--- title: "Funções holomorfas" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 16 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas --- # Capítulo 16 — Funções holomorfas A derivabilidade complexa parece uma pequena variação da teoria real — um limite, um quociente. É, em vez disso, outro universo. Uma função derivável *uma única vez* em um aberto de $\C$ é automaticamente infinitamente derivável, analítica, determinada em todo um domínio por seus valores perto de um único ponto e restringida por princípios globais rígidos (Liouville, módulo máximo). Tudo isso decorre de um milagre, o teorema de Cauchy: a integral de uma [função holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) ao longo de um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado em um domínio estrelado se anula. Este capítulo demonstra o milagre (argumento de Goursat, sem supor regularidade além da derivabilidade), colhe suas consequências clássicas e liquida um teorema que este livro usa a crédito desde o [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois): todo polinômio complexo não constante tem raiz. Ao longo de todo o capítulo, $\Omega \subseteq \C$ é aberto, e $D(a, r)$ denota o disco aberto. ## 16.1 Derivabilidade complexa **Definição 16.1.** $f \colon \Omega \to \C$ é *holomorfa* em $\Omega$ se, para todo $z_0 \in \Omega$, $$ f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} $$ existe ($h \in \C^*$). Somas, produtos, quocientes (com denominadores não nulos) e composições de funções holomorfas são holomorfos, com as fórmulas usuais (as demonstrações do primeiro e do segundo ano valem literalmente: elas só usam as operações de corpo e limites). $\mathcal H(\Omega)$ denota o conjunto das funções holomorfas em $\Omega$. **Proposição 16.2 (Cauchy–Riemann).** Escreva $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$. Então $f$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $z_0$ se, e somente se, $f$ é $\R$-derivável em $z_0$ (como aplicação de duas variáveis reais) e $$ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{em } z_0 ; $$ equivalentemente, a diferencial real é a multiplicação pelo número complexo $f'(z_0)$. **Demonstração.** A $\C$-derivabilidade diz que $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ com $c = f'(z_0)$: uma diferencial $\R$-linear que é a multiplicação por $c = a + \iu b$, isto é, que tem matriz $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ na base $(1, \iu)$ — exatamente as relações exibidas para as parciais. Reciprocamente, uma tal diferencial é $\C$-linear, e as definições de $o(\abs h)$ coincidem. ∎ **Exemplo 16.3.** Os polinômios em $z$, as funções racionais fora de seus polos e — pelo teorema de derivação termo a termo para séries de potências do segundo ano, cuja demonstração funciona identicamente sobre $\C$ — toda soma de uma série de potências $\sum a_n(z - a)^n$ dentro de seu disco de convergência: [holomorfos](#def-b3-holomorphic-holo), com derivada $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (mesmo raio). Em particular, $\exp z = \sum z^n/n!$ é inteira ([holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\C$) com $\exp' = \exp$. Por outro lado, $z \mapsto \bar z$, $\abs z$ e $\operatorname{Re}z$ não são [holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) em parte alguma (Cauchy–Riemann falha em todo ponto): a [holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) é uma rigidez de preservação de ângulos e de orientação, não uma regularidade. ## 16.2 Integrais de contorno **Definição 16.4.** Um *[caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected)* é uma aplicação $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ de classe $\mathcal C^1$ por partes; ele é *fechado* se $\gamma(a) = \gamma(b)$. Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) na imagem de $\gamma$: $$ \int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma) $$ (a *desigualdade ML*; comprimento $= \int_a^b\abs{\gamma'}$). A integral é invariante por reparametrização $\mathcal C^1$ crescente e muda de sinal na inversão de orientação. **Proposição 16.5 (Primitivas).** Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Omega$, são equivalentes: (i) $f$ tem uma *primitiva* $F \in \mathcal H(\Omega)$ ($F' = f$); (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para todo [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado $\gamma$ em $\Omega$. Nesse caso, $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ para todo [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected). **Demonstração.** (i)$\Rightarrow$: $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (regra da cadeia, válida por partes), de modo que a integral telescopa até a diferença nas extremidades; [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechados dão $0$. (ii)$\Rightarrow$(i): fixe $z_*$ em uma [componente conexa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components) e defina $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ ao longo de um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) qualquer de $z_*$ a $z$ (bem definida: dois [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) diferem por um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado); para $h$ pequeno, tomando o segmento de $z$ a $z + h$, $$ \frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0 $$ pela desigualdade ML e pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f$ em $z$. ∎ **Definição 16.6 (Índice de rotação).** Para um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado $\gamma$ e $z \notin \operatorname{im}\gamma$, o *índice* é $$ \operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} . $$ Ele é um *inteiro*: pondo $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, a função $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ tem derivada nula (por partes), logo é constante; em $t = b$, $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, de modo que $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Como função de $z$, o índice é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergência dominada), logo constante em cada [componente conexa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components), e vale $0$ na componente ilimitada (ML: a integral tende a $0$ quando $z \to \infty$). Para o círculo $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$: $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ para $z \in D(a,r)$ (calcule em $z = a$: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$; a constância faz o resto). ## 16.3 O teorema de Cauchy **Teorema 16.7 (Goursat).** Sejam $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $T \subseteq \Omega$ um triângulo sólido fechado. Então $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (a fronteira percorrida uma vez, em qualquer orientação). **Demonstração.** Seja $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$. Ligando os pontos médios dos lados, $T$ se reparte em quatro triângulos de tamanho metade $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$, e as arestas internas se cancelam aos pares: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$. Escolha entre eles um $T_1$ com $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$, e itere: uma sequência encaixada $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ com $$ \abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T). $$ A interseção $\bigcap T_n$ é um único ponto $z_0$ ([compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) encaixados de diâmetros que tendem a zero, [Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#thm-b3-topology-compactprops)(3)). Derivabilidade em $z_0$: dado $\varepsilon$, para $n$ grande, em $T_n$, $$ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n . $$ A parte afim tem primitiva: sua integral no fechado $\partial T_n$ se anula ([Proposição 16.5](#prop-b3-holomorphic-primitive)), restando $$ \abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) . $$ Comparando com $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$: $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{const}$ para todo $\varepsilon$: $I(T) = 0$. ∎ **Teorema 16.8 (Teorema de Cauchy, versão estrelada).** Seja $\Omega$ *estrelado* em relação a $c$ (todo segmento $[c, z]$, $z \in \Omega$, está em $\Omega$) — por exemplo, convexo. Toda $f \in \mathcal H(\Omega)$ tem primitiva em $\Omega$; consequentemente, $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para *todo* [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado $\gamma$ em $\Omega$. **Demonstração.** Defina $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$. Para $z, z + h \in \Omega$ com $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (o que vale para $h$ pequeno), o triângulo de vértices $c, z, z+h$ está em $\Omega$ (por ser estrelado: cada um de seus pontos está em um segmento $[c, w]$ com $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$): Goursat dá $$ F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w, $$ e o cálculo com quocientes de diferenças da [Proposição 16.5](#prop-b3-holomorphic-primitive) fornece $F' = f$. O anulamento das integrais em [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechados decorre da mesma proposição. ∎ **Teorema 16.9 (Fórmula integral de Cauchy).** Sejam $f \in \mathcal H(\Omega)$, $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ e $C_r$ o círculo $\partial D(a,r)$ percorrido uma vez no sentido anti-horário. Então, para todo $z \in D(a, r)$: $$ f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w . $$ **Demonstração.** Fixe $z$ e defina em $\Omega$ $$ g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases} $$ $g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Omega$ e [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) fora de $z$. Goursat vale para $g$ em todo triângulo $T \subseteq \Omega'$, em que $\Omega'$ é um disco ligeiramente maior do que $\bar D(a,r)$ contido em $\Omega$: se $z \notin T$, diretamente; se $z \in T$, reparta $T$ em pequenos triângulos que têm $z$ por vértice mais triângulos que evitam $z$; em um triângulo de vértice $z$, a cota ML dá $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ à [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) que o triângulo encolhe, e as demais peças se anulam por Goursat — logo $\int_{\partial T}g = 0$ em todos os casos. A demonstração do [Teorema 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy) usou apenas essa propriedade triangular: $g$ tem primitiva no convexo $\Omega'$, de modo que $\int_{C_r}g = 0$, isto é, $$ \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) . $$ ∎ ## 16.4 A analiticidade e sua cascata **Teorema 16.10 (Holomorfa === analítica).** Sejam $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $D(a, R) \subseteq \Omega$. Então $$ f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{em } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R), $$ sendo os coeficientes independentes de $r$. Consequentemente, $f$ é infinitamente $\C$-derivável, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$, e valem as *estimativas de Cauchy*: $$ \abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} . $$ **Demonstração.** Para $\abs{z - a} < r$: expanda o núcleo de Cauchy na série geométrica $$ \frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}}, $$ normalmente convergente em $w$ sobre $C_r$ ($\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$): integre termo a termo contra $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (a convergência uniforme justifica a troca) e aplique o [Teorema 16.9](#thm-b3-holomorphic-formula). Uma série de potências é infinitamente derivável com $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (segundo ano), o que também mostra que os $c_n$ não dependem de $r$. As estimativas: limite a integral do coeficiente por ML. ∎ **Exemplo 16.11 (As singularidades ditam os raios).** Por que a inocente função real $\frac1{1 + x^2}$ tem, em $x = 3$, uma série de Taylor que converge apenas para $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, se nada dá errado sobre a reta real? Porque o teorema acima faz o raio de convergência em $a$ ser igual à distância de $a$ ao ponto mais próximo em que a [holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) falha. Aqui, $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) exatamente em $\C\setminus\{\pm\iu\}$, de modo que a expansão em $a = 3$ converge no maior disco que evita $\pm\iu$, de raio $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — e não pode convergir em um maior, pois a soma estenderia $f$ [holomorficamente](#def-b3-holomorphic-holo) a uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\pm\iu$, onde $\abs f \to \infty$. A teoria real vê o misterioso raio $\sqrt{10}$; o plano complexo vê dois polos. Eis a regra prática: *para achar um raio de convergência, localize as singularidades* — por exemplo, a série de Taylor de $\tan$ em $0$ tem raio $\frac\pi2$ (os zeros mais próximos de $\cos$), e a função geradora de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ ([Problema 16.1](#pb-b3-holomorphic-1), Parte VI) tem raio $2\pi$ (os zeros não nulos mais próximos de $\eu^z - 1$: $\pm2\iu\pi$). **Corolário 16.12 (Liouville; d’Alembert–Gauss).** Uma função inteira limitada é constante. Consequentemente, todo polinômio não constante sobre $\C$ tem raiz: *$\C$ é [algebricamente fechado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-closure)*. **Demonstração.** Se $\abs f \leq M$ em $\C$: para todos $a$ e $r$, $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$: $f' \equiv 0$, e $f$ é constante (no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\C$: derivada nula implica localmente constante — integre ao longo de segmentos). Se $P$ não tivesse raiz, $1/P$ seria inteira e limitada ($\abs{P(z)} \to \infty$ quando $\abs z \to \infty$: o termo líder domina, de modo que $\abs{1/P}$ é pequeno fora de um disco grande, e a função é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no disco [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)): seria constante — absurdo para $P$ não constante. (O problema de fim de semana dá uma segunda demonstração, elementar, e as consequências [algébricas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic).) ∎ **Teorema 16.13 (Os zeros são isolados; teorema da identidade).** Sejam $\Omega$ *[conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)* e $f \in \mathcal H(\Omega)$, $f \not\equiv 0$. Então todo zero $a$ de $f$ tem *ordem* finita: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ com $g \in \mathcal H(\Omega)$, $g(a) \neq 0$, e os zeros de $f$ não têm ponto de acumulação em $\Omega$. Consequentemente, se duas [funções holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega$ coincidem em um conjunto com ponto de acumulação em $\Omega$, elas coincidem em toda parte. **Demonstração.** Seja $Z$ o conjunto dos pontos em que todas as derivadas de $f$ se anulam. $Z$ é fechado (interseção de fechados) e aberto: se todas as $c_n = 0$ se anulam em $a$, a expansão em série de potências faz $f \equiv 0$ em um disco em torno de $a$. [Conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected): $Z = \varnothing$ ou $Z = \Omega$; o segundo caso está excluído por $f \not\equiv 0$. Assim, em um zero $a$, algum coeficiente é não nulo: seja $m$ mínimo com $c_m \neq 0$; então $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ em um disco, e a soma define $g$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) perto de $a$ com $g(a) = c_m \neq 0$; estenda $g = f/(z-a)^m$ fora de $a$ (ali é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo)). Como $g(a) \neq 0$ e $g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $f$ não tem outro zero em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $a$: os zeros são isolados, e um conjunto de pontos isolados não tem ponto de acumulação em $\Omega$ (um ponto de acumulação de zeros é zero — [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — e não seria isolado). Identidade: aplique à diferença, cujo conjunto de zeros tem ponto de acumulação, o que a força no ramo $Z = \Omega$. ∎ **Teorema 16.14 (Valor médio e módulo máximo).** Seja $f \in \mathcal H(\Omega)$. 1. (Valor médio) Para $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ . 2. (Princípio do máximo) Se $\Omega$ é [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) e $\abs f$ atinge um máximo local em algum ponto de $\Omega$ , então $f$ é constante. Consequentemente, para $\Omega$ limitado e $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ . **Demonstração.** (1) é a fórmula de Cauchy no [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions): parametrize $C_r$. (2) Digamos $\abs f \leq \abs{f(a)}$ em $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$. Se $f(a) = 0$, $f \equiv 0$ perto de $a$. Caso contrário, para $0 < r \leq \rho$, o valor médio dá $$ \abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} : $$ o integrando [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e não negativo $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ tem média nula, logo se anula: $\abs f$ é *constante* $= \abs{f(a)} \ne 0$ no disco. Uma [função holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) de módulo constante não nulo em um disco é constante: derivar $P^2 + Q^2 = \text{const}$ dá $PP_x + QQ_x = 0$ e $PP_y + QQ_y = 0$; substituindo as relações de Cauchy–Riemann $P_y = -Q_x$, $Q_y = P_x$ na segunda equação, obtém-se o sistema linear $$ P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0, $$ cujo determinante é $P^2 + Q^2 \neq 0$: $P_x = Q_x = 0$, de modo que $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ no disco: $f$ é ali constante. O teorema da identidade espalha a constância a todo $\Omega$. A forma com fronteira: $\abs f$ atinge seu supremo no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\bar\Omega$; um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) torna $f$ constante, e o supremo é atingido na fronteira em todos os casos. ∎ **Teorema 16.15 (Teorema de convergência de Weierstrass).** Se $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ convergem para $f$ uniformemente em todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\Omega$, então $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), para todo $k$. **Demonstração.** $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Para todo triângulo fechado $T \subseteq \Omega$: $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (convergência uniforme no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\partial T$; Goursat para $f_n$). Pelo argumento do [Teorema 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy), $f$ tem primitivas locais (os discos são convexos; só a propriedade triangular foi usada), isto é, $f = F'$ localmente com $F$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo); $F$ é analítica ([Teorema 16.10](#thm-b3-holomorphic-analytic)), logo $f = F'$ também: é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo). (Esse é o *teorema de Morera*: [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com integrais triangulares nulas implica [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo).) Derivadas: para $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ e $z \in \bar D(a, r)$, a fórmula de Cauchy para as derivadas (derive o [Teorema 16.9](#thm-b3-holomorphic-formula) sob a integral, ou use a fórmula dos coeficientes) dá $$ \abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0 $$ uniformemente em $\bar D(a,r)$; cubra um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) por um número finito de tais discos e itere para $k$ maiores. ∎ ![A fórmula de Cauchy: os valores de uma função holomorfa dentro de um disco são uma média ponderada de seus valores no círculo que o delimita. Tudo o que há de rígido na holomorfia — analiticidade, Liouville, princípio do máximo — desdobra-se dessa única identidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-holomorphic/fig-9bf653c7459a.svg) *A fórmula de Cauchy: os valores de uma [função holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) *dentro* de um disco são uma média ponderada de seus valores no círculo que o delimita. Tudo o que há de rígido na [holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) — analiticidade, Liouville, princípio do máximo — desdobra-se dessa única identidade.* **Método 16.16.** A caixa de ferramentas do dia a dia. Para demonstrar que uma função é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo): exiba-a como série de potências, como composição, como limite localmente uniforme ([Teorema 16.15](#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)) ou como integral com parâmetro [holomorfo](#def-b3-holomorphic-holo) ([Exercício 16.7](#exo-b3-holomorphic-7) — derive sob $\int$ ou aplique Morera–Fubini). Para demonstrar identidades: demonstre-as em um segmento ou subdomínio e invoque o teorema da identidade. Para limitar: [estimativas de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic) no maior círculo disponível. Para demonstrar constância ou inexistência: Liouville ou o princípio do máximo. Saiba sempre *onde* sua função é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) e *quais* discos cabem em $\Omega$. ## 16.5 Exercícios **Exercício 16.1 ★.** (a) Em que pontos $z \mapsto \bar z$, $\abs z^2$, $\operatorname{Re}z$ são complexo-deriváveis? E [holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) em um aberto? (b) Mostre que $P(x, y) = x^2 - y^2$ é a parte real de uma [função holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\C$, encontrada explicitamente, e determine *todas* elas. **Solução de Exercício 16.1.** (a) $\bar z$: $P = x$, $Q = -y$, de modo que $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$: não é $\C$-derivável em ponto algum. $\abs z^2$: $P = x^2 + y^2$, $Q = 0$: Cauchy–Riemann exige $2x = 0 = 2y$: derivável em $0$ apenas — e [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em parte alguma (nenhum aberto). $\operatorname{Re}z$: $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$: em parte alguma. (b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$: $f(z) = z^2$ serve. Todas as soluções: se $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ com $f, g$ [holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\C$, então $h = f - g$ tem $\operatorname{Re}h = 0$; Cauchy–Riemann dá $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$: $h$ é uma constante imaginária. Resposta: $f(z) = z^2 + \iu c$, $c \in \R$. **Exercício 16.2 ★.** Calcule a partir das definições: $\int_{C}z^n\,\dd z$ para todo $n \in \Z$, com $C$ o círculo unitário; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ ao longo do segmento $[0, 1+\iu]$ e ao longo do [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) de dois segmentos que passa por $1$: conclua que $\bar z$ não tem primitiva em nenhuma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) desses [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected). **Solução de Exercício 16.2.** No círculo unitário $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$: $$ \int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases} $$ Para $\bar z$: ao longo de $[0, 1+\iu]$, $\gamma(t) = t(1 + \iu)$: $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$. Ao longo de $0 \to 1 \to 1 + \iu$: $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$. Valores diferentes entre os mesmos extremos: pela [Proposição 16.5](#prop-b3-holomorphic-primitive), $\bar z$ não tem primitiva em aberto algum que contenha os dois [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected). **Exercício 16.3 ★★.** (a) Mostre que o logaritmo principal $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ($\arg \in \intoo{-\pi}\pi$) é [holomorfo](#def-b3-holomorphic-holo) em $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ com derivada $\frac1z$ *(primitiva de $\frac1z$ no plano cortado, que é estrelado: [Teorema 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy); determine a constante)*. (b) Mostre que não existe logaritmo [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\C^*$ *(a obstrução sem derivadas: o [índice](#def-b3-holomorphic-index) do círculo unitário)*. (c) Expanda $\log(1 + z)$ em série de potências em $D(0,1)$. **Solução de Exercício 16.3.** (a) O plano cortado $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ é estrelado em relação a $1$, e $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$: o [Teorema 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy) fornece uma primitiva $L$ com $L(1) = 0$. Então $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$: $z = c\,\eu^{L(z)}$ com $c = 1$ (em $z = 1$). Escrevendo $L = u + \iu v$: $\abs z = \eu^u$ e $z = \abs z\eu^{\iu v}$ com $v$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $v(1) = 0$, $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ($v$ é um argumento [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $z$ no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\Omega$, de modo que sua imagem evita os múltiplos ímpares de $\pi$ — nenhum ponto de $\Omega$ está em $\R_-$ — e, contendo $v(1) = 0$, permanece em $\intoo{-\pi}\pi$: $v$ é o argumento principal): $L = \log$. (b) Se $g$ fosse um logaritmo [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\C^*$: $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ satisfaz $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$, de modo que $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ e, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ para um inteiro fixo $k$. Então $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ e $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$: contradição. (c) Em $D(0,1)$: $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — ambos os membros se anulam em $0$ e têm derivada $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ ([Exemplo 16.3](#ex-b3-holomorphic-examples)); uma primitiva é única a menos de constante no disco [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected). **Exercício 16.4 ★★.** (a) Seja $f$ inteira com $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$. Mostre que $f$ é um polinômio de grau $\leq n$ *([estimativas de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic) em círculos grandes)*. (b) Seja $f$ inteira com $\operatorname{Re}f$ limitada superiormente. Mostre que $f$ é constante *(considere $\eu^{f}$)*. (c) Deduza o “pequeno Picard para aplicações afins”: uma função inteira que omite um semiplano é constante. **Solução de Exercício 16.4.** (a) Expanda em $0$ (raio $\infty$): pelas [estimativas de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic) em $C_r$, $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ quando $r \to \infty$ para $k > n$: $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$. (b) Se $\operatorname{Re}f \leq M$: $g = \eu^f$ é inteira com $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$: constante por Liouville. Então $g' = f'g = 0$ com $g$ não nula: $f' = 0$, e $f$ é constante. (c) Se $f$ omite o semiplano $H$, uma aplicação afim $w \mapsto \alpha w + \beta$ leva $\C\setminus H$ em $\{\operatorname{Re} \leq M\}$; aplique (b) a $\alpha f + \beta$. **Exercício 16.5 ★★.** (a) Seja $f$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em um [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\Omega \ni 0$ com $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ para todo $n$ grande. Determine $f$. (b) Existe alguma $f$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\C^*$ com $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ para todo $n \geq 1$? Justifique. (c) Exiba duas [funções holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) distintas em $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ que coincidem em $D(0,1)$: onde o teorema da identidade usa a [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)? **Solução de Exercício 16.5.** (a) $g(z) = f(z) - z^2$ se anula nos pontos $\frac1n$, que se acumulam em $0 \in \Omega$: pelo teorema da identidade ($\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)), $g \equiv 0$: $f(z) = z^2$. (b) Sim: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\C^*$ (composição) e $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$. Nenhuma contradição com (a): o ponto de acumulação $0$ dos nós de interpolação *não* pertence a $\C^*$, de modo que o teorema da identidade nada diz — duas funções distintas ($z\cos(\pi/z)$ e, digamos, a que vem de outra interpolação) podem partilhar esses valores. (c) $f \equiv 0$ em toda parte, contra $g = 0$ em $D(0,1)$ e $g = 1$ em $D(3,1)$: [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) na união desconexa, iguais em $D(0,1)$, diferentes. O argumento de aberto-fechado do teorema da identidade precisa da [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) para propagar de uma componente à outra — e não pode. **Exercício 16.6 ★★.** Seja $f$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) no disco unitário aberto $\mathbb D$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\bar{\mathbb D}$, com $\abs f \equiv 1$ no círculo de fronteira. (a) Se $f$ não tem zero em $\mathbb D$, mostre que $f$ é constante *(aplique o princípio do máximo a $f$ e a $1/f$)*. (b) Dê um exemplo com um zero em que $f$ não é constante. **Solução de Exercício 16.6.** (a) Pelo princípio do máximo aplicado no domínio limitado: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$. Como $f$ não tem zeros, $1/f$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\mathbb D$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), com módulo $1$ no bordo: do mesmo modo, $\abs{1/f} \leq 1$, isto é, $\abs f \geq 1$. Logo $\abs f \equiv 1$: o módulo atinge um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), e o [Teorema 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(2) força $f$ constante. (b) $f(z) = z$: módulo $1$ no bordo, zero na origem, não constante — o zero é exatamente o que bloqueia o argumento com $1/f$. **Exercício 16.7 ★★.** ([Holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) sob a integral) Sejam $\mu$ uma [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) finita em um espaço $X$ e $g \colon X\times\Omega \to \C$ com: $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ para cada $x$, $g$ [mensurável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) em $x$, e $\abs g \leq h(x)$ com $h$ [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), localmente uniformemente em $z$. Mostre que $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega$. *(Morera: as integrais triangulares se anulam por Fubini e Goursat; a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), por convergência dominada. Aplique em seguida a $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ em $\{\operatorname{Re}z > 0\}$.)* **Solução de Exercício 16.7.** [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $G$: convergência dominada com dominante $h$ (cota localmente uniforme). [Holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) por Morera (estabelecido dentro do [Teorema 16.15](#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)): para um triângulo fechado $T$ num disco em que $\abs g \leq h$, $$ \int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0, $$ a troca por Fubini ($\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$) e a anulação interna por Goursat. Para $\Gamma$: na faixa $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ($0 < a \leq b$), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$, [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) em $\intoo0{+\infty}$: $\Gamma$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (a [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) é apenas $\sigma$-finita, mas o argumento só precisa do dominante [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)). Pelo teorema da identidade, a equação funcional $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$, demonstrada em $\intoo0{+\infty}$ ([Exemplo 10.16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma)), vale em todo o semiplano. **Exercício 16.8 ★★★.** (Gauss–Lucas) Seja $P \in \C[X]$ não constante. Mostre que toda raiz de $P'$ está na envoltória convexa das raízes de $P$. *(Escreva $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ em uma raiz $z$ de $P'$ que não seja raiz de $P$, tome conjugados e leia uma combinação convexa.)* Ilustre em $P = z^3 - 1$. **Solução de Exercício 16.8.** Escreva $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ ([Problema 16.1](#pb-b3-holomorphic-1)). Seja $P'(z) = 0$. Se $P(z) = 0$, então $z$ é um dos $a_k$: está na envoltória. Caso contrário, a derivada logarítmica dá $$ 0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ; $$ conjugando, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ com $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$: $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$, uma combinação convexa das raízes. Para $P = z^3 - 1$: raízes as raízes cúbicas da unidade, $P' = 3z^2$ com raiz dupla $0$ — o baricentro do triângulo equilátero. **Exercício 16.9 ★★★.** Seja $f$ inteira e duplamente periódica: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$. Mostre que $f$ é constante. *(Limite $f$ no quadrado fundamental [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e, depois, em toda parte; Liouville.)* Moral: as funções elípticas não constantes têm de ter polos — o tema do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues). **Solução de Exercício 16.9.** O quadrado unitário fechado $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): $M = \sup_K\abs f < \infty$. Todo $z \in \C$ difere de um ponto de $K$ por um elemento de $\Z + \iu\Z$ (subtraia as partes inteiras), e $f$ é invariante por essas translações (itere as duas relações): $\abs f \leq M$ em $\C$. Liouville: $f$ é constante. Logo, toda função meromorfa duplamente periódica não constante — as funções elípticas da teoria clássica — precisa ter polos. **Exercício 16.10 ★★.** (a) Mostre que $P = \operatorname{Re}f$, para $f$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo), satisfaz a propriedade do valor médio $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ e é *harmônica*: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (derive Cauchy–Riemann; use o [Teorema 16.10](#thm-b3-holomorphic-analytic) para a regularidade necessária). (b) Deduza o princípio do máximo para partes reais de [funções holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) em domínios limitados. **Solução de Exercício 16.10.** (a) Tome as partes reais na fórmula da média ([Teorema 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(1)). Regularidade: $f$ é analítica, de modo que $P, Q \in \mathcal C^\infty$; derivando Cauchy–Riemann: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (simetria de Schwarz das derivadas segundas): $\Delta P = 0$. (b) Se $\operatorname{Re}f$ atingisse um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) num $\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected): $g = \eu^f$ tem $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ atingindo um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), de modo que $g$, e portanto $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$, é constante ([Teorema 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(2)). Num domínio limitado com [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) até o bordo, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$. **Exercício 16.11 ★★★.** (Reflexão de Schwarz) Sejam $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$, $I = \intoo{-1}1$ e $f$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega^+$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Omega^+\cup I$ e *a valores reais em $I$*. Defina $$ F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases} $$ (a) Mostre que $F$ está bem definida e é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ e [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega^\pm$ *(para $\Omega^-$: verifique Cauchy–Riemann para $\overline{f(\bar z)}$, ou expanda $f$ em séries de potências locais e conjugue os coeficientes)*. (b) Mostre que $F$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em todo $\Omega$ pelo critério de Morera: $\int_{\partial T}F = 0$ para todo triângulo $T \subseteq \Omega$ *(reparta os triângulos em $I$ e empurre seus lados horizontais para fora do eixo por $\varepsilon$, usando a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme)*. (c) Deduza: uma [função holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) no disco, real sobre um diâmetro, satisfaz $f(\bar z) = \overline{f(z)}$; e uma [função holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) não constante não pode ser a valores reais em nenhum aberto não vazio de seu domínio ([conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)). **Solução de Exercício 16.11.** (a) As duas fórmulas coincidem em $I$ ($z = \bar z$ e $f$ real ali: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$), e $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Omega^-\cup I$ como composição de [aplicações contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Omega$. [Holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega^-$: perto de $z_0 \in \Omega^-$, expanda $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ perto de $\bar z_0 \in \Omega^+$; então $$ \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n, $$ uma série de potências convergente: [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo). (b) Os triângulos que evitam $I$ são tratados por Goursat em $\Omega^\pm$. Para um triângulo que encontra $I$, corte-o pelo eixo real em, no máximo, três triângulos/quadriláteros, cada um com um lado em $I$; para uma tal peça $P$ contida, digamos, em $\overline{\Omega^+}$, a [integral de contorno](#def-b3-holomorphic-contour) é o limite, quando $\varepsilon \to 0^+$, da integral sobre os transladados do tipo $P + \iu \varepsilon$ (a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme de $F$ na peça compacta faz as integrais de bordo convergirem, sendo o lado em $I$ abordado por cima), e cada transladado está em $\Omega^+$, em que Goursat dá $0$. Somando as peças: $\int_{\partial T}F = 0$. Morera (o critério dentro do [Teorema 16.15](#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)): $F$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega$. (c) No disco, $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) pelo cálculo de (a) e coincide com $f$ no diâmetro, um conjunto com pontos de acumulação: $G = f$ em toda parte (teorema da identidade). Se $f$ fosse real num aberto não vazio $U$: em $U$ as duas derivadas parciais de $Q = \operatorname{Im}f$ se anulam, e Cauchy–Riemann transfere isso para $P = \operatorname{Re}f$ ($P_x = Q_y = 0$, $P_y = -Q_x = 0$), de modo que $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ em $U$: $f$ é constante em $U$, logo em toda parte pelo teorema da identidade ($\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)). **Exercício 16.12 ★★.** (A equação pitagórica complexa) Encontre todos os pares de funções *inteiras* com $f^2 + g^2 = 1$. (a) Mostre que $h = f + \iu g$ é inteira e sem zeros, e que toda função inteira sem zeros é $\eu^{\varphi}$ para alguma $\varphi$ inteira *($h'/h$ é inteira, logo tem primitiva no estrelado $\C$; ajuste a constante e mostre que $h\eu^{-\varphi}$ é constante)*. (b) Conclua $f = \cos\varphi$, $g = \sin\varphi$ com $\varphi$ inteiras, e verifique a recíproca. Quais são as soluções inteiras de $f^2 + g^2 = 0$? **Solução de Exercício 16.12.** (a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$, de modo que $h = f + \iu g$ nunca se anula (seu cofator teria de explodir). Para $h$ inteira sem zeros: $h'/h$ é inteira e $\C$ é estrelado, de modo que ela tem uma primitiva $\varphi_0$ ([Teorema 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy)); então $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$: $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ com $c \neq 0$ e, absorvendo uma constante $\log c$ em $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (qualquer logaritmo complexo de $c$): $h = \eu^{\varphi}$. (b) Com $h = \eu^{\varphi}$ e $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$: $$ f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} . $$ Escrevendo $\varphi = \iu\psi$ com $\psi = -\iu\varphi$ inteiras, isso se lê $f = \cos\psi$, $g = \sin\psi$: as soluções inteiras são exatamente os pares $(\cos\psi, \sin\psi)$ com $\psi$ inteira, e a recíproca é a identidade $\cos^2 + \sin^2 = 1$. Para $f^2 + g^2 = 0$: $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ no domínio de integridade $\mathcal H(\C)$ ($\C$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected): divisores de zero violariam o teorema da identidade): $g = \pm\iu f$ com $f$ inteira arbitrária. ## 16.6 Problema: o teorema fundamental da álgebra, duas vezes **Problema 16.1.** Problema de fim de semana — $\C$ é algebricamente fechado: a demonstração de d’Alembert, a de Liouville e a colheita Sejam $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$, $n \geq 1$. Demonstramos duas vezes que $P$ tem raiz e, em seguida, recolhemos o que a álgebra espera desde o [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois). **Parte I — Coercividade e o mínimo.** 1. Mostre que $\abs{P(z)} \to +\infty$ quando $\abs z \to \infty$ : mais precisamente, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ para $\abs z \geq R_0$ adequado. 2. Deduza que $\abs P$ atinge um mínimo global em $\C$ : existe $z_0$ com $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ *([compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de um disco fechado grande, [Corolário 6.17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#cor-b3-topology-heineborel))* . **Parte II — A descida de d’Alembert.** Suponha, por absurdo, $P(z_0) \neq 0$. 3. Expanda $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ como polinômio em $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ com $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ e $S$ polinômio. 4. Escolha a direção de descida: para $t > 0$ pequeno, ponha $h = t\,\omega$ com $\omega^k = -1/c_k$ (por que existe um tal $\omega$? — *demonstre* a existência de raízes $k$-ésimas de qualquer número complexo pela forma polar, independentemente do teorema em demonstração). Mostre que $$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$$ para $t$ pequeno, com uma constante $C$ explícita. 5. Conclua $\abs{Q(t\omega)} < 1$ para $t$ pequeno — contradizendo a minimalidade de $\abs{P(z_0)}$ . Logo $P(z_0) = 0$ : *todo polinômio complexo não constante tem raiz* (d’Alembert–Argand). **Parte III — A linha única de Liouville, por extenso.** 6. Escreva com cuidado a demonstração do [Corolário 16.12](#cor-b3-holomorphic-liouville) : se $P$ não tem raiz, verifique que $1/P$ é inteira e limitada (quantifique, usando a questão 1), logo constante, e conclua. Compare as duas demonstrações: que ingredientes cada uma usa? (A [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) aparece em ambas — onde?) **Parte IV — A colheita.** 7. Mostre que todo $P \in \C[X]$ de grau $n$ se decompõe: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ com $\sum m_i = n$ *(indução, divisão euclidiana por $(X - \alpha)$)* . 8. Mostre que os polinômios irredutíveis de $\R[X]$ são os de grau um e as quadráticas de discriminante negativo *(pareie raízes conjugadas)* ; deduza que todo polinômio real de grau ímpar tem raiz real e dê uma segunda demonstração desse último fato, de natureza ordinal (teorema do valor intermediário) — verificando que ambas concordam em $X^3 - X - 1$ . 9. Deduza as dívidas que este livro pode enfim pagar: (i) todo endomorfismo de um $\C$ -espaço vetorial não nulo de dimensão finita tem autovalor, de modo que toda matriz complexa tem [forma de Jordan](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#thm-b3-modules-jordan) ( [Teorema 3.18](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#thm-b3-modules-jordan) ); (ii) o corpo $\bar\Q$ dos números [algébricos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) usado na [Observação 4.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#rem-b3-galois-closureexamples) é de fato um [fecho algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-closure) de $\Q$ . 10. (Final) Localize onde cada demonstração se quebraria sobre um corpo como $\Q(\iu)$ : que passos usam a existência de raízes $k$ -ésimas (questão 4) e quais usam [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ou [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (questões 2 e 6)? Conclua em cinco linhas: o teorema é genuinamente *analítico* — toda demonstração invoca em algum ponto a [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ou a [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) de $\R$ — ainda que seu enunciado seja puramente [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) . **Parte V — A escada de rigidez das funções inteiras.** Liouville é o primeiro degrau de uma escada; vamos subi-la. 11. ([Estimativas de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic)) A partir da fórmula de Cauchy no círculo de raio $r$ em torno de $a$, demonstre $$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$$ e recupere Liouville como o caso $n = 1$, $r \to \infty$. 12. (Crescimento polinomial) Mostre que uma $f$ inteira com $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ para todo $z$ é um polinômio de grau $\leq m$ *(mate os coeficientes de Taylor além de $m$ com a questão 11)* . 13. (Parte real limitada) Mostre que uma $f$ inteira com $\operatorname{Re}f$ limitada superiormente é constante *(aplique Liouville a $\eu^{f}$)* . 14. (Dupla periodicidade) Seja $f$ inteira com $f(z + 1) = f(z)$ e $f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Mostre que $f$ é constante. Conclua: uma função “elíptica” não constante tem de ter singularidades — a razão histórica pela qual os polos entram na análise complexa. 15. (Imagem densa) Mostre que a imagem de uma função inteira não constante é densa em $\C$ : se $f(\C)$ não encontra um disco $D(a, r)$ , então $\frac1{f - a}$ é inteira e limitada. (Picard demonstrou que a imagem omite no máximo *um ponto* ; a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) é o nível que nossas ferramentas alcançam.) 16. (Própria $\Rightarrow$ polinômio) Suponha $f$ inteira com $\abs{f(z)} \to \infty$ quando $\abs z \to \infty$ . Mostre: os zeros de $f$ são em número finito ( $z_1, \dots, z_p$ , com multiplicidades $m_i$ ); o quociente $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ é inteiro e sem zeros; $1/g$ tem crescimento polinomial, logo (questão 12) é um polinômio, necessariamente constante (sem zeros); conclua que $f$ é um polinômio. Assim, entre as funções inteiras, os polinômios são exatamente as próprias — $\eu^z$ falha a propriedade ao longo de $\R_-$ . **Parte VI — Sombras harmônicas e um valor médio de Gauss.** 17. Seja $f = u + \iu v$ [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em um aberto. Verifique que $u = \operatorname{Re}f$ satisfaz a propriedade do valor médio $$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$$ (parte real da fórmula de Cauchy) e deduza o princípio do máximo para $u$ em um domínio limitado, com a mesma demonstração por [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) usada para $\abs f$. 18. (Valor médio de Gauss) Para $a \in \C$ e $r > 0$ com $\abs a \neq r$, demonstre $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$$ *(se $\abs a > r$: $z \mapsto \log\abs{a - z}$ é a parte real de um logaritmo [holomorfo](#def-b3-holomorphic-holo) em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) do disco fechado — por que existe um? —, de modo que a questão 17 se aplica; se $\abs a < r$: fatore $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ e reutilize o primeiro caso)*. 19. ([Medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) de Mahler) Para $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$, deduza a *fórmula de Jensen para polinômios*: $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$$ a média geométrica de $\abs P$ no círculo unitário lê as raízes de fora do disco. Verifique em $P = X^2 - X$ e em $P = 2X - 1$. 20. (Números de Bernoulli) Defina os coeficientes $B_n$ por $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ perto de $0$ (por que o membro esquerdo é analítico em $0$ ?). Deduza a recorrência $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) de $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , calcule $B_0, \dots, B_6$ e mostre que $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ *(a função $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ é par)* . Esses números vão precificar todo $\zeta(2k)$ no [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues) . 21. (Realidade) Mostre que uma função inteira que toma valores reais em $\R$ satisfaz $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ em toda parte *(compare os coeficientes de Taylor em $0$, ou aplique o teorema da identidade a $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$)* ; deduza de novo que as raízes não reais de polinômios reais vêm em pares conjugados (o pareamento da questão 8, redemonstrado analiticamente). 22. (A moral) Monte a escada de rigidez: limitada $\Rightarrow$ constante; limitada polinomialmente $\Rightarrow$ polinômio; própria $\Rightarrow$ polinômio; omite um disco $\Rightarrow$ constante; duplamente periódica $\Rightarrow$ constante. Contraste em um parágrafo curto com as funções reais $\mathcal C^\infty$ (funções de corte, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization) ): por que a [holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) , uma condição puramente local, impõe lei e ordem globais? **Parte VII — Última colheita.** 23. (Desigualdade de Landau) Para $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$, demonstre o valor médio $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (ortogonalidade das $\eu^{\iu k\theta}$) e, depois, usando a cota pontual $\log t \leq t - 1$ para comparar as médias de $\log\abs P^2$ e $\abs P^2$, deduza da questão 19 que $$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$$ o produto das raízes fora do disco unitário é controlado pelo tamanho $\ell^2$ dos coeficientes (trate as raízes *sobre* o círculo aplicando a desigualdade a $P(rX)$ e fazendo $r \to 1$). Confira em $X^2 - X$. 24. (Os números de Bernoulli crescem fatorialmente) Mostre que o raio de convergência de $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ é *exatamente* $2\pi$: ao menos $2\pi$ porque $z/(\eu^z - 1)$ se estende [holomorficamente](#def-b3-holomorphic-holo) a $D(0, 2\pi)$, e no máximo $2\pi$ porque, do contrário, a soma permaneceria limitada perto de $2\pi\iu$, onde $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$. Deduza $$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$$ os números de Bernoulli crescem fatorialmente. Admitindo $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (a recorrência da questão 20, levada adiante), compare $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ com a previsão mais fina $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ em $k = 6$ — quatro algarismos coincidentes de uma lei assintótica que o [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues) demonstrará exatamente, via $\zeta(2k)$. 25. (As raízes se movem [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ) Sejam $(P_j)$ mônicos de grau $n$ com coeficientes convergindo aos de um $P$ (mônico). Demonstre a *cota de Cauchy* : toda raiz de um mônico $Q = X^n + \sum_{k m$: $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ quando $r \to \infty$, de modo que $c_k = 0$: $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ é um polinômio de grau no máximo $m$. **13.** $g = \eu^f$ é inteira com $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$: constante pela questão 11. Então $0 = g' = f'g$ com $g$ sem zeros: $f' = 0$ e $f$ é constante. **14.** Seja $M = \sup_K\abs f$ no quadrado unitário fechado [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K$. Todo $z$ difere de um ponto de $K$ por um elemento de $\Z + \iu\Z$ (subtraia as partes inteiras), e iterar as duas relações de periodicidade deixa $f$ inalterada: $\abs f \leq M$ em todo $\C$, e a questão 11 torna $f$ constante. Assim, uma função não constante invariante pelo reticulado não pode ser inteira: as funções elípticas da teoria clássica precisam carregar polos — a porta histórica para o [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues). **15.** Se $f(\C)$ não encontra o disco $D(a, r)$, então $\abs{f(z) - a} \geq r$ para todo $z$, de modo que $g = 1/(f - a)$ é inteira com $\abs g \leq 1/r$: constante por Liouville, logo $f$ constante. Contrapositiva: a imagem de uma função inteira não constante encontra todo disco — ela é densa em $\C$. **16.** Escolha $R$ com $\abs f \geq 1$ fora de $D(0, R)$. Os zeros de $f$ estão no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\bar D(0, R)$; se fossem infinitos, eles se acumulariam ali, e o [Teorema 16.13](#thm-b3-holomorphic-identity) forçaria $f \equiv 0$ — impossível. Chame-os $z_1, \dots, z_p$, com multiplicidades $m_1, \dots, m_p$, ponha $M = \sum m_i$ e $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$. Fatorando cada zero para fora da série de potências, $g = f/\Pi$ é inteira e sem zeros. Para $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$: $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ e $\abs f \geq 1$, de modo que $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$; no disco [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) restante, $1/g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), logo limitada: $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ em toda parte. Pela questão 12, $1/g$ é um polinômio; ele não tem zeros, de modo que, pela questão 7, é uma constante não nula $c$: $f = \frac1c\Pi$ é um polinômio. Reciprocamente, a questão 1 torna próprio todo polinômio não constante. E $\eu^z$ está honestamente excluída: ao longo de $\R_-$, $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$, ao passo que $\abs z \to \infty$. **17.** Parametrize o [Teorema 16.9](#thm-b3-holomorphic-formula) no [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions): com $w = a + r\eu^{\iu\theta}$, $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$, $$ f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ; $$ tomar as partes reais dá a propriedade da média de $u$. Se $u$ atinge um máximo num ponto [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) do [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\Omega$: $\abs{\eu^f} = \eu^u$ atinge um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), de modo que $\eu^f$ é constante pelo [Teorema 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(2), e $u = \log\abs{\eu^f}$ é constante. Num domínio limitado com [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) até o bordo, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$, exatamente como para $\abs f$. **18.** *Caso $\abs a > r$.* Tome $R$ com $r < R < \abs a$: no disco convexo $D(0, R)$ a função $a - z$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) e sem zeros, e $z \mapsto -1/(a - z)$ tem ali uma primitiva $L$ ([Teorema 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy)); após ajustar a constante, $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ dá $\eu^L = a - z$: existe um logaritmo [holomorfo](#def-b3-holomorphic-holo), e $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$. A propriedade da média da questão 17 em $0$, de raio $r$: $$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a . $$ *Caso $\abs a < r$.* De $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$, a média é $\log r$ mais a média de $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$. A substituição $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ e, em seguida — escrevendo $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$, $\rho < 1$, sendo trivial o caso $a = 0$ —, o deslocamento $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (ambos preservam médias sobre um período) transformam isso na média de $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$: o primeiro caso com $(a, r) = (1, \rho)$, que dá $\log 1 = 0$. Total: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ nos dois casos. **19.** $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$, repetida cada raiz conforme sua multiplicidade; fazendo a média em $\theta$ e aplicando a questão 18 com $r = 1$ a cada raiz fora do círculo unitário, obtém-se $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$. Verificações. Para $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ a fórmula prevê $\log 2$; diretamente, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ e a média de $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ é $\log\max(\frac12, 1) = 0$: média $\log 2$. Para $P = X^2 - X = X(X - 1)$ a raiz $1$ está *sobre* o círculo; a fórmula prevê $0$. Diretamente, a média de $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ é $0$ e, com $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$: $$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u . $$ A substituição $u = 2v$ e $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ dão $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (cada metade vale $J/2$ pelas simetrias de $\sin$), de modo que $J = -\pi\log 2$ (as integrais impróprias convergem, sendo $\log\sin$ [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) nos extremos): a média é $\log2 - \log2 = 0$. A fórmula sobrevive a raízes no círculo. **20.** $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ é inteira e vale $1$ em $0$: seu recíproco é [holomorfo](#def-b3-holomorphic-holo) perto de $0$ (em $\abs z < 2\pi$, de fato, sendo os zeros não nulos mais próximos de $\eu^z - 1$ os pontos $\pm2\iu\pi$), de modo que $\frac z{\eu^z-1}$ é analítica em $0$. Multiplicando as duas séries e lendo o coeficiente de $z^n$, $n \geq 1$, em $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$: $$ \sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 . $$ Sucessivamente: $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac12$, $B_2 = \frac16$, $B_3 = 0$, $B_4 = -\frac1{30}$, $B_5 = 0$, $B_6 = \frac1{42}$. Paridade: com $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$, $$ F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) : $$ $F$ é par, de modo que $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (o único coeficiente ímpar $B_1$ foi absorvido por $+\frac z2$). Aviso adiantado: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ dá $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$, de modo que os coeficientes de Laurent da cotangente — e portanto, pelo [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues), todo $\zeta(2k)$ — são precificados por números de Bernoulli: $$ \zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} . $$ **21.** Escreva $f = \sum_nc_nz^n$ (raio $\infty$); então $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ é inteira. Em $\R$: $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$, de modo que $g$ e $f$ coincidem num conjunto com pontos de acumulação no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\C$: o [Teorema 16.13](#thm-b3-holomorphic-identity) dá $g \equiv f$, isto é, $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (equivalentemente: todos os $c_n$ são reais). Para um polinômio real $P$: $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$, e a mesma identidade aplicada às derivadas reais $P', P'', \dots$ preserva multiplicidades: as raízes não reais se emparelham — o emparelhamento da questão 8, redemonstrado analiticamente. **22.** A escada, montada: limitada $\Rightarrow$ constante (11); dominada por $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polinômio (12); parte real limitada superiormente $\Rightarrow$ constante (13); duplamente periódica $\Rightarrow$ constante (14); imagem que perde um disco $\Rightarrow$ constante (15); própria $\Rightarrow$ polinômio (16). Cada degrau é a fórmula de Cauchy: o valor num ponto é uma média sobre um círculo, de modo que todos os coeficientes de Taylor são precificados pelo tamanho de $f$ em círculos grandes, e um teto de crescimento aniquila coeficientes no atacado. Nada disso restringe funções reais $\mathcal C^\infty$: uma função-pico ([Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)) é limitada, de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e selvagemente não constante, e suas derivadas em qualquer ponto fora do suporte se anulam todas sem que a função se anule em [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) alguma. A regularidade não acopla em nada as derivadas em pontos distintos; a [holomorfia](#def-b3-holomorphic-holo) acorrenta cada derivada a uma única integral sobre um círculo distante. Uma condição local com um informante global — eis por que as funções inteiras obedecem à lei e à ordem. **23.** Expandir $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ e tomar a média mata todo termo $k \neq l$: a média é $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$. Suponha primeiro que $P$ não tenha zero no círculo unitário, de modo que $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). A cota $\log t \leq t - 1$ aplicada a $t = \abs P^2/N$ dá, após a média, $$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0, $$ de modo que a média geométrica de $\abs P$ é no máximo $\sqrt N$; a questão 19 identifica essa média geométrica como $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$: a desigualdade de Landau. Raízes no círculo: tome $r > 1$ distinto de todo $\abs{\alpha_i}$; o polinômio $P(rX)$, com raízes $\alpha_i/r$ fora do círculo unitário e coeficientes $a_kr^k$, satisfaz a desigualdade; ambos os membros são [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $r$, e fazer $r \to 1^+$ dá o caso geral. Em $X^2 - X$: raízes $0$ e $1$, de modo que o membro esquerdo é $1$, e o direito é $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$: verdadeiro, com folga. **24.** Escreva $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ com $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ inteira, $g(0) = 1$. Como $\eu^z = 1$ exatamente em $2\pi\iu\Z$, $g$ não tem zero em $D(0, 2\pi)$ (para $0 < \abs z < 2\pi$ porque $\eu^z - 1 \neq 0$, e em $0$ por $g(0) = 1$), de modo que $h = 1/g$ é [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $D(0,2\pi)$ e sua série de Taylor em $0$ — por definição $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — converge em todo o disco: $\rho \geq 2\pi$. Se $\rho > 2\pi$, a soma $S$ seria [holomorfa](#def-b3-holomorphic-holo) em $D(0,\rho)$, e ela coincide com $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ em $0 < \abs z < 2\pi$; ambas são [holomorfas](#def-b3-holomorphic-holo) no aberto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$, de modo que, pelo teorema da identidade, coincidem ali. Mas, quando $z \to 2\pi\iu$, $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (numerador $\to 2\pi$, denominador $\to 0$), ao passo que $S$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $2\pi\iu$: contradição. Logo $\rho = 2\pi$ exatamente, e a fórmula de Hadamard dá $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$; sendo nulos os coeficientes ímpares a partir de $n = 3$, o $\limsup$ é carregado pelos [índices](#def-b3-holomorphic-index) pares, o que é a fórmula enunciada com $n = 2k$. Numericamente em $k = 6$: $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ e $2\cdot12! = 958\,003\,200$, de modo que $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$, contra $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$. A razão, $1.00025$, é exatamente $\zeta(12)$ nos dígitos exibidos: a fórmula do cálculo de resíduos $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues) explica tanto o fator $2$ quanto o minúsculo excesso. **25.** Cota de Cauchy: se $\abs z > 1 + M$ com $M = \max_k\abs{q_k}$, então $$ \Bigl|\sum_{k 0$: todas as raízes estão em $\overline D(0, 1+M)$. Os coeficientes dos $P_j$ convergem, logo são limitados por algum $M$: todas as raízes de todos os $P_j$ (e de $P$) estão no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K = \overline D(0, 1 + M)$. Seja $v_j \in K^n$ um vetor que lista as raízes de $P_j$ com multiplicidade (questão 7). Toda subsequência de $(v_j)$ tem uma subsequência ulterior convergindo para algum $(\beta_1, \dots, \beta_n)$; os coeficientes de $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ são, a menos de sinal, as funções simétricas elementares de $v_j$ — [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) —, de modo que, ao longo dessa subsequência, eles convergem para os coeficientes de $\prod_i(X - \beta_i)$; mas eles convergem para os de $P$ por hipótese, de modo que $\prod_i(X - \beta_i) = P$: todo limite subsequencial de $(v_j)$ é uma permutação do vetor de raízes de $P$. Se a distância de emparelhamento $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ não tendesse a $0$, uma subsequência manteria $\delta_j \geq \varepsilon$ enquanto seus vetores de raízes convergem para uma permutação das raízes de $P$ — forçando $\delta_j \to 0$ ao longo dela: contradição. Logo os multiconjuntos de raízes convergem. Otimalidade: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ tem raízes $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$: a raiz dupla se move de $\sqrt\varepsilon$, por exemplo de $10^{-2}$ para $\varepsilon = 10^{-4}$. Em geral, se $\alpha$ é uma raiz de multiplicidade $m$, então, perto de $\alpha$, tem-se $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$, de modo que uma perturbação de tamanho $\varepsilon$ desloca o agregado de raízes em cerca de $\varepsilon^{1/m}$: [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) hölderiana de expoente $\frac1m$ e nada melhor — é por isso que um resolvedor numérico perto de uma raiz dupla retém apenas metade dos dígitos de trabalho.