---
title: "Volledige ruimten: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass
---

# Hoofdstuk 7 — Volledige ruimten: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

[Volledigheid](#def-b3-complete-complete) — elke Cauchyrij convergeert — is de eigenschap waarmee de analyse objecten *voortbrengt*: vaste punten van contracties, sommen van reeksen, oplossingen van vergelijkingen verkregen als limiet. Dit hoofdstuk brengt de drie grote bestaansmachines van de metrische theorie samen. De *stelling van Baire* laat zien dat een volledige ruimte geen aftelbare vereniging van verwaarloosbare stukken kan zijn, en tovert objecten tevoorschijn ([continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) [nergens differentieerbare functies](#thm-b3-complete-nowherediff)!) uit een redenering die niet veel meer dan tellen is. *Arzelà–Ascoli* bepaalt de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) deelverzamelingen van $\mathcal C(K)$ en is het compactheidswerkpaard van de analyse — de weekendopgave bewijst er de bestaansstelling van Peano voor differentiaalvergelijkingen mee. *Stone–Weierstrass* toont aan dat veeltermen, en veel meer, [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) liggen in $\mathcal C(K)$: benaderen wordt een [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) controle. Onderweg construeren we [vervollediging](#thm-b3-complete-completion) en bewijzen we de voortzettingsstelling voor uniform [continue afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), het dagelijks brood van Hoofdstukken [12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#ch-b3-lp), [13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#ch-b3-hilbert) en [14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/14-de-fouriertransformatie#ch-b3-fouriertransform).

## 7.1 Volledige ruimten, vervollediging, voortzetting

**Definitie 7.1.**

Een metrische ruimte heet *volledig* als elke Cauchyrij convergeert (bachelorjaar 2: $\R^n$ is volledig; $\mathcal C(\intcc01)$ met $\norm\cdot_\infty$ is volledig). Een gesloten deelverzameling van een volledige ruimte is volledig; en een volledige deelverzameling van een willekeurige metrische ruimte is gesloten.

**Bewijs.** Voor de twee uitspraken: een Cauchyrij uit de gesloten $F$ convergeert in $X$, en haar limiet, adherent aan $F$, ligt in $F$; en een in $X$ convergerende rij uit een volledige $A$ is Cauchy, convergeert dus in $A$, en limieten zijn uniek. ∎

**Stelling 7.2 (Voortzetting van uniform continue afbeeldingen).**

Zij $D \subseteq X$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior), $Y$ [volledig](#def-b3-complete-complete), en $f \colon D \to Y$ uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). Dan zet $f$ zich op *precies één* manier voort tot een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\bar f \colon X \to Y$, en $\bar f$ is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity).

**Bewijs.** Eenduidigheid: twee [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) voortzettingen vallen samen op de [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $D$ en dus overal (de verzameling $\{g = h\}$ is gesloten: het origineel van de gesloten diagonaal onder $x\mapsto(g(x),
h(x))$). Bestaan: kies voor $x \in X$ een rij $d_n \to x$ met $d_n
\in D$. De rij $(f(d_n))$ is Cauchy: bij gegeven $\varepsilon$ levert de uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) een $\delta$ met $d(u,v) < \delta
\Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$, en $(d_n)$ is Cauchy. Definieer $\bar f(x) = \lim f(d_n)$; de limiet hangt niet van de gekozen rij af (verweef er twee). $\bar f$ zet $f$ voort (constante rijen) en erft de continuïteitsmodulus: is $d(x, x') <
\delta$, dan geeft benadering van beide door punten van $D$ op afstand $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ in de limiet $d(\bar f(x),
\bar f(x')) \leq \varepsilon$ — $\bar f$ is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). ∎

**Stelling 7.3 (Vervollediging).**

Elke metrische ruimte $X$ bedt zich isometrisch in als [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelverzameling van een [volledige metrische ruimte](#def-b3-complete-complete) $\hat X$, uniek op een isometrie na die $X$ puntsgewijs vasthoudt: haar *vervollediging*.

**Bewijs.** *Bestaan.* Zij $\mathcal X$ de verzameling Cauchyrijen van $X$, met de pseudo-afstand

$$
D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),
$$

waarbij de limiet bestaat omdat $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)}
\leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ de reële rij Cauchy maakt. Stel $\hat X = \mathcal X/{\sim}$, waarbij rijen op $D$-afstand $0$ vereenzelvigd worden; $D$ daalt af tot een afstand. Bed $X$ in via de constante rijen: een isometrie met [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) beeld (een Cauchyrij wordt in $D$ benaderd door de constanten gebouwd op haar eigen termen: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n,
x_k) \to 0$ als $k \to \infty$, wegens de Cauchy-eigenschap). [Volledigheid](#def-b3-complete-complete) van $\hat X$: zij $(\xi^k)$ Cauchy in $\hat X$; kies wegens de dichtheid $x_k \in X$ met $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$; dan is $(x_k)$ Cauchy in $X$ (driehoeksongelijkheid via de $\xi$), definieert het een punt $\xi \in \hat X$, en is $D(\xi^k, \xi)
\leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (de afstand van de constante $x_k$ tot de klasse van $(x_j)_j$ is $\lim_j d(x_k, x_j)$, klein voor grote $k$).

*Eenduidigheid*: twee [vervolledigingen](#thm-b3-complete-completion) $\hat X_1$ en $\hat
X_2$ bevatten $X$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior); de identiteit van $X$, een isometrie, is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en zet zich dus voort tot $\hat X_1 \to \hat X_2$ ([Stelling 7.2](#thm-b3-complete-extension)), nog steeds een isometrie op een [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en dus overal; symmetrisch in de andere richting, en de samenstellingen houden de [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $X$ vast: het zijn de identiteiten. ∎

**Stelling 7.4 (Vast punt van Banach).**

Zij $X$ [volledig](#def-b3-complete-complete) en niet-leeg, en $f \colon X \to X$ een *contractie*: $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ met $k < 1$. Dan heeft $f$ precies één vast punt $x^*$, en convergeert elke [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) ernaartoe, met de expliciete snelheid $d(x_n, x^*) \leq
\frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$.

**Bewijs.** (Bachelorjaar 2 bewees dit; we noteren het argument van twee regels opnieuw, zodat dit hoofdstuk op zichzelf staat.) De [baan](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-action) $x_{n+1} = f(x_n)$ voldoet aan $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1,
x_0)$ en is dus Cauchy (meetkundige reeks); haar limiet $x^*$ is vast ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$) en uniek, want twee vaste punten voldoen aan $d \leq k\,d$. De snelheid: sommeer de meetkundige staart. ∎

**Voorbeeld 7.5 (De identiteit verstoren).**

Zij $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitz met $k < 1$. Dan is $\varphi = \mathrm{id} + g$ een *[homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\R^d$ op $\R^d$*. Injectiviteit, met een kwantitatieve modulus:

$$
\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} -
\norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .
$$

Surjectiviteit is de vastepuntstelling: $\varphi(x) = y$ oplossen betekent $x = y - g(x)$, en $x \mapsto y - g(x)$ is een $k$-contractie van het volledige $\R^d$ — voor elke $y$ bestaat er precies één oplossing $x = \psi(y)$. De getoonde ongelijkheid maakt de inverse $\psi$ lipschitz met constante $\frac1{1-k}$: een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), met expliciete grenzen op beide moduli. Deze onschuldig ogende uitspraak is de motor binnen de inverse-functiestelling ([Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/20-deelvarieteiten-van-rn#ch-b3-submanifolds)): nabij een punt waar $Df$ inverteerbaar is, *is* $f$ een inverteerbare lineaire afbeelding plus een kleine lipschitz-verstoring, en het voorbeeld van vandaag doet de rest. Het kwantificeert ook de numerieke robuustheid: een stelsel dat minder wordt verstoord dan de marge van de inverse, blijft [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived), en de oplossing verschuift met hoogstens $\frac{1}{1-k}$ maal de verstoring.

## 7.2 De stelling van Baire

**Stelling 7.6 (Baire).**

In een [volledige metrische ruimte](#def-b3-complete-complete) is een aftelbare doorsnede van [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior). Gelijkwaardig: is $X =
\bigcup_{n}F_n$ met elke $F_n$ gesloten, dan heeft een zekere $F_n$ een niet-leeg inwendige.

**Bewijs.** Zij $(U_n)$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en open, en $B_0 = B(x_0, r_0)$ een willekeurige open bal; we zoeken een punt van $\bigcap U_n$ in $B_0$. Inductief: omdat $U_{n}$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en open is, snijdt het de open bal $B_{n-1}$ in een [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology), die een gesloten bal $\bar B(x_n, r_n)$ bevat met $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ en $\bar
B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$. De middelpunten vormen een Cauchyrij ($x_m \in B_n$ voor $m \geq n$, en de stralen gaan naar $0$); de limiet $x$ ligt in elke $\bar B(x_n, r_n)$ (geslotenheid), en dus in elke $U_n$ en in $B_0$. Voor de tweede vorm: heeft geen enkele $F_n$ een inwendige, dan zijn de $U_n = X
\setminus F_n$ open en [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior), en ontsnapt een punt van $\bigcap
U_n$ aan $\bigcup F_n = X$: absurd. ∎

**Opmerking 7.7.**

Woordenschat: een verzameling heet *nergens [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior)* als haar [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) een leeg inwendige heeft, en *mager* (van de eerste categorie) als ze een aftelbare vereniging van nergens [dichte verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) is. Baire zegt: *een [volledige metrische ruimte](#def-b3-complete-complete) is niet [mager](#rem-b3-complete-meagre) in zichzelf*, en het complement van een [magere verzameling](#rem-b3-complete-meagre) is [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior). “[Mager](#rem-b3-complete-meagre)” is een begrip van kleinheid dat loodrecht op de maat staat ([Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie#ch-b3-measure) zal [magere verzamelingen](#rem-b3-complete-meagre) van volle maat opleveren), en baireargumenten bewijzen *bestaan door overvloed*: om één object zonder eigenschap P aan te wijzen, toon je aan dat de objecten mét P een [magere verzameling](#rem-b3-complete-meagre) vormen.

**Gevolg 7.8.**

(a) $\R$ is overaftelbaar. (b) $\Q$ is geen aftelbare doorsnede van open deelverzamelingen van $\R$, en een niet-lege [volledige metrische ruimte](#def-b3-complete-complete) zonder geïsoleerde punten is overaftelbaar.

**Bewijs.** (a) Was $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ over een aftelbare verzameling, dan had een zeker singleton een inwendige. (b) Was $\Q =
\bigcap_n V_n$ met $V_n$ open (noodzakelijk [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior), want $\supseteq
\Q$), dan vormen de $V_n$ en de complementen $\R\setminus\{q\}$ met $q \in \Q$ een aftelbare familie [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) met lege doorsnede — in strijd met Baire. Is $X$ [volledig](#def-b3-complete-complete) zonder geïsoleerde punten en aftelbaar, dan toont $X = \bigcup_{x \in
X}\{x\}$ haar als een aftelbare vereniging gesloten verzamelingen met leeg inwendige (geen geïsoleerde punten): opnieuw Baire. ∎

**Stelling 7.9 (De monsters van Weierstrass bestaan).**

Er bestaan [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies op $\intcc01$ die in geen enkel punt differentieerbaar zijn. Sterker: de verzameling $f \in \mathcal
C(\intcc01)$ die zelfs maar in één punt een (eindige) afgeleide hebben, is [mager](#rem-b3-complete-meagre) in $(\mathcal C(\intcc01),
\norm\cdot_\infty)$.

**Bewijs.** Stel voor $n \geq 1$

$$
F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\
\forall h \neq 0 \text{ met } x + h \in \intcc01,\
\abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.
$$

Is $f$ differentieerbaar in $x$, dan is $f \in F_n$ voor zekere $n$: het quotiënt $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ is begrensd voor $\abs h \leq \delta$ (differentieerbaarheid: het gaat naar $\abs{f'(x)}$) en begrensd door $2\norm f_\infty/\delta$ voor $\abs h \geq \delta$. Dus bevat $\bigcup F_n$ alle functies die ergens differentieerbaar zijn, en volstaat het aan te tonen dat elke $F_n$ gesloten is met leeg inwendige.

*Gesloten*: zij $f_k \to f$ uniform met $f_k \in F_n$ en getuigen $x_k \to x$ ([compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact), na extractie). Voor $h$ met $x
+ h \in \intcc01$: kies $h_k \to h$ met $x_k + h_k \in \intcc01$ (bijvoorbeeld $h_k = h + x - x_k$, afgeknipt); dan is $\abs{f(x +
h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim
n\abs{h_k} = n\abs h$, met de uniforme convergentie en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$ in de betrokken punten: dus $f \in F_n$.

*Leeg inwendige*: gegeven $f \in F_n$ en $\varepsilon > 0$ zoeken we een $g$ met $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ en $g
\notin F_n$. Benader eerst $f$ tot op $\varepsilon/2$ door een stuksgewijs affiene $\varphi$ (uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): interpoleer op een fijn rooster), met hellingen begrensd door zekere $M$. Tel er een kleine zaagtand bij op: $g = \varphi +
\frac\varepsilon2\,s_N$, waarbij $s_N(x)$ de $\frac1N$-periodieke zigzag met amplitude $1$ en helling $\pm 2N$ is. In elke $x$ is er aan één kant een willekeurig kleine $h$ waarbij de zaagtand op $[x, x+h]$ een helling $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 =
\pm\varepsilon N$ bijdraagt: het differentiequotiënt van $g$ overschrijdt $\varepsilon N - M > n$ voor grote $N$. Dus is $g
\notin F_n$, op willekeurig kleine uniforme afstand $\leq
\varepsilon$ van $f$. Besluit: $\bigcup F_n$ is [mager](#rem-b3-complete-meagre), en volgens Baire is haar complement — bestaande uit [nergens differentieerbare functies](#thm-b3-complete-nowherediff) — [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\mathcal C(\intcc01)$: zulke functies bestaan *in overvloed*. ∎

## 7.3 Arzelà–Ascoli

Overal is $K$ een *[compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact)* metrische ruimte en $\mathcal
C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$, met $\norm f_\infty = \sup_K
\norm{f(x)}$: een volledige ruimte (uniforme limieten van [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies zijn [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) — bachelorjaar 2).

**Definitie 7.10.**

Een familie $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ heet *equicontinu* als er voor elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ is zodanig dat

$$
d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon
\quad\text{voor \emph{alle} } f \in \mathcal F
$$

(één $\delta$ voor de hele familie — bijvoorbeeld elke familie met een gemeenschappelijke lipschitzconstante of een gemeenschappelijke höldermodulus), en *puntsgewijs begrensd* als $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ voor elke $x$.

**Stelling 7.11 (Arzelà–Ascoli).**

Een deelverzameling $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ is relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) (heeft [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior)) dan en slechts dan als ze [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous) en puntsgewijs begrensd is. In het bijzonder heeft elke [equicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous), puntsgewijs begrensde *rij* een uniform convergente deelrij.

**Bewijs.** ($\Leftarrow$) Zij $(f_k)$ een rij uit $\mathcal F$. Een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) metrische $K$ is *separabel*: voor elke $n$ overdekken eindig veel ballen met straal $\frac1n$ de ruimte $K$ ([Stelling 6.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#thm-b3-topology-metriccompact)); hun middelpunten vormen een aftelbare [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. Haal met de puntsgewijze begrensdheid en Bolzano–Weierstrass achtereenvolgens deelrijen tevoorschijn die in $x_1$ convergeren, daarna ook in $x_2$, enzovoort, en neem de *diagonaaldeelrij* $(g_j)$: die convergeert in elk punt van $D$. De [equicontinuïteit](#def-b3-complete-equicontinuous) tilt dat op tot uniform Cauchy: kies bij gegeven $\varepsilon$ een $\delta$ als in de definitie, overdek $K$ met eindig veel ballen $B(x_i, \delta)$ met $x_i \in D$ ($i
\leq m$), en kies $J$ zo groot dat $\norm{g_j(x_i) -
g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ voor $j, j' \geq J$ en $i \leq m$. Voor willekeurige $x \in B(x_i, \delta)$:

$$
\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)}
\leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)}
+ \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .
$$

Dus is $(g_j)$ uniform Cauchy en convergeert ze in het volledige $\mathcal C(K)$. Elke rij uit $\mathcal F$ heeft dus een convergente deelrij: $\bar{\mathcal F}$ is (rijcompact, en dus volgens [Stelling 6.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#thm-b3-topology-metriccompact)) [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact).

($\Rightarrow$) Is $\bar{\mathcal F}$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact), dan is de puntsgewijze begrensdheid duidelijk (evalueren is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)). Voor de [equicontinuïteit](#def-b3-complete-equicontinuous): overdek $\mathcal F$ met eindig veel ballen $B(f_i, \varepsilon)$ van $\mathcal C(K)$; elke $f_i$ is uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) (Heine, [Gevolg 6.17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#cor-b3-topology-heineborel)), wat een gemeenschappelijke $\delta$ geeft voor $i \leq m$; en dan is voor $f \in B(f_i, \varepsilon)$ en $d(x,y) < \delta$: $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} <
3\varepsilon$. ∎

**Voorbeeld 7.12.**

De gesloten eenheidsbal van $\mathcal C(\intcc01)$ is *niet* [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) ($f_n(x) = x^n$ heeft geen uniform convergente deelrij: de puntsgewijze limiet is discontinu), en inderdaad is $(x^n)$ niet [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous) in $1$. Daartegenover is $\{f : \norm f_\infty
\leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ wél [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): begrensd, [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous) met lipschitzconstante $1$, en gesloten. Ascoli verklaart *waarom* de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) in oneindige dimensie faalt (Riesz, bachelorjaar 2) en wat je moet toevoegen om haar te herstellen: een uniforme continuïteitsmodulus.

## 7.4 Stone–Weierstrass

**Lemma 7.13 (Dini).**

Zij $K$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en $(f_n)$ een *monotone* rij [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) reële functies die *puntsgewijs* naar een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ convergeert. Dan is de convergentie uniform.

**Bewijs.** Zeg $f_n \uparrow f$; stel $g_n = f - f_n \downarrow 0$, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). Bij gegeven $\varepsilon$ stijgen de [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $U_n =
\{g_n < \varepsilon\}$ en overdekken ze $K$ (puntsgewijze convergentie); haal er een eindige deeloverdekking uit: $K =
U_{n_0}$ voor zekere $n_0$ (stijgende familie), dat wil zeggen $0
\leq g_n < \varepsilon$ overal voor $n \geq n_0$. ∎

**Lemma 7.14.**

Er is een rij *veeltermen* $u_n$ met $u_n(t) \to \sqrt t$ uniform op $\intcc01$.

**Bewijs.** Definieer $u_0 = 0$ en $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t -
u_n(t)^2\bigr)$: veeltermen. Per inductie is $0 \leq u_n(t) \leq
\sqrt t$ op $\intcc01$: aangenomen voor $n$, is

$$
\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr)
\Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,
$$

want $\sqrt t + u_n \leq 2$; en $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. Dus is $(u_n(t))$ niet-dalend en begrensd door $\sqrt t$: ze convergeert puntsgewijs, en de limiet $\ell(t)$ voldoet aan $\ell = \ell +
\frac12(t - \ell^2)$, dus $\ell(t) = \sqrt t$, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). Dini ([Lemma 7.13](#lem-b3-complete-dini)) tilt dat op tot uniform. ∎

**Stelling 7.15 (Stone–Weierstrass, reële versie).**

Zij $K$ een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) (hausdorffse) ruimte en $\mathcal A \subseteq
\mathcal C(K, \R)$ een *deelalgebra* (gesloten onder sommen, producten en scalaire veelvouden) die *de constanten bevat* en *de punten scheidt* (voor $x \neq y$ is er een $f \in
\mathcal A$ met $f(x) \neq f(y)$). Dan ligt $\mathcal A$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$.

**Bewijs.** Zij $\bar{\mathcal A}$ de [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior), opnieuw een algebra (producten van uniforme limieten convergeren op begrensde verzamelingen).

*Stap 1: $\bar{\mathcal A}$ is een tralie*, dat wil zeggen gesloten onder $\max$ en $\min$. Omdat $\max(f,g) = \frac{f + g +
\abs{f-g}}2$ en net zo voor $\min$, volstaat het dat uit $f \in
\bar{\mathcal A}$ volgt $\abs f \in \bar{\mathcal A}$: met $M =
\norm f_\infty > 0$ is $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$, en [Lemma 7.14](#lem-b3-complete-sqrt) geeft veeltermen $u_n$ met $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniform; en veeltermen in leden van de algebra (met constante term: de constanten zitten erin) blijven in $\bar{\mathcal A}$.

*Stap 2: interpolatie in twee punten.* Voor $x \neq y$ en $a,
b \in \R$ is er een $g \in \mathcal A$ met $g(x) = a$ en $g(y) =
b$: neem een $h$ die $x$ en $y$ scheidt en stel $g = a + (b -
a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

*Stap 3.* Zij $f \in \mathcal C(K)$ en $\varepsilon > 0$. Kies voor elk paar $x, y$ een $g_{x,y} \in \mathcal A$ met $g_{x,y}(x) = f(x)$ en $g_{x,y}(y) = f(y)$ (stap 2; voor $x = y$ neem je de constante functie $g_{x,x} = f(x)$). Leg $x$ vast: voor elke $y$ bevat de [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $V_y = \{g_{x,y} < f +
\varepsilon\}$ het punt $y$; de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) levert $y_1, \dots,
y_m$ met $K = \bigcup V_{y_j}$, en $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in
\bar{\mathcal A}$ (stap 1) voldoet overal aan $h_x < f +
\varepsilon$, met $h_x(x) = f(x)$. Varieer nu $x$: $W_x = \{h_x >
f - \varepsilon\}$ is open en bevat $x$; haal er $x_1, \dots, x_l$ uit die $K$ overdekken, en $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal
A}$ voldoet aan $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$: dus $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. Bijgevolg is $f \in
\bar{\mathcal A}$. ∎

**Gevolg 7.16.**

(a) (*Weierstrass*) De veeltermen liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\mathcal
C(\intcc ab, \R)$; en de veeltermen in $n$ veranderlijken liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\mathcal C(K, \R)$ voor [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \R^n$. (b) (*Complexe versie*) Is $\mathcal A \subseteq \mathcal
C(K, \C)$ een deelalgebra die de constanten bevat, de punten scheidt en *gesloten is onder toevoeging*, dan ligt ze [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior). (c) (*Trigonometrische versie*) De trigonometrische veeltermen $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in de ruimte van [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periodieke functies met $\norm\cdot_\infty$.

**Bewijs.** (a) De veeltermen vormen een algebra met de constanten; en de coördinaatfuncties scheiden de punten van $\R^n$. (b) De reële en imaginaire delen $\frac{f + \bar f}2$ en $\frac{f
- \bar f}{2\iu}$ van leden van $\mathcal A$ vormen een reële algebra $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ met de constanten; ze scheidt de punten (uit $f(x) \ne f(y)$ volgt dat $\operatorname{Re}f$ of $\operatorname{Im}f$ scheidt). Pas de reële stelling toe en zet weer samen. (c) Beschouw de $2\pi$-periodieke functies als $\mathcal C(S^1,
\C)$ (met $S^1 = \R/2\pi\Z$, [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): [Oefening 6.5](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#exo-b3-topology-5)); de algebra voortgebracht door $\eu^{\iu t}$, $\eu^{-\iu t}$ en de constanten is gesloten onder toevoeging en scheidt de punten van de cirkel ($\eu^{\iu t}$ is er injectief op). Pas (b) toe. ∎

**Opmerking 7.17.**

De trigonometrische versie repareert, en veralgemeent enorm, het gat dat het fourierhoofdstuk van bachelorjaar 2 openliet: de dichtheid van de trigonometrische veeltermen in $(\mathcal C(S^1),
\norm\cdot_2)$ volgt er a fortiori uit ($\norm\cdot_2 \leq
\norm\cdot_\infty$ op de normeringsconstante na), wat van het fouriersysteem in [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#ch-b3-hilbert) een orthonormale *basis* zal maken en Parseval eindelijk in volle algemeenheid zal bewijzen.

## 7.5 Oefeningen

**Oefening 7.1 ★.**

(a) Toon aan dat $\mathcal C(\intcc01, \R)$ met $\norm f_1 =
\int_0^1\abs f$ *niet* [volledig](#def-b3-complete-complete) is: de functies $f_n$ die gelijk zijn aan $0$ op $\intcc0{\frac12}$ en aan $1$ op $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$, en daartussen affien, zijn $\norm\cdot_1$-Cauchy zonder [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) limiet. (b) Toon aan dat een genormeerde ruimte waarin elke absoluut convergente reeks convergeert, [volledig](#def-b3-complete-complete) is. *(Haal uit een Cauchyrij een deelrij met $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq
2^{-k}$.)*

**Oplossing van Oefening 7.1.**

(a) Voor $m \geq n$ verdwijnt $f_n - f_m$ buiten een interval van lengte $\frac1n$ en is ze begrensd door $1$: $\norm{f_n - f_m}_1
\leq \frac1n \to 0$, dus Cauchy. Was $f_n \to f$ in $\norm\cdot_1$ met $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), dan is voor een vaste $\alpha <
\frac12$: $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f - f_n
+ f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ (want $f_n
\equiv 0$ daar voor grote $n$), dus $f \equiv 0$ op $[0,
\frac12)$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)); en net zo $f \equiv 1$ op $(\frac12,
1]$: geen [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functie doet beide. De ruimte is dus onvolledig — de [vervollediging](#thm-b3-complete-completion) is $L^1$, gebouwd in [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#ch-b3-lp).

(b) Zij $(x_n)$ Cauchy; kies $n_1 < n_2 < \cdots$ met $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$. De reeks $\sum_k
(x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ convergeert absoluut en dus; haar partiële sommen zijn $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$, dus convergeert $(x_{n_k})$, en een Cauchyrij met een convergente deelrij convergeert.

**Oefening 7.2 ★.**

Met Baire: (a) toon aan dat een volledige genormeerde ruimte geen aftelbare ([algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic)) basis heeft — leid af dat de ruimte van de veeltermen voor *geen enkele* norm [volledig](#def-b3-complete-complete) is; (b) toon aan dat als een rij [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f_n \colon \R \to \R$ puntsgewijs naar $f$ convergeert, de verzameling continuïteitspunten van $f$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) is. *(Voor (b): neem aan of bewijs dat $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_x f <
\delta\}$ open is, en toon aan dat ze [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) is met behulp van $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\ \forall n,m
\geq N\}$, gesloten verzamelingen die $\R$ overdekken; werk in een willekeurige gesloten bal om Baire toe te passen.)*

**Oplossing van Oefening 7.2.**

(a) Stel dat $E$ [volledig](#def-b3-complete-complete) is met [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) basis $(e_n)_{n\in\N}$, en stel $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_n)$: gesloten (eindigdimensionale deelruimten zijn [volledig](#def-b3-complete-complete) en dus gesloten — bachelorjaar 2), met leeg inwendige: was $B(x, r)
\subseteq F_n$, neem dan $v \notin F_n$; dan is $x + \frac{r}{2\norm
v}v \in B(x,r) \setminus F_n$, absurd. Maar $E = \bigcup F_n$ (elke vector is een eindige combinatie): in strijd met Baire ([Stelling 7.6](#thm-b3-complete-baire)). De ruimte $\R[X]$ heeft de aftelbare basis $(X^n)$, dus maakt geen enkele norm haar [volledig](#def-b3-complete-complete).

(b) Leg $\delta > 0$ en een niet-lege open bal $B$ vast; we zoeken in $B$ een punt van $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf <
\delta\}$, waarbij $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni
x}\operatorname{diam} f(V)$. ($\Omega_\delta$ is open: is $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ voor een open $V \ni x$, dan heeft elke $y \in V$ oscillatie $< \delta$.) De verzamelingen

$$
F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\
\ \forall\, n, m \geq N \bigr\}
$$

zijn gesloten (doorsneden van originelen van gesloten verzamelingen) en overdekken $\R$ (de puntsgewijze convergentie maakt $(f_n(x))$ Cauchy). Baire toegepast binnen de volledige $\bar B$: een zekere $F_N \cap \bar B$ bevat een bal $B' = B(x_0,
\rho)$. Laat $m \to \infty$ gaan: $\abs{f_N - f} \leq
\frac\delta3$ op $B'$. Krimp wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f_N$ in $x_0$ tot een $B'' \ni x_0$ waar $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq
\frac\delta3$; dan is voor $x \in B''$

$$
\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) -
f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:
$$

dus $\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$ en $x_0 \in
\Omega_{3\delta} \cap B$. Elke $\Omega_\delta$ is dus open en [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior), en $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — de verzameling continuïteitspunten — is [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) volgens Baire.

**Oefening 7.3 ★★.**

(a) Toon aan dat $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ (met $a
> 1$) een contractie van $[\sqrt a, +\infty)$ is en bepaal haar vaste punt — de methode van Heron. Schat het aantal iteraties voor een nauwkeurigheid $10^{-12}$ vanaf $x_0 = a$, voor $a = 2$. (b) (Vergelijking van Kepler) Toon aan dat voor $0 \leq e < 1$ en $m \in \R$ de vergelijking $x = m + e\sin x$ precies één oplossing heeft, die [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $m$ afhangt.

**Oplossing van Oefening 7.3.**

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ beeldt $[\sqrt a, \infty)$ op zichzelf af (ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$), en daar is $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$: een $\frac12$-lipschitz contractie van een gesloten (dus volledige) verzameling. Vast punt: $x = f(x) \iff x^2 = a$, dus $x^* = \sqrt
a$. Snelheid ([Stelling 7.4](#thm-b3-complete-banach)): $d(x_n, \sqrt a)
\leq 2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$. Voor $a = 2$ en $x_0 = 2$ is $d(x_1,
x_0) = \frac12$, dus garandeert $n = 40$ dat $2^{-40} <
10^{-12}$. (In werkelijkheid convergeert de methode van Newton kwadratisch: een handvol iteraties volstaat; de contractieschatting is pessimistisch maar gratis.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ is $e$-lipschitz met $e < 1$ op het volledige $\R$: dus precies één vast punt $x(m)$. Voor twee parameters:

$$
\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))}
\leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},
$$

dus $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$: zelfs lipschitz in $m$.

**Oefening 7.4 ★★.**

(a) Zij $X$ [volledig](#def-b3-complete-complete) en $f \colon X \to X$ zodanig dat een zekere iteratie $f^p$ een contractie is. Toon aan dat $f$ precies één vast punt heeft. Toepassing: de integraaloperator $T$ op $\mathcal
C(\intcc0a)$, $Tf(x) = \int_0^x f$, voldoet aan $\norm{T^p} \leq
a^p/p!$ — leid af dat $u = g + \lambda Tu$ voor elke $\lambda$ [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) is. (b) (Edelstein) Zij $K$ *[compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact)* en $f\colon K \to K$ met $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ voor $x \neq y$. Toon aan dat $f$ precies één vast punt heeft, maar dat het contractietempo verloren kan gaan: op $X = [1, +\infty)$ ([volledig](#def-b3-complete-complete), niet [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact)) heeft $f(x) = x + \frac1x$ geen vast punt, hoewel de afstanden strikt afnemen.

**Oplossing van Oefening 7.4.**

(a) Zij $x^*$ het unieke vaste punt van $f^p$. Dan is $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$: $f(x^*)$ is een vast punt van $f^p$, dus $f(x^*) = x^*$. Een vast punt van $f$ is er een van $f^p$: de eenduidigheid draagt over. Voor $T$: per inductie is $\abs{T^pf(x)} \leq \norm f_\infty x^p/p!$ (elke integratie voegt een factor $\frac xk$ toe), dus $\norm{T^p} \leq a^p/p!$. De afbeelding $S(u) = g + \lambda Tu$ voldoet aan $S^p(u) - S^p(v) =
\lambda^pT^p(u - v)$, met norm $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u
- v} \to 0$: een zekere $S^p$ is een contractie, en $S$ heeft precies één vast punt: de vergelijking van Volterra $u = g +
\lambda Tu$ is voor *elke* $\lambda$ eenduidig [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived).

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K$: ze bereikt haar minimum in een zekere $x_0$. Was $f(x_0) \neq x_0$, dan is $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) =
\min\varphi$: absurd. Eenduidigheid: twee vaste punten $x \ne y$ zouden $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ geven. Zonder [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): $f(x) = x + \frac1x$ op $[1, \infty)$ voldoet voor $x
< y$ aan $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) < y -
x$, en toch is altijd $f(x) > x$: geen vast punt — een strikte afname van de afstanden is zwakker dan een uniforme contractiefactor.

**Oefening 7.5 ★★.**

(a) Twee [continue afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) naar een [hausdorffruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-hausdorff) die op een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelverzameling samenvallen, vallen overal samen; waar is dat in dit hoofdstuk gebruikt? (b) Zij $D \subseteq X$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en $f \colon D \to Y$ een isometrische bijectie op een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelverzameling van een volledige $Y$, met $X$ [volledig](#def-b3-complete-complete). Toon aan dat $f$ zich voortzet tot een isometrische bijectie $X \to Y$. Leid daaruit opnieuw de eenduidigheid van de [vervollediging](#thm-b3-complete-completion) af.

**Oplossing van Oefening 7.5.**

(a) De verzameling $A = \{g = h\}$ is het origineel van de diagonaal $\Delta_Y$ onder de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto (g(x), h(x))$; en $\Delta_Y$ is gesloten omdat $Y$ [Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-hausdorff) is (voor $y_1 \neq
y_2$ geven disjuncte open [omgevingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) een open blok rond $(y_1,
y_2)$ dat de diagonaal mijdt, zodat het complement van $\Delta_Y$ open is): dus is $A$ gesloten, bevat het een [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en is het gelijk aan $X$. Gebruikt: de eenduidigheid in [Stelling 7.2](#thm-b3-complete-extension), en daarmee in de eenduidigheid van de [vervollediging](#thm-b3-complete-completion).

(b) $f$ is een isometrie en dus uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): ze zet zich voort tot $F\colon X \to Y$ ([Stelling 7.2](#thm-b3-complete-extension)), nog steeds isometrisch (de betrekking $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ geldt op een [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) paren en beide leden zijn [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)). Net zo zet $f^{-1}\colon f(D) \to X$ zich voort tot $G
\colon Y \to X$. De samenstelling $G \circ F$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en houdt de [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $D$ vast: ze is $\mathrm{id}_X$ (onderdeel (a)); en symmetrisch is $F \circ G = \mathrm{id}_Y$. Dus is $F$ een isometrische bijectie. Eenduidigheid van de [vervollediging](#thm-b3-complete-completion): pas dit toe op $D = X$, [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) gelegen in twee [vervolledigingen](#thm-b3-complete-completion).

**Oefening 7.6 ★★.**

Welke van de volgende families zijn [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous), puntsgewijs begrensd, relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) in $\mathcal C(\intcc01)$?

$$
\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad
\{x \mapsto x^n\}_n,
$$

$$
\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\
\norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad
\{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.
$$

Verantwoord elk antwoord met Ascoli of met een tegenvoorbeeldrij.

**Oplossing van Oefening 7.6.**

$\{\sin(nx)\}$: puntsgewijs begrensd door $1$; *niet* [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous): in $x = 0$ is $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ met $\frac\pi{2n} \to 0$, wat elke gemeenschappelijke $\delta$ voor $\varepsilon = \frac12$ schendt. Niet relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) (de noodzakelijkheid in Ascoli, [Stelling 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)).

$\{x^n\}$: begrensd; niet [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous) in $1$: $1 - (1 - \delta)^n
\to 1$ als $n \to \infty$ voor vaste $\delta$. Niet relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) — en consistent daarmee is haar puntsgewijze limiet discontinu, zodat geen enkele deelrij uniform convergeert.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$: de middelwaardeongelijkheid maakt de familie $1$-lipschitz en dus [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous); begrensd: relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) volgens Ascoli. (Niet [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact): ze is niet gesloten — uniforme limieten hoeven niet $\mathcal C^1$ te zijn; haar [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) bestaat uit de $1$-lipschitz functies met norm $\leq 1$.)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$: [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous); puntsgewijs begrensd ($\abs{f(x)} \leq x \leq 1$); en gesloten onder uniforme limieten (de lipschitzongelijkheid en de waarde in $0$ gaan over op de limiet): [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact).

**Oefening 7.7 ★★★.**

([Compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) integraaloperatoren) Zij $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ en, voor $f \in \mathcal C(\intcc01)$, $Tf(x) =
\int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$. (a) Toon aan dat $T$ de eenheidsbal van $\mathcal C(\intcc01)$ naar een [equicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous), uniform begrensde verzameling stuurt; besluit dat $T$ een *[compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) operator* is: beelden van begrensde verzamelingen zijn relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). (b) Leid af dat voor begrensde $(f_n)$ de rij $(Tf_n)$ een uniform convergente deelrij heeft, en dat $T$ geen bijectie met [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) inverse kan zijn. *(Het beeld van de eenheidsbal zou een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $0$ in $\mathcal C(\intcc01)$ zijn: verboden door de stelling van Riesz uit bachelorjaar 2.)*

**Oplossing van Oefening 7.7.**

(a) Voor $\norm f_\infty \leq 1$ is $\abs{Tf(x)} \leq
\norm k_\infty$, en

$$
\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) -
k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),
$$

waarbij $\omega_k$ een modulus van uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $k$ op het [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) vierkant is (Heine): het beeld van de eenheidsbal is uniform begrensd en [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous), en dus relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) (Ascoli). Wegens de lineariteit heeft elke begrensde verzameling een relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) beeld: $T$ is een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) operator.

(b) De uitspraak over deelrijen is de definitie van relatieve [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact), toegepast op $\{Tf_n\}$. Was $T$ bijectief met [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) inverse, dan is $T(B(0,1)) \supseteq B(0, \varepsilon)$ voor zekere $\varepsilon > 0$ ($T^{-1}$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) in $0$); en dan was de gesloten bal $\bar B(0,\varepsilon)$, een gesloten deelverzameling van de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\overline{T(B(0,1))}$, [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) — onmogelijk in het oneindigdimensionale $\mathcal C(\intcc01)$ volgens de stelling van Riesz (bachelorjaar 2).

**Oefening 7.8 ★★.**

Bewijs of weerleg, voor [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f_n \colon \intcc01 \to \R$: (a) uit $f_n \downarrow 0$ puntsgewijs volgt uniform (Dini — bewijs het opnieuw); (b) hetzelfde zonder monotonie; (c) hetzelfde met monotonie maar met discontinue $f$; (d) hetzelfde met monotonie en [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) limiet, maar op $\intoo01$.

**Oplossing van Oefening 7.8.**

(a) Dini: zie [Lemma 7.13](#lem-b3-complete-dini) — het overdekkingsargument. (b) Onjuist: de bewegende bult $f_n(x) =
\max(0, 1 - \abs{nx - 1})$ gaat puntsgewijs naar $0$ (voor $x > 0$ is $f_n(x) = 0$ zodra $n > 2/x$; en $f_n(0) = 0$), maar $\norm{f_n}_\infty = 1$. (c) Onjuist: $f_n(x) = x^n$ daalt naar de discontinue $\mathbf 1_{\{1\}}$, en $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} =
\sup_{[0,1)} x^n = 1$. (d) Onjuist: $x^n \downarrow 0$ puntsgewijs op het [niet-compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\intoo01$, met $\sup_{(0,1)}x^n = 1$. Elke hypothese van Dini is dus nodig.

**Oefening 7.9 ★★.**

(a) (Momenten leggen vast) Zij $f \in \mathcal C(\intcc01)$ met $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ voor alle $n \in \N$. Toon aan dat $f = 0$. *(Benader $f$ uniform door veeltermen en bereken $\int f^2$.)* (b) Toon aan dat de even veeltermen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) liggen in $\mathcal
C(\intcc01)$ maar *niet* in $\mathcal C(\intcc{-1}1)$; welke hypothese van Stone–Weierstrass faalt daar? (c) Ligt de algebra voortgebracht door $x \mapsto \eu^{\iu x}$ alleen (zonder $\eu^{-\iu x}$) [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\mathcal C(S^1, \C)$? *(Beschouw $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$.)*

**Oplossing van Oefening 7.9.**

(a) Wegens de lineariteit is $\int_0^1 fP = 0$ voor elke veelterm $P$. Kies $P_n \to f$ uniform ([Gevolg 7.16](#cor-b3-complete-weierstrass)): dan is $\int_0^1 f^2 =
\lim\int_0^1 fP_n = 0$, en de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f^2 \geq 0$ met integraal nul verdwijnt identiek.

(b) Op $\intcc01$ vormen de veeltermen in $x^2$ een algebra met de constanten die de punten scheidt ($x \mapsto x^2$ is injectief op $\intcc01$): [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) volgens Stone–Weierstrass. Op $\intcc{-1}1$ neemt $x^2$ in $\pm x$ dezelfde waarde aan, en elke veelterm in $x^2$ ook: een uniforme limiet van zulke functies is even. Convergeerden even functies $g_n$ uniform naar de identiteit, dan was $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ voor alle $x$: absurd — niet [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior). De scheidingshypothese faalt bij de paren $\{x,
-x\}$.

(c) Nee. Voor $f$ in de algebra $\mathcal A$ voortgebracht door de constanten en $\eu^{\iu t}$ — lineaire combinaties van $\eu^{\iu nt}$ met $n \geq 0$ — is $\Lambda(f) =
\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (elke $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$). $\Lambda$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) voor $\norm\cdot_\infty$ ($\abs{\Lambda(f)}\leq 2\pi\norm
f_\infty$), dus verdwijnt $\Lambda$ op $\bar{\mathcal A}$; maar $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$: dus $\eu^{-\iu t} \notin
\bar{\mathcal A}$. (Stone–Weierstrass is niet van toepassing: $\mathcal A$ is niet gesloten onder toevoeging — en die belemmering is precies degene die de theorie van de holomorfe functies in [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/16-holomorfe-functies#ch-b3-holomorphic) zal systematiseren.)

**Oefening 7.10 ★★★.**

(Uniforme begrensdheid, metrische versie) Zij $X$ een [volledige metrische ruimte](#def-b3-complete-complete) en $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ een familie die *puntsgewijs* begrensd is: $\sup_{f \in \mathcal
F}\abs{f(x)} < \infty$ voor elke $x$. Toon aan dat er een niet-lege open $U \subseteq X$ is waarop $\mathcal F$ *uniform* begrensd is: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$. *(Beschouw $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$.)* Dit is de motor achter Banach–Steinhaus in [Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen#ch-b3-banach).

**Oplossing van Oefening 7.10.**

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ is een doorsnede van gesloten verzamelingen: gesloten. De puntsgewijze begrensdheid geeft $X = \bigcup_n F_n$. Baire ([Stelling 7.6](#thm-b3-complete-baire)) levert een $n_0$ met $U =
\mathring F_{n_0} \neq \varnothing$: op $U$ is $\abs f \leq n_0$ voor elke $f \in \mathcal F$ tegelijk.

**Oefening 7.11 ★★.**

($\mathcal C^1$ heeft haar eigen norm nodig) Beschouw op $E =
\mathcal C^1(\intcc01, \R)$ de norm $\norm f_{\mathcal C^1} =
\norm f_\infty + \norm{f'}_\infty$. (a) Toon aan dat $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ [volledig](#def-b3-complete-complete) is *(voor een $\mathcal C^1$-Cauchyrij geldt $f_n \to f$ en $f_n' \to g$ uniform; identificeer $g = f'$ door in $f_n(x) =
f_n(0) + \int_0^xf_n'$ tot de limiet over te gaan)*. (b) Toon aan dat $(E, \norm\cdot_\infty)$ *niet* [volledig](#def-b3-complete-complete) is: geef een uniforme limiet van $\mathcal C^1$-functies die niet differentieerbaar is (bijvoorbeeld gladde benaderingen van $\abs{x - \tfrac12}$). (c) Leid uit (a), (b) en de ideeënkring rond de open-afbeeldingsstelling — of rechtstreeks — af dat geen enkele constante $C$ voldoet aan $\norm{f'}_\infty \leq
C\,\norm f_\infty$ op $E$: geef een rij die dat aantoont. Differentiëren is onbegrensd; dat is de afgrond achter [Stelling 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).

**Oplossing van Oefening 7.11.**

(a) Een Cauchyrij voor $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ is uniform Cauchy, samen met haar afgeleiden: $f_n \to f$ en $f_n' \to g$ uniform, met $f, g$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). Overgaan tot de limiet (de uniforme convergentie laat dat onder de integraal toe) in $f_n(x) = f_n(0)
+ \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ geeft $f(x) = f(0) + \int_0^xg$: $f$ is $\mathcal C^1$ met $f' = g$, en $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to
0$. [Volledig](#def-b3-complete-complete).

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ is een uniforme limiet van $\mathcal C^1$-functies, bijvoorbeeld $h_n(x) = \sqrt{(x -
\frac12)^2 + \frac1n}$ (met $\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ via de toegevoegde grootheid), en toch is $h \notin E$: de supnorm op $E$ is niet [volledig](#def-b3-complete-complete) — haar [vervollediging](#thm-b3-complete-completion) is $\mathcal
C(\intcc01)$.

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ heeft $\norm{f_n}_\infty = 1$ en $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$: er is geen $C$. (Conceptueel: was het differentiëren begrensd voor de supnorm, dan waren de twee normen uit (a)–(b) gelijkwaardig, wat $(E,
\norm\cdot_\infty)$ [volledig](#def-b3-complete-complete) zou maken — in strijd met (b). Die onbegrensdheid is precies waarom generieke [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies nergens differentieerbaar kunnen zijn, [Stelling 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).)

**Oefening 7.12 ★★★.**

(Lemma van Croft) Zij $f\colon\intoo0\infty\to\R$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en stel dat voor elke $x > 0$ geldt $f(nx) \to 0$ als het gehele getal $n
\to \infty$. Toon aan dat $f(t) \to 0$ als $t \to +\infty$. *(Leg $\varepsilon > 0$ vast; de verzamelingen $$F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n
\geq N\}$$ zijn gesloten en overdekken $\intoo0\infty$; Baire in een zeker interval $\intcc ab$ geeft een $N$ en een deelinterval $\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$; en dan overdekken de uitrekkingen $\bigl[na', nb'\bigr]$ met $n \geq N$ een hele [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $+\infty$ zodra $n(b' - a') \geq a'$.)* Waar wordt de hypothese “voor elke $x$” (en niet alleen voor rationale $x$) gebruikt?

**Oplossing van Oefening 7.12.**

Leg $\varepsilon > 0$ vast. Elke $F_N$ is een doorsnede over $n
\geq N$ van originelen van de gesloten $\intcc{-\varepsilon}
\varepsilon$ onder de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto f(nx)$: gesloten. De hypothese zegt dat elke $x > 0$ in een zekere $F_N$ ligt. Baire, toegepast binnen het volledige $\intcc ab$ (met willekeurige $0 <
a < b$), maakt een zekere $F_N$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in een deelinterval; en omdat ze gesloten is, bevat ze een interval $\intcc{a'}{b'}$ met $0 < a' < b'$. Dan overlappen voor elke $n \geq \max(N,
\frac{a'}{b' - a'})$ de intervallen $\intcc{na'}{nb'}$ en $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ elkaar (want $nb' \geq (n+1)a'$), dus

$$
\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq
\intco{n_0a'}{+\infty},
$$

en elke $t \geq n_0a'$ is $t = nx$ met $n \geq N$ en $x \in
\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$: dus $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$. Bijgevolg is $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ voor elke $\varepsilon$: $f \to 0$. De volledige hypothese is nodig omdat $F_N$ een heel interval aan $x$-waarden moet *overdekken* — met alleen rationale $x$ is de vereniging van de $F_N$ aftelbaar en geeft Baire niets; en inderdaad bestaan er [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) tegenvoorbeelden die langs alle rationale stralen verdwijnen maar niet in het oneindige.

## 7.6 Probleem: de bestaansstelling van Peano

**Probleem 7.1.**

Weekendopgave — bestaan van oplossingen van $x'
= f(t, x)$ zonder Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (bachelorjaar 2; opnieuw bewezen in [Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/19-gewone-differentiaalvergelijkingen#ch-b3-ode)) eist dat $f$ lipschitz is in $x$. Peano (1890): *de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$ levert al het bestaan* — zij het niet de eenduidigheid. Wij bewijzen het met eulerpolygonen en Ascoli. Kader: $f \colon R \to \R^d$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op de rechthoek $R
= \intcc{t_0 - a}{t_0 + a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq
\R\times\R^d$, $M = \sup_R\norm f$, en

$$
T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr)
\qquad (\text{is } M = 0 \text{, dan is het probleem triviaal}).
$$

**Deel I — Eulerpolygonen.** Verdeel voor $n \geq
1$ het interval $[t_0, t_0 + T]$ door $t_k = t_0 + kT/n$ ($0 \leq
k \leq n$) en definieer $\varphi_n$ stuksgewijs affien: $\varphi_n(t_0) = x_0$ en, op $[t_k, t_{k+1}]$,

$$
\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t -
t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).
$$

1. Toon met inductie aan dat $\varphi_n$ goed gedefinieerd is, met $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ op $[t_0, t_0 + T]$ — zodat de evaluatiepunten in $R$ blijven. *(Hier komt $T \leq b/M$ binnen.)*
2. Toon aan dat elke $\varphi_n$ $M$ -lipschitz is.
3. Leid uit Arzelà–Ascoli ( [Stelling 7.11](#thm-b3-complete-ascoli) ) af dat een deelrij $(\varphi_{n_j})$ uniform op $[t_0, t_0 + T]$ naar een zekere $\varphi$ convergeert, zelf $M$ -lipschitz met $\varphi(t_0) = x_0$ .

**Deel II — De limiet lost de vergelijking op.** Definieer het *defect* $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) -
f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ in de punten buiten het rooster.

4. Toon aan dat $f$ uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is op $R$ , en leid af: voor elke $\varepsilon > 0$ is er een $n_0$ zodanig dat voor $n \geq n_0$ en elke $t$ buiten het rooster $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . *(Op $(t_k,  t_{k+1})$ is $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, en ligt $(t, \varphi_n(t))$ op afstand hoogstens $(1 +  M)\,T/n$ van $(t_k, \varphi_n(t_k))$.)*
5. Stel de integraalvorm op: voor alle $t$ is $$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}  f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s +  \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$$ waarbij de middelste integrand stuksgewijs [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is.
6. Ga langs $(n_j)$ tot de limiet over: toon aan dat $f(s,  \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ *uniform* (opnieuw de uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$), en besluit $$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t  f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$$
7. Leid af dat $\varphi$ $\mathcal C^1$ is op $[t_0, t_0 +  T]$ en $x' = f(t, x)$ met $x(t_0) = x_0$ oplost; en breid de constructie uit tot $[t_0 - T, t_0]$ (tijdomkering). *Dat is de stelling van Peano.*

**Deel III — De eenduidigheid faalt werkelijk.** Beschouw $x' = 2\sqrt{\abs x}$ met $x(0) = 0$, op $\R$.

8. Ga na dat $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is maar op geen enkele [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $0$ lipschitz.
9. Ga na dat $x \equiv 0$ en, voor elke $c \geq 0$, $$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t  \geq c,\end{cases}$$ allemaal oplossingen door $(0,0)$ zijn: een continuüm van verschillende oplossingen.
10. Waar loopt het argument met de picarditeratie (het vaste punt van Banach) vast voor deze $f$ ?

**Deel IV — Grenzen van de methode.**

11. Toon aan dat de stelling van Peano faalt in oneindige dimensie: we nemen het klassieke voorbeeld van Dieudonné in de ruimte $c_0$ van nulrijen zonder bewijs aan; bewijs in plaats daarvan het eindigdimensionale ingrediënt dat daar faalt: de gesloten eenheidsbal van $c_0$ (supnorm) is niet [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) — geef een begrensde rij zonder convergente deelrij, en leg uit welke stap van Deel I breekt.
12. Vat samen: welke hypothesen geven bestaan? En welke bestaan én eenduidigheid? Formuleer de twee stellingen (Peano; Cauchy–Lipschitz) nauwkeurig naast elkaar.

**Deel V — Osgood: eenduidigheid voorbij Lipschitz.** Zij $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en niet-dalend, met

$$
\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty
\qquad(\text{divergentie in } 0),
$$

en stel dat $f$ op $R$ voldoet aan $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq
\omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$.

13. Ga na dat $\omega(r) = Lr$ voldoet (Lipschitz), dat $\omega(r) = r\log\frac1r$ (voor kleine $r$ , [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) voortgezet) voldoet hoewel het *geen* $O(r)$ is, en dat $\omega(r) = 2\sqrt r$ niet voldoet. Bereken de integraal in elk geval.
14. Zij $x_1, x_2$ oplossingen op $[t_0, t_0 + T]$ met $x_1(t_0) = x_2(t_0)$, en $\delta(t) = \norm{x_1(t) -  x_2(t)}$. Toon uitsluitend met de integraalvormen aan dat voor $t_0 \leq s \leq t$ $$\delta(t) \leq \delta(s) +  \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$$
15. (Stelling van Osgood) Stel $\delta(t_1) > 0$ voor zekere $t_1$, en zij $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) = 0\}$. Stel voor $s \in \intoo\tau{t_1}$: $u(t) = \delta(s) +  \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$. Toon aan dat $\delta  \leq u$ en $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$, en leid af dat $$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}  \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$$ Laat $s \downarrow \tau$ gaan en leid een tegenspraak af met de divergentie van de integraal. Besluit: *oplossingen door een gemeenschappelijke beginvoorwaarde vallen samen* — eenduidigheid onder de voorwaarde van Osgood.
16. Trek de gevolgen: de eenduidigheid van Cauchy–Lipschitz is het geval $\omega(r) = Lr$ ; de vergelijking $x' =  x\log\frac1{\abs x}$ (voortgezet met $0$ in $0$ ) heeft eenduidige oplossingen hoewel haar rechterlid in $0$ niet lipschitz is; en voor $x' = 2\sqrt{\abs x}$ is de convergentie van $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ precies wat een oplossing toestaat om $0$ in eindige tijd te verlaten — breng de waarde van de integraal $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ in verband met het ontsnappingsgedrag van $x_c$ .

**Deel VI — Snelheden, schema’s, trechters.**

17. (Integraallemma van Grönwall) Zij $e, \eta \geq 0$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op $[t_0, t_0+T]$ met $e(t) \leq \int_{t_0}  ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ voor alle $t$. Toon aan dat $$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} -  1\bigr)$$ *(stel $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$, merk op dat $G' \leq LG + \sup\eta$, en differentieer $\eu^{-Lt}G(t)$)*.
18. (Euler convergeert met een snelheid) Stel nu dat $f$ $L$-lipschitz is in $x$ en $L'$-lipschitz in $t$ op $R$. Bewijs, door de defectgrens van vraag 4 (kwantitatief gemaakt: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$) met vraag 17 te combineren, dat $$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi}  \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot  \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ waarbij $\varphi$ *de* oplossing is: met lipschitzgegevens convergeert de hele rij, met een expliciete snelheid — geen deelrijen nodig. Waarom tilt de eenduidigheid convergentie langs deelrijen ook zonder deze berekening op tot volledige convergentie?
19. (Het schema kiest) Toon voor $x' = 2\sqrt{\abs x}$ met $x(0) = 0$ aan dat elke eulerpolygoon identiek nul is, zodat het schema naar de oplossing $x \equiv 0$ convergeert; maar gestart in $x(0) = \varepsilon > 0$ convergeert het (eerst $n \to \infty$ , dan $\varepsilon  \to 0$ ) naar $t \mapsto t^2$ , een *andere* oplossing door de oorsprong. De niet-eenduidigheid duikt weer op als gevoeligheid van het numerieke schema voor verstoringen.
20. Toon aan dat de verzameling $\mathcal S$ van *alle* oplossingen van $x' = f(t,x)$ met $x(t_0) = x_0$ op $[t_0,  t_0+T]$ (met waarden in $\bar B(x_0, b)$ ) niet leeg is (Deel II), uniform $M$ -lipschitz, en gesloten in $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; besluit met Ascoli dat $\mathcal  S$ *[compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact)* is. (De stelling van Kneser voegt toe dat $\mathcal S$ [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) is; die bewijzen we niet.)
21. Ga het verschijnsel van Kneser na op het voorbeeld: toon voor $x' = 2\sqrt{\abs x}$ met $x(0) = 0$ op $[0, 1]$ aan dat $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ met $x_\infty \equiv 0$ *(neem voor een willekeurige oplossing $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ en integreer $(\sqrt  x)' = 1$ op $\{x > 0\}$)* , dat $c \mapsto x_c$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is van $\intcc0\infty$ (de [eenpuntscompactificatie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-locallycompact) , met $c =  \infty$ als limiet aangelijmd) naar $\mathcal C([0,1])$ , en besluit dat $\mathcal S$ inderdaad [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) is — een trechter in de vorm van een lijnstuk.
22. (Bereikbare verzamelingen) Leid uit vraag 20 af dat voor elke vaste $t$ de *bereikbare verzameling* $\mathcal  S(t) = \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) is; bereken haar voor het voorbeeld van vraag 21 en ga na dat ze ook [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) is: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — elke tussenliggende toestand wordt door een zekere oplossing bereikt.

**Deel VII — Aanvullingen: afhankelijkheid, optimaliteit, en een schema met de hand berekend.**

23. ([Continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) afhankelijkheid) Stel dat $f$ op $R$ $L$-lipschitz is in $x$, en zij $x, y$ twee oplossingen met beginwaarden $x_0$ en $y_0$ in $t_0$. Pas het bewijs van vraag 17 aan de ongelijkheid $e(t) \leq \norm{x_0 -  y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$ aan en toon aan dat $$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\,  \eu^{L(t - t_0)},$$ en ga op $x' = Lx$ na dat de grens bereikt wordt: Grönwall is scherp. Leid opnieuw de eenduidigheid af ($x_0 = y_0$), en dat de stromingsafbeelding $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ lipschitz is met constante $\eu^{LT}$, overal waar ze gedefinieerd is.
24. (Osgood is optimaal) Zij omgekeerd $\omega$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), niet-dalend en positief op $\intoo0\infty$, met $\omega(r)  \to 0$ als $r \to 0^+$ maar $$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$$ en zet $f(x) = \omega(\abs x)$ voort met $f(0) = 0$. Toon aan dat $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ een stijgende bijectie van $\intoc0{1}$ op $\intoc0{\Omega(1)}$ is, dat haar inverse $g$ de vergelijking $g' = \omega(g)$ met $g(0^+) = 0$ oplost, en dat $g$, met $0$ voortgezet voor $t \leq 0$, een $\mathcal C^1$-oplossing van $x' =  f(x)$ door $(0, 0)$ is die van $x \equiv 0$ verschilt *(voor $g'(0) = 0$: schat $\frac{g(t)}t$ af met $\omega(g(t))$)*. Besluit: de divergentiehypothese van vraag 15 is geen gemak maar de exacte grens van de eenduidigheid; vind Deel III terug uit $\omega(r) = 2\sqrt  r$ en $\Omega(x) = \sqrt x$.
25. (Euler met de hand berekend) Toon voor $x' = x$ met $x(0)  = 1$ op $[0, 1]$ aan dat de eulerpolygoon voldoet aan $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$. Bewijs de ontwikkeling $$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}  = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)  \Bigr),$$ zodat de fout in $t = 1$ gelijk is aan $\frac{\eu}{2n} +  O(n^{-2})$: de snelheid $O(\frac1n)$ van vraag 18, met de exacte constante. Controleer numeriek voor $n = 10$: $1.1^{10} = 2.59374$ tegenover $\eu \approx 2.71828$, een fout $0.12454$, te vergelijken met $\frac{\eu}{20} \approx  0.13591$.

**Oplossing van Probleem 7.1.**

**1.** Inductie naar $k$: is $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0}
\leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$, dan ligt het punt $(t_k,
\varphi_n(t_k))$ in $R$, zodat de helling $f(t_k,
\varphi_n(t_k))$ gedefinieerd is met norm $\leq M$; en dan is voor $t \in [t_k, t_{k+1}]$: $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq
\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq MT
\leq b$.

**2.** Elk affien stuk heeft een helling van norm $\leq M$; en een stuksgewijs affiene functie met hellingen begrensd door $M$ is $M$-lipschitz (ketting via de roosterpunten).

**3.** De familie $(\varphi_n)$ is puntsgewijs begrensd (waarden in $\bar B(x_0, b)$) en [equicontinu](#def-b3-complete-equicontinuous) (gemeenschappelijke lipschitzconstante $M$): Ascoli ([Stelling 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)) haalt er $\varphi_{n_j} \to
\varphi$ uniform op $[t_0, t_0 + T]$ uit. De grenzen gaan over op de limiet: $\varphi$ is $M$-lipschitz met $\varphi(t_0) = x_0$.

**4.** $R$ is [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): dus uniform [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) (Heine, [Gevolg 6.17](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#cor-b3-topology-heineborel)); zij $\delta(\varepsilon)$ een modulus. Voor $t \in (t_k, t_{k+1})$ buiten het rooster is $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, en verschillen de twee evaluatiepunten van $f$ met $\abs{t - t_k}
\leq T/n$ in de tijd en $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq
MT/n$ in de ruimte. Voor $n \geq n_0$ met $(1 + M)T/n_0 <
\delta(\varepsilon)$ is dus $\norm{\Delta_n(t)} \leq
\varepsilon$.

**5.** Op elke $[t_k, t_{k+1}]$ is $\varphi_n$ affien, dus $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}}
\varphi_n'(s)\dd s$, want de afgeleide is de constante helling; sommeren over de stukken (en het laatste bij $t$ afsnijden) geeft $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$. Schrijven we $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (stuksgewijs [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) integranden, met eindig veel sprongen), dan volgt de getoonde formule.

**6.** Bij gegeven $\varepsilon$ is voor grote $j$: $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$, dus $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq
\varepsilon$ voor alle $s$: uniforme convergentie van de integranden, en $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to
\int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$, uniform in $t$. Verder is $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}} \to
0$ (vraag 4). Overgaan tot de limiet in de identiteit van vraag 5 geeft $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\,\dd s$.

**7.** De integrand $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), dus is het rechterlid $\mathcal C^1$ in $t$ met afgeleide $f(t,
\varphi(t))$: $\varphi$ lost het beginwaardeprobleem op $[t_0, t_0
+ T]$ op. Voor de linkerhelft: stel $g(t, x) = -f(2t_0 - t, x)$, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op de gespiegelde rechthoek met dezelfde grens $M$; een oplossing $\psi$ van $y' = g(t,y)$ met $y(t_0) = x_0$ op $[t_0,
t_0 + T]$ levert $\varphi(t) = \psi(2t_0 - t)$, die de oorspronkelijke vergelijking op $[t_0 - T, t_0]$ oplost; en de twee helften verlijmen tot een $\mathcal C^1$-oplossing (beide eenzijdige afgeleiden in $t_0$ zijn $f(t_0, x_0)$). — Dat is de *stelling van Peano*: een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ laat door elke beginvoorwaarde een lokale oplossing toe.

**8.** De [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is duidelijk. Lipschitz nabij $0$ faalt: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$, en $2\sqrt h \leq L h$ is onjuist voor $h < 4/L^2$.

**9.** Voor $t \leq c$ lost $x_c \equiv 0$ op. Voor $t \geq
c$ is $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$. In $t = c$ zijn beide eenzijdige afgeleiden $0$: $x_c$ is $\mathcal C^1$ en lost overal op, met $x_c(0) = 0$ voor elke $c
\geq 0$ — samen met $x \equiv 0$ een continuüm van oplossingen door de oorsprong.

**10.** De picarditeratie stelt $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_0^t
f(x(s))\dd s$ op en heeft $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)} \leq
k\norm{x - y}$ met $k < 1$ nodig op een geschikte bal — wat volgt uit een lipschitzgrens op $f$, onder de integraal overgedragen. Hier laat $\sqrt\cdot$ nabij $0$ geen enkele lipschitzgrens toe, en geen keuze van interval of bal repareert dat. En inderdaad kon geen bewijs van eenduidigheid slagen: de eenduidigheid is *onjuist* (vraag 9).

**11.** In $c_0$ voldoen de eenheidsvectoren $e_n = (0,
\dots, 0, 1, 0, \dots)$ aan $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ voor $n
\neq m$: geen enkele deelrij is Cauchy, dus is de gesloten eenheidsbal niet [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). De stap die breekt is de extractie (vraag 3): Ascoli voor $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ vergt dat de waarden leven in een ruimte waar begrensde verzamelingen relatief [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) zijn — waar in $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), onjuist in $c_0$; puntsgewijze extractie is er niet meer beschikbaar (en inderdaad heeft het voorbeeld van Dieudonné helemaal geen lokale oplossing).

**12.** *Peano*: is $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op een [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) van $(t_0, x_0)$ in $\R\times\R^d$, dan bestaat er een $\mathcal
C^1$-oplossing van $x' = f(t,x)$ met $x(t_0) = x_0$ op een zeker $[t_0 - T, t_0 + T]$. *Cauchy–Lipschitz* ([Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/19-gewone-differentiaalvergelijkingen#ch-b3-ode)): is $f$ bovendien lokaal lipschitz in de veranderlijke $x$, dan is de oplossing *uniek* (twee oplossingen vallen samen op hun gemeenschappelijke interval) — bestaan én eenduidigheid. Het paar $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) =
0)$ scheidt de twee stellingen.

**13.** $\omega(r) = Lr$: $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} =
+\infty$, dus voldoet het. $\omega(r) = r\log\frac1r$ (nabij $0$): $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr] \to
+\infty$ als $r \to 0$, dus voldoet het — en toch is $\omega(r)/r = \log\frac1r \to \infty$: niet lipschitz. $\omega(r) = 2\sqrt r$: $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} =
\bigl[\sqrt r\bigr]_0^1 = 1 < \infty$, dus voldoet het niet.

**14.** Trek de twee integraalvormen van elkaar af:

$$
x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v,
x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,
$$

neem normen en gebruik de modulus van Osgood: $\delta(t) \leq
\delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$.

**15.** $\tau$ is goed gedefinieerd (want $\delta(t_0) = 0$) met $\delta(\tau) = 0$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)) en $\delta > 0$ op $\intoc\tau{t_1}$. Leg $s \in \intoo\tau{t_1}$ vast. Dan is $u$ $\mathcal C^1$ met $u(s) = \delta(s) > 0$, is $u \geq \delta$ op $[s, t_1]$ (vraag 14), en is $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ ($\omega$ is niet-dalend en $u > 0$). Delen en integreren geeft

$$
\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}
= \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s
\leq t_1 - \tau .
$$

Hoewel $u$ van $s$ afhangt, geldt $u(t_1) \geq \delta(t_1)$ voor elke $s$, zodat het linkerlid minstens $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$ is, en dat gaat naar $+\infty$ als $s \downarrow \tau$ (dan is $\delta(s) \to
\delta(\tau) = 0$, en de integraal divergeert in $0$): het begrensde rechterlid wordt tegengesproken. Bijgevolg is $\delta
\equiv 0$: eenduidigheid.

**16.** Lipschitz is $\omega = Lr$: de eenduidigheid is teruggevonden. Voor $x' = x\log\frac1{\abs x}$ voldoet het rechterlid nabij $0$ aan de Osgood-modulus $\omega(r) =
r\log\frac1r$ (middelwaardeongelijkheid op $x \mapsto
x\log\frac1x$, waarvan de afgeleide $\log\frac1x - 1$ onbegrensd is — Lipschitz faalt, Osgood geldt): dus eenduidige oplossingen; en merk op dat $x \equiv 0$ er een is, zodat geen andere oplossing $0$ kan raken. Voor $\omega(r) = 2\sqrt r$ is $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — het “Osgood-budget” om van $0$ naar hoogte $h^2$ te klimmen is precies de tijd $h$, en inderdaad is $x_c(c + h) = h^2$: de oplossing besteedt precies de tijd $h$ aan wat de convergente integraal toestaat. Divergentie van de integraal is de onmogelijkheid om $0$ in eindige tijd te verlaten; convergentie is de ontsnappingsroute.

**17.** $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ is $\mathcal C^1$ met $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ (wegens de hypothese $e \leq G$). Dan is $\bigl(\eu^{-Lt}(G +
\tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta) \leq 0$: de uitdrukking tussen haakjes daalt, dus $G(t) + \frac{\sup\eta}L
\leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) =
\eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$, oftewel $e(t) \leq G(t) \leq
\frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$.

**18.** Kwantitatief defect: op $(t_k, t_{k+1})$ is $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ met $\abs{t - t_k} \leq T/n$ en $\norm{\varphi_n(t) -
\varphi_n(t_k)} \leq MT/n$, dus $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n +
LMT/n$. Trek de integraalidentiteiten voor $\varphi_n$ (vraag 5) en $\varphi$ van elkaar af en gebruik de lipschitzgrens:

$$
\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq
\int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s +
\int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,
$$

en vraag 17 met $\eta = \norm{\Delta_n}$ geeft de aangegeven grens $O(1/n)$, waarbij $\varphi$ uniek is volgens Cauchy–Lipschitz (of Osgood). Ook zonder snelheden: elke deelrij van de equibegrensde en equi-lipschitz rij $(\varphi_n)$ heeft een sub-deelrij die (Ascoli plus Deel II) naar *een* oplossing convergeert, die de eenduidigheid dwingt gelijk te zijn aan $\varphi$; en een rij waarvan elke deelrij een sub-deelrij met dezelfde limiet heeft, convergeert.

**19.** Uit $\varphi_n(t_k) = 0$ volgt met de helling $2\sqrt0 = 0$ dat $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$; per inductie is $\varphi_n \equiv 0$, convergerend naar de nuloplossing. Vanaf $\varepsilon > 0$: op $[\varepsilon', \infty)$ met $\varepsilon' <
\varepsilon$ is de functie $2\sqrt x$ lipschitz, dus is vraag 18 van toepassing en convergeert Euler naar de unieke oplossing door $(0, \varepsilon)$, namelijk $x(t) = (t + \sqrt\varepsilon)^2$ (controle: $x' = 2(t + \sqrt \varepsilon) = 2\sqrt x$). Als $\varepsilon \to 0$ gaat $(t + \sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ uniform op $[0,1]$: de dubbele limiet landt op $x_0(t) = t^2$ en niet op $0$. Een willekeurig kleine verstoring van het beginpunt stuurt het schema van de ene oplossing naar de andere: niet-eenduidigheid gelezen als numerieke instabiliteit.

**20.** Niet leeg: Deel II. Elke oplossing voldoet aan $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$: $\mathcal S$ is uniform $M$-lipschitz en uniform begrensd (waarden in $\bar B(x_0, b)$). Gesloten: convergeert $x_n \in \mathcal S$ uniform naar $x$, ga dan tot de limiet over in $x_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s,
x_n(s))\dd s$ (de integranden convergeren uniform wegens de uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $f$ op de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $R$): dus $x \in
\mathcal S$. Ascoli: $\mathcal S$ is een gesloten, begrensde, [equicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) deelverzameling van $\mathcal C([t_0, t_0+T],
\R^d)$: [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact).

**21.** Elke oplossing is niet-dalend ($x' = 2\sqrt{\abs x}
\geq 0$) met $x(0) = 0$, dus $x \geq 0$. Stel $c = \sup\{t \in
[0,1] : x(t) = 0\}$ (eventueel $c = \infty$ als $x \equiv 0$, en dan is $x = x_\infty$). Voor $t > c$ is $x > 0$ (monotonie plus de definitie van $c$), en daar is $(\sqrt x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} =
1$, dus $\sqrt{x(t)} = t - c$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) in $c$): $x = x_c$. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $c \mapsto x_c$: voor $c, c' \in [0, 1]$ is $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 - (t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (de afbeelding $c \mapsto (t-c)_+^2$ is $2$-lipschitz, uniform in $t \in [0,1]$), en omdat $x_c \equiv 0$ op $[0,1]$ voor elke $c
\geq 1$, herleidt de familie zich tot $\mathcal S = \{x_c : c \in
[0,1]\}$ (met $x_1 = 0 = x_\infty$). Dus is $\mathcal S$ het beeld van het [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) $[0,1]$ onder de [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $c \mapsto x_c$: [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected). De trechter van oplossingen is een [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) lijnstuk dat van $t^2$ (onmiddellijke ontsnapping) tot $0$ (eeuwige rust) loopt.

**22.** De evaluatie $\operatorname{ev}_t\colon \mathcal
C([0,1]) \to \R$, $x \mapsto x(t)$, is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ($\abs{x(t) -
y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$), dus is $\mathcal S(t) =
\operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ een [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) beeld van een [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling: [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) — en van een [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected): [samenhangend](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected). Voor het voorbeeld doorloopt $x_c(t) = (t - c)_+^2$, terwijl $c$ het interval $[0, 1]$ doorloopt, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) alle waarden van $t^2$ (bij $c = 0$) tot $0$ (bij $c \geq t$): dus $\mathcal
S(t) = \intcc0{t^2}$. Op elk tijdstip is de doorsnede van de trechter een vol lijnstuk: tussen rust en maximale ontsnapping wordt elk compromis door een echte oplossing gerealiseerd.

**23.** Trek de integraalvormen $x(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ en haar tegenhanger voor $y$ van elkaar af, en stel $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$ en $d = \norm{x_0 -
y_0}$:

$$
e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).
$$

Dan is $G(t_0) = d$ en $G' = Le \leq LG$, dus $\bigl(\eu^{-L(t -
t_0)}G\bigr)' \leq 0$ en $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$; en bijgevolg $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Scherpte: voor $x' = Lx$ zijn de oplossingen door $x_0$ en $y_0$ gelijk aan $x_0\eu^{L(t - t_0)}$ en $y_0\eu^{L(t-t_0)}$, met afstand precies $d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Met $d = 0$ is $e \equiv 0$: de eenduidigheid van Cauchy–Lipschitz, in twee regels opnieuw afgeleid. En voor vaste $t \in [t_0, t_0 + T]$ is $\norm{x(t; x_0) - x(t; y_0)} \leq
\eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$: de stroming is lipschitz in de beginvoorwaarde — deterministische afhankelijkheid, tegen een beheerste exponentiële prijs.

**24.** Op $\intoc01$ is $\Omega$ goed gedefinieerd (de integraal convergeert in $0$ per hypothese) en $\mathcal C^1$ met $\Omega' = \frac1\omega > 0$: een stijgende bijectie op $\intoc0{\Omega(1)}$, met $\Omega(x) \to 0$ als $x \to 0^+$. Haar inverse $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ is $\mathcal
C^1$ met

$$
g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0,
\qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .
$$

Zet $g$ voort met $0$ voor $t \leq 0$: de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is duidelijk, en in $t = 0$ is voor $t > 0$

$$
\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s
= \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s
\leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0
$$

($\omega$ is niet-dalend, $g$ stijgend, en $\omega(0^+) = 0$): dus $g'(0) = 0 = f(g(0))$, en $g' = f(g)$ geldt aan beide kanten van $0$. Bijgevolg zijn $x \equiv 0$ en $g$ twee verschillende $\mathcal C^1$-oplossingen door $(0, 0)$: convergeert $\int_0\frac{\dd r}{\omega(r)}$, dan faalt de eenduidigheid — de divergentie uit vraag 15 is precies de grens. Voor $\omega(r) =
2\sqrt r$ is $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt
x$ en $g(t) = t^2$, en tijdverschuivingen geven de hele familie $x_c$ uit Deel III.

**25.** Met stap $h = \frac1n$ is $\varphi_n(t_{k+1}) =
\varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$, dus $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ na $n$ stappen. Ontwikkeling:

$$
n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr)
\Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

en na exponentiëren: $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) +
O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$. De fout in $t = 1$ is dus $\eu - \varphi_n(1) = \frac{\eu}{2n} +
O(n^{-2})$: de $O(\frac1n)$ van vraag 18, hier met haar exacte constante $\frac\eu2$. Numeriek voor $n = 10$: $1.1^{10} =
2.5937424601$ ($1.1^2 = 1.21$, $1.1^4 = 1.4641$, $1.1^8 =
2.14358881$, maal $1.21$), en $\eu - 2.59374 \approx 0.12454$ tegenover de asymptotische voorspelling $\frac{\eu}{20} \approx
0.13591$: overeenstemming tot op de correctie $O(n^{-2})$, waarvan de hoofdterm hier de voorspelling naar de waargenomen waarde toe verlaagt.