--- title: "Modulen over een hoofdideaaldomein" book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3" subject: math language: nl chapter: 3 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein --- # Hoofdstuk 3 — Modulen over een hoofdideaaldomein Lineaire algebra over een *ring* in plaats van over een lichaam: die kleine wijziging in de hypothesen levert een van de grote unificatiestellingen van de algebra op. Een [moduul](#def-b3-modules-module) over $\Z$ is een abelse groep; een [moduul](#def-b3-modules-module) over $K[X]$ is een vectorruimte met een endomorfisme erop. De structuurstelling voor eindig voortgebrachte modulen over een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) classificeert dus in één klap alle eindig voortgebrachte abelse groepen *en* alle endomorfismen op gelijkvormigheid na — de reductie van Jordan, die in bachelorjaar 2 nog via delicate inducties werd verkregen, valt eruit als gevolg, samen met haar subtielere tegenhanger, de *rationale* normaalvorm, geldig over elk lichaam. De rekenmotor is de [normaalvorm van Smith](#thm-b3-modules-smith), een matrixrekenkunde die Euclides waardig is. Overal is $A$ een commutatieve ring, weldra een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd); “[moduul](#def-b3-modules-module)” betekent $A$-moduul. ## 3.1 Modulen, vrije modulen **Definitie 3.1.** Een *$A$-moduul* is een abelse groep $(M, +)$ met een scalaire vermenigvuldiging $A \times M \to M$ die aan de axioma’s van een vectorruimte voldoet: $a(x + y) = ax + ay$, $(a + b)x = ax + bx$, $(ab)x = a(bx)$ en $1x = x$. Deelmodulen, quotiënten $M/N$, morfismen ($A$-lineaire afbeeldingen), directe sommen $\bigoplus_i M_i$ en de isomorfiestellingen worden woord voor woord gedefinieerd en bewezen zoals voor vectorruimten en abelse groepen; in het bijzonder is $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ voor een morfisme $f$. **Voorbeeld 3.2.** De drie motiverende gevallen. 1. $A = K$ een lichaam: modulen zijn vectorruimten. 2. $A = \Z$ : modulen zijn precies de abelse groepen ( $nx$ is gedwongen $x + \dots + x$ ), deelmodulen zijn deelgroepen. 3. $A = K[X]$ : een [moduul](#def-b3-modules-module) is een $K$ -vectorruimte $V$ samen met de $K$ -lineaire afbeelding $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — en omgekeerd wordt elk paar $(V, u)$ met $u \in \mathcal L(V)$ een $K[X]$ -moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$ . De deelmodulen zijn precies de $u$ -invariante deelruimten. Een [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal) van $A$ is precies een deelmoduul van $A$; een [quotiëntring](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal) $A/I$ is een $A$-moduul. Anders dan vectorruimten kunnen modulen *[torsie](#def-b3-modules-torsion)* hebben: in $\Z/6\Z$ wordt het element $\bar 3 \ne 0$ vernietigd door $2 \neq 0$. **Definitie 3.3.** $M$ heet *eindig voortgebracht* als $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ voor zekere $x_i$. En $M$ heet *vrij* van rang $n$ als $M \cong A^n$, dat wil zeggen als het een *basis* heeft (een voortbrengende familie die $A$-lineair onafhankelijk is). Elk eindig voortgebracht $M$ is een quotiënt van een vrij [moduul](#def-b3-modules-module): $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ beeldt $A^n$ af op $M$. **Propositie 3.4 (Invariantie van de rang).** Is $A \neq 0$ en $A^m \cong A^n$, dan is $m = n$. **Bewijs.** Kies een [maximaal ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-primemaximal) $\mathfrak m$ van $A$ ([Stelling 2.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-krull)) en stel $k = A/\mathfrak m$, een lichaam. Een isomorfisme $f \colon A^m \to A^n$ beeldt $\mathfrak m A^m$ in $\mathfrak m A^n$ af (lineariteit) en induceert dus een isomorfisme van de quotiënten $$ A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad k^m \cong k^n $$ als $k$-vectorruimten (het quotiënt $A^m/\mathfrak m A^m$ wordt door $\mathfrak m$ vernietigd, dus factoriseert de $A$-werking over $k$; de beelden van de standaardbasis vormen een $k$-basis). De dimensietheorie over het lichaam $k$ geeft $m = n$. ∎ **Stelling 3.5 (Deelmodulen van vrije modulen).** Zij $A$ een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) en $M \subseteq A^n$ een deelmoduul. Dan is $M$ [vrij](#def-b3-modules-free) van rang $\leq n$. **Bewijs.** Inductie naar $n$. Voor $n = 1$ is $M$ een [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal), dus $M = (0)$ ([vrij](#def-b3-modules-free) van rang $0$) of $M = dA \cong A$ ($x \mapsto dx$ is injectief: het is een domein). Voor $n > 1$: zij $\pi \colon A^n \to A$ de laatste coördinaat. Dan is $\pi(M)$ een [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal), dus $(0)$ of $dA$. Is het $(0)$, dan is $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ en past de inductiehypothese. Kies anders $x_0 \in M$ met $\pi(x_0) = d$. Elke $x \in M$ schrijft zich op precies één manier als $$ x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi $$ ($\pi(x) \in dA$, dus de coëfficiënt ligt in $A$). Bijgevolg is $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$: de som is direct, want $\pi(ax_0) = ad = 0$ dwingt $a = 0$ af. Per inductie is $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ [vrij](#def-b3-modules-free) van rang $\leq n - 1$; $x_0$ toevoegen (onafhankelijk van $\ker\pi$, zoals net gezien) geeft een basis van $M$ met hoogstens $n$ elementen. ∎ **Opmerking 3.6.** Bijgevolg heeft over een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) elk [eindig voortgebracht moduul](#def-b3-modules-free) $M$ een *eindige presentatie*: een surjectie $\varphi\colon A^n \to M$ heeft een vrije kern met basis $c_1, \dots, c_k$ ($k \leq n$), en $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ met $C \in M_{n,k}(A)$ de matrix waarvan de kolommen de $c_j$ zijn. $M$ begrijpen betekent dus een *matrix over $A$* begrijpen, op basiswisselingen in bron en doel na — het onderwerp van de volgende paragraaf. ## 3.2 De normaalvorm van Smith **Definitie 3.7.** Twee matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ heten *equivalent* als $C = QBP$ met $Q \in GL_n(A)$ en $P \in GL_k(A)$ (inverteerbaar *over $A$*: determinant in $A^\times$). Equivalente presentatiematrices definiëren isomorfe modulen $A^n/ \operatorname{im}$ (wissel van basis in $A^n$ en $A^k$). **Stelling 3.8 (Normaalvorm van Smith).** Zij $A$ een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) en $B \in M_{n,k}(A)$. Dan is $B$ equivalent met een diagonaalmatrix $$ \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 , $$ en de $d_i$ zijn op associatie na uniek: $d_1 \cdots d_i$ is een [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) van de $i \times i$-minoren van $B$ (in het bijzonder is die [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) een invariant van de equivalentie). De $d_i$ heten de *invariante factoren* van $B$. **Bewijs.** *Bestaan.* Is $B = 0$, dan zijn we klaar. Beschouw anders de verzameling [idealen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal) $(b)$ voortgebracht door de ingangen van matrices die equivalent zijn met $B$; omdat $A$ [noethers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-noetherian) is, kunnen we een met $B$ equivalente matrix $B'$ kiezen en een ingang $d$ van $B'$ waarvoor $(d)$ in die verzameling *maximaal* is. Breng $d$ met rij- en kolomverwisselingen naar plaats $(1,1)$. *Bewering: $d$ deelt elke ingang van $B'$.* Eerst kolom 1: is $b_{i1}$ geen veelvoud van $d$, stel dan $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), zodat $(e) \supsetneq (d)$. De truc met de $2 \times 2$-matrix: op de rijen $1$ en $i$ werken met $$ \begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr) $$ levert een equivalente matrix met ingang $e$ op plaats $(1,1)$: in strijd met de maximaliteit van $(d)$. Dus deelt $d$ kolom $1$, en symmetrisch rij $1$. Veelvouden van rij 1 en kolom 1 aftrekken veegt die schoon: $B'$ is equivalent met $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$. Vervolgens deelt $d$ elke ingang $b$ van $B''$: tel de rij van $b$ op bij rij 1 (een elementaire bewerking; de nieuwe eerste rij bevat $d$ en $b$-ingangen) en herhaal het kolomveegargument: een niet-veelvoud zou $(d)$ opnieuw verbeteren. Nu inductie naar de afmeting: $B''$, waarvan alle ingangen door $d$ deelbaar zijn, heeft een Smith-vorm $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ waarvan de ingangen door $d$ deelbaar blijven (elke ingang van een $QB''P$ is een $A$-combinatie van ingangen van $B''$); stel $d_1 = d$. *Eenduidigheid.* Noteer met $D_i(B)$ een [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) van alle $i \times i$-minoren. Rij- en kolombewerkingen, en algemener vermenigvuldiging met een *willekeurige* matrix, kunnen die [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) niet verkleinen: de $i \times i$-minoren van $QB$ zijn $A$-combinaties van die van $B$ (ontwikkeling van Cauchy–Binet; of rechtstreeks: elke rij van $QB$ is een combinatie van rijen van $B$, en minoren zijn multilineair in de rijen). Dus delen $D_i(QBP)$ en $D_i(B)$ elkaar: $D_i$ is een invariant van de equivalentie. Op de diagonaalvorm zijn de $i \times i$-minoren $\neq 0$ de producten van $i$ van de $d_j$, en maakt de deelbaarheid $d_1 \mid \dots \mid d_r$ van $d_1 \cdots d_i$ de [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout). Bijgevolg is $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ op eenheden na, en ligt $d_i = D_i/D_{i-1}$ vast. ∎ **Methode 3.9.** Over een [euclidisch domein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$, $K[X]$) is de Smith-reductie een algoritme — geen maximaliteitsargument nodig: breng de ingang met de kleinste euclidische grootte naar plaats $(1,1)$; deelt ze een ingang van haar rij of kolom niet, dan laat een euclidische deling daar een strikt kleinere rest achter — wissel die naar binnen en begin opnieuw (terminatie: de groottes dalen); deelt ze haar hele rij en kolom, veeg die dan schoon; deelt ze een inwendige ingang niet, tel die rij dan op bij rij $1$ en begin opnieuw; en werk recursief verder op het inwendige blok. In de praktijk, bij gehele matrices: bereken $D_1 = \gcd$ van de ingangen, dan $D_2$, … via de minoren voor kleine afmetingen, of laat het algoritme lopen. **Voorbeeld 3.10 (Een volledig uitgewerkte Smith-reductie).** Reduceer $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ over $\Z$. De hoekingang $1$ deelt alles: veeg haar rij en kolom schoon ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$, daarna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$): $$ M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} . $$ In het inwendige blok deelt de hoekingang $-3$ alle ingangen: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ en $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ vegen het schoon tot $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Na aanpassing van de tekens (een rij met $-1$ vermenigvuldigen is een geoorloofde bewerking): $$ M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z . $$ Controle via de determinantdelers: $D_1 = \gcd(\text{ingangen}) = 1$; elke $2\times2$-minor van $M$ is een veelvoud van $3$ (bijvoorbeeld $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) en één ervan is $-3$: $D_2 = 3$; en $D_3 = \det M = 0$. Dus $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: hetzelfde antwoord. Twee lessen: een invariante factor $0$ legt de rangval vast (de cokern krijgt een vrije $\Z$-summand erbij), en de deelbaarheidsketen $1 \mid 3 \mid 0$ is het Smith-certificaat — een diagonaalreductie die de keten schendt (zeg $\operatorname{diag}(2, 3)$, die de onachtzame lezer uit $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ haalt door te vroeg te stoppen: de juiste Smith-vorm is $\operatorname{diag}(1, 6)$, want hier is $D_1 = 1$!) is niet af. ![Het deelrooster L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) van ℤ2 (de rode punten). De normaalvorm van Smith van ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) is diag(1, 6): in de aangepaste basis f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) van ℤ2 geldt L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, zodat ℤ2/L ℤ/6ℤ — de index is gelijk aan | | = 6, de oppervlakte van het gearceerde fundamentaaldomein.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg) *Het deelrooster $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ van $\Z^2$ (de rode punten). De [normaalvorm van Smith](#thm-b3-modules-smith) van $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ is $\operatorname{diag}(1, 6)$: in de aangepaste basis $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (0,1)$ van $\Z^2$ geldt $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$, zodat $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — de index is gelijk aan $\abs{\det} = 6$, de oppervlakte van het gearceerde fundamentaaldomein.* ## 3.3 De structuurstelling **Definitie 3.11.** Zij $A$ een domein en $M$ een $A$-moduul. Het *torsiedeelmoduul* is $$ T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ voor zekere } a \neq 0\} $$ (een deelmoduul: uit $ax = by = 0$ volgt $ab(x + y) = 0$ met $ab \ne 0$). $M$ heet *torsievrij* als $T(M) = 0$, en een *torsiemoduul* als $T(M) = M$. **Stelling 3.12 (Structuur van eindig voortgebrachte modulen over een hoofdideaaldomein).** Zij $A$ een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) en $M$ een [eindig voortgebracht](#def-b3-modules-free) $A$-moduul. Dan bestaan er een unieke $r \in \N$ en elementen $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$, alle $\neq 0$ en geen eenheden, op associatie na uniek, met $$ M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s). $$ Bovendien is $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ en $M/T(M) \cong A^r$: een [eindig voortgebracht](#def-b3-modules-free) *[torsievrij](#def-b3-modules-torsion)* [moduul](#def-b3-modules-module) over een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) is [vrij](#def-b3-modules-free). **Bewijs.** *Bestaan.* Presenteer $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ ([Opmerking 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) en breng $C$ in Smith-vorm: na de twee basiswisselingen is $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$. Laat de factoren weg waarin $d_i$ een eenheid is ($A/(d_i) = 0$); de deelbaarheidsketen overleeft dat. *Het herkennen van de [torsie](#def-b3-modules-torsion).* In de ontbinding is $A^r$ [torsievrij](#def-b3-modules-torsion) (een domein heeft geen nuldelers) en is elke $A/(d_i)$ [torsie](#def-b3-modules-torsion) (vernietigd door $d_i \ne 0$); een directe som splitst de [torsie](#def-b3-modules-torsion) dienovereenkomstig: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ en $M/T(M) \cong A^r$. *Eenduidigheid van $r$*: $M/T(M) \cong A^r$ hangt alleen van $M$ af, en [Propositie 3.4](#prop-b3-modules-rank) legt $r$ vast. *Eenduidigheid van de $d_i$*: het volstaat het torsiemoduul $T = T(M)$ te behandelen. Ontbind elke $d_i$ in [priemelementen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) en splits met de [Chinese reststelling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt) ([Stelling 2.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt); verschillende [priemelementen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) brengen [comaximale idealen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt) voort): $$ A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr), $$ met de *elementaire delers* $p^{k_{p,j}}$. Omgekeerd worden de $d_i$ uit de multiverzameling [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) gereconstrueerd ($d_s$ = product van de hoogste macht van elk [priemelement](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility), enzovoort), zodat het volstaat te bewijzen dat de multiverzameling $\{k_{p,j}\}_j$ voor elk [priemelement](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) $p$ door $T$ is bepaald. Leg $p$ vast en beschouw voor $j \geq 1$ de $A/(p)$-vectorruimten $p^{j-1}T/p^jT$. Op een cyclische factor $A/(p^k)$ geldt $$ p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{als } j \leq k,\\ 0 & \text{als } j > k, \end{cases} $$ en op een factor $A/(q^k)$ met $q \neq p$ is de vermenigvuldiging met $p$ bijectief ($p$ is inverteerbaar modulo $q^k$: Bézout), zodat het quotiënt $0$ is. Directe sommen gaan er doorheen: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$. Die intrinsieke dimensies leggen de multiverzameling exponenten vast. ∎ **Gevolg 3.13 (Eindig voortgebrachte abelse groepen).** Elke eindig voortgebrachte abelse groep is $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ met $d_1 \mid \dots \mid d_s$, en dat op precies één manier. Elke *eindige* abelse groep is een product van cyclische groepen van priemmachtorde, als multiverzameling uniek. **Voorbeeld 3.14.** De abelse groepen van orde $p^n$ komen overeen met de *partities* van $n$: voor $p^4$ zijn dat $\Z/p^4$, $\Z/p^3\times\Z/p$, $(\Z/p^2)^2$, $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ en $(\Z/p)^4$ — vijf groepen, want $4$ heeft vijf partities. Bij gemengde ordes vermenigvuldigen de aantallen zich priemgetal per priemgetal ([Chinese reststelling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt)): er zijn $5 \times 2$ abelse groepen van orde $2^4 \cdot 3^2 = 144$. ## 3.4 Toepassing: normaalvormen van endomorfismen Zij $K$ een lichaam, $V$ een $K$-vectorruimte van eindige dimensie $n$, en $u \in \mathcal L(V)$; maak van $V$ een $K[X]$-moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$ ([Voorbeeld 3.2](#ex-b3-modules-examples)). Dat [moduul](#def-b3-modules-module) is [eindig voortgebracht](#def-b3-modules-free) (een $K$-basis brengt het voort) en [torsie](#def-b3-modules-torsion): voor elke $x$ zijn de $n+1$ vectoren $x, u(x), \dots, u^n(x)$ $K$-afhankelijk, wat een annihilerende veelterm $\neq 0$ oplevert. **Definitie 3.15.** Voor een monische $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ is de *begeleidende matrix* $$ C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} : $$ de matrix van “vermenigvuldigen met $X$” op $K[X]/(P)$ in de basis $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$. **Stelling 3.16 (Frobenius: de rationale normaalvorm).** Er bestaat precies één rij monische niet-constante veeltermen $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (de *gelijkvormigheidsinvarianten* van $u$) zodanig dat, als $K[X]$-modulen, $$ V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s): $$ in een geschikte basis heeft $u$ de blokdiagonale matrix $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$. Bovendien geldt: 1. $P_s = \mu_u$ (de minimaalveelterm) en $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (de karakteristieke veelterm); in het bijzonder is $\mu_u \mid \chi_u$ *(Cayley–Hamilton opnieuw bewezen)* en $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , zodat $\chi_u$ en $\mu_u$ dezelfde irreducibele factoren hebben. 2. Twee endomorfismen (of vierkante matrices) zijn gelijkvormig dan en slechts dan als ze dezelfde [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) hebben. **Bewijs.** Pas de structuurstelling ([Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure)) toe op het [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$: het torsiemoduul $V$ ontbindt met [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) $P_i$, monisch genormaliseerd (de eenheden van $K[X]$ zijn $K^\times$); een [vrij](#def-b3-modules-free) deel treedt niet op ($V$ is [torsie](#def-b3-modules-torsion)). Op elke cyclische factor $K[X]/(P_i)$ heeft vermenigvuldigen met $X$ de matrix $C_{P_i}$ in de basis van de machten van $\bar X$: de bases achter elkaar zetten geeft de blokvorm. (1) De annihilator van $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ is $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (deelbaarheidsketen: $P_s$ is een gemeenschappelijk veelvoud, en de klasse van $1$ in de laatste factor wordt precies door $(P_s)$ vernietigd): dus $\mu_u = P_s$. Voor $\chi_u$: op een cyclische factor is $\chi_{C_P} = P$, met inductie naar $m = \deg P$. Ontwikkel $\det(XI_m - C_P)$ naar de eerste rij (met als ingangen $X$, dan nullen, en $a_0$ in de laatste kolom): $$ \det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L , $$ waarbij $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (dezelfde vorm, één maat kleiner) en $L$ driehoekig is met diagonaal $(-1, \dots, -1)$, zodat $\det L = (-1)^{m-1}$. Per inductie is de eerste term $X\tilde P$ en de tweede $a_0$: samen $X\tilde P + a_0 = P$ (basisgeval $m=1$: $\det(X + a_0) = P$). Determinanten vermenigvuldigen over de blokken: $\chi_u = \prod P_i$. Cayley–Hamilton: elke $P_i \mid P_s$, dus deelt $\chi_u = \prod P_i$ de veelterm $P_s^{\,s} = \mu_u^s$; en $\mu_u = P_s$ deelt $\chi_u$ als een van haar factoren. (2) Gelijkvormige endomorfismen zijn geconjugeerde moduulstructuren en hebben dus dezelfde invarianten (de eenduidigheid in [Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure)); omgekeerd geven gelijke invarianten isomorfe $K[X]$-modulen, en een moduulisomorfisme is precies een lineaire bijectie die de twee endomorfismen verweeft: een gelijkvormigheid. ∎ **Gevolg 3.17 (Gelijkvormigheid is ongevoelig voor lichaamsuitbreiding).** Zij $K \subseteq L$ lichamen en $M, N \in M_n(K)$. Zijn $M$ en $N$ gelijkvormig over $L$, dan zijn ze het over $K$. **Bewijs.** De [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) van $M$ worden berekend met de minorenformule van Smith ([Stelling 3.8](#thm-b3-modules-smith)), toegepast op de presentatiematrix $XI_n - M$ over $K[X]$ — het $K[X]$-moduul $V_M = K^n$ heeft immers presentatiematrix $XI_n - M$: de afbeelding $K[X]^n \to V_M$, $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$, is surjectief met een kern voortgebracht door de kolommen van $XI_n - M$ (een rechtstreekse verificatie: modulo die kolommen reduceert elk element van $K[X]^n$ tot een constante vector, en constante vectoren worden bijectief afgebeeld; de weekendopgave werkt dit uit). [Grootste gemene delers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) van veeltermen veranderen niet onder lichaamsuitbreiding: is $d$ de monische [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) in $K[X]$ van een familie $(f_j)$, dan geeft Bézout dat $d = \sum u_jf_j$ met $u_j \in K[X]$, zodat elke gemeenschappelijke deler van de $f_j$ *in $L[X]$* de veelterm $d$ deelt; en omdat $d$ zelf een gemeenschappelijke deler is, is het ook in $L[X]$ de [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout). De [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) van $XI_n - M$, quotiënten van opeenvolgende [grootste gemene delers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) van minoren, zijn dus dezelfde over $K$ als over $L$: $M$ en $N$ hebben dezelfde [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) over $L$ precies wanneer over $K$; besluit met [Stelling 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2). ∎ **Stelling 3.18 (De jordanvorm, opnieuw afgeleid).** Stel dat $\chi_u$ over $K$ in lineaire factoren uiteenvalt (bijvoorbeeld $K = \C$). Passen we op $V$ de ontbinding in [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) toe (uit het bewijs van [Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure)) in plaats van die in [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith), dan is $$ V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr), $$ en in de basis $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ van elke factor werkt $u$ als het jordanblok $J_k(\lambda)$: elk endomorfisme waarvan de karakteristieke veelterm uiteenvalt, heeft een jordanbasis, en de multiverzameling blokken $(\lambda, k)$ is uniek. **Bewijs.** De [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) van het torsiemoduul $V$ zijn de $(X - \lambda)^k$, waarbij $X - \lambda$ de irreducibele factoren van $\mu_u$ doorloopt (die uiteenvalt, want $\chi_u$ doet dat en beide hebben dezelfde irreducibele factoren, [Stelling 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). Stel in $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ de vectoren $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ voor $j = 1, \dots, k$: dan is $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (met $f_0 = 0$), dat wil zeggen $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$: de matrix van $u$ op $(f_1, \dots, f_k)$ is precies $J_k(\lambda)$ (enen boven de diagonaal). De eenduidigheid van de multiverzameling [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) is [Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure). ∎ **Opmerking 3.19.** De hiërarchie van de normaalvormen is nu doorzichtig: de *rationale* vorm bestaat over elk lichaam en herkent gelijkvormigheid absoluut ([Gevolg 3.17](#cor-b3-modules-descent)); de *[jordanvorm](#thm-b3-modules-jordan)* is haar verfijning zodra $\chi_u$ uiteenvalt. De bewijzen van de stelling van Jordan uit bachelorjaar 2, met hun dimensietellingen, zijn hiermee opgeslokt: al die combinatoriek was de rekenkunde van het [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$. ## 3.5 Oefeningen **Oefening 3.1 ★.** (a) Toon aan dat $\Q$ als $\Z$-moduul niet [eindig voortgebracht](#def-b3-modules-free) is. (b) Toon aan dat $\Q$ [torsievrij](#def-b3-modules-torsion) maar niet [vrij](#def-b3-modules-free) is. (c) Waarom spreekt geen van beide uitspraken [Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure) tegen? **Oplossing van Oefening 3.1.** (a) Was $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$, zij dan $d$ een gemeenschappelijke noemer van de $q_i$: elke combinatie ligt in $\frac1d\Z$, maar $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$. Tegenspraak. (b) [Torsievrij](#def-b3-modules-torsion): uit $nq = 0$ met $n \neq 0$ volgt $q = 0$ in $\Q$. Niet [vrij](#def-b3-modules-free): twee rationale getallen $\frac ab, \frac cd \neq 0$ voldoen aan de niet-triviale betrekking $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$, dus heeft een basis hoogstens één element; en $\Q \cong \Z$ zou $\Q = \Z q$ cyclisch maken, terwijl $\frac q2 \notin \Z q$. (En $\Q \neq 0$.) (c) [Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure) veronderstelt *eindige voortbrenging*, en die ontkent (a): geen tegenspraak dus — $\Q$ laat juist zien dat die hypothese in de uitspraak “[torsievrij](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ [vrij](#def-b3-modules-free)” nodig is. **Oefening 3.2 ★.** Geef de abelse groepen van orde $360$ op isomorfie na, zowel in de vorm met [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) als in die met [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith). Hoeveel abelse groepen van orde $p^5$ zijn er? **Oplossing van Oefening 3.2.** $360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$. Partities: van $3$: $(3), (2,1), (1,1,1)$; van $2$: $(2), (1,1)$; van $1$: $(1)$. Dus $3 \times 2 \times 1 = 6$ groepen. [Elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) $\to$ [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith): | $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ | | --- | --- | | $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ | (Om naar de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) over te gaan: de grootste $d_s$ verzamelt van elk priemgetal de hoogste macht, enzovoort naar beneden.) Van orde $p^5$: even veel als er partities van $5$ zijn, namelijk $7$. **Oefening 3.3 ★.** Bereken de [normaalvorm van Smith](#thm-b3-modules-smith) over $\Z$ van $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}, $$ en herken de abelse groepen $\Z^2/B\Z^2$ en $\Z^3/C\Z^3$. **Oplossing van Oefening 3.3.** Voor $B$: $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ en $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$. [Invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$ en $d_2 = 8/2 = 4$: Smith-vorm $\operatorname{diag}(2, 4)$, en $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$. Voor $C$: diagonaal, maar *niet* in Smith-vorm ($2 \nmid 3$). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$; $D_3 = 72$. Dus $d = (1, 6, 12)$ en $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — in overeenstemming met de [Chinese reststelling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt): $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$. **Oefening 3.4 ★★.** Zij $L \subseteq \Z^n$ een deelgroep van rang $n$ met als basis de kolommen van $B \in M_n(\Z)$, $\det B \neq 0$. Toon aan dat $\Z^n/L$ eindig is van kardinaliteit $\abs{\det B}$, en dat $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ voor de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) $d_i$ van $B$. Illustreer dit met $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$. **Oplossing van Oefening 3.4.** Schrijf $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ met $Q, P \in GL_n(\Z)$ ([Stelling 3.8](#thm-b3-modules-smith); geen enkele $d_i$ is $0$, want $\det B \neq 0$). Dan is $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (het samengestelde isomorfisme $x \mapsto Q^{-1}x$ van $\Z^n$ beeldt $B\Z^n$ af op $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$). De kardinaliteit is $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$, want $\det Q$ en $\det P$ zijn $\pm 1$. Voor $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ is $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ met $D_1 = 1$ en $D_2 = 6$: $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$, van kardinaliteit $\abs{\det B} = 6$. **Oefening 3.5 ★★.** Zij $A$ een domein. (a) Ga na dat $T(M)$ een deelmoduul is en dat $M/T(M)$ [torsievrij](#def-b3-modules-torsion) is. (b) Toon aan dat het [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ van $K[X,Y]$, opgevat als $K[X,Y]$-moduul, [torsievrij](#def-b3-modules-torsion) maar niet [vrij](#def-b3-modules-free) is: de structuurstelling heeft de hypothese van een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) werkelijk nodig. **Oplossing van Oefening 3.5.** (a) Dat het een deelmoduul is, staat al in [Definitie 3.11](#def-b3-modules-torsion). Is $a(x + T(M)) = 0$ in $M/T(M)$ met $a \neq 0$, dan is $ax \in T(M)$, dus $bax = 0$ voor zekere $b \neq 0$; en $ba \neq 0$ (domein), zodat $x \in T(M)$: de klasse is nul. Dus is $M/T(M)$ [torsievrij](#def-b3-modules-torsion). (b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ is [torsievrij](#def-b3-modules-torsion) (een deelmoduul van het domein $K[X,Y]$ dat op zichzelf werkt). Stel dat het [vrij](#def-b3-modules-free) was; twee elementen $P, Q$ voldoen aan $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$, een niet-triviale betrekking zodra $P \ne Q$ en beide $\neq 0$, dus heeft een basis één element: $(X, Y) = (P)$, een hoofdideaal — in strijd met [Oefening 2.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#exo-b3-rings-6)(a). [Torsievrij](#def-b3-modules-torsion) en [eindig voortgebracht](#def-b3-modules-free) ($X$ en $Y$ brengen het voort), en toch niet [vrij](#def-b3-modules-free): over het [niet-hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) $K[X,Y]$ faalt de structuurstelling. **Oefening 3.6 ★★.** (a) Toon aan dat $2\Z$ geen direct complement heeft in het $\Z$-moduul $\Z$: deelmodulen van vrije modulen zijn [vrij](#def-b3-modules-free) ([Stelling 3.5](#thm-b3-modules-submodule)), maar hoeven geen directe summanden te zijn. (b) Toon aan dat een $M \subseteq A^n$ ($A$ een [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd)) waarvoor $A^n/M$ [torsievrij](#def-b3-modules-torsion) is, wél een directe summand is. **Oplossing van Oefening 3.6.** (a) Was $\Z = 2\Z \oplus C$, dan beperkt de projectie $\Z \to \Z/2\Z$ tot een isomorfisme $C \cong \Z/2\Z$: $C$ zou een deelgroep van $\Z$ zijn waarvan het element $x \neq 0$ voldoet aan $2x \in C \cap 2\Z = 0$. Maar $\Z$ is [torsievrij](#def-b3-modules-torsion): dus $C = 0$, wat $\Z = 2\Z$ afdwingt — onjuist. (b) $A^n/M$ is [eindig voortgebracht](#def-b3-modules-free) en [torsievrij](#def-b3-modules-torsion), dus [vrij](#def-b3-modules-free) ([Stelling 3.12](#thm-b3-modules-structure)): $A^n/M \cong A^r$ met basis $f_1, \dots, f_r$. Kies originelen $y_i \in A^n$ van de $f_i$ en stel $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$. Voor elke $x \in A^n$ is $\pi(x) = \sum a_if_i$, dus $x - \sum a_iy_i \in M$: bijgevolg $A^n = M + F$. Ligt $\sum a_iy_i$ in $M$, dan geeft toepassen van $\pi$ dat $\sum a_if_i = 0$, dus zijn alle $a_i = 0$ (basis): $M \cap F = 0$. Bijgevolg is $A^n = M \oplus F$. **Oefening 3.7 ★★.** Los in $\Z^2$ het stelsel $$ \begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases} $$ op, en bepaal voor welke paren $(b_1, b_2)$ er oplossingen zijn; gebruik de Smith-vorm uit [Oefening 3.3](#exo-b3-modules-3) (inverteerbare variabelenwisselingen aan beide kanten). **Oplossing van Oefening 3.7.** De reductie uit [Oefening 3.3](#exo-b3-modules-3) was effectief: met $$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} $$ (rijbewerking $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, kolombewerkingen $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ en daarna $C_2 \leftarrow -C_2$). Stel $y = R^{-1}x$ (een bijectie van $(\Z/20\Z)^2$, want $R$ is inverteerbaar over $\Z$); dan is het stelsel $Bx \equiv b \pmod{20}$ gelijkwaardig met $$ 2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}. $$ De congruentie $ky \equiv c \pmod{20}$ is [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) dan en slechts dan als $\gcd(k, 20) \mid c$: er zijn dus oplossingen precies wanneer $2 \mid b_1$ en $4 \mid b_2 - 3b_1$, dat wil zeggen *$b_1$ even en $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$*. In dat geval zijn er $2 \times 4 = 8$ oplossingen modulo $20$. **Oefening 3.8 ★★.** (a) Bepaal alle [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) en mogelijke [jordanvormen](#thm-b3-modules-jordan) van een nilpotente $4 \times 4$-matrix, gesorteerd naar de partitie van $4$ die ze realiseren. (b) Geef twee complexe $4\times4$-matrices met dezelfde karakteristieke *en* minimaalveelterm die niet gelijkvormig zijn, en bewijs dat dit voor $n \leq 3$ niet kan. **Oplossing van Oefening 3.8.** (a) Een nilpotente $u$ heeft $\mu_u = X^k$; de [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) zijn $X^{k_1} \geq \dots$, met één jordanblok $J_{k_i}(0)$ per deel van een partitie van $4$: | partitie | [jordanvorm](#thm-b3-modules-jordan) | [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) | | --- | --- | --- | | $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ | | $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ | | $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ | | $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ | | $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ | (b) Neem $u = J_2\oplus J_2$ en $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$: beide hebben $\chi = X^4$ en $\mu = X^2$, maar verschillende [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) — dus niet gelijkvormig ([Stelling 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); men kan ook de rangen vergelijken: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$. Voor $n \leq 3$ bepalen $\chi$ en $\mu$ voor elke eigenwaarde $\lambda$ (over een splitsingslichaam) de totale grootte $m_\lambda \leq 3$ van de $\lambda$-blokken en het grootste blok $r_\lambda$; en een partitie van $m \leq 3$ ligt vast door haar grootste deel ($m = 3$ met $r = 2$ dwingt $(2,1)$ af, enzovoort). De [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) vallen dus samen, en [Gevolg 3.17](#cor-b3-modules-descent) laat de gelijkvormigheid afdalen naar het grondlichaam. **Oefening 3.9 ★★★.** Zij $u \in \mathcal L(V)$ met $\dim V = n$. Toon aan dat het volgende gelijkwaardig is: (i) $V$ is een cyclisch $K[X]$-moduul (er is een $x$ met $V = K[u]x$, een *cyclische vector*); (ii) $\mu_u = \chi_u$; (iii) $s = 1$ in [Stelling 3.16](#thm-b3-modules-frobenius). Leid af dat een [begeleidende matrix](#def-b3-modules-companion) een cyclische vector heeft, en bepaal wanneer een diagonaalmatrix er een heeft. **Oplossing van Oefening 3.9.** (i)$\Rightarrow$(ii): is $V = K[u]x$, dan is $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ met $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (een veelterm vernietigt $x$ precies wanneer ze heel $V = K[u]x$ vernietigt, want $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$). Dus $n = \dim V = \deg \mu_u$; en omdat $\mu_u \mid \chi_u$ met $\deg\chi_u = n$, geeft het monisch zijn $\mu_u = \chi_u$. (ii)$\Rightarrow$(iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ en $\mu_u = P_s$ ([Stelling 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); gelijkheid van de graden dwingt $s = 1$ af. (iii)$\Rightarrow$(i): $V \cong K[X]/(P_1)$ is cyclisch, voortgebracht door het origineel van $\bar 1$. Een [begeleidende matrix](#def-b3-modules-companion) is het geval $V = K[X]/(P)$ zelf: $x = \bar 1$, dus $e_1$, is cyclisch. Voor een diagonaalmatrix $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ is $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ en $\mu = \prod_{\lambda \text{ verschillend}} (X - \lambda)$; die vallen samen dan en slechts dan als de $\lambda_i$ paarsgewijs verschillend zijn: een diagonaalmatrix heeft een cyclische vector precies wanneer haar diagonaalingangen paarsgewijs verschillen (dan voldoet $x = (1, \dots, 1)$: Vandermonde). **Oefening 3.10 ★★★.** Bewijs voor $M \in M_n(\Z)$, opgevat als endomorfisme van $\Z^n$, de indexformule: is $\det M \ne 0$, dan is $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$; leid af dat $M \in GL_n(\Z)$ dan en slechts dan als $\det M = \pm 1$. Toepassing: de groep $\Z^2$ heeft precies $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ deelgroepen van index $m$. *(Tel de matrices in Hermite-vorm $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ met $ad = m$ en $0 \leq b < d$.)* **Oplossing van Oefening 3.10.** Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$, en [Oefening 3.4](#exo-b3-modules-4) geeft $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$. Is $\det M = \pm 1$, dan heeft de formule met de geadjugeerde matrix, $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$, gehele ingangen, dus $M \in GL_n(\Z)$; omgekeerd geeft $MM^{-1} = I$ dat $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ in $\Z$, dus $\det M = \pm1$. Deelgroepen van index $m$ in $\Z^2$: zo’n deelgroep $L$ heeft rang $2$ (eindige index) en een unieke basis in *Hermite-vorm* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$: $d$ wordt gekenmerkt door $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$, $a$ door $\pi_1(L) = a\Z$ (de eerste coördinaten), en $b$ is dan uniek modulo $d$; normaliseer $a, d > 0$ en $0 \leq b < d$. De index is $ad = m$. Tellen: voor elke deler $d \mid m$ (met $a = m/d$) zijn er $d$ keuzen voor $b$, samen $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$. **Oefening 3.11 ★★.** (Vergelijkingen $x^k = e$ in abelse groepen) Zij $G$ een eindige abelse groep met [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$. (a) Toon aan dat voor elke $k \geq 1$ $$ \#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) . $$ (b) Leid af: een eindige abelse groep is cyclisch dan en slechts dan als voor elke $k$ de vergelijking $x^k = e$ hoogstens $k$ oplossingen heeft. (c) Vind zo de cycliciteit terug van eindige deelgroepen van $K^\times$ ($K$ een lichaam, [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#ch-b3-galois)): waarom garandeert de veelterm $X^k - 1$ het criterium uit (b)? **Oplossing van Oefening 3.11.** (a) Volgens de structuurstelling is $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$, en $x^k = e$ ontkoppelt per coördinaat. In $\Z/d\Z$ heeft $kx \equiv 0 \pmod d$ precies $\gcd(k, d)$ oplossingen ($x$ moet een veelvoud van $d/\gcd(k,d)$ zijn, en daarvan zijn er $\gcd(k, d)$). Vermenigvuldig over de factoren. (b) Is $G = \Z/d_s\Z$ cyclisch ($s = 1$), dan is het aantal $\gcd(k, d_s) \leq k$. Is $s \geq 2$, neem dan $k = d_1$: het aantal is $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (elke $\gcd$ is $d_1$ wegens de deelbaarheidsketen), zodat de vergelijking $x^{d_1} = e$ meer dan $d_1$ oplossingen heeft. (c) In een lichaam heeft $X^k - 1$ hoogstens $k$ wortels ([Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#ch-b3-rings): een veelterm $\neq 0$ van graad $k$ over een domein), dus voldoet elke eindige deelgroep $G \leq K^\times$ aan het criterium van (b): $G$ is cyclisch — het structurele bewijs van één regel voor de cycliciteit van $\mathbb F_q^\times$, naast het telbewijs van [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#ch-b3-galois). **Oefening 3.12 ★★★.** (Elementaire matrices brengen voort) (a) Toon aan dat $M \in M_n(\Z)$ inverteerbaar is in $M_n(\Z)$ dan en slechts dan als $\det M = \pm1$. (b) Toon aan dat $SL_2(\Z)$ wordt voortgebracht door de twee elementaire matrices $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ en $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. *(Voer het algoritme van Euclides uit op de eerste kolom van $M \in SL_2(\Z)$ door links met machten van $E$ en $F$ te vermenigvuldigen, tot je $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ bereikt; maak het met de hand af — merk op dat $-I = (EF^{-1}E)^2$.)* (c) Leg het verband met de Smith-reductie uit: over $\Z$ volstaan rij- en kolombewerkingen met determinant $1$ om te diagonaliseren, op tekens na. **Oplossing van Oefening 3.12.** (a) Is $MN = I$ met $N$ geheel, dan is $\det M\det N = 1$ met beide geheel, dus $\det M = \pm1$. Omgekeerd heeft bij $\det M = \pm1$ de cofactorformule $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ gehele ingangen. (b) Links vermenigvuldigen met $E^{-k}$ trekt $k$ maal rij $2$ van rij $1$ af; met $F^{-k}$ trekt het $k$ maal rij $1$ van rij $2$ af. Is $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$, dan is de eerste kolom $(a, c)$ een unimodulaire vector ($\gcd(a, c) = 1$: hij deelt $\det M = 1$). Voer met deze rijbewerkingen Euclides uit op $(a, c)$: na eindig veel stappen wordt de kolom $(\pm1, 0)$. De matrix is dan $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (de determinant bleef $1$). Rest nog $-I$ in de voortbrengers te schrijven: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (ga het kwadraat van die rotatiematrix na). Terugrollend is $M$ een woord in $E^{\pm1}$ en $F^{\pm1}$. (c) Het algoritme van Smith ([Methode 3.9](#met-b3-modules-smith)) gebruikt precies zulke rij- en kolombewerkingen (plus verwisselingen en tekenwissels, die zelf op het teken van de determinant na producten van elementaire bewerkingen zijn): over $\Z$ is elke matrix van de vorm $U\,D\,V$ met $U, V$ producten van elementaire matrices en $D$ de Smith-vorm — en (b) is het geval $2\times2$ met determinant $1$ van het algemene feit dat matrices van $E$-type $SL_n(\Z)$ voortbrengen. ## 3.6 Probleem: de commutant en de bicommutant **Probleem 3.1.** Weekendopgave — rationale vorm, commutant, bicommutant Zij $K$ een lichaam, $V$ een $K$-vectorruimte van dimensie $n \geq 1$, en $u \in \mathcal L(V)$. We bestuderen de *commutant* $$ \mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\}, $$ een deelalgebra van $\mathcal L(V)$ die $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ bevat, en we bewijzen de dimensieformule van Frobenius en de bicommutantstelling: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. Overal is $V$ het $K[X]$-moduul dat door $u$ wordt bepaald, met [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ en cyclische ontbinding $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$, waarbij $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ en $n_i = \deg P_i$ ([Stelling 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). **Deel I — De presentatiematrix $XI - M$, en opwarmers.** 1. Zij $M \in M_n(K)$ en zij $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ de afbeelding die $(Q_1, \dots, Q_n)$ naar $\sum_i Q_i(M)e_i$ stuurt. Toon aan dat $\varphi$ een surjectief morfisme van $K[X]$ -modulen is en dat elke kolom van $XI_n - M$ in $\ker\varphi$ ligt. 2. Toon aan dat modulo de kolommen van $XI_n - M$ elk element van $K[X]^n$ congruent is met een constante vector *(verlaag de graden met $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$)* , en leid af dat $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : het [moduul](#def-b3-modules-module) $V_M$ heeft presentatiematrix $XI_n - M$ . Vind zo het vertrekpunt van [Gevolg 3.17](#cor-b3-modules-descent) terug: de [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) van $M$ zijn de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) van $XI_n - M$ die geen eenheid zijn. 3. Bereken de [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) van: een scalaire matrix $\lambda I_n$ ; een diagonaalmatrix met verschillende diagonaalingangen; het $n \times n$ -jordanblok $J_n(0)$ ; en $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ voor $n = 3$ . 4. Toon aan dat $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ . **Deel II — Morfismen tussen cyclische modulen.** 5. Zij $P, Q$ monisch en niet-constant. Toon aan dat een $K[X]$ -morfisme $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ vastligt door $f(\bar 1)$ , en dat een $\bar c \in K[X]/(Q)$ als $f(\bar 1)$ kan dienen dan en slechts dan als $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ . 6. Leid af dat $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ van dimensie $\deg \gcd(P, Q)$ over $K$. *(Toon aan dat de oplossingen $\bar c$ van $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ het cyclische deelmoduul vormen dat door $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ wordt voortgebracht.)* 7. Bewijs de *formule van Frobenius*: $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(Een $v$ die commuteert is precies een $K[X]$-endomorfisme van $V$; ontbind $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ in matrices van morfismen $V_j \to V_i$ en gebruik de deelbaarheidsketen.)* 8. Leid af dat $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , met gelijkheid precies wanneer $u$ cyclisch is ( $s = 1$ ), en bereken $\dim\mathcal C(u)$ voor $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : de twee uitersten van de formule. 9. Controleer de formule van Frobenius rechtstreeks voor $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ door de commutant expliciet als $3\times3$ -matrices te berekenen. **Deel III — De bicommutantstelling.** Zij $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$; we bewijzen dat $w \in K[u]$. 10. Toon aan dat $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ en dat elke $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ met $u$ commuteert — zodat de te bewijzen inclusie $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ een echte verscherping van $w \in \mathcal C(u)$ is. 11. Stel eerst dat $u$ *cyclisch* is, $V = K[u]x$ . Toon rechtstreeks aan dat $\mathcal C(u) = K[u]$ *(evalueer een commuterende $v$ in $x$: $v(x) = P(u)x$ voor zekere $P$, en vergelijk $v$ met $P(u)$ op de basis $u^k x$)* , en besluit de stelling in dit geval. 12. Terug naar het algemene geval. Zij voor elke $i$ de afbeelding $\pi_i\colon V \to V_i$ de projectie langs de andere summanden. Toon aan dat $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , en leid af dat $w$ elke $V_i$ invariant laat en met $u_i = u\restriction_{V_i}$ commuteert; besluit met vraag 11, toegepast op de cyclische $u_i$ : er zijn veeltermen $Q_i$ met $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ . 13. Nu moeten de $Q_i$ nog tot één veelterm worden verlijmd. Toon voor $i \leq j$ (zodat $P_i \mid P_j$ ) aan dat $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , een goed gedefinieerd $K[X]$ -morfisme is *(wat moet worden nagegaan, is dat uit $R(u)x_j = 0$ volgt dat $R(u)x_i = 0$)* , en dat $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , met $0$ voortgezet op de andere summanden, in $\mathcal C(u)$ ligt. 14. Toon met $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ aan dat $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ voor $i \leq j$. Leid af dat $Q = Q_s$ voldoet aan $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ voor alle $i$, zodat $w = Q(u)$ op elke $V_i$, en dus op $V$: $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$ 15. (Slot) Leid uit de stelling af: commuteert $v$ met *elke* matrix die met $u$ commuteert en is $u$ cyclisch, dan is $v$ een veelterm in $u$ ; en geef een voorbeeld dat laat zien dat $\mathcal C(u) = K[u]$ faalt voor $u = \mathrm{id}$ met $n \geq 2$ — waar precies komt de cycliciteit binnen? **Deel IV — Wat de [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) opleveren.** De rationale normaalvorm is een machine; hier zijn vijf van haar klassieke producten. 16. (Getransponeerde) Toon aan dat elke $M \in M_n(K)$ gelijkvormig is met haar getransponeerde ${}^tM$ . *(De bewerkingen die $XI - M$ in Smith-vorm brengen, brengen getransponeerd $XI - {}^tM$ in dezelfde Smith-vorm: gelijke [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius).)* 17. (Afdaling van gelijkvormigheid) Zij $K \subseteq L$ een lichaamsuitbreiding en $M, N \in M_n(K)$ . Toon aan dat $M$ en $N$ gelijkvormig zijn over $K$ zodra ze het zijn over $L$ . *(De Smith-vorm van $XI - M$ berekend in $K[X]$ is nog steeds een Smith-vorm in $L[X]$ — waarom veranderen de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) niet?)* Een gevolg om te onthouden: twee reële matrices die in $GL_n(\C)$ geconjugeerd zijn, zijn dat ook in $GL_n(\R)$ . 18. (Classificatie van nilpotente endomorfismen) Zij $u$ nilpotent. Toon aan dat het aantal blokken van grootte $\geq k$ in haar ontbinding in nilpotente jordanblokken gelijk is aan $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , en leid af: de nilpotente klassen van $M_n(K)$ staan, voor elk lichaam $K$ , in bijectie met de partities van $n$ . Hoeveel nilpotente klassen telt $M_5(K)$ ? 19. (Een concreet paar) Bepaal de [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) van de afgeleide $D\colon P \mapsto P'$ op de ruimte $K_{n-1}[X]$ van veeltermen van graad $< n$ : (a) voor $K = \Q$ ; (b) voor $K = \mathbb F_p$ met $p < n$ *(in karakteristiek $p$ is $(X^p)' = 0$: bereken $\ker D^k$ en gebruik vraag 18)* . 20. ( [Conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Toon met [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) aan dat elke klasse van $GL_2(\mathbb F_q)$ van precies één van vier types is: centraal $aI$ ; diagonaliseerbaar met twee verschillende eigenwaarden $a \neq b$ in $\mathbb F_q^\times$ ; niet-halfenkelvoudig met minimaalveelterm $(X - a)^2$ ; of cyclisch met irreducibele karakteristieke veelterm. 21. Tel de klassen van elk type en besluit: $GL_2(\mathbb F_q)$ heeft precies $q^2 - 1$ [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) . *(Tel de monische irreducibele kwadratische veeltermen over $\mathbb F_q$; de ongeordende paren $\{a, b\}$; en denk eraan dat de inverteerbaarheid de constante termen beperkt.)* 22. (Cyclisch is generiek) Toon aan dat $M \in M_2(\mathbb F_q)$ niet cyclisch is dan en slechts dan als $M$ scalair is, en leid af dat een uniform toevallig gekozen $2\times2$ -matrix over $\mathbb F_q$ cyclisch is met kans $1 - q^{-3}$ . Formuleer de overeenkomstige heuristiek voor $M_n$ en grote $q$ (geen bewijs nodig): niet-cyclische matrices zijn zeldzaam — en juist daarom vergde Deel III van [Probleem 3.1](#pb-b3-modules-1) pas voorbij het generieke geval echt werk. **Deel V — Aanvullingen.** 23. ( [Centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van de commutant) Toon aan dat het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van de algebra $\mathcal C(u)$ precies $K[u]$ is *(combineer de twee inclusies uit Deel III)* . Leid af dat $\mathcal C(u)$ commutatief is dan en slechts dan als $u$ cyclisch is — waarmee het gelijkheidsgeval van vraag 8 langs een zuiver structurele weg wordt teruggevonden. 24. (Welke dimensies komen voor?) Leid uit de formule van Frobenius af dat $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ voor elke $u$ . Bepaal vervolgens de precieze verzameling waarden die $\dim \mathcal C(u)$ aanneemt wanneer $u$ heel $\mathcal L(V)$ doorloopt met $\dim V = 4$ : toon aan dat die $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ is *(loop de rijen graden $n_1 \leq \dots \leq n_s$ met som $4$ af en realiseer elke rij door een nilpotent endomorfisme)* . In het bijzonder worden $12$ en $14$ , hoewel van de juiste pariteit, niet bereikt: de pariteitsvoorwaarde is nodig maar niet voldoende. 25. ([Klassevergelijking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#cor-b3-groups-classeq) van $GL_2(\mathbb F_3)$) Bereken voor $q = 3$ de grootte van elke conjugatieklasse uit vraag 20 met [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) en [stabilisator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action): de centralisator van een *cyclische* $M$ in $GL_2(\mathbb F_q)$ is de eenhedengroep van $K[M]$ (vraag 11). Herken $K[M]$ in de drie niet-centrale types, geef de drie monische irreducibele kwadratische veeltermen over $\mathbb F_3$, en controleer de [klassevergelijking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#cor-b3-groups-classeq) $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ met $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ klassen, zoals vraag 21 voorspelt. **Oplossing van Probleem 3.1.** **1.** $\varphi$ is additief en $K[X]$-lineair: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$, want de moduulstructuur van $V_M$ is $X \cdot v = Mv$. Ze is surjectief: de constante vectoren geven heel $K^n$. Kolom $j$ van $XI - M$ is $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$, met beeld $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$. **2.** Modulo de kolommen is $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$: elke vector van veeltermen reduceert, met inductie naar de hoogste graad, tot een *constante* vector $c \in K^n$. Ligt de oorspronkelijke vector in $\ker\varphi$, dan is $\varphi(c) = c = 0$ (op constanten is $\varphi$ de identificatie $K^n = V_M$), zodat de vector in het kolomopspansel ligt: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$. Bijgevolg is $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$, en Smith over $K[X]$ (alle [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) $\neq 0$, want hun product is $\det(XI - M) = \chi_M$) geeft $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$: de niet-constante $f_i$ zijn de [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius), te berekenen als quotiënten van [grootste gemene delers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) van minoren ([Stelling 3.8](#thm-b3-modules-smith)). **3.** $\lambda I_n$: $XI - \lambda I$ is al in Smith-vorm: de invarianten zijn $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$, $n$ stuks. Verschillende diagonaalingangen: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ met paarsgewijs [comaximale](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt) moduli, dus perst de [Chinese reststelling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt) dat samen tot de ene cyclische $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$: één invariant, $\chi$. $J_n(0)$: $\mu = X^n = \chi$ dwingt één invariant $X^n$ af. En $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$: [elementaire delers](#thm-b3-modules-structure) $X^2, X$, dus invarianten $P_1 = X \mid P_2 = X^2$. **4.** $P \mapsto P(u)$ beeldt $K[X]$ af op $K[u]$, met kern $(\mu_u)$ per definitie van de minimaalveelterm: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$, van dimensie $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$. **5.** De $K[X]$-lineariteit dwingt $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ af. De klasse $\bar 1$ voldoet aan $P \bar 1 = 0$, dus is $P f(\bar 1) = 0$ noodzakelijk. Is omgekeerd $P\bar c = 0$, dan is $f(\bar Q) = Q\bar c$ goed gedefinieerd (uit $Q \equiv Q' \bmod P$ volgt dat $(Q - Q')\bar c$ een veelvoud is van $P\bar c = 0$) en $K[X]$-lineair. **6.** Zij $g = \gcd(P, Q)$, $P = gP'$ en $Q = gQ'$ met $\gcd(P', Q') = 1$. In $K[X]/(Q)$ geldt $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, want $\gcd(P', Q') = 1$). De toegelaten $\bar c$ vormen dus het deelmoduul voortgebracht door $\bar{Q'}$, waarvan de annihilator $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ is: dat deelmoduul is $\cong K[X]/(g)$. Met vraag 5 volgt $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$, van dimensie $\deg\gcd(P,Q)$. **7.** $v$ commuteert met $u$ dan en slechts dan als $v$ met elke $P(u)$ commuteert, dan en slechts dan als $v$ $K[X]$-lineair is: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$. Schrijven we morfismen van $V = \bigoplus_j V_j$ als matrices $(f_{ij})$ met $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (stel samen met de injecties en projecties), dan geeft vraag 6 $$ \dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k , $$ waarbij we de deelbaarheidsketen gebruiken ($\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$) en, voor de laatste stap, dat $\min(i,j) = k$ optreedt voor precies $2(s - k) + 1$ paren $(i, j)$. **8.** Omdat $2(s-k)+1 \geq 1$, is $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$, met gelijkheid precies wanneer $s = 1$, dat wil zeggen wanneer $u$ cyclisch is ([Oefening 3.9](#exo-b3-modules-9)). Voor $u = \lambda\,\mathrm{id}$ is $s = n$ en zijn alle $n_k = 1$: $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — klopt, want $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$. **9.** Volgens de formule: invarianten $(X, X^2)$, dus $s = 2$, $n_1 = 1$ en $n_2 = 2$, waaruit $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$. Rechtstreeks: in de basis $(e_1, e_2, e_3)$ met $u e_2 = e_1$ en $ue_1 = ue_3 = 0$ levert $Au = uA$ voor $A = (a_{ij})$ de voorwaarden $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ en $a_{11} = a_{22}$: vijf vrije parameters $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$. **10.** Een veelterm $P(u)$ commuteert met alles wat met $u$ commuteert (het is een som van machten van $u$): dus $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$. En $u \in \mathcal C(u)$, zodat elke $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ met $u$ commuteert. **11.** Zij $V = K[u]x$ en $v \in \mathcal C(u)$. Schrijf $v(x) = P(u)x$ (cycliciteit). Voor een willekeurige $y = Q(u)x$ is dan $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$. Dus $v = P(u)$: $\mathcal C(u) = K[u]$. En dan is $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (met heel $K[u]$ commuteren is hetzelfde als met $u$ commuteren). De stelling geldt dus in het cyclische geval. **12.** $\pi_i$ is $K[X]$-lineair (de ontbinding is een directe som van deelmodulen), dus $\pi_i \in \mathcal C(u)$, en $w$ commuteert ermee: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$. De beperking $w_i = w\restriction_{V_i}$ commuteert met de cyclische $u_i = u\restriction_{V_i}$ (vraag 10), dus $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (vraag 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ voor zekere $Q_i \in K[X]$. **13.** Dat $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ goed gedefinieerd is: uit $R(u)x_j = 0$ volgt $P_j \mid R$, en $P_i \mid P_j$ geeft $P_i \mid R$, dus $R(u)x_i = 0$ (want $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$). $\eta_{ij}$ is dan per constructie $K[X]$-lineair, en $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ is een samenstelling van $K[X]$-morfismen $V \to V$: dus $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$. **14.** Evalueer $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ in $x_j$: links staat $w(x_i) = Q_i(u)x_i$, rechts $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$. Bijgevolg is $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$, dus $P_i \mid Q_i - Q_j$ voor alle $i \leq j$. In het bijzonder is, met $Q = Q_s$, $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$, zodat $Q(u)$ en $Q_i(u)$ op $V_i$ samenvallen (dat $P_i(u)$ vernietigt). Daarom is $w = Q(u)$ op elke $V_i$, en dus op $V$: $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$, en met vraag 10 volgt $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. **15.** De eerste bewering zijn de vragen 10–14 (of, voor cyclische $u$, vraag 11 alleen). Voor $u = \mathrm{id}$ met $n \geq 2$ heeft $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ dimensie $n^2$, terwijl $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$. Daar faalt $\mathcal C(u) = K[u]$ dus grondig; en toch geldt de bicommutantstelling ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$: het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van de matrixalgebra bestaat uit de scalairen). De cycliciteit zorgt ervoor dat de *enkele* commutant al polynomiaal is; de *dubbele* commutant is dat altijd. **16.** Is $P(XI - M)Q = S$ een Smith-reductie ($P, Q$ inverteerbaar over $K[X]$), dan geeft transponeren ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$: dezelfde Smith-vorm, dus hebben $XI - M$ en $XI - {}^tM$ dezelfde [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith), oftewel $M$ en ${}^tM$ hebben dezelfde [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) ([Gevolg 3.17](#cor-b3-modules-descent)): ze zijn gelijkvormig. **17.** De [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) van $M$ over $L$ zijn de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) van $XI - M$ in $L[X]$. Een Smith-reductie van $XI - M$ over $K[X]$ — met $P, Q$ inverteerbaar over $K[X]$, diagonaal en met de deelbaarheidsketen — is *ook* een geldige Smith-reductie over $L[X]$ ($P$ en $Q$ blijven inverteerbaar: hun determinanten zijn constanten $\neq 0$), en monische [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) zijn uniek: de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) berekend over $K$ en over $L$ vallen dus samen. Bijgevolg is $M \sim_L N$ precies wanneer ze dezelfde [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) hebben, en dus precies wanneer $M \sim_K N$. In het bijzonder zijn reële matrices die over $\C$ geconjugeerd zijn, dat ook over $\R$ — een uitspraak die vaak analytisch wordt bewezen (specialiseer een inverteerbare $P + \iu Q$), hier structureel. **18.** Ontbind $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ in nilpotente jordanblokken. In één blok van grootte $m$ is $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$, dus $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ als $m \geq k$ en anders $0$. Sommeren over de blokken geeft $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$. De rangenrij legt dus de multiverzameling $(m_t)$ vast — een partitie van $n$ — en omgekeerd wordt elke partitie gerealiseerd: nilpotente klassen $\leftrightarrow$ partities van $n$, over elk lichaam. Voor $M_5$: $p(5) = 7$ klassen ($5$; $4{+}1$; $3{+}2$; $3{+}1{+}1$; $2{+}2{+}1$; $2{+}1{+}1{+}1$; $1^5$). **19.** (a) Over $\Q$ (of over elk lichaam van karakteristiek $0$) is $D^n = 0$ en $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)! \neq 0$: $D$ is nilpotent van index $n$ op een $n$-dimensionale ruimte, dus cyclisch met de ene invariant $X^n$ ($x = X^{n-1}$ brengt voort: haar herhaalde afgeleiden spannen alles op). (b) Over $\mathbb F_p$ met $p < n$ is $D^p = 0$, want de $p$-de afgeleide van elk monoom $X^m$ draagt de factor $m(m-1)\cdots(m-p +1)$, een product van $p$ opeenvolgende gehele getallen, dus $\equiv 0 \bmod p$. Schrijf $n = ap + r$ met $0 \leq r < p$. Dan wordt $\ker D^k$ opgespannen door de monomen $X^m$ met $D^kX^m = 0$; tellen we de exponenten $m < n$ naar hun rest modulo $p$, dan is $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ voor $0 \leq k \leq p$, zodat $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$. Volgens vraag 18 heeft de partitie $a$ blokken van grootte precies $p$ en (als $r > 0$) één blok van grootte $r$: [gelijkvormigheidsinvarianten](#thm-b3-modules-frobenius) $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$. De karakteristiek verandert dus de normaalvorm van de vertrouwdste operator uit de wiskunde. **20.** Een $M \in GL_2$ heeft $s \in \{1, 2\}$ [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith). Is $s = 2$, dan is $P_1 = P_2 = X - a$ (met $a \neq 0$ wegens de inverteerbaarheid), dus $M = aI$, centraal. Is $s = 1$, dan is $M$ cyclisch met karakteristieke veelterm $=$ minimaalveelterm $\chi$ van graad $2$, en corresponderen de klassen met de mogelijke $\chi$ met $\chi(0) \neq 0$: $\chi$ valt uiteen met verschillende wortels $a \neq b$ ([begeleidende matrix](#def-b3-modules-companion) $\sim$ diagonaal); $\chi = (X - a)^2$ ([begeleidende matrix](#def-b3-modules-companion), niet halfenkelvoudig); of $\chi$ [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility). Van elk type precies één — de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) zijn een volledige invariant. **21.** Centraal: $q - 1$ keuzen voor $a$. Verschillende uiteenvallende eigenwaarden: de ongeordende paren $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ met $a \neq b$, dus $\binom{q-1}2$ klassen. Minimaalveelterm $(X-a)^2$: $q - 1$ klassen. Irreducibele kwadratische veeltermen met constante term $\neq 0$: alle irreducibele kwadratische veeltermen komen in aanmerking (hun wortels zijn $\neq 0$), en er zijn $\frac{q^2 - q}2$ monische irreducibele kwadratische veeltermen (de $q^2$ monische kwadratische veeltermen min de $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ die uiteenvallen). Totaal: $$ (q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 . $$ **22.** Is $M$ niet cyclisch, dan is $s = 2$ en is $M$ scalair (de tweedeling van vraag 20 geldt in $M_2$, inverteerbaar of niet: twee [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) van graad $1$ met $P_1 \mid P_2$ en $P_1 = P_2$ dwingen $M = aI$ af). De scalaire matrices zijn met $q$ onder de $q^4$ matrices: cyclisch met kans $1 - q^{-3}$. In het algemeen is de niet-cyclische deelverzameling van $M_n$ die waar de $(n-1)\times(n-1)$-minoren van $XI - M$ een gemeenschappelijke factor hebben — een echte algebraïsche voorwaarde — zodat haar aandeel voor grote $q$ klein is, van orde $O(1/q)$: matrices met $\chi = \mu$ zijn de regel, en het lijmargument uit Deel III is de prijs voor de uitzonderingen. **23.** Een element van het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van $\mathcal C(u)$ ligt in $\mathcal C(u)$ en commuteert met elk element van $\mathcal C(u)$, dus ligt het in $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (vraag 14). Omgekeerd is $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$, en commuteert elke $P(u)$ met elke $v \in \mathcal C(u)$ (zo’n $v$ commuteert met $u$ en dus met elke macht van $u$): $K[u]$ is centraal in $\mathcal C(u)$. Bijgevolg is $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$. Daaruit volgt dat $\mathcal C(u)$ commutatief is dan en slechts dan als $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$; in dat geval is $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$, terwijl vraag 8 $\dim\mathcal C(u) \geq n$ geeft: dus $n_s = n$ en $s = 1$, dat wil zeggen $u$ is cyclisch. Omgekeerd geeft vraag 11 voor cyclische $u$ dat $\mathcal C(u) = K[u]$, commutatief. Structureel gezegd: een matrixalgebra die gelijk is aan haar eigen [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) is precies een veeltermalgebra $K[u]$ van een cyclische $u$. **24.** Elke coëfficiënt $2s - 2i + 1$ in de formule van Frobenius is oneven, dus $$ \dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 . $$ Voor $n = 4$ zijn de mogelijke rijen graden $n_1 \leq \dots \leq n_s$ van de [invariante factoren](#thm-b3-modules-smith) met som $4$: $(4)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(1, 1, 2)$ en $(1, 1, 1, 1)$; elk daarvan wordt gerealiseerd, bijvoorbeeld door het nilpotente endomorfisme met $P_i = X^{n_i}$ (de deelbaarheidsketen geldt dan vanzelf). De formule geeft respectievelijk $$ 1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 . $$ De verzameling waarden is dus $\{4, 6, 8, 10, 16\}$: even getallen van de juiste pariteit, maar $12$ en $14$ komen nooit voor — tussen de bijna-cyclische rijen en de $n^2$ van de scalaire matrix gaapt een gat. **25.** Er geldt $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$. Het centrale type: $I$ en $2I$, twee klassen van grootte $1$. In de drie andere types is $M$ cyclisch (vraag 20), zodat haar centralisator in $GL_2$ de groep eenheden van $\mathcal C(M) = K[M]$ is (vraag 11), en de klassegrootte volgens [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) en [stabilisator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) gelijk is aan $48/\abs{K[M]^\times}$. Verschillende uiteenvallende eigenwaarden: alleen het paar $\{1, 2\}$, dus één klasse; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ ([Chinese reststelling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-crt) op $\chi = (X-1)(X-2)$), met $2 \cdot 2 = 4$ eenheden, dus grootte $48/4 = 12$. Minimaalveelterm $(X - a)^2$ met $a \in \{1, 2\}$: twee klassen; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$, met $q^2 - q = 6$ eenheden (na centreren moet de constante term $\neq 0$ zijn), dus grootte $48/6 = 8$. Irreducibele $\chi$: er zijn $(9 - 3)/2 = 3$ monische irreducibele kwadratische veeltermen over $\mathbb F_3$, namelijk $$ X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2, $$ (geen wortels in $\mathbb F_3$: controleer $0, 1, 2$); dat geeft drie klassen met $K[M] \cong \mathbb F_9$, $q^2 - 1 = 8$ eenheden, dus grootte $48/8 = 6$. [Klassevergelijking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#cor-b3-groups-classeq): $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$; en $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ klassen, in overeenstemming met vraag 21.