---
title: "Anéis e aritmética"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica
---

# Capítulo 2 — Anéis e aritmética

Os inteiros usuais se fatoram de maneira única em primos; o mesmo ocorre com os polinômios sobre um corpo. Esses dois fatos são um único teorema? Este capítulo responde que sim e encontra as hipóteses exatas que tornam possível uma “aritmética” em um anel comutativo: a cadeia

$$
\text{euclidiana} \;\Longrightarrow\; \text{principal}
\;\Longrightarrow\; \text{fatorial (DFU)},
$$

com todas as implicações demonstradas e todas as recíprocas refutadas. A teoria é então posta à prova onde ela mostra seu valor: os inteiros de Gauss $\Z[\iu]$ (que abrirão o teorema dos dois quadrados de Fermat no problema de fim de semana), os anéis de polinômios em várias variáveis (lema de Gauss, critério de [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria)) e os anéis [noetherianos](#def-b3-rings-noetherian), culminando no teorema da base de Hilbert. Ao longo de todo o capítulo, *anel* significa anel comutativo com unidade $1 \neq 0$; os [ideais](#def-b3-rings-ideal) de $\Z$ e de $K[X]$ vistos no volume do segundo ano são nossos dois exemplos condutores.

## 2.1 Ideais, quocientes e o teorema de isomorfismo

**Definição 2.1.**

Um *ideal* $I$ de um anel $A$ é um subgrupo aditivo tal que $AI \subseteq I$. O *anel quociente* $A/I$ é o [grupo quociente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-quotient) $(A, +)/I$ munido da multiplicação $(a + I)(b + I) = ab + I$: ela está bem definida, pois trocar $a$ por $a + x$ e $b$ por $b + y$ ($x, y \in I$) altera $ab$ de $ay + xb + xy \in I$. A projeção $\pi \colon A
\to A/I$ é um morfismo de anéis sobrejetor de núcleo $I$, e os núcleos dos morfismos de anéis são exatamente os ideais.

**Teorema 2.2 (Primeiro teorema de isomorfismo).**

Se $f \colon A \to B$ é um morfismo de anéis, então $\bar f\colon
A/\ker f \to \operatorname{im} f$, $a + \ker f \mapsto f(a)$, é um isomorfismo de anéis. Mais geralmente, $f$ se fatora por $A/I$ para todo [ideal](#def-b3-rings-ideal) $I \subseteq \ker f$. Os [ideais](#def-b3-rings-ideal) de $A/I$ são os $J/I$ com $J \supseteq I$ [ideal](#def-b3-rings-ideal) de $A$ (teorema da correspondência).

**Demonstração.** Como no caso dos grupos (Teoremas [1.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-firstiso) e [1.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-correspondence)), observando que todas as aplicações em jogo respeitam também os produtos: $\bar f$ está bem definida, é bijetora sobre a imagem e multiplicativa; a correspondência $J \mapsto J/I$, $\bar J \mapsto \pi^{-1}(\bar J)$ preserva [ideais](#def-b3-rings-ideal) nos dois sentidos porque $\pi$ é um morfismo de anéis sobrejetor. ∎

**Definição 2.3.**

Seja $I \subsetneq A$ um [ideal](#def-b3-rings-ideal) próprio. $I$ é *primo* se $ab \in I \Rightarrow a \in I$ ou $b \in I$; $I$ é *maximal* se nenhum [ideal](#def-b3-rings-ideal) está estritamente entre $I$ e $A$.

**Proposição 2.4.**

$I$ é primo $\iff$ $A/I$ é um domínio de integridade; $I$ é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) $\iff$ $A/I$ é um corpo. Em particular, os [ideais maximais](#def-b3-rings-primemaximal) são primos.

**Demonstração.** Escreva $\bar a$ para as classes em $A/I$. “$I$ primo” traduz-se literalmente por “$\bar a\bar b = 0 \Rightarrow \bar a = 0$ ou $\bar b
= 0$”, e $A/I \neq 0$ por $I \neq A$: essa é a definição de domínio. Para a maximalidade, use o teorema da correspondência: nenhum [ideal](#def-b3-rings-ideal) estritamente entre $I$ e $A$ $\iff$ $A/I$ não tem [ideal](#def-b3-rings-ideal) além de $0$ e de si mesmo $\iff$ $A/I$ é um corpo — quanto a esta última etapa: em um corpo, os únicos [ideais](#def-b3-rings-ideal) são $0$ e o corpo todo (um [ideal](#def-b3-rings-ideal) que contém $x \ne 0$ contém $x^{-1}x = 1$); reciprocamente, se todo $x$ não nulo gera o [ideal](#def-b3-rings-ideal) unidade, então $xy = 1$ para algum $y$. Corpos são domínios, logo os [ideais maximais](#def-b3-rings-primemaximal) são primos. ∎

**Exemplo 2.5.**

Em $\Z$: os [ideais primos](#def-b3-rings-primemaximal) são $(0)$ e os $(p)$, com $p$ primo; os maximais são os $(p)$ ($\Z/p\Z = \mathbb F_p$ é um corpo, $\Z/(0) = \Z$ não é). Em $K[X, Y]$: $(X) \subsetneq (X, Y)$ são ambos primos ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$, um domínio; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$, um corpo), de modo que $(X)$ é primo mas não [maximal](#def-b3-rings-primemaximal).

Para garantir em plena generalidade que [ideais maximais](#def-b3-rings-primemaximal) *existem*, precisamos de um princípio conjuntista. Um conjunto parcialmente ordenado é *indutivo* se todo subconjunto totalmente ordenado (*cadeia*) admite uma cota superior.

**Teorema 2.6 (Lema de Zorn).**

Todo conjunto parcialmente ordenado indutivo e não vazio tem um elemento [maximal](#def-b3-rings-primemaximal).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 2.7.**

Isso não é um teorema da matemática usual, mas um *axioma*: ele é equivalente, sobre os axiomas básicos de Zermelo–Fraenkel da teoria dos conjuntos, ao axioma da escolha (“todo produto de conjuntos não vazios é não vazio”), que aceitamos ao longo de todo este livro. Sinalizamos cada uso. A análise voltará a invocá-lo (Hahn–Banach, [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#ch-b3-banach)).

**Teorema 2.8 (Krull).**

Todo [ideal](#def-b3-rings-ideal) próprio $I \subsetneq A$ está contido em um [ideal maximal](#def-b3-rings-primemaximal).

**Demonstração.** Ordene por inclusão o conjunto $\mathcal E$ dos [ideais](#def-b3-rings-ideal) próprios que contêm $I$; ele é não vazio ($I \in \mathcal E$). Uma cadeia $(J_\lambda)$ em $\mathcal E$ tem por cota superior $J = \bigcup
J_\lambda$: um [ideal](#def-b3-rings-ideal) (dois elementos $a, b \in J$ quaisquer estão em um mesmo $J_\lambda$, por totalidade), próprio ($1 \notin J_\lambda$ para todo $\lambda$) e que contém $I$. O lema de Zorn fornece um elemento [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) de $\mathcal
E$, que é um [ideal maximal](#def-b3-rings-primemaximal) contendo $I$ (um [ideal](#def-b3-rings-ideal) próprio estritamente acima dele estaria em $\mathcal E$). ∎

**Teorema 2.9 (Teorema chinês dos restos).**

Sejam $I_1, \dots, I_n$ [ideais](#def-b3-rings-ideal) de $A$ dois a dois *comaximais* ($I_k + I_l = A$ para $k \neq l$). Então

$$
A\Big/\bigcap_{k=1}^n I_k \;\xrightarrow{\;\sim\;}\;
\prod_{k=1}^n A/I_k,
\qquad
a \longmapsto (a + I_1, \dots, a + I_n),
$$

e, além disso, $\bigcap_k I_k = I_1 I_2 \cdots I_n$ (o [ideal](#def-b3-rings-ideal) gerado pelos produtos).

**Demonstração.** A aplicação $f(a) = (a + I_k)_k$ é um morfismo de anéis de núcleo $\bigcap I_k$; pelo [Teorema 2.2](#thm-b3-rings-firstiso), basta demonstrar a sobrejetividade. Fixe $k$; para cada $l \neq k$ escreva $1 = u_l +
v_l$ com $u_l \in I_k$, $v_l \in I_l$ (comaximalidade). Então

$$
e_k = \prod_{l \neq k} v_l = \prod_{l\neq k}(1 - u_l)
\equiv 1 \pmod{I_k},
\qquad e_k \in I_l \ (l \neq k),
$$

logo $f(e_k) = (0, \dots, 1, \dots, 0)$; dado um alvo $(a_k +
I_k)_k$, o elemento $\sum_k a_k e_k$ é levado nele.

Produtos e interseção: $I_1\cdots I_n \subseteq \bigcap I_k$ sempre. Reciprocamente, por indução basta tratar o caso $n = 2$ (verifica-se que $I_1$ e $I_2\cdots I_n$ são [comaximais](#thm-b3-rings-crt): multiplicar $1 = u_l + v_l$ para $l \geq 2$ dá $1 \in I_1 + I_2\cdots
I_n$). Para $n = 2$: escreva $1 = u + v$, $u \in I_1$, $v \in I_2$; para $x \in I_1 \cap I_2$, $x = xu + xv \in I_2I_1 + I_1I_2 =
I_1I_2$. ∎

**Exemplo 2.10.**

Em $\Z$ com $I_k = (m_k)$ e $m_k$ dois a dois coprimos: $\Z/(m_1\cdots
m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — o teorema chinês dos restos do volume do segundo ano. Restringindo às unidades: $(\Z/mn\Z)^\times \cong
(\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ para $\gcd(m,n)=1$, donde a multiplicatividade da função $\varphi$ de Euler ([Exercício 2.8](#exo-b3-rings-8)).

## 2.2 Divisibilidade: euclidianos, principais, fatoriais

**Definição 2.11.**

Sejam $A$ um domínio de integridade e $a, b \in A$. Dizemos que $a$ *divide* $b$ ($a \mid b$) se $b \in (a) = aA$. Os elementos $a,
b$ são *associados* se $a = ub$ com $u \in A^\times$ (equivalentemente, $(a) = (b)$). Um elemento $p$ não nulo e não inversível é:

- *irredutível* se $p = ab$ força $a \in A^\times$ ou $b \in A^\times$ ;
- *primo* se $p \mid ab$ força $p  \mid a$ ou $p \mid b$ (isto é, o [ideal](#def-b3-rings-ideal) $(p)$ é primo).

**Proposição 2.12.**

Em todo domínio, primo $\Rightarrow$ [irredutível](#def-b3-rings-divisibility). A recíproca é falsa em geral: em $\Z[\iu\sqrt 5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b
\in \Z\}$, o elemento $2$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) mas não é primo.

**Demonstração.** Seja $p$ primo e $p = ab$. Então $p \mid ab$, digamos $p \mid a$: $a = pc$, logo $p = pcb$, e cancelando $p$ (é um domínio!) obtém-se $cb =
1$: $b \in A^\times$.

Em $\Z[\iu\sqrt5]$, use a norma $N(x + \iu y\sqrt 5) = x^2 +
5y^2$, que é multiplicativa (ela vale $\abs z^2$). Se $2 = ab$ com $a, b$ não inversíveis, então $4 = N(a)N(b)$ com $N(a), N(b) \neq
1$ (os elementos de norma $1$ são $\pm1$, as unidades), logo $N(a) = 2$: impossível, pois $x^2 + 5y^2 = 2$ não tem solução inteira. Assim $2$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility). Mas $2 \mid 6 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5)$ enquanto $2$ não divide nenhum dos fatores ($\frac12 \pm \frac{\iu\sqrt5}2
\notin \Z[\iu\sqrt5]$): ele não é primo. ∎

**Definição 2.13.**

Um domínio de integridade $A$ é:

- *euclidiano* se existe uma aplicação $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (uma *função euclidiana* ) tal que, para todos $a, b$ com $b \ne 0$ , existem $q, r$ com $a = bq + r$ e ( $r = 0$ ou $\nu(r) <  \nu(b)$ );
- *principal* (um *DIP* ) se todo [ideal](#def-b3-rings-ideal) é da forma $(a)$ ;
- *fatorial* (um *DFU* ) se todo elemento não nulo e não inversível é um produto de irredutíveis, único a menos da ordem e de [associados](#def-b3-rings-divisibility) .

**Teorema 2.14.**

[Euclidiano](#def-b3-rings-pidufd) $\Rightarrow$ principal.

**Demonstração.** Sejam $I \neq (0)$ um [ideal](#def-b3-rings-ideal) e $b \in I \setminus\{0\}$ com $\nu(b)$ mínimo. Para $a \in I$, divida: $a = bq + r$; então $r = a
- bq \in I$, e $\nu(r) < \nu(b)$ contradiria a minimalidade, de modo que $r = 0$ e $a \in (b)$: $I = (b)$. ∎

**Exemplo 2.15.**

$\Z$ (com $\nu = \abs\cdot$) e $K[X]$ (com $\nu = \deg$) são [euclidianos](#def-b3-rings-pidufd) — as duas divisões foram demonstradas no volume do segundo ano. O mesmo vale para $\Z[\iu]$, com $\nu = N$ a norma quadrática ([Exercício 2.4](#exo-b3-rings-4)); a geometria da demonstração está na figura abaixo. Existe um [DIP](#def-b3-rings-pidufd) que não é [euclidiano](#def-b3-rings-pidufd), mas é delicado certificá-lo (o exemplo padrão é $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$); um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) que não é [DIP](#def-b3-rings-pidufd) é fácil: $K[X, Y]$ ([Exercício 2.6](#exo-b3-rings-6)), ou $\Z[X]$.

![Divisão nos inteiros de Gauss: o quociente exato a/b ∈ ℂ está a distância no máximo ≤ √2/2 < 1 de algum ponto do reticulado q ∈ ℤ( ); então r = a - bq satisfaz N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Uma divisão euclidiana e, com ela, toda uma aritmética.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-rings/fig-8e52e956af22.svg)

*Divisão nos inteiros de Gauss: o quociente exato $a/b \in \C$ está a distância no máximo $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ de algum ponto do reticulado $q \in \Z[\iu]$; então $r = a - bq$ satisfaz $N(r) =
N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$. Uma divisão euclidiana e, com ela, toda uma aritmética.*

**Lema 2.16 (Cadeias ascendentes de ideais principais).**

Em um [DIP](#def-b3-rings-pidufd), toda sequência crescente de [ideais](#def-b3-rings-ideal) $I_1 \subseteq I_2
\subseteq \cdots$ é estacionária.

**Demonstração.** $I = \bigcup_n I_n$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal) (a reunião é crescente), logo $I =
(a)$; o elemento $a$ pertence a algum $I_N$ e, então, $I = (a)
\subseteq I_N \subseteq I_n \subseteq I$ para $n \geq N$. ∎

**Lema 2.17 (Bézout; lema de Euclides).**

Sejam $A$ um [DIP](#def-b3-rings-pidufd) e $a, b \in A$. Então $(a) + (b) = (d)$ para algum $d$, um *máximo divisor comum*: $d \mid a$, $d \mid b$, e todo divisor comum de $a,
b$ divide $d$; além disso, $d = au + bv$ para certos $u, v$ (Bézout). Consequentemente, todo [elemento irredutível](#def-b3-rings-divisibility) de um [DIP](#def-b3-rings-pidufd) é primo.

**Demonstração.** $(a) + (b)$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal), logo é $(d)$; $a, b \in (d)$ dá $d \mid
a, b$; e $d = au + bv \in (a) + (b)$. Um divisor comum $c$ de $a, b$ divide $au + bv = d$.

Euclides: seja $p$ [irredutível](#def-b3-rings-divisibility), $p \mid ab$, $p \nmid a$. Um mdc $d$ de $p$ e $a$ divide $p$, logo $d$ é inversível ou associado a $p$ (irredutibilidade); o caso associado está excluído por $p \nmid a$. Assim $1 = pu + av$, donde $b = pub + abv$, e $p$ divide ambos os termos: $p \mid b$. ∎

**Teorema 2.18.**

Principal $\Rightarrow$ fatorial.

**Demonstração.** *Existência.* Suponha que algum elemento $a$ não nulo e não inversível não admita fatoração em irredutíveis. Então $a$ não é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility): $a =
a_1b_1$ com ambos os fatores não inversíveis; ao menos um deles, digamos $a_1$, também não admite fatoração (um produto de dois elementos fatoráveis é fatorável). Iterando, obtemos $a = a_0, a_1, a_2,
\dots$, cada um divisor próprio do anterior e sem fatoração, de modo que $(a_0) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ — as inclusões são estritas porque $a_n = a_{n+1}c$ com $c$ não inversível significa que $(a_n) = (a_{n+1})$ forçaria $c \in A^\times$ (cancele, no domínio). Isso contradiz o [Lema 2.16](#lem-b3-rings-acc).

*Unicidade.* Seja $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$ com todos os fatores irredutíveis; mostremos $r \leq s$ por indução sobre $r$. O [elemento primo](#def-b3-rings-divisibility) ([Lema 2.17](#lem-b3-rings-bezout)) $p_1$ divide o membro direito, logo divide algum $q_j$; renumere para $j = 1$. Como $q_1$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) e $p_1$ não é inversível, $q_1 = u p_1$ com $u \in A^\times$: $p_1,
q_1$ são [associados](#def-b3-rings-divisibility). Cancele $p_1$: $p_2 \cdots p_r = (u q_2)
q_3\cdots q_s$ e conclua por indução ($r = 1$ força $s = 1$: uma unidade vezes irredutíveis não pode dar $1$). ∎

**Observação 2.19.**

Em um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) existem mdc (tome os expoentes mínimos nas fatorações) e vale o lema de Euclides — [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) $=$ primo ([Exercício 2.2](#exo-b3-rings-2)) —, mas Bézout pode falhar: em $\Z[X]$, $\gcd(2, X) = 1$ e no entanto $1 \neq 2U + XV$ (avalie em $X = 0$: $1 = 2U(0)$, impossível). As identidades de Bézout são propriedade exclusiva dos [DIP](#def-b3-rings-pidufd).

**Exemplo 2.20 (Um anel sem fatoração única).**

Nenhuma das implicações [euclidiano](#def-b3-rings-pidufd) $\Rightarrow$ [DIP](#def-b3-rings-pidufd) $\Rightarrow$ [DFU](#def-b3-rings-pidufd) é uma equivalência, e vale a pena ver ao menos uma vez, em detalhe completo, como a última falha. Em

$$
A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\},
\qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,
$$

a norma é multiplicativa e $N(z) = 1$ se, e somente se, $z \in
A^\times = \{\pm1\}$. Considere

$$
6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).
$$

Os quatro fatores são irredutíveis: suas normas são $4, 9, 6,
6$, e uma fatoração própria $z = z_1z_2$ forçaria $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — mas $a^2 + 5b^2$ nunca vale $2$ nem $3$ ($b = 0$ deixa os não quadrados $2, 3$; $\abs b \geq
1$ dá $\geq 5$). E, no entanto, $2$ não é associado a nenhum dos $1 \pm
\iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$): duas fatorações genuinamente distintas de $6$ em irredutíveis. De maneira equivalente, aqui [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) $\neq$ primo: $2$ divide o produto $(1 +
\iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mas não divide nenhum dos fatores (normas, de novo). O reparo desse fracasso pela via dos [ideais](#def-b3-rings-ideal) — fatorar *[ideais](#def-b3-rings-ideal)* em vez de elementos — é a certidão de nascimento da teoria algébrica dos números; em nosso nível, o exemplo calibra o quanto são especiais os anéis [euclidianos](#def-b3-rings-pidufd) $\Z$, $K[X]$ e $\Z[\iu]$ deste capítulo.

**Método 2.21.**

Para identificar um [anel quociente](#def-b3-rings-ideal) $A/I$, procure um morfismo sobrejetor $f \colon A \to B$ de núcleo $I$ e invoque o [Teorema 2.2](#thm-b3-rings-firstiso); quando $A = C[X]$ é um anel de polinômios, $f$ costuma ser uma avaliação. Assim $\Z[X]/(X^2+1) \cong
\Z[\iu]$ (avalie em $\iu$), $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ (avalie $Y$ em $X^2$), $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$. Para mostrar que $I$ é primo ou [maximal](#def-b3-rings-primemaximal), mostre que o quociente é um domínio ou um corpo ([Proposição 2.4](#prop-b3-rings-primemaximal)).

## 2.3 Polinômios sobre um DFU: Gauss e Eisenstein

Ao longo de toda esta seção, $A$ é um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) com corpo de frações $K$ (construído como o corpo dos quocientes formais $a/b$, $b \neq 0$, exatamente como $\Q$ a partir de $\Z$; o volume do segundo ano fez essa construção para $\Q$, e ela se transporta literalmente). Nosso objetivo: a fatorialidade passa de $A$ a $A[X]$, e a irredutibilidade sobre $A$ é essencialmente a irredutibilidade sobre o corpo maior $K$.

**Definição 2.22.**

O *conteúdo* $c(P)$ de um $P \in A[X]$ não nulo é um mdc de seus coeficientes (definido a menos de uma unidade); $P$ é *primitivo* se $c(P) \in A^\times$. Todo $P
\in A[X]$ se escreve $P = c(P)\,P_1$ com $P_1$ primitivo, e todo $P \in K[X]\setminus\{0\}$ se escreve $P = \lambda P_1$ com $\lambda
\in K^\times$ e $P_1 \in A[X]$ primitivo (elimine os denominadores e ponha o conteúdo em evidência).

**Lema 2.23 (Gauss).**

O produto de dois polinômios primitivos de $A[X]$ é primitivo; consequentemente, $c(PQ) = c(P)c(Q)$ a menos de unidades.

**Demonstração.** Sejam $P, Q$ primitivos e suponha que algum [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) (= primo, por ser [DFU](#def-b3-rings-pidufd)) $p$ divida todos os coeficientes de $PQ$. Reduza módulo $p$: em $(A/(p))[X]$, $\bar P \bar Q = 0$. Mas $A/(p)$ é um domínio ($(p)$ é primo), logo $(A/(p))[X]$ é um domínio (os coeficientes líderes se multiplicam), o que força $\bar P = 0$ ou $\bar Q = 0$: $p$ divide todos os coeficientes de $P$ ou todos os de $Q$, contradizendo a primitividade. Quanto à consequência, escreva $P = c(P)P_1$, $Q = c(Q)Q_1$: $PQ =
c(P)c(Q) P_1Q_1$ com $P_1Q_1$ primitivo. ∎

**Teorema 2.24.**

Sejam $A$ um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) e $K$ seu corpo de frações.

1. Um $P \in A[X]$ primitivo de grau $\geq 1$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) em $A[X]$ se, e somente se, é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) em $K[X]$ .
2. $A[X]$ é um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) ; seus irredutíveis são os irredutíveis de $A$ e os polinômios primitivos irredutíveis sobre $K$ . Em particular, $\Z[X]$ e, por indução, $K[X_1, \dots, X_n]$ e $\Z[X_1, \dots, X_n]$ são [DFU](#def-b3-rings-pidufd) .

**Demonstração.** (1) ($\Leftarrow$) Se $P = QR$ em $A[X]$ com $Q, R$ não inversíveis, então nenhum dos fatores é constante (um fator constante de um polinômio primitivo é uma unidade), de modo que a fatoração é própria em $K[X]$. ($\Rightarrow$) Suponha $P = QR$ com $Q, R \in K[X]$ de graus $\geq 1$. Escreva $Q = \lambda Q_1$, $R = \mu R_1$ com $Q_1, R_1
\in A[X]$ primitivos: $P = \lambda\mu\, Q_1R_1$, e $Q_1R_1$ é primitivo por Gauss. Tomando [conteúdos](#def-b3-rings-content), $\lambda\mu \in A^\times$ (ambos os lados têm [conteúdo](#def-b3-rings-content) unidade; formalmente, $\lambda\mu = c(P) \in
A^\times$ a menos de unidades e, em particular, $\lambda \mu \in A$): $P
= (\lambda\mu Q_1) R_1$ é uma fatoração própria em $A[X]$.

(2) Existência: dado $P \neq 0$ não inversível, fatore $P = c(P)P_1$, fatore $c(P)$ em irredutíveis de $A$ e fatore $P_1$ no [DFU](#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$ como $\prod Q_i$ com $Q_i \in K[X]$ irredutíveis; escrevendo $Q_i = \lambda_i R_i$ com $R_i \in A[X]$ primitivos (portanto irredutíveis sobre $K$ e, por (1), em $A[X]$), o produto $\prod \lambda_i$ é uma unidade de $A$ como antes, e $P_1 = u\prod
R_i$. Unicidade: compare a parte constante e a parte polinomial de uma fatoração; as constantes multiplicam-se em $c(P)$ (Gauss), única pela fatorialidade de $A$; as partes polinomiais dão duas fatorações em $K[X]$ de um mesmo polinômio, de modo que coincidem a menos de constantes de $K^\times$ (fatorialidade de $K[X]$, [Teorema 2.18](#thm-b3-rings-pidufd)), e polinômios primitivos [associados](#def-b3-rings-divisibility) em $K[X]$ são [associados](#def-b3-rings-divisibility) em $A[X]$: se $R = \lambda R'$ com $R, R'$ primitivos e $\lambda \in K^\times$, tomar [conteúdos](#def-b3-rings-content) força $\lambda \in A^\times$. ∎

**Teorema 2.25 (Critérios de irredutibilidade).**

Sejam $A$ um [DFU](#def-b3-rings-pidufd), $K$ seu corpo de frações e $P = a_nX^n + \dots
+ a_0 \in A[X]$ primitivo de grau $n \geq 1$.

1. ( *Redução* ) Se $p \in A$ é primo, $p \nmid a_n$ e a redução $\bar P$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) em $(A/(p))[X]$ , então $P$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) em $K[X]$ (e portanto em $A[X]$ ).
2. ( *Eisenstein* ) Se algum primo $p$ satisfaz $p \nmid a_n$ , $p \mid a_i$ para $0  \leq i < n$ , e $p^2 \nmid a_0$ , então $P$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) em $K[X]$ (e portanto em $A[X]$ ).

**Demonstração.** Pelo [Teorema 2.24](#thm-b3-rings-gaussufd)(1), uma fatoração própria sobre $K$ fornece $P = QR$ com $Q, R \in A[X]$, $\deg Q, \deg R \geq 1$ (as constantes estão excluídas: seriam unidades ou estragariam a primitividade).

(1) Reduza módulo $p$: $\bar P = \bar Q\bar R$ em $(A/(p))[X]$. Como $p \nmid a_n$ e o $\deg$ só pode diminuir sob redução, $\deg \bar
Q = \deg Q \geq 1$ e $\deg\bar R = \deg R \geq 1$ (seus coeficientes líderes multiplicam-se em $\bar a_n \neq 0$, logo nenhum deles cai): $\bar P$ se fatora propriamente — contradição.

(2) Reduza módulo $p$: $\bar Q \bar R = \bar P = \bar a_n X^n$ (todos os coeficientes inferiores morrem). No domínio $(A/(p))[X]$, as fatorações de $cX^n$ ($c \ne 0$) são em constantes e potências puras $c'X^k$: com efeito, se $\bar Q\bar R = \bar a_nX^n$ e, digamos, $\bar Q$ tivesse um coeficiente não nulo em grau $< \deg\bar Q$, tome os termos não nulos de menor grau: $\operatorname{val}(\bar Q\bar R) =
\operatorname{val}\bar Q + \operatorname{val}\bar R$ (domínio), o que deve coincidir com $n = \deg\bar Q + \deg\bar R$, forçando $\operatorname{val} = \deg$ para ambos: os dois são monômios. Como acima, os graus não caem, de modo que $Q$ e $R$ têm termos constantes $Q(0), R(0)$ divisíveis por $p$ — os dois, já que ambas as reduções são monômios de grau $\geq 1$. Então $p^2 \mid
Q(0)R(0) = a_0$: contradição. ∎

**Exemplo 2.26.**

$X^n - p$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$ para todo primo $p$ e todo $n
\geq 1$ ([Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria) em $p$): há polinômios irredutíveis de todos os graus sobre $\Q$ — em contraste flagrante com $\C$ (grau $1$, d’Alembert–Gauss, demonstrado no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#ch-b3-holomorphic)) e com $\R$ (graus $1, 2$). O truque da *translação* amplia o alcance de [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria): o *polinômio ciclotômico* de índice $p$, $\Phi_p = X^{p-1} +
\dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$, satisfaz

$$
\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X}
= X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},
$$

que é de [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria) em $p$ ($p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$, e $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): logo $\Phi_p(X+1)$ e, com ele, $\Phi_p$ são irredutíveis sobre $\Q$. Esse é o coração algébrico da história do $17$-ágono contada no [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois).

**Método 2.27.**

Para demonstrar que $P \in \Z[X]$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$: (i) torne $P$ primitivo; (ii) tente [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria), em $P(X)$ e nas translações $P(X \pm
1)$; (iii) tente a redução módulo primos pequenos que não dividam o coeficiente líder — a irredutibilidade módulo *um* único $p$ já basta, e sobre $\mathbb F_p$ a irredutibilidade é uma verificação finita (a ausência de raízes exclui fatores de grau $1$; depois, teste os finitos fatores de cada grau $\leq \deg P/2$); (iv) se tudo o mais falhar, coeficientes indeterminados. Cuidado: ser redutível módulo todo $p$ *não* implica ser redutível sobre $\Q$ ([Exercício 2.11](#exo-b3-rings-11)).

## 2.4 Anéis noetherianos

**Definição 2.28.**

Um anel $A$ é *noetheriano* se todo [ideal](#def-b3-rings-ideal) de $A$ é finitamente gerado.

**Proposição 2.29.**

$A$ é [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian) se, e somente se, toda sequência crescente de [ideais](#def-b3-rings-ideal) é estacionária (*condição de cadeia ascendente*), e se, e somente se, toda família não vazia de [ideais](#def-b3-rings-ideal) tem elemento [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) (para a inclusão).

**Demonstração.** *(Finitamente gerado $\Rightarrow$ CCA)*: para uma cadeia $I_1 \subseteq I_2
\subseteq \cdots$, a reunião $I$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal), gerado por $x_1,
\dots, x_r$; todos os $x_i$ pertencem a algum $I_N$, logo $I = I_N = I_n$ para $n \geq N$. *(CCA $\Rightarrow$ elementos maximais)*: se uma família não vazia $\mathcal F$ não tivesse elemento [maximal](#def-b3-rings-primemaximal), escolha $I_1 \in
\mathcal F$ e, indutivamente, $I_{n+1} \supsetneq I_n$ em $\mathcal F$ (é possível, pois $I_n$ não é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal)): uma cadeia infinita estritamente crescente. (Isso usa o axioma das escolhas dependentes, uma forma fraca da escolha com a qual não nos preocupamos.) *(Elementos maximais $\Rightarrow$ finitamente gerado)*: dado um [ideal](#def-b3-rings-ideal) $I$, a família dos [ideais](#def-b3-rings-ideal) finitamente gerados contidos em $I$ é não vazia ($(0)$); um elemento [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) $J = (x_1, \dots, x_r)$ tem de ser igual a $I$: caso contrário, acrescentar $x \in I \setminus J$ aos geradores produziria um membro estritamente maior da família. ∎

**Teorema 2.30 (Teorema da base de Hilbert).**

Se $A$ é [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian), $A[X]$ também é. Logo $A[X_1, \dots,
X_n]$ também são, e todo quociente deles.

**Demonstração.** Seja $I$ um [ideal](#def-b3-rings-ideal) de $A[X]$ e suponha que $I$ não seja finitamente gerado. Construa uma sequência: $f_1 \in I \setminus \{0\}$ de grau mínimo e, indutivamente, $f_{k+1} \in I \setminus (f_1,
\dots, f_k)$ de grau mínimo (o conjunto é não vazio, por hipótese). Os graus $d_k = \deg f_k$ são não decrescentes (pela minimalidade de cada escolha: $f_{k+1}$ estava disponível na etapa $k+1$… mais precisamente, $f_{k+1} \notin (f_1,\dots,f_k) \supseteq
(f_1, \dots, f_{k-1})$, de modo que $f_{k+1}$ concorreu na etapa $k$ e perdeu ou empatou: $d_{k+1} \geq d_k$). Seja $a_k \in A$ o coeficiente líder de $f_k$. A cadeia de [ideais](#def-b3-rings-ideal) $(a_1) \subseteq (a_1,
a_2) \subseteq \cdots$ estabiliza: $a_{n+1} \in (a_1, \dots,
a_n)$ para algum $n$, digamos $a_{n+1} = \sum_{k\leq n} u_k a_k$. Considere

$$
g = f_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} u_k X^{\,d_{n+1} - d_k} f_k .
$$

Então $g \in I \setminus (f_1, \dots, f_n)$ (a soma pertence ao [ideal](#def-b3-rings-ideal), $f_{n+1}$ não), e no entanto o coeficiente de grau $d_{n+1}$ se cancela: $\deg g < d_{n+1}$, contradizendo a minimalidade de $d_{n+1} = \deg f_{n+1}$.

Iterando, $A[X_1, \dots, X_n] = (A[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ é [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian); um quociente $A/I$ é [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian) porque seus [ideais](#def-b3-rings-ideal) $J/I$ se levantam a [ideais](#def-b3-rings-ideal) de $A$ (correspondência), onde uma quantidade finita de geradores se projeta sobre geradores. ∎

**Observação 2.31.**

A noetherianidade é o axioma de finitude da geometria algébrica: qualquer sistema de equações polinomiais em $n$ variáveis, por mais infinito que seja, é equivalente a um número finito delas — seu conjunto de soluções é recortado por finitos polinômios. Os [DIP](#def-b3-rings-pidufd) são [noetherianos](#def-b3-rings-noetherian) (trivialmente); $\Z[X_1, X_2, \dots]$ em uma infinidade de variáveis não é ($(X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots$). Anéis não [noetherianos](#def-b3-rings-noetherian) também surgem naturalmente em análise: as funções contínuas sobre $\intcc01$ formam um deles ([Exercício 2.10](#exo-b3-rings-10)).

## 2.5 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

Identifique os quocientes: (a) $\Z[X]/(X^2 + 1) \cong \Z[\iu]$; (b) $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$; (c) $\mathbb F_2[X]/(X^2 + X + 1)$ é um corpo com $4$ elementos — escreva sua tabela de multiplicação.

**Solução de Exercício 2.1.**

(a) A avaliação $f \colon \Z[X] \to \Z[\iu]$, $P \mapsto P(\iu)$, é um morfismo de anéis sobrejetor ($a + bX \mapsto a + b\iu$). Núcleo: divida $P$ pelo polinômio *mônico* $X^2 + 1$ em $\Z[X]$: $P = (X^2 +
1)Q + (bX + a)$ com $a, b \in \Z$; então $P(\iu) = a + b\iu = 0$ se, e somente se, $a = b = 0$. Logo $\ker f = (X^2+1)$, e o [Teorema 2.2](#thm-b3-rings-firstiso) conclui.

(b) O mesmo cálculo com coeficientes em $\R$: $\R[X]/(X^2+1)
\cong \C$ — esta é a *construção* mais limpa de $\C$.

(c) $X^2 + X + 1$ não tem raiz em $\mathbb F_2$ ($0, 1 \mapsto 1$), de modo que, tendo grau $2$, é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility): o quociente $\mathbb
F_4 = \mathbb F_2[X]/(X^2+X+1)$ é um corpo ([Proposição 2.4](#prop-b3-rings-primemaximal); $(P)$ é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) em $K[X]$ quando $P$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility), pois $K[X]$ é um [DIP](#def-b3-rings-pidufd): um [ideal](#def-b3-rings-ideal) $(D) \supseteq
(P)$ significa $D \mid P$). Seus quatro elementos são $0, 1, \omega,
\omega + 1$, em que $\omega = \bar X$, com $\omega^2 = \omega + 1$. Tabela de multiplicação (elementos não nulos):

$$
\omega \cdot \omega = \omega + 1, \qquad
\omega(\omega + 1) = \omega^2 + \omega = 1, \qquad
(\omega+1)^2 = \omega^2 + 1 = \omega .
$$

Os elementos não nulos formam um grupo cíclico de ordem $3$ gerado por $\omega$.

**Exercício 2.2 ★.**

(a) Mostre que, em um [DFU](#def-b3-rings-pidufd), todo [elemento irredutível](#def-b3-rings-divisibility) é primo. (b) Mostre que um domínio de integridade finito é um corpo. (c) Deduza que, em um anel finito, todo [ideal primo](#def-b3-rings-primemaximal) é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal).

**Solução de Exercício 2.2.**

(a) Seja $p$ [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) em um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) e $p \mid ab$, digamos $ab =
pc$, com $a, b \neq 0$ (do contrário é trivial). Se $a$ ou $b$ é inversível, $p$ divide o outro. Do contrário, fatore $a$, $b$ e $c$ em irredutíveis: as duas fatorações de $ab$,

$$
(\text{fatores de } a)(\text{fatores de } b) = p \cdot
(\text{fatores de } c),
$$

têm de coincidir a menos da ordem e de [associados](#def-b3-rings-divisibility): $p$ é associado a algum fator [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) de $a$ ou de $b$, logo o divide.

(b) Sejam $A$ um domínio finito e $x \neq 0$. A aplicação $y \mapsto
xy$ é injetora ($xy = xy' \Rightarrow x(y - y') = 0 \Rightarrow
y = y'$), logo sobrejetora ($A$ é finito): $1 = xy$ para algum $y$.

(c) Se $\mathfrak p$ é primo em um anel finito $A$, então $A/\mathfrak p$ é um domínio finito, logo um corpo por (b), de modo que $\mathfrak p$ é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) ([Proposição 2.4](#prop-b3-rings-primemaximal)).

**Exercício 2.3 ★.**

Em $\Z[\iu\sqrt5]$: verifique que $3$, $1 + \iu\sqrt5$ e $1 -
\iu\sqrt5$ são irredutíveis, que $9 = 3\cdot 3 = (2 +
\iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5)$, e conclua de novo (depois da [Proposição 2.12](#prop-b3-rings-primeirred)) que $\Z[\iu\sqrt5]$ não é um [DFU](#def-b3-rings-pidufd). Onde exatamente a unicidade falha?

**Solução de Exercício 2.3.**

Normas: $N(3) = 9$, $N(1 \pm \iu\sqrt5) = 6$, $N(2 \pm \iu\sqrt5) =
9$. As equações $x^2 + 5y^2 = 2$ e $x^2 + 5y^2 = 3$ não têm soluções inteiras, de modo que nenhum elemento tem norma $2$ ou $3$. Uma fatoração própria de $3$ exigiria dois fatores de norma $3$: impossível — $3$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility). Uma fatoração própria de $1
\pm \iu\sqrt5$ (norma $6$) exigiria fatores de normas $2, 3$: impossível. O mesmo para $2 \pm \iu\sqrt5$ (norma $9$: os fatores teriam norma $3$). Ora,

$$
9 = 3 \cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5),
$$

são duas fatorações em irredutíveis. Elas são genuinamente distintas: as unidades são $\pm 1$ (norma $1$), e $2 \pm \iu\sqrt5
\neq \pm 3$. Logo a unicidade falha — ao passo que a existência de fatorações vale em $\Z[\iu\sqrt5]$ ([Exercício 2.10](#exo-b3-rings-10)(c)): a não fatorialidade aqui é uma falha puramente de unicidade. (Coerentemente, [Proposição 2.12](#prop-b3-rings-primeirred): esses irredutíveis não são primos.)

**Exercício 2.4 ★★.**

(a) Mostre que $\Z[\iu]$ é [euclidiano](#def-b3-rings-pidufd) para a norma $N(x + \iu y) =
x^2 + y^2$: dados $a, b \neq 0$, escolha $q \in \Z[\iu]$ mais próximo de $a/b \in \C$. (b) Determine $\Z[\iu]^\times$. (c) Mesmas questões para $\Z[\iu\sqrt2]$ e $N(x + \iu y\sqrt2) =
x^2 + 2y^2$. Por que o mesmo argumento falha para $\Z[\iu\sqrt5]$?

**Solução de Exercício 2.4.**

(a) Sejam $a, b \in \Z[\iu]$, $b \neq 0$ e $a/b = x + \iu y \in
\C$. Escolha inteiros $m, n$ com $\abs{x - m} \leq \frac12$, $\abs{y - n} \leq \frac12$, e ponha $q = m + \iu n$, $r = a - bq$. Então

$$
N(r) = N(b)\,\abs*{\tfrac ab - q}^2
\leq N(b)\Bigl(\tfrac14 + \tfrac14\Bigr) = \tfrac{N(b)}2 < N(b).
$$

Assim $N$ é uma função euclidiana ($N(r) < N(b)$ ou $r = 0$).

(b) Se $uv = 1$, então $N(u)N(v) = 1$ com $N(u) \in \N$: $N(u) =
1$, isto é, $x^2 + y^2 = 1$: $u \in \{\pm 1, \pm\iu\}$; reciprocamente, esses são unidades.

(c) Para $\Z[\iu\sqrt2]$: o mesmo arredondamento dá $\abs{a/b - q}^2
\leq \frac14 + \frac{2}4 = \frac34 < 1$: [euclidiano](#def-b3-rings-pidufd); unidades: $x^2 +
2y^2 = 1$ dá $\pm 1$. Para $\Z[\iu\sqrt5]$, a cota se torna $\frac14 + \frac54 = \frac32 > 1$: o argumento de arredondamento falha — e tem de falhar, pois $\Z[\iu\sqrt5]$ não é sequer um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) ([Exercício 2.3](#exo-b3-rings-3)), enquanto [euclidiano](#def-b3-rings-pidufd) implicaria [DFU](#def-b3-rings-pidufd) (Teoremas [2.14](#thm-b3-rings-euclideanpid) e [2.18](#thm-b3-rings-pidufd)).

**Exercício 2.5 ★★.**

Seja $A$ um anel. (a) Mostre que, se $x$ é nilpotente ($x^n = 0$ para algum $n$), então $1 + x \in A^\times$. (b) Mostre que, se $A$ é um domínio, $A[X]^\times = A^\times$; dê um contraexemplo sobre $\Z/4\Z$. (c) Mostre que um domínio não tem idempotentes ($e^2 = e$) além de $0, 1$, nem nilpotentes além de $0$.

**Solução de Exercício 2.5.**

(a) Se $x^n = 0$:

$$
(1 + x)\bigl(1 - x + x^2 - \dots + (-1)^{n-1}x^{n-1}\bigr)
= 1 + (-1)^{n-1}x^n = 1 .
$$

(b) Em um domínio, $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$; $PQ = 1$ força $\deg P = \deg Q = 0$ e $P, Q \in A^\times$: $A[X]^\times =
A^\times$. Sobre $\Z/4\Z$: $(1 + 2X)^2 = 1 + 4X + 4X^2 = 1$, de modo que $1
+ 2X$ é uma unidade de grau $1$ (aqui $2$ é nilpotente; compare com (a)).

(c) $e^2 = e$ dá $e(e - 1) = 0$, de modo que $e \in \{0, 1\}$ em um domínio. Se $x^n = 0$ com $n \geq 1$ mínimo e $x \ne 0$, então $n \geq 2$ e $x \cdot x^{n-1} = 0$ com os dois fatores não nulos: contradição.

**Exercício 2.6 ★★.**

Em $A = K[X, Y]$: (a) mostre que o [ideal](#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) mas não é principal — de modo que $K[X,Y]$ é um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) ([Teorema 2.24](#thm-b3-rings-gaussufd)) que não é um [DIP](#def-b3-rings-pidufd); (b) identifique $K[X, Y]/(Y - X^2)$ e $K[X,Y]/(XY - 1)$ como subanéis de funções racionais; (c) $(Y - X^2)$ é primo? é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal)?

**Solução de Exercício 2.6.**

(a) $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ (avalie em $(0,0)$): um corpo, de modo que $(X,Y)$ é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal). Se $(X, Y) = (P)$: $P \mid X$ força (graus em $Y$) $P \in K[X]$, e $P \mid Y$ força então $P \in K$; $P =
0$ é absurdo, e $P \in K^\times$ daria $(P) = K[X,Y]$, contradizendo a propriedade de ser próprio ($K[X,Y]/(X,Y) \cong K \neq 0$). Logo $(X,Y)$ não é principal.

(b) A avaliação $P(X, Y) \mapsto P(X, X^2)$ leva $K[X,Y]$ sobre $K[X]$; seu núcleo é $(Y - X^2)$: dividindo pelo polinômio $Y - X^2$, mônico em $Y$, $P = (Y - X^2)Q + R(X)$, e $P(X, X^2) =
R(X)$. Logo $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ — o anel de coordenadas de uma parábola, isomorfo ao de uma reta.

A avaliação $P(X, Y) \mapsto P(X, X^{-1})$ leva $K[X, Y]$ sobre o anel $K[X, X^{-1}]$ dos polinômios de Laurent. Seu núcleo contém $(XY - 1)$; reciprocamente, módulo $XY - 1$ toda classe tem um representante $R = \sum_{n \geq 0} a_nX^n + \sum_{m \geq 1} b_m
Y^m$ (substitua repetidamente cada produto $XY$ por $1$), e $R(X,
X^{-1}) = \sum a_n X^n + \sum b_m X^{-m} = 0$ força todos os $a_n =
b_m = 0$. Logo $K[X, Y]/(XY - 1) \cong K[X, X^{-1}]$ — o anel de coordenadas de uma hipérbole: a reta menos um ponto.

(c) $(Y - X^2)$ é primo (o quociente $K[X]$ é um domínio), mas não é [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) ($K[X]$ não é corpo; concretamente, $(Y - X^2) \subsetneq
(Y - X^2,\, X) \subsetneq K[X,Y]$).

**Exercício 2.7 ★★.**

[Irredutível](#def-b3-rings-divisibility) ou não sobre $\Q$: $X^5 - 12X^3 + 36X - 12$; $X^4 + X + 1$ *(reduza módulo $2$)*; $X^4 + 4$; $\Phi_8 = X^4 + 1$ *(translade por $1$)*; $X^3 - X - 1$.

**Solução de Exercício 2.7.**

*$X^5 - 12X^3 + 36X - 12$*: [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria) em $p = 3$ ($3 \mid
12, 36, 12$; $9 \nmid 12$; $3 \nmid 1$): [irredutível](#def-b3-rings-divisibility). (Em $p = 2$, [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria) falha: $4 \mid 12$.)

*$X^4 + X + 1$*: reduza módulo $2$. Não há raiz em $\mathbb F_2$; a única quadrática [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_2$ é $X^2 + X +
1$, e $(X^2+X+1)^2 = X^4 + X^2 + 1 \neq X^4 + X + 1$. Logo $X^4 +
X + 1$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_2$ e, portanto, sobre $\Q$ ([Teorema 2.25](#thm-b3-rings-criteria)(1); ele é mônico).

*$X^4 + 4$*: redutível — a identidade de Sophie Germain, $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$.

*$X^4 + 1$*: translade, $(X+1)^4 + 1 = X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X +
2$: [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria) em $2$. Uma fatoração de $X^4+1$ se transladaria em uma de $(X+1)^4 + 1$: [irredutível](#def-b3-rings-divisibility).

*$X^3 - X - 1$*: uma cúbica é redutível sobre $\Q$ se, e somente se, tem raiz racional; e uma raiz racional de um polinômio inteiro mônico é um inteiro que divide o termo constante (teorema da raiz racional: se $(p/q)$, em forma [irredutível](#def-b3-rings-divisibility), é raiz, então $q \mid 1$, $p \mid -1$), e $\pm 1$ não são raízes ($-1$ e $-1$): [irredutível](#def-b3-rings-divisibility).

**Exercício 2.8 ★★.**

(a) A partir do [Teorema 2.9](#thm-b3-rings-crt), demonstre que a função de Euler é multiplicativa em argumentos coprimos e que $\varphi(p^k) =
p^{k-1}(p-1)$; recupere $\varphi(n) = n\prod_{p \mid n}(1 -
\frac1p)$. (b) Resolva: $x \equiv 2 \pmod 7$, $x \equiv 5 \pmod{11}$, $x
\equiv 1 \pmod{13}$, exibindo os idempotentes $e_k$ da demonstração do [Teorema 2.9](#thm-b3-rings-crt).

**Solução de Exercício 2.8.**

(a) Para $\gcd(m, n) = 1$, o [Teorema 2.9](#thm-b3-rings-crt) dá um isomorfismo de anéis $\Z/mn\Z \cong \Z/m\Z \times \Z/n\Z$. Um elemento de um anel produto é unidade se, e somente se, ambas as coordenadas o são, de modo que $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ e $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$. Para uma potência de primo, os não inversíveis de $\Z/p^k\Z$ são as classes dos múltiplos de $p$: $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$. Logo

$$
\varphi(n) = \prod_i \bigl(p_i^{\alpha_i} -
p_i^{\alpha_i-1}\bigr) = n \prod_{p \mid n}\Bigl(1 -
\frac1p\Bigr).
$$

(b) $M = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$. Idempotentes: $e_1 \equiv
(1, 0, 0)$: $143 = 11\cdot13 \equiv 3 \pmod 7$ e $3 \cdot 5
\equiv 1$: $e_1 = 143 \cdot 5 = 715$. $e_2$: $91 \equiv 3
\pmod{11}$, $3 \cdot 4 \equiv 1$: $e_2 = 91\cdot4 = 364$. $e_3$: $77 \equiv -1 \pmod{13}$: $e_3 = 77 \cdot 12 = 924$. Então

$$
x \equiv 2\,e_1 + 5\,e_2 + 1\,e_3 = 1430 + 1820 + 924 = 4174
\equiv 170 \pmod{1001},
$$

e, de fato, $170 = 24\cdot7 + 2 = 15\cdot11 + 5 = 13\cdot13 + 1$.

**Exercício 2.9 ★★★.**

(O nilradical) Seja $\operatorname{Nil}(A)$ o conjunto dos elementos nilpotentes. (a) Mostre que $\operatorname{Nil}(A)$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal) contido em todo [ideal primo](#def-b3-rings-primemaximal). (b) Reciprocamente, seja $a$ não nilpotente; usando o lema de Zorn sobre os [ideais](#def-b3-rings-ideal) que evitam $S =
\{a^n : n \in \N\}$, produza um [ideal primo](#def-b3-rings-primemaximal) que não contenha $a$. Conclua:

$$
\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p \text{ primo}}
\mathfrak p .
$$

**Solução de Exercício 2.9.**

(a) Se $x^n = 0$ e $y^m = 0$, a expansão binomial de $(x+y)^{n+m}$ tem todo termo $x^iy^j$ com $i + j = n + m$, de modo que $i
\geq n$ ou $j \geq m$: cada termo se anula, e $x + y$ é nilpotente; $(ax)^n = a^nx^n = 0$: $\operatorname{Nil}(A)$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal). Se $\mathfrak p$ é primo e $x^n = 0 \in \mathfrak p$, a indução sobre $n$ dá $x \in \mathfrak p$ ($x \cdot x^{n-1} \in
\mathfrak p$).

(b) Sejam $a \notin \operatorname{Nil}(A)$ e $S = \{a^n : n \geq
1\}$, de modo que $0 \notin S$. O conjunto $\mathcal E$ dos [ideais](#def-b3-rings-ideal) disjuntos de $S$ contém $(0)$ e é indutivo (a reunião de uma cadeia de [ideais](#def-b3-rings-ideal) disjuntos de $S$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal) disjunto de $S$): Zorn fornece $\mathfrak p \in \mathcal E$ [maximal](#def-b3-rings-primemaximal). $\mathfrak p$ é próprio ($a \notin \mathfrak p$, pois $a \in S$). Primalidade: sejam $x, y \notin \mathfrak p$. Pela maximalidade, $\mathfrak p + (x)$ e $\mathfrak p + (y)$ encontram $S$: $a^m \in \mathfrak p + (x)$, $a^n
\in \mathfrak p + (y)$. Multiplicando, $a^{m+n} \in \mathfrak p +
(xy)$. Se $xy \in \mathfrak p$, então $a^{m+n} \in \mathfrak p \cap
S$: absurdo. Logo $xy \notin \mathfrak p$ — a contrapositiva da primalidade. Assim, todo elemento não nilpotente evita algum [ideal primo](#def-b3-rings-primemaximal); com (a), $\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p$.

**Exercício 2.10 ★★★.**

(a) Sejam $A$ [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian) e $f \colon A \to A$ um morfismo de anéis sobrejetor. Mostre que $f$ é injetor. *(Considere $\ker
f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$.)* (b) Mostre que o anel $\mathcal C(\intcc01, \R)$ das funções contínuas não é [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian). *(Considere $I_n = \{f : f = 0
\text{ em } \intcc0{1/n}\}$.)* (c) Mostre que, em um *domínio* [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian), todo elemento não nulo e não inversível é um produto (finito) de irredutíveis — de modo que a não fatorialidade de $\Z[\iu\sqrt 5]$ é uma falha apenas de *unicidade*.

**Solução de Exercício 2.10.**

(a) A cadeia $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ estabiliza ([Proposição 2.29](#prop-b3-rings-noethacc)): $\ker f^n = \ker
f^{n+1}$ para algum $n$. Seja $x \in \ker f$. Como $f$, logo $f^n$, é sobrejetora, $x = f^n(y)$ para algum $y$; então $f^{n+1}(y) = f(x) =
0$, de modo que $y \in \ker f^{n+1} = \ker f^n$, isto é, $x = f^n(y) = 0$.

(b) $I_n = \{f \in \mathcal C(\intcc01, \R) : f\restriction_{
\intcc0{1/n}} = 0\}$ é um [ideal](#def-b3-rings-ideal), e $I_n \subseteq I_{n+1}$. A inclusão é estrita: $x \mapsto \max\bigl(0, x -
\frac1{n+1}\bigr)$ se anula em $\intcc0{\frac1{n+1}}$, mas não em $\intcc0{\frac1n}$. Uma cadeia infinita estritamente crescente contradiz a [Proposição 2.29](#prop-b3-rings-noethacc).

(c) Suponha não vazio o conjunto dos elementos não nulos e não inversíveis que não admitem fatoração em irredutíveis. A família correspondente de [ideais](#def-b3-rings-ideal) $\{(a)\}$ tem elemento [maximal](#def-b3-rings-primemaximal) $(a)$ ([Proposição 2.29](#prop-b3-rings-noethacc)). O elemento $a$ não é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) (um [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) é sua própria fatoração), de modo que $a = bc$ com $b, c$ não inversíveis; $(a) \subseteq (b)$ é estrita (pois $(a) =
(b)$ daria $b = ad$, $a = adc$, logo $dc = 1$: $c$ inversível), e analogamente $(a) \subsetneq (c)$. Pela maximalidade, $b$ e $c$ se fatoram ambos em irredutíveis; concatenar os fatores fatoriza $a$: contradição. Aplicado a $\Z[\iu\sqrt5]$ — [noetheriano](#def-b3-rings-noetherian) por ser quociente de $\Z[X]$ ([Teorema 2.30](#thm-b3-rings-hilbert), $\Z[\iu\sqrt5]
\cong \Z[X]/(X^2+5)$) —, isso mostra que ali existem fatorações; o [Exercício 2.3](#exo-b3-rings-3) mostrou que o que falha é a unicidade.

**Exercício 2.11 ★★★.**

Seja $P = X^4 + 1$. (a) Mostre que $P$ é [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$ ([Exercício 2.7](#exo-b3-rings-7)). (b) Mostre que $P$ é redutível módulo *todo* primo $p$: trate $p = 2$; depois, para $p$ ímpar, mostre que $8 \mid p^2 - 1$ e admita por ora (demonstrado no [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois)) que o grupo multiplicativo do corpo com $p^2$ elementos é cíclico, para concluir que $P$ se decompõe em dois fatores quadráticos módulo $p$; explicite-os quando um dos números $-1$, $2$, $-2$ é um quadrado módulo $p$, e mostre que um deles sempre é.

**Solução de Exercício 2.11.**

(a) [Exercício 2.7](#exo-b3-rings-7): translade e aplique [Eisenstein](#thm-b3-rings-criteria) em $2$.

(b) Módulo $2$: $X^4 + 1 = (X + 1)^4$. Seja agora $p$ ímpar. Os quadrados formam um subgrupo de índice $2$ em $(\Z/p\Z)^\times$: o morfismo $x \mapsto x^2$ tem núcleo $\{\pm 1\}$ (dois elementos: $X^2
- 1$ tem no máximo $2$ raízes em um corpo, e $1 \neq -1$ para $p$ ímpar), de modo que sua imagem tem $\frac{p-1}2$ elementos. Consequentemente, o produto de dois não quadrados é um quadrado (no [grupo quociente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-quotient) de ordem $2$, $\overline{xy} = \bar x\bar y$). Logo *ao menos um dentre $-1$, $2$, $-2$ é um quadrado módulo $p$* (se $-1$ e $2$ não o são, $-2 = (-1)\cdot 2$ o é). Em cada caso, $X^4 + 1$ se fatora módulo $p$:

- $-1 = c^2$ : $X^4 + 1 = X^4 - c^2 = (X^2 - c)(X^2 +  c)$ ;
- $2 = c^2$ : $(X^2 + cX + 1)(X^2 - cX + 1) = X^4 + (2  - c^2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ ;
- $-2 = c^2$ : $(X^2 + cX - 1)(X^2 - cX - 1) = X^4 -  (c^2 + 2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ .

Assim, $X^4+1$ é redutível módulo todo primo e, no entanto, [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$: o critério de redução ([Teorema 2.25](#thm-b3-rings-criteria)(1)) detecta a irredutibilidade, mas sua falha nada demonstra.

(Quanto à razão estrutural: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$ é um produto de dois números pares consecutivos, de modo que $8 \mid p^2 - 1$; o grupo cíclico $\mathbb F_{p^2}^\times$ (ciclicidade demonstrada no [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois)) contém então um elemento $\zeta$ de ordem $8$, raiz de $X^4 + 1$; seu polinômio minimal sobre $\mathbb
F_p$ divide $X^4+1$ e tem grau $\leq 2$ — $X^4+1$ nunca pode ser [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) módulo $p$.)

**Exercício 2.12 ★★.**

(Idempotentes decompõem anéis) Um elemento $e$ de um anel comutativo $A$ é *idempotente* se $e^2 = e$. (a) Mostre que, se $e$ é idempotente, $1 - e$ também é, e que a aplicação $x \mapsto (ex, (1-e)x)$ é um isomorfismo de anéis $A
\cong Ae \times A(1-e)$, onde $Ae$ é um anel de unidade $e$. (b) Encontre todos os idempotentes de um domínio e os de $\Z/12\Z$; exiba o isomorfismo $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z \times \Z/3\Z$ nomeando seus dois idempotentes não triviais. (c) Mostre que a decomposição de $\Z/n\Z$ pelo teorema chinês dos restos ([Exemplo 2.10](#ex-b3-rings-crtz)) corresponde exatamente aos idempotentes $e_i \equiv 1 \bmod p_i^{a_i}$, $e_i \equiv 0$ módulo as demais potências de primos: os anéis se decompõem ao longo de seus idempotentes como os espaços se decompõem ao longo de projeções.

**Solução de Exercício 2.12.**

(a) $(1-e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - e$. A aplicação $\varphi(x) =
(ex, (1-e)x)$ é aditiva e multiplicativa, com valores no produto dos dois [ideais](#def-b3-rings-ideal): $exey = e^2xy = e(xy)$, e $Ae$ é um anel comutativo de unidade $e$ ($e\cdot ex = ex$). Injetora: $ex = 0$ e $(1-e)x = 0$ somam $x = 0$. Sobrejetora: $(ea,
(1-e)b)$ é a imagem de $ea + (1-e)b$ (calcule as duas componentes usando $e(1-e) = 0$). As unidades se correspondem corretamente com os pares do tipo $(1, 0)$: $\varphi(1) = (e, 1-e)$, a unidade do produto.

(b) Em um domínio, $e(e - 1) = 0$ força $e \in \{0, 1\}$: só há idempotentes triviais. Em $\Z/12\Z$, resolvendo $e^2 \equiv e$: $e
\in \{0, 1, 4, 9\}$. O par não trivial $\{4, 9\}$: $4 + 9 =
13 \equiv 1$, $4\cdot9 = 36 \equiv 0$, e $\Z/12\Z\cdot4 =
\{0, 4, 8\} \cong \Z/3\Z$ (unidade $4$), $\Z/12\Z\cdot9 = \{0,
3, 6, 9\} \cong \Z/4\Z$ (unidade $9$): a decomposição do teorema chinês dos restos $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z\times\Z/3\Z$, com $9 \leftrightarrow
(1, 0)$ e $4 \leftrightarrow (0, 1)$.

(c) Sob o isomorfismo do teorema chinês dos restos $\Z/n\Z \cong \prod_i
\Z/p_i^{a_i}\Z$, o elemento $e_i$ com as congruências indicadas corresponde à upla com $1$ na posição $i$ e $0$ nas demais: os idempotentes elementares do produto. Reciprocamente, uma família completa de idempotentes ortogonais ($e_ie_j = 0$ para $i \neq j$, $\sum e_i = 1$) remonta a decomposição em produto por (a), indutivamente. Os idempotentes estão para os anéis como as projeções ortogonais estão para os espaços de Hilbert ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#ch-b3-hilbert)): as coordenadas de uma decomposição direta interna.

## 2.6 Problema: o teorema dos dois quadrados de Fermat

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — somas de dois quadrados, via $\Z[\iu]$

Quais inteiros são somas de dois quadrados? A resposta de Fermat (1640) é uma das joias da aritmética; os inteiros de Gauss transformam sua demonstração em teoria de anéis. Ao longo de todo o problema, $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ designa a norma, $\Z[\iu]$ é [euclidiano](#def-b3-rings-pidufd) ([Exercício 2.4](#exo-b3-rings-4)), logo um [DIP](#def-b3-rings-pidufd) e um [DFU](#def-b3-rings-pidufd), e *primo de Gauss* significa [elemento primo](#def-b3-rings-divisibility) (= [irredutível](#def-b3-rings-divisibility)) de $\Z[\iu]$.

**Parte I — Normas e primos de Gauss.**

1. Verifique $N(zw) = N(z)N(w)$ , deduza de novo $\Z[\iu]^\times =  \{\pm1, \pm\iu\}$ e demonstre a *identidade de Brahmagupta* : um produto de duas somas de dois quadrados é uma soma de dois quadrados.
2. Mostre que, se $N(z)$ é um número primo, então $z$ é um primo de Gauss.
3. Mostre que todo primo de Gauss $\pi$ divide exatamente um número primo $p$ *(considere $N(\pi) = \pi\bar\pi$)* e que, então, $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .
4. Deduza a dicotomia: para cada primo $p$ , ou $p$ permanece primo em $\Z[\iu]$ (e não existe primo de Gauss de norma $p$ ), ou $p = \pi\bar\pi$ com $\pi$ um primo de Gauss de norma $p$ — e então $p = a^2 + b^2$ .

**Parte II — Teorema de Wilson e $-1$ módulo $p$.**

5. Demonstre o *teorema de Wilson* : para $p$ primo, $(p-1)!  \equiv -1 \pmod p$ . *(Emparelhe cada resto com seu inverso; quais são os que se emparelham consigo mesmos?)*
6. Sejam $p$ um primo ímpar e $m = \frac{p-1}2$ . Mostre que $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ *(em $(p-1)!$, substitua cada fator $k > m$ por $-(p - k)$)* .
7. Conclua: $-1$ é um quadrado módulo $p$ se, e somente se, $p = 2$ ou $p  \equiv 1 \pmod 4$ . *(Para o “somente se”: se $x^2  \equiv -1$, qual é a ordem de $x$ em $(\Z/p\Z)^\times$, e o que diz Lagrange?)*

**Parte III — A lei de decomposição.**

8. Sejam $p \equiv 1 \pmod 4$ e $x$ com $p \mid x^2 + 1 =  (x + \iu)(x - \iu)$ . Mostre que $p$ *não* é um primo de Gauss e conclua, com a Parte I: $p = a^2 + b^2$ .
9. Seja $p \equiv 3 \pmod 4$ . Mostre diretamente que $p$ não é uma soma de dois quadrados *(quadrados módulo $4$)* e deduza que $p$ permanece um primo de Gauss.
10. Resolva o caso $p = 2$ : exiba a fatoração $2 =  -\iu(1+\iu)^2$ e verifique que $1 + \iu$ é um primo de Gauss. ( $2$ é o único primo *ramificado* : divisível pelo quadrado de um primo de Gauss a menos de uma unidade.)
11. Monte a classificação dos primos de Gauss, a menos de unidades: $1 + \iu$ ; os inteiros $p \equiv 3 \pmod 4$ ; os pares conjugados $\pi, \bar\pi$ de norma $p \equiv 1 \pmod  4$ . Verifique-a em $5 = (2+\iu)(2-\iu)$ e em $3$ .

**Parte IV — O teorema dos dois quadrados.**

12. Demonstre a metade direta: se, na fatoração $n =  \prod p_i^{\alpha_i}$ , todo primo $\equiv 3 \pmod 4$ aparece com expoente par, então $n$ é uma soma de dois quadrados. *(Brahmagupta + Partes II–III.)*
13. Demonstre a recíproca: se $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ e $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ , mostre que $q$ , primo de Gauss, divide $a + \iu b$ ou $a - \iu b$ , que ele de fato divide tanto $a$ quanto $b$ , e conclua por indução sobre $n$ que o expoente de $q$ em $n$ é par.
14. Enuncie o teorema final. Quais dentre $2025$ , $2026$ , $2027$ são somas de dois quadrados? *($2025 = 81 \cdot 25$; $2026 = 2 \cdot 1013$, com $1013$ primo; $2027$ primo.)*
15. (Epílogo) Mostre que um primo $p \equiv 1 \pmod 4$ é uma soma de dois quadrados de maneira essencialmente única: se $p =  a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ (inteiros positivos), então $\{a, b\}  = \{c, d\}$ . *(Unicidade da fatoração em $\Z[\iu]$.)*

**Parte V — Contando representações: a fórmula de Jacobi e a série de Leibniz.** Escreva $r_2(n) = \#\{(a, b) \in
\Z^2 : a^2 + b^2 = n\}$ (pares ordenados, sinais e zeros incluídos) e seja $\chi$ o caractere não trivial módulo $4$: $\chi(d) = +1$ se $d \equiv 1$, $-1$ se $d \equiv 3 \pmod4$, $0$ se $d$ é par.

16. (Aquecimento, por contraste) Quais inteiros são *diferenças* de dois quadrados? Mostre: $n = a^2 - b^2$ com $a, b \in \Z$ se, e somente se, $n \not\equiv 2 \pmod 4$ — sem nenhuma teoria de anéis e sem estrutura comparável à que segue.
17. Mostre que $r_2(n)$ é o número de $z \in \Z[\iu]$ com $N(z) = n$. Escrevendo $n = 2^{a}\prod_jp_j^{b_j}  \prod_kq_k^{c_k}$ com $p_j \equiv 1$, $q_k \equiv 3  \pmod4$, use a classificação da questão 11 e a fatoração única para mostrar: tais $z$ existem se, e somente se, todos os $c_k$ são pares e, nesse caso, $$r_2(n) = 4\prod_j\,(b_j + 1) .$$ *(Conte: $z = u\,(1+\iu)^{a}\prod_j\pi_j^{s_j}  \bar\pi_j^{\,b_j - s_j}\prod_kq_k^{c_k/2}$ com $u$ unidade e $0 \leq s_j \leq b_j$; por que essa lista é exaustiva e sem repetições?)*
18. Mostre que $d \mapsto \chi(d)$ é completamente multiplicativa, deduza que $n \mapsto  \sum_{d \mid n}\chi(d)$ é multiplicativa e calcule-a nas potências de primos: ela vale $1$ em $2^a$ ; $b + 1$ em $p^b$ ( $p \equiv 1$ ); $1$ ou $0$ em $q^c$ ( $q \equiv 3$ ), conforme $c$ seja par ou ímpar.
19. Conclua o *teorema de Jacobi*: $$r_2(n) = 4\sum_{d \mid n}\chi(d) =  4\bigl(d_1(n) - d_3(n)\bigr),$$ onde $d_i(n)$ conta os divisores $\equiv i \pmod 4$. Verifique em $n = 3, 5, 9, 25$ e liste as $16$ representações de $65$.
20. (O círculo) Mostre que $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ é o número de pontos do reticulado $\Z^2$ no disco fechado de raio $\sqrt x$, e demonstre $$\sum_{n\leq x}r_2(n) = \pi x + O(\sqrt x)$$ *(cada ponto do reticulado é dono de um quadrado unitário; compare áreas, com o erro vivendo em um anel de largura $O(1)$)*.
21. (Leibniz, lido aritmeticamente) Combine as questões 19–20: $$\sum_{d \leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac  xd\Bigr\rfloor = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x),$$ e deduza — removendo as partes inteiras com cuidado — a série de Leibniz $$1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \dots = \frac\pi4 .$$ A série alternada dos inversos ímpares *é* o excesso médio dos divisores $\equiv 1$ sobre os divisores $\equiv 3$: a análise calculada pela aritmética.
22. (Quão raras são as somas de dois quadrados?) Mostre que nenhum inteiro $\equiv 3 \pmod 4$ é soma de dois quadrados (de duas maneiras: quadrados módulo $4$ , ou o critério de paridade da questão 17), de modo que ao menos um quarto de todos os inteiros fica de fora; e mostre que a média $\frac1x\sum_{n\leq  x}r_2(n) \to \pi$ da questão 20 é compatível com o fato de os inteiros representáveis terem densidade $0$ — exiba inteiros com um número anormalmente grande de representações (tome produtos de muitos primos $\equiv 1 \bmod 4$ ) para explicar como uma proporção que tende a zero ainda pode sustentar uma média positiva. (Landau demonstrou que a densidade verdadeira decai como $1/\sqrt{\log x}$ ; isso está além de nossas ferramentas, mas o mecanismo já se tornou visível.)

**Parte VI — Complementos: representações primitivas e Pitágoras.**

23. Diga que uma representação $n = a^2 + b^2$ é *primitiva* se $\gcd(a, b) = 1$ . Mostre que $n \geq 1$ admite uma representação primitiva se, e somente se, $4 \nmid n$ e nenhum primo $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ . *(Para a necessidade, reutilize a descida da questão 13 e os quadrados módulo $4$; para a suficiência, construa $z$ a partir de $1 + \iu$ e dos $\pi_j$ apenas — sem conjugados — e explique por que um fator primo comum a $a$ e $b$ forçaria $\pi_j$ e $\bar\pi_j$, ou $(1+\iu)^2$, a entrarem ambos em $z$.)*
24. (Ternos pitagóricos) Sejam $a^2 + b^2 = c^2$ com $a, b,  c$ positivos, $\gcd(a, b) = 1$ e $b$ par. Mostre que $a + \iu b$ e $a - \iu b$ são coprimos em $\Z[\iu]$ *(um divisor primo de Gauss comum dividiria $2a$ e $2b$, e $c$ é ímpar)*, deduza da fatoração única que $a + \iu b = u(m + \iu n)^2$ para uma unidade $u$, e conclua a parametrização clássica: a menos de trocar $a$ e $b$, $$a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2,$$ com $m > n \geq 1$ coprimos de paridades opostas. Recupere $(3, 4, 5)$ e $(21, 20, 29)$ a partir de $(m, n) =  (2, 1)$ e de $(5, 2)$.
25. (Verificação numérica) Tome $x = 25$. Calcule $r_2(n)$ para $1 \leq n \leq 25$ pela fórmula de Jacobi, verifique que os valores não nulos ocorrem exatamente em $n = 1,  2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$, e que $$\sum_{n \leq 25} r_2(n) = 80  = 4\sum_{d \leq 25}\chi(d)  \Bigl\lfloor\frac{25}d\Bigr\rfloor .$$ Verifique que o disco fechado de raio $5$ contém $81$ pontos do reticulado e compare com $\pi x \approx 78.5$: o erro está bem dentro do $O(\sqrt x)$ da questão 20.

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** $N(z) = z\bar z$, de modo que $N(zw) = zw\overline{zw} = z\bar
z\, w \bar w = N(z)N(w)$. Se $uv = 1$: $N(u)N(v) = 1$ em $\N$, logo $N(u) = 1$, isto é, $u \in \{\pm 1, \pm \iu\}$; os quatro são unidades. Brahmagupta: $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = N\bigl((a + \iu b)(c + \iu
d)\bigr) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$.

**2.** Se $z = ab$, então $N(z) = N(a)N(b)$ é primo, de modo que $N(a) = 1$ ou $N(b) = 1$: um dos fatores é unidade. Como $N(z) > 1$, $z$ não é nulo nem unidade: [irredutível](#def-b3-rings-divisibility) — e primo, pois $\Z[\iu]$ é um [DFU](#def-b3-rings-pidufd) ([Teorema 2.14](#thm-b3-rings-euclideanpid), [Teorema 2.18](#thm-b3-rings-pidufd) e [Lema 2.17](#lem-b3-rings-bezout)).

**3.** $\pi$ divide $N(\pi) = \pi\bar\pi \geq 2$, um inteiro; fatorando $N(\pi)$ em números primos e usando que $\pi$ é primo, $\pi \mid p$ para algum número primo $p$. Se também $\pi \mid q \neq p$: Bézout em $\Z$ dá $1 = up + vq$, de modo que $\pi \mid 1$ — absurdo: $p$ é único. De $p = \pi\gamma$: $p^2 = N(p) = N(\pi)N(\gamma)$ com $N(\pi) \neq 1$, logo $N(\pi)
\in \{p, p^2\}$.

**4.** Seja $\pi$ um primo de Gauss que divide $p$, $p =
\pi\gamma$. Se $N(\pi) = p^2$: $N(\gamma) = 1$, de modo que $p$ é associado a $\pi$, ele próprio um primo de Gauss; e nenhum primo de Gauss tem norma $p$ (se $N(\rho) = p$, então $\rho \mid
\rho\bar\rho = p$, e $p$ primo em $\Z[\iu]$ forçaria $\rho$ associado a $p$, dando $N(\rho) = N(p) = p^2 \neq
p$). Se $N(\pi) = p$: escrevendo $\pi = a + \iu b$, $p = \pi\bar\pi = a^2
+ b^2$.

**5.** No grupo abeliano $(\Z/p\Z)^\times$, emparelhe cada elemento com seu inverso. Os elementos que são seu próprio inverso são as raízes de $X^2 - 1$: exatamente $\pm 1$ (no máximo duas raízes em um corpo). O produto de todos os elementos é então $1 \cdot (-1) \cdot \prod
(\text{pares } k k^{-1}) = -1$: $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$. (Para $p = 2$: $1! \equiv -1$.)

**6.** Escreva $(p-1)! = \prod_{k=1}^m k \cdot
\prod_{k=m+1}^{p-1}k$ com $m = \frac{p-1}2$. No segundo produto, substitua $k = p - j$, $j = 1, \dots, m$: módulo $p$, $\prod_{j=1}^m (p - j) \equiv (-1)^m m!$. Logo $-1 \equiv
(-1)^m (m!)^2$, isto é, $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$.

**7.** Se $p \equiv 1 \pmod 4$, $m$ é par e a questão 6 dá $(m!)^2 \equiv -1$: uma raiz quadrada de $-1$. Reciprocamente, se $x^2 \equiv -1 \pmod p$ (com $p$ ímpar), então $x^4 = 1 \neq x^2$: $x$ tem ordem $4$ em $(\Z/p\Z)^\times$, de modo que $4 \mid p - 1$ (Lagrange). E $p = 2$: $1^2 = 1 \equiv -1$. Conclusão: $-1$ é quadrado módulo $p$ se, e somente se, $p = 2$ ou $p \equiv 1 \pmod 4$.

**8.** Com $x^2 \equiv -1$: $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x -
\iu)$. Se $p$ fosse um primo de Gauss, dividiria um dos fatores; mas $\frac xp \pm \frac \iu p \notin \Z[\iu]$. Logo $p$ não é primo de Gauss; pela dicotomia (questão 4) — $p$ não primo significa o segundo ramo — $p = a^2 + b^2$.

**9.** Os quadrados são $\equiv 0$ ou $1 \pmod 4$, de modo que $a^2 + b^2
\in \{0, 1, 2\} \pmod 4$: um primo $p \equiv 3 \pmod 4$ não é soma de dois quadrados. Pela questão 4, o ramo $N(\pi) = p$ ($p =
a^2+b^2$) é impossível: $p$ permanece primo de Gauss.

**10.** $(1 + \iu)^2 = 2\iu$, de modo que $2 = -\iu(1 + \iu)^2$; e $N(1 + \iu) = 2$ é primo, de modo que $1 + \iu$ é um primo de Gauss (questão 2).

**11.** Todo primo de Gauss divide exatamente um número primo $p$ (questão 3); listando por casos: $p = 2$ dá os [associados](#def-b3-rings-divisibility) de $1 + \iu$; $p \equiv 3 \pmod 4$ dá o próprio $p$ (questão 9); $p \equiv 1 \pmod 4$ dá o par $\pi, \bar\pi$ de norma $p$ (questões 4 e 8). O par é genuíno: $\bar\pi \in
\{\pm\pi, \pm\iu\pi\}$ forçaria, escrevendo $\pi = a + \iu b$, ou $b = 0$, ou $a = 0$, ou $a = \pm b$, dando $p = a^2 + b^2 \in
\{a^2, 2a^2\}$ — impossível para um primo ímpar. Confira: $5 = (2 + \iu)(2 - \iu)$, $N(2\pm\iu) = 5$; $3$: primo de norma $9$.

**12.** Escreva $n = 2^{\alpha}\prod_i p_i^{\beta_i} \prod_j
q_j^{2\gamma_j}$ com $p_i \equiv 1$, $q_j \equiv 3 \pmod 4$. Cada fator é soma de dois quadrados: $2 = 1^2 + 1^2$; $p_i = a^2
+ b^2$ (questão 8); $q_j^{2\gamma_j} = (q_j^{\gamma_j})^2 +
0^2$. A identidade de Brahmagupta (questão 1) propaga a propriedade ao produto $n$.

**13.** Sejam $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ e $q \equiv 3
\pmod 4$, $q \mid n$. O primo de Gauss $q$ (questão 9) divide $(a + \iu b)(a - \iu b)$, logo um dos dois fatores — digamos $q
\mid a + \iu b$ (o outro caso é idêntico). Mas então $\frac{a +
\iu b}{q} = \frac aq + \iu \frac bq \in \Z[\iu]$ se lê como $q
\mid a$ *e* $q \mid b$ em $\Z$. Logo $q^2 \mid n$ e $\frac n{q^2} =
\bigl(\frac aq\bigr)^2 + \bigl(\frac bq\bigr)^2$. Por indução forte sobre $n$, o expoente de $q$ em $n/q^2$ é par; o de $n$ também é.

**14.** *Teorema (Fermat).* Um inteiro positivo é soma de dois quadrados se, e somente se, todo primo $\equiv 3 \pmod 4$ nele ocorre com expoente par. — $2025 = 3^4 \cdot 5^2$: expoente de $3$ par, sim ($2025 = 45^2 + 0^2 = 27^2 + 36^2$). $2026 = 2 \cdot 1013$ com $1013 \equiv 1 \pmod 4$ primo: sim ($1013 = 22^2 + 23^2$, e Brahmagupta com $2 = 1^2+1^2$: $2026 = (22 - 23)^2 + (22 + 23)^2 = 1^2 + 45^2$). $2027$ é um primo $\equiv 3 \pmod 4$: não.

**15.** Sejam $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ com inteiros positivos, $p \equiv 1 \pmod 4$, e $\pi$ um primo de Gauss com $p = \pi\bar\pi$ (questão 4). Tanto $a + \iu b$ quanto $c + \iu d$ têm norma $p$, logo são primos de Gauss (questão 2) que dividem $p = (a+\iu b)(a - \iu b)$; pela unicidade da fatoração, $c +
\iu d$ é associado a $a + \iu b$ ou a $a - \iu b$:

$$
c + \iu d \in \{\pm(a \pm \iu b),\ \pm\iu(a \pm \iu b)\}
= \{\pm a \pm \iu b,\ \pm b \pm \iu a\}.
$$

A positividade de $c, d$ deixa $c + \iu d \in \{a + \iu b, b + \iu
a\}$: $\{c, d\} = \{a, b\}$.

**16.** Se $n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: os dois fatores têm a mesma paridade, de modo que $n$ é ímpar (ambos ímpares) ou divisível por $4$ (ambos pares) — nunca $\equiv 2 \pmod 4$. Reciprocamente, $n$ ímpar: $n = \bigl(\frac{n+1}2\bigr)^2 -
\bigl(\frac{n-1}2\bigr)^2$; $n = 4m$: $n = (m+1)^2 - (m-1)^2$. A resposta é uma condição de congruência nua, com uma identidade de uma linha por trás: as diferenças de quadrados não carregam profundidade aritmética, e o contraste com as somas é todo o ponto deste problema.

**17.** $(a, b) \mapsto z = a + \iu b$ é uma bijeção entre as representações e $\{z : N(z) = n\}$. Fatore $z$ no [DFU](#def-b3-rings-pidufd) $\Z[\iu]$ usando a classificação (questão 11): a menos de uma unidade, $z = (1+\iu)^{a'}\prod_j\pi_j^{s_j}\bar\pi_j^{t_j}
\prod_kq_k^{u_k}$ e, tomando normas ($N(1+\iu) = 2$, $N(\pi_j) = N(\bar\pi_j) = p_j$, $N(q_k) = q_k^2$):

$$
n = 2^{a'}\prod_jp_j^{s_j + t_j}\prod_kq_k^{2u_k} .
$$

Igualando expoentes: $a' = a$, $s_j + t_j = b_j$, $2u_k = c_k$ — [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) se, e somente se, todo $c_k$ é par, e então $u_k = c_k/2$ fica forçado, ao passo que $s_j \in \intint0{b_j}$ fica livre. Dados distintos $(u, (s_j))$ dão $z$ não [associados](#def-b3-rings-divisibility) de *mesma* norma; a unidade $u \in \{\pm1, \pm\iu\}$ (4 escolhas) enumera então cada classe de [associados](#def-b3-rings-divisibility) sem repetição (dois produtos iguais violariam a unicidade da fatoração — $\pi_j$ e $\bar\pi_j$ não são [associados](#def-b3-rings-divisibility), pois $p_j =
\pi_j\bar\pi_j$ não é ramificado). Total: $r_2(n) =
4\prod_j(b_j + 1)$, e $0$ se algum $c_k$ é ímpar.

**18.** $\chi(dd') = \chi(d)\chi(d')$ se verifica módulo $4$ (ímpar $\times$ ímpar cobre os quatro casos de sinal; qualquer par dá $0 = 0$). Para $m, n$ coprimos, os divisores de $mn$ se escrevem de maneira única como $d = d_1d_2$ com $d_1 \mid m$, $d_2 \mid n$: $\sum_{d \mid mn}\chi(d) = \bigl(\sum_{d_1\mid
m}\chi(d_1)\bigr)\bigl(\sum_{d_2\mid n}\chi(d_2)\bigr)$: é multiplicativa. Potências de primos: em $2^a$, só $d = 1$ é ímpar: soma $= 1$. Em $p^b$ com $p \equiv 1$: todos $\chi(p^i) = 1$, soma $= b + 1$. Em $q^c$ com $q \equiv 3$: $\chi(q^i) =
(-1)^i$, soma alternada $= 1$ ($c$ par) ou $0$ ($c$ ímpar).

**19.** As duas funções multiplicativas $\frac14r_2$ (questão 17) e $\sum_{d\mid n}\chi(d)$ (questão 18) coincidem em todas as potências de primos — $1$ em $2^a$; $b + 1$ em $p^b$; $\mathbf 1_{c\ \mathrm{par}}$ em $q^c$ —, logo coincidem em toda parte: eis a fórmula de Jacobi, com $\sum_{d\mid
n}\chi(d) = d_1(n) - d_3(n)$ ao classificar os divisores. Verificações: $r_2(3) = 0 = 4(1 - 1)$; $r_2(5) = 8 = 4(2 - 0)$ ($(\pm1,\pm2), (\pm2,\pm1)$); $r_2(9) = 4 = 4(2 - 1)$ (divisores $1, 9 \equiv 1$; $3 \equiv 3$; representações $(\pm3, 0), (0, \pm3)$); $r_2(25) = 12 = 4(3 - 0)$. Para $65 =
5\cdot13$: $r_2 = 4\cdot2\cdot2 = 16$, a partir de $65 = 1 + 64 = 16
+ 49$: os dezesseis pares $(\pm1, \pm8), (\pm8, \pm1), (\pm4,
\pm7), (\pm7, \pm4)$.

**20.** $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ conta os pares $(a, b)$ com $0 < a^2 + b^2 \leq x$, isto é, os pontos do reticulado no disco fechado $D_{\sqrt x}$ menos a origem. Atribua a cada ponto do reticulado $P$ o quadrado unitário $P + \intco01^2$: esses quadrados ladrilham o plano. Todo quadrado associado a um ponto de $D_{\sqrt x}$ está em $D_{\sqrt x + \sqrt2}$, e todo quadrado que encontra $D_{\sqrt x - \sqrt 2}$ está associado a um ponto de $D_{\sqrt x}$ (o quadrado tem diâmetro $\sqrt 2$): comparando áreas,

$$
\pi(\sqrt x - \sqrt2)^2 \leq \#\{\text{pontos do reticulado em }
D_{\sqrt x}\} \leq \pi(\sqrt x + \sqrt 2)^2,
$$

e ambas as cotas são $\pi x + O(\sqrt x)$. Subtrair a origem nada muda nessa precisão.

**21.** Por Jacobi (questão 19) e trocando a ordem de soma ($n = dm$):

$$
\frac14\sum_{n\leq x}r_2(n) = \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid
n}\chi(d) = \sum_{d \leq x}\chi(d)\,\#\{m : dm \leq x\}
= \sum_{d\leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor,
$$

que é $\frac{\pi x}4 + O(\sqrt x)$ pela questão 20. Retire as partes inteiras: $\lfloor x/d\rfloor = x/d + O(1)$, mas somar $O(1)$ em $d \leq x$ é grosseiro demais; use, em vez disso, que as somas parciais de $\chi$ são limitadas ($0, 1, 1, 0$ ciclicamente), de modo que, por soma de Abel, $\sum_{d\leq x}\chi(d)\{x/d\}$, cujos termos agrupamos aos pares $d \equiv 1, 3$, é $O(\sqrt x)$ — alternativa e mais simplesmente: separe em $\sqrt x$. Para $d \leq
\sqrt x$, substitua $\lfloor x/d\rfloor$ por $x/d + O(1)$: erro $O(\sqrt x)$. Para $d > \sqrt x$, $\lfloor x/d\rfloor$ assume cada valor $v < \sqrt x$ em um intervalo de $d$ consecutivos, no qual a soma de $\chi$ é $O(1)$: erro total $O(\sqrt x)$ somando sobre os $\leq \sqrt x$ valores de $v$, ao passo que $\sum_{d > \sqrt x}\chi(d)\frac xd = O(\sqrt x)$ por caudas de série alternada ($x\sum_{d>\sqrt x}\chi(d)/d =
x\,O(1/\sqrt x)$). Logo

$$
x\sum_{d \leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x),
\qquad\text{isto é}\qquad
\sum_{d\leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac\pi4 +
O\Bigl(\frac1{\sqrt x}\Bigr),
$$

e, fazendo $x \to \infty$: $1 - \frac13 + \frac15 - \dots =
\frac\pi4$.

**22.** Se $n \equiv 3 \pmod4$ fosse $a^2 + b^2$: os quadrados são $\equiv 0, 1 \pmod 4$, e $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\}$ módulo $4$ — impossível. (O critério da questão 17 diz o mesmo: $n \equiv 3 \pmod 4$ força algum primo $\equiv 3$ a expoente ímpar.) Logo os inteiros representáveis evitam uma classe de resto inteira: densidade $\leq \frac34$. A média $\pi$ de $r_2$ se concentra em poucos inteiros: $n = \prod_{j\leq k}p_j$ (primos distintos $\equiv 1 \bmod 4$) tem $r_2(n) = 4\cdot2^k$ representações — ilimitadamente muitas —, de modo que um conjunto esparso de $n$ pode carregar toda a média, exatamente como o prêmio médio de uma loteria coexiste com a perda quase certa. O $\#\{n \leq x \text{ representável}\} \sim
Cx/\sqrt{\log x}$ de Landau o confirma: densidade $0$, média $\pi$.

**23.** *Necessidade.* Seja $n = a^2 + b^2$ com $\gcd(a, b) = 1$. Se um primo $q \equiv 3 \pmod 4$ dividisse $n$, a questão 13 mostraria $q \mid a$ e $q \mid b$: contradição. Se $4 \mid n$: os quadrados são $\equiv 0, 1 \pmod 4$, de modo que $a^2 + b^2
\equiv 0 \pmod 4$ força $a^2 \equiv b^2 \equiv 0$, isto é, $a,
b$ ambos pares: contradição. *Suficiência.* Escreva $n =
2^{\alpha}\prod_jp_j^{b_j}$ com $\alpha \leq 1$ e $p_j
\equiv 1 \pmod 4$, e ponha $z = (1+\iu)^{\alpha}\prod_j
\pi_j^{b_j} = a + \iu b$, de norma $n$. Suponha que um primo $t$ divida $\gcd(a, b)$; então $t \mid z$ em $\Z[\iu]$. Se $t
\equiv 3 \pmod 4$: $t \mid N(z) = n$, excluído. Se $t \equiv 1
\pmod 4$: $t = \pi_t\bar\pi_t$, de modo que $\bar\pi_t \mid z$; mas a fatoração de $z$ não contém primo conjugado algum ($\pi_j$ e $\bar\pi_j$ não são [associados](#def-b3-rings-divisibility), questão 17), contradizendo a unicidade da fatoração. Se $t = 2 = -\iu(1+\iu)^2$: então $(1+\iu)^2 \mid z$, forçando $\alpha \geq 2$, excluído. Logo $\gcd(a, b) = 1$: a representação é primitiva.

**24.** $a$ é ímpar ($\gcd(a, b) = 1$, $b$ par), de modo que $c^2
= a^2 + b^2$ é ímpar e $c$ é ímpar. Seja $\delta$ um divisor primo de Gauss comum a $a + \iu b$ e a $a - \iu b$: ele divide a soma $2a$ e a diferença $2\iu b$, logo $2a$ e $2b$; uma relação de Bézout $ua + vb = 1$ dá então $\delta \mid 2$, de modo que $\delta$ é associado a $1 + \iu$ e $N(\delta) = 2$ divide $N(a + \iu b) = c^2$, que é ímpar: contradição. Logo $a + \iu b$ e $a - \iu b$ são coprimos, com produto $c^2$; no [DFU](#def-b3-rings-pidufd) $\Z[\iu]$, cada primo de Gauss de $c^2$ ocorre com expoente par e se aloja inteiramente em um dos dois fatores coprimos, donde $a + \iu b = u(m + \iu
n)^2 = u\bigl(m^2 - n^2 + 2\iu mn\bigr)$ com $u$ unidade. As escolhas $u = \pm\iu$ tornam a parte real $\mp 2mn$ par — impossível, pois $a$ é ímpar. As escolhas $u = \pm1$ dão, após ajustar os sinais de $m, n$ e trocar seus nomes para que tudo fique positivo, $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$ com $m > n
\geq 1$; e $c^2 = N(m + \iu n)^2$ dá $c = m^2 + n^2$. Um divisor comum de $m$ e $n$ dividiria $a$ e $b$: $\gcd
(m, n) = 1$; e $m \equiv n \pmod 2$ tornaria $a$ par: paridades opostas. Verificações: $(m, n) = (2, 1)$ dá $(3, 4,
5)$; $(m, n) = (5, 2)$ dá $(25 - 4, 20, 25 + 4) = (21, 20,
29)$, e $441 + 400 = 841 = 29^2$.

**25.** A fórmula de Jacobi $r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n))$ dá, para $n = 1, \dots, 25$:

$$
4,\ 4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\
4,\ 8,\ 4,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 12,
$$

não nula exatamente em $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18,
20, 25$ (por exemplo, $r_2(15) = 0$: os divisores $1, 5 \equiv 1$ e $3, 15 \equiv 3$ se equilibram; $r_2(20) = 8$: divisores $1, 5
\equiv 1$, nenhum $\equiv 3$). O total é $4 + 4 + 4 + 8 + 4 +
4 + 8 + 8 + 4 + 8 + 4 + 8 + 12 = 80$. Do lado dos divisores: os $d \leq 25$ ímpares contribuem com

$$
25 - 8 + 5 - 3 + 2 - 2 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 20,
$$

lendo $\chi(d)\lfloor 25/d\rfloor$ para $d = 1, 3, 5, \dots,
25$; e $4 \cdot 20 = 80$, como prevê a identidade da questão 21. Pontos do reticulado no disco fechado de raio $5$: os $80$ pontos com $1 \leq a^2 + b^2 \leq 25$ mais a origem, isto é, $81$; e $\pi x = 25\pi \approx 78.54$, um erro de cerca de $2.46$, confortavelmente dentro da faixa $O(\sqrt x)$ da questão 20 ($\sqrt x = 5$).