---
title: "Lichaamsuitbreidingen en Galoistheorie"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie
---

# Hoofdstuk 4 — Lichaamsuitbreidingen en Galoistheorie

Is elke vergelijking [oplosbaar door worteltrekking](#def-b3-galois-radical), zoals de abc-formule en de formules van Cardano voor de derde [graad](#def-b3-galois-extension) doen vermoeden? Kun je een hoek in drieën delen met liniaal en passer? Beide vragen, eeuwenlang open, worden — ontkennend — beantwoord door één idee van Évariste [Galois](#def-b3-galois-galois): hang aan elke veelterm een eindige *groep* symmetrieën van haar wortels, en lees het antwoord van die groep af. Dit hoofdstuk bouwt het woordenboek: [lichaamsuitbreidingen](#def-b3-galois-extension) en graden, splitsingslichamen en [algebraïsche afsluitingen](#def-b3-galois-closure), eindige lichamen (een volledige theorie — met de beloofde cycliciteit van $\mathbb F_q^\times$), separabiliteit, en dan de [Galoiscorrespondentie](#thm-b3-galois-fundamental) zelf, met volledige bewijzen. De oogst: de onmogelijkheid van de klassieke constructies, de structuur van de cyclotomische lichamen, en de onoplosbaarheid van de vijfdegraadsvergelijking door worteltrekking — de enkelvoudigheid van $A_5$ uit [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ch-b3-groups) die haar doel treft.

## 4.1 Uitbreidingen, graad, algebraïciteit

**Definitie 4.1.**

Een *lichaamsuitbreiding* $L/K$ is een lichaam $L$ dat $K$ als deellichaam bevat; $L$ is dan een $K$-vectorruimte, en de *graad* $[L:K]$ is de dimensie daarvan. De uitbreiding heet *eindig* als $[L:K] < \infty$. De *karakteristiek* van een lichaam is de voortbrenger $\geq 0$ van de kern van $\Z \to
K$, $n \mapsto n\cdot 1$: die is $0$ of een priemgetal $p$; dienovereenkomstig bevat $K$ een kleinste deellichaam (*priemlichaam*) isomorf met $\Q$ of met $\mathbb F_p =
\Z/p\Z$.

**Stelling 4.2 (Torenwet).**

Is $K \subseteq L \subseteq M$, dan is $[M:K] = [M:L]\,[L:K]$: is $(e_i)$ een basis van $L$ over $K$ en $(f_j)$ een basis van $M$ over $L$, dan is $(e_if_j)$ een basis van $M$ over $K$.

**Bewijs.** Voortbrengend: een $x \in M$ schrijft zich als $x = \sum_j
\lambda_jf_j$ met $\lambda_j \in L$, en elke $\lambda_j = \sum_i
\mu_{ij}e_i$ met $\mu_{ij} \in K$: dus $x =
\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Onafhankelijk: $\sum_{i,j}\mu_{ij}
e_if_j = 0$ herschrijft zich als $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j =
0$; de binnenste sommen liggen in $L$ en verdwijnen dus (de $f_j$ zijn onafhankelijk over $L$); daarna zijn alle $\mu_{ij} = 0$ (de $e_i$ zijn onafhankelijk over $K$). ∎

**Definitie 4.3.**

Zij $L/K$ en $\alpha \in L$. Is er een $P \in K[X]$ met $P \neq 0$ en $P(\alpha) = 0$, dan heet $\alpha$ *algebraïsch* over $K$; de monische voortbrenger $\pi_\alpha$ van het [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal) $\{P :
P(\alpha) = 0\}$ van $K[X]$ heet haar *minimaalveelterm*, een irreducibele veelterm ($\pi = QR$ met $Q(\alpha) = 0$ dwingt $R$ constant af wegens de minimaliteit van de [graad](#def-b3-galois-extension)). Anders heet $\alpha$ *transcendent*. We schrijven $K(\alpha)$ voor het kleinste deellichaam van $L$ dat $K$ en $\alpha$ bevat, en $K[\alpha]$ voor de kleinste zulke deelring.

**Stelling 4.4.**

Is $\alpha$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $K$ met $d = \deg\pi_\alpha$, dan is

$$
K(\alpha) = K[\alpha] \cong K[X]/(\pi_\alpha),
\qquad [K(\alpha) : K] = d,
$$

met basis $1, \alpha, \dots, \alpha^{d-1}$. Omgekeerd is, zodra $[L:K] < \infty$, elke $\alpha \in L$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) van een [graad](#def-b3-galois-extension) $\deg \pi_\alpha$ die $[L:K]$ deelt.

**Bewijs.** De evaluatie $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, heeft beeld $K[\alpha]$ en kern $(\pi_\alpha)$; omdat $\pi_\alpha$ [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) is, is $K[X]/(\pi_\alpha)$ een *lichaam* ([Propositie 2.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#prop-b3-rings-primemaximal): in het [hoofdideaaldomein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$ brengt een [irreducibel element](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) een [maximaal ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-primemaximal) voort), dus is $K[\alpha]$ een lichaam dat $K$ en $\alpha$ bevat: het is gelijk aan $K(\alpha)$. De klassen van $1, X, \dots, X^{d-1}$ vormen een basis van het quotiënt (euclidische deling), waaruit de basis en de [graad](#def-b3-galois-extension) volgen. Omgekeerd, is $[L:K] = n < \infty$, dan zijn $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ afhankelijk, wat een annihilerende veelterm levert; en dan deelt $[K(\alpha):K] =
\deg\pi_\alpha$ het getal $n$ volgens de [torenwet](#thm-b3-galois-tower). ∎

**Gevolg 4.5.**

Zijn $\alpha$ en $\beta$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $K$, dan ook $\alpha \pm
\beta$, $\alpha\beta$ en $\alpha/\beta$ (voor $\beta \ne 0$): de elementen van $L$ die [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) zijn over $K$ vormen een deellichaam van $L$. Bovendien is algebraïciteit transitief: [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) is [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic).

**Bewijs.** $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ is eindig over $K(\alpha)$ ($\beta$ is [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $K \subseteq K(\alpha)$) en $K(\alpha)/K$ is eindig: volgens de [torenwet](#thm-b3-galois-tower) is $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, en is elk element van $K(\alpha,
\beta)$ — de vier genoemde inbegrepen — [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) ([Stelling 4.4](#thm-b3-galois-simple)). Transitiviteit: is $\beta$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $L$ en $L/K$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic), dan brengen de coëfficiënten $c_0, \dots, c_{m-1}$ van $\pi_{\beta/L}$ een eindige uitbreiding $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ van $K$ voort ([torenwet](#thm-b3-galois-tower), herhaald), en $F(\beta)/F$ is eindig: dus $[F(\beta):K] < \infty$ en is $\beta$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $K$. ∎

**Voorbeeld 4.6.**

$[\Q(\sqrt2):\Q] = 2$, $[\Q(\sqrt[3]2):\Q] = 3$ ($X^3 - 2$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility): [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria)), $[\Q(\zeta_p):\Q] = p - 1$ voor $\zeta_p = \eu^{2\iu\pi/p}$ ($\Phi_p$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility), [Voorbeeld 2.26](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#ex-b3-rings-eisenstein)). De [torenwet](#thm-b3-galois-tower) is nu al een wapen: $\sqrt[3]2 \notin \Q(\sqrt2)$, want $3 \nmid 2$.

## 4.2 Splitsingslichamen; algebraïsche afsluiting

**Stelling 4.7 (Splitsingslichamen).**

Zij $P \in K[X]$ niet-constant. Dan bestaat er een *splitsingslichaam* van $P$ over $K$: een uitbreiding $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ voortgebracht door wortels van $P$, waarin $P$ in lineaire factoren uiteenvalt. Het is uniek op $K$-isomorfie na, en $[L:K]
\leq (\deg P)!$.

**Bewijs.** *Bestaan*, met inductie naar $\deg P$: kies een irreducibele factor $Q$ van $P$; het lichaam $K_1 = K[X]/(Q)$ bevat de wortel $\alpha_1 = \bar X$ van $Q$, en dus van $P$; schrijf $P = (X -
\alpha_1)P_1$ over $K_1$ en pas de inductiehypothese toe op $P_1$ over $K_1$; de graden vermenigvuldigen tot hoogstens $n(n-1)\cdots = n!$.

*Eenduidigheid* volgt uit het sterkere *lemma over het voortzetten van isomorfismen*: zij $\sigma \colon K \to K'$ een isomorfisme, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ de veelterm met de afgebeelde coëfficiënten, en $L, L'$ splitsingslichamen van $P$ respectievelijk $P^\sigma$; dan zet $\sigma$ zich voort tot een isomorfisme $L \to L'$. Inductie naar $[L:K]$: valt $P$ al in $K$ uiteen, dan is $L = K$ en $L' = K'$ ($P^\sigma$ valt uiteen in $K'$, en $L'$ wordt door haar wortels voortgebracht). Kies anders een wortel $\alpha \in L \setminus K$ van een irreducibele factor $Q$ van $P$ met $\deg Q \geq 2$; dan is $Q^\sigma$ een irreducibele factor van $P^\sigma$, met een wortel $\beta \in
L'$, en

$$
K(\alpha) \cong K[X]/(Q) \xrightarrow{\ \sigma\ }
K'[X]/(Q^\sigma) \cong K'(\beta)
$$

zet $\sigma$ voort met $\alpha \mapsto \beta$. Nu is $L$ een [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van $P$ over $K(\alpha)$ en $L'$ er een van $P^\sigma$ over $K'(\beta)$, met $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: de inductie zet verder voort tot $L \to L'$. ∎

**Definitie 4.8.**

Een lichaam $\Omega$ heet *algebraïsch gesloten* als elke niet-constante veelterm van $\Omega[X]$ een wortel in $\Omega$ heeft (en er dus in uiteenvalt). Een *algebraïsche afsluiting* van $K$ is een [algebraïsche](#def-b3-galois-algebraic) uitbreiding $\bar K/K$ met $\bar K$ [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) gesloten.

**Stelling 4.9 (Steinitz).**

Elk lichaam $K$ heeft een [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure), uniek op $K$-isomorfie na.

**Bewijs.** *Bestaan (de constructie van Artin).* Zij $R = K[(X_f)_f]$ de veeltermring met één veranderlijke $X_f$ per niet-constante monische $f \in K[X]$, en $I$ het [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal) voortgebracht door alle $f(X_f)$. $I$ is een echt [ideaal](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-ideal): een betrekking $1 =
\sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ betreft eindig veel veeltermen; kies in een gemeenschappelijk [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $E$ van $f_1\cdots
f_r$ wortels $\alpha_i$ van $f_i$ en evalueer $X_{f_i} \mapsto
\alpha_i$ (de overige veranderlijken $\mapsto 0$): dan is $1 = 0$, absurd. Zij $\mathfrak m \supseteq I$ maximaal ([Stelling 2.8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-krull); Zorn) en $K_1 = R/\mathfrak m$: een [lichaamsuitbreiding](#def-b3-galois-extension) van $K$ waarin elke niet-constante $f \in
K[X]$ een wortel heeft, namelijk $\bar X_f$, en die [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) is over $K$ (ze wordt voortgebracht door de $\bar X_f$, elk [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic)). Herhaal: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq
\cdots$, waarbij $K_{n+1}$ met $K_n$ doet wat $K_1$ met $K$ deed, en stel $\Omega = \bigcup_n K_n$, een lichaam. Een niet-constante $g \in \Omega[X]$ heeft haar eindig veel coëfficiënten in een zekere $K_n$; een irreducibele factor van $g$ over $K_n$ heeft een wortel in $K_{n+1} \subseteq \Omega$: dus is $\Omega$ [algebraïsch gesloten](#def-b3-galois-closure), en [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $K$ (elke $K_n$ is dat, en dan transitiviteit, [Gevolg 4.5](#cor-b3-galois-algclosed)): $\Omega$ is een [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure).

*Eenduidigheid.* Zij $\Omega, \Omega'$ twee [algebraïsche afsluitingen](#def-b3-galois-closure). Beschouw de verzameling paren $(E, \tau)$ met $K
\subseteq E \subseteq \Omega$ en $\tau\colon E \to \Omega'$ een $K$-inbedding, geordend naar voortzetting; ze is niet leeg ($(K,
\mathrm{id})$) en inductief (vereniging van een keten), zodat Zorn een maximale $(E_0, \tau_0)$ levert. Was $E_0 \neq \Omega$, kies dan $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ gaat over in een veelterm over $\tau_0(E_0)$ die in het [algebraïsch gesloten](#def-b3-galois-closure) $\Omega'$ een wortel $\beta$ heeft, en $\tau_0$ zet zich voort tot $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), in strijd met de maximaliteit. Er is dus een $K$-inbedding $\tau \colon \Omega
\to \Omega'$; haar beeld, isomorf met $\Omega$, is [algebraïsch gesloten](#def-b3-galois-closure), en $\Omega'$ is er [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over: voor $x \in
\Omega'$ valt $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ over $\tau(\Omega)$ uiteen, dus $x \in \tau(\Omega)$. Bijgevolg is $\tau$ surjectief: een isomorfisme. ∎

**Opmerking 4.10.**

Voor $K = \Q$ kan men de transfiniete machinerie vermijden: de [algebraïsche](#def-b3-galois-algebraic) getallen $\bar\Q = \{z \in \C : z \text{ algebraïsch
over } \Q\}$ vormen een [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure) — een deellichaam van $\C$ volgens [Gevolg 4.5](#cor-b3-galois-algclosed), [algebraïsch gesloten](#def-b3-galois-closure) omdat $\C$ het is (d’Alembert–Gauss, bewezen met complexe analyse in [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#ch-b3-holomorphic)), en wortels van veeltermen over $\bar\Q$ zijn wegens de transitiviteit [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) over $\Q$.

## 4.3 Eindige lichamen

**Stelling 4.11.**

Zij $p$ priem, $n \geq 1$ en $q = p^n$.

1. Een [eindig lichaam](#thm-b3-galois-finitefields) heeft als kardinaliteit een priemmacht, en voor elke $q$ is er op isomorfie na precies één lichaam $\mathbb F_q$ met $q$ elementen: het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van $X^q - X$ over $\mathbb  F_p$ .
2. De *Frobenius* $F \colon  x \mapsto x^p$ is een automorfisme van $\mathbb F_q$ , en de automorfismegroep van $\mathbb F_q$ is cyclisch van orde $n$ , voortgebracht door $F$ .
3. $\mathbb F_{p^m}$ bedt zich in $\mathbb F_{p^n}$ in dan en slechts dan als $m \mid n$ .

**Bewijs.** (1) Een [eindig lichaam](#thm-b3-galois-finitefields) $E$ heeft karakteristiek $p > 0$ en is een eindigdimensionale $\mathbb F_p$-vectorruimte: $\abs E = p^n$. Haar multiplicatieve groep heeft orde $q - 1$, dus voldoet elke $x
\in E$ aan $x^q = x$: $E$ bestaat uit $q$ wortels van $X^q - X$ en is er dus een [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van over $\mathbb F_p$ — wat $E$ op isomorfie na vastlegt ([Stelling 4.7](#thm-b3-galois-splitting)). Omgekeerd is in een [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $L$ van $X^q - X$ de verzameling $E$ van haar wortels een *deellichaam*: $(x +
y)^q = x^q + y^q$ door de droom van de eerstejaars $(a+b)^p = a^p
+ b^p$ te herhalen ($p \mid \binom pk$), en $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; het heeft precies $q$ elementen omdat $X^q - X$ [separabel](#def-b3-galois-separable) is: haar afgeleide is $qX^{q-1} - 1 = -1$ (want $p \mid q$), onderling ondeelbaar met haar, dus zijn er geen meervoudige wortels. Bijgevolg heeft $L = E$ precies $q$ elementen.

(2) $F$ is een lichaamsmorfisme (droom van de eerstejaars) en injectief (lichamen), dus bijectief op het eindige $\mathbb F_q$. Er geldt $F^n = \mathrm{id}$ (want $x^q = x$), en geen kleinere macht is de identiteit: $F^m = \mathrm{id}$ zou betekenen dat alle $q$ elementen wortels van $X^{p^m} - X$ zijn, wat $p^m \geq q$ afdwingt. Dus is $\langle F\rangle$ cyclisch van orde $n$; en er zijn geen andere automorfismen, wegens de hieronder bewezen grens $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] =
n$ ([Propositie 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) met $L = \mathbb F_q$ en $K =
\mathbb F_p$: automorfismen houden het priemlichaam vast).

(3) Is $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, dan geeft de [torenwet](#thm-b3-galois-tower) $p^n = (p^m)^d$: dus $m \mid n$. Is omgekeerd $m \mid n$, dan is $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (meetkundige som), zodat $X^{p^m} -
X$ de veelterm $X^{p^n} - X$ deelt (hetzelfde argument op de exponenten: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ zodra $a \mid b$), en vormen de wortels van de eerste binnen $\mathbb F_{p^n}$ het gevraagde deellichaam, van kardinaliteit $p^m$ (separabiliteit als in (1)). ∎

**Stelling 4.12 (Cycliciteit).**

Elke eindige deelgroep van de multiplicatieve groep van een lichaam is cyclisch. In het bijzonder is $\mathbb F_q^\times \cong
\Z/(q-1)\Z$.

**Bewijs.** Zij $G \leq K^\times$ eindig. Volgens de structuurstelling ([Gevolg 3.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#cor-b3-modules-abelian)) is $G \cong \Z/d_1 \times \dots
\times \Z/d_s$ met $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Elke $x \in G$ voldoet dan aan $x^{d_s} = 1$; maar $X^{d_s} - 1$ heeft hoogstens $d_s$ wortels in het lichaam $K$: dus $\abs G = d_1\cdots d_s \leq
d_s$, wat $s = 1$ afdwingt: $G$ is cyclisch. ∎

**Voorbeeld 4.13.**

$\mathbb F_8 = \mathbb F_2[X]/(X^3 + X + 1)$: de derdegraadsveelterm heeft geen wortel in $\mathbb F_2$ en is dus [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility). Met $\omega = \bar X$ is $\mathbb F_8^\times$ cyclisch van orde $7$, zodat *elk* element $\neq 0, 1$ voortbrengt. De deellichamen van $\mathbb F_{p^{12}}$ vormen het delertralie van $12$: $\mathbb
F_p, \mathbb F_{p^2}, \mathbb F_{p^3}, \mathbb F_{p^4}, \mathbb
F_{p^6}, \mathbb F_{p^{12}}$ — een eerste, volledig geval van de [Galoiscorrespondentie](#thm-b3-galois-fundamental).

## 4.4 Separabiliteit en inbeddingen

**Definitie 4.14.**

Een veelterm $P \in K[X]$ heet *separabel* als ze in een [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) geen meervoudige wortel heeft — gelijkwaardig: $\gcd(P, P') = 1$ (een meervoudige wortel is een gemeenschappelijke wortel; omgekeerd is over het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) een gemeenschappelijke wortel meervoudig; en de [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) verandert niet onder [lichaamsuitbreiding](#def-b3-galois-extension), zie het argument bij [Gevolg 3.17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#cor-b3-modules-descent)). Een [algebraïsch element](#def-b3-galois-algebraic) heet separabel als haar [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic) het is, en een uitbreiding $L/K$ heet separabel als al haar elementen het zijn.

**Propositie 4.15.**

Een *irreducibele* $P \in K[X]$ is [separabel](#def-b3-galois-separable), tenzij $P' =
0$, wat $\operatorname{char} K = p > 0$ en $P \in K[X^p]$ afdwingt. Bijgevolg is elke [algebraïsche](#def-b3-galois-algebraic) uitbreiding van een lichaam van karakteristiek $0$, en van een [eindig lichaam](#thm-b3-galois-finitefields), [separabel](#def-b3-galois-separable) (zulke lichamen heten *perfect*).

**Bewijs.** $\gcd(P, P')$ deelt $P$; is die niet $1$, dan dwingt de irreducibiliteit $\gcd = P$ af (op een constante na), dus $P \mid
P'$ met $\deg P' < \deg P$: bijgevolg $P' = 0$. Schrijf $P = \sum
a_kX^k$: dan is $ka_k = 0$ voor alle $k$, zodat $P$ in karakteristiek $0$ constant is (uitgesloten), en in karakteristiek $p$ geldt $a_k = 0$ tenzij $p \mid k$: dus $P = Q(X^p)$. Over een [eindig lichaam](#thm-b3-galois-finitefields) is elk element een $p$-de macht ([Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) is surjectief), zodat $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ niet [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) is: ook daar kan $P' = 0$ voor irreducibele $P$ niet voorkomen. ∎

**Propositie 4.16 (Inbeddingen tellen).**

Zij $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ eindig over $K$, en $\sigma
\colon K \to \Omega$ een inbedding in een [algebraïsch gesloten lichaam](#def-b3-galois-closure). Dan is het aantal voortzettingen van $\sigma$ tot $L$ hoogstens $[L:K]$, met gelijkheid als $L/K$ [separabel](#def-b3-galois-separable) is. In het bijzonder is $\abs{\operatorname{Aut}_K(L)} \leq [L:K]$.

**Bewijs.** Inductie naar $[L:K]$ via enkelvoudige stappen. Voor $L =
K(\alpha)$ ligt een voortzetting $\tau$ vast door $\tau(\alpha)$, dat een wortel in $\Omega$ van $\pi_\alpha^\sigma$ moet zijn; en omgekeerd geeft elke zulke wortel één voortzetting ($K(\alpha)
\cong K[X]/(\pi_\alpha)$). Het aantal voortzettingen is dus het aantal *verschillende* wortels van $\pi_\alpha^\sigma$ in $\Omega$: hoogstens $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, met gelijkheid precies wanneer $\pi_\alpha$ [separabel](#def-b3-galois-separable) is (de separabiliteit van $\pi^\sigma$ en van $\pi$ komen overeen: $\sigma$ bewaart de [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) met de afgeleide). In het algemeen splitsen we $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: er zijn $\leq [K(\alpha_1):K]$ voortzettingen van $\sigma$ tot $K(\alpha_1)$, en elk daarvan zet zich per inductie op $\leq [L :
K(\alpha_1)]$ manieren voort; vermenigvuldig ([torenwet](#thm-b3-galois-tower)). In het separabele geval zijn beide tellingen gelijkheden: de [minimaalveeltermen](#def-b3-galois-algebraic) over het grotere lichaam $K(\alpha_1)$ delen die over $K$ en blijven dus [separabel](#def-b3-galois-separable). ∎

**Stelling 4.17 (Primitief element).**

Elke eindige *separabele* uitbreiding is enkelvoudig: $L =
K(\gamma)$ voor zekere $\gamma$.

**Bewijs.** Is $K$ eindig, dan is $L$ dat ook, en volstaat een voortbrenger $\gamma$ van de cyclische groep $L^\times$ ([Stelling 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Zij $K$ oneindig; per inductie volstaat het geval $L = K(\alpha, \beta)$. Zij $n = [L:K]$; volgens [Propositie 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) zijn er $n$ verschillende $K$-inbeddingen $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L
\to \Omega$ (met $\Omega$ een [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure)). De veelterm

$$
D(T)=\prod_{i<j}\bigl[\bigl(\sigma_i(\alpha)-\sigma_j(\alpha)
\bigr) + T\bigl(\sigma_i(\beta) - \sigma_j(\beta)\bigr)\bigr]
$$

is niet identiek nul: een factor verdwijnt identiek alleen als $\sigma_i$ en $\sigma_j$ zowel op $\alpha$ als op $\beta$ samenvallen, en dus op $L$ — uitgesloten voor $i \neq j$. Omdat $K$ oneindig is, kies $c \in K$ met $D(c) \ne 0$: dan zijn de $n$ elementen $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ paarsgewijs verschillend, zodat $\gamma = \alpha + c\beta$ minstens $n$ verschillende toegevoegden in $\Omega$ heeft, dat wil zeggen $\deg \pi_\gamma
\geq n$: en $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ dwingt $L = K(\gamma)$ af. ∎

## 4.5 De Galoiscorrespondentie

**Definitie 4.18.**

Een eindige uitbreiding $L/K$ heet *Galois* als ze het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) is van een *separabele* veelterm over $K$. Haar *Galoisgroep* is $\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Aut}_K(L)$, de groep lichaamsautomorfismen van $L$ die $K$ puntsgewijs vasthouden.

**Propositie 4.19.**

Is $L/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois), dan is $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$; bovendien is $L/F$ [Galois](#def-b3-galois-galois) voor elk tussenliggend lichaam $K
\subseteq F \subseteq L$, en heeft elke $F$-inbedding $L \to
\Omega \supseteq L$ als beeld $L$ (*normaliteit*).

**Bewijs.** Zij $L$ het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van de separabele $P$ over $K$, en leg een [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure) $\Omega \supseteq L$ vast. $L/K$ is [separabel](#def-b3-galois-separable): ze wordt voortgebracht door wortels van $P$; de separabiliteit van elk element volgt uit het gelijkheidsgeval hieronder, maar laten we rechtstreeks redeneren — [Propositie 4.16](#prop-b3-galois-embeddings), toegepast op de voortbrengers (wortels van de separabele $P$, waarvan de [minimaalveeltermen](#def-b3-galois-algebraic) $P$ delen), levert precies $[L:K]$ voortzettingen van $K
\hookrightarrow \Omega$ (in de inductiestap deelt de [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic) van een wortel van $P$ over een tussenliggend lichaam nog steeds $P$ en is ze dus [separabel](#def-b3-galois-separable)). Elke zulke inbedding $\tau \colon L \to \Omega$ permuteert de wortels van $P$ ($\tau$ houdt de coëfficiënten vast), en $L$ wordt door die wortels voortgebracht: dus $\tau(L) = L$. Inbeddingen zijn bijgevolg automorfismen: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Voor een tussenliggend $F$: $L$ is ook het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van $P$ over $F$, en $P$ blijft [separabel](#def-b3-galois-separable), dus is $L/F$ [Galois](#def-b3-galois-galois); hetzelfde argument geeft de normaliteit over $F$. ∎

**Lemma 4.20 (Artin).**

Zij $G$ een eindige groep automorfismen van een lichaam $L$ en $K
= L^G = \{x : \sigma(x) = x\ \forall\sigma \in G\}$ haar vaste lichaam. Dan is $[L : L^G] \leq \abs G$.

**Bewijs.** Zij $n = \abs G$ en $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, en stel dat $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ lineair onafhankelijk zijn over $K$. Het homogene lineaire stelsel van $n$ vergelijkingen in $n+1$ onbekenden $(c_j)$ over $L$,

$$
\sum_{j=1}^{n+1} c_j\,\sigma_i(x_j) = 0
\qquad (i = 1, \dots, n),
$$

heeft een oplossing $\neq 0$; kies er een met de *minste* ingangen $\neq 0$, zeg $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (na hernummering), met $r \geq 2$ (één enkele $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ is onmogelijk) en genormaliseerd tot $c_r = 1$. Niet alle $c_j$ liggen in $K$: de vergelijking voor $\sigma_i = \mathrm{id}$ zou de onafhankelijkheid tegenspreken; zeg $c_1 \notin K$, zodat $\tau(c_1) \ne c_1$ voor zekere $\tau \in G$. Pas $\tau$ toe op alle vergelijkingen: omdat $\tau\sigma_i$ heel $G$ doorloopt, is de vector $(\tau(c_j))_j$ opnieuw een oplossing; door af te trekken is $(c_j - \tau(c_j))_j$ een oplossing met minder ingangen $\neq 0$ (de $r$-de ingang $1 - 1 = 0$ verdwijnt, de eerste niet) en niet nul: tegenspraak. Elke $n+1$ elementen zijn dus afhankelijk: $[L:K] \leq n$. ∎

**Stelling 4.21 (Hoofdstelling van de Galoistheorie).**

Zij $L/K$ een [Galoisuitbreiding](#def-b3-galois-galois) met groep $G =
\operatorname{Gal}(L/K)$.

1. $L^G = K$ .
2. De afbeeldingen $H \mapsto L^H$ en $F \mapsto  \operatorname{Gal}(L/F)$ zijn elkaars inverse, inclusieomkerende bijecties tussen de deelgroepen van $G$ en de tussenliggende lichamen $K \subseteq F \subseteq L$ ; bovendien is $[L : L^H] = \abs H$ en $[L^H : K] = [G :  H]$ .
3. $H \trianglelefteq G$ dan en slechts dan als $L^H/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois) is, en dan induceert beperking $\operatorname{Gal}  (L^H/K) \cong G/H$ .

**Bewijs.** (1) Uiteraard is $K \subseteq L^G$. Zij omgekeerd $\alpha \in L
\setminus K$; we geven een $\sigma \in G$ met $\sigma(\alpha) \ne
\alpha$. De [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic) $\pi_\alpha$ over $K$ heeft [graad](#def-b3-galois-extension) $\geq 2$ en is [separabel](#def-b3-galois-separable) ($L/K$ is [separabel](#def-b3-galois-separable), [Propositie 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)), dus heeft ze in een [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure) $\Omega \supseteq L$ nog een wortel $\beta
\neq \alpha$. Zet de $K$-inbedding $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha
\mapsto \beta$, voort tot een inbedding $\tau\colon L \to \Omega$ ([Propositie 4.16](#prop-b3-galois-embeddings)); wegens de normaliteit ([Propositie 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)) is $\tau(L) = L$, dus $\tau
\in G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$ en $\tau(\alpha) \neq
\alpha$.

(2) Voor een deelgroep $H$: $L/L^H$ is [Galois](#def-b3-galois-galois) ([Propositie 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)), en $\operatorname{Gal}(L/L^H)
\supseteq H$ is triviaal, dus $[L:L^H] =
\abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; het lemma van Artin geeft $[L:L^H] \leq \abs H$: dus gelijkheid, en $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Voor een tussenliggend lichaam $F$ geeft “$L/F$ [Galois](#def-b3-galois-galois)” dat $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$, via (1) toegepast op $L/F$. De twee afbeeldingen zijn dus elkaars inverse; dat ze inclusies omkeren is evident. Graden: $[L:L^H] =
\abs H$ is zojuist bewezen, en $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs
G/\abs H$.

(3) Voor $\sigma \in G$ en $H \leq G$ is $\sigma(L^H) = L^{\sigma
H\sigma^{-1}}$ (rechtstreeks na te gaan). Wegens de bijectie geldt $\sigma(L^H) = L^H$ voor alle $\sigma$ dan en slechts dan als $H
\trianglelefteq G$. Is nu $H \trianglelefteq G$, stel dan $F =
L^H$: elke $\sigma \in G$ beperkt zich tot een automorfisme van $F$, wat een morfisme $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ geeft met kern $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} =
\operatorname{Gal}(L/F) = H$. Dus bedt $G/H$ zich in $\operatorname{Aut}_K(F)$ in, waaruit $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; de omgekeerde ongelijkheid geldt altijd ([Propositie 4.16](#prop-b3-galois-embeddings)): dus $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ en is $\rho$ surjectief. Rest nog dat $F/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois) is: $F$ is [separabel](#def-b3-galois-separable) over $K$ (het ligt binnen de separabele $L/K$) en $F = K(\gamma)$ ([Stelling 4.17](#thm-b3-galois-primitive)); de veelterm $\prod_{\sigma \in
G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (product over de verschillende beelden, die in $F$ liggen: $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} =
L^H = F$ wegens de normaliteit van $H$) heeft coëfficiënten die door $G$ worden vastgehouden en dus volgens (1) in $K$ liggen: het is een [separabele veelterm](#def-b3-galois-separable) van $K[X]$ die door $F$ wordt gesplitst, en haar wortels brengen $F$ voort: $F/K$ is [Galois](#def-b3-galois-galois). Is omgekeerd $F = L^H$ met $F/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois), dan geeft de normaliteit van $F$ ([Propositie 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder), toegepast op inbeddingen $F \to \Omega$ die van elementen van $G$ afkomstig zijn) dat $\sigma(F) = F$ voor alle $\sigma \in G$, dat wil zeggen $H
\trianglelefteq G$. ∎

![De Galoiscorrespondentie voor het splitsingslichaam L van X3 - 2 over ℚ (met j = 2 π/3): de deelgroepen van Gal(L/ℚ) S_3 (links, in omgekeerde volgorde) horen bij de tussenliggende lichamen (rechts). De enige echte normaaldeler (1\,2\,3) correspondeert met de enige deeluitbreiding ℚ( √3)/ℚ die Galois is; de drie geconjugeerde deelgroepen (i\,j) corresponderen met de drie geconjugeerde derdegraadslichamen ℚ(jk√(3)2), waarvan geen enkele normaal is over ℚ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-galois/fig-94b147c908a8.svg)

*De [Galoiscorrespondentie](#thm-b3-galois-fundamental) voor het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $L$ van $X^3 - 2$ over $\Q$ (met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$): de deelgroepen van $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong S_3$ (links, in omgekeerde volgorde) horen bij de tussenliggende lichamen (rechts). De enige echte [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) $\langle(1\,2\,3)\rangle$ correspondeert met de enige deeluitbreiding $\Q(\iu\sqrt3)/\Q$ die [Galois](#def-b3-galois-galois) is; de drie geconjugeerde deelgroepen $\langle(i\,j)\rangle$ corresponderen met de drie geconjugeerde derdegraadslichamen $\Q(j^k\sqrt[3]2)$, waarvan geen enkele normaal is over $\Q$.*

## 4.6 Cyclotomische uitbreidingen

**Definitie 4.22.**

Zij $n \geq 1$ en $\zeta_n = \eu^{2\iu\pi/n}$. De $n$-de *cyclotomische veelterm* is $\Phi_n = \prod_{\gcd(k,n)=1,\ 1 \le k \le n} \bigl(X -
\zeta_n^k\bigr)$, van [graad](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$; groeperen we de wortels van $X^n - 1$ naar hun exacte orde, dan is $X^n - 1 = \prod_{d
\mid n}\Phi_d$, wat inductief laat zien dat $\Phi_n \in \Z[X]$ (euclidische deling van monische gehele veeltermen).

**Stelling 4.23.**

$\Phi_n$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) over $\Q$; bijgevolg is $[\Q(\zeta_n) :
\Q] = \varphi(n)$ en

$$
\operatorname{Gal}\bigl(\Q(\zeta_n)/\Q\bigr) \;\cong\;
(\Z/n\Z)^\times,
\qquad \sigma_a(\zeta_n) = \zeta_n^a .
$$

De uitbreiding $\Q(\zeta_n)/\Q$ is dus [Galois](#def-b3-galois-galois) met een *abelse* groep.

**Bewijs.** Zij $f = \pi_{\zeta_n}$, zodat $\Phi_n = fg$ met $f, g \in \Z[X]$ monisch (het lemma van Gauss, [Lemma 2.23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-gauss): de inhouden vermenigvuldigen, alle veeltermen zijn monisch). *Bewering: is $\zeta$ een wortel van $f$ en $p \nmid n$ priem, dan is $\zeta^p$ een wortel van $f$.* Anders is $\zeta^p$ een wortel van $g$ (het is een primitieve $n$-de eenheidswortel), dus is $\zeta$ een wortel van $g(X^p)$ en $f \mid g(X^p)$ in $\Z[X]$ ([minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic), en dan opnieuw Gauss). Reduceer modulo $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ ([Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) op $\mathbb F_p[X]$: per coëfficiënt is $a^p = a$, plus de droom van de eerstejaars), dus $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ en $\bar g$ delen een irreducibele factor, en $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ heeft dus een meervoudige factor. Dan geldt dat ook voor $X^n - \bar 1$; maar de afgeleide $\bar nX^{n-1}$ is er onderling ondeelbaar mee ($p \nmid
n$, en $0$ is geen wortel): tegenspraak.

Elke primitieve wortel $\zeta_n^k$ (met $\gcd(k, n) = 1$) wordt uit $\zeta_n$ verkregen door achtereenvolgens priemmachten te nemen die $n$ niet delen (ontbind $k$): de bewering plant zich voort, dus is elke primitieve wortel een wortel van $f$, waaruit $f = \Phi_n$, [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility). Bijgevolg is $[\Q(\zeta_n):\Q] =
\varphi(n)$, en is $\Q(\zeta_n)$ het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van de separabele $X^n - 1$ (alle wortels zijn machten van $\zeta_n$): [Galois](#def-b3-galois-galois). Een automorfisme $\sigma$ stuurt $\zeta_n$ naar een andere primitieve wortel $\zeta_n^{a(\sigma)}$, en $\sigma \mapsto
a(\sigma)$ is een injectief morfisme naar $(\Z/n\Z)^\times$; beide groepen hebben orde $\varphi(n)$: dus een isomorfisme. ∎

## 4.7 Liniaal en passer

**Definitie 4.24.**

Vereenzelvig het vlak met $\C$ en begin met $\{0, 1\}$. Een punt heet *construeerbaar* als het te verkrijgen is door eindig veel snijdingen van rechten door twee reeds geconstrueerde punten en cirkels met een geconstrueerd punt als middelpunt en als straal de afstand tussen twee geconstrueerde punten.

**Stelling 4.25 (Wantzel).**

Een $z \in \C$ is [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) dan en slechts dan als er een toren $\Q = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_r$ bestaat met $[F_{i+1} : F_i] = 2$ en $z \in F_r$. In het bijzonder is een [construeerbaar getal](#def-b3-galois-constructible) [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic) van een [graad](#def-b3-galois-extension) die een macht van $2$ is over $\Q$.

**Bewijs.** ($\Rightarrow$) De coördinaten van het snijpunt van twee rechten door punten met coördinaten in een deellichaam $F \subseteq \R$ lossen een lineair stelsel over $F$ op: ze blijven in $F$. Snijdingen rechte–cirkel en cirkel–cirkel leiden, na eliminatie van het lineaire deel (de twee cirkelvergelijkingen van elkaar aftrekken geeft een rechte), tot een kwadratische vergelijking over $F$: de nieuwe coördinaten liggen in $F$ of in $F(\sqrt d)$ voor zekere $d \in F$ met $d > 0$. Per inductie heeft elk geconstrueerd punt coördinaten in een toren van kwadratische uitbreidingen van $\Q$; en ook $z = x + \iu y$ ligt in zo’n toren (voeg $\iu$ toe: nog één kwadratische stap). Het gevolg voor de [graad](#def-b3-galois-extension): $[\Q(z):\Q]$ deelt $[F_r : \Q] = 2^r$ ([torenwet](#thm-b3-galois-tower)).

($\Leftarrow$) De construeerbare getallen vormen een lichaam: sommen en verschillen met parallellogrammen (parallellen zijn [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible): laat tweemaal een loodlijn neer en richt ze weer op — de klassieke loodlijn door een punt gebruikt één cirkel en twee bogen); producten en quotiënten met de configuraties van Thales (construeer bij gegeven lengten $a, b$ de lengten $ab$ en $a/b$ met gelijkvormige driehoeken op twee halfrechten). En het lichaam is gesloten onder worteltrekking: voor $a > 0$ snijden de cirkel met diameter $1 + a$ en de loodlijn in het aansluitpunt elkaar op hoogte $\sqrt a$ (de hoogtestelling in een rechthoekige driehoek); en voor een complexe $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ construeer je $\sqrt\rho$ en deel je $\theta$ in tweeën (een hoek halveren is een passerconstructie). Reële en imaginaire delen van elementen van een kwadratische toren zijn dus per inductie op de toren [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible): elke stap voegt wortels van een kwadratische vergelijking toe, uit te drukken met lichaamsbewerkingen en één vierkantswortel van een reeds geconstrueerd getal (de abc-formule; in karakteristiek $0$). ∎

**Gevolg 4.26.**

De drie klassieke problemen zijn niet [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) met liniaal en passer:

1. *Verdubbeling van de kubus* : $\sqrt[3]2$ heeft [graad](#def-b3-galois-extension) $3$ , geen macht van $2$ .
2. *Driedeling van de hoek* : een hoek van $60^\circ$ in drieën delen vergt $\cos 20^\circ$ , een wortel van de irreducibele $8X^3 - 6X - 1$ : [graad](#def-b3-galois-extension) $3$ .
3. *Kwadratuur van de cirkel* : $\sqrt\pi$ is transcendent (want $\pi$ is het — de stelling van Lindemann, hier zonder bewijs aangenomen: haar bewijs hoort in een cursus transcendentietheorie).

Verder is de regelmatige $n$-hoek [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) dan en slechts dan als $\varphi(n)$ een macht van $2$ is (Gauss–Wantzel; het “als” gebruikt de methode van de weekendopgave, het “slechts dan” is [Stelling 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) toegepast op $\zeta_n$, van [graad](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$). Voor $n = 7$ is $\varphi(7) = 6$: de regelmatige zevenhoek is onmogelijk; voor $n = 17$ is $\varphi(17)
= 16 = 2^4$: [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) — en de weekendopgave construeert haar.

**Bewijs.** (1) $X^3 - 2$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria)). (2) Uit $\cos 3\theta =
4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ met $3\theta = 60^\circ$ volgt $8c^3
- 6c = 1$ voor $c = \cos 20^\circ$; de derdegraadsveelterm $8X^3 -
6X - 1$ heeft geen rationale wortel (de kandidaten $\pm1,
\pm\frac 12, \pm\frac14, \pm\frac18$ falen) en is dus [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility): [graad](#def-b3-galois-extension) $3$. Een hoek van $60^\circ$ is in het algemeen [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible), dus zou een driedeler $c$ construeren. (3) Was $\sqrt\pi$ [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible), dan was het [algebraïsch](#def-b3-galois-algebraic), en dus ook $\pi$. De uitspraak over de $n$-hoek: de [graad](#def-b3-galois-extension) van $\zeta_n$ is $\varphi(n)$ ([Stelling 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred)); de noodzakelijkheid volgt uit Wantzel; en voor de toereikendheid bezit de [Galoisgroep](#def-b3-galois-galois), abels van orde $2^m$, een keten deelgroepen van index $2$ (een eindige $2$-groep heeft die: [Oefening 1.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-10)), waarvan de vaste lichamen een kwadratische toren vormen die eindigt in $\Q(\zeta_n)$ ([Stelling 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)); besluit met [Stelling 4.25](#thm-b3-galois-wantzel). ∎

## 4.8 Oplosbaarheid door worteltrekking

**Definitie 4.27.**

Een uitbreiding $L/K$ (in deze paragraaf overal in karakteristiek $0$) heet *radicaal* als er een toren $K = F_0 \subseteq
\dots \subseteq F_r = L$ is met $F_{i+1} = F_i(\alpha_i)$ en $\alpha_i^{n_i} \in F_i$: elke stap voegt een $n_i$-de wortel toe. Een veelterm $P \in K[X]$ heet *oplosbaar door worteltrekking* als haar [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) in een radicale uitbreiding van $K$ ligt.

**Lemma 4.28.**

Bevat $K$ een primitieve $n$-de eenheidswortel $\zeta$, dat wil zeggen een $\zeta$ van orde $n$ in $K^\times$, en is $a \in
K^\times$, dan is $K(\sqrt[n]a)/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois) met een *cyclische* groep. Omgekeerd — hieronder niet nodig — is elke cyclische uitbreiding van [graad](#def-b3-galois-extension) $n$ van deze vorm. Bovendien is $K(\zeta_n)/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois) met een *abelse* groep, voor elk $K$ van karakteristiek $0$.

**Bewijs.** $X^n - a$ is [separabel](#def-b3-galois-separable) ([grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) met $nX^{n-1}$: $a
\neq 0$) en valt uiteen in $K(\alpha)$ met $\alpha^n = a$: haar wortels zijn de $\zeta^k\alpha \in K(\alpha)$. Dus is $K(\alpha)/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois); en de afbeelding $\sigma \mapsto
\sigma(\alpha)/\alpha \in \mu_n = \langle \zeta\rangle$ is een injectief morfisme ($\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\tau(\alpha)/
\alpha \cdot \alpha) = \tau(\alpha)/\alpha\cdot\sigma(\alpha)$, want het quotiënt ligt in $K$) naar een cyclische groep: dus is $\operatorname{Gal}$ cyclisch. De omkering is Kummertheorie, die we niet nodig hebben (zie de opmerking hieronder). Voor $K(\zeta_n)$: het splitst de separabele $X^n - 1$, en $\sigma
\mapsto a(\sigma)$ met $\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^{a(\sigma)}$ bedt de groep in het abelse $(\Z/n\Z)^\times$ in, net als in [Stelling 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) (voor de injectiviteit is alleen nodig dat $\zeta_n$ de betrokken eenheidswortels voortbrengt). ∎

**Stelling 4.29 (Galois).**

Zij $K$ van karakteristiek $0$ en $P \in K[X]$ met [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Is $P$ [oplosbaar door worteltrekking](#def-b3-galois-radical), dan is $\operatorname{Gal}(L/K)$ een [oplosbare groep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived). (Het omgekeerde geldt eveneens; we hebben het niet nodig.)

**Bewijs.** Stap 1: *vergroot de [radicale](#def-b3-galois-radical) toren tot een Galoistoren.* Zij $L \subseteq M$ met $M/K$ [radicaal](#def-b3-galois-radical), met wortelexponenten $n_1,
\dots, n_r$ en $n = n_1\cdots n_r$. Voeg eerst $\zeta_n$ toe: de toren $K \subseteq K(\zeta_n) \subseteq M(\zeta_n)$ is nog steeds [radicaal](#def-b3-galois-radical) ($\zeta_n$ is een eenheidswortel: een [radicale](#def-b3-galois-radical) stap, want $\zeta_n^n = 1$), en haar stappen voorbij de eerste spelen zich af boven lichamen die de benodigde eenheidswortels bevatten. Vervang vervolgens $M(\zeta_n)$ door het samenstel $N$ van alle $\sigma(M(\zeta_n))$, waarbij $\sigma$ de (eindig veel) $K$-inbeddingen van $M(\zeta_n)$ in een vaste [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure) doorloopt: $N$ is het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van het product van de [minimaalveeltermen](#def-b3-galois-algebraic) van een voortbrengende verzameling (in karakteristiek $0$: eindig en [separabel](#def-b3-galois-separable)), dus is $N/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois); en $N$ is [radicaal](#def-b3-galois-radical) over $K$: elke $\sigma(M(\zeta_n))$ is [radicaal](#def-b3-galois-radical) over $K$ (pas $\sigma$ toe op een [radicale](#def-b3-galois-radical) toren), en een samenstel van [radicale](#def-b3-galois-radical) uitbreidingen is [radicaal](#def-b3-galois-radical) (zet de torens achter elkaar: is $F'/K$ [radicaal](#def-b3-galois-radical) met een toren die $\beta_j$ toevoegt, dan blijven stappen van het type $F''(\beta_j)$ [radicaal](#def-b3-galois-radical) boven elke grotere basis).

Stap 2: *lees de [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van de Galoistoren af.* Neem dus aan dat $L \subseteq N$ met $N/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois) en [radicaal](#def-b3-galois-radical), met toren $K \subseteq K(\zeta_n) = E_0 \subseteq E_1 \subseteq \dots
\subseteq E_s = N$, waarbij elke $E_{i+1} =
E_i(\sqrt[n_i]{a_i})$ met $\zeta_{n_i} \in E_0 \subseteq E_i$. Zij $G = \operatorname{Gal}(N/K)$ en $G_i = \operatorname{Gal}(N/E_i)$: een dalende keten $G \supseteq G_0 \supseteq G_1 \supseteq \dots
\supseteq G_s = \{e\}$. Elke $E_{i+1}/E_i$ is [Galois](#def-b3-galois-galois) met cyclische groep ([Lemma 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps)), dus geeft de hoofdstelling, toegepast op de [Galoisuitbreiding](#def-b3-galois-galois) $N/E_i$ ([Stelling 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)(3), met omgevende groep $G_i$): $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ met $G_i/G_{i+1} \cong
\operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i)$ cyclisch. Net zo is $E_0/K$ [Galois](#def-b3-galois-galois) met abelse groep $G/G_0$ ([Lemma 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps)). Die keten toont $G$ als [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) ([Propositie 1.29](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#prop-b3-groups-derived)). Ten slotte is $\operatorname{Gal}(L/K)$ een *quotiënt* van $G$: $L/K$ is [Galois](#def-b3-galois-galois) ($P$ is [separabel](#def-b3-galois-separable) in karakteristiek $0$) en de beperking $G
\to \operatorname{Gal}(L/K)$ is surjectief ([Stelling 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)(3) met $H =
\operatorname{Gal}(N/L)$); en quotiënten van [oplosbare groepen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) zijn [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived). ∎

**Gevolg 4.30 (Onoplosbaarheid van de vijfdegraadsvergelijking).**

Er zijn veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $5$ over $\Q$ die niet [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) zijn door worteltrekking: bijvoorbeeld $X^5 - 4X + 2$, waarvan de [Galoisgroep](#def-b3-galois-galois) $S_5$ is ([Oefening 4.11](#exo-b3-galois-11)), een niet-oplosbare groep ([Gevolg 1.34](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#cor-b3-groups-snnotsolvable)). Voor [graad](#def-b3-galois-extension) $\geq 5$ kan er dus geen algemene formule met worteltrekkingen bestaan.

**Opmerking 4.31.**

Het omgekeerde van [Stelling 4.29](#thm-b3-galois-solvable) — een oplosbare [Galoisgroep](#def-b3-galois-galois) impliceert [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) door worteltrekking — bewijst men door de afgeleide reeks af te dalen en aan te tonen dat elke cyclische uitbreiding (met genoeg eenheidswortels) [radicaal](#def-b3-galois-radical) is, met behulp van de *resolventen van Lagrange*; het verklaart waarom de graden $2, 3, 4$ wél formules hebben: $S_2, S_3, S_4$ zijn [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) ([Voorbeeld 1.30](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-solvableexamples)). Wij nemen het op dit niveau zonder bewijs aan; een volledige behandeling hoort in een mastercursus, maar [Oefening 4.8](#exo-b3-galois-8) maakt het concreet voor de derde [graad](#def-b3-galois-extension).

## 4.9 Oefeningen

**Oefening 4.1 ★.**

Toon aan dat $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q] = 4$ en dat $\Q(\sqrt2 +
\sqrt3) = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$, en bereken de [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic) van $\sqrt2 + \sqrt3$ over $\Q$.

**Oplossing van Oefening 4.1.**

$\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$: uit $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ met $a, b
\in \Q$ volgt na kwadrateren $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$, dus $ab
= 0$; bij $b = 0$ wordt $\sqrt3$ rationaal en bij $a = 0$ wordt $\sqrt6 = 2b \in \Q$ — beide onjuist (de standaardargumenten met priemfactorontbinding). Bijgevolg is $[\Q(\sqrt2,\sqrt3) :
\Q(\sqrt2)] = 2$ en geeft de [torenwet](#thm-b3-galois-tower) [graad](#def-b3-galois-extension) $4$.

Zij $\gamma = \sqrt2 + \sqrt3$. Dan is $\gamma^2 = 5 + 2\sqrt6$ en $(\gamma^2 - 5)^2 = 24$: $\gamma$ annihileert $X^4 - 10X^2 + 1$. Verder is $\gamma^3 = 11\sqrt2 + 9\sqrt3$, dus $\gamma^3 - 9\gamma
= 2\sqrt2$: dus $\sqrt2 \in \Q(\gamma)$ en daarna $\sqrt3 = \gamma
- \sqrt2 \in \Q(\gamma)$, zodat $\Q(\gamma) = \Q(\sqrt2,\sqrt3)$ van [graad](#def-b3-galois-extension) $4$. De annihilerende vierdegraadsveelterm heeft de [graad](#def-b3-galois-extension) van de [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic) en *is* dus de [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic): $X^4 - 10X^2 + 1$ (in het bijzonder is ze [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) over $\Q$).

**Oefening 4.2 ★.**

Zij $\alpha = \sqrt[3]2$. Toon aan dat $\Q(\alpha)/\Q$ niet normaal is (geef een inbedding $\Q(\alpha) \to \C$ waarvan het beeld niet $\Q(\alpha)$ is), bepaal het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $L$ van $X^3 - 2$ en $[L:\Q]$, en ga na dat $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$: bij [niet-Galoisuitbreidingen](#def-b3-galois-galois) kan de automorfismegroep veel kleiner zijn dan de [graad](#def-b3-galois-extension).

**Oplossing van Oefening 4.2.**

De drie wortels van $X^3 - 2$ in $\C$ zijn $\alpha, j\alpha,
j^2\alpha$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. De afbeelding $\alpha
\mapsto j\alpha$ definieert een $\Q$-inbedding $\Q(\alpha) \to \C$ ([Stelling 4.4](#thm-b3-galois-simple): beide brengen uitbreidingen van [graad](#def-b3-galois-extension) $3$ voort met dezelfde [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic)), waarvan het beeld $\Q(j\alpha) \not\subseteq \R$ verschilt van $\Q(\alpha) \subseteq
\R$: dus is $\Q(\alpha)/\Q$ niet normaal. Het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) is $L = \Q(\alpha, j)$, met $[L:\Q] =
[L:\Q(\alpha)]\,[\Q(\alpha):\Q] = 2 \cdot 3 = 6$ ($j$ voldoet aan $X^2 + X + 1$, [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) over het reële lichaam $\Q(\alpha)$). Een automorfisme van $\Q(\alpha)$ moet $\alpha$ naar een wortel van $X^3 - 2$ *binnen* $\Q(\alpha) \subseteq \R$ sturen: alleen $\alpha$ komt in aanmerking, dus $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$, van orde $1
< 3$.

**Oefening 4.3 ★.**

Construeer $\mathbb F_9$ als $\mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ en vind een voortbrenger van $\mathbb F_9^\times$. Geef de monische irreducibele veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $1, 2, 3$ over $\mathbb F_2$, en ga na dat $X^8 - X = X(X+1)(X^3+X+1)(X^3+X^2+1)$ over $\mathbb
F_2$.

**Oplossing van Oefening 4.3.**

$X^2 + 1$ heeft geen wortel in $\mathbb F_3$ ($0, 1, 2$ gaan naar $1, 2, 2$), dus is $\mathbb F_9 = \mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ een lichaam met $9$ elementen; schrijf $\omega = \bar X$, met $\omega^2 = -1$. De groep $\mathbb F_9^\times$ is cyclisch van orde $8$; $\omega$ heeft orde $4$, maar $1 + \omega$ voldoet: $(1+\omega)^2 = 1 + 2\omega + \omega^2 = 2\omega$ en $(1+\omega)^4
= 4\omega^2 = \omega^2 = -1 \ne 1$: orde $8$.

Over $\mathbb F_2$ — [graad](#def-b3-galois-extension) $1$: $X$, $X + 1$; [graad](#def-b3-galois-extension) $2$: $X^2 +
X + 1$ (de andere drie kwadratische veeltermen hebben wortels); [graad](#def-b3-galois-extension) $3$: $X^3 + X + 1$ en $X^3 + X^2 + 1$ (geen wortels in $\mathbb F_2$; de andere zes derdegraadsveeltermen hebben wortels). Controle:

$$
(X^3{+}X{+}1)(X^3{+}X^2{+}1) = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X
+ 1,
$$

en $X(X{+}1)(X^6 + \dots + 1) = X(X^7 + 1) = X^8 + X = X^8 - X$ over $\mathbb F_2$ — precies de irreducibele veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) die $3$ deelt, zoals [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) voorspelt ([graad](#def-b3-galois-extension) $2$ ontbreekt: $2 \nmid 3$).

**Oefening 4.4 ★★.**

(a) Bepaal alle primitieve wortels modulo $7$ en modulo $11$ (dat wil zeggen de voortbrengers van $\mathbb F_7^\times$ en $\mathbb
F_{11}^\times$). (b) Toon aan dat voor oneven $p$ een $x \in \mathbb F_p^\times$ een kwadraat is dan en slechts dan als $x^{(p-1)/2} = 1$ (het criterium van Euler), en vind zo het criterium voor $-1$ uit [Probleem 2.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#pb-b3-rings-1) terug.

**Oplossing van Oefening 4.4.**

(a) Modulo $7$: de machten van $3$ zijn $3, 2, 6, 4, 5, 1$: orde $6$, dus een voortbrenger; de primitieve wortels zijn de $3^k$ met $\gcd(k, 6) = 1$: dus $3$ en $3^5 = 5$. Modulo $11$: de machten van $2$ zijn $2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1$: een voortbrenger; de primitieve wortels zijn de $2^k$ met $\gcd(k, 10) = 1$: $2, 2^3 =
8, 2^7 = 7, 2^9 = 6$.

(b) Schrijf $x = g^k$ met $g$ een voortbrenger ([Stelling 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Dan is $x$ een kwadraat dan en slechts dan als $k$ even is (de kwadraten zijn de $g^{2l}$, en $g^{2l} = g^{k}$ precies wanneer $k \equiv 2l \bmod p-1$, wat [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) is precies voor even $k$, want $p - 1$ is even). En $x^{(p-1)/2} = g^{k(p-1)/2} = 1$ precies wanneer $(p-1) \mid
k\frac{p-1}2$, dus precies wanneer $k$ even is: de twee voorwaarden komen overeen. Voor $x = -1 = g^{(p-1)/2}$: het is een kwadraat precies wanneer $\frac{p-1}2$ even is, dus wanneer $p
\equiv 1 \pmod 4$ — opnieuw [Probleem 2.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#pb-b3-rings-1).

**Oefening 4.5 ★★.**

Toon aan dat binnen een vaste [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure) $\bar{\mathbb F}_p$ geldt: $\mathbb F_{p^m} \cap \mathbb F_{p^n} =
\mathbb F_{p^{\gcd(m,n)}}$ en $\mathbb F_{p^m}\mathbb F_{p^n} =
\mathbb F_{p^{\operatorname{lcm}(m,n)}}$, en beschrijf $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ voor $m \mid
n$.

**Oplossing van Oefening 4.5.**

Binnen $\bar{\mathbb F}_p$ is $\mathbb F_{p^k} = \{x : x^{p^k} =
x\}$ de verzameling vaste punten van $F^k$. De doorsnede $\mathbb
F_{p^m} \cap \mathbb F_{p^n}$ wordt vastgehouden door $F^m$ en $F^n$, en dus door $F^{\gcd(m,n)}$ (met $\gcd = am + bn$: op een vastgehouden element werkt $F^{am + bn} = (F^m)^a(F^n)^b$ triviaal — de exponenten mogen wegens de periodiciteit positief gekozen worden); ze ligt dus in $\mathbb F_{p^{\gcd(m,n)}}$, dat omgekeerd in beide bevat is ([Stelling 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(3)). Het samenstel $\mathbb
F_{p^m}\mathbb F_{p^n}$: elk lichaam dat beide bevat heeft een [graad](#def-b3-galois-extension) die door $m$ en door $n$ deelbaar is, en dus door $\operatorname{lcm}(m,n)$; en $\mathbb F_{p^{\operatorname{lcm}}}$ bevat beide: dat is het samenstel. Voor $m \mid n$ bestaat $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ uit de machten van $F$ die $\mathbb F_{p^m}$ vasthouden, dat wil zeggen uit die van $F^m$: cyclisch van orde $n/m$, voortgebracht door $F^m \colon x \mapsto x^{p^m}$ (de orde als in [Stelling 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(2)).

**Oefening 4.6 ★★.**

Zij $I_d(q)$ het aantal monische irreducibele veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$ over $\mathbb F_q$. Bewijs

$$
X^{q^n} - X \;=\; \prod_{d \mid n}\ \prod_{P \text{ irred.
monisch, } \deg P = d} P ,
\qquad\text{en dus}\qquad
q^n = \sum_{d \mid n} d\, I_d(q).
$$

Leid $I_1, I_2, I_3, I_4$ expliciet af, en toon aan dat $I_d(q)
\geq 1$ voor elke $d$ (zodat de uitbreidingen $\mathbb
F_{q^d}/\mathbb F_q$ voor alle $d$ bestaan als quotiënten $\mathbb
F_q[X]/(P)$).

**Oplossing van Oefening 4.6.**

$X^{q^n} - X$ is [separabel](#def-b3-galois-separable) (afgeleide $-1$) met als wortelverzameling $\mathbb F_{q^n}$. Zij $P$ monisch [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$. Is $d \mid n$, dan is $\mathbb F_q[X]/(P) \cong
\mathbb F_{q^d} \subseteq \mathbb F_{q^n}$, dus heeft $P$ een wortel $\alpha \in \mathbb F_{q^n}$; en $\alpha^{q^n} = \alpha$, zodat $P = \pi_\alpha$ de veelterm $X^{q^n} - X$ deelt. Is omgekeerd $P \mid X^{q^n} - X$, dan brengt een wortel $\alpha \in
\mathbb F_{q^n}$ het lichaam $\mathbb F_{q^d} \subseteq \mathbb
F_{q^n}$ voort, dus $d \mid n$ ([Stelling 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(3)). Verschillende irreducibele veeltermen zijn onderling ondeelbaar en het product is [separabel](#def-b3-galois-separable): elke $P$ komt met exponent precies $1$ voor, en elke wortel van $X^{q^n}-X$ is een wortel van haar [minimaalveelterm](#def-b3-galois-algebraic): de ontbinding klopt. Graden vergelijken geeft $q^n = \sum_{d\mid
n} d\,I_d(q)$.

Bijgevolg is $I_1 = q$; uit $q^2 = I_1 + 2I_2$ volgt $I_2 =
\frac{q^2 - q}2$; uit $q^3 = I_1 + 3I_3$ volgt $I_3 = \frac{q^3 -
q}3$; en uit $q^4 = I_1 + 2I_2 + 4I_4$ volgt $I_4 = \frac{q^4 -
q^2}4$. Bestaan: $nI_n = q^n - \sum_{d \mid n,\, d < n} dI_d \geq
q^n - \sum_{d \leq n/2} q^d > q^n - q^{n/2 + 1} \geq 0$ voor $n
\geq 2$ (en $I_1 = q \geq 1$): dus altijd $I_n \geq 1$.

**Oefening 4.7 ★★.**

Bepaal $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt2,\sqrt3)/\Q)$ en het volledige tralie van tussenliggende lichamen. Dezelfde vraag voor het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$ — wat valt je op?

**Oplossing van Oefening 4.7.**

$L = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$ is het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van $(X^2 -
2)(X^2 - 3)$, [separabel](#def-b3-galois-separable): [Galois](#def-b3-galois-galois) van [graad](#def-b3-galois-extension) $4$ ([Oefening 4.1](#exo-b3-galois-1)). Een automorfisme stuurt $\sqrt2 \mapsto
\pm\sqrt2$ en $\sqrt3 \mapsto \pm\sqrt3$: hoogstens $4$ mogelijkheden, en $\abs G = 4$ realiseert ze alle: $G \cong
(\Z/2\Z)^2$, met elementen $\mathrm{id}, \sigma (\sqrt2 \mapsto
-\sqrt2), \tau (\sqrt3\mapsto-\sqrt3), \sigma\tau$. De deelgroepen van orde $2$ zijn $\langle\sigma\rangle, \langle\tau\rangle,
\langle\sigma\tau\rangle$, met vaste lichamen $\Q(\sqrt3)$, $\Q(\sqrt2)$ en $\Q(\sqrt6)$ (merk op dat $\sigma\tau$ het getal $\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3$ vasthoudt). Het tralie: onderaan $\Q$, in het midden de drie kwadratische lichamen, bovenaan $L$ — en niets anders ([Stelling 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)). Voor $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$ is het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) *hetzelfde* $L$ (want $\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3$), zodat het antwoord identiek is: de [Galoiscorrespondentie](#thm-b3-galois-fundamental) is een invariant van de *uitbreiding*, niet van de veelterm die haar toevallig presenteert.

**Oefening 4.8 ★★.**

(De derdegraadsvergelijking, opgelost door haar groep) Zij $P =
X^3 + pX + q \in \Q[X]$ [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) met wortels $x_1, x_2, x_3$ en [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Stel $\delta = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 -
x_3)$ en $\Delta = \delta^2 = -4p^3 - 27q^2$ (neem die klassieke identiteit zonder bewijs aan of ga ze na door de symmetrische functies uit te werken). (a) Toon aan dat $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong A_3$ of $S_3$, naargelang $\Delta$ wel of niet een kwadraat in $\Q$ is. (b) Definieer met $j = \zeta_3$ de resolventen van Lagrange $u =
x_1 + jx_2 + j^2x_3$ en $v = x_1 + j^2x_2 + jx_3$. Toon aan dat $u^3 + v^3 = -27q$ en $uv = -3p$, en los $u^3$ en $v^3$ op: de formules van Cardano rollen eruit. Waar is de [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van $S_3$ gebruikt?

**Oplossing van Oefening 4.8.**

(a) $G$ werkt trouw en transitief (irreducibiliteit) op de drie wortels: dus $G \hookrightarrow S_3$ met $3 \mid \abs G$, zodat $G
\cong A_3$ of $S_3$. Elke $\sigma \in G$ permuteert de $x_i$, en $\sigma(\delta) = \varepsilon(\sigma)\,\delta$ ($\delta$ is alternerend in de wortels). Is $\Delta$ een kwadraat in $\Q$, dan is $\delta \in \Q^\times$ (merk op dat $\delta \neq 0$: [separabel](#def-b3-galois-separable)), dus $\varepsilon(\sigma) = 1$ voor alle $\sigma$: $G \subseteq A_3$, en dus $G = A_3$. Zo niet, dan is $\delta
\notin \Q$ en heeft een zekere $\sigma$ dat $\varepsilon(\sigma) = -1$: $G = S_3$. (In beide gevallen is $\Q(\delta) = L^{G \cap A_3}$.)

(b) Met $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ is $u + v = 2x_1 - (x_2 + x_3) =
3x_1$. Verder is

$$
uv = \sum_i x_i^2 + (j + j^2)\sum_{i<k}x_ix_k
= \Bigl(\sum x_i\Bigr)^2 - 3\sum_{i<k}x_ix_k = -3p,
$$

met $j + j^2 = -1$ en $\sum_{i<k}x_ix_k = p$. Dan is

$$
u^3 + v^3 = (u+v)^3 - 3uv(u+v) = 27x_1^3 + 9p\cdot 3x_1
= 27\,(x_1^3 + px_1) = -27q .
$$

Dus zijn $u^3$ en $v^3$ de wortels van $Y^2 + 27qY - 27p^3 = 0$ (hun product is $(uv)^3 = -27p^3$): $u^3 = \frac{-27q +
\sqrt{729q^2 + 108p^3}}2$, en $x_1 = \frac{u + v}3$ met $v =
-3p/u$: Cardano. De [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van $S_3$ is het skelet: de toren $\Q \subseteq \Q(\delta) \subseteq \Q(\delta, j, u)$ voegt eerst een vierkantswortel toe ($\delta$, het vaste lichaam van $A_3$: de stap $S_3 \to S_3/A_3$) en daarna een derdemachtswortel ($u$, want $u^3 \in \Q(\delta, j)$: de stap $A_3 \to \{e\}$) — de afgeleide reeks $S_3 \supset A_3 \supset \{e\}$ in levenden lijve.

**Oefening 4.9 ★★.**

Toon in $\Q(\zeta_5)$ aan dat het enige kwadratische deellichaam $\Q(\sqrt5)$ is, via de Gauss-sommen $\eta_0 = \zeta_5 +
\zeta_5^4$ en $\eta_1 = \zeta_5^2 + \zeta_5^3$: bereken $\eta_0 +
\eta_1$ en $\eta_0\eta_1$, en leid af dat $\cos\frac{2\pi}5 =
\frac{\sqrt5 - 1}4$. Besluit dat de regelmatige vijfhoek [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) is.

**Oplossing van Oefening 4.9.**

Er geldt $\eta_0 + \eta_1 = \zeta_5 + \zeta_5^2 + \zeta_5^3 +
\zeta_5^4 = -1$ (de som van alle $5$-de eenheidswortels is $0$). Verder is $\eta_0\eta_1 = (\zeta + \zeta^4)(\zeta^2 + \zeta^3) =
\zeta^3 + \zeta^4 + \zeta^6 + \zeta^7 = \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta
+ \zeta^2 = -1$ (exponenten modulo $5$). Dus zijn $\eta_0$ en $\eta_1$ de wortels van $Y^2 + Y - 1$: $\frac{-1 \pm \sqrt5}2$. Omdat $\eta_0 = 2\cos\frac{2\pi}5 > 0$, is $\eta_0 = \frac{\sqrt5
- 1}2$, waaruit $\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}4$, en $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt5}2$. De groep $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_5)/\Q) \cong (\Z/5\Z)^\times$ is cyclisch van orde $4$: ze heeft een *unieke* deelgroep van orde $2$ ($\{\pm 1\}$, dus $\zeta \mapsto \zeta^{\pm1}$), zodat $\Q(\zeta_5)$ een uniek kwadratisch deellichaam heeft ([Stelling 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)); dat bevat $\eta_0 \notin \Q$ en is dus $\Q(\eta_0) = \Q(\sqrt5)$. Construeerbaarheid: $\cos\frac{2\pi}5$ ligt in de kwadratische toren $\Q \subseteq
\Q(\sqrt5)$, en $\zeta_5$ één kwadratische stap hoger: [Stelling 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) construeert de vijfhoek.

**Oefening 4.10 ★★★.**

Zij $K = \mathbb F_p(S, T)$ (rationale functies in twee onbepaalden) en $L = K(S^{1/p}, T^{1/p})$. (a) Toon aan dat $[L:K] = p^2$ en dat $\alpha^p \in K$ voor elke $\alpha \in L$. (b) Leid af dat $L/K$ *niet* enkelvoudig is: er bestaat geen primitief element — inseparabiliteit is fataal voor [Stelling 4.17](#thm-b3-galois-primitive).

**Oplossing van Oefening 4.10.**

(a) Schrijf $s = S^{1/p}$ en $t = T^{1/p}$ (elementen van een gekozen [algebraïsche afsluiting](#def-b3-galois-closure) met $s^p = S$ en $t^p = T$). De veelterm $X^p - S$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) over $K = \mathbb F_p(S, T)$, opgevat als breukenlichaam van $\mathbb F_p(T)[S]$: [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria) bij het [priemelement](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) $S$ van dat [UFD](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-pidufd) ([Stelling 2.25](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria)). Dus $[K(s):K] = p$; net zo is $X^p
- T$ [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria) bij $T$ over het breukenlichaam van $\mathbb
F_p(s)[T]$ — $T$ blijft daar priem — wat $[L : K(s)] = p$ en $[L:K] = p^2$ geeft. Voor $\alpha \in L$: $L = K[s, t]$, dus $\alpha = \sum c_{ij}s^it^j$ met $c_{ij} \in K$, en via het frobeniusmorfisme is $\alpha^p = \sum c_{ij}^p S^iT^j \in K$.

(b) Was $L = K(\alpha)$, dan was $[K(\alpha):K] = p^2$; maar $\alpha^p = a \in K$ betekent dat $\alpha$ de veelterm $X^p - a$ annihileert, dus $\deg\pi_\alpha \leq p < p^2$: tegenspraak. Er is dus geen primitief element: [Stelling 4.17](#thm-b3-galois-primitive) heeft de separabiliteit werkelijk nodig (hier deelt elke $\pi_\alpha$ een $X^p - a = (X - \alpha)^p$: zuiver inseparabel).

**Oefening 4.11 ★★★.**

Zij $P = X^5 - 4X + 2$ en $G$ haar [Galoisgroep](#def-b3-galois-galois) over $\Q$, werkend op de $5$ wortels. (a) Toon aan dat $P$ [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) is en leid af dat $5 \mid \abs
G$; besluit dat $G$ een $5$-cykel bevat (Cauchy, [Stelling 1.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-cauchy)). (b) Toon, door het verloop van $x \mapsto x^5 - 4x + 2$ te bestuderen, aan dat $P$ precies $3$ reële wortels heeft; leid af dat de complexe toevoeging zich in $G$ tot een transpositie beperkt. (c) Toon aan dat een deelgroep van $S_5$ die een transpositie en een $5$-cykel bevat, gelijk is aan $S_5$ *(conjugeer de transpositie met machten van de cykel)*. Besluit dat $G \cong S_5$ en, met [Stelling 4.29](#thm-b3-galois-solvable), dat $P$ niet [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) is door worteltrekking.

**Oplossing van Oefening 4.11.**

(a) [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria) bij $2$ ($2 \mid 4, 2$; $4 \nmid 2$): $P$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility). Is $\alpha$ een wortel, dan deelt $[\Q(\alpha):\Q] =
5$ de [graad](#def-b3-galois-extension) $[L:\Q] = \abs G$ (met $L$ het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting)): Cauchy ([Stelling 1.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-cauchy)) geeft een element van orde $5$ in $G \leq S_5$; en in $S_5$ hebben alleen $5$-cykels orde $5$ (de ordes zijn kleinste gemene veelvouden van de cykellengten).

(b) $P'(x) = 5x^4 - 4$ verdwijnt in $\pm(4/5)^{1/4} \approx \pm
0.946$: eerst een lokaal maximum, dan een lokaal minimum. Waarden: $P(-2) = -22 < 0$, $P(0) = 2 > 0$, $P(1) = -1 < 0$, $P(2) = 26 >
0$: drie tekenwisselingen, en hoogstens drie reële wortels (twee kritieke punten): dus precies $3$ reële wortels, en daarmee één paar complex toegevoegde wortels. Neem het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) $L$ binnen $\C$: de complexe toevoeging beeldt $L$ op zichzelf af (ze permuteert de wortels, die $L$ voortbrengen) en houdt $\Q$ vast, dus bepaalt ze een element van $G$; ze houdt de drie reële wortels vast en verwisselt de twee andere: een transpositie.

(c) Zij $\tau = (a\,b)$ en $\sigma$ een $5$-cykel in $G$. Een zekere macht $\sigma^k$ stuurt $a$ naar $b$ (met $k \ne 0 \bmod
5$), en $\sigma^k$ is opnieuw een $5$-cykel: na hernoeming mogen we $\sigma = (1\,2\,3\,4\,5)$ en $\tau = (1\,2)$ aannemen. Conjugeren geeft $\sigma^m\tau\sigma^{-m} = (\sigma^m(1)\
\sigma^m(2))$: de naburige transposities $(1\,2), (2\,3), (3\,4),
(4\,5), (5\,1)$ liggen dus alle in $G$; en naburige transposities brengen $S_5$ voort (elke transpositie $(i\,j)$ is een product van naburige, en transposities brengen alles voort). Dus $G = S_5$, niet [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) ([Gevolg 1.34](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#cor-b3-groups-snnotsolvable)), en [Stelling 4.29](#thm-b3-galois-solvable) besluit: $X^5 - 4X + 2$ is niet [oplosbaar door worteltrekking](#def-b3-galois-radical).

**Oefening 4.12 ★★★.**

(De diëdrale vierdegraadsvergelijking) Zij $\alpha = \sqrt[4]2$ en $L = \Q(\alpha, \iu)$, het [splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van $X^4 - 2$ over $\Q$. (a) Toon aan dat $[L : \Q] = 8$ en dat $G =
\operatorname{Gal}(L/\Q)$ wordt voortgebracht door $\sigma\colon \alpha \mapsto \iu\alpha,\ \iu \mapsto \iu$ en de complexe toevoeging $\tau$, met $\sigma^4 = \tau^2 = e$ en $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$: dus $G \cong D_4$. (b) Geef het deelgroepentralie van $D_4$ (tien deelgroepen) en koppel elke deelgroep aan haar vaste lichaam; ga in het bijzonder na dat $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\iu)$ en $\Q(\iu\sqrt2)$ de drie kwadratische deellichamen zijn, en lokaliseer $\Q(\alpha)$, $\Q(\iu\alpha)$ en $\Q(\sqrt2, \iu)$. (c) Welke tussenliggende lichamen zijn [Galois](#def-b3-galois-galois) over $\Q$? Vergelijk je antwoord met de [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) van $D_4$, en verklaar waarom $\Q(\alpha)/\Q$ faalt terwijl $\Q(\sqrt2)/\Q$ slaagt.

**Oplossing van Oefening 4.12.**

(a) $X^4 - 2$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#thm-b3-rings-criteria) bij $2$): dus $[\Q(\alpha):\Q] = 4$; en $\iu \notin \Q(\alpha) \subseteq \R$, zodat $[L : \Q(\alpha)] = 2$ en $[L:\Q] = 8$. De uitbreiding is [Galois](#def-b3-galois-galois) ([splitsingslichaam](#thm-b3-galois-splitting) van een [separabele veelterm](#def-b3-galois-separable): de wortels zijn de $\iu^k\alpha$), dus $\abs G = 8$. Een automorfisme stuurt $\alpha$ naar een van de vier wortels en $\iu$ naar $\pm\iu$: hoogstens $8$ afbeeldingen, alle gerealiseerd. De genoemde $\sigma$ (orde $4$: $\sigma^2(\alpha) = -\alpha$, $\sigma^4 = e$) en $\tau$ (orde $2$) voldoen aan

$$
\tau\sigma\tau(\alpha) = \tau\sigma(\alpha) =
\tau(\iu\alpha) = -\iu\alpha = \sigma^{-1}(\alpha),
\qquad \tau\sigma\tau(\iu) = \iu\cdot(-1)(-1) = \iu ,
$$

of preciezer: $\tau\sigma\tau(\iu) = \tau\sigma(-\iu) = \tau(-\iu)
= \iu = \sigma^{-1}(\iu)$. Dus $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$: de presentatie van $D_4$.

(b) De tien deelgroepen van $D_4 = \langle\sigma, \tau\rangle$: $\{e\}$; vijf van orde $2$: $\langle\sigma^2\rangle$, $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma^2\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle$, $\langle\sigma^3\tau\rangle$; drie van orde $4$: $\langle\sigma\rangle$, $\{e, \sigma^2, \tau,
\sigma^2\tau\}$, $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\}$; en $D_4$ zelf. Vaste lichamen ([graad](#def-b3-galois-extension) $=$ index): $\{e\}
\leftrightarrow L$; de deelgroepen van orde $2$ $\leftrightarrow$ de vijf lichamen van [graad](#def-b3-galois-extension) $4$,

$$
\langle\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\alpha),\quad
\langle\sigma^2\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\iu\alpha),
\quad
\langle\sigma^2\rangle \leftrightarrow \Q(\sqrt2, \iu),\quad
\langle\sigma\tau\rangle \leftrightarrow
\Q\bigl((1+\iu)\alpha\bigr),\quad
\langle\sigma^3\tau\rangle \leftrightarrow
\Q\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) .
$$

Controles: $\tau$ houdt de reële $\alpha$ vast; $\sigma^2\tau$ stuurt $\alpha \mapsto -\alpha$ en $\iu \mapsto -\iu$ en houdt dus $\iu\alpha$ vast; en omdat $\sigma\tau(\alpha) = \iu\alpha$ en $\sigma\tau(\iu) = -\iu$:

$$
\sigma\tau\bigl((1+\iu)\alpha\bigr) =
(1 - \iu)\,\iu\alpha = (1 + \iu)\alpha,
\qquad
\sigma^3\tau\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) =
(1 + \iu)(-\iu)\alpha = (1 - \iu)\alpha :
$$

elke spiegeling houdt haar voortbrenger vast, en het vaste lichaam, van [graad](#def-b3-galois-extension) $4 =$ index, is precies het lichaam dat die voortbrenger voortbrengt (die is een wortel van $X^4 + 8$, [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility)). De deelgroepen van orde $4$ $\leftrightarrow$ de drie kwadratische lichamen: $\langle\sigma\rangle
\leftrightarrow \Q(\iu)$ ($\sigma$ houdt $\iu$ vast); $\{e,
\sigma^2, \tau, \sigma^2\tau\} \leftrightarrow \Q(\sqrt2)$ (alle vier houden $\alpha^2$ vast, op de tekencontroles na: $\tau(\sqrt2) = \sqrt2$, $\sigma^2(\alpha^2) = (-\alpha)^2$); en $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\} \leftrightarrow
\Q(\iu\sqrt2)$ (want $\sigma\tau(\iu\alpha^2) = (-\iu)(\iu\alpha)^2
= \iu\alpha^2$).

(c) [Galois](#def-b3-galois-galois) over $\Q$ $\leftrightarrow$ [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) van $D_4$: $\{e\}$, $\langle\sigma^2\rangle$ (het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions)), de drie deelgroepen van orde $4$, en $D_4$ — de [Galois](#def-b3-galois-galois) tussenliggende lichamen zijn dus $L$, $\Q(\sqrt2, \iu)$, de drie kwadratische lichamen, en $\Q$. De vijf lichamen van [graad](#def-b3-galois-extension) $4$ die bij niet-normale spiegelingen horen, zijn niet [Galois](#def-b3-galois-galois): $\Q(\alpha)$ bevat één wortel van $X^4 - 2$ maar niet $\iu\alpha$ (het is reëel) — conjugatie met $\sigma$ brengt $\langle\tau\rangle$ naar $\langle\sigma^2\tau\rangle$, precies zoals het $\Q(\alpha)$ naar $\Q(\iu\alpha)$ brengt: de niet-normaliteit van de deelgroep *is* het bestaan van een geconjugeerd lichaam.

## 4.10 Probleem: Gauss en de regelmatige 17-hoek

**Probleem 4.1.**

Weekendopgave — construeerbaarheid van de 17-hoek

Op 30 maart 1796 toonde de negentienjarige Gauss aan dat de regelmatige $17$-hoek [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) is — de eerste vooruitgang op die vraag sinds de oudheid. We doen zijn berekening over met het gereedschap van dit hoofdstuk. Stel $\zeta =
\eu^{2\iu\pi/17}$, $L = \Q(\zeta)$ en $G =
\operatorname{Gal}(L/\Q)$.

**Deel I — De groep en haar filtratie.**

1. Verantwoord: $[L:\Q] = 16$ en $G \cong (\Z/17\Z)^\times$ , cyclisch van orde $16$ . Ga na dat $3$ een voortbrenger van $(\Z/17\Z)^\times$ is *(bereken de machten van $3$ modulo $17$: $3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, \dots$)* .
2. Zij $\sigma \in G$ met $\sigma(\zeta) = \zeta^3$ , en $H_k  = \langle \sigma^{2^k}\rangle$ voor $k = 0, \dots, 4$ . Toon aan dat $G = H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset H_3  \supset H_4 = \{e\}$ met telkens index $[H_k : H_{k+1}] =  2$ , en dat de vaste lichamen $\Q = L_0 \subset L_1 \subset  L_2 \subset L_3 \subset L_4 = L$ een toren van kwadratische uitbreidingen vormen.
3. Besluit *a priori* , met [Stelling 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) , dat $\zeta$ — en dus de $17$ -hoek — [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) is. De rest van het probleem maakt de toren expliciet.

**Deel II — De perioden van lengte 8.** Definieer de *Gauss-perioden*

$$
\eta_0 = \sum_{k \text{ even}} \zeta^{3^k \bmod 17}
= \zeta^{1} + \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16} +
\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2},
\qquad
\eta_1 = \sum_{k \text{ oneven}} \zeta^{3^k \bmod 17}.
$$

4. Toon aan dat $\eta_0$ en $\eta_1$ door $H_1$ worden vastgehouden en door $\sigma$ worden verwisseld; leid af dat $\eta_0, \eta_1 \in L_1$ en dat ze de twee wortels zijn van een kwadratische veelterm over $\Q$ .
5. Bereken $\eta_0 + \eta_1 = -1$ . Toon aan dat $\eta_0\eta_1 = -4$ *(elk product $\zeta^a\zeta^b$ is een zekere $\zeta^c$ met $c \neq 0$; tel hoe vaak elke $c$ voorkomt, of redeneer dat het product een geheel getal is dat door $G$ wordt vastgehouden, gelijk aan de som over alle $64$ producten, en gebruik dat elke rest $\neq 0$ even vaak optreedt)* .
6. Leid af dat $\eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2$ en $\eta_1 =  \frac{-1-\sqrt{17}}2$ (bepaal numeriek welke welke is: $\eta_0 \approx 1.56$ ), en dat $L_1 = \Q(\sqrt{17})$ .

**Deel III — Perioden van lengte 4 en 2.** Definieer

$$
\beta_0 = \zeta + \zeta^{13} + \zeta^{16} + \zeta^{4},\quad
\beta_1 = \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12},\quad
\beta_2 = \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^{8} + \zeta^{2},\quad
\beta_3 = \zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} + \zeta^{6}.
$$

7. Toon aan dat $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$ en $\beta_1 +  \beta_3 = \eta_1$ , en dat $\beta_0$ en $\beta_2$ door $H_2$ worden vastgehouden en door $\sigma^2$ worden verwisseld.
8. Bereken $\beta_0\beta_2 = -1$ en $\beta_1\beta_3 = -1$ *(werk uit: de zestien verkregen exponenten doorlopen $1, \dots, 16$ precies één keer)* .
9. Leid af dat $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 +  4}}2$ (controleer het teken numeriek: $\beta_0 \approx  2.05$ ) en de overeenkomstige formule voor $\beta_1$ ; dus $L_2 = \Q(\beta_0)$ , kwadratisch over $L_1$ .
10. Zij $\gamma_0 = \zeta + \zeta^{16} =  2\cos\frac{2\pi}{17}$ en $\gamma_1 = \zeta^{13} +  \zeta^4$ . Toon aan dat $\gamma_0 + \gamma_1 = \beta_0$ en $\gamma_0\gamma_1 = \beta_1$ , zodat $\gamma_0 =  \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$ .
11. Stel de keten formules samen die $\cos\frac{2\pi}{17}$ door geneste vierkantswortels uitdrukt, en geef een decimale controle ( $\cos\frac{2\pi}{17} \approx  0.93247$ ).

**Deel IV — Slotwoord.**

12. Waar precies gebruikte het argument dat $17$ een *Fermat-priemgetal* is ( $17 = 2^{2^2} + 1$ )? Toon aan dat voor een priemgetal $p$ de regelmatige $p$ -hoek [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) is dan en slechts dan als $p = 2^{2^t} + 1$ voor zekere $t$ *(toon aan dat uit $p - 1 = 2^m$ volgt dat $m$ zelf een macht van $2$ moet zijn)* .
13. Leid de volledige lijst construeerbare regelmatige $n$ -hoeken voor $n \leq 20$ af, met het criterium van Gauss–Wantzel uit [Gevolg 4.26](#cor-b3-galois-impossible) .

**Deel V — Gauss-sommen en kwadratische reciprociteit.** De perioden uit Deel II verbergen een schat. Voor een oneven priemgetal $p$ is het *legendresymbool* $\bigl(\frac ap\bigr)$ gelijk aan $+1$ als $a$ een kwadraat $\neq
0$ modulo $p$ is, $-1$ als het dat niet is, en $0$ als $p \mid
a$; [Oefening 4.4](#exo-b3-galois-4)(b) (het criterium van Euler) geeft $\bigl(\frac ap\bigr) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$, waaruit de multiplicativiteit volgt. Schrijf $\zeta = \eu^{2\iu\pi/p}$, $p^*
= (-1)^{(p-1)/2}p$, en definieer de *Gauss-som*

$$
g \;=\; \sum_{a=1}^{p-1}\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^a .
$$

14. Toon aan dat $\sum_{a=1}^{p-1}\bigl(\frac ap\bigr) = 0$ (er zijn evenveel kwadraten als niet-kwadraten), en bewijs de alternatieve vorm $g = \sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2}$ *(elk kwadraat $\neq 0$ wordt tweemaal geraakt, en $\sum_{a}\zeta^a = 0$)* . Voor $p = 17$ : breng $g$ in verband met de perioden van Deel II — toon aan dat $g =  \eta_0 - \eta_1$ *(de kwadraten modulo $17$ zijn precies de even machten van de voortbrenger $3$)* .
15. Bewijs $g^2 = p^*$: werk $$g^2 = \sum_{a,b\neq0}\Bigl(\frac{ab}p\Bigr)  \zeta^{a+b}  = \sum_{c}\ \sum_{a \neq 0}\Bigl(\frac{a(c -  a)}p\Bigr)\zeta^{c}$$ uit (stel $b = c - a$), substitueer $c - a = at$ om de binnenste som te evalueren als $\bigl(\frac{-1}p\bigr)(p -  1)$ voor $c = 0$ en als $-\bigl(\frac{-1}p\bigr)$ anders, en besluit met vraag 14. Controleer numeriek: voor $p =  17$ is $(\eta_0 - \eta_1)^2 = 17$ (Deel II).
16. Leid af dat $\sqrt{p^*} \in \Q(\zeta_p)$ , en besluit dat het *enige* kwadratische deellichaam van $\Q(\zeta_p)$ gelijk is aan $\Q(\sqrt{p^*})$ — enig, omdat $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q)$ cyclisch is ( [Stelling 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) ) en een cyclische groep precies één deelgroep van index $2$ heeft. (Elk kwadratisch lichaam bedt zich in een cyclotomisch lichaam in — het eerste geval van de stelling van Kronecker–Weber, waarvan de algemene vorm nog ver voor ons ligt.)
17. Zij nu $q \neq p$ een ander oneven priemgetal. Bewijs, werkend in de ring $\Z[\zeta]$ modulo $q$, dat $$g^q \equiv \Bigl(\frac qp\Bigr)\,g \pmod{q\Z[\zeta]}$$ *(droom van de eerstejaars: $(x + y)^q \equiv x^q +  y^q$ modulo $q$ in elke commutatieve ring; vervolgens $g^q  \equiv \sum_a\bigl(\frac ap\bigr)^q\zeta^{aq}$, herindexeer $b = aq$ en haal $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) =  \bigl(\frac qp\bigr)$ naar buiten)*.
18. Anderzijds is $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} =  g\,(p^*)^{(q-1)/2}$; leid met het criterium van Euler modulo $q$ af dat $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g  \pmod{q\Z[\zeta]}$, en besluit — door de twee uitdrukkingen voor $g^q$ met $g$ te vermenigvuldigen en $g^2 = p^*$ te gebruiken, dat inverteerbaar is modulo $q$ — dat $$\Bigl(\frac qp\Bigr) = \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr) .$$ *(Waarom impliceert een congruentie tussen de gehele getallen $\pm p^*$ modulo $q\Z[\zeta]$ hun gelijkheid? Snijd met $\Z$.)*
19. Werk $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) =  \bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr)$ en $\bigl(\frac{-1}q\bigr) = (-1)^{(q-1)/2}$ uit om de *wet van de kwadratische reciprociteit* te verkrijgen: $$\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigl(\frac qp\Bigr)  = (-1)^{\frac{p-1}2\cdot\frac{q-1}2} .$$ Controleer haar op $(p, q) = (17, 3)$ door de kwadraten modulo $17$ en modulo $3$ op te schrijven, en gebruik haar om in drie regels te beslissen of $x^2 \equiv 219  \pmod{383}$ [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) is ($383$ is priem, $219 =  3\cdot73$).

**Deel VI — Irreducibele veeltermen tellen: de priemgetalstelling van $\mathbb F_q[X]$.** Leg een priemmacht $q$ vast en zij $N_q(n)$ het aantal *monische irreducibele* veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $n$ over $\mathbb F_q$; herinner uit [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) de ontbinding van $X^{q^n} - X$ en de identiteit $q^n = \sum_{d\mid n}d\,N_q(d)$, die we nu inverteren, herinterpreteren en uitbuiten.

20. (Woorden) Noem een woord $w \in \mathbb F_q^n$ *primitief* als het geen macht $u^{n/d} = u\cdots u$ van een strikt korter woord $u$ is, en zij $A(d)$ het aantal primitieve woorden van lengte $d$ . Toon aan dat elk woord van lengte $n$ op precies één manier een macht is van een primitief woord van zekere lengte $d \mid n$ , zodat $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$ ; besluit door vergelijking met [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) dat $A(d) =  d\,N_q(d)$ voor elke $d$ , en verklaar dat samenvallen met een expliciete bijectie: een $\alpha \in \mathbb F_{q^d}$ van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$ heeft een frobeniusbaan $(\alpha, \alpha^q,  \dots, \alpha^{q^{d-1}})$ van precies $d$ verschillende elementen, en de elementen van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$ corresponderen $d$ -op-één met de irreducibele veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$ .
21. Bewijs de *inversieformule van Möbius*: is $f(n) =  \sum_{d\mid n}g(d)$ voor alle $n$, dan is $g(n) =  \sum_{d\mid n}\mu(d)\,f(n/d)$, waarbij $\mu$ de möbiusfunctie is ($\mu(m) = (-1)^{\#\text{priemfactoren}}$ als $m$ kwadraatvrij is, en $0$ anders) *(sleutellemma: $\sum_{d \mid m}\mu(d) = 0$ voor $m > 1$ — paar de delers met en zonder een vaste priemfactor)*. Leid af dat $$N_q(n) = \frac1n\sum_{d \mid n}\mu(d)\,q^{n/d} .$$
22. Toon aan dat $N_q(n) \geq \frac1n\bigl(q^n -  2q^{n/2}\bigr) > 0$ voor elke $n \geq 1$ : een nieuw bewijs dat $\mathbb F_{q^n}$ voor alle $n$ bestaat. Interpreteer de hoofdterm: een toevallig gekozen monische veelterm van [graad](#def-b3-galois-extension) $n$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) met kans $\sim \frac1n$ — het volmaakte analogon van de priemgetalstelling, met $n$ in plaats van $\log x$ ; controleer het numeriek voor $q = 2$ en $n \leq 4$ ( [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) geeft de aantallen).
23. Bewijs de multiplicatieve tegenhanger van vraag 21: $$\prod_{\substack{\pi \text{ monisch irred.}\\ \deg\pi =  n}}\pi \;=\; \prod_{d \mid n}  \bigl(X^{q^d} - X\bigr)^{\mu(n/d)}$$ *(möbiusinversie in de abelse groep van de rationale functies $\neq 0$)*; ga haar met de hand na voor $q = 2$ en $n = 2$: $(X^4 - X)/(X^2 - X) = X^2 + X + 1$.

**Deel VII — Twee slotstukken.**

24. (Het tweede supplement) De methode van Deel V berekent ook $\bigl(\frac2q\bigr)$. Zij $\omega = \eu^{2\iu\pi/8}$ en $g = \omega + \omega^{-1}$. Toon aan dat $g^2 = 2$ *(want $\omega^2 = \iu$)*; bewijs vervolgens voor een oneven priemgetal $q$ in $\Z[\omega]$ modulo $q$ dat $$g^q \equiv \omega^q + \omega^{-q} \pmod{q\Z[\omega]},$$ en dat het rechterlid gelijk is aan $g$ als $q \equiv \pm1  \pmod 8$ en aan $-g$ als $q \equiv \pm3 \pmod 8$. Besluit, door met $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} \equiv  \bigl(\frac2q\bigr)g$ te vergelijken als in vraag 18, dat $$\Bigl(\frac2q\Bigr) = (-1)^{(q^2-1)/8},$$ en ga na dat $(q^2 - 1)/8$ even is precies wanneer $q  \equiv \pm1 \pmod 8$. Controle: $2$ is een kwadraat modulo $7$ en modulo $17$ ($3^2$ en $6^2$), maar niet modulo $3$ en niet modulo $5$.
25. (De zètafunctie van $\mathbb F_q[X]$) Bewijs de identiteit van formele machtreeksen in $t$: $$\prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)}  = \frac1{1 - qt}$$ *(eenduidige ontbinding in monische irreducibele veeltermen: ontwikkel elke factor als meetkundige reeks en tel de monische veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $n$)*. Vind de identiteit $q^m = \sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$ uit [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) terug door logaritmen te nemen. Controleer de coëfficiënt van $t^2$ met de hand voor $q =  2$, en bereken met de formule van vraag 21 dat $N_2(6) =  9$, waarmee $2^6 = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9$ klopt.

**Oplossing van Probleem 4.1.**

**1.** $\Phi_{17}$ is [irreducibel](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#def-b3-rings-divisibility) ([Stelling 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred), of [Voorbeeld 2.26](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#ex-b3-rings-eisenstein) voor een priemindex): dus $[L:\Q] =
\varphi(17) = 16$ en $G \cong (\Z/17\Z)^\times$, cyclisch van orde $16$ ([Stelling 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). De machten van $3$ modulo $17$:

$$
3,\ 9,\ 10,\ 13,\ 5,\ 15,\ 11,\ 16,\ 14,\ 8,\ 7,\ 4,\ 12,\ 2,\
6,\ 1
$$

— zestien verschillende waarden: $3$ brengt voort.

**2.** $G = \langle\sigma\rangle$ is cyclisch van orde $16$; $H_k = \langle\sigma^{2^k}\rangle$ heeft orde $2^{4-k}$ en $[H_k :
H_{k+1}] = 2$. Volgens de hoofdstelling ([Stelling 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)) voldoen de $L_k = L^{H_k}$ aan $[L_k : \Q] = [G : H_k] = 2^k$: dus $[L_{k+1}:L_k] = 2$.

**3.** $\zeta \in L = L_4$ ligt boven op een toren van kwadratische uitbreidingen van $\Q$: volgens [Stelling 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) is $\zeta$ [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible), en de $17$-hoek heeft hoekpunten $\zeta^k$.

**4.** $\sigma^2$ vermenigvuldigt de exponenten met $9$; de exponenten van $\eta_0$ zijn de even machten van $3$,

$$
\{3^{2k} \bmod 17\} = \{1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2\},
$$

een verzameling die onder vermenigvuldiging met $9 = 3^2$ invariant is; dus wordt $\eta_0$ (en net zo $\eta_1$) door $H_1 =
\langle\sigma^2\rangle$ vastgehouden: $\eta_0, \eta_1 \in L_1$, een kwadratisch lichaam. En $\sigma$ stuurt even machten naar oneven: het verwisselt $\eta_0$ en $\eta_1$. Bijgevolg worden $\eta_0 + \eta_1$ en $\eta_0\eta_1$ door heel $G$ vastgehouden en zijn ze rationaal; $\eta_0$ en $\eta_1$ zijn dus de wortels van een rationale kwadratische veelterm.

**5.** $\eta_0 + \eta_1 = \sum_{c=1}^{16}\zeta^c = -1$. Het product ontwikkelt zich tot $64$ termen $\zeta^{a + b}$ met $a$ in de even verzameling en $b$ in de oneven. Geen enkele term is $\zeta^0$: $b = -a$ is onmogelijk, want $-1 = 16 = 3^8$ is een *even* macht, zodat $-a$ in de even verzameling blijft. Dus $\eta_0\eta_1 = \sum_{c \neq 0} n_c\zeta^c$ met $\sum n_c = 64$; $\sigma$ toepassen houdt $\eta_0\eta_1$ vast (het verwisselt de factoren) en permuteert de $\zeta^c$ transitief over alle $c \neq
0$, dus zijn alle $n_c$ gelijk: $n_c = 4$ en $\eta_0\eta_1 =
4\sum_{c\neq0}\zeta^c = -4$.

**6.** $\eta_{0,1}$ lossen $Y^2 + Y - 4 = 0$ op: $\frac{-1
\pm \sqrt{17}}2$. Numeriek geeft het paren van toegevoegde exponenten $\eta_0 = 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{17} +
\cos\tfrac{4\pi}{17} + \cos\tfrac{8\pi}{17} +
\cos\tfrac{16\pi}{17}\bigr) \approx 1.56 > 0$: dus $\eta_0 =
\frac{-1+\sqrt{17}}2$ en $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt{17}}2$, en $L_1
= \Q(\eta_0) = \Q(\sqrt{17})$.

**7.** De exponentverzamelingen: voor $\beta_0$ is dat $\{1,
13, 16, 4\}$, de machten $3^{4k}$; voor $\beta_2$ is dat $\{9, 15,
8, 2\}$, oftewel $9 \times$ die verzameling. Hun vereniging is de even verzameling: $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$; net zo $\beta_1 +
\beta_3 = \eta_1$. Vermenigvuldiging met $13 = 3^4$ laat de exponentverzameling van elke $\beta_i$ invariant: ze worden door $H_2 = \langle\sigma^4\rangle$ vastgehouden; en $\sigma^2$ ($\times 9$) stuurt $\{1,13,16,4\}$ naar $\{9, 15, 8, 2\}$: het verwisselt $\beta_0$ en $\beta_2$.

**8.** Werken we $\beta_0\beta_2$ uit, dan doorlopen de zestien exponentsommen

$$
\{1,13,16,4\} + \{9,15,8,2\} =
\{10,16,9,3,\ 5,11,4,15,\ 8,14,7,1,\ 13,2,12,6\}
$$

de getallen $1, \dots, 16$ precies één keer: $\beta_0\beta_2 =
\sum_{c\ne0}\zeta^c = -1$. Toepassing van $\sigma$ (dat $\beta_0
\mapsto \beta_1$ en $\beta_2 \mapsto \beta_3$ stuurt: exponenten $\times 3$) geeft $\beta_1\beta_3 = \sigma(\beta_0\beta_2) = -1$.

**9.** $\beta_0$ en $\beta_2$ lossen $Y^2 - \eta_0 Y - 1 = 0$ op, dus $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (numeriek is $\beta_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} + 2\cos\frac{8\pi}{17} \approx
2.05 > 0$: het $+$-teken). Net zo is $\beta_1 = \frac{\eta_1 +
\sqrt{\eta_1^2 + 4}}2 \approx 0.344$ (opnieuw legt een numerieke controle het teken vast). En $L_2 = L_1(\beta_0)$, kwadratisch over $L_1$.

**10.** Er geldt $\gamma_0 + \gamma_1 = \zeta + \zeta^{16} +
\zeta^{13} + \zeta^4 = \beta_0$. En

$$
\gamma_0\gamma_1 = (\zeta + \zeta^{16})(\zeta^{13} + \zeta^4)
= \zeta^{14} + \zeta^{5} + \zeta^{12} + \zeta^{3} = \beta_1 .
$$

Dus lossen $\gamma_0$ en $\gamma_1$ de vergelijking $Y^2 -
\beta_0Y + \beta_1 = 0$ op; numeriek is $\gamma_0 =
2\cos\frac{2\pi}{17} \approx 1.865 > \gamma_1 \approx 0.185$: $\gamma_0 = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$.

**11.** De keten:

$$
\eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2,
\quad
\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2,
\quad
\beta_1 = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}2,
\quad
\cos\frac{2\pi}{17} = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 -
4\beta_1}}4 .
$$

Numeriek: $\sqrt{17} \approx 4.1231$, $\eta_0 \approx 1.5616$, $\eta_1 \approx -2.5616$, $\beta_0 \approx 2.0494$, $\beta_1
\approx 0.3441$, $\beta_0^2 - 4\beta_1 \approx 2.8234$, en $\cos\frac{2\pi}{17} \approx \frac{2.0494 + 1.6803}4 \approx
0.93242$ — tegenover $\cos\frac{2\pi}{17} = 0.93247\dots$: het kleine verschil is afronding in de tussenstappen; met meer cijfers komt er $0.932472$ uit.

**12.** De constructie had nodig dat $[L:\Q] = p - 1$ een macht van $2$ is, zodat er een volledige keten deelgroepen van index $2$ bestaat. Is $p = 2^m + 1$ priem en $m = ab$ met $a$ oneven $> 1$, dan laat $x + 1 \mid x^a + 1$ met $x = 2^b$ zien dat $2^b + 1$ een echte deler van $p$ is — onmogelijk. Dus is $m$ een macht van $2$: $p = 2^{2^t} + 1$, een *Fermat-priemgetal* ($3, 5, 17, 257, 65537$, …). Omgekeerd geldt voor zulke $p$ dat $\varphi(p) = 2^{2^t}$, en past het argument van de vragen 1–3 (of [Gevolg 4.26](#cor-b3-galois-impossible)): de regelmatige $p$-hoek is [construeerbaar](#def-b3-galois-constructible) dan en slechts dan als $p$ een Fermat-priemgetal is.

**13.** $\varphi(n)$ is een macht van $2$ precies wanneer $n
= 2^a p_1\cdots p_r$ met verschillende Fermat-priemgetallen $p_i$ (multiplicativiteit van $\varphi$; een oneven priemmacht $p^k$ met $k \geq 2$ draagt de factor $p \nmid 2^m$ bij). Voor $n \leq 20$ zijn de construeerbare regelmatige $n$-hoeken

$$
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20
$$

met respectievelijk

$$
\varphi(n) = 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 8,\ 8,\ 16,\ 8 .
$$

De onmogelijke zijn $n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19$, waar $\varphi(n) = 6, 6, 10, 12, 6, 6, 18$ een oneven priemfactor heeft.

**14.** De kwadraten vormen het beeld van het kwadrateringsmorfisme op de cyclische groep $(\Z/p\Z)^\times$, van index $2$: er zijn $\frac{p-1}2$ kwadraten en $\frac{p-1}2$ niet-kwadraten, dus is de som van de symbolen $0$. Verder is

$$
\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2} = 1 + 2\sum_{b \text{ kwadraat}
\neq 0}\zeta^b
= 1 + \sum_{b\neq0}\Bigl(1 + \Bigl(\frac bp\Bigr)\Bigr)
\zeta^b = \sum_{b}\zeta^b + g = g,
$$

met $1 + \bigl(\frac bp\bigr) = \#\{a : a^2 = b\}$ en $\sum_{b=0}^{p-1}\zeta^b = 0$. Voor $p = 17$ zijn de kwadraten modulo $17$ de even machten van de voortbrenger $3$, dat wil zeggen precies de exponenten die in $\eta_0$ voorkomen (Deel II), zodat $g = \sum_{\text{even }k}\zeta^{3^k} - \sum_{\text{oneven
}k} \zeta^{3^k} = \eta_0 - \eta_1$.

**15.** Met $b = c - a$ (waarbij $a, b$ de resten $\neq 0$ doorlopen en $c = a + b$ alle resten):

$$
g^2 = \sum_c\zeta^c\sum_{a\neq0,\,a\neq c}
\Bigl(\frac{a(c-a)}p\Bigr) .
$$

Voor $c = 0$ is $\bigl(\frac{-a^2}p\bigr) =
\bigl(\frac{-1}p\bigr)$, gesommeerd over $p - 1$ waarden. Voor $c
\neq 0$ substitueren we $c - a = at$, dat wil zeggen $t = c/a -
1$; doorloopt $a$ de resten $\neq 0$, dan doorloopt $t$ bijectief de resten $\neq -1$ (inverteer: $a = c/(1 + t)$). De sommand wordt $\bigl(\frac{a^2t}p\bigr) = \bigl(\frac tp\bigr)$, en

$$
\sum_{t \neq -1}\Bigl(\frac tp\Bigr)
= -\Bigl(\frac{-1}p\Bigr)
$$

(de volledige som verdwijnt volgens vraag 14). Bijgevolg is

$$
g^2 = \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\Bigl[(p-1) -
\sum_{c\neq0}\zeta^c\Bigr]
= \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\,p = p^* ,
$$

met $\sum_{c\neq0}\zeta^c = -1$ en het criterium van Euler $\bigl(\frac{-1}p\bigr) = (-1)^{(p-1)/2}$. Voor $p = 17$: $(\eta_0 - \eta_1)^2 = (\eta_0 + \eta_1)^2 - 4\eta_0\eta_1 = 1 +
16 = 17$, in overeenstemming met Deel II.

**16.** Uit $g^2 = p^*$ volgt $\sqrt{p^*} = \pm g \in
\Q(\zeta_p)$, dus is $\Q(\sqrt{p^*})$ een kwadratisch deellichaam. Eenduidigheid: deellichamen van [graad](#def-b3-galois-extension) $2$ corresponderen via de [Galoiscorrespondentie](#thm-b3-galois-fundamental) met deelgroepen van index $2$ van de cyclische groep $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q) \cong (\Z/p\Z)^\times$, en een cyclische groep van even orde heeft precies één zulke deelgroep (de kwadraten). Elk kwadratisch lichaam is $\Q(\sqrt{d})$ met $d$ kwadraatvrij, en door de lichamen $\Q(\sqrt{p^*})$, $\Q(\iu)
\subseteq \Q(\zeta_4)$ en $\Q(\sqrt2) \subseteq \Q(\zeta_8)$ binnen een gemeenschappelijke $\Q(\zeta_N)$ te combineren vang je elke $\sqrt d$: het kwadratische geval van Kronecker–Weber.

**17.** In elke commutatieve ring is $(x + y)^q = x^q + y^q +
q(\cdots)$: de binomiaalcoëfficiënten $\binom qk$ met $0 < k < q$ zijn deelbaar door het priemgetal $q$. Herhaald toegepast op de $p
- 1$ termen van $g$:

$$
g^q \equiv \sum_{a}\Bigl(\frac ap\Bigr)^{q}\zeta^{aq}
= \sum_a\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^{aq}
\pmod{q\Z[\zeta]},
$$

($q$ is oneven, dus blijft het symbool onveranderd). Herindexeren met $b = aq$: $a = q^{-1}b$ en $\bigl(\frac{q^{-1}b}p\bigr) =
\bigl(\frac{q}p\bigr)\bigl(\frac bp\bigr)$ (multiplicativiteit; $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) = \bigl(\frac qp\bigr)$, want het symbool van een inverse is gelijk aan het symbool): dus $g^q
\equiv \bigl(\frac qp\bigr)g$.

**18.** Er geldt exact $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} =
g\,(p^*)^{(q-1)/2}$ (vraag 15), en het criterium van Euler in $\Z$ geeft $(p^*)^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr) \pmod q$, en dus ook modulo $q\Z[\zeta]$: $g^q \equiv
\bigl(\frac{p^*}q\bigr)g$. Vergelijken met vraag 17 en vermenigvuldigen met $g$ geeft

$$
\Bigl(\frac qp\Bigr)p^* \equiv \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr)p^*
\pmod{q\Z[\zeta]} .
$$

Beide leden zijn gehele getallen; hun verschil, $0$ of $\pm2p^*$, ligt in $q\Z[\zeta] \cap \Z = q\Z$ (een geheel getal $m \in
q\Z[\zeta]$ heeft $m/q \in \Q \cap \Z[\zeta] = \Z$, dat laatste omdat $1, \zeta, \dots, \zeta^{p-2}$ een $\Q$-basis is waarvan de rationale coördinaten de geheelheid aflezen). Omdat $q \nmid 2p^*$ ($q$ is oneven en $q \neq p$), is het verschil $0$: $\bigl(\frac qp\bigr) = \bigl(\frac{p^*}q\bigr)$.

**19.** Wegens de multiplicativiteit is $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) =
\bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr) =
(-1)^{\frac{q-1}2\cdot\frac{p-1}2}\bigl(\frac pq\bigr)$, zodat vraag 18 luidt: $\bigl(\frac qp\bigr)\bigl(\frac pq\bigr) =
(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}$ — de reciprociteit. Controle voor $(17, 3)$: de exponent $\frac{16}2\cdot\frac22 = 8$ is even, dus moeten de twee symbolen samenvallen; de kwadraten modulo $3$ zijn $\{1\}$ en $17 \equiv 2$, dus $\bigl(\frac{17}3\bigr) = -1$; de kwadraten modulo $17$ zijn $\{1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13\}$ en $3$ ontbreekt: $\bigl(\frac3{17}\bigr) = -1$. Product $+1$, zoals voorspeld. Voor $x^2 \equiv 219 \pmod{383}$: $\bigl(\frac{219}{383}\bigr) =
\bigl(\frac3{383}\bigr)\bigl(\frac{73}{383}\bigr)$. Ten eerste: $383 \equiv 3 \pmod4$ en $3 \equiv 3$, dus geeft de reciprociteit $\bigl(\frac3{383}\bigr) = -\bigl(\frac{383}3\bigr) =
-\bigl(\frac23\bigr) = -(-1) = +1$. Ten tweede: $73 \equiv 1 \pmod
4$, dus $\bigl(\frac{73}{383}\bigr) = \bigl(\frac{383}{73}\bigr) =
\bigl(\frac{18}{73}\bigr) = \bigl(\frac2{73}\bigr)$ (want $18 =
2\cdot3^2$), en $73 \equiv 1 \pmod 8$ maakt $2$ een kwadraat modulo $73$ (de aanvullende wet, met dezelfde methode te bewijzen via $g = \zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt2$ in $\Q(\zeta_8)$): dus $+1$. Totaal $+1$: de congruentie is [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived).

**20.** Bestaan en eenduidigheid van de primitieve wortel: heeft $w$ de verzameling perioden $\{d : w = u^{n/d},\ \abs u =
d\}$, dan deelt de kleinste zulke $d_0$ elke andere periode $d$ (is $w$ zowel een $d$-macht als een $d'$-macht, dan is het een $\gcd(d, d')$-macht: vergelijk de letters op indices die modulo de [grootste gemene deler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/2-ringen-en-rekenkunde#lem-b3-rings-bezout) overeenkomen, via Bézout), en is het blok van lengte $d_0$ primitief. Sorteren we de $q^n$ woorden naar de lengte van hun primitieve wortel, dan is $q^n = \sum_{d \mid
n}A(d)$. Omdat $A$ en $d\,N_q(d)$ aan dezelfde recursie voldoen met dezelfde waarden voor $n = 1$ (beide leggen elkaar inductief vast vanuit $q^n = \sum_{d\mid n}(\cdot)$), zijn ze gelijk: $A(d)
= d\,N_q(d)$. De bijectie, rechtstreeks: de elementen van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$ in $\overline{\mathbb F_q}$ zijn de wortels van de $N_q(d)$ irreducibele veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$, elk goed voor haar $d$ verschillende wortels (separabiliteit): dus $d\,N_q(d)$ elementen van [graad](#def-b3-galois-extension) $d$, wat past bij de telling $q^n = \sum_{d\mid n}\#\{
\text{elementen van graad } d \text{ in } \mathbb F_{q^n}\}$ — dezelfde zeef, één keer op woorden en één keer op lichaamselementen.

**21.** Lemma: $\sum_{d \mid m}\mu(d) = \mathbf 1_{m=1}$. Leg voor $m > 1$ een priemgetal $p \mid m$ vast: de kwadraatvrije delers van $m$ paren zich als $\{d, pd\}$ met $p \nmid d$, en $\mu(pd) = -\mu(d)$: de som heft elkaar op. Dan is, voor $f(n) =
\sum_{e\mid n}g(e)$,

$$
\sum_{d \mid n}\mu(d)\,f\bigl(\tfrac nd\bigr)
= \sum_{d \mid n}\mu(d)\!\!\sum_{e \mid n/d}\!\!g(e)
= \sum_{e \mid n}g(e)\!\!\sum_{d \mid n/e}\!\!\mu(d)
= g(n) .
$$

Met $f(n) = q^n$ en $g(n) = nN_q(n)$ ([Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6)): $N_q(n) = \frac1n\sum_{d\mid n}\mu(d)\,q^{n/d}$.

**22.** De term $d = 1$ is $q^n$; elke andere term voldoet aan $\abs{\mu(d)q^{n/d}} \leq q^{n/2}$, en grof geschat is $\sum_{d \mid n, d > 1}q^{n/d} \leq \sum_{j \leq n/2}q^j <
2q^{n/2}$ (meetkundig, $q \geq 2$). Dus $nN_q(n) > q^n - 2q^{n/2}
\geq 0$ voor $n \geq 1$: er bestaan irreducibele veeltermen van elke [graad](#def-b3-galois-extension), en $\mathbb F_q[X]/(\pi) = \mathbb F_{q^n}$ wordt opnieuw opgebouwd — bestaan mét telling. Het aandeel irreducibele veeltermen onder de $q^n$ monische veeltermen van [graad](#def-b3-galois-extension) $n$ is $\frac1n(1 + O(q^{-n/2}))$: de priemgetalstelling van $\mathbb F_q[X]$, met $n$ in de rol van $\log x$. Voor $q = 2$ kloppen de aantallen $2, 1, 2, 3$ uit [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) met de formule: zo is $N_2(4) = \frac14(2^4 - 2^2) = 3$.

**23.** Stel in de multiplicatieve abelse groep van de rationale functies $\neq 0$ over $\mathbb F_q$: $F(n) = X^{q^n} -
X$ en $G(n) = \prod_{\deg\pi = n}\pi$; [Oefening 4.6](#exo-b3-galois-6) zegt dat $F(n) = \prod_{d\mid n}G(d)$. Het möbiusargument van vraag 21, multiplicatief geschreven (de exponenten tellen precies op zoals de sommen deden), geeft $G(n) = \prod_{d \mid n}F(d)^{\mu(n/d)}$. Voor $q = 2$ en $n = 2$: $G(2) = \frac{X^4 - X}{X^2 - X} =
\frac{X(X^3 - 1)}{X(X - 1)} = X^2 + X + 1$, de unieke irreducibele kwadratische veelterm over $\mathbb F_2$, zoals het hoort.

**24.** Er geldt $\omega^2 = \iu$ en $\omega^{-2} = -\iu$, dus $g^2 = \omega^2 + 2 + \omega^{-2} = 2$. De droom van de eerstejaars in de commutatieve ring $\Z[\omega]/q\Z[\omega]$ geeft $g^q = (\omega + \omega^{-1})^q \equiv \omega^q + \omega^{-q}$. De waarde van $\omega^q + \omega^{-q}$ hangt alleen van $q \bmod 8$ af: voor $q \equiv \pm1$ is $\omega^q + \omega^{-q} =
\omega^{\pm1} + \omega^{\mp1} = g$; voor $q \equiv \pm3$ geldt met $\omega^4 = -1$ dat $\omega^{3} = -\omega^{-1}$ en $\omega^{-3} =
-\omega$, zodat $\omega^q + \omega^{-q} = -g$. Anderzijds is $g^q
= g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,2^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac2q\bigr)g
\pmod{q\Z[\omega]}$ volgens het criterium van Euler modulo $q$. Vergelijken en met $g$ vermenigvuldigen geeft $2\bigl(\frac2q\bigr) \equiv \pm2 \pmod{q\Z[\omega]}$; zouden de tekens verschillen, dan deelde $q$ het getal $4$ in $\Z[\omega]$ en dus in $\Z$ ($q\Z[\omega] \cap \Z = q\Z$: lees de coördinaten op de basis $1, \omega, \omega^2, \omega^3$ af), onmogelijk voor oneven $q$. Dus is $\bigl(\frac2q\bigr) = +1$ precies wanneer $q
\equiv \pm1 \pmod 8$. Pariteitscontrole: $q = 8k \pm 1$ geeft $(q^2 - 1)/8 = 2k(4k \pm 1)$, even; $q = 8k \pm 3$ geeft $(q^2 -
1)/8 = 8k^2 \pm 6k + 1$, oneven: de formule $(-1)^{(q^2-1)/8}$ codeert precies die gevalsonderscheiding. Numeriek: $3^2 = 9
\equiv 2 \pmod 7$ ($7 \equiv -1$) en $6^2 = 36 \equiv 2 \pmod{17}$ ($17 \equiv 1$); de kwadraten modulo $3$ zijn $\{0, 1\}$ en modulo $5$ zijn ze $\{0, 1, 4\}$, en geen van beide bevat $2$ ($3 \equiv
3$ en $5 \equiv -3 \pmod 8$).

**25.** Elke monische $f \in \mathbb F_q[X]$ ontbindt op precies één manier als $\prod_\pi\pi^{e_\pi}$ over de monische irreducibele veeltermen: naar [graad](#def-b3-galois-extension) gesorteerd geeft dat

$$
\sum_{f \text{ monisch}}t^{\deg f}
= \prod_\pi\ \sum_{e \geq 0}t^{e\deg\pi}
= \prod_\pi\bigl(1 - t^{\deg\pi}\bigr)^{-1}
= \prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)},
$$

en alle producten zijn $t$-adisch geoorloofd (alleen graden $\leq
m$ raken de coëfficiënt van $t^m$, en er zijn eindig veel irreducibele veeltermen van elke [graad](#def-b3-galois-extension)). Het linkerlid is $\sum_m
q^mt^m = (1 - qt)^{-1}$: de identiteit. Logaritmen: $-\log(1 - qt)
= \sum_m\frac{q^m}mt^m$, terwijl $\sum_nN_q(n)\bigl(-\log(1 -
t^n)\bigr) = \sum_nN_q(n)\sum_k\frac{t^{nk}}k$; de coëfficiënt van $t^m$ geeft $\frac{q^m}m = \sum_{dk = m} \frac{N_q(d)}k =
\frac1m\sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$, oftewel $q^m = \sum_{d\mid
m}d\,N_q(d)$. Controle met de hand voor $q = 2$, coëfficiënt van $t^2$: $N_2(1) = 2$ en $N_2(2) = 1$, en $(1 - t)^{-2}(1 -
t^2)^{-1} = (1 + 2t + 3t^2 + \dots)(1 + t^2 + \dots)$ heeft als $t^2$-coëfficiënt $3 + 1 = 4 = 2^2$. Ten slotte geeft de formule van vraag 21 met de delers $1, 2, 3, 6$:

$$
N_2(6) = \tfrac16\bigl(2^6 - 2^3 - 2^2 + 2\bigr)
= \tfrac{54}6 = 9,
$$

en inderdaad is $1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9 = 2 + 2 + 6
+ 54 = 64 = 2^6$.