---
title: "Maattheorie"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3"
subject: math
language: nl
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/9-maattheorie
---

# Hoofdstuk 9 — Maattheorie

Hoe lang is een deelverzameling van $\R$? Het naïeve antwoord — ken aan elke verzameling een translatie-invariante lengte toe die die van de intervallen voortzet — is *onmogelijk*: de constructie van Vitali, aan het eind van dit hoofdstuk, levert een verzameling zonder [samenhangende](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected) lengte. De maattheorie is de gedisciplineerde terugtocht: beperk je tot een rijke klasse *meetbare* verzamelingen, waarop een aftelbaar additieve lengte bestaat en uniek is. De beloning is enorm — de integraal van Lebesgue ([Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ch-b3-lebesgue)), de $L^p$-ruimten van de functionaalanalyse en de hele moderne kansrekening ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability)) rusten op de drie stellingen die we hier bewijzen: het eenduidigheidslemma van Dynkin, de uitbreidingsstelling van Carathéodory, en het bestaan van de [lebesguemaat](#def-b3-measure-lebesgueouter).

## 9.1 $\sigma$-algebra’s

**Definitie 9.1.**

Een *$\sigma$-algebra* op een verzameling $X$ is een familie $\mathcal A$ deelverzamelingen die $\varnothing$ bevat en gesloten is onder complementvorming en onder *aftelbare* verenigingen (en dus onder aftelbare doorsneden en verschillen, en ze bevat $X$). Het paar $(X, \mathcal A)$ heet een *meetbare ruimte*; de leden van $\mathcal A$ heten *meetbare verzamelingen*. Voor een willekeurige familie $\mathcal E$ deelverzamelingen noteert $\sigma(\mathcal E)$ de kleinste $\sigma$-algebra die $\mathcal E$ bevat (de doorsnede van alle zulke — een doorsnede van $\sigma$-algebra’s is er weer een).

**Definitie 9.2.**

De *Borel-$\sigma$-algebra* van een topologische ruimte is $\mathcal
B(X) = \sigma(\{\text{open verzamelingen}\})$. Op $\R$ wordt $\mathcal B(\R)$ ook voortgebracht door de open intervallen, door de gesloten intervallen, door de halfrechten $(-\infty, a]$ en door de halfrechten met rationale eindpunten ([Oefening 9.1](#exo-b3-measure-1)) — elke familie brengt de [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) voort met aftelbare bewerkingen, want elke open deelverzameling van $\R$ is een aftelbare vereniging van open intervallen met rationale gegevens.

**Definitie 9.3.**

Een *$\pi$-systeem* is een familie die gesloten is onder eindige doorsneden. Een *$\lambda$-systeem* (dynkinklasse) is een familie $\mathcal D$ met: $X \in \mathcal
D$; uit $A, B \in \mathcal D$ met $A \subseteq B$ volgt $B
\setminus A \in \mathcal D$; en uit $A_n \uparrow A$ met $A_n \in
\mathcal D$ volgt $A \in \mathcal D$.

**Stelling 9.4 (π\piπ–λ\lambdaλ-lemma van Dynkin).**

Bevat een $\lambda$-systeem $\mathcal D$ een $\pi$-systeem $\mathcal P$, dan is $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$.

**Bewijs.** Zij $\mathcal D_0$ het kleinste $\lambda$-systeem dat $\mathcal P$ bevat (de doorsnede van alle zulke); het volstaat aan te tonen dat $\mathcal D_0$ een $\sigma$-algebra is, want dan is $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$. Een $\lambda$-systeem dat gesloten is onder eindige doorsneden *is* een $\sigma$-algebra: complementen ($X \setminus A$ met $A \subseteq X$), eindige verenigingen ($A \cup B = X \setminus
((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$), en aftelbare verenigingen via $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$. We bewijzen dus dat $\mathcal D_0$ een $\pi$-systeem is, in twee stappen. Zij

$$
\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal
D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.
$$

$\mathcal D_1$ is een $\lambda$-systeem (alle drie de axioma’s gaat men na door met $P$ te snijden: bijvoorbeeld $(B\setminus
A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$, een echt verschil binnen $\mathcal D_0$) en bevat $\mathcal P$ ($\pi$-systeem): dus $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$. Zij nu

$$
\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal
D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.
$$

Wegens de vorige stap is $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$; en $\mathcal D_2$ is een $\lambda$-systeem volgens dezelfde verificatie: dus $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$, wat precies zegt dat $\mathcal D_0$ gesloten is onder doorsneden. ∎

## 9.2 Maten

**Definitie 9.5.**

Een *maat* op $(X, \mathcal A)$ is een afbeelding $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ met $\mu(\varnothing) = 0$ die *$\sigma$-additief* is: voor paarsgewijs disjuncte $(A_n)_{n\in\N}$ geldt

$$
\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).
$$

$(X, \mathcal A, \mu)$ heet een *maatruimte*; $\mu$ heet *eindig* als $\mu(X) < \infty$, een *kansmaat* als $\mu(X) = 1$, en *$\sigma$-eindig* als $X$ een aftelbare vereniging is van verzamelingen van eindige maat. Voorbeelden: de telmaat op $(\N, \mathcal P(\N))$; de diracmassa $\delta_a(A) =
\mathbf 1_{a \in A}$; en, het onderwerp van dit hoofdstuk, de [lebesguemaat](#def-b3-measure-lebesgueouter).

**Propositie 9.6.**

Zij $\mu$ een [maat](#def-b3-measure-measure). (a) Monotonie: uit $A \subseteq B$ volgt $\mu(A) \leq \mu(B)$. (b) Aftelbare subadditiviteit: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$. (c) [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen: uit $A_n \uparrow A$ volgt $\mu(A_n) \to \mu(A)$. (d) [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van boven: uit $A_n \downarrow A$ *met $\mu(A_1)
< \infty$* volgt $\mu(A_n) \to \mu(A)$.

**Bewijs.** (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$. (b) Maak disjunct: de $B_n =
A_n \setminus \bigcup_{k<n}A_k$ zijn disjunct met dezelfde vereniging, en $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$. (c) $A = \bigsqcup_n (A_n
\setminus A_{n-1})$ (met $A_0 = \varnothing$): de partiële sommen van $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ zijn $\mu(A_n)$. (d) Pas (c) toe op $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ en trek af van $\mu(A_1)$ — de eindigheid maakt het aftrekken geoorloofd. Tegenvoorbeeld zonder haar: $A_n = [n, \infty)$ voor de [lebesguemaat](#def-b3-measure-lebesgueouter): $A_n \downarrow \varnothing$ terwijl $\mu(A_n) =
\infty$. ∎

**Stelling 9.7 (Eenduidigheid).**

Zij $\mu, \nu$ [maten](#def-b3-measure-measure) op $\sigma(\mathcal P)$, met $\mathcal P$ een $\pi$-systeem, en $\mu = \nu$ op $\mathcal P$. Zijn er verzamelingen $P_k \in \mathcal P$ met $P_k \uparrow X$ en $\mu(P_k) < \infty$, dan is $\mu = \nu$ op heel $\sigma(\mathcal P)$.

**Bewijs.** Leg $k$ vast en beschouw de eindige [maten](#def-b3-measure-measure) $\mu_k(A) = \mu(A \cap
P_k)$ en $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ op $\sigma(\mathcal P)$: ze vallen samen op $\mathcal P$, want $P \cap P_k \in \mathcal P$ ($\pi$-systeem), en ze kennen aan $X$ dezelfde eindige waarde $\mu(P_k)$ toe. De klasse $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) =
\nu_k(A)\}$ is een $\lambda$-systeem: $X \in \mathcal D$; echte verschillen door aftrekken (eindige waarden); en stijgende limieten door de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen ([Propositie 9.6](#prop-b3-measure-basics)(c)). Ze bevat het $\pi$-systeem $\mathcal P$, dus geeft Dynkin ([Stelling 9.4](#thm-b3-measure-dynkin)) dat $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$: $\mu_k = \nu_k$ overal. Ten slotte geeft voor elke $A \in \sigma(\mathcal P)$ de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen langs $A \cap P_k \uparrow A$ dat $\mu(A)
= \lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$. ∎

## 9.3 Buitenmaten en de stelling van Carathéodory

**Definitie 9.8.**

Een *buitenmaat* op $X$ is een afbeelding $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ met $\mu^*(\varnothing) = 0$, monotoon en aftelbaar subadditief. Een verzameling $A$ heet *$\mu^*$-meetbaar* (Carathéodory) als ze elke verzameling additief splitst:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)
\qquad \text{voor elke } E \subseteq X
$$

($\leq$ geldt altijd wegens de subadditiviteit; de inhoud zit in $\geq$).

**Stelling 9.9 (Carathéodory).**

De $\mu^*$-meetbare verzamelingen vormen een $\sigma$-algebra $\mathcal M$, en $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ is een [maat](#def-b3-measure-measure). Bovendien behoort elke verzameling met $\mu^*(N) = 0$ tot $\mathcal M$ (de [maat](#def-b3-measure-measure) is *[volledig](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*).

**Bewijs.** $\mathcal M$ bevat $\varnothing$ en is gesloten onder complementvorming (de definiërende voorwaarde is symmetrisch in $A$ en $X\setminus A$). *Eindige verenigingen*: zij $A, B \in
\mathcal M$ en $E$ willekeurig; splits $E$ met $A$ en daarna elk stuk met $B$:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) +
\mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).
$$

De eerste drie stukken overdekken $E \cap (A \cup B)$, dus geeft de subadditiviteit $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) +
\mu^*(E\setminus(A\cup B))$: dus $A \cup B \in \mathcal M$. Per inductie volgen de eindige verenigingen; en met de complementen zijn eindige disjunctheidsmanipulaties beschikbaar.

*Additiviteit op $\mathcal M$*: voor disjuncte $A, B \in
\mathcal M$ en willekeurige $E$ is $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) =
\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (splits met $A$); en per inductie

$$
\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
= \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k).
\tag{$*$}
$$

*Aftelbare verenigingen*: zij $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjunct (dat volstaat, door binnen de algebra $\mathcal M$ disjunct te maken), $A = \bigsqcup A_k$ en $E$ willekeurig. Met $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ en de monotonie:

$$
\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) +
\mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
\geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
$$

volgens ($*$). Laat $n \to \infty$ gaan en gebruik de aftelbare subadditiviteit in de andere richting:

$$
\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
\geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):
$$

alle ongelijkheden zijn gelijkheden. Dat bewijst zowel $A \in
\mathcal M$ als, met $E = A$, de aftelbare additiviteit van $\mu^*$ op $\mathcal M$.

*Nulverzamelingen*: is $\mu^*(N) = 0$, dan is voor elke $E$: $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$, dus $N
\in \mathcal M$. ∎

## 9.4 De lebesguemaat op $\R$

**Definitie 9.10.**

De *lebesgue-buitenmaat* van $A \subseteq
\R$ is

$$
\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) :
A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}
$$

(aftelbare overdekkingen met open intervallen).

**Lemma 9.11.**

$\lambda^*$ is een [buitenmaat](#def-b3-measure-outer), invariant onder translaties, en $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (de lengte) voor elk interval $I$.

**Bewijs.** [Buitenmaat](#def-b3-measure-outer): $\varnothing$ wordt door willekeurig kleine intervallen overdekt; de monotonie is duidelijk; en de subadditiviteit: gegeven overdekkingen van elke $A_n$ tot op $\varepsilon 2^{-n}$ van het infimum, overdekt hun vereniging $\bigcup A_n$ met totale lengte $\leq \sum \lambda^*(A_n) +
\varepsilon$. Translatie-invariantie: verschuif de overdekkingen.

Lengte: het volstaat $I = \intcc ab$ te behandelen (de andere types verschillen in de eindpunten, die [buitenmaat](#def-b3-measure-outer) $0$ hebben: overdek met piepkleine intervallen; en vergelijk dan met $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq \intoo ab$). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$: overdek met $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$. Zij omgekeerd $\intcc ab
\subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$: wegens de *[compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact)* (Borel–Lebesgue, [Stelling 6.16](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#thm-b3-topology-metriccompact)) volstaan eindig veel intervallen, zeg $I_1, \dots, I_N$. We tonen $\sum_{k\leq N}(b_k -
a_k) \geq b - a$ aan met inductie naar $N$: kies $I_{k_1} \ni a$; is $b_{k_1} > b$, dan zijn we klaar ($b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$); anders wordt het segment $\intcc{b_{k_1}}b$ door de overige $N -
1$ intervallen overdekt, en geeft de inductie $\sum_{k \neq
k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$, terwijl $b_{k_1} - a_{k_1} >
b_{k_1} - a$: tel op. ∎

**Stelling 9.12 (Lebesguemaat).**

Elke borelverzameling van $\R$ is $\lambda^*$-meetbaar. De beperking $\lambda$ van $\lambda^*$ tot de $\sigma$-algebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (de *lebesgue-$\sigma$-algebra*) is de unieke [maat](#def-b3-measure-measure) op $\mathcal
B(\R)$ die aan elk interval zijn lengte toekent; ze is translatie-invariant en $\sigma$-eindig.

**Bewijs.** Volgens [Stelling 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) volstaat het aan te tonen dat elke halfrechte $A = \intoo{-\infty}c$ $\lambda^*$-meetbaar is (de halfrechten brengen $\mathcal B$ voort, [Definitie 9.2](#def-b3-measure-borel)). Zij $E \subseteq \R$ met $\lambda^*(E) < \infty$ en $\bigcup I_n \supseteq E$ een overdekking met $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$. Elke $I_n$ splitst in de twee intervallen $I_n' = I_n \cap A$ en $I_n'' = I_n\setminus A$ (een interval min een halfrechte is een interval) met $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$; de $I_n'$ overdekken $E \cap A$ en de $I_n''$ overdekken $E \setminus A$ (vergroot elk tot een open interval van lengte $\ell +
\varepsilon2^{-n}$ om binnen de definitie te blijven), dus

$$
\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A)
\leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon
\leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .
$$

Eenduidigheid: twee [maten](#def-b3-measure-measure) die op het $\pi$-systeem van de intervallen $\intoc ab$ met de lengte samenvallen (en er eindig zijn) vallen samen op $\sigma(\text{intervallen}) = \mathcal B$, volgens [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) met $P_k = \intoc{-k}k$. $\sigma$-eindigheid: $\R = \bigcup(-k, k]$. ∎

**Stelling 9.13 (Regulariteit).**

Voor elke $A \in \mathcal L$ geldt

$$
\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ open}\}
= \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compact}\}.
$$

**Bewijs.** *Van buiten*: een overdekking $\bigcup I_n$ met $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ is een [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $U \supseteq A$ met $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$ (subadditiviteit); is $\lambda(A) = \infty$, dan is de uitspraak triviaal. *Van binnen*: zij $A$ eerst begrensd, $A \subseteq [-M, M]$. Kies een open $U \supseteq ([-M,M]\setminus
A)$ met $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) +
\varepsilon$; dan is $K = [-M, M]\setminus U$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) met $K
\subseteq A$, en

$$
\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U)
\geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) +
\varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .
$$

Voor algemene $A$: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen), en pas daarbinnen het begrensde geval toe. ∎

**Voorbeeld 9.14.**

De cantorverzameling ([Oefening 6.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#exo-b3-topology-10)) heeft $\lambda(C) = 0$: $C \subseteq C_n$, een vereniging van $2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$, dus $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to
0$. Een overaftelbare nulverzameling — de kardinaliteit ziet de [maat](#def-b3-measure-measure) niet. Omgekeerd zijn *dikke cantorverzamelingen* ([Oefening 9.5](#exo-b3-measure-5)) nergens [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) met positieve [maat](#def-b3-measure-measure): ook de [topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) ziet de [maat](#def-b3-measure-measure) niet. De weekendopgave drijft dat samenspel tot zijn treffende conclusie: er bestaan lebesgue-meetbare verzamelingen die geen borelverzameling zijn.

**Stelling 9.15 (Vitali).**

Er bestaat geen [maat](#def-b3-measure-measure) op *alle* deelverzamelingen van $\R$ die translatie-invariant is en aan elk interval zijn lengte toekent. In het bijzonder is $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$: er bestaan niet-meetbare verzamelingen.

**Bewijs.** Stel dat $\mu$ er een was. Beschouw op $\intcc01$ de equivalentie $x \sim y \iff x - y \in \Q$; kies met het *keuzeaxioma* per klasse één representant in $\intcc01$: een verzameling $V$. Voor $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ zijn de translaten $V + q$ paarsgewijs disjunct (twee punten van $V$ die een rationaal getal verschillen zouden equivalent en toch verschillende representanten zijn), en

$$
\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q)
\subseteq \intcc{-1}2 :
$$

de eerste inclusie omdat elke $x \in \intcc01$ van haar representant $v$ verschilt met een rationaal getal $q = x - v \in
\intcc{-1}1$. De monotonie en de $\sigma$-additiviteit geven

$$
1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3,
\qquad\text{met } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ voor alle } q .
$$

Een oneindige som van de constante $\mu(V)$ is $0$ of $\infty$: beide grenzen kunnen niet tegelijk gelden. Zo’n $\mu$ bestaat dus niet — en $V \notin \mathcal L$, want $\lambda$ heeft op $\mathcal L$ alle gebruikte eigenschappen. ∎

**Opmerking 9.16.**

In $\R^3$ is het falen dramatischer: de paradox van Banach–Tarski ontbindt een bol in vijf stukken die zich, door rotaties en translaties, weer laten samenvoegen tot *twee* bollen van dezelfde straal — zodat er zelfs geen eindig additief, rotatie-invariant volume op alle deelverzamelingen van $\R^3$ bestaat. De stukken zijn uiteraard niet meetbaar. Meetbaarheid is geen bureaucratische voorzichtigheid; het is de grens van de [samenhang](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-connected).

**Methode 9.17.**

Het *principe van de goede verzamelingen*: om te bewijzen dat alle verzamelingen van $\sigma(\mathcal E)$ een eigenschap hebben, toon je aan dat de goede verzamelingen een $\sigma$-algebra vormen (of een $\lambda$-systeem, als de eigenschap maattheoretisch is en $\mathcal E$ een $\pi$-systeem — dan Dynkin) die $\mathcal E$ bevat. Bijna elk bewijs in dit hoofdstuk en het volgende is er een geval van. Om twee [maten](#def-b3-measure-measure) gelijk te bewijzen: controleer ze op een voortbrengend $\pi$-systeem, plus $\sigma$-eindigheid ([Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)). Om een [maat](#def-b3-measure-measure) te bouwen: bouw met overdekkingen een [buitenmaat](#def-b3-measure-outer) en roep Carathéodory in.

## 9.5 Oefeningen

**Oefening 9.1 ★.**

(a) Toon aan dat $\{A \subseteq X : A$ of $X\setminus A$ is aftelbaar$\}$ een $\sigma$-algebra is: die voortgebracht door de singletons. (b) Toon aan dat $\mathcal B(\R)$ wordt voortgebracht door elk van: de open intervallen; de gesloten intervallen; de halfrechten $\intoc{-\infty}a$; en de halfrechten met $a \in \Q$. (c) Is de familie van de *eindige disjuncte verenigingen van intervallen* $\intoc ab$ een $\sigma$-algebra? Een algebra (gesloten onder complementvorming en eindige verenigingen)?

**Oplossing van Oefening 9.1.**

(a) Complementvorming verwisselt de twee definiërende gevallen. Een aftelbare vereniging van aftelbare verzamelingen is aftelbaar; en is één lid co-aftelbaar, dan is de vereniging co-aftelbaar: de geslotenheid geldt dus. Ze bevat de singletons, en elke $\sigma$-algebra die die bevat, bevat alle aftelbare verzamelingen (aftelbare verenigingen) en hun complementen: ze is dus $\sigma(\{\text{singletons}\})$.

(b) Schrijf $\mathcal B = \sigma(\text{open verzamelingen})$. Elke open deelverzameling van $\R$ is een aftelbare vereniging van open intervallen met rationale eindpunten (kies rond elk rationaal punt van de [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) een interval met rationale straal erbinnen), dus liggen de [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) in $\sigma(\text{open intervallen}) \subseteq \sigma(\text{rationale
gegevens})$. Omzettingen: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a +
\frac1n}{b - \frac1n}$; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a -
\frac1n}{b + \frac1n}$; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n
\intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ en omgekeerd $\intoo ab =
\intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$; en voor de rationale halfrechten: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q
> a}\intoc{-\infty}q$. Elke familie brengt de andere voort met aftelbare bewerkingen: alle vier brengen $\mathcal B$ voort.

(c) Met alleen eindige eindpunten is de familie zelfs geen algebra: het complement van $\intoc01$ bevat onbegrensde halfrechten. Laten we ook oneindige eindpunten toe ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo a{+\infty}$), dan wordt het een algebra (complementen en eindige verenigingen van zulke verenigingen zijn weer zo), maar geen $\sigma$-algebra: $\{0\} =
\bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ is geen eindige vereniging van niet-ontaarde intervallen.

**Oefening 9.2 ★.**

(a) Bewijs de in-en-uitsluiting voor een eindige [maat](#def-b3-measure-measure): $\mu(A\cup
B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$, en de versie met drie verzamelingen. (b) Geef een voorbeeld dat laat zien dat de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van boven ([Propositie 9.6](#prop-b3-measure-basics)(d)) zonder de eindigheidsveronderstelling faalt. (c) Toon aan dat een aftelbare verzameling [lebesguemaat](#def-b3-measure-lebesgueouter) nul heeft. Leid af dat $\lambda(\Q) = 0$ en $\lambda(\intcc01\setminus\Q) =
1$.

**Oplossing van Oefening 9.2.**

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, dus $\mu(A\cup
B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (de eindigheid staat het aftrekken toe). Met drie verzamelingen: pas de formule voor twee tweemaal toe,

$$
\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) +
\mu(A\cap B\cap C)
$$

(sommen over de voor de hand liggende indexverzamelingen).

(b) Voor de [lebesguemaat](#def-b3-measure-lebesgueouter) is $A_n = [n, +\infty) \downarrow
\varnothing$, terwijl $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$.

(c) Een punt ligt in een interval van lengte $\varepsilon$: dus $\lambda(\{x\}) = 0$; en de aftelbare subadditiviteit doodt de aftelbare verzamelingen. Bijgevolg is $\lambda(\Q \cap \intcc01) =
0$ en, wegens de additiviteit, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: de irrationale getallen dragen de hele lengte.

**Oefening 9.3 ★★.**

Zij $\mu, \nu$ kansmaten op $\mathcal B(\R)$ met $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ voor alle $t \in
\R$. Toon aan dat $\mu = \nu$. (Daarmee is de *verdelingsfunctie* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ een volledige invariant — de grondslag van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability).)

**Oplossing van Oefening 9.3.**

De halfrechten $\intoc{-\infty}t$ vormen een $\pi$-systeem (de doorsnede van twee is de kleinste) dat $\mathcal B(\R)$ voortbrengt ([Oefening 9.1](#exo-b3-measure-1)). De verzamelingen $P_k =
\intoc{-\infty}k$ stijgen naar $\R$ met $\mu(P_k) \leq 1 <
\infty$: [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) is van toepassing, en $\mu = \nu$ op $\mathcal B(\R)$. De verdelingsfunctie legt de [maat](#def-b3-measure-measure) dus vast.

**Oefening 9.4 ★★.**

(Borel–Cantelli, maatversie) Zij $(A_n)$ meetbaar met $\sum_n\mu(A_n) < \infty$, en $\limsup A_n =
\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (de punten die tot oneindig veel $A_n$ behoren). Toon aan dat $\mu(\limsup A_n) = 0$. Toepassing: voor bijna elke $x \in \intcc01$ voldoen slechts eindig veel $n$ aan $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ voor het $n$-de rationale getal $p/q_n$ van een opsomming van $\Q\cap\intcc01$.

**Oplossing van Oefening 9.4.**

Voor elke $N$ is $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$, dus $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$, de staart van een convergente reeks: laat $N \to \infty$ gaan. Toepassing: met $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ (met $r_n$ het $n$-de rationale getal) is $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ sommeerbaar: dus $\lambda(\limsup A_n) = 0$, dat wil zeggen bijna elke $x$ behoort tot slechts eindig veel $A_n$. (En toch is elke $x$ een limiet van rationale getallen: het gaat om de *snelheid* $4^{-n}$.)

**Oefening 9.5 ★★.**

(Dikke cantorverzameling) Herhaal de cantorconstructie op $\intcc01$, maar haal in stap $n$ uit elk van de $2^{n-1}$ intervallen slechts een *gecentreerd* open interval van lengte $4^{-n}$ weg. Toon aan dat de resulterende $K = \bigcap
K_n$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) is, een leeg inwendige heeft (geen enkel interval overleeft) en

$$
\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :
$$

een nergens [dichte verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) van [maat](#def-b3-measure-measure) $\frac12$. Leid daaruit een *[magere](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)* deelverzameling van $\intcc01$ van volle [maat](#def-b3-measure-measure) $1$ af, en een open [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) deelverzameling van [maat](#def-b3-measure-measure) $<
\varepsilon$.

**Oplossing van Oefening 9.5.**

$K = \bigcap K_n$ is een doorsnede van eindige verenigingen gesloten intervallen: [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact). In stap $n$ blijven $2^n$ intervallen van gemeenschappelijke lengte $\ell_n \leq 2^{-n}$ over (elke stap halveert en krimpt); een interval $I \subseteq K$ zou voor elke $n$ binnen één interval van stap $n$ moeten liggen, wat $\ell(I) = 0$ afdwingt: leeg inwendige. De weggehaalde [maat](#def-b3-measure-measure) is $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} =
\frac12$, en alle weghalingen zijn disjuncte open intervallen: $\lambda(K) = \frac12$.

Variant: gecentreerde intervallen van lengte $\varepsilon 4^{-n}$ weghalen laat een nergens [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K^{(\varepsilon)}$ van [maat](#def-b3-measure-measure) $1 - \frac\varepsilon2$ over. Dan is $\bigcup_m K^{(1/m)}$ [mager](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) (aftelbare vereniging van nergens [dichte verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior)) met [maat](#def-b3-measure-measure) $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$: een [magere verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) van volle [maat](#def-b3-measure-measure) — en haar complement in $\intoo01$ is een [dichte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) $G_\delta$ van [maat](#def-b3-measure-measure) $0$ (topologisch dik, metrisch nul). Het complement van $K^{(\varepsilon)}$ in $\intoo01$ is open, [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en van [maat](#def-b3-measure-measure) $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$.

**Oefening 9.6 ★★.**

Zij $\mu$ een [maat](#def-b3-measure-measure) op $\mathcal B(\R)$, invariant onder translaties, met $c = \mu(\intoc01) < \infty$. Toon aan dat $\mu =
c\,\lambda$ op $\mathcal B(\R)$. *(Bereken $\mu$ op dyadische intervallen door $\intoc01$ in $2^n$ translaten te verdelen, en roep dan [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) in.)*

**Oplossing van Oefening 9.6.**

Snijd $\intoc01$ in $2^n$ translaten van $\intoc0{2^{-n}}$: dan is $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, dus $\mu(\intoc0{2^{-n}}) =
c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. Met de translatie-invariantie en de additiviteit is $\mu = c\lambda$ op elk interval $\intoc ab$ waarvan $b - a$ een dyadisch rationaal getal is, voor elke $a$; en een algemene $\intoc ab$ is een stijgende vereniging van zulke ($b_k \uparrow b$ in dyadische stappen vanaf $a$), zodat de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen de gelijkheid uitbreidt. De intervallen $\intoc ab$ vormen een $\pi$-systeem dat $\mathcal B(\R)$ voortbrengt, met $\intoc{-k}k
\uparrow \R$ van eindige [maat](#def-b3-measure-measure) ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) geeft $\mu = c\lambda$ op $\mathcal B(\R)$.

**Oefening 9.7 ★★.**

(Benadering) Zij $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) < \infty$ en $\varepsilon > 0$. Toon aan dat er een *eindige* vereniging van intervallen $B$ is met $\lambda(A\,\triangle\,B) <
\varepsilon$ ($\triangle$ is het symmetrische verschil). *(Regulariteit: klem $K \subseteq A \subseteq U$ in en gebruik de structuur van de open $U$ als aftelbare vereniging van intervallen, plus de [compactheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) van $K$.)*

**Oplossing van Oefening 9.7.**

Kies met de regulariteit ([Stelling 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) $K
\subseteq A \subseteq U$ met $K$ [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) en $U$ open, en $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (beide benaderingen tot op $\varepsilon/2$, en $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus
A) + \lambda(A \setminus K)$). Schrijf $U$ als aftelbare disjuncte vereniging van open intervallen $(I_n)$ (de componenten van de [open verzameling](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology)); de [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $K$ wordt door eindig veel overdekt: $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$. Dan is $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ en $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$: dus $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — begin bij $\varepsilon/2$ om onder $\varepsilon$ uit te komen.

**Oefening 9.8 ★★★.**

(Steinhaus) Zij $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) > 0$. Toon aan dat $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ een interval rond $0$ bevat. *(Herleid tot $\lambda(A) < \infty$; vind met regulariteit in de trant van [Oefening 9.7](#exo-b3-measure-7) een interval $I$ met $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$; dan liggen voor $\abs t <
\frac12\ell(I)$ de verzamelingen $A\cap I$ en $(A\cap I) + t$ beide in een interval van lengte $\frac32\ell(I)$ met totale [maat](#def-b3-measure-measure) $> \frac32\ell(I)$: ze moeten elkaar snijden.)*

**Oplossing van Oefening 9.8.**

Vervang $A$ door $A \cap [-M, M]$ met positieve [maat](#def-b3-measure-measure) (een zekere $M$ voldoet, wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen) en neem dus $0 <
\lambda(A) < \infty$. Neem $U \supseteq A$ open met $\lambda(U) <
\frac43\lambda(A)$ en ontbind $U = \bigsqcup_nI_n$ in disjuncte open intervallen: dan is $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$. Was voor elke $n$ $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$, dan gaf sommeren $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$: er is dus een interval $I$ met $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$. Stel $B = A \cap I$ en zij $\abs t < \frac12\ell(I)$: dan liggen $B$ en $B + t$ beide in het interval $I \cup (I + t)$, van lengte $< \frac32\ell(I)$. Waren ze disjunct, dan zou $\lambda(B) +
\lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ de [maat](#def-b3-measure-measure) van dat omvattende interval overschrijden — onmogelijk. Dus $B \cap (B +
t) \neq \varnothing$: een zekere $x \in B$ schrijft zich als $x =
y + t$ met $y \in B$, en $t = x - y \in A - A$. Bijgevolg is $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$.

**Oefening 9.9 ★★★.**

Toon aan dat elke $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) > 0$ een niet-meetbare deelverzameling bevat. *(Snijd $A$ met de translaten $V + q$ van de verzameling van Vitali: waren alle $A
\cap (V+q)$ meetbaar, dan was elk van hen een nulverzameling volgens het argument van [Stelling 9.15](#thm-b3-measure-vitali) — Steinhaus ([Oefening 9.8](#exo-b3-measure-8)) helpt: een meetbare verzameling van positieve [maat](#def-b3-measure-measure) binnen $V + q$ zou geven dat $(V+q) - (V+q)$ een interval bevat, in strijd met het feit dat die verschilverzameling $\Q$ alleen in $0$ snijdt; besluit met de subadditiviteit.)*

**Oplossing van Oefening 9.9.**

De translaten $(V + q)_{q\in\Q}$ van Vitali delen $\R$ op (elk reëel getal is met precies één representant equivalent). Stel dat alle verzamelingen $B_q = A \cap (V + q)$ meetbaar waren. Twee elementen van $V + q$ verschillen een irrationaal getal of niets (twee verschillende representanten zijn niet equivalent), dus snijdt $B_q - B_q$ de verzameling $\Q$ alleen in $\{0\}$: ze bevat geen interval, en Steinhaus ([Oefening 9.8](#exo-b3-measure-8)) dwingt $\lambda(B_q) = 0$ af. Dan is $\lambda(A) \leq
\sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, in strijd met $\lambda(A) > 0$. Een zekere $B_q \subseteq A$ is dus niet meetbaar.

**Oefening 9.10 ★★.**

Toon aan dat een $A \subseteq \R$ met $\lambda^*(A) < \infty$ lebesgue-meetbaar is dan en slechts dan als er voor elke $\varepsilon > 0$ een open $U \supseteq A$ is met $\lambda^*(U
\setminus A) < \varepsilon$, en dan en slechts dan als er een $G_\delta$-verzameling $G \supseteq A$ is met $\lambda^*(G\setminus
A) = 0$. (Lebesgueverzamelingen zijn dus borelverzamelingen op nulverzamelingen na.)

**Oplossing van Oefening 9.10.**

*Meetbaar $\Rightarrow$ $\varepsilon$-benadering*: kies met de uitwendige regulariteit ([Stelling 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) een open $U \supseteq A$ met $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$; de meetbaarheid staat het aftrekken toe: $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq
\varepsilon$. *$\varepsilon$-versie $\Rightarrow$ $G_\delta$-versie*: neem $U_n$ met $\lambda^*(U_n\setminus A) <
\frac1n$ en $G = \bigcap U_n$: een $G_\delta$ met $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. *$G_\delta$-versie $\Rightarrow$ meetbaar*: $G\setminus A$ is $\lambda^*$-nul en dus meetbaar wegens de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Stelling 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)), en $A = G \setminus
(G\setminus A)$ is meetbaar ($G$ is een borelverzameling). Lebesgueverzamelingen zijn dus precies “borel op nulverzamelingen na”.

**Oefening 9.11 ★★.**

([Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) langs monotone limieten, en de scherpte ervan) (a) Toon aan dat voor meetbare verzamelingen $\mu(\liminf A_n)
\leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou voor verzamelingen), en dat, als $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$, ook $\limsup\mu(A_n) \leq
\mu(\limsup A_n)$. (b) Geef, voor de [lebesguemaat](#def-b3-measure-lebesgueouter) op $\R$, een rij met $\mu(A_n) = 1$ voor alle $n$ en toch $\mu(\limsup A_n) = 0$: de eindigheidshypothese in de tweede ongelijkheid is geen versiering. (c) Leid af: uit $\sum\mu(A_n) < \infty$ volgt $\mu(\limsup A_n) =
0$ (opnieuw Borel–Cantelli), en als de $A_n$ stijgen of dalen (met $\mu(A_1) < \infty$ in het dalende geval), dan is $\mu(\lim
A_n) = \lim\mu(A_n)$.

**Oplossing van Oefening 9.11.**

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ is een stijgende vereniging van de verzamelingen $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$, dus is $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen); en $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$, waarvan de limiet $\liminf\mu(A_n)$ is. Voor de $\limsup$: pas hetzelfde toe op de complementen binnen de [omgeving](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) $U = \bigcup A_n$ van eindige [maat](#def-b3-measure-measure) — de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van boven op de dalende $C_N = \bigcup_{n\geq
N}A_n$ vergt $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$, en geeft $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$.

(b) Het bewegende interval $A_n = \intcc n{n+1}$: elk punt behoort tot hoogstens twee van de $A_n$ en uiteindelijk tot geen enkele, dus $\limsup A_n = \varnothing$; en toch is $\mu(A_n) = 1$. Bijgevolg is $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: zonder omhulsel van eindige [maat](#def-b3-measure-measure) faalt de tweede ongelijkheid van (a) — de massa ontsnapt naar oneindig, waar geen vaste verzameling haar kan vangen.

(c) Is $\sum\mu(A_n) < \infty$, dan is $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq
N}\mu(A_n) \to 0$ en heeft $\limsup A_n = \bigcap C_N$ [maat](#def-b3-measure-measure) $\leq
\inf\mu(C_N) = 0$. Monotone gevallen: stijgend is de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen; dalend met $\mu(A_1) < \infty$ is die van boven — beide bewezen bij de basiseigenschappen van [Hoofdstuk 9](#ch-b3-measure); en het tegenvoorbeeld $A_n = \intco
n\infty$ (dalend naar $\varnothing$ met $\mu \equiv \infty$) laat zien dat de eindigheid opnieuw wezenlijk is.

**Oefening 9.12 ★★★.**

(Stelling van Egorov) Zij $\mu(X) < \infty$ en $f_n \to f$ puntsgewijs, alle meetbaar (reëelwaardig). Stel voor $k, N \geq 1$

$$
E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)}
\leq \tfrac1k\Bigr\} .
$$

(a) Toon aan dat voor vaste $k$ geldt $E_{k,N} \nearrow X$ als $N
\to \infty$, en leid een $N_k$ af met $\mu(X \setminus E_{k,N_k})
\leq \varepsilon2^{-k}$. (b) Besluit de *stelling van Egorov*: voor elke $\varepsilon
> 0$ is er een meetbare $A$ met $\mu(X\setminus A) \leq
\varepsilon$ zodanig dat $f_n \to f$ *uniform op $A$* — puntsgewijze convergentie is uniforme convergentie buiten een willekeurig kleine verzameling. (c) Toon aan dat de stelling faalt op $(\R, \lambda)$: de bewegende bulten $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergeren puntsgewijs naar $0$ maar op geen enkel complement van een verzameling van eindige [maat](#def-b3-measure-measure) uniform. Waar gebruikte (a) dat $\mu(X) < \infty$?

**Oplossing van Oefening 9.12.**

(a) De verzamelingen $E_{k,N}$ stijgen met $N$ (minder voorwaarden), en elke $x$ voldoet vanaf zeker moment aan $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ voor alle $n \geq N(x)$ (puntsgewijze convergentie): dus $\bigcup_NE_{k,N} = X$. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van onderen: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$, zodat $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$; kies $N_k$ dienovereenkomstig.

(b) Zij $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$: dan is $\mu(X\setminus A) \leq
\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$. Op $A$ geldt voor elke $k$ en alle $n \geq N_k$ dat $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — precies de uniforme convergentie op $A$.

(c) Voor de bewegende bult vergt uniforme convergentie op $A$ dat $A$ vanaf zeker moment elke $\intcc n{n+1}$ mijdt — preciezer dwingt $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ af dat $A \cap \intcc n{n+1}$ voor grote $n$ leeg is, zodat $X \setminus A$ een staart $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ bevat, van oneindige [maat](#def-b3-measure-measure). In (a) zette de eindigheid “$E_{k,N}\nearrow X$” om in “de [maten](#def-b3-measure-measure) van de complementen gaan naar $0$”: de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van boven heeft een eindig begin nodig, en op ruimten van oneindige [maat](#def-b3-measure-measure) is juist de ontsnapping naar oneindig wat ze niet kan zien.

## 9.6 Probleem: de cantortrap en een meetbare verzameling die geen borelverzameling is

![De cantortrap van Cantor en Vitali: constant op elk gat van de cantorverzameling, en toch continu klimmend van 0 naar 1. Haar afgeleide verdwijnt bijna overal — al het klimmen gebeurt op een nulverzameling.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-76a5dc579eaf.svg)

*De cantortrap van Cantor en Vitali: constant op elk gat van de cantorverzameling, en toch [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) klimmend van $0$ naar $1$. Haar afgeleide verdwijnt bijna overal — al het klimmen gebeurt op een nulverzameling.*

**Probleem 9.1.**

Weekendopgave — de duivelstrap, en $\mathcal
B(\R) \subsetneq \mathcal L$

We construeren de *functie van Cantor en Vitali* (de duivelstrap), gebruiken haar om [maat](#def-b3-measure-measure) op pathologische wijze te vervoeren, en besluiten met een stelling die geen zacht argument oplevert: er bestaan lebesgue-meetbare verzamelingen die geen borelverzameling zijn. Notatie: $C$ is de cantorverzameling, $C_n$ haar $n$-de stadium ($2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$), en elke $x \in C$ heeft ternaire cijfers $x = \sum 2b_n3^{-n}$ met $b_n \in \{0,1\}$ ([Oefening 6.10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#exo-b3-topology-10)).

**Deel I — De trap.** Definieer $c_0(x) = x$ en $c_{n+1}$ uit $c_n$ door

$$
c_{n+1}(x) = \begin{cases}
\tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt]
\tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt]
\tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1.
\end{cases}
$$

1. Toon aan dat elke $c_n$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en niet-dalend is met $c_n(0) = 0$ en $c_n(1) = 1$ , en dat $\norm{c_{n+1} -  c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
2. Leid af dat $(c_n)$ uniform convergeert naar een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) , niet-dalende $c$ met $c(0) = 0$ en $c(1) = 1$ ( *de* functie van Cantor en Vitali), die aan dezelfde zelfgelijkvormige betrekkingen voldoet als de $c_{n+1}$ hierboven.
3. Toon aan dat $c$ constant is op elke [samenhangscomponent](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-components) van $\intcc01\setminus C$ , en dat voor $x = \sum_n  2b_n3^{-n} \in C$ geldt $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : de trap leest cantorcijfers binair (de functie $g$ van [Probleem 6.1](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#pb-b3-topology-1) , monotoon en globaal gemaakt).
4. Leid af dat $c$ in elk punt van $\intcc01\setminus C$ differentieerbaar is met $c' = 0$: dus $c' = 0$ *$\lambda$-bijna overal* ([Voorbeeld 9.14](#ex-b3-measure-cantor)). Besluit dat de hoofdstelling van de integraalrekening voor $c$ faalt: $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (de integraal over de verzameling van volle [maat](#def-b3-measure-measure) waar $c'  = 0$; vooruitlopend op [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ch-b3-lebesgue): nulverzamelingen beïnvloeden integralen niet). Welke hypothese van de $\mathcal C^1$-hoofdstelling wordt geschonden?
5. Toon aan dat $c(C) = \intcc01$ : de nulverzameling $C$ wordt *op* een verzameling van volle [maat](#def-b3-measure-measure) afgebeeld.

**Deel II — Het scheve [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity).** Zij $h(x)
= \frac{c(x) + x}{2}$.

6. Toon aan dat $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is (strikt stijgend, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) , surjectief).
7. Toon aan dat $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) =  \tfrac12$ : op elk gat van lengte $\ell$ werkt $h$ als een affiene afbeelding met helling $\tfrac12$ , en de gaten hebben samen lengte $1$ .
8. Leid af dat $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : het [homeomorfe](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) beeld van een nulverzameling kan positieve [maat](#def-b3-measure-measure) hebben. (Waar botst dat met de naïeve intuïtie over “grootte”?)

**Deel III — Een meetbare verzameling die geen borelverzameling is.**

9. Kies met [Oefening 9.9](#exo-b3-measure-9) een niet-meetbare $W  \subseteq h(C)$ . Toon aan dat $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ lebesgue-meetbaar is. *(Het is een deelverzameling van een nulverzameling; [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [Stelling 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory).)*
10. Toon aan dat het origineel van een borelverzameling onder een [continue afbeelding](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) een borelverzameling is. *(Principe van de goede verzamelingen: $\{B :  h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ is een $\sigma$-algebra die de [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) bevat — let op de richting van de afbeelding.)*
11. Besluit dat $Z$ *geen* borelverzameling is: was ze het, dan was $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ er een (pas vraag 10 toe op de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $h^{-1}$) en dus meetbaar — tegenspraak. Bijgevolg is $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ en vergroot de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) de borelwereld werkelijk.
12. Geef een lebesgue-meetbare functie $g$ en een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functie $\varphi$ zodanig dat $g \circ \varphi$ niet lebesgue-meetbaar is: meetbaarheid stelt zich, anders dan [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) , niet samen. *(Neem $g = \mathbf 1_Z$ en $\varphi = h^{-1}$, vooruitlopend op de definitie van meetbare functies uit [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ch-b3-lebesgue): originelen van borelverzamelingen zijn lebesgueverzamelingen. Waar moet je oppassen met de vraag welke $\sigma$-algebra op het doel wordt gebruikt?)*

**Deel IV — Slotwoord.**

13. Orden de volgende klassen naar strikte inclusie en verantwoord elke striktheid met een voorbeeld uit dit hoofdstuk en zijn probleem: aftelbare verzamelingen; borelnulverzamelingen; lebesguenulverzamelingen; borelverzamelingen; lebesgueverzamelingen; willekeurige verzamelingen.

**Deel V — De cantormaat: massa op een nulverzameling.** De trap is de verdelingsfunctie van een opmerkelijke [maat](#def-b3-measure-measure), die we nu met het gereedschap van dit hoofdstuk bouwen.

14. (Lebesgue–Stieltjes, bestaan) Zij $F\colon\R\to\R$ niet-dalend, [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en begrensd. Definieer op halfopen intervallen $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ en, voor $A \subseteq \R$, $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) -  F(a_k)\bigr) : A \subseteq  \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ Toon aan dat $\mu_F^*$ een [buitenmaat](#def-b3-measure-outer) is en dat $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *(boots het compactheidsargument van [Stelling 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) na, waarbij je elke $\intoc{a_k}{b_k}$ tot een open interval vergroot tegen een $F$-kost $\leq \varepsilon2^{-k}$ — waar wordt de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $F$ gebruikt?)*.
15. Toon aan dat elke borelverzameling $\mu_F^*$ -meetbaar is in de zin van Carathéodory *(net als bij Lebesgue volstaat het de halfrechten te toetsen; volg het bewijs van de toepassing van [Stelling 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))* , zodat $\mu_F =  \mu_F^*$ beperkt tot $\mathcal B(\R)$ een [maat](#def-b3-measure-measure) is met $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : de *Lebesgue–Stieltjes-maat* van $F$ .
16. Pas dit toe op de trap ($F = c$, voortgezet met $0$ op $\R_-$ en $1$ op $\intco1\infty$): de *cantormaat* $\mu$. Toon aan dat $\mu(\R) = 1$, dat elk gat van de cantorverzameling $\mu$-nul is ($c$ is daar constant), en besluit $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ $\mu$ en $\lambda$ leven op disjuncte dragers ($C$ en haar complement). Twee [maten](#def-b3-measure-measure) in die positie heten *onderling singulier*, genoteerd $\mu \perp  \lambda$.
17. Toon aan dat $\mu$ geen atomen heeft: $\mu(\{x\}) = 0$ voor elke $x$ *(de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $c$)* . Een atoomloze kansmaat gedragen door een lebesgue-nulle [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling: vergelijk met de tot nu toe geziene [maten](#def-b3-measure-measure) .
18. (Munten gooien in vermomming) Zij voor een woord $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ de verzameling $C_{\varepsilon}$ die van de $x \in C$ waarvan de ternaire cijfers voldoen aan $b_i(x) = \varepsilon_i$ voor $i \leq m$ (een van de $2^m$ cantorstukken van diepte $m$ ). Toon aan dat $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ *(de trap klimt $2^{-m}$ over dat stuk: gebruik Deel I, vraag 3)* . De cantormaat is de wet van een oneindige rij eerlijke muntworpen, ternair gelezen — [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/22-kansrekening-fundamenten-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-b3-probability) zal dat precies maken.
19. Bewijs de zelfgelijkvormigheid: voor elke borelverzameling $A$ is $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) +  \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ waarbij $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *(controleer het op de voortbrengende intervallen $\intoc ab$ via de zelfgelijkvormige betrekkingen van $c$, en roep dan de eenduidigheid in, [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))*.
20. Toon aan dat de spiegeling $s(x) = 1 - x$ de [maat](#def-b3-measure-measure) $\mu$ bewaart: $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *(via $c(1 - x) = 1 -  c(x)$, wat uit de symmetrie van de constructie volgt — bewijs dat)* .
21. Bereken de eerste twee momenten van $\mu$, dat wil zeggen van een toevallig punt $X$ met wet $\mu$ (de integralen mogen als limieten van sommen over de stukken van diepte $m$ behandeld worden, vooruitlopend op [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ch-b3-lebesgue)): de symmetrie geeft $\int x\,\dd\mu  = \frac12$, en de zelfgelijkvormigheid geeft $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38,  \qquad\text{en dus}\qquad  \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ Vergelijk met de uniforme wet op $\intcc01$ (variantie $\frac1{12}$): de cantormassa, naar de randen geduwd, spreidt *meer*.
22. Toon aan dat de (topologische) *drager* van $\mu$ — de kleinste gesloten verzameling van volle [maat](#def-b3-measure-measure) — precies $C$ is.
23. (Synthese) De trap $c$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en niet-dalend en faalt toch voor de hoofdstelling van de integraalrekening (Deel I); en de [maat](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ is een kansmaat, atoomloos, singulier ten opzichte van $\lambda$ . Leg in een korte alinea uit hoe dat twee gezichten van één verschijnsel zijn, en formuleer de algemene moraal: niet-dalende functies corresponderen met [maten](#def-b3-measure-measure) ( $F \leftrightarrow  \mu_F$ ), differentieerbaarheid bijna overal correspondeert met het “absoluut [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) deel”, en $c$ is de standaardgetuige dat een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $F$ helemaal *geen* absoluut [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) deel hoeft te dragen.
24. (De scherpe continuïteitsmodulus) Zij $s = \frac{\ln  2}{\ln 3}$. Toon aan dat $c$ hölder [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is met exponent $s$: $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s}  \qquad (x, y \in \intcc01),$$ en dat geen enkele exponent $t > s$ kan werken, ook niet lokaal. Leid de maattheoretische vorm af: voor elke $x$ en elke $r \in \intoc01$ is $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(Vergelijk een triadisch rooster van diepte $m$ met de schaal van $\abs{x - y}$; vraag 18 geeft de klim over elk stuk. De exponent $s$ is de hausdorffdimensie van $C$, zoals latere cursussen zullen zeggen.)*
25. (Zelfgelijkvormigheid kenmerkt $\mu$) Bewijs de omkering van vraag 19: is $\nu$ een kansmaat op $\mathcal B(\R)$ gedragen door $\intcc01$ die voldoet aan $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2)  \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ dan is $\nu = \mu$. *(Herhaal de betrekking $m$ maal om $\nu$ over de $2^m$ cantorstukken van diepte $m$ te spreiden, schat $\nu(\intoc ab)$ af tegen het aantal stukken binnen $\intoc ab$, en laat $m \to \infty$ gaan; maak het af met [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Oplossing van Probleem 9.1.**

**1.** Inductie. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity): de drie formules komen in de aansluitpunten overeen ($\frac12c_n(1) = \frac12$ en $\frac12 +
\frac12c_n(0) = \frac12$); en elk stuk is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity). De monotonie en de randwaarden worden geërfd. Voor de contractieschatting: op $[0,\frac13]$ is $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n -
c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$; op het middelste derde is het verschil $0$; en op het rechterderde net als op het linker.

**2.** $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 -
c_0}_\infty$: de reeks van de aangroeiingen convergeert uniform, dus $c_n \to c$ uniform; $c$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), niet-dalend, $c(0) = 0$ en $c(1) = 1$ (alles blijft onder uniforme limieten behouden), en overgaan tot de limiet in de definiërende recursie laat zien dat $c$ zelf aan de drie zelfgelijkvormige identiteiten voldoet.

**3.** Wegens de middelste identiteit is $c \equiv \frac12$ op $\intcc{\frac13}{\frac23}$, het eerste gat. Elk gat van $C$ is het beeld van dat eerste gat onder een samenstelling van de twee affiene contracties $x \mapsto \frac x3$ en $x\mapsto\frac{x +
2}3$; en de identiteiten dragen de constantheid dienovereenkomstig over (met dyadische rationale waarden). Voor de cijferformule: zij $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$; is $b_1 = 0$, dan is $x \in [0,\frac13]$ en $c(x) = \frac12c(3x)$, waarbij $3x$ de cijfers $(b_2, b_3, \dots)$ heeft; is $b_1 = 1$, dan is $x \in
[\frac23, 1]$ en $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$, met dezelfde verschuiving. Per inductie zijn de eerste $N$ binaire cijfers van $c(x)$ gelijk aan $b_1, \dots, b_N$ voor elke $N$: dus $c(x) =
\sum_nb_n2^{-n}$.

**4.** Buiten $C$ is $c$ lokaal constant: differentieerbaar met afgeleide $0$. En omdat $\lambda(C) = 0$ ([Voorbeeld 9.14](#ex-b3-measure-cantor)), is $c' = 0$ bijna overal. Toch is $c(1) - c(0) = 1$: de hoofdstelling in haar $\mathcal C^1$-vorm vergt dat $c$ *overal* differentieerbaar is met [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) (of minstens integreerbare, plus absoluut [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) — zie [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ch-b3-lebesgue)) afgeleide; $c$ is in de punten van $C$ niet differentieerbaar, en fundamenteler faalt $c$ voor de *absolute [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)*: ze klimt op een nulverzameling.

**5.** Gegeven $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ (met $\beta_n \in \{0,1\}$) heeft het punt $x = \sum_n2\beta_n3^{-n}
\in C$ volgens vraag 3 dat $c(x) = y$: dus $c(C) = \intcc01$, een verzameling van [maat](#def-b3-measure-measure) $1$ — de nulverzameling $C$ draagt via $c$ het hele interval.

**6.** $h$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en strikt stijgend ($x$ is dat, $c$ is niet-dalend); $h(0) = 0$ en $h(1) = 1$, dus is $h$ volgens de tussenwaardestelling een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bijectie van $\intcc01$; en een [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) bijectie van een [compacte ruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) naar een [hausdorffruimte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-hausdorff) is een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) ([Gevolg 6.14](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**7.** Op een gat $(u, v)$ (lengte $\ell$) is $c$ constant, dus is $h$ affien met helling $\frac12$: $h((u,v))$ is een interval van lengte $\frac\ell2$. De gaten zijn disjunct en $h$ is injectief: de beelden zijn dus disjunct, met totale [maat](#def-b3-measure-measure) $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$.

**8.** $h(\intcc01) = \intcc01$ en $h(C)$ is [compact](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) ([continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) beeld) en dus meetbaar, met

$$
\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 -
\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 =
\tfrac12 .
$$

Een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) kan een nulverzameling dus tot [maat](#def-b3-measure-measure) $\frac12$ opblazen: “topologische grootte” (categorie, dimensie) en “[maat](#def-b3-measure-measure)” worden door [homeomorfismen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) heel verschillend vervoerd — alleen de eerste is een topologische invariant.

**9.** $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ heeft $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$: een nulverzameling, en dus lebesgue-meetbaar wegens de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/7-volledige-ruimten-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Stelling 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)).

**10.** Zij $\varphi$ [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) en $\mathcal D = \{B :
\varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$. Originelen verdragen zich met complementen en aftelbare verenigingen, dus is $\mathcal D$ een $\sigma$-algebra; en ze bevat de [open verzamelingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)): dus $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — originelen van borelverzamelingen onder [continue afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) zijn borelverzamelingen.

**11.** Was $Z$ een borelverzameling, pas dan vraag 10 toe op de [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) $\varphi = h^{-1}$: dan was $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) =
W$ een borelverzameling en dus lebesgue-meetbaar — in strijd met de keuze van $W$. Dus $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$: de $\sigma$-algebra van Lebesgue bevat die van Borel strikt.

**12.** $g = \mathbf 1_Z$ is lebesgue-meetbaar ($Z \in
\mathcal L$) en $\varphi = h^{-1}$ is [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), maar $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ is niet meetbaar: $g \circ \varphi$ is dus niet lebesgue-meetbaar. De vereiste zorgvuldigheid: “lebesgue-meetbare functie” betekent dat originelen van *borel*verzamelingen in $\mathcal L$ landen; samenstellen vergt dat originelen van *lebesgue*verzamelingen lebesgueverzamelingen zijn, en dat verschaft [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) niet (hier is $\varphi^{-1}(Z) \notin
\mathcal L$, hoewel $\varphi$ een [homeomorfisme](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) is).

**13.** De ketens, met getuigen voor de striktheid:

$$
\{\text{aftelbaar}\} \subsetneq \{\text{borelnul}\}
\subsetneq \{\text{lebesguenul}\} \subsetneq \mathcal L
\subsetneq \mathcal P(\R),
\qquad
\{\text{borelnul}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq
\mathcal L .
$$

Getuigen: $C$ is borel, nul en overaftelbaar (eerste gat); $Z$ is lebesguenul maar geen borelverzameling (tweede, en binnen $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$ het zesde); een dikke cantorverzameling is borel, nergens [dicht](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) en van positieve [maat](#def-b3-measure-measure) (wat de nulverzamelingen van de borelverzamelingen scheidt); en de $V$ van Vitali ligt niet in $\mathcal L$ (het laatste gat). [Maat](#def-b3-measure-measure), [topologie](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-topology) en kardinaliteit snijden $\mathcal P(\R)$ langs werkelijk verschillende lijnen.

**14.** [Buitenmaat](#def-b3-measure-outer): $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (overdek met een verdwijnend interval), de monotonie is duidelijk, en de aftelbare subadditiviteit volgt door $\varepsilon2^{-k}$-optimale overdekkingen aaneen te lassen, precies als bij $\lambda^*$. De overdekking met één interval geeft $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) -
F(a)$. Zij omgekeerd $\intoc ab \subseteq
\bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$. Kies wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $F$ een $b_k' > b_k$ met $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$, en een $a' \in \intoo ab$ met $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$. De [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) $\intcc{a'}b$ wordt door de open $\intoo{a_k}{b_k'}$ overdekt: eindig veel volstaan, en het kettingargument van [Stelling 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) (loop van $a'$ naar $b$ via overlappende intervallen, telescopeer de $F$-aangroeiingen, en laat de monotonie de overlappingen opslokken) levert $F(b) - F(a')
\leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) +
\varepsilon$. Laat $\varepsilon \to 0$ gaan: gelijkheid. (De [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $F$ is wat het openen van de intervallen tegen willekeurig kleine $F$-kost toestond.)

**15.** Het volstaat elke halfrechte $H_t = \intoc{-\infty}t$ meetbaar in de zin van Carathéodory te bewijzen, want de meetbare verzamelingen vormen een $\sigma$-algebra ([Stelling 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) en de halfrechten brengen $\mathcal B$ voort. Gegeven $A$ en een $\varepsilon$-optimale overdekking $(\intoc{a_k}{b_k})$ van $A$: elk interval splitst als $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (één stuk eventueel leeg), waarbij de $F$-kosten precies optellen tot $F(b_k)
- F(a_k)$; de eerste stukken overdekken $A \cap H_t$ en de tweede $A \setminus H_t$. Bijgevolg is $\mu_F^*(A\cap H_t) +
\mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$, en de omgekeerde ongelijkheid is de subadditiviteit. De resulterende [maat](#def-b3-measure-measure) tot $\mathcal B$ beperkt is de Lebesgue–Stieltjes-maat $\mu_F$.

**16.** $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van de [maat](#def-b3-measure-measure) langs $\intoc{-n}n$). Op een gat $\intoo
uv$ van $C$ is $c$ constant, dus is elk halfopen deelinterval $\mu$-nul en daarmee ook het gat (aftelbare vereniging); en buiten $\intcc01$ is $c$ eveneens constant. Bijgevolg is $\mu(\R\setminus
C) = 0$ en $\mu(C) = 1$, terwijl $\lambda(C) = 0$ ([Voorbeeld 9.14](#ex-b3-measure-cantor)): elk van $\mu$ en $\lambda$ wordt gedragen door een verzameling die de andere nul noemt — onderling singulier.

**17.** $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0}
\mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) van $c$: geen atomen. $\mu$ is dus een atoomloze kansmaat gedragen door een lebesgue-nulle [compacte](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-compact) verzameling — niet diffuus met dichtheid zoals de beperkingen van $\lambda$, en niet atomair zoals de telmaten: een derde soort.

**18.** Het stuk $C_\varepsilon$ overspant een ternair interval $I_\varepsilon$ van lengte $3^{-m}$, en Deel I, vraag 3 laat zien dat de trap over $I_\varepsilon$ precies $2^{-m}$ klimt (de eerste $m$ binaire cijfers van $c$ liggen op $\varepsilon$ vast, de rest doorloopt alles). Dus is $\mu(C_\varepsilon) =
\mu(I_\varepsilon) = c(\text{rechteruiteinde}) -
c(\text{linkeruiteinde}) = 2^{-m}$: alle cijfercilinders van diepte $m$ hebben massa $2^{-m}$, de wet van $m$ eerlijke munten.

**19.** Het rechterlid definieert de borelmaat $\nu =
\frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto
\tfrac{x+2}3)_*\mu$, geëvalueerd in $A$ — een kansmaat. Puntsgewijs gaat men, met $c$ globaal voortgezet, geval voor geval ($x \leq 0$; de drie derden; $x \geq 1$) de identiteit

$$
c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2)
$$

na, bijvoorbeeld op $\intcc{1/3}{2/3}$: $\frac12\cdot1 +
\frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$. $\nu$ evalueren op $\intoc ab$ geeft dus $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$, en twee eindige [maten](#def-b3-measure-measure) die op het $\pi$-systeem van de halfopen intervallen samenvallen, vallen samen op $\mathcal B$ ([Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)): $\nu = \mu$.

**20.** Inductie naar $n$: $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$, en heeft $c_n$ de symmetrie, dan is voor $x \in \intcc0{1/3}$: $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 +
\frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 -
c_{n+1}(x)$; het middelste derde spiegelt om $\frac12$; en het rechterderde is het gespiegelde linkergeval. In de limiet is $c(1-x)
= 1 - c(x)$. Beeldmaat: $(s_*\mu)(\intoc ab) =
\mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ($\mu$ is atoomloos, vraag 17, dus kosten de randconventies niets) $= (1 - c(a)) - (1 -
c(b)) = \mu(\intoc ab)$: dus $s_*\mu = \mu$ wegens de eenduidigheid.

**21.** Zij $X \sim \mu$ (integralen van [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity) functies tegen $\mu$ bestaan als limieten van sommen van riemanntype over de stukken van diepte $m$, elk van massa $2^{-m}$, met een bemonsteringsfout $\leq \operatorname{osc} \leq
\norm{f'}_\infty3^{-m}$; [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/10-de-lebesgue-integraal#ch-b3-lebesgue) zal dit systematiseren). Symmetrie: $1 - X \sim X$, dus $\E X = \frac12$. Zelfgelijkvormigheid: $X$ heeft met kans $\frac12$ de wet van $\frac Y3$ en met kans $\frac12$ die van $\frac{Y+2}3$, met $Y
\sim \mu$, zodat

$$
\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\,
\frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},
$$

waaruit $\E X^2 = \frac38$ en $\operatorname{Var}X = \frac38 -
\frac14 = \frac18$. De uniforme wet heeft variantie $\frac1{12} <
\frac18$: de cantormassa kruipt tegen de uiteinden aan.

**22.** $C$ is gesloten en $\mu(C) = 1$. Snijdt een open $I$ de verzameling $C$ in $x$, dan krimpen de stukken van diepte $m$ die $x$ bevatten naar $x$, zodat een zekere $I_\varepsilon
\subseteq I$ en $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$: geen kleinere gesloten verzameling kan $\mu$ dragen. Punten buiten $C$ hebben gatomgevingen van $\mu$-maat $0$. Bijgevolg is $\operatorname{supp}\mu = C$ precies.

**23.** Eén verschijnsel, twee dialecten. Deel I zegt dat de groei van $c$ onzichtbaar is voor haar afgeleide: $c' = 0$ bijna overal, terwijl al het klimmen op de nulverzameling $C$ is geconcentreerd. Deel V zegt dat de bijbehorende [maat](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ al haar massa op diezelfde nulverzameling legt: $\mu_c \perp
\lambda$, zodat geen dichtheid $f \geq 0$ aan $\mu_c(A) =
\int_Af\,\dd\lambda$ kan voldoen — een dichtheid dwingt immers verdwijning op $\lambda$-nulverzamelingen af. Het woordenboek: niet-dalende begrensde $F \leftrightarrow$ eindige [maat](#def-b3-measure-measure) $\mu_F$ (vragen 14–15); $F$ een integraal van haar afgeleide $\leftrightarrow$ $\mu_F$ heeft een dichtheid (het “absoluut [continue](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity)” geval); en in het algemeen vindt $F'$, dat voor monotone $F$ bijna overal bestaat (de differentiatiestelling van Lebesgue, buiten dit hoofdstuk), alleen het dichtheidsdeel terug. De trap is het uiterste: [continu](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-continuity), met afgeleide $0$ bijna overal — haar [maat](#def-b3-measure-measure) is *zuiver singulier*, en de hoofdstelling van de integraalrekening faalt niet bij toeval maar precies met het bedrag $\mu_c(\R) = 1$ aan singuliere massa.

**24.** Leg $x < y$ in $\intcc01$ vast en kies $m \geq 0$ met $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$. Over elk triadisch interval $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ klimt de trap hoogstens $2^{-m}$: zo’n interval is ofwel een van de $2^m$ stukken van $C_m$, waar de klim precies $2^{-m}$ is (vraag 18), ofwel ligt het in de [afsluiting](https://one-course.com/books/math/5/nl/chapter/6-algemene-topologie#def-b3-topology-interior) van één gat van een stadium $\leq m$, waar $c$ constant is. Omdat $y - x \leq 3^{-m}$, snijdt $\intcc xy$ hoogstens twee opeenvolgende triadische intervallen van diepte $m$, dus

$$
c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m}
= 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s}
< 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s}
= 4\,(y - x)^{s},
$$

met $3^{s} = 2$ en $3^{-m} < 3(y - x)$. Optimaliteit: de eindpunten $u < v$ van een cantorstuk van diepte $m$ voldoen aan $v - u = 3^{-m}$ en $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$; een höldergrens $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ met $t > s$ zou $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ afdwingen (want $3^{t} > 3^{s} = 2$), en elk deelinterval van $\intcc01$ bevat zulke stukken, zodat het falen ook lokaal is. Maatvorm: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq
4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (met $c$ tot $\R$ voortgezet als in vraag 16; $\mu$ heeft geen atomen, vraag 17).

**25.** Schrijf $S_0(x) = \frac x3$ en $S_1(x) =
\frac{x+2}3$; de hypothese zegt $\nu = \frac12(S_0)_*\nu +
\frac12(S_1)_*\nu$. Na $m$ herhalingen:

$$
\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu,
\qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.
$$

Omdat $\nu$ door $\intcc01$ wordt gedragen en $S_w(\intcc01) =
I_w$ het cantorstuk van diepte $m$ met index $w$ is, is elke $(S_w)_*\nu$ een kansmaat gedragen door $I_w$; en de $2^m$ stukken zijn paarsgewijs disjuncte gesloten intervallen van lengte $3^{-m}$. Leg $\intoc ab$ vast en zij $N_m$ het aantal stukken $I_w \subseteq \intoc ab$. Een stuk dat $\intoc ab$ snijdt zonder erin bevat te zijn, moet $a$ of $b$ bevatten, en een punt ligt in hoogstens één stuk, dus

$$
2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.
$$

Dezelfde dubbele ongelijkheid geldt voor $\mu$ (vraag 19 geeft dezelfde iteratie), met hetzelfde aantal $N_m$. Bijgevolg is $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$: $\nu$ en $\mu$ vallen samen op het $\pi$-systeem van de halfopen intervallen, en beide zijn kansmaten, dus geeft [Stelling 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) dat $\nu = \mu$. De trapmaat is dus *het* vaste punt van het middelingsschema met twee afbeeldingen — de uitspraak op maatniveau van de zelfgelijkvormigheid van $C$.