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title: "Equações diferenciais ordinárias"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias
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# Capítulo 19 — Equações diferenciais ordinárias

O segundo ano resolveu equações diferenciais lineares e enunciou o teorema de Cauchy–Lipschitz; este capítulo o demonstra — e duas vezes: existência e unicidade pelo ponto fixo de Banach, estrutura global pela teoria das [soluções maximais](#thm-b3-ode-maximal) e pelo teorema da [fuga dos compactos](#thm-b3-ode-maximal). A teoria linear é então reconstruída sobre fundamentos honestos ([resolvente](#thm-b3-ode-linearstructure), [wronskiano](#thm-b3-ode-linearstructure), [exponencial de matriz](#thm-b3-ode-matrixexp), Duhamel), e a segunda metade do capítulo abre a teoria *qualitativa* — [fluxos](#ex-b3-ode-planeclassification), equilíbrios, funções de Lyapunov e [estabilidade por linearização](#thm-b3-ode-linearization): como compreender soluções que jamais serão calculadas. O pêndulo, no problema de fim de semana, é o estudo de caso eterno. Ao longo de todo o capítulo, $U \subseteq \R\times\R^d$ é aberto e $f \colon U \to \R^d$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); uma *solução* de $x' = f(t, x)$ é uma aplicação $\mathcal C^1$ $x \colon I \to \R^d$ (com $I$ intervalo) de gráfico em $U$ que satisfaz a equação.

## 19.1 Cauchy–Lipschitz

**Definição 19.1.**

$f$ é *localmente lipschitziana em $x$* se todo ponto de $U$ tem uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) $V$ e uma constante $L$ com $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 -
x_2}$ para $(t, x_1), (t, x_2) \in V$. Se $f$ é $\mathcal
C^1$ (ou apenas se $\partial_xf$ existe e é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)), ela é localmente lipschitziana em $x$: em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) compacta convexa, pela desigualdade do valor médio com $L =
\sup\vertiii{\partial_xf}$.

**Teorema 19.2 (Cauchy–Lipschitz, local).**

Sejam $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e [localmente lipschitziana](#def-b3-ode-lipschitz) em $x$, e $(t_0,
x_0) \in U$. Existe $T > 0$ tal que o problema de Cauchy

$$
x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0
$$

tem exatamente uma solução em $[t_0 - T, t_0 +
T]$.

**Demonstração.** Escolha $a, b > 0$ com $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar
B(x_0, b) \subseteq U$, no qual $\norm f \leq M$ e $f$ é $L$-lipschitziana em $x$. Uma função $\mathcal C^1$ é solução se, e somente se, satisfaz a equação integral

$$
x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s
$$

(teorema fundamental do cálculo, nos dois sentidos). Sejam $T =
\min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$, $I = [t_0 - T, t_0
+ T]$, e

$$
\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0}
\leq b\ \text{em } I\},
$$

um subconjunto fechado do espaço de Banach $(\mathcal C(I, \R^d),
\norm\cdot_\infty)$: [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Definição 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)). Defina $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$: para $x \in \mathcal E$, $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ leva $\mathcal E$ nele mesmo — e, para $x, y \in
\mathcal E$:

$$
\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t
L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x -
y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :
$$

uma contração. O ponto fixo de Banach ([Teorema 7.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) dá um único ponto fixo em $\mathcal E$: existência, e unicidade entre as soluções que permanecem em $\bar B(x_0, b)$ — mas toda solução em $I$ ali permanece ($\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ enquanto o gráfico ficar em $Q$, por um argumento de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)): unicidade em $I$. ∎

**Lema 19.3 (Grönwall).**

Sejam $u \colon I \to \intco0\infty$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $t_0 \in
I$, e suponha

$$
u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd
s\Bigr| \qquad (t \in I)
$$

com $\alpha \geq 0$, $\beta > 0$. Então $u(t) \leq
\alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ em $I$.

**Demonstração.** Para $t \geq t_0$: ponha $v(t) = \alpha +
\beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$, de modo que $u \leq v$, $v' = \beta u
\leq \beta v$, e $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$: $v(t)
\leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$. Para $t \leq t_0$, aplique o mesmo a $\tilde u(t) = u(2t_0 -
t)$. ∎

**Corolário 19.4 (Unicidade e dependência contínua).**

Sob as hipóteses do [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz), duas soluções de $x' = f(t,x)$ que coincidem em um ponto coincidem em seu intervalo comum de definição. Quantitativamente, se $x, y$ são duas soluções cujos gráficos estão em uma região onde $f$ é $L$-lipschitziana em $x$, então

$$
\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) -
y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .
$$

**Demonstração.** A estimativa: $u = \norm{x - y}$ satisfaz $u(t) \leq u(t_0)
+ L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (subtraia as equações integrais); Grönwall. Unicidade global: o conjunto de coincidência $\{t : x(t)
= y(t)\}$ é fechado no intervalo comum, não vazio e aberto — em torno de qualquer ponto de coincidência, cubra um pedaço [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) do gráfico comum por um número finito de caixas lipschitzianas e aplique a estimativa com $u(t_1) = 0$ em cada uma: localmente $x \equiv y$. Um subconjunto não vazio, aberto e fechado de um intervalo é o intervalo todo. ∎

## 19.2 Soluções maximais

**Teorema 19.5 (Soluções maximais; fuga dos compactos).**

Suponha $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e [localmente lipschitziana](#def-b3-ode-lipschitz) em $x$.

1. Todo problema de Cauchy tem uma única solução *maximal* $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : toda outra solução por $(t_0, x_0)$ é sua restrição. O intervalo é aberto.
2. ( *Fuga* ) Para todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K \subseteq U$ existe $\varepsilon > 0$ tal que $(t, x(t)) \notin  K$ para todo $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (e simetricamente em $T_-$ ): *o gráfico de uma [solução maximal](#thm-b3-ode-maximal) acaba por deixar todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $U$* . Em particular, para $U = \R\times\R^d$ e $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ quando $t \to T_+^-$ ( *explosão* ).

**Demonstração.** (1) Seja $\mathcal S$ o conjunto de todas as soluções por $(t_0, x_0)$; pelo [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness), duas quaisquer coincidem na interseção de seus intervalos, de modo que se colam: em $J =
\bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$, defina $x(t) = y(t)$ para qualquer $y$ definida em $t$: uma solução bem definida, evidentemente maximal e única. $J$ é aberto: uma solução definida em uma extremidade poderia ser prolongada pelo [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) nessa extremidade.

(2) Suponha que a afirmação falhe em $T_+$: existem $t_n \to
T_+$ com $(t_n, x(t_n)) \in K$; note que isso força $T_+ <
\infty$ ou, se $T_+ = \infty$, nada há a demonstrar ($K$ é limitado em tempo). Seja, pois, $T_+ < \infty$. [Compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): constantes uniformes $M, L, a,
b$ servem para todos os dados de Cauchy em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $K$ — concretamente, cubra $K$ por um número finito de caixas $Q_i$ como na demonstração do teorema local e seja $T^* > 0$ o mínimo dos tempos de existência correspondentes: todo dado de Cauchy em $K$ lança uma solução que vive pelo menos $T^*$ além de seu instante inicial. Aplicando isso em $(t_n, x(t_n))$ com $t_n > T_+ -
T^*/2$, estende-se $x$ além de $T_+$ (a extensão coincide com $x$ por unicidade e, depois, a prolonga): contradição com a maximalidade. Logo o gráfico deixa $K$ definitivamente antes de $T_+$. Para $U = \R\times\R^d$: se $\norm{x(t)}\not\to\infty$, uma sequência $t_n \to T_+$ manteria $(t_n, x(t_n))$ no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$: excluído. ∎

**Corolário 19.6 (Existência global sob crescimento linear).**

Se $U = I\times\R^d$ (com $I$ intervalo aberto) e $\norm{f(t, x)}
\leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ com $\alpha, \beta$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), então toda [solução maximal](#thm-b3-ode-maximal) está definida em todo $I$.

**Demonstração.** Em um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $[t_0, T] \subseteq I$: $\norm{x(t)} \leq
\norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$, de modo que, por Grönwall (com $\alpha, \beta$ limitadas por $A, B$ ali), $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$: limitada. Se $T_+ < \sup I$, o gráfico permanece em um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $I\times\R^d$ perto de $T_+$: contradiz a fuga ([Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). ∎

## 19.3 Sistemas lineares

Ao longo de toda esta seção, $A \colon I \to M_d(\R)$ e $b
\colon I \to \R^d$ são [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); o sistema é $x' = A(t)x
+ b(t)$ — crescimento linear: todas as [soluções maximais](#thm-b3-ode-maximal) vivem em todo $I$ ([Corolário 19.6](#cor-b3-ode-globallinear)).

**Teorema 19.7 (Estrutura).**

As soluções do sistema homogêneo $x' = A(t)x$ formam um espaço vetorial $S_H$ de dimensão $d$; para cada $t_0$, a avaliação $x \mapsto x(t_0)$ é um isomorfismo $S_H \to
\R^d$. O *resolvente* $R(t, s) \in GL_d(\R)$, definido por: $t \mapsto R(t,
s)v$ é a solução de valor $v$ em $s$, satisfaz

$$
R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad
\partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),
$$

e o problema não homogêneo é resolvido pela *fórmula de Duhamel*:

$$
x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .
$$

Por fim, o *wronskiano* $w(t) = \det
R(t, s)$ obedece à fórmula de Liouville $w' =
\operatorname{tr}A(t)\,w$, de modo que $w(t) =
\exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$.

**Demonstração.** A linearidade da equação faz das soluções um espaço vetorial; a avaliação é linear, injetora (unicidade: uma solução que se anula em $t_0$ é $\equiv 0$) e sobrejetora (existência): dimensão $d$. As propriedades do [resolvente](#thm-b3-ode-linearstructure) reafirmam a unicidade (ambos os lados de cada identidade resolvem o mesmo problema de Cauchy); a inversibilidade vem de $R(s,t)R(t,s) = I$. Duhamel: derive a fórmula — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) +
\int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (a derivação sob a integral é legítima: o integrando é $\mathcal C^1$ em $t$, com derivada [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $(t,s)$; ou verifique pela equação integral). Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ e $R(t + h, t) =
I + hA(t) + o(h)$ (da equação integral), de modo que $\det = 1
+ h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (expansão de $\det$ em $I$): $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$; integre a EDO linear escalar. ∎

**Teorema 19.8 (Exponencial de matriz).**

Para $A \in M_d(\C)$, a série $\eu^{A} =
\sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ converge (absolutamente, em qualquer norma submultiplicativa), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ sempre que $AB = BA$, e $t \mapsto \eu^{tA}$ é o [resolvente](#thm-b3-ode-linearstructure) do sistema de coeficientes constantes: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$; ela é $\mathcal
C^\infty$ com $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$. Além disso: se $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ para todo autovalor $\lambda$ de $A$, então $\vertiii{\eu^{tA}}
\leq C\eu^{-\alpha t}$ para $t \geq 0$.

**Demonstração.** Convergência: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$, somável ([Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) na álgebra de Banach $M_d$). Para $A, B$ que comutam: o produto de Cauchy das duas séries absolutamente convergentes se rearranja, via o teorema binomial (válido quando $AB = BA$), em $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$. Derivabilidade, diretamente: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} -
I}{h} \to \eu^{tA}A$, pois $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A}
\leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} =
O(h)$. Logo $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ resolve o problema de Cauchy que define $R(t,s)v$. Cota espectral: pela [forma de Jordan](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#thm-b3-modules-jordan) ([Teorema 3.18](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#thm-b3-modules-jordan)), $A = P(D + N)P^{-1}$ com $D$ diagonal carregando os autovalores, $N$ nilpotente e $DN =
ND$. Então $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ com $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ para algum $\delta > 0$ ($t \geq 0$) e $\eu^{tN}$ polinomial em $t$ (nilpotência): o produto é $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (um polinômio é vencido por $\eu^{-\delta t}$). ∎

**Exemplo 19.9 (O plano, classificado).**

Para $x' = Ax$ com $A \in M_2(\R)$ inversível, o retrato de fase perto de $0$ é decidido por $\tau = \operatorname{tr}A$ e $\delta = \det A$, através dos autovalores $\lambda_\pm
= \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$:

- $\delta < 0$ : autovalores reais de sinais opostos — uma *sela* ; duas trajetórias entram, duas saem, e todas as demais passam ao largo. Sempre instável.
- $\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : autovalores reais de mesmo sinal ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — um *nó* , [estável](#def-b3-ode-stability) se, e somente se, $\tau < 0$ ; as trajetórias são tangentes à direção própria lenta.
- $\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : autovalores complexos conjugados $\frac\tau2 \pm  \iu\omega$ — uma *espiral* (foco), [estável](#def-b3-ode-stability) se, e somente se, $\tau < 0$ ; as soluções são rotações $\eu^{\tau t/2}\times$ de período $\frac{2\pi}\omega$ .
- $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : autovalores puramente imaginários — um *[centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions)* : [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) fechadas (elipses), estabilidade sem estabilidade assintótica, exatamente o caso limite que o [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) não consegue decidir para sistemas não lineares (o equilíbrio inferior do pêndulo, [Problema 19.1](#pb-b3-ode-1) , fica aqui).

A parábola de fronteira $\tau^2 = 4\delta$ carrega os nós degenerados (blocos de Jordan: trajetórias com uma única direção tangente). Tudo se lê em dois números — e é por isso que o primeiro reflexo diante de um retrato de fase plano é calcular $\operatorname{tr}$ e $\det$; por exemplo, $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
-c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscilador amortecido): $\delta = 1 >
0$, $\tau = -c$: espiral [estável](#def-b3-ode-stability) para $0 < c < 2$, nó [estável](#def-b3-ode-stability) para $c \geq 2$ — subamortecimento contra superamortecimento, em um relance.

## 19.4 Fluxos, equilíbrios, estabilidade

Considere agora a equação *autônoma* $x' = F(x)$, com $F
\colon \Omega \to \R^d$ [localmente lipschitziana](#def-b3-ode-lipschitz) no aberto $\Omega
\subseteq \R^d$. Escreva $\varphi_t(x_0) = x(t)$ para a [solução maximal](#thm-b3-ode-maximal) com $x(0) = x_0$ (o *fluxo*); a autonomia dá a propriedade de grupo $\varphi_{t+s} =
\varphi_t\circ\varphi_s$ onde definida (ambos os lados resolvem o mesmo problema no instante $s$).

**Definição 19.10.**

Um *equilíbrio* é um ponto $\bar x$ com $F(\bar x) =
0$ (de modo que $\varphi_t(\bar x) = \bar x$). Ele é *estável* se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ implica que a solução existe para todo $t \geq 0$ com $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar
x} < \varepsilon$; é *assintoticamente estável* se, além disso, $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ para todo $x_0$ perto de $\bar x$.

**Teorema 19.11 (Funções de Lyapunov).**

Sejam $\bar x$ um equilíbrio e $V \colon \mathcal V \to
\R$ uma função $\mathcal C^1$ em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\bar x$ com:

$$
V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ para } x \neq \bar x,
\qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .
$$

Então $\bar x$ é [estável](#def-b3-ode-stability). Se, além disso, $\dot V < 0$ fora de $\bar
x$, então $\bar x$ é assintoticamente [estável](#def-b3-ode-stability).

**Demonstração.** Ao longo de uma solução, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t))
\leq 0$: $V$ decresce. Dado $\varepsilon$ (pequeno o bastante para que $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$), ponha $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ ([compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), positividade) e escolha $\delta < \varepsilon$ com $V < m$ em $B(\bar x, \delta)$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)). Uma solução que parte de $B(\bar x, \delta)$ satisfaz $V(x(t)) < m$ em todos os instantes posteriores, de modo que nunca pode atingir a esfera $\norm{x -
\bar x} = \varepsilon$ (onde $V \geq m$): ela permanece na bola — e então existe para todo $t \geq 0$: a solução fica no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\bar B$, de modo que o [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) ([fuga dos compactos](#thm-b3-ode-maximal)) força $T_+ = +\infty$. Eis a estabilidade.

Caso assintótico: seja $x(t)$ partindo de $B(\bar x, \delta)$; $V(x(t))$ decresce até algum $c \geq 0$. Se $c > 0$: a trajetória permanece em $K = \{x \in \bar B(\bar x,
\varepsilon): V(x) \geq c\}$, um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) que exclui uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\bar x$ ($V$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com $V(\bar x)
= 0 < c$). Em $K$, a função $\dot V$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e estritamente negativa, logo $\mu = \max_K\dot V < 0$ ([compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)); então $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to
-\infty$: absurdo, $V \geq 0$. Assim $c = 0$ e $x(t) \to \bar x$ (os pontos a distância $\geq
\rho$ de $\bar x$ dentro da bola têm $V \geq m_\rho >
0$). ∎

**Teorema 19.12 (Estabilidade por linearização).**

Sejam $F$ de classe $\mathcal C^1$, $F(\bar x) = 0$, $A = DF(\bar x)$. Se todo autovalor de $A$ tem $\operatorname{Re}\lambda <
0$, então $\bar x$ é assintoticamente [estável](#def-b3-ode-stability).

**Demonstração.** Translade $\bar x$ para $0$ e escreva $F(x) = Ax + g(x)$ com $g(x) = o(\norm x)$ (derivabilidade $\mathcal C^1$). Tome $\alpha > 0$ com $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ($t \geq 0$; [Teorema 19.8](#thm-b3-ode-matrixexp)) e $r > 0$ com $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ para $\norm x \leq
r$. Duhamel com $b(s) = g(x(s))$:

$$
x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,
$$

válido enquanto $\norm{x(s)} \leq r$. Então $u(t) =
\eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ satisfaz

$$
u(t) \leq C\norm{x_0} +
\int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,
$$

de modo que Grönwall dá $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$, isto é, $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$. Se $\norm{x_0} < r/C$, a cota a priori mantém $\norm{x(t)} <
r$ para todo $t$ (um argumento de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e bootstrapping: o conjunto dos instantes em que $\norm x \leq r$ é aberto e fechado em $\intco0{T_+}$, dada a estimativa estrita), a solução é global e converge a $0$ exponencialmente: estabilidade assintótica. ∎

**Método 19.13.**

Diante de uma EDO: (1) existência e unicidade — verifique se é [localmente lipschitziana](#def-b3-ode-lipschitz) (em geral $\mathcal C^1$); (2) globalidade — crescimento linear, limitação, ou um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) invariante via [função de Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) ou integral primeira; na falta disso, suspeite de explosão e teste na caricatura escalar $x' = x^2$; (3) sistemas lineares — [resolvente](#thm-b3-ode-linearstructure), Duhamel e, para coeficientes constantes, a estrutura espectral de $A$; (4) questões qualitativas — equilíbrios, linearize e cace uma [função de Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) (a energia, quando o sistema é mecânico) ou uma integral primeira cujos conjuntos de nível aprisionem as trajetórias. O problema de fim de semana percorre o método inteiro no pêndulo.

![Retrato de fase do pêndulo x'' = - x no plano (x, x'): curvas de nível da energia E = x'22 - x. Curvas fechadas (em azul): oscilações, E < 1; curvas correntes (em laranja): rotações completas, E > 1; entre elas, a separatriz (em vermelho), E = 1, ligando os equilíbrios instáveis (±π, 0). O problema de fim de semana demonstra tudo o que esta figura sugere.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-ode/fig-dd339003c539.svg)

*Retrato de fase do pêndulo $x'' = -\sin x$ no plano $(x, x')$: curvas de nível da energia $E = \frac{x'^2}2
- \cos x$. Curvas fechadas (em azul): oscilações, $E < 1$; curvas correntes (em laranja): rotações [completas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), $E > 1$; entre elas, a *separatriz* (em vermelho), $E = 1$, ligando os equilíbrios instáveis $(\pm\pi, 0)$. O problema de fim de semana demonstra tudo o que esta figura sugere.*

## 19.5 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

Resolva explicitamente e determine o intervalo maximal: (a) $x' = x^2$, $x(0) = 1$; (b) $x' = 1 + x^2$, $x(0) = 0$; (c) $x' = x(1-x)$, $x(0) = \frac12$. Reconcilie cada resposta com o [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) e com o [Corolário 19.6](#cor-b3-ode-globallinear).

**Solução de Exercício 19.1.**

(a) Separando as variáveis: $x(t) = \frac1{1 - t}$ em $\intoo{-\infty}1$: explosão em $T_+ = 1$, com $x(t) \to
+\infty$ — exatamente o [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2). (b) $x(t) = \tan t$ em $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$: explosão nos dois extremos. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$, global: a solução permanece em $\intoo01$, um conjunto limitado, de modo que o gráfico não pode escapar de todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\R\times\R$ em tempo finito — $T_\pm
= \pm\infty$. Note que (a) e (b) não contradizem o [Corolário 19.6](#cor-b3-ode-globallinear): $x^2$ e $1 + x^2$ têm crescimento superlinear.

**Exercício 19.2 ★.**

Sejam $x, y$ soluções de $x' = f(t,x)$ com $f$ globalmente $L$-lipschitziana em $x$ em $\R\times\R^d$. (a) Demonstre $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) -
y(0)}\eu^{L\abs t}$ e mostre com um exemplo (linear!) que o fator $\eu^{L\abs t}$ é atingido. (b) Deduza que a aplicação de [fluxo](#ex-b3-ode-planeclassification) $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e, de fato, lipschitziana nos conjuntos limitados.

**Solução de Exercício 19.2.**

(a) Essa é a estimativa do [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) com $t_0
= 0$. Otimalidade: para $x' = Lx$ (globalmente $L$-lipschitziana), duas soluções diferem exatamente de $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$. (b) A estimativa se lê: a aplicação de [fluxo](#ex-b3-ode-planeclassification) no tempo $t$ é $\eu^{L\abs t}$-lipschitziana na condição inicial — [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), uniformemente para $t$ em [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact); em conjuntos limitados de $f$ não globalmente lipschitzianas, repita o mesmo num tubo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em torno das trajetórias com a constante local.

**Exercício 19.3 ★★.**

Mostre que cada uma das seguintes tem todas as [soluções maximais](#thm-b3-ode-maximal) globais em $\R$, citando o teorema adequado: (a) $x' = \sin(tx)$; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$; (c) $x'' + q(t)x = 0$ com $q$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (converta a um sistema de primeira ordem); (d) $x' = A(t)x$ com $A$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada — e dê a cota de Grönwall para $\norm{x(t)}$.

**Solução de Exercício 19.3.**

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$: limitada, isto é, crescimento linear com $\alpha = 0$, $\beta = 1$: [Corolário 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) em $U = \R\times\R$. (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$: de novo sublinear (de fato limitada em [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de tempo): global. (c) $X = (x, x')$: $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t)
& 0\end{smallmatrix}\bigr)X$: linear com coeficientes [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): global (o quadro do [Teorema 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure)). (d) Global; Grönwall como no [Corolário 19.6](#cor-b3-ode-globallinear): $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ com $M = \sup\vertiii{A}$.

**Exercício 19.4 ★★.**

(a) Calcule $\eu^{tA}$ para $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 &
\lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ e $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$. (b) Resolva o oscilador forçado $x'' + x = \cos(\omega t)$ por Duhamel (na forma de sistema), para $\omega \neq 1$ e para $\omega =
1$: a ressonância aparece como o termo secular $t\sin t$.

**Solução de Exercício 19.4.**

(a) $A^2 = -I$ para a primeira: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin
t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t &
\cos t\end{smallmatrix}\bigr)$. Bloco de Jordan: $\lambda I$ e $N$ comutam: $\eu^{tA} =
\eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$. Terceira: $A^2 = I$: $\eu^{tA} =
\cosh t\,I + \sinh t\,A$.

(b) Sistema $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0
\end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\
\cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$; Duhamel com o [resolvente](#thm-b3-ode-linearstructure) da rotação dá as soluções particulares: para $\omega \neq 1$, $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 -
\omega^2}$ (verifique diretamente); para $\omega = 1$, a integral $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ produz o crescimento *secular* $x_p = \frac t2\sin t$: ressonância — a forçante bombeia energia na frequência natural e a amplitude cresce linearmente.

**Exercício 19.5 ★★.**

Para a equação escalar $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$: (a) Mostre que o [wronskiano](#thm-b3-ode-linearstructure) $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ de duas soluções satisfaz $w' = -p\,w$ (Abel) e deduza que duas soluções com $w \neq 0$ em algum ponto formam uma base. (b) Dada uma solução $x_1$ que não se anula, encontre a solução geral por *redução de ordem*: ponha $x_2 = x_1\int
\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ e verifique. Aplique a $t^2x'' -
2x = 0$ em $\intoo0{+\infty}$ com $x_1(t) = t^2$.

**Solução de Exercício 19.5.**

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1'
- qx_1)x_2 = -p\,w$: $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$, nunca nulo nem identicamente nulo. Se $w \neq 0$, os vetores $(x_i, x_i')(t_0)$ são independentes em $\R^2$ e, como o espaço de soluções tem dimensão $2$ ([Teorema 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure) para o sistema), $(x_1,
x_2)$ é uma base.

(b) Com $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$: $x_2 = x_1u$, $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$, e

$$
x_2'' + px_2' + qx_2
= u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) +
\Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} +
p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0
$$

(os termos cruzados se cancelam exatamente; expanda com cuidado). Para $t^2x'' - 2x = 0$, isto é, $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ($p = 0$) com $x_1 = t^2$: $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$, de modo que $x_2
= -\frac1{3t}$: solução geral $at^2 + \frac bt$.

**Exercício 19.6 ★★.**

(Logística) Para $x' = x(1 - x)$: determine todos os equilíbrios e sua estabilidade (pelo [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) e diretamente); mostre que toda solução com $x(0) \in \intoo01$ é crescente, global, com limites $0$ e $1$ em $\mp\infty$; e resolva explicitamente para confirmar. Mostre, mais geralmente, que as soluções escalares autônomas são monótonas e conclua: não há soluções periódicas não constantes em dimensão $1$.

**Solução de Exercício 19.6.**

Equilíbrios $0, 1$; $f'(x) = 1 - 2x$: $f'(0) = 1 > 0$ (instável — as soluções próximas se afastam, como a forma explícita mostra), $f'(1) = -1 < 0$: assintoticamente [estável](#def-b3-ode-stability) ([Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) em dimensão $1$). Para $x(0) \in \intoo01$: $f > 0$ ali, de modo que, enquanto a solução permanecer em $\intoo01$, ela cresce; ela nunca pode atingir $0$ nem $1$ (unicidade: essas são trajetórias), de modo que ela permanece, é limitada — logo global — e cresce até um limite $L
\in \intoc{x(0)}1$. Se $f(L) \neq 0$, então $x' \geq c > 0$ perto do limite, forçando $x$ a passar de $L$: logo $f(L) = 0$, $L = 1$; simetricamente, $x \to 0$ em $-\infty$. Explicitamente, $x(t) =
\frac1{1 + C\eu^{-t}}$ confirma tudo. Em geral: se uma solução escalar autônoma tivesse $x'(t_0) = 0$, então $x(t_0)$ é um equilíbrio e a unicidade torna $x$ constante; caso contrário, $f(x(t))$ mantém sinal fixo (ela nunca se anula, e $t \mapsto f(x(t))$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)): $x$ é estritamente monótona — de modo que uma solução periódica não constante é impossível.

**Exercício 19.7 ★★.**

(Integrais primeiras) Seja $H \colon \Omega \to \R$ de classe $\mathcal
C^1$ e considere o sistema hamiltoniano plano $x' =
\partial_yH$, $y' = -\partial_xH$. (a) Mostre que $H$ é constante ao longo das soluções. (b) Para $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$: mostre que todas as soluções são globais e limitadas, e que a origem é [estável](#def-b3-ode-stability) (Lyapunov: $H$), embora a linearização ($\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$) *não* seja assintoticamente [estável](#def-b3-ode-stability): a linearização pode ser inconclusiva.

**Solução de Exercício 19.7.**

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y +
H_y(-H_x) = 0$. (b) Os conjuntos de nível de $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ são [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ($H$ coerciva), de modo que as soluções ficam presas em [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): globais e limitadas ([Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). Estabilidade de $(0,0)$: $V = H$ é definida positiva ($H = 0$ só na origem) com $\dot V = 0$: [Teorema 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov). A linearização $x' = y$, $y' = 0$ tem a matriz nilpotente não diagonalizável de autovalor $0$: o [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) nada diz (sua hipótese $\operatorname{Re}\lambda < 0$ falha) e, de fato, o sistema linearizado é instável ($y_0 \ne 0$ deriva), ao passo que o não linear é [estável](#def-b3-ode-stability): a linearização num equilíbrio não hiperbólico nada demonstra.

**Exercício 19.8 ★★★.**

(Pêndulo amortecido) $x'' + cx' + \sin x = 0$, $c > 0$; sistema: $x' = y$, $y' = -\sin x - cy$. (a) Mostre que $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ satisfaz $\dot
V = -cy^2 \leq 0$: a origem é [estável](#def-b3-ode-stability). (b) $\dot V$ se anula em todo o eixo $y = 0$: o critério estrito de Lyapunov falha. Demonstre a estabilidade assintótica assim mesmo, por linearização ([Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization)): calcule os autovalores da matriz linearizada em $(0,0)$ e verifique $\operatorname{Re} < 0$ para todo $c > 0$. (c) O que acontece no equilíbrio $(\pi, 0)$? Calcule a linearização e conclua (um autovalor positivo: instabilidade — você pode usar o enunciado de instabilidade informalmente ou produzir uma solução explícita do sistema linear que escapa).

**Solução de Exercício 19.8.**

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) +
y\sin x = -cy^2 \leq 0$, e $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ é definida positiva em $\{\abs x < 2\pi\}$ em torno da origem: [estável](#def-b3-ode-stability) ([Teorema 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov)). (b) A matriz linearizada em $(0,0)$ é $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
-c\end{smallmatrix}\bigr)$, de polinômio característico $\lambda^2 + c\lambda + 1$: raízes $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 -
4}}2$ — ambas reais negativas se $c \geq 2$, complexas de parte real $-\frac c2 < 0$ se $0 < c < 2$. Em todos os casos $\operatorname{Re}\lambda < 0$: o [Teorema 19.12](#thm-b3-ode-linearization) dá estabilidade assintótica (apesar do $\dot V$ degenerado). (c) Em $(\pi, 0)$: $\sin(\pi + u) = -\sin u$, linearização $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$, característico $\lambda^2 + c\lambda - 1$: raízes de sinais opostos ($\lambda_+\lambda_- = -1$). Ao longo do autovetor instável, o sistema linear tem a solução explicitamente fugidia $\eu^{\lambda_+t}v_+$ com $\lambda_+ > 0$: o pêndulo invertido é instável para todo amortecimento.

**Exercício 19.9 ★★.**

(Fronteira da unicidade) Para $\alpha \in \intoo01$, mostre que o problema $x' = \abs x^{\alpha}$, $x(0) = 0$ tem infinitas soluções (adapte o [Problema 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), Parte III). Mostre, ao contrário, que para $\alpha = 1$ (isto é, $x' = \abs
x$) a solução por $0$ é única, e identifique com precisão qual hipótese do [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) distingue os dois casos.

**Solução de Exercício 19.9.**

Para $\alpha \in \intoo01$: além de $x \equiv 0$, cada

$$
x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\
\bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c,
\end{cases}
$$

é $\mathcal C^1$ e resolve a equação (o expoente $\frac1{1-\alpha} > 1$ faz a derivada se anular em $c$): um [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de soluções por $(0,0)$. Para $\alpha = 1$: $x
\mapsto \abs x$ é globalmente $1$-lipschitziana ($\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$), de modo que o [Teorema 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) se aplica e a única solução por $0$ é $x \equiv 0$. A fronteira é exatamente a condição de Lipschitz local em $0$: $\abs x^\alpha$ tem quocientes de diferenças ilimitados ali para $\alpha < 1$.

**Exercício 19.10 ★★★.**

(Cotas a priori aprisionam soluções) Seja $F \colon \R^d \to \R^d$ [localmente lipschitziana](#def-b3-ode-lipschitz) com $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ sempre que $\norm x \geq R$. (a) Mostre que a bola fechada $\bar B(0, R)$ é positivamente invariante: as soluções que partem de dentro ali permanecem para $t \geq
0$. *(Se $\norm{x(t_2)} > R$, considere o último instante $t_1 < t_2$ com $\norm{x(t_1)} = R$ e estude $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ em $\intcc{t_1}{t_2}$.)* (b) Deduza a existência global para a frente com dados na bola. Trate em seguida o sistema gradiente $x' = -\nabla G(x)$, $G \in
\mathcal C^2$ com $G(x) \to +\infty$ quando $\norm x \to
\infty$: mostre que $G$ decresce ao longo das soluções, que cada solução permanece no conjunto de subnível (limitado) $\{G \leq
G(x_0)\}$, e conclua a existência global para a frente.

**Solução de Exercício 19.10.**

(a) Suponha $\norm{x(t_2)} > R$ para algum $t_2 > 0$ com $\norm{x(0)} \leq R$, e seja $t_1 = \sup\{t \leq t_2 :
\norm{x(t)} \leq R\}$: então $\norm{x(t_1)} = R$ e $\norm{x(t)} > R$ em $\intoc{t_1}{t_2}$. Nesse intervalo, $g(t) = \norm{x(t)}^2$ tem $g'(t) = 2\langle x(t),
F(x(t))\rangle \leq 0$ (a hipótese se aplica: $\norm{x(t)}
\geq R$), de modo que $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$: contradição. A bola é positivamente invariante. (b) Uma solução presa na bola compacta não pode ter $T_+ < \infty$ ([Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2)): global para a frente. Sistema gradiente: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) =
\langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2
\leq 0$: $G$ decresce, de modo que a solução permanece em $\{G \leq
G(x_0)\}$, que é limitado (coercividade: fora de uma bola grande, $G > G(x_0)$) e fechado: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). A fuga é impossível: toda solução de um sistema gradiente coercivo é global para a frente, deslizando ladeira abaixo para sempre.

**Exercício 19.11 ★★.**

(Explosão por comparação) Considere $x' = x^2 + t^2$, $x(0) =
1$. (a) Mostre que a [solução maximal](#thm-b3-ode-maximal) existe em algum $\intco0{T_+}$ com $T_+ < \infty$: compare com $y' = y^2$, $y(0) = 1$ *(demonstre o lema de comparação de que precisa: se $x' \geq
F(x)$ e $y' = F(y)$ com $x(0) \geq y(0)$, então $x \geq
y$ onde ambas vivem)*, e deduza $T_+ \leq 1$. (b) Limite $T_+$ por baixo: em $\intcc01$, $x' \leq x^2 +
1$; compare com a supersolução $z' = z^2 + 1$, $z(0) =
1$, resolvida por $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$, e conclua $T_+ \geq \frac\pi4$. (c) Reúna $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ e formule a moral: o crescimento superlinear do membro direito é o que mata a existência global (sendo o [Exercício 19.3](#exo-b3-ode-3) o contraponto), estando a fronteira na convergência de $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$.

**Solução de Exercício 19.11.**

(a) Lema de comparação: seja $w = x - y$ no intervalo comum; $w(0) \geq 0$ e $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) =
c(t)w$ com $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ limitada em intervalos de tempo [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ($F$ [localmente lipschitziana](#def-b3-ode-lipschitz)); então $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$, de modo que $w \geq 0$ em toda parte. Com $F(x) = x^2$: $y(t) = \frac1{1 - t}$ explode em $1$, e $x
\geq y$ enquanto $x$ viver; se $T_+ > 1$, então $x$ seria finita em $t = 1$ enquanto domina $y \to \infty$: absurdo. $T_+ \leq 1$.

(b) A comparação invertida (mesmo lema, papéis trocados): em $\intcc01\cap\intco0{T_+}$, $t^2 \leq 1$ dá $x' \leq
x^2 + 1$, ao passo que $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ satisfaz $z' =
z^2 + 1$, $z(0) = 1 = x(0)$: logo $x \leq z$ enquanto ambas estiverem definidas. Como $z$ é finita em $\intco0{\frac\pi4}$, $x$ não pode explodir antes de $\frac\pi4$: $T_+ \geq \frac\pi4$.

(c) Juntas: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numericamente $T_+
\approx 0.96$). Moral: para $x' = F(t, x)$ com $F$ superlinear em $x$, as soluções explodem em tempo finito sempre que $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (a solução de comparação atinge o infinito nesse tempo finito); o crescimento linear, em que a integral diverge, força a existência global ([Exercício 19.3](#exo-b3-ode-3)). É a mesma integral de Osgood do [Problema 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), governando agora a fuga para o infinito em vez da fuga a partir do zero.

**Exercício 19.12 ★★★.**

(Teorema de comparação de Sturm) Sejam $q_1 \leq q_2$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em um intervalo $I$, e sejam $u \neq 0$ solução de $u''
+ q_1u = 0$ e $v \neq 0$ solução de $v'' + q_2v = 0$. (a) Estabeleça a identidade do [wronskiano](#thm-b3-ode-linearstructure): com $W = uv' - u'v$, $W' = (q_1 - q_2)\,uv$. (b) (Sturm) Mostre que, entre dois zeros consecutivos $a < b$ de $u$, ou $v$ se anula em algum ponto de $\intoo ab$, ou $q_1 = q_2$ e $v \propto u$ ali *(suponha $u > 0$ em $\intoo ab$ e $v > 0$ também; integre (a) de $a$ a $b$ e examine os sinais dos termos de fronteira $W(a),
W(b)$)*. (c) Deduza: as soluções de $u'' + qu = 0$ com $q \geq m > 0$ se anulam ao menos uma vez em todo intervalo de comprimento $\pi/\sqrt m$ (compare com $v'' + mv = 0$); as soluções com $q \leq 0$ se anulam no máximo uma vez em $\R$. Teste ambas em $q \equiv \pm1$.

**Solução de Exercício 19.12.**

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 -
q_2)\,uv$.

(b) Sejam $a < b$ zeros consecutivos de $u$; normalize $u >
0$ em $\intoo ab$ (de modo que $u'(a) > 0$, $u'(b) < 0$ — não nulos por unicidade, já que $u(a) = u'(a) = 0$ forçaria $u
\equiv 0$). Suponha que $v$ não tenha zero em $\intoo ab$; normalize $v > 0$ ali (logo $v(a), v(b) \geq 0$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)). Integre (a):

$$
W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .
$$

Mas $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ e $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$: logo $W(b) - W(a) \geq 0$. Igualdade em toda a cadeia: $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ com $uv > 0$ no intervalo aberto força $q_1 = q_2$ ali; e $W(a) =
W(b) = 0$ força $v(a) = v(b) = 0$; então $W \equiv 0$ em $\intcc ab$ (sua derivada se anula), isto é, $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ em $\intoo ab$: $v \propto u$.

(c) Tome $q_1 = m$ e $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$, cujos zeros consecutivos distam $\pi/\sqrt m$, e $q_2 = q \geq
m$: por (b), toda solução $v$ de $v'' + qv = 0$ se anula em cada intervalo aberto de comprimento $\pi/\sqrt m$ (na alternativa degenerada $q \equiv m$, $v \propto u$ também se anula). Se, em vez disso, $q \leq 0$: aplique (b) com $q_1 = q$, $u =
v$ e $q_2 = 0$ com a solução sem zeros $\mathbf 1$ de $v'' = 0$. Se $v$ tivesse dois zeros consecutivos, (b) forçaria ou um zero de $\mathbf 1$ entre eles, ou o caso degenerado $\mathbf 1 \propto v$ — ambos absurdos: $v$ se anula no máximo uma vez. Testes: para $q = 1$, $\sin t$ se anula a cada $\pi
= \pi/\sqrt1$, como previsto; para $q = -1$, $\sinh t$ se anula exatamente uma vez e $\eu^t$ nunca — no máximo um zero, como previsto.

## 19.6 Problema: o pêndulo, completamente resolvido

**Problema 19.1.**

Problema de fim de semana — oscilações, rotações, separatriz e o período

A equação do pêndulo $x'' = -\sin x$ — como sistema: $x' =
y$, $y' = -\sin x$ em $\R^2$ — é a drosófila da dinâmica: simples de escrever, impossível de resolver por fórmulas elementares e, ainda assim, inteiramente compreensível pelo método qualitativo. Seja $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (a *energia*).

**Parte I — Estrutura global.**

1. Mostre que todas as [soluções maximais](#thm-b3-ode-maximal) são globais (definidas em $\R$ ): use $\dot E = 0$ e o [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal) . Equilíbrios: $(k\pi, 0)$ ; classifique suas linearizações (do tipo [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) para $k$ par, sela para $k$ ímpar).
2. Mostre que as trajetórias estão contidas nos conjuntos de nível $\{E = E_0\}$ , e esboce-as ou descreva-as pelo valor de $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (equilíbrios), $-1 < E_0 < 1$ (curvas fechadas em torno de $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (a separatriz por $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (gráficos sobre $x$ : rotações).
3. Demonstre que o equilíbrio inferior $(0,0)$ é [estável](#def-b3-ode-stability) mas *não* assintoticamente [estável](#def-b3-ode-stability) . *(Lyapunov com $V = E + 1$; não assintótico: a conservação de energia aprisiona as [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) em curvas de nível afastadas da origem.)*

**Parte II — Oscilações e seu período.** Fixe $-1 < E_0 < 1$ e escreva $E_0 = -\cos a$ com $a \in
\intoo0\pi$ (a amplitude).

4. Mostre que a solução com $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscila: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , e que a [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) é a curva fechada $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Justifique que a solução é periódica: a [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) é uma curva compacta sem equilíbrios, percorrida com velocidade limitada inferiormente — transforme isso em um argumento (a solução volta a seu ponto inicial em tempo finito e, então, a unicidade força a periodicidade).
5. Estabeleça a fórmula do período $$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x -  \cos a)}}$$ *(em um quarto de [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action), $y = \frac{\dd x}{\dd t} >  0$ e separe variáveis; justifique a convergência imprópria em $x = a$)*.
6. (Pequenas oscilações) Substitua $\sin\frac x2 =  \sin\frac a2\,\sin\varphi$ e mostre que $$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 -  k^2\sin^2\varphi}},  \qquad k = \sin\frac a2$$ (uma integral elíptica [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)). Deduza por convergência dominada que $T(a) \to 2\pi$ quando $a \to 0^+$: o limite harmônico, independente da amplitude — o isocronismo aproximado de Galileu, com sua correção exata $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 +  O(k^4)\bigr)$ (expanda o integrando e integre termo a termo, justificando pela convergência normal).
7. Mostre que $T(a) \to +\infty$ quando $a \to \pi^-$ *(limite o integrando por baixo perto de $\varphi =  \frac\pi2$ quando $k \to 1$, ou aplique a convergência monótona)* : ao se aproximar da separatriz, o pêndulo desacelera sem limite.

**Parte III — A separatriz.**

8. Para $E_0 = 1$, $y = 2\cos\frac x2$ no ramo superior: separe variáveis e integre para encontrar a solução explícita $$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$$ (com $x(0) = 0$, $y(0) = 2$). Verifique diretamente que ela resolve a equação do pêndulo e calcule seus limites e os limites de $y(t)$ quando $t \to  \pm\infty$.
9. Conclua: a [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) separatriz liga a sela $(-\pi, 0)$ (quando $t \to -\infty$ ) à sela $(\pi, 0)$ (quando $t \to +\infty$ ), mas não alcança nenhuma delas em tempo finito — coerentemente com a unicidade (por que alcançar uma sela em tempo finito contradiria o [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ?).

**Parte IV — Rotações e o quadro [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).**

10. Para $E_0 > 1$: mostre que $y$ nunca se anula, que $x$ é estritamente monótona e global com $x(t) \to  \pm\infty$, e que $t \mapsto y(t)$ é periódica de período $$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}  \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$$
11. Monte o retrato de fase [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (a figura do capítulo), com justificativa integral de cada característica, e escreva um resumo de dez linhas do método: energia, conjuntos de nível, [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) , unicidade — como cada teorema do capítulo entrou. Em que momento precisamos de uma fórmula para a solução geral?

**Parte V — A função período sob o microscópio.**

12. Demonstre os momentos de Wallis $$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi  = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$ por indução (integre por partes), expanda o integrando da questão 6 pela série binomial e justifique a integração termo a termo para obter a série [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) $$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0}  \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n}  = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64}  + O(k^6)\Bigr),  \qquad k = \sin\frac a2 .$$
13. Converta para a amplitude: $$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} +  \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$$ *(substitua a expansão de $\sin\frac a2$ e agrupe)*. O isocronismo falha na ordem $a^2$, e a falha está agora quantificada até a ordem $a^4$.
14. Mostre que $a \mapsto T(a)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e estritamente crescente em $\intoo0\pi$ , e conclua, com as questões 6–7, que $T$ é uma bijeção de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : todo período supercrítico é realizado por exatamente uma amplitude.
15. (Aritmética do relojoeiro) Um pêndulo regulado a amplitude infinitesimal marca o tempo [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) ; mostre que, operando a amplitude $a$ , ele atrasa a fração $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ do tempo [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) , e calcule a deriva para $a = 0.2$ rad: cerca de $216$ segundos por dia. (As bochechas cicloidais de Huygens e as pequenas amplitudes constantes dos escapamentos são ambas respostas a esse número.)
16. Volte ao período de rotação $\tau$ da questão 10: mostre que $\tau$ é estritamente decrescente em $\intoo1{+\infty}$ , que $\tau(E_0) \to +\infty$ quando $E_0 \to 1^+$ (convergência monótona) e que $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ quando $E_0 \to  +\infty$ (convergência dominada): o giro rápido é assintoticamente uma rotação livre de velocidade angular $\sqrt{2E_0}$ .

**Parte VI — O método exportado: Lotka–Volterra.** A receita do pêndulo — integral primeira, curvas de nível compactas, unicidade — resolve um ecossistema. Fixe $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ e considere, no quadrante aberto $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$,

$$
x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad
y' = y\,(\delta x - \gamma)
$$

($x$ presas, $y$ predadores).

17. Mostre que $Q$ é invariante — os eixos são reuniões de [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) , explicitamente calculáveis, que nenhuma solução pode cruzar ( [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ) — e que o único equilíbrio em $Q$ é $(x_*, y_*) =  \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
18. Mostre que $$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y -  \alpha\ln y$$ é uma integral primeira, que $H = f(x) + g(y)$ com $f, g$ estritamente convexas e próprias em $\intoo0{+\infty}$ com mínimos em $x_*$, $y_*$, e deduza que todas as [soluções maximais](#thm-b3-ode-maximal) em $Q$ são globais.
19. Mostre que, para $h > h_* = H(x_*, y_*)$ , o conjunto de nível $\{H = h\}\cap Q$ é uma curva fechada em torno do equilíbrio: dois ramos [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $y_\pm(x)$ sobre um intervalo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , colados nas extremidades — o análogo dos ovais do pêndulo.
20. Demonstre que toda [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) não estacionária em $Q$ é periódica: estabeleça a circulação anti-horária pelas quatro regiões recortadas pelas retas $x = x_*$ e $y = y_*$ , limite o tempo de travessia de cada arco por uma integral com singularidade de raiz quadrada convergente (como na questão 5) e feche com a unicidade (como na questão 4).
21. (Lei das médias de Volterra) Se $T$ é o período de uma tal [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action), mostre que $$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta,  \qquad  \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$$ as médias temporais são iguais aos valores de equilíbrio, qualquer que seja a amplitude *(integre $(\ln x)' =  \alpha - \beta y$ ao longo de um período)*.
22. (O paradoxo da pesca) Colha as duas espécies à taxa $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : o sistema mantém sua forma, com $\alpha - \varepsilon$ e $\gamma +  \varepsilon$ no lugar de $\alpha$ e $\gamma$ . O que acontece com as populações médias? Explique a observação de d’Ancona (1914–1918): quando a pesca no Adriático diminuiu durante a guerra, a proporção de predadores (tubarões) na captura *aumentou* — e por que a pesca moderada favorece as presas.
23. Escreva a moral em dez linhas: que teoremas do capítulo movem cada etapa, o que substitui a energia do pêndulo, e por que nenhum dos dois sistemas precisou — ou admite — uma solução elementar em forma fechada.
24. (Modulação da velocidade) No regime de rotação $E_0 > 1$ , mostre que $y = x'$ oscila entre $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (em $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) e $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (em $x \equiv 0$ ), que a média temporal de $y$ ao longo de um período vale exatamente $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ , e que a razão de modulação $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ quando $E_0  \to \infty$ : a rotação rápida é assintoticamente uniforme.
25. (Monotonicidade do período de rotação) Mostre que $\tau(E_0)$ é $\mathcal C^1$ e estritamente decrescente em $\intoo1{+\infty}$ *(derive sob o sinal de integral, com dominação em todo $\intco{1 + \delta}\infty$)* , com $\tau \to \infty$ quando $E_0 \to 1^+$ e $\tau  \to 0$ quando $E_0 \to \infty$ . Monte o quadro [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) de bifurcação do pêndulo ao longo do eixo da energia: equilíbrios em $E_0 = -1$ , librações com período crescendo de $2\pi$ a $\infty$ em $-1 < E_0 < 1$ , a separatriz em $E_0 = 1$ e as rotações com período decrescendo de $\infty$ a $0$ além dela.

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x +
y\sin x = 0$: a energia é uma integral primeira. Numa [solução maximal](#thm-b3-ode-maximal), $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$: $y$ é limitada; então $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} +
t\sup\abs y$ cresce no máximo linearmente: em qualquer intervalo de tempo finito a trajetória permanece num [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\R^2$, de modo que o [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) força $T_\pm = \pm\infty$. Equilíbrios $(k\pi, 0)$; linearização $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\
\mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ com $-\cos(k\pi) = \mp1$: autovalores $\pm\iu$ para $k$ par (tipo [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions), inconclusivo por si só) e $\pm1$ para $k$ ímpar (sela).

**2.** $E$ constante ao longo das soluções confina cada trajetória a um conjunto de nível $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$. Para $E_0 = -1$: apenas os pontos $(2k\pi, 0)$. Para $-1 < E_0 <
1$: escrevendo $E_0 = -\cos a$, o conjunto é uma união disjunta de curvas fechadas $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ sobre $x \in
[2k\pi - a, 2k\pi + a]$, uma em torno de cada equilíbrio [estável](#def-b3-ode-stability). Para $E_0 = 1$: as curvas $y = \pm2\cos\frac x2$ que ligam selas consecutivas — a separatriz — junto com as próprias selas. Para $E_0 > 1$: dois gráficos $y =
\pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$, definidos para todo $x$, nunca tocando $y = 0$.

**3.** $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ se anula em $(0,0)$, é positiva numa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) perfurada ($\abs x < 2\pi$), e $\dot V = 0 \leq 0$: o [Teorema 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov) dá a estabilidade. Não assintótica: a solução por $(a, 0)$ ($0 < a$ pequeno) permanece na curva de nível $E = -\cos a$, cuja distância à origem é positiva (a curva encontra o eixo $x$ apenas em $\pm a$): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$.

**4.** Na curva de nível $C_a$: sem equilíbrios ($y = 0$ força $x = \pm a$ com $\sin(\pm a) \neq 0$ para $0 < a <
\pi$), de modo que a velocidade $\norm{(y, -\sin x)}$ tem mínimo positivo $m$ no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $C_a$. Siga a solução a partir de $(a, 0)$: no semiplano inferior $x' = y < 0$, de modo que $x$ decresce de $a$ a $-a$ em tempo finito (as integrais de quarto/meio período convergem: a análise da questão 5), atingindo $(-a, 0)$; pela simetria $(x, y) \mapsto (x, -y)$, $t
\mapsto -t$ da equação, a metade superior é percorrida de volta no mesmo tempo $\frac T2$: a solução retorna a $(a, 0)$ no tempo $T$. A unicidade ([Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) então propaga: $x(t + T) =
x(t)$ para todo $t$: periódica.

**5.** No ramo em que $y > 0$: $y = \sqrt{2(\cos x
- \cos a)}$ e $\dd t = \frac{\dd x}{y}$; integrar $x$ de $-a$ a $a$ dá o meio período, e a simetria $x
\mapsto -x$ divide a integral pela metade de novo:

$$
T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .
$$

Convergência em $x = a^-$: $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) +
O((a-x)^2)$ com $\sin a > 0$: o integrando se comporta como $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$, [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1).

**6.** Com $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$, $k =
\sin\frac a2$: $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2)
= 2k^2\cos^2\varphi$ e $\frac12\cos\frac x2\,\dd x =
k\cos\varphi\,\dd\varphi$, de modo que

$$
T(a) = 4\int_0^{\pi/2}
\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .
$$

Quando $a \to 0^+$, $k \to 0$: para $k \leq k_0 < 1$ o integrando é dominado por $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\intcc0{\pi/2}$: o TCD dá $T \to
4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$. Expandindo $(1 - u)^{-1/2} = 1 +
\frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ com $u =
k^2\sin^2\varphi$ (convergência normal para $k < 1$) e $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$:

$$
T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :
$$

o isocronismo vale apenas em primeira ordem; o período cresce com a amplitude.

**7.** Quando $k \uparrow 1$, os integrandos crescem até $(1
- \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$, cuja integral diverge: por convergência monótona, $T(a) \to
+\infty$ quando $a \to \pi^-$.

**8.** No ramo $y = 2\cos\frac x2$ ($\abs x <
\pi$): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$; com $u = \frac
x2$, $\int\frac{\dd u}{\cos u} =
\ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$, de modo que $t =
\ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$, isto é,

$$
x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi,
\qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} =
\frac{2}{\cosh t} .
$$

Verificação pela energia: com $\theta = \arctan\eu^t$, $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$, de modo que $\cos x = -\cos4\theta =
-1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ e $E = \frac{y^2}2 - \cos x =
\frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$: a trajetória está na separatriz, e derivar $y^2 = 2(1 +
\cos x)$ onde $y > 0$ reproduz $y' = -\sin x$. Limites: $x
\to \pm\pi$ e $y \to 0$ quando $t \to \pm\infty$.

**9.** A [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) tende à sela $(\pi, 0)$ para a frente e a $(-\pi, 0)$ para trás, mas nunca chega: se ela atingisse $(\pi, 0)$ num tempo finito $t^*$, duas [soluções maximais](#thm-b3-ode-maximal) distintas — a solução separatriz e a solução constante na sela — passariam pelo mesmo ponto $(t^*, (\pi, 0))$, contradizendo o [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness). As selas só são atingidas assintoticamente.

**10.** Para $E_0 > 1$: $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq
2(E_0 - 1) > 0$: $y$ mantém seu sinal, e $\abs{x'} = \abs y
\geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$: $x$ é estritamente monótona, global (questão 1), com $x(t) \to \pm\infty$. Como $y(t) =
\pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ e $\cos$ é $2\pi$-periódico, $y$ retorna a seu valor cada vez que $x$ avança $2\pi$; o tempo necessário é

$$
\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd
x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} =
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}
$$

(substituição; periodicidade): $y$ é $\tau$-periódica — o pêndulo gira com taxa de rotação assintoticamente constante $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ para energias grandes.

**11.** O método, em ordem: a *energia* ($\dot E =
0$) reduz o [fluxo](#ex-b3-ode-planeclassification) bidimensional a curvas de nível unidimensionais; a *limitação* de $y$ em cada nível, mais a fuga de [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), dá a existência global; a *[compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)* dos níveis fechados dá cotas de velocidade e, portanto, a periodicidade; a *unicidade* converte o primeiro retorno em periodicidade exata, proíbe a chegada em tempo finito às selas e separa os tipos de [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action); *linearização e Lyapunov* classificam os equilíbrios; a *integral do período* é analisada com os teoremas de convergência do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue). Em ponto algum possuímos — ou precisamos de — uma solução geral em forma fechada: a teoria qualitativa extraiu da própria equação todas as características do movimento.

**12.** Por partes: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi
\cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2}
\sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1}
- W_n)$, de modo que $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$; com $W_0 =
\frac\pi2$ e $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} =
\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (separe $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$), a indução dá o valor em destaque. Série binomial: $(1 -
u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ com $c_n =
\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$, raio $1$. Para $k
\leq k_0 < 1$ e $u = k^2\sin^2\varphi$, a série $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ converge normalmente em $\varphi$ ($c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$), de modo que a integração termo a termo na fórmula da questão 6 é legítima:

$$
T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n
= 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n}
= 2\pi\sum_{n\geq0}
\Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .
$$

Com $c_0 = 1$, $c_1 = \frac12$, $c_2 = \frac38$: $T(a) =
2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$, sendo o resto uniforme para $k \leq k_0$ (cauda dominada por uma série geométrica).

**13.** $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} +
O(a^5)$, de modo que

$$
k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6),
\qquad
k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,
$$

e

$$
\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 -
\frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} +
O(a^6)
= 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,
$$

pois $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072}
= \frac{11}{3072}$.

**14.** Na forma elíptica da questão 6, $a \mapsto
k = \sin\frac a2$ é uma bijeção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) estritamente crescente de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo01$ e, para cada $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$, o integrando $(1 -
k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ é estritamente crescente em $k$: $T$ é estritamente crescente. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): em $k \leq k_0 < 1$, o integrando é dominado pela [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $(1 -
k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$, de modo que a convergência dominada se aplica ao longo de $k' \to k$. Com os limites $T \to 2\pi$ quando $a
\to 0^+$ (questão 6) e $T \to +\infty$ quando $a \to \pi^-$ (questão 7), a monotonicidade estrita e o teorema do valor intermediário fazem de $T$ uma bijeção de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$.

**15.** Um relógio conta oscilações; regulado em amplitude nula, ele contabiliza o período harmônico $2\pi$ por oscilação (na unidade de tempo do pêndulo). Operando na amplitude $a$, o período verdadeiro é $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} +
O(a^4)\bigr)$: o relógio contabiliza $2\pi$ enquanto $T(a)$ de fato transcorre, de modo que ele atrasa pela fração

$$
\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .
$$

Para $a = 0.2$ rad (cerca de $11.5$ graus): $\frac{a^2}{16} =
\frac{0.04}{16} = \frac1{400}$, e um dia tem $86400$ s: o relógio perde $86400/400 = 216$ segundos — uns três minutos e meio — por dia. Daí os dois remédios históricos: impor uma amplitude minúscula e constante (o escapamento), ou dobrar o vínculo de modo que o período seja exatamente independente da amplitude (as faces cicloidais de Huygens, 1657).

**16.** Em $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd
x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$, o integrando é, para cada $x$ fixo, estritamente decrescente em $E_0$: $\tau$ é estritamente decrescente. Quando $E_0 \downarrow 1$, os integrandos crescem pontualmente até $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} =
\frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$, cuja integral em $\intoo{-\pi}\pi$ diverge ($\cos\frac x2$ se anula em primeira ordem em $\pm\pi$): a convergência monótona dá $\tau(E_0)
\to +\infty$. Quando $E_0 \to +\infty$:

$$
\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi
$$

por convergência dominada (para $E_0 \geq 2$ o integrando é no máximo $\sqrt2$). Logo $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$: uma volta leva o tempo da rotação livre à velocidade $\sqrt{2E_0}$, reduzido o potencial a uma ondulação — batendo com a taxa de rotação da questão 10.

**17.** Os eixos carregam as soluções explícitas $t
\mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ e $t \mapsto (0,
y_0\eu^{-\gamma t})$, junto com o equilíbrio $(0, 0)$: eles são uniões de [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action). O campo é $\mathcal
C^1$, logo localmente lipschitziano; uma solução que comece em $Q$ e tocasse um eixo passaria por um ponto de uma dessas [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) e, pelo [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness), coincidiria com ela — impossível, uma vivendo no eixo e a outra não. Logo $Q$ é invariante nas duas direções do tempo. Equilíbrios em $Q$: $x > 0$ força $\alpha - \beta y = 0$ e $y > 0$ força $\delta x - \gamma = 0$: o único ponto $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta,
\frac\alpha\beta\bigr)$.

**18.** Ao longo de uma solução,

$$
\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' +
\Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y'
= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) +
(\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .
$$

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ tem $f'' = \gamma/x^2 > 0$, com $f'$ anulando-se apenas em $x_*$, e $f \to +\infty$ tanto em $0^+$ quanto em $+\infty$: estritamente convexa e própria, de mínimo $f(x_*)$; do mesmo modo, $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$, de mínimo $g(y_*)$. Logo $H \geq h_*$, com igualdade apenas em $(x_*,
y_*)$, e cada subnível $\{H \leq h\}\cap Q$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): $f(x) \leq h - g(y_*)$ confina $x$ a um intervalo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\intoo0{+\infty}$ por ser própria, do mesmo modo $y$, e o conjunto é fechado em $\R^2$, pois $H \to +\infty$ no bordo de $Q$. Uma [solução maximal](#thm-b3-ode-maximal) permanece em seu conjunto de nível [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), de modo que ela não pode deixar todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em tempo finito: o [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal) a torna global.

**19.** Fixe $h > h_*$ e ponha $c = h - g(y_*) >
f(x_*)$. Como $f$ decresce estritamente de $+\infty$ a $f(x_*)$ em $\intoc0{x_*}$ e cresce estritamente de volta até $+\infty$ em $\intco{x_*}{+\infty}$, a equação $f(x) = c$ tem exatamente duas raízes $x_- < x_* < x_+$, e $\{f \leq c\} =
\intcc{x_-}{x_+}$. Para $x \in \intoo{x_-}{x_+}$: $g(y) = h -
f(x) > g(y_*)$ tem exatamente duas raízes $y_-(x) < y_* <
y_+(x)$, [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $x$ (inversas das restrições [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) estritamente monótonas de $g$ de cada lado de $y_*$), com $y_\pm(x) \to y_*$ quando $x \to x_\pm$; em $x =
x_\pm$ a única solução é $y = y_*$. Logo $\{H = h\}\cap
Q$ é a união dos gráficos de $y_+$ e $y_-$ sobre $\intcc{x_-}{x_+}$, colados em $(x_\pm, y_*)$: uma curva fechada em torno de $(x_*, y_*)$ — o análogo dos ovais do pêndulo.

**20.** Seja $C_h = \{H = h\}\cap Q$ com $h > h_*$: o único equilíbrio de $Q$ está fora de $C_h$, de modo que o campo nunca se anula sobre ela. Sinais: $x' = \beta x(y_* - y)$, $y' =
\delta y(x - x_*)$: o movimento vai para a direita abaixo da reta $y
= y_*$, para cima à direita de $x = x_*$, para a esquerda acima e para baixo à esquerda — circulação anti-horária. Siga a solução a partir de um ponto $(x_0, y_-(x_0))$ do ramo inferior aberto, em que $x' > 0$: o tempo para atingir o canto direito $B = (x_+, y_*)$ é

$$
\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* -
y_-(x)\bigr)} .
$$

Perto de $x_+$, escolha $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$; para $x \in
\intcc{x'}{x_+}$, $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ($f'$ é crescente e positiva além de $x_*$), ao passo que a relação de nível e a desigualdade de Taylor dão $g(y_-(x)) -
g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* -
y_-(x))^2$ na faixa compacta de $y$ de $C_h$: logo $y_* -
y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ com $c > 0$, e o integrando é $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$: [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) — a convergência da questão 5, transposta. No resto do ramo, o integrando é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Logo $B$ é atingido em tempo finito; ali $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$, a [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) entra na região $x > x_*$, $y > y_*$, sobe até o canto superior $(x_*, y_+)$ pela estimativa simétrica (papéis de $f$ e $g$ trocados), e assim por diante ao longo dos quatro arcos: após um tempo finito $T > 0$ a solução retorna a seu ponto de partida. Pelo [Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness), ela é $T$-periódica — o argumento da questão 4, literalmente.

**21.** Numa [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) $T$-periódica em $Q$, $t \mapsto \ln
x(t)$ é $\mathcal C^1$ e $T$-periódica, de modo que

$$
0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t
= \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t
= \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,
$$

dando $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$; do mesmo modo, $0 =
\int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ dá $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$. As médias temporais são os valores de equilíbrio, para toda [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action), independentemente da amplitude — uma lei de conservação que ninguém colocou à mão.

**22.** Com colheita, o sistema é de novo da forma de Lotka–Volterra, com parâmetros $\alpha -
\varepsilon$, $\beta$, $\gamma + \varepsilon$, $\delta$ (o equilíbrio [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) persiste, pois $\varepsilon <
\alpha$). A questão 21 aplicada ao novo sistema:

$$
\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta}
\ \ (\text{média de presas sobe}),
\qquad
\bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta}
\ \ (\text{média de predadores cai}) :
$$

a colheita indiscriminada desloca o equilíbrio em favor da presa. Os dados de D’Ancona leem isso ao contrário: a guerra cortou a pesca, $\varepsilon$ caiu, de modo que a média de predadores $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ subiu e a média de presas caiu — uma fração maior de tubarões na captura, exatamente o que os mercados de peixe do Adriático registraram. Esse é o princípio de Volterra, o mesmo mecanismo por trás dos paradoxos dos pesticidas: abater os dois níveis tróficos beneficia o nível que é comido.

**23.** A receita, nas duas vezes: (i) uma integral primeira — $E$ para o pêndulo, $H$ aqui, obtida separando $\dd y/\dd x$ — colapsa o plano em curvas; (ii) a propriedade de ser própria e a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) dos conjuntos de nível dão a existência global pelo [Teorema 19.5](#thm-b3-ode-maximal); (iii) a geometria dos níveis — ovais, vindos da forma de $\cos$ lá e da convexidade estrita de $f$ e $g$ aqui — é lida na integral, não no [fluxo](#ex-b3-ode-planeclassification); (iv) um campo não nulo num oval [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), mais singularidades [integráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) nos cantos, força um tempo de retorno finito; (v) a unicidade ([Corolário 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) converte retorno em periodicidade e proíbe a chegada em tempo finito aos equilíbrios; (vi) os dividendos — expansões do período, leis de médias — vêm dos teoremas de convergência aplicados às integrais resultantes. Nem $x'' = -\sin x$ nem Lotka–Volterra admite solução elementar em forma fechada (integrais elípticas num caso, curvas de nível transcendentes no outro) e, em ponto algum, foi preciso uma: a própria equação, interrogada qualitativamente, entregou o movimento inteiro.

**24.** Num nível de energia $E_0 > 1$, $y^2 = 2(E_0 +
\cos x) > 0$: extremos de $y^2$ em $\cos x = \pm1$, dando as cotas enunciadas, atingidas em $x \equiv 0, \pi$. Média temporal num período $\tau = \tau(E_0)$: $x$ avança exatamente $2\pi$, de modo que

$$
\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) -
x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .
$$

A razão entre as velocidades extremas é $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 -
1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$: em alta energia, a ondulação $\pm1$ do potencial é desprezível diante de $E_0$, e o pêndulo gira quase uniformemente — a tábua de lavar se aplaina.

**25.** Em $E_0 \geq 1 + \delta$, o integrando de $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 +
\cos x)}}$ é dominado por $(2\delta)^{-1/2}$, e sua derivada em $E_0$,

$$
\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}
= -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}
$$

por $(2\delta)^{-3/2}$, ambos [integráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\intcc{-\pi}\pi$: a derivação sob o sinal de integral ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) se aplica e dá $\tau'(E_0) < 0$ (o integrando é estritamente negativo): estritamente decrescente, $\mathcal C^1$. Limites: quando $E_0 \to
\infty$, $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$; quando $E_0 \to 1^+$: escreva $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) +
2\cos^2\frac x2$; o integrando cresce quando $E_0$ decresce, de modo que, por convergência monótona,

$$
\tau(E_0) \;\nearrow\;
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}}
= +\infty,
$$

divergindo a integral limite em $x = \pm\pi$ (ali $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$, um $\frac1{\abs\cdot}$ não [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)): o período explode ao se aproximar da separatriz, batendo com o $T(a) \to
\infty$ da Parte II pelo lado das librações. O eixo da energia se lê: repouso em $E_0 = -1$; librações, $2\pi \nearrow
\infty$, em $\intoo{-1}1$; a separatriz infinitamente lenta em $E_0 = 1$; rotações, $\infty \searrow 0$, além. Uma integral, a vida inteira do pêndulo.