--- title: "A integral de Lebesgue" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 10 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue --- # Capítulo 10 — A integral de Lebesgue A integral de Riemann fatia o *domínio* em pequenos intervalos; a de Lebesgue fatia a *imagem*: para integrar $f$, meça os conjuntos $\{f > t\}$. A mudança parece inocente e é revolucionária. Limites e integrais, eternamente em desavença na teoria de Riemann (exigia-se convergência uniforme!), reconciliam-se por três teoremas de convergência — convergência monótona, Fatou, convergência dominada — cujas hipóteses são de uma fraqueza quase embaraçosa. Este capítulo constrói a integral sobre um [espaço de medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) arbitrário $(X, \mathcal A, \mu)$, demonstra os três teoremas, esclarece a relação exata com a integral de Riemann (uma função limitada é [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) se, e somente se, é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) [quase em toda parte](#def-b3-lebesgue-l1)) e industrializa a derivação de integrais dependentes de parâmetro — a técnica que o problema de fim de semana usa para calcular $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ e $\int_\R \eu^{-x^2}\dd x$. ## 10.1 Funções mensuráveis **Definição 10.1.** Sejam $(X, \mathcal A)$ e $(Y, \mathcal B)$ espaços mensuráveis. $f \colon X \to Y$ é *mensurável* se $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ para todo $B \in \mathcal B$. Para funções reais (ou a valores em $[-\infty,+\infty]$), $Y = \R$ carrega sua $\sigma$-álgebra de Borel, e basta verificar $f^{-1}(\intoo t{+\infty}) = \{f > t\} \in \mathcal A$ para todo $t \in \R$: os bons conjuntos $\{B : f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ formam uma $\sigma$-álgebra (as pré-imagens comutam com as operações de conjuntos) que contém as semirretas geradoras ([Definição 9.2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-borel), [Método 9.17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#met-b3-measure-goodsets)). **Proposição 10.2.** (a) Composições de aplicações [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable) são [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable); [aplicações contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) são [Borel-mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable). (b) Se $f, g \colon X \to \R$ são [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable), também o são $f + g$, $fg$, $\max(f,g)$, $\abs f$, $\lambda f$. (c) Se as $(f_n)$ são [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable) com valores em $[-\infty, +\infty]$, então $\sup_nf_n$, $\inf_nf_n$, $\limsup f_n$, $\liminf f_n$ são [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable); se $f_n \to f$ pontualmente, $f$ é [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable). **Demonstração.** (a) $(g\circ f)^{-1}(B) = f^{-1}(g^{-1}(B))$; a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) dá a [mensurabilidade](#def-b3-lebesgue-measurable) via os abertos geradores ([Problema 9.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#pb-b3-measure-1), questão 10, em forma geral). (b) $(f, g) \colon X \to \R^2$ é [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) para a $\sigma$-álgebra de Borel de $\R^2$ — verifique nos blocos abertos, que a geram (os abertos de $\R^2$ são reuniões enumeráveis de blocos racionais): $(f,g)^{-1}(U\times V) = f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ — e $+, \times, \max$ são [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\R^2 \to \R$: componha. (c) $\{\sup f_n > t\} = \bigcup_n\{f_n > t\}$; $\inf = -\sup(-)$; $\limsup = \inf_N\sup_{n \geq N}$; um limite pontual é seu próprio $\limsup$. ∎ **Definição 10.3.** Uma *função simples* é uma [função mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) com um número finito de valores: $s = \sum_{i=1}^n c_i\,\mathbf 1_{A_i}$, com $A_i \in \mathcal A$ disjuntos e $c_i \geq 0$ (para a teoria não negativa). Sua integral é $$ \int s\,\dd\mu = \sum_i c_i\,\mu(A_i) \in [0, +\infty] $$ (com a convenção $0\cdot\infty = 0$); o valor não depende da [representação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/5-representacoes-de-grupos-finitos#def-b3-representations-rep) (refine duas partições). **Teorema 10.4 (Aproximação por funções simples).** Toda [função mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) $f \colon X \to [0, +\infty]$ é o limite pontual de uma sequência *crescente* de [funções simples](#def-b3-lebesgue-simple): $$ s_n = \sum_{k=1}^{n2^n} \frac{k-1}{2^n}\, \mathbf 1_{\{\frac{k-1}{2^n} \leq f < \frac k{2^n}\}} + n\,\mathbf 1_{\{f \geq n\}} \nearrow f . $$ **Demonstração.** Cada $s_n$ é simples (os conjuntos são pré-imagens de borelianos). Monotonicidade: passar de $n$ a $n+1$ divide cada nível diádico em dois e nunca diminui o valor atribuído (um ponto com $\frac{k-1}{2^n} \leq f(x) < \frac k{2^n}$ recebe $\frac{2k-2}{2^{n+1}}$ ou $\frac{2k-1}{2^{n+1}}$, ambos $\geq \frac{k-1}{2^n}$; e o teto $n$ também sobe). Convergência: se $f(x) < \infty$, para $n > f(x)$ temos $f(x) - s_n(x) \leq 2^{-n}$; se $f(x) = \infty$, $s_n(x) = n \to \infty$. ∎ ## 10.2 A integral e os teoremas de convergência **Definição 10.5.** Para $f \geq 0$ [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable): $$ \int f \,\dd\mu = \sup\Bigl\{\int s\,\dd\mu : s \text{ simples}, \ 0 \leq s \leq f\Bigr\} \in [0, +\infty]. $$ Ela é monótona em $f$ por construção e estende o caso simples (para $f$ simples, o supremo é atingido em $f$: comparação de integrais de [funções simples](#def-b3-lebesgue-simple) via refinamentos comuns). **Teorema 10.6 (Convergência monótona, Beppo Levi).** Se $0 \leq f_n \nearrow f$ pontualmente (com todas [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable)), então $$ \int f_n\,\dd\mu \nearrow \int f\,\dd\mu . $$ **Demonstração.** $f$ é [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) ([Proposição 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)(c)) e $\int f_n$ cresce até algum $L \leq \int f$ (monotonicidade). Reciprocamente, fixe uma [função simples](#def-b3-lebesgue-simple) $s = \sum c_i\mathbf 1_{A_i} \leq f$ e $\theta \in (0,1)$; os conjuntos $E_n = \{f_n \geq \theta s\}$ são [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable) e crescem até $X$ (onde $s(x) > 0$: $f(x) \geq s(x) > \theta s(x)$, de modo que, a partir de certo índice, $f_n(x) \geq \theta s(x)$; onde $s(x) = 0$: trivialmente). Então $$ \int f_n \geq \int_{E_n}\theta s\,\dd\mu = \theta\sum_i c_i\,\mu(A_i \cap E_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \theta\sum_ic_i\,\mu(A_i) = \theta\int s $$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo ([Proposição 9.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#prop-b3-measure-basics)(c)). Logo $L \geq \theta\int s$ para todo $\theta < 1$ e toda $s \leq f$ simples: $L \geq \int f$. ∎ **Corolário 10.7.** Para $f, g \geq 0$ [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable) e $c \geq 0$: $\int(f + g) = \int f + \int g$ e $\int cf = c\int f$; e, para uma série de [funções mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable) não negativas, $\int\sum_nf_n = \sum_n\int f_n$. **Demonstração.** Para [funções simples](#def-b3-lebesgue-simple), a aditividade é um cálculo em um refinamento comum. No caso geral, tome $s_n \nearrow f$, $t_n \nearrow g$ ([Teorema 10.4](#thm-b3-lebesgue-approximation)): $s_n + t_n \nearrow f + g$, e o teorema da convergência monótona passa a aditividade ao limite. O enunciado sobre séries é esse mesmo teorema aplicado às somas parciais. ∎ **Teorema 10.8 (Lema de Fatou).** Para $f_n \geq 0$ [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable): $$ \int \liminf_n f_n \,\dd\mu \;\leq\; \liminf_n \int f_n\,\dd\mu . $$ **Demonstração.** Ponha $g_N = \inf_{n\geq N}f_n$: [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable), $0 \leq g_N \nearrow \liminf f_n$, e $g_N \leq f_n$ para todo $n \geq N$, de modo que $\int g_N \leq \inf_{n \geq N}\int f_n$. Aplique a convergência monótona ao membro esquerdo: $\int\liminf f_n = \lim_N\int g_N \leq \lim_N\inf_{n\geq N}\int f_n = \liminf\int f_n$. ∎ **Definição 10.9.** Uma [função mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) $f \colon X \to \R$ (ou a valores em $\C$) é *integrável* se $\int\abs f\,\dd\mu < \infty$; então $\int f = \int f^+ - \int f^-$ (partes positiva e negativa; partes real e imaginária no caso complexo). A integral é linear nas funções integráveis (decomponha e recombine as partes positivas; o caso complexo se reduz ao real) e satisfaz $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ (caso real: $\pm\int f = \int(\pm f) \leq \int\abs f$; caso complexo: multiplique por uma constante unimodular para tornar a integral real). Uma propriedade vale *quase em toda parte* (q.t.p.) se falha apenas em um conjunto $\mu$-nulo; modificar $f$ em um conjunto nulo não altera integral alguma (a diferença é dominada por $\infty\cdot\mathbf 1_N$, de integral $0$). **Teorema 10.10 (Convergência dominada).** Seja $f_n \to f$ q.t.p., com $\abs{f_n} \leq g$ q.t.p. para uma $g$ *[integrável](#def-b3-lebesgue-l1)* fixada. Então $f$ é [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) e $$ \int f_n\,\dd\mu \longrightarrow \int f\,\dd\mu, \qquad\text{de fato}\quad \int\abs{f_n - f}\,\dd\mu \to 0 . $$ **Demonstração.** Descarte um conjunto nulo para tornar as hipóteses pontuais. $\abs f \leq g$: $f$ é [integrável](#def-b3-lebesgue-l1). As funções $h_n = 2g - \abs{f_n - f} \geq 0$ satisfazem $\liminf h_n = 2g$; Fatou dá $$ \int 2g \leq \liminf\int\bigl(2g - \abs{f_n - f}\bigr) = \int 2g - \limsup\int\abs{f_n - f}, $$ logo $\limsup\int\abs{f_n - f} \leq 0$ (a subtração é legítima: $\int 2g < \infty$). Por fim, $\abs{\int f_n - \int f} \leq \int\abs{f_n - f} \to 0$. ∎ **Método 10.11.** Diante de $\lim_n\int f_n$: tente, nesta ordem — (1) a sequência é monótona (ou é uma série de termos não negativos)? Convergência monótona, sem precisar de [integrabilidade](#def-b3-lebesgue-l1). (2) Existe um único dominador [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) $g \geq \abs{f_n}$, obtido por estimativas grosseiras (o “$\sup_n$” das estimativas)? Convergência dominada. (3) Sem dominação nem monotonicidade? Fatou ainda limita um dos lados, e a igualdade pode genuinamente falhar: a onda que foge, $f_n = n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$, tem $\int f_n = 1$, mas $f_n \to 0$ q.t.p. A dominação é exatamente o que impede a massa de escapar para o infinito, na vertical ou na horizontal. ## 10.3 Riemann contra Lebesgue **Teorema 10.12 (Critério de Lebesgue).** Seja $f \colon \intcc ab \to \R$ *limitada*. Então $f$ é [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) se, e somente se, $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\lambda$-quase em toda parte; nesse caso, $f$ é [Lebesgue-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) e as duas integrais coincidem. **Demonstração.** Para uma subdivisão $\sigma = (a = x_0 < \dots < x_N = b)$, sejam $L_\sigma$ e $U_\sigma$ as funções escada iguais, em cada $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$, a $m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]}f$ e a $M_i = \sup$; as somas de Darboux são suas integrais (Riemann e Lebesgue coincidem em funções escada, ambas dando $\sum m_i\Delta x_i$). Tome uma sequência de subdivisões $\sigma_n$, cada uma refinando a anterior, de malha $\to 0$, com somas de Darboux convergindo às integrais de Darboux inferior e superior de $f$. Os refinamentos tornam $L_{\sigma_n}$ não decrescente e $U_{\sigma_n}$ não crescente pontualmente fora do conjunto enumerável $D$ de todos os pontos de divisão; chame os limites de $\ell$ e $u$ ([mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable), [Proposição 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)). Para $x \notin D$, escrevendo $I_n(x)$ para o intervalo aberto de $\sigma_n$ que contém $x$: $\ell(x) = \sup_n\inf_{I_n(x)}f$ e $u(x) = \inf_n\sup_{I_n(x)}f$; como as malhas encolhem a $0$, essas são as *envoltórias* inferior e superior de $f$ em $x$ — $u(x) - \ell(x)$ é a oscilação de $f$ em $x$ —, de modo que *$\ell(x) = u(x)$ se, e somente se, $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $x$*. Por convergência monótona ou dominada (função limitada, intervalo finito): $$ \int_{\intcc ab}\ell\,\dd\lambda = \lim_n\int L_{\sigma_n} = \underline{\int}f, \qquad \int_{\intcc ab}u\,\dd\lambda = \overline{\int}f . $$ $f$ [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) $\iff$ $\underline\int f = \overline\int f$ $\iff$ $\int(u - \ell) = 0$ $\iff$ $u = \ell$ q.t.p. ($u - \ell \geq 0$; [Exercício 10.5](#exo-b3-lebesgue-5)) $\iff$ $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) q.t.p. Nesse caso, $\ell \leq f \leq u$ com $\ell = u$ q.t.p.: $f$ é igual q.t.p. à [função mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) $\ell$ e, portanto, é [Lebesgue-mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) ([completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) de $\lambda$), com $\int f\,\dd\lambda = \int\ell\,\dd\lambda = \underline\int f = \int_a^bf$. ∎ **Exemplo 10.13.** $\mathbf 1_\Q$ não é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em ponto algum: não é [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) — mas é trivial para Lebesgue: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. A função de Thomae ( $\frac1q$ nos racionais $\frac pq$ e $0$ nos demais pontos) é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) exatamente nos irracionais: é [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) com integral $0$. E as integrais de Riemann *impróprias* são uma noção diferente: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ converge como limite de $\int_0^A$ (o problema de fim de semana a calcula: $= \frac\pi2$), mas $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: a integral absoluta diverge como a série harmônica ([Exercício 10.6](#exo-b3-lebesgue-6)). A teoria de Lebesgue troca a convergência condicional por teoremas de limite robustos. ## 10.4 Integrais com parâmetros Ao longo de toda esta seção, $(X, \mathcal A, \mu)$ é um [espaço de medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure), $T$ é um espaço métrico (o parâmetro) e $f \colon T \times X \to \C$ é tal que $f(t, \cdot)$ é [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) para cada $t$; ponha $F(t) = \int_X f(t, x)\,\dd\mu(x)$. **Teorema 10.14 (Continuidade).** Suponha: $t \mapsto f(t,x)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $t_0$ para q.t.p. $x$, e existe uma [função integrável](#def-b3-lebesgue-l1) $g$ com $\abs{f(t,x)} \leq g(x)$ para todo $t$ em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $t_0$ e q.t.p. $x$. Então $F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $t_0$. **Demonstração.** Para uma sequência qualquer $t_n \to t_0$: $f(t_n, \cdot) \to f(t_0, \cdot)$ q.t.p., dominada por $g$: a convergência dominada dá $F(t_n) \to F(t_0)$; e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) sequencial basta em espaços métricos ([Observação 6.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#rem-b3-topology-sequences)). ∎ **Teorema 10.15 (Derivação sob o sinal de integral).** Seja $T$ um intervalo aberto de $\R$. Suponha: para q.t.p. $x$, $t \mapsto f(t,x)$ é derivável em $T$, com $$ \Bigl|\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\Bigr| \leq g(x) \quad \text{para todo } t \in T,\ \text{q.t.p. } x, $$ e $g$ [integrável](#def-b3-lebesgue-l1). Então $F$ é derivável em $T$ com $F'(t) = \int_X \frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\,\dd\mu(x)$. **Demonstração.** Fixe $t$ e $h_n \to 0$: os quocientes de diferenças $$ \varphi_n(x) = \frac{f(t + h_n, x) - f(t, x)}{h_n} \longrightarrow \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) \quad\text{q.t.p.}, $$ e a desigualdade do valor médio limita $\abs{\varphi_n(x)} \leq \sup_{s}\abs{\partial_tf(s,x)} \leq g(x)$: a convergência dominada se aplica, e $\frac{F(t + h_n) - F(t)}{h_n} = \int\varphi_n \to \int\partial_t f(t, \cdot)$. ∎ **Exemplo 10.16 (A função Gama).** Para $t > 0$, ponha $$ \Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1}\eu^{-x}\,\dd x . $$ A integral converge: perto de $0$, $x^{t-1}$ é [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) ($t > 0$); no infinito, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. A integração por partes (em $[\varepsilon, A]$ e, depois, passando ao limite por convergência monótona) dá a equação funcional $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, donde $\Gamma(n+1) = n!$: o fatorial interpolado. Em todo $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$, $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ é dominada por $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1): $\Gamma$ é $\mathcal C^1$ e, por indução, $\mathcal C^\infty$, com $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. O valor $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ é a integral gaussiana disfarçada ([Problema 10.1](#pb-b3-lebesgue-1)). ![O integrando xx: a integral imprópria ∈t_0∈fty converge por cancelamento alternado entre os arcos, mas as áreas | | dos arcos se comportam como 2π k — uma série harmônica: xx ∉ L1. Ser Lebesgue-integrável é ser absolutamente integrável.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-lebesgue/fig-8a5288e0e9f0.svg) *O integrando $\frac{\sin x}x$: a integral imprópria $\int_0^\infty$ converge por cancelamento alternado entre os arcos, mas as áreas $\abs{\cdot}$ dos arcos se comportam como $\frac2{\pi k}$ — uma série harmônica: $\frac{\sin x}x \notin L^1$. Ser [Lebesgue-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) é ser absolutamente [integrável](#def-b3-lebesgue-l1).* ## 10.5 Exercícios **Exercício 10.1 ★.** (a) Mostre que uma função monótona $\R \to \R$ é [Borel-mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable), e que uma derivada (de uma função derivável em toda parte) é [Borel-mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable). (b) Mostre que $f \colon X \to \R$ é [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) se, e somente se, $\{f > q\} \in \mathcal A$ para todo $q$ *racional*. **Solução de Exercício 10.1.** (a) Se $f$ é não decrescente, $\{f > t\}$ é $\varnothing$, $\R$ ou uma semirreta $\intoo a{+\infty}$ / $\intco a{+\infty}$: boreliano em todos os casos; não crescente, do mesmo modo. Uma derivada: $f'(x) = \lim_n n\bigl(f(x + \frac1n) - f(x)\bigr)$ é um limite pontual de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (logo [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable)): [Proposição 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)(c). (b) $\{f > t\} = \bigcup_{q \in \Q,\, q > t}\{f > q\}$: se os níveis racionais são [mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable), todos os níveis são, e as semirretas geram $\mathcal B(\R)$. **Exercício 10.2 ★.** Calcule, com justificativa [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty} \frac{\cos x}{(1 + x/n)^{n}}\,\dd x, \qquad \lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{n\,x^{n-1}}{1 + x}\,\dd x . $$ *(Para o segundo: substitua $u = x^n$ antes de dominar.)* **Solução de Exercício 10.2.** Primeiro: $(1 + x/n)^n \nearrow \eu^x$ para $x \geq 0$, de modo que o integrando tende pontualmente a $\eu^{-x}\cos x$; para $n \geq 2$, $(1 + x/n)^n \geq (1 + x/2)^2$, dando o dominante [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) $(1 + x/2)^{-2}$. TCD: $$ \lim_n\int_0^\infty\frac{\cos x}{(1 + x/n)^n}\dd x = \int_0^\infty \eu^{-x}\cos x\,\dd x = \operatorname{Re}\int_0^\infty\eu^{-(1 - \iu)x}\dd x = \operatorname{Re}\frac{1}{1 - \iu} = \frac12 . $$ Segundo: substitua $u = x^n$ (uma bijeção $\mathcal C^1$ de $\intoo01$): $$ \int_0^1\frac{nx^{n-1}}{1 + x}\dd x = \int_0^1\frac{\dd u}{1 + u^{1/n}} \longrightarrow \int_0^1\frac{\dd u}{2} = \frac12, $$ por TCD: para $u \in \intoo01$, $u^{1/n} \to 1$, e o integrando é limitado por $1$ num [espaço de medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita. **Exercício 10.3 ★★.** (a) Exiba desigualdade estrita no lema de Fatou. (b) Exiba $f_n \to 0$ pontualmente com $\int f_n = 1$ de três maneiras: fuga em altura, em largura e para o infinito. Qual hipótese isolada da convergência dominada cada uma delas viola? (c) Mostre que, no lema de Fatou, não se pode trocar $\liminf$ por $\limsup$ em nenhum dos dois lados. **Solução de Exercício 10.3.** (a) $f_n = n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$: $\liminf f_n = 0$ pontualmente, $\int f_n = 1$: $0 < 1$. (b) Altura: $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$; largura: $\frac1n\mathbf 1_{\intoo0n}$; translação: $\mathbf 1_{\intoo n{n+1}}$. Todas tendem a $0$ pontualmente com $\int = 1$. Em cada caso falha a hipótese de *dominação*: $\sup_nf_n$ é $\approx 1/x$ perto de $0$, $\approx$ é um perfil constante não [integrável](#def-b3-lebesgue-l1), $\mathbf 1_{\intoo1\infty}$ do mesmo tipo — nunca [integráveis](#def-b3-lebesgue-l1). (c) “$\int\limsup f_n \geq \limsup\int f_n$” falha para o pico que translada: membro esquerdo $0$, membro direito $1$. “$\limsup\int \leq \int\limsup$” é o mesmo enunciado. E Fatou para $\limsup$ com $\leq$ invertido (“Fatou reverso”) exige um dominante — o mesmo pico é o contraexemplo. **Exercício 10.4 ★★.** (a) Mostre que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x}{\eu^x - 1}\,\dd x = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ *(expanda $\frac1{\eu^x - 1}$ em série geométrica e integre termo a termo — que teorema o permite?)*. (b) (O sonho do segundanista) Mostre que $\displaystyle\int_0^1 x^{-x}\,\dd x = \sum_{n\geq1}n^{-n}$. *(Escreva $x^{-x} = \eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln x)^k}{k!}$ e calcule $\int_0^1(-x\ln x)^k\dd x$ substituindo $x = \eu^{-u/(k+1)}$, reconhecendo $\Gamma$.)* **Solução de Exercício 10.4.** (a) Para $x > 0$: $\frac1{\eu^x - 1} = \frac{\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \sum_{n\geq1}\eu^{-nx}$, de modo que $\frac{x}{\eu^x - 1} = \sum_{n\geq1}x\eu^{-nx}$, uma série de [funções mensuráveis](#def-b3-lebesgue-measurable) não negativas: o [Corolário 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) permite a integração termo a termo: $$ \int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{\eu^x - 1} = \sum_{n\geq1}\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 $$ ($\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x = n^{-2}$ por partes; Basel do volume do segundo ano, ou o [Exercício 13.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#exo-b3-hilbert-5) por vir). (b) Em $\intoo01$, $-x\ln x \geq 0$, de modo que $x^{-x} = \eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln x)^k}{k!}$ é uma série de termos não negativos: troque de novo. Substituindo $x = \eu^{-u/(k+1)}$: $$ \int_0^1(-x\ln x)^k\dd x = \int_0^\infty\Bigl(\frac{u}{k+1}\Bigr)^{k} \eu^{-\frac{ku}{k+1}}\;\frac{\eu^{-\frac u{k+1}}}{k+1}\,\dd u = \frac{1}{(k+1)^{k+1}}\int_0^\infty u^k\eu^{-u}\dd u = \frac{k!}{(k+1)^{k+1}} . $$ Logo $\int_0^1x^{-x}\dd x = \sum_{k\geq0}\frac{1}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{n\geq1}n^{-n}$: o sonho do segundanista, com rigor. **Exercício 10.5 ★★.** (a) Mostre que $f \geq 0$ [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) com $\int f\,\dd\mu = 0$ satisfaz $f = 0$ q.t.p. *(Considere $\{f \geq 1/n\}$ e a desigualdade de Markov: $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$ — demonstre-a.)* (b) Mostre que uma $f$ [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) é finita q.t.p. (c) Mostre que, se $\int_A f\,\dd\mu = 0$ para *todo* $A$ [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable), então $f = 0$ q.t.p. **Solução de Exercício 10.5.** (a) Markov: $a\,\mathbf 1_{\{f \geq a\}} \leq f$, integre: $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$. Se $\int f = 0$: $\mu(\{f \geq \frac1n\}) = 0$ para todo $n$, e $\{f > 0\} = \bigcup_n\{f \geq \frac1n\}$ é nulo. (b) $\mu(\{\abs f = \infty\}) \leq \mu(\{\abs f \geq n\}) \leq \frac1n\int\abs f \to 0$. (c) Tome $A = \{f > 0\}$: $\int f^+\dd\mu = \int_Af\,\dd\mu = 0$, de modo que $f^+ = 0$ q.t.p. por (a); do mesmo modo, $f^- = 0$ q.t.p. **Exercício 10.6 ★★.** (a) Aplique o [Teorema 10.12](#thm-b3-lebesgue-riemann) para decidir a [integrabilidade](#def-b3-lebesgue-l1) de Riemann de: $\mathbf 1_\Q$; a função de Thomae; $\mathbf 1_K$ para $K$ um conjunto de Cantor gordo ([Exercício 9.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#exo-b3-measure-5)). (b) Mostre que $\int_1^{+\infty}\abs{\frac{\sin x}x}\,\dd x = +\infty$, ao passo que $\lim_{A\to\infty}\int_1^A\frac{\sin x}x\,\dd x$ existe *(integre por partes)*: convergência imprópria sem [integrabilidade](#def-b3-lebesgue-l1). **Solução de Exercício 10.6.** (a) $\mathbf 1_\Q$: descontínua em toda parte, não [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) ([Teorema 10.12](#thm-b3-lebesgue-riemann)); sua integral de Lebesgue vale $\lambda(\Q) = 0$. Thomae: [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em todo irracional (dado $\varepsilon$, só finitos racionais em $\intcc01$ têm denominador $\leq 1/\varepsilon$; evite-os por uma pequena [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology)), descontínua nos racionais ([densidade](#ex-b3-lebesgue-gamma) dos irracionais): [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) q.t.p., [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1), de integral $0$ (ela se anula q.t.p.). $\mathbf 1_K$, com $K$ um conjunto de Cantor gordo: o conjunto de descontinuidades é $\partial K = K$ (fechado de [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio), de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) $\frac12 > 0$: *não* é [Riemann-integrável](#def-b3-lebesgue-l1) — e, no entanto, é [Lebesgue-integrável](#def-b3-lebesgue-l1), com integral $\lambda(K) = \frac12$. (b) $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq \frac1{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\abs{\sin x}\dd x = \frac{2}{(k+1)\pi}$: a série diverge. Convergência da integral imprópria: para $A > \pi$, $$ \int_\pi^A\frac{\sin x}x\dd x = \Bigl[\frac{-\cos x}x\Bigr]_\pi^A - \int_\pi^A\frac{\cos x}{x^2}\dd x, $$ e ambos os termos convergem quando $A \to \infty$ ($\frac1{x^2}$ é [integrável](#def-b3-lebesgue-l1)): convergência condicional sem [integrabilidade](#def-b3-lebesgue-l1) absoluta. **Exercício 10.7 ★★.** Justifique que $F(t) = \int_0^{+\infty}\eu^{-x^2}\cos(tx)\,\dd x$ é $\mathcal C^1$ em $\R$ e satisfaz $F'(t) = -\frac t2F(t)$ *(integre por partes)*; deduza $F(t) = F(0)\,\eu^{-t^2/4}$. (Com o $F(0) = \frac{\sqrt\pi}2$ obtido no problema de fim de semana: a gaussiana é essencialmente sua própria transformada de Fourier — o [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) sistematizará isso.) **Solução de Exercício 10.7.** Dominação: $\abs{\partial_t(\eu^{-x^2}\cos(tx))} = \abs{x\eu^{-x^2}\sin(tx)} \leq x\eu^{-x^2}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) e independente de $t$: o [Teorema 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) se aplica globalmente, $$ F'(t) = -\int_0^\infty x\eu^{-x^2}\sin(tx)\,\dd x = \Bigl[\tfrac12\eu^{-x^2}\sin(tx)\Bigr]_0^\infty - \frac t2\int_0^\infty\eu^{-x^2}\cos(tx)\dd x = -\frac t2F(t) $$ (integração por partes com $\dd v = x\eu^{-x^2}\dd x$). A EDO linear dá $F(t) = F(0)\eu^{-t^2/4}$; com $F(0) = \frac{\sqrt\pi}2$ ([Problema 10.1](#pb-b3-lebesgue-1)), a gaussiana se reproduz sob essa transformada em cosseno. **Exercício 10.8 ★★★.** (Frullani) Sejam $0 < a < b$. Mostre que $$ \int_0^{+\infty}\frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}\,\dd x = \ln\frac ba, $$ escrevendo o integrando como $\int_a^b \eu^{-xt}\,\dd t$ e justificando a troca pela teoria não negativa ([Corolário 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) em forma [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — antecipe Tonelli, ou fatie $[a,b]$ em $n$ partes iguais e passe ao limite). **Solução de Exercício 10.8.** A integral converge: perto de $0$ o integrando tende a $b - a$ (limitado), e ele decai como $\eu^{-ax}$ no infinito. Fixe $a$ e veja $I(b) = \int_0^\infty\frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}x\dd x$ como função de $b \in \intco a{+\infty}$. Para todo $b \geq a$: $\abs{\partial_b(\text{integrando})} = \eu^{-bx} \leq \eu^{-ax}$, e $\int_0^\infty\eu^{-ax}\dd x = \frac1a < \infty$: um dominante [integrável](#def-b3-lebesgue-l1). Logo o [Teorema 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) dá $I'(b) = \int_0^\infty\eu^{-bx}\dd x = \frac1b$, e $I(a) = 0$: $$ I(b) = \int_a^b\frac{\dd t}t = \ln\frac ba . $$ (Equivalentemente, o [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) da sugestão: o integrando é $\int_a^b\eu^{-xt}\dd t \geq 0$ e a troca é o análogo [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) do [Corolário 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity), isto é, Tonelli — demonstrado no [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#ch-b3-product); o [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) paramétrico permanece dentro deste capítulo.) **Exercício 10.9 ★★.** Seja $f \geq 0$ [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) em $(X, \mathcal A, \mu)$. Mostre que $\nu(A) = \int_A f\,\dd\mu$ define uma [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) (de *densidade* $f$ em relação a $\mu$) e que $\int g\,\dd\nu = \int gf\,\dd\mu$ para toda $g \geq 0$ [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) *(demonstre-o para indicadoras, depois para [funções simples](#def-b3-lebesgue-simple) e, então, por convergência monótona — a máquina padrão)*. **Solução de Exercício 10.9.** $\nu(\varnothing) = 0$; para $(A_n)$ disjuntos, $f\mathbf 1_{\bigsqcup A_n} = \sum_nf\mathbf 1_{A_n}$ (pontualmente, todos os termos $\geq 0$), e o [Corolário 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) dá a $\sigma$-aditividade. A fórmula $\int g\,\dd\nu = \int gf\,\dd\mu$: para $g = \mathbf 1_A$ é a definição de $\nu$; para $g$ simples, linearidade; para $g \geq 0$ [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable), tome $s_n \nearrow g$ simples ([Teorema 10.4](#thm-b3-lebesgue-approximation)): $s_nf \nearrow gf$, e o TCM em ambos os membros passa ao limite. (Esse elevador “indicadora $\to$ simples $\to$ TCM” é a máquina padrão da teoria.) **Exercício 10.10 ★★★.** (Um fracasso ao estilo de Weierstrass) Defina $f(t) = \int_0^{+\infty}\frac{\sin(tx)}{x(1 + x^2)}\,\dd x$. (a) Mostre que $f$ está bem definida e é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\R$, e que $\mathcal C^1$ com $f'(t) = \int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1 + x^2}\dd x$ para todo $t$ — mas que derivar *de novo* sob o sinal de integral é ilegítimo. (b) Admitindo $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ para $t > 0$ (demonstrado no [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues)), quanto vale $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ para $t > 0$, e por que sua fórmula confirma o fracasso de (a)? **Solução de Exercício 10.10.** (a) $\abs{\sin(tx)} \leq \abs tx$ dá $\abs{\frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}} \leq \frac{\abs t}{1+x^2}$: a integral converge e, em $\abs t \leq T$, o dominante $\frac{T}{1+x^2}$ fornece a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 10.14](#thm-b3-lebesgue-paramcont)). Derivação: $\abs{\partial_t} = \abs{\frac{\cos(tx)}{1+x^2}} \leq \frac1{1+x^2}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1): $f'(t) = \int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x$ para todo $t$. Uma segunda derivação exigiria integrar $\frac{x\sin(tx)}{1 + x^2}$, cujo valor absoluto se comporta como $\frac{\abs{\sin(tx)}} x$ no infinito: *não* [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) — não existe dominante e o [Teorema 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) não pode ser aplicado de novo. (b) Admitindo $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ para $t > 0$: pela imparidade de $f$, $f'$ é par, de modo que $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-\abs t}$ — que *não é derivável em $0$*: $f$ é $\mathcal C^1$, mas não $\mathcal C^2$, confirmando que a segunda derivação bloqueada não era um acidente técnico. Para $t > 0$, a integral imprópria $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ vale $-f''(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ (derivando a fórmula admitida onde isso é legítimo, isto é, em $\intoo0\infty$) — um valor impróprio, não Lebesgue. **Exercício 10.11 ★★.** (Lema de Scheffé) Sejam $f_n, f \geq 0$ [integráveis](#def-b3-lebesgue-l1) com $f_n \to f$ q.t.p. e $\int f_n \to \int f$. (a) Mostre que $\int\abs{f_n - f} \to 0$. *(Aplique a convergência dominada a $g_n = (f - f_n)^+ \leq f$ e escreva $\int\abs{f_n - f} = 2\int g_n - \int(f - f_n)$.)* (b) Mostre com um exemplo que a hipótese $\int f_n \to \int f$ não pode ser descartada (uma onda deslizante ou que se concentra), e que a conclusão falha para $f_n$ com sinal, sem controle em valor absoluto: $f_n = n\mathbf 1_{\intoc0{1/n}} - n\mathbf 1_{\intoc{-1/n}0}$ tem $f_n \to 0$ q.t.p., $\int f_n = 0 \to 0$, e no entanto $\int\abs{f_n} = 2$. (c) Aplicação ([densidades](#ex-b3-lebesgue-gamma)): se [densidades](#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilidade $p_n \to p$ q.t.p., então automaticamente $\int\abs{p_n - p} \to 0$: a convergência pontual de [densidades](#ex-b3-lebesgue-gamma) é convergência $L^1$ — um ganho de convergência de graça. **Solução de Exercício 10.11.** (a) Seja $g_n = (f - f_n)^+$: então $0 \leq g_n \leq f$ (positividade de $f_n$), $g_n \to 0$ q.t.p., e $f$ é um dominante [integrável](#def-b3-lebesgue-l1): $\int g_n \to 0$ (TCD). Como $\abs{f_n - f} = 2(f - f_n)^+ - (f - f_n)$, $$ \int\abs{f_n - f} = 2\int g_n - \Bigl(\int f - \int f_n\Bigr) \longrightarrow 0 + 0 . $$ (b) O pico deslizante $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ tem $f_n \to 0$ q.t.p. e $\int f_n = 1 \not\to 0$: sem a convergência das integrais, a convergência $L^1$ falha (e a hipótese também). O exemplo com sinal: $f_n \to 0$ em todo $x \neq 0$, $\int f_n = 0$, mas $\int\abs{f_n} = 2$: para sequências com sinal, o teorema é genuinamente uma questão de controle do tipo $\abs{f_n}$, e a positividade foi usada exatamente em $g_n \leq f$. (c) [Densidades](#ex-b3-lebesgue-gamma) satisfazem $\int p_n = 1 = \int p$: a hipótese de (a) é automática, de modo que $p_n \to p$ q.t.p. força $\norm{p_n - p}_{L^1} \to 0$ — e, portanto, a convergência das probabilidades $\int_Ap_n \to \int_Ap$ *uniformemente* em todo [mensurável](#def-b3-lebesgue-measurable) $A$ ($\abs{\int_A(p_n - p)} \leq \norm{p_n - p}_1$): Scheffé transforma a convergência pontual das [densidades](#ex-b3-lebesgue-gamma) em convergência em variação total das leis. **Exercício 10.12 ★★.** Limites clássicos, com justificativa [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) por convergência monótona ou dominada: $$ \text{(a)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^n\Bigl(1 - \frac xn\Bigr)^n\eu^{x/2}\,\dd x, \qquad \text{(b)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n\,x^{n-1}}{1 + x}\,\dd x, $$ $$ \text{(c)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \frac{\dd x}{(1 + x/n)^n\,x^{1/n}} . $$ *(Para (a): $(1 - x/n)^n \nearrow \eu^{-x}$ com $x$ fixado — demonstre a monotonicidade via $\log$; para (b), integre por partes ou substitua $x = u^{1/n}$ e identifique uma concentração na fronteira; para (c), encontre um dominador [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) válido para todo $n \geq 2$ separando em $x = 1$.)* **Solução de Exercício 10.12.** (a) Em $\intoo0n$, $\varphi_n(x) = n\log(1 - \frac xn)$ cresce em $n$ até $-x$ (a aplicação $t \mapsto \frac{\log(1 - xt)}{t}$ decresce quando $t = \frac1n \downarrow 0$; ou expanda: $\varphi_{n}' \geq 0$ em $n$ via $\log(1-u) + \frac{u}{1-u} \geq 0$). Logo $(1 - \frac xn)^n\eu^{x/2}\mathbf 1_{x 0$): o integrando tende a $\eu^{-x}$. Dominante para $n \geq 2$: em $\intoc01$, $x^{-1/n} \leq x^{-1/2}$ e $(1 + x/n)^{-n} \leq 1$: cota $x^{-1/2}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1); em $\intoo1\infty$, $x^{-1/n} \leq 1$ e $(1 + x/n)^n \geq 1 + \binom n2\frac{x^2}{n^2} \geq 1 + \frac{x^2}4$: cota $\frac{4}{4 + x^2}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1). TCD: $$ \lim_n\int_0^\infty\frac{\dd x}{(1 + x/n)^nx^{1/n}} = \int_0^\infty\eu^{-x}\dd x = 1 . $$ ## 10.6 Problema: duas integrais célebres **Problema 10.1.** Problema de fim de semana — a integral gaussiana e a integral de Dirichlet, só com parâmetros Duas integrais governam a análise aplicada: $$ G = \int_{-\infty}^{+\infty}\eu^{-x^2}\dd x = \sqrt\pi, \qquad D = \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2 $$ (a segunda como integral imprópria, [Exemplo 10.13](#ex-b3-lebesgue-riemannexamples)). Demonstramos ambas usando apenas as ferramentas deste capítulo. **Parte I — A gaussiana.** Para $t \geq 0$, ponha $$ A(t) = \Bigl(\int_0^t\eu^{-x^2}\dd x\Bigr)^{2}, \qquad B(t) = \int_0^1\frac{\eu^{-t^2(1 + x^2)}}{1 + x^2}\,\dd x . $$ 1. Justifique que $A$ e $B$ são $\mathcal C^1$ em $\intoo0{+\infty}$ e calcule $A'$ e $B'$ ; mostre que $A'(t) + B'(t) = 0$ . *(Em $B'$, substitua $u = tx$.)* 2. Calcule $A(0) + B(0)$ e $\lim_{t\to+\infty}(A + B)(t)$ — justifique a passagem ao limite sob a integral em $B$ . 3. Conclua $\int_0^\infty \eu^{-x^2}\dd x = \frac{\sqrt\pi}2$ , logo $G = \sqrt\pi$ , e deduza $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ *(substitua $x = u^2$ em $\Gamma(\frac12)$)* . **Parte II — A integral de Dirichlet.** Para $t \geq 0$, ponha $$ F(t) = \int_0^{+\infty}\eu^{-tx}\,\frac{\sin x}{x}\,\dd x . $$ 4. Mostre que a integral que define $F(t)$ converge para todo $t > 0$ como integral de Lebesgue e, para $t = 0$ , como integral imprópria; mostre que $D = \lim_{A\to\infty}\int_0^A\frac{\sin x}x\dd x$ existe *(integre por partes em $[\pi, A]$)* . 5. Mostre que $F$ é $\mathcal C^1$ em $\intoo0{+\infty}$ com $$F'(t) = -\int_0^{+\infty}\eu^{-tx}\sin x\,\dd x = -\frac{1}{1 + t^2}$$ *(dominação em $[t_0, \infty)$ para cada $t_0 > 0$; a última integral por duas integrações por partes ou por exponenciais complexas)*. 6. Mostre que $F(t) \to 0$ quando $t \to +\infty$ , e deduza $F(t) = \frac\pi2 - \arctan t$ em $\intoo0{+\infty}$ . 7. O ponto delicado: $D = \lim_{t\to0^+}F(t)$. Demonstre-o por controle uniforme da cauda: para $0 \leq t \leq 1$ e $A \geq \pi$, integre por partes para mostrar que $$\Bigl|\int_A^{+\infty}\eu^{-tx}\frac{\sin x}x\,\dd x\Bigr| \leq \frac{C}{A}$$ com $C$ independente de $t$ *(derive $\frac{\eu^{-tx}}x$ e limite $\abs{\cos}$ por $1$; note que $t\eu^{-tx} \leq 1/x\cdot(tx\eu^{-tx})$ com $\sup_{u\geq0}u\eu^{-u} < 1$)*; depois, separe $F(t) - D$ em $[0, A]$ (onde a convergência dominada se aplica quando $t \to 0$) e $[A, \infty)$. 8. Conclua: $D = \frac\pi2$ . **Parte III — Dividendos.** 9. Calcule $\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2}\,\dd x$ *(integre por partes e reduza a $D$ via $\sin 2x = 2\sin x\cos x$)* . 10. Calcule $\int_0^{+\infty}\frac{1 - \cos x}{x^2}\,\dd x$ e confira a coerência dos dois resultados. 11. Para $a > 0$ , calcule $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(ax)}x\dd x$ e $\int_{-\infty}^{+\infty}\eu^{-ax^2}\dd x$ , e registre as regras de reescalamento (elas serão os cavalos de batalha do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) ). 12. Explique com precisão por que $D$ não poderia ter sido tratada diretamente por convergência dominada em $t = 0$ (não há dominador [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) em $[0,1]\times[0,\infty)$ ), e por que a separação de cauda da questão 7 é o substituto honesto — esse padrão (“ [integrabilidade](#def-b3-lebesgue-l1) uniforme das caudas”) reaparece por toda a análise. **Parte IV — A [função Gama](#ex-b3-lebesgue-gamma) segundo Bohr e Mollerup.** A função $\Gamma$ ([Exemplo 10.16](#ex-b3-lebesgue-gamma)) satisfaz $\Gamma(1) = 1$ e $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ — mas infinitas outras funções também satisfazem (multiplique por qualquer ondulação $1$-periódica). Uma única condição de convexidade fixa $\Gamma$ de maneira única, e suas identidades mais profundas caem então mecanicamente. Uma função positiva $f$ em um intervalo é *log-convexa* se $\log f$ é convexa. 13. Mostre que log-convexa implica convexa, que produtos de funções log-convexas e suas composições com aplicações afins são log-convexos e — via a desigualdade de Hölder para duas funções $\int\abs{uv} \leq \bigl(\int\abs u^p\bigr)^{1/p}\bigl(\int\abs v^q\bigr)^{1/q}$ , demonstrada diretamente a partir da desigualdade de Young — que $\Gamma$ é log-convexa em $\intoo0\infty$ . 14. (Lema das inclinações) Seja $g$ convexa em $\intoo0\infty$ com $g(n+1) - g(n) = \log n$ para todo inteiro $n \geq 1$. Para $x \in \intoc01$ e $n \geq 2$, compare as inclinações de $g$ em $[n-1, n]$, $[n, n+x]$ e $[n, n+1]$, e deduza $$x\log(n-1) \;\leq\; g(n + x) - g(n) \;\leq\; x\log n .$$ 15. (Bohr–Mollerup) Seja $f > 0$ com $f(1) = 1$, $f(x+1) = xf(x)$ e $\log f$ convexa. Desenrolando a recursão em $f(n + x) = x(x+1)\cdots(x + n - 1)\,f(x)$ e $f(n) = (n-1)!$, deduza da questão 14 que, para $x \in \intoc01$, $$f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} :$$ $f$ é única, logo $f = \Gamma$, e vale a *fórmula-limite de Gauss* (estenda a todo $x > 0$ pela recursão). 16. Defina a *função Beta* $B(x, y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\dd t$ ( $x, y > 0$ ). Demonstre a convergência, a recursão $B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}\,B(x, y)$ (integre por partes) e $B(1, y) = \frac1y$ . 17. Mostre que $x \mapsto B(x, y)$ é log-convexa (Hölder de novo) e aplique Bohr–Mollerup a $$f(x) = \frac{B(x, y)\,\Gamma(x + y)}{\Gamma(y)}$$ para concluir a *fórmula de Euler*: $B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ — sem nenhuma integral dupla. 18. Calcule $B(\frac12, \frac12)$ diretamente (substitua $t = \sin^2\theta$ ) e deduza $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ : a integral gaussiana da Parte I, recuperada por convexidade pura. Compare as duas demonstrações em uma frase cada. 19. (Duplicação de Legendre) Mostre que $$g(x) = \frac{2^{x-1}}{\sqrt\pi}\, \Gamma\Bigl(\frac x2\Bigr) \Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)$$ satisfaz as três hipóteses de Bohr–Mollerup e conclua $g = \Gamma$, isto é, $\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\,\Gamma(z)\,\Gamma(z + \tfrac12)$ para todo $z > 0$. 20. Deduza a forma fechada $\Gamma\bigl(n + \tfrac12\bigr) = \dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt\pi$ e demonstre, pelo lema das inclinações aplicado a $\log\Gamma$ em torno de inteiros grandes, as assintóticas $$\frac{\Gamma(n + \frac12)}{\Gamma(n)\,\sqrt n} \longrightarrow 1 .$$ 21. Combine as duas últimas questões na assintótica do coeficiente binomial central $$\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}},$$ e verifique numericamente para $n = 10$ ($\binom{20}{10} = 184756$, contra $4^{10}/\sqrt{10\pi} \approx 187079$: razão $\approx 0.988$). 22. (Síntese) A constante $\sqrt\pi$ já apareceu como a integral gaussiana (Parte I), como $B(\frac12, \frac12)$ (questão 18) e dentro da duplicação (questão 19); a estimativa do binomial central antecipa tanto Stirling (o problema de fim de semana do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#ch-b3-product) ) quanto de Moivre–Laplace. Mapeie as conexões: que enunciados são equivalentes a quais, e o que cada técnica — derivação sob a integral contra convexidade — traz que a outra não pode trazer? **Parte V — Mais três dividendos.** 23. (Wallis, via Beta) Para $p > -1$, substitua $t = \sin^2\theta$ para mostrar $$W_p = \int_0^{\pi/2}\sin^p\theta\,\dd\theta = \frac12\,B\Bigl(\frac{p+1}2, \frac12\Bigr),$$ e deduza da recursão da Beta (questão 16) que $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}\,W_n$ para inteiros $n \geq 0$. Calcule $W_{2n}$ e $W_{2n+1}$ em forma fechada, mostre $W_{2n+1}/W_{2n} \to 1$ por confinamento e conclua com o *produto de Wallis* $$\frac\pi2 = \lim_{n\to\infty} \prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2 - 1} .$$ 24. (A gaussiana encontra uma frequência) Para $b \in \R$, ponha $$\Phi(b) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-x^2}\cos(2bx)\,\dd x .$$ Mostre que $\Phi$ é $\mathcal C^1$ em $\R$, que uma integração por partes fornece a equação diferencial $\Phi'(b) = -2b\,\Phi(b)$ e conclua $$\Phi(b) = \sqrt\pi\,\eu^{-b^2} :$$ a gaussiana se reproduz sob essa transformada — a única identidade sobre a qual o [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) vai funcionar. 25. (A integral de Frullani) Para $0 < a < b$, mostre que $$\int_0^{+\infty} \frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}\,\dd x = \log\frac ba ,$$ derivando no parâmetro $a$ (justifique a dominação em todo $\intco{a_0}{+\infty}$, $a_0 > 0$, e identifique a constante fazendo $a \to b$). Onde exatamente o integrando precisa de sua singularidade removível em $x = 0$? **Solução de Problema 10.1.** **1.** $A$ é $\mathcal C^1$ pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia: $A'(t) = 2\eu^{-t^2}\int_0^t\eu^{-x^2}\dd x$. Para $B$: $\partial_t\bigl(\frac{\eu^{-t^2(1+x^2)}}{1+x^2}\bigr) = -2t\,\eu^{-t^2(1+x^2)}$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada em $[t_0, T] \times \intcc01$ para qualquer $0 < t_0 < T$ (a dominação por limitada num [espaço de medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita basta): $B$ é $\mathcal C^1$ em $\intoo0{+\infty}$ com $$ B'(t) = -2t\int_0^1 \eu^{-t^2(1+x^2)}\dd x = -2\eu^{-t^2}\int_0^1 t\,\eu^{-(tx)^2}\dd x = -2\eu^{-t^2}\int_0^t\eu^{-u^2}\dd u = -A'(t) $$ (substituição $u = tx$). **2.** $A(0) = 0$ e $B(0) = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^2} = \frac\pi4$. $A + B$ tem derivada nula em $\intoo0{+\infty}$ e é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $0$ ($B$ pela dominação $\frac1{1+x^2}$ e pelo [Teorema 10.14](#thm-b3-lebesgue-paramcont)): $A + B \equiv \frac\pi4$. Quando $t\to+\infty$: $0 \leq B(t) \leq \eu^{-t^2} \to 0$, e $A(t) \to \bigl(\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x\bigr)^2$ (TCM ou apenas convergência monótona da integral interna). **3.** Logo $\bigl(\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \frac\pi4$: $\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x = \frac{\sqrt\pi}2$ e, por paridade, $G = \sqrt\pi$. Além disso, $\Gamma(\frac12) = \int_0^\infty x^{-1/2}\eu^{-x}\dd x \overset{x = u^2}{=} 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$. **4.** Para $t > 0$: $\abs{\eu^{-tx}\frac{\sin x}x} \leq \eu^{-tx}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1). Para $t = 0$, convergência imprópria: em $[\pi, A]$, $$ \int_\pi^A\frac{\sin x}x\dd x = \Bigl[-\frac{\cos x}x\Bigr]_\pi^A - \int_\pi^A\frac{\cos x}{x^2}\dd x, $$ ambos os termos convergentes quando $A \to \infty$; perto de $0$ o integrando se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por $1$. **5.** Em $[t_0, +\infty)$ ($t_0 > 0$): $\abs{\partial_t\bigl(\eu^{-tx}\tfrac{\sin x}x\bigr)} = \eu^{-tx}\abs{\sin x} \leq \eu^{-t_0x}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1): o [Teorema 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) se aplica em todo intervalo desses, logo em todo $\intoo0{+\infty}$: $$ F'(t) = -\int_0^\infty\eu^{-tx}\sin x\,\dd x = -\operatorname{Im}\int_0^\infty\eu^{-(t - \iu)x}\dd x = -\operatorname{Im}\frac{1}{t - \iu} = -\frac{1}{1 + t^2}. $$ **6.** $\abs{F(t)} \leq \int_0^\infty\eu^{-tx}\dd x = \frac1t \to 0$. Integrando $F' = -\frac1{1+t^2}$: $F(t) = C - \arctan t$, e $t \to \infty$ força $C = \frac\pi2$: $F(t) = \frac\pi2 - \arctan t$ em $\intoo0{+\infty}$. **7.** Integre por partes em $[A, R]$ com $\sin x = (-\cos x)'$ e faça $R \to \infty$: $$ \int_A^{\infty}\eu^{-tx}\frac{\sin x}x\dd x = \frac{\cos A\;\eu^{-tA}}{A} - \int_A^\infty \cos x\,\Bigl(\frac tx + \frac1{x^2}\Bigr)\eu^{-tx}\dd x . $$ Majorando $\abs{\cos} \leq 1$: o primeiro termo é $\leq \frac1A$; a integral é no máximo $\int_A^\infty t\eu^{-tx}\frac{\dd x}x + \int_A^\infty\frac{\dd x}{x^2} \leq \frac1A\int_0^\infty t\eu^{-tx}\dd x + \frac1A = \frac2A$. Total: $\leq \frac 3A$, uniformemente para $t \in [0, 1]$ (incluído o caso $t = 0$). Agora $$ \abs{F(t) - D} \leq \Bigl|\int_0^A(\eu^{-tx} - 1)\,\frac{\sin x}x\,\dd x\Bigr| + \frac6A . $$ Em $[0, A]$: $\abs{\eu^{-tx} - 1} \leq tx \leq tA$ e $\abs{\frac{\sin x}x} \leq 1$, de modo que o primeiro termo é no máximo $tA^2$. Escolha $A$ com $\frac6A < \varepsilon$ e depois $t < \varepsilon/A^2$: $\abs{F(t) - D} < 2\varepsilon$. **8.** Portanto, $D = \lim_{t\to0^+}F(t) = \lim_{t\to0^+}\bigl(\frac\pi2 - \arctan t\bigr) = \frac\pi2$. **9.** Por partes ($u = \sin^2x$, $v' = x^{-2}$): $$ \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\dd x = \Bigl[-\frac{\sin^2x}{x}\Bigr]_0^\infty + \int_0^\infty\frac{2\sin x\cos x}{x}\dd x = \int_0^\infty\frac{\sin 2x}{x}\dd x = D = \frac\pi2 $$ (substitua $u = 2x$ no último passo; os termos de bordo se anulam: $\sin^2 x/x \to 0$ nos dois extremos). **10.** Por partes ($u = 1 - \cos x$, $v' = x^{-2}$): $\int_0^\infty\frac{1 - \cos x}{x^2}\dd x = \int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x = \frac\pi2$. Coerência: $1 - \cos x = 2\sin^2\frac x2$, e a substituição $x = 2u$ transforma $\int\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}\dd x$ em $\int\frac{\sin^2u}{u^2}\dd u$: os dois cálculos concordam. **11.** $\int_0^\infty\frac{\sin(ax)}x\dd x = \frac\pi2$ para todo $a > 0$ (substitua $u = ax$: a integral é invariante por escala); $\int_\R\eu^{-ax^2}\dd x = \sqrt{\pi/a}$ (substitua $u = \sqrt a\,x$). Reescalar o argumento deixa a integral de Dirichlet fixa e divide a gaussiana por $\sqrt a$. **12.** Um dominante válido para todo $t \in [0,1]$ teria de dominar $\sup_{t\in[0,1]}\abs{\eu^{-tx}\frac{\sin x}x} = \abs{\frac{\sin x}x}$, que não é [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) ([Exercício 10.6](#exo-b3-lebesgue-6)): o TCD não consegue atravessar $t = 0$. O substituto da questão 7 — caudas uniformemente pequenas no parâmetro, parte compacta tratada pelo TCD — é o padrão usual da “[integrabilidade](#def-b3-lebesgue-l1) uniforme” e reaparece sempre que a convergência condicional encontra a troca de limites. **13.** Se $g = \log f$ é convexa, então $f = \exp\circ g$ é convexa (exp é convexa crescente: $f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \eu^{\lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)} \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$, o último passo pela convexidade de exp entre os pontos $g(x), g(y)$). Produtos e substituições afins: os logaritmos os transformam em somas e substituições afins de funções convexas. Hölder ($\frac1p + \frac1q = 1$): para $\int\abs u^p = \int\abs v^q = 1$, Young dá $\abs{uv} \leq \frac{\abs u^p}p + \frac{\abs v^q}q$; integre: $\int\abs{uv} \leq 1$; o caso geral por homogeneidade. Então, para $\lambda \in \intoo01$, aplique-o com $p = \frac1\lambda$ à fatoração $$ t^{\lambda x + (1-\lambda)y - 1}\eu^{-t} = \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{\lambda} \bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1-\lambda} : \qquad \Gamma(\lambda x + (1{-}\lambda)y) \leq \Gamma(x)^\lambda\,\Gamma(y)^{1-\lambda} . $$ **14.** Para uma $g$ convexa, a inclinação de uma corda cresce com seus extremos (desigualdade das três cordas). Comparando as cordas sobre $[n-1, n]$, $[n, n+x]$, $[n, n+1]$: $$ \log(n-1) = \frac{g(n) - g(n-1)}1 \leq \frac{g(n+x) - g(n)}x \leq \frac{g(n+1) - g(n)}1 = \log n, $$ e multiplicar por $x > 0$ dá o afirmado. **15.** Com $f(n) = (n-1)!$ (recorrência a partir de $f(1) = 1$) e $f(n + x) = x(x+1)\cdots(x+n-1)\,f(x)$, a questão 14 se lê $$ (n-1)^x\,(n-1)! \;\leq\; x(x+1)\cdots(x+n-1)\,f(x) \;\leq\; n^x\,(n-1)! . $$ A cota superior se reescreve como $f(x) \leq \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}\cdot\frac{x+n}n$, e a cota inferior na ordem $n+1$ como $f(x) \geq \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$. O fator de correção $\frac{x+n}n \to 1$: o sanduíche força $$ f(x) = \lim_n\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} \qquad (x \in \intoc01), $$ uma expressão independente de $f$: unicidade em $\intoc01$, logo em toda parte pela recorrência. Como $\Gamma$ satisfaz as três hipóteses (questão 13), $f = \Gamma$, e a fórmula de Gauss vale — para todo $x > 0$, já que ambos os membros obedecem à mesma recorrência. **16.** Perto de $0$, o integrando é $\sim t^{x-1}$, [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) se, e somente se, $x > 0$; perto de $1$, simétrico com $y$. Integração por partes em $\intcc\varepsilon{1-\varepsilon}$, fazendo $\varepsilon \to 0$ (os termos de bordo se anulam para $x, y > 0$): $$ B(x{+}1, y) = \Bigl[-t^x\frac{(1-t)^y}y\Bigr]_0^1 + \frac xy\int_0^1t^{x-1}(1-t)^y\,\dd t = \frac xy\bigl(B(x, y) - B(x{+}1, y)\bigr), $$ usando $(1-t)^y = (1-t)^{y-1}(1 - t)$; resolvendo, $B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}B(x, y)$. E $B(1, y) = \int_0^1(1-t)^{y-1}\dd t = \frac1y$. **17.** $f(1) = \frac1y\cdot\frac{\Gamma(1+y)}{\Gamma(y)} = 1$; $f(x+1) = \frac{x}{x+y}B(x,y)\cdot\frac{(x+y)\Gamma(x+y)} {\Gamma(y)} = x\,f(x)$; e $f$ é log-convexa em $x$ como produto da log-convexa $B(\cdot, y)$ (Hölder na fatoração $t^{(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)-1}(1-t)^{y-1} = (\cdots)^\lambda(\cdots)^{1-\lambda}$, como na questão 13) e de $\Gamma(\cdot + y)$ (translação afim). Bohr–Mollerup: $f = \Gamma$, isto é, $B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$. **18.** Com $t = \sin^2\theta$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$ e $t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} = \frac1{\sin\theta\cos\theta}$: $$ B\Bigl(\frac12, \frac12\Bigr) = \int_0^{\pi/2}2\,\dd\theta = \pi = \frac{\Gamma(\frac12)^2}{\Gamma(1)} \quad\Longrightarrow\quad \Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \sqrt\pi . $$ A Parte I chegou à mesma constante derivando em um parâmetro e fazendo duas funções correrem até seus limites; aqui a convexidade sozinha enrijeceu o problema até que só um valor sobrevivesse. Análise por movimento contra análise por forma. **19.** $g(1) = \frac{2^0}{\sqrt\pi}\Gamma(\frac12) \Gamma(1) = 1$. Recorrência: $$ g(x+1) = \frac{2^{x}}{\sqrt\pi}\, \Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)\Gamma\Bigl(\frac x2 + 1\Bigr) = \frac{2^{x}}{\sqrt\pi}\cdot\frac x2\, \Gamma\Bigl(\frac x2\Bigr)\Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr) = x\,g(x) . $$ Log-convexidade: produto de $\eu^{(x-1)\log2}$ (log-afim) e de duas reparametrizações afins da log-convexa $\Gamma$. Bohr–Mollerup dá $g = \Gamma$; pondo $x = 2z$: $\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(z)\Gamma(z + \frac12)$. **20.** De $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ e da recorrência, $\Gamma(n + \frac12) = (n - \frac12)(n - \frac32)\cdots\frac12\,\sqrt\pi = \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots1}{2^n}\sqrt\pi = \frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$ (complete o produto ímpar com os pares). Assintótica: a questão 14 com $g = \log\Gamma$ e $x = \frac12$ dá $\sqrt{n-1} \leq \frac{\Gamma(n+\frac12)}{\Gamma(n)} \leq \sqrt n$, de modo que a razão para $\sqrt n$ fica espremida entre $\sqrt{1 - \frac1n}$ e $1$. **21.** Da questão 20, $(2n)! = \frac{4^nn!}{\sqrt\pi}\Gamma(n + \tfrac12)$, de modo que $$ \binom{2n}n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{4^n\,\Gamma(n+\frac12)}{\sqrt\pi\;n!} = \frac{4^n}{\sqrt\pi}\cdot \frac{\Gamma(n+\frac12)}{n\,\Gamma(n)} \sim \frac{4^n}{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt n}{n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} . $$ Numericamente, $4^{10}/\sqrt{10\pi} = 1048576/5.6050 \approx 187078.6$, contra $\binom{20}{10} = 184756$: razão $0.9876$ — o erro é $O(1/n)$, visível em $n = 10$. **22.** Equivalências: $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi \Leftrightarrow G = \sqrt\pi$ (a substituição $x = u^2$ da questão 3) $\Leftrightarrow B(\frac12, \frac12) = \pi$ (fórmula de Euler); a duplicação em $z = n$ *é* a forma fechada de $\Gamma(n + \frac12)$, que *é* a estimativa do binomial central a menos do lema das inclinações. A técnica do parâmetro (Partes I–II) calcula limites de quantidades móveis e é indispensável quando há uma deformação genuína (a integral de Dirichlet não tem demonstração por convexidade); a técnica da convexidade nada calcula, mas tudo proíbe — ela brilha em unicidade e equações funcionais (Gauss, Euler, Legendre em três golpes), em que a derivação se afogaria em contas. Um analista [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) carrega as duas. **23.** Com $t = \sin^2\theta$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta = 2\,t^{1/2}(1-t)^{1/2}\,\dd\theta$, de modo que $$ W_p = \int_0^1 t^{p/2}\, \frac{\dd t}{2\,t^{1/2}(1-t)^{1/2}} = \frac12\int_0^1 t^{\frac{p+1}2 - 1}(1-t)^{\frac12 - 1}\dd t = \frac12\,B\Bigl(\frac{p+1}2, \frac12\Bigr). $$ A recorrência da Beta com $x = \frac{n+1}2$, $y = \frac12$ dá $$ W_{n+2} = \frac12\, \frac{(n+1)/2}{(n+2)/2}\,B\Bigl(\frac{n+1}2, \frac12\Bigr) = \frac{n+1}{n+2}\,W_n . $$ Partindo de $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$: $$ W_{2n} = \frac\pi2\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}, \qquad W_{2n+1} = \prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1} . $$ Como $\sin^{n+1} \leq \sin^n$ em $\intcc0{\pi/2}$, a sequência $(W_n)$ é não crescente, de modo que $$ 1 \geq \frac{W_{2n+1}}{W_{2n}} \geq \frac{W_{2n+1}}{W_{2n-1}} = \frac{2n}{2n+1} \longrightarrow 1 . $$ Mas as formas fechadas dão $$ \frac{W_{2n+1}}{W_{2n}} = \frac2\pi \prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac2\pi\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}, $$ e fazer $n \to \infty$ fornece o produto de Wallis. (Via a fórmula de Euler, $W_p = \frac{\sqrt\pi}2\, \Gamma(\frac{p+1}2)/\Gamma(\frac p2 + 1)$: Wallis é a integral gaussiana em mais uma fantasia.) **24.** A derivada em $b$ do integrando é $-2x\,\eu^{-x^2}\sin(2bx)$, dominada por $2\abs x\,\eu^{-x^2} \in L^1(\R)$ uniformemente em $b$: $\Phi$ é $\mathcal C^1$ com $$ \Phi'(b) = -\int_{-\infty}^{+\infty} 2x\,\eu^{-x^2}\sin(2bx)\,\dd x . $$ Integrando por partes com $u = \sin(2bx)$, $\dd v = -2x\,\eu^{-x^2}\dd x$ (de modo que $v = \eu^{-x^2}$), os termos de bordo se anulam e $$ \Phi'(b) = -2b\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-x^2}\cos(2bx)\,\dd x = -2b\,\Phi(b). $$ Logo $\bigl(\Phi(b)\,\eu^{b^2}\bigr)' = 0$ e $\Phi(b) = \Phi(0)\,\eu^{-b^2} = \sqrt\pi\,\eu^{-b^2}$ pela Parte I. A menos de normalização, isso diz que a transformada de Fourier de $\eu^{-x^2}$ é de novo uma gaussiana — o ponto fixo em torno do qual gira a teoria da inversão do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform). **25.** Para $0 < a < b$ e $x > 0$, $$ 0 \leq \frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x} = \int_a^b \eu^{-sx}\,\dd s \leq (b - a)\,\eu^{-ax}, $$ de modo que a integral $I(a)$ converge (Lebesgue); a cota pontual mostra também que o integrando se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por $b - a$ em $x = 0$. Fixe $b$; em $\intco{a_0}{+\infty}$, a derivada em $a$ do integrando é $-\eu^{-ax}$, dominada por $\eu^{-a_0x} \in L^1(\intoo0{+\infty})$, de modo que $I$ é $\mathcal C^1$ em $\intoo0b$ com $$ I'(a) = -\int_0^{+\infty}\eu^{-ax}\dd x = -\frac1a, \qquad\text{logo}\qquad I(a) = -\log a + c . $$ A cota bilateral dá $0 \leq I(a) \leq (b-a)/a \to 0$ quando $a \to b^-$, de modo que $c = \log b$ e $I(a) = \log\frac ba$. A singularidade removível é necessária *em $0$*: cada termo $\eu^{-ax}/x$, separadamente, tem integral divergente (logarítmica) perto de $0$, e só o cancelamento de primeira ordem $\eu^{-ax} - \eu^{-bx} = O(x)$ torna a diferença [integrável](#def-b3-lebesgue-l1) ali; no infinito, cada termo é inofensivo por si só.