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title: "A transformada de Fourier"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier
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# Capítulo 14 — A transformada de Fourier

As séries de Fourier decompõem sinais periódicos em harmônicos discretos; a *transformada* de Fourier faz o mesmo com sinais em toda a reta, com um [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de frequências. Ela converte derivação em multiplicação, convolução em produto e gaussianas em gaussianas — as razões pelas quais resolve equações diferenciais, move o processamento de sinais e vai demonstrar o teorema central do limite no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/23-funcoes-caracteristicas-e-o-teorema-central-do-limite#ch-b3-clt). Este capítulo desenvolve a teoria $L^1$ (Riemann–Lebesgue, inversão, injetividade), a [classe de Schwartz](#def-b3-fouriertransform-schwartz), em que a transformada é uma bijeção [perfeita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), e a teoria $L^2$ (Plancherel: a transformada é, a menos de uma constante, um operador unitário), com duas aplicações de vitrine: a equação do calor, resolvida de ponta a ponta no problema de fim de semana, e a fórmula de soma de Poisson. Convenção:

$$
\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .
$$

## 14.1 A transformada em $L^1$

**Proposição 14.1.**

Para $f \in L^1(\R)$: $\hat f$ está bem definida, é limitada ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$) e [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), e:

1. $\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ e $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
2. $\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat  f(\lambda\xi)$ para $\lambda > 0$ ;
3. se $xf \in L^1$ , então $\hat f$ é $\mathcal C^1$ com $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
4. se $f \in \mathcal C^1$ com $f' \in L^1$ (e $f \to  0$ em $\pm\infty$ , o que aqui é automático), então $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
5. $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ para $f, g \in L^1$ .

**Demonstração.** Limitação: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): convergência dominada com dominador $\abs f$ ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont)). (1), (2): substituições ([Teorema 11.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-linearchange)). (3): derivação sob o sinal de integral, com dominador $\abs{xf}$ ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)). (4): primeiro, $f(x) = f(0)
+ \int_0^xf'$ tem limite em $\pm\infty$ ($f' \in L^1$), que tem de ser $0$ ($f \in L^1$); depois, integre por partes em $[-A,
A]$ e faça $A \to \infty$. (5): Fubini, legítimo porque $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ é absolutamente [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) ([Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-convolution)):

$$
\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)}
\eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).
$$

∎

**Exemplo 14.2.**

A gaussiana: para $a > 0$,

$$
\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) =
\sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :
$$

pelo [Exercício 10.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-7) (o truque da EDO $F' = -\frac\xi{2}F$, reescalado), ou por (3): $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ satisfaz $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (integre por partes), com $g(0) = \sqrt{\pi/a}$. As gaussianas são pontos fixos da transformada a menos de reescalamento — a razão profunda de governarem o teorema central do limite.

**Teorema 14.3 (Riemann–Lebesgue).**

Para $f \in L^1(\R)$: $\hat f(\xi) \to 0$ quando $\abs\xi \to
\infty$. Assim, $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal
C_0(\R)$ (funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) que se anulam no infinito).

**Demonstração.** Para a indicadora de um intervalo, $\widehat{\mathbf 1_{\intcc
ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi}
\to 0$; logo, para funções escada. As funções escada são densas em $L^1$ ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-density)(1) mais a aproximação de conjuntos de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita por reuniões finitas de intervalos, [Exercício 9.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#exo-b3-measure-7)), e a transformada é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\norm\cdot_\infty$ em $\norm\cdot_1$: para $\norm{f -
s}_1 < \varepsilon$, $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat
f(\xi)} \leq \varepsilon$. ∎

## 14.2 Inversão e injetividade

**Lema 14.4 (Fórmula de multiplicação).**

Para $f, g \in L^1(\R)$: $\displaystyle\int \hat f\,g =
\int f\,\hat g$.

**Demonstração.** Ambos os lados valem $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd
x\,\dd\xi$ (Tonelli–Fubini: a integral dupla do valor absoluto é $\norm f_1\norm g_1$). ∎

**Teorema 14.5 (Inversão).**

Seja $f \in L^1(\R)$.

1. (Somabilidade gaussiana) Para todo $x$, $$(f * g_\varepsilon)(x) =  \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,  \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi,  \qquad\text{em que } g_\varepsilon(y) =  \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\,  \eu^{-y^2/4\varepsilon},$$ e $f * g_\varepsilon \to f$ em $L^1$ quando $\varepsilon  \to 0$.
2. Se, além disso, $\hat f \in L^1$, então, para quase todo $x$, $$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat  f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$$ e $f$ tem um representante [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity).
3. (Injetividade) Se $\hat f = 0$ , então $f = 0$ q.t.p.

**Demonstração.** (1) Fixe $x$ e aplique o [Lema 14.4](#lem-b3-fouriertransform-multiplication) a $f$ e a $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$: pelo [Exemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) (com a regra de modulação),

$$
\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\,
\eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),
$$

de modo que $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2}
\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y =
(f*g_\varepsilon)(x)$. As $g_\varepsilon$ formam uma [aproximação da identidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#def-b3-lp-mollifier): $g_\varepsilon \geq 0$, $\int g_\varepsilon = 1$ (integral gaussiana), concentrando-se em $0$; a demonstração do [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)(2) se aplica literalmente (só foram usados $\int g_\varepsilon = 1$ e a concentração: para a cauda, $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to
0$): $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$.

(2) Se $\hat f \in L^1$: o membro direito de (1) converge, por convergência dominada (dominador $\abs{\hat f}$), a $\frac1{2\pi}\int\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ para *todo* $x$, e essa função limite é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (convergência dominada, de novo). Por outro lado, $f
* g_\varepsilon \to f$ em $L^1$, de modo que, ao longo de uma subsequência, q.t.p. ([Teorema 12.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-complete)): os dois limites coincidem q.t.p.

(3) $\hat f = 0$ anula o membro direito de (1): $f *
g_\varepsilon = 0$ para todo $\varepsilon$, e $f *
g_\varepsilon \to f$ em $L^1$: $f = 0$ q.t.p. ∎

## 14.3 A classe de Schwartz

**Definição 14.6.**

A *classe de Schwartz* $\mathcal
S(\R)$ é formada pelas funções $\mathcal C^\infty$ $f$ com $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ para todos $m, n \geq 0$ (todas as derivadas decaem mais rápido do que qualquer potência). Exemplos: $\eu^{-ax^2}$, $\mathcal C_c^\infty$. Claramente $\mathcal S
\subseteq L^p$ para todo $p$ (limite por $C(1 + x^2)^{-1}$), e $\mathcal S$ é estável por derivação, por multiplicação por polinômios e por produtos.

**Teorema 14.7.**

A transformada de Fourier leva $\mathcal S(\R)$ bijetivamente sobre si mesma, com inversa $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int
g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$.

**Demonstração.** Seja $f \in \mathcal S$. Iterando o [Proposição 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(3), $(\hat f)^{(n)} =
\widehat{(-\iu x)^nf}$ (cada $x^kf \in L^1$); iterando (4) com $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (cujas derivadas são todas [integráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)), $(\iu\xi)^m\hat h =
\widehat{h^{(m)}}$. Combinando,

$$
\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)}
= \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr|
\leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty
$$

uniformemente em $\xi$: $\hat f \in \mathcal S$. Como $\hat f \in L^1$, a inversão ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) vale em toda parte (ambos os lados são [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)): $\check{\hat f} = f$, e simetricamente $\widehat{\check g} = g$ (a transformada conjugada é $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$, que também preserva $\mathcal S$): eis a bijeção. ∎

## 14.4 Plancherel e $L^2$

**Teorema 14.8 (Plancherel).**

Para $f \in L^1 \cap L^2(\R)$:

$$
\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .
$$

Consequentemente, $\widehat{\phantom f}$ se estende de maneira única a uma aplicação linear [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ com $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$; $\mathcal
F$ é bijetora, com $\mathcal F^{-1} =
\frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ em que $\sigma f =
f(-\cdot)$, e preserva [produtos internos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) a menos do fator $2\pi$.

**Demonstração.** Sejam $f \in L^1\cap L^2$ e $h = f * \tilde f$ com $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$. Então $h \in L^1$ ([Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-convolution)), $h$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada ([Exercício 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#exo-b3-lp-6): $f, \tilde f \in L^2$), $h(0) =
\int f\bar f = \norm f_2^2$, e $\hat h = \hat
f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} =
\abs{\hat f}^2 \geq 0$ (calcule $\widehat{\tilde f} =
\overline{\hat f}$). Aplique o [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(1) a $h$ em $x = 0$:

$$
(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat
h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .
$$

Quando $\varepsilon \to 0$: o membro esquerdo tende a $h(0)$ ($h$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y)
- h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$, separando $y$ pequenos e grandes); o membro direito cresce a $\frac1{2\pi}\int\hat h$ por convergência monótona ($\hat h \geq 0$). Logo $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 =
\norm f_2^2$, finito ou não *a priori* — e finito, o que demonstra tanto a pertinência quanto a identidade.

Extensão: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ é denso em $L^2$ ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-density)); a transformada é ali $\sqrt{2\pi}$-isométrica, de modo que se estende de maneira única a uma isometria a menos da constante $\mathcal F$ em $L^2$ ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)). A inversão para $\mathcal S$ ([Teorema 14.7](#thm-b3-fouriertransform-schwartz)) se transfere pela mesma [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (ambos os lados são [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $L^2$): $\mathcal
F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ em $\mathcal S$ e, portanto, em $L^2$: eis a bijetividade. [Produtos internos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner): polarização a partir da identidade de normas. ∎

**Teorema 14.9 (Soma de Poisson).**

Seja $f \in \mathcal S(\R)$ (basta $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com $\abs{f} +
\abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$). Então

$$
\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .
$$

**Demonstração.** Ponha $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$: a série converge normalmente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (decaimento de $f$), de modo que $F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), e ela é $1$-periódica. Seus coeficientes de Fourier (período $1$: $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$):

$$
c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t
= \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)
$$

(a convergência normal justifica a troca; a fase é $1$-periódica). A série $\sum_k\abs{c_k(F)}$ converge (decaimento de $\hat f$), de modo que a série de Fourier de $F$ converge normalmente; sua soma é uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com os mesmos coeficientes de Fourier que $F$ e, portanto, é igual a $F$ (injetividade no círculo: a diferença tem coeficientes nulos, e o [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier) dá zero em $L^2$ e, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), em toda parte). Avalie em $x = 0$. ∎

**Exemplo 14.10 (A identidade teta).**

Aplicando Poisson a $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ($t > 0$), cuja transformada é $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ([Exemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) com $a = \pi t$):

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t}
= \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :
$$

a equação funcional da função teta de Jacobi, chave da equação funcional da $\zeta$ de Riemann — e um acelerador numérico espetacular: para $t$ pequeno, o membro esquerdo converge devagar e o direito converge com enorme rapidez.

**Método 14.11.**

Faixas de trabalho: $L^1$ — transformada definida pontualmente, e a inversão exige $\hat f \in L^1$; $\mathcal S$ — tudo é legítimo, demonstre primeiro aqui; $L^2$ — transformada definida por [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (não pela integral!), simetria [perfeita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), contabilidade de [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval). Para calcular uma transformada: reduza à tabela (indicadora, exponencial, gaussiana) pelas regras do [Proposição 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic); para demonstrar uma identidade: estabeleça-a em $\mathcal S$ (ou em $\mathcal C_c^\infty$) e estenda por [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) e [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([Método 12.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#met-b3-lp-toolkit)); para resolver uma EDP ou EDO linear de coeficientes constantes: transforme, divida, inverta.

![O núcleo do calor g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t em três instantes: massa total 1 para sempre, altura t-1/2, largura √ t. Convoluir os dados iniciais com essa gaussiana que se espalha é todo o conteúdo do problema de fim de semana; em frequência, a mesma figura se lê g_t( ) = -t 2 — as altas frequências morrem primeiro, e essa assimetria é a flecha do tempo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-fouriertransform/fig-22725c4b9b19.svg)

*O [núcleo do calor](#pb-b3-fouriertransform-1) $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ em três instantes: massa total $1$ para sempre, altura $\sim t^{-1/2}$, largura $\sim
\sqrt t$. Convoluir os dados iniciais com essa gaussiana que se espalha é todo o conteúdo do problema de fim de semana; em frequência, a mesma figura se lê $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — as altas frequências morrem primeiro, e essa assimetria é a flecha do tempo.*

## 14.5 Exercícios

**Exercício 14.1 ★.**

Calcule as transformadas de Fourier de: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$; $\eu^{-a\abs x}$ ($a > 0$); a função-tenda $\max(0, 1 -
\abs x)$; $\frac1{x^2 + a^2}$ *(use a inversão na segunda)*. Registre a tabela que vai surgindo.

**Solução de Exercício 14.1.**

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) =
\int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (valor $2a$ em $0$). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a +
\iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} +
\frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$. Tenda: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$, de modo que sua transformada é $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 =
\bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$. Última: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$, de modo que a inversão ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) aplicada a $\eu^{-a\abs x}$ dá, após renomear as variáveis,

$$
\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) =
\frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .
$$

**Exercício 14.2 ★.**

Seja $f \in L^1$. Exprima em termos de $\hat f$ as transformadas de: $f(x - a)$, $f(x)\cos(bx)$, $f(ax + b)$, $\overline{f(-x)}$, $(f * f)(x)$. Verifique cada regra na gaussiana.

**Solução de Exercício 14.2.**

Da [Proposição 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic): $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat
f(\xi + b)\bigr)$; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu
b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ($a > 0$); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$; $\widehat{f * f} = \hat f^2$. Na gaussiana ($\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$), cada regra é uma verificação de uma linha — por exemplo, $\eu^{-(x-a)^2}$ tem transformada $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$, o que o cálculo direto (completar o quadrado) confirma.

**Exercício 14.3 ★★.**

(a) Mostre que $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf
1_{\intcc{-1}1}$ tem transformada $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi
\bigr)^2$ e deduza $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ por Plancherel — ou por inversão em $0$. Compare com o [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1). (b) Calcule $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ via Plancherel aplicado a $\eu^{-\abs x}$.

**Solução de Exercício 14.3.**

(a) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ tem $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$; a inversão em $x = 0$, onde $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1)
= 2$:

$$
2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2
\dd\xi
\ \Longrightarrow\
\int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,
$$

coerente com $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} =
\frac\pi2$ ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1)).

(b) Plancherel para $f = \eu^{-\abs x}$: $\int\abs{\hat f}^2 =
2\pi\int\abs f^2$ se lê $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} =
2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$: $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$.

**Exercício 14.4 ★★.**

(Álgebra do [núcleo do calor](#pb-b3-fouriertransform-1)) Com $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: (a) verifique $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$; (b) deduza a lei de semigrupo $g_t * g_s = g_{t+s}$ sem nenhum cálculo de integral; (c) mostre $\norm{g_t}_1 = 1$ e $\norm{g_t}_2^2 =
(8\pi t)^{-1/2}$.

**Solução de Exercício 14.4.**

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: pelo [Exemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) com $a = \frac1{4t}$, $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi
t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$. (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$, e a transformada é injetora em $L^1$ ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3)): $g_t * g_s =
g_{t+s}$. (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (integral gaussiana); $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x =
\frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$.

**Exercício 14.5 ★★.**

Mostre que, se $f \in L^1$ é par e real, $\hat f$ é par e real; e que, se $f$ é ímpar e real, $\hat f$ é ímpar e puramente imaginária. O que $\hat f(0)$ calcula? Deduza que $f \geq
0$ força $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$ e interprete para [densidades](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilidade ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/23-funcoes-caracteristicas-e-o-teorema-central-do-limite#ch-b3-clt): uma função característica tem módulo $\leq 1$, atingido em $0$).

**Solução de Exercício 14.5.**

Para $f$ real par: $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (a parte em seno se cancela): real e par. Ímpar: $\hat f(\xi) =
-\iu\int f\sin(\xi x)$: ímpar, puramente imaginária. $\hat f(0) =
\int f$: a massa total. Se $f \geq 0$: $\abs{\hat f(\xi)}
\leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$, de modo que o supremo é atingido em $0$. Para uma [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilidade, $\hat f(-\xi)$ é a função característica do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/23-funcoes-caracteristicas-e-o-teorema-central-do-limite#ch-b3-clt): módulo $\leq 1$ em toda parte, $= 1$ na origem.

**Exercício 14.6 ★★★.**

(Não sobrejetividade) Mostre que $\widehat{\phantom f}\colon L^1
\to \mathcal C_0$ é injetora e [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), mas *não* é sobrejetora, em três etapas. (i) Injetividade ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)) e [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), e $\mathcal C_0$ é um espaço de Banach (fechado em $\norm\cdot_\infty$). (ii) Se a aplicação fosse sobrejetora, ela seria bijetora, e o teorema da aplicação aberta ([Teorema 8.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#thm-b3-banach-openmapping)) daria uma constante $C$ com $\norm f_1 \leq C\norm{\hat
f}_\infty$ para toda $f \in L^1$. (iii) Contradiga isso com $f_n(x) = \frac{\sin
x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: sua transformada é (a menos de constantes) o trapézio do tipo convolução $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ — mostre que $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ uniformemente, enquanto $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$, contando os arcos de $\frac{\abs{\sin x}}x$ em $[1, n]$ (onde o segundo fator é limitado inferiormente), como no [Teorema 8.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#thm-b3-banach-fourierdiverge).

**Solução de Exercício 14.6.**

(i) A injetividade é o [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3); a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (com valores em $\mathcal C_0$ por Riemann–Lebesgue); $\mathcal C_0$ é fechado na norma do sup (limites uniformes de funções que se anulam no infinito se anulam no infinito): de Banach.

(ii) Uma bijeção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) entre espaços de Banach tem inversa [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 8.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#thm-b3-banach-openmapping)): existiria $C$ com $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$.

(iii) Seja $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: um produto de duas funções $L^2$, e $O(x^{-2})$ no infinito, de modo que $f_n \in L^1\cap L^2$. Como $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ tem transformada $L^2$ $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$, a fórmula do produto $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (válida para $g, h
\in L^2$ com $gh \in L^1$; verifique-a em funções de Schwartz por Fubini e estenda pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $L^2$ dos dois membros via Plancherel) dá

$$
\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf
1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf
1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):
$$

um trapézio de altura $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$: $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ para todo $n$. Mas em $[1,
n]$, $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$, de modo que

$$
\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x
\geq c\ln n
$$

(contagem de arcos, como no [Teorema 8.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#thm-b3-banach-fourierdiverge)). A cota $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ falha para $n$ grande: não é sobrejetora. (A imagem é um subespaço denso — por argumentos do tipo Stone–Weierstrass — mas próprio de $\mathcal C_0$.)

**Exercício 14.7 ★★.**

(O dicionário regularidade $\leftrightarrow$ decaimento) Demonstre: $f \in
L^1$ com $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ para algum $\delta > 0$ implica que $f$ tem um representante $\mathcal C^k$. Reciprocamente, $f \in \mathcal C^k_c$ implica $\hat f(\xi) =
O(\abs\xi^{-k})$. Ilustre as duas direções na função-tenda.

**Solução de Exercício 14.7.**

Se $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$: então $\xi^j\hat f
\in L^1$ para $0 \leq j \leq k$ ([integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) no infinito pelo decaimento, e localmente pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\hat f$). A inversão ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) representa $f$ q.t.p. por $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, e a derivação sob o sinal de integral (dominantes $\abs{\xi^j\hat f}$) torna esse representante $\mathcal C^k$. Reciprocamente, para $f \in \mathcal C_c^k$: iterando a [Proposição 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(4), $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$, de modo que $\abs{\hat f} \leq
\norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$. Função tenda: [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ($k = 0$: transformada limitada), e sua transformada $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ devolve, pela primeira direção, um representante $\mathcal C^0$ — ambos ótimos: a tenda não é $\mathcal C^1$, e sua transformada não decai mais rápido que $\xi^{-2}$.

**Exercício 14.8 ★★★.**

(Desigualdade de Heisenberg) Para $f \in \mathcal S(\R)$ real com $\norm f_2 = 1$, demonstre

$$
\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot
\Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr)
\;\geq\; \frac14 ,
$$

com igualdade para as gaussianas. *(Escreva $1 = \int f^2 =
-\int x\,(f^2)'$ por partes, limite por Cauchy–Schwarz e converta $\norm{f'}_2$ por Plancherel.)* Interpretação: um sinal e seu espectro não podem estar ambos concentrados.

**Solução de Exercício 14.8.**

Integração por partes ($f \in \mathcal S$; os termos de bordo se anulam):

$$
1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int
x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .
$$

Plancherel e $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$: $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$. Elevando ao quadrado a expressão em destaque:

$$
\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi}
\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .
$$

A igualdade exige a igualdade em Cauchy–Schwarz: $f' =
\lambda xf$ com $\lambda < 0$ ([integrabilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)), isto é, $f(x) =
c\,\eu^{\lambda x^2/2}$: gaussianas. Um sinal concentrado em $x$ ($\norm{xf}_2$ pequeno) precisa ter espectro espalhado, e reciprocamente: o princípio da incerteza.

**Exercício 14.9 ★★.**

Justifique o [Exemplo 14.10](#ex-b3-fouriertransform-theta) em detalhe (hipóteses de Poisson para a gaussiana) e use a identidade para avaliar $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ com seis casas decimais usando três termos. Quantos termos da série *original* seriam necessários para a mesma precisão em $t = 10^{-2}$, comparado à série transformada?

**Solução de Exercício 14.9.**

A gaussiana $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ é de Schwartz, de modo que o [Teorema 14.9](#thm-b3-fouriertransform-poisson) se aplica, e $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$; em $\xi = 2\pi
k$ o membro direito se torna $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$: a identidade teta. Em $t = 1$:

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} +
\cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,
$$

exata até $6$ casas decimais com três termos ($\eu^{-9\pi}
\approx 5\cdot10^{-13}$). Em $t = 10^{-2}$: a série que define precisa de $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$, isto é, $n \gtrsim
23$ — cerca de $47$ termos —, ao passo que a série transformada é $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$, em que já o termo $k = 1$ vale $\sim 10^{-136}$: um termo basta.

**Exercício 14.10 ★★.**

(Funções de banda limitada) Seja $f \in L^2(\R)$ com $\mathcal Ff$ suportada em $\intcc{-\pi}\pi$. Mostre que $f$ tem um representante cujos valores são todos recuperáveis a partir de amostras: demonstre a *interpolação de Shannon* nos inteiros,

$$
f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\,
\frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)}
\quad\text{em } L^2,
$$

expandindo $\mathcal Ff$ na base de Fourier de $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ ([Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier)) e transformando de volta termo a termo.

**Solução de Exercício 14.10.**

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq
L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ ([medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita), de modo que a inversão dá o representante [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $f(x) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, com

$$
f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal
Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal
Ff\rangle
$$

na notação do [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier). Expandindo nessa [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb): $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu
n\xi}$ em $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$. Aplique a $\mathcal F^{-1}$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $L^2$, termo a termo:

$$
\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf
1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x)
= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi
= \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,
$$

dando $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ em $L^2$: um sinal de banda limitada é determinado por suas amostras inteiras — o teorema da amostragem de Shannon.

**Exercício 14.11 ★★.**

(A transformada como operador de ordem quatro) Em $\mathcal
S(\R)$, seja $\mathcal F f = \hat f$. (a) Usando a fórmula de inversão, mostre $(\mathcal F^2f)(x) =
2\pi\,f(-x)$ e deduza $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\,
\mathrm{id}$. (b) Deduza que todo autovalor de $\mathcal F$ em $\mathcal S$ pertence a $\{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ e exiba uma autofunção para $+\sqrt{2\pi}$ *(qual função deste capítulo é proporcional à sua própria transformada?)*. (c) Mostre que as funções pares satisfazem $\mathcal F^2f = 2\pi
f$ e as ímpares $\mathcal F^2f = -2\pi f$; produza uma autofunção para o autovalor $-\iu\sqrt{2\pi}$ a partir de $x\eu^{-x^2/2}$, calculando sua transformada (derive a transformada da gaussiana).

**Solução de Exercício 14.11.**

(a) Inversão em $\mathcal S$: $f(x) =
\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi =
\frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$, isto é, $(\mathcal
F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$. Aplicando duas vezes: $\mathcal F^4f =
2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$.

(b) Se $\mathcal Ff = \lambda f$ com $f \neq 0$: $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$, de modo que $\lambda^4 =
(2\pi)^2$: $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$. A gaussiana $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ tem $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ ([Exemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) em $a = \frac12$): autofunção para $+\sqrt{2\pi}$.

(c) $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ vale $\pm2\pi f$ conforme a paridade. Para $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$: derivando $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ com a regra $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$:

$$
\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi}
\eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2}
= -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :
$$

uma autofunção para $-\iu\sqrt{2\pi}$. (As funções de Hermite continuam o padrão, percorrendo ciclicamente os quatro autovalores — o relógio de Fourier discreto.)

**Exercício 14.12 ★★.**

(Autocorrelação e lema de Wiener) Para $f \in L^2(\R)$, defina $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ e a *autocorrelação* $A_f = f * \tilde f$. (a) Mostre que $A_f$ é uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada com $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ para todo $x$ ([Exercício 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#exo-b3-lp-6) e Cauchy–Schwarz). (b) Mostre, primeiro para $f \in L^1\cap L^2$, que $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$: a autocorrelação tem transformada não negativa — os espectros de autocorrelações são espectros de potência. (c) Deduza a identidade $\int_\R\abs{\hat
f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ (inversão; justifique sua aplicabilidade quando $\hat f \in L^2$ tem $\abs{\hat f}^2 \in L^1$) e avalie-a para $f = \mathbf
1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ em $x = 0$: recupere $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$.

**Solução de Exercício 14.12.**

(a) $\tilde f \in L^2$ com $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$; o [Exercício 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#exo-b3-lp-6) (expoentes conjugados $p = q = 2$) torna $A_f = f * \tilde f$ limitada e uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), com

$$
A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y,
\qquad A_f(0) = \norm f_2^2,
\qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot -
x)}_2 = A_f(0)
$$

por Cauchy–Schwarz.

(b) Para $f \in L^1\cap L^2$: $\tilde f \in L^1$ também, e o teorema da convolução dá $\widehat{A_f} = \hat f\,
\widehat{\tilde f}$; calculando, $\widehat{\tilde f}(\xi) =
\int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x =
\overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} =
\overline{\hat f(\xi)}$: $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2
\geq 0$.

(c) Quando $\abs{\hat f}^2 \in L^1$, a inversão se aplica à [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $A_f$ (sua transformada é [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1); [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)):

$$
A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2
\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .
$$

Para $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$: $\hat f(\xi) =
\frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$ e, em $x = 0$:

$$
1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R
\Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi
= \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u
$$

($\xi = 2u$), isto é, $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd
u = \pi$ — a integral predileta de Plancherel, recuperada por autocorrelação.

## 14.6 Problema: a equação do calor na reta

**Problema 14.1.**

Problema de fim de semana — $\partial_tu =
\partial^2_{xx}u$, resolvida de ponta a ponta

O calor se espalha; a equação $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ diz que sua [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) se difunde a uma taxa dada pela curvatura local do perfil de temperatura. Resolvemos o problema de Cauchy em $\R$ — dado $f$, encontrar $u(t, x)$ para $t > 0$ com $u(0, \cdot) = f$ —, demonstramos as propriedades notáveis da solução e vemos por que o tempo não pode ser invertido. Ao longo de todo o problema, $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ é o *núcleo do calor* e $u(t, \cdot) = g_t *
f$.

**Parte I — Deduzindo o núcleo.** Trabalhe primeiro formalmente: suponha que $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ resolva a equação e seja $\hat u(t, \xi)$ a transformada em $x$.

1. Mostre (formalmente) que $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , logo $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , e reconheça $u(t) = g_t * f$ ( [Exercício 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4) ). Isso motiva a *definição* de $u$ ; tudo é agora demonstrado diretamente, para $f \in \mathcal C_b(\R)$ ( [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada) ou $f \in L^p$ .

**Parte II — Verificação.**

2. Mostre que, para $t > 0$ , $u(t, x) = \int  g_t(x-y)f(y)\dd y$ está bem definida para $f \in \mathcal  C_b$ , e que $u$ é $\mathcal C^\infty$ em $(t, x)$ sobre $\intoo0\infty\times\R$ *(derive sob o sinal de integral; domine as derivadas gaussianas localmente de maneira uniforme em $(t,x)$)* .
3. Verifique $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ por cálculo direto e deduza $\partial_tu =  \partial^2_{xx}u$ para $t > 0$ .
4. (Condição inicial) Mostre que, para $f \in \mathcal  C_b$ , $u(t, x) \to f(x)$ quando $t \to 0^+$ , uniformemente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) *([aproximação da identidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#def-b3-lp-mollifier): separe $\abs y  \leq \delta$, $\abs y > \delta$)* ; para $f \in L^p$ ( $p < \infty$ ), mostre $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
5. (Suavização instantânea) Conclua: mesmo para $f$ apenas [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada, a solução é $\mathcal C^\infty$ para todo $t > 0$ — o calor apaga instantaneamente a aspereza. Calcule $u(t, \cdot)$ explicitamente para $f =  \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (uma função erro) e esboce seu perfil para três valores de $t$ .

**Parte III — Propriedades estruturais.**

6. (Positividade e comparação) Se $f \geq 0$ , então $u > 0$ para todo $t > 0$ (estritamente, salvo se $f = 0$ q.t.p.); se $f_1 \leq f_2$ , então $u_1 \leq u_2$ . Um ponto frio se aquece instantaneamente: comente.
7. (Conservação) Para $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x =  \int f$ para todo $t$ *(Tonelli)* — o calor total se conserva.
8. (Dissipação) Para $f \in L^1\cap L^2$ , mostre via Plancherel que $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ é não crescente, estritamente salvo se $f = 0$ , e calcule seu limite quando $t \to \infty$ . Mostre, além disso, que $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm  f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ : o calor se espalha e morre.
9. (Unicidade, classe $L^2$ ) Seja $u$ uma solução com $u(t) \in L^2$ para todo $t$ , $u \in \mathcal  C^1(\intoo0\infty, L^2)$ no sentido natural e $u(t) \to f$ em $L^2$ quando $t\to0$ ; admitindo que a transformada a converte em $\partial_t\hat u =  -\xi^2\hat u$ pontualmente q.t.p. em $\xi$ para q.t.p. $t$ *(justificado testando contra $\mathcal  C_c^\infty$ em $\xi$ — esboce isso)* , mostre que $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ e, portanto, a unicidade nessa classe.

**Parte IV — A flecha do tempo.**

10. Mostre que o problema *retrógrado* é mal posto: para que a solução exista no instante $-s$ ( $s > 0$ ) com dados $f$ no instante $0$ — isto é, para que $f = g_s * h$ tenha solução $h \in L^2$ —, é necessário que $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : uma condição extrema de decaimento sobre $\hat f$ . Exiba uma $f  \in L^2$ suave explícita para a qual não existe solução retrógrada em intervalo de tempo algum: tome a função com $\hat f(\xi) =  \eu^{-\abs\xi}$ — identifique $f$ ( [Exercício 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1) ) e mostre que $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ para todo $s >  0$ .
11. (Suavização e informação) Explique em um parágrafo curto, usando as questões 5, 9 e 10, por que o semigrupo do calor $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ é injetor mas não sobrejetor em $L^2$ , e por que isso exprime a irreversibilidade da difusão.

**Parte V — O teorema da amostragem de Shannon.** Uma função $f \in L^2(\R)$ é *de banda limitada* a $\Omega$ se $\hat f = 0$ q.t.p. fora de $\intcc{-\Omega}\Omega$; escrevemos $PW_\Omega$ (espaço de Paley–Wiener) para essas funções.

12. Mostre que toda $f \in PW_\Omega$ coincide q.t.p. com a função $\mathcal C^\infty$ dada por $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat  f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (justifique a regularidade e a identificação), com todas as derivadas limitadas: a limitação de banda é uma forma extrema de regularidade. Daqui em diante, $f$ denota esse representante.
13. Expanda $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ na base de Fourier desse intervalo e identifique os coeficientes como *amostras* de $f$: $$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z}  f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\,  \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}  \quad\text{em } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$$
14. Deduza o *teorema da amostragem*: para $f \in  PW_\Omega$, $$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi}  \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),  \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$$ com convergência em $L^2(\R)$ e uniforme em $\R$ *(injete a série da questão 13 na fórmula de inversão e calcule a integral elementar)*: um sinal de banda limitada fica inteiramente determinado por seus valores em uma grade de passo $\pi/\Omega$ — a taxa de Nyquist.
15. Mostre que as funções $x \mapsto  \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , formam uma família ortogonal em $L^2(\R)$ de norma constante $\sqrt{\pi/\Omega}$ , e deduza a identidade de energia $\norm f_2^2 =  \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .
16. (Aliasing) Exiba uma $g \in PW_{2\Omega}$ não nula que se anula em todo ponto de amostragem $\frac{n\pi}\Omega$ *(considere $g(x) =  \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ e verifique sua banda)* : amostrar abaixo da taxa de Nyquist perde informação — dois sinais diferentes podem partilhar todas as amostras: o efeito estroboscópico da roda de carroça, matematizado.
17. (Graus de liberdade) Usando as questões 14–15, justifique a regra de engenharia: um sinal de banda limitada a $\Omega$ cuja energia é essencialmente carregada por uma janela temporal de comprimento $T$ é descrito por aproximadamente $\frac{\Omega T}\pi$ amostras reais — torne “essencialmente” preciso por meio da identidade de energia e da cauda $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} >  T/2}$ .
18. (Verificações de coerência) Confira o teorema da amostragem à mão em dois membros de $PW_\Omega$ : (a) $f =  \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , cujas amostras são $\delta_{n0}$ ; (b) sinais de banda estreita do tipo $f(x) = \cos(\omega x)  \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ — mais precisamente, mostre que, para $f \in  PW_{\Omega'}$ com $\Omega' < \Omega$ , a série na taxa $\Omega$ também reconstrói $f$ (sobreamostrar é inofensivo), mergulhando $PW_  {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ .

**Parte VI — Incerteza, mais duas vezes.** A desigualdade de Heisenberg ([Exercício 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8)) limita *quanto* $f$ e $\hat f$ podem estar conjuntamente concentradas; eis sua irmã do tipo tudo-ou-nada e sua saturação exata.

19. Seja $f \in L^1$ com $\operatorname{supp}f \subseteq  \intcc{-A}A$. Mostre que $\hat f$ é a soma de uma série de potências convergente em toda parte: $$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}  \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x,  \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$$ *(expanda $\eu^{-\iu\xi x}$ e justifique a troca pela convergência normal)*: a transformada é *real-analítica*, com raio de convergência infinito em todo ponto.
20. Deduza a dicotomia dos suportes: uma função real-analítica que se anula em um intervalo aberto não vazio se anula identicamente *(o conjunto em que todas as derivadas se anulam é aberto e fechado — desenvolva o argumento de Taylor)* ; conclua que nenhuma $f$ não nula tem $f$ e $\hat f$ ambas de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) , e que $PW_\Omega$ não contém função não nula de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) — os sinais de banda limitada duram para sempre, e os sinais de duração limitada vazam para todas as frequências.
21. (Saturação de Heisenberg) Na família gaussiana $f  = \eu^{-ax^2}$ , calcule os dois fatores de concentração e verifique que o produto normalizado $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int  \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ vale $\frac14$ para *todo* $a$ — a família de igualdade do [Exercício 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) em carne e osso; explique por um argumento de reescalamento por que o produto tem de ser constante ao longo da família.
22. Explique a leitura física ( [densidades](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de posição e de momento de um estado quântico; o $\hbar$ da normalização dá $\sigma_x\sigma_p \geq  \frac\hbar2$ ) e faça a conexão ao longo do capítulo: a suavização instantânea (Parte II), a irreversibilidade (Parte IV), a amostragem (Parte V), Heisenberg e a dicotomia dos suportes são cinco expressões de uma mesma lei — o comportamento de $\hat f$ no infinito legisla o que $f$ pode fazer em qualquer lugar.

**Parte VII — A álgebra do núcleo e um exemplo resolúvel.**

23. (Semigrupo) Demonstre a *identidade de Chapman–Kolmogorov* $g_t * g_s = g_{t+s}$ para $t, s > 0$ (via o teorema da convolução e a injetividade da transformada em $L^1$) e deduza $u(t + s) = g_s *  u(t)$: evoluir por um tempo $t + s$ é evoluir por $t$ e, depois, por $s$. Refine a dissipação da questão 8: escrevendo $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int  \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, mostre por Cauchy–Schwarz que $$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2  \quad\text{é convexa em } \intoo0{+\infty} :$$ a energia $L^2$ não apenas decresce: ela decresce de maneira log-convexa.
24. (Para onde vai o calor) Sejam $f \geq 0$, $f \in L^1$, com $\int x^2f(x)\dd x < \infty$. Mostre que, para todo $t > 0$, $$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x,  \qquad  \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x  = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$$ o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) do calor nunca se move, e a variância cresce *linearmente* no tempo — o reescalamento difusivo $x \sim \sqrt{2t}$, a ser relido quando o movimento browniano aparecer no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability). *(Calcule os dois primeiros momentos de $g_t$ e use Tonelli na convolução.)*
25. (A gaussiana, resolvida de ponta a ponta) Para $f(x) =  \eu^{-x^2}$, estabeleça a forma fechada $$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\,  \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$$ e verifique nela, à mão: a equação $\partial_tu  = \partial^2_{xx}u$; a conservação $\int u(t) =  \sqrt\pi$; a lei de dissipação $\norm{u(t)}_2 =  (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (compare seu decaimento $t^{-1/4}$ com o decaimento $t^{-1/2}$ da norma do supremo, questão 8); e o crescimento exato da variância da questão 24. Em $t = 6$: o pico caiu a $\frac15$ de sua altura inicial, enquanto o perfil está cinco vezes mais largo — o mesmo calor, espalhado.

**Solução de Problema 14.1.**

**1.** Transformando a equação em $x$ (formalmente): $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} =
(\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$, uma EDO em $t$ para cada frequência: $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$. Como $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ ([Exercício 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4)), o produto é a transformada de $g_t * f$.

**2.** $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm
f_\infty$: bem definida. Em $[t_0, T]\times[-A, A]$: cada derivada mista $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ é um polinômio em $(x - y)$ e $t^{-1}$ vezes $\eu^{-(x-y)^2/4t}$, limitado para $\abs y \geq 2A$ por $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$, um dominante [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) independente de $(t, x)$ na janela (e limitado para $\abs y \leq 2A$): a derivação repetida sob o sinal de integral ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) se aplica: $u \in
\mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$.

**3.** Com $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi
t}}\eu^{-x^2/4t}$:

$$
\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr)
= \partial^2_{xx}g_t
$$

(derive duas vezes em $x$: $\partial_xg_t = -\frac
x{2t}g_t$, $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} -
\frac1{2t}\bigr)g_t$). Pela questão 2, as derivadas passam para dentro da integral: $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$.

**4.** $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) -
f(x)\bigr)\dd y$. Dados um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K$ e $\varepsilon$: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme de $f$ numa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $K$ dá $\delta$ com $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ para $x \in
K$, $\abs y \leq \delta$; a cauda contribui com massa $\leq 2\norm
f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm
f_\infty\,\P$ além de $\delta$, que é $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z
\to 0$ quando $t \to 0$. Para $f \in L^p$: $\norm{u(t) - f}_p \leq
\int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (Minkowski/Jensen como no [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)); reparta do mesmo modo usando o [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-density)(3).

**5.** A suavização instantânea é a questão 2 ($u(t)$ é $\mathcal C^\infty$ para $t > 0$ sem que se use regularidade alguma de $f$). Para $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$:

$$
u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y
= \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z
= \frac12\Bigl(1 +
\operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr),
\qquad \operatorname{erf}(s) =
\frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :
$$

um degrau suavizado cuja zona de transição se alarga como $\sqrt t$ (perfis em $t_1 < t_2 < t_3$: rampas cada vez mais planas atravessando $(0, \frac12)$).

**6.** O integrando $g_t(x-y)f(y)$ é $\geq 0$ e o núcleo é estritamente positivo: $u(t,x) = 0$ forçaria $f = 0$ q.t.p. A monotonicidade em $f$ é a monotonicidade da integral. Um trecho em que $f = 0$ num intervalo ainda tem $u(t, \cdot) > 0$ ali para todo $t > 0$: o calor se propaga a velocidade infinita (qualquer positividade em qualquer lugar é sentida em toda parte instantaneamente).

**7.** Tonelli ($g_t(x-y)\abs{f(y)}$ é [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) em $\R^2$): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x -
y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$.

**8.** Plancherel: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 =
\int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, não crescente em $t$ (pontualmente), estritamente a menos que $\hat f = 0$ q.t.p. ($= f =
0$), com limite $0$ quando $t\to\infty$ pelo TCD. E $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 =
\frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$.

**9.** Para $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$, $t \mapsto
\langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ é $\mathcal C^1$ com derivada $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle =
\langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle =
\langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — mais precisamente, $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ transfere a equação. Então, para q.t.p. $\xi$, a função absolutamente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ tem derivada $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ no sentido integrado: ela é constante e, fazendo $t \to 0$ ($\hat u(t) \to \hat f$ em $L^2$, q.t.p. ao longo de uma subsequência): $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ q.t.p. Duas soluções na classe têm a mesma transformada: são iguais.

**10.** $f = g_s * h$ com $h \in L^2$ força $\hat f =
\eu^{-s\xi^2}\hat h$, isto é, $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in
L^2$. Tome $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$: então $f(x) =
\frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ ([Exercício 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1), inversão), uma função $L^2$ perfeitamente suave; mas $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to
\infty$: $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ para todo $s > 0$. O perfil de Cauchy *nunca* é o resultado de uma difusão anterior.

**11.** O semigrupo do calor multiplica as transformadas por $\eu^{-t\xi^2}$, que não se anula em parte alguma: injetivo — formalmente, nenhuma informação é destruída. Mas sua imagem consiste em funções cujas transformadas decaem como $\eu^{-t\xi^2}$: um subespaço minúsculo, denso mas próprio, de $L^2$ (a questão 10 mostra que mesmo funções excelentes ficam de fora). Inverter amplificaria a frequência $\xi$ por $\eu^{t\xi^2}$: ilimitado, logo instável diante de qualquer perturbação. A difusão é irreversível não porque a aplicação esqueça, mas porque sua inversa não pode ser [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — uma flecha do tempo feita de análise funcional.

**12.** $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)
\subseteq L^1$ (Cauchy–Schwarz num intervalo limitado), de modo que $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ está definida em toda parte, e a derivação sob o sinal de integral (dominada por $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ na banda) a torna $\mathcal C^\infty$ com $\abs{F^{(k)}} \leq
\frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ em toda parte. E $F
= f$ q.t.p.: ambos os membros têm a mesma transformada, e a transformada é injetora em $L^2$ ([Teorema 14.8](#thm-b3-fouriertransform-plancherel) e sua extensão $L^2$).

**13.** As exponenciais $\xi \mapsto \eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}$, $n \in \Z$, formam uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ ([Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier), reescalado). O coeficiente de $\hat f$ ao longo da $n$-ésima é

$$
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi
= \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot
\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),
$$

pela fórmula da questão 12 em $x = \frac{n\pi}\Omega$: a expansão enunciada vale em $L^2$ da banda.

**14.** Insira a expansão na fórmula de inversão da questão 12; a troca de soma e integral é a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) do pareamento $L^2$ contra $\frac1{2\pi}
\eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (de norma $L^2$ $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$, independente de $x$ — donde a uniformidade):

$$
f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)
\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),
$$

pois $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu
u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$.

**15.** Lendo o cálculo da questão 14 de trás para a frente, a transformada de $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot -
n\pi)$ é $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$. Plancherel:

$$
\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi}
\Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi =
\frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :
$$

uma família ortogonal de norma constante $\sqrt{\pi/\Omega}$. Tomando normas na expansão da questão 14: $\norm f_2^2 =
\frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$.

**16.** $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}
(\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ se anula em todo ponto da malha $\frac{n\pi}\Omega$ (inclusive em $0$, pelo limite) e não é identicamente nula. Sua banda: escreva $g =
\frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega
x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$; a modulação por $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ desloca a transformada de $\mp\Omega$, de modo que $\hat g$ tem suporte em $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (de fato, na união de duas bandas deslocadas): $g \in PW_{2\Omega}$, invisível à amostragem à taxa $\Omega$ — o alias encarnado.

**17.** Pela questão 15, as amostras carregam a energia democraticamente: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$. Se a energia do sinal fora da janela temporal $\intcc{-T/2}{T/2}$ é $\leq \varepsilon^2\norm
f^2$, as amostras fora da janela satisfazem (a menos de termos de bordo controlados pela cota uniforme da questão 12) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x >
T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$: truncar a série de amostragem aos $\approx \frac{\Omega T}\pi$ índices dentro da janela reconstrói $f$ a menos de erro relativo $\approx\varepsilon$. Logo o produto tempo–banda $\frac{\Omega T}{\pi}$ conta os graus de liberdade reais efetivos do sinal — a regra por trás de todo formato de áudio.

**18.** (a) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ tem amostras $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) =
\delta_{n0}$: a série se reduz a seu termo $n = 0$, $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — o teorema reproduz seu próprio núcleo. (b) Se $\hat f$ tem suporte em $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq
\intcc{-\Omega}\Omega$, cada passo das questões 13–14 vale literalmente com a banda maior $\Omega$ (a expansão de $\hat f$ no intervalo maior continua legítima): amostrar mais rápido que a própria taxa de Nyquist nada muda na reconstrução — a superamostragem é inofensiva e, na prática, benéfica (podem-se então usar núcleos de reconstrução de decaimento mais rápido).

**19.** Expanda $\eu^{-\iu\xi x} =
\sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ dentro da integral; em $\intcc{-A}A$ a série converge normalmente ($\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$), de modo que a integração termo a termo é legítima:

$$
\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k,
\qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .
$$

A cota faz a série convergir para todo $\xi$ complexo; em torno de qualquer ponto $\xi_0$, reagrupar (convergência absoluta) dá uma série de potências em $\xi - \xi_0$: $\hat f$ é real-analítica de raio infinito em toda parte.

**20.** Seja $g$ real-analítica em $\R$ (série de Taylor convergindo para $g$ perto de cada ponto) e $Z = \{\xi :
g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$. $Z$ é fechado (interseção de fechados); é aberto, pois em $\xi_0 \in Z$ a expansão de Taylor local de $g$ é a série nula, de modo que $g$ se anula identicamente perto de $\xi_0$, junto com todas as derivadas. Se $g$ se anula num intervalo, $Z \neq \varnothing$; por [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) de $\R$, $Z = \R$: $g \equiv 0$. Ora, se $f
\neq 0$ tivesse suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) junto com $\hat f$: a questão 19 torna $\hat f$ real-analítica, anulando-se fora de um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), logo em intervalos: $\hat f \equiv 0$, de modo que $f = 0$ q.t.p. por injetividade — contradição. Do mesmo modo, uma $f \in
PW_\Omega$ não nula não pode ter suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (troque os papéis de $f$ e $\hat f$ via inversão): sinais de banda limitada nunca morrem, sinais de duração limitada ocupam espectro ilimitado.

**21.** Para $f = \eu^{-ax^2}$: $\norm f_2^2 =
\sqrt{\frac\pi{2a}}$ e $\int x^2\abs f^2 =
\frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (segundo momento gaussiano); $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ ([Exemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian)) e

$$
\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi =
\frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2
\eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a}
= \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .
$$

Produto normalizado: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot
\frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$, independente de $a$. O reescalamento explica a constância: substituir $f$ por $f(\lambda\cdot)$ multiplica $\int x^2\abs f^2/\norm
f^2$ por $\lambda^{-2}$ e $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat
f}^2/\norm f^2$ por $\lambda^{2}$: o produto é um invariante de dilatação, e as gaussianas formam uma única [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) de dilatação.

**22.** Com $\abs f^2$ a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de posição e $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de momento de um estado quântico (as unidades físicas inserem $\hbar$), o [Exercício 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) se lê $\sigma_x\sigma_p
\geq \frac\hbar2$: nenhum estado é nítido nos dois observáveis. Ao longo do capítulo, uma lei veste cinco trajes: o calor suaviza instantaneamente porque $\eu^{-t\xi^2}$ aniquila as altas frequências (Parte II); o fluxo não pode correr para trás porque restaurá-las é ilimitado (Parte IV); um sinal de banda limitada é rígido o bastante para viver numa malha enumerável (Parte V); nenhuma função vence o piso de Heisenberg; e nenhuma função tem suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) dos dois lados da transformada (questões 19–20). O que $\hat f$ faz no infinito governa o que $f$ pode fazer em qualquer lugar.

**23.** Tanto $g_t$ quanto $g_s$ estão em $L^1$ com $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (o cálculo da questão 1), de modo que o teorema da convolução dá $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$; duas funções $L^1$ com a mesma transformada coincidem q.t.p. (injetividade, via o teorema de inversão — aqui ambos os membros são [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), de modo que coincidem em toda parte): $g_t * g_s = g_{t+s}$. Consequentemente, $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (associatividade da convolução, Tonelli). Log-convexidade: seja $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (Plancherel, questão 8). Para $t = \frac{t_1 + t_2}2$, escreva

$$
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2
= \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},
$$

e Cauchy–Schwarz dá $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq
\sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$: $\ln N$ é convexa no ponto médio e, sendo [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (convergência dominada em $t$), convexa; $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$ também. Decaimento com logaritmo convexo: o fluxo do calor não pode perder energia num acesso e depois estagnar.

**24.** Os momentos do núcleo: $\int g_t = 1$ (questão 7 com $f = g_s$, ou diretamente a integral gaussiana), $\int
x\,g_t(x)\dd x = 0$ (integrando ímpar) e, substituindo $x =
2\sqrt t\,v$,

$$
\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x
= \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .
$$

Substituindo $x = z + y$ na convolução e notando que $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (cada um de $\int\abs z^kg_t$, $\int\abs y^kf$ é finito para $k
\leq 2$, usando $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$), Fubini e Tonelli se aplicam às integrais de momentos abaixo:

$$
\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd
y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,
$$

que é a primeira afirmação; e

$$
\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y
= 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,
$$

a segunda. As médias se somam, as variâncias se somam, e o núcleo contribui com média $0$ e variância $2t$: após o tempo $t$, o calor se espalhou por uma largura da ordem de $\sqrt{2t}$ — a distância cresce como a raiz quadrada do tempo, a assinatura da difusão (e das trajetórias brownianas do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability)).

**25.** Lado da transformada: $\hat f(\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$, de modo que $\hat u(t,\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$, que é a transformada de $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (o dicionário gaussiano $\eu^{-ax^2} \mapsto
\sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ com $a = \frac1{1+4t}$): a forma fechada. Verificação direta, com $\sigma = 1 + 4t$:

$$
\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma}
\Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr)
= \partial^2_{xx}u ,
$$

ambos os membros calculados a partir de $\partial_xu =
-\frac{2x}\sigma\,u$. Conservação: $\int u(t) =
\sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ para todo $t$. Dissipação:

$$
\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x
= \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2}
= \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},
$$

de modo que $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$, não crescente e com logaritmo convexo (questão 23); a norma $L^2$ decai como $t^{-1/4}$, exatamente metade do expoente $t^{-1/2}$ de $\norm{u(t)}_\infty$ — coerente com $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ e com a conservação de $\norm u_1$. Variância: $\int x^2u(t) =
\frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 =
\frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$, como a questão 24 prevê ($\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$, $\int
f = \sqrt\pi$). Em $t = 6$: $\sigma = 25$, altura de pico $u(6, 0) = \frac15$ contra $u(0,0) = 1$, escala de largura $\sqrt\sigma = 5$ vezes a inicial, e $\int u =
\sqrt\pi \approx 1.7725$ o tempo todo: a mancha está cinco vezes mais baixa, cinco vezes mais larga, e não falta uma caloria.