---
title: "Deelvariëteiten van ℝn"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn
---

# Hoofdstuk 20 — Deelvariëteiten van ℝn

Sferen, tori, rotatiegroepen: de natuurlijke leefomgevingen van de meetkunde en de mechanica zijn geen vectorruimten maar *gekromde verzamelingen die van dichtbij vlak lijken*. Dit hoofdstuk geeft die uitdrukking een precieze betekenis — deelvariëteiten van $\R^n$ — en de calculus om erop te werken. Het fundament is de inverse-functiestelling, hier bewezen met het vaste punt van Banach; al de rest is coördinaten verwisselen: de vier gelijkwaardige beschrijvingen van een deelvariëteit (lokaal rechttrekken, niveauverzamelingen, grafieken, parametriseringen), [raakruimten](#def-b3-submanifolds-tangent), en optimaliseren onder nevenvoorwaarden met de [multiplicatoren van Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange) — die, als afscheidsdemonstratie, de spectraalstelling voor symmetrische matrices in drie regels meetkunde herbewijst. De weekendopgave bouwt de rotatiegroep $SO(3)$ en haar quaternionische dubbele overdekking: algebra (de $Q_8$ van [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ch-b3-groups), volwassen geworden) die de meetkunde ontmoet.

## 20.1 De inverse-functiestelling

**Stelling 20.1 (Inverse-functiestelling).**

Zij $U \subseteq \R^n$ open, $f \colon U \to \R^n$ van klasse $\mathcal C^1$, en $a \in U$ met $Df(a)$ inverteerbaar. Dan zijn er [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $V \ni a$ en $W \ni f(a)$ zodanig dat $f
\colon V \to W$ een bijectie is met een $\mathcal C^1$-inverse, en

$$
D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1}
\qquad (y \in W).
$$

Is $f$ $\mathcal C^k$, dan is $f^{-1}$ dat ook.

**Bewijs.** Normeer: door $f$ te vervangen door $x \mapsto
Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ mogen we aannemen dat $a =
0$, $f(0) = 0$ en $Df(0) = I$ (de algemene uitspraak volgt door met de affiene bijecties samen te stellen). Schrijf $f(x) = x +
g(x)$: dan is $Dg(0) = 0$, en kies wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $Dg$ een $r > 0$ met $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ op $\bar B(0,
r)$; de middelwaardeongelijkheid geeft daar $\norm{g(x) - g(x')}
\leq \frac12 \norm{x - x'}$.

*Bijectiviteit op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology).* Voor $y \in B(0, \frac
r2)$ betekent $f(x) = y$ oplossen dat je een vast punt van $\Phi_y(x) = y - g(x)$ zoekt; $\Phi_y$ beeldt $\bar B(0, r)$ in zichzelf af ($\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq
r$) en is $\frac12$-lipschitz: Banach ([Stelling 7.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) geeft een unieke oplossing $x =
\varphi(y) \in \bar B(0,r)$. Bovendien is $f$ injectief op $\bar
B(0,r)$:

$$
\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')}
\geq \tfrac12\norm{x - x'} .
\tag{$*$}
$$

Stel $W = B(0, \frac r2)$ en $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$: open ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)), met $f \colon V \to W$ bijectief.

*[Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en differentieerbaarheid van de inverse.* $(*)$ zegt dat $\varphi = f^{-1}$ $2$-lipschitz is. Leg $y_0 =
f(x_0) \in W$ vast; de inverteerbaarheid van $A = Df(x_0)$ (haar afstand tot $I$ is $\leq \frac12$: Neumann, [Propositie 8.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#prop-b3-banach-neumann)) en de differentieerbaarheid van $f$ geven voor $y = f(x)$ nabij $y_0$

$$
\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0)
= -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr)
= -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),
$$

met $(*)$ om $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ om te zetten: dus is $\varphi$ differentieerbaar in $y_0$ met de inverse differentiaal. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $y \mapsto D\varphi(y) =
Df(\varphi(y))^{-1}$: een samenstelling van [continue afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) (het inverteren is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), [Propositie 8.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#prop-b3-banach-neumann)): dus $\varphi \in \mathcal C^1$; en dezelfde formule als hefboom geeft $\mathcal C^k$. ∎

**Stelling 20.2 (Impliciete-functiestelling).**

Zij $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ $\mathcal C^1$ nabij $(a, b)$, met $F(a,b) = 0$, en neem aan dat de partiële differentiaal $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ inverteerbaar is. Dan zijn er [omgevingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $A \ni a$ en $B \ni b$ en een $\mathcal
C^1$-afbeelding $\psi \colon A \to B$ met

$$
\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\}
= \{(x, \psi(x)) : x \in A\},
$$

en $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x,
\psi(x))$.

**Bewijs.** Pas [Stelling 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) toe op $\Theta(x, y) = (x,
F(x,y))$: haar differentiaal in $(a,b)$, blokdriehoekig met inverteerbare diagonaalblokken $I$ en $D_yF$, is inverteerbaar. De lokale inverse heeft de vorm $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x,
z))$; stel $\psi(x) = h(x, 0)$: dan is lokaal $F(x, y) = 0$ dan en slechts dan als $\Theta(x,y) = (x, 0)$, dat wil zeggen als $y
= \psi(x)$. De formule: differentieer $F(x, \psi(x)) = 0$ met de kettingregel. ∎

## 20.2 Deelvariëteiten: vier definities

**Stelling 20.3 (Gelijkwaardige karakteriseringen).**

Zij $M \subseteq \R^n$, $d \in \{0, \dots, n\}$ en $k \geq 1$. De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig, voor elk punt $a \in M$ (en $M$ is een *$d$-dimensionale deelvariëteit van klasse $\mathcal C^k$* als ze in elke $a \in M$ gelden):

1. (*Rechttrekken*) Er is een $\mathcal  C^k$-diffeomorfisme $\Phi$ van een open $\Omega \ni a$ op een open $\Omega' \subseteq \R^n$ met $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap  \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$
2. ( *Niveauverzameling* ) Er is een $\mathcal  C^k$ - *submersie* $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (dat wil zeggen $DF(x)$ surjectief) op een open $\Omega  \ni a$ met $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
3. ( *Grafiek* ) Op een permutatie van de coördinaten na is $M$ lokaal de grafiek van een $\mathcal  C^k$ -afbeelding $\psi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^{n-d}$ .
4. ( *Parametrisering* ) Er is een $\mathcal  C^k$ - *immersie* $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^n$ ( $D\varphi(u)$ injectief) met $A$ open, waarbij $\varphi$ een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is van $A$ op $M \cap \Omega$ voor een open $\Omega \ni a$ .

**Bewijs.** (1)$\Rightarrow$(2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (de laatste coördinaten van $\Phi$): een submersie ($D\Phi$ is inverteerbaar). (2)$\Rightarrow$(3): $DF(a)$ is surjectief, dus is een $q\times q$-minor van de jacobiaan inverteerbaar ($q = n - d$); na permutatie van de coördinaten is $D_yF(a)$ inverteerbaar, en de impliciete-functiestelling ([Stelling 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) drukt $M$ lokaal uit als grafiek $y = \psi(x)$. (3)$\Rightarrow$(4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$: een immersie (de differentiaal $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\
D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ is injectief), en een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op de grafiek (de inverse is de projectie, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)). (4)$\Rightarrow$(1): zij $\varphi(u_0) = a$; vul $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ aan met een complement $E$ ($\dim E = n - d$) en definieer $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ op $A\times E$: $D\Theta(u_0, 0)$ is bijectief (het beeld bevat $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ en $E$), dus is $\Theta$ een lokaal diffeomorfisme ([Stelling 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)); haar inverse $\Phi$ trekt recht: nabij $a$ zijn de punten van $M$ precies de $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — daarvoor waarborgt de hypothese van het [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) in (4) dat $M\cap\Omega$ voor kleine $\Omega$ geen andere bladen bevat ($\varphi(u') + v = m
\in M$ dicht bij $a$ met kleine $v \neq 0$ moet worden uitgesloten: $m = \varphi(u'')$ voor een $u''$ nabij $u_0$ wegens de homeomorfismeeigenschap, en de lokale injectiviteit van $\Theta$ dwingt $v = 0$ af). Dan is $\Phi(M\cap\Omega) =
(A\times\{0\})\cap\Phi(\Omega)$, na eventueel te verkleinen. ∎

**Voorbeeld 20.4.**

De sfeer $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$: de niveauverzameling van de submersie $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ op $\R^n\setminus\{0\}$ ($DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$): een $\mathcal
C^\infty$-deelvariëteit van dimensie $n - 1$. De torus in $\R^3$: de niveauverzameling van $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 +
z^2 - r^2$ ($0 < r < R$). De kegel $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ is in $0$ *geen* deelvariëteit ([Oefening 20.1](#exo-b3-submanifolds-1)). Matrixgroepen: $SL_n$ en $O_n$ zijn deelvariëteiten van $M_n(\R)$ (Oefeningen [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) en [20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — het startpunt van de lietheorie.

## 20.3 Raakruimten

**Definitie 20.5.**

Zij $M$ een $d$-deelvariëteit en $a \in M$. De *raakruimte* $T_aM$ is de verzameling snelheidsvectoren $\gamma'(0)$ van $\mathcal C^1$-krommen $\gamma
\colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ met $\gamma(0) =
a$.

**Propositie 20.6.**

$T_aM$ is een $d$-dimensionale deelvectorruimte van $\R^n$, en:

1. is $M = F^{-1}(0)$ lokaal met $F$ een submersie, dan is $T_aM = \ker DF(a)$ ;
2. is $M$ geparametriseerd door de immersie $\varphi$ (met $\varphi(u_0) = a$ ), dan is $T_aM =  \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

**Bewijs.** Krommen in $M$ voldoen aan $F(\gamma(t)) = 0$; de kettingregel in $0$ geeft $DF(a)\gamma'(0) = 0$: dus $T_aM \subseteq \ker DF(a)$. Omgekeerd vervoert het rechttrekken ([Stelling 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) rechten van $\R^d\times\{0\}$ naar krommen van $M$: elke vector van een $d$-dimensionale deelruimte wordt verwezenlijkt; de dimensies vergelijken ($\dim\ker DF(a) = n - (n
- d) = d$) dwingt de gelijkheid in (1) af, en hetzelfde transportargument geeft (2) ($D\varphi(u_0)$ toegepast op rechten in $A$; opnieuw de dimensies). ∎

**Stelling 20.7 (Multiplicatoren van Lagrange).**

Zij $M = F^{-1}(0)$ met $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to
\R^q$ een $\mathcal C^1$-submersie, en zij $f \colon \Omega \to
\R$ $\mathcal C^1$. Heeft de beperking $f\restriction_M$ een lokaal extremum in $a \in M$, dan zijn er unieke reële getallen $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (de *[multiplicatoren van Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) met

$$
\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots +
\lambda_q\nabla F_q(a) .
$$

**Bewijs.** Voor elke kromme $\gamma$ in $M$ door $a$ heeft $t \mapsto
f(\gamma(t))$ een lokaal extremum in $0$, dus is $0 =
\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a),
\gamma'(0)\rangle$: dus $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ ([Propositie 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)). Nu is $\ker DF(a)^\perp =
\operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (de identiteit tussen rang en orthogonaliteit uit het volume van bachelorjaar 2, of [Oefening 13.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#exo-b3-hilbert-8) in eindige dimensie: $(\ker T)^\perp =
\operatorname{im}T^*$), die door de gradiënten $\nabla F_i(a)$ wordt opgespannen — onafhankelijk, want $DF(a)$ is surjectief: de multiplicatoren bestaan en zijn uniek. ∎

**Voorbeeld 20.8 (De spectraalstelling, meetkundig).**

Zij $A$ een reële symmetrische $n\times n$-matrix, en maximaliseer $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ op de sfeer $S^{n-1}$ ([compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): het maximum wordt bereikt, in een $v_1$). Lagrange met $F(x) = \norm x^2 - 1$: $\nabla f = 2Ax$ en $\nabla F = 2x$ geven $Av_1 = \lambda_1v_1$ — een eigenvector, met $\lambda_1 =
\max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$. Beperk $A$ tot $v_1^\perp$ (invariant: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle =
\lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) en itereer: een orthonormale basis van eigenvectoren. De spectraalstelling uit het volume van bachelorjaar 2, herbewezen met pure optimalisatie — en de oneindigdimensionale schaduw van hetzelfde argument bewees [Lemma 15.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#lem-b3-spectral-existence).

**Methode 20.9.**

Om aan te tonen dat een verzameling een deelvariëteit is: geef haar lokaal als $F^{-1}(0)$ met $DF$ surjectief *op de verzameling* (de gebruikelijkste weg), of als grafiek. Om haar dimensie en [raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) te berekenen: $d = n - q$ en $T_a = \ker
DF(a)$. Om erop te optimaliseren: Lagrange — ga altijd eerst de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) (of de coërciviteit) na, zodat er een extremum bestaat waarop de stelling kan slaan, en onthoud dat de vergelijking met de multiplicatoren enkel *noodzakelijk* is: verzamel alle kritieke punten en vergelijk daarna de waarden. Voor matrixgroepen differentieer je krommen in de eenheid om de [raakruimten](#def-b3-submanifolds-tangent) te bepalen.

## 20.4 Oefeningen

**Oefening 20.1 ★.**

(a) Ga na dat de volgende $\mathcal C^\infty$-deelvariëteiten zijn en geef hun dimensies: $S^{n-1}$; de hyperboloïde $\{x^2 +
y^2 - z^2 = 1\}$; de torus van [Voorbeeld 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples). (b) Toon aan dat de kegel $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq
\R^3$ in $0$ geen $2$-deelvariëteit is: bepaal het aantal [samenhangscomponenten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-components) van $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$, en vergelijk met het aantal dat een rechttrekking ([Stelling 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) voor een vlak min een punt zou afdwingen.

**Oplossing van Oefening 20.1.**

(a) Elk is $F^{-1}(0)$ voor een submersie: $\norm x^2 - 1$ op $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiënt $2x \neq 0$): dimensie $n-1$; $x^2
+ y^2 - z^2 - 1$ (gradiënt $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ op de hyperboloïde, waar $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): dimensie $2$; de torusfunctie $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ met $\rho =
\sqrt{x^2+y^2}$ is $\mathcal C^\infty$ nabij de torus (daar is $\rho \geq R - r > 0$) met $\nabla G \neq 0$ (haar $z$-component is $2z$, en waar $z = 0$ is de radiale component $2(\rho - R)\ne0$, want $\abs{\rho - R} = r$): dimensie $2$.

(b) Voor kleine $\varepsilon$ heeft $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ precies $2$ [samenhangscomponenten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-components) (de bovenste en de onderste geperforeerde mantel, elk [wegsamenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-pathconnected): verbind via cirkels en stralen). Was $C$ in $0$ een $2$-deelvariëteit, dan zou een rechttrekking een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $C\cap\Omega$ op een open stuk van een vlak geven dat $0$ naar een punt $p$ stuurt; kleine geperforeerde vlakomgevingen van $p$ hebben *één* component, en [homeomorfismen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) behouden het aantal componenten van geperforeerde [omgevingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology): tegenspraak.

**Oefening 20.2 ★.**

Bereken de [raakruimten](#def-b3-submanifolds-tangent): (a) $T_aS^{n-1}$ voor willekeurige $a$ (antwoord: $a^\perp$); (b) het raakvlak aan de torus van [Voorbeeld 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) in een willekeurig punt van de buitenevenaar $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$; (c) de raaklijn aan de schroeflijn $\varphi(t) = (\cos t, \sin t,
t)$ in $\varphi(t_0)$, met een controle van [Propositie 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Oplossing van Oefening 20.2.**

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) In $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ is $\nabla G =
(2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, dus is het raakvlak $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0,
1)\bigr)$: het verticale vlak dat aan de buitenevenaar raakt. (c) De schroeflijn is een ingebedde kromme met $\varphi'(t_0) =
(-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$: de raaklijn in $\varphi(t_0)$ is $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$, zoals [Propositie 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2) voorschrijft.

**Oefening 20.3 ★★.**

Zij $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (dat wil zeggen $z \mapsto
z^2$). (a) In welke punten is [Stelling 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) van toepassing? (b) Toon aan dat $f$ op $\R^2\setminus\{0\}$ lokaal maar niet globaal inverteerbaar is, en geef expliciet de twee lokale inversen die op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $(1, 0)$ gedefinieerd zijn (de twee takken van de vierkantswortel). (c) Dezelfde bespreking voor de afbeelding van de [poolcoördinaten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#ex-b3-product-polar) $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta,
r\sin\theta)$.

**Oplossing van Oefening 20.3.**

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y &
2x\end{smallmatrix}\bigr)$ met $\det = 4(x^2 + y^2)$: de stelling is in elk punt behalve de oorsprong van toepassing. (b) $f(-z) = f(z)$: nooit injectief op een verzameling die symmetrisch is om $0$; op $\R^2\setminus\{0\}$ is ze overal een lokaal diffeomorfisme en toch globaal twee-op-één. Nabij $(1, 0)
= f(\pm(1, 0))$ zijn de twee inversen de twee takken van de vierkantswortel: in complexe notatie $w \mapsto \pm\sqrt w$ (de hoofdtak), dat wil zeggen

$$
(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u +
\sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u +
\sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).
$$

(c) Jacobiaan $r > 0$: een lokaal diffeomorfisme op $\intoo0\infty\times\R$, maar $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ geeft hetzelfde punt: lokaal inverteerbaar (de hoek ligt op een halfvlak op $2\pi$ na vast), nooit globaal.

**Oefening 20.4 ★★.**

(Folium) Zij $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ en $\mathcal C =
F^{-1}(0)$. (a) Toon aan dat $\mathcal C$ nabij elk punt van $\mathcal C$ behalve de oorsprong een $1$-deelvariëteit is, lokaal een grafiek in $x$ of in $y$ (welke, waar?). (b) Bereken de raaklijn in $(\frac32, \frac32)$. (c) Wat gebeurt er in de oorsprong? (Twee takken kruisen elkaar: geef twee $\mathcal C^1$-krommen in $\mathcal C$ door $0$ met onafhankelijke snelheden, en besluit dat er geen rechttrekking bestaat.)

**Oplossing van Oefening 20.4.**

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ verdwijnt dan en slechts dan als $y = x^2$ en $x = y^2$, dat wil zeggen $x^4 = x$: in $(0,0)$ en $(1,1)$; enkel $(0,0)$ ligt op $\mathcal C$ (want $F(1,1) = -1$). Op $\mathcal C\setminus\{0\}$ is $F$ dus een submersie: een $1$-deelvariëteit, lokaal een grafiek $y =
\psi(x)$ waar $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ en $x = \chi(y)$ waar $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (buiten de oorsprong geldt er minstens één van beide).

(b) In $(\frac32, \frac32)$: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)(1,
1) = \frac94(1,1)$: raaklijn $x + y = 3$.

(c) De rationale parametrisering $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y =
\frac{3t^2}{1+t^3}$ gaat in $t = 0$ door $0$ met snelheid $(3,
0)$; $x \leftrightarrow y$ verwisselen (de kromme is symmetrisch, of herparametriseer met $1/t$) geeft een tweede $\mathcal
C^1$-kromme door $0$ met snelheid $(0, 3)$. Twee onafhankelijke raakrichtingen zijn onmogelijk voor een $1$-deelvariëteit (haar [raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) is een rechte, [Propositie 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)): $\mathcal C$ is in de oorsprong geen deelvariëteit — een transversale zelfkruising.

**Oefening 20.5 ★★.**

Zij $F(M) = M^{\mathsf T}M$ van $M_n(\R)$ naar de ruimte $S_n$ van de symmetrische matrices. (a) Toon aan dat $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ en dat $DF(M)$ in elke $M \in O_n$ surjectief is op $S_n$ *(probeer bij gegeven $S \in S_n$ $H = \frac12MS$)*. (b) Besluit dat $O_n = F^{-1}(I)$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\mathcal
C^\infty$-deelvariëteit van dimensie $\frac{n(n-1)}2$ is, met $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$, de antisymmetrische matrices. (c) Toon aan dat $\eu^{tH} \in O_n$ voor elke antisymmetrische $H$: de raakrichtingen integreren tot krommen in de groep.

**Oplossing van Oefening 20.5.**

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf
T}M + H^{\mathsf T}H$: dus $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}M$. Voor $M \in O_n$ en symmetrische $S$ geeft $H =
\frac12MS$ dat $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$: surjectief op $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ met $F$ in elk van haar punten een submersie (op $S_n$, van dimensie $\frac{n(n+1)}2$): dus een deelvariëteit van dimensie $n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2$. [Compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): gesloten ($F$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)) en begrensd (de kolommen zijn eenheidsvectoren). [Raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) in $I$: $\ker
DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} =
\eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (het transponeren gaat door de reeks heen; de exponentiëlen van commuterende matrices vermenigvuldigen, [Stelling 19.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/19-gewone-differentiaalvergelijkingen#thm-b3-ode-matrixexp)).

**Oefening 20.6 ★★.**

(a) Toon aan dat $\det \colon M_n(\R) \to \R$ de differentiaal $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)
^{\mathsf T}H\bigr)$ heeft, die in elke $M \in SL_n$ niet nul is. (b) Besluit dat $SL_n(\R)$ een deelvariëteit van dimensie $n^2 -
1$ is met $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) Is $GL_n(\R)$ een deelvariëteit? Van welke dimensie?

**Oplossing van Oefening 20.6.**

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 +
\operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ voor inverteerbare $M$ (de ontwikkeling van $\det$ nabij $I$: de lineaire term van $\prod(1 + \lambda_i)$); en met $\det M\cdot
M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$: $D\det(M)(H) =
\operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}H\bigr)$, en de formule breidt zich met [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) en [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) uit tot alle $M$. Op $SL_n$ is $\det M = 1$: $D\det(M) \ne 0$ (haar waarde op $H = M$ is $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M =
n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ met $\det$ daar een submersie (met waarden in $\R$): dimensie $n^2 - 1$; en $T_ISL_n = \ker
D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) $GL_n$ is een *open* deelverzameling van $M_n(\R)$ ([Oefening 6.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#exo-b3-topology-8)): een deelvariëteit van volle dimensie $n^2$ (rechttrekking: de identieke kaart).

**Oefening 20.7 ★★.**

Met de [multiplicatoren van Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange): (a) zoek de extrema van $f(x,y) = xy$ op de cirkel $x^2 + y^2 =
1$; (b) toon aan dat onder alle kansvectoren $(p_1, \dots, p_n)$ (positief, met som $1$) de entropie $-\sum p_i\ln p_i$ precies in de uniforme verdeling wordt gemaximaliseerd; (c) zoek het punt van de ellips $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ dat het dichtst bij $(1, 0)$ ligt, en controleer de vergelijking met de multiplicator meetkundig (uitlijning van de normalen).

**Oplossing van Oefening 20.7.**

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ en $x^2 + y^2 = 1$: uit $y =
2\lambda x$ en $x = 2\lambda y$ volgt $x^2 = y^2 = \frac12$. Waarden van $xy$: $\pm\frac12$: maximum $\frac12$ in $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$, minimum $-\frac12$ in $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (de nevenvoorwaarde geeft een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling: de extrema bestaan).

(b) Op het inwendige van de simplex ($p_i > 0$) geeft Lagrange voor $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ met nevenvoorwaarde $\sum p_i = 1$ dat $-\ln p_i - 1 = \lambda$ voor alle $i$: alle $p_i$ gelijk, dus $p_i = \frac1n$, met $H = \ln n$. Het maximum over de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) simplex wordt bereikt; werd het op de rand bereikt (een $p_i = 0$), dan leeft de verdeling op $\leq n - 1$ punten en is met inductie $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: het inwendige kritieke punt is dus het globale maximum — uniforme onwetendheid maximaliseert de entropie.

(c) Minimaliseer $(x-1)^2 + y^2$ op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) ellips: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. Is $y \neq 0$, dan is $\lambda = 1$, en geeft $2(x - 1) = \frac x2$ dat $x = \frac43$ en $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$: afstand$^2$ $= \frac19 +
\frac59 = \frac23$. Is $y = 0$, dan is $x = \pm2$, met afstanden $1$ en $3$. Dichtstbijzijnde punten: $\bigl(\frac43,
\pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, op afstand $\sqrt{2/3} < 1$. De vergelijking met de multiplicator zegt dat het lijnstuk van $(1,0)$ naar het dichtstbijzijnde punt evenwijdig is met $\nabla$(ellips): het snijdt de ellips loodrecht, zoals de meetkunde eist.

**Oefening 20.8 ★★★.**

Schrijf [Voorbeeld 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh) voluit uit: bewijs met inductie dat een reële symmetrische matrix een orthonormale basis van eigenvectoren toelaat, waarbij $\lambda_1 \geq \dots \geq
\lambda_n$ de opeenvolgende maxima onder nevenvoorwaarden van het quotiënt van Rayleigh zijn. Leid daarna de formules van Courant–Fischer uit [Oefening 15.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#exo-b3-spectral-8) in eindige dimensie rechtstreeks uit deze constructie af.

**Oplossing van Oefening 20.8.**

Inductie naar $n$; $n = 1$ is triviaal. De functie van Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ bereikt haar maximum $\lambda_1$ op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $S^{n-1}$ in een $v_1$; Lagrange ([Stelling 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange), de sfeer als niveauverzameling) geeft $2Av_1 = 2\lambda v_1$, en $\lambda =
\langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$. Het hypervlak $v_1^\perp$ is $A$-invariant (symmetrie: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v,
Av_1\rangle = 0$); de beperking is symmetrisch, en inductie levert een orthonormale eigenbasis $v_2, \dots, v_n$ van $v_1^\perp$ met eigenwaarden $\lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$, elk het maximum van $f$ op de sfeer van het resterende [orthogonaal complement](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#thm-b3-hilbert-decomposition). Courant–Fischer volgt precies als in [Oefening 15.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#exo-b3-spectral-8): ontwikkel $x = \sum c_iv_i$; snijd op een $k$-dimensionale testruimte met $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (het tellen van dimensies in $\R^n$) om $\min \leq \lambda_k$ te krijgen, en $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ verwezenlijkt $\min =
\lambda_k$.

**Oefening 20.9 ★★★.**

(Ongelijkheid van Hadamard) Voor $M \in GL_n(\R)$ met kolommen $c_1, \dots, c_n$ geldt

$$
\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,
$$

met gelijkheid dan en slechts dan als de kolommen orthogonaal zijn. *(Herleid door te schalen tot kolommen met norm $1$; maximaliseer $\det$ op het [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) product van sferen $(S^{n-1})^n$; in een maximalisator geeft Lagrange in elke kolom afzonderlijk $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$, en $\nabla_{c_i}\det$ is de $i$-de kolom van $\operatorname{com}(M)$: leid af dat $M^{\mathsf T}M$ diagonaal is, dus $= I$, dus $\det = \pm1$.)* Meetkundige lezing: het volume van een parallellepipedum is hoogstens het product van zijn ribbelengten.

**Oplossing van Oefening 20.9.**

Elke kolom tot eenheidsnorm schalen deelt $\abs{\det}$ door $\prod\norm{c_i}$: het volstaat dus $\abs{\det M} \leq 1$ te bewijzen als alle kolommen eenheidsvectoren zijn, met gelijkheid dan en slechts dan als $M \in O_n$. De functie $\det$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $(S^{n-1})^n$: ze bereikt een maximum $m \geq \det
I = 1 > 0$ in een $M$. Houd alle kolommen op de $i$-de na vast: dan is $\det$ lineair in $c_i$ met als gradiënt de $i$-de kolom van $\operatorname{com}(M)$; Lagrange op de $i$-de sfeer geeft $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. De identiteit $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ luidt $\langle
c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,
\delta_{ij}$, dat wil zeggen $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle =
\det(M)\delta_{ij}$; met $j = i$: $\lambda_i = \det M = m \neq
0$, en dan geeft $j \neq i$ dat $\langle c_i, c_j\rangle = 0$: de kolommen zijn orthonormaal, dus $M \in O_n$ en $m = \abs{\det M}
= 1$. Bijgevolg is altijd $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$, met gelijkheid precies voor orthogonale kolommen (schaal terug): het volume van een parallellepipedum is bij gegeven ribbelengten het grootst wanneer de ribben loodrecht staan.

**Oefening 20.10 ★★.**

Nabij welke van haar punten is de cirkel $S^1$ een grafiek $y =
\psi(x)$? En een grafiek $x = \chi(y)$? Ga de karakterisering met grafieken ([Stelling 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) expliciet na in $(1, 0)$, en leg in één zin uit waarom *een* permutatie van de coördinaten altijd volstaat maar geen enkele vaste permutatie altijd werkt.

**Oplossing van Oefening 20.10.**

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ voldoet nabij elk punt met $y \neq 0$; $x
= \pm\sqrt{1 - y^2}$ nabij elk punt met $x \neq 0$; in $(1, 0)$: de grafiek $x = \sqrt{1 - y^2}$ boven $y \in \intoo{-1}1$, wat [Stelling 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) is met de coördinaten verwisseld. Een of andere permutatie werkt altijd omdat de raaklijn, eendimensionaal als ze is, niet tegelijk verticaal en horizontaal kan zijn — maar ze kan wel elk van beide zijn, zodat geen vaste keuze van “afhankelijke” coördinaat in elk punt dienst doet.

**Oefening 20.11 ★★.**

(De orthogonale groep als deelvariëteit, kwantitatief) (a) Toon aan dat $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) is: begrensd (elke kolom is een eenheidsvector, dus $\norm M \leq
\sqrt n$ voor de euclidische matrixnorm) en gesloten. (b) Toon aan dat haar [raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) in $I$ de ruimte van de antisymmetrische matrices is, van dimensie $\frac{n(n-1)}2$, en in een algemene $A \in O_n$: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} =
-K\}$. (c) Leid af dat $t \mapsto A\exp(tK)$ voor elke antisymmetrische $K$ een kromme in $O_n$ door $A$ is met snelheid $AK$ *(ga $\exp(tK) \in O_n$ na met $\exp(X)^{\mathsf T} =
\exp(X^{\mathsf T})$ en $\exp(-X)\exp(X) = I$)*: elke raakvector wordt door een expliciete kromme verwezenlijkt, zonder dat er een impliciete-functiestelling nodig is.

**Oplossing van Oefening 20.11.**

(a) De definiërende afbeelding $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): $O_n = F^{-1}(0)$ is gesloten; de kolommen van een orthogonale matrix zijn eenheidsvectoren, dus is de euclidische (frobenius)norm precies $\sqrt n$: begrensd. [Compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) volgens Heine–Borel in $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$.

(b) $O_n$ is de niveauverzameling $F = 0$ uit het hoofdstuk: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, in elke $A \in O_n$ surjectief op de symmetrische matrices (neem bij symmetrische $S$ $H = \frac12AS$), dus is $O_n$ een deelvariëteit van dimensie $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ met

$$
T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{
antisymmetrisch}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;
$$

in $A = I$ zijn dat de antisymmetrische matrices.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T})
\exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (de twee matrices $\pm tK$ commuteren, dus is het product van de exponentiëlen de exponentiële van de som): dus $\exp(tK) \in O_n$, en $\gamma(t) =
A\exp(tK)$ is een kromme in $O_n$ met $\gamma(0) = A$ en $\gamma'(0) = AK$. Terwijl $K$ de antisymmetrische matrices doorloopt, veegt $AK$ $T_AO_n$ uit: de exponentiële verwezenlijkt de hele [raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) met expliciete krommen — de sluiproute van de liegroepen die [Probleem 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) voor $SO(3)$ uitbuit.

**Oefening 20.12 ★★.**

(Kritieke punten van de afstand) Zij $M \subseteq \R^n$ een deelvariëteit en $p \notin M$. Toon aan dat als $x_0 \in M$ de afstand tot $p$ minimaliseert (zo’n punt bestaat als $M$ gesloten en niet leeg is — waarom?), dan

$$
p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M
$$

*(differentieer $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ langs krommen in $M$)*. Leid af: het dichtstbijzijnde punt op een sfeer ligt op de straal door het middelpunt; en gebruik de voorwaarde om de afstand van $p = (2, 0)$ tot de parabool $y = x^2$ te berekenen (herleid tot een derdegraadsvergelijking en los die numeriek op tot drie cijfers).

**Oplossing van Oefening 20.12.**

Bestaan: snijd $M$ met een grote gesloten bal rond $p$ om een niet-lege [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling te krijgen; de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) afstand bereikt daar haar minimum, en punten buiten de bal liggen verder. Voorwaarde van eerste orde: voor een kromme $\gamma$ in $M$ met $\gamma(0) = x_0$ is de functie $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ differentieerbaar met een minimum in $0$:

$$
0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,
$$

en $\gamma'(0)$ veegt $T_{x_0}M$ uit: dus $p - x_0 \perp
T_{x_0}M$. Sfeer $S(c, r)$: de [raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) in $x_0$ is $(x_0 -
c)^\perp$, dus $p - x_0 \parallel x_0 - c$: $x_0$ ligt op de rechte door $c$ en $p$, op afstand $r$ van $c$ — het punt op de straal, zoals de meetkunde eist. Parabool: in $x_0 = (x, x^2)$ wordt de raaklijn opgespannen door $(1, 2x)$; de orthogonaliteit op $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ luidt

$$
(2 - x) - 2x^3 = 0,
\qquad\text{dat wil zeggen}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,
$$

met één reële wortel ($x \mapsto 2x^3 + x$ is strikt stijgend) $x \approx 0.835$; dan is $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ en $d(p,
M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$.

## 20.5 Probleem: $SO(3)$ en de quaternionen

**Probleem 20.1.**

Weekendopgave — rotaties, de groep $S^3$ en de dubbele overdekking

De quaternionen $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k\}$ — de algebra waarvan de eenhedengroep de $Q_8$ van [Probleem 1.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#pb-b3-groups-1) bevat — parametriseren de driedimensionale rotaties dubbel: de afbeelding “vervoegen met een eenheidsquaternion” is een surjectief morfisme $S^3 \to
SO(3)$ met kern $\{\pm1\}$. We bouwen alles op. Ter herinnering en als definitie: de vermenigvuldiging is $\R$-bilineair met $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$; de toegevoegde van $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ is $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$; en $N(q) =
q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$.

**Deel I — De algebra $\mathbb H$ en de groep $S^3$.**

1. Ga na dat $\mathbb H$ een associatieve $\R$ -algebra is met [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) $\R$ , dat $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ , en dat $N(pq) = N(p)N(q)$ *(één nette weg: stel $q$ voor als de complexe $2\times2$-matrix $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\  -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ met $q =  \alpha + \beta\mathrm j$, en gebruik $\det$)* .
2. Leid af dat elke $q \neq 0$ inverteerbaar is ( $q^{-1} =  \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ is een (niet-commutatief) lichaam, en $S^3 = \{N(q) = 1\}$ is een groep — en een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $3$ -deelvariëteit van $\R^4$ ( [Voorbeeld 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) ).

**Deel II — Het rotatiemorfisme.** Identificeer $\R^3$ met de *pure quaternionen* $P =
\{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$, en definieer voor $q
\in S^3$ $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$.

3. Toon aan dat $\rho_q$ $P$ in $P$ afbeeldt *(de pure quaternionen zijn die met $\bar v = -v$)* , dat ze $\R$ -lineair is en de norm behoudt, en dat $\rho \colon q  \mapsto \rho_q$ een groepsmorfisme $S^3 \to O(3)$ is.
4. Bereken de kern: $\rho_q = \mathrm{id}$ dan en slechts dan als $q$ met $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ commuteert, dat wil zeggen $q \in \R\cap S^3 =  \{\pm1\}$ .
5. Schrijf $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ met $u \in P$ en $N(u) = 1$ (waarom kan dat voor $q \in S^3$ altijd?). Toon aan dat $\rho_q$ $u$ vastlaat en op het vlak $u^\perp\cap P$ werkt als de rotatie over hoek $\theta$ *(bereken $\rho_q(w)$ voor $w \perp u$ met $uw = -wu$ voor orthogonale pure eenheden — bewijs die identiteit met de vermenigvuldigingstabel, of uit $uw +  wu = -2\langle u, w\rangle$)* .
6. Besluit: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (elke $\rho_q$ is een rotatie met de berekende as en hoek — determinant $+1$ wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $q \mapsto  \det\rho_q$ op het [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) $S^3$, of rechtstreeks), en $\rho$ is *surjectief* op $SO(3)$: elke rotatie van $\R^3$ heeft een as (bewijs: een reële orthogonale $3\times3$-matrix met $\det = 1$ heeft eigenwaarde $1$ — beschouw de karakteristieke veelterm) en is dus een $\rho_q$. Samengevat: $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$

**Deel III — $SO(3)$ als deelvariëteit; Rodrigues.**

7. Toon aan dat $SO(3)$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $3$ -dimensionale deelvariëteit van $M_3(\R)$ is met $T_ISO(3) =$ de antisymmetrische matrices ( [Oefening 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ; de determinantvoorwaarde selecteert een vereniging van componenten).
8. Bewijs voor de antisymmetrische matrix $A_u$ die bij $u  \in \R^3$ hoort ($A_uv = u\wedge v$, het uitwendig product) de *formule van Rodrigues*: $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 -  \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *(uit $A_u^3 = -A_u$: splits de exponentiële reeks langs de machten van $A_u$)*, en identificeer haar als de rotatie met as $u$ over hoek $\theta$. Leid af dat $\exp$ de antisymmetrische matrices *op* $SO(3)$ afbeeldt.
9. Verbind de twee parametriseringen: toon aan dat $t  \mapsto \rho_{q(t)}$ met $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,u$ een eenparametergroep van rotaties is waarvan de afgeleide in $t = 0$ gelijk is aan $A_u$ — de quaternionische en de [matrixexponentiële](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/19-gewone-differentiaalvergelijkingen#thm-b3-ode-matrixexp) vertellen hetzelfde verhaal, respectievelijk op halve en op volle snelheid.

**Deel IV — De dubbele overdekking, gevoeld.**

10. Toon aan dat de weg $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac  t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , een lus in $SO(3)$ is (haar beeld $\rho_{q(t)}$ keert terug naar de identiteit) waarvan de quaternionische lift *geen* lus is: $q(2\pi) = -q(0)$ . Doorgaan tot $t = 4\pi$ sluit de lift. Leg in een korte alinea uit wat dat zegt: een rotatie over $2\pi$ is niet [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ongedaan te maken en een over $4\pi$ wel (de riemtruc), omdat de lussen van $SO(3)$ in haar dubbele overdekking $S^3$ worden opgespoord.
11. Leid ook het praktische dividend af: het samenstellen van rotaties = het vermenigvuldigen van quaternionen ( $4$ vermenigvuldigingen aan gegevens in plaats van $9$ , geen afdrijven van de orthogonaliteit) — ga dat na op de samenstelling van twee kwartslagen om $\mathrm i$ en $\mathrm j$ : bereken de as en de hoek van het product.

**Deel V — De expliciete matrix: Euler–Rodrigues.** Schrijf $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j +
d\mathrm k \in S^3$, zodat $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.

12. Bereken $\rho_q(\mathrm i)$ [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) met de vermenigvuldigingstabel; verkrijg vervolgens $\rho_q(\mathrm j)$ en $\rho_q(\mathrm k)$ met de cyclische substitutie $\mathrm i \to \mathrm j \to  \mathrm k \to \mathrm i$, $(b, c, d) \to (c, d, b)$ *(verantwoord dat: het cyclisch verwisselen van $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ breidt uit tot een automorfisme van $\mathbb H$, omdat de definiërende betrekkingen cyclisch symmetrisch zijn)*. Besluit dat de matrix van $\rho_q$ in de basis $(\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k)$ de *matrix van Euler–Rodrigues* is: $$R_q = \begin{pmatrix}  a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\  2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\  2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2  \end{pmatrix}.$$
13. (Een rotatie achterstevoren lezen) Toon aan dat $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta,  \qquad  \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) =  \sin\theta\,A_u,$$ in de notatie van de vragen 5 en 8. Leid een algoritme af dat $\pm q$ uit een rotatiematrix $R$ terugwint: de hoek uit het spoor; de as uit het antisymmetrische deel als $0  < \theta < \pi$; en bewijs en gebruik voor $\theta = \pi$ de identiteit $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$.
14. Evalueer $R_q$ voor het product $q = \frac12(1 + \mathrm  i + \mathrm j + \mathrm k)$ uit vraag 11: er verschijnt een permutatiematrix. Identificeer de rotatie en verzoen dat met de as en de hoek uit vraag 11.

**Deel VI — Binnen $S^3$: $SU(2)$, [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions), exponentiëlen.**

15. Toon aan dat de matrixvoorstelling van vraag 1 (noem haar $\Phi$) beperkt tot een groepsisomorfisme van $S^3$ op de *speciale unitaire groep* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U =  1\bigr\}$$ *(voor de surjectiviteit: schrijf de vergelijkingen $U^{-1} = U^*$ en $\det U = 1$ uit voor een algemene complexe $2\times2$-matrix)*.
16. Toon aan dat het reële deel een conjugatie-invariant is op $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) =  \operatorname{Re}q$ voor alle $p \in S^3$ — en omgekeerd dat twee eenheidsquaternionen met hetzelfde reële deel in $S^3$ geconjugeerd zijn *(herleid tot het verplaatsen van de ene pure eenheidsas naar de andere, wat Deel II levert)* . Beschrijf de [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van $S^3$ meetkundig; vertaal naar $SU(2)$ (niveauverzamelingen van het spoor); en projecteer met $\rho$ : twee rotaties zijn geconjugeerd in $SO(3)$ dan en slechts dan als ze dezelfde hoek $\theta \in  \intcc0\pi$ hebben.
17. Definieer $\exp$ op $\mathbb H$ met de exponentiële reeks; ga de absolute convergentie na met $\abs{pq} =  \abs p\,\abs q$ voor $\abs q = \sqrt{N(q)}$. Toon voor een pure eenheid $u$ en $\theta \in \R$ aan dat $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ leid af dat $\exp$ het hypervlak $P$ op $S^3$ afbeeldt, en ga na dat $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$: opnieuw het halvehoekverschijnsel van vraag 9.
18. Bewijs voor pure quaternionen $v, w$ de productregel $vw  = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , en daaruit de commutatoridentiteit $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; bewijs ook $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ voor de matrices van vraag 8. Besluit dat de afgeleide van $\rho$ in $1$ langs de krommen $t \mapsto \exp(tv)$ het lineaire isomorfisme $v  \mapsto 2A_v$ is van $P$ op de antisymmetrische matrices, en dat ze de [commutator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van de quaternionen omzet in de [commutator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van de matrices.

**Deel VII — Globale structuur.**

19. (Geen [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) sectie) Stel dat $s \colon SO(3) \to S^3$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is met $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Stel voor de lus $R(t) = \rho_{q(t)}$ van vraag 10 $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ voor $t \in  \intcc0{2\pi}$ . Toon aan dat $\varepsilon$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is met waarden in $\{\pm1\}$ , en leid een tegenspraak af: er is geen [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) globale keuze van een eenheidsquaternion dat elke rotatie voorstelt.
20. (Het balmodel) Zij $\bar B \subseteq \R^3$ de gesloten bal met straal $\pi$ en $E(v) = \eu^{A_v}$ , met $E(0) =  I$ . Toon aan dat $E$ $\bar B$ op $SO(3)$ afbeeldt, dat ze injectief is op de open bal, en dat ze op de randsfeer precies de antipoden identificeert: $E(\pi u) = E(-\pi u)  = 2uu^{\mathsf T} - I$ , zonder andere samenvallingen. $SO(3)$ is dus de bal met de antipodale randpunten aan elkaar gelijmd — de projectieve ruimte $\mathbb{RP}^3$ — en een middellijn wordt de niet samentrekbare lus van vraag 10.
21. Toon aan dat $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar  p}$ ; dat de involuties van $SO(3)$ (de $R \neq I$ met $R^2 = I$ ) precies de halve slagen $\rho_w$ zijn met $w$ een puur eenheidsquaternion; en dat het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van $SO(3)$ triviaal is.
22. Toon aan dat elke rotatie een product van twee halve slagen is: kies voor $q = \cos\frac\theta2 +  \sin\frac\theta2\,u$ een pure eenheid $w \perp u$ , ga na dat $w' = qw$ opnieuw een puur eenheidsquaternion is, en controleer $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . Waar liggen de twee assen, en welke hoek maken ze?
23. Besluit met de topologische samenvatting: $SO(3)$ is [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en [wegsamenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-pathconnected) (geef twee bewijzen: het [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) beeld van $S^3$ onder $\rho$ ; het beeld van $\exp$ ), terwijl $O(3)$ precies twee [samenhangscomponenten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-components) heeft, elk [homeomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met $SO(3)$ .
24. (Eén samenstelling, op drie manieren) Zij $R_1$ de rotatie over $\frac\pi2$ om de $z$ -as en $R_2$ de rotatie over $\frac\pi2$ om de $x$ -as. Bereken de as en de hoek van $R_2R_1$ : (i) door de twee $3\times3$ -matrices te vermenigvuldigen en het spoor en het antisymmetrische deel te gebruiken (Deel V); (ii) door de bijbehorende eenheidsquaternionen $q_2q_1$ te vermenigvuldigen. Controleer dat de twee antwoorden overeenstemmen: hoek $\frac{2\pi}3$ , as $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
25. (De [cayleytransformatie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#ex-b3-conformal-mobius)) Toon voor antisymmetrische $K$ aan dat $I + K$ inverteerbaar is en dat $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ waarbij $-1$ nooit een eigenwaarde van $C(K)$ is; toon aan dat $K \mapsto C(K)$ een bijectie is van de antisymmetrische matrices op $\{R \in SO(n) : -1 \notin  \operatorname{Sp}R\}$, met inverse $R \mapsto (I -  R)(I + R)^{-1}$. (Een rationale kaart van $SO(n)$, metgezel van de transcendente $\exp$ uit [Oefening 20.11](#exo-b3-submanifolds-11).)

**Oplossing van Probleem 20.1.**

**1.** Beeld $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k
\mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta
& \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ af met $\alpha = t + \iu x$ en $\beta = y + \iu z$: je gaat na dat $1, \mathrm i, \mathrm j,
\mathrm k$ naar $I$, $\bigl(\begin{smallmatrix}
\iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$ en $\bigl(\begin{smallmatrix}0 &
\iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ gaan, waarvan de producten de quaternionentabel weergeven: de afbeelding is een injectief algebramorfisme, dus erft $\mathbb H$ de associativiteit; $N(q) =
\abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ is multiplicatief, en de toevoeging stemt overeen met de getransponeerde adjunct, wat $\overline{pq} = \bar q\bar p$ geeft. [Centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions): commuteren met $\mathrm i$ dwingt $y = z = 0$ af, met $\mathrm j$ dwingt $x = 0$ af: dus $\R$.

**2.** $q\bar q = N(q)$: voor $q \neq 0$ is $q^{-1} = \bar
q/N(q)$: een delingsalgebra. Op $S^3$: $N(pq) = 1$ en $N(q^{-1}) = 1$: een groep; en $S^3 \subseteq \R^4$ is de eenheidssfeer: een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $3$-deelvariëteit.

**3.** $v$ is puur dan en slechts dan als $\bar v = -v$; dan is $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$: dus behoudt $\rho_q$ $P$. De lineariteit is duidelijk; en $N(qv\bar q) =
N(q)N(v)N(q) = N(v)$: een isometrie van $(P, N) \cong (\R^3,
\norm\cdot^2)$: dus $\rho_q \in O(3)$. En $\rho_{pq}(v) =
pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$: een morfisme.

**4.** $\rho_q = \mathrm{id}$ dan en slechts dan als $qv =
vq$ voor alle pure $v$, dan en slechts dan als $q$ met $\mathrm
i, \mathrm j, \mathrm k$ commuteert, dat wil zeggen als $q$ centraal is (vraag 1): $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$.

**5.** Schrijf $q = t + p$ ($t \in \R$, $p$ puur): $1 = N(q)
= t^2 + N(p)$, dus $t = \cos\frac\theta2$ en $p =
\sin\frac\theta2\,u$ met $N(u) = 1$ voor een $\theta$ (is $p =
0$, dan werkt $q = \pm1$ triviaal). Omdat $u^2 = -N(u) = -1$, commuteren $q$ en $u$, en is $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q =
u$: de as. Voor pure eenheden $w \perp u$ geeft de productregel $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (ontwikkel in coördinaten met de tabel) dat $uw = u\wedge w = -wu$. Dan is

$$
\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 +
\sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2u\bigr)
= \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),
$$

met $uwu = -u^2w = w$ en de formules voor de dubbele hoek: de rotatie over hoek $\theta$ in het georiënteerde vlak $(w, u\wedge
w)$.

**6.** Elke $\rho_q$ is een rotatie om $u$ over $\theta$: in de orthonormale basis $(u, w, u\wedge w)$ heeft haar matrix determinant $+1$: dus $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$. Surjectiviteit: een matrix $R \in SO(3)$ heeft $1$ als eigenwaarde, want

$$
\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R)
= (-1)^3\det(R - I),
$$

dus $\det(R - I) = 0$. Neem een eigenvector $u$ met norm $1$; $R$ behoudt $u^\perp$ en beperkt zich daar tot een rotatie over een hoek $\theta$ (vlak orthogonaal, determinant $1$): dus $R =
\rho_q$ met $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$. Met vraag 4 en de eerste isomorfiestelling ([Stelling 1.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-firstiso)): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$.

**7.** $O_3$ is een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $3$-dimensionale deelvariëteit ([Oefening 20.5](#exo-b3-submanifolds-5)); $\det$ is erop [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met waarden in $\{\pm1\}$, dus is $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ open en gesloten in $O_3$: een vereniging van [samenhangscomponenten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-components), dus zelf een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $3$-deelvariëteit, met dezelfde [raakruimte](#def-b3-submanifolds-tangent) in $I$: de antisymmetrische matrices.

**8.** $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u
- v$ (met $u$ van norm $1$), dus $A_u^3v = u\wedge(\langle
u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$: $A_u^3 = -A_u$. De exponentiële reeks splitsen naar de machten modulo de betrekking $A^3 = -A$:

$$
\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} +
\cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} -
\frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2
= I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .
$$

Op $u$: $A_uu = 0$: vastgelaten. Op $w \perp u$: $\eu^{\theta
A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) =
\cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$: de rotatie met as $u$ over hoek $\theta$ — Rodrigues. Elke rotatie heeft die vorm (vraag 6): $\exp$ is surjectief van de antisymmetrische matrices op $SO(3)$.

**9.** Met $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ toont vraag 5 dat $\rho_{q(t)}$ de rotatie met as $u$ over hoek $t$ is, dat wil zeggen $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$, waarvan de afgeleide in $t = 0$ gelijk is aan $A_u$. Het quaternion loopt op de halve hoek — het analytische spoor van de dubbele overdekking.

**10.** $\rho_{q(t)}$ is de rotatie om $\mathrm k$ over hoek $t$: in $t = 2\pi$ keert ze terug naar de identiteit — een lus in $SO(3)$. Haar lift voldoet aan $q(2\pi) = \cos\pi = -1 =
-q(0)$: de gelifte weg is *niet* gesloten; pas in $t = 4\pi$ keert $q$ terug naar $1$. Interpretatie: de lus van volledige rotaties is in $SO(3)$ niet samentrekbaar — haar lift eindigt op het andere blad van de overdekking — terwijl de dubbele lus dat wel is; een lichaam dat met riemen aan zijn [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) vastzit (de riemtruc) keert na $4\pi$ terug naar een onverdraaide toestand, maar niet na $2\pi$. Rotatiegroepen onthouden de pariteit van hele omwentelingen; en $S^3$, dat [enkelvoudig samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected) is, is waar dat geheugen woont.

**11.** Kwartslagen: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 +
\sin\frac\pi4\,\mathrm i$ en $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 +
\sin\frac\pi4\,\mathrm j$. Product (met de $\mathrm j$-slag eerst):

$$
q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 +
\mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k\bigr),
$$

met norm $1$ en $\cos\frac\theta2 = \frac12$: dus $\theta =
\frac{2\pi}3$, met as $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm
k}{\sqrt3}$ (het genormeerde pure deel). Twee opeenvolgende kwartslagen om orthogonale assen vormen een rotatie over $120^\circ$ om de hoofddiagonaal van de kubus — vier reële vermenigvuldigingen aan boekhouding, met de orthogonaliteit exact behouden: daarom stellen vluchtsoftware en grafische motoren rotaties met quaternionen samen.

**12.** Uit de tabel is $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ en $\mathrm{ki} = \mathrm j$, dus

$$
q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) +
d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .
$$

Vermenigvuldigen met $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j -
d\mathrm k$ met de regel voor scalair en vector $(t_1 + p_1)(t_2
+ p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 +
p_1\wedge p_2$, met $p_1 = (a, d, -c)$ en $p_2 = (-b, -c, -d)$: het scalaire deel is $-ab - (-ab) = 0$ (puur, zoals het hoort), en het vectordeel is

$$
b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac)
= \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd -
ac)\bigr):
$$

de eerste kolom van $R_q$. De cyclische afbeelding $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$, $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$, $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ behoudt de betrekkingen $\mathrm
i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (het woord $\mathrm{ijk}$ is cyclisch invariant op de betrekking $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ na, die in elke ring geldt: vervoeg $\mathrm{ijk} = -1$ met de inverteerbare $\mathrm i$), dus breidt $\sigma$ uit tot een $\R$-algebra-automorfisme, en is $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$. Uitgewerkt is het beeld van $\mathrm j$ de formule voor de eerste kolom na de substitutie $(b, c, d) \to (c, d, b)$ met de basis herbenoemd $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$, wat precies de weergegeven tweede kolom is; nog een slag geeft de derde.

**13.** De diagonaal optellen geeft $\operatorname{tr}R_q =
3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (eenheidsnorm), en met $a =
\cos\frac\theta2$: $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$. Antisymmetrisch deel: de drie onafhankelijke elementen van $R_q -
R_q^{\mathsf T}$ zijn $4ab, 4ac, 4ad$ (op de posities $(3,2),
(1,3), (2,1)$), dus $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ met $m
= 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u =
\sin\theta\,u$. Algoritme: $\theta = \arccos
\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$; is $0 < \theta
< \pi$, lees dan $u$ af van $\frac{R - R^{\mathsf
T}}{2\sin\theta}$ en stel $q = \pm(\cos\frac\theta2 +
\sin\frac\theta2 u)$; is $\theta = 0$, dan $q = \pm1$. Voor $\theta = \pi$: $a = 0$, en Rodrigues (vraag 8) geeft $R = I +
2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$, dat wil zeggen $R + I = 2uu^{\mathsf T}$; elke kolom $\neq 0$ van $R
+ I$ is, genormeerd, $\pm u$, en $q = \pm u$.

**14.** Met $a = b = c = d = \frac12$ verdwijnen alle diagonaalelementen, en is $2(bc - ad) = 0$, $2(bd + ac) = 1$, $2(bc + ad) = 1$, $2(cd - ab) = 0$, $2(bd - ac) = 0$, $2(cd + ab)
= 1$:

$$
R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
$$

de cyclische permutatie $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$. Haar spoor is $0 = 1 + 2\cos\theta$, dus $\theta = \frac{2\pi}3$, en ze laat $(1,1,1)$ vast: de rotatie over $120^\circ$ om de hoofddiagonaal — precies het antwoord van vraag 11, nu zichtbaar als de matrix die de coördinaatassen cyclisch verwisselt.

**15.** Op de basis ga je $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ na (de matrix van $\bar q$ heeft $\alpha' = \bar\alpha$ en $\beta' =
-\beta$, wat de toegevoegd getransponeerde is van $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta &
\bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$). Bijgevolg is $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ en $\det\Phi(q) =
\abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$: voor $q \in S^3$ is dus $\Phi(q) \in SU(2)$, en $\Phi$ is een injectief morfisme (vraag 1). Surjectiviteit: zij $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha &
\beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ met $\det U = 1$; dan is $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\
-\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, en $U^{-1} = U^* =
\bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta &
\bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ dwingt $\delta = \bar\alpha$ en $\gamma = -\bar\beta$ af, en dan is $1 = \det U =
\abs\alpha^2 + \abs\beta^2$: dus $U = \Phi(q)$ voor het eenheidsquaternion $q$ met coördinaten $\alpha = a + \iu b$ en $\beta = c + \iu d$. Dus $S^3 \cong SU(2)$.

**16.** Reële scalairen zijn centraal en $N(p) = 1$ geeft $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$, dus $pq\bar p +
\overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$: het reële deel is invariant. Omgekeerd, zij $\operatorname{Re}q =
\operatorname{Re}q' = a$; dan hebben de pure delen dezelfde norm $\sqrt{1 - a^2} = s$. Is $s = 0$, dan is $q = q' = \pm1$. Is $s >
0$, schrijf dan $q = a + su$ en $q' = a + su'$ met $u, u'$ pure eenheden; vraag 6 levert een rotatie die $u'$ naar $u$ brengt, dat wil zeggen een $p \in S^3$ met $\rho_p(u') = u$, en dan is $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$. De klassen van $S^3$ zijn dus $\{1\}$, $\{-1\}$, en voor elke $a \in \intoo{-1}1$ de $2$-sfeer $\{a + su : u \text{ pure eenheid}\}$ met straal $s$. Onder $\Phi$ is $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha =
2\operatorname{Re}q$: de klassen van $SU(2)$ zijn de niveauverzamelingen van het spoor. Projecteren: is $q' = pq\bar
p$, dan is $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$; omgekeerd dwingt $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ dat $q' = \pm pq\bar p$ (de kern), dus $\operatorname{Re}q' =
\pm\operatorname{Re}q$, dat wil zeggen $\cos\frac{\theta'}2 =
\abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} =
\cos\frac\theta2$ voor de hoeken in $\intcc0\pi$: geconjugeerde rotaties hebben gelijke hoeken. Omgekeerd laten gelijke hoeken vertegenwoordigers met hetzelfde niet-negatieve reële deel toe, geconjugeerd volgens het bovenstaande: in $SO(3)$ is de conjugatieklasse van een rotatie precies haar hoek.

**17.** $N$ is multiplicatief, dus is $\abs\cdot$ een multiplicatieve norm op $\mathbb H \cong \R^4$ en is $\abs{q^k} =
\abs q^k$: de reeks $\sum q^k/k!$ convergeert absoluut in de eindigdimensionale (en dus volledige) ruimte, gedomineerd door $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$. Voor een pure eenheid $u$ is $u^2 = -1$, dus $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ en $(\theta
u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$; de reeks splitsen geeft

$$
\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} +
u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta +
\sin\theta\,u .
$$

Elke $q \in S^3$ is $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ met $\alpha \in
\intcc0\pi$ (vraag 5): dus $q = \exp(\alpha u)$ en $\exp(P) =
S^3$. Ten slotte is $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ in de notatie van vraag 9, en daar was $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$: dus $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$.

**18.** $vw$ coördinaatsgewijs met de tabel ontwikkelen: de producten $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$, … geven de scalair $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$, en de gemengde producten ($\mathrm{ij} = \mathrm k$, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$, …) geven de vector $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 -
v_2w_1)$: dus $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$. Het omgekeerde product aftrekken: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (de scalaire delen heffen elkaar op, de uitwendige producten tellen op). Voor de matrices, met $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a,
c\rangle - c\langle a, b\rangle$:

$$
[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x)
= w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle
= (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .
$$

Afgeleide: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (de toevoeging is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en keert het teken van pure quaternionen om), dus

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx -
xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :
$$

de differentiaal is $v \mapsto 2A_v$, een lineaire bijectie van $P$ op de antisymmetrische matrices, en $[2A_v, 2A_w] =
4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ toont dat ze de [commutator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van de quaternionen omzet in die van de matrices.

**19.** $\rho$ toepassen: $\rho(\varepsilon(t)) =
\rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} =
\operatorname{id}$, dus $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (vraag 4). Als product van de [continue afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto
s(R(t))$ en $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ is $\varepsilon$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op het [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) interval $\intcc0{2\pi}$ met waarden in het discrete paar $\{\pm1\}$: ze is dus constant, zeg $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$. Maar $R(0) = R(2\pi) = I$, dus $s(R(0)) = s(R(2\pi))$, terwijl $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0)
= \varepsilon$ en $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) =
-\varepsilon$: tegenspraak. Er bestaat geen [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) sectie: de tekenambiguïteit $\pm q$ is globaal, geen gebrek van een bepaalde formule.

**20.** *Surjectief:* elke $R \in SO(3)$ is $\eu^{\theta
A_u}$ voor een eenheid $u$ en een $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (vragen 6 en 8); is $\theta > \pi$, dan geeft Rodrigues $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (beide zijn $I +
\sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$, en $A_{-u} = -A_u$ met $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ en $\cos(2\pi - \theta) =
\cos\theta$), dus $R = E(v)$ met $\norm v \leq \pi$. *Injectief binnenin:* is $E(v) = E(v') \neq I$ met $\norm v,
\norm{v'} < \pi$, dan wint vraag 13 uit het spoor dezelfde hoek $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ terug en, omdat $\sin\theta \neq 0$, uit het antisymmetrische deel dezelfde as: $v = v'$; en $E(v) = I$ dwingt op de open bal $\theta \in \{0\}$ af. *Rand:* $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ hangt van $u$ enkel af via $uu^{\mathsf T}$, waaruit $E(\pi u) =
E(-\pi u)$; omgekeerd geeft $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf
T} - I$ toegepast op $u$ dat $u = \langle u', u\rangle u'$, dus $u' = \pm u$. Inwendig en rand botsen nooit (spoor $> -1$ tegenover $= -1$). Dus induceert $E$ een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bijectie van de bal met de antipodale verlijming — [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) — op $SO(3)$: een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), en $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$. Een middellijn van $\pi u$ naar $-\pi u$ heeft gelijmde uiteinden: het is een lus in $SO(3)$, en haar beschrijving met $E$ komt overeen met de familie rotaties om $u$ uit vraag 10 die een volledige omwenteling doorloopt.

**21.** $\rho$ is een morfisme en $\rho_p^{-1} =
\rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$, dus $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} =
\rho_{pq\bar p}$; volgens vraag 16 behoudt het vervoegen van een rotatie haar hoek en draait het haar as met $\rho_p$. Involuties: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ dan en slechts dan als $q^2 = \pm1$. Is $q^2 = 1$, dan is $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1
= 0$ (centrale scalairen, dus die ontbinding is geldig) en $q =
\pm1$ in het delingslichaam $\mathbb H$, wat $\rho_q = I$ geeft: uitgesloten; $q^2 = -1$ met $q = a + su$ geeft $a^2 - s^2 +
2as\,u = -1$, dus $a = 0$ en $s = 1$: $q$ is een pure eenheid $w$ en $\rho_w$ is de halve slag om $w$ (hoek $\pi$, vraag 5). [Centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions): commuteert $\rho_q$ met elke $\rho_p$, dan is $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$, dus $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ met $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$; en $p \mapsto \varepsilon(p) =
(pq\bar p)q^{-1}$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op het [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) $S^3$ en gelijk aan $1$ in $p = 1$, dus $\equiv 1$: $q$ commuteert met heel $S^3$, en dus met heel $\mathbb H$ (herschaal), zodat $q \in \R
\cap S^3 = \{\pm1\}$ (vraag 1) en $\rho_q = I$: het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) is triviaal.

**22.** Omdat $u \perp w$ pure eenheden zijn, is $uw =
u\wedge w$ puur (vraag 18), dus is

$$
w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge
w
$$

puur, met norm $\abs q\abs w = 1$. Dan is $w'w = qw\cdot w = qw^2
= -q$, en

$$
\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .
$$

Beide assen $w$ en $w' = \cos\frac\theta2 w +
\sin\frac\theta2(u\wedge w)$ liggen in het vlak $u^\perp$ dat loodrecht op de rotatieas staat, en $\langle w', w\rangle =
\cos\frac\theta2$: ze maken de halve hoek $\frac\theta2$. Dat is de klassieke voortbrenging: twee halve slagen om assen die een hoek $\frac\theta2$ maken, stellen samen tot de rotatie over hoek $\theta$ om hun gemeenschappelijke loodlijn.

**23.** De [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) is vraag 7. Wegsamenhang: $SO(3) =
\rho(S^3)$ is het [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) beeld van de [wegsamenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-pathconnected) sfeer; of ook: voor $R = \eu^{A}$ met $A$ antisymmetrisch (vraag 8) is $t \mapsto \eu^{tA}$ een weg in $SO(3)$ van $I$ naar $R$ (orthogonaal want $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$, met determinant $1$ wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vanaf $t = 0$). Voor $O(3)$: $\det$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op $\{\pm1\}$, dus is $O(3)$ niet [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected), $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ voor een vaste $D$ met $\det D = -1$ (bijvoorbeeld $D = -I$), en linksvermenigvuldigen met $D$ is een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): precies twee componenten, elk een kopie van $SO(3)$. De twee-op-één-afbeelding $\rho$, zonder sectie volgens vraag 19, is dus een eerlijke dubbele overdekking van een [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) groep door het [enkelvoudig samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected) $S^3$ — de meetkunde achter de riemtruc.

**24.** (i) Matrices:

$$
R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &
0\end{pmatrix}.
$$

Uit spoor $0 = 1 + 2\cos\theta$ volgt $\cos\theta = -\frac12$: $\theta = \frac{2\pi}3$. Het antisymmetrische deel $\frac{R -
R^{\mathsf T}}2$ codeert de as als $\sin\theta\,(v_3, -v_2,
v_1)$: hier is $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 =
\frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1
& 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, wat (met het woordenboek $A_v$ uit Deel V) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ leest; en met $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$: $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1,
1)$. (ii) Quaternionen: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k =
\frac{\sqrt2}2(1 + k)$, $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$, en

$$
q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik)
= \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)
$$

(want $ik = -j$). Dus $\cos\frac\theta2 = \frac12$: $\theta =
\frac{2\pi}3$, en het vectordeel $\frac12(i - j + k)$ heeft richting $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — hetzelfde antwoord, waarbij de quaternionenweg één regel vermenigvuldiging vergt in plaats van een matrixproduct: de praktische reden waarom vluchtsoftware standen in $S^3$ samenstelt.

**25.** $I + K$ inverteerbaar: uit $(I + K)v = 0$ volgt $0 =
\langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (de antisymmetrie doodt de tweede term): dus $v = 0$. Orthogonaliteit van $C = C(K)$: met $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ en het feit dat alle vier de matrices $I \pm K$ en $(I \pm K)^{-1}$ commuteren (veeltermuitdrukkingen in $K$, plus limieten):

$$
C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T}
(I - K)(I + K)^{-1}
= (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .
$$

Determinant: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf
T}\bigr) = \det(I + K)$, dus $\det C = 1$: $C \in SO(n)$. Geen eigenwaarde $-1$: $Cv = -v$ betekent $(I - K)w = -(I + K)w$ voor $w = (I + K)^{-1}v$, dat wil zeggen $2w = 0$: dus $v = 0$. Omkering: uit $C(I + K) = I - K$ los je $K(I + C) = I - C$ op; omdat $-1 \notin \operatorname{Sp}C$, is $I + C$ inverteerbaar en $K = (I - C)(I + C)^{-1}$, dat antisymmetrisch is zodra $C$ orthogonaal is zonder eigenwaarde $-1$ (transponeer de uitdrukking en gebruik $C^{\mathsf T} = C^{-1}$: $K^{\mathsf T} =
(I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$). De twee afbeeldingen zijn per constructie elkaars inverse: een globale rationale parametrisering van het [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) open stuk van $SO(n)$ dat de eigenwaarde $-1$ mijdt — geen reeksen, geen goniometrie, en in dimensie $3$ is het de vermomde substitutie met de halve hoek $K = \tan\frac\theta2\,A_v$.