--- title: "Séries de Laurent e o teorema dos resíduos" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 17 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos --- # Capítulo 17 — Séries de Laurent e o teorema dos resíduos O que acontece com uma [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) perto de um ponto em que ela *não* está definida? A resposta é uma tricotomia [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — ponto removível, polo ou singularidade essencial — que se lê em uma série de potências de duas pontas, a expansão de Laurent. Um coeficiente dessa expansão, o *[resíduo](#def-b3-residues-singularities)*, controla toda [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) em torno da singularidade: o teorema dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) converte integrais definidas difíceis em álgebra finita, conta zeros de funções (princípio do argumento, Rouché) e demonstra o teorema da aplicação aberta. Antes disso, elevamos o teorema de Cauchy dos domínios estrelados à sua forma definitiva, sem homologia — o elegante argumento de Dixon —, de modo que todos os contornos de índice zero em torno do complementar fiquem disponíveis. ## 17.1 O teorema de Cauchy global Um *ciclo* $\Gamma$ é uma soma formal finita de [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechados $\gamma_1, \dots, \gamma_m$; as integrais e os índices ao longo de $\Gamma$ são as somas correspondentes, e $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$. **Teorema 17.1 (Cauchy, forma global).** Sejam $\Omega \subseteq \C$ aberto, $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $\Gamma$ um ciclo em $\Omega$ tal que $$ \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{para todo } w \notin \Omega . $$ Então, para todo $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$, $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{e}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 . $$ **Demonstração (Dixon).** Defina $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ por $$ g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases} $$ *$g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)*: fora da diagonal, é claro. Perto de um ponto diagonal $(a, a)$, expanda $f$ em série de potências em $a$ ([Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic)): $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$, e dividindo cada termo por $w - z$ (fatoração de $u^n - v^n$) obtém-se, para $z, w \in D(a, r)$, $$ g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j}, $$ válido também na diagonal (cada soma interna vira $n(z-a)^{n-1}$, somando $f'(z)$). Para $r$ pequeno, a série converge uniformemente em $D(a,r)^2$ ($\abs{\text{termo}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$, somável dentro do raio): a soma é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Ponha $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ em $\Omega$: [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme de $g$ nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)) e [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) — por Morera (critério do [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)): para um triângulo $T \subseteq \Omega$, Fubini dá $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$, anulando-se a integral interna porque $z \mapsto g(z, w)$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega$ (em $z = w$ a singularidade é removível: $g$ é ali [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) nos demais pontos — o argumento de extensão da demonstração do [Teorema 16.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-formula)). No aberto $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$, defina $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$: [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega'$ (Morera ou derivação sob a integral). Para $z \in \Omega\cap\Omega'$: $$ h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) . $$ Por hipótese, $\Omega\cup\Omega' = \C$ ($w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$), de modo que $h$ e $h_1$ se colam em uma função inteira $H$. Como a componente ilimitada do complementar de $\operatorname{im}\Gamma$ está em $\Omega'$ e $h_1(z) \to 0$ quando $\abs z \to \infty$ (cota ML), $H$ é limitada e tende a $0$: Liouville ([Corolário 16.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#cor-b3-holomorphic-liouville)) dá $H \equiv 0$. Assim $h \equiv 0$ em $\Omega$, o que é a fórmula integral. Aplicando-a, para $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ fixado, a $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ em $z = a$: $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 . $$ ∎ ## 17.2 Séries de Laurent e singularidades isoladas **Teorema 17.2 (Expansão de Laurent).** Seja $f$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) no anel $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ($0 \leq r < R \leq \infty$). Então $$ f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad\text{em } A, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w $$ para qualquer $r < \rho < R$ (independente de $\rho$), convergindo as duas semisséries normalmente em subanéis [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). A expansão é única. **Demonstração.** Fixe $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ e seja $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ (o externo no sentido anti-horário, o interno no horário): um ciclo em $A$ com $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todo $w \notin A$ (pontos dentro do disco pequeno: $1 - 1 = 0$; fora do grande: $0 - 0$). Pelo [Teorema 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy), $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ dá $$ f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w . $$ Expanda o primeiro núcleo como no [Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic) (potências de $\frac{z - a}{w - a}$, de módulo $< 1$): a parte não negativa $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$. No segundo, expanda ao contrário: $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$, normalmente convergente em $C_{\rho_1}$: a parte negativa $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$, com os coeficientes enunciados (índice $n = -m-1$). Independência de $\rho$: as integrais dos coeficientes em $C_{\rho}$ e em $C_{\rho'}$ diferem por $\int_\Gamma$ sobre um ciclo de índice nulo da [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ em $A$: zero, de novo pelo [Teorema 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy). Unicidade: integre $\sum c_n(z-a)^n$ contra $(z - a)^{-m-1}$ sobre $C_\rho$ termo a termo (convergência normal): só $n = m$ sobrevive. ∎ **Definição 17.3.** Se $f$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em um disco perfurado $D(a, R)\setminus \{a\}$, expanda por Laurent ($r = 0$). Três casos exclusivos: - todos os $c_n = 0$ para $n < 0$ : *[singularidade removível](#thm-b3-residues-riemanncw)* (a série não negativa estende $f$ [holomorficamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) a $a$ ); - $c_n \neq 0$ para um número finito, e ao menos um, de $n < 0$ : um *polo* de ordem $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; equivalentemente, $f = g/(z-a)^m$ com $g$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e $g(a) \neq 0$ ; equivalentemente, $\abs{f(z)} \to \infty$ quando $z\to a$ ; - infinitos $c_n \neq 0$ negativos: *singularidade essencial* . O *resíduo* é $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$. Uma [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega$ menos um conjunto de polos é *meromorfa* em $\Omega$. **Teorema 17.4 (Riemann; Casorati–Weierstrass).** Seja $f$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $D(a,R)\setminus\{a\}$. 1. (Riemann) Se $f$ é *limitada* perto de $a$ , a singularidade é removível. 2. (Casorati–Weierstrass) Se $a$ é essencial, então $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ é denso em $\C$ para todo $\varepsilon$ . **Demonstração.** (1) Para $n < 0$ e $\rho \to 0$: $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ por ML em $C_\rho$: $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ (pois $-n > 0$): todos os coeficientes negativos se anulam. (2) Se algum valor $b$ não fosse aproximado: $\abs{f - b} \geq \delta$ perto de $a$, de modo que $g = 1/(f - b)$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e limitada perto de $a$: removível (1), e $g$ se estende com valor $c$. Se $c \neq 0$, $f = b + 1/g$ é limitada perto de $a$: removível — excluído. Se $c = 0$, $g$ tem um zero de ordem finita $m$ em $a$ ([Teorema 16.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-identity); $g \not\equiv 0$), e $f = b + 1/g$ tem um polo de ordem $m$: excluído de novo. ∎ ## 17.3 O teorema dos resíduos **Teorema 17.5 (Teorema dos resíduos).** Sejam $\Omega$ aberto, $S \subseteq \Omega$ finito, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$ e $\Gamma$ um ciclo em $\Omega\setminus S$ com $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todo $w \notin \Omega$. Então $$ \frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) . $$ **Demonstração.** Para cada $a \in S$, seja $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ a parte principal de $f$ em $a$: uma série que converge em $\C\setminus\{a\}$ (seu raio em $1/(z-a)$ é infinito: a cauda de Laurent converge para todo $\abs{z-a}$ pequeno, logo, sendo série de potências em $(z-a)^{-1}$, converge em toda parte) e é ali [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). Então $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ tem singularidades removíveis em cada ponto de $S$ (sua expansão de Laurent em $a$ não tem parte negativa: as demais $P_{a'}$ são [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $a$), de modo que $g$ se estende [holomorficamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) a $\Omega$, e o [Teorema 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy) dá $\int_\Gamma g = 0$. Resta integrar cada $P_a$: termo a termo (convergência normal no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\operatorname{im}\Gamma$, que evita $a$), $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{primitiva } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a), $$ de modo que $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$. Some sobre $a$. ∎ **Método 17.6 (Calculando resíduos).** Polo simples: $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$; para $f = g/h$ com $g(a) \neq 0$, $h(a) = 0$, $h'(a) \neq 0$: $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$. Polo de ordem $m$: $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$. Singularidades essenciais: expanda e leia $c_{-1}$ (por exemplo, a partir de séries conhecidas). Verifique sempre quais polos o contorno de fato circunda, e com que índice. **Exemplo 17.7 (Os quatro tipos clássicos de integral).** (a) *Racional sobre $\R$*: para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$, feche com um semicírculo grande $S_R$ no semiplano superior: o integrando é ali $O(R^{-4})$, de modo que $\int_{S_R} \to 0$ (ML), e o teorema dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities), com os polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, de [resíduos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ em um polo), dá $$ \int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} . $$ (b) *Tipo Fourier*: para $t \geq 0$, $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — o semicírculo superior funciona porque $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ ali; tomando partes reais: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, o que liquida a fórmula admitida no [Exercício 10.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-10). (c) *Trigonométrica sobre um período*: substitua $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) torna-se uma contagem de [resíduos](#def-b3-residues-singularities) dentro do círculo unitário ([Exercício 17.2](#exo-b3-residues-2)). (d) *Séries*: emparelhe $f$ com $\pi\cot(\pi z)$, cujos polos são os inteiros com [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $1$: o problema de fim de semana soma $\sum n^{-2}$ e $\sum n^{-4}$ por esse [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected). ![O contorno semicircular para ∈t_ℝ x/1 + x4: quando R ∈fty, o arco contribui com O(R-3), e o teorema dos resíduos conta os dois polos englobados (em azul). Os dois polos inferiores (em cinza) ficam de fora: índice 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-residues/fig-5a0f9191769e.svg) *O contorno semicircular para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$: quando $R \to \infty$, o arco contribui com $O(R^{-3})$, e o teorema dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) conta os dois polos englobados (em azul). Os dois polos inferiores (em cinza) ficam de fora: índice $0$.* ## 17.4 O princípio do argumento e o teorema de Rouché **Teorema 17.8 (Princípio do argumento).** Sejam $f$ [meromorfa](#def-b3-residues-singularities) em $\Omega$, com zeros $z_j$ (de ordens $m_j$) e polos $p_k$ (de ordens $\mu_k$), e $\gamma$ um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado em $\Omega$ que os evita todos, com $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ fora de $\Omega$. Então $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k) $$ (apenas um número finito de termos é não nulo). Para um contorno simples percorrido no sentido anti-horário, a integral conta os zeros menos os polos [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), com multiplicidade — e é igual ao índice de rotação do [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) imagem $f\circ\gamma$ em torno de $0$. **Demonstração.** Perto de um zero de ordem $m$: $f = (z-a)^mg$, $g(a) \neq 0$, de modo que $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ com o segundo termo [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) perto de $a$: um polo simples de [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $m$. Perto de um polo de ordem $\mu$: $f = (z-a)^{-\mu}g$ dá [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $-\mu$. Nos demais pontos, $\frac{f'}f$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). (Os zeros e polos de índice não nulo estão em uma região compacta circundada por $\gamma$; pelo teorema da identidade, ali são em número finito, $f \not\equiv 0$.) Aplique o [Teorema 17.5](#thm-b3-residues-residue). A última observação: $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ (substitua $w = f(\gamma(t))$). ∎ **Teorema 17.9 (Rouché).** Sejam $f, g$ [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $\Omega$ e $\gamma$ um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado com $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$, nulo fora de $\Omega$ (um contorno simples). Se $$ \abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \text{em } \operatorname{im}\gamma, $$ então $f$ e $f + g$ têm o mesmo número de zeros (com multiplicidade) na região $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$. **Demonstração.** Para $t \in \intcc01$, $f_t = f + tg$ não tem zero em $\operatorname{im}\gamma$ ($\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$), de modo que $$ N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z $$ está bem definido; ele conta os zeros na região englobada ([Teorema 17.8](#thm-b3-residues-argument); não há polos). $N$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $t$ (o integrando é conjuntamente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e os denominadores são uniformemente limitados por baixo — convergência dominada) e assume valores inteiros: é constante. $N(0) = N(1)$. ∎ **Corolário 17.10 (Teorema da aplicação aberta).** Uma [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) não constante em um aberto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) é uma aplicação aberta. Em particular (de novo), vale o princípio do máximo, e uma bijeção [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) tem inversa [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). **Demonstração.** Seja $f(a) = b$; $f - b$ tem um zero de ordem finita $m \geq 1$ em $a$ (teorema da identidade: $f \not\equiv b$). Escolha $r$ com $f - b$ sem zeros em $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ ([zeros isolados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-identity)) e ponha $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$. Para $\abs{w - b} < \delta$: no círculo, $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$, de modo que Rouché ($f - b$ contra a constante $b - w$) diz que $f - w$ tem exatamente $m$ zeros em $D(a, r)$: todo tal $w$ é atingido — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$: é aberta. Princípio do máximo: um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de $\abs f$ é impossível para $f$ não constante, pois sua imagem em torno de $f(a)$ contém pontos de módulo maior. Inversa: uma bijeção [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $f$ é aberta, de modo que $f^{-1}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); o zero de $f - f(a)$ em $a$ é simples ($m \geq 2$ daria $m$ pré-imagens de valores próximos — distintas, pois $f'$ só se anula em pontos isolados, de modo que perto de $a$ os $m$ zeros de $f - w$ são simples e distintos para $w$ pequeno genérico: contradição com a injetividade); então $f'(a) \neq 0$ e o quociente de diferenças de $f^{-1}$ converge: $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$. ∎ ## 17.5 Exercícios **Exercício 17.1 ★.** Classifique a singularidade em $0$ e calcule o [resíduo](#def-b3-residues-singularities): $$ \frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} . $$ Dê também o [resíduo](#def-b3-residues-singularities) da terceira em $z = 1$ e o da última em $z = \pi$. **Solução de Exercício 17.1.** $\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$: removível, [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $0$. $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$: polo simples, [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $1$. $\frac1{z(z-1)^2}$: polo simples em $0$ com [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{(0-1)^2} = 1$; polo duplo em $1$ com [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$. $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$: polo de ordem $3$, [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $-\frac12$. $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$: essencial, [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $1$. $\frac1{\sin z}$: polos simples em $n\pi$; [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{\cos 0} = 1$ em $0$, $\frac1{\cos\pi} = -1$ em $\pi$ ([Método 17.6](#met-b3-residues-compute), $g/h'$). **Exercício 17.2 ★.** Para $a > 1$, calcule, via $z = \eu^{\iu t}$: $$ \int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} . $$ Confira os comportamentos-limite $a \to 1^+$ e $a \to \infty$. **Solução de Exercício 17.2.** Com $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $$ \int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} . $$ As raízes $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ satisfazem $z_+z_- = 1$ com $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$; o [resíduo](#def-b3-residues-singularities) em $z_+$ é $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$, de modo que a integral vale $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot\frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$. Quando $a \to 1^+$, ela explode (o integrando tem pico em $t = \pi$); quando $a \to \infty$, ela se comporta como $\frac{2\pi}a$, batendo com $\int\frac{\dd t}a$. **Exercício 17.3 ★★.** Calcule com contornos semicirculares, justificando as estimativas nos arcos: $$ \int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(reobtendo \text{Exercício 14.3})}. $$ **Solução de Exercício 17.3.** Primeira integral: polos superiores de $\frac{z^2}{1+z^6}$ em $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$; em cada um, $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$, e $p^3$ assume os valores $\iu, -\iu, \iu$: soma dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) $-\frac{\iu}{6}$. O arco é $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$: $$ \int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 . $$ Segunda: polo duplo em $\iu$ de $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$: $$ \operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 , $$ coerente com o [Exercício 14.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-3)(b). **Exercício 17.4 ★★.** Demonstre, para $t \geq 0$ e $a > 0$: $$ \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, $$ e deduza a transformada de Fourier de $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ por inversão — comparando com o [Exercício 14.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1). **Solução de Exercício 17.4.** Feche $\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ no semiplano superior ($t \geq 0$): ali $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$, de modo que o arco contribui com $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$. O único polo encerrado $\iu a$ é simples, com [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$: $$ \int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{logo}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t} $$ (parte real; par em $t$). Essa é a contrapartida por inversão de $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ ([Exercício 14.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1)): os dois cálculos se confirmam mutuamente através do [Teorema 14.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#thm-b3-fouriertransform-inversion). **Exercício 17.5 ★★.** Expanda $f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ em [série de Laurent](#thm-b3-residues-laurent) em cada uma das três regiões $\abs z < 1$, $1 < \abs z < 2$, $\abs z > 2$. Por que as três expansões diferem? Explique por que o coeficiente de $z^{-1}$ na segunda e na terceira expansões *não* é um [resíduo](#def-b3-residues-singularities) de $f$ em $0$ ($f$ não tem singularidade ali) e calcule os [resíduos](#def-b3-residues-singularities) de fato de $f$, em $1$ e em $2$. **Solução de Exercício 17.5.** Frações parciais: $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$. Em $\abs z < 1$ (Taylor): $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$. Em $1 < \abs z < 2$: $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ e $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$: uma série bilateral genuína. Em $\abs z > 2$: $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$. As três diferem porque as expansões de Laurent estão ligadas a *coroas*, não a pontos: cada região tem suas próprias expansões geométricas. Os coeficientes de $z^{-1}$ ($-1$ e $0$, respectivamente) são integrais sobre círculos que envolvem *as singularidades [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior)*, não [resíduos](#def-b3-residues-singularities) em $0$ ($f$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $0$): para $1 < \abs z < 2$ o coeficiente $-1$ é $\operatorname{Res}(f, 1)$; para $\abs z > 2$ o coeficiente $0$ é $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$. Os [resíduos](#def-b3-residues-singularities) de $f$: $-1$ em $1$ e $+1$ em $2$. **Exercício 17.6 ★★.** (a) Mostre que $\eu^{1/z}$ tem singularidade essencial em $0$ e verifique Casorati–Weierstrass à mão: resolva $\eu^{1/z} = w$ explicitamente para qualquer $w \neq 0$, exibindo soluções arbitrariamente próximas de $0$. (b) Mostre que $\abs{\eu^{1/z}}$ é ilimitada em toda [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) perfurada de $0$ e, ainda assim, $\eu^{1/z}$ não tem polo: que limite falha? **Solução de Exercício 17.6.** (a) A [série de Laurent](#thm-b3-residues-laurent) $\sum_nz^{-n}/n!$ tem infinitos termos negativos: essencial. Resolvendo $\eu^{1/z} = w$ ($w \neq 0$): $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$, de modo que $$ z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 : $$ todo valor não nulo é atingido uma infinidade de vezes perto de $0$ — mais forte que [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma). (b) Ao longo de $z = 1/x$, $x \to +\infty$: $\eu^x \to \infty$; ao longo de $z = \iu/y$: módulo $1$. Um polo exige $\abs{f(z)} \to \infty$ *ao longo de toda aproximação*: aqui o limite simplesmente não existe, nem mesmo em $[0, +\infty]$. **Exercício 17.7 ★★.** Conte com Rouché: (a) os zeros de $z^7 - 4z^3 + z - 1$ em $\abs z < 1$; (b) os zeros de $z^4 + 5z + 1$ em $\abs z < 1$ e em $1 < \abs z < 2$; (c) redemonstre d’Alembert–Gauss: um polinômio mônico de grau $n$ tem $n$ zeros em algum disco grande *(compare com $z^n$)*. **Solução de Exercício 17.7.** (a) Em $\abs z = 1$: $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$. Rouché com $f = -4z^3$, $g = z^7 + z - 1$: três zeros no disco. (b) Em $\abs z = 1$: $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$: um zero em $\abs z < 1$. Em $\abs z = 2$: $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$: quatro zeros em $\abs z < 2$. Logo, três zeros na coroa. (c) Para $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$: em $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$, $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$: $P$ tem exatamente $n$ zeros em $D(0, R)$ — d’Alembert–Gauss com multiplicidade, por pura contagem. **Exercício 17.8 ★★★.** (Hurwitz) Sejam $f_n \to f$ uniformemente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), $f_n \in \mathcal H(\Omega)$, $\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected), $f \not\equiv 0$. (a) Mostre que, se todas as $f_n$ são sem zeros, $f$ também é. *(Se $f(a) = 0$: princípio do argumento em um pequeno círculo em torno de $a$, e o [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) para passar ao limite em $\int f_n'/f_n$.)* (b) Mostre que, se todas as $f_n$ são injetoras, então $f$ é injetora ou constante. *(Aplique (a) a $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ em $\Omega\setminus\{w\}$.)* **Solução de Exercício 17.8.** (a) Suponha $f(a) = 0$, $f \not\equiv 0$: escolha $r$ com $f$ sem zeros no círculo $C = \partial D(a, r)$ ([zeros isolados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-identity)) e $m = \min_C\abs f > 0$. Pelo [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv), $f_n \to f$ e $f_n' \to f'$ uniformemente em $C$; para $n$ grande, $\abs{f_n} \geq m/2$ em $C$, de modo que $$ \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1 $$ (o limite conta o zero $a$; a convergência porque os numeradores convergem uniformemente e os denominadores são uniformemente minorados). O membro esquerdo é um inteiro que conta zeros de $f_n$ no disco: ele tem de ser $\geq 1$ a partir de certa ordem — contradizendo a ausência de zeros. Logo $f$ não tem zeros. (b) Fixe $w \in \Omega$ e aplique (a) no aberto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\Omega\setminus\{w\}$ (remover um ponto de um subconjunto aberto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) de $\C$ preserva a [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)) a $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$, sem zeros ali por injetividade, convergindo para $g = f - f(w)$. Se $f$ não é constante, $g \not\equiv 0$ em $\Omega\setminus\{w\}$, de modo que $g$ não tem zeros ali: $f(z) \neq f(w)$ para todo $z \neq w$. Como $w$ era arbitrário, $f$ é injetora. **Exercício 17.9 ★★★.** Para $n \geq 2$, integre $\frac1{1 + z^n}$ na fronteira do setor $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ e deduza $$ \int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} . $$ Verifique $n = 2$ contra $\arctan$, e o limite $n \to \infty$. **Solução de Exercício 17.9.** O bordo do setor consiste em $[0, R]$, no arco $A_R$ e na semirreta $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$ percorrida ao contrário. Dentro está o único polo $p = \eu^{\iu\pi/n}$ de $\frac1{1+z^n}$, com [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$. Na semirreta de volta, $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ dá $z^n = x^n$ e $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$; o arco é $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$. Logo $$ \bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{logo}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} . $$ $n = 2$: $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$. Quando $n \to \infty$: o valor tende a $1$ e, de fato, o integrando tende a $\mathbf 1_{\intco01}$ (com dominação para o TCD $\min(1, x^{-2})$ para $n \geq 2$). **Exercício 17.10 ★★.** Seja $f$ uma função racional com $\deg(\text{denominador}) \geq \deg(\text{numerador}) + 2$. Mostre que a soma de *todos* os [resíduos](#def-b3-residues-singularities) de $f$ é zero *(integre sobre círculos cada vez maiores)*. Use isso para recalcular a decomposição em frações parciais de $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ sem nenhuma álgebra linear. **Solução de Exercício 17.10.** Em $\abs z = R$ grande, $\abs f \leq C R^{-2}$: $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$. Mas, para $R$ além de todos os polos, o teorema dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) dá $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{todo }p}\operatorname{Res}(f, p)$: a soma total se anula. Para $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$: [resíduos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ em $0$, $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ em $1$, $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ em $2$ — somando $0$, como previsto, e $$ \frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} : $$ os [resíduos](#def-b3-residues-singularities) *são* os coeficientes das frações parciais, e a identidade de soma nula fornece uma verificação de coerência gratuita (ou determina o último coeficiente a partir dos demais). **Exercício 17.11 ★★★.** (O buraco de fechadura: a integral de reflexão de Euler) Para $0 < a < 1$, calcule $$ I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)} $$ integrando $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (logaritmo cortado ao longo de $\R_+$, $\arg z \in \intoo0{2\pi}$) sobre o contorno em buraco de fechadura: para fora ao longo da margem superior do corte, de $\varepsilon$ a $R$, em torno de $C_R$, de volta sob o corte, em torno de $C_\varepsilon$. Justifique: os dois trechos retos diferem pelo fator $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$, as contribuições dos círculos se anulam ($R^{a-1}\cdot R \to 0$ e $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$), e o único polo $z = -1$ tem [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$. Deduza também $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ *(escreva $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ pelo [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1) e substitua $t = \frac{x}{1+x}$)*. **Solução de Exercício 17.11.** No buraco de fechadura, com a determinação escolhida: logo acima do corte, $\log z = \ln x$; logo abaixo, $\log z = \ln x + 2\iu\pi$. As quatro peças dão $$ \Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) . $$ Arcos: $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ em $C_R$, de comprimento $2\pi R$: contribuição $O(R^{a-1}) \to 0$ ($a < 1$); $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ em $C_\varepsilon$, de comprimento $2\pi\varepsilon$: $O(\varepsilon^a) \to 0$ ($a > 0$). [Resíduo](#def-b3-residues-singularities): em $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$, $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$. Logo $$ I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} . $$ Reflexão da gama: $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$; a substituição $t = \frac x{1+x}$, $1 - t = \frac1{1+x}$, $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ a transforma em $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$, e a fórmula de Euler $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1)) dá $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ — em particular, $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ mais uma vez. **Exercício 17.12 ★★.** (Contando zeros com o princípio do argumento, numericamente) Seja $P(z) = z^4 + 8z + 1$. (a) Quantos zeros no disco unitário? *(Rouché contra $8z + 1$.)* (b) Quantos no anel $1 < \abs z < 3$? *(Rouché contra $z^4$ em $\abs z = 3$.)* Refine: mostre que todo zero tem módulo $< 2.1$. (c) Quantos no semiplano direito? *(Conte primeiro em $\abs z = 2$; depois acompanhe a imagem do eixo imaginário: $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ tem parte real positiva em todo ele, de modo que não há zeros no eixo, e a variação do argumento ao longo dele é calculável — conclua com um semidisco grande.)* **Solução de Exercício 17.12.** (a) Em $\abs z = 1$: $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ ($\abs{8z} - 1 = 7$): $P$ tem tantos zeros em $\mathbb D$ quantos $8z + 1$, a saber, *um* (em $-\frac18$). (b) Em $\abs z = 3$: $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$: Rouché contra $z^4$ dá os quatro zeros em $\abs z < 3$, logo $4 - 1 = 3$ zeros na coroa $1 < \abs z < 3$. Refinamento: um zero com $\abs z = r \geq 2.1$ satisfaria $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$, mas $r^4 - 8r - 1$ é crescente para $r \geq 2$ e vale $19.45 - 16.8 - 1 = 1.65 > 0$ em $r = 2.1$: impossível. Logo os três zeros externos estão em $1 < \abs z < 2.1$. (Numericamente: um zero real perto de $-1.95$ e um par conjugado perto de $1.04 \pm 1.73\iu$, de módulo $2.02$ — razão pela qual uma tentativa de Rouché no raio exatamente $2$ tem de falhar: o teorema exige dominação estrita, e os zeros ficam logo do lado de fora.) (c) Sem zeros em $\iu\R$: $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$. Zeros no semiplano direito: use o princípio do argumento no bordo do semidisco $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$. No arco grande, $\arg P \approx \arg z^4$ gira de $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ (o arco abarca o ângulo $\pi$). Ao longo do eixo imaginário, de $\iu R$ até $-\iu R$: $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ permanece no semiplano direito ($\operatorname{Re} > 0$), de modo que $\arg P$ varia dentro de $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ e retorna com variação líquida $\to 0$ quando $R \to \infty$ (extremos ambos $\approx \arg t^4 = 0$). Enrolamento total: $\frac{4\pi + 0} {2\pi} = 2$: *dois* zeros no semiplano direito — coerente com a numérica: o par conjugado $\approx 1.04 \pm 1.73\iu$ tem parte real positiva, e os zeros reais $\approx -0.125$ e $\approx -1.96$, negativa. ## 17.6 Problema: $\zeta(2k)$ pela cotangente **Problema 17.1.** Problema de fim de semana — somando $\sum n^{-2k}$ com [resíduos](#def-b3-residues-singularities) O teorema dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) soma séries: emparelhar uma função racional com $\pi\cot(\pi z)$, cujos polos ficam nos inteiros, transforma $\sum_{n}f(n)$ em uma contagem de [resíduos](#def-b3-residues-singularities). Demonstramos o método e calculamos $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ e $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ — os valores encontrados por séries de Fourier no segundo ano e por traços de operadores no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#ch-b3-spectral), agora por integração de contorno. **Parte I — O núcleo cotangente.** 1. Mostre que $\pi\cot(\pi z)$ é [meromorfa](#def-b3-residues-singularities) em $\C$ , com polos simples exatamente em $z = n \in \Z$ , cada um de [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $1$ *(calcule $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$)* . 2. Calcule o início da expansão de Laurent em $0$: $$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$$ dividindo a série de potências de $\cos$ pela de $\sin$ (justifique a divisão: $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e não nula perto de $0$, de modo que seu inverso é [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo); identifique os coeficientes até a ordem $3$). 3. Seja $C_N$ a fronteira do quadrado de vértices $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ . Mostre que $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ em $C_N$ para todo $N \geq 1$ . *(Nos lados verticais, $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$, de módulo $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$; nos lados horizontais $\abs y = N + \frac12$, limite $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1.1$.)* **Parte II — O teorema de somação.** 4. Seja $f$ racional, [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) nos inteiros, com $\deg(\text{denom}) \geq \deg(\text{numer}) + 2$. Usando o teorema dos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) em $C_N$ e a cota da questão 3, demonstre: $$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{polo de}\ f} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$$ 5. Onde o argumento precisa da condição sobre o grau? Mostre com um exemplo (tome $f(z) = 1/(z + \frac12)$ ) que, para decaimento mais lento, o limite simétrico ainda pode existir enquanto a série de duas pontas diverge — e que a fórmula calcula então o *valor principal* . **Parte III — Os valores.** 6. Aplique o método a $f(z) = 1/z^2$: aqui $f$ tem seu polo *em* um inteiro, de modo que se deve rodar o argumento diretamente — integre $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ sobre $C_N$, mostre que a integral $\to 0$ e calcule $\operatorname{Res}(g, 0)$ a partir da questão 2. Conclua: $$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$$ 7. O mesmo com $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ : calcule $\operatorname{Res}(g, 0)$ e deduza $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ . 8. Explique o padrão geral: para todo $k \geq 1$ , $\zeta(2k)$ é $-\frac12$ vezes o coeficiente de $z^{2k-1}$ na expansão de Laurent de $\pi\cot(\pi z)$ em $0$ — um múltiplo racional de $\pi^{2k}$ . Calcule $\zeta(6)$ levando a divisão da questão 2 um passo adiante. O que o método diz sobre $\zeta(3)$ — e por que ele não diz nada? **Parte IV — A expansão em frações parciais da cotangente.** 9. Fixe $w \in \C\setminus\Z$ e aplique o método da Parte II a $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ — notando que $\pi\cot(\pi z)f(z)$ tem agora polos simples adicionais em $\pm w$, cujos [resíduos](#def-b3-residues-singularities) devem entrar na conta. Deduza a expansão em frações parciais $$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},$$ convergindo a série normalmente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$. 10. Recupere dessa expansão, expandindo cada termo em potências de $w$ (justifique a troca), os *mesmos* coeficientes de Laurent da questão 2 — o círculo se fecha: a fórmula de Euler $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ é o coeficiente de $w$ nas duas faces da cotangente. Compare com a demonstração por séries de Fourier (segundo ano) e com a demonstração por traço ( [Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#pb-b3-spectral-1) ): três teorias, um número. **Parte V — O produto de Euler para o seno.** A expansão da questão 9 é a derivada logarítmica de um produto infinito; demonstramos agora honestamente a fatoração de Euler de 1734. 11. Para $N \geq 1$ , ponha $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ . Mostre que $P_N$ converge, uniformemente em todo disco $\bar D(0, R)$ , para uma função inteira $P$ cujos zeros são exatamente os inteiros, todos simples. *(Para $n \geq 2R$, escreva o fator como $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ com o logaritmo principal do [Exercício 16.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#exo-b3-holomorphic-3), limite $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ para $\abs u \leq \frac12$ pela série e exponencie a soma normalmente convergente de logaritmos; os finitos fatores restantes formam um polinômio. Conclua com o [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv).)* 12. Mostre que, em $\C\setminus\Z$, $$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$$ *(derive os produtos finitos, passe ao limite usando o [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) e a ausência de zeros de $P$ fora de $\Z$, e cite a questão 9)*. 13. Mostre que $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ se estende a uma função inteira sem zeros com $Q' = 0$, e conclua o *produto de Euler*: $$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$$ 14. (Wallis, 1655) Avalie em $z = \frac12$: $$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$$ 15. Para $\abs z < 1$ , expanda o logaritmo do produto como série dupla (justifique o rearranjo) e recupere $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ , comparando o coeficiente de $z^3$ em $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ — a face do produto do número de Euler. **Parte VI — Núcleos irmãos.** A cotangente tem irmãos; cada um precifica sua própria família de séries. 16. Derive termo a termo a expansão da questão 9 (justificado pelo [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)) para obter, normalmente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$, $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$$ 17. Avalie em $z = \frac12$ : $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; recupere $\zeta(2)$ mais uma vez, separando os inteiros por paridade. 18. Verifique a identidade de duplicação $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ e deduza $$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$$ normalmente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) que evitam $\frac12 + \Z$. 19. Expanda em torno de $0$ ($\abs z < \frac12$; Fubini de novo): com $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$, $$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$$ compare com $\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ para recuperar $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ e obter $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$, e confira então $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ via $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$. 20. Verifique $\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ e deduza $$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$$ Confira os sinais contra os [resíduos](#def-b3-residues-singularities) de $\pi/\sin(\pi z)$ nos inteiros. 21. Leia o coeficiente de $z$ : $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ , e confirme a coerência $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ . 22. (Final) Avalie a expansão da questão 20 em $z = \frac12$ e deduza a *fórmula de Leibniz* $$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$$ Encerre com um parágrafo curto: um núcleo por aritmética — que núcleo precifica que família de séries, e por que todos eles são estruturalmente cegos a $\zeta(3)$. **Parte VII — A tabela de preços [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): os números de Bernoulli.** 23. Combine a expansão em frações parciais de $\pi z\cot(\pi z)$ com a função geradora dos números de Bernoulli ($\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!}w^n$, [Problema 16.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#pb-b3-holomorphic-1), Parte VI): a partir de $$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$$ (demonstre primeiro essa identidade), deduza a forma fechada $$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1).$$ 24. Confira a fórmula em $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_6 = \frac1{42}$ : recupere $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ , $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ e calcule $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ . 25. (Recursão de Euler) Expanda os dois lados de $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ — ou eleve ao quadrado diretamente a série da cotangente — para demonstrar $$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2),$$ e verifique que ela calcula $\zeta(4)$ a partir de $\zeta(2)$ e $\zeta(6)$ a partir de $\zeta(2), \zeta(4)$ — todos os valores zeta pares a partir da única semente $\frac{\pi^2}6$, sem nenhuma integração nova. **Solução de Problema 17.1.** **1.** $\sin(\pi z)$ tem zeros simples exatamente em $\Z$ ($\sin\pi z = 0$ se, e somente se, $z \in \Z$, e $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ ali), e $\cos(\pi n) \neq 0$: $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ tem polos simples em $\Z$ com $$ \operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1 $$ (regra $g/h'$, [Método 17.6](#met-b3-residues-compute)). **2.** $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e não nula perto de $0$: seu recíproco é [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ([Definição 16.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo): quociente), com série $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ (identifique: coeficientes ao estilo $(1 - u)^{-1}$ a partir de $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$: o coeficiente de $z^4$ é $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$). Multiplique por $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ e divida por $z$: $$ \pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots $$ ($\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$). **3.** Lados verticais $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$: pela $\pi$-periodicidade de $\cot$, $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$, de módulo $\leq 1$. Lados horizontais $z = x \pm \iu(N + \frac12)$: de $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$, $$ \abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1.1 . $$ Ambas as cotas são $\leq 2$. **4.** Aplique o [Teorema 17.5](#thm-b3-residues-residue) a $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ em $C_N$ ($N$ além de todos os polos de $f$): $$ \frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p), $$ contribuindo os polos inteiros com $f(n)$ (questão 1; $f$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ali). Em $C_N$: $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$, e o perímetro é $8(N + \frac12)$: a integral é $O(1/N) \to 0$. Faça $N \to \infty$: a fórmula de soma em destaque. **5.** O decaimento $\abs f = O(\abs z^{-2})$ matou a [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) *e* fez $\sum\abs{f(n)}$ convergir. Para $f(z) = \frac1{z + \frac12}$: as somas simétricas $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ telescopam para $0$ (os termos $n$ e $-n - 1$ se cancelam), e o membro direito é $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$: coerente — mas $\sum\abs{f(n)}$ diverge; o método calcula apenas o limite simétrico (valor principal). **6.** $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$: polos nos inteiros não nulos com [resíduos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{n^2}$, e em $0$, onde, pela questão 2, $$ g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 . $$ A [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) sobre $C_N$ tende a $0$ como na questão 4 ($\abs{g} = O(N^{-2})$ em $C_N$). Logo $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$: $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. **7.** $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$: [resíduo](#def-b3-residues-singularities) em $0$ igual a $-\frac{\pi^4}{45}$, e $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$: $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$. **8.** Com $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$: o [resíduo](#def-b3-residues-singularities) em $0$ é o coeficiente $a_{2k-1}$ de $z^{2k-1}$ na expansão de $\pi\cot(\pi z)$, e a anulação do contorno dá $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$: $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$, um múltiplo racional de $\pi^{2k}$, já que os coeficientes da cotangente o são. Mais um passo de divisão fornece $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$, donde $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$. Para $\zeta(3)$: o núcleo natural $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ produz $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ por imparidade — o método demonstra $0 = 0$ e é estruturalmente cego aos valores ímpares da zeta (nenhuma forma fechada para $\zeta(3)$ é conhecida; sua irracionalidade, Apéry 1978, exigiu ideias inteiramente diferentes). **9.** $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ tem polos nos inteiros ([resíduos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{n^2 - w^2}$, notando o sinal: $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$) e polos simples em $\pm w$ com [resíduos](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\pi\cot(\pm\pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ cada ($\cot$ é ímpar). O argumento da questão 4 ($\abs f = O(\abs z^{-2})$) dá $$ \sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{isto é}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2}, $$ (o termo $n = 0$ é $-\frac1{w^2}$; reagrupe $\pm n$). Convergência normal nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$: para $\abs w \leq R$ e $n \geq 2R$, $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$. **10.** Para $\abs w \leq r < 1$: $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$, com $\abs{\text{termos}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$, somável em $(n, k)$: Fubini para séries rearranja $$ \pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} . $$ Comparando com a questão 2: $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ e $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — os mesmos valores. Três [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) para $\frac{\pi^2}6$: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) (séries de Fourier), o traço do operador de Green da corda e as duas expansões da cotangente; que uma soma sobre frequências, um traço de operador e uma [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) concordem não é acidente — cada um é uma face da mesma identidade espectral. **11.** Fixe $R \geq 1$ e seja $n_0$ o menor inteiro $\geq 2R$. Para $\abs z \leq R$ e $n \geq n_0$: $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$, de modo que $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$, em que o logaritmo principal é [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), e $$ \Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} : $$ a soma $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ converge normalmente em $\bar D(0, R)$, com somas parciais [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $S_N$ e $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$ uniformemente. Como $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (cota do valor médio no segmento), os produtos das caudas $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ convergem uniformemente em $\bar D(0, R)$ para a função sem zeros $\eu^S$. Multiplicando pelo polinômio fixo $z\prod_{n 0$ ($P$ só se anula em $\Z$), de modo que, a partir de certa ordem, $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ e $P_N'/P_N \to P'/P$ uniformemente em $K$. O membro do meio converge para $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$ pela questão 9: logo $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ em $\C\setminus\Z$. **13.** $\sin(\pi z)$ e $P$ são inteiras com o mesmo conjunto de zeros $\Z$, todos simples (questões 1 e 11). Perto de $m \in \Z$, escreva $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ e $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ com $\sigma, \psi$ [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e não nulas em $m$ (fatore a série de potências): $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ se estende [holomorficamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e sem zeros através de cada inteiro, e é sem zeros em $\C\setminus\Z$ como quociente de funções sem zeros. Ali, $$ \frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 , $$ de modo que a função inteira $Q'$ se anula em $\C\setminus\Z$, logo em toda parte por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $Q$ é constante. Quando $z \to 0$: $\sin(\pi z)/z \to \pi$ e $P(z)/z \to 1$, de modo que $Q = \pi$: $$ \sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) . $$ **14.** Em $z = \frac12$: $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$, de modo que $$ \frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} : $$ o produto de Wallis, um corolário de uma linha da fatoração de Euler. **15.** Para $\abs z \leq r < 1$, todo fator está em $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$, de modo que $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$: cada produto parcial é a exponencial de uma soma parcial, e ambos os membros passam ao limite pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\exp$. A série dupla $$ \sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4) $$ se rearranja por Fubini para séries: $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$. Logo $$ P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) , $$ e a questão 13 compara isso com $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$: $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$, isto é, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. A face aditiva (questão 10) e a face multiplicativa calculam o mesmo número. **16.** Num [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \C\setminus\Z$, as somas parciais $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl( \frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (questão 9, com os termos reagrupados como $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$) convergem uniformemente para $\pi\cot(\pi z)$, de modo que o [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) dá $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ uniformemente em $K$. Como $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$: $$ \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} , $$ sendo a convergência normal nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$ (termos $O(n^{-2})$). **17.** Em $z = \frac12$, o membro esquerdo é $\pi^2$; à direita, $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$, com $2n - 1$ percorrendo todos os inteiros ímpares exatamente uma vez quando $n$ percorre $\Z$: $$ \pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 . $$ Separação por paridade: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$, de modo que $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ e $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ mais uma vez. **18.** Com $c = \cot\theta$ e $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$: $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$. Logo $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$, e a questão 9 em $z$ e em $2z$ dá $$ \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} . $$ Ambas as séries convergem absolutamente em cada $z$ fixo fora dos polos, de modo que a diferença pode ser reagrupada à vontade: na segunda série, os termos pares $n = 2m$ dão $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ e cancelam inteiramente a primeira série, restando $$ \pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} , $$ normalmente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) que evitam $\frac12 + \Z$ (termos $O(m^{-2})$). **19.** Para $\abs z \leq r < \frac12$: $$ \frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k}, $$ com $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$, pois $4r^2 < 1$: Fubini rearranja a soma dupla em $$ \pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} . $$ Contra $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$: o coeficiente de $z$ dá $8\lambda(2) = \pi^2$ — de novo a questão 17 — e o de $z^3$ dá $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$, isto é, $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$. Removendo os denominadores pares, $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$: $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$, batendo com a questão 7. **20.** $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$, sendo o numerador $\sin(\theta - \frac\theta2)$. Com $\theta = \pi z$, a questão 9 em $\frac z2$ se lê $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$, de modo que $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} . $$ A convergência absoluta permite o reagrupamento por paridade: os $n = 2m$ pares na série subtraída contribuem com $\frac{2z}{z^2-4m^2}$, restando $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ da primeira soma, ao passo que os $n$ ímpares sobrevivem com sinal $-$: $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} . $$ Verificação de sinais: $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ ([Método 17.6](#met-b3-residues-compute)), e $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ carrega exatamente esse [resíduo](#def-b3-residues-singularities) em $\pm n$. **21.** Para $\abs z \leq r < 1$, expandindo cada termo como na questão 19 ($(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$) e aplicando Fubini: $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} . $$ Lado de Taylor: $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ dá $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$: $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$, de modo que $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$. Coerência: $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$. **22.** Em $z = \frac12$, a questão 20 dá $$ \pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} . $$ Com $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$, e sendo ambas as séries alternadas convergentes (critério de Leibniz), a soma se reparte como $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$, em que $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ e $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$. Logo $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$: $$ \frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots $$ A moral: cada núcleo é [meromorfo](#def-b3-residues-singularities) com polos numa progressão aritmética e [resíduos](#def-b3-residues-singularities) prescritos. A cotangente põe [resíduo](#def-b3-residues-singularities) $1$ em todo inteiro e soma $f(n)$; sua derivada eleva os polos ao quadrado e precifica $\lambda(2)$; a tangente move os polos para $\frac12 + \Z$ e precifica os denominadores ímpares; $\pi/\sin$ mantém os polos inteiros, mas alterna os [resíduos](#def-b3-residues-singularities) $(-1)^n$, daí as séries alternadas. Os núcleos de primeira ordem são todos funções ímpares: emparelhar $n$ com $-n$ duplica os coeficientes de potência par e aniquila os ímpares, de modo que $\zeta(2k)$ jorra mecanicamente, ao passo que $\zeta(3)$ nunca aparece. A cegueira é de paridade, não falta de técnica. **23.** Com $w = 2\iu\pi z$: $$ \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) . $$ Logo, usando a função geradora em $w = 2\iu\pi z$ (e $B_1 = -\frac12$ cancelando o termo $\iu\pi z$, anulando-se os $B$ ímpares além disso): $$ \pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} . $$ Por outro lado, a expansão em frações parciais (Parte IV) dá $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (expanda cada $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ e some em $n$, justificando a convergência normal a troca para $\abs z < 1$). Comparando coeficientes: $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$, a fórmula enunciada. **24.** $k = 1$: $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot\frac16 = \frac{\pi^2}6$. $k = 2$: $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24} \cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$. $k = 3$: $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720} \cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$. **25.** Escreva $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (questão 23). Derivação direta de $C = \pi z\cot(\pi z)$, usando $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$: $$ zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 . $$ Agora expanda ambos os membros em potências de $z^2$. Membro esquerdo: $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$. Membro direito: elevando a série ao quadrado, $$ C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k}, $$ e o termo $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ apenas ajusta $k = 1$. Comparando os coeficientes de $z^{2k}$ para $k \geq 2$: $$ -4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j), $$ isto é, $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$. (Em $k = 1$ a identidade se lê $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$: uma verificação de coerência, não informação nova.) Aplicações: $k = 2$: $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$, de modo que $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; $k = 3$: $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$, de modo que $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$. Uma semente transcendente ($\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$), e a álgebra pura gera todo valor par da zeta.