---
title: "Representaties van eindige groepen"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/5-representaties-van-eindige-groepen
---

# Hoofdstuk 5 — Representaties van eindige groepen

Om een abstracte groep te begrijpen, laat je haar werken op een vectorruimte en zet je lineaire algebra — eigenwaarden, sporen, inproducten — op die [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) los. Dat programma, de *representatietheorie*, is verbluffend doeltreffend voor eindige groepen over $\C$: elke [representatie](#def-b3-representations-rep) valt uiteen in irreducibele (Maschke), de irreducibele liggen vast door hun *[karakters](#def-b3-representations-character)* (sporen), en die [karakters](#def-b3-representations-character) voldoen aan [orthogonaliteitsrelaties](#thm-b3-representations-orthogonality) die het rekenwerk mechanisch maken. Dit hoofdstuk bouwt dat rekentuig op met zijn eerste meesterstukken — de [karaktertafels](#def-b3-representations-table) van de kleine groepen — en de weekendopgave oogst een stelling die ver buiten het bereik van de kale groepentheorie ligt: de $p^aq^b$-stelling van Burnside. Overal is $G$ een eindige groep en zijn alle vectorruimten eindigdimensionaal over $\C$.

## 5.1 Representaties, Maschke, Schur

**Definitie 5.1.**

Een *representatie* van $G$ is een morfisme $\rho \colon G \to GL(V)$ voor een $\C$-vectorruimte $V$; $\dim V$ heet de *graad* ervan. Een deelruimte $W \subseteq
V$ heet *invariant* als $\rho(g)W \subseteq W$ voor alle $g$; beperking maakt van $W$ een *deelrepresentatie*. $\rho$ heet *irreducibel* als $V \neq
0$ en haar enige invariante deelruimten $0$ en $V$ zijn. Een *morfisme* tussen $(\rho, V)$ en $(\sigma, W)$ is een lineaire $f\colon V \to W$ met $f\rho(g) = \sigma(g)f$ voor alle $g$ (equivariantie); bijectieve $f$ heten *isomorfismen*.

**Voorbeeld 5.2.**

(a) Graad $1$: de morfismen $G \to \C^\times$. (b) De *reguliere representatie*: $V = \C^G$ met basis $(e_h)_{h \in G}$ en $\rho(g)e_h = e_{gh}$; graad $\abs G$. (c) Een permutatiewerking van $G$ op een eindige verzameling $X$ geeft de *permutatierepresentatie* op $\C^X$: $\rho(g)e_x =
e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ werkt op $\C^n$ door de coördinaten te permuteren; het hypervlak $\{\sum x_i = 0\}$ is invariant: de *standaardrepresentatie*, van graad $n - 1$.

**Stelling 5.3 (Maschke).**

Elke invariante deelruimte $W$ van een [representatie](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ bezit een invariant complement. Bijgevolg is elke [representatie](#def-b3-representations-rep) een directe som van irreducibele (*halfenkelvoudigheid*).

**Bewijs.** Zij $p \colon V \to V$ een *willekeurige* projectie met beeld $W$ (kies een willekeurig complement). Middel haar over de groep uit:

$$
\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.
$$

Elke term beeldt $V$ in $W$ af ($W$ is invariant) en houdt $W$ puntsgewijs vast: voor $w \in W$ is $\rho(g)^{-1}w \in W$, houdt $p$ dat vast, en brengt $\rho(g)$ het terug — dus is $\tilde p$ opnieuw een projectie op $W$. Ze is equivariant: voor $h \in G$ herindexeert $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ dezelfde som. Bijgevolg is $\ker \tilde p$ een invariant complement van $W$. Herhaald toepassen op de summanden (eindige dimensie) ontbindt $V$ in irreducibele. ∎

**Stelling 5.4 (Lemma van Schur).**

Zij $f \colon V \to W$ een morfisme van *irreducibele* [representaties](#def-b3-representations-rep). Dan is $f = 0$ of is $f$ een isomorfisme; en als $(V,\rho) = (W,\sigma)$, dan is $f = \lambda\,\mathrm{id}$ voor zekere $\lambda \in \C$. Bijgevolg is $\dim\operatorname{Hom}_G(V,
W)$ gelijk aan $1$ als $V \cong W$, en anders $0$.

**Bewijs.** $\ker f$ en $\operatorname{im} f$ zijn invariant (equivariantie), dus elk van beide is $0$ of het geheel: ofwel $f = 0$, ofwel is $f$ injectief met volledig beeld. Is $V = W$, dan heeft $f$ een eigenwaarde $\lambda$ ($\C$ is [algebraïsch gesloten](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-closure)); $f -
\lambda\,\mathrm{id}$ is een niet-injectief morfisme $V \to V$ en dus $0$. Voor de dimensietelling wanneer $V \cong W$: leg één isomorfisme $u$ vast; elk morfisme $f$ geeft het endomorfisme $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$, dus $f = \lambda u$. ∎

## 5.2 Karakters en orthogonaliteit

**Definitie 5.5.**

Het *karakter* van $(V, \rho)$ is $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$. Er geldt $\chi_\rho(e)
= \dim V$ en $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (sporen zijn invariant onder conjugatie): karakters zijn dus *klassefuncties* — elementen van de ruimte $\mathcal{CF}(G)$ van functies die constant zijn op de [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions), voorzien van het hermitische inproduct

$$
\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G}
\overline{\varphi(g)}\,\psi(g).
$$

**Propositie 5.6.**

$\rho(g)$ is diagonaliseerbaar met eenheidswortels als eigenwaarden; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$, en $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ met gelijkheid precies wanneer $\rho(g)$ scalair is. [Karakters](#def-b3-representations-character) tellen op bij directe sommen: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$.

**Bewijs.** Er geldt $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ voor $N = \abs G$ (Lagrange): $\rho(g)$ annihileert $X^N - 1$, die uiteenvalt met enkelvoudige wortels, zodat $\rho(g)$ diagonaliseerbaar is met eigenwaarden $\lambda_i \in \mu_N$. Dan is $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1}
= \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$, en $\abs{\chi(g)} =
\abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$, met gelijkheid in de driehoeksongelijkheid precies wanneer alle $\lambda_i$ gelijk zijn, dat wil zeggen $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$. De additiviteit bij directe sommen: sporen per blok. ∎

**Lemma 5.7.**

Zij $(V, \rho)$ en $(W, \sigma)$ [representaties](#def-b3-representations-rep). De middelingsoperator op $\operatorname{Hom}(W, V)$,

$$
c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},
$$

is een projectie op $\operatorname{Hom}_G(W, V)$, en voor de afbeelding $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ geldt $\operatorname{tr}\Phi_g =
\chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$.

**Bewijs.** $c(A)$ is equivariant (herindexeer de som als bij Maschke), en $c$ houdt equivariante afbeeldingen vast (elke term is gelijk aan $A$): dus is $c$ een projectie met beeld $\operatorname{Hom}_G(W,
V)$. Spoor: in bases is $\Phi_g(A) = BAC$ met $B = \rho(g)$ en $C
= \sigma(g)^{-1}$; op de basis $(E_{kl})$ van matrices is $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$, zodat de coëfficiënt van $E_{kl}$ in $\Phi_g(E_{kl})$ gelijk is aan $b_{kk}c_{ll}$: $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} =
\operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) =
\chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$, en $\chi_\sigma(g^{-1}) =
\overline{\chi_\sigma(g)}$. ∎

**Stelling 5.8 (Eerste orthogonaliteitsrelaties).**

Zij $\rho$ en $\sigma$ *[irreducibel](#def-b3-representations-rep)*. Dan is

$$
\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle =
\begin{cases}
1 & \text{als } \rho \cong \sigma,\\
0 & \text{anders:}
\end{cases}
$$

de irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) vormen een orthonormale familie in $\mathcal{CF}(G)$.

**Bewijs.** Het spoor van een projectie is de dimensie van haar beeld:

$$
\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c
= \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g
= \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)}
= \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,
$$

en het lemma van Schur evalueert het linkerlid tot $\delta_{\rho
\cong \sigma}$. ∎

**Gevolg 5.9.**

Ontbind $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ in verschillende irreducibele ($V_i \not\cong V_j$). Dan is $m_i = \langle
\chi_{V_i}, \chi_V\rangle$: de multipliciteiten — en dus de [representatie](#def-b3-representations-rep) op isomorfie na — liggen door het [karakter](#def-b3-representations-character) vast. Bovendien is $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$; in het bijzonder is $V$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) dan en slechts dan als $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$.

**Bewijs.** Er geldt $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ ([Propositie 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)); neem inproducten met elke $\chi_{V_i}$ en gebruik de orthonormaliteit. Twee [representaties](#def-b3-representations-rep) met gelijke [karakters](#def-b3-representations-character) hebben gelijke multipliciteiten en zijn dus isomorf. ∎

**Stelling 5.10 (De reguliere representatie).**

Zij $\chi_1, \dots, \chi_r$ de verschillende irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character), van graden $n_i = \chi_i(e)$. De [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) ontbindt met multipliciteiten $m_i = n_i$; bijgevolg is

$$
\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G,
\qquad
\sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).
$$

**Bewijs.** Het reguliere [karakter](#def-b3-representations-character) is $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh =
h\}$, dus $\abs G$ voor $g = e$ en $0$ anders. Bijgevolg is $m_i =
\langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs
G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$. Evalueren van $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ in $e$ en in $g \neq e$ geeft de twee getoonde identiteiten. ∎

**Stelling 5.11.**

De irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) vormen een orthonormale *basis* van $\mathcal{CF}(G)$: het aantal [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) is gelijk aan het aantal [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van $G$.

**Bewijs.** Alleen de volledigheid rest: zij $f \in \mathcal{CF}(G)$ orthogonaal met elke $\chi_i$; we tonen aan dat $f = 0$. Stel voor een [representatie](#def-b3-representations-rep) $(V,\rho)$ de operator $T_{f,\rho} =
\frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$. Die is equivariant: voor $h \in G$ is

$$
\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g
\overline{f(g)}\rho(hgh^{-1})
= \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') =
T_{f,\rho}
$$

($f$ is een [klassefunctie](#def-b3-representations-character)). Is $\rho$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) van graad $n$, dan geeft Schur dat $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ met

$$
\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n}
= \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g)
= \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .
$$

Dus is $T_{f,\rho} = 0$ op elke [irreducibele representatie](#def-b3-representations-rep), en daarmee (directe sommen) op *elke* [representatie](#def-b3-representations-rep) — in het bijzonder op de reguliere. Pas hem toe op de basisvector $e_e$: $0
= T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs
G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$, wat elke $\overline{f(g)} = 0$ afdwingt. De orthonormale familie $(\chi_i)$ spant dus $\mathcal{CF}(G)$ op, en de dimensie daarvan is het aantal [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions). ∎

**Gevolg 5.12 (Kolomorthogonaliteit).**

Voor $g, h \in G$ geldt

$$
\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) =
\begin{cases}
\abs{Z_G(g)} & \text{als } g \text{ en } h \text{ geconjugeerd
zijn},\\
0 & \text{anders.}
\end{cases}
$$

**Bewijs.** Zij $g_1, \dots, g_r$ representanten van de klassen en $c_j$ de klassegroottes. De $r \times r$-matrix $U_{ij} =
\sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ heeft orthonormale rijen ([Stelling 5.8](#thm-b3-representations-orthogonality) per klasse geschreven: $\sum_j \frac{c_j}{\abs
G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$), dat wil zeggen $UU^* = I$; en een vierkante matrix met $UU^* = I$ voldoet ook aan $U^*U = I$: de kolommen zijn orthonormaal, wat zich ontvouwt tot de getoonde identiteit ($\abs G/c_j =
\abs{Z_G(g_j)}$, de betrekking tussen [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) en [stabilisator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) voor de conjugatie). ∎

**Propositie 5.13 (Eendimensionale karakters; optillen).**

(a) $G$ is abels dan en slechts dan als al haar [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) graad $1$ hebben; en voor elke $G$ is het aantal [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ gelijk aan $[G : D(G)]$ (het zijn de [karakters](#def-b3-representations-character) van de abelianisering). (b) Is $N \trianglelefteq G$, dan tillen de [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) van $G/N$ zich (door samenstelling met $G \to G/N$) op tot precies die [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) van $G$ waarvan de kern $N$ bevat.

**Bewijs.** (a) Is $G$ abels, dan is elke klasse een singleton: $r = \abs G$, en $\sum n_i^2 = \abs G$ dwingt alle $n_i = 1$ af; zijn omgekeerd alle $n_i = 1$, dan is de [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) een som van eendimensionale, zodat $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ simultaan diagonaliseerbaar en dus commutatief is, en $\rho_{\mathrm{reg}}$ is trouw: $G$ is abels. [Representaties](#def-b3-representations-rep) van graad $1$ zijn morfismen $G \to \C^\times$ met abels doel: ze factoriseren over $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ ([Oefening 1.9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-9)), en het aantal verschillende [karakters](#def-b3-representations-character) van de abelse groep $G^{\mathrm{ab}}$ is $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (zoveel klassen, alle van graad $1$). (b) Samenstelling met de projectie bewaart de irreducibiliteit (de invariante deelruimten corresponderen), en een [representatie](#def-b3-representations-rep) die triviaal is op $N$ factoriseert over het quotiënt ([Stelling 1.3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-firstiso)). ∎

## 5.3 Karaktertafels

**Definitie 5.14.**

De *karaktertafel* van $G$ is de $r
\times r$-matrix $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$: de rijen zijn geïndexeerd door de irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character), de kolommen door de [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) (met hun groottes erbij vermeld). De rijen zijn orthonormaal voor het gewogen product en de kolommen zijn orthogonaal ([Gevolg 5.12](#cor-b3-representations-column)): de tafel is zwaar overbepaald, en juist daarom berekenbaar.

**Voorbeeld 5.15 (De tafel van S3S_3S3​).**

Klassen: $e$ (grootte 1), de transposities (3), de $3$-cykels (2); dus $r = 3$ [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep), van graden $n_i$ met $\sum n_i^2 = 6$: $1, 1, 2$. Graad $1$: het triviale [karakter](#def-b3-representations-character) $\mathbf 1$ en de signatuur $\varepsilon$. De laatste rij volgt uit de [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) (of uit $\chi_{\mathrm{std}} =
\chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

$$
\begin{array}{c|ccc}
S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1\\
\chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1
\end{array}
$$

Controle: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle =
\frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: [irreducibel](#def-b3-representations-rep).

**Voorbeeld 5.16 (De tafel van S4S_4S4​).**

Klassen: $e$ [1], de transposities [6], de dubbele transposities [3], de $3$-cykels [8] en de $4$-cykels [6]: vijf [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) met $\sum n_i^2 = 24$ en twee van graad $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; want $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] =
2$): graden $1, 1, 2, 3, 3$. Die van graad $2$ tilt zich op uit $S_4/V \cong S_3$ ([Propositie 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b), met $V$ de viergroep van Klein); graad $3$: de standaardrepresentatie en haar twist met $\varepsilon$:

$$
\begin{array}{c|ccccc}
S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] &
(1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\
\chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\
\chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1
\end{array}
$$

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; en $\chi_2$ evalueert de $S_3$-tafel op het beeld van elke klasse modulo $V$.) Alle rij- en kolomcontroles slagen — twee ervan uitvoeren is de opwarmer van [Oefening 5.3](#exo-b3-representations-3).

**Methode 5.17.**

Om een [karaktertafel](#def-b3-representations-table) op te bouwen: (1) geef de [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) met hun groottes; (2) tel de [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ via $G/D(G)$ en schrijf ze op; (3) haal de overige graden uit $\sum n_i^2 =
\abs G$ (combinatoriek met kleine gehele getallen); (4) vind goedkope irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character): til op uit quotiënten, trek $\mathbf 1$ af van permutatiekarakters (controleer $\langle\chi,\chi\rangle = 1$), vermenigvuldig bekende [karakters](#def-b3-representations-character) met die van graad $1$; (5) maak de onbekende rijen af met [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) — elke kolom staat loodrecht op de reeds volledige kolommen, en de kolom van $e$ draagt de graden. Controleer alles met een volledige orthogonaliteitsronde.

![De reguliere representatie van S_3, blokdiagonaal gemaakt: ℂ(S_3) ℂ × ℂ × M_2(ℂ), met dimensies 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. In het algemeen is ℂ(G) _i M_n_i(ℂ): de identiteit n_i2 = G is een uitspraak over matrixblokken.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-representations/fig-7b5373eb2027.svg)

*De [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) van $S_3$, blokdiagonaal gemaakt: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$, met dimensies $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$. In het algemeen is $\C[G]
\cong \prod_i M_{n_i}(\C)$: de identiteit $\sum n_i^2 = \abs G$ is een uitspraak over matrixblokken.*

## 5.4 Oefeningen

**Oefening 5.1 ★.**

(a) Toon aan dat de irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) van $\Z/n\Z$ de $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ met $k = 0, \dots, n-1$ zijn, en schrijf de [karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $\Z/4\Z$ op. (b) Ga beide [orthogonaliteitsrelaties](#thm-b3-representations-orthogonality) erop na — en herken de matrix: waar is dit boek haar eerder tegengekomen?

**Oplossing van Oefening 5.1.**

(a) $\Z/n\Z$ is abels: alle [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) hebben graad $1$ ([Propositie 5.13](#prop-b3-representations-onedim)), dat wil zeggen het zijn morfismen $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$, vastgelegd door $\chi(\bar 1) = \omega$ met $\omega^n = 1$: de $n$ [karakters](#def-b3-representations-character) $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$. Voor $n = 4$ (de klassen zijn de elementen $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$):

$$
\begin{array}{c|cccc}
& \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\
\hline
\chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu
\end{array}
$$

(b) Rijen: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m
\eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (meetkundige som); de kolommen net zo. De matrix $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ is de matrix van de *discrete Fouriertransformatie* — dezelfde eenheidswortelfilter die in het hoofdstuk over genererende functies in het volume van bachelorjaar 2 werd gebruikt; de [orthogonaliteit van karakters](#thm-b3-representations-orthogonality) veralgemeent de inversieformule van die transformatie.

**Oefening 5.2 ★.**

Zij $G$ werkend op een eindige verzameling $X$ en $\chi$ het [karakter](#def-b3-representations-character) van de permutatierepresentatie $\C^X$. (a) Toon aan dat $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ en $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{banen}\}$ — de teltelling van Burnside ([Oefening 1.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-5)) is een karakterberekening. (b) Stel dat de [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) transitief is, zodat $\chi = \mathbf 1 +
\psi$. Toon aan dat $\psi$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) is dan en slechts dan als de [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) *$2$-transitief* is (transitief op geordende paren verschillende punten). *(Bereken $\langle\chi,\chi\rangle$ als het aantal [banen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) op $X \times X$.)* (c) Besluit dat de standaardrepresentatie van $S_n$ ($n \geq 2$) [irreducibel](#def-b3-representations-rep) is.

**Oplossing van Oefening 5.2.**

(a) De matrix van $\rho(g)$ in de basis $(e_x)$ is een permutatiematrix, met als spoor het aantal $x$ met $g\cdot x = x$. Dan is

$$
\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g
\abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{banen}\}
$$

volgens de teltelling van Burnside ([Oefening 1.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-5)) — gelijkwaardig berekent dit de multipliciteit van de triviale [representatie](#def-b3-representations-rep), waarvan de isotypische ruimte de ruimte van $G$-invariante vectoren is, van dimensie het aantal [banen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) (één indicatorfunctie per [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action)).

(b) Omdat $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) =
\operatorname{Fix}_X(g)^2$, geeft onderdeel (a) toegepast op $X
\times X$ dat $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs
G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{banen op }
X\times X\}$ (want $\chi$ is reëel). Schrijven we $\chi = \mathbf
1 + \psi$, dan is $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitiviteit), dus $\langle\psi,\psi\rangle =
\langle\chi,\chi\rangle - 1$. De [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) op $X\times X$ heeft de diagonaal als één [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action); er is precies één andere [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) dan en slechts dan als $G$ transitief is op de paren verschillende punten: $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ precies wanneer de [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) $2$-transitief is ([Gevolg 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)).

(c) $S_n$ is $2$-transitief op $\{1,\dots,n\}$ (stuur een willekeurig paar verschillende punten waarheen je wilt): $\psi =
\chi_{\mathrm{std}}$ is [irreducibel](#def-b3-representations-rep).

**Oefening 5.3 ★.**

Bouw de tafel van $S_3$ van nul af opnieuw op volgens [Methode 5.17](#met-b3-representations-table), en ga daarna twee rij- en twee kolomorthogonaliteitsrelaties na in de $S_4$-tafel van [Voorbeeld 5.16](#ex-b3-representations-s4). Ontbind het permutatiekarakter van $S_4$ werkend op $\{1,2,3,4\}$ en het [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (het puntsgewijze kwadraat) in irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character).

**Oplossing van Oefening 5.3.**

$S_3$: drie klassen, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$; de twee [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ zijn $\mathbf 1$ en $\varepsilon$ (want $[S_3 : A_3] = 2$); de derde rij $(2, a, b)$ volgt uit de [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) met de kolom van $e$: $1 - 1 + 2a = 0$ en $1
+ 1 + 2b = 0$, dus $a = 0$ en $b = -1$ — de tafel van [Voorbeeld 5.15](#ex-b3-representations-s3).

Controles voor $S_4$ (rijen): $\langle\chi_{\mathrm{std}},
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 -
6) = 0$ en $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 +
8 + 0) = 1$. Kolommen: $e$ tegen $(1\,2)$: $1 - 1 + 0 + 3 - 3 =
0$; en $(1\,2)$ tegen zichzelf: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 =
\abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$.

Permutatiekarakter op $4$ punten: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 +
\chi_{\mathrm{std}}$ (de aantallen vaste punten; trek de bovenste rij af). Voor $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$:

$$
\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} =
1,\quad
\langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad
\langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad
\langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad
\langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:
$$

dus $\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 +
\chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensies: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$).

**Oefening 5.4 ★★.**

Bereken de [karaktertafels](#def-b3-representations-table) van $D_4$ en van $Q_8$. Besluit dat twee niet-isomorfe groepen dezelfde [karaktertafel](#def-b3-representations-table) kunnen hebben — welke groepentheoretische gegevens legt de tafel bij dit paar toch vast (de orde van het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions), de abelianisering, het aantal involuties)? En welke daarvan legt ze juist *niet* vast?

**Oplossing van Oefening 5.4.**

Beide groepen hebben vijf klassen en het gradenpatroon $(1,1,1,1,2)$ (vier [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ uit de abelianisering $\cong (\Z/2\Z)^2$, en dan $\sum n_i^2 = 8$). Ordenen we de klassen als $e$, $z$ (de centrale involutie: $r^2$ respectievelijk $-1$) en de drie klassen met twee elementen:

$$
\begin{array}{c|ccccc}
& e & z & C_1 & C_2 & C_3\\
\hline
\chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\
\chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
\chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$

(de laatste rij uit de [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality)). Identieke tafels voor $D_4$ en $Q_8$, die niet isomorf zijn ([Probleem 1.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#pb-b3-groups-1)). De tafel legt *wel* vast: $\abs G$, de klassegroottes, het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) ($\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\
\forall i\}$: orde $2$ in beide), de abelianisering en het hele tralie van [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) (kernen en doorsneden, [Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)). Ze legt de ordes van de elementen *niet* vast: $D_4$ heeft vijf involuties en $Q_8$ maar één — het isomorfietype is dus werkelijk fijner dan de [karaktertafel](#def-b3-representations-table).

**Oefening 5.5 ★★.**

[Karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $A_4$: klassen $e$ [1], de dubbele transposities [3], en *twee* klassen van $3$-cykels [4] en [4]. (a) Verklaar de splitsing van de $3$-cykels (vergelijk de [centralisatoren](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) in $S_4$ en in $A_4$, als in [Oefening 1.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-11)). (b) Bepaal de drie [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ (via $A_4/V \cong
\Z/3\Z$) en het [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $3$ (beperk $\chi_{\mathrm{std}}$ van $S_4$), en stel de tafel samen. (c) Lees de [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) van $A_4$ uit de tafel af (de kernen $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ en hun doorsneden).

**Oplossing van Oefening 5.5.**

(a) In $S_4$ heeft de centralisator van $(1\,2\,3)$ orde $24/8 =
3$: het is $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$. Dus heeft $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ orde $3$ en telt de $A_4$-klasse $12/3 = 4$ elementen: de acht $3$-cykels vallen uiteen in twee $A_4$-klassen (met representanten $(1\,2\,3)$ en haar inverse).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ geeft drie [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ (met $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$; de klassen van $3$-cykels gaan naar $\bar1$ en $\bar2$); de beperking van $\chi_{\mathrm{std}}$ blijft [irreducibel](#def-b3-representations-rep) ($\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 +
0 + 0) = 1$):

$$
\begin{array}{c|cccc}
A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] &
(1\,3\,2)\,[4]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\
\chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\
\chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0
\end{array}
$$

(c) Kernen: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ en $\ker\chi_3 = \{e\}$ (geen enkele andere ingang heeft modulus $3$). De [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) zijn de doorsneden van de kernen ([Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)): $\{e\}$, $V$ en $A_4$ — in het bijzonder heeft $A_4$ geen [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) van orde $2$ of van index $2$.

**Oefening 5.6 ★★.**

(a) Toon aan dat $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ de kern is van de onderliggende [representatie](#def-b3-representations-rep) ([Propositie 5.6](#prop-b3-representations-charbasics), het gelijkheidsgeval). (b) Toon aan dat elke [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) van $G$ een doorsnede is van kernen van irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character). *(Representeer $G/N$ trouw: haar [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples).)* (c) Leid af: $G$ is enkelvoudig dan en slechts dan als $\ker\chi_i
= \{e\}$ voor elk niet-triviaal [irreducibel](#def-b3-representations-rep) $\chi_i$ — de enkelvoudigheid is uit de [karaktertafel](#def-b3-representations-table) af te lezen.

**Oplossing van Oefening 5.6.**

(a) Is $\chi(g) = \chi(e) = n$, dan dwingt de gelijkheid in $\abs{\chi(g)} \leq n$ af dat $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ ([Propositie 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)) met $n\lambda = n$: dus $\rho(g) = \mathrm{id}$. De omkering is duidelijk.

(b) Zij $N \trianglelefteq G$. De [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) van $G/N$ is trouw; ontbind haar in [irreducibele representaties](#def-b3-representations-rep) van $G/N$ en til die op naar $G$ ([Propositie 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b)): dat geeft irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) $\chi_{i_1}, \dots$ van $G$ waarvan de kernen $N$ bevatten en waarvan de *gemeenschappelijke* kern precies het origineel van $\{e\}$ is, dat wil zeggen $N$ (trouwheid op het quotiënt). Dus $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$.

(c) Is $G$ enkelvoudig, dan is voor een niet-triviaal [irreducibel](#def-b3-representations-rep) $\chi$ de [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) $\ker\chi$ niet gelijk aan $G$ (een [irreducibele representatie](#def-b3-representations-rep) die op heel $G$ triviaal is, is het triviale [karakter](#def-b3-representations-character)), dus $\ker\chi = \{e\}$. Stel omgekeerd dat alle niet-triviale kernen triviaal zijn, en zij $N
\trianglelefteq G$ met $N \neq G$. In de uitdrukking van $N$ als doorsnede van kernen uit (b) is een van de betrokken [karakters](#def-b3-representations-character) niet-triviaal (waren ze alle triviaal, dan was de doorsnede $G$), en de kern daarvan is $\{e\}$: dus $N = \{e\}$. De enige [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) zijn dus $\{e\}$ en $G$.

**Oefening 5.7 ★★.**

Graden bij $\abs G = 8$: toon aan dat een niet-abelse groep van orde $8$ het gradenpatroon $(1,1,1,1,2)$ heeft en dat haar [representatie](#def-b3-representations-rep) van graad $2$ trouw is. Toon algemener aan dat een niet-abelse groep van orde $p^3$ het patroon $(1^{\,p^2}, p,
\dots, p)$ heeft, met $p^2$ enen en $p - 1$ [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $p$. *(Gebruik $[G : D(G)]$ en $\sum n_i^2 = \abs G$; hier heeft $D(G) = Z(G)$ orde $p$.)*

**Oplossing van Oefening 5.7.**

Orde $8$, niet-abels: het aantal [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ is $[G :
D(G)]$, een echte deler van $8$ (niet-abels: $D(G) \neq \{e\}$), en $\sum n_i^2 = 8$. Met $k$ enen en de overige graden $\geq 2$ moet $8 - k$ een som van kwadraten $\geq 4$ zijn, met $k \mid 8$ en $k < 8$. Voor $k = 4$: één graad $2$ — consistent. Voor $k =
2$: er blijft $6$ over, geen som van kwadraten $\geq 4$. Voor $k =
1$: onmogelijk, want $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ is een niet-triviale abelse $2$-groep, aangezien $G$ een $2$-groep is met $D(G) \neq G$ wegens de [oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) van $p$-groepen ([Voorbeeld 1.30](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-solvableexamples)). Het patroon is dus $(1,1,1,1,2)$. Trouwheid van $\chi_5$: de vier [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ bevatten alle $D(G)$ in hun kern; lag er een minimale niet-triviale [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) $N \subseteq \ker\chi_5$, dan lag $N$ in alle vijf kernen, waarvan de doorsnede triviaal is (de [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) is trouw): tegenspraak. Orde $p^3$, niet-abels: $Z(G)$ heeft orde $p$ (bij orde $p^2$ zou $G/Z$ cyclisch en $G$ abels zijn), $G/Z(G)$ van orde $p^2$ is abels, dus $D(G) \subseteq Z(G)$, en $D(G) \ne \{e\}$: dus $D(G) = Z(G)$, wat $p^2$ [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $1$ geeft. De overige graden voldoen aan $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ met elke $n_i > 1$ die $\abs G$ deelt ([Probleem 5.1](#pb-b3-representations-1), vraag 8), dus $n_i = p$ ($n_i =
p^2$ zou te groot zijn: $p^4 > p^3 - p^2$): precies $p - 1$ [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $p$.

**Oefening 5.8 ★★★.**

Toon voor eindige groepen $G, H$ aan dat de [klassefuncties](#def-b3-representations-character) $\chi(g)\psi(h)$ op $G \times H$, met $\chi, \psi$ irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) van $G$ respectievelijk $H$, precies de irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) van $G \times H$ zijn. *(De orthonormaliteit is een rechtstreekse berekening; de volledigheid volgt uit het tellen van de klassen.)* Leid de [karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ af en bewijs [Propositie 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(a) opnieuw voor eindige abelse groepen via de structuurstelling.

**Oplossing van Oefening 5.8.**

Definieer voor [representaties](#def-b3-representations-rep) $\rho, \sigma$ van $G$ en $H$ op $V$ en $W$ de [representatie](#def-b3-representations-rep) $\rho \boxtimes \sigma$ van $G \times H$ op $V \otimes W$ — concreet, op matrices: $(\rho\boxtimes
\sigma)(g,h)$ is het kroneckerproduct $\rho(g)\otimes \sigma(h)$, met spoor $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) =
\chi(g)\psi(h)$ (het kroneckerproduct $A \otimes B$ heeft spoor $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$: de diagonaal bestaat uit de $a_{kk}b_{ll}$). Dus is $\chi\psi$ een [karakter](#def-b3-representations-character), en

$$
\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H}
= \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h}
\overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h)
= \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H
= \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.
$$

In het bijzonder is $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$: elke $\chi\psi$ is [irreducibel](#def-b3-representations-rep) ([Gevolg 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)). Dat zijn $r_Gr_H$ verschillende irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character); en de klassen van $G\times
H$ zijn de producten van klassen ($(g,h) \sim (g',h')$ per component), dus zijn er $r_Gr_H$: de lijst is volledig ([Stelling 5.11](#thm-b3-representations-numberirr)). Voor $(\Z/2\Z)^2$: de vier tekenkarakters $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — het linksboven gelegen blok van de tafel uit [Oefening 5.4](#exo-b3-representations-4). Een eindige abelse groep is een product van cyclische groepen ([Gevolg 3.13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#cor-b3-modules-abelian)); haar irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) zijn de producten van de cyclische [karakters](#def-b3-representations-character) ([Oefening 5.1](#exo-b3-representations-1)): alle van graad $1$.

**Oefening 5.9 ★★★.**

De [karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $A_5$ (klassen van grootte $1, 15, 20, 12,
12$ uit [Oefening 1.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-11)): (a) Toon aan dat de graden $1, 3, 3, 4, 5$ zijn *(de enige oplossing van $\sum n_i^2 = 60$ met $n_1 = 1$ en, wegens [Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)(c) samen met de enkelvoudigheid, geen andere $n_i = 1$)*. (b) Construeer het [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $4$ (de permutatiewerking op $5$ punten) en dat van graad $5$ (de [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) op de zes Sylow-$5$-deelgroepen geeft graad $6 = 1 + 5$; controleer de irreducibiliteit), en maak de twee rijen van graad $3$ af met [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality): op de klassen van $5$-cykels verschijnen de waarden $\frac{1\pm\sqrt5}2$ van de gulden snede. (c) Ga aan de afgemaakte tafel na dat $A_5$ enkelvoudig is ([Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)).

**Oplossing van Oefening 5.9.**

(a) $D(A_5) = A_5$ (enkelvoudig en niet-abels), dus is het enige [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $1$ het triviale ([Propositie 5.13](#prop-b3-representations-onedim)). We hebben $n_2^2 + n_3^2
+ n_4^2 + n_5^2 = 59$ nodig met elke $n_i \geq 2$; met de beschikbare kwadraten $4, 9, 16, 25, 36, 49$ is de enige multiverzameling die werkt $\{9, 9, 16, 25\}$: met grootste kwadraat $49$ blijft $10$ over, geen som van drie kwadraten $\geq
4$; met $36$ blijft $23$ over, ook niet ($16 + 4 + 4 = 24$, $9 + 9
+ 4 = 22$); met grootste $25$ gaat $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ wél op en falen de varianten $25 + 25$, $25 + 16 + 16$ en $25 + 16 + 4$; en met grootste $16$: $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$. Graden: $1, 3, 3,
4, 5$.

(b) Permutatie op $5$ punten: vaste punten $(5, 1, 2, 0, 0)$, dus $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ met $\langle\chi_4,\chi_4\rangle =
\frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$: [irreducibel](#def-b3-representations-rep). [Werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) op de zes Sylow-$5$-deelgroepen: een involutie houdt er precies $2$ vast (de [normalisatoren](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) zijn diëdraal van orde $10$ en bevatten elk $5$ involuties: $30$ incidenties voor $15$ involuties), een element van orde $3$ houdt er $0$ vast (in $D_5$ zit geen orde $3$) en een element van orde $5$ precies $1$ (het ligt in een unieke [Sylow-deelgroep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-sylow)): permutatiekarakter $(6, 2, 0, 1, 1)$, en $\chi_5
= (5, 1, -1, 0, 0)$ met norm $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} =
1$: [irreducibel](#def-b3-representations-rep). Er blijven twee rijen $(3, a, b, c, d)$ en $(3,
a', b', c', d')$ over. Kolomnormen ([Gevolg 5.12](#cor-b3-representations-column)): op de klasse van $(1\,2)(3\,4)$ is $\abs{Z} = 4$, dus $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$; en die kolom tegen $e$: $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a')
= 0$, dus $a + a' = -2$ en $a^2 + a'^2 = 2$: $a = a' = -1$. Op de $3$-cykels is $\abs Z = 3$: $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$, dus $b =
b' = 0$. Op elke $5$-klasse is $\abs Z = 5$: de kolom tegen $e$ luidt $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$, dus $c +
c' = 1$; en $c^2 + c'^2 = 3$: $\{c, c'\} =
\bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — de gulden snede en haar toegevoegde; de tweede $5$-klasse draagt de verwisselde waarden (de twee rijen moeten orthogonaal zijn).

(c) In de afgemaakte tafel is buiten de eerste kolom geen enkele ingang van een niet-triviale rij gelijk aan haar graad: elke kern $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ is triviaal. Volgens [Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)(c) is $A_5$ dus enkelvoudig.

**Oefening 5.10 ★★.**

Zij $\rho$ een [irreducibele representatie](#def-b3-representations-rep) van graad $n$ en $z \in
Z(G)$. Toon aan dat $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ met $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ een morfisme (het *centrale [karakter](#def-b3-representations-character)*), en leid af dat $\abs{\chi(z)} = n$ voor centrale $z$. Toepassing: heeft $G$ een trouwe [irreducibele representatie](#def-b3-representations-rep), dan is $Z(G)$ cyclisch.

**Oplossing van Oefening 5.10.**

$\rho(z)$ commuteert met elke $\rho(g)$ ($z$ is centraal), dat wil zeggen $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur): dus $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$, en $z \mapsto
\lambda_z$ is multiplicatief, dus een morfisme $Z(G) \to
\C^\times$. Dan is $\chi(z) = n\lambda_z$ met $\abs{\lambda_z} =
1$ (een eenheidswortel): $\abs{\chi(z)} = n$. Is $\rho$ trouw, dan is $\lambda$ injectief op $Z(G)$ ($\rho(z) = \mathrm{id} \iff
\lambda_z = 1$), zodat $Z(G)$ zich in $\C^\times$ inbedt; en een eindige deelgroep van de multiplicatieve groep van een lichaam is cyclisch ([Stelling 4.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-cyclic)).

**Oefening 5.11 ★★.**

(Isotypische projecties) Zij $(V, \rho)$ een [representatie](#def-b3-representations-rep) van $G$ en $\chi_i$ een [irreducibel](#def-b3-representations-rep) [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $n_i$. Definieer

$$
p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G}
\overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).
$$

(a) Toon aan dat $p_i$ $G$-equivariant is, en bereken haar beperking tot een irreducibele deelrepresentatie $W \subseteq V$ met [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_j$: die is $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ *(Schur; neem sporen om de scalair te bepalen)*. (b) Leid af dat $p_i$ een projectie is op de som $V_i$ van alle irreducibele deelrepresentaties met [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_i$ (de *isotypische component*), dat $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$, en dat de ontbinding $V = \bigoplus_iV_i$ kanoniek is — anders dan de fijnere splitsing van elke $V_i$ in irreducibele. (c) Schrijf voor de [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) van $S_3$ en het tekenkarakter $\varepsilon$ de projectie $p_\varepsilon$ expliciet op als element van de groepsalgebra, en controleer met de hand dat $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$.

**Oplossing van Oefening 5.11.**

(a) Equivariantie: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ herindexeert de som ($g \mapsto hgh^{-1}$, en $\chi_i$ is een [klassefunctie](#def-b3-representations-character)): $p_i$ commuteert met de [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action). Op een irreducibele $W$ met [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_j$ maakt Schur van de beperking een scalair $\lambda\,\mathrm{id}_W$; sporen nemen geeft

$$
\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g
\overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i,
\chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}
$$

(de eerste orthogonaliteit): dus $\lambda = \delta_{ij}$.

(b) Ontbind $V$ in irreducibele (Maschke): $p_i$ werkt als de identiteit op de summanden met [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_i$ en als $0$ op alle andere, dus is $p_i$ de projectie op hun som $V_i$ langs de som van de rest; het beeld $V_i$ hangt niet van de gekozen ontbinding af (het is de verzameling vectoren die door $p_i$ worden vastgehouden, zonder keuzen gedefinieerd). $\sum_ip_i$ werkt als de identiteit op elke irreducibele summand: het is $\mathrm{id}_V$. De fijnere splitsing van $V_i \cong
W_i^{\oplus m_i}$ vergt de keuze van een basis van $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$: kanoniek is ze niet.

(c) Voor $\varepsilon$ (graad $1$) is $p_\varepsilon =
\frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$, dat wil zeggen in de groepsalgebra

$$
p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3)
+ (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .
$$

Kwadrateren: de coëfficiënt van $g$ in $p_\varepsilon^2$ is $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) =
\frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 =
\frac{6}{36}\varepsilon(g)$: dus $p_\varepsilon^2 =
p_\varepsilon$. (Haar beeld in de [reguliere representatie](#ex-b3-representations-examples) is de rechte opgespannen door $\sum_g\varepsilon(g)e_g$: de tekenrepresentatie komt met multipliciteit $1$ voor, zoals de algemene theorie eist.)

**Oefening 5.12 ★★.**

(Een tafel lezen) Van een zekere groep $G$ van orde $24$ is de [karaktertafel](#def-b3-representations-table) gedeeltelijk bekend: ze heeft $5$ klassen, van grootte $1, 6, 8, 6, 3$, en graden $1, 1, 2, 3, 3$. (a) Reconstrueer de volledige tafel: eerst de twee lineaire [karakters](#def-b3-representations-character) (één triviaal; het andere neemt de waarde $-1$ precies op de klassen van grootte $6$ en $6$), dan het [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $2$ met [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) tegen de kolom van de identiteit, en daarna evenzo de twee [karakters](#def-b3-representations-character) van graad $3$ (waarvan er één $\chi_2\chi_4$ is). (b) Herken $G$ ($\cong S_4$: vergelijk de klassen met de cykeltypen), en haal met [Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6) de [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) uit de tafel: de kernen van $\chi_2$ (index $2$: $A_4$) en van $\chi_3$ (de viergroep $V_4$), en verder niets behalve $\{e\}$ en $G$. (c) Leg uit hoe de tafel laat zien dat $G/V_4 \cong S_3$ *(welke [karakters](#def-b3-representations-character) factoriseren over het quotiënt?)*.

**Oplossing van Oefening 5.12.**

(a) Orden de klassen als $e$ [1], de transposities [6], de $3$-cykels [8], de $4$-cykels [6] en de dubbele transposities [3]. Het tweede lineaire [karakter](#def-b3-representations-character) is $\chi_2 = \varepsilon$ met waarden $1, -1, 1, -1, 1$. Voor het [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi_3$ van graad $2$ geeft de [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) van elke kolom met die van de identiteit ($\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ voor $g \neq e$) op de transposities: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$; en de tekentruc $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (een [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $3$ maal een lineair [karakter](#def-b3-representations-character) is opnieuw [irreducibel](#def-b3-representations-rep) — dezelfde norm) laat $\chi_4 + \chi_5$ op de oneven klassen verdwijnen: dus $\chi_3 = 0$ daar. Op de $3$-cykels: $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) +
3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ met $\chi_5 = \chi_4$ op de even klassen; de kolom van $c_3$ met zichzelf levert gegevens over $\abs{\chi_3}^2$; en het kleine stelsel oplossen (gebruik ook de rijorthogonaliteit van $\chi_3$ met $\mathbf 1$ en $\varepsilon$) geeft $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$, en daarna $\chi_4 = (3, 1, 0,
-1, -1)$ en $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$. De volledige tafel:

|  | $e$ | $6\,t$ | $8\,c_3$ | $6\,c_4$ | $3\,v$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ |
| $\chi_3$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $2$ |
| $\chi_4$ | $3$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $-1$ |

(Alle rijen hebben norm $1$ en alle kolommen zijn orthogonaal: de controles slagen.)

(b) De klassegegevens $1, 6, 8, 6, 3$ met deze graden zijn die van $S_4$ (cykeltypen $e$, $2$, $3$, $4$, $2{+}2$). Kernen: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (de klassen $e,
c_3, v$: $1 + 8 + 3 = 12$, index $2$); $\ker\chi_3 = \{g :
\chi_3(g) = 2\}$ zijn de klassen $e$ en $v$: de viergroep van Klein $V_4$, van orde $4$, normaal. En $\chi_4, \chi_5$ zijn trouw ($\chi_i(g) = n_i$ alleen in $e$). De doorsneden van kernen: $\{e\}$, $V_4$, $A_4$, $G$ — volgens [Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)(b) zijn dat *alle* [normaaldelers](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) van $S_4$.

(c) De [karakters](#def-b3-representations-character) met $V_4 \subseteq \ker$ zijn $\chi_1, \chi_2,
\chi_3$: ze factoriseren over $G/V_4$, een groep van orde $6$ met irreducibele graden $1, 1, 2$ — de tafel van $S_3$. Omdat de tafel van het quotiënt onder de twee groepen van orde $6$ een volledige invariant *is* ($\Z/6\Z$ zou zes lineaire [karakters](#def-b3-representations-character) hebben), is $G/V_4 \cong S_3$: het quotiënt is in de tafel zichtbaar als het blok rijen dat $V_4$ in zijn kern bevat.

## 5.5 Probleem: de $p^aq^b$-stelling van Burnside

**Probleem 5.1.**

Weekendopgave — oplosbaarheid van groepen van orde $p^aq^b$

Burnside bewees in 1904 dat elke groep waarvan de orde hoogstens twee priemfactoren heeft, [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) is — een uitspraak over abstracte groepen waarvan alle bekende bewijzen een halve eeuw lang via de karaktertheorie liepen. Dit probleem bouwt het bewijs volledig op en brengt daarbij [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ch-b3-groups) ([oplosbaarheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived)), [Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#ch-b3-modules) (eindig voortgebrachte $\Z$-modulen) en dit hoofdstuk samen. Overal zijn $\chi_1, \dots,
\chi_r$ de irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) van $G$ en $n_i = \chi_i(e)$.

**Deel I — Gehele [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getallen.** Een *geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal* is een wortel van een *monische* veelterm van $\Z[X]$.

1. Toon aan dat $\alpha$ een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal is dan en slechts dan als de ring $\Z[\alpha]$ een [eindig voortgebracht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#def-b3-modules-free) $\Z$ -moduul is.
2. Leid af dat de gehele [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getallen een deelring van $\C$ vormen. *(Zijn $\Z[\alpha]$ en $\Z[\beta]$ [eindig voortgebracht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#def-b3-modules-free), dan ook $\Z[\alpha, \beta]$, en deelmodulen van eindig voortgebrachte $\Z$-modulen zijn [eindig voortgebracht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#def-b3-modules-free), volgens [Stelling 3.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#thm-b3-modules-submodule) plus een presentatieargument — of rechtstreeks: een deelmoduul van $\Z^n$ is vrij van rang $\leq n$.)*
3. Toon aan dat een *rationaal* geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal een geheel getal is. *(De rationalewortelstelling.)*
4. Toon aan dat elke karakterwaarde $\chi(g)$ een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal is.

**Deel II — De klassesomrelaties.** Leg een irreducibele $(V, \rho)$ van graad $n$ met [karakter](#def-b3-representations-character) $\chi$ vast. Stel voor een conjugatieklasse $C$: $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g)
\in \mathcal L(V)$.

5. Toon aan dat $S_C$ equivariant is, zodat $S_C =  \omega_C\,\mathrm{id}$ met $$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}  \qquad (g_C \in C \text{ een willekeurige representant}).$$
6. Toon aan dat $S_CS_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,S_{C''}$ , waarbij $a_{CC'C''} \in \N$ voor een vaste $z \in C''$ de paren $(x, y) \in C \times C'$ met $xy = z$ telt. Leid af dat de $\omega_C$ voldoen aan $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
7. Besluit dat elke $\omega_C$ een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal is. *(Het $\Z$-moduul voortgebracht door $1$ en de $\omega_C$ is een eindig voortgebrachte ring; pas het criterium van vraag 1 toe — preciezer: toon aan dat $M =  \Z\text{-opspansel}(1, (\omega_C)_C)$ voldoet aan $\omega_{C_0} M \subseteq M$ en gebruik een truc met determinanten of Cayley–Hamilton, of het deelringargument van vraag 2.)*
8. Leid de *deelbaarheid van [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-finitefields)* af: $n_i$ deelt $\abs G$ voor elke irreducibele graad. *(Bereken $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}  \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\,  \overline{\chi(g_C)}$: een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal dat rationaal is.)*

**Deel III — Het enkelvoudigheidscriterium van Burnside.**

9. Zij $\chi$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) van graad $n$ en $C$ een klasse met $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Toon met Bézout en de vragen 4–7 aan dat $\frac{\chi(g_C)}{n}$ een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal is.
10. Stel bovendien $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Toon aan dat dit onmogelijk is: het gehele [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal $\alpha =  \chi(g_C)/n$ heeft al haar *toegevoegden* — de getallen $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ voor $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ , elk een gemiddelde van $n$ eenheidswortels — van modulus $\leq 1$ , zodat het product $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ een rationaal geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal is met $0 < \abs N  < 1$ — verantwoord elke bewering, met beroep op [Stelling 4.23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-cyclotomicirred) voor de [Galoisgroep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-galois) en op het feit dat $\sigma$ eenheidswortels permuteert. Besluit: ofwel $\chi(g_C) = 0$ , ofwel is $\rho(g_C)$ scalair ( [Propositie 5.6](#prop-b3-representations-charbasics) ).
11. (Het criterium van Burnside) Zij $C \neq \{e\}$ een conjugatieklasse van *priemmachtgrootte* $p^k > 1$ , en stel dat $G$ enkelvoudig en niet-abels is. [Kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) van de kolom van $C$ tegen die van $e$ geeft $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Toon aan dat een zeker niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ voldoet aan $\chi_i(g_C) \neq 0$ *(anders zou $\frac1p$ een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal zijn)* ; volgens vraag 10 is $\rho_i(g_C)$ dan scalair; leid daaruit een tegenspraak met de enkelvoudigheid af *(de verzameling $g$ waarvoor $\rho_i(g)$ scalair is, is een [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal); gebruik de trouwheid uit [Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6))* . Besluit: *geen enkele enkelvoudige niet-abelse groep heeft een conjugatieklasse van priemmachtgrootte $> 1$.*

**Deel IV — De stelling.**

12. Zij $\abs G = p^aq^b$ met $a + b \geq 1$ . Toon aan dat $G$ , als ze enkelvoudig is, abels is: kies $z \neq e$ in het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van een Sylow- $q$ -deelgroep ( [Stelling 1.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-pfixed) ) en beschouw de grootte van haar conjugatieklasse $[G : Z_G(z)]$ , een macht van $p$ (waarom?); pas vraag 11 toe.
13. Besluit met inductie naar $\abs G$ : *elke groep van orde $p^aq^b$ is [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived)* (Burnside). Waarom breekt het argument bij drie priemgetallen — en waarom moet het wel breken, gezien $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

**Deel V — De [karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $A_5$.** De kleinste groep die de stelling van Burnside niet kan raken, verdient haar volledige portret; alles hieronder gebruikt alleen dit hoofdstuk plus [Oefening 1.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-11).

14. Herinner uit [Oefening 1.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-11) de vijf [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van $A_5$ : $\{e\}$ , de $15$ dubbele transposities, de $20$ drietallige cykels, en twee klassen van elk $12$ vijftallige cykels, met representanten $c =  (1\,2\,3\,4\,5)$ en $c^2$ . Verklaar waarom de $5$ -cykels in twee $A_5$ -klassen uiteenvallen hoewel ze één enkele $S_5$ -klasse vormen.
15. Toon aan dat de irreducibele graden van $A_5$ precies $1,  3, 3, 4, 5$ zijn: gebruik $\sum_in_i^2 = 60$ met $r = 5$ klassen, en het feit dat $A_5$ [perfect](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#prop-b3-galois-perfect) is ( $D(A_5) =  A_5$ ), zodat het triviale [karakter](#def-b3-representations-character) haar enige lineaire is; elimineer vervolgens elke andere multiverzameling *(schrijf $59$ als som van vier kwadraten van gehele getallen $\geq 2$: ga na dat dat maar op één manier lukt met allemaal plausibele graden)* .
16. Zij $\pi$ het permutatiekarakter van $A_5$ op $\{1, \dots,  5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , met waarden $5,  1, 2, 0, 0$ op de vijf klassen. Bereken $\langle\pi,  \mathbf 1\rangle$ en $\langle\pi, \pi\rangle$ , en leid af dat $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) is van graad $4$ , met waarden $4, 0, 1, -1, -1$ .
17. Hetzelfde spel op de $10$ ongeordende paren $\{i, j\}$ : daar zijn de aantallen vaste punten $10, 2, 1, 0, 0$ . Bereken $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ en $\langle\pi_{10},  \chi_4\rangle$ , leid de ontbinding $\pi_{10} = \mathbf 1 +  \chi_4 + \chi_5$ af, en verkrijg het irreducibele $\chi_5$ van graad $5$ met waarden $5, 1, -1, 0, 0$ .
18. De twee resterende irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) $\chi_2$ en $\chi_3$ hebben graad $3$ . [Kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) (elke kolom $\neq e$ tegen de kolom van de identiteit, en elke kolom met zichzelf) legt hun waarden buiten de $5$ -cykels vast: toon aan dat $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ op de dubbele transposities en $0$ op de drietallige cykels.
19. Stel op de klassen van $5$-cykels $x = \chi_2(c)$ en $y =  \chi_2(c^2)$; wegens de symmetrie mag men $\chi_3(c) = y$ en $\chi_3(c^2) = x$ nemen. Leid uit de kolom van $c$ gepaard met de kolom van de identiteit en met die van $c^2$ af dat $x + y = 1$ en $xy = -1$ (en controleer de waarde $x^2 + y^2 = 3$ die de kolom van $c$ met zichzelf geeft), waaruit $$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 -  \sqrt5}2\Bigr\} :$$ de gulden snede en haar toegevoegde. Stel de volledige [karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $A_5$ samen.
20. Voer de controles uit: de rijnorm van $\chi_2$ is $1$ (gebruik $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ , en de deelbaarheid van [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-finitefields) (vraag 8) voor alle vijf graden. Waar in de tafel *zie* je een verschil met $S_5$ , waarvan alle karakterwaarden gehele rationale getallen zijn?
21. Leid uit de tafel alleen af dat $A_5$ enkelvoudig is: een [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) is een vereniging van [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) die $e$ bevat en waarvan de kardinaliteit $60$ deelt — controleer dat geen enkele echte deelsom van $1 + 15 + 20  + 12 + 12$ die de term $1$ bevat, het getal $60$ deelt. Controleer dit tegen het criterium van vraag 11: ga na dat geen enkele klasse van $A_5$ priemmachtgrootte $> 1$ heeft.
22. (Icosaëdrisch slotstuk) $A_5$ is de rotatiegroep van de icosaëder, en de [representaties](#def-b3-representations-rep) van graad $3$ zijn de twee meetkundige [werkingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) op $\R^3$ . Ga de spooridentiteit na: een rotatie over een hoek $\theta$ heeft spoor $1 +  2\cos\theta$ , en $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 =  \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Verklaar zonder enige berekening waarom het andere [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $3$ de toegevoegde waarde moet dragen: de [Galoisgroep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-galois) van $\Q(\sqrt5)/\Q$ werkt op de hele [karaktertafel](#def-b3-representations-table) (ingang voor ingang) en permuteert daarbij de irreducibele [karakters](#def-b3-representations-character) .

**Deel VI — Aanvullingen: een centrale grens en het tensorkwadraat.**

23. (Scherper dan een deelbaarheid) Zij $\chi$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) van graad $n$. Toon aan dat $\abs{\chi(z)} = n$ voor elke $z  \in Z(G)$ *(lemma van Schur: $\rho(z)$ is een scalair, van eindige orde)*, en leid uit $\langle\chi,  \chi\rangle = 1$ de grens $$n^2 \leq [G : Z(G)]$$ af. Toon aan dat de niet-abelse groepen van orde $8$ de irreducibele graden $1, 1, 1, 1, 2$ hebben *(vijf [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions); schrijf $8$ als som van vijf kwadraten)* en dat ze de gelijkheid $4 = [G : Z(G)]$ bereiken; controleer de grens op $A_5$, waarvan het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) triviaal is.
24. (Tensorkwadraat van $\chi_2$) Voor $g$ van eindige orde is $\rho(g)$ diagonaliseerbaar met eenheidswortels als eigenwaarden; leid daaruit de karakterformules $$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2,  \qquad  \chi_{\Lambda^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2$$ af. Pas ze toe op $\chi_2$ van $A_5$ *(merk op dat $g^2$ de klasse van $c^2$ doorloopt wanneer $g$ die van $c$ doorloopt, en omgekeerd)*: toon aan dat $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ en $\operatorname{Sym}^2\chi_2 =  \mathbf 1 + \chi_5$, zodat $$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$$ Interpreteer $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ meetkundig via het uitwendige product op $\R^3$.
25. (Slotcontrole van de tafel) Ga numeriek na: [kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) tussen de twee kolommen van $5$ -cykels ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), de waarde $5 =  \abs{Z_{A_5}(c)}$ voor de kolom van $c$ tegen zichzelf, en het verdwijnen van het reguliere [karakter](#def-b3-representations-character) $\sum_i  n_i\chi_i(g) = 0$ op elk van de vier kolommen van de tafel die niet bij de identiteit horen.

**Oplossing van Probleem 5.1.**

**1.** Is $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ met $c_i \in \Z$, dan ligt $\alpha^n$ in het $\Z$-opspansel van $1, \dots, \alpha^{n-1}$, en inductief geldt dat voor elke macht: $\Z[\alpha]$ wordt voortgebracht door $1, \alpha, \dots,
\alpha^{n-1}$. Omgekeerd, zij $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z
g_m$. Schrijf $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ met $M = (m_{ij})
\in M_m(\Z)$: de vector $g = (g_i)$ voldoet aan $(\alpha I - M)g =
0$; vermenigvuldigen met de geadjugeerde matrix geeft $\det(\alpha
I - M)\,g_i = 0$ voor elke $i$, en omdat $1 \in \Z[\alpha]$ een $\Z$-combinatie van de $g_i$ is, volgt $\det(\alpha I - M) = 0$: $\alpha$ is een wortel van de monische $\det(XI - M) \in \Z[X]$.

**2.** Wordt $\Z[\alpha]$ opgespannen door de machten van $\alpha$ tot en met $n-1$ en $\Z[\beta]$ door die van $\beta$ tot en met $m - 1$, dan wordt $\Z[\alpha,\beta]$ opgespannen door de $nm$ producten $\alpha^i\beta^j$ (reduceer elk monoom). De deelringen $\Z[\alpha + \beta]$ en $\Z[\alpha\beta]$ zijn $\Z$-deelmodulen van het eindig voortgebrachte $\Z$-moduul $\Z[\alpha, \beta]$ en dus [eindig voortgebracht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#def-b3-modules-free) ($\Z[\alpha,
\beta]$, voortgebracht door $nm$ elementen, is een beeld van $\Z^{nm}$; een deelmoduul trekt terug tot een deelmoduul van $\Z^{nm}$, vrij van rang $\leq nm$ volgens [Stelling 3.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#thm-b3-modules-submodule), en het beeld daarvan brengt voort). Volgens vraag 1 zijn $\alpha + \beta$ en $\alpha\beta$ gehele [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getallen.

**3.** Is $\frac pq$ (in laagste termen) een wortel van een monische gehele veelterm van graad $n$, dan geeft de rationalewortelstelling (werk de noemers weg: $p^n = -q(\cdots)$) dat $q \mid p^n$, dus $q = \pm1$.

**4.** $\chi(g)$ is een som van eenheidswortels ([Propositie 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)), elk een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal (wortel van $X^N - 1$); besluit met vraag 2.

**5.** Voor $h \in G$ is $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in
C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ (want $C$ is een klasse). Volgens Schur is $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$; sporen nemen geeft $\abs
C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$.

**6.** $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) =
\sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ met $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' :
xy = z\}$. Conjugatie met $h$ brengt de oplossingen voor $z$ bijectief naar die voor $hzh^{-1}$: $a$ is dus een [klassefunctie](#def-b3-representations-character) met waarden in $\N$, zodat $S_CS_{C'} =
\sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$. Overal $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ substitueren en de scalairen identificeren geeft $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$.

**7.** Zij $M$ het $\Z$-moduul opgespannen door $1$ en alle producten $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$; volgens vraag 6 reduceert elk zulk product tot een $\Z$-combinatie van $1$ en de $\omega_C$: dus is $M$ [eindig voortgebracht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#def-b3-modules-free), en $\omega_C M
\subseteq M$ voor elke $C$. In het bijzonder is $\Z[\omega_C]
\subseteq M$ [eindig voortgebracht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/3-modulen-over-een-hoofdideaaldomein#def-b3-modules-free) (deelmoduul, als in vraag 2), en maakt vraag 1 van $\omega_C$ een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal.

**8.** Voor een irreducibele $\chi$ van graad $n$:

$$
\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle
= \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)}
= \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)}
= \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .
$$

Elke $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ is een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal (vraag 4), dus is het rechterlid er ook een (vragen 2 en 7); en het is rationaal, dus een geheel getal (vraag 3): $n \mid \abs G$.

**9.** Bézout: $u\abs C + vn = 1$ met $u, v \in \Z$. Dan is

$$
\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} +
v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),
$$

een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal.

**10.** Stel $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ en zij $\alpha =
\chi(g_C)/n$. Alle waarden $\chi(g)$ liggen in $\Q(\zeta_N)$ met $N = \abs G$ (sommen van $N$-de eenheidswortels). Voor $\sigma \in
\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ stuurt $\sigma$ eenheidswortels naar eenheidswortels ($\sigma(\zeta^k) =
\zeta^{ak}$, [Stelling 4.23](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-cyclotomicirred)), zodat $\sigma(\chi(g_C))$ opnieuw een som van $n$ eenheidswortels is: $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$; en $\sigma(\alpha)$ is een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal (het heeft dezelfde [minimaalveelterm](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) als $\alpha$). Het product $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ wordt door de hele [Galoisgroep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-galois) vastgehouden en is dus rationaal ([Stelling 4.21](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-fundamental)(1)), en het is een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal met

$$
0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1
$$

(geen enkele factor verdwijnt: $\sigma(\alpha) = 0$ zou $\alpha =
0$ afdwingen). Dat spreekt vraag 3 tegen. Bijgevolg is $\chi(g_C)
= 0$ of $\abs{\chi(g_C)} = n$, en in het laatste geval is $\rho(g_C)$ scalair ([Propositie 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)).

**11.** [Kolomorthogonaliteit](#thm-b3-representations-orthogonality) ($C \neq \{e\}$): $\sum_i
\chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$, dat wil zeggen $1 + \sum_{i
\geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$. Verdween elk niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ in $g_C$, dan gaf groeperen van de rest naar hun factor $p$:

$$
-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i}
\frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},
$$

een geheel [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) getal — in strijd met vraag 3. Er is dus een niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ en $\chi_i(g_C) \neq
0$; en omdat $\abs C = p^k$ is $\gcd(\abs C, n_i) = 1$, zodat vraag 10 van $\rho_i(g_C)$ een scalair maakt. Nu is $G$ enkelvoudig en niet-abels: $\chi_i$ is trouw ([Oefening 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)), en $Z_i = \{g : \rho_i(g)
\text{ scalair}\}$ is een [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) (het origineel onder $\rho_i$ van de scalairen, die een normale — zelfs centrale — deelgroep van het beeld vormen) die $g_C \neq e$ bevat: dus $Z_i =
G$. Dan is $\rho_i(G)$ abels en trouw, zodat $G$ abels is: tegenspraak. *Geen enkele enkelvoudige niet-abelse groep heeft een conjugatieklasse van priemmachtgrootte $> 1$.*

**12.** Zij $G$ enkelvoudig van orde $p^aq^b$. Is $b = 0$ ($G$ een $p$-groep), dan is $Z(G) \neq \{e\}$ ([Stelling 1.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-pfixed)) normaal, dus $Z(G) = G$: abels. Neem anders een Sylow-$q$-deelgroep $Q$ en $z \in Z(Q)
\setminus\{e\}$ (opnieuw [Stelling 1.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#thm-b3-groups-pfixed)). Dan is $Q
\subseteq Z_G(z)$, zodat de klasse van $z$ grootte $[G : Z_G(z)]$ heeft, een deler van $[G : Q] = p^a$: een macht van $p$. Is die grootte $1$, dan is $z \in Z(G)$: het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) is een niet-triviale [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal), dus $Z(G) = G$, abels. Is ze $p^k >
1$, dan verbiedt vraag 11 dat voor een enkelvoudige niet-abelse $G$. Hoe dan ook is een [enkelvoudige groep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-simple) van orde $p^aq^b$ abels ($\cong \Z/p\Z$).

**13.** Inductie naar $\abs G$ (voor $\abs G = 1$: [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived)). Is $G$ enkelvoudig, dan maakt vraag 12 haar abels en dus [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived). Kies anders een niet-triviale echte [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) $N$: $\abs N$ en $\abs{G/N}$ zijn opnieuw van de vorm $p^{a'}q^{b'}$ en kleiner, dus zijn $N$ en $G/N$ per inductie [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) en is $G$ [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) ([Propositie 1.29](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#prop-b3-groups-derived)). — Bij drie priemgetallen faalt de sleutelstap: de index van een [Sylow-deelgroep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-sylow) is dan geen priemmacht meer, zodat de klasse van een centraal element van een [Sylow-deelgroep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-sylow) geen priemmachtgrootte hoeft te hebben. En falen moet het wel: $A_5$, van orde $2^2\cdot3\cdot5$, is enkelvoudig en niet [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived).

**14.** De klassen en groottes zijn die van [Oefening 1.11](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#exo-b3-groups-11)(a). De $S_5$-klasse van $c$ heeft grootte $24$; bleef ze één $A_5$-klasse, dan zou de telling met [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) en [stabilisator](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ geven, geen geheel getal — concreet heeft $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ orde $5$ en ligt die binnen $A_5$, zodat de $A_5$-klasse van $c$ grootte $60/5 = 12$ heeft: de $S_5$-klasse valt in twee uiteen ($c$ en $c^2$ zijn in $S_5$ alleen door een oneven permutatie geconjugeerd).

**15.** Eén lineair [karakter](#def-b3-representations-character): een [representatie](#def-b3-representations-rep) van graad $1$ factoriseert over $G/D(G)$, en $D(A_5) = A_5$ ($A_5$ is enkelvoudig en niet-abels, en $D(A_5)$ is normaal en niet-triviaal). Dus $n_1 = 1$ en $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 =
59$ met elke $n_i \geq 2$. Beschikbare kwadraten: $4, 9, 16, 25,
36, 49$. Een som van vier ervan gelijk aan $59$: het grootste moet $25$ zijn (met $36$ of $49$ lukt geen enkele combinatie: $36 + 16
+ 4 + 4 = 60$, $36 + 9 + 9 + 4 = 58$, $36 + 16 + 9 + 4 = 65$), en $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (de enige manier: $16 + 16 + 4 = 36$, $25 + 9 + 4 = 38$, $25 + 4 + 4 = 33$): graden $1, 3, 3, 4, 5$.

**16.** $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 +
15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (één [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) — de telling van Burnside), en $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 +
0 + 0) = 2$: $\pi$ bevat het triviale [karakter](#def-b3-representations-character) één keer, en haar andere bestanddeel is één enkel [irreducibel](#def-b3-representations-rep) [karakter](#def-b3-representations-character). Bijgevolg is $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) van graad $4$, met waarden $4, 0, 1, -1, -1$.

**17.** Op de paren houdt een element $\{i,j\}$ vast precies wanneer het $i$ en $j$ vasthoudt of verwisselt: de aantallen zijn $10$ (voor $e$), $2$ ($t = (1\,2)(3\,4)$ houdt $\{1,2\}$ en $\{3,4\}$ vast), $1$ ($(1\,2\,3)$ houdt $\{4,5\}$ vast), $0$ en $0$. Dan is $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 +
15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$: drie irreducibele bestanddelen, elk één keer. En $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 +
20) = 1$ en $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 +
20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$: dus $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 +
\chi$ met $\chi$ [irreducibel](#def-b3-representations-rep) van graad $10 - 1 - 4 = 5$ en waarden $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$.

**18.** Schrijf $a, a'$ voor de waarden van $\chi_2, \chi_3$ in $t$, en $b, b'$ voor die in $s = (1\,2\,3)$; alle vier zijn reëel ($t$ en $s$ zijn met hun inversen geconjugeerd). Kolom $t$ tegen kolom $e$: $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$, dus $a +
a' = -2$; kolom $t$ met zichzelf: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 =
\frac{60}{15} = 4$, dus $a^2 + a'^2 = 2$; en dan geeft $(a + a')^2
= 4 = 2 + 2aa'$ dat $aa' = 1$ en $a = a' = -1$. Kolom $s$ tegen $e$: $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ geeft $b + b' = 0$; en kolom $s$ met zichzelf: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60}{20} = 3$ geeft $b = b' = 0$.

**19.** Kolom $c$ tegen kolom $e$: $1 + 3(x + y) + 4(-1) +
5\cdot0 = 0$, dus $x + y = 1$. Kolom $c$ tegen kolom $c^2$ (verschillende klassen, dus orthogonaal): $1 + xy + yx + 1 + 0 =
0$, dus $xy = -1$. Bijgevolg lossen $x$ en $y$ de vergelijking $T^2 - T - 1 = 0$ op: $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ met $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$. Consistentie: $x^2 + y^2 = (x+y)^2
- 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — in overeenstemming met de identiteit voor de kolom met zichzelf, $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 =
5$. De tafel:

|  | $e$ | $15\,t$ | $20\,s$ | $12\,c$ | $12\,c^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\varphi$ | $\bar\varphi$ |
| $\chi_3$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\bar\varphi$ | $\varphi$ |
| $\chi_4$ | $4$ | $0$ | $1$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $5$ | $1$ | $-1$ | $0$ | $0$ |

**20.** $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 +
12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$, met $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 -
2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$. Net zo is $\langle\chi_2,
\chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) =
\frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$. Deelbaarheid van [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#thm-b3-galois-finitefields): $1, 3, 3,
4, 5$ delen alle $60$. De irrationale waarden $\varphi$ en $\bar\varphi$ zijn het zichtbare verschil met $S_5$: in $S_5$ is elk element geconjugeerd met alle voortbrengers van zijn cyclische groep met hetzelfde cykeltype — in het bijzonder $c \sim c^2$ — wat rationale (zelfs gehele) karakterwaarden afdwingt; in $A_5$ opent de splitsing van de $5$-cykels de deur naar $\Q(\sqrt5)$.

**21.** Een [normaaldeler](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-normal) $N$ is een vereniging van klassen, bevat $e$, en $\abs N \mid 60$. De kandidaatsommen: $1{+}15 = 16$, $1{+}20 = 21$, $1{+}12 = 13$, $1{+}24 = 25$, $1{+}15{+}20 = 36$, $1{+}15{+}12 = 28$, $1{+}15{+}24 = 40$, $1{+}20{+}12 = 33$, $1{+}20{+}24 = 45$, $1{+}12{+}12 = 25$, $1{+}15{+}20{+}12 = 48$, en zo alle echte deelsommen die $1$ bevatten: geen van $13, 16,
21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48$ deelt $60$, en dus blijft alleen $N = \{e\}$ of $N = A_5$ over. Enkelvoudigheid, afgelezen uit vijf getallen. Ook het criterium van vraag 11 is zichtbaar: de klassegroottes $15 = 3\cdot5$, $20 = 4\cdot5$ en $12 = 4\cdot3$ zijn alle samengesteld uit twee priemgetallen — geen enkele klasse van priemmachtgrootte, precies zoals het criterium van Burnside van een [enkelvoudige groep](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-simple) eist.

**22.** Een rotatie van $\R^3$ over een hoek $\theta$ heeft eigenwaarden $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$: spoor $1 +
2\cos\theta$. Voor $\theta = \frac{2\pi}5$ is $2\cos\frac{2\pi}5 =
\frac{\sqrt5 - 1}2$, dus is het spoor $1 + \frac{\sqrt5-1}2 =
\frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$. Het niet-triviale element $\tau$ van $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$, ingang voor ingang op een [karaktertafel](#def-b3-representations-table) toegepast, stuurt [karakters](#def-b3-representations-character) naar [karakters](#def-b3-representations-character) (het verdraagt zich met de definiërende algebra: $\tau\circ\chi$ is het [karakter](#def-b3-representations-character) van de [representatie](#def-b3-representations-rep) die je krijgt door de matrices via $\tau$ op de ingangen over te brengen, of abstract: de [orthogonaliteitsrelaties](#thm-b3-representations-orthogonality) zijn $\Q$-rationaal, dus permuteert $\tau$ hun oplossingen); $\tau$ houdt $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ vast (rationale waarden) en moet dus $\chi_2$ en $\chi_3$ verwisselen: het tweede [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $3$ draagt de toegevoegde waarden, zonder dat er één matrix is berekend. Meetkundig zijn de twee [representaties](#def-b3-representations-rep) de icosaëdrische [werking](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) en haar samenstelling met een uitwendig automorfisme van $A_5$ (conjugatie met een transpositie), dat de twee klassen van $5$-cykels verwisselt.

**23.** Voor $z \in Z(G)$ commuteert $\rho(z)$ met elke $\rho(g)$, dus is volgens het lemma van Schur $\rho(z) =
\lambda\,\mathrm{id}$; en omdat $z$ eindige orde heeft, is $\lambda$ een eenheidswortel en $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n =
n$. Dan is

$$
\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle
= \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2
\geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2
= \abs{Z(G)}\,n^2,
$$

dat wil zeggen $n^2 \leq [G : Z(G)]$. Een niet-abelse groep van orde $8$ ($D_4$ of $Q_8$) heeft vijf [conjugatieklassen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions), dus vijf irreducibele graden met $\sum n_i^2 = 8$; en de enige manier om $8$ als som van vijf kwadraten $\geq 1$ te schrijven is $1 + 1 + 1
+ 1 + 4$: graden $1, 1, 1, 1, 2$. Beide groepen hebben een [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) van orde $2$, en het [karakter](#def-b3-representations-character) van graad $2$ bereikt de gelijkheid: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — de grens is scherp. Voor $A_5$ is $Z =
\{e\}$ en luidt de grens $n^2 \leq 60$: ruimschoots voldaan door $1, 3, 3, 4, 5$ ($25 \leq 60$), zoals het moet, want gelijkheid zou (langs dezelfde keten) afdwingen dat $\chi$ buiten het [centrum](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#ex-b3-groups-actions) verdwijnt.

**24.** Er geldt $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ met $m$ de orde van $g$, dus wordt $\rho(g)$ geannihileerd door $X^m - 1$, die over $\C$ uiteenvalt met enkelvoudige wortels: $\rho(g)$ is diagonaliseerbaar met eenheidswortels $\lambda_1, \dots,
\lambda_n$ als eigenwaarden, in een eigenbasis $(e_i)$. De producten $e_ie_j$ ($i \leq j$) vormen een eigenbasis van $\operatorname{Sym}^2V$ met eigenwaarden $\lambda_i\lambda_j$, en de $e_i \wedge e_j$ ($i < j$) een van $\Lambda^2V$; omdat

$$
\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j
= \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2
= \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,
$$

en de symmetrische som $\sum_i\lambda_i^2$ optelt in plaats van aftrekt, volgen beide formules. Voor $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi,
\bar\varphi)$ op de klassen $(e, (2,2)\text{-},
3\text{-cykels}, c, c^2)$: kwadrateren stuurt de dubbele transposities naar $e$, de drietallige cykels naar drietallige cykels, en de klasse van $c$ op die van $c^2$ en omgekeerd (in $A_5$ is $c^{-1} \sim c$, dus $c^4 \sim c$). Bijgevolg leest $\chi_2(g^2)$ als $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$, en met $\varphi^2 = \varphi + 1$ en $\bar\varphi = 1 - \varphi$:

$$
\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2,
\qquad
\operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .
$$

Dat laatste ontbinden geeft, met de klassegroottes $1, 15, 20, 12,
12$: $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0
+ 12 + 12) = 1$; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 +
30) = 1$; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12)
= 0$; en $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 +
12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$, en net zo voor $\chi_3$. Dus is $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (dimensies $6 =
1 + 5$) en $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensies $9 = 1 + 3 + 5$). Meetkundig: het equivariante isomorfisme $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$, $u \wedge v \mapsto u \times
v$, is precies $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ voor een rotatiegroep; de summand $\mathbf 1$ van het symmetrische kwadraat is de invariante kwadratische vorm $x^2 + y^2 + z^2$, en $\chi_5$ leeft op de vijfdimensionale ruimte van spoorloze symmetrische tensoren (de harmonische kwadratische vormen).

**25.** Kolom van $c$ tegen kolom van $c^2$:

$$
1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi +
(-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,
$$

zoals de orthogonaliteit voor verschillende klassen eist (want $\varphi \bar\varphi = -1$). Kolom van $c$ tegen zichzelf: $1 +
\varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 =
\abs{Z_{A_5}(c)}$. Het reguliere [karakter](#def-b3-representations-character) $\sum_in_i\chi_i$ op de vier kolommen die niet bij de identiteit horen:

$$
1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad
1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,
$$

op de dubbele transposities en de drietallige cykels, en op de klasse van $c$ (die van $c^2$ is haar Galois-toegevoegde):

$$
1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,
$$

met $\varphi + \bar\varphi = 1$. De tafel doorstaat elke controle: het is de [karaktertafel](#def-b3-representations-table) van $A_5$.