--- title: "Karakteristieke functies en de centrale limietstelling" book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3" subject: math language: nl chapter: 23 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/23-karakteristieke-functies-en-de-centrale-limietstelling --- # Hoofdstuk 23 — Karakteristieke functies en de centrale limietstelling De wet van de grote aantallen zegt dat gemiddelden convergeren; de centrale limietstelling zegt *hoe ze schommelen*: de fout, met $\sqrt n$ uitvergroot, is asymptotisch [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) — wat de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) ook is waarvan je vertrok. Die universaliteit is het diepste feit van de elementaire kansrekening, en haar natuurlijke bewijs is fourieranalytisch: de *[karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf)* (de fouriergetransformeerde van een [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space)) zet [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) sommen om in producten, en de machinerie van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#ch-b3-fouriertransform) — injectiviteit, [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) vaste punten — zet de puntsgewijze convergentie van die producten om in convergentie van [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) (de stelling van Lévy, voluit bewezen). Het hoofdstuk eindigt met [gaussische vectoren](#def-b3-clt-gaussianvector) en de eerlijke afleiding van de betrouwbaarheidsintervallen die overal in de statistiek worden gebruikt; de weekendopgave geeft het tweede bewijs van de centrale limietstelling, van Lindeberg, met een expliciete foutsnelheid. ## 23.1 Karakteristieke functies **Definitie 23.1.** De *karakteristieke functie* van een reële [toevalsveranderlijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) $X$ is $$ \varphi_X(\xi) = \E\bigl[\eu^{\iu\xi X}\bigr] = \int_\R \eu^{\iu\xi x}\,\dd\P_X(x) \qquad (\xi \in \R) $$ (de overdrachtsformule berekent haar uit de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space); voor een [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) $f$ is $\varphi_X(\xi) = \hat f(-\xi)$ in de afspraak van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#ch-b3-fouriertransform)). **Propositie 23.2.** (a) $\varphi_X(0) = 1$, $\abs{\varphi_X} \leq 1$, en $\varphi_X$ is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity); en $\varphi_{aX + b}(\xi) = \eu^{\iu b\xi}\varphi_X(a\xi)$. (b) Zijn $X, Y$ *[onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence)*, dan is $\varphi_{X+Y} = \varphi_X\,\varphi_Y$. (c) Is $\E\abs X^k < \infty$, dan is $\varphi_X \in \mathcal C^k$ met $\varphi_X^{(j)}(0) = \iu^j\,\E[X^j]$ voor $j \leq k$; in het bijzonder is voor gecentreerde $X \in L^2$ met variantie $\sigma^2$ $$ \varphi_X(\xi) = 1 - \frac{\sigma^2\xi^2}{2} + o(\xi^2) \qquad (\xi \to 0). $$ (d) [Gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector): $X \sim \mathcal N(m, \sigma^2)$ heeft $\varphi_X(\xi) = \eu^{\iu m\xi - \sigma^2\xi^2/2}$. **Bewijs.** (a) De grenzen zijn onmiddellijk; [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): $\abs{\varphi(\xi + h) - \varphi(\xi)} \leq \E\abs{\eu^{\iu hX} - 1} \to 0$ als $h \to 0$ volgens de gedomineerde convergentie, uniform in $\xi$. De affiene regel is een substitutie. (b) $\eu^{\iu\xi(X+Y)} = \eu^{\iu\xi X}\eu^{\iu\xi Y}$, en [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van producten van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) veranderlijken ontbinden ([Stelling 22.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-independence), toegepast op het reële en het imaginaire deel). (c) Differentiëren onder de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space), gedomineerd door $\E\abs X^j$ ([Stelling 10.15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#thm-b3-lebesgue-paramdiff)); de taylorontwikkeling in $0$ is dan Taylor–Young voor de $\mathcal C^2$-functie $\varphi$. (d) Voor $\mathcal N(0,1)$: de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) getransformeerde ([Voorbeeld 14.2](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#ex-b3-fouriertransform-gaussian) met $a = \frac12$) geeft $\int\eu^{\iu\xi x}\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\dd x = \eu^{-\xi^2/2}$; het algemene geval met de affiene regel. ∎ **Stelling 23.3 (Injectiviteit).** Is $\varphi_X = \varphi_Y$, dan hebben $X$ en $Y$ dezelfde [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). Preciezer: voor $N \sim \mathcal N(0,1)$ onafhankelijk van $X$ en $\varepsilon > 0$ heeft de gladgestreken veranderlijke $X + \varepsilon N$ de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) $$ p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi , $$ die enkel door $\varphi_X$ wordt bepaald; $\varepsilon \to 0$ laten gaan wint de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van $X$ terug. **Bewijs.** $X + \varepsilon N$ heeft de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) $p_\varepsilon(x) = \E\bigl[g_\varepsilon(x - X)\bigr]$, met $g_\varepsilon$ de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) van $\mathcal N(0, \varepsilon^2)$: inderdaad geven voor borel $B$ de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) en Tonelli $\P(X + \varepsilon N \in B) = \int\!\!\int\mathbf 1_B(x + \varepsilon n)g_1(n)\,\dd n\,\dd\P_X(x) = \int_B\E[g_\varepsilon(t - X)]\dd t$ (substitueer, dan opnieuw Tonelli). $g_\varepsilon$ met de fourierinversie van haar getransformeerde schrijven ([Oefening 14.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#exo-b3-fouriertransform-4), herschaald): $g_\varepsilon(u) = \frac1{2\pi}\int \eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\eu^{\iu\xi u}\dd \xi$, en Fubini (alles gedomineerd door de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) factor): $$ p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi , $$ een functionaal van enkel $\varphi_X$. Is $\varphi_X = \varphi_Y$, dan hebben $X + \varepsilon N$ en $Y + \varepsilon N$ voor elke $\varepsilon$ dezelfde [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space); voor begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ is $\E f(X + \varepsilon N) \to \E f(X)$ als $\varepsilon \to 0$ (gedomineerde convergentie, want $X + \varepsilon N \to X$ puntsgewijs op de productruimte), dus $\E f(X) = \E f(Y)$ voor al zulke $f$ — en dat legt de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) vast: klem voor elke $t$ $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ tussen de begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) hellingen $f_k^\pm$ (gelijk aan $1$ op $\intoc{-\infty}{t \mp \frac1k}$, aan $0$ voorbij $t \pm \frac1k$, affien ertussen); naar de limiet gaan in $\E f_k^-(X) \leq F_X(t) \leq \E f_k^+(X)$ geeft $F_X(t) = F_Y(t)$ in elk punt waar beide [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) zijn, en dus overal wegens de rechtscontinuïteit en de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) van de gemeenschappelijke continuïteitspunten (beide $F$’s hebben aftelbaar veel sprongen); gelijke verdelingsfuncties dwingen gelijke [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) af ([Oefening 9.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#exo-b3-measure-3), steunend op [Stelling 9.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#thm-b3-measure-uniqueness)). ∎ ## 23.2 Convergentie in verdeling **Definitie 23.4.** $X_n$ *convergeert in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space)* naar $X$, genoteerd $X_n \Rightarrow X$, als $$ \E\bigl[f(X_n)\bigr] \longrightarrow \E\bigl[f(X)\bigr] \qquad\text{voor elke begrensde continue } f\colon\R\to\R . $$ Gelijkwaardig ([Oefening 23.4](#exo-b3-clt-4)): $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ in elk continuïteitspunt $t$ van $F_X$. De $X_n$ hoeven niet op een gemeenschappelijke [kansruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) te leven: enkel de [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) tellen. **Stelling 23.5 (Selectiestelling van Helly).** Elke rij $(F_n)$ verdelingsfuncties heeft een deelrij die in elk continuïteitspunt van de limiet puntsgewijs convergeert naar een niet-dalende rechtscontinue $G \colon \R \to \intcc01$ — mogelijk met $G(+\infty) - G(-\infty) < 1$ (er kan massa naar oneindig ontsnappen). **Bewijs.** Een diagonaalextractie geeft $F_{n_k}(q) \to \ell(q)$ voor elke rationale $q$ (waarden in de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\intcc01$). Definieer $G(t) = \inf\{\ell(q) : q \in \Q, q > t\}$: niet-dalend en rechtscontinu (een infimum over krimpende rationale [omgevingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van rechts). In een continuïteitspunt $t$ van $G$ is voor rationale $q_1 < t < q_2$ $$ \ell(q_1) \leq \liminf F_{n_k}(t) \leq \limsup F_{n_k}(t) \leq \ell(q_2), $$ wegens de monotonie van elke $F_{n_k}$. Uit de definitie van $G$ als infimum en de monotonie van $\ell$ op de rationale getallen: $G(s) \leq \ell(q) \leq G(q)$ zodra $s < q$. Met $s < q_1 < t$ geeft dat $\ell(q_1) \geq G(s)$, en $\ell(q_2) \leq G(q_2)$; laat $s \uparrow t$ en $q_2 \downarrow t$ gaan: de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $G$ in $t$ klemt zowel de $\liminf$ als de $\limsup$ tot $G(t)$. ∎ **Lemma 23.6 (Gespannenheid uit de karakteristieke functie).** Voor elke [toevalsveranderlijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) $X$ en $u > 0$ is $$ \P\Bigl(\abs X \geq \frac2u\Bigr) \;\leq\; \frac1u\int_{-u}^{u}\bigl(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\,\dd\xi . $$ **Bewijs.** Met Tonelli–Fubini (begrensde integrand, eindig gebied in $\xi$): $$ \frac1u\int_{-u}^u\bigl(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\dd\xi = \E\Bigl[\frac1u\int_{-u}^u(1 - \cos(\xi X))\,\dd\xi\Bigr] = 2\,\E\Bigl[1 - \frac{\sin(uX)}{uX}\Bigr] $$ (vat het haakje in $X = 0$ op als zijn limiet $0$). De integrand is niet-negatief ($\abs{\sin t} \leq \abs t$), en voor $\abs{uX} \geq 2$ is $1 - \frac{\sin(uX)}{uX} \geq 1 - \frac1{\abs{uX}} \geq \frac12$. Enkel de gebeurtenis $\{\abs{uX} \geq 2\}$ binnen de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) behouden laat dus minstens $2 \cdot \frac12\,\P(\abs X \geq \frac2u)$ over, en dat is de bewering. ∎ **Stelling 23.7 (Continuïteitsstelling van Lévy).** Zij $(X_n)$ [toevalsveranderlijken](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) waarvan de [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) puntsgewijs convergeren: $\varphi_{X_n}(\xi) \to \varphi(\xi)$ voor elke $\xi$, waarbij $\varphi = \varphi_X$ de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van een [toevalsveranderlijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) $X$ is. Dan is $X_n \Rightarrow X$. **Bewijs.** *Gespannenheid.* Leg $\varepsilon > 0$ vast. Omdat $\varphi$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is in $0$ met $\varphi(0) = 1$, kies je $u > 0$ met $\frac1u\int_{-u}^u(1 - \operatorname{Re}\varphi) < \varepsilon$; volgens de gedomineerde convergentie (de integrand is op de vaste $[-u,u]$ door $2$ begrensd) is dezelfde integraal voor $\varphi_{X_n}$ voor grote $n$ $< 2\varepsilon$: [Lemma 23.6](#lem-b3-clt-tightness) geeft $\P(\abs{X_n} \geq \frac2u) \leq 2\varepsilon$ voor grote $n$, en de constante vergroten handelt de eindig veel andere af: de [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) zijn *gespannen* — er ontsnapt geen massa. *Deelrijen.* Zij $(F_{n_k})$ een willekeurige deelrij; haal er met Helly ([Stelling 23.5](#thm-b3-clt-helly)) een $F_{n_{k_j}} \to G$ uit in de continuïteitspunten. De gespannenheid dwingt $G(-\infty) = 0$ en $G(+\infty) = 1$ af ($G(\frac2u) - G(-\frac2u) \geq 1 - 2\varepsilon$ in de continuïteitspunten): $G$ is dus een echte verdelingsfunctie, van een [toevalsveranderlijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) $Y$. Dan is $X_{n_{k_j}} \Rightarrow Y$ ([Oefening 23.4](#exo-b3-clt-4), [convergentie in verdeling](#def-b3-clt-cid) uit de $F$’s), dus $\varphi_{X_{n_{k_j}}} \to \varphi_Y$ *puntsgewijs* ($x \mapsto \eu^{\iu\xi x}$ is begrensd en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), met het reële en het imaginaire deel apart); vergelijken met de hypothese geeft $\varphi_Y = \varphi = \varphi_X$, en de injectiviteit ([Stelling 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) geeft $Y \sim X$, dat wil zeggen $G = F_X$. *Besluit.* Elke deelrij van $(F_n)$ heeft een deeldeelrij die naar *dezelfde* $F_X$ convergeert (in haar continuïteitspunten); dus $F_n(t) \to F_X(t)$ in elk continuïteitspunt $t$ (een reële rij waarvan alle deelrijen deeldeelrijen met dezelfde limiet hebben, convergeert): $X_n \Rightarrow X$. ∎ ## 23.3 De centrale limietstelling **Stelling 23.8 (Centrale limietstelling).** Zij $(X_n)$ i.i.d. met $\E X_1 = m$ en $\V(X_1) = \sigma^2 \in \intoo0\infty$. Dan is $$ \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \;\Longrightarrow\; \mathcal N(0, 1) : \qquad \P\Bigl(a \leq \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \leq b\Bigr) \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b\eu^{-x^2/2}\,\dd x $$ voor alle $a < b$. **Bewijs.** Centreer en normeer: $Z_i = \frac{X_i - m}{\sigma}$ (i.i.d., met gemiddelde $0$ en variantie $1$) en $T_n = \frac1{\sqrt n}\sum_{i\leq n}Z_i$. Met de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) en de affiene regel ([Propositie 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)): $$ \varphi_{T_n}(\xi) = \varphi_{Z}\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)^{n}, \qquad \varphi_Z(\eta) = 1 - \frac{\eta^2}2 + \eta^2\rho(\eta),\quad \rho(\eta)\to0 . $$ Leg $\xi$ vast en stel $a_n = \varphi_Z(\xi/\sqrt n)$ en $b_n = 1 - \frac{\xi^2}{2n}$: beide hebben voor grote $n$ modulus $\leq 1$ ($\abs{b_n} \leq 1$ zodra $\xi^2 \leq 4n$; $\abs{a_n} \leq 1$ altijd). De elementaire ongelijkheid $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ voor $\abs a, \abs b \leq 1$ (telescoperen: $a^n - b^n = \sum a^k(a - b)b^{n-1-k}$) geeft $$ \Bigl|\varphi_{T_n}(\xi) - \Bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\Bigr)^{n}\Bigr| \leq n\,\Bigl|\varphi_Z\Bigl(\frac\xi{\sqrt n}\Bigr) - 1 + \frac{\xi^2}{2n}\Bigr| = \xi^2\,\Bigl|\rho\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)\Bigr| \longrightarrow 0, $$ terwijl $\bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\bigr)^n \to \eu^{-\xi^2/2}$ (reële logaritme). Dus $\varphi_{T_n}(\xi) \to \eu^{-\xi^2/2} = \varphi_{\mathcal N(0,1)}(\xi)$ ([Propositie 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(d)) voor elke $\xi$: Lévy ([Stelling 23.7](#thm-b3-clt-levy)) besluit $T_n \Rightarrow \mathcal N(0,1)$. De kansen op intervallen volgen omdat $F_{\mathcal N}$ overal [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is. ∎ **Voorbeeld 23.9 (Betrouwbaarheidsintervallen, eerlijk afgeleid).** Peil $n$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) kiezers; $\hat p_n = S_n/n$ schat de ware $p$, met $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$. De centrale limietstelling geeft voor grote $n$ $$ \P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z), $$ waarbij $\Phi$ de standaardgaussische verdelingsfunctie is. Met $z = 1.96$: een asymptotisch betrouwbaarheidsniveau van $95\%$, en een marge $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ vereist $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — het getal achter elke “$\pm3$ punten, $95\%$” die je leest; vergelijk met de $5556$ van Chebyshev ([Oefening 22.7](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#exo-b3-probability-7)). De $\sqrt n$ is universeel: om de fout te halveren moet je de steekproef verviervoudigen — dezelfde wet die de kostprijs van monte carlo bepaalt ([Oefening 23.7](#exo-b3-clt-7)). ## 23.4 Gaussische vectoren **Definitie 23.10.** Een toevalsvector $X = (X_1, \dots, X_d)$ heet *gaussisch* als elke lineaire combinatie $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ een (mogelijk ontaarde) reële gaussische veranderlijke is. Haar [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) ligt vast door de gemiddeldenvector $m = (\E X_i)$ en de *covariantiematrix* $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$: inderdaad is de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van de vector, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$, de waarde in $1$ van de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van $\langle t, X\rangle$: $$ \varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr), $$ en $d$-dimensionale [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) zijn injectief (hetzelfde bewijs met gladstrijken als [Stelling 23.3](#thm-b3-clt-injectivity), met coördinaatsgewijze gaussische functies). **Stelling 23.11.** Zij $X$ een [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector). 1. Elk affien beeld $AX + b$ is een [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector) . 2. De componenten $X_i$ zijn *[onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence)* dan en slechts dan als $\Sigma$ diagonaal is: voor gezamenlijk [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijken is ongecorreleerd $=$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) . 3. Is $\Sigma$ inverteerbaar, dan heeft $X$ de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det\Sigma}} \exp\bigl(-\frac12(x - m)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x - m)\bigr)$ . **Bewijs.** (1) Lineaire combinaties van de componenten van $AX + b$ zijn affiene functies van lineaire combinaties van $X$: [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) (een affien beeld van een [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijke is [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector)). (2) Is $\Sigma$ diagonaal, dan ontbindt de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf): $\varphi_X(t) = \prod_i\exp(\iu t_im_i - \frac12\Sigma_{ii}t_i^2) = \prod\varphi_{X_i}(t_i)$, en dat is de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van de productverdeling ([Stelling 22.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-independence), gelezen via de $d$-dimensionale injectiviteit): de componenten zijn dus [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence). De omkering is het verdwijnen van de covarianties van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) veranderlijken in $L^2$. (3) Diagonaliseer $\Sigma = P D P^{\mathsf T}$ ($P$ orthogonaal, $D > 0$ diagonaal — [Oefening 20.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#exo-b3-submanifolds-8)); de vector $Y = P^{\mathsf T}(X - m)$ is [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) met covariantie $D$: volgens (2) zijn haar componenten [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) $\mathcal N(0, d_i)$, dus heeft $Y$ de productdichtheid; duw vooruit met de volumebehoudende $x = m + PY$ ([Stelling 11.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#thm-b3-product-linearchange), $\abs{\det P} = 1$) en herschrijf de exponent invariant. ∎ **Stelling 23.12 (Meerdimensionale centrale limietstelling).** Zij $(X_n)$ i.i.d. kwadratisch [integreerbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) toevals*vectoren* van $\R^d$ met gemiddelde $m$ en covariantiematrix $\Sigma$. Dan convergeert $\frac{S_n - nm}{\sqrt n}$ in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) naar de [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector) $\mathcal N(0, \Sigma)$. **Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎ **Opmerking 23.13.** Bijna alles hebben we al in handen. Voor elke richting $t \in \R^d$ is de reële veranderlijke $\langle t, \frac{S_n - nm}{\sqrt n}\rangle$ een genormeerde som van i.i.d. reële veranderlijken met variantie $t^{\mathsf T}\Sigma t$, dus geeft de berekening van [Stelling 23.8](#thm-b3-clt-clt) de puntsgewijze convergentie van de $d$-dimensionale [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) naar $\eu^{-t^{\mathsf T}\Sigma t/2}$, de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Definitie 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector)). Wat we niet opnieuw hebben bewezen, is de continuïteitsstelling van Lévy *in $\R^d$*: de selectie van Helly en de afschatting van de gespannenheid veralgemenen routineus (coördinaatsgewijs), en die herleiding van Cramér–Wold wordt in elke masteropleiding kansrekening eerlijk uitgevoerd; er is niets nodig voorbij de methoden van dit hoofdstuk. **Methode 23.14.** Om een limietverdeling te herkennen: bereken [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf), neem de puntsgewijze limiet, herken haar ([gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) $\eu^{-\sigma^2\xi^2/2}$, poisson $\eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}$, exponentieel $\frac{\lambda} {\lambda - \iu\xi}$, …) en roep Lévy in. Het ritueel in drie stappen ([onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) $\to$ product; Taylor in $0$ $\to$ exponentiële limiet; Lévy $\to$ [convergentie in verdeling](#def-b3-clt-cid)) bewijst de centrale limietstelling, de wet van de zeldzame gebeurtenissen ([Oefening 23.5](#exo-b3-clt-5)) en elke klassieke limietstelling van deze cursus. Voor b.z.-uitspraken ga je terug naar de gereedschapskist van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability): de twee hoofdstukken beantwoorden verschillende vragen over dezelfde $S_n$. ## 23.5 Oefeningen **Oefening 23.1 ★.** Bereken de [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf): uniform op $\intcc{-1}1$; exponentieel $\mathcal E(\lambda)$; poisson $\mathcal P(\lambda)$; binomiaal $\mathcal B(n, p)$. Leid met [Stelling 23.3](#thm-b3-clt-injectivity) af dat de som van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) poissonveranderlijken ($\lambda, \mu$) poisson $(\lambda + \mu)$ is. **Oplossing van Oefening 23.1.** Uniform op $\intcc{-1}1$: $\varphi(\xi) = \frac12\int_{-1}^1\eu^{\iu\xi x}\dd x = \frac{\sin\xi}{\xi}$ (gelijk aan $1$ in $\xi = 0$). Exponentieel $\mathcal E(\lambda)$: $\varphi(\xi) = \lambda\int_0^\infty\eu^{(\iu\xi - \lambda)x}\dd x = \frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$ (de primitieve verdwijnt in $+\infty$ omdat $\operatorname{Re}(\iu\xi - \lambda) < 0$). Poisson $\mathcal P(\lambda)$: volgens de overdrachtsstelling voor discrete [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space), $$ \varphi(\xi) = \sum_{k\geq0}\eu^{\iu\xi k}\,\eu^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \eu^{-\lambda}\exp\bigl(\lambda\eu^{\iu\xi}\bigr) = \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr). $$ Binomiaal $\mathcal B(n, p)$: een som van $n$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) bernoulliveranderlijken, elk met [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) $1 - p + p\eu^{\iu\xi}$, dus $\varphi(\xi) = \bigl(1 - p + p\eu^{\iu\xi}\bigr)^n$ ([Propositie 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(b)). Additiviteit van poisson: zijn $X \sim \mathcal P(\lambda)$ en $Y \sim \mathcal P(\mu)$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence), dan is $$ \varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)} \eu^{\mu(\eu^{\iu\xi}-1)} = \eu^{(\lambda+\mu)(\eu^{\iu\xi}-1)}, $$ de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van $\mathcal P(\lambda + \mu)$; de injectiviteit ([Stelling 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) identificeert de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). **Oefening 23.2 ★★.** (a) Toon aan dat $\varphi_X$ reëelwaardig is dan en slechts dan als $X$ en $-X$ dezelfde [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) hebben (een *symmetrische* veranderlijke). (b) Stel dat $\abs{\varphi_X(\xi_0)} = 1$ voor een $\xi_0 \neq 0$. Toon aan dat $X$ bijna zeker haar drager in een rekenkundige rij $a + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ heeft *(schrijf $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ en bereken $\E[1 - \cos(\xi_0X - \theta)]$)*. Leid af dat als $X$ een [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) heeft, $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ voor alle $\xi \neq 0$. **Oplossing van Oefening 23.2.** (a) $\overline{\varphi_X(\xi)} = \E\eu^{-\iu\xi X} = \varphi_{-X}(\xi)$. Dus is $\varphi_X$ reëelwaardig dan en slechts dan als $\varphi_X = \varphi_{-X}$, dan en slechts dan als (injectiviteit, [Stelling 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) $X$ en $-X$ dezelfde [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) hebben. (b) Schrijf $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$. Dan is $$ \E\bigl[1 - \cos(\xi_0X - \theta)\bigr] = 1 - \operatorname{Re}\bigl(\eu^{-\iu\theta} \varphi_X(\xi_0)\bigr) = 1 - 1 = 0 . $$ De integrand is niet-negatief, dus $\cos(\xi_0X - \theta) = 1$ bijna zeker (een niet-negatieve veranderlijke met [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) nul verdwijnt b.z.), dat wil zeggen $\xi_0X - \theta \in 2\pi\Z$ b.z.: $X$ neemt haar waarden bijna zeker aan in de rekenkundige rij $\frac{\theta}{\xi_0} + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$. Heeft $X$ een [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma), dan is die aftelbare verzameling lebesgue-nul en draagt ze dus kans $0$ — tegenspraak; bijgevolg is $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ voor elke $\xi \neq 0$. **Oefening 23.3 ★★.** Zij $X \sim \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)$ en $Y \sim \mathcal N(m_2, \sigma_2^2)$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence). Toon aan dat $X + Y \sim \mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, en algemener dat de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) familie stabiel is onder [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) sommen en affiene afbeeldingen. Contrast: is de som van twee *afhankelijke* [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijken altijd [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector)? ([Oefening 23.9](#exo-b3-clt-9).) **Oplossing van Oefening 23.3.** Uit de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) en [Propositie 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics): $$ \varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\iu m_1\xi - \sigma_1^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu m_2\xi - \sigma_2^2\xi^2/2} = \eu^{\iu(m_1+m_2)\xi - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)\xi^2/2}, $$ de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van $\mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; de injectiviteit besluit. De stabiliteit onder affiene afbeeldingen is de affiene regel ($aX + b \sim \mathcal N(am_1 + b, a^2\sigma_1^2)$, met het ontaarde geval $a = 0$ toegelaten), en de stabiliteit onder [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) sommen volgt uit bovenstaande berekening met inductie. Voor *afhankelijke* [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijken hoeft de som niet [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) te zijn: in [Oefening 23.9](#exo-b3-clt-9) zijn $X$ en $Y = \varepsilon X$ elk standaardgaussisch, maar $X + Y$ verdwijnt met kans $\frac12$ zonder b.z. nul te zijn, dus is het niet [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector). **Oefening 23.4 ★★.** (a) Bewijs de gelijkwaardigheid in [Definitie 23.4](#def-b3-clt-cid): geldt $\E f(X_n) \to \E f(X)$ voor alle begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$, dan is $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ in de continuïteitspunten *(klem $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ tussen twee [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) traphellingen)*; en omgekeerd *(benader een begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ met sommen van hellingfuncties, of conditioneer op een fijn rooster van continuïteitspunten)* — de omkering mag eerst voor uniform [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ worden behandeld, en dan in het algemeen. (b) Toon aan dat $X_n \Rightarrow c$ (een constante) impliceert dat $X_n \to c$ in kans. **Oplossing van Oefening 23.4.** (a) *Directe implicatie.* Zij $t$ een continuïteitspunt van $F_X$ en $\delta > 0$. Neem de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) hellingen $f^-$ ($= 1$ op $\intoc{-\infty}{t-\delta}$, $0$ vanaf $t$, affien daartussen) en $f^+$ ($= 1$ op $\intoc{-\infty}t$, $0$ vanaf $t + \delta$, affien daartussen); dan is $f^- \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq f^+$, dus $$ \E f^-(X_n) \leq F_{X_n}(t) \leq \E f^+(X_n), $$ en de buitenste termen convergeren naar $\E f^\pm(X)$, die zelf tussen $F_X(t - \delta)$ en $F_X(t + \delta)$ geklemd liggen. Laat $n \to \infty$ en daarna $\delta \to 0$ gaan en gebruik de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $F_X$ in $t$: $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$. *Omgekeerd.* Zij $f$ begrensd en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), $M = \sup\abs f$, $\varepsilon > 0$. De continuïteitspunten van $F_X$ liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) ($F_X$ heeft hoogstens aftelbaar veel sprongen), dus kies continuïteitspunten $a < b$ met $F_X(a) < \varepsilon$ en $1 - F_X(b) < \varepsilon$. Op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\intcc ab$ is $f$ uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): kies continuïteitspunten $a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b$ van $F_X$ zodat de oscillatie van $f$ op elke $\intoc{t_{j-1}}{t_j}$ hoogstens $\varepsilon$ is, en stel $g = \sum_j f(t_j)\,\mathbf 1_{\intoc{t_{j-1}}{t_j}}$. Dan is $\abs{f - g} \leq \varepsilon$ op $\intoc ab$, $\abs g \leq M$, en voor $T = X_n$ of $X$: $$ \bigl|\E f(T) - \E g(T)\bigr| \leq \varepsilon + 2M\bigl(F_T(a) + 1 - F_T(b)\bigr). $$ Bovendien is $\E g(X_n) = \sum_j f(t_j)\bigl(F_{X_n}(t_j) - F_{X_n}(t_{j-1})\bigr) \to \E g(X)$ (een eindige som van convergerende termen, want alle $t_j$ zijn continuïteitspunten), en $F_{X_n}(a) \to F_X(a) < \varepsilon$, $1 - F_{X_n}(b) \to 1 - F_X(b) < \varepsilon$. Samengevoegd: $\limsup_n\abs{\E f(X_n) - \E f(X)} \leq 2\varepsilon + 8M\varepsilon$; laat $\varepsilon \to 0$ gaan. (b) De verdelingsfunctie van de constante $c$ is $\mathbf 1_{\intco c\infty}$, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) behalve in $c$. Voor $\varepsilon > 0$ zijn de punten $c - \varepsilon$ en $c + \frac\varepsilon2$ continuïteitspunten, dus $$ \P(\abs{X_n - c} > \varepsilon) \leq F_{X_n}(c - \varepsilon) + 1 - F_{X_n}\Bigl(c + \frac\varepsilon2\Bigr) \longrightarrow 0 + 1 - 1 = 0 . $$ **Oefening 23.5 ★★.** (Wet van de zeldzame gebeurtenissen) Zij $X_n \sim \mathcal B(n, p_n)$ met $np_n \to \lambda > 0$. Toon met [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) en [Stelling 23.7](#thm-b3-clt-levy) aan dat $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$. Numerieke controle: vergelijk $\P(X = 0)$ voor $\mathcal B(100, 0.02)$ en $\mathcal P(2)$. **Oplossing van Oefening 23.5.** Stel $z_n = p_n(\eu^{\iu\xi} - 1)$, zodat $\varphi_{X_n}(\xi) = (1 + z_n)^n$ ([Oefening 23.1](#exo-b3-clt-1)) en $\abs{z_n} \leq 2p_n \to 0$ (merk op dat $p_n = \frac{np_n}n \to 0$). Zowel $1 + z_n$ als $\eu^{z_n}$ hebben modulus hoogstens $1$: $\abs{1 + z_n} = \abs{(1 - p_n) + p_n\eu^{\iu\xi}} \leq 1$ volgens de driehoeksongelijkheid, en $\abs{\eu^{z_n}} = \eu^{p_n(\cos\xi - 1)} \leq 1$. De telescopische ongelijkheid $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ (bewijs van [Stelling 23.8](#thm-b3-clt-clt)) en de machtreeksgrens $\abs{\eu^z - 1 - z} \leq \abs z^2\eu^{\abs z}$ geven $$ \bigl|(1 + z_n)^n - \eu^{nz_n}\bigr| \leq n\bigl|1 + z_n - \eu^{z_n}\bigr| \leq n\,\abs{z_n}^2\,\eu^{\abs{z_n}} \leq 4\eu^2\,np_n^2 = 4\eu^2\,(np_n)\,p_n \longrightarrow 0 . $$ Omdat $nz_n = np_n(\eu^{\iu\xi} - 1) \to \lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)$, besluiten we $\varphi_{X_n}(\xi) \to \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr)$ voor elke $\xi$: de [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) van $\mathcal P(\lambda)$, en Lévy ([Stelling 23.7](#thm-b3-clt-levy)) geeft $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$. Numeriek: $\P\bigl(\mathcal B(100, 0.02) = 0\bigr) = 0.98^{100} = \eu^{100\ln 0.98} \approx \eu^{-2.020} \approx 0.1326$, terwijl $\P\bigl(\mathcal P(2) = 0\bigr) = \eu^{-2} \approx 0.1353$: twee procent verschil, al bij deze grove $n$. **Oefening 23.6 ★★.** (a) Een eerlijke dobbelsteen wordt $n = 1000$ keer geworpen; benader de kans dat het totaal $3600$ overschrijdt (gemiddelde $3500$, variantie per worp $\frac{35}{12}$). (b) Benader voor $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$ $\P(45 \leq S \leq 55)$ met de centrale limietstelling en de continuïteitscorrectie ($\pm\frac12$), en becommentarieer het effect van de correctie. **Oplossing van Oefening 23.6.** (a) Eén worp heeft gemiddelde $\frac72$ en variantie $\frac{35}{12}$, dus $S$ heeft gemiddelde $3500$, variantie $\frac{35000}{12} \approx 2916.7$ en standaardafwijking $\approx 54.0$. Volgens de centrale limietstelling, $$ \P(S > 3600) = \P\Bigl(\frac{S - 3500}{54.0} > 1.85\Bigr) \approx 1 - \Phi(1.85) \approx 0.032 : $$ ongeveer $3\%$ kans. (b) $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$: gemiddelde $50$, standaardafwijking $5$. Met de continuïteitscorrectie, $$ \P(45 \leq S \leq 55) \approx \Phi\Bigl(\frac{55.5 - 50}{5}\Bigr) - \Phi\Bigl(\frac{44.5 - 50}{5}\Bigr) = 2\Phi(1.1) - 1 \approx 0.729, $$ tegenover de exacte waarde $0.7287$; zonder de correctie $2\Phi(1) - 1 \approx 0.683$, bijna vijf punten ernaast. De correctie doet ertoe omdat $S$ een roosterveranderlijke is: het atoom $\P(S = k)$ wordt goed benaderd door de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) massa van $\intcc{k - \frac12}{k + \frac12}$, en het interval bij de gehele getallen $45$ en $55$ afknippen gooit aan elk uiteinde een half atoom weg. **Oefening 23.7 ★★.** (Fout van monte carlo) Zij in het kader van [Probleem 22.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#pb-b3-probability-1), vraag 11, met $g \in L^2(\intcc01^d)$, $\sigma^2 = \V(g(U_1))$ en $I = \int g$. Toon aan dat $$ \sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) \Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2), $$ en leid de asymptotische foutmarge van $95\%$, $\pm 1.96\,\sigma/\sqrt n$, af — [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) van de dimensie $d$. Vergelijk met de deterministische middelpuntsregel in dimensie $d$ (fout $\sim n^{-2/d}$ voor $\mathcal C^2$-integranden): vanaf welke dimensie wint het toevallig bemonsteren? **Oplossing van Oefening 23.7.** De veranderlijken $g(U_k)$ zijn i.i.d. ([meetbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) beelden van i.i.d. veranderlijken), kwadratisch [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1), met gemiddelde $I$ (overdrachtsstelling, [Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#exo-b3-product-9)) en variantie $\sigma^2$. Is $\sigma > 0$, dan is [Stelling 23.8](#thm-b3-clt-clt) toegepast op die veranderlijken precies de gevraagde convergentie $$ \sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) = \frac{\sum_{k\leq n}\bigl(g(U_k) - I\bigr)}{\sqrt n} \Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2) $$ (is $\sigma = 0$, dan is $g$ b.z. constant en verdwijnt het linkerlid identiek). Bijgevolg is $\P\bigl(\abs{\frac1n\sum g(U_k) - I} \leq 1.96\,\sigma/\sqrt n\bigr) \to 0.95$: de foutmarge $\pm 1.96\,\sigma/\sqrt n$ ziet de dimensie $d$ enkel via de constante $\sigma$, nooit via de snelheid in $n$. De middelpuntsregel met $n$ knopen in dimensie $d$ heeft maaswijdte $n^{-1/d}$ en een fout van de orde $n^{-2/d}$ voor $\mathcal C^2$-integranden. De $n^{-1/2}$ van monte carlo daalt sneller dan $n^{-2/d}$ precies wanneer $\frac12 > \frac2d$, dat wil zeggen $d > 4$: vanaf dimensie $5$ wint het toevallig bemonsteren asymptotisch van het rooster — de vloek van de dimensie spaart de kansrekenkundige methoden, en daarom heerst monte carlo over de hoogdimensionale integratie. **Oefening 23.8 ★★★.** (Slutsky) Stel dat $X_n \Rightarrow X$ en $Y_n \to c$ in kans ($c$ constant). Toon aan dat $X_n + Y_n \Rightarrow X + c$ en $Y_nX_n \Rightarrow cX$. *(Werk met [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) en de afschatting $\abs{\E\eu^{\iu\xi (X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\E\eu^{\iu\xi X_n}} \leq \E\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1}$, en splits op $\abs{Y_n - c} \leq \delta$.)* Toepassing: verantwoord in [Voorbeeld 23.9](#ex-b3-clt-confidence) het vervangen van de onbekende $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ door $\sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)}$. **Oplossing van Oefening 23.8.** *Som.* Voor vaste $\xi$: $$ \bigl|\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\,\E\eu^{\iu\xi X_n}\bigr| = \bigl|\E\bigl[\eu^{\iu\xi X_n}\bigl(\eu^{\iu\xi Y_n} - \eu^{\iu\xi c}\bigr)\bigr]\bigr| \leq \E\bigl|\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1\bigr| . $$ Splits op de gebeurtenis $\{\abs{Y_n - c} \leq \delta\}$: daar is $\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n-c)} - 1} \leq \abs\xi\,\delta$ (de koorde is korter dan de boog); het complement draagt hoogstens $2\,\P(\abs{Y_n - c} > \delta) \to 0$ bij. De $\limsup$ is dus $\leq \abs\xi\,\delta$ voor elke $\delta > 0$: het verschil streeft naar $0$. Omdat $\E\eu^{\iu\xi X_n} \to \varphi_X(\xi)$, krijgen we $\varphi_{X_n+Y_n}(\xi) \to \eu^{\iu\xi c}\varphi_X(\xi) = \varphi_{X+c}(\xi)$, en Lévy ([Stelling 23.7](#thm-b3-clt-levy)) levert $X_n + Y_n \Rightarrow X + c$. *Product.* Eerst $cX_n \Rightarrow cX$: $\varphi_{cX_n}(\xi) = \varphi_{X_n}(c\xi) \to \varphi_X(c\xi) = \varphi_{cX}(\xi)$. Vervolgens $(Y_n - c)X_n \to 0$ in kans: de [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van de $X_n$ zijn gespannen (hun [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) convergeren naar een [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf); zie de gespannenheidsstap van [Stelling 23.7](#thm-b3-clt-levy)), dus kies bij $\varepsilon > 0$ een $M$ met $\P(\abs{X_n} > M) \leq \varepsilon$ voor alle $n$; dan is $$ \P\bigl(\abs{(Y_n - c)X_n} > \varepsilon\bigr) \leq \P(\abs{X_n} > M) + \P\Bigl(\abs{Y_n - c} > \frac{\varepsilon}{M}\Bigr) \leq \varepsilon + o(1) . $$ Schrijf $Y_nX_n = cX_n + (Y_n - c)X_n$ en pas het somgedeelte toe (waarvan het bewijs enkel gebruikte dat $Y_n' := (Y_n - c)X_n \to 0$ in kans, met constante $0$): $Y_nX_n \Rightarrow cX$. *Toepassing.* Volgens de sterke wet van de grote aantallen ([Stelling 22.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-slln)) is $\hat p_n \to p$ b.z., dus is $\hat\sigma_n = \sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)} \to \sigma = \sqrt{p(1 - p)} > 0$ b.z. wegens [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), en dus $\frac{\sigma}{\hat\sigma_n} \to 1$ in kans. De productregel van Slutsky waardeert $\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ op tot $\frac{S_n - np}{\hat\sigma_n\sqrt n} = \frac{\sigma}{\hat\sigma_n}\cdot \frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$: het *bruikbare* betrouwbaarheidsinterval $\hat p_n \pm 1.96\,\hat\sigma_n/\sqrt n$, enkel uit de gegevens opgebouwd, behoudt zijn asymptotische niveau van $95\%$. **Oefening 23.9 ★★★.** Zij $X \sim \mathcal N(0,1)$ en $\varepsilon$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) met $\P(\varepsilon = \pm1) = \frac12$; stel $Y = \varepsilon X$. (a) Toon aan dat $Y \sim \mathcal N(0,1)$ en $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$. (b) Toon aan dat $X$ en $Y$ *niet* [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) zijn, en dat $(X, Y)$ geen [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector) is *(bereken $\P(X + Y = 0)$)*. (c) Moraal: [Stelling 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) vereist gezamenlijke gaussischheid — “ongecorreleerde [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijken” alleen bewijst niets. **Oplossing van Oefening 23.9.** (a) Splits de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) over de twee waarden van $\varepsilon$ ([onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence)): voor borelse $B$ is $\P(Y \in B) = \frac12\P(X \in B) + \frac12\P(-X \in B) = \P(X \in B)$, want $-X \sim X$ ($\mathcal N(0,1)$ is symmetrisch): $Y \sim \mathcal N(0,1)$. En $\operatorname{Cov}(X, Y) = \E[\varepsilon X^2] = \E[\varepsilon]\,\E[X^2] = 0 \cdot 1 = 0$. (b) $\abs Y = \abs X$, dus $\P(\abs X \leq 1,\ \abs Y \geq 2) = 0$ terwijl $\P(\abs X \leq 1)\,\P(\abs Y \geq 2) > 0$: niet [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence). Was $(X, Y)$ een [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector), dan zou $X + Y = (1 + \varepsilon)X$ een reële [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijke zijn ([Definitie 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) met $t = (1,1)$); maar $\P(X + Y = 0) = \P(\varepsilon = -1) = \frac12$, terwijl een [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijke enkel een atoom heeft als ze b.z. constant is — en $X + Y$ is gelijk aan $2X \neq 0$ b.z. op $\{\varepsilon = 1\}$. Tegenspraak: $(X, Y)$ is niet [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector). (c) Elke marginale is [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) en de covariantie verdwijnt, en toch faalt de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) — omdat het *paar* niet gezamenlijk [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) is. [Stelling 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) laat zich niet verzwakken tot “[gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) marginalen”. **Oefening 23.10 ★★.** De cauchyverdeling heeft [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac1{\pi(1 + x^2)}$. (a) Toon aan dat haar [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) $\eu^{-\abs\xi}$ is ([Oefening 14.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#exo-b3-fouriertransform-1) en inversie). (b) Toon aan dat als $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. cauchy zijn, $\frac{S_n}n$ opnieuw cauchy is — met *dezelfde* [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space): het gemiddelde concentreert nooit. (c) Verzoen dat met de wetten van de grote aantallen en de centrale limietstelling: welke hypothesen falen? (Bereken $\E\abs{X_1}$.) **Oplossing van Oefening 23.10.** (a) [Oefening 14.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#exo-b3-fouriertransform-1) berekent $\widehat{\eu^{-\abs\cdot}}(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}$; beide leden zijn [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1), dus draait de fourierinversie ([Stelling 14.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#thm-b3-fouriertransform-inversion)) dit om: $$ \int_\R\eu^{\iu\xi x}\,\frac{\dd x}{\pi(1 + x^2)} = \eu^{-\abs\xi}, $$ en dat is precies $\varphi_X(\xi)$ voor een cauchyveranderlijke $X$. (b) Uit de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) volgt $\varphi_{S_n}(\xi) = \bigl(\eu^{-\abs\xi}\bigr)^n = \eu^{-n\abs\xi}$, dus $\varphi_{S_n/n}(\xi) = \varphi_{S_n}(\xi/n) = \eu^{-\abs\xi}$: het empirische gemiddelde $\frac{S_n}n$ is voor elke $n$ opnieuw standaardcauchy (injectiviteit). Het gemiddelde concentreert nooit: zijn schommelingen op tijd $10^6$ zijn die van één enkele waarneming. (c) $\E\abs{X_1} = \frac2\pi\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{1 + x^2} = +\infty$: de cauchyverdeling is niet [integreerbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1), dus is de sterke wet van de grote aantallen ([Stelling 22.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-slln)) niet van toepassing, en de centrale limietstelling (die een eindige variantie vergt) al helemaal niet. Hier falen hun conclusies echt, niet enkel hun bewijzen. Consistentiecontrole: $\varphi(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ is niet differentieerbaar in $0$, zoals [Propositie 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(c) contrapositief gelezen voorspelt voor een [niet-integreerbare](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-l1) veranderlijke. **Oefening 23.11 ★★.** (Stabiele [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) in de dop) Zij $(X_n)$ i.i.d. standaardcauchy ([Oefening 23.10](#exo-b3-clt-10)). (a) Toon aan dat voor alle $a, b > 0$ $aX_1 + bX_2$ de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van $(a + b)X_1$ heeft: de cauchyfamilie is *strikt stabiel* van index $1$. (b) Toon aan dat de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) familie strikt stabiel van index $2$ is: $aX_1 + bX_2 \sim \sqrt{a^2 + b^2}\,X_1$ voor $X_i$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$. (c) Leg met [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) van de vorm $\eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ uit waarom stabiliteit van index $\alpha$ voor sommen de normering $n^{1/\alpha}$ afdwingt, en wat dat zegt over de aantrekkingsbekkens van de centrale limietstelling: welke i.i.d. sommen kunnen na affiene normering naar een cauchyverdeling convergeren in plaats van naar een [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector)? **Oplossing van Oefening 23.11.** (a) $\varphi_{aX_1 + bX_2}(\xi) = \eu^{-a\abs\xi}\eu^{-b\abs\xi} = \eu^{-(a+b)\abs\xi} = \varphi_{(a+b)X_1}(\xi)$ ([onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) en [Oefening 23.10](#exo-b3-clt-10)); de injectiviteit identificeert de [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). (b) $\varphi_{aX_1+bX_2}(\xi) = \eu^{-a^2\xi^2/2} \eu^{-b^2\xi^2/2} = \eu^{-(a^2+b^2)\xi^2/2}$: de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van $\sqrt{a^2+b^2}\,X_1$. (c) Is $\varphi_X(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, dan heeft $S_n = X_1 + \dots + X_n$ als [karakteristieke functie](#def-b3-clt-cf) $\varphi_{S_n} = \eu^{-cn\abs\xi^\alpha}$, en heeft $S_n/n^{1/\alpha}$ opnieuw $\varphi(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$: exacte zelfreproductie onder de schaling $n^{1/\alpha}$ — $\sqrt n$ voor de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) ($\alpha = 2$), $n$ zelf voor cauchy ($\alpha = 1$, [Oefening 23.10](#exo-b3-clt-10)(b)). Een som van i.i.d. veranderlijken kan (na affiene normering) enkel convergeren naar een [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) die stabiel is onder zulke convoluties; de centrale limietstelling zegt dat een eindige variantie het [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) bekken afdwingt, en het cauchybekken is voorbehouden aan [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) met zulke zware staarten dat $\E X^2 = \infty$ en zelfs $\E\abs X = \infty$ — bijvoorbeeld sommen van cauchyveranderlijken zelf. De universaliteit heeft meerdere eilanden, geïndexeerd door de staartexponent $\alpha \in \intoc02$. **Oefening 23.12 ★★.** (De empirische verdelingsfunctie) Zij $(X_n)$ i.i.d. met verdelingsfunctie $F$, en $F_n(t) = \frac1n\#\{k \leq n : X_k \leq t\}$. (a) Leg $t$ vast. Toon aan dat $n F_n(t) \sim \mathcal B(n, F(t))$, dat $F_n(t) \to F(t)$ b.z. ([Stelling 22.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-slln)), en dat $$ \sqrt n\,\bigl(F_n(t) - F(t)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0,\ F(t)(1 - F(t))\bigr) . $$ (b) In welke $t$ is de asymptotische variantie maximaal? Interpreteer: de mediaan is waar een empirische [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) het moeilijkst vast te pinnen is. (c) Toon voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $F$ aan dat de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van $\sup_t\abs{F_n(t) - F(t)}$ niet van $F$ afhangt *(herleid met [Oefening 22.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#exo-b3-probability-1) tot uniforme veranderlijken)* — het verdelingsvrije wonder achter de toets van Kolmogorov–Smirnov; die [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) berekenen wordt niet gevraagd. **Oplossing van Oefening 23.12.** (a) De indicatoren $\mathbf 1_{X_k \leq t}$ zijn i.i.d. bernoulli met parameter $p = F(t)$: hun som $nF_n(t)$ is binomiaal $\mathcal B(n, p)$; de sterke wet geeft $F_n(t) \to p$ b.z., en de centrale limietstelling ([Stelling 23.8](#thm-b3-clt-clt)) toegepast op dezelfde indicatoren (variantie $p(1-p)$) geeft de gevraagde [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) limiet. (b) $p(1 - p)$ is maximaal in $p = \frac12$, dat wil zeggen waar $F(t) = \frac12$: in de *mediaan*. Staartkansen schatten is asymptotisch makkelijk (de variantie gaat naar $0$ als $p \to 0, 1$); het mediaangebied draagt de grootste statistische ruis — de empirische kromme wiebelt het meest in haar midden. (c) Voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $F$ zijn de veranderlijken $U_k = F(X_k)$ i.i.d. uniform op $\intoo01$ ([Oefening 22.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#exo-b3-probability-1)), en de monotonie van $F$ geeft, met $G_n$ voor de empirische verdelingsfunctie van de $U_k$: $$ \sup_{t\in\R}\,\abs{F_n(t) - F(t)} = \sup_{u \in \operatorname{im}F}\,\abs{G_n(u) - u} = \sup_{u\in\intcc01}\abs{G_n(u) - u} : $$ de eerste gelijkheid omdat $\{X_k \leq t\} = \{U_k \leq F(t)\}$ op nulgebeurtenissen na (monotonie; de strikte ongelijkheid kan enkel falen op de vlakke stukken van $F$, waar beide leden onveranderd blijven), en de tweede omdat een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $F$, die van $0$ naar $1$ loopt, elke waarde van $\intoo01$ aanneemt (tussenwaardestelling), terwijl de eindpunten niets toevoegen ($G_n(0) - 0 = 0$ en $G_n(1) - 1 = 0$). Het rechterlid bevat enkel uniforme veranderlijken: één [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) voor alle $F$ — zodat één enkele tabel van kritieke waarden (die van de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van Kolmogorov) *elk* [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) model tegen gegevens toetst. ## 23.6 Probleem: het bewijs van Lindeberg van de centrale limietstelling, met een snelheid **Probleem 23.1.** Weekendopgave — de vervangingsmethode Lindeberg (1922) bewees de centrale limietstelling met een idee van ontwapenende eenvoud: *verwissel de termen één voor één met [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector)* en beheers elke verwisseling met een taylorontwikkeling. De methode heeft geen fourieranalyse nodig, levert een expliciete foutsnelheid, en drijft vandaag universaliteitsbewijzen door de hele kansrekening aan. Zij $(X_i)$ i.i.d. en gecentreerd met $\V(X_1) = 1$ en $\beta = \E\abs{X_1}^3 < \infty$; en zij $(N_i)$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) van de $X_i$ (bestaan: [Stelling 22.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-existence)). Stel $$ T_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}, \qquad G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1). $$ **Deel I — De verwisselingsidentiteit.** Leg $f \in \mathcal C^3_b(\R)$ vast (drie begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) afgeleiden; $M_3 = \sup\abs{f'''}$). Definieer voor $0 \leq i \leq n$ de hybride sommen $$ H_i = \frac{X_1 + \dots + X_i + N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt n}, $$ zodat $H_n = T_n$ en $H_0 = G_n$. 1. Schrijf $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ en $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ met $W_i = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(\sum_{ji}N_j\bigr)$ , en merk op dat $W_i$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) is van het paar $(X_i, N_i)$ . Verantwoord dat. 2. Taylor met integraal- of lagrangerestterm: voor alle reële $w, h$ is $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - f'(w)h - \tfrac12f''(w)h^2\Bigr| \leq \frac{M_3\,\abs h^3}{6} .$$ 3. Pas vraag 2 tweemaal toe ($h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ en $h = \frac{N_i}{\sqrt n}$ in $w = W_i$), neem [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space), en gebruik de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) plus het samenvallen van de eerste twee momenten van $X_i$ en $N_i$ om aan te tonen dat $$\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{M_3}{6}\cdot \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}}, \qquad \gamma = \E\abs{N_1}^3 = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi} .$$ 4. Telescopeer over $i$ en besluit tot de *grens van Lindeberg*: $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .$$ **Deel II — Van gladde $f$ naar de centrale limietstelling.** 5. Toon aan dat $\E f(T_n) \to \E f(N)$ voor elke $f \in \mathcal C_b^3$ , en til dat op tot alle begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ : construeer bij zo’n $f$ en $\varepsilon$ een $f_\varepsilon \in \mathcal C^3_b$ met $\norm{f - f_\varepsilon}_\infty \leq \varepsilon$ op een groot interval — bijvoorbeeld door $f$ met een $\mathcal C^\infty$ -bult te convolueren ( [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization) ) — en handel de staarten met de gespannenheid af ( $\V(T_n) = 1$ en Chebyshev). Besluit $T_n \Rightarrow \mathcal N(0, 1)$ : de centrale limietstelling, opnieuw bewezen. 6. Waar gebruikte het bewijs dat de $X_i$ *identiek* verdeeld zijn? Toon aan dat het dat nauwelijks deed: formuleer en bewijs de versie voor [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) , gecentreerde, niet identiek verdeelde $X_i$ met $\sum_i\V(X_i) = s_n^2$ en derde momenten, met de fout $\frac{M_3}{6s_n^3}\sum_i\bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\gamma\bigr)$ — de echte stelling van Lindeberg in haar vorm van Lyapunov. **Deel III — Kwantitatieve dividenden.** 7. (Verdelingsfuncties) Zij $t \in \R$ en benader $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ van boven en van onder met $\mathcal C^3_b$-hellingen van breedte $\delta$ (construeer ze, met $M_3 = O(\delta^{-3})$). Leid, samen met Deel I, de grens met twee termen af: $$\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \;\leq\; \frac{C_1(\beta + \gamma)}{\delta^3\sqrt n} + C_2\,\delta \qquad (\text{voor elke } \delta > 0),$$ met expliciete constanten (de term $C_2\delta$ gebruikt dat $\Phi$ een [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) heeft die door $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ begrensd is), en optimaliseer $\delta \sim n^{-1/8}$ om een uniforme snelheid van de orde $n^{-1/8}$ te verkrijgen. (De optimale $n^{-1/2}$ — Berry–Esseen — vergt fijner gereedschap; het punt is een *expliciete* snelheid uit elementair verwisselen.) 8. (De Moivre–Laplace, gekwantificeerd) Specialiseer tot $X_i = 2B_i - 1$ (de tekens van eerlijke munten): vergelijk het besluit met de lokale schatting van [Probleem 11.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#pb-b3-product-1) , vraag 7 — wat geeft elke methode wat de andere niet geeft? 9. (Universaliteit) Leg in een alinea uit waarom de vervangingsmethode meer toont dan de centrale limietstelling: elke statistiek van de vorm $\E f(\text{som})$ met gladde $f$ is, tot op de orde $n^{-1/2}$ , ongevoelig voor de *hele* [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van de termen voorbij haar eerste twee momenten — het “invariantiebeginsel” dat de moderne universaliteitsresultaten (toevalsmatrices, toevalsveeltermen) schraagt, waarvan de centrale limietstelling het eerste geval is. **Deel IV — Gladstrijken, doorgedreven: betere snelheden.** Het verlies van $n^{-1/2}$ (gladde $f$) naar $n^{-1/8}$ (verdelingsfuncties) kwam doordat $f'''$ in supremumnorm werd aangerekend. De hybriden kunnen een deel ervan herstellen: ze bevatten [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) termen, en [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) functies *strijken glad*. 10. (Een verborgen [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector)) Schrijf voor $1 \leq i \leq n - 1$, $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ of $\frac{N_i}{\sqrt n}$, en $\theta \in \intcc01$ $W_i + \theta h = A + Z$ met $Z = \frac{N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt n}$. Toon aan dat $Z \sim \mathcal N\bigl(0, \frac{n-i}n\bigr)$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) is van het paar $(A, h)$, en leid voor elke [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $g \in L^1(\R)$ af dat $$\E\bigl[\abs h^3\,\abs{g(W_i + \theta h)}\bigr] \;\leq\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n - i)}}\; \norm{g}_{L^1}\;\E\abs h^3 .$$ 11. Combineer vraag 10 met de integraalvorm van de taylorrestterm, $$f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12f''(w)h^2 + \int_0^1\frac{(1 - \theta)^2}2\,f'''(w + \theta h)\,h^3\,\dd\theta,$$ om de vragen 3 en 4 over te doen: voor $f \in \mathcal C^3_b$ met bovendien $f''' \in L^1(\R)$ is $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} + \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}}$$ *(vraag 10 handelt de verwisselingen met $i \leq n - 1$ af — gebruik $\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2\sqrt n$ — en de grove grens van vraag 3 handelt de laatste af)*. Ga na dat de hellingen van vraag 7 voldoen aan $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ terwijl $M_3 = K\delta^{-3}$, voer ze in, en optimaliseer $\delta$: de uniforme snelheid voor de verdelingsfuncties verbetert tot $O(n^{-1/6})$. 12. (Nog een moment doen samenvallen) Neem daarbovenop aan dat $\E X_1^3 = 0$ en $\beta_4 = \E X_1^4 < \infty$ . Bereken $\E N_1^3$ en $\E N_1^4$ , ontwikkel tot de vierde orde, en bewijs langs dezelfde lijnen dat de snelheid voor de verdelingsfuncties $O(n^{-1/4})$ wordt *(nu is $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ en $M_4 = K'\delta^{-4}$; kies $\delta = n^{-1/4}$)* . 13. (De obstructie) Stel dat de eerste $k$ momenten van $X_1$ met de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) overeenstemmen ( $k = 2$ altijd; $k = 3$ precies wanneer $\E X_1^3 = 0$ ; $k \geq 4$ in wezen nooit, want $\E N_1^4 = 3$ ). Ga na dat het schema van de vragen 10 tot 12 voor de verdelingsfuncties de snelheid $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ levert, door $\delta^{-k}n^{-(k-1)/2}$ tegen $\delta$ af te wegen, en merk op dat de exponent de waarde $\frac12$ van Berry–Esseen enkel benadert als $k \to \infty$ . Leg in enkele zinnen uit waarom de verwisselingsmethode verzadigt: elke verwisseling wordt in absolute waarde aangerekend, terwijl de fourierweg (de gladstrijkongelijkheid van Esseen) de oscillatie van het verschil van de [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf) uitbuit en met enkel drie momenten $C\beta n^{-1/2}$ haalt. **Deel V — Twee dimensies: de meerdimensionale centrale limietstelling, door te verwisselen.** Zij nu de $X_i$ i.i.d. gecentreerde toevals*vectoren* van $\R^2$ met covariantiematrix $\Sigma$ en $\beta' = \E\norm{X_1}^3 < \infty$ (euclidische norm). 14. ( [Gaussische vectoren](#def-b3-clt-gaussianvector) , op maat) Diagonaliseer $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ ( [Oefening 20.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#exo-b3-submanifolds-8) ) en stel $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ . Toon voor $Z = (Z^1, Z^2)$ een paar [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) standaardgaussische veranderlijken ( [Stelling 22.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-existence) ) aan dat $N = CZ$ een [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector) is ( [Definitie 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) ) met gemiddelde $0$ en covariantie $\Sigma$ , met $\gamma' = \E\norm N^3 < \infty$ ; en dat $G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n}$ voor i.i.d. kopieën $N_i$ *exact* de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) $\mathcal N(0, \Sigma)$ heeft. 15. (Taylor in twee veranderlijken) Bewijs voor $f \colon \R^2 \to \R$ van klasse $\mathcal C^3$ met $M_3 = \max_{\abs\alpha = 3}\sup\abs{\partial^\alpha f} < \infty$ dat $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - \langle\nabla f(w), h\rangle - \tfrac12\langle h, D^2f(w)\,h\rangle \Bigr| \leq \frac{M_3}6\,\bigl(\abs{h_1} + \abs{h_2}\bigr)^3 \leq \frac{\sqrt2\,M_3}3\, \norm h^3$$ *(bestudeer $t \mapsto f(w + th)$ op $\intcc01$)*. 16. (De centrale limietstelling in $\R^2$) Voer het vervangingsschema uit op de vectorhybriden $H_i$: toon aan dat de termen van eerste en tweede orde wegvallen (de gemiddelden en de covarianties vallen samen), telescopeer, en til het op als in vraag 5 (gespannenheid uit $\E\norm{T_n}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$; het gladstrijken nu in $\R^2$, [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)) om te besluiten: voor elke begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f \colon \R^2 \to \R$ is $$\E\,f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}\Bigr) \longrightarrow \E\,f(N), \qquad N \sim \mathcal N(0, \Sigma) :$$ [Stelling 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) in dimensie $2$, met een snelheid voor gladde $f$ en zonder fourieranalyse. 17. (Cramér–Wold, en een gezamenlijke schommeling) Leid af dat $\langle t, \frac{S_n}{\sqrt n}\rangle \Rightarrow \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ voor elke vaste $t \in \R^2$. Toepassing: toon voor i.i.d. reële $(\xi_i)$, gecentreerd, met $\E\xi_1^2 = 1$ en $\E\xi_1^6 < \infty$ (zodat Deel V op $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ van toepassing is) aan dat $$\frac1{\sqrt n}\Bigl(\sum_{i\leq n}\xi_i,\ \sum_{i\leq n}(\xi_i^2 - 1)\Bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \begin{pmatrix} 1 & \E\xi_1^3\\ \E\xi_1^3 & \E\xi_1^4 - 1\end{pmatrix}\Bigr) :$$ het empirische gemiddelde en het empirische tweede moment schommelen gezamenlijk [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) — in de limiet [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) dan en slechts dan als $\E\xi_1^3 = 0$ ([Stelling 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)). **Deel VI — De deltamethode.** 18. Zij $(\hat\theta_n)$ [toevalsveranderlijken](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) met $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ voor een reële parameter $\theta$, en zij $g$ differentieerbaar in $\theta$. Bewijs de *deltamethode*: $$\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0, g'(\theta)^2\sigma^2\bigr)$$ *(schrijf $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) + \eta(x))(x - \theta)$ met $\eta \to 0$ in $\theta$; toon aan dat $\hat\theta_n \to \theta$ en dan $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ in kans; maak het af met Slutsky, [Oefening 23.8](#exo-b3-clt-8), en [Oefening 23.4](#exo-b3-clt-4)(b))*. 19. Toepassingen. (a) Toon voor i.i.d. reële $(\xi_i)$ met gemiddelde $\mu$ en variantie $\sigma^2$, en $\bar X_n = \frac1n\sum_{i\leq n}\xi_i$, aan dat $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ wanneer $\mu \neq 0$, en dat de juiste uitspraak voor $\mu = 0$ op een andere schaal leeft: $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ met $N \sim \mathcal N(0,1)$ (identificeer de verdelingsfunctie van de limiet). (b) (Variantiestabilisering) Toon voor $\hat p_n$ de successfrequentie van een steekproef $\mathcal B(1, p)$ met $p \in \intoo01$ aan dat $g(p) = \arcsin\sqrt p$ voldoet aan $$\sqrt n\,\bigl(g(\hat p_n) - g(p)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \frac14\Bigr)$$ *wat* $p$ ook is — een asymptotische foutmarge vrij van de onbekende parameter; vergelijk met [Voorbeeld 23.9](#ex-b3-clt-confidence). **Deel VII — Poisson, met dezelfde methode: de stelling van Le Cam.** Het verwisselen kent een tweede universaliteitsklasse: sommen van veel [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) *zeldzame* gebeurtenissen. Voor [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) op $\N$ is de juiste afstand de *totale variatie*, $$ d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \sup_{A\subseteq\N}\, \abs{\mu(A) - \nu(A)} . $$ 20. Toon aan dat $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \frac12\sum_{k\geq0}\abs{\mu(\{k\}) - \nu(\{k\})}$ , en bewijs de koppelingsgrens: voor *elk* paar $(X, Y)$ [toevalsveranderlijken](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) met [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) $\mu$ en $\nu$ op dezelfde ruimte is $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) \leq \P(X \neq Y)$ . 21. Bereken exact, voor $p \in \intoo01$: $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p), \mathcal P(p)\bigr) = p\bigl(1 - \eu^{-p}\bigr) \leq p^2 .$$ 22. (Le Cam, door te verwisselen) Zij $X_i \sim \mathcal B(1, p_i)$ en $Y_i \sim \mathcal P(p_i)$, met de $2n$ veranderlijken [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence); $S = X_1 + \dots + X_n$, en herinner je dat $Y_1 + \dots + Y_n \sim \mathcal P(\lambda)$ met $\lambda = \sum_ip_i$ ([Oefening 23.1](#exo-b3-clt-1)). Verwissel in de gehele hybriden $H_i = Y_1 + \dots + Y_i + X_{i+1} + \dots + X_n$ één coördinaat per keer: toon voor elke $A \subseteq \N$ aan dat $$\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} \leq d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal P(p_i)\bigr),$$ en besluit tot de *ongelijkheid van Le Cam*: $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\text{verdeling van } S,\ \mathcal P(\lambda)\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 .$$ 23. Dividenden. (a) Voor $p_i = \frac\lambda n$ is de grens $\frac{\lambda^2}n$ — de wet van de zeldzame gebeurtenissen ( [Oefening 23.5](#exo-b3-clt-5) ), opgewaardeerd tot een expliciete snelheid, uniform over alle gebeurtenissen en ook geldig voor ongelijke $p_i$ . (b) Er worden $500$ brieven bezorgd, die elk [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) met kans $\frac1{500}$ verloren gaan: begrens de fout van het poissonmodel met parameter $1$ , en schat de kans dat geen enkele brief verloren gaat. (c) Sluit de opgave af: vergelijk de twee universaliteitsklassen die je hier bent tegengekomen — [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) (veel kleine, uitgespreide bijdragen; twee samenvallende momenten; Taylor) en poisson (veel zeldzame bijdragen; één samenvallend gemiddelde; een exacte koppeling in totale variatie) — en de ene vervangingsmethode achter beide. 24. (Relatieve fout en de logtransformatie) Zij $(X_n)$ i.i.d. en positief met gemiddelde $\mu > 0$ en variantie $\sigma^2$, en zij $\bar X_n$ het empirische gemiddelde. Toon met de deltamethode aan dat $$\sqrt n\,\bigl(\ln\bar X_n - \ln\mu\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0,\ \frac{\sigma^2}{\mu^2}\Bigr) :$$ de asymptotische parameter van $\ln\bar X_n$ is de *variatiecoëfficiënt* $\sigma/\mu$ — een relatieve, schaalvrije fout. Leid een betrouwbaarheidsinterval van $95\%$ voor $\mu$ af van de multiplicatieve vorm $\bar X_n\cdot\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}$, en leg uit wanneer het boven het additieve interval te verkiezen is. 25. (Het derde moment stuurt de fout) Bereken voor gecentreerde $X \sim$ bernoulli( $p$ ) $\E\bigl[(X - p)^3\bigr] = p(1-p)(1-2p)$ . Leg met de analyse van Deel IV (de fout bij het verwisselen wordt door derde momenten aangedreven) uit waarom de normale benadering van $\mathcal B(n, p)$ voor $p \neq \frac12$ asymmetrisch is — aan de ene kant te hoog, aan de andere te laag — en waarom $p = \frac12$ de snellere snelheid van samenvallende momenten geniet. Ga het teken van de scheefheid numeriek na op $\mathcal B(20, 0.1)$ tegenover $\mathcal N(2, 1.8)$ : vergelijk $\P(S = 0) = 0.9^{20}$ met de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) massa van $\intoo{-\infty}{0.5}$ . **Oplossing van Probleem 23.1.** **1.** De familie $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ is [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence): de twee blokken zijn per constructie [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) van elkaar en elk blok is i.i.d. $W_i$ is een [meetbare functie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#def-b3-lebesgue-measurable) van enkel de veranderlijken $(X_j)_{ji}$, alle verschillend van $X_i$ en $N_i$: volgens het coalitieprincipe ([Stelling 22.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-independence)) is $W_i$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) van het paar $(X_i, N_i)$. De ontbindingen $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ en $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ volgen onmiddellijk uit de definities: van $H_i$ naar $H_{i-1}$ gaan verwisselt de ene term $X_i$ voor $N_i$. **2.** Taylor–Lagrange van orde $3$: er is een $c$ tussen $w$ en $w + h$ met $f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \frac12f''(w)h^2 + \frac16f'''(c)h^3$, en $\abs{f'''(c)} \leq M_3$ geeft de grens. **3.** Trek de twee ontwikkelingen in het gemeenschappelijke basispunt $w = W_i$ van elkaar af: $$ f(H_i) - f(H_{i-1}) = f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n} + \frac{f''(W_i)}{2}\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n} + R_i, \qquad \abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot \frac{\abs{X_i}^3 + \abs{N_i}^3}{n^{3/2}} . $$ Neem [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). Volgens vraag 1 zijn $f'(W_i)$ en $f''(W_i)$ onafhankelijk van $(X_i, N_i)$, dus splitsen de gemengde [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space): $$ \begin{align*} \E\Bigl[f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n}\Bigr] &= \E\bigl[f'(W_i)\bigr]\,\frac{\E X_i - \E N_i}{\sqrt n} = 0, \\ \E\Bigl[f''(W_i)\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n}\Bigr] &= \E\bigl[f''(W_i)\bigr]\,\frac{1 - 1}{n} = 0 : \end{align*} $$ de eerste twee momenten van $X_i$ en $N_i$ *vallen samen*, en enkel de restterm overleeft: $$ \bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \E\abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} . $$ Het [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) derde moment: $\gamma = \E\abs{N_1}^3 = 2\int_0^\infty x^3\,\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\dd x = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty 2u\,\eu^{-u}\dd u = \frac{4}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}$ (substitutie $u = x^2/2$, daarna $\Gamma(2) = 1$). **4.** Telescopeer $\E f(T_n) - \E f(G_n) = \sum_{i=1}^n\bigl(\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr)$ en pas vraag 3 toe op elk van de $n$ termen: $$ \bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq n \cdot \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} = \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} . $$ **5.** $G_n$ is voor elke $n$ *exact* $\mathcal N(0,1)$ (een genormeerde som van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) standaardgaussische veranderlijken, [Oefening 23.3](#exo-b3-clt-3)), dus is $\E f(G_n) = \E f(N)$ en luidt vraag 4 $\abs{\E f(T_n) - \E f(N)} \leq \frac{M_3(\beta+\gamma)}{6\sqrt n} \to 0$ voor $f \in \mathcal C^3_b$. *Optillen.* Zij $f$ begrensd en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), $M = \sup\abs f$, $\varepsilon > 0$. Kies $A \geq 1$ met $\frac1{A^2} \leq \varepsilon$: Chebyshev met $\V(T_n) = 1$ geeft $\P(\abs{T_n} > A) \leq \varepsilon$ voor alle $n$, en evenzo $\P(\abs N > A) \leq \varepsilon$. Zij $\chi$ van klasse $\mathcal C^\infty$ met $\mathbf 1_{\intcc{-A}A} \leq \chi \leq \mathbf 1_{\intcc{-A-1}{A+1}}$ (een gladde plateaufunctie, gebouwd door $\mathbf 1_{\intcc{-A-\frac12}{A+\frac12}}$ te regulariseren, [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)); $g = f\chi$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager, dus uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), zodat haar regularisatie $g_\eta = g * \rho_\eta$ van klasse $\mathcal C^\infty$ is met begrensde afgeleiden van alle orden en $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ voor $\eta$ klein genoeg. Voor $T = T_n$ of $N$, en omdat $f = g$ op $\intcc{-A}A$ en $\abs{f - g} \leq 2M$ overal: $$ \bigl|\E f(T) - \E g_\eta(T)\bigr| \leq \E\abs{(f - g)(T)} + \norm{g - g_\eta}_\infty \leq 2M\,\P(\abs T > A) + \varepsilon \leq (2M + 1)\,\varepsilon . $$ Samen met $\E g_\eta(T_n) \to \E g_\eta(N)$ (vraag 4 is van toepassing: $g_\eta \in \mathcal C^3_b$): $$ \limsup_n\;\bigl|\E f(T_n) - \E f(N)\bigr| \leq 2(2M + 1)\,\varepsilon , $$ en $\varepsilon$ was willekeurig: $\E f(T_n) \to \E f(N)$ voor elke begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$, dat wil zeggen $T_n \Rightarrow \mathcal N(0,1)$. **6.** De gelijke [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) kwam maar in één zin binnen: “$X_i$ en $N_i$ hebben dezelfde eerste twee momenten”. Zij dus $X_1, \dots, X_n$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence), gecentreerd, met varianties $\sigma_i^2$ en eindige derde momenten, $s_n^2 = \sum_i\sigma_i^2 > 0$, en neem $N_i \sim \mathcal N(0, \sigma_i^2)$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) van al de rest. Definieer de hybriden met de normering $s_n$: $H_i = \frac1{s_n}(\sum_{j\leq i}X_j + \sum_{j>i}N_j)$. Bij de $i$-de verwisseling doden $\E X_i = \E N_i = 0$ en $\E X_i^2 = \E N_i^2 = \sigma_i^2$ opnieuw de termen in $f'$ en $f''$, en de restterm geeft (met $\E\abs{N_i}^3 = \sigma_i^3\gamma$ door schaling): $$ \bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\bigl(\E\abs{X_i}^3 + \sigma_i^3\gamma\bigr) . $$ Telescoperen: $$ \Bigl|\E f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{s_n}\Bigr) - \E f(N)\Bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\sum_{i=1}^n \Bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\,\gamma\Bigr) . $$ Omdat $\sigma_i^3 = (\E X_i^2)^{3/2} \leq \E\abs{X_i}^3$ (de machtsgemiddelde-ongelijkheid, dat wil zeggen Jensen voor $t \mapsto t^{3/2}$ toegepast op $X_i^2$), is het rechterlid hoogstens $\frac{M_3(1 + \gamma)}{6}\cdot \frac{\sum_i\E\abs{X_i}^3}{s_n^3}$: onder de *voorwaarde van Lyapunov* $\frac1{s_n^3}\sum_i\E\abs{X_i}^3 \to 0$ convergeren de genormeerde sommen in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) naar $\mathcal N(0,1)$ — de centrale limietstelling zonder gelijke [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). **7.** Zij $\rho \in \mathcal C^\infty_c(\intoo01)$ met $\int\rho = 1$ en stel $\psi(x) = \int_x^1\rho(s)\dd s$: $\psi$ is $\mathcal C^\infty$, niet-stijgend, $\psi = 1$ op $\R_-$, $\psi = 0$ op $\intco1\infty$; zij $K = \norm{\psi'''}_\infty$. Definieer voor $t \in \R$ en $\delta > 0$ $\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ en $\tilde\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta + 1\bigr)$: die zijn $\mathcal C^3_b$ met derde afgeleide begrensd door $K/\delta^3$, en $$ \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t-\delta}} \leq \tilde\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq \psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t+\delta}} . $$ Bovengrens: volgens vraag 4 toegepast op $\psi_\delta$ (met $M_3 = K/\delta^3$), $$ \P(T_n \leq t) \leq \E\psi_\delta(T_n) \leq \E\psi_\delta(N) + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n} \leq \Phi(t + \delta) + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n} \leq \Phi(t) + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}, $$ want $\Phi$ is lipschitz met constante $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ (haar [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) is door $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ begrensd). De symmetrische ondergrens via $\tilde\psi_\delta$ geeft de schatting met twee termen $$ \sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq \frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot\frac{1}{\delta^3\sqrt n} + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} \qquad(\delta > 0\ \text{willekeurig}). $$ De twee termen wegen tegen elkaar op wanneer $\delta^{-3}n^{-1/2} \asymp \delta$, dat wil zeggen $\delta = n^{-1/8}$: beide zijn dan $O(n^{-1/8})$, een expliciete uniforme snelheid, geldig voor elke $n$. (De optimale snelheid $C\beta/\sqrt n$ van Berry–Esseen vergt de gladstrijkongelijkheid van de fouriermethode; het verwisselen ruilt scherpte voor volledige elementariteit.) **8.** Voor $X_i = 2B_i - 1$ (eerlijke tekens): gecentreerd, variantie $1$, en $\abs{X_i} = 1$, dus $\beta = 1$. Vraag 7 begrenst dan $\sup_t\abs{\P(\frac{S_n}{\sqrt n} \leq t) - \Phi(t)}$ expliciet en uniform voor *elke* eindige $n$ — een globale, niet-asymptotische uitspraak over de verdelingsfunctie. De lokale schatting van [Probleem 11.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#pb-b3-product-1), vraag 7, geeft daarentegen de exacte asymptotiek van één afzonderlijk atoom, $\P(S_{2n} = 2k) \sim \frac{\eu^{-k^2/n}}{\sqrt{\pi n}}$: zij lost kansen van de grootte $n^{-1/2}$ op, ver onder de resolutie $n^{-1/8}$ van vraag 7, maar ze is puntsgewijs, asymptotisch (geen expliciete fout bij vaste $n$) en gebonden aan deze bijzondere roosterverdeling. Lokale precisie tegenover globale uniformiteit: de twee methoden vullen elkaar aan, en de lokale schatting over $k \in \intint{a\sqrt n}{b\sqrt n}$ sommeren geeft de Moivre–Laplace op intervallen terug — met een scherpere snelheid, maar enkel voor deze [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). **9.** Het verwisselingsargument gebruikte over de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van de $X_i$ niets meer dan $\E X_i = 0$, $\E X_i^2 = 1$ en de eindigheid van $\E\abs{X_i}^3$: hadden we de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) $N_i$ vervangen door om het even welke andere i.i.d. familie met dezelfde eerste twee momenten en een eindig derde moment, dan zou hetzelfde telescoperen $\abs{\E f(\text{som}_X) - \E f(\text{som}_Y)}$ begrenzen door $O(n^{-1/2})$ voor elke gladde $f$. Gladde statistieken van grote [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) sommen zijn dus *universeel*: op een gekwantificeerde fout na hangen ze van de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van de termen enkel via twee getallen af. Dat is het invariantiebeginsel: bewijs een limietstelling voor de best berekenbare [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) (de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector), waar alles exact is) en draag ze dan door verwisseling over naar alle [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space). Hetzelfde schema — met sommen vervangen door ingewikkelder functionalen — drijft de halvecirkelwet van Wigner voor toevalsmatrices aan, de universaliteit van de nulpunten van toevalsveeltermen, en een groot deel van de moderne kansrekening; de centrale limietstelling is er het eerste en eenvoudigste geval van. **10.** $Z$ is een borelfunctie van enkel $(N_{i+1}, \dots, N_n)$, terwijl $A = W_i + \theta h - Z$ en $h$ functies zijn van de overige veranderlijken van de [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) familie $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$: volgens het coalitieprincipe ([Stelling 22.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-b3-probability-independence)) is $Z$ onafhankelijk van $(A, h)$. Als som van de [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) $N_j/\sqrt n \sim \mathcal N(0, \frac1n)$ is $Z \sim \mathcal N(0, s^2)$ met $s^2 = \frac{n-i}n$ ([Oefening 23.3](#exo-b3-clt-3)), met een [dichtheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ex-b3-lebesgue-gamma) begrensd door $\frac1{s\sqrt{2\pi}}$. De [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) van $((A, h), Z)$ is het product van de twee marginale [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space), dus bevriest Tonelli (overdracht) het eerste blok: met $G(a) = \E\abs{g(a + Z)} = \int\abs{g(a + z)}\,\varphi_s(z)\,\dd z \leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}$ voor elke $a$, $$ \E\bigl[\abs h^3\abs{g(A + Z)}\bigr] = \E\bigl[\abs h^3\,G(A)\bigr] \leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}\,\E\abs h^3 = \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm g_{L^1}\,\E\abs h^3 . $$ **11.** De integraalvorm van de formule van Taylor volgt door $f(w + h) - f(w) = h\int_0^1f'(w + \theta h)\,\dd\theta$ tweemaal partieel te integreren naar $\theta$. Neem [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) bij de $i$-de verwisseling: de orden $0, 1, 2$ vallen precies weg als in vraag 3, en de twee resttermen (voor $h = X_i/\sqrt n$ en $N_i/\sqrt n$) worden voor $i \leq n - 1$ begrensd door vraag 10 met $g = f'''$: $$ \bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \int_0^1\frac{(1-\theta)^2}2\,\dd\theta\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} = \frac{\beta + \gamma}{6\,n^{3/2}} \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} . $$ Sommeren, met $\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{\frac n{n-i}} = \sqrt n\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2n$, en de grens van vraag 3 voor de laatste verwisseling erbij ($i = n$, geen [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) meer over): $$ \bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} + \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} . $$ De hellingen: $\psi_\delta'''(x) = \delta^{-3}\psi'''\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$, dus $M_3 = K\delta^{-3}$ met $K = \norm{\psi'''}_\infty$ en $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = \delta^{-2} \norm{\psi'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ (substitutie). De insluiting van vraag 7 geeft dan $$ \sup_t\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq \frac{K_1(\beta + \gamma)}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac1{\delta^2\sqrt n} + \frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot \frac1{\delta^3n^{3/2}} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}} . $$ In $\delta = n^{-1/6}$ zijn de eerste en de derde term $O(n^{-1/6})$ en de middelste $O(n^{-1})$: een uniforme snelheid $O(n^{-1/6})$, strikt beter dan de $n^{-1/8}$ van vraag 7 — de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) helft van de hybride deed het extra gladstrijken. **12.** $\E N_1^3 = 0$ (oneven integrand), en partiële integratie geeft $\E N_1^4 = 3\,\E N_1^2 = 3$ ($\int x^3\cdot x\varphi(x)\dd x = 3\int x^2\varphi$). Voor $f$ van klasse $\mathcal C^4$ met begrensde afgeleiden ontwikkel je elke verwisseling tot de vierde orde: de termen van derde orde dragen de factor $\E X_i^3 - \E N_i^3 = 0$ (de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) splitst ze als in vraag 3), dus overleeft enkel de restterm van vierde orde $\int_0^1\frac{(1-\theta)^3}6f^{(4)}(w + \theta h)h^4\dd\theta$, met $\int_0^1 \frac{(1-\theta)^3}6\dd\theta = \frac1{24}$ en $\E h^4 = \beta_4n^{-2}$ of $3n^{-2}$. Vraag 10 (met $g = f^{(4)}$) begrenst de verwisselingen met $i \leq n - 1$, en sommeren als in vraag 11: $$ \bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta_4 + 3}{12\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f^{(4)}}_{L^1}}{n} + \frac{M_4(\beta_4 + 3)}{24\,n^2} . $$ Met $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ en $M_4 = K'\delta^{-4}$ wordt de grens voor de verdelingsfuncties $C\delta^{-3}n^{-1} + C'\delta^{-4}n^{-2} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}}$; in $\delta = n^{-1/4}$ zijn de buitenste termen $O(n^{-1/4})$ en de middelste $O(n^{-1})$: snelheid $O(n^{-1/4})$. **13.** Met $k$ samenvallende momenten is de overblijvende restterm per verwisseling van de orde $\E\abs h^{k+1} \asymp n^{-(k+1)/2}$; de grens met de verborgen [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) rekent $\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}$ aan en de som over de verwisselingen draagt de factor $2n$ bij, wat $\asymp\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}\, n^{-(k-1)/2}$ geeft voor gladde $f$. Hellingen kosten $\norm{\psi_\delta^{(k+1)}}_{L^1} \asymp \delta^{-k}$, dus is de fout voor de verdelingsfuncties $\asymp \delta^{-k}n^{-(k-1)/2} + \delta$, afgewogen in $\delta = n^{-(k-1)/(2k+2)}$: snelheid $n^{-(k-1)/(2k+2)}$, dat is $n^{-1/6}$ voor $k = 2$, $n^{-1/4}$ voor $k = 3$, en streeft enkel naar $n^{-1/2}$ als $k \to \infty$ — maar $k \geq 4$ zou $\E X_1^4 = 3$ en verder afdwingen, dat wil zeggen een [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) die de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) al nabootst. De verzadiging is structureel: het verwisselen telt $n$ verwisselingsfouten *in absolute waarde* op en ziet af van elke wegvalling tussen verwisselingen. Het fourierbewijs vergelijkt [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf), waar de fouten met hun oscillerende fasen verschijnen; de gladstrijkongelijkheid van Esseen zet $\abs{\varphi_{T_n} - \varphi_N}$, geïntegreerd tegen $\frac{\dd\xi}{\abs\xi}$, tegen enkel logaritmische kosten om in een grens voor de verdelingsfuncties, en levert de $C\beta n^{-1/2}$ van Berry–Esseen uit drie momenten. Het vervangen ruilt optimaliteit voor robuustheid — en, zoals Deel VII toont, voor overdraagbaarheid. **14.** $\Sigma$ is symmetrisch positief semidefiniet; met $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ ($P$ orthogonaal, $D \geq 0$ diagonaal, [Oefening 20.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#exo-b3-submanifolds-8)) voldoet de symmetrische $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ aan $C^2 = \Sigma$. Voor elke $t \in \R^2$ is $\langle t, CZ\rangle = \langle Ct, Z\rangle = (Ct)_1Z^1 + (Ct)_2Z^2$ een lineaire combinatie van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijken, dus [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) ([Oefening 23.3](#exo-b3-clt-3)): $N = CZ$ is een [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector); haar gemiddelde is $0$ en haar covariantie $\E[NN^{\mathsf T}] = C\,\E[ZZ^{\mathsf T}]\,C^{\mathsf T} = CC^{\mathsf T} = \Sigma$. Momenten: $\norm N^3 \leq (\abs{N_1} + \abs{N_2})^3 \leq 4(\abs{N_1}^3 + \abs{N_2}^3)$ (convexiteit van $x^3$ op $\R_+$), en elke coördinaat is een reële [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijke met momenten van alle orden ([Oefening 11.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/11-productmaten-fubini-variabelensubstitutie#exo-b3-product-10)): $\gamma' < \infty$. Ten slotte is elke $\langle t, G_n\rangle = \frac1{\sqrt n}\sum_i\langle t, N_i\rangle$ een genormeerde som van i.i.d. $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$, dus exact $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$: $G_n$ is een [gaussische vector](#def-b3-clt-gaussianvector) met gemiddelde $0$ en covariantie $\Sigma$, en haar [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) is $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Definitie 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector): de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) ligt door die gegevens vast). **15.** Zij $\phi(t) = f(w + th)$, $t \in \intcc01$: $\phi$ is $\mathcal C^3$ met $$ \phi'''(t) = \sum_{j,k,l\in\{1,2\}}\partial_{jkl}f(w + th)\,h_jh_kh_l, \qquad \abs{\phi'''(t)} \leq M_3\Bigl(\sum_j\abs{h_j}\Bigr)^3 = M_3(\abs{h_1} + \abs{h_2})^3 . $$ Taylor–Lagrange van orde $3$ voor $\phi$ tussen $0$ en $1$ geeft de eerste ongelijkheid; Cauchy–Schwarz geeft $\abs{h_1} + \abs{h_2} \leq \sqrt2\norm h$, vandaar de constante $\frac{2\sqrt2M_3}6 = \frac{\sqrt2M_3}3$. **16.** Definieer $H_i$ en $W_i$ als in vraag 1, nu in $\R^2$; het coalitieargument blijft onveranderd. Bij de $i$-de verwisseling geven de termen van eerste orde $\sum_j\E[\partial_jf(W_i)]\,(\E X_{i,j} - \E N_{i,j})/ \sqrt n = 0$ en die van tweede orde $\frac1{2n}\sum_{j,k}\E[\partial_{jk}f(W_i)]\,(\Sigma_{jk} - \Sigma_{jk}) = 0$: de gemiddelden en de covarianties vallen samen. Vraag 15 begrenst de twee resttermen: $$ \bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{\sqrt2M_3}3\cdot\frac{\E\norm{X_i}^3 + \E\norm{N_i}^3}{n^{3/2}} = \frac{\sqrt2M_3(\beta' + \gamma')}{3\,n^{3/2}}, $$ en telescoperen over de $n$ verwisselingen: $$ \Bigl|\E f\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt n}\Bigr) - \E f(G_n)\Bigr| \leq \frac{\sqrt2\,M_3(\beta' + \gamma')}{3\sqrt n}, \qquad G_n \sim \mathcal N(0, \Sigma)\ \text{exact} . $$ Optillen: $\E\norm{T_n}^2 = \E\norm{X_1}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$ (de gemengde termen verdwijnen wegens [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) en centrering), dus $\P(\norm{T_n} > A) \leq \operatorname{tr}\Sigma/A^2$, en evenzo voor $N$: gespannenheid. Vermenigvuldig, bij een begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ en $\varepsilon > 0$, met een gladde plateaufunctie $\chi$ gelijk aan $1$ op de bol met straal $A$ en met drager in straal $A + 1$ (regulariseer een indicator in $\R^2$, [Stelling 12.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#thm-b3-lp-regularization)); $g = f\chi$ is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) drager, dus is haar tweedimensionale regularisatie $g_\eta$ van klasse $\mathcal C^\infty$ met begrensde afgeleiden van alle orden en $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ voor kleine $\eta$. De keten met drie $\varepsilon$’s van vraag 5 draagt zich dan woordelijk over: $\E f(T_n) \to \E f(N)$ voor elke begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f \colon \R^2 \to \R$. Dat is [Stelling 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) voor $d = 2$, nu bewezen — het verwisselen omzeilt de tweedimensionale stelling van Lévy die het hoofdstuk toegegeven had gelaten. **17.** Voor begrensde [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $g \colon \R \to \R$ is de afbeelding $x \mapsto g(\langle t, x\rangle)$ begrensd en [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op $\R^2$, dus geeft vraag 16 $\E g(\langle t, T_n\rangle) \to \E g(\langle t, N\rangle)$: elke projectie convergeert in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space), en $\langle t, N\rangle \sim \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$. (Dat is de makkelijke richting van Cramér–Wold: gezamenlijke convergentie impliceert de convergentie van alle lineaire beelden.) Toepassing: $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ zijn i.i.d. gecentreerde vectoren ($\E\xi_1^2 = 1$), met covariantie-elementen $\V(\xi_1) = 1$, $\operatorname{Cov}(\xi_1, \xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^3$ en $\V(\xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^4 - 1$; het derde moment $\E\norm{V_1}^3 \leq 4\bigl(\E\abs{\xi_1}^3 + \E\abs{\xi_1^2 - 1}^3\bigr)$ is eindig zodra $\xi_1 \in L^6$. Vraag 16 levert de opgeschreven gezamenlijke [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) limiet, en [Stelling 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2): de twee limietcoördinaten zijn [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) precies wanneer de covariantie $\E\xi_1^3$ verdwijnt — voor symmetrische [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) ontkoppelen het empirische gemiddelde en de empirische variantie asymptotisch. **18.** Schrijf $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) + \eta(x))(x - \theta)$ met $\eta(x) = \frac{g(x) - g(\theta)}{x - \theta} - g'(\theta)$ voor $x \neq \theta$ en $\eta(\theta) = 0$: differentieerbaarheid in $\theta$ betekent precies dat $\eta(x) \to 0$ als $x \to \theta$. *Stap 1:* $\hat\theta_n \to \theta$ in kans: voor $\varepsilon > 0$ en willekeurige $A > 0$ is uiteindelijk $\varepsilon\sqrt n \geq A$, dus $\P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \varepsilon) \leq \P(\abs{\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)} > A) \to \P(\sigma\abs N > A)$ (de verdelingsfuncties convergeren in de continuïteitspunten $\pm A$), en het rechterlid streeft naar $0$ als $A \to \infty$. *Stap 2:* $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ in kans: kies bij $\varepsilon' > 0$ een $\delta$ met $\abs\eta \leq \varepsilon'$ op $\abs{x - \theta} \leq \delta$; dan is $\P(\abs{\eta(\hat\theta_n)} > \varepsilon') \leq \P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \delta) \to 0$. *Stap 3:* $$ \sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) = g'(\theta)\,\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) + \eta(\hat\theta_n)\cdot\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) . $$ Volgens de productregel van Slutsky ([Oefening 23.8](#exo-b3-clt-8), met de rij $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ in kans en de in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) convergerende $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)$) convergeert de tweede term in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) naar $0\cdot\mathcal N(0, \sigma^2) = 0$, dus naar $0$ in kans ([Oefening 23.4](#exo-b3-clt-4)(b)); de eerste convergeert in [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) naar $g'(\theta)\mathcal N(0, \sigma^2)$ (opnieuw Slutsky, of de affiene regel voor [karakteristieke functies](#def-b3-clt-cf)); de somregel van Slutsky zet ze samen: de limiet is $\mathcal N(0, g'(\theta)^2\sigma^2)$. **19.** (a) De centrale limietstelling geeft $\sqrt n(\bar X_n - \mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$; de deltamethode met $g(x) = x^2$, $g'(\mu) = 2\mu$, geeft $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ — ontaard (limiet $0$) wanneer $\mu = 0$. In dat geval leeft de schommeling een schaal hoger: $n\bar X_n^2 = (\sqrt n\,\bar X_n)^2$, en voor $t > 0$ is $$ \P\bigl(n\bar X_n^2 \leq t\bigr) = \P\bigl(-\sqrt t \leq \sqrt n\,\bar X_n \leq \sqrt t\bigr) \longrightarrow \Phi\Bigl(\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) - \Phi\Bigl(-\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) = \P(\sigma^2N^2 \leq t) : $$ $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$, het kwadraat van een [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) veranderlijke (een “chi-kwadraatverdeling”) — sterft de eerste afgeleide, dan dicteert de term van tweede orde in Taylor een [niet-gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) limiet. (b) Hier is $\sqrt n(\hat p_n - p) \Rightarrow \mathcal N(0, p(1 - p))$ en heeft $g(p) = \arcsin\sqrt p$ de afgeleide $g'(p) = \frac1{2\sqrt{p(1 - p)}}$, dus $g'(p)^2\,p(1 - p) = \frac14$: de limiet is $\mathcal N(0, \frac14)$ voor elke $p \in \intoo01$. Op de $\arcsin$-schaal is de asymptotische foutmarge van $95\%$ dus $\pm \frac{0.98}{\sqrt n}$, op voorhand bekend — terwijl in [Voorbeeld 23.9](#ex-b3-clt-confidence) de breedte de onbekende $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ bevatte, die door $\frac12$ moest worden afgeschat of geschat: de transformatie *stabiliseert* de variantie. **20.** Zij $A^* = \{k : \mu(\{k\}) > \nu(\{k\})\}$ en $\Delta_k = \mu(\{k\}) - \nu(\{k\})$, zodat $\sum_k\Delta_k = 0$. Voor elke $A \subseteq \N$ is $\mu(A) - \nu(A) = \sum_{k\in A}\Delta_k \leq \sum_{k\in A^*}\Delta_k$, met gelijkheid in $A = A^*$; en omdat het positieve en het negatieve deel van $(\Delta_k)$ dezelfde totale massa hebben, is $\sum_{A^*}\Delta_k = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Het verwisselen van $\mu$ en $\nu$ handelt het teken af: $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Koppeling: voor elke $A$ is $$ \mu(A) - \nu(A) = \E\bigl[\mathbf 1_A(X) - \mathbf 1_A(Y)\bigr] = \E\bigl[(\mathbf 1_A(X) - \mathbf 1_A(Y))\,\mathbf 1_{X\neq Y}\bigr] \leq \P(X \neq Y), $$ en neem het supremum over $A$. **21.** De twee [verdelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) laden: $k = 0$: $1 - p$ tegenover $\eu^{-p}$, met $\eu^{-p} > 1 - p$; $k = 1$: $p$ tegenover $p\,\eu^{-p} < p$; $k \geq 2$: $0$ tegenover de poissonrest $1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p} \geq 0$. Bijgevolg $$ d_{\mathrm{TV}} = \tfrac12\bigl[(\eu^{-p} - 1 + p) + (p - p\eu^{-p}) + (1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p})\bigr] = \tfrac12\bigl(2p - 2p\eu^{-p}\bigr) = p(1 - \eu^{-p}), $$ en $1 - \eu^{-p} \leq p$ geeft de grens $p^2$. **22.** Schrijf $H_{i-1} = W_i + X_i$ en $H_i = W_i + Y_i$ met $W_i = \sum_{ji}X_j$, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence) van het paar $(X_i, Y_i)$ (coalities). Voor $A \subseteq \N$ geeft conditioneren op de aftelbaar vele waarden, met de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-independence), $$ \P(H_{i-1} \in A) = \sum_{k\geq0}\P(X_i = k)\,\P(W_i + k \in A), $$ en evenzo voor $H_i$ met $Y_i$. Aftrekken, met $c_k = \P(W_i + k \in A) \in \intcc01$ en $\Delta_k = \P(X_i = k) - \P(Y_i = k)$ van som nul: $$ \abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} = \Bigl|\sum_k\Delta_k\bigl(c_k - \tfrac12\bigr)\Bigr| \leq \tfrac12\sum_k\abs{\Delta_k} = d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal P(p_i)\bigr) . $$ Telescoperen van $H_0 = S$ tot $H_n = \sum_iY_i \sim \mathcal P(\lambda)$ ([Oefening 23.1](#exo-b3-clt-1), herhaald) en vraag 21 gebruiken: $$ \abs{\P(S \in A) - \P(\mathcal P(\lambda) \in A)} \leq \sum_{i=1}^np_i\bigl(1 - \eu^{-p_i}\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 \qquad\text{voor elke } A : $$ de ongelijkheid van Le Cam. (De koppelingsgrens van vraag 20 geeft een alternatieve weg: koppel elk paar op één uniforme veranderlijke zodat $\P(X_i \neq Y_i) \leq p_i^2$ en begrens $\P(S \neq \sum Y_i)$; het verwisselen heeft helemaal geen constructie nodig.) **23.** (a) Met $p_i = \frac\lambda n$: $d_{\mathrm{TV}}(\text{verdeling van }S, \mathcal P(\lambda)) \leq \frac{\lambda^2}n$. Dat scherpt [Oefening 23.5](#exo-b3-clt-5) op drie manieren aan: een expliciete fout bij elke eindige $n$, uniformiteit over alle gebeurtenissen $A$ tegelijk (niet één interval per keer), en geen behoefte aan gelijke $p_i$ — enkel aan een kleine $\sum_ip_i^2$, bijvoorbeeld $\sum p_i^2 \leq \lambda\max_ip_i$: *veel zeldzame gebeurtenissen, geen enkele dominant*. (b) Hier is $n = 500$, $p_i = \frac1{500}$, $\lambda = 1$: het poissonmodel vergist zich op elke gebeurtenis met hoogstens $500\cdot\frac1{500^2} = 0.002$; in het bijzonder, met $A = \{0\}$, $$ \P(\text{geen brief verloren}) = \Bigl(1 - \frac1{500}\Bigr)^{500}, \qquad \Bigl|\P(\text{geen brief verloren}) - \eu^{-1}\Bigr| \leq 0.002, $$ zodat het antwoord $\eu^{-1} \approx 0.368$ is, op een gewaarborgde $0.002$ na (de werkelijke afwijking is ongeveer $4\cdot10^{-4}$). (c) De opgave sluit op één methode met twee regimes. Wanneer $n$ vergelijkbare bijdragen elk variantie $\frac1n$ dragen, maakt het samenvallen van *twee* momenten met de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) de verwisselingsfouten elk $o(\frac1n)$: sommen worden [gaussisch](#def-b3-clt-gaussianvector) — met Taylor als lokaal vergelijkingsgereedschap. Wanneer $n$ bijdragen indicatoren met kans $p_i$ zijn, maakt het samenvallen van het *gemiddelde* met een poissonatoom elke verwisseling $p_i$ in het kwadraat duur: tellingen van zeldzame gebeurtenissen worden poisson — met de totale variatie als exacte lokale vergelijking. Dezelfde hybriden, dezelfde telescoop, een andere lokale schatting: het vervangen is een strategie, geen stelling, en de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) en de poissonlimiet zijn de twee oudste dividenden ervan. **24.** De centrale limietstelling geeft $\sqrt n(\bar X_n - \mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$, en $g(x) = \ln x$ is differentieerbaar in $\mu > 0$ met $g'(\mu) = \frac1\mu$: de deltamethode (Deel VI) levert $\sqrt n(\ln\bar X_n - \ln\mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2/\mu^2)$. Het interval $\abs{\ln\bar X_n - \ln\mu} \leq \frac{1.96\,\sigma}{\mu\sqrt n}$ door exponentiëren uitpakken: $$ \mu \in \bar X_n\cdot \eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)} \qquad\text{met asymptotische kans } 95\% $$ (in de praktijk wordt $\sigma/\mu$ door zijn empirische versie vervangen, Slutsky als in [Oefening 23.8](#exo-b3-clt-8)). Het multiplicatieve interval is het natuurlijke wanneer de gegevens positief zijn met fouten evenredig aan hun grootte — inkomens, concentraties, halveringstijden: grootheden die op een logaritmische schaal leven, waar symmetrische additieve intervallen zelfs door nul zouden kunnen gaan. **25.** $\E[(X - p)^3] = (1-p)^3p + (-p)^3(1 - p) = p(1-p)\bigl[(1-p)^2 - p^2\bigr] = p(1-p)(1 - 2p)$. In de analyse van het verwisselen (Deel IV) draagt de leidende foutterm na het samenvallen van twee momenten het *getekende* derde moment: voor $p < \frac12$ is het positief (de [verdeling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#def-b3-probability-space) leunt naar rechts: zeldzame grote uitschieters boven het gemiddelde), en de normale benadering legt de massa stelselmatig verkeerd — ze onderschat de korte linkerstaart en overschat de rechter — met een fout van de orde $n^{-1/2}$; in $p = \frac12$ verdwijnt het derde moment, valt de bernoulliverdeling tot in de derde orde met de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) samen, en verbetert de snelheid (de vraag over samenvallende momenten van Deel IV). Numeriek: $\P(S = 0) = 0.9^{20} = 0.1216$, terwijl de [gaussische](#def-b3-clt-gaussianvector) $\mathcal N(2, 1.8)$ $\Phi\bigl(\frac{0.5 - 2}{\sqrt{1.8}}\bigr) = \Phi(-1.118) \approx 0.132$ geeft: de normale kromme, die niets weet van de muur in $0$ en van de scheefheid naar rechts, legt te veel massa onderaan — het voorspelde teken van de fout, al zichtbaar bij $n = 20$.