest hetzelfde beeld als g_t( ) = -t 2 — de hoge frequenties sterven het eerst, en die asymmetrie is de pijl van de tijd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-fouriertransform/fig-22725c4b9b19.svg)

*De [warmtekern](#pb-b3-fouriertransform-1) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi
t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ op drie tijdstippen: totale massa voor altijd $1$, hoogte $\sim t^{-1/2}$, breedte $\sim \sqrt t$. De begintoestand convolueren met deze uitdijende gaussische functie is de volledige inhoud van de weekendopgave; in frequentie leest hetzelfde beeld als $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — de hoge frequenties sterven het eerst, en die asymmetrie is de pijl van de tijd.*

## 14.5 Oefeningen

**Oefening 14.1 ★.**

Bereken de fouriergetransformeerden van: $\mathbf
1_{\intcc{-a}a}$; $\eu^{-a\abs x}$ ($a > 0$); de tentfunctie $\max(0, 1 - \abs x)$; $\frac1{x^2 + a^2}$ *(gebruik de inversie op de tweede)*. Noteer de tabel die zo ontstaat.

**Oplossing van Oefening 14.1.**

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) =
\int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (waarde $2a$ in $0$). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a +
\iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} +
\frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$. Tent: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$, dus is haar getransformeerde $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 =
\bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$. Laatste: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$, dus geeft de inversie ([Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) toegepast op $\eu^{-a\abs x}$, na hernoeming van de veranderlijken,

$$
\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) =
\frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .
$$

**Oefening 14.2 ★.**

Zij $f \in L^1$. Druk in $\hat f$ de getransformeerden uit van: $f(x - a)$, $f(x)\cos(bx)$, $f(ax + b)$, $\overline{f(-x)}$, $(f
* f)(x)$. Ga elke regel na op de gaussische functie.

**Oplossing van Oefening 14.2.**

Uit [Propositie 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic): $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat
f(\xi + b)\bigr)$; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu
b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ($a > 0$); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$; $\widehat{f * f} = \hat f^2$. Op de gaussische functie ($\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$) is elke regel een controle van één regel — bijvoorbeeld heeft $\eu^{-(x-a)^2}$ als getransformeerde $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu
a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$, wat de rechtstreekse berekening (kwadraat afsplitsen) bevestigt.

**Oefening 14.3 ★★.**

(a) Toon aan dat $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf
1_{\intcc{-1}1}$ als getransformeerde $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi
\bigr)^2$ heeft, en leid met Plancherel — of met inversie in $0$ — af dat $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$. Vergelijk [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1). (b) Bereken $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ met Plancherel toegepast op $\eu^{-\abs x}$.

**Oplossing van Oefening 14.3.**

(a) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ heeft $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$; inversie in $x = 0$, waar $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1) = 2$:

$$
2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2
\dd\xi
\ \Longrightarrow\
\int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,
$$

in overeenstemming met $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} =
\frac\pi2$ ([Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1)).

(b) Plancherel voor $f = \eu^{-\abs x}$: $\int\abs{\hat f}^2 =
2\pi\int\abs f^2$ luidt $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} =
2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$: dus $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$.

**Oefening 14.4 ★★.**

(Algebra van de [warmtekern](#pb-b3-fouriertransform-1)) Met $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi
t}}\eu^{-x^2/4t}$: (a) ga na dat $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$; (b) leid de halfgroepswet $g_t * g_s = g_{t+s}$ af zonder enige integraalberekening; (c) toon aan dat $\norm{g_t}_1 = 1$ en $\norm{g_t}_2^2 = (8\pi
t)^{-1/2}$.

**Oplossing van Oefening 14.4.**

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: volgens [Voorbeeld 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) met $a = \frac1{4t}$ is $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi
t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$. (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$, en de transformatie is injectief op $L^1$ ([Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3)): dus $g_t * g_s =
g_{t+s}$. (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (gaussische integraal); $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x =
\frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$.

**Oefening 14.5 ★★.**

Toon aan dat $\hat f$ even en reëel is als $f \in L^1$ even en reëel is, en oneven en zuiver imaginair als $f$ oneven en reëel is. Wat berekent $\hat f(0)$? Leid af dat $f \geq 0$ afdwingt dat $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$, en interpreteer dat voor kansdichtheden ([Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling#ch-b3-clt): een karakteristieke functie heeft modulus $\leq 1$, bereikt in $0$).

**Oplossing van Oefening 14.5.**

Voor reële even $f$ is $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (het sinusdeel valt weg): reëel en even. Oneven: $\hat f(\xi) =
-\iu\int f\sin(\xi x)$: oneven en zuiver imaginair. En $\hat f(0)
= \int f$: de totale massa. Is $f \geq 0$, dan is $\abs{\hat
f(\xi)} \leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$, zodat het supremum in $0$ wordt bereikt. Voor een kansdichtheid is $\hat f(-\xi)$ de karakteristieke functie van [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling#ch-b3-clt): overal modulus $\leq 1$, en $= 1$ in de oorsprong.

**Oefening 14.6 ★★★.**

(Niet-surjectiviteit) Toon in drie stappen aan dat $\widehat{\phantom f}\colon L^1 \to \mathcal C_0$ injectief en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is, maar *niet* surjectief. (i) Injectiviteit ([Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)) en [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), en $\mathcal C_0$ is een banachruimte (gesloten in $\norm\cdot_\infty$). (ii) Was de afbeelding surjectief, dan was ze bijectief, en zou de open-afbeeldingsstelling ([Stelling 8.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#thm-b3-banach-openmapping)) een constante $C$ geven met $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ voor alle $f \in L^1$. (iii) Weerspreek dat met $f_n(x) = \frac{\sin
x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: haar getransformeerde is (op constanten na) een trapezium van het type $\mathbf
1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ — toon aan dat $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ uniform, terwijl $\norm{f_n}_1
\geq c\ln n$ door de bogen van $\frac{\abs{\sin x}}x$ op $[1, n]$ te tellen (waar de tweede factor van onderen begrensd is), als in [Stelling 8.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#thm-b3-banach-fourierdiverge).

**Oplossing van Oefening 14.6.**

(i) De injectiviteit is [Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3); de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (met waarden in $\mathcal
C_0$ volgens Riemann–Lebesgue); en $\mathcal C_0$ is gesloten in de supremumnorm (uniforme limieten van functies die in oneindig verdwijnen, verdwijnen in oneindig): dus banach.

(ii) Een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bijectie tussen banachruimten heeft een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) inverse ([Stelling 8.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#thm-b3-banach-openmapping)): er zou een $C$ zijn met $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$.

(iii) Zij $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: een product van twee $L^2$-functies, en $O(x^{-2})$ op oneindig, dus $f_n \in L^1\cap L^2$. Omdat $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ als $L^2$-getransformeerde $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ heeft, geeft de productformule $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (geldig voor $g, h \in L^2$ met $gh \in L^1$; controleer haar op schwartzfuncties met Fubini en breid uit met de $L^2$-continuïteit van beide leden via Plancherel)

$$
\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf
1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf
1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):
$$

een trapezium van hoogte $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$: dus $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ voor elke $n$. Maar op $[1, n]$ is $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$, dus

$$
\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x
\geq c\ln n
$$

(bogen tellen, als in [Stelling 8.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#thm-b3-banach-fourierdiverge)). De afschatting $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ faalt voor grote $n$: dus niet surjectief. (Het beeld is — met argumenten van het type Stone–Weierstrass — een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior), maar echte deelruimte van $\mathcal C_0$.)

**Oefening 14.7 ★★.**

(Woordenboek gladheid $\leftrightarrow$ verval) Bewijs: is $f \in
L^1$ met $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ voor een $\delta > 0$, dan heeft $f$ een $\mathcal
C^k$-vertegenwoordiger. Omgekeerd impliceert $f \in \mathcal
C^k_c$ dat $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k})$. Illustreer beide richtingen op de tentfunctie.

**Oplossing van Oefening 14.7.**

Is $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$, dan is $\xi^j\hat f
\in L^1$ voor $0 \leq j \leq k$ ([integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) op oneindig wegens het verval, lokaal wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\hat f$). De inversie ([Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) vertegenwoordigt $f$ b.o. door $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$, en differentiëren onder de integraal (dominanten $\abs{\xi^j\hat f}$) maakt die vertegenwoordiger $\mathcal C^k$. Omgekeerd, voor $f \in \mathcal C_c^k$: iteratie van [Propositie 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(4) geeft $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$, dus $\abs{\hat f} \leq
\norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$. Tentfunctie: [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager ($k = 0$: begrensde getransformeerde), en haar getransformeerde $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ levert volgens de eerste richting een $\mathcal
C^0$-vertegenwoordiger — allebei scherp: de tent is niet $\mathcal C^1$, en haar getransformeerde vervalt niet sneller dan $\xi^{-2}$.

**Oefening 14.8 ★★★.**

(Ongelijkheid van Heisenberg) Bewijs voor reële $f \in \mathcal
S(\R)$ met $\norm f_2 = 1$ dat

$$
\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot
\Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr)
\;\geq\; \frac14 ,
$$

met gelijkheid voor gaussische functies. *(Schrijf $1 = \int
f^2 = -\int x\,(f^2)'$ met partiële integratie, schat af met Cauchy–Schwarz en zet $\norm{f'}_2$ om met Plancherel.)* Interpretatie: een signaal en zijn spectrum kunnen niet allebei geconcentreerd zijn.

**Oplossing van Oefening 14.8.**

Partiële integratie ($f \in \mathcal S$; de randtermen verdwijnen):

$$
1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int
x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .
$$

Plancherel en $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$ geven $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$. Kwadrateren van het bovenstaande:

$$
\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi}
\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .
$$

Gelijkheid vereist gelijkheid in Cauchy–Schwarz: $f' = \lambda
xf$ met $\lambda < 0$ ([integreerbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1)), dat wil zeggen $f(x) =
c\,\eu^{\lambda x^2/2}$: de gaussische functies. Een signaal dat in $x$ geconcentreerd is (kleine $\norm{xf}_2$) moet een uitgesmeerd spectrum hebben, en omgekeerd: het onzekerheidsbeginsel.

**Oefening 14.9 ★★.**

Rechtvaardig [Voorbeeld 14.10](#ex-b3-fouriertransform-theta) in detail (de hypothesen van Poisson voor de gaussische functie), en gebruik de identiteit om $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ met drie termen tot op zes decimalen te bepalen. Hoeveel termen van de *definiërende* reeks zou dezelfde nauwkeurigheid vergen bij $t = 10^{-2}$, tegenover de getransformeerde reeks?

**Oplossing van Oefening 14.9.**

De gaussische functie $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ligt in $\mathcal
S$, dus is [Stelling 14.9](#thm-b3-fouriertransform-poisson) van toepassing, en $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$; in $\xi = 2\pi k$ wordt het rechterlid $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$: de identiteit van de thètafunctie. Bij $t = 1$:

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} +
\cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,
$$

nauwkeurig tot op $6$ decimalen met drie termen ($\eu^{-9\pi}
\approx 5\cdot10^{-13}$). Bij $t = 10^{-2}$: de definiërende reeks vereist $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$, dus $n \gtrsim 23$ — ongeveer $47$ termen — terwijl de getransformeerde reeks $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$ is, waarin de term voor $k = 1$ al $\sim 10^{-136}$ is: één term volstaat.

**Oefening 14.10 ★★.**

(Bandbegrensde functies) Zij $f \in L^2(\R)$ met $\mathcal Ff$ met drager in $\intcc{-\pi}\pi$. Toon aan dat $f$ een vertegenwoordiger heeft waarvan elke waarde uit monsters kan worden teruggewonnen: bewijs de *interpolatie van Shannon* in de gehele getallen,

$$
f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\,
\frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)}
\quad\text{in } L^2,
$$

door $\mathcal Ff$ te ontwikkelen in de fourierbasis van $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ ([Stelling 13.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-fourier)) en term voor term terug te transformeren.

**Oplossing van Oefening 14.10.**

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq
L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ (eindige [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure)), dus geeft de inversie de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vertegenwoordiger $f(x) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, met

$$
f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal
Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal
Ff\rangle
$$

in de notatie van [Stelling 13.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-fourier). Ontwikkeling in die [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb): $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu n\xi}$ in $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$. Pas de $L^2$-continue $\mathcal F^{-1}$ term voor term toe:

$$
\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf
1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x)
= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi
= \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,
$$

wat $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ in $L^2$ geeft: een bandbegrensd signaal ligt vast door zijn monsters in de gehele getallen — de bemonsteringsstelling van Shannon.

**Oefening 14.11 ★★.**

(De transformatie als operator van orde vier) Stel op $\mathcal
S(\R)$ $\mathcal F f = \hat f$. (a) Toon met de inversieformule aan dat $(\mathcal F^2f)(x) =
2\pi\,f(-x)$, en leid $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\, \mathrm{id}$ af. (b) Leid af dat elke eigenwaarde van $\mathcal F$ op $\mathcal S$ in $\{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ ligt, en geef een eigenfunctie voor $+\sqrt{2\pi}$ *(welke functie uit dit hoofdstuk is evenredig met haar eigen getransformeerde?)*. (c) Toon aan dat even functies voldoen aan $\mathcal F^2f = 2\pi
f$ en oneven aan $\mathcal F^2f = -2\pi f$; maak uit $x\eu^{-x^2/2}$ een eigenfunctie voor de eigenwaarde $-\iu\sqrt{2\pi}$ door haar getransformeerde te berekenen (differentieer de getransformeerde van de gaussische functie).

**Oplossing van Oefening 14.11.**

(a) Inversie op $\mathcal S$: $f(x) = \frac1{2\pi}\int\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$, dat wil zeggen $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$. Tweemaal toegepast: $\mathcal F^4f = 2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) =
(2\pi)^2f$.

(b) Is $\mathcal Ff = \lambda f$ met $f \neq 0$, dan is $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$, dus $\lambda^4 =
(2\pi)^2$: $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$. De gaussische functie $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ heeft $\hat g =
\sqrt{2\pi}\,g$ ([Voorbeeld 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) bij $a =
\frac12$): een eigenfunctie voor $+\sqrt{2\pi}$.

(c) $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ is $\pm2\pi f$ naargelang de pariteit. Voor $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$: differentiëren van $\hat
g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ met de regel $\widehat{xf} =
\iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$ geeft

$$
\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi}
\eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2}
= -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :
$$

een eigenfunctie voor $-\iu\sqrt{2\pi}$. (De hermitefuncties zetten het patroon voort en doorlopen cyclisch de vier eigenwaarden — de discrete klok van Fourier.)

**Oefening 14.12 ★★.**

(Autocorrelatie en het lemma van Wiener) Definieer voor $f \in
L^2(\R)$ $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ en de *autocorrelatie* $A_f = f * \tilde f$. (a) Toon aan dat $A_f$ een begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functie is met $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ voor alle $x$ ([Oefening 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#exo-b3-lp-6) en Cauchy–Schwarz). (b) Toon, eerst voor $f \in L^1\cap L^2$, aan dat $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$: de autocorrelatie heeft een niet-negatieve getransformeerde — de spectra van autocorrelaties zijn vermogensspectra. (c) Leid de identiteit $\int_\R\abs{\hat f(\xi)}^2\eu^{\iu
x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ af (inversie; rechtvaardig haar toepasbaarheid wanneer $\hat f \in L^2$ voldoet aan $\abs{\hat
f}^2 \in L^1$), en evalueer haar voor $f = \mathbf
1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ in $x = 0$: vind opnieuw $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$.

**Oplossing van Oefening 14.12.**

(a) $\tilde f \in L^2$ met $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$; [Oefening 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#exo-b3-lp-6) (toegevoegde exponenten $p = q = 2$) maakt $A_f = f * \tilde f$ begrensd en uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), met

$$
A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y,
\qquad A_f(0) = \norm f_2^2,
\qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot -
x)}_2 = A_f(0)
$$

volgens Cauchy–Schwarz.

(b) Voor $f \in L^1\cap L^2$ ligt ook $\tilde f$ in $L^1$, en de convolutiestelling geeft $\widehat{A_f} = \hat f\,
\widehat{\tilde f}$; en de berekening $\widehat{\tilde f}(\xi) =
\int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \overline{\int
f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} = \overline{\hat f(\xi)}$ geeft $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$.

(c) Is $\abs{\hat f}^2 \in L^1$, dan is de inversie van toepassing op de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $A_f$ (haar getransformeerde is [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1); [Stelling 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)):

$$
A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2
\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .
$$

Voor $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ is $\hat f(\xi) =
\frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$, en in $x =
0$:

$$
1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R
\Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi
= \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u
$$

($\xi = 2u$), dat wil zeggen $\int_\R\bigl(\frac{\sin
u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ — de lievelingsintegraal van Plancherel, teruggevonden met de autocorrelatie.

## 14.6 Probleem: de warmtevergelijking op de lijn

**Probleem 14.1.**

Weekendopgave — $\partial_tu =
\partial^2_{xx}u$, van begin tot eind opgelost

Warmte verspreidt zich; de vergelijking $\partial_tu =
\partial_{xx}^2u$ zegt dat haar [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) diffundeert met een snelheid die door de lokale kromming van het temperatuurprofiel wordt gegeven. We lossen het beginwaardeprobleem op $\R$ op — gegeven $f$, zoek $u(t, x)$ voor $t > 0$ met $u(0, \cdot) = f$ — bewijzen de opmerkelijke eigenschappen van de oplossing, en zien waarom de tijd niet omkeerbaar is. Overal is $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ de *warmtekern* en $u(t, \cdot) = g_t * f$.

**Deel I — De kern afleiden.** Werk eerst formeel: stel dat $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ de vergelijking oplost, en zij $\hat u(t, \xi)$ de getransformeerde in $x$.

1. Toon (formeel) aan dat $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , dus $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , en herken $u(t) = g_t * f$ ( [Oefening 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4) ). Dat motiveert de *definitie* van $u$ ; alles wordt nu rechtstreeks bewezen, voor $f \in \mathcal C_b(\R)$ (begrensd [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ) of $f \in L^p$ .

**Deel II — Verificatie.**

2. Toon aan dat voor $t > 0$ de uitdrukking $u(t, x) = \int  g_t(x-y)f(y)\dd y$ goed gedefinieerd is voor $f \in  \mathcal C_b$ , en dat $u$ $\mathcal C^\infty$ is in $(t,  x)$ op $\intoo0\infty\times\R$ *(differentieer onder de integraal; domineer de gaussische afgeleiden lokaal uniform in $(t,x)$)* .
3. Ga met een rechtstreekse berekening $\partial_tg_t =  \partial^2_{xx}g_t$ na, en leid $\partial_tu =  \partial^2_{xx}u$ af voor $t > 0$ .
4. (Beginvoorwaarde) Toon aan dat voor $f \in \mathcal C_b$ $u(t, x) \to f(x)$ als $t \to 0^+$ , uniform op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen *(benaderende eenheid: splits $\abs y  \leq \delta$ en $\abs y > \delta$)* ; toon voor $f \in  L^p$ ( $p < \infty$ ) aan dat $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
5. (Ogenblikkelijk gladstrijken) Besluit: zelfs voor louter begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ is de oplossing $\mathcal C^\infty$ voor elke $t > 0$ — warmte wist ruwheid ogenblikkelijk uit. Bereken $u(t, \cdot)$ expliciet voor $f = \mathbf  1_{\intoo0\infty}$ (een foutfunctie) en schets haar profiel voor drie waarden van $t$ .

**Deel III — Structurele eigenschappen.**

6. (Positiviteit en vergelijking) Is $f \geq 0$ , dan is $u >  0$ voor alle $t > 0$ (strikt, tenzij $f = 0$ b.o.); is $f_1 \leq f_2$ , dan is $u_1 \leq u_2$ . Een koude plek warmt ogenblikkelijk op: becommentarieer.
7. (Behoud) Voor $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x = \int f$ voor alle $t$ *(Tonelli)* — de totale warmte blijft behouden.
8. (Dissipatie) Toon voor $f \in L^1\cap L^2$ met Plancherel aan dat $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ niet-stijgend is, strikt dalend tenzij $f = 0$ , en bereken haar limiet als $t \to \infty$ . Toon bovendien $\norm{u(t)}_\infty \leq  \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ aan: warmte verspreidt zich en sterft.
9. (Uniciteit, klasse $L^2$ ) Zij $u$ een oplossing met $u(t)  \in L^2$ voor alle $t$ , $u \in \mathcal  C^1(\intoo0\infty, L^2)$ in de natuurlijke zin en $u(t)  \to f$ in $L^2$ als $t\to0$ ; aannemend dat de transformatie haar omzet in $\partial_t\hat u =  -\xi^2\hat u$ puntsgewijs b.o. in $\xi$ voor b.o. $t$ *(gerechtvaardigd door te testen tegen $\mathcal  C_c^\infty$ in $\xi$ — schets dat)* , toon aan dat $\hat  u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , en dus de uniciteit in deze klasse.

**Deel IV — De pijl van de tijd.**

10. Toon aan dat het *achterwaartse* probleem slecht gesteld is: opdat de oplossing op tijdstip $-s$ ( $s > 0$ ) met gegeven $f$ op tijdstip $0$ zou bestaan — dat wil zeggen opdat $f = g_s * h$ een oplossing $h \in L^2$ zou hebben — is het nodig dat $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in  L^2$ : een extreme vervalvoorwaarde op $\hat f$ . Geef een expliciete gladde $f \in L^2$ waarvoor op geen enkel tijdsinterval een achterwaartse oplossing bestaat: neem de functie met $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ — identificeer $f$ ( [Oefening 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1) ) en toon aan dat $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ voor elke $s > 0$ .
11. (Gladstrijken tegenover informatie) Leg in een korte alinea uit, met de vragen 5, 9 en 10, waarom de warmtehalfgroep $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ injectief maar niet surjectief is op $L^2$ , en waarom dat de onomkeerbaarheid van de diffusie uitdrukt.

**Deel V — De bemonsteringsstelling van Shannon.** Een functie $f \in L^2(\R)$ heet *bandbegrensd* tot $\Omega$ als $\hat f = 0$ b.o. buiten $\intcc{-\Omega}\Omega$; noteer $PW_\Omega$ (de ruimte van Paley–Wiener) voor deze functies.

12. Toon aan dat elke $f \in PW_\Omega$ b.o. samenvalt met de $\mathcal C^\infty$ -functie $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\eu^{\iu  x\xi}\,\dd\xi$ (rechtvaardig de gladheid en de identificatie), met alle afgeleiden begrensd: bandbegrenzing is een extreme vorm van regulariteit. Vanaf nu duidt $f$ deze vertegenwoordiger aan.
13. Ontwikkel $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ in de fourierbasis van dat interval en herken de coëfficiënten als *monsters* van $f$: $$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z}  f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\,  \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}  \quad\text{in } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$$
14. Leid de *bemonsteringsstelling* af: voor $f \in  PW_\Omega$ is $$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi}  \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),  \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$$ met convergentie in $L^2(\R)$ en uniform op $\R$ *(steek de reeks van vraag 13 in de inversieformule en bereken de elementaire integraal)*: een bandbegrensd signaal ligt [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) vast door zijn waarden op een rooster met stap $\pi/\Omega$ — de nyquistsnelheid.
15. Toon aan dat de functies $x \mapsto  \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , een orthogonale familie in $L^2(\R)$ vormen met constante norm $\sqrt{\pi/\Omega}$ , en leid de energie-identiteit $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ af.
16. (Aliasing) Geef een $g \neq 0$ in $PW_{2\Omega}$ die in elk monsterpunt $\frac{n\pi}\Omega$ verdwijnt *(beschouw $g(x) = \sin(\Omega  x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ en ga haar band na)* : bemonsteren onder de nyquistsnelheid verliest informatie — twee verschillende signalen kunnen al hun monsters delen: het stroboscopische wagenwieleffect, gewiskundigd.
17. (Vrijheidsgraden) Rechtvaardig met de vragen 14 en 15 de vuistregel van de ingenieur: een tot $\Omega$ bandbegrensd signaal waarvan de energie in wezen door een tijdvenster van lengte $T$ wordt gedragen, wordt door ongeveer $\frac{\Omega T}\pi$ reële monsters beschreven — maak “in wezen” precies met de energie-identiteit en de staart $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}$ .
18. (Consistentiecontroles) Ga de bemonsteringsstelling met de hand na op twee leden van $PW_\Omega$ : (a) $f =  \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , waarvan de monsters $\delta_{n0}$ zijn; (b) smalbandige signalen van het type $f(x) = \cos(\omega x) \operatorname{sinc}(\varepsilon  x)$ — toon preciezer aan dat voor $f \in PW_{\Omega'}$ met $\Omega' < \Omega$ ook de reeks met snelheid $\Omega$ $f$ reconstrueert (overbemonstering is onschadelijk), door $PW_ {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ in te bedden.

**Deel VI — Onzekerheid, nog tweemaal.** De ongelijkheid van Heisenberg ([Oefening 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8)) begrenst *hoe* geconcentreerd $f$ en $\hat f$ samen kunnen zijn; hier volgen haar alles-of-niets-zusje en haar exacte verzadiging.

19. Zij $f \in L^1$ met $\operatorname{supp}f \subseteq  \intcc{-A}A$. Toon aan dat $\hat f$ de som is van een overal convergente machtreeks: $$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}  \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x,  \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$$ *(ontwikkel $\eu^{-\iu\xi x}$ en rechtvaardig het verwisselen met de normale convergentie)*: de transformatie is *reëel-analytisch*, met in elk punt een oneindige convergentiestraal.
20. Leid de dichotomie van de dragers af: een reëel-analytische functie die op een niet-leeg open interval verdwijnt, verdwijnt identiek *(de verzameling waar alle afgeleiden verdwijnen is open en gesloten — werk het taylorargument uit)* ; besluit dat geen enkele $f \neq 0$ zowel $f$ als $\hat f$ met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager heeft, en dat $PW_\Omega$ geen enkele functie $\neq 0$ met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager bevat — bandbegrensde signalen duren eeuwig, en tijdbegrensde signalen lekken in alle frequenties.
21. (Verzadiging van Heisenberg) Bereken op de gaussische familie $f = \eu^{-ax^2}$ beide concentratiefactoren en ga na dat het genormeerde product $\bigl(\int x^2\abs  f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat  f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ voor *elke* $a$ gelijk is aan $\frac14$ — de gelijkheidsfamilie van [Oefening 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) in levenden lijve; leg met een schalingsargument uit waarom het product langs de familie constant moet zijn.
22. Geef de fysische lezing (dichtheden van positie en impuls van een kwantumtoestand; $\hbar$ in de normering geeft $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ ), en leg de verbanden door het hoofdstuk heen: ogenblikkelijk gladstrijken (Deel II), onomkeerbaarheid (Deel IV), bemonstering (Deel V), Heisenberg en de dichotomie van de dragers zijn vijf uitdrukkingen van één wet — het gedrag van $\hat f$ op oneindig schrijft voor wat $f$ waar dan ook mag doen.

**Deel VII — De algebra van de kern, en één [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) voorbeeld.**

23. (Halfgroep) Bewijs de *identiteit van Chapman–Kolmogorov* $g_t * g_s = g_{t+s}$ voor $t, s >  0$ (via de convolutiestelling en de injectiviteit van de transformatie op $L^1$), en leid $u(t + s) = g_s * u(t)$ af: evolueren gedurende $t + s$ is evolueren gedurende $t$, en daarna gedurende $s$. Scherp de dissipatie van vraag 8 aan: schrijf $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int  \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ en toon met Cauchy–Schwarz aan dat $$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2  \quad\text{convex is op } \intoo0{+\infty} :$$ de $L^2$-energie daalt niet alleen, ze daalt op een log-convexe manier.
24. (Waar de warmte heen gaat) Zij $f \geq 0$, $f \in L^1$, met $\int x^2f(x)\dd x < \infty$. Toon aan dat voor alle $t > 0$ $$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x,  \qquad  \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x  = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$$ het zwaartepunt van de warmte beweegt nooit, en de variantie groeit *lineair* in de tijd — de diffusieve schaling $x \sim \sqrt{2t}$, te herlezen wanneer de brownse beweging in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability) opduikt. *(Bereken de eerste twee momenten van $g_t$ en gebruik Tonelli op de convolutie.)*
25. (De gaussische functie, van begin tot eind opgelost) Vestig voor $f(x) = \eu^{-x^2}$ de gesloten vorm $$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\,  \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$$ en ga er met de hand op na: de vergelijking $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$; het behoud $\int u(t) =  \sqrt\pi$; de dissipatiewet $\norm{u(t)}_2 =  (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (vergelijk haar verval als $t^{-1/4}$ met het verval als $t^{-1/2}$ van de supremumnorm uit vraag 8); en de exacte variantiegroei van vraag 24. Bij $t = 6$: de piek is gezakt tot $\frac15$ van zijn beginhoogte, terwijl het profiel vijf keer breder is — dezelfde warmte, uitgespreid.

**Oplossing van Probleem 14.1.**

**1.** De vergelijking in $x$ transformeren geeft (formeel) $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} =
(\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$, voor elke frequentie een differentiaalvergelijking in $t$: $\hat u(t,\xi) =
\eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$. Omdat $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ ([Oefening 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4)), is het product de getransformeerde van $g_t * f$.

**2.** $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm
f_\infty$: goed gedefinieerd. Op $[t_0, T]\times[-A, A]$ is elke gemengde afgeleide $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ een veelterm in $(x - y)$ en $t^{-1}$ maal $\eu^{-(x-y)^2/4t}$, voor $\abs y \geq 2A$ begrensd door $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y -
A)^2/4T}$, een [integreerbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) dominant die op het venster niet van $(t, x)$ afhangt (en begrensd voor $\abs y \leq 2A$): herhaald differentiëren onder de integraal ([Stelling 10.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) is dus van toepassing, en $u
\in \mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$.

**3.** Met $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$:

$$
\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr)
= \partial^2_{xx}g_t
$$

(tweemaal differentiëren naar $x$: $\partial_xg_t = -\frac
x{2t}g_t$ en $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} -
\frac1{2t}\bigr)g_t$). Volgens vraag 2 gaan de afgeleiden onder de integraal door: $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$.

**4.** $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) -
f(x)\bigr)\dd y$. Gegeven een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K$ en $\varepsilon$: de uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$ op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $K$ geeft een $\delta$ met $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ voor $x \in K$ en $\abs y \leq \delta$; de staart draagt hoogstens $2\norm
f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y$ bij, dat wil zeggen $2\norm f_\infty$ maal de massa voorbij $\delta$, gelijk aan $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z \to
0$ als $t \to 0$. Voor $f \in L^p$: $\norm{u(t) - f}_p \leq \int
g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (Minkowski of Jensen als in [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)), en splits op dezelfde manier met [Stelling 12.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-density)(3).

**5.** Het ogenblikkelijke gladstrijken is vraag 2 ($u(t)$ is $\mathcal C^\infty$ voor $t > 0$, zonder dat enige gladheid van $f$ werd gebruikt). Voor $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$:

$$
u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y
= \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z
= \frac12\Bigl(1 +
\operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr),
\qquad \operatorname{erf}(s) =
\frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :
$$

een gladgestreken sprong waarvan de overgangszone als $\sqrt t$ breder wordt (profielen bij $t_1 < t_2 < t_3$: steeds vlakkere hellingen door $(0, \frac12)$).

**6.** De integrand $g_t(x-y)f(y)$ is $\geq 0$ en de kern is strikt positief: $u(t,x) = 0$ zou $f = 0$ b.o. afdwingen. De monotonie in $f$ is de monotonie van de integraal. Een plek waar $f$ op een interval nul is, heeft daar toch $u(t, \cdot) > 0$ voor elke $t > 0$: warmte plant zich met oneindige snelheid voort (elke positiviteit ergens wordt overal ogenblikkelijk gevoeld).

**7.** Tonelli ($g_t(x-y)\abs{f(y)}$ is [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) op $\R^2$): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x - y)\dd
x\bigr)\dd y = \int f$.

**8.** Plancherel: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 =
\int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, niet-stijgend in $t$ (puntsgewijs), strikt dalend tenzij $\hat f = 0$ b.o. (dat wil zeggen $f = 0$), met limiet $0$ als $t\to\infty$ volgens de gedomineerde convergentie. En $\norm{u(t)}_\infty \leq
\norm{g_t}_\infty\norm f_1 = \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to
0$.

**9.** Voor $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ is $t \mapsto
\langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ $\mathcal C^1$ met afgeleide $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle = \langle\varphi,
\widehat{\partial_{xx}u}\rangle = \langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — preciezer: $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ draagt de vergelijking over. Vervolgens heeft voor b.o. $\xi$ de absoluut [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functie $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ afgeleide $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ in de geïntegreerde zin: ze is constant, en $t \to 0$ laten gaan ($\hat u(t) \to \hat f$ in $L^2$, b.o. langs een deelrij) geeft $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ b.o. Twee oplossingen in de klasse hebben dezelfde getransformeerde: ze zijn gelijk.

**10.** $f = g_s * h$ met $h \in L^2$ dwingt $\hat f =
\eu^{-s\xi^2}\hat h$ af, dat wil zeggen $\hat h =
\eu^{s\xi^2}\hat f \in L^2$. Neem $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$: dan is $f(x) = \frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ ([Oefening 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1), inversie), een volmaakt gladde $L^2$-functie; maar $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to \infty$: dus $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ voor elke $s > 0$. Het profiel van Cauchy is *nooit* het resultaat van eerdere diffusie.

**11.** De warmtehalfgroep vermenigvuldigt de getransformeerden met $\eu^{-t\xi^2}$, dat nergens verdwijnt: injectief — formeel wordt geen enkele informatie vernietigd. Maar haar beeld bestaat uit functies waarvan de getransformeerden als $\eu^{-t\xi^2}$ vervallen: een minuscule, [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) maar echte deelruimte van $L^2$ (vraag 10 toont dat zelfs uitstekende functies er buiten liggen). Inverteren zou de frequentie $\xi$ met $\eu^{t\xi^2}$ versterken: onbegrensd, en dus onstabiel voor elke verstoring. Diffusie is onomkeerbaar niet omdat de afbeelding vergeet, maar omdat haar inverse niet [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) kan zijn — een pijl van de tijd, gemaakt van functionaalanalyse.

**12.** $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) \subseteq
L^1$ (Cauchy–Schwarz op een begrensd interval), dus is $F(x) =
\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$ overal gedefinieerd, en differentiëren onder de integraal (gedomineerd door $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ op de band) maakt haar $\mathcal C^\infty$ met overal $\abs{F^{(k)}}
\leq \frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$. En $F = f$ b.o.: beide leden hebben dezelfde getransformeerde, en de transformatie is injectief op $L^2$ ([Stelling 14.8](#thm-b3-fouriertransform-plancherel) en haar $L^2$-uitbreiding).

**13.** De exponentiëlen $\xi \mapsto \eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}$, $n \in \Z$, vormen een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb) van $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ ([Stelling 13.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-fourier), herschaald). De coëfficiënt van $\hat f$ langs de $n$-de is

$$
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi
= \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot
\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),
$$

volgens de formule van vraag 12 in $x = \frac{n\pi}\Omega$: de vermelde ontwikkeling geldt in $L^2$ van de band.

**14.** Voer de ontwikkeling in in de inversieformule van vraag 12; het verwisselen van som en integraal is de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van de $L^2$-paring tegen $\frac1{2\pi} \eu^{\iu
x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (met $L^2$-norm $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$, onafhankelijk van $x$ — vandaar de uniformiteit):

$$
f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)
\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),
$$

want $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu u\xi}\dd\xi =
\frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$.

**15.** De berekening van vraag 14 achterstevoren gelezen geeft dat de getransformeerde van $s_n =
\operatorname{sinc}(\Omega\cdot - n\pi)$ gelijk is aan $\hat s_n
= \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf
1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$. Plancherel:

$$
\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi}
\Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi =
\frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :
$$

een orthogonale familie met constante norm $\sqrt{\pi/\Omega}$. Normen nemen in de ontwikkeling van vraag 14: $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$.

**16.** $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc} (\Omega x)
= \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ verdwijnt in elk roosterpunt $\frac{n\pi}\Omega$ (ook in $0$, met de limiet) en is niet identiek nul. Haar band: schrijf $g = \frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu
\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega
x)$; modulatie met $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ verschuift de getransformeerde over $\mp\Omega$, dus heeft $\hat g$ drager in $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (zelfs in de vereniging van twee verschoven banden): $g \in PW_{2\Omega}$, onzichtbaar voor bemonstering met snelheid $\Omega$ — aliasing in levenden lijve.

**17.** Volgens vraag 15 dragen de monsters de energie democratisch: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$. Is de energie van het signaal buiten het tijdvenster $\intcc{-T/2}{T/2}$ hoogstens $\varepsilon^2\norm
f^2$, dan voldoen de monsters buiten het venster (op randtermen na, beheerst door de uniforme afschatting van vraag 12) aan $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x >
T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$: de bemonsteringsreeks afknotten tot de ongeveer $\frac{\Omega T}\pi$ indices binnen het venster reconstrueert $f$ op een relatieve fout $\approx
\varepsilon$ na. Bijgevolg telt het product van tijd en bandbreedte $\frac{\Omega T}{\pi}$ de effectieve reële vrijheidsgraden van het signaal — de regel achter elk audioformaat.

**18.** (a) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ heeft monsters $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) = \delta_{n0}$: de reeks reduceert tot haar term voor $n = 0$, $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — de stelling reproduceert haar eigen kern. (b) Heeft $\hat f$ drager in $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq \intcc{-\Omega}\Omega$, dan loopt elke stap van de vragen 13 en 14 woordelijk door met de grotere band $\Omega$ (de ontwikkeling van $\hat f$ op het grotere interval blijft geoorloofd): sneller bemonsteren dan de eigen nyquistsnelheid verandert niets aan de reconstructie — overbemonstering is onschadelijk, en in de praktijk gunstig (er kunnen dan sneller vervallende reconstructiekernen worden gebruikt).

**19.** Ontwikkel $\eu^{-\iu\xi x} = \sum_k\frac{(-\iu\xi
x)^k}{k!}$ binnen de integraal; op $\intcc{-A}A$ convergeert de reeks normaal ($\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$), dus is term voor term integreren geoorloofd:

$$
\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k,
\qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .
$$

Die afschatting laat de reeks voor elke complexe $\xi$ convergeren; rond elk punt $\xi_0$ geeft hergroeperen (absolute convergentie) een machtreeks in $\xi - \xi_0$: dus is $\hat f$ overal reëel-analytisch met oneindige straal.

**20.** Zij $g$ reëel-analytisch op $\R$ (haar taylorreeks convergeert nabij elk punt naar $g$) en $Z = \{\xi :
g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$. $Z$ is gesloten (doorsnede van gesloten verzamelingen); ze is open, want in $\xi_0 \in Z$ is de lokale taylorontwikkeling van $g$ de nulreeks, zodat $g$ nabij $\xi_0$ identiek verdwijnt, samen met al haar afgeleiden. Verdwijnt $g$ op een interval, dan is $Z \neq \varnothing$; en wegens de [samenhang](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) van $\R$ is $Z = \R$: dus $g \equiv 0$. Had nu een $f \neq 0$ [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager samen met $\hat f$: vraag 19 maakt $\hat f$ reëel-analytisch, en ze verdwijnt buiten een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling, dus op intervallen: bijgevolg $\hat f
\equiv 0$, zodat $f = 0$ b.o. wegens de injectiviteit — tegenspraak. Evenzo kan een $f \neq 0$ in $PW_\Omega$ geen [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager hebben (verwissel de rollen van $f$ en $\hat f$ met de inversie): bandbegrensde signalen sterven nooit, tijdbegrensde signalen bezetten een onbegrensd spectrum.

**21.** Voor $f = \eu^{-ax^2}$ is $\norm f_2^2 =
\sqrt{\frac\pi{2a}}$ en $\int x^2\abs f^2 =
\frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (het tweede moment van de gaussische functie); verder is $\hat f = \sqrt{\frac\pi
a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ ([Voorbeeld 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian)) en

$$
\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi =
\frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2
\eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a}
= \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .
$$

Genormeerd product: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot
\frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$, onafhankelijk van $a$. De schaling verklaart die constantheid: $f$ door $f(\lambda\cdot)$ vervangen vermenigvuldigt $\int x^2\abs
f^2/\norm f^2$ met $\lambda^{-2}$ en $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat
f}^2/\norm f^2$ met $\lambda^{2}$: het product is een dilatatie-invariant, en de gaussische functies vormen één dilatatiebaan.

**22.** Met $\abs f^2$ als positiedichtheid en $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ als impulsdichtheid van een kwantumtoestand (de fysische eenheden voeren $\hbar$ in) luidt [Oefening 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) $\sigma_x\sigma_p \geq
\frac\hbar2$: geen enkele toestand is scherp in beide observabelen. Doorheen het hoofdstuk draagt één wet vijf pakken: warmte strijkt ogenblikkelijk glad omdat $\eu^{-t\xi^2}$ de hoge frequenties vernietigt (Deel II); de stroming kan niet achterwaarts lopen omdat ze herstellen onbegrensd is (Deel IV); een bandbegrensd signaal is stijf genoeg om op een aftelbaar rooster te leven (Deel V); geen enkele functie duikt onder de bodem van Heisenberg; en geen enkele functie heeft aan beide zijden van de transformatie [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager (vragen 19 en 20). Wat $\hat f$ op oneindig doet, regeert wat $f$ waar dan ook mag doen.

**23.** Zowel $g_t$ als $g_s$ ligt in $L^1$ met $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (de berekening van vraag 1), dus geeft de convolutiestelling $\widehat{g_t * g_s} =
\eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \eu^{-(t+s)\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$; twee $L^1$-functies met dezelfde getransformeerde vallen b.o. samen (injectiviteit, via de inversiestelling — hier zijn beide leden [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), dus vallen ze overal samen): $g_t * g_s = g_{t+s}$. Bijgevolg is $u(t + s) =
g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (associativiteit van de convolutie, Tonelli). Log-convexiteit: zij $N(t) =
\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat
f}^2\dd\xi$ (Plancherel, vraag 8). Voor $t = \frac{t_1 + t_2}2$ schrijf je

$$
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2
= \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},
$$

en Cauchy–Schwarz geeft $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq
\sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$: dus is $\ln N$ convex in het midden, en omdat ze [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is (gedomineerde convergentie in $t$), convex; en dus ook $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$. Verval met een convexe logaritme: de warmtestroming kan geen energie in een uitbarsting verliezen om daarna stil te vallen.

**24.** De momenten van de kern: $\int g_t = 1$ (vraag 7 met $f = g_s$, of rechtstreeks de gaussische integraal), $\int
x\,g_t(x)\dd x = 0$ (oneven integrand), en, met de substitutie $x
= 2\sqrt t\,v$,

$$
\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x
= \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .
$$

Substitueer $x = z + y$ in de convolutie en merk op dat $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (elk van $\int\abs z^kg_t$ en $\int\abs y^kf$ is eindig voor $k \leq
2$, met $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$); Fubini en Tonelli zijn dan van toepassing op de momentintegralen hieronder:

$$
\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd
y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,
$$

wat de eerste bewering is; en

$$
\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y
= 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,
$$

de tweede. Gemiddelden tellen op, varianties tellen op, en de kern draagt gemiddelde $0$ en variantie $2t$ bij: na tijd $t$ heeft de warmte zich over een breedte van de orde $\sqrt{2t}$ verspreid — de afstand groeit als de vierkantswortel van de tijd, het handschrift van de diffusie (en van de brownse paden van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability)).

**25.** Aan de kant van de transformatie: $\hat f(\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$, dus $\hat u(t,\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$, en dat is de getransformeerde van $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (het gaussische woordenboek $\eu^{-ax^2} \mapsto
\sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ met $a = \frac1{1+4t}$): de gesloten vorm. Rechtstreekse controle, met $\sigma = 1 + 4t$:

$$
\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma}
\Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr)
= \partial^2_{xx}u ,
$$

beide leden berekend uit $\partial_xu = -\frac{2x}\sigma\,u$. Behoud: $\int u(t) = \sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ voor alle $t$. Dissipatie:

$$
\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x
= \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2}
= \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},
$$

dus $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$, niet-stijgend met convexe logaritme (vraag 23); de $L^2$-norm vervalt als $t^{-1/4}$, precies de helft van de exponent $t^{-1/2}$ van $\norm{u(t)}_\infty$ — in overeenstemming met $\norm u_2^2 \leq
\norm u_\infty\norm u_1$ en het behoud van $\norm u_1$. Variantie: $\int x^2u(t) = \frac1\sigma\cdot
\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 = \frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int
x^2f + 2t\sqrt\pi$, zoals vraag 24 voorspelt ($\int x^2f =
\frac{\sqrt\pi}2$, $\int f = \sqrt\pi$). Bij $t = 6$: $\sigma =
25$, piekhoogte $u(6, 0) = \frac15$ tegenover $u(0,0) = 1$, een breedteschaal $\sqrt\sigma = 5$ maal de aanvankelijke, en de hele tijd $\int u = \sqrt\pi \approx 1.7725$: de vlek is vijf keer lager, vijf keer breder, en er ontbreekt geen enkele calorie.