--- title: "Operadores compactos e o teorema espectral" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 15 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral --- # Capítulo 15 — Operadores compactos e o teorema espectral A diagonalização é a joia da coroa da álgebra linear em dimensão finita: uma matriz simétrica tem uma base ortonormal de autovetores. Em dimensão infinita isso falha, em geral, para [operadores autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) limitados — a multiplicação por $x$ em $L^2(\intcc01)$ *não* tem autovalor algum ([Exercício 15.6](#exo-b3-spectral-6)) —, mas sobrevive, em forma [perfeita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), para os operadores que são *quase de dimensão finita*: os [compactos](#def-b3-spectral-compact). O teorema espectral para [operadores compactos](#def-b3-spectral-compact) [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) é o teorema mais usado da análise funcional aplicada: ele diagonaliza equações integrais, move a [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) e (problema de fim de semana) resolve a corda vibrante, produzindo a base de senos da análise de Fourier a partir de pura teoria de operadores — com o $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler caindo de uma fórmula de traço como brinde de despedida. Ao longo de todo o capítulo, $H$ é um [espaço de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) sobre $\C$ (ou $\R$; os enunciados se adaptam), e os operadores são limitados. ## 15.1 Operadores compactos **Definição 15.1.** $T \in \mathcal L(E, F)$ (com $E, F$ de Banach) é *compacto* se a imagem $T(B)$ da bola unitária é relativamente compacta em $F$ — equivalentemente, se toda sequência limitada $(x_n)$ tem uma subsequência com $(Tx_{n_k})$ convergente. Os operadores de posto finito são compactos (conjuntos limitados em dimensão finita); a identidade de um espaço de dimensão infinita nunca é (teorema de Riesz, segundo ano). **Proposição 15.2.** Os [operadores compactos](#def-b3-spectral-compact) $\mathcal K(E, F)$ formam um subespaço fechado de $\mathcal L(E, F)$ e um [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) bilateral: $S$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) $\Rightarrow$ $AS$ e $SB$ [compactos](#def-b3-spectral-compact), para $A, B$ limitados. Além disso, em um [espaço de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner), todo [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) é limite em [norma de operadores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator) de posto finito. **Demonstração.** Subespaço: claro pela caracterização por sequências. [Ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal): aplicações limitadas levam sequências convergentes em convergentes e limitadas em limitadas. Fechamento: seja $T_n \to T$ com $T_n$ [compactos](#def-b3-spectral-compact), e $(x_k)$ limitada por $1$; uma extração diagonal torna $(T_nx_{k_j})_j$ convergente para todo $n$; então $(Tx_{k_j})$ é de Cauchy, pois $$ \norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} , $$ escolhendo primeiro $n$ e depois os índices. Aproximação em [espaços de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner): seja $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), com $K = \overline{T(B)}$ [compacto](#def-b3-spectral-compact); dado $\varepsilon$, cubra $K$ por um número finito de bolas $B(y_i, \varepsilon)$ e seja $P$ a projeção ortogonal sobre $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (fechado: tem dimensão finita). Então $PT$ tem posto finito e, para $\norm x \leq 1$: tomando $y_i$ com $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$, $$ \norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon $$ ($y_i = Py_i$; $\vertiii P \leq 1$): $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$. ∎ **Exemplo 15.3.** (a) Operadores diagonais em $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) se, e somente se, $\lambda_n \to 0$ ([Exercício 15.2](#exo-b3-spectral-2)). (b) Operadores com núcleo em $\mathcal C(\intcc01)$: [compactos](#def-b3-spectral-compact) por Ascoli ([Exercício 7.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7)). (c) *Operadores de Hilbert–Schmidt*: para $k \in L^2(\intcc01^2)$, $$ (T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y $$ define um [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) em $L^2(\intcc01)$ com $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ ([Exercício 15.4](#exo-b3-spectral-4): truncar a expansão de $k$ na base exibe $T_k$ como limite de operadores de posto finito). ## 15.2 Operadores autoadjuntos **Definição 15.4.** $T \in \mathcal L(H)$ é *autoadjunto* se $T = T^*$ ([Exercício 13.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#exo-b3-hilbert-8)), isto é, se $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$. Então $\langle x, Tx\rangle \in \R$ para todo $x$ (por ser igual a seu conjugado). **Proposição 15.5.** Para $T$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint): $$ \vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} . $$ Os autovalores de $T$ são reais, e autovetores [associados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) a autovalores distintos são ortogonais. **Demonstração.** Seja $M$ o supremo; $M \leq \vertiii T$ por Cauchy–Schwarz. Reciprocamente, a identidade do tipo polarização $$ \langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle $$ (expanda; os termos cruzados $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ por [autoadjunção](#def-b3-spectral-selfadjoint)) dá, junto com a lei do paralelogramo, $$ 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr). $$ Para $\norm x = 1$ com $Tx \neq 0$, tome $y = Tx/\norm{Tx}$: $4\norm{Tx} \leq 4M$. Logo $\vertiii T \leq M$. Autovalores: $Tx = \lambda x$, $x \ne 0$ dá $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$. Ortogonalidade: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ com $\lambda \neq \mu$ reais. ∎ ## 15.3 O teorema espectral **Lema 15.6 (Existência de um autovalor extremo).** Seja $T \neq 0$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) e [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). Então $\vertiii T$ ou $-\vertiii T$ é autovalor de $T$. **Demonstração.** Pela [Proposição 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm), tome vetores unitários $x_n$ com $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$, em que $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (passe a uma subsequência para fixar o sinal). Então $$ \norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 . $$ Por [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), uma subsequência $Tx_{n_k} \to y$; então $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$, de modo que $x_{n_k} \to x = y/\mu$, um vetor unitário, e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) dá $Tx = \mu x$. ∎ **Teorema 15.7 (Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos).** Seja $T$ um [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) em um [espaço de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$. 1. $H$ admite um sistema ortonormal $(e_n)_{n \in N}$ ($N$ finito ou enumerável) de autovetores de $T$, com autovalores reais não nulos $(\lambda_n)$, tal que $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$$ e $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$. 2. Se $N$ é infinito, $\lambda_n \to 0$ ; para cada $\delta > 0$ , apenas um número finito de $n$ satisfaz $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , e cada autoespaço $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , tem dimensão finita. 3. Completando $(e_n)$ com uma base ortonormal de $\ker T$ obtém-se, quando $H$ é separável, uma base ortonormal de $H$ formada por autovetores: $T$ está diagonalizado. **Demonstração.** Primeiro (2). Se infinitos autovetores ortonormais $x_k$ tivessem $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$: $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (ortogonalidade, Pitágoras): não haveria subsequência convergente de $(Tx_k)$, contradizendo a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $T$ na sequência limitada $(x_k)$. Isso limita por um número finito, para cada $\delta$, a multiplicidade total dos autovalores fora de $\intoo{-\delta}\delta$; a enumerabilidade e $\lambda_n \to 0$ decorrem. (1) Seja $H_0$ o subespaço fechado gerado por *todos* os autovetores de autovalor não nulo, organizados (por (2) e por Gram–Schmidt dentro de cada autoespaço de dimensão finita, com ortogonalidade entre autoespaços vinda da [Proposição 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)) em um sistema ortonormal $(e_n)$ de autovalores $\lambda_n \neq 0$. $T$ leva $H_0$ em $H_0$ e também $H_0^\perp$ em $H_0^\perp$: para $y \perp H_0$ e $e$ autovetor, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$. A restrição $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ é compacta [autoadjunta](#def-b3-spectral-selfadjoint) no [espaço de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$; se $T' \neq 0$, o [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence) produziria um autovetor de $T$ com autovalor não nulo dentro de $H_0^\perp$ — impossível, pois tais vetores vivem em $H_0$. Logo $T' = 0$: $H_0^\perp \subseteq \ker T$. Reciprocamente, $\ker T \perp$ a todo $e_n$ ($\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$): $\ker T \subseteq H_0^\perp$, donde $\ker T = H_0^\perp$ e a decomposição ortogonal. A expansão: para $x = z + \sum_nc_ne_n$ ($z \in \ker T$, $c_n = \langle e_n, x\rangle$; [Teorema 13.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(1) em $H_0$), a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $T$ dá $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$. (3) $\ker T$, subespaço fechado de um espaço separável, é separável: ele tem base ortonormal ([Proposição 13.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#prop-b3-hilbert-gramschmidt)); a reunião é base ortonormal de $H$ pela decomposição de (1). ∎ **Teorema 15.8 (Alternativa de Fredholm).** Sejam $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e $\lambda \in \R\setminus \{0\}$. 1. Se $\lambda$ não é autovalor, então $T - \lambda I$ é bijetor com inversa limitada: para toda $f$ , a equação $Tx - \lambda x = f$ tem exatamente uma solução, que depende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f$ . 2. Se $\lambda$ é autovalor, $Tx - \lambda x = f$ é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) se, e somente se, $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , e a solução é única a menos desse núcleo (de dimensão finita). **Demonstração.** Decomponha $x = z + \sum c_ne_n$ e $f = w + \sum d_ne_n$ conforme o [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ($z, w \in \ker T$). A equação se escreve $$ -\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N). $$ (1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$: por (2) do teorema espectral, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (os autovalores só se acumulam em $0 \neq \lambda$). Resolva: $z = -w/\lambda$, $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$, com $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$: uma única solução, com $\norm x \leq C\norm f$. (2) $\lambda = \lambda_{n}$ para $n$ em um conjunto finito $F$: a [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) de $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ para $n \in F$ exige $d_n = 0$, isto é, $f \perp e_n$ ($n \in F$), ou seja, $f \perp \ker(T - \lambda I)$; os $c_n$, $n \in F$, ficam então livres. ∎ **Exemplo 15.9.** Em $L^2(\intcc01)$, seja $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: um [operador de Hilbert–Schmidt](#ex-b3-spectral-examples) de núcleo real e simétrico, portanto [compacto](#def-b3-spectral-compact) e [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). Resolvendo $Tf = \lambda f$: a relação $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ mostra que $u = Tf$ satisfaz $u'' = -f$ (duas derivações, legítimas para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), e $Tf$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) para $f \in L^2$: convergência dominada), com $u(0) = 0$ e $u'(1) = 0$. Assim, as autofunções resolvem $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$: $$ u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0), $$ e o teorema espectral afirma — sem nenhuma teoria de Fourier — que esses senos formam, após normalização, uma base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ (o núcleo de $T$ é $0$: $Tf = 0$ força, pelas duas derivações, $f = 0$ q.t.p.). O problema de fim de semana percorre o mesmo círculo de ideias para a corda vibrante e extrai $\zeta(2)$ do traço. **Método 15.10.** Dada uma equação integral ou diferencial: (1) reescreva-a como $(I - \lambda K)u = f$ ou $Ku = \lambda u$ com $K$ um operador integral; (2) verifique que $K$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) (núcleo de Hilbert–Schmidt, ou Ascoli) e, se possível, [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) (núcleo real simétrico); (3) diagonalize com o teorema espectral ou invoque a [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) para a [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived); (4) leia existência, unicidade, estabilidade e fórmulas em série para as soluções na base de autovetores. Os operadores diferenciais são ilimitados, mas suas *inversas* (operadores de Green) são compactas: inverta sempre primeiro. ## 15.4 Exercícios **Exercício 15.1 ★.** (a) Mostre que um operador limitado de imagem de dimensão finita é [compacto](#def-b3-spectral-compact). (b) Mostre que a identidade de um espaço normado é compacta se, e somente se, a dimensão é finita (Riesz, segundo ano). Deduza que um [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) em um espaço de dimensão infinita nunca é inversível com inversa limitada. **Solução de Exercício 15.1.** (a) $T(B)$ é um subconjunto limitado do espaço de dimensão finita $\operatorname{im}T$: relativamente [compacto](#def-b3-spectral-compact) por Heine–Borel ([Corolário 6.17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#cor-b3-topology-heineborel), transportado por um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) linear com $\R^n$). (b) $I$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) significa que a bola unitária fechada é compacta, o que, pelo teorema de Riesz (volume do segundo ano), acontece exatamente em dimensão finita. Se um $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) tivesse inversa limitada $T^{-1}$, então $I = T^{-1}T$ seria [compacto](#def-b3-spectral-compact) ([Proposição 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): impossível em dimensão infinita. **Exercício 15.2 ★.** Seja $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ em $\ell^2$, com $(\lambda_n)$ limitada. (a) Mostre que $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$. (b) Mostre que $T$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) se, e somente se, $\lambda_n \to 0$. *(Para $\Leftarrow$, trunque; para $\Rightarrow$, teste em $(e_n)$.)* (c) Quando $T$ é [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint)? Verifique o teorema espectral por inspeção nesse caso. **Solução de Exercício 15.2.** (a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, com quase igualdade nos $e_n$ que realizam o supremo. (b) ($\Leftarrow$) As truncaturas $T_N$ (mantêm $n \leq N$, zero além) têm posto finito e $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: [compacto](#def-b3-spectral-compact) pela [Proposição 15.2](#prop-b3-spectral-ideal). ($\Rightarrow$) Se $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ ao longo de uma subsequência: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: nenhuma subsequência convergente de $(Te_{n_k})$. (c) $T^* =$ diagonal com $(\bar\lambda_n)$: [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) se, e somente se, todos os $\lambda_n \in \R$. Então a base canônica $(e_n)$ é uma base ortonormal de autovetores, de autovalores $\lambda_n \to 0$: o teorema espectral literalmente. **Exercício 15.3 ★★.** Dê os detalhes da propriedade de [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) ([Proposição 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): se $S$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) e $A, B$ são limitados, então $ASB$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact). Deduza que, se $ST = TS = I$ para algum $S$ limitado e $\dim H = \infty$, então $T$ não é [compacto](#def-b3-spectral-compact) — e reconcilie com o [Exercício 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b). **Solução de Exercício 15.3.** Seja $(x_n)$ limitada. Então $(Bx_n)$ é limitada ($\vertiii B < \infty$); a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $S$ extrai $SBx_{n_k} \to y$; a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $A$ dá $ASBx_{n_k} \to Ay$: $ASB$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact). Se $ST = TS = I$ com $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) e $\dim H = \infty$: $I = ST$ seria [compacto](#def-b3-spectral-compact), contradizendo o [Exercício 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b) — que é o mesmo enunciado visto do outro lado. **Exercício 15.4 ★★.** (Hilbert–Schmidt) Sejam $k \in L^2(\intcc01^2)$ e $(e_n)$ uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01)$. (a) Mostre que $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *(Cauchy–Schwarz na variável $y$ e, depois, Tonelli)*. (b) Expanda $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ em $L^2$ do quadrado (justifique que os produtos formam ali uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb)) e mostre que truncar a soma dá operadores de posto finito que convergem a $T_k$ em [norma de operador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator): $T_k$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact). **Solução de Exercício 15.4.** (a) Por Cauchy–Schwarz em $y$: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; integre em $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$. (b) A família $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ é ortonormal em $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli separa a integral dupla). Total: se $h \perp$ a todos os $e_{mn}$, então, para cada $m$, a função $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (em $L^2$ por Cauchy–Schwarz e Tonelli) é ortogonal a toda $\overline{e_n}$ — e as conjugadas $(\overline{e_n})$ formam uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) sempre que $(e_n)$ forma (a conjugação é uma bijeção isométrica de $L^2$ que preserva ortogonalidade e totalidade) —, de modo que ela é $0$ q.t.p.; então, para q.t.p. $y$, $h(\cdot, y) \perp$ a todo $e_m$: $h(\cdot, y) = 0$ q.t.p.: $h = 0$ (Tonelli). Logo $(e_{mn})$ é uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb); expanda $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. A truncatura $k_N$ (índices $\leq N$) dá $T_{k_N}$ de posto finito (imagem em $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$) e, por (a), $$ \vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 : $$ $T_k$ é um limite em [norma de operadores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator) de posto finito: [compacto](#def-b3-spectral-compact) ([Proposição 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)). **Exercício 15.5 ★★.** Seja $T$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) com $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ para todo $x$ (operador *positivo*). (a) Mostre que os autovalores são $\geq 0$ e que $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$. (b) Demonstre a desigualdade de Cauchy–Schwarz generalizada $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$. **Solução de Exercício 15.5.** (a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ num autovetor. A fórmula é a [Proposição 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) com todos os valores $\langle x, Tx\rangle \geq 0$: o valor absoluto é redundante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ é uma forma sesquilinear hermitiana positiva (possivelmente degenerada); a demonstração usual de Cauchy–Schwarz (expanda $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ e tome o discriminante) nunca usa a definitude. **Exercício 15.6 ★★.** Em $L^2(\intcc01)$, seja $(Mf)(x) = x\,f(x)$. (a) Mostre que $M$ é limitado e [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint), com $\vertiii M = 1$, mas *não* tem autovalor algum. (b) Mostre que $M$ não é [compacto](#def-b3-spectral-compact) *(exiba uma sequência limitada cuja imagem não tem subsequência convergente, por exemplo indicadoras normalizadas de intervalos que encolhem perto de $1$ — ou invoque o teorema espectral)*. (c) Onde a demonstração do [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence) se quebra para $M$? **Solução de Exercício 15.6.** (a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ e, em $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vetores unitários), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$: $\vertiii M = 1$; [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint), pois o multiplicador é real. Autovalores: $xf(x) = \lambda f(x)$ q.t.p. força $f = 0$ q.t.p. fora do conjunto nulo $\{x = \lambda\}$: $f = 0$ em $L^2$. (b) Com as mesmas $f_n$: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, ao passo que $f_n \rightharpoonup 0$ (para $g \in L^2$ fixo, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ pelo TCD). Se $Mf_{n_k} \to h$ em norma, então $f_{n_k} \to h$, forçando $h = 0$ (limite fraco), e ainda assim $\norm h = 1$: nenhuma subsequência convergente. (c) No [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence), é precisamente a extração “$Tx_{n_k} \to y$” que usa a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact); para $M$, as sequências maximizantes se concentram perto de $x = 1$ e suas imagens convergem fracamente para $0$, nunca em norma: o autovetor no topo da imagem numérica simplesmente não existe. **Exercício 15.7 ★★.** (Volterra) Em $L^2(\intcc01)$, seja $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$. (a) Mostre que $V$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) (Hilbert–Schmidt de núcleo $\mathbf 1_{y < x}$) mas não é [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint); calcule $V^*$. (b) Mostre que $V$ não tem autovalor não nulo. *(De $Vf = \lambda f$: $f$ tem um representante [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), depois é $\mathcal C^1$ e resolve $\lambda f' = f$, $f(0) = 0$.)* (c) Conclua que só a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) não fornece autovetores: a [autoadjunção](#def-b3-spectral-selfadjoint) no [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) é essencial. **Solução de Exercício 15.7.** (a) $V = T_k$ com $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$: [compacto](#def-b3-spectral-compact) ([Exercício 15.4](#exo-b3-spectral-4)). Seu adjunto é o operador de núcleo com núcleo $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$: $V^*f(x) = \int_x^1f$; $V \neq V^*$ (teste em $f = \mathbf 1$). (b) Se $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$: $Vf$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\intcc01$ (convergência dominada em $\int_0^x f$), de modo que $f = \frac1\lambda Vf$ tem um representante [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); então $Vf$ é $\mathcal C^1$ (teorema fundamental do cálculo para integrandos [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)), de modo que $f$ é $\mathcal C^1$, e $\lambda f' = f$ com $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$: $f = C\eu^{x/\lambda}$ com $C = f(0) = 0$. (c) $V$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) sem autovalor algum, exceto possivelmente $0$ ($Vf = 0$ força $f = 0$ q.t.p., derivando a integral — de modo que nem mesmo $0$): a maquinaria espectral realmente exige a [autoadjunção](#def-b3-spectral-selfadjoint), não apenas a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). **Exercício 15.8 ★★★.** (Courant–Fischer) Seja $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e *positivo*, com autovalores $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (repetidos conforme a multiplicidade, com autovetores $e_1, e_2, \dots$). Mostre que: $$ \mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle . $$ *(Teste $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$; para a cota superior, intersecte um $V$ qualquer com espaços do tipo $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$: a contagem de dimensões força uma interseção não nula.)* Deduza que os autovalores dependem monotonamente de $T$ ($T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$). **Solução de Exercício 15.8.** Escreva $x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$, de modo que $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. *Cota inferior*: na esfera unitária de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$, $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: o máximo em $V$ do mínimo é $\geq \mu_k$. *Cota superior*: sejam $\dim V = k$ e $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, de codimensão $k - 1$ (seu [complemento ortogonal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-decomposition) é $V_{k-1}$); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (uma aplicação linear $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de posto $\leq k - 1$ tem núcleo não trivial), e um unitário $x \in V\cap W_k$ tem $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: o mínimo em $V$ é $\leq \mu_k$. Juntas: a primeira fórmula; a segunda se demonstra simetricamente (teste $W = W_k$; para $W$ arbitrário de codimensão $k-1$, $W \cap V_k \neq 0$ dá um vetor unitário com $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Monotonicidade: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ pontualmente se transfere por $\max\min$. **Exercício 15.9 ★★.** Usando o [Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) para $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ ([Exemplo 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): para quais $\lambda \in \R$ a equação integral $$ f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x) $$ tem solução única $f \in L^2$ para toda $g \in L^2$? O que acontece nos valores excepcionais? **Solução de Exercício 15.9.** Reescreva $f - \lambda Tf = g$. Para $\lambda = 0$: $f = g$, sempre unicamente [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived). Para $\lambda \neq 0$: isso é $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ e, pela [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) com os autovalores $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ ([Exemplo 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) única para todo $g$ se, e somente se, $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ para todo $n$, isto é, $$ \lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). $$ Num $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ excepcional: existem soluções se, e somente se, $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, e elas são então únicas a menos de somar múltiplos desse seno. **Exercício 15.10 ★★★.** Seja $S$ o deslocamento em $\ell^2$ ([Exercício 8.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#exo-b3-banach-1)). (a) Mostre que $S$ não tem autovalores, ao passo que todo $\lambda$ com $\abs\lambda < 1$ é autovalor de $S^*$ (encontre explicitamente os autovetores, sequências geométricas). (b) Nem $S$ nem $S^*$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact): verifique testando em $(e_n)$ ao estilo do [Exercício 15.2](#exo-b3-spectral-2). (c) Comente: para operadores não [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) e não [compactos](#def-b3-spectral-compact), a paisagem de autovalores pode ser qualquer coisa, do vazio a um disco inteiro — a noção que sobrevive é o *espectro*, estudado em um curso posterior. **Solução de Exercício 15.10.** (a) $Sx = \lambda x$: comparando coordenadas, $0 = \lambda x_1$ e $x_n = \lambda x_{n+1}$; se $\lambda \ne 0$, então $x_1 = 0$ e, indutivamente, $x = 0$; se $\lambda = 0$, $Sx = 0$ força $x = 0$ ($S$ isométrico). Nenhum autovalor. $S^*x = \lambda x$ se lê $x_{n+1} = \lambda x_n$: $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, em $\ell^2$ exatamente quando $\abs\lambda < 1$: um disco aberto inteiro de autovalores. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: a imagem da limitada $(e_n)$ não tem subsequência de Cauchy; do mesmo modo, $S^*e_{n+1} = e_n$. Nenhum dos dois é [compacto](#def-b3-spectral-compact). (c) Para [operadores compactos](#def-b3-spectral-compact) [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint), os autovalores capturam tudo ([Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)); abandonando qualquer das hipóteses, os autovalores podem sumir por completo ($S$, Volterra) ou preencher um disco ($S^*$): o objeto robusto é o espectro $\{\lambda : T - \lambda I \text{ não inversível}\}$, cuja teoria pertence a um curso posterior. **Exercício 15.11 ★★.** (Raízes quadradas) Seja $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e positivo ($\langle x, Tx\rangle \geq 0$) em um [espaço de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$, com decomposição espectral $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ($\mu_n > 0$). (a) Defina $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$; mostre que $S$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e positivo, com $S^2 = T$. (b) Demonstre a unicidade: todo $R$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) positivo [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) com $R^2 = T$ preserva os autoespaços de $T$ *($RT = R^3 = TR$: $R$ comuta com $T$, logo $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)* e, em $\ker(T - \mu)$, $R$ é um operador positivo cujo quadrado é $\mu\,\mathrm{id}$ em um espaço de dimensão finita: diagonalize-o ali e conclua $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ em cada autoespaço, logo $R = S$. (c) Calcule $\sqrt G$ para o operador da corda $G$ do [Problema 15.1](#pb-b3-spectral-1): que núcleo tem autovalores $\frac1{n\pi}$ na base de senos? (Exprima $\sqrt G$ como limite em $L^2$ de núcleos; não se exige forma fechada.) **Solução de Exercício 15.11.** (a) $S$ é o operador diagonal de coeficientes $\sqrt{\mu_n} \to 0$: [compacto](#def-b3-spectral-compact) ([Exercício 15.2](#exo-b3-spectral-2)(b), transportado para a base $(e_n)$ completada por $\ker T$, em que $S = 0$), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) (diagonal real), positivo ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$) e $S^2 = T$ termo a termo. (b) $R$ comuta com $T = R^2$; para um autovetor $x$ de $T$ de autovalor $\mu$: $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, de modo que o autoespaço de dimensão finita $E_\mu = \ker(T - \mu)$ é $R$-estável. Em $E_\mu$, $R$ é simétrico positivo com $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$: seus autovalores $\rho$ satisfazem $\rho^2 = \mu$, $\rho \geq 0$: todos iguais a $\sqrt\mu$, e um operador diagonalizável com um único autovalor é escalar: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ em $E_\mu$. Em $\ker T$: $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Logo $R$ coincide com $S$ em $\ker T$ e em todo autoespaço, cujo espaço gerado fechado é $H$ (teorema espectral): $R = S$. (c) $\sqrt G$ age como $\frac1{n\pi}$ em $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$: é o operador de núcleo com $$ k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi}, $$ convergindo a série em $L^2(\intcc01^2)$ (coeficientes $\frac1{n\pi} \in \ell^2$; os núcleos das somas parciais dão as aproximações de posto finito). Nenhuma forma fechada elementar é necessária: o lado espectral *é* o operador. **Exercício 15.12 ★★★.** (Decomposição em valores singulares) Seja $T \in \mathcal L(H)$ *[compacto](#def-b3-spectral-compact)*, não necessariamente [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). (a) Mostre que $T^*T$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e positivo; seja $(e_n)$ uma família ortonormal de autovetores com $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$ (os *valores singulares*), completada por $\ker(T^*T) = \ker T$ (demonstre essa igualdade). (b) Ponha $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$; mostre que $(f_n)$ é ortonormal e estabeleça a *decomposição em valores singulares*: $$ Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H), $$ com convergência em $H$. (c) Deduza: $\vertiii T = \max_ns_n$; $T$ é limite em [norma de operadores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator) de posto finito (redemonstrando a recíproca da [Proposição 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) para [espaços de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner)); e, para o operador de Volterra $V$ do [Exercício 15.7](#exo-b3-spectral-7), que não tem autovalores, explique por que a decomposição em valores singulares ainda assim existe e quais são seus ingredientes (identifique $V^*V$ como um operador de núcleo do tipo corda — calcular seus autovalores explicitamente é o território do [Exercício 15.9](#exo-b3-spectral-9)). **Solução de Exercício 15.12.** (a) $T^*T$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) (produto de um operador limitado por um [compacto](#def-b3-spectral-compact), [Exercício 15.3](#exo-b3-spectral-3)), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) ($(T^*T)^* = T^*T$), positivo ($\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$). Núcleo: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$ e, reciprocamente, $\ker T^*T = \ker T$. O teorema espectral fornece os $(e_n)$ ortonormais com $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$, que geram $(\ker T)^\perp$. (b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$. Expanda $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ com $x_0 \in \ker T$ ([Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) no espaço gerado fechado mais o núcleo); aplicando o [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $T$: $$ Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n, $$ convergindo a série porque suas somas parciais são de Cauchy ($\norm{\sum_{NN}s_n^2\cdot\norm x^2$, e $s_n \to 0$). (c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$, atingido no $e_n$ maximizante: $\vertiii T = \max s_n$. Truncar a DVS no posto $N$ deixa um operador de norma $\sup_{n>N}s_n \to 0$: aproximação de posto finito. O operador de Volterra não tem autovalores ([Exercício 15.7](#exo-b3-spectral-7)), mas $V^*V$ tem: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ é um operador de núcleo simétrico positivo (núcleo $1 - \max(x,y)$, um núcleo de Green do tipo corda), cujos pares próprios — calculados via o problema de valores de contorno $-u'' = \lambda^{-1}u$, $u'(0) = u(1) = 0$, isto é, a família do [Exercício 15.9](#exo-b3-spectral-9) — dão valores singulares $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$. A DVS vive sobre *duas* famílias ortonormais precisamente porque $V$ gira sua geometria própria para longe: sem autovetores e, ainda assim, com estrutura diagonal [perfeita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) entre duas bases diferentes. ## 15.5 Problema: a corda vibrante e $\zeta(2)$ **Problema 15.1.** Problema de fim de semana — o operador de Green, a base de senos e uma fórmula de traço Resolvemos o problema de autovalores da corda vibrante de extremidades fixas — $-u'' = \nu u$, $u(0) = u(1) = 0$ — por teoria de operadores, obtemos a base ortonormal de senos sem nenhum cálculo de Fourier e avaliamos $\zeta(2)$ comparando duas expressões para o *traço* do operador de Green. Defina, em $L^2(\intcc01)$, $$ (Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr). $$ **Parte I — O operador de Green.** 1. Mostre que $g$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e simétrico, com $0 \leq g \leq \frac14$ , e que $G$ é [compacto](#def-b3-spectral-compact) e [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) ( [Exemplo 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (c)). 2. Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), mostre que $u = Gf$ é $\mathcal C^2$ com $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ *(escreva $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ e derive duas vezes)*. Reciprocamente, se $u \in \mathcal C^2$ com $u(0) = u(1) = 0$, então $G(-u'') = u$: $G$ inverte o operador da corda. 3. Mostre que $\ker G = \{0\}$ *(se $Gf = 0$ com $f \in L^2$: teste contra $\varphi$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), transfira $G$ por simetria/Fubini para $\varphi$ e use o lema fundamental [Corolário 12.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#cor-b3-lp-fundlemma) — ou regularize)* , e que $G$ é um operador positivo: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . *(Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ com $u = Gf$, por partes; conclua por [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma).)* **Parte II — Diagonalização: a base de senos.** 4. Mostre que as autofunções de $G$ com autovalor $\lambda \ne 0$ são, a menos de escalares, as soluções de $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ *(uma autofunção tem representante [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — $Gf$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) para $f \in L^2$, por quê? —, logo é $\mathcal C^2$ por bootstrapping da questão 2)* . 5. Resolva o problema de valores de contorno: os autovalores de $G$ são $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), com autofunções normalizadas $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; verifique a ortonormalidade por integração direta, como teste de sanidade. 6. Conclua do [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) e da questão 3 que $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ é uma *base* ortonormal de $L^2(\intcc01)$ — sem Stone–Weierstrass e sem séries de Fourier. Expanda $f(x) = x(1-x)$ nessa base e escreva [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) para ela. **Parte III — A fórmula de traço e $\zeta(2)$.** 7. Demonstre as duas identidades $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{e}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ Para a segunda (a *fórmula de traço*): expanda $g(x, \cdot)$, para $x$ fixado, na base $(e_n)$ — mostre que os coeficientes são $\lambda_ne_n(x)$, de modo que $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ em $L^2$. Aqui os senos são explícitos: verifique diretamente que $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ converge *uniformemente* no quadrado (compare com $\sum \frac2{n^2\pi^2}$), de modo que sua soma é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e, tendo as mesmas expansões $L^2$ em $y$ para cada $x$, é igual a $g(x,y)$ em toda parte. Ponha $y = x$ e integre termo a termo. 8. Calcule $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$ e conclua $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{isto é}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ a soma de Euler a partir de um traço de operador. 9. Redemonstre $\zeta(2)$ de uma terceira maneira: aplique [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) na base de senos à função constante $\mathbf 1$ , calcule $\sum_{n \text{ ímpar}}\frac1{n^2}$ e conclua. Compare então os mecanismos: em que sentido o argumento de traço das questões 7–8 é “ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) aplicado ao núcleo inteiro de uma só vez”? **Parte IV — A corda vibra.** 10. (Separação de variáveis, sintetizada) Para $f \in L^2$, defina $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ Mostre que a série converge em $L^2(\intcc01)$ para cada $t$, que $t\mapsto u(t, \cdot)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com valores em $L^2$, e que, para $f$ no subespaço gerado por um número finito de $e_n$, ela resolve a equação da onda $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ com $u(0) = f$, $\partial_tu(0) = 0$, de extremidades fixas. Os autovalores $n^2\pi^2$ são as frequências ao quadrado: os harmônicos da corda — explique em um parágrafo a interpretação musical do [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral). **Parte V — Dividendos variacionais: o método da potência, a estabilidade de Weyl e uma cota rigorosa para $\pi$.** Seja $A$ um [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) *positivo* de autovalores $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ e autovetores ortonormais $(u_n)$; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$. As fórmulas de mín–máx são o [Exercício 15.8](#exo-b3-spectral-8); aqui as gastamos. 11. (Método da potência) Para $x \neq 0$, escreva $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$. Mostre que $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), deduza a cadeia $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$$ e demonstre que, se $\langle u_1, x\rangle \neq 0$, então $R(A^kx) \to \mu_1$: iterar o operador em um vetor genérico qualquer calcula o autovalor máximo — o método da potência da análise numérica, certificado. 12. (Estabilidade de Weyl) Para $A, B$ [compactos](#def-b3-spectral-compact) [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) positivos, deduza do [Exercício 15.8](#exo-b3-spectral-8) que $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{para todo } n :$$ o espectro inteiro é $1$-lipschitziano na [norma de operador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator) — os autovalores de grandes sistemas simétricos podem ser calculados a partir de aproximações com erro garantido. 13. Aplique a cota de Rayleigh a $G$ com a função de teste $u(x) = x(1-x)$: resolva $-w'' = u$, $w(0) = w(1) = 0$ para obter $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$, calcule $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ e conclua a cota *rigorosa* $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, isto é, $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$. 14. Um passo da cadeia da questão 11, na mesma função de teste: usando $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$, calcule $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$$ e conclua $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$: duas integrais, quatro algarismos corretos. (Cada iteração adicional aproximadamente eleva a precisão ao quadrado: a lacuna entre autovetores $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ comanda a convergência geométrica.) **Parte VI — O traço de $G^2$ e $\zeta(4)$.** 15. Mostre que $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *(expanda $g$ na base produto $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ de $L^2(\intcc01^2)$ — uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb), cf. [Exercício 15.5](#exo-b3-spectral-5) — e aplique [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) no quadrado; a questão 7 identifica os coeficientes)* . 16. Calcule a integral dupla: $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$ 17. Conclua $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; explique, sem cálculo, como os traços de potências superiores $G^k$ produzem $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ para todo $k \geq 1$ , e por que os valores ímpares $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ estão estruturalmente fora do alcance dessa máquina. 18. ($\pi$ por baixo) De $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ deduza $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$, e reúna com a questão 14 o veredito bilateral $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$$ obtido inteiramente da aritmética da corda vibrante. Qual lado converge mais rápido se usarmos traços superiores $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$, e por quê? **Parte VII — Forçamento e ressonância.** Fixe $\nu \in \R$ e considere a corda forçada $-u'' - \nu u = f$, $u(0) = u(1) = 0$, com $f \in L^2$ e $c_n = \langle e_n, f\rangle$. 19. Suponha $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$. Mostre que $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ converge em $L^2$ e uniformemente em $\intcc01$ *(Cauchy–Schwarz entre $(c_n)$ e as caudas de $\sum n^{-4}$, com $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$)*, e que ela satisfaz $u = Gf + \nu Gu$ — a forma em coordenadas explícitas da [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)), com unicidade. 20. Suponha $\nu = m^2\pi^2$ . Mostre que $u = Gf + \nu Gu$ tem solução se, e somente se, $c_m = 0$ , única a menos de somar múltiplos de $e_m$ . Leitura física: empurrar um balanço exatamente em sua própria frequência. 21. Para $\nu < \pi^2$ , mostre que o operador solução $R_\nu\colon f \mapsto u$ é limitado em $L^2$ com norma $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , [compacto](#def-b3-spectral-compact) , [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e positivo: toda a análise espectral recomeça, deslocada de $\nu$ . 22. (Síntese) Compile o dicionário deste problema: autovalor $\leftrightarrow$ frequência ao quadrado (harmônicos); traço $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; norma de Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ ressonância; mín–máx $\leftrightarrow$ cotas variacionais ( $\pi < 3.1437$ a partir de um único polinômio). Um operador integral, cinco capítulos de análise convertidos em dinheiro. **Parte VIII — Três últimos ecos.** 23. ($\zeta(6)$, de graça) A identidade de [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) da questão 6 deu $\sum_{n\text{ ímpar}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. Separe $\zeta(6)$ em $n$ ímpares e pares e conclua $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ sem nenhuma integral nova: a máquina da questão 17 (traços de $G^3$) teria produzido o mesmo valor ao custo de um núcleo iterado — [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) em uma única função bem escolhida é aqui a rota mais barata. 24. (O estado fundamental é positivo) Seja $A$ um [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) positivo em $L^2(\intcc01)$ dado por um núcleo [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) simétrico $k > 0$ em $\intoo01^2$ , com maior autovalor $\mu_1$ . Mostre: (a) todo maximizador do quociente de Rayleigh é uma autofunção de $\mu_1$ ; (b) se $u$ é uma delas, então $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , com desigualdade *estrita* se $u$ assume os dois sinais em conjuntos de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) positiva — de modo que $u$ tem sinal constante q.t.p., e $u = \mu_1^{-1}Au$ nunca se anula em $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ é um autovalor *simples* . Verifique cada afirmação em $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , e cada $e_n$ , $n \geq 2$ , sendo ortogonal a $e_1$ , tem de mudar de sinal (e muda: $n - 1$ zeros [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) ). 25. (Distância ao espectro e o preço da ressonância) Para $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$, mostre que o operador solução $R_\nu$ da questão 19 é limitado, [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) e [compacto](#def-b3-spectral-compact), com $$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ sendo a norma atingida no modo mais próximo. Quantifique então o balanço da questão 20: forçar com $f = e_1$ em $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ produz $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$, uma amplificação por $\frac1\varepsilon$ da resposta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — a um por cento abaixo da fundamental ($\varepsilon = 10^{-2}$), a corda responde cem vezes mais alto. **Solução de Problema 15.1.** **1.** [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $\min$ e $\max$ são [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); simetria: trocar $x, y$ não troca nem $\min(x,y)$ nem $1 - \max(x,y)$. Cotas: $0 \leq g$, e cotas do tipo $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ dão $g \leq \frac14$ (para $u = \max$: $\min \leq u$, de modo que $g \leq u(1-u) \leq \frac14$). $g \in L^2(\square)$: de Hilbert–Schmidt, logo $G$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) ([Exercício 15.4](#exo-b3-spectral-4)); o núcleo é real simétrico: $G$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). **2.** Separando em $y = x$: $$ u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y . $$ Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), derive (produto e teorema fundamental): $$ u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(os termos de bordo se cancelam)}, $$ e $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$; claramente $u(0) = u(1) = 0$. Reciprocamente, se $u \in \mathcal C^2$ se anula nos dois extremos, $w = u - G(-u'')$ satisfaz $w'' = 0$, $w(0) = w(1) = 0$: $w$ é afim e se anula duas vezes, de modo que $w = 0$. **3.** Seja $Gf = 0$, $f \in L^2$. Para $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$: $\psi = G(-\psi'')$ pela questão 2, de modo que $$ \langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0 $$ ($G$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint)): pelo lema fundamental ([Corolário 12.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#cor-b3-lp-fundlemma)), $f = 0$ q.t.p. Positividade: para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), com $u = Gf$, $$ \langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ; $$ para $f \in L^2$, aproxime em $L^2$ por $f_n$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): ambos os membros passam ao limite ($G$ limitado). **4.** Se $Gu = \lambda u$, $\lambda \neq 0$: $Gu$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ($\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$, e o núcleo é uniformemente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)), de modo que $u$ tem um representante [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); então as fórmulas da questão 2 mostram que $Gu \in \mathcal C^2$, de modo que $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ com $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ e $u(0) = u(1) = 0$. **5.** $-\lambda u'' = u$, $u(0) = 0$: $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ (positivo $\lambda$: pela questão 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ nos autovetores). $u(1) = 0$ força $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$: $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$, autofunções $\sin(n\pi x)$, normalizadas $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ($\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$). Verificação de ortogonalidade: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ integra a $0$ para $m \neq n$. **6.** $\ker G = \{0\}$ (questão 3), de modo que o [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) dá $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$: os senos são uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01)$. Para $f(x) = x(1 - x)$: $$ c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ ímpar},\\ 0 & n \text{ par},\end{cases} $$ (duas integrações por partes). [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ ímpar}}\frac{32}{n^6\pi^6}$, isto é, $\sum_{n\text{ ímpar}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. **7.** $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$. Para $x$ fixo, os coeficientes de $g(x, \cdot)$: $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$, de modo que $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ em $L^2$. A série explícita $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ converge normalmente no quadrado ($\abs{\text{termo}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$): sua soma é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e, para cada $x$, ela tem os mesmos coeficientes em $L^2(\dd y)$ que $g(x, \cdot)$: as duas funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) coincidem para todo $(x, y)$. Pondo $y = x$ e integrando (a convergência normal permite a integração termo a termo): $$ \int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n . $$ **8.** $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$, de modo que $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$: $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **9.** Para $f = \mathbf 1$: $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$: $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ para $n$ ímpar, $0$ para par. [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): $1 = \sum_{n\text{ ímpar}}\frac{8}{n^2\pi^2}$, de modo que $\sum_{n\text{ ímpar}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$, e $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (os termos pares são $\frac14\zeta(2)$). Comparação: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) para uma única $f$ soma $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$; a fórmula do traço integra a diagonal do *núcleo*, o que equivale a somar [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sobre uma família ortonormal inteira de uma só vez — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — e é, portanto, cega a qualquer escolha particular de função de teste. **10.** $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ com $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$: para cada $t$ a série converge em $L^2$ (expansão ortonormal, [Teorema 13.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(3)); a cota das caudas $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ é uniforme em $t$, e cada soma parcial é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $t$ (finitos cossenos): $t \mapsto u(t,\cdot)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com valores em $L^2$. Para $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$: cada modo $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ satisfaz $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ aplicado a ele, anula-se em $x = 0, 1$, tem valor $\sin(n\pi x)$ e derivada temporal $0$ em $t = 0$: a soma finita resolve tudo. Musicalmente: o movimento da corda é uma superposição de *ondas estacionárias* $e_n$, cujas frequências $n\pi$ são a fundamental e seus harmônicos; o teorema espectral diz que toda forma inicial se decompõe unicamente nesses tons puros, sendo os coeficientes $c_n$ o timbre. Ouvir uma corda é calcular uma expansão ortonormal. **11.** Com $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$: $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (Cauchy–Schwarz em $\ell^2$). Logo as razões $m_{p+1}/m_p$ são não decrescentes em $p$; como $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$, $\frac{\langle Ax, Ax\rangle} {\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ e $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$, segue a cadeia, cada termo $\leq \mu_1$ porque $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ termo a termo. Convergência: se $a_1 > 0$ (escrevendo o peso total do maior autovalor como $a_1$), então $$ \mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1, $$ por convergência dominada das somas (razões $< 1$): o método da potência converge para todo vetor inicial não ortogonal ao autoespaço dominante. **12.** Pontualmente, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$, de modo que $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ para todo $x$. Alimentando com isso a fórmula max–min do [Exercício 15.8](#exo-b3-spectral-8): $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$ e, simetricamente em $A, B$: $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ para todos os $n$ de uma vez. **13.** $-w'' = x - x^2$ integra a $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (com $w(0) = 0$), e $w(1) = 0$ dá $c = \frac1{12}$: $$ w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu . $$ Então $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$ e, com $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$: $$ \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} . $$ Logo $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, isto é, $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$: $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (valor verdadeiro $\pi^2 = 9.8696$). Um polinômio, uma integral, um dígito. **14.** Escreva $u = x - x^2$, de modo que $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ e, usando $\int u^2 = \frac1{30}$, $\int u^3 = \frac1{140}$, $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$: $$ \norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} . $$ Logo $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$ e, pela questão 11, isso ainda é $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$: $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$, isto é, $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — quatro dígitos (e o próximo iterado daria cerca de oito, contraindo-se o erro por $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ a cada passo). **15.** A família $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ é uma [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01^2)$ (ortonormalidade por Tonelli; totalidade como no [Exercício 15.5](#exo-b3-spectral-5)). Pela questão 7, para $x$ fixo: $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$, de modo que o coeficiente de $g$ em $e_m\otimes e_n$ é $$ \langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} . $$ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) no quadrado: $$ \iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 . $$ **16.** Pela simetria de $g$, $$ \iint g^2 = 2\iint_{y 0$ para todo $n$ (a sequência $n^2\pi^2 \to \infty$ evita $\nu$ com folga), e $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ para $n$ grande. Convergência $L^2$: os coeficientes $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ são somáveis ao quadrado (dominados por $\frac{\abs{c_n}}\delta$). Convergência uniforme: as normas do sup das caudas são limitadas por $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Verificação: $Gf + \nu Gu$ tem coeficiente em $e_n$ $$ \lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} : $$ exatamente os coeficientes de $u$, de modo que $u = Gf + \nu Gu$; unicidade porque uma diferença $v$ de soluções satisfaz $v = \nu Gv$, isto é, $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ para todo $n$: $v = 0$. **20.** Como na questão 19, a equação $u = Gf + \nu Gu$ é equivalente à família de equações nos coeficientes $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$, $n \geq 1$. Para $n = m$ o membro esquerdo é $0$: a [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) força $c_m = 0$, e então $\langle e_m, u\rangle$ fica livre, ao passo que todos os demais coeficientes ficam determinados: as soluções formam a reta $u_0 + \R e_m$. Ressonância: uma forçante com componente no modo próprio bombeia energia nele sem limite — o balanço empurrado em sua própria frequência. **21.** Pela fórmula da questão 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (para $\nu < \pi^2$ o autovalor mais próximo é $\pi^2$), com igualdade aproximada em $f = e_1$: norma do operador $\frac1{\pi^2 - \nu}$. [Compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): $R_\nu$ é o limite em norma de suas truncaturas de posto finito (os coeficientes das caudas $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$); a [autoadjunção](#def-b3-spectral-selfadjoint) e a positividade se leem na forma diagonal (todos os coeficientes $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$). $R_\nu$ tem autovalores $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$: a análise das Partes I–VI recomeça literalmente. **22.** O dicionário: *autovalor* $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ frequência ao quadrado $n^2\pi^2$ do $n$-ésimo harmônico; *traço* $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$; *norma de Hilbert–Schmidt* $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; *[alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ ressonância da corda forçada; *min–max* $\leftrightarrow$ estimativas variacionais, até $\pi < 3.1437$ a partir de um único polinômio. Por trás de cada emparelhamento, o mesmo objeto: um [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint), diagonalizado uma vez e explorado de cinco maneiras. **23.** Separando por paridade e substituindo $n = 2m$ na parte par, $$ \zeta(6) = \sum_{n\text{ ímpar}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64}, $$ de modo que $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ e $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$. O [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) do traço calcularia $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ como $\iint g\,g_2$ com o núcleo iterado $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — três integrações de polinômios definidos por partes; [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) em $x(1-x)$ precisou de apenas uma. **24.** (a) Diagonalize: $v = \sum_na_nu_n$ (mais uma possível componente no núcleo, com a qual $\langle v, Av\rangle$ nada ganha e $\norm v^2$ cresce, de modo que um maximizante não a tem). Então $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$, com igualdade se, e somente se, $a_n = 0$ sempre que $\mu_n < \mu_1$: um maximizante está no autoespaço de $\mu_1$. (b) Para qualquer $u$, $$ \langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0, $$ sendo o integrando pontualmente não negativo. Se $P = \{u > 0\}$ e $N = \{u < 0\}$ têm ambos [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) positiva, então, em $P\times N$, o integrando vale $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ num conjunto de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) positiva: desigualdade estrita. Uma autofunção $u$ de $\mu_1$ maximiza o quociente de Rayleigh, e $\abs u$ tem a mesma norma, de modo que a estritude exibiria $R(\abs u) > \mu_1$ — impossível; logo $u$ tem sinal constante q.t.p., digamos $u \geq 0$. Então $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ para todo $x \in \intoo01$ ($k(x,\cdot) > 0$ e $u \neq 0$). (c) Se o autoespaço tivesse dimensão $\geq 2$, ele conteria duas autofunções *ortogonais* $u, v$, cada uma de sinal constante e sem zeros no [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) por (b); mas então $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — contradição. Na corda: $k = g > 0$ no quadrado aberto, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ é de fato simples, $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ é positiva em $\intoo01$; e cada $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$, $n \geq 2$, ortogonal à positiva $e_1$, deve integrar a zero contra ela, e portanto muda de sinal — como seus $n - 1$ zeros [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) $\frac kn$ confirmam. **25.** Como $n^2\pi^2 \to \infty$, o mínimo $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ é atingido, em algum modo $m$, e $d > 0$ porque $\nu$ evita o espectro. A fórmula diagonal da questão 19 dá $$ \norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2, $$ com igualdade para $f = e_m$: $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$, o recíproco da distância de $\nu$ ao espectro — o princípio geral do resolvente, aqui em coordenadas explícitas. A [autoadjunção](#def-b3-spectral-selfadjoint) se lê nos coeficientes diagonais reais; a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) segue como na questão 21 (os coeficientes tendem a $0$, de modo que as truncaturas de posto finito convergem em norma). Preço da ressonância: para $f = e_1$ e $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$, a fórmula dá $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$, contra a resposta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$: amplificação $\frac1\varepsilon$. Em $\varepsilon = 10^{-2}$ a resposta é $100$ vezes a estática — e ela diverge quando $\varepsilon \to 0$, o que é a alternativa da questão 20 vista do lado limitado: quanto mais próxima a frequência da forçante de uma frequência natural, menos limitada a inversa.