--- title: "Espaços de Hilbert" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 13 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert --- # Capítulo 13 — Espaços de Hilbert Um [espaço de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) é um espaço de Banach cuja norma provém de um [produto interno](#def-b3-hilbert-inner) — e essa única estrutura adicional restaura, em dimensão infinita, quase toda a geometria euclidiana: existem projeções ortogonais, todo funcional [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é um [produto interno](#def-b3-hilbert-inner) contra um vetor fixado (Riesz), e as bases ortonormais expandem todo vetor em uma série convergente com contabilidade pitagórica ([Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval)). O ponto alto do capítulo é uma dívida honrada: o sistema trigonométrico é uma base ortonormal de $L^2$, de modo que a identidade de [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) vale para *toda* função de quadrado [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) — o enunciado que o segundo ano só pôde demonstrar para funções $\mathcal C^1$ por partes. Encerramos com Lax–Milgram, o lema cavalo de batalha da abordagem variacional das equações diferenciais. Ao longo de todo o capítulo, $H$ é um espaço vetorial sobre $K = \R$ ou $\C$. ## 13.1 Produtos internos; o teorema da projeção **Definição 13.1.** Um *produto interno* é uma aplicação $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$, linear na segunda variável, com $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ e $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$. Ele induz a norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$, a *desigualdade de Cauchy–Schwarz* $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (a demonstração do segundo ano — o discriminante — não muda) e a *lei do paralelogramo* $$ \norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 . $$ Um *espaço de Hilbert* é um espaço com produto interno [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) para essa norma. Exemplos: $\ell^2$ ([Problema 8.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#pb-b3-banach-1)) e, o fundamental, $L^2(\mu)$ com $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) por Riesz–Fischer ([Teorema 12.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-complete)); o produto interno é finito por Cauchy–Schwarz ($=$ Hölder em $p = q = 2$). **Teorema 13.2 (Projeção sobre um convexo fechado).** Sejam $C \neq \varnothing$ um subconjunto *convexo* fechado do [espaço de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) $H$ e $x \in H$. Existe um único $p_C(x) \in C$ com $$ \norm{x - p_C(x)} = d(x, C), $$ caracterizado por: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ para todo $c \in C$. A aplicação $p_C$ é $1$-lipschitziana. **Demonstração.** Sejam $d = d(x, C)$ e $(c_n) \subseteq C$ com $\norm{x - c_n} \to d$. A lei do paralelogramo em $x - c_n$ e $x - c_m$: $$ \norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2 $$ (a convexidade coloca o ponto médio em $C$): o membro direito tende a $0$, de modo que $(c_n)$ é de Cauchy, e seu limite $p \in C$ (fechado) atinge $d$. Unicidade: dois minimizadores dão, pela mesma identidade, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$. Caracterização: para $c \in C$, $t \in \intoc01$, o vetor $p + t(c - p) \in C$, de modo que $$ d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ; $$ divida por $t \to 0^+$: $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$. Reciprocamente, essa desigualdade dá $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$. Lipschitz: para $x, y$ de projeções $p, q$, some as duas desigualdades variacionais (com $c = q$ e com $c = p$, respectivamente): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$, logo $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$. ∎ **Teorema 13.3 (Decomposição ortogonal).** Seja $F$ um *subespaço fechado* de $H$. Então $p_F$ é linear, $x - p_F(x) \perp F$ para todo $x$, e $$ H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F . $$ Para um subespaço geral, $(F^\perp)^\perp = \bar F$; em particular, $F$ é denso se, e somente se, $F^\perp = \{0\}$. **Demonstração.** Para um subespaço, a caracterização variacional com $c = p_F(x) \pm f$ ($f \in F$, nos dois sinais, e $\iu f$ no caso complexo) força $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$: o resíduo é ortogonal a $F$. Decomposição $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ com $F \cap F^\perp = \{0\}$ ($\langle y, y \rangle = 0$); a linearidade de $p_F$ decorre da unicidade de tais decomposições (ambos os lados são lineares nelas). $(F^\perp) ^\perp \supseteq F$ sempre; reciprocamente, se $x \perp F^\perp$, escreva $x = f + g$: $g = x - f \in F^\perp$ e $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$: $x = f \in F$. Para um subespaço geral $F$: $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) do [produto interno](#def-b3-hilbert-inner)), de modo que $(F^\perp)^\perp = \bar F$ pelo caso fechado; e a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) equivale a $\bar F = H$, que equivale a $F^\perp = 0$. ∎ **Teorema 13.4 (Representação de Riesz).** Para todo funcional linear [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\varphi \in H'$ existe um único $a \in H$ com $$ \varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a . $$ **Demonstração.** Se $\varphi = 0$: $a = 0$. Do contrário, $F = \ker\varphi$ é um subespaço próprio fechado; tome $u \in F^\perp$, $\norm u = 1$ ([Teorema 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition): $F^\perp \neq 0$, pois $F \neq H$). Para todo $x$, o vetor $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$, logo $\perp u$: $$ 0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle . $$ Assim $a = \overline{\varphi(u)}u$ resolve. Unicidade: $\langle a - a', x\rangle = 0$ para todo $x$; teste $x = a - a'$. Normas: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz), com igualdade em $x = a$. ∎ **Exemplo 13.5 (Uma projeção, calculada até o fim).** Em $H = L^2(\intcc01)$, qual é a melhor aproximação de $f(x) = x^2$ por uma função afim? O subespaço $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ é fechado (tem dimensão finita), e $p_F(f) = a + bx$ fica caracterizada pela ortogonalidade do resíduo a $1$ e a $x$: $$ \int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, $$ isto é, $\frac13 = a + \frac b2$ e $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$: $a = -\frac16$, $b = 1$. Logo $p_F(x^2) = x - \frac16$, e o erro é $$ d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} . $$ Duas observações que vale internalizar. Primeira: o cálculo não passa de um sistema linear $2\times2$ — as *equações normais*; para a base monomial, sua matriz $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ é a notoriamente mal condicionada matriz de Hilbert, e ortogonalizar antes (polinômios de Legendre, [Problema 13.1](#pb-b3-hilbert-1)) é o remédio. Segunda: a melhor aproximação *uniforme* de $x^2$ por funções afins é outra ($x - \frac18$, por equioscilação): cada norma tem sua própria geometria, e só a hilbertiana responde com um sistema linear. ## 13.2 Bases ortonormais **Definição 13.6.** Uma família $(e_i)_{i\in I}$ é *ortonormal* se $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$, e é uma *base hilbertiana* (base ortonormal) se, além disso, suas combinações lineares finitas são densas em $H$ (a família é *total*). Tratamos o caso enumerável $I = \N$, que, por Gram–Schmidt, cobre todo $H$ *separável* ([Proposição 13.8](#prop-b3-hilbert-gramschmidt)). **Teorema 13.7 (Bessel, Parseval).** Sejam $(e_n)_{n\in\N}$ ortonormal em $H$ e $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$. 1. (Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , e a série $\sum_nc_n(x)e_n$ converge em $H$ , com soma $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ . 2. São equivalentes: (i) $(e_n)$ é uma [base hilbertiana](#def-b3-hilbert-onb) ; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ para todo $x$ ; (iii) *Parseval* : $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ para todo $x$ ; (iv) o único vetor ortogonal a todos os $e_n$ é $0$ . 3. Se $(e_n)$ é uma [base hilbertiana](#def-b3-hilbert-onb) , $x \mapsto (c_n(x))_n$ é um isomorfismo isométrico $H \to \ell^2$ ( *todo* [espaço de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) separável de dimensão infinita “é” $\ell^2$ ), e $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ . **Demonstração.** (1) Para $N$ finito: $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ($k \leq N$), de modo que Pitágoras dá $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$: eis Bessel. As somas parciais $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ são de Cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M 0$). Então, para todo $\varphi \in H'$, existe um único $u \in H$ com $$ a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{para todo } v \in H . $$ **Demonstração.** Para $u$ fixado, $v \mapsto a(u, v)$ é linear [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): Riesz dá um único $Au \in H$ com $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$; $A$ é linear com $\norm{Au} \leq M\norm u$ (unicidade dos representantes e, depois, a cota). Coercividade: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$, de modo que $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$: $A$ é injetor com imagem fechada (uma sequência imagem $Au_n$ de Cauchy força $u_n$ de Cauchy). A imagem é densa: $w \perp \operatorname{im}A$ dá $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$. Fechada e densa: $A$ é bijetor. Dado $\varphi$, seja $f$ seu representante (Riesz) e $u = A^{-1}f$: $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$, de maneira única ($a(u - u', \cdot) = 0$ e coercividade). ∎ **Observação 13.11.** Quando $a$ é simétrica, a solução de Lax–Milgram é o único minimizador da *energia* $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ ([Exercício 13.9](#exo-b3-hilbert-9)): a existência de soluções de problemas variacionais de uma só vez. Aplicado a espaços de funções adequados (os espaços de Sobolev de um curso posterior), isso resolve problemas de valores de contorno para equações diferenciais — a porta de entrada moderna às equações diferenciais parciais. ## 13.3 Exercícios **Exercício 13.1 ★.** (a) Demonstre as identidades de polarização (caso real: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$; caso complexo: a versão com quatro termos). (b) Mostre que $\norm\cdot_1$ em $L^1(\intcc01)$ e $\norm\cdot_\infty$ em $\mathcal C(\intcc01)$ violam a lei do paralelogramo: essas normas não provêm de [produto interno](#def-b3-hilbert-inner) algum. **Solução de Exercício 13.1.** (a) Real: expanda $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ e subtraia. Complexo ([produto interno](#def-b3-hilbert-inner) linear na segunda entrada): expandindo como acima, $$ \langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2, $$ contribuindo cada termo com $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$, cuja soma é $4\langle x,y\rangle$ (verifique os quatro valores de $k$; os $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$). (b) $L^1$: $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$, $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$: $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ cada, soma $2$; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$. Norma do sup: $f = \mathbf 1$, $g(t) = t$ em $\intcc01$: $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$. Falhando a lei do paralelogramo, essas normas não provêm de [produto interno](#def-b3-hilbert-inner) algum (que a forçaria por expansão direta). **Exercício 13.2 ★.** Em $H = L^2(\intcc01)$ (real): (a) calcule a projeção de $f$ sobre o subespaço das funções constantes e interprete; (b) calcule a projeção sobre $\{g : g = 0 \text{ q.t.p.\ em } \intcc0{1/2}\}$; (c) calcule $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$. **Solução de Exercício 13.2.** (a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$: de fato, $f - \int f \perp$ constantes ($\int(f - \int f)c = 0$). A melhor aproximação constante de $f$ em média quadrática é sua *média* — a primeira instância da esperança condicional ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability)). (b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$: a diferença $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ é ortogonal a toda $g$ que se anula em $\intcc0{1/2}$. (c) $d^2 = \bigl\|x - \tfrac12\bigr\|_2^2 = \int_0^1(x - \tfrac12)^2\dd x = \tfrac1{12}$: $d = \frac1{2\sqrt3}$. **Exercício 13.3 ★★.** (a) Mostre que, para um subespaço $F$: $F$ denso $\iff$ $F^\perp = \{0\}$, e dê um exemplo em $\ell^2$ de um subespaço denso *próprio* (de modo que $F^\perp = 0$ sem que $F = H$: o teorema da decomposição precisa mesmo de $F$ fechado). (b) Mostre que, se $x_n \to x$ e $y_n \to y$ em norma, então $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$, e localize dois pontos em que o capítulo usou essa [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). **Solução de Exercício 13.3.** (a) A equivalência é o [Teorema 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) ($\bar F = (F^\perp)^\perp$, e $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$). Exemplo: o espaço $F$ das sequências finitas é denso em $\ell^2$ (truncatura) e próprio: $F^\perp = \{0\}$ e, no entanto, $F \neq \ell^2$ — para um subespaço não fechado, $H = F \oplus F^\perp$ falha escancaradamente ($F \oplus \{0\} \neq H$). (b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (sequências convergentes são limitadas). Usado: no [Teorema 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval)(1) para ver $x - \lim S_N \perp e_k$, e no [Teorema 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) para ver $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$. **Exercício 13.4 ★★.** Aplique Gram–Schmidt a $1, x, x^2$ em $L^2(\intcc{-1}1)$ ([medida de Lebesgue](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-lebesgueouter)): obtenha os três primeiros *polinômios de Legendre* normalizados e verifique que coincidem com $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ para os polinômios de Rodrigues $P_n$ do [Problema 13.1](#pb-b3-hilbert-1). **Solução de Exercício 13.4.** $e_0 = \frac1{\sqrt2}$. A seguir, $x \perp \mathbf 1$ já ($\int_{-1}^1x = 0$), e $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$: $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$. Então $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (e $\perp e_1$ por paridade), com $$ \int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr). $$ Comparação: $P_0 = 1$, $P_1 = x$, $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$, e $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ dá $\frac1{\sqrt2}$, $\sqrt{\frac32}x$, $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$: exatamente $e_0, e_1, e_2$. **Exercício 13.5 ★★.** Aplique [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) ([Teorema 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier)) a $f(t) = t$ e a $f(t) = t^2$ em $\intcc{-\pi}\pi$ — agora legitimamente para essas funções ([contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), mas cuja identidade requeria antes cuidados de tipo $\mathcal C^1$ por partes na descontinuidade do emenda): recupere $$ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} . $$ **Solução de Exercício 13.5.** Para $f(t) = t$: $c_0 = 0$ e, integrando por partes, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ para $n \neq 0$: $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$. [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval): $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ Para $f(t) = t^2$: $c_0 = \frac{\pi^2}3$, $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ($n \ne 0$). [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval): $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} . $$ Nenhuma ressalva de $\mathcal C^1$ por partes é necessária: o [Teorema 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier) cobre toda função $L^2$. **Exercício 13.6 ★★.** (a) Encontre $a \in L^2(\intcc01)$ com $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ para toda $f$; calcule $\norm\varphi$ para esse funcional. (b) Mostre que a avaliação $f \mapsto f(\frac12)$, definida no subespaço $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$, *não* é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) para $\norm\cdot_2$: não existe representante de Riesz (a avaliação não é uma noção $L^2$). **Solução de Exercício 13.6.** (a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$: o representante é $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$, e $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ ([Teorema 13.4](#thm-b3-hilbert-riesz)). (b) Tome as funções tenda $f_n$ com pico $1$ em $\frac12$ e suporte de largura $\frac2n$: $f_n(\tfrac12) = 1$, ao passo que $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$: nenhuma constante $C$ pode dar $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$. A avaliação pontual não faz sentido em $L^2$ — os elementos são classes módulo conjuntos nulos — e esse cálculo é a razão quantitativa. **Exercício 13.7 ★★★.** Sejam $H$ separável com [base hilbertiana](#def-b3-hilbert-onb) $(e_n)$ e $(x_k)$ uma sequência limitada. (a) Mostre que alguma subsequência converge *fracamente*: existe $x$ com $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ para todo $y \in H$. *(Extração diagonal nos coeficientes $\langle e_n, x_k\rangle$; monte $x$ via Bessel e a limitação uniforme das normas.)* (b) Mostre que $e_n \rightharpoonup 0$, mas $\norm{e_n} = 1$: os limites fracos podem perder norma. Mostre que $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ em (a). **Solução de Exercício 13.7.** (a) Seja $M = \sup_k\norm{x_k}$. As sequências escalares $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ são limitadas por $M$: uma extração diagonal fornece $x_{k_j}$ com $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ para todo $n$. Para cada $N$: $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), de modo que $(\gamma_n) \in \ell^2$ e $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ ([Teorema 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval)(3)). Para $y \in H$: $$ \abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2}, $$ usando a expansão $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ e Cauchy–Schwarz na cauda; escolha $N$ e depois $j$: convergência fraca para $x$. (b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ para todo $y$ (caudas $\ell^2$): $e_n \rightharpoonup 0$, e, no entanto, $\norm{e_n} = 1$: a norma não é fracamente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Em (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (seções finitas e Bessel de novo): limites fracos só podem perder norma. **Exercício 13.8 ★★.** (Adjuntos) Para $T \in \mathcal L(H)$, mostre que existe um único $T^* \in \mathcal L(H)$ com $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), e que $\vertiii{T^*} = \vertiii T$. Calcule o adjunto do deslocamento $S$ em $\ell^2$ e demonstre $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — deduza $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$. **Solução de Exercício 13.8.** Para $y$ fixo, $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ é um funcional linear [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); Riesz dá um único $T^*y$ com $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ para todo $x$ — conjugando, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$. A unicidade torna $T^*$ linear; $$ \norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y, $$ de modo que $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$, e $T^{**} = T$ dá a igualdade. Deslocamento: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ com $(S^*y)_n = y_{n+1}$: o deslocamento à esquerda. Núcleo–imagem: $T^*y = 0$ se, e somente se, $\langle x, T^*y\rangle = 0$ para todo $x$, se, e somente se, $\langle Tx, y\rangle = 0$ para todo $x$, se, e somente se, $y \perp \operatorname{im}T$: $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$; tomando $\perp$ e usando o [Teorema 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition), $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$. **Exercício 13.9 ★★.** Seja $a$ como em Lax–Milgram e, além disso, *simétrica*. Mostre que $u$ resolve $a(u, \cdot) = \varphi$ se, e somente se, $u$ minimiza $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$, e que o mínimo é atingido em exatamente um ponto. *(Complete o quadrado: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$.)* Aplicação: redemonstre o teorema da projeção sobre subespaços fechados a partir de Lax–Milgram. **Solução de Exercício 13.9.** Se $a(u, \cdot) = \varphi$: para qualquer $w$, $$ J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2, $$ estritamente positivo para $w \neq 0$: $u$ é o único minimizante. Reciprocamente, num minimizante a função $t \mapsto J(u + tw)$ (um polinômio quadrático em $t$) tem derivada nula em $0$: $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ para todo $w$. Projeção reobtida: para um subespaço fechado $F$, aplique Lax–Milgram no [espaço de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) $F$ com $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ($M = \alpha = 1$) e $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$: um único $p \in F$ com $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ para todo $v \in F$, isto é, $x - p \perp F$ — e, pelo caso simétrico, $p$ minimiza $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ em $F$: a projeção. **Exercício 13.10 ★★★.** (O sistema de Haar) Em $\intcc01$, seja $h_{0} = \mathbf 1$ e, para $n = 2^j + k$ ($j \geq 0$, $0 \leq k < 2^j$): $$ h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr). $$ Mostre que $(h_n)_{n\geq0}$ é ortonormal em $L^2(\intcc01)$ e total. *(Ortogonalidade: suportes disjuntos ou encaixados; totalidade: os subespaços gerados finitos contêm todas as funções escada diádicas, que são densas — via o [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-density)(1) e aproximação diádica de intervalos.)* O sistema de Haar é o ancestral das ondaletas. **Solução de Exercício 13.10.** Normalização: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$. Ortogonalidade: duas funções de Haar distintas ou têm ([interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) dos) suportes disjuntos (produto nulo q.t.p.), ou o suporte da mais fina está contido numa metade em que a mais grosseira é constante — e então a integral do produto é essa constante vezes $\int h_{\text{mais fina}} = 0$; contra $h_0 = \mathbf 1$, de novo $\int h_n = 0$. Totalidade: o espaço gerado por $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ consiste nas funções escada na malha diádica de passo $2^{-J}$; ambos os espaços têm dimensão $2^J$ e as funções de Haar são independentes (ortonormais): o espaço gerado é o de *todas* essas funções escada. As funções escada diádicas são densas em $L^2(\intcc01)$: as [funções simples](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-simple) são densas ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-density)(1)), os conjuntos [mensuráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) são aproximados por uniões finitas de intervalos ([Exercício 9.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#exo-b3-measure-7)), e os intervalos por diádicos (os extremos se movem de $\leq 2^{-J}$). Pelo [Teorema 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval), o sistema de Haar é uma [base hilbertiana](#def-b3-hilbert-onb). **Exercício 13.11 ★★.** (Projeções ortogonais, caracterizadas) Sejam $H$ um [espaço de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) e $P \in \mathcal L(H)$ com $P^2 = P$, $P \neq 0$. Mostre a equivalência de: (i) $P$ é a projeção ortogonal sobre $\operatorname{im}P$; (ii) $P = P^*$ ([Exercício 13.8](#exo-b3-hilbert-8)); (iii) $\vertiii P = 1$. *(Para (iii) $\Rightarrow$ (i): se algum $x \in (\ker P)^\perp$ tivesse $Px \neq x$, considere $x + t(Px - x)$ — ou, diretamente: para $u \in \operatorname{im}P$ e $v \in \ker P$, expanda $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ para todo $t \in \R$ e conclua $\langle u, v\rangle = 0$.)* Exiba uma projeção não ortogonal em $\R^2$ e calcule sua norma. **Solução de Exercício 13.11.** (i) $\Rightarrow$ (ii): para a projeção ortogonal, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (insira as decomposições $x = Px + (x - Px)$ etc. e mate os termos cruzados). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$, de modo que $\vertiii P \leq 1$, e $Pu = u$ na imagem não nula: $= 1$. (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ ([algebricamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic), de $P^2 = P$); tome $u = Pu \in \operatorname{im}P$, $v \in \ker P$, $t \in \R$: $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ tem de ser $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ para todo $t$, forçando $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (compare os termos lineares quando $t \to 0^\pm$); substituir $v$ por $\iu v$ mata também a parte imaginária: $\operatorname{im}P \perp \ker P$, que é exatamente a ortogonalidade da projeção. Exemplo: $P(x, y) = (x + y, 0)$ em $\R^2$: $P^2 = P$, imagem o eixo $x$, núcleo a reta $y = -x$, e $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (atingido em $(1,1)/\sqrt2$): uma projeção oblíqua tem norma $> 1$. (Para registro, (ii) também dá (i) diretamente: $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ pelo [Exercício 13.8](#exo-b3-hilbert-8).) **Exercício 13.12 ★★★.** (Teorema ergódico de von Neumann) Sejam $U \in \mathcal L(H)$ *unitário* ($U^*U = UU^* = I$), $F = \ker(U - I)$ o espaço dos pontos fixos, $P$ a projeção ortogonal sobre $F$ e $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$. (a) Mostre que $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ *(a partir de $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ e da unitariedade)* e deduza $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$. (b) Mostre que $A_nx \to x$ para $x \in F$, e $A_nx \to 0$ para $x \in \operatorname{im}(U - I)$ *(telescopamento)*, e depois para $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (cota uniforme $\vertiii{A_n} \leq 1$). (c) Conclua: $A_nx \to Px$ para *todo* $x \in H$ — as médias temporais convergem à projeção sobre os invariantes. (d) Detalhe o caso $H = L^2(\R/\Z)$ e $Uf = f(\cdot + \alpha)$ com $\alpha$ irracional: identifique $F$ (use séries de Fourier, [Teorema 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier)) e deduza que $\frac1n\sum_{k 0$ um *peso* [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de $I$ tal que $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ para todo $n$; trabalhamos em $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ com $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$. Gram–Schmidt aplicado a $1, t, t^2, \dots$ produz os *[polinômios ortogonais](#pb-b3-hilbert-1)* $(p_n)$ para $w$ (com normalização mônica: $p_n = t^n + \cdots$). **Parte I — Teoria geral.** 1. Mostre que $p_n$ é ortogonal a todo polinômio de grau $< n$ e que $(p_0, \dots, p_n)$ é uma base de $\R_n[t]$ . 2. (Recorrência de três termos) Mostre que existem reais $a_n, b_n$ com $$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$$ *(Expanda $t\,p_n$ na base $(p_k)_{k \leq n+1}$ e anule coeficientes por ortogonalidade, usando $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$.)* 3. (Raízes) Mostre que $p_n$ tem $n$ raízes *distintas* , todas [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) a $I$ . *(Sejam $t_1 < \dots < t_m$ as mudanças de sinal [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de $p_n$; se $m < n$, teste $p_n$ contra $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ e contradiga a ortogonalidade.)* **Parte II — Legendre ($I = \intcc{-1}1$, $w = 1$).** Defina $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues). 4. Mostre que $\deg P_n = n$ com coeficiente líder $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ e, integrando por partes $n$ vezes, que $\langle P_n, Q\rangle = 0$ para todo polinômio $Q$ de grau $< n$ : os $P_n$ são (a menos de normalização) os [polinômios ortogonais](#pb-b3-hilbert-1) para $w = 1$ . 5. Calcule $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ *(integre por partes $n$ vezes contra si mesmo e reduza a uma integral de Beta/Wallis, [Exercício 11.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#exo-b3-product-8))* . 6. Mostre que os polinômios de Legendre normalizados formam uma [base hilbertiana](#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc{-1}1)$ *(Weierstrass, [Corolário 7.16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass), mais a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de $\mathcal C$ em $L^2$)* , e expanda $f(t) = \abs t$ até o grau $2$ : calcule a melhor aproximação quadrática em $L^2$ de $\abs t$ . **Parte III — Hermite ($I = \R$, $w(t) = \eu^{-t^2}$).** Defina $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$. 7. Mostre que $H_n$ é um polinômio de grau $n$ com coeficiente líder $2^n$ , que $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ e que $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ *(partes, de novo)* . 8. Mostre que a família de Hermite é total em $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , admitindo um resultado do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) : se $g \in L^1(\R)$ satisfaz $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ para todo $\xi$ , então $g = 0$ q.t.p. *(Para $f \perp$ a todos os $H_n$, isto é, $\perp$ a todos os polinômios: mostre que $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ está bem definida, expanda a exponencial em série, justifique a troca por dominação e conclua que a transformada de Fourier de $f\eu^{-t^2}$ se anula.)* **Parte IV — Quadratura de Gauss.** Fixe $n$, sejam $t_1 < \dots < t_n$ as raízes de $p_n$ (Parte I) e defina os pesos $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$, em que $\ell_i$ são os polinômios da base de interpolação de Lagrange nos $t_i$. 9. Mostre que a regra de quadratura $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ é exata em todos os polinômios de grau $\leq n - 1$ (interpolação) e, de fato — eis o milagre —, em todos os polinômios de grau $\leq 2n - 1$ : escreva $P = qp_n + r$ e use a ortogonalidade sobre o quociente $q$ . 10. Mostre que os pesos são positivos *(aplique a regra a $\ell_i^2$, de grau $2n - 2$)* e deduza do teorema de Pólya ( [Exercício 8.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#exo-b3-banach-9) ) que a quadratura de Gauss converge: $Q_n(f) \to \int_I fw$ para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em um $I$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) . 11. Para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : calcule os nós $\pm\frac1{\sqrt3}$ e os pesos $1, 1$ , e verifique a exatidão em $1, t, t^2, t^3$ à mão. Compare com a regra do trapézio nos mesmos dois pontos de avaliação. **Parte V — Chebyshev: os polinômios que melhor oscilam.** Agora $I = \intcc{-1}1$ e $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$. 12. Mostre que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ define um polinômio $T_n$ de grau $n$ (estabeleça $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ a partir de uma identidade trigonométrica), com coeficiente líder $2^{n-1}$ para $n \geq 1$; e que a substituição $t = \cos\theta$ dá $$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$$ os $T_n$ são os [polinômios ortogonais](#pb-b3-hilbert-1) para esse peso, e as expansões de Chebyshev *são* séries de Fourier em cosseno disfarçadas. 13. Localize explicitamente as $n$ raízes $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ e os $n + 1$ extremos $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ de $T_n$ em $\intcc{-1}1$ , em que $T_n(s_j) = (-1)^j$ : o gráfico *equioscila* entre $\pm1$ . 14. (Minimax) Mostre que, entre todos os polinômios *mônicos* de grau $n$ , o polinômio $2^{1-n}T_n$ tem a menor norma do supremo em $\intcc{-1}1$ , a saber $2^{1-n}$ — e que ele é o único minimizador. *(Se um $P$ mônico tivesse $\sup\abs P < 2^{1-n}$, a diferença $2^{1-n}T_n - P$, de grau $\leq n-1$, alternaria de sinal nos $n+1$ pontos de equioscilação.)* 15. Aplicação à interpolação: para nós $t_1 < \dots < t_n$ em $\intcc{-1}1$ , o erro da interpolação de Lagrange de uma função $\mathcal C^n$ envolve $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Mostre que escolher as raízes de Chebyshev como nós minimiza $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ , e dê a cota resultante $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — compare com nós igualmente espaçados (enuncie o fenômeno de Runge como o conto de advertência). 16. Verifique $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ *(derive $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ e tome os limites $\theta \to 0, \pi$)* : um polinômio limitado por $1$ em $\intcc{-1}1$ pode ter derivada tão grande quanto $n^2$ na borda (a desigualdade de Markov diz que não pode ser maior — apenas o enunciado). Em que parte do intervalo a cota da derivada é apenas $O(n)$ ? 17. (Quadratura de Chebyshev–Gauss) Mostre que a regra de Gauss para o peso $w$ nas $n$ raízes de Chebyshev tem pesos *iguais* $w_i = \frac\pi n$ *(exatidão em $T_0, \dots, T_{n-1}$ mais as somas trigonométricas $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ para $1 \leq j \leq n - 1$)* : a mais uniforme de todas as quadraturas. Escreva-a por extenso para $n = 3$ . **Parte VI — Christoffel–Darboux, entrelaçamento e a matriz de Jacobi.** De volta a um peso geral; $h_k = \norm{p_k}^2$ (com $p_k$ mônicos), $b_k = h_k/h_{k-1}$. 18. (Norma mínima) Mostre que, entre todos os polinômios *mônicos* de grau $n$ , o ortogonal $p_n$ é o único de norma $L^2(w)$ mínima — identifique a minimização como uma projeção ortogonal sobre $\R_{n-1}[t]$ ( [Teorema 13.2](#thm-b3-hilbert-projection) ou a projeção em dimensão finita do segundo ano). A propriedade minimax da questão 14 é o mesmo enunciado com $L^\infty$ no lugar de $L^2$ : mesmo herói, duas normas. 19. (Christoffel–Darboux) Demonstre, por indução sobre $n$ usando a recorrência de três termos, a identidade $$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$$ e sua forma confluente ($y \to x$): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$. 20. Deduza que $p_n$ e $p_{n+1}$ não têm raiz comum e que, em toda raiz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Conclua o *entrelaçamento* das raízes: entre duas raízes consecutivas de $p_{n+1}$ há exatamente uma raiz de $p_n$ . 21. (Matriz de Jacobi) Seja $J_n$ a matriz simétrica tridiagonal $n\times n$ de diagonal $a_0, \dots, a_{n-1}$ e entradas fora da diagonal $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Mostre por indução que $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , de modo que as raízes de $p_n$ são os autovalores de uma matriz real simétrica — redemonstrando em uma linha que elas são reais e, com o entrelaçamento acima, amarrando os [polinômios ortogonais](#pb-b3-hilbert-1) ao mundo espectral do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#ch-b3-spectral) . 22. (Síntese) Monte o dicionário das três famílias clássicas (Legendre, Hermite, Chebyshev): intervalo, peso, fórmula de definição, recorrência de três termos, norma e o habitat natural de cada uma (quadratura e aproximação em [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ; análise gaussiana; métodos minimax e de Fourier em cosseno). Uma frase sobre o que a teoria geral (Partes I e VI) deu e que nenhum cálculo individual poderia dar. **Parte VII — O termo de erro e o núcleo por trás dos pesos.** Aqui $I$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $f \in \mathcal C^{2n}(I)$. 23. (Fórmula do erro de Gauss) Seja $Hf$ o interpolante de Hermite de grau $\leq 2n - 1$ que coincide com $f$ e $f'$ nos nós $t_1, \dots, t_n$ (demonstre sua existência e o erro pontual $$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$$ pelo argumento habitual da função auxiliar). Deduza, integrando essa identidade contra $w$ e confinando entre os extremos de $f^{(2n)}$, que $$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{para algum } \xi \in I,$$ com $h_n = \norm{p_n}^2$ como na Parte VI: a quadratura de Gauss erra por uma derivada de ordem $2n$, ponderada pela norma ao quadrado do polinômio ortogonal mônico. 24. (Os pesos são valores de Christoffel) Usando o núcleo reprodutor $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ de $\R_{n-1}[t]$ e a exatidão de $Q_n$ até o grau $2n - 2$, demonstre $$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$$ cada peso é o valor, em seu nó, da *função de Christoffel* — a positividade dos pesos (questão 10) de novo, agora com fórmula exata. Verifique que ela recupera $w_1 = w_2 = 1$ para $n = 2$, $I = \intcc{-1}1$, $w = 1$. 25. (Tudo se confere em uma integral) Para o peso de Chebyshev e $n = 3$ nós, calcule os dois lados de $$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$$ de modo que o erro de quadratura é exatamente $\frac{\pi}{32}$; verifique então que a fórmula de erro da questão 23 prevê exatamente esse valor (aqui $f^{(6)} = 6!$ é constante, e $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$): teoria e cálculo concordam até o último algarismo. **Solução de Problema 13.1.** **1.** Gram–Schmidt garante $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ e $p_n \perp p_k$ ($k < n$), logo $p_n \perp \R_{n-1}[t]$. Os $p_k$, de graus estritamente crescentes, são independentes: uma base. **2.** $t\,p_n$ é mônico de grau $n + 1$: expanda $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ com $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$. Para $k \leq n - 2$: $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (grau $k + 1 < n$). Logo $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$, a recorrência enunciada, com $$ b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{inferior}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 . $$ **3.** Sejam $t_1 < \dots < t_m$ os pontos [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) a $I$ em que $p_n$ muda de sinal, e $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (com $q = 1$ se $m = 0$). Então $p_nq$ tem sinal constante em $I$ e não é nulo q.t.p.: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$. Se $m < n$, isso contradiz $p_n \perp \R_{n-1}[t]$. Logo $m = n$: $p_n$ tem $n$ raízes [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) distintas (ele tem, ao todo, no máximo $n$ raízes). **4.** $(t^2 - 1)^n$ tem grau $2n$; $n$ derivações deixam grau $n$, com coeficiente dominante $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$. Para $\deg Q < n$, integre por partes $n$ vezes: todos os termos de bordo contêm uma derivada de ordem $< n$ de $(t^2-1)^n$, que se anula em $\pm1$ (raiz de ordem $n$); após $n$ passos, o integrando carrega $Q^{(n)} = 0$. **5.** Com $u = (t^2 - 1)^n$: $$ (2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t , $$ ($u^{(2n)} = (2n)!$; os termos de bordo se anulam como na questão 4). E $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ ([Exercício 11.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#exo-b3-product-8)). Combinando: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$. **6.** Os polinômios são $\norm\cdot_\infty$-densos em $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, [Corolário 7.16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)), as funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) são $L^2$-densas ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-density)), e $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$: os espaços gerados por polinômios são totais, de modo que os $P_n$ normalizados formam uma [base hilbertiana](#def-b3-hilbert-onb). Expansão de $\abs t$: o coeficiente contra $P_0$ é $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$; contra $P_1$: $0$ (paridade); contra $P_2$: $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$. Melhor aproximação quadrática: $$ \abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 . $$ **7.** De $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ e Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$; a indução dá grau $n$ e coeficiente dominante $2^n$. Para $m < n$, integre por partes $n$ vezes em $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$: os termos de bordo (polinômio $\times$ $\eu^{-t^2}$) se anulam em $\pm\infty$, restando $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$. Para $m = n$: $H_n^{(n)} = 2^nn!$, de modo que $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$. **8.** Seja $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ ortogonal a todo polinômio, e $g = f\eu^{-t^2}$. Então $g \in L^1$: $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Para $\xi \in \R$, expanda $\eu^{-\iu\xi t}$: as somas parciais são dominadas, pois $$ \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty $$ (a última série converge: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$, de modo que os termos são $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$). A integração termo a termo ([Corolário 10.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#cor-b3-lebesgue-additivity) aplicado à série dos valores absolutos, e depois Fubini para séries) dá $$ \int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 , $$ sendo cada integral do tipo $\langle t^k, f\rangle_w$ $= 0$. Pela injetividade admitida da transformada de Fourier ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform)), $g = 0$ q.t.p., de modo que $f = 0$ q.t.p.: a família de Hermite (cujos espaços gerados são os polinômios) é total. **9.** Exatidão até o grau $n - 1$: para tal $P$, $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exatamente, de modo que $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$. Grau $\leq 2n - 1$: divida $P = qp_n + r$, $\deg q \leq n - 1$, $\deg r \leq n-1$; então $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ($p_n \perp \R_{n-1}[t]$), ao passo que $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$, pois os nós são as raízes de $p_n$. Iguais. **10.** $\ell_i^2$ tem grau $2n - 2 \leq 2n - 1$ e $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$: $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$. Pólya ([Exercício 8.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#exo-b3-banach-9), transportado para $I$ com peso): a condição (i) vale — cada polinômio é integrado exatamente uma vez que $2n - 1 \geq$ seu grau; condição (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$, limitado: $Q_n(f) \to \int fw$ para todo $f \in \mathcal C(I)$, $I$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). **11.** $p_2 = t^2 - \frac13$ mônico (do [Exercício 13.4](#exo-b3-hilbert-4)): nós $\pm\frac1{\sqrt3}$. Pesos: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$, e $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$; por simetria, $w_2 = 1$. Exatidão: $\int 1 = 2 = 1 + 1$; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$; $\int t^3 = 0$. A regra do trapézio de dois pontos (nós $\pm1$, pesos $1, 1$) só é exata até o grau $1$: em $t^2$ ela devolve $2$ em vez de $\frac23$. Mesmo custo, dois graus a mais de exatidão: o dividendo dos nós ortogonais. **12.** De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$: $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ com $T_0 = 1$, $T_1 = t$; a indução dá polinômios de grau $n$ com coeficiente dominante $2^{n-1}$ ($n \geq 1$). Substituindo $t = \cos\theta$ ($w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$): $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ para $m \neq n$, $= \pi$ para $m = n = 0$, $= \frac\pi2$ nos demais casos (produto em soma). Os graus e a ortogonalidade dois a dois identificam os $T_n$ com a saída de Gram–Schmidt a menos de escalares; uma expansão de Chebyshev de $f$ é exatamente a série de Fourier em cossenos de $\theta \mapsto f(\cos\theta)$. **13.** $T_n(t) = 0$ se, e somente se, $\cos n\theta = 0$, se, e somente se, $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$: as $n$ raízes distintas $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$. Extremos: $\abs{T_n} \leq 1$ em $\intcc{-1}1$, com $T_n(s_j) = (-1)^j$ nos $n + 1$ pontos $s_j = \cos\frac{j\pi}n$: equioscilação [perfeita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect). **14.** $2^{1-n}T_n$ é mônico com norma do sup $2^{1-n}$. Se um $P$ mônico de grau $n$ tivesse $\sup\abs P < 2^{1-n}$, a diferença $D = 2^{1-n}T_n - P$ teria grau $\leq n - 1$ (os termos dominantes se cancelam) e, ainda assim, alternaria de sinal em $s_0 > \dots > s_n$ (ali $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ domina $P$): ao menos $n$ zeros — $D \equiv 0$, contradição. Para a unicidade no caso de igualdade, o mesmo $D$ satisfaz $(-1)^jD(s_j) \geq 0$; um polinômio não nulo de grau $\leq n-1$ não pode ter $n$ restrições extremais fracamente alternadas sem ter $n$ raízes contadas devidamente (se $D(s_j) = 0$ para algum $s_j$ [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), esse zero é duplo na contagem, pois $D$ mantém um sinal localmente): de novo $D \equiv 0$. **15.** A fórmula do erro de Lagrange (Rolle, volume do segundo ano) dá $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$, de modo que o erro uniforme é no máximo $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$, e $\omega$ é mônico de grau $n$: pela questão 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$, com igualdade se, e somente se, os nós são as raízes de Chebyshev. Logo a cota ótima $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$. Com nós igualmente espaçados, $\sup\abs\omega$ é exponencialmente maior perto dos extremos, e interpolar mesmo $\frac1{1 + 25t^2}$ diverge ali como $n \to \infty$ (fenômeno de Runge); os nós de Chebyshev são a cura. **16.** Derivando $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$: $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$, que tende a $n^2$ quando $\theta \to 0$ e a $(-1)^{n+1}n^2$ quando $\theta \to \pi$: $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$. Nos pontos [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$: a explosão quadrática vive só nas bordas (a cota [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de Bernstein contra a global de Markov). **17.** Sejam $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ e $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ para $1 \leq j \leq n-1$. Então $$ S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] . $$ Para $j$ par o numerador se anula: $S_j = 0$. Para $j$ ímpar o numerador é $-2$, e $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$, de modo que a expressão inteira é $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$: puramente imaginária, $S_j = 0$ de novo. Logo a regra de pesos iguais $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ integra $T_0$ ($\sum w_i = \pi = \int w$) e mata $T_1, \dots, T_{n-1}$ exatamente como $\int T_jw = 0$ faz: ela é exata até o grau $n - 1$. Pesos exatos até o grau $n-1$ em nós dados são únicos (base de Lagrange): os pesos de Gauss são todos $\frac\pi n$. Para $n = 3$: nós $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ e $$ \int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr], $$ exata até o grau $5$. **18.** Para $P$ mônico de grau $n$: $P = p_n + r$ com $r \in \R_{n-1}[t]$, e $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (questão 1), de modo que $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$, com igualdade se, e somente se, $r = 0$: $p_n$ é o resíduo da projeção ortogonal de $t^n$ sobre $\R_{n-1}[t]^\perp$, isto é, o polinômio mônico mais próximo do subespaço que ele deve evitar. O $2^{1-n}T_n$ de Chebyshev responde à mesma pergunta para a norma do sup: menor desvio de zero, uma vez em $L^2(w)$, outra em $L^\infty$. **19.** Escreva $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$. Base $n = 0$: $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$, pois $p_1 = t - a_0$. Passo: supondo a identidade para $n - 1$, $$ (x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ; $$ substitua $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ e $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ no segundo termo: as contribuições $a_n$ se cancelam, e as contribuições $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ cancelam o termo de indução; o que sobrevive é $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$. A forma confluente segue fazendo $y \to x$ (ambos os membros são polinômios em $y$). **20.** A forma confluente dá $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ em toda parte. Numa raiz $x_0$ de $p_{n+1}$: $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$, de modo que $p_n(x_0) \neq 0$ (sem raízes comuns). Entre raízes consecutivas $x_0 < x_1$ de $p_{n+1}$ (todas simples, Parte I), $p_{n+1}'$ tem sinais opostos, logo $p_n$ também: uma raiz de $p_n$ está em cada uma das $n$ lacunas — e isso esgota suas $n$ raízes: entrelaçamento. **21.** Expandindo $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ pela última linha: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$, com $D_0 = 1$, $D_1 = t - a_0$: a recorrência e as sementes dos $p_n$ mônicos, de modo que $D_n = p_n$. Raízes de $p_n$ = autovalores da simétrica $J_n$: reais e simples pela questão 19 — a quadratura de Gauss é a teoria espectral de uma matriz tridiagonal disfarçada, a sombra de dimensão finita do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#ch-b3-spectral). **22.** Dicionário: | | Legendre | Hermite | Chebyshev | | --- | --- | --- | --- | | intervalo | $\intcc{-1}1$ | $\R$ | $\intcc{-1}1$ | | peso | $1$ | $\eu^{-t^2}$ | $(1-t^2)^{-1/2}$ | | fórmula | Rodrigues | $(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ | $\cos(n\arccos t)$ | | norma$^2$ | $\frac2{2n+1}$ | $2^nn!\sqrt\pi$ | $\pi, \frac\pi2$ | | hábitat | quadratura | cálculo gaussiano | minimax | (cada um com sua recorrência de três termos: forma geral para Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$, $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$). A teoria geral forneceu o que nenhuma família isolada mostra: a realidade e o entrelaçamento das raízes, a positividade dos pesos de quadratura, a mera existência da recorrência e de Christoffel–Darboux — consequências apenas da ortogonalidade, uniformes no peso. **23.** Existência: a aplicação linear $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$, $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$, é injetora (um $P$ no núcleo tem $n$ raízes duplas e grau $\leq 2n - 1$, de modo que $P = 0$) entre espaços de mesma dimensão $2n$: bijetora. Erro pontual: fixe $t$ que não seja nó e escolha $K$ de modo que $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ se anule em $s = t$. Então $g$ se anula nos $n + 1$ pontos distintos $t, t_1, \dots, t_n$, e $g'$ se anula também em cada $t_i$ (tanto $f - Hf$ quanto $p_n^2$ têm zeros duplos ali). Rolle dá $n$ zeros de $g'$ estritamente entre zeros consecutivos de $g$ — distintos dos nós —, de modo que $g'$ tem $2n$ zeros distintos; aplicar Rolle mais $2n - 1$ vezes produz $\xi_t$ com $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$. Como $\deg Hf \leq 2n - 1$ e $p_n^2$ é mônico de grau $2n$, $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$, donde $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — e a identidade é trivial nos nós. Integração: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ($Hf$ coincide com $f$ nos nós) e $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ pela exatidão até o grau $2n - 1$ (questão 9), de modo que o erro de quadratura é $\int(f - Hf)\,w$. Com $m, M$ os extremos de $f^{(2n)}$ em $I$, a identidade pontual espreme $$ \frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} , $$ e o teorema do valor intermediário aplicado à [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $f^{(2n)}$ entrega $\xi$. (Para Legendre com $n = 2$: $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$, de modo que o erro é $f^{(4)}(\xi)/135$.) **24.** O núcleo reproduz $\R_{n-1}[t]$: expandir $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ dá $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ para todo $q$ de grau $\leq n - 1$. Tome $q = \ell_i$: o membro esquerdo vale $\ell_i(t_i) = 1$. Mas $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ é um polinômio de grau $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$, no qual $Q_n$ é exata (questão 9), e ele se anula em todo nó $t_j \neq t_i$ (fator $\ell_i$), de modo que $$ 1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} . $$ A soma é $> 0$ (seu termo $k = 0$ é $1/h_0 > 0$): a fórmula enunciada, e de novo a positividade. Verificação ($n = 2$, Legendre): $p_0 = 1$, $h_0 = 2$, $p_1 = t$, $h_1 = \frac23$; em $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$, $$ K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1, $$ como encontrado na questão 11. **25.** Substituindo $t = \cos\theta$, a integral vale $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, [Exercício 11.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#exo-b3-product-8)). A regra de Chebyshev–Gauss com $n = 3$ (questão 17) tem nós $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$, $\cos\frac\pi2 = 0$, $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ e pesos iguais $\frac\pi3$: $$ Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} . $$ Previsão: o polinômio ortogonal mônico de grau $3$ é $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$, com $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$; e $f = t^6$ tem constante $f^{(6)} = 720 = 6!$, de modo que a questão 23 dá erro $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — sem dependência remanescente em $\xi$, a fórmula é obrigada a ser exata, e é.