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title: "Aplicações conformes e o teorema da aplicação de Riemann"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann
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# Capítulo 18 — Aplicações conformes e o teorema da aplicação de Riemann

Uma bijeção [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) entre dois domínios transporta toda a análise complexa de um para o outro: tais aplicações — *conformes*, porque preservam ângulos — são os isomorfismos do mundo [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). Este capítulo as classifica onde a classificação é possível (o disco, o plano: o lema de Schwarz é a chave, uma desigualdade de poder espantoso), constrói a teoria de [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) das famílias [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (Montel) e demonstra o teorema de existência mais profundo do assunto: *todo* subdomínio próprio [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) de $\C$, por mais recortada que seja sua fronteira, é [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) equivalente ao disco unitário. Encerramos com as [funções harmônicas](#prop-b3-conformal-harmonicholo) e o [núcleo de Poisson](#thm-b3-conformal-poisson), resolvendo o problema de Dirichlet no disco — o dividendo analítico da geometria conforme. Ao longo de todo o capítulo, $\mathbb D = D(0,1)$ e $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z >
0\}$.

## 18.1 Aplicações conformes; transformações de Möbius

**Definição 18.1.**

Uma *aplicação conforme* (ou biholomorfismo) entre abertos é uma bijeção [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo); sua inversa é automaticamente [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ([Corolário 17.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#cor-b3-residues-openmapping)). Dois domínios são *conformemente equivalentes* se existe uma tal aplicação; $\operatorname{Aut}(\Omega)$ denota o grupo das autoaplicações conformes. Onde $f' \neq 0$ — em toda parte, para $f$ injetora (demonstração do [Corolário 17.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#cor-b3-residues-openmapping)) — a diferencial é a multiplicação por $f'(z) \neq 0$: uma semelhança, de modo que as aplicações conformes preservam ângulos entre curvas, inclusive a orientação.

**Exemplo 18.2 (Transformações de Möbius).**

Para $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c &
d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$, a *transformação de Möbius* $z \mapsto
\frac{az + b}{cz + d}$ é conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sobre $\C\setminus\{a/c\}$ (a inversa é do mesmo tipo, vinda da matriz inversa; a composição corresponde ao produto de matrizes). A *aplicação de Cayley*

$$
\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}
$$

leva $\mathbb H$ [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\mathbb D$: com efeito, $\abs{z
- \iu} < \abs{z + \iu}$ exatamente quando $z$ está mais perto de $\iu$ do que de $-\iu$, isto é, $\operatorname{Im}z > 0$; a inversa é $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. As aplicações de Möbius levam a família de círculos e retas nela mesma ([Exercício 18.1](#exo-b3-conformal-1)).

**Exemplo 18.3 (A aplicação de Joukowski).**

Além de Möbius, a [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) mais útil da matemática aplicada clássica é

$$
J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .
$$

No exterior $\Omega = \{\abs z > 1\}$ do disco unitário, $J$ é injetora: $J(z) = J(w)$ dá $(z - w)(1 -
\frac1{zw}) = 0$ e $\abs{zw} > 1$. Sua derivada $J'(z) =
\frac12(1 - z^{-2})$ só se anula em $z = \pm1$, na fronteira: $J$ é uma equivalência conforme de $\Omega$ sobre sua imagem, que é $\C\setminus\intcc{-1}1$ — o próprio círculo unitário é dobrado dois a um sobre o segmento ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Assim, o exterior de um *segmento*, um plano com um corte sem fronteira suave, é [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) o exterior de um disco: os cantos não são obstáculo à equivalência conforme, apenas à regularidade na fronteira. As imagens de círculos que passam por $\pm1$ mas descentrados são curvas em forma de perfil de asa, e compor $J$ com aplicações de Möbius transportou o escoamento em torno de um cilindro — calculável à mão — para o escoamento em torno de uma asa: durante a primeira metade do século XX, este exemplo *era* a aerodinâmica. Ele é também a porta para Chebyshev: $J$ conjuga $z \mapsto z^n$ ao polinômio de Chebyshev $T_n$ ([Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#pb-b3-hilbert-1), Parte V), pois $J(z^n) = \cos(n\theta)$ quando $z = \eu^{\iu\theta}$.

## 18.2 O lema de Schwarz e os grupos de automorfismos

**Teorema 18.4 (Lema de Schwarz).**

Seja $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) com $f(0) = 0$. Então

$$
\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D)
\qquad\text{e}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,
$$

e, se $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ para um $z_0 \neq 0$, ou se $\abs{f'(0)} = 1$, então $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ é uma rotação.

**Demonstração.** $g(z) = f(z)/z$ se estende [holomorficamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) a $\mathbb D$ (a singularidade em $0$ é removível: $g$ é limitada perto de $0$, [Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-riemanncw); seu valor em $0$ é $f'(0)$). Em $\abs z = r < 1$: $\abs g \leq \frac1r$, de modo que, pelo princípio do máximo ([Teorema 16.14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-maximum)), $\abs g \leq \frac1r$ em $\bar D(0,r)$; faça $r \to 1$: $\abs
g \leq 1$ em $\mathbb D$, o que dá as duas desigualdades. A igualdade em um ponto [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) faz $\abs g$ atingir um máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior): $g$ é constante de módulo $1$. ∎

**Teorema 18.5 (Automorfismos do disco).**

Para $a \in \mathbb D$, o *fator de Blaschke*

$$
\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}
$$

é um automorfismo de $\mathbb D$ que troca $a$ e $0$, com $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$. Todo automorfismo de $\mathbb D$ é $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ para $\theta
\in \R/2\pi\Z$, $a \in \mathbb D$ únicos.

**Demonstração.** Em $\abs z = 1$: $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 -
\bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar
a} = \abs{z - a}$, de modo que $\abs{\varphi_a} = 1$ ali; pelo princípio do máximo, $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb
D}$, e o [caráter](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/5-representacoes-de-grupos-finitos#def-b3-representations-character) aberto coloca a imagem em $\mathbb D$. A identidade [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (cálculo direto) mostra a bijetividade. Sejam agora $f \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ e $a = f^{-1}(0)$: $g =
f\circ\varphi_{-a}$ é um automorfismo que fixa $0$. Schwarz aplicado a $g$ e a $g^{-1}$: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ e $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$, de modo que $\abs{g(z)} = \abs z$: uma rotação, $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$, isto é, $f =
\eu^{\iu\theta}\varphi_a$. Unicidade: $a = f^{-1}(0)$ e $\theta$ a partir de uma avaliação do tipo $f'$ (ou de $f(0) =
-\eu^{\iu\theta}a$ e mais um valor). ∎

**Teorema 18.6 (Automorfismos do plano).**

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b
\in \C\}$. Consequentemente, $\C$ e $\mathbb D$ não são [conformemente equivalentes](#def-b3-conformal-conformal).

**Demonstração.** Seja $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ e considere $g(z) =
f(1/z)$ em $\C^*$: uma [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) com [singularidade isolada](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#def-b3-residues-singularities) em $0$. Se ela fosse essencial, Casorati–Weierstrass ([Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-riemanncw)) tornaria $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ denso, ao passo que $f(D(0, 1))$ é aberto e disjunto dele ($f$ é injetora: os dois conjuntos são imagens de conjuntos disjuntos) — impossível para um [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) e um aberto não vazio. Logo $0$ é polo ou removível para $g$, isto é, $\abs{f(z)}$ tem no máximo crescimento polinomial: $f$ é um polinômio ([Exercício 16.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#exo-b3-holomorphic-4)(a)). A injetividade força o grau $1$: um polinômio de grau maior tem, em algum ponto, uma raiz múltipla de $f - c$ ($f'$ se anula) ou várias pré-imagens distintas (d’Alembert–Gauss, [Problema 16.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#pb-b3-holomorphic-1)); de um jeito ou de outro, a injetividade falha. Por fim, uma [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) $\C \to
\mathbb D$ seria uma função inteira limitada: constante (Liouville) — não há equivalência. ∎

## 18.3 O teorema de Montel

**Teorema 18.7 (Montel).**

Seja $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ *localmente limitada*: todo ponto tem uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) sobre a qual $\sup_{f\in
\mathcal F}\sup\abs f < \infty$. Então toda sequência de $\mathcal F$ tem uma subsequência que converge uniformemente em todos os [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\Omega$ (para um limite [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo)).

**Demonstração.** [Equicontinuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-equicontinuous) local: se $\abs f \leq M$ em $D(a, 2r)
\subseteq \Omega$ para todo $f \in \mathcal F$, a fórmula de Cauchy dá, para $z, z' \in D(a, r)$,

$$
\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi}
\Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr|
\leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2}
= \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :
$$

uma cota lipschitziana uniforme. Exaura $\Omega$ por [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K_m$; cada $K_m$ é coberto por um número finito de tais discos, de modo que $\mathcal F$ é uniformemente limitada e [equicontínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-equicontinuous) em $K_m$: Arzelà–Ascoli ([Teorema 7.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-ascoli)) extrai uma subsequência que converge uniformemente em $K_m$; diagonalize em $m$. O limite é [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) pelo [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv). ∎

## 18.4 O teorema da aplicação de Riemann

**Definição 18.8.**

Um aberto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $\Omega \subseteq \C$ é *simplesmente conexo* (no sentido homológico, suficiente para todos os nossos propósitos) se $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ para todo ciclo $\gamma$ em $\Omega$ e todo $w \notin \Omega$ — “nenhum ciclo de $\Omega$ contorna um buraco”. Pelo teorema de Cauchy global ([Teorema 17.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-globalcauchy)) e pela [Proposição 16.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#prop-b3-holomorphic-primitive), em um tal $\Omega$ *toda [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) tem primitiva*; logo, toda $f \in \mathcal H(\Omega)$ sem zeros tem logaritmo [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ($\exp\circ$ (primitiva de $f'/f$), ajustada por uma constante, pois $(f\eu^{-L})' = 0$) e raízes $n$-ésimas [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\eu^{L/n}$.

**Teorema 18.9 (Teorema da aplicação de Riemann).**

Todo aberto [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\Omega \subsetneq \C$, com $\Omega
\neq \varnothing$, é [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) equivalente a $\mathbb D$; dado $z_0 \in \Omega$, existe uma única [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) $f \colon
\Omega \to \mathbb D$ com $f(z_0) = 0$ e $f'(z_0) >
0$.

**Demonstração.** *Etapa 0: a família é não vazia.* Tome $b \notin \Omega$: $z - b$ é sem zeros em $\Omega$, de modo que tem raiz quadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $h$ ($h^2 = z - b$). $h$ é injetora ($h(z) =
h(z')$ elevado ao quadrado dá $z = z'$), e se $w \in h(\Omega)$, então $-w
\notin h(\Omega)$ ($h(z) = -h(z')$ também elevado ao quadrado dá $z = z'$, o que dá $w = -w = 0$, impossível pois $h$ é sem zeros). Como $h(\Omega)$ é aberto, ele contém um disco $D(h(z_0), \rho)$; então $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$, isto é, $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ para todo $z \in \Omega$. Logo

$$
g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}
$$

é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), injetora (uma aplicação de Möbius composta com a injetora $h$), com $\abs g \leq \frac12 < 1$. Compondo com um [fator de Blaschke](#thm-b3-conformal-autdisc) ([Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc)) para levar $g(z_0)$ a $0$, a família

$$
\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{
holomorphic, injective, } f(z_0) = 0\}
$$

é não vazia.

*Etapa 1: um elemento extremal.* Seja $s =
\sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ($> 0$: seus membros são injetores, de modo que $f'(z_0) \neq 0$). Tome $f_n \in
\mathcal F$ com $\abs{f_n'(z_0)} \to s$: a família é limitada por $1$, de modo que Montel ([Teorema 18.7](#thm-b3-conformal-montel)) extrai $f_n \to f$ uniformemente nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact); $f$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), $f(z_0) = 0$, $\abs{f'(z_0)} = s$ ([Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) para as derivadas) e, em particular, $f$ não é constante; $f$ é injetora por Hurwitz ([Exercício 17.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#exo-b3-residues-8)(b)), e $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$, logo $\subseteq
\mathbb D$ (aplicação aberta). Assim $f \in \mathcal F$ atinge o supremo: $s < \infty$.

*Etapa 2: a aplicação extremal é sobrejetora.* Suponha $a \in
\mathbb D\setminus f(\Omega)$. O transporte de Blaschke $\varphi_a\circ f$ é sem zeros no [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\Omega$: ele tem raiz quadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $F$ (com $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$, pois $\abs F^2 =
\abs{\varphi_a\circ f} < 1$), injetora (os quadrados distinguem). Normalize: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in
\mathcal F$. Desfazendo: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ
\varphi_{-F(z_0)}\circ G$, em que $s_2(w) = w^2$; a aplicação $\Psi
= \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D
\to \mathbb D$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) com $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ e *não* é uma rotação (não é injetora: $s_2$ não é). Lema de Schwarz (caso estrito): $\abs{\Psi'(0)} < 1$, e a regra da cadeia $f = \Psi\circ G$ dá $\abs{f'(z_0)} =
\abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — contradizendo a maximalidade (note $G \in \mathcal F$). Logo $f$ é sobrejetora: uma equivalência conforme.

*Etapa 3: normalização e unicidade.* Multiplique $f$ por $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ para que $f'(z_0) > 0$ (isso permanece em $\mathcal F$). Se $f_1, f_2$ servem ambas, $\psi =
f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ fixa $0$ com $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$; pelo [Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc), $\psi$ é uma rotação $\eu^{\iu\theta}$ com $\eu^{\iu\theta} > 0$: $\psi =
\mathrm{id}$. ∎

**Observação 18.10.**

O teorema é um enunciado de existência pura, de alcance espantoso: um quadrado, um semiplano, o complementar de um corte, a região entre dois círculos tangentes, um domínio de fronteira fractal — todos [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) idênticos a $\mathbb D$. O que ele não dá: fórmula alguma (as aplicações explícitas são a exceção: [Exercício 18.5](#exo-b3-conformal-5)), comportamento na fronteira (uma teoria mais profunda — o teorema de Carathéodory — cuida disso) nem unicidade de extensão a $\C$ ou domínios multiplamente [conexos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected): o anel $\{1 < \abs z < 2\}$ *não* é [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) um disco perfurado, e anéis com razões de raios diferentes são inequivalentes (um fato genuinamente mais difícil).

## 18.5 Funções harmônicas e o núcleo de Poisson

**Proposição 18.11.**

Sejam $\Omega$ [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) e $u \colon \Omega \to \R$ harmônica ($\mathcal C^2$ com $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$). Então $u =
\operatorname{Re}F$ para uma $F$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), única a menos de constante imaginária. Consequentemente, $u$ é $\mathcal C^\infty$, satisfaz a propriedade do valor médio e obedece ao princípio do máximo (sem extremo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) estrito, salvo se for constante).

**Demonstração.** $g = u_x - \iu u_y$ satisfaz as [equações de Cauchy–Riemann](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann) ($P = u_x$, $Q = -u_y$: $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ e $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$) com parciais [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $g$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ([Proposição 16.2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann); a $\R$-derivabilidade decorre de $\mathcal C^1$). Seja $F_0$ uma primitiva ([conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) simples, [Definição 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)); então $\operatorname{Re}F_0$ tem gradiente $(u_x, u_y)$ ($F_0' = g$ se desdobra exatamente nisso via Cauchy–Riemann para $F_0$), de modo que $u - \operatorname{Re}F_0$ é constante ($\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)): ajuste $F = F_0 + c$. As propriedades se transferem do [Teorema 16.14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-maximum) e do [Exercício 16.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#exo-b3-holomorphic-10) (para o princípio do máximo aplicado à própria $u$, use $\eu^{F}$ como lá). ∎

**Teorema 18.12 (Fórmula de Poisson; problema de Dirichlet no disco).**

Para $0 \leq r < 1$, defina o *núcleo de Poisson*

$$
P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta}
= \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .
$$

Seja $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e ponha, para $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$,

$$
u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .
$$

Então $u$ é harmônica em $\mathbb D$ e se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a $\bar{\mathbb D}$ com valores de fronteira $g$: é a única [função harmônica](#prop-b3-conformal-harmonicholo) com essa propriedade.

**Demonstração.** *Identidades do núcleo*: somando duas séries geométricas,

$$
\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta}
= \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 -
r\eu^{\iu\theta}}
= \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},
$$

que é o quociente exibido; a positividade é clara, e $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (só $n = 0$ sobrevive).

*Harmonicidade*: com $z = r\eu^{\iu\varphi}$,

$$
u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
\frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\,
g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],
$$

(o núcleo entre colchetes tem parte real $P_r(\varphi - t)$: calcule), e o colchete é [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $z$ em $\mathbb D$ ([Exercício 16.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#exo-b3-holomorphic-7)): $u$ é a parte real de uma [função holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), logo é harmônica.

*Valores de fronteira*: $P_r(\cdot)$ é uma [aproximação da identidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#def-b3-lp-mollifier) quando $r \to 1^-$: massa $1$ e, para $\delta \leq
\abs\theta \leq \pi$, $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 -
2r\cos\delta + r^2} \to 0$ uniformemente. A separação padrão ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $g$ perto de $\eu^{\iu\varphi_0}$, limitação nos demais pontos) dá $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to
g(\eu^{\iu\varphi_0})$ quando $r\eu^{\iu\varphi} \to
\eu^{\iu\varphi_0}$, uniformemente no ponto de fronteira: a extensão é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). *Unicidade*: a diferença de duas soluções é harmônica em $\mathbb D$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) e nula na fronteira: pelo princípio do máximo (aplicado a $\pm$ a diferença), ela se anula. ∎

![As curvas de nível de Rez2 = x2 - y2 (hipérboles vermelhas) e de Imz2 = 2xy (hipérboles azuis) se cruzam em ângulos retos longe de 0: uma aplicação conforme (z z2, com z ≠ 0) preserva a ortogonalidade das linhas coordenadas. Em z = 0, onde a derivada se anula, os ângulos são, em vez disso, dobrados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-conformal/fig-519b9b0ea3e1.svg)

*As curvas de nível de $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (hipérboles vermelhas) e de $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (hipérboles azuis) se cruzam em ângulos retos longe de $0$: uma [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) ($z \mapsto z^2$, com $z \neq 0$) preserva a ortogonalidade das linhas coordenadas. Em $z = 0$, onde a derivada se anula, os ângulos são, em vez disso, dobrados.*

## 18.6 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

(a) Verifique que a [aplicação de Cayley](#ex-b3-conformal-mobius) $\varphi(z) = \frac{z -
\iu}{z + \iu}$ é uma bijeção $\mathbb H \to \mathbb D$ com a inversa indicada, e calcule as imagens de $\iu$, $0$, $1$, $\infty$ (limite). (b) Mostre que $z \mapsto 1/z$ leva círculos e retas em círculos e retas. *(Escreva sua equação comum $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$, $\alpha, \gamma \in \R$.)* Deduza o mesmo para todas as aplicações de Möbius.

**Solução de Exercício 18.1.**

(a) $\varphi$ e $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ compõem-se na identidade nas duas ordens (cálculo direto); $\varphi$ leva $\mathbb H$ em $\mathbb D$, e $\psi$ de volta ([Exemplo 18.2](#ex-b3-conformal-mobius)). Valores: $\varphi(\iu) = 0$, $\varphi(0) = -1$, $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} =
-\iu$, e $\varphi(z) \to 1$ quando $z \to \infty$.

(b) Círculos e retas são os conjuntos solução de $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ($\alpha, \gamma \in \R$, $\beta \in \C$, $\abs\beta^2 >
\alpha\gamma$): $\alpha \neq 0$ círculos, $\alpha = 0$ retas. Substituindo $z = 1/w$ e multiplicando por $\abs w^2$: $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — a mesma família. As aplicações afins claramente preservam a família, e toda aplicação de Möbius é uma composição de aplicações afins com uma inversão ($\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc -
ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ para $c \neq 0$).

**Exercício 18.2 ★.**

Seja $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). (a) Se $f(0) = 0$ e $f(a) = a$ para algum $a \neq 0$, mostre que $f
= \mathrm{id}$. (b) Se $f$ é um automorfismo com dois pontos fixos distintos em $\mathbb D$, mostre que $f = \mathrm{id}$ *(conjugue por um [fator de Blaschke](#thm-b3-conformal-autdisc) para reduzir a (a))*.

**Solução de Exercício 18.2.**

(a) Schwarz dá $\abs{f(a)} \leq \abs a$ com igualdade (ambos os membros $= \abs a$): o caso de igualdade força $f(z) =
\eu^{\iu\theta}z$, e $f(a) = a$ fixa $\eu^{\iu\theta} = 1$.

(b) Sejam $a \neq b$ pontos fixos e $g =
\varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — usando o [Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc) para $\varphi_{\pm a}$. Então $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ e $g(c) = c$ para $c =
\varphi_a(b) \neq 0$: por (a), $g = \mathrm{id}$, de modo que $f =
\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$.

**Exercício 18.3 ★★.**

(Schwarz–Pick) Para $f\colon \mathbb D \to
\mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), demonstre

$$
\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\;
\frac{1}{1 - \abs z^2}
\qquad (z \in \mathbb D),
$$

com igualdade (em um ponto e, portanto, em toda parte) se, e somente se, $f \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$. *(Aplique Schwarz a $\varphi_{f(z)}\circ
f\circ\varphi_{-z}$.)* Interpretação: as autoaplicações [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) contraem a métrica hiperbólica.

**Solução de Exercício 18.3.**

Fixe $z$ e ponha $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$: [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\mathbb D \to \mathbb D$ com $g(0) = 0$, de modo que $\abs{g'(0)} \leq 1$ (Schwarz). Regra da cadeia com $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar
a\zeta)^2}$:

$$
g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot
\varphi_{-z}'(0)
= \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),
$$

donde a desigualdade de Schwarz–Pick. A igualdade em algum $z$ torna $g$ uma rotação, logo $f =
\varphi_{-f(z)}\circ(\text{rotação})\circ\varphi_z \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — e então a igualdade vale em toda parte (calcule, ou reaplique com os papéis de $f, f^{-1}$ trocados). As autoaplicações [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) do disco são $1$-lipschitzianas para a métrica hiperbólica $\frac{2\abs{\dd
z}}{1 - \abs z^2}$; os automorfismos são suas isometrias.

**Exercício 18.4 ★★.**

Encontre equivalências conformes explícitas: (a) a faixa $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$; (b) o quadrante $\{\operatorname{Re}z > 0,
\operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$; (c) o semidisco $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ para um quadrante e, depois, $\to \mathbb H$; (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ levando $\frac12$ em $0$ com derivada positiva ali.

**Solução de Exercício 18.4.**

(a) $z \mapsto \eu^z$: leva $\{0 < \operatorname{Im}z <
\pi\}$ bijetivamente sobre $\mathbb H$ ($\eu^{x+\iu y} =
\eu^x\eu^{\iu y}$: [módulo livre](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free), argumento $y \in
\intoo0\pi$), [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) com derivada não nula e inversa [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ($\log$ principal). (b) $z \mapsto z^2$ duplica argumentos: o quadrante aberto $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ é levado [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\mathbb
H$ (inversa: raiz quadrada principal). (c) $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ leva $\mathbb D$ sobre o semiplano direito e preserva a simetria superior/inferior: ela leva o semidisco superior sobre o primeiro quadrante; depois eleve ao quadrado, por (b), para alcançar $\mathbb H$: $z \mapsto \bigl(\frac{1
+ z}{1 - z}\bigr)^2$. (d) O [fator de Blaschke](#thm-b3-conformal-autdisc) $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z -
\frac12}{1 - \frac z2}$: $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ e $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 -
\frac14)^2} = \frac43 > 0$.

**Exercício 18.5 ★★.**

(a) Mostre que não existe [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) $\C \to \mathbb D$ nem $\C \to
\mathbb H$, e nenhuma $\mathbb D \to \C$. (b) Quais dos seguintes são [conformemente equivalentes](#def-b3-conformal-conformal) a $\mathbb D$? Justifique via o [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) ou por uma obstrução: um quadrado; $\C\setminus\intoc{-\infty}0$; $\mathbb D\setminus\{0\}$; $\{1 < \abs z < 2\}$. *(Para os dois últimos: uma imagem conforme do disco perfurado se estenderia sobre a perfuração pelo [Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-riemanncw)(1) — desenvolva isso.)*

**Solução de Exercício 18.5.**

(a) Uma $\C \to \mathbb D$ conforme (ou $\mathbb H$, após compor com Cayley) é uma função inteira limitada: constante por Liouville — não bijetora. Uma $\mathbb
D \to \C$ conforme teria inversa conforme $\C \to \mathbb D$: a mesma contradição.

(b) O quadrado é convexo, logo [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected), e próprio: [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) $\mathbb D$ ([Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt)). O plano cortado $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ é estrelado em relação a $1$ (os segmentos a partir de $1$ evitam o corte), logo [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected), e próprio: [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) $\mathbb D$. O disco perfurado: se $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ fosse conforme, $g$ é limitada, de modo que $0$ é removível ([Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-riemanncw)): $g$ se estende a $\tilde g
\colon \mathbb D \to \mathbb D$, e $\tilde g(0)$, estando na imagem aberta $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$, também é $g(w)$ para algum $w \neq 0$; duas [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) disjuntas de $0$ e $w$ têm imagens abertas que partilham o valor $\tilde g(0)$, logo partilham *outros* valores também ([conjuntos abertos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology)): $g$ assume algum valor duas vezes em $\mathbb D\setminus\{0\}$ — contradizendo a injetividade. A coroa $A = \{1 < \abs z < 2\}$: suponha $F \colon \mathbb D
\to A$ conforme. $F$ não tem zeros no [simplesmente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\mathbb D$, de modo que $F = \eu^L$ para $L$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ([Definição 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)). Seja $\sigma$ o círculo $\abs z = \frac32$ em $A$ e $\gamma =
F^{-1}\circ\sigma$, um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) fechado em $\mathbb D$; então

$$
1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0)
= \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w}
= \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F}
= \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0
$$

($L'$ tem primitiva): contradição. Nem o disco perfurado nem a coroa é um disco disfarçado.

**Exercício 18.6 ★★.**

Seja $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\
\operatorname{Re}f > 0\}$. (a) Mostre que $\mathcal F$ é localmente limitada. *(Componha com a aplicação do tipo Cayley $w \mapsto \frac{w -
1}{w + 1}$ que leva o semiplano direito em $\mathbb D$ e aplique Schwarz.)* (b) Deduza a *cota de Herglotz*: $\abs{f(z)} \leq
\frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ para $f \in \mathcal F$, com as possibilidades de igualdade.

**Solução de Exercício 18.6.**

(a) $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ leva $\{\operatorname{Re}w >
0\}$ [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\mathbb D$ (Cayley rotacionada: $\abs{w -
1} < \abs{w + 1}$ se, e somente se, $\operatorname{Re}w > 0$), com $T(1) =
0$. Para $f \in \mathcal F$, $g = T\circ f\colon \mathbb D \to
\mathbb D$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) com $g(0) = 0$: Schwarz dá $\abs{g(z)} \leq \abs z$.

(b) Invertendo $T$: $f = \frac{1 + g}{1 - g}$, de modo que

$$
\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}}
\leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :
$$

localmente limitada (uniformemente em $\abs z \leq r < 1$). A igualdade em $z_0 \neq 0$ força $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ e o alinhamento: $g$ uma rotação, isto é, $f(z) = \frac{1 +
\eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — as *extremais de Herglotz*, [aplicações conformes](#def-b3-conformal-conformal) sobre o semiplano direito.

**Exercício 18.7 ★★★.**

Onde a demonstração do [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) usa cada hipótese? Acompanhe: (i) a [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) simples (duas vezes); (ii) $\Omega \neq \C$; (iii) a [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected). Mostre então que o teorema *falha* para $\Omega = \C$ e para o anel, apontando que passo da demonstração se quebra em cada caso.

**Solução de Exercício 18.7.**

(i) A [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) simples entra exatamente duas vezes, através da existência de raízes quadradas [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) de funções sem zeros ([Definição 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)): no Passo 0 (a raiz de $z - b$) e no Passo 2 (a raiz de $\varphi_a\circ f$). (ii) $\Omega \neq \C$ fornece o ponto $b$ do Passo 0 — sem ele, a família $\mathcal F$ é vazia de aplicações injetoras limitadas (Liouville). (iii) A [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) é usada sempre que o teorema da identidade ou Hurwitz ([Exercício 17.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#exo-b3-residues-8)) fala: o limite extremal é “injetor ou constante”, e a constância é excluída por $s > 0$; também em “derivada nula implica constante”. Falha para $\C$: o Passo 0 é impossível, e a conclusão é falsa ([Exercício 18.5](#exo-b3-conformal-5)(a)). Falha para a coroa: não é [simplesmente conexa](#def-b3-conformal-simplyconnected) — a construção da raiz quadrada se quebra (por exemplo, o próprio $z$, sem zeros em $A$, não tem raiz quadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo): o mesmo cálculo de índice do [Exercício 18.5](#exo-b3-conformal-5)(b) com $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$) — e a conclusão também é falsa.

**Exercício 18.8 ★★.**

Resolva o problema de Dirichlet em $\mathbb D$ para os dados de fronteira: (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$; (b) $g(\eu^{\iu t}) =
\cos^2 t$; (c) $g = \mathbf 1_{\text{semicírculo superior}}$ — para (c), calcule $u(0)$ e interprete pela propriedade do valor médio. *(Expanda $g$ em série de Fourier e use a série de $P_r$: $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g)
r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$.)*

**Solução de Exercício 18.8.**

Substituindo a expansão de Fourier de $g$ na integral de Poisson e usando $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t =
r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (leia na série de $P_r$): $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs
n}\eu^{\iu n\varphi}$, justificando a convergência normal a troca ($\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$, $r < 1$).

(a) $g = \cos t$: $c_{\pm1} = \frac12$, de modo que $u =
r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — de fato harmônica com os valores de bordo corretos.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$: $u = \frac12 +
\frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 +
\frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 -
y^2}{2}$.

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (semicírculo superior): $c_0 =
\frac12$ e $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ para $n \neq
0$, de modo que

$$
u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0}
\frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1},
\qquad u(0) = \frac12 :
$$

o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) vê exatamente a média do dado de bordo — a propriedade da média em pessoa.

**Exercício 18.9 ★★★.**

(Harnack) Seja $u \geq 0$ harmônica em $\mathbb D$. Demonstre, para $\abs z = r < 1$:

$$
\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\;
\frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)
$$

*(limite o [núcleo de Poisson](#thm-b3-conformal-poisson) entre $\frac{1-r}{1+r}$ e $\frac{1+r}{1-r}$; aplique a [representação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/5-representacoes-de-grupos-finitos#def-b3-representations-rep) em discos ligeiramente menores e passe ao limite)*. Deduza: uma [função harmônica](#prop-b3-conformal-harmonicholo) em $\C$ limitada inferiormente é constante.

**Solução de Exercício 18.9.**

De $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$:

$$
\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta)
\leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .
$$

Para $u \geq 0$ harmônica em $\mathbb D$ e $s < 1$: $u_s(z) =
u(sz)$ é harmônica numa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\bar{\mathbb D}$, logo igual à sua integral de Poisson ([Teorema 18.12](#thm-b3-conformal-poisson), unicidade, aplicado a seus próprios valores de bordo); enquadrando o núcleo e usando a média $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$:

$$
\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq
\frac{1+r}{1-r}\,u(0).
$$

Faça $s \to 1^-$ com $r\eu^{\iu\varphi}$ fixo ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $u$): as desigualdades de Harnack. Se $u$ é harmônica em $\C$ com $u \geq m$: aplique Harnack a $u - m$ em discos $D(0, R)$, isto é, a $z \mapsto u(Rz) - m$: para $z$ fixo e $r =
\abs z/R \to 0$, ambas as cotas tendem a $u(0) - m$: $u(z) =
u(0)$ — constante (um Liouville bilateral a partir de uma cota unilateral).

**Exercício 18.10 ★★.**

Usando a invariância conforme da harmonicidade ($u\circ f$ é harmônica quando $u$ é harmônica e $f$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) — demonstre-o localmente via a [Proposição 18.11](#prop-b3-conformal-harmonicholo)), resolva o problema de Dirichlet no semiplano superior com dados de fronteira $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$: mostre que

$$
u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y)
\qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ em } \mathbb H)
$$

é harmônica em $\mathbb H$ (parte imaginária de um [logaritmo holomorfo](#def-b3-conformal-simplyconnected)) com os limites de fronteira exigidos em todo $x \neq
0$, e transporte-a para o disco por Cayley para redemonstrar o [Exercício 18.8](#exo-b3-conformal-8)(c).

**Solução de Exercício 18.10.**

Localmente, $u = \operatorname{Re}F$ com $F$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ([Proposição 18.11](#prop-b3-conformal-harmonicholo)), de modo que $u\circ f =
\operatorname{Re}(F\circ f)$ é harmônica onde estiver definida: a harmonicidade é invariante conforme. Em $\mathbb H$: o logaritmo principal dá $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $\mathbb H$, de modo que $u = \frac1\pi\arg z =
\operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ é harmônica, com limites de bordo: para $x > 0$, $\arg \to 0$, $u \to 0$; para $x < 0$, $\arg \to \pi$, $u \to 1$: o dado $\mathbf
1_{\intoo{-\infty}0}$ em todo $x \neq 0$. Transportando pela [aplicação de Cayley](#ex-b3-conformal-mobius) (que leva $\mathbb D \to \mathbb H$ após inversão e casa o semicírculo superior com o semieixo negativo, a menos da rotação fixada pela perseguição de três pontos do bordo), $u\circ(\text{Cayley})$ resolve o problema no disco do [Exercício 18.8](#exo-b3-conformal-8)(c); avaliar no [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) recupera $u = \frac12$ ali, e a forma fechada $\frac1\pi\arg$ pode ser confrontada com a série somando identidades do tipo $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} =
\frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ — a rota elementar para a mesma resposta.

**Exercício 18.11 ★★.**

(Pontos fixos e iteração no disco) Seja $f\colon\mathbb
D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). (a) Mostre que, se $f$ tem *dois* pontos fixos distintos, então $f = \mathrm{id}$ *(leve um deles a $0$ por um automorfismo e aplique o caso de igualdade de Schwarz)*. (b) Suponha $f(0) = 0$ e $f$ não sendo uma rotação. Mostre que os iterados $f^{\circ n} \to 0$ uniformemente em todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\bar D(0, r)$, $r < 1$ *(Schwarz dá $\abs{f(z)}
\leq c_r\abs z$ em $\bar D(0,r)$ com $c_r < 1$ — justifique essa constante estrita pelo princípio do máximo aplicado a $f(z)/z$)*. (c) Ilustre com $f(z) = \frac{z^2 + z}2$: pontos fixos e a taxa de convergência da [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) de $z_0 =
\frac12$.

**Solução de Exercício 18.11.**

(a) Seja $a \neq b$ fixo. Conjugando por $\varphi_a(z) =
\frac{z - a}{1 - \bar az}$ (um automorfismo que troca $a$ e $0$), $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ fixa $0$ e o ponto $c = \varphi_a(b) \neq 0$. Schwarz: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ e, em $z = c$, vale a igualdade ($g(c) = c$): o caso de igualdade força $g(z) = \lambda z$ com $\abs\lambda = 1$, e $\lambda c = c$ dá $\lambda =
1$: $g = \mathrm{id}$, logo $f = \mathrm{id}$.

(b) $h(z) = f(z)/z$ ([singularidade removível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-riemanncw) em $0$) é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) em $\mathbb D$ com $\abs h \leq 1$ (Schwarz); $\abs h < 1$ em toda parte, caso contrário o princípio do máximo (máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de $\abs h$) tornaria $h$ uma constante unimodular, isto é, $f$ uma rotação — excluído. No [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\bar D(0,r)$, $c_r = \max\abs h < 1$, de modo que $\abs{f(z)} \leq
c_r\abs z$ ali; além disso, $f$ leva $\bar D(0,r)$ em si mesmo ($c_r\abs z \leq r$), de modo que a cota se itera: $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ uniformemente em $\bar D(0, r)$.

(c) Pontos fixos de $\frac{z^2 + z}2$: $z^2 + z = 2z$ se, e somente se, $z(z - 1) = 0$; só $z = 0$ está em $\mathbb D$ ($z = 1$ está no bordo). Não é uma rotação ($f'(0) = \frac12$), de modo que as [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) tendem a $0$; quantitativamente, $f(z) = \frac z2(1 + z)$ dá $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ em $\abs z \leq
\frac12$ e, uma vez pequena a [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action), $\abs{f(z)} \approx
\frac{\abs z}2$: assintoticamente geométrica de razão $f'(0) = \frac12$. De $z_0 = \frac12$: $z_1 = \frac38$, $z_2 \approx 0.258$, $z_3 \approx 0.162$ — reduzindo à metade a cada passo, como o multiplicador prevê.

**Exercício 18.12 ★★.**

(Conjugadas harmônicas, concretamente) Seja $u(x, y) = x^3 - 3xy^2
+ 2y$. (a) Verifique que $u$ é harmônica em $\R^2$ e encontre todas as conjugadas harmônicas $v$ (isto é, com $u + \iu v$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo)) integrando as [equações de Cauchy–Riemann](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann); identifique $f(z) =
u + \iu v$ como um polinômio em $z$. (b) Mostre que, em um aberto *estrelado*, toda [função harmônica](#prop-b3-conformal-harmonicholo) admite conjugada harmônica, única a menos de constante aditiva *(a $1$-forma $-u_y\,\dd x +
u_x\,\dd y$ é fechada; o maquinário de primitivas do [Teorema 16.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-cauchy), ou o lema de Poincaré do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/21-formas-diferenciais-e-o-teorema-de-stokes#ch-b3-forms))*. (c) Dê o contraexemplo padrão em $\C^*$: $u = \ln\abs z$ não tem conjugada global — relacione com a forma angular e o índice de rotação ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/21-formas-diferenciais-e-o-teorema-de-stokes#ch-b3-forms)).

**Solução de Exercício 18.12.**

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$. Cauchy–Riemann exige $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ e $v_x = -u_y = 6xy - 2$. Integrando a primeira em $y$: $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$; substituindo na segunda: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$, de modo que $c(x)
= -2x + C$. Assim, $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ e

$$
f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3)
+ 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .
$$

(b) A forma $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ é fechada precisamente porque $\Delta u = 0$ ($\partial_y(-u_y) =
-u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$). Num aberto estrelado, o lema de Poincaré ([Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/21-formas-diferenciais-e-o-teorema-de-stokes#thm-b3-forms-poincare); ou a construção de primitiva do [Teorema 16.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-cauchy) aplicada à [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $u_x - \iu u_y$) fornece $v$ com $\dd v = \omega$, isto é, o sistema de Cauchy–Riemann: $u + \iu v$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). Duas conjugadas diferem por uma função de gradiente nulo: uma constante ([conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)).

(c) Para $u = \ln\abs z$ em $\C^*$: $\omega = -u_y\dd x +
u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\omega_\theta$, a forma angular ([Exemplo 21.14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/21-formas-diferenciais-e-o-teorema-de-stokes#ex-b3-forms-angular)), cuja integral ao longo do círculo unitário é $2\pi \neq 0$: não é exata, de modo que não existe conjugada global — uma conjugada seria uma determinação [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) do argumento, e o número de voltas é exatamente o obstáculo. Localmente (em qualquer subdomínio estrelado), $v =
\arg z$ serve e $u + \iu v = \log z$: a falha é global, não local.

## 18.7 Problema: o teorema da área e o teorema do quarto de Koebe

**Problema 18.1.**

Problema de fim de semana — quanto uma aplicação univalente tem de cobrir?

Uma função *univalente* é uma injeção [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). As funções univalentes normalizadas no disco,

$$
\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{
injective},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},
$$

são rigidamente restringidas: demonstramos a desigualdade de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ e deduzimos o *teorema do quarto de Koebe*: a imagem de qualquer $f \in \mathcal S$ contém o disco $D(0, \frac14)$ — a constante universal exata da geometria conforme.

**Parte I — O teorema da área.** Seja $g(w) = w
+ b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e *injetora* em $\{\abs w > 1\}$.

1. Para $\rho > 1$, seja $A_\rho$ a área ([medida de Lebesgue](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-lebesgueouter)) do [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K_\rho = \C\setminus  g(\{\abs w > \rho\})$, a região limitada pela curva de Jordan suave $g(C_\rho)$. Usando a fórmula da área do teorema de Green–Riemann do volume do segundo ano — a área englobada é $\frac1{2\iu}  \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ ao longo da fronteira orientada positivamente —, mostre que $$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho}  \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w  = \pi\Bigl(\rho^2 -  \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$$ substitua as [séries de Laurent](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#thm-b3-residues-laurent) de $\bar g$ e $g'$ em $C_\rho$ e integre termo a termo (convergência normal; só os produtos de frequência zero sobrevivem).
2. Faça $\rho \to 1^+$ e conclua o *teorema da área*: $$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$$ Em particular, $\abs{b_1} \leq 1$. Quando $\abs{b_1}  = 1$?

**Parte II — O $\abs{a_2} \leq
2$ de Bieberbach.** Seja $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$.

3. Mostre que $f(z^2)/z^2$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e sem zeros em $\mathbb D$ e admite raiz quadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\varphi$ com $\varphi(0) = 1$ ; ponha $h(z) =  z\varphi(z^2)$ , de modo que $h(z)^2 = f(z^2)$ . Mostre que $h$ é uma função univalente *ímpar* em $\mathbb  D$ com expansão $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 +  \cdots$ . *(Injetividade: $h(z)^2 = h(z')^2$ força $z^2 = z'^2$; use a imparidade para concluir.)*
4. Aplique o teorema da área a $g(w) = 1/h(1/w) = w -  \frac{a_2}{2w} + \cdots$ em $\{\abs w > 1\}$ (verifique a univalência e a expansão) e conclua $\abs{a_2} \leq 2$ .
5. Mostre que a *função de Koebe* $$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$$ pertence a $\mathcal S$, tem $a_2 = 2$ e leva $\mathbb D$ sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ *(escreva $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 -  z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ e acompanhe as imagens)*: todas as desigualdades que virão são exatas.

**Parte III — O teorema do quarto.**

6. Sejam $f \in \mathcal S$ e $c \notin f(\mathbb D)$. Mostre que $$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$$ pertence a $\mathcal S$ e calcule seu segundo coeficiente: $A_2 = a_2 + \frac1c$.
7. Aplique Bieberbach a $f$ e a $F$ : conclua $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ , isto é, $\abs c \geq \frac14$ . *Todo valor omitido tem módulo $\geq \frac14$* : $f(\mathbb D) \supseteq  D(0, \frac14)$ — o teorema do quarto de Koebe. Verifique a exatidão na função de Koebe.
8. Deduza uma estimativa quantitativa para a aplicação de Riemann: se $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ é a aplicação de Riemann do [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) em $z_0$, então $$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4}  \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\;  4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$$ — demonstre ao menos a desigualdade da esquerda aplicando Koebe a $\varphi^{-1}$ convenientemente normalizada, e a da direita por Schwarz aplicado a $\varphi$ no disco $D(z_0, d) \subseteq \Omega$.

**Parte IV — Perspectiva.**

9. Bieberbach conjecturou (1916) que $\abs{a_n} \leq n$ para todo $n$, com igualdade apenas para as rotações da função de Koebe; de Branges demonstrou isso em 1985. Verifique a conjectura à mão para a função de Koebe e suas rotações $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$. Depois, leve a expansão da questão 4 um termo adiante: escrevendo $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$, mostre que $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ e $$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} +  \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} +  \cdots ,$$ de modo que o teorema da área fornece a desigualdade refinada $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 -  \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$. Confira-a na função de Koebe ($a_2 = 2$, $a_3 = 3$).

**Parte V — O teorema da distorção.** A desigualdade de Bieberbach, transportada pelo disco por automorfismos, controla $f'$ em toda parte. Fixe $f \in \mathcal
S$.

10. (Transformada de Koebe) Para $z_0 \in \mathbb D$, seja $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$, um automorfismo do disco ([Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc)) com $\varphi(0) = z_0$. Mostre que $$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)}  {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$$ pertence a $\mathcal S$ *(a univalência é herdada; calcule $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ e verifique a normalização; lembre que $f' \neq 0$ para $f$ injetora, [Definição 18.1](#def-b3-conformal-conformal))*.
11. Calcule o segundo coeficiente $A_2 = \frac12F''(0)$ de $F$: $$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)  \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$$ e deduza de Bieberbach (questão 4), para $z =  r\eu^{\iu\theta}$, a *desigualdade fundamental*: $$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} -  \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr|  \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$$
12. Extraia a parte real: $$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\;  \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr)  \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$$
13. Mostre que $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|  f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t  \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ em $z = t\eu^{\iu\theta}$ *(para uma função $g$ $\mathcal C^1$ que não se anula, de uma variável real, $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g =  \operatorname{Re}(g'/g)$)*, e integre as cotas da questão 12 ao longo do raio para obter o *teorema da distorção*: $$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)}  \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3},  \qquad \abs z = r .$$
14. Deduza o *teorema do crescimento*: $$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\;  \frac{r}{(1 - r)^2},  \qquad \abs z = r$$ *(cota superior: integre $f'$ no segmento $[0, z]$; cota inferior: se $\abs{f(z)} < \frac14$, o segmento $[0, f(z)]$ está em $f(\mathbb D)$ pela questão 7; puxe-o de volta por $f^{-1}$ — [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) pelo [Corolário 17.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#cor-b3-residues-openmapping) — e limite $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}  \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 +  t)^3}\,\dd t$, usando $\abs{\dd\zeta} \geq  \dd\abs\zeta$)*.
15. Verifique que a função de Koebe atinge a igualdade nas quatro cotas, em $z = r$ para as superiores e em $z = -r$ para as inferiores: $k$ é simultaneamente o membro mais expansivo e, no antípoda, o mais contrativo de $\mathcal S$ .

**Parte VI — Rigidez extremal.** Em todas as desigualdades vistas até aqui, a igualdade identifica a função de Koebe a menos de rotação. Demonstramos isso e, depois, colhemos.

16. Suponha que $f \in \mathcal S$ tenha $\abs{a_2} = 2$. Persiga a igualdade pelas questões 2–4: o teorema da área força $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$; a imparidade de $h$ torna $g$ ímpar, de modo que $b_0 = 0$; inverta para achar $h$ e, depois, $f$, e conclua que $$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr)  \quad\text{com } \eu^{\iu\theta} =  -\eu^{\iu\alpha} :$$ as rotações da função de Koebe são os únicos membros de $\mathcal S$ com $\abs{a_2} = 2$.
17. Mostre que, se $f \in \mathcal S$ omite um valor $c$ com exatamente $\abs c = \frac14$ , então $f$ é uma rotação da função de Koebe, e identifique $c =  -\eu^{-\iu\theta}/4$ *(acompanhe a igualdade pela cadeia $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2}  \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ da questão 7)* : a constante do teorema do quarto só é atingida pela família extremal.
18. (Coeficientes a preço baixo) Combine o teorema do crescimento com as [estimativas de Cauchy](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic) ([Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic)) no círculo $\abs z = 1 - \frac1n$ para demonstrar $$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$$ (De Branges, 1985: $\abs{a_n} \leq n$; o fator $\eu n$ é o preço das ferramentas elementares.)
19. (Cobertura de subdiscos) Mostre que, para todo $0 < r <  1$, $$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq  D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$$ exato para a função de Koebe, e recupere o teorema do quarto quando $r \to 1^-$. *(Os pontos de fronteira da imagem aberta $f(D(0,r))$ estão em $f(\partial D(0,r))$, logo têm módulo $\geq  \frac{r}{(1+r)^2}$ pela questão 14; um segmento de $0$ a um ponto omitido de módulo menor teria de cruzar essa fronteira.)*
20. (Koebe em todo ponto) Sejam $f$ univalente em $\mathbb D$, não necessariamente normalizada, e $z_0  \in \mathbb D$. Demonstre $$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}  \;\leq\;  d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr)  \;\leq\;  \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$$ *(à esquerda: o teorema do quarto aplicado à transformada de Koebe da questão 10; à direita: Schwarz ([Teorema 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz)) aplicado a $\psi^{-1}\circ\hat g$, em que $\hat g(w) =  f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$, com $d$ a distância e $\psi$ um automorfismo do disco que leva $0$ em $z_0$)*. Por que $\partial f(\mathbb D)$ é não vazio?
21. Confira a questão 20 em $f = k$ em $z_0 = r \in  \intoo01$ : calcule $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb  D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ e verifique que a desigualdade da esquerda é uma *igualdade* : a função de Koebe satura seu próprio teorema em todo ponto de $\intoo01$ .
22. (A moral) Em dez linhas: que princípio único está por trás do teorema da área, e como Bieberbach, o teorema do quarto, a distorção, o crescimento e a cobertura decorrem todos dele? Compare com o mundo de Schwarz–Pick do [Teorema 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz) : em ambos, uma única desigualdade [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) enrijece a geometria inteira, e os extremais são únicos a menos de rotação.

**Parte VII — [Compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), inversas e um teste de realidade.**

23. Mostre que a classe $\mathcal S$ é *compacta* para a convergência localmente uniforme: ela é localmente limitada pelo teorema do crescimento, logo normal ( [Teorema 18.7](#thm-b3-conformal-montel) ); e um limite localmente uniforme de membros de $\mathcal S$ está de novo em $\mathcal S$ *(as normalizações passam ao limite pela convergência de Weierstrass das derivadas; a injetividade sobrevive por Hurwitz, [Exercício 17.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#exo-b3-residues-8), sendo o limite não constante)* . Por que isso importa para problemas extremais como o de Bieberbach?
24. Para $f \in \mathcal S$ , seja $g = f^{-1}$ , definida perto de $0$ . Mostre que $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ , de modo que o segundo coeficiente da inversa obedece à mesma cota exata $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ , com igualdade exatamente para as funções de Koebe rotacionadas.
25. Determine para quais $a \in \C$ o polinômio $f(z)  = z + az^2$ pertence a $\mathcal S$ : mostre que $f$ é injetora em $\mathbb D$ se, e somente se, $\abs a \leq \frac12$ *(fatore $f(z_1) - f(z_2)$)* . Conclua: para polinômios de grau dois, a cota verdadeira dos coeficientes é $\frac12$ , quatro vezes menor do que o $2$ de Bieberbach — os extremais de $\mathcal S$ são objetos genuinamente transcendentes, e nenhum polinômio chega perto.

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** $g$ é injetora e [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo); em $C_\rho$ ($\rho > 1$) ela é suave, e a área encerrada é $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (a fórmula de área de Green–Riemann do volume do segundo ano, aplicada com orientação positiva). Substituindo $\zeta = g(w)$, $w =
\rho\eu^{\iu\theta}$:

$$
A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd
w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})}
\,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .
$$

Insira $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 +
\sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ e $g' = 1 -
\sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$: após multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$, só os produtos de frequência zero sobrevivem à integração em $\theta$ (a convergência normal justifica o trabalho termo a termo): o par $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ contribui com $2\pi\rho$, e cada par $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu
n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ contribui com $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$:

$$
A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.
$$

**2.** As áreas são não negativas: $\sum_{n\leq
N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ para todo $N$; faça $\rho \to 1^+$ e depois $N \to \infty$: $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$. A igualdade em $\abs{b_1}
\leq 1$ força todos os demais $b_n = 0$: $g(w) = w + b_0 +
\eu^{\iu\alpha}/w$, que aplica sobre o complementar de um segmento de comprimento $4$ (uma aplicação do tipo Joukowski): as extremais.

**3.** $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e sem zeros em $\mathbb D$ ($f$ só se anula em $0$, simplesmente: injetividade), logo o mesmo vale para $f(z^2)/z^2$, que tem uma raiz quadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\varphi$ com $\varphi(0) = 1$ ([Definição 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected); $\mathbb D$ é convexo). Então $h(z) = z\varphi(z^2)$ satisfaz $h^2 =
f(z^2)$, $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (série binomial para a raiz), e $h(z) = z\varphi(z^2)$ é ímpar por construção ($\varphi(z^2)$ é par). Injetividade: $h(z) = h(z')$ dá $f(z^2) =
f(z'^2)$, de modo que $z^2 = z'^2$, isto é, $z' = \pm z$; se $z' = -z$, a imparidade dá $h(z) = -h(z)$, de modo que $h(z) = 0$, forçando $z
= 0$ ($\varphi$ sem zeros): $z = z' = 0$.

**4.** $g(w) = 1/h(1/w)$: para $\abs w > 1$, $1/w \in
\mathbb D\setminus\{0\}$ e $h \neq 0$ ali: bem definida, injetora (composição de injeções), com expansão

$$
g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} +
\cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr)
= w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :
$$

da forma da Parte I com $b_1 = -\frac{a_2}2$. O teorema da área dá $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$: $\abs{a_2} \leq 2$.

**5.** $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m +
1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$: coeficientes $a_n = n$, de modo que $a_2 =
2$. Univalência e imagem: $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ com $w = \frac{1 + z}{1 - z}$, uma [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) de $\mathbb D$ sobre o semiplano direito; $w^2$ aplica esse semiplano [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}0$; então $\frac{\cdot - 1}4$ dá $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$: injetora em cada etapa, com a imagem afirmada.

**6.** $F = \frac{cf}{c - f}$: como $c \notin f(\mathbb
D)$, o denominador nunca se anula: $F$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e injetora ($w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ é de Möbius, injetora fora de $w = c$). Expansão: com $f = z + a_2z^2 + \cdots$,

$$
F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 +
\frac zc\Bigr) + O(z^3)
= z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):
$$

$F \in \mathcal S$ com $A_2 = a_2 + \frac1c$.

**7.** Bieberbach duas vezes: $\abs{a_2} \leq 2$ e $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$, de modo que $\abs{\frac1c} \leq 4$: $\abs c \geq \frac14$. Todo valor omitido está fora de $D(0,\frac14)$, isto é, $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$. Ótimo: a função de Koebe omite $-\frac14$ (questão 5).

**8.** Sejam $d = d(z_0, \partial\Omega)$ e $\psi =
\varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$, $\psi(0) = z_0$, $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$. A normalização $\tilde
f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ está em $\mathcal S$, de modo que sua imagem contém $D(0, \frac14)$; reescalando de volta, $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0,
\tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$, de modo que $d \geq \frac{\psi'(0)}4 =
\frac1{4\varphi'(z_0)}$: a desigualdade da esquerda. Para a da direita: $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ leva $\mathbb D$ em $\mathbb D$ com $0 \mapsto 0$; Schwarz limita sua derivada em $0$: $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$, isto é, $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — juntas,

$$
d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .
$$

(A desigualdade da esquerda, tal como exibida no enunciado, é a mesma cadeia rearranjada.)

**9.** Para a função de Koebe $a_n = n$: igualdade em toda a conjectura; suas rotações $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum
n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ têm $\abs{a_n} = n$ também. Empurrando a questão 4: $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ com $h^2 = f(z^2)$; comparando os coeficientes de $z^6$: $2c_5 +
\frac{a_2^2}4 = a_3$, de modo que $c_5 = \frac{a_3}2 -
\frac{a_2^2}8$. Então

$$
g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} +
\Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr)
= w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 -
\frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,
$$

e o teorema da área ($\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$) fornece

$$
\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 -
\frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .
$$

Verificação com Koebe ($a_2 = 2$, $a_3 = 3$): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ e $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$: total exatamente $1$ — extremal, como deve ser.

**10.** $\varphi$ é um automorfismo do disco com $\varphi(0) = z_0$, de modo que $f\circ\varphi$ é univalente em $\mathbb D$ (composição de injeções), e $f'(z_0) \neq
0$ ([Definição 18.1](#def-b3-conformal-conformal)): $F$ está bem definida e é univalente. $F(0) = 0$. Regra do quociente:

$$
\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0}
{(1 + \bar z_0z)^2}
= \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2},
\qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,
$$

de modo que $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ e $F'(0) = 1$: $F \in \mathcal S$.

**11.** Com $G = f\circ\varphi$: $G'' =
f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$, e $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar
z_0z)^{-3}$ dá $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 -
\abs{z_0}^2)$. Logo

$$
A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)}
= \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)
\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .
$$

Bieberbach para $F$ (questão 4): $\abs{A_2} \leq 2$, isto é, $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar
z_0\bigr| \leq 4$. Multiplique tudo por $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$, cujo módulo é $r/(1 - r^2)$ para $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$, e use $z_0\bar
z_0 = r^2$:

$$
\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} -
\frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .
$$

**12.** Um número complexo a distância $\rho$ do ponto real $c$ tem parte real em $\intcc{c - \rho}{c +
\rho}$: aplique isso a $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$, $\rho =
\frac{4r}{1-r^2}$.

**13.** Para $\mathcal C^1$ $g$ não nula: $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$, de modo que $\frac{\dd}{\dd
t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} =
\operatorname{Re}\frac{g'}g$. Com $g(t) =
f'(t\eu^{\iu\theta})$ (sem zeros: univalência), $g'(t) =
\eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$, de modo que, em $z =
t\eu^{\iu\theta}$:

$$
\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr|
= \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta}
\frac{f''}{f'}\Bigr)
= \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr)
\in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\
\frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]
$$

pela questão 12 no raio $t$. Como $\frac{\dd}{\dd
t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} =
\frac{2t+4}{1-t^2}$ e $\frac{\dd}{\dd
t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} =
\frac{2t-4}{1-t^2}$, integrar de $0$ a $r$ (as três funções se anulam em $t = 0$, $f'(0) = 1$) dá

$$
\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq
\log\frac{1+r}{(1-r)^3} :
$$

o teorema de distorção, após exponenciar.

**14.** Superior: ao longo do segmento $[0, z]$,

$$
\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta})
\eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr|
\leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t
= \frac{r}{(1-r)^2}
$$

($\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$). Inferior: note que $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ para $r < 1$ (ela diz $(1-r)^2 > 0$), de modo que, se $\abs{f(z)} \geq \frac14$, nada há a demonstrar. Caso contrário, o segmento $[0, f(z)]$ está em $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (questão 7), e $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ é um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) $\mathcal C^1$ de $0$ a $z$ em $\mathbb D$ ($f^{-1}$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), [Corolário 17.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#cor-b3-residues-openmapping)). Substituindo $w =
f(\zeta)$,

$$
\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w}
= \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta}
\geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}
\,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s
$$

com $\rho = \abs\gamma$, usando a cota inferior de distorção no raio $\rho(s)$. Como $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (onde estiver definida; $\rho$ é lipschitziana) e o fator do integrando é positivo,

$$
\abs{f(z)} \geq \int_0^1
\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s
= \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u
= \frac{r}{(1 + r)^2}
$$

($\rho(0) = 0$, $\rho(1) = r$; a substituição usa apenas uma primitiva, $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} =
\frac{1-u}{(1+u)^3}$, não a monotonicidade).

**15.** $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} =
\frac{1 + z}{(1 - z)^3}$. Em $z = r$: $k'(r) =
\frac{1+r}{(1-r)^3}$ e $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — ambas as cotas superiores atingidas. Em $z = -r$: $k'(-r) =
\frac{1-r}{(1+r)^3}$ e $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — ambas as cotas inferiores atingidas. A função de Koebe estica ao máximo seu semieixo positivo em direção ao bordo distante e comprime ao máximo a semirreta antipodal em direção à ponta de sua fenda.

**16.** $\abs{a_2} = 2$ significa $\abs{b_1} = 1$ para $g(w)
= 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (questão 4); o teorema da área $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ então mata todo outro coeficiente: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ com $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$. Como $h$ é ímpar, $g(-w) =
1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$: $g$ é ímpar, de modo que $b_0 = 0$. Invertendo, $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 +
\eu^{\iu\alpha}z^2}$, e $f(z^2) = h(z)^2$ dá

$$
f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2}
= \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2}
= \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr),
\qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .
$$

Reciprocamente, cada rotação tem $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ de módulo $2$: as extremais de Bieberbach são exatamente as funções de Koebe rotacionadas.

**17.** Se $c$ é omitido com $\abs c = \frac14$: a questão 6 dá $F \in \mathcal S$ com $A_2 = a_2 +
\frac1c$, de modo que $\frac1c = A_2 - a_2$ e

$$
4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2}
\leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :
$$

igualdade em toda a cadeia, em particular $\abs{a_2} = 2$. Pela questão 16, $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$, cujo conjunto omitido é $\eu^{-\iu\theta}
\intoc{-\infty}{-\frac14}$: o único valor omitido de módulo $\frac14$ é $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$. (Verificação: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ e $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$, de modo que $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$: a desigualdade triangular é saturada por antialinhamento, como deve ser.)

**18.** As [estimativas de Cauchy](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic) no círculo $\abs z =
r$ ([Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic)), combinadas com o teorema de crescimento, dão

$$
\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f
\leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .
$$

Escolha $r = 1 - \frac1n$ ($n \geq
2$): $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (sequência crescente de limite $\eu$) e $(1 - r)^{-2} =
n^2$: $\abs{a_n} < \eu\,n^2$.

**19.** $U = f(D(0, r))$ é aberto ([Corolário 17.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#cor-b3-residues-openmapping)) e contém $0$. Bordo: se $p \in \partial U$, escreva $p = \lim f(z_k)$ com $z_k \in D(0, r)$; uma subsequência dá $z_k \to z_\infty
\in \bar D(0, r)$, e $f(z_\infty) = p \notin U$ força $z_\infty \in \partial D(0, r)$: $\partial U \subseteq
f(\partial D(0, r))$, de modo que todo ponto do bordo de $U$ tem módulo $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (questão 14). Agora, seja $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ e suponha $w \notin U$. O segmento $[0, w]$ é [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected), encontra $U$ (em $0$) e seu complementar (em $w$), de modo que ele encontra $\partial U$; mas todos os seus pontos têm módulo $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$: contradição. Logo $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr)
\subseteq U$. Otimalidade: $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ é a imagem de um ponto do bordo de $D(0,r)$, e $k$ é injetora, de modo que $k(-r) \notin k(D(0, r))$: o raio não pode ser aumentado. Quando $r \to 1^-$, $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$: o teorema do quarto para o disco inteiro.

**20.** Primeiro, $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$: caso contrário, $f(\mathbb D)$, aberto, fechado e não vazio, seria todo $\C$, e $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ seria uma função inteira limitada não constante, contra o [Corolário 16.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#cor-b3-holomorphic-liouville). Desigualdade da esquerda: a transformada de Koebe $F$ da questão 10 está em $\mathcal S$ e $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) -
f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$; pela questão 7, ela contém $D(0, \frac14)$, de modo que

$$
f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\
\tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,
$$

e todo ponto de $\partial f(\mathbb D)$ — disjunto do aberto $f(\mathbb D)$ — está a distância $\geq
\frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ de $f(z_0)$. Desigualdade da direita: seja $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) <
\infty$. O disco $D(f(z_0), d)$ está em $f(\mathbb D)$: um segmento de $f(z_0)$ a qualquer de seus pontos permanece a distância $< d$ de $f(z_0)$, de modo que nunca encontra $\partial f(\mathbb D)$, e o argumento de [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) da questão 19 o mantém em $f(\mathbb D)$. Então $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ leva $\mathbb D$ em $\mathbb D$ com $\hat g(0) = z_0$, e $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$, com $\psi(z) = \frac{z +
z_0}{1 + \bar z_0z}$, fixa $0$: Schwarz ([Teorema 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz)) dá $\abs{\chi'(0)}
\leq 1$. Como $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} =
\frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$, isso é $d \leq (1 -
\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$.

**21.** $k(\mathbb D) = \C\setminus
\intoc{-\infty}{-\frac14}$, de modo que $\partial k(\mathbb D) =
\intoc{-\infty}{-\frac14}$ e, para o ponto real positivo $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$, o ponto do bordo mais próximo é $-\frac14$:

$$
d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2}
= \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .
$$

Membro esquerdo da questão 20: $\frac14(1 - r^2)k'(r) =
\frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} =
\frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$: igualdade. (O membro direito vale $4d$: o fator [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) $4$ separa os dois lados, e a função de Koebe fica exatamente no piso.)

**22.** O princípio único é [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): a univalência proíbe a sobreposição, de modo que a área do complementar da imagem de $\{\abs w > \rho\}$, expandida em modos de Fourier sobre círculos, é não negativa — o teorema da área é uma identidade $L^2$ com um sinal. Todo o resto é essa desigualdade transportada: uma raiz quadrada (questão 3) a transforma em $\abs{a_2} \leq 2$; uma reflexão de Möbius a partir de um valor omitido (questão 6) transforma $\abs{a_2} \leq 2$ no teorema do quarto; os automorfismos do disco (questão 10) espalham $\abs{a_2}
\leq 2$ por todo o disco como o teorema de distorção; a integração radial converte distorção em crescimento, e crescimento em recobrimento. Em cada etapa, o caso de igualdade também se propaga, aterrissando sempre nas funções de Koebe rotacionadas — uma única família extremal para toda a teoria, assim como as rotações são as únicas extremais do lema de Schwarz. Uma desigualdade [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), mais a rigidez de seu caso de igualdade, governa toda a geometria: [aplicação conforme](#def-b3-conformal-conformal) é a arte de explorar tais desigualdades.

**23.** O teorema de crescimento limita $\abs f \leq
\frac{r}{(1-r)^2}$ uniformemente em cada $\bar D(0, r)$, $r <
1$, para todos os $f \in \mathcal S$ de uma vez: localmente limitada, de modo que $\mathcal S$ é uma família normal ([Teorema 18.7](#thm-b3-conformal-montel)). Se $f_n \in \mathcal S \to
f$ localmente uniformemente: $f$ é [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) com $f_n' \to f'$ localmente uniformemente (Weierstrass), de modo que $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$ — em particular, $f$ não é constante — e Hurwitz ([Exercício 17.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#exo-b3-residues-8)) torna injetor o limite de aplicações injetoras: $f \in \mathcal S$. Um funcional [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (como $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$) numa classe compacta *atinge* seu supremo: funções extremais existem antes que se saiba o que são — o ponto de partida de todo ataque variacional a problemas de coeficientes, o de Bieberbach incluído.

**24.** Escreva $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ e componha:

$$
z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3)
= z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),
$$

de modo que $A_2 = -a_2$ e $\abs{A_2} \leq 2$ (Bieberbach), com igualdade se, e somente se, $\abs{a_2} = 2$, isto é, se, e somente se, $f$ é uma função de Koebe rotacionada (questão 16) — e então $g$ é a inversa correspondente, definida no plano fendido.

**25.** $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 +
z_2)\bigr)$. Se $\abs a \leq \frac12$: para $z_1 \neq z_2$ em $\mathbb D$, $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (estrita: $\abs{z_1 + z_2} < 2$), de modo que o segundo fator não pode se anular: injetora, e $f \in \mathcal S$ (as normalizações estão embutidas). Se $\abs a > \frac12$: o ponto $s =
-\frac1a$ tem $\abs s < 2$, de modo que $z_{1,2} = \frac s2 \pm
\varepsilon$ estão em $\mathbb D$ para $\varepsilon > 0$ pequeno, são distintos, e $z_1 + z_2 = s$ mata o fator: $f(z_1)
= f(z_2)$, não injetora. Logo $\mathcal S$ contém $z +
az^2$ exatamente para $\abs a \leq \frac12$. A cota de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ é, portanto, selvagemente não saturada por polinômios de grau $2$ — os coeficientes $a_n = n$ da função de Koebe vêm de uma série infinita conspirando ao longo da semirreta omitida, comportamento que polinômio algum (que pertence a $\mathcal S$ apenas com coeficientes minúsculos) consegue imitar.