--- title: "Os espaços Lp" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp --- # Capítulo 12 — Os espaços Lp A integral de Lebesgue foi construída para a análise; os espaços $L^p$ são onde essa análise vive. Eles são espaços de Banach (Riesz–Fischer) — os [completamentos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-completion) que o [Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1) mostrou faltarem às funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — e sustentam uma tecnologia de suavização, a *convolução com aproximações da identidade*, que aproxima qualquer função $L^p$ por funções $\mathcal C^\infty$. Este capítulo demonstra as versões integrais de Hölder e Minkowski, a [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), os teoremas de [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) e a máquina de regularização, encerrando com a geografia de inclusões e interpolações da escala $L^p$. Ao longo de todo o capítulo, $(X, \mathcal A, \mu)$ é um [espaço de medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) e as funções tomam valores complexos; em $\R^d$, a [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) é $\lambda_d$. ## 12.1 Definição; Hölder e Minkowski **Definição 12.1.** Para $1 \leq p < \infty$, $\mathcal L^p(\mu)$ é o conjunto das [funções mensuráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) $f$ com $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$, e $\mathcal L^\infty(\mu)$ é o conjunto das $f$ limitadas fora de um conjunto nulo, com $\norm f_\infty$ o *supremo essencial* — o menor $M$ com $\abs f \leq M$ q.t.p. (o ínfimo é atingido: intersecte os conjuntos nulos para $M + \frac1n$). Como $\norm f_p = 0$ apenas força $f = 0$ *q.t.p.* ([Exercício 10.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-5)), definimos $$ L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ q.t.p.}\} : $$ seus elementos são classes de funções módulo conjuntos nulos, e $\norm\cdot_p$ é uma norma genuína em $L^p$. **Teorema 12.2 (Desigualdade de Hölder).** Sejam $1 \leq p, q \leq \infty$ com $\frac1p + \frac1q = 1$ (expoentes conjugados). Para $f, g$ [mensuráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable): $$ \norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q , $$ com igualdade (para $1 < p < \infty$, normas finitas, $f,g\ne0$) se, e somente se, $\abs f^p$ e $\abs g^q$ são proporcionais q.t.p. **Demonstração.** Os casos $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ são diretos ($\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ q.t.p.). Seja $1 < p < \infty$; normalize $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeneidade; normas nulas ou infinitas são triviais). A desigualdade de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ($a, b \geq 0$; concavidade de $\ln$, como no [Problema 8.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#pb-b3-banach-1)) dá pontualmente $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$; integre: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$. A igualdade força a igualdade q.t.p. em Young, isto é, $\abs f^p = \abs g^q$ q.t.p. (após a normalização; desfazendo-a, proporcionalidade). ∎ **Teorema 12.3 (Desigualdade de Minkowski).** Para $1 \leq p \leq \infty$: $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$. **Demonstração.** $p = 1, \infty$: desigualdade triangular pontual ou q.t.p. Para $1 < p < \infty$, suponha $\norm{f+g}_p < \infty$ (do contrário, use $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$, que vem da convexidade de $t^p$, para ver que o membro esquerdo é finito quando o direito o é). Então $$ \norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q $$ por Hölder, e $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ pois $(p-1)q = p$; divida por $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (se não for nulo; caso contrário é trivial) e use $p - \frac pq = 1$. ∎ ## 12.2 Completude e suas companheiras **Teorema 12.4 (Riesz–Fischer).** Para $1 \leq p \leq \infty$, $L^p(\mu)$ é um espaço de Banach. Além disso, toda sequência convergente em $L^p$ tem uma subsequência que converge *quase em toda parte* (com um dominador $L^p$ no caso $p < \infty$). **Demonstração.** $p = \infty$: uma sequência de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ é, fora de um único conjunto nulo (reunião de enumeráveis outros), uniformemente de Cauchy: ela converge uniformemente ali fora; pronto. Seja $p < \infty$. Pelo [Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b), basta somar séries absolutamente convergentes: seja $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$. Ponha $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ e $G = \sum_k\abs{f_k}$ (pontualmente em $[0,\infty]$): por Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$, e a convergência monótona ($G_n^p \nearrow G^p$) dá $\int G^p \leq M^p$: $G < \infty$ q.t.p., de modo que a série $\sum f_k(x)$ converge absolutamente para q.t.p. $x$; chame a soma de $S(x)$ (com valor qualquer no conjunto nulo). Então $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$, e a convergência dominada dá $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$: a série converge em $L^p$. Quanto ao enunciado sobre subsequências: se $f_n \to f$ em $L^p$, escolha $n_k$ com $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$; a série $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ cai no argumento anterior: ela converge absolutamente q.t.p., dominada por um $G \in L^p$, de modo que $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ q.t.p., e esse limite q.t.p. tem de ser (um representante de) $f$ (ambos são limites $L^p$). O dominador: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$. ∎ **Observação 12.5.** A convergência em $L^p$ não implica a convergência q.t.p. (a sequência *máquina de escrever*, [Exercício 12.3](#exo-b3-lp-3)), nem reciprocamente (ondas que fogem): os dois modos só se ligam por subsequências e dominação. Ter em mente os contraexemplos do [Exercício 12.3](#exo-b3-lp-3) é a melhor vacina. ## 12.3 Teoremas de densidade **Teorema 12.6.** Seja $1 \leq p < \infty$. 1. As [funções simples](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-simple) (com suportes de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita) são densas em $L^p(\mu)$ . 2. Em $L^p(\R^d)$ , as funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\mathcal C_c(\R^d)$ são densas. 3. A translação é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $L^p(\R^d)$ : escrevendo $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ quando $h \to 0$ . Nenhuma das três vale para $p = \infty$. **Demonstração.** (1) Para $f \geq 0$: as $s_n \nearrow f$ diádicas do [Teorema 10.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-approximation) satisfazem $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$: convergência dominada. (Cada $s_n \leq f$ está em $L^p$, e seus conjuntos de nível têm [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita onde o valor é positivo: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$.) Separe uma $f$ geral em quatro partes não negativas. (2) Por (1), basta aproximar $\mathbf 1_A$, com $A$ boreliano e $\lambda_d(A) < \infty$. A regularidade (demonstração como no [Teorema 9.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#thm-b3-measure-regularity)) dá $K \subseteq A \subseteq U$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e aberto com $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$; a função de Urysohn $$ \varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)} $$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), vale $1$ em $K$ e $0$ fora de $U$, e pode ser tomada de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (encolha primeiro $U$ a um aberto limitado). Então $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$. (3) Para $g \in \mathcal C_c$: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme dá $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$, com suportes em um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) fixo para $\abs h \leq 1$: $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$. Para $f$ geral: tome $g \in \mathcal C_c$ com $\norm{f - g}_p < \varepsilon$; então $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariância da norma por translação). Para $p = \infty$: a aproximação uniforme de $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ por funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é impossível (o salto), e $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ para $h \neq 0$. ∎ ## 12.4 Convolução e regularização **Teorema 12.7 (Desigualdade de Young).** Sejam $1 \leq p \leq \infty$, $f \in L^1(\R^d)$, $g \in L^p(\R^d)$. Então $f * g$ está definida q.t.p., pertence a $L^p$ e $$ \norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p . $$ **Demonstração.** $p = \infty$: cota direta. $p = 1$: [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-convolution). Sejam $1 < p < \infty$ e $q$ conjugado. Separe $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ e aplique Hölder: $$ \int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} . $$ Eleve à $p$-ésima potência e integre em $x$; Tonelli no segundo fator dá $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$, isto é, $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — e a finitude da integral de Tonelli justifica a convergência absoluta q.t.p., como no [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-convolution). ∎ **Definição 12.8 (Aproximações da identidade).** A função $$ \rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases} $$ com $c$ normalizando $\int\rho = 1$, é $\mathcal C^\infty$ em $\R^d$: o ponto é que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ é $\mathcal C^\infty$ em $\R$, com todas as derivadas em $0^+$ iguais a $0$ (cada derivada é $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para um polinômio $P$, e isso tende a $0$; indução). Para $\varepsilon > 0$, ponha $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$: com suporte em $\bar B(0, \varepsilon)$ e ainda de integral $1$. **Teorema 12.9 (Regularização).** Sejam $1 \leq p < \infty$ e $f \in L^p(\R^d)$. Então: 1. $f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , com $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ; 2. $\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ quando $\varepsilon \to 0$ ; 3. consequentemente, $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ é denso em $L^p(\R^d)$ . **Demonstração.** (1) Derivação sob o sinal de integral ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) em $x$: para $x$ em uma bola $B$, $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ com $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ($y$ a distância no máximo $\varepsilon$ de $B$), e $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contra $\mathbf 1_K$): o teorema se aplica; itere para as derivadas de ordem superior. (2) Como $\int\rho_\varepsilon = 1$: $$ (f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y , $$ e a desigualdade *integral* de Minkowski — ou, diretamente, Hölder/Jensen com a [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) de probabilidade $\rho_\varepsilon\dd y$ e Tonelli — $$ \norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ (a etapa do meio: aplique a desigualdade de Jensen, [Exercício 12.10](#exo-b3-lp-10), à integral interna em $y$ e, depois, Tonelli). O integrando tem suporte em $\norm y \leq \varepsilon$ e tende ali a $0$ uniformemente quando $\varepsilon \to 0$ ([Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)): a expressão inteira tende a $0$. (3) Aproxime $f$ por $g \in \mathcal C_c$ ([Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(2)) e, depois, $g$ por $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): soma dos suportes). ∎ **Exemplo 12.10 (Regularizando ∣x∣\abs x∣x∣, com taxas).** Tome $f(x) = \abs x$ em $\R$ (localmente $L^1$; o teorema se aplica em toda janela limitada) e uma [aproximação da identidade](#def-b3-lp-mollifier) simétrica $\rho_\varepsilon$. Então $$ f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ é $\mathcal C^\infty$; longe do bico, nada acontece: para $\abs x \geq \varepsilon$, $\abs{x - y}$ é linear em $x$ no suporte de $\rho_\varepsilon$, de modo que $f_\varepsilon(x) = \abs x$ *exatamente* (a simetria mata a correção). Perto de $0$, a suavização custa precisamente $$ 0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon : $$ o erro de aproximação fica confinado à [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de raio $\varepsilon$ da singularidade e é da ordem dela. Enquanto isso, $f_\varepsilon'' \geq 0$ em toda parte ($f$ é convexa, e a convolução com $\rho_\varepsilon \geq 0$ preserva a convexidade), com $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: a segunda derivada é uma onda de massa $2$ espremida em largura $O(\varepsilon)$, de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. Suavizar é uma troca: erro uniforme $O(\varepsilon)$ contra explosão da derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — exatamente a taxa de câmbio que a análise quantitativa (desigualdades de interpolação, o círculo de ideias do [Problema 12.1](#pb-b3-lp-1)) formaliza. **Corolário 12.11 (Lema fundamental do cálculo das variações).** Seja $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ ([integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)) com $\int f\varphi = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$. Então $f = 0$ q.t.p. **Demonstração.** Fixe uma bola $B = B(0, R)$ e ponha $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$. Para $x \in B$ e $\varepsilon < 1$: $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$, sendo a função de teste $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$. Mas $g * \rho_\varepsilon \to g$ em $L^1$ ([Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)): $g = 0$ q.t.p. em $B$; exaura $\R^d$. ∎ ## 12.5 A geografia dos $L^p$ **Proposição 12.12.** (a) Se $\mu(X) < \infty$ e $1 \leq p \leq q \leq \infty$, então $L^q \subseteq L^p$ com $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$. (b) Em $\R^d$ ([medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) infinita) não há inclusão alguma: para $p \neq q$ existem funções em $L^p\setminus L^q$. (c) (Interpolação) Se $p < r < q$ e $\alpha \in \intoo01$ é definido por $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$, então $$ \norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ; $$ em particular, $L^p \cap L^q \subseteq L^r$. **Demonstração.** (a) Hölder com os expoentes $\frac qp$ e seu conjugado: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ($q = \infty$ diretamente). (b) Perto de $0$ e perto de $\infty$, as potências $x^{-\alpha}$ calibram: [Exercício 12.2](#exo-b3-lp-2). (c) Escreva $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ e aplique Hölder com o par conjugado $\frac p{r\alpha}$, $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjugados precisamente pela definição de $\alpha$): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$. ∎ **Método 12.13.** A caixa de ferramentas $L^p$, tal como usada em tudo o que segue: para demonstrar uma identidade ou desigualdade para todo $f \in L^p$ — demonstre-a em uma classe densa ($\mathcal C_c^\infty$, via o [Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)) e estenda por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension), sendo ambos os lados [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $L^p$); para demonstrar que $f = 0$, teste contra $\mathcal C_c^\infty$ ([Corolário 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma)); para ganhar regularidade, convolua; para trocar expoentes, Hölder e interpolação. A teoria de Fourier do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) é uma longa aplicação desse método. ## 12.6 Exercícios **Exercício 12.1 ★.** (a) Enuncie e demonstre a desigualdade de Cauchy–Schwarz em $L^2(\mu)$ como o caso $p = q = 2$ de Hölder. (b) Em um espaço de *probabilidade*, mostre que $p \mapsto \norm f_p$ é não decrescente. (c) Quando Hölder é uma igualdade para $p = 1$, $q = \infty$? **Solução de Exercício 12.1.** (a) $p = q = 2$ no [Teorema 12.2](#thm-b3-lp-holder): $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, com igualdade se, e somente se, $\abs f, \abs g$ são proporcionais e as fases estão alinhadas. (b) Num espaço de probabilidade, para $p \leq q$: aplique Jensen ([Exercício 12.10](#exo-b3-lp-10)) com a convexa $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ à função $\abs f^p$: $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$, isto é, $\norm f_p \leq \norm f_q$. (c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ se, e somente se, $\abs{g} = \norm g_\infty$ q.t.p. em $\{f \neq 0\}$ (a desigualdade $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ deve ser uma igualdade q.t.p.). **Exercício 12.2 ★.** Para quais $p \in \intco1\infty$ as funções seguintes pertencem a $L^p$? $$ x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{em } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{em } \R . $$ Conclua: em $\intoo01$, $p$ pequeno é mais fácil; em $\intoo1\infty$, $p$ grande é mais fácil; e nenhum $L^p$ contém outro em $\R$. **Solução de Exercício 12.2.** $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ se, e somente se, $p < 2$: a primeira está em $L^p$ para $p \in \intco12$. $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ se, e somente se, $p > 2$: a segunda para $p \in \intoo2\infty$ (e $p = \infty$: ela é limitada — inclua-o). Terceira: para $p < 2$, dominada por $x^{-p/2}$: [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1); para $p = 2$, substitua $u = -\ln x$: $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$; para $p > 2$ a potência domina: divergente. Logo $p \in \intcc12$. Quarta: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ se, e somente se, $p > 1$; limitada, de modo que também $L^\infty$: $p \in \intoc1\infty$. Moral: a [integrabilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) em $0$ gosta de $p$ pequeno, e em $\infty$ de $p$ grande; combinando os dois obstáculos, não há inclusão entre os espaços $L^p(\R)$. **Exercício 12.3 ★★.** (A máquina de escrever) Enumere os intervalos diádicos $I_1 = \intcc01$, $I_2 = \intcc0{\frac12}$, $I_3 = \intcc{\frac12}1$, $I_4 = \intcc0{\frac14}$, … e ponha $f_n = \mathbf 1_{I_n}$. (a) Mostre que $f_n \to 0$ em todo $L^p(\intcc01)$, $p < \infty$, mas que $(f_n(x))$ diverge para *todo* $x \in \intcc01$. (b) Exiba a subsequência convergente q.t.p. prometida pelo [Teorema 12.4](#thm-b3-lp-complete). (c) Reciprocamente, dê uma sequência que converge q.t.p. mas não em $L^1$, e outra que converge em $L^1$ mas em nenhum $L^p$ com $p > 1$. **Solução de Exercício 12.3.** (a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (no nível diádico $k$ o comprimento é $2^{-k}$). Mas todo $x$ está num intervalo de cada nível diádico: $f_n(x) = 1$ uma infinidade de vezes e $= 0$ uma infinidade de vezes (intervalos do mesmo nível que não contêm $x$): nenhuma convergência em ponto algum. (b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (o primeiro intervalo de cada nível) converge a $0$ em todo $x > 0$: q.t.p. (c) q.t.p. mas não em $L^1$: $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ q.t.p., de integral $1$. Em $L^1$, mas em nenhum $L^p$ ($p > 1$): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$: $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$, ao passo que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ para todo $p > 1$. **Exercício 12.4 ★★.** Sejam $\mu(X) < \infty$ e $f \in L^\infty(\mu)$, $f \neq 0$. Mostre que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ quando $p \to \infty$. *(Cota superior por (a) da [Proposição 12.12](#prop-b3-lp-inclusions); cota inferior integrando em $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$, de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) positiva.)* **Solução de Exercício 12.4.** Superior: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ ([Proposição 12.12](#prop-b3-lp-inclusions)(a) com $q = \infty$), e $\mu(X)^{1/p} \to 1$. Inferior: para $\varepsilon > 0$, $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ tem $\mu(A) > 0$ (definição do sup essencial), e $$ \norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon . $$ **Exercício 12.5 ★★.** (a) Onde exatamente a demonstração do [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(3) usa $p < \infty$? (b) Mostre que $f \in L^\infty(\R)$ satisfaz $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ se, e somente se, $f$ tem um representante uniformemente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). **Solução de Exercício 12.5.** (a) Duas vezes: a conversão $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (suporte de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita) degenera para $p = \infty$ apenas no fato de que ali falha a *[densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de $\mathcal C_c$* — essa é a lacuna real: o passo (2) do [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density) não tem análogo $L^\infty$. (b) Se $f$ tem um representante uniformemente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $g$: $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$. Reciprocamente, suponha $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$. As regularizações $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ são [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), e $$ \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0 $$ (a convolução é uma média de transladados). Cada $f_\varepsilon$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ($\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$, por média), e um limite uniforme de funções uniformemente [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é uniformemente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $f$ coincide q.t.p. com uma função uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). **Exercício 12.6 ★★.** Sejam $p, q$ conjugados, $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$. Mostre que $f * g$ está definida *em toda parte*, é limitada, com $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$, e *uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)*. *([Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da translação em $L^p$; trate $p \in \{1, \infty\}$ à parte — para $p = \infty$, use a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da translação no fator $L^1$.)* **Solução de Exercício 12.6.** Por Hölder, para todo $x$ o integrando $y \mapsto f(x - y)g(y)$ está em $L^1$ com $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$: definida em toda parte e limitada. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme ($p < \infty$): $$ \abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0, $$ uniformemente em $x$ ([Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)). Se $p = \infty$, então $q = 1$: escreva $f * g = g * f$ e repita a mesma cota com a translação agindo em $g \in L^1$. **Exercício 12.7 ★★.** Seja $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ com $\int f\varphi' = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$. Mostre que $f$ é q.t.p. igual a uma constante. *(Fixe $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ com $\int\chi = 1$; toda $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ com $\int\psi = 0$ é uma $\varphi'$; escreva uma função de teste geral como $\psi + (\int\psi)\chi$ e aplique o [Corolário 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) a $f - c$ com $c = \int f\chi$.)* **Solução de Exercício 12.7.** Fixe $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ com $\int\chi = 1$ e ponha $c = \int f\chi$. Seja $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitrária e $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$: então $\int\psi = 0$, de modo que $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ define $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (ela se anula perto dos dois extremos: perto de $a$ trivialmente, perto de $b$ porque a integral total é $0$) com $\Phi' = \psi$. A hipótese dá $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$, logo $$ \int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{para todo } \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 . $$ Pelo [Corolário 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) (localizado em $\intoo ab$), $f = c$ q.t.p. **Exercício 12.8 ★★★.** (Urysohn suave) Sejam $K \subseteq U \subseteq \R^d$, com $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $U$ aberto. Construa $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ com $0 \leq \varphi \leq 1$, $\varphi = 1$ em $K$, $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$. *(Regularize a indicadora da [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de raio $\delta$, $K_\delta$, de $K$ com $\rho_{\delta/2}$, para $\delta$ pequeno.)* Deduza um enunciado de partição da unidade $\mathcal C^\infty$ para um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) coberto por finitos abertos. **Solução de Exercício 12.8.** Seja $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positivo: [Exercício 6.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#exo-b3-topology-6)(b); se $U = \R^d$, qualquer $\delta$ serve), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$, e $$ \varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} . $$ Então $\varphi \in \mathcal C^\infty$ ([Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)(1); a indicadora é $L^1$), $0 \leq \varphi \leq 1$ ($\int\rho = 1$), $\varphi = 1$ em $K$ (para $x \in K$, $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$, de modo que a convolução integra $\rho$ por inteiro) e $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$: com suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ($K_\delta$ é limitado). Partição da unidade: dado $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$, escolha (por [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)) [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K_i \subseteq U_i$ com $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$, tome $\varphi_i$ como acima para $(K_i, U_i)$ e ponha $\psi_i = \varphi_i\prod_{j p_0$. **Exercício 12.10 ★★.** (Jensen) Sejam $\mu$ uma [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) de *probabilidade*, $f \in L^1(\mu)$ real e $\Phi \colon \R \to \R$ convexa. Mostre que $$ \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu $$ *(reta de suporte de $\Phi$ no ponto $m = \int f$)*. Deduza a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica e a monotonicidade de $p \mapsto \norm f_p$ do [Exercício 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **Solução de Exercício 12.10.** Seja $m = \int f\,\dd\mu \in \R$. A convexidade fornece uma reta de suporte em $m$: existe $s$ com $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ para todo $t$ (tome $s$ entre as derivadas laterais, que existem para funções convexas). Substitua $t = f(x)$ e integre contra a probabilidade $\mu$: $$ \int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) $$ ([mensurabilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable): $\Phi$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); a [integrabilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) da parte negativa de $\Phi\circ f$ é garantida pela reta de suporte). MA–MG: num conjunto finito com pesos $w_i$, tome $\Phi = \exp$ e $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$: $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$, isto é, $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$. A monotonicidade das normas é o [Exercício 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **Exercício 12.11 ★★★.** (Desigualdade de Young para a convolução) Sejam $1 \leq p, q, r \leq \infty$ com $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$, e $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$. (a) Demonstre $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$. *(Escreva, para expoentes conjugados deduzidos de $p, q, r$, $$\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$$ e aplique a desigualdade de Hölder com três fatores, de expoentes $r$, $\frac{pr}{r - p}$, $\frac{qr}{r - q}$; depois integre em $x$ por Tonelli.)* (b) Confira os três casos particulares já conhecidos: $r = \infty$ (Hölder, [Exercício 12.6](#exo-b3-lp-6)); $q = 1$ (estabilidade $L^p$ da convolução por um núcleo [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)); $p = q = 1$ ($L^1$ é uma álgebra de convolução, [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-convolution)). (c) Por que não há desigualdade com $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$? *(Teste em dilatações $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ e compare os reescalamentos dos dois lados.)* **Solução de Exercício 12.11.** (a) Suponha primeiro $p, q, r < \infty$ e $f, g \geq 0$ (substitua pelos valores absolutos). Os três expoentes $r$, $\alpha = \frac{pr}{r-p}$, $\beta = \frac{qr}{r-q}$ satisfazem $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (a relação de escala). Reparta, para $x$ fixo, $$ f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r}, $$ e Hölder com os três expoentes dá $$ (f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots $$ mais precisamente: o segundo fator é $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$, pois $(1 - \frac pr)\alpha = p$, e do mesmo modo o terceiro é $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$. Eleve à $r$-ésima potência e integre em $x$ (Tonelli no primeiro fator): $$ \norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r . $$ Os casos extremos ($r = \infty$ ou um expoente igual a sua cota) são Hölder puro ou estimativas diretas. (b) $r = \infty$ força $q = p'$: $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder após translação e reflexão. $q = 1$ dá $r = p$: $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$, o burro de carga da regularização (o motor do [Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)). $p = q = 1$ dá $r = 1$: a álgebra de convolução ([Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-convolution)). (c) Substitua $f, g$ por $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$, $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$: então $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ e, comparando normas, $$ \text{ME} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{MD} \sim \lambda^{-d/p - d/q} : $$ uma desigualdade válida para todos $f, g$ força os dois expoentes de escala a coincidir, isto é, $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exatamente. Qualquer outra combinação morre em $\lambda \to 0$ ou em $\infty$: a relação de Young não é uma conveniência, mas uma lei de escala. **Exercício 12.12 ★★.** (Casos de igualdade) (a) Na desigualdade de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ($1 < p < \infty$), mostre que a igualdade vale se, e somente se, $\abs f^p$ e $\abs g^q$ são proporcionais q.t.p. *(Acompanhe o caso de igualdade da desigualdade de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$, que é $a^p = b^q$.)* (b) Na desigualdade de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ($1 < p < \infty$), mostre que a igualdade com $f, g \neq 0$ força $g = cf$ q.t.p. com $c > 0$. (c) Contraste com $p = 1$ e $p = \infty$: descreva os casos de igualdade (muito maiores) que ali ocorrem, com exemplos. **Solução de Exercício 12.12.** (a) Normalize $\norm f_p = \norm g_q = 1$. A demonstração de Hölder integra a desigualdade de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$; a igualdade das integrais força a igualdade q.t.p. em Young, o que (convexidade estrita de $\exp$; igualdade se, e somente se, $a^p = b^q$) significa $\abs f^p = \abs g^q$ q.t.p. Desfazendo a normalização: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ q.t.p. — proporcionalidade. (b) Minkowski são dois Hölder aplicados a $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ e $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$; a igualdade força a proporcionalidade de (a) em ambos: $\abs f^p$ e $\abs g^p$ cada um proporcional a $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$, de modo que $\abs g = t\abs f$ q.t.p. para uma constante $t \geq 0$; e a desigualdade triangular pontual inicial $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ também tem de ser uma igualdade q.t.p., o que, para valores complexos, significa que $f$ e $g$ têm q.t.p. o mesmo argumento onde ambas são não nulas. Combinando: $g = tf$ q.t.p., $t > 0$ (ambas não nulas). (c) $p = 1$: a igualdade em $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ vale sempre que $f, g$ têm o mesmo padrão de sinais (mesmo argumento q.t.p.) — sem necessidade de proporcionalidade: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ e $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ servem. $p = \infty$: $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ assim que as duas funções atingem seus picos de modo compatível num ponto comum (ou ao longo de uma sequência comum): $f = g\,$ perto de um ponto basta, qualquer que seja o comportamento nos demais. A convexidade estrita das bolas $L^p$ para $1 < p < \infty$ — e sua falha nos extremos — é exatamente o que esses casos de igualdade testemunham. ## 12.7 Problema: a desigualdade de Hardy **Problema 12.1.** Problema de fim de semana — a desigualdade de Hardy e sua constante ótima Para $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$, $1 < p < \infty$, defina o *operador de Hardy* $$ (Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t . $$ A desigualdade de Hardy (1920) afirma $$ \norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p , $$ e a constante $\frac p{p-1}$ é ótima e não é atingida. Este problema demonstra tudo e, em seguida, estende o resultado a séries. **Parte I — A desigualdade.** Suponha primeiro $f \geq 0$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em $\intoo0{+\infty}$, e ponha $F(x) = \int_0^xf$. 1. Mostre que $Hf \in L^p$ : perto de $0$ , $F$ se anula em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $0$ ; perto de $\infty$ , $F$ é limitada, de modo que $(Hf)(x) = O(1/x)$ , e $x \mapsto \frac1x$ pertence a $L^p(\intoo1{+\infty})$ para $p > 1$ . 2. Integre por partes para mostrar $$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$$ *(Derive $x^{1-p}F^p$; os termos de fronteira se anulam — justifique nas duas pontas.)* 3. Aplique Hölder ao membro direito e deduza $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ para tais $f$ . 4. Estenda a todo o $L^p$ : para $f \geq 0$ , construa $f_n$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em $\intoo0{+\infty}$ , com $0 \leq f_n \nearrow f$ q.t.p. *(trunque e aproxime monotonamente — justifique a construção)* ; então $Hf_n \nearrow Hf$ pontualmente (convergência monótona dentro da média) e a convergência monótona passa a desigualdade ao limite. Para $f$ com sinal ou complexa, conclua com $\abs{Hf} \leq H\abs f$ . **Parte II — Otimalidade.** 5. Para $A > 1$, ponha $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$. Calcule $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ e, para $1 \leq x \leq A$, $$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$$ 6. Deduza $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ e conclua que a constante é ótima. 7. Mostre que a igualdade $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ com $f \neq 0$ é impossível. *(Acompanhe o caso de igualdade de Hölder na questão 3: ela forçaria um comportamento do tipo $f = cx^{-1/p}$, que não está em $L^p$.)* **Parte III — A desigualdade discreta.** 8. Para $g \geq 0$ não crescente em $(0,\infty)$ e $a_n = g(n)$, compare $\sum a_n^p$ e $\int g^p$, e as médias de $H$ correspondentes, para deduzir da Parte I a *desigualdade discreta de Hardy*: para $a_n \geq 0$, $$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$$ — demonstre-a primeiro para $(a_n)$ não crescente, pela comparação acima, e reduza depois o caso geral ao não crescente por rearranjo *(admita, com uma justificativa de uma linha, que ordenar $(a_n)$ de maneira decrescente só pode aumentar o membro esquerdo, deixando o direito inalterado)*. 9. Deduza: se $\sum a_n^p < \infty$ , então as médias de Cesàro de $(a_n)$ estão de novo em $\ell^p$ — e dê um exemplo ( $p = 2$ ) em que $(a_n) \in \ell^2$ mas $a_n$ não é somável, e ainda assim Hardy controla as médias. **Parte IV — Epílogo.** 10. Mostre que a desigualdade de Hardy falha para $p = 1$ : com $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcule $Hf$ e observe que $Hf \notin L^1$ . Onde a demonstração se quebra? **Parte V — A função maximal e o teorema de diferenciação de Lebesgue.** Hardy faz médias a partir da origem; Hardy–Littlewood fazem médias *em torno de cada ponto*. Para $f \in L^1(\R)$, defina $$ Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda . $$ 11. (Vitali, versão finita) Sejam $B_1, \dots, B_N$ intervalos abertos. Mostre que existe uma subfamília disjunta $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ com $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , em que $3B$ denota o intervalo de mesmo [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) e comprimento triplo *(guloso: escolha repetidamente o intervalo mais longo disjunto dos já escolhidos)* . 12. (Tipo fraco $(1,1)$) Mostre que, para todo $t > 0$, $$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$$ cada $x$ com $Mf(x) > t$ é dono de um intervalo centrado $B_x$ com $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$; tome um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \{Mf > t\}$ (regularidade [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior)), cubra-o por um número finito de $B_x$, aplique a questão 11 e exaura. 13. Calcule $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ para $x > 1$ e deduza que $Mf \notin L^1$ para todo $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ no infinito): em $p = 1$ , a desigualdade fraca da questão 12 é o melhor enunciado possível. 14. (Tipo forte para $p > 1$) Para $f \in L^p$: separe $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$, observe que $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ e combine a questão 12 com a fórmula do bolo de camadas ([Proposição 11.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#prop-b3-product-layercake)) e Tonelli para demonstrar $$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$$ (A explosão quando $p \downarrow 1$ é o fracasso da questão 13, quantificado.) 15. (Teorema de diferenciação de Lebesgue) Demonstre: para $f \in L^1(\R)$, $$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{para q.t.p.\ }x .$$ *(Claro para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). No caso geral, escreva $f = g + h$, com $g$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $\norm h_1 < \varepsilon$ ([Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)); o conjunto em que o $\limsup_{r\to0}$ da oscilação média ultrapassa $\delta$ está contido em $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$, de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) $O(\varepsilon/\delta)$; faça $\varepsilon \to 0$ e, depois, $\delta \to 0$ ao longo de uma sequência.)* 16. Deduza: (a) quase todo ponto é um *ponto de Lebesgue* de $f$ ; (b) para $f \in L^1$ , a primitiva $F(x) = \int_0^xf$ é derivável q.t.p. com $F' = f$ q.t.p. — a metade integral do teorema fundamental do cálculo no mundo de Lebesgue, fechando o círculo aberto pela escada ( [Problema 9.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#pb-b3-measure-1) ), que mostrou que a outra metade pode falhar. 17. (Pontos de [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) ) Para $A \subseteq \R$ [mensurável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) , mostre que quase todo $x \in A$ satisfaz $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : os conjuntos [mensuráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) são localmente cheios em quase todos os seus pontos. Esboce, em duas linhas, como isso fornece mais uma demonstração do teorema de Steinhaus ( [Exercício 9.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#exo-b3-measure-8) ). **Parte VI — Variações sobre o tema da média.** 18. (Hardy com peso) Para $\alpha < p - 1$ e $f \geq 0$, mostre que $$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$$ pela mesma integração por partes, e verifique que o caso limite $\alpha = p - 1$ é genuinamente proibido (adapte o contraexemplo da questão 10). 19. (O adjunto) Seja $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Mostre que $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ para $f, g$ não negativas (Tonelli) e demonstre $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ *(diretamente por partes, ou a partir de Hardy no expoente conjugado por dualidade — atenção a qual expoente recebe qual constante)* . 20. (Uma desigualdade do tipo Hilbert) Deduza que, para $f \in L^p$ não negativas, $g \in L^q$: $$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$$ *(separe ao longo de $y < x$ / $y \geq x$: cada metade é um emparelhamento de uma função contra a transformada de Hardy da outra)*. 21. (Otimalidade, caso discreto) Mostre que a constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ da questão 8 também é ótima: teste em $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , compare os dois lados com integrais e faça $N \to \infty$ (o espelho discreto da Parte II). 22. (Síntese) Três operadores de média apareceram neste problema: o $H$ de Hardy, a média discreta de Cesàro e o operador maximal $M$ . Enuncie em uma linha o que a limitação de cada um diz, observe que os três falham exatamente em $p = 1$ e explique por que se trata do mesmo fracasso três vezes (a cauda harmônica $\frac1x$ ). **Parte VII — A desigualdade de Carleman, e quão ótimo é ótimo.** 23. (Desigualdade de Carleman) Seja $a_n \geq 0$ com $\sum a_n < \infty$. Aplique a desigualdade discreta de Hardy da questão 8 a $b_n = a_n^{1/p}$, use a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica e faça $p \to \infty$ (mostre que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ decresce até $\eu$) para obter $$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$$ as médias geométricas de uma sequência somável são somáveis, ao custo de no máximo $\eu$. 24. (A constante $\eu$ é ótima) Teste $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : usando o enquadramento de Stirling do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#pb-b3-product-1) , mostre que $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , deduza que ambos os lados de Carleman crescem como $\eu\ln N$ e conclua que nenhuma constante menor que $\eu$ pode funcionar. (Observe o padrão: os otimizadores de Hardy e de Carleman são ambos as sequências de tipo harmônico que por pouco deixam de estar no espaço.) 25. (Com que lentidão se aproxima o “ótimo”?) Tome $p = 2$. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$, calcule $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$, contra a cota $2$. Para os quase-otimizadores $f_A$ da questão 5, demonstre a identidade exata $$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{logo}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$$ Avalie em $A = \eu^{10}$ (razão $\approx 1.790$) e comente: o supremo $2$ é aproximado apenas à velocidade $1/\ln A$ — uma constante ótima pode ser quase invisível numericamente. **Solução de Problema 12.1.** **1.** $f$ tem suporte em algum $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$, de modo que $F = 0$ em $[0, \alpha]$ e $F \equiv F(\beta)$ em $[\beta, \infty)$: $Hf$ se anula perto de $0$ e é $O(1/x)$ no infinito; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ para $p > 1$, e $Hf$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $Hf \in L^p$. **2.** $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$. Os dois valores de bordo se anulam: em $0$ porque $F = 0$ perto de $0$; em $\infty$ porque $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ($p > 1$). Integrando a identidade em $\intoo0\infty$: $$ 0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x, $$ que é a relação em destaque. **3.** Hölder com expoentes $q = \frac p{p-1}$ e $p$: $$ \int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p , $$ de modo que $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$; divida (finito pela questão 1 e, se for $0$, nada há a demonstrar). **4.** Sejam $f \in L^p$, $f \geq 0$. Escolha $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ com $\varphi_k \to f$ em $L^p$ ([Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(2), intersectado com a semirreta aberta — aproxime $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ e diagonalize), e substitua $\varphi_k$ por $\abs{\varphi_k}$ (ainda [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e mais próxima de $f \geq 0$). Para todo $x > 0$ fixo, Hölder em $\intoo0x$ dá $$ \abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 : $$ $H\varphi_k \to Hf$ pontualmente. Fatou e a questão 3: $$ \int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p . $$ Para $f$ com sinal ou complexa: $\abs{Hf} \leq H\abs f$ pontualmente, e o caso não negativo se aplica a $\abs f$. **5.** $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$. Para $1 \leq x \leq A$: $$ (Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr). $$ **6.** Fixe $\varepsilon > 0$ e $X_0$ com $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ para $x \geq X_0$. Então $$ \norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0), $$ de modo que $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ quando $A \to \infty$: a constante não pode ser melhorada. **7.** A igualdade na questão 3 força a igualdade em Hölder: $f^p$ proporcional a $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ q.t.p., isto é, $f = \gamma\,\frac Fx$ q.t.p. para algum $\gamma \geq 0$. Como $F(x) = \int_0^xf$ é absolutamente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com $F' = f$ q.t.p., $F$ resolve $F' = \gamma F/x$: em qualquer intervalo em que $F > 0$, $(\ln F)' = \gamma/x$, de modo que $F = c\,x^{\gamma}$ e $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ ali. Mas nenhuma potência não nula $x^{\gamma-1}$ pertence a $L^p(\intoo0\infty)$ (é preciso $p(\gamma - 1) < -1$ em $\infty$ e $> -1$ em $0$: incompatível), e $F$ não pode se anular identicamente a menos que $f = 0$. Logo a igualdade exige $f = 0$. **8.** Dada $(a_n)$ não crescente $\geq 0$, defina a função escada $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ em $\intoo0{+\infty}$: não crescente, com $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ e $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$, de modo que $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$. A média de uma função não crescente é não crescente, de modo que $Hg$ o é, e $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p $$ pela Parte I. Para uma sequência não negativa geral, seja $(a_n^*)$ seu rearranjo não crescente (possível quando $a_n \to 0$, o que podemos supor — caso contrário, ambos os membros são infinitos): o membro direito não muda, e cada soma parcial $a_1 + \dots + a_n$ é no máximo $a_1^* + \dots + a_n^*$ (os $n$ maiores termos): o membro esquerdo apenas cresce. Logo a desigualdade vale para toda $(a_n)$. **9.** Se $(a_n) \in \ell^p$, a sequência das médias de Cesàro está em $\ell^p$ com norma $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$. Exemplo ($p = 2$): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ($n \geq 2$): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$, e, no entanto, $\sum a_n = \infty$ (teste da integral); Hardy ainda garante $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$. **10.** Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$: $Hf(x) = 1$ em $\intoc01$ e $= \frac1x$ para $x \geq 1$: $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$, ao passo que $\norm f_1 = 1$. A demonstração desaba em dois pontos: a constante $\frac p{p-1}$ explode quando $p \to 1$, e o termo de bordo $x^{1-p}F^p$ deixa de se anular no infinito para $p = 1$. A desigualdade de Hardy é um fenômeno honestamente de $p > 1$. **11.** Tome o intervalo mais longo $B_{i_1}$; descarte todo intervalo que o encontre; tome o mais longo sobrevivente $B_{i_2}$; itere (há finitos intervalos). Os escolhidos são disjuntos por construção, e todo $B$ descartado encontrou um intervalo escolhido ao menos tão longo: um intervalo que encontra um de comprimento maior ou igual está contido em seu triplo, $B \subseteq 3B_{i_l}$. **12.** $\{Mf > t\}$ é aberto: cada média $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (convergência dominada em $x$), e um supremo de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é semicontínuo inferiormente. Cada $x$ nele possui $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ com $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$. Para $K \subseteq \{Mf > t\}$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): finitos $B_x$ cobrem $K$, Vitali (questão 11) extrai $B_1', \dots, B_k'$ disjuntos com $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$, de modo que $$ \lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1 $$ por disjunção; a regularidade [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) ([Teorema 9.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#thm-b3-measure-regularity)) conclui. **13.** Para $x > 1$: com $r \in \intcc{x-1}x$, a média é $\frac{r - x + 1}{2r}$, crescente em $r$; para $r \geq x$ ela é $\frac1{2r}$, decrescente: o supremo é $\frac1{2x}$, atingido em $r = x$. Logo $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$. Em geral, se $\int_I\abs f = c > 0$ num intervalo limitado $I \subseteq \intcc{-C}C$, então $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ para todo $x$: nunca [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), a menos que $f = 0$ q.t.p. **14.** Com $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$: $M(f - f_t) \leq \frac t2$, de modo que $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ e a questão 12 dá $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$. Fórmula das camadas ([Proposição 11.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#prop-b3-product-layercake)) e Tonelli: $$ \norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p . $$ **15.** Escreva $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$. Para $g$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $A_rg(x) \to g(x)$ em toda parte. Dado $\varepsilon > 0$, reparta $f = g + h$ com $g$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $\norm h_1 < \varepsilon$ ([Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)); então $$ \limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)}, $$ de modo que $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ tem [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (questão 12; Markov). $\varepsilon$ arbitrário: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$; união em $\delta = \frac1k$: $A_rf \to f$ q.t.p. **16.** (a) Para cada $q \in \Q$, a questão 15 aplicada a $\abs{f - q}$ dá $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ q.t.p.; na interseção desses conjuntos de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) total, escolha $q$ com $\abs{f(x) - q} < \eta$: $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ para todo $\eta$: quase todo $x$ é ponto de Lebesgue. (b) Num ponto de Lebesgue, $$ \Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 : $$ $F' = f$ q.t.p. — primitivas de funções $L^1$ de fato derivam de volta; a escada ([Problema 9.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#pb-b3-measure-1)) é o contraexemplo apenas para a direção *recíproca*. **17.** Aplique a questão 15 a $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ e faça $n$ crescer: para q.t.p. $x \in A$, a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$. Steinhaus: em torno de um ponto de [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), tome $r$ com [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $> \frac34$; para $\abs t < \frac r2$, $A$ e $A + t$ preenchem, cada um, mais de $\frac32r$ de um intervalo de comprimento $\leq \frac52r$, e portanto se intersectam: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$. **18.** Seja $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$: $G$ se anula em $0$ ($F$ se anula perto de $0$) e em $\infty$ ($F$ limitada, $\alpha + 1 - p < 0$), de modo que $\int_0^\infty G' = 0$ com $$ G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha . $$ Logo $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$; Hölder para a [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) $x^\alpha\dd x$ (expoentes $\frac p{p-1}$ e $p$) conclui como na questão 3. Caso limite $\alpha = p - 1$: com $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$, o membro direito é $\ln A$, ao passo que o esquerdo contém $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$: nenhuma constante sobrevive a $A \to \infty$. **19.** Tonelli em $\{0 < t < x\}$: $$ \langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle . $$ Dualidade: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$, sendo Hardy invocado em $L^q$, cuja constante $\frac q{q-1}$ é igual a $p$. **20.** Reparta ao longo da diagonal (nula). Em $\{y \leq x\}$: $$ \iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q, $$ pois Hardy em $L^q$ carrega a constante $\frac q{q-1} = p$. Simetricamente, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ($\frac p{p-1} = q$). Total: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$. **21.** Para $a_n = n^{-1/p}$, $n \leq N$: o membro direito é $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$. No esquerdo, para $n \leq N$: $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$, de modo que a $n$-ésima média de Cesàro é $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformemente para $n$ em qualquer faixa $n \geq n_0(\eta)$; elevando à $p$ e somando, o membro esquerdo é $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$. Dividindo e fazendo $N \to \infty$ e depois $\eta \to 0$: nenhuma constante menor que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ pode servir. **22.** $H$ limitado em $L^p$: médias cumulativas não inflam as normas $p$ (constante $\frac p{p-1}$); Cesàro em $\ell^p$: o mesmo, discretizado; $M$ limitado em $L^p$: nem mesmo a melhor média local escapa ao controle (constante $O(\frac1{p-1})$). Os três falham em $p = 1$, e por uma única razão: fazer a média de uma unidade de massa concentrada produz uma cauda $\frac1x$ (questões 10 e 13), e $\frac1x$ pertence a todo $L^p$ perto do infinito, exceto $L^1$. A suavização espalha a massa exatamente até a fronteira harmônica da [integrabilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1). **23.** Ponha $b_n = a_n^{1/p}$, de modo que $\sum b_n^p = \sum a_n$. A questão 8 dá $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n, $$ e a MA–MG minora cada parcela: $$ \Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}. $$ Logo $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ para *todo* $p > 1$. Com $m = p - 1$, $$ \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1}, $$ que decresce para $\eu$ quando $m \to \infty$ (a clássica sequência monótona superior para $\eu$). Tomando o ínfimo em $p$, obtém-se a desigualdade de Carleman com constante $\eu$. **24.** Para $a_n = \frac1n$, $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$. O enquadramento do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#pb-b3-product-1) dá $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$, de modo que $$ (n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr), $$ pois $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$. Invertendo, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$, e somando em $n \leq N$: $$ \sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1) $$ (a série de erros $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). Uma desigualdade de Carleman com constante $c$ forçaria $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$, logo $c \geq \eu$ ao dividir por $\ln N$. As sequências otimizantes se alinham: a constante de Hardy é aproximada por $n^{-1/p}$ (questão 21), a de Carleman por $n^{-1}$ — em cada caso, a sequência do tipo harmônico que fica logo fora do espaço sobre o qual se faz a média. **25.** Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$: $Hf(x) = 1$ em $\intoc01$ e $Hf(x) = \frac1x$ para $x > 1$, de modo que $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ e a razão é $\sqrt2 \approx 1.414$, cerca de $71\%$ da cota ótima. Para $f_A$ ($p = 2$): $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ em $\intcc1A$, de modo que, nessa faixa, $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ e, para $x > A$, $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$. Elevando ao quadrado e integrando, $$ \begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*} $$ donde $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$; dividir por $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ dá a identidade enunciada. Em $A = \eu^{10}$: $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$, de modo que a razão é $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$. O defeito $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ decai apenas logaritmicamente: para atingir a razão $1.99$ seria preciso $\ln A \approx 200$, isto é, $A \approx 10^{87}$. Constantes ótimas são teoremas, não experimentos.