--- title: "Laurentreeksen en de residustelling" book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3" subject: math language: nl chapter: 17 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/17-laurentreeksen-en-de-residustelling --- # Hoofdstuk 17 — Laurentreeksen en de residustelling Wat gebeurt er met een [holomorfe functie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) nabij een punt waar ze *niet* gedefinieerd is? Het antwoord is een volledige driedeling — ophefbaar punt, pool of essentiële singulariteit — af te lezen van een tweezijdige machtreeks, de laurentontwikkeling. Eén coëfficiënt van die ontwikkeling, het *[residu](#def-b3-residues-singularities)*, beheerst elke [contourintegraal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-contour) rond de singulariteit: de residustelling zet moeilijke bepaalde integralen om in eindige algebra, telt de nulpunten van functies (argumentprincipe, Rouché) en bewijst de open-afbeeldingsstelling. We versterken eerst de stelling van Cauchy van stervormige gebieden tot haar definitieve, homologievrije vorm — het elegante argument van Dixon — zodat alle contouren met windingsgetal nul rond het complement beschikbaar worden. ## 17.1 De globale stelling van Cauchy Een *cykel* $\Gamma$ is een eindige formele som van gesloten wegen $\gamma_1, \dots, \gamma_m$; integralen en indices langs $\Gamma$ zijn de bijbehorende sommen, en $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$. **Stelling 17.1 (Cauchy, globale vorm).** Zij $\Omega \subseteq \C$ open, $f \in \mathcal H(\Omega)$ en $\Gamma$ een cykel in $\Omega$ zodanig dat $$ \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{voor elke } w \notin \Omega . $$ Dan is voor alle $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{en}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 . $$ **Bewijs (Dixon).** Definieer $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ door $$ g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases} $$ *$g$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)*: buiten de diagonaal is dat duidelijk. Nabij een diagonaalpunt $(a, a)$ ontwikkel je $f$ in een machtreeks in $a$ ([Stelling 16.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-analytic)): $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$, en elke term door $w - z$ delen (ontbinding van $u^n - v^n$) geeft voor $z, w \in D(a, r)$ $$ g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j}, $$ ook geldig op de diagonaal (elke binnenste som wordt $n(z-a)^{n-1}$, met som $f'(z)$). Voor kleine $r$ convergeert de reeks uniform op $D(a,r)^2$ ($\abs{\text{term}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$, sommeerbaar binnen de straal): de som is dus [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). Stel $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ op $\Omega$: [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) (uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $g$ op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen) en [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) — volgens Morera (het criterium in [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)): voor een driehoek $T \subseteq \Omega$ geeft Fubini $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$, waarbij de binnenste integraal verdwijnt omdat $z \mapsto g(z, w)$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) is op $\Omega$ (in $z = w$ is de singulariteit ophefbaar: $g$ is daar [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en elders [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) — het uitbreidingsargument uit het bewijs van [Stelling 16.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-formula)). Definieer op de [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$ $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$: [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) op $\Omega'$ (Morera, of differentiëren onder de integraal). Voor $z \in \Omega\cap\Omega'$ is $$ h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) . $$ Volgens de hypothese is $\Omega\cup\Omega' = \C$ ($w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$), dus lijmen $h$ en $h_1$ tot een gehele functie $H$. Omdat de onbegrensde component van het complement van $\operatorname{im}\Gamma$ in $\Omega'$ ligt en $h_1(z) \to 0$ als $\abs z \to \infty$ (ML-afschatting), is $H$ begrensd en gaat ze naar $0$: Liouville ([Gevolg 16.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#cor-b3-holomorphic-liouville)) geeft $H \equiv 0$. Dus is $h \equiv 0$ op $\Omega$, en dat is de integraalformule. Pas haar voor vaste $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ toe op $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ in $z = a$: $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 . $$ ∎ ## 17.2 Laurentreeksen en geïsoleerde singulariteiten **Stelling 17.2 (Laurentontwikkeling).** Zij $f$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) op de ring $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ($0 \leq r < R \leq \infty$). Dan is $$ f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad\text{op } A, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w $$ voor elke $r < \rho < R$ (onafhankelijk van $\rho$), waarbij de twee halve reeksen normaal convergeren op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) deelringen. De ontwikkeling is uniek. **Bewijs.** Leg $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ vast en zij $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ (de buitenste tegen de wijzers van de klok in, de binnenste met de wijzers mee): een cykel in $A$ met $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ voor alle $w \notin A$ (punten binnen de kleine schijf: $1 - 1 = 0$; buiten de grote: $0 - 0$). Volgens [Stelling 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy) geeft $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ $$ f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w . $$ Ontwikkel de eerste kern als in [Stelling 16.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-analytic) (machten van $\frac{z - a}{w - a}$, met modulus $< 1$): het niet-negatieve deel $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$. Ontwikkel in de tweede de andere kant op: $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$, normaal convergent op $C_{\rho_1}$: het negatieve deel $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$ met de vermelde coëfficiënten (index $n = -m-1$). Onafhankelijkheid van $\rho$: de integralen voor de coëfficiënt over $C_{\rho}$ en $C_{\rho'}$ verschillen een $\int_\Gamma$ over een cykel met index nul van de op $A$ [holomorfe](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$: nul, opnieuw volgens [Stelling 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy). Uniciteit: integreer $\sum c_n(z-a)^n$ tegen $(z - a)^{-m-1}$ term voor term over $C_\rho$ (normale convergentie): alleen $n = m$ overleeft. ∎ **Definitie 17.3.** Is $f$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) op een geperforeerde schijf $D(a, R)\setminus \{a\}$, ontwikkel dan volgens Laurent ($r = 0$). Drie elkaar uitsluitende gevallen: - alle $c_n = 0$ voor $n < 0$ : een *[ophefbare singulariteit](#thm-b3-residues-riemanncw)* (de niet-negatieve reeks breidt $f$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) uit tot $a$ ); - $c_n \neq 0$ voor eindig veel, maar minstens één, $n < 0$ : een *pool* van orde $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; gelijkwaardig is $f = g/(z-a)^m$ met $g$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) en $g(a) \neq 0$ ; gelijkwaardig gaat $\abs{f(z)} \to \infty$ als $z\to a$ ; - oneindig veel negatieve $c_n \neq 0$ : een *essentiële singulariteit* . Het *residu* is $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$. Een functie die [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) is op $\Omega$ min een verzameling polen, heet *meromorf* op $\Omega$. **Stelling 17.4 (Riemann; Casorati–Weierstrass).** Zij $f$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) op $D(a,R)\setminus\{a\}$. 1. (Riemann) Is $f$ *begrensd* nabij $a$ , dan is de singulariteit ophefbaar. 2. (Casorati–Weierstrass) Is $a$ essentieel, dan ligt $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\C$ voor elke $\varepsilon$ . **Bewijs.** (1) Voor $n < 0$ en $\rho \to 0$: $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ volgens ML op $C_\rho$: $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ (want $-n > 0$): alle negatieve coëfficiënten verdwijnen. (2) Werd een waarde $b$ niet benaderd, dan is $\abs{f - b} \geq \delta$ nabij $a$, zodat $g = 1/(f - b)$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) en begrensd is nabij $a$: ophefbaar volgens (1), en $g$ breidt uit met waarde $c$. Is $c \neq 0$, dan is $f = b + 1/g$ begrensd nabij $a$: ophefbaar — uitgesloten. Is $c = 0$, dan heeft $g$ in $a$ een nulpunt van eindige orde $m$ ([Stelling 16.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-identity); $g \not\equiv 0$), en heeft $f = b + 1/g$ een pool van orde $m$: opnieuw uitgesloten. ∎ ## 17.3 De residustelling **Stelling 17.5 (Residustelling).** Zij $\Omega$ open, $S \subseteq \Omega$ eindig, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$, en $\Gamma$ een cykel in $\Omega\setminus S$ met $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ voor elke $w \notin \Omega$. Dan is $$ \frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) . $$ **Bewijs.** Zij voor elke $a \in S$ $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ het hoofddeel van $f$ in $a$: een reeks die op $\C\setminus\{a\}$ convergeert (haar straal in $1/(z-a)$ is oneindig: de laurentstaart convergeert voor alle kleine $\abs {z-a}$ en dus, als machtreeks in $(z-a)^{-1}$, overal) en daar [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) is. Dan heeft $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ in elk punt van $S$ een [ophefbare singulariteit](#thm-b3-residues-riemanncw) (haar laurentontwikkeling in $a$ heeft geen negatief deel: de andere $P_{a'}$ zijn [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) in $a$), zodat $g$ zich [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) uitbreidt tot $\Omega$, en [Stelling 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy) geeft $\int_\Gamma g = 0$. Rest nog elke $P_a$ te integreren: term voor term (normale convergentie op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\operatorname{im}\Gamma$, die $a$ mijdt), $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{primitieve } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a), $$ dus $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$. Sommeer over $a$. ∎ **Methode 17.6 (Residuen berekenen).** Enkelvoudige pool: $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$; voor $f = g/h$ met $g(a) \neq 0$, $h(a) = 0$ en $h'(a) \neq 0$ is $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$. Pool van orde $m$: $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$. Essentiële singulariteiten: ontwikkel en lees $c_{-1}$ af (bijvoorbeeld uit bekende reeksen). Ga altijd na welke polen de contour werkelijk omsluit, en met welke index. **Voorbeeld 17.7 (De vier klassieke integraaltypen).** (a) *Rationaal over $\R$*: sluit voor $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ af met een grote halve cirkel $S_R$ in het bovenste halfvlak: de integrand is daar $O(R^{-4})$, dus $\int_{S_R} \to 0$ (ML), en de residustelling met de polen $\eu^{\iu\pi/4}$ en $\eu^{3\iu\pi/4}$ (enkelvoudig, met [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ in een pool) geeft $$ \int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} . $$ (b) *Fouriertype*: voor $t \geq 0$ is $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — de bovenste halve cirkel werkt omdat daar $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$; reële delen nemen geeft $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, wat de zonder bewijs aangenomen formule van [Oefening 10.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#exo-b3-lebesgue-10) vereffent. (c) *Goniometrisch over een periode*: substitueer $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ en $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) wordt een residutelling binnen de eenheidscirkel ([Oefening 17.2](#exo-b3-residues-2)). (d) *Reeksen*: paar $f$ met $\pi\cot(\pi z)$, waarvan de polen de gehele getallen zijn met [residu](#def-b3-residues-singularities) $1$: zo sommeert de weekendopgave $\sum n^{-2}$ en $\sum n^{-4}$. ![De halvecirkelcontour voor ∈t_ℝ x/1 + x4: als R ∈fty draagt de boog O(R-3) bij, en de residustelling telt de twee omsloten polen (blauw). De twee onderste polen (grijs) liggen erbuiten: index 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-residues/fig-5a0f9191769e.svg) *De halvecirkelcontour voor $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$: als $R \to \infty$ draagt de boog $O(R^{-3})$ bij, en de residustelling telt de twee omsloten polen (blauw). De twee onderste polen (grijs) liggen erbuiten: index $0$.* ## 17.4 Het argumentprincipe en de stelling van Rouché **Stelling 17.8 (Argumentprincipe).** Zij $f$ [meromorf](#def-b3-residues-singularities) op $\Omega$, met nulpunten $z_j$ (van orde $m_j$) en polen $p_k$ (van orde $\mu_k$), en $\gamma$ een gesloten weg in $\Omega$ die ze alle mijdt, met $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ buiten $\Omega$. Dan is $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k) $$ (slechts eindig veel termen zijn $\neq 0$). Voor een enkelvoudige contour tegen de wijzers van de klok in telt de integraal de nulpunten min de polen binnenin, met multipliciteit — en is ze gelijk aan het windingsgetal van de beeldweg $f\circ\gamma$ rond $0$. **Bewijs.** Nabij een nulpunt van orde $m$: $f = (z-a)^mg$ met $g(a) \neq 0$, dus $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ met de tweede term [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) nabij $a$: een enkelvoudige pool met [residu](#def-b3-residues-singularities) $m$. Nabij een pool van orde $\mu$ geeft $f = (z-a)^{-\mu}g$ [residu](#def-b3-residues-singularities) $-\mu$. Elders is $\frac{f'}f$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo). (De nulpunten en polen met index $\neq 0$ liggen in een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) gebied dat door $\gamma$ wordt omsloten; volgens de identiteitsstelling zijn ze daar eindig in aantal, want $f \not\equiv 0$.) Pas [Stelling 17.5](#thm-b3-residues-residue) toe. De laatste opmerking: $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ (substitueer $w = f(\gamma(t))$). ∎ **Stelling 17.9 (Rouché).** Zij $f, g$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) op $\Omega$, en $\gamma$ een gesloten weg met $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$, nul buiten $\Omega$ (een enkelvoudige contour). Is $$ \abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \text{op } \operatorname{im}\gamma, $$ dan hebben $f$ en $f + g$ evenveel nulpunten (met multipliciteit) in het gebied $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$. **Bewijs.** Voor $t \in \intcc01$ heeft $f_t = f + tg$ geen nulpunt op $\operatorname{im}\gamma$ (want $\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$), dus is $$ N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z $$ goed gedefinieerd; ze telt de nulpunten in het omsloten gebied ([Stelling 17.8](#thm-b3-residues-argument); geen polen). $N$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) in $t$ (de integrand is gezamenlijk [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), de noemers zijn uniform van onderen begrensd — gedomineerde convergentie) en neemt gehele waarden aan: dus constant. Bijgevolg $N(0) = N(1)$. ∎ **Gevolg 17.10 (Open-afbeeldingsstelling).** Een niet-constante [holomorfe functie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) op een [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) is een open afbeelding. In het bijzonder geldt (opnieuw) het maximumprincipe, en heeft een [holomorfe](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) bijectie een [holomorfe](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) inverse. **Bewijs.** Zij $f(a) = b$; $f - b$ heeft in $a$ een nulpunt van eindige orde $m \geq 1$ (identiteitsstelling: $f \not\equiv b$). Kies $r$ zodat $f - b$ geen nulpunt heeft op $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ ([geïsoleerde nulpunten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-identity)) en zij $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$. Voor $\abs{w - b} < \delta$ is op de cirkel $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$, dus zegt Rouché ($f - b$ tegenover de constante $b - w$) dat $f - w$ precies $m$ nulpunten in $D(a, r)$ heeft: elke zulke $w$ wordt bereikt — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$: open. Maximumprincipe: een inwendig maximum van $\abs f$ is onmogelijk voor een niet-constante $f$, want haar beeld rond $f(a)$ bevat punten met grotere modulus. Inverse: een [holomorfe](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) bijectie $f$ is open, dus is $f^{-1}$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity); het nulpunt van $f - f(a)$ in $a$ is enkelvoudig ($m \geq 2$ zou $m$ originelen van nabije waarden geven — verschillende, want $f'$ verdwijnt enkel in geïsoleerde punten, zodat nabij $a$ de $m$ nulpunten van $f - w$ voor generieke kleine $w$ enkelvoudig en verschillend zijn: in tegenspraak met de injectiviteit); dan is $f'(a) \neq 0$ en convergeert het differentiequotiënt van $f^{-1}$: $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$. ∎ ## 17.5 Oefeningen **Oefening 17.1 ★.** Klasseer de singulariteit in $0$ en bereken het [residu](#def-b3-residues-singularities): $$ \frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} . $$ Geef ook het [residu](#def-b3-residues-singularities) van de derde in $z = 1$ en van de laatste in $z = \pi$. **Oplossing van Oefening 17.1.** $\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$: ophefbaar, [residu](#def-b3-residues-singularities) $0$. $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$: enkelvoudige pool, [residu](#def-b3-residues-singularities) $1$. $\frac1{z(z-1)^2}$: enkelvoudige pool in $0$ met [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{(0-1)^2} = 1$; dubbele pool in $1$ met [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$. $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$: pool van orde $3$, [residu](#def-b3-residues-singularities) $-\frac12$. $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$: essentieel, [residu](#def-b3-residues-singularities) $1$. $\frac1{\sin z}$: enkelvoudige polen in $n\pi$; [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{\cos 0} = 1$ in $0$ en $\frac1{\cos\pi} = -1$ in $\pi$ ([Methode 17.6](#met-b3-residues-compute), de regel $g/h'$). **Oefening 17.2 ★.** Bereken voor $a > 1$, via $z = \eu^{\iu t}$: $$ \int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} . $$ Ga het limietgedrag bij $a \to 1^+$ en $a \to \infty$ na. **Oplossing van Oefening 17.2.** Met $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ en $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $$ \int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} . $$ De wortels $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ voldoen aan $z_+z_- = 1$ met $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$; het [residu](#def-b3-residues-singularities) in $z_+$ is $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$, dus is de integraal $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot\frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$. Als $a \to 1^+$ explodeert ze (de integrand piekt in $t = \pi$); als $a \to \infty$ gedraagt ze zich als $\frac{2\pi}a$, in overeenstemming met $\int\frac{\dd t}a$. **Oefening 17.3 ★★.** Bereken met halvecirkelcontouren, met verantwoording van de afschattingen op de boog: $$ \int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(waarmee \text{Oefening 14.3} opnieuw volgt)}. $$ **Oplossing van Oefening 17.3.** Eerste integraal: de bovenste polen van $\frac{z^2}{1+z^6}$ zijn $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$; in elk is $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$, en $p^3$ neemt de waarden $\iu, -\iu, \iu$ aan: som van de [residuen](#def-b3-residues-singularities) $-\frac{\iu}{6}$. De boog is $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$: $$ \int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 . $$ Tweede: dubbele pool in $\iu$ van $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$: $$ \operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 , $$ in overeenstemming met [Oefening 14.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#exo-b3-fouriertransform-3)(b). **Oefening 17.4 ★★.** Bewijs voor $t \geq 0$ en $a > 0$: $$ \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, $$ en leid met inversie de fouriergetransformeerde van $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ af — vergelijk met [Oefening 14.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#exo-b3-fouriertransform-1). **Oplossing van Oefening 17.4.** Sluit $\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ af in het bovenste halfvlak ($t \geq 0$): daar is $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$, dus draagt de boog $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$ bij. De enige omsloten pool $\iu a$ is enkelvoudig met [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$: $$ \int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{en dus}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t} $$ (reëel deel; even in $t$). Dat is de tegenhanger via inversie van $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ ([Oefening 14.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#exo-b3-fouriertransform-1)): de twee berekeningen bevestigen elkaar via [Stelling 14.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#thm-b3-fouriertransform-inversion). **Oefening 17.5 ★★.** Ontwikkel $f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ in een [laurentreeks](#thm-b3-residues-laurent) in elk van de drie gebieden $\abs z < 1$, $1 < \abs z < 2$ en $\abs z > 2$. Waarom verschillen de drie ontwikkelingen? Leg uit waarom de coëfficiënt van $z^{-1}$ in de tweede en de derde ontwikkeling *geen* [residu](#def-b3-residues-singularities) van $f$ in $0$ is ($f$ heeft daar geen singulariteit), en bereken de werkelijke [residuen](#def-b3-residues-singularities) van $f$, in $1$ en in $2$. **Oplossing van Oefening 17.5.** Partieelbreuken: $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$. Op $\abs z < 1$ (Taylor): $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$. Op $1 < \abs z < 2$: $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ en $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$: een echte tweezijdige reeks. Op $\abs z > 2$: $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$. De drie verschillen omdat laurentontwikkelingen aan *ringen* hangen, niet aan punten: elk gebied heeft haar eigen meetkundige ontwikkelingen. De coëfficiënten van $z^{-1}$ ($-1$ respectievelijk $0$) zijn integralen over cirkels die *de singulariteiten binnenin* omsluiten, geen [residuen](#def-b3-residues-singularities) in $0$ ($f$ is daar [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo)): voor $1 < \abs z < 2$ is de coëfficiënt $-1$ gelijk aan $\operatorname{Res}(f, 1)$; voor $\abs z > 2$ is de coëfficiënt $0$ gelijk aan $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$. De [residuen](#def-b3-residues-singularities) van $f$ zijn: $-1$ in $1$ en $+1$ in $2$. **Oefening 17.6 ★★.** (a) Toon aan dat $\eu^{1/z}$ in $0$ een essentiële singulariteit heeft en ga Casorati–Weierstrass met de hand na: los $\eu^{1/z} = w$ expliciet op voor elke $w \neq 0$ en geef oplossingen willekeurig dicht bij $0$. (b) Toon aan dat $\abs{\eu^{1/z}}$ op elke geperforeerde [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $0$ onbegrensd is en dat $\eu^{1/z}$ toch geen pool heeft: welke limiet faalt? **Oplossing van Oefening 17.6.** (a) De [laurentreeks](#thm-b3-residues-laurent) $\sum_nz^{-n}/n!$ heeft oneindig veel negatieve termen: essentieel. $\eu^{1/z} = w$ oplossen ($w \neq 0$): $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$, dus $$ z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 : $$ elke waarde $\neq 0$ wordt nabij $0$ oneindig vaak bereikt — sterker dan [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma). (b) Langs $z = 1/x$ met $x \to +\infty$: $\eu^x \to \infty$; langs $z = \iu/y$: modulus $1$. Een pool vereist $\abs{f(z)} \to \infty$ *langs elke nadering*: hier bestaat de limiet eenvoudigweg niet, ook niet in $[0, +\infty]$. **Oefening 17.7 ★★.** Tel met Rouché: (a) de nulpunten van $z^7 - 4z^3 + z - 1$ in $\abs z < 1$; (b) de nulpunten van $z^4 + 5z + 1$ in $\abs z < 1$ en in $1 < \abs z < 2$; (c) bewijs d’Alembert–Gauss opnieuw: een monische veelterm van graad $n$ heeft $n$ nulpunten in een grote schijf *(vergelijk met $z^n$)*. **Oplossing van Oefening 17.7.** (a) Op $\abs z = 1$: $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$. Rouché met $f = -4z^3$ en $g = z^7 + z - 1$: drie nulpunten in de schijf. (b) Op $\abs z = 1$: $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$: één nulpunt in $\abs z < 1$. Op $\abs z = 2$: $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$: vier nulpunten in $\abs z < 2$. Dus drie nulpunten in de ring. (c) Voor $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$: op $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$ is $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$: dus heeft $P$ precies $n$ nulpunten in $D(0, R)$ — d’Alembert–Gauss met multipliciteit, door louter te tellen. **Oefening 17.8 ★★★.** (Hurwitz) Zij $f_n \to f$ uniform op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen, met $f_n \in \mathcal H(\Omega)$, $\Omega$ [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) en $f \not\equiv 0$. (a) Toon aan dat als alle $f_n$ nulpuntvrij zijn, $f$ dat ook is. *(Is $f(a) = 0$: het argumentprincipe op een kleine cirkel rond $a$, en [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) om in $\int f_n'/f_n$ naar de limiet over te gaan.)* (b) Toon aan dat als alle $f_n$ injectief zijn, $f$ injectief of constant is. *(Pas (a) toe op $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ op $\Omega\setminus\{w\}$.)* **Oplossing van Oefening 17.8.** (a) Stel $f(a) = 0$ met $f \not\equiv 0$: kies $r$ zodat $f$ geen nulpunt heeft op de cirkel $C = \partial D(a, r)$ ([geïsoleerde nulpunten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-identity)) en zij $m = \min_C\abs f > 0$. Volgens [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) convergeren $f_n \to f$ en $f_n' \to f'$ uniform op $C$; voor grote $n$ is $\abs{f_n} \geq m/2$ op $C$, dus $$ \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1 $$ (de limiet telt het nulpunt $a$; de convergentie omdat de tellers uniform convergeren en de noemers uniform van onderen begrensd zijn). Het linkerlid is een geheel getal dat de nulpunten van $f_n$ in de schijf telt: het moet uiteindelijk $\geq 1$ zijn — in tegenspraak met de nulpuntvrijheid. Dus is $f$ nulpuntvrij. (b) Leg $w \in \Omega$ vast en pas (a) toe op de [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $\Omega\setminus\{w\}$ (een punt uit een open [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) deelverzameling van $\C$ verwijderen behoudt de [samenhang](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected)) op $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$, daar nulpuntvrij wegens de injectiviteit, met limiet $g = f - f(w)$. Is $f$ niet constant, dan is $g \not\equiv 0$ op $\Omega\setminus\{w\}$, dus is $g$ daar nulpuntvrij: $f(z) \neq f(w)$ voor alle $z \neq w$. Omdat $w$ willekeurig was, is $f$ injectief. **Oefening 17.9 ★★★.** Integreer voor $n \geq 2$ $\frac1{1 + z^n}$ over de rand van de sector $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ en leid af dat $$ \int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} . $$ Controleer $n = 2$ tegen $\arctan$, en de limiet $n \to \infty$. **Oplossing van Oefening 17.9.** De rand van de sector bestaat uit $[0, R]$, de boog $A_R$ en de omgekeerd doorlopen straal $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$. Binnenin ligt de enige pool $p = \eu^{\iu\pi/n}$ van $\frac1{1+z^n}$, met [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$. Op de terugstraal geeft $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ dat $z^n = x^n$ en $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$; de boog is $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$. Bijgevolg is $$ \bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{dus}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} . $$ $n = 2$: $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$. Als $n \to \infty$ gaat de waarde naar $1$, en inderdaad gaat de integrand naar $\mathbf 1_{\intco01}$ (met de dominant $\min(1, x^{-2})$ voor $n \geq 2$). **Oefening 17.10 ★★.** Zij $f$ een rationale functie met $\deg(\text{noemer}) \geq \deg(\text{teller}) + 2$. Toon aan dat de som van *alle* [residuen](#def-b3-residues-singularities) van $f$ nul is *(integreer over steeds grotere cirkels)*. Gebruik dat om de splitsing in partieelbreuken van $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ opnieuw te berekenen zonder lineaire algebra. **Oplossing van Oefening 17.10.** Op $\abs z = R$ groot is $\abs f \leq C R^{-2}$: $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$. Maar voor $R$ voorbij alle polen geeft de residustelling $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{alle }p}\operatorname{Res}(f, p)$: dus verdwijnt de totale som. Voor $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$: de [residuen](#def-b3-residues-singularities) zijn $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ in $0$, $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ in $1$ en $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ in $2$ — met som $0$, zoals voorspeld, en $$ \frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} : $$ de [residuen](#def-b3-residues-singularities) *zijn* de coëfficiënten van de partieelbreuken, en de identiteit met som nul levert een gratis consistentiecontrole (of bepaalt de laatste coëfficiënt uit de andere). **Oefening 17.11 ★★★.** (Het sleutelgat: de reflectie-integraal van Euler) Bereken voor $0 < a < 1$ $$ I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)} $$ door $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (de logaritme gesneden langs $\R_+$, met $\arg z \in \intoo0{2\pi}$) te integreren over de sleutelgatcontour: naar buiten langs de bovenkant van de snede van $\varepsilon$ tot $R$, rond $C_R$, terug onder de snede, rond $C_\varepsilon$. Verantwoord: de twee rechte stukken verschillen de factor $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$, de bijdragen van de cirkels verdwijnen ($R^{a-1}\cdot R \to 0$ en $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$), en de enige pool $z = -1$ heeft [residu](#def-b3-residues-singularities) $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$. Leid ook $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ af *(schrijf $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ volgens [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1) en substitueer $t = \frac{x}{1+x}$)*. **Oplossing van Oefening 17.11.** Op het sleutelgat is, met de gekozen bepaling, net boven de snede $\log z = \ln x$ en net eronder $\log z = \ln x + 2\iu\pi$. De vier stukken geven $$ \Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) . $$ Bogen: $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ op $C_R$, met lengte $2\pi R$: bijdrage $O(R^{a-1}) \to 0$ (want $a < 1$); en $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ op $C_\varepsilon$, met lengte $2\pi\varepsilon$: $O(\varepsilon^a) \to 0$ (want $a > 0$). [Residu](#def-b3-residues-singularities): in $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$ is $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$. Bijgevolg is $$ I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} . $$ Reflectie van de gammafunctie: $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$; de substitutie $t = \frac x{1+x}$, $1 - t = \frac1{1+x}$, $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ maakt daarvan $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$, en de formule van Euler $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ ([Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#pb-b3-lebesgue-1)) geeft $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ — in het bijzonder opnieuw $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$. **Oefening 17.12 ★★.** (Nulpunten tellen met het argumentprincipe, numeriek) Zij $P(z) = z^4 + 8z + 1$. (a) Hoeveel nulpunten in de eenheidsschijf? *(Rouché tegen $8z + 1$.)* (b) Hoeveel in de ring $1 < \abs z < 3$? *(Rouché tegen $z^4$ op $\abs z = 3$.)* Scherp aan: toon aan dat elk nulpunt modulus $< 2.1$ heeft. (c) Hoeveel in het rechterhalfvlak? *(Tel eerst op $\abs z = 2$; volg daarna het beeld van de imaginaire as: $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ heeft overal een positief reëel deel, dus geen nulpunten op de as, en de argumentvariatie erlangs is berekenbaar — besluit met een grote halve schijf.)* **Oplossing van Oefening 17.12.** (a) Op $\abs z = 1$: $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ (want $\abs{8z} - 1 = 7$): $P$ heeft evenveel nulpunten in $\mathbb D$ als $8z + 1$, namelijk *één* (in $-\frac18$). (b) Op $\abs z = 3$: $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$: Rouché tegen $z^4$ geeft alle vier nulpunten in $\abs z < 3$, dus $4 - 1 = 3$ nulpunten in de ring $1 < \abs z < 3$. Aanscherping: een nulpunt met $\abs z = r \geq 2.1$ zou voldoen aan $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$, maar $r^4 - 8r - 1$ is stijgend voor $r \geq 2$ en is gelijk aan $19.45 - 16.8 - 1 = 1.65 > 0$ bij $r = 2.1$: onmogelijk. De drie buitenste nulpunten liggen dus in $1 < \abs z < 2.1$. (Numeriek: een reëel nulpunt nabij $-1.95$ en een toegevoegd paar nabij $1.04 \pm 1.73\iu$, met modulus $2.02$ — en daarom moet een poging met Rouché op straal precies $2$ mislukken: de stelling eist strikte overheersing, en de nulpunten zitten er net buiten.) (c) Geen nulpunten op $\iu\R$: $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$. Nulpunten in het rechterhalfvlak: gebruik het argumentprincipe op de rand van de halve schijf $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$. Op de grote boog draait $\arg P \approx \arg z^4$ over $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ (de boog overspant hoek $\pi$). Langs de imaginaire as van $\iu R$ naar $-\iu R$ blijft $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ in het rechterhalfvlak ($\operatorname{Re} > 0$), dus varieert $\arg P$ binnen $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ en keert ze terug met een nettoverandering die naar $0$ gaat als $R \to \infty$ (beide eindpunten $\approx \arg t^4 = 0$). Totale winding: $\frac{4\pi + 0} {2\pi} = 2$: dus *twee* nulpunten in het rechterhalfvlak — in overeenstemming met de numeriek: het toegevoegde paar $\approx 1.04 \pm 1.73\iu$ heeft een positief reëel deel, de reële nulpunten $\approx -0.125$ en $\approx -1.96$ een negatief. ## 17.6 Probleem: $\zeta(2k)$ met de cotangens **Probleem 17.1.** Weekendopgave — $\sum n^{-2k}$ sommeren met [residuen](#def-b3-residues-singularities) De residustelling sommeert reeksen: een rationale functie paren met $\pi\cot(\pi z)$, waarvan de polen in de gehele getallen liggen, maakt van $\sum_{n}f(n)$ een residutelling. We bewijzen de methode en berekenen $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ en $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ — de waarden die in het volume van bachelorjaar 2 met fourierreeksen en in [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#ch-b3-spectral) met operatorsporen werden gevonden, nu met contourintegratie. **Deel I — De cotangenskern.** 1. Toon aan dat $\pi\cot(\pi z)$ [meromorf](#def-b3-residues-singularities) is op $\C$ , met enkelvoudige polen precies in $z = n \in \Z$ , elk met [residu](#def-b3-residues-singularities) $1$ *(bereken $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$)* . 2. Bereken het begin van de laurentontwikkeling in $0$: $$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$$ door de machtreeks van $\cos$ door die van $\sin$ te delen (verantwoord de deling: $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ is [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) en $\neq 0$ nabij $0$, dus is haar omgekeerde [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo); identificeer de coëfficiënten tot en met orde $3$). 3. Zij $C_N$ de rand van het vierkant met hoekpunten $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ . Toon aan dat $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ op $C_N$ voor elke $N \geq 1$ . *(Op de verticale zijden is $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$, met modulus $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$; op de horizontale zijden, waar $\abs y = N + \frac12$, schat je $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1.1$ af.)* **Deel II — De sommatiestelling.** 4. Zij $f$ rationaal en [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) in de gehele getallen, met $\deg(\text{noemer}) \geq \deg(\text{teller}) + 2$. Bewijs met de residustelling op $C_N$ en de afschatting van vraag 3: $$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{pool van}\ f} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$$ 5. Waar heeft het argument de graadvoorwaarde nodig? Toon met een voorbeeld (neem $f(z) = 1/(z + \frac12)$ ) aan dat bij trager verval de symmetrische limiet nog kan bestaan terwijl de tweezijdige reeks divergeert — en dat de formule dan de *hoofdwaarde* berekent. **Deel III — De waarden.** 6. Pas de methode toe op $f(z) = 1/z^2$: hier ligt de pool van $f$ *in* een geheel getal, dus voer je het argument rechtstreeks uit — integreer $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ over $C_N$, toon aan dat de integraal naar $0$ gaat, en bereken $\operatorname{Res}(g, 0)$ met vraag 2. Besluit: $$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$$ 7. Idem met $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ : bereken $\operatorname{Res}(g, 0)$ en leid $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ af. 8. Verklaar het algemene patroon: voor elke $k \geq 1$ is $\zeta(2k)$ gelijk aan $-\frac12$ maal de coëfficiënt van $z^{2k-1}$ in de laurentontwikkeling van $\pi\cot(\pi z)$ in $0$ — een rationaal veelvoud van $\pi^{2k}$ . Bereken $\zeta(6)$ door de deling van vraag 2 één stap verder te duwen. Wat zegt de methode over $\zeta(3)$ — en waarom zegt ze niets? **Deel IV — De partieelbreuksplitsing van de cotangens.** 9. Leg $w \in \C\setminus\Z$ vast en pas de methode van Deel II toe op $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ — merk op dat $\pi\cot(\pi z)f(z)$ nu extra enkelvoudige polen in $\pm w$ heeft, waarvan de [residuen](#def-b3-residues-singularities) mee moeten tellen. Leid de partieelbreuksplitsing $$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2}$$ af, waarbij de reeks normaal convergeert op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) deelverzamelingen van $\C\setminus\Z$. 10. Vind uit deze ontwikkeling, door elke term in machten van $w$ te ontwikkelen (verantwoord het verwisselen), *dezelfde* laurentcoëfficiënten terug als in vraag 2 — de cirkel sluit zich: de formule van Euler $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ is de coëfficiënt van $w$ in de twee gezichten van de cotangens. Vergelijk met het bewijs met fourierreeksen (volume van bachelorjaar 2) en dat met het spoor ( [Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#pb-b3-spectral-1) ): drie theorieën, één getal. **Deel V — Het product van Euler voor de sinus.** De ontwikkeling van vraag 9 is de logaritmische afgeleide van een oneindig product; we bewijzen nu eerlijk de ontbinding die Euler in 1734 vond. 11. Stel voor $N \geq 1$ $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ . Toon aan dat $P_N$ uniform op elke schijf $\bar D(0, R)$ convergeert naar een gehele functie $P$ waarvan de nulpunten precies de gehele getallen zijn, alle enkelvoudig. *(Schrijf voor $n \geq 2R$ de factor als $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ met de hoofdlogaritme van [Oefening 16.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#exo-b3-holomorphic-3), schat $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ af voor $\abs u \leq \frac12$ met de reeks, en exponentieer de normaal convergente som van logaritmen; de eindig veel resterende factoren vormen een veelterm. Besluit met [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv).)* 12. Toon aan dat op $\C\setminus\Z$ $$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$$ *(differentieer de eindige producten, ga met [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) en de nulpuntvrijheid van $P$ buiten $\Z$ naar de limiet, en citeer vraag 9)*. 13. Toon aan dat $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ zich uitbreidt tot een nulpuntvrije gehele functie met $Q' = 0$, en besluit tot het *product van Euler*: $$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$$ 14. (Wallis, 1655) Evalueer in $z = \frac12$: $$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$$ 15. Ontwikkel voor $\abs z < 1$ de logaritme van het product als dubbele reeks (verantwoord de herschikking) en vind $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ terug door de coëfficiënt van $z^3$ te vergelijken in $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ — het gezicht van Eulers getal aan de kant van het product. **Deel VI — Zusterkernen.** De cotangens heeft zussen; elk beprijst haar eigen familie reeksen. 16. Differentieer de ontwikkeling van vraag 9 term voor term (verantwoord met [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)) om, normaal op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) deelverzamelingen van $\C\setminus\Z$, te verkrijgen $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$$ 17. Evalueer in $z = \frac12$ : $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; vind $\zeta(2)$ nog eens terug door de gehele getallen naar pariteit te splitsen. 18. Ga de verdubbelingsidentiteit $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ na en leid af dat $$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$$ normaal op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen die $\frac12 + \Z$ mijden. 19. Ontwikkel rond $0$ ($\abs z < \frac12$; opnieuw Fubini): met $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$ is $$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$$ vergelijk met $\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ om $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ terug te vinden en $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ te krijgen, en controleer daarna $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ via $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$. 20. Ga $\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ na en leid af dat $$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$$ Controleer de tekens tegen de [residuen](#def-b3-residues-singularities) van $\pi/\sin(\pi z)$ in de gehele getallen. 21. Lees de coëfficiënt van $z$ af: $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ , en bevestig de consistentie $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ . 22. (Finale) Evalueer de ontwikkeling van vraag 20 in $z = \frac12$ en leid de *formule van Leibniz* af: $$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$$ Sluit af met een korte alinea: één kern per rekenkunde — welke kern beprijst welke familie reeksen, en waarom zijn ze structureel allemaal blind voor $\zeta(3)$? **Deel VII — De volledige prijslijst: de getallen van Bernoulli.** 23. Combineer de partieelbreuksplitsing van $\pi z\cot(\pi z)$ met de genererende functie van de getallen van Bernoulli ($\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!} w^n$, [Probleem 16.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#pb-b3-holomorphic-1), Deel VI): leid uit $$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$$ (bewijs eerst die identiteit) de gesloten vorm $$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1)$$ af. 24. Toets de formule aan $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ en $B_6 = \frac1{42}$ : vind $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ en $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ terug, en bereken $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ . 25. (Recursie van Euler) Ontwikkel beide leden van $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ — of kwadrateer de cotangensreeks rechtstreeks — om $$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2)$$ te bewijzen, en ga na dat ze $\zeta(4)$ uit $\zeta(2)$ en $\zeta(6)$ uit $\zeta(2), \zeta(4)$ berekent — alle even zetawaarden uit het ene zaadje $\frac{\pi^2}6$, zonder één nieuwe integratie. **Oplossing van Probleem 17.1.** **1.** $\sin(\pi z)$ heeft enkelvoudige nulpunten precies in $\Z$ ($\sin\pi z = 0$ dan en slechts dan als $z \in \Z$, en $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ daar), en $\cos(\pi n) \neq 0$: dus heeft $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ enkelvoudige polen in $\Z$ met $$ \operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1 $$ (de regel $g/h'$, [Methode 17.6](#met-b3-residues-compute)). **2.** $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ is [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) en $\neq 0$ nabij $0$: haar omgekeerde is [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) ([Definitie 16.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo): quotiënt), met reeks $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ (identificeer: coëfficiënten in de trant van $(1 - u)^{-1}$ met $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$: de coëfficiënt van $z^4$ is $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$). Vermenigvuldig met $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ en deel door $z$: $$ \pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots $$ (want $\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$). **3.** Verticale zijden $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$: wegens de $\pi$-periodiciteit van $\cot$ is $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$, met modulus $\leq 1$. Horizontale zijden $z = x \pm \iu(N + \frac12)$: uit $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$ volgt $$ \abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1.1 . $$ Beide grenzen zijn $\leq 2$. **4.** Pas [Stelling 17.5](#thm-b3-residues-residue) toe op $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ op $C_N$ ($N$ voorbij alle polen van $f$): $$ \frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p), $$ waarbij de gehele polen $f(n)$ bijdragen (vraag 1; $f$ is daar [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo)). Op $C_N$ is $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$, en de omtrek is $8(N + \frac12)$: de integraal is $O(1/N) \to 0$. Laat $N \to \infty$ gaan: de weergegeven sommatieformule. **5.** Het verval $\abs f = O(\abs z^{-2})$ doodde de [contourintegraal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-contour) *en* maakte $\sum\abs{f(n)}$ convergent. Voor $f(z) = \frac1{z + \frac12}$ telescoperen de symmetrische sommen $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ tot $0$ (de termen $n$ en $-n - 1$ heffen elkaar op), en het rechterlid is $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$: consistent — maar $\sum\abs{f(n)}$ divergeert; de methode berekent enkel de symmetrische limiet (de hoofdwaarde). **6.** $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$: polen in de gehele getallen $\neq 0$ met [residuen](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{n^2}$, en in $0$, waar volgens vraag 2 $$ g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 . $$ De [contourintegraal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-contour) over $C_N$ gaat naar $0$ als in vraag 4 ($\abs{g} = O(N^{-2})$ op $C_N$). Bijgevolg is $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$: dus $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$ en $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. **7.** $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$: het [residu](#def-b3-residues-singularities) in $0$ is $-\frac{\pi^4}{45}$, en $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$ geeft $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$. **8.** Met $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$ is het [residu](#def-b3-residues-singularities) in $0$ de coëfficiënt $a_{2k-1}$ van $z^{2k-1}$ in de ontwikkeling van $\pi\cot(\pi z)$, en de verdwijnende contour geeft $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$: dus $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$, een rationaal veelvoud van $\pi^{2k}$, want dat zijn de coëfficiënten van de cotangens. Nog één delingsstap levert $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$ op, waaruit $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$. Voor $\zeta(3)$: de natuurlijke kern $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ brengt $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ voort wegens de oneven pariteit — de methode bewijst $0 = 0$ en is structureel blind voor de oneven zetawaarden (voor $\zeta(3)$ is geen gesloten vorm bekend; haar irrationaliteit, Apéry 1978, vergde volstrekt andere ideeën). **9.** $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ heeft polen in de gehele getallen ([residuen](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{n^2 - w^2}$, met het teken: $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$) en enkelvoudige polen in $\pm w$, elk met [residu](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\pi\cot(\pm \pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ ($\cot$ is oneven). Het argument van vraag 4 ($\abs f = O(\abs z^{-2})$) geeft $$ \sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2}, $$ (de term $n = 0$ is $-\frac1{w^2}$; hergroepeer $\pm n$). Normale convergentie op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen van $\C\setminus\Z$: voor $\abs w \leq R$ en $n \geq 2R$ is $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$. **10.** Voor $\abs w \leq r < 1$ is $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$, met $\abs{\text{termen}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$, sommeerbaar over $(n, k)$: Fubini voor reeksen herschikt tot $$ \pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} . $$ Vergelijking met vraag 2: $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ en $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — dezelfde waarden. Drie wegen naar $\frac{\pi^2}6$: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-parseval) (fourierreeksen), het spoor van de greenoperator van de snaar, en de twee ontwikkelingen van de cotangens; dat een som over frequenties, een operatorspoor en een [contourintegraal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-contour) overeenstemmen is geen toeval — elk is een gezicht van dezelfde spectrale identiteit. **11.** Leg $R \geq 1$ vast en zij $n_0$ het kleinste gehele getal $\geq 2R$. Voor $\abs z \leq R$ en $n \geq n_0$ is $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$, dus $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$, waar de hoofdlogaritme [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) is, en $$ \Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} : $$ de som $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ convergeert normaal op $\bar D(0, R)$, met [holomorfe](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) partiële sommen $S_N$ en uniform $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$. Omdat $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (de middelwaardeafschatting op het lijnstuk), convergeren de staartproducten $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ uniform op $\bar D(0, R)$ naar de nulpuntvrije $\eu^S$. Vermenigvuldigen met de vaste veelterm $z\prod_{n 0$ ($P$ verdwijnt enkel op $\Z$), dus is uiteindelijk $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ en convergeert $P_N'/P_N \to P'/P$ uniform op $K$. Het middelste lid convergeert volgens vraag 9 naar $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$: dus is $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ op $\C\setminus\Z$. **13.** $\sin(\pi z)$ en $P$ zijn geheel met dezelfde nulpuntenverzameling $\Z$, met alle nulpunten enkelvoudig (vragen 1 en 11). Schrijf nabij $m \in \Z$ $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ en $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ met $\sigma, \psi$ [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) en $\neq 0$ in $m$ (splits de machtreeks af): dan breidt $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ zich [holomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#def-b3-holomorphic-holo) en nulpuntvrij over elk geheel getal uit, en is ze op $\C\setminus\Z$ nulpuntvrij als quotiënt van nulpuntvrije functies. Daar is $$ \frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 , $$ dus verdwijnt de gehele functie $Q'$ op $\C\setminus\Z$, en wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) overal: $Q$ is constant. Als $z \to 0$ gaat $\sin(\pi z)/z \to \pi$ en $P(z)/z \to 1$, dus $Q = \pi$: $$ \sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) . $$ **14.** In $z = \frac12$: $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$, dus $$ \frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} : $$ het product van Wallis, een gevolg van één regel uit de ontbinding van Euler. **15.** Voor $\abs z \leq r < 1$ ligt elke factor in $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$, dus is $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$: elk partieel product is de exponentiële functie van een partiële som, en beide leden gaan wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\exp$ naar de limiet. De dubbele reeks $$ \sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4) $$ herschikt volgens Fubini voor reeksen: $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$. Bijgevolg is $$ P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) , $$ en vraag 13 vergelijkt dat met $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$: $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$, dat wil zeggen $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. Het additieve gezicht (vraag 10) en het multiplicatieve berekenen hetzelfde getal. **16.** Op een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \C\setminus\Z$ convergeren de partiële sommen $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl(\frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (vraag 9, met de termen hergroepeerd als $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$) uniform naar $\pi\cot(\pi z)$, dus geeft [Stelling 16.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) dat $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ uniform op $K$. Omdat $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$: $$ \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} , $$ met normale convergentie op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen van $\C\setminus\Z$ (termen $O(n^{-2})$). **17.** In $z = \frac12$ is het linkerlid $\pi^2$; rechts is $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$, waarbij $2n - 1$ elk oneven getal precies één keer doorloopt als $n$ door $\Z$ loopt: $$ \pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 . $$ Splitsen naar pariteit: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$, dus $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ en opnieuw $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. **18.** Met $c = \cot\theta$ en $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$ is $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$. Bijgevolg is $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$, en vraag 9 in $z$ en in $2z$ geeft $$ \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} . $$ Beide reeksen convergeren voor elke vaste $z$ buiten de polen absoluut, dus mag het verschil naar believen hergroepeerd worden: in de tweede reeks geven de even termen $n = 2m$ $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ en heffen ze de eerste reeks [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) op, zodat $$ \pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} , $$ normaal op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen die $\frac12 + \Z$ mijden (termen $O(m^{-2})$). **19.** Voor $\abs z \leq r < \frac12$: $$ \frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k}, $$ met $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$ omdat $4r^2 < 1$: Fubini herschikt de dubbele som tot $$ \pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} . $$ Tegenover $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$: de coëfficiënt van $z$ geeft $8\lambda(2) = \pi^2$ — opnieuw vraag 17 — en die van $z^3$ geeft $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$, dat wil zeggen $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$. De even noemers wegwerken geeft $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$: dus $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$, in overeenstemming met vraag 7. **20.** $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$, want de teller is $\sin(\theta - \frac\theta2)$. Met $\theta = \pi z$ luidt vraag 9 in $\frac z2$ $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$, dus $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} . $$ De absolute convergentie laat het hergroeperen naar pariteit toe: even $n = 2m$ in de afgetrokken reeks draagt $\frac{2z}{z^2-4m^2}$ bij, zodat uit de eerste som $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ overblijft, terwijl oneven $n$ met teken $-$ overleeft: $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} . $$ Controle van de tekens: $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ ([Methode 17.6](#met-b3-residues-compute)), en $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ draagt in $\pm n$ precies dat [residu](#def-b3-residues-singularities). **21.** Voor $\abs z \leq r < 1$ geeft elke term ontwikkelen als in vraag 19 ($(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$) en Fubini toepassen $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} . $$ Aan de kant van Taylor: $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ geeft $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$: dus $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$ en $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$. Consistentie: $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$. **22.** In $z = \frac12$ geeft vraag 20 $$ \pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} . $$ Met $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$, en met beide alternerende reeksen convergent (criterium van Leibniz), splitst de som als $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$, waarbij $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ en $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$. Bijgevolg is $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$: $$ \frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots $$ De moraal: elke kern is [meromorf](#def-b3-residues-singularities) met polen op een rekenkundige rij en voorgeschreven [residuen](#def-b3-residues-singularities). De cotangens legt [residu](#def-b3-residues-singularities) $1$ in elk geheel getal en sommeert $f(n)$; haar afgeleide kwadrateert de polen en beprijst $\lambda(2)$; de tangens verplaatst de polen naar $\frac12 + \Z$ en beprijst de oneven noemers; $\pi/\sin$ houdt de gehele polen maar laat de [residuen](#def-b3-residues-singularities) $(-1)^n$ alterneren, vandaar de alternerende reeksen. De kernen van eerste orde zijn allemaal oneven functies: $n$ met $-n$ paren verdubbelt de coëfficiënten bij de even machten en vernietigt die bij de oneven, zodat $\zeta(2k)$ er mechanisch uitrolt terwijl $\zeta(3)$ nooit verschijnt. De blindheid is pariteit, geen gebrek aan techniek. **23.** Met $w = 2\iu\pi z$: $$ \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) . $$ Bijgevolg is, met de genererende functie in $w = 2\iu\pi z$ (en met $B_1 = -\frac12$ dat de term $\iu\pi z$ opheft, terwijl de oneven $B$’s daarna verdwijnen), $$ \pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} . $$ Anderzijds geeft de partieelbreuksplitsing (Deel IV) $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (ontwikkel elke $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ en sommeer over $n$, waarbij de normale convergentie het verwisselen voor $\abs z < 1$ rechtvaardigt). Coëfficiënten vergelijken: $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$, de vermelde formule. **24.** $k = 1$: $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot\frac16 = \frac{\pi^2}6$. $k = 2$: $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24} \cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$. $k = 3$: $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720} \cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$. **25.** Schrijf $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (vraag 23). Rechtstreeks differentiëren van $C = \pi z\cot(\pi z)$, met $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$, geeft $$ zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 . $$ Ontwikkel nu beide leden in machten van $z^2$. Linkerlid: $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$. Rechterlid: de reeks kwadrateren geeft $$ C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k}, $$ en de term $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ past enkel $k = 1$ aan. De coëfficiënten van $z^{2k}$ voor $k \geq 2$ vergelijken: $$ -4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j), $$ dat wil zeggen $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$. (Bij $k = 1$ luidt de identiteit $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$: een consistentiecontrole, geen nieuwe informatie.) Toepassingen: $k = 2$: $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$, dus $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; $k = 3$: $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$, dus $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$. Eén transcendent zaadje ($\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$), en pure algebra brengt elke even zetawaarde voort.