--- title: "Compacte operatoren en de spectraalstelling" book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3" subject: math language: nl chapter: 15 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling --- # Hoofdstuk 15 — Compacte operatoren en de spectraalstelling Diagonaliseren is het kroonjuweel van de eindigdimensionale lineaire algebra: een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. In oneindige dimensie faalt dat voor begrensde [zelftoegevoegde operatoren](#def-b3-spectral-selfadjoint) in het algemeen — vermenigvuldiging met $x$ op $L^2(\intcc01)$ heeft *helemaal geen* eigenwaarden ([Oefening 15.6](#exo-b3-spectral-6)) — maar het overleeft, in volmaakte vorm, voor de operatoren die *bijna eindigdimensionaal* zijn: de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). De spectraalstelling voor [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde operatoren](#def-b3-spectral-selfadjoint) is de meest gebruikte stelling van de toegepaste functionaalanalyse: ze diagonaliseert integraalvergelijkingen, drijft het [alternatief van Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) aan en lost (in de weekendopgave) de trillende snaar op, waarbij ze de sinusbasis van de fourieranalyse uit pure operatortheorie voortbrengt — met Eulers $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ als afscheidsgeschenk uit een spoorformule. Overal is $H$ een [hilbertruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner) over $\C$ (of $\R$; de uitspraken passen zich aan), en zijn de operatoren begrensd. ## 15.1 Compacte operatoren **Definitie 15.1.** $T \in \mathcal L(E, F)$ ($E, F$ banach) heet *compact* als het beeld $T(B)$ van de eenheidsbal relatief compact is in $F$ — gelijkwaardig: als elke begrensde rij $(x_n)$ een deelrij heeft waarvoor $(Tx_{n_k})$ convergeert. Operatoren van eindige rang zijn compact (begrensde verzamelingen in eindige dimensie); de identiteit van een oneindigdimensionale ruimte is dat nooit (de stelling van Riesz, volume van bachelorjaar 2). **Propositie 15.2.** De [compacte operatoren](#def-b3-spectral-compact) $\mathcal K(E, F)$ vormen een gesloten deelruimte van $\mathcal L(E, F)$ en een tweezijdig [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal): is $S$ [compact](#def-b3-spectral-compact), dan zijn $AS$ en $SB$ [compact](#def-b3-spectral-compact) voor begrensde $A, B$. Bovendien is in een [hilbertruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner) elke [compacte operator](#def-b3-spectral-compact) een limiet in norm van operatoren van eindige rang. **Bewijs.** Deelruimte: duidelijk uit de karakterisering met rijen. [Ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal): begrensde afbeeldingen sturen convergente rijen naar convergente en begrensde naar begrensde. Geslotenheid: zij $T_n \to T$ met $T_n$ [compact](#def-b3-spectral-compact), en $(x_k)$ begrensd door $1$; een diagonaalextractie maakt $(T_nx_{k_j})_j$ convergent voor elke $n$; dan is $(Tx_{k_j})$ cauchy, want $$ \norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} , $$ waarbij je eerst $n$ kiest en dan de indices. Benadering in [hilbertruimten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner): zij $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) en $K = \overline{T(B)}$ [compact](#def-b3-spectral-compact); overdek $K$ bij gegeven $\varepsilon$ met eindig veel ballen $B(y_i, \varepsilon)$ en zij $P$ de orthogonale projectie op $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (gesloten: eindigdimensionaal). Dan heeft $PT$ eindige rang, en voor $\norm x \leq 1$ geldt, met een $y_i$ waarvoor $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$, $$ \norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon $$ ($y_i = Py_i$; $\vertiii P \leq 1$): dus $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$. ∎ **Voorbeeld 15.3.** (a) Diagonaaloperatoren op $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ is [compact](#def-b3-spectral-compact) dan en slechts dan als $\lambda_n \to 0$ ([Oefening 15.2](#exo-b3-spectral-2)). (b) Kernoperatoren op $\mathcal C(\intcc01)$: [compact](#def-b3-spectral-compact) volgens Ascoli ([Oefening 7.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7)). (c) *Hilbert-schmidtoperatoren*: voor $k \in L^2(\intcc01^2)$ definieert $$ (T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y $$ een [compacte operator](#def-b3-spectral-compact) op $L^2(\intcc01)$ met $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ ([Oefening 15.4](#exo-b3-spectral-4): de basisontwikkeling van $k$ afknotten toont $T_k$ als limiet van operatoren van eindige rang). ## 15.2 Zelftoegevoegde operatoren **Definitie 15.4.** $T \in \mathcal L(H)$ heet *zelftoegevoegd* als $T = T^*$ ([Oefening 13.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#exo-b3-hilbert-8)), dat wil zeggen $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ voor alle $x, y$. Dan is $\langle x, Tx\rangle \in \R$ voor elke $x$ (gelijk aan haar toegevoegde). **Propositie 15.5.** Voor [zelftoegevoegde](#def-b3-spectral-selfadjoint) $T$ geldt $$ \vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} . $$ De eigenwaarden van $T$ zijn reëel, en eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar. **Bewijs.** Zij $M$ het supremum; $M \leq \vertiii T$ volgens Cauchy–Schwarz. Omgekeerd geeft de identiteit van polarisatietype $$ \langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle $$ (ontwikkel; de kruistermen $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ wegens de [zelftoegevoegdheid](#def-b3-spectral-selfadjoint)), samen met de parallellogramwet, $$ 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr). $$ Neem voor $\norm x = 1$ met $Tx \neq 0$ $y = Tx/\norm{Tx}$: $4\norm{Tx} \leq 4M$. Dus $\vertiii T \leq M$. Eigenwaarden: uit $Tx = \lambda x$ met $x \ne 0$ volgt $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$. Orthogonaliteit: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ met $\lambda \neq \mu$ reëel. ∎ ## 15.3 De spectraalstelling **Lemma 15.6 (Bestaan van een extreme eigenwaarde).** Zij $T \neq 0$ [compact](#def-b3-spectral-compact) en [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint). Dan is $\vertiii T$ of $-\vertiii T$ een eigenwaarde van $T$. **Bewijs.** Kies volgens [Propositie 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) eenheidsvectoren $x_n$ met $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$, waarbij $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (ga over op een deelrij om het teken vast te leggen). Dan is $$ \norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 . $$ Wegens de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) convergeert een deelrij $Tx_{n_k} \to y$; dan is $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$, dus $x_{n_k} \to x = y/\mu$, een eenheidsvector, en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) geeft $Tx = \mu x$. ∎ **Stelling 15.7 (Spectraalstelling voor compacte zelftoegevoegde operatoren).** Zij $T$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde operator](#def-b3-spectral-selfadjoint) op een [hilbertruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner) $H$. 1. $H$ laat een orthonormaal stelsel $(e_n)_{n \in N}$ ($N$ eindig of aftelbaar) van eigenvectoren van $T$ toe, met reële eigenwaarden $(\lambda_n) \neq 0$, zodat $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$$ en $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$. 2. Is $N$ oneindig, dan is $\lambda_n \to 0$ ; voor elke $\delta > 0$ hebben slechts eindig veel $n$ $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , en elke eigenruimte $\ker(T - \lambda)$ met $\lambda \neq 0$ is eindigdimensionaal. 3. $(e_n)$ aanvullen met een orthonormale basis van $\ker T$ levert, wanneer $H$ separabel is, een orthonormale basis van $H$ die uit eigenvectoren bestaat: $T$ is gediagonaliseerd. **Bewijs.** Eerst (2). Hadden oneindig veel orthonormale eigenvectoren $x_k$ $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$, dan is $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (orthogonaliteit, Pythagoras): geen enkele convergente deelrij van $(Tx_k)$, in tegenspraak met de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) van $T$ op de begrensde $(x_k)$. Dat begrenst voor elke $\delta$ de totale multipliciteit van de eigenwaarden buiten $\intoo{-\delta}\delta$ door een eindig getal; de aftelbaarheid en $\lambda_n \to 0$ volgen. (1) Zij $H_0$ het gesloten opspansel van *alle* eigenvectoren met eigenwaarde $\neq 0$, geordend (met (2) en Gram–Schmidt binnen elke eindigdimensionale eigenruimte, en de orthogonaliteit tussen eigenruimten uit [Propositie 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)) tot een orthonormaal stelsel $(e_n)$ met eigenwaarden $\lambda_n \neq 0$. $T$ beeldt $H_0$ in $H_0$ af, en ook $H_0^\perp$ in $H_0^\perp$: voor $y \perp H_0$ en $e$ een eigenvector is $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$. De beperking $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ is [compact](#def-b3-spectral-compact) en [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) op de [hilbertruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$; was $T' \neq 0$, dan zou [Lemma 15.6](#lem-b3-spectral-existence) binnen $H_0^\perp$ een eigenvector van $T$ met eigenwaarde $\neq 0$ voortbrengen — onmogelijk, want zulke vectoren wonen in $H_0$. Dus $T' = 0$: $H_0^\perp \subseteq \ker T$. Omgekeerd staat $\ker T$ loodrecht op elke $e_n$ ($\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$): $\ker T \subseteq H_0^\perp$, waaruit $\ker T = H_0^\perp$ en de orthogonale ontbinding volgen. De ontwikkeling: voor $x = z + \sum_nc_ne_n$ ($z \in \ker T$, $c_n = \langle e_n, x\rangle$; [Stelling 13.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval)(1) op $H_0$) geeft de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $T$ dat $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$. (3) $\ker T$, een gesloten deelruimte van een separabele ruimte, is separabel: ze heeft een orthonormale basis ([Propositie 13.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#prop-b3-hilbert-gramschmidt)); de vereniging is wegens de ontbinding in (1) een orthonormale basis van $H$. ∎ **Stelling 15.8 (Alternatief van Fredholm).** Zij $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) en [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en $\lambda \in \R\setminus\{0\}$. 1. Is $\lambda$ geen eigenwaarde, dan is $T - \lambda I$ bijectief met begrensde inverse: voor elke $f$ heeft de vergelijking $Tx - \lambda x = f$ precies één oplossing, die [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$ afhangt. 2. Is $\lambda$ een eigenwaarde, dan is $Tx - \lambda x = f$ [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) dan en slechts dan als $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , en de oplossing is uniek op die (eindigdimensionale) kern na. **Bewijs.** Ontbind $x = z + \sum c_ne_n$ en $f = w + \sum d_ne_n$ langs [Stelling 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ($z, w \in \ker T$). De vergelijking luidt $$ -\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N). $$ (1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$: volgens (2) van de spectraalstelling is $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (de eigenwaarden hopen zich enkel op in $0 \neq \lambda$). Los op: $z = -w/\lambda$ en $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$, met $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$: één unieke oplossing met $\norm x \leq C\norm f$. (2) $\lambda = \lambda_{n}$ voor $n$ in een eindige verzameling $F$: de [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ voor $n \in F$ vereist $d_n = 0$, dat wil zeggen $f \perp e_n$ ($n \in F$), oftewel $f \perp \ker(T - \lambda I)$; de $c_n$ met $n \in F$ zijn dan vrij. ∎ **Voorbeeld 15.9.** Stel op $L^2(\intcc01)$ $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: een [hilbert-schmidtoperator](#ex-b3-spectral-examples) met reële symmetrische kern, dus [compact](#def-b3-spectral-compact) en [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint). Het oplossen van $Tf = \lambda f$: de betrekking $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ toont dat $u = Tf$ voldoet aan $u'' = -f$ (twee keer differentiëren, geoorloofd voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$, en $Tf$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) voor $f \in L^2$: gedomineerde convergentie), met $u(0) = 0$ en $u'(1) = 0$. Eigenfuncties lossen dus $\lambda u'' = -u$ op met $u(0) = 0$ en $u'(1) = 0$: $$ u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0), $$ en de spectraalstelling beweert — zonder enige fouriertheorie — dat deze sinussen na normering een orthonormale basis van $L^2(\intcc01)$ vormen (de kern van $T$ is $0$: $Tf = 0$ dwingt via de twee differentiaties $f = 0$ b.o. af). De weekendopgave doorloopt dezelfde ideeënkring voor de trillende snaar en haalt $\zeta(2)$ uit het spoor. **Methode 15.10.** Bij een integraal- of differentiaalvergelijking: (1) herschrijf haar als $(I - \lambda K)u = f$ of $Ku = \lambda u$ met $K$ een integraaloperator; (2) ga na dat $K$ [compact](#def-b3-spectral-compact) is (hilbert-schmidtkern, of Ascoli) en indien mogelijk [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) (reële symmetrische kern); (3) diagonaliseer met de spectraalstelling, of roep het [alternatief van Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) in voor de [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived); (4) lees bestaan, uniciteit, stabiliteit en reeksformules voor de oplossingen in de eigenbasis af. Differentiaaloperatoren zijn onbegrensd, maar hun *inversen* (greenoperatoren) zijn [compact](#def-b3-spectral-compact): inverteer altijd eerst. ## 15.4 Oefeningen **Oefening 15.1 ★.** (a) Toon aan dat een begrensde operator met eindigdimensionaal beeld [compact](#def-b3-spectral-compact) is. (b) Toon aan dat de identiteit van een genormeerde ruimte [compact](#def-b3-spectral-compact) is dan en slechts dan als de dimensie eindig is (Riesz, volume van bachelorjaar 2). Leid af dat een [compacte operator](#def-b3-spectral-compact) op een oneindigdimensionale ruimte nooit inverteerbaar is met begrensde inverse. **Oplossing van Oefening 15.1.** (a) $T(B)$ is een begrensde deelverzameling van de eindigdimensionale $\operatorname{im}T$: relatief [compact](#def-b3-spectral-compact) volgens Heine–Borel ([Gevolg 6.17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#cor-b3-topology-heineborel), overgezet met een lineair [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met $\R^n$). (b) $I$ [compact](#def-b3-spectral-compact) betekent dat de gesloten eenheidsbal [compact](#def-b3-spectral-compact) is, wat volgens de stelling van Riesz (volume van bachelorjaar 2) precies in eindige dimensie gebeurt. Had een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $T$ een begrensde inverse $T^{-1}$, dan zou $I = T^{-1}T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) zijn ([Propositie 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): onmogelijk in oneindige dimensie. **Oefening 15.2 ★.** Zij $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ op $\ell^2$, met $(\lambda_n)$ begrensd. (a) Toon aan dat $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$. (b) Toon aan dat $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) is dan en slechts dan als $\lambda_n \to 0$. *(Voor $\Leftarrow$ afknotten; voor $\Rightarrow$ testen op $(e_n)$.)* (c) Wanneer is $T$ [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint)? Ga in dat geval de spectraalstelling met het blote oog na. **Oplossing van Oefening 15.2.** (a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, met bijna gelijkheid op de $e_n$ die het supremum verwezenlijken. (b) ($\Leftarrow$) De afknottingen $T_N$ (behoud $n \leq N$, daarbuiten nul) hebben eindige rang met $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: [compact](#def-b3-spectral-compact) volgens [Propositie 15.2](#prop-b3-spectral-ideal). ($\Rightarrow$) Is $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ langs een deelrij, dan is $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: geen enkele convergente deelrij van $(Te_{n_k})$. (c) $T^*$ is de diagonaaloperator met $(\bar\lambda_n)$: [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) dan en slechts dan als alle $\lambda_n \in \R$. Dan is de standaardbasis $(e_n)$ een orthonormale basis van eigenvectoren, met eigenwaarden $\lambda_n \to 0$: de spectraalstelling woordelijk. **Oefening 15.3 ★★.** Geef de details van de ideaaleigenschap ([Propositie 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): is $S$ [compact](#def-b3-spectral-compact) en zijn $A, B$ begrensd, dan is $ASB$ [compact](#def-b3-spectral-compact). Leid af dat als $ST = TS = I$ voor een begrensde $S$ en $\dim H = \infty$, $T$ niet [compact](#def-b3-spectral-compact) is — en verzoen dat met [Oefening 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b). **Oplossing van Oefening 15.3.** Zij $(x_n)$ begrensd. Dan is $(Bx_n)$ begrensd ($\vertiii B < \infty$); de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) van $S$ haalt er $SBx_{n_k} \to y$ uit, en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $A$ geeft $ASBx_{n_k} \to Ay$: dus is $ASB$ [compact](#def-b3-spectral-compact). Is $ST = TS = I$ met $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) en $\dim H = \infty$, dan zou $I = ST$ [compact](#def-b3-spectral-compact) zijn, in tegenspraak met [Oefening 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b) — dezelfde uitspraak, van de andere kant bekeken. **Oefening 15.4 ★★.** (Hilbert–Schmidt) Zij $k \in L^2(\intcc01^2)$ en $(e_n)$ een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb) van $L^2(\intcc01)$. (a) Toon aan dat $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *(Cauchy–Schwarz in de veranderlijke $y$, daarna Tonelli)*. (b) Ontwikkel $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ in $L^2$ van het vierkant (rechtvaardig dat de producten daar een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb) vormen), en toon aan dat de afgeknotte som operatoren van eindige rang geeft die in [operatornorm](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#def-b3-banach-operator) naar $T_k$ convergeren: dus is $T_k$ [compact](#def-b3-spectral-compact). **Oplossing van Oefening 15.4.** (a) Met Cauchy–Schwarz in $y$: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; integreer naar $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$. (b) De familie $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ is orthonormaal in $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli splitst de dubbele integraal). Totaal: staat $h$ loodrecht op alle $e_{mn}$, dan staat voor elke $m$ de functie $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (in $L^2$ volgens Cauchy–Schwarz en Tonelli) loodrecht op elke $\overline{e_n}$ — en de toegevoegden $(\overline{e_n})$ vormen een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb) zodra $(e_n)$ dat doet (toevoeging is een isometrische bijectie van $L^2$ die orthogonaliteit en totaliteit behoudt) — dus is ze $0$ b.o.; dan staat voor b.o. $y$ $h(\cdot, y)$ loodrecht op elke $e_m$: dus $h(\cdot, y) = 0$ b.o., en $h = 0$ (Tonelli). Bijgevolg is $(e_{mn})$ een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb); ontwikkel $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. De afknotting $k_N$ (indices $\leq N$) geeft een $T_{k_N}$ van eindige rang (beeld in $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$), en volgens (a) is $$ \vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 : $$ $T_k$ is een limiet in norm van operatoren van eindige rang, dus [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Propositie 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)). **Oefening 15.5 ★★.** Zij $T$ [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) met $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ voor alle $x$ (een *positieve* operator). (a) Toon aan dat de eigenwaarden $\geq 0$ zijn en dat $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$. (b) Bewijs de veralgemeende ongelijkheid van Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$. **Oplossing van Oefening 15.5.** (a) Op een eigenvector is $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$. De formule is [Propositie 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) met alle waarden $\langle x, Tx\rangle \geq 0$: de absolute waarde is overbodig. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ is een hermitische positieve (mogelijk ontaarde) sesquilineaire vorm; het gebruikelijke bewijs van Cauchy–Schwarz (ontwikkel $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ en neem de discriminant) gebruikt de definietheid nergens. **Oefening 15.6 ★★.** Stel op $L^2(\intcc01)$ $(Mf)(x) = x\,f(x)$. (a) Toon aan dat $M$ begrensd en [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) is met $\vertiii M = 1$, maar *geen* eigenwaarden heeft. (b) Toon aan dat $M$ niet [compact](#def-b3-spectral-compact) is *(geef een begrensde rij waarvan het beeld geen convergente deelrij heeft, bijvoorbeeld genormeerde indicatoren van krimpende intervallen nabij $1$ — of roep de spectraalstelling in)*. (c) Waar breekt het bewijs van [Lemma 15.6](#lem-b3-spectral-existence) voor $M$? **Oplossing van Oefening 15.6.** (a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$, en op $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (eenheidsvectoren) is $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$: dus $\vertiii M = 1$; [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) omdat de vermenigvuldiger reëel is. Eigenwaarden: $xf(x) = \lambda f(x)$ b.o. dwingt $f = 0$ b.o. af buiten de nulverzameling $\{x = \lambda\}$: dus $f = 0$ in $L^2$. (b) Met dezelfde $f_n$: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, terwijl $f_n \rightharpoonup 0$ (voor vaste $g \in L^2$ is $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ volgens de gedomineerde convergentie). Zou $Mf_{n_k} \to h$ in norm, dan is $f_{n_k} \to h$, wat $h = 0$ afdwingt (zwakke limiet) terwijl $\norm h = 1$: dus geen enkele convergente deelrij. (c) In [Lemma 15.6](#lem-b3-spectral-existence) gebruikt precies de extractie “$Tx_{n_k} \to y$” de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact); voor $M$ concentreren de maximaliserende rijen zich nabij $x = 1$ en convergeren hun beelden zwak naar $0$, nooit in norm: de eigenvector aan de top van het numerieke bereik bestaat eenvoudigweg niet. **Oefening 15.7 ★★.** (Volterra) Stel op $L^2(\intcc01)$ $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$. (a) Toon aan dat $V$ [compact](#def-b3-spectral-compact) is ([hilbert-schmidtoperator](#ex-b3-spectral-examples) met kern $\mathbf 1_{y < x}$) maar niet [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint); bereken $V^*$. (b) Toon aan dat $V$ geen eigenwaarde $\neq 0$ heeft. *(Uit $Vf = \lambda f$: $f$ heeft een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vertegenwoordiger, is dan $\mathcal C^1$, en lost $\lambda f' = f$ met $f(0) = 0$ op.)* (c) Besluit dat [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) alleen geen eigenvectoren oplevert: de [zelftoegevoegdheid](#def-b3-spectral-selfadjoint) in [Stelling 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) is essentieel. **Oplossing van Oefening 15.7.** (a) $V = T_k$ met $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$: [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Oefening 15.4](#exo-b3-spectral-4)). Haar toegevoegde is de kernoperator met kern $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$: $V^*f(x) = \int_x^1f$; en $V \neq V^*$ (test op $f = \mathbf 1$). (b) Is $Vf = \lambda f$ met $\lambda \ne 0$, dan is $Vf$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op $\intcc01$ (gedomineerde convergentie in $\int_0^x f$), dus heeft $f = \frac1\lambda Vf$ een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vertegenwoordiger; dan is $Vf$ $\mathcal C^1$ (de hoofdstelling van de integraalrekening voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) integranden), dus is $f$ $\mathcal C^1$, met $\lambda f' = f$ en $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$: dus $f = C\eu^{x/\lambda}$ met $C = f(0) = 0$. (c) $V$ is [compact](#def-b3-spectral-compact) zonder enige eigenwaarde behalve mogelijk $0$ ($Vf = 0$ dwingt $f = 0$ b.o. af door de integraal te differentiëren — dus zelfs $0$ niet): de spectrale machinerie vereist werkelijk [zelftoegevoegdheid](#def-b3-spectral-selfadjoint), niet enkel [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). **Oefening 15.8 ★★★.** (Courant–Fischer) Zij $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact), [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en *positief*, met eigenwaarden $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (herhaald naar multipliciteit, met eigenvectoren $e_1, e_2, \dots$). Toon aan: $$ \mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle . $$ *(Test $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$; snijd voor de bovengrens een willekeurige $V$ met ruimten van het type $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$: het tellen van dimensies dwingt een doorsnede $\neq 0$ af.)* Leid af dat de eigenwaarden monotoon van $T$ afhangen ($T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$). **Oplossing van Oefening 15.8.** Schrijf $x = \sum_ic_ie_i + z$ met $z \in \ker T$, zodat $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. *Ondergrens*: op de eenheidssfeer van $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ is $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: het maximum over $V$ van het minimum is dus $\geq \mu_k$. *Bovengrens*: zij $\dim V = k$ en $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, van codimensie $k - 1$ (haar [orthogonaal complement](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-decomposition) is $V_{k-1}$); dan is $V \cap W_k \neq \{0\}$ (een lineaire afbeelding $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ van rang $\leq k - 1$ heeft een kern $\neq 0$), en een eenheidsvector $x \in V\cap W_k$ heeft $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: het minimum over $V$ is dus $\leq \mu_k$. Samen: de eerste formule; de tweede wordt symmetrisch bewezen (test $W = W_k$; voor willekeurige $W$ van codimensie $k-1$ geeft $W \cap V_k \neq 0$ een eenheidsvector met $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Monotonie: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ draagt puntsgewijs door de $\max\min$ heen. **Oefening 15.9 ★★.** Voor welke $\lambda \in \R$ heeft de integraalvergelijking $$ f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x) $$ met [Stelling 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) voor $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ ([Voorbeeld 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)) een unieke oplossing $f \in L^2$ voor elke $g \in L^2$? Wat gebeurt er bij de uitzonderlijke waarden? **Oplossing van Oefening 15.9.** Herschrijf haar als $f - \lambda Tf = g$. Voor $\lambda = 0$ is $f = g$, altijd uniek [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived). Voor $\lambda \neq 0$ luidt ze $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$, en volgens het [alternatief van Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Stelling 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) met de eigenwaarden $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ van $T$ ([Voorbeeld 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)) is ze voor elke $g$ uniek [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) dan en slechts dan als $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ voor elke $n$, dat wil zeggen $$ \lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). $$ Bij een uitzonderlijke $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ bestaan er oplossingen dan en slechts dan als $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, en dan zijn ze uniek op het optellen van veelvouden van die sinus na. **Oefening 15.10 ★★★.** Zij $S$ de verschuiving op $\ell^2$ ([Oefening 8.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#exo-b3-banach-1)). (a) Toon aan dat $S$ geen eigenwaarden heeft, terwijl elke $\lambda$ met $\abs\lambda < 1$ een eigenwaarde van $S^*$ is (zoek de eigenvectoren expliciet: meetkundige rijen). (b) Noch $S$ noch $S^*$ is [compact](#def-b3-spectral-compact): ga dat na door te testen op $(e_n)$ in de trant van [Oefening 15.2](#exo-b3-spectral-2). (c) Becommentarieer: voor [niet-zelftoegevoegde](#def-b3-spectral-selfadjoint), [niet-compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) operatoren kan het eigenwaardenlandschap alles zijn, van leeg tot een volle schijf — het begrip dat overleeft is het *spectrum*, dat in een latere cursus wordt bestudeerd. **Oplossing van Oefening 15.10.** (a) $Sx = \lambda x$: coördinaten vergelijken geeft $0 = \lambda x_1$ en $x_n = \lambda x_{n+1}$; is $\lambda \ne 0$, dan is $x_1 = 0$ en inductief $x = 0$; is $\lambda = 0$, dan dwingt $Sx = 0$ $x = 0$ af ($S$ is isometrisch). Geen eigenwaarden. $S^*x = \lambda x$ luidt $x_{n+1} = \lambda x_n$: $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, in $\ell^2$ precies wanneer $\abs\lambda < 1$: een volle open schijf eigenwaarden. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: het beeld van de begrensde $(e_n)$ heeft geen enkele cauchydeelrij; en evenzo $S^*e_{n+1} = e_n$. Geen van beide is [compact](#def-b3-spectral-compact). (c) Voor [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde operatoren](#def-b3-spectral-selfadjoint) vangen de eigenwaarden alles ([Stelling 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)); laat je een van beide hypothesen vallen, dan kunnen de eigenwaarden [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) verdwijnen ($S$, Volterra) of een schijf vullen ($S^*$): het robuuste object is het spectrum $\{\lambda : T - \lambda I \text{ niet inverteerbaar}\}$, waarvan de theorie tot een latere cursus behoort. **Oefening 15.11 ★★.** (Vierkantswortels) Zij $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact), [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en positief ($\langle x, Tx\rangle \geq 0$) op een [hilbertruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner) $H$, met spectrale ontbinding $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ($\mu_n > 0$). (a) Definieer $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$; toon aan dat $S$ [compact](#def-b3-spectral-compact), [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en positief is met $S^2 = T$. (b) Bewijs de uniciteit: elke [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) positieve [zelftoegevoegde](#def-b3-spectral-selfadjoint) $R$ met $R^2 = T$ behoudt de eigenruimten van $T$ *($RT = R^3 = TR$: $R$ commuteert met $T$, dus $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)*, en op $\ker(T - \mu)$ is $R$ een positieve operator die op een eindigdimensionale ruimte kwadrateert tot $\mu\,\mathrm{id}$: diagonaliseer haar daar en besluit dat $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ op elke eigenruimte, dus $R = S$. (c) Bereken $\sqrt G$ voor de snaaroperator $G$ van [Probleem 15.1](#pb-b3-spectral-1): welke kern heeft op de sinusbasis de eigenwaarden $\frac1{n\pi}$? (Druk $\sqrt G$ uit als $L^2$-limiet van kernen; een gesloten vorm is niet vereist.) **Oplossing van Oefening 15.11.** (a) $S$ is de diagonaaloperator met coëfficiënten $\sqrt{\mu_n} \to 0$: [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Oefening 15.2](#exo-b3-spectral-2)(b), overgezet naar de basis $(e_n)$ aangevuld met $\ker T$, waar $S = 0$), [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) (reële diagonaal), positief ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$), en $S^2 = T$ term voor term. (b) $R$ commuteert met $T = R^2$; voor een eigenvector $x$ van $T$ bij eigenwaarde $\mu$ is $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, dus is de eindigdimensionale eigenruimte $E_\mu = \ker(T - \mu)$ $R$-stabiel. Op $E_\mu$ is $R$ symmetrisch en positief met $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$: haar eigenwaarden $\rho$ voldoen aan $\rho^2 = \mu$ met $\rho \geq 0$, dus zijn ze alle gelijk aan $\sqrt\mu$, en een diagonaliseerbare operator met één enkele eigenwaarde is scalair: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ op $E_\mu$. Op $\ker T$: $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Dus valt $R$ samen met $S$ op $\ker T$ en op elke eigenruimte, waarvan het gesloten opspansel $H$ is (spectraalstelling): $R = S$. (c) $\sqrt G$ werkt als $\frac1{n\pi}$ op $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$: het is de kernoperator met $$ k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi}, $$ waarbij de reeks convergeert in $L^2(\intcc01^2)$ (de coëfficiënten $\frac1{n\pi}$ liggen in $\ell^2$; de kernen van de partiële sommen geven de benaderingen van eindige rang). Een elementaire gesloten vorm is niet nodig: de spectrale kant *is* de operator. **Oefening 15.12 ★★★.** (Singulierewaardenontbinding) Zij $T \in \mathcal L(H)$ *[compact](#def-b3-spectral-compact)*, niet noodzakelijk [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint). (a) Toon aan dat $T^*T$ [compact](#def-b3-spectral-compact), [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en positief is; zij $(e_n)$ een orthonormale familie eigenvectoren met $T^*Te_n = s_n^2e_n$ en $s_n > 0$ (de *singuliere waarden*), aangevuld met $\ker(T^*T) = \ker T$ (bewijs die gelijkheid). (b) Stel $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$; toon aan dat $(f_n)$ orthonormaal is, en vestig de *singulierewaardenontbinding* $$ Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H), $$ met convergentie in $H$. (c) Leid af: $\vertiii T = \max_ns_n$; $T$ is een limiet in norm van operatoren van eindige rang (wat de omkering in [Propositie 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) voor [hilbertruimten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-inner) opnieuw bewijst); en leg voor de volterra-operator $V$ van [Oefening 15.7](#exo-b3-spectral-7), die geen eigenwaarden heeft, uit waarom de ontbinding niettemin bestaat en wat haar ingrediënten zijn (identificeer $V^*V$ als een kernoperator van het snaartype — haar eigenwaarden expliciet berekenen is het terrein van [Oefening 15.9](#exo-b3-spectral-9)). **Oplossing van Oefening 15.12.** (a) $T^*T$ is [compact](#def-b3-spectral-compact) (product van een begrensde en een [compacte operator](#def-b3-spectral-compact), [Oefening 15.3](#exo-b3-spectral-3)), [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) ($(T^*T)^* = T^*T$) en positief ($\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$). Kern: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$, en omgekeerd: dus $\ker T^*T = \ker T$. De spectraalstelling levert de orthonormale $(e_n)$ met $T^*Te_n = s_n^2e_n$ en $s_n > 0$, die $(\ker T)^\perp$ opspannen. (b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$. Ontwikkel $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ met $x_0 \in \ker T$ ([Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) op het gesloten opspansel plus de kern); de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $T$ toepassen geeft $$ Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n, $$ waarbij de reeks convergeert omdat haar partiële sommen cauchy zijn ($\norm{\sum_{NN}s_n^2\cdot\norm x^2$, en $s_n \to 0$). (c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$, bereikt op de maximaliserende $e_n$: dus $\vertiii T = \max s_n$. De ontbinding op rang $N$ afknotten laat een operator van norm $\sup_{n>N}s_n \to 0$ over: benadering door eindige rang. De volterra-operator heeft helemaal geen eigenwaarden ([Oefening 15.7](#exo-b3-spectral-7)), maar $V^*V$ wel: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ is een symmetrische positieve kernoperator (kern $1 - \max(x,y)$, een greenkern van het snaartype), waarvan de eigenparen — berekend met het randwaardeprobleem $-u'' = \lambda^{-1}u$, $u'(0) = u(1) = 0$, dat wil zeggen de familie van [Oefening 15.9](#exo-b3-spectral-9) — de singuliere waarden $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$ geven. De ontbinding leeft op *twee* orthonormale families juist omdat $V$ haar eigenmeetkunde wegdraait: geen eigenvectoren, en toch een volmaakte diagonaalstructuur tussen twee verschillende bases. ## 15.5 Probleem: de trillende snaar en $\zeta(2)$ **Probleem 15.1.** Weekendopgave — de operator van Green, de sinusbasis en een spoorformule We lossen het eigenwaardeprobleem van de trillende snaar met vaste uiteinden — $-u'' = \nu u$, $u(0) = u(1) = 0$ — met operatortheorie op, verkrijgen de orthonormale sinusbasis zonder enige fourierberekening, en bepalen $\zeta(2)$ door twee uitdrukkingen voor het *spoor* van de greenoperator te vergelijken. Definieer op $L^2(\intcc01)$ $$ (Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr). $$ **Deel I — De greenoperator.** 1. Toon aan dat $g$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en symmetrisch is met $0 \leq g \leq \frac14$ , en dat $G$ [compact](#def-b3-spectral-compact) en [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) is ( [Voorbeeld 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (c)). 2. Toon voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ aan dat $u = Gf$ $\mathcal C^2$ is met $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ *(schrijf $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ en differentieer tweemaal)*. Omgekeerd is, als $u \in \mathcal C^2$ met $u(0) = u(1) = 0$, $G(-u'') = u$: $G$ inverteert de snaaroperator. 3. Toon aan dat $\ker G = \{0\}$ *(is $Gf = 0$ met $f \in L^2$: test tegen [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\varphi$, breng $G$ met de symmetrie en Fubini over op $\varphi$, en gebruik het hoofdlemma [Gevolg 12.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#cor-b3-lp-fundlemma) — of strijk glad)* , en dat $G$ een positieve operator is: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . *(Voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$: $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ met $u = Gf$, met partiële integratie; besluit met [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma).)* **Deel II — Diagonaliseren: de sinusbasis.** 4. Toon aan dat de eigenfuncties van $G$ bij eigenwaarde $\lambda \ne 0$ op scalairen na de oplossingen zijn van $-\lambda u'' = u$ met $u(0) = u(1) = 0$ *(een eigenfunctie heeft een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vertegenwoordiger — $Gf$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) voor $f \in L^2$, waarom? — en is dus $\mathcal C^2$ door vraag 2 als hefboom te gebruiken)* . 5. Los het randwaardeprobleem op: de eigenwaarden van $G$ zijn $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), met genormeerde eigenfuncties $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; ga de orthonormaliteit als controle met een rechtstreekse integratie na. 6. Besluit uit [Stelling 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) en vraag 3 dat $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ een orthonormale *basis* van $L^2(\intcc01)$ is — geen Stone–Weierstrass, geen fourierreeksen nodig. Ontwikkel $f(x) = x(1-x)$ in deze basis en schrijf [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) ervoor uit. **Deel III — De spoorformule en $\zeta(2)$.** 7. Bewijs de twee identiteiten $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{en}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ Voor de tweede (de *spoorformule*): ontwikkel voor vaste $x$ de functie $g(x, \cdot)$ in de basis $(e_n)$ — toon aan dat de coëfficiënten $\lambda_ne_n(x)$ zijn, zodat $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ in $L^2$. Hier zijn de sinussen expliciet: ga rechtstreeks na dat $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ *uniform* convergeert op het vierkant (vergelijk met $\sum \frac2{n^2\pi^2}$), zodat haar som [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is en, met voor elke $x$ dezelfde $L^2$-ontwikkeling in $y$, overal gelijk is aan $g(x,y)$. Stel $y = x$ en integreer term voor term. 8. Bereken $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$, en besluit $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ de som van Euler uit een operatorspoor. 9. Leid $\zeta(2)$ op een derde manier af: pas [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) in de sinusbasis toe op de constante functie $\mathbf 1$ , bereken $\sum_{n \text{ oneven}}\frac1{n^2}$ en besluit. Vergelijk daarna de mechanismen: in welke zin is het spoorargument van de vragen 7 en 8 “ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) , toegepast op de hele kern in één keer”? **Deel IV — De snaar trilt.** 10. (Scheiden van veranderlijken, gesynthetiseerd) Definieer voor $f \in L^2$ $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ Toon aan dat de reeks voor elke $t$ in $L^2(\intcc01)$ convergeert, dat $t\mapsto u(t, \cdot)$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is met waarden in $L^2$, en dat ze voor $f$ in het opspansel van eindig veel $e_n$ de golfvergelijking $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ oplost met $u(0) = f$, $\partial_tu(0) = 0$ en vaste uiteinden. De eigenwaarden $n^2\pi^2$ zijn de gekwadrateerde frequenties: de harmonischen van de snaar — leg de muzikale interpretatie van [Stelling 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) uit in één alinea. **Deel V — Variationele dividenden: de machtsmethode, de stabiliteit van Weyl en een strikte grens voor $\pi$.** Zij $A$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde](#def-b3-spectral-selfadjoint) *positieve* operator met eigenwaarden $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ en orthonormale eigenvectoren $(u_n)$; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$. De min-maxformules zijn [Oefening 15.8](#exo-b3-spectral-8); hier besteden we ze. 11. (Machtsmethode) Schrijf voor $x \neq 0$ $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$. Toon aan dat $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), leid de keten $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1$$ af, en bewijs dat $R(A^kx) \to \mu_1$ als $\langle u_1, x\rangle \neq 0$: de operator op een willekeurige generieke vector itereren berekent de grootste eigenwaarde — de machtsmethode van de numerieke analyse, gecertificeerd. 12. (Stabiliteit van Weyl) Leid voor [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde](#def-b3-spectral-selfadjoint) positieve $A, B$ uit [Oefening 15.8](#exo-b3-spectral-8) af dat $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{voor elke } n :$$ het hele spectrum is $1$-lipschitz in de [operatornorm](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#def-b3-banach-operator) — de eigenwaarden van grote symmetrische stelsels kunnen uit benaderingen worden berekend met een gegarandeerde fout. 13. Pas de grens van Rayleigh toe op $G$ met de testfunctie $u(x) = x(1-x)$: los $-w'' = u$ met $w(0) = w(1) = 0$ op om $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$ te krijgen, bereken $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ en besluit tot de *strikte* grens $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, dat wil zeggen $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$. 14. Eén stap van de keten uit vraag 11, op dezelfde testfunctie: bereken met $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$ $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$$ en besluit $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$: twee integralen, vier juiste cijfers. (Elke verdere iteratie kwadrateert de nauwkeurigheid ruwweg: de kloof $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ tussen de eigenvectoren drijft een meetkundige convergentie aan.) **Deel VI — Het spoor van $G^2$, en $\zeta(4)$.** 15. Toon aan dat $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *(ontwikkel $g$ op de productbasis $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ van $L^2(\intcc01^2)$ — een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb), vgl. [Oefening 15.5](#exo-b3-spectral-5) — en pas [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) op het vierkant toe; vraag 7 identificeert de coëfficiënten)* . 16. Bereken de dubbele integraal: $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$ 17. Besluit $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; leg zonder berekening uit hoe de sporen van hogere machten $G^k$ voor elke $k \geq 1$ $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ voortbrengen, en waarom de oneven waarden $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ structureel buiten het bereik van deze machine liggen. 18. ($\pi$ van onderen) Leid uit $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ af dat $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$, en stel met vraag 14 het tweezijdige vonnis $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419$$ samen, [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) verkregen uit de rekenkunde van de trillende snaar. Welke kant convergeert sneller als je hogere sporen $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$ gebruikt, en waarom? **Deel VII — Aandrijving en resonantie.** Leg $\nu \in \R$ vast en beschouw de aangedreven snaar $-u'' - \nu u = f$ met $u(0) = u(1) = 0$, waarbij $f \in L^2$ en $c_n = \langle e_n, f\rangle$. 19. Stel dat $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$. Toon aan dat $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ convergeert in $L^2$ en uniform op $\intcc01$ *(Cauchy–Schwarz tussen $(c_n)$ en de staarten van $\sum n^{-4}$, met $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$)*, en dat ze voldoet aan $u = Gf + \nu Gu$ — de vorm in expliciete coördinaten van het [alternatief van Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Stelling 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)), met uniciteit. 20. Stel dat $\nu = m^2\pi^2$ . Toon aan dat $u = Gf + \nu Gu$ een oplossing heeft dan en slechts dan als $c_m = 0$ , uniek op het optellen van veelvouden van $e_m$ na. Fysische lezing: een schommel precies op haar eigen frequentie aanduwen. 21. Toon voor $\nu < \pi^2$ aan dat de oplossingsoperator $R_\nu\colon f \mapsto u$ begrensd is op $L^2$ met norm $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , en [compact](#def-b3-spectral-compact) , [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en positief: de hele spectraalanalyse begint opnieuw, verschoven over $\nu$ . 22. (Synthese) Stel het woordenboek van deze opgave samen: eigenwaarde $\leftrightarrow$ gekwadrateerde frequentie (harmonischen); spoor $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; hilbert-schmidtnorm $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; [alternatief van Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ resonantie; min-max $\leftrightarrow$ variationele grenzen ( $\pi < 3.1437$ uit één veelterm). Eén integraaloperator, vijf hoofdstukken analyse verzilverd. **Deel VIII — Drie laatste echo’s.** 23. ($\zeta(6)$, gratis) De identiteit van [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) uit vraag 6 gaf $\sum_{n\text{ oneven}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. Splits $\zeta(6)$ in oneven en even $n$ en besluit $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ zonder één nieuwe integraal: de machine van vraag 17 (sporen van $G^3$) zou dezelfde waarde hebben opgeleverd, tegen de prijs van een geïtereerde kern — [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) op één goed gekozen functie is hier de goedkopere weg. 24. (De grondtoestand is positief) Zij $A$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde](#def-b3-spectral-selfadjoint) positieve operator op $L^2(\intcc01)$ , gegeven door een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) symmetrische kern $k > 0$ op $\intoo01^2$ , met grootste eigenwaarde $\mu_1$ . Toon aan: (a) elke maximalisator van het quotiënt van Rayleigh is een eigenfunctie bij $\mu_1$ ; (b) is $u$ er een, dan is $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , met *strikte* ongelijkheid als $u$ beide tekens aanneemt op verzamelingen van positieve [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) — dus heeft $u$ b.o. een constant teken, en verdwijnt $u = \mu_1^{-1}Au$ nergens op $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ is een *enkelvoudige* eigenwaarde. Ga elke bewering na op $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , en elke $e_n$ met $n \geq 2$ moet, loodrecht staand op $e_1$ , van teken wisselen (en dat doet ze: $n - 1$ inwendige nulpunten). 25. (Afstand tot het spectrum, en de prijs van resonantie) Toon voor $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$ aan dat de oplossingsoperator $R_\nu$ van vraag 19 begrensd, [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint) en [compact](#def-b3-spectral-compact) is, met $$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ waarbij de norm op de dichtstbijzijnde modus wordt bereikt. Kwantificeer dan de schommel van vraag 20: aandrijven met $f = e_1$ bij $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ levert $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$ op, een versterking met $\frac1\varepsilon$ van het statische antwoord $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — één procent onder de grondtoon ($\varepsilon = 10^{-2}$) antwoordt de snaar honderd keer luider. **Oplossing van Probleem 15.1.** **1.** [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): $\min$ en $\max$ zijn [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity); symmetrie: $x$ en $y$ verwisselen verandert noch $\min(x,y)$ noch $1 - \max(x,y)$. Grenzen: $0 \leq g$, en afschattingen van het type $\max\cdot(1-\max)$ geven $g \leq \frac14$ (met $u = \max$: $\min \leq u$, dus $g \leq u(1-u) \leq \frac14$). Verder is $g \in L^2(\square)$: hilbert-schmidt, dus $G$ [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Oefening 15.4](#exo-b3-spectral-4)); en de kern is reëel symmetrisch: $G$ is [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint). **2.** Splitsen bij $y = x$: $$ u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y . $$ Differentieer voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ (productregel en de hoofdstelling): $$ u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(de randtermen vallen weg)}, $$ en $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$; duidelijk is $u(0) = u(1) = 0$. Omgekeerd voldoet, als $u \in \mathcal C^2$ in beide uiteinden verdwijnt, $w = u - G(-u'')$ aan $w'' = 0$ en $w(0) = w(1) = 0$: $w$ is affien en verdwijnt tweemaal, dus $w = 0$. **3.** Zij $Gf = 0$ met $f \in L^2$. Voor $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$ is $\psi = G(-\psi'')$ volgens vraag 2, dus $$ \langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0 $$ ($G$ is [zelftoegevoegd](#def-b3-spectral-selfadjoint)): volgens het hoofdlemma ([Gevolg 12.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#cor-b3-lp-fundlemma)) is $f = 0$ b.o. Positiviteit: voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ is, met $u = Gf$, $$ \langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ; $$ voor $f \in L^2$ benader je in $L^2$ door [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f_n$: beide leden gaan naar de limiet ($G$ is begrensd). **4.** Is $Gu = \lambda u$ met $\lambda \neq 0$, dan is $Gu$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ($\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$, en de kern is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)), dus heeft $u$ een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vertegenwoordiger; de formules van vraag 2 tonen dan dat $Gu \in \mathcal C^2$, dus $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ met $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ en $u(0) = u(1) = 0$. **5.** $-\lambda u'' = u$ met $u(0) = 0$ geeft $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ ($\lambda$ positief: volgens vraag 3 is $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ op eigenvectoren). $u(1) = 0$ dwingt $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ af: $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$, met eigenfuncties $\sin(n\pi x)$, genormeerd $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ (want $\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$). Controle van de orthogonaliteit: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ integreert voor $m \neq n$ tot $0$. **6.** $\ker G = \{0\}$ (vraag 3), dus geeft [Stelling 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) dat $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$: de sinussen vormen een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb) van $L^2(\intcc01)$. Voor $f(x) = x(1 - x)$: $$ c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ oneven},\\ 0 & n \text{ even},\end{cases} $$ (twee partiële integraties). [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval): $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ oneven}}\frac{32}{n^6\pi^6}$, dat wil zeggen $\sum_{n\text{ oneven}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. **7.** $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$. Voor vaste $x$ zijn de coëfficiënten van $g(x, \cdot)$: $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$, dus $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ in $L^2$. De expliciete reeks $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ convergeert normaal op het vierkant ($\abs{\text{term}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$): haar som is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), en ze heeft voor elke $x$ dezelfde coëfficiënten in $L^2(\dd y)$ als $g(x, \cdot)$: de twee [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies vallen dus in elk punt $(x, y)$ samen. Stel $y = x$ en integreer (de normale convergentie laat term voor term integreren toe): $$ \int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n . $$ **8.** $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$, dus $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$: $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **9.** Voor $f = \mathbf 1$ is $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$: dus $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ voor oneven $n$ en $0$ voor even $n$. [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval): $1 = \sum_{n\text{ oneven}}\frac{8}{n^2\pi^2}$, dus $\sum_{n\text{ oneven}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$, en $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (de even termen zijn $\frac14\zeta(2)$). Vergelijking: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) voor één $f$ sommeert $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$; de spoorformule integreert de diagonaal van de *kern*, wat neerkomt op [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) sommeren over een hele orthonormale familie tegelijk — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — en is daarom blind voor elke bijzondere keuze van testfunctie. **10.** $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ met $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$: voor elke $t$ convergeert de reeks in $L^2$ (orthonormale ontwikkeling, [Stelling 13.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval)(3)); de staartafschatting $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ is uniform in $t$, en elke partiële som is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) in $t$ (eindig veel cosinussen): dus is $t \mapsto u(t,\cdot)$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met waarden in $L^2$. Voor $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$: elke modus $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ voldoet aan $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ erop toegepast, verdwijnt in $x = 0, 1$, heeft in $t = 0$ waarde $\sin(n\pi x)$ en tijdsafgeleide $0$: de eindige som lost alles op. Muzikaal: de beweging van de snaar is een superpositie van *staande golven* $e_n$, waarvan de frequenties $n\pi$ de grondtoon en haar boventonen zijn; de spectraalstelling zegt dat elke beginvorm uniek in deze zuivere tonen uiteenvalt, met de coëfficiënten $c_n$ als klankkleur. Een snaar horen is een orthonormale ontwikkeling berekenen. **11.** Met $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ is $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (Cauchy–Schwarz in $\ell^2$). Bijgevolg zijn de verhoudingen $m_{p+1}/m_p$ niet-dalend in $p$; omdat $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$, $\frac{\langle Ax, Ax\rangle} {\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ en $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$, volgt de keten, met elke term $\leq \mu_1$ omdat $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ term voor term. Convergentie: is $a_1 > 0$ (waarbij $a_1$ het totale gewicht van de grootste eigenwaarde is), dan is $$ \mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1, $$ volgens de gedomineerde convergentie van de sommen (verhoudingen $< 1$): de machtsmethode convergeert voor elke startvector die niet loodrecht op de bovenste eigenruimte staat. **12.** Puntsgewijs is $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$, dus $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ voor elke $x$. Dat invoeren in de max-minformule van [Oefening 15.8](#exo-b3-spectral-8) geeft $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$, en symmetrisch in $A$ en $B$: $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ voor alle $n$ tegelijk. **13.** $-w'' = x - x^2$ integreert tot $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (met $w(0) = 0$), en $w(1) = 0$ geeft $c = \frac1{12}$: $$ w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu . $$ Verder is $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$, en met $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$: $$ \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} . $$ Dus $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, dat wil zeggen $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$: $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (de ware waarde is $\pi^2 = 9.8696$). Eén veelterm, één integraal, één cijfer. **14.** Schrijf $u = x - x^2$, zodat $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$, en gebruik $\int u^2 = \frac1{30}$, $\int u^3 = \frac1{140}$ en $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$: $$ \norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} . $$ Bijgevolg is $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$, en volgens vraag 11 is dat nog steeds $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$: dus $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$, oftewel $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — vier cijfers (en de volgende iteratie zou er ongeveer acht geven, want de fout krimpt per stap met $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$). **15.** De familie $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ is een [hilbertbasis](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#def-b3-hilbert-onb) van $L^2(\intcc01^2)$ (orthonormaal volgens Tonelli; totaal als in [Oefening 15.5](#exo-b3-spectral-5)). Volgens vraag 7 is voor vaste $x$ $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$, dus is de coëfficiënt van $g$ op $e_m\otimes e_n$ $$ \langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} . $$ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) op het vierkant: $$ \iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 . $$ **16.** Wegens de symmetrie van $g$ is $$ \iint g^2 = 2\iint_{y 0$ voor alle $n$ (de rij $n^2\pi^2 \to \infty$ mijdt $\nu$ met een marge), en $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ voor grote $n$. Convergentie in $L^2$: de coëfficiënten $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ zijn kwadratisch sommeerbaar (gedomineerd door $\frac{\abs{c_n}}\delta$). Uniforme convergentie: de supremumnormen van de staarten zijn begrensd door $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Verificatie: $Gf + \nu Gu$ heeft als $e_n$-coëfficiënt $$ \lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} : $$ precies de coëfficiënten van $u$, dus $u = Gf + \nu Gu$; en de uniciteit omdat een verschil $v$ van oplossingen voldoet aan $v = \nu Gv$, dat wil zeggen $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ voor alle $n$: dus $v = 0$. **20.** Als in vraag 19 is de vergelijking $u = Gf + \nu Gu$ gelijkwaardig met de familie coëfficiëntvergelijkingen $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$, $n \geq 1$. Voor $n = m$ is het linkerlid $0$: de [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) dwingt $c_m = 0$ af, en dan is $\langle e_m, u\rangle$ vrij terwijl alle andere coëfficiënten vastliggen: de oplossingen vormen de rechte $u_0 + \R e_m$. Resonantie: een aandrijving met een component op de eigenmodus pompt er onbegrensd energie in — de schommel, aangeduwd op haar eigen frequentie. **21.** Uit de formule van vraag 19 volgt $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (voor $\nu < \pi^2$ is $\pi^2$ de dichtstbijzijnde eigenwaarde), waarbij de gelijkheid op $f = e_1$ wordt benaderd: [operatornorm](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#def-b3-banach-operator) $\frac1{\pi^2 - \nu}$. [Compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): $R_\nu$ is de limiet in norm van haar afknottingen van eindige rang (de staartcoëfficiënten $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$); de [zelftoegevoegdheid](#def-b3-spectral-selfadjoint) en de positiviteit lees je van de diagonaalvorm af (alle coëfficiënten $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$). $R_\nu$ heeft de eigenwaarden $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$: de analyse van de Delen I tot en met VI begint woordelijk opnieuw. **22.** Het woordenboek: *eigenwaarde* $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ de gekwadrateerde frequentie $n^2\pi^2$ van de $n$-de harmonische; *spoor* $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$; *hilbert-schmidtnorm* $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; *[alternatief van Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ de resonantie van de aangedreven snaar; *min-max* $\leftrightarrow$ variationele schattingen, tot $\pi < 3.1437$ uit één veelterm. Achter elk paar hetzelfde object: één [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [zelftoegevoegde operator](#def-b3-spectral-selfadjoint), één keer gediagonaliseerd, vijf keer uitgebuit. **23.** Splitsen naar pariteit en $n = 2m$ substitueren in het even deel geeft $$ \zeta(6) = \sum_{n\text{ oneven}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64}, $$ dus $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ en $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$. De weg via het spoor zou $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ berekenen als $\iint g\,g_2$ met de geïtereerde kern $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — drie integraties van stuksgewijze veeltermen; [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) op $x(1-x)$ had er maar één nodig. **24.** (a) Diagonaliseer: $v = \sum_na_nu_n$ (plus een mogelijke component in de kern, waarop $\langle v, Av\rangle$ niets wint terwijl $\norm v^2$ groeit, zodat een maximalisator er geen heeft). Dan is $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$, met gelijkheid dan en slechts dan als $a_n = 0$ zodra $\mu_n < \mu_1$: een maximalisator ligt dus in de eigenruimte bij $\mu_1$. (b) Voor elke $u$ is $$ \langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0, $$ want de integrand is puntsgewijs niet-negatief. Hebben $P = \{u > 0\}$ en $N = \{u < 0\}$ allebei positieve [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure), dan is de integrand op $P\times N$ gelijk aan $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ op een verzameling van positieve [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure): strikte ongelijkheid. Een eigenfunctie $u$ bij $\mu_1$ maximaliseert het quotiënt van Rayleigh, en $\abs u$ heeft dezelfde norm, dus zou de striktheid $R(\abs u) > \mu_1$ opleveren — onmogelijk; bijgevolg heeft $u$ b.o. een constant teken, zeg $u \geq 0$. Dan is $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ voor elke $x \in \intoo01$ (want $k(x,\cdot) > 0$ en $u \neq 0$). (c) Had de eigenruimte dimensie $\geq 2$, dan zou ze twee *orthogonale* eigenfuncties $u, v$ bevatten, elk met een constant teken en volgens (b) inwendig nergens nul; maar dan is $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — tegenspraak. Op de snaar: $k = g > 0$ op het open vierkant, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ is inderdaad enkelvoudig, en $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ is positief op $\intoo01$; en elke $e_n$ met $n \geq 2$ moet, loodrecht op de positieve $e_1$, tegen haar in tot nul integreren en dus van teken wisselen — zoals haar $n - 1$ inwendige nulpunten $\frac kn$ bevestigen. **25.** Omdat $n^2\pi^2 \to \infty$, wordt het minimum $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ bereikt, in een modus $m$, en $d > 0$ omdat $\nu$ het spectrum mijdt. De diagonaalformule van vraag 19 geeft $$ \norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2, $$ met gelijkheid voor $f = e_m$: $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$, het omgekeerde van de afstand van $\nu$ tot het spectrum — het algemene resolventebeginsel, hier in expliciete coördinaten. De [zelftoegevoegdheid](#def-b3-spectral-selfadjoint) lees je van de reële diagonaalcoëfficiënten af; de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) volgt als in vraag 21 (de coëfficiënten gaan naar $0$, dus convergeren de afknottingen van eindige rang in norm). De prijs van de resonantie: voor $f = e_1$ en $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$ geeft de formule $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$, tegenover het statische antwoord $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$: een versterking met $\frac1\varepsilon$. Bij $\varepsilon = 10^{-2}$ is het antwoord $100$ maal het statische — en het divergeert als $\varepsilon \to 0$, wat het alternatief van vraag 20 is, gezien van de begrensde kant: hoe dichter de aandrijffrequentie bij een eigenfrequentie ligt, hoe minder begrensd de inverse.