---
title: "Banachruimten en de fundamentele stellingen"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/8-banachruimten-en-de-fundamentele-stellingen
---

# Hoofdstuk 8 — Banachruimten en de fundamentele stellingen

De functionaalanalyse bestudeert oneindigdimensionale genormeerde ruimten via de operatoren en functionalen die erop leven. Haar stichtende ontdekking is dat *[volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*, via de stelling van Baire, sterke uniformiteit afdwingt: puntsgewijs begrensde families operatoren zijn begrensd in norm (Banach–Steinhaus), [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bijecties hebben [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) inversen (de open afbeelding), en grafieken sporen [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) op (de gesloten grafiek). De andere pijler, *Hahn–Banach*, heeft helemaal geen [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) nodig — alleen het lemma van Zorn — en garandeert dat [duale ruimten](#def-b3-banach-operator) rijk genoeg zijn om elke vector te zien. Dit hoofdstuk bewijst alle vier de stellingen en toetst ze aan de klassieke rijruimten $\ell^p$, aan concrete berekeningen van [duale ruimten](#def-b3-banach-operator), en aan een werkelijk verrassende toepassing: er bestaan [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periodieke functies waarvan de fourierreeks in een punt *divergeert* — waarmee een vraag die bachelorjaar 2 openliet ontkennend wordt beslecht.

Overal zijn $E, F$ genormeerde ruimten over $K = \R$ of $\C$; en *banachruimte* betekent volledige genormeerde ruimte.

## 8.1 Begrensde operatoren; rijruimten

**Definitie 8.1.**

$\mathcal L(E, F)$ noteert de ruimte van de *begrensde* (= [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), bachelorjaar 2) lineaire afbeeldingen, met de *operatornorm* $\vertiii T = \sup_{\norm
x \leq 1}\norm{Tx}$; die is submultiplicatief: $\vertiii{ST} \leq
\vertiii S\,\vertiii T$. De *duale ruimte* is $E' = \mathcal L(E, K)$.

**Propositie 8.2.**

Is $F$ een banachruimte, dan ook $\mathcal L(E, F)$; in het bijzonder is $E'$ altijd een banachruimte.

**Bewijs.** Zij $(T_n)$ Cauchy voor $\vertiii\cdot$. Voor elke $x$ is $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$: dus is $(T_nx)$ Cauchy in $F$ en convergent; noem de limiet $Tx$. $T$ is lineair (limieten van lineaire identiteiten); en overgaan tot de limiet in $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ (voor $n, m
\geq N$) geeft $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$: dus $T_n \to T$ in [operatornorm](#def-b3-banach-operator), en $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} +
\varepsilon < \infty$. ∎

**Definitie 8.3.**

De klassieke rijruimten (over $K$, geïndexeerd door $\N$):

$$
\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n
\abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p <
\infty),
$$

$$
\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},
$$

en $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ met $\norm\cdot_\infty$. Dat $\norm\cdot_p$ een norm is, volgt uit de ongelijkheid van Minkowski, in het discrete geval precies zo bewezen als in [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#ch-b3-lp) (of door de eindigdimensionale ongelijkheid uit bachelorjaar 2 te sommeren). Alle zijn banachruimten, en $c_0$ is een gesloten deelruimte van $\ell^\infty$ ([Oefening 8.3](#exo-b3-banach-3)).

![Eenheidsballen van de p-normen in het vlak, genest naarmate p groeit van 1 (ruit) via 2 (schijf) en 4 (superellips) naar ∈fty (vierkant). De convexiteit van elke bal is de ongelijkheid van Minkowski; en in de hoeken bij p = 1 en p = ∈fty ontaarden strikte convexiteit, de eenduidigheid van beste benaderingen en de gelijkheidsgevallen van tegelijk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg)

*Eenheidsballen van de $p$-normen in het vlak, genest naarmate $p$ groeit van $1$ (ruit) via $2$ (schijf) en $4$ (superellips) naar $\infty$ (vierkant). De convexiteit van elke bal *is* de ongelijkheid van Minkowski; en in de hoeken bij $p = 1$ en $p = \infty$ ontaarden strikte convexiteit, de eenduidigheid van beste benaderingen en de gelijkheidsgevallen van [Oefening 12.12](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/12-de-ruimten-lp#exo-b3-lp-12) tegelijk.*

**Propositie 8.4 (Neumannreeks).**

Zij $E$ een banachruimte en $T \in \mathcal L(E) = \mathcal
L(E,E)$ met $\vertiii T < 1$. Dan is $I - T$ inverteerbaar in $\mathcal L(E)$, met $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergent in [operatornorm](#def-b3-banach-operator)). Bijgevolg is de verzameling inverteerbare operatoren open, en is het inverteren erop [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity).

**Bewijs.** De reeks convergeert absoluut ($\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$, meetkundig) in de banachruimte $\mathcal L(E)$ ([Propositie 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete); [Oefening 7.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)). Telescoperen geeft $(I -
T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$, en net zo aan de andere kant. Voor de openheid: is $S$ inverteerbaar en $\vertiii{H} <
1/\vertiii{S^{-1}}$, dan is $S + H = S(I + S^{-1}H)$ met $\vertiii{S^{-1}H} < 1$: inverteerbaar. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van het inverteren: de reeksuitdrukking geeft lokaal $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$. ∎

**Voorbeeld 8.5 (Een vergelijking van Volterra, met Neumann opgelost).**

Beschouw op $E = \mathcal C(\intcc01)$ de integraalvergelijking

$$
u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t,
\qquad\text{dat wil zeggen}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu,
\quad (Tu)(x) = \int_0^xu .
$$

Hier is $\vertiii T \leq 1$, dus voor $\abs\lambda < 1$ is de [Neumannreeks](#prop-b3-banach-neumann) rechtstreeks van toepassing: $u = (I - \lambda
T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$. Berekenen geeft $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$, dus

$$
u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} =
\eu^{\lambda x} ,
$$

zoals differentiëren bevestigt. Sterker nog: $\vertiii{T^n} \leq
\frac1{n!}$ (de herhaalde kern krimpt faculteitsgewijs), zodat $\sum\lambda^nT^n$ voor *elke* $\lambda$ convergeert — de operator $I - \lambda T$ is inverteerbaar voor alle $\lambda \in
\C$, ook al is $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ vanaf zeker moment: wat telt is het spectrale afnemen van de machten, niet de eerste norm. Volterra-operatoren dragen dat faculteitsgewijze afnemen in zich ([Oefening 7.4](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(a) buitte precies dat uit), en daarom kennen beginwaardeproblemen nooit de resonantieverschijnselen van randwaardeproblemen ([Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/15-compacte-operatoren-en-de-spectraalstelling#ch-b3-spectral)).

## 8.2 Hahn–Banach

**Stelling 8.6 (Hahn–Banach, analytische vorm).**

Zij $E$ een *reële* vectorruimte, $p \colon E \to \R$ *sublineair* ($p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ en $p(tx) = tp(x)$ voor $t \geq 0$), $F \subseteq E$ een deelruimte en $f \colon F
\to \R$ lineair met $f \leq p$ op $F$. Dan zet $f$ zich voort tot een lineaire $\tilde f \colon E \to \R$ met $\tilde f \leq p$ op $E$.

**Bewijs.** *Voortzetting in één stap.* Zij $x_0 \notin F$; we zetten $f$ voort tot $F \oplus \R x_0$ door $\alpha = \tilde f(x_0)$ goed te kiezen: we hebben nodig, voor alle $y \in F$ en $t > 0$,

$$
f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0)
\quad\text{en}\quad
f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),
$$

wat na deling door $t$ (sublineariteit) neerkomt op

$$
\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr]
\;\leq\; \alpha \;\leq\;
\inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].
$$

Zo’n $\alpha$ bestaat precies wanneer elk linkerlid $\leq$ elk rechterlid is: en inderdaad is $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u +
v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$, dat wil zeggen $f(v) - p(v -
x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$.

*Zorn.* Orden de voortzettingen van $f$ die door $p$ gedomineerd worden (paren: deelruimte, functionaal) naar voortzetting; een keten heeft de vereniging als bovengrens; en een maximaal element moet op heel $E$ gedefinieerd zijn, want anders spreekt de voortzetting in één stap de maximaliteit tegen. ∎

**Gevolg 8.7.**

Zij $E$ een genormeerde ruimte ($K = \R$ of $\C$).

1. Elke $f \in F'$ (met $F$ een deelruimte) zet zich voort tot een $\tilde f \in E'$ met $\norm{\tilde f}_{E'} =  \norm f_{F'}$ .
2. Voor elke $x \neq 0$ is er een $f \in E'$ met $\norm f =  1$ en $f(x) = \norm x$ . In het bijzonder scheidt $E'$ de punten van $E$ , en is $\norm x = \sup_{\norm f \leq  1}\abs{f(x)}$ .
3. Voor een gesloten deelruimte $F$ en $x \notin F$ is er een $f \in E'$ die op $F$ verdwijnt, met $f(x) = d(x, F)$ en $\norm f \leq 1$ .

**Bewijs.** (1) Reëel geval: pas [Stelling 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) toe met $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublineair); de voortzetting voldoet aan $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$, dus $\norm{\tilde f} \leq \norm f$, en $\geq$ is de beperking. Complex geval: zij $u = \operatorname{Re}f$, een reële functionaal met $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$; merk op dat $f(x)
= u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (controleer op reëel en imaginair deel: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$). Zet $u$ reëel-lineair voort met dezelfde grens, en stel $\tilde f(x) =
\tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$: die is $\C$-lineair (rechtstreeks na te gaan op vermenigvuldiging met $\iu$) en zet $f$ voort; norm: schrijf voor gegeven $x$ de waarde $\tilde f(x) =
r\eu^{\iu\theta}$, dan is $\abs{\tilde f(x)} = \tilde
f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm
f\,\norm x$.

(2) Definieer op $F = Kx$: $f(tx) = t\norm x$, van norm $1$ op $F$; zet voort met (1). De dualiteitsformule: $\leq$ is duidelijk, en $\geq$ volgt uit deze $f$.

(3) Definieer op $F \oplus Kx$: $f(y + tx) = t\,d(x, F)$; dan is voor $t \neq 0$ $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs
t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$, dus $\norm f \leq 1$ op die deelruimte; zet voort met (1). ∎

**Opmerking 8.8.**

Volgens (2) is de kanonieke afbeelding $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, een isometrie ([Oefening 8.10](#exo-b3-banach-10)): elke genormeerde ruimte zit in haar biduale ruimte. Ruimten waarvoor $J$ surjectief is, heten *reflexief*; de weekendopgave toont aan dat $\ell^p$ ($1 < p < \infty$) [reflexief](#rem-b3-banach-bidual) is en $\ell^1$ niet.

## 8.3 De trilogie van Baire

**Stelling 8.9 (Banach–Steinhaus, uniforme begrensdheid).**

Zij $E$ een *banachruimte*, $F$ genormeerd, en $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ een familie met $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ voor elke $x \in E$. Dan is $\sup_i
\vertiii{T_i} < \infty$.

**Bewijs.** De verzamelingen $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ zijn gesloten (doorsneden van originelen van gesloten ballen) en overdekken $E$. Baire ([Stelling 7.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) geeft een $n_0$ en een bal $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$. Voor $\norm z <
r$ is $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq
2n_0$, dus $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ voor elke $i$. ∎

**Gevolg 8.10.**

Is $E$ een banachruimte en convergeren $T_n \in \mathcal L(E,F)$ *puntsgewijs* ($T_nx \to Tx$ voor elke $x$), dan is $\sup_n
\vertiii{T_n} < \infty$, $T \in \mathcal L(E, F)$ en $\vertiii T
\leq \liminf \vertiii{T_n}$.

**Bewijs.** Convergente rijen zijn begrensd: puntsgewijze begrensdheid; Banach–Steinhaus begrenst de normen door zekere $M$; en dan is $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ($T$ is lineair als puntsgewijze limiet), en de scherpere grens volgt door in $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ tot de $\liminf$ over te gaan. ∎

**Stelling 8.11 (Divergente fourierreeksen).**

Er bestaan [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periodieke functies $f$ waarvan de fourierreeks in $0$ divergeert: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$. Zulke $f$ vormen zelfs een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelverzameling van $\mathcal
C(S^1)$.

**Bewijs.** Werk in $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$, een banachruimte, met de functionalen $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (de dirichletkern, bachelorjaar 2). Elke $\Lambda_N$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) met

$$
\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd
t \;=\; L_N .
$$

($\leq$ is duidelijk; $\geq$: neem een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ met $\norm
f_\infty \leq 1$ die $\operatorname{sign}D_N$ benadert — het teken heeft eindig veel sprongen, en elke sprong afvlakken over een interval van lengte $\varepsilon$ verandert de integraal met $O(N\varepsilon)$.) De *lebesgueconstanten* $L_N$ gaan naar oneindig:

$$
L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}}
\,\dd t
\geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin
u}}{u}\,\dd u
$$

(met $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ op $[0, \pi]$, en daarna de substitutie $u = (N + \tfrac12)t$). Snijden in bogen:

$$
\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u
\geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u =
\frac{2}{k\pi},
\qquad\text{dus}\qquad
L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k
\xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .
$$

Had elke [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ dat $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$, dan dwong Banach–Steinhaus af dat $\sup_N\norm{\Lambda_N} <
\infty$: tegenspraak. Dus heeft een zekere $f$ — zelfs een [niet-magere](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre), [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $f$ (het complement van $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$, een aftelbare vereniging gesloten verzamelingen die wegens het bovenstaande, toegepast in elke bal, geen inwendige hebben en dus [mager](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) is) — dat $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$. ∎

**Stelling 8.12 (Open afbeelding).**

Zij $E, F$ banachruimten en $T \in \mathcal L(E, F)$ *surjectief*. Dan is $T$ open: $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0,
c)$ voor zekere $c > 0$. Bijgevolg heeft een bijectieve begrensde operator tussen banachruimten een begrensde inverse.

**Bewijs.** Schrijf $B = B_E(0,1)$. De surjectiviteit geeft $F = \bigcup_n
\overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$; Baire ([Stelling 7.6](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) geeft $\overline{T(B)}$ een inwendige: een zekere $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$. Hercentreer in $0$: voor $\norm y < 4c$ zijn zowel $y_0 + y$ als $y_0$ limieten van beelden $Tu_k$ respectievelijk $Tv_k$ met $u_k,
v_k \in B$, dus $y = \lim T(u_k - v_k)$ met $u_k - v_k \in 2B$: dus $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$, oftewel $B_F(0, 2c)
\subseteq \overline{T(B)}$.

*De [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) weghalen* (hier komt de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) van $E$ binnen): zij $\norm y < c$. Kies $x_1 \in \frac12 B$ met $\norm{y
- Tx_1} < c/2$ ($B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$, met $\frac12$ geschaald); inductief $x_k \in 2^{-k}B$ met $\norm{y -
T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$. De reeks $\sum x_k$ convergeert absoluut in de banachruimte $E$, naar een $x \in B$ (norm $< \sum 2^{-k} = 1$), en $Tx = y$ wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): dus $B_F(0, c) \subseteq T(B)$. De openheid van $T$ op willekeurige [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) volgt door translatie en schaling; en voor het gevolg: dat $T$ open is, betekent dat $T^{-1}$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is. ∎

**Gevolg 8.13 (Gelijkwaardige normen).**

Is een vectorruimte [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) voor twee vergelijkbare normen ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$), dan zijn de normen gelijkwaardig.

**Bewijs.** De identiteit $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ is begrensd en bijectief tussen banachruimten: haar inverse is begrensd. ∎

**Stelling 8.14 (Gesloten grafiek).**

Zij $E, F$ banachruimten en $T \colon E \to F$ lineair. Is de grafiek $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ gesloten in $E \times F$ (dat wil zeggen: uit $x_n \to x$ en $Tx_n \to y$ volgt $y = Tx$), dan is $T$ begrensd.

**Bewijs.** $E \times F$ met $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ is een banachruimte; $\Gamma$, een gesloten deelruimte, is er ook een. De projectie $\pi_E\colon \Gamma \to E$ is begrensd en bijectief, dus is haar inverse $x \mapsto (x, Tx)$ begrensd ([Stelling 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)): $\norm{Tx} \leq \norm{(x,
Tx)} \leq C\norm x$. ∎

**Methode 8.15.**

Wanneer welke stelling. *Hahn–Banach*: om een functionaal met voorgeschreven gedrag te maken (een vector normeren, op een deelruimte verdwijnen, vanaf een deelruimte voortzetten) — geen [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) nodig. *Banach–Steinhaus*: om puntsgewijze informatie in uniforme grenzen om te zetten — meestal om te tonen dat een limietbewerking [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is, of (contrapositief) om *divergentie* voor een element te bewijzen, zoals bij de fourierreeksen. *Open afbeelding / gesloten grafiek*: om [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) gratis te krijgen uit [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) bijectiviteit of uit een afsluitingseigenschap van de grafiek — typisch gebruik: twee volledige normen vergelijken, of automatische [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bewijzen. Alle drie de bairestellingen vergen [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) *van het vertrekpunt*; anders zijn er tegenvoorbeelden ([Oefening 8.7](#exo-b3-banach-7)).

## 8.4 Duale ruimten, concreet

**Stelling 8.16.**

Isometrisch geldt: $(c_0)' \cong \ell^1$ en $(\ell^1)' \cong
\ell^\infty$, via de paring $\langle x, y\rangle = \sum_n
x_ny_n$.

**Bewijs.** We bewijzen $(c_0)' \cong \ell^1$; de tweede identificatie is [Oefening 8.5](#exo-b3-banach-5). Ken aan $y \in \ell^1$ de functionaal $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ toe (voor $x \in c_0$): absoluut convergent, met $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm
y_1$, dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$. Zij omgekeerd $\Lambda \in (c_0)'$; stel $y_n = \Lambda(e_n)$ (met $e_n$ de eenheidsrijen). Toets voor elke $N$ op $x^{(N)} = \sum_{n \leq N}
\operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (norm $\leq 1$; gebruik in het complexe geval de factoren $\bar y_n/\abs{y_n}$ van modulus $1$): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq
\norm\Lambda$. Dus $y \in \ell^1$ met $\norm y_1 \leq
\norm\Lambda$. Ten slotte is $\Lambda = \Lambda_y$: beide vallen samen op de $e_n$ en dus op de eindige rijen, die [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) liggen in $c_0$ (afknotten: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty =
\sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$, juist omdat $x_n \to 0$); en [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functionalen die op een [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) samenvallen, zijn gelijk. De correspondentie is lineair, bijectief en isometrisch ($\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ uit de twee ongelijkheden). ∎

## 8.5 Oefeningen

**Oefening 8.1 ★.**

Bereken de [operatornormen](#def-b3-banach-operator): (a) van de verschuivingen $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2,
\dots)$ en $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ op $\ell^2$; (b) van de vermenigvuldigingsoperator $M_a x = (a_nx_n)$ op $\ell^2$, voor $a \in \ell^\infty$; (c) van de functionaal $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f -
\int_{1/2}^1f$ op $\mathcal C(\intcc01)$ — toon aan dat $\norm\Lambda = 1$ en dat de norm *niet bereikt* wordt.

**Oplossing van Oefening 8.1.**

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$: $S$ is een isometrie, dus $\vertiii S = 1$. Voor de achterwaartse verschuiving is $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$, met gelijkheid voor $x = e_2$: $\vertiii{S^*} = 1$.

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm
a_\infty^2\norm x_2^2$; en toetsen op $x = e_n$ geeft $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ voor elke $n$: $\vertiii{M_a} =
\norm a_\infty$.

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$, dus $\norm\Lambda \leq 1$. Zij voor $\varepsilon > 0$ de functie $f_\varepsilon$ gelijk aan $1$ op $[0, \frac12 - \varepsilon]$, aan $-1$ op $[\frac12 + \varepsilon, 1]$, en affien daartussen: dan is $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ en $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$, dus $\norm\Lambda
= 1$. Niet bereikt: uit $\Lambda(f) = 1$ met $\norm f_\infty \leq
1$ volgt $\int_0^{1/2}f = \frac12$ en $\int_{1/2}^1 f =
-\frac12$, dat wil zeggen ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en $\abs f \leq 1$) $f
\equiv 1$ op $[0, \frac12]$ en $f \equiv -1$ op $[\frac12, 1]$: tegenspraak in $\frac12$.

**Oefening 8.2 ★.**

Zij $E$ een banachruimte, $T \in \mathcal L(E)$ inverteerbaar, en $S$ met $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$. Toon aan dat $S$ inverteerbaar is en schat $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$. Toepassing: is een lineair stelsel $Tx = b$ [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived) met $T$ inverteerbaar, dan blijft het bij een voldoende kleine verstoring van $T$ eenduidig [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived), met een kwantitatieve grens op de verandering van de oplossing.

**Oplossing van Oefening 8.2.**

Schrijf $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ met $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} =
\theta < 1$: volgens [Propositie 8.4](#prop-b3-banach-neumann) is $S$ inverteerbaar met $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T -
S)\bigr)^nT^{-1}$, waaruit

$$
\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq
\sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}}
= \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.
$$

Voor het lineaire stelsel: $x_T = T^{-1}b$ en $x_S = S^{-1}b$ verschillen hoogstens die grens maal $\norm b$ — kleine verstoringen van een inverteerbaar stelsel blijven eenduidig [oplosbaar](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/1-groepentheorie#def-b3-groups-derived), met lipschitz-afhankelijkheid van de oplossing van de operator.

**Oefening 8.3 ★★.**

(a) Bewijs dat $\ell^1$, $\ell^\infty$ en $c_0$ banachruimten zijn, en dat $c_0$ de [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\ell^\infty$ is van de ruimte van de eindige rijen. (b) Toon aan dat $\ell^p \subseteq \ell^q$ met $\norm\cdot_q \leq
\norm\cdot_p$ voor $1 \leq p \leq q \leq \infty$, en dat de inclusie strikt is.

**Oplossing van Oefening 8.3.**

(a) $\ell^1$: zij $(x^{(k)})$ Cauchy. Elke coördinaat is Cauchy ($\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$); stel $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$. Bij gegeven $\varepsilon$ is voor $k, l \geq K$: $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq
\varepsilon$ voor elke $N$; laat $l \to \infty$ en dan $N \to
\infty$: $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$, en $x = x^{(k)}
- (x^{(k)} - x) \in \ell^1$. $\ell^\infty$: Cauchy voor $\norm\cdot_\infty$ is uniform Cauchy, en convergeert dus uniform naar een begrensde rij. $c_0$ is gesloten in $\ell^\infty$: convergeert $x^{(k)} \to x$ uniform met $x^{(k)}_n \to_n 0$, dan geeft $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty +
\abs{x^{(k)}_n}$ dat $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$: dus $x \in c_0$; en een gesloten deelruimte van een banachruimte is een banachruimte. Eindige rijen: hun [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) bevat elke $x \in
c_0$ (de afknottingen convergeren: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) en ligt binnen het gesloten $c_0$.

(b) Neem wegens de homogeniteit $\norm x_p = 1$: dan is $\abs{x_n} \leq 1$ voor alle $n$, dus $\abs{x_n}^q \leq
\abs{x_n}^p$ en $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$; voor $q = \infty$ geldt $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ rechtstreeks. Striktheid: $x_n =
n^{-\alpha}$ met $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ ligt in $\ell^q
\setminus \ell^p$ (riemannreeksen).

**Oefening 8.4 ★★.**

Zij $F \subseteq E$ een gesloten deelruimte en $x \notin F$. Bewijs met [Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed) de dualiteitsformule

$$
d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\
f\restriction_F = 0\bigr\}
$$

(let op: een *maximum*). Leid af dat $F = \bigcap\{\ker f : f
\in E',\ f\restriction_F = 0\}$: gesloten deelruimten zijn precies de doorsneden van kernen van functionalen.

**Oplossing van Oefening 8.4.**

($\leq$) Is $\norm f \leq 1$ en $f\restriction_F = 0$, dan is voor elke $y \in F$: $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$; neem het infimum. ($\geq$, en bereikt) [Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) levert een $f$ met $f\restriction_F = 0$, $\norm f \leq 1$ en $f(x) = d(x, F)$: het supremum is dus een maximum. Gevolg: $F \subseteq \bigcap\{\ker f
: f\restriction_F = 0\}$ is triviaal, en een punt $x \notin F$ wordt door de bovengenoemde functionaal uit de doorsnede uitgesloten ($f(x) = d(x,F) > 0$, want $F$ is gesloten).

**Oefening 8.5 ★★.**

Bewijs isometrisch dat $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$, volgens het schema van [Stelling 8.16](#thm-b3-banach-duals) (de eindige rijen liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\ell^1$). Waar breekt het argument voor $(\ell^\infty)'$?

**Oplossing van Oefening 8.5.**

Voor $y \in \ell^\infty$ is $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum
x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$, dus $\norm{\Lambda_y} \leq
\norm y_\infty$; en toetsen op $e_n$ geeft $\abs{y_n} =
\abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$: gelijkheid. Stel omgekeerd $y_n = \Lambda(e_n)$ voor $\Lambda \in (\ell^1)'$: dan is $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$, dus $y \in \ell^\infty$; en $\Lambda$ en $\Lambda_y$ vallen samen op de eindige rijen, die [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) liggen in $\ell^1$ ($\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 =
\sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$): dus $\Lambda = \Lambda_y$. De afbeelding $y \mapsto \Lambda_y$ is lineair, isometrisch en surjectief. Voor $(\ell^\infty)'$ levert hetzelfde begin een rij $y_n = \Lambda(e_n)$, maar de eindige rijen liggen *niet* [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\ell^\infty$ (de constante rij $\mathbf 1$ ligt op afstand $1$ van alle), zodat $\Lambda$ niet door de $y_n$ wordt vastgelegd — en inderdaad is $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([Probleem 8.1](#pb-b3-banach-1)).

**Oefening 8.6 ★★.**

Zij $E, F, G$ genormeerd met $E$ een banachruimte, en $B \colon E
\times F \to G$ bilineair en in elke veranderlijke afzonderlijk [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). Toon aan dat $B$ (gezamenlijk) [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is: $\norm{B(x,y)}
\leq C\norm x\norm y$. *(Pas Banach–Steinhaus toe op de familie $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$.)*

**Oplossing van Oefening 8.6.**

Voor elke vaste $x$ is $y \mapsto B(x, y)$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en lineair: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$. Dus is de familie $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (elk lid [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) in $x$) puntsgewijs begrensd op de banachruimte $E$: Banach–Steinhaus ([Stelling 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) levert een $C$ met $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ voor alle $\norm y \leq 1$; en de homogeniteit in $y$ maakt het af: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm
x\norm y$.

**Oefening 8.7 ★★.**

(a) Vergelijk op $E = \mathcal C(\intcc01)$ de normen $\norm\cdot_\infty$ en $\norm\cdot_1$: de identiteit $(E,
\norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ is begrensd en bijectief, maar haar inverse is onbegrensd. Welke hypothese van [Gevolg 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) faalt? (b) Geef een discontinue lineaire afbeelding van een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelruimte van $\ell^2$ naar $K$ (bijvoorbeeld op de eindige rijen), en leg uit waarom dat de gesloten-grafiekstelling niet tegenspreekt.

**Oplossing van Oefening 8.7.**

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$: de identiteit is begrensd en bijectief. Haar inverse is onbegrensd: $f_n(x) = x^n$ heeft $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ maar $\norm{f_n}_\infty = 1$. Geen tegenspraak met [Gevolg 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms): $(\mathcal
C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ is *niet* [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Oefening 7.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)); het gevolg vergt [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) aan beide kanten.

(b) Op de ruimte $E_0$ van de eindige rijen ([dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\ell^2$) is $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ lineair en onbegrensd ($\varphi(e_n) = n$ met $\norm{e_n}_2 = 1$). De gesloten-grafiekstelling is niet van toepassing: $E_0$ is niet [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — en $\varphi$ heeft geen [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) voortzetting tot $\ell^2$, wat illustreert dat dichtheid zonder uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) machteloos is ([Stelling 7.2](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)).

**Oefening 8.8 ★★★.**

(Hellinger–Toeplitz) Zij $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ lineair (overal gedefinieerd) en *symmetrisch*: $\langle Tx, y\rangle
= \langle x, Ty\rangle$ voor alle $x, y$, met $\langle x, y
\rangle = \sum x_n\bar y_n$. Toon aan dat $T$ begrensd is. *(Gesloten grafiek: als $x_k \to x$ en $Tx_k \to z$, toets dan tegen een willekeurige $y$.)* Moraal: onbegrensde symmetrische operatoren — de hamiltonianen van de kwantummechanica — kunnen nooit op de hele ruimte gedefinieerd worden.

**Oplossing van Oefening 8.8.**

We gaan de hypothese van de gesloten grafiek na. Zij $x_k \to x$ en $Tx_k \to z$ in $\ell^2$. Dan is voor elke $y$:

$$
\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle
= \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle
= \langle Tx, y\rangle,
$$

met de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van het inproduct in elke ingang (Cauchy–Schwarz) en tweemaal de symmetrie. Dus staat $z - Tx$ loodrecht op elke $y$, en in het bijzonder op zichzelf: $z = Tx$. De grafiek is gesloten en $\ell^2$ is een banachruimte: dus is $T$ begrensd ([Stelling 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). Een symmetrische operator die op *heel* $\ell^2$ gedefinieerd is, is dus automatisch begrensd; werkelijk onbegrensde symmetrische operatoren (plaats, impuls, hamiltonianen) moeten op echte [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelruimten leven.

**Oefening 8.9 ★★★.**

(Stelling van Pólya over kwadratuur) Zij voor elke $n$ de regel $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ een kwadratuurregel op $\mathcal C(\intcc01)$ (met $x_{i,n} \in
\intcc01$ en $w_{i,n} \in \R$). Toon aan dat $\Lambda_n(f) \to
\int_0^1f$ voor *elke* [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $f$ dan en slechts dan als: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ voor elke veelterm $P$, en (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$. *(Bereken $\norm{\Lambda_n}$; gebruik Banach–Steinhaus en Weierstrass.)* Ga na dat regels met *positieve* gewichten die exact zijn op de constanten, automatisch aan (ii) voldoen.

**Oplossing van Oefening 8.9.**

Ten eerste is $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$: $\leq$ is de driehoeksongelijkheid; $\geq$ door te toetsen op een stuksgewijs lineaire $f$ met $\norm f_\infty \leq 1$ en $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpoleer lineair tussen de eindig veel knooppunten; waar knooppunten samenvallen, vallen de tekens samen).

($\Rightarrow$) Puntsgewijze convergentie in elke $f$ geeft (i), en puntsgewijze begrensdheid, dus levert Banach–Steinhaus ([Stelling 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) op de banachruimte $\mathcal C(\intcc01)$ de uitspraak (ii).

($\Leftarrow$) Zij $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$. Kies bij gegeven $f$ en $\varepsilon$ een veelterm $P$ met $\norm{f -
P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ ([Gevolg 7.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)); dan is

$$
\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr|
\leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP -
\int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr|
\leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to
\varepsilon .
$$

Positieve gewichten met exactheid op de constanten: $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) =
\int_0^1 1 = 1$ voor regels die exact zijn op de constanten — (ii) geldt dan met constante $1$.

**Oefening 8.10 ★★.**

Toon aan dat $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, een lineaire isometrie is (gebruik [Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2)), en dat ze surjectief is wanneer $\dim E < \infty$. Toon ook aan dat $E$ separabel is zodra $E'$ dat is. *(Kies $x_n$ die een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) rij van $E'$ bijna normeren, en toon aan dat hun gesloten opspansel $E$ is, via [Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3).)*

**Oplossing van Oefening 8.10.**

De lineariteit van $J$ is formeel; en $\norm{J(x)} = \sup_{\norm
f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ volgens [Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2). Is $\dim E = n$, dan is $\dim
E' = n$ (een basis geeft coördinaatfunctionalen), dus $\dim E'' =
n$, en is de injectieve (isometrische) $J$ surjectief. Separabiliteit: zij $(f_n)$ [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $E'$ en kies $\norm{x_n} = 1$ met $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$. Stel $F =
\overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$; was $F \neq E$, neem dan een $g \in E'$ met $g \neq 0$ die op $F$ verdwijnt ([Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3)) en kies $f_{n_k} \to g$:

$$
\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})}
= \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}}
\geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),
$$

dus $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$: tegenspraak. Bijgevolg is $F = E$, en vormen de combinaties van de $x_n$ met rationale (of $\Q + \iu\Q$-)coëfficiënten een aftelbare [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior).

**Oefening 8.11 ★★.**

(Quotiëntruimten) Zij $E$ een banachruimte en $F \subseteq E$ een *gesloten* deelruimte. Definieer op $E/F$

$$
\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .
$$

(a) Toon aan dat dit een goed gedefinieerde *norm* op $E/F$ is (waar komt de geslotenheid van $F$ binnen?), en dat de projectie $\pi \colon E \to E/F$ voldoet aan $\vertiii\pi \leq 1$ en de open eenheidsbal op de open eenheidsbal afbeeldt. (b) Toon aan dat $E/F$ [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) is. *(Gebruik het reekscriterium van [Oefening 7.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b): gegeven klassen $\bar x_k$ met $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$, til elke op tot $x_k \in E$ met $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ en sommeer in $E$.)* (c) Bereken: toon voor $E = c$ (de convergente rijen) en $F =
c_0$ aan dat $c/c_0 \cong K$ isometrisch, via $\bar x \mapsto
\lim_nx_n$.

**Oplossing van Oefening 8.11.**

(a) Goed gedefinieerd: $d(x, F)$ hangt alleen van $\bar x$ af ($x$ over $F$ verschuiven verandert de afstand niet). De homogeniteit en de driehoeksongelijkheid gaan via het infimum over van $\norm\cdot$. De scheiding vergt de geslotenheid: $\norm{\bar x} = 0$ betekent $d(x, F) = 0$, dus $x \in \bar F =
F$, dus $\bar x = 0$. $\vertiii\pi \leq 1$: $\norm{\bar x} \leq
\norm x$. Open bal op open bal: is $\norm{\bar x} < 1$, dan heeft een zekere representant $\norm{x - y} < 1$; en omgekeerd is $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ wegens de normongelijkheid — dus is $\pi$ open, het modelgeval van de open-afbeeldingsstelling.

(b) Zij $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ en til op met $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$: dan is $\sum\norm{x_k} < \infty$, dus convergeert $s = \sum_kx_k$ in de banachruimte $E$ ([Oefening 7.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)), en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $\pi$ geeft $\sum_k\bar x_k = \bar s$: elke absoluut convergente reeks van $E/F$ convergeert, en dat is gelijkwaardig met [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (dezelfde oefening).

(c) De afbeelding $\lambda(x) = \lim_nx_n$ is lineair van $c$ naar $K$ en verdwijnt precies op $c_0$, dus induceert ze een lineaire bijectie $c/c_0 \to K$. Isometrie: $d(x, c_0) =
\abs{\lambda(x)}$ — $\leq$: trek van $x$ de rij $x -
\lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ af, zodat $\lambda(x)\mathbf 1$ overblijft, van norm $\abs{\lambda(x)}$; $\geq$: voor $y \in c_0$ is $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} =
\abs{\lambda(x)}$.

**Oefening 8.12 ★★.**

(Begrensde projecties en gecomplementeerde deelruimten) Zij $E$ een banachruimte en $P \colon E \to E$ lineair met $P^2 = P$ (een [algebraïsche](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) projectie), $V = \operatorname{im}P$ en $W = \ker
P$. (a) Stel dat $P$ begrensd is. Toon aan dat $V$ en $W$ gesloten zijn en dat $E = V \oplus W$ met de ontbinding $x = Px + (x -
Px)$. (b) Stel omgekeerd dat $E = V \oplus W$ met $V$ en $W$ *beide* gesloten, en zij $P$ de projectie op $V$ langs $W$. Toon aan dat $P$ begrensd is. *(Gesloten grafiek: als $x_n
\to x$ en $Px_n \to z$, dan is $z \in V$ en $x_n - Px_n \to x - z
\in W$, en de eenduidigheid van de ontbinding geeft $z = Px$.)* (c) Leid de *gelijkwaardigheid* af: een deelruimte $V$ laat een begrensde projectie toe dan en slechts dan als ze gesloten is en een gesloten [algebraïsch](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/4-lichaamsuitbreidingen-en-galoistheorie#def-b3-galois-algebraic) complement heeft — en merk op (zonder bewijs) dat er gesloten deelruimten zonder die eigenschap bestaan ($c_0$ binnen $\ell^\infty$ is het klassieke voorbeeld): hilbertruimten, waar $V^\perp$ altijd werkt ([Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#ch-b3-hilbert)), zijn de uitzondering, niet de regel.

**Oplossing van Oefening 8.12.**

(a) $W = \ker P$ is gesloten (origineel van $0$ onder een [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)); en $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (immers $Px = x$ precies wanneer $x \in \operatorname{im}P$, met $P^2 =
P$), eveneens gesloten. Elke $x$ splitst als $Px + (x - Px)$ met $Px \in V$ en $x - Px \in W$, en $V \cap W = 0$ (want $x = Px =
0$): dus $E = V \oplus W$.

(b) Het grafiekargument: zij $x_n \to x$ en $Px_n \to z$. Dan is $z \in V$ ($V$ gesloten en $Px_n \in V$) en $x_n - Px_n \to x - z
\in W$ ($W$ gesloten). Dus $x = z + (x - z)$ met $z \in V$ en $x -
z \in W$; en de eenduidigheid van de ontbinding geeft $z = Px$. De grafiek van $P$ is gesloten en $E$ is een banachruimte: dus is $P$ begrensd ([Stelling 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)).

(c) (a) en (b) samen vormen de gelijkwaardigheid. In een hilbertruimte heeft elke gesloten $V$ het gesloten complement $V^\perp$ ([Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/13-hilbertruimten#ch-b3-hilbert)): daar is elke gesloten deelruimte gecomplementeerd. In algemene banachruimten faalt dat — $c_0$ heeft in $\ell^\infty$ geen gesloten complement (de stelling van Phillips, buiten ons gereedschap) — zodat begrensde projecties een voorrecht zijn, en de gesloten-grafiekstelling precies de boekhouding is die meetkundige splitsingen in begrensde operatoren omzet.

## 8.6 Probleem: de dualiteit van de $\ell^p$-ruimten

**Probleem 8.1.**

Weekendopgave — $(\ell^p)' = \ell^q$, reflexiviteit, en het vreemde van $\ell^\infty$

Leg $1 < p < \infty$ vast en zij $q$ de toegevoegde exponent, met $\frac1p + \frac1q = 1$. De paring is overal $\langle x, y\rangle
= \sum_n x_ny_n$.

**Deel I — Hölder en Minkowski voor rijen.**

1. (Ongelijkheid van Young) Toon voor $a, b \geq 0$ aan dat $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , met de concaviteit van $\log$ of door $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ te bestuderen.
2. (Hölder) Leid af dat $\abs{\langle x, y\rangle} \leq  \norm x_p\norm y_q$ voor $x \in \ell^p$ en $y \in \ell^q$ ; bepaal het gelijkheidsgeval.
3. (Minkowski) Leid de driehoeksongelijkheid voor $\norm\cdot_p$ af. *(Schrijf $\abs{x_n + y_n}^p \leq  \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} +  \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ en pas Hölder toe op elke term.)*
4. Bewijs dat $\ell^p$ [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) is en dat de eindige rijen er [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in liggen.

**Deel II — De dualiteit $(\ell^p)' =
\ell^q$.**

5. Toon voor $y \in \ell^q$ aan dat $\Lambda_y(x) = \langle  x, y\rangle$ een $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ definieert met $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , en, door te toetsen op $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (passend afgeknot en genormaliseerd), dat $\norm{\Lambda_y} = \norm  y_q$ .
6. Stel omgekeerd $y_n = \Lambda(e_n)$ voor een gegeven $\Lambda \in (\ell^p)'$ ; toon aan dat $y \in \ell^q$ met $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ *(toets op afknottingen zoals in vraag 5 en laat de afknotlengte groeien)* , en besluit dat $\Lambda = \Lambda_y$ : de afbeelding $y  \mapsto \Lambda_y$ is een isometrisch isomorfisme $\ell^q  \to (\ell^p)'$ .
7. Leid af dat $\ell^p$ *[reflexief](#rem-b3-banach-bidual)* is voor $1 < p <  \infty$ : door de twee dualiteiten samen te stellen komt elk element van $(\ell^p)''$ uit $\ell^p$ ; ga zorgvuldig na dat de samenstelling de kanonieke $J$ is.

**Deel III — $\ell^1$ en $\ell^\infty$ zijn andere beesten.**

8. Toon aan dat $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) en $c_0$ separabel zijn, maar $\ell^\infty$ niet. *(De overaftelbaar vele indicatorrijen van deelverzamelingen van $\N$ liggen paarsgewijs op afstand $1$.)*
9. Leid uit [Oefening 8.10](#exo-b3-banach-10) af dat $(\ell^1)' \cong  \ell^\infty$ maar $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ is *niet* [reflexief](#rem-b3-banach-bidual) . *(Was $(\ell^\infty)'$ gelijk aan $\ell^1$, dan was ze separabel en dus $\ell^\infty$ ook.)*
10. (Een banachlimiet, expliciet) Stel op $\ell^\infty_\R$ : $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Toon aan dat $p$ sublineair is, en dat op de deelruimte $c$ van de convergente rijen $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ voldoet aan $\mathrm{LIM} \leq p$ . Zet met Hahn–Banach voort tot $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ en toon aan: $\mathrm{LIM}$ is positief (uit $x \geq 0$ volgt $\mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), verschuivingsinvariant ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), zet de limiet voort, en voldoet aan $\liminf x \leq  \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
11. Toon aan dat zo’n $\mathrm{LIM}$ , opgevat in $(\ell^\infty)'$ , *niet* van de vorm $\Lambda_y$ is voor enige $y \in \ell^1$ ; besluit opnieuw dat $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . *(Evalueer op de eenheidsrijen $e_n$, en daarna op de constante rij $1$.)*
12. Evalueer $\mathrm{LIM}$ op $(0,1,0,1,\dots)$ , en toon aan dat er geen verschuivingsinvariante *multiplicatieve* voortzetting van de limiet kan bestaan *(beschouw $x = (0,1,0,1,\dots)$ en $x\cdot  Sx$, waarbij $S$ de verschuiving is)* .

**Deel IV — Slot: waarom reflexiviteit ertoe doet.**

13. Toon met [Gevolg 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) en vraag 6 aan dat elke begrensde rij van $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) een deelrij $(x^{(k)})$ heeft die *zwak* convergeert: $\Lambda(x^{(k)})$ convergeert voor elke $\Lambda \in  (\ell^p)'$ . *(Diagonaalextractie over de aftelbaar veel coördinaten; bepaal de zwakke limiet in $\ell^p$ met de uniforme begrensdheid van de normen en Hölder.)* Toon aan de hand van een voorbeeld ( $e_n$ in $\ell^1$ , tegen goed gekozen elementen van $\ell^\infty$ ) aan dat dit in $\ell^1$ faalt: zwakke [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) is een voorrecht van [reflexieve ruimten](#rem-b3-banach-bidual) .

**Deel V — De zwakke [topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) aan het werk, en de verrassing van Schur.** Schrijf $x^{(k)} \rightharpoonup x$ in een genormeerde ruimte $E$ (*zwakke convergentie*) wanneer $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ voor elke $\Lambda \in E'$.

14. Maak de inventaris af: toon isometrisch aan dat $(c_0)'  \cong \ell^1$ , volgens het schema van de vragen 5–6 (wat neemt de plaats van de toetsrijen in?). Stel de keten $c_0  \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ van opeenvolgende [duale ruimten](#def-b3-banach-operator) samen en markeer waar de reflexiviteit faalt.
15. Toon aan dat elke zwak convergente rij van een banachruimte begrensd is: bekijk de $x^{(k)}$ via de kanonieke inbedding $J$ als functionalen op $E'$ en pas Banach–Steinhaus toe ( [Stelling 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) — op welke banachruimte, en waarom is de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) daar beschikbaar?
16. Toon aan dat in $\ell^p$ met $1 < p < \infty$ geldt: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ dan en slechts dan als $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ en $x^{(k)}_n \to x_n$ voor elke coördinaat $n$ *(één richting gebruikt Banach–Steinhaus via de kanonieke inbedding; benader voor de andere $y \in \ell^q$ door eindige rijen)* . Leid af dat $e_k \rightharpoonup 0$ in $\ell^2$ terwijl $\norm{e_k}_2 = 1$ : zwakke limieten kunnen massa verliezen.
17. Toon aan dat de norm zwak onderhalfcontinu is: uit $x^{(k)} \rightharpoonup x$ volgt $\norm x \leq  \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ *(kies een normerende functionaal voor $x$, [Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* .
18. (Radon–Riesz in $\ell^2$ ) Toon aan dat in $\ell^2$ zwakke convergentie samen met convergentie van de normen normconvergentie impliceert *(werk $\norm{x^{(k)} -  x}_2^2$ uit)* . Geef een tegenvoorbeeld voor dezelfde uitspraak zonder de normhypothese.
19. (Schur, stap 1) Zij $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ in $\ell^1$ en stel, uit het ongerijmde, dat $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ langs een deelrij. Toon eerst aan dat $x^{(k)}_n \to 0$ voor elke $n$ (welke functionalen?), en construeer daarna recursief indices $k_1 < k_2 < \cdots$ en gehele getallen $0 = N_0 < N_1 <  N_2 < \cdots$ zodanig dat de massa van $x^{(k_j)}$ zich concentreert op het blok $B_j =  \intoc{N_{j-1}}{N_j}$: $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$
20. (Schur, stap 2) Definieer $y \in \ell^\infty$ door $y_n =  \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ voor $n \in  B_j$ . Toon aan dat $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq  \frac{8\delta}{10}$ en leid een tegenspraak af met $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Besluit de *stelling van Schur* : in $\ell^1$ convergeren zwak convergente rijen in norm.
21. Leid af dat $(e_k)$ in $\ell^1$ geen zwak convergente deelrij heeft (haar enige kandidaat-limiet is $0$ , per coördinaat — pas dan Schur toe), waarmee het falen van de zwakke [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) uit vraag 13 wordt teruggevonden; en los de schijnbare paradox op: in $\ell^1$ vallen zwakke en normconvergentie van *rijen* samen, en toch verschillen de zwakke en de norm *[topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology)* en zijn begrensde verzamelingen nog steeds niet zwak rijcompact — geen tegenspraak, alleen het falen van de reflexiviteit.
22. (Overzichtstabel) Stel voor $E \in \{c_0,\ \ell^1,\  \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ een tabel op met: de [duale ruimte](#def-b3-banach-operator) ; separabiliteit; reflexiviteit; of begrensde rijen zwak convergente deelrijen toelaten; en één kenmerkende eigenschap van elke ruimte, in één regel verantwoord vanuit dit probleem.

**Deel VI — Aanvullingen: dichtstbijzijnde punten, gemiddelde convergentie, de waarde van een banachlimiet.**

23. (Dichtstbijzijnde punten: een dividend van de reflexiviteit) Zij $F$ een gesloten deelruimte van $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) en $x \in \ell^p$ . Toon aan dat $d = \operatorname{dist}(x, F)$ *bereikt* wordt: haal uit een minimaliserende rij een zwak convergente deelrij (vraag 13), houd de zwakke limiet binnen $F$ door met Hahn–Banach een functionaal te bouwen die op $F$ verdwijnt maar niet in een punt daarbuiten, en besluit met vraag 17. Toon daarna aan dat dit voorrecht niet universeel is: bewijs voor $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ op $c_0$ dat $\norm\Lambda = 1$ niet op de eenheidsbal bereikt wordt, stel de afstandsformule $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ op, en leid af dat geen enkele $x \notin \ker\Lambda$ een dichtstbijzijnd punt in het gesloten hypervlak $\ker\Lambda$ heeft.
24. (Banach–Saks in $\ell^2$) Zij $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ in $\ell^2_{\R}$ met $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$. Construeer een deelrij $(y_j)$ met $\abs{\langle y_i, y_j\rangle}  \leq \frac1j$ voor alle $i < j$, en leid af dat $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2  \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ na extractie convergeren de cesàromiddelen dus in *norm*. Controleer dat op $(e_k)$, waarvan de middelen norm $\frac1{\sqrt m}$ hebben: zwakke convergentie, nutteloos voor de rij zelf (vraag 16), wordt normconvergentie voor de gemiddelden.
25. (De waarde van een banachlimiet) Zij $L$ een willekeurige banachlimiet (vraag 10) en $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots  + S^{m-1}x)$ . Toon aan dat $L(A_mx) = L(x)$ en $\liminf  A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; leid af dat *alle* banachlimieten op periodieke rijen samenvallen, met als waarde het gemiddelde over een periode — $\frac13$ op $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , in overeenstemming met de $\frac12$ uit vraag 12. Toon daarna aan dat die overeenstemming in het algemeen faalt: toon voor de blokrij $x$ die gelijk is aan $1$ op $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ voor even $j$ en $0$ elders, aan dat de cesàromiddelen tussen $\leq \frac13$ en $\geq  \frac23$ schommelen, en bouw twee banachlimieten $L_\pm$ met $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ *(zet voort vanaf $c \oplus \R x$ met de uiterste toegelaten waarden $\pm$: ga na dat $\Lambda(y + tx) =  \lim y + t\,p(x)$ door de sublineaire $p$ van vraag 10 wordt gedomineerd)* .

**Oplossing van Probleem 8.1.**

**1.** Voor $a, b > 0$ geeft de concaviteit van $\log$: $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log
a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$; exponentieer. (Is $ab = 0$, dan is de ongelijkheid triviaal.) Gelijkheid precies wanneer $a^p
= b^q$.

**2.** We mogen $\norm x_p = \norm y_q = 1$ aannemen (homogeniteit; de nulgevallen zijn triviaal). Dan is

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n}
\leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p +
\frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 =
\norm x_p\norm y_q .
$$

Gelijkheid vergt $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ voor alle $n$ (het gelijkheidsgeval van Young) plus het uitlijnen van de fasen van $x_ny_n$.

**3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} +
\abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$; sommeren en Hölder toepassen ($p$ tegen $q$, met $(p - 1)q = p$) geeft

$$
\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm
y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q}
= \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};
$$

is $\norm{x + y}_p \neq 0$ (anders triviaal), deel dan door $\norm{x+y}_p^{p/q}$ en gebruik $p - \frac pq = 1$. (Dat $\norm{x+y}_p$ eindig is, komt eerst: $\abs{x_n+y_n}^p \leq
2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$.)

**4.** [Volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): als voor $\ell^1$ ([Oefening 8.3](#exo-b3-banach-3)), met coördinaatsgewijze limieten plus de uniforme staartgrens $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n -
x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$, waarbij eerst $l$ en dan $N$ naar oneindig gaat. Dichtheid van de eindige rijen: $\norm{x -
\sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$.

**5.** Hölder geeft $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm
y_q$: dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$. Toetsen: stel $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ voor $n \leq N$ en $0$ daarna (met $\operatorname{sign}$ de fase van modulus $1$, zodat $x_ny_n = \abs{y_n}^q$). Dan is $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ en $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (want $(q-1)p = q$), dus

$$
\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{}
\norm y_q .
$$

**6.** Stel $y_n = \Lambda(e_n)$. Met dezelfde toetsvectoren is $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$, waaruit $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq
\norm\Lambda$ voor elke $N$: dus $y \in \ell^q$ met $\norm y_q
\leq \norm\Lambda$. De functionalen $\Lambda$ en $\Lambda_y$ vallen samen op de [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) eindige rijen (vraag 4): $\Lambda =
\Lambda_y$. Met vraag 5 is $y \mapsto \Lambda_y$ dus een isometrisch isomorfisme $\ell^q \cong (\ell^p)'$.

**7.** Zij $\xi \in (\ell^p)''$. Samengesteld met de isometrie $\ell^q \cong (\ell^p)'$ uit vraag 6 definieert $\xi$ een element van $(\ell^q)'$, dat (vraag 6 met $p$ en $q$ verwisseld) gelijk is aan $\Lambda_z$ voor een unieke $z \in
\ell^p$: voor elke $y \in \ell^q$ is $\xi(\Lambda_y) =
\sum_nz_ny_n$. Anderzijds is $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) =
\sum_ny_nz_n$: dezelfde waarde. En omdat elk element van $(\ell^p)'$ een $\Lambda_y$ is, volgt $\xi = J(z)$: $J$ is surjectief — $\ell^p$ is [reflexief](#rem-b3-banach-bidual).

**8.** De eindige rijen met rationale ingangen (reëel en imaginair deel) zijn aftelbaar en liggen [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) in $\ell^p$ ($p <
\infty$) en in $c_0$. In $\ell^\infty$: de familie $\{\mathbf 1_A
: A \subseteq \N\}$ is overaftelbaar met $\norm{\mathbf 1_A -
\mathbf 1_B}_\infty = 1$ voor $A \neq B$; de ballen $B(\mathbf
1_A, \frac12)$ zijn paarsgewijs disjunct, en een [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) moet elk ervan snijden: er is dus geen aftelbare [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior).

**9.** Was $\ell^1$ [reflexief](#rem-b3-banach-bidual), dan was $(\ell^\infty)' \cong
((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ separabel (isometrisch beeld van het separabele $\ell^1$); en volgens [Oefening 8.10](#exo-b3-banach-10) zou de separabiliteit van de [duale ruimte](#def-b3-banach-operator) $(\ell^\infty)'$ afdwingen dat $\ell^\infty$ separabel is — in strijd met vraag 8. Dus is $\ell^1$ niet [reflexief](#rem-b3-banach-bidual) (en is $(\ell^\infty)'$ strikt groter dan $\ell^1$, zoals vraag 11 concreet maakt).

**10.** De homogeniteit van $p$ is duidelijk; subadditiviteit: middelen is lineair, en $\limsup(u_n + v_n) \leq
\limsup u_n + \limsup v_n$. Op $c$: de cesàromiddelen van een convergente rij convergeren naar haar limiet, dus is $p(x) = \lim
x = \mathrm{LIM}(x)$ daar; in het bijzonder $\mathrm{LIM} \leq p$ op $c$. Hahn–Banach ([Stelling 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) zet $\mathrm{LIM}$ voort tot $\ell^\infty_\R$ met overal $\mathrm{LIM} \leq p$. Positiviteit: voor $x \geq 0$ is $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) =
\limsup\text{gem}(-x) \leq 0$. Verschuivingsinvariantie: de middelen van $x - Sx$ telescoperen tot $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to
0$, dus $p(\pm(x - Sx)) = 0$ en $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$. Grenzen: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (de middelen blijven achter bij de suprema), en dit op $-x$ toepassen geeft de ondergrens.

**11.** $e_n \in c_0$, dus $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ voor alle $n$. Was $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ met $y \in \ell^1$, dan was $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ voor alle $n$, dus $\Lambda_y = 0$; maar $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$. Dus $\mathrm{LIM} \in
(\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$: opnieuw $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$.

**12.** Voor $x = (0,1,0,1,\dots)$ is $x + Sx = \mathbf 1$, dus $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ en $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$. Was $\varphi$ een verschuivingsinvariante multiplicatieve voortzetting van de limiet, dan geeft $x\cdot Sx = 0$ dat $\varphi(x)\varphi(Sx) =
\varphi(x)^2 = 0$, dus $\varphi(x) = 0$; maar $\varphi(x) +
\varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ geeft $2\varphi(x) = 1$: tegenspraak. Middelen en vermenigvuldigen gaan niet samen.

**13.** Zij $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$. De coördinaten zijn door $M$ begrensd: een diagonaalextractie geeft een deelrij (nog steeds $x^{(k)}$ genoemd) met $x^{(k)}_n \to x_n$ voor elke $n$. Dan is $x \in \ell^p$: $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ voor alle $N$. Zwakke convergentie: voor $y \in \ell^q$ en willekeurige $N$ is

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr|
+ 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},
$$

waarbij de eerste term naar $0$ gaat als $k \to \infty$ (eindig veel coördinaten) en de tweede klein is voor grote $N$ (Hölder op de staart): dus $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ voor elke $y$ — zwakke convergentie, want elke functionaal is een $\Lambda_y$ (vraag 6). In $\ell^1$ faalt dit: beschouw de begrensde rij $(e_n)$. Elke deelrij $(e_{n_k})$ convergeert coördinaatsgewijs naar $0$, dus is $0$ haar enige kandidaat-limiet; maar toetsen tegen $y \in \ell^\infty$ met $y_{n_k} = (-1)^k$ (en $0$ elders) geeft $\Lambda_y(e_{n_k}) =
(-1)^k$, wat divergeert. Er is dus geen zwak convergente deelrij: zwakke [rijcompactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#thm-b3-topology-metriccompact) van de ballen kenmerkt de reflexieve wereld.

**14.** Voor $y \in \ell^1$ is $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ gedefinieerd op $c_0$ met $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_\infty\norm y_1$, en toetsen op $x^{(N)} =
(\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots)
\in c_0$ geeft $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to
\norm y_1$: dus $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$. Stel omgekeerd $y_n = \Lambda(e_n)$ voor $\Lambda \in (c_0)'$; dezelfde toetsen geven $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda$, dus $y \in \ell^1$, en $\Lambda = \Lambda_y$ op de [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) eindige rijen en dus overal. De keten van [duale ruimten](#def-b3-banach-operator): $(c_0)' = \ell^1$, $(\ell^1)' = \ell^\infty$ ([Oefening 8.10](#exo-b3-banach-10)), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (vragen 9–11): de reflexiviteit faalt al bij de allereerste stap — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — en herstelt nooit meer.

**15.** $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ is een familie begrensde functionalen op de *banachruimte* $E'$ ([duale ruimten](#def-b3-banach-operator) zijn [volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [Propositie 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete)); en voor elke $\Lambda \in E'$ convergeert de rij $Jx^{(k)}(\Lambda) =
\Lambda(x^{(k)})$ en is ze dus begrensd. Banach–Steinhaus op $E'$ geeft $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$, en $J$ is isometrisch ([Opmerking 8.8](#rem-b3-banach-bidual)): dus $\sup_k\norm{x^{(k)}} <
\infty$.

**16.** ($\Rightarrow$) De begrensdheid is vraag 15; en de coördinaten zijn de functionalen $\Lambda_{e_n}$. ($\Leftarrow$) Zij $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$, $y \in \ell^q$ en $\varepsilon > 0$; kies $N$ met $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$. Dan is

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} +
\norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon
\leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} +
(M + \norm x_p)\,\varepsilon,
$$

en de eindige som gaat naar $0$: dus $\limsup \leq (M + \norm
x_p)\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$. (Dat $x \in \ell^p$ met $\norm x_p \leq M$, volgt uit grenzen op eindige stukken in de trant van Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$.) Voor $e_k$ in $\ell^2$: begrensd, coördinaatsgewijs $\to 0$, dus $e_k
\rightharpoonup 0$, en toch $\norm{e_k} = 1$: de eenheid massa ontsnapt naar oneindige index, onzichtbaar voor elke vaste functionaal.

**17.** Neem $\Lambda$ met $\norm\Lambda = 1$ en $\Lambda(x)
= \norm x$ ([Gevolg 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)). Dan is $\norm x =
\lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} =
\liminf\norm{x^{(k)}}$. (Met $e_k \rightharpoonup 0$: $0 \leq
\liminf 1$, en de ongelijkheid kan strikt zijn.)

**18.** In $\ell^2$ is $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 =
\norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle
+ \norm x_2^2$ (in het reële geval $-2\langle x^{(k)},
x\rangle$). Zwakke convergentie toegepast op de functionaal $\Lambda_x$ geeft $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$, en de normen convergeren per hypothese: het rechterlid gaat dus naar $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$. Tegenvoorbeeld zonder normconvergentie: $e_k \rightharpoonup 0$ met $\norm{e_k - 0} = 1
\not\to 0$.

**19.** Coördinaatsgewijze convergentie: pas de functionalen $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ toe (met $y = e_n$). Constructie: zijn $k_{j-1}$ en $N_{j-1}$ gekozen, neem dan $k_j >
k_{j-1}$ zo groot dat $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} <
\frac\delta{20}$ (eindig veel coördinaten, elk $\to 0$), en daarna $N_j > N_{j-1}$ zo groot dat de staart voldoet aan $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (convergentie van de reeks die $\norm{x^{(k_j)}}_1$ definieert). Het blok $B_j =
\intoc{N_{j-1}}{N_j}$ draagt dan op $\frac\delta{10}$ na de hele massa van $x^{(k_j)}$.

**20.** Met $y$ als gedefinieerd (overal $\abs{y_n} \leq 1$):

$$
\langle x^{(k_j)}, y\rangle
= \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n}
+ \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n
\geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) -
\frac\delta{10}
\geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,
$$

waarbij de middelste ongelijkheid geldt omdat de massa buiten het blok hoogstens $\frac\delta{10}$ is (vraag 19). Maar $y \in
\ell^\infty = (\ell^1)'$ en $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ dwingen $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ af: tegenspraak. Zwak naar nul convergerende rijen van $\ell^1$ convergeren dus in norm naar nul, en door translatie convergeren zwak convergente rijen in norm: de stelling van Schur.

**21.** Een zwak convergente deelrij van $(e_k)$ zou limiet $0$ hebben (coördinaten), dus volgens Schur $\norm{e_{k_j}}_1 \to
0$ — maar de normen zijn $1$. Er is dus geen zwak convergente deelrij, zoals in vraag 13 met de hand gevonden. Geen paradox: Schur zegt dat rijen in $\ell^1$ de zwakke en de normtopologie niet kunnen onderscheiden (de topologieën zelf verschillen wel degelijk — zwakke [omgevingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) zijn nooit normbegrensd), en de zwakke [rijcompactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#thm-b3-topology-metriccompact) van de eenheidsbal is een andere, sterkere eigenschap, gelijkwaardig met reflexiviteit (Eberlein–Šmulian, buiten ons gereedschap; het falen hebben we althans bewezen).

**22.** *De inventaris.*

| $E$ | $E'$ | sep. | refl. | zwak rijcpt. ballen |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $c_0$ | $\ell^1$ | ja | nee | nee ($e_1{+}\dots{+}e_k$) |
| $\ell^1$ | $\ell^\infty$ | ja | nee | nee ($e_k$, vr. 21) |
| $\ell^p$ | $\ell^q$ | ja | ja | ja (vr. 13) |
| $\ell^\infty$ | $\supsetneq\ell^1$ | nee | nee | nee |

Kenmerken: $c_0$ — haar biduale ruimte is $\ell^\infty$: de eerste niet-reflexieve stap (vraag 14); $\ell^1$ — de eigenschap van Schur (vraag 20); $\ell^p$ — reflexiviteit en zwakke [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) (vragen 7 en 13); $\ell^\infty$ — niet-separabel, met banachlimieten: functionalen die geen enkele rij kan voorstellen (vragen 8 en 10–11). Eén familie ruimten, vier verschillende werelden.

**23.** Zij $(f_k) \subseteq F$ met $\norm{x - f_k} \to d$. Dan is $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$: begrensd, dus levert vraag 13 een deelrij $f_{k_j}
\rightharpoonup f$. Was $f \notin F$, dan is $\delta =
\operatorname{dist}(f, F) > 0$ ($F$ is gesloten); op $F \oplus \R
f$ voldoet de lineaire vorm $\lambda(g + tf) = t$ aan $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (want $\norm{g + tf} \geq
\abs t\,\delta$), en Hahn–Banach zet die voort tot $\Lambda \in
(\ell^p)'$ met $\Lambda\restriction_F = 0$ en $\Lambda(f) = 1$; maar dan is $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$: tegenspraak. Dus $f \in F$, en $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ geeft met vraag 17

$$
d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :
$$

de afstand wordt in $f$ bereikt. In $c_0$: $\abs{\Lambda(x)} \leq
\sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ voor elke $x \neq 0$ (een nulrij $\neq 0$ kan niet voor alle $n$ aan $\abs{x_n} = \norm
x_\infty$ voldoen), terwijl de afgeknotte rijen $(1, \dots, 1, 0,
\dots)$ geven $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$: dus $\norm\Lambda =
1$, nooit bereikt. Afstandsformule: voor $f \in \ker\Lambda$ is $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$, dus $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$; en omgekeerd ligt voor $u$ in de eenheidsbal met $\Lambda(u) \geq 1 -
\varepsilon$ de vector $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ in $\ker\Lambda$ met $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 -
\varepsilon}$: gelijkheid. Werd ze in een $f \in \ker\Lambda$ bereikt, dan voldeed $z = x - f$ aan $\abs{\Lambda(z)} =
\abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$, zodat $\Lambda$ haar norm in $z/\norm z$ zou bereiken: onmogelijk. Een gesloten hypervlak van $c_0$ zonder ergens een dichtstbijzijnd punt — de reflexiviteit was geen versiering.

**24.** Stel $y_1 = x^{(1)}$. Gegeven $y_1, \dots, y_j$ gaat elke afbeelding $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ naar $0$ ($y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$), dus is er voorbij de vorige index een $k_{j+1}$ met $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq
\frac1{j+1}$ voor $i = 1, \dots, j$; noem die keuze $y_{j+1}$. Dan is

$$
\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2
= \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2
+ 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle
\leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j
\leq mC^2 + 2m,
$$

en delen door $m^2$ geeft $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq
\frac{C^2 + 2}m \to 0$. (Voor een zwakke limiet $x \neq 0$: pas dit toe op $x^{(k)} - x$.) Op de orthonormale $(e_k)$ is zelfs geen extractie nodig: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 =
\frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$. Middelen zet zwakke convergentie dus om in normconvergentie: de eigenschap van Banach–Saks van $\ell^2$.

**25.** $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$, dus geven de lineariteit en de verschuivingsinvariantie $L(A_mx) = L(x)$. Kies voor een begrensde $u$ en $\varepsilon > 0$ een $N$ met $u_n \leq
\limsup u + \varepsilon$ voor $n \geq N$; de positiviteit toegepast op $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ samen met $L(S^Nu) = L(u)$ geeft $L(u) \leq \limsup u +
\varepsilon$, en symmetrisch $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$: dus $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ voor elke $m$. Is $x$ $T$-periodiek, dan is $A_Tx$ de constante rij gelijk aan het periodegemiddelde $\mu$: dus $L(x) = \mu$ voor *elke* banachlimiet — $\frac13$ op $(1,0,0,\dots)$ en $\frac12$ op $(0,1,0,1,\dots)$ als in vraag 12. Voor de blokrij: bij $N = 3^j$ met $j$ even bestaat het laatste blok geheel uit enen, dus is het cesàromiddel $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$; en bij $N
= 3^j$ met $j$ oneven liggen alle enen in $\intoc0{3^{j-1}}$, dus is het middel $\leq \frac13$. Bijgevolg is $p(x) \geq \frac23$ en $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$. Definieer op $M = c \oplus \R x$: $\Lambda_+(y + tx) = \lim y +
t\,p(x)$. Dominatie door $p$: voor $t > 0$ geeft de sublineariteit $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$, oftewel $p(y + tx) \geq t\,p(x) +
\lim y$ (merk op dat $p(\pm y) = \pm\lim y$ voor $y \in c$: de cesàromiddelen van een convergente rij convergeren naar haar limiet); voor $t = -s < 0$ geeft $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ dat $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$; en voor $t = 0$ is er gelijkheid. Dus is $\Lambda_+ \leq p$ op $M$, en Hahn–Banach zet haar voort tot $L_+ \leq p$ op $\ell^\infty_\R$, wat precies als in vraag 10 een banachlimiet is (uit de dominatie door $p$ volgen de positiviteit, de verschuivingsinvariantie en de waarde $\lim$ op $c$), met $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$. Dezelfde berekening met $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (met $p(-sx) \leq p(y -
sx) + p(-y)$ voor het geval $t = -s < 0$) levert een banachlimiet $L_-$ met $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$. Twee banachlimieten, één rij, twee waarden: buiten de periodieke (en algemener de *bijna convergente*) wereld is een banachlimiet een echte keuze.