---
title: "Differentiaalvormen en de stelling van Stokes"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/21-differentiaalvormen-en-de-stelling-van-stokes
---

# Hoofdstuk 21 — Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

Eén stelling van de analyse heeft in twee eeuwen alle andere van haar soort opgeslorpt: de hoofdstelling van de integraalrekening, Green–Riemann (bewezen in het volume van bachelorjaar 2), de divergentiestelling van Gauss, de rotatiestelling van Kelvin–Stokes — elk zegt dat de integraal van een of andere afgeleide over een gebied gelijk is aan de integraal van het oorspronkelijke object over de [rand](#def-b3-forms-boundary). De taal van de *[differentiaalvormen](#def-b3-forms-diffform)* maakt er één uitspraak van, $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$, en maakt die uitspraak in één klap bewijsbaar. Dit hoofdstuk bouwt die taal eerlijk op — alternerende multilineaire algebra, de [uitwendige afgeleide](#def-b3-forms-d), [terugtrekkingen](#def-b3-forms-pullback), [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation), integratie op de deelvariëteiten van [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#ch-b3-submanifolds) — bewijst de stelling van Stokes, en int de eerste cheques: de klassieke integraalstellingen, het [windingsgetal](#def-b3-forms-winding) dat in het geheim [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/17-laurentreeksen-en-de-residustelling#ch-b3-residues) aandreef, en, in de weekendopgave, de vastepuntstelling van Brouwer. Overal betekent *glad* $\mathcal C^\infty$; elke afbeelding en elke vorm is glad tenzij anders vermeld. Dat kost geen algemeenheid die het waard is, en maakt de handen vrij.

## 21.1 Alternerende multilineaire algebra

**Definitie 21.1.**

Zij $E$ een reële vectorruimte van dimensie $n$. Een *$k$-lineaire alternerende vorm* op $E$ is een afbeelding $\alpha\colon E^k \to \R$, lineair in elke veranderlijke, met $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ zodra twee argumenten gelijk zijn. Hun ruimte noteren we $\Lambda^k E^*$; per afspraak is $\Lambda^0E^* = \R$. De alternantie dwingt de antisymmetrie af: twee argumenten verwisselen verandert het teken (ontwikkel $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$), en algemener is $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) =
\varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ voor elke permutatie $\sigma$.

**Voorbeeld 21.2.**

Op $E = \R^n$ is $\Lambda^1E^* = E^*$ de [duale ruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#def-b3-banach-operator); de determinant in de canonieke basis is een $n$-lineaire [alternerende vorm](#def-b3-forms-alternating), en [Propositie 21.4](#prop-b3-forms-basis) zal tonen dat ze $\Lambda^nE^*$ opspant — de diepe reden waarom de determinant op een schaalfactor na uniek is. Voor $k > n$ is $\Lambda^kE^* =
\{0\}$: $k$ vectoren zijn afhankelijk, en er een langs de andere ontwikkelen doodt $\alpha$ wegens de alternantie.

**Definitie 21.3.**

Voor $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$ is hun *uitwendig product* de $k$-lineaire [alternerende vorm](#def-b3-forms-alternating)

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

De alternantie en de multilineariteit zijn die van de determinant in haar kolommen.

**Propositie 21.4 (Basis van Λk\Lambda^kΛk).**

Zij $(e_1, \dots, e_n)$ een basis van $E$ met duale basis $(e_1^*, \dots, e_n^*)$. De vormen

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

vormen een basis van $\Lambda^kE^*$; dus is $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$. Expliciet is $\alpha = \sum_{\abs I =
k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$.

**Bewijs.** *Voortbrengend.* Zij $\alpha \in \Lambda^kE^*$ en $\beta =
\sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, waarbij $\alpha(e_I)$ afkort voor $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Beide leden zijn $k$-lineair en alternerend, dus vallen ze samen zodra ze samenvallen op alle $k$-tallen $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ met $j_1 < \dots < j_k$ (de multilineariteit herleidt tot $k$-tallen basisvectoren, de alternantie tot strikt stijgende). En $e_I^*(e_{j_1}, \dots,
e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: voor $I = J$ is de matrix de identiteit; voor $I \neq J$ is een rij nul. Dus $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ voor alle $J$: $\beta = \alpha$. *Vrijheid.* Is $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, dan geeft evalueren op $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ dat $c_J = 0$. ∎

**Definitie 21.5.**

Het [uitwendig product](#def-b3-forms-wedge) breidt uit tot een bilineaire afbeelding $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to \Lambda^{k+\ell}E^*$, bepaald door de bilineariteit en $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^*
\wedge e_J^*$ (aaneenschakelen en herordenen; het product is $0$ als $I \cap J \neq \varnothing$). Ze is associatief en *gegradeerd anticommutatief*:

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**Bewijs.** Beide eigenschappen worden op basiselementen nagegaan en met de bilineariteit uitgebreid. Associativiteit: beide manieren om $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ te haken zijn gelijk aan het [uitwendig product](#def-b3-forms-wedge) van de aaneengeschakelde familie $1$-vormen, volgens de determinantformule van [Definitie 21.3](#def-b3-forms-wedge) (ontwikkeling van Laplace per blok). De tekenregel: elk van de $\ell$ factoren van $\beta$ langs de $k$ factoren van $\alpha$ verplaatsen kost een teken per naburige verwisseling (het omwisselen van twee rijen van de determinant), dus in totaal $(-1)^{k\ell}$. ∎

**Propositie 21.6 (Terugtrekking, lineair geval).**

Een lineaire afbeelding $u\colon E \to F$ induceert voor elke $k$ de lineaire afbeelding $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$, $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots, u(v_k))$. Ze voldoet aan $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha \wedge
u^*\beta$ en $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$. Bovendien:

1. is $\dim E = n$ en $u\colon E \to E$ , dan is op de rechte $\Lambda^nE^*$ $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ ;
2. is $\operatorname{rk}u < k$ , dan is $u^* = 0$ op $\Lambda^kF^*$ .

**Bewijs.** De functoriële identiteiten volgen onmiddellijk uit de definities (controleer voor de productregel op [uitwendige producten](#def-b3-forms-wedge) van $1$-vormen met de determinantformule — $\det(\ell_i(uv_j)) =
\det((u^*\ell_i)(v_j))$ — en breid bilineair uit). (1) $u^*$ beeldt de eendimensionale $\Lambda^nE^*$ ([Propositie 21.4](#prop-b3-forms-basis)) in zichzelf af, dus is $u^*\alpha =
c\,\alpha$ met $c$ onafhankelijk van $\alpha \neq 0$; testen op $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ en $(v_j) = (e_j)$ geeft $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Voor $v_1, \dots, v_k \in E$ liggen de vectoren $u(v_1),
\dots, u(v_k)$ in het beeld van $u$, van dimensie $< k$: ze zijn lineair afhankelijk, en een [alternerende vorm](#def-b3-forms-alternating) verdwijnt op een afhankelijke familie (ontwikkel de afhankelijke vector langs de andere). ∎

## 21.2 Differentiaalvormen en de uitwendige afgeleide

**Definitie 21.7.**

Zij $U \subseteq \R^n$ open. Een *differentiaal-$k$-vorm* op $U$ is een gladde afbeelding $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$; in de basis van [Propositie 21.4](#prop-b3-forms-basis) (met $\dd x_i$ voor $e_i^*$):

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

met gladde coëfficiënten $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. Hun ruimte is $\Omega^k(U)$; $\Omega^0(U) = \mathcal C^\infty(U)$. Een $0$-vorm is een functie; een $1$-vorm is een veld van lineaire vormen (bijvoorbeeld de differentiaal $\dd f$ van een functie); een $n$-vorm is $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, de natuurlijke integrand van [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#ch-b3-product).

**Definitie 21.8 (Uitwendige afgeleide).**

De *uitwendige afgeleide* is de lineaire afbeelding $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ gedefinieerd door

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

Op $0$-vormen is ze de gewone differentiaal.

**Stelling 21.9.**

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ voor $\omega \in \Omega^k$ (de *gegradeerde regel van Leibniz*). (b) $\dd \circ \dd = 0$.

**Bewijs.** (a) Wegens de bilineariteit volstaat het $\omega = a\,\dd x_I$ en $\eta = b\,\dd x_J$ te behandelen. Dan is $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ en

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

en de $1$-vorm $\dd b$ langs de $k$ factoren van $\dd x_I$ verplaatsen kost $(-1)^k$ ([Definitie 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)): de tweede term is $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Voor een functie: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd
x_i$. De coëfficiënt is symmetrisch in $(i,j)$ volgens de stelling van Schwarz over gemengde partiële afgeleiden (bewezen in het volume van bachelorjaar 2; $a$ is $\mathcal C^\infty$), terwijl $\dd x_j \wedge \dd x_i$ antisymmetrisch is: de termen $(i,j)$ en $(j,i)$ paren en alles valt weg. Voor een algemene $\omega = \sum a_I\dd x_I$: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I
\wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd
a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ volgens (a), en beide termen verdwijnen ($\dd(\dd x_I) = 0$ omdat de coëfficiënt constant is). ∎

**Definitie 21.10 (Terugtrekking).**

Zij $\varphi\colon U \to V$ glad ($U \subseteq \R^m$, $V
\subseteq \R^n$ open). De *terugtrekking* $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ is puntsgewijs gedefinieerd met de lineaire terugtrekking langs de differentiaal: $(\varphi^*\omega)_x =
(D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$. Concreet substitueert $\varphi^*$: $\varphi^*f = f \circ \varphi$ op functies, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i =
\sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$, en $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$.

**Stelling 21.11.**

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ en $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$. (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$: de [uitwendige afgeleide](#def-b3-forms-d) commuteert met elke gladde substitutie — de identiteit die haar tot *de* afgeleide van de theorie maakt. (c) Is $\varphi\colon U \to V$ glad tussen open delen van $\R^n$ en $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd y_n$, dan is $\varphi^*\omega = (a \circ \varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,
\dd x_1 \wedge \dots \wedge \dd x_n$.

**Bewijs.** (a) Puntsgewijze uitspraken over lineaire [terugtrekkingen](#def-b3-forms-pullback) ([Propositie 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)), plus de kettingregel $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Voor een $0$-vorm $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ is de kettingregel. Voor $\omega
= a\,\dd y_I$: met (a) is $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$, dus geven de regel van Leibniz ([Stelling 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(a)) en $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(c) Puntsgewijs is dat precies $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ op vormen van topgraad ([Propositie 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1) met $u = D\varphi(x)$). ∎

**Voorbeeld 21.12 (Poolcoördinaten).**

Voor $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ is $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ en $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$, dus

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

waarbij de jacobiaan van [Voorbeeld 11.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#ex-b3-product-polar) met pure algebra opduikt — geen maattheorie. [Oefening 21.9](#exo-b3-forms-9) maakt van die opmerking een uitspraak: voor georiënteerde integralen *is* de formule van de variabelensubstitutie de terugtrekkingsformule.

## 21.3 Gesloten en exacte vormen; het lemma van Poincaré

**Definitie 21.13.**

$\omega \in \Omega^k(U)$ heet *gesloten* als $\dd\omega = 0$, en *exact* als $\omega = \dd\eta$ voor een $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (een *primitieve* van $\omega$). Exact $\Rightarrow$ gesloten volgens $\dd^2 = 0$; de omkering is een vraag over de *vorm* van $U$.

**Voorbeeld 21.14 (De hoekvorm).**

Op $U = \R^2 \setminus \{0\}$ is

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

[gesloten](#def-b3-forms-closedexact) (rechtstreekse berekening: [Oefening 21.4](#exo-b3-forms-4)) maar niet [exact](#def-b3-forms-closedexact): haar integraal langs de eenheidscirkel is $2\pi \neq
0$, terwijl de integralen van [exacte vormen](#def-b3-forms-closedexact) langs [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) krommen verdwijnen ([Propositie 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). Lokaal is $\omega_\theta = \dd\theta$ voor elke gladde bepaling $\theta$ van de poolhoek — vandaar de naam en de obstructie: zo’n bepaling bestaat niet op heel $U$. Deze ene vorm drijft het [windingsgetal](#def-b3-forms-winding) aan ([Sectie 21.6](#sec-21-6)) en, daardoorheen, de residustelling van [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/17-laurentreeksen-en-de-residustelling#ch-b3-residues).

**Stelling 21.15 (Lemma van Poincaré).**

Zij $U \subseteq \R^n$ open en *stervormig* ten opzichte van $0$. Elke [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) $k$-vorm op $U$ ($k \geq 1$) is [exact](#def-b3-forms-closedexact).

**Bewijs.** We bouwen een lineaire *homotopie-operator* $h\colon
\Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ met

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

is $\dd\omega = 0$, dan is $\omega = \dd(h\omega)$ en zijn we klaar. Stel voor $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

(het dakje schrapt een factor; de integralen zijn glad in $x$ wegens het differentiëren onder de integraal, [Stelling 10.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-paramdiff), waarbij alle afgeleiden op [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzamelingen gedomineerd worden). [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) nagaan is een berekening die je één keer in je leven doet, dus we doen ze voluit. Leg $I$ vast en neem $\omega = a\,\dd x_I$ (lineariteit). Eerst is

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

de eerste groep verzamelt de termen waarin $\dd$ de factor $x_{i_r}$ raakt — het [uitwendig product](#def-b3-forms-wedge) $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ stelt $\dd x_I$ opnieuw samen met een teken $(-1)^{r-1}$ dat de voorfactor opheft, en de $k$ waarden van $r$ geven de factor $k$ — terwijl de tweede groep de termen verzamelt waar $\dd$ de integraal raakt (de kettingregel brengt $t\,\partial_ja(tx)$ naar buiten). Vervolgens is $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, en de definitie van $h$ in graad $k+1$ toepassen, waarbij de index $j$ de eerste plaats inneemt, geeft

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

De dubbele sommen heffen elkaar op in $\dd(h\omega) +
h(\dd\omega)$, dat dus gelijk is aan

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

volgens de hoofdstelling van de integraalrekening. De stervormigheid kwam binnen waar ze moest: $tx \in U$ voor $t \in
\intcc01$, zodat $a(tx)$ zin heeft. ∎

**Opmerking 21.16.**

Voor $k = 1$ en $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$ is de primitieve $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — de lijnintegraal van $\omega$ langs het lijnstuk $[0, x]$: de stelling is het “een veld met symmetrische jacobiaan is een gradiënt” in meerdere veranderlijken uit het volume van bachelorjaar 2, nu in elke graad. De hoekvorm ([Voorbeeld 21.14](#ex-b3-forms-angular)) toont dat de hypothese over $U$ geen versiering is: $\R^2\setminus\{0\}$ is niet stervormig, en daar impliceert geslotenheid geen exactheid. Wat op een algemene [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) overleeft, wordt gemeten door de *de-rhamcohomologie* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — zie [Oefening 21.12](#exo-b3-forms-12) voor de eerste niet-triviale berekening.

## 21.4 Oriëntatie en integratie op deelvariëteiten

Een $k$-vorm integreren vereist $k$-dimensionaal georiënteerd terrein. Herinner je uit [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#ch-b3-submanifolds) ([Stelling 20.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) dat een $k$-deelvariëteit $M \subseteq \R^n$ lokaal het beeld is van een reguliere parametrisering $\gamma\colon V \to M \cap W$ ($V
\subseteq \R^k$ open, $\gamma$ een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op haar beeld met injectieve differentiaal).

**Definitie 21.17.**

Een *oriëntatie* van $M$ is een keuze, voor elke $p \in M$, van een van de twee oriëntatieklassen van bases van de [raakruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$, die *lokaal coherent* is: rond elk punt is er een parametrisering $\gamma$ waarvan het coördinaatframe $(\partial_1\gamma, \dots, \partial_k\gamma)$ in elk punt van haar domein positief georiënteerd is. Zulke parametriseringen heten *direct*. $M$ heet *oriënteerbaar* als er een oriëntatie bestaat; de möbiusband toont dat dat kan falen. Alle deelvariëteiten in dit hoofdstuk zijn georiënteerd.

**Definitie 21.18 (Integraal van een vorm).**

Zij $M$ een georiënteerde $k$-deelvariëteit en $\omega$ een $k$-vorm gedefinieerd op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $M$, met $\operatorname{supp}\omega \cap M$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). (a) Is $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ voor één enkele directe parametrisering, stel dan

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

— waarbij het rechterlid de lebesgue-integraal over $V$ is ([Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#ch-b3-product)) van de coëfficiënt $g$ van $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, die [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager. (b) Kies in het algemeen eindig veel directe parametriseringen $\gamma_i(V_i)$ die de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\operatorname{supp}\omega \cap
M$ overdekken en een ondergeschikte [partitie van de eenheid](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ ([Lemma 21.20](#lem-b3-forms-partition)), en stel $\int_M\omega = \sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, waarbij elke term met (a) wordt berekend. Voor een kromme ($k = 1$) geparametriseerd door $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ schrijven we $\int_\gamma\omega =
\int_a^b\gamma^*\omega$, zonder dat injectiviteit vereist is.

**Lemma 21.19 (Consistentie).**

Definitie (a) hangt niet van de directe parametrisering af, en definitie (b) hangt noch van de overdekking noch van de [partitie van de eenheid](#lem-b3-forms-partition) af. Bovendien geldt: is $\Phi$ een diffeomorfisme van [omgevingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van twee georiënteerde deelvariëteiten met $\Phi(M) = M'$, dat in een punt van elke component van $M$ een direct frame van $M$ naar een direct frame van $M'$ brengt, dan is $\int_{M'}\omega = \int_M\Phi^*\omega$.

**Bewijs.** (a) Zij $\gamma\colon V \to M$ en $\delta\colon V' \to M$ directe parametriseringen waarvan de beelden $\operatorname{supp}\omega
\cap M$ bevatten. De overgang $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ is een diffeomorfisme tussen de betrokken open delen van $V$ en $V'$ (de gladheid van de overgangen: [Stelling 20.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations), via de lokale beschrijving met grafieken), en daar is $\gamma =
\delta\circ\tau$, dus $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ ([Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)). Schrijf $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; dan is ([Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Omdat beide frames direct zijn, beeldt $D\tau$ een positieve basis op een positieve basis af: $\det D\tau > 0$, dus $\det
D\tau = \abs{\det D\tau}$, en de stelling over de variabelensubstitutie ([Stelling 11.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-changeofvar)) geeft $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: de twee integralen vallen samen. *Hier ligt de hele reden waarom [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) bestaat*: zonder controle over het teken verschillen de jacobiaan en haar absolute waarde, en is de integraal slecht gedefinieerd. (b) Zijn $(\chi_i)$ en $(\tilde\chi_j)$ twee toelaatbare partities (overdekkingen inbegrepen), dan is volgens (a) en de eindige additiviteit $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, waarbij elke dubbele term in beide kaarten berekend kan worden. De laatste uitspraak: doorloopt $\gamma$ de directe parametriseringen van $M$, dan doorloopt $\Phi\circ\gamma$ de directe parametriseringen van $M'$ (de vergelijking van de [oriëntaties](#def-b3-forms-orientation) is lokaal constant en in één punt per component vastgelegd), en is $(\Phi\circ\gamma)^*\omega =
\gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

**Lemma 21.20 (Partities van de eenheid, compact geval).**

Zij $K \subseteq \R^n$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en $W_1, \dots, W_m$ [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) die $K$ overdekken. Er bestaan $\chi_1, \dots,
\chi_m \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ met $0 \leq \chi_i \leq 1$, $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact), en $\sum\chi_i
= 1$ op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $K$.

**Bewijs.** Elke $x \in K$ ligt in een $W_{i(x)}$ met een [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) bal $\bar
B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) haalt er $x_1,
\dots, x_N$ uit waarvoor de ballen $B(x_s, r_{x_s})$ $K$ overdekken. Neem voor elke $s$ een bult $\theta_s \in \mathcal
C^\infty$ met $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ op $\bar
B(x_s, r_{x_s})$ en $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s,
2r_{x_s})$ (strijk de indicator van de bal met straal $\frac32r_{x_s}$ glad, [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)). Wijs elke $s$ toe aan één index $i(s)$ met $B(x_s, 2r_{x_s})
\subseteq W_{i(s)}$ en stel $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. Op de [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j >
\tfrac12\} \supseteq K$ doen de functies $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ hun werk, maar ze zijn enkel daar gedefinieerd; om te globaliseren, zij $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ met $\rho = 0$ waar $\sum_j\Theta_j \geq 1$ en $\rho > 0$ waar $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (strijk een geschikte afknotting van $1 - \sum_j\Theta_j$ glad), en stel

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

De noemer is overal $> 0$ en gelijk aan $\sum_j\Theta_j$ op $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, een open [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $K$ (elk punt van $K$ ligt in een bal $B(x_s, r_{x_s})$ waar $\theta_s = 1$); daar is $\sum_i\chi_i = 1$. De dragers en de grenzen zijn duidelijk. ∎

## 21.5 De stelling van Stokes

**Definitie 21.21.**

Een *$k$-deelvariëteit met rand* $M \subseteq \R^n$ is een verzameling die door reguliere parametriseringen van twee soorten wordt overdekt: *inwendige kaarten* $\gamma\colon V \to M \cap W$ met $V \subseteq \R^k$ open, en *randkaarten* $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap
W$, waarbij $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ en $\gamma$ zich glad en regulier uitbreidt tot de open $V$. De *rand* $\partial M$ is de verzameling punten die bij $u_k = 0$ worden bereikt; ze is een $(k-1)$-deelvariëteit zonder rand, geparametriseerd door de afbeeldingen $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Een [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) van $M$ induceert er een op $\partial M$ met de regel *buitenwaartse normaal eerst*: in $p \in \partial M$ is een basis $(w_1, \dots, w_{k-1})$ van $T_p\partial M$ positief dan en slechts dan als $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ een positieve basis van $T_pM$ is, waarbij $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial
M$ uit $M$ naar buiten wijst (in een randkaart: $\nu =
-\partial_k\gamma$, op het optellen van tangentiële componenten na — de oriëntatieklasse ziet die niet).

![De regel “buitenwaartse normaal eerst”: zet in elk randpunt de naar buiten wijzende vector vooraan; de bases die haar tot een positief frame van M aanvullen, oriënteren M. Voor een vlak gebied met de standaardoriëntatie is dat de regel tegen de wijzers van de klok in van Green–Riemann.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-e3586d515604.svg)

*De regel “buitenwaartse normaal eerst”: zet in elk randpunt de naar buiten wijzende vector $\nu$ vooraan; de bases die haar tot een positief frame van $M$ aanvullen, oriënteren $\partial M$. Voor een vlak gebied met de standaardoriëntatie is dat de regel tegen de wijzers van de klok in van Green–Riemann.*

**Lemma 21.22 (Stokes op het halfvlak).**

Zij $\eta$ een gladde $(k-1)$-vorm op $\R^k$ met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager. Dan is

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

waarbij $H^k$ de standaardoriëntatie van $\R^k$ draagt en $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ de geïnduceerde, die $(-1)^k$ maal de standaardoriëntatie van $\R^{k-1}$ is.

**Bewijs.** Eerst de boekhouding van de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation): de buitenwaartse normaal langs $\partial H^k$ is $-e_k$, en

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

het frame $(e_1, \dots, e_{k-1})$ van $\partial H^k$ is precies positief voor de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) wanneer $k$ even is, vandaar de vermelde vergelijking. Neem wegens de lineariteit $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$ met $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$; dan is $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ($\dd
u_i$ naar haar plaats verhuizen kost $i - 1$ verwisselingen). Twee gevallen, beide met Tonelli–Fubini ([Stelling 11.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-fubini)) en de hoofdstelling van de integraalrekening in één veranderlijke.

*Geval $i < k$.* Eerst in $u_i$ over $\R$ integreren: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ ([compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager), dus $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. En de beperking van $\eta$ tot $\{u_k =
0\}$ bevat de factor $\dd u_k$, die tot $0$ beperkt ($u_k$ is daar constant): dus ook $\int_{\partial H^k}\eta = 0$.

*Geval $i = k$.* Eerst in $u_k$ over $\intco0\infty$ integreren:

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

Aan de randkant beperkt $\eta$ tot $f(u', 0)\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$, en omdat de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) $(-1)^k$ maal de standaardoriëntatie is, is $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. De twee leden vallen samen. ∎

**Stelling 21.23 (Stokes).**

Zij $M \subseteq \R^n$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) georiënteerde $k$-deelvariëteit met [rand](#def-b3-forms-boundary), waarbij $\partial M$ de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) draagt, en zij $\omega$ een gladde $(k-1)$-vorm op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $M$. Dan is

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

In het bijzonder is $\int_M\dd\omega = 0$ als $\partial M =
\varnothing$.

**Bewijs.** Overdek de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $M$ met eindig veel beelden van directe kaarten (inwendig of [rand](#def-b3-forms-boundary)), en neem een [partitie van de eenheid](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ ondergeschikt aan de bijbehorende [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $W_i$ van $\R^n$ ([Lemma 21.20](#lem-b3-forms-partition)), met $\sum\chi_i = 1$ op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $M$. Op die [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) is $\dd(\sum\chi_i) = 0$, dus

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

beide leden zijn additief, en het volstaat de stelling te bewijzen voor een vorm met drager in het beeld van één kaart.

*Inwendige kaart.* Is $\operatorname{supp}\omega \cap M
\subseteq \gamma(V)$ met $V$ open in $\R^k$: breid $\eta =
\gamma^*\omega$ met nul uit tot $\R^k$ (glad, met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager in $V$) en pas [Lemma 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) toe met de drager weg van $\partial H^k$ (verschuif $V$ het open bovenste halfvlak in — of herhaal eenvoudig de berekening van het geval $i < k$ over heel $\R^k$): dan is $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta =
0$, en $\int_{\partial M}\omega = 0$ omdat $\omega$ nabij $\partial M$ verdwijnt.

*Randkaart.* Is $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq
\gamma(V \cap H^k)$: met $\eta = \gamma^*\omega$ met nul uitgebreid is $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ ([Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), dus volgens [Definitie 21.18](#def-b3-forms-integral):

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{Lemma 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

Rest nog het rechterlid met $\int_{\partial M}\omega$ te identificeren. De [rand](#def-b3-forms-boundary) wordt geparametriseerd door $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$, en $\beta^*\omega$ is de beperking van $\eta$ tot $\{u_k = 0\}$ (de [terugtrekking](#def-b3-forms-pullback) onder de inclusie $u' \mapsto
(u', 0)$, samengesteld met $\gamma$). De vergelijking van de [oriëntaties](#def-b3-forms-orientation) geeft aan beide kanten dezelfde $(-1)^k$: het frame $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ zit in de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) van $\partial M$ met het teken $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$, in de kaart berekend (de buitenwaartse vector trekt terug naar $-e_k$), en dat is precies het teken dat de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) van $\partial
H^k$ met de standaard van $\R^{k-1}$ verbindt ([Lemma 21.22](#lem-b3-forms-halfspace)). De twee tekenafspraken heffen elkaar op: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎

**Voorbeeld 21.24 (De klassieke stellingen).**

Zij $D \subseteq \R^2$ een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) gebied met gladde [rand](#def-b3-forms-boundary), met de standaardoriëntatie. Voor $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ is $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ - \partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd
y$, en luidt Stokes

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

*Green–Riemann*, bewezen voor elementaire gebieden in het volume van bachelorjaar 2 en nu in natuurlijke algemeenheid. In $\R^3$ geeft Stokes toegepast op de fluxvorm van een vectorveld op een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) gebied de *divergentiestelling* $\int_\Omega\operatorname{div}F = \int_{\partial\Omega}\langle F,
\nu\rangle\,\dd S$, en toegepast op een $1$-vorm op een oppervlak met [rand](#def-b3-forms-boundary) de klassieke rotatiestelling van *Kelvin–Stokes*; [Oefening 21.7](#exo-b3-forms-7) schrijft beide woordenboeken uit.

## 21.6 Het windingsgetal

**Definitie 21.25.**

Zij $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ een gladde [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) kromme. Haar *windingsgetal* rond $a$ is

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**Propositie 21.26.**

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$; als functie van $a$ is ze constant op elke [samenhangscomponent](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-components) van $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ en nul op de onbegrensde component. Voor $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$ is $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$.

**Bewijs.** Neem $a = 0$ en schrijf $\gamma = (x, y)$, $\rho = \norm\gamma >
0$ en $\vartheta(t) = \int_0^t\gamma^*\omega_\theta$, zodat $\vartheta' = \frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$. Zij in complexe notatie $u(t) = \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$; dan is $\abs u = 1$ en geeft een rechtstreekse berekening

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

want $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ en $\rho\rho' = xx' + yy'$. Dus is $u$ constant: $\gamma(t) =
\rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ met $\abs c = 1$, en $\gamma(1) = \gamma(0)$ met $\rho(1) = \rho(0)$ dwingt $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$ af: $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$, dat wil zeggen $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$. Als functie van $a$ op het open complement van de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) kromme is de definiërende integraal [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ([Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-paramcont), met dominantie op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van elke $a$); een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functie met gehele waarden is lokaal constant, dus constant op de componenten. Voor grote $\norm a$ is de integrand uniform in $t$ $O(1/\norm a)$, dus gaat de index naar $0$ en verdwijnt ze op de onbegrensde component. Voor de cirkel: $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ rechtstreeks. ∎

**Opmerking 21.27.**

Onder $\C \cong \R^2$ is $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$, dus $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$: dat is de index van [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/17-laurentreeksen-en-de-residustelling#ch-b3-residues), en [Propositie 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) herbewijst haar geheeltalligheid en lokale constantheid met reële middelen — de topologische helft van de residustelling, nu staand op Stokes.

**Propositie 21.28.**

Is $\omega = \dd f$ [exact](#def-b3-forms-closedexact) op de open $U$ en is $\gamma\colon\intcc01\to U$ een [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) kromme, dan is $\int_\gamma\omega = 0$.

**Bewijs.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — de kettingregel identificeert $\gamma^*(\dd f)$ met $(f\circ\gamma)'\,\dd t$. ∎

**Methode 21.29.**

Rekenen met vormen: (1) mechaniseer — [uitwendige producten](#def-b3-forms-wedge) herordenen met tekens, $\dd$ differentieert de coëfficiënten naar verse $\dd x_j$’s, [terugtrekkingen](#def-b3-forms-pullback) substitueren; vertrouw de algebra, ze codeert elke jacobiaan. (2) Om een vorm over een deelvariëteit te integreren: parametriseer direct, trek terug, integreer de coëfficiënt; de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) is de enige val — controleer één frame. (3) Om een integraalidentiteit te bewijzen, zoek naar een vorm van Stokes: is de integrand [exact](#def-b3-forms-closedexact)? is het gebied een [rand](#def-b3-forms-boundary)? (4) Om integralen over twee “evenwijdige” deelvariëteiten te vergelijken, pas Stokes toe op het gebied ertussen (het vervormingsargument, [Oefening 21.10](#exo-b3-forms-10)). (5) Een integraal $\neq 0$ van een gesloten vorm certificeert een topologische obstructie — geen primitieve, geen retractie, geen nulpuntvrije uitbreiding: zo doodt de weekendopgave de retracties van de bal.

## 21.7 Oefeningen

**Oefening 21.1 ★.**

Zij op $\R^3$ $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ en $\eta = \dd x +
y\,\dd z$. Bereken $\omega\wedge\eta$, $\dd\omega$, $\dd\eta$ en $\dd(\omega\wedge\eta)$, en ga de gegradeerde regel van Leibniz op dit voorbeeld na.

**Oplossing van Oefening 21.1.**

Ontwikkelen en de herhaalde factoren doden:

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

(met $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ en $-zy\,\dd
x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$). Verder is $\dd\omega =
\dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y + \dd
x\wedge\dd z$ en $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$. Ten slotte is

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z +
z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z
$$

(de eerste term van $\omega\wedge\eta$ draagt $\dd(-x)
\wedge\dd x\wedge\dd y = 0$ bij; cyclische permutaties van drie factoren zijn even). Controle van Leibniz: $\dd\omega\wedge\eta =
(\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd z) =
y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$, en $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge\dd
y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$; de som klopt.

**Oefening 21.2 ★.**

Identificeer op $\R^3$ de drie gedaanten van $\dd$: voor $f \in
\Omega^0$ is $\dd f \leftrightarrow \nabla f$; voor de arbeidsvorm $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$ is $\dd\omega_F
\leftrightarrow \operatorname{curl}F$; voor de fluxvorm $\sigma_F
= F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd z\wedge\dd x + F_3\,\dd
x\wedge\dd y$ is $\dd\sigma_F \leftrightarrow
\operatorname{div}F$. Leid uit $\dd^2 = 0$ de identiteiten $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ en $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$ af.

**Oplossing van Oefening 21.2.**

$\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ heeft de coëfficiënten van $\nabla f$. Voor de arbeidsvorm is

$$
\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd
z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x +
(\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y =
\sigma_{\operatorname{curl}F},
$$

de fluxvorm van de rotatie (verzamel de zes termen van $\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$). Voor de fluxvorm is $\dd\sigma_F =
(\partial_xF_1 + \partial_yF_2 + \partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z$: de divergentie. Dan luidt $\dd^2f = 0$ $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$, dat wil zeggen $\operatorname{curl}\nabla f = 0$, en luidt $\dd^2\omega_F = 0$ $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z = 0$: de twee vectoridentiteiten zijn één identiteit, $\dd^2 = 0$, in twee graden gelezen.

**Oefening 21.3 ★★.**

Beslis voor elke $1$-vorm of ze [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) is, of ze [exact](#def-b3-forms-closedexact) is op haar domein, en bereken een primitieve wanneer die bestaat: (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ op $\R^3$; (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ op $\R^2\setminus\{0\}$; (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ op het halfvlak $\{x > 0\}$.

**Oplossing van Oefening 21.3.**

(a) De geslotenheid is de symmetrie van de gemengde partiële afgeleiden: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$, $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$, $\partial_z(x^2)
= 0 = \partial_y(2xz)$. Het domein $\R^3$ is stervormig: dus [exact](#def-b3-forms-closedexact) ([Stelling 21.15](#thm-b3-forms-poincare)), met primitieve $f = x^2y +
xz^2$ (ga $\dd f$ na). (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} = \tfrac12\,\dd
\log(x^2 + y^2)$: [exact](#def-b3-forms-closedexact) op heel $\R^2\setminus\{0\}$ (en dus [gesloten](#def-b3-forms-closedexact)) — de radiale neef van de hoekvorm is ongevaarlijk. (c) Op $\{x > 0\}$ is de vorm $\omega_\theta$, [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) ([Oefening 21.4](#exo-b3-forms-4)); het halfvlak is convex, dus is ze daar [exact](#def-b3-forms-closedexact), en inderdaad voldoet $f = \arctan(y/x)$ aan $\dd f =
\frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$. [Exact](#def-b3-forms-closedexact) op het halfvlak, niet [exact](#def-b3-forms-closedexact) op het geperforeerde vlak: de obstructie zit in het gat, niet in de formule.

**Oefening 21.4 ★★.**

(De hoekvorm) Ga na dat $\omega_\theta$ ([Voorbeeld 21.14](#ex-b3-forms-angular)) [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) is; bereken $\int_\gamma\omega_\theta$ voor $\gamma$ de cirkel met straal $r$ rond $0$; besluit dat $\omega_\theta$ niet [exact](#def-b3-forms-closedexact) is op $\R^2\setminus\{0\}$, en dat $\R^2\setminus\{0\}$ ten opzichte van geen van haar punten stervormig is (twee wegen: via [Stelling 21.15](#thm-b3-forms-poincare), en rechtstreeks uit de meetkunde).

**Oplossing van Oefening 21.4.**

Geslotenheid: met $\rho^2 = x^2 + y^2$ is

$$
\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 -
2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} =
\partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),
$$

dus $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) -
\partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$. Op $\gamma(t)
= (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$:

$$
\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t +
\sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t,
\qquad\text{dus}\qquad
\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .
$$

Was $\omega_\theta$ [exact](#def-b3-forms-closedexact), dan zou die integraal verdwijnen ([Propositie 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)): ze is dus niet [exact](#def-b3-forms-closedexact). Was $\R^2\setminus\{0\}$ stervormig ten opzichte van een $p$, dan zou het lemma van Poincaré (naar $p$ verschoven) elke gesloten vorm [exact](#def-b3-forms-closedexact) maken — tegenspraak. Rechtstreeks: voor elke $p \neq
0$ gaat het lijnstuk van $p$ naar het punt $-p$ van het domein door $0$: de stervormigheid faalt in elk punt.

**Oefening 21.5 ★★.**

(Oppervlaktevorm van een hyperoppervlak) Zij $M \subseteq \R^n$ een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) georiënteerd hyperoppervlak waarvan de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) gegeven wordt door een normaalveld $\nu$ van norm $1$ ($(w_1,
\dots, w_{n-1})$ is positief dan en slechts dan als $(\nu, w_1,
\dots, w_{n-1})$ positief is in $\R^n$). Toon aan dat de $(n-1)$-vorm $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ op $M$ beperkt tot de *oppervlaktevorm*: voor een directe parametrisering $\gamma$ is $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots
\wedge\dd u_{n-1}$, waarbij $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ de grammatrix is. *(Merk op dat $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1,
\dots, e_{n-1}) = \det(\nu, \partial_1\gamma, \dots,
\partial_{n-1}\gamma)$ en kwadrateer die determinant.)* Bereken $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$.

**Oplossing van Oefening 21.5.**

Voor vectoren $v_1, \dots, v_{n-1}$ geeft de determinant langs haar eerste kolom ontwikkelen

$$
\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) =
\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\,
\det\bigl(\text{rijen} \neq i \text{ van } (v_1, \dots,
v_{n-1})\bigr)
= \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),
$$

want $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ is precies de $i$-de geschrapte minor ([Definitie 21.3](#def-b3-forms-wedge)). Dat toepassen op $v_j = \partial_j\gamma$: $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1,
\dots, e_{n-1}) = \det A$ met $A = (\nu\ \partial_1\gamma\
\cdots\ \partial_{n-1}\gamma)$. Nu is ${}^t\!AA$ blokdiagonaal: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ en $\langle\nu,
\partial_j\gamma\rangle = 0$ ($\nu$ is normaal, de $\partial_j\gamma$ zijn raakvectoren), dus $(\det A)^2 =
\det({}^t\!AA) = \det G$; en $\det A > 0$ voor een directe parametrisering (dat is wat de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) met $\nu$ betekent): dus $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots\wedge
\dd u_{n-1}$, het oppervlakte-element van Gram. Voor $S^2$ is $\nu(x) = x$ en geeft de bolparametrisering $\gamma(\theta,
\varphi) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta,
\cos\varphi)$ op $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ (direct; ze mist één meridiaan, een verzameling zonder oppervlakte) dat $\det G =
\sin^2\varphi$, dus $\int_{S^2}\sigma_\nu =
\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\, \dd\theta =
4\pi$.

**Oefening 21.6 ★★.**

Bereken $\int_{S^2}\omega$ voor $\omega = x\,\dd y\wedge\dd z +
y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$: (a) rechtstreeks in bolcoördinaten; (b) met Stokes op de eenheidsbal. Leid $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ af uit de oppervlakte van $S^2$, en veralgemeen: $n\operatorname{vol}(B^n) =
\operatorname{area}(S^{n-1})$, in overeenstemming met [Stelling 11.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-ballvolume).

**Oplossing van Oefening 21.6.**

De gegeven $\omega$ is $\sigma_\nu$ voor $\nu(x) = x$ op $S^2$, dus is (a) de zonet gemaakte berekening: $\int_{S^2}\omega =
4\pi$. (b) $\dd\omega = 3\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$, en Stokes op de eenheidsbal geeft $\int_{S^2}\omega =
3\operatorname{vol}(B^3)$: dus $\operatorname{vol}(B^3) =
\frac{4\pi}3$. In het algemeen beperkt de vorm $\sigma =
\sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ op $S^{n-1}$ tot de oppervlaktevorm ($\nu = x$ in [Oefening 21.5](#exo-b3-forms-5)), is $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, en levert Stokes $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ — in overeenstemming met de formules met de gammafunctie uit [Stelling 11.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-ballvolume).

**Oefening 21.7 ★★.**

(De woordenboeken) Leid zorgvuldig uit [Stelling 21.23](#thm-b3-forms-stokes) af: (a) de divergentiestelling in $\R^3$ (combineer [Oefening 21.2](#exo-b3-forms-2) en [Oefening 21.5](#exo-b3-forms-5)); (b) de stelling van Kelvin–Stokes $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ voor een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) georiënteerd oppervlak met [rand](#def-b3-forms-boundary) in $\R^3$. Controleer dat de oriëntatieafspraken overeenstemmen op de bovenste halve bol begrensd door de evenaar.

**Oplossing van Oefening 21.7.**

(a) Stokes toegepast op de fluxvorm $\sigma_F$ op het [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) gebied $\Omega$: $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x =
\int_{\partial\Omega}\sigma_F$ ([Oefening 21.2](#exo-b3-forms-2) voor de binnenkant). Identificeer de integrand op de [rand](#def-b3-forms-boundary): voor raakvectoren $v_1, v_2$ in een punt van $\partial\Omega$ geeft de ontwikkeling langs de eerste kolom uit [Oefening 21.5](#exo-b3-forms-5) dat $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$; schrijf $F = \langle F,
\nu\rangle\nu + T$ met $T$ tangentieel: de kolom $T$ is een combinatie uit het vlak van $v_1, v_2$, dus $\det(T, v_1, v_2) =
0$ en $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F,
\nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$: de divergentiestelling, met $\nu$ de buitenwaartse normaal (de regel “buitenwaartse normaal eerst” is precies de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation)). (b) Stokes toegepast op $\omega_F$ op het oppervlak met [rand](#def-b3-forms-boundary) $S$: $\dd\omega_F = \sigma_{\operatorname{curl}F}$ beperkt met dezelfde identificatie tot $\langle\operatorname{curl}F,
\nu\rangle\,\dd S$, terwijl op de randkromme $\gamma^*\omega_F =
\langle F\circ\gamma, \gamma'\rangle\,\dd t$, dat wil zeggen $\oint\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$. Bovenste halve bol met de buitenwaartse (radiale) $\nu$: in het evenaarspunt $p = (1,0,0)$ is de naar buiten wijzende vector binnen het oppervlak $-e_3$; haar tot positieve frames aanvullen toont dat de evenaar van boven gezien ($+e_3$) tegen de wijzers van de klok in wordt doorlopen: de rechterhandregel, dezelfde afspraak aan beide zijden van de identiteit.

**Oefening 21.8 ★★.**

(Identiteiten van Green) Bewijs voor $u, v$ glad op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) gebied $\Omega \subseteq \R^n$ met gladde [rand](#def-b3-forms-boundary) dat

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

Leid af: een [harmonische functie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) op $\Omega$ die op $\partial\Omega$ verdwijnt, verdwijnt identiek, en twee [harmonische functies](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) met dezelfde randwaarden vallen samen — de uniciteit in het dirichletprobleem van [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#ch-b3-conformal).

**Oplossing van Oefening 21.8.**

Pas de divergentiestelling ([Oefening 21.7](#exo-b3-forms-7)(a), waarvan het bewijs dimensievrij is) toe op $F = u\nabla v$: $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v + \langle\nabla u,
\nabla v\rangle$ en $\langle F, \nu\rangle = u\,\partial_\nu v$: de eerste identiteit. $u$ en $v$ verwisselen en aftrekken heft de symmetrische term op: de tweede. Is $\Delta u = 0$ op $\Omega$ en $u = 0$ op $\partial\Omega$, dan geeft de eerste identiteit met $v = u$ dat $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$, dus $\nabla u
\equiv 0$ en is $u$ constant op elke component; de [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) van elke component ontmoet $\partial\Omega$ (begrensdheid), waar $u =
0$: dus $u \equiv 0$. Twee [harmonische functies](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) met gelijke randwaarden verschillen zo’n $u$: ze vallen samen — de uniciteit voor het dirichletprobleem, als aanvulling op de bestaanstheorie op de schijf uit [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/18-conforme-afbeeldingen-en-de-afbeeldingsstelling-van-riemann#ch-b3-conformal).

**Oefening 21.9 ★★.**

(Variabelensubstitutie, georiënteerde vorm) Zij $\varphi\colon U
\to V$ een diffeomorfisme van open delen van $\R^n$ met $\det
D\varphi > 0$, en $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager in $V$. Toon aan dat de terugtrekkingsidentiteit $\int_U\varphi^*(f\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) = \int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge
\dd x_n$ gelijkwaardig is met de stelling over de variabelensubstitutie ([Stelling 11.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-changeofvar)) voor zulke $\varphi$, en leg precies uit waar de absolute waarde op de jacobiaan is gebleven.

**Oplossing van Oefening 21.9.**

Volgens [Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c) is $\varphi^*(f\,\dd
y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) =
(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$, dus luidt de terugtrekkingsidentiteit

$$
\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd
y .
$$

Omdat $\det D\varphi > 0$ overal, is $\det D\varphi = \abs{\det
D\varphi}$, en dat is woordelijk de formule van de variabelensubstitutie ([Stelling 11.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-changeofvar)) voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) integranden met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager: elke uitspraak is de andere. De absolute waarde is in de *hypothese* beland: de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation). Voor een $\varphi$ die de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) omkeert, krijgt de identiteit tussen vormen een globaal minteken (vormen voelen de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation)), terwijl de formule met de [maat](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) $\abs{\det}$ behoudt ([maten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#def-b3-measure-measure) niet): twee boekhoudingen van één jacobiaan.

**Oefening 21.10 ★★★.**

(Vervorming) Zij $\omega$ een *[gesloten](#def-b3-forms-closedexact)* $2$-vorm op $\R^3\setminus\{0\}$ en $S_r$ de sfeer met straal $r$ rond $0$. Toon aan dat $\int_{S_r}\omega$ niet van $r > 0$ afhangt *(pas Stokes toe op de schil tussen twee stralen; let op de twee randoriëntaties)*. Pas dat toe op de *ruimtehoekvorm*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

ga na dat ze [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) is, bereken $\int_{S_r}\omega = 4\pi$, en besluit dat ze [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) maar niet [exact](#def-b3-forms-closedexact) is op $\R^3\setminus\{0\}$ — het tweedimensionale zusje van $\omega_\theta$, en de meetkundige inhoud van de wet van Gauss in de elektrostatica.

**Oplossing van Oefening 21.10.**

De schil $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ is een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $3$-deelvariëteit met [rand](#def-b3-forms-boundary) $S_{r_2}\cup S_{r_1}$; de geïnduceerde [oriëntaties](#def-b3-forms-orientation) zijn de gewone sfeeroriëntatie op $S_{r_2}$ (buitenwaarts vanuit $A$ = weg van $0$) en de *tegengestelde* op $S_{r_1}$ (buitenwaarts vanuit $A$ = naar $0$ toe). Stokes met $\dd\omega = 0$:

$$
0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega -
\int_{S_{r_1}}\omega .
$$

Ruimtehoekvorm: met $\rho = \norm x$ en $\sigma = x\,\dd
y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$ is $\omega = \rho^{-3}\sigma$ en

$$
\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\,
\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z
= \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .
$$

Op $S_r$ is voor raakvectoren $v_1, v_2$ $\omega(v_1, v_2) =
r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) =
r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$, dus $\int_{S_r}\omega = r^{-2}\cdot4\pi
r^2 = 4\pi$: constant in $r$, zoals de vervorming voorspelt, en $\neq 0$ — dus is $\omega$ [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) maar niet [exact](#def-b3-forms-closedexact) op $\R^3\setminus\{0\}$ (een [exacte vorm](#def-b3-forms-closedexact) integreert volgens Stokes tot $0$ over de randloze $S_r$). Dat is de wet van Gauss: de flux van het veld van een eenheidslading door elke omsluitende sfeer is $4\pi$, wat de straal ook is.

**Oefening 21.11 ★★.**

Zij $\gamma$ een gladde [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) kromme in $\R^2\setminus\{0\}$ met $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$. Toon aan dat $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ voor *elke* [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) $1$-vorm $\omega$ op $\R^2\setminus\{0\}$ *(schrijf $\omega
= c\,\omega_\theta + \dd f$ volgens [Oefening 21.12](#exo-b3-forms-12))*. Interpretatie: op het geperforeerde vlak is het [windingsgetal](#def-b3-forms-winding) de enige obstructie voor het verdwijnen van de perioden.

**Oplossing van Oefening 21.11.**

Schrijf $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ ([Oefening 21.12](#exo-b3-forms-12)) met $c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$. Dan is

$$
\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta +
\int_\gamma\dd f
= c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0
= n\int_{S^1}\omega,
$$

volgens [Propositie 21.28](#prop-b3-forms-exactloop) en de definitie van de index. Dat ene gehele getal $n$ beheerst elke periode op het geperforeerde vlak: [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) $1$-vormen kunnen twee lussen met hetzelfde [windingsgetal](#def-b3-forms-winding) niet onderscheiden.

**Oefening 21.12 ★★★.**

(Eerste berekening van de Rham) Toon aan dat elke [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) $1$-vorm $\omega$ op $U = \R^2\setminus\{0\}$ op unieke wijze

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

definieer $f(p)$ door $\omega - c\,\omega_\theta$ te integreren langs een weg van $(1,0)$ naar $p$ (eerst een radiaal stuk, dan een cirkelboog), toon aan dat het resultaat niet van de keuzes afhangt juist omdat de periode over $S^1$ verdwijnt, en ga $\dd f
= \omega - c\,\omega_\theta$ na. Besluit: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, voortgebracht door de hoekvorm.

**Oplossing van Oefening 21.12.**

Zij $\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$: [gesloten](#def-b3-forms-closedexact), en $\int_{S^1}\alpha = 0$ door de keuze van $c$ (want $\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$). Trek terug met de poolafbeelding $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta,
\rho\sin\theta)$, een surjectief lokaal diffeomorfisme $(0,
\infty)\times\R \to U$: $\Phi^*\alpha$ is [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) ([Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)) op de *convexe* open $(0,\infty)\times\R$, en dus [exact](#def-b3-forms-closedexact) ([Stelling 21.15](#thm-b3-forms-poincare)): $\Phi^*\alpha = \dd g$. Voor vaste $\rho$ is $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho, \theta) =
\int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ de integraal van $\alpha$ rond de cirkel met straal $\rho$, die gelijk is aan $\int_{S^1}\alpha = 0$ (de ring tussen de twee cirkels is een [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) oppervlak met [rand](#def-b3-forms-boundary); Stokes als in [Oefening 21.10](#exo-b3-forms-10), één dimensie lager). Dus is $g$ $2\pi$-periodiek in $\theta$ en daalt ze af tot een goed gedefinieerde functie $f$ op $U$ met $f\circ\Phi = g$; $f$ is glad ($\Phi$ is een lokaal diffeomorfisme) en $\Phi^*(\dd f) =
\dd g = \Phi^*\alpha$ dwingt $\dd f = \alpha$ af. Bijgevolg is $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$. Uniciteit: over $S^1$ integreren legt $c$ vast, want [exacte vormen](#def-b3-forms-closedexact) hebben periode nul; en $f$ is uniek op een additieve constante na. De afbeelding $[\omega] \mapsto \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ is dus een lineair isomorfisme $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$, en de klasse van $\omega_\theta$ brengt voort: het gat is cohomologisch gesproken precies eendimensionaal.

## 21.8 Probleem: de vastepuntstelling van Brouwer

**Probleem 21.1.**

Weekendopgave — geen retractie, geen ontsnapping

De stelling van Brouwer zegt dat *elke [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van de [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) eenheidsbal $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ in zichzelf een vast punt heeft* — een van de grote stellingen van de wiskunde, met gevolgen van de speltheorie (nash-evenwichten) tot de matrixanalyse. Het bewijs met [differentiaalvormen](#def-b3-forms-diffform) is het netste dat bekend is: Stokes toont dat de sfeer geen retract van de bal is, en de rest volgt. Overal is $S = S^{n-1} = \partial\bar
B$ met $n \geq 2$, en

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(het dakje schrapt de factor).

**Deel I — Het meetinstrument.**

1. Bereken $\dd\sigma$ , en leid met Stokes ( [Stelling 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) af dat $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ , waarbij $S$ de randoriëntatie van de bal draagt.
2. Identificeer voor $n = 2$ en $n = 3$ de beperking van $\sigma$ tot $S$ met de booglengte- en de oppervlaktevorm ( [Oefening 21.5](#exo-b3-forms-5) met $\nu(x) = x$ ) en herbereken $\int_S\sigma$ rechtstreeks.
3. Zij $W \subseteq \R^N$ open en $\varphi\colon W \to \R^n$ glad met $\norm{\varphi(x)} = 1$ voor alle $x \in W$ . Toon aan dat $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . *(Differentieer $\norm\varphi^2 = 1$: het beeld van $D\varphi(x)$ ligt in het hypervlak $\varphi(x)^\perp$, van dimensie $n - 1$; pas dan [Propositie 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2) toe.)*
4. Waar zit de fout in het volgende “bewijs” dat $\int_S\sigma = 0$ : “ $S$ is [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) zonder [rand](#def-b3-forms-boundary) , en $\sigma$ beperkt tot $S$ is er een vorm van topgraad, dus [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) , dus $\int_S\sigma = \int_S\dd(\text{iets}) = 0$ volgens Stokes”? (Wijs het foute woord aan.)
5. Leg in één alinea de strategie van Deel II uit: wat zal er worden geïntegreerd, waarover, en waar de tegenspraak vandaan zal komen.

**Deel II — Geen gladde retractie.** Stel, om tot een tegenspraak te komen, dat $r$ een *gladde retractie* van de bal op haar sfeer is: $r$ is glad op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $\bar
B$, $r(\bar B) \subseteq S$, en $r(x) = x$ voor alle $x \in S$.

6. Verantwoord $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ *(op $S$ beperkt $r$ tot de identiteit: is $\gamma$ een directe parametrisering van een stuk van $S$, dan is $r\circ\gamma = \gamma$)* .
7. Toon met Stokes op $\bar B$ aan dat $\int_Sr^*\sigma =  \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
8. Toon aan dat $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (vraag 3 toegepast op $\varphi = r$ ), en besluit: *er bestaat geen gladde retractie $\bar B \to S$.*
9. Handel het uitgesloten geval $n = 1$ met de hand af: toon rechtstreeks aan dat geen enkele [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to \{-1, 1\}$ beide eindpunten vastlaat, en noem de stelling die je gebruikte.

**Deel III — Gladde Brouwer.** Zij $g$ glad op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $\bar B$ met $g(\bar B) \subseteq \bar B$ en *geen* vast punt in $\bar B$.

10. Toon aan dat $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ .
11. Zij voor $x \in \bar B$ $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ en zij $r(x) = x + t(x)\,u(x)$ het snijpunt van de straal $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ met $S$. Los de tweedegraadsvergelijking $\norm{x + tu}^2 =  1$ op en verkrijg $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$
12. Toon aan dat de uitdrukking onder de wortel op $\bar B$ *strikt* positief is: is $1 - \norm x^2 + \langle x,  u(x)\rangle^2 = 0$ , dan is $\norm x = 1$ en $\langle x,  u(x)\rangle = 0$ , dat wil zeggen $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ , oftewel $\langle x, g(x)\rangle = 1$ ; met Cauchy–Schwarz en $\norm x = 1$ , $\norm{g(x)} \leq  1$ dwingt dat $g(x) = x$ af — uitgesloten. Leid af dat $r$ glad is op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $\bar B$ .
13. Toon aan dat $r(\bar B) \subseteq S$ en $r(x) = x$ voor $x \in S$ *(controleer voor $\norm x = 1$ dat $t(x)  = 0$ met $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$, wat zelf volgt uit $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 - \langle x,  g(x)\rangle \geq 0$)* . Besluit met Deel II: *elke gladde zelfafbeelding van $\bar B$ heeft een vast punt.*

**Deel IV — [Continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) Brouwer.** Zij $f\colon\bar B\to\bar B$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) zonder vast punt.

14. Toon aan dat $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} >  0$ , en geef een *veeltermafbeelding* $p\colon\R^n\to  \R^n$ met $\sup_{\bar B}\norm{p - f} < \varepsilon/2$ (Stone–Weierstrass, [Stelling 7.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) , coördinaat per coördinaat — verantwoord de overgang van de scalaire naar de vectoriële benadering).
15. De afbeelding $p$ kan de bal verlaten; stel $g =  \frac{p}{1 + \varepsilon/2}$ . Toon aan dat $g(\bar B)  \subseteq \bar B$ en $\sup_{\bar B}\norm{g - f} <  \varepsilon$ .
16. Leid een tegenspraak af met Deel III en besluit: *elke [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ heeft een vast punt.*
17. Toon met voorbeelden aan dat de stelling faalt op: de open bal; de sfeer $S$ ; een [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) ring. Welke eigenschap van $\bar B$ verliest elk tegenvoorbeeld?

**Deel V — Dividenden.**

18. (Perron–Frobenius, bestaan) Zij $A$ een $n\times  n$ -matrix met alle elementen $> 0$ , en $\Delta = \{x \in  \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i = 1\}$ . Toon aan dat de afbeelding $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ goed gedefinieerd en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is op $\Delta$ , dat $\Delta$ [homeomorf](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is met een [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) bal van $\R^{n-1}$ (het radiale [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vanuit een convexe [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling met niet-leeg inwendige in haar affiene omhulsel), en besluit dat $A$ een eigenvector met strikt positieve componenten en een eigenwaarde $> 0$ heeft.
19. Leid af dat elke stochastische matrix met positieve elementen (kolommen met som $1$ ) een stationaire kansvector $\pi = A\pi$ heeft — de vector van het pageranktype. (De uniciteit geldt eveneens, maar vergt ander gereedschap.)
20. (Harige bal, opzet) Zij $v$ glad op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $S =  S^{n-1}$ met $\langle v(x), x\rangle = 0$ en $\norm{v(x)} = 1$ voor $x \in S$ (een *raakveld van norm $1$* ). Stel voor $t \in \R$ $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . Toon aan dat $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ op $S$ : $F_t$ beeldt $S$ af in de sfeer $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
21. Toon aan dat $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ een *veelterm* in $t$ is *(elke coëfficiëntfunctie van $F_t^*\sigma$ in een kaart is polynomiaal in $t$, met coëfficiënten die glad zijn in de kaartveranderlijke; de integratie is lineair)* .
22. Toon aan dat $F_t$ voor kleine $\abs t$ een diffeomorfisme is van $S$ op $\sqrt{1+t^2}\,S$: injectief voor $t\operatorname{Lip}(v) < 1$; een lokaal diffeomorfisme volgens de inverse-functiestelling ([Stelling 20.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#thm-b3-submanifolds-ift) in kaarten); en het beeld open en [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) in de [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) doelsfeer. Leid met [Lemma 21.19](#lem-b3-forms-consistency) en de schaling $\sigma_{\lambda x} = \lambda^{n}\,\sigma_x$ onder $x  \mapsto \lambda x$ (ga die na) af dat $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{met het teken } + \text{ voor kleine } t$$ (de [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) blijft behouden wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) vanaf $t = 0$).
23. Besluit (Milnor): is $n$ *oneven* , dan is $(1 +  t^2)^{n/2}$ geen veelterm in $t$ , en toch valt ze nabij $0$ samen met de veelterm $P(t)/\int_S\sigma$ — tegenspraak. Bijgevolg dragen *de evendimensionale sferen $S^{n-1}$ (met $n$ oneven) geen enkel raakveld van norm $1$* , en, na normeren en gladstrijken (convolueer componentsgewijs en projecteer — verantwoord beide stappen), helemaal geen [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) raakveld zonder nulpunten: elke wind op aarde laat een windstil punt achter.
24. (Oneven sferen laten zich kammen) Geef op $S^{2m-1}  \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ een expliciet glad raakveld van norm $1$: $v(x) = \iu x$ in complexe notatie, dat wil zeggen $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ Ga de raking en de norm na, en besluit dat de pariteitsdichotomie van vraag 23 scherp is: een sfeer laat zich precies kammen wanneer haar dimensie oneven is. Waar breekt het veeltermargument van vraag 22 voor even $n$?
25. (Nulpunten uit randgedrag) Zij $f \colon \bar B^n \to  \R^n$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met $\langle f(x), x\rangle \geq 0$ voor elke $x \in S^{n-1}$ . Toon aan dat $f$ ergens in $\bar  B^n$ verdwijnt. *(Zo niet, dan beeldt $g(x) =  -f(x)/\norm{f(x)}$ $\bar B$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) af in $S \subseteq  \bar B$; pas Brouwer toe op $g$ en weerspreek de randhypothese.)* Leid het *surjectiviteitscriterium* af: een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $F\colon\R^n\to\R^n$ met $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to +\infty$ als $\norm x \to \infty$ is surjectief — de eindigdimensionale voorvader van de coërciviteitsargumenten van de niet-lineaire analyse.

**Oplossing van Probleem 21.1.**

**1.** $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$; $\dd x_i$ langs de $i-1$ voorafgaande factoren dragen kost $(-1)^{i-1}$, dat de voorfactor opheft: elk van de $n$ termen is gelijk aan $\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, dus $\dd\sigma =
n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$. Stokes op de bal: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma = n\operatorname{vol}(\bar
B) > 0$.

**2.** $n = 2$: $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$; op $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ is $\gamma^*\sigma = (\cos^2t +
\sin^2t)\,\dd t = \dd t$, de booglengtevorm: $\int_S\sigma = 2\pi
= 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$. $n = 3$: $\sigma\vert_S$ is de oppervlaktevorm ([Oefening 21.5](#exo-b3-forms-5) met $\nu(x) = x$): $\int_S\sigma = 4\pi =
3\cdot\tfrac{4\pi}3$. Beide kloppen met vraag 1.

**3.** $\norm\varphi^2 = 1$ differentiëren geeft $2\langle
D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$ voor elke $h$, dus $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$, een hypervlak: $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$. Omdat $\dd\sigma$ een $n$-vorm is (vraag 1), is puntsgewijs $\varphi^*(\dd\sigma)_x = (D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)}
= 0$ volgens [Propositie 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2): een afbeelding in de sfeer heeft geen ruimte om een volume terug te trekken.

**4.** De fout is het tweede “dus”: op de $(n-1)$-dimensionale $S$ is elke $(n-1)$-vorm triviaal [gesloten](#def-b3-forms-closedexact) (er zijn geen $n$-vormen $\neq 0$ op een $(n-1)$-variëteit), maar *[gesloten](#def-b3-forms-closedexact) betekent niet [exact](#def-b3-forms-closedexact)*, en $\int_S\dd\eta = 0$ vereist een echte primitieve $\eta$ die op $S$ gedefinieerd is. De beperking van $\sigma$ is juist niet [exact](#def-b3-forms-closedexact) — haar integraal is $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq 0$ — en die niet-exactheid drijft de hele opgave aan.

**5.** We zullen $r^*\sigma$ over de sfeer integreren en op twee manieren tellen. Omdat $r$ $S$ puntsgewijs vastlaat, is de integraal gelijk aan $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B)
\neq 0$. Omdat $r$ op de bal gedefinieerd is, zet Stokes dezelfde integraal om in $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = \int_{\bar
B}r^*(\dd\sigma)$; en omdat $r$ waarden in de sfeer aanneemt, laat vraag 3 die integrand verdwijnen. Eén getal, twee waarden: de retractie kan niet bestaan.

**6.** Beide integralen worden berekend met directe parametriseringen $\gamma$ van stukken van $S$ ([Definitie 21.18](#def-b3-forms-integral)); omdat $r\circ\gamma = \gamma$ (de parametrisering landt in $S$, waar $r$ de identiteit is), is $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma = \gamma^*\sigma$ ([Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)): de lokale integranden vallen samen, en elke [partitie van de eenheid](#lem-b3-forms-partition) geeft $\int_Sr^*\sigma =
\int_S\sigma$.

**7.** $r^*\sigma$ is een gladde $(n-1)$-vorm op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) georiënteerde $\bar B$, waarvan de [rand](#def-b3-forms-boundary) met de geïnduceerde [oriëntatie](#def-b3-forms-orientation) $S$ is: Stokes ([Stelling 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) geeft precies $\int_Sr^*\sigma =
\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$.

**8.** $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ ([Stelling 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), en dat verdwijnt volgens vraag 3 toegepast op $\varphi = r$. De vragen 6 tot 8 aaneenschakelen:

$$
0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma =
\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :
$$

absurd. *Er bestaat geen gladde retractie van $\bar B^n$ op $S^{n-1}$* ($n \geq 2$).

**9.** Een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ met $r(\pm1) = \pm1$ zou een [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) verzameling op de niet [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) $\{-1, 1\}$ afbeelden, wat onmogelijk is: [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) beelden van [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) verzamelingen zijn [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) — gelijkwaardig zou de tussenwaardestelling $r$ dwingen de waarde $0$ aan te nemen. Dezelfde uitspraak in elke dimensie is precies Deel II; de [samenhang](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) is de eendimensionale schaduw van de cohomologische obstructie $\int_S\sigma \neq 0$.

**10.** $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en overal $>
0$ op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\bar B$: haar minimum $\delta$ wordt bereikt, en is dus $> 0$.

**11.** $\norm{x + tu}^2 = 1$ luidt $t^2 + 2t\langle x,
u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$, met wortels

$$
t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x,
u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .
$$

Hun product is $\norm x^2 - 1 \leq 0$: de wortels liggen aan weerszijden van $0$ (of een van beide is nul), dus is de straalparameter — de niet-negatieve wortel — $t(x) = t_+$.

**12.** Verdween de uitdrukking onder de wortel in een $x
\in \bar B$, dan zijn beide termen niet-negatief, dus $\norm x =
1$ en $\langle x, u(x)\rangle = 0$, dat wil zeggen $\langle x, x
- g(x)\rangle = 0$, oftewel $\langle x, g(x)\rangle = 1$. Volgens Cauchy–Schwarz is $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq \norm
x\,\norm{g(x)} \leq 1$: overal gelijkheid, wat afdwingt dat $g(x)$ collineair met $x$ is, van norm $1$, en positief gericht: dus $g(x) = x$ — uitgesloten. De uitdrukking onder de wortel is dus [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en $> 0$ op $\bar B$, dus daar en op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van onderen begrensd door een $c > 0$ (uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)). Op die [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) is $u$ glad ($\norm{x - g(x)} \geq \delta/2$, eventueel na verkleinen), blijft de uitdrukking onder de wortel $\geq c/2$, en is de vierkantswortel glad op $\intoo0\infty$: dus is $r$ glad nabij $\bar B$.

**13.** $\norm{r(x)} = 1$ per constructie van $t(x)$: dus $r(\bar B) \subseteq S$. Voor $x \in S$: $\langle x, u(x)\rangle
= \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x - g(x)}} \geq 0$ (opnieuw Cauchy–Schwarz), en $\norm x = 1$ herleidt de uitdrukking onder de wortel tot $\langle x, u\rangle^2$, waarvan de wortel $\langle x, u\rangle$ zelf is (die is $\geq 0$): dus $t(x) = 0$ en $r(x) = x$. Bijgevolg is $r$ een gladde retractie van de bal op de sfeer — in tegenspraak met Deel II. *Elke gladde zelfafbeelding van $\bar B$ heeft een vast punt.*

**14.** $\varepsilon > 0$ precies als in vraag 10. De veeltermen vormen een deelalgebra van $\mathcal C(\bar B, \R)$ die de constanten bevat en de punten scheidt (dat doen de $x
\mapsto x_i$), dus benadert Stone–Weierstrass ([Stelling 7.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) elke coördinaat: kies veeltermen $p_i$ met $\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i} <
\frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$; de vectorafbeelding $p = (p_1,
\dots, p_n)$ voldoet dan aan $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq
\bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} <
\varepsilon/2$.

**15.** Op $\bar B$ is $\norm p \leq \norm f +
\frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$, dus $\norm{g} =
\frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$: $g(\bar B) \subseteq
\bar B$. Bovendien is $\norm{g - p} = \frac{\varepsilon/2}{1 +
\varepsilon/2}\norm p \leq \frac\varepsilon2$, dus $\norm{g - f}
\leq \norm{g - p} + \norm{p - f} < \varepsilon$ op $\bar B$.

**16.** $g$ is polynomiaal, dus glad, en beeldt $\bar B$ in zichzelf af: Deel III levert een $x_0 = g(x_0)$. Dan is $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} < \varepsilon =
\min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$: tegenspraak. *Elke [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ heeft een vast punt.*

**17.** *Open bal:* $f(x) = \frac{x + e_1}2$ beeldt $B$ in $B$ af (want $\norm{f(x)} < 1$ strikt) en haar enige vaste punt $e_1$ ligt op de sfeer: de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) is verloren. *Sfeer:* de antipodale afbeelding $x \mapsto -x$ is vastepuntvrij; $S$ is [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) maar heeft de “verkeerde” [topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) — ze is precies het niet-retract van Deel II. *Ring:* een rotatie over een hoek $\not\equiv 0$ laat niets vast; het gat biedt de rotatie onderdak — de convexiteit (preciezer: de balachtige [topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology)) is verloren. De stelling van Brouwer gaat werkelijk over *[compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) convexe* verzamelingen, zoals vraag 18 uitbuit.

**18.** Voor $x \in \Delta$ is een $x_j > 0$, dus $(Ax)_i
\geq A_{ij}x_j > 0$ voor elke $i$; bijgevolg is $\norm{Ax}_1 > 0$ en is $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ goed gedefinieerd, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), en landt ze in $\Delta$ (positieve componenten met som $1$). $\Delta$ is convex en [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) met niet-leeg inwendige in het affiene hypervlak $\{\sum x_i = 1\} \cong \R^{n-1}$; de radiale afbeelding vanuit haar zwaartepunt — elke straal vanuit het zwaartepunt ontmoet $\partial\Delta$ in precies één punt, wegens de convexiteit en de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact), en de bijbehorende ijkfunctie is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) — is een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\Delta \to \bar
B^{n-1}$. Brouwer daardoorheen vervoeren: $T$ heeft een vast punt $x^*$, dat wil zeggen $Ax^* = \lambda x^*$ met $\lambda =
\norm{Ax^*}_1 > 0$; en $x^* = Ax^*/\lambda$ heeft volgens de openingsberekening strikt positieve componenten. *Een positieve matrix heeft een positieve eigenvector.*

**19.** Vraag 18 geeft $A\pi = \lambda\pi$ met $\pi \in
\Delta$ en $\pi > 0$. Tel de coördinaten op: $\sum_i(A\pi)_i =
\sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (de kolommen hebben som $1$), terwijl $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$. Dus $\lambda =
1$ en $A\pi = \pi$: een stationaire kansvector — het evenwicht van de markovketen, de wiskundige kern van pagerank.

**20.** Op $S$ is $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 + 2t\langle
x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$ wegens de raking en $\norm v = 1$: dus $F_t(S) \subseteq \sqrt{1+t^2}\,S$.

**21.** Leg een eindige atlas van directe parametriseringen $\gamma$ en een [partitie van de eenheid](#lem-b3-forms-partition) vast, onafhankelijk van $t$. In een kaart is $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$, dus is elke coëfficiënt van $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ een som van producten van één factor $(x_i + tv_i)\circ\gamma$ (affien in $t$) en een $(n-1)\times(n-1)$-determinant met elementen die affien in $t$ zijn: een veelterm in $t$ van graad $\leq n$ met coëfficiënten die glad zijn in de kaartveranderlijke. Vermenigvuldigen met de van $t$ onafhankelijke partitiefuncties en term voor term integreren: $P(t) = \sum_{k=0}^n c_kt^k$, een veelterm.

**22.** *Injectiviteit:* $v$ is lipschitz op $S$ (glad op een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling), zeg met constante $L$; voor $\abs t
< 1/L$ is $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs tL)\norm{x - y}
> 0$. *Diffeomorfisme:* $G_t = F_t/\sqrt{1 + t^2}$ beeldt $S$ af op $S$; in kaarten convergeren haar jacobianen uniform naar die van $G_0 = \operatorname{id}$ als $t \to 0$, dus zijn ze voor kleine $t$ inverteerbaar en is $G_t$ een lokaal diffeomorfisme ([Stelling 20.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#thm-b3-submanifolds-ift) in kaarten), injectief, met een beeld dat open is (lokaal diffeomorfisme) en [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) in de *[samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected)* $S^{n-1}$ ($n \geq 2$): dus is het beeld $S$ en is $G_t$ een diffeomorfisme van $S$. *Schaling:* onder $s_\lambda(x) = \lambda x$ wint elke coëfficiënt $x_i$ een $\lambda$ en elk van de $n - 1$ differentialen ook: $s_\lambda^*\sigma = \lambda^n\sigma$. Omdat $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$:

$$
P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr)
= (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma
= (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma
\quad\text{voor kleine } t,
$$

waarbij de laatste gelijkheid uit [Lemma 21.19](#lem-b3-forms-consistency) komt ($G_t$ is een diffeomorfisme van $S$, oriëntatiebehoudend voor kleine $t$: haar jacobiaandeterminanten in de kaarten variëren [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), verdwijnen nooit en zijn positief in $t = 0$).

**23.** Is $n$ oneven en bestaat er een glad raakveld van norm $1$, dan maken de vragen 21 en 22 dat de veelterm $P(t)/\int_S\sigma$ (geoorloofd: $\int_S\sigma \neq 0$ volgens vraag 1) nabij $0$ samenvalt met $(1 + t^2)^{n/2}$; twee gladde functies die nabij $0$ samenvallen en waarvan er een een veelterm is, dwingen dat $(1 + t^2)^{n/2}$ op heel $\R$ die veelterm is. Maar is $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ met $Q \in \R[t]$, dan geeft de eenduidige ontbinding in $\R[t]$ ([Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#ch-b3-rings)) de irreducibele $t^2 + 1$ een even multipliciteit in $Q^2$ en de oneven multipliciteit $n$ in $(1 +
t^2)^n$: onmogelijk. Er bestaat dus geen glad raakveld van norm $1$ op $S^{n-1}$ voor oneven $n$ — de evendimensionale sferen. Ten slotte zou een louter [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) raakveld $w$ zonder nulpunten er een voortbrengen: breid het tot een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) uit met $\tilde
w(x) = w(x/\norm x)$, strijk componentsgewijs glad ([Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)) tot een gladde $v_0$ met $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} < \frac12\min_S\norm w$, projecteer tangentieel met $v_1(x) = v_0(x) - \langle v_0(x), x\rangle x$ — op $S$ verandert dat $v_0$ hoogstens met haar normale component, die zelf hoogstens $\norm{v_0 - \tilde w}$ is omdat $\tilde w$ raakt, zodat $\norm{v_1 - \tilde w} \leq 2\norm{v_0 -
\tilde w} < \min\norm w$ en $v_1$ op $S$ nooit verdwijnt — en normeer: $v = v_1/\norm{v_1}$ is een glad raakveld van norm $1$. Bijgevolg heeft op elke evendimensionale sfeer *elk [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) raakveld een nulpunt*: elke wind op aarde laat een windstil punt achter.

**24.** $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j + x_jy_j) =
0$: rakend; en $\norm{v(x)} = \norm x = 1$: van norm $1$. De gladheid is duidelijk (een lineaire afbeelding). Dus draagt elke onevendimensionale sfeer een glad raakveld van norm $1$ — vermenigvuldigen met $\iu$ langs de complexe rechten — en is de obstructie van vraag 23 precies de pariteit van de dimensie. In het veeltermargument *is* $(1 + t^2)^{n/2}$ voor even $n$ een veelterm, en ontstaat er geen tegenspraak: het bewijs is niet alleen niet toepasbaar, zijn besluit is werkelijk onjuist, zoals $v$ getuigt.

**25.** Stel dat $f$ op $\bar B$ nooit verdwijnt. Dan is $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\bar B$ naar $S \subseteq
\bar B$, en levert Brouwer (vraag 16) een $x^* = g(x^*)$. Omdat $g$ waarden in $S$ aanneemt, is $x^* \in S$, en is

$$
\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\
-\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle
= -\norm{f(x^*)} < 0,
$$

in tegenspraak met de randhypothese. Dus heeft $f$ een nulpunt. Surjectiviteit: pas voor gegeven $y \in \R^n$ het bovenstaande toe op $f(x) = F(x) - y$ op een bal $\bar B(0, R)$ met $R$ zo groot dat $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ op de sfeer met straal $R$ (coërciviteit); dan is daar $\langle f(x),
x\rangle = \langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ (Cauchy–Schwarz), en geeft de herschaalde uitspraak een nulpunt van $f$: $F(x) = y$. Elk coërcief [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) veld is surjectief — de graadvrije schaduw van de variationele bestaansstellingen, geleverd door pure [topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology).